Modul 11.
Regresi & Korelasi Ganda Regresi Berganda
Masa Masala lah h disi disini ni adal adalah ah pend pendug ugaa aan n atau atau pera perama mala lan n nilai nilai peubah peubah tak bebas bebas Y berdas berdasark arkan an hasil hasil pengpengukuran beberapa peubah bebas x1, x2, …, xn Misalnya : menduga kecepatan angin sebagai fungsi dari ketinggian tempat diatas muka bumi, suhu dan tekanan. ersamaan untuk peramalan dapat diperoleh dengan meng menggu guna naka kan n pros prosed edur ur kuad kuadra ratt terk terkec ecilil terh terhad adap ap data hasil pengukuran ketinggian tempat, suhu dan tekanan untuk menghasilkan koefisien regresinya. !ontoh acak berukuran n dari populasi dapat dituliskan sebagai "x1i, x2i, …, xri, yi # i $ 1, 2 …,n%& ersamaannya : y $ ' ( 1 x1 ( 2 x2 (
, , , '
1
r
( r x xr
adalah adalah parame parameter ter yang yang haru harus s didug diduga a
dari data. ersamaan regresi contohnya adalah : yˆ b0 b1 x1 b2 x2 br xr
1
kita membatasi pada kasus dua peubah sa)a.
x 1 dan x2
engetahuan mengenai matriks akan sangat membantu dalam melakukan manipulasi matematika. *engan hanya dua peubah bebas, persamaan regresi contohnya men)adi : yˆ b0 b1 x1 b2 x2
dan setiap nilai pengamatan memenuhi hubungan yi b0 b1 x1i b2 x2i
+ilai dugaan kuadrat terkecil b ', b1 dan b2 dapat diperoleh dengan memecahkan persamaan linear simultan. nb0 b1
n
x
n
b0
x1i b1
n
1i
1i
n
n
x i 1
2i
n
i 1
i 1
b2 x zi yi
1i
i 1
b0
n
2 x1i b2
n
x1i x2i
i 1
n
x y 1i
i
i 1 n
n
b1 x1i x2i b2 x x2i yi 2 2i
i 1
i 1
i 1
istem persamaan linier ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan b1 dan b2 dengan beberapa cara yang tersedia, antara lain kaidah cramer dan kemudian b ' dapat diperoleh dari persamaan pertama : b0 y b1 x1 b2 x 2
ntuk masa kini, tersedia pula paked program komputer yang dapat memperoleh nilai dengan dugaan parameter pada regresi linear berganda beserta analisis yang berhubungan dengan model
2
tersebut, seperti M+/0, 0, , Y/0/ dan sebagainya.
Korelasi Ganda dan Partial
orelasi linear 3r% dan koefisien determinasi diperoleh pada peubah 4 dan Y. onsep ini dapat diperluas pada kasus peubah ganda. Misalkan hubungan antara nilai-nilai peubah tak bebas Y dengan peubah bebas 4 1 dan 42.
oefisien *eterminasi erganda contoh yang dilambangkan dengan 52y.16 , menun)ukkan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah y yang dapat diterangkan oleh model yang digunakan : R y2.12 1 JKG
JKG ( n 1) s y2
n
y
i
yˆ i 2 ,
i 1
yˆ merupakan nilai ramalan bagi Y
yang diperoleh dengan cara memasukkan 3x 1i, x2i%, untuk i $ 1, 2, …, n kedalam persamaan regresi berganda. 5umus lain untuk menghitung 78 : JKG
n
yi2 b0
n
i 1
i 1
yi b1
n
i 1
x1i yi b2
n
x
2i
yi
i 1
ntuk contoh acak "3x1i, x2i, yi # i $ 1, 2…,n%& koefisien determinasi contoh 5 2y.12 didefinisikan R y2.12 1
JKG
n 1 s y2
3
oefisien orelasi artial contoh, dilambangkan dengan ry2.1 yang mengukur korelasi antara y dan x2 sementara x1 tetap diperhatikan tetapi dibuat tetap.
