I Bimestre ARITMÉTICA 3RO SECUNDARIA PDF

 

 ARITMÉTICA

ÍNDICE Pág. Cap. 1

Notación científica .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ .......................... ...... 5

Cap. 2

 Aproximaciones decimales.................... decimales ........................................ ........................................ ........................................ ................................... ............... 11

Cap. 3

Razones .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ....................... ... 17

Cap. 4

Proporciones .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ .................................. .............. 25

Cap. 5

Complemento Comple mento de razon razones es y propor proporcione cioness ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 31

Cap. 6

Proporcionalidad .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ............................. ......... 35

Cap. 7

Complemento de proporcionalidad ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................ .... 43

Cap. 8

Repaso bimestral ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ............................. ......... 49

Cap. 9

Reparto proporcional ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ....................... ... 53

Cap. 10

Regla de compañía ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ .......................... ...... 61

Cap. 11

Regla de tres simple .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ....................... ... 69

Cap. 12 Cap. 13

Regla de tres compuesta ................... ....................................... ........................................ ........................................ ...................................... .................. 77 Complemento Comple mento de reparto proporcio proporcional nal - Regla de tres ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 83

Cap. 14

Tanto por ciento I .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ............................. ......... 87

Cap. 15

Tanto por ciento II .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ .......................... ...... 93

Cap. 16

Repaso bimestral ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ............................. ......... 101

ARITMÉTICA 2008 TRIL Departamento de Publicaciones Lima Perú  

TRCO3SLIARTB 08 pmd

 

3er año de secundaria

Pág. Cap. 17

Regla de interés simple I .................... ........................................ ........................................ ........................................ ..................................... ................. 105

Cap. 18

Regla de interé interéss simple II ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 113

Cap. 19

Promedios .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ .................... 117

Cap. 20

Regla de mezcla ................. ..................................... ........................................ ........................................ ........................................ ................................ ............ 125

Cap. 21

Repaso .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ...................... .. 133

Cap. 22

Estadística I .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ..................................... ................. 137

Cap. 23

Estadística II .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ .................................. .............. 149

Cap. 24

Repaso bimestral ................... ....................................... ......................................... ......................................... ........................................ ............................ ........ 155

Cap. 25

Lógica proposicional I .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ....................... ... 159

Cap. 26

Lógica proposicional II .................... ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ .................... 163

Cap. 27

Cuantificadores.................... Cuantificadores ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ............................... ........... 169

Cap. 28 Cap. 29

Complemento de lógic Complemento lógicaa propo proposicion sicional al ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 175 Conjuntos I ................... ....................................... ........................................ ........................................ ........................................ ..................................... ................. 179

Cap. 30

Conjuntos II .................. ...................................... ........................................ ........................................ ........................................ ..................................... ................. 193

Cap. 31

Repaso bimestral ................... ....................................... ......................................... ......................................... ........................................ ............................ ........ 197

 

1

Notación científica

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Cuando hacemos trabajo científico, veces Segundo caso: encontramos númerosunmuy pequeños o muymuchas grandes. Por •  “Un número menor que 1 en notación científica”  ejemplo gracias al microscopio electrónico se determina la forma y el largo de las mitocondrias que mide Debe escribirse como un número entre 1 y 10 veces 0,000..000 0,000 una potencia negativa de 10. En este cas caso, o, el exponente 000..015 cm. De modo similar un ingeniero puede negativo es el número de veces que la coma decimal determinar un área de 180 000 m2 para un cierto proyecto. se mueve hacia la derecha y siempre es uno más que Resulta importante expresar estos números como -8 5 2 el número de ceros que separan el primer dígito del 1,5 x 10  cm y 1,8 x 10  m  respectivamente. Las potendecimal. Por ejemplo: cias de 10 se utilizan para desplazar el punto decimal sin vernos obligados a cargar un gran número de ceros al 0,241 = 0 2 4 1 = 2,41 x 10-1 efectuar nuestros cálculos. La expresión de cualquier número, como un número situado entre 1 y 10 veces una 0,000321 = 0 0 0 0 3 2 1 = 3,21 x 10 - 4 potencia entera de 10 se denomina NOTACIÓN CIENTÍFICA. CIENTÍFICA . Muchas calculadoras se equipan con frecuencia con una tecla EE o EXP con la que es posible que los estudiantes utilicen la notación científica en sus cálculos. Considere las siguientes potencias de 10 y los ejemplos del empleo con notación científica: 0,0001 = 10-4 00,001 = 10-3 00 000,01 0,01 = 10-2 0000,1 0,1 = 10-1 000 00000 0000011 = 100

3,18 3,18 3,18 3,18 3,18

 10-4 = 0,000318  10-3 = 0,00318  10-2 = 0,0318  10-1 = 0,318  100 = 3,18

000010 10 = 101 0000 000 000100 100 = 102 i011 000 = 103 i0

3,18  101 = 31,8 3,18  102 = 318 3,18  103 = 3 180

i10 000 = 104

3,18  104 = 31 800

 x

Observación: Para cambiar de notación científica a notación decimal el procedimiento es simplemente en sentido inverso. Ejemplos:

10 6 = 3 8 4 0 0 0 0 = 3 840 000 3,84 x 10 1,4 x 10 -4 = 0 0 0 0 1 4 = 0,00 0,00014 014

 x

 x

 x

 x

OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 1. Su Suma ma y Re Rest staa

 x

 x

 x

Debe tenerse cuidado al arreglar los números que se van a sumar, sumar, de manera que tengan potenc potencias ias idénticas de 10. Por ejemplo:

 x

¿Cómo se expresa un número decimal a notación científica? • Primer caso:  “Un número mayor que que 1 en notación científic científica”  a”  Se debe escribir como un número entre 1 y 10 veces una potencia positiva de 10. El exponente positivo es el número de veces que la coma decimal debe moverse hacia la izquierda. Ejemplos:

Organización Educativa TRILCE

0,0012 - 0,00007 = 1,2 x 10-3 - 0,07 x 10-3 = 1,13 x 10-3 2. Mul Multip tiplic licaci ación ón Para esta operación se deben recordar las leyes de los exponentes, es decir se suman los exponentes de 10. Por ejemplo: 0,0002 x 900 000 = 2 x 10-4 x 9 x 105 = 18 x 10 = 1,8 x 102

263 = 2 6 3 = 2,63 x 10 2 35700 = 3 5 7 0 0 = 3,57 x

20 000 + 1 200 = 2 x 104 + 0,12 x 10 4 = 2,12 x 104

4

10 4

2

7

23 000 x 500 = 2,3 x 10  x 5 x 10  = 1,15 x 10

5

 

Notación científica 3. Div Divisió isión n Cuando un número es dividido entre otro número, se restan los exponentes de 10. Por ejemplo:

104

12 000 1,2 x 4-(-3) = 6 x 10 = 1 06 -3 = 0,6 x 10 0,002 2 x 10

E

4 x 10 -6



2 x 10

4 x 10



5



2

Resolución: Primero la suma:

4 x 1 0- 6 + 2 x 1 0- 5 = 4 x 10- 6 + 2 0 x 1 0- 6 = 24 0,0008

=

400

8 x 10 -4 2

x

10- 6

= 2,4 x 10- 5

= 2 x 10 1 0 - 4-2 = 2 x 10 1 0-6

 Ahora:

4 x 10

Ejercicios

2 4 x 10 - 6 24 x 10-6-(-2) = 6 x 10 1 0-4 E= -2 = 4 x 10 4

1. La pob población lación de Chi China na en 1992 er eraa algo más de 1.000 000..000 000 de habitantes. Expresar dicha población en notación 4. Al simpli simplificar ficar y expres expresar ar el resu resultado ltado ccomo omo nota notación ción científica. científica: Resolución: 6 x 10 3  4 x 10 2 9

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1 x 10 habitantes 2. La ma masa sa ddee una bac bacter teria ia es es:: 0,000 000 000 000 000 000 001 kg para poder leer con rapidez, expresar en notación científica. Resolución:

0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 x 10-21 kg

8 x 10



3

se obtiene un número de la forma: a x 10b. Calcular  “a.  “a.+ b”. Resolución: La suma: 6 x 103 + 4 x 102 = 60 x 102 + 4 x 102 = 64 x 102 Luego: 64 x 10 2 8 x 10



3

=

64 x 10 2-(-3) = 8 x 10 5 8

Entonces: 3. Simplifiq Simplifique ue y exp exprese rese el re resultado sultado como un ssolo olo númer númeroo escrito en notación científica.

8 x 105 = a x 10b a = 8

a + b = 13

b=5

6

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA Test de Aprendizaje 1. Conv Convertir ertir los nnúmeros úmeros a llaa notaci notación ón cien científica tífica::

4. Op Oper erar ar:: 33,2 ,2 x 1010 - 1,3 x 108. Expresar el resultado en N.C.

a) 41 000

b) 0, 0,00 0018 18 c) 3 2240 40 00 0000

5. Sim Simpli plific ficar: ar: 4,5 x 1013 + 5 x 1012. Dar la respuesta en N.C.

d) 0,00 0,0000 0000 0024 24

e) 31 3100 00 0000 6. Sim Simpli plifiq fique: ue: 3 x 10-8 - 2 x 10-9. Dar la respuesta en N.C. f) 0,00008

2. Conv Convertir ertir lo loss númer números os a la nnotació otaciónn deci decimal: mal: a) 1, 1,22 x 10-7 7. Opera Operarr y ex expresa presarr el rresulta esultado do en N.C.: b) 8 x

104

4



10 8  8, 4  1 0 9 1, 1  105

c) 3, 3,24 24 x 1100-6 10

d) 1, 1,55 x 10 e) 8, 8,11 x 10-5 Convertir los siguientes números a la N.C. f) 1,12 x 106

8. 64,8 x 1100-7

3. Sim Simpli plific ficar: ar: 6 x 10-8 + 2 x 10-9. Expresar el resultado 9. 128 28,1 ,1 x 110015 en N.C. 10.0,024 x 1010

Organización Educativa TRILCE

7

 

Notación científica

Practiquemos 1. Conv Convertir ertir los nú números meros a la nota notación ción ci científ entífica: ica: a) 18 000 b) 0, 0,00 0003 0322 c) 13 10 1000 0000 00 d) e) f) g) h) i)  j) k) l)

a) 10-8 c) 0,1 x 10-9 e) 10-7

0, 0,00 0000 0014 1433 13 1344 50 5000 345 22000 43 4321 21,8 ,8 34 341, 1,83 83 0,000307 0,0000000319 0, 0,00 0000 0000 0000 0084 84 7 22330 00 000 00 000

a) 12 x 11004 c) 0, 0,12 12 x 1100-5 e) 0, 0,12 12 x 11005

a) 9 x 10-4 c) 8,9 x 10-5 e) 8, 8,99 x 10-7

8. El año 1976 se produ produjo jo en TTangs angshan han (Ch (China) ina) un

a) 6, 6,55 55 x 11005 c) 6, 6,55 55 x 1100-5 e) 6, 6,55 x 106

b) 6, 6,55 55 x 103 d) 6, 6,55 55 x 104

9. El satél satélite ite Titán ddee Satur Saturno no tiene 2 57 5766 km de rad radio. io. Expresar el radio en metros como notación científica. a) 2, 2,57 5766 x 103 c) 2, 2,57 5766 x 1100-6 e) 2, 2,57 5766 x 104

b) 2, 2,57 5766 x 10-3 d) 2, 2,57 5766 x 106

10.El Sol tiene un diámetro de 1,4 millones de km. Expresar este diámetro en metros, como notación científica.

k) 7,1 ,132 32 x 1100 l) 9,034 x 11008

a) 1, 1,44 x 106 c) 1,4 x 109 e) 1, 1,44 x 107

3. El Sistema Solar se formó ap aproximadament roximadamentee hace 5000 millones de años. Escribir este número de años en notación científica. b) 5 x 1010 e) 5 x 109

c) 5,5 x 109

b) 3 x 105 d) 3 x 10 10-5

b) 1, 1,44 x 1010 d) 1, 1,44 x 108

• Simp Simplifi lifique que y expre exprese se el re result sultado ado ccomo omo un ssolo olo nú número mero escrito en notación científica:

4. Par Paraa la propa propagació gaciónn de la luz en el vvacío acío o en el air aire, e, se admite el valor promedio de 300 000 km/s. Expresar 11. este valor como notación científica.

8

b) 8, 8,99 x 105 d) 8, 8,99 x 1100-6

devastador terremoto que trajo comocomo consecuencia 655..000 víctimas. 655 Expresar este valor notación científica.

-5

a) 3 x 108 c) 3,3 x 105 e) 3,0 3,0 x 104

b) 1, 1,22 x 104 d) 1, 1,22 x 1100-4

7. Se ha det determina erminado do que la de densida nsidadd del Hid Hidrógeno rógeno eess 0,000089. Expresar este valor como notación científica.

1, 1,88 x 10-5 3, 3,44 x 104 6,1 x 10-3 1, 1,02 02 x 11006 8, 8,93 93 x 1100-2 1,37 x 11007 5, 5,82 82 x 11006 6, 6,25 2511 x 108 2,93 x 10-6 4,02 x 10-4

a) 5 x 108 d) 0, 0,55 x 108

b) 1, 1,11 x 1100-8 d) 0, 0,11 x 1100-7

6. Se sabe que el ccalor alor espe específico cífico ddel el Mercurio es 0,000 0,00012. 12. ¿Cuál será este valor en notación científica?

2. Conv Convertir ertir lo loss númer números os a la nnotació otaciónn deci decimal: mal: a) b) c) d) e) f) g) h) i)  j)

5. El val valor or de la rresistiv esistividad idad de dell Hierro eess 0,000 0,0000001. 0001. Indicar este valor como notación científica.

2  10

7





2  10

4  10



5



6

a) 2 x 10-7

b) 8, 8,55 x 1100-2

ec)) 65,,00551

d) 1,02 x 10-1

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 8

6  10  4  10 2  102

12.

7

a) 3, 3,22 x 1010 c) 3, 3,02 02 x 110010 e) 3, 3,22 x 10-10

b) 3, 3,22 x 108 d) 3, 3,02 02 x 1100-8

18.

5,1  10-5

19.

6,18  10-5

20.

3,49  10-3

• Simp Simplifi lifique que y expre exprese se el re resul sultado tado ccomo omo un ssolo olo nú número mero escrito en notación científica:

  8 1,2  10  0,002

13.

2 a) 1,00 1,0000 0006 06 x 10-5 c) 1,00 1,0000 0006 06 x 1100-3 e) 1,00 1,0066 x 10-3 7

2  10  5  10 1,5  10 2

14.

b) 1, 1,00 0000 0006 06 x 10-8 d) 1, 1,00 0006 06 x 1100-4

b) 1 x 10-5 d) 2 x 10-6

15.



4  10

22.

6   10-3 - 0,075

23.

6  103  4  102 1  103

24.

2  10 7  5  10 2, 51  10 2

25.

2   10-5 - 0,0243

8

a) 1 x 10-6 c) 1 x 10-3 e) 2 x 10-5 2,4  10 3

21.

4  106  2  105 4  102





a) 2, 2,66 x 107 c) 2, 2,06 06 x 11005 e) 2 x 10-5

b) 2, 2,06 06 x 1100-7 d) 2, 2,06 06 x 11007

17.

5

2

,

4





2



27.La distancia del Sol a la Tierra es 150 000 000 km. Expresar este valor como notación científica.

• Conv Convertir ertir los ssigui iguientes entes númer números os a llaa not notació aciónn dec decimal: imal: 28. F 16.

3

2, 4 10 3 2 10 0 , 9  10

26.

