Hydraulique Pour Les Techniciens Et Les Ingénieurs

2013

HYDRAULIQUE POUR LE TECHNICIEN ET L’INGENIEUR

Auteurs : Matthieu DUFRESNE, maître de conférences à l’ENGEES José VAZQUEZ, professeur à l’ENGEES

Dernière mise à jour : 12/11/2013

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INTRODUCTION ________________________________________________________________________

1. Publics et objectifs Ce support de cours s’adresse aux étudiants en formation de technicien, assistant-ingénieur ou ingénieur dans le domaine de l’eau. Présenté sous une forme « académique », il poursuit deux objectifs : 

Enseigner les méthodes opérationnelles qui leur permettront de résoudre les questions hydrauliques auxquelles ils seront confrontés (pour les questions hydrauliques les plus courantes),



Enseigner la démarche scientifique justifiant ces méthodes opérationnelles pour qu’ils aient la pleine conscience de leurs domaines d’application.

Ce cours se veut être une passerelle vers des documents à caractère plus technique, notamment ceux qui peuvent être téléchargés sur le site internet suivant : guide technique sur le dimensionnement d’une canalisation à surface libre, guide technique sur l’instrumentation des déversoirs d’orage… http://hydraulique-des-reseaux.engees.eu

2. Plan Ce cours se décompose en quatre grandes parties : 

Partie 1 : Les outils

Les quatre premiers chapitres mettent en place les outils : propriétés de l’eau liquide, outils mathématiques, géométrie des canaux et des canalisations et analyse dimensionnelle. 

Partie 2 : L’hydrostatique

Le cinquième chapitre s’intéresse à l’hydrostatique, cest-à-dire l’étude de l’eau au repos. 

Partie 3 : La mise en équations de l’hydraulique et l’hydraulique en charge

Les chapitres 6 et 7 s’intéressent à la mise en équations des écoulements stationnaires et aux pertes de charge. Avec une application directe à l’hydraulique en charge, ces chapitres constituent également les bases de l’hydraulique à surface libre qui sera abordée dans les derniers chapitres. Le chapitre 8 s’attache à décrire un ouvrage hydraulique couramment utilisés dans les réseaux d’eau potable comme d’assainissement, les pompes centrifuges. 2

Enfin, le chapitre 9 décrit les phénomènes transitoires de coups de bélier. 

Partie 4 : L’hydraulique à surface libre

Les derniers chapitres s’intéressent à l’hydraulique à surface libre : écoulement critique, écoulement uniforme. Deux chapitres utiles au dimensionnement des canalisations complètent le chapitre sur l’écoulement uniforme : les écoulements auto-aérés et les phénomènes de chocs dans les canalisations. Les chapitres 14 et 15 s’intéressent respectivement aux lignes d’eau et au phénomène du ressaut hydraulique. Enfin, les quatre derniers chapitres s’intéressent à des ouvrages couramment rencontrés en hydraulique à surface libre : les chutes, les déversoirs frontaux, les vannes et les canaux Venturi. Pour terminer, dans le but d’améliorer ce support de cours, merci de nous faire part de toute coquille ou erreur éventuelle.

3. Droit d’auteur Ce cours est la propriété exclusive de ses auteurs. Toute diffusion par un tiers sans accord écrit et préalable de ses auteurs est interdite. Matthieu DUFRESNE et José VAZQUEZ Contact : [email protected] Consultez notre site internet : http://hydraulique-des-reseaux.engees.eu

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Table des matières INTRODUCTION ................................................................................................................................................ 2 1. PUBLICS ET OBJECTIFS ........................................................................................................................................... 2 2. PLAN ................................................................................................................................................................. 2 3. DROIT D’AUTEUR ................................................................................................................................................. 3 PARTIE 1 : LES OUTILS..................................................................................................................................... 10 I.

PROPRIETES DE L'EAU LIQUIDE .............................................................................................................. 12 1. MASSE VOLUMIQUE ........................................................................................................................................... 13 2. VISCOSITE ......................................................................................................................................................... 14 2.1. Viscosité dynamique .............................................................................................................................. 14 2.2. Viscosité cinématique ............................................................................................................................ 15 3. TENSION DE SURFACE .......................................................................................................................................... 15 4. PRESSION DE VAPEUR SATURANTE ......................................................................................................................... 17 5. CELERITE DES ONDES........................................................................................................................................... 19 6. SYNTHESE DU CHAPITRE....................................................................................................................................... 20

II.

OUTILS MATHEMATIQUES ..................................................................................................................... 22 1. DERIVEES ......................................................................................................................................................... 22 1.1. Dérivées d’une fonction à une variable ................................................................................................. 22 1.2. Dérivées d’une fonction à plusieurs variables ....................................................................................... 23 1.3. Comportement d’une fonction .............................................................................................................. 23 2. INTEGRALES ...................................................................................................................................................... 23 2.1. Intégrale simple ..................................................................................................................................... 23 2.2. Intégrale double .................................................................................................................................... 24 2.3. Intégrale triple ....................................................................................................................................... 24 2.4. Théorème de flux-divergence et relations associées ............................................................................. 24 3. DERIVEE PARTICULAIRE ........................................................................................................................................ 25 3.1. Exemple ................................................................................................................................................. 25 3.2. Cas général ............................................................................................................................................ 25 3.3. Dérivée particulaire d’une intégrale volumique .................................................................................... 26 4. CENTRE DE GRAVITE............................................................................................................................................ 26 4.1. Définition du centre de gravité d’un corps ............................................................................................ 26 4.2. Expression mathématique de la position du centre de gravité d’un corps ............................................ 26

III.

GEOMETRIE DES CANAUX ET DES CANALISATIONS ................................................................................ 28 1. CARACTERISTIQUE LONGITUDINALE ........................................................................................................................ 29 2. CARACTERISTIQUES TRANSVERSALES ...................................................................................................................... 29 2.1. Quelques définitions .............................................................................................................................. 29 2.2. Quelques exemples de formes de canaux et canalisations .................................................................... 31

IV.

ANALYSE DIMENSIONNELLE ............................................................................................................... 36

1. ENTITES PHYSIQUES, UNITES ET MESURES ................................................................................................................ 36 1.1. Présentation des différentes notions ..................................................................................................... 36 1.2. Le système international ....................................................................................................................... 37 2. FONDEMENT DE L'ANALYSE DIMENSIONNELLE .......................................................................................................... 38 2.1. Théorème de Vaschy-Buckingham ........................................................................................................ 38 2.2. Explicitation du théorème...................................................................................................................... 38 2.3. Mise en œuvre de l'analyse dimensionnelle .......................................................................................... 39 2.4. Exemple de la période d'oscillation d'un pendule simple ...................................................................... 39

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3. OPTIMISATION D'UN PLAN D'EXPERIENCES .............................................................................................................. 41 4. PRINCIPAUX NOMBRES ADIMENSIONNELS RENCONTRES EN HYDRAULIQUE ..................................................................... 44 4.1. Introduction ........................................................................................................................................... 44 4.2. Les nombres de Reynolds ....................................................................................................................... 45 4.3. Les nombres de Froude .......................................................................................................................... 46 4.4. Les nombres de Weber .......................................................................................................................... 47 4.5. Les nombres de Mach ............................................................................................................................ 47 4.6. Les nombres d'Euler ............................................................................................................................... 48 4.7. Les coefficients de traînée, de frottement et autres coefficients adimensionnalisant une force .......... 48 5. LES SIMILITUDES ................................................................................................................................................ 49 5.1. Préambule ............................................................................................................................................. 49 5.2. Des différentes similitudes à la similitude complète ............................................................................. 49 5.3. Les modèles réduits ............................................................................................................................... 50 PARTIE 2 : L’HYDROSTATIQUE ........................................................................................................................ 52 V.

HYDROSTATIQUE ................................................................................................................................... 54 1. VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE AU REPOS ............................................................................................. 54 1.1. Equation de l’hydrostatique .................................................................................................................. 54 1.2. Variation de la pression dans un fluide incompressible ......................................................................... 56 1.3. Variation de la pression dans un fluide compressible ............................................................................ 57 1.4. Pression absolue et pression relative ..................................................................................................... 58 1.5. Unités de mesure de la pression ............................................................................................................ 59 2. ACTION HYDROSTATIQUE DE L’EAU SUR UNE PAROI IMMERGEE .................................................................................... 59 2.1. Démarche .............................................................................................................................................. 59 2.2. Paroi plane en position inclinée ............................................................................................................. 60 3. SYNTHESE DU CHAPITRE....................................................................................................................................... 65

PARTIE 3 : LA MISE EN EQUATIONS DE L’HYDRAULIQUE ET L’HYDRAULIQUE EN CHARGE .............................. 66 VI.

MISE EN EQUATIONS DES ECOULEMENTS STATIONNAIRES................................................................ 68

1. EQUATION DE CONSERVATION DE LA MASSE ............................................................................................................ 69 1.1. Ecriture intégrale ................................................................................................................................... 69 1.2. Ecriture infinitésimale ............................................................................................................................ 70 2. EQUATION DE L'ENERGIE ..................................................................................................................................... 71 2.1. Préambule ............................................................................................................................................. 71 2.2. Théorème de Bernoulli sur une ligne de courant ................................................................................... 72 2.3. Théorème de Bernoulli généralisé ......................................................................................................... 75 3. EQUATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT........................................................................................................... 87 4. SYNTHESE DU CHAPITRE....................................................................................................................................... 89 VII.

PERTES DE CHARGE ............................................................................................................................ 92

1. PERTES DE CHARGE LINEAIRES ............................................................................................................................... 92 1.1. De la recherche à l’ingénierie ................................................................................................................ 92 1.2. Analyse dimensionnelle ......................................................................................................................... 93 1.3. Travaux de recherche ............................................................................................................................ 96 1.4. Outils pour l’ingénierie .......................................................................................................................... 97 2. PERTES DE CHARGE SINGULIERES ......................................................................................................................... 104 2.1. Origine des pertes de charge singulières ............................................................................................. 104 2.2. Formulation générale d’une perte de charge singulière ...................................................................... 105 2.3. Perte de charge dans les tronçons d’entrée ........................................................................................ 106 2.4. Perte de charge dans les élargissements ............................................................................................. 107 2.5. Perte de charge dans les coudes.......................................................................................................... 108 2.6. Perte de charge dans un diaphragme ................................................................................................. 110 2.7. Perte de charge à travers les grilles ..................................................................................................... 111

5

2.8. Perte de charge dans les vannes ......................................................................................................... 111 2.9. Perte de charge au niveau des jonctions et des bifurcations ............................................................... 112 2.10. Cas des écoulements à surface libre .................................................................................................. 115 3. PRINCIPE DE SUPERPOSITION DES PERTES DE CHARGE............................................................................................... 117 VIII.

POMPES CENTRIFUGES .................................................................................................................... 118

1. INTRODUCTION ................................................................................................................................................ 118 1.1. Les pompes volumétriques .................................................................................................................. 119 1.2. Les pompes hydrodynamiques ............................................................................................................ 119 1.3. Fonctionnement d’une pompe centrifuge ........................................................................................... 119 2. CARACTERISTIQUES TECHNIQUES D’UNE POMPE CENTRIFUGE .................................................................................... 120 2.1. Puissance hydraulique ......................................................................................................................... 120 2.2. Hauteur manométrique totale ............................................................................................................ 121 2.3. Courbe caractéristique ........................................................................................................................ 121 2.4. Rendement .......................................................................................................................................... 123 2.5. Condition de cavitation........................................................................................................................ 123 3. ASSOCIATION DE POMPES .................................................................................................................................. 124 4. SIMILITUDES DE POMPES ................................................................................................................................... 125 4.1. Analyse dimensionnelle ....................................................................................................................... 125 4.2. Démarche opérationnelle .................................................................................................................... 127 IX.

COUPS DE BELIER ................................................................................................................................. 128 1. LES DIFFERENTS TYPES DE COUPS DE BELIER ........................................................................................................... 128 1.1. Phénomènes physiques ....................................................................................................................... 128 1.2. Mise en équations générale ................................................................................................................ 128 2. COUP DE BELIER DE MASSE ................................................................................................................................. 129 2.1. Equations régissant le phénomène ...................................................................................................... 129 2.2. Exemple : fermeture instantanée d’une vanne avec cheminée d’équilibre ......................................... 129 3. COUP DE BELIER D’ONDE ................................................................................................................................... 131 3.1. Mise en équations du phénomène....................................................................................................... 131 3.2. Exemple : fermeture instantanée d’une vanne sans protection anti-bélier......................................... 133 4. PROTECTIONS ANTI-BELIER ................................................................................................................................. 138 4.1. Dispositifs anti-bélier spécifiques ........................................................................................................ 138 4.1. Dispositifs anti-bélier non spécifiques ................................................................................................. 138

PARTIE 4 : L’HYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE .............................................................................................. 140 X.

ECOULEMENT CRITIQUE ....................................................................................................................... 142 1. REGIMES D’ECOULEMENT ET SECTIONS DE CONTROLE .............................................................................................. 143 1.1. Célérité des ondes de surface .............................................................................................................. 143 1.2. Régimes d’écoulement et nombre de Froude ...................................................................................... 145 1.3. Contrôle des écoulements fluviaux et des écoulements torrentiels ..................................................... 146 1.4. Section de contrôle .............................................................................................................................. 147 1.5. Classification détaillée des écoulements à surface libre en fonction du nombre de Froude ............... 147 2. CONDITIONS FAVORABLES A L’APPARITION DU REGIME CRITIQUE ............................................................................... 149 2.1. Interprétation physique des phénomènes de passage par l’écoulement critique ............................... 149 2.2. Synthèse des conditions favorables à l’apparition du régime critique ................................................ 150 2.3. Influence de la géométrie du fond ....................................................................................................... 151 2.4. Influence de la section en travers ........................................................................................................ 153 3. CALCUL DE LA HAUTEUR CRITIQUE ....................................................................................................................... 154 3.1. Principe général du calcul .................................................................................................................... 154 3.2. Section rectangulaire ........................................................................................................................... 155 3.3. Section circulaire.................................................................................................................................. 155 3.4. Section ovoïde standard 2:3 ................................................................................................................ 156

6

3.5. Section fer-à-cheval standard 4:3 ........................................................................................................ 157 XI.

ECOULEMENT UNIFORME .................................................................................................................... 158 1. DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT UNIFORME .......................................................................................................... 158 2. CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE ...................................................................................................................... 159 2.1. Préambule ........................................................................................................................................... 159 2.2. Approche par la charge ....................................................................................................................... 159 2.3. Approche par la quantité de mouvement ............................................................................................ 161 2.4. L’approche de Chézy ............................................................................................................................ 163 2.5. Principe général du calcul selon la relation de Gauckler-Manning-Strickler ....................................... 166 2.6. Section circulaire.................................................................................................................................. 166 2.7. Section ovoïde standard 2:3 ................................................................................................................ 167 2.8. Section fer-à-cheval standard 4:3 ........................................................................................................ 168

XII.

ECOULEMENTS AUTO-AERES ........................................................................................................... 170

1. DESCRIPTION DU PHENOMENE DE L’EAU BLANCHE .................................................................................................. 170 2. QUANTIFICATION DE L’AUTO-AERATION D’UN ECOULEMENT ..................................................................................... 171 XIII.

PHENOMENE DE CHOC DANS LES CANALISATIONS A SURFACE LIBRE .............................................. 172

1. DESCRIPTION DU PHENOMENE DE CHOC DANS LES CANALISATIONS ............................................................................. 172 2. PRISE EN COMPTE DANS UN DIMENSIONNEMENT .................................................................................................... 172 XIV.

LIGNES D’EAU .................................................................................................................................. 176

1. MISE EN EQUATION POUR UN CANAL PRISMATIQUE SANS MODIFICATION DU DEBIT ....................................................... 176 2. INTEGRATION DE LA LIGNE D’EAU ........................................................................................................................ 178 3. CAS PARTICULIERS ............................................................................................................................................ 178 3.1. Préambule ........................................................................................................................................... 178 3.2. Canal rectangulaire très large ............................................................................................................. 179 3.3. Canal rectangulaire quelconque .......................................................................................................... 183 XV.

RESSAUT HYDRAULIQUE .................................................................................................................. 190

1. DESCRIPTION DU RESSAUT HYDRAULIQUE .............................................................................................................. 191 1.1. Description du phénomène physique................................................................................................... 191 1.2. Classification des différents types de ressauts hydrauliques ............................................................... 191 2. MISE EN EQUATION .......................................................................................................................................... 195 2.1. Préambule ........................................................................................................................................... 195 2.2. Relation des hauteurs conjuguées ....................................................................................................... 195 3. QUELQUES CARACTERISTIQUES DU RESSAUT HYDRAULIQUE ....................................................................................... 197 3.1. Longueur .............................................................................................................................................. 197 3.2. Perte de charge.................................................................................................................................... 198 XVI.

CHUTES ............................................................................................................................................ 200

XVII.

DEVERSOIRS FRONTAUX .................................................................................................................. 202

1. DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT AU NIVEAU D’UN DEVERSOIR FRONTAL ...................................................................... 202 1.1. Préambule ........................................................................................................................................... 202 1.2. Ecoulements noyé et dénoyé ............................................................................................................... 203 1.3. Ecoulements aéré et non-aéré ............................................................................................................. 205 1.4. Seuil mince et seuil épais ..................................................................................................................... 206 2. MISE EN EQUATION POUR UN SEUIL RECTANGULAIRE ............................................................................................... 207 2.1. Mise en équation en régime dénoyé ................................................................................................... 207 2.2. Autres types de seuils .......................................................................................................................... 209 3. LOIS DE QUELQUES DEVERSOIRS FRONTAUX ........................................................................................................... 210 3.1. Préambule ........................................................................................................................................... 210

7

3.2. Déversoir rectangulaire ....................................................................................................................... 210 3.3. Déversoir triangulaire .......................................................................................................................... 213 XVIII.

VANNES ....................................................................................................................................... 218

1. DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT AU NIVEAU D’UNE VANNE ...................................................................................... 218 1.1. Préambule ........................................................................................................................................... 218 1.2. Ecoulements noyé et dénoyé ............................................................................................................... 218 2. LOIS DE VANNE ................................................................................................................................................ 221 3. UTILISATIONS PRATIQUES................................................................................................................................... 225 XIX.

CANAUX VENTURI ............................................................................................................................ 226

1. DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT DANS UN CANAL VENTURI ...................................................................................... 226 1.1. Préambule ........................................................................................................................................... 226 1.2. Géométrie d’un canal Venturi.............................................................................................................. 227 1.3. Ecoulements noyé et dénoyé ............................................................................................................... 228 2. LOIS HAUTEUR-DEBIT DES CANAUX VENTURI .......................................................................................................... 230 2.1. Démarche de détermination de la loi hauteur – débit......................................................................... 230 2.2. Norme ISO 4359................................................................................................................................... 231 2.3. Canaux Venturi à cols courts ............................................................................................................... 235 XX.

REFERENCES..................................................................................................................................... 238

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PARTIE 1 : LES OUTILS

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I.

PROPRIETES DE L'EAU LIQUIDE

________________________________________________________________________

Photo : Nicolas BUSSER Figure 1. Vortex dans un écoulement en laboratoire – Hall hydraulique de l’Equipe de Mécanique des Fluides du laboratoire ICube (Strasbourg).

L’objectif de ce chapitre est de décrire les principales propriétés de l’eau et de comprendre leurs impacts sur un écoulement d’eau. 12

1. Masse volumique La masse volumique ρ est définie comme la masse par unité de volume ; elle s'exprime en général en kilogramme par mètre cube (kg/m3). La force de gravité étant proportionnelle à la masse, la masse volumique est une grandeur très souvent rencontrée en hydraulique. Le tableau suivant présente l'évolution de la masse volumique de l'eau liquide en fonction de la température pour une pression de 0,1 MPa (1 000 hPa), c’est-à-dire environ la pression qui règne à la surface de la Terre (la moyenne est d’environ 1 013 hPa). Température

Masse volumique

Viscosité cinématique

Viscosité dynamique

T (°C)

ρ (kg m-3)

ν (m2 s-1)

μ (kg m-1 s-1)

0

1 000,0

1,796.10-6

1,792.10-3

10

1 000,0

1,306.10-6

1,306.10-3

20

998,0

1,004.10-6

1,002.10-3

30

996,0

0,801.10-6

0,797.10-3

40

992,1

0,658.10-6

0,653.10-3

50

988,1

0,553.10-6

0,547.10-3

90

965,3

0,326.10-6

0,314.10-3

Tableau 1. Principales propriétés de l'eau liquide à une pression de 0,1 MPa (Wagner et Kruse 1998).

Ce tableau met en évidence que la masse volumique est quasiment insensible à la température : diminution de moins de 1% entre 0 et 40 °C, ce qui représente déjà une plage de température importante pour des applications hydrauliques classiques. De la même façon, la variation de la masse volumique de l’eau liquide en fonction de la pression pour une température donnée est aussi très faible. Son coefficient de compressibilité isotherme vaut en effet environ 5×10-10 Pa-1 à température ambiante. Effectuons à titre d’exemple un calcul permettant de fixer un ordre de grandeur. Considérons 1 000 kg d’eau à la pression atmosphérique et à une température de 10°C. Sa masse volumique valant 1 000,0 kg/m3 (voir le tableau précédent), cette masse occupe un volume de 1 m3. Si la pression augmente de 10 bars (106 Pa), alors la diminution relative ΔV/V du volume vaudra environ 5×10-10 Pa-1 fois 106 Pa, c’est-à-dire 0,05% : les 1 000 kg d’eau occupent alors 0,9995 m3. La masse volumique sera alors égale à 1 000 kg divisés par 0,9995 m3, c’est-à-dire environ 1 000,5 kg/m3, soit une augmentation de 0,05%. Il faut donc une augmentation vraiment très importante de la pression pour faire varier la masse volumique de l’eau liquide de façon significative. On pourra ainsi considérer que l'eau liquide est un fluide incompressible 1 000 kg/m3 pour la plupart des applications en hydraulique. L'étude des eaux stratification en température dans les grandes étendues d'eau, du phénomène encore les applications thermiques (où la température peut s’approcher de néanmoins de s'affranchir de cette approximation.

de masse volumique chargées en sel, de la du coup de bélier ou 100°C) nécessiteront

Pour comparaison, dans des conditions ambiantes de température et de pression, la masse volumique du mercure vaut 13 546 kg/m3. Celle de l’air sec vaut 1,205 kg/m3.

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Poids spécifique On rencontre régulièrement le terme de poids spécifique, en général noté γ et qui est défini comme le poids par unité de volume. Le poids spécifique est ainsi le produit de la masse volumique ρ par l'accélération gravitationnelle g. Cette grandeur est souvent utilisée pour les calculs de poids.

2. Viscosité La viscosité d'un fluide est sa capacité à résister à sa mise en mouvement. Si on distingue la viscosité dynamique μ de la viscosité cinématique ν, ces deux grandeurs quantifient la même propriété physique.

A

F

dy

y dV

Figure 2. Expérience caractérisant la viscosité dynamique d'un fluide – Figure inspirée de Dingmann (1984).

2.1. Viscosité dynamique Afin de mieux comprendre le sens physique de cette grandeur, on peut s'intéresser à l'expérience décrite par Dingmann (1984) et illustrée ci-dessus. Considérons que les dimensions de l'expérience sont petites, de l'ordre de quelques centimètres, et que les vitesses restent faibles (écoulement laminaire). L'eau, initialement au repos, repose sur une paroi immobile. La partie supérieure est en contact avec une plaque, de surface A, mobile et à laquelle on applique une force constante F. La condition de non frottement sur le fond impose une vitesse nulle ; sur la partie supérieure, la force provoque une vitesse de déplacement V. En répétant l'expérience pour différentes forces F, on peut se rendre compte que le gradient de vitesse V/y est proportionnel à la contrainte tangentielle exercée (le rapport F/A), ce qui peut s'écrire comme dans l'équation suivante, où μ est une constante appelée viscosité dynamique et homogène à [M L-1 T-1].

F dV  A dy

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Cette relation entre contrainte de cisaillement et vitesse de déformation correspond à la loi de comportement d’un fluide dit « newtonien » ; ce modèle permet de reproduire le comportement de l’eau mais aussi de nombreux autres fluides. Le Tableau 1 renseigne l’évolution de la viscosité dynamique en fonction de la température et pour une pression de 0,1 MPa. On y constate que la viscosité diminue significativement avec l'augmentation de la température. Si cette variation est significative, la viscosité a en général peu d'influence sur les phénomènes hydrauliques qui sont pour la plupart d'entre eux siège d'une turbulence importante prenant le pas sur la viscosité du fluide. Retenons la valeur d’environ 10-3 kg.m-1.s-1 à 20°C.

2.2. Viscosité cinématique  

 

La viscosité cinématique ν, définie comme le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volumique, est souvent rencontrée dans les équations de l'hydraulique. Homogène à une surface par unité de temps, son comportement en fonction de la température à 0,1 MPa est quasi identique à celui de la viscosité dynamique du fait de la quasi-incompressibilité de l'eau liquide dans cet intervalle de température.

3. Tension de surface Au sein d’un volume d’eau, des forces de cohésion interne ont tendance à empêcher l’eau de « couler ». C’est par exemple ce qui permet à une goutte d’eau de ne pas s’étaler, ou encore au niveau d’eau de la Figure 3 d’être plus haut que la limite haute du seuil (en pratique de l’ordre de quelques millimètres). On peut alors voir la surface comme une membrane tendue.

Figure 3. Niveau d’eau plus haut que la limite haute du seuil sous l’effet de la tension de surface.

Ces forces de cohésion internes ainsi que les forces d'attraction et de répulsion entre l'eau et les autres matériaux environnants sont responsables du phénomène de capillarité illustré ci-dessous. 15

θc

h

D Figure 4. Illustration du phénomène de capillarité : ménisque formé par l'eau contenue dans un tube constitué d'un matériau attracteur. θc est l'angle formé entre la paroi du tube et la surface de l'eau – Figure inspirée de Dingmann (1984).

La déformation de la surface illustrée sur la figure précédente est due à une force appelée force de capillarité. Au niveau du contact entre la surface et le tube, des forces agissent parallèlement à la surface et résistent à l'action attractive du tube en tirant l'interface vers le bas. La résultante de ces forces est une force dirigée vers le bas qui peut s'exprimer en considérant la longueur de contact entre le fluide et le matériau (le périmètre du tube, c'est-à-dire πD, où D est le diamètre), l'angle de mouillage θc formé entre le matériau et la surface (qui dépend du matériau) et une propriété intrinsèque au fluide : la tension de surface σ homogène à une force par unité de longueur. F  D cos  c

Plus l'angle de mouillage est proche de 0 °, plus le matériau est hydrophile. Plus il est proche de 180 °, plus le matériau est hydrophobe. S'il vaut 90 °, le ménisque est parfaitement horizontal. La tension de surface de l'eau à 20 °C vaut 7,56.10-2 N m-1 (Dingmann 1984). A l'échelle de la plupart des phénomènes hydrauliques, la tension de surface ne joue aucun rôle. A petite échelle (quelques millimètres), son influence peut devenir significative. C'est une des raisons pour lesquelles un modèle réduit ne peut pas être de trop petite taille sous peine de voir apparaître dans le modèle réduit les phénomènes liées à la tension de surface qui sont insignifiants à l'échelle grandeur nature. Afin de disposer d’ordres de grandeur, cherchons à exprimer la hauteur de capillarité dans un tube, c’est-à-dire la hauteur d’élévation du liquide par rapport à son niveau en l’absence du tube. En faisant un bilan de forces sur le volume d'eau élevé par capillarité, il est possible de déterminer la hauteur d'élévation h. Le volume d'eau est soumis à deux forces : la force de capillarité dirigée vers le haut (la réaction à la force exprimée plus haut) et son poids, dirigé vers le bas, qui s'exprime comme suit :

P  gh

16

D 2 4

En égalant ces deux forces, on aboutit à la hauteur de capillarité :

h

4 cos  c

gD

Cette équation exprime le fait que la hauteur de capillarité est inversement proportionnelle au diamètre du tube. En considérant un mouillage parfait (0° pour l’angle de mouillage), on aboutit par exemple à une hauteur de capillarité d’environ 30 mm pour un tube de diamètre 1 mm, ou encore une hauteur de 3 mm pour un diamètre de 10 mm.

4. Pression de vapeur saturante L’ébullition est un phénomène de changement d’état, dans lequel le fluide passe en son sein de l’état de liquide à l’état de vapeur. Contrairement à l’évaporation qui est un phénomène surfacique (l’évaporation de l’eau dans un réservoir se fait à l’interface entre l’eau et l’air) et en général relativement lent, l’ébullition est un phénomène volumique et rapide. L’ébullition se traduit ainsi par la naissance de bulles de vapeur d’eau au sein d’eau liquide. L’ébullition peut être provoquée à pression atmosphérique par une température atteignant 100 °C ; à température ambiante, elle peut être provoquée du fait d’une pression devenant inférieure à ce qu’on appelle la pression de vapeur saturante ps. Cette dernière dépend de la température selon la loi empirique suivante, où ps s’exprime en Pa et où θ est la température exprimée en °C (équation non homogène).

log 10  p s   22,435 

2795  3,868 log  273,15    273,15

Dans le cas de l’eau, la pression de vapeur saturante croît avec la température, tel qu’illustré sur la figure suivante. Sur cette figure, la pression de vapeur saturante est exprimée en mètres de colonne d’eau selon la conversion suivante.

hs 

ps g

17

Figure 5. Evolution de la pression de vapeur saturante (en mètres de colonne d’eau) en fonction de la température.

A 20 °C, la pression de vapeur saturante vaut d’après l’équation précédente 2 300 Pa (soit 24 cm de colonne d’eau), c’est-à-dire très peu (2%) par rapport à la pression atmosphérique (10.33 m de colonne d’eau). C’est la raison pour laquelle le dénivelé de la conduite d’aspiration d’une pompe ne peut être au grand maximum que de 10 m (10.33 – 0.24 ≈ 10 m). En effet, la chute de pression qui subirait la conduite d’aspiration au-delà ferait que l’eau serait sujette à la cavitation, empêchant l’écoulement de se faire normalement. En pratique, le dénivelé maximum est même plus petit du fait des pertes de charge rencontrées dans la conduite d’aspiration et de la chute de pression provoquée en certains endroits de la pompe (caractéristique NPSH fourni par le constructeur d’une pompe).

Photo : Matthieu DUFRESNE Figure 6. Effet de la cavitation sur les aubages d’une pompe centrifuge – Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg.

18

Dans l’écoulement des liquides, il peut arriver que la pression en certains points devienne inférieure à la pression de vapeur saturante. L’eau entre alors localement en ébullition et des bulles de vapeur d’eau apparaissent au sein même de l’écoulement. Emportés par l’écoulement dans des zones de plus forte pression, ces bulles de vapeur d’eau, qui peuvent se regrouper en bulles plus grosses (phénomène de coalescence), peuvent imploser. Ce phénomène, appelé cavitation, est le plus souvent nuisible pour les installations où il se produit (canalisations, pompes, turbines, etc.), tel qu’illustré sur la figure précédente. La cavitation peut cependant être mise à profit dans certains procédés épuratoires pour déstructurer de grosses molécules.

5. Célérité des ondes Le coup de bélier est un phénomène de choc provoqué par exemple par une fermeture brutale de vanne dans une conduite. Il se traduit alors par une onde de choc se déplaçant très rapidement et pouvant provoquer successivement des surpressions et des sous-pressions très importantes. Il s’agit du même phénomène que la propagation d’un son. Pour évaluer ce phénomène, l’hydraulicien doit connaître la célérité, c’est-à-dire la vitesse de déplacement de cette onde. La célérité des ondes dépend du milieu dans lequel elle se déplace. Par exemple, dans un réservoir de grande dimension rempli d’eau, les ondes se déplacent à environ 1 400 m/s. De façon plus générale, la célérité a des ondes dans un milieu infini (un grand réservoir par exemple) dépend de deux propriétés intrinsèques du milieu, son coefficient de compressibilité ε et sa masse volumique ρ, selon l’expression suivante (Pernès 2004).

a

 

Sous la pression atmosphérique, la célérité des ondes dans l’eau est proche de 1 400 m/s. Elle croît légèrement avec la température, passant par exemple de 1 397 m/s à 0 °C à 1 478 m/s à 40 °C (soit environ 6% d’augmentation). Dans un milieu confiné (par exemple une canalisation), la célérité des ondes est limitée par rapport à un milieu infini, notamment du fait de l’élasticité du matériau constituant la frontière (les parois de la canalisation). Dans une conduite de faible épaisseur, on a ainsi l’expression suivante (Pernès 2004), où C est un coefficient d’ancrage, D le diamètre de la canalisation, e son épaisseur et E le module de Young du matériau qui quantifie sa rigidité (plus il est grand, moins le matériau est déformé pour une contrainte de traction ou de compression donnée).

  a CD  1 eE Si la célérité des ondes peut rester conséquente dans des canalisations en acier, en béton ou en fonte (dans ou à proximité de la gamme 1 000 – 1 100 m/s pour des dimensions courantes), elle peut être très fortement diminuée dans des conduites en polyéthylène ou en PVC (seulement quelques centaines de mètres par seconde [Bonnin 1983]).

19

6. Synthèse du chapitre Le tableau suivant synthétise les propriétés passées en revue dans ce chapitre et fournit les ordres de grandeurs à retenir. La valeur usuelle fournie correspond à une température de 20°C et une pression de 1 bar. Propriété

Définition

Valeur usuelle

Comportement

Masse volumique

Masse par unité de volume

1 000 kg/m3

Quasi-invariable avec la température et la pression

Viscosité

Capacité à s’opposer à la mise en mouvement

≈ 10-6 m2/s

Diminue avec la température

Tension de surface

Forces de cohésion interne

Pression de vapeur saturante

Pression en-dessous de laquelle l’eau liquide devient vapeur

≈ 20 cm de colonne d’eau

Augmente très rapidemant avec la température

Célérité des ondes

Vitesse de déplacement des ondes de pression

1 400 m/s en milieu non confiné

Moins en canalisation (milieu confiné)

Phénomène négligeable sauf pour les écoulements à surface libre de petites dimensions (attention aux modèles réduits)

Tableau 2. Synthèse des propriétés de l’eau liquide utiles à l’hydraulicien.

20

21

II.

OUTILS MATHEMATIQUES

________________________________________________________________________

The Royal Libray, Windsor Castle Figure 7. Auto-portrait présumé de l’ingénieur Léonard de Vinci réfléchissant au phénomène de sillage en aval de piles de pont – Figure tirée de Nezu & Nakagawa (1993).

Ce chapitre a pour objectif de rappeler quelques outils mathématiques qui seront utilisés par la suite. Inutile de le lire d’une traite ; il est préférable de s’y référer au gré des besoins au cours de la lecture des chapitres suivants.

1. Dérivées 1.1. Dérivées d’une fonction à une variable Dérivée première La dérivée d’une fonction correspond à la pente de sa courbe. On peut aussi la voir comme un taux de variation. Mathématiquement, la dérivée d’une fonction f à une variable x en un point x0, qui correspond donc à la pente de la courbe de f(x) au point x0, se définit comme suit. 22

df  x0   lim dx0 f  x0  dx   f  x0  dx dx Ou encore :

df  x0   lim dx0 dx

dx  dx    f  x0    f  x0   2  2    dx

Dérivée seconde La dérivée seconde correspond à la dérivée de la dérivée, autrement dit la pente de la courbe de la fonction dérivée première.

df  x0  dx   df  x0  d2 f dx  x0   lim dx0 dx dx 2 dx

1.2. Dérivées d’une fonction à plusieurs variables Dans le cas d’une fonction f à plusieurs variables x, y et z, la dérivée partielle se définit comme suit.

f  x0 , y0 , z0   lim dx0 x

dx dx     f  x0  , y 0 , z 0   f  x0  , y 0 , z 0  2 2     dx

1.3. Comportement d’une fonction Le comportement d’une fonction peut être déterminé par le calcul de ses dérivées première et seconde. Ainsi, la fonction f admet un extremum au point x0 si sa dérivée première en x0 est égale à zéro. Si la dérivée seconde en x0 est négative, alors cet extremum est un maximum ; si elle est positive, alors il s’agit d’un minimum. 2 df  x0   0 et d 2f  x0   0 dx dx 2 df  x0   0 et d 2f  x0   0 dx dx

La fonction f admet un minimum en x0. La fonction f admet un maximum en x0.

Tableau 3. Comportement d’une fonction.

2. Intégrales 2.1. Intégrale simple Le terme « intégrale » a été inventé par un mathématicien suisse du nom de Jacques Bernoulli (Baudet 2011). Au-delà de l’effroi qu’elle inspire à nombre d’étudiants, une intégrale n’est qu’une simple somme d’infiniment petits. Le symbole ʃ est d’ailleurs un « s » stylisé. Géométriquement, l’intégrale 23

d’une fonction correspond à l’aire sous la courbe. Ainsi, l’intégrale de la fonction f de la variable x entre deux points x1 et x2 correspond à l’aire sous la courbe de la fonction f(x). Elle se définit comme suit. x2

x2

f  x dx   f  x x lorsque x  0



x1

x1

Une intégrale peut être calculée de façon exacte ou, lorsque cela n’est pas possible, au moyen d’une méthode approchée, par exemple la méthode des trapèzes. Selon cette méthode, l’intégrale peut se calculer comme suit, où Δx est choisi suffisament petit. x2

x2

x1

x1

 f x dx  

f  x   f  x  x  x 2

2.2. Intégrale double

 f  x dS   f  x S

lorsque S  0

S

S

2.3. Intégrale triple

 f  x dv   f x v

lorsque v  0

v

v

2.4. Théorème de flux-divergence et relations associées Théorème Soit F  x, y , z  une fonction vectorielle. Le théorème de flux-divergence s’écrit comme suit, où n est le vecteur normal à la surface S :

 Fx

  v

x



Fy y



Fz z

 dv   F .ndS  S

Cette relation peut aussi s’écrire comme suit en utilisant la notation « divergence » :

 div F dv   F .ndS v

S

Relation découlant du théorème Soit F  x, y , z  une fonction vectorielle et g  x, y , z  une fonction scalaire.

