IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 001

iden identi tida dade de simp simpli lifi fica ca om

expr expres esio ione ne

apli aplica ca

lg na

trig trigon onom omet etri rica ca

fund fundam amen enta tale les. s.

trig trigon onom omet etri rica cas. s. stra strate tegi gi

para para

erif erific ic cion cion de iden iden idad idades es

la dife difere renc ncia ia de angu angulo los. s. un

Como Como usar usar la calc calcul ulad ador or

'E'E

A c

128

notacion

graf graf1c 1cad adar ar de

da

para para veri verifi fica ca

iden identi tida dade de ma

par factor factoriza izar. r.

Para Para come comenz nzar ar el estu estudio dio de las identi identidad dades es trigo trigono nome metr tric icas as nece necesi sita ta reco record rdar ar las defi definic nicio ione ne de las[un las[unci cione one trig trigon onom om tric tricas as adema adema de la op raci racion ones es on expr expres esio ione ne alge algebr brai aica ca cont contin inua uaci cion on te pr sent sentam amos os un esum esumen en de ayud ayuda. a. DEFI DEFINI NICI CION ON

DE LA

FUNC FUNCIO IONE NE

if renc rencia ia

TRIG TRIGON ONOM OMET ETRI RICA CA

b'

sen

(a

Trin Trin rnio rnio

COS

a'

2ab

x2

sx'

ub

b)(a

ab

uadr uadrad ad

erfe erfe to (a

b)2

tan cot

(x'

s=a+b

sec

a)(x"

b)

p==a

11

es

a(x2n PROD PRODUC UCTO TO

bY.:'

in

NOTA NOTABL BLES ES

3a (a

b)2

a'

c)

3ab

b'

2ab

bx

ay

by

(a

(a

b)

(x

a)(x

(px

3a

OPER OPERAC ACIO IONE NE

(a

a)(qx

pqx'

b)x

ab

(pb

aq)x

CO

tr

_!!:_±..!z___=

(ax

ay

(b

a(x

y)

bt»

y)(a

b)

a(x

ax

z)

if re ia

a±b

,c

=1'=

A__,

_ ! ! : _ -7- ! 2 _ _

(a

y)

io

S_

_!

by

FRAC FRACCI CION ONES ES

=1'=

Mult Multip iplic licac acio io division Ante Ante de mult multip ipli lica ca divi dividi di fr ccio ccione ne plif plific icar ar si posi posibl bl

FACTORIZACION

b'

bY

(a

debe debe

im

0, =1'=

0,

=1'=

0,

radica 1.

ro la ductos:

le

b) (O,3a

(5x'

7)

2ab)2

d) ( y o n

2. Fact Factor oriz iz erif erific ic tu resu result lt do duct duct de su fact factor ores es a) X'''

3r

c) (2

40

b)

4i

d)

fecn fecnia ia la oper oper cion ciones es indi indica cada da posible. a)

3x-1

3x

Xl

x'

x+l

b)

i ' 1

~-1

7)(x

a) (~

io

3x

1) 1 )( )( y2 y2 "

y'

ef ctua ctuand nd

1)

propro-

ab

c)

a+b

4. Racion Racionali aliza za

simplifica

ma posi posibl ble. e.

a)_2_

by 64

b)

if

VxX}'

x-

c)

'"

d)

_1_

\1'3+1

'"

'';:::;

'"

";"

IDENTIDADES RE AC ONE rtir rtir mo st

D EN E N T D AD AD E la

F UN U N DA D A M EN E N TA T A LE LE S

efin efinic icio io es re

ho rela rela io

la seis seis fu io es trig trigon on rn tric tric

on en

mo rela relaci ci ne

ra de rr

iden identi tida dade de

fund fundam amen enta tale le '"

otras.

Relacionesreciprocas

inversas fun-

ciones ciones recipr reciproca oca laciones: sen

re

esc

cos

tamb tambie ie

ra

ra

sen

::::::::?

sec

tan

la

lIe

esc

I"

cot

tili tili ad

sen

esc

esc _1 sen

______ ___ ______ ______ _____ __sc sc

cos

::::::::?

tan

cot

ane=~cot

::::::::?

tan

--J,v'

_ T o _ m _a _ n _ o t _ a Iden Identi tida dade de

tr

tiIi tiIi mo

la de inic inicio io

ocie ocient nt

de un io

tenemos:

cofu cofunc ncio iona nale le

sen

9) sen (90

tan

9)

sen cos

.L:

_L

__!_

_:

_L

tan

::::::::?

