I° medio Matemática 2010 Santillana Bicentenario Docente

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Guía para el profesor

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El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 1, Proyecto Bicentenario, para Primer Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación de proyecto Jefatura de área Edición

Ana María Anwandter Rodríguez Marcia Villena Ramírez María Antonieta Santis Ávalos

Asistente de edición

Pedro Rupin Gutierrez - Gerardo Muñoz Díaz

Autores Guía para el profesor

Jorge Bozt Ortiz - Fernando Mundaca Pacheco

Autores Texto para el alumno

Ángela Baeza Peña - María del Pilar Blanco Casals Jorge Bozt Ortiz - Felipe Calderón Concha María José García Zattera - Marcela Guerra Noguera Pedro Rupin Gutiérrez - Patricia Urzúa Figueroa - Pablo Jorquera Rozbaczylo

Corrección de estilo Documentación

Astrid Fernández Bravo - Isabel Spoerer Varela Paulina Novoa Venturino - María Paz Contreras Fuentes

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA Con el siguiente equipo de especialistas: Coordinación Gráfica Diseño y diagramación Cubierta Producción

Carlota Godoy Bustos Ximena Moncada Lomeña - Teresa Serrano Quevedo La Práctica S.P.A. Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.

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Índice Presentación Ejes del proyecto Bicentenario

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Organización de la Guía para el Profesor

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Correspondencia del texto con el Ajuste Curricular Objetivos Fundamentales

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Contenidos Mínimos Obligatorios

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Objetivos Fundamentales Transversales

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Sugerencias metodológicas Unidad 1: Números racionales y potencias

14

Unidad 2: Factores y productos

34

Unidad 3: Transformaciones isométricas en el plano cartesiano

54

Unidad 4: Funciones lineal y afín

76

Unidad 5: Congruencia de figuras planas

94

Unidad 6: Estadística

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Unidad 7: Combinatoria y probabilidades

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Presentación El proyecto Bicentenario, de Editorial Santillana, presenta una propuesta didáctica destinada a cubrir todos los requerimientos del Ministerio de Educación. Bicentenario representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recoger las experiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez, constituye un espacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar con liderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas. El material didáctico que constituye esta serie busca fomentar en los y las estudiantes la comprensión y valoración del mundo en que viven, a través del modelamiento de situaciones y fenómenos, como también la construcción de conceptos, procedimientos, estrategias de razonamiento y resolución de problemas. También pretende promover una actitud creativa y crítica, y capacidad de resolver problemas, formular conjeturas, verificar la validez de afirmaciones, procedimientos y relaciones, así como lo concerniente a la demostración en matemática y la abstracción y su expresión en el lenguaje simbólico.1 La propuesta editorial contempla el Texto del alumno, el Taller de matemática, la Guía para el profesor y los Recursos digitales. Ejes del proyecto Bicentenario 1. Incorporación de los ajustes curriculares La serie Bicentenario ha sido creada acorde con los Ajustes Curriculares aprobados y publicados en junio de 2009, por tanto aborda los nuevos requerimientos relacionados con los Objetivos Fundamentales, Contenidos Mínimos Obligatorios y Objetivos Fundamentales Transversales. El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es acercar a los y las estudiantes hacia la comprensión del mundo natural y tecnológico, basándose en el conocimiento proporcionado por la matemática. Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, una educación matemática básica que les entregue las herramientas que necesitan para responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos (matemático, ciencias naturales, sociales, del arte y tecnología).2 Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios, orientados hacia un aprendizaje contextualizado del conocimiento matemático relevante para todos.

1

Mineduc. Fundamentos del Ajuste Curricular en el sector de Matemática. Unidad de Currículum y Evaluación. Marzo, 2009. 2 Ídem.

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En este contexto, el subsector de Matemática ha quedado estructurado en torno a cuatro ejes temáticos fundamentales y un eje transversal, estos son: 1. Números

2. Álgebra

3. Geometría

4. Datos y azar

Razonamiento matemático 2. Evaluación permanente y explícita En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversos momentos y con distintas intencionalidades a lo largo de cada una de las unidades, con el propósito de obtener información sobre la calidad de los aprendizajes logrados. En este sentido, se incluyen evaluaciones diagnóstica, formativa (Ejercicios resueltos, Preparando la PSU y Preparando el SIMCE) y sumativa. Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección, con indicadores, criterios y actividades remediales y de profundización, estas últimas permiten atender a la diversidad de estilos y ritmo de aprendizaje de los y las estudiantes. Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto se detallan a continuación. Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar los conocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos. La intencionalidad de esta evaluación es de carácter formativa. Evaluación de proceso. Este tipo de evaluación se trabaja en las páginas de Ejercicios resueltos, Preparando el SIMCE y Preparando la PSU (incorpora autoevaluación), presentes en cada unidad y, dado su carácter formativo, permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. Evaluación final. Su carácter es sumativo, pues entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes más débiles. Además, presenta ejercicios de refuerzo y profundización, atendiendo a las distintas necesidades del grupo curso. 3. Innovación en el diseño La propuesta gráfica pone énfasis en los recursos gráficos, como infografías, ilustraciones, fotografías, esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecer la construcción de aprendizajes a partir de la comprensión visual. 4. Incorporación de las TIC Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atender la cobertura de alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realización de actividades interdisciplinarias y colaborativas. Los recursos digitales que contempla el proyecto son tres discos compactos que contienen: el libro del alumno digital, videos tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientas digitales y la guía didáctica en formato PDF.

