II Modelado de Procesos Quimicos

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II.

Capitulo II

1

MODELADO DE PROCESOS QUÍMICOS.

Dependiendo Dependiendo del proceso al que sirven, existen diferentes y muy variados tipos de modelos. Básicamente, un modelo es: “La representación matemática de un  fenómeno o conjunto de ellos”. Dependiendo del conocimiento de las interacciones causa-efecto, causa-efecto, los modelos pueden ser clasificados como: -

Modelos estructurales. Modelos determinísticos. Modelos empíricos. Modelos aleatorios.

Modelos estructurales  La relación estructural (topológica) entre las variables no concierne la relación funcional. Ejemplo:  Evaporador Evaporador de doble efecto σ2

σ1

Si

C2

B2 B2 F

C1

CF TF

& =  f  (C  , h , F , C  ) C  F  1 1 1 1 & =  f  (C  , C  , h , B ) C  2 2 1 2 1 1

h&1 =  f 3 (C 1 , h1 , F , T F , S i )

C 1 =

Concentración en el primer efecto. C 2 =Concentración en el segundo efecto.

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2

h1 =Entalpía en el segundo efecto. F  =Alimento. C F  =Concentraron en el alimento. T F  =Temperatura

del alimento. S =Flujo de vapor.  B1, 2 =Flujo de salida en el primero y segundo efecto.

C 1 & C  1

 x

& C  2

 x

h&1

 x

C 2  x

h1

F 

C F 

 x

 x

 x

T F 

S

 B1

 x  x

 B2

 x  x

 x

 x

Grafica resultante 

C2

C1

F

TF

CF

h1

Si

B1

B2

La matriz estructural en la grafica directa indica si una variable afecta a otra variable. El modelado estructural no puede ser usado para diseño cuantitativo, solo para decisiones estructurales y topológicas. Modelos Deterministicos  Deterministicos  Basados en las leyes físicas conocidas a través de: - Balances de energía, masa y momentum. termodinámico. - Equilibrio termodinámico. Velocidades cinéticas. (cualitativamente). - Parámetros completamente conocidos (cualitativamente). Básicamente existen 3 tipos de modelos deterministicos. - Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). - Ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

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Ecuaciones integro-diferenciales.

Dependiendo de la naturaleza cambiante o no de los “estados” de un sistema podemos hablar de: - Modelos dinámicos ( dx ≠ 0, ∂ x ≠ 0 ) dt  ∂t  - Modelos estáticos ( d ( ) = 0, ∂( ) = 0 ), representados por dt 

ecuaciones algebraicas.

∂t 

Principio general de “Conservación”. Para una especie “A” (masa, energía o momentum) Tasa de Tasa acumulación = entrada de A de A

-

Tasa de salida de A

Tasa de Tasa de + producción - consumo de A de A

Ecuaciones Constitutivas  Son las expresiones explicitas, expresadas como descripciones matemáticas de las que aparecen en las ecuaciones de balance, y están basadas en leyes físicas y químicas. Tales ecuaciones incluyen: 1) Ecuaciones de las propiedades de la materia.-  Son las definiciones básicas de masa, momentum y energía en términos de propiedades físicas tales como densidad, capacidad calorífica, concentración, temperatura, etc. 2) Ecuaciones de transporte.-  Ley de Newton de la viscosidad (transferencia de momentum). Ley de Fourier (transferencia de calor). Ley de Fick de la difusión (transferencia de masa). 3) Velocidades de Reacción (Cinética Química).-  Ley de acción de masas. Expresión de Arrhenius. 4) Relaciones Termodinámicas.-  Ecuaciones de estado (ley de gases ideales, ecuaciones de VDW, etc.). Modelos Estocásticos  Se usan para corregir el conocimiento incompleto del modelo, de los parámetros o bien para compensar el ruido en las mediciones. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES EN UN PROCESO

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Estados (X). Variables que describen un sistema. Se entiende por sistema el conjunto de modelo + proceso real que el modelo representa. Manipulaciones (m),(u). Entradas de un sistema. Perturbaciones (d), (u). Variables consideradas (o parcialmente consideradas) en el modelo y que afectan el sistema. Mediciones o variables medibles (y). Salidas. Mediciones o variables no medibles (z). Salidas. Ejemplo:  Reactor continuo y agitado ( CSTR )

qi , CAi, Ti qc , Tci Tc q , CA, T .