*efinisi oefisien orelasi arsial. kuran hubungan linear antara peubah-peubah y dari x2, dengan x1 dibuat tetap, diduga dengan koefisien korelasi parsial. !ontoh : r y2.1, yang didefinisikan sebagai : r y 2.1
r y 2 r y1r 12
1 r 1 r 2 y1
2 12
r y2 $ koefisien korelasi contoh biasa antara y dan x 2 r y1 $ koefisien korelasi contoh biasa antara y dan x 1 r 12 $ koefisien korelasi contoh biasa antara x 1 dan x2
Regresi Ganda Dengan Peubah Bebas X 1 dan X2 Model dugaannya : normalnya :
yˆ b0 b1 X 1 b2 X 2
b'n ( b141 ( b242 $
Y
b'41 ( b1412 ( b24142 $ b'42 ( b14142 ( b242 $ eubah
41,
42
dan
dan persamaan
Y
4 Y 1
4 Y 2
ditransformasikan
ke
x1 X 1 X 1 , x2 X 2 X 2 dan y Y Y
4
ehingga persamaan normalnya berubah men)adi : b1 x12 b2 x1 x2 x1 y
atau
b1 x1 x2 b2 x22 x2 y
x x x
2 1
x1 x2
1 2
x22
b x y dimana b x y 1
1
2
2
x X 2 1
2 1
X 1 2 n
x1 x2 X 1 X 2
x1 y X 1Y
; x X 2 2
2 2
X 1 X 2 n
X 1 Y n
X 2 2 n
; y Y 2
2
Y 2
; x2 y X 2Y
n
X 2 Y n
*engan metode !ramer persamaan tersebut dapat diselesaikan. b1
b1
x1 y
x1 x2
x2 y
x22
x 2
x1 x2
x1 x2
x22
x12
x1 y
x1 x2 x2 y x12
x1 x2
x1 x2
x22
x1 y x22 x2 y x1 x2 x12 x22 x1 x2 2
x x y x x x y x x x x 2 1
2
2 1
1
2
2 2
1
2
1
2
X 1 X 2 b1 b2 atau n n n b 0 Y b1 X 1 b2 X 2 b0
Y
oefisien determinasi : R 2
b1 x1 y b2 x2 y
y 2
5
S e x2 2
V (b1 ) S b1
2
x x x x 2 1
v(b1 )
2 2
S e2 x22
x x x x 2 1
2 2
1 2
S e x1 2
V (b2 )
2
x x x x 2 1
2 2
t
b1 S b1
v(b2 )
2
1 2
S e x1 2
S b2
2
1 2
2
x x x x 2 1
2 2
2
1 2
merupakan statistik u)i 9 ' : 1 $ ' 91 : 1 '
*emikian )uga t
b2 S b2
merupakan statistik u)i 9 ' : 2 $ ' 91 : 2 '
ntuk mengu)i b1, b2 secara serentak dapat dibuat F
sidik ragam untuk mencari statistik u)i
5eg.3b1,b2;b'% 8alat total
db k-1
7 52y2
n-k
31 = 5 %y
n-1
2
y2
KT Re g KT galat
/ R y 2
KT Re g 2
k 1
1 R y 2
KT g .
hit. /5eg runtunan percobaan yang diukur pada dua peubah bebas dan satu respons Y : Y
41
42
2 12 B C ? @ A 1'
1 @ A ? C D 2 >
? 1A @ 11 B 12 D A
a. /entukan persamaan regresi ganda b242.
Y
$ b' ( b1 41 (
b. 9itung koefisien determinasi 5 2 c. )ilah pengaruh 41, 42 terhadap Y dengan u)i 3sidik ragam% d. )ilah hipotesis 9' : 1 $ ' laEan 91 : 9' : 2 $ ' laEan 91 : 2 '
' dan 1
7aEab : Fembaran olahan data Y
41
42
4142
412
422
41Y
42Y
Y2
2
1
?
?
1
B
2
D
C
12
@
1A
1'A
CB
22A
>C
D?
>1
7
B
A
@
?A
2A
CB
CA
D?
>1
C
?
11
??
B
121
12
CC
1D
?
C
B
2>
1D
>1
12
2@
B
@
D
12
@2
?D
1CC
C2
>C
CB
A
2
D
12
C
?D
1'
?'
2A
1'
>
A
C'
DC
2A
>'
A'
1''
A2
?D
D>
?2>
2'C
DB'
2>@
C>C
C2'
4 14 d a n 41y ter-
enghitungan elemen matriks reduksi pada persamaan normal x 204 2 1
x22 6$0
362 " 6"2
x1 x2 32"
42
# 420 2
112
" (36)(6") "
42 per!amaan nrmal 22
522
x1# 2"7 22
"
"2
(36)(52) "
x2 # 4"4
42
(6")(52) "
42
b 53 112 b 42 22
1
2
*engan metode !ramer b1 dan b2 dihitung kemudian dilan)utkan menghitung b '.
"
53
b1
22
42 112 42
22
53112 42 22 42112 22 22
5$36 $24
42 42 22 53 1764 1166 42112 22 22 4704 4"4
4704 4"4
5012 4220
22 112
b1 1,1"" 42 53
b2
22 42 42
22
5$" 4220
22 112
b2 0,142 b0 Y b1 X 1 b2 X 2
b' $ D,A = 1,1>> 3C,A% = ',1C2 3>,A% $ D,A = A , ?CD = 1,2'@ $ -','A? persamaan regresi dugaan : ',1C242
Y
$ - ','A? ( 1,1>>4 1 (
7aEaban a%.
