i So Term as Placa Rectangular

Departamento de ingeniería química y ambiental Transferencia de calor Juan camilo cárdenas 25492452 Alexander Baena 25492447

Conducción bidimensional placa rectangular en estado estacionario Generación isoterma

Introducción. El objetivo de este punto es desarrollar las isotermas de un perfil de temperaturas que se forman en la conducción de calor bidimensional en una placa rectangular en estado estacionario, para ello se necesita generar el perfil de temperaturas en función de las dos variables (x,y). y posteriormente por medio de la herramienta de la hoja de cálculo y dicho perfil generar las isotermas.

1. Solución analítica 1.1.

Perfil de temperaturas

Considere una placa rectangular de longitud L y altura W como la mostrada en la figura 1, donde uno de sus lados está expuesto a una temperatura conocida T2 y sus otros 3 lados están a otra temperatura T1, eso obligaría al flujo de calor a irse en ambas direcciones x y y por lo cual se tiene que considerar el problema como bidimensional en estado estable donde no hay generación de calor, cuya ecuación diferencial fue determinada con anterioridad y está dada por la ecuación 1.

𝜕2 𝑇 𝜕𝑥 2

𝜕2 𝑇

+ 𝜕𝑦 2 = 0

(1)

y

T2,θ=1

w T1,θ=0

T(x,y)

T1,θ=0

x

T1,θ=0

L

Figura 1 (Conducción bidimensional en una placa rectangular)

Método de separación de variables. Con el fin de simplificar la solución se plantea la temperatura con un parámetro adimensional llamado θ.

𝑇−𝑇

𝜃 = 𝑇 −𝑇1 2

(2)

1

Al sustituir 2 en 1 se obtiene que la ecuación diferencial es

𝜕2 𝜃 𝜕𝑥 2

𝜕2 𝜃

+ 𝜕𝑦 2 = 0

(3)

Como se vio en el caso unidimensional se necesitan 2 condiciones de frontera por cada dimensión, en el caso bidimensional se necesitan 4 condiciones de frontera las cuales están dadas por las temperaturas en las superficies.

𝜃(0, 𝑦) = 0

Y

𝜃(𝑥, 0) = 0

𝜃(𝐿, 𝑦) = 0

Y

𝜃(𝑥, 𝑊) = 1

Esto es de bastante utilidad ya que se ha restringido el valor de 𝜃 entre 0 y 1 , ahora para aplicar el método de separación de variables se supondrá una solución del tipo

𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥) ∗ 𝑌(𝑦)

(4)

Al sustituir 4 en 3 y dividir todo por XY se obtiene

1 𝑑2 𝑋

1 𝑑2 𝑌

− 𝑥 𝑑𝑥 2 = 𝑦 𝑑𝑦 2

(5)

La ecuación 5 es una ecuación separable ya que el lado izquierdo solo depende de x y el lado derecho solo depende de y, y es separable si y solo si ambos lados tienen la misma constante de separación, entonces podemos reescribir la ecuación 5 de la siguiente manera

𝑑2 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑌 𝑑𝑦 2

+ 𝜆2 𝑋 = 0

(6)

− 𝜆2 𝑌 = 0

(7)

La designación de 𝜆2como constante de separación que se escogió no es un valor arbitrario, mediante un proceso de ensayo y error se determinó que dicha constante era capaz de satisfacer las condiciones de frontera inicialmente propuestas.

Las soluciones generales de las ecuaciones 6 y 7 queda dado por

𝑋 = 𝐶1 cos(𝜆𝑥 ) + 𝐶2 sin(𝜆𝑥)

𝑌 = 𝐶3 𝑒 𝜆𝑦 + 𝐶4 𝑒 −𝜆𝑦 Que por la ecuación 4 forman la solución general

𝜃 (𝑥, 𝑦) = (𝐶1 cos(𝜆𝑥 ) + 𝐶2 sin(𝜆𝑥 ))(𝐶3 𝑒 𝜆𝑦 + 𝐶4 𝑒 −𝜆𝑦 )

(8)

Al aplicar la condición de que 𝜃(0, 𝑦) = 0 se obtiene que 𝐶1 = 0 . Y al aplicar 𝜃(𝑥, 0) = 0 se obtiene que

𝐶2 sin⁡(𝜆𝑥)(𝐶3 + 𝐶4 ) = 0 Se obtiene que 𝐶3 = −𝐶4 . Y además si se usa la condición de frontera de que 𝜃(𝐿, 𝑦) = 0 obtenemos que

𝐶2 C4 sin⁡(𝜆𝐿)(𝑒 𝜆𝑦 − 𝑒 −𝜆𝑦 ) = 0

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que 𝜆 tome valores para los cuales 𝜆𝐿 = 0 ya que el seno es una función periódica, dichas soluciones vienen dada de la forma

