I Bimestre-TRIGONOMETÍA-4TO-SECUNDARIA PDF

 

TRIGONOMETRÍA

ÍNDICE Pág. Cap. 1

 Ángulo trigonom trigonométrico étrico .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ...................... 5

Cap. 2

Misceláneaa I .................... Misceláne ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ................................... ............... 15

Cap. 3

Sistemas de medición angular I ................. ..................................... ........................................ ........................................ ............................... ........... 21

Cap. 4

Sistemas de medición angular II ................... ....................................... ........................................ ......................................... ............................ ....... 29

Cap. 5

Sistemas de medición angular III .................. ...................................... ........................................ ........................................ ............................ ........ 37

Cap. 6

Cálculo de longitud de un arco .................... ........................................ ........................................ ........................................ .............................. .......... 43

Cap. 7

Cálculo de la superficie de un sector circular ................... ....................................... ........................................ ............................... ........... 51

Cap. 8

Repaso I ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ...................... 59

Cap. 9

Razones trigonométricas de ángulos agudos I .................... ........................................ ........................................ ............................ ........ 67

Cap. 10

Razones trigonométricas de ángulos agudos I .................... ........................................ ........................................ ............................ ........ 75

Cap. 11

Razones trigonométricas de ángulos notables .................... ........................................ ........................................ ............................ ........ 83

Cap. 12

Propiedades Propiedad es de razones razones trigo trigonomét nométricas ricas ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 91  Ángulos verticales .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ........................... ....... 97

Cap. 13 Cap. 14

Miscelánea Misce lánea II ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ................................... ............... 103

Cap. 15

Calculo Calcu lo de lados en un triáng triángulo ulo rectán rectángulo gulo ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 10 1099

Cap. 16

Repaso Repa so II .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ...................... 117

 

TRIL

TRCO4SLITRTB 08 pmd

 

4to año de secundaria

Pág. Cap. 17

Sistema cartesiano ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................... ....... 123

Cap. 18

Razones Razon es trigon trigonométri ométricas cas de un ángu ángulo lo de cualq cualquier uier medid medidaa I ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 13 1311

Cap. 19

Razones Razon es trigon trigonométr ométricas icas de un ángulo de cualquie cualquierr medida II ..... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ....... 13 1399

Cap. 20

Miscelane Misc elaneaa III ................. ..................................... ........................................ ........................................ ........................................ .................................... ................ 147

Cap. 21

Reducción al primer cuadrante I ................... ....................................... ........................................ ........................................ ............................ ........ 153

Cap. 22

Reducción al primer cuadrante II .................. ...................................... ........................................ ........................................ ............................ ........ 161

Cap. 23

Circunferencia Circunfer encia trigonométric trigonométricaa I .................. ...................................... ......................................... ......................................... .............................. .......... 169

Cap. 24

Misceláneaa IV ................. Misceláne ..................................... ........................................ ........................................ ........................................ .................................... ................ 179

Cap. 25

Circunferencia Circunf erencia trigonomét trigonométrica rica II ................. ..................................... ........................................ ........................................ ............................... ........... 185

Cap. 26

Identidades Identi dades trigon trigonométrica ométricass I .................. ...................................... ........................................ ........................................ ................................. ............. 191

Cap. 27

Identidades Ident idades trigon trigonométric ométricas as II .................... ........................................ ........................................ ........................................ .............................. .......... 197

Cap. 28 Cap. 29

Miscelánea V ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ................................... ............... 205 Identidades trigonométricas de la suma y ddiferencia iferencia de áng ángulos.................................... ulos........................................... ....... 209

Cap. 30

Identidades Identidad es trigonométric trigonométricas as del ángulo doble ...................................... .......................................................... ............................... ........... 217

Cap. 31

Resolución Resoluci ón de triángulos oblicuán oblicuángulos gulos ................... ....................................... ........................................ ....................................... ................... 225

 

1

 Ángulo  Ángul o trigon trigonométric ométrico o

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Objetivos: - que Rec Recono onocer cerpueden eell ángu ángulo lo tri trigon gonomé ométri trico co y lo lossysen sentido tidoss en estos estar generados: horario antihorario. - Dib Dibuja ujarr el áng ángulo ulo tr trigo igonom nométri étrico co en ccual ualqui quiera era de de los sentidos ya mencionados. - Opera Operarr corr correctam ectamente ente los ángu ángulos los trigo trigonomét nométricos ricos..

Conocimientos previos

3. Alg Algunos unos ángu ángulos: los: - Ángulo nnuulo: Medida = 0°

 A

B

C

- Án Ánggulo llano:

(Elementos de geometría) 1. Ángul ulo o Es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo mism o origen. Los dos rayos son los lados del ángulo y el origen común es el vértice. En el gráfico:  AB  y  AC : lados

C Medida = 180°

 A

B

- Án Ánggulo recto:

 A: vértice

C

Medida = 90°

 A

B

- Ángulo aaggudo:

CAB ó C  AˆB

C

Si los lados de un ángulo son dos rayos opuestos, el ángulo se llama ángulo llano y cuando estos lados coinciden, el ángulo se llama de una vuelta. C

 A

 Ángulo llano

B

 A 0° < Medida < 90°

B

- Án Ánggulo obtus tuso:

 A

B C  Ángulo de una vuelta

2. Med Medici ición ón de áángu ngulos los En geometría, la medición de ángulos está referida a la magnitud asociada a la abertura entre los lados de un ángulo. Se usa el sistema sexagesimal, cuya unidad es un grado sexagesimal (1°), tal que 360 de ellos equivale al ángulo de una vuelta, además presenta dos subunidades llamadas: minuto sexagesimal sexagesim al (1') y segundo sexagesimal (1''): cumpliéndose:

C

 A

B

90° < Medida < 180° - Án Ángu gulo lo de 1 vvue uellta

 A Medida = 360°

B

C

 1 vuelta = 360° 1° = 60' 1' = 60'' 1° = 3600'' Organización Organizació n Educativa TRILCE

5

 

4. Bise Bisectri ctrizz de un un áng ángulo: ulo: La bisectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en dos de igual medida. En el gráfico diremos que OM   es bisectriz del ángulo  A Oˆ B , ya que: ˆB mAO m AOM = m MOB = 2

M  

 A

B

Obviamente cuando no hay rotación; el ángulo es nulo.

Observaciones: - La me medida dida de un áng ángulo ulo trig trigono onomét métric rico, o, he hecha cha la indicación de los tipos de rotación; es: - sen sentid tidoo hhora orario rio:: med medida ida ne negat gativa iva - sen sentid tidoo ant antiho ihorar rario: io: med medida ida pposi ositiv tiva. a. - La me medid didaa de un áng ángulo ulo ttrig rigono onomét métric ricoo no pu puede ede limitarse, pues este depende de la magnitud de la rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos.

  O

 Ángulo trigonométri trigonométrico co Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, en un solo plano, alrededor de un punto fijo llamado vértice; desde una posición inicial (inicio del giro) hasta otra posición final (final del giro). En el gráfico:

B

- Par Paraa pod poder er su sumar mar o re restar star áángu ngulos los tr trigo igonomé nométri tricos cos,, est estos os deben estar orientados en el mismo sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación, así:

 A 

O

-



 ˆ B OA : inicio del giro (lado inicial)  AO OB : final del giro (lado final)

Por ejemplo:

O P Q OP : inicio del giro (lado inicial) ˆ POQ  OQ : final del giro (lado final)

10º -   - 10º

Obs.: Se recomienda colocar todos los ángulos en sentido antihorario.

De esta manera se puede reconocer dos tipos de rotación:  A

O

Sentido horario

O

B B

 A

Sentido antihorario

6

Cuarto Año de Secundaria

 

Test de ap Aprendizaje Tes t de rendizaj dizaje e pr previ evio o 1. Complete en cada re recuadro cuadro el sentido de la rot rotación ación en que fue generado cada ángulo.

5. Del ggráf ráfic ico, o, hhall allar ar "x "x""



x



 

6. Hall Hallar ar "x" "x",, si: si: 3x+10º

2. De acue acuerdo rdo al gráf gráfico, ico, se señale ñale la relac relación ión que ve verifica rificann  “” , “” y “”. 



2x-10º

0

7. Hall Hallar ar ""x" x",, si: si:



0

1º-3x 20º

3. Asoci Asociee medi mediant antee flec flechas has:: 8. Hall Hallar ar "x" "x",, si: si: 20º - 4x S e n t id o

x+10º

0

h o r a r io S e n t id o  A n t i h o r a r i o

9. Hall Hallar ar "x" "x",, si: si:

3x+20º 2x - 20º

4. Del ggráf ráfico ico,, ha hallar llar ""x". x".

x



10.Hallar "x", si:

 15º - 9x 2x - 5º 0

Organización Educativa TRILCE

7

 

Pract iquemos   Practiquemos 1. Si un áng ángulo ulo qu quee es llano m mide ide (10 (10xx + 20)°, ¿¿cuál cuál es el valor de “x”? a) 11 d) 8

b) 12 e) 10

8. Si OM  es bisectriz, calcular “x”..

c) 16

M B

(8x - 26)º (5x + 10)º

2. Si un áng ángulo ulo rec recto to mide ((7x+ 7x+ 6)°, ¿cuál eess el valo valorr de  “x”??  “x” a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

3. Si un áng ángulo ulo agu agudo do mide 3x 3x°, °, ¿cuál eess el máximo va valor lor entero que toma “x”? a) 17 d) 29

b) 27 e) 89

c) 28

 A

O

a) 6 d) 14

b) 7 e) 16

c) 12

9. En geom geometría etría es ccomún omún de decir cir que lo loss ángul ángulos os cuy cuyos os lados son rayos opuestos se denominen opuestos por el vértice y son de igual medida. En el gráfico, por ejemplo  A Oˆ B  y C Oˆ D  son opuestos por el vértice y se cumple:  A

C





4. valor Si un án ángulo gulo ob obtuso tuso mi mide de (5x + 10) 10)°, °, ¿cu ¿cuál ál es el máx máximo imo entero que toma “x”? a) 31 d) 34

b) 32 e) 35

O D

c) 33

B

m A Oˆ B  = m C Oˆ D   ó    =  Según lo anterior ante rior,, en el gráfico cal calcular cular “x”.

5. Si un áng ángulo ulo obtu obtuso so mide (3 (3xx - 18)°, ¿c ¿cuál uál es la su suma ma del máximo y mínimo valor entero que toma “x”? a) 112 d) 104

b) 102 e) 96

B

c) 114

C

(7x - 1)º

O

(5x + 9)º

 A

6. Si un áng ángulo ulo agu agudo do mide (6 (6xx - 12)°, ¿¿cuál cuál es llaa suma del máximo y mínimo valor entero que toma “x”? a) 8 d) 17

b) 10 e) 19

c) 12

a) 2 d) 5

D

b) 3 e) 6

c) 4

10.En el gráfico, calcular “y” “y”..

C

7. En el gr gráf áfic ico, o, OM  es bisectriz, calcular “x” “x”..

(6x + 10)º D O

B (10x - 6)º

 A

(7x - 4)º

(8y + 6)º B

M (7x + 3)º O

ad)) 14

8

be)) 26

 A

a) 6 d) 12

b) 14 e) 16

c) 10

c) 3

Cuarto Año de Secundaria

 

11.E n cada caso, tomando como inicio de giro el rayo OP , 11.En dibuje un ángulo en sentido: a. Hora Horari rio: o:

14.En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo  OP , dibuje un ángulo que mida: (use transportador) a. 100°

P

P

O

O

b. Ant ntih ihor orar ario io::

b. -50°

O

O

P

P 12.E n cada caso, tomando como inicio de giro el rayo OP , 12.En dibuje un ángulo en sentido:

c. -160° O

a. Hora Horari rio: o: O

P

P

15.Del gráfico, señalar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

b. Ant ntih ihor orar ario io::

C P

O

x 

13.E n cada caso, tomando como inicio de giro al rayo OP , 13.En dibuje un ángulo que mida: (use transportador) a. 140°



O a)    +  d) -  - 

P

A

b)    -  e) F.D.

c)    - 

16.Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos.

O

b. -70°

 A O

B

B x

C

P

 

c. -120°

P

a)    +  +  d)    -  + 



O

D

b)    -   -  e)    -  + 

c)    -  - 

O

Organización Educativa TRILCE

9

 

17. 17. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

19.Del gráfico, calcular “x” “x”..

C (12 - 11x)º

C

5xº  



 A

B

a) 2 d) 12

x O

a) 90° -  d) 90° + 

A

b)    - 90° e) -90° - 

c) 180° + 

O b) 4 e) 10

B

B

(9 - 9x)º

C x

a)    - 90° d) -90° - 

10

c) 8

20.Del gráfico, calcular “x” “x”..

18.En el gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

 A

B

 O

b) 90° -  e) -1 -180 80°° + 

O

(5x + 1)º  A

D

c) 90° + 

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Cuarto Año de Secundaria

 

AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret eto o TRILCE...! 1. Hal Hallar lar ““x” x” en funci función ón ddee “”.

4. Halle “x “x”” en funció funciónn de los otros áng ángulos ulos trig trigonomé onométrico tricoss mostrados.

C



x D

C

B

O

b)    + 180° e) 270° - 

c)    + 270°

2. Hal Halle le “x “x”” en ffunc unción ión ddee “”.

 A

C

O

a) 180° +  -  c) 270° +  -  e) 180° +  + 

A

b) 180° -  +  d) 270° -  + 

5. Hal Halle le “x “x”” en ffunc unción ión de “”, si OM  es bisectriz del ángulo BOC.

O



M

x C

B a) 450° -  d)    - 360°

B



A D

a)    - 180° d)    - 270°

x



x 

b)    - 450° e)    - 270°

B

c) 360° - 

D

3. Halle “x “x”” en funció funciónn de los otros áng ángulos ulos trig trigonomé onométrico tricoss mostrados.

a) 135° +  d) 225° - 

O b) 135° -  e) 225° + 

A c)    - 135°

D C x

  O

B  A

a)    -  - 90° b)    +  - 90° c)    -  + 90° d)    -  + 90° e)    -  - 90°

Organización Educativa TRILCE

11

 

Tarea domiciliaria Tar area ea do miciliar ariia 1. Si un án ángulo gulo lla llano no mide ((3x 3x - 24)° 24)°,, ¿cuá ¿cuáll es el va valor lor de  “x”??  “x” a) 17 d) 38

b) 56 e) 54

6.

