IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Sistema de Medida Angular  Razones Trigonométricas Identidades Trigonométricas SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR ANGULAR - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO X

OBJETIVOS:  Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :  Conocer la medida de un ángulo en los diversos sistemas.  Conocer el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia y sus diversas aplicaciones.  Determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo Definir las condiciones que debe cumplir una identidad trigonometrica.   Clasificar las identidades fundamentales.  Identificar las diferentes situaciones problemáticas que se presenta SISTEMA DE DE MEDICIÓN ANGULAR

SISTEMA DE MEDICIÓN ÁNGULAR

La medición de un ángulo requiere de otro

La trig trigon onom omet etrí ría a es part parte e de mate matemát mátic ica. a.

ángulo como unidad de medida. La unidad de medida

Etimológicamente, la palabra trigonométricas proviene

angu angula larr se ha esta establ blec ecid ido o prin princip cipal alme ment nte e con con dos dos

delas palabras griegas gonos (ángulo), trío (tres) y

criterios dividiendo el ángulo de una vuelta en partes

metrom (medida), de lo que puede deducir que trata de

iguales y utilizando la relación del arco con el radio de

la medida de los triángulos.

la circunferencia.  A continuación veremos tres sistema de

La medida de las distancias largas ha sido uno de los problemas que el hombre ha buscado resolver 

medición angular.

con ayuda de la matemática. La geometría ha resuelto

1.- SISTEMA SEXAGESIMAL:

en parte este problema. El aporte de la trigonometría ha

Denominado Denominado también también Sistema Sistema Ingles, Ingles, este

sido fundamental en la resolución del problema sobre la

sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene

medició medición n de distan distancia cia,, por que ha establ estableci ecido do una

al dividir al ángulo ángulo de una vuelta en 360 partes iguales, iguales,

relación entre el ángulo y la longitud.

Sexagesimal cuya a esta esta unid unidad ad se llam llama a Grado Sexagesimal medida se representa así 1o

 Aparte de la medición de distancia, las funciones funciones trigonomét trigonométricas ricas

han logrado logrado modelar modelar una

Equivalencias:

serie serie de fenóme fenómenos nos de caráct carácter er periód periódico ico,, como como la

1 vuelta < > 360°

corriente eléctrica, los latidos del corazón, la vibraciones

1° < > 60' < > 3600 "

del sonido, de las ondas sísmicas, la luz etc.

1' < > 60"

ÁNGULO TRIGONOMETRICO

2.- SISTEMA CENTESIMAL

El ángu ángulo lo trig trigon onom omét étri rico co se gene genera ra por por la

Denomi Denominad nado o tambié también n Sistem Sistemaa Francé Francéss este

rotación de un rayo alrededor de su origen (llamado

sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene

vértice) vértice) desde una posición inicial (llamado lado inicial)

al dividir al ángulo ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, iguales,

hasta una posición final (llamado lado final)

a esta unidad se le llama Grado Centesimal

cuya

medida se representa así 1g Equivalencias:

ORIGEN

1 vuelta < > 400 g.

B

1 g. < > 100m. < > 10,000 s 1 m < > 100 s.

LADO FINAL

3.- SISTEMA RADIAL O

LADO INICIAL

Denominado Denominado también también Sistem Sistemaa Circula Circular  r  o

 A

Sistema Internacion Internacional al también Sistema

este sistema tiene

como unidad a un ángulo cuyo vértice esta en el centro 14

de una circunferencia y que subtiende a un arco cuya

LONGITUD DEL ARCO :

longitud es igual al radio de dicha circunferencia.

En el numero de radianes que mide un ángulo central es

 A esta unida se llama RADIAN cuya medida se

igual al cociente de la longitud del arco que subtiende

representa así 1 rad.

entre el radio de la circunferencia que lo contiene.

1 vuelta = 2 π rad.

Longitud del arco radio

Numero de Radianes =

Si representamos con α el número de radianes que R

α

= 1 radian

R

mide el ángulo central tenemos.

α

CAMBIO DE UNIDADES DE MEDICIÓN ANGULAR

L = α .R

R

Sea el ángulo AOB cuyas medidas en grado sexagesimal es S o, en grado centesimal es Cg y en

R

radianes, R rad. Debemos encontrar una relación entre

L = longitud del arco

ellos.