Y
$ - ','A? ( 1,1>>41 ( ',1C242
b%. oefisien *eterminasi 52 $ 2 R
R 2
R 2
b1 x1 y b2 x2 y
y 2 1,1""(53) 0,142(42) "2 6",$2" "2
62,$64 5,$64 "2
0,"41
$
c%. 0nalisis ragam
db
7
/
hit.
5eg.3b1,b2;b'%
2
D>,B2>
?C,CDC'
1?,1>2
8alat
A
1?,'@2
2,D1CC
-
/otal
@
>2,'''
-
-
hit. $ 1?,1>2 G ','A32#A% $ A,@B tolak 9'. S b1
2,6144112
0,26
4220 1,1"" 0, 263
d%.
4,517 t 0, 025 (v 5) 2,571
maka tlak ' 0 pada tara& n#ata 0,0
S b2 t
2,6144 42 4220 0,142 0,161
0,161
0,""2 t 0, 025 (v 5) 2,571
terima H 0 % 2 0
/ugas< Fatihan 1.
*iberikan data y
2
A
@
>
A
10
x1
>
>
D
A
?
x2
'
1
1
?
C
/aksirlah persamaan regresi linier darab $ ' ( 1.x1 ( 2.x2 2.
Y
1
. x2
esepuluh pasangan data berikut berasal dari suatu percobaan dengan dua peubah bebas x1 dan x2 dikendalikan sedangkan respon y diamati. y
x1
X2
D1.A
2C''
AC.A
D1.2
2CA'
AD.C
?2.'
2A''
C?.2
A2.A
2@''
DA.2
?1.A
2@A'
CA.A
22.A
2>''
[email protected]
A?.'
2B''
DA.'
AD.>
?'''
DD.A
?C.>
?1''
A@.?
A2.@
?2''
D>.'
/aksirlah persamaan regresi linier darab $ ' ( 1.x1 ( 2.x2 ?.
x
x Y
1
. x2
erentetan data percobaan diambil untuk menentukan cara memprediksikan Eaktu pembuatan kokas 3se)enis arang% y pada beberapa taraf lebar
11
tungku xi dan suhu corong x2. *ata yang disandi tercatat seperti berikut :
C.
y
x1
X2
D.C'
1.?2
1.1A
1A.'A
2.DB
?.C'
1>.@A
?.AD
C.1'
?'.2A
C.C1
>.@A
CC.>A
A.?A
1C.>2
C>.BC
D.2'
1A.1A
A1.AA
@.12
1A.?2
D1.A'
>.>@
1>.1>
1''.CC
B.>'
?A.1B
111.C2
1'.DA
C'.C'
/aksirlah persamaan degresi darab ( 1.x1 ( 2.x2 *iberikan data berikut :
x Y
1
. x2 $
X
'
1
2
?
C
A
D
@
Y
C.D
C.2
D.A
>.@
B.'
@.?
A.A
?.2
a%. !ocokanlah kurHa regresi berbentuk $ ' ( 1.x ( 2.x2
x Y
1
'
. x2
b%. /aksirlah Y bila x $ A A.
uatu percobaan diadakan untuk menentukan apakah darah yang beredar diotak manusia dapat diprediksikan dari tekanan oksigen pada arteri 3dalam milimeter air raksa%. Fimabelas penderita 12
digunakan dalam penelitian tersebut dan data berikut diamati. *arah yang beredar
/ekanan oksigen pada arteri
*arah yang beredar
/ekanan oksigen pada arteri
Y
x
Y
x
>C.??
D'?.1C'
@A.22
C'C.''
>@.>'
A>2.A'
@D.A>
C>C.''
A2.2'
AAD.2'
@@.B'
CA2.C'
@>.21
ABC.D'
@>.>'
CC>.C'
@>.CC
AA>.B'
>'.D@
??C.>'
>?.A?
A>'.1'
>D.D'
?2'.?'
@B.CD
CA1.2'
@>.2'
?A'.?'
/aksirlah persamaan bentuk kuadrat 1.x ( 2.x2 D.
x$ Y
'
(
*ata percobaan yang disandi berikut ini mengenai kempa se)enis logam campuran pada berbagai konsentrasi se)enis 6at tambahan. onsentrasi
/ekanan kempa
x
y
1'.'
2A.2
2@.?
2>.@
1A.'
2B.>
?1.1
2@.>
2'.'
?1.2
?2.D
2B.@
2A.'
?1.@
?'.1
?2.?
?'.'
2B.C
?'.>
?2.>
13
a%. /aksirlah persamaan regresi bentuk kuadrat Y x $ ' ( 1.x ( 2.x2 b%. )ilah kekurangcocokan model tersebut. @.
*iberikan data X
'
1
2
?
C
A
D
Y
1
C
A
?
2
?
C
a%. !ocokanlah model pangkat tiga 1.x ( 2.x2 ( ?.x?
Y
x $
'
(
b%. rediksikan Y bila x $ 2
14