Estados: H, CA, T Perturbaciones: q i , CAi, Ti Manipulaciones: qc , Tci, q Medibles. H, T No medibles: CA En General:  x& =  f ( x, u, d )  y& =  f ( x, u , d )  z& =  f ( x, u , d )

Para un proceso general se tiene:

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Perturbaciones medibles

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Perturbaciones No medibles

PROCESO

Perturbaciones No medibles

Mediciones

Salidas No medibles

Si el sistema es lineal.  x& =  A x + Bu + C d + w1  y = C  x + w z w1 = Ruido blanco para compensar el conocimiento incompleto de  A ,  B w z = Para compensar lo incierto de

las mediciones.

Ejemplo:  Reactor biológico monosustrato-monobiomasa.

F, Sin

F, S, X, Productos (P)

S, X

Suponer que solo se mide X Reacción: S →  X  + P

S ≡ Sustrato  X  ≡  Biomasa

Balance de masa para biomasa

y

C .

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•

 X  = −

6 

F   X  + μ   X  V 

Balance de masa para sustrato •

S=

μ  =

F  V 

S in −

F  V 

S − k μ   X 

μ max S

k  ≡ Coeficiente de rendimiento.

Ecuación de Monod

k s + S

Todo esto nos lleva a: ⎡1 ⎤ ⎡− D 0 ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡ 0 ⎤ μ  x + ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ S ⎥ + ⎢ DS in ⎥ 0 − − k   D ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& =  X  ⎢

donde

 D =

F  V 

ó escrita de otra forma  x& = C  f ( x ) +  A x + b

con la salida: ⎡1  y = ⎢ ⎣0

0⎤ ⎡ X ⎤

⎥⎢ ⎥

0⎦ ⎣ S ⎦

Estados:  X , S Manipulaciones:  D Perturbaciones:  S in Salidas medibles:  X  Salidas no medibles: S, P 

MODELADO TEÓRICO DE PROCESOS  Paso1. Definición del Proceso  Se debe tener en cuenta que es imposible representar todos los aspectos de un proceso físico. De hecho siempre es posible obtener diferentes modelos para un mismo proceso. Así, como primer paso se debe responder las siguientes preguntas básicas.

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7 

1.- ¿A que propósito servirá este modelo? 2.- ¿Qué tan simple o complejo debe ser el modelo? 3.- ¿Qué aspectos del proceso deben ser considerados relevantes y por lo tanto ser considerados por el modelo? 4.- ¿Qué tan extensos son los principios fundamentales de estos aspectos en relación al conocimiento del proceso? 5.- ¿Cuánto tiempo se requiere/tiene para completar el modelo? 6.- ¿Hipótesis sobre el proceso? 7.- … 8.- … Paso 2. Formulación del modelo. Una vez contestadas estas preguntas se procede a aplicar los balances y ecuaciones constitutivas. Paso 3. Estimación de Parámetros. Un modelo no se puede considerar completo hasta no identificar correctamente TODOS  los parámetros involucrados en el modelo. Para ellos existen 3 funciones básicas: a) Literatura. b) Experimentos independientes relacionados en principios fundamentales. c) Experimentos relacionados específicamente con el proceso en cuestión. Paso 4. Validación del modelo. El modelo debe ser comparado con juegos de datos de otros que los usados para estimar los parámetros. Si el modelo no representa “aceptablemente” estos “nuevos” datos, se deben repetir todos los pasos anteriores.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EN MODELOS TEÓRICOS. Para propósitos de estimación de parámetros, un modelo teórico de cualquier proceso puede ser representado por: η  =  f ( z , θ )

(1)

donde: es el vector de salida del proceso real que pueden ser medidas.  z ∈ ℜ m es el vector de variables “independientes” que pueden ser especificadas para cada experimento o que son conocidas precisamente (entradas). θ  ∈ ℜ p vector de parámetros desconocidos. η  ∈ ℜ n

Notar que si  f  es una función lineal con respecto al vector θ  , entonces se dice que el modelo es lineal en los parámetros. Esto no necesariamente significa que el modelo sea lineal en términos de las variables del proceso (estados).