3

5



8  10 4 



6, 72 72 x 10 12 (4 x 10 10 5 ) 2 



   10-3

0,24  10-4

Autoevaluaciòn 1. Simpli Simplificar ficar y eexpresa xpresarr como not notación ación ccientíf ientífica: ica: 3 2, 8



1 0 4  52, 1  1 0 5  2 3  10 4  0 , 02  1 0 5

a) 1, 1,73 73 x 11003 b) 1177,3 d) 173 e) 11668



10 3

a) 5,338 kg b) 5,338.1023 c) 53 53,,38 38.1 .10024 d) 5, 5,33 338. 8.10 1024 e) 5, 5,33 338. 8.10 1025 4. Si un añ añoo luz es aprox aproximadam imadamente ente 9, 9,45 45 x 1015 metros, ¿cuántos años luz hay en 2,646 x 10 16 metros?

c) 324

a) 2, 2,88 x 11002 m b) 2,8 . 104 d) 22,,8 e) 22,,8 . 103

c) 2,8 . 10-1

2. Si la luz en el aagua gua se pro propaga paga a un unaa velo velocidad cidad ddee distancia anciass del Sol a Ve Venus nus y a Mart Martee son en prome promedio dio 225 000 km/s, ¿cuánto recorre en 7,8 x 104 segundos? 5. Las dist 11 10 1,08 x 10   metros y 22,8 x 10   metros 10 15 respectivamente. Halle la distancia entre Venus y Marte, a) 1,755 s b) 1,755.10 c) 17 17,5 ,55. 5.10 10 en promedio. d) 1, 1,75 755. 5.10 107 e) 1755 3. Si la m masa asa de la Ti Tierra erra eess 5,9 5,988 x 1024  kilos y la de Marte es 6,42 x 1023 kilos, halle el valor de la diferencia entre éstas masas. Organización Educativa TRILCE

a) 1, 1,22 . 10 1012 m b) 1,2 . 1011 d) 1, 1,22 x 10-10 e) 1,2 x 11008

c) 1,2 x 1010

9

 

Notación científica

Tarea domiciliaria 1. Conv Convertir ertir los nnúmeros úmeros a llaa notaci notación ón cien científica tífica:: a) 33440 000 b) 00,,00004 c) 14 300 000

e) 5 700 000 f ) 412,0012 g) 0,0000801

10.

8, 2  105  6, 2  106 3  102 11.

5, 4  108  1, 2  109 2  103

d) 0,0000304 h) 2 100 000 000 2. Conv Convertir ertir lo loss númer números os a la nnotació otaciónn deci decimal: mal: a) b) c) d)

2,4  10-8 12,4  104 8,3  10-3 1,81  10-6

e) f) g) h)

8,12  104 7,02  10-5 51,8  106 1,78  10-3

3. El plane planeta ta más ce cercano rcano aall Sol es Me Mercurio rcurio qque ue tien tienee un diámetro de 4 873 km, lo que significa que es bastante pequeño comparado con la Tierra. Expresar este diámetro (en metros) en notación científica.

12.

8, 5  104  7, 5  104  1, 6  105 8  102 13.

5, 2  103  4, 3  104  2  103 2  107 14.

8 9 4. Se calc calcula ula que existen en total más de 500 000  14, 8  10 asteroides, aunque hasta el momento unos cuantos se 18, 2  150 10 han logrado fotografiar. Expresar este número como 15. notación científica. 8, 4  107  1, 2  10 7  2, 8  108 5. La velo velocidad cidad ddee propa propagació gaciónn de la luz en el ag agua ua es de 4  105 225 000 km/s. Expresar este número como notación científica. 16.La distancia media entre los centros de la Luna y la Tierra es 384 000 km. Expresar esta distancia (en metros) en notación científica. • Simp Simplifi lifique que y eexpre xprese se el re result sultado ado ccomo omo un ssólo ólo nú número mero escrito en notación científica: 17.El radio medio de la Tierra es de 6 400 km. Expresar 6. esta distancia (en metros) en notación científica. 8  106  4  108 18.El radio del Sol es de 695 000 km. Expresar esta 2  107 distancia (en metros) en notación científica.

7. 5

9  10  4  10 2  105

6

8.

3  10 9  5  1010 4  106

19.Se sabe que la densidad del plomo en el S.I. es: 11 300 kg/m 3. Expresar este valor como notación científica. 20.Se sabe que la densidad de la plata en el S.I. es: 10 500 kg/m3. Expresar este valor como notación científica.

9.

1, 2  104  8  102 4  103

10

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

 Aproximaciones  Aproximacion es decimales

2

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Ximena y Giancarlo vanS/.2,78; a sacarXimena unas fotocopias porInés, las que Inés debería pagar S/.5,14 y Ejercicios Giancarlo S/.3,82. ¿Cuánto pagó cada uno? Como las monedas de 1 céntimo (0,01) normalmente 1. Elena co compra mpra en MET METRO RO por un tota totall de S/.147 S/.147,36. ,36. no se utilizan, Inés, Ximena y Giancarlo deben aproximar ¿Cuánto le cobrará la cajera? (redondear) a los décimos: Inés pagó S/.2,80; Ximena pagó S/.5,10 y Giancarlo pagó S/.3,80. Resolución: Entonces para aproximar un número decimal, seguimos Comprendiendo que monedas de 1 céntimo no se usan los pasos de este diagrama: entonces aproximamos: S/.147,36 a S/.147,4 por lo tanto la cajera le cobrará: S/.147,4 S/.147,4.. Nos fijamos en qué cifra decimal necesitamos trabajar

2. Si Benito vvaa al Banco a ca cambiar mbiar 75 dó dólares lares ccuyo uyo pre precio cio es S/.3,47, ¿cuántos soles recibirá? (Aproximar al décimo) Resolución:

Buscamos la cifra decimal siguiente

Por dólar pagan S/.3,47; entonces en 75 dólares le pagarán: 75 x 3,47 = 260,25 aproximando al décimo: S/.260,3

¿Es menor que 5? SI

NO

Suprimimos todas las cifras que hay a la derecha de la cifra elegida

1. Aproxim Aproximaa a los dé décimos cimos ccada ada un unoo de los ssiguie iguientes ntes

Sumamos 1 a la cifra decimal elegida y suprimimos las cifras decimales siguientes

Test de Aprendizaje 1. Aprox Aproximar imar la sum suma: a: 0,12 0,1233 + 8,14 + 2, 2,152 152 al déc décimo. imo.

Organización Educativa TRILCE

2. Aproxi Aproximar mar la re resta:12,872 sta:12,872 - 33,4162 ,4162 aall centé centésimo. simo.

11

 

Aproximaciones

decimales

3. Aprox Aproximar imar el pro producto ducto:: 6,18 x 5, 5,32 32 al cent centésimo ésimo..

7. Determin Determinar ar el ár área ea de un círculo en cen centímetros tímetros cuadrados, donde el radio es 12,83 cm y el valor de   es 3,14. Aproximar el décimo.

4. Determ Determinar inar el áre áreaa de un cua cuadrado drado eenn metros volumen lumen ddee un cubo eenn metros cúbic cúbicos os cu cuya ya cuadrados, cuyo lado es 1,18 m aproximando al décimo. 8. Hallar el vo arista es 1,4 m. Aproximar el décimo.

5. Si Alberto quiere ccambiar ambiar 25 dólares ccuyo uyo pprecio recio estab estabaa Operarr y aprox aproximar imar al ccentés entésimo: imo: a S/. 3,12 el dólar dólar.. ¿Cuántos soles recibirá? (aproximar 9. Opera al entero) 1,42 x 0,83 + 4,02 x 1,37

6. Deter Determinar minar el ár área ea de un rec rectángu tángulo lo en metro metross 10.Un albañil cobra por "tarrajear" una pared S/. 11,5 por cuadrados, cuyo largo es 0,32 m y el ancho es 0,12 m. metro cuadrado. Si tiene que "tarrajear" 18,23 metros  Aproximar al décimo. cuadrados, ¿cuánto cobrará? (Aproximar al centésimo)

12

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA Practiquemos números decimales: • 8,123

= .... ....... ...... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ....

compró fruta cuyo costo fue S/.12,78 y finalmente dos kilos de papa por S/.3,46. Calcular el monto total y aproximar al entero.

• 5,675

= .... ....... ...... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ....

Rpta.: ________________ 

• 1, 1,43 4321 2122 • 4,23 2311

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 6. 3,2378 Giancarlo “en “enlocetar” locetar” un elpatio cu cuya yale áre área a es m2.quiere El albañil que le hará trabajo cobrará S/.10 por metro cuadrado. ¿Cuánto pagará en total? = .... ...... .... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ...... ...... .... .... ...... ........ ...... ...... (El albañil redondeará el costo al entero) • 12 12,5 ,537 37 = .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Rpta.: ________________  • 10 10,8 ,874 74 = .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 7. Fran Frankk fue a INTE INTERBANK RBANK par paraa cambiar 1188 dólare dólaress cuyo cambio estaba a S/.3,25. ¿Cuántos soles le pagará la cajera? (Aproximar al décimo) 2. Aprox Aproxima ima a los ce centésim ntésimos os cada uuno no de los ssiguien iguientes tes números decimales: Rpta.: ________________  • 0, 0,45 4576 76 = .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... • En los siguientes ejercicios, usar calculadora: • 3, 3,62 6256 56 = .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 8. Determinar eell volume volumenn de un cubo de metal cuy cuyaa arista • 6, 6,24 2412 12 = .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... es 6,45 cm. (Aproximar al entero) • 45 45,4 ,400 0022

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Rpta.: ________________ 

• 5, 5,72 7253 53

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

9. Deter Determinar minar el la lado, do, ap aproxim roximado ado al dé décimo, cimo, ddel el patio 2 cuadrado cuya área es 8,1675 m .

• 7,4 ,458 5833

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

3. Aprox Aproxima ima a los milé milésimos simos los ssiguien iguientes tes dec decimales imales:: • 23 23,1 ,126 2655

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

• 12 12,4 ,427 2744

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

• 1, 1,14 1415 1599

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

• 9, 9,23 2365 65

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

• 6, 6,43 4325 25

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

• 4, 4,67 6743 43

= .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

10.¿En cuántos metros cuadrados se diferencia el área de un círculo de radio 20 m cuando se utiliza “Pi” ( ) aproximado al milésimo y cuando se apro aproxima xima al cen2 tésimo? (Área del círculo =   . R ; siendo: R = radio y  = 3,14159...) Rpta.: ________________  11.Calcular el área de un terreno cuya forma es un triángulo equilátero, sabiendo que el lado del terreno eess 17,85 m. (Aproximar el área al entero) Nota:  A 

4. Ten enem emos os:: a = 14,473

Rpta.: ________________ 

b = 4,024

c = 5,142

I. Apro Aproxima xima ca cada da dec decimal imal al ccenté entésimo simo y lluego uego,, halla hallar: r:  “a + b + c”  Rpta.: ________________  II. Hallar “a + b + c” y luego aproximar al centésimo

L2 3 4

dond donde: e: A = áre áreaa de dell tri trián ángu gulo lo eequ quililát áter eroo L = lado del triángulo Rpta.: ________________  12.Se tiene la siguiente fórmula física: d  V0  t  

1 2 a t 2

dond donde: e: d = dis distan tancia cia rec recorr orrida ida por un móv móvilil

Rpta.: ________________  5. Alfon Alfonso so comp compró ró pollo ccuyo uyo cos costo to fue S/ S/.8,64 .8,64;; luego Organización Educativa TRILCE

13

 

Aproximaciones

decimales

t = tiempo a = aceleración  V0 = velocidad inicial

es 6,24 m. (Aproximar al entero) Rpta.: ________________ 

Calcular la distancia recorrida (d) aproximando al 19.Determ 19.Determinar inar el lado, aproximando al centésimo, del patio décimo, cuando la aceleración (a) es 8,421 m/s2 en un cuadrado cuya área es 19,2536 m2. tiempo (t) igual a 7,5 segundos partiendo del reposo, es decir: V0 = 0. Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  20.Hallar la altura de un cilindro recto de base circular circular,, si 13.Para calcular la velocidad (V) de un móvil debemos dividir la distancia recorrida (d) entre el tiempo (t) que demora en recorrer dicha distancia, es decir:  V   

d t

Determinar la velocidad aproximando al centésimo, si: d = 123,45 km ; t = 2,08 h Rpta.: ________________  14.Un tanque de almacenamiento de petróleo tiene la siguiente forma: Cilindro circular recto r

 V =  r2 . h

h

donde:  = 3,1416

su volumen es 2de 415,12 dm3al yentero) el área de la base es de 0,34253 dm . (Aproximar Nota: VC = SB . h donde:  VC = Volumen del cilindro recto SB = Área de la base h = Altura del cilindro Rpta.: ________________  21.Un tanque cilíndrico tiene 17,5 cm de radio y 90 cm de alto. Encuentre el volumen en centímetros cúbicos. (Aproximar a los enteros) Nota: V = R 2 . h donde:  V = volumen del del cilindro R = radio de la base h = altura del cilindro  = 3,1416 Rpta.: ________________ 

El radio de la base es 8,14 m y tiene 4,08 m de altura. Determinar el volumen (V) de petróleo aproximando 22.Se vaciará una losa de concreto para construir el piso al centésimo. de un garage de 6,096 m de ancho y 4,572 m de largo. Si el cimiento tendrá un espesor de 0,1016 m, ¿cuántos Rpta.: ________________  metros cúbicos de concreto mezclado deben comprarse? (Aproximar al centésimo) 15.Cuando un número es ligeramente superior a la unidad (1 + e) su inversa se puede calcular por medio de la Rpta.: ________________  fórmula aproximada: 1 1e



1e

Calcular el valor aproximado de la inversa de 1,04. Rpta.: ________________ 

23.Una realizaSi compras WONG por unlemonto total persona de S/.147,73. paga con en S/.150, ¿cuánto darán de vuelto? (Aproximar al décimo) Rpta.: ________________ 

16.Renzo compró 4 kilos de mango a S/.1,2 el kilo, luego 24.María Pía compró pollo cuyo costo fue S/.12,64; luego compró fruta cuyo costo fue S/.17,78 y finalmente papa compró carne cuyo costo fue S/.13,87 y finalmente pan pa n por S/.2,46. Calcular el monto total y aproximar al por S/.5,65. Calcular el monto final y aproximar al entero. décimo. Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  25.Inés quiere enlocetar un patio cuya área es 3,1488. 3,1488.m2. 17. 17. Carolina fue al Banco de Crédito del Perú para cambiar El albañil que le hará el trabajo le cobra S/.20 por metro 75 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,59. ¿Cuántos cuadrado. ¿Cuánto pagará en total? soles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo) Rpta.: ________________  18.Calcular el volumen de un cubo de madera cuya arista 14

(El albañil redondea el costo al entero) Rpta.: ________________  26.Pepe fue a Interbank para cambiar 23 dólares cuyo Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA cambio estaba a S/.3,57. ¿Cuántos soles le pagará la cajera? (Aproximar al décimo)

Rpta.: ________________ 

Rpta.: ________________  30.El motor de un volkswagen tiene cuatro cilindros, cada uno con un radio de 3,85 m. Si la carrera del pistón es de 6,4 cm, aproximar al décimo el desplazamiento total 27.Determinar el lado, aproximando al décimo, del patio 2 del pistón de este motor. cuadrado cuya área es 8,3521 m . Rpta.: ________________  28.¿En cuántos metros cuadrados se diferencia el área de un círculo de radio 100 m cuando se utiliza “Pi” () aproximado al milésimo y cuando se aproxima al centésimo? (Área del círculo = .R 2; siendo R= radio y  = 3,14159...) Rpta.: ________________ 

Utiliza la fórmula:  Vt = 4R 2 . d

Donde:  Vt: Desplazamiento total (volumen) R: Radio total de cada cilindro d: La carrera del pistón Considerar:  = 3,14 Rpta.: ________________ 

29.Determinar la velocidad de un cuerpo aproximando al centésimo que con movimiento uniforme recorre 3,15. 3,15.m en 12,7 segundos. Fórmula: v 

(cm3)

e t

donde: v: velocida velocidad; d; e: espa espacio; cio; t: tiempo

Autoevaluaciòn 1. Un terr terreno eno es de fforma orma cu cuadr adrangul angular ar y el lado eess 4. Deter Determinar minar el ap apotema otema de un ccuadra uadrado, do, en me metros, tros, 12,8751 m, determinar la diferencia, en metros aproximando al décimo, si: R = 8,7 m, sabiendo que: cuadrados, del área cuando el lado se aproxima al R 2 décimo y cuando se aproxima al centésimo.  Ap  2

