Hugo in Iguez Geometria Analitica

H.I.P.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

PROLOGO

Durante muchos años se ha considerado a la Geometría Analítica como una asignatura universitaria, recientemente se la ha incluido en la enseñanza media y preuniversitaria, y se ha recomendado su estudio debido a la importancia que tiene una base sólida de conocimientos de Geometría Analítica, para la comprensión del Cálculo diferencial e Integral principalmente.

Al escribir este libro, he pretendido implementar un texto guía, que vaya de acuerdo con los Objetivos que contemplan los programas analíticos y el nivel de profundidad que el Instituto de Ciencias Básicas de la ESPE ha definido como indispensable, para los alumnos que deseen seguir una de las carreras de ingeniería que la Escuela ofrece. Al mismo tiempo he procurado presentarlo con explicaciones y demostraciones que resulten claras y completas, complementadas con una buena cantidad de ejercicios resueltos, en los que hago hincapié sobre los métodos de solución más importantes. Los gráficos los he elaborado de manera que presenten claramente la esencia del tema o problema tratado. Los ejercicios propuestos son de diversos tipos e incluyen aplicaciones interesantes, además de que implican una revisión de los temas analizados anteriormente.

He considerado de utilidad efectuar un trabajo de rutina que permita alcanzar un buen grado de asimilación de los conceptos fundamentales analizados, con este fin he incluido ejercicios orales al final de todas las unidades, pues estos permiten aclarar los puntos del programa que no están bien entendidos por los estudiantes.

Agradezco a mis compañeros de trabajo por su apoyo desinteresado y sus consejos y de manera especial, a quienes compartiendo la cátedra de Geometría Analítica, me han hecho llegar sus sugerencias durante la revisión, así como a todos los lectores que se dignen hacer comentarios e indicar errores involuntarios que se pueden haber deslizado.

Hugo Iñiguez Palacios Quito Agosto 2002

GEOMETRÍA ANALÍTICA

H.I.P.

GEOMETRIA ANALITICA

OBJETIVO EDUCATIVO: Demostrar iniciativa y criticidad en la solución de problemas, mediante el perfeccionamiento continuo de los procesos analíticos que se van desarrollando en su pensamiento, los que le proporcionan seguridad y autosatisfacción.

OBJETIVO INSTRUCTIVO: Resolver problemas sobre: distancias, razones, lugares geométricos y simplificar ecuaciones de segundo grado, mediante la correcta aplicación de las leyes, principios, axiomas y teoremas fundamentales de la Geometría Analítica, utilizando procesos lógicodeductivos.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

H.I.P.

CAPITULO I COORDENADAS RECTANGULARES 1.1. SEGMENTOS RECTILINEOS DIRIGIDOS. 1.2. SISTEMAS COORDENADOS LINEALES. 1.3. COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANO. 1.4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. 1.5. AREA DE UN TRIANGULO. 1.6. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA.0

OBJETIVO:

Resolver problemas sobre segmentos en el plano, mediante procesos lógicos y la correcta aplicación de los teoremas, axiomas y principios fundamentales analizados en esta unidad

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1.1. SEGMENTOS RECTILINEOS DIRIGIDOS. Por geometría elemental, la parte de una recta comprendida entre dos puntos, la llamamos segmento rectilíneo o simplemente segmento. A los puntos los llamaremos extremos del segmento.

Fig. 1 Así, para la recta L. (Fig. 1). A y B son los puntos extremos y AB o BA representan ambos adecuadamente al segmento, que tiene determinada longitud. En Analítica se añade al concepto geométrico de segmento, la idea de "sentido o dirección". Por lo tanto el segmento AB está generado por un punto que se mueve desde A hacia B, siendo A el origen o punto inicial y B el extremo o punto final, o lo que es igual, el segmento AB está dirigido desde A hacia B. Se puede obtener el mismo segmento dirigiéndolo desde B hacia A; B será el origen y A el extremo, y el segmento se designará por BA:

Por lo tanto, el sentido de un segmento dirigido se indica, escribiendo primero el origen y luego el extremo. En geometría Analítica, un segmento de recta, además de tener un cierto número de unidades de longitud, posee también una dirección. Tomando en cuenta este concepto, la longitud de un segmento dirigido puede ser positiva o negativa, según como se tome la dirección o sentido de la recta que contiene al segmento, la que indicamos con una flecha. A la longitud con signo, la denominamos magnitud del segmento, y la designamos por AB. La longitud del segmento es igual al valor absoluto de su magnitud. Longitud AB = | AB | Si A y B coinciden, diremos que el segmento AB es nulo, ya que su magnitud es igual a cero. La dirección de este segmento es indeterminada, y llamar a este segmento dirigido, se puede solamente en ciertas condiciones. Fig. 2. Fig. 3.

Así: AB = - BA o bien o; - AB = BA o bien

AB = - BA

AB + BA = 0 AB + BA = 0

o bien

Si AB se considera como sentido positivo, Si BA se considera como sentido positivo.

AB + BA = 0

-2-

[1]

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A menos que se especifique lo contrario, se considerará que la dirección positiva de todas las rectas horizontales, es hacia la derecha, y la dirección positiva de todas las otras rectas (en particular, de las rectas verticales) es hacia arriba. Si ahora tomamos tres puntos diferentes A , B y C, pertenecientes a la recta L, existen seis posibilidades de ubicar estos puntos sobre la recta, cuyo sentido positivo se indica (Fig. 4).

Fig. 4. En todas ellas se cumple que:

AB + BC = AC

o

AB + BC + CA = 0

[2]

En general sí: A , B , C , D.............L , M son puntos de un segmento dirigido, se cumple que: AB + BC + CD + ................ LM + MA = 0

1.2. SISTEMAS COORDENADOS LINEALES. Un sistema coordenado lineal, no es mas que el establecimiento de una correspondencia uno a uno, entre los puntos de una línea recta y los números reales.

Fig. 5. Consideremos la recta X´X cuya dirección positiva es la indicada (Fig. 5) , tomamos un punto "o" de ésta para representar al cero, a la derecha de "o" ubicaremos los números positivos y a la izquierda los negativos, tomando una unidad de medida adecuada podemos representar cualquier número real sobre esta recta.

Llamaremos coordenada del punto, al número real representado, que nos indica la distancia dirigida que hay desde el cero al punto; eje, a la recta X'X y origen al punto "o". El sentido positivo del eje X'X es universal. Para determinar la magnitud entre dos puntos definidos en este sistema coordenado lineal, o sea, tanto en su longitud como en su dirección, aplicamos el primer teorema de la Geometría Analítica.

-3-

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA 1: En un sistema coordenado lineal, la magnitud de un segmento dirigido que une dos puntos dados, se obtiene, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo. DEMOSTRACION:

Fig. 6. Sean P1 y P2 dos puntos cualesquiera de coordenadas X1 y X2 que son números conocidos. Por la relación [1] las magnitudes de los segmentos dirigidos P1P2 y P2P1 serán:

[3] [4]

P1P2 = P1O + OP2 = OP2 − OP1 = X 2 − X 1 P2 P1 = P2O + OP1 = OP1 − OP2 = X 1 − X 2

Si sólo deseamos hallar la longitud, tomaremos en valor absoluto, cualquiera de las distancias dirigidas definidas en [3] y [4].

[5]

P1 P2 = P2 P1 = X1 − X 2 = X 2 − X1

EJERCICIOS DE APLICACION 1.- Dados los puntos A(2) y B(-7); determinar la magnitud del segmento dirigido BA.

BA = XA - XB BA = 2 - (-7) Fig. 7. BA = + 9

Aplicando el teorema 1, definimos la magnitud del segmento dirigido BA. El signo positivo, nos indica que el sentido del segmento BA coincide con el sentido positivo del eje 2.- La magnitud del segmento definido por dos puntos es -9. Si uno de los extremos del segmento tiene por coordenada (-3), determinar la coordenada del otro extremo. Siendo la distancia dirigida negativa y al no indicarse como está generado el segmento dirigido, podemos ubicar a este, de dos formas diferentes en el sistema coordenado lineal, manteniendo la distancia dirigida negativa. -4-

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

a.- Si tomamos la coordenada (-3) como la de P1, podemos generar el segmento P1P3 que coincide con el sentido negativo del eje X'X.

P2P1 = X1 - X2 - 9 = - 3 - X2 Fig. 8. X2 = 6 b.- Si tomamos la coordenada (-3) como la de P1 y generamos el segmento dirigido P2P1 que coincide también con el sentido negativo del eje X'X, obtendremos la segunda solución

P1P3 = X3 - X1 -9 = X3 + 3 Fig. 9.

X3 = -12 Sol. : X3 = -12

3.- Uno de los extremos de un segmento dirigido, es el punto de coordenada (-3). Si su punto medio tiene por coordenada (3). Hallar la coordenada del otro extremo. Existe una sola posibilidad de ubicar el otro extremo.

P1P2 = P2P3

por ser P2 punto medio

P1P2 = X2 - X1 P1P2 = 3 - (-3) = 6 Por tanto: P2P3 = X3 - 3 6 = X3 – 3

o lo que es igual:

finalmente

X3 = 9

4.- El punto medio de un segmento dirigido, tiene por coordenada (-3), si el segmento tiene 8 unidades de longitud, hallar las coordenadas de los extremos.

-5-

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

BC = CA = 4

por ser C punto medio.

BC = XC - XB

;

BC = 4

-3 - XB = 4

de donde:

reemplazando: XB = -7

CA = XA - XC = 4 XA - (-3) = 4

finalmente

XA = 1

5.- Un segmento vertical dirigido se divide en tres partes iguales, las coordenadas de los puntos de trisección son: (-2) y (4). Calcular las coordenadas de los extremos. Los puntos de trisección, son los que dividen al segmento en tres partes iguales. En nuestro problema los llamaremos C y D. BD = DC = CA DC = YC - YD DC = 4 - (-2) DC = 6 Coordenada de B. BD = YD - YB 6 = -2 - YB

de donde: YB = -8

Coordenadas de A: CA = YA - YC 6 = YA - 4

de donde:

YA = 10.

1.3. COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANO Para realizar un análisis más profundo, consideremos ahora un sistema coordenado, en el cual el punto puede moverse en todas las direcciones, manteniéndose siempre en un plano, este es el sistema coordenado rectangular o cartesiano; que consta de dos rectas fijas dirigidas, una de ellas horizontal, llamada eje XX’, y la otra vertical, llamada eje YY’, a los ejes XX’ , YY’ los llamamos ejes coordenados, caracterizados por ser perpendiculares entre sí, su punto de intersección “o” es el origen de coordenadas.

-6-

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Fig. 13 Los ejes dividen al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Las direcciones positivas de los ejes son: hacia la derecha para XX’ y hacia arriba para YY’. Para ubicar puntos en este sistema, necesitamos dar las distancias dirigidas que hay de cada uno de los ejes al punto, las coordenadas de un punto serán entonces pares ordenados de la forma ( X ; Y ) en cada uno de los cuadrantes están indicados los signos de estas distancias por tanto: X es la distancia dirigida del eje Y al punto, a la que llamamos abscisa. Y es la distancia dirigida del eje X al punto, y le denominamos ordenada. Nota: Un par ordenado, es un conjunto formado por dos elementos que guardan un estricto orden entre si. Los cuatro cuadrantes, en los que queda dividido el plano, se enumeran en sentido antihorario, empezando por el cuadrante superior derecho, en cada uno, tanto las abscisas como las ordenadas tienen sus respectivos signos. Para graficar puntos en este sistema, seguiremos el siguiente procedimiento:

-7-

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Luego de escoger una escala determinada, medimos sobre el eje de las X las unidades que nos indica la abscisa, si son positivas hacia la derecha de “o” , si son negativas, hacia su izquierda y definimos el punto A, que está sobre el eje X, realizamos igual procedimiento para las ordenadas, pero sobre el eje Y y determinamos el punto B, por A y B trazamos paralelas a los ejes X e Y respectivamente, siendo el punto de corte de éstas, el punto que deseábamos graficar Fig. 14 ( XP ; YP ) = coordenadas del punto XP = abscisa del punto; distancia dirigida desde el eje Y al punto. YP = ordenada del punto; distancia dirigida desde el eje X al punto.

6.- Graficar los puntos: A(4 ; 2) ; B(-6 ; 3) ; C(-3 ; -2) ; D(2 ; -3) ; E(2 ; 6) ; F(-1 ; 5) ; G(-2 ; -4) ; H(6 ; 6).

Fig. 15

En primer lugar, establecemos una escala adecuada. (No necesariamente las escalas en los ejes X e Y deben ser iguales, en caso de no serlo, los gráficos salen deformados) y siguiendo el procedimiento establecido, obtenemos los puntos deseados.

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Cuál es la diferencia entre magnitud y longitud? 2.- ¿Puede ser la magnitud de un segmento dirigido igual a cero -8-

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

3.- Si A está 4 unidades encima de B. ¿Cuál es la magnitud de AB? 4.- Si A tiene por coordenada 1 y la magnitud del segmento AB es – 4. ¿Cuántas formas hay de ubicar el extremo B, del segmento?

RESUMEN DE FORMULAS P1P2 = X 2 − X1 P1P2 =

( magnitud )

X 2 − X1

( longitud ) EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Hallar la distancia dirigida, entre los puntos: A(-5) y B(6). 11.

Sol. ±

2.- Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas: A(-8) y B(-12). Si el segmento está dirigido de A hacia B. Sol. 4. 3.- Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas: A(3) y B(-7). Si el segmento está dirigido de B hacia A. Sol. 10. 4.- La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es de coordenada (-2), hallar la coordenada del otro punto. Sol. (7) y (-11). 5.- Un extremo de un segmento dirigido, es el punto (-8), y su punto medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo. Sol. 14. 6.- Los extremos de un segmento son de coordenadas: (-6) y (9). Hallar las coordenadas, de los puntos de trisección del segmento. Sol. (-1) ; (4). 7.- Las coordenadas de tres puntos son: A(-3 ; -5) ; B(4 ; -3) y C(6 ; 3). Hallar las coordenadas de sus proyecciones sobre los ejes..4. DISTANCIA ENTRE

DOS PUNTOS. Al determinar la distancia entre dos puntos, se pueden presentar dos alternativas: que los puntos pertenezcan a una recta paralela a los ejes coordenados o a una recta no paralela a ellos. En el primer caso, estos segmentos de recta coinciden con sistemas coordenados lineales; la obtención de su magnitud o longitud, la realizaremos valiéndonos de las relaciones obtenidas en [ 3 ] , [ 4 ] o [ 5 ]. Si los puntos están sobre una recta no paralela a los ejes coordenados, aplicaremos el siguiente teorema: -9-

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA 2: La distancia entre dos puntos situados en el plano, está dada por la relación: dP1 P2 =

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

dP1 P2 =

o

[6 ]

(x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

DEMOSTRACION: Sean P1 y P2 dos puntos dados cualesquiera, para determinar su distancia, trazamos paralelas a los ejes X e Y, por los puntos P1 y P2 respectivamente, llamaremos E a su punto de intersección, siendo sus coordenadas: (x2 ; y1). En el triángulo rectángulo P1P2E se cumple que:

(P1P2 )2 = (P1E )2 + (EP2 )2 Fig. 16 Como P1E y EP2 son segmentos dirigidos, contenidos en sistemas coordenados lineales, podemos definir sus magnitudes, mediante la relación [ 3 ].

P1E = X E − X P1 = X 2 − X 1

(2)

EP2 = YP 2 − YE = Y2 − Y1

(3)

(P1 P2 )2 = ( X 2 − X 1 )2 + (Y2 − Y1 )2 dP1 P2 = ( X 2 − X 1 ) + (Y2 − Y1 ) Reemplazando (2) y (3) en (1): 2

2

finalmente :

[6 ]

En el triángulo P1P2E nada se altera si decimos:

- 10 -

(1)

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

(P1 P2 )2 = (EP1 )2 + (P2 E )2 (EP1 ) = X P1 − X E (P2 E ) = YE − YP 2

; ;

(1)

(EP1 ) = X 1 − X 2

(2)

(P2 E ) = Y1 − Y2

(3)

Reemplazando ( 2 ) y ( 3 ) en (1): dP1 P2 =

[6 ]

( X 1 − X 2 )2 + (Y1 − Y2 )2

Las dos relaciones obtenidas, nos entregan la distancia no dirigida entre los puntos P1 y P2 lo que quiere decir que: no tiene importancia alguna, que punto tomemos como P1 o como P2. Como nos interesa el valor numérico de la distancia, únicamente consideramos el valor positivo del radical. Si necesitamos la distancia dirigida, la relación obtenida en [ 6 ] se puede emplear si P2 está encima de P1 (es decir, si Y2 es mayor que Y1 ) pero debe anteponerse un signo menos al radical si P2 está por debajo de P1.

EJERCICIOS DE APLICACION 7.- Un punto P del plano, tiene por coordenadas (x1 ; y1), si la distancia del punto al eje de las Y es los 2/3, de su distancia al eje de las X ; de cual de los ejes, está más distante el punto?. De acuerdo a las definiciones de abscisa y ordenada de un punto: X1 = distancia dirigida del eje Y al punto punto.

;

Y1 = distancia dirigida del eje X al

Por los datos del problema: X1 = 2/3.Y1. Por tanto las coordenadas del punto las podemos escribir como: P (2/3.y1 ; y1)

Como es obvio: y1 es mayor que 2/3.y1, por tanto el punto está más distante del eje de las abscisas o lo que es igual, del eje X. 8.- La distancia de un punto P al origen es 5 unidades. Si la distancia del punto al eje X es 3/2 veces su distancia al eje Y, determinar sus coordenadas. Suponemos que el punto P buscado es de coordenadas: (x1 ; y1); por tanto: X1 = distancia del eje Y al punto.

; Y1 = distancia del eje X al punto.

- 11 -

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

5=

(x1 − 0)2 + ( y1 − 0)2 (1 )

25 = x12 + y12 y1 =

de donde :

(2)

3 x1 2

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 25 = x12 + x1 = ±

9 2 x1 4

10 13

de donde : 100 = 13 x12 con estos valores : y1 = ±

30   10 Sol. P  ;  2 13   13

;

30 2 13

 10 30  P − ;−  13 2 13  

9.- Un punto P del plano dista del eje X, como 3/5 veces su distancia del eje Y. Si la distancia del punto P al punto A (1 ; 1) es los 4/3 de su distancia al eje X. Hallar las coordenadas de P. Suponemos que el punto buscado es P, de coordenadas: (x1 ; y1). Por los datos del problema podemos plantear: y1 =

3 x1 5

(1)

;

4 y1 = 3

(x 1 − 1)2 + (y1 − 1)2

(2)

Resolvemos el sistema formado por (1) y (2): 16 2 y1 = x 12 − 2x 1 + y12 − 2 y1 + 2 9

Reemplazamos en esta expresión el valor de y1 definido en (1): 9 2 6  16   9  2 2 x1 − x1 + 2     x1 = x1 − 2 x1 + 25 5  9   25  18 x12 − 80 x1 + 50 = 0

hacemos términos semejantes :

resolviendo la ecuación :

- 12 -

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

x 1 = 3,7

x 2 = 0,75

;

3 1ra . Sol. y1 = 3,7. = 2,22 5 3 2 da . Sol. y1 = 0,75. = 0,45 5

definimos los valores de y1 : ∴ ∴

P (3,7 ; 2,22) P (0,75 : 0,45)

10. - Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos: A(-3 ; -4) ; B(2 ; 5) y C(3 ; -2). Definimos el perímetro del triángulo: P = AB + AC + BC

Fig. 17

AB =

(X A − X B )2 + (YA − YB )2

AB =

(− 3 − 2)2 + (− 4 − 5)2

BC =

(X B − X C )2 + (YB − YC )2

BC =

(2 − 3)2 + (5 + 2)2

AC =

(X A − X C )2 + (YA − YB )2

AC =

(− 3 − 3)2 + (− 4 + 2)2

= 10,29

= 7,07

= 6,32

P = 10,29 + 7,07 + 6,32 P = 23,68

11.- Determinar las coordenadas de un punto perteneciente al eje X, y que se caracteriza por ser equidistante de los puntos A (3 ; -2) y B(-7 ; 4).

Como el punto pertenece al eje X, su ordenada será igual a cero. Por tanto, las coordenadas del punto son: P (x1 ; 0). Por ser los puntos A y B equidistantes del punto P, se cumple que: dBP = dPA

Fig. 18

- 13 -

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Hallamos las distancias: dBP =

(x1 + 7 )2 + (0 + 4)2

;

dBP = x12 + 14 x1 + 65

dAP =

(x1 − 3)2 + (0 + 2)2

;

dAP = x12 − 6 x1 + 13

Elevamos al cuadrado e igualamos las distancias: x 12 − 6 x 1 + 13 = x 12 + 14 x 1 + 65 20 x 1 = −52

de donde : x 1 = −

13 5

∴

  13 ; 0 Sol.  −   5

12.- Hallar las coordenadas del punto del plano, que se caracteriza por equidistar, de los puntos: A(-3 ; 4) ; B(5 ; 3) y C(2 ; 0). Suponemos que el punto que cumple con las condiciones del problema es: P(x1 ; y1). AP = PB = PC

Fig. 19

Elevamos al cuadrado las distancias obtenidas:

( AP )2 = x12 + 6 x1 + y12 − 8 y1 + 25

(1)

(BP )2 = x12 − 10 x1 + y12 − 6 y1 + 34

(2)

(CP )2 = x12 − 4 x1 + y12 + 4

(3)

Resolvemos el sistema: (1) = (2) x 12 + 6 x 1 + y12 − 8 y1 + 25 = x 12 − 10 x 1 + y12 − 6 y1 + 34 16 x 1 − 2 y1 − 9 = 0

(4) - 14 -

AP =

(− 3 − x 1 )2 + (4 − y1 )2

PB =

(5 − x 1 )2 + (3 − y1 )2

PC =

(2 − x 1 )2 + (0 − y1 )2

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Hacemos: (1) = (3): x 12 + 6 x 1 + y12 − 8 y1 + 25 = x 12 − 4 x 1 + y12 + 4

(5)

10 x 1 − 8 y1 + 21 = 0

Finalmente resolvemos el sistema entre (4) y (5), para esto hacemos: (4) – (5) 64 x 1 − 8 y1 − 36 = 0 − 10 x 1 + 8 y1 − 21 = 0 −−−−−−−−−−−−−− 54 x 1

− 57 = 0

de donde : x 1 =

19 18

Reemplazando en (4):

16.

19 − 2 y1 − 9 = 0 18

de donde : y1 =

71 18

por tanto :

 19 71  Sol. P  ;   18 18 

13.- Hallar las coordenadas de los puntos que equidistan de: A (6 ; -3) ; B(-2 ; 1) y están a 5 unidades del origen de coordenadas.

Suponemos que el punto P de coordenadas (x1 ; y1) cumple con las condiciones dadas, por lo tanto:

Fig. 20

- 15 -

d1 =

(x 1 − 6)2 + (y1 + 3)2

d2 =

(x 1 + 2)2 + (y1 − 1)2

d3 =

(x 1 − 0)2 + (y1 − 0)2

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

(x1 − 6) + ( y1 + 3) = (x1 + 2) + ( y1 − 1) 2

2

2

2

2y x 2 = ∴ xA = A y 3 3 desarrollando:

x12 − 12 x1 + 36 + y12 + 6 y1 + 9 = x12 + 4 x1 + 4 + y12 − 2 y1 + 1 16 x1 − 8 y1 − 40 = 0

(2)

términos semejantes:

simplificando:

(4) 2 x1 − y1 − 5 = 0 Hacemos d1 = d2 Desarrollando la distancia d3:

(5)

x 12 + y12 = 25

Despejamos de (4) el valor de y1: y = 2x1 – 5

reemplazamos este valor en (5):

x12 + (2x1 – 5)2 = 25

desarrollando:

5x12 - 20x1 = 0

factorando:

5x1(x1 – 4) = 0

de donde:

x1 = 0

con este valor:

y1 = -5

∴ 1ra Sol. P (0 ; -5)

x1 = 4

con este valor:

y1 = 3

∴ 2da Sol. P (4 ; 3)

14.- Un segmento de 8 unidades de longitud, se caracteriza porque las coordenadas del un extremo son la tercera parte de las del otro. Si las abscisas son a las ordenadas como 2 es a 3, determinar las coordenadas de los extremos del segmento. Ubicamos el segmento, de modo que las coordenadas de A, sean la tercera parte de las coordenadas de B. xB = 3 x A A( x A ; y A )

yB = 3 y A

; ;

(1)

B(3 x A ; 3 y A )

Por los datos del problema podemos plantear: Fig. 21

- 16 -

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Planteamos la distancia AB: dAB =

(x A − xB )2 + ( y A − y B )2

reemplazando (1) y (2 ) :

2

 2y  2y  2 8 =  A − 3 A   + ( y A − 3 y A )  3   3  2 y − 6 yA  2 64 =  A  + (− 2 y A ) 3  

realizamos las operaciones :

2

52 y A2 = 576

de donde :

xA = ± 2,22

;

64 =

16 y A2 + 4 y A2 9

y A = ±3,33

finalmente :

con estos valores :

definimos las coordenadas de B:

yB = 3(± 3,33) = ±9,99 xB = 3(± 2,22) = ±6,66 El problema tiene dos soluciones: A(2,22 ; 3,33)

;

A(-2,22 ; -3,33) ;

B(6,66 ; 9,99) B(-6,66 ; -9,99)

15.- Un punto P cae perpendicularmente y topa al segmento AB, en un punto que está al 1/5 de la distancia de B hacia A. Hallar las coordenadas de P, si este punto dista 12 unidades del extremo A. Las coordenadas de los extremos son: A(-3 ; 2) y B(2 ; 1). Como el punto cae en forma paralela al eje Y, se cumple:

x P = x P ' = x P '' x A = x A' x B = x B' Por lo tanto: A' B' = x B ' − x A' A' B' = 2 − (−3) A' B' = 5 Fig. 22

P’’B’ = 1 - 17 -

(*)

H.I.P.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

(*) La recta P’P’’ divide en partes proporcionales, tanto al segmento AB, como al A’B’. P ' ' B ' = xB ' − xP ' ' = 1 1 = 2 − xP ' '

por tanto :

finalmente :

xP ' ' = 1 = xP Definimos la distancia PA: 12 =

(1 + 3)2 + ( yP − 2)2

desarrollando :

144 = 16 + yP2 − 4 yP + 4

ordenando :

yP2 − 4 yP − 124 = 0

resolviendo :

yP = 13,3

por tanto :

Sol. P (1 ; 13,3) La solución negativa se desprecia, porque el punto debe estar sobre el segmento, para que caiga sobre él.

- 18 -

H.I.P.

AREA DE UN TRIANGULO

1. 5. AREA DE UN TRIANGULO Uno de los métodos que nos permiten calcular el área de un triángulo, está en función de las coordenadas de sus vértices, para su aplicación, enunciaremos el siguiente teorema:

TEOREMA 3: El área de un triángulo, que tiene por vértices los puntos:

P1 (x1 ; y1) ; P2 (x2 ; y2) y P3 (x3 ; y3), está dada por la relación: x1 1 A= x2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

[7 ]

Debiendo tomarse los vértices en sentido antihorario.

DEMOSTRACION: Proyectamos los vértices del triángulo sobre el eje X y obtenemos los puntos: Q1 , Q2 y Q3, el área del triángulo la podemos definir geométricamente por: A Q1P1P3Q3 + A Q3P3P2Q2 – A Q1P1P2Q2 Si calculamos el valor, de cada una de las áreas de los trapecios formados y las sumamos algebraicamente, obtendremos el área del triángulo P1P3P2.

Fig. 23 Definimos el área de Q1P1P3Q3: A1 =

1 ( y1 + y2 ) (x3 − x1 ) 2

Definimos el área del trapecio Q3P3P2Q2: A2 =

1 (y 3 + y 2 ) (x 2 − x 3 ) 2

Definimos el área del trapecio Q1P1P2Q2: A3 =

1 (y1 + y 2 ) (x 2 − x 1 ) 2

- 19 -

H.I.P.

AREA DE UN TRIANGULO

Hallamos el valor del área del triángulo, que es igual a: A1 + A2 – A3 A=

1 [x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y1 − x 3 y 2 − x 2 y1 − x 1 y 3 ] 2

Efectuando las operaciones: A=

1 [(y1 + y 3 ) (x 3 − x 1 ) + (y 3 + y 2 ) (x 2 − x 3 ) − (y1 + y 2 ) (x 2 − x 1 )] 2

Siendo la expresión entre corchetes el desarrollo del determinante: x1 x2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

por consiguiente :

x1 1 A P1 P3 P2 = x2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

El valor numérico del área del triángulo, puede ser positivo o negativo, dependiendo del sentido y del orden en el que se tomen los vértices, para evitar errores tomaremos los vértices en “sentido antihorario”; así las áreas obtenidas siempre serán positivas, por lo que no tomaremos el valor absoluto del determinante. El área negativa se considerará únicamente para recuperar soluciones.

EJERCICIOS DE APLICACION 16.- Los vértices de un triángulo son los puntos: A(3 ; 5) ; B(-4 ; 3) y C(-6 ; -5). Calcular su área. Para plantear el determinante que define el área del triángulo, tomamos como vértice de partida el A, siguiendo el sentido antihorario tomaremos luego el vértice B y por último el vértice C. 3 5 1 1 −4 3 1 A= 2 −6 −5 1

A=

1 [9 − 30 + 20 + 18 + 15 + 20] 2

Sol. A = 26u 2 . Fig. 24

- 20 -

desarrollando :

H.I.P.

AREA DE UN TRIANGULO

17.- El área de un triángulo es 3u2. Dos de sus vértices tienen por coordenadas: A(2 ; 1) y B(1 ; -3). Si el tercer vértice del triángulo está sobre el eje OX, hallar su abscisa. La ordenada del tercer vértice es 0 por pertenecer el punto al eje X. Tomamos como punto inicial el vértice C, y siguiendo el sentido antihorario, planteamos el determinante para hallar el área: 1 3= 2

x1 0 1 2 1 1 1 −3 1

Fig. 25 Desarrollando el determinante: 6 = x 1 − 6 − 1 + 3x 1 4 x 1 = 13

ordenando :

de donde : x 1 =

13 4

 13  Sol. C  ; 0  4 

18.- Calcular el área del polígono, si sus vértices son los puntos de coordenadas: A (3 ; 5) ; B(0 ; 7) ; C(-5 ; 4) ; D(-6 ; -2) y E(2 ; -1).

Empezamos dividiendo el polígono en tres triángulos, cuyas áreas podemos definir: 0 7 1 1 A BCD = −5 4 1 2 −6 −2 1

A BCD = Fig. 26

- 21 -

1 [69 − 42] = 13,5 2

desarrollando :

(A1 )

H.I.P.

AREA DE UN TRIANGULO

0 7 1 1 ABDE = − 6 − 2 1 2 2 −1 1 ABDE =

1 [24 + 42] = 33 2

desarrollando

( A2 )

Definimos el área del tercer triángulo: 0 7 1 1 A BEA = 2 −1 1 2 3 5 1

desarrollando :

1 ( A3 ) [34 − 14] = 10 2 A Polígono = A1 + A2 + A3 = 13,5 + 33 + 10 = 56,5u 2 . A BEA =

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿La distancia del eje de las Y al punto A(-2 ; 4) es? 2.- ¿La distancia del eje de las X al punto B(-3 ; -5) es? 3.- ¿Las coordenadas de las proyecciones del punto B(-3 ; - 4), sobre los ejes son? 4.- El eje Y es la perpendicular bisectriz del segmento que une los puntos A(4 ; 3) y B(xB ; yB). ¿Cuáles son las coordenadas de B? 5.- El origen de coordenadas es el punto medio del segmento AB. Si A es de coordenadas (-3 ; 3), ¿cuáles son las coordenadas de B? 6.- ¿Cuál es la distancia entre los puntos: A(-4 ; 5) y B(-4 ; 7)? 7.- ¿Cuándo tomaremos negativa el área de un triángulo? 8.- ¿Qué sucede si tomamos los vértices del triángulo, en sentido horario, para formar el determinante que define su área? 9.- ¿Cómo interpretaría el resultado, si al hallar el área de un triángulo mediante el determinante, obtenemos que el área vale cero?

- 22 -

H.I.P.

AREA DE UN TRIANGULO

RESUMEN DE FORMULAS Distancia entre dos puntos: − x2 ) + ( y1 − y2 )

d P1 P2 =

(x

d P1 P2 =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

2

1

2

Area de un triángulo:

X1 1 A= X2 2 X3

Y1 1 Y2 1 Y3 1

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Hallar el valor de “Q” que hace que los puntos: (1 ; 3) y (5 ; Q) disten entre sí 12 unidades. Sol: 8,29 ; -2,29. 2.- Valiéndose de distancias demostrar que los puntos: A(0 ¸12/5) ; B(10 ; - 18/5) y C(-8 ; 36/5) pertenecen a una misma línea recta. 3.- Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos: A(1 ; -2) ; B(4 ; -2) y C(4 ; 2). Determinar las longitudes de los catetos, de la hipotenusa y el área del triángulo. Sol. 4 ; 3 ; 5 ; 6u2. 4.- Tres de los cuatro vértices de un rectángulo, son los puntos de coordenadas: A (2 ; 1) ; B(7 ; -1) y C(7 ; 3). Hallar las coordenadas del cuarto vértice y el área del rectángulo. Sol. (2 ; 3) ; 20u2. 5.- Demostrar que los puntos: A(-5 ; 3) ; B(3 ; 2) y C(-1 ; -4) son los vértices de un triángulo isósceles y calcular su área. Sol. 26u2. 6.- Demostrar que los puntos: (6 ; 5) ; (3 ; 7) y (2 ; -1) son los vértices de un triángulo rectángulo y calcular su área. Sol. 13u2. 7.- Dos de los tres vértices de un triángulo equilátero son los puntos: A(-1 ; 1) y B(3 ; 1). Hallar las coordenadas del tercer vértice y su área. Sol. (1 ; 4,4) ; (1 ; -2,4) ; 6,92u2. 8.- Uno de los extremos de un segmento es el punto (7 ; 8), si el punto medio del segmento es de coordenadas (4 ; 3) .Hallar las coordenadas del otro extremo. Sol. (1 ; -2). - 23 -

H.I.P.

AREA DE UN TRIANGULO

9.- La distancia entre los extremos de un segmento es 101/2. Las coordenadas de uno de ellos, son la mitad de las del otro. Si las abscisas son a las ordenadas como 3 es a 2. Determinar las coordenadas de los extremos. Sol. A(2,63 ; 1,75) ; B(5,26 ; 3,5). 10.- La distancia de un punto al eje Y, es los 3/5 de la distancia del punto al eje de las X. Si el punto dista 4u. del punto A(3 ; 2), determinar sus coordenadas. Sol. (3,57 ; 5,95) ; (-0,22 ; - 0,37). 11.- Un punto dista del eje Y como los 20/3 de su distancia al eje X. Si el punto dista del punto A(6 ; 3), como los 6/5 de su distancia al eje Y. Hallar sus coordenadas. Sol. (-34,1 ; -5,1) ; (3,2 ; 0,5). 12.- Un punto C equidista de los puntos: A(4 ; 5) y B(-2 ; -3). Si el área del triángulo ABC es 10u2. Calcular las coordenadas de C. Sol. C(13/5 ; -1/5). 13.- El punto P1 tiene su abscisa igual a su ordenada. Si las coordenadas de P2 son: (2 ; 8) y la distancia P1P2 vale 6 unidades, hallar las coordenadas de P1. Sol. (8 ; 8) ; (2 ; 2). 14.- Los extremos de la cuerda de una circunferencia de radio 2 2 son: A(0 ; 0) y B(0 ; 4), determinar las coordenadas del centro. Sol. (2 ; 2). 15.- Determinar el valor de M, para que los puntos: A(2 ; 5) ; B(- 4 ; - 2) y C(0 ; M) sean los vértices de un triángulo rectángulo. Sol. 6 ; - 3 ; 47/7 ; -38/7. 16.- Dos de los vértices de un triángulo son: A(6 ; -4) y B(-2 ; -2). Si el tercer vértice C, está sobre el eje OY y el área del triángulo ACB es 16u2. Hallar las coordenadas del vértice C. Sol. (0 ; 3/2). 17.- Dados los puntos: A(-3 ; 4) ; B(-1 ; -2) ; C(5 ; 6) y D(m ; -4), hallar el valor de “m” para que el área del triángulo: ADB, sea igual al área del triángulo: ADC. Sol. –9. 18.- La distancia de un punto P al eje de las X es los 4/3 de su distancia al eje de las Y. Si al unir el punto P con los puntos A(-3 ; 2) y B(3 ; 1) el área del triángulo formado Sol:(33/9 ; 44/9) ; (-5/3 ; - 20/9). es 12u2. Calcular las coordenadas del punto P. 19.- Hallar el valor de “q” para que los puntos:(1 ; 1) ; (0 ; -2) y (-2 ; q) sean colineales. Sol: q = - 8.

- 24 -

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

H.I.P.

1.6. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA Este es uno de los problemas de la Geometría Analítica, que más aplicaciones tiene y antes de proceder a desarrollarlo, debemos comprender claramente que se entiende al decir: ” La razón en que un punto divide a un segmento dado “.

Supongamos que se dan dos puntos arbitrarios del plano, uno de los cuales tomamos como primero y él otro como segundo y los llamamos P1 y P2. Trazamos por ellos la recta L e indicamos su dirección positiva; de este modo la transformamos en un eje. Admitimos la existencia de un punto P ( Xp ; Yp ), perteneciente a L pero diferente de P2. Si planteamos la proporción entre segmentos dirigidos P1P y PP2 y estos generan la razón “r” definida por la igualdad: P1 P =r PP2

Podemos decir que P divide al segmento dirigido P1 P2 en la razón " r".

Para que la proporción entre segmentos dirigidos, genere una razón, se debe cumplir que: “la letra que representa al punto que causa la división, se repita en la diagonal de la proporción “ en caso contrario, tendremos únicamente una relación de longitudes o distancias, sin que se genere una razón. P1P = r PP2 P1P2 P1P

aquí P causa la división del segmento P1P2 y se genera la razón r.

aquí se indica únicamente relación de segmentos, sin generar razón.

-- 24 --

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

H.I.P.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1.- El punto que causa la división de un segmento, debe ser interior o exterior a éste. Si es exterior, pertenecerá a la prolongación del segmento. 2.- El número “r” no depende del modo en que se ha tomado la dirección positiva de la recta L.

En efecto, si cambiamos en ésta la dirección positiva por su opuesta, cambian simultáneamente de signos, las magnitudes de los segmentos dirigidos P1P y PP2 y es evidente que el valor de la razón “r” generada por la proporción no se altera. 3.- El número “r” no depende de la unidad elegida para la medida de las longitudes de los segmentos definidos. Si cambiamos de unidad de medida, las longitudes de todos los segmentos del eje L quedan multiplicadas o divididas por un mismo número y la razón “r” generada por la proporción, no varía. 4.- Si los segmentos tienen la misma dirección, la razón definida por la proporción es positiva, si son de sentidos contrarios, es negativa. Si el punto que causa la división del segmento, es exterior al mismo, la razón generada por la proporción, debe ser negativa. 5.- Si el punto P, se aproxima al punto P1, el número r se aproxima a cero; si el punto P, coincide con P1, la razón vale cero. 6.- Si el punto P, se aproxima al punto P2, “r” crece indefinidamente o tiende al infinito; si P coincide con P2, decimos que la razón es infinita. 7.- Si el sentido del segmento ha ser dividido en una razón “r” por un punto P, está definido, existe una sola posibilidad de hacerlo. Si el sentido no está definido, el punto que divide al segmento en la razón dada, se puede ubicar de dos maneras diferentes, (más cercano a cada uno de los extremos) por lo que habrán dos soluciones. En Geometría Analítica, los problemas consisten en determinar las coordenadas del punto P desconocido, que divide al segmento P1P2 en una razón dada “r”, si se conocen las coordenadas de los puntos P1 y P2. La solución de este problema, la da el siguiente teorema:

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H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

TEOREMA 4 : Sí el punto P ( XP ; YP ) divide al segmento P1P2 en la razón dada : r = P1P / PP2 sus coordenadas están definidas por: XP =

X 1 + rX 2 1+ r

YP =

;

Y1 + rY2 1+ r

;

r ≠ −1

[8 ]

DEMOSTRACION: Proyectamos sobre el eje de las X, los puntos: P1 ; P y P2 definiendo los puntos: A1 ; A y A2. Por Geometría elemental sabemos que: las paralelas trazadas al eje Y determinan segmentos proporcionales sobre el eje de las X y la recta L; de modo que:

P1 P A 1 A = =r PP2 AA 2

(1)

pero :

A 1 A = X A − X A1 = X P − X 1

(2)

AA 2 = X A 2 − X A = X 2 − X P

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1): XP =

X P − X1 =r X2 − XP

despejando X P :

X 1 + rX 2 1+ r

Realizando un procedimiento idéntico en el sentido vertical: P1 P B1 B =r = PP2 BB 2

(1)

B1 B = YB − YB1 = YP − Y1 BB 2 = YB 2 − YB = Y2 − YP

pero : ( 2) (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1): YP − Y1 =r Y2 − YP YP =

Y1 + rY2 1+ r

despejando y P : ;

r ≠ −1

[8 ] - 26 -

[8 ]

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Relaciones en las cuales la razón debe ser diferente de -1, ya que si “r” toma este valor: P1P = - PP2 y P1P + PP2 = 0 lo que no es posible porque P1 y P2 se supusieron diferentes. Para escoger correctamente los valores de: XP ; YP ; X1 ; Y1 ; X2 ; Y2 basta fijarnos en la proporción planteada, en la que se cumple que:

a.- Las fórmulas obtenidas, nos dan las coordenadas del punto que causa la división del segmento, es decir, de la letra que se repite en la diagonal de la proporción. b.- Las coordenadas (X1 ; Y1), corresponden a las coordenadas del punto, representado por la primera letra del numerador. c.- Las coordenadas (X2 ; Y2), corresponden a las coordenadas del punto, representado por la segunda letra del denominador. Así, en la proporción: AB =r BC

;

XB =

X A + rX C 1+ r

YB =

;

YA + rYC 1+ r

El punto B está causando la división del segmento AC, las fórmulas enunciadas en el teorema 4, nos dan sus coordenadas, siendo los valores de (X1 ; Y1) las coordenadas del punto A, y los valores de (X2 ; Y2) los correspondientes a las coordenadas de B.

1.6.1. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO. Cuando dividimos un segmento en dos partes iguales, mediante un punto P , la razón generada siempre será igual a uno, por lo que las expresiones anteriores tomarán la forma:

XP =

X1 + X 2 2

;

YP =

Y1 + Y2 2

(XP ; YP ) son las coordenadas del punto medio.

- 27 -

[9 ]

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

EJERCICIOS DE APLICACION 19.- Dados los puntos: A ( 1 ; 1 ) y B ( 7 ; 4 ), hallar en la recta que estos puntos determinan, un punto M, que esté entre A y B y que sea dos veces más cercano al punto A que al punto B. Ubicamos el punto M, cumpliendo con las condiciones del problema; su distancia del punto A, debe ser la mitad de su distancia al punto B. La longitud de AM la tomaremos como 1 mientras que la longitud de MB la tomaremos como 2. Planteamos una proporción en la que el punto M divida al segmento, y se genere una razón. AM 1 = MB 2

o

BM 2 = MA 1

Las dos proporciones planteadas, nos permiten determinar las coordenadas del punto M, trabajaremos el problema con la segunda de ellas. Aplicando las fórmulas de razones: XM =

YM =

7 + 2 (1) X B + rX A = = 3 1+ r 1+ 2 4 + 2(1) YB + rYA = 2 = 1+ r 1+ 2

Sol : M

( 3; 2 )

20.- Dados los puntos: A ( 1 ; 1 ) y B ( 7 ; 4 ). Hallar las coordenadas del punto M, que se caracteriza por pertenecer a la prolongación del segmento y estar cuatro veces más cerca al punto B, que al punto A.

Ubicamos el punto M exterior al segmento, la longitud de BM será como 4, mientras que la distancia BM será como 1. Planteamos dos de las proporciones posibles:

AM BM 1 =−4 o =− MB MA 4 En ambos casos la razón es negativa, ya que el sentido de los segmentos tomados, es diferente. Trabajando con la primera: - 28 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

XM =

X A + rX B 1 + (−4) 7 = = 9 1+ r 1− 4

YM =

YA + rYB 1 + (−4)4 = = 5 1+ r 1− 4

Sol : M ( 9 ; 5

)

21.- Hasta que punto debe moverse, el extremo A del segmento AB, para que la longitud final del segmento, sea a su longitud inicial, como 23 / 25. Si A(-6 ; -3) y B(4 ; 5). Al ser la longitud final menor que la inicial quiere decir que el segmento se achica y lo puede hacer de dos formas, por lo que el problema tiene dos soluciones. Primera solución: Cuando el punto A se acerca al punto B.

 2 − 6 +  .4  23  = −5,2 X A' = 2 1+ 23  2 − 3 +  .5  23  = −2,36 YA' =  2 1+    23 

AA' 2 con las fórmulas : = A' B 23 X A' =

X A + rX B 1+ r

Sol. A’ (-5,2 ; - 2,36 )

- 29 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Segunda solución: Cuando el extremo A pasa sobre B y se coloca en A”. AA" 48 =− A" B 23

X A"

aplicando las fórmulas :

 48  − 6 +  − .4  23  = 13,2 =  48  1+ −   23 

 48  − 3 +  − .5  23  = − 69 − 240 = 12,36 Y A" = − 25  48  1+ −   23  Sol. A" (13,2 ; 12,36)

22.- El segmento AB mide 10 unidades, su extremo A está sobre el eje de las X. Hallar la posición de un punto P que divida al segmento AB en la razón 3 / 4. Si B (6 ; 4). El punto A tiene por coordenadas (XA ; 0) por estar sobre el eje de las X. Debemos empezar el problema definiendo su posición específica. d AB =

(x A − 6)2 + (0 − 4)2

100 = x A2 − 12 x A + 52

ordenando :

x A2 − 12 x A − 48 = 0

resolviend o :

x A1 = 15,16

;

x A2 = −3,16

El punto A, por tanto es de coordenadas: (15,16 ; 0) o (-3,16 ; 0), para cada una de estas posiciones existe una única posibilidad de dividir el segmento en la razón dada, ya que el sentido del segmento está establecido por el enunciado del problema.

- 30 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Primera solución: para A ( -3,16 ; 0 )

AP 3 = PB 4

3 − 3,16 +  .6 X + rX B  4  = 0,77 XP = A = 3 1+ r 1+ 4

;

3 0 +  .4  4  = 1,71 YP = 3 1+ 4

Pr imera Sol. P ( 0,77 ; 1,71 )

Segunda solución: para A (15,16 ; 0 ).

AP 3 = PB 4

;

3 15,16 +  .6  4  = 11,23 XP = 3 1+ 4

3 0 +  .4  4  = 1,71 YP = 3 1+ 4

Segunda Sol. P ( 11,23 ; 1,71 )

23.- Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento NM en la relación 4/3. Si M (-8 ; 4) y N(6 ; 12). No utilizar las fórmulas de razones. El problema tiene una sola solución, debido a que el sentido del segmento está definido en el enunciado. Al no estar permitido el uso de las fórmulas de razones, trabajaremos con las proyecciones. (Proceso utilizado en la demostración del teorema 4.)

P' M ' = X M ' − X P ' = −8 − X P '

(3)

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H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

(1)

NP N' P' 4 = = PM P' M ' 3 N ' P' = X P ' − X N ' = X P ' − 6

(2)

Reemplazando (2) y (3) en (1): X P' − 6 4 = 3 − 8 − X P'

de donde : X P ' = −2

pero : X P ' = X P = −2

Aplicando igual procedimiento en el sentido de las Y: NP N" P" 4 = = PM P" M" 3

(1)

N" P" = YP" − YN" = YP" − 12

(2)

P" M" = YM" − YP" = 4 − YP"

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1): 4 YP" − 12 = 3 4 − YP"

de donde : YP" = 7,42

pero : YP" = YP = 7,42

Sol. P (-2 ; 7,42 )

24.- Dados los puntos: A (1 ; 2) y B(7 ; 5). Hallar las coordenadas de los puntos C , D y E, que cumplen que: DB/AE = EA/EB = CA/EA = - 3. Las proporciones dadas no generan una razón, son únicamente relaciones de distancias, por lo que no podemos aplicar las fórmulas de razones, debiendo trabajar con las proyecciones sobre los ejes.

- 32 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Tomamos la segunda de las proporciones, ya que en ella hay una única incógnita que es E.