H

a

l

l

a

r

“

x

”

,

e

n

f

u

n

c

i

ó

n

d

e

“

 ” y “ ”.

c) 68

x

  

2. Si un ángu ángulo lo rect rectoo mide (5x + 20) 20)°, °, ¿cuá ¿cuáll es el valor de  “x”??  “x” a) 12 d) 30

b) 14 e) 32

c) 26

3. Si un ángulo ag agudo udo mide (3x - 112)°, 2)°, ¿¿cuál cuál es el máximo valor entero que puede tomar “x”? a) 30 d) 33

b) 31 e) 34

b)    -  e) 2 - 

c)    - 

7. Hal Halle le “x “x”” en fun funció ciónn de “”, “” y “”.

c) 32

  ˆ . ¿Cuál es el 4. En el gr gráf áfic ico, o,   OM  es bisectriz del  AOB valor de “x”? B

(7x-1)°

M

 

a)    +  +  d)    -  + 

 x

b)    -  -  e)    -  - 

c)    -  + 

8. Del grá gráfic fico, o, ssee cum cumple ple::

(6x+2)°

O a) 1 d) 4

a)    +  d) -  - 

 A

b) 2 e) 5

c) 3

5. Tomando como inicio de giro (lad (ladoo inicial) el rayo indicado, dibuje un ángulo que mida: a.    = 140°

 A

  



a)     12 vuelta

b)     1vuelta

c)    12 vuelta 1 e)    4 vuelta

d)    12 vuelta

9. Hal Hallar lar ““x” x” ddel el gr gráfi áfico. co.

O 

b.    = -120°

x

 A O



a)   12 vuelta -  - 

b)   12 vuelta -  + 

c)   12 vuelta +  - 

d)   12 vuelta +  + 

 1 e) 4 vuelta +  - 

12

Cuarto Año de Secundaria

 

10.Hallar “x” del gráfico mostrado.

 A

15.Hallar 15.Hal lar “x”. “x”. L1

B x

x







L2

C

O a)    + 

b)   - 

c)    - 

d) -  - 

e)   12 vuelta +  - 

a)    d) 180° - 

b) - e) 90° - 

c) -2

16.Hallar “x”, además OF  es bisectriz.  A

11.Hallar “x” del gráfico mostrado. B





B

a) 32º d) 70º

C

a)    -  d) -  - 

F

x

o  A

3x + 40º 30º - 5x

O

b)    -  c)    +  e) 1 vuelta +  - 

b) 35º e) 50º

c) 34º

17 17.. Calcular: “ + ” 

12.Hallar “x” del gráfico mostrado.



 A

 B

x



a) 90º d) 135º



O

C

a)    + 

b)    - 

c)    - 

d) -  - 

e)   14  vuelta +  - 

b) 180º e) 150º

c) 270º

18.Hallar “x” en función de los ángulos mostrados. x

13.Hallar “x” del gráfico mostrado.



x





a)    -  = 90º - x c)    -  - 360º = x e)    -  + 180º = x a) 90º +  d) 180º - 

b)    - 90º e) -  - 90º

c) 90º - 

b)    +  + 270º = x d)    -  - 270º = x

19.Hallar 19.Hal lar “x”. “x”.

14.Hallar “x” del gráfico mostrado.

B

7x - 35º

C

25º + x

-x  A a) 90° - 2 d) 180° + 2

x O



D

b) 90° + 2 e) 45° + 

a) -10º d) -40º

b) -20º e) -50º

c) -30º

c) 180° - 2

2

Organización Educativa TRILCE

13

 

20.Hallar “x” 

24.Del gráfico, lo correcto es:

(9 - 2x)º

a) 31º d) 60º



(x + 3)º

b) 51º e) 36º

a)    +  = 360° c)    +  = 450° e)    -   = 120°

21.Hallar "x".

b)    -  = 360° d)    -  = 450°

  ˆ . 25.Del gráfico, hallar “x” “x”,, si  O  OM M  es bisectriz del  AOC

4x+10º

40º - x



c) 62º

D a) -18º d) 45º

b) -24º e) -50º



c) -30º

 A

22.Hallar "x". a)    - 180° c)   - 180°

C B 

a)    +  d) -  - 

M

2

O

C

x

B

b) -  - 180° d) -   - 180° 2

e) - 2  - 90°

 x

 A

b)    -  e) 2 - 

c)    - 

23.Halle “x” del gráfico mostrado.



a) 90° +  d) 180° + 

14

b) 90° -  e) 180° - 

x

c)    - 90°

Cuarto Año de Secundaria

 

2

Miscelánea I

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Pract iquemos   Practiquemos 1. De acu acuerdo erdo al gráfi gráfico, co, señ señale ale lo ccorrec orrecto: to:

5. De acu acuerdo erdo aall gráfi gráfico, co, se señale ñale lo corre correcto: cto:





a)    +  = 180° c)    -  = 180° e)    +  = 90°

x b)    -  = 180° d)    +  = -180°

2. De acu acuerdo erdo al gráfi gráfico, co, señ señale ale lo ccorrec orrecto: to:



y a) x + y = 180° c) x - y = 360° e) x - y = 27 270° 0°

b) x + y = 360° d) x - y = 180°

6. Del ggráfic ráfico, o, sseñale eñale lo ccorrec orrecto: to:

 -120º

x

a)    +  = 240° c)    -  = 240° e)    -  = 240°

b)    +  = 120° d)    -  = 120°

3. De acu acuerdo erdo al gráfi gráfico, co, señ señale ale lo ccorrec orrecto: to:

y

a) x - y = 180° c) x - y = 300° e) x - y = 45 450° 0°

b) x + y = 180° d) x + y = 300°

7. Si un ángu ángulo lo “” agudo, mide: (6x° + 18°), ¿cuál es el máximo valor entero que puede tomar “x”? 

a) 10 d) 13



a)    +  = 90° c)    -  = 90° e)    +  = 180°

b)    +  = -90° d)    +  = 270°

4. Del ggráfico ráfico,, se señale ñale lo co correcto rrecto::

b) 11 e) 14

c) 12

8. Si un ángu ángulo lo obtu obtuso so mide: (6x° + 120 120°), °), ¿cu ¿cuál ál es el máximo valor entero que puede tomar “x”? a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

9. Si un ángulo obt obtuso uso mide mide:: 4n° + 60°, ¿c ¿cuál uál es el máximo valor entero que puede tomar “n”? x

a) 27 d) 30

y

a) x + y = 300° c) x + y = 270° e) x - y = 18 180° 0° Organización Organizació n Educativa TRILCE

b) x - y = 300° d) x - y = 270°

b) 28 e) 31

c) 29

10.Si un ángulo mide:tomar 3n° +“n”? 24°, ¿cuál es el máximo valor entero agudo que puede a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22 15

 

11.Si en el gráfico   OP  es bisectriz del  A  Oˆ B ; calcular el complemento de “x”. “x”.  A

15.Si en el gráfico,   OP   es bisectriz del  A  Oˆ B ; calcular  “x/y””.  “x/y  A

P

3x + 2y x + 10º

P

x-y

2x - 10º

O

O

B

B

a) 20° d) 7700°

b) 30° e) 8800°

a) 4

c) 60°

12.Si en el gráfico   OQ  es bisectriz del  A  Oˆ B , calcular el suplemento de “x”. “x”.

 A

Q

d) -

b) - 4 1 4

e) -

1 4

c)

1 2

16.Si en el gráfico, OP   es bisectriz de  A  Oˆ B , calcular  “x/y””.  “x/y  A

x + 40º

P

3x - 2y 2x - 20º

O a) 60° d) 120°

B

b) 80° e) 140°

2x - 3y

c) 11000°

13.Si en el gráfico  A  Oˆ B  es agudo y “x” toma su máximo valor entero posible, calcular m A Oˆ C .

O a) 1 d) -

 A

  3x + 24º

B

2x + 10º C

O

a) 11224° d) 154°

b) 11334° e) 164°

C B

b) - 1 1 2

17.Del gráfico señale lo correcto, si:  OQ  es bisectriz del ˆB .  AO  A Q  B 

O

C

a) 2 -  = 90° c) 2 +  = 90° e) 2 +  = 45°

b) 2 -  = 180° d) 2 +  = - 90°

18.Del gráfico señale lo correcto, si:   OP  es bisectriz del ˆB .  AO

2x + 20º

B

x + 40º  A

O a) 69° d) 5566°

b) 79° e) 7766°

P



c) 89° C

a) c) e) 16

1 2

c)

e) - 2

c) 144°

14.Si en el gráfico  A  Oˆ B  es obtuso y “x” toma su mayor valor entero posible, ¿cuál es la medida de  A Oˆ C ?

B

2 -  = 360° 2 +  = 180° 2 +  = 360°

  O

  

A

b) 2 -  = 180° d) 2 +  = 360° Cuarto Año de Secundaria

 

19.Del gráfico, señale lo correcto:

20.Del gráfico, señale lo correcto:

B

D

 A

D

-40º



-60º 

C



C

O

O



 A

B

  = a)      + +   = 4500°° c) e)    +  = 90°

  =  -   = 140° 130° db))     -

E a)    +  = 30° c)    -  = 150° e)    -  = 30°

b)    +  = - 30° d)    -  = 30°

Tar area miciliar ari Tea areado domiciliaria domiciliar iaia Tarea domiciliaria 1. De acu acuerdo erdo al gráfi gráfico, co, señ señale ale lo ccorrec orrecto: to:

4. De acu acuerdo erdo aall gráfi gráfico, co, se señale ñale lo corre correcto: cto: 



a)    +  = 180° c)    -  = 180° e)    -  = 90°

 





b)    -  = 180° d)    +  = -180°

2. De acu acuerdo erdo al gráfi gráfico co seña señale le lo ccorrec orrecto: to:

a)    +  = 270° c)    -  = 270° e)    -  = 180°

b)    +  = 360° d)    -  = 270°

5. Del ggráfic ráfico, o, sseñale eñale lo ccorrec orrecto: to: y

a) x + y = 90° c) x - y = 90° e) x + y = 00°°

x

b) x + y = -90° d) y - x = 90°

3. De acu acuerdo erdo al gráfi gráfico, co, señ señale ale lo ccorrec orrecto: to:

x

a) x + y = 180° c) y - x = 180° e) x - y = 90 90°°

x

 

y

y

a) x + y = 90° c) x - y = 90° e) y - x = 18 180° 0°

6. Del grá gráfico fico,, hallar “x” en ffunció unciónn de “”.

b) x + y = 90° d) y - x = 90°

x 

a) 90° -  d) 90° +  Organización Educativa TRILCE

b) x + y = 180° d) x - y = 180°

b)    - 90° e) -90° - 

c) 180° -  17

 

7. Del grá gráfico fico,, halla hallarr “x” en func función ión de “”. 

a) 180° -  d) -180° - 

 A

O

c) 180° + 

x

a)    + 

b)    - 

d)  2-

e)

a) 90° -  -  b)    - 90° -  d)    +  - 90° e)    + 90° - 

 

x b)    +  - 90° d)    -  - 90°

4x + y M 2x + 3y B

O a) 13

b) - 13

 2 d) - 3

 3 e) - 2

 A

a) 180° -  + 

b) 90° -  - 

c) e) 90° 90° -+   +  +  

d) 180° +  + 

2x + y O

B

c) - 0,6

  ˆ , hallar la 15.Si en el gráfico   O M   es bisectriz del  AOB relación correcta.

C B M  A

18

 

b) - 0,4 e) - 0,8

  ˆ . 11.Del gráfico, hallar “x” si   O M  es bisectriz del  AOB  A

e) a + b

M

3x + 2y





 - 2

c)   32

  ˆ , calcular: 14.Si en el gráfico OM  es bisectriz del  AOB calcular : x/y..

a) 0,4 d) 0,6

x

d)

2

2

10.Del gráfico mostrado, hallar “x” en función de los otros ángulos.

b) b - a

c)   - 



c)    -  - 90°

9. Del gráf gráfico, ico, hal hallar lar “x” en fun función ción de los ootros tros áng ángulos. ulos.

a) a - b

B

  ˆ , calcular: x/y 13.Si en el gráfico  OM  es bisectriz del  AOB  A



O

M x-

8. Del grá gráfico fico,, hall hallar ar “x” en func función ión de “” y “”.

a)    -  - 90° c)    +  + 90° e)    -  + 90°

x-

x

b)    - 180° e) 90° + 



  ˆ . 12.Del gráfico, hallar “x” si  O M  es bisectriz del  AOB

x+a M x-b B c)

 - 2

a)    +  = 90° c)    + 2 = 180° e) 2 -  = 180°

 

O

b)    -  = 90° d)    - 2 = 180°

16.Si un ángulo agudo agu do mide: 3x + 18°, ¿cuál es el máximo valor entero de “x”? a) 20° d) 23°

b) 21° e) 24°

c) 22°

Cuarto Año de Secundaria

 

17. 17. Si un ángulo obtuso mide: 5x + 30°, ¿cuál es el máximo valor entero de “x”? a) 2277° d) 30°

b) 2288° e) 31°

  ˆ  es obtuso y “x” toma su 23.Señale el valor de “” si  AOB máximo valor entero posible.

 A

c) 29°

3x + 24º

x + 10º

18.Si un ángulo ángu lo llano mide: 3x + yy,, y un ángulo recto mide: 2x - y. Calcular: x/y a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

19.Si un ángulo llano mide: 5x - 10°, ¿cuál es el complemento de “x”? a) 4422° d) 72°

b) 5522° e) 76°

b) 4466° e) 76°

c) 62°

b) 1122° e) 20°

c) 122°

 A 2x + 20º B O D

c) 16°

3x

 C

c) 56°

21.Si un ángulo agudo mide: 3x -18°, además “x” toma su máximo valor entero posible, determine el complemento de “2x” “2x ”. a) 1100° d) 18°

b) 82° e) 132°

  ˆ  es agudo y “x” toma su 24.Señale el valor de “ ” si  AOB máximo valor entero posible.