𝜆=

𝑛𝜋

𝐿

⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛 = 1,2,3,4 … … …

(9)

La solución general queda como 𝑛𝜋

𝜃 = 𝐶2 C4 sin⁡(

𝐿

𝑥)(𝑒

𝑛𝜋 𝑦 𝐿

−

𝑛𝜋

𝑒− 𝐿 𝑦)

(10)

Al juntar las constante y determinar que dependen de n y además compactar el producto de la derecha se obtiene que

𝜃 = 𝐶𝑛 sin⁡(

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥)sinh⁡( 𝑦) 𝐿 𝐿

Con esta ecuación se encontraron un número infinito de soluciones pero como el problema es lineal la solución general es la combinación lineal de todas las diferentes soluciones particulares, dicho de otra forma.

𝜃(𝑥, 𝑦) = ∑∞ 𝑛=1 𝐶𝑛 sin⁡(

𝑛𝜋 𝐿

𝑛𝜋

𝑥)sinh⁡(

𝐿

𝑦)

(11)

Para encontrar el valor de 𝐶𝑛 se usa la condición de frontera restante la cual es 𝑛𝜋

𝜃 (𝑥, 𝑊 ) = 1 = ∑∞ 𝑛=1 𝐶𝑛 sin⁡(

𝐿

𝑛𝜋

𝑥)sinh⁡(

𝐿

𝑊)

(12)

La ecuación 12 puede parecer una expresión bastante complicada para determinar 𝐶𝑛 se dispone de una herramienta por medio de funciones ortogonales la cual determina que un conjunto de funciones 𝑔1 (𝑥), 𝑔2 (𝑥) … … … 𝑔𝑛 (𝑥) es ortogonal en el dominio 𝑎⁡ ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 si 𝑏

∫𝑎 𝑔𝑚 (𝑥 )𝑔𝑛 (𝑥 )𝑑𝑥 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑚 ≠ 𝑛

(13)

Su utilidad radica en el hecho de que cualquier función f(x) se expresa en términos de una seria de funciones ortogonales

𝑓(𝑥 ) = ∑∞ 𝑛=1 𝐴𝑛 𝑔𝑛 (𝑥)

(14)

Entonces podemos combinado la ecuación 13 y la 14 obtener la siguiente expresión 𝑏

𝑏

∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑔𝑛 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑔𝑛 (𝑥) ∑∞ 𝑛=1 𝐴𝑛 𝑔𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥

(15)

Se puede ver con la ecuación 13 que todos los términos de la serie de la derecha deben ser 0 excepto el primero lo que deja

𝑏

𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑔𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴𝑛 ∫𝑎 𝑔𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 Despejando 𝑏

𝐴𝑛 =

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑔𝑛 (𝑥)𝑑𝑥

(16)

𝑏

2 (𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑔𝑛

𝑛𝜋

De la ecuación 12 se deduce que 𝑓(𝑥) = 1 y la función ortogonal 𝑔𝑛 (𝑥) = sin⁡( 𝐿 𝑥) sustituyendo en la ecuación 16 se obtiene que

𝐿

𝐴𝑛 =

𝑛𝜋

∫0 sin⁡( 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 𝑛𝜋 ∫0 sin2 ( 𝐿 𝑥)𝑑𝑥

=

2 (−1)𝑛+1 +1 𝜋

𝑛

Por lo tanto de la ecuación 14 se obtiene que

1=

2 (−1)𝑛+1 +1 𝑛𝜋 ∞ ∑𝑛=1 sin⁡( 𝑥) 𝜋 𝑛 𝐿

(17)

Al comparar la ecuación 12 con la 17 se obtiene que

𝐶𝑛 =

2[(−1)𝑛+1 +1] 𝑛𝜋𝑤

𝑛𝜋⁡sinh⁡( 𝐿 )

⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛 = 1,2,3 … …

Al sustituir la ecuación 18 en la ecuación 11 se obtiene la solución final

(18)

𝜃 (𝑥, 𝑦) =

𝑛𝜋𝑦

sinh⁡( 𝐿 ) (−1)𝑛+1 +1 𝑛𝜋 ∞ ∑𝑛=1 sin ( 𝑥 ) 𝑛𝜋𝑤 𝜋 𝑛 𝐿 sinh⁡( ) 2

(19)

𝐿

1.2.

Generación de las isotermas

Ya con la solución analítica del perfil de temperatura, el siguiente paso es la obtención de las isotermas usando la ecuación 19, la estrategia es bastante simple y es fijar un valor de 𝜃 y x, y despejar el valor de Y correspondiente para así generar un conjunto de isotermas las cuales nos darán información acerca del flujo de calor.

