II Continuidad ( introduccion)

Función continua

Función continua En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real Informalmente hablando, una función f  definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha. El intervalo I de x es el dominio de

definición de f , definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f , el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.) El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f  en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio 'I .

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Función continua

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Continuidad de una función en un punto Definición de continuidad en un punto Una función f es continua en un

punto Xo en el dominio de la función

tal que para toda x en el dominio de la función:

si:

Otra manera más simple: Si x es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x o

o

. Cuando x no es de acumulación del dominio, la función es continua en

si y sólo si

o

ese punto. En el caso de aplicaciones de

en

, y de una manera más rigurosa se dice que una función

es continua en un

punto x si existe f(x ), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x por la derecha, si existe el límite de f(x) 1

1

1

cuando x tiende hacia x por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x ). 1

Así

pues,

una

1

función

f 

continua

en

el

punto

1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene limite por la derecha y por la izquierda del punto x

1

x

1

implica

lo

siguiente:

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Función continua

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5. Si existen el limite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene limite en este punto:

6. Existe f(x ): 1

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos. Si f(x )= y , la continuidad en x se expresa 1

1

1

así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x , f(x) se aproxima a y '. Por definición de los límites, esto significa que 1

1

para todo intervalo abierto J, centrado en y , existe un intervalo abierto I, centrado en x , tal que 1

.

1

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x tiene su imagen 1

en un intervalo J centrado en y , con un radio inferior al salto de f , no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay 1

valores de x del intervalo I alrededor de x que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y , siendo y y y 1

valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J. La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

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1

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Función continua

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Continuidad lateral Una

función

continua

es

izquierda en el punto

por

la

si el límite

lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura. Una función

es continua por la derecha en el punto

si su límite lateral por la derecha y el valor de la

función en el punto son iguales. Es decir:

Una función

es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo {a;b} Una función, función,

es continua continua en un intervalo

, si y solo solo si la función función es continua continua en todos todos los los puntos puntos del intervalo,

es decir: es continua en un intervalo Dado que una función intervalo, entonces

⇔

es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del

es continua en el intervalo intervalo cerrado cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo intervalo (a, (a, b) y además

es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda. La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].

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Función continua

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Algunas funciones continuas importantes Las

funciones

polinomiales,

trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición. La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real. En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los

Funciones seno y coseno.

ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos Las

funciones

definidas

para

distintos

intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo: • La Fun Funci ción ón par parte te ent enter eraa de x, E( x), donde E( x  x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E( x) ≤  x < E( x) + 1. Su curva es una sucesión de segmentos horizontales horizontales a distintas alturas. alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante. • Otras Otras funcio funciones nes definida definidass por interval intervalos os son: Función escalón unitario Función signo

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Función racional Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio

porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a

R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

Teoremas sobre funciones continuas Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas. 1. Teorema Teorema de Weierstr Weierstrass: ass: Si f es continua en 2. Teore Teorema ma de Bolzan Bolzano: o: Si Si f es continua en

entonces presenta máximos y mínimos absolutos. y

3. Teorema Teorema del del valor valor intermed intermedio: io: Si f es continua en

y y

, entonces

tal que

entonces

tal que

Derivada y continuidad Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a . Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso Incluso hay funciones continuas en todo punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1).

pero no derivables en ningún

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Función continua

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Clase de continuidad Una función

, se dice:

• de clase

si está definida en todo el dominio

junto con sus derivadas hasta orden

son continuas. • Una función función continua continua aunque aunque no diferenc diferenciabl iablee en todo el domino, domino, se dice que es de clase clase • Una función es de clase

y todas ellas .

si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no

toda función de este tipo es analítica. • Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones distribuciones de una función de clase . • Una función función generaliz generalizada ada se dice de clase clase de una función de clase

si es la derivada derivada k -ésima -ésima en el sentido de las distribuciones

.

Funciones continuas en espacios topológicos Sean

e

es un abierto de cualquiera que sea el abierto

, de

Con la misma notación, si entorno de

. , diremos que

, cualquiera que sea el entorno

Es "inmediato" entonces comprobar que

de

es continua en

Véase también • Clasi Clasifi ficac cación ión de discon discontin tinuid uidade adess • Lista Lista de de funci funcione oness matem matemáti áticas cas • Continuo

cuando se obtiene que

es un

.

es continua si y solo si es continua en

es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

• D e ri v a c i ó n

se dice que es continua si:

dos espacios topológicos. Una aplicación

, cualquiera que sea éste,

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Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Función continua  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45494061 .php?oldid=45494061 Contribuyentes: Aibdescalzo, Alefisico, Alexav8, Antur, Banana04131, Claudlovsgerd, Cobalttempest, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Especiales, Farisori, Faustito, Fsd141, Galandil, Gengiskanhg, HUB, Heriotza, HiTe, Hprmedina, Ialad, Ingenioso Hidalgo, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Manolo456, Matdrodes, Mister, Moriel, Nachotraidor, Nanymontanari, Netito777, Pececito, Pino, Porao, Proferichardperez, Pybalo, Rastrojo, Romero Schmidtke, Sheldonspock, Snakeyes, Tomatejc, Truor, Tuncket, Wewe, Xenoforme, 109 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Función Archivo:Función Continua 011.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/i http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Conti ndex.php?title=Archivo:Función_Continua_011.svg nua_011.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Archivo:Función Continua 014.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/i http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Conti ndex.php?title=Archivo:Función_Continua_014.svg nua_014.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Archivo:Función Continua 022.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/i http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Conti ndex.php?title=Archivo:Función_Continua_022.svg nua_022.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Archivo:Función Continua 024.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/i http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Conti ndex.php?title=Archivo:Función_Continua_024.svg nua_024.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:FunTriR110.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/in http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunTriR110.svg dex.php?title=Archivo:FunTriR110.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72 Archivo:Función Archivo:Función Continua 050.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/i http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Conti ndex.php?title=Archivo:Función_Continua_050.svg nua_050.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Archivo:Función Continua 033.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/i http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Conti ndex.php?title=Archivo:Función_Continua_033.svg nua_033.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe

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