20.Si 20. Si un ángulo recto mide: 3x + 18°, ¿cuál es el suplemento de “x”? a) 3366° d) 66°

B



C

a) 102° d) 112°

O

a) 4400° d) 78°

b) 6600° e) 58°

c) 8800°

25.Si 25. Si un ángulo mide: [x(4 - x)]°, y dicha medida es máxima, ¿cuál es el complemento de:  = (xx + x2x + x3x)°? a) 2° d) 5°

b) 3° e) 6°

c) 4°

22.Si un ángulo obtuso mide: 5x + 30°, además “x” toma su máximo valor entero posible, ¿cuál es el suplemento de “4x”? a) 4444° d) 74°

b) 5544° e) 84°

c) 64°

Organización Educativa TRILCE

19

 

Sistemas de medición angular I

3

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Objetivos:

 Así:

P • Rec Recono onocer cer lo loss sis sistem temas as de me medic dición ión an angul gular: ar: sexagesimal, centesimal y radial; así como sus unidades de medición. • Ope Operar rar co conve nvenien nienteme temente nte me medid didas as de áángu ngulos los expresadas en unidades diferentes, convirtiéndolos correctamente a una unidad común. • Opera Operarr la lass ssub-un ub-unidad idades es eexiste xistentes ntes en siste sistemas mas sexagesimal y centesimal.

r O

O: centro r: distancia de “O” a “P” (radio) 2r: longitud de la circunferenc circunferencia ia

 A

Sistemas de medición angular Dado los ángulos pueden medirse y compararse entr e entre ellos; que se crean diferentes formas de medirlos y diferentes sistemas de medición angular, entre los que destacan: sexagesimal, centesimal y radial; los cuales se definen de la siguiente manera:

arco

O B

 AB: arco  A

1. Siste Sistema ma sexa sexagesim gesimal al (o inglés inglés)) Unidad: 1° =

O

1 vuelta   1 vuelta = 360° 360

 Además: 1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’ 



B ˆ B : ángulo central  AO

Se define el radián como la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.

Observación:  = a°b’c’’ = a° + b’ + c’’ 

2. Siste Sistema ma cente centesimal simal (o ffrancés rancés)) r Unidad: 1g =  Además:

1 vuelta   1 vuelta = 400g 400

1g =

100m 

1m =

100s 

1g =

O r

 A



r B

10000s Si:  AB = r   = 1 radián

3. Siste Sistema ma radia radiall o circular (o int internacio ernacional) nal) Unidad: 1 rad   1 vuelta = 2rad Comentario: Se sabe que la reunión de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, determina una circunferencia y cualquier porción de ella se llama arco. Organización Organizació n Educativa TRILCE

Equivalencias fundamentales 1. Com Como: o: 36 360° 0° = 40 4000g = 2 rad  rad   180° = 200g =  rad ...... (1)

2. Com Como: o: 18 180° 0° = 20 2000g   9° = 10g ...... (2) 21

 

Conversión entre sistemas

3. 72° a cent centesi esimal males es

Es el procedimiento mediante mediant e el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro, es decir, cambiamo cambiamoss su unidad. Para convertir un ángulo “” en un sistema dado a otro sistema, se tiene que multiplicar por un factor de la forma: x  sistema que quiero y  sistema que no quiero

 = 72°; el factor sería: xg  sistema que quiero yº  sistema que no quiero

de (2): luego:

 = 72°. 10   = 80g 9 g

donde “x” e “y” son cantidades equivalentes. Por ejemplo, convertir: 1. 60° 60° a ra radi dian anes es  = 60°; el factor sería: x rad  sistema que quiero yº  sistema que no quiero

De (1):

xrad rad y  = 180

Consideración: Cuando se operan (suma o resta) ángulos expresados en grados, minutos o segundos en un mismo sistema; se operan independientemente; primero grados, luego minutos y después segundos, para finalmente simplificar. Por ejemplo, reducir:  = 2° 17’ 43’’ + 18° 32’ 14’’ + 25° 43’ 42’’ 

luego: rad



 Aquí, primero operamos independien independientemente: temente:

 = 60°. 180   = 3  rad

2.

40g a

 =

2° 18° 25°  = 45°

radianes

 = 40g; el factor sería: x rad  sistema que quiero yg  sistema que no quiero

luego:  = 40g.

rad

200g

10 g xg  = 9 y

  =

 5

 rad

17’ 32’ 43’ 92’

43’’ 14’’   42’’   99’’  

+

  = 45º + 93'  + 39’’ 

 = 45° + 92' + 99'' 60'' + 39'' 1'

60' + 33' 1º

 = 46° + 33’ + 39’’     = 46° 33’ 39’’ 

de Aprendizaje est de apr pren endizaje pr previo evio TTest 3. Exp Expres rese: e: Q = 14 1400g - 2 5 rad; en el sistema sexagesimal.

1. Comp Comple lete te:: "En el sistema sexagesimal su unidad es un grado sexagesimal, que se denota por ....................... ......................... y en el sistema radial su unidad es un radián denotado por .........................". 2. Asoci Asociee medi mediant antee flec flechas has::  = 2 rad

 7

22

4. Ex Expr preesa sa:: Q = 2º20' + 3º17' + 5º46' + 6º37'; en radianes.

circular

 = 20° 15’30” 

centesimal

 = 10 g 12m 75 s

sexagesimal

Cuarto Año de Secundaria

 

8. Del gráf gráfico, ico, calcu calcular lar "x".

5. Calc Calcul ular ar:: K = 2º3' 3'

B

 A 60

g

(10x + 4)°

C

6. Señ Señale ale el val valor or dde: e:  rad E  20 g 20

9. Si: x rad  (7 x  1)g  ¿cuál es el valor de "x"? 30

7. Señ Señale ale el val valor or dde: e:  rad

P 9 10 

10.Exprese 2 rad  en el sistema centesimal. 5

Pract iquemos

4. Ex Expr pres esee 40g en el sistema internacional.

1. Expres Expresar ar 40° en eell sistem sistemaa circu circular lar.. a) d)



10

 raad  r

2

b) e)

 40

c)

 9



18 2. Expres Expresee 50° en eell siste sistema ma circ circular ular.. 5 2 2 a)  raad  r b) c) 18 9 5 d)

e)

5



d)

 6

b) e)

 3

 ra  rad



e)

6

5. Ex Expr pres esee

b)

 4

c)

 5

 9

 6

a) 18° d) 3366°

 rad en el sistema sexagesimal. b) 24° e) 4422°

c) 30°

3

6. Ex Expr pres esee

30g en el sistema radial.

3. Expr Expres esee 5 a)  raad  r 18

a) d)

9



Practiquemos

3 20

c)

2 17

 9

a) 10° d) 2200°

 rad en el sistema sexagesimal. b) 12° e) 4400°

c) 18°





9

7. Ex Expr pres esee 4  rad en el sistema centesimal. a) 40g d) 50g Organización Educativa TRILCE

b) 36g e) 70g

c) 45g 23

 

8. Exp Expre rese se



10

 rad en el sistema centesimal.

16.Calcular: 

a) 10g d) 18g

b) 20g e) 36g

a) 1 d) 7

9. Expres Expresee 54° en eell sist sistema ema francé francés. s. a) 54g d) 70g

K= 3

c) 30g

b) 60g e) 72g

c) 63g

b) 81° e) 9966°

11.Reducir:  = 2° 40' 32'' + 3° 31' 52''

12.Reducir:  = 4° 17' 51'' + 8° 24' 17'' + 5° 32' 20''

b) 2 e) 5

c) 3

b) 61 e) 72

K= a) 21 d) 21,5

a-b K= c

b) 2 e) 5

c) 3

c) 62

1g10 m   m 10

b) 20,5 e) 33,5

 +

2 g30 m  

20 m

c) 2222,5

19.Sabiendo que:   rad = (3n + 1)°

18

  rad = (7m + 5) g n  2

Calcular: E = (m + n)m - n a) 27 d) 49

b) 81 e) 64

c) 729

20.Sabiendo que: 

12

14.Siendo: 18° 32' 41'' + 21° 14' 22'' + 3° 26' 12'' = a° b' c'' Calcular:

a) 1 d) 4

c) 5

18.Calcular:

b) 18° 14’ 26’’   d) 18° 14’ 28’’  

13.Siendo: 23° 41' 17'' + 17° 32' 56'' = a° b’ c’’  Calcular: a-b K= c-4 a) 1 d) 4

a) 23 d) 71

b) 6° 12’ 16’’   d) 5° 24’ 12’’  

a) 18° 16’ 32’’ c) 18° 16’ 28’’ e) 18° 16’ 26’’ 

b) 3 e) 9

K = 12'  + 23' 2' 3'

c) 7722°

a) 6° 12’ 34’’ c) 6° 12’ 24’’ e) 5° 12’ 24’’ 

6

17.Calcular:

10.Exprese 90g en el sistema inglés. a) 100° d) 8866°

rad - 20 g

 rad = (7n + 1)°



Calcular: a) 5 d) 49

g

2n   6  rad = (7m - 1)

E = (m + n) 2n - m b) 7 e) 125

c) 25

15.Calcular: 

K = 12

a)

1

3 2 d) 5 24

b)

1

9 3 e) 5

rad   5 100 g c)

2 9

Cuarto Año de Secundaria

 

AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret eto o TRILCE...! 1. Se sabe qque ue en todo ttriángu riángulo, lo, la sum sumaa de medid medidas as de sus ángulos interiores es igual a 180°.

Según esto, en el gráfico calcular el valor de “x”. (“O” centro)  A

 

 +   +  = 180°



Si tuviéramos un triángulo donde sus ángulos interiores miden: (20x)g; (17x)° y

x 18

 rad

E = x  5  - 1 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

C

B

a) 1 d) 7

Calcular el valor de:

O (8x-2)º

b) 3 e) 9

c) 5

4. Del gr gráfic áficoo cal calcular cular “x” “x”,, si A Oˆ B  es una porción de círculo de centro “O” “O ”, llamado se sector ctor circul circular ar..

c) 3

 A

2. En un trián triángulo gulo su suss ángul ángulos os inte interiores riores m miden: iden: g

 160 x  g

O

  ; (14x)° y x  rad 6   9  

3xº

(10x)

Calcular:

B

( x 2 )x' E= x' a) 161 d) 22111

b) 151 e) 22331

a) 16 d) 21 c) 181

 A

K=

3y - 2x 6

B

C 5yg D

3xº O

A

P

2



c) 20

5. Del ggráf ráfico ico,, cal calcul cular: ar:

3. En geom geometría etría se ddefine efine al ángulo iinscri nscrito to como aaquel quel que tiene su vértice sobre una circunferencia (ver figura), cumpliéndose que el arco que subtiende mide el doble del ángulo; mientras que un ángulo central subtiende un arco de medida igual al ángulo, esto debido a que los arcos van a tener dos tipos de medición: angular y lineal.

O

b) 18 e) 15

 

B

Organización Educativa TRILCE

O





a) 20 d) 15

b) 10 e) 40

c) 30

Q

25

 

Tarea domiciliaria Tar area ea do miciliar ariia 1. Señal Señalee el equiv equivalente alente ddee 54° en el sist sistema ema cent centesimal esimal.. a

)

d)

1

g 40g 0

b) 20g e) 60g

c) 30g

2. Señ Señale ale eell equ equival ivalent entee de 4400g en el sistema sexagesimal. a) 18° d) 45°

b) 27° e) 54°

c) 36°

3. Seña Señale le el equiva equivalent lentee de 15° en el sistema inter internacio nacional. nal.   ra  rad a) 12 d)  4

 b) 10 e) 

c) 6

3

4. Señ Señale ale el el equ equiv ivale alente nte de de 50g en el sistema circular. ci rcular.

9. Conv Conver erti tirr 80g al sistema radial. a   43 rad

b)   49

d) 25

e) 35

c)   45

10.Convertir 100g al sistema sexagesimal. a) 190º d) 90º

b) 130º e) 100º

c) 140º

11.Reducir:  = 6° 23’ 46’’ + 8° 57’ 32’’  a) 1166° 21’ 17’’ c) 14° 20’ 18’’ e) 16° 21’ 18’’ 

b) 17° 51’ 16’’   d) 15° 21’ 18’’  

12.Si: 5° 37’ 54’’ + 8° 42’ 26’’ = a° b’ c’’; calcular: a) 6  r  raad

b) 5

d) 3

e) 2

5. Convi Convierte erte 40º aall si sistema stema radial radial.. a) 5 rad d) 9

b) 29 e) 59

c) 27

b) 27º e) 30º

c) 28º

7. Conv Conver erti tirr  rad  al sistema centesimal. 10 a) 20g d) 10g

b) 30g e) 15g

a)   73

b)   47

d)   58

e)   57

13.Hallar:

c) 18g

a) 41 d) 71

d)  20

26

 b) 10 e) 2

b) 51 e) 81

14.Calcular:

a) 60 d) 71

c) 61

P  5º5' 5' b) 61 e) 51

c) 62

15.Hallar:  ra d  4 0 g

8. Conv Convertir ertir 18 18°° al siste sistema ma circu circular lar.. a) 9  r  raad

c)   49

C = 333' '

3 rad al sistema sexagesimal. 6. Conv Conver erti tirr 20 a) 25º d) 26º

E = a  cb  1

c) 4

E= 3 c) 7

a) 10 d) 14

b) 12 e) 16

8

c) 13

5

Cuarto Año de Secundaria

 

22.En un triángulo dos de sus ángulos miden m iden 70g y 100°. ¿Cuánto mide el tercero?

