Identidades Trigonométricas

 

Identidades trigonométricas de una variable

Identidades trigonométricas trigonométricas de una variable Conceptos básicos Expresión trigonométrica Llamamos expresión trigonométrica a la expresión matemática que contiene términos como: senx; cosb; tanq; ...; etc..; en donde las letras "x"; " b" y "q" se llaman variables. Ejemplo:

Las siguientes son expresiones trigonométricas:  

tanx + senx;

cotq + senq cota . cotd + 1 ; 1 + cosb ; sec2x – tan2x; ; 2sen2x – 1 q sec   cota – cotd

Identidad Se llama identidad a la igualdad entre dos expresiones matemáticas que se cumple para todo valor que se asigne a sus variables para las que están definidas. Ejemplos:

Son identidades las siguientes expresiones matemáticas: •

∀ x ∈ 

•

∀ x ∈ 

•

∀ x ∈ 

se cumple: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) x3 – 1 se cumple:  = x2 + x + 1 x–1 se cumple: x3 – y3 = (x – y) (x 2 + xy + y2)

Identidades trigonométricas Se llama identidad trigonométrica a la igualdad formada por expresiones trigonométricas que se verifican para todos los valores admitidos de su variable. Ejemplos:

Las siguientes expresiones son identidades trigonométricas. se cumple: sen2x = 1 – cos2x

•

∀ x ∈ 

•

∀ x ≠ np; n ∈  , se cumple: cotx = cosx senx

Identidades trigonométricas fundamentales Las identidades trigonométricas fundamentales o básicas son un grupo de identidades que muestran a las razones trigonométricas un mismo ángulo, relacionados mediante operaciones elementales de adición, multiplicación o potenciadenatural. Las identidades fundamentales son 8 y entre ellas tenemos las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas, que permiten obtener la mayoría de las identidades trigonométricas. Colegios

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Trigonometría Razonamiento Matemático

Identidades recíprocas

1

1 senx . cscx = 1; ∀ x ≠ np; n ∈  ⇒ cscx = senx  

p 1 cosx . secx = 1; ∀ x ≠ (2n + 1) ; n ∈  ⇒ secx = 2 cosx   p 1 tanx . cotx = 1; ∀ x ≠ n2 ; n ∈  ⇒ cotx = tanx

Identidades por cociente tanx =

senx p ; ∀ x ≠ (2n + 1) ; n ∈  cosx   2

cotx =

cosx ; ∀ x ≠ np; n ∈  senx  

Identidades pitagóricas sen2x = 1 – cos 2x sen2x + cos2x = 1; ∀ x ∈ 

1 + tan2x

1+

= sec2x;

cot2x

=

∀ x ≠ (2n + 1) p; n ∈  2

csc2x;

cos2x = 1 – sen2x

sec2x – tan2x = 1 tan2x = sec2x – 1

csc2x – cot2x = 1

∀ x ≠ np; n ∈ 

cot2x = csc2x – 1

Los problemas presentados, son de demostración, simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad VII

115

 

Identidades trigonométricas de una variable

 Aprende más... 1.

Reducir:

 

M = tanx . cosx . csc2x a) 1 d) secx

10. Reducir:

b) senx e) cscx

2.

Reducir:

 

P = sen2x . cotx + cos 2x . tanx

c) cosx

Reducir:

 

M = sen3x (1 + cot2x) – (1 – cos2x) cscx

Reducir:

 

Q=

 

c) 2senx

b) cosx e) 0

Reducir:

 

P = (tanx + cotx)sen2x a) senx d) tanx

b) cosx e) cotx

d) 1 c) 1

Reducir:

 

A = (secx – cosx)(cscx – senx) secx

7.

b) cosx

d) cotx

e) 1

b) 1 e) cscx

8.

Simplificar:

 

secx – senx P= cscx – cosx a) tanx d) cscx

9.

b) cotx e) 1

b) tanx e) cscx

1 c)   2 

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

c) tanx 15. Efectúa: N=2+

c) 0

a) sec2x d) tg2x

sen4x + cos4x   sen2x cos2x

b) csc2x e) ctg2x

c) sec2x.csc2x

16. Simplificar:  

R=

c) secx a) tanx d) 2

tanx – senx Simplificar: J= 1 – cosx a) 1 d) secx

1 b)   5  e) 2

14. Simplificar:

Simplificar: A = (secx – cosx) ctgx – senx a) 2senx d) secx

c) 0

1 1 1 1 + + + M= 2 2 2  1 + sen x   1 + csc x   1 + cos x   1 + sec2x

6.

a) senx

b) tg2x e) 1 + tanx

2 13. Simplificar: J = cosx 1 + tan x  secx + 1

a) – 1 5.

c) cotx

tanx 1 1 + + M= 2 2   1 + tan x     1 + cot x     cotx a) secx d) sec2x

c) tanx

b) tan2x e) 1

12. Simplificar:

1 – cos2x – tan2x 1 – sen2x  

a) senx d) cscx

c) 2cosx

tanx – senx 1 – senx Q=   cotx – cosx   1 – cosx a) tanx d) cot2x

b) 2 e) 2cosx

b) 2senx e) 2cscx

11. Simplificar:

3.

4.

senx 1 + cosx + senx     1 + cosx

a) 1 d) 2secx

a) senx . cosx b) 2senx . cosx c) 1 d) 2 e) secx.cscx

a) 1 d) 0

 

V=  

tg2 x + ctg  2x - 2 -2 tgx + ctgx - 2

b) cotx e) – 2

c) tanx + cotx

17. Simplificar: tan4x.sec2x – tan2x.sec2x + tan2x c) ctgx

a) 1 d) tan6x

b) 0 e) sec6x

c) tan4x

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