0, 0,61 6155 55 m2

a) d) 0,5146

b) 0,6156 e) 0,5166

c) 0,5156

2. Un cilin cilindro dro tien tienee 12,8 cm ddee radio y 90,3 cm ddee alto. Encuentre el volumen en centímetros cúbicos aproximando al entero (considera:   = 3,14) a) 44 4445 4566 ccm m3 b) 46456 d) 46556 e) 46546

c) 44565

Donde:  Ap : Apotema del cuadr cuadrado ado R : Radio de la circunferencia que circunscribe al   cuadrado 2 : 1,41 a) 6,1 m d) 7,1

b) 6,2 e) 6,4

c) 66,,3

3. La supe superficie rficie eesfér sférica ica esta esta dada por llaa fórmula fórmula:: 5. Cuan Cuando do un númer númeroo es liger ligeramen amente te super superior ior a la unida unidadd SE = 4 R 2 (1 + n) su inversa se puede calcular por medio de la Donde: SE = superficie esférica fórmula aproximada: R = radio 1  = 3,14   1  n 1n  Aproximar  Aproxi mar al décim décimoo la superf superficie icie de la esfera en Calcular el valor aproximado de la inversa de (1,02) 2 centímetros cuadrados, si el radio es 4,8 cm. a) 29 298, 8,44 ccm m2 d) 289,3

b) 289,4 e) 288,3

c) 289,2

Organización Educativa TRILCE

a) 0,8596 d) 0,96

b) 0,9695 e) 0,095

c) 0,9596

15

 

Aproximaciones

decimales

Tarea domiciliaria 1. Aprox Aproximar imar a los dé décimos cimos ccada ada uno de llos os sigu siguientes ientes 8. Ralph ffue ue al Banc Bancoo de Crédi Crédito to del Per Perúú para ca cambiar mbiar números decimales: 65 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,23. ¿Cuántos soles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo) * 6,582 = 9. Calcu Calcular lar el vol volumen umen de un ccubo ubo de mad madera era cuy cuyaa arista * 8,462 = es 4,18 cm. (Aproximar al entero) * 34,1621345 = 10.Determinar 10.Determ inar el lado, aproximando al centésimo, del patio * 45,276 = cuadrado cuya área es 23,2536 m2. * 1,246 = 11.Determinar el área de un rectángulo, aproximando al décimo, si el largo es 18,24 cm y el ancho es 8,63 cm. 2. Aprox Aproximar imar a los cen centésimo tésimoss cada uno de lo loss siguie siguientes ntes números decimales: 12.Calcular el valor de “E” (aproximando al centésimo) para cuando a = 2,18 se reemplace en: * 2,845 = * 7,234 = 7 . a2 E * 2,6451 = 3 * 5,118 = 13.Aproximar “M” al milésimo, para cuando x = 5,08 se * 2,874 = reemplace en: * 3,2007 = 3. Aproxi Aproximar mar a los mil milésimos ésimos lo loss sigui siguientes entes nnúmeros úmeros decimales: * * * * * *

6,2368 3,4528 8,3401 3,7252 4,7254 2,6704

= = = = = =

M  12 3 . x 3 5 14.La energía cinética se puede calcular mediante la ley:

m.V2 Ec  (Joule) 2 Donde: m = masa ; V = velocidad  Aproximar la energía cinética cinética al centésimo, ssii la masa de un cuerpo es 7,48 kg y lleva una velocidad de 4,81 m/s.

4. Si: a = 4,06 4,0644 ; b = 5,127 y c = 8,674

15.Aproximar la capacidad de un reservorio de agua de forma cilíndrica, al décimo, si el radio de la base es I. Aprox Aproximar imar ccada ada de decimal cimal al cen centésimo tésimo y lueg luegoo hall hallar ar 5,06 m y su altura es 10,82 m (asumir:   = 3,1416).

 “a + b + c”. c”. 16.Aproximar "" a los diez milésimos. II. Hallar “a + b + c” y luego aproximar al centés centésimo. imo. 17.Aproximar 2  a los centésimos. 5. Catita re realiza aliza ccompra omprass en San Santa ta Isa Isabel bel por uunn monto total de S/.131,23. Si paga con S/.150, ¿cuánto le l e darán 18.Aproximar 3  a los milésimos. de vuelto? (Aproximar al décimo) 6. Mech Mechita ita comp compró ró 4 kilos de ma mango ngo a S/.1 S/.1,6 ,6 el kilo kilo,, luego 19.Aproximar 7  a los décimos. compró carne cuyo costo fue S/.23,56 y finalmente pan pa n por S/.4,65. Calcular el monto final y aproximar al 20.Aproximar 5  a los centésimos. décimo. 7. Se quier quieree enloc enlocetar etar un pa patio tio recta rectangula ngularr de dimen dimensione sioness 3,28 m de ancho y 7,06 m de largo. Un albañil que hará el trabajo cobra S/.15 por metro cuadrado. ¿Cuánto cobrará en total? (Aproximar al entero)

16

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

3

Razones

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

RAZÓN: RAZÓN: Es la comparación dosaritmética” cantidades.y Si se compara  Es restando, se llamaráentre “razón si se compara dividiendo, se llamará “razón geométrica” geométrica”.. Ejemplo: Compare las alturas de los edificios “A” y “B”.

1. Halle la ra razón zón entr entree hombr hombres es y muje mujeres res de uunn aula, ssii son 12 y 20 respectivamente. Luego interprete. Resolución:

 A 24 m

Como no especifica la clase de razón podemos asumir que es la más importante: importante : “la razón geométrica”. Luego dividimos y simplificamos:

B 6m

I. Si com compar paramo amoss res restan tando: do: 24 m  6 m  18 m 

Hombres: Mujeres:

12 3 = 20 5

 La razón vale 3  ó 0,6

5



su valor

Razón aritmética

 Interpretación: “Por cada 3 hombres hay 5

 “La altura de “A”  “A” excede excede a  a la altura de “B” en 18 m”  II. Si comp comparamos aramos ddividie ividiendo: ndo: 24 m 6m

Ejercicios



mujeres”.

2. Las eda edades des de An Anaa y Carlos están eenn la relac relación ión de 8 a 3. Si Carlos nació cuando Ana tenía 20 años, halle las edades.

4 1

 

  Razón geométrica

  su valor

Resolución:

Simbolicemo licemoss co conn “A “A”” y “C” las eda edades des ddee Ana y Car Carlos. los.  “Las alturas de “A” “A” y “B” eestán stán en la relación relación de  de 4 a 1”  • Simbo Luego la relación es:  “Las alturas de “A” “A” y “B” son “B” son entre sí  como  como 4 es a 1”  En general: general: Si “a” y “b” son dos cantidades:   Razón geométrica

Razón aritmética

 Valor

 

a  b 



r



 

a b

 Valor 

 



K 

además: El 1er término (a) se llama antecedente. El 2do término (b) se llama consecuente.

 A C



8 3

 A = 8K  C = 3K 

• Como Ana eess ma mayo yorr qu quee Ca Carlo rloss po porr 20 aaños ños::  A  C  20 8K - 3K = 20 5K = 20 K=4   

• Reem Reemppla laza zanndo: do:  Ana: A = 8 x 4 = 32 años Carlos: C = 3 x 4 = 12 años 3. Se tiene 1110 10 litros de mezcla aalcohó lcohólica: lica: 3300 litros de

Organización Educativa TRILCE

17

 

Razones alcohol puro y el resto agua. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe añadir para tener 3 litros de alcohol por cada 5 litros de agua?

Resolución:

Resolución:

a  Alcohol  Agua

 Antes 30 80

Después 3k  5k 

• Des Despué puéss de añadir añadir aalco lcohol hol pu puro ro és éste te aum aument entará ará,, sin embargo el agua es la misma. Luego igualamos:  80 = 5 k 

 

de un terreno rectangular son 56 cm x 120 cm. ¿Cuáles son las dimensiones reales, si el terreno tiene un área de 151,2 m2?

16 = k 

• Com Compar parand andoo la lass ccant antida idades des de aalco lcohol hol::

 “En el pplano”  lano”  120 cm

 “Lo real”  real” 

a 56 cm

b

• “a “a”” es a “b” “b” como como 1120 20 es a 556. 6. a 120 a 15 a = 15K         b 56 b 7 b = 7K  • Co Como mo el área área es 15 151, 1,22 m2: a x b = 151,2 15K . 7K = 151,2

antes: 30 litros después: 3 x 16 = 48 litros

105K 2 = 151,2 K 2 =

Respuesta: Se añadió 18 litros de alcohol

151 ,2 105

K 2 = 1,44

4. Un arquit arquitecto ecto obser observa va en un plano que las dimensiones

K = 1,2 • Ree Reempla mplazan zando, do, las dim dimens ension iones es son son:: a = 15 x 1,2 = 18 m b = 7 x 1,2 = 8,4 m 1. La relac relación ión de alt alturas uras de ddos os edif edificios icios es ddee 5 a 77.. Si la

Test de d e Aprendizaje Aprendi zaje 1. Si:

18

 A B



4   y A + B = 180, hallar "A" y "B" 5

2. Si:

 A 3



B   y A + B = 160, hallar "A" y "B" 5

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA  A 3. Sabi Sabien endo do:: B

4. Si:

a



c

a





8   y A + B = 91, hallar: B - A 44

8   y a - c = 24, hhallar: allar: a x c 5

5. Sabi Sabien endo do que: que:

m 3    y 3m - n = 36 n 7

hallar "m"

7. La razón geométrica de dos números eess 1/4. Si la rrazón azón aritmética es 30, hallar el mayor mayor..

8. La relac relación ión de do doss número númeross es 7/4 y eell produc producto to de dichos números es 1/2. Hallar la diferencia de dichos números.

9. El capi capital tal de Ab Abel el y el ddee Berna Bernabe be está estánn en la re relación lación de 11 a 7. Si la diferencia de dichos capitales es 48, hallar el menor capital.

6. La razó razónn geomét geométrica rica de ddos os núme números ros va vale le 2/3. SSii el 10.Las edades de Carlos y Ximena son 18 y 12 años, mayor de los números es 24, hallar el menor. ¿dentro de cuántos años la relación será de 4 a 3?

Organización Educativa TRILCE

19

 

Razones

Practiquemos de menor altura es de 40 m, determina la mayor altura. Rpta.: ________________  2. Las área áreass de dos te terrenos rrenos agríc agrícolas olas son eentre ntre sí ccomo omo 2 10 es a 15. Si la mayor área es de 60 m , la menor área será:

5   y 3m - n = 48 9 halle “m x n” 

11.Si:

m n



Rpta.: ________________  p

44

Rpta.: ________________  12.Si: q  33   y p . q = 300 3. En un taller de ca capacita pacitación ción en TTrilce rilce se ob observ servaa que halle “p + q”  por cada 7 varones hay 9 mujeres. Si en total hay 112 asistentes, ¿cuántas mujeres hay? Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  13.Arlén 13. Arlén y Leslie se repartieron cierta suma de dinero en partes 4. La relac relación ión entr entree las tempe temperatur raturas as de las ci ciudade udadess de iguales. Halle esta suma, sabiendo que si Arlén diera S/.60 Lima y Trujillo es de 5 a 7 respectivamente. Si la mayor a Leslie, lo que tendrían estaría en la relación de 3 a 7. temperatura es 21°, halle la menor temperatura. Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  5. Si:  A B



3   y A + B = 112 11

halle “A” y “B”  Rpta.: ________________ 

14.En un bidón se tienen 72 litros litro s de una mezcla de alcohol y agua, en la relación de 5 a 3, respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para que la relación sea de 9 a 10? Rpta.: ________________ 

6. La razón ggeométric eométricaa de dos nú números meros vvale ale 0,8 y ssuu razón 15.Se mezclan 50 litros de vino con 20 litros de agua. Si aritmética vale 15,2. Halle el mayor de los números. extraemos 21 litros de dicha mezcla, ¿cuánto queda de vino? Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  7. Las eda edades des de Li Lida da y Fra Frank, nk, es están tán en la re relación lación de 7 a 4, respectivamente. Si Lida es 21 años mayor que Frank, 16. 16.AA una fiesta asisten 420 personas de las cuales hay cuatro calcule la edad de Frank. hombres por cada tres mujeres. Si se retiran 60 parejas, ¿cuál es la razón entre hombres y mujeres ahora? Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  8. Dos de llos os monum monumentos entos m más ás vis visitados itados en el mund mundoo son la Torre Eiffel (París) y el Cristo Redentor (Brasil). 17.. En una reunión se observa que de cada 7 personas, 3 Si la razón geométrica de sus alturas es 10,6 y su suma 17 son hombres. De estos, los que beben y no beben están es 348 metros, halle la altura de la Torre Eiffel. Eiffel. en la relación de 2 a 3. Además el número de mujeres excede a los hombres que beben en 70. ¿Cuántos Rpta.: ________________  hombres hay? 9. Las edad edades es de Andr Andrea ea y Ped Pedro ro están en la re relació laciónn de Rpta.: ________________  5 a 7 respectivamente. Si dentro de 4 años sus edades sumarán 56 años, ¿cuál será la nueva relación? 18.Dos ciclistas se desplazan con la misma velocidad hacia Rpta.: ________________  la meta. Las distancias que les falta recorrer están en la relación de 2 a 5, aunque luego de recorrer 30. 30.m la 10.De dos cubos se sabe que la relación entre sus áreas relación es de 4 a 11. ¿Cuánto le falta al primero para es de 25 a 16. Halle la relación entre el cubo de la suma de sus aristas y el volumen total de los dos cubos. llegar a la meta? Rpta.: ________________  Rpta.: ________________  20

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 19.De 19. De los 210 lapiceros, entre azules, rojos y negros se observa que por cada 3 no az azules ules hay 2 no rojos rojos;; además los qu quee son negros negros y los que no lloo son, sson on entre sí como 4 es a 17. 17. Halle la razón aritmética aritm ética entre rojos y azules. Rpta.: ________________ 

a)

3 5

b)

4 5

d)

5 7

e)

1 2

c)

9 10

20.La suma, la diferencia y el producto de dos números 27.Un edificio reproducido a escala en una maqueta tiene las siguientes siguientes dime dimensi nsione ones: s: 4488 cm de aalto lto,, 12 cm ddee están en la misma relación que los números 4; 2 y 15. ancho y 24 24. . cm de largo. Halle las dimensiones reales, si ¿Cuál es el mayor de los números? para su superficie supcuadrado erficie lat lateral eral gastó 48 edificios 000 y el costopintar por metro fue se S/.5. (NoS/.hay a) 4 b) 10 c) 14 adyacentes) d) 15 e) 16 Rpta.: ________________  21.La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. Si la suma del mayor m ayor con el triple del menor es 14, hallar la suma de los l os cuadrados de los números. 28.Pedro y Pablo parten simultáneamente uno al encuentro del otro de dos puntos “A” y “B” que distan 550 m y con velocidades iniciales que son entre sí como 4 es a a) 68 b) 72 c) 76 7 respectivamente. Si inmediatamente después del d) 80 e) 100 cruce la relación de velocidades cambia; es de 5 a 8; siendo Pablo el más veloz, calcular la distancia del punto 22.A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y  “A” al punt puntoo en el cual lueg luegoo del cruc crucee Pedro se mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. encuentra separado de Pablo 195 m. Luego de dos horas, por cada 2 hombres hay 1 mujer. mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 22225 m b) 250 c) 22995 ad)) 110600 23.Siendo:

eb)) 4800

y x 3  , calcular: yx y 7

4 7

b)

7 4

d) 7

e)