16.Hallar:

50   rad 6 K= 10  a) 4 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

17.Calcular:

  rad a) 17 180  ra 27 d) 180

23 c) 180

 b) 19 180  e) 300

23.Sabiendo que:  rad  60º

 V  2

10g

b) 53

3 a) 10 d) 20 3

 Además: c) 50 3

e)   40 3

Calcular:

a + b + c = 63 x°y'z'' = a°b'c'' + b°c'a'' + c°a'b'' J=

a) 1 d)   2

18.Calcular:  rad  110 g  9º 20 g   r a d

P 6

z 1

x y

b) 2 e)   3 2

c) 3

24.Del gráfico, calcular “x” “x”..

 A

2

23 a) 18 d) 13 9

b) 18 23 e) 23 9

(7x+1)º 16xgg O 16x B

19.Calcular “x”, si:  rad (3x - 2)° = 18

a) 1 d) 4

P

c) 1

b) 2 e) 5

c) 3

a) 3 d) 9

b) 5 e) 10

c) 7

25.Del gráfico, calcular:  3y-2x 10

E=

20.Siendo:  rad = (2x - 4)° 30 C

o

n

v

i

e

r

t

a

a

 rad a) 20 d)  4

r

a

d

i

a

n

e

s

"

x

3xº 5yg

g".

 b) 40

 c) 80

 e) 10

a) 6 d) -3

b) -6 e) 5

c) 3

21.En un triángulo dos de sus ángulos miden  /18 rad y 100g. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo? a)   43 rad

b)   45

d)   49

4 e)   11

Organización Educativa TRILCE

c)   47

27

 

Sistemas de medición angular II

4

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Objetivos: am.an = am+n - Rec Recono onocer cer llaa fórmula fórmula ge gener neral al de cconv onvers ersión ión y usarl usarlaa convenientemente en los problemas que involucran número de grados sexagesimales (S), (S) , número de grados centesimales (C) y número de radianes (R) que contiene un ángulo. - Inte Interpre rpretar tar ccorre orrectam ctamente ente los prob problemas lemas de eenunc nunciado iado literal, para su posterior resolución.

m

a b

am a

n

 = am - n

m

m

a

 m

b

 =

ab  = m a . m b

2. Pro Produc ductos tos nota notable bles: s: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Conceptos previos I (Elementos de aritmética)

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

1. Prop Proporc orción ión geom geométr étrica ica

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

Es la igualdad entre dos razones geométricas, siendo una razón geométrica la comparación mediante la división de dos magnitudes.

3. Fac Factor toriz izaci ación: ón: - Agrupam amiiento: to: * A = ax + bx

Si por ejemplo: a  = razón geométrica = q1 b c  = razón geométrica = q2 d

Si: q 1  = q2   

* B = a2b + ab2

c a   =   esta es una proporción d b

geométrica. Esta relación se entiende como: “a” es a “b” como “c” 

* C = ax + bbxx + ay + bbyy

es a “d” o también como: “a” y “b” están en la relación de “c” ase “d”entiende cumpliéndose: a  bk   c  dk 

-

c a  =  = k  d b

-

a c   d c a  b  =  =  c-d a-b b d

- Aspa simple: * A = x2 + 5x + 6

Conceptos previos II (Elementos de álgebra)

* B = x2 - 2x - 3

1. Teor Teoría ía de expo exponent nentes es am = a.a.a....a      

"m" veces

(am)n = amn Organización Organizació n Educativa TRILCE

m n

2

* C = x  - 4x - 5

a

a mn

n m

 =

a

 = m n

a 29

 

- Po Porr pr prod oduc ucto toss no nota tabl bles es:: *

x

2 - y2 = (x + y)(x - y)

* x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)

- Co Conv nver ertitirr 40 40°° al ssis iste tema ma rrad adia ial.l. Tenemos: S = 40  R  Como: S R  40 R   =   = 180 180  

* x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)

2  = R  9

Fórmula general de conversión Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto, tenemos el ángulo “” y sus medidas son:

2  40° =   rad 9

2. En prob problem lemas as de simpl simplific ificació ación: n: Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:



Sº  en el sistema sexagesimal Cg  en el sistema centesimal R rad  en el sistema radial

La fórmula de conversión es:

E= Como:

S  9k  C S  =  = k  C  10k  10 9 

S C R   =  = 180 200 

como:

S S C C  =   = 10 200 180 9

Luego: E=

Núm Número ero de minutos minutos sex sexage agesim simale aless = 60 S Núm Número ero de ssegu egundo ndoss se sexag xagesi esimal males es = 360 36000 S Núm Número ero de m minu inutos tos ce cente ntesim simale aless = 100 C Núm Número ero de ssegu egundo ndoss ccent entesi esimal males es = 100 10000 00 C

Uso de fórmulas 1. Par Paraa con conve versi rsión: ón: - Con Conver vertir tir 54° al sis sistem temaa cent centesi esimal mal:: Tenemos: S = 54   C Como: S C 54 C  =  =  10 9 10 9 60 = C  54° = 60g

30

3(9k ) - 2(10k ) 27k - 20k  7k   =  = 10k - 9k  k  k 

E =7

cumpliéndose además que: -

3S - 2C C-S

3. En probl problemas emas de int interpr erpretac etación: ión: Siendo “S” y “C” lo conocido para un mismo ángulo, tal que: S = n + 1 y C = n + 3, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? Como: S  9k 

S = n + 1 y C = n + 3     C - S = 2 C  10k   Luego: S  18 10k - 9k = 2     k = 2 C  20  por lo tanto el ángulo mide 18°

Cuarto Año de Secundaria

 

de Aprendizaje TTest est de aprendizaj dizaje e pr previ evio o 1. Comp Complete lete corr correcta ectamente mente:: S   C  R  180 si “S”, “C” y “R” son los números de grados sexagesimales, grados centesimales y de radianes de un

6. Comp Complete lete cor correct rectamen amente te S   C  R  9

mismo ángulo.

2. Siend Siendoo "S" y "C" lo cconoci onocido do para un áángulo ngulo nnoo nulo; calcular: L=

  3C CS

E



4S

3. Siend Siendoo "S" , "C" y ""R" R" lo cono conocido cido pa para ra un áng ángulo ulo no nulo; señale el valor de: L

7. Calc Calcul ular ar::

SC 19R 

4. Señale la medid medidaa sexa sexagesimal gesimal ddee un ángulo que cu cumple: mple: 2S - C = 16 siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo.

C C

 

S S

8. Hallar la me medida dida se sexagesi xagesimal mal de un án ángulo gulo qu quee cumple cumple:: 2C - S = 22

9. Calc Calcul ular ar::

P  CS  CS

5. Señal Señalee la medid medidaa radia radiall de un án ángulo gulo qu quee cumpl cumple: e: C-S=4 siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo.

Organización Educativa TRILCE

10.Reducir: P



C2 C (C





S2 S)

31

 

Pract iquemos

Practiquemos

1. Dos núm números eros es están tán en la rrelaci elación ón de 2 a 3. SSii su suma es 20, ¿cuál es el mayor de los números? a) 8 d) 15

b) 12 e) 14

c) 16

2. Dos núm números eros es están tán en la rrelaci elación ón de 3 a 4. SSii su suma es 21, ¿cuál es el menor de los l os números? a) 6 d) 12

b) 3 e) 8

c) 9

3. Si la su suma ma de dos número númeross es al m mayor ayor ccomo omo 7 es a 5, ¿cuál es la relación entre el mayor y el menor de los números? a) d)

3 2 7

b) e)

3

4 3

c)

5 2

8

7. Sabi Sabien endo do que: que: 34

2  =   6 4  a ¿cuál es el valor de “a”? a)

1 2

b)

1 3

d)

1 6

e)

1 8

4. Si la dif diferenc erencia ia de dos número númeross es al me menor nor como 8 es a 3, ¿cuál es la relación entre el mayor y el menor de los números?

ab

32  = ¿cuál es el valor de “a”? a)

1 3

b)

d)

11 3

10 c) 3

9 b) 2

e)

17 6

5. Sabi Sabien endo do qu que: e:

d)

1 2

6. Sabi Sabien endo do qu que: e:

e)

c) 3

4 d) 5

5 e) 4

c) 3

(3a  b) 2  (a - 3b) 2  

a2  b 2

b) 3 e) 10

c) 5

a) 1 d) 7

(2a  b) 2  (a - 2b) 2

b) 3 e) 10

 

a2  b 2

c) 5

11.Reducir:

x 2 - 4x - 5 x 2 - 3x - 4  E= x-5 x 1

¿cuál es el valor de “a”?

32

a) 2 d) 7

E=

(34a)3 = 275

2 b) 3

2 3

10.Simplificar:

1 3

1 a) 4

27

9. Si Simp mplif lific icar ar::

(23a)4 = 42

¿cuál es el valor de “a”? a) 1 b) 2

b

e) 53

E= 7 a) 3

1 4

8. Sabi Sabien endo do que: que:

d) 43

5

c)

3 c) 5

a) 1 d) 3

b) -1 e) -5

c) -3

12.Reducir: E= a) 1 d) 4

x 2  3x  2 x 2  4 x - 5  x 5 x 1 b) 2 e) 5

c) 3

Cuarto Año de Secundaria

 

13.Señalee el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal. 13.Señal a) 18° d) 3366°

b) 20° e) 4422°

c) 24°

E=

14.Señale el equivalente de 72° en el sistema centesimal. a) 80g d) 90g

20.Siendo “S”, “C” y “R” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

b) 70g e) 86g

a) 1

2 S - 30R  C  20R 

b) 2

c)

c) 60g d)

3 2

e)

2 3

4 3

15.Señale el equivalente de 48° en el sistema radial. a)



15

 raad  r

4 d) 15

b)

2 15

d)

7

 5

E=

7 e) 15

16.Señale el equivalente de 7  rad  ra a) 10

c)

21.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

70g en el sistema

12

7

4S - 3C E= C-S

b) 4 e) 10

c) 6

18.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 3C - 2S E= C-S

a) 6 d) 8

d)

1 20

b) 12 e) 16

c) 18

19.Siendo “S”, “C” y “R” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E=

a)

7 8

b)

7 6

d)

9 5

e)

9 8

C - 20R  S - 20R 

c)

c) 20

22.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E= a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

4 C 2  10S 2 2C 2 - CS

c) 7

23.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, tales que: S = x + 2 y C = x + 3, ¿cuál es el valor de “x”? a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

24.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, tales que: S = 3x + 1 y C = 2x + 3, ¿cuál es el valor de  “x”??  “x” 5 14 17 a) b) c) 12 13 6 d)

17 12

e)

17 15

25.Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n + 1 y C = n + 4; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. 9 7

a) 18° d) 1155°

b) 9° e) 3366°

c) 27°

26.Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n - 1 y C = n + 1; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 10° d) 3366°

Organización Educativa TRILCE

1 10

C 2  CS

e) 40

15

17.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

a) 2 d) 8

b)

radial.

7 c) 9

7 b) 20

e)

a) 10

C2 - S2

b) 9° e) 5544°

c) 18° 33

 

27.Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 2n + 1 y C = 3n - 16; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) g d) 40g 1

0

b) 20g e) 50g

c) 30g

28.Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 7n + 1 y C = 8n; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) d)

10g 40g

b) e)

20g 50g

c)

30g

29.Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimaless que contiene un ángulo es a 5, como 19 sexagesimale es a 3, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 10° d) 2211°

b) 15° e) 2244°

31.Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la diferencia de los mismos números, como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? a) d)

 20

 ra  rad



b) e)



18

c)

 30

 180

60

32.Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la suma de los mismos números, como su número de grados centesimales es a 152. ¿Cuál es la medida radial del ángulo? a)

c) 18° d)



50

 ra  rad



15

b) e)



25

c)



10



28

30.Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? da)

g 1405g

eb)

g 275g

g

c) 35

de Aprendizaje ATest cept epta a el ret eto o TRILCE...! 1. Se def define inenn las operac operacion iones: es:

3. Señal Señalee la medi medida da en rad radianes ianes de un ángu ángulo lo que cu cumple: mple:

a   b =

a b

(C + S)(C3 - S3) - (C - S)(C3 + S3) = 6(SC2 - S3)

a  b = 2a - b Según lo anterior, halle la medida circular del ángulo que cumple: S   C =

S  C 80

siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. 3  rad  ra a) 20

d)

11 20

7 b) 20

e)

9 c) 20

2 15

(2S + C)2 + (S - 2C) 2 = 181C siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.