 F .grad  g   g div F dv   g F .ndS v

S

24

3. Dérivée particulaire 3.1. Exemple Imaginons un parachutiste chutant à la vitesse Vz et tenant dans sa main un thermomètre grâce auquel il mesure la température T en continu. D’un instant à l’autre, la témpérature évolue du fait de deux effets distincts : 

L’évolution temporelle « intrinsèque » de la température, c’est-à-dire l’évolution de la

T . t L’évolution de la température due au déplacement du parachutiste vers une zone de température différente, autrement dit la combinaison du gradient de température et de la T vitesse du parachutiste : elle correspond à V z . z température à l’endroit z où se trouve le parachutiste à l’instant t : elle correspond à



Le parachutiste voit donc la superposition de ces deux effets. Pour lui, la température évolue ainsi en fonction du temps de la façon suivante.

DT T T   Vz Dt t z Dans cette expression,

T correspond à la dérivée de la température par rapport au temps t à la t

T , à la dérivée de la température par rapport à la coordonnée z en l’instant t. La z combinaison des deux termes et de la vitesse de l’ « observateur » aboutit à la notion de dérivée DT particulaire , c’est-à-dire le taux de variation d’une grandeur en suivant l’observateur dans son Dt mouvement. position z ;

La dérivée particulaire d’une grandeur est ainsi la dérivée temporelle de cette grandeur en suivant la particule à laquelle elle appartient dans son mouvement. Elle est d’un emploi extrêmement important en hydraulique où on s’intéresse aux propriétés d’un écoulement, c’est-à-dire d’un fluide en mouvement.

3.2. Cas général La notion illustrée précédemment se généralise de la façon suivante pour une fonction f(x, y, z, t).

Df f f f f   Vx  Vy  Vz Dt t x y z

25

3.3. Dérivée particulaire d’une intégrale volumique Soit l’intégrale volumique

 Fdv

de la fonction F sur le volume v. Il est possible de montrer que sa

v

dérivée particulaire peut s’écrire comme suit, où S est la surface entourant le volume v et n le vecteur normal unitaire (sortant) à la surface S.

  D   Fdv  F  v  dv   F V .ndS  Dt t v S

4. Centre de gravité 4.1. Définition du centre de gravité d’un corps Le centre de gravité d’un corps est le point par rapport auquel le poids du corps est uniformément réparti. Il correspond donc au barycentre des particules constituant ce corps, chaque particule étant pondérée par son poids. Dans le cas d’un champ de gravité uniforme (par exemple à la surface de la Terre), le centre de gravité se confond avec le centre d’inertie, barycentre des particules pondérées par leurs masses.

4.2. Expression mathématique de la position du centre de gravité d’un corps Corps constitué de deux particules Dans le cas d’un corps constitué de deux particules, l’une de poids P1 positionnée à la position x1 et l’autre de poids P2 positionnée à la position x2, la position xG du centre de gravité du corps dans un repère x se calcule comme suit.

xG 

x1 P1  x2 P2 P1  P2

Dans le cas d’un champ de gravité uniforme, les poids P1 et P2 s’expriment respectivement m1g et m2g. Il vient dans ce cas après simplification :

xG 

x1m1  x2 m2 m1  m2

Corps constitué de n particules Dans le cas d’un corps constitué de n particules :

xG 

x1m1  x2 m2  ...  xn mn m1  m2  ...  mn 26

C’est-à-dire : n

xm i

xG 

i

i 1 n

m

i

i 1

Corps continu Dans le cas d’un corps continu (c’est-à-dire constitué d’une infinité de particules) présentant une densité homogène, l’expression s’écrit sous la forme intégrale suivante, où V est le volume du corps.

xG 

 xdV V

V

Dans le cas d’un corps surfacique de surface S :

xG 

 xdS S

S

27

III. GEOMETRIE DES CANAUX ET DES CANALISATIONS ________________________________________________________________________

Photo : Martin FISCHER Figure 8. Section fer-à-cheval (non standard) avec banquette médiane dans le réseau d’assainissement unitaire de Mulhouse.

Ce chapitre s’intéresse à la description de la géométrie des canaux et des canalisations utilisées dans les réseaux hydrauliques. Au-delà du caractère informatif sur les formes pouvant être rencontrées, ce chapitre définit également les grandeurs géométriques utilisées pour la description des écoulements.

28

1. Caractéristique longitudinale

θ

Figure 9. Illustration de la pente d’un canal.

Longitudinalement, un canal ou une canalisation est caractérisée par sa pente I, c’est-à-dire la tangente de l’angle θ illustré sur la figure précédente.

I  tan  Il s’agit du principal paramètre conditionnant un écoulement à surface libre. La pente est un paramètre variant plus ou moins régulièrement en suivant le profil en long du canal ou de la canalisation. Par exemple, la pente des canalisations dans un réseau d’assainissement varie en général de 2‰ (pente minimale recommandée pour la pose) à quelques pourcents, selon la topographie du terrain. Il peut arriver que des pentes plus faibles – proches de zéro voire négatives (contrepente) – soient rencontrées mais de telles valeurs sont en général évitées pour ne pas favoriser les dépôts. Des pentes plus grandes peuvent également être rencontrées en fonction de la topographie ; il peut arriver qu’elles dépassent sur certains tronçons les 5% voire les 10% (villes avec des reliefs très forts telles que ClermontFerrand ou Besançon). Remarque : le tirant d’eau se définit longitudinalement comme le segment perpendiculaire au fond reliant le fond à la surface libre. Sa longueur h est appelée hauteur d’eau. Sauf dans le cas d’une pente très importante, le tirant d’eau peut être considéré comme vertical (le cosinus d’un angle très petit est très proche de 1).

2. Caractéristiques transversales 2.1. Quelques définitions Un canal ou une canalisation se définit géométriquement par sa section en travers. Dans le cas où cette dernière ne varie pas le long du canal, on parle de canal prismatique. Un certain nombre de caractéristiques transversales décrivant l’écoulement dans un canal ou une canalisation (tenant compte à la fois de la géométrie et de la présence d’eau) sont illustrées sur la figure suivante et listées ci-dessous :

29





La hauteur d’eau h, distance entre la surface libre et le point le plus bas de la section en travers. La surface mouillée S, portion de la section occupée par le fluide dans la section transversale du canal. Le périmètre mouillé P, longueur de la ligne de contact entre la surface mouillée et les parois de la section. S’il y a une surface libre, sa largeur n’entre pas en compte car la notion de périmètre mouillé est utilisée pour quantifier le frottement de l’écoulement sur les parois. Dans le cas d’une canalisation en charge, le périmètre mouillé correspond à l’intégralité du périmètre (πD dans le cas d’une conduite circulaire).



Le rayon hydraulique Rh, rapport de la section mouillée sur le périmètre mouillé : R h 



La largeur au miroir B, largeur du canal au niveau de la surface libre : B 



La profondeur hydraulique ou diamètre hydraulique Dh, rapport de la section mouillée sur la



largeur au miroir : D h 

S P

dS dh

S . Il s’agit de la hauteur d’eau équivalente dans le cas où la section B

mouillée serait rectangulaire avec une largeur égale à la largeur au miroir. Attention, une définition différente du diamètre hydraulique est parfois utilisée pour quantifier les pertes de charge dans les sections de forme quelconque. La position du centre de gravité par rapport à la surface libre yG, définie grâce à l’expression du moment statique Sy G 

 h  z B  z dz h

0

utile à la détermination des forces de pression agissant sur

la surface mouillée.

B yG

S

Dh h P Figure 10. Caractéristiques géométriques transversales d’un canal – Figure inspirée de Graf & Altinakar (2000).

30

Ecoulement à surface libre dans un canal

Ecoulement à surface libre dans une canalisation

Ecoulement en charge dans une canalisation

Tableau 4. Quelques exemples de sections transversales d’écoulements.

2.2. Quelques exemples de formes de canaux et canalisations Les canalisations utilisées dans les réseaux d’eau potable, les réseaux séparatif d’eaux usées, etc. sont la plupart du temps de forme circulaire. On peut également trouver des formes rectangulaires, par exemple pour les réseaux d’air ou encore des formes annulaires (une petite conduite circulaire à l’intérieur d’une plus grande) comme dans certains dispositifs de pompage (forages), etc. Les canalisations et canaux utilisés dans les réseaux d’assainissement unitaires ou séparatifs pluviaux peuvent être de formes plus variées. Quant aux cours d’eau, la variété des formes de leurs sections en travers est quasi-infinie.

31

B h

h

1

h

m

b

h 1

m

b

S  bh

S  mh

S  bh  mh

2

h

2  B  b S  Bh 

2

h

D

m

b

Surface mouillée S



h

1

S

4m

D 1  cos   2

D2   sin  cos   4

P  2h  b Périmètre mouillé P Rayon hydraulique Rh

P  b  2h

Rh 

bh b  2h

Largeur B

Bb

Profondeur hydraulique Dh

Dh  h

SyG

bh 2 Sy G  2

P  2h 1  m Rh 

2

mh 2 1 m

B  2 mh Dh 

h 2

mh 3 Sy G  3

2

P  b  2h 1  m Rh 

B b  m

2

bh  mh 2

 1  m  1

Rh 

b  2h 1  m 2

B  b  2 mh Dh 

Rh 

B

bh  mh 2 b  2 mh

 b mh  2 Sy G    h 3  2

S P

Dh 

Sy G  

S B

Bh 2 h B  b   2 4m

B  b 3 24 m

2

Dh 

 1 S  Dh  D 2     8 2   P  2 h  D   1 2 

P  D

2

D

D sin  cos   1   4  

Rh 

B  D sin 

BD

D   sin  cos   4 sin 

Dh 

2

S B 2

 sin    D 3  sin   Sy G  3   8    cos    3

D D Sy G   h    2 2

D 2 

D  D3 h    8  2  12

Tableau 5. Expressions des caractéristiques géométriques pour quelques sections en travers courantes en fonction de la hauteur d’eau.

32

S P

La figure suivante présente trois sections dites « standards » et régulièrement rencontrées en réseau d’assainissement. La première de ces trois sections est la section circulaire, certainement la forme la plus couramment utilisée. Vient ensuite la section ovoïde (en forme d’œuf) 2:3 (deux en horizontal pour 3 en vertical), permettant une hauteur conséquente pour un petit débit (utile pour éviter les dépôts). Elle consiste en trois parties distinctes :   

une partie supérieure consituée d’un demi-cercle de diamètre égal à la largeur maximale de l’ovoïde, une partie intermédiaire constituée de deux arcs de cercle de diamètre égal à 3 fois la largeur maximale, et enfin une partie inférieure constituée d’un arc de cercle de diamètre égal à 0.5 fois la largeur maximale.

On trouve enfin la section fer-à-cheval (aplatie) 4:3 (quatre en horizontal pour 3 en vertical), permettant une petite hauteur d’eau malgré un débit conséquent (utile pour limiter le niveau d’eau). Elle consiste en une partie supérieure constituée d’un arc de cercle de diamètre égal à 1 fois la largeur maximale du fer-à-cheval et en une partie inférieure consitutée d’un arc de cercle de diamètre égal à 2 fois la largeur maximale.

a) 1

b) 0.5 0.5

c)

0.75

1.5 1.5

0.5

1

0.25

0.313 0.25

1

1

0.75

Figure 11. Sections standards utilisées en assainissement : a) section circulaire, b) section ovoïde 2:3, c) section fer à cheval 4:3 – Figure inspirée de Hager (1999).

Dans le cas de ces sections standards, il existe des formulations approchées permettant de calculer les paramètres géométriques. Elles sont données dans le Tableau 6 (Hager 1999). Dans ce tableau, la lettre

33

y correspond au remplissage de la canalisation (rapport de la hauteur d’eau sur la hauteur totale de la canalisation) ; y est égal à 100% dans le cas où la canalisation est en charge. Surface mouillée Section circulaire

y

h D

Section ovoïde 2:3

y

h T

Section fer-à-cheval 4:3

h y T

Rayon hydraulique

Rh 2  D 3

S 4 32  y 4y2    y 1   4  25  D2 3  



 y 

Erreur ≤ 1% pour y ≤ 0.65 Erreur ≤ 11% pour y ≤ 0.90

Erreur ≤ 1% 3 S  0.695 y 2 1  0.15 y  0.10 y 4 2 T

 1 y 1   2



3 Rh  0.29 y 4 T

Erreur ≤ 2% pour y ≥ 0.10 Erreur ≤ 10% pour y < 0.10

Erreur ≤ 10% pour 0.03 ≤ y ≤ 0.80

3 3 S 2 2  2 . 116 y 1  0 . 6 y  0.1 y 3   2   T

Rh  0.65 y 1  0.6 y 3 T

Erreur ≤ 4%

Erreur ≤ 16%





Tableau 6. Formulations approchées pour les caractéristiques des canalisations circulaires, ovoïdes standards et fer-à-cheval standards (les erreurs indiquées sont les erreurs maximales en valeur absolue).

Dans le cas d’une section non normalisée, un relevé géométrique (largeur et surface en fonction de la hauteur) est nécessaire afin de caractériser les caractéristiques nécessaires à des calculs hydrauliques.

Photo : José VAZQUEZ Figure 12. Canalisation ovoïde non standard dans le réseau d'assainissement unitaire de Besançon.

34

35

IV. ANALYSE DIMENSIONNELLE ________________________________________________________________________

« En septembre 1999, les spécialistes de la Nasa perdirent le contact avec la sonde Mars Climate Orbiter qui, selon toute probabilité, s’écrasa sur le sol marsien. La cause de ce fiasco ? Pour calculer la force de poussée nécessaire à la mise en orbite de la sonde, les ingénieurs de la Nasa avaient utilisé les unités du système métrique ; le constructeur, lui, avait employé les unités de mesure anglosaxonnes. Le résultat fut une erreur de trajectoire de 40 kilomètres et une perte sèche de 125 millions de dollars, ce qui est cher payé pour une simple erreur d’unité. » (Alder 2013)

Figure 13. Modèle réduit (à gauche) et prototype (à droite) de l’extrêmité aval de galeries souterraines – Figure tirée de Erpicum (2006).

Une fois identifiées les variables d'influence d'un phénomène physique, l'analyse dimensionnelle permet de réduire le nombre de variables en adoptant une formulation adimensionnelle, c'est-à-dire uniquement à base de nombres sans dimension. L'analyse dimensionnelle est ainsi un puissant outil pour réduire le nombre d'expériences nécessaire à la description d'un phénomène. Par ailleurs, elle est à la base de la théorie des similitudes, fondement notamment des études sur modèles réduits très largement utilisées en hydraulique (encore de nos jours et à juste titre).

1. Entités physiques, unités et mesures 1.1. Présentation des différentes notions Pour un Américain, le Thrust SSC (Thrust SuperSonic Car) a atteint le 15 octobre 1997 dans le désert du Nevada aux Etats-Unis 760 miles par heure (mph). Pour un Français, il a atteint 1 200 kilomètres par heure (km/h). Les deux disent pourtant la même chose. Tous deux parlent en effet d'une seule et même entité physique : la vitesse. Pour l'Américain, qui utilise comme unité le mph, sa mesure est de 760. Pour le Français, qui utilise le km/h, elle est de 1 200.

36

Un phénomène physique est régi par un certain nombre d'entités physiques, également appelées variables : masse, longueur, surface, volume, temps, vitesse, accélération, pression, température, masse volumique, viscosité, etc. Pour quantifier la grandeur de ces entités, des unités sont nécessaires. Le mètre, le kilomètre, le mille terrestre, le mille marin, le pouce, le pied, l'année-lumière, etc. sont ainsi autant d'unités pouvant être utilisées pour mesurer une longueur, c'est-à-dire la quantifier par un chiffre appelé mesure.

1.2. Le système international Du fait des liens existant entre les différentes entités physiques, il est possible de choisir un certain nombre d'entités physiques de base auxquelles des unités de base sont associées. Par le décret 61-501 du 3 mai 1961 relatif aux unités de mesure et aux contrôle des instruments de mesure (publié au Journal Officiel du 20 mai 1961), le Premier Ministre (Michel Debré) a décrété obligatoire en France le système métrique décimal à six unités de base appelé système international S. I. Les unités de base en sont : 

Le mètre, unité de longueur.



Le kilogramme, unité de masse.



La seconde, unité de temps.



L'ampère, unité d'intensité de courant électrique.



Le degré Kelvin, unité de température.



La candela, unité d'intensité lumineuse.

Chacune de ces unités de base est très précisément définie. Par exemple, le kilogramme est la masse du prototype en platine iridié, sanctionné par la Conférence générale des poids et mesures en 1889 et déposé au pavillon de Breteuil, à Sèvres. Ces définitions sont susceptibles d'évoluer sur décision de la Conférence générale des poids et mesures afin de les rendre plus précises. Défini en 1889 à partir de la longueur d'onde de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux de l'atome de Krypton 86, le mètre a ainsi été redéfini en 1983 comme la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458ème de seconde. Cette définition du mètre est tributaire de la définition de la seconde, connue avec précision. Elle a par ailleurs pour conséquence de donner une valeur exacte à la vitesse de la lumière (299 792 458 m/s). Le tableau suivant synthétise les entités physiques de base et les unités de base utiles à l'hydraulicien. Entités physique de base

Unités de base

Nom

Dimension

Nom

Symbole

Longueur

[L]

Mètre

m

Masse

[M]

Kilogramme

kg

Temps

[T]

Seconde

s

Température

[θ]

Kelvin

K

Tableau 7. Entités physiques et unités de base utiles à l'hydraulicien.

37

La dimension d'un volume est ainsi [L3], son unité est le m3. Une vitesse, de dimension [LT-1], s'exprime en m/s. Une force, de dimension [MLT-2], s'exprime en kg.m/s2. Etc.

2. Fondement de l'analyse dimensionnelle 2.1. Théorème de Vaschy-Buckingham Si on accepte le principe selon lequel le phénomène physique observé est indépendant de l'observateur, le phénomène physique est alors indépendant du système d'unités choisi pour quantifier les entités physiques qui interviennent. Sur cette base, un développement mathématique permet d'aboutir au théorème de Vaschy-Buckingham, énoncé ci-dessous (Pernès 2004). « Si n entités physiques sont reliées par une équation dimensionnellement homogène et si r désigne le rang de la matrice des exposants des équations aux dimensions de ces n entités physiques, il est possible de réduire l'équation dimensionnellement homogène initiale à une équation entre n - r nombres adimensionnels, ceux-ci étant constitués à partir des r entités physiques dont les équations aux dimensions sont indépendantes. »

2.2. Explicitation du théorème Par équation dimensionnellement homogène, on entend une équation indépendante du système d'unités choisi. Prenons un exemple. La période d'oscillation d'un pendule simple, déduite des lois de la mécanique, est donnée par l'équation suivante, où L est la longueur du pendule et g, l'accélération gravitationnelle.

T  2 L

g

Cette équation fait intervenir n entités physiques. Un Américain, qui utilise le pied et la seconde comme unités respectives de longueur et de temps, pourrait écrire cette équation comme suit :

T  11,1 L Un Français, qui utilise le mètre et la seconde :

T  2,01 L Ces trois équations sont justes (en tout cas à la surface de la Terre) ; pourtant, seule la première est indépendante du système d'unités et est donc dimensionnellement homogène. Les équations aux dimensions sont obtenues en considérant pour chaque entité physique les entités physiques de base auxquelles elle se rapporte. Ainsi, l'équation aux dimensions de l'accélération gravitationnelle est par exemple : [g] = [LT-2]. La matrice des exposants des équations aux dimensions est obtenue en listant pour chaque entité physique intervenant dans l'équation les exposants affectés à chaque dimension.

38

T

L

g

L

0

1

1

M

0

0

0

T

1

0

-2

θ

0

0

0

Seules les dimensions longueur et temps interviennent. La troisième colonne étant une combinaison linéaire de la première et de la deuxième, le rang r de la matrice est égal à 2.

2.3. Mise en œuvre de l'analyse dimensionnelle La mise en œuvre d'une analyse dimensionnelle comprend plusieurs étapes : 1. La détermination de toutes les entités physiques intervenant dans le phénomène (l’étape cruciale), 2. La détermination des équations aux dimensions de chacune de ces entités physiques, 3. La détermination du rang de la matrice, 4. Le choix des nombres adimensionnels. Parmi ces quatre étapes, la première est la plus délicate. Il faut en effet lister l'ensemble des entités intervenant dans le phénomène sans en oublier une seule. Les étapes 2 et 3 sont simples. La quatrième et dernière étape fait intervenir le choix de la personne procédant à l'analyse dimensionnelle. En effet, l'analyse dimensionnelle ne fournit qu'un nombre de grandeurs sans dimension ; reste à la personne procédant à l'analyse à choisir ces nombres. Les nombres formés peuvent être combinés entre eux (produits, quotients), montés à des puissances diverses ou bien multipliés par des constantes sans que l'analyse dimensionnelle ne soit remise en cause ; il s'agit véritablement d'un choix pour la constitution des nombres sans dimension. Ce choix peut s’avérer plus ou moins adapté au phénomène étudié.

2.4. Exemple de la période d'oscillation d'un pendule simple Une explication par un premier exemple simple constituera le meilleur moyen de comprendre la mise en œuvre de l'analyse dimensionnelle. Considérons le mouvement périodique d'un pendule simple mais cette fois-ci sans connaître l'équation de la période. Listons les entités physiques intervenant dans le phénomène (étape 1) : la période T du mouvement, la longueur L du pendule, l'accélération gravitationnelle g. Il y a n = 3 entités physiques régissant le phénomène, ce qui peut s'écrire mathématiquement :

f T , L, g   0 Ceci signifie qu'il existe une relation entre la période, la longueur et l'accélération gravitationnelle, ou encore, vu du côté de la période :

T  f L, g  39

La deuxième étape consiste à déterminer les équations aux dimensions de chaque entité physique ; ceci a déjà été fait plus haut. La troisième étape consiste à déterminer le rang de la matrice des exposants des équations aux dimensions ; ceci a également été fait plus haut : le rang r vaut ici 2. Le théorème de Vaschy-Buckingham permet alors d'affirmer que l'équation initiale peut être réduite à une équation mettant en jeu n - r = 1 nombre adimensionnel, ce qui s'écrit :

f 1   0 Où  1 est un nombre sans dimension à définir à partir des entités physiques intervenant dans le phénomène. On peut par exemple proposer l'expression suivante :

1 

L gT 2

Les équations aux dimensions de L et de gT2 étant en effet toutes deux identiques ([L]), ce nombre est adimensionnel. On pourrait tout aussi bien choisir les nombres suivants :

L 1 

g

T

1 

gT 2 L

1 

g 3T 6 L3

Etc. Encore une fois, il s'agit d'un choix. Dans cet exemple, l'analyse dimensionnelle a permis de dire que l'équation régissant le mouvement périodique d'un pendule et faisant intervenir la période, la longueur et l'accélération gravitationnelle peut se réduire à une équation faisant intervenir un unique nombre. Autrement dit, ce nombre ne peut être qu’une constante :

L  cste gT 2 Cela signifie qu'il existe une constante telle que la période d'un pendule simple peut s'écrire :

T  cste L

g

Si l'analyse dimensionnelle ne permet pas de déterminer la valeur de la constante, une seule expérience suffit à y parvenir. Cette expérience nous donnerait, selon le degré de précision du dispositif expérimental, une valeur voisine de 6,28. Rappelons que les lois de la mécanique permettent d'obtenir 40

pour cette constante une valeur égale à 2π, c'est-à-dire 6,2831... Ce premier exemple illustre deux des applications de l'analyse dimensionnelle : la détermination d'un plan d'expériences optimum et la détermination (partielle) de lois physiques. Avant d'illustrer plus en détails les autres applications de l'analyse dimensionnelle, reprenons l'exemple précédant en nous trompant lors de la première étape, c'est-à-dire lors de la détermination des entités physiques intervenant dans le phénomène. Imaginons, lors de l'analyse des entités physiques régissant l'oscillation d'un pendule, penser que la masse m du pendule intervienne. Ceci donne n = 4 entités physiques. La matrice des exposants des équations aux dimensions est donnée cidessous. Son rang r est égal à 3. T

L

g

m

L

0

1

1

0

M

0

0

0

1

T

1

0

-2

0

Le théorème de Vaschy-Buckingham permet donc d'affirmer que l'équation initiale faisant intervenir 4 variables peut être réduite à une équation ne faisant intervenir qu’un seul nombre adimensionnel, c'està-dire :

f  1   0 La dimension M n’intervenant qu’une seule fois dans la matrice précédente, aucun nombre adimensionnel ne peut être construit en utilisant la masse, sauf à la mettre à la puissance zéro (autrement dit, la masse n’y intervient pas). L’analyse dimensionnelle aboutit alors au même résultat que précédemment, malgré le choix erroné de la masse parmi les variables d’influence. En revanche, si nous oublions de prendre en considération l'accélération gravitationnelle g dans l'analyse des entités physiques régissant l'oscillation d'un pendule, l'analyse dimensionnelle est infructueuse. En effet dans ce cas, il y a 2 entités physiques et le rang de la matrice est égal à 2, ce qui aboutit à 0 nombre adimensionnel. Ceci illustre la nécessité de ne pas oublier d'entité physique intervenant dans le phénomène lors de la première étape. Cette deuxième partie de l'exemple illustre bien toute l'importance de la première étape de l'analyse dimensionnelle : une détermination partielle ou erronée des variables d'influence peut aboutir à une impasse voire, dans les cas faisant intervenir davantage de variables, à des résultats erronés.

3. Optimisation d'un plan d'expériences Cette partie présente une utilisation pratique de l’analyse dimensionnelle, à savoir la définition d’un plan d’expériences optimum. L’exemple considéré concerne la chute de pression rencontrée par un écoulement dans une conduite horizontale de diamètre constant (Langhaar 1951). Cet exemple servira dans le chapitre sur les pertes de charge. Listons tout d'abord les entités physiques intervenant dans le phénomène : la chute de pression Δp que l'on cherche à caractériser, les caractéristiques de la conduite (sa longueur L, son diamètre D et sa hauteur de rugosité k caractérisant principalement son état de surface), les caractéristiques du fluide (sa masse volumique ρ et sa viscosité μ) et la vitesse V, caractéristique de l'écoulement. Il y a au total n = 7 entités physiques. Cette analyse peut s'écrire sous la forme mathématique suivante :

41

f p,V , L, D, k ,  ,    0 Ou encore, du point de vue de la chute de pression :

p  f V , L, D, k ,  ,  

Photo : Matthieu DUFRESNE Figure 14. Mesure de la pression dans un écoulement d'huile le long d'une canalisation - Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg.

La matrice des exposants des équations aux dimensions est donnée ci-dessous. Pour la déterminer, les équations aux dimensions de chacune des variables ont été déterminées. Pour la pression, homogène à une contrainte (c'est-à-dire une force sur une surface), cela donne : [Δp] = [L-1MT-2]. Pour la hauteur de rugosité (donnée en général en mm par les constructeurs de canalisations) : [k] = [L]. Pour la masse volumique : [ρ] = [L-3M]. Pour la viscosité (dynamique) : [μ] = [L-1MT-1].

L M T

Δp -1 1 -2

V 1 0 -1

L 1 0 0

D 1 0 0

k 1 0 0

ρ -3 1 0

μ -1 1 -1

En considérant par exemple les trois premières colonnes de cette matrice, on peut montrer que son rang r est égal à 3. Le théorème de Vaschy-Buckingham permet donc d'affirmer que l'équation initiale faisant intervenir 7 variables peut être réduite à une équation ne faisant intervenir que 4 nombres adimensionnels, c'est-àdire :

f  1 ,  2 ,  3 ,  4   0 La définition de ces quatre nombres adimensionnels résulte d'un choix, même si un choix inadapté peut conduire à complexifier le résultat. On peut par exemple choisir les quatre nombres suivants :

1 

p V 2

42

2 

VD 

3 

k D

4 

L D

Le premier nombre est une forme adimensionnelle de la chute de pression. Le deuxième est un nombre de Reynolds (voir plus loin). Le troisième est une rugosité relative (par rapport au diamètre de la canalisation). Enfin, le quatrième nombre correspond à la longueur de la canalisation adimensionnalisée par son diamètre. On peut ajouter un facteur ½ dans le premier terme de sorte à faire apparaître un terme assimilable à une énergie cinétique. L’analyse dimensionnelle permet en effet de multiplier par des constantes sans dimension.

1 

p 1 V 2 2

Pour le moment, l'analyse dimensionnelle permet d'affirmer qu'il existe une équation reliant ces quatre nombres, c'est-à-dire :

   p VD k L  f , , , 0  1 V 2  D D    2  . Vu du point de vue de la chute de pression, cette équation peut s'écrire :

p 1 V 2 2

 VD k L   f  , ,    D D

Nous pouvons aller plus loin dans la mesure où la chute de pression dans une canalisation horizontale de section constante est due à la contrainte de cisaillement à la paroi, elle-même due au profil de vitesse. La canalisation étant de section constante sans aucune singularité (pas de coude par exemple), le profil de vitesse est uniforme le long de la canalisation. De ce fait, la pression doit varier linéairement avec la longueur. Ceci permet d'écrire :

p L  1 V 2 D 2

 VD k  f  ,    D

Ou encore :

43

p 

1 L  VD k  V 2 f  ,  2 D   D 

 VD k  La fonction f  ,  est un coefficient caractérisant le « frottement » (le « frottement » interne   D comme le frottement à la paroi); elle sera très utilisée dans le chapitre sur les pertes de charge. Cette fonction f dépend du nombre de Reynolds et la rugosité relative. Si l'analyse dimensionnelle n'a pas permis de déterminer cette fonction, elle a en revanche permis de caractériser la chute de pression dans une canalisation horizontale de diamètre constant de façon beaucoup plus fine que l'équation initiale. Une fois les variables régissant un phénomène clairement identifiées, l'analyse dimensionnelle permet de réduire l'équation entre n entités à une équation entre n - r nombres adimensionnels. Il est alors inutile de faire varier les valeurs des n variables d'entrée indépendamment les unes des autres ; il suffit en effet de ne faire varier que les valeurs n - r variables adimensionnelles. Reprenons la conclusion de l'exemple précédent. Plutôt que de procéder à des expériences faisant varier le diamètre D de la conduite (en s'affranchissant de la longueur), sa hauteur de rugosité k, la masse volumique ρ et la viscosité μ du fluide et la vitesse V de l'écoulement pour mesurer la chute de k VD pression Δp, il suffit de faire varier deux nombres sans dimension : et . Cela signifie que



D

l'on doit faire varier 2 grandeurs au lieu de 5. Imaginons que l'on souhaite caractériser chaque variable par 5 valeurs. Au lieu de procéder à 55 = 3 125 expériences, nous n'avons besoin de n'en faire que 52 = 25. Cela peut paraître très surprenant mais s'explique par le fait que beaucoup d'expériences parmi  VD k  les 3125 constitueraient des couples  ,  identiques, c'est-à-dire qu'elles correspondraient à   D des situations similaires (nous reviendrons sur ce terme plus loin). L'analyse dimensionnelle apparaît ainsi comme un puissant outil de réduction du nombre de variables à investiguer expérimentalement.

4. Principaux nombres adimensionnels rencontrés en hydraulique 4.1. Introduction Considérons le cas général de l'étude d'un phénomène lié à un écoulement permanent d'eau (fluide newtonien et incompressible) auquel se rapporte la quasi-totalité des écoulements rencontrés en hydraulique (Pernès 2004). Ce phénomène peut être la force de traînée exercée par l'eau sur une carène de navire, la longueur de la zone de recirculation située en aval d'un élargissement brusque, etc. Une analyse dimensionnelle du phénomène met en jeu un certain nombre d'entités physiques, parmi lesquelles : 

Les caractéristiques de l'eau : sa masse volumique ρ, sa viscosité μ, sa tension superficielle σ (dans le cas d'une surface libre) et la célérité du son c.



Les caractéristiques liées aux forces susceptibles d'intervenir : l'accélération gravitationnelle g (qui conditionne les écoulements à surface libre) et toute force F susceptible d'intervenir dans le phénomène étudié (par exemple la force de traînée, la force de portance agissant sur un objet placé dans l'écoulement, etc.). 44



Les caractéristiques de l'écoulement : toute longueur caractéristique L (diamètre de la canalisation, hauteur d'eau, longueur d'une zone de recirculation, etc.), toute vitesse caractéristique V et toute pression caractéristique p.

Construisons à présent la matrice des exposants des équations aux dimensions. ρ

μ

σ

c

g

F

L

V

p

L

-3

-1

0

1

1

1

1

1

-1

M

1

1

1

0

0

1

0

0

1

T

0

-1

-2

-1

-2

-2

0

-1

-2

Il existe une infinité de nombres adimensionnels pouvant être construits à partir de ces entités physiques. L'usage a retenu les suivants. Nous parlons non pas du nombre de Reynolds, du nombre de Froude, etc. mais des nombres de Reynolds, des nombres de Froude, etc. pour la raison que la définition de ces nombres résulte d'un choix et que l'usage a parfois imposé des définitions différentes selon les domaines d'application. Précisons que la science est en général ingrate puisqu’elle n’a retenu que quelques noms parmi les nombreuses personnes ayant travaillé sur un sujet particulier : soit les plus brillantes, soit ceux ayant crié le plus fort… Le fait d’associer le nom d’une personne à un nombre, une équation, un phénomène, etc. ne doit par ailleurs pas faire oublier le fait qu’une part importante du savoir est due à une multitude d’anonymes dont l’histoire des sciences n’a pas retenu le nom (Conner 2005).

4.2. Les nombres de Reynolds VL est appelé nombre de Reynolds en hommage à l’ingénieur irlandais Osborne Reynolds  VD (1842 - 1912). Pour une canalisation en charge, il revêt la forme Re  où V est la vitesse  1 

moyenne, également appelée vitesse débitante (rapport du débit sur la section de passage) et D est le diamètre de la canalisation. En hydraulique à surface libre, on utilise les nombres de Reynolds suivants, où h est la hauteur d'eau, Dh, le diamètre hydraulique et Rh, le rayon hydraulique.

Re 

Re 

Re 

Re 

Vh  4 Vh

 VD h  4 VRh



Le nombre de Reynolds est d'une importance majeure en hydraulique où il est utilisé pour différencier les écoulements laminaires (conditionnés par les forces visqueuses) des écoulements turbulents (conditionnés par les forces d'inertie), tel qu'illustré sur la figure suivante. 45

Photo : Matthieu DUFRESNE

Photo : Matthieu DUFRESNE

Figure 15. Un jet laminaire (à gauche) et un jet turbulent (à droite) - Institut national des sciences appliquées de Strasbourg.

Défini avec le diamètre de la canalisation ou bien avec 4 fois le rayon hydraulique dans le cas d’un écoulement à surface libre, le nombre de Reynolds de transition entre un écoulement laminaire (c’està-dire conditionné par la viscosité) et un écoulement tubulent est d’environ 2 000. Dans le cas du sillage d’une sphère, le nombre de Reynolds est défini généralement à partir du diamètre de la sphère. Le sillage est laminaire en-dessous d’une valeur du nombre de Reynolds environ égale à 1, turbulent au-dessus.

4.3. Les nombres de Froude 2 

V

est appelé le nombre de Froude en hommage à l’ingénieur anglais William Froude (1810 gL - 1879). Il est d'une importance majeure en hydraulique des écoulements à surface libre où il est généralement défini à partir du diamètre hydraulique Dh, cette entité étant la hauteur d'eau h pour un canal de section rectangulaire :

Fr 

Fr 

V gDh V gh

Défini ainsi, le nombre de Froude correspond au rapport entre la vitesse moyenne de l’écoulement et la célérité des ondes de gravité. Ce nombre de Froude permet ainsi de différencier les écoulements fluviaux ou sous-critiques (conditionnés par les forces de gravité) des écoulements torrentiels ou surcritiques (conditionnés par l'inertie de l’écoulement).

46

Photo : José VAZQUEZ Figure 16. Ecoulement fluvial en amont du seuil (à droite de la photographie) et écoulement torrentiel en aval du seuil (à gauche) – Lycée Agricole d’Obernai.

4.4. Les nombres de Weber 3 

LV 2 est appelé le nombre de Weber en hommage aux frères allemands Ernst (1795 - 1878) et 

Wilhelm (1804 - 1891) Weber. Il peut être défini pour un écoulement à surface libre à partir de la hauteur d'eau h :

We 

hV 2 

On peut également le définir pour une goutte d'eau à partir du diamètre d de la goutte :

We 

dV 2 

Le nombre de Weber est d'un emploi relativement peu fréquent en hydraulique puisque les effets de tension de surface sont en général insignifiants. Ces effets ne deviennent en effet significatifs que lorsque la longueur caractéristique de l'écoulement devient petite (de l'ordre de quelques millimètres). Il intervient dans le cas des études sur modèles réduits ; il n’existe cependant pas vraiment au jour d’aujourd’hui de consensus sur la meilleure définition à donner à ce nombre ni sur la valeur limite à adopter pour séparer les écoulements pour lesquels les forces de tension superficielle ont une influence significative et ceux pour lesquels elles sont insignifiantes.

4.5. Les nombres de Mach Appelé ainsi en hommage au physicien autrichien Ernst Mach (1838 - 1916), le nombre de Mach

Ma 

V est défini comme le rapport de la vitesse de l'eau sur la célérité du son dans cette même eau. c

Il permet de différencier les écoulements subsoniques des écoulements supersoniques. D'emploi peu fréquent en hydraulique où les vitesses de l'écoulement demeurent en général peu importantes (au grand maximum quelques mètres par seconde), son emploi devient fréquent en aéraulique et surtout en aéronautique où les vitesses peuvent être très importantes. Notons que l'ouvrage référence sur les pertes de charge de Idel’cik (1986) présente des résultats pour une vaste gamme du nombre de Mach. 47

4.6. Les nombres d'Euler En hommage au Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783), le nombre d'Euler s'écrit :

5 

p V 2

Il est souvent utilisé en hydraulique pour adimensionnaliser une pression p ou plus fréquemment une chute de pression Δp. Il est alors défini de la façon suivante :

Eu 

p 1 V 2 2

Le facteur ½ est utilisé pour retrouver au dénominateur la forme d'une énergie cinétique par unité de volume.