2. Hojas de calculo

Para el desarrollo de la hoja de cálculo la estrategia era reproducir la idea que se planteó para producir las isotermas para ello con un valor de x fijados y con valores de 𝜃 también fijados (figura 2)

Figura 2 (tabla inicial con valores de 𝜃⁡y x fijos)

Se procedió a montar la ecuación 19 en una función la cual se puede encontrar en el módulo “Funciones”, la idea ahora es evaluar con cada Y supuesto y con los de X que se han fijado un valor de 𝜃 , para luego iterar un valor de Y con las condiciones de que el 𝜃⁡calculado sea igual al fijado, para eso se han recurrido a dos formas las cuales serán explicadas a continuación.

2.1.

Solver

Inicialmente se planteó todo el desarrollo con un solver, pero por la forma en como esta esté programado no es posible comenzar a iterar desde los puntos X=0 y X=L puesto que genera resultados que no son coherentes, dicho inconveniente no fue de nuestro agrado, ya que al ver las gráficas que se producían si se tomaban intervalos muy pequeños de longitud, después al cambiar a una longitud más grande el último punto sería muy parecido a L y el solver generaría un error, así mismo tomando intervalos de longitud muy grandes aunque calcularía bien para longitudes grandes en longitudes pequeñas la gráfica se vería deformada. Queriendo corregir ese error y presentar una gráfica apropiada que sea comparable en cualquier caso se decidió montar un método numérico el cual permitiera evaluar los puntos que el solver no deja.

2.2.

Método de bisección para hallar raíces

El método de la bisección para hallar raíces en una función se basa en la idea de que cuando se encuentra una raíz hay un cambio de signo en la función, entonces así por medio de sub intervalos se pretende acotar dicha raíz disminuyendo la distancia entre dichos sub intervalos por medio de iteraciones, examinando cada sub intervalo que se forma para ver si hay un cambio de signo, y así con un buen grado de precisión lograr determinar la raíz que se pretende buscar. El procedimiento que se debe seguir para encontrar una raíz por el método de bisección se ilustra en la figura 3

Figura 3 (Pasos para método de la bisección)

En el caso específico de la placa problema 𝜃⁡solo puede tomar valores entre 0 y 1 y así mismo x entre 0 y L, y Y entre 0 y W, si se piensa encontrar los valores de Y tales que satisfagan la condición de que 𝜃 calculado- 𝜃fijado =0, es evidente que la solución no puede estar más haya de Y=W y Y=0 entonces se ha decido tomar como límite inferior 0 y límite superior W, y así siguiendo los pasos de la figura 3 , e iterando n veces se puede acotar lo suficientemente bien la solución.

Todo el procedimiento sub encargado de dicha tarea se ha almacenado en la Sub llamada “RecorreMatriz”. Para garantizar una buena precisión en los resultados se estableció un error del 0.0001% y también para garantizar la convergencia del método, también cabe aclarar que se ha establecido la hoja de cálculo de tal manera que se pueda introducir cualquier valor de W y L y así mismo en la macro dicho valor será colocado automáticamente como condición en el método de iteración por lo que el usuario no tendrá que preocuparse, por problemas de convergencia. 2.3.

Comparación método de la bisección con solver.

Cuando se compararon los resultados se observaron que ambos métodos ofrecen graficas muy parecidas, en los valores numéricos el solver ofrece mejores resultados cerca del centro de la placa, pero el método de la bisección proporciona más información en los puntos donde el solver se indetermina, y aunque realmente amas graficas son iguales

puede escogerse por preferencia el método de la bisección ya que es más versátil a la hora de escoger longitudes aleatorias, la comparación se puede observar en la figura 4.

Figura 4 (Comparación solver (derecha) con bisección (izquierda))

3. Resultados En las hojas de cálculo se ha colocado un botón para calcular las isotermas, en primera instancia se supuso una placa cuadrada unitaria (1x1), los resultados obtenidos pueden verse en la figura 4, y la gráfica obtenida en la grafica 1

Figura 4 (Generación de la tabla por medio del método de la bisección)

Grafica 1 (Isotermas placa cuadrada)

Aunque se establecieron valores de w y L unitarios se probaron con más valores de w=L y general la gráfica siempre es la misma pero en diferente escala lo cual hace dar una idea de que este perfil es general independiente de la longitud y altura de la placa siempre y cuando sean iguales.

Ya después se ha probado con valores de W y L distintos ósea una placa rectangular y el perfil aunque cambia con respecto a W y L si se mantiene una misma escala y se cambian dichos valores el grafico también es el mismo, esto genera una gran utilidad a la hora de conocer la distribución de temperaturas en una placa si no se conocen las longitudes de la placa pero si las relaciones de sus lados.

4. Referencias



Incropera, Frank P. Fundamentos de transferencia de calor. 4a ed. PRENT1CE HALL, México. 1999.



Chapra, Steven C.; Raymond P. Canale Métodos numéricos para ingenieros Mc Graw Hill, 4ª edición México, 2003