R = Longitud del radio

 A

α

α = Medida del ángulo central en radianes NUMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA Y LONGITUD DE ARCO

O

Una rueda en rotación barre arcos cuyas

SO = C g = R rad

longitudes depende del número de vueltas que da la S : # de grados sexagesimales

rueda y la longitud del radio.

C : # de grados centesimales

B

 A continuación analizaremos tres situaciones

R : # de radianes

distintas.

RELACIONES PARTICULARES:

1.- Rotación de una rueda sobre el plano :

S C R = = 180 o 200 g π S C = ; 9 10

S R = 180 π

;

R C R = 200 π

L = 2Rn En cada vuelta barre la longitud de la circunferencia (2

m

n

p

50

81

=

27

=

π  R) en n vueltas barre 2 π  Rn. Luego

q 2 50

2Rn LL==2Rn m = # de minutos sexagesimales n=

n

=

L 2π R

# de minutos centesimales

n = numero de vueltas que da la rueda al

p = # de segundos sexagesimales

desplazarse

q = # de segundos centesimales

L = longitud del arco barrido por la rueda R = radio de la rueda

15

2.- Rotación de una rueda sobre una superficie

Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las

circular cóncava

razones trigonometrías de α se define:

B n=

α

r 

( R + r ) 2 π r 

c

a b

 A

r 

c C

α

Sen α = Cateto Opuesto = b Hipotenusa c

α

R

R

3.- Rotación de una rueda sobre una superficie

Cateto Adyacente a = Hipotenusa c

Tan α =

Cateto Opuesto b = Cateto Adyacente a

circular convexa α

n=

( R − r ) 2 π r 

 ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

Ctan α =

Cateto Adyacente a = Cateto Opuesto b

Sec α =

Hipotenusa c = Cateto Adyacente a

Csc α =

Hipotenusa c = Cateto Opuesto b

 A la porción sombreada de la figura ,se le denomina sector circular  Si el α es el  rángulo central    R expresado en radianes, de   r

β

Cos α =

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO

α

una circunferencia de radio r y si “S “denota el área de

COMPLEMETARIOS.

un sector circular subtendido por  α entonces:

CO - RAZONES Dado el triángulo rectángulo ACB

S AOB =

2

αR

2

RL

=

2

=

2 L

c

2α

C

B a

α  A

RAZON TRIGONOMETRICA

Sen α =

Es el cociente que se obtiene al dividir las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto

 b 

Cos β =

a un ángulo agudo.

 Sen α = Cos β ⇒ α + β = 90 o c   b 

Tan α =

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO ( R T )

Ctan β =

En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90o y los otros dos ángulos agudos a su lado mayor se llama

Sec α =

hipotenusa y a los lados menores se le llama catetos

Csc β = 16

b

C

c   b 

β

 Tan α = Ctan β ⇒ α + β = 90o a  a

 b   c

 Sen α = Csc β ⇒ α + β = 90o a  c a 

RAZONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS (Recíproca) Una razón trigonométricas es inversa o reciproca de otra si sus valores son uno el inverso del otro Aplicando esta definición en el

∆

ABC se obtiene los siguientes

resultados:

C.O a H b = = su inversa es Cscα = H b C.O a

Senα =

C.A

Cosα =

H C.O

Tanα =

c

= =

C.A

b a c

su inversaes Secα =

su inversaes Ctanα =

H C.A C.A C.O

= =

b c c a

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Para Calcular las razones trigonométricas de ángulos

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

notables, citaremos tres triángulos notables.

Todo ángulo trigonométrico tiene tres elementos: LF

θ V

30o

60o

45o

37o

LI

LI = Lado Inicial, V = Vértice

53o

LF = Lado Final Sen

1

3

2

3

4

2

2

2

5

5

3

1

2

4

3

2

2

2

5

5

3

1

3

4

4

3

4

3

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN

3

4

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

5

5

Sea α un ángulo trigonométrico en posición normal , (x;

4

3

y) un punto de su lado final y r

5

5

3

4

Cos

3

Tan

3 Ctan

Sec

3

3

3

2

2

2

3 Csc

2

1

3

3

2

3

2

Observación: 

Si el sentido es horario el signo del ángulo es negativo.