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Organización de la Guía para el Profesor La Guía para el Profesor del texto Matemática 1, proyecto Bicentenario, es un material creado por Editorial Santillana como apoyo al proceso de enseñanza y aprendizaje para el subsector de Matemática. Esta guía incorpora material concreto de apoyo a la labor docente a través de diversos elementos que se desarrollan en sus páginas. A continuación encuentra un esquema de los distintos tipos de páginas y sus contenidos. 1. Páginas de inicio Se incluyen sugerencias para trabajar las páginas de inicio y orientaciones que ayuden al docente a activar los conocimientos previos, motivar el trabajo de la unidad y profundizar en temáticas relevantes para la comprensión de la unidad.

Presentación de la unidad. Describe en un pequeño párrafo el propósito de la unidad.

2. Páginas de orientaciones didácticas Evaluación diagnóstica. Se sugieren actividades de reforzamiento o remediales para los alumnos y alumnas que no lograron el aprendizaje deseado.

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Sugerencias metodológicas. Para cada tema de la unidad se plantean sugerencias didácticas para que el docente trabaje con sus alumnos y alumnas. Estas pueden ser orientaciones respecto del contenido, actividades, preconceptos, entre otros.

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Ampliación de contenidos. Esta sección tiene como finalidad complementar algún tema desarrollado en la unidad, a modo de profundización. Como también, tratar algún contenido no revisado en la unidad en el cual el(la) docente sea quien decida, según las necesidades de su grupo curso, revisar con ellos el contenido ampliado.

Sugerencias o remediales. Esta sección tiene como finalidad profundizar en algún tema desarrollado en la unidad o que los complementa. Profundización de contenidos. Contiene ejercicios tipo que permiten profundizar en algún tema desarrollado en la unidad o que los complementa. Cada ejercicio viene con solución.

Fichas de trabajo. Material didáctico con diferentes actividades y recursos de aprendizaje destinados a reforzar y profundizar los contenidos y habilidades trabajados en cada unidad.

Prueba de la unidad. A fin de evaluar los aprendizajes alcanzados por sus alumnos(as), le presentamos una evaluación de término con distintos tipos de ítems y recursos, acordes con las habilidades y contenidos trabajados en la unidad. Además, se incluyen ejercicios PSU relacionados con el tema tratado.

Solucionario. Incluye las respuestas de todas las fichas y evaluación incluidas en la Guía para el profesor.

Bibliografía. Corresponde a un conjunto de sugerencias de libros y sitios webs, relacionados con los contenidos de la unidad y que pueden ser consultados para incorporarlos al trabajo con los(as) estudiantes o profundizar en el conocimiento de determinados temas.

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Correspondencia del texto del alumno con el Ajuste Curricular En las páginas siguientes se exponen los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios propuestos en el Ajuste Curricular, publicado en junio de 2009, correspondiente al subsector Matemática y su correspondencia con las unidades del Texto del estudiante.

OBJETIVOS FUNDAMENTALES UNIDADES TEXTO 1

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1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.



2. Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.





3. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.





4. Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversas estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas. 5. Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas. 6. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas. 7. Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades.

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8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos.

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9. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones.



10. Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población.



11. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.



12. Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio. 13. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos, para fundamentar opiniones y tomar decisiones.

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS UNIDADES TEXTO 1 1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos.



2. Representación de números racionales en la recta numérica, verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”.



3. Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.



4. Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas.



5. Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.



6. Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.



7. Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.



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8. Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.





9. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.





10. Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.



11. Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas.



12. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.



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13. Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico.



14. Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.



15. Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.



16. Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.

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17. Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.



18. Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas.



19. Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.



20. Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.



21. Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se puedan extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.





22. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo.





23. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

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Objetivos Fundamentales Transversales Los Objetivos Fundamentales Transversales tienen un carácter comprensivo y general orientado al desarrollo personal, a la conducta moral y social de los y las estudiantes, y deben ser desarrollados en las diversas actividades a lo largo de todo el período de escolaridad. Estos objetivos tienen por finalidad la formación de valores fundamentales, desarrollar habilidades para manejar el “mundo digital”, para desenvolverse en él en forma competente, y desarrollar en los y las estudiantes una actitud reflexiva y crítica, que les permita comprender y participar activamente, como ciudadanos, en el cuidado y reforzamiento de la identidad nacional y la integración social, y en la solución de los múltiples problemas que enfrenta la sociedad moderna.3

UNIDADES TEXTO

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ALUMNO

En el ámbito del crecimiento y la autoafirmación personal, se debe promover: 1

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• El conocimiento de sí mismo, de las potencialidades y limitaciones de cada uno.















• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.















• Las de investigación, que tienen relación con identificar, procesar y sintetizar información de una diversidad de fuentes; organizar información relevante acerca de un tópico o problema; revisar planteamientos a la luz de nuevas evidencias y perspectivas; suspender los juicios en ausencia de información suficiente.















• Las comunicativas, que se vinculan con exponer ideas, opiniones, convicciones, sentimientos y experiencias de manera coherente y fundamentada, haciendo uso de diversas y variadas formas de expresión.















• Las de resolución de problemas, que se ligan tanto con habilidades que capacitan para el uso de herramientas y procedimientos basados en rutinas, como con la aplicación de principios, leyes generales, conceptos y criterios; estas habilidades deben facilitar el abordar, de manera reflexiva y metódica y con una disposición crítica y autocrítica, tanto situaciones en el ámbito escolar como las vinculadas con la vida cotidiana a nivel familiar, social y laboral;















• Las de análisis, interpretación y síntesis de información y conocimiento, conducentes a que los alumnos y alumnas sean capaces de establecer relaciones entre los distintos sectores de aprendizaje; de comparar similitudes y diferencias; de entender el carácter sistémico de procesos y fenómenos; de diseñar, planificar y realizar proyectos; de pensar, monitorear y evaluar el propio aprendizaje; de manejar la incertidumbre y adaptarse a los cambios en el conocimiento.















En el ámbito del desarrollo del pensamiento, se debe promover habilidades transversales:

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Ídem.

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En el ámbito de la formación ética, se debe promover los siguientes aprendizajes: • Valorar el carácter único de cada persona y, por lo tanto, la diversidad de modos de ser.















• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias, en los espacios escolares, familiares y comunitarios, con sus profesores, familia y pares, reconociendo el diálogo como fuente permanente de humanización, de superación de diferencias y de acercamiento a la verdad.















• Reconocer la importancia del trabajo –manual e intelectual– como forma de desarrollo personal, familiar, social y de contribución al bien común. Valorar la dignidad esencial de todo trabajo, y el valor eminente de la persona que lo realiza. Valorar sus procesos y resultados con criterios de satisfacción personal y sentido de vida, calidad, productividad, innovación, responsabilidad social e impacto sobre el medio ambiente;















• Conocer y valorar los actores, la historia, las tradiciones, los símbolos, el patrimonio territorial y cultural de la nación, en el contexto de un mundo crecientemente globalizado e interdependiente, comprendiendo la tensión y la complementariedad que existe entre ambos planos.















• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la originalidad, la aceptación de consejos y críticas y el asumir riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo y la consumación exitosa de tareas y trabajos.















• Desarrollar la iniciativa personal, la creatividad, el trabajo en equipo, el espíritu emprendedor y las relaciones basadas en la confianza mutua y responsable.















• Buscar y acceder a información de diversas fuentes virtuales, incluyendo el acceso a la información de las organizaciones públicas.















• Utilizar aplicaciones para representar, analizar y modelar información y situaciones para comprender y/o resolver problemas.















• Hacer un uso consciente y responsable de las tecnologías de la información y la comunicación.















En el ámbito de la persona y su entorno, se deben afianzar los siguientes aprendizajes:

En el ámbito de tecnologías de información y comunicación, se deben promover las siguientes habilidades:

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Páginas de inicio (Páginas 8 y 9)

Presentación de la unidad Históricamente, el estudio de los números nos sorprende por la amplia posibilidad de relacionar sus patrones y regularidades con múltiples situaciones y fenómenos cotidianos. Sin embargo, en determinadas ocasiones es necesario ampliar los límites de cada conjunto numérico para modelar y representar matemáticamente estas situaciones y fenómenos. Así, surge la necesidad de trabajar con el conjunto de los números racionales y sus propiedades. Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas Los fractales son figuras que presentan determinadas regularidades a distintas escalas producto de iteraciones de un proceso geométrico elemental. La unidad se inicia con el fractal conocido como la alfombra de Sierpinski, el cual se va formando con la división constante de un cuadrado que se divide en nueve partes iguales, pintando, en cada paso, el cuadrado del centro y, fraccionando los cuadrados “del borde” en nueve partes iguales nuevamente, y así sucesivamente.