4.7. Les coefficients de traînée, de frottement et autres coefficients adimensionnalisant une force L'usage n'a retenu aucun nom particulier pour les nombres permettant d'adimensionnaliser des forces F et qui s'écrivent  6  . L'application la plus courante en hydraulique étant l'étude de la force V 2 L2 de traînée FD (étude des hélices, des carènes de navires, du transport de particules solides, etc.), évoquons le coefficient de traînée CD. Pour une sphère de diamètre d, il est défini par :

CD 

FD  2 2  V d 8

Pour l'étude d'une carène, par l’expression suivante, où A est la surface immergée :

CD 

FD 1 V 2 A 2

De façon similaire, le nombre cf défini dans l’équation suivante, est appelé coefficient de frottement. Il est utilisé pour caractériser le frottement entre un écoulement et les parois d’un canal. Dans cette expression, τ est la contrainte de cisaillement moyenne sur la paroi (rapport de la force de cisaillement sur la surface de contact).

cf 

 1 V 2 2

48

5. Les similitudes 5.1. Préambule Les similitudes constituent la deuxième grande utilisation pratique de l’analyse dimensionelle. Elles constituent notamment le fondement des études sur modèles réduits très courantes en hydraulique. Lorsqu'on parle de similitude, on compare deux systèmes, par exemple : un prototype (l’ouvrage ou le dispositif grandeur nature) et son modèle réduit, ou bien encore une pompe centrifuge tournant à 1 400 tr/min et cette même pompe centrifuge tournant à 1 200 tr/min. On distingue différents types de similitudes.

5.2. Des différentes similitudes à la similitude complète Similitude géométrique Similitude géométrique signifie que la forme des deux systèmes est semblable. On appelle dans ce cas le facteur KL de proportionnalité des mesures des longueurs entre les deux systèmes l'échelle. S'il faut distinguer l'échelle selon la direction (par exemple Kx, Ky et Kz), alors on parle de distorsion. Imaginons par exemple qu’on souhaite étudier au moyen d'un modèle réduit l'écoulement dans le lit majeur d'un cours d'eau sur une distance de 7 km. Au vu de la place disponible en laboratoire, le modèle peut faire 35 m de long, ce qui correspond à une échelle géométrique horizontale de 1:200. En période d'inondation, la hauteur d'eau dans le lit majeur est au maximum de 50 cm, ce qui correspondrait sur le modèle réduit à 2,5 mm. Or, à de telles hauteurs, des phénomènes physiques non présents à l'échelle du cours d'eau risquent de devenir significatifs sur le modèle réduit, par exemple la tension de surface. Dans ce cas, on distordra les échelles de sorte à avoir au moins quelques centimètres d'eau dans le modèle réduit. De nombreux modèles réduits de rivières ou d'estuaires présentent ainsi des échelles horizontale et verticale distinctes ; on parle de modèle distordu, ce qui induit des difficultés de transposition des résultats obtenus sur modèle au prototype. En effet, dans le cas où le modèle est plus réduit horizontalement que verticalement, la pente est plus grande sur le modèle réduit que sur le prototype. Pour éviter que les écoulements ne soient trop rapides sur le modèle réduit, on augmente ainsi en général la rugosité de ses surfaces pour compenser. Similitude cinématique Similitude cinématique signifie qu'il existe un facteur de proportionnalité KT entre les temps sur les deux systèmes. Cela ne signifie pas que les temps sont identiques, ils sont homologues. On souhaite par exemple étudier la propagation d'un tsunami au niveau d'un port. Pour cela, un modèle réduit à l'échelle 1:30 est construit. On peut alors montrer que l'instant t = 25 s dans le port grandeur nature correspond à un instant d'à peine plus de 4,5 s dans le modèle réduit (voir plus loin la similitude de Froude). Similitude dynamique Similitude dynamique signifie que les différentes forces régissant le phénomène dans les deux systèmes sont dans des rapports constants.

49

Similitude complète Lorsqu'il y a similitude géométrique et que les nombres adimensionnels régissant le phénomène sont conservés entre les deux systèmes, alors il y a similitude complète.

5.3. Les modèles réduits Très largement utilisés en hydraulique, les modèles réduits constituent un moyen de déterminer puis d'optimiser le comportement d'un aménagement avant sa construction ou sa réhabilitation. L'étude sur modèle réduit, appelée modélisation physique, constitue ainsi une étape clé dans le dimensionnement de l'aménagement. Les modèles réduits sont particulièrement intéressants lorsque le coût de l'aménagement projeté (et donc aussi le coût de ses éventuelles modifications après construction) est très largement supérieur au coût de l'étude sur modèle réduit (de quelques dizaines à quelques centaines de milliers d'euros pour une étude sur un modèle réduit occupant quelques mètres carrés à quelques dizaines de mètres carrés). Si on a pu croire que les modèles numériques allaient entraîner la disparition des modèles physiques, il n'en a rien été, l'hydraulique demeurant encore une science fortement expérimentale, notamment concernant le transport de sédiments. Depuis quelques années, il n'est pas rare de coupler les approches numérique et physique pour une même étude : le modèle numérique peut par exemple être utilisé pour mieux reproduire les conditions aux limites sur le modèle réduit, c'est-à-dire les conditions aux frontières du modèle réduit. Cela permet en général de restreindre la taille du modèle réduit ou alors de pouvoir construire à plus grande échelle pour la même occupation du sol dans le laboratoire. La démarche consiste à procéder à une analyse dimensionnelle du phénomène étudié afin d'identifier les nombres adimensionnels d'influence, puis à faire en sorte de les conserver constants entre le prototype (échelle 1) et le modèle réduit. Pour les modèles réduits d'aménagements hydrauliques, ce sont les nombres de Reynolds et de Froude qui sont les plus importants. Un écoulement en charge étant conditionné par le nombre de Reynolds, c'est en effet cette variable adimensionnelle qu'il faut conserver constante entre le prototype et le modèle réduit ; on parle de similitude de Reynolds Un écoulement à surface libre étant conditionné à la fois par le nombre de Reynolds et le nombre de Froude, il faudrait conserver ces deux grandeurs entre prototype et modèle réduit. Nous verrons à travers un exemple que cela est impossible (sauf à modifier les propriétés du fluide). Les écoulements à surface libre étant principalement conditionnés par les forces de gravité, on privilégiera la similitude de Froude à celle de Reynolds. Ce choix se justifie par l’indépendance du coefficient de frottement au nombre de Reynolds dans la partie droite du diagramme de Moody-Stanton (voir le chapitre sur les pertes de charge). Exemple du modèle réduit d'un évacuateur de crue On souhaite optimiser l'évacuateur de crue d'un barrage sur modèle réduit avant sa construction. La place disponible permet de construire un modèle à l'échelle 1:30. Par ailleurs, pour des raisons de simplicité, on ne souhaite ni utiliser un fluide différent de l'eau ni modifier les propriétés de l'eau en y ajouter des additifs. On souhaite connaître le débit à imposer sur le modèle réduit pour reproduire le débit rencontré en grandeur nature (300 m3/s). Il faut que les nombres de Froude et de Reynolds soient les mêmes entre modèle réduit (M) prototype (P). Commençons par le nombre de Froude :

VM gLM



VP gLP 50

Ceci permet d'exprimer l'échelle de vitesse entre modèle réduit et prototype :

VM  LM  VP  LP

  

1

2

Pour des questions dimensionnelles, l'échelle des débits est alors obtenue en multipliant l'échelle des vitesses par le carré de l'échelle des longueurs, ce qui aboutit à :

QM VM  QP VP

 LM   LP

2

 L    M   LP

  

5

2

Concernant le nombre de Reynolds, son égalité sur le modèle réduit et le prototype s'écrit :

VM LM VP LP    En procédant comme pour le nombre de Froude, on aboutit à la condition suivante traduisant la conservation du nombre de Reynolds :

QM  LM    QP  LP 

3

2

On comprend ainsi qu'il est impossible de respecter à la fois une similitude de Froude et une similitude de Reynolds (en tout cas sans modifier les propriétés du fluide). Les écoulements à surface libre étudiés étant en général très fortement turbulents, la nécessité de reproduire le même nombre de Reynolds sur le modèle réduit et le prototype est de moindre importance (voir le diagramme de Moody et de Stanton où le coefficient de perte de charge linéaire tend vers des horizontales avec le nombre de Reynolds). C'est pourquoi on se contente en général d'appliquer une similitude de Froude aux modèles réduits d'écoulement à surface libre. On doit cependant vérifier que le nombre de Reynolds sur le modèle réduit n'est pas trop faible, ce qui pourrait exacerber l'influence des forces de viscosité par rapport au prototype. En utilisant la relation découlant de la conservation du nombre de Froude, on calcule l'échelle de débit qui vaut environ 1:5000. Ainsi, 300 m3/s en grandeur nature seront représentés par environ 60 l/s sur le modèle réduit.

51

PARTIE 2 : L’HYDROSTATIQUE

52

53

V. HYDROSTATIQUE ________________________________________________________________________

Figure 17. Vue depuis la rive droite aval des vestiges du barrage de Malpasset dans le Var (rompu le 2 décembre 1959) – Figure tirée de Dewals (2006). Note : la rupture serait due à une défectuosité dans les fondations (Dewals 2006).

L’hydrostatique étudie les conditions d’équilibre de l’eau au repos, c’est-à-dire lorsqu’il n’y a pas d’écoulement. En abordant l’étude de la répartition de la pression, notamment en fonction de la profondeur, ainsi que des forces pressantes qui en résultent, ce chapitre donne les fondements nécessaires à l'étude des barrages ou encore des dispositifs de type vanne (vanne de régulation, vanne de chasse, etc.) pour lesquels l'hypothèse de la pression hydrostatique, même dans les cas où il y a écoulement, est généralement suffisante pour déterminer le fonctionnement de l'ouvrage.

1. Variation de la pression dans un fluide au repos 1.1. Equation de l’hydrostatique Afin de déterminer la loi de variation de la pression dans un fluide, effectuons un bilan de forces sur un cube élémentaire de fluide au repos, de côtés dx, dy et dz. Notons p la pression au niveau de ce cube. Les forces agissant sur le volume élémentaire sont de deux natures : les forces de volume et les forces de surface.

54

z y

Pz (x, y, z+dz/2)

x Py (x, y+dy/2, z) Px (x-dx/2, y, z)

Px (x+dx/2, y, z)

Py (x, y-dy/2, z)

Pz (x, y, z-dz/2)

Figure 18. Bilan des forces agissant sur un cube élémentaire de fluide au repos.

Concernant les forces de volume, il n’en existe qu’une seule : la force de pesanteur ou poids P . Elle s’écrit de la façon suivante, où ρ est la masse volumique du fluide, g l’accélération gravitationnelle et e z le vecteur unitaire correspondant à l’axe vertical ascendant z. P   gdxdydz e z

Concernant les forces de surface, il n’y a que les forces pressantes, c’est-à-dire dues à la pression, agissent sur chacune des six faces de contact entre le cube élémentaire et le fluide environnant. En effet, sans mouvement, aucune force due à la viscosité ou encore à la turbulence n’existe. Concernant l’axe z, une force de pression dirigée vers le haut agit sur la surface inférieure. dz   Finférieure  p  x, y , z   dxdy e z 2  

Sur la face supérieure : dz   Fsupérieure   p  x, y , z   dxdy e z 2  

Globalement :

  dz  dz    Fz    p x, y , z    p x, y , z    dxdy e z 2  2     C’est-à-dire, en se reportant au chapitre sur les outils mathématiques :

Fz  

p  x, y , z dxdydz e z z 55

Les forces exercées selon les axes x et y peuvent être exprimées de façon similaire.

Fx  

p  x, y , z dxdydz e x x

Fy  

p  x, y , z dxdydz e y y

Le fluide étant au repos, la deuxième loi de Newton s’exprime par :

F

extérieure s

0

Dans le cas considéré, il vient alors trois équations correspondant aux trois composantes de l’équation vectorielle :

p  x, y , z   0 x p  x, y , z   0 y

p  x , y , z    g z Ces équations signifient que la pression dans un fluide au repos ne dépend pas des coordonnées horizontales (indépendance par rapport à x et à y) : la pression est constante dans un plan horizontal. Seule une variation de la coordonnée d’altitude provoque une variation de la pression. Ceci peut être exprimé de la façon suivante, où p est fonction uniquement de la variable z :

dp   g dz L’équation précédente est souvent appelée équation fondamentale de l’hydrostatique. Elle est valable quelque soit la nature du fluide.

1.2. Variation de la pression dans un fluide incompressible Pour un fluide incompressible (masse volumique ρ constante), l’intégration de l’équation précédente s’écrit :

p  gz  Cte La grandeur p  gz est notée p* et est appelée pression étoilée (« p star »).

56

L’équation précédente peut également s’écrire comme suit, où

p* g

est appelée la hauteur

piézométrique. C’est une quantité homogène à une longueur qui s’exprime, par exemple, en mètres.

p* p   z  Cte g g Cette équation permet par exemple de déterminer les variations de pression dans de l’eau. Dans des conditions classiques de température et de pression (hors phénomènes de type coup de bélier), la masse volumique de l’eau est en effet très peu fluctuante.

1.3. Variation de la pression dans un fluide compressible Contrairement aux liquides, les gaz sont fortement compressibles. La variation de la masse volumique ρ dépend de la pression p et de la température T :

  f  p, T  En adoptant le modèle du gaz parfait (qui fonctionne au moins de façon approximative pour la plupart des gaz), la relation précédente s’écrit comme suit, où r est une constante (dépendant néanmoins du gaz considéré).



p rT

Les conditions à l’altitude z0, à savoir une pression p0 et une température T0, permettent de déterminer la constante r :

0 

p0 rT0

En reprenant la relation fondamentale, il vient : dp p T0  0 g dz p0 T

Si la température reste constante (T = T0), il vient par intégration :

  g p  p0 exp   0  p0

 z  

Dans le cas de l’air à température ambiante (20°C) au niveau de la mer, la pression p0 vaut 1,013.105 Pa et la masse volumique ρ0, 1.205 kg/m3. L’équation précédente permet alors de caractériser l’évolution de la pression dans l’air en fonction de l’altitude :  z m   pPa   1,013.10 5 exp     8570 

57

Par exemple, à 3000 m d’altitude, l’équation précédente aboutit à une valeur de pression de 0.659.105 Pa, soit 35% de moins qu’au niveau de la mer. L’hypothèse d’un fluide incompressible aboutirait à 0.714.105 Pa, soit 8% de différence relative.

1.4. Pression absolue et pression relative La pression absolue est définie par rapport à la pression dans le vide qui correspond à la pression nulle. La pression absolue minimale possible est donc zéro. La pression relative se définit par rapport à une référence que l’on choisit le plus souvent égale à la pression atmosphérique. Cela revient à faire une translation du repère des pressions. Une pression absolue nulle est donc équivalente à la pression atmosphérique (patm). La pression absolue minimale correspond donc à : -patm (pression atmosphérique négative).

p relative  p absolue  p atmosphéri que Prenons par exemple un réservoir où la surface libre est à la pression atmosphérique (patm en pression absolue). En écrivant l’équation de l’hydrostatique par rapport à un plan de référence, on a :

p  gz  Cte Entre les points 1 et 2 de la figure suivante, cela donne :

p1  gz1  p 2  gz 2 Ce qui peut s’exprimer en pression absolue comme ci-dessous où h est la profondeur :

p1  p 2  g  z 2  z1   patm  gh En pression relative, cela donne :

p1  p 2  g  z 2  z1   gh La figure suivante illustre ces répartitions de la pression.

2 h 1 Pression relative

Pression absolue

Plan de référence Figure 19. Variation des pressions absolue et relative en fonction de la profondeur.

58

Dans la pratique, on mesure très souvent par rapport à la pression atmosphérique (patm). La plupart des instruments de mesure fournissent d’ailleurs une pression relative ; ils indiquent donc zéro lorsque la pression mesurée correspond à la pression ambiante.

1.5. Unités de mesure de la pression L’unité légale de mesure de la pression est le pascal : 1 Pa = 1 N/m2. Un multiple du pascal couramment employé est le bar : 1 bar = 105 Pa. Il existe cependant de nombreuses autres unités de mesure de la pression. La pratique a instauré l’utilisation d’unités homogènes à des hauteurs (le mètre de colonne d’eau mCE, le millimètre de mercure mmHg, etc.) car elles permettent aisément de visualiser la pression comme la résultante d’une colonne de fluide au repos. Par exemple, 5 mCE est la pression hydrostatique que l’on aurait sous 5 m de colonne d’eau ; 760 mmHg est la pression hydrostatique que l’on aurait sous 760 mm de colonne de mercure. Remarquons qu’il est tout à fait possible de mesurer la pression dans de l’eau en utilisant comme unité le millimètre de mercure. Il convient en effet de bien distinguer la nature du fluide et l’unité utilisée pour mesurer la pression. De nombreux instruments de mesure indiquent ainsi la valeur de la pression en mmHg car historiquement les manomètres utilisaient le mercure. Le mercure possédant une masse volumique importante, ce fluide permettait la mesure d’une large gamme de pression avec une hauteur de dispositif relativement faible. Ainsi, 1 mètre dans de l’air correspond à une variation de pression d’environ 10 Pa (0.0001 bar) ; 1 mètre dans de l’eau à environ 10 000 Pa (0.1 bar) ; 1 mètre dans du mercure à environ 130 000 Pa (1.3 bar)… Enfin, on parle parfois de « nombres d’atmosphères » (atm), par exemple une pression qui serait égale à 1,4 atm : cela signifie que la pression vaut 1,4 fois la pression atmosphérique. Le tableau suivant illustre la conversion entre ces différentes unités. 1 bar 1 atm 1 atm 1 atm 1 mCE 1 mmHg

105 Pa 1,013 bar 10,33 mCE 760 mmHg 9800 Pa 133 Pa

Tableau 8. Conversion entre différentes unités de pression.

2. Action hydrostatique de l’eau sur une paroi immergée 2.1. Démarche L’action de l’eau sur une paroi immergée provient des forces pressantes, c’est-à-dire des forces dues à la pression. Par nature même de ces forces, elles agissent sur toute la surface de la paroi immergée. L’objectif de cette partie est de déterminer la force F équivalente déterminée par :   

Sa direction, Sa norme, Son point d’application.

59

p

h

surface

ds surface d’application de la pression Figure 20. Force de pression élémentaire agissant sur un petit élément de surface – Figure inspirée de Graf et Altinakar (2000).

La figure précédente illustre la force de pression élémentaire dF agissant sur le petit élément de surface dS. Elle est définie par :   

Sa direction : la force de pression est perpendiculaire à la surface d’application. Sa zone d’application : la force de pression s’applique sur la surface dS. Sa norme : la force s’exprime en fonction de la pression, elle-même liée à la profondeur de l’eau.

dF  pdS

2.2. Paroi plane en position inclinée On s’intéresse aux surfaces planes de forme quelconque immergées dans l’eau.

60

x α

h = ysin(α) hP hG

Vue A-A

x

y yG

dS

Surface S

yP

Ixx

F

dS ξ

G

P y

η

Iξξ

y

Vue A-A

Figure 21. Action de l’eau sur une paroi plane immergée – Figure inspirée de Graf et Altinakar (2000).

La figure précédente représente à gauche la surface immergée et à droite une vue A-A de cette surface. On définit un repère (x, y) dont l’axe x est sur la surface libre et l’axe y dirigé vers le bas et passant par la surface plane. Le point G de coordonnées (xG, yG) est le centre de gravité de la section. On définit le repère (ξ, η) comme étant une translation du repère (x, y) centré en G. Direction de la force équivalente La direction de la force équivalente est, comme chacune des petites forces élémentaires, perpendiculaire à la paroi. Norme de la force équivalente La norme de la force résultante F agissant sur la surface S est définie par l’expression suivante, où l’axe h est vertical orienté vers le bas avec son origine au niveau de la surface libre :

F   dF  g  hdS S

S

En utilisant l’équation suivante exprimant la position du centre de gravité selon l’axe h (voir le chapitre sur les outils mathématiques) :

hG 

1 S

 hdS S

61

Il vient :

F  ghG S La résultante des forces pressantes est donc égale à la pression au niveau du centre de gravité multipliée par la surface de la paroi immergée. Point d’application de la force équivalente Le point d’application de la force résultante P (xp, yp) est appelé centre de pression ou centre de poussée. Il est possible de déterminer la position de ce point en procédant à un calcul de moment par rapport à l’origine du repère (x, y) : en considérant l’ensemble des petites forces élémentaires et aussi en considérant la force équivalente.

x P F   xdF S

y P F   ydF S

Dans la grande majorité des cas, les surfaces sont symétriques par rapport à l’axe η, ce qui revient à dire que xp = xG. Ne reste alors que la seconde coordonnée à déterminer.

yP 

 ydF S

F

En utilisant dF = ρghdS et F = ρghGdS puis en remarquant que h = ysinα, il vient l’expression suivante :

yP 

 y

2

dS

S

yG S

Introduisons la décomposition y = y – yG + yG pour faire apparaître yG au numérateur. Il vient après développement à l’intérieur de l’intégrale et séparation en somme de trois intégrales distinctes.

  y  y  dS   y 2

G

yP 

S

2 G

dS   2 yG  y  yG dS

S

S

yG S

Considérons tout d’abord le troisième terme du numérateur. Il s’écrit comme suit :





 2 y  y  y dS  2 y  ydS  y  dS  G

S

G



2

G

G

S

S



En utilisant l’équation exprimant la position du centre de gravité dans le repère y, à savoir 1 yG   ydS , ainsi que  dS  S , il vient que ce terme est égal à zéro. S S S 62

Concernant le deuxième terme du numérateur, il se simplifit aisément en yG2S. Il vient donc pour l’expression de yP :

  y  y  dS 2

G

y P  yG  L’intégrale

  y  y  dS 2

G

S

yG S

est une propriété géométrique de la surface S par rapport à l’axe

S

horizontal passant par le centre de gravité G et noté ξξ sur la figure précédente. Elle est notée Iξξ et appelée inertie de la section suivant les axes ξξ (propriété géométrique de la section, tout comme le centre de gravité).

I     y  yG  dS 2

S

La position du centre de poussée dans le repère y s’acrit donc simplement :

y P  yG 

I  yG S

Le Tableau 9 fournit le centre de gravité, la surface et l’inertie pour quelques formes de surfaces planes.

63

Surface

Position du centre de gravité, inertie et surface

2h 3 bh S 2

ν

h

v

ξ

G

ξ

ν’

v' 

I  

h 3 bh 3

36

b

ν ξ

h

v

ξ

G

h 2

S  bh

ν’

v' 

I  

h 2 bh 3

12

b

ν ξ

ξ

G

vR S  R 2

ν’

ν ν’

ξ

 4 sin 3    v  R 1    32  sin 2   v '  R1  cos    v

ξ

G

v'  R R 4 I   4

φ R

S

R2 2  sin 2  2

4 R4 4  sin 4   R 1  cos2  16 9 2  sin 2  3

I  

Tableau 9. Centre de gravité et inertie de quelques surfaces typiques – Tableau d’après Graf et Altinakar (2000).

64

3. Synthèse du chapitre La pression p peut être déterminée en tout lieu d’un fluide incompressible au repos en utilisant l’équation fondamentale de l’hydrostatique, où ρ est la masse volumique du fluide, g l’accélération de la gravité et z la coordonnée verticale ascendante :

p  gz  Cte Il suffit ainsi de connaître p et z en un point donné (généraleement à la surface de l’eau) pour déterminer la pression partout dans le fluide. L’action de l’eau sur une paroi immergée a les caractéristiques suivantes : 

La direction de cette force est perpendiculaire à la paroi.



La norme F de cette force est calculable en utilisant l’équation suivante où S est la superficie de la surface immergée et hG la profondeur du centre de gravité G (h : repère vertical descendant ayant son origine au niveau de la surface libre).

F  ghG S 

Le centre de poussée est localisé à la position yP calculable comme suit où Iξξ est l’inertie de la surface par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité de la surface immergée et y un repère orienté selon la surface immergée, descendant et ayant son origine au niveau de la surface libre.

y P  yG 

I  yG S

65

PARTIE 3 : LA MISE EN EQUATIONS DE L’HYDRAULIQUE ET L’HYDRAULIQUE EN CHARGE

66

67

VI. MISE EN EQUATIONS DES ECOULEMENTS STATIONNAIRES ___________________________________________________________________________

Photo : Marie MANCEAU Figure 22. Jonction entre deux canalisations dans le réseau d’assainissement de la Communauté Urbaine de Strasbourg (un abattoir rejette dans la canalisation de gauche).

L’objectif de ce chapitre est de présenter et de mettre en équations les trois grands principes utilisés en hydraulique, à savoir :   

le principe de conservation de la masse, le principe de conservation de l’énergie, et le principe de conservation de la quantité de mouvement.

On se focalisera sur le cas de l’écoulement permanent d’un fluide incompressible qui correspond aux conditions les plus souvent rencontrées. La totalité de ce qui va suivre dans ce cours n’est que la traduction, sous une forme ou une autre, de l’un de ces principes ou de la combinaison de certains de ces principes entre eux.

68

1. Equation de conservation de la masse 1.1. Ecriture intégrale Le principe de conservation de la masse, encore appelé le principe de continuité, stipule que la variation de masse de fluide dans un volume donné pendant une certaine durée est égale à la masse de fluide entrante moins la masse de fluide sortante pendant cette même durée (bilan massique). Dans un volume de contrôle ne subissant aucune variation de masse au cours du temps (pas d’accumulation ni de perte), cela signifie que la somme des débits massiques entrants compense exactement la somme des débits massiques sortants. En adoptant la convention selon laquelle un débit entrant est positif et un débit sortant est négatif, l’équation de continuité en régime permanent s’écrit comme suit, où ρ est la masse volumique et Q le débit volumique :

 Q  0 Dans le cas d’un fluide incompressible, l’équation de continuité s’écrit simplement :

Q  0 Ou encore, en faisant intervenir les vitesses moyennes U et les surfaces S des sections de passage :

 US  0

Q2 a) Q1

Q3 Q2

b)

Q1

Q3

Figure 23. Cas d’une jonction (a) et d’une bifurcation (b) pour la conservation de la masse.

69

Ainsi, pour le cas de la jonction (a) illustré sur la figure précédente, l’équation de continuité s’écrit :

Q1  Q 2  Q3 Q1 est le débit entrant, Q2 l’apport latéral et Q3 le débit sortant. Pour la bifurcation (b), où Q2 est le débit prélevé :

Q1  Q 2  Q3

1.2. Ecriture infinitésimale L’écriture infinitésimale de la conservation de la masse est rarement utilisée en pratique. Elle est démontrée ici pour être utilisée dans la démonstration rigoureuse de l’équation de Bernoulli généralisée (voir la partie suivante). Elle est par ailleurs utilisée sous une forme discrétisée dans les modèles numériques (modèles 1D ou 2D type shallow water equations ou modèles 3D utilisés en mécanique des fluides numérique ou computational fluid dynamics en Anglais). On considère l’écoulement d’un fluide incompressible. Considérons le volume de contrôle infinitésimal dxdydz dont le centre est situé en (x, y, z) et qui illustré sur la figure suivante. La variation de masse entre les instants t et t+dt peut s’écrire de deux façons :  

En considérant le volume en lui-même, En considérant les entrées et les sorties de ce volume.

La masse contenue dans ce volume à l’instant t s’écrit ρ(x,y,z,t)dxdydz. A l’instant t+dt, elle devient ρ(x,y,z,t+dt)dxdydz. Entre les deux instants, la variation de masse δm s’écrit donc :

m    x, y , z , t  dt     x, y , z , t dxdydz 

 dxdydzdt t

Considérons à présent les entrées (variation positive) et les sorties (variation négative). Selon la face x, la masse apportée δmx s’écrit comme suit (voir les flèches bleues de la figure suivante):

 

m x  Vx  x 

dx dx    , y , z , t  dydzdt  Vx  x  , y , z , t  dydzdt 2 2   

C’est-à-dire :

m x  

  V x  dxdydzdt x

De la même façon :

m y  

m z  

 V y  y

dxdydzdt

  Vz  dxdydzdt z 70

En tout, la variation de masse δm s’écrit :

  Vx   V y   Vz     dxdydzdt y z   x

m   

x

y

Vz (x, y, z-dz/2)

z Vx (x-dx/2, y, z)

Vy (x, y-dy/2, z)

Vx (x+dx/2, y, z)

Vy (x, y+dy/2, z)

Vz (x, y, z+dz/2) Figure 24. Entrées et sorties dans le volume de contrôle infinitésimal dxdydz.

En égalant les deux expressions de δm, il vient :

   Vx   V y   Vz      0 t  x y z  Dans le cas d’un fluide incompressible, cette relation se simplifie en :

 Vx   V y   Vz    0 x y z Ce qu’on note couramment :

divV  0 .

2. Equation de l'énergie 2.1. Préambule Dans la mesure où les deux « formes » de l’équation de Bernoulli présentent de nombreuses applications pratiques, nous aborderons dans cette partie : 

L’équation de l’énergie sur une ligne de courant, appelée théorème de Bernoulli,



L’équation de l’énergie dans un tube de courant, appelée théorème de Bernoulli généralisé.

71

2.2. Théorème de Bernoulli sur une ligne de courant

es

en

R Figure 25. Repère local lié à la ligne de courant.

En appliquant les principes de conservation de la quantité de mouvement et de la masse à l’écoulement d’un fluide incompressible, sans viscosité ni turbulence susceptibles de dissiper l’énergie (on parle de fluide parfait), il est possible de démontrer (voir cours de mécanique des fluides) les deux relations suivantes, où s et n sont les coordonnées d’un repère local lié à la ligne de courant tel qu’illustré sur la figure précédente. Dans ces équations, z est la coordonée d’altitude ; p, la pression ; V, la vitesse ; R, le rayon de courbure du cercle tangent à la ligne de courant ; ρ, la masse volumique et g, l’accélération de la gravité.

 p V2   z  0  s  g 2 g  2   p  gz     V n R

Conservation de la charge sur une ligne de courant La première équation traduit le fait qu’il existe une grandeur qui se conserve le long de la ligne de courant. Cette grandeur, appelée la charge et traditionnellement notée H, est homogène à une hauteur (elle s’exprime en général en mètres) ; elle traduit la conservation de l’énergie le long de la ligne de courant en l’absence de dissipation d’énergie, ce qui peut s’écrire comme suit.

H z

p V2   Cte g 2 g

En observant de plus près cette charge, on peut constater qu’elle est la somme de trois p contributions énergétiques : une énergie potentielle z, une énergie liée à la pression et une énergie g

V2 liée à la vitesse, , appelée énergie cinétique. Ces trois contributions sont les trois formes que peut 2g revêtir l’énergie d’un écoulement (on ne s’intéresse pas aux écoulements présentant des variations significatives de leur énergie thermique pour lesquels une quatrième forme doit être prise en compte). Le long d’une ligne de courant, si des conversions entre ces trois formes sont possible, la somme des trois reste en revanche constante.

72

Suivons par exemple la ligne de courant constituée par la surface libre au niveau d’un seuil tel qu’illustré sur la figure suivante. Si l’énergie est conservée le long de cette ligne de courant, elle est principalement sous forme potentielle, c’est-à-dire sous forme de z, à l’amont du seuil (grande hauteur d’eau, faible vitesse et pression nulle) et principalement sous forme cinétique, c’est-à-dire sous forme V2 de , à l’aval (petite hauteur d’eau, vitesse importante et pression nulle). 2g

Photo : José VAZQUEZ Figure 26. Transformation d’une énergie principalement potentielle en amont du seuil (à droite de la photographie) en énergie principalement cinétique en aval du seuil (à gauche) – Lycée Agricole d’Obernai.

Cette première partie de l’équation de l’énergie sur une ligne de courant présente de nombreuses applications abordées dans la plupart des cours de mécanique des fluides : vidange d’un réservoir à travers un orifice, mesure du débit par un tube Venturi, etc. Elles ne seront pas réabordées ici. Variation de la hauteur piézométrique perpendiculairement à la ligne de courant 2   p  gz     V n R

La seconde équation du théorème de Bernoulli, plus méconnue, est néanmoins elle-aussi très utile puisqu’elle permet de connaître la variation de la pression étoilée p *  p  gz perpendiculairement à la ligne de courant. Le terme de droite fait intervenir R, le rayon de courbure local de la ligne de courant, illustré sur la Figure 25. Du fait de la présence du carré et du signe négatif dans le terme de droite, l’équation permet d’affirmer que la dérivée de la pression étoilée est nécessairement négative. En conséquence, la pression étoilée ne peut que diminuer si on se déplace vers l’intérieur de la ligne de courant.

Zone de dépression

Photo : José VAZQUEZ Figure 27. Présence d’une bulle d’air sur la face aval d’un seuil en raison de la dépression créée par la courbure des lignes de courant.

73

Ceci explique qu’au niveau d’un seuil, une dépression se forme sur la face aval là où les lignes de courant se courbent, ce qui peut entraîner l’apparition d’une bulle d’air (cet air provient de l’air ambiant qui lui se trouve à la pression atmosphérique) ainsi qu’illustré sur la figure précédente. La seconde partie du théorème de Bernoulli permet de dire que la somme des termes p et ρgz diminue de V2 par unité de distance parcourue vers l’intérieur des lignes de courant. Considérons un calcul  R rapide avec des ordres de grandeur. La vitesse vaut environ 2 m/s, le rayon de courbure, 0,2 m. Après calcul, cela permet de montrer que pour chaque centimètre parcouru vers l’intérieur des lignes de p courant, la hauteur piézométrique z  diminue d’environ 2 centimètres. Si la cote altimétrique g diminue vers l’intérieur des lignes de courant dans le cas du seuil, cette diminution est néanmoins moins importante que la diminution de la hauteur piézométrique. Le reste de la diminution correspond p donc à la pression qui devient alors inférieure à la pression atmosphérique rencontrée au niveau g de la surface libre. Une autre application de la seconde équation du théorème de Bernoulli concerne le cas des lignes de courant parallèles et rectilignes, cas extrêmement fréquent dans les conduites et les canaux (voir la figure suivante).

p* = Cte

Figure 28. Cas des lignes de courant parallèles et rectilignes.

Dans ce cas, le rayon de courbure des lignes de courant est infini. En conséquence, la variation de la pression étoilée est nulle, ce qui revient à dire que la hauteur piézométrique est constante, tel qu’écrit ci-dessous.

z

p  Cte g

On retrouve la loi de l’hydrostatique d’un fluide incompressible. Dans ce cas, il y a beau y avoir un écoulement, la pression se comporte comme si l’eau était immobile. Une application de cette dernière relation concerne la mesure de la hauteur d’eau dans un écoulement à surface libre. Fréquemment, celle-ci se fait au moyen d’un capteur immergé appelé piézomètre et qui est en fait un capteur de pression. L’équation précédente est alors utilisée entre la surface libre (pression atmosphérique) et le fond pour déterminer la hauteur d’eau à partir de la pression mesurée : p . Dans la mesure où ce calcul est en général transparent pour l’utilisateur, c’est-à-dire qu’il a h g directement accès à la valeur de la hauteur d’eau, on a tendance à oublier que cette méthode n’est 74

valable que dans le cas de lignes de courant horizontales. Impossible donc d’accéder à une mesure précise de la hauteur d’eau avec ce type de capteur dans le cas où les lignes de courant seraient courbes, par exemple à l’amont immédiat d’un seuil. Discussion sur les hypothèses du théorème de Bernoulli sur une ligne de courant Les hypothèses du théorème de Bernoulli énoncées plus haut (le fluide « parfait ») sont fortes : fluide non visqueux et écoulement non turbulent. Cependant, l’expérience montre qu’il permet d’obtenir des résultats en accord avec la réalité tant que la longueur de la ligne de courant considérée n’est pas trop importante et qu’il n’y a aucun phénomène local fortement dissipateur d’énergie. Nous l’utiliserons ainsi par la suite.

2.3. Théorème de Bernoulli généralisé Préambule L’équation de l’énergie appliquée à un tube de courant sera présentée dans un premier temps à travers une approche simplifiée, l’objectif étant de comprendre la physique correspondante. Une démonstration rigoureuse (mais inutile pour comprendre la physique) sera proposée dans un second temps. Démonstration « avec les mains » Cette « démonstration » se décompose en plusieurs étapes : 

L’introduction de la puissance hydraulique,



La généralisation de la charge à une section dans le cas d’un écoulement très fortement turbulent,



L’écriture d’un bilan énergétique au moyen de la puissance hydraulique (très rarement utilisée mais parfois indispensable),



L’écriture d’un bilan énergétique au moyen de la charge généralisée (utilisée en pratique).

Puissance hydraulique Imaginons un porteur d’eau transportant continuellement des seaux remplis d’eau depuis le bas d’une échelle (altitude z1) jusu’à son sommet (altitude z2) ; puis il redescend pour transporter un autre seau et ainsi de suite. Entre les altitudes z1 et z2, le porteur d’eau a fait gagner à l’eau de l’énergie potentielle. Le travail W (produit d’une force par un déplacement) fourni peut être évalué en considérant la force qu’elle a fallu vaincre, c’est-à-dire le poids (mg = ρVg où V est le volume d’eau), entre z1 et z2.

W  Vg  z 2  z1  En choisissant pour l’énergie la même référence que pour l’altitude, on peut alors voir le terme ρVgz2 comme l’énergie au niveau du point 2 et ρVgz1 comme l’énergie au niveau du point 1. Ici, l’énergie est seulement potentielle (pas de vitesse et surface libre à pression atmosphérique).