EA = −3 EB

En el sentido de las X :

X A − X E 1− X E = = −3 XB − XE 7− XE 1 − X E = −21 + 3 X E

de donde :

finalmente :

X E = 5,5

Realizamos igual procedimiento, en el sentido de las Y:

YA − YE 2 − YE = = −3 YB − YE 7 − YE 2 − YE = −15 + 3YE

de donde : finalmente : YE = 4,25

Sol. E (5,5 ; 4,25)

Tomamos la primera de las proporciones, que ya consta de una sola incógnita DB = −3 AE

En el sentido horizontal :

XB − XD 7− XD = = −3 X E − X A 5,5 − 1

de donde : X D = 20,5

YB − YD 5 − YD = = −3 YE − Y A 4,5 − 2

de donde : YD = 11,75

Sol. D (20,5 ; 11,75) - 33 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Trabajando con la tercera proporción: CA = −3 EA

En el sen tido de las X :

X A − XC 1− XC = =−3 XA − XE 1 − 5,5 13,5 = 1 − X C

finalmente :

X C = −12,5

Y A − YC 2 − YC = = −3 Y A − YE 2 − 4,25

En sentido vertical :

2 − YC = 6,75

de donde :

finalmente :

de donde :

YC = 6,75

Sol. C (− 12,5 ; − 4,75)

25.- Un punto Q cae verticalmente del segmento AB y choca con el eje X, se pide calcular el ángulo agudo de rebote con dicho eje, para que el segmento AB al ser interceptado por el rebote de Q, quede dividido en la relación 2/3. (supóngase que la trayectoria de rebote es una línea recta. A(-2 ; -2) ; B(13 ; 8) y Q(11 ; 100/15).

Llamaremos: Q’ al punto de contacto del punto Q y el eje X; N al punto de intersección del rebote de Q y el segmento AB. Planteamos una proporción que nos permita calcular las coordenadas del punto N, que divide al segmento AB, en la razón 2/3:

Fig.36 AN 2 = NB 3

trabajando con las proyecciones :

XN − XA 2 = XB − XN 3 XN + 2 2 = 13 − X N 3

- 34 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Para determinar el valor del ángulo de rebote, nos valemos de la definición de su tangente: Tgβ =

(1 )

N ´N N ´Q´

(2)

N ´N = YN − YN ´ = 2 − 0 = 2

(3)

N ´Q´= X Q´ − X N ´ = 11 − 4 = 7 3 X N + 6 = 26 − 2 X N XN = 4

YN − YA YN + 2 2 = = YB − YN 8 − YN 3 3YN + 6 = 16 − 2YN

operando :

de donde : YN = 2

Por tanto : N (4 ; 2 ). Reemplazando (2) y (3) en (1): Tg. β =

2 7

de donde : β = Tg −1

2 7

Sol. β = 15,94°

26.- Sin utilizar las fórmulas de razones, hallar el valor de “n” para que la proporción entre los puntos: N , Q y P genere una razón negativa, si: N (-8 ; 4); Q(5 ; n) ; P(8 ; 15). Para que se cumplan las condiciones del problema, el punto Q debe pertenecer a la recta que pasa por N y P. Planteamos varias proporciones que generen una razón negativa, entre los tres puntos: NP = r1 PQ

;

QP = r2 PN

;

QN = r3 NP

- 35 -

;

PN = r4 NQ

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Trabajamos con la primera de las proporciones planteadas y en el sentido de las X, hallamos el valor de la razón. NP X P − X N = =r PQ X Q − X P 8 + 8 16 = =r 5−8 −3 Fig. 37

Trabajando en el sentido de las Y, como ya conocemos la razón, podemos hallar “n”. YP − YN 15 − 4 16 = =− YQ − YP YQ − 15 3 33 = −76YQ + 240

operando :

de donde :

Sol. YQ = n = 12,93 27.- El segmento AB se divide se divide en “n” partes iguales. Hallar las coordenadas del punto medio del quinto segmento definido, el más cercano al extremo A. Si A (3 ; 2) y B(12 ; 15) El problema lo entenderemos mejor, si nos planteamos un gráfico con un segmento AB horizontal, que no altera en nada el ejercicio.

Fig. 38 A cada división le damos el valor de uno, por lo tanto, todo el segmento valdrá “n”, desde el punto A hasta el punto medio del quinto segmento definido hay 4,5 y desde este punto, hasta el extremo B hay “n – 4,5” Planteamos una proporción que nos permita hallar las coordenadas del punto P.

- 36 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

AP 4,5 = PB n − 4,5

aplicando las fórmulas :

 4,5  3 +  .12  n − 4,5  = 3n − 13,5 + 54 = 3n + 40,5 XP = n − 4,5 + 4,5 n  4,5  1 +    n − 4,5   4,5  2 +  .15  n − 4,5  = 2n − 9 + 67,5 = 2n + 58,5 YP = n n − 4,5 + 4,5  4,5  1 +    n − 4,5  2n + 58,5   3n + 40,5 Sol. P  ;  n n  

28.- Los puntos: (3 ; 1) y (7 ; 7) son los extremos de un segmento, el mismo que es dividido por un punto P en la razón -3. Hallar las coordenadas del punto P. Si llamamos a los puntos: (3 ; 1) y (7 ; 7) A y B respectivamente, podemos ubicar el punto P más cerca de A o de B, por lo que el problema tiene dos soluciones. 1ra. solución. Si el punto P está más cerca del extremo B.

Fig. 39 AP = −3 PB

aplicando las fórmulas

XP =

3 + (−3).7 18 = =9 1 + (−3) 2

YP =

1 + (−3).7 20 = = 10 1 + (−3) 2

1ra .Sol. P (9 ; 10 )

- 37 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA da

2 . Solución: Si el punto P está más cerca de A. BP = −3 PA

aplicando las fórmulas :

XP =

7 + (−3).3 2 = =1 1 + (−3) 2

YP =

7 + (−3).1 4 = − = −2 1 + (−3) 2

2 da .Sol. P' (1 ; − 2 )

29.- Las coordenadas del extremo A de un segmento son (-5 ; -3), si el punto Q(2 ; 1) divide al segmento de modo que: 7AQ = 6BQ, hallar las coordenadas del extremo B. 7AQ = 6BQ es una relación de distancias, al pasar a proporción debemos tener cuidado con el signo que esta genera; un dato importante para ver cuantas soluciones tiene el problema es que: BQ > AQ.

AQ 6 = (± ) BQ 7 dos.

debiendo verificarse las soluciones que se cumplan, en nuestro caso las

Primera solución:

AQ 6 = BQ 7

Segunda solución:

- 38 -

6 AQ =− BQ 7

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

7( xQ − x A ) = 6( xQ − x B )

7( xQ − x A ) = −6( xQ − x B )

operando

xQ − 7 x A = −6 x B

reemplazando valores

2 − 7(−5) = −6 x B

13 xQ − 7 x A = 6 x B 13(2) − 7(−5) = 6 x B

de donde

x B = − 37

x B = 61

6 y Q − 7 y A = −6 y B

6 13 y Q − 7 y A = 6 y B

1 − 7(−3) = −6 y B

13(1) − 7(−3) = 6 y B

y B = −11

3

(

entonces : B − 37

6

; − 11

3

)

y B = 17

3

(

∴ B 61

6

; 17

3

30.- El punto M, es el punto de corte de las medianas de un triángulo y está situado en el eje de las X. Dos de los vértices del triángulo son los puntos: A (2 ; -3) y B (-5 ; 1); el tercer vértice, C, está situado en el eje de las ordenadas. Hallar las coordenadas de los puntos M y C.

Las coordenadas de M son: (XM ; 0) por estar el punto sobre el eje X. Las coordenadas de C son: (0 ; YC) por estar el punto sobre el eje Y. D es punto medio entre A y B por ser CD mediana, calculamos sus coordenadas: XD =

−5+2 3 =− 2 2

YD =

1− 3 = −1 2

Fig. 41 D ( -3/2 ; -1) Por la propiedad del punto de corte de las medianas, planteamos: DM 1 = MC 2

o

CM =2 MD

Trabajando con la segunda proporción:

- 39 -

)

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

 3 0 + 2. −   2  = −1 XM = 1+ 2 YM =

YC + 2.(− 1) 1+ 2

YC = 2

;

;

por tanto : M (−1 ; 0)

0=

YC − 2 3

de donde :

C (0 ; 2)

31.- Hallar la razón, en la que se ha dividido el segmento QR, debido al punto M, que se caracteriza por estar a 5u, del punto P(8 ; 6). Si Q(8 ; 1) y R(12 ; 7/3).

El punto M (xM ; yM) debe pertenecer al segmento QR o a su prolongación y estar a 5 unidades del punto P. Empezamos definiendo su posición, para eso planteamos la distancia entre P y M: d PM = (8 − X M ) + (6 − YM ) 25 = X M2 − 16 X M + 100 + YM2 − 12YM X M2 + YM2 − 16 X M − 12YM + 75 = 0 (1)

Como necesitamos otra ecuación en función de ( XM ; YM ), recurrimos a la tangente del ángulo φ. 7   −1 R 1R YR − YR 1 1 3 = Tg. φ = = =  QR1 X R 1 − X Q 12 − 8 3 Para cualquier posición de M, en el segmento QR se cumple que: YR2 = YM y además: R 2R 1 = MR 2 3

por lo tanto :

YR − YR 2

1 = 3 X R2 − X M

7   − YM 3 =  12 − X M

12 − X M = 7 − 3YM X M = 5 + 3YM

- 40 -

operando :

de donde :

(2)

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

H.I.P.

Reemplazando (2) en (1):

(5 + 3YM )2 + YM2 + 16(5 + 3YM ) − 12YM + 75 = 0 YM2 − 3YM + 2 = 0

de donde :

Ym1 = 2

con este valor :

X M1 = 11

YM 2 = 1

con este valor :

X M2 = 8

El punto M por tanto, puede tener dos posiciones: M (11 ; 2) y M (8 ; 1), por lo que el problema tiene dos soluciones. Primera solución con M (11 ; 2 ) : QM X M − X Q 11 − 8 = =r= =3 MR X R − X M 12 − 11 Segunda solución con M (8 ; 1 ) : QM X M − X Q 8−8 = =0 =r= MR X R − X M 12 − 8 Sol: r = 3

;

r = 0.

EJERCICIOS ORALES 1.-

¿Cuándo una proporción entre segmentos genera una razón?

2.-

¿Cuándo una proporción entre segmentos no genera una razón?

3.-

¿Puede la razón valer cero?

4.-

¿Puede la razón valer -1. Porqué?

5.-

¿Si el punto que causa la división del segmento, coincide con uno de los extremos del mismo, que sucede con la razón?

6.-

¿Si el punto que divide al segmento, es punto medio de este, cuanto vale la razón?

7.-

¿Cuándo la razón es negativa? - 41 -

H.I.P.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

8.-

¿Cuándo la razón es positiva?

9.-

¿Siendo el punto que causa la división, exterior al segmento, se puede resolver el problema con una razón positiva?

RESUMEN DE FORMULAS P1 P =r PP2

Si :

XP =

X 1 + rX 2 1+ r

YP =

;

Y1 + rY2 1+ r

;

r ≠ −1

Coordenadas del punto medio : XP =

X1 + X 2 2

;

YP =

Y1 + Y2 2

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-

Hallar las coordenadas de los puntos de trisección y del punto medio, del segmento cuyos extremos son: A(-2 ; 3) ; B(6 ; -3). Sol. (2/3 ;1) ; (10/3;-1) ; (2 ; 0).

2.-

Hallar las coordenadas del punto que está a un tercio de la distancia de A(-2 ; 6) a B(7 ; 3). Sol. P(1 ; 5).

3.-

El punto A, está, a los dos tercios de la distancia, entre los puntos: (1 ; 10) y (-8 ; 4). El punto B es punto medio del segmento definido por C (0 ; -7) y D(6 ; 11). Calcular la distancia AB. Sol. 17,72 ; 17. Determinar las coordenadas de los extremos del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos: P(2 ; -1) y Q(3 ; 1). Sol. (1 ; -3) ; (4 ; 3).

4.-

5.-

Encontrar las coordenadas del punto P que pertenece a la recta AB; sí P está a una distancia doble de B que de A. ¿Cuál es el punto medio de AB? Si A ( 2 ; 2 ) y B (-3: 1). Sol. (-0,5 ; 1,5) ; (1/3 ; 5/3).

6.-

Dados los puntos: (2 ; 1) ; (1 ; -2) y (-1 ; 2), que son los puntos medios de los lados de un triángulo. Hallar las coordenadas de sus vértices. Sol. (0 ; 5) ; (4 ;-3) ; (-2 ; -1).

7.-

Dos de los vértices de un triángulo son de coordenadas A(-4 ; 8) y B(3 ; -8), si las coordenadas de su centro de gravedad son: G(2 ; 6), hallar las coordenadas del tercer vértice. Sol. (7 ; 16). - 42 -

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

H.I.P.

8.-

Determinar las coordenadas del punto P, exterior al segmento AB, que lo divide de modo que: 3AP = 4PB. Si A(-3 ; -2) y B(5 ; 6). Sol. (29 ; 30).

9.-

Hasta que punto debe moverse el extremo B del segmento AB, para que la longitud final del segmento sea a la longitud inicial del mismo, como 25/27. Si A (-3 ; -3) y B(5; 5). Sol. (119/27 ; 119/27) ; (-281/27 ; -281/27).

10.-

El extremo A de un segmento AB, está sobre el eje de las ordenadas, su longitud es de 7 unidades. Hallar las coordenadas del punto P, que divide al segmento en la razón: -3/2, resolver el problema sin utilizar las fórmulas de razones. Si B (5 ; 4). Sol. (15 ; -5,8) ; (15 ; 13,8).

11.-

Dados los puntos: B (-2 ; -3) y C (5 ; 6) y la relación: BC/CD = CD/DE = DE/EF = -1/3. Determinar las coordenadas del punto mas alejado de M (-10 ; 10). Sol. F (-142 ; -183).

12.-

Hallar las coordenadas del punto, que está a las tres quintas partes de la distancia de A (7 ; 4) a B(-3 ; 2). Cuales son las coordenadas de su punto medio. Sol. (1 ; 14/5) ; (2 ; 3).

13.-

El punto R (1 ; 0) divide al segmento AB de modo que: 3AR = 2AB. Hallar las coordenadas del extremo B, si A (-3 ; 4). Resolver sin usar las fórmulas de razones. Sol. B (3 ; -2) ; (-9 ; 10).

14.-

El área de un triángulo es 3 unidades, dos de sus vértices son los puntos: A (2 ; 1) y B (1 ; -3). Si el centro de gravedad del triángulo, está en el eje OX, hallar las coordenadas del tercer vértice. Sol. (3/4 ; 2) ; (15/4 ; 2).

15.-

Hallar las coordenadas de los extremos del segmento, que ha sido dividido en tres partes iguales por los puntos A (2 ; 2) y B(1 ; 5). Sol. (0 ; 8) ; (3 ; -1).

16.-

Dados los puntos: A(7 ; 4) y B(1 ; 1), hallar en la prolongación de la recta que estos determinan, las coordenadas de un punto Q, que esté dos veces mas cerca de B que de A. Sol. (-5 ; -2).

17.-

Los vértices de un triángulo son: A(5 ; -1) ; B(-1 ; 7) y C(1 ; 2). Calcular la longitud de la bisectriz interior del ángulo A. ( Utilice la propiedad de razones). Sol. 6,6.

18.-

Dos de los vértices de un triángulo tienen por coordenadas: A(-4; 8) y B (3 ; -6), si las coordenadas del centro de gravedad son: (2 ; 6), calcular las coordenadas del tercer vértice. Sol. (7 ; 16).

19.-

Un segmento es dividido por el punto P (-3 ; 5) en la relación -5/2, si uno de los extremos del segmento tiene por coordenadas (-7 ; 1), calcular las coordenadas del otro extremo. Sol. (-23/5 ; 17/5) ; (-13 ; -5).

20.-

Se requiere prolongar el segmento de recta AB que resulta de unir los puntos: A (-4 ; -5) y B (2 ; -2), hasta un punto C, de modo que se cumpla que: BC = 3AB. Hallar las coordenadas de C. Sol. (20 ; 7) ; (-16 ; -11). - 43 -

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

21.-

H.I.P.

Determinar la razón, para que un punto P, que divide a un segmento AB, tenga coordenadas idénticas. Sol. r = (ya – xa) / (xb – yb).

22.- Hallar las coordenadas de los puntos P1; P2; P3 y P4, tales que, dividan al segmento KL en 5 partes iguales, si las coordenadas de los extremos están en progresión geométrica tanto para las abscisas como para las ordenadas. 23.-

Dos de los vértices del triángulo ACB son: A (6 ; 5) y B(-3 ; 2), si el área del triángulo es 12 y el tercer vértice está en el eje de las ordenadas, determinar las coordenadas del punto de corte de las medianas. Sol. M (1 ; 38/9).

24.-

Los puntos: P (-8 ; - 3) y Q(-1 ; -9) son los extremos de un segmento, sobre el cual se ubican los puntos C y D que cumplen que: PC/CD = CD/DQ = ¼. Hallar las coordenadas de C y D. Sol. C (-7,7 ; -3,3) ; D(-6,4 ; -4,4).

25.-

Los extremos de un segmento son: A(3 ; 2) y B(-5 ; -7), sobre este se ubica el punto P que divide al segmento de modo que: 3AP = 2BP. Hallar las coordenadas de P. Sol. P (-1/5; -8/5).

26.- Los extremos de un segmento son: A (-5 ; -2) y B(4 ; 6), sobre la recta que los contiene, se ubican los puntos C y D que cumplen que: AD/BC = 2 y AB/DC = 4/3. Hallar las coordenadas de C y D. Sol. C (25/4 ; 8) ; D(-1/2 ; 2). 27.- El segmento AB se divide en “n” partes iguales, si las coordenadas del extremo del tercer segmento definido, el mas cercano al extremo B, se caracterizan porque la abscisa es igual a la ordenada, calcular el valor que debe tener “n” si: A (-3 ; -2) ; B(6 ; 5). Sol. 6. 28.- El área de un paralelogramo es 14u2. Dos de sus vértices son los puntos: A (3 ; 5) y B(4 ; 6). Hallar los otros dos vértices de este paralelogramo, sabiendo que el punto de corte de sus diagonales está en el eje de las abscisas. Sol. (6 ; -6) ; (7 ; -5).

- 44 -

H.I.P.

LA RECTA

CAPITULO II

LA RECTA 2.1. PENDIENTE DE UNA RECTA. 2.2. ANGULO ENTRE DOS RECTAS. 2.3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. 2.4. ECUACIONES DE LA RECTA: FORMAS. 2.5. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. 2.6. ECUACIONES DE LAS BISECTRICES 2.7. FAMILIAS DE RECTAS

OBJETIVO:

Resolver problemas sobre rectas en el plano, luego de un análisis crítico y situacional, aplicando los principios fundamentales y teoremas analizados hasta esta unidad.

-- 47 --

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

2.1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Cuando dos rectas se cortan, forman dos pares de ángulos llamados opuestos por el vértice; si nos piden el ángulo comprendido entre ellas no sabremos a cual de ellos referirnos, para evitar esta confusión damos la siguiente definición:

Se llama ángulo entre dos rectas dirigidas, al formado por los lados que se alejan del vértice.

Fig. 43 Para definir el ángulo β, basta dar direcciones a las rectas L1 y L2, (fig. a) si en cambio, queremos definir el ángulo θ, cambiamos la dirección de L2 (fig. b) con lo que el problema queda solucionado. Antes de enunciar el teorema que nos permite definir el valor del ángulo formado por dos rectas que se cortan, revisemos algunos principios fundamentales: 1. En Geometría Analítica trabajamos únicamente con ángulos positivos, siendo estos, los que se generan en sentido antihorario, o en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj.

2. La recta a partir de la cual se genera el ángulo, se llama recta inicial y la recta en la cual termina de generarse el ángulo, recta final. Las pendientes de estas rectas, se llamarán pendiente inicial y final respectivamente. Así en la figura, el ángulo θ - 47 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

empieza a generarse en la recta L2, que será el lado inicial, y termina en la recta L1 que será el lado final.

3. Si L1 y L2 son paralelas, el ángulo entre ellas será: 0° si las rectas tienen igual dirección y 180° si sus direcciones son opuestas. 4. Los ángulos θ y β son suplementarios, es decir, sumados dan 180°. 5. El campo de variación del ángulo formado por dos rectas que se cortan, está comprendido entre 0o y 180°.

2.1.1. ANGULO DE INCLINACION

Se llama ángulo de inclinación de una recta, al ángulo positivo, formado por la parte positiva del eje de las X y la recta considerada como dirigida hacia arriba.

De acuerdo a la definición dada, el ángulo de inclinación de la recta L1 es α1 y el ángulo de inclinación de L2 es α2..

Por consiguiente, el campo de variación del ángulo de inclinación es: 0o ≤ α ≤ 180º

2.1.2. PENDIENTE DE UNA RECTA

Llamaremos pendiente de una recta, al valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Representamos a la pendiente mediante la letra “m “; por lo que: m = tg α

- 48 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Si una recta es paralela al eje X, decimos que su ángulo de inclinación es de 0o o de 180º dependiendo de la dirección de la recta, en los dos casos su pendiente es igual a cero. Si α es agudo, la pendiente de la recta es positiva, como en el caso de L1; si α es obtuso como en la recta L2, la pendiente es negativa. Si la recta es paralela o coincidente con el eje Y, su ángulo de inclinación es 90º y su pendiente será igual a la tg 90º, como este valor no está definido, diremos que estas rectas no tienen pendiente. Si hacemos girar la recta L1 de manera que se acerque a una posición vertical con respecto del eje X, su pendiente crecerá numéricamente tanto como nosotros queramos, de aquí nace la expresión: tg 90° = ∞ cuyo significado debe tomarse con cuidado ya que ∞ no representa un número real, sino una cantidad que no existe.

2.1.3. DETERMINACION DE LA PENDIENTE Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta que no sea vertical, resulta sencillo obtener su pendiente, aplicando el teorema número cinco.

TEOREMA 5: Conocidos los puntos P1 y P2 de una recta L, su pendiente queda definida por las expresiones: m=

Y2 − Y1 X 2 − X1

o

m=

Y1 − Y2 X1 − X 2

si : X 1 ≠ X 2

[8 ]

DEMOSTRACION:

Fig. 45 Sean los puntos: P1(X1 ; Y1) y P2(X2 ; Y2) puntos de la recta L, como ésta no es paralela al eje Y, se cumple que: X1 ≠ X2.

- 49 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Por el punto P2 trazamos una recta paralela al eje de las Y y por P1 una paralela al eje de las X, las rectas se cortan en el punto E cuyas coordenadas son (X2 ; Y1). Sin importar que el ángulo α sea agudo u obtuso, porque tg (180 - α) = -tg α, se tiene que: tag α =

EP2 P1 E

(1)

en la que :

(2)

EP2 = y P2 − y E = y 2 − y1

(3)

P1 E = x E − x P1 = x 2 − x 1 Re emplazando tag α =

(2)

y

(3)

en

(1) :

y 2 − y1 = m x 2 − x1

Si cambiamos el sentido de los segmentos que definen la tangente del ángulo α, tendremos:

tag α =

P2 E y − y2 = 1 = m EP1 x1 − x 2

Lo que indica, que no tiene importancia que punto tomemos como P1 o como P2.

EJERCICIOS DE APLICACION 32.- Hallar el valor de la pendiente y del ángulo de inclinación de, la recta que pasa por los puntos: (3 ; 2) y B(-4 ; -1). Hallamos el valor de la pendiente: m=

y2 − y1 − 1 − 2 3 = = x2 − x1 − 4 − 3 7

Como : m = tg α =

α = Arc. tg

3 7

∴

3 7

α = 23,2°

33.- Hallar el valor de la pendiente y del ángulo de inclinación, de la recta que pasa por los puntos: A(-3 ; 4) y B(5 ; 4).

- 50 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Siendo la recta paralela al eje de las X, podemos asegurar que su pendiente vale 0, y que su ángulo de inclinación será de: 0 o 180 grados. Analíticamente: m=

4−4 =0 −3−5

α = Arc tg . 0

α = 0° o 180° 34.- Un punto de una recta tiene por coordenadas: (3 ; 4), si las coordenadas de otro punto son: (n ; -2), determinar el valor de “n” si la recta no tiene pendiente.

Si la recta no tiene pendiente, debe ser paralela al eje de las Y, (como lo indica la fig.47) y todos los puntos que pertenecen a esta recta deben tener la abscisa igual, consecuentemente la abscisa del punto B debe valer 3. Por tanto “n” = 3

2.2.

ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS

Para calcular el valor de los ángulos θ y β, cuando conocemos las pendientes m1 y m2 de las rectas que lo forman, nos valemos del siguiente teorema:

TEOREMA 6: Un ángulo especifico θ, formado por dos rectas al cortarse, se define mediante la relación: tg θ =

m f − mi 1 + m f .mi

si

m f .mi ≠ − 1

DEMOSTRACION: - 51 -

[9 ]

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Sean: α1 el ángulo de inclinación de la recta L1 y m1 su pendiente, y α2 el ángulo de inclinación de la recta L2 y m2 su pendiente. Por geometría plana sabemos que: el ángulo exterior a un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos a él. De acuerdo con este teorema:

α 2 = θ + α1

de donde

θ = α 2 − α1

tomando tangentes

tg θ = tg (α 2 − α1 ) tg θ =

tg α 2 − tg α1 1 + tg α 2 . tg α1

desarrollando

(1)

Pero tg α2 es la pendiente del lado final y tg α1 es la pendiente del lado inicial, por lo que reemplazando en la expresión nos queda: tg θ =

mf − mi 1 + m f .m i

si

m f .m i ≠ −1

De igual forma definimos el ángulo exterior β. tomando tangentes : β = α1 + (180 − α 2 ) tg α1 + tg(180 − α 2 ) pero tg β = 1 − tg α1 tg(180 − α 2 ) tg(180 − α 2 ) = − tg α 2 tg β =

tg α1 − tg α 2 1 + tg α1. tg α 2

reemplazando

(2)

Como en el caso anterior, tg α1 es la pendiente final y tg α2 es la pendiente inicial, reemplazando estos valores en la expresión: tg β =

m f − mi 1 + m f .mi

si : m f .mi ≠ −1

- 52 -

[9]

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

2.3.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman entre ellas es de 0º o de 180º, según que sus direcciones sean iguales u opuestas, en ambos casos la tangente de estos ángulos vale cero, por lo que: 0=

mf − mi 1 + m f .m i

Para que esta fracción valga cero el numerador debe valer cero, por tanto: 0 = mf − mi

o lo que es igual

mf = mi

La condición necesaria y suficiente, para que dos rectas sean paralelas, es que, sus pendientes sean iguales. Si las rectas son perpendiculares, el ángulo formado formando por ellas es 90º como la tg de 90º no esta definida, no podemos usar la relación [9] para definirla, pero tg = 1/ctg utilizando esta relación: c tg 90° =

1 + m f .mi m f − mi

Como ctg 90º = 0; el numerador de la fracción debe valer cero, por tanto: 1 + m f .m i = 0

o lo que es igual

m f .m i = −1

Para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es condición necesaria y suficiente que, el producto de sus pendientes sea igual a –1.

Podemos decir también: dos rectas son perpendiculares entre si, si la pendiente de una de ellas es inversa y de signo contrario de la pendiente de la otra. m1 = −

1 m2

m2 = −

1 m1

o

- 53 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

EJERCICIOS ORALES 1.

¿ Qué es el ángulo de inclinación?

2.

¿ Qué es la pendiente?

3.

¿ Entre que valores está comprendido el ángulo de inclinación?

4.

Si una recta es paralela al eje Y, ¿ cuanto vale su pendiente?

5.

¿ Cuánto vale la pendiente del eje X?

6.

¿Cuál es la condición, para que dos rectas sean paralelas?

7.

¿ Cuál es la condición, para que dos rectas sean perpendiculares?

8.

¿ Qué deberá cumplirse, para que dos rectas se corten?

9.

¿ Cómo se halla, el ángulo formado por dos rectas?

10.

¿Cómo están en el plano dos rectas, si el producto de sus pendientes es: + 1?

RESUMEN DE FORMULAS

(α

m = tgα m =

y 2 − y1 x 2 − x1

tg φ =

m f − mi 1 + m f .mi

= ángulo de inclinació n.)

o

m =

y1 − y 2 x1 − x 2

si : x1 ≠ x 2

si : m f .mi ≠ − 1

- 54 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

EJERCICIOS DE APLICACION 35.- Los vértices de un triángulo tienen por coordenadas: A (2 ; -1) ; B(-2 ; 0) y C(3 ; 2). Calcular el valor de sus ángulos interiores.

Calculamos las pendientes de los lados.

Para el ángulo φ se cumple que: mf = mAB

m AB =

0 +1 1 =− −2−2 4

m AC =

2 +1 =3 3−2

m BC =

2−0 2 = 3+ 2 5

y

mi = mAC

y

mi = mAB

1 −3 4 tg φ = = −13  1 1 +  − .3  4 −

φ = tg −1 (− 13) = 94,36°

Para el ángulo β se cumple que: mf = mBC

- 55 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

2 1 + 5 4 = 13 tg β = 2 1 18 1− . 5 4

 13   = 35,84°  18 

β = tg −1 

;

Para el ángulo θ se cumple que: mf = mAC 2 5 = 13 tg θ =  2  11 1 + 3.  5 3−

;

y

mi = mBC

 13   = 49,8°  11 

θ = tg −1 

Comprobación: θ + φ + β = 180º 94,36º + 35,84º + 49,8º = 180º

36.- Hallar los

ángulos formados por las rectas L1 y L2 al cortarse, si las rectas tienen pendientes iguales a: w y w − 1 respectivamente. w +1

Siendo el problema literal, podemos tomar cualquiera de las rectas como de pendiente final o inicial. Tomando a L2 como la recta de pendiente final y llamando θ al ángulo formado tendremos: tg θ =

m L 2 − m L1 1 + m L 2 .m L1

w −1 −w w 1 + =  w −1 1 + w.   w +1

w −1− w2 − w −1− w2 tg θ = = w2 +1 w +1+ w2 − w tg θ =

− ( w2 + 1) = −1 w2 + 1

θ = tg −1 (− 1) = 135° El otro ángulo, por ser suplementario será:

β = 180° − θ = 180° − 135° = 45° 37.- La recta que pasa por los puntos: (6 ; -4) y (-3 ; 2), es paralela a la recta que pasa por los puntos: (2 ; 1) y (0 ; n). Calcular el valor de “n”.

- 56 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Por ser rectas paralelas: mL1 = mL2 m L1 =

−4-2 6 2 =− =− 6 − (− 3) 9 3

mL2 =

n −1 0−2

Igualando las pendientes: −

2 n −1 = 3 −2

operando :

4 = 3n − 3

finalmente :

sol. n =

7 3

38.- Hallar el ángulo formado, por el eje de las ordenadas y la recta que pasa por los puntos: A(1 ;1) y B (-4 ; 5). Calculamos la pendiente m=

1− 5 4 = − 1+ 4 5

Definimos el ángulo de inclinación:  4  5

α = tg −1  −  = 141,3° Calculamos el ángulo pedido: ; β = α − 90° Sol. β = 51,3°

β = 141,3° − 90°

39.- Una recta de pendiente –1/2, pasa por el punto: (2 ; 0); otra recta de pendiente 1 pasa por el punto: (-2 ; 0). En que punto se cortan las dos rectas? El punto de corte pertenece a las dos rectas, calculamos sus pendientes: Resolvemos el sistema entre: (1) y (2):

x p + 2y p − 2 = 0 − x p + yp − 2 = 0 −−−−−−−−−−− 3y p − 4 = 0

de aquí :

yp =

4 3

- 57 -

con este valor :

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

m L1 =

0 − yp 2 − xp

= −

1 2

( 1)

x p − 2 = − 2y p

mL2 =

0 − yp − 2 − xp

= 1

x p + 2 = yp

xp = yp − 2 =

(2 )

4 2 −2 = − 3 3

4  2 Sol. P  − ;  3  3 40.-

Demostrar que: el ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles, es dos veces el ángulo, formado por la base y una de las alturas trazadas desde uno de los vértices de la base. Ubicamos el triángulo en la posición más conveniente, sin particularizar el problema. m AC =

0−b b = −a −0 a

m CB =

0−b b = − a −0 a

Definimos la tg β:

tg β =

m BC − m AC 1 + m BC .m AC

b b − 2ab a a = = − 2 a − b2  b b 1 +  . −   a  a  −

- 58 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Definimos la tg 2θ: mh = −

1 m CB

mh = −

1 a = b b − a

tg 2θ =

de donde :

con este valor :

2tg θ

reemplazando :

1 − tg 2 θ

tg 2θ =

a 2.  b a 1−   b

2

= −

2ab a − b2 2

Por lo tanto, se cumple que: tg β = tg 2θ

∴

β = 2θ

41.- Los vértices de un triángulo son los puntos: A (3 ; -5) ; B (-3 ; 3) y C (-1 ; -2). Determinar la longitud de la bisectriz interna del ángulo A. Para resolver el problema, debemos determinar las coordenadas del punto D, para hacerlo debemos plantear dos ecuaciones en las que intervengan sus coordenadas, estas son las definiciones de las pendientes, tanto de la bisectriz, como de la recta BD. Hallamos las pendientes de los lados: m BC =

3+ 2 5 = − − 3 +1 2

m AB =

−5−3 4 = − 3+3 3

m AC =

−5+2 3 = − 3 +1 4

Definimos el valor del ángulo A:

- 59 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

m AC − m AB = tg A = 1 + m AC .m AB

A = 16,26°

3 4 + 7 4 3 = 24  4 3 1 +  − . −   3 4 −

por tanto :

m − m AB = tg α = AD 1 + m AD .m AB

A = α = 8,13° 2

m AD +

4 3 = 0,142

operando :

4m AD 1+ 3

0,428 − 0,56m AD = 3m AD + 4

de donde :

m AD = −1

Definimos la pendiente de AD en función de las coordenadas del punto D: −1 =

yD + 5 xD − 3

operando :

x D + yD + 2 = 0

(1)

Las pendientes de CB y de CD son iguales. yD − 3 5 = − xD + 3 2

de donde :

5x D + 2y D + 9 = 0

(2)

Reemplazando (2) en (1): 5x D + 2y D + 9 = 0 − 2x D − 2y D − 4 = 0 −−−−−−−−−−−−− 3x D +5 = 0 xD =

5 3

con este valor : y D = −

1 3

Planteamos la distancia AD:

- 60 -

∴

1  5 D − ; −  3  3

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

2

d AD =

2

 5   1   − − 3  +  − + 5  = 6,6  3   3 

Sol. d = 6,6.

42.- Las rectas: L1 ; L2 y L3 se cortan en el punto (-6 ; 4). Si L1 y L2 contienen a los puntos (2 ; 2) y (0 ; 0) respectivamente, y L2 es bisectriz del ángulo que forman L1 y L3. Hallar la pendiente de L3.

Hallamos las pendientes de L1 y L2: m1 =

4−2 1 = − −6−2 4

m2 =

0−4 2 = − 0+6 3

Definimos el ángulo θ en función de m1 y m2:

tg θ =

m1 − m2 1 + m1 .m2

1 2 + 4 3 = 5 = 1 2 14 1+ . 4 3 −

De igual forma, definimos la tangente de α:

- 61 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

tg α =

m 2 − m3 1 + m2 .m3

tg α =

5 14

pero :

por tanto :

2 − m3 5 = 3 2 m3 14 1− 3 −

operando :

15 − 10m3 = − 28 − 42m3 Sol. m3 = −

finalmente :

43 32

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.

Indicar en el gráfico (b) los ángulos de inclinación de los lados del triángulo; y enumerar en forma descendente las pendientes de las rectas del gráfico (a).

2.

Valiéndose del concepto de pendiente, demostrar que los puntos: (6 ; 5) ; (-3 ; 0) y (4 ; 2), son los vértices de un triángulo rectángulo.

3.

Determinar el valor que debe tener “a” para que los puntos: (-7a ; -8) ; (-a ; 4) y (14 ; 10a). Pertenezcan a una misma línea recta. Sol. 2 ; -1,4.

4.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-6 ; 4) ; B(12 ; 8) y C(-10 ; -6). Calcular el valor de sus ángulos interiores. Sol. 35,72º ; 124,33º ; 19,95º.

- 62 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

5.

Dos de los vértices opuestos de un cuadrado son los puntos: A(3 ; 1) y C(-4 ; 2). Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. Sol. B(0 ; 5) ; D(-1 ; -2).

6.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(1 ; 1) ; B(-3 ; 4) y C(1 ; -5). Calcular los ángulos formados por las medianas trazadas desde los vértices A y C. Sol. 68,06º ; 111,9º.

7.

Las pendientes de dos rectas son 2 y -3; determinar la pendiente de la bisectriz del ángulo agudo, que forman las rectas al cortarse. Sol. 14.07.

8.

Dados A(3 ; -1) y B(5 ; 7) vértices de un triángulo y H(4 ; -1), su ortocentro, calcular el área del triángulo. Sol. 8,25u2.

9.

Hallar el ángulo formado por las rectas, que van desde el origen de coordenadas, a los puntos de trisección del segmento, definido por los puntos: A(-2 ; 3) y B(1 ; 7). Sol. 71,56º.

10.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-4 ; -2) ; B(-3 ; 3) y C(5 ; -4) determinar los ángulos formados por las alturas de los lados AB y CA al cortarse. Sol. 91,21º ; 88,79º.

11.

Una recta corta al eje de las abscisas en el punto A(-5 ; 0) y a la parte positiva del eje Y en el punto B. El área del triángulo AOB es 20u2. Si el punto C está en el eje X positivo y cumple con la condición AC/CO = -3, determinar las coordenadas del baricentro del triángulo ACB y su área. Sol. (-5/6 ; 8/3) ; 30.

12.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(3 ; 3) ; B(1 ; -3) y C(-1 ; 2). Hallar el valor del ángulo formado, por la mediana del lado AB y la mediatriz del lado AC, al cortarse. Sol. 137,72º ; 42,27º.

13.

Los vértices de un triángulo son: A(-4 ;- 1) ; B(4 ; w) y C(-6 ; 13). Hallar el valor de w, si la altura que pasa por C, corta a la mediana que pasa por B, formando un ángulo de 45°. Sol. 3 ; -1.

14.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(4 ; 4) ; B(2 ; -4) y C(-3 ; 4). Calcular el ángulo agudo formado por, la mediana trazada desde el vértice C y la mediatriz del lado AC, al cortarse. Sol. 56,3° ; 123,69°.

15.

Por el punto A (6 ; 5) se trazan: una recta L que pasa por el origen de coordenadas, y en ella se ubica el punto B tal que: AB/OB = 5/3, y la recta L1 que tiene un ángulo de inclinación de 150°. Por el punto B se traza una recta L2 que forma con el eje Y (lado inicial) un ángulo de 45° que corta a la bisectriz del ángulo A en el punto M, determinar sus coordenadas. Sol. (8,7 ; -25,2).

16.

Por el punto A(5 ; 6) se traza la recta L que pasa por (0 ; 0) y en ella se ubica el punto B tal que: OA/OB = - 4/3. Por B se traza una recta L1 recta que forma con el eje de las Y (lado inicial) un ángulo de 65°. Por el punto A se traza otra recta L2 que tiene un ángulo de inclinación de 60°. Hallar las coordenadas del punto de corte de L1 y L2. Sol. (-1,63 ; -5,49). - 63 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

17.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-3 ; 3) ; B(-10 ; -4) y C(1 ; -5). Calcular el ángulo obtuso formado por, la bisectriz del ángulo C y la mediana trazada desde el vértice B, al cortarse. Sol. 127,14°.

18.

El ángulo formado por las rectas: L1 y L2 es 135°. Si la pendiente de la recta L1 es -1/3, hallar la pendiente de la recta L2. Sol. –2 ; ½.

19.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(3 ; 2) ; B(-3 ; 3) y C(4 ; 5). Calcular el ángulo formado por, la altura del lado AB y la bisectriz del ángulo interior A, al cortarse. Sol. 40,52° ; 139,47°.

20.

Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-7 ; 8) ; B(3 ; 2) y C(5 ; -6). Calcular el ángulo formado por, la mediana trazada desde el vértice A y la altura trazada desde el vértice B, al cortarse. Sol. 82,87° ; 97,13°.

21.

El ángulo de inclinación de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es 160°, hallar las pendientes de los catetos. Sol. -2,14 ; 0,47.

4.

ECUACIONES DE LA RECTA: FORMAS

- 64 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Para definir una línea recta analíticamente, debemos conocer previamente lo que es un lugar geométrico, por lo que empezaremos dando su definición.

Lugar geométrico: Es el conjunto de todos los puntos y solamente de aquellos, cuyas coordenadas satisfacen la o las condiciones dadas.

Al ser los lugares geométricos conjuntos de puntos que satisfacen condiciones dadas, es posible establecer leyes matemáticas, que describan su comportamiento, y son precisamente estas leyes, a las que les denominamos: ecuaciones de los lugares geométricos.

2.4.1. LA RECTA: DEFINICION Conociendo lo que es un lugar geométrico y la ecuación que lo representa, podemos ya definir analíticamente a la línea recta.

La recta es el lugar geométrico de todos los puntos tales que: tomados de dos en dos y en forma diferente, nos den siempre una pendiente constante. Las líneas rectas las podemos dividir en dos grandes grupos, las rectas paralelas al eje de las Y y las no paralelas a este eje. De las primeras nos ocuparemos más adelante, empezaremos nuestro estudio por el segundo grupo de rectas. La ecuación de una línea recta, que es un lugar geométrico, queda perfectamente definida si conocemos dos condiciones que deben de cumplir los puntos pertenecientes a ella. Los diferentes nombres de la ecuación de la recta, dependen del tipo de condiciones dadas.

2.4.2. FORMA: PUNTO PENDIENTE Supongamos que una recta L, cuya ecuación deseamos hallar, pasa por el punto de coordenadas: P1 (x1 ; y1) y tiene una pendiente dada “m”. Si tomamos un punto P (x ; y) cualquiera perteneciente a esta recta, debe cumplirse que la pendiente PP1 debe ser por definición, siempre igual a “m”.

Planteando esta condición tendremos:

- 65 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

y − y1 = m ( x − x 1 ) m =

y − y1 x − x1

[ 10 ]

de donde :

Si sustituimos en esta última ecuación: x = x1 obtendremos que: y = y1 lo que demuestra que el punto P1 pertenece a la recta L. Por lo tanto, la ecuación [10] representa correctamente a la recta L. Debido a que la pendiente de una recta, que pasa por dos puntos se obtiene fácilmente, la ecuación punto pendiente, se puede también emplear para encontrar la ecuación de la recta, que une dos puntos cualesquiera.

2.4.3. RECTAS PARALELAS AL EJE Y. Sea L una recta cualquiera, paralela al eje Y, y que dista k unidades de dicho eje.

Todo punto que pertenezca a la recta L cualquiera que sea su ordenada, tiene siempre una abscisa igual a k. ( Puntos Q, R y S ). Las coordenadas de todos los puntos de L, satisfacen por tanto la condición: x = k.

Recíprocamente, cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan esta condición, es un punto cuya abscisa es k, y situado por tanto, a una distancia k del eje Y, y en consecuencia, está sobre la recta L. De aquí que la ecuación de L es: x = k.

Toda recta paralela al eje Y, tiene una ecuación de la forma: x = k. Siendo k la distancia dirigida del eje Y a la recta. [ 11 ] Una recta es o no paralela al eje Y. Si es paralela al eje Y, su ecuación es de la forma: x = k ; si no es paralela al eje Y, su pendiente está definida y su ecuación será por lo tanto de la forma:

y - y1 = m(x – x1). - 66 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Como todas las rectas caen bajo una de estas clasificaciones, cualquier otra forma de la ecuación de la recta, debe reducirse a una de estas formas. Para algunos tipos de problemas, son convenientes otras formas de la ecuación de la recta, por lo que procedemos a exponerlas y estudiarlas.

2.4.4. FORMA: PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN. Si la recta corta al eje de las X en el punto: A(a ; 0) se dice que el número “a” es la abscisa en el origen de la recta. Análogamente, si la recta corta al eje Y en el punto B(0 ; b), al número ”b” se le denomina ordenada en el origen de la recta. y − y1 = m( x − x 1 ) y − b = m( x − 0) y = mx + b

[12]

Supongamos que una recta cuya ecuación queremos encontrar, tiene pendiente “m” y una ordenada en el origen “b”. Puesto que el punto (0 ; b) es un punto de la recta, usando la ecuación en la forma punto pendiente tendremos: Un caso particular tenemos cuando la recta pasa por el origen de coordenadas, en esta circunstancia: b = 0 y la ecuación se convierte en: y = mx [13]

2.4.5. FORMA: SIMETRICA. Supongamos una recta que corta a los ejes coordenados, por tanto tiene una abscisa en el origen a ≠ 0 y una ordenada en el origen b ≠ 0. Al ser conocidos dos puntos de la recta, podemos definir el valor de su pendiente. m =

b−0 b = − 0−a a

b y − b = − ( x − 0) a

operando :

ay − ab = −bx

ordenando :

bx + ay = ab

dividiendo por ab :

x y + =1 a b

[14]

2.4.6. FORMA GENERAL - 67 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Cualquier ecuación de primer grado en las variables “x e y” se puede escribir en la forma: Ax + By + C = 0 [ 15 ]. Denominada ecuación general de la recta. Ecuación en la cual A, B y C son constantes, que pueden ser numéricas o literales, debiendo A o B ser diferentes de cero, para que exista ecuación. C puede o no ser igual a cero. Para demostrar que la ecuación en la forma general, representa siempre una línea recta, examinaremos las formas posibles de la ecuación. Caso I: Si B = 0 Si B = 0 entonces A ≠ 0 y la ecuación general se convierte en: Ax + C = 0 Como A ≠ 0 la ecuación se puede escribir en la forma: x = -C/A que es una ecuación de la forma: x = k, es decir es una recta paralela al eje Y. Caso II: Si B ≠ 0 Si B ≠ 0 podemos dividir todos los términos de la ecuación general por B y despejar “y” obteniendo: y=−

A C x− B B

Pero ésta ecuación está en la forma: y = mx + b y por tanto, es la ecuación de una recta, cuya pendiente es -A/B y su ordenada en el origen es - C/B. Caso III: Si C = 0 Si C = 0 la ecuación toma la forma: Ax + By = 0, si despejamos el valor de y: y=−

A x B

que está en la forma : y = mx

Que es la ecuación de las rectas que pasan por el origen de coordenadas. En consecuencia, en todos los casos, la ecuación en la forma general, representa una línea recta. Si la ecuación está en la forma general, la abscisa en el origen se define: a = - C/A Al analizar la ecuación de la recta en la forma general, parecería que los coeficientes: A; B y C son totalmente independientes entre sí, pero, podemos demostrar fácilmente, que en realidad solo hay dos constantes independientes, si uno de los coeficientes A o B es diferente de cero; bastará utilizar el procedimiento descrito en el análisis del caso II.

- 68 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Dividimos toda la ecuación para A o B: B C y+ =0 A A

C B  ;  A A

A C x+ y+ =0 B B

A C  ;  B B

Dividiendo para A : x +

Dividiendo para B :

En los dos casos, quedan dos constantes a ser definidas, para calcular estas constantes necesitamos dos ecuaciones independientes que las contengan. Como en Geometría Analítica, la ecuación de una recta queda perfectamente definida por dos condiciones independientes, podemos hallar el valor de los tres coeficientes. Luego de este análisis, podemos enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA 7: Toda ecuación de primer grado, representa una línea recta, y recíprocamente, toda recta puede representarse por una ecuación de primer grado.

2.4.7. RELACIONES ENTRE DOS RECTAS DEL PLANO. Si tenemos dos rectas pertenecientes al plano cuyas ecuaciones son: L1 : Ax + By + C = 0

;

L 2 : A 1 x + B1 y + C1 = 0

Estas rectas pueden ser entre si: paralelas, perpendiculares, coincidentes o se cortan en un punto. Analizaremos las relaciones que deben cumplir sus coeficientes, para cada una de estas posiciones. a.- Rectas paralelas: Si las rectas son paralelas, sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto: m L1 = − −

A B

A A =− 1 B B1

;

m L2 = − de donde :

A1 B1

igualando :

A B = A 1 B1

Es decir, los coeficientes de x e y deben ser proporcionales, pero es posible que A1 o B1 sean iguales a cero y la proporción no tendría sentido, por lo que podemos plantear: - 69 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

AB1 = BA1

AB1 − BA1 = 0

finalmente :

[ 18 ]

Relación que es válida para todos los casos.

b.- Rectas perpendiculares. La condición necesaria y suficiente, para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno, por lo tanto: m L1 .m L 2 = −1

por lo tanto :

 A   A1   −  .  −  = −1  B   B1 

de donde :

[ 19 ]

AA1 + BB1 = 0 c.- Rectas coincidentes.