2 3

a)

ac 24.Si: c

11 ac  , hallar: 7 ac

3 a) 11

3 b) - 11

d) -

11 3

c) 60

c) 4

a) 24 d) 28

c) 11 3

e) -11

25.Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas, transcurridos los primeros 45 minutos la razón de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran encuen tran distanciados 80 km. ¿Cuál es la diferencia de sus velocidades en km/h? a) 20 d) 16

b) 12 e) 24

d) 275 e) 33000 29.A una fiesta asistieron 240 personas, se sabe además que por cada 38 hombres, hay 10 mujeres. Si por cada 10 personas que beben, 6 son hombres y por cada persona que bebe se consumió 3 botellas de cervezas, ¿cuántas mujeres no bebieron en dicha reunión, si se compraron 10 docenas de cervezas? b) 16 e) 38

c) 34

30.Un asunto fue sometido a votación de 1 200 personas y se perdió, aduciendo fallas en el proceso electoral, nuevamente votan las mismas personas, siendo favorable favora ble al asunto. Notándose que el caso fue ganado por el doble de votos por el que se había perdido la primera vez y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7, ¿cu ¿cuántas ántas personas cambiaron de opinión? a) 120 d) 300

b) 180 e) 22110

c) 240

c) 18

26.En un corral hay es “n”a “n” avescomo entre patos Si el número de patos 5 es a 12yy pavos. la diferencia entre el número de patos y el número de pavos es 18, ¿cuál será la relación entre patos y pavos? Organización Educativa TRILCE

21

 

Razones

Autoevaluaciòn 1. En una re reunión unión eell númer númeroo de homb hombres res qu quee baila bailann es al a) 36 b) 24 c) 42 número de damas que no bailan como 1 a 2, además d) 48 e) 45 el número de damas es al número de hombres que no bailan como 3 a 5. Determinar cuántas personas bailan, baila n, 4. En la aacademia cademia la relac relación ión de hombres y muje mujeres res es si en total asistieron 72 personas. como 2 a 5. La relación de hombres del anual y hombres del semestral es como 7 a 3. ¿Cuál es la relación de los a) 8 b) 16 c) 24 hombres que están en el semestral y el total de alumnos? alumno s? d) 48 e) 30 6 1 4 a) b) c) 2. Hace 6 añ años os una par pareja eja de es esposos posos ssee casaro casaronn cuand cuandoo 35 35 35 sus edades estaban en la relación de 13 a 11 y tuvieron 2 3 su primer hijo hace 4 años cuando dichas edades d) e) 35 35 estaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo acabó la secundaria a los 15 años, ¿qué edad tenía el padre, sabiendo que es mayor que su esposa? 5. Un comer comerciant ciantee tiene lap lapicero iceross rojos y az azules ules en rrazón azón de 7 a 4. Si vende los 2/5 del total de lapiceros de los a) 37 b) 39 c) 42 cuales 3/5 son rojos y el resto azules, ¿cuál es la nueva d) 43 e) 45 relación de lapiceros rojos y azules? 3. En un tren vviajan iajan 84 hhombre ombres, s, 60 muje mujeres res y un ccierto ierto número de niños, luego en el primer paradero por cada 3mujeres hombresnotándose que bajan suben la vez bajan que la4 niños nuevay arelación entre2 hombres, mujeres y niños es como 11; 8 y 10 respectivamente. Determinar el número de niños que había inicialmente.

a)

101 56

b)

103 56

d)

107 56

e)

109 56

c)

105 96

Tarea domiciliaria m 1. Si: n



4   y m + n = 120 11

halle “m”  2. La razó razónn geomé geométrica trica de dos nú números meros eess 9/4 y su producto es 576. Halle su razón aritmética.

6. Martín tu tuvo vo su hi hijo jo a los 25 añ años. os. Ac Actualme tualmente, nte, sus edades son entre sí como 8 es a 3. ¿Cuántos años tiene Martín? 7. ¿Cuán ¿Cuánto to dine dinero ro tiene tienenn junto juntoss Ana, Be Beto to y Carlo Carlos, s, si lo que tienen Ana y Beto están en la relación de 5 a 6, Carlos tiene media vez más de lo que tiene Beto y además tiene S/.120 más que Ana?

3. Dos nú números meros sson on entre sí como 7 es a 3, ppero ero si al mayor le restamos 2 y al otro le sumamos 3 la relación 8. Se mezcl mezclóó 40 litro litross de agua ccon on 100 lit litros ros de vi vino. no. Si sería de 2 a 3. Halle el valor de la razón aritmética de extraemos 35 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de dichos números. vino quedan?

x 7 4. Si:  y 3 halle:

xy xy

a2 4 5. Si: b2   9 halle: 22

9. En un aul aulaa de 40 alumn alumnos, os, la re relación lación eentre ntre hom hombres bres y mujeres es de 3 a 5. ¿Cuántas personas como mínimo se deben retirar para que la relación entre los que quedaron sea de 1 a 1? 10.En una reunión se observó que 3 de cada 8 personas eran mujeres. Luego, se retiran 15 parejas por lo que quedaron 7 hombres por cada 3 mujeres. ¿Cuántas personas asistieron?

(a  b) 3 a3  b 3 Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 11.La razón entre hombres y mujeres para los hermanos 16.Se tiene dos recipientes cúbicos cuyos volúmenes son de Luis es 2/3. Pero si consideramos a todos los entre sí como 8 es a 27 27.. Se vierte agua en ambos hasta miembros de la familia dicha razón sería 4/5. ¿Cuántos un mismo nivel para los dos. Si la razón aritmética de hombres hay en la familia? sus contenidos es 40 litros, ¿cuántos litros de agua hay en total? 12.Dee los 260 kilos de pan vendidos entre francés, integral 12.D y de yema; se observó que por cada 2 kilos de integral; i ntegral; 17 17.. Dos personas tienen terrenos cuyas áreas son entre sí  1,5 kilos son de francés y por cada 6 kilos de integral, como 3 es a 5. Si deciden compartir con otra persona 9 kilos son de yema. ¿Cuántos kilos de pan francés se sus terrenos de tal forma que todos tengan lo mismo, vendió? ¿cuál es la relación entre las partes cedidas por las dos primeras personas? 13.El precio de 8 lectoras de CD es igual al precio de 5 grabadoras de CD. Si 7 lectoras más 3 grabadoras 18.En una fiesta la razón entre hombres y mujeres es 3/4. Pero si sólo consideramos los que no bailan, dicha razón cuestan $236, ¿cuánto cuesta una lectora? es 2/5. Si 70 personas están bailando, ¿cuántas personas hay en la fiesta? 14.Nuestras edades están en la relación de 2 a 3. Pero cuando yo tenga tu edad, tú tendrás 48 años. Halle la 19.En una granja hay 406 aves entre pollos, gallinas y suma de nuestras edades. pavos. Si la razón entre las gallinas y el triple de pavos es 5/6 y además la razón entre pollos y gallinas es 3/2, 15.Se tiene dos toneles de vino de 30 y 50 litros. ¿Cuántos litros debemos vertir del primero al otro, para que sus ¿cuántos pavos hay? contenidos estén en la relación de 3 a 13? 20.Las edades de dos personas son entre sí como 7 es a 4 pero dentro de 10 años serán como 4 es a 3. Halle la edad del mayor.

Organización Educativa TRILCE

23

 

4

Proporciones

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

• PR PRO OPO POR RCIÓN Igualdad de dos razones

• PROP PROPIEDA IEDADES DES EN T TODA ODA PROPOR PROPORCIÓ CIÓN N a. Prop Proporc orción ión aritmé aritmétic ticaa

a-b=c-d

 A. Proporción aritmética (P.A.)

a-b=c-d B. Propor Proporción ción g geomé eométrica trica (P.G.)

Propiedad: La suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

a c = b d

a+d=b+c

• Tanto ppara ara llaa P.A. P.A. y P.G. se cumpl cumplee que:

b. Prop Proporc orción ión geométri geométrica ca

 “a” y “c” = antecedentes

a c = b d

 “b” y “d” = consecuentes  “a” y “d” = términos extremos

Propiedad: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

 “b” y “c” = términos medios

a

• CL CLAS ASES ES DE PR PROP OPOR ORCI CIÓN ÓN

P.A. a. P.A. DISCRETA

P.G. a. P.G. DISCRETA

a-b=c-d

ba = dc

Los medios son diferentes b=c d = 4ta Di Dife ferren enci cial al

Los medios medios son difer diferentes entes b=c d = 4ta Pr Prop opor orci cion onal al

b. P.A. CONTINUA a-b=b-c Los medios son iguales

b. P.G. CONTINUA a = b c b

Cálculo de la Media Diferencial y la Media Proporcional 1. Sea:

b = Media Proporcional o Media Geométrica

c = 3ra Di Dife fere renc ncia iall

c = 3ra Proporciona nall

Organización Educativa TRILCE

a-b=b-c

Por propiedad: a + c = 2b   

b = a + c  2

(Media Dif.))

2. Sea:

Los medios son iguales

b = Media Diferencial o Media Aritmética

d=b c

Por propiedad: a   x c = b2   

a b = b c

b= a c

 (Media Prop.))

25

 

Proporciones y segunda razón de una proporción geométrica son 8 y 32. Hallar en qué relación estarían los consecuentes de dicha proporción.

Ejercicios 1. La suma ddee los cuad cuadrados rados ddee los cua cuatro tro térmi términos nos de una proporción geométrica continua es igual a 7 225. Calcular la media proporcional, si la diferencia de los extremos es 75. Resolución: Sea: a b



Sea:

a b

luego:



c    Por dato: a - b = 8 d c - d = 32

a

1 

b

b c

c

1

d

 

ab  c d  b d

 a2 + 2b2 + c2 = 7225 Pero: b2 = ac 

a2  2ac   c 2  852         

  Luego: Por dato:

Resolución:

2

2

(a + c)  = 85

a + c = 85 a - c = 75

a = 80 c=5

8 b



32 d



b d



8 32



1 4

1. Hallar la media difer diferencia enciall de de::

 b2 = 80 x 5 = 400  b = 20

2. Si las ra razones zones ar aritméti itméticas cas de llos os térmi términos nos de llaa primera

Test de Aprendizaje

1. Calcu Calcular lar la med media ia dif diferenc erencial ial entr entree 40 y 28 28..

4. ¿Cuán ¿Cuánto to va vale le la terce tercera ra dif diferenc erencial ial entre 3300 y 24?

2. Calcu Calcular lar la med media ia prop proporcion orcional al entr entree 45 y 5.

5. ¿Cuán ¿Cuánto to val valee la cuarta pro proporci porcional onal ent entre re 24; 12 y 18?

3. Hallar llaa cuar cuarta ta dif diferenc erencial ial entr entree 32; 1188 y 50.

6. ¿Cuán ¿Cuánto to va vale le la terc tercera era pro proporci porcional onal ent entre re 32 y 16?

26

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 7. El produ producto cto de lo loss cuatr cuatroo término términoss de una pproporc roporción ión 9. Si "x" es la m media edia pro proporcio porcional nal de 24 y 6 y ""n" n" es la geométrica continua es 4096. Hallar la media cuarta proporcional de 8, "x" y 18, hallar "x + n" proporcional.

8. La suma de los cuatro ttérminos érminos de una propor proporción ción 10.En una proporción geométrica, la suma de los extremos es 52 y la diferencia de los mismos es 28. Hallar el aritmética continua es 240. Hallar la media diferencial. producto de los términos medios.

Practiquemos

6. Calcul Calcular ar la terce tercera ra pro proporci porcional onal eentre: ntre: I. 40 y 32 II. 28 y 52 52 2. Determ Determinar inar la media propo proporcion rcional al entr entre: e: I. 16 y 4 II. II. 72 y 2200 00 3. Hallar la cu cuarta arta ddifer iferencia enciall entr entre: e: I. 23; 18 y 12 II. II. 45 45;; 37 37 y 5544 4. Hallar la te tercera rcera difer diferencia enciall ent entre: re: I. 42 y 30 II. II. 39 y 2266 5. Calcul Calcular ar la cuarta propo proporcion rcional al entr entre: e: I. 16; 28 y 20 II. II. 14 14;; 42 42 y 3366 Organización Educativa TRILCE

I. 18 y 24 II. II. 32 y 4400 7. En una proporci proporción ón aritm aritmética ética co continua, ntinua, la media diferencial es igual a 16 y la razón aritmética de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos. a) 120 d) 280

b) 180 e) 33660

c) 240

8. La suma ddee la media ddifere iferencial ncial de de 28 y 12 co conn la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a: a) 18 d) 26

b) 20 e) 30

c) 24

9. En una pro proporc porción ión geo geométri métrica, ca, la sum sumaa de los térmi términos nos medios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4. Hallar el producto de los extremos. a) 60 b) 64 c) 18 d) 20 e) 24 27

 

Proporciones 10.Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; y “n” es la cuarta proporcional de 8; “m” y 12, hallar “m + n” n”.. a) 12 d) 20

b) 15 e) 24

c) 18

a) 2 d) 10

b) 16 e) 12

c) 8

a) 15 d) 24

b) 18 e) 27

c) 21

a) 100 d) 11669

b) 121 e) 11996

c) 144

19.Se tiene dos proporciones geométricas continuas donde la diferencia de los medios proporcionales es 7 y la diferencia de los productos de los términos extremos de estas proporciones es 161. Determinar el producto 11.La suma de los cuadrados de los términos de una de los medios proporcionales. proporción geométrica geométr ica continua es 400. Hallar el mayor término, si los extremos se diferencian en 12. a) 99 b) 100 c) 120 d) 11669 e) 11660 20.En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos últi mos 12.El producto de tres números es 5 832. Si el primero es términos es 25. Calcular el menor de los términos al segundo como el segundo es al tercero, hallar el medios, si la suma de los consecuentes es 27. segundo número. a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

13.Si las razones aritméticas de los términos de la primera y 21.En una proporción geométrica continua en la cual el producto de sus cuatro términos es 50 625; se cumple la segunda razón de una proporción geométrica son 8 y además que la suma de los antecedentes es igual al 32 respectivamente, hallar en qué relación estarían la doble del producto de los consecuentes. Calcular la suma y diferencia de los consecuentes de dicha proporción. suma de los cuatro términos de dicha proporción. 5 9 7 c) 7 b) 5 a) 3 be) 1110187 c) 111 da) 1110154 d)

11 9

e)

13 11

22.Si los antecedentes de varias razones iguales son 3; 5; 7 y 11 y el producto de los consecuentes es 721 875, hallar el mayor consecuente. 14.En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en relación de 4 a 9, siendo su suma a) 22 b) 33 c) 44 39. Hallar la media proporcional. d) 55 e) 66 a) 12 b) 15 c) 18 23.Sabiendo que: d) 24 e) 27 15.En una proporción aritmética continua, la suma de los cuatro términos es 36 y el producto de los extremos es 32. Calcular la razón aritmética, sabiendo que es positiva. ad)) 58

be)) 69

c) 7

a 7



b) 12 e) 24

c) 16

17.El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica geométri ca continua es 1 296 y la suma de los cuadrados de los extremos es 97. Calcular uno de los extremos. a) 9 d) 36

b) 16 e) 49

c) 25

18.Determinar una proporción geométrica continua sabiendo que el producto de sus cuatro términos es 312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro. Dar como respuesta la suma de sus términos. térmi nos. 28



c 11



d 15

y: a + b + c = 36, calcula calcularr el valor de “d” “d”.. a) 20 d) 52

b) 25 e) 48

16.El producto de los extremos de una proporción 24.Si: geométrica es 84. Sabiendo que la diferencia de los medios es 8, calcular la suma de los mismos. a) 8 d) 20

b 9

c) 42

a b c = = 5 8 15

y además: 3a - 5b + 2c = 245 hallar el valor de “a + b + c”. a) 892 d) 99882

b) 1 436 e) 1 372

c) 88442

25.Si: a

hallar:

b



c d



e f



1 2 1

 2a4 b2  3a2 e2  5e4 f    6 2 2 5   2b  3b f  5f   

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

c) 15

28.Si 8 es la cuarta proporcional de “a”; 6 y “b”, y “a” es la cuarta proporcional de “b”; 16 y 48, hallar el valor de  “a + b”. b”.