Si el sentido es antihorario, el signo del ángulo es positivo.

(r > 0) el radio vector 

de dicho punto, entonces las Razones Trigonometrías de α , se definen como sigue:

17

y Sen α = , r  x

=

x Cos α , r  r 

Tan α

y x x

Csc (- α) = - Csc α RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALE (x,y) r  y

REDUCCIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTICAS AL PRIMER CUADRANTE

α

x

α r  : ángulo de referencia del I cuadrante φ : ángulo a reducir  Fórmula General RT φ = ± RT α r 

SIGNOS DE LA RAZONES

Casos:

TRIGONOMETRICAS Desde que las razones trigonometrías depende de dos cantidades: abcisa, ordenada y / o radio vector , reconocemos que la R.T tienen un signo que viene dado

a)

Si α  ∈ IIC ⇒ α r  = 180º - α 

b)

Si φ ∈ IIIC ⇒α r  = φ - 180º

c)

Si φ ∈ IV C ⇒α r  = 360º - φ

por la combinación de los signos que posean las

Rt (π ± α) = ± Rt α entonces:

cantidades de las que ellas dependa. Es oportuno

Rt (180º ± α) = ± Rt α

sintetizar todas estas combinaciones posibles en los

Rt (2π ± α) = ± Rt α entonces :

siguientes esquemas lo mismo que se constituyen en

Rt(360º ± α)= ± Rt α

una regla práctica.

Rt (π/2 ± α) = ± Co-Rt α entonces :

 Así se concluye que :

Rt(90º ± α) = ± Co-Rt α

a) En el IC todas las R.T son positivas

 3π ± α    = ±   2  

Rt 

b) En el IIC sólo son positivas el seno y la cosecante.

Co-Rt α entonces :

Rt (270º ± α) = ± Co-Rt α

α : ángulo agudo Cuando α > 360°

(+) Todas

(+) Sen -Csc

α ÷ 360º = n x 360º ± A n : # de vueltas

(+) Tan - Cotan

 A : ángulo buscado

(+) Cos- Sec

Si A > 90° o π / 2 se reduce al 1er  cuadrante utilizando cualquiera de los casos.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS

Nota :

NEGATIVOS

El signo depende del cuadrante en que se ubica la RT.

Sen (- α) = - Sen α

inicial

Cos (- α) = Cos α

Ejemplo:

Tg (- α) = - Tg α

Sen 570º = Sen 210º ⇒ 210º ∈ IIIC

Ctg (- α) = - Ctg α

αr  = 210º – 180º = 30º

Sec (- α) =

Sec α

Signo = Sen está en el III C ⇒ (-)

φ (rad)

0 y 2π

π/2

π

3π / 2

φ (grados)

0o y 360o

90o

180o

270o

IDENTIDADES

Sen φ

0

1

0

-1

La columna vertebral de la trigonometría la constituyen

Cos φ

1

0

-1

0

las identidades trigonométricas sin las cuales seria

Tan φ

0

∝

0

∝

Ctan φ

∝

0

∝

0

Sec φ

1

∝

-1

∝

Csc φ

∝

1

∝

-1

materialmente imposible reducir o simplificar todas las

18

fórmulas trigonométricas en especial las de ángulo

Conociendo las identidades fundamentales y mediante

compuestos, ángulos múltiples etc.

el uso de identidades algebraicas se demuestran las

IDENTIDAD:

siguientes identidades:

Una identidad de dos expresiones matemáticas que al

•

Sen4 x + Cos4 x ≡ 1 - 2 Sen2 x . Cos2 x

asignar cualquier valor real a sus variables siempre se

•

Sen6 x + Cos6 x ≡ 1 - 3 Sen2 x . Cos2 x

obtiene una igualdad numérica.

•

IDENTIDAD TRIGONOMETRICA:

1 ± 2 Senx ± Cosx

=

| Senx

±

Cos x |

•

1 + Sen x Cos x = Cos x 1 − Sen x

valor admitido de su variable angular.