Dos rectas son coincidentes, si tienen un punto común y la misma pendiente. Si tomamos como punto común la abscisa en el origen, tendremos:

 C   C1    −  =  −  A   A1  A C = A 1 C1

y

A B C = = =K A 1 B1 C1

 A   A1   −  =  −   B   B1 

y

A B = A 1 B1

operando :

por lo tanto :

[ 20 ]

Es decir, dos rectas son coincidentes, si y solo si, sus coeficientes en la forma general son proporcionales. Para el caso de que alguno de los coeficientes valga cero, escribimos la relación de proporcionalidad como: A = K.A 1

;

B = K.B1

;

C = K.C1

Relaciones en las cuales K es la constante de proporcionalidad y es siempre diferente de cero. d. Rectas que se cortan en un punto:

- 70 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Dos rectas se cortan en un punto, si sus pendientes son diferentes, por lo que: A A ≠− 1 B B1

operando :

AB1 − A 1 B ≠ 0

[ 21 ]

−

EJERCICIOS DE APLICACION 43.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto: P(-3 ; 2) y forma con el eje de las Y, un ángulo de 60°. Si el ángulo se mide a partir del eje Y positivo.

Conocido el ángulo que forma con el eje Y, podemos hallar el ángulo θ. θ = 90° − 60° = 30° Hallamos ahora el ángulo suplementario de θ, que es el ángulo de inclinación de la recta . α = 180° − 30° = 150°

Si conocemos el ángulo de inclinación, podemos conocer la pendiente de la recta: m = tg .α por tanto : 3 3 Si conocemos un punto de la recta y su pendiente podemos utilizar la ecuación [10]. m = −

y−2 = − Sol.

3 (x + 3) 3

3x + 3 y − 6 + 3 3 = 0

44.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(2 ;-3) y B(-5 ; 4).

m =

−3−4 = −1 2+5

Definimos el valor de la pendiente: Con este valor y uno cualquiera de los puntos, hallamos la ecuación de la recta. - 71 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

y + 3 = − 1( x − 2)

operando :

Sol. x + y + 1 = 0

45.- Una recta cuya ordenada en el origen es el doble de la ordenada en el origen de L1, es paralela a la recta que pasa por los puntos (3 ; 1) y (1 ; 6). Hallar su ecuación, si la ecuación de L1 es: 7x - 4y + 3 = 0.

Para graficar la recta L1, calculamos dos de sus puntos, al tiempo que obtenemos su ordenada en el origen: b = ¾. La ordenada en el origen de la recta buscada L3 será por tanto: b 3 = 2b1 = 2.

3 3 = 4 2

Calculamos la pendiente de L2 que es también de L3. m =

6 −1 5 = − 1− 3 2

Aplicando la forma pendiente y ordenada en el origen, definimos la ecuación de L3 reemplazando el valor de la pendiente y tomando cualquiera de los puntos: 5 3 y=− x+ 2 2

2 y = −5 x + 3

operando :

ordenando :

Sol. 5 x + 2 y − 3 = 0

46.- Una recta corta a los ejes coordenados, formando un triángulo de área 6u2. Si su ordenada en el origen, es una unidad menor que su abscisa en el origen, hallar su ecuación.

- 72 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Por el enunciado del problema podemos la relación: b = a −1

plantear

(1)

Definimos el área del triángulo: 6=

a.b 2

∴

12 = a . b

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 12 = a (a − 1) operando y ordenando : a 2 − a − 12 = 0

factorando :

(a − 4)(a + 3) = 0

de donde :

a1 = 4

con este valor :

b1 = 3

a 2 = −3

con este valor :

b 2 = −4

Escribimos las ecuaciones solución, en la forma simétrica:

x y + =1 4 3 x y + =1 −3 −4

1ra. Sol.

2da. Sol.

47.- Trabajando únicamente con la forma general. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(2 ; 3) y B(-1 ; -4). Como los puntos pertenecen a la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación general, por tanto:

- 73 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Con A(2 ; 3) : 2+3

B C + =0 A A

Con B(−1 ; − 4) : −1− 4

B C + =0 A A

2A + 3B + C = 0

dividiendo para A :

(1) − A − 4B´+C = 0

dividiendo para A :

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 2+3

B C + =0 A A

B C − =0 A A −−−−−−−−−−− B =0 3+7 A

1+ 4

de donde :

Substituyendo este valor en (1):

B 3 =− A 7

C/A = - 5/7

Si ya conocemos estos valores, trabajamos con la ecuación general de la recta; si dividimos toda la ecuación para A: x+

C B y+ =0 A A

x−

3 5 y− =0 7 7

reemplazam os los valores obtenidos :

quitamos deno min ado res : Sol. 7 x − 3 y − 5 = 0.

48.- Determinar los valores de A y B, para que la recta: Ax + By + 5 = 0, sea concurrente con las rectas L1 : x – y + 2 = 0 y L2: 2x + 3y – 6 = 0 y forme con la recta L3: x + y = 0 un ángulo de 45°.

- 74 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Llamaremos: L1: L2: L3: L4:

x–y+2=0 2x + 3y – 6 = 0 x+y=0 recta buscada.

Si las rectas son concurrentes, se cortan en un punto, hallamos sus coordenadas haciendo sistema entre L1 y L2: − 2x + 2 y − 4 = 0 2 x + 3y − 6 = 0 −−−−−−−−−−−− 5y − 10 = 0 De donde:

y=2

x−2+2 = 0 x=0 ;

Ax −

5 2

de donde : PI (0 ; 2)

2B + 5 = 0 B=−

con este valor:

de donde :

reemplazando en L4 :

5 y+5 = 0 2

2 Ax − 5 y + 10 = 0

operando :

(1)

Las coordenadas del punto de intersección satisfacen la ecuación de L4: Definimos el valor de la pendiente: m L4 = −

A 2A 2A =− = 5 B −5

Definimos la tangente de 45°. (solución para el gráfico # 62)

- 75 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

tg 45° =

m L4 − m L3 1 + m L4 .m L3

1 + m L4 .m L3 = m L4 − m L3 1 − m L4 = m L4 + 1 m L4 = 0 m L4 =

Sol.

reemplazando valores : de donde :

pero :

2A =0 5

− 5 y + 10 = 0

m L3 = −1

;

∴

A=0

reemplazando en (1) :

simplificando :

y=2

La recta respuesta, es una recta paralela al eje de las X. Se recomienda realizar la segunda solución.

49.- Hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el punto: A(1 ; 4) son paralelas y perpendiculares a la recta: 3x – 2y + 40 = 0. L1 = recta dada. L2 y L3 rectas buscadas. Si las rectas son paralelas: m L1 = m L 2 =

3 2

Utilizando la forma pendiente definimos L2: y−4=

3 ( x − 1) 2

3x − 2 y + 5 = 0 Por la condición de perpendicularidad:

- 76 -

Ec. L2 .

punto

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

m L1 .m L3 = −1 m L3 = −

2 3

Utilizando la forma punto pendiente hallamos la ecuación de L3: 2 y − 4 = − ( x − 1) 3 2 x + 3 y − 14 = 0 Ec. L3 .

50.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento, que une los puntos: A(-3 ; 6) y B(5 ; 2). Si es mediatriz, divide al segmento en dos partes iguales, hallamos las coordenadas del punto medio. xm =

−3+5 =1 2

ym =

6+2 =4 2

;

m(1 ; 4)

Por ser perpendiculares las rectas: m1 .m 2 = −1

;

m1 = −

1 2

∴

m2 = 2

Aplicando la forma punto pendiente: y − 4 = 2( x − 1) operando y ordenando : Sol. 2 x − y + 2 = 0

51.- Dados los vértices de un triángulo: A(2 ; -2) ; B(3 ; -5) y C(5 ; 7), hallar la ecuación de la perpendicular, bajada desde el vértice C, a la recta que contiene a la bisectriz del ángulo interno A.

- 77 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Hallamos las pendientes de los lados AC y AB:

mAC =

7+2 9 = =3 5−2 3

mAB =

−2+5 = −3 2−3

Definimos la tangente del ángulo A: tg A =

mAC − mAB 1 + mAC .mAB

tg A =

3+3 3 =− 1 + 3(−3) 4

A = 143,13°

por tanto :

A = 71,565° 2

Definimos la tangente del ángulo mitad: tg .

A m − mbi = AC 2 1 + mAC .mbi

3=

3 − mbi 1 + 3mbi

3 + 9mbi = 3 − mbi

reemplazando :

operando :

de donde :

mbi = 0

Si la pendiente de la bisectriz vale cero, quiere decir que la bisectriz es paralela al eje de las X, y la perpendicular a ella, trazada desde el vértice C, es paralela al eje de las Y, siendo su ecuación de la forma : x = k, como la recta pasa por C su ecuación es: Sol. x = 5. 52.- Un ángulo de 30°, tiene su vértice en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre la recta, cuyo ángulo de inclinación es 15°; hallar las coordenadas de A y B puntos de corte de los lados del ángulo con la recta, que pasando por el punto P(2 ; - 78 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

10) genera la proporción: PB/BA = - 5/2. Hallamos las ecuaciones de los lados del ángulo: mL1 = tg 15° = 0,27 mL2 = tg 45° = 1 Las rectas pasan por el origen de coordenadas, sus ecuaciones son de la forma: y = mx Ec. L1:

y = 0,27x

Ec. L2:

y=x

Las coordenadas de los puntos A y B satisfacen estas ecuaciones, por lo tanto: YB = 0,27 xB

(1)

YA = xA

(2)

Trabajando con la proporción:  5 2 + −  xA 4 − 5x A  2 xB = = 5 −3 1− 2

de donde : − 3 x B = 4 − 5 x A

 5 10 +  −  y A 20 − 5 y A  2 yB = = 5 −3 1− 2

de donde : − 3 y B = 20 − 5 y A

(3)

(4)

Reemplazamos (1) y (2) en (4): − 3(0,27 xB ) = 20 − 5( x A )

de donde :

- 79 -

0,81xB + 20 − 5 x A = 0

(5)

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Resolvemos el sistema entre: (5) y (1): 3x B − 5 x A + 4 = 0 − 0,81x B + 5 x A − 20 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−− 2,19 x B − 19 = 0 por tan to : x B = 7,31 y B = 0,27(7,31)

de donde : y B = 1,97

Re emplazando en (3) :

xA =

3(7,31) + 4 = 5,19 5

∴

y A = 5,19

Sol: A(5,19 ; 5,19) ; B(7,31 ; 1,97)

53.- Uno de los vértices de un triángulo es el punto (0 ; 0) . Se trazan la bisectriz interna y la altura desde los otros dos vértices, cuyas ecuaciones son: 4,14x + 10y – 35,16 = 0 ; x – y – 4 = 0 respectivamente; hallar las ecuaciones de los lados del triángulo. Para graficar correctamente el problema y ahorrarnos trabajo y tiempo, nos valemos de un triángulo cualquiera, en el que trazamos los datos del problema, en nuestro caso, la altura, la bisectriz y el vértice C, y realizamos el siguiente análisis: a.-Desde el vértice C trazamos una perpendicular a la altura, el punto de corte de esta recta y la bisectriz nos da el vértice A.

b. En el vértice A repetimos el ángulo formado por el lado y la bisectriz, esta recta corta a la altura en el vértice B. Hallamos la pendiente de la altura: mh = 1 mAC = −1

por lo tanto : por perpendiculares.

Ec. AC : y = − x

- 80 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Definimos las coordenadas del vértice A, haciendo sistema entre las ecuaciones del lado AC y de la bisectriz:

Re emplazamos y = − x m −m tg4φ,14 =x − bi10 x −AC35,16 = 0 1 + m .m bi

AC

en la bi sec triz reemplazan do :valores : operando

con+ 1este valor : y = 6 x = −−6 0,414 de donde : tg φ = 0,414 tg φ = 1 + 0,414 A(−6 ; 6) Definimos la tangente del ángulo mitad: Definimos el otro ángulo mitad, que tiene el mismo valor de la tangente, para hallar la pendiente del lado AB: tg φ =

mAB − mbi 1 + mAB .mbi

0,414 =

reemplazando valores :

mAB + 0,414 1 − 0,414mAB

mAB = 0

operando :

el lado AB es paralelo al eje X .

Como pasa por el punto A(-6 ; 6):

Ec. AB:

y= 6

La ordenada del vértice B vale también 6, reemplazando este valor en la ecuación de la altura: x−6−4 = 0

mBC =

de donde : x = 10

por tan to : B(10 ; 6)

6 3 = 10 5

Ec. BC : y =

3 x 5

o

3x − 5 y = 0

- 81 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

54.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas: L1: 5x + 7y – 35 = 0 ; L2: 2x + y = 0 ; L3: x – y = 0. Hallar las ecuaciones de las alturas. 5 7

∴

mh 3 =

m AC = −2

∴

mh 2 =

m BC = 1

∴

mh1 = −1

m AB = −

7 5 1 2

Hallamos las pendientes de los lados y por la condición de perpendicularidad, las pendientes de las alturas: Haciendo sistema entre las rectas, definimos las coordenadas de los vértices del triángulo: 5 x + 7 y − 35 = 0 − 14 x − 7 y

L1

=0

L2

−−−−−−−−−−− 35 = 0 − 9x − x=−

35 9

de donde :

y=

y

70 9

A (-35/9 ; 70/9 ) ; mh1 = -1 70 35   = −1  x +  9  9 

Ec. h 1 :

y−

Ec. h 1 :

9 x + 9 y − 35 = 0

B (35/12 ; 35/12) ; mh2 = ½

5 x + 7 y − 35 = 0

L1

7x − 7 y

L3

=0

−−−−−−−−−− 12 x − 35 = 0 x=

35 12

y

y=

de donde :

35 12 - 82 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

Ec.h2 : y −

35 1  35  = x −  12 2  12 

Ec.h2 = 12 x − 24 y + 35 = 0

C ( 0 ; 0) ; mh3 = 7/5 Ec. h 3 :

y=

7 x 5

o

7 x − 5y = 0

EJERCICIOS ORALES 1. a.b.c.d.2. a.b.c.d.-

Indique la ecuación de las rectas que satisfacen las condiciones dadas: Paralela al eje X y pasa por el punto: ( 2 ; 4 ). Paralela al eje Y y pasa por el punto: (-3 ; -5 ). Coincidente con el eje X. La recta bisectriz del primer cuadrante. ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas? x = 2y 3x + 2y – 1 = 0 y=-4 2x = 5

3.

¿Cuánto vale la abscisa en el origen de las siguientes rectas?

a.b.c.d.e.-

2y = 3x – 1 x – 3y – 1 = 0 y=-5 x=4 y/6 – x/3 = 1

4.

¿Cuánto vale la ordenada en el origen de las siguientes rectas?

a.b.c.d.e.5.

2y = 4x + 3 5x – 3y – 2 = 0 y=2 x=-7 2x/5 + 3y/7 = 1 ¿Cuánto debe valer A para que las rectas dadas sean: paralelas, perpendiculares y se corten en un punto? L1: 3x + 2y – 3 = 0 - 83 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

L2: 6x – Ay + 4 = 0 6.

¿Cuánto deben valer A y B para que las rectas dadas sean coincidentes? L1: 4x – 3y + 5 = 0 L2: Ay - Bx – 10 = 0

7.

¿Cómo están dos rectas en el plano, si el producto de sus pendientes es igual a 2?

8.

¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean:

a.b.c.-

Perpendiculares. Coincidentes. Se corten en un punto.

RESUMEN DE FORMULAS y − y1 = m ( x − x1 )

Forma punto pendiente.

x=k

Re ctas paralelas al eje Y .

y=k

Re ctas paralelas al eje X .

y = mx + b

Forma compacta.

y = mx

Re ctas que pasan por el origen.

x y + =1 a b

Forma simétrica.

Ax + By + C = 0

Forma general.

a=−

C A

b=−

;

C B

m=−

;

A B

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Hallar la ecuación de la recta, que es perpendicular en el punto medio al segmento definido por los puntos: A (-3 ; 4) y B (5 ; -2). Sol. 4x - 3y – 1 = 0.

2.

Calcular el valor del ángulo agudo, que forman las rectas L1 y L2 al cortarse. L1 : 2 x − 3 y + 5 = 0

;

L2 :

x y − = 1. 3 5 2 4

- 84 -

Sol . 6,12°

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

3.

Los vértices de un triángulo son: A (4 ; 3) ; B (0 ; 5) y C (-4 ; 1). Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas del punto de intersección de estas. Sol. y = 3 ; x = 0 ; x – 2y + 6 = 0 ; (0 ; 3).

4.

Los vértices de un triángulo son: A (0 ; 0) ; B (0 ; 8) y C (-4 ; 2). Hallar las ecuaciones de las alturas. Sol. y = 2 ; 2x – y + 8 = 0 ; 2x + 3y = 0.

5.

Los lados de un triángulo están en las rectas: x + y – 3 = 0 ; 4x – 3y + 9 = 0 ; 3x – 4y – 9 = 0. Calcular las longitudes de las alturas. Sol. (21/2).21/2 ; 21/5.

6.

Hallar en la forma simétrica, la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta: 5x + 3y – 15 = 0. Sol. x/(-8/3) + y/(8/5) = 1.

7.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2 ; 4) y determina sobre el eje X un segmento igual a –9. Sol. 4x – 7y + 36 = 0.

8.

Hallar los valores de A y B de la ecuación: Ax – By + 4 = 0 ; si la recta pasa por los puntos: C(-3 ; 1) y D(1 ; 6). Sol. A = 20/19 ; B = 16/19.

9.

A es el punto medio del segmento limitado por los puntos: (-2 ; 3) y (6 ; -1). B está en el segmento MN, en el cual M(4 ; 3) y N(0 ; -3); si B dista de M los ¾ de la distancia MN. Hallar la ecuación de AB. Sol. 5x – 2y – 8 = 0.

10.

Una recta pasa por el punto (0 ; a) y su ángulo de inclinación es igual, al ángulo suplementario, del ángulo que la recta: αx - βy + ε = 0, forma con el eje de las X. Determinar su ecuación. Sol. αx - βy + aβ = 0. ; αx + βy - aβ = 0.

11.

Demostrar que las rectas L1 y L2 son perpendiculares. L1 :

x −δ

α

=

y −ε

β

;

L2 :

x −δ

β

=−

y −ε

α

12.

Determinar el valor de α para que la recta: 3x - αy + 4 = 0 sea perpendicular a la recta que pasando por el punto (-2 ; 3) determina sobre los ejes coordenados un triángulo de área 4u2. Sol. α = - 27/2 ; α = 1,5.

13.

Hallar la ecuación de la recta, que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 20 u2 y es paralela a la recta: 2kx + 3ky – 8 = 0.

Sol. 2x + 3y ± 15,5 = 0.

14.

Un triángulo isósceles tiene sus lados iguales sobre las rectas: L1 : 2x + 3y – 6 = 0 ; L2 : x – 3y – 12 = 0 ; si el tercer lado pasa por el punto (-2 ; 5). Hallar su ecuación. Sol. 7,41x – y + 19,82 = 0 ; 0,134x + y – 4,7 =0.

15.

Una recta pasa por el punto A(2 ; 4/3) y forma con los ejes coordenados un triángulo cuyo perímetro es 12u. Hallar su ecuación. Sol: 8x + 15y – 36 = 0 ; 4x + 3y – 12 = 0.

- 85 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

16.

Hallar la ecuación de la recta, concurrente con las rectas: y – ax – b = 0 ; y – a′x - b′ = 0. Si pasa por el origen de coordenadas. Sol. (ab′ - a′b)x – (b′ - b)y = 0.

17.

La abscisa en el origen de una recta, es el inverso de su ordenada en el origen, si la recta pasa por el punto Q(2 ; -1), hallar su ecuación. Sol. x + y – 1 = 0 ; x + 4y + 2 = 0.

18.

El punto A(-4 ; 5) es uno de los vértices de un cuadrado, cuya diagonal está contenida en la recta: 7x – y + 8 = 0. Hallar las ecuaciones de los lados. Sol. 3x – 4y + 32 = 0 ; 4x + 3y - 24 = 0 ; 3x – 4y + 7 = 0 ; 4x + 3y +1 = 0.

19.

Los vértices de un triángulo son: A(5 ; -1) ; B(-1 ; 7) y C(1 ; 2). Calcular la longitud de la bisectriz interna del ángulo A. Sol. 6,6.

20.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5 ; 4), si la suma de sus coordenadas al origen es igual a - 3. Sol. 2x – y – 6 = 0 ; 2x – 5y + 10 = 0.

21.

Dado el vértice A(-1 ; -2) y las ecuaciones de las medianas trazadas desde los otros dos vértices, hallar las ecuaciones de los lados. 3x – y – 8 = 0 ; y =1. Sol. 6x – 5y – 4 = 0 ; 3x – 7y – 11 = 0 ; 3x + 2y – 20 = 0.

22.

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(12 ; 1) ; B(2 ; 1) y C(6 ; 7). Hallar la ecuación de la recta, paralela al lado BC y que divide al triángulo, en dos partes de igual área. Sol. 3x – 2y – 12,8 = 0.

23.

Los puntos: A(8 ; 6) y B(12 ; 4) al proyectarse sobre el eje X, definen sobre la recta: x – 3y – 5 = 0 el segmento QR. Se pide hallar la razón en la que se divide el segmento , debido a un punto M, distante 5u. del punto A. Sol. 3 ; 1/3 ; 0 ; ∞.

24.

Los puntos A(2 ; 5) y B(4 ; 1) son los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, de lados paralelos a los ejes coordenados. Hallar las ecuaciones de las rectas, que pasan por el tercer vértice y dividen al ángulo recto en tres partes iguales. Sol .

3x − y + 1 − 2 3 = 0

;

3 x − 3y + 3 − 2 3 = 0

25.

Los vértices de sun triángulo son de coordenadas: A(4 ; 5) ; B(-4 ; 3) y C(4 ; -2), se trazan la bisectriz del ángulo A y la mediana desde el vértice C que se cortan en el punto P, hallar sus coordenadas. Sol. P(1,4 ; 1,91).

26.

Dadas las rectas L1 ; L2 y L3. Determinar los valores de A y B, para que la recta L1 sea paralela a L2 y forme con L3 un ángulo de 45 grados, si L1 es lado inicial. L1: (A + 1)x + Ay – (2A + B) = 0 ; L2: (5B + 1)x + 4By +A + B = 0. L3: Ax + (2.A + 6)y + A = 0. Sol. A = 2 , B = 1 ; A = -3/2 , B = -3/11.

27.

El área de un triángulo es 10u2. Dos de sus vértices son los punto: A(1 : -2) y B(2 ; 3), si C el tercer vértice, está sobre la recta: 2x + y – 2 = 0. Hallar las coordenadas de C. Sol: (29/7 ; - 44/7) ; ( - 11/7 ; 36/7). - 86 -

H.I.P.

ECUACIONES DE LA RECTA.

28.

Para que valor de “m” las rectas: (m – 1)x + my – 5 = 0 ; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 se cortan en el eje de las abscisas. Sol. m = 7/12.

29.

Dada la recta: Ax + By – 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la dada, y que forma con los ejes coordenados un triángulo, cuya área sea 13/4 veces, el área del triángulo formado por la recta dada y los ejes coordenados. Sol. Bx – Ay ± (52)1/2 = 0.

30.

Los vértices de un triángulo, son los puntos: A(3 ; 2) ; B(3 ; -7) y C(-4 ; -5). Se trazan, la bisectriz del ángulo interno C y la mediana desde el vértice A, que se cortan en un punto P. Hallar el área del triángulo ACP. Sol. 11,48u2.

31.

Hallar en la recta L1 : 2x – y – 5 = 0, un punto P, de manera que la suma de las distancias a los puntos: A(7 ; 1) y B(-5 ; 5) sea mínima. Sol. (25/7 ; 15/7).

32.

Los puntos: A(3 ; 5) y B(4 ; 1) son los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el tercer vértice C, dividen al ángulo recto en tres partes iguales. Si A = 36º. Sol. 0,37x – y + 0,85 = 0 ; 0,17x + y – 3,88 = 0.

33.

Los vértices de un triángulo son de coordenadas: A(18 ; 0) ; B(6 ; 12) y C(0 ; 0). Hallar las ecuaciones de dos rectas paralelas al lado AC, de manera que el triángulo quede dividido en tres partes de igual área, por estas rectas. Sol. 5,07 ; 2,2.

- 87 -

H.I.P.

FORMA NORMAL

2.4.8. FORMA NORMAL La ecuación de una recta y su posición en el plano quedan perfectamente definidas si conocemos dos condiciones. La recta L quedará definida, en su ecuación y posición en el plano, si conocemos la longitud del segmento perpendicular a L trazado desde el origen (OP1) y el ángulo, que este forma con el eje de las x positivas. ( w ) Llamaremos: “p” a la longitud del segmento OP1 y lo consideraremos siempre positivo; “w” al ángulo positivo formado por el eje X positivo y el segmento OP1 siendo su campo de variación : 0o  w  360º ; con estos dos elementos podemos ya obtener la ecuación de L en función de estos dos nuevos parámetros. Las coordenadas del punto P1 punto de corte de L y OP1 serán para cualquier posición de L: X1 = p. cos w. Y1 = p. sen w La pendiente del segmento OP1 , para cualquier posición de la recta L, es siempre igual a la tg w, por lo tanto la pendiente de L será: mL = -1/ tg w. Como conocemos un punto y la pendiente, podemos definir la ecuación de L. y − p. sen w = −

cos w (x − p. cos w) sen w

de donde :

y. sen w − p. sen 2 w = − x. cos w + p. cos 2 w

(

)

x. cos w + y. sen w − p sen 2 w + cos 2 w = 0 x. cos w + y. sen w − p = 0

agrupando : finalmente :

forma normal.

[22]

La forma normal de la recta es importante por sus aplicaciones, ya que nos permite obtener la distancia de un punto a una recta, así como, las ecuaciones de las bisectrices.

- 88 -

H.I.P.

FORMA NORMAL

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 55.- Una recta es tangente a una circunferencia, de centro en el origen y radio igual a 5, en el punto P (4 ; -3). Hallar su ecuación en la forma normal. El radio es perpendicular a la tangente en el punto tangencia, por lo tanto: p = 5. x cos w + y sen w - 5 = 0 3 5

sen θ =

sen w = −

4 5 4 cos w = 5

cos θ =

; 3 5

(1)

;

Con estos valores: w = 323,13° 4  3 x + −  y − 5 = 0 5  5

Forma normal.

x cos 323,13° + y sen 323,13° − 5 = 0

(2)

(3)

Forma normal.

Las ecuaciones (2) y (3) son idénticas, si a la ecuación (2) le quitamos los denominadores la ecuación pasa a la forma general. 56.- La ecuación de una recta en su forma normal es: x cos w + y sen w - 5 = 0. Hallar el valor de w para que la recta pase por el punto (-4 ; 3). El punto (-4 ; 3) satisface la ecuación de la recta, por tanto: -4 cos w + 3 sen w - 5 = 0

Ec. Trigonométrica original.

3 sen w – 5 = 4 cos w

elevando al cuadrado:

9 sen2 w – 30 sen w + 25 = 16 cos2 w

substituyendo:

9 sen2 w – 30 sen w – 16 + 16 sen2 w + 25 = 0 25 sen2 w – 30 sen w + 9 = 0 (5 sen w – 3)2 = 0 w1 = 36.86º

;

de donde:

ordenando:

factorando: sen w = 0.6

con este valor:

w2 = 143.13º

El valor de “w” que satisfaga la ecuación trigonométrica original, se tomará como solución del problema, los otros valores de “w” deben despreciarse. Con 36,86° :

0

3(0,6) – 4(0,8) – 5

Con 143,13° : 3(0,6) – 4(-0,8) – 5 = 0

si es solución.

Sol. x cos 143,13° + y sen 143,13° - 5 = 0

- 89 -

no es soluci

H.I.P.

FORMA NORMAL

57.- El ángulo de inclinación de una recta es de 60° . Hallar la ecuación de la recta en su forma normal, si su distancia del origen es igual a 5.

El problema tiene dos soluciones. Primera solución: L1 w = 180° - 30° = 150°

;

p=5

Sol. x cos 150° + y sen 150° - 5 = 0

Segunda solución: L2 w = 360° - 30° = 330°

;

p=5

Sol. x cos 330° + y sen 330° - 5 = 0

58.- Hallar la ecuación de la recta en la forma normal, sí esta pasa por los puntos: A (6 ; 2) y B(2 ; -4). Las coordenadas de los puntos A y B deben satisfacer la ecuación de la recta: x cos w + y sen w – p = 0 -6 cos w + 2 sen w – p = 0

(1)

2 cos w – 4 sen w – p = 0

(2)

Resolvemos el sistema entre: (1) y (2). -6 cos w + 2 sen w – p = 0 -2 cos w + 4 sen w + p = 0 -8 cos w + 6 sen w

=0

(3)

Resolvemos esta ecuación trigonométrica: − 8 1 − sen 2 w = −6. sen w 64 – 64.sen2 w = 36.sen2 w

elevamos al cuadrado los dos miembros:

100.sen2 w –64 = 0

factoramos:

(10.sen w + 8) (10.sen w – 8 ) = 0

finalmente:

sen w1 = 8/10

;

sen w2 = -8/10

por tanto:

w11 = 53,13°

;

w12 = 126,87°

w21 = 233,13°

;

ordenamos:

w22 = 306,87°

- 90 -

H.I.P.

FORMA NORMAL

Los valores de “w” que satisfagan la ecuación (3), los tomaremos en cuenta para definir el valor de “p”, los demás los desechamos. Con: 53.13°.

-8(0,6) + 6(0,8) = 0

Con: 126.87°

-8(-0,6) + 6(0, )

Con: 233.13°

-8(-0,6) + 6(-0,8)

Con: 306.87°

-8(0,6) + 6(-0,8) = 0

este valor satisface, por tanto es solución. 0  0no satisface, lo despreciamos. satisface, es solución.

Definimos el valor de “p”, con las dos soluciones halladas de “w”. Con: 53,13°

-6(0,6) + 2(0,8) – p = 0

de donde: p = -2

“p” no puede ser negativo, por lo tanto, desechamos esta solución.

Con 233,13° :

-6(-0,6) + 2(0,8) – p = 0

de donde: p = 2

Sol. x cos 233,13° + y sen 233,13° - 2 = 0

- 91 -

no satisface, lo desprec

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

2.4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Antes de hablar sobre este tema, aprendamos a pasar la ecuación de una recta, dada en la forma general, a la forma normal. Si partimos de que las ecuaciones: Ax + By + C = 0

y

x cos w + y sen w – p = 0

Representarán a la misma recta, siempre y cuando sean coincidentes, es decir, sus coeficientes deben ser proporcionales, por lo que:

cos w sen w − p = = =k B A C Relación de la que obtenemos: cos w = k.A. sen w = k.B. - p = k.C.

(1) (2) (3)

Siendo “k” la constante de proporcionalidad. Elevando las ecuaciones (1) y (2) al cuadrado y sumándolas: cos2 w = k2.A2 2 sen w = k2.B2 -------------------------------------cos2 w + sen2 w = k2 (A2 + B2) k=

Despejando:

1 ± A2 + B 2

[23]

Reemplazando en: (1) , (2) y (3): cos w =

sen w =

−p=

A ± A2 + B 2 B ± A2 + B 2 C

± A2 + B 2

[24] [25] [26]

Lo que nos indica que la forma normal se la puede expresar en la forma:

- 92 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Ax ± A2 + B 2

+

By ± A2 + B 2

+

C ± A2 + B 2

=0

[ 27 ]

Que no es otra más que, la ecuación general, multiplicada por la constante de proporcionalidad k. Como aparecen dos signos delante del radical, realizamos el siguiente análisis para definir cuál de ellos debemos tomar: a. Sí C ≠ 0. Debe satisfacerse la ecuación (3) , por lo que tomamos para k, signo contrario al de C. b. Sí C = 0 y B ≠ 0. Debe satisfacerse la ecuación (2) , por lo que tomamos para k, el mismo signo de B.

c. Sí B = C = 0. Debe satisfacerse la ecuación (1) , por lo que tomamos para k, el mismo signo que A. Resumiendo, podemos concluir que:

Para pasar una ecuación, dada en la forma general, a la forma normal, basta multiplicar cada uno de sus términos, por la constante de proporcionalidad k, debiendo escogerse el signo delante del radical, de acuerdo a la regla expuesta.

EJERCICIOS DE APLICACION 59.- La ecuación de una recta es: 5x – 7y – 11 = 0. Hallar su ecuación en la forma normal, así como los valores de “p” y “w”. Definimos el valor y signo de la constante de proporcionalidad k. Como C es negativo, tomamos para el radical el signo positivo. k=

1 1 = 25 + 49 74

Multiplicamos cada término de la ecuación en la forma general, por este valor.  7  11  y − +  − =0 74  74  74

5x

Ec. en la forma normal

El signo delante de “x e y” siempre será positivo, si la ecuación está en la forma normal, los que pueden ser negativos son los signos del sen w y del cos w. El signo delante de p siempre es negativo.

- 93 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

p=

11 74

; cos w =

5 74

; sen w = −

7 74

Con estos dos valores: w es del 4to. cuadrante: w = 305,55° x cos 305,55° + y sen 305,55° - 1,28 = 0

Ec. En la forma normal.

60.- Pasar la ecuación: 3x – 4y = 0 a la forma normal y definir los valores de p y w. El signo del radical, por ser C = 0, será el mismo que de B, es decir negativo. k=

−

1 1 =− 5 9 + 16

Multiplicando cada término de la ecuación dada, por k: 4y  3 =0 −  x + 5  5

Ec. en la forma normal.

4 3 cos w = − ; sen w = w es del 25do. Cuadrante: w = 5143,13°

;

p=0

Sol. x cos 143,13° + y sen 143,13° - 0 = 0 61.- Pasar la ecuación x = -3

Ec. En la forma normal

a la forma normal y definir los valores de p y w.

x + 3 = 0. Ec. en la forma general. 1 1 K= =− signo contrario al de C 1 1+ 0 x 3 − =0 −1 1 cos w = -1

Ec. en la forma normal. ;

sen w = 0

x cos 180° + y sen 180° - 3 = 0

por lo tanto: w = 180° ∴

p=3

- 94 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Queremos hallar la distancia desde el punto: P (x1 ; y1), , a la recta L , de ecuación: x cos w + y sen w – p = 0. Por el punto P hacemos pasar una recta L1 paralela a , L , que tiene por ecuación: x cos w + y sen w − (p + d) = 0 Las coordenadas del punto P deben satisfacer esta ecuación, por lo tanto: x1 cos w + y1sen w – p – d = 0 Despejando el valor de la distancia: d = x1 cos w + y1 sen w – p = 0

[28]

Expresión que nos permite calcular la distancia de un punto a una recta, cuando su ecuación está dada en la forma normal, como las ecuaciones de la recta en la mayoría de los casos vienen dadas en la forma general, basta transformar la expresión [28] para hallar una nueva relación que nos defina la distancia. Recordemos que: cos w = k.A ; sen w = k.B y -p = k.C. Reemplazando estos valores en la expresión [28] obtenemos: d=

Ax1 + By1 + C ± A 2 + B2

[29]

Si deseamos únicamente longitud, tomaremos el valor absoluto de la relación [29], si en cambio, necesitamos magnitud, el signo de la distancia quedará definido al tomar en cuenta el signo del radical o tomamos el valor absoluto y escogemos el signo de la distancia de acuerdo a la siguiente regla: 1.- Cuando la recta no pasa por el origen de coordenadas. a. Si el punto (desde el cual hacemos distancia) y el origen de coordenadas están de lados opuestos de la recta, la distancia es positiva. b. Si el punto y el origen están del mismo lado de la recta, la distancia es negativa. 2.- Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas. a. La distancia es positiva, si el punto está sobre la recta. b. La distancia es negativa, si el punto está debajo de la recta. La distancia con signo se usa principalmente en: determinación de las ecuaciones de las bisectrices de un ángulo formado por dos rectas al cortarse; problemas de circunferencias tangentes a rectas dadas y para recuperar soluciones, en problemas en los que interviniendo distancias, nos den soluciones imaginarias.

- 95 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Resumiendo, podemos enunciar:

Para hallar la distancia de un punto a una recta, dada en la forma general, tomamos el valor absoluto de la expresión que resulta de: reemplazar las coordenadas del punto, en la ecuación de la recta y multiplicarla por la constante de proporcionalidad k. Si deseamos distancia con signo, este lo escogemos de acuerdo a la regla enunciada, o definiendo el signo del radical.

EJERCICIOS DE APLICACION 62.- Hallar la distancia dirigida, del punto P(6 ; 4) a la recta: x/6 + y/4 = 1.

Pasamos la ecuación a la forma general: 2x + 3y –12 = 0

(1)

Hallamos el valor de k, tomando en cuenta el signo del radical, porque nos piden magnitud.

k=

1 1 = 4+9 13

Reemplazamos las coordenadas del punto P(6 ; 4) en la ecuación (1) y la multiplicamos por k. d=

2(6) + 3(4) − 12 12 = 13 13

La distancia es positiva, lo que se ratifica al mirar el gráfico, pues el origen y el punto están en lados opuestos de la recta.

63.- La abscisa en el origen de una recta es 4, la distancia de la recta al punto (5 ; -2) es 2. Hallar la ecuación de la recta. La ecuación de la recta es: x y + =1 4 b

o

bx + 4y − 4b = 0

(1)

- 96 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Hacemos distancia: d=

b(5) + 4(−2) − 4b

como

d=2

b + 16 2

2 (b2 + 16) = b – 8

elevando al cuadrado:

4b2 + 64 = b2 – 16b + 64

términos semejantes:

3b2 + 16b = 0 b1 = 0

;

de donde: b2 = −

16 3

Reemplazando en (1): Con b = 0: x(0) + 4y – 4(0) = 0 y=0

de donde:

no es solución.

Con b = -16/3 : 4x – 3y –16 = 0

si es solución.

64.- Demostrar que la recta: 5x – 2y – 1 = 0 , divide por la mitad, a la distancia entre las rectas: 5x – 2y + 7 = 0 y 5x – 2y – 9 = 0. Debemos demostrar que d1 = d2 Obtenemos un punto de la recta dada: Si: x = 3 entonces: y = 7 ; P(3 ; 7) Hallamos d1 y d2: d1 =

5(3) − 2(7) + 7 8 = − 25 + 4 29

d2 =

5(3) − 2(7) − 9 8 = 25 + 4 29

Se cumple que: d1 = d2.

65.- Dados el punto A(4 ; 5) y la recta: x + 2y – 4 = 0. Determinar sobre la recta los puntos B y C, tales que, al unirlos con el punto A formen un triángulo equilátero. - 97 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Como el triángulo es equilátero podemos decir que su lado vale “a”, aplicando Pitágoras, definimos la altura:

h = a2 −

a2 a 3 = 4 2

Pero h es también la distancia, del punto A a la recta L, por tanto: h=

4 + 2(5) − 4 = 4,47 1+ 4

4,47 =

a 3 2

∴

a = 5,17

Como el triángulo es equilátero: AB = AC = 5,17 Por tanto: AB = (x1 − 4) 2 + (y1 − 5) 2 = 5,17 26,73 = x12 + y12 – 8x1 – 10y1 + 41 x12 + y12 – 8x1 – 10y1 + 14,27 = 0

(1)

Las coordenadas del punto B, satisfacen la ecuación de la recta dada.

x1 + 2y1 – 4 = 0 x1 = 4 – 2y1

de donde:

(2)

Reemplazando (2) en (1): (4 – 2y1)2 + y12 – 8(4 – 2y1) – 10y1 + 14,47 = 0 5y12 – 10y1 – 1,73 = 0

de donde:

y = 2,16

ordenada del punto B

y = -0,16

ordenada del punto A

Con estos valores: xB = 4 – 2(2,16) = -0,32 xC = 4 – 2(-0,16) = 4,32 Sol. B(-0,32 ; 2,16) ;

C(4,32 ; -0,16)

66.- La distancia de una recta al origen de coordenadas es: 2. Si la distancia del punto A (8 ; 4) a la recta, es como 5/2 veces la distancia de la recta al origen, hallar su ecuación. - 98 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Al conocer la distancia del origen a la recta, es conocido “p”, por lo tanto, la ecuación de la recta será de la forma: x cos w + y sen w – 2 = 0. La distancia del punto A a la recta es: (5/2).2 = 5 5=

por tanto:

8 cos w + 4 sen w - 2 cos 2 w + sen 2 w

Como: cos2w +sen2w = 1

tenemos:

8 cos w + 4 sen w – 7 = 0

(1)

64 (1- sen2w) = (7 – 4 sen w)2

de donde:

64 – 64 sen2w = 49 – 56 sen w + 16 sen2w 80 sen2w – 56 sen w – 15 = 0 sen w1 = 0,907

;

resolved: sen w2 = -0,207

Con estos valores del sen w tenemos: w1 = 65,09°

;

w2 = 114,91°

;

w3 = 191,94°

;

w4 = 348,05°

Los valores de w que satisfagan la ecuación (1), serán solución del problema: Primera solución:

x cos 65,09° + y sen 65,09° - 2 = 0

Segunda solución: x cos 348,05° + y sen 348,05° - 2 = 0

67.- Demostrar que: si la distancia de una recta al origen, es igual a tres veces el coseno de su ángulo de inclinación, su ecuación en la forma general es: x sen α - y cos α + 3 cos α = 0. Siendo α su ángulo de inclinación. Partimos de la ecuación: y = mx + b.

La pasamos a la forma normal.

mx – y + b = 0

(1)

forma general

Definimos la constante k y multiplicamos por ella a la ecuación: Tomamos el doble signo, porque el término C es literal: mx ± m2 + 1 mx ± m2 + 1 p=

−

+

y ± m2 + 1 (−)y ± m2 + 1

−b ± m2 + 1

∴

+

−

b ± m2 + 1 −b ± m2 + 1 3 cosα =

=0

=0

Ec. En la forma normal

−b ± m2 + 1

Elevando al cuadrado los dos miembros: - 99 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

9 cos 2α =

b2 1+ m2

de donde :

b2 = 9 cos2 α (1+ m2) Como:

m = tgα =

senα cosα

Reemplazando este valor: b2 = 9 (sen2α + cos2α) = 9 Por lo tanto:

b=

+

3

Reemplazando en la ecuación (1): x senα −y±3=0 cosα

finalmente:

x sen α - y cos α ± 3 cos α = 0

2.6.

L.Q.Q.D.

ECUACIONES DE LAS BISECTRICES.

Empecemos definiendo lo que es una bisectriz.

Bisectriz: es el lugar geométrico, de todos los puntos, que equidistan de los lados de un ángulo. Basándose es esta definición y una vez que hemos estudiado la distancia de un punto a una recta, podemos establecer un procedimiento, para la determinación de las ecuaciones de las bisectrices, de los ángulos formados por dos rectas al cortarse: 1.- Graficamos las ecuaciones de las rectas. 2.- Tomamos un punto cualquiera P(x ; y) perteneciente a la bisectriz, cuya ecuación deseamos definir. 3.- Hallamos las distancias desde este punto, a las rectas que forman los lados del ángulo. 4.-

Igualamos estas distancias tomando en cuenta sus signos, obtendremos como resultado la ecuación de la bisectriz deseada.

- 100 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

EJERCICIOS DE APLICACION 68.- Hallar las ecuaciones de las bisectrices, que las rectas L1 y L2 forman al cortarse. L1: 2x + y – 4 = 0 ; L2: 6x – 3y + 12 = 0.

Para b1: hallamos las distancias: d1 =

2x + y − 4 5

d2 =

6x − 3y + 12 − 45 Las igualamos con sus respectivos signos:

−

-d1 = d2

por lo tanto:

-d3 = -d4

por tanto:

2x + y − 4 6x − 3y + 12 = 5 − 45

3(2x + y – 4) = 6x – 3y + 12 6y = 24

de donde:

y=4

Ec. b1

Para b2: hallamos las distancias: d3 = d4 =

2x + y − 4 5 6x − 3y + 12 − 45

Las igualamos con sus respectivos signos: −

2x + y − 4 6 x − 3y + 12 =− 5 − 45

-3(2x + y – 4) = 6x – 3y + 12 12x = 0

de donde: x = 0

Ec. b2

69.- Hallar las ecuaciones de las bisectrices, de los ángulos formados por las rectas: L1 y L2 al cortarse. L1: 3x – 4y + 6 = 0 ; L2: 2y – 3 = 0. d1 =

3x − 4y + 6 3x − 4y + 6 = −5 − 25

- 101 -

H.I.P.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

d2 =

2y − 3 2y − 3 = 2 4

-d1 = d2 −

por tanto:

3x − 4 y + 6 2 y − 3 = −5 2

Ec. b1: 2x – 6y + 9 =0 d3 =

3x − 4y + 6 3x − 4y + 6 = −5 − 25

d4 =

2y − 3 2y − 3 = 2 4

d3 = d4

por tanto:

3x − 4 y + 6 2 y − 3 = −5 2 Ec. b2:

6x + 2y – 3 = 0

70.- Hallar la distancia, del punto (-7 ; -8) a la bisectriz del ángulo obtuso, formado por las rectas: L1 y L2 al cortarse. L1: 2x – 2y + 8 = 0 ; L2: x – 4y – 7 = 0. d1 = - d2

por tanto:

2x − 2y + 8 x − 4y − 7 =− − 8 17 Hallamos la ecuación de la bisectriz:

5,42x + 3,07y + 52,8 = 0

Ec. bi.

Hacemos distancia del punto a la bisectriz:

d=

5,42(−7) + 3,07(−8) + 52,8 5,42 2 + 3,07 2

Sol. d = 1,56

- 102 -

H.I.P

FAMILIA DE RECTAS

2.7.

FAMILIA DE RECTAS.

Habíamos indicado que la ecuación y posición de una recta en el plano, quedan perfectamente definidas si conocíamos dos de sus condiciones, si conocemos únicamente una de ellas, existirán un número infinito de rectas que la cumplen, llamaremos a este grupo o conjunto de rectas: familia o haz de rectas y a la ecuación que las define: ecuación de la familia. Si conocemos por ejemplo que la pendiente debe valer 2, la ecuación de la familia es: y = 2x + b ecuación que representa a todas las rectas de la figura. Las ecuaciones particulares de cada una de las rectas que forman esta familia, las obtendremos, cuando definamos de alguna manera el valor de la ordenada en el origen “b”, que recibe el nombre de: parámetro de la familia de rectas.

Todas las rectas que pasan por un punto, por ejemplo el punto (3 ; 2); representan otra familia de rectas cuya ecuación es: y – 2 = m(x - 3). De igual forma, para los diferentes valores de la pendiente “m”, obtendremos las ecuaciones de las rectas particulares que la forman; siendo “m” el parámetro de la familia. La ecuación: x/a + y/2 = 1 es la ecuación de todas las rectas cuya ordenada en el origen vale 2, siendo “a” la abscisa en el origen, el parámetro de la familia. Ax + 3y – 5 = 0 ; x cos 30º + y sen 30º - p = 0. Son otros ejemplos de familias de rectas, en las que los parámetros son: a y p respectivamente; luego de este análisis podemos exponer un procedimiento a seguir, para la resolución de problemas relativos a familias de rectas. 1.

Luego de analizar los datos del problema, planteamos la ecuación de la familia, la que se caracterizará por estar en función de un único parámetro.

2.

Con los datos dados en el problema, definimos el valor del parámetro, lo que siempre será factible de hacerlo, si el problema está bien concebido.

3.

Reemplazamos el valor del parámetro en la ecuación de la familia y obtenemos la recta particular buscada.

2.7.1. FAMILIA DE RECTAS QUE PASA POR EL PUNTO DE CORTE DE DOS RECTAS DADAS Como una de las familias de rectas más importantes, analizaremos a la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas. Sean las rectas: Ax + By + C = 0 ; A’x + B’y + C’ = 0 y sea P(x1 ; y1) su punto de intersección, la ecuación: K1(Ax + By + C) + K2(A’x + B’y + C’) = 0 [29] representa a esta familia, ecuación en la cual, K1 y K2 son constantes arbitrarias que pueden tomar todos los valores reales, exceptuando el caso de que ambas valgan cero simultáneamente. Si en esta ecuación hacemos: x = x1 ; y = y1 la ecuación toma la forma: K1.0 + K2.0 = 0 que es verdadera para todos los valores de K1 y K2 por tanto ratificamos, que la expresión [29] es la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto P(x1 ; y1) incluidas las rectas L1 y L2. Como no nos interesa obtener L1 y L2 a partir de [29] podemos escribir esta ecuación en función de una sola constante arbitraria K, que sería el parámetro de la familia, con este fin podemos enunciar:

-103-

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

Para definir la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas, multiplicamos la ecuación de una de las rectas en la forma general , por el parámetro K, le sumamos la ecuación de la otra recta e igualamos a cero.

(

)

Ax + By + C + K A / x + B / y + C / = 0

[30]

A / x + B / y + C / + K (Ax + By + C ) = 0

[31]

El procedimiento para resolver problemas en los que intervengan esta familia, es similar al ya enunciado anteriormente, además de que no hace falta, determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas.