75

z z2

Déplacement

z1

Figure 29. Exemple du déplacement d’un volume d’eau entre les cotes z1 et z2.

Prenons à présent en compte la vitesse de déplacement du porteur d’eau. Plutôt que d’utiliser la notion d’énergie, nous allons utiliser la notion de puissance qui quantifie la vitesse à laquelle le porteur d’eau apporte de l’énergie au fluide. La puissance étant l’énergie par unité de temps, et en remarquant que le rapport du volume par la durée correspond au débit, il vient que la puissance P peut s’exprimer par :

P  gQz

S2 S1

Figure 30. Ecoulement entre deux sections S1 et S2.

Dans le cas plus général d’un fluide qui posséderait aussi une énergie de pression et une énergie cinétique (voir la figure précédente), sa puissance P peut s’écrire comme suit, où H est la charge de l’écoulement au niveau de la section considérée. Reste à généraliser cette notion de charge pour le moment seulement définie ponctuellement.

P  gQH

76

Charge d’une section dans le cas d’un écoulement très fortement turbulent Il faut à présent généraliser la notion de charge à une section. Considérons pour cela la figure suivante représentant une canalisation rectiligne dans laquelle un écoulement permanent est établi.

S2 Sens de l’écoulement

n2

S1

n1

Figure 31. Volume de contrôle.

La canalisation étant rectiligne, les lignes de courant y sont aussi rectilignes et parallèles entre elles. Selon la deuxième relation du théorème de Bernoulli sur une ligne de courant, le terme p + ρgz est constant dans toute la section pour chaque section de passage de l’écoulement. La généralisation de ce terme de la ligne de courant à la section ne pose donc pas de difficulté : il suffit de considérer sa valeur en un point de la section, par exemple au centre de la section de passage. Intéressons-nous à présent à la vitesse. Pernès (2004) liste différentes expressions pour la distribution de la vitesse dans une canalisation circulaire rectiligne loin de toute singularité susceptible de bouleverser l’écoulement. Si l’écoulement est laminaire, on peut ainsi montrer que la répartition de la vitesse suit l’équation suivante, où r est la coordonnée cylindrique, R le rayon de la canalisation et Vmax, la vitesse maximale (au centre de la canalisation) :

  r 2  V r   Vmax 1       R   Pour un écoulement turbulent sans singularité à proximité, la distribution de la vitesse moyenne dans le temps peut s’exprimer comme suit, où l’exposant n s’obtient par l’expérience selon le nombre de Reynolds (voir le Tableau 10).

r  V r   Vmax 1   R 

1

n

Re

n

4 000 (turbulent)

6

100 000

7

2 000 000

10

∞

∞

Tableau 10. Valeurs du coefficient n en fonction du nombre de Reynolds (Pernès 2004).

77

Ces expressions sont illustrées sur la figure suivante. Nulle au niveau de la paroi (condition de non glissement), la vitesse augmente très rapidement pour atteindre son maximum au centre de la canalisation. D’une forme parabolique pour un écoulement laminaire, le profil de vitesse s’aplatit de plus en plus à mesure que le nombre de Reynolds augmente. Plus la turbulence augmente, plus la distribution de la vitesse s’uniformise dans la section. Pour un écoulement très fortement turbulent (Re → ∞), le profil sera aplati, c’est-à-dire que la vitesse sera uniforme sur la section de passage de l’écoulement, à l’exception de la zone à proximité immédiate de la paroi où elle sera égale à zéro. Ainsi, dans le cas d’un écoulement très fortement turbulent, la vitesse V en tout point de la section de passage de l’écoulement est égale à la vitesse moyenne U = Q/S. La notion de charge, définie p V2  pontuellement par l’expression H  z  , peut donc être généraliser comme suit à une g 2 g section dans le cas d’un écoulement très fortement turbulent.

H z

p U2  g 2 g

Figure 32. Distribution de la vitesse dans une canalisation rectiligne en fonction du nombre de Reynolds.

Dans le cas d’un écoulement ne présentant pas une turbulence très importante, a fortiori dans le cas d’un écoulement laminaire, l’équation précédente n’est pas valide. Un coefficient correcteur α doit être introduit dans le terme cinétique pour tenir compte de la distribution non uniforme de la vitesse dans la section. Dans ce cas, la charge se généralise à une section de la façon suivante.

H z

p U2  g 2g

78

Le coefficient α sera précisément défini dans la démonstration rigoureuse du théorème de Bernoulli généralisé. Sa valeur est donnée dans le tableau suivant dans différentes conditions. Comme illustré dans le tableau suivant, le coefficient de non-uniformité α est légèrement supérieur à 1, et d’autant plus proche de 1 que le nombre de Reynolds augmente. On retrouve ainsi le cas d’un écoulement très fortement turbulent traité plus haut pour lequel le coefficient tend vers 1 du fait de l’uniformité de la vitesse. Re

α

Laminaire

2

4 000 (turbulent)

1,076

100 000

1,058

2 000 000

1,030

Tableau 11. Valeurs du coefficient de non-uniformité α en fonction du nombre de Reynolds.

Dans le cas des écoulements à surface libre, Chow (1959) rapporte des valeurs de α comprises entre 1,03 et 1,36 pour des canaux prismatiques quasi-droits. Dans le cas de canaux présentant des sections en travers complexes, le coefficient de non-uniformité α peut atteindre les 1,2 voire même être supérieur à 2,0 dans le cas d’une section située en amont d’un seuil ou à proximité d’un obstacle (Chow 1959). Li & Hager (1991) ont montré par l’expérience que ce coefficient α est intimement lié à la rugosité de Manning du canal. Sauf cas particulier (écoulement laminaire ou écoulement turbulent avec vitesse fortement nonuniforme), l’influence du facteur correctif α est en général négligeable et on considèrera qu’il est égal à 1. Ecriture d’un bilan énergétique au moyen de la puissance hydraulique Nous avons vu précédemment que la variable pertinente pour effectuer le bilan énergétique entre différentes sections d’un écoulement est la puissance hydraulique. On peut ainsi écrire en référence à la Figure 31 :

P1  P2  P12 2  p U Dans cette équation, P1  gQ1  z1  1  1  g 2 g 

  est la puissance hydraulique dans la section 1.  

2  p U  P2  gQ2  z 2  2  2  est la puissance hydraulique dans la section 2. Quant à ΔP12, il s’agit de g 2 g   la variation de la puissance entre les sections 1 et 2. Sans apport d’énergie, cette variation ne peut être que négative (pertes). Remarquons ici que comme il n’y a qu’une entrée et qu’une sortie et puisque l’écoulement est permanent, les débits Q1 et Q2 sont égaux.

Dans le cas d’une configuration à plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties (par exemple les jonctions et bifurcations de la Figure 23), le bilan énergétique s’écrit comme suit :

 P   P  P entrées

sorties

79

Dans le cas de la jonction de la Figure 23, cela devient :

gQ1 H 1  gQ2 H 2  gQ3 H 3  P Ou plus simplement :

Q1 H 1  Q2 H 2  Q3 H 3   QH  Ecriture d’un bilan énergétique au moyen de la charge Dans le cas d’une configuration à une entrée et une sortie, on peut simplifier l’écriture du bilan énergétique sous la forme suivante :

H 1  H 2  H 12 Le bilan de puissance se réduit donc à un bilan de charge. La pratique a instauré l’utilisation de cette grandeur charge plutôt que de la grandeur puissance. L’évaluation de la perte de charge ΔH12 entre les sections 1 et 2, généralement notée j12, fera l’objet du chapitre suivant.

H 1  H 2  j12 S’il n’y a pas d’apport d’énergie entre la section 1 et la section 2, alors j12 est nécessairement positif : la charge ne peut que diminuer dans le sens de l’écoulement. Démonstration rigoureuse Théorème de l’énergie cinétique Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à un volume de contrôle (Pernès 2004). Ce théorème stipule que la variation de l’énergie cinétique du système est égale à la somme de la puissance des forces extérieures et de la puissance des forces intérieures. Les forces extérieures sont le poids du fluide, les forces de pression sur les faces amont et aval et les forces de frottement sur les parois de la conduite. Les forces intérieures sont quant à elles les frottements internes, liés à la viscosité et à la turbulence.

DE c  Pe  Pi Dt L’énergie cinétique d’un volume de contrôle v est définie comme suit :

Ec    v

V2 dv 2

Par propriété mathématique (voir le chapitre correspondant), la dérivée particulaire de l’énergie cinétique du volume de contrôle v peut s’exprimer comme ci-dessous, où S est la surface englobant le volume de contrôle v et n le vecteur normal unitaire à cette surface (Pernès 2004).

 

DE c  V 2  V2        dv    V .n dS Dt t  2  2 v S 80

Le premier terme de la partie droite de l’égalité correspond à la variation purement temporelle ; le second, à la variation convective (variation temporelle due au déplacement du fluide). En régime permanent, seule l’intégrale surfacique constituant le second terme subsiste.

 

DE c V2    V .n dS Dt 2 S La vitesse étant nulle sur les parois, l’intégrale sur S devient l’intégrale sur les sections d’entrée et de sortie S1 et S2 (davantage s’il y a plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties).

 

DE c V2    V .n dS Dt 2 S1 et S 2 Puissance du poids Concernant la puissance du poids Pg, celle-ci s’écrit comme suit :

Pg    g .V dv v

En remarquant que  g  grad gz  , cette puissance peut s’écrire :

Pg   grad gz .V dv v

En utilisant la relation dérivée du théorème de flux-divergence (voir le chapitre sur les outils mathématiques), il vient :





Pg   gzV .ndS   gz divV dv S

v

Le fluide étant incompressible, la divergence de la vitesse est nulle (voir l’expression du principe de conservation de la masse exprimé en détails précédemment dans ce chapitre) et la puissance du poids s’écrit au final :

Pg   gzV .ndS S

Comme pour la dérivée de l’énergie cinétique, la vitesse étant nulle sur les parois, l’intégrale sur S devient l’intégrale sur les sections d’entrée et de sortie S1 et S2 (davantage s’il y a plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties).

Pg 

 gzV .ndS S 1 et S 2

Puissance des forces de pression Les forces de pression agissent sur les sections d’entrée et de sortie S1 et S2 (davantage s’il y a plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties). La puissance des forces de pression s’écrit donc : 81

Pp 

 pV .ndS S 1 et S 2

Ecriture du théorème de l’énergie cinétique En regroupant les termes développés plus haut à gauche de l’égalité et tous les termes inconnus correspondant à de la dissipation (puissance des forces de frottement sur les parois, puissances des forces intérieures) à droite, il vient :

 

 V2    gz  p   2  V .n dS  Pdissipatio n S 1 et S 2  Cette équation est un bilan de puissance. Dans le terme de gauche, on reconnaît la charge ponctuelle, déjà discutée plus haut, multipliée par la quantité ρg. Le terme de droite correspond à une puissance de dissipation et est de ce fait négatif. Dans le cas du volume de contrôle constitué par la portion de canalisation illustrée sur la figure précédente, l’équation précédente s’écrit comme suit.



 g  z  S1



 

 

 p V2  p V2   V .n1 dS1   g  z   V .n2 dS 2  Pdissipatio n   g 2 g   g 2 g   S2

Ou encore :

      p V2  p V2   V .n1 dS1     g  z   V .n2 dS 2    Pdissipatio n      g  z  g 2 g  g 2 g     S1   S 2 

 

 





Dans cette équation, V et p sont des variables locales (définie en un point) et, dans le cas d’un régime turbulent, instantanées (définie en un instant). On laissera de côté ce caractère transitoire dont l’influence sur l’équation précédente est négligeable. Cas d’un écoulement très fortement turbulent dans une conduite circulaire loin de toute singularité Dans une conduite loin de toute singularité susceptible de perturber l’écoulement, les lignes de courant sont rectilignes et parallèles. D’après la seconde équation du théorème de Bernoulli le long d’une ligne p de courant vue plus haut, la quantité z  est donc constante sur toute la section de l’écoulement g (cela demeure vrai malgré les hypothèses fortes). Elle peut donc être sortie de l’intégrale. Plus un écoulement est turbulent, plus la dispersion est importante et donc plus la vitesse sera uniforme sur la section de passage de l’écoulement. Si l’écoulement est très fortement turbulent, la vitesse V sera uniforme sur toute la section et donc égale à la vitesse moyenne sur la section U. En injectant cette expression de la vitesse dans l’équation précédente, on obtient :



gQ  z  

 p  U 12  p  U 22         gQ z       Pdissipatio n g 1 2 g  g  2 2 g  

82

Dans cette dernière relation, U1 et U2 sont les vitesses moyennes respectivement sur la section S1 et sur



la section S2. Les quantités  z 



 p  p   et  z   sont les hauteurs piézométriques respectivement g 1  g  2

sur la section S1 et la section S2 ; on peut par exemple les exprimer en considérant z1 et p1, respectivement z2 et p2, correspondant au centre de la section. En divisant par ρgQ, on retrouve l’expression déterminée « avec les mains » plus haut : le bilan énergétique est traduit par un bilan de charge.

 p U2   p U2   z1  1  1    z 2  2  2   j12 g 2 g   g 2 g   Dans cette équation, le premier terme de gauche quantifie en unité de longueur l’ « énergie » de l’écoulement au niveau de la section S1 ; le second, l’ « énergie » de l’écoulement au niveau de la section S2. On généralise alors la notion de charge à une section pour un écoulement très fortement turbulent de la façon suivante :

H z

p U2  g 2 g

Cette définition de la charge dans une section en régime très fortement turbulent est tout à fait similaire à la définition de la charge ponctuelle. En tenant compte de cette définition de la charge dans une section pour un écoulement très fortement turbulent dans une conduite rectiligne loin de toute singularité, le théorème de Bernoulli généralisé devient alors :

H1  H 2  j12 Dans cette équation, j12 est positif ; la charge ne peut que diminuer dans le sens de l’écoulement (sauf si un apport d’énergie est effectué, par exemple au moyen d’une pompe). Cas d’un écoulement laminaire dans une conduite circulaire loin de toute singularité Comme précédemment, la quantité z 

p , constante sur toute la section de l’écoulement, peut être g

sortie de l’intégrale. Si l’écoulement est laminaire, on peut montrer que la répartition de la vitesse suit l’équation suivante, où r est la coordonnée cylindrique, R le rayon de la canalisation et Vmax, la vitesse maximale (au centre de la canalisation) :

  r 2  V r   Vmax 1       R   En injectant cette expression de la vitesse dans l’équation précédente, on obtient après simplification (Pernès 2004) :

83



 p  U2 p  U2   2 1   gQ  z    2 2    Pdissipatio n g 1 2g  g  2 2g  

gQ  z  

Dans cette dernière relation, U1 et U2 sont les vitesses moyennes respectivement sur la section S1 et sur



la section S2. Les quantités  z 



 p  p   et  z   sont les hauteurs piézométriques respectivement g 1  g  2

sur la section S1 et la section S2 ; on peut par exemple les exprimer en considérant z1 et p1, respectivement z2 et p2, correspondant au centre de la section. En cherchant comme précédemment une expression entre variables homogènes à des longueurs, on obtient :

 p U2   p U2   z1  1  2 1    z 2  2  2 2   j12 g 2g   g 2g   On généralise alors la notion de charge à une section circulaire pour un écoulement laminaire de la façon suivante :

H z

p U2 2 g 2g

Cette expression diffère de l’expression de la charge ponctuelle par le facteur 2 du terme cinétique. Ce facteur provient de la distribution de la vitesse dans la section. Cas général Comme précédemment, la quantité z 

p étant constante sur toute la section de l’écoulement, elle g

peut être sortie de l’intégrale. En procédant à l’intégration, on peut démontrer l’expression générale suivante, où α, qui est un coefficient adimensionnel quantifiant la non-uniformité de la vitesse dans la section, est défini ci dessous :



gQ  z  

 p  U2 p  U2    1   gQ  z     2    Pdissipatio n g 1 2g  g  2 2g  



1 S

V 2 V .n  U 3 dS S

Dans le cas où la surface S est choisie perpendiculaire à la vitesse, l’expression précédente devient :

1  S

3

V    U  dS S

84

Comme précédemment, la pratique a plutôt instauré l’utilisation d’une équation faisant intervenir des grandeurs homogènes à des longueurs.

 p U2   p U2   z1  1   1    z 2  2   2   j12 g 2g   g 2g   On généralise alors la notion de charge à une section de la façon suivante :

H z

p U2  g 2g

Le théorème de Bernoulli généralisé, traduisant la loi de conservation de l’énergie entre les sections S1 et S2, s’écrit alors :

H1  H 2  j12 La perte de charge j12, quantité positive, reste encore à déterminer ; cela sera l’objet du chapitre suivant. Charge d’un écoulement à surface libre

Point A

2

VA /2g HA

θ Plan de référence

dA

dAcos(θ)

zA

Figure 33. Décomposition de la charge au point A pour un écoulement à surface libre graduellement varié.

85

Point A

αU2/2g H

θ

hcos(θ)

h

z

Plan de référence

Figure 34. Décomposition de la charge pour un écoulement à surface libre graduellement varié.

La charge ponctuelle au niveau du point A illustré sur Erreur ! Source du renvoi introuvable. s’exprime comme la somme des composantes potentielle, de pression et cinétique : 2

H A  zA 

PA V A  g 2 g

Dans cette équation, zA est l’altitude du point A ; PA, la pression au niveau du point A ; VA, la vitesse au niveau du point A. L’écoulement étant graduellement varié, on peut considérer que les lignes de courant sont quasiment rectilignes et quasiment parallèles entre elles. La pression peut donc être considérée comme hydrostatique, ce qui implique que la hauteur piézométrique est conservée perpendiculairement aux lignes de courant (seconde partie du théorème de Bernoulli sur une ligne de courant). L’équation précédente peut alors s’écrire comme suit, où dA est la profondeur du point A (par rapport à la surface libre). 2

V H A  z A  d A cos    A 2g

La détermination de la charge sur la section peut se faire en intégrant l’équation précédente sur la section de l’écoulement (voir le chapitre sur la mise en équations des écoulements). Il vient alors l’équation suivante, où z est la cote altimétrique du fond, h la hauteur d’eau (perpendiculaire au fond), α le coefficient de non-uniformité de la vitesse et U la vitesse moyenne sur la section, tel qu’illustré sur la Erreur ! Source du renvoi introuvable..

H  z  h cos    

U2 2g

86

Pour des angles « petits », cos(θ) est très proche de 1 (écart relatif limité à -0,1% jusqu’à une pente de 5%, -1% jusqu’à une pente de 15%). Il vient donc :

H  z  h 

U2 2g

Si, en plus, la distribution de la vitesse sur la section est uniforme, il vient :

H  zh

U2 2g

Notion de charge spécifique On définit la charge spécifique Hs comme la charge mesurée à partir du fond du canal.

Hs  h 

U2 2g

Ou encore, en faisant intervenir le débit et la section de l’écoulement :

Q2 Hs  h  2gS 2

3. Equation de la quantité de mouvement La quantité de mouvement, également appelée impulsion et notée I , est une grandeur vectorielle définie comme le produit de la masse par la vitesse. Pour un volume v de fluide, elle s’exprime en fonction de la masse volumique ρ et de la vitesse V comme écrit dans l’équation suivante.

I    V dv v

Selon la seconde loi de Newton, la variation temporelle de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces extérieures s’appliquant à ce même système. C’est la relation fondamentale de la mécanique, exprimée dans l’équation suivante pour le volume de contrôle v. DI   Fe Dt

Par propriété mathématique, le premier terme de cette égalité peut s’exprimer comme écrit dans l’équation suivante, où S est la surface englobant le volume de contrôle v et n le vecteur normal unitaire à cette surface (Pernès 2004).

 

DI V    dv    V V .n dS Dt  t v S

87

Le premier terme de la partie droite de l’égalité correspond à la variation purement temporelle ; le second, à la variation convective (variation temporelle due au déplacement du fluide). En régime permanent, seule l’intégrale surfacique constituant le second terme subsiste. On donne à ce terme le nom de « forces d’inertie ».

n

n

Figure 35. Schéma d’un tube de courant.

Dans le cas du volume de contrôle à une section d’entrée S1 (normale n1 ) et une section de sortie S2 (normale n2 ) illustré ci-dessus, on obtient l’expression suivante.

 

 

DI   V V .n1 dS1    V V .n2 dS 2 Dt  S1 S2 Dans le cas d’une distribution de vitesse uniforme sur la section (cas d’un écoulement très fortement turbulent), la vitesse locale V est égale à la vitesse moyenne U ; elle peut alors être sortie de l’intégrale. L’équation précédente devient alors : DI  U 12 S1 n1  U 22 S 2 n2 Dt

C’est-à-dire :



DI  Q U 1 n1  U 2 n2 Dt



Dans le cas où la distribution de vitesse n’est pas uniforme, on peut l’exprimer sous une forme similaire en introduisant un coefficient correctif β.



DI  Q 1U 1 n1   2U 2 n2 Dt



Le facteur correctif β tient compte de la non-uniformité de la vitesse sur la section considérée ; il s’exprime comme suit : 88

1 S



2

V    U  dS S

En reprenant les distributions empiriques de vitesse en régime turbulent dans une conduite circulaire sans singularité à proximité (comme pour l’équation de l’énergie), il est possible de déterminer la valeur du coefficient β en fonction du nombre de Reynolds (Pernès 2004). Re

n

β

4 000

6

1,026

100 000

7

1,020

2 000 000

10

1,010

Tableau 12. Valeurs du coefficient de non-uniformité β en fonction du nombre de Reynolds.

Comme illustré dans ce tableau, le coefficient de non-uniformité β est légèrement supérieur à 1, d’autant plus proche de 1 que le nombre de Reynolds augmente et inférieur au coefficient de nonuniformité α. En pratique, le coefficient correctif β, tout comme le coefficient α, est en général si proche de 1 que les erreurs effectuées en le considérant égal à 1 sont la plupart du temps négligeables. Dans le cas des écoulements à surface libre, Chow rapporte des valeurs de β comprises entre 1,01 et 1,12 pour des canaux prismatiques quasi-droits (Chow 1959). Dans le cas de canaux présentant des sections en travers complexes, le coefficient de non-uniformité β peut atteindre 1,2 voire 1,3 (Chow 1959). Dans le cas général d’une configuration à plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties, l’équation de la quantité de mouvement s’écrit alors :

 Q  U n   F

e

En considérant β ≈ 1, il vient l’expression suivante.

 QU n   F

e

4. Synthèse du chapitre Au niveau d’un volume de contrôle présentant n entrées et/ou sorties, la conservation de la masse d’un écoulement permanent d’un fluide incompressible s’écrit comme suit, où un signe positif est affecté à un débit entrant et un signe négatif à un débit sortant. n

Q

i

0

i 1

La conservation de l’énergie entre la section amont 1 et la section aval 2 d’un tube de courant (par exemple une canalisation) s’écrit comme suit.

H 1  H 2  j12

89

Dans cette équation, H1 et H2 sont respectivements les charges sur les sections 1 et 2 ; j12 est la perte de charge entre la section 1 et la section 2. A l’exception des écoulements laminaires ou très faiblement turbulents, la charge au niveau d’une section se calcule comme suit, où U est la vitesse moyenne de l’écoulement dans la section considérée.

H z

p U2  g 2 g

La conservation de la quantité de mouvement se traduit quant à elle de la façon suivante.

 QU n   F

e

90

91

VII. PERTES DE CHARGE ___________________________________________________________________________

Du fait des phénomènes de dissipation, la charge n’est pas conservée le long de l’écoulement. Pour dimensionner un réseau, l’hydraulicien doit être capable de quantifier ces pertes. Ainsi, il sera capable de dimensionner la taille de la canalisation qui permettra d’acheminer le débit souhaité. C’est ce à quoi ce chapitre s’intéresse. Les phénomènes dissipateurs d’énergie étant complexes (frottement sur les parois, viscosité, déformation des lignes de courant), la quantification des pertes est essentiellement empirique. On distingue deux types de pertes de charge :  

Les pertes de charge linéaires (ou par frottement, friction losses en Anglais), notées jL, dues au frottement sur les parois, à la viscosité du fluide et à la turbulence, Les pertes de charge singulières (ou locales, local losses en Anglais), notées jS, dues à la déformation des lignes de courant du fait de singularités géométriques.

La perte de charge totale sur un tronçon sera obtenue en considérant les pertes linéaires et toutes les pertes singulières. Les résultats d’un énorme travail expérimental de caractérisation des pertes de charge, qu’elles soient linéaires ou singulières, sont disponibles dans plusieurs ouvrages de référence. Citons par exemple le Mémento des pertes de charge (Idel’Cik 1986). Les résultats présentés dans ce chapitre concernent quasi-exclusivement les écoulements en charge, et principalement le cas des canalisations circulaires. Ces résultats sont néanmoins transposables aux écoulements à surface libre tant que le nombre de Froude n’est pas trop important, 0,7 selon Hager & Schleiss (2009) ; le nombre de Froude d’un écoulement en charge, contrôlé par l’aval, peut en effet être considéré égal à 0 (voir le chapitre sur l’écoulement critique).

1. Pertes de charge linéaires 1.1. De la recherche à l’ingénierie Débutée voila plus d’un siècle, la quantification des pertes de charge linéaires illustre parfaitement les liens entre recherche et ingénieirie. Si l’objectif de ce chapitre est de founir des outils opérationnels permettant de calculer les pertes de charge, il est aussi de comprendre l’établissement et le domaine de validité de ces outils. C’est pourquoi la démarche d’établissement de ces outils, notamment les différentes étapes de recherche, sont illustrées ci-dessous. La première étape a consisté à effectuer une analyse dimensionnelle afin d’identifier et de réduire le nombre de variables pertinentes utiles à la quantification des pertes linéaires. Cette étape permet de mettre en évidence l’existence d’une fonction λ dépendant du nombre de Reynolds et de la rugosité relative et permettant, une fois connue, la quantification de la perte de charge. Les étapes suivantes ont consisté à étudier l’influence de ces deux paramètres : nombre de Reynolds et rugosité relative. Concernant la rugosité, l’expérimentation s’est portée sur une rugosité dite « grain de sable », c’est-à-dire des grains identiques calibrés et collés uniformément à la surface de canalisations 92

(la seule qui puisse être mesurée). Ces travaux expérimentaux ont permis d’établir des outils de détermination du coefficient adimensionnel de perte de charge linéaire λ (abaques et relations mathématiques). La rugosité étant en pratique impossible à mesurer pour une canalisation industrielle, les outils établis pour une rugosité grain de sable ont été transposés à l’identique en remplaçant la rugosité grain de sable (mesurable) par la rugosité industrielle (paramètre non mesurable et dont la valeur est à caler pour reproduire la perte de charge mesurée expérimentalement dans la conduite industrielle).

ANALYSE DIMENSIONNELLE Existence d’une fonction

permettant

de calculer la perte de charge linéaire :

EXPERIMENTATION EN CONDUITES

EXPERIMENTATION EN CONDUITES

LISSES

RUGUEUSES

Etude de l’influence du nombre de Reynolds

Etude de l’influence du nombre de Reynolds et de la rugosité « grain de sable »

RECHERCHE INGENIERIE

UTILISATION DE LA FONCTION f1 POUR UNE RUGOSITE INDUSTRIELLE

UTILISATION DE LA FONCTION f2

CALAGE DE LA RUGOSITE INDUSTRIELLE k pour trouver avec la fonction f2 la perte de charge mesurée expérimentalement Figure 36. Lien entre recherche et ingénierie pour la quantification des pertes de charge linéaires.

1.2. Analyse dimensionnelle Utilisons l’analyse dimensionnelle pour identifier et réduire le nombre de variables pertinentes utiles à la quantification des pertes linéaires. Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la variable 93

pertinente pour effectuer le bilan énergétique d’un écoulement était la puissance hydraulique. Utilisons cette dernière dans un premier temps ; nous ferons le lien avec la charge dans un second temps. On s’intéresse à la perte de puissance rencontrée dans un écoulement dans une conduite circulaire de diamètre constant. Les variables influençant la perte de puissance ΔP sont les suivantes : les caractéristiques de la conduite (sa longueur L, son diamètre D et sa hauteur de rugosité k caractérisant principalement son état de surface), les caractéristiques du fluide (sa masse volumique ρ et sa viscosité μ) et la vitesse U, caractéristique de l'écoulement. Il y a au total n = 7 entités physiques. Cette analyse peut s'écrire sous la forme mathématique suivante :

P  f U , L, D, k ,  ,    0

Photo : Matthieu DUFRESNE Figure 37. Mesure de la pression dans un écoulement d'huile le long d'une canalisation - Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg.

La matrice des exposants des équations aux dimensions est donnée ci-dessous. Pour la déterminer, les équations aux dimensions de chacune des variables ont été déterminées.

L M T

ΔP 2 1 -3

U 1 0 -1

L 1 0 0

D 1 0 0

k 1 0 0

ρ -3 1 0

μ -1 1 -1

En considérant par exemple les trois premières colonnes de cette matrice, on peut montrer que son rang r est égal à 3. Le théorème de Vaschy-Buckingham permet donc d'affirmer que l'équation initiale faisant intervenir 7 variables peut être réduite à une équation ne faisant intervenir que 4 nombres adimensionnels, c'est-àdire :

 1  f  2 ,  3 ,  4  La définition de ces quatre nombres adimensionnels résulte d'un choix, même si un choix inadapté peut conduire à complexifier le résultat. On peut par exemple choisir les quatre nombres suivants :

1 

P U 3 D 2 94

2 

UD 

3 

k D

4 

L D

Le premier nombre est une forme adimensionnelle de la perte de puissance. Le deuxième est un nombre de Reynolds. Le troisième est une rugosité relative (par rapport au diamètre de la canalisation). Enfin, le quatrième nombre correspond à la longueur de la canalisation adimensionnalisée par son diamètre. En multipliant le premier terme par la constante 8/π (ce que permet l’analyse dimensionnelle ainsi qu’expliqué dans le chapitre correspondant), ce premier terme devient :

1 

8P   U 3 D 2

2 P P  2 1 D U 2 Q U 3 2 4

L’équation établie devient donc :

 UD k L  P  f  , ,  1  D D 2  U Q 2 Nous pouvons aller plus loin dans la mesure où la perte de puissance dans une canalisation de section constante et ne présentant aucune singularité ne peut que varier linéairement avec la longueur. Ceci permet d'écrire :

P L  UD k   f  ,  1 U 2 Q D   D  2 Ou encore, en faisant intervenir la perte de charge H 

P : gQ

 UD k  L U 2 H  f  ,  D  D 2g   Qui constitue l’équation que la pratique a retenue. Cette équation peut aussi être obtenue en généralisant l’équation de la chute de pression Δp obtenue dans le chapitre sur l’analyse dimensionnelle dans le cas d’une canalisation horizontale. Il suffit alors de remplacer Δp par ρgΔH.

 VD k  La fonction f  ,  , appelée coefficient de frottement et généralement notée λ, dépend du   D nombre de Reynolds et la rugosité relative. Dans cette expression, appelée équation de Darcy95

Weisbach, λ est une fonction, appelée coefficient de perte de charge linéaire et pour le moment inconnue, dépendant de deux variables sans dimension : 

Re 





VD : le nombre de Reynolds de l’écoulement, 

k : la rugosité relative de la canalisation. D

S’il est possible de parvenir dans certains cas à des expressions analytiques du coefficient de perte de charge λ à partir de considérations théoriques reliant le champ de vitesse, la contrainte de cisaillement et la perte de charge (Pernès 2004), le parti-pris pédagogique suivi dans ce chapitre est de mettre l’accent sur l’empirisme mis en œuvre pour déterminer ce coefficient de perte de charge, empirisme occupant de toute façon une place centrale dans la caractérisation des champs de vitesse utiles aux développements théoriques cités ci-dessus.

1.3. Travaux de recherche Influence du nombre de Reynolds En s’intéressant à la fin du XIXème siècle à la perte de charge rencontrée dans une canalisation lisse, l’ingénieur irlandais Osborne Reynolds s’est rendu compte qu’elle augmentait à mesure que la vitesse augmentait, mais aussi qu’au-delà d’une vitesse seuil, l’augmentation était plus marquée. C’est en regardant plus précisément l’écoulement avant et après ce seuil qu’il s’est ainsi rendu compte de sa nature « directe » ou « sinueuse », termes qui devaient être remplacés par la suite par « laminaire » et « turbulent ». L’influence du caractère laminaire ou turbulent sur la perte de charge linéaire dans une canalisation était démontrée… S’en est suivi un énorme travail de quantification expérimentale de cette perte de charge, plus précisément du coefficient de perte de charge λ en fonction du nombre de Reynolds. Influence de la rugosité relative La paroi intérieure d’une canalisation n’est cependant jamais complètement lisse. En fonction du procédé industriel de fabrication, sa surface présente des aspérités de taille variable. La détermination de l’influence de la rugosité relative d’une canalisation sur la perte de charge linéaire s’est ainsi révélée être une nécessité pour dimensionner avec précision une canalisation (sous peine de sousdimensionnement…). Plutôt que de chercher à mesurer la taille des aspérités de la paroi intérieure d’une canalisation (ce qui s’avère plus difficile qu’il n’y paraît), l’ingénieur allemand d’origine géorgienne Johann (Ivan) Nikuradze a étudié la perte de charge linéaire provoquée par une canalisation rendue artificiellement rugueuse au moyen de grains de sable de diamètre calibré (Pernès 2004). Distinguons : 

La rugosité homogène, également appelée rugosité « grain de sable », rugosité « artificielle » ou encore rugosité « de Nikuradse » : elle correspond à la rugosité de grains de sable de taille uniforme disposés les uns à côté des autres. On la note traditionnellement ks, le « s » correspondant à sand. Sans intérêt pour l’hydraulicien, cette rugosité a consitué une étape importante dans les recherches de caractérisation du coefficient de perte de charge linéaire.

96



La rugosité hétérogène, également appelée rugosité « industrielle », rugosité « équivalente » ou encore rugosité « uniforme équivalente » : elle est en pratique impossible de la mesurer directement ; on peut en revanche mesurer son influence sur la perte de charge linéaire. On la note traditionnellement k. C’est la seule qui intéresse l’hydraulicien.

Diagramme de Moody et de Stanton Le diagramme de Moody et de Stanton (voir la figure ci-après) représente l’évolution du coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative. Trois zones peuvent être distinguées : 





Le zone laminaire (jusqu’à Re ≈ 2 000) pour laquelle le coefficient de perte de charge ne dépend que du nombre de Reynolds. Dans un écoulement laminaire qui par définition même est dénué de toute turbulence, l’écoulement autour des aspérités présentes sur la paroi intérieure de la canalisation se fait de façon continue. Ainsi, à moins que la rugosité ne soit vraiment importante, le coefficient de perte de charge λ ne dépend que du nombre de Reynolds (Idel’Cik 1986). La zone de transition, pouvant être décomposée elle-même en trois portions : - La portion intermédiaire entre les écoulements laminaires et turbulents (entre environ 2 000 et 4 000) dans laquelle le coefficient de perte de charge linéaire croît rapidement avec le nombre de Reynolds tout en restant indépendant de la rugosité relative. Cette zone n’est pas représentée sur la figure suivane dans la mesure où tout calcul dans cette zone est extrêmement hasardeux du fait de l’indétermination sur le seuil de transition entre le régime laminaire et le régime turbulent. - La portion dans laquelle, quelle que soit la rugosité relative (sauf valeur extrêmement grande), les courbes coïncident avec la courbe du régime turbulent lisse. Ce régime est défini par le fait que le coefficient de perte de charge ne dépend que du nombre de Reynolds. Cela ne signifie pas qu’il n’y a aucune aspérité sur la surface intérieure de la canalisation, cela signifie que ces aspérités sont suffisamment petites pour n’avoir aucune influence sur la dissipation d’énergie. - La portion dans laquelle les courbes correspondant à différentes rugosités relatives s’écartent non seulement de la courbe du régime turbulent lisse mais aussi les unes des autres. Dans le cas d’une rugosité « grain de sable », cette cette zone présente des courbes en « V » alors que les courbes sont monotones dans le cas d’une rugosité industrielle. La figure suivante se voulant opérationnelle, les courbes en V ont été lissées : le graphique est donc utilisable pour une rugosité industrielle. La zone correspondant au régime turbulent rugueux pour laquelle le coefficient de perte de charge linéaire ne dépend plus du nombre de Reynolds mais seulement de la rugosité relative (courbes horizontales).

1.4. Outils pour l’ingénierie D’un point de vue opérationnel, la figure suivante est utilisable pour une rugosité industrielle k dont la valeur doit être fournie par le vendeur de la canalisation ou au pire déterminée au moyen de tables caractérisant le matériau et le process utilisés. En pratique, la valeur de la rugosité industrielle est déterminée par l’expérience : k est calé pour retrouver au moyen du diagramme de Moddy-Stanton (ou des formulations détaillées plus loin) la perte de charge mesurée expérimentalement. Il est important de préciser que la rugosité industrielle k ne correspond à aucune propriété physique particulière. Il ne s’agit ainsi pas de la taille des aspérités (qui présente une distribution plus ou moins 97

étendue selon le process de fabrication, contrairement à une rugosité calibrée de type « grain de sable ») ni même d’une taille moyenne. Il s’agit seulement d’un moyen simple de représenter l’influence sur la perte de charge linéaire de plusieurs facteurs d’influence tels que (Idel’Cik 1986) :   

Le type de matériau et son procédé de fabrication, La durée de service, Parfois même la nature de liquide.