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UNIDAD 1 | Números racionales y potencias

Sugerencias para la actividad La actividad propuesta se enfoca en el cálculo del área y el perímetro de las figuras que resultan en cada paso de la formación de este fractal. La idea es determinar la multiplicación sucesiva de la medida del lado de la figura inicial por una potencia cuya base corresponde a un número racional. Si a los alumnos(as) les dificulta poder encontrar la secuencia de formación de este fractal, se sugiere cambiar la medida del lado del cuadrado inicial por un número entero o natural. Luego, una vez encontrada la secuencia de formación, utilizar el número racional de la actividad y generalizar. Un fractal de características similares en su construcción y resultados aritméticos es la curva de Koch, el cual puede trabajarse como una actividad alternativa o complementaria a la ya propuesta. Para más información de este último fractal ingrese a las siguientes páginas web: • www.sectormatematica.cl/fractales.html • http://mosaic.uoc.edu/practicas/MatematicasII/asanchezfo_PAC1/fractales/web/fractales_koch.htm

Evaluación diagnóstica (Páginas 10 y 11) Sugerencias o remediales • Para el indicador Resolver problemas que involucren ordenar y operar con números decimales y fracciones: es posible que en la resolución surjan dificultades de tipo conceptual. Se sugiere al docente trabajar la operatoria con números decimales y fracciones, repasar conceptos de amplificación, simplificación y el cálculo del mínimo común múltiplo. Por otra parte, la recta numérica puede ser utilizada como recurso gráfico para repasar el orden en los números y establecer las comparaciones pertinentes. Si existen dificultades en los ejercicios 7, 14 ó 15, en los cuales se trabaja el concepto parte-todo, se sugiere realizar ejercicios que impliquen calcular “lo que sobra” o “lo que falta” de una cantidad con relación a una fracción. • En el indicador Modelar situaciones a través de potencias y aplicar sus propiedades para el cálculo de ellas: los ejercicios se pueden trabajar de manera alternativa mediante la relación entre el plegado en un papel y las regiones resultantes. Se sugiere también la representación mediante un diagrama de árbol para visualizar la extensión del resultado de una potencia de base natural. En lo que respecta a la operatoria, pueden utilizarse los paréntesis para determinar la prioridad entre las operaciones de multiplicación y de adición. • Para el indicador Comprender el conjunto numérico de los números enteros y aplicarlo en la resolución de problemas: recordar a los(as) alumnos(as) que el conjunto de los números enteros permite resolver ecuaciones que no tenían solución en los números naturales. Los conceptos de orden y valor absoluto pueden ser repasados utilizando la recta numérica. También es necesario repasar la regla de los signos, para esto, se sugiere utilizar regularidades, por ejemplo: 3 · 2; 3 · 1, 3 · 0, 3 · (–1), 3 · (–2), etc.

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Números racionales (Páginas 12 y 13) De acuerdo con el Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) comienzan a trabajar con números decimales y fracciones a partir de 4° Básico: lectura y escritura de estos, las cuatro operaciones aritméticas y la resolución de problemas. Así, estas páginas cumplen una doble misión: por un lado, pretenden organizar y esquematizar los distintos conjuntos numéricos que los(as) alumnos(as) han aprendido hasta este nivel; y por otro, entregar una definición formal del conjunto de los números racionales. Además, se hace mención de que existen números que no son racionales, ya que los(as) alumnos(as) han tenido que trabajar con algunos de estos números, llamados irracionales.

Sugerencias metodológicas • Al comenzar esta unidad, así como a lo largo de ella, los conjuntos numéricos y las operaciones básicas entre ellos juegan un rol fundamental. Por lo tanto, se sugiere al docente estar atento a aquellas dificultades que los(as) alumnos(as) puedan presentar respecto a estos contenidos. • Un posible error a considerar es que los(as) alumnos(as) crean que los números racionales solo corresponden a las fracciones, y que, por ejemplo, 0,15 no es un número racional sino un número decimal. Frente a esto se sugiere al docente que, al momento de ejemplificar y en especial cuando realice operaciones con números racionales, utilice variadas representaciones, ya sean con números enteros, fraccionarios o decimales, incluyendo los infinitos periódicos y semiperiódicos. • Otro posible error tiene relación con la inclusión de los conjuntos numéricos. Para un(a) alumno(a) puede resultar obvio, por ejemplo, que si 2 es un número natural, no puede ser un número entero ni mucho menos un número racional. Para aclarar esto, se sugiere al docente realizar una tabla que, contenga, en la primera columna los diferentes conjuntos numéricos y en la primera fila, números a clasificar en los diferentes conjuntos que allí se proponen. Conjuntos numéricos

5;

1 ; –5; 1,58; 3,67; 3; 0,0002; 0 2

Naturales (⺞) Enteros

(⺪)

Racionales (⺡)