EJERCICIOS DE APLICACION 71.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(5 ; 20) y tal que, el producto algebraico de los segmentos que determina sobre los ejes coordenados sea igual a –25/3. Si la recta debe pasar por A(5 ; 20) planteamos la familia de rectas que pasa por este punto: y – 20 = m (x – 5) ; m = parámetro. Hallamos los puntos de corte con los ejes: Si : x = 0

→

Si : y = 0

y = 20 -5m

→ x=

5m-20 m

El producto algebraico de estos segmentos, debe valer –25/3.

(20 - 5m )  5m − 20  = − 25 

m



3

operando :

75m 2 − 625m + 1200 = 0

simplificando :

3m 2 − 25m + 48 = 0

factorando :

(3m − 16) (3m − 9) = 0

de donde :

m1 =

16 3

;

m2 = 3

Reemplazamos los valores de “m” en la ecuación de la familia: 16 (x − 5) 3

de donde :

16x − 3y − 20 = 0

y − 20 = 3(x − 5)

de donde :

3x − y + 5 = 0

1ra sol. y − 20 = 2da sol.

72.- Una recta corta a los ejes coordenados, formando un triángulo de área 24u2, si su pendiente es –¾, hallar su ecuación. Planteamos la ecuación de la familia de rectas de pendiente –3/4 3 y = − x + b → 3 x + 4 y − 4b = 0 4

-104-

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

Puntos de corte con los ejes: Si :

x=0 → y=b

Si :

y=0

→ x=

4b 3

Definimos el área del triángulo:  4b  b  3 A =   = 24 2

de donde : b 2 = 36

finalmente :

b=±6

Reemplazamos estos valores en la ecuación de la familia y obtenemos las rectas pedidas. 3 x+6 4 3 sol. y = − x − 6 4

1 ra sol. y = −

→

3x + 4y − 24 = 0

2 da

→

3x + 4y + 24 = 0

73.- Calcular el área de un triángulo, si las coordenadas del centro del círculo inscrito son (2 ; 3), uno de los lados del triángulo está sobre la recta: 8x + 5y – 40 = 0 y uno de los vértices es el punto (0 ; 0). Las rectas L2 y L3 pasan por el origen de coordenadas, por lo que están representadas por la ecuación de la familia: y = mx. Hacemos distancia del centro a L1:

r=

8(2 ) + 5(3) − 40 = 0,95 64 + 25

Hacemos distancia del centro a la familia:

0,95 =

m(2 ) − 3

operando :

m2 + 1

0 ,95 m 2 + 1 = 2m − 3

elevando al cuadrado :

0,90m 2 + 0,90 = 4m 2 - 12m + 9

términos semejantes :

3,1m 2 - 12m + 8,1 = 0

resolviendo:

m1 = 3

reemplazando:

;

m2 = 0 ,83

Ec.L2: y = 3x

;

Ec.L3: y = 0 ,83x

Punto de corte entre L1 y L3 .

8 x + 5( 3 x) − 40 = 0 y = 3( 1,74 )

→

→ y = 5,22

23 x = 40

→

por tan to:

-105-

x = 1,74 A( 1,74 ; 5,22 )

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

Punto de corte entre L1 y L2 . 8 x + 5( 0,83 x) − 40 = 0 y = 0,83( 3,29 )

→

→

12,15 x = 40

y = 2,73

→

por tan to:

x = 3,29 B( 3,29 ; 2,73 )

Area del triángulo OBA: 0 1 0 1 A = = 3,29 2,73 1 = 6 2 1,74 5,22 1

74.- Dadas las rectas: 3x + 2y – 5 = 0 ; x – 3y + 2 = 0, hallar la ecuación de la recta, que pasando por el punto de intersección de las rectas dadas, dista una unidad del origen de coordenadas. Planteamos la ecuación de la familia que pasa por el punto de intersección de las rectas: 3x + 2y − 5 + K (x − 3y + 2 ) = 0 x (3 + K ) + y(2 − 3K ) + 2K − 5 = 0

ordenando :

Planteamos la distancia del origen a la familia. 1=

2K − 5 (3 + K ) 2 + (2 − 3K ) 2

(3 + K )2 + (2 - 3K )2

= 2K − 5

ordenando :

elevando al cuadrado :

9 + 6K + K 2 + 4 - 12K + 9K 2 = 4K 2 - 20K + 25 6K 2 + 14K - 12 = 0

factorando :

(3K + 9)(3k - 2) = 0

K1 = −3

;

finalmente :

K2 =

2 3

reemplazando estos valores :

3x + 2y - 5 - 3(x - 3y + 2) = 0

de donde :

1ra. sol. y = 1

2 3x + 2y - 5 + (x - 3y + 2) = 0 3

operando :

9x + 6y - 15 + 2x - 6y + 4 = 0

términos semejantes :

2da. sol. x = 1 75.- Hallar la ecuación de la recta, que pasando por el punto de corte de L1 con el eje de las ordenadas, divide al triángulo formado por las rectas: L1 ; L2 y L3 en dos áreas iguales. La familia de rectas que pasa por la intersección de L1 y L3 tiene por ecuación: x(1+7 K) – y (1-2K) + 3 – 42K = 0. La familia de rectas que pasa por la intersección de L1 y L2 tiene por ecuación: x – y (1 - K1) + 3 = 0.

-106-

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

Podemos definir las ecuaciones de las rectas: L1 ; L2 y L3 a partir de la las ecuaciones de las familias dadas, para ello realizamos el siguiente procedimiento. x (1 + 7K) – y (1 - 2K) + 3 - 42K = 0

operando:

x + 7Kx - y + 2Ky + 3 - 42K = 0

ordenando:

x - y + 3 + K ( 7x + 2y – 42) = 0

(1)

x – y (1 - K1) + 3 = 0

operando:

x - y + K1y + 3 = 0

ordenando:

x - y + 3 + K1(y) = 0

(2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2), podemos decir que las ecuaciones de las rectas son: L1: x - y + 3 = 0 L2: 7x + 2y - 42 = 0 ; L3: y = 0 Con estos datos podemos graficar el problema.

Calculamos el punto de corte entre las rectas: L1 y L2: 7x – 2y - 42 = 0 2x – 2y + 6 = 0 ----------------------9x - 36 = 0 x=4

con este valor:

C ( 4 ; 7)

Calculamos el área del triángulo: ABC. Base = AB = XB - XA = 6 + 3 = 9 ; Altura = YC = 7 A=

9.7 = 31,5u 2 2

A1 = A2 =

A 31,5 = = 15,75u 2 2 2

En el triángulo: QPC QC = h=

(0 − 4)2 + ( 3 - 7 )2

=4 2

x1 − y1 + 3 2

-107-

y=7

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

 x − y + 3 4 2 1 1  2   = 15.75 A= 2 4 x1 − 4 y1 − 19,5 = 0

(1)

El punto P satisface la ecuación de L2 : 7 x1 + 2 y1 − 42 = 0

(2)

Hacemos sistema entre (1) y (2), para definir las coordenadas del punto P. Las coordenadas del punto P, de acuerdo al gráfico elaborado, deben estar comprendidas entre las coordenadas de los puntos C y B, en caso de que la abscisa de P sea mayor que la abscisa de B, el triángulo corresponderla al área 2 y el cuadrilátero al área 1 por lo que se debería resolver el problema nuevamente, luego de rectificar el gráfico. 4x1 – 4y1 – 19,5 = 0 14x1 + 4y1 - 84 = 0 18x1

- 103.5 = 0

x1 = 5,75

con este valor:

y1 = 0,9

por lo tanto:

P(5,75 ; 0,9)

Las coordenadas de P cumplen con el análisis anterior. Hallamos la pendiente de QP: mQP =

3 − 0,9 = 0,36 0 − 5,79

Hallamos la ecuación de QP: y − 3 = −0,36( x − 0)

operando :

Sol. 0,36 x + y − 3 = 0 76.- La recta 2x + 3y = 0, es parte de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas que se cortan. Las rectas que se cortan se caracterizan por ser perpendiculares entre sí y tener abscisas en el origen de igual magnitud pero de signos contrarios. Además, estas rectas forman con el eje de las X un triángulo de área 6u2. Hallar sus ecuaciones. En el triángulo ABP: A=

b.h 2a.y1 = =6 2 2

y1 =

6 a

de donde :

(1)

El punto P satisface la ecuación de la recta L. 2 x1 + 3 y1 = 0

(2) -108-

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 6 2 x1 + 3   = 0 a 9 x1 = − a

de donde :

En el triángulo se cumple también: AB2 = AP 2 + PB2 (2a) 2 = ( ( x1 + a) 2 + y 2 ) 2 + ( ( x1 − a) 2 + y 2 ) 2

(2a )2 = (x1 + a )2 + y12 + ( x1 − a )2

+ y1

2

4a 2 = 2x1 + 2y1 + 2a 2 2

2

a 2 = x12 + y12 Reemplazando los valores de x1 y y1 hallados en (1) y (2): 2

2

 9 6 a = −  +    a a 4 a = 117 de donde : a = ±3,29 (dos soluciones ) 2

Primera solución: a = 3,29 x1 = −

y1 =

9 9 =− = −2,74 3,29 a

6 6 = 1,82 = a 3,29

Ec. L1 : y − 0 =

1,82 − 0 (x − 3,29 ) − 2,74 − 3,29

L1 : y = − 0,3x + 0,99 Ec. L 2 : y - 0 =

1,82 − 0 (x + 3,29 ) − 2,74 + 3,29

L 2 : y = 3,31x + 10,89

Segunda solución: a = -3,29

-109-

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

x1 = −

y1 =

m=

9 = 2,74 3,29

6 = - 1,82 − 3,29 − 1,82 − 0 = −0,302 2,74 + 3,29

Ec. L 1 : y − 0 = − 0,302 (x + 3,29 ) L 1 : y = − 0,3x − 0,99 mL 2 =

− 1,82 − 0 = 3,31 2,74 − 3,29

Ec. L 2 : y - 0 = 3,31 (x − 3,29 ) L 2 : y = 3,31x - 10,90

77.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas L1 ; L2 y L3. Sin hallar las coordenadas de los vértices, determinar las ecuaciones de sus alturas. L1: 2x – 3y + 4 = 0 ; L2: x + y + 3 = 0 ; L3: 5x - 4y – 20 = 0 2 + k = mh 3 3-k 1 1 4 = = mh 3 = 3 mL 3 5 5 4 2 + k - = de donde: k = -22 5 3-k mf =

Familia de rectas que pasa por A: 2x - 3y + 4 + k(x + y + 3) = 0 x(2 + k) - y(3 – k) + 4 + 3k = 0

Reemplazamos en la ecuación de la familia: 2x - 3y + 4 - 22(x + y + 3) = 0 Ec. h3: 20x + 25y + 62= 0 Familia de rectas que pasa por B: 2x - 3y + 4 + k(5x - 4y - 20) = 0 x(2+ 5k) - y(3 + 4k) + 4 - 20k = 0

-110-

H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

2 + 5k = mh 2 3 + 4k 1 1 = = − = 1 −1 ml 2

mf = mh 2

2 + 5k =1 3 + 4k

de donde : k = 1

Reemplazamos en la ecuación de la familia: 2x - 3y + 4 + 1 (5x - 4y - 20) = 0 Ec. h2: 7x - 7y - 16 = 0 Familia de rectas que pasa por C: x + y + 3 + k(5x - 4y – 20) = 0 x(1 + 5k) + y(1 – 4k) + 3 - 20k = 0 1 + 5k = mh1 1 - 4k 1 1 3 mh1 = = - = 2 ml1 2 3 1 + 5k 3 1 − = − = de donde: k = 1 − 4k 2 22 mf = -

Reemplazamos en la ecuación de la familia: x + y +3 +

1 (5 x - 4 y - 20) = 0 22

Ec. h1: 27x + 18y +46 = 0

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Entre que valores está comprendido el ángulo “w” ? 2.- ¿A qué es igual la constante de proporcionalidad, con que criterio escogemos el signo? 3.- ¿Si la ecuación de una recta es: 3 x + 7 y − 4 = 0 5 −9 4.- ¿Puede ser “p”: negativo, cero?

de qué cuadrante es “w”?

5.- ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones están en la forma normal? a. −

x y − =1 3 −2

;

b. −

2x y + =1 4 −3

;

c. −

y x + =1 −2 −5

6.- ¿Cuándo la distancia de un punto a una recta es negativa? 7.- ¿Cuál es la distancia del punto (-4 ; 5) a la recta: y = 4 ? 8.- ¿Existe bisectriz de dos rectas paralelas?

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H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

9.- ¿Cuánto vale la distancia del punto (7 ; 8) a la recta: 3x + 6 = 0 ? 10.- ¿Cuál es la ecuación de la bisectriz del cuarto cuadrante?

11.- ¿Cómo reconoce, que se trata de la ecuación de una familia de rectas? 12.- ¿Qué es el parámetro de la ecuación de una familia? 13.- ¿Qué representa la ecuación: Ax - 3y + 5 = 0? 14.- ¿Qué representa la ecuación: 2x + By - 4 = 0? 15.- En la ecuación: y – y1 = m(x -3) ¿cuál es el parámetro?

RESUMEN DE FORMULAS x cos w + y sen w – p = 0 Ax + By + C ± A 2 + B2 k=

=0

d=

±

Forma normal.

1

Constante de proporcionalidad .

± A 2 + B2

cos w = k.A

;

sen w = k.B ;

Ax1 + By1 + C ± A 2 + B2

Ax + By + C ± A +B 2

2

Forma normal.

=±

-p = k.C

Distancia de un punto a una recta. A′x + B′y + C′ ± A′2 + B′2

Ax + By + C + K(A'x + B'y + C') = 0

Ecuaciones de las bi sec trices.

Ec. Familia.

A’x + B’y + C’ + K1 (Ax + By + C) = 0

Ec. Familia.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Pasar a la forma normal, la recta: 2x – 3y + 4 = 0 y hallar los valores de p y w. Sol. w = 123,69° ; p =1,11. 2.- Pasar a la forma normal, la recta: 3x – 2y = 0 y hallar los valores de p y w. Sol. w = 146,31° ; p = 0. 3.- Pasar la ecuación: 7x + 2 = 0 a la forma normal y determinar los valores de p y w. Sol. w = 180° ; p = 2/7. 4.- La distancia de una recta al origen es 5 unidades, si la recta dista del punto A(5 ; 5) como 2/5 de su distancia al origen. Hallar su ecuación. Sol. w = 53,13° ; w = 36,87°. 5.- La ecuación de una recta en la forma normal es: x cos w + y sen w – 4 = 0. Hallar el valor de w, para que la recta pase por el punto (-2 ;− 12 . ). Sol. 240°. 6.- Si la distancia de una recta al origen, es igual a 3/2 veces la cosecante de su ángulo de inclinación restado de su suplemento. Demostrar que su ecuación en la forma general es: 4x sen2α.cosα - 4y senα.cos2α ± 3 = 0.

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H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

7.- Dada la recta: L1: 2x – y + 12 = 0 y el punto Q, distante 14 unidades del origen y 4 unidades de L1, hallar la ecuación de L3 que con L1 y L2 (recta que pasa por Q) forma un triángulo equilátero de área 20u2. Sol. 1,51x + y – 2,62 = 0 ; y = 0,06x + 15,6. 8.- La distancia de una recta al origen es 3, sí la recta pasa por el punto A (3√5 ; -3). Hallar su ecuación. Sol. y + 3 = 0 ; x + 2y 5 – 9 = 0. 9.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta: 8x + 15y – 10 = 0, que se caracterizan por estar a 2 unidades de distancia del punto P (2 ; 1). Sol. 8x + 15y – 65 = 0 ; 8x + 15y + 3 = 0. 10.- Dados los puntos A(-4 ; 1) y B(-10 ; 9), se pide hallar la ecuación de la recta que pasa por B y está a 6 unidades de distancia de A. Sol. 7x + 24 y – 146 = 0. 11.- Desde el punto A(-2 ; 2) se trazan rectas a los puntos B(-3 ; 1); C(0 ; 2) y D(1 ; -1). Probar que una de las rectas es bisectriz del ángulo formado por las otras dos. 12.- Hallar la distancia entre las rectas: 2x + 3y – 8 = 0 ; 2x + 3y – 10 = 0. Sol.

2/ 13 .

13.- Desde el punto (2 ; -3) se traza una perpendicular a la recta: 3x – 4y + 6 = 0. Hallar la distancia de dicha perpendicular al punto (6 ; 8). Sol. 49/5. 14.- Una recta pasa por el punto M(-½ ; 4) y su distancia del origen es 2. Determinar el valor de su pendiente. Sol. –4/3 ; 12/5. 15.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto(-2 ; -2) y corta a la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas: x + 2y – 1 = 0 ; (5)1/2 x – (5)1/2 y – 5 = 0, en un punto que dista 2 unidades de la recta y = 0. Sol. 0,21x – y – 1,58 = 0 ; y = -2. 16.- Las distancias del punto M a las rectas: 2x + 3y – 6 = 0 ; 2y – 3x = 0 son respectivamente y -9/ . Hallar las del punto. Sol. M(5 ; 3). 13 coordenadas 13 17.- Las distancias dirigidas del punto” m “a las rectas : 5x – 12y – 13 = 0 ; 3x – 4y – 19 = 0 son respectivamente 36/13 y –12/5. Hallar las coordenadas del punto. Sol (-7 ; -7). 18.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta: 4x – 3y = 12 y que disten de ella 3 unidades. Sol. 4x – 3y – 27 = 0 ; 4x – 3y + 3 = 0. 19.- Demostrar que la distancia dirigida del punto M(6 ; -3), a una de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas: x + 2y – 11 = 0 ; 3x – 6y – 5 = 0, al cortarse es igual a -1/3. 20.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas L1: x + y – 3 = 0 , L2: 4x – 3y + 9 = 0 y L3 : 3x – 4y – 9 = 0. Calcular la longitud de las alturas. Sol. (21/2).21/2 ; 21/5. 21.- Una persona ubicada en el punto (1 ; -2) lanza una pelota, que rebota en una pared situada sobre la recta de ecuación: 1,5x + 2y – 6 = 0. En que tiempo la persona escucha el golpe de la pelota sobre la pared. Sol. t = 0,01s. 22.- Demostrar analíticamente que el punto (-1 ; -2) está entre las rectas paralelas: L1 y L2 . 4x - 3y + 12 = 0 ; 4x - 3y – 12 = 0. 23.- Dada la recta: x - 2 = 0 y el punto Q(6 ; 8), hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por Q, forman con la recta dada un triángulo de 4u2. Se conoce además que la proporción entre las pendientes de las rectas pedidas es la misma que existe entre la abscisa y la ordenada de Q. Sol. y = -2x + 20 ; 2y = -3x + 34 ; y = 2x – 4 ; 2y = 3x – 2. 24.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el origen de coordenadas y forma con las rectas: x - y + 12 = 0 ; 2x + y + 9 = 0, un triángulo de área 1,5u2. Sol. L1 : y = (-1/2)x ; L2: y = (-23/25)x. 25.- Hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el punto de corte de las rectas: 3x + 4y - 48 = 0 ; 3x - 2y - 12 = 0, están a √10 u. del punto A(-6 ; -2).

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H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

Sol. L1: x - 3y + 10 = 0 ; L2: x - 1,2y - 1,1 = 0. 26.- Hallar la ecuación de la recta, cuya distancia al origen es 17/4, y su distancia al punto Q(-3 ; -3/5) es 13/17 veces la distancia del origen. Sol. y = 0,6x + 4,9 ; y = - 0,14x – 4,3. 27.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por él punto de intersección de las rectas: 2x - 3y - 5 = 0 ; x + 2y - 13 = 0, si se conoce que la magnitud del segmento que determina sobre el eje X, es igual a dos veces su pendiente. Sol. L1: 3x - y -18 = 0 ; L2: x - 2y - 1 = 0. 28.- Determinar el valor de B para que la recta: 3x - By + 4 = 0, sea perpendicular a la recta que pasando por el punto M(-2 ; 3), forma con los ejes un triángulo de área 4u2. Sol. 27/2 ; 3/2. 29.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas: x - 4y + 2 = 0 ; 3x + 4y -12 = 0 y forma con la primera recta, un ángulo igual al que la segunda recta forma con el eje de las Y. Sol. 26x + 32y – 101 = 0 ; 38x – 16y – 77 = 0. 30.- Para que la recta: x/5 + 7y/35 = 1 sea parte de la familia de rectas, dada por la ecuación: 2x + y - E + K(x + 4y + 1) = 0. Determinar el valor de E, sin calcular las coordenadas del punto de intersección. Sol. 12. 31.- Hallar la ecuación de. la recta, que pasando por el punto de intersección de las rectas: y = x + 2 ; y = 3, forma con la bisectriz del ángulo agudo, un ángulo que sea 4/3 veces el ángulo agudo formado por las rectas dadas. Sol. 1,8x - 2,8y - 8 = 0 ; x – 0,14y – 0,58 = 0. 32.- Hallar la ecuación de la recta, que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 20u2. y es paralela a la recta: 2kx + 3ky - 8 = 0. Siendo K diferente de cero. Sol. L1: 2x + 3y + 15,5 = 0 ; L2: 2x + 3y - 15,5 = 0. 33.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas: L1:2x - y - 1 = 0 ; L2: x - y + 7 = 0. y por el punto de corte de las rectas: L3: x - 7 y - 1 = 0 ; L4: 2x - 5y + 1 = 0. Resolver el problema sin hallar los puntos de intersección. Sol. 23x - 14y + 26 = 0. 34.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto (-4 ; -3) y corta a los ejes coordenados, determinando segmentos negativos y un triángulo de 27u2. de área. Sol. L1: x/-6 + y/-9 = 1 ; L2: x/-12 + y/(-9/2) = 1. 35.- La abscisa en el origen de una recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas 9x - y + 3 = 0 ; x - 5y + 5 = 0, es igual al cuadrado de su ordenada en el origen. Encontrar la ecuación de esta recta. Sol. 4x + 2y - 1 = 0 ; 121x + 55y - 25 = 0 36.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5x + 2y + 1 = 0 ; x – y – 5 = 0 y tal que el punto (5 ; -4) esté a una distancia –2 de la recta pedida. Sol. 8x - 15y - 66 = 0 ; 3x + 4y + 11 = 0. 37.- Hallar la ecuación de la recta, que dista del punto P(2 ; 1) dos unidades, si su pendiente vale ¾. Sol. 3x – 4y + 8 = 0 ; 3x – 4y – 12 = 0. 38.- Determinar la ecuación de la recta, que pasa por el punto P(2 ; -3) y tal que, la parte de esta recta, comprendida entre las rectas: 3x + y – 2 = 0 y x – 5y + 10 = 0, quede dividida en dos por dicho punto. Sol. 41x + 11y – 49 = 0. 39.- Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo ABC, conociendo uno de sus vértices (2 ; - 1) y las ecuaciones de la altura: 7x – 10y + 1 = 0 y de la bisectriz: 3x – 2y + 5 = 0 , trazadas desde un mismo vértice. Resolver el problema sin calcular las coordenadas de las vértices B y C. Sol. 5x + y + 17 = 0 ; x – 5y – 7 = 0 ; 10x + 7y – 13 = 0. 40.- Hallar la ecuación de la recta, que dista del punto P(0 ; 1) una longitud igual a 1 / 5 y pasa por el punto común de las rectas: L1: x + 2y – 1 = 0 y L2: 2x – y + 3 = 0. Sol. x + 2y – 1 = 0 ; x – 2y + 3 = 0. 41.- Dada la ecuación del haz de rectas: 5x + 3y – 7 + k(3x + 10y + 4) = 0 determinar el

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H.I.P.

FAMILIA DE RECTAS

valor de “a” para que la recta: ax + 5y + 9 = 0 no pertenezca a este haz. Sol. a ≠ -2. 42.- Determinar el valor de “b” para que la recta: y = 3x + b pertenezca al haz de rectas que pasa por el punto de intersección de las rectas: 3x – 4y + 6 = 0 y x – 5 = 0. Sol. b = - 39/4. 43.- Una recta L1 pasa por P(4 ; 5), su distancia del origen es 4u. y su ángulo de inclinación es menor que 90°. Otra recta L2 de pendiente negativa pasa por (0 ; 0) y corta a L1 formando con esta y el eje de las X un triángulo de área 20u2. Hallar las ecuaciones de L1 y L2. Sol. L1: 9x – 40y + 164 = 0 ; L2: y = -0,21x.

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

CAPITULO III LUGAR GEOMETRICO

3.1. DEFINICIONES. 3.2. ECUACION DE UN LUGAR GEOMETRICO. 3.3. GRAFICOS DE LUGARES GEOMETRICOS.

OBJETIVO: interpretar correctamente las condiciones dadas, para deducir las ecuaciones de los lugares geométricos y graficarlas en el plano cartesiano, utilizando procesos lógico - deductivos.

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

3.1.

DEFINICIONES.

Existen dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica:

a.- Dado un lugar geométrico, determinado por ciertas condiciones, hallar la ecuación matemática que lo define. b.- Dada la ecuación, dibujar el lugar geométrico que representa. Empezaremos recordando la definición de lugar geométrico.

Lugar Geométrico: es el conjunto de todos los puntos y solamente de aquellos, cuyas coordenadas satisfacen la o las condiciones pedidas.

3.2.

ECUACION DE UN LUGAR GEOMETRICO.

Se denomina así, a una ecuación de la forma: f(x ; y) = 0, cuyas soluciones en (x ; y) corresponden a las coordenadas de aquellos puntos y solamente de aquellos, que pertenecen al lugar geométrico. Estos puntos no están distribuidos al azar en todo el plano, sino que forman una figura geométrica definida, que la llamaremos: Curva representada por una ecuación. Hemos considerado que una curva está formada por un conjunto de puntos, pero resulta de mucha utilidad considerar que una curva es la trayectoria de un punto móvil. Por lo tanto, la curva representada por una ecuación, es la trayectoria de un punto que se mueve de tal forma que, las distancias dirigidas que lo separan de los ejes coordenados, están siempre en la relación dada por la ecuación del lugar geométrico. El procedimiento para hallar las ecuaciones de los lugares geométricos, lo podemos resumir en los siguientes pasos: a.- Suponemos la existencia de un punto P cualquiera, de coordenadas: (x ; y) ,que satisface la o las condiciones pedidas, por lo tanto un punto perteneciente al lugar geométrico. b.- Expresamos la o las condiciones pedidas, por medio de una o más ecuaciones matemáticas. c.- Si utilizamos variables auxiliares, estas deben ser definidas en términos de x e y. d.- Involucramos de alguna manera las coordenadas (x.; y), del punto cualquiera, en las ecuaciones obtenidas en ( b ). e.- Transformamos las ecuaciones halladas a la forma: f(x ; y) = 0. f.- Comprobamos los resultados alcanzados.

EJERCICIOS DE APLICACION 78.- Los extremos de un segmento AB de 10u. de longitud, resbalan sobre los ejes coordenados. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe su punto medio. Empezamos suponiendo la existencia de un punto P(x ; y) que pertenece al lugar geométrico y por consiguiente es punto medio entre A y B. Al segmento AB y a su punto medio los podemos ubicar en cualquier cuadrante, tomaremos el primero.

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

Si colocamos el segmento AB de longitud definida, en diferentes posiciones y señalamos su punto medio, vamos obteniendo puntos pertenecientes al lugar geométrico. (Fig. 82). Al unirlos podemos visualizar el lugar geométrico cuya ecuación deseamos obtener, en nuestro caso es una circunferencia. Tomando una posición cualquiera del segmento AB, las coordenadas del punto de corte con el eje X son: (a ; 0) y con el eje Y son: (0 ; b). Por tanto, las coordenadas del punto medio son: a 2 b y= 2

x=

( 1)

de donde : a = 2x de donde : b = 2y

(2)

En el triángulo formado por el segmento y los ejes, siempre se cumple con el Teorema de Pitágoras, en nuestro caso: [AB]2 = [OA] 2 + [OB]2 [OA]2 = a2

[OB]2 = b2

y

100 = a2 + b2

definiendo OA y OB:

(3)

Reemplazando (1) y (2) en (3): 100 = (2x)2 + (2y)2 100 = 4x2 + 4y2 x2 + y2 = 25

Ec. L.G.

79.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que: el cuadrado de su distancia al punto (4 ; 1) es siempre igual a su distancia del eje Y.

Suponemos que el punto: P(x ; y), es un punto del lugar geométrico. Planteamos las condiciones dadas: d12 = d2

(1)

Definimos las distancias, al hacerlo intervienen las coordenadas del punto P: d2 = x d1 =

(x - 4)2 + ( y − 1)2

Reemplazando en (1): x=

[ (x - 4) + ( y − 1) ] 2

2

2

Haciendo las operaciones: x = x2 - 8x + 16 + y2 - 2y + 1

ordenando:

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

x2 + y2 - 9x - 2y + 17 = 0

Ec. L.G.

80.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, de los puntos tales que: la pendiente del segmento que une a estos, con el punto S(1 ; 2), es la mitad de la pendiente, del segmento que une a estos, con el punto T(2 ; 5). Para que puntos no se cumple el lugar geométrico? Suponemos que P(x ; y) pertenece al lugar geométrico. mSP =

1 m TP 2

(1 )

condición del problema :

Definimos las pendientes de los segmentos: mSP =

y-2 x -1

(2)

m TP =

y-5 x-2

(3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1): y-2 1 y-5 = ⋅ x -1 2 x - 2

operando :

2xy - 4x - 4y + 8 = xy - y - 5x + 5 Haciendo términos semejantes: xy + x – 3y + 3 = 0

Ec. L.G.

Como la ecuación del lugar geométrico se la obtiene de la comparación de pendientes, no existirá lugar geométrico cuando estas no existan, o lo que es igual, cuando los segmentos sean paralelos al eje Y. En el segmento TP no está definida la pendiente para los valores de x = 2 y en el segmento SP para x = 1. Por lo tanto todos los puntos cuyas abscisas sean 1 o 2 no pertenecen al lugar geométrico. 81.- Dados los puntos: A(-4 ; 0) y B(4 ; 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico, de un punto que se mueve en el plano de forma que: la suma de los ángulos PAB y PBA es siempre constante e igual a 135º. Luego de aceptar la existencia de un punto P(x ; y) perteneciente al lugar geométrico, planteamos la condición del problema. α + β = 135 o

Tomamos la tangente a los dos miembros de la ecuación: tg (α + β ) = tg135° tg α + tgβ = -1 1 - tg α .tgβ

operando :

(1 )

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

Podemos definir las tangentes de los ángulos, en función de las pendientes de los lados que los forman y de esta manera involucramos las coordenadas (x ; y) del punto P. tg α =

m AP - m AB 1 + m AP . m AB

mAP =

y x+4

(2)

(3 )

(4)

mAB = 0

;

Reemplazando (3) y (4) en (2): y −0 y x 4 + tg α = = 1+ 0 x+4 tg β =

m AB - m BP 1 + m AB . m BP

m BP =

y x-4

( 5) ( 6)

(7 )

;

( 8)

m AB = 0

Reemplazando (7) y (8) en (6):

tg β =

y x-4 =- y x-4 1+ 0

0-

(9 )

Por último reemplazamos (5) y (9) en (1): y y − x + 4 x − 4 = −1 y −y 1⋅ x+4 x−4

operando :

y(x - 4) - y(x + 4) = −1 (x + 4)(x - 4) + y 2

finalmente :

yx - 4y - yx - 4y = -x 2 + 16 + y 2

x2 + y2 – 8y –16 = 0

términos semejantes :

Ec. L.G.

82.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe un punto móvil, que se mueve de tal forma que: la suma de los cuadrados de sus distancias, a los vértices de un triángulo equilátero de lado 6, es siempre igual a 51. Empezamos ubicando el triángulo en la posición que más nos convenga, reduciendo al máximo el uso de variables auxiliares. En el triángulo COB se cumple que: y c2 = 62 - 32 yc = 3 3

de donde : por tanto

(

C0 ; 3 3

)

Condición del problema:

- 117 -

H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

(PA)2 + (PB)2 + (PC)2 = 51 Definimos las distancias:

(PA)2 = (x + 3)2 + y 2 (PA)2 =

operando

(1 )

x 2 + y 2 + 6x + 9

(PB )2 = (x − 3)2 + y 2

operando

(PB )2 =

x 2 + y 2 − 6x + 9

(PC )2 = (PC )2 =

x2 + y -3 3

(

(2)

)

2

x 2 + y 2 - 6 3y + 27

(3 )

Reemplazamos: (1) , (2) y (3) en la condición del problema: x 2 + y 2 + 6 x + 9 + x 2 + y 2 − 6 x + 9 + x 2 + y 2 - 6 3y + 27 = 51 términos semejantes: 3x 2 + 3y 2 - 6 3y - 6 = 0

simplificando :

x 2 + y 2 - 2 3y - 2 = 0

Ecuación del Lugar Geométrico.

83.- Un punto se mueve en el plano, de tal manera que su distancia respecto de la recta: x + y - 6 = 0, es siempre igual a su distancia del punto (-2 ; -1). Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto.

Planteamos las distancias: d1 =

d2 =

x + y-6 2

(x + 2)2 + (y + 1)2

Igualamos las distancias, que es la condición del problema.

(x + 2)2 + (y + 1)2

=

x + y-6

elevando al cuadarado : 2 x 2 + 4x + 4 + y 2 + 2y + 1 = x 2 + y 2 + 36 + 2xy - 12x - 12y

(

)

x 2 + y 2 + 20x + 16y - 2xy - 26 = 0

Ecuación del Lugar Geométrico.

84.- Dada una circunferencia de centro en (10 ; 0) y radio 10, se trazan por el origen de coordenadas todas las secantes posibles a la circunferencia, determinar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas, contenidas en estas secantes.

- 118 -

H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

Por el origen hemos trazado varias secantes y señalado los puntos medios de las cuerdas, que al ser unidos nos dan una circunferencia. (Fig.88) que es el lugar geométrico buscado. Por el teorema de Geometría Plana: El radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio. Si unimos el centro C de la circunferencia con uno de los puntos medios; en nuestro gráfico, P(x : y), la recta “CP” debe ser perpendicular a la recta “OP”.

En el triángulo “COP” se cumple:

(1 ) r 2 = (OP ) + (PC ) Definimos los valores de OP y de CP: 2

2

(2) (OP )2 = (x - 0)2 + (y - 0)2 = x 2 + y 2 (CP )2 = (x - 10)2 + (y - 0)2 = x 2 + y 2 − 20x + 100 Re emplazamos : (2) y (3) en

(1) :

100 = x 2 + y 2 + x 2 + y 2 − 20x + 100 x 2 + y 2 − 10x = 0 85.-

(3)

términos semejantes:

Ec. Lugar Geométrico .

Las coordenadas del vértice C de un ángulo de 45° son: (5 ; 5), los puntos en que los lados de este ángulo, cortan a los ejes coordenados, se unen por una línea recta, que es dividida por un punto P en la razón ¼. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto P, cuando el ángulo gira alrededor de su vértice.

Planteamos una proporción, que nos permita calcular las coordenadas del punto P, en función de las coordenadas de los puntos de corte, de la recta trazada y los ejes. De esta manera, podemos definir las variables auxiliares en términos de “x” e “y”. AP 1 = PB 4

1 xb x 4 xp = = b 1 5 1+ 4 0+

(1) ;

yp =

( primera solución)

1 0 4 = 4 ya 1 5 1+ 4

ya +

De ( 1 ) : xb = 5x De ( 2 ) : ya = 5y/4 Planteamos la tangente de 45°:

- 119 -

(2)

H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

tg .45° =

mCB =

m AC =

mCB − mAC 1 + mCB .mAC

pero :

5−0 5 1 = = 5 − xb 5 − 5 x 1 − x 5 − ya = 5−0

5y 4 = 4−y 5 4

5−

por tanto :

1 4−y − 4 − 4 + y + 4x − xy 4 = 1 = 1− x 1 4−y 4 − 4x + 4 − y 1+ . 1− x 4

operando :

8 x + 2 y − xy − 8 = 0 Ec. Lugar Geométrico. Nota: La segunda solución se da, cuando ubicamos el punto P, más cerca de B. 86.- Dada la ecuación x2 + y2 = 25. Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describen los puntos, que dividen a todas las ordenadas de la ecuación dada, en la relación 1 es a 4. Planteamos una proporción, que nos permita definir las coordenadas del punto de división, en función de las variables auxiliares. AP 1 = PB 4

( primera solución)

1 0 4y 4 = a y= 1 5 1+ 4 ya −

ya = 5y/4

;

de donde :

xa = x

Las coordenadas del punto A satisfacen la ecuación de la circunferencia, por tanto: x A2 + y A2 = 25

reemplazando :

x + (5 y / 4) 2 = 0 16 x + 25 y − 400 = 0 2

2

operando : Ec. del Lugar Geométrico.

Nota: La segunda solución se da, cuando ubicamos el punto P, más cerca de B. 87.- Una rueda de polea de centro en “o” y radio “r ”, gira en un plano vertical; del extremo A,

de un diámetro cualquiera, cuelga una varilla metálica AB, articulada en A y de longitud “L” al girar la rueda la varilla siempre permanece vertical, hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el extremo B de la varilla.

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

La ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio r es: x2 + y2 = r 2 Para cualquier posición del extremo A se cumple: xA = x y = yA − L yA = y + L

de donde :

A [ x ; ( y + L)

]

Las coordenadas del punto A satisfacen la ecuación de la circunferencia, por tanto: x 2 + ( y + L) 2 = r 2

operando :

x + y + 2 Ly + L − r = 0 2

2

2

2

Ec. del Lugar geométrico.

88.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el vértice del ángulo recto, de una escuadra de 60º, cuando se mueve en el plano, al resbalar los extremos de su hipotenusa sobre los ejes coordenados. Si la hipotenusa tiene 8 u. de longitud.

En el triángulo ABC: cos .60° =

BC BC = 8 AB

de donde :

BC = 8. cos 60° = 4 ( AB) 2 = ( BC ) 2 + ( AC ) 2 ( AC ) 2 = 64 − 16 = 48

En el triángulo: OBA: ( AB) 2 = (OB) 2 + (OA) 2

Pero: OB = x – BQ OA = y + RA

por tanto:

64 = ( x − BQ) 2 + ( y + RA) 2

(1 )

En el triángulo: BQC (BQ)2 = (BC)2 – (CQ)2 (BQ)2 = 16 – y2

(2)

En el triángulo: RCA (RA)2 = (AC)2 – (RC)2 (RA)2 = 48 – x2

(3)

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H.I.P.

LUGARES GEOMÉTRICOS

Reemplazando (2) y (3) en (1): 64 = (x − 16 − y 2 ) 2 + (y + 48 − x 2 ) 2

operando :

x 16 − y 2 = y 48 − x 2

elevamos al cuadrado :

16 x 2 − x 2 y 2 = 48 y 2 − x 2 y 2

términos semejantes :

16 x 2 − 48 y 2 = 0

simplificando :

x2 − 3 y 2 = 0

Ec. del Lugar Geométrico.

3.3.- GRAFICOS DE LUGARES GEOMETRICOS. Una vez que hemos aprendido a definir las ecuaciones de los lugares geométricos, procederemos a graficarlos. Habíamos indicado, que los puntos que conforman una curva no están distribuidos al azar en el plano, sino que forman figuras geométricas definidas, que pueden ser: un punto, varios puntos, una recta, dos o más rectas, una curva y combinaciones de los ya mencionados. En cualquiera de estos casos, nos referiremos a ellos como: gráfica de la curva o gráfica de la ecuación. Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación dada, aseguramos que este punto pertenece a la curva representada por la ecuación, en caso contrario, el punto no pertenece a ella; por consiguiente, para obtener puntos que pertenezcan al lugar geométrico, bastará dar valores a x o y, según nos convenga, para luego despejar los valores de la otra variable, este proceso no lo podemos realizar para todos los puntos de la curva, por lo que deberemos seleccionar algunos de ellos y unirlos mediante una curva continua (siempre y cuando la ecuación así lo permita) para obtener una gráfica correcta. Este procedimiento, aparentemente sencillo, no lo es en la realidad, por lo que plantearemos algunos principios fundamentales, que deben ser tomados en cuenta: Principios Fundamentales a.- Al

transponer uno o más términos de una ecuación, no se modifican sus soluciones. 3x2 – 8y + 5 = 0

;

3x2 = 8y – 5

b.- Al multiplicar o dividir, los dos miembros de una ecuación, por una cantidad determinada, no nula, no se alteran sus soluciones. x2 + y2 =1

;

4x2 + 4y2 =4

;

¾ x² + ¾y² = ¾

Tienen idénticas soluciones

c.- Si el segundo miembro de una ecuación es cero, se puede factorar el primer miembro e igualar a cero cada uno de los factores, obteniéndose un grupo de ecuaciones, que representan el mismo lugar geométrico que la ecuación original. x2 − y2 = 0 (1) ( x + y )( x − y ) = 0 ( x + y) = 0 (2)

factorando : igualando a cero cada factor : ; ( x − y) = 0 (3)

La unión de las soluciones de las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ), es idéntica a la solución de la ecuación (1). d.- Si elevamos al cuadrado los dos miembros de una ecuación dada, obtendremos una nueva ecuación, la misma que representará, a la curva de la ecuación dada y a la de su complemento. x² + y ² = 4

(1)

elevando al cuadrado los dos miembros :

x 2 + y 2 = 16

operando y agrupando :

( x + y ) − 16 = 0

factorando :

2

2

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H.I.P.

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[

x2 + y 2 + 4 x² + y² = 4 x² + y² = −4

][

]

x2 + y 2 − 4 = 0

(2) (3)

La ecuación ( 2 ) tiene idénticas soluciones que la ecuación ( 1 ), mientras que la ecuación ( 3 ) no tiene solución, pues no se dan valores negativos al extraer una raíz cuadrada; por

tanto, las soluciones de las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ), son idénticas a las soluciones de la ecuación ( 1 ) y la ecuación ( 3 ) es la complementaria de la ecuación ( 1 ).

3.3.1.- ANALISIS DE LA ECUACION Si la ecuación a graficar es de primer grado, simplemente hallamos dos de sus puntos y los unimos con una línea recta, de acuerdo a lo estudiado en el capítulo II; si en cambio, la ecuación a graficar es de grado mayor que el primero, realizaremos el siguiente análisis, que nos permitirá determinar parámetros esenciales, para obtener un gráfico correcto. a.- Determinación de los puntos de corte con los ejes: Mediante este análisis, determinaremos si la curva buscada, corta a los ejes coordenados o no los corta. Lo que nos permite tener una idea inicial, de la ubicación de la curva respecto de los ejes coordenados.. Para determinar los puntos de corte con el eje X, asignamos el valor 0 a la variable “y” y calculamos los valores correspondientes de “x”. Para determinar los puntos de corte con el eje Y, asignamos a la variable “x” el valor 0 y calculamos los valores correspondientes de “y”. b.- Simetrías: Existen varias clases de simetrías, mencionaremos a continuación las que interesan a nuestro estudio. Simetría respecto a una recta: Dos puntos son simétricos respecto de una recta, si esta, es perpendicular al segmento que resulta de unirlos, en su punto medio.

En el gráfico, los puntos A y B son simétricos respecto de la recta L, por ser esta, perpendicular bisectriz del segmento AB que los une. La recta L recibe el nombre de: eje de simetría. C = punto medio entre A y B. L = eje de simetría Simetría respecto de un punto: Dos puntos son simétricos respecto de otro punto, si este es punto medio del segmento que los une. Así en la figura 93, los puntos A y B, son simétricos con respecto del punto C, al que llamaremos: centro de simetría. Simetría de una curva respecto a un centro de simetría: Se cumple con esta simetría, si: para cada punto de la curva, existe otro punto, también de la curva, tal que estos dos sean simétricos, respecto del centro de simetría. (Fig. 94) Simetría de una curva respecto a un eje de simetría: Una curva cumple con esta simetría si: para cada punto de la curva, existe otro punto correspondiente también de ella, tal que, estos dos puntos, son simétricos respecto del eje de simetría.

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Analizando la Fig. 94 podemos establecer que: la circunferencia es simétrica, tanto al centro de simetría C como al eje de simetría L. Si tomamos un punto D cualquiera de la circunferencia, existe un punto E, también de ella, tal que: los puntos D y E son simétricos respecto del centro de simetría C. Si tomamos un punto A cualquiera de la circunferencia, existe un punto B, también de ella, tal que: los puntos A y B son simétricos respecto del eje de simetría L. Como el análisis y trazado de nuestras curvas, lo realizaremos referidos al sistema coordenado rectangular o cartesiano, los ejes de simetría, serán los ejes coordenados X e Y, el centro de simetría será el origen de coordenadas O. Para determinar estas simetrías seguiremos las siguientes reglas: Simetría respecto al eje X: Si al reemplazar en la ecuación de un lugar geométrico, la variable “y” por “-y”, esta ecuación no se altera, la gráfica de la ecuación, es simétrica respecto al eje X.

Simetría respecto al eje Y: Si al reemplazar en la ecuación de un lugar geométrico, la variable “x” por “-x”, esta ecuación no se altera, la gráfica de la ecuación, es simétrica respecto al eje Y.

Simetría respecto al origen: Si al reemplazar en la ecuación de un lugar geométrico, las variables “x” por “-x” e “y” por “-y”, esta ecuación no se altera, la gráfica de la ecuación, es simétrica respecto al origen de coordenadas. Como un corolario importante, podemos enunciar: Si una curva es simétrica respecto a los ejes X e Y, lo será también respecto del origen de coordenadas, pero, si es simétrica respecto al origen de coordenadas, no necesariamente lo es, respecto a los ejes X e Y. El análisis de las simetrías, nos facilita el trazado de las gráficas de los lugares geométricos, al reducir totalmente el número de puntos que debemos calcular para graficarlas, cuando existe alguna de las simetrías. c.- Extensión de la curva Este análisis no es mas que la definición del dominio y codominio de la relación dada, en otras palabras, es la determinación de los intervalos en los cuales las variables “x” e “y” toman valores reales, o para qué valores de las variables existe gráfico. De este análisis obtenemos la información, sobre si la curva es cerrada o de longitud infinita.

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d.- Determinación de las asíntotas: Iniciaremos definiendo lo que es una asíntota: ASINTOTA: Es una línea recta, tal que, a medida que un punto de una curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esta recta, decrece continuamente y tiende a cero.

Existen tres clases de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. Las curvas, no necesariamente, deben tener una o mas asíntotas, en caso de poseerlas su longitud será infinita, o lo que es igual, no serán curvas cerradas. Las asíntotas verticales, son las más importantes, ya que nos permiten saber de cuantas partes estará formado nuestro gráfico, pues estas dividen al plano en regiones, en cada una de las cuales existirá una determinada parte del gráfico. Generalmente: el gráfico constará de tantas partes, como asíntotas verticales mas uno existan. Si al despejar la variable “y” se forma una fracción y en el denominador de esta, existe la variable “x”, la curva tiene entonces una o mas asíntotas verticales; para definir sus ecuaciones, basta igualar el denominador de la fracción a cero. Si al despejar la variable “x” se forma una fracción y en el denominador de esta, existe la variable “y”, la curva tiene entonces una o mas asíntotas horizontales; para definir sus ecuaciones, basta igualar el denominador de la fracción a cero. Si al despejar la variable “y” se forma una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios en x, y, el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, entonces la curva tiene asíntota inclinada; para definir su ecuación dividimos el numerador para el denominador, e igualamos a “ y “ el cuociente de la división. e.- Cálculo de coordenadas de puntos del lugar geométrico: Dependiendo de los análisis anteriores, debemos calcular las coordenadas de un número determinado de puntos, los que al ser unidos, definen la gráfica del lugar geométrico analizado; para esto, despejamos la variable “y”, asignamos determinados valores a la variable “x” y calculamos los valores correspondientes de “y”. En determinados problemas no hay como despejar la variable “y”, en estos casos, despejamos la variable “x”, asignamos determinados valores a la variable “y” y calculamos los valores correspondientes de “x”.

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EJERCICIOS DE APLICACION 89.- Analizar y graficar la ecuación: xy – 3y – x – 2 = 0 Al mismo tiempo que realizamos el proceso matemático, explicaremos más detalladamente cada uno de los análisis . a. Puntos de corte: Si : x = 0 → y = −2 / 3 ∴ P (0 ; − 2 / 3) Punto de corte con el eje Y . Si : y = 0 → x = −2 ∴ P (−2 ; 0) Punto de corte con el eje X . Nuestra curva corta a los ejes coordenados, en esos dos puntos. b. Simetrías: Al eje X : Reemplazamos las “y” por “- y”: x(− y ) − 3(− y ) − x − 2 = 0 − xy + 3 y − x − 2 = 0 Al ser la ecuación que obtenemos, diferente a la ecuación original, concluimos que no hay simetría con respecto al eje X. Al eje Y : Reemplazamos las “x” por “- x”: (− x) y − 3 y − (− x) − 2 = 0 − xy − 3 y + x − 2 = 0

Al reemplazar las “x” por “- x” la ecuación original se altera, por tanto no hay simetría respecto al eje Y. Al origen : Cambiamos las “x” por “- x” y las “y” por “- y”: (− x)(− y ) − 3(− y ) − (− x) − 2 = 0 xy + 3 y + x − 2 = 0 Al reemplazar las “x” por “-x” y las “y” por “-y” , la ecuación original se altera, por tanto no hay simetría respecto del origen de coordenadas. c. Extensión: Para determinar el dominio del lugar geométrico, despejamos la variable “y”: y ( x − 3) = x + 2

de donde :

y=

x+2 x−3

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Si el denominador de esta fracción, se hace igual a cero, la fracción no existe, por lo que la variable “x” puede tomar todos los valores de los reales excepto el 3.