34

b) 20g e) 50g

3 a) 10  ra  rad d)

2 5

c) 30g

3 b) 20

e)

3 c) 200

7 200

4. Si el núme número ro de gra grados dos sex sexagesi agesimales males de uunn ángul ángulo, o, con el número de grados centesimales de su complemento suman 94. ¿Cuánto mide el ángulo? a) 18° d) 3366°

2. Señale la medida centesimal de un ángulo que cump cumple: le:

a) 10g d) 40g

siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.

b) 60° e) 3300°

c) 54°

5. Si el número de grados ccentesimales entesimales de un ángulo, con el número de grados sexagesimales de su suplemento; se diferencian en 48. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 100° d) 108°

b) 90° e) 120°

c) 9966°

Cuarto Año de Secundaria

 

Tarea domiciliaria Tar area ea do miciliar ariia 1. Si la suma de dos nú números meros eess 28, ade además más los nú números meros están en la relación de 3 es a 4. Calcular el mayor número. a) 12

b) 15

b) 42 e) 68

b) 91 e) 137

c) 117

4. Si la suma ddee dos núme números ros es a su ddiferen iferencia cia como 1188 es a 17. ¿Cuál es la rela relación ción entre los númer números? os? (menor a mayor) 1 1 a) 25 b) 25 c) 15

1 d) 35

e) 35

5. Redu Reduci cir: r: 2 2 C  (x  y)- x - y 4xy

2

a) 2

b) 4

c)   12

d) 1

e) 3

6. Redu Reduci cir: r: 2

       

F a1 a

a) 4 d) 1 7. Facto actori riza zar: r:

8. Facto actori riza zar: r:

- a-1 a

b) 8 e) a + a-1

2

c) 16

I = x4 + 2x3 + 3x6

a) x3 c) x3 (3x3 + x + 2) e) x(x - 2)

ad) x + 4

b) x3 (x + 2) d) x2 (x + 2)

be) 24x + 4

c) 2x

10.Reducir: 2 x  4 x - 77 x 2  x - 42  A   (x - 7)(x 7) 

c) 48

3. Dos nú números meros es están tán en la relaci relación ón de 5 a 113. 3. Si una excede al otro en 72, ¿cuál es el mayor? a) 104 d) 124

2 2 Z  x - x - 6  x  3 x - 10 x-3 x5

c) 16

d) 18 e) 20 2. Dos nú números meros sson on ent entre re sí co como mo 3 es a 88.. Si la su suma ma de ambos es 154, dar el meno menorr. a) 36 d) 52

9. Re Redu duci cir: r:

a) 11 d) 2x

b) 6 e) x

c) 17

11.Usando la fórmula general de conversión, exprese 72° en el sistema centesimal. a) 70g d) 66g

b) 80g e) 92g

c) 90g

12.Usando la fórmula general de conversión, exprese 60° en el sistema radial.  rad a) 5  ra

b) 4

d) 3

e) 9

c) 6

13.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = 3C-S C-S a) 11 d) 23

b) 17 e) 24

c) 21

14.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = 5S-2C C-S a) 10 d) 25

b) 15 e) 35

c) 20

15.Siendo “S”, “C” y “R” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: S-20R  E = C-40R 

2

 Y = x  - 10x + 21 a) (x - 3) (x - 7) b) (x + 3) (x - 7) c) (x - 7) (x + 3) d) (x + 3) (x - 1) e) (x + 2) (x - 2) Organización Educativa TRILCE

a) 1 d)   12

b) 2 e) 13

c) 3

35

 

16.Siendo “S”, “C” y “R” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: C-30R  E = 2S-80R  a) 1,7 d) 3,4

b) 1,6 e) 3,7

c) 3,2

17. 17. Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo, tal que: S = 7x + 1 y C = 8x, ¿cuál es el valor de “x”? a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 e) 6 18.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo, tal que: S = n + 1 y C = n + 2, ¿cuál es el valor de “n”? a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

19.Señale la medida sexages sexagesimal imal de un ángulo que cumple: S = 3n + 6 y C = 4n + 2; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 18°

b) 25°

c) 27°

d) 36° e) 30° 20.Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: S = 2n + 1 y C = 3n - 2; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 5° d) 8°

b) 6° e) 9°

c) 7°

22.Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 6, ¿cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 40g d) 70g

b) 50g e) 80g

c) 60g

23.Si el triple del número de grados centesimales de un ángulo, excede al doble de su número de grados sexagesimales en 24, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 16° d) 40°

b) 18° e) 48°

c) 36°

24.Si el número de grados sexagesimales de un ángulo, con el número de grados centesimales de su complemento, suman 96. ¿Cuál es la medida radial del ángulo? a) 3  ra  rad

b) 4

d) 6

 e) 10

c) 5

25.Señale la medida circular de un ángulo si su número de grados centesimales excede al número de grados sexagesimales de su suplemento en 48. a) 5  ra  rad  d) 11 10

b) 35 7 e) 10

c) 34

21.Si la suma de los l os números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo es igual a 95, ¿cuál es la medida sexagesimal de dicho ángulo? a) 30° d) 50°

36

b) 40° e) 60°

c) 45°

Cuarto Año de Secundaria

 

Sistemas de medición angular III

5

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Objetivo: - Ampl Ampliar iar las apli aplicacio caciones nes de los criterios criterios ddee conve conversión rsión ent entre re siste sistemas mas de medic medición ión y el uso de la fórmu fórmula la genera generall de conversión, a problemas de nuevas características y de mayor grado de dificultad.

Pract iquemos   Practiquemos 1. Expr Expres esee 15g en el sistema sexagesimal. a) 13°30’ d) 15°30’

b) 14°30’ e) 12°30’  

c) 15°

2. Expr Expres esee 25g en el sistema sexagesimal. a) 19°30’ d) 26°30’

b) 22°30’ e) 18°30’   

3. Exp Expre rese se

48

8. Ex Expr pres esee

 11

 rad en el sistema sexagesimal.

a) 15°21’49’’ d) 15°20’49’’ 9. Sabi Sabien endo do que: que:

c) 24°30’  



13  rad = 1a  b 0' 4 c ' ' calcular:

 rad en el sistema sexagesimal.

a) 2°30’ d) 3°30’

b) 2°45’ e) 3°15’  

c) 3°45’  

E= a)

2 3

b)

d) 2 

4. Exp Expre rese se

72

 rad en el sistema sexagesimal.

a) 2°45’ d) 2°30’

b) 3°15’ e) 3°30’   

5. Exp Expre rese se

80

b) 2g15m e) 2g50m

b) 3g15m e) 2g75m

10.Sabiendo que: 2  rad = 5a  2 b' 4 c ' ' 7

calcular: E = a  b

c) 2g20m

c

a) 1

b) 2

d) 4

e)

7. Exp Expre rese se

17 a) 10°35’16’’ d) 11°36’15’’

b) 10°35’18’’ c) 11°17’42’’   e) 11°36’42’’ 

Organización Organizació n Educativa TRILCE

3 2

2C - S = 44

c) 3g75m

 rad en el sistema sexagesimal.

c) 3

11.Señal e la medida circular de un ángulo cuyo número de 11.Señale grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen:

a) 

c) 1

e) 3

c) 2°15’  

3  rad en el sistema centesimal. 160

a) 3g25m d) 3g45m

a  b c

4 3

 rad en el sistema centesimal.

a) 2g30m d) 3g40m 6. Exp Expre rese se

b) 16°20’49’’ c) 16°21’49’’   e) 16°30’46’’ 

 2

d) 6

 ra  rad

b)

 4

c)

 5

e) 9

37

 

12.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 3S - C = 34 siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) d)



10

 raad  r



b) e)

9

 36

c)

 20

d)



10

 raad  r



b) e)

60

45

d)

 20

c)

40

 raad a) 11  r d)



d)





b) 22

c) 33

e)

44



55

 5

 raad  r

2 d) 5

b) e)

 3

c)

2 3

d)

a) d)

38

 20

 5

 ra  rad

b) e)



10

c)

b) e)

8



c)

5

 6

 9

 9

 ra  rad

 36

b) e)



10

c)



18

 20

4 19

2 b) 19

e)

c) 19 3

5 19

20.Señale la medida radial de un ángulo, si la suma de los números que representan su medida en los tres sistemas conocidos es igual a la suma de los números que representan su complemento en los mismos sistemas.

9

16.Si la media geométrica de los sexagesimales y centesimales quenúmeros contienede un grados ángulo es igual a 9 10 , ¿cuál es la medida circular del ángulo?



  ra a) 19  rad

a)



4

 ra  rad

19.Señale la medida radial de un ángulo, si el número que representa su complemento en centesimales es igual a su número de grados sexagesimales.

d)

15.Si la media aritmética de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo es igual a 76, ¿cuál es la medida circular del ángulo? a)

a)



50



18.Si 18. Si la diferencia de los números de segundos centesimales y segundos sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 135200, ¿cuál es la medida circular del ángulo?



14.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 2C - S + 22R = 13,1416 siendo “S”, “S”, “C” y “R” lo conocido para dicho ángulo. 

a)



13.Señale la Cmedida circular de un ángulo que cumple: - S + 20R = 4,1416 ( = 3,1416) siendo “S”, “S”, “C” y “R” lo conocido para dicho ángulo. a)

17 17.. Si la suma de los números de minutos sexagesimales y minutos centesimales que contiene un ángulo es igual a 6160, ¿cuál es la medida circular del ángulo?

 2

 5

 ra  rad

b) e)



c)

4

 8

2 5

3 20

2 5

Cuarto Año de Secundaria

 

AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret eto o TRILCE...! 1. En Álgeb Álgebra ra se defi define ne una fun función ción lla llamada mada log logaritmo aritmo de  “x” en base “b” “b”,, denotado por “logbx” y se define por:

3. Señale llaa medid medidaa circu circular lar de un áángulo ngulo qque ue cump cumple: le: S3  S2  S

logbx = n  x = bn; b > 0, b  1

C3  C2  C

 = 0,9

cumpliéndose además que: logbx1 + logbx2 = logb(x1.x2)

siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.

según lo anterior, anterior, halle la medida radial de un ángulo que cumple:

a)

logS + logC = 1 (obs.: log10x = logx) siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a)

 30

 raad  r



d)

b) e)

 60

c)





d)



1   1     1      1   ...1  1   1  1     S   S  1   S  2    S  5 

30

 6

 raad  r

b) e)

 3

d) -

c)

d)

Organización Educativa TRILCE

190

e) -



380

c)

 190



570

 60

 3

 ra  rad

 6

b) e)

 4

c)

 5

 9

5. Se tiene tienenn dos án ángulos gulos ccomplem omplementari entarios os tales que la suma del número de minutos sexagesimales de uno con el número de segundos centesimales del otro ot ro es igual a 104860. ¿Cuál es la medida circular del menor de los ángulos? a)

7  ra  rad 20

b)

d)

7 10

e)

 45



b) -

4. Si el núme número ro de gra grados dos sex sexagesi agesimales males de un áng ángulo ulo es al número de grados centesimales de su suplemento como 9 es a 40, ¿cuál es la medida circular del ángulo? a)

siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a)

380

 ra  rad

180

150 540 2. Señal Señalee la medid medidaa circu circular lar de un áángulo ngulo qque ue cump cumple: le:

10  = C



9 20

c)

9 10

 20

39

 

T areadom iciliaria    rad en el sistema 1. Seña Señale le eell eq equiva uivalente lente de 40 sexagesimal.

a) 4° 15’ d) 3° 75’

b) 4° 30’ e) 44°° 75’  

c) 3° 15’  

9  rad en el sistema cen2. Señ Señale ale el el equ equiva ivalen lente te de 400 tesimal. a) 3g 45m d) 4g 50m

b) 3g 50m e) 5g 25m

c) 4g 20m

3   rad en el sistema 3. Señal Señalee eell equival equivalente ente de 11 sexagesimal. a) 49° 5’ 27’’ c) 4499° 12’ 27’’ e) 52° 17’ 32’’ 

b) 4499° 17’ 36’’   d) 51° 19’ 37’’  

4. Señal Señalee eell equival equivalente ente de 37   rad en el sistema sexagesimal. a) 73° 14’ 18’’ c) 77° 8’ 34’’ e) 81 81°° 77’’ 442’ 2’’ ’ 

b) 76° 18’ 24’’   d) 69° 26’ 4’’  

5. Sien Siendo do::

2  rad = 2a 4b' 3c' 3c''' 13 calcular: E = (a + b) ÷ c a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

6. Señal Señalee la medida ccircula ircularr de un ángu ángulo, lo, si el do doble ble de su número de grados centesimales es mayor que su número de grados sexagesimales, en 33. a)  rad

20

d) 3

3 b) 20 2 e) 11

c) 5

7. Señal Señalee la medid medidaa radia radiall de un ángu ángulo lo que vverific erifica: a:

2C-S C-S  14R  1

40

siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) 3  ra  rad

b) 4

d) 6

e) 8

c) 5

8. Señal Señalee la medid medidaa circu circular lar de un áángulo ngulo qque ue cump cumple: le: 2S - C + 20R = 11,1416 Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo. ( = 3,1416)  rad a) 10 d)  40

 c) 20

b) 5  e) 60

9. Señal Señalee la medida ci circula rcularr de un ángul ángulo, o, sabie sabiendo ndo que la suma de los cuadrados de sus números de grados sexagesimales y centesimales, es al producto de dichos números como 362 veces el número de radianes es a 45. a)  2 rad

b) 4

d) 6

 e) 12

c) 3

10.Señale la medida circular de un ángulo; sabiendo que la suma del producto de su número de grados centesimales con el cuadrado de su número de grados sexagesimales y el producto de su número de grados sexagesimales con el cuadrado de su número de grados centesimales; es igual a 38/  veces su número de radianes.  rad a) 36  d) 3600

 b) 360  e) 600

 c) 720

11.Señale la medida radial de un ángulo, si el doble de su número de grados sexagesimales excede a su número de grados centesimales, en 16.   ra  rad a) 18  d) 36

 b) 20  e) 72

 c) 10

Cuarto Año de Secundaria

 

12.Señalar la medida circular de un ángulo que cumple: 3C-2S  6R   2S-C 5 siendo "S", "C" y "R" lo conocido.  rad a) 4  ra

b) 2

d) 32

e) 54

c) 34

18.Señalar la medida circular de un ángulo que verifica: S 3   C 3   20R 3  S2  C 2  R 2  9 10

Siendo "S", "R" y "C" lo l o conocido para dicho ángulo.  rad a) 2  ra d) 6

13.Señale la medida radial de un ángulo que cumple: 3S - 2C + 35R = 7,1416 Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo.   = 3,1416)

 b) 20 1 e) 20

c) 5

19.Señale la medida centesimal de un ángulo sabiendo que el cuádruple de su número de grados sexagesimales es mayor en 217 que la mitad de su número de grados centesimales.