26.Se tiene tres números “a” “a”,, “b” y “c” que suman 1 270 y a) 56 b) 28 c) 42 cumple que: d) 46 e) 16 b  c 13 a  b 23     y bc 7 ab 7 29.Hallar la cuarta diferencial entre la cuarta diferencial hallar “a”  de 18; 12 y 24 y las medias diferenciales entre 18 y 8; a) 400 b) 200 c) 300 y 96 y 54. d) 550 e) 77550 27. 27. Hallar “a + b”, b”, si:  1111 aaaa

=

2222 bbbb

a) 70 d) 71 =

3333 c ccc

a + b + c = 360 a) 120 d) 160

b) 180 e) 22880

c) 150

b) 65 e) 60

c) 75

30.El producto de los cuatro términos térm inos de una proporción geométrica es 50 625. Sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75, indicar la suma de los cuatro términos de la proporción. a) 180 d) 216

b) 108 e) 22558

c) 156

Autoevaluaciòn 1. Halla Hallarr el mayo mayorr de los cuat cuatro ro términ términos os de una pro proporci porción ón a c continua para la cual se verifica que el producto de los 4. Siend iendoo:  , si b d cuatro términos es igual a 1048576 y que el cuarto término es el doble de la suma de los términos medios. 2b  d R   2a  c a) 60 b) 64 c) 32 d) 150 e) 11228 a) 1 b) 2. Se tiene un unaa propo proporción rción ge geométric ométricaa contin continua, ua, dond dondee 3 la media geométrica de los extremos es 30. Si la media aritmética de los antecedentes es 27,5; hallar el cuarto 2 d) e) término de dicha proporción. 3 a) 12 d) 36

b) 24 e) 45

c) 60

a) 32 d) 18

b) 20 e) 26

c) 28

a2 c 4 se cumple: b  3  d  6 , hallar:

3 2

c)

3 7

1 2

5. En una prop proporció orciónn geométr geométrica ica conti continua, nua, la ra razón zón entre la suma y la diferencia de los términos de la primera razón es 13/3. Hallar la media proporcional, si la suma 3. En una prop proporció orciónn geomét geométrica rica con continua tinua,, la difere diferencia ncia de los cuatro términos es 169. de los dos primeros términos es a la media proporcional como 1 es a 2. Sabiendo que la suma de los cuatro a) 67 b) 80 c) 40 términos es 50, hallar la suma de los extremos. d) 72 e) 25

Organización Educativa TRILCE

29

 

Proporciones

Tarea domiciliaria 1. Hallar la m media edia difer diferencia enciall en entre: tre: I. 54 y 38 II. 64, 64,22 y 51, 51,33 2. Determ Determinar inar la media pproporc roporcional ional eentre: ntre: I. 68 y 17 II. II. 44 y 1111 3. Hallar la cu cuarta arta ddifere iferencial ncial entre entre:: I. 69; 49 y 38 II. II. 32 32;; 29 y 60 4. Hallar la te tercera rcera dife diferencia renciall entr entre: e: I. 61 y 43 II. II. 81 y 4499 5. Calcu Calcular lar la cuart cuartaa prop proporcio orcional nal en entre: tre: I. 32; 80 y 18 II. II. 30 30;; 45 y 10 1022 6. Calcu Calcular lar la terce tercera ra proporci proporcional onal eentre: ntre: I. 64 y 24 II. II. 18 y 2244

11.La suma de los cuadrados de una proporción geométrica continua es 400. Hallar el mayor término, sabiendo que un extremo es la cuarta parte del otro. 12.En una caja hay 120 bolas de las cuales 30 son rojas y el resto blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar para tener 2 bolas rojas por cada 3 blancas? 13.El producto de los cuatro términos t érminos de una proporción geométrica continua es 38 416. Si uno de los extremos es 98, hallar la suma de los cuatro términos. 14.¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción geométrica continua, si la suma de sus cuatro términos es 150 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros términos es 5/3? 15.En una proporción aritmética discreta los términos extremos están en la relación de 7 a 5. Si la suma de los medios es 180, calcular la cuarta diferencial. 16.Si se aumenta una misma cantidad a los números: 24; 120 y 360 se forma una proporción geométrica continua. ¿Cuál es esta cantidad? 17.Se tienen dos escalas de temperatura: "x" e "y". La temperatura en que el agua se congelan es 0° en "x" y 20° en "y"; el agua hierve a 60° en "x" y 140° en "y". ¿En qué temperatura coinciden las dos escalas?

7. El produ producto cto de lo loss cuatr cuatroo término términoss de una pproporc roporción ión 18.En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es geométrica continua es 1 296. Si uno de los extremos 6 400. Hallar la suma de los 4 términos. es 3, la suma de cifras del otro es: 8. El produ producto cto de lo loss cuatr cuatroo término términoss de una pproporc roporción ión discreta es 15 876. Si el primero de estos términos es 7, calcular el producto de los términos medios.

19.Quince es la media proporcional de "a" y 25; "2a" es la tercera proporcional de 8 y "b". ¿Cuál es la cuarta

proporcional de "a"; "b" y 15? 20.La suma de los extremos de una proporción geométri geométrica ca 9. En una pro proporció porciónn aritmét aritmética, ica, la su suma ma de los ext extremos remos continua es 104. Hallar la media proporcional, si la razón es igual a 22. Si los términos medios se diferencian en es 2/3. 2 unidades, el menor de estos medios es: 10.La suma de los extremos de una proporción geométrica geométri ca continua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la media proporcional.

30

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

Complemento de razones y proporciones

5

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Ejercicios 1. La suma, diferenc diferencia ia y pro producto ducto ddee dos nnúmeros úmeros en enteros teros están en la misma relación que los números 7; 1 y 48. Hallar el mayor de dichos números. a) 20 d) 14

b) 18 e) 12

8.  “c” Se ;cono conoce ce “b” quees“d “d” es laera cuar cuarta taporcio prop proporcion orcional 2; “b “b” ”y  “c”; don donde de la” terc tercera pro propor cional nal de 2alyde 8; ade además más  “c” es la media proporcional de los mismos números. Hallar: b  c  d a) 4,5 d) 10

b) 986 e) 816

c) 64

c) 16

9. Se sabe qque ue “a” eess la media propo proporciona rcionall de 20 y 32 3200 y “b” es la media proporcional de 120 y 1 080. Hallar la media proporcional de “2a” y “b” “b”.. 2. Las eda edades des de tre tress herman hermanas as hac hacee 4 años es estaban taban eenn la misma relación que 2; 3 y 4. Si dentro de 4 años a) 220 b) 260 c) 240 será como 6; 7 y 8, ¿qué edad tiene la mayor? d) 300 e) 33660 a) 8 años b) 10 c) 1122 d) 14 e) 18 10.En una reunión social las cantidades de ingenieros, médicos y arquitectos forman una proporción aritmética 3. Si 5 es la cuarta proporcion proporcional al de "a "a"; "; 6 y "b", ade además más "b" continua de razón 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2 es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30; halle "a + b". arquitectos, ¿cuántos son en total? a) 30 d) 33

b) 31 e) 34

c) 32

a) 36 d) 108

b) 54 e) 11220

c) 72

4. En una pro proporci porción ón aritmé aritmética tica con continua, tinua, la suma de los 11.En una proporción geométrica, la suma de los extremos es 24. Calcular la media diferencial. cuadrados de los antecedentes es 225 y la suma de los términos de la primera razón es los 3/4 de la suma de a) 10 b) 12 c) 16 los términos de la segunda razón. Hallar el producto d) 20 e) 24 de los antecedentes. 5. Halle la ccuarta uarta pr proporc oporcional ional de 556; 6; "m" y "n" "n",, sabie sabiendo ndo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12. a) 1 d) 8

b) 2 e) 16

c) 4

a) 108 d) 8

b) 45 e) 18

c) 20

12.En una proporción geométrica continua, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cuatro términos térmi nos es 15, entonces la diferencia entre los términos mayor y menor es:

6. En una prop proporció orciónn geométr geométrica ica dis discreta creta,, el produc producto to de los antecedentes es 120 y el producto de los a) 9 b) 6 c) 3 consecuentes es 270. Si la suma de los dos términos d) 12 e) 15 de la primera razón es 25, ¿cuál es la suma de los términos de la segunda razón? 13.La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5 040, indicar a) 12 b) 16 c) 25 la diferencia de los numerales. d) 28 e) 30 a) 24 b) 30 c) 36 7. Determi Determinar nar la terc tercera era prop proporcion orcional al entre la m media edia d) 42 e) 48 proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. a) 24,5 d) 36,5

b) 3366,75 e) 28,5

Organización Educativa TRILCE

c) 24,75

14.Inés nos cuenta: “En el barrio donde nací, éramos siete

31

 

Complemento de razones y proporciones mujeres por cada tres hombres, pero en el transcurso 21.En una serie de razones geométricas equivalentes de de los años, por dos de nosotras llegó un hombre. Ahora razón 3, los consecuentes son tres números que invito a todos a mi cumpleaños, observo sentada consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, que todos bailan”. ¿Cuántos hombres habían en el sabiendo que el producto de antecedente es 5 670. cumpleaños? a) 18 b) 80 c) 44 a) 10 b) 11 c) 12 d) 46 e) 54 d) 13 e) 14 22.Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya 15.Ell jardinero "A" planta más rápidamente que el jardinero 15.E diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 "B" enenla una proporción 4 a 3."xCuando "B" planta "x" al menor y restar 6 al mayor mayor,, hallar su producto. rosas hora, "A"deplanta + 2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en 4 horas? a) 180 b) 216 c) 270 d) 396 e) Hay dos respuestas a) 12 b) 24 c) 30 d) 36 e) 40 23.Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son 2; 3; 4 y 5 y el producto del primer antecedente y 16.En un momento de una fiesta, el número de hombres los tres últimos consecuentes es 41 160. La suma de que no bailan es al número de personas que están los consecuentes es: bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a a) 94 b) 98 c) 95 20. Encontrar el número de damas que están bailando, d) 96 e) 97 si en total asistieron 456 personas. a) 120 d) 22000

b) 150 e) 22110

c) 180

17.Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentaron las listas “A” y “B”; para votar se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial inicia l la elección favorece a “B” en la proporción de 3 a 2; pero en la segunda votación legal ganó “A” en una proporción de 5 a 3. ¿Cuántos socios que inicialmente votaban por “B” se cambiaron por “A” en la segunda votación? a) 24 d) 72

b) 48 e) 60

c) 54

18.Cuatro números son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5, además la suma de los cubos de dichos números es 1.288. El mayor es: a) 20 d) 8

b) 5 e) 10

c) 15

24.En una tienda el número de lapiceros azules es al número de rojos como 24 es a 31; en un día se vendieron la quinta parte lapicerosdede9los cuales los rojos y azules están ende la los proporción a 13. ¿En qué relación quedaron los lapiceros sin vender? a)

1 7

b)

11 13

d)

13 17

e)

35 53

c)

11 17

25.La relación entre el número de preguntas de razonamiento matemático que contestó Carlos y el número de preguntas que contestó Juan es como 3 a 7 y lo que contestó Juan y lo que contestó Roberto es como 2 a 5. Si el total de preguntas contestadas por los tres suman 220, ¿cuántas preguntas contestó Juan? a) 50 b) 56 c) 64 d) 60 e) 58

19.En un corral hay patos y gallinas. Si el número de patos es al total como 3 a 7; y la diferencia entre patos y 26.La suma de tres números es 1 425; la razón del primero gallinas es 20, ¿cuál será la relación entre patos y y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es gallinas al quitar 50 gallinas? 600. Hallar el tercer número. a) 4 : 3 d) 3 : 2

b) 2 : 1 e) 2 : 3

c) 3 : 4

a) 200 d) 66000

b) 400 e) 77550

c) 500

20. 2 970 estudiantes votaron por una moción. En una 27.En un cine con capacidad para 550 personas person as se observa primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en que cierto día asistieron cada padre con 3 niños y por contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada cada 2 niños hay un asiento vacío. ¿Cuántos niños 8 votos a favor había 3 en contra. ¿Cuántas personas asistieron? cambiaron de opinión? (No hubo abstenciones) a) 100 b) 200 c) 250 a) 990 b) 330 c) 1 320 d) 33000 e) 33550 d) 66660 e) 88440 32

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 28.En un corral se observa por cada 2 gallinas hay 3 patos a) 18 b) 15 c) 12 y por cada 5 gansos, hay 2 patos. Si se aumentaran 33 d) 9 e) 6 gallinas, éstas serian igual a la cantidad de gansos. Calcular cuántos patos hay en el corral. 30.En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9. Si la a) 9 b) 18 c) 24 suma de los antecedentes es 68, calcular la cuarta d) 30 e) 33 diferencial. 29.En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes.

a) 4 d) 24

b) 8 e) 30

c) 16

Tarea domiciliaria 1. Cal Calcul cular ar ““AA”, si: 2. Si:

 A 3    y además: A + B = 100. B 2

 A 51  B 34

y además: A×B = 96, calcular el valor de “B” “B”..

10.En una reunión la relación del número de hombres con el número de mujeres es 8/5, pero luego el número total de personas aumentó en un 20%, quedando el número de hombres aumentado en su 30%. Hallar la nueva relación que hay entre el número de hombres y el número de mujeres.

11.La razón geométrica entre dos números cuya suma es 3. La razó razónn aritmét aritmética ica de do doss númer números os es 26. SSii el produ producto cto 91, se invierte si se añade 19 al menor y se quita 19 al de ambos números es 456, calcular el menor número, mayor. ¿Cuál es el mayor de dichos números? sabiendo que es entero y positivo. (Dar como respuesta la cifra de decenas). 12.La razón geométrica de dos números es a su razón aritmética como 5 es a la cuarta parte del menor menor.. ¿Qué parte del mayor es el menor m enor,, si la razón geométrica es 4. La razón ddee dos nú números meros es 112/17 2/17 y su suma es 69 696. 6. mayor que 1? Hallar el menor de los números. 5. La razó razónn aritmét aritmética ica de ddos os núme números ros es 48 48.. Si el 13.La razón aritmética de dos números es a la razón geométrica de los mismos, como el menor es a 7/4. antecedente es 60, calcular el consecuente. ¿En qué relación se encuentran dichos números? 6. La razó razónn geomé geométrica trica de dos núm números eros eess de 3 a 8; y su 14.La suma de dos números es un cubo perfecto comprendido entre 200 y 300. Si laaritmética razón geométrica suma es 2 497. Indicar el menor de los números. de ellos es 15/3, entonces la razón arit mética de ellos es: 7. Tres números sson on proporciona proporcionales les a 2; 5 y 77.. Si la diferencia del segundo y el primero es 15, indicar el 15.Beto y Arturo juegan a las canicas. Beto empezó con tercer número. 66 y Arturo con 132. Después de 40 juegos, la razón entre lo que tiene Beto y Arturo es de 3 a 8. Calcular 8. En una re reunión unión eell número ddee hombr hombres es es al nú número mero cuántos juegos ganó Beto. (En cada juego se gana o de mujeres como 8 es a 7. Si en total asistieron 90 se pierde una canica). personas, indicar el número de mujeres, si se retiran 7 parejas. 16.De una canasta llena con manzanas se observó que el peso de todas las manzanas es al peso total como 3 es a 4. Si se vendieron 5 manzanas, la nueva relación es 9. En un cor corral ral el núme número ro de pat patos os exce excede de al núm número ero de de 2 a 3. ¿Cuántas manzanas quedaron luego de ello, ell o, gallinas en 75; además se observa que por cada 8 patos si cada una pesa 60 g? hay 5 gallinas. ¿Cuál es el número total de patos y gallinas que hay en el corral?

Organización Educativa TRILCE

33

 

Complemento de razones y proporciones 17. 17. Si se cumple: a b



b ; donde “a”, “b” y “c”, son enteros. c

 Además: ab    bc  70 , hallar el valor de “b”..

19.Hallar el producto de los términos de una razón geométrica que cumpla: si sumamos “n” al antecedente y consecuente de dicha razón se forma otra razón cuyo valor es la raíz cuadrada de la razón inicial; sabiendo que los términos de la razón son diferentes.