(− ∞ < x < 3)

Dominio :

(3 < x < ∞ )

U

Para determinar el codominio del lugar geométrico, despejamos la variable “x”: x=

3y + 2 y −1

Para que exista la variable “x”, el denominador de la fracción debe ser diferente de cero, por lo tanto, la variable “y”, puede tomar todos los valores de los reales, excepto el valor 1.

(− ∞ < y < 1)

Codominio :

U

(1 < y < ∞ )

Luego de este análisis, sabemos que habrá gráfico para todos los valores de “x”, excepto el 3, y para todos los valores de “y”, excepto el 1, así como, que la curva, es abierta o de longitud infinita. d. Asíntotas: Para la determinación de las asíntotas horizontales, verticales e inclinadas, recurrimos a las ecuaciones en las que tenemos despejadas las variables “x” e “y” y realizamos el análisis correspondiente: Al despejar la variable “y” se forma una fracción, existiendo en el denominador de ella la variable “x”, por tanto existe asíntota vertical, para definir su ecuación, igualamos el denominador de la fracción a cero: x−3 = 0

Ec. asíntota vertical.

Como existe una asíntota vertical, la gráfica de la ecuación constará de dos partes, una a la derecha de la asíntota y otra a la izquierda de ella. Como al despejar la variable “x” se forma una fracción y en el denominador de ella hay la variable “y”, existe asíntota horizontal, para definir su ecuación, igualamos a cero el denominador de la fracción. y =1

Ec. asíntota vertical.

Al despejar la variable “y” se forma una fracción, cuyo numerador y denominador son polinomios en “x”, pero el grado de ellos es idéntico, por lo que no hay asíntota inclinada. d. Cálculo de coordenadas de puntos de la curva: Al saber que nuestra gráfica es de longitud infinita y que existe una asíntota vertical, debemos construir dos tablas de valores. Es conveniente dar un valor cercano al de la asíntota, para conocer el comportamiento exacto de la curva, al acercarse a ella. - 127 -

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x y

-3 1/6

-2 0

-1 -1/4

0 -2/3

1 -3/2

2 -4

2,9 -49

x Y

3,1 51

4 6

5 7/2

Fig. 98 . Gráfica de la ecuación: xy - 3y – x – 2 = 0

90.- Analizar y graficar: y2 = - (x + 4)(x – 4)(x + 2)2 a) Puntos de corte: Si: x = 0 tanto:

;

y2 = -(4)(-4)(2)2

P1(0 ; 8) ;

P2(0 ; -8).

Si: y = 0

;

P1(-4 ; 0)

;

y2 = 64

;

0 = -(x + 4)(x – 4)(x + 2)2 P2(4 ; 0)

;

;

;

y=±8

por

por tanto:

P3(-2 ; 0).

b) Simetrías: Al eje X: (-y)2 = -(x +4)(x – 4)(x + 2)2 . simetría respecto al eje x.

La ecuación no se altera, por tanto si hay

Al eje Y:

y2 = - ( -x + 4)(-x – 4)(x + 2)2.

La ecuación se altera, no hay simetría.

Al origen:

(-y)2 = - (-x + 4)(- x – 4) (-x + 2)2.

La ecuación se altera, no hay simetría.

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c) Extensión: Para definir el dominio del lugar geométrico, despejamos la variable "y": y = ± − ( x + 4 )( x − 4 )( x + 2 )2

Debiendo cumplirse que: − ( x + 4)( x − 4)( x + 2) 2 ≥ 0 cambiando el signo ( x + 4)( x − 4)( x + 2) 2 ≤ 0 Analizamos la inecuación: -4

-2

x+4

-

x-4

-

-

(x +2)2

+

+

Prod.

+

0

0

4

+

-

+ -

-

+ -

0

+

0

-

0 + -

+ +

0

+

Por lo tanto: Dominio : − 4 ≤ x ≤ 4 Para obtener el codominio debemos despejar la variable X, al realizar las operaciones la expresión nos queda: y 2 = − x 4 − 4 x 3 − 4 x 2 + 16 x 2 + 64 x + 64

- 129 -

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Como no es posible despejar la variable X, el codominio lo obtendremos del gráfico. d) Asíntotas: La curva carece de asíntotas. e) Tabla de valores: x

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

1

2

3

3,9

4

y

0

2,9

2,65

1,56

0

1,85

3,87

5,95

8

11,62

13,86

13,23

5,24

0

Fig. 99. Gráfica de la ecuación: y2 = - (x + 4) (x – 4) (x + 2)2

El codomio lo obtenemos del gráfico, por lo que será un conjunto de valores aproximados, que dependerán de la escala con la que hayamos trabajado. − 14 ≤ y ≤ 14

Codominio :

91.- Analizar y graficar el lugar geométrico: xy - y - x2 + x + 6 = 0 a) Puntos de corte: Si: x = 0

;

y=6

Si: y = 0 tanto:

;

x2 - x - 6 = 0

P2(3 ; 0)

;

por lo tanto: ;

P1(0 ; 6)

factorando:

(x - 3)(x + 2) = 0

;

por lo

P3(-2 ; 0).

b) Simetrías: Al eje X:

x(-y) - (-y) - x2 + x + 6 = 0

-xy + y - x2 + x + 6 = 0

;

Como la ecuación resultante, no es igual a la original, no hay simetría respecto del eje X. Al eje Y:

(-x)y - y - (-x)2 + (-x) + 6 = 0

-xy - y - x2 - x + 6 = 0

;

Como la ecuación resultante, no es igual a la original, no hay simetría respecto del eje Y. Al origen:

(-x)(-y) - (-y) - (-x)2 + (-x) + 6 = 0

;

xy + y - x2 - x + 6 = 0

Como la ecuación original se altera, no hay simetría respecto del origen de coordenadas. c) Extensión:

- 130 -

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Despejamos la variable "y": y ( x − 1) = x − x − 6 2

x2 − x − 6 y= x −1

de donde :

por lo tanto :

El único valor que no puede tomar la variable "x" es el uno, por tanto: ℜ−

Dominio :

{1 }

Despejamos la variable "y": x 2 − x − xy + y + 6 = 0 ;

x=

1+ y ±

agrupando : x 2 − x( y + 1) + y − 6 = 0

(1 + y )2 − 4( y − 6)

por lo tanto:

2

(1 + y ) 2 − 4( y − 6) ≥ 0

operando :

y 2 − 2 y + 25 ≥ 0

finalmente :

El trinomio no es factorable y se caracteriza por ser siempre mayor que cero, por tanto: Codominio : ℜ d) Asíntotas: Analizamos la expresión en la que está despejada la variable "y": y=

x2 − x − 6 x −1

Al tener el denominador de la fracción la variable "x", existe asíntota vertical: x=1

Ec. asíntota vertical.

Como el numerador y el denominador son polinomios en "x" y el grado del numerador, es una unidad mayor que el grado del denominador, existe asíntota inclinada; para hallar su ecuación, realizamos la división, e igualamos a "y" el cuociente: x2 − x − 6 −6 = x+ x −1 x −1 y=x

por lo tanto :

Ec. asíntota inclinada. - 131 -

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e) Tabla de valores: x y

-10 -9,45

-4 -2,8

x y

1,1 -58,9

2 -4

-3 -1,5

-2 0

4 2

10 9,33

3 0

-1 2

0 0,9 6 60,9

Fig. 100. Grafica de la ecuación: xy - y - x2 + x + 6 = 0 92.- Analizar y graficar el lugar geométrico: yx2 – 2xy + y – 2 = 0

a) Puntos de corte: ∴

Si: x = 0

;

y=2

Si:

;

x = no existe

y=0

P1 (0 ; 2) ∴

la curva no corta al eje X.

b) Simetrías: - 132 -

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Al eje X : (-y)x2 – 2x(-y) + (-y) – 2 = 0

-x2y + 2xy – y – 2 = 0

;

La ecuación original se altera, por tanto, no hay simetría respecto al eje X. Al eje Y:

y(-x)2 – 2(-x)y + y – 2 = 0

;

yx2 + 2xy + y - 2 = 0

La ecuación original se altera, por tanto, no hay simetría respecto al eje Y. Al origen: (-y)(-x)2 – 2(-x)(-y) + (-y) – 2 = 0

;

yx2 – 2xy – y – 2 = 0

La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría respecto al origen. c) Extensión. Despejamos la variable Y: y=

2 x − 2x + 1

;

2

y=

2 ( x − 1) 2

El denominador de la fracción debe ser diferente de cero, por tanto: (x – 1)2 ≠ 0

∴

x ≠1

Dominio: {- ∞ < x < ∞ } ; x ≠ 1

Despejamos la variable X, para analizar el codominio. y ( x 2 − 2 x + 1) = 2

de donde :

yx 2 − 2 xy + y − 2 = 0

aplicando la fórmula :

Nuestra curva será de longitud infinita y existirá únicamente para valores de “y” positivos 2y ± 8y x= debiendo cumplirse que : 2y y ≠ 0 ; 8y ≥ 0 finalmente : Codominio :

{0

< y < ∞

}

d) Asíntotas. Si igualamos a cero los denominadores de las fracciones definidas, al despejar cada una de las variables, obtenemos las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales:

- 133 -

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( x − 1) 2 = 0 2y = 0

x =1

de donde : de donde :

y=0

Asíntota vertical Asíntota horizontal

El lugar geométrico no posee asíntotas inclinadas. e) Cálculo de coordenadas de puntos de la curva. Como existe asíntota vertical, deberemos hacer dos tablas de valores, ya que nuestro gráfico constará de dos partes.

x

-2

-1

0

0,9

x

1,1

2

3

y

0,22

0,5

2

200

y

200

2

0,5

Fig. 101. GRAFICO DE LA ECUACION: yx2 – 2xy + y – 2 = 0

93. - Graficar y analizar la ecuación :

y2 =

a) Puntos de corte.

Si : x = 0

;

y = ± 0,81

Si : y = 0

;

x=2

x-2 x -3

por lo tanto : P1 ( 0 ; 0,81 ) ; P2 ( 0 ; − 0,81 )

por lo tanto : P3 ( 2 ; 0

- 134 -

)

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b) Simetrías (-y)2 =

Al eje X :

x- 2 x -3

y2 =

;

x−2 x−3

La ecuación no se altera, hay simetría respecto al eje X. y2 =

Al eje Y :

(- x) - 2 (- x) - 3

y2 =

;

−x−2 − x−3

;

y2 =

x+2 x+3

;

y2 =

La ecuación se altera, no hay simetría respecto al eje Y. Al origen :

(-y)2 =

(-x)-2 (- x ) - 3

;

y2 =

−x−2 − x−3

x+2 x+3

La ecuación se altera, no hay simetría respecto del origen. c.- Extensión. y=±

Despejamos la var iable " y":

x−2 x−3

Para que “y” exista, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero, por tanto: x−2 ≥ 0 x−3

resolvemos la inecuación :

3

2

x-2

-

x-3

-

Fracc.

+

Dominio:

O

O

+

+

-

O

+

-

n.e

+

{ -∞ < x ≤ 2 } U { 3 < x < ∞ }

Para analizar el codominio despejamos la variable “x”:

- 135 -

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xy 2 − 3 y 2 = x − 2

de donde :

3y2 − 2 x= 2 y −1

para que exista " x":

y2 − 1 = 0

y ≠ ±1

por tanto :

{−∞

Codominio :

< y < ∞

}

y ≠ ±1

;

d) Asíntotas. Igualamos a cero los denominadores de las fracciones obtenidas al despejar las variables, obteniendo las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales. x=3 y = ±1

Asíntota vertical. Asíntotas horizontales.

e) Cálculo de coordenadas de puntos de la curva:

x y

-1

0

1

2

x

3,1

4

5

0,86

0,81

0,71

0

y

3,11

1,41

1,22

Fig. 102. GRAFICO DE LA ECUACIÓN: Y2 = (X – 2) / (X – 3) - 136 -

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y2 =

94. - Analizar y graficar la ecuación :

x2 −9 x 2 - 16

a) Puntos de corte

Si : x = 0

;

y = ± 0,75

∴

Si : y = 0

;

x=±3

∴

P1 (0 ; 0,75)

P3 (3 ; 0 )

; ;

P2 (0 ; − 0,75)

P4 (− 3 ; 0 )

b) Simetrías: (-y)2 =

Al eje X :

x2 - 9 x 2 - 16

y2 =

;

x2 − 9 x 2 − 16

La ecuación no se altera, existe simetría respecto del eje X. y2 =

Al eje Y :

(- x) 2 - 9 (- x) 2 - 16

;

y2 =

x2 − 9 x 2 − 16

La ecuación no se altera, existe simetría respecto del eje Y. Al existir simetría respecto a los dos ejes, existe también simetría respecto al origen. c) Extensión: x2 - 9 x 2 - 16

y = ±

x2 − 9 ≥ 0 x 2 − 16

para que exista " y" :

factorando :

( x -3)( x + 3) ≥ 0 ( x − 4) ( x + 4)

+

resolvemos la inecuación :

-

+

-

o -4

-3

3

+ o 4

Dominio: { - ∞ < x < - 4 } U { -3 ≤ x ≤ 3 } U { 4 < x < ∞ } Despejamos la variable “x”: x 2 y 2 − 16 y 2 = x 2 − 9

agrupando :

x 2 ( y 2 − 1) = x 2 − 9

finalmente :

- 137 -

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x= ±

( 4y - 3 ) ( 4y + 3 ) (y - 1) ( y + 1 )

x= ±

16 y 2 - 9 y2 - 1

para que exista " x":

factorando :

( 4y - 3 ) ( 4y + 3 ) ≥ 0 (y - 1) ( y + 1 )

resolviendo la inecuación :

Aplicamos el método de intervalos: +

-

+ o -0,75

-1

Codominio :

{−∞

< y < −1 } 

-

+

o 0,75

{ − 0,75

1

≤ y ≤ 0,75 } 

{1

d) Asíntotas: Igualando a cero los denominadores de las fracciones obtenidas, al despejar “x” e “y”:

x 2 − 16 = 0 de donde : x = 4 ; x = −4 Ec. asíntotas verticales. y2 − 1 = 0 de donde : y = 1 ; y = −1 Ec. asíntotas horizontales. El lugar geométrico carece de asíntotas inclinadas. e) Cálculo de coordenadas de puntos de la curva: Debido a que la curva tiene las tres simetrías, sólo calcularemos algunos de sus puntos:

x

y

x

0

0,75

4,1

3,1

1

0,73

5

1,3

2

0,64

6

1,16

3

0

7

1,1

- 138 -

y

< y < ∞

}

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Fig. 103. GRAFICO DE LA ECUACION: y2 = (x2 -9) / (x2 -16 ) 95. - Analizar y graficar el lugar geométrico : y =

2x x - 4 2

a) Puntos de corte: Si : x = 0

y=0

;

∴

P1 ( 0 ; 0 )

La curva pasa por el origen de coordenadas. b) Simetrías: Al eje X :

(-y) =

2x x2 - 4

-y =

;

2x x −4 2

La ecuación se altera, no hay simetría. Al eje Y :

y =

2 (-x ) (-x ) 2 - 4

y=

;

- 2x x2 − 4

La ecuación se altera, no existe simetría.

Al origen :

-y =

2 (-x ) (-x ) 2 - 4

;

-y =

- 2x x2 − 4

La ecuación no se altera, existe simetría respecto del origen. - 139 -

;

y=

2x x −4 2

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c) Extensión: Para que “y” exista, el denominador de la fracción debe ser diferente de cero, por tanto: x2 − 4 ≠ 0

x ≠ ± 2

;

por tanto :

{ℜ − ( −2;2 )}

Dominio :

Despejamos la variable “x” para definir el codominio:

yx 2 − 2 x − 4 y = 0 x=

2±

aplicando la fórmula :

4 - 4(y)(-4y) 2y

4 + 16 y 2 ≥ 0

;

debiendo cumplirse que : y≠0

Como la suma de dos cantidades positivas, siempre es mayor que cero: Codominio: ℜ − {0} Aparentemente, parecería que hay alguna contradicción, pues la curva debe pasar por el punto ( 0 ; 0 ) y la “y” no puede tomar el valor cero, lo que sucede, es que la “y” no puede tomar el valor cero, para valores de “x” mayores que 4 y menores que -4 , ya que para este intervalo el eje de las X, es una asíntota horizontal. d) Asíntotas: Igualando a cero, los denominadores, de las fracciones obtenidas al despejar las variables: x2 − 4 = 0 ; 2y = 0

;

x = 2 ; x = −2 Ec. asíntotas verticales. y=0 Ec. asíntota horizontal.

e) Cálculo de coordenadas de puntos de la curva: Por la simetría de la curva respecto del origen, calculamos únicamente los puntos: x y

0

1

1,9

0

-0,66

-9,74

x y

2,1

3

4

10,24

1,2

0,66

- 140 -

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Fig. 104. GRAFICO DE LA ECUACION: y = 2x / (x2- 4)

96.- Analizar y graficar la ecuación : 6x3 + 4x2y - 3xy - 2y2 = 0 Analizando la ecuación dada, vemos, que es posible factorarla: El problema original, se divide en dos problemas parciales, analizaremos las ecuaciones (6 x 3 − 3 xy ) + (4 x 2 y − 2 y 2 ) = 0 3x(2 x 2 − y ) + 2 y (2 x 2 − y ) = 0 (2 x 2 − y )(3 x + 2 y ) = 0

de donde :

(1 ) 2x − y = 0 (2) 3x + 2 y = 0 ( 1 ) y ( 2 ) por separado, la gráfica final será la unión de las dos. 2

Análisis de la ecuación ( 1 ) : a) Puntos de corte: Si : x = 0 ;

y=0

∴

P1 (0 ; 0 )

La curva pasa por el origen de coordenadas.

- 141 -

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b) Simetrías: Al eje X : (− y ) = 2 x 2 − y = 2x2 ; La ecuación se altera, no hay simetría respecto del eje X. Al eje Y : y = 2(− x) 2 y = 2x2 ; La ecuación no se altera, hay simetría respecto del eje Y. Al origen : (− y ) = 2(− x) 2

;

− y = 2x2

La ecuación se altera, no hay simetría respecto del origen. c) Extensión: No hay ningún impedimento para que la “x ” tome todos los valores reales, por lo que : Dominio: { -∞ < x < ∞ } Despejando la variable “x”: x=±

y 2

y ≥ 0 2

para que " x" exista : por tanto :

y≥0

Codominio: { 0 ≤ y < ∞ } d) Asíntotas: La curva carece de asíntotas. e) Cálculo de coordenadas de puntos de la curva: x

0

1

2

y

0

2

8

Análisis de la ecuación ( 2 ) : 3x + 2y = 0 es la ecuación de una recta : P1 ( 0 ; 0 ) ; P2 ( 2 ; -3 )

Graficamos las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ):

- 142 -

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Fig. 105.

GRAFICO DE LA ECUACION: 6x3 + 4x2 y - 3xy - 2y2 = 0

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Qué es un lugar geométrico? 2.- ¿Qué es la ecuación de un lugar geométrico? 3.- Si en los problemas relativos a lugares geométricos, utilizamos variables auxiliares, ¿que condición deben cumplir estas? 4.- Un punto en el plano, ¿representa un lugar geométrico? 5.- ¿Qué condición cumple el punto, cuya trayectoria está dada por la ecuación : x = y ? 6.- ¿Cómo saber, que un punto pertenece a una curva, representada por una ecuación ? 7.- Si la distancia de un punto al eje Y, es siempre el doble de la distancia del punto al eje X, ¿cual es la ecuación del lugar geométrico? 8.- ¿Qué es una asíntota?

- 143 -

H.I.P.

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Un punto se mueve en el plano, de modo que, su distancia del punto A (8 ; 0) es tres veces mayor, que su distancia del punto B (-1 ; 0). Hallar la ecuación del lugar Sol. 8x2 + 8y2 + 34x - 55 = 0.

geométrico que describe el punto.

2.- Dados dos vértices de un triángulo: A (3 ; 2) y B (-1 ; 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el tercer vértice; si el área del triángulo es siempre constante, e igual a 5u2. Sol. x – 4y – 5 = 0 ; x – 4y + 15 = 0. 3.- Una recta pasa por los puntos: A (3 ; 2) y B (0 ; 1) . Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe un punto P, si el ángulo formado por la recta que resulta de unir el punto P con el origen ( lado inicial ) y la recta dada, es siempre de 1350 . Sol. Excepto el origen todos los puntos de: y = 2x. 4.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe un punto P, si está siempre, tres veces mas lejos de A (9 ; 0), que de B (1 ; 0) Sol. x2 + y2 –9 = 0. 5.- Dada la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 = 16. Hallar la ecuación del lugar geométrico, de los puntos medios de las cuerdas, de 2u. de longitud. Sol. x2 + y2 = 15. 6.- Las coordenadas del vértice C, de un ángulo recto son: (m ; n). Los puntos en que los lados del ángulo, cortan a los ejes coordenados, se mueven unidos por una recta, que se divide en una razón K, debido a un punto P. Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el punto P, cuando el ángulo gira alrededor de C. Sol. xm ( 1 + K ) + kny ( 1 + k ) – k( m2 + n2 ) = 0. 7.- Un triángulo tiene como base, la recta que une los puntos: A (a ; 0) y B (-a ; 0), los ángulos de la base son tales, que la suma de sus tangentes es siempre igual a dos. Hallar la ecuación del lugar geométrico, del tercer vértice. Sol. x2 + ay – a2 = 0. 8.- Un punto se mueve en el plano, de modo que: la suma de los cuadrados de su distancia, a dos de los vértices de un triángulo equilátero, es igual al doble, del cuadrado de su distancia al tercer vértice. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico que describe, es una línea recta, paralela a uno de los lados. 9.- Los extremos de un segmento de recta móvil se apoyan constantemente sobre los ejes coordenados, demostrar que el punto medio del segmento, describe una circunferencia. 10.- Los extremos P y Q de un segmento se deslizan a lo largo de los ejes coordenados. Sobre el segmento hay un punto M tal que MQ = a y MP = b. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto M. Sol. a2x2 + b2y2 – a2 b2 = 0.

11.- Determinar la ecuación del lugar geométrico del vértice C, de un triángulo OAC, de base OA igual a seis, en el cual la diferencia de los cuadrados de las longitudes de las medianas que pasan por los vértices O y A, es igual a la mitad del área del triángulo. Sol. 6x – y – 18 = 0. - 144 -

H.I.P.

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12.- Sea U cualquier punto de la curva: y = x2, y sean S y T las proyecciones de U sobre los ejes X e Y respectivamente. Hallar la ecuación del lugar geométrico formado por los puntos medios del segmento ST. Sol. y = 2x2. 13.- Analizar y graficar la ecuación: 3y2 – 2xy + 6y – 4x = 0. (factorable) 14.- Analizar y graficar la ecuación: x3 – 4x – 3y = 0. 15.- Analizar y graficar la ecuación: y = 4 / (2x2 – 5) 16.- Analizar y graficar la ecuación: x2 + x2y2 + y4 - y2 = 0 17.- Analizar y graficar la ecuación: y = (x + 1)0,5 18.- Analizar y graficar la ecuación: y = [ x (x2 – 16) ]0,5 19.- Analizar y graficar la ecuación: y = [ x / (x2 – 25) ]0,5 20.- Analizar y graficar la ecuación: y = [ 3x / (x2+1) ]0,5 21.- Analizar y graficar la ecuación: y = 3x / (x + 2)2 22.- Analizar y graficar la ecuación: 2x2 + 2xy – x – y – 2 = 0 23.- Analizar y graficar la ecuación: 2xy – x2 + 6x – 4y – 10 = 0 24.- Analizar y graficar la ecuación: x2y – x3 + 1 = 0 25.- Analizar y graficar la ecuación: yx2 – 5y – 2x = 0 26.- Analizar y graficar la ecuación: y2 = (x + 4) (x – 4)(x + 2)2 27.- Analizar y graficar la ecuación: x2 – 3xy – 13x + 12y + 39 = 0 28.- Analizar y graficar la ecuación: xy2 + xy – 2x – 2 = 0 29.-Analizar y graficar la ecuación: xy – x2 + 3 = 0 30.- Analizar y graficar la ecuación: y = 2x / (x + 1)(x – 2)

- 145 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

CAPITULO IV LA CIRCUNFERENCIA 4.1. ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 4.2. DEFINICIONES 4.3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 4.4. FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS 4.5. EJE RADICAL 4.6. TANGENTES A UNA CURVA PLANA

OBJETIVO:

Resolver problemas sobre circunferencias y tangentes a una curva plana, mediante la aplicación de métodos y procedimientos matemáticos, a partir de leyes, axiomas, teoremas y conceptos, que se analizan en esta unidad y los estudiados en las unidades anteriores.

- 146 -

LA CIRCUNFERENCIA

4.1.

H.I.P.

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

En los capítulos anteriores observamos que toda ecuación de primer grado, representa una línea recta y las ecuaciones de grado mayor, representaban generalmente curvas. Ahora empezaremos el estudio de las curvas, representadas por ecuaciones de segundo grado. Toda ecuación de segundo grado, en las variables “x” e “y” se puede escribir en la forma: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Ec. general de segundo gra do.

Ecuación en la cual, todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los tres primeros, es diferente de cero. Como iremos viendo, de acuerdo al valor que tomen los coeficientes, tendremos un tipo de curva específica. La curva cuadrática más simple, es la circunferencia, empezaremos definiéndola.

4.2.

DEFINICION.

La circunferencia: es el lugar geométrico de un punto del plano, que se mueve de tal manera, que está siempre a una distancia constante, respecto de un punto fijo también del plano. Al punto fijo del plano, lo llamamos centro, y a la distancia constante, radio de la circunferencia.

4.3.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Si denominamos por (h ; k) a las coordenadas del centro y por “r” al radio o distancia constante, de acuerdo a la definición dada de la circunferencia, como lugar geométrico, debe cumplirse: CP = r

pero :

(x − h )2 + ( y − k )2 2 2 r = (x − h) + ( y − k ) (x − h )2 + ( y − k )2 = r 2

CP =

por tanto : de donde :

[ 32 ]

Ecuación que la denominamos: forma ordinaria. Para el caso particular, de que el centro esté en el origen de coordenadas: h = k = 0, y la ecuación se transforma en: x2 + y2 = r 2

[ 33 ]

Forma Canónica.

- 147 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

4.3.1. FORMA GENERAL Desarrollamos la ecuación en la forma ordinaria: x 2 − 2hx + h 2 + y 2 − 2ky + k 2 = r 2

ordenándola :

x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 = 0

Si comparamos esta última ecuación, con la ecuación general de segundo grado, vemos que: A = C = 1 y que: B = 0. Es decir, la ecuación de cualquier circunferencia se la puede escribir también en la forma:

[ 34 ]

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

Comprobaremos ahora, si toda ecuación escrita en esta forma, representa una circunferencia; para esto agrupamos los términos que contienen la variable x, los que contienen la y, y completamos cuadrados en los términos agrupados. ( x 2 + Dx) + ( y 2 + Ey ) = − F

completando cuadrados :

 E2  D2   2 D2 E 2  = − F +  +  y + Ey +  x 2 + Dx + + 4   4  4 4  D  E D2 + E 2 − 4F  x+  + y +  = 2  2 4  2

2

(1)

Comparando esta expresión, con la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria, observamos que, para que esta ecuación represente a una circunferencia, depende todo del valor que tenga el segundo miembro de la igualdad, pudiendo darse tres alternativas. a. − Si :

D2 + E 2 − 4F > 0 4

La ecuación representa una circunferencia de: E  D C − ; −  2  2 b. − Si :

;

r=

1 D2 + E 2 − 4F 2

D2 + E 2 − 4F = 0 4 - 148 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

Si el segundo miembro de la ecuación se hace igual a cero, la ecuación se reduce a la suma de dos cuadrados perfectos igualada a cero, la que se cumple cuando cada uno de los cuadrados perfectos es igual a cero, por lo que: x+

D =0 2

solo si :

x=−

D 2

y+

E =0 2

solo si :

y=−

E 2

E  D Es el punto : P  − ; −  2  2 A este punto se le puede considerar como una circunferencia de radio cero, razón por la cual se le llama circunferencia nula. c. − Si :

D2 + E 2 − 4F < 0 4

Si el segundo miembro es negativo, no habrán puntos que satisfagan la ecuación, en el campo de los reales, por lo tanto, la ecuación representa una circunferencia imaginaria. Podemos concluir enunciando el teorema:

TEOREMA 8: Toda ecuación de segundo grado, que carece de término en XY y en la cual los coeficientes de X2 e Y2 son iguales, representa: una circunferencia o un punto o una circunferencia imaginaria.

Corolario: si nos dan una ecuación en la forma general, deberemos siempre verificar, si se trata o no, de la ecuación de una circunferencia. Observando las ecuaciones [32] , [33] y [34], podemos enunciar que: para que la ecuación de una circunferencia quede perfectamente definida, necesitamos conocer tres condiciones, las que nos permitirán hallar las coordenadas del centro y el valor del radio.

- 149 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

EJERCICIOS DE APLICACION

97.- Una circunferencia de centro en el origen, es tangente a la recta: 4x – 3y + 5 = 0. Hallar su ecuación.

El centro de la circunferencia está en (0 ; 0), su ecuación es de la forma: x2 + y 2 = r 2 Recordando el teorema: El radio es perpendicular a la tangente, en el punto de contacto. Para definir el valor del radio, hacemos distancia del centro a la recta tangente. Como el radio siempre es positivo, tomaremos el valor absoluto de esta distancia. r=

4(0) − 3(0) + 5 =1 16 + 9

Sol. x 2 + y 2 = 1 98.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por (1 ; -4) y es concéntrica con la circunferencia: x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0.

Pasamos la ecuación dada en la forma general, a la forma ordinaria, completando cuadrados. ( x 2 − x) + ( y 2 + 10 y ) = −18 1 1  2 2  x − x +  + ( y + 10 y + 25) = −18 + + 25 4 4  2

1 29  2  x −  + ( y + 5) = 2 4 

Las circunferencias por ser concéntricas, tienen el mismo centro.

- 150 -

1  ∴ C  ; − 5 2 

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

El radio es igual a la distancia del centro al punto P. 2

1  2 r =  − 1 + (− 5 + 4 ) = 2 

5 4

2

1 5  2 Sol.  x −  + ( y + 5) = 2 4  99.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por el punto (2 ; 3) y es tangente a la recta: x + y – 7 = 0 ; si su centro está sobre la recta: 3x – y – 7 = 0.

Las coordenadas del centro de la circunferencia, deben satisfacer la ecuación de la recta. (h ; k ) en : 3 x − y − 7 = 0 3h − k − 7 = 0

(1 )

El radio es la distancia del centro a la recta, al igual que la distancia del centro al punto dado:

r=

r=

h+k −7 2

(2)

(3)

(h − 2)2 + (k − 3)2

Igualando

(2)

(h − 2)2 + (k − 3)2

y =

( 3 ): h+k −7 2

Elevando al cuadrado los dos miembros.

(h − 2)2 + (k − 3)2 = (h + k − 7 )

2

2

- 151 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

Haciendo las operaciones.

(4)

h 2 + k 2 + 6h + 2k − 2hk − 23 = 0 De (1) : k = 3h − 7

reemplazamos en (4 ) :

h 2 + (3h − 7) 2 + 6h + 2(3h − 7) − 2h(3h − 7) − 23 = 0 Operando : 4h 2 − 16h + 12 = 0 Factorando : (h − 1) (h − 3) = 0 Finalmente : h1 = 1

h2 = 3

;

Con estos valores de h definimos los de k: k1 = −4

;

k2 = 2

∴

C1 (3 ; 2)

;

C2 (1 ; − 4)

Determinamos los valores de los radios, usando la relación (3): r1 = (3 − 2) 2 + (2 − 3) 2 = 2 r2 = (1 − 2) 2 + (−4 − 3) 2 = 50 Obtenemos las soluciones: C1 : ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 2 C2 : ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 50

100.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos: A(6 ; 2) y B(8 ; 0), si su centro está sobre la recta: 3x + 7y + 2 = 0. La ecuación de la circunferencia será de la forma: (x – h)2 + (y – k)2 = r2

- 152 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

Como los puntos A y B pertenecen a la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer su ecuación: (6 − h ) 2 + ( 2 − k ) 2 = r 2

(1)

(8 − h) 2 + (0 − k ) 2 = r 2

(2)

Hacemos:

(1) = (2)

36 − 12h + h 2 + 4 − 4k + k 2 = 64 − 16h + h 2 + k 2 Operando : 4h − 4k − 24 = 0 De donde : h = k + 6

(3)

Las coordenadas del centro satisfacen la ecuación de la recta. 3h + 7 k + 2 = 0

(4)

Reemplazando (3) en (4): 3(k + 6) + 7k + 2 = 0 k = −2 → h = 4

de donde : ∴

C (4 ; − 2)

Con estos valores en (2): (8 − 4) 2 + (0 + 2) 2 = r 2

por tanto : r 2 = 20

Sol. ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 = 20

101.- Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y tienen su centro sobre la recta: 2x – 3y + 6 = 0. Si está en el primer cuadrante. Si la circunferencia es tangente a los ejes coordenados, su centro debe estar sobre la bisectriz del primer cuadrante, por lo que:

- 153 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

Ecuación de la bisectriz: x=y Reemplazando en la ecuación de la recta dada: 2h – 3h + 6 = 0

de donde:

h=k=r=6 Sol. (x – 6)2 + (y – 6)2 = 36

102.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (6 ; 10) ; (-2 ; -4) y (3 ; -5). Para representar a la circunferencia tomaremos la forma general, que resulta más conveniente, pues al reemplazar las coordenadas de los puntos en esta ecuación, nos queda un sistema de tres ecuaciones, pero, de primer grado. La ecuación de la circunferencia es de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Las coordenadas de los puntos dados, deben satisfacer esta ecuación, por lo que: 36 + 100 + 6D + 10E + F = 0

→

6D + 10E + F = - 136

4 + 16 - 2D – 4E + F = 0

→

2D + 4E - F = 20

(2)

9 + 25 + 3D – 5E + F = 0

→

3D - 5E + F = -34

(3)

Tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas; resolvemos el sistema: (1) 6D + 10E + F = -136 (2) 2D + 4E – F = 20 ----------------------------------8D + 14E = -116

(4)

(1) 6D + 10E + F = -136 (3) -3D + 5E – F = 34 ----------------------------------3D + 15E = -102

(5)

(4) 4D + 7E = -58 (5) -4D – 20E = 136 ----------------------------- 13E = 78

- 154 -

(1)

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

De donde: E = -6. Reemplazando este valor en (5): 3D + 15(-6) = -102

de donde:

D = -4

Reemplazando estos valores en (2): 2(-4) + 4(-6) – F = 20

de donde:

F = -52

Reemplazando en la ecuación general: Sol. x2 + y2 – 4x – 6y – 52 = 0

;

C (2 ; 3)

;

r2 = 65.

103.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias, que son tangentes a las rectas: x + y – 4 = 0 ; x – y = 0. Si su radio es igual a 4.

Nuestro problema tiene cuatro soluciones. Para hallar cada una de ellas, plantearemos distancias del centro a las rectas, tomando en cuenta todos los signos, para de esta manera, obtener todas las ecuaciones de las circunferencias solución. Para C1: d1 =

h−k =4 − 2

−4 2 = h−k

d2 =

h+k −4 =4 2

4 2 = h+k −4

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2):

- 155 -

(1)

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

−4 2 = h−k 4 2 = h+k −4 −−−−−−−−−−− −4 0 = 2h h=2

y

de donde :

k = 7,66

∴

C (2 ; 7,66)

Sol. Ec. C1 : ( x − 2) 2 + ( y − 7,66) 2 = 16 Para la circunferencia C2: − d3 =

h−k = −4 − 2

4 2 = h−k − d4 =

(3)

h+k −4 = −4 2

−4 2 = h+k −4

(4)

Resolvemos el sistema entre (3) y (4):

4 2 = h−k −4 2 = h+k −4 −−−−−−−−−−−− −4 0 = 2h h=2

y

k = −3,66

de donde : ∴

C (2 ; − 3,66)

Sol. C2 : ( x − 2) 2 + ( y + 3,66) 2 = 16

Para la circunferencia C3:

- 156 -

LA CIRCUNFERENCIA

− d5 =

h−k = −4 − 2

4 2 = h−k d6 =

H.I.P.

(5)

h+k −4 =4 2

4 2 = h+k −4

(6)

Resolvemos el sistema entre (5) y (6): 4 2 = h−k 4 2 = h+k −4 −−−−−−−−−−− 8 2 = 2h

−4

h = 7,66

y

de donde : k=2

∴

C (7,66 ; 2)

Sol. C3 : ( x − 7,66) 2 + ( y − 2) 2 = 4

Para la circunferencia C4: d7 =

h−k =4 − 2

−4 2 = h−k

− d8 =

(7)

h+k −4 = −4 2

−4 2 = h+k −4

(8)

Resolvemos el sistema entre (7) y (8):

- 157 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

−4 2 = h−k −4 2 = h+k −4 −−−−−−−−−−−− − 8 2 = 2h h = −3,66

−4 y

de donde : k=2

∴

C (−3,66 ; 2)

Sol. C4 : ( x + 3,66) 2 + ( y − 2) 2 = 16

104.- Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente exteriormente a las circunferencias: x2 + y2 – 6x – 2y – 6 = 0 ; x2 + y2 – 20x – 2y + 92 = 0. Si está en el primer cuadrante y su radio vale 3.

Definimos los centros y los radios, de las circunferencias, cuyas ecuaciones están dadas en la forma general. E  D C − ;−  2  2

;

C1 (3 ; 1) ;

r = 4

C2 (10 ; 1) ;

r = 3

r=

1 D2 + E 2 − 4F 2

La distancia C1C3 debe ser igual a la suma de los radios de las circunferencias.

dC1C3 = 7 = (h − 3) 2 + (k − 1) 2 39 = h 2 − 6h + k 2 − 2k

(1)

dC2C3 = 6 = (h − 10) 2 + (k − 1) 2

− 65 = h 2 − 20h + k 2 − 2k

operando :

operando :

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2):

- 158 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

39 = h 2 − 6h + k 2 − 2k 65 = −h 2 + 20h − k 2 + 2k −−−−−−−−−−−−−−− de donde : 104 = 14h h=

52 7

este valor en (1) :

2

 52   52  39 =   − 6  + k 2 − 2k  7   7  49k 2 − 98k − 1391 = 0 k1 = 6,42

;

operando :

resolviendo : k2 = −4,42

(no solución)

2

Sol.

52   2  x −  + ( y − 6,42) = 9 7  

105.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por el punto A (8 ; 7), tiene un radio igual a 6 y una cuerda común de 3u. de longitud, con la circunferencia: x2 + y2 – 8x – 4y + 11 = 0. Definimos el centro y radio de la circunferencia dada: C (4 ; 2)

;

r = 3

Como: todo radio perpendicular a una cuerda, lo es en su punto medio: RE = EQ = 1,5 En el triángulo C1QE se cumple:

(C1E )2 = (C1Q )2 C1E = (3) 2 − (1,5) 2 = 2,6 En el triángulo EQC2 se cumple que: ( EC2 ) 2 = ( EQ) 2 − (QC2 ) 2 EC2 = (6) 2 − (1,5) 2 = 5,81 - 159 -

− (EQ )

2

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

Con estos valores definimos la distancia C1C2. C1C2 = C1E + EC2 = 2,6 + 5,81 = 8,41 La distancia C1C2 la podemos definir también como: C1C2 = (h − 4) 2 + (k − 2) 2

por tanto :

(h − 4) 2 + (k − 2) 2 = (8,41) 2

desarrollando :

h 2 + k 2 − 8h − 4k − 50,68 = 0

(1)

La ecuación de la circunferencia buscada es de la forma: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = 36

como pasa por A :

(8 − h) 2 + (7 − k ) 2 = 36

operando :

h 2 + k 2 − 16h − 14k + 77 = 0

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): h2 + k2 – 8h – 4k – 50,68 = 0 - h2 – k2 + 16h + 14k – 77 =0 ---------------------------------------8h + 10k – 127,68 = 0 De esta ecuación despejamos el valor de: h h = - 1,25k + 15,96

reemplazamos este valor en (1):

(-1,25k + 15,96)2 + k2 – 8(-1,25k + 15,96) – 4k – 50,68 = 0 2,56k2 – 33,9k + 76 = 0 k1 = 10,36

;

resolviendo:

k2 = 2,88

con estos valores:

h1 = 3,01

∴

Sol. C1:

(x – 3,01)2 + (y – 10,36) 2 = 36

Sol. C2:

(x – 12,36)2 + (y – 2,88)2 = 36

C1 (3,01 ; 10,36) ;

h2 = 12,36

- 160 -

∴

C2 (12,36 ; 2,88)

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

106.- Hallar la ecuación de la circunferencia simétrica a: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1, con respecto de la recta: y = x – 3. La recta que pasa por los centros es perpendicular a la recta dada, debido a la simetría, por tanto: ∴

mL = 1 −1 =

2−k 1− h

2-k=-1+h h=3-k

mC1C2 = -1 operando : de donde: (1)

Las distancias de los centros a la recta, deben ser iguales.

Hacemos distancias, considerando los signos: -d (C1 a la recta) = d (C2 a la recta) −

1− 2 − 3 h−k −3 = 2 2

h = k +7

de donde :

(2)

Igualando ( 1 ) y ( 2 ): 3–k = 7+k

de donde:

k = -2

y

h=5

Como las circunferencias son simétricas, sus radios son iguales, por lo tanto: Sol. (x - 5)2 + (y + 2)2 = 1

107.- Las rectas L1 y L2, al pasar por el punto Q(-1 ; 2), determinan sobre la circunferencia: x2 + y2 – 10x – 2y + 1 = 0, cuerdas de 8u. de longitud. Se pide, determinar el área del triángulo formado por: L1 , L2 y el eje de las Y. De: x2 + y2 – 10x – 2y + 1 = 0

;

C (5 ; 1)

- 161 -

;

r =5

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

Definimos la ecuación de las rectas que contienen a las cuerdas: y – 2 = m (x + 1) mx - y + 2 + m = 0

operando: (1)

En el triángulo CDG:

CD = 3

CG = 5

por ser radio.

DG = 4 cuerda.

porque D es punto medio de la

porque el triángulo es rectángulo.

Hacemos distancia del centro a la recta L1. −3 =

5m − 1 + (m + 2) ± m2 + 1

En el denominador, tomamos el doble signo, porque, el término C no tiene signo definido, al ser literal. ± 3 m 2 + 1 = 6m + 1

Operando :

27 m 2 + 12m − 8 = 0 m1 = 0,37

;

elevando al cuadrado :

resolviendo : m2 = − 0,81

Al reemplazar estos valores en (1), obtenemos las ecuaciones de las secantes: Ec. L1:

0,37x – y + 2,37 = 0

Ec. L2:

0,81x + y – 1,19 = 0

Para definir el área del triángulo HQG, hallamos los puntos de corte de estas rectas, con el eje de las Y. En L1:

Sí x = 0

;

y = 2,37

∴

G (0 ; 2,37)

En L2:

Sí x = 0

;

y = 1,19

∴

H (0 ; 1,19)

Conocidas las coordenadas de los vértices Q ; H y G, planteamos el determinante para calcular el área del triángulo:

- 162 -

LA CIRCUNFERENCIA

1 A = 2

H.I.P.

−1

2

1

0

2,37

1

0

1,19

1

= 0,59 u 2

108.- Hallar las ecuaciones de las tangentes comunes a las circunferencias: C1 y C2 . Si C1 : (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16 ; C2 : (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25.

La ecuación de la tangente es de la forma: y = mx + b

de donde:

mx – y + b = 0

f. general

Hacemos distancia del centro de cada circunferencia, a la tangente: 4=

3m − 2 + b m2 + 1

m2 + 1 =

5=

2m − 3 + b m2 + 1

m2 + 1 =

despejando :

2m − 3 + b 5

(2)

Igualamos las ecuaciones: (1) y (2): 2m − 3 + b 3m − 2 + b = 5 4 7m + 2 + b = 0

de donde :

operando : b = −7 m − 2

Reemplazamos (3) en (2) :

- 163 -

(3)

despejando :

3m − 2 + b 4

(1)

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

5 m 2 + 1 = 2m − 3 − 7 m − 2 m 2 + 1 = −m − 1

elevando al cuadrado :

m + 1 = m 2 + 2m + 1 m=0

∴

Ec. Tg . y = −2

términos semejantes :

de donde :

b = −2 primera solución.

Para recuperar la segunda solución conviene recordar que: la recta de los centros es la bisectriz del ángulo formado por las tangentes. Definimos su ecuación: m=

3−2 = −1 2−3

y − 2 = −1( x − 3)

de donde :

x+ y+5 = 0

Hacemos sistema, entre la recta de los centros y la primera tangente: x–2–5=0

de donde:

x=7

∴

P (7 ; - 2)

Al ser la pendiente de la recta de los centros –1 y analizando los ángulos en la fig. 114 deducimos que las tangentes deben ser perpendiculares entre sí. Como las rectas paralelas al eje Y son de la forma: x = k. Ec. Tg. x = 7

(segunda solución)

EJERCICIOS ORALES 1.- Defina la circunferencia. 2.- ¿Cuáles son los tres parámetros, que determinan la ecuación de una circunferencia? 3.- ¿Qué representa la ecuación: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ?. 4.- ¿Qué representa cada una de las siguientes ecuaciones: ? a.- x2 + y2 = 12 - 164 -

LA CIRCUNFERENCIA 2

H.I.P.

b.- (x – 3) + (y + 2)2 = 25 c.- (x + 4)2 + (y – 2)2 = -25 d.- x2 + y2 = 0 e.- x2 + y2 - 8x - 6y - 3 = 0 f.- x2 + y2 - 10x + 10y + 60 = 0 e.- x2 + y2 + 8x - 12y + 70 = 0

RESUMEN DE FORMULAS x2 + y2 = r2 C (0 ; 0)

Ec. Canónica. ;

r = r

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 C (h ; k)

;

Ec. ordinaria

r = r

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 E  D ; −  C − 2  2

;

Ec. general

r=

1 2

D2 + E 2 − 4F

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-

Hallar la ecuación de una circunferencia, si las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros son: A(-2 ; 1) y B(6 ; 5). Sol. (x – 2)2 + (y – 2 3) = 20.

2.-

Dada la circunferencia: x2 + y2 + 8x – 2y + 16 = 0. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia, en el punto T(-3 ; 1). Sol. x + 3 = 0.

3.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, de centro en: (3 ; 4) si es tangente a la recta: x = 8. Sol. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25.

4.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos: A(-1 ; -3) y B (5 ; 3) y tiene su centro sobre la recta: x – 2y + 2 = 0. Sol. (x + 6)2 + (y + 2)2 = 26. - 165 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

5.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, tangente al eje X en el punto: A(4 ; 0) y que pasa por el punto: B (7 ; 1). Sol. (x – 4)2 + (y – 5)2 = 25.

6.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, tangente a la recta: 2x – y + 6 = 0 en el punto: A(-1 ; 4), si su radio es 451/2. Sol. (x + 7)2 + (y – 7)2 = 45 ; (x – 5)2 + (y – 1)2 = 45.

7.-

Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia: x2 + y2 – 10x = 0, en cada uno de los puntos de corte, con la recta: 4x + 3y = 20. Sol. 3x – 4y + 10 = 0 ; 3x – 4y – 40 = 0.

8.-

Dada la circunferencia: x2 + y2 – 6x – 14y + 33 = 0. Hallar las coordenadas de los puntos, pertenecientes a la circunferencia, que distan 5u. del punto: A(-1 ; -1) Sol. (-1 ; 4) ; (3 ; 2).

9.-

El centro de una circunferencia tangente a los ejes coordenados, está sobre la recta: 2x – 5y + 21 = 0. Hallar su ecuación. Sol. (x - 7)2 + (y – 7)2 = 49 ; (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9.

10.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, de centro sobre el eje Y, si pasa por los puntos: A(0 ; -2) y B(3 ; 7). Sol. x2 + (y – 3)2 = 25.

11.-

Los extremos de una varilla, de 16u. de longitud, se mueven sobre los ejes coordenados; hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el punto medio de la barra. Sol. x2 + y2 = 64.