(

a) 5  ra  rad

b) 7

 d) 21

 e) 60

 c) 35

14.Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo, es al producto de dichos números; como 38 veces su radial delnúmero ángulo.de radianes es a 135, señale la medida a) 4  ra  rad

b) 2

d) 32

e) 34

c)   

15.Señale la medida radial de un ángulo sabiendo que el producto de los números que representan su medida en los tres sistemas conocidos, es igual a  /6. a) 3  ra  rad

b) 5

c) 6

d)  e)  60 30 16.Sabiendo que la suma de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, es a su diferencia; como 38 veces su número de radianes es a . ¿Cuál es la medida circular de dicho ángulo?  rad a) 2  ra

b) 3

d) 6

e) 5

c) 4

número dedel minutos centesimal ángulo.centesimales. Señale la medida b) 5m e) 27m

Organización Educativa TRILCE

b) 40g e) 70g

c) 50g

20.Sabiendo que el número de grados centesimales que contiene un ángulo excede a su número de grados sexagesimales en 8, ¿cuánto mide el ángulo en radianes? a) 4  ra  rad

b) 3

d) 25

 e) 10

c) 5

21.Señale la medida circular de un ángulo que satisface la siguiente condición:

S  +   C  + 20R   = 1  10 9  rad a) 100  d) 200

 b) 150  e) 250

 c) 180

22.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 1  - 1  = 1 S C 400 a) 29  ra  rad d) 76

b) 34 e) 92

c) 53

23.Señale la medida circular de un ángulo que verifique:

17. 17. Si la suma de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, es igual a 19 veces su número de grados sexagesimales dividido entre su

a) 3m d) 18m

a) 30g d) 60g

c) 9m

           

n  1 1 1 1 1  1 ... S  C  C  1 C  2      "n" términos

siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

n  ra  rad a) 180 n d) 360

n b) 1800 n e) 720

n c) 3600

41

 

24.Si la diferencia dife rencia de los números de minutos centesimales y minutos sexagesimales que contiene un ángulo es igual i gual a 460, ¿cuál es la medida circular del ángulo?   ra  rad a) 18  d) 30

42

 b) 10  e) 36

 c) 20

25.Si la suma de los números de minutos sexagesimales y segundos centesimales de un ángulo es igual a 402160, ¿cuál es la medida circular del ángulo?  rad a) 4  ra

b) 5

d) 9

e) 6

 c) 10

Cuarto Año de Secundaria

 

Cálculo de la longitud de un arco

6

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Objetivos:

- Cá Cálc lculo ulo de llaa lo long ngit itud ud d dee un aarc rco o

- Rec Recono onocer cer qque ue lo loss arc arcos os tie tienen nen ddos os tip tipos os de me medic dición ión:: angular y lineal. - Dib Dibuja ujarr corr correct ectame amente nte un ssect ector or circul circular ar y rec recono onocer cer sus elementos. - Cal Calcul cular ar co corre rrecta ctamen mente te la lo longi ngitud tud de uunn arco y ap aplic licar ar la fórmula de manera eficiente a la resolución de ejercicios de interpretación y aquellos que contienen gráficos.

Conceptos previos - Cir ircu cunf nfer eren enci ciaa Conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A la distancia común del centro a los puntos del plano que verifican lo anterior se le denomina radio de la circunferencia.

P r C

(C; P) =

O R 

P

 rad L

R 

Q

L = R  Note que el ángulo central debe estar expresado en radianes; y que en la gran mayoría de ejercicios se toma como referencia al sector circular que limita el ángulo central y el arco correspondiente; por ello en los ejercicios sólo se dibujará el sector y no toda la circunferencia. Por ejemplo, calculemos la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 30° en una circunferencia de 18 cm de radio.

r: radio d

R 

- Trazamos   OP  y OQ , cuya longitud longit ud es igual a ““R” R”. ”. ˆ - Sea m P OQ  =  rad ... (en radianes) - Lu Lueg egoo la lo long ngit itud ud de PQ es “L” y se calcula así:

(Elementos de geometría)

C: centro

Si consideramos una circunferencia de radio “R” y un arco de ella PQ, procederemos a calcular la longitud de PQ de la siguiente manera:

Resolución:

r    P 

 A la porción de circunferencia limitada por dos puntos de ella tales como “P” y “Q” se le denomina arco ( PQ: arco PQ). Mientras que a la región limitada por ˆ Q , se le denomina sector PQ  y el ángulo central P O circular POQ.

P sector circular

O Q

O

18 cm  A 30º L 18 cm B

- m A Oˆ B  = 30° =  rad  -    = 30°.   =  rad 180 6 - L = R = L = 3 cm

 6

.18

43

Organización Organizació n Educativa TRILCE

 

de Aprendizaje TTest est de aprendi dizaje zaje previ previo o 1. Dibuje un secto sectorr circul circular ar indica indicando ndo su ángulo central ddee medida 60° y su radio de medida 12 cm.

6. Cal Calcul cular ar la lo longi ngitud tud ddel el arc arcoo  A  AB B.  A   c  m   2  5 g

O

402 

5 c  5 c  m      m

B

2. En el secto sectorr circu circular lar mostra mostrado, do, calc calcular ular la long longitud itud del arco  AB  A B .  A

7.

H

a

l

l

a

 rad”, si:

r

“

 A

12

4m O

B

12

O

8m

rad

4m

3. En el secto sectorr circu circular lar mostra mostrado, do, calc calcular ular la long longitud itud del arco PQ .

B

8. Calc Calcul ular ar L AB , si:

P

 A 6

2 rad  3 O

O

2rad

Q

6

4. En el secto sectorr circu circular lar mostra mostrado, do, calc calcular ular la long longitud itud del arco   CD .

B

9. Calc Calcul ular ar “”en el sistema sexagesimal.  A 3

C 8 O

O

3

45º 8

 





B

D

10.Calcular “” en el sistema centesimal.  A

5. En un sect sector or circ circular ular eell arc arcoo mide 2 cm y el radio 18. 18.cm ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo central?

4 2



O

44

4

B

Cuarto Año de Secundaria

 

Pract iquemos   Practiquemos 1. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un ángulo central de 45° en una circunferencia de 24 cm de radio. a)    cm  cm d) 4

b) 2 e) 6

8. De ac acuerdo uerdo al grá gráfico fico,, calc calcular ular “L PQ ”.

20 cm

P

c) 3

g

O

2. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un ángulo central de 60° en una circunferencia de 18 cm de radio. a) 2 c  cm m d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

3. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un g ángulo central de 70  en una circunferencia de 200 cm de radio. a) 50 c  cm m d) 140

b) 35 e) 280

c) 70

4. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un g ángulo central de 40  en una circunferencia de 25 cm de radio. a)    cm  cm d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. En un sector ci circula rcularr, el ángulo cen central tral mide 20° y el radio mide 45 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 5(18 + ) d) 6(15 + )

b) 6(18 + ) e) 4(25 + )

c) 5(16 + )

6. En un secto sectorr circul circular ar,, el ángulo ce central ntral mid midee 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 2( + 20) d) 4( + 40)

b) 2( + 40) e) 2( + 30)

c) 4( + 20)

 A 20º

O

B

P

a)    cm  cm d) 4

a)    cm  cm d) 4

c) 16

a)    cm  cm d) 16

b) 2 e) 6

c) 3

b) 2 e) 32

c) 3

11.En un sector circular el arco mide 100 cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) 11000 cm d) 125

b) 5500 e) 25

c) 11550

12.En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se nuevo triplicasector y el radio se reduce a sumide: mitad, se genera un circular cuyo arco b) 24 e) 30

c) 48

13.En un sector circular el arco mide “L” “L”.. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en el triple, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

d)

1 L 6 8 3

Organización Educativa TRILCE

c) 3

10.Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de ˆ  = 80g y m Bˆ  = 28°, 18 cm de radio. Si se sabe que m A ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo Cˆ ?

a) b) 8 e) 2

b) 2 e) 6

9. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferenc circunferencia ia de ˆ ˆ 9 cm de radio. Si se sabe que m A  = 102° y m B  = 20g, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo Cˆ ?

36 cm

a)    cm  cm d) 4

20

Q

a) 36 cm d) 72

7. De ac acuerdo uerdo al gr gráfico áfico,, cal calcular cular “ L AB ”.

S

L

b) e)

2 L 3 8

c)

4 L 3

L

9

45

 

14.E n un sector circular el arco mide “L”. 14.En “L”. Si el ángulo central se incrementa en su mitad y el radio se reduce en su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) d)

3 L 2 3

3 L 4

b)

L

5

e)

c)

2 L 3

17 17.. De acuerdo al gráfico, calcular: K=

si: L1, L2 y L3 son arcos con centro centr o en “O”.  A C

L E

6

5

L1   L 2 L3

L1

O

15.De acuerdo al gráfico, calcular:

 

L2

 

L3

F D

L  L K= 1 2 L3

B

a) 1

C

d)

L2

L1 D

E L3  A

b) 2

1 2

c) 3

2 3

e)

18.De acuerdo al gráfico, calcular:

M K= 45º

60º

O

b)

d) 4

25 e) 3

L2

B

26 3

a) 7

c)

17 3

si L1, L2 y L3 son arcos con centro en “O”.

L3

O 3

F

16.De acuerdo al gráfico, calcular:

L1   L 3 L2

 A

2  A

2 C

E

3

K=

L1 - L 3

a) 0,2 d) 0,8

L1

L2 2 D

b) 0,4 e) 1

2

B

c) 0,6

19.Del gráfico, calcular “”, si si:: L AD  = L BC .

L1 D

 A

B 1 D

M L2

30º

N O a)

5 3

d) 4

3

46

b)

7 3

e) 7

4

15º

B

L3

3

C

c)

O

3 2

a)

 6

 rad

b)

3 14





d) 7

e) 21

C

c)



14

Cuarto Año de Secundaria

 

20.Del gráfico, calcular “”, si: L AD  = 2 L BC

a)

B

d)

D

 rad

 A

O

2



b)

4



e)

7





c)

5

6

 8

C

3

Test Aprendizaje de Ac epta ept a el ret eto o TRILCE...! 1. En Ari Aritmétic tméticaa es com común ún llama llamarr media ggeométr eométrica ica de los números a1, a2, a3, ... an a la cantidad:

4. Calcul Calculee la longitu longitudd del arco ccorres orrespondie pondiente nte a un ángu ángulo lo central de:

mg =  n a1 .a 2 .a 3 .a 4 .....an

 x  (3x)'     (7x)' 

Si en un sector circular la media geométrica del radio, arco y ángulo central (su número de rad.) es igual a 4, ¿cuál es la longitud del arco del sector?

en una circunferencia donde un cuadrado inscrito tiene sus lados de longitud 2   2  cm.

a) 2 d) 8

a)

b) 4 e) 16

c) 6

2. Cuand Cuandoo se def define ine el sec sector tor circ circular ular co como mo una por porción ción de círculo, su ángulo central no debe exceder a 360°; es decir, el ángulo central de un sector circular debe estar comprendido entre ó en radianes entre . Si en un sector circular el radio mide 8cm y el número de radianes del ángulo central es el máximo entero posible, ¿cuánto mide el arco? a) 24 d) 2880

b) 48 e) 3600



10 3 d) 10

 cm  cm

b) e)

c) 36

L1 E L3

g

D

d) 4

e) 5

 9

B

P

P

2

...

Recuerda para ello el triángulo notable de 30° y 60°. C

L2 F L4 B

c) 3

Organización Educativa TRILCE

60º

2

C

b) 2

2 5

3

 A

a) 1

5

B

(L1  L 4 ) 2 - (L1 - L 4 ) 2 K= (L 2  L 3 ) 2 - (L 2 - L 3 ) 2

º

c)

5. En el gráf gráfico ico el tri triángulo ángulo comie comienza nza a gira girarr en el sent sentido ido indicado alrededor de cada vértice hasta tener nuevamente a  AC  como base y manteniéndose en todo instante en el mismo plano vertical. Si el triángulo ABC es equilátero, determine la longitud de la trayectoria descritaa por el punto “P”. descrit

3. De aacuerd cuerdoo al gráfic gráfico, o, ccalcul alcular: ar:

O



 A 2 (5 + 3 2 c) (3 + 3 2

a)

19 )

19 )

1

30º

B

3

b)



(5 + 19 )

3 2 d) (4 + 3

19 )

e) 3 (1 + 19 )

47

47

 

Tea areado domiciliaria Tar area miciliar ariia 1. Calcu Calcular lar la longi longitud tud de un arco arco,, corres correspondi pondiente ente a un ángulo central de 60º en una circunferencia de 24 m de radio. a) 6 m d) 5

b) 7 e) 10

c) 8 a) 3 cm d) 6

2. Calcu Calcular lar la longi longitud tud de un arco arco,, corres correspondi pondiente ente a un ángulo central de 72º en una circunferencia de 25m de radio. a) 10m d) 13

b) 11 e) 16

c) 12

3. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un ángulo inscrito de 24º en una circunferencia de 36dm de radio. a) 8,6dm d) 4,8

b) 9,6 e) 8,8

c) 10,6

4. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un ángulo inscrito de 15º en una circunferencia de 24dm de radio. a) 4dm d) 3

b) 5 e) 8

c) 6

5. Calcu Calcular lar la long longitud itud de un arc arcoo corre correspond spondiente iente a un ángulo central de 40g en una circunferencia de radio 10 cm. a)     cm d) 5 

b) 2  e) 7 

c) 3 

6. En un sec sector tor circ circular ular,, el arc arcoo mide 5  m y el ángulo central 30°. ¿Cuánto mide el radio? a) 30 m d) 42

b) 33 e) 48

c) 38

7. En un secto sectorr circ circular ular eell radi radioo mide 2 cm y el ángulo  central mide 45°. Calcular el arco correspondiente. a) 0,1 cm d) 0,4

b) 0,2 e) 0,5

c) 0,3

8. En un secto sectorr circ circular ular eell arco mide 1166  m y el ángulo central mide 144°. Calcular el radio. a) 14 m d) 20

b) 16 e) 23

9. En un ssector ector circ circular ular la me medida dida del radio y el arco eestán stán representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 19 cm, ¿cuál es la l a medida del radio?

c) 18

b) 4 e) 8

c) 5

10.En un sector circular el arco y el radio están representados por dos números enteros consecutivos. Si el semiperímetro del sector mide 7 m, calcular el ángulo central de dicho dich o sector sector.. a) 0,2 rad d) 0,7

b) 0,4 e) 0,8

c) 0,6

11.En un sector circular la medida del arco y el radio están representados por dos números enteros pares y consecutivos. Si el perímetro del sector es 20cm, ¿cuál es la medida del ángulo central?  rad a)   4  ra 3

b)   43

d)   23

e)   12

c)   32

12.En un sector circular, el ángulo central mide 40° y su arco es L1. Si se reduce el ángulo en 8° y el radio se duplica, se genera otro sector circular cuyo arco mide mi de L2. Calcular “L1 /L2”. a)   54 d)   58

b) 53 5 e) 16

c)   65

13.E n un sector cir 13.En circular cular,, el arco mide ““L” L”.. Si el ángulo ce cenntral se duplica y el radio se triplica se genera otro sector circular cuyo arco mide “L2”. Calcular “L2”. a) 2L d) 6L

b) 3L e) 12L

c) 4L

14.En un sector circular, el arco mide “L”. Si el radio se incrementa en su triple y el ángulo central se reduce a la mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) L d) 4L

b) 2L e) 6L

c) 3L

48

Cuarto Año de Secundaria

 

15.En un sector circular el ángulo central mide 25° y el radio es “r”. “r”. Si el ángulo central se reduce en 15° y el radio se incrementa en “x” generando un nuevo sector circular cuyo arco mide igual que el arco original, ¿cuál es el valor de “x”? a) 2r

b)   3r

  2r d) 3

  3r e) 4

O

b) 42 e) 50

F

E a) 3 d) 10

c) 26

18.E n la figura se muestra un camino que consta de arcos, 18.En con sus datos claramente indicados. Determine la longitud de dicho camino.

