II L'Hopital (Teoria)

Regla de l'Hôpital

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Regla de l'Hôpital En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada. La aplicación de esta regla frecuentemente convierte una forma indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el límite mucho más fácilmente. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.[1] Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.

Enunciado La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo

ó

. [2] [3] [4]

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c . Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

Demostración El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2] [4] Se asume que tanto f como g son diferenciables en c. • Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a