12.-

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (5 ; 4) ; B (4 ; -3) y C(-2 ; 5). Sol. x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0.

13.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos: A(-8 ; 3) y B (4 ; -5) si su centro está sobre la recta: 2x – 3y – 14 = 0. Sol. (x + 8)2 + (y + 10)2 = 169.

14.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por el punto: A(3 ; 6) y es tangente a las rectas: x + y – 11 = 0 ; x – 7y + 57 = 0. Sol. (x – 2)2 + (y – 7)2 = 2 ; (x + 4)2 + (y + 11)2 = 338.

15.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, de centro en: x + y – 3 = 0, si es tangente a las rectas: x + 2y + 4 = 0 ; 3x – y + 6 = 0. Sol. (x - 2,1)2 + (y - 0,94)2 = 12,25 ; (x + 6,6)2 + (y - 9,6)2 = 55,11.

16.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, tangente a las rectas: x - y = 0 ; x - 7y = 0 ; 7x + y – 20 = 0. Sol. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 0,5 ; (x + 2)2 + (y – 4)2 = 18 ; (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9/2. - 166 -

LA CIRCUNFERENCIA

H.I.P.

17.-

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a: x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0 y que pase por el punto B(-3 ; -8). Sol. (x – ½)2 + (y + 5)2 = 85/4.

18.-

La altura de un arco semicircular, medida a 1mt. de su extremo, es 7mts. ¿Cuál es la altura máxima del arco? Sol. 25m.

19.-

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos, cuya distancia del punto: A (3 ; 0) es el doble de la distancia al punto: B(-3 ; 0). Sol. (x + 5)2 + y2 = 16.

20.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, concéntrica a: x2 + y2 – 6x + 2y - 39 = 0 y tangente a la recta: 8x – 15y – 5 = 0. Sol. x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0.

21.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, tangente a la recta: 4x – 3y + 5 = 0, si su centro está sobre la recta: 2x + y = 0 y su radio vale 5u. Sol. (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25 ; (x + 3)2 + (y - 6)2 = 25.

22.-

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta: x + y – 10 = 0 y es tangente a las rectas: 2x – y + 8 = 0 ; x +2 y – 26 = 0. Sol. (x – 4)2 + (y – 6)2 = 20 ; (x + 1)2 + (y – 11)2

= 5. 23.-

Hallar la ecuación de la circunferencia, de centro en (0 ; 0) y que es tangente a la circunferencia: x2 + y2 – 4x + 10y + 28 = 0. Sol. x2 + y2 = 19,23.

24.-

El punto: A(8 ; 6), es el punto medio de una cuerda de la circunferencia: x2 + y2 12x - 4y - 60 = 0. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda. Sol. x + 2y – 20 = 0 ; 8(5)1/2.

25.-

Hallar la diferencia de las áreas, de las circunferencias tangentes a: x + 2y – 26 0 2x – y + 8 = 0, si sus centros están sobre la recta: x + y – 10 = 0. Sol. 15π.

- 167 -

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

4.3.

H.I.P.

FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS

La ecuación de una circunferencia y su posición en el plano, quedan perfectamente definidas si conocemos tres de sus condiciones, si conocemos únicamente una o dos de sus condiciones, existirán muchas circunferencias que las cumplan, llamaremos a este conjunto o grupo de circunferencias: familia de circunferencias y a la ecuación que las define: ecuación de la familia. Si conocemos por ejemplo las coordenadas del centro (3 ; 2) la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas es: (x – 3)2 + (y – 2)2 = r2 Ecuación que representa a todas las circunferencias de la figura. Las ecuaciones de las circunferencias particulares, las obtendremos al definir de alguna manera, el valor de su radio, que viene a ser: el parámetro de la familia. Todas las circunferencias de centro sobre el eje X y de radio 3, representan otra familia de circunferencias, cuya ecuación es: (x – h) + y2 = 9 Para los diferentes valores de h, obtendremos las ecuaciones de las circunferencias particulares; siendo h el parámetro de la familia. La familia de circunferencias más importante es: la familia de circunferencias que pasan por los puntos de corte de dos circunferencias dadas, la ecuación de esta familia la obtendremos, multiplicando por el parámetro K una de las ecuaciones de las circunferencias y sumándole la otra. C1: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 C2: x2 + y2 + D’x + E’y + F’ = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F + K(x2 + y2 + D’x + E’y + F’) = 0

[ 35 ]

x2 + y2 + D’x + E’y + F’ + K1(x2 + y2 + Dx + Ey + F) = 0

[ 36 ]

Para todos los valores del parámetro K, excepto el valor -1, las expresiones [35] y [36] representan circunferencias; si K toma el valor -1, las expresiones se transforman en la ecuación de una línea recta, denominada eje radical, de cuyo estudio nos ocuparemos más adelante. - 168 -

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

H.I.P.

Las circunferencias dadas, pueden ubicarse de tres formas en el plano: se cortan en dos puntos; son tangentes y no se topan. En los dos primeros casos las expresiones [35] ó [36] siempre serán las de una circunferencia, en el tercer caso no siempre obtendremos una circunferencia real por lo que debemos verificar los resultados obtenidos. En la fig. 119, se han representado dos circunferencias pertenecientes a la familia, siendo característica de todas ellas el tener su centro sobre la recta de los centros de C1C2 y pasar por los puntos de corte P1 y P2. El procedimiento ha seguir, para la resolución de problemas de familias de circunferencias, es el mismo que se enunció, para problemas sobre familias de rectas.

PROBLEMAS DE APLICACION 109.- Hallar la ecuación de la circunferencia, concéntrica a: x2 + y2 – 6x – 10y + 18 = 0 y que pase por el punto A(-7 ; 5). Definimos el centro de las circunferencias: E  D C − ; −  = (3 ; 5) 2  2 La ecuación buscada será de la forma: (x – 3)2 + (y – 5)2 = r2

Ec. familia.

Las coordenadas del punto: P(-7 ; 5), satisfacen la ecuación de la familia, al reemplazar las coordenadas del punto, obtendremos el valor del parámetro “r”. (-7 – 3)2 + (5 – 5)2 = r2 r2 = 100

por tanto:

reemplazamos en la Ec. de la familia:

Sol. (x – 3)2 + (y – 5)2 = 100.

110.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de corte de las circunferencias: x2 + y2 - 10x – 6y + 25 = 0 ; x2 + y2 –6x – 10y +18 = 0, y tiene su centro sobre la recta: x - y = 0.

- 169 -

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

H.I.P.

Hallamos las coordenadas de los centros y los radios de las circunferencias dadas. C1 :

C (5 : 3) ; r = 3

C2 :

C ( 3 ; 5) ; r = 4

Como podemos ver en el gráfico, el centro de la circunferencia buscada, está sobre la recta de los centros y también sobre la recta dada.

Planteamos la ecuación de la familia de circunferencias, que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias dadas. x 2 + y 2 − 10 x − 6 y + 25 + k ( x 2 + y 2 − 6 x − 10 y + 18) = 0 Realizamos la operación indicada y ordenamos: x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) + x(−10 − 6k ) + y (−6 − 10k ) + 25 + 18k = 0 Para que nos quede la ecuación en la forma general, debemos eliminar los coeficientes de las variables elevadas al cuadrado, para esto dividimos toda la ecuación para: (1 + k).  − 10 − 6k   − 6 − 10k   25 + 18k  x2 + y2 +   x+  y+ =0  1+ k   1+ k   1+ k  Las coordenadas del centro son:  − 10 − 6k C   2 (1 + k )

;

− 6 − 10k   2 (1 + k ) 

Estas coordenadas satisfacen la ecuación: x = y ; por tanto: − 10 − 6k − 6 − 10k = 2 (1 + k ) 2 (1 + k ) 4k = 4

finalmente :

de donde :

k =1

Reemplazamos este valor de k en la ecuación de la familia y así obtenemos la circunferencia particular buscada.

x 2 + y 2 − 10 x − 6 y + 25 + 1( x 2 + y 2 − 6 x − 10 y + 18) = 0 2 x 2 + 2 y 2 − 16 x − 16 y + 43 = 0

dividiendo para 2 :

Sol. x2 + y2 – 8x – 8y + 43/2 = 0

- 170 -

operando :

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

H.I.P.

111.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de corte de las circunferencias: x2 + y2 = 4 ; x2 + y2 – 2x - 2y – 7 = 0 y por el punto: A (-5 ; -4). Planteamos la ecuación de la familia: x 2 + y 2 − 4 + k ( x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 7) = 0

operando y agrupando :

x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) − 2kx − 2ky − 4 − 7 k = 0 Las coordenadas del punto A satisfacen esta ecuación: 25(1 + k ) + 16(1 + k ) + 10k + 8k − 4 − 7 k = 0 37 52k + 37 = 0 finalmente : k=− 52

operando :

Reemplazamos el valor del parámetro k en la ecuación de la familia: x2 + y2 − 4 −

(

)

37 2 x + y2 − 2x − 2 y − 7 = 0 52

operando :

52 x 2 + 52 y 2 − 208 − 37 x 2 − 37 y 2 + 74 x + 74 y + 259 = 0

ordenando :

Sol. 15x2 + 15y2 + 74x + 74y + 51 = 0 112.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias: x2 + y2 – 10x – 10y = 0 ; x2 + y2 + 6x + 2y – 40 = 0. Si su radio vale 5. Planteamos la ecuación de la familia: x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 40 + k ( x 2 + y 2 − 10 x − 10 y ) = 0 x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) + x (6 − 10k ) + y (2 − 10k ) − 40 = 0 Pasamos la ecuación a la forma general:  6 − 10k   2 − 10k  40 =0 x2 + y2 + x  − + y   1+ k   1+ k  1+ k 1 r= 2

160  6 − 10k   2 − 10k    +  +  1+ k   1+ k  1+ k 2

2

operando :

100 (1 + k ) 2 = 36 − 120k + 100k 2 + 160 + 160k Definimos el valor del radio:

- 171 -

operando :

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

H.I.P.

Haciendo términos semejantes: 100k − 200k + 100 = 0 k 2 − 2k + 1 = 0

simplificando :

de donde : k = 1

Reemplazamos este valor en la ecuación de la familia: x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 40 + 1( x 2 + y 2 − 10 x − 10 y ) = 0 2 x + 2 y − 4 x − 8 y − 40 = 0

simplificando :

Sol. x2 + y2- 2x – 4y – 20 = 0.

C (1 ; 2) ;

2

2

operando :

r=5

113.- Dadas las circunferencias: x2 + y2 +7x – 10y + 31 = 0 ; x2 + y2 – x – 6y + 3 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de estas circunferencias y es tangente a la recta: 7x + 9y + 27 = 0. Planteamos la ecuación de la familia: x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 + k ( x 2 + y 2 − x − 6 y + 3) = 0

operando :

x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) + x (7 − k ) − y (10 + 6k ) + 31 + 3k = 0 Pasamos la ecuación a la forma general: 7−k   10 + 6k   31 + 3k  x2 + y2 + x  =0 +  − y  1+ k   1+ k   1+ k  Estando la ecuación de la familia en la forma general, definimos el valor del radio: r=

1 2

 31 + 3k   7 − k   10 + 6k    − 4  +   1+ k   1+ k   1+ k 

r=

1 2

25k 2 − 30k + 25 (1 + k ) 2

2

2

operando :

(1)

La distancia del centro a la recta, es también igual al radio:

- 172 -

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

 7−k C  −  2(1 + k )

;

10 + 6k 2(1 + k )

H.I.P.

  

 k −7 C   2(1 + k )

;

 k −7   5 + 3k   + 9  7   + 27 2(1 + k )   1+ k   r = 49 + 81 r=

115k + 95 2 130 (1 + k )

;

5 + 3k 1+ k

operando :

(2)

Igualamos (1) y (2):

25k 2 − 30k + 25 115k + 95 = 2 (1 + k ) 2 130 (1 + k )

[

130 . 25k 2 − 30k + 25

399k 2 − 1030k + 231 = 0 k1 = −

1862 7 =− 798 3

;

simplificando :

] = [115k + 95] 2

2

de donde :

resolviendo : k2 = −

33 198 =− 798 133

Reemplazando estos valores en la ecuación de la familia: x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 − 1ra Sol.

C1 : x 2 + y 2 − 7 x − 3 y − 18 = 0

x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 −

2da. Sol.

7 2 ( x + y 2 − x − 6 y + 3) = 0 3

33 2 ( x + y 2 − x − 6 y + 3) = 0 133

C2 : 25 x 2 + 25 y 2 + 241x − 283 y + 1006 = 0

- 173 -

  

EJE RADICAL

4 - 5.

H.I.P.

EJE RADICAL

Si en la ecuación de la familia de circunferencias C1 + kC2 = 0 el parámetro K tomaba el valor -1, la ecuación resultante representaba una línea recta, denominada eje radical; en efecto, si en la ecuación de la familia hacemos: K = -1, la ecuación toma la forma: x ( D − D′) + y ( E − E ′) + F − F ′ = 0

[ 37 ]

Si las circunferencias no son concéntricas siempre se cumplirá que: D ≠ D’ o E ≠ E’, por lo que esta ecuación resultante, siempre representará una línea recta, la misma que se caracteriza por pasar por los puntos de intersección de las circunferencias dadas, el eje radical posee además propiedades especiales que las iremos analizando.

Como las circunferencias pueden tener tres tipos de posiciones relativas entre sí en el plano, el eje radical dependerá de ello, si C1 y C2 se cortan en dos puntos, el eje radical pasa por estos puntos de corte y por tanto contiene a la cuerda común de las circunferencias, si C1 y C2 son tangentes, el eje radical pasa por el punto de tangencia y finalmente si las circunferencias no tienen ningún punto de contacto, entonces el eje radical no tiene puntos de contacto con las circunferencias, como se ilustra en la fig. 121.

Fig. 118

Entre las principales propiedades del eje radical, mencionaremos las siguientes:

El eje radical se caracteriza por ser siempre perpendicular a la recta de los centros. Para demostrar esta propiedad, definimos las pendientes de la recta de los centros y del eje radical, su producto debe ser igual a: –1. E + = 2 D − + 2 −

mC1C 2

mC1C 2 .mE :R =

E′ 2 = E′ − E D′ D′ − D 2

operando :

E ′ − E D′ − D • = −1 D′ − D E − E ′ - 173 -

mE :R = −

D − D′ D′ − D = E − E′ E − E′

EJE RADICAL

H.I.P.

El

eje radical de dos circunferencias no concéntricas, es el lugar geométrico de los puntos, desde los cuales se pueden trazar tangentes de igual longitud, a las circunferencias dadas. Esta última propiedad la demostraremos más adelante, valiéndonos de un ejercicio.

EJERCICIOS DE APLICACION centro de la circunferencia: (x – 2)2 + (y + 3)2 =16 a la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias C1 y C2 de ecuaciones: C1: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4 ; C2: (x – 1)2 + (y – 6)2 = 9.

114.- Hallar la distancia que hay del

Lo que en realidad nos piden hallar, es la distancia que hay desde el centro de la circunferencia C1 al eje radical de C2 y C3. Ecuación del eje radical: x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 - x2 - y2 + 2x + 12y – 28 = 0 -----------------------------------6x + 6y – 19 = 0

Planteamos la distancia del centro al eje radical, como, no nos interesa el signo de la distancia, tomamos el valor absoluto.

d =

6(2) + 6(−3) − 19 36 + 36

=

25 = 2,9 72

115.- Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias C1 y C2 y demostrar que es perpendicular a la recta de los centros C1 : (x + 4)2 + (y + 5)2 = 16 ; C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4. Las coordenadas de los centros: C1 ( -4 ; -5 ) ;

C2 ( 3 ; 4 )

Pasamos las ecuaciones a la forma general y las restamos, obteniendo así la ecuación del eje radical, ecuación de la cual obtenemos la pendiente. C1 : x2 + y2 + 8x + 10y + 25 = 0 C2: -x2 – y2 + 6x + 8y – 21 = 0 ------------------------------------------E. R. 14x + 18y + 4 = 0 - 174 -

EJE RADICAL

H.I.P.

Ahora demostraremos la perpendicularidad entre esta recta y la recta de los centros. mR.C . =

−5−4 9 = −4−3 7

mE :R • mR:C =

9 7 • − = −1 7 9

;

mE :R = −

7 9

L.Q.Q.D.

116.- Dadas las circunferencias C1 y C2 demostrar que las longitudes de las tangentes, trazadas desde un punto exterior del eje radical, a las circunferencias, son iguales. C1: x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0 ; C2: x2 + y2 – 12x – 6y + 36 = 0. Desarrollamos las ecuaciones de las circunferencias y las restamos, para obtener la ecuación del eje radical. x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0 -x2 - y2 + 12x + 6y - 36 = 0 ---------------------------------6x + 2y – 27 = 0 Calculamos un punto del eje radical, que se halle fuera de las circunferencias. Sí x = 35/6 entonces: y = - 4. P (35/6 ; 4)

En el triángulo C2PT: ( PT ) 2 = ( PC2 ) 2 − (C2T ) 2 2   35   2 ( PT ) =   − 6  + (− 4 − 3)  − 9     6 2

PT =

1441 = 6,33 36

- 175 -

EJE RADICAL

H.I.P.

En el triángulo C1T1P: ( PT1 ) 2 = ( PC1 ) 2 − (C1T1 ) 2 2

  35 ( PT1 ) =  − 3  + (−4 − 2) 2 − 4   6 2

PT1 =

1441 = 6,33 36

Las longitudes de las tangentes, desde un punto del eje radical a las circunferencias, son iguales, como lo enunciamos en la segunda propiedad. 117.- Dada la circunferencia: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9 y el centro de C2: (7 ; 6). Si la ecuación del eje radical de las circunferencias es: 12x + 4y – 61 = 0. Hallar la ecuación de C2. La ecuación de C2 es de la forma: ( x − 7) 2 + ( y − 6) 2 = r 2 Pasándola a la forma general: x 2 + y 2 − 14 x − 12 y + 85 − r 2 = 0 Hallamos la ecuación del eje radical; restamos las ecuaciones de C1 y C2: x2 + y2 – 14x – 12y + 85 – r2 = 0 - x2 - y2 + 2x + 8y - 8 =0 -------------------------------------------12x – 4y + 77 – r2 = 0 Las dos ecuaciones que tenemos del eje radical deben ser de rectas coincidentes. 12 4 r 2 − 77 = = =1 12 4 − 61 Condición de la cual: r 2 − 77 = −61

por tanto :

r=4

Sol. (x – 7)2 + (y – 6)2 = 16

- 176 -

EJE RADICAL

H.I.P.

118.- Dadas las circunferencias: C1 y C2 y la familia de rectas: y = k. Hallar la ecuación de la recta, perteneciente a la familia, que forma con la recta de los centros y el eje radical, un triángulo de área 9u2. C1: x2 + y2 – 6x + 8y – 1 = 0 ; C2: x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0. Definimos las coordenadas de los centros: C1 : (3 ; -4) ; mC1C 2 =

− 4 −1 = −1 3+ 2

C2 : ( -2 ; 1)

de donde : Ec. C1C2 : x + y + 1 = 0

Hallamos la ecuación del eje radical: x2 + y2 – 6x + 8y - 1 = 0 -x2 – y2 – 4x + 2y + 11 = 0 ---------------------------------x- y - 1 =0 Determinamos las coordenadas de los vértices del triángulo, para lo cual, hacemos sistema entre las ecuaciones de las tres rectas: Ec. ER:

x+y+1=0 ------------------2x =0

si: x = 0

entonces: y = -1

Coordenadas de B: x+y+1=0 -y+k=0 -----------------x+1+k=0 Si: x = - 1 – k

entonces:

∴

B ( -1 – k ; k)

∴

C (k + 1 ; k)

y = k

Coordenadas de C: x–y–1=0 y–k=0 --------------------x-1– k =0 Si: x = 1 + k

entonces:

y = k

Definimos el área del triángulo:

- 177 -

∴

A (0 ; -1)

EJE RADICAL

H.I.P.

Base = AB =

(0 + 1 + k ) 2 + (−1 − k ) 2

Altura = AC =

(0 − k − 1) 2 + (−1 − k ) 2

A=

1 2

(1 + k ) 2 + (−1 − k ) 2 .

[

18 = (1 + k ) 2 + (−1 − k ) 2 k 2 + 2k − 8 = 0

;

1ra. Sol. y = −4

operando :

factorando :

(k + 4)(k − 2) = 0 k1 = −4

]

(−k − 1) 2 + (−1 − k ) 2

de donde : k2 = 2 ;

2da. Sol. y = 2

119.- Dada la familia de rectas: 2x – 3y + 6 + k (x + 2y – 4) = 0 y las circunferencias: x2 + y2 – 14x – 8y + 49 = 0 ; x2 – 8x + y2 – 4y – 16 = 0. Hallar la ecuación de la recta, perteneciente a la familia, que forma con la cuerda común (lado inicial) de las circunferencias, un ángulo igual a: 13.357/10.000 veces, el ángulo de inclinación de la recta de los centros. Hallamos los centros y radios de las circunferencias, para poderlas graficar:

C1: (4 ; 2)

;

r1 = 6

C2: (7 ; 4)

;

r2 = 4

Hallamos la ecuación del eje radical: x2 + y2 - 8x – 4y – 16 = 0 -x2 – y2 + 14x + 8y – 49 = 0 6x + 4y – 65 = 0 mE . R = −

- 178 -

3 2

∴

mR.C =

2 3

EJE RADICAL

H.I.P.

Angulo formado por la recta de los centros y el eje X: tg . α =

2 3

α = 33,69°

;

Angulo formado por el eje radical y la recta:

β=

13.357 α 10.000

β = 45°

∴

Calculamos la pendiente de la recta perteneciente a la familia: tg 45° =

mf +

3 2

operando :

3 1− mf 2

3 3 1− mf = mf + 2 2 Pero : m f = −

−

1 2+k =− 5 2k − 3

2k − 3 = 10 + 5k

mf = −

de donde :

2+k 2k − 3

1 5

por tanto :

simplificando :

finalmente : k = −

13 3

Reemplazamos este valor en la ecuación de la familia: 2x − 3y + 6 −

13 ( x + 2 y − 4) = 0 3 Sol. x + 5y – 10 = 0

120.- Las circunferencias C1 y C2 tienen como eje radical, la recta de ecuación: x + 2y – 7 = 0. Hallar la ecuación de C2 cuando la ecuación de C1 es: (x – 2)2 + y2 = 5 y la distancia entre los centros es: 6(5)1/2. La ecuación de la circunferencia C2 es de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Si restamos las ecuaciones de las circunferencias, hallaremos la ecuación del eje radical. C2: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 C1: -x2 – y2 + 4x +1=0 ---------------------------------------x (D + 4) + Ey + F + 1 = 0 - 179 -

EJE RADICAL

H.I.P.

Esta ecuación debe ser la misma que la ecuación del eje radical dada, aplicando la condición de coincidencia: 1 2 −7 = = = K D+4 E F +1 Relación de la que podemos obtener tres ecuaciones: 1 =K 4+ D 2 =K E

∴

∴

−7 =K F +1

(1)

1 = 4 K + KD

(2)

2 = KE

∴

(3)

−7 = K + F

No podemos resolver el sistema, pues tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos buscar otra ecuación, para esto, hallamos la ecuación de la recta de los centros, que se satisface para las coordenadas del centro y planteamos la distancia entre los centros, de estas ecuaciones ya podemos deducir el valor de D y E Empezamos definiendo los valores de la pendiente: mER = −

1 2

mC1C 2 = 2

por tanto :

y − 0 = 2 ( x − 4)

y = 2 x − 4 Ec. recta centros

operando :

Esta ecuación se satisface con las coordenadas de C2: −

E  D = 2 −  − 4 2  2

de donde :

E = 2D + 8

(4)

Planteamos la distancia entre los centros: 2

6 5=

D  E  2 +  + 0 +  2  2 

180 = 4 + 2 D +

D2 E 2 + 4 4

2

desarrollando :

finalmente :

Reemplazamos (4) en (5):

- 180 -

D 2 + E 2 + 8 D − 704 = 0

(5)

EJE RADICAL

H.I.P.

D 2 + (2 D + 8) 2 + 8 D − 704 = 0 5 D 2 + 40 D − 640 = 0 D 2 + 8 D − 128 = 0

simplificando : factorando :

( D + 16) ( D − 8) = 0 D1 = −16 E1 = 24 1 12 F1 = −85

;

desarrollando :

de donde :

D2 = 8

con estos valores en (4) :

E2 = −24

;

K1 = −

; ;

1 12 F2 = 83 K2 =

reemplazando en (2) : reemplazando en (3) :

Tendremos dos soluciones, que verificándolas, cumplen con las condiciones pedidas. C1 : x 2 + y 2 − 16 x − 24 y + 83 = 0 C2 : x 2 + y 2 + 8 x + 24 y − 85 = 0

121.- Hallar la ecuación de la recta, que determina cuerdas de igual longitud sobre las circunferencias dadas: C1: x2 + y2 - 6x + 8y – 1 = 0 ; C2: x2 + y2 + 4x - 2y - 11 = 0. Hallamos las coordenadas de los puntos de corte de las circunferencias, para esto definimos la ecuación del eje radical y hacemos sistema con una de las ecuaciones de las circunferencias:

x2 + y2 – 6x + 8y – 1 = 0 -x2 – y2 – 4x + 2y + 11 = 0 - 10x + 10y + 10 = 0 Simplificando: E.R

x − y −1 = 0

∴ x = y +1

Re emplazando en C1 : ( y + 1) 2 + y 2 − 6( y + 1) + 8 y − 1 = 0 y2 + 2 y − 3 = 0

- 181 -

factorando :

EJE RADICAL

H.I.P.

Con estos valores: x1 = −2

x2 = 2

;

por tanto :

A(2 ; 1)

Calculamos el punto medio del segmento C1 C2: de donde : y1 = −3 ( y − 3) ( y − 1) = 0 xm =

3−2 1 = 2 2

ym =

;

− 4 +1 3 =− 2 2

;

B(−2 ; − 3)

;

y2 = 1 ∴

3 1 M ; −  2 2

Trazamos la recta AM (para que al trazar radios paralelos a AM sean perpendiculares a la cuerda y por tanto iguales) y calculamos su pendiente: 3 2 =5 = 1 3 2− 2 1+

mAM

Por el punto A trazamos la recta L, perpendicular a la recta AM: mL = −

3 5

;

3 y − 1 = − ( x − 2) 5

A (2 ; 1)

finalmente :

Ec. L : 3 x + 5 y − 11 = 0

Si trazamos desde los centros, perpendiculares a las cuerdas, estas las dividen en dos partes iguales y son paralelas a la recta AM, cumpliéndose que: PD = DA = AE = EQ = C1M = C2M. Por lo que L es la recta buscada, pues: PA = AQ.

122.- Hallar el valor de "n”, para que las circunferencias dadas tengan un eje radical, tal que forme con los ejes coordenados un triángulo de área 1u2. C1: x2 + y2 = a2. C2 : x2 + y2 - (x + y) (na / ( 2)1/2) = 0. Hallamos la ecuación del eje radical: na.x na. y − =0 2 2 − x2 − y2 + a2 = 0 −−−−−−−−−−−−−−− na.x na. y − − + a2 = 0 2 2 x2 + y2 −

- 182 -

EJE RADICAL

H.I.P.

Definimos los puntos de corte del eje radical con los ejes coordenados: Si : x = 0

→

y=

a 2 n

∴

 a 2  P  0 ;  n  

Si : y = 0

→

x=

a 2 n

∴

a 2  P1  ; 0   n 

Planteamos el área del triángulo: a 2 a 2 • 2 n = a 1 = n 2 n2 n2 = a 2

finalmente :

por tanto :

n=±a

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Qué representa la ecuación: x2 + y2 + Dx - 4y - 3 = 0. ? 2.- ¿Qué representa la ecuación: x2 + y2 - 5 + K(x2 + y2 - 1) = 0.

Si

K = -1?

3.- ¿A que recta, deben satisfacer las coordenadas de los centros de las circunferencias, pertenecientes a la familia de circunferencias que pasa por los puntos de corte de dos circunferencias dadas? 4.- ¿Qué propiedades tiene el eje radical? 5.- ¿Cómo trazamos tangentes de igual longitud a dos circunferencias dadas?

RESUMEN DE FORMULAS x 2 + y 2 + Dx + EY + F + K1 ( x 2 + y 2 + D′x + E ′y + F ′) = 0 x 2 + y 2 + D′x + E ′y + F ′ + K 2 ( x 2 + y 2 + Dx + Ey + F ) = 0 Ecuaciones de la familia de circunferencias, que pasa por el punto de corte de dos circunferencias dadas. x ( D − D′) + y ( E − E ′) + F − F ′ = 0

- 183 -

Ec. eje radical.

EJE RADICAL

H.I.P.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias dadas y tiene su centro, en la recta: x - y = 0. C1: (x - 1)2 + (y -5)2 = 50 C2 : (x - 1)2 + (y + 1)2 = 10. Sol: 3x2 + 3y2 – 6x – 6y – 40 = 0. 2.- Las circunferencias: x2 + y2 - 3x - 6y + 10 = 0 y x2 + y2 - 5 = 0 son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio (5/16)1/2 que pasa por el punto de tangencia. Sol: 2x2 + 2y2 - 3x - 6y + 5 = 0 ; 2x2 + 2y2 - 5x - 10y + 15 = 0. 3.- El centro de una circunferencia está sobre la recta: x = 0, si pasa por los puntos de corte de las circunferencias: (x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 ; (x + 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Hallar su ecuación. Sol: 3x2 + 3y2 + 8y + 11 = 0.

4.- Hallar la ecuación de una circunferencia, cuyo diámetro es la cuerda común de las circunferencias: C1: x2 + y2 - 18x – 16y + 45 = 0 ; C2: x2 + y2 + 6x - 4y - 27 = 0. (y - 4)2 = 20. 5.- Los centros de dos circunferencias son: C1: (5 ; -1) ; C2: (-1; 5), si: r1 = (13)1/2 y la ecuación de su eje radical es: x - y = 0. Hallar la ecuación de C2. Sol: (x + 1)2 + (y – 5 )2 = 13. 6.- Dadas las circunferencias: (x + 3)2 + (y + 3)2 = 1 ; (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4, hallar la razón, en que el punto de corte del eje radical y la recta de los centros, divide al segmento C1 C2. Sol: r = 41/44. 7.- Dadas las circunferencias: x2 + y2 - 1 = 0 ; (x - 5)2 + (y + 6)2 = 4. Demostrar que las longitudes de las tangentes trazadas a ellas, desde un punto perteneciente a su eje radical, son iguales. 8.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de corte de las circunferencias: C1: x2 + y2 - 16 = 0 ; C2: (x - 3)2 + (y - 4)2 = 49 y es tangente a la recta: 3x + 4y = 25. Sol: 29x2 + 29y2 - 27x - 36y - 500 = 0. 9.- Dadas las circunferencias: x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 ; x2 + y2 + Dx + 6y + 12 = 0. Hallar el valor de D, para que el eje radical de las circunferencias, forme con los ejes coordenados un triángulo de área: 9/20 u2. Sol: D = 4. 10.- Los centros de dos circunferencias que se cortan son: C1 (-4 ; 4) y C2 (0 ; 1). Si el eje radical de estas circunferencias tiene por ecuación: 4x - 3y + 19 = 0, hallar las ecuaciones de dichas circunferencias, si el radio de la mayor (C2) es 8/5 veces más grande que el radio de la menor (C1). Sol: (x + 4)2 + (y - 4)2 – 175/39 ; x2 + (x -1)2 = 448/39. 11.- C1: x2 + y2 - 7x - 3y - 18 = 0 es la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias: C2: x2 + y2 – x - 6y + 3 = 0 ; y C3: x2 + y2 + 7x – l0y + 31 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el centro de C1 forma con el eje radical de las circunferencias C2 y C3 un ángulo cuya tangente vale -3. Sol. x + y – 5 = 0.

- 184 -

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

4 - 6. TANGENTES A UNA CURVA PLANA Antes de hallar, las ecuaciones de las tangentes a curvas planas, representadas por ecuaciones algebraicas de segundo grado, realizaremos en primer lugar, el siguiente análisis. Sean: f (x ; y) = 0 (1) y y = mx + b (2) las ecuaciones de una curva plana y una recta cualquiera respectivamente. Si resolvemos el sistema formado por estas dos ecuaciones, no hacemos sino, encontrar las coordenadas de los puntos comunes a ellas; reemplazando: y por mx + b en (1) obtendremos una ecuación de segundo grado en una variable, de la forma: ax2 + bx + c = 0 en la cual a ≠ 0 (3). Al resolver esta ecuación cuadrática, las raíces que obtendremos pueden ser de tres clases: a.- Raíces reales y desiguales. b.- Raíces reales e iguales. c.- Raíces imaginarias. Interpretando geométricamente estos resultados diremos: si las raíces de la ecuación son reales y desiguales, la recta corta a la curva en dos puntos; si las raíces son iguales, la recta y la curva son tangentes o tienen un solo punto común, y por último, si las raíces son imaginarias, entonces la recta y la curva no tienen ningún punto de contacto. Como este comportamiento de las raíces de la ecuación (3), depende exclusivamente de que la cantidad subradical sea mayor, igual o menor que cero, podemos asegurar que: la igualdad de las raíces de la ecuación (3) , es una condición para que exista tangencia entre la curva y la recta; condicionando la cantidad subradical o discriminante, podremos obtener ecuaciones de rectas secantes, tangentes o que no topen a las curvas planas dadas, según hagamos que esta cantidad, sea: mayor, igual o menor que cero. Las ecuaciones de las tangentes, quedarán perfectamente determinadas si conocemos dos de sus condiciones, por lo que podremos dividir a los problemas sobre tangentes en tres grupos, dependiendo de la condición conocida: a.- Tangentes a una curva, en uno de sus puntos. b.- Tangentes a una curva, trazadas desde un punto dado. c.- Tangentes de pendiente conocida, a una curva dada En cualquiera de los tres casos enunciados, podemos escribir la ecuación de la familia de rectas que cumple con la única condición, al hacer sistema con la ecuación de la curva, y condicionar cl discriminante, obtendremos el valor del parámetro, pudiendo con este valor definir las ecuaciones de nuestras rectas particulares. Analizando un poco mas este razonamiento, podemos decir que: la tangente es el límite, al que tiende la secante a una curva dada, cuando uno de los puntos de corte, tiende al otro que se mantiene fijo y que llega a convertirse en el punto de tangencia, lo que equivale, a condicionar el discriminante para que se haga igual a cero. Definiéndose la pendiente de una curva como: La pendiente de una curva en uno cualquiera de sus puntos, es igual, a la pendiente de la tangente, en ese punto. Partiendo de este concepto, podemos definir ya, el ángulo formado por dos curvas -185-

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

planas al cortarse. Llamase ángulo entre dos curvas, en uno de sus puntos de corte, a cualquiera de los ángulos suplementarios, formados, por las tangentes a las curvas, en dicho punto. Si este ángulo es de 90° las curvas se denominan ortogonales. En el caso particular de las circunferencias, los problemas se pueden resolver mas fácilmente, en algunos casos, al trabajar con la propiedad: el radio y la tangente son perpendiculares en el punto de tangencia.

PROBLEMAS DE APLICACION 123.- Hallar las coordenadas del punto perteneciente a la curva: 5x2 + 8y2 = 92 que se caracteriza porque su distancia a la recta: 5x – 12 y + 60 = 0 es mínima. Este punto, es el punto de tangencia entre la curva y una recta de igual pendiente que la recta dada Definimos la pendiente de la recta: m = 5/12 Planteamos la familia de rectas de pendiente conocida: y=

5 x+b 12

despejando : y =

5 x + 12b 12

Hacemos sistema entre esta recta y la curva:  5 x + 12b  operando : 5x + 8   = 92  12  90 x 2 + 25 x 2 + 120bx + 144b 2 − 1656 = 0 2

2

115 x 2 + 120bx + 144b 2 − 1656 = 0

tér min os semejantes :

(1 )

Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0

(120b )2 − 4 (115) (144b 2 − 1656) = 0

operando : 23 51.840b 2 = 761760 de donde : b = ± 6 Tomamos el valor de b positivo porque la recta dada también lo tiene. 5 23 Ec. Tg . y = x + o 5 x − 12 y + 46 = 0 12 6 Deberíamos hacer sistema entre la curva y la tangente, para hallar el punto de contacto, pero este procedimiento ya lo realizamos, por lo que bastará reemplazar el valor de b en la ecuación (1) para hallar la abscisa del punto de contacto.

-186-

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

2

 23   23  115 x 2 + 120  x + 144  − 1656 = 0  6   6  2 factorando : ( x + 2) 2 = 0 x + 4x + 4 = 0

operando : por tan to : x = −2

Reemplazamos este valor en la ecuación de la recta, para hallar el valor de “y”. 5(−2) − 12 y + 46 = 0 Sol. P (−2 ; 3)

de donde : y = 3

finalmente :

124.- Dada la circunferencia: x2 + y2 + 10x - 2y + 6 = 0. y utilizando únicamente familia de rectas, hallar la ecuación de la recta, que pasando por el punto de intersección de la tangente a la circunferencia de pendiente -2, con el eje de las Y, divida al área de la circunferencia en dos partes iguales. Planteamos la ecuación de la familia de rectas tangentes, de pendiente conocida: Si : m = −2

→

y = −2 x + b

Ec. flia :

Hacemos sistema entre esta tangente y la circunferencia: x 2 + (−2 x + b) 2 + 10 x − 2(−2 x + b) + 6 = 0

operando :

5 x 2 + x(14 − 4b) + b 2 − 2b + 6 = 0 Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0. (14 − 4b) 2 − 20(b 2 − 2b + 6) = 0 b 2 + 18b − 19 = 0 (b + 19) (b − 1) = 0

desarrollando :

factorando : de donde :

b1 = −19

;

b2 = 1

Existen dos tangentes de pendiente -2, a la circunferencia: Tg1 : y = −2 x − 19

;

Tg 2 : y = −2 x + 1

Primera solución: Planteamos la ecuación de la familia de rectas, que pasan por el punto de corte de la tangente y el eje Y: 2 x + y + 19 + k ( x) = 0

Las coordenadas del centro de la circunferencia, satisfacen a esta ecuación: 2(−5) + 1 + 19 + k (−5) = 0

de donde :

1re.. Sol : 4 x + y + 19 = 0 Segunda solución: 2 x + y − 1 + k1 ( x) = 0

-187-

k=2

reemplazando :

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

Reemplazando las coordenadas del centro:

2(−5) + 1 − 1 − 5k1 = 0 k1 = −2

de donde :

reemplazando :

2 da. Sol : y − 1 = 0 125.- Para que valores de k, la recta: y = kx + 2 corta, no corta y es tangente a la curva: x2 - 3y2 - 6x + 12 = 0. Hacemos sistema entre la recta y la curva: x 2 − 6 x − 3(kx + 2) 2 + 12 = 0

desarrollando y ordenando :

x 2 (1 − 3k 2 ) + x(−6 − 12k ) = 0 Como deseamos que haya corte, condicionamos el discriminante: b2 – 4ac > 0 (−6 − 12k ) 2 − 4(1 − 3k 2 ). (0) > 0 (−6 − 12k ) 2 > 0

operando : 1 de donde : k ≠ − 2

Para que la recta no tope a la curva, debe cumplirse: b2 – 4ac < 0 (−6 − 12k ) 2 < 0

para ningún valor de k .

Finalmente, para que haya tangencia: b2 – 4ac = 0 (−6 − 12k ) 2 = 0

de donde :

k=

1 2

126.- Dada la circunferencia: x2 + y2 = r 2. Obténgase la ecuación de la tangente a la circunferencia, que forma con los ejes coordenados un triángulo de área r2.

-188-

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

Definimos el área del triángulo: OBA:

De (2) :

x12 + y12 = 2r

A=

OA . OB x1 . y1 = = r2 2 2

A=

AB . OT = 2

De

(1) :

x1 =

(1)

x12 + y12 . r = r2 2 2r 2 y1

(2)

(3)

elevando al cuadrado :

(4)

x12 + y12 = 4r 2

Reemplazamos (3) en (4): 2

 2r 2    + y12 = 4r 2  y1 

de donde :

4r 4 + y14 = 4r 2 y12

ordenando :

y14 − 4r 2 y12 + 4r 4 = 0

resolviendo :

4r 2 ± 16r 2 − 16r 2 4r 2 y = = = 2r 2 2 2 2 1

y1 = ± r 2

Sol.

∴

x1 = ± r 2

x y + =1 ±r 2 ±r 2

127.- Hallar el ángulo que forman las tangentes trazadas a la circunferencia C1 desde el punto A (6 ; - 4). C1: x2 + y2 + 2x - 2y - 35 = 0 Planteamos la familia de rectas que pasan por el punto A(6 ; - 4): y + 4 = m ( x − 6)

despejando :

y = mx − 6m − 4

Reemplazamos este valor en la ecuación de la circunferencia y efectuamos las

-189-

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

operaciones: x 2 + (mx − 6m − 4) 2 + 2 x − 2(mx − 6m − 4) − 35 = 0

desarrollando :

x 2 + m 2 x 2 + 36m 2 + 16 − 12m 2 x − 8mx + 48m + 2 x − 2mx + 12m + 8 − 35 = 0 x 2 + m 2 x 2 + 36m 2 − 12m 2 x − 10mx + 60m + 2 x − 11 = 0

ordenando :

x (1 + m ) + x (2 − 12m − 10m) + 36m + 60m − 11 = 0 2

2

2

2

Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0

(2 − 12m 2 − 10m) 2 − 4(1 + m 2 ) . (36m 2 + 60m − 11) = 0 6m 2 + 35m − 6 = 0 (6m + 36) . )6m − 1) = 0 m1 = − 6

;

desarrollando :

factorando : de donde :

m2 = 1 6

Como las pendientes son inversas y de signos contrarios, las tangentes son perpendiculares entre sí, por lo que el ángulo formado por ellas es de 90°. 128.- Hallar la ecuación de la recta, que une los puntos de contacto de las tangentes de pendiente uno, a la circunferencia: x2 + y2 – 10 x + 2y + 18 = 0. Planteamos la ecuación de la familia de rectas, de pendiente uno: y = x+b

reemplazamos en C1 :

x + ( x + b) − 10 x + 2( x + b) + 18 = 0 2

2

desarrollando :

2 x + x (2b − 8) + b + 2b + 18 = 0 2

2

Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0. (2b − 8) 2 − 4 (2) . (b 2 + 2b + 18) = 0

operando :

b + 12b + 20 = 0 factorando : de donde : (b + 10) (b + 2) = 0 b1 = −10 b2 = −2 con estos valores : ; 2

Ec. Tg1 : y = x − 10

;

Ec. Tg 2 : y = x − 2

La recta que une los puntos de contacto, es perpendicular a las tangentes y pasa por el centro de la circunferencia, por tanto su ecuación es: m = −1 P (5 ; − 1) planteando : ; y + 1 = −1 ( x − 5) operando : Sol : x + y − 4 = 0 -190-

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

H.I.P.

129.- Hallar el ángulo formado por las circunferencias C1 y C2 al cortarse, si: C1: (x - 1)2 + y2 = 4 y C2: (x + 1)2 + y2 = 4 Hallamos los puntos de corte de las circunferencias C1 y C2 para esto hacemos

sistema entre sus ecuaciones: x2 − 2x + y 2 − 3 = 0

C1 :

C2 : − x 2 − 2 x − y 2 + 3 = 0 −−−−−−−−−−−−−− − 4x y2 = 3

=0

de donde : x = 0

finalmente : y = ± 3

con este valor

tomamos : PC . (0 ; 3 )

Planteamos la familia de rectas, que pasan por este punto de corte: y = mx + 3

reemplazando en C1 :

x 2 − 2 x + (mx + 3 ) 2 − 3 = 0

operando :

x − 2 x + m x + 2mx 3 = 0

agrupando :

2

2

2

x (1 + m ) + x (2m 3 − 2) = 0 2

2

Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0 (2m 3 − 2) 2 = 0

de donde :

m1 =

1 3 = 3 3

Realizamos idéntico procedimiento, con la segunda circunferencia: x 2 + 2 x + (mx + 3 ) 2 − 3 = 0 x 2 + 2 x + m 2 x 2 + 2mx 3 + 3 − 3 = 0

desarrollando : ordenando :

x 2 (1 + m 2 ) + x (2 + 2m 3 ) = 0

Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0 1 3 = − 3 3 Planteamos la tangente de uno de los ángulos formados, por las tangentes al cortarse: ( 2 + 2m 3 ) 2 = 0

de donde :

m2 = −

-191-

TANGENTES A UNA CURVA PLANA

tg θ =

−  1 +  

θ = 120°

3 − 3 3  − 3   ;

H.I.P.

3 2 3 − 3 3 = −2 3 = − 3 = 1 2 3 1−  3 3 

β = 60°

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Cómo hallamos las coordenadas de los puntos de corte de una curva y recta dadas? 2.- ¿Qué debe cumplirse para que una curva y recta dadas, no tengan puntos de corte? 3.- ¿Qué debe cumplirse para que haya tangencia entre una curva y una recta dadas? 4.- ¿Cómo determinamos el ángulo formado por dos curvas al cortarse? 5.- ¿Cuánto vale la pendiente de una curva, en el punto P(x1 ; y1) de ella?

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Para qué valores de k, la recta: y = kx – 2 no corta a la curva: x2 - 8y = 0. Sol: -1 < k < 1. 2.- Hallar el ángulo agudo formado por las tangentes, trazadas desde el punto A(-2 ; -4) Sol: 71,56°. a la curva: x2 = 8y, al cortarse. 3.- Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva: 2x2 + 3y2 = 12 que son perpendiculares a la recta: x = (y + 7)/4. Sol: x + 4y ± (70)1/2 = 0. 4.- Para qué valores de "m" la recta: 5x - 2y + 2m = 0 es tangente a la curva: 4x2 – y2 – 36 = 0. Sol: m = ± 4,5. 5.- Hallar la ecuación de la tangente de pendiente – 3/2 a la curva: x2 + 4y2 – 10 = 0. Sol: 3x + 2y - 10 = 0 ; 3x + 2y + 10 = 0. 6.- Dada la curva: x2 + y2 + 3x - (1/6)y - (43/48) = 0, determinar las coordenadas del punto, perteneciente a la curva, que esté mas cerca de la recta: 8x - 4y + 73 = 0. Sol: (-3,09 ; 0,88). 7.- Demostrar qué las curvas: x2 - y2 - 5 = 0 ; 4x2 + 9y2 - 72 = 0, forman un ángulo de 90° al cortarse. 8.- Hallar el valor del ángulo obtuso, formado por las curvas de ecuaciones: y2 = (51 - 3x2)/3 ; (x - 6)2 + (y - 2)2 = 29. al cortarse. Sol: 97o 46'. 9.- Demostrar que la recta: nx + my – mn = 0, es tangente a la curva: b2x2 – a2y2 – a2b2 = 0, solamente si: a2n2 - b2m2 = m2n2 -192-

SECCIONES CÓNICAS

H.I.P.

CAPITULO V SECCIONES CONICAS 5.1.

DEFINICIONES.

5.2.

TRASLACION DE EJES.

5.3.

LA PARABOLA.

5.4.

LA ELIPSE.

5.5.

LA HIPERBOLA.

OBJETIVO: resolver problemas sobre cónicas, mediante la aplicación de métodos y procedimientos matemáticos, a partir de: leyes, axiomas, teoremas y conceptos que se analizan en esta unidad, además de los aprendidos y aplicados en las unidades anteriores.

-193-

SECCIONES CÓNICAS

H.I.P.

5.1. DEFINICIONES. Las secciones cónicas o cónicas, son curvas que se obtienen al interceptar un plano, con un cono circular recto de dos mantos, como se muestra en la fig.124.

Fig. 127 Las cónicas generales son: La parábola: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación, es igual que la de la superficie lateral del cono. La elipse: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación es menor, al ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base. Hipérbola: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación es mayor, al ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base. Es de notar que en este caso, el plano corta a los dos mantos del cono. Al cortar el plano al cono se pueden dar cuatro casos particulares de cónicas, cómo se ve claramente en la fig. 127 1.- La circunferencia, como caso particular de la elipse, cuando el plano corta al cono horizontalmente. 2.- Dos rectas que se cortan como caso particular de la hipérbola, cuando el plano de corte es vertical, y pasa por el vértice de los mantos. 3.- Una recta cuando el plano es tangente a los dos conos. 4.- Un punto, cuando el plano corta a los conos únicamente en los vértices.

- 194 -

SECCIONES CÓNICAS

H.I.P.

Fig. 128 Podemos definir a las secciones cónicas como:

El conjunto de todos los puntos del plano, tales que : la distancia no dirigida de los puntos, respecto de un punto fijo, es a la distancia no dirigida de los puntos respecto a una recta fija, como una constante positiva “e” denominada excentricidad. El punto fijo se llama foco de la cónica y la recta fija directriz. Si: e = 1 obtenemos una parábola; si: 0 < e < 1 una elipse y si: e > 1 una hipérbola. Toda cónica es la gráfica de una ecuación de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

en la cual: A, B o C son diferentes de cero.