9  A

a) 2 d) 5

12

b) 3 e) 6

b) 11 e) 26

c) 8

a)    d) 4

 A

D L

L1   L 2

F

C

B

b) 2 e) 5

c) 3

22.En el gráfico, calcular "L".

 A

D L 

60° C

10 

1 2 

B

12 30°

c) 4

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

23.Enn el gráfico, calcula 23.E calcularr “L” “L”,, si: L1 + L2 = 16  A

19.Un tramo de una vía férrea consta de 3 arcos que subtienden ángulos centrales centrales de 45°, 30° y 75° con radios iguales a 16 km, 24 km y 36 km. Hallar dicho tramo. a) 30 km d) 23

 

O

C

B

B

L 3  L2  L1 L1

E

O 9

C

L1 + L2 + L = 12 

17. 17. Un tramo de una carretera está formada por dos arcos de circunferencia, el primero tiene un radio de 9km y un ángulo de 20º, el segundo tiene un radio de 72km y un ángulo central de 60º. Hallar la longitud total de este tramo.

40°

L3

b) 5 e) 11

c) 44

b) 25 e) 20

L2

21.En el gráfico, calcular "L" si:

Hallar la longitud total de este tramo.

a) 24 km d) 30

L1

Calcular:

    227 

 A

D

E

c)   3r 2

16.Un tramo de una carretera está formada por dos arcos de circunferencia, el primero tiene un radio de 18. 18.km y un ángulo central de 40º, el segundo tiene un radio de 36. 36.km y un ángulo central de 50º.

a) 35 km d) 40

20.Si en el gráfico: OE  OD  OA 2 5 9

D

E O

L 

L1

c) 13

L2

F C B

a) 4 d) 16

b) 8 e) 6

c) 12

49

Organización Educativa TRILCE

 

25.

24.En el gráfico, calcular "a".

C

a

l

c

u

l

a

r

 " del gráfico mostrado, si:

"

 A

L2

D O

70g

7

C

L1

 D

B b) 15 e) 23

 A

14 

C a) 12 d) 20

L1 3 .  L2 4

c) 17

O

a) 3  ra  rad

b) 3

11 d) 10 3

e)

10 21

B

c) 11

3

50

Cuarto Año de Secundaria

 

Cálculo de la superficie de un sector circular

7

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Objetivos:

- Luego:

- Reco Reconocer nocer un se sector ctor circu circular lar,, su suss ele elementos mentos y ca calcula lcularr su superficie de manera correcta. - Inte Interpre rpretar tar ccorre orrectame ctamente nte llos os eje ejercic rcicios ios ttipo ipo eenunc nunciado iado y aplicar eficientemente las fórmulas a la resolución de ejercicios con gráficos.

Cálculo de la superficie de un sector circular

S=

 (2 3 )  = 6 2 2 2  S =  cm

R 2

2

También se puede adaptar el uso de la fórmula al cálculo de áreas de regiones que no tienen una fórmula determinada. Para ello, debemos recordar el área de una región triangular, tri angular, de un cuadrado y un rectángulo: B

Como manifestábamos en el capítulo anterior, el sector circular limitado por el ángulo central y su arco correspondiente correspond iente generan una región cuya área será nuestro objetivo y se calculará de la siguiente manera:  A

 A

H

S

R  O

S

S=

 rad

L

R 

C

base  altura  AC  BH  = 2 2

 A B

cateto

S=

R 2 2

 

LR  S=   2

L2 S= 2

S

B

Donde:   : número de ra radiane dianess del áángul nguloo cent central ral R: rad radio io ddel el ssect ector or

S=

L: long longitud itud de dell arco ccorre orrespon spondien diente te  Además el uso de una u otra fórmula dependerá de los datos que presenten los ejercicios.

B

C

cateto  AB.BC 2

lado = L

Por ejemplo, calculemos la superficie de un sector circular cuyo ángulo central mide 30° y su radio mide 2 3  cm.

C L

Resolución:

 A

D

S = L2

2 3 O

B

30º

2 3 - Note que:

 

 A

B

C

altura

 = 30°  rad  = 30°.

 rad   =  rad 180 6

 A

base S = base × altura

D

51

Organización Organizació n Educativa TRILCE

 

Por ejemplo, calcularemos el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado. 2

B

2

C

2

Resolución: En este caso, el área de la región sombreada (S) es igual a la diferencia del área del cuadrado y el área del sector circular ADC, esto es: S = S ABCD  - S ADC ... (1) Luego: S ABCD = 2 2 = 4 

2

 A

2

S ADC = R   = 2

D

2

En (1):

S

5. Del grá gráfic fico, o, ccalc alcula ular: r: K     A 6

 . 2

O

S1

30º 40º

B

S2

4

2. Con la mis misma ma consider consideración ación de dell ejercicio anterior anterior,, complete: "El área del sector es: S

B

L. 2

6. Cal Calcul cular ar ““S” S”,, si si:: 3. En el ssector ector mostra mostrado, do, ca calcula lcularr su áárea. rea.

 A 6m

 A

O

10 cm O

rad 5

 

S

60º 6m

S

B

10 cm B

7. Cal Calcul cular ar ““S” S”,, si si::  A

4. En el sec sector tor circ circular ular mos mostrado, trado, calcu calcular lar su ár área. ea. 4m

 cm

 A

O

S

6 cm

 

50

g

S

4m O

6 cm

B

2

 = 

S = S ABCD - S ADC   S = 4 -  

de Aprendizaje TTest est de apr pren endizaje pr previo evio 1. Comple Complete te la fórmu fórmula la para un se sector ctor ci circula rcularr de ángulo central “rad”; radio “R” y arco “L”. El área del sector es:

.(2) 2

B

S1 S2

52

Cuarto Año de Secundaria

 

10.Calcular “S”, si:

8. Cal Calcul cular ar ““S” S”,, si si:: D   2  m

 A

 A

S

8

 

O

S

4m

3S

6m O

C

B

8

2  m  B

9. Cal Calcul cular ar ““S” S”,, si si::  A

2rad

O

S

6m B

Pract iquemos

Practiquemos

1. En un sec sector tor circ circular ular cuy cuyoo ángul ánguloo centra centrall mide 45° y eell radio 8 cm, ¿cuál es su superficie? a)    cm2 d) 8

b) 2 e) 16

c) 4

2. En un sect sector or circu circular lar cuyo áángul nguloo centr central al mide 36° y su radio 2 10  cm, ¿cuál es su superficie? a)    cm2 d) 5

b) 2 e) 10

c) 4

3. En un secto sectorr circ circular ular eell arco mide 2 cm y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie? a) 2 cm2 d) 8

b) 4 e) 16

c) 6

a)

d) 2



d) 2

e) 6

5. En un secto sectorr circ circular ular eell arc arcoo mide  /4 cm y el ángulo central de 30°, ¿cuál es su superficie?

b)

3 8

e)

2 3

c)

3 4

6. En un secto sectorr circ circular ular eell arc arcoo mide  /3 cm y el ángulo central mide 60°, ¿cuál es su superficie? 6

3

2

d)

c) 

b) 

a)   cm2 

2 3

e)

12

7. De Dell grá gráfifico co,, B  A

4. En un secto sectorr circ circular ular el arc arcoo mide  /2 cm y el radio 6 cm, ¿cuál es su superficie? 3 3 c) a) 3 cm2 b) 4 2 

3  cm2 16

S2 30º

M

S1

 

S1

calcular: K = S 2

45º

O

a) 1 d) 4

C

b) 2 e) 6

c) 3

53

Organización Educativa TRILCE

 

3. Se tien tienee un sec sector tor circ circular ular de ssuperf uperficie icie 36 ccm m2. Si el ángulo central se reduce a la mitad mi tad y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

S1 8. Del ggráf ráfico ico,, cal calcul cular: ar: K = S 2

 A 1

S1 60º

a) 36 cm2 d) 18

B

D S2

3

O 1 8

b)

1 4

d)

9 2

e)

9 8

c)

3 8

a) 32 cm2 d) 64

9. Del grá gráfico, fico, ca calcular lcular eell área de la re región gión som sombread breada. a. 6 cm O

C

 A

15º

B

a)    d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

10.Del gráfico, calcular el área de la región sombreada. 7 cm

O

 A C

60º 13 cm

 b) e) 26

a) 48 cm2 d) 36

b) 12S e) 1155S

D

c) 3

c) 18S

12.Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 4S d) 1122S

b) 6 S e) 1188S

c) 9 S

b) 18 e) 32

c) 24

se incrementa en su doble, circular cuya superficie es: se genera un nuevo sector a) 80 cm2 d) 22888

b) 576 e) 11444

c) 7722

7. Se tiene un sec sector tor circular de radio “R” y ángulo cen central tral de 36°. Si se reduce el ángulo central en 11° y el radio se incrementa en “x”, de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de “x”? a)

11.Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 9S d) 1166S

c) 16

5. Se tiene uunn secto sectorr circul circular ar cuya ssuperf uperficie icie es 24 cm2. Si el ángulo central se incrementa en su doble y el radio se reduce en su tercera parte, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

B

  2 a) d) 4 cm

b) 24 e) 18

6. Se tiene uunn secto sectorr circul circular ar cuya ssuperf uperficie icie es 40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su quinta parte y el radio

D

2 3 cm

c) 144

4. Se tien tienee un sec sector tor circ circular ular de ssuperf uperficie icie 48 ccm m2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

C

a)

b) 72 e) 96

R  2

R  d) 6

b)

R  4

c)

R  5

R  e) 9

8. Se tiene un sec sector tor circular de radio “R” y ángulo cen central tral de 49°. Si se reduce el ángulo central en 13° y el radio se incrementa en “x”, de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de “x”? a)

R  2

b)

R  3

d)

R  5

e)

R  6

c)

R  4

54

Cuarto Año de Secundaria

 

9. Del grá gráfico, fico, ca calcular lcular eell área de la reg región ión sombr sombreada, eada, ssii DAB es un sector circular ci rcular con co n centro eenn “A “A””. C

10.Del gráfico, calcular el área de la región sombreada. E F B C

D

2 2 2

 A

D

5

45º  A a) 4 -  d)

 2

2 2 b) 3 -

 - 1

e) 2 -

ad) 10 - 2

B



be) 510-  - 3

c) 2 - 5

c)    - 3

2

 2

AcAutoevaluaciòn epta ept a el ret eto o TRILCE...! 1. En un sec sector tor circu circular lar cuy cuyoo radio mid midee 4 cm, ¿cuá ¿cuáll es el mínimo valor entero que puede tomar la superficie de dicho sector circular? a) 24 cm2 d) 18

b) 25 e) 28

4. Del grá gráfic fico, o, cal calcul cular: ar: E = m + n

B

c) 12

 A

n

O

 A m

S

D p

B

S1S 3 3. Del grá gráfic fico, o, cal calcul cular: ar: K = S S 2 4

mS 3 

 m   n  S =     p (ABCD: trapecio ccircular) ircular)   2  

p

nS 2

2. Demos Demostrar trar que eell área de llaa regió regiónn sombr sombreada eada es es::

C

E

a) 10 d) 13

C

S F D

b) 11 e) 14

c) 12

5. Se sabe qque ue una su sucesió cesiónn de núm números eros es están tán en progresión aritmética cuando uno cualquiera de ellos es igual al anterior incrementado en una cantidad constante llamada razón de la progresión. Si en el gráfico  “a”,, “b” y “c” están en progres  “a” progresión ión aritmétic aritméticaa y el área de la región sombreada es igual a 81 cm 2, calcular “a + c” c”..

 A

C

b

 A

C S1 O

F

S4 D

a) 1

b) 2

d) 4

e)   2

a

O

S2

D

E

c b

S3 B c) 12

a) 9 cm d) 12

b) 6 e) 36

c) 18

B

55

Organización Educativa TRILCE

 

Tarea domiciliaria Tar area ea do miciliar ariia 1. Calcu Calcular lar el área ddee un secto sectorr circu circular lar de rad radio io 6 m y un ángulo central 60°. a) 3 m2 d) 8

b) 4 e) 12

9. Halla Hallarr el áre áreaa del secto sectorr AOB mostra mostrado. do.  A 4m

c) 6 O

4m

2. Calcu Calcular lar el área ddee un sec sector tor circ circular ular cu cuyo yo arco m mide ide 8 m y su ángulo central correspondiente 3 rad. a) 6 m2

b) 4

d) 12

e) 16

b) 2 e) 15

b) 13 e) 17

b) 4 e) 2

c) 15

B 2 a) 31 2    m d) 37 5 

b) 2,5

b) 12 e) 14

12 m

b) 45 e) 20

3 2



c) 3,5

c) 13

8. En un se sector ctor ccircula ircularr el áng ángulo ulo cen central tral mid midee arco 4 cm. ¿Cuál es su área? a) 40 cm2 d) 42

c) 33 4 

c) 8

d) 4,5 e) 5,5 7. En un secto sectorr circ circular ular eell arco mide 2 cm y su radio 13. 13.cm. ¿Cuál es su área? a) 11 cm2 d) 10

b) 32 3  e) 33 8 

11.Hallar el área de la región sombreada.