•

Sec2 x + Csc2 x = Sec2 x .Csc2 x

Las Identidades trigonométricas par un mejor estudio,

•

( Senx ± Cosx)2 = 1

se clasifican en cuatro grupos

•

Tan2 x – Sen2 x = Tan2 x .Sen2 x

•

Cot2x – Cos2 x = Cot2x.Cos2 x

•

1 − Cos x Sen x = Sen x 1− Cosx

Designamos con este nombre a aquella igualdad entre Razones

trigonométricas que se verifican para todo

•

Identidades fundamentales

•

Identidades de Arco Compuesto

•

Identidades de Arco Múltiple ( doble, mitad y

±

2Senx.Cosx

triple )

•

identidades de la suma o diferencia de seno y

TIPO DE PROBLEMAS

coseno a producto y viceversa ( transformaciones

SOBRE IDENTIDADES

FUNDAMENTALES

trigonométricas)

Se podrá indicar la siguiente clasificación: I.- Demostración de identidades:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométricas es una igualdad que

1.

Se

debe

conocer

las

identidades

involucra expresiones trigonometrías. La cual se verifica

fundamentales , es decir las identidades

par todos los valores admisibles de las variables entre

reciprocas , de cociente y pitagóricas

ellas tenemos:

2.

IDENTIDADES RECÍPROCAS:

Si uno de los lados de la identidad parece más complejo que el otro. Intente simplificar el lado mas complejo y transformarlo, paso a paso, hasta que se vea exactamente como el otro de

Sen x. Csc x = 1 Cos x . Sec x = 1 Tan x . Ctan x = 1

la identidad. Este paso podría ser mas sencillo si escribe de nuevo todas las expresiones trigonometricas en términos de seno y coseno.

IDENTIDADES DE COCIENTE :

Ejemplo 1 : Tan x = Ctan x =

Sen x

Demuestre la siguiente identidad:

Cos x Cos x

Tan x + Ctan x = Secx.Cscx

Sen x

Tan x + Ctan x = Secx.Cscx

Resolución:

Senx Cosx = Secx.Cscx + Cosx Senx

IDENTIDADES PITAGÓRICAS :

Sen2 x + Cos2 x = Secx.Cscx Cosx.Senx

Sen2 x + Cos2 x = 1 1 + Tg2 x = Sec2 x 1 + Ct 2 x = Csc2 x

1 IDENTIDADES AUXILIARES:

Cosx.Senx

= Secx.Cscx

Secx.Cscx = Secx.Cscx 19

Eliminar el ángulo “φ “ a partir de : II.- Problemas de simplificación o reducción:

Sen φ + Cos φ = a …….. ( I )

Significa , simplificar la expresión a su mínima expresión

Sen φ . Cos φ = b ………( II )

con ayuda de las identidades fundamentales y las

Resolución:

auxiliares

Elevando al cuadrado (I) (Sen φ + Cos φ )2 = a2

Ejemplo 1 : Reducir la expresión:

Sen2 φ + Cos2 φ +2 Sen φ . Cos φ =a2

M= (RCosx)2 +( RSenx.Cosy)2+(Rsenx.Seny)2

1 + 2 Sen φ . Cos φ = a2

Resolución:

de la (II) obtenemos : ∴ 1+2b=a

Factorizando: (Rsenx)2 M = (RCosx)2+ (RSenx)2(Sen2x + Cos2 x) M = (RCosx)2+ (RSenx)2(1)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO COMPUESTOS

M= R2 (Sen2x + Cos2 x)

Empezaremos nuestro estudio analizando las funciones

2

M=R

trigonométricas seno , coseno , tangente y cotangente de la adición y la sustracción de dos números o arcos dirigido :

III.- Problemas con condición:

FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA SUMA

Para este tipo de problemas la expresión que se pide

DE DOS ÁNGULOS

calcular depende de la condición, por tanto se recomienda poner la expresión que se pide calcular en

Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β Tan α  + Tan β  Tan (α + β) = 1 − Tan α  . Tan β 

términos de la condición ó viceversa. También, si fuese posible, se puede calcular el valor de una razón trigonométrica de la condición y utilizarlo en la expresión