En lugar de introducirnos al estudio de las cónicas, mediante los conos y la geometría espacial, lo haremos valiéndonos de la geometría analítica, para ello, definiremos a cada una de las cónicas, como determinado lugar geométrico. Este estudio lo realizaremos luego de analizar la traslación de ejes coordenados, conocimiento necesario para obtener las ecuaciones ordinarias de las cónicas.

5 - 2. TRASLACION DE EJES COORDENADOS. La transformación de coordenadas, es un artificio que nos permite simplificar ecuaciones de curvas dadas, para así estudiarlas mas fácilmente. Mediante este artificio cambiamos una relación, expresión o figura, en otra, siguiendo una ley dada, la que analíticamente se expresa mediante una o más ecuaciones denominadas ecuaciones de transformación.

Las transformaciones principales son: la traslación y la rotación de ejes. En este capítulo, únicamente obtendremos las ecuaciones de traslación, necesarias para nuestro estudio de las cónicas y posteriormente estudiaremos la simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas.

- 195 -

SECCIONES CÓNICAS

H.I.P.

Si en un sistema coordenado rectangular tomamos un punto O’ (h ; k) distinto del origen y por el trazamos un nuevo sistema de ejes X´ e Y´ paralelos a los ejes originales X e Y cada punto P del plano se puede expresar con coordenadas en términos de X ,Y o de X´, Y´. Por ejemplo: Hallar las coordenadas del punto A (8 ; 7), respecto a un nuevo sistema de ejes, paralelos a los originales, cuyo nuevo origen es B (4 ; 3). Por el punto O´ (4 ; 3) trazamos un nuevo sistema coordenado X/ , Y/ paralelo al sistema original X , Y calculamos la distancia del punto A a los nuevos ejes coordenados, mediante la proyección del punto A sobre estos: O ′A′ = x A′ − xO′ = 8 − 4 = 4 O ′B ′ = y B′ − y O′ = 7 − 3 = 4 A (4 ; 4 ) Que son las coordenadas de A respecto de los nuevos ejes.

Lo que en realidad hicimos fue restar las coordenadas del nuevo origen O´ de las coordenadas del punto A. (8 ; 7) – (4 ; 3) = {(8 - 4) ; (7 - 3)} = (4 ; 4) Luego de este ejemplo sencillo, podemos citar el teorema que nos da las ecuaciones de traslación de coordenadas:

TEOREMA 9: Si se trasladan los ejes coordenados en forma paralela, a un nuevo origen O´ (h ; k) y si las coordenadas de cualquier punto P, antes y después de la traslación son: (x ; y) y (x´ ; y´) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema son: x = x´ + h ; y = y´ + k

- 196 -

H.I.P.

LA PARÁBOLA

5 – 3. LA PARABOLA. 5 – 3 – 1. DEFINICION. Parábola: Es el lugar geométrico, de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta fija llamada directriz, es siempre igual a su distancia no dirigida respecto de un punto fijo llamado foco.

De acuerdo a la definición, siempre se cumplirá que: d1  = d2  para cualquier punto de la parábola.

5 – 3 – 2. ELEMENTOS.

Eje: La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. Vértice (V): Punto de corte de la curva con el eje. El vértice es punto medio entre el foco y el punto de corte del eje con la directriz. Cuerda: La recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola, como: AA/.

Cuerda Focal: La cuerda que pasa por el foco, como; CC´ 197

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Radio Focal: Denominado también radio vector, es la línea que une el foco con un punto cualquiera de la curva, como: DF ; VF. Lado Recto: La cuerda focal perpendicular al eje, BB´. Diámetro: La recta que une los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de la parábola, es siempre paralelo al eje.

5 - 3 – 3. ECUACIONES DE LA PARABOLA. La parábola tiene varias formas de ecuación, las que dependen de su posición respecto de los ejes coordenados o de su presentación. Empezaremos nuestro estudio por las formas canónicas, que corresponden a parábolas, cuyo eje es coincidente con uno de los ejes coordenados y tienen su vértice en el origen.

PARABOLAS DE VERTICE EN (0 ; 0) Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE X

Llamaremos “p” a la distancia dirigida que hay del origen de coordenadas al foco, por lo tanto las coordenadas de este son: F(p ; 0) y la ecuación de la directriz será : x = - p. Sea P(x ; y) un punto cualquiera perteneciente al lugar geométrico, trazamos PA perpendicular a la directriz, y trazamos también PF; de acuerdo a la definición enunciada de la parábola se cumple que: Pf

Pf

=

PA =

=

PA

( x − p ) 2 + ( y − 0) 2 x+ p

( x − p) 2 + y 2 =

igualando : x+ p

Elevamos los dos miembros al cuadrado: x 2 − 2 px + p 2 + y 2 = x 2 + 2 px + p

Finalmente, haciendo términos semejantes: y2 = 4px

[38]

1ra ecuación canónica de la parábola. 198

pero :

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Analizando la ecuación obtenida, vemos que la curva pasa por el origen y es simétrica al eje X; si despejamos el valor de “y”: y = ± 2 px

y = ±2

px

Por tanto, para los diferentes valores de p, la variable “x” debe tener igual signo que p, para que exista la cantidad subradical y por ende “y”, presentándose dos alternativas: a.- Si p es positiva, “x” será también positiva y la curva se abrirá hacia la derecha. b.- Si p es negativa, “x” será también negativa y la curva se abrirá hacia la izquierda. Como no se excluye ningún valor de “x” (para el primer caso los positivos, para el segundo los negativos) y la variable “y” puede tomar todos los valores de los reales, el lugar geométrico resultante es una curva de longitud infinita. Al despejar los valores de “x” e “y” de la ecuación, decimos que la curva carece de asíntotas horizontales. La longitud del lado recto, es igual al valor absoluto de 4p. PARABOLAS DE VERTICE EN (0 ; 0) Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE Y. Las coordenadas del foco serán para este caso: f (0 ; p) y la ecuación de la directriz (paralela al eje X); y = - p ; aplicando la definición de lugar geométrico y siguiendo un proceso idéntico al anterior, obtenemos que la ecuación de la parábola es: x2 = 4py

[39]

2da ecuación canónica de la parábola.

Si analizamos la ecuación , como en el caso anterior, podemos enunciar las siguientes conclusiones : a.- La curva pasa por el origen de coordenadas. b.- La curva es simétrica al eje de las Y. c.- Si p es positivo la curva se abre hacia arriba. d.- Si p es negativo la curva se abre hacia abajo. e.- La curva resultante es de longitud infinita. f.- La curva carece de asíntotas. g.- La magnitud del lado recto, es igual al valor absoluto de 4p.

PROBLEMAS DE APLICACION 130.- Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, y el valor del lado recto, si la curva tiene eje coincidente con el eje X, vértice en el origen, y pasa por el punto (1 ; -3).

199

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Como el eje es coincidente con el eje X y el vértice está en el origen (0 ; 0), la ecuación de la curva es de la forma: y2 = 4px. Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. (−3) 2 = 4 p (1) p=

9 4

de donde;

reemplazando :

9 Ec.Parb. y 2 = 4   x 4

∴

y2 = 9x

La ecuación de la directriz es de la forma: x = - p por tanto x = - 9/4. Lado recto : = 4 p

;

LR = 4.

9 4

;

LR = 9

131.- Hallar la ecuación de la parábola, de vértice en el origen, si el lado recto vale 16 y tiene su foco sobre el eje de las Y negativas.

Como el eje es coincidente con el eje Y y el vértice está en (0 ; 0), la ecuación de la parábola es de la forma: x2 = 4py, debiendo ser el valor de “p” negativo, porque la parábola se abre hacia abajo. Lado recto = 4p = 16 Ec. parábola: x2 = 4(-4 )y

de donde: p = 4 ∴ x2 = - 16y

132.- Hallar la ecuación de la parábola de foco en: (0 ; -3), si la ecuación de su directriz es: y – 3 = 0. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice de la parábola, que es también el origen de coordenadas, la parábola tiene una ecuación de la forma: x2 = 4py. La distancia del foco al vértice es: p = 3, pero al abrirse la parábola hacia abajo, debemos tomar : p = -3, por lo tanto la ecuación de la parábola es :

200

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Sol. x2 = - 12y. 133.- Una recta pasa por el foco de una parábola, de vértice en el origen y eje coincidente con el eje X, cortando la directriz en el punto (-3 ; 8). Hallar las coordenadas del punto de corte de la parábola y la recta. El punto A por pertenecer tanto a la directriz como al eje de la parábola es de coordenadas: (-3 ; 0). El V(0 ; 0) es punto medio entre A y f, las coordenadas del foco son: f(3 ; 0). Por lo tanto: “p = 3”. Siendo la parábola de vértice en el origen y eje paralelo al eje X, su ecuación es: y2 = 12x. Definimos la pendiente de la recta: m=

8−0 −3−3

Hallamos la ecuación de la recta: 4 ( x − 3) ∴ 4 x + 3 y − 12 = 0 3 Hacemos sistema entre la recta y la curva: y−0 = −

De la ecuación de la recta : x =

12 − 3 y 4

Reemplazamos en la ecuación de la curva:

 12 − 3 y  y 2 = 12    4 

operando :

y 2 + 9 y − 36 = 0

factorando:

( y + 2 ) ( y − 3)

de donde:

y1 = -12

= 0

;

y2 = 3

Con estos valores: Sol:

P1 ( 12 ; - 12

x1 = 12

)

; ;

x2 = 0.75 P2 ( 0,75 ; 3

201

)

;

m=−

4 3

H.I.P.

LA PARÁBOLA

134.- Hallar la ecuación del diámetro de la parábola: y2 = - 8x. para un sistema de cuerdas de pendiente uno.

Graficamos la ecuación y definimos las coordenadas del foco. 4 p = −8

∴

p = −2

y

f (−2 ; 0)

En el gráfico hemos trazado dos rectas que contienen cuerdas de pendiente uno, la una que pasa por el foco y la otra que pasa por el origen, sus ecuaciones pueden ser conocidas, ya que de ellas conocemos, un punto y la pendiente.

Haciendo sistema entre la recta escogida y la parábola, hallamos las coordenadas de A y B extremos de la cuerda, como el diámetro es paralelo al eje de la parábola, bastará hallar el punto medio de las ordenadas de los extremos, para obtener su ecuación. Trabajamos con la recta que pasa por el foco, su ecuación es: y − 0 = 1( x + 2)

operando :

x− y+2=0

Hacemos sistema con la parábola: y 2 = − 8 ( y − 2) y 2 + 8 y − 16 = 0

y =

−8 ±

64 + 64 2

operando : resolviendo :

=

−8 ± 8 2 = −4 ± 4 2 2

Definimos la ordenada del punto medio, por que al ser una parábola horizontal el diámetro es paralelo al eje y su ecuación es de la forma: y = k. y =

−4 − 4 2 − 4 + 4 2 = 4 2

Sol. y = 4

202

H.I.P.

LA PARÁBOLA

135.- Hallar la ecuación de la parábola de V(0 ; 0) y eje de simetría el eje X, si su foco está sobre a recta: 3x + 2y = 8. El foco tiene por coordenadas: (p ; 0) y estas deben satisfacer la ecuación de la recta: 3 p + 2(0) = 8

∴

p=

8 3

8  f  ; 0 3 

Siendo el eje coincidente con el eje X, la ecuación es de la forma: y2 = 4px por tanto: 8 y2 = 4   x 3

∴

Sol. 3 y 2 = 32

136.- Hallar el área del triángulo equilátero, inscrito en la parábola: x2 = 4py si uno de los vértices del triángulo, coincide con el origen. Como el problema es literal, podemos trabajar con una parábola, que se abra hacia arriba o hacia abajo, tomaremos la primera. Como el triángulo es equilátero y la parábola es simétrica al eje Y, se cumple que ∠ COB = 30° α OB = 60° mOB = tg 60° Ec. OB :

; mOB = 3

y = 3. x

Ec, Parab. x 2 = 4 py Resolvemos el sistema entre: (1) y (2):

(

)

factorando :

)

finalmente:

x 2 − 4 3 xp = 0

(

x x − 4 3p = 0 x1 = 0

(

;

x2 = 4 3. p

B 4 3 p ; 12 p

)

con este vaslor :

por simetría:

(

A -4 3 p ; 12 p

203

)

( 1) (2)

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Definimos el valor de la base y la altura:

(

Base: 2 4 3 p

Area =

)

(

;

altura: 12 p

)

2 4 3 p ⋅ 12 p 2

A = 48 3. p 2

;

137.- En la parábola: y2 = -16x determinar las coordenadas de los puntos, cuyos radios focales son iguales a 13u. Determinamos las coordenadas del foco: −16 = 4 p

∴

p = −4

por tanto :

f (− 4 ; 0) Planteamos la distancia del punto al foco:

13 =

(x1 + 4)2 + ( y1 − 0)2

Elevando al cuadrado: 169 = x1 + 8 x1 + y1 + 16 2

2

(1)

El punto P (x1 ; y1) satisface la ecuación de la parábola por tanto: y12 = −16 x1

(2)

Resolvemos el sistema: reemplazamos (2) en (1):

x1 − 8 x1 - 153 = 0 2

x1 =

8 ±

resolviend o :

64 + 612 2

;

x1 =

8 ± 26 2

De acuerdo al gráfico debemos tomar el valor negativo de x: x = - 9 Con este valor: y = ±

− 16 x1

Sol. P1 (− 9 : − 12)

;

y= ±

(−16) . (−9)

;

P2 (− 9 ; 12) 204

;

y = ± 12

H.I.P.

LA PARÁBOLA

138.- Los cables que soportan un puente colgante, tienen forma parabólica, y tocan al piso del puente en su punto medio; las torres que los sostienen están separadas 800mts. Y los cables están atados a ellas 40mts. sobre el nivel del piso del puente. Qué longitud tendrá el cable vertical que está a 100mts. de la torre. Ubicamos el eje X coincidente con el piso del puente y el eje Y, perpendicular a este en el punto medio. Con esta ubicación, tenemos una parábola de vértice en el origen y eje coincidente con el eje Y, por lo que su ecuación es de la forma: x2 = 4py. El punto A (-400 ; 40), debe satisfacer la ecuación de la parábola: (− 400) 2 = 4 p (40)

∴

p = 1.000

La ecuación de la parábola es: x2 = 4000y Si x = 300 (300) 2 = 4000. y1

entonces : de donde :

Sol. y1 = 22,5m. 140.- Al diseñar una antena parabólica cuyo alimentador está en el foco y a 20 cts. del vértice, se necesita saber cual es el diámetro de su boca, si la antena debe tener una profundidad de 80 cts. Ubicamos la parábola con el vértice en el origen y eje coincidente con el eje X. La distancia del vértice al foco es de 20cts. y este es el valor de p. La ecuación es de la forma: y2 = 4px

por lo tanto:

Ec. parábola: y2 = 80x El extremo superior de la antena es, de coordenadas: (80 ; y1) y estas satisfacen la ecuación de la parábola, por tanto, reemplazando en la ecuación:

205

H.I.P.

LA PARÁBOLA

y12 = 80 (80)

de donde :

y1 = ± 80

Sol. Diámt. 160 cts. 141.- Dada la parábola: y2 = 4px determinar en qué puntos la curva, pertenecientes al primer cuadrante y diferentes del origen, se cumple que: y = x ; y > x ; y < x x = 2y. Si y = x reemplazamos este valor en la ecuación de la parábola: x 2 = 4 px x1 = 0

x ( x − 4 p) = 0

de donde : x2 = 4 p

;

∴

finalmente :

P (4 p ; 4 p)

Para la resolución de la segunda y tercera partes del problema, realizaremos el siguiente análisis: Si y = x cuando y = 4p damos a la “y” un valor mayor o menor que 4p, lo reemplazamos en la ecuación de la parábola y encontramos el correspondiente de x , al comparar los valores de x e y obtenidos, sabremos que relación se esta cumpliendo para las variables y en que campo. Si : y = 5 p x=

25 p 4

entonces : ∴

y < x si

25 p 2 = 4 px y > 4p

de donde :

y obviamente :

y > x si

Si x = 2y basta reemplazar este valor en la ecuación de la parábola: y 2 = 4 p(2 y )

por tanto :

y 2 − 8 py = 0

y( y − 8 p) = 0

de donde :

y = 8p

Si : y = 8 p

entonces :

x = 16 p

206

∴

P (16 p ; 8 p )

y < 4p

H.I.P.

LA PARÁBOLA

PARABOLAS DE VERTICE EN (h ; k) Y EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.

omo en todas las parábolas, se sigue cumpliendo que: d1 = d2 para facilitar la obtención de su ecuación, realizaremos el siguiente análisis: Si por el vértice (h ; k), trazamos un nuevo sistema de ejes X´ ; Y´ paralelos a los ejes originales; tendremos ya una parábola de vértice en el origen y eje coincidente con el eje X´ siendo su ecuación de la forma:

(1 )

y′2 = 4 px′

Para obtener la ecuación respecto de los ejes originales, usamos las ecuaciones de traslación de ejes: x = x′ + h

;

y = y′ + k

de donde :

x′ = x − h

;

y′ = y − k

reemplazando en ( 1 ) :

( y − k ) 2 = 4 p ( x − h)

[ 40 ]

Ec. Ordinaria.

Realizando un procedimiento similar, obtendremos la ecuación de las parábolas de vértice en (h ; k ) y eje paralelo al eje Y: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k )

[ 41 ]

Ec. Ordinaria

En estas formas ordinarias, se sigue cumpliendo que: a.- “p” es la magnitud de la distancia del vértice al foco. b.- Las parábolas para abrirse en determinado sentido, dependerán del signo de p. c.- Las parábolas son simétricas respecto a su eje. d.- Su lado recto, sigue siendo igual al valor absoluto de 4p

207

H.I.P.

LA PARÁBOLA

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 142.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en (3 ; 3) y foco en (8 ; 3), e indicar sus parámetros principales.

El vértice y el foco pertenecen al eje de la curva, el que es paralelo al eje x por tener los dos puntos igual coordenada; la ecuación de la parábola es de la forma:

( y − k )2 = 4 p ( x − h ) Definimos el valor de p: O ′f = x f − x O′

; O ′f = 8 − 3 = 5

Reemplazamos en la ecuación de la parábola, el valor de “p“ y las coordenadas del vértice. Ec.

( y − 3 )2 = 20 ( x − 3 )

La directriz es paralela al eje Y. Definimos la abscisa de A: AO ′ = x O′ − x A 5 = 3− xA

∴

;

AO ′ = 5 xA = − 2

reemplazando : ;

Ec. dirt. x = − 2

Lado recto = 4 p = 4 . 5 = 20

143.- Hallar la ecuación de la parábola, de vértice en el punto (3 ; -1) si su directriz es la recta: y = 2.

Como la directriz es paralela al eje X, el eje de la curva es paralelo al eje Y, su ecuación es: x = 3 la parábola se abre hacia abajo. Definimos el valor de p, hacemos distancia del vértice a la directriz: y – 2 = 0 p =

−1− 2 1

= 3

Como la parábola se abre hacia abajo, debemos tomar el valor de “p” negativo. La ecuación es de la forma: 208

H.I.P.

LA PARÁBOLA

(x - h)2 = 4p (y - k)

reemplazando valores:

Sol. (x - 3)2 = - 12 (y + 1)

144.- Hallar la ecuación de la parábola de foco en (2 ; 1) y vértice sobre la recta: 3x + 7y + 1 = 0 si se sabe que su directriz es horizontal.

Si la directriz es horizontal el eje es paralelo al eje Y, por tanto, el foco y el vértice tienen igual abscisa. V(2 ; k) Las coordenadas del vértice satisfacen la ecuación de la recta: 3(2) + 7k + 1 = 0

k = -1

∴

de donde

V(2 ; -1)

Definimos el valor de p: p = VF

;

p = y F − yV

;

p =1+1

;

p=2

Ec. forma : ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) Reemplazamos valores: Sol. (x – 2)2 = 8 (y + 1)

145.- Hallar la ecuación de la parábola de foco en: (-1 ; 3) si pasa por el punto A(3 ; 6) y tiene su eje paralelo al eje Y.

Si el eje es paralelo al eje de las Y, su directriz será horizontal debiendo cumplirse que: la distancia del punto al foco sea igual a la distancia del punto a la directriz, existiendo dos soluciones, según la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo.

209

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Hallamos la distancia del punto al foco:

(− 1 − 3)2 + (3 − 6)2

d=

=5 Como esta distancia es la misma que existe, desde el punto a la directriz, podemos definir su ecuación: a)

Si la curva se abre hacia arriba:

A la ordenada del punto le restamos la distancia, obteniendo el valor de y. 6−5 =1

∴

Ec. dirt. y = 1

El punto de corte de la directriz con el eje, es de coordenadas: (-1 ; 1); como el vértice es punto medio entre este y el foco, hallamos sus coordenadas: yV =

3 +1 =2 2

∴

p = y f − yV

V ( −1 ; 2 ) p =3−2

;

;

p =1

1ra . Sol. ( x + 1) 2 = 4 ( y − 2)

b) Si la curva se abre hacia abajo: A la ordenada del punto le sumamos el valor de la distancia, obteniendo el valor de y: 6 + 5 = 11

∴

Ec. dirt. y = 11

El punto de corte del eje de la curva con la directriz es de coordenadas: (-1; 11), con un procedimiento similar al anterior, encontramos las coordenadas del foco y el valor de p: yv =

3 + 11 =7 2

p = yV − y f

∴

;

V (−1 ; 7)

p = 3−7

;

p = −4

2 da . Sol. ( x + 1) 2 = − 16 ( y − 7)

146.- Hallar la ecuación de la parábola de directriz vertical, si su lado recto tiene 7 unidades y su vértice está en: (4 ; -2).

210

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Si la directriz es vertical, el eje de la parábola será horizontal, y la ecuación será de la forma: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) Lado recto = 4 p 7 = 4p

por lo tanto :

de donde :

p=

7 4

Pero este valor puede ser positivo o negativo dependiendo de hacia donde hagamos que se abra la parábola, por lo que tendremos dos soluciones: Primera solución: Si p > 0. ( y + 2) 2 = 7 ( x − 4)

  23 ; − 2 f  4 

;

Ec. dirt. x =

;

9 4

Segunda so1ución: Si p < 0. ( y + 2) 2 = −7 ( x − 4)

;

 9 f  ; − 2  4

;

Ec. dirt. x =

23 4

147.- El lado recto de una parábola es 12u, su directriz tiene por ecuación: y + 5 = 0 si su vértice está sobre la recta: 2x + y - 6 = 0. Hallar su ecuación. Existen dos soluciones, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba, o hacia abajo. 1 ra. Sol. Cuando se abre hacia arriba. L.R = 4 p = 12

∴

p=3

Como “p” es la distancia entre la directriz y el vértice, y el eje es vertical: k = −5 + 3

;

k = −2

Las coordenadas (h; k) satisfacen la ecuación de la recta que las contiene: 2h − 2 − 6 = 0

de donde : h = 4

Por tanto: V (4 ; -2). 211

H.I.P.

LA PARÁBOLA

La ecuación de la parábola buscada es: 1era. Sol. (x – 4 )2 = 12 ( y + 2 ) Si la parábola se abre hacia abajo, p = -3 por tanto: k = −5 − 3

;

2h − 8 − 6 = 0

k = −8

reemplazando en la recta :

de donde : h = 7

∴

V (7 ; − 8)

La ecuación de la parábola buscada es: 2da Sol. (x – 7 )2 = -12 ( y + 8 ) 149.- Hallar la ecuación de la parábola, cuyo vértice está sobre la recta: x – y + 1 = 0 si su directriz es horizontal, su foco es un punto de la recta: x + y + 3 = 0 y la curva pasa por el punto: ( 5 ; 6 ). Al ser la directriz horizontal, el eje será vertical, por lo que el vértice y el foco tienen igual valor en su abscisa.

El vértice ( h ; k ) satisface a la recta: x – y + 1 = 0

por lo tanto:

(1) h − k +1 = 0 de donde : h = k −1 El foco ( h ; y1) satisface a la recta: x + y + 3 = 0 por lo tanto: (2) h + y1 + 3 = 0 El punto (5 ; 6 ) satisface la ecuación de la parábola, que es de la forma: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) (5 − h) 2 = 4 p (6 − k )

por lo que :

(3) 212

H.I.P.

LA PARÁBOLA

El valor de p lo definimos como :

(4)

p = y1 − k

Resolvemos el sistema, reemplazamos (4) en (3) : (5 − h) 2 = 4 ( y1 − k ) (6 − k )

(5)

Hacemos sistema entre (1) y (2): h − k +1 = 0 − h − y1 − 3 = 0 −−−−−−−−−− − k − y1| − 2 = 0

de donde

y1 = − k − 2

(6)

Reemplazamos (1) y (6) en (5): (5 − k + 1) 2 = 4 (−k − 2 − k ) (6 − k )

operando :

(6 − k ) 2 − 4 (−2k − 2) (6 − k ) = 0

factorando :

(6 − k ) [ (6 − k ) − 4 (−2k − 2) ] = 0

de donde :

6−k = 0

∴

k1 = 6

6 − k + 8k + 8 = 0

∴

k2 = − 2

Con estos valores:

h1 5 h2 = −3

y1 = −8

; ;

f 1 (5 ; − 8)

;

y2 = 0

;

;

f 2 (−3 ; 0)

1ra. Sol. ( x − 5) 2 = − 56 ( y − 6) 2 da. Sol. ( x + 3) 2 = 8 ( y + 2)

213

V1 (5 ; 6) ;

;

V 2 (−3 ; − 2)

p = −14 ;

p=2

H.I.P.

LA PARÁBOLA

150.- Un arco parabólico de acero cuyos extremos están apoyados en el suelo, tiene una altura máxima de 25m., se pide calcular la distancia entre los apoyos del arco, para que el foco esté 15m. bajo el nivel del suelo.

Empezamos ubicando los ejes coordenados, el eje X coincidente con el nivel del suelo, y el eje Y, en la mitad de la distancia, entre los apoyos del arco. Las coordenadas del vértice quedan definidas, así como la forma de la ecuación de la parábola. V ( 0 ; 25 )

;

F ( 0 ; -15 )

Ec. x2 = 4p ( y – 25 ) Definimos el valor de p: p = d vf

;

p = y f − yv

;

p = − 25 − 15

;

p = − 40

Reemplazamos este valor en la ecuación, el signo negativo de p, porque, la parábola se abre hacia abajo. x 2 = − 160 ( y − 25) Hacemos y = 0 en la ecuación de la parábola y obtenemos las coordenadas de los apoyos del arco: Si y = 0 → x 2 = 4000

∴

x = ± 20 10

La distancia entre los apoyos del arco, será por tanto: Sol. d = 40 10

152.- El punto medio de una cuerda de la parábola: y2 = - 8x es ( -4 ; 1). Hallar la ecuación de dicha cuerda. Al ser la parábola horizontal, el diámetro es paralelo al eje X y pasa por el punto dado. Planteamos la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto medio: y − 1 = m ( x + 4) y = mx + 4m + 1

de donde : (1)

Hallamos las coordenadas de los puntos de corte de la recta y la parábola, hacemos sistema: 214

H.I.P.

LA PARÁBOLA

(mx + 4m + 1) 2 = −8 x

operando :

m 2 x 2 + 16m 2 + 1 + 8m 2 x + 2mx + 8m + 8 x = 0

ordenando :

m 2 x 2 + x (8m 2 + 2m + 8) + 16m 2 + 8m + 1 = 0

aplicando la fórmula :

x =

- 8 m 2 - 2m - 8 ±

(- 8m 2 - 2m - 8 ) 2 − 4 m 2 ( 16m 2 + 8m + 1 ) 2 m2

La presencia del doble signo nos da las abscisas de los puntos A y B, para ahorrar trabajo llamaremos al radical Q. Definimos la abscisa del punto medio, que es conocida:

- 8 m 2 - 2m - 8 − Q - 8 m 2 - 2m - 8 + Q + 2 m2 2 m2 4 = 2 16m 2 = −8m 2 − 2m − 8 + Q − 8m 2 − 2m − 8 − Q 32m 2 + 4m + 16 = 0

operando : tér min os semejantes :

resolviendo :

Al resolver la ecuación las raíces son imaginarias, para recuperar las soluciones del problema, cambiamos de signo el área del triángulo. − 16m 2 = −16m 2 − 4m − 16 4m = −16 Sol.

tér min os semejantes

de donde : m = −4

finalmente :

y = −4 x − 15

ECUACIONES GENERALES DE LAS PARABOLAS EN POSICIONES ORDINARIAS. Las ecuaciones ordinarias de las parábolas son: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h)

eje horizontal.

( x − h) 2 = 4 p ( y − k )

eje vertical.

Si desarrollamos estas ecuaciones obtendremos respectivamente:

215

H.I.P.

LA PARÁBOLA

x 2 − 2hx − 4 py + h 2 + 4 pk = 0 y 2 − 4 px − 2ky + k 2 + 4 ph = 0 Observamos que cada una contiene solamente un término de segundo grado, sea este x2 o y2. Haciendo referencia a la ecuación general de segundo grado: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Esto significa que si: B = 0 y A = 0 o C = 0 la ecuación general de segundo grado toma la forma de una de las ecuaciones ordinarias. Para saber si todas las ecuaciones que tomen estas formas representan parábolas, realizamos el siguiente análisis. 1er caso: Si : A = B = 0. y 2 + Dx + Ey + F = 0

Dividiendo toda la ecuación por el coeficiente de y2.

[42]

Si ahora pasamos esta ecuación a la forma ordinaria completando cuadrados, tendremos: y 2 + Ey +

E2 E2 = − Dx − F + 4 4

(1)

 E 2 − 4F  E    y +  = − D  x − 4 D  2   2

Por tanto: si D ≠ 0 la ecuación obtenida representa una parábola de eje horizontal. Si D = 0

la ecuación (42) se reduce a:

y 2 + Ey + f = 0

Esta ecuación representará dos rectas horizontales diferentes, dos rectas horizontales coincidentes o ningún lugar geométrico, según el valor de sus raices. (la variable x no aparece en la ecuación) 2do caso: si B = C = 0. Repitiendo el procedimiento anterior, llegamos a la conclusión de que la ecuación: x2 + Dx + Ey + F = 0 [43] representa una parábola de eje vertical, sí: E ≠ 0 o dos rectas verticales, o ningún lugar geométrico, sí E = 0. Resumiendo todos estos análisis, podemos enunciar el siguiente teorema:

216

H.I.P.

LA PARÁBOLA

TEOREMA 10: Una ecuación de segundo grado, que carece de término en “xy” y que carece del término en x2 o en y2 representa: a.- Una parábola en posición ordinaria, si contiene las dos variables. b.- Dos rectas horizontales o verticales, o bien, no representa ningún lugar geométrico, si contiene una sola variable. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 153.- Analizar y graficar la ecuación: x2 – 4y – 4x = 0

Según el teorema, la ecuación representa una parábola vertical, pasamos la ecuación a la forma ordinaria para esto, completamos cuadrados: ( x 2 − 4 x + 4) = 4 y + 4

de donde :

( x − 2) 2 = 4 ( y + 1)

Es una parábola de eje vertical y vértice en: (2 ; -1). Como 4p = 4 entonces p = 1 al ser “p” positivo, la curva se abre hacia arriba; las coordenadas del foco son: (2 ; 0). El vértice es punto medio entre el foco y el punto A, por lo que las coordenadas del punto A son: (2 ; -2) siendo la ecuación de la directriz: y = -2.

154.- Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, que pasa por los puntos: A( 4 ; 1) B ( 6 ; 2 ) y C ( -2 ; 2 ). Si el eje es vertical la ecuación es de la forma:

x 2 + Dx + Ey + F = 0 Los puntos pertenecen a la curva, por lo tanto: satisfacen su ecuación: 16 + 4 D − E + F = 0

36 + 6 D + 2 E + F = 0 4 − 2D + 2E + F = 0

217

(1)

(2) (3)

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Resolvemos el sistema: (1)

16 + 4 D − E + F = 0 − 36 − 6 D − 2 E − F = 0

(2) −−−−−−−−−−−−−−−−−− − 20 − 2 D − 3E =0

(4)

16 + 4 D − E + F = 0 − 4 + 2D − 2E − F = 0 (3) −−−−−−−−−−−−−−−−−− =0 12 + 6 D − 3E (1)

(5)

(4) − 20 − 2 D − 3E = 0 (5) − 12 − 6 D + 3E = 0 −−−−−−−−−−−−−−−− − 32 − 8 D =0 Por tanto: D = - 4 reemplazando este valor en (5): − 12 − 24 = 3E

∴

E = −4

Reemplazando los valores obtenidos en (3): 4+8−8+ F =0

∴

F = −4

Sol. x 2 − 4 x − 4 y − 4 = 0 Expresando la respuesta en la forma ordinaria: x2 − 4x + 4 = 4 y + 4 + 4

∴

( x − 2) 2 = 4 ( y + 2)

155.- La ecuación de una parábola en su forma general es: x2 + Ey = 0, se pide hallar el valor de E, si la recta de pendiente uno, que pasa por el foco, determina con la parábola una cuerda de 16u. de longitud. La ecuación de la curva la podemos escribir: x2 (1) E Comparándola con la forma canónica:

x 2 = - Ey

∴

x 2 = 4 py

y = -

tenemos que : 4 p = − E

por tan to :

218

p=−

E 4

(2)

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Definimos la ecuación de la recta que pasa por el foco y tiene pendiente uno. y− p = x

reemplazando (1) y (2) :

x2 E − + =x E 4

ordenando :

4 x 2 + 4 Ex − E 2 = 0

resolviendo :

− 4 E ± 16 E 2 + 16 E 2 x= 8

; x=

− 4E ± 4E 2 8

; x=

−E ± E 2 2

Con estos valores de x definimos los de y: y = x−

y=

E 4

por tan to : y =

− 2E ± 2E 2 − E 4

;

−E ± E 2 E − 2 4

y=

operando :

− 3E ± 2 E 2 4

Por tanto las coordenadas de A y B son: −E−E 2 − 3E + 2 E 2   A  ;  2 4  

;

−E+E 2 − 3E + 2 E 2   B  ;  2 4  

La distancia entre A y B debe ser igual a 16: 2

16 =

−E−E 2 −E+E 2  − 3E + 2 E 2 − 3E + 2 E 2    +   − −     2 2 4 4    

Realizando las operaciones, esta expresión se reduce a: 2

16 =

 − 2E 2   − 4E 2   +       2 4    

16 = 4 E 2

2

finalmente :

por tan to :

Sol. E = 8

219

2

H.I.P.

LA PARÁBOLA

PARABOLAS DE EJES OBLICUOS. Si la cónica no tiene los ejes, ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados, ninguna de las ecuaciones estudiadas nos servirá para representarla, y generalmente decimos que la curva está rotada. Para hallar las ecuaciones de las parábolas en estas posiciones, aplicamos su definición como lugares geométricos, obteniendo ecuaciones que están en la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 En las cuales B es diferente de cero, que, como estudiamos en la sección 5 representan secciones cónicas; la presencia del término xy nos indica que la curva no tiene los ejes, ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados.

EJERCICIOS DE APLICACION 156.- El vértice de una parábola está en : ( -1 ; -1) si la ecuación de su directriz es : x + 2y – 1 = 0 . Hallar la ecuación de la parábola.

Hallamos la pendiente de la directriz y por perpendiculares, la del eje: 1 meje = 2 ∴ 2 La ecuación del eje es: md = −

y + 1 = 2 ( x + 1)

de donde :

2x − y +1 = 0

Hacemos sistema entre la ecuación del eje y de la directriz, para hallar las coordenadas del punto A. x + 2y − 1 = 0 4x − 2 y + 2 = 0 −−−−−−−−−− 5x +1 = 0

x=−

1 5

de donde :

con este valor : y =

3 5

∴

220

3  1 A − ;  5  5

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Como el vértice es punto medio entre el foco y el punto A :

−1 =

−1 =

xf −

1 5

2 yf + 2

3 5

de donde : x f = −

9 5

de donde : y f = −

13 5

por tan to :

13   9 f − ; −  5  5

De acuerdo con la definición de la parábola como lugar geométrico: 2

13  9   x +  +y +  5  5  x2 +

2

=

x + 2y −1 5

elevando al cuadrado :

169 26 81 18 x 2 + 4 y 2 + 1 + 4 xy − 2 x − 4 y + y2 + = y+ x+ 5 25 5 25 5

denominador común :

25 x 2 + 90 x + 81 + 25 y 2 + 130 y + 169 = 5 x 2 + 20 y 2 + 20 xy − 10 x − 20 y + 5 20 x 2 − 20 xy + 5 y 2 + 100 x + 150 y + 245 = 0

finalmente :

simplificando :

Sol. 4 x 2 − 4 xy + y 2 + 20 x + 30 y + 49 = 0

157.- Hallar la ecuación de la cónica a partir de los siguientes datos: F (0 ; 0) ; e = 1 y de directriz la recta de ecuación: x + 2y + 2 = 0

Si la excentricidad es uno, la curva es una parábola, porque la distancia del punto al foco, es igual a la distancia del punto a la directriz. d Pf =

x2 + y2

d Pdi =

x + 2y + 2 5

221

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Igualamos las distancias y elevamos al cuadrado los dos términos: x + 2y + 2 = 5

x2 + y2

de donde :

x 2 + 4 y 2 + 4 + 4 xy + 4 x + 8 y = 5 x 2 + 5 y 2

términos semejantes :

Sol. 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 4 x − 8 y − 4 = 0

158.- Hallar la ecuación de la parábola, si los extremos de su lado recto, están formados por los puntos de corte de la recta: 2x + y – 4 = 0 con los ejes coordenados.

Determinamos los puntos de corte: →

y=4

∴ A(0;4)

Si: y = 0 →

x=2

∴ B(2;0)

Si: x = 0

El punto medio de AB es el foco de la parábola: F(1; 2)

Definimos la ecuación del eje: m LR = −2

por perpendiculares : m eje =

1 2

por tan to :

1 ( x − 1) operando : 2 Ec. Eje : x − 2 y + 3 = 0 y−2 =

Sea el vértice: V (x1 ; y1). Como el lado recto vale 4p se cumple que: d (Vf ) =

1 ( AB) 4

( x1 − 1) 2 + ( y1 − 2) 2 =

por lo tan to :

1 (0 − 2) 2 + (4 − 0) 2 4

222

operando :

H.I.P.

LA PARÁBOLA

1 4 + 16 4

x 12 − 2 x1 + 1 + y12 − 4 y1 + 4 = 4 x12 + 4 y12 − 8 x1 − 16 y1 + 15 = 0

elevando al cuadrado :

(1)

Las coordenadas del vértice, satisfacen la ecuación del eje dado: x1 − 2 y1 + 3 = 0

de donde : x1 = 2 y1 − 3

(2)

Hacemos sistema entre (1) y (2): 4 (2 y1 − 3) 2 + 4 y12 − 8 (2 y1 − 3) − 16 y1 + 15 = 0 20 y12 − 80 y1 + 75 = 0

factorando :

(4 y1 − 10) (4 y1 − 6) = 0 5 2

;

y1 =

x1 = 2

;

x1 = 0

y1 =

5  V1  2 ;  2 

;

operando :

3 2

por tan to :

con estos valores :

hay dos soluciones :

3  V2  0 ;  2 

Resolveremos el problema para: V2 ( 0 ; 3/2 ) Como el vértice es punto medio entre el foco y el punto de corte de la directriz y el eje: 0=

1 + x2 2

3 2 + y2 = 2 2 Ec. dirt.

de donde : x 2 = −1

de donde : y − 1 = −2 ( x + 1)

y2 = 1 finalmente : 2 x + y + 1 = 0

Aplicamos la definición de parábola como lugar geométrico:

223

H.I.P.

LA PARÁBOLA

( x - 1 )2 + ( y - 2 )2

2x + y + 1 5

=

[

operando :

]

5 x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = 4 x 2 + y 2 + 1 + 4 xy + 4 x + 2 y

finalmente :

Sol. x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 14 x − 22 y + 24 = 0

RESUMEN DE FORMULAS

FORMAS CANONICAS y2 = 4 px.

Eje coincidente con el eje X Si: p > 0 Si: p < 0

x2 = 4 py.

;

V(0; 0)

La parábola se abre hacia la derecha.

La parábola se abre hacia la izquierda.

Eje coincidente con el eje Y

;

V(0 ; 0)

Si p > 0

La parábola se abre hacia arriba.

Si p < 0

La parábola se abre hacia abajo.

FORMAS ORDINARIAS (y - k)2 = 4 p (x - h)

Eje paralelo al eje X

;

V (h ; k)

(x - h)2 = 4 p (y - k)

Eje paralelo al eje Y

;

V (h ; k)

Igual criterio que en las formas canónicas , para los valores de p.

FORMAS GENERALES x2 + Dx + Ey + F = 0 Eje paralelo al eje Y

;

y2 + Dx + Ey + F = 0

; E ≠ 0 V (h ; k) ; D ≠ 0

224

H.I.P.

LA PARÁBOLA

Eje paralelo al eje X ; L R = 4p

V (h ; k)

para cualquier posición de la parábola.

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Qué entiende por parábola? 2.- ¿Qué es “p” en la ecuación de la parábola? 3.- ¿Cuándo una parábola se abre hacia arriba? 4.- En la ecuación: y2 + Dx + Ey + F = 0 ; ¿qué sucede si D = 0 ? 5.- En la ecuación : y2 = 4px ; ¿cuánto vale la distancia entre el foco y la directriz ? 6.- Si las coordenadas del vértice son : (3 ; 2) y la directriz tiene por ecuación : y = 1 ¿cuánto vale “ p ” ? 7.- ¿Cómo definiría a la directriz de una parábola?

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Hallar la ecuación de la parábola, de eje coincidente con el eje X, si tiene vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto: P (5 ; 2) Sol. 5 y2 = 4x. 2.- Hallar la ecuación del diámetro de la parábola: x2 = 12y , para un sistema de cuerdas de pendiente - 4. Sol. x = -24. 3.- Hallar el área, del triángulo equilátero inscrito en la parábola: y2 = - 8x , si uno de los vértices coincide con el origen de coordenadas. Sol. 192 (3)1/2. 4.- Hallar en la parábola: x2 = 16 y los puntos cuyos radios focales valen 13 u . Sol. ( -12 ; 9) ; (12 ; 9). 5.- El punto medio de una cuerda de la parábola: x2 = 16y es : (3 ; 6). Hallar la ecuación de dicha cuerda. Sol. 3x - 8y + 39 = 0. 6.- El punto medio de una cuerda de la parábola: x2 = 16y es : (3 ; 6). Hallar la ecuación de dicha cuerda. Sol. 3x - 8y + 39 = 0. 7.- Hallar la ecuación de las cuerdas, que pasando por el foco de la parábola: x2 = 8y tienen una longitud de 25 / 2. Sol. 3x + 4y - 8 = 0 ; 3x - 4y + 8 = 0. 8.- Dada la parábola: x2 = -12 y, en qué puntos de la curva pertenecientes al tercer cuadrante se cumple que y > x. Sol. y > x si y < -12. 9.- Uno de los extremos, de una cuerda que pasa por el foco de la parábola: y2 = 4x es (4 ; 4). Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los extremos de la cuerda y por el vértice de la parábola. Sol. 4x2 + 4y2 - 29x - 3y = 0. 225

H.I.P.

LA PARÁBOLA

10.- Determinar la mayor altura que puede tener un vagón de ferrocarril, de techo plano y de 10 m. de ancho, para que pueda entrar en un túnel de forma parabólica, si el alto y el ancho del túnel son de 20m. Sol. < 15 mts. 11.- La boca de un túnel tiene forma parabólica, siendo la base de 20 mts. y la altura máxima de 8 mts. . A partir de qué distancia de uno de sus extremos, puede pasar por el túnel un carro de 4 mts. de alto. Sol. 2,9 mts. 12.- El cable de un puente colgante soporta una calzada de 300 m. mediante cables verticales, si el cable principal, cuelga adoptando una forma parabólica y los cables verticales más largos y más cortos miden 90m. y 20m. respectivamente Cuál es la longitud de los cables verticales , que están a 50 m. del centro del puente. Sol. 27,77 mts. 13.- Una puerta en forma de arco parabólico tiene 12mts. de altura en el centro y 5 mts. de ancho en la base. Una caja rectangular de 9 mts. de alto tiene que ser deslizada a través de la puerta. ¿Cuál es el máximo ancho posible que puede tener la caja.? Sol. < 2,48 mts. 14.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por los puntos de la parábola: y2 = 8x, cuyas ordenadas son: 2 y 8. Sol. 4x - 5y + 8 = 0. 15.- Hallar los principales parámetros y graficar las ecuaciones: a) y2 – 8y + 8x –24 = 0 b) 2x2 + 12x + 7y + 32 = 0 ; c) 9y2 + 48x – 80 = 0 ; d) 4y2 – 40x – 28y + 29 = 0 ; e) 3x2 – 18x – 16y – 53 = 0. 16.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en: (-1 ; - 4) y foco en: (-1 ; 0). Sol. (x + 1)2 = 16 (y + 4). 17.- Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, si pasa por (1 ; -2) y su vértice está en: (-1 ; 0). Sol. (x + 1)2 = -2y. 18.- El vértice de una parábola, está en la recta: 3x – 2y – 19 = 0 ; su foco en la recta: x + 4y = 0 y su directriz es: x = 2. Hallar su ecuación. Sol. ( y + 2 )2 = 12 ( x – 5 ). 19.- Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal, que pasa por los puntos: (-2 ; -1) ; (4 ; 5) y (4 ; -3) . Sol. y2 – 2x - 2y – 7 = 0. 20.- Hallar la ecuación de la parábola, de ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos: (0 ; 0) ; (8 ; -4) y (3 ; 1). Sol. x2 – 5x + 6y = 0 ; y2 – x + 2y = 0. 21.- Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal cuyo vértice es: V(1 ; -3) y cuyo foco está sobre la recta: 2x+ 3y – 6 = 0. Sol. (y + 3)2 = 26(x - 1). 22.- Hallar la ecuación de la parábola, de foco en: (4 ; -1) , eje: x = 4 , si pasa por el punto (8 ; 2). Sol. (x – 4)2 = 4 (y + 2) ; (x – 4)2 = -16 (y – 3). 23.- Hallar la ecuación de la parábola, de directriz: y + 3 = 0 , si su foco está en la recta: x + y + 3 = 0 y su lado recto vale 6 unidades. Sol. (x + 3)2 = 6 (y + 3/2) ; (x – 3) 2 = -6 (y + 9/2). 226

H.I.P.

LA PARÁBOLA

24.- Dada la ecuación de segundo grado: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, qué condiciones deben cumplir A, C, D, E y F, para que la ecuación sea la de una parábola de foco en (0 ; 7) y directriz : y = -7. Sol. A = 1 ; C = 0 ; D = 0 ; E = -28 ; F = 0. 25.- Dada la ecuación de segundo grado : Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, qué condiciones deben cumplir los coeficientes, para que la ecuación represente una parábola, de vértice en: (-2 ; 3) y foco en: (1 ; 3). Sol. A = 0 ; C = 1 ; D = -12 ; E = -6 ; F = -15. 26.- Una parábola pasa por los puntos P(4 ; -2) y Q(-2 ; 4). Su tangente en el vértice es la recta: y + 4 = 0. Cuál es su ecuación. Sol. (x - 2)2 = 2(y + 4) ; (x – 10)2 = 18(y + 4). 27.- Hallar la ecuación de la parábola, de foco en: (-9/5 ; -13/5) y vértice en : (-1 ; -1). Sol. 4x2 - 4xy + y2 + 20x + 30 y + 49 = 0. 28.- El punto de corte entre el eje y la directriz de una parábola, es: (-1 ; 1) si el vértice es el punto: (0 ; 3/2), hallar la ecuación de la curva . Sol. x2 - 4xy + 4y2 - 14x - 22y + 24 = 0. 29.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en: (-2 ; -3), si la ecuación de su directriz es : 2x - y – 4 = 0. Sol. x2 + 4xy + 4y2 + 56x + 12y + 84 = 0. 30.- Los puntos: L(-9 ; 3) y R(-1 ; -5) son los extremos del lado recto de una parábola. Hallar su ecuación. Sol. x2 + y2 –2xy – 8x – 24y – 144 = 0 ; x2 – 2xy + y2 +24x + 8y + 48 = 0. 31.- Dados el vértice V(-2 ; -3) y un extremo del lado recto (-2 ; 7) de la parábola, obtener la ecuación de la curva. Sol. x2 – 4xy + 4y2 – 88x – 24y – 264 = 0. 32.- La construcción de un hangar se la hará en base a tres estructuras, cuyos arcos inferior y superior tienen forma parabólica, y están armados como se indica en la figura, se pide, calcular la cantidad de metros, de varillas verticales e inclinadas, que se necesitan para su armado.