• Para un(a) alumno(a) puede resultar complejo entender por qué existen números que no son racionales, ya que los números irracionales siempre se muestran utilizando aproximaciones, por ejemplo: π ≈ 3,14 ó 2 ≈ 1,41. Una propuesta para ayudar a disipar esta dificultad es preguntar a los(as) estudiantes si conocen, o se les ocurre, alguna fracción cuyo cociente resulte 941.664 . La 2 , para luego proponerles que comparen, con la calculadora, 2 con la fracción 665.857 calculadora arrojará, para ambos números, el mismo resultado (hasta su décima cifra decimal). Luego, indicarles que eleven al cuadrado esta fracción, para que verifiquen que el resultado no es 2. Así, con este ejemplo, se evidencian las restricciones de aproximación de la calculadora y, por otra parte, se muestra que la forma exacta de expresar este irracional es simplemente 2 . Santillana Bicentenario

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UNIDAD 1 | Números racionales y potencias

• Otra posible dificultad es que los(as) alumnos(as) no están acostumbrados a utilizar distintas representaciones para un mismo número. Así, por ejemplo, un(a) alumno(a) puede considerar que

4 僆 ⺞, que 2

4 僆 ⺙, o incluso que

4 no es un número racional, pero que sí lo es 4 : 5, 5

ya que está representado como una división y resulta 0,8.

Ampliación de contenidos Historia de los números racionales Los egipcios (2700-2200 a. C.) trabajaban con fracciones, aunque las notaciones que tenían para ellas eran diferentes a las actuales. Los babilónicos utilizaban un sistema similar a la “notación decimal”, el cual empleaban con efecto extraordinario en sus mediciones astrológicas. Esta civilización usaba en vez de la “coma decimal” un “punto y coma (;)” que representaba una “coma sexagesimal”, es decir, los 1, 1 , 1 valores escritos a la derecha de ella eran múltiplos de , etc. Por ejemplo, la lista de 60 602 603 1 1 números 12,59;57,17 equivale a 12 · 601 + 59 · 600 + 57 · + 17 · 2 , que es aprox. 779,955. 60 60 Como ya se mencionó, los babilónicos utilizaron estas notaciones con una gran precisión en la astronomía. Por ejemplo, calcularon que el período orbital de Marte (el tiempo que transcurre entre las apariciones sucesivas del cuerpo celeste en la misma posición del cielo) era 12,59;57,17 días, es decir, en nuestro sistema, aproximadamente 779,955 días. La cifra calculada actualmente corresponde a 779,936 días. Mucho más tarde, en el siglo V a. C., los griegos, en particular los pitagóricos (seguidores de la escuela de Pitágoras), descubrieron que, además de los números racionales, existía otro tipo de números: los números irracionales. Para ellos no fue nada fácil aceptar este hecho, porque contradecía sus más profundas creencias. La siguiente leyenda deja de manifiesto la trascendencia que tuvo para los pitagóricos este acontecimiento. “Los pitagóricos formaban una secta religiosa, en la cual uno de sus pilares más importantes era que todo lo natural podía ser explicado en términos de números enteros o fraccionarios. Sin embargo, uno de sus seguidores, Hipaso de Metaponto, descubrió que este enunciado era falso. En concreto, demostró que la diagonal de un cuadrado de lado una unidad no es un número racional (lo que en tiempos contemporáneos significaría afirmar que 2 es irracional). Cuenta la leyenda que Hipaso cometió el error de divulgar tal hecho justo cuando los pitagóricos atravesaban el Mediterráneo en barco, y sus compañeros de culto quedaron tan irritados que decidieron arrojarlo por la borda y este se ahogó”. Fuente: Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España, 2007.

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Pitágoras y la música Siguiendo con los números racionales y el mundo griego, Pitágoras realizó el siguiente experimento. Tensó una cuerda musical que produjo un sonido cuyo tono tomó como base. Luego, marcó la cuerda de forma tal que la dividió en doce partes iguales. Al hacer vibrar la cuerda en su mitad, 6, notó que se obtenía un sonido consonante con el anterior, es decir, que la cuerda original y la mitad de esa cuerda producían un sonido armonioso al hacerlas vibrar juntas. Era, precisamente, lo que hoy se conoce con el nombre de octava superior. Luego, tocó en el 9 (o sea, en las 3 partes de 4 la longitud de la cuerda) y dio otro sonido consonante con los anteriores: era la cuarta superior. 2 partes de la cuerda) se obtiene la quinta 3 superior. Así, Pitágoras descubrió que estas fracciones de la cuerda original correspondían a los

De la misma forma, tocando en el 8 (es decir, en las

sonidos consonantes fundamentales: octava, cuarta y quinta. Los intervalos que se forman al dividir la cuerda de acuerdo a las proporciones señaladas reciben el nombre de octava, cuarta y quinta porque corresponden a esas notas en la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). Esto quiere decir que la cuerda con su longitud original corresponde a la primera nota (do), al dividir la cuerda en la mitad se obtiene la octava nota (do), al dividirla en las tres cuartas partes se obtiene la cuarta nota (fa), mientras que al dividirla en las dos tercias partes se obtiene la quinta nota (sol). Fuente: www.anarkasis.com/pitagoras

Representación fraccionaria de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos (Páginas 14 y 15) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico comienzan a trabajar con transformaciones de fracciones a números decimales y recién en 1º Medio se trabaja con la justificación de procedimientos para transformar de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. Nuestro texto en 6º Básico, trata de forma algorítmica la transformación de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción, pues en 1º Medio se pide por CMO la justificación de estos procedimientos, por tanto, en estas páginas se pretende justificar el algoritmo que se utiliza para estas transformaciones.