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Para estimar p  parámetros es necesario desarrollar al menos experimentos. Así, el resultado de cada experimento puede representarse como:

n ≥  p

(2)

η ( k ) =  f ( z (k ),θ ); k=1,2,…,n 

Si incluimos los errores de medición tenemos  y (k ) = η (k ) =  f ( z (k ),θ ) + ε (k ); k=1,2,…,n 

(3)

MÍNIMOS CUADRADOS  Es el criterio mas usado para obtener estimados óptimos de los parámetros no conocidos de un modelo. El problema de mínimos cuadrados puede ser representado con el problema de optimización. min S (θ ) = θ 

 N 

∑[ε (k )] [ε (k )]

(4)

T 

k =1

A partir de (3) tenemos min S (θ ) = min θ 

θ 

 N 

∑ [ y(k ) −  f ( z(k ),θ )]

T 

[ y (k ) −  f ( z (k ),θ )]

(5)

k =1

En ocasiones es necesario asignar mas peso a ciertas mediciones precisas y menos peso a otras. Así, tenemos el método de MÍNIMOS CUADRADOS  PESADOS , que puede ser representado como: min S (θ ) = min θ 

θ 

 N 

∑ [ y(k ) −  f ( z(k ),θ )] W (k )[ y(k ) −  f ( z(k ),θ )] T 

(6)

k =1

donde la matriz peso

W (k ) ∈ ℜ nxn

refleja la precisión de varias mediciones.

⎡  y (1) ⎤ ⎡  f ( z (1),θ ) ⎤ ⎡ ε (1) ⎤ ⎢ y (2) ⎥ ⎢  f ( z (2),θ ) ⎥ ⎢ ε (2) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ . ⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎢ ⎥ . . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ y ( N )⎦⎥ ⎣⎢ f ( z ( N ),θ )⎦⎥ ⎣⎢ε ( N )⎦⎥

Caso lineal  (mínimos cuadrados lineales)

(7)

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Si

F es lineal en

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los parámetros, entonces (7) se puede representar como: Y  =  X θ  + ε 

La idea es entonces minimizar el vector de errores min E  E  = min[(Y  −  X θ )] [(Y  −  X θ )] T 

θ 

T 

θ 

(8)

En general de requiere que: [(Y  − X θ )] [(Y  − X θ )] = 0 T 

lo cual implica que (Y  −  X θ ) = 0

Y  =  X θ   X  Y  =  X   X θ  T 

θ ˆ = ( X   X ) −1 X  Y  T 

T 

T 

θ ˆ =estimado

(9)

Caso no lineal  Lo mas usado es utilizar métodos numéricos. Estimación de parámetros en EDO’s por métodos numéricos. Considerar que nuestro modelo tiene la forma general: d η  dt   y k 

=  f (η , z,θ , t )

(10)

k=1,2,…,N 

donde  f (⋅) es un vector de funciones no lineales en los argumentos indicados y  y k  es el k-ésimo juego de datos obtenidos como salidas en la k-ésima corrida. Algoritmo general 

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1) Iniciar con θ 0 = θ (0) (estimado inicial). 2) Integrar (10) para obtener η . 3) Evaluar la función de suma de cuadrados del error. s j = s (θ  j ) =

 N 

∑ [ y k =1

k 

(11)

− η k  (θ  j )]T [ y k  − η k  (θ  j )]

4) Actualizar el estimado

θ  j → θ  j +1

5) Repetir el paso 2) e iterar para obtener 6) Continuar hasta que

s j +1

( s j +1 − s j ) ≤ C 

C  ≡ parámetro de tolerancia

Notar que el procedimiento general esta basado en encontrar un estado pdimensional del vector de parámetros θ  , para localizar el mínimo global de superficie s(θ  ) . Las técnicas más populares para efectuar el proceso (4) son los métodos de gradiente. MÉTODO DE GRADIENTE  En forma general se tiene θ  j +1 = θ  j − λ Ω g

donde Ω (matriz) λ  g

(escalar) (vector gradiente de las superficies) gi =

∂s ∂θ i

Los diferentes métodos dependen de la elección de MÉTODO DE LA MÁXIMA PENDIENTE  λ  =1, Ω = I 

(convergencia muy lenta)

λ 

y Ω.