Le tableau suivant fournit quelques ordres de grandeur (Idel’Cik 1986). Rugosité industrielle

Matériau

Etat de surface

Tuyaux étirés sans soudure en acier

Neufs, non utilisés

0,02 – 0,10 (selon le temps passé dans l’entrepôt)

Moyennement corrodés

≈ 0,4

Petits dépôts de tartre

≈ 0,4

Tuyauteries d’eau, depuis longtemps en service

1,2 – 1,5

Importants dépôts de tartre

≈ 3,0

Surface des tuyaux en mauvais état, recouvrement inégal des joints

≥ 0,5

Tuyaux en acier soudés

Neufs, non utilisés

0,04 – 0,10

Tuyaux en acier galvanisé

Neufs, galvanisation propre

0,07 – 0,10

Tuyaux en fonte

Neufs

0,25 – 1,0

Tuyauteries d’eau, depuis longtemps en service

1,4

Dépôts importants

2,0 – 4,0

Fortement corrodés

Jusqu’à 3,0

Bonne surface, avec lissage

0,3 – 0,8

Surface rugueuse

3–9

Planches très soigneusement rabotées

≈ 0,15

Planches plus grossières

1,00

Verre pur

0,0015 – 0,010

Tuyaux en béton Tuyaux en bois Tuyaux en verre

k (mm)

Tableau 13. Quelques exemples de rugosités uniformes équivalentes pour différents types de matériaux et d’états de surface – Tableau d’après Idel’cik (1986).

98

Figure 38. Diagramme de Moody et de Stanton pour une rugosité industrielle.

99

Limites entre les différents régimes Idel’cik (1986) mentionne des valeurs seuils pour le régime turbulent lisse et le régime turbulent rugueux dans le cas des canalisations à rugosité industrielle. Ainsi, la rugosité relative seuil en dessous de laquelle les canalisations peuvent être considérées comme lisses est approchée par l’expression suivante.

23 k     Re  D  limite Au-dessus de la valeur seuil exprimée ci-dessous pour le nombre de Reynolds, le régime est turbulent rugueux.

Re limite



560 k D

Régime laminaire Comme discuté plus haut, le coefficient de perte de charge ne dépend pas de la rugosité relative mais seulement du nombre de Reynolds en régime laminaire :

  f Re  On retiendra la loi de Hagen et de Poiseuille, établie à partir de considérations théoriques, vérifiée expérimentalement et valable jusqu’à des nombres de Reynolds d’environ 2 000 :



64 Re

Régime turbulent lisse Le régime turbulent lisse correspond à des écoulements turbulents tels que la rugosité relative de la canalisation n’a aucune influence sur la perte de charge linéaire, c’est-à-dire :

  f Re  Citons dans ce cas la formule de Prandtl et Von Karman (Pernès 2004) :

 Re   2 log10    2,51

1

   

Cette formulation étant implicite en λ, des formulations explicites ont été proposées afin d’éviter le recours à un solveur pour effectuer le calcul (formules de Blasisus, Drew, Filonenko et Al’tsul, voir Prenès 2003 à ce sujet). Citons la formule de Blasisus valable à 3% près par rapport à la formule de Prandtl et Von Karman pour des nombres de Reynolds compris entre 4.103 et 105.



0,3164 Re 0 , 25

100

Régime turbulent rugueux La perte de charge linéaire s’obtient de façon explicite à partir de la formule de Nikuradze (Pernès 2004).  3,71D   2 log10     k 

1

Formulation générale du coefficient de perte de charge linéaire en régime turbulent dans une canalisation circulaire Il existe une formulation générale du coefficient de perte de charge linéaire en régime turbulent. Celleci est valable aussi bien lorsque le régime est turbulent lisse, turbulent rugueux, ou plus généralement lorsque le coefficient de perte de charge linéaire dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative (elle n’est cependant pas valable en régime laminaire). Il s’agit de la formule de Colebrook et White, qui est une généralisation des formules de Prandtl et Von Karman et de Nikuradze (Pernès 2004).

k   2.51  2 log10      Re  3.71D 

1

Romeo et al (2002) en a développé une forme explicite (mais longue…) détaillée ci-dessous. Elle est valable pour un nombre de Reynolds compris dans la gamme 3.103 – 1.5.108 et pour une rugosité relative entre 0 et 0.05. 0.9924  k   k  k 0.9345      1 5.0272 4 . 567 5 . 3326  D       D  2 log 10   log 10  D  log 10         3.7065 Re 3.827 Re 208.815  Re   7.7918            

La relation de Lechapt et Calmon k (mm)

2,0

1,0

0,50

0,25

0,10

0,050

0,025

L

1,863

1,601

1,4

1,16

1,1

1,049

1,01

M

2

1,975

1,96

1,93

1,89

1,86

1,84

N

5,33

5,25

5,19

5,11

5,01

4,93

4,88

Tableau 14. Valeurs des paramètres de Lechapt et Calmon en fonction de la rugosité de la canalisation.

Les formulations détaillées précédemment sont des relations valables quelque soit la nature du fluide (tant qu’il reste newtonien) ; c’est tout l’intérêt d’avoir procéder à une analyse dimensionnelle pour les établir. Des formulations d’emploi plus simple ont été développées dans les différents corps de métier nécessitant l’évaluation des pertes de charge. Dans le cas de l’hydraulique en réseau d’eau potable, la 101

relation de Lechapt et Calmon est couramment utilisée en France. Cette équation fournit J, la perte de charge en millimètres par mètre linéaire de canalisation à partir du débit Q exprimé en mètres cube par seconde et du diamètre D de la canalisation exprimé en mètres.

Qm s J mm/m   L 3

M

Dm N

L, M et N sont des paramètres dépendant de la rugosité et explicités dans le tableau suivant. Précisons que L ne correspond pas à la longueur de la canalisation, la perte de charge étant exprimée en millimètres par mètre linéaire de conduite. Cette équation n’étant pas dimensionnellement homogène, elle ne peut être utilisée qu’avec les unités requises. Le domaine d’application de la formule de Lechapt et Calmon est défini dans le tableau suivant. A l’intérieur de ce domaine, cette équation constitue une approximation de la formule de Colebrook avec une erreur maximale de quelques pourcents. Ce domaine de validité est adapté aux écoulements en réseau d’eau potable qui fonctionnent en général dans cette gamme de vitesse. En dehors de ce domaine de validité, il faut utiliser les relations exprimées précédemment. Nature du fluide

Eau à environ 15°C

Gamme de vitesse

0,4 m/s < U < 2,0 m/s

Tableau 15. Domaine de validité de la relation de Lechapt et Calmon.

Généralisation à une section d’écoulement quelconque Cas des écoulements en charge dans des sections particulières Le coefficient de perte de charge linéaire a été étudié de façon intensive dans le cas des conduites circulaires. Pour des sections de forme quelconque, que l’écoulement soit en charge ou à surface libre, il est possible de généraliser la formulation du coefficient de perte de charge linéaire en utilisant 4 fois le rayon hydraulique à la place du diamètre. Cette notion de rayon hydraulique Rh est définie comme suit (on la retrouvera en hydraulique à surface libre).

Rh 

S P

Dans cette équation, S est la surface mouillée, c’est-à-dire la section de l’écoulement ; P est le périmètre mouillé, c’est-à-dire le périmètre en contact avec le fluide. Précisons que cette approche peut conduire à des approximations plus ou moins importantes selon la forme de la canalisation. Pour certaines formes de canalisation relativement courantes (conduites rectangulaires, conduites annulaires), il existe des caractérisations des facteurs correctifs à appliquer à cette première approche (Idel’cik 1986).

102

Cas des écoulements à surface libre Dans le cas d’un écoulement à surface libre, il est également possible d’utiliser 4 fois le rayon hydraulique en lieu et place du diamètre, comme dans le cas d’un écoulement en charge. Cette méthode est notamment utilisée pour dimensionner les canalisations d’assainissement. Ces canalisations sont en effet dimensionnées à des niveaux de remplissage suffisament faibles pour éviter les mises en charge intempestives. Le tableau suivant propose des valeurs d’épaisseur de rugosité usuelles pour un dimensionnement (Hager 1999). Remarquons que les valeurs proposées prennent en compte de façon forfaitaire des pertes de charge singulières (siphons, regards) à travers l’épaisseur de rugosité. Condition

k (mm)

Canalisation standard sans singularité

0,10

Présence de quelques singularités (exemple : siphons) mais pas de regards

0,25

Présence de regards

0,50

Regards très particuliers ; canaux en maçonnerie ; canalisations non standards sans information sur la rugosité

1,50

Tableau 16. Ordres de grandeurs pour l’épaisseur de rugosité.

Dans le cas d’un canal rectangulaire de grande largeur (h/b > F0), le coefficient de perte de charge vaut 1. Il est possible de réduire cette perte de charge en postionnant par exemple des déflecteurs.

2.5. Perte de charge dans les coudes Au niveau d’un coude, du fait de la courbure des lignes de courant, la pression diminue au niveau de la paroi intérieure alors qu’elle augmente au niveau de la paroi extérieure (voir le théorème de Bernoulli perpendiculairement aux lignes de courant). L’écoulement subit un décollement de la veine liquide sur les parois intérieure et extérieure, conduisant, principalement du fait du décollement intérieur, à une contraction plus ou moins importante de la section de passage. La perte de charge globale au niveau d’un coude dépend : 

De l’angle du coude δ,



Du rapport du rayon de courbure du coude sur le diamètre hydraulique



De la rugosité relative des parois



Du nombre de Reynolds.

R , D

k , D

Pour un coude, on évalue le coefficient de perte de charge global K en sommant un coefficient de perte de charge singulière Km et un coefficient de perte de charge par frottement Kf, tel qu’écrit ci-dessous. K  Km  K f

Dans le cas d’un nombre de Reynolds supérieur à 2.105 et de parois lisses (

k  0 ), le coefficient Km D

peut être déterminé en utilisant l’équation suivante.

K m  A1 B1C1 Les tableaux suivants permettent de déterminer les coefficients A1, B1 et C1 en fonction de l’angle du coude, du rayon adimensionnalisé par le diamètre et le rapport des côtés dans le cas d’une canalisation de section rectangulaire. 108

δ° A1

0 0

20 0,31

30 0,45

45 0,60

60 0,78

75 0,90

90 1,00

110 1,13

130 1,20

150 1,28

180 1,40

Tableau 18. Détermination du coefficient A1 en fonction de l’angle du coude – Tableau d’après Idel’cik (1986).

R

D

B1

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,50

2,0

4,0

6,0

10

20

50

1,18 0,77 0,51 0,37 0,28 0,21 0,17 0,15 0,11 0,09 0,07 0,05 0,03

Tableau 19. Détermination du coefficient B1 en fonction du rapport du rayon de courbure sur le diamètre hydraulique – Tableau d’après Idel’cik (1986).

Pour une section circulaire ou carrée, le coefficient C1 vaut 1. Pour une canalisation rectangulaire (côté horizontal a, côté vertical b), le Tableau 20 peut être utilisé.

a

b C1

0,25

0,50

0,75

1,0

1,5

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

1,30

1,17

1,09

1,00

0,90

0,85

0,85

0,90

0,95

0,98

1,00

1,00

Tableau 20. Détermination du coefficient C1 en fonction du rapport entre le côté vertical et le côté horizontal de la section rectangulaire – Tableau d’après Idel’cik (1986).

Le coefficient Kf peut quant à lui être déterminé en utilisant l’équation suivante, où λ est le coefficient de perte de charge linéaire déterminé comme expliqué précédemment. Dans le cas de parois rugueuses, des coefficients correctifs doivent être calculés selon les formulations détaillées par Idel’cik (1986) pour ajuster le calcul. Les tableaux suivants proposent quelques valeurs obtenues en utilisant la démarche proposée pour un coude circulaire à parois lisses et en considérant un coefficient de perte de charge linéaire λ égal à 0,02. K f  0,0175

δ°

R

30 60 90 180

2,0 2,0 2,0 2,0

D

R  Dh

K 0,09 0,16 0,21 0,34

Tableau 21. Coefficient de perte de charge global au niveau d’un coude dont le rayon de courbure adimensionnel vaut 2,0.

δ° 90 90 90 90

R

Dh

0,5 1,0 2,0 10

K 1,20 0,24 0,21 0,39

Tableau 22. Coefficient de perte de charge global au niveau d’un coude à 90°.

109

2.6. Perte de charge dans un diaphragme

V1

D1 D0 l

Figure 42. Diaphragme biseauté – Figure inspirée de Idel’cik (1986).

Au-delà d’un nombre de Reynolds de 105, seul le rapport entre la surface du diaphragme F0 et la surface de la canalisation F1 influence le coefficient de perte de charge singulière. L’équation suivante peut être utilisée pour un diaphragme bisauté à bords éfilés, c’est-à-dire avec un rapport l/D1 inférieur à 0.015 (Idel’cik 1986). La vitesse à prendre en compte est la vitesse en amont du diaphragmme.

 F F  K  1  0,707 1  0  0  F1 F1  

2

 F1     F0 

2

Le tableau suivant propose quelques valeurs.

F0

F1 K

0,02

0,05

0,10

0,20

0,30

0,50

0,70

0,90

0,95

7 000

1 050

245

51,5

18,2

4,00

0,97

0,13

0,05

Tableau 23. Coefficient de perte de charge pour un diaphragme biseauté – Tableau d’après Idel’cik (1986).

Comme illustré dans le tableau précédent, la perte de charge au niveau d’un diaphragme peut être très importante selon l’ouverture du dispositif. Ainsi, pour une vitesse de 1 m/s, la perte vaut environ 12 m pour un diaphragme à 10% d’ouverture. De nombreuses autres formulations existent selon le type de diaphragme (Idel’cik 1986). Comme les tubes Venturi, les diaphragmes sont des dispositifs permettant de mesurer le débit au moyen d’une loi Q = f (ΔH). En effet, du fait de la forte perte de charge qu’ils peuvent provoquer, il est possible d’utiliser ce type de dispositif pour évaluer le débit avec une bonne précision.

110

2.7. Perte de charge à travers les grilles

Figure 43. Exemples d’écoulements à travers une grille avec barreaux alignés (a) et en quinconce (b) – Figures tirées de Idel’cik (1986).

La perte de charge à travers une grille est très similaire à celles provoquées par les rétrécissements et les élargissements. Elle est conditionnée par le rapport entre la surface rétrécie et la surface large, ainsi que par l’épaisseur de la grille. Idel’cik (1986) propose un certain nombre de formulations auxquelles on pourra se reporter.

2.8. Perte de charge dans les vannes La perte de charge au niveau d’une vanne ou d’un clapet est très similaire à celle provoquée par un diaphragme.

Figure 44. Quelques exemples d’écoulement au niveau d’une vanne – Figure tirée de Idel’cik (1986).

111

D h

h D

Figure 45. Vanne simple circulaire vue de profil (à gauche) et vue de face (à droite) – Figure inspirée de Idel’cik (1986).

Pour une vanne simple circulaire telle qu’illustrée sur la figure précédente (ou encore pour une vanne simple rectangulaire), le coefficient de perte de charge peut être déterminé en fonction du pourcentage h d’ouverture . Quelques valeurs sont données dans le tableau suivant. D

h

D

ζcirculaire ζrectangulaire

0

0,10

0,125

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

∞ ∞

193

97,8 -

35,0 44,5

10,0 17,8

4,60 8,12

2,06 4,02

0,98 2,08

0,44 0,95

0,17 0,39

0,06 0,09

0 0

Tableau 24. Coefficients de perte de charge pour des vannes simples circulaire et rectangulaire – Tableau d’après Idel’cik (1986).

Les coefficients de pertes de charge singulières provoquées par d’autres types de vannes peuvent être trouvées dans le Mémento des pertes de charge (Idel’cik 1986).

2.9. Perte de charge au niveau des jonctions et des bifurcations Introduction La lecture de tables présentant les coefficients de pertes de charge singulières au niveau des jonctions et des bifurcations peut surprendre par le fait qu’on peut y trouver, selon la répartition des débits entre les différentes branches, des coefficients négatifs. Pour le comprendre, il faut remonter à la notion même de charge. Dans le chapitre précédent, nous avons vu que l’utilisation d’une longueur pour mesurer l’énergie n’était possible que dans le cas où le débit était conservé, ce qui n’est pas au niveau d’un branchement ou d’une bifurcation. Plutôt que d’abandonner la charge au profit de la puissance, la pratique a instauré de continuer à utiliser la notion de charge pour des raisons de simplicité de cette notion. Les pertes d’énergie au niveau des jonctions et des bifurcations sont donc présentées selon le même formalisme que toutes les pertes de charge présentées jusqu’à présent. Le fait que des coefficients de perte de charge soient négatifs ne remet donc pas en cause le principe de conservation de l’énergie. 112

Géométriquement, une jonction et une bifurcation se définissent par l’angle α de la branche latérale par rapport à la branche principale et les aires des sections latérale Fl, rectiligne Fr et principale Fp. Hydrauliquement, le débit rectiligne Qr est rejoint par le débit latéral Ql pour former le débit principal Qp dans le cas d’une jonction. Dans le cas d’une bifurcation, le débit principal Qp se sépare en un débit rectiligne Qr et un débit latéral Ql. Processus physiques Dans le cas de la réunion de deux courants se déplaçant à des vitesses différentes, l’écoulement le moins rapide va voir sa vitesse augmenter alors que l’écoulement le plus rapide va voir sa vitesse diminuer. Ainsi, énergétiquement, l’écoulement le plus rapide va perdre de la charge du fait du mélange alors que l’écoulement le moins rapide peut en gagner. Par ailleurs, ce mélange turbulent va être accompagné de pertes d’énergie. Au final, il est tout à fait possible de voir la charge augmenter entre la branche la moins rapide et la branche principale, ce qui se traduit par un coefficient de perte négatif. Dans le cas de la séparation de deux courants, il est également possible d’avoir des coefficients de perte de charge négatifs selon la répartition des débits (Idel’cik 1986). Paramètres d’influence Les paramètres d’influence géométriques du coefficient de perte de charge au niveau d’une jonction et d’une bifurcation sont l’angle α de la branche secondaire par rapport à la branche principale ainsi que F F F par le rapport des aires des sections des canalisations l , r , l . Hydrauliquement, les rapports F p F p Fr des débits

Ql Qp

et

Qr (ou des vitesses) sont des paramètres d’influence. Qp

Exemple de la réunion de deux courants (jonction) à 30°

α

wr Fr

wp Fp

wl Fl Figure 46. Jonction de deux canalisations – Figure inspirée de Idel’cik (1986).

113

Considérons l’exemple de l’arrivée d’une branche latérale sur une branche principale avec un angle de 30°, tel qu’illustré sur la figure précédente. Nous allons considérer deux coefficients de perte de charge : 

Le coefficient de perte de charge Kp,l permettant de calculer la perte de charge entre les branches latérale et principale et défini tel que : H l  K p ,l



wp

2

2g

,

Le coefficient de perte de charge Kp,r permettant de calculer la perte de charge entre les branches rectiligne et principale et défini tel que : H r  K p ,r

wp

2

2g

.

Ces deux précédentes équations rapportent la perte de charge à la vitesse de la branche principale wp ; il est également possible de la ramener à la vitesse dans une autre branche. Les tableaux suivants donnent les valeurs de ces deux coefficients de perte de charge.

Fl

Ql Qp 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,1 -1,00 +0,21 3,10 7,60 13,5 21,2 30,4 41,3 53,8 58,0 83,7

0,2 -1,00 -0,46 +0,37 1,50 2,95 4,58 6,42 8,50 11,5 14,2 17,3

0,3 -1,00 -0,57 -0,06 +0,50 1,15 1,78 2,60 3,40 4,22 5,30 6,33

Fp

0,4 -1,00 -0,60 -0,20 +0,20 0,59 0,97 1,37 1,77 2,14 2,58 2,92

0,6 -1,00 -0,62 -0,28 +0,05 0,26 0,44 0,64 0,76 0,85 0,89 0,89

0,8 -1,00 -0,63 -0,30 -0,08 +0,18 0,35 0,46 0,50 0,53 0,52 0,39

1,0 -1,00 -0,63 -0,35 -0,10 +0,16 0,27 0,31 0,40 0,45 0,40 0,27

Tableau 25. Coefficient de perte de charge Kp,l au niveau d’une jonction à 30° - Tableau d’après Idel’cik (1986).

Fl

Ql Qp 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,1 0 +0,02 -0,33 -1,10 -2,15 -3,60 -5,40 -7,60 -10,1 -13,0 -16,3

0,2 0 0,11 +0,01 -0,25 -0,75 -1,43 -2,35 -3,40 -4,61 -6,02 -7,70

0,3 0 0,13 +0,13 -0,01 -0,30 -0,70 -1,25 -1,95 -2,74 -3,70 -4,75

Fp

0,4 0 0,15 0,19 +0,10 -0,05 -0,35 -0,70 -1,20 -1,82 -2,55 -3,35

0,6 0 0,16 0,24 0,22 0,17 0,00 -0,20 -0,50 -0,90 -1,40 -1,90

0,8 0 0,17 0,27 0,30 0,26 0,21 +0,06 -0,15 -0,43 -0,80 -1,17

1,0 0 0,17 0,29 0,35 0,36 0,32 0,25 +0,10 -0,15 -0,45 -0,75

Tableau 26. Coefficient de perte de charge Kp,r au niveau d’une jonction à 30° - Tableau d’après Idel’cik (1986).

114

Le Tableau 25 présente le coefficient de perte de charge permettant de calculer la perte de charge entre la branche latérale et la branche principale. Pour un rapport de

Fl Fp

donné, le coefficient de perte de

charge Kp,l croît de valeurs négatives à des valeurs positives à mesure que le débit latéral augmente par rapport au débit principal. Ceci s’explique par l’augmentation de la vitesse associée dans la branche latérale, et sa comparaison avec la vitesse dans la branche principale. C’est également ce qui explique que pour un rapport de débit donnée, le coefficient de perte de charge Kp,l décroît de valeurs positives parfois jusqu’à des valeurs négatives à mesure que le rapport de l’aire de la branche latérale sur celle de la branche principale augmente, c’est-à-dire que la vitesse dans la branche latérale diminue. Le même raisonnement permet d’expliquer le comportement du coefficient de perte de charge Kp,r illustré par le Tableau 26. Les coefficients de pertes de charge correspondant à des configurations différentes (jonctions avec un angle différent, bifurcations, branchements à quatre branches, etc.) peuvent être trouvés dans le Mémento des pertes de charge (Idel’cik 1986).

2.10. Cas des écoulements à surface libre Les pertes de charge singulières ont été principalement caractérisées dans le cas des écoulements en charge. Pour un écoulement à surface libre, nous verrons plus loin qu’il se comporte comme un écoulement en charge tant que son nombre de Froude reste limité, c’est-à-dire inférieur à 0,7 ainsi que recommandé par Hager (1999), un écoulement en charge correspondant à un nombre de Froude égal à 0 (voir le chapitre sur l’écoulement critique). Dans ce cas, les formulations de pertes de charge singulières établies pour un écoulement en charge peuvent être utilisées. Pour des valeurs de nombre de Froude plus importantes, c’est-à-dire s’approchant de 1 voire supérieures à 1, la perte de charge peut être très largement différente de celle obtenue en charge. Afin de comprendre cette différence de comportement, intéressons au phénomène de dissipation d’énergie illustrant ci-dessous respectivement pour un écoulement en charge puis pour un écoulement à surface libre.

115

H

H

Singularité a)

b)

Figure 47. Ligne de charge dans le cas d’un écoulement en charge sans (a) et avec singularité (b), par exemple une grille.

H a)

H

Singularité

b)

Figure 48. Ligne de charge dans le cas d’un écoulement à surface libre sans (a) et avec singularité (b), par exemple une grille.

Dans un écoulement en charge, une singularité provoque une perte de charge qui se répercute sur toute la ligne de charge à l’amont en translatant vers le haut la ligne de charge. La charge en amont avec et sans singularité sont donc différentes. Dans un écoulement à surface libre, au contraire, si la singularité modifie l’hydraulique et les processus de dissipation d’énergie, la charge loin en amont n’en demeure pas moins inchangée par 116

rapport à la situation sans singularité. Autrement dit, la perte de charge globale entre deux sections loin en amont et loin en aval de la singularité est identique qu’il y ait ou pas une singularité. En revanche, la dissipation d’énergie ne se fait plus de la même manière : entièrement linéaire sans singularité, elle devient linéaire et singulière en présence de la singularité. En pratique, des essais sur modèle physique sont recommandés si l’enjeu associé à une perte de charge singulière en écoulement à surface libre est important (Lencastre 1996).

3. Principe de superposition des pertes de charge Ce principe stipule que la perte de charge totale sur un tronçon s’obtient en sommant les pertes linéaires et les pertes singulières, tel qu’écrit dans l’équation suivante. j   jl   j s

Il peut arriver que deux singularités soient si proches l’une de l’autre que la perte de charge globale ne corresponde pas à la somme des deux. Dans ce cas, l’évaluation précise de la perte de charge n’est pas aisée.

117

VIII. POMPES CENTRIFUGES ___________________________________________________________________________

Photo : Matthieu DUFRESNE Figure 49. Exemple de pompe centrifuge - Institut national des sciences appliquées de Strasbourg.

Il existe de nombreux types de pompes. Les pompes centrifuges sont l’un de ces types, probablement le plus répandu sur les réseaux hydrauliques, notamment sur les réseaux d’alimentation en eau potable ainsi que sur les réseaux d’assainissement. Les objectifs de chapitre sont :    

De comprendre dans ses grandes lignes le fonctionnement d’une pompe centrifuge. De comprendre les caractéristiques techniques d’une pompe centrifuge : caractéristique, puissance, rendement, NPSH. De savoir déterminer la caractéristique de l’association de plusieurs pompes centrifuges. De savoir déterminer la caractéristique d’une pompe centrifuge tournant à une autre vitesse de rotation que celle donnée par son constructeur (similitudes de pompes).

1. Introduction Il existe deux types principaux de pompes : 118



Les pompes volumétriques,



Les pompes hydrodynamiques.

1.1. Les pompes volumétriques Le principe de fonctionnement d’une telle pompe est d’emprisonner un volume de fluide prélevé dans la conduite d’espiration et de le relâcher dans la conduite de refoulement. Il en existe différents types, parmi lesquels les pompes périlstaltiques, les vis d’Archimède ou encore les pompes à piston (voir la figure suivante).

Piston

ASPIRATION

REFOULEMENT

Figure 50. Principe de fonctionnement d’une pompe à piston.

Lorsque le piston (mis en mouvement par un moteur) monte, la pression diminue au sein du piston, ce qui provoque un appel : du fluide provenant de l’amont remplit la cavité du piston. La soupape de refoulement est fermée car elle-aussi aspirée par la dépression. Lorsque le piston descend, la pression diminue dans la cavité : la soupape amont se ferme et la soupape aval s’offre : le fluid est refoulé vers l’aval. Si la pompe est à l’arrêt, elle fait office de vanne : aucun fluide ne circule. Si une vanne est fermée à l’aval alors que la pompe est en fonctionnement, la pression augmente rapidement au refoulement car le fluide ne peut plus s’écouler. Explosion en perspective. Inversement, implosion possible si une vanne est fermée à l’amont.

1.2. Les pompes hydrodynamiques Le principe de fonctionnement d’une pompe hydrodynamique est de mettre en rotation le fluide au moyen d’un rotor appelé généralement la roue de la pompe et tournant à grande vitesse (de quelques centaines à quelques milliers de tours par minute). Les pompes centrifuges, ainsi qu’illustré sur la figure suivante, font partie de ces familles. Par rapport aux pompes volumétriques, les pompes hydrodynamiques sont généralement de conception plus simple et donc moins couteuses. Leur débit pompé ne présente par ailleurs par d’à-coups. Elles sont en revanche inadaptées aux liquides trop visqueux.

1.3. Fonctionnement d’une pompe centrifuge Une fois amorcée, l’eau arrive selon la direction de l’axe de rotation mettant la roue en mouvement. La rotation accélère le fluide à l’intérieur de la roue. Cette augmentation de la vitesse provoque une 119

dépression qui permet de maintenir l’amorçage de la pompe. En envoyant l’eau vers la périphérie de la roue (effet centrifuge) puis vers la sortie faisant office de diffuseur, une grande partie de l’énergie cinétique se transforme en énergie de pression. Conduite de refoulement

Conduite d’aspiration

VUE DANS L’AXE DE L’ASPIRATION

VUE DANS L’AXE DU REFOULEMENT

Figure 51. Principe de fonctionnement d’une pompe centrifuge.

Si ce type de pompe est à l’arrêt, elle ne fait pas obstacle à l’écoulement, contrairement aux pompes volumétriques. Un clapet anti-retour est à prévoir pour éviter que l’eau pompée ne revienne en arrière une fois la pompe arrêtée ! Si une vanne est fermée à l’aval, la pompe continue à tourner sans faire transiter aucun débit ; on dit qu’elle « barbote ». Aucun risque d’explosion mais éventuellement surchauffe si ce mode de fonctionnement dure trop longtemps. Une pompe centrifuge est ainsi un engin utilisant le mouvement d’une roue à aubes et permettant le pompage d’un débit en générant à son passage une variation de pression. L’admission dans la pompe, également appelé aspiration, se fait de manière centrale au niveau de la roue à aubes ; le refoulement, de manière radiale de l’intérieur vers l’extérieur (mouvement centrifuge). Une pompe centrifuge permet ainsi d’apporter de l’énergie à l’écoulement : l’énergie électrique apportée au moteur va être transformée en énergie mécanique (rotation de l’arbre de la pompe), énergie qui sera elle-même convertie en énergie hydraulique (principalement sous forme de pression). Cette énergie peut servir à :   

Garantir une charge suffisamment importante dans le réseau aval (et ainsi compenser en partie les pertes de charge), Augmenter le débit, Permettre le passage d’un niveau bas à un niveau haut.

2. Caractéristiques centrifuge

techniques

d’une

pompe

2.1. Puissance hydraulique La puissance de l’écoulement P est définie par l’expression ρgHQ (voir le chapitre sur la mise en équations des éccoulements stationnaires). En faisant un bilan de puissance entre le refoulement et l’aspiration de la pompe, on peut exprimer la puissance apportée par la pompe à l’écoulement : 120

Pn  g H refoulemen t  H aspiration Q La différence entre la charge au refoulement et la charge à l’aspiration est appelée hauteur manométrique totale de la pompe (HMT) et est généralement notée Hn (ou encore ΔH). Il vient que la puissance d’une pompe centrifuge s’exprime comme suit :

Pn  gH n Q

2.2. Hauteur manométrique totale La charge apportée à l’écoulement par une pompe centrifuge se trouve principalement sous forme de hauteur de pression. En effet, l’équation suivante est la hauteur manométrique totale en fonction de la charge au refoulement (R) et de la charge à l’aspiration (A) dans le cas d’un écoulement fortement turbulent.

 P U2   P U2   z   H n   z    g 2 g  R  g 2 g  A  En réorganisant cette équation, il vient l’expression suivante : 2 2  PR PA   U R UA      H n   z R  z A      2g  2g   g  g    

Dans le cas où les conduites d’aspiration et de refoulement sont de même diamètre, les débits entrant et sortant étant égaux par conservation de la masse, il vient que les énergies cinétiques à l’aspiration et au refoulement sont égales (remarquons que même si les diamètres sont différents, la différence d’énergie cinétique est généralement très faible). Il vient alors que la hauteur manométrique totale correspond à la différence entre la hauteur piézométrique au refoulement et la hauteur piézométrique à l’aspiration. *

*

P P Hn  R  A g g

Devant l’ordre de grandeur de la hauteur manométrique totale (en général quelques dizaines de mètres), la différence d’altitude entre le refoulement et l’aspiration est souvent négligeable devant la différence de pression. Il vient alors : Hn 

PR P  A g g

C‘est en pratique comme cela qu’on mesure la hauteur manométrique totale d’une pompe centrifuge. Remarquons d’ailleurs que l’incertitude de mesure sur la différence de pression entre le refoulement et l’aspiration est en général du même ordre de grandeur que la différence d’altitude (voire supérieure).

2.3. Courbe caractéristique Contrairement à une pompe volumétrique dont le débit est (quasiment) insensible à la charge, le débit transitant dans une pompe centrifuge est intimement lié à la différence de charge entre l’aspiration et 121

le refoulement. Ce lien intime est donné par la « courbe caractéristique » de la pompe centrifuge. La figure suivante en propose un exemple ; elle correspond à une vitesse de rotation de 1 470 tr/min (tours par minute).

Figure 52. Courbe caractéristique de la pompe de la Figure 49 pour une vitesse de rotation de 1 470 tr/min.

La forme de la courbe caractéristique illustrée sur la figure précédente est typique des pompes centrifuges : décroissance de la hauteur manométrique avec le débit.  

Aux faibles débits : apport de puissance principalement sous forme de hauteur manométrique et très peu sous forme de débit. Aux grands débits : apport de puissance principalement sous forme de débit et très peu sous forme de hauteur manométrique.

Il est alors important de comprendre que le débit pompé par une pompe centrifuge dépend du réseau sur lequel elle va être insérée. Par exemple, si la pompe précédente est installée entre un réservoir bas de grande surface dont le niveau d’eau est situé à l’altitude 230 m et un réservoir haut de grande surface dont le niveau d’eau est situé à l’altitude 250 m, la pompe va débiter environ 300 m3/h (en négligeant les pertes de charge), ce débit correspondant sur la courbe caractéristique à une hauteur manométrique totale de 250 – 230 = 20 m. En revanche, si la même pompe est installée entre des réservoirs situés à respectivement 230 m et 256 m (hauteur manométrique de 26 m), alors le débit pompé sera d’environ 100 m3/h. Il est important de comprendre que tous ces débits, aussi différents soient-ils, correspondent tous à la même vitesse de rotation de la pompe (ici 1 470 tr/min). Le point de la courbe caractéristique correspondant à un débit nul (point gauche de la courbe) est appelé point de barbotage.

122

2.4. Rendement Il existe plusieurs types de rendements :   

Le rendement hydraulique : rapport entre la puissance hydraulique et la puissance fournie par l’arbre de rotation. Le rendement du moteur : rapport entre la puissance de l’arbre de rotation et la puissance électrique fournie. Le rendement global : rapport entre la puissance hydraulique et la puissance électrique fournie.

2.5. Condition de cavitation La cavitation a déjà été décrite dans le chapitre traitant des propriétés des liquides. Rappelons qu’il s’agit, suite à l’ébullition de l’eau liquide du fait d’une diminution importante de la pression, de l’apparition dans l’écoulement de bulles de vapeur d’eau en dépression. Emportés par l’écoulement dans des zones de plus forte pression, ces bulles de vapeur d’eau en dépression implosent, ce qui peut être extrêmement néfaste pour l’installation (voir la Figure 6). Précisons néanmoins que la pompe ne va pas imploser… Elle peut même fonctionner pendant un certain temps. Néanmoins, ses performances seront inférieures à celles espérées (abaissement de la courbe caractéristique) et sa durée de vie sera réduite. Pour qu’il y ait cavitation, il faut que la pression devienne inférieure à la pression de vapeur saturante (24 cmCE à 20°C). Dans l’environnement d’une pompe centrifuge, la zone qui peut être sensible à la cavitation est l’aspiration où les pressions sont les plus basses. Au sein de la pompe, la pression diminue encore avant que la pompe n’apporte son énergie sous forme de pression du fait de la rotation. Ainsi, même si la pression à l’aspiration est supérieure à la pression de vapeur saturante, il est possible que la pompe cavite tout de même. Le constructeur fournit dans sa documentation technique une courbe permettant de déterminer le risque de cavitation de la pompe. Plutôt que de l’exprimer sous la forme d’une pression, la pratique a instauré l’utilisation d’une charge. Il s’agit de la charge nette à l’aspiration au-dessus de la pression de vapeur saturante ps (NPSH pour net positive suction head over the vapor pressure). Concernant cette caractéristique de la pompe, on parle de NPSHrequis. Un exemple en est donné sur la figure suivante.

Figure 53. Exemple de NPSHrequis donné dans la documentation d’une pompe centrifuge.

Le NPSHrequis est à comparer avec le NPSHdisponible qui est fonction des caractéristiques du réseau. Ce dernier se définit comme suit, où le plan de référence est choisi par convention au niveau de la pompe :

123

2

NPSH disponible 

UA p p  A s 2 g g g

Il y a cavitation lorsque : NPSH disponible  NPSH requis

3. Association de pompes En pratique, il n’est pas rare d’associer des pompes centrifuges dans le but d’obtenir un fonctionnement bien précis pour une installation. Par ailleurs, si on décortique une pompe centrifuge, on peut se rendre compte que certaines d’entre elles sont en fait des associations en série de plusieurs roues (cas par exemple des pompes allongées utilisées pour les forages) ; on parle de pompes multicellulaires. L’objectif de cette partie est d’expliquer la détermination de la caractéristique équivalente de l’association de deux pompes centrifuges, sachant que la démarche est transposable à l’association de n pompes. On considérera deux associations (voir le tableau suivant) :  

L’association en série : le refoulement de la première pompe est connecté à l’aspiration de la seconde. L’association en parallèle : les aspirations (respectivement les refoulements) de chacune des deux pompes sont connectées ensemble.

Dans les deux cas, la caractéristique de l’association des deux pompes s’obtient en considérant l’équation de continuité et l’équation de l’énergie. Notons respectivement Hn et Q la hauteur manométrique totale et le débit de l’association. Les caractéristiques sont illustrées sur la figure suivante. Association en série

R2

R1/A2

A1

P1

Association en parallèle

A1/A2

P1

R1/R2

P2 P2

H n  H R2  H A1

Q  Q1  Q2  H R2  H R1 / A2   H R1 / A2  H A1 

C’est-à-dire : H n  H n1  H n2

Q  Q1  Q2 H n  H R1 / R2  H A1 / A2 C’est-à-dire : H n  H n1  H n2

Tableau 27. Association de deux pompes en série (à gauche) et en parallèle (à droite).

124

Figure 54. Caractéristiques de deux pompes associées en série et en parallèle.