18.Determinar el menor de tres números que son entre sí  como 3!; 5! y 7!, si se sabe que el triple del producto de los números es igual al cuadrado del producto de 20.Una empresa dispone de 28 710 soles para ser distribuidos entre 25 obreros, 12 empleados y 6 los dos menores números. ejecutivos. Se sabe además que la parte de un obrero es los de la de empleado y representa de un 5/7 ejecutivo. El un haber de un empleado es:los 3/11

34

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

6

Proporcionalidad

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

MAGNITUD MAGNITUD ITUDES ES INV INVERS ERSAMEN AMENTE TE PRO PROPOR PORCION CIONALES ALES Se denomina magnitud a todo aquello que puede ser • MAGN comparado en menor o mayor grado de intensidad. Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si Ejemplo: Presión, volumen, temperatura. cuando una magnitud se multiplica o divide por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. En consecuencia consecuencia el producto de am ambas bas CANTIDAD resulta ser constante. Se denomina así a un estado particular de una magnitud. Ejemplo: 2 atm, 30 cm3, 37°C Sean las magnitudes “A” y “B”:

 A B

• MAG MAGNITU NITUDES DES D DIREC IRECTAME TAMENTE NTE P PROPOR ROPORCION CIONALES ALES Dos magnitudes son directamente proporcionales, si cuando una magnitud se multiplica o divide por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número, es decir, decir, el cociente entre ambas am bas resulta ser constante. Sean las magnitudes “A” y “B”:

 A B

a1 a2 a3 ... an b1 b2 b3 ... bn

Se cumple que: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k  Luego “A” “A” es inversamente proporcional a “B”    * Not Notaci ación ón  A I.P I.P..  A

Se cumple que: a1 a2 a3 a    ... n  k  b1 b 2 b 3 bn Luego “A” “A” es directamente proporcional a “B”  * Not Notaci ación: ón:  A D.P D.P.. B   A  B

a1 a2 a3 ... an b1 b2 b3 ... bn

B

 A . B = k 

1

B



Representación gráfica

B  . . . .  . .

b4 b3

 A = k  B

b2 b1

... a 1 a2 a3

Representación gráfica:

 A

a4 ...  A

Propiedades

a3

k = Tg

a2 (Pendiente de la recta)

a1 

b1

b2

b3 B

Organización Educativa TRILCE

1. Si Si:: A D. D.PP.

1 B



 A

I.P I.P..

B

2. Si: A II..P.

1 B



 A

D.P D.P..

B

3. Si Si:: A D. D.PP.

B C D

 A D.P D.P.. (B x C x D)

35

 

Proporcionalidad 3. El precio de uunn televisor a co colores lores vvaría aría D.P D.P.. al cuadra cuadrado do de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía Problemasresuelt lt os que consume. Si cuando su tamaño es de “T” pulgadas y consume “x” energía, su precio es de $360. ¿Cuánto 1. Si “A “A”” es D. D.PP. a “B” e I.P I.P.. a C  y en un determinado costará un televisor cuyo tamaño es al del anterior momento “A” vale 720, ¿qué valor tomará “A”, si “B”  como 3 es a 2 y consume x /4 de energía? aumenta en un 80% y “C” disminuye en un 36%? Resolución: Resolución: x  A C 720 C  A 0,64C P E  k  360 x  P 4 B  K  B  1,8B  A  1 620 T2 22 32 2. El peso de un ele elefante fante bblanco lanco es D D.P .P.. a sus años años.. Si un 90 elefante tuviera 360 kg, entonces su edad sería 32 años. 360 x P x    P  $1 620 ¿Cuántos años tendrá sabiendo que su peso es 324. 324.kg? 4 9 2 Resolución: 5 45 36 Peso 360 324  k  =  Años 32 x 4 

x



144   años 5



28 años

73 4 x 365 5

 x = 28 años 292 días

Test de d e Aprendizaje Aprendi zaje Sabien endo do que: que: A D.P .P.. B 1. Si "A" D D.P .P.. a "B" y cu cuando ando A = 8, B = 24 24.. Hallar Hallar "A", 3. Sabi  A D.P D.P. .C 2 además cuando A = 24, B = 6 y C = 8. Hallar "A", cuando B = 1 3 cuando B = 12 y C = 5.

2. Si: A2  D.P. a B y cuando A = 4 ; B = 8. Hallar "B", cuando A = 16.

36

4. Sabi Sabien endo do que: que: A I. I.PP. B  A D.P. D.P. C además cuando A = 8, B = 14 y C = 49. Hallar "B", cuando A = 24 y C = 21.

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA ruedaa "M" ha hayy otr otraa rued ruedaa "N" "N".. Si la rue rueda da 5. El precio de un televisor varía D D.P .P.. al cuadrado de su 8. Fijo aall eje de la rued "M" da 80 8 0 R.P R.P.M., .M., ¿cuántas R.P R.P.M. .M. dará la rueda "N"? tamaño. Si cuando su tamaño es 14 pulgadas, su precio es 240 dólares y cuando su tamaño sea 21 pulgadas, ¿cuánto costará el televisor?

9. Del Del gráf gráfic ico: o:

y

6. Se ssabe abe qque: ue: A I.P I.P.. B , calcular "m + n", si tenemos:

m

 A 18 12 m B 9 n 25

18 6 2

n 3

x

Hallar: (m + n)

7. Una rue rueda da "A" ddee 24 dien dientes tes eng engrana rana ccon on otra rueda "B" de 36 dientes. Si la rueda "A" da 48 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas por minuto dará la rueda "B"?

10.Del gráfico:

y a 8 b

Hallar: (a + b)

Organización Educativa TRILCE

2 6

12

x

37

 

Proporcionalidad

Practiquemos 1. “x” va varía ría en razó razónn direc directa ta a “y” e inv inversa ersa al cu cuadra adrado do 8. “A “A”” y “B” son dos magnitude magnitudess D.P D.P.. Cuando el valo valorr inicial de “z”, cuando x = 10, entonces y = 4, z = 14. Hallar de “B” se triplica, el valor de “A” aumenta en 10  “x”,, cuando y = 16 y z = 7.  “x” unidades. Cuando el nuevo valor de “B” se divida entre 5, ¿qué sucederá con el valor de “A “A”” respecto al inicial? a) 180 b) 160 c) 154 d) 11440 e) 11220 a) Aum Aument entaa en 15 uunid nidade adess 2. Se sabe que ““A” A” eess D.P D.P.. a B  e I.P. a 3 C . Además cuando “A” es 14 entonces B = 64 y C = B. Hallar “A”, cuando “B” sea 4 y “C” sea el doble de “B”. “B”.

b) c) d) e)

Dismin Disminuye uyee en en 12 1100 uunid un unidade idades Dis Dismin minuy uye nidade adesss Dismin Disminuye uye en 2 unida unidades des No se ppued uedee det determi erminar nar

9. Los sal saltos tos de mamá ccangur anguroo son pro proporcio porcionales nales a lo loss saltos de su hijo. Cuando el hijo canguro da 398 saltos, mamá da 995. ¿Cuántos saltos dará mamá m amá cuando el hijo recorra 600 m y además un salto de éste equivalen 3. Se tienen tres magnitudes ““A” A”,, “B” y “C” “C”,, tales que ““A”  A”  a 3/4 de un metro? es D.P a “C” e I.P. a B . Hallar “A”, cuando B = C 2, a) 1 600 b) 2 000 c) 2 400 sabiendo que cuando A = 10, entonces entonc es B = 144 y C = 15. d) 88000 e) 1 000 a) 4 b) 8 c) 12 10.El peso “W” de un cilindro varía proporcionalmente a d) 16 e) 15 su altura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base. 4. Sabiend Sabiendoo que ““A” A” es directam directamente ente propo proporcional rcional aall cuadrad cuadradoo ¿Cuál es la suma de los números con que se llenarán los espacios en blanco de la siguiente tabla? de “B”, calcular los valores de “m” y “p”. Si tenemos: a) 7 d) 5

b) 2 e) 6

 A B a) 15 y 250 d) 8 y 500

c) 4

45 3

320 m

b) 4 y 100 e) 12 y 90

W h d

p 10 c) 12 y 400

a) 44,,80 d) 77,,20

25 2,5 2

b) 55,,04 e) 7,44

4 0,6

7,2 2 c) 66,,80

5. La magnitu magnitudd “A “A”” es direct directamente amente pr proporc oporcional ional al cua cua-drado de “B” e inversamente proporcional a “C”. Cuando 11.El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20  “B” es 30 y “C” es 15, entonces “A “A”” es es igual a 18. Hallar gramos cuesta 4 000 dólares, ¿cuánto costará otro  “B”,, cuando “A”  “B” “A” sea 40 y “C” tome el vvalor alor de 27. 27. diamante que pesa 25 gramos? a) 15 b) 30 c) 60 d) 75 e) 50 be) 56 20500 c) 7 500 da) $468000 6. Siendo “A “A”” D.P D.P.. al cuadrado de “B” e I.P I.P.. al cubo de “C” “C”,, 12.El área de un círculo es directamente proporcional al hallar “m” y “p” del siguiente cuadro: cuadrado de su radio. Si un círculo de 12 cm de radio tiene un área de 400 cm 2, ¿cuál será el área de otro  A B C círculo cuyo radio es 25% mayor? 12 125 p

4 m 8

5 3 2

a) 600 cm2 d) 88000

b) 500 e) 1 000

c) 66225

13.La potencia del motor de un automóvil es directamente proporcional a su capacidad e inversamente proporcional a los años de uso. Si un motor de 4 litros de capacidad y tres años de uso tiene una potencia de 7. Se sab sabee que que:: “x + 2” varía varía prop proporc orcionalm ionalmente ente ccon on 80 caballos, ¿cuántos años de uso tiene otro motor de  “y - 3”. Si cua c uando ndo x = 10 enton en tonces ces y = 19 19,, halla hallarr el valor de “x” “x”,, si: y = 31. 6 litros de capacidad y 90 caballos de potencia? a) 4 b) 3 c) 6 a) 21 b) 23 c) 20 d) 7 e) 5 d) 19 e) 18 a) 12 y 750 d) 6 y 750

38

b) 18 y 375 e) 6 y 500

c) 6 y 375

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 14.En la siguiente gráfica, la línea “OA” representa 19.La velocidad veloci dad de un vvelero elero es proporcional a la velocidad proporcionalidad directa y la curva “AB” representa del viento e inversamente proporcional al peso que proporcionalidad inversa. Hallar los valores de “a” y “b”. lleva. Si cuando la velocidad del viento es de 15 km/h, el peso es de 100 kg y la velocidad del velero es de M 10 10..km/h, determinar la velocidad del viento en una  A a tormenta, si el peso es de 80 kg y la velocidad del velero 20 km/h.

10 b

a) 2200 km/h d) 22

B 4

0 a) 15 y 10 d) 15 y 9

6

10

b) 12 y 9 e) 12 y 10

P

c) 10 y 12

15.Del siguiente gráfico, hallar “a + b”. y y D.P. x  A 8 y I.P. x

a)

a) 32 d) 28

15

b

b) 25 e) 24

x

c) 23

16.Una rueda “A” de 80 dientes engrana con otra rueda  “B” de 50 dientes. Fijo al eje de “B” hay otra rueda “C”  de 15 dientes que engrana con una rueda “D” de 40 dientes. Si “A” da 120 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda “D” en un minuto? m inuto? a) 70 d) 90

b) 72 e) 96

c) 60

b) 7 e) 12

c) 11

21.Se tienen dos magnitudes “A” y “B” que tienen una cierta relación de proporcionalidad, tales que:

1,6 a

c) 1199

20.E n una empresa eell sueldo es D.P 20.En D.P.. a la edad y a los años de servicio del empleado e I.P. al cuadrado de la categoría. Juan empleado de 2da categoría con 10 años de servicio en la empresa y de 56 años de edad gana S/. 2 000 y José que entró a la empresa empre sa 3 años después que Juan, gana S/.5 000 y es empleado de 1era categoría. Hallar la diferencia de edades de ambos. a) 8 d) 6

B

6

b) 2211 e) 24

 A 1

2

3 4 12 1,5x

B 144“x” 36 16 9 1 Hallar

x Rpta.: ________________ 

 A 1 2 3 4 6 x b) B 1728 432 192 108 48 x Hallar la suma de cifras de “x”. Rpta.: ________________   A 2 3 4 6 8 9 c) B 12 27 48 108 192 x Hallar el producto de las cifras de “x”. Rpta.: ________________ 

17. 17. El volumen de una esfera está en razón directa al cubo de su radio. Cuando una esfera tiene de radio 3 1  dm, 22.El gasto de una persona es D.P D.P.. a su sueldo, siendo el 2 2 resto ahorrado.  dm3. ¿Qué volumen tendrá una 3 esfera de radio igual a 3 dm? a) Un señor ccuyo uyo su sueldo eldo es de SS/.900 /.900 ah ahorra orra S/ S/.90. .90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea S/.1 260? a) 326 dm3 b) 305 c) 55228 Rpta.: ________________  13 1 e) 326 d) 113 21 7 b) Una ama de cas casaa gasta en el merc mercado ado S/.1 S/.100, 00, ganando S/.1 600. ¿Cuánto ahorra, si su sueldo se 18.Si “A” I.P. “B”, cuando A = a, B = b y si “A” aumenta 1 hace una cuarta parte menos? unidad, “B” disminuye 1; además se cumple: Rpta.: ________________  s

u

v

o

l

u

m

e

n

e

s

1

7

9

a 1 b



x 8



y 19

23.El incremento anual de la población de una ciudad es D.P.. a la población existente al comienzo del año. Si al D.P

hallar: 3 x    y a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Organización Educativa TRILCE

comenzar elelaño la población de ¿cuál 400 000; al año992000 era 420 era 000, seráy la población al terminar el año 2001? Rpta.: ________________  39

 

Proporcionalidad 24.El precio de una piedra preciosa es directamente 29.Veinte operarios pueden realizar una obra en 15 días. proporcional al cubo de su peso. Si se tiene una de Para que la obra sea terminada en 10 días, entonces: estas piedras, cuyo precio es de S/.375 y se parte en dos pedazos uno de los cuales es 1/4 del otro, ¿qué I. Neces Necesito ito 30 oobrero breross de iigual gual re rendimie ndimiento nto qu quee los pérdida de valor sufrió la piedra? anteriores. II. Necesito 15 obreros de doble rendimiento que los Rpta.: ________________  anteriores. 25.Sea: 25. Sea: f(x) = kx una función de proporcionaliidad, dad, en la que: 30.En la gráfica, para conocer: x , necesito: y

4

f(2) . f(5) . f( 5 ) = 216 hallar:

f(3)f(6)f(9)   f(12)

Rpta.: ________________ 

* Problemas de comparación:   Columna A 26.Si: “A” es I.P. a “B”, entonces cuando A  “A”” es 5, “B” es 8.  “A Si: A = 20, B = ? 27.La cantidad de alumnos hombres a mujeres es 4 a 7 28.Dos ruedas concatenadas (engranadas) de 24 y 45 dientes cada una respectivamente

I. Sab Saber er eell valo valorr de “k” “k”.. II. No neces necesito ito el valo valorr de “k” “k”..  A

6 Columna B

x

B

4

 A d.p. B

8

hombres

mujeres

# vueltas del mayor

# vueltas del menor

y

k 

B

Autoevaluaciòn 1. Si "A" es D. D.PP. a la suma de tres magn magnitudes itudes,, tales que la primera prim era es D.P D.P.. a B , la segunda segun da varía D.P D.P.. con "B" y la tercera varía I.P. con B . Si: AA = 17558 B = 3166  A = 273,5 B = 64 Hallar el valor de "B", cuando: A = 601 a) 324 d) 11444

b) 164 e) 11880

c) 154

2. Se sab sabee que "A" es D D.P .P.. a B2 (C = constante) y "C" es D.P.  A  (B = constante). Si se tiene los siguientes siguiente s datos:  A = 4

A=x

B=2

B=

C=1 Hallar "x"

C=

a) 40

1 15

1 2 1

1 16

1 3

e)

1 8

3. Si el precio ddee un diaman diamante te es D.P D.P.. al cuadr cuadrado ado de su peso, ¿cuánto se perdería si un diamante se rompe en dos pedazos siendo uno el triple del otro? (El diamante entero estaba valorizado en 32 000 dólares). a) 5 000 d) 5 400

b) 1 000 e) 1 200

c) 12 000

4. Se sabe que "A" es I.P I.P.. con "B" y que "B" es I.P. I.P. con "C". Si cuando "A" aumenta 15 unidades "C" "C " varía en un 20%. ¿Qué pasa con "B" cuando "A" disminuye en 12 unidades? a) Disminuye en 25% c) Aumenta en 25% e) Au Aume ment ntaa en 10 10% %

b) Disminuye en 30% d) Aumenta en 30%

5. Si "A "A"" es I.P I.P.. co conn B (B     36); "A" es D.P. con B 4 (B   36). Además si A = 75 , cuando B = 12, hallar "A" cuando B = 72

2

b)

d)

c) 16

a) 70 d) 50

b) 80 e) 45

c) 60 Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA Tarea domiciliar domiciliaria ia 1. Sabiendo que “A “A”” es D.P D.P.. a “C” e I.P I.P.. a “B”. Hallar “A “A””, 11.El alargamiento que sufre una barra es proporcional a cuando B = 16 y C = 48; si cuando “A” vale 24, “B” es su longitud y a la fuerza que se aplica, e I.P I.P.. a su sección 10 y “C” es 36. y rígidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y 31 mm2 de sección se le aplican 2 000 newton, sufre 2. Sabiendo que “A “A”” es D.P D.P.. a “C” e I.P I.P.. a “B”. Hallar “A “A””, un alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamiento cuando B = 6 y C = 18; si cuando A = 36; B = 12 y  C = 24. ocasiona unasección, barra desabiendo aluminio de 70 cm800 de newton largo y aplicado 12,4 mma2 de que la rígidez del aluminio es la mitad que la del acero. 2 3. “A” es D D.P .P.. a B  e I.P. a C , cuando A = 10; B = 25 y C = 4. Hallar “A”, cuando B = 64 y C = 8. 12.La magnitud “A “A”” varía proporcion proporcionalmente almente a la magnitud B2 e I.P. I.P. a la magnit magnitud ud “C”; así mismo “B” varí varíaa D.P D.P.. a la 4. Del sigu siguiente iente gr gráfico áfico,, calcu calcular lar “a + b” b”.. raíz cuadrad cuadradaa de “D” “D”,, y “C” varía I.P I.P.. a la magn magnitud itud “E” “E”.. Si: A = 40; D = 2 y E = 5, hallar “A “A””, cuand cuando: o: D D.E .E = 20.