cot

::::::::?

sen cos

an

9) 9)

CD

-" -_.:;

esc

_C

sec

V1

razon

9)

esc (90

9)

-

./1'

cot

re

Relaciones

pitagoricas Ia siguiente

relacion:

(-;)2

(--;-)2

+cos-

sen"

(3

cos serr'B

see

tan

stas stas el ei ne

ob en da

I~~--:;:oe so validas

cual las

fl,

cos' valida 6,

90°, donde

da

Como

ocho rela relaci cion ones es recordar la ocho

es impa impar. r.

fundamentales

identidades

abam abamos os ment ment lmen lmen Ia repr repres es nt cion cion la Hn as trig trigon onom om tric tric unci uncion ones es en el prim primer er cual cualqu quie ie otro otro cuad cuadra rant nte, e, lueg lueg tene tenemo mos: s:

de la seis seis

cos+o;

~=[t

___ +=:::.:---"-='----:77

_~que:

cos"a :: ;:

cos'«

En /1,0

esc

En AOMC, OM

cot

/ l,l, O A F D A

ta

r=

sen'

=_1_

tan

cos

sec =_1_

cot

esc

por cociente en elllODR defini definimos mos Ia tangen tangente te empleando la representacion de cose coseno no tene tenemo mos: s: sen cos

tan

AD

R , donde

Eri el AOMC,

donde OM IlOAF

S IM IM P L F IC IC A C IO IO N D

line lineal al de seno seno

cos

co

sen

cos}

T e or or em em a d e P itit ag ag o ra ra s

sec

tau

El gm nt hipotenusa.

s ec ec a n

cot"

El s eg eg m en en t

e os os ec ec an an t e e s

es la

hipotenusa.

E XP X P RE R E S O N E T R G O NO N O M ET ET R C A S

::

operac operacion iones es algebr algebraic aicas as

una

mas relaci relacione one

Ejemplos:

Recuerda

1. Desa Desarr rrol olle lemo mo

simplifiquem.os:

Identidades

ey

cos

fundamentales

sen

sen

sen'

Reciprocas

b) (1

_I

se

cos' sen

_1 sen

sec a)(1

P o r c o ci ci en en t

cos

Conmutati-

sec'«

cos'

sen cos

sen

cot

2sen

(a

b)(a-

tan!«

tan

tan

(a

cos

sec 6)

cos

cc

cos

cos

sen

sen cos

sen

4)

cos sen

sen'

=-' ab

cos

Pitagoricas sen'

(it

cos'S sec' cot>

esc'

(3

2. Fact Factor oric icem em.o .o tan' tan'

simplifiquem.os:

esc'

tan'

1)

n? (esc'

ta 'e b) sen'

cos]

csc

•a

(sen

co x)(s x)(sen en

(sen

cos x)(l

sen sen

cos

Ii'

cos'

cos x)

(CSC2~

cot"

esc' ~2sen6-1)

trinomar

sen

plificancz

sen

3. Simp Simpli lifi fiqu quem em.o .os: s: tan

(1

coe

tan'

8)

sec/B

Fact Factor oriz izan ando do

sec ~.

cos se nd ca

i mp m p lili fifi c

senfe

c ad ad a e xp xp re re si si o

Y5

algebraica.

V a '!'! .

X2,

•Vx 5 -

'"

sen sec

Simplificand Simplificando, o,

cost'e

)5I1.,

sec

~~------~~--------------------------------------~ ----~

13

~sene

cos sen

cot

Simplif Simplifica icando ndo

b)

cos w)

+---

cos

cos

w)

1.

cos w)(l

(1

cos

_£

ad

be bd

cos COS"

esc-co

- -

sen

fu a) sen

sen a.

sen ex

b) cos

j3

sen

b)

cos'B

1)

tg

__

-;=:l~=~ sen' o;

VI sen

sen cos ex

sen

d) sec fl

sec

esc

b) cot j3

tan

sen

co

f)

sen-n

-t-

__ 1_

sen'

sen

co

cos ex sen ex

d) cot

tan'

esc'

cot

esc' j3

tan j3

sen'

c) -....:......-....:......--__ -....:......-... .:......--__:_ sen j3 cot j3

sec

d) sen

(esc j3

sen

cero.

a)

b)

cot

sec'

1)

1)

cot' esc cot

1)

esc'

sec'S

esc'

sec

sen

1)

1)

cos

cos

co

1)

(cos

1)

b) (sen

tan

1)

sen

esc A)2, cot"