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NEWTON-RAPHSON  −1

λ  =1, Ω = H 

donde ∂2s  H  = ∂θ i ∂θ  j −1

(matriz Hessiana)

Trabaja bien cerca del mínimo pero en general no garantiza que en cada paso s (θ  j +1 ) < s (θ  j )

MÉTODO DE LEUENBERG-MARQUARDT  λ  =1, Ω = ( H  + k  I ) −1

donde k es un escalar que puede cambiar en el curso de la optimización. OTROS MÉTODOS  SQP (Sequential Quadratic Programming). Ejemplo:  Una placa caliente con temperatura inicial To  es puesta a enfriar en una atmósfera “calmada” con temperatura constante Ta . Desarrolle un modelo para describir el cambio de temperatura en la placa y describa un método para encontrar los parámetros del modelo. Solución:  Balance de energía dQ dt 

=

d (mC  pT ) dt 

= −UA(T  − Ta)

integrando (12) tenemos dT 

− UA

∫ T  − Ta = − mC  ∫ dt   p

(12)

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cuya solución es ⎛  T  − Ta  ⎞ − UAt  ⎟= ⎝ To − Ta ⎠ mC  p

(13)

ln⎜

si se hace

k  =

UA

(14)

mCp

y reacomodando tenemos T  = Ta + (To − Ta )e − kt 

notar que la expresión anterior es no lineal en k, sin embargo a partir de (13) podemos escribir σ  =

T  − Ta To − Ta

= e −kt 

ó ln(σ ) = −kt 

que ya no es lineal en

σ  , pero ahora es lineal en k.

Se debe de tomar datos experimentales ln(σ )

t 

M

M

en forma matricial tenemos ⎡ ln σ 1 ⎤ ⎡ t 1 ⎤ ⎡ ε 1 ⎤ ⎢ln σ  ⎥ ⎢t  ⎥ ⎢ε  ⎥ 2⎥ 2⎥ 2 ⎢ ⎢ ( −k ) + ⎢ ⎥ = ⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ln σ n ⎦ ⎣t n ⎦ ⎣ε n ⎦

ó Y  =  X θ  + ε 

Resolver para k con mínimos cuadrados Después con  A, m, C  p conocidos, usar (14) para obtener U

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Ejemplo:  Ray (Ray W. H. Advanced Process Control, Butter Worths, Boston 1989) muestra que el calentamiento de un cilindro metálico puede ser modelado por la ecuación: ⎛ ∂T  ⎞ k  ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ r  ⎟ ⎝  ∂t  ⎠ r  ∂r ⎝  ∂r  ⎠

(15)

donde T = T ºC  T = tiempo  r = radio del cilindro  k = difusividad térmica del material  En estado estacionario se obtuvieron los siguientes datos: r (cm) T ºC

0.6 18.6

0.8 19.8

1.2 21.8

1.6 23.2

1.8 23.6

2.0 24

2.2 24.8

2.4 25.6

Encuentre y caracterice (estime los parámetros) de la solución en estado estacionario del modelo (15) usando los datos anteriores. Solución:  En estado estacionario tenemos

0=

k  ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ⎜ r  ⎟ r  ∂r ⎝  ∂r  ⎠

0=

∂ ⎛  ∂T  ⎞ ⎜ r  ⎟ ∂r ⎝  ∂r  ⎠

Resolviendo tenemos: T  = C 1 ln r + C 2

(16)

Notar que la solución en estado estacionario (16) es no lineal en r pero es lineal en los parámetros desconocidos C 1 y C 2 . Con los datos del problema podemos escribir en forma matricial.

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⎡18.6 ⎤ ⎡− 0.51089 ⎢19.8 ⎥ ⎢ − 0.2331 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢21.8⎥ ⎢ 0.1823 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢23.2⎥ = ⎢ 0.2170 ⎢23.6⎥ ⎢ 0.5878 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢24.0⎥ ⎢ 0.6931 ⎢24.8⎥ ⎢ 0.7885 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢25.6⎦⎥ ⎣⎢ 0.8755

14

⎡ε 1 ⎤ ⎢ε  ⎥ ⎥ 1 ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢⋅⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎡ C 1 ⎤ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥+ 1⎥ ⎣C 2 ⎦ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎢⋅⎥ ⎢⋅⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦⎥ ⎣⎢ε 8 ⎦⎥ 1⎤