7

hipérbola

3 1,4 a

15

b

5. Si la mag magnitud nitud ddee "A" eess D.P D.P.. a B2, calcule el valor de "A" cuando "B" es 16, sabiendo que cuando "A" toma el valor de 25, "B" asume el valor de 20. 6. Gaby Gaby,, de 180 cm de alt altura, ura, proyect proyectaa una sombr sombraa de 120 cm. ¿Qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta proyecta una sombr sombraa de 400 cm?

13.El peso de un disco varía proporcionalmente al cuadrado de su radio y también a su espesor espe sor.. En dos discos cuyos espesores están en relación de 9 a 32 y donde el peso del primero es el doble del segundo, se pide determinar determ inar la relación de sus radios. 14.En el siguiente cuadro, se pide determinar el valor de  “a+b”; sabiendo que “A “A”” es D.P D.P.. al cuadrado de “B” y al cubo de “C” e I.P. a la raíz cuadrada de “D”.

 A B C D

a 5 2 25

108 324 2 4 b 3 9 16

7. Pilar pi pintó ntó las ca caras ras de un cu cubo bo en 20 minu minutos. tos. Si aho ahora ra está pintando otro cubo cuya arista es el triple del 15.En cierto proceso de producción se descubre que ésta anterior, ¿en cuánto tiempo terminará de pintar este era D.P D.P.. al núm número ero de máq máquinas uinas e I. I.PP. a la raí raízz cuadrada cubo? de la antigüedad de ellas. Si inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso y se consiguen 8 máquinas má quinas más con 4 años de uso cada una, determinar la relación relaci ón entre la producción actual y la anterior anterior.. 8. de El preci precio o de aluncaerse dia diamante mante ppropor roporciona cional al cuadr cuadrado ado su peso, dichoesdiamante, sel fracciona en dos partes, que están en la relación de 2 a 3. Calcule el precio inicial del diamante. Considere que si se venden 16.La potencia del motor de un automóvil es D.P. a su capacidad e I.P. I.P. a los años de uso. Si un motor de 4,2 en partes se perdería S/. 1 560. litros de capacidad y 3 años de uso tiene una potencia de 72 caballos, ¿cuántos caballos de potencia tiene 9. Las ru ruedas edas "A", ""B", B", "C "C"" y "D" tiene tienenn 40; 160; 60 y 90 otro motor de 6,3 litros de capacidad y 6 años de uso? dientes respectivamente. "A" y "B" están engranadas, "B" y "C" sujetas al mismo eje, "C" y "D" están 17.La resistencia r esistencia de un conductor metálico de sección recta engranadas. Si "A" da 120 RPM, ¿¿en en qué tiempo "D" circular es proporcional a su longitud e inversamente dará 200 vueltas? proporcional al cuadrado de su diámetro. ¿Qué sucede con la resistencia, cuando su longitud se duplica y el radio se hace la mitad de su valor? 10.La pérdida de una carga de agua que circula por un tubo es D.P. a la longitud del mismo y varía en razón inversa a su diámetro. Si en una longitud de 9,5 m de 18.La potencia de un circuito varía en forma D.P. con la resistencia del que conductor eléctrico y con el cuadrado tubo y 3,8 cm de diámetro, la pérdida de carga fue de de la corriente circula. Si la corriente se reduce a 12 cm, ¿cuál fue la pérdida de la carga de un tubo de su mitad y la resistencia se triplica, ¿qué sucede con la 75 m de largo y 18 cm de diámetro? potencia, aumenta o disminuye? ¿y cuánto? Organización Educativa TRILCE

41

 

Proporcionalidad 19.Se ha descubierto que el tiempo en días que demora 20.Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales; un hombre en hacer un trabajo varía en razón de su calcular “a+b”. salario por hora e inversamente a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja por día. Se puede acabar  A un artículo en 6 días, cuando trabaja 9 horas diarias a S/.300 por hora. ¿Cuántos días tardaría en terminar el a mismo artículo cuando trabaja 16 horas diarias a S/.450 por hora? 30 10 5

42

6

b

B

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

Complemento de proporcionalidad

7

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Ejercicios

7. En el sigui siguiente ente grá gráfico fico,, calc calcular ular “a + b” b”..  A

1. La magnitud “A “A”” es D.P D.P.. a la magnitud “B” “B”.. Cuando  A = 51, entonces B = 3. Hallar el valor que toma “B” “B”,, cuando A. A.=.34.

a+16 a

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Se tiene dos magnitude magnitudess “A “A”” y “B” tales que A es D.P D.P.. a 2 B ; además cuando A = 75, entonces B = 5. Hallar “A” “A”,, cuando B = 4. a) 40 d) 32

b) 42 e) 48

a-24 24 32

a) 112 d) 68

b) 56 e) 60

b

B

c) 72

c) 36 8. magnitudes La gráfic gráficaa “A” muestra los va valores lores que doss y “B”. Calcular "m + qu n".e toman do

3. Sabie Sabiendo ndo qu quee “x” es I.P I.P.. a (y2 - 1); donde: x = 24, cuando y. y.= 10. Hallar “x”, cuando y = 5.

 A m

a) 90 d) 99

b) 88 e) 100

c) 72 8 n

4. “A” es I.P. I.P. a B . ¿Qué sucede con “B”, cuando “A”  ”  aumenta en su triple? a) Se divide entre 16 c) Se multiplica por 9 e) No ca camb mbia ia

b) Se divide entre 9 d) Se divide entre 8

12 18

a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

36

B

c) 16

siguiente gráficoo de magnitud magnitudes es “L “L”” y “T” “T”,, hallar .+siguien .b". te gráfic "2a.el "2a 5. Si:  A  B  D.P. a C2; cuando A = 6 y B = 3, entonces 9. En C = 3. Hallar “B”, si: C = 6 y A = 9. L

a) 140 d) 11335

b) 145 e) 11220

c) 142

45

6. Siendo “A “A”” D.P D.P.. al cuadrado de la mag magnitud nitud “B”  determinar "a+b", si el siguiente cuadro muestra los valores de las magnitudes respectivas.

 A B a) 52 d) 47

27 a b) 51 e) 45

75 5

36 a

b 4 c) 48

b-1

a) 60 d) 80

b

b) 62 e) 65

b+1

c) 75

T

43

Organización Educativa TRILCE

 

Complemento de proporcionalidad 10.Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular "a + b".

a) S/.45 000 d) 90 000

b) 22 500 e) 180 000

c) 11 250

16.Dos ruedas de 24 y 39 dientes están concatenadas. En el transcurso de 4 minutos una da 50 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad del menor en rev/min.

39 24

a) 38,5 d) 3322,5

a

b) 20 e) 22,5

c) 3377,5

17.El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. a) 42 b) 43 c) 45 Se editaron 2 000 ejemplares de un libro de 400 páginas d) 46 e) 50 cuyo costo es $6 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar, ejemplar, si se mandaron a imprim imprimirir 1 800 libros de 11.El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado 360 páginas? de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo? a) $6 b) 8 c) 4 d) 7 e) 5 a) 36 b) 18 c) 20 d) 12 e) 10 18.El sueldo suel do de un empleado es directamente proporcion proporcional al a su rendimiento e inversamen i nversamente te proporcional al número 12.Suponiendo que el apetito de una persona es D.P D.P.. a su de días que ha faltado a trabajar trabaj ar.. Si Juan tuvo un sueldo talla e I.P. I.P. a su estado de ánimo. Entonces si Hugo que mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó mide 1,80. 1,80.m y cuyo estado de ánimo es de 4 puntos se come 18 sandwichs, hallar cuántos sandwichs se come 4rendimiento días, entonces, ¿cuál el sueldo es como 8 yesfaltó 3 días? de Carlos, si su Walter que mide 1,20 m y su estado de ánimo es de 6 puntos. a) S/.960 b) 1 080 c) 1 280 d) 1 440 e) 980 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 19.La siguiente si guiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales: La producción de una 13.Si “A” es D.P. a “B” y cuando A = a; B = b, y si “A”  fábrica, respecto al número de obreros. La primera recta aumenta 1 unidad, “B” aumenta aumen ta en 2. Entonces el valor se ha obtenido con obreros experimentados y la de la constante de proporcionalidad es: segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar, ¿cuál sería su producción con 60 obreros experimentados?, y en segundo lugar lugar,, 1 1 a) b) c) 2 ¿cuántos obreros nuevos necesitaría para producir con 2 3 ellos 1 760 artículos? 10

b

65

1

Producción

e) 4

d) 4

14.La magnitud "A" es I.P. I.P. a B 2. Las variaciones de “A” y  “B” están dados en la siguiente siguiente tabla de valores valores::

 A B

3a 6

144 b

c 2

9 a

1300

Obreros nuevos

1100

Hallar “a + b + c”  a) 15 d) 33335

b) 12 e) 33440

Obreros experimentados

50 c) 339

15. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que la

a) 1 560; 90 d) 1 560; 70

b) 1 240; 70 e) 1 650; 90

Número (obreros)

c) 1 560; 80

separa de ¿cuánto Lima. Sicostará una casa 75 km,material, cuesta 20.La cantida d dealdemanda cantidad bien en es directamente proporcional cubo de de la cierto inversión publicidad e S/.45 000, unaubicada casa delamismo inversamente proporcional al cuadrado del precio si su área es el doble y se encuentra a 150 km de unitario. Si el año pasado se vendieron 64 millones m illones de distancia? artículos a S/.200 e invirtió en publicidad S/.4 000, 44

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA D.P.. a su sueldo, siendo el ¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, si se 25.El gasto de una persona es D.P resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es $900 ahorra quiere vender 80 millones de artículos a S/.250 cada $90. ¿Cuál será su sueldo, cuando su gasto sea $1. $1.260? uno? a) S/.5 000 d) 8 000

b) 4 000 e) 7 000

c) 6 000

a) $1 400 d) 1 900

b) 1 300 e) 2 000

c) 1 500

21.Dos cantidades “A” y “B” son inversamente propor- 26.Gustavo observa que los gastos que hace al celebrar su cumpleaños cumple años son D.P D.P.. al núme número ro de invit invitados ados e I.P I.P.. a cionales con constante de proporciona proporcionalidad lidad igual a “K”. las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última ¿Cuánto vale “K”, si la constante de proporcionalidad vez gastó $1 050 e invitó a 150 personas ocupando 12 1 horas, ¿cuánto ahorrará si invita sólo a 100 personas y entre la suma y la diferencia de "A" y " " vale 6? ocupa 14 horas en preparar dicha reunión? B a)

6 5

d) 7

b)

7 5

c) 2

a) $$11 000 d) 150

b) 66000 e) 33550

c) 44550

e) Faltan datos

27.Dos veteranos de guerra perciben sendas pensiones que son D.P. a las raíces cuadradas del número de 22.Se tiene dos magnitudes “A” y “B” que son I.P. de tal balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos manera que cuando “A” disminuye disminuye en 30 unidades, “B”  más que el segundo y sus pensiones están en la razón varía en sus 3/5. ¿Cómo ¿C ómo varía “B”, cuando “A” aumenta de 91 a 65, ¿cuántos balazos recibió el segundo? en 20 unidades? a) Aumenta 20% c) Aumenta 40% e) No varía aría

b) Disminuye 20% d) Disminuye 40%

a) 15 d) 16

b) 7 e) 25

c) 9

28.El área lateral de un sólido geométrico es directamente proporcional a su apotema y al perímetro de la base. 23.El costo de un terreno es inversamente proporcional al Si el área es 600 m 2 cuando el apotema es 5 m y el cuadrado de la distancia de Lima al terreno y perímetro de la base 12 m, hallar el área cuando el directamente proporcional a su área. Un cierto terreno terr eno apotema es 0,5 m y el perímetro de la base 100 m. cuesta 500 mil y otro de doble área y situado a una distancia tres veces mayor que el anterior costará: a) 50 000 m2 b) 250 c) 2255 d) 500 e) 50 a) 75,2 mil b) 52,2 c) 62,5 d) 6655,2 e) 60,2 29.El costo unitario de un libro es I.P. al número de ejemplares editados. Si una primera tirada se vende 24.Una rueda “A” “A”, de 40 dientes engrana con otra “B” de por S/.35 640, ganando el 10%, ¿cuál será el costo de 50 dientes, fija al eje de “B” hay otra rueda “C” de 15 cada libro en una segunda tirada de 1 800 ejemplares? dientes, que engrana con una cuarta rueda “D” de 80 dientes. Dando la rueda “A” 120 vueltas por minuto, 30.Si se cumple: ¿cuánto tiempo tardará la rueda “D” en dar 18 000  A D.P. D.P. B2 (B  20) revoluciones? B I.P. B  (B  20) Calcule "A", cuando "B" es 180; si "A" es 3, cuando "B" a) 1155 h 5 min b) 1144 h 20 min es 10. c) 16 h 40 min d) 14 h 5 min e) 13 h 5555 m min in

domiciliaria ia Tarea domiciliar 1. Si "A" I.P I.P.. "B" y "A" D.P D.P.. "C", cuando: A = 5, B = 4, 3. Si "A" D.P D.P.. "B" e I.P I.P.. "C"; cuand cuandoo C = 3/2, "A" y "B" son C = 2. Hallar "C", cuando A = 6; B = 9. iguales, ¿cuál es el valor de "B", cuando A = 1 y C = 12? 2. Si y "C" sonenD.P D.P. . a "B", suc sucede "A" cua cuando ndo Sea "A" By "B" dos magnitu magnitudes, tal tales esBque: "A" " I.P I.P.. Bsi 4 cuando "C""A" aumenta 1/2 de su¿qué valor yede "B"con disminuye en 4. cuando  36do y s"A" D.P. Bdes, Además   36."A 1/4 de su valor?  A = 15 , cuando B = 12. Hallar "A", cuando B = 72.