Sugerencias metodológicas • Puede ser una dificultad para los(as) estudiantes identificar la cantidad por la que se debe multiplicar a ambos lados de la ecuación correspondiente para eliminar el período del número decimal infinito, ya que depende precisamente de la cantidad de cifras que tenga el período, por lo que se sugiere al docente estar atento y ejercitar bastante en caso de presentar este tipo de errores. • Es muy importante que los(as) alumnos(as) comprendan que la justificación del algoritmo permite afirmar que cualquier decimal infinito periódico o semiperiódico es siempre un número racional.

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Orden y ubicación en la recta numérica (Página 16) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico han comparado números decimales y fracciones y los han ubicado en la recta numérica. En estas páginas se pretende que los(as) estudiantes comparen números racionales que no necesariamente están representados de la misma forma (fraccionaria o decimal) y que los ubiquen, indistintamente de su representación, en la recta numérica.

Sugerencias metodológicas • La representación en la recta numérica puede ser una ayuda para establecer relaciones de 1 equivalencia entre algunas representaciones de números racionales, como por ejemplo, 0,25 y . 4 2 • Se sugiere al docente explicar a los(as) estudiantes que, por ejemplo, si bien los números , 5 40 40 y 0,4 son equivalentes, para representar la fracción es mejor utilizar su expresión 100 100 irreductible. • Al comparar números racionales en su representación decimal, a veces los(as) alumnos(as) se equivocan al establecer el orden, debido a errores conceptuales respecto del valor posicional de las cifras. Así, por ejemplo, si se le pide a un(a) alumno(a) que compare los números 0,128 y 0,4, puede llegar a la conclusión de que 0,128 > 0,4, porque 128 > 4.

Clausura y densidad (Página 17) Sugerencias metodológicas • Al momento de trabajar la propiedad de clausura de los números racionales, se sugiere recurrir a los conocimientos previos de los(as) alumnos(as) y mostrar lo que sucede en otros conjuntos numéricos con las cuatro operaciones aritméticas básicas. • Es posible que los(as) estudiantes se confundan con la propiedad de densidad de los números racionales, ya que al aceptar que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales, concluyan que la recta numérica “se completa”, imposibilitando de esta forma la existencia de los números irracionales. Por lo tanto, se sugiere al docente señalar a los(as) alumnos(as) que la recta numérica no “se completa” solo con los números racionales. • La densidad de los números racionales puede ser utilizada para mostrar a los(as) alumnos(as), que, por ejemplo, 0,9 = 1. En efecto, si estos dos números racionales fuesen distintos, por la propiedad de densidad de los números racionales existirían infinitos números racionales entre ellos, mayores que 0,9 y menores que 1, lo cual es imposible.

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Ampliación de contenidos Cerradura de un conjunto con respecto a una operación Definición: Dada la operación Φ, se dice que un conjunto numérico A es cerrado con respecto a Φ si para todo par de elementos a, b ∈ A se tiene que a Φ b ∈ A. ⺞), enteros (⺪ ⺪) Para efectos prácticos, se consideraran los conjuntos numéricos de los naturales (⺞ ⺡). y racionales (⺡ Ejemplos 1. ⺞, ⺪ y ⺡ son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la adición, ya que por ejemplo, al sumar dos números naturales su resultado también es un número natural, así como también al sumar dos números enteros o dos números racionales. 2. Solo ⺪ y ⺡ son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la sustracción, pues en los naturales, por ejemplo, al sustraer 5 – 8 no resulta un número natural. Ejercicios Determina si ⺞, ⺪ o ⺡ son conjuntos numéricos cerrados con respecto a las siguientes operaciones. 1. La multiplicación. Respuesta: ⺞, ⺪ y ⺡ son conjuntos cerrados con respecto a esta operación. 2. La división. Respuesta: solo ⺡ es cerrado con respecto a esta operación. 3. Se define la operación ∆ como a ∆ b = a · (a + b). Respuesta: ⺞, ⺪ y ⺡ son conjuntos cerrados con respecto a esta operación. 4. Se define la operación Ω, donde a Ω b = π + (a · b). Respuesta: ⺞, ⺪ y ⺡ no son conjuntos cerrados con respecto a esta operación. Paradoja de Zenón En la antigüedad, la civilización griega tenía una especial fascinación e interés por la comprensión científica, no tan solo de las figuras geométricas (en especial triángulos y círculos), sino que de todo el cosmos. Uno de sus mayores representantes fue Zenón, quien se caracterizó por hacer descubrimientos que dejaban perplejos a sus contemporáneos; muchos de ellos se conocen actualmente como paradojas. Zenón estaba fascinado con la idea del infinito, la cual expresa a través de la siguiente paradoja, que guarda estrecha relación con la densidad de los números racionales. Paradoja “Zenón confundió en gran manera a sus colegas pensadores al señalar que el heroico Aquiles, por más aprisa que corriera, no podría alcanzar a una tortuga con una ventaja inicial, puesto que, por ejemplo, si a la tortuga se le da una ventaja inicial de diez metros, cuando Aquiles haya avanzado esa distancia, la tortuga también habrá avanzado una distancia, por ejemplo, un décimo de la distancia recorrida por Aquiles. Luego, cuando Aquiles se desplace hasta llegar al lugar en donde se encontraba la tortuga, esta nuevamente habrá avanzado una distancia, colocándose adelante del héroe griego. Así, por muy pequeña que sea la distancia, siempre se mantendrá la tortuga por delante de Aquiles.