6. En un se sector ctor ccircula ircularr el áng ángulo ulo cen central tral mid midee 40g y el radio 5 cm. ¿Cuál es su área? a) 1,5 cm2

c) 8

O

5. En un se sector ctor ci circular rcular el ángu ángulo lo cent central ral mide 445º 5º y el radio 8m. ¿Cuál es su área? a)    m2 d) 6

b) 6 e) 12

10.Si: OA = AB = 8 m, hallar el área del sector AOB.  A

c) 5

4. Determ Determine ine el áre áreaa de un sec sector tor circ circular ular cuy cuyoo radio y arco son números enteros consecutivos y de perímetro 16 m. a) 11 m2 d) 16

B

a) 4 m2 d) 10

c) 32 3

3. Calcu Calcular lar el área ddee un secto sectorr circu circular lar de án ángulo gulo ce central ntral 20g y de radio 10 m. a)    m2 d) 10

4m

a) 2 m2 d) 6

12m

b) 3 e) 12

c) 4

12.Del gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. O

40g y

   m    m    3     7

el

D

c) 48

 

 rad 4 C

 A B

a) 6 m2

b) 5

d) 8

e) 16

c) 7

56

Cuarto Año de Secundaria

 

13.Del gráfico, calcular:

 S1

18.Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 25° y su radio es “R”. “R”. Si se incrementa el ángul ánguloo central en 11° y se reduce el radio en “x” “x”,, se genera un nuevo sector circular cuya área es igual a la del sector original. Hallar “x”.

S2

 A D

S1 C 6

O

B 5

a) 0,36 d) 0,64

b) 0,72 e) 0,86

14.Del gráfico, calcular:

c) 0,28

 S1

S2

 A

C

4   S1 B 15º

O

30º

6

b) R  5 R  e) 4

a) R  6 R  d) 3

30º

D

c)   2R  5

19.Calcular el área de la región sombreada.  A D 3m O 4m 3m C B a) 1 m2 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20.Del gráfico calcular el área de la región sombreada.  1 a) 9

1 b) 3

d)   32

e)   16

 2 c) 9

O 

C  

3  6   º  

2    c   m  D 

15.Se tiene un sector circular de área “S” “S”.. Si duplicamos el radio y el ángulo central se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 2S d) 6S

b) 3S e) 12S

c) 4S

16.Se tiene un sector circular de área “S”. Si el radio se triplica y el arco se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 3S d) 9S

b) 4S e) 8S

c) 6S

17.Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 49° y el radio es “r” “r ”. Si se reduce el ángulo central en 13° y se incrementa increment a el radio en “x”, se genera un nuevo sector circular cuya área es igual a la del sector original. Calcular Calcul ar “x”. a)   2r 7

b)   7r

d)   6r

e)   9r

 A 

c) 3r

5    c   m 

B  

 cm2 a) 104 3 d)   103 3

 b) 105 2 e) 752

 c) 107 2

21.Calcular " S2 " S1 S2

a) 1 d)   12

b) 2 e) 13

 

S1

c) 3

57

Organización Educativa TRILCE

 

22.Si: OA = 2AB, hallar: S2 S1

24.Del gráfico, determinar: 2 2 P  2m  n S

B  A S2

O

 

n

S1 2S

D C

a) 53

b)   52

d)   43

e)   12

m

S

c)   54 a) 2 d) 5

23.Calcular el área sombreada del gráfico:

b) 3 e) 6

c) 4

25.Si: S1 = S2; Áreas. Hallar “” 

B

 A C  A

a) 86 d)

S2

S1

12

rad

O

O

B

a) 3

b) 4

b) 18 12 e)

c) 16

d) 2

e) 8

D

E c) 6

58

Cuarto Año de Secundaria

 

8

Repaso I

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO COLE GIO

Pract iquemos   Practiquemos I. Aspe Aspect cto o conc concep eptu tual al 1. Relacione correctamen correctamente te el ángulo dibujado con el giro en el que se genera.

  

3. Relaci Relacione one media mediante nte flec flechas has las pare parejas jas equi equivalen valentes: tes: (elementos (element os de “A “A”” con elementos de “B”) B  A  rad 60º 6  rad 30º 5 20º  rad  rad 9 3 70g 40g 63º 30g 27º 4. Asocie eell elemento ffaltante altante en cada ssector ector con su valor correspondiente correspondie nte mediante flechas:  A

10 cm



O



 /5 rad

L

10 cm

- Se Sent ntid idoo hor horar ario io:: .... ...... .... .... .... .... R 

- Sen Sentid tidoo ant antiho ihorar rario: io: .. ..... ...... ...... ..... ..

O

2. Relacione mediante flechas la relac relación ión que cumplen lo loss ángulos trigonométricos mostrados en cada caso.

B  A

R  4 cm O



B  A

 rad

 

 +  = -180º  +  = -90º  -  = 90º  -  = 180º





2 8 cm

B

 +  = 180º  -  = 180º

2 27

4 cm



 9 cm

 /3 rad

18

5. Complet Completee corre correctamen ctamente te en los esp espacios acios eenn blanco blanco:: - Un án ángul guloo genera generado do en ssent entido ido hhora orario rio ttien ienee medida medida ......... , mientras que otro generado en sentido antihorario tiene medida ......... - En el si siste stema ma sexage sexagesim simal, al, 11°° equ equiva ivale le a ... ...... ...... ... , mientras que 1' equivale a ......... - En el si sist stem emaa ccen ente tesi sima mal,l, 1g  equivale a ......... , m

mientras que 1 cular,  equivale ......... - En un sect sector or cir circular , par paraa acalc calcular ular llaa long longitud itud de un arco, el ángulo central debe estar expresado en ......... - En un se secto ctorr circ circular ular,, el áng ángulo ulo ce centr ntral al co como mo máxi máximo mo puede medir .........

59

Organización Organizació n Educativa TRILCE

 

II. Aspec Aspecto to operat operativo ivo

4. Siend Siendoo “S” y ““C” C” lo con conocido ocido para un áángulo ngulo nnoo nulo, reducir:

1. Del ggráfi ráfico, co, calcu calcular lar ““x” x”..

E=

C B -40g

CS 4S  C-S C-S

Resolución:

(7x - 2)º O

 A

Resolución:

5. Sabiendo que ““S” S” repre representa senta la medida sexagesima sexagesimall de un ángulo, verificándose:

2. Del ggráfi ráfico, co, calcu calcular lar ““x” x”.. B

S 3

2  = 8 ¿cuál es la medida circular del ángulo?

(40x)g (4x)º

C

Resolución:

 /9 rad

 A Resolución:

3. Un ááng ngulo ulo que que mi mide de  /13 rad, rad, al ser con conver vertido tido al sis sistema tema sexagesimal se expresa como 1a  b 0' 4 c ' ' . Calcular:  “a + b + c”. c”. Resolución:

6. Señal Señalee la medid medidaa circu circular lar de un áángulo ngulo qque ue cump cumple: le: 2S - C + 20R = 11,1416 siendo:  = 3,1416; y además “S”, “C” y “R” lo conocido para dicho ángulo. Resolución:

60

Cuarto Año de Secundaria

 

7. En un se sector ctor ccircula ircularr el áng ángulo ulo cen central tral mid midee 50g y el radio 16 cm. ¿Cuánto mide el arco? Resolución:

10.En un sector circular circular el ángulo central mide 36° y el radio es “R”. “R”. Si el ángulo central se incrementa en 13° y el radio se reduce en “x”, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de “x”? Resolución:

8. Se tiene uunn secto sectorr circu circular lar cuy cuyoo arco mide 1100 00 cm. Si el radio se reduce a su quinta parte y el ángulo central se duplica, se genera un nuevo sector circular. ¿Cuánto mide el arco del nuevo sector? Resolución:

III. Situaciones problemáticas 1. Si un áángulo ngulo mide x° y tamb también ién ((xx + 2)g, ¿cuál es la medida circular de su complemento? Resolución:

2. Del gr gráfic áfico, o, ccalcul alcular ar “x” “x”..

(-10x)g

9. En un sec sector tor circ circular ular el án ángulo gulo ce central ntral mid midee 36° y el radio mide 4 5  cm. Calcular el área del sector sector..

(6x)º

Resolución: Resolución:

61

Organización Educativa TRILCE

 

3. Seña Señale le la medida cir circular cular de un án ángulo gulo sab sabiendo iendo qu quee el triple del número de grados centesimales que contiene un ángulo excede al doble de su número de grados sexagesimales en 36.

y calcule “” para cuando: a = 2 ; b = 3 y c = 4; en el sistema sexagesimal. Resolución:

Resolución:

4. Señal Señalee la medid medidaa circu circular lar de un áángulo ngulo qque ue cump cumple: le: S

3  =   5 27  3C

siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. Resolución:

Resolución:

7. Se ssabe abe que que pa para ra to todo do x  IR, x2  0 (es decir el mínimo 2 valor de x  es 0). Luego, si tuviera un sector circular cuyo perímetro (suma de radios y arcos) es 8 cm2 y su superficie es máxima. ¿Cuál sería la medida del ángulo central del sector circular?

5. Del gráf gráfico, ico, demue demuestre stre que:

Resolución:

b-a  = c

c

C O

6. De acu acuerdo erdo a lo mostrad mostradoo en el gráfico gráfico,, calcu calcular lar el va valor lor de “”. B C D S S 60º  rad O E  A

 rad

 A

a

b

D c

B

62

Cuarto Año de Secundaria

 

Tarea domiciliaria Tar area ea do miciliar ariia 1. En el gráfi gráfico co most mostrado, rado, se ccumpl umplee que AB = A AC. C. Calcu Calcular lar el valor de: L=

7. ¿A cuá cuánto nto equiv equivale ale un ángu ángulo lo recto en ca cada da siste sistema? ma? a) 45º; 100g;   rad b) 50º; 100g;   rad 2

  

c) 90º; 100g;   rad B

a) 2 d) 4

e) 45º; 

 A

C

b) - 2 e) -1

c) -4

2. Señ Señale ale el val valor or dde: e:

a) 1

b)   12

d) 13

e)   23

4

¿Cuál es la medida circular del menor?  b) 60  e) 10

 c) 30

 rad = a°  3b ' '' 9. Si: 32   c0

calcularr “a + b - c”. calcula a) 4 d) 8

2º2' 2'

b) 61 e) 63

c) 62

4. ¿Cuá ¿Cuántos ntos segu segundos ndos hay en:  = 2º4’5”? b) 7445’’ e) 7448’’  

c) 7446’’  

5. ¿A cuá cuánto nto equ equiva ivale le 15  del ángulo de 1 vuelta en cada sistema? a) 30º; 50g; 5 rad c) 72º; 80g; 25 rad e) 36º; 40g; 25 rad

b) 60º; 70g; 35 rad d) 64º; 70g; 5 rad

6. ¿A cuá cuánto nto equ equiva ivale le   1  del ángulo de 1 vuelta en el sistema sexagesimal?9 a) 10º d) 40º

 rad

8. En un trián triángulo gulo,, los áng ángulos ulos int interiore erioress miden: x rad ; 10xg y xº 9

d) 3 c)   14

P

a) 7444’’ d) 7404’’

50g;

a) 6  ra  rad

 rad 2 P 180º

3. Simp Simplif lific icar ar:: a) 60 d) 64

 

d) 90º; 200g; rad

2

 

2

b) 18º e) 36º

c) 20º

b) 6 e) 9

c) 7

10.Sabiendo que la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo, es igual a 19 veces el cuadrado de su número de radianes, ¿cuál es la medida circular del ángulo?   ra  rad a) 20

b) 20 

d) 10 

e)   5

 c) 10

11.Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: 2S - C = 16; siendo "S" y "C" lo conocido. a) 10g d) 25g

b) 15g e) 30g

c) 20g

12.Si los lo s números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos, ¿cuál es la medida radial del ángulo? a) 6 rad  d) 10

b) 4 e) 8

 c) 20

63

Organización Educativa TRILCE

 

13.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S  C  R  95   4 siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a)  3 rad

b) 4

d) 5

e) 6

18.Del gráfico, calcular “”  6

 A

C O

c) 2

4



6

D 6

14.Halle la medida de un ángulo en radianes que cumple: C  n  17 y S  n  7 10  18  siendo "S" y "C" lo convencional. a) 1 rad

c)   32

b) 2

d)   23

 rad a) 3  ra

b) 6

d) 23

e) 5

c) 9

19.Del gráfico; calcular ""  A

e)   12

4

b) 4,7 e) 6,2



O

15.Un arco con radio 15m mide 8m. ¿Qué diferencia en metros existen entre la longitud de este arco y la de otro del mismo valor angular de 6m de radio? a) 4,5m d) 5,2

B

L B

20º

C L

5 D

c) 4,8 a) 9º d) 15º

16.De la figura, hallar: “ a ”  b

c) 25º

20.Desde 20. Desde un helicóptero se divisa el tramo de una carretera, tal como aparece en el gráfico adjunto. ¿Cuál es la longitud total del tramo?

 A C

O3 3x

x

O

b) 18º e) 36º

O2

a D b

B

 1 b) 2

a) 1

 1 c) 4

B

e) 13

d) 2

3km

 A

O1 18km C 27km

17. 17. Del gráfico, calcular “L1”. C

2

 A

a) 2 km d) 10

5 2

O

L1

5 D

a) 145 d) 52

b) 25 e) 72

2

c) 125

c) 8

21.En un sector circular el arco es el doble del radio. ¿Cuánto mide el ángulo central? a) 1 rad

B

b) 6 e) 12

D

 1 d) 2

b) 2 1 e) 3

c) 3

64

Cuarto Año de Secundaria

 

22.Del gráfico, hallar “ L1 ”. L2

24.Del gráfico, hallar “”.  A L1 O'



O

O

B

2

 /5rad

D S B

C



4S

L2 C

a) 1

b) 2

d)   12

e)

 A

c) 3

1 3

23.Del gráfico, obtener “ S  1 ”.

a) 3 rad

b) 4

d) 6

e) 2

c) 5

25.Del gráfico, calcular “S”.

S2

 A

 A

D

C

F

O O



D

a) 1 d)   12

b) 2 e) 13

c) 3

E

1

B

E

S

C a) 5

b)   23

d) 53

e)   52

B c) 6