Organización Educativa TRILCE

45

 

Complemento de proporcionalidad 5. Se tiene tr tres es engr engranaj anajes es "A", "B" y "C" "C",, donde "A" titiene ene 13.En la siguiente tabla, se presentan las variaciones de 24 dientes, está engranado con "B" que tiene ti ene 36 dientes las magnitudes “P” y “Q”. y éste a su vez está engranado con "C" que tiene 45 dientes. ¿Cuántas vueltas habría dado el engranaje "B", P 4 6 8 10 cuando la diferencia entre el número de vueltas dados Q 64 324 1024 2500 entre "A" y "C" sea 168 vueltas? 6. El precio ddee un cuad cuaderno erno vvaría aría pro proporcio porcionalmen nalmente te al número de hojas e I.P. al cuadrado del número de

La relación correcta entre “P” y “Q” es:

cuadernos que50sehojas compran. cuando compran siguiente“A”tabla cuadernos de cada Si uno, éstos se valen S/.2,525 la 14.La magnitudes y “B”.presenta las variaciones de las unidad, ¿cuál será el precio de cada uno, cuando se  A 9 16 144 b venden 20 cuadernos de 80 hojas cada uno? B

48

36

a

16

7. En una eempresa mpresa el sueldo eess direc directamente tamente pr proporcion oporcional al al cuadrado de la edad y a los años de servicio en la Hallar “a + b”  empresa. Si Inés que tiene 30 años y 4 años en la empresa tiene un sueldo de S/.4 500, ¿cuál es la edad de Carlos que entró un año antes ante s que Inés a la empresa 15.La cantidad de demanda de cierto bien es D.P. al cuadrado de la inversión en publicidad e inversamente y tiene un sueldo de S/.6 400? proporcional al cubo del precio unitario. Si el año pasado se vendieron 32 millones de artículos a S/.120 c/u e 8. El sueldo de uunn emplead empleadoo es D.P D.P.. a su rendimie rendimiento nto e invirtió en publicidad S/.2 500, ¿cuánto hay que invertir I.P. al número de días que ha faltado a trabajar. Si este año en publicidad si se quiere vender 270 millones César tuvo un sueldo S/.1 000¿cuál y su rendimiento es de artículos a S/.200 cada uno? como 12 y faltó 3 días,deentonces, es el sueldo de Pedro, si su rendimiento es como 16 y faltó 5 días?

16.Sabiendo que: a + b + c + m = 73, hallar el valor de  “m”..  “m” 9. El precio de imp impresió resiónn de un libro es D D.P .P.. al número de L1 páginas e I.P. al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 1 500 ejemplares de un libro de L2 250 páginas cuyo costo es $6 el ejemplar. ¿Cuánto 2m costará editar un ejemplar, ejemplar, si se mandaron a imprimir m 1 200 libros de 360 páginas? 10.El precio de una casa es directamente proporcional al c b 4 a área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a 70 km cuesta 17.Sean dos magnitudes “A” y “B”, tales que: “A” I.P. “B”  S/.12 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el triple y se encuentra a 100 km de distancia?

 40)  40). (B y “A” D.P D.P.. “B” Si: AB==6;60? cuando B = 20, ¿cuál será el valor de(B “A”, cuando

18.Dos cantidades “A” y “B” son I.P. con constante de proporcionalidad “K”. ¿Cuánto vale “K”, si la constante 11.El peso “P” de un cono varía proporcionalmente a su de proporcionalidad entre la suma y la diferencia de altura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base.  “A”” y 1/B vale 5?  “A ¿Cuál es la suma de los números con que se llenará l lenará los 19.Dada la siguiente gráfica: espacios en blanco de la siguiente tabla?

P H D

12,5 1,25 1

2 0,3

3,6 1

12.La capacidad de un condensador es D.P. D.P. a su longitud  “L”  “L” e I.P. I.P. a su secc sección ión “A” “A”. ¿Qué suced sucedee con la capac capacidad, idad, si “L” se hace la tercera parte y “A “A”” la sexta parte? 46

P

12

Q

Tercer Ter cer Año de Secundaria

46

 

ARITMÉTICA La expresión simple que relaciona esta gráfica esta 20.Del siguiente gráfico, hallar “a + b”. dado por:  A

a) “P” D.P. “Q” : Q < 12  “P” I.P. I.P. “Q” : Q > 12

b) “P” I.P. “Q” : Q  12 “P” D.P D.P.. “Q” : Q  12

60 a

c) “P” “P” D D.P .P..    Q2 : Q  1  122  “P” I.P. I.P.  Q : Q 12

d) “P” D.P. “Q” : Q  12 “P” I.P. “Q” : Q  12

24 B

36

e) No se pu pued edee

18

TRILCE

b

47

Organización Educativa TRILCE

 

8

Repaso bimestral

 COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Ejercicios

a) 4 d) 9

b) 5 e) 10

c) 6

9. En una prop proporció orciónn geomét geométrica rica con continua tinua el pr produc oducto to de los cuatro términos es 1 296 y los extremos se 1. Dos nú números meros es están tán en la ra razón zón de 5 a 6. Si el may mayor or es diferencian en 5. Hallar la suma de los cuatro términos. 42, hallar el menor. a) 30 d) 45 a 2. Si: b

a) 9 d) 36

b) 35 e) 25 

c) 40

3   y a2 + b2 = 657, hallar “a”.. 8

b) 27 e) 45

c) 18

a) 25 d) 100

b) 125 e) 11550

c) 50

10.La razón geométrica de dos números es de 3 a 8 y su suma es 2 497. Uno de los números es: a) 671 d) 1 806

b) 1 826 e) 661

c) 66881

3. Los áng ángulos ulos in interiore terioress de un trián triángulo gulo so sonn pro- 11.Tres números son proporcionales a 2; 5 y 7. Si la diferencia del segundo y el primero es 15, dar el tercer porcionales a los números: a3, 2a 3 y 6a3. Calcular el número. mayor de los ángulos. a) 35 b) 28 c) 21 a) 30° b) 40° c) 60° d) 14 e) 42 d) 120° e) 150° 4. La razón ggeométri eométrica ca de la raz razón ón aritmé aritmética tica y la rrazón azón 12.La longitud de una varilla a 25°C es 1,00 m. Si a 125°C geométrica de dos números es 16. Si la diferencia de mide 1,005 m, ¿cuánto medirá a 105°C, sabiendo que éstos es 24, entonces el mayor de los números es: la variación de la longitud es D.P. a la variación de la temperatura? a) 24 b) 48 c) 56 d) 60 e) 72 a) 1,0025 m b) 1,00025 c) 1,004 d) 1,0004 e) 1,025 5. Determi Determinar nar la medi mediaa difere diferencial ncial de llaa tercia pproporc roporcional ional de 24 y 15 y la cuarta diferencial de 34; 20 y 30. 13.Dos magnitudesse“A” y “B”a continuación: son I.P. y su gráfica correspondiente muestra a) 16 b) 12 c) 10 d) 9 e) 11  A

6. La cuarta proporc proporcional ional de “a + 1” 1”,, “a - 1” 1”,, y “a + 8” es  “a + 4”. 4”. Hallar la tercera proporcion proporcional al de "a2" y "4a". a) 12 d) 27

b) 16 e) 37

c) 18

7. En un sa salón lón de cl clases ases el nnúmero úmero ddee alumn alumnos os homb hombres res es al número de alumnas como com o 3 es a 5. Si se considera al profesor y una alumna menos, la nueva relación será de 2 a 3. Hallar cuántas alumnas hay en el salón. a) 20

b) 23

m+8 m m - 16 16

20

p

c) 25

d) 28 e) 27 8. El produc producto to de los extr extremos emos de una pproporc roporción ión geométrica es 36 y la suma de los términos medios es 13. Hallar la diferencia entre los términos térmi nos medios.

Hallar “m . p”  a) 320 b) 360 d) 1 280 e) 960

c) 4 800

B

49

Organización Educativa TRILCE

 

Repaso bimestral a) 10 b) 17 c) 18 14.La diferencia entre el mayor y menor término de una d) 19 e) 11 proporción geométrica continua es 25 y el otro término es 30. Hallar la suma de los términos, si los cuatro son 21.Se tiene una serie de tres razones geométricas positivos. equivalentes. El producto de las sumas de términos t érminos de cada una de las razones es 64. Hallar la suma de la a) 95 b) 100 c) 65 media geométrica de antecedentes y de la media d) 11225 e) 11330 geométrica de consecuentes. 15.Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí  a) 2 b) 4 c) 8 como los números: 4; 7; 9 y 10. ¿Cuál es el valor del d) 16 e) 32 mayor de ellos? a) 11000° d) 96°

b) 11220° e) 8844°

c) 9900°

16.Los tres números positivos en progresión aritmética que aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente forman una progresión geométrica de suma 28, son: a) 6; 5 y 4 d) 5; 7 y 9

b) 1; 5 y 9 e) 2; 5 y 8

22.Sabiendo que: (A + B + C + D) (a + b + c + d) = 5 041 y que:

 A a



B b



C c



D d

calcular el valor de:

E  2(Aa  Bb  Cc  Dd )

c) 5; 9 y 13 a) 92 d) 184

b) 216 e) 82

c) 142

17.En una serie de tres razones geométricas continuas equivalentes, la suma de los consecuentes es 546 y el producto de las tres razones es 1/27. ¿Cuál es el 23.Sabiendo que uno de cada mil vehículos sufre un accidente en 1 kilómetro. ¿Cuántos vehículos de cada millón sufren un accidente en 2 kilómetros? antecedente mayor? a) 81 b) 105 c) 126 a) 2 000 b) 200 c) 99 999 d) 33778 e) 44002 d) 1 999 e) 991 18.Sabiendo que:

15  A



24 B



33   y que: C

4A - 2B + 5C = 295

a) 120 d) 11227

calcular “A + B + C”  a) 90 d) 11550

b) 108 e) 22000

24.El producto de los cuatro términos t érminos de una proporción discreta es 15 876. Si el primero de estos términos es 7, calcular el producto de los términos medios.

c) 120

b) 122 e) 11228

c) 126

25.Se 25. Se sabe que "A" es D.P D.P.. a B2, ¿en cuántas veces aumenta el valor de "A", cuando "B" aumenta en su triple?

19.En la academia, la relación de hombres y mujeres es a "B" unauna ventaja de 20 carrera de como 2 a 5, la relación de hombres del anual y hombres 26."A" 200lem,da"B" le da ventaja de m40enmuna a "C" en una del semestral es como 7 a 3. ¿Cuál es la relación de los carrera de 360 m. ¿Cuántos metros de ventaja debe hombres que están en el semestral y el total de dar "A" a "C" en una carrera de 400 m? alumnos? a) 6 35

b) 1 35

d) 2 35

e) 3 35

c) 4 35

20.Un conjunto de música moderna ofreció tres conciertos, siendo el total de asistentes en cada una de sus presentaciones “A”, “B” y “C”. Sabiendo que “A” es a  “B” como 49 es a 64; que “C” es un cubo perfecto múltiplo de 5 y además media proporcional entre “A “A”” y  “B”.. Calcular  “B” Calcular el mínimo: E = A + B + C. Dar la su suma ma de sus cifras.

27 27.. La razón geométrica, entre dos números cuya suma es 35, se invierte si se añade 15 al menor y se quita 15 al mayor.. Calcular el producto de los números. mayor 28.Si: "A" D.P D.P.. "B2" ("C" : constante) "C" I.P. "A" ("B" : constante)

 A B

80 10

a 2

25 10

C

40

2

b

Calcule "a + b"

50

Tercer Ter cer Año de Secundaria

 

ARITMÉTICA 29.Las ruedas "A", "B", "C" y "D" tienen 40; 160; 60 y 90 30.Se tienen 2 magnitudes "A" y "B", tal que: dientes respectivamente. "A" y "B" están engranadas, "B" y "C" sujetas al mismo eje, "C" y "D" están * Si: A   12, se cumple que "A" D.P. "B" engranadas. Si "A" da 120 R.P R.P.M., .M., ¿¿en en qué tiempo "D" * Si: 12  A  32 , se cumple que "A" I.P. "B" dará 120 vueltas? * Si: 32  A, se cumple que "A" I.P. B2 Calcule "B", cuando A = 72; si cuando A = 3, B = 10.

Tarea domiciliar domiciliaria ia reunión ión se obs observó ervó qu quee si se retira retirann 10 varo varones nes 1. La razó razónn aritmét aritmética ica de la lass edade edadess de dos hherman ermanos os es 9. En una reun quedan 4 varones por cada 3 mujeres. Si después se 9 años. Si la suma de sus edades es 37 años, hallar la retiran 20 mujeres entonces quedan 4 varones por cada edad del mayor dentro de 5 años. mujer. ¿Cuántas personas estaban en la reunión inicialmente? 2. La razó razónn de dos nnúmeros úmeros es 3/5 y ssuu suma es 1 216. Hallar el número menor. a c 10.Sea:     k , además: b d 3. Dos núme números ros está estánn en la relac relación ión de 2 a 77.. Agrega Agregando ndo a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades a  15 c  6  iguales. Hallar la suma de los números. b5 d2 d 4. A una fiest fiestaa concu concurriero rrieronn 320 pers personas onas en entre tre hombr hombres es hallar: , si: k     3. b y mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, ¿cuál es la nueva a c razón entre hombres y mujeres? 11.Dada la proporción:     , si se sabe que: a + b = 30; b

d

c + d = 35 y b + d = 26, calcular el valor de “a” “a”.. 5. Las eda edades des de An Antonio tonio y BBernard ernardoo están eenn la razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y César están en la 12.Uno de los términos medios de una proporción razón de 4 a 7. Si la suma de las tres edades es 159 aritmética continua es media proporcional de 27 y 75, años, hallar la edad de César César.. y uno de los extremos es la media m edia aritmética de esos mismos números. Calcular el valor del otro extremo de 6. El produ producto cto de lo loss antec antecedent edentes es de una sserie erie de tr tres es la proporción. razones iguales es 288 y el producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la suma 13.En la proporción geométrica discreta siguiente: a   c b la d de los consecuentes, si la suma de los l os antecedentes es se cumple que: a + d = 24; b + c = 18, además 21? suma de los cuadrados de los cuatro términos t érminos es 580. Hallar “a + c”, c”, si: a > d y b < c. m n p 7. Si:      k  a b 7 4 3 14.En la siguiente proporción:      se cumple que: b c m2 (m  p  n)21   a  c  1. 1 . a c = 15 y  Hallar la media proporcional y y además:  42np 4 dar la suma de sus cifras. hallar “m2 - n2 - p2”  15.Sabiendo que “A” es directamente proporcional al cuadrado de “B”, calcular los valores de “m” y “P”. Si 8. En una pro proporció porciónn geométr geométrica ica con continua tinua el pr product oductoo de tenemos: los cuatro términos es 256. Si uno de los extremos ext remos es  A 45 320 P el cuádruple del otro, hallar el menor de los extremos. B

3

m

10

51

Organización Educativa TRILCE

 

Repaso bimestral 16.Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados, 19.Se tiene dos magnitudes "A" y "B" que son I.P. para calcular cuántas vueltas habrá dado uno al lado de 4 valores de "B" menores o iguales a 40, pero las mismas minutos, si una rueda ha dado 70 vueltas más que el son D.P D.P.. para valores de "B", mayores o iguales a 40. Si: otro.  A = 8, cuando B = 64; ¿cuán ¿cuánto to vvale ale "A", si: B = 160? 17.Se tiene dos magnitudes "A" y "B", en el siguiente 20."A" es proporcional a la suma de "B" y "C" e cuadro se muestra los valores que toman sus inversamente inversa mente proporcional al cuadrado de "D". Cuando variaciones. Hallar "x".  A = 2; 2; B = 3 y D = 6, entonces C = 5. Hallar el vvalor alor de "C", cuando A = 9; B = 10 y D = 4.

 A B

2 72

3 32

4 18

6 8

12 x

18.El consumo de una persona es D.P. a su sueldo. El resto lo ahorra, la señora Edel gana S/.500 y ahorra S/.100. Si recibe un aumento, consume S/.1260. ¿De cuánto es el aumento?