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Por supuesto que en la realidad, Aquiles –o la gran mayoría de las personas– alcanzaría y pasaría a la tortuga en algún momento de la carrera. La respuesta a esta paradoja, y que está fuertemente ligada a la propiedad de densidad de los números racionales, queda resuelta con la pregunta que se hizo Zenón: ¿cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de posiciones en un tiempo finito?”. Fuente: Bergamini, D. Matemáticas. México D. F. México, 1965.

Propiedades de las operaciones con números racionales (Páginas 20 y 21) En este apartado se pretende mostrar a los(as) estudiantes que tanto la adición como la multiplicación cumplen con ciertas propiedades fundamentales, no así la sustracción y la división. Para que los alumnos comprendan el real sentido de las propiedades, puede mostrar como en otras operaciones que no es posible llegar inmediatamente a la conclusión correcta.

Sugerencias metodológicas • Es importante que los(as) alumnos(as) entiendan que la aplicación de las propiedades de la adición y multiplicación constituyen una estrategia para resolver problemas y que no las consideren solo como “propiedades que se cumplen” sin darle un sentido de aplicación en la resolución de problemas. Por lo tanto, es fundamental que los(as) estudiantes comprueben que dichas propiedades no se cumplen con cualquier operación y que es esta la razón por la que merecen una distinción especial. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) la veracidad de dichas propiedades con las operaciones de sustracción y división. • A modo de motivación, se sugiere comentar a los(as) alumnos(as) que existen estudios matemáticos, en especial en el ámbito del álgebra, en donde se intenta trabajar con conjuntos de elementos que cumplen estas propiedades (cuerpos) o algunas de ellas (anillos o grupos).

Operatoria con números racionales (Páginas 22 y 23) Estas páginas tienen como finalidad que los(as) estudiantes refuercen, sistematicen y potencien sus procedimientos para el cálculo con números racionales. Además, que consideren la operatoria con estos números como una forma de modelar y resolver situaciones contextualizadas, razón por la cual se presentan algunos ejemplos que dan cuenta de ello.

Sugerencias metodológicas • La operatoria con números racionales muchas veces constituye una gran dificultad, tanto en este nivel como en estudios posteriores de álgebra, geometría, cálculo, entre otros. Por esta razón, se sugiere al docente estar atento a los posibles errores que los(as) alumnos(as) puedan presentar en este tema.

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• Al enfocar el contenido desde la resolución de problemas, no solo es importante estar atento a la forma en que los(as) estudiantes efectúan los cálculos sino que también la manera en que se plantean la situación problema. Es probable que algunos(as) logren dar con la respuesta, pero no sepan explicar matemáticamente como llegaron al resultado; también es posible que algunos(as) no logren plantear el problema en cuestión. Frente a esto, se sugiere al docente discutir en conjunto con los(as) alumnos(as) la forma más conveniente de abordar el problema, sistematizando la manera de resolverlo, es decir, identificando el problema, los datos y luego los pasos a seguir en la operatoria. • Respecto al orden de las operaciones, cuando estas son solo multiplicaciones y divisiones o solo adiciones y sustracciones, un posible error de los(as) alumnos(as) es no operar de izquierda a 4 derecha. Así, por ejemplo, al resolver 8 : 2 · 3, pueden realizar (8 : 2) · 3 = 12 ó 8 : (2 · 3) = , 3 llegando a dos resultados diferentes al efectuar la multiplicación y la división en cualquier orden. • Otra posible dificultad se les puede presentar al sumar o restar una fracción con 1 ó 0. Por 2 ejemplo, 1 + , ya que al obtener el mcm de los denominadores no consideran el 1 como un 13 13 número racional equivalente a . 13 • Al operar con números racionales, las fracciones irreductibles son fundamentales para optimizar tiempos y simplificar cálculos; sin embargo, muchas veces esto no es considerado por los(as) alumnos(as). Por esta razón, se sugiere al docente señalar a los(as) estudiantes la importancia de simplificar las fracciones antes de operar con ellas. Además, cuando se opera con números decimales y fracciones, no siempre conviene transformar la fracción a decimal, o viceversa; esto no lo tienen muy claro los(as) alumnos(as), y probablemente tratan de mecanizar un algoritmo que les sirva para todos los ejercicios. Así, la intervención del docente en este punto vuelve a ser crucial, por lo que se sugiere hacer notar estas diferencias con ejemplos que evidencien la conveniencia de una u otra conversión.