Remarquons que la caractéristique de l’association en parallèle représentée sur cette figure n’est valable que dans le cas où un clapet anti-retour est installé sur la branche de la pompe P1 ; c’est pour cela que la caractéristique de l’association suit la caractéristique de P2 pour les faibles débits. Sans ce clapet, la pompe P2 enverrait de l’eau à travers P1 en sens inverse. Remarquons par ailleurs que la caractéristique de l’association en série a été tracée pour un débit supérieur au débit maximum pouvant être débité par la pompe P2. Si cette partie de la courbe ne peut pas être construite à partir des courbes de P1 et P2 données (il faudrait connaître la courbe de P2 dans le « deuxième quadrant », c’est-à-dire des débits positifs mais des différences négatives entre la charge au refoulement et la charge à l’aspiration), elle a néanmoins été tracée ici pour comprendre que la pompe P2 peut fonctionner au-delà de son débit maximum si la pompe P1 la « pousse ». Remarquons alors la conséquence sur la caractéristique de l’association : la HMT équivalente est plus faible que la HMT de P1, autrement dit la pompe P2 a beau tourner, elle ne provoque qu’une diminution de la charge. P2 agit donc comme une singularité dissipatrice d’énergie (mais elle continue à consommer pour tourner…).

4. Similitudes de pompes 4.1. Analyse dimensionnelle Une pompe centrifuge est caractérisée par sa courbe de fonctionnement, c'est-à-dire la relation entre le débit Q et la hauteur manométrique totale (Hn) qui peut s'exprimer comme une pression Δp* si les diamètres des conduites d'aspiration et de refoulement sont identiques. Les variables influençant son fonctionnement sont le diamètre D de la roue à aubes, la vitesse de rotation N, la masse volumique ρ et la viscosité μ du fluide, ce qui peut s'écrire comme suit : 125

p *  f  D , N , Q ,  ,   Procédons à une analyse dimensionnelle de ce phénomène. La matrice des exposants des équations aux dimensions est donnée ci-dessous.

L M T

Δp* -1 1 -2

D 1 0 0

N 0 0 -1

Q 3 0 -1

ρ -3 1 0

μ -1 1 -1

Le rang r de cette matrice étant égal à 3, l'analyse dimensionnelle permet de conclure que la relation initiale peut être réduite à une équation entre n - r = 3 nombres sans dimension. On peut définir les trois nombres suivants :

1 

p * D 2 N 2

2  3 

Q D3N D 2 N



Le premier terme peut s'interpréter comme la hauteur manométrique totale adimensionnalisée. Le deuxième terme est un débit adimensionnalisé. Enfin, le troisième terme est un nombre de Reynolds dans lequel la dimension caractéristique serait le diamètre de la roue et la vitesse caractéristique, le produit du diamètre par la vitesse de rotation. L'expérience montre qu'à l'exception des petites valeurs de ce nombre de Reynolds, le terme  3 n'a aucune influence. L'équation réduite peut alors s'écrire comme suit :

 Q D 2 N  p *  Q    f  3   f  3 , 2 2 D N   D N D N En réintroduisant la hauteur manométrique totale, on obtient : gH n  Q   f 3  2 2 D N D N

Cette relation lie le débit Q écrit sous une forme adimensionnelle à la hauteur manométrique totale de la pompe Hn écrite elle-aussi sous une forme adimensionnelle. La relation précédente correspond ainsi à la courbe caractéristique de la pompe centrifuge écrite sous une forme adimensionnelle. L’adimensionnalisation tient compte de la vitesse de rotation de la pompe N ainsi que du diamètre de la roue de la pompe D.

126

4.2. Démarche opérationnelle La relation f étant unique, cela signifie pour deux pompes géométriquement semblables, la caractéristique adimensionnelle sera la même quelque soit la vitesse de rotation et quelque soit le diamètre de la roue. Caractéristique de la pompe à la vitesse de rotation N1

Caractéristique de la pompe à la vitesse de rotation N2

Q1   H n1  f1 Q1 

N2  Q2 N1 2

N  H n1   2   H n 2  N1 

H n 2  f 2 Q2 

Tableau 28. Détermination de la courbe caractéristique d’une pompe tournant à la vitesse N2 à partir de la caractéristique de la même pompe tournant à la vitesse N1.

Pour deux pompes semblables (seule différence : diamètres D1 et D2), il est ainsi possible, à partir de la caractéristique donnée par le constructeur pour une vitesse de rotation N1, de déterminer la courbe caractéristique adimensionnelle en multipliant le débit Q et la hauteur manométrique totale Hn par 1 g respectivement et . Il suffit alors de diviser le débit adimensionnel et la hauteur 3 2 2 D1 N1 D1 N1 1 g manométrique totale adimensionnelle par respectivement et pour arriver à la courbe 3 2 2 D2 N 2 D2 N 2 caractéristique de la pompe pour la vitesse de rotation N2. Cela peut s’écrire comme résumé dans le tableau suivant dans le cas où il s’agit du même modèle de pompe (diamètre de la roue D invariant, ce qui constitue le cas le plus fréquent d’utilisation des similitudes de pompe) tournant à deux vitesses différentes N1 et N2. Il est également possible d’écrire les relations suivantes sur la puissance Pn et le rendement η (Pernès 2004) : Pn  Q   f1  3  5 3 D N D N  Q   3 D N

  f2 

Ces deux dernières équations permettent de déterminer puissance et rendement en fonction du débit Q2 pour un diamètre D2 et une vitesse de rotation N2 à partir de ces mêmes informations en fonction du débit Q1 pour un diamètre D1 et une vitesse de rotation N1.

127

IX. COUPS DE BELIER ___________________________________________________________________________

Toute modification rapide du régime permanent d’un écoulement dans un réseau de conduites (démarrage ou arrêt d’une pompe, fermeture d’une vanne, etc.) est susceptible de provoquer des phénomènes se caractérisant par des variations brutales de la vitesse et de la pression ; on parle de « coups de bélier ». Les conséquences néfastes des coups de bélier sont la rupture de canalisations ou encore la détérioration d’appareils traversés par l’écoulement. L’objectif de ce chapitre est de fournir les bases de prévision de ces phénomènes fortement instationnaires, notamment en termes d’amplitude.

1. Les différents types de coups de bélier 1.1. Phénomènes physiques On distingue le coup de bélier de masse (parfois appelé « oscillation en masse ») et le coup de bélier d’ondes (appelé simplement « coup de bélier » dans le langage courant). Dans le premier cas, l’écoulement répond à la modification du régime d’écoulement uniquement par des transferts de masse ; la masse volumique du fluide est inchangée et la canalisation ne se déforme pas. C’est typiquement ce qui se passe lorsque qu’un coup de bélier ne produit dans une conduite forcée protégée par une cheminée d’équilibre. Dans le second cas, il y répond par des transferts de masse mais aussi par une modification de la masse volumique du fluide et éventuellement une déformation de la canalisation.

1.2. Mise en équations générale Les deux expressions suivantes correspondent aux formes infinitésimales équations de continuité et de quantité de mouvement dans le cas d’un écoulement unidimensionnel d’un fluide compressible dans une canalisation déformable en considérant qu’il n’y a aucune perte de charge (Pernès 2004). On considère ici que la vitesse est uniforme dans toute section de la canalisation.

  S    SU   0 t x

U U 1 p * U  t x  x Dans ces équations, ρ est la masse volumique du fluide ; S, la section de la canalisation, U la vitesse moyenne de l’écoulement ; p*, la pression étoilée (p + ρgz) et g, l’accélération gravitationnelle. Les deux variables sont le temps t et l’abscisse curviligne x, coordonnée spatiale suivant la canalisation.

128

2. Coup de bélier de masse 2.1. Equations régissant le phénomène Dans le cas d’un coup de bélier de masse, l’écoulement répond à sa modification brutale uniquement par des transferts de masse ; ni la section de la canalisation ni la masse volumique du fluide ne sont modifiées. A la fermeture de la vanne, l’écoulement est stoppé net. Plutôt que de provoquer un coup de bélier d’onde (voir l’exemple suivant), l’écoulement va s’engouffrer dans la seule échapattoire disponible, à savoir la cheminée d’équilibre, faisant monter son niveau. Ce dernier va ensuite osciller au gré des équilibrages avec la retenue dont le niveau reste constant (réservoir de grande surface). Il vient des deux équations précédentes :

 U  0 x

U 1 p *  0 t  x La première équation signifie que la vitesse est la même dans toute la canalisation entre les points 1 et 2.

2.2. Exemple : fermeture instantanée d’une vanne avec cheminée d’équilibre Une cheminée d’équilibre est un dispositif de protection anti-bélier installé sur les conduites forcées des usines hydroélectriques. La figure suivante illustre le dispositif, placé entre la retenue d’altitude et la vanne de protection de la turbine.

D s

z0 1 d

L

2

Figure 55. Cheminée d’équilibre installée sur une conduite forcée – Figure inspirée de Frelin (2002).

129

Ici, une conduite circulaire forcée entre une retenue d’eau de section importante et une installation de turbinage est équipée d’une cheminée d’équilibre de section circulaire. Cette conduite est le siège d’un écoulement permanent jusqu’à l’instant t = 0. A cet instant, la vanne située en amont de la turbine est fermée instantanément. On considère les données suivantes: L = 4 000 m, d = 1,5 m, D = 3 m, z0 – z2 = 20 m, Q0 = 1 m3/s (débit volumique). On suppose que la masse volumique de l’eau reste constante et que la conduite est complètement indéformable (conditions correspondant à un coup de bélier de masse). Déterminons la période des oscillations du niveau d’eau dans la cheminée ainsi que le niveau maximal. Nous savons déjà d’après l’équation de continuité que la vitesse est la même dans toute la canalisation à chaque instant. Intégrons à présent l’équation de la quantité de mouvement entre les abscisses curvilignes des points 1 et 2. Nous obtenons l’expression suivante :

L





dU 1 *  p2  p1*  0 dt 

Par ailleurs, compte tenu des sections importantes du réservoir et de la cheminée par rapport à la section de la canalisation, l’application de l’équation de Bernoulli sans pertes de charge conduit aux équations suivantes.

z0 

p1* U 2  g 2 g

z0  s 

p2* U 2  g 2 g

La vitesse est en effet identique au point 1 et au point 2 dans la mesure où nous avons fait les hypothèses d’un fluide incompressible et d’une conduite indéformable. L’utilisation de ces équations aboutit à l’expression suivante pour la loi de la quantité de mouvement.

L

dU  gs  0 dt

Le débit dans la conduite étant identique à celui dans la cheminée, la loi de conservation de la masse peut s’exprimer, quel que soit le temps t, comme suit.

d 2 4

U 

D 2 ds 4 dt

La dérivée de la vitesse par rapport au temps s’écrit alors : 2

dU  D  d 2 s   dt  d  dt 2 Nous aboutissons à l’équation différentielle suivante, où la seule variable est le temps t :

130

2

2 D d s L  gs  0   2  d  dt

Elle admet comme solution la forme générique suivante, où C1 et C2 sont des constantes.

d s  C1 cos D

d g  t   C2 sin  L  D

g  t L 

ds 4Q0 valent respectivement 0 et à l’instant t = 0 (conditions initiales), nous dt D 2 obtenons ainsi le niveau d’eau dans la cheminée en fonction du temps. Sachant que s et

s

Ainsi, la période des oscillations vaut 2

d L sin  g D

4Q0 Dd

D d

dans la cheminée vaut quant à elle z0  z 2 

g  t L 

L , soit 4 minutes et 14 secondes. La hauteur maximale g 4Q0 Dd

L , soit 25,7 m. g

La période des oscillations de ce coup de bélier de masse est à comparer avec le temps caractéristique d’un coup de bélier d’onde qui se déplace à la célérité du son dans l’eau (entre quelques centaines et 1 400 m/s), soit un phénomène de quelques secondes pour une conduite de 4 000 m de longueur. Précisons enfin qu’en réalité, les pertes de charge vont petit à petit annihiler le phénomène.

3. Coup de bélier d’onde 3.1. Mise en équations du phénomène Relation entre la célérité des ondes et les variations de masse volumique et de la section de passage Soit un écoulement permanent dans une conduite. Suite à la fermeture brutale d’une vanne, un coup de bélier d’ondes se produit : une onde de célérité a prend naissance au niveau de la vanne et se propage vers l’amont. En assimilant l’onde à une surface de discontinuité, la conduite se divise en deux domaines distincts, comme illustré sur la Figure 56. Le domaine 1 se situe entre l’extrémité aval de la conduite (la vanne fermée située sur la gauche de la Figure 56) et le front de l’onde. Dans ce domaine, la vitesse de l’écoulement est nulle ; la masse volumique du fluide est ρ + dρ ; la section de la conduite est S + dS. Le domaine 2 est constitué de la partie complémentaire de la conduite. Dans la mesure où le domaine 2 n’a pas encore été atteint par l’onde, les conditions suivantes y règnent : la vitesse de l’écoulement vaut U ; la masse volumique de l’eau, ρ ; la section de la conduite, S.

131

Figure 56. Schéma de la propagation d’une onde.

En se plaçant dans un repère d’observation se déplaçant à la vitesse, constante, de l’onde (Pernès 2004), l’équation de la conservation de la masse s’écrit :

  d S  dS a  S U  a  En divisant par ρS et en négligeant les infiniment petits d’ordre 2 par rapport aux infiniment petits d’ordre 1, il vient l’équation 17.

d





dS U  S a

En combinant les équations de continuité de de quantité de mouvement écrites plus haut, en tenant compte l’équation de continuité au niveau du front d’onde (ce qui fait intervenir la célérité a de l’onde) et enfin en considérant que les pertes de charge sont nulles, il est possible de démontrer les équations suivantes.

U  1   p * p *   U      U  a   U  a  0  t x  a  t x 

U  1   p * p *   U      U  a   U  a  0  t x  a  t x  DU , dérivée particulaire de la Dt Dp * vitesse U en suivant une particule se déplaçant à la vitesse U + a ; le second crochet, comme , Dt dérivée particulaire de la pression étoilée p* en suivant la même particule. De la même façon, le DU premier crochet de la seconde équation peut s’interpréter comme , dérivée particulaire de la Dt Le premier crochet de la première équation peut s’interpréter comme

132

vitesse U en suivant une particule se déplaçant à la vitesse U – a ; le second crochet, comme

Dp * , Dt

dérivée particulaire de la pression étoilée p* en suivant la même particule. Par ailleurs, la célérité des ondes étant généralement très grande (de l’ordre de 1,000 m/s) devant la vitesse (de l’ordre de 1 m/s), nous pouvons approximer U + a par a et U – a par – a. Enfin, utilisons comme variables le débit Q transitant dans la canalisation et la hauteur piézométrique p* y définie comme la quantité . Dans ces conditions, nous pouvons écrire : g

 D  aQ dx   y   0 avec a dt Dt  gS  D Dt

 aQ  dx    y   0 avec  a dt  gS 

aQ y gS constante tout au long de son déplacement ; la seconde, qu’un observateur se déplaçant à la vitesse – a aQ verra la quantité   y constante tout au long de son déplacement. gS La première équation signifie qu’un observateur se déplaçant à la vitesse a verra la quantité

La méthode de l’épure de Schnyder – Bergeron consiste à résoudre graphiquement le phénomène de coup de bélier en tirant profit du résultat précédent. Plus précisément, cette méthode permet de déterminer la pression et le débit en tout point de la conduite et à tout instant sans déterminer la nature exacte de l’onde mais simplement en considérant des « observateurs » se déplaçant aux vitesses a et – a.

3.2. Exemple : fermeture instantanée d’une vanne sans protection antibélier Considérons une conduite reliant un réservoir à charge constante et une vanne, comme illustré sur la figure suivante. Alors que l’écoulement y était permanent (débit Q0) jusqu’à l’instant t = 0, la vanne est instantanément fermée à l’instant t = 0.

133

z0 R d

V

L

Figure 57. Fermeture d’une vanne – Figure inspirée de Frelin (2002).

Pour des raisons de facilité de compréhension, on raisonnera à partir du temps adimensionnalisé par la durée nécessaire à l’onde pour parcourir la longueur de la conduite :



t L a

Par exemple, l’onde générée en V (vanne) à μ = 0 arrivera en R (réservoir) à μ = 1. L’écoulement permanent consiste en un débit Q0 et une charge z0 – z2 dans toute la conduite (pas de 2

U pertes de charge). En supposant le terme négligeable dans l’expression de la charge, nous 2g pouvons affirmer que la hauteur piézométrique y0 en régime permanent vaut z0 – z2 dans toute la conduite (pas de pertes de charge). Une fois la vanne fermée, les conditions aux limites sont un débit nul à la vanne et une hauteur piézométrique égale à y0 au niveau de l’entrée du réservoir. Plaçons-nous en μ = – 1+ au niveau de la vanne (c’est-à-dire une unité de temps adimensionnel avant sa fermeture). Le signe « + » signifie qu’on se situe à un instant infiniment petit après le temps μ = – 1 ; cette notation permet d’éviter toute ambigüité due à la nature discontinue du coup de bélier dx d’ondes. En se déplaçant selon l’équation  a , nous arriverons à la vanne en μ = 0+, c’est-à-dire dt juste après la fermeture de la vanne. En μ = – 1+, les conditions du régime permanent règnent : le débit et la hauteur piézométrique valent respectivement Q0 et y0 au niveau du réservoir. En μ = 0+ à la vanne, aQ la quantité  y étant conservée, nous pouvons écrire la relation suivante : gS

134

 aQ   aQ  aQ0   y     y    y0 gS  gS VO   gS  R 1 Le débit étant nul à la vanne, nous pouvons déterminer la hauteur piézométrique à la vanne juste après sa fermeture :

yV 0  

aQ0  y0 gS

Cette expression montre que la fermeture instantanée de la vanne est responsable d’une augmentation aQ0 brutale de la hauteur piézométrique de . De nombreux logiciels annonçant une résolution du gS coup de bélier ne calcule en fait que cette augmentation de pression. Le point V0+ est le point haut de l’épure. La droite reliant les points R–1+ et V0+ a pour équation :

aQ aQ0 y  y0 gS gS Déplaçons-nous à présent depuis la vanne selon l’équation nous voyons conservée la quantité 

dx   a . Arrivant au réservoir en μ = 1+, dt

aQ  y. gS

 aQ   aQ  aQ0    y      y    y0 gS  gS  R1  gS V 0  La hauteur piézométrique à l’entrée du réservoir valant y0, le débit à l’entrée du réservoir vaut :

QR1   

 gS  aQ0   y0  y0   Q0 a  gS 

Ainsi, du fait des fortes pressions régnant dans la canalisation, le débit s’inverse : un écoulement prend place de la conduite vers le réservoir. La droite reliant les points V0+ et R1+ a pour équation :



aQ aQ0  y  y0  gS gS

aQ dx  a . La quantité  y étant dt gS conservée, nous pouvons déterminer la pression à la vanne en μ = 2+ : Gagnons à présent la vanne en nous déplaçant selon l’équation

yV 2   y0 

aQ0 gS

135

Ceci signifie que la vanne subit une dépression. La droite reliant les points R1 + et V2+ a pour équation :

aQ aQ0  y  y0  gS gS dx   a , nous pouvons exprimer le débit au dt aQ niveau du réservoir en μ = 3+ en conservant la quantité  y : gS En nous déplaçant vers le réservoir selon l’équation

QR 3   Q0

La droite reliant les points V2+ et R3+ a pour équation :



aQ aQ0  y  y0  gS gS

En poursuivant les allers retours entre le réservoir et la vanne et en procédant de la même façon à partir de différents points à différents instants, nous pouvons déterminer le débit et la hauteur piézométrique en tout point de la conduite et à tout instant. Le phénomène périodique ainsi mis en évidence est illustré sur la figure suivante. La Figure 59 présente quant à elle la variation de pression au niveau de la vanne ainsi que la variation de débit au niveau de l’entrée du réservoir. Nous constatons sur cette dernière figure que le coup de bélier d’ondes a ici une période égale à 4μ, c’est-àdire 16 s en considérant les données du calcul effectué plus haut pour le coup de bélier de masse dans une conduite équipée d’une cheminée d’équilibre et en supposant une célérité de 1 000 m/s. Nous pouvons ainsi constater la fréquence beaucoup plus importante du coup de bélier d’ondes par rapport au coup de bélier de masse.

136

Figure 58. Décomposition du coup de bélier d’ondes due à la fermeture d’une vanne – Figure tirée de Frelin (2002).

Figure 59. Variations de la pression à la vanne et du débit à l’entrée du réservoir – Figures tirées de Frelin (2002).

Des figures similaires à la figure précédente, les évolutions de la pression et du débit pourraient être tracées en chaque point de la conduite. La résolution de l’épure Schnyder et Bergeron nous a permis de mettre en évidence les pressions aQ0 aQ0 maximale et minimale subie par la conduite, respectivement y0  et y0  . gS gS

137

Il peut arriver que la pression absolue minimale atteigne la pression de vapeur saturante de l’eau (24 cmCE à 20°C). Dans ce cas, le liquide se vaporise ; une poche de cavitation se forme. La conduite doit être suffisamment résistante pour ne pas imploser sous l’action de la pression atmosphérique sur sa surface extérieure. La démarche décrite ci-dessus, qui suppose un fluide sous phase liquide et qui n’est donc plus valable, doit être adaptée (Pernès 2004). La même approche peut être mise en œuvre dans le cas d’une fermeture rapide mais non instantanée de la vanne. Il est également possible de prendre en compte d’une façon simplifiée les pertes de charge.

4. Protections anti-bélier On distingue les anti-béliers spécifiques des anti-béliers non spécifiques (Bonnin 1983).

4.1. Dispositifs anti-bélier spécifiques Parmi les premiers, les vannes à fermeture lente permettent d’empêcher les coups de bélier dus à une fermeture brutale de vanne ; ces dispositifs sont en revanche inefficaces contre les arrêts brutaux de pompes, toujours susceptibles de se produire (panne du moteur, coupure d’alimentation, manœuvre involontaire, etc.). Toujours parmi les anti-béliers spécifiques, les volants d’inertie sont des dispositifs capables d’emmagasiner de l’énergie pendant le démarrage de la machine et de la fournir à la pompe dès la coupure de son alimentation : l’arbre de la pompe continue ainsi à tourner pendant quelques secondes à quelques dizaines de secondes.

4.1. Dispositifs anti-bélier non spécifiques Les anti-béliers non spécifiques ne cherchent pas à empêcher les coups de bélier mais à atténuer leurs effets. Dans la mesure où ils ne protègent pas entre le lieu de génération du coup de bélier et leur localisation, ils doivent être installés à des endroits bien spécifiques. Une soupape est ainsi un dispositif qui s’ouvre à la pression atmosphérique lorsque la pression dans la conduite devient supérieure à une valeur seuil. Ce faisant, la soupape laisse échapper un certain débit. Utile contre les surpressions, ce dispositif est en revanche complètement inefficace contre les dépressions. Pour atténuer aussi bien les surpressions que les dépressions, une méthode consiste à tempérer les variations de pression dans la conduite par des variations de masse dans un réservoir associé. C’est le principe de fonctionnement des cheminées d’équilibres (réservoir à l’air libre), illustrées sur la Figure 60, et des ballons anti-bélier (réservoir sous pression), illustrés quant à eux sur la Figure 61. En fonctionnement permanent, le réservoir est partiellement rempli. Lorsque la conduite est le siège d’une surpression, le réservoir accepte de l’eau de la conduite de façon à tempérer la surpression. Au contraire, lorsque la conduite est le siège d’une dépression, le réservoir apporte de l’eau à la conduite de façon à tempérer la dépression.

138

Figure 60. Cheminée d’équilibre – Figure tirée de Bonnin (1983).

Figure 61. Ballon anti-bélier – Figure tirée de Bonnin (1983).

139

PARTIE 4 : L’HYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE

140

141

X. ECOULEMENT CRITIQUE ___________________________________________________________________________

Photo : Matthieu DUFRESNE Figure 62. Vue depuis l’aval du passage par le régime critique dans le col d’un canal Venturi ISMA.

L’écoulement critique est un écoulement singulier pouvant être rencontré en canal ou canalisation à surface libre. Les objectifs de ce chapitre sont de :   

Comprendre les régimes d’écoulement et la notion de section de contrôle, Déterminer les principales configurations propices à l’apparition du régime critique (les applications seront présentées dans les chapitres ultérieurs), Etre capable de calculer la hauteur critique, c’est-à-dire la hauteur d’eau correspondant à l’écoulement critique.

142

1. Régimes d’écoulement et sections de contrôle 1.1. Célérité des ondes de surface Considérons un canal à pente nulle dont le fluide est au repos (U = 0) tel qu’illustré sur la figure suivante.

U=0

Figure 63. Canal à pente nulle avec fluide au repos.

On perturbe la surface libre du canal, générant ainsi des ondes de surface (appelées ondes de gravité) se propageant dans les deux sens.

c

c

U=0

U0

Figure 64. Perturbation de la surface et génération d’ondes de surface dans les deux sens.

Chaque onde se déplace à la célérité c. La section de l’écoulement augmente de dS par rapport à S. On limitera le raisonnement à des ondes de faible amplitude, c’est-à-dire que dS est petit devant S.

Photo : José VAZQUEZ Figure 65. Remontée vers l’amont d’une onde de gravité en régime fluvial (la flèche bleue correspond à l’écoulement ; la flèche rouge, au déplacement de l’onde de gravité) – Lycée Agricole d’Obernai.

On se place sur un référentiel en mouvement tel que l’onde de gravité à droite devient stationnaire. Le référentiel se déplace à la vitesse constante c. 143

Comme il n’y a pas de stockage entre les sections S et S + dS, ce qui entre en S + dS sort en S.

S

S + dS c-U

c

Figure 66. Vitesses dans le référentiel se déplaçant à la vitesse constante c.

Le débit entrant est égal au débit sortant, ce qui s’écrit comme suit :

Q S   Q S  dS  C’est-à-dire :

cS  c  U S  dS  C’est-à-dire :

U c

dS dS c S  dS S

Appliquons alors l’équation de la quantité de mouvement au volume de contrôle sur lequel le bilan de masse a été effectué. Il vient (voir le chapitre sur la mise en équations des écoulements) :

 Q  U n   F

e

Les forces extérieures sont constituées du poids, des forces de pression ainsi que des frottements (supposés négligeables). En projetant dans le sens de l’écoulement et en supposant un coefficient de non-uniformité β égal à 1, nous obtenons l’expression suivante.

Qc  Qc  U    Fpression S   Fpression S  dS  Notons : dFpression  Fpression S  dS   Fpression S 

dS étant petit, nous pouvons écrire :

Fpression 

dFpression dx

dx

Par ailleurs, la force de pression s’obtient en intégrant la pression sur la surface, comme exprimé cidessous : 144

hx 

Fpression 

 g h x   z l z dz 0

Dans cette expression, l(z) est la largeur du canal (qui dépend de l’altitude z). Utilisons la propriété mathématique suivante : u x  u 2  x  df d 2  x, t dt  f x, u2  x  du2  x   f x, u1  x  du1  x    f  x, t dt    dx  u1  x  dx dx  u1  x  dx

Il vient dans le cas du calcul de la force de pression :

dFpression dx

hx 



 0

hx 

g

dh  x l  z dz  g dh  x   l  z dz  g dh  x S dx dx dx 0

Soit : dFpression  gSdh

En reprenant l’équation de la quantité de mouvement et le lien entre U et c provenant de l’équation de continuité, il vient :

Qc

dS  gSdh S

Or :

Q c S En utilisant les expressions de la largeur au miroir B 

dS S et du diamètre hydraulique Dh  , il dh B

vient : c 2  gDh

Les ondes de gravité se déplacent donc à la célérité c 

gDh . Ce résultat est valable même dans le

cas d’un écoulement. On parle d’écoulement critique lorsque la vitesse de l’écoulement est égale à la célérité des ondes de surface. On parle alors de « hauteur critique ».

1.2. Régimes d’écoulement et nombre de Froude On définit le nombre de Froude comme le rapport de la vitesse de l’écoulement sur la célérité des ondes de surface.

145

U c

Fr  Soit, compte tenu de la partie précédente :

Fr 

U gDh

Dans le cas d’un canal de forme rectangulaire, cette expression devient :

Fr 

U gh

Régime critique L’écoulement est critique lorsque le nombre de Froude est égal à 1. La hauteur d’eau correspondante est appelée la hauteur critique. Régime torrentiel ou sur-critique Lorsque la hauteur d’eau est inférieure à la hauteur critique, c’est-à-dire que le nombre de Froude est supérieur à 1, l’écoulement est trop rapide pour que les ondes de gravité ne remontent vers l’amont. Les ondes sont seulement générées vers l’aval. On parle de régime torrentiel, sur-critique ou supercritique. Régime fluvial ou sous-critique Lorsque la hauteur d’eau est supérieure à la hauteur critique, c’est-à-dire que le nombre de Froude est inférieur à 1, les ondes de gravité se déplacent aussi bien vers l’aval (à la vitesse U + c, où U est la vitesse de l’écoulement et c la célérité propre des ondes) que vers l’amont (à la vitesse U - c). On parle de régime fluvial ou sous-critique.

1.3. Contrôle des écoulements fluviaux et des écoulements torrentiels Un écoulement torrentiel étant complètement indépendant de ce qui se passe à l’aval (les ondes de gravité ne remontent pas l’écoulement), cela signifie qu’il est entièrement contrôlé par l’amont. On parle de contrôle amont. En revanche, un écoulement fluvial est affecté par ce qui se passe à l’aval (les ondes de gravité remontent l’écoulement). On parle de contrôle aval. Nous retiendrons :  

Contrôle amont pour l’écoulement torrentiel, Contrôle aval pour l’écoulement fluvial.

De façon générale, l’hydraulique s’intéresse à deux variables : le débit et la hauteur d’eau. Pour reproduire ces informations partout dans un canal, nous avons besoin de deux informations au niveau des limites de ce canal. L’endroit où ces informations sont nécessaires dépend du régime d’écoulement. En régime torrentiel, il faut connaître le débit et la hauteur d’eau à l’amont pour les déterminer partout dans le canal. En régime fluvial, il faut une information à l’amont (le débit ou la hauteur d’eau) et une information à l’aval (idem).

146

1.4. Section de contrôle Une « section de contrôle » est une section dans laquelle l’écoulement est critique. Cela implique que la vitesse de l’écoulement est égale à la célérité des ondes.

U

gDh

Le débit qui s’écrit de façon générale Q  US peut alors s’écrire comme suit.

Q  S gDh La surface S comme le diamètre hydraulique Dh étant des fonctions croissantes avec la hauteur d’eau h, il apparaît un lien bijectif entre la hauteur d’eau et le débit au régime critique. Ceci est d’une grande utilité en débitmétrie (mesure du débit) des écoulements à surface libre. En effet, dans le cas où l’écoulement est critique, il est possible de s’affracnhir de la mesure de vitesse pour évaluer le débit, ce qui, en plus de ne nécessiter qu’un seul capteur de mesure, présente deux autres avantages :  

Le fait de ne pas nécessiter de capteur immergé, ce qui facilite grandement la maintenance du point de mesure (problèmes de nettoyage ou de détérioration du capteur). Une précision en général meilleure, les techniques nécessitant la mesure de la vitesse nécessitant un passage, parfois incertain, entre la vitesse mesurée localement par le capteur et la vitesse moyenne de l’écoulement, notamment si la mesure est effectuée à proximité d’une singularité hydraulique (coude, jonction, chute, etc.).

Nous verrons par la suite les configurations favorables à l’apparition du régime critique.

1.5. Classification détaillée des écoulements à surface libre en fonction du nombre de Froude Le comportement des écoulements pour lesquels les influences de la viscosité et de la tension de surface sont négligeables, c’est-à-dire que les nombres de Reynolds et de Weber sont suffisamment grands, sont complètement conditionnés par le nombre de Froude. C’est le cas de la plupart des écoulements d’eau à surface libre, sauf ceux s’effectuant à faible vitesse ou dans un canal de petite dimension. La classification suivante est proposée par Hager (1999). Analogie entre un écoulement en charge et un écoulement à surface libre La charge d’un écoulement en charge s’écrit comme suit, où hp est la hauteur de pression

H  z  hp 

P . g

Q2 2gS 2

Pour un écoulement à surface libre, elle s’écrit comme suit, où h est la hauteur d’eau.

147

H  zh

Q2 2gS 2

2

U2/2g

U /2g H

H hP

h

z a)

z

Plan de référence

b)

Plan de référence

Figure 67. Analogie entre un écoulement en charge (a) et un écoulement à surface libre (b) (représentations pour les hypothèses suivantes : cos(θ) = 1 et α = 1).

Dans le cas d’un écoulement en charge, la section de passage de l’écoulement S est seulement fonction de l’abscisse : S = S(x). Pour un écoulement à surface libre, elle dépend aussi de la hauteur d’eau h : S = S(h, x). Ainsi, pour un écoulement à surface libre :

dS F F dh   dx x h dx La dérivée de la charge par rapport à x s’écrit donc comme suit. Pour un écoulement en charge :

dH dz dh p Q 2 dS    dx dx dx gS 3 dx Pour un écoulement à surface libre, en remarquant que

S correspond à la largeur au miroir B et que h

S est le diamètre hydraulique Dh : B dH dz dh Q 2 S   1  Fr 2  dx dx dx gS 3 x





148

En assimilant hauteur d’eau à hauteur de pression, écoulement en charge et écoulement à surface libre sont identiques en termes d’équations lorsque le nombre de Froude de l’écoulement à surface libre est égal à 0. Cette comparaison justifie l’emploi des formulations de perte de charge établies pour des écoulements en charge pour des écoulements à surface libre à faible nombre de Froude, c’est-à-dire inférieur à 0,7 (Hager 1999). Ecoulements pratiquement en charge : 0  Fr  0,3 Ces écoulements, pour lesquels Fr 2  10 1 , sont pratiquement indépendants des effets de surface et se comportent comme des écoulements en charge. Ecoulements sous-critiques typiques : 0,3  Fr  0,7 Ces écoulements sont des écoulements fluviaux typiques avec influence aval. Ecoulements de transition : 0,7  Fr  1,5 Ces écoulements sont relativement instables ; ils présentent généralement des oscillations de la surface libre. Ecoulements sur-critiques typiques : 1,5  Fr  3 Ces écoulements sont des écoulements torrentiels typiques. Ecoulements hypercritiques : 3  Fr Ces écoulements correspondant à Fr 2  101 présentent une grande énergie cinétique. S’ils sont perturbés, par exemple par des obstacles, les dommages peuvent être très importants du fait de l’importance des forces en jeu. Par ailleurs, le moindre obstacle provoque une forte augmentation locale du tirant d’eau (conversion d’énergie cinétique en hauteur d’eau).

2. Conditions favorables à l’apparition du régime critique 2.1. Interprétation physique des phénomènes de passage par l’écoulement critique Sauf cas particulier de l’écoulement uniforme critique (voir le chapitre sur l’écoulement uniforme), le passage par la hauteur critique, c’est-à-dire l’apparition du régime critique, est un phénomène local. Deux cas de figures se présentent : 

La chute hydraulique : l’écoulement passe d’un régime fluvial à l’amont à un régime torrentiel à l’aval par une diminution de la hauteur d’eau. Si ce phénomène a lieu sur une courte distance, il n’en demeure pas moins continu. L’écoulement critique se rencontre alors dans une unique section de l’écoulement. La chute d’eau, qui sera traitée dans un prochain chapitre, n’est qu’un cas particulier de chute hydraulique.

149



Le ressaut hydraulique : l’écoulement passe brutalement et de façon discontinue d’un régime torrentiel à l’amont à un régime fluvial à l’aval. Le phénomène étant discontinu (brutale élévation de la hauteur d’eau), aucune section de l’écoulement ne correspond réellement à l’écoulement critique.

Les cas traités ci-dessous ne s’intéressent qu’au cas de la chute hydraulique, c’est-à-dire de la transition entre le régime fluvial et le régime torrentiel ; cette partie ne traite pas du ressaut hydraulique, fortement dissipateur d’énergie, qui sera traité dans un prochain chapitre. Avant de s’intéresser (mathématiquement…) à deux conditions favorables à l’apparition du régime critique, une petite synthèse est présentée.

2.2. Synthèse des conditions favorables à l’apparition du régime critique

dz 0 dx

et

d 2z 0 dx 2

dK 0 dx

dB 0 dx

dQ 0 dx

et

et

d 2B 0 dx 2

d 2Q 0 dx 2

Figure 68. Conditions favorables à l’apparition d’un écoulement critique (avec les relations mathématiques) – Figure inspirée de Hager (1999).

La figure précédente synthétise les différentes conditions favorables à l’apparition d’un écoulement critique :   

Un maximum de la cote du fond, Un minimum de la largeur du canal, Une diminution de la rugosité n (soit une augmentation de K), 150



Un maximum du débit.

Précisons que ces conditions ne sont pas des conditions suffisantes mais seulement des conditions favorables. Ainsi, malgré ces conditions, l’écoulement peut ne pas être critique, par exemple dans le cas d’une influence aval importante (grande hauteur d’eau à l’aval qui impose un écoulement de type fluvial dans tout le canal). Le maximum de la cote du fond correspond à un seuil… utilisé de façon extrêmement courante en hydraulique. Quant au minimum de la largeur du canal, c’est exactement la configuration d’un canal Venturi, couramment utilisé pour la mesure du débit (notamment en sortie de station de traitement des eaux usées). Diminution de la rugosité et maximum du débit présentent moins d’applications pratiques et ne sont pas détaillées ci-dessous.

2.3. Influence de la géométrie du fond

U2/2g h

H

z Plan de référence Figure 69. Ecoulement dans un canal rectangulaire à fond continuellement variable (représentations pour les hypothèses suivantes : cos(θ) = 1 et α = 1).

Ecoulement sans perte de charge Considérons l’écoulement dans un canal de section rectangulaire présentant une évolution continue de dz la cote altimétrique de son fond (Hager 1999). Notons z(x) cette cote. I   est la pente (variable) dx de ce canal. Considérons dans un premier temps qu’il n’y a aucune perte de charge dans cet écoulement. Soit H sa charge :

H  zh

Q2 2 gB 2 h 2 151

Ses dérivées première et seconde valent respectivement :

dH dz  Q 2  dh    1  dx dx  gB 2 h 3  dx d 2H d 2z  Q 2  d 2h 3Q 2  dh      1     dx 2 dx 2  gB 2 h 3  dx 2 gB 2 h 4  dx 

2

Le nombre de Froude s’écrit en section rectangulaire comme suit.