Ctan (α + β) =

que se pide calcular. Ejemplo 1: Si Sec x + Tan x = 2

α  . C  tan β  − 1 C  tan α  . + C  tan β 

C  tan

FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA

Calcular el valor de Sec x

DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS :

Resolución: De la identidad pitagórica

Sen(α - β) = Sen α Cos β – Cos α Sen β Cos(α - β) = Cos α Cos β + Sen α Sen β

Sec2 x = 1 + Tan 2 x Sec2 x – Tan2 x = 1

Tan(α - β) =

(Secx+ Tanx)( Secx- Tanx) = 1 2 (Secx- Tanx ) = 1

Ctan(α - β) =

Secx – Tanx = 1 / 2

Tan α 1

+

−

Tan β

Tan α . Tan β

Ctan α . Ctan β + 1 Ctan α − Ctan β

Sec x + Tan x = 2 2Sec x = 5 / 2

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA

Sec x = 5 / 4

DE TRES ÁNGULOS :

III.- Problemas de la eliminación de la variable angular:

Notación

Dadas las condiciones de la variable angular se puede eliminar efectuando operaciones algebraicas con



las condiciones, de modo que conduzca a la eliminación

S  : Sen C  : Cos  S(α + β + θ ) = SαCβCθ + SβCαCθ + Sθ CαCβ -

Sα Sβ Sθ

de la variable angular.



Ejemplo 1:

C(α + β + θ ) = SαCβCθ - CαSβSθ - CβSαSθ -

Cθ SαSβ 20

Ta n α Tan(α

+

β

+

θ)

+

Ta nβ

+

Ta n θ

−

Tan α .Tan β . Ta n θ

=

1 − Ta n αTanβ

−

Ta n β

Ta nθ

−

−

Ta n α

−

Ta n θ

IDENTIDADES ADICIONALES :

IDENTIDADES AUXILIARES

2 Tan x 2 1 + Tan x 2 1− Tan x Cos 2x = 2 1 + Tan x

Sen(α + β) Sen (α - β) = Sen2 α - Sen2 β Cos(α + β) Cos (α - β) = Cos2 α - Sen2 β Tan α + Tan β

=

Tan α - Tan β

=

Cot α + Cot β

=

Cot α - Cot β

=

Sen(α

Sen 2x =

+ β)

Cos α . Cosβ Sen(α

− β)

Cos α . Cosβ Sen(α

+ β)

Sen α . Senβ Sen(β

− α)

1+Tan2x 2 Tan x

Sen α . Senβ

Tanα + Tanβ + Tan(α+β) . Tanα Tanβ = Tan(α+β)

2x

Tan(α+β)-Tanα - Tanβ = Tan(α+ β) . Tanβ . Tanβ

1 – Tan2 x IDENTIDADES PARA “ DEGRADAR”

Si : α + β + θ = 90° → se cumple : Tanα . Tanβ + Tanβ . Tanθ + Tanα . Tanθ = 1

2 Sen2 x = 1 – Cos2 x 2 Cos2 x = 1 + Cos2 x 8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x 8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x

Cotα + Cotβ + Cotθ = Cotα . Cotβ . Cotθ Sen2α + Sen2β + Sen2 θ = 1 – 2Senα . Senβ. Senθ Cos2α + Cos2β + Cos2θ = 2 (1+Senα . Senβ. Senθ )

IDENTIDADES AUXILIARES

Si : α + β + θ = 180° → se cumple : Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα . Tanβ . Tanθ

1 + Sen2x

Cotα . Cotβ + Cotβ . Cotθ + Cotα . Cotθ = 1

1 − Sen2x

Sen2α + Sen2β - Sen2θ = 2 Senα . Senβ. Senθ

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ÁNGULO DUPLO : Asumiendo que x es el ángulo simple , su doble será

función trigonometría de un ángulo doble ( 2x )en

 Ahora intentaremos expresar una función de un ángulo mitad (

x 2

) en términos de un ángulo simple ( x ) .

ángulo simple ( x ) .

simple ( x ) .