(esc

1)

cos'

tan" A, sec'

cos'

d) _--= _--=.1__ .1__ 1- cos

esc

_--='~_, cos

sen

o -

tan

1)

g) (1

sen cos

sen cot'

tan sen i) sec

cos A), sen'

esc tan cos

sec tan

esc'

sen

esc' A,

k)~+~ sen t--'

cos sec

R. jJ

cos

k)

cot' cot

I)

esc

cos A)(l

j) co

sec' A-I

cos'

i)

esc'

sec' B), sec'

esc

h)

sen

sec'

a) cot

1)

-I

esc?

g)

1)

tan

1)

d)

sec' tan

sec+u

cot w, cos n)

cos'

0)

sen cot

cot' "I), sen

cos

p)

sen

jJ

esc

1, ec

jJ

q) cos 'Y

sen' cos

tan 'Y sen "I, sec "I cos

sec

SEGUND ND 5.3.2 SEGU

METO ME TODa Da

Tr baja baja im ltane ltane mente mente mentales.

mbos mbos mi mb os

No xi te na gl gene gene pa pu de da lg na ge ncia ncia mos:

olve olve id ntid ntid de no pe it

Interp Interpre reta ta

orre orre tame tamente nte la rela rela ione

Id ntif ntific ic

mi mb

Un

trig trigon onom om tric tric

ncio ncio

Factorizar

de ma dific dific lt

impli ic

de

mple mple nd

pu de

la ione ione

nd

trig trigon onom om tric tric pe ilit ilit te proc proc o.

ndame ndamenta ntale le pa xp

dame damente nte la

tr ns ormar ormarlo lo da

ncio ncio

xpr ione

ma

illo. illo.

de ot

resu resultante ltantes. s.

ec A.

Solucion De do la ge ncia ncia dada dada tom mos el prime prime miemmiembr pa tr ns or lo

amos amos las frac frac iones

::;:

2Sec

::

(1

Simplificamos:

11, sabemos

De qu

Cos

sA

luego,

2Sec

s2 Sec

Ef

146

tu ndo

ocie ociente nte

misma. Veamos:

Identidad dada:

Sen

Sen

1~+1+~ (1 A) (1

Efectuando:

Cos

A)

., pero

im plificando:

Cos

Cos

Reemplazando:

Cos

Cos

Ejemplo2 De ostr ostr

Cos

Ia id ntid ntid

Solucion

ltip ltipli li

os

nu

do

la onju onjugada gada de denominador:

da

Cos

(1

A) Cos A)

deno deno in do

-----------'--=

-Cos

Cos'' luego:

Cos

Sen

1,

~A{l

Cos

Sen'3.

Sim plificamos:

as

: -: -: ,

Sen

Cos

s610

At:. o.

Ana/ Ana/is isis is trlg trlgon onom omet etri rico co

Ejemplo3 De ostr ostr

qu Tg

Ctg

x.

Solucion Id ntida ntida

dada dada

Tg

nd la nci6 nci6 de tenemos:

Ctg

Cs

xp

Cos

Senx Cos

Cos

Sen x+COftx CosxSen

Efectuando: Pe

Cos

_ __ _ " = - -

_--,,1~_

Cos

____ ~1_ 1___

entonces:

_ _ ___ _ , 1 : _ _ Cos

Cos xSenx

Senx

--,,1~

Cos

Senx

fundamentales. a)

Sec

d)

Cos

csc

Ctg

Ctge

Tg

c)

f)

Sec

Tg

Cos a.

Tg

la Sen Sen

Sen/

a) Tg

tg

tg

j)

(Csc

Serr'

(1

e) Cos? f)

Ag2

rn)

Sec C05 148

I)

Ctg

Sen Ctg

Cos

Analis Analisjs js trigono trigonomet metric ric

CtgA

1 -

Serr'

g4

v)

Sen

Sec"

w)

r)

C05

y)

Ctg

3.

Sen

A)

Csc Sec

Sen A-

Cos/

C05

(C

C05

las sigu siguie ient ntes es

Demuestra

.A

x)

Cos

Sen

t)

Cos?

Cos

iden identi tida dade de

Se

a)

tg trigonometricas: 1-

gA

SecB

CosB (seA

TgA

1)

SecA

CtgA gA

c)

SecA

TgA

TgA

Sen Csc

SecA

Tg Ctg

Sen

Tg

j)

xC

TgB

4.)

sola

a)

Tg

e)

Csc Sen

Cos

funci6n

Sec

Ctg

t)

c)

C05 Csc

d)

Sec 2A

h)

Tg

149