Resolución de problemas con números racionales (Páginas 26 y 27) En estas páginas nuevamente se trabajan los números racionales en un contexto de aplicación, enfatizando la interpretación de los resultados obtenidos de acuerdo al contexto. Así, los principales contenidos a tratar corresponden a la aproximación por redondeo y por truncamiento.

Sugerencias metodológicas • Es importante que el(la) alumno(a) comprenda que el tipo de aproximación que se utilice depende del contexto en que esté planteado el problema. Se sugiere al docente que utilice ejemplos en que se apliquen porcentajes o promedios, ya que las aproximaciones variarán en función de dar una solución atingente al problema.

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Potencias de base racional y exponente entero (Páginas 30 y 31) En estas páginas se retoma la definición de potencias, ya conocida por los alumnos(as), ampliandola a potencias de base racional y exponente entero. Se propone abordar este tema a partir de las regularidades y, a través de ello, lograr la generalización.

Sugerencias metodológicas • Como las potencias con exponentes negativos no se pueden interpretar de la misma manera que las de exponente natural, es importante señalar a los(as) alumnos(as) las ventajas de usar esta notación. Por ejemplo: – para trabajar con bases más pequeñas y simples. Ejemplo: 2

–2

en vez de

1 2 . 2

冢 冣

– Extender las propiedades de las potencias que antes no tenían sentido. 4 6 –2 Ejemplo: 3 : 3 = 3

– Aplicar propiedades de potencias de igual base, etc. • Un error clásico al trabajar con potencias de exponente negativo es “traspasar” el signo del –3 3 exponente a la base, por ejemplo, (0,27) = (–0,27) . Por lo tanto, es muy importante que el(la) docente enfatice que el signo menos en el exponente de una potencia corresponde a una notación y no tiene relación con el signo de la base. a 0 • Una de las propiedades que los(as) alumnos(as) suelen olvidar es . Para reforzarla se sugiere b proponerles ejercicios que involucren cantidades muy grandes o con muchos decimales o con

冢冣

varias expresiones algebraicas, elevadas a 0, y que puedan constatar lo práctico que es utilizar esta propiedad. • Respecto al punto anterior, es importante recalcar que dicha propiedad es válida para todos los números racionales, excepto para el 0. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) las consecuencias de que esta propiedad fuese válida también para este racional. Ejemplo Revisar con los(as) alumnos(as) una forma de verificar algebraicamente esta propiedad. 0

1–1

=

4 =1 4

0

1–1

=

0 0

4 =4 0 =0

0

Por tanto, 4 = 1

Esto carece de sentido.

Esta división es equivalente a preguntarse por un número que multiplicado por 0 dé como resultado 0, pregunta que tiene infinitas respuestas.

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Propiedades de las potencias (Páginas 32 y 33) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, se espera que los(as) alumnos(as) apliquen las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural a potencias de base racional y exponente entero. Por lo tanto, en estas páginas se busca reforzar las propiedades de las potencias con base racional, además de extenderlas y generalizarlas para potencias de base racional y exponente entero.

Sugerencias metodológicas • Se sugiere al docente justificar las propiedades de las potencias mediante ejemplos numéricos, para una mejor comprensión de los(as) alumnos(as). Ejemplo Para la propiedad ar · as = ar + s, se puede mostrar que: 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 3+4 3 · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 = 3

冢 冣 冢 冣 冢

冣 冢

冣 冢 冣 冢 冣

• Al simplificar expresiones utilizando propiedades de las potencias, se pueden presentar dificultades, ya que los(as) alumnos(as) tienden a desarrollar las potencias en vez de aplicar las propiedades respectivas, no considerando el tiempo invertido en ello, y que existe mayor probabilidad de cometer errores. Se sugiere al docente señalar la importancia práctica que tiene utilizar las potencias y sus propiedades cuando se trabaja con cantidades grandes o con números con muchas cifras que dificultan el cálculo. A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de apoyar a los(as) estudiantes en el aprendizaje de los números racionales, especialmente a aquellos(as) cuyos rendimientos sean insatisfactorios o bien presenten mayores dificultades. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes y contenidos evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

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Ficha de trabajo nº 1

Reforzamiento Unidad 1

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Reforzar las propiedades de clausura y densidad de los racionales y el cálculo de adiciones y multiplicaciones.

P