Fr 

Q 1

g 2 Bh

3

2

On obtient ainsi pour les deux dérivées :





dH dz dh   1  Fr 2 dx dx dx





2 d 2H d 2z 3  dh  2 d h  2  1  Fr  Fr 2   2 2 dx dx dx h  dx 

2

La charge étant constante suivant x, toutes ses dérivées par rapport à l’abscisse x sont égales à 0.

dH 0 dx

d 2H 0 dx 2 Si l’écoulement est critique, le nombre de Froude vaut 1. En injectant cette condition dans l’expression de la dérivée première, il vient :

dz 0 dx L’écoulement critique se rencontrera donc au niveau d’un extremum de la topographie. En l’injectant dans l’expression de la dérivée seconde, il vient : 2

d 2z 3  dh    Fr 2    0 2 dx h  dx  L’extremum ne peut donc être d’un maximum. Cette condition n’est en rien suffisante : si l’écoulement est critique dans les conditions considérées, alors ce sera au niveau du maximum de la cote altimétrique du fond. 152

Ecoulement avec perte de charge linéaire Soit J la pente de la ligne de charge.

dH  J dx La démarche suivie précédemment aboutit dans ce cas à l’équation suivante.

dz  J  0 dx L’écoulement critique a lieu lorsque la pente énergétique égale la pente topographique, c’est-à-dire légèrement à l’aval du point haut (la pente diminue alors). Ce premier cas de figure explique pourquoi les seuils sont des configurations propices à l’apparition du régime critique.

2.4. Influence de la section en travers Considérons à présent l’écoulement dans un canal rectangulaire à fond plat présentant une largeur B(x) continuellement variable (Hager 1999). Ecoulement sans perte de charge Considérons dans un premier temps qu’il n’y a aucune perte de charge dans cet écoulement. Soit H sa charge :

H  zh

Q2 2 gB 2 h 2

Ses dérivées première et seconde valent respectivement :

dH  Q 2  dh Q 2 dB   1   dx  gB 2 h 3  dx gB 3 h 2 dx d 2H  Q 2  d 2h Q2 d 2B 3Q 2  dB  4Q 2 dB dh 3Q 2  dh     1          dx 2  gB 2 h 3  dx 2 gB 3 h 2 dx 2 gB 4 h 2  dx  gB 3 h 3 dx dx gB 2 h 4  dx  2

2

En introduisant le nombre de Froude dans ces expressions, il vient :





dH dh h 2 dB  1  Fr 2  Fr dx dx B dx





2

2 d 2H h 2 d 2 B 3h 2  dB  4 2 dB dh 3 2  dh  2 d h  1  Fr  Fr  2 Fr   Fr     Fr 2 2 2 dx dx B dx B B dx dx h  dx   dx 

2

La charge étant constante suivant x, toutes ses dérivées par rapport à l’abscisse x sont égales à 0. 153

dH 0 dx

d 2H 0 dx 2 Par ailleurs, si l’écoulement est critique, le nombre de Froude vaut 1. En injectant cette condition dans l’expression de la dérivée première, il vient :

dB 0 dx L’écoulement critique se rencontrera donc au niveau d’un extremum de la largeur. En l’injectant la condition sur le nombre de Froude dans l’expression de la dérivée seconde, il vient : 2

d 2 B 3 B  dh   2   0 dx 2 h  dx  L’extremum de largeur est donc un minimum. Comme précédemment, cette condition n’est pas suffisante : si l’écoulement est critique dans les conditions considérées, alors ce sera au niveau du minimum de la largeur du canal. Cette configuration est utilisée dans les canaux Venturi. Ecoulement avec perte de charge linéaire En utilisant les mêmes notations que précédemment, l’équation de la dérivée première aboutit à l’expression suivante.

dB B  J 0 dx h Cette équation signifie que l’écoulement critique légèrement en aval du minimum de largeur, lorsque la largeur augmente à nouveau.

3. Calcul de la hauteur critique 3.1. Principe général du calcul Nombre de Froude et hauteur critique La détermination de la hauteur critique hc d’un écoulement s’effectue en considérant un nombre de Froude égal à 1.

Fr Q , hc , caractéris tiques de la section en travers   1 Le nombre de Froude dépend du débit, de la hauteur d’eau ainsi que des caractéristiques de la section en travers. Il est en revanche indépendant de la pente. 154

Q2

1

S hc  gDh hc  2

L’expression précédente aboutit à une équation simple en hc (parfois implicite néanmoins) dans le cas des sections classiques : rectangulaire, triangulaire, trapézoïdale, etc. L’exemple de la section rectangulaire est donné ci-dessous. Dans le cas de sections complexes, les formulations exactes peuvent être fastidieuses à utiliser. Pour des formes couramment utilisées en réseau, des formulations simplifiées existent. C’est ce à quoi se proposent de répondre les parties suivantes. Charge spécifique critique La charge spécifique critique (charge avec le radier du canal comme niveau de référence) s’exprime comme suit.

H s c  hc 

Dh c 2

3.2. Section rectangulaire Dans le cas d’une section rectangulaire, les expressions données correspondent à des formulations exactes. Nombre de Froude

Fr 

Q 1

g 2 Bh

3

2

Hauteur critique

 Q2  hc   2   gB 

1

3

Charge spécifique critique

H s c  3 hc 2

3.3. Section circulaire Nombre de Froude Le nombre de Froude peut s’approcher par l’équation suivante, où Q est le débit, g l’accélération de la gravité, h la hauteur d’eau et D le diamètre de la canalisation (Hager 1999).

Fr 

Q gh 4 D 155

L’erreur est inférieure à 4% pour des taux de remplissage h

D

compris entre 0,30 et 0,95.

Hauteur critique La hauteur critique se calcule comme suit avec une erreur inférieure à 4% pour des remplissages

hc

D

compris entre 0,20 et 0,91 (Hager 1999).

 Q   hc    gD   

1

2

Charge spécifique critique Le débit relatif est défini par Hager comme suit (Hager 1999).

Q

q

gD 5

Dans l’intervalle 0,10 – 0,75 du débit relatif q, la charge spécifique critique peut s’approcher par l’expression suivante avec un écart maximum par rapport aux valeurs exactes inférieur à 4%.

H s c D



5 35 q 3

Hager (1999) propose également la relation suivante qui lie la charge spécifique critique à la hauteur critique.

H s c D

3h    c 2 D 

5

6

3.4. Section ovoïde standard 2:3 Nombre de Froude Le nombre de Froude peut s’approcher par l’équation suivante où T est la hauteur de l’ovoïde 2:3. L’écart à la valeur exacte est au maximum de 3% pour des remplissages h

T compris entre 0 et 0,95

(Hager 1999).

Fr 

9 5

Q gh 4T

156

Hauteur critique La hauteur critique peut être calculée comme suit avec une erreur maximale de 2% pour des remplissages

hc

T

compris entre 0 et 0,95 (Hager 1999).

 Q   hc  1,34  gT   

1

2

Charge spécifique critique Pour des remplissages

hc

T

compris entre 0 et 0,95, la charge spécifique critique est approchée à 1%

près par l’expression suivante (Hager 1999).

H s c T

2 4  hc    hc      1  0,15   3  T    T  

3.5. Section fer-à-cheval standard 4:3 Hager (1999) propose les expressions approchées suivantes.

Nombre de Froude

Fr  0,62

Q gh 4T

Hauteur critique

 Q   hc  0,787  gT   

1

2

Charge spécifique critique

H s c T

h  1,30 c T

5   5  hc  2   1       8  T  

157

XI. ECOULEMENT UNIFORME ___________________________________________________________________________

Photo : José VAZQUEZ Figure 70. Régime permanent uniforme dans un canal de laboratoire – Lycée Agricole d’Obernai.

Sous certaines conditions, la hauteur d’eau d’un écoulement à surface libre peut demeurer constante quelle que soit la position considérée : on parle alors d’écoulement uniforme. Si ces conditions sont relativement rares en pratique, l’écoulement uniforme présente néanmoins un grand intérêt en hydraulique. Les objectifs de ce chapitre sont de :  

Décrire l’écoulement uniforme, Etre capable de calculer la hauteur normale, c’est-à-dire de la hauteur d’eau correspondant à l’écoulement uniforme.

1. Description de l’écoulement uniforme Un écoulement uniforme, tel qu’illustré sur la figure suivante, peut être décrit de plusieurs façons (Hager 1999) :    

Hauteur d’eau constante : h1 = h2, Vitesse moyenne sur la section constante : U1 = U2, Surface libre parallèle au fond, Egalité entre la pente énergétique J (-dH/dz), la pente de la surface libre et la pente du canal I (-dz/dx).

158

U12/2g h1

2

U2 /2g H1

z1

h2

H2

z2

Plan de référence Figure 71. Ligne de charge et ligne d’eau d’un écoulement uniforme (représentations pour les hypothèses suivantes : cos(θ) = 1 et α = 1).

Pour se produire, un certain nombre de conditions doivent être nécessairement rencontrées :      

Pente du fond constante, Rugosité des parois constante, Débit constant à la fois dans le temps et dans l’espace : pas d’apports ou de prélèvements latéraux, Section prismatique : la section en travers ne varie pas le long du canal ou de la canalisation, Canal (canalisation) droit(e) : pas de coudes, Pression constante au-dessus de la surface libre.

Si elles sont nécessaires, les conditions précédentes ne sont cependant pas suffisantes. En effet, l’écoulement uniforme est un phénomène asymptotique qui pourra seulement s’établir après une longueur d’écoulement « suffisamment » importante (Hager 1999). Dit autrement, l’écoulement uniforme ne peut s’établir qu’à une distance suffisamment grande d’une section de contrôle ; le chapitre sur les courbes de remous donnera le moyen de quantifier cette distance.

2. Calcul de la hauteur normale 2.1. Préambule Il existe deux approches pour calculer la hauteur normale, c’est-à-dire la hauteur d’eau correspondant à l’écoulement uniforme : l’une par la quantité de mouvement, l’autre par la charge. Dans les deux cas, une loi de « frottement » est requise : forces de frottement dans le cas de l’approche par la quantité de mouvement, pertes d’énergie dans le cas de l’approche par la charge. Parmi les nombreuses lois proposées pour calculer la hauteur normale, c’est la relation de Gauckler-Manning-Strickler qui est la plus utilisée.

2.2. Approche par la charge La charge d’un écoulement à surface libre s’écrit comme suit dans le cas d’une pente pas trop importante et d’un coefficient de non-uniformité de la vitesse égal à 1. 159

H zh

U2 2g

Si l’écoulement est uniforme, ni h ni U ne varie avec l’abscisse x. Il vient que la perte de charge est égale à la perte d’altitude. Autrement dit, la pente énergétique est égale à la pente du canal.

dH dz  dx dx Ou, en reprenant les notations déjà utilisées précédemment :

J I La pente du canal I est une caractéristique géométrique. La pente énergétique J peut quant à elle être déterminée au moyen d’une formulation de perte de charge, où λ est le coefficient de perte de charge linéaire.

J 

1 U2 4 Rh 2 g

Attention, dans l’équation précédente, le diamètre a été généralisé par 4 fois le rayon hydraulique Rh (voir le chapitre sur les pertes de charge). Relation de Colebrook et White Transposition directe de la relation de Colebrook et White établie aux écoulements en charge dans des canalisations circulaires, les équations suivantes peuvent être utilisées pour calculer le coefficient adimensionnel λ de perte de charge. k est la rugosité équivalente.

Re 

4 UR h



 Re  3.71  4 Rh  2 log10   k   2,51

1

   

L’approximation est d’autant plus juste que la section de passage de l’écoulement est proche d’une forme circulaire. Dans le cas de canalisations d’assainissement, Hager propose les valeurs du tableau précédent (Hager 1999). Ces valeurs tiennent compte de façon globale à la fois des pertes par frottement mais aussi des pertes locales, très souvent difficiles à évaluer.

160

Application

k (mm)

Valeur minimale

0,1

Conduite sous pression, siphon inversé, canalisation sans regard

0,25

Canalisation sans apports latéraux avec regard

0,50

Canalisation avec apports latéraux et avec regards ; canalisations sans apports latéraux avec regards spéciaux

0,75

Canalisation avec apports latéraux et avec regards spéciaux ; canaux en maçonnerie ; égouts non standards sans information sur la rugosité1

1,50

Tableau 29. Valeurs de rugosité opérationnelle proposées par Hager (1999).

2.3. Approche par la quantité de mouvement

1 h 2 dx

Figure 72. Bilan des forces sur un volume de contrôle dans un écoulement uniforme.

Appliquons l’équation de la quantité de mouvement (voir le chapitre sur la mise en équations des écoulements) au volume de contrôle encadré sur la figure précédente. Le volume de contrôle est soumis à une seule force à distance, son poids, et à deux forces de contact, à savoir les forces dues à la pression sur les faces amont et aval ainsi que la force de frottement sur la surface de contact entre les parois du canal et l’écoulement. Il vient donc l’équation suivante.

 QU n  F

pression

 Ffrottement  P

Dans cette équation, le terme de gauche correspond aux forces d’inertie. Le débit (conservation de la masse) et la vitesse (écoulement ni accéléré ni décéléré) étant conservés entre les sections S1 et S2, ce terme est égal à 0.

1

Majoration de la rugosité pour aller dans le sens de la sécurité dans un contexte de dimensionnement.

161

Concernant les forces de pression, les lignes de courant étant rectilignes et parallèles pour un écoulement uniforme (voir la Figure 71), la seconde partie du théorème de Bernoulli détaillée dans le chapitre sur la mise en équations des écoulements peut être utilisée pour en déduire que la pression est hydrostatique sur les faces amont et aval du volume de contrôle. Les aires des faces amont et aval étant les mêmes (canal prismatique et hauteur d’eau constante), il vient alors que les forces de pression, si elles existent bel et bien, se compensent. Les forces de pression agissant sur le volume de contrôle sont donc nulles. Les seules forces non nulles sont donc le poids et les frottements. Un écoulement uniforme peut donc être vu comme un équilibre entre le poids et les frottements. Projetons ces deux forces selon la direction principale de l’écoulement. Concernant le poids, il s’exprime comme suit, où ρ est la masse volumique du fluide, g l’accélération gravitationnelle, S la surface de passage de l’écoulement, dx la longueur du volume de contrôle et θ l’angle du canal. P.ex  gSdx sin  

Concernant les frottements, ils agissent au niveau de la surface de contact entre les parois du canal et l’écoulement. Cette surface peut s’exprimer comme le produit du périmètre mouillé P par la longueur dx du volume de contrôle. La force de frottement peut alors s’exprimer comme suit, où τ0 est la contrainte de cisaillement moyenne sur la surface de contact entre les parois et l’écoulement.

Ffrottement .e x   0 Pdx En combinant les deux équations précédentes, il vient l’expression suivante pour la contrainte de cisaillement.

 0  g

S sin   P

Pour les angles θ « petits », tangente et sinus sont quasiment identiques (même développement limité à l’ordre 2). Dans l’équation précédente, sin(θ) peut donc être remplacé par I, pente du canal.

sin    tan    I De façon plus quantitative, un calcul rapide permet de se rendre compte que l’écart relatif entre la pente et le sinus de l’angle est limité à 0,1% jusqu’à une pente de 5,4% et limité à 1% jusqu’à une pente de 14,5%. Les pentes couramment rencontrées en pratique étant en général de quelques dixièmes à quelques pourcents, guère plus, on comprend aisément que l’approximation précédente est tout à fait cohérente. En effet, en procédant ainsi, l’erreur effectuée sur la contrainte de cisaillement est absolument minime. En intégrant ce résultat et en remarquant que le rapport de la surface mouillée sur le périmètre mouillé a été défini dans un chapitre précédent comme le rayon hydraulique, il vient alors l’expression suivante pour la contrainte de cisaillement moyenne, valable au régime permanent uniforme dans le cas d’un canal avec pente.

 0  gR h I

162

Reste alors à relier la contrainte de cisaillement moyenne sur le périmètre mouillé à l’hydrodynamique de l’écoulement à travers une loi de frottement. Dans l’équation suivante, cf, qui est appelé coefficient de frottement, est une fonction à déterminer.

0 

1 c f U 2 2

Relation de Henderson Dans le cas d’un canal rectangulaire de grande largeur (h/b > h), le rayon hydraulique Rh tend vers la hauteur d’eau h. L’équation de la ligne d’eau devient alors :

Q2

I dh  dx

10

K 2h 3 Q2 1 2 3 B gh

Or, la hauteur normale et la hauteur critique s’exprimant respectivement selon les expressions suivantes :

Q2 K 2 B 2 hn

10

Q2 B 2 ghc

3

I 3

1

Il vient : 10

h  3 1  n  dh  h  I 3 dx  hc  1    h  En termes de vocabulaire, nous parlons de courbe de remous (backwater curve en Anglais) lorsque dh dh est positif, de courbe de chute (drawdown curve) lorsque est négatif. La pratique a néanmoins dx dx instauré l’utilisation du terme « courbe de remous », en Anglais comme en Français, quelle que soit la forme de la ligne d’eau. Les parties suivantes détaillent les différentes possibilités de lignes d’eau selon la hauteur normale et la hauteur critique (Chow 1959) ; les cas les plus courants sont les cas des pentes faibles et fortes.

179

Ligne d’eau 1 h > hn ; h > hc

Ligne d’eau 2 hc > h > hn ou hn > h > hc

M1 Pente faible hn > hc

hn

M2 hn hc

S1 hc

hc

S2 hc hn

C1

hn

C2

hc = hn

hc = hn

hn = ∞

hn = ∞

Pente horizontale I=0

S3 hc

hn

Pente critique hn = hc

M3 hn

hc

Pente forte hn < hc

Ligne d’eau 3 h < hn ; h < hc

hc

C3 hc = hn

H2

hn = ∞

hc

H3

hc

A2

A3

Contre-pente I hc). Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hn et supérieures à hc, le numérateur est négatif ; le dénominateur, positif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe M2. Une courbe M2 tend asymptotiquement vers hn de l’aval vers l’amont ; elle tend de façon perpendiculaire vers hc vers l’aval (dérivée infinie). Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hn et à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe M3. Une courbe M3 tend de façon perpendiculaire vers hc vers l’aval (dérivée infinie). Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. Précisons que la pression n’étant pas hydrostatique à proximité du passage par la hauteur critique, l’équation de la courbe de remous est fausse dès que la hauteur s’approche de hc. Elle demeure néanmoins acceptable dans l’objectif de reproduire une ligne d’eau globale, sans chercher la précision à proximité immédiate de la hauteur critique. Pente forte

Photo : José VAZQUEZ Figure 82. Régime non-uniforme (hauteur d’eau croissante de l’amont vers l’aval, ligne d’eau de type S1) – Lycée Agricole d’Obernai.

Une pente forte (steep slope en Anglais) se définit comme une pente pour laquelle la hauteur normale est inférieure à la hauteur critique. hn  hc

Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc et à hn, le numérateur ainsi que le dénominateur sont positifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe C1. Une courbe S1 tend perpendiculairement vers hc de l’aval vers l’amont. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc et supérieures à hn, le numérateur est positif ; le dénominateur, négatif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe S2. Une courbe S2 tend asymptotiquement vers hn de l’amont vers l’aval ; elle tend de façon perpendiculaire vers hc vers l’amont (dérivée infinie). Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel.

181

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hn et à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe S3. Une courbe S3 tend asymptotiquement vers hn vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. Pente critique Une pente critique (critical slope en Anglais) se définit comme une pente pour laquelle la hauteur normale est égale à la hauteur critique. Il s’agit d’un cas limite entre la pente faible et la pente forte. hn  hc

Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc, le numérateur ainsi que le dénominateur sont positifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe C1. Une courbe C1 tend perpendiculairement vers hc = hn de l’aval vers l’amont. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. On parle de courbe C2 lorsque la hauteur d’eau est égale à hc = hn. Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc = hn, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe C3. Une courbe C3 tend vers hc = hn vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. Pente nulle Une pente nulle ou horizontale (horizontal slope en Anglais) est une caractéristique strictement géométrique : I = 0. Dans ce cas, la pente I ne peut pas compenser les pertes énergétiques J dues aux frottements et il est donc impossible pour l’écoulement de se stabiliser à une hauteur d’équilibre. Il n’existe donc pas de hauteur normale finie pour une telle pente, l’application de la relation de Gauckler-Manning-Strickler aboutissant ainsi à une hauteur d’eau infinie. hn    hc

La hauteur normale étant infinie, il n’existe pas de courbe dénommée H1. Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc (et nécessairement inférieures à hn), le numérateur est négatif alors que le dénominateur est positif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe H2. Une courbe H2 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe H3. Une courbe H3 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. Contre-pente Une contre-pente (adverse slope en Anglais) correspond à une valeur I négative, c’est-à-dire que la dz fonction est croissante. dx Dans ce cas, la hauteur normale n’existe pas. Aucune courbe ne porte le nom de A1. 182

Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc, le numérateur est négatif alors que le dénominateur est positif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe A2. Une courbe A2 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe A3. Une courbe A3 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel.

3.3. Canal rectangulaire quelconque Reprenons l’équation générale de la ligne d’eau.

Q2

I dh  dx

10

K 2h 3 Q2 1 2 3 B gh

Introduisons les variables adimensionnelles suivantes :

X 

Ix hn

Y

h hn

f 

hc hn



hn B

L’adimensionnalisation se fait par rapport à la hauteur normale. X est l’abscisse adimensionnelle ; Y, la hauteur d’eau adimensionnelle ; f, la hauteur critique adimensionnelle. ϕ caractérise la forme du canal rectangulaire. En introduisant ces variables dans l’équation de la ligne d’eau, il vient (Hager & Schleiss 2009) :

 1  2Y  Y 1   Y 3   1  1  2  31  2   dY   dX Y3  f 3  2  Y 1   Où la variation de   2  1 

1

2

entre h et hn a été supposé linéaire (elle est quasi-linéaire en réalité) :

183

 2  Y 1     2  1 

1

2

 1

Y 1 31  2 

La variable ϕ peut prendre des valeurs comprises entre 0 (canal très large, déjà traité précédemment) et ∞ (canal très étroit). La comparaison de l’équation de la courbe de remous adimensionnelle permet de montrer qu’il y a peu de variations en fonction de la variable ϕ. On peut admettre en moyenne ϕ =1 (Hager & Schleiss 2009). Il vient alors :

dY  dX

Y3 

1  2Y 10  Y  27 Y3  f 3

Cette dernière expression permet, une fois l’intégration effectuée, d’exprimer Y en fonction de X pour une valeur de f. Les abaques correspondants sont donnés dans les figures suivantes. Sur ces abaques, X = 0 correspond à la condition h = hn. L’écoulement uniforme est en pratique admis si la différence Y  1 devient inférieure à 0,01 (au-dessus ou au-dessous selon la ligne d’eau).

184

Figure 83. Abaque général de résolution des lignes d’eau en canal rectangulaire – Figure tirée de Hager & Schleiss (2009).

185

186

187

188

Figure 84. Zooms sur les quatre quadrants de l’abaque de la figure précédente – Figures tirées de Hager & Schleiss (2009).

189

XV. RESSAUT HYDRAULIQUE ___________________________________________________________________________

Photo : Hubert CHANSON Figure 85. Ressaut hydraulique au pied du coursier du barrage de Chinchilla (Australie) – Figure tirée de Chanson (2009).

L’objectif de ce chapitre est de décrire le phénomène du ressaut hydraulique (hydraulic jump en Anglais), de présenter sa mise en équation et d’illustrer ses utilisations pratiques.

190

Photo : Nicolas BUSSER Figure 86. Ressaut hydraulique dans un canal de laboratoire – Hall hydraulique de l’Equipe de Mécanique des Fluides du laboratoire ICube (Strasbourg).

1. Description du ressaut hydraulique 1.1. Description du phénomène physique Le ressaut hydraulique est un phénomène consistant en une brutale élévation du niveau d’eau, l’écoulement passant d’un régime torrentiel à un régime fluvial, tel qu’illustré sur les figures précédentes. Le phénomène de ressaut hydraulique est en général brutal. Du fait du bouleversement des lignes de courant, le ressaut hydraulique s’accompagne d’une dissipation d’énergie pouvant être importante selon l’intensité du ressaut. Le ressaut étant un phénomène relativement localisé, on peut qualifier la perte de charge correspondante de perte de charge locale.

1.2. Classification des différents types de ressauts hydrauliques Selon Chow (1959), différents types de ressaut hydrauliques peuvent être distingués selon la valeur du nombre de Froude en amont du ressaut. Les limites données dans cette classification ne sont qu’indicatives et ne concernent strictement que les ressauts ayant lieu dans des canaux à fond plat.

191

1 < Fr < 1,7

ΔH

H1 h2

h1

H2

Figure 87. Ressaut ondulé – Figure inspirée de Chow (1959).

1,7 < Fr < 2,5

ΔH

H1 h2

h1

H2

Figure 88. Ressaut faible – Figure inspirée de Chow (1959).

ΔH 2,5 < Fr < 4,5 H1 H2 h2

h1 Figure 89. Ressaut oscillant – Figure inspirée de Chow (1959).

192

ΔH

4,5 < Fr < 9 H1 h2

H2

h1 Figure 90. Ressaut établi – Figure inspirée de Chow (1959).

9 < Fr ΔH H1

h2 H2 h1 Figure 91. Ressaut fort – Figure inspirée de Chow (1959).

193

Photo : HACH Figure 92. Ressaut hydraulique oscillant à établi dans un canal de laboratoire – Figure tirée de Erpicum (2006).

Photo : José VAZQUEZ Figure 93. Ressaut fort dans un canal de laboratoire - Lycée Agricole d'Obernai.

Ressaut ondulé : 1  Fr  1,7 La surface libre présente de petites oscillations. La différence de hauteur entre l’amont et l’aval du ressaut est faible, ce qui le rend parfois difficilement perceptible. La vitesse est très peu perturbée (pas de bouleversement des lignes de courant, pas de recirculations importantes), ce qui implique que la dissipation d’énergie est quasiment inexistante. On rencontre souvent ce type de ressaut au niveau de l’entrée des canaux de laboratoire, lorsque l’eau arrive par trop-plein depuis une bâche. Ressaut faible : 1,7  Fr  2,5 Si la surface libre présente quelques rouleaux, le champ de vitesse dans le ressaut reste quasiment uniforme. Ce type de ressaut dissipe peu d’énergie. Ressaut oscillant : 2,5  Fr  4,5 Un jet oscillant (sans véritable période néanmoins) prend place dans ce type de ressaut entre le fond du canal et la surface libre. Chaque oscillation provoque une série de vagues pouvant voyager sur des distances importantes. Ressaut établi : 4,5  Fr  9,0 Plus stables que le type précédent, les ressauts stationnaires présentent une zone de recirculation importante. La dissipation d’énergie peut atteindre 45% à 70% de l’énergie amont.

194

Ressaut fort : Fr  9,0 Ce type de ressaut provoque des rouleaux intermittents, ce qui peut provoquer d’importantes vagues à l’aval. La dissipation d’énergie peut atteindre 85%.

2. Mise en équation 2.1. Préambule En termes mathématiques, aucune équation de ligne d’eau ne permet de passer d’un régime torrentiel à un régime fluvial. Cela peut se comprendre par le fait que les lignes d’eau ont été établies en considérant une dissipation d’énergie uniquement sous la forme d’une perte linéaire. Or, un ressaut est un phénomène local fortement dissipateur d’énergie. Une mise en équation simple du phénomène passe par l’utilisation de l’équation de la quantité de mouvement (voir le chapitre sur la mise en équations des écoulements stationnaires).

2.2. Relation des hauteurs conjuguées Cas général Limitons la mise en équation au cas d’un ressaut hydraulique sur fond horizontal.

h2 h1 Figure 94. Application de l’équation de la quantité de mouvement au ressaut hydraulique.

Appliquons l’équation de la quantité de mouvement au volume de contrôle délimité par les sections amont et aval.Le volume e st soumis aux forces suivantes : force pressante sur la section amont, force pressante sur la section aval, poids et forces de frottement sur le fond. En négligeant les frottements, en supposant un coefficient de non-uniformité β égal à 1 et en projetant sur l’axe horizontal, il vient :

 QU 1  QU 2  ghG1 S1  ghG2 S 2 La partie gauche de l’égalité correspond aux forces d’inertie. Quant à la partie droite, il s’agit de l’expression des forces pressantes en supposant une pression hydrostatique (voir le chapitre sur l’hydrostatique : F  ghG S , où hG est la profondeur du centre de gravité de la surface). hG1 est la profondeur du centre de gravité de la surface S1 ; hG2 , la profondeur du centre de gravité de la surface S2.

195

Simplifions et réorganisons cette expression en regroupant tout ce qui concerne l’amont et tout ce qui concerne l’aval. Nous obtenons ainsi l’équation suivante.

Q2 Q2  hG1 S1   hG2 S 2 gS1 gS 2 Cette équation porte le nom de relation de conjugaison, ou encore relation des hauteurs conjuguées. Elle constitue le lien entre la hauteur d’eau à l’amont du ressaut et la hauteur d’eau à l’aval du ressaut. Elle est utilisée en pratique pour localiser le passage entre le régime torrentiel et le régime fluvial, c’est-à-dire la position du ressaut. Les termes hG S correspondant aux sections rencontrées classiquement sont donnés dans le chapitre sur les caractéristiques géométriques des canaux et canalisations. Exprimons à présent cette relation pour quelques sections typiques. Canal rectangulaire Dans un canal rectangulaire de largeur b, la relation de conjugaison s’écrit comme suit. 2

bh bh Q2 Q2  1   2 gbh1 2 gbh2 2

2

Ce qui peut aussi s’écrire :

h2 h1



1 2   1  1  8Fr1   2

Dans cette équation, les indices 1 et 2 font indifféremment référence à la hauteur amont ou à la hauteur aval. Canalisation circulaire Pour une canalisation circulaire de diamètre D, Hager (1999) propose l’expression approchée suivante valable tant que le remplissage amont y1 

h1 reste inférieur à 0,7. D

2 y 2  y1  q D  y1   q y2 1  y1 1  o

y2 est le remplissage aval, c’est-à-dire

h2

D

0 , 95

. Cette équation fait intervenir qo et qD définis ci-dessous.

qD 

qo 

   

Q gD 5

3 34  4 2 y1  1  y1  4 9   196

La démarche est alors la suivante. Connaissant y1 et qD, qo peut être calculé en utilisant l’équation précédente. Le remplissage y2 est alors calculé en utilisant la relation de conjugaison entre y1 et y2. Canalisation ovoïde et fer-à-cheval (standard) Aussi bien en ovoïde qu’en fer-à-cheval, le même type d’approximation qu’en canalisation circulaire peut être utilisé (Hager 1999). 2 y 2  y1  q D  y1   q y2 1  y1 1  o

qD 

qo 

   

0 , 95

Q gB 2T 3

3 34  4 2 y1  1  y1  4 9  

3. Quelques caractéristiques du ressaut hydraulique 3.1. Longueur

Lj Lr

Lf Figure 95. Longueurs d’un ressaut hydraulique – Figure inspirée de Hager & Schleiss (2009).

La longueur du ressaut L est difficile à définir. Hager & Schleiss (2009) distinguent, tel qu’illustré sur la Figure 95 :  

La longueur du rouleau Lr, La longueur du ressaut hydraulique Lj, 197



La longueur Lf nécessaire pour que la vitesse près du fond soit identique à la vitesse moyenne.

Lj/h2 Lr/h2

Figure 96. Longueur du rouleau adimensionnelle et longueur du ressaut adimensionnelle dans un canal rectangulaire en fonction du nombre de Froude amont – Figure inspirée de Hager & Schleiss (2009).

La figure précédente illustre la variation des longueurs adimensionnelles du rouleau Lr et du ressaut Lj en fonction du nombre de Froude. Si les bandes inférieures et supérieures de cette figure ne permettent qu’une détermination approximative de la longueur du ressaut, il s’agit d’un des rares moyens pratiques d’estimer la longueur d’un phénomène complexe à prévoir. Lencastre (1996) propose la formulation (très) approchée suivante pour les canaux trapézoïdaux. Dans cette équation, h2 est la hauteur aval ; B2, la largeur au miroir à l’aval et B1, la largeur au miroir à l’amont.

 L  51   h2 

B 2  B1 B1

   

D’autres formulations existent ; se reporter par exemple à Hager & Scheliss (2009).

3.2. Perte de charge Une fois connues les hauteurs amont et aval, la perte de charge ΔH provoquée par le ressaut hydraulique se calcule comme suit, où H1 et H2 sont respectivement les charges amont et aval.

H  H 1  H 2 L’efficacité de dissipation η d’un ressaut est définie par la relation suivante :  

H1  H 2 H1 198

199

XVI. CHUTES ___________________________________________________________________________

Photo : Martin FISCHER Figure 97. Chute à l’exutoire d’une canalisation dans le réseau d’assainissement de Clermont-Ferrand.

Les objectifs de ce court chapitre sont de décrire l’écoulement au niveau d’une chute (et ainsi d’identifier la condition hydraulique correspondante). Dans un objectif de tracé de ligne d’eau, la description d’une chute est relativement simple. Si le régime de l’écoulement approchant est torrentiel, son point de contrôle est situé à l’amont. Cela signifie que l’écoulement est complètement aveugle de ce qui se trouve à son aval, autrement dit il ne voit pas le chute qui n’a de ce fait aucune influence sur lui. Si l’écoulement approchant est uniforme (h = hn), alors la hauteur d’eau n’est pas perturbée par la chute et la hauteur au niveau de la chute est égale à la hauteur normale, ainsi qu’illustré sur la figure suivante.

200

hc hn

Figure 98. Ligne d’eau à proximité d’une chute en régime torrentiel.

Si le régime de l’écoulement approchant est fluvial, le point de contrôle se situe à l’aval et c’est donc la chute qui contrôle la hauteur d’eau dans le canal. Au niveau de la chute, l’expérience montre que la hauteur d’eau passe par la hauteur critique. La chute constitue donc une section de contrôle. Une ligne d’eau de type M2 se met donc en place, ainsi qu’illustré sur la figure suivante. Dans le cas d’un régime fluvial, la chute est responsable d’une baisse du niveau d’eau à l’amont.

hn

M2 hc

Figure 99. Ligne d’eau à proximité d’une chute en régime fluvial.

La description précédente est suffisante lorsqu’il s’agit de décrire l’influence d’une chute sur une ligne d’eau, c’est-à-dire une description de l’écoulement qui n’a de sens que si on regarde à une certaine distance. En regardant plus finement au niveau de la chute, le fonctionnement est en fait plus complexe. Si on s’intéresse au comportement de la ligne d’eau à une échelle plus petite, on peut se rendre compte que le passage par la hauteur critique se fait en réalité à une longueur Le en amont de la chute. On peut retenir l’ordre de grandeur de 2 à 6 fois la hauteur critique hc (Hager 1999).

201

XVII. DEVERSOIRS FRONTAUX ___________________________________________________________________________

Photo : Matthieu DUFRESNE

Photo : Matthieu DUFRESNE Figure 100. Exemples de déversoirs : vue d’un seuil depuis l’aval (Condom, Gers), trop-plein du lac de Payolle (Hautes-Pyrénées).

Les objectifs de ce chapitre sont de comprendre le comportement de l’écoulement au niveau d’un déversoir frontal, de passer en revue les déversoirs frontaux les plus fréquemment rencontrés et enfin d’illustrer les utilisations pratiques de ces ouvrages.

1. Description de l’écoulement au niveau d’un déversoir frontal 1.1. Préambule Un déversoir est un ouvrage hydraulique dont la crête (ou hauteur de seuil) limite la hauteur d’eau en amont, ainsi qu’illustré sur la figure précédente. On parle de déversoir frontal lorsque la crête est perpendiculaire à la direction principale de l’écoulement.

202

1.2. Ecoulements noyé et dénoyé Ecoulement dénoyé

H2 H1

h1

h2

p

Figure 101. Ecoulement dénoyé au niveau d’un déversoir frontal.

Ainsi que discuté dans le chapitre sur l’écoulement critique, un seuil (maximum topographique) est propice à l’apparition de l’écoulement critique. L’écoulement arrive au niveau du seuil en régime fluvial (énergie principalement potentielle). Il y a mise en vitesse au niveau du seuil : une grande partie de l’énergie potentielle est convertie en énergie cinétique. En aval, le régime de l’écoulement est torrentiel. Du fait de la transition entre le régime fluvial et le régime torrentiel, l’écoulement passe par le régime critique, garantissant ainsi une bijection entre le débit et la hauteur : il n’existe pour un débit donné Q qu’une unique hauteur d’eau h1. Ce comportement dit dénoyé est illustré sur la figure précédente. Dit autrement, un écoulement dénoyé signifie que la hauteur d’eau amont h1 est entièrement conditionnée par le débit Q déversé par l’ouvrage. La hauteur d’eau aval h2 n’influence pas la hauteur amont h1 pour un débit Q donné. Les lois de seuil proposées dans la littérature correspondent à ce type d’écoulement. Ecoulement noyé

h1

h2 p

Figure 102. Ecoulement noyé.

Lorsque la cote de la surface libre aval devient supérieure à la cote de la crête du seuil, l’écoulement devient noyé. Un écoulement noyé signifie que la hauteur d’eau amont h1 dépend à la fois du débit Q et de la hauteur d’eau aval h2. Dit autrement, le débit Q dépend des hauteurs d’eau h1 et h2. L’influence 203

sur le débit est d’autant plus importante que le rapport

h2

est important. La figure précédente h1 illustre le cas d’un écoulement noyé par une influence aval importante. Critères d’ennoiement Le critère « niveau d’eau aval supérieur au niveau du seuil » est souvent largement suffisant pour déterminer si un seuil est noyé est pas. Pour certaines applications (par exemple une mesure très précise du débit), il peut être nécessaire de s’intéresser plus finement au phénomène d’ennoiement. Le tableau suivant distingue ainsi les différents modes de fonctionnement possibles. Les notations utilisées sont celles de la figure suivante ; h2 est compté positivement. Ecoulement dénoyé

Ecoulement noyé en dessous

Ecoulement noyé

z2 < zseuil et h2 < h1 z2 < zseuil et h2 > h1

z2 > zseuil

A ressaut éloigné ou bien à ressaut recouvrant le pied du seuil Tableau 33. Critères d’ennoiement d’un seuil (CETMEF 2005).

h1 h2 zseuil Plan de référence

z2

Figure 103. Notations utilisées pour les critères d’ennoiement d’un seuil.