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Tan 2x

= | Sen x − Cos x |

IDENTIDADES DE ARCO MITAD :

términos de funciones trigonometrías del ángulo

Sen 2x Cos 2x Cos 2x Cos 2x

| Sen x + Cos x |

Cot x + Tan x = 2Csc 2x Cot x - Tan x = 2Cot 2x Tan2 x 1 + Sec 2x = Tan x

Cos2α + Cos2β + Cos2θ = 1- 2Cosα .Cosβ . Cosθ

2x ; bien lo que buscamos ahora es expresar una

=

= = = =

2Sen x . Cos x Cos2 x – Sen2 x 1 – 2Sen2x 2Cos2x - 1 2 Tan x = 2 1− Tan x

Sen

x 2

=

1 − Cos x 2

Cos

x 2

=

1 + Cos x 2

x

=

Tan Cot 21

2 x 2

=

1 − Cos x 1 + Cos x 1 + Cos x 1 − Cos x

EJERCICOS DE RESUELTOS Nota : La eliminación del valor absoluto depende del cuadrante al cual pertenece x/2.

PROBLEMA Nº 01 Un ángulo mide (6 n)g y su complemento mide

IDENDIDADES ADICIONALES : Tan Cot

x 2 x

2 x Ctan 2 x Ctan 2 Sen Sen

x 2 x

(12 n + 3)° ¿Cuánto mide el suplemento de dicho

= Csc x − Cot

ángulo en radianes?

x

SOLUCION

= Csc x + Cot x

°

180°   27n    1- ( 6n )  =     200g   5    g

x

+ Tan = 2 Ccsx 2 x

°

27n   2-    + ( 12n + 3) ° = 90  5  

− Tan = 2 Ctanx 2

+ Cos

x

− Cos

x

2

=

1 + Sen x

=

1 − Sen x

( 27n) °+ ( 60n) ° = 87° 5 n=5 °

° 27 n    27 ( 5 )   ⇒    =27°   =   5    5    

2 2DEL ARCO TRIPLE: IDENTIDADES

 A continuación trataremos de expresar una función

Suplemento del ángulo ⇒ 180°-27°=153°

trigonométricas de un ángulo triple (3x ) en términos de

 πrad  = 17π rad  180°     20

su ángulo simple ( x )

153° 

Sen 3x = 3Sen x – 4Sen3 x Cos 3x = 4Cos3x – 3Cos x Tan 3x =

3 Tan x

−

PROBLEMA Nº 02

Tan 3 x

En la expresión algebraica : 4 +  x 2 ;

1 − 3 Tan 2 x

x

= 2 tg θ 

simplificar y dar respuesta en términos de sec θ 

SOLUCION IDENTIDADES ADICIONALES

4 +  x 2

Sen 3x = Sen x (2Cos2x+1)

Sen x

4 + ( 2 tg θ )

2

= 4 + 4tg 2θ 

4 Sen3 x = 3 Sen x – Sen 3x

Sen 3x

=

= 4 ( 1 + tg 2θ )

= 2Cos 2x + 1

= 4sec 2 θ 

4 Cos3 x = 3 Cos x + Cos 3x

Respuesta = 2sec θ 

Cos 3x = Cosx( 2Cos2x –1 )

Cos 3x Cos x Tan 3x Tan x

EJERCICIOS

= 2Cos 2x − 1 =

PROBLEMA Nº 01

2 Cos 2x +1 2 Cos 2x −1

Simplificar : R =

4 Senx .Sen (60°-x) .Sen (60°+x) = Sen3x

1

2 cos (  x  − 45)

4 Cosx .Cos (60°-x) .Cos (60°+ x) = Cos3x

a)

Tanx .Tan (60°-x) .Tan (60°+ x)

PROBLEMA Nº 02

= Tan 3x

2

b) 1 c) 2 d)

sen x 

3 2

e)

Sabiendo que: sen (60 ¡APRENDIENDO A RESOLVER …………… …………………………… RESOLVIENDO! 22

− ctg x 

5 2

α  )

1

= . Calcular: 3

F = Sen 3 α  a)

4 27

b)

23 27

c)

27 23

d)

27 4

e)

12 27

PROBLEMA Nº 03

Si : tg (45 – x) = 4 Calcular tg2x a)

8 15

b)

−8 15

c)

15 8

d)

−15 8

e) −1

23