Resolviendo con T  T  θ ˆ = ( X   X ) −1 X  Y 

obtenemos ˆ 1 ⎤ ⎡4.8505⎤ ⎡ C  ⎢ ˆ ⎥ = ⎢20.939⎥ ⎦ ⎣C 2 ⎦ ⎣

La solución completa en estado estacionario es: T  = 4.8505 ln r + 20.939

MODELOS EMPÍRICOS E IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS  El sistema es tratado como si fuera una “caja negra” y la información experimental es recolectada a partir a la respuesta a un estimulo externo es usada para inferir (identificar) lo que sucede dentro de la caja. Por lo tanto ningún conocimiento acerca de la naturaleza del proceso problema es necesario (aunque puede ayudar). Así, “la identificación de procesos concierne la construcción del modelo, estrictamente a partir de los experimentos del tipo entrada-salida, sin recurrir a  ninguna ley respecto a la naturaleza fundamental y/o propiedades del sistema.”  Las entradas típicas usadas en el diseño de experimentos para la identificación de un proceso son: -

Escalón Impulsos Pulso (rectangular o arbitrario) Funciones periódicas (senos, cosenos) Ruido blanco

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15

Los modelos candidatos más usuales son: Tipo de  Representación en el dominio del  Representación en  Parámetros  modelo  tiempo  el dominio de  Laplace  er k ,τ  1 dy  y ( s ) k  τ   y = ku (t ) g (s) = + = Orden τ s + 1 dt  u( s) 1er con dy k , α ,τ  ke −α s τ   y = ku (t − α )U (t − α ) + g s ( ) = retardo dt  τ s + 1 do 2 2 k  k ,τ 1 ,τ 2 dy 2 d   y g (s) = τ  ξτ   y ku t  2 ( ) + + = Orden 2 (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) dt  dt  2do con retardo

τ  2

d 2 y dt 2

+ 2ξτ 

dy dt 

Único cero, 2 polos con retardo

+  y = ku (t − α )U (t − α )

g (s) = g (s) =

-

ke −α s

k , α ,τ 1 ,τ 2

(τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1)

k (δ s + 1)e −α s

k , δ , α ,τ 1 ,τ 2

(τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1)

Procedimiento general:  1. Efectuar una serie exhaustiva de experimentos usando algún tipo de entrada conocida para obtener la respuesta del sistema a tal entrada. 2. Representar los datos en formas clásicas. - Graficas y vs. t - Diagramas de Bode - Etc. 3. Proponer un modelo candidato. 4. Estimar los parámetros del modelo candidato. 5. Validación. ALGUNOS “TIPS” RECORDATORIOS  Para entradas del tipo escalón de magnitud unitaria.

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En cuanto a la respuesta a la frecuencia  -

La presencia de un término de retardo origina que el ángulo de fase decrece monótonamente a medida que la frecuencia ω  aumenta.

-

Primer orden

-

Segundo orden

-

El valor asintótico de φ  aumenta en respecto al mismo sistema sin ceros.

-

El valor asintótico de sistema sin ceros.

φ  → 90°

a medida que

φ  → −180°

φ 

φ  ,

ω  → ∞

a medida que

ω  → ∞

90°

disminuye en

en un sistema con PRP con 90°

con respecto al mismo

Ejemplo:  Un sistema de orden desconocido (pero mayor a 1) exhibe la siguiente respuesta a un cambio en escalón unitario.

Proponer un modelo y descubrir un método para encontrar los parámetros del sistema.

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Solución:  Sabemos que un sistema de orden N  puede ser representado por un primer orden con retardo. La grafica justifica esta hipótesis, por lo tanto proponemos… τ 

dy dt 

+  y = ku (t − α )U (t − α )

para nuestro caso u=1 τ 

dy dt 

+  y = kU (t − α )

Integrando esta ecuación obtenemos ⎧

t  < α 

0

 y = ⎨

⎩k (1 − e

− (t −α )τ 

)

Para t  → ∞

(17)

t  ≥ α  k  = α 

 y t =∞ = k 

La expresión (17) es no lineal en

α , t  pero podemos arreglarla como

⎛ k −  y ⎞ α  t  ⎟= − ⎝  k   ⎠ τ  τ 

ln⎜

⎛ k − y ⎞ ⎟ ⎝  k   ⎠

ln⎜

α  τ 

−

t 

τ 

t