Dans le cas d’une influence aval, un ressaut va prendre place à l’aval du seuil. Si l’influence aval n’est pas trop importante, le ressaut sera éloigné du seuil et n’influencera pas du tout le fonctionnement hydraulique du déversoir, ainsi qu’illustré sur la figure suivante.

h1

p

h2

Figure 104. Ecoulement dénoyé (avec ressaut éloigné non influent).

204

Si le ressaut est proche du seuil, le seuil ne sera plus aéré (présence d’air). Sa loi Q = f(h1) en serait légèremment modifiée.

h2

h1 p

Figure 105. Ecoulement noyé en dessous à ressaut éloigné.

Si l’influence aval devient plus importante, l’écoulement devient noyé en dessous à ressaut éloigné. L’influence de la hauteur aval h2 est alors très faible : elle peut par exemple être responsable d’un défaut ou d’une insuffisance d’aération (il n’y a plus de bulle d’air sur la face aval du seuil).

h2

h1 p

Figure 106. Ecoulement noyé en dessous à ressaut recouvrant le pied du seuil.

Si l’influence aval devient plus importante, le ressaut vient se plaquer au pied du seuil. L’influence de la hauteur h2 sur la loi de débit augmente mais reste néanmoins limitée.

1.3. Ecoulements aéré et non-aéré Un seuil est dit aéré si une bulle d’air se place à l’aval immédiat de la structure. La présence de cette bulle d’air, qui s’explique par la diminution de la pression vers l’intérieur des lignes de courant, a une influence – certes limitée – sur la relation entre le débit et la hauteur d’eau amont. Pour un débit donné, la hauteur d’eau amont est en effet légèrement plus grande dans le cas d’un écoulement aéré que dans le cas d’un écoulement non aéré.

205

Photo : José VAZQUEZ Figure 107. Exemple d’un écoulement non aéré – Lycée Agricole d’Obernai.

Zone de dépression

Photo : José VAZQUEZ Figure 108. Exemple d’un écoulement aéré derrière un seuil – Lycée Agricole d’Obernai.

Certains déversoirs peuvent fonctionner en régime aéré ou non-aéré, selon les conditions hydrauliques auxquelles ils sont soumis ; leur aération doit donc être contrôlée afin de savoir quelle loi de débit utiliser. D’autres, comme les déversoirs à contraction latérale, fonctionnent toujours en régime aéré.

1.4. Seuil mince et seuil épais Les seuils minces et épais doivent être distingués dans la mesure où ils ne présenteront pas la même loi hauteur – débit. Le CETMEF propose les critères donnés dans le tableau suivant et illustrés sur les figures suivantes (CETMEF 2005). Seuil mince

H C 1 2

Seuil épais

C

2H1 3

Tableau 34. Critères de définition d’un seuil mince et d’un seuil épais (CETMEF 2005).

206

C H2 H1

h1 h2

p

Figure 109. Ecoulement correspondant à un seuil mince.

C H2 H1

h1 h2

p

Figure 110. Ecoulement correspondant à un seuil épais.

Le caractère mince ou épais est donc une caractéristique hydraulique – et pas seulement géométrique – dans la mesure où la charge amont H1 intervient. La loi du seuil, autrement dit la relation entre le débit et la hauteur d’eau amont, dépend du caractère mince ou épais de la crête. Dans le cas d’un seuil n’étant ni mince ni épais (

H1 2H1 C ), aucune loi ne peut être utilisée a 2 3

priori. Une étude spécifique est alors nécessaire.

2. Mise en équation pour un seuil rectangulaire 2.1. Mise en équation en régime dénoyé Mise en équation simplifiée Considérons pour cette mise en équation simplifiée le cas d’un déversoir frontal rectangulaire avec une évolution continue de la cote topographique du fond, ainsi qu’illustré sur la figure suivante.

207

H1 h 1

hc

Hc

p

Figure 111. Ecoulement dénoyé au niveau d’un déversoir frontal.

Nous avons montré dans le chapitre sur l’écoulement critique qu’un maximum de la cote du fond était un lieu propice à l’apparition de l’écoulement critique. Celui-ci pourra avoir lieu s’il n’y a pas d’influence aval forte, autrement dit si le seuil est dénoyé. Considérons ce cas. La hauteur critique va donc se rencontrer au niveau du maximum de la cote du fond (sous l’hypothèse qu’il n’y a pas de perte d’énergie). Sous l’hypothèse d’une distribution hydrostatique de la pression et d’une distribution uniforme de la vitesse, nous avons alors pour la vitesse (canal rectangulaire) :

Uc 

ghc

Pour le débit, en notant B la largeur du canal au niveau du seuil : Q  B g hc

3

2

Cette relation n’est pas simple à utiliser en pratique car il est très difficile de précisément localiser le passage par la hauteur critique. Par ailleurs, la hauteur d’eau présentant une évolution importante sur une courte distance à proximité du passage par l’écoulement critique, toute mesure dans cette zone serait empreinte d’une incertitude très importante. Cherchons donc à faire le lien avec la hauteur h1 dont la mesure sera beaucoup plus précise. Pour cela, considérons que la charge est conservée entre l’amont du déversoir et le passage par l’écoulement critique. H1  H c

Or, pour un canal rectangulaire, la charge spécifique, c’est-à-dire la charge mesurée par rapport au fond du canal, vaut 3/2 de la hauteur critique. Il vient donc :

Hc 

3 hc 2

Après injection de cette condition dans l’équation du débit, il vient la relation suivante.

Q

2 3

3

2 g BH 1

3

2

2

208

Comme on ne mesure jamais directement une charge mais toujours une hauteur, on exprime souvent cette relation de la façon suivante :

2 H  Q  3  1  3 2  h1 

3

2

2 g Bh1

3

2

La charge étant principalement sous forme potentielle en amont, le rapport

H1

vaut environ 1. En h1 calculant le coefficient numérique situé devant l’égalité, il vient la loi approchée suivante. Q  0,4 2 g Bh1

3

2

Cette relation, certes approchée, peut tout à fait être utilisée en première approche pour déterminer la relation entre le débit la hauteur d’eau amont au niveau d’un déversoir frontal rectangulaire fonctionnant en régime dénoyé. Concernant la position du point de mesure de h1, celle-ci ne doit pas être dans la zone où la ligne d’eau est descendante sous l’effet de chute. Le CETMEF recommande 3 et 4 fois la hauteur h1 maximale (CETMEF 2005). Introduction de coefficients correcteurs On écrit la loi d’un seuil rectangulaire en régime dénoyé de la façon suivante : Q  C v 2 g Bh1

3

2

Dans cette équation, Cv est le coefficient de vitesse d’approche défini ci-dessous. Toujours supérieur à 1, il en est néanmoins très proche en pratique, d’autant plus que l’énergie cinétique est petite devant l’énergie potentielle. On considère très souvent que ce coefficient vaut 1.

H  C v   1   h1 

3

2

Quant au coefficient μ, il s’agit du coefficient de débit : c’est un coefficient correcteur introduit pour corriger les hypothèses trop simplificatrices effectuées dans la mise en équation simplifiée (conservation de la charge, hauteur critique et charge critique calculée en considérant une répartition hydrostatique de la pression, aération du seuil, etc.). Des exemples sont donnés plus loin.

2.2. Autres types de seuils La même démarche peut être mise en œuvre pour n’importe quel type de seuil. Les puissances (de la hauteur d’eau, du coefficient de vitesse d’approche) doivent être adaptées selon le type de géométrie. Un ou plusieurs paramètres correcteurs sont, comme précédemment, généralement introduits pour corriger les hypothèses effectuées : coefficient de débit μ, longueurs K tenant compte des effets de viscosité et de tension superficielle. La figure suivante présente quelques déversoirs non traités dans ce chapitre mais détaillés par le CETMEF (2005): déversoir trapézoïdal combinant une partie triangulaire et une partie rectangulaire,

209

déversoir circulaire souvent rencontré en réseau d’assainissement, déversoir labyrinthe maximisant la longueur de déversement aux faibles débits.

Figure 112. Quelques exemples de déversoirs frontaux non traités dans ce chapitre – Figures tirées du CETMEF (2005).

3. Lois de quelques déversoirs frontaux 3.1. Préambule La « notice sur les déversoirs » du CETMEF (2005) constitue un catalogue très complet des lois de déversoirs frontaux. Les quelques lois détaillées dans ce chapitre en sont issues.

3.2. Déversoir rectangulaire Déversoir rectangulaire à crête mince sans contraction latérale en régime dénoyé et en régime aéré

Figure 113. Déversoir rectangulaire sans contraction latérale – Figure tirée du CETMEF (2005).

La loi de Kindsvater et Carter est recommandée par le CETMEF (2005). Q  C v 2 g Bh e

3

2

Dans cette équation, μ est le coefficient de débit pour lequel la formule suivante est recommandée.



h  2  0,602  0,075 1  3 p

Cette formule n’est valable que dans le domaine suivant : 210

  

h1  0,03 m (pour que la nappe soit non adhérente, c’est-à-dire que l’écoulement soit aéré) p  0,10 m h1  2 (pour éviter la présence de vagues en amont) p

Cv est le coefficient de vitesse d’approche défini comme suit.

H  C v   1   h1 

3

2

Enfin, he est la hauteur d’eau effective définie ci-dessous, où la hauteur Kh, généralement de l’ordre de 1 mm, est donnée ci-dessous. Kh est une correction apportée pour tenir compte des effets de viscosité et de tension superficielle. he  h1  K h

Le tableau suivant donne quelques valeurs du coefficient de débit selon la hauteur amont h1 et la hauteur de pelle p (hauteur de crête). La valeur 0,4 calculée grossièrement selon l’approche simplifiée est fausse (toujours en sous-estimation) de quelques pourcents jusqu’à 20% lorsque le rapport

h1

p

vaut 2. La valeur 0,42 est souvent adoptée comme valeur « moyenne ». p (m)

h1 (m)

0,03 0,05 0,10 0,20 0,30 0,50 1,00

0,10 0,416 0,426 0,451 0,501

0,20 0,409 0,414 0,426 0,451 0,476

0,30 0,406 0,410 0,418 0,435 0,451 0,485

0,50 0,404 0,406 0,411 0,421 0,431 0,451 0,501

1,00 0,403 0,404 0,406 0,411 0,416 0,426 0,451

3,00 0,402 0,402 0,403 0,405 0,406 0,410 0,418

Tableau 35. Quelques valeurs du coefficient de débit μ selon la formule de Kindsvater et Carter.

Déversoir rectangulaire à crête mince avec contraction latérale en régime dénoyé

Figure 114. Déversoir rectangulaire avec contraction latérale – Figure tirée du CETMEF (2005).

211

On parle de contraction latérale lorsque la largeur de déversoir Bdéversoir est plus petite que la largeur du canal Bcanal, ainsi qu’illustré sur la figure précédente. La loi de Kindsvater et Carter est recommandée par le CETMEF (2005). Q   C v 2 g B e he

3

2

Dans cette loi, seuls les coefficients de débit μ et la largeur effective Be sont différents de l’expression détaillée plus haut sans contraction latérale. La largeur effective Be se calcule selon l’expression suivante, où Kb est donné sur la figure suivante. Be  Bdéversoir  K b

Figure 115. Hauteur Kb en fonction du rapport de la largeur du déversoir sur la largeur du canal d’approche (CETMEF 2005).

Le coefficient de débit μ est quant à lui calculé selon l’équation suivante, où φ et ψ sont donnés par la figure suivante.



h  2     1  3 p

Le domaine de validité de cette formulation est le suivant.   

B déversoir  0,15 m

p  0,10 m h1  0,03 m

212



Bcanal  Bdéversoir  6h1



h1 2 p

Figure 116. Variation des coefficients φ et ψ en fonction du rapport de la largeur du déversoir sur la largeur du canal (CETMEF (2005).

3.3. Déversoir triangulaire

Figure 117. Ecoulement dénoyé au niveau d’un seuil triangulaire à paroi mince à contraction complète – Figure tirée du CETMEF (2005).

213

Figure 118. Ecoulement dénoyé au niveau d’un seuil triangulaire à paroi mince partiellement contracté – Figure tirée du CETMEF (2005).

Dans les deux cas illustrés ci-dessus, le CETMEF recommande la formule de Kindsvater, formule également recommandée par l’Association internationale de normalisation (ISO).

Q

5 8   C v 2 g h1  K h  2 tan   15 2

Cette formule est applicable lorsque les conditions suivantes sont remplies.    

25    100 0,05 m  h1  0,6 m p  0,1 m B  0,6 m

Figure 119. Hauteur Kh en fonction de l’angle d’un déversoir triangulaire.

214

La hauteur Kh permet de tenir compte des effets de la viscosité et la tension de surface. Son influence est significative seulement pour les petites hauteurs d’eau h1. Elle s’obtient au moyen de la figure précédente. Cv est le coefficient de vitesse d’approche défini comme suit pour un déversoir triangulaire.

H  C v   1   h1 

5

2

Enfin, le coefficient de débit μ s’obtient pour une contraction complète (

h1 p  0,4 et  0, 2 ) grâce B p

à la figure suivante.

Figure 120. Coefficient de débit pour un déversoir triangulaire à contraction complète.

215

Photo : Matthieu DUFRESNE

Figure 121. Mesure du débit au niveau d’un seuil à Dolleren (Haut-Rhin) ; le capteur de niveau d’eau (radar) est entouré en rouge.

Photo : Matthieu DUFRESNE

Figure 122. Elévation du niveau d’eau au moyen d’un seuil pour permettre la dérivation d’une partie du débit vers un canal secondaire à Dolleren (Haut-Rhin).

216

217

XVIII.

VANNES

___________________________________________________________________________

Photo : Antoine MORIN

Photo : Antoine MORIN

Figure 123. Vanne de chasse Hydroguard (société Hydroconcept) installée sur un collecteur d’assainissement.

Les objectifs de ce chapitre sont de comprendre le comportement de l’écoulement au niveau d’une vanne, de passer en revue les vannes les plus fréquemment rencontrées et enfin d’illustrer leurs utilisations pratiques. On se limitera aux vannes frontales, les plus couramment rencontrées, même si des positionnements latéraux peuvent parfois être mis en œuvre.

1. Description de l’écoulement au niveau d’une vanne 1.1. Préambule Une vanne est un organe mobile, généralement placé frontalement par rapport à l’écoulement, permettant de réguler le niveau d’eau amont.

1.2. Ecoulements noyé et dénoyé De façon similaire à un seuil, une vanne peut fonctionner en régime dénoyé ou noyé.

218

Ecoulement dénoyé

H2

H1 h1 a

h2

Figure 124. Ecoulement dénoyé au niveau d’une vanne plane verticale.

Dans le cas dénoyé, illustré sur la figure précédente, l’écoulement à l’amont de la vanne est fluvial, avec une charge principalement sous forme potentielle. La vanne provoque une mise en vitesse de l’écoulement, c’est-à-dire une conversion d’énergie potentielle en énergie cinétique. A l’aval, le régime d’écoulement est torrentiel. L’expérience montre que l’écoulement aval se contracte par rapport à l’ouverture de la vanne, de façon similaire à l’écoulement sortant par l’orifice de sortie d’un réservoir. En régime dénoyé, une vanne fonctionne ainsi comme un seuil en provoquant un passage d’un écoulement fluvial à un écoulement torrentiel. Il y a bijection entre la hauteur d’eau h1 et le débit Q. Contrairement au seuil cependant, le passage par l’écoulement critique est ici fictif (au niveau de la vanne).

H1 h1 h2 H2 a

h*

Figure 125. Ecoulement dénoyé à submersion limite.

219

Si l’influence aval est importante, un ressaut hydraulique peut venir se placer à l’aval immédiat de la vanne. Si l’écoulement est toujours dénoyé, on parle de submersion limite, ainsi qu’illustré sur la figure précédente. Ecoulement noyé

Photo : Sandra ISEL Figure 126. Vue depuis l’aval d’une vanne noyée dans le Routhouan à Saint-Malo (vanne servant à la protection contre l’inondation).

Si l’influence aval est plus importante, alors le ressaut noie complètement la vanne. La hauteur d’eau aval h2 vient alors influencer le fonctionnement de la vanne : le débit Q dépend alors des hauteurs d’eau h1 et h2. Un remous important s’installe à l’aval immédiat de la vanne, au-dessus de la zone de contraction ; ce remous est dissipateur d’énergie.

220

hv H1 h1

h2 H2 a

h* Figure 127. Ecoulement noyé.

2. Lois de vanne On se limitera au régime dénoyé. Mise en équation Sur base de la figure suivante, effectuons un bilan de charge entre l’amont et l’aval de la vanne. Sous l’hypothèse d’une charge constante, il vient la relation suivante.

H1  H 2 Décomposons H2 sous l’hypothèse de lignes de courant rectilignes et parallèles entre elles. 2

U H 2  h2  2 2g

Introduisons le coefficient de contraction Cc (inférieur à 1) permettant de lier la hauteur d’eau h2 à l’ouverture a de la vanne. h2  C c a

Plusieurs auteurs ont proposé des valeurs pour Cc ; retenons la valeur 0,611 (Hager & Schleiss 2009). En notant b la largeur de la vanne, il vient pour le débit : Q  C c abU 2

En utilisant le bilan de charge, il vient :

Q  C c ab 2 g H 1  C c a 

221

H2

H1 h1 a

h2

Figure 128. Ecoulement dénoyé au niveau d’une vanne plane verticale.

Il s’agit de la forme générale de la loi de débit d’une vanne. La pratique a instauré l’utilisation d’une relation quelque peu différente. L’équation précédente peut en effet s’écrire comme suit.

 C a Q  C c ab 2 gH 1 1  c  H1   Dans le cas où

Cc a H1

est petit et en utilisant le développement limité

1  1  x , il vient la relation 1 x

suivante.

Q  C c ab

2 gH 1 C a 1 c H1

Dans l’hypothèse où la charge amont H1 est principalement potentielle, on peut écrire cette relation comme suit.

Q

Cc 1

Cc a

ab 2 gh1

h1

Ou encore comme suit, la relation suivante étant considérée comme la forme universelle d’une loi de vanne (Hager & Schleiss 2009) :

Q  C d ab 2gh1

222

Coefficient de débit Cd est un coefficient de débit, défini comme suit, et qui ne dépend que de la géométrie et du rapport de l’ouverture de la vanne sur la hauteur amont

a . h1

Cd 

Cc 1

Cc a h1

En pratique, la détermination du coefficient de contraction Cc est d’une importance mineure ; seule la connaissance du coefficient de débit Cd est nécessaire pour connaître la loi hauteur – débit de la vanne. Considérons les deux exemples de la figure suivante : une vanne plane et une vanne secteur. La première, dont la vanne plane verticale est un cas particulier, est caractérisée géométriquement par son ouverture a et l’angle δ entre la vanne et l’horizontale. La seconde, par son ouverture a, l’angle δ (compté par rapport à la tangente à l’arête inférieure), ainsi que par son rayon de courbure r.

r δ

δ

a

Cca

a

Cca

Figure 129. Géométries d’une vanne plane inclinée et d’une vanne secteur.

Selon Hager & Schleiss (2009), l’écoulement au niveau d’une vanne est particulièrement influencé par son arête inférieure, autrement dit par l’angle δ. Si les résultats suivants sont strictement applicables aux cas de la vanne plane et de la vanne secteur, ils peuvent néanmoins être utilisés en première approche à n’importe quel autre type de vanne. Dans le cas limite d’une submersion importante de la vanne (

a  0 ), la relation suivante peut être h1

utilisée (Hager & Schleiss 2009). Elle est représentée sur la Figure 130 dans le cas d’une vanne plane inclinée.

223

 4  5e 0 , 76 C do    9 

  

Dans cette équation qui donne le coefficient Cd correspondant à une submersion importante, ζ est un coefficient égal à 0,98 pour les vannes planes et à 0,96 pour les vannes secteurs. L’angle δ est exprimé en radians. Dans le cas d’une submersion plus faible, la relation suivante peut être utilisée (Hager & Schleiss 2009). Elle est représentée sur la pour différentes valeurs d’angle δ.

C d  C do e



1 a 2  1 2 h1  6

   

Figure 130. Coefficient de débit Cdo (submersion importante) en fonction de l’angle d’une vanne plane inclinée.

224

Figure 131. Coefficient de débit Cd en fonction de la submersion et de l’angle pour une vanne plane inclinée.

3. Utilisations pratiques Une vanne peut être utilisée, de la même façon qu’un seuil, pour mesurer le débit, pour maintenir un niveau d’eau ou encore pour écrêter un débit. Ce type d’ouvrage est aussi utilisé pour réguler le débit en jouant sur son ouverture.

225

XIX. CANAUX VENTURI ___________________________________________________________________________

Photo : Martin FISCHER

Photo : Martin FISCHER

Figure 132. Vue depuis l’amont de quelques canaux Venturi (canal ISMA à gauche, canal Endress-Hauser à droite).

Un canal Venturi, souvent aussi appelé canal jaugeur Venturi (flume en Anglais), est un dispositif de mesure du débit présentant un rétrécissement de la section transversale. Les objectifs de ce chapitre sont de comprendre le fonctionnement hydraulique d’un tel ouvrage et d’être capable de déterminer sa loi hauteur – débit.

1. Description de l’écoulement dans un canal Venturi 1.1. Préambule Dans le chapitre sur l’écoulement critique, nous avons montré qu’un rétrécissement de la largeur d’un canal rectangulaire est un lieu propice à l’apparition du régime critique. Nous avons vu que dans le cas où l’écoulement critique a bel et bien lieu, c’est-à-dire lorsqu’il n’y a pas (ou peu) d’influence aval, l’écoulement critique se rencontre au niveau du minimum de la largeur.

226

1.2. Géométrie d’un canal Venturi

Col Contraction

Elargissement

Figure 133. Vue de dessus d’un canal Venturi.

Géométriquement, un canal Venturi est constitué d’un canal amont (appelé canal d’approche), d’une contraction, d’une zone rétrécie appelé le col et d’un élargissement permettant en général de retrouver la forme du canal amont. Si la forme la plus simple consiste en un canal d’approche et un col tous deux rectangulaires, il existe une multitude d’autres formes pour le canal, la contraction, l’élargissement et surtout le col. La Figure 132 présente ainsi deux exemples de canaux Venturi à col évasé : à gauche à section exponentielle, et à droite à section trapézoïdale. L’intérêt de ces cols évasés est de gagner en précision aux petits débits et donc de permettre une gamme de mesure plus importante qu’un col rectangulaire. La longueur du col est un paramètre clé comme nous le verrons plus loin. Il existe aussi bien des canaux Venturi à col long que des canaux à col court, voire inexistant (longueur de col nulle). Les propriétés géométriques du col sont d’ailleurs ce qui donne leurs noms aux différents types de canaux Venturi. Quelques types de cols sont illustrés sur la figure suivante. Ces canaux sont posés à pente nulle et leur fond est la plupart du temps plat. On rencontre quelques canaux avec une élévation du fond au niveau de l’entrée du col (rétrécissement aussi vertical).

227

a)

b)

c)

Figure 134. Vue de dessus de quelques types de cols : canal à col long (a), canal à col court, ici de type Khafagi (b) (Khafagi 1942), canal sans col (c). Le col est dans chacun des cas délimité par les traits pointillés.

1.3. Ecoulements noyé et dénoyé Ecoulement dénoyé Observons la figure suivante présentant un écoulement dénoyé dans un canal Venturi (a). Du fait de la diminution de la largeur, l’écoulement devient critique au niveau de la zone la plus étroite, c’est-à-dire dans le col. En amont, le régime de l’écoulement est fluvial alors qu’il est torrentiel à l’aval. Le passage par la hauteur critique dans le col du canal Venturi fait de ce même col un point de contrôle, garantissant ainsi une bijection entre la hauteur et le débit. Un canal Venturi en régime dénoyé peut donc être utilisé pour la détermination du débit à partir d’une unique mesure de hauteur d’eau. Pour des raisons de précision, la mesure de la hauteur d’eau n’est pas effectuée dans le col où la pente de la surface libre peut être importante ; elle est décalée à l’amont où la hauteur d’eau présente une distribution spatiale quasi-uniforme. En présence d'une influence aval importante, un ressaut se forme à l’aval de l’ouvrage. Ce ressaut remonte vers l’amont d’autant plus que la hauteur d’eau h2 est importante (augmentation des forces de pression à l’aval du ressaut). Au-delà d’une hauteur d’eau h2 limite, l’aval devient influent sur l’amont. Dans ce cas, la loi hauteur – débit valable uniquement pour un écoulement dénoyé n’est pas applicable. On dit alors que le canal Venturi a atteint sa limite modulaire, c’est-à-dire qu’il a dépassé le niveau maximum à l’aval avant ennoiement.

228

Vue de dessus

Col

a) h1

hc h2

b) h1

hc

h2

c) h1

h2

Figure 135. Ecoulements dans un canal Venturi : dénoyé (a), à la limite de l’ennoiement (b) et noyé (c).

229

Ecoulement noyé En présence d'une influence aval très importante, l’écoulement critique ne se rencontre plus dans le col du canal Venturi. Ce dernier n’est alors plus un point de contrôle, ce qui implique que le débit ne peut pas être déterminé uniquement à partir de la hauteur h1. Si la différence entre la hauteur amont et la hauteur aval est significative, une loi dénoyée peut permettre de déterminer le débit qui devient alors une fonction de h1 et h2. Un canal Venturi est vendu avec sa loi de débit, à savoir la relation entre le débit Q traversant l’ouvrage et la hauteur h1. Afin de garantir un fonctionnement en régime dénoyé, les documentations techniques recommandent parfois de placer une chute en aval du canal. Si cette configuration garantit un écoulement dénoyé, ce n’est en rien une obligation.

2. Lois hauteur-débit des canaux Venturi On s’intéressera dans le cadre de ce cours aux canaux Venturi à col recangulaire, plus simples à mettre en équation. La démarche est cependant la même quelle que soit la forme du col.

2.1. Démarche de détermination de la loi hauteur – débit Le calcul se fait en considérant un débit Q et en déterminant la hauteur d’eau amont h1 correspondante. La procédure est facilement automatisable, par exemple au moyen d’un logiciel de tableur. Considérons un canal Venturi de forme quelconque traversé par un débit Q. En écoulement dénoyé, l’écoulement devient critique au niveau du col du canal Venturi. Cela signifie que la hauteur critique hc se rencontre quelque part dans le col de l’ouvrage. Celle-ci s’exprime en considérant un nombre de Froude égal à 1. Il vient alors l’expression suivante, où Sc est la section critique (section de passage correspondant à la hauteur critique) et Bc, la largeur au miroir correspondant à la hauteur critique dans le col.

Q  2

gS c

3

Bc

La relation précédente permet de calculer la hauteur critique hc. En col rectangulaire (largeur b), nous obtenons la relation suivante.

 Q2 hc   2  gb

  

1

3

La mesure de hauteur d’eau se faisant en amont, il faut à présent faire le lien entre l’écoulement critique dans le col et l’écoulement (fluvial) à l’amont. Pour cela, utilisons l’hypothèse de conservation de l’énergie entre l’amont et le col. Sous l’hypothèse d’une pression hydrostatique et d’une distribution uniforme de la vitesse, la charge dans le col s’écrit :

H c  hc 

Q2 2 gS c

2

230

En géométrie rectangulaire :

3 3  Q2 H c  hc   2 2 2  gb

  

1

3

Sans perte d’énergie entre l’amont et le col, nous avons : H1  H c  H

Faisons à présent le lien entre la charge H et la hauteur d’eau amont h1 notée dorénavant h.

H h

Q2 2gS 2

H et Q sont connus. L’équation précédente admet deux solutions pour h, l’une fluviale et l’une torrentielle. Seule la solution fluviale a un sens, compte tenu du fonctionnement hydraulique d’un canal Venturi (la solution torrentielle correspond à la hauteur d’eau à l’aval). Nous avons alors fait le lien entre le débit Q et la hauteur d’eau amont h1 ; la loi hauteur – débit du canal Venturi est déterminée. Précisons néanmoins que cette approche est approximative et nécessite l’introduction d’un coefficient correcteur pour atteindre la précision souhaitée pour un dispotif de ce type.

2.2. Norme ISO 4359 Mise en forme de la norme ISO 4359 Si les équations précédentes sont suffisantes pour déterminer la loi hauteur – débit d’un canal Venturi, la norme ISO 4359 propose une mise en forme intéressante dans le sens où elle met explicitement en évidence le lien entre la hauteur d’eau h et le débit Q. Dans le cas d’une forme rectangulaire, l’expression de la charge critique dans le col et la conservation de la charge entre l’amont et le col permettent d’exprimer le débit de la façon suivante.

2 Q  3

3

2

3

g bH

2

On ne mesure jamais directement une charge mais toujours une hauteur d’eau. Introduisons alors le coefficient de vitesse Cv défini comme suit.

H  Cv     h

3

2

L’expression précédente devient :

2 Q  3

3

2

3

g bC v h

2

231

En injectant la relation précédente dans l’expression de la charge puis en liant la charge à la hauteur d’eau par le coefficient de vitesse, il vient l’équation suivante pour Cv, où B et b sont respectivement la largeur du canal d’approche et la largeur du col.

C

2 v

3



1

1

2



2 b Cv 3 3 B

Cette démarche est transposable à toutes les formes possibles de canaux Venturi, notamment les canaux trapézoïdaux et les canaux en U en introduisant un coefficient de forme Cs. L’établissement de la loi hauteur-débit présentée plus haut repose sur des hypothèses fortes en partie fausses : pas de perte de charge, distribution hydraostatique de la pression, distribution uniforme de la vitesse. Un coefficient de correction CD est introduit pour coller à la réalité ; il peut être déterminé expérimentalement ou bien en suivant l’approche couche limite détaillée ci-dessous. Corrections de la section critique par la théorie de la couche limite Du fait de la condition de non glissement à la paroi, la vitesse au niveau d’une paroi est nulle. A proximité immédiate de la paroi, le champ de vitesse présente un fort gradient pour atteindre rapidement des valeurs importantes. Le modèle simple suivant a été proposé pour modéliser ce phénomène : l’écoulement se compose de deux zones, une zone à proximité immédiate de la paroi de vitesse nulle et une zone correspondant au reste de la section de passage où la vitesse est égale à la vitesse moyenne. Il s’agit du modèle de la couche limite. En réalité, la variation est progressive : la vitesse n’est pas strictement nulle à proximité immédiate de la paroi comme elle n’est pas égale à la vitesse moyenne tout de suite au-delà de cette première zone. Cependant, malgré sa simplicité, le modèle de la couche limite permet d’aboutir à des résultats satisfaisants pour évaluer la section effective de passage de l’écoulement. Plaçons-nous dans le cas d’un col rectangulaire. Selon ce modèle, la largeur effective de l’écoulement ne sera pas égale à la largeur b du col mais à la largeur b du col moins deux fois l’épaisseur de la couche limite (pour la paroi gauche et la paroi droite). De façon similaire, la hauteur d’eau effective ne sera pas égale à la hauteur d’eau h mais à la hauteur d’eau h moins une fois l’épaisseur de la couche limite, la surface libre n’étant pas soumise à une condition de non glissement. be  b  2

he  h  

La loi hauteur – débit doit alors être corrigée comme suit.

2 Q  3

3

2

3

g b e C v he

2

Ce qui peut s’écrire comme suit, en introduisant le coefficient de correction CD défini ci-dessous.

2 Q  3

3

2

3

g bC v C D h

2

232

b h  CD  e  e  b h

3

2

Afin de l’évaluer, la norme ISO 4359 fait appel aux travaux effectués sur la formation de la couche limite en aval du bord d’attaque d’une plaque et évaluant l’épaisseur relative



x

de la couche limite en

Ux x et du nombre de Reynolds (Harrison 1967). Ici, x est la distance entre k  la zone de création de la couche limite et l’endroit où on veut évaluer son épaisseur. La norme ISO 4359 fait les hypothèses suivantes : fonction de la rugosité

 

La couche limite commence au début du col, La hauteur critique se rencontre à l’extrémité aval du col, c’est-à-dire pour x = L, où L est la longueur du col.

Figure 136. Epaisseur relative de la couche limite en fonction du nombre de Reynolds rugosité relative

Ux et de la 

x - Figure tirée de Harrison (1967). Sur ce graphique sont représentés deux groupes de k

courbes du fait que la transition laminaire – turbulent peut fluctuer dans l’intervalle de nombre de Reynolds 3.105 – 106.

Le coefficient de correction CD peut alors s’écrire sous la forme suivante, où



peut être déterminé L grâce à la figure précédente. Sur ce graphique, deux groupes de courbes ont été représentés, le premier correspondant à la fourchette basse du nombre de Reynolds de transition entre couche limite laminaire 233

et couche limite turbulente (3.105, valeur recommandée par la norme ISO 4359), le second correspondant à la fourchette haute (106).

 L   L   C D  1  2  1   L b  L h 

3

2

Dans le cas d’une couche limite turbulente et de parois lisses, la norme ISO 4359 propose d’utiliser la valeur 0.003 pour δ/L (dans l’intervalle 0.002 – à.004). Domaine de validité de la norme ISO 4359 Plusieurs conditions sont nécessaires à l’application de la démarche présentée précédemment. Garantir une pression hydrostatique pour l’écoulement critique La première condition – et la plus importante – est que la pente et la courbure des lignes de courant ne soient pas trop importantes au niveau du passage par la hauteur critique. En effet, cette dernière est calculée sous l’hypothèse d’une pression hydrostatique qui n’est vérifiée que si les lignes de courant sont rectilignes et parallèles entre elles. Si la pente et la courbure deviennent trop grandes, la distribution de la pression n’est plus hydrostatique et l’hypothèse précédente peut conduite à des erreurs de plusieurs pourcents sur la loi hauteur - débit. La norme ISO 4359 propose la condition suivante pour garantir la validité de cette hypothèse.

h  0,50 L La norme 4359 tolère même jusqu’à une valeur de 0,67 correspondant à une erreur supplémentaire de 2%. Cette condition se traduit pour une longueur minimale du col. Garantir un nombre de Froude maximum dans le canal d’approche Si le nombre de Froude en amont est proche de 1, la surface libre peut présenter des oscillations susceptibles de perturber la mesure. La norme ISO 4359 recommande ainsi un nombre de Froude inférieur à 0,5 dans le canal d’approche. Garantir une hauteur d’eau minimale Aux petites hauteurs d’eau, les effets de la viscosité et la tension de surface peuvent devenir non négligeables. C’est pourquoi la norme ISO 4359 recommande une hauteur amont minimale égale à 0,05 m ou 5% de L (le plus grand des deux). Manque de données expérimentales Du fait du manque de données, la norme ISO 4359 restreint son applicabilité aux conditions suivantes :    

Canaux à col rectangulaire, trapézoïdal ou en U, b  0,10 m h 3 b

h  2m

234

La deuxième de ces quatre conditions est particulièrement restrictive dans le cas des canaux Venturi vendus sur le marché en grande partie pour la mesure de débit en sortie de station de traitement des eaux usées. En effet, dans le cas de petites collectivités, la contrainte de précision aux petites débits nécessitent de ne pas respecter cette largeur minimale. C’est la raison pour laquelle de nombreux canaux Venturi ne respectent pas la norme ISO 4359. Il est à ce sujet intéressant de remarquer qu’un canal Venturi peut ne pas respecter la norme ISO 4359 (c’est-à-dire ne pas respecter ses conditions d’application) mais respecter ses équations (c’est-à-dire que la loi hauteur – débit de l’ouvrage correspond aux équations de la norme). Précisons enfin que ce n’est pas le caractère normalisé d’un canal qui garantit son fonctionnement.

2.3. Canaux Venturi à cols courts Ecoulements courbes Si le col du canal Venturi est court, les effets de la pente et de la courbure de la surface libre dans le col au niveau de la section critique ne sont plus négligeables : la pression perd son caractère hydrostatique et l’expression suivante n’est plus valide pour exprimer la charge.

H  zh

Q2 2gS 2

Canaux Khafagi Les canaux Khafagi, du nom de leur inventeur égyptien Anwar Khafagi (1912 – 1972), sont des canaux Venturi à col court et présentant une zone de contraction de forme circulaire (vue de dessus). Ce type de canal est caréctérisé géométriquement par le rayon de courbure R de sa contraction ainsi que la largeur b de son col, ainsi qu’illustré sur la figure suivante.

R b

Figure 137. Vue de dessus d’un canal Khafagi (Khafagi 1942).

Sur la base des expériences menées par Khafagi (1942), Hager (1985) a proposé l’utilisation du paramètre de courbure U défini ci-dessous pour exprimer les différents termes additionnels de la charge et au final corriger la loi hauteur – débit obtenue en considérant une distribution hydrostatique de la pression.

2H 2 U  Rb Jusqu’à des valeurs U de 4, Castro-Orgaz (2008) propose la formulation suivante pour la loi hauteur – débit d’un canal Venturi de type Khafagi. Il s’agit d’une correction par rapport à la formulation obtenue dans le cas d’un col long.

235

14 U   Q  1  Qcol long 243 1  U   En reprenant l’expression du débit selon la méthode utilisable dans le cas des canaux à col long :

14 U  2   Q  1    243 1  U  3  

3

2

3

g bC v C D h

2

La correction apportée par rapport à un débit calculé en supposant un col long va jusqu’à 5% (pour U = 4). Il n’existe pas à l’heure actuelle de moyen simple de calculer la loi hauteur – débit pour des paramètres U plus grands que 4.

236

237

XX. REFERENCES ___________________________________________________________________________

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239