227

H.I.P.

LA ELIPSE

5.4.- LA ELIPSE. 5.4.1.- DEFINICION.

La elipse, es el lugar geométrico de un punto del plano, que se mueve de tal manera que: la suma de sus distancias respecto de dos puntos fijos también del plano, es siempre igual a una constante. En la figura se observa que la longitud de un lado del triángulo f2Pf1 es “f1f2” y que la suma de los otros dos lados es mayor que esta cantidad, por tanto, la constante se caracteriza por ser mayor que la distancia entre los puntos fijos. Estos puntos fijos se denominan, focos de la elipse.

5.4.2.- ELEMENTOS.

Eje: es la recta que pasa por los focos de la elipse, se le conoce también como eje focal. Los puntos de corte del eje con la curva son los vértices de la elipse. 228

H.I.P.

LA ELIPSE

Centro (O): es el punto medio entre los vértices. Eje Normal: es la recta perpendicular al eje focal en su punto medio, este eje corta a la elipse en los puntos A1 y A2. Eje Mayor: es la parte del eje focal comprendido entre los vértices: V1V2 Eje Menor: es la parte del eje normal A1A2. Cuerda: es la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva: B B´ ; J J´ ; K K´. Cuerda Focal: es la cuerda que pasa por el foco, como: C C´. Lado Recto: es la cuerda focal perpendicular al eje. En la elipse hay dos lados rectos: DD1 y EE1. Radios Vectores o radios focales: son las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos, como: Gf1 ; Gf2. Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la elipse, uniendo los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas, como: V1V2 ; A1A2 ; H H1. Existe un número infinito de diámetros.

5.4.3.- ECUACIONES DE LA ELIPSE Al igual que la parábola, la elipse tiene algunas ecuaciones que sirven para representarla, las que dependen de la posición de la curva respecto de los ejes coordenados o de su presentación. Empezaremos con las ecuaciones en las formas canónicas, que corresponden a elipses de centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

ELIPSES DE CENTRO EN (0 ; 0) Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE X. Para deducir la ecuación de las elipses en esta posición, podemos usar el siguiente procedimiento. Llamamos c a la distancia que separa a cada foco del centro, de modo que la distancia entre focos es 2c y sea 2a la constante, a la que debe ser igual la suma de las distancias del punto a los focos.

Como se estableció en la definición, debe cumplirse que: 2a > 2c o bien a > c por tanto: a2 > c2

229

H.I.P.

LA ELIPSE

Tomamos un punto cualquiera de la elipse P (x ; y), por definición debe cumplirse que: Pf1 + Pf 2 pf1 =

= 2a

( x + c) 2 + y 2

(1)

pero :

(2)

;

Pf 2 =

( x − c) 2 + y 2

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) : ( x − c) 2 + y 2 +

[

( x − c) + y 2

( x + c ) 2 + y 2 = 2a

] = [ 2a − 2

( x + c) 2 + y 2

resolviendo :

]

2

de donde :

x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c) 2 + y 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 − 4 xc − 4a 2 = − 4a ( x + c) 2 + y 2

[ xc + a ]

2 2

[

= a

]

ordenando :

simplificando :

2

( x + c) 2 + y 2

operando :

x 2c 2 + 2a 2 xc + a 4 = a 2 x 2 + 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2 x 2c 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2

ordenando :

a 4 − a 2c 2 = a 2 x 2 − x 2c 2 + a 2 y 2

factor común :

a 2 (a 2 − c 2 ) = x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y 2

operando nuevamente :

pero :

a2 > c2 por tanto: a2 - c2 será siempre un número positivo, al que lo representaremos por b2 reemplazando este valor en la última ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 x2 y2 + = 1 a2 b2

dividiendo por a 2b 2 :

[ 44 ]

1ra ecuación canónica.

Siendo: a2 = b2 + c2 la relación fundamental de la elipse. Analizando la ecuación canónica obtenida:

230

H.I.P.

LA ELIPSE

Puntos de corte: Si : x = 0 entonces: y = ± b. La curva corta al eje Y en los puntos: A1 (0 ; b) y A2 ( 0 ; - b) la longitud del eje menor es por tanto “ 2b ”. Si: y = 0 entonces: x = ± a. La curva corta al eje X en los puntos: V1 (a ; 0) y V2 ( -a ; 0), la longitud del eje mayor es por tanto “ 2a ”. En este caso, la elipse es simétrica con respecto a los ejes y al origen, en cualquier posición que la curva se halle, siempre es simétrica respecto a su centro y a sus ejes. Si de la ecuación despejamos el valor de “ y ” tendremos: y = ±

b a

a2 − x2

a2 − x2 ≥ 0

para que exista Y :

factorando :

(a − x) (a + x) ≥ 0

por tan to :

Do min io : − a < x < a Si ahora despejamos la variable “x” x = ±

a b

b2 − y 2

b2 − y 2 ≥ 0

para que exista x :

factorando :

(b − y ) (b + y ) ≥ 0

de donde :

Rango : − b < y < b De lo que concluimos que la elipse es una curva cerrada y de longitud finita; se halla inscrita en un rectángulo, cuyos lados están sobre las rectas: x = a ; x = - a ; y = b y = - b. La abscisa del foco f2 es “c” sustituyendo las coordenadas de uno de los extremos del lado recto (c ; y1) en la ecuación de la elipse obtenemos:

231

H.I.P.

LA ELIPSE

c 2b 2 + a 2 y12 = a 2b 2

despejando :

a 2 y12 = b 2 (a 2 − c 2 )

finalmente :

y1 = ±

b a

2

∴

  b2  b2   c ;  ;  − c ; −  a a  

son las coordenadas de los extremos del lado recto, su longitud es por tanto: 2b 2 a Un elemento importante de la elipse es su excentricidad (e), que se define por la relación: e = c/a ; como: a > c este valor es menor que 1. En general: 0 < e < 1. LR =

ELIPSES DE CENTRO EN (0 ; 0) Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE Y. Aplicando igual procedimiento, que para las elipses de eje coincidente con el eje X, podemos demostrar que la ecuación de las elipses de centro en el origen y eje coincidente con el eje Y es: x2 y2 + =1 b2 a2

[45 ]

2da Ecuación canónica.

Ecuación en la cual “a” y “b” siguen siendo las longitudes de los semiejes mayor y menor respectivamente; la relación fundamental de la elipse no se altera; los puntos de corte de la elipse con el eje X son: (b ; 0) ; (-b ; 0) y con el eje Y : son los puntos: (0 ; a) ; (0 ; -a). El lado recto y la excentricidad, mantienen los valores definidos para las elipses horizontales. Para determinar si una ecuación en una de las formas canónicas, corresponde a una elipse horizontal o vertical, basta fijarse debajo de qué variable está el valor de a2, es decir, el denominador de mayor valor, si está debajo de las X, es una elipse horizontal y si está debajo de las Y, es vertical. En el capítulo que hace referencia a las cónicas, dimos la definición: cónica es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que, la razón de la distancia no dirigida de los puntos, con respecto de un punto fijo, es a la distancia no dirigida de los puntos a una recta fija, como una constante positiva “e” denominada excentricidad. Siendo el punto fijo el foco y la recta fija la directriz.

232

H.I.P.

LA ELIPSE

Para determinar las ecuaciones de las directrices de la elipse y el valor de la excentricidad, tomamos sin perder generalidad en la demostración, como punto de la curva al vértice V1 y a la directriz de ecuación : x = k, por tanto, de acuerdo a la dV 1 f dV 1Q

=e

de donde : dV 1 f = e . dVQ

dV 1 f = a − c definición dada :

(1)

reemplazando en (1)

dV 1Q = k − a

y

pero :

Tomamos el vértice V2 y realizamos igual procedimiento: dV 2 f 1 dV 2Q

=e

dV 2 f 1 = e . dV 2Q

de donde :

(3)

pero :

(2) operando : a − c = ek − ea y dV 2Q = a + k reemplazando en (3) :

a − c = e (k − a) dV 2 f 1 = a + c

a + c = e (k + a )

a + c = ek + ea

operando :

(4)

Resolviendo el sistema entre (2) y (4): a + c = ek + ea a - c = ek - ea ---------------------2a = 2 ek k =

a e

∴

de donde: x =

a e

Ec. directriz derecha.

Por la simetría de la elipse, la ecuación de la otra directriz es: x = - a / e. Si reemplazamos en estas ecuaciones el valor de la excentricidad, las ecuaciones de las directrices quedarán: x = -

a2 c

;

x =

a2 c

Siendo la primera la correspondiente al foco (- c ; 0) y la segunda al foco (c ; 0). Para un punto cualquiera P (x ; y) de la elipse tendremos : 233

H.I.P.

LA ELIPSE

La excentricidad es la que regula o define la forma de la elipse, así, si e = 0, las ecuaciones: e = c / a y b2 = a2 - c2 muestran que : c = 0 y que a = b, los focos coinciden con el centro y la elipse es una circunferencia. Conforme el valor de “e” aumenta, los focos se van separando del centro y entre si, y el eje menor “b” decrece, al acercarse “e” al valor uno, el valor de “c” se acerca al de “a” y “b” tiende a valer cero, lo que implica que la elipse se va haciendo cada vez más angosta. Si e = 1, entonces: c = a y b = 0 y no existiría elipse sino el segmento de recta que une a los focos. Por tanto, existe elipse real si: 0 < e < 1.

EJERCICIOS DE APLICACION 159.- Los vértices de una elipse son los puntos: (-8 ; 0) y (8 ; 0) y su excentricidad es 3 / 4. Se pide hallar la ecuación de la elipse y sus parámetros principales. El punto medio entre los vértices ( 0 ; 0) es el centro, la elipse es horizontal, su ecuación es de la forma: x2 y2 + = 1 a2 b2

(1)

La distancia del centro al vértice (semieje mayor): a = 8. e =

c a

por tanto :

3 c = 4 8

de aquí :

24 = 4c

y

c = 6

Con los valores de a y c hallamos el valor de b, valiéndonos de la relación fundamental: b2 = a 2 − c2

por tanto :

b 2 = 64 − 36 = 28

Reemplazando estos valores en la ecuación (1): 234

H.I.P.

LA ELIPSE

Sol.

x2 y2 + = 1 64 28

Hallamos los parámetros principales: Eje mayor = 2a = 2 . 8 = 16 Ejemenor = 2b = 2 . 28 = 4 7 f1 (−6 ; 0)

;

Lado recto :

f 2 (6 ; 0)

2 . 28 2b 2 = = 7 a 8

160.- Hallar la ecuación de la elipse horizontal de centro en (0 ; 0) y eje mayor 8u. si al unir los extremos del lado recto con el centro de la elipse, el triángulo formado es equilátero. Si el eje mayor vale 8 y el centro está en el origen, a = 4 y los vértices son de coordenadas: V1 (-4 ; 0) 2b 2 a b2 b2 = CF2 = a 4 LR =

;

V2 (4 ; 0)

por tanto : (1)

En el triángulo COD el ángulo COD vale 60° por ser el triángulo equilátero : ∠ COF2 = 30°

tg 30° =

CF2 c

por la simetría de la elipse.

∴

CF2 =

c

3

(2)

3

Igualamos las ecuaciones (1) y (2):

235

H.I.P.

LA ELIPSE

b2 c 3 = 4 3 b2 =

de donde :

4c 3 3

como :

a 2 = b2 + c2

16 =

tendremos :

4c 3 + c2 3

operando :

3c 2 + 4c 3 − 48 = 0 c1 = 3,008

resolviendo : c2 = −5,32 (no sol.)

;

b 2 = a 2 − c 2 = 16 − 9 = 7

Sol.

con este valor :

finalmente :

x2 y2 = 1 + 7 16

161.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en el eje de las abscisas y centro en el origen, si se sabe que la distancia entre sus directrices es 5 y la distancia entre sus focos es 4.

2c = 4

∴

c = 2

f1 (2 ; 0)

;

f2 (-2 ; 0)

Ecuación de la directriz: x = 2,5 pero: x =

a2 c

∴

Por tanto: a2 = 5.

2 ,5 =

a2 2

Valiéndonos de la relación fundamental:

236

H.I.P.

LA ELIPSE

b2 = a 2 − c2

Sol.

∴

b2 = 5 − 4 = 1

x2 y2 + =1 5 1

162.- Un arco de forma semielíptica, subtiende un claro de 104 metros. Si 15 metros es la altura del arco a una distancia de 4 metros del extremo, cuál es la altura máxima del arco? Trazamos una elipse, haciendo coincidir el nivel del suelo con el eje X, y la altura máxima con el eje Y; obteniendo así una elipse de centro en el origen y eje coincidente con el eje X. Por la simetría de la elipse y con los datos del problema, establecemos las coordenadas del punto P, y el valor de “a”.

P (48 ; 15)

;

a = 52

Las coordenadas del punto P, deben satisfacer la ecuación de la elipse: (48) 2 (15) 2 + 2 =1 (52) 2 b

de donde :

400b 2 = 608.400

por tan to :

Sol. b = hmáx. = 39. 163.- La excentricidad de una elipse es 1/3, su centro coincide con el origen de coordenadas y uno de los focos está en: (-2 ; 0) . Calcular la distancia del punto M de la elipse de abscisa 2, a la directriz correspondiente al otro foco, y la ordenada de M. Por los datos del problema: c = 2 e=

c 1 = a 3

como : c = 2 ; a = 6

b 2 = 36 − 4 = 32 La ecuación de la elipse es:

237

H.I.P.

LA ELIPSE

x2 y2 + = 1 36 32 Las coordenadas del punto M, satisfacen la ecuación de la elipse: y12 4 + = 1 36 31

y1 =

de donde :

;

16   M 2 ;  3 

por lo tanto :

x = 18

16 3

La ecuación de la directriz derecha es: x=

a2 c

reemplazando : x =

36 2

Definimos las distancias: Distancia: d = 18 - 2 = 16

;

Distancia: d1 = 18 + 2 = 20

164.- Hallar la ecuación de la elipse de vértice en: (-2 ; 0), centro en el origen y excentricidad ¾. Como el centro y el vértice están sobre el eje X, la elipse es horizontal; hallamos la distancia entre estos puntos: dVC = xC − xV = 0 − (−2) = 2 dVC = a

∴

pero :

a=2

Con la excentricidad y el valor de “a” definimos el valor de c: e=

c 3 = a 4

de donde :

Como : a = 2 → c =

c=

3a 4

3 2

Con este valor, calculamos el de b: b" = a 2 − c 2 Sol.

reemplazando :

b2 = 4 −

4 y2 x2 + = 1 4 7

238

9 7 = 4 4

H.I.P.

LA ELIPSE

165.- Hallar la ecuación de la elipse horizontal, de centro en el origen, si esta pasa por el punto − 5 ; 2 y la distancia entre sus directrices es 10.

(

)

Si la distancia entre sus directrices es 10 y el centro está en el origen, las ecuaciones de las directrices son: x = 5 ; x = -5 ; y por tanto : 5=

a2 c

c=

de donde :

a2 5

( 1)

La ecuación de la elipse es de la forma: x2 y2 + = 1 a2 b2 Las coordenadas del punto satisfacen esta ecuación: 5 4 + 2 = 1 2 a b

de donde :

(2)

5b 2 + 4a 2 = a 2b 2

Por la relación fundamental de la elipse: a 2 = b2 + c2

(3)

Resolvemos el sistema, reemplazamos (1) en (3): a2 = b2 +

b2 =

a4 25

25a 2 − a 4 25

de donde :

(4)

Reemplazamos (2) en (4):  25a 2 − a 4   25a 2 − a 4   + 4a 2 = a 2   5  25 25     5 (25 − a 2 ) + 100 = 25a 2 − a 4 a 4 − 30a 2 + 225 = 0

operando :

simplificando :

factorando :

239

H.I.P.

LA ELIPSE

(a 2 − 15) 2 = 0 c=

de donde :

15 =3 5

por tan to :

b 2 = 15 − 9 = 6

a 2 = 15

con este valor :

c2 = 9

finalmente :

con estos valores :

x2 y2 Sol. + = 1 15 6 166.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (0 ; 0) y eje coincidente con el eje X, si la distancia entre sus focos es 10 y los radios focales de un punto de la curva, valen 8 y 6 unidades. La distancia entre los focos es igual a: 2c por tanto: c = 5 De acuerdo a la definición de la elipse como lugar geométrico: d1 + d 2 = 2a 8 + 6 = 2a a=7

∴

por tanto : de donde : a 2 = 49

De la relación fundamental de la elipse: b 2 = 49 − 25 = 24

con estos valores :

x2 y2 + = 1 49 24

Sol.

167.- Hallar en la elipse de ecuación: 4x² + 9y² = 36; la ecuación del diámetro que biseca cuerdas de pendiente 2. Pasamos la ecuación a la forma canónica: x2 y2 + =1 9 4

por tan to :

a=3

b=2

y

c2 = 9 − 4 = 5

240

por tan to :

c= 5

H.I.P.

LA ELIPSE

Las coordenadas del foco derecho son:

(

)

5 ; 0 . Hallamos la ecuación de la cuerda de

pendiente 2 que pasa por el foco: y − 0 = 2 (x − 5)

operando :

y = 2x − 2 5 Hacemos sistema entre las ecuaciones de la cuerda y de la elipse: 4 x 2 + 9 (2 x − 2 5 ) 2 = 36

operando :

40 x 2 − 72 5 x + 144 = 0

resolviendo :

x1 =

6 5 5

x2 =

;

3 5 5

Con estos valores hallamos los de “y”: y1 =

2 5 5

y2 = −

;

6 5 2 5  A  ;  5 5  

;

4 5 5

finalmente

3 5 4 5  B  ; −  5 5  

Calculamos las coordenadas del punto medio de AB, punto en que el diámetro corta a la cuerda: 3 5 6 5 + 5 = 9 xm = 5 2 2 5

;

4 5 2 5 − 5 = − 1 ym = 5 2 5

1   9 Pm  ; −  5 2 5 Hallamos la ecuación del diámetro, el mismo que pasa por el origen y por el punto medio de la cuerda AB:

241

H.I.P.

LA ELIPSE

1 −0 2 5 m = = 9 9 2 5 −0 −

y=

2 x 9

finalmente :

Sol. 2 x + 9 y = 0

168.- La órbita de la tierra es una elipse, ocupando el sol uno de los focos; si la longitud del semieje mayor es de 140 millones de km y la excentricidad es igual a 0,0168, determinar las distancias máxima y mínima de la tierra al sol, durante su movimiento de traslación. En el gráfico hemos ubicado la tierra en las posiciones A y B, que corresponden a los vértices de la elipse, posiciones en las que se dan las distancias mínima y máxima, de la tierra al sol. Por los datos: a = 140.106 Km. e=

c = 0,0168 a

Hallamos el valor de c:

c = a.e = 148.106.0,0168 = 2´352.000 Km.

La distancia máxima se da cuando la tierra está en B, por tanto: BS = a + c = 142´352.000 Km.

La distancia mínima se da cuando la tierra está en A, por consiguiente: SA = a − c = 137´648.000 Km.

169.- Hallar las ecuaciones de los lados, del triángulo equilátero circunscrito a la elipse: 4x² + 36y² - 144 = 0. Si uno de los vértices esta sobre el eje X. Pasamos la ecuación a la forma canónica:

242

H.I.P.

LA ELIPSE

x 2 y2 =1 + 36 4 Por tanto: a = 6 Las coordenadas de los vértices son: V1(6 ; 0) ;

V2 (-6 ; 0)

Por estar el vértice del triángulo sobre el eje X, y por la simetría de la elipse, la ecuación de BC será: x = - 6

El ángulo V2AB vale 30 grados por ser el triángulo equilátero y la elipse simétrica al eje X, por lo cual la pendiente del lado AB es: 3 3

m AB = tg .150° = −

Planteamos la familia de rectas que tienen esta pendiente y pasan por el punto A: y=−

3 (x − a ) 3

Hacemos sistema con la elipse: 2

  3 (x − a ) − 144 = 0 4 x + 36 −  3  2

operando :

4 x 2 − 6ax + 3a 2 − 36 = 0 Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0

(

)

36a 2 − 16 3a 2 − 36 = 0 9a 2 − 12a 2 + 144 = 0 3a 2 = 144

operando : tér min os semejantes :

de donde : a = ± 4 3

De acuerdo a nuestro gráfico, tomamos el valor positivo para “a”.

243

H.I.P.

LA ELIPSE

Ec. Tg . AB.

(

3 x−4 3 3

y=−

)

Hallamos la pendiente del lado AC y su ecuación: mAC = Tg .30° =

Ec. Tg . AC. y =

3 3

(

3 x−4 3 3

)

ELIPSES DE CENTRO EN (h ; k) Y EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS. Si los centros de las elipses ya no están en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, debemos deducir las ecuaciones que sirven para representar a estas curvas, a las que llamaremos ecuaciones ordinarias.

Para definir las ecuaciones de estas elipses, trazamos por el nuevo centro: O'(h ; k) un sistema de ejes coordenados X'Y', paralelos a los ejes originales XY con lo que conseguimos que las elipses tengan su centro en el origen de coordenadas y sus ejes sean coincidentes con los nuevos ejes, las ecuaciones de las elipses respecto de estos nuevos ejes serán por tanto las ecuaciones canónicas, que ya se determinaron en el tema anterior:

x′2 y′2 + =1 a2 b2

Elipse horizontal.

;

244

x′2 y′2 + =1 b2 a2

Elipse vertical.

H.I.P.

LA ELIPSE

Aplicando las ecuaciones de traslación, obtenemos: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2

[ 46 ]

Ec. ordinaria ( H )

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2

[ 47 ]

Ec. ordinaria (V )

Estas elipses son simétricas respecto de sus ejes, en ellas se cumple la relación fundamental: a² = b² + c²

así como:

e = c/a

y

LR = 2b²/a.

EJERCICIOS DE APLICACION

170.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (-3 ; 1), un extremo del eje menor en (-1 ; 1) si la curva pasa por el punto (-2 ; -2)

Como el centro y el extremo del eje menor tienen igual ordenada, el eje menor es horizontal y la elipse es por tanto vertical, siendo su ecuación: ( x + 3) 2 ( y − 1) 2 + =1 b2 a2 Definimos el valor de b: b = −1 + 3 = 2

Las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación (−2 + 3) 2 (−2 − 1) 2 + =1 4 a2 1 9 + 2 =1 4 a a 2 + 36 = 4a 2

operando :

de donde :

por tan to :

3a 2 = 36

Sol.

finalmente : a 2 = 12

( x + 3) 2 ( y − 1) 2 + =1 4 12 245

H.I.P.

LA ELIPSE

171.- Hallar la ecuación de la elipse, de vértice izquierdo en el origen y eje coincidente con el eje X, si la ecuación de la directriz más alejada del origen es: x = 12 y las coordenadas del foco más cercano al origen son (2 ; 0).

En la elipse se cumple que el valor de h es igual al de “a”, su ecuación es: ( x − a ) 2 ( y − 0) 2 + =1 a2 b2 Se cumple también que:

12 =

a2 +a c

operando :

12c = a 2 + ac

( 1)

Por la posición de la elipse, se cumple que:

(2)

c = a−2

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 12 (a − 2) = a 2 + a (a − 2) 2a 2 − 14a + 24 = 0

operando y ordenando : simplificando :

a 2 − 7 a + 12 = 0

factorando :

(a − 4) (a − 3) = 0

de donde :

a1 = 4

;

a2 = 3

c1 = 2

;

c2 = 1

con estos valores :

246

H.I.P.

LA ELIPSE

Definimos los valores de b2 b12 = 16 − 4 = 12 b22 = 9 − 1 = 8

por tan to :

( x − 4) 2 y 2 + =1 Sol. 12 16

Sol.

( x − 3) 2 y 2 + =1 9 8

172.- Hallar la ecuación de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, si tiene su centro en (0 ; ½), un foco en (0 ; 1) y pasa por el punto (2 ; 2).

Como el centro y el foco tienen abscisa igual a cero, el eje es coincidente con el eje Y, por tanto la elipse es vertical, siendo su ecuación de la ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2 forma: Las coordenadas del punto satisfacen esta ecuación; reemplazando, al igual que las coordenadas del centro: 2

1  2 −  2 (2 − 0) 2 +  2  =1 2 b a 4 9 + 2 =1 2 b 4a

operando :

16a 2 + 9b 2 − 4a 2b 2 = 0

(1 )

Definimos el valor de c: c = y f − yo

;

c = 1−

1 2

;

c=

247

1 2

operando :

H.I.P.

LA ELIPSE

Valiéndonos de la relación fundamental de la elipse: a 2 = b2 +

(2)

1 4

Resolvemos el sistema entre (1) y (2 ):  4b 2 + 1   4b 2 + 1  2 2  + 9b − 4   b = 0 16   4   4  16b 2 + 4 + 9b 2 − 4b 4 − b 2 = 0 4b 4 − 24b 2 − 4 = 0 b 4 − 6b 2 − 1 = 0 b2 =

Sol.

154 25

operando :

tér min os semejantes :

simplificando : resolviendo :

con este valor : a 2 =

641 100

por tan to :

25 x 2 100 ( y − 1 2) 2 + =1 154 641

173.- Uno de los vértices de una elipse está en (2 ; 5) y uno de los extremos de su eje menor en (4 ; 2), si los ejes son paralelos a los ejes coordenados, hallar su ecuación.

Tanto los extremos de los ejes, como el vértice, están contenidos en los ejes de la elipse, por tanto, si por los puntos dados, trazamos paralelas a los ejes coordenados, el punto de corte de estas paralelas, corresponde al centro de la elipse. Ecuación del eje mayor : x = 2 Ecuación del eje menor : y = 2 Coordenadas del centro : (2 ; 2)

La elipse es vertical. Hallamos los valores de a y b: a = d CV = yV − yC

;

a =5−2 =3

b = d CA = x A − xC

;

b =4−2=2 248

H.I.P.

LA ELIPSE

Reemplazando las coordenadas del centro y los valores de a y b, en la ecuación de la elipse vertical:

(x − 2)2 + ( y − 2)2

Sol.

4

9

=1

174.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en (-4 ; 2) y (2 ; 2), si la suma de los radios focales de un punto de la elipse, es igual a cuatro veces la longitud del lado recto.

Por la posición de los focos, la elipse es horizontal, su ecuación es de la forma: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 La ordenada del centro es 2, y la abscisa es el punto medio entre las abscisas de los focos: xC =

−4+2 = −1 2

por tanto : C (−1 ; 2)

definimos el valor de c: c = dCF

;

dCE = xF - xC

;

dCE = 2 + 1 = 3

Por los datos del problema: d1 + d 2 = 4.LR

2a =

8b 2 a

de donde :

a2 = b2 + c2

b2 = 3

Sol.

pero :

∴

d1 + d 2 = 2a

a 2 = 4b 2

4b 2 = b 2 + 9

con este valor :

y

(1 ) operando :

a 2 = 12

( x + 1) 2 ( y − 2) 2 + =1 3 12

249

LR =

2b 2 a

por tan to :

H.I.P.

LA ELIPSE

175.- Hallar la ecuación de la elipse, de vértices: V1(1 ; -4) y V2(1 ; 6), si su foco pertenece a la recta: 2y – x – 7 = 0. Definamos las coordenadas del centro: −4+6 h =1 ; k = =1 por tan to : 2 Si : x = 1 →

y=4

f (1 ; 4 )

por tan to :

2a = dV 1V 2 = yV 2 − yV 1 = 6 + 4 = 10

C (1 ; 1)

∴

a=5

c = d Cf = y f − yC = 4 − 1 = 3

El foco tiene igual abscisa que los vértices, por tanto: b 2 = 25 − 9

;

b 2 = 16

Reemplazando estos valores, en la ecuación de la elipse vertical de centro en (h ; k) Sol.

( x − 1) 2 ( y − 1) 2 + =1 16 25

176.- Hallar la ecuación de la elipse, concéntrica a la circunferencia: x²+ y² + 2y - 4x +1 = 0. Si se sabe que: la circunferencia pasa por los focos de la elipse; las áreas de las dos curvas son iguales y el eje focal es paralelo al eje X. Area de la circunferencia: π.r² Area de la elipse : a.b. π De la ecuación de la circunferencia: C (2 ; -1)

;

Igualando las áreas:

4π = abπ

por tanto:

ab = 4

(1)

Definimos el valor de c: c = d Cf 2

;

c = x f 2 − xC

;

c = 4−2 = 2

250

r = 2

H.I.P.

LA ELIPSE

Por la relación fundamental de la elipse: a 2 = b2 + 4

(2)

Resolviendo el sistema entre (1) y (2): 2

4 2   =b +4 b   b2 =

de donde :

− 4 ± 16 + 64 2

b 4 + 4b 2 − 16 = 0

operando :

b2 =

resolviendo :

− 4 ± 80 2

finalmente : b 2 = 2 5 − 2

Con este valor, calculamos el valor de “a”. a2 =

16 2 5−2

a2 =

8 5 −1

simplificando :

5 +1 5 +1

operando :

a2 =

a2 =

8 5 −1 |

racionalizando :

8 5 + 8 4(2 5 + 2) = 2 5+2 = 4 5 −1

Reemplazando estos valores en la ecuación de la elipse: Sol.

( x − 2) 2 ( y + 1) 2 + = 1 2 5+2 2 5−2

ECUACIONES GENERALES DE LAS ELIPSES EN POSICIONES ORDINARIAS.

Las ecuaciones ordinarias, de las elipses de ejes paralelos a los ejes coordenados, las podemos escribir: b²(x - h)² + a²(y - k)² = a²b²

Eje horizontal.

a²(x - h)² + b²(y - k)² = a²b²

Eje vertical.

Si desarrollamos estas ecuaciones y las ordenamos, tendremos:

b²x² + a²y² - 2b²hx - 2a²ky + b²h² + a²k² - a²b² = 0

Eje horizontal

a²x² + b²y² - 2a²hx - 2b²ky + a²h² + b²k² - a²b² = 0

Eje vertical

Podemos observar que ambas ecuaciones contienen términos en x² e y², cuyos coeficientes son de diferente valor pero del mismo signo, así también, ambas ecuaciones carecen de términos en xy. Si hacemos relación a la ecuación general de segundo grado: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 251

H.I.P.

LA ELIPSE

Para que esta ecuación represente a una elipse, en una de las posiciones ordinarias, debe cumplirse que: B = 0 y que: A y C sean de diferente valor pero de igual signo. La ecuación toma la forma: Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

[48]

Forma general

Para saber si toda ecuación escrita en la forma general, representa siempre una elipse en una de las posiciones ordinarias, realizamos el siguiente análisis: Si suponemos que A y C son positivas y agrupamos términos:  D D2  +C A  x 2 + x + 4 A2  A  2

D  A x+  +C 2A  

 2 E E2  D2 E 2  y + y +  = − + + F 4C 2  4 A 4C C 

E  D 2C + E 2 A − 4 ACF  + = y   2C  4 AC  2

Si el segundo miembro de esta ecuación es positivo, la ecuación representa una elipse en posición ordinaria. Si el segundo miembro es igual a cero, la ecuación representa el punto de coordenadas: (-D/2A ; -E/2C). Si el segundo miembro es negativo, la ecuación no representa ningún lugar geométrico, por no tener solución. TEOREMA 11: Una ecuación de segundo grado, que carece de termino en xy, en la cual, los coeficientes de los términos en x² e y² son diferentes, pero tienen el mismo signo, representa: una elipse en una de las posiciones ordinarias, un punto o ningún lugar geométrico.

PROBLEMAS DE APLICACION 177.- Analizar la siguiente ecuación y determinar sus parámetros principales:16x² + 36y² 64x -216y - 188 = 0. Como los coeficientes de x² y y² son iguales en signo pero de diferente valor, la ecuación parece ser de una elipse, para comprobarlo y hallar sus parámetros principales, la pasamos a la forma ordinaria, para esto agrupamos y completamos cuadrados: 16( x 2 − 4 x + 4) + 36( y 2 − 6 y + 9) = 188 + 64 + 324 16( x − 2) 2 + 36( y − 3) 2 = 576 16( x − 2) 2 36( y − 3) 2 + =1 576 576 ( x − 2) 2 ( y − 3) 2 + =1 36 16

operando :

dividiendo por 576 :

finalmente :

Ec. elipse horizontal de V (2 ; 3) 252

H.I.P.

LA ELIPSE

De la ecuación: a = 6

;

b=4

Con estos valores: c = 36 − 16 = 20

L.R =

por tan to :

f1 (2 + 20 ; 3)

;

V1 (2 + 6 ; 3)

V2 (2 − 6 ; 3)

;

f 2 (2 − 20 ; 3)

2b 2 2.16 16 = = 6 3 2

V (8 ; 3) A1 (2 ; 3 + 4 ) A1 (2 ; 7 )

V2 (− 4 ; 3)

;

A2 (2 ; 3 − 4 )

; ;

Eje mayor = 12

finalmente :

A2 (2 ; − 1)

;

Eje menor = 8

178.- El vértice de una parábola, es el foco superior de la elipse:3x² + 4y² - 52x - 24y + 36 = 0. Si la parábola pasa por los extremos del eje menor de la elipse, hallar su ecuación. Pasamos la ecuación de la elipse, que está en la forma general, a la forma ordinaria, agrupando términos y completando cuadrados. 13( x 2 − 4 x + 4) + 4( y 2 − 6 y + 9) = −36 + 52 − 36 16( x − 2) 2 + 36( y − 3) 2 = 52 ( x − 2) 2 ( y − 3) + =1 4 13 a = 13

;

b=2

finalmente :

Ec. Elipse vertical.

;

c=3

253

operando :

H.I.P.

LA ELIPSE

Graficamos la elipse y la parábola y definimos las coordenadas del foco y de los extremos del eje menor: f (2 ; 3 + 3) A(0 ; 3)

f (2 ; 6)

; ;

vértice parábola

B(4 ; 3)

La ecuación de la parábola es de la forma: ( x − 2) 2 = 4 p ( y − 6)

Las coordenadas del punto A, satisfacen a la ecuación de la parábola, por tanto:: (0 − 2) 2 = 4 p (3 − 6) Sol. ( x − 2) 2 = −

de donde :

p=−

1 3

4 ( y − 6) 3

179.- Dada la ecuación de la cónica: x² + 4y² + 4x - 12y = 51 ; demostrar que: a) c = a.e b) e² = (a² - b²) / a² c) b² = a²(1 - e²) Pasamos la ecuación a la forma ordinaria, completamos cuadrados: 9  ( x 2 + 4 x + 4) + 4  y 2 − 3 y +  = 51 + 4 + 9 4  2

3  ( x + 2) + 4  y −  = 64 2  2

( x + 2) 2 ( y − 3 2) + =1 16 64

finalmente :

2

Ec. elipse horizontal.

Definimos los valores de: a, b, c y e. a=8 ; b=4

e=

∴

c = 48

c 48 = a 8

254

H.I.P.

LA ELIPSE

Parte a) 48 = 8.

Parte b)

c = a.e 48 8

e² = (a² - b²) / a²

48 64 − 16 = 64 64 Parte c)

48 = 48

simplificando :

48 48 = 64 64

por tanto :

b² = a² (1 - e²)

 48  16 = 64 1 −   64 

 16  16 = 64    64 

operando :

finalmente :

16 = 16 L.Q.Q.D.

180.- Dada la ecuación de la cónica: 5x² + 9y² - 30x + 18y + 9 = 0. Hallar las ecuaciones de sus directrices. Pasamos la ecuación a la forma ordinaria, completando cuadrados: 5 ( x 2 − 6 x + 9) + 9 ( y 2 + 2 y + 1) = −9 + 45 + 9 5( x − 3) 2 + 9( y + 1) 2 = 45

simplificando :

( x − 3) 2 ( y + 1) 2 =1 + 5 9

Ec. elipse horizontal.

C (3 ; − 1) ; a 2 = 9

;

b2 = 5

∴

c2 = 4

Hallamos la distancia, del centro de la elipse a la directriz: d=

a2 9 = c 2

Ec. directriz derecha : x =

9 +3 2

Ec. directriz izquierda :

x = 3−

de donde :

9 2

de donde :

255

2 x = 15

2 x = −3

H.I.P.

LA ELIPSE

ELIPSES DE EJES OBLICUOS. Si la cónica no tiene los ejes ni paralelos ni coincidentes con los ejes coordenados, ninguna de las ecuaciones estudiadas nos servirá para representarla, y diremos que la curva está rotada. Para hallar las ecuaciones de las elipses en esta posición, aplicaremos su definición como lugares geométricos, obteniendo ecuaciones que están en la forma: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 En las cuales B es diferente de cero, y que, como estudiamos anteriormente representan secciones cónicas. La presencia del término en xy nos indica que la curva no tiene los ejes, ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados.

EJERCICIOS DE APLICACION 181.- Hallar la ecuación de la elipse, de focos en: (-3 ; 2) y (4 ; -2), si su eje mayor mide 11u. La elipse está rotada, para hallar su ecuación, aplicamos su definición como lugar geométrico, debiendo cumplirse que: Pf1 + Pf2 = 2a

Pf1 = ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 Pf 2 = ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 + ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 = 11 ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 = 11 − ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 Elevamos los dos miembros al cuadrado: x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 = 121 − 22 ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 + x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4

256

H.I.P.

LA ELIPSE

Hacemos términos semejantes: − 14 x + 8 y − 114 = −22 ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2

simplificando :

[7 x − 4 y + 57]2 = [11

operando :

( x + 3) 2 + ( y − 2)

]

49 x 2 + 16 y 2 + 3249 − 56 xy + 798 x − 456 y = 121x 2 + 726 x + 1089 + 121y 2 − 484 y + 484 Sol. 72 x 2 + 105 y 2 + 56 xy − 72 x − 28 y − 1676 = 0

182.- Hallar la ecuación de la elipse, si se conocen las coordenadas del foco (3 ; -1) las de su vértice correspondiente (5 ; -2), y su excentricidad igual a 4/5. d FV = a − c a − c = (3 − 5) 2 + (−1 + 2) 2 = 5

(1 )

Por la definición de excentricidad: e=

c 4 = a 5

∴

c=

4a 5

(2)

Hacemos sistema entre ( 1 ) y ( 2 ):

4a de donde : 5 con este valor : c=4 5 5 =a−

a=5 5

Hallamos la ecuación del eje, para esto, empezamos definiendo el valor de la pendiente: m=

1 −1+ 2 =− 3−5 2

1 y + 1 = ( x − 3) 2 de la cual :

∴ x =1− 2y

Ec. eje : x + 2 y − 1 = 0

( 3)

Valiéndonos de la distancia entre los focos, podemos plantear: f1f2 = 2c

por tanto: 257

H.I.P.

LA ELIPSE

(4)

8 5 = ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2

Elevando los dos miembros al cuadrado y reemplazando ( 3 ) en ( 4 ): 320 = (1 − 2 y − 3) 2 + ( y + 1) 2 5 y 2 + 10 y − 315 = 0

factorando :

( y + 9)( y − 7) = 0 y1 = −9 no sol. x = 1 − 2 (7) = −13

operando :

de donde : y2 = 7

; ∴

con este valor :

f (−13 ; 7)

Aplicamos la definición de lugar geométrico: ( x + 13) 2 + ( y − 7) 2 + ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 10 5 x 2 + 26 x + 169 + y 2 − 14 y + 49 = x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 + 500 − 20 5 ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2

8 x − 4 y − 73 = −5 5 ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 Sol.

elevando al cuadrado :

61x 2 + 64 xy + 109 y 2 + 418 x − 334 y − 4079 = 0

183.- Hallar la ecuación de la elipse, si se conocen las coordenadas de sus focos f1 (2 ; 3) ; f2(-2 ; -1) y las ecuaciones de sus directrices : x + y - 9 = 0 ; x + y + 7 = 0.

Determinamos un punto de la primera directriz y calculamos la distancia entre ellas. Si : x = 0 →

d=

y=9

∴

0 + 9 + 7 16 2a 2a 2 = = = e c 2 2

P (0 ; 9)

( 1)

Calculamos el valor de c: 2c = (2 + 2) 2 + (3 + 1) 2 = 32 = 4 2

258

H.I.P.

LA ELIPSE

reemplazando en ( 1 ) :

Por tanto : c = 2 2 16 2a 2 = 2 2 2

de donde : a = 4

Con este valor definimos la excentricidad: e=

c 2 2 2 = = a 4 2

Aplicamos la definición de excentricidad para las cónicas: e=

d Pf d Pdi.

=

2 2

por tan to :

( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 1 = x+ y+7 2

( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 2 = x+ y+7 2 2

operando :

elevando al cuadrado :

x 2 + y 2 + 49 + 2 xy + 14 x + 14 y = 4 x 2 + 16 x + 16 + 4 y 2 + 8 y + 4

finalmente :

Sol. 3 x 2 − 2 xy + 3 y 2 + 2 x − 6 y − 29 = 0

184.- Hallar la ecuación de la elipse de excentricidad ½, foco en (3 ; 0), Si la ecuación de la directriz correspondiente es: x + y - 1 = 0. e=

1 = 2

[2

d Pf d Pdi. ( x − 3) 2 + ( y − 0) 2 x + y −1 2 2 ( x − 3) 2 + y 2

] = [ x + y +1] 2

Aplicamos la definición de excentricidad: 8 x 2 − 48 x + 72 + 8 y 2 − x 2 − y 2 − 2 xy − 1 + 2 x + 2 y = 0 Sol. 7 x 2 − 2 xy + 7 y 2 − 46 x + 2 y + 71 = 0

259

operando :

finalmente :

2

H.I.P.

LA ELIPSE

PROPIEDAD INTRÍNSECA DE LA ELIPSE

Si analizamos las ecuaciones canónicas de la elipse: x2 y2 + =1 a 2 b2

;

x2 y2 + =1 b2 a 2

En ellas se cumple que x² e y², no son mas que las distancias elevadas al cuadrado, de un punto de la curva P(x ; y) a los ejes de esta.

AP = x

;

(AP)² = x²

BP = x

;

(BP)² = x²

Por lo que las ecuaciones las podríamos escribir:

( AP )2 + ( BP )2 a2

b2

=1

( AP )2 + ( BP )2

;

b2

a2

=1

Si ahora analizamos las ecuaciones ordinarias de las elipses: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2

;

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2

260

H.I.P.

LA ELIPSE

En las dos se cumple que el centro es de coordenadas (h ; k), siendo las ecuaciones de las rectas que contienen a los ejes mayor y menor: x = h ; y = k respectivamente, y los términos: (x - h)² ; (y - k)² no son mas que las distancias elevadas al cuadrado, que hay de un punto de la curva a estos ejes: AP = (x - h)

;

( AP)² = (x - h)²

BP = (y - k)

;

( BP)² = (y - k)²

Por lo que las ecuaciones ordinarias las podríamos escribir en las formas: ( AP) 2 ( BP) 2 + =1 a2 b2

;

( AP) 2 ( BP) 2 + =1 b2 a2

En todos los casos, la distancia del punto al eje normal está sobre a2, y la distancia del punto al eje focal sobre b2. Si en general L es la ecuación de la recta que contiene a los focos y L' la recta perpendicular a L que pasa por el centro de la elipse; 2a la magnitud del eje mayor y 2b la del eje menor la ecuación de la elipse la podemos escribir como:

( AP) 2 ( BP) 2 + =1 a2 b2 Esta manera de analizar la ecuación de la elipse, es muy útil cuando los ejes de la elipse no son ni paralelos, ni coincidentes, con los ejes coordenados.

EJERCICIOS DE APLICACION 185.- Hallar la ecuación de la elipse, si sus ejes mayor y menor miden (5)½ y 2 y están contenidos en las rectas de ecuaciones: x = -y ; x = y, respectivamente. ( AP) 2 ( BP) 2 + =1 a2 b2 ( x − y)2 ( x + y)2 2 2 =1 + 54 1

operando :

Aplicamos la propiedad estudiada: 261

H.I.P.

LA ELIPSE

2( x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 + 2 xy + y 2 + =1 5 2

quitando denominadores :

4 x 2 − 8 xy + 4 y 2 + 5 x 2 + 10 xy + 5 y 2 − 10 = 0

finalmente :

Sol. 9 x 2 + 2 xy + 9 y 2 − 10 = 0 186.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en (-2 ; 1) y (2 ; 3), si su eje mayor tiene 8 unidades de longitud. Hallamos la ecuación del eje mayor: m=

1− 3 1 = −2−2 2

y −1 =

1 ( x + 2) 2

x − 2y + 4 = 0

Definimos las coordenadas del centro: xm =

−2+2 =0 2

;

yM =

1+ 3 =2 2

∴

C (0 ; 2)

Hallamos la ecuación del eje menor: y − 2 = −2 ( x − 0)

de donde :

2x + y − 2 = 0

Hallamos los valores de c y b: c = (0 + 2) 2 + (2 − 1) 2 = 5 b 2 = 16 − 5 = 11 Aplicamos la propiedad estudiada:

262

H.I.P.

LA ELIPSE

4 x 2 + y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 4  2x + y + 2  ( AP) =   = 5 5   2

2

x 2 + 4 y 2 − 4 xy + 8 x − 16 y + 16  x − 2y + 4  ( BP) =   = 5 5   2

2

reemplazando :

4 x 2 + y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 4 x 2 + 4 y 2 − 4 xy + 8 x − 16 y + 16 + =1 5 16 5 11

operando :

Sol. 12 x 2 + 15 y 2 − 4 xy + 8 x − 60 y − 116 = 0

TEMAS DE INTERES a) Las leyes de Kepler del movimiento planetario, afirman que los planetas siguen trayectorias elípticas, con el sol en uno de sus focos. b) La elipse tiene una propiedad reflexiva no totalmente diferente de la parábola; una onda de luz, sonido que se emane de un foco, sería reflejada por una superficie elíptica para llegar al otro foco. Las llamadas galerías de susurros utilizan este principio; un susurro en un foco, es perfectamente audible en el otro foco.

c) La propiedad de reflexión es utilizada por los "trituradores de piedra", que funcionan a base de ondas de choque y que son empleados por los médicos para pulverizar cálculos en los riñones, sin necesidad de recurrir a la cirugía.

RESUMEN DE FORMULAS FORMAS CANONICAS x2 y2 + =1 a 2 b2

;

C (0 ; 0)

Elipse horizontal .

x2 y2 + =1 b2 a 2

;

C (0 ; 0)

Elipse vertical.

263

H.I.P.

LA ELIPSE

FORMA ORDINARIA ( x − h) 2 ( y − k ) 2 =1 + b2 a2

;

C (h ; k )

Elipse horizontal.

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2

;

C (h ; k )

Elipse vertical.

FORMA GENERAL Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Si : A ≠ C

pero de igual signo.

PARA CUALQUIER POSICION DE LA ELIPSE a 2 = b2 + c2 2b 2 Lado recto = a

Re lación fundamental.

;

e=

c a

siempre < 1

EJERCICIOS ORALES 1.-¿Qué representa la constante "a" en una elipse? 2.- ¿Puede ser " b" mayor o igual que "a" ? 3.- Si la suma de las distancias de un punto a los focos es menor que 2a, ¿qué posición tiene el punto con respecto de la elipse? 4.- ¿Cuándo la ecuación de una elipse contiene al término en xy? 5.- ¿Cuándo un punto está fuera de la elipse? 6.- ¿Cuándo la ecuación Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 representa una elipse? 7.- En la ecuación general de la elipse, ¿puede ser: A = 0? 8.- ¿Cuál es la relación fundamental de la elipse? 9.- ¿Qué sucede. Cuándo la excentricidad de una elipse tiende a uno? 10.- ¿Qué sucede cuando la excentricidad de una elipse tiende a cero?

264

H.I.P.

LA ELIPSE

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Hallar la ecuación de la elipse de vértice en (4 ; 0), si uno de los extremos del eje menor está en (0 ; -2) y centro en (0 ; 0). Sol. x2 + 4y2 – 16 = 0. 2.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (0 ; 0), que tiene uno de los extremos del eje menor en (-3 ; 0) y uno de los focos en (0 ; 2). Sol. 13x2 + 9y2 – 117 = 0. 3.- Hallar la ecuación de la elipse de lado recto 4u. Si tiene uno de sus vértices en (-5 ; 0) y su centro en el origen Sol. 2x2 + 5y2 – 50 = 0. 4.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen , si uno de los extremos del eje menor está en (8 ; 0) y el lado recto mide 4u. Sol. 16x2 + y2 – 1024 = 0. 5.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (0 ; 0), si pasa por el punto P (1 ; 2) y tiene uno de sus vértices en (0 ; 4). Sol. 12x2 + y2 – 16 = 0. 6.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en el eje de las ordenadas y simétricos al origen, si su excentricidad vale 16/20, y el lado recto 18/5. Sol. 25x2 + 9y2 – 225 = 0.

7.- Hallar la ecuación de la elipse, de focos sobre el eje X y simétricos al origen, si la distancia entre sus directrices vale 18, y su eje menor 2(20)1/2. Sol. 4x2 + 9y2 –180 = 0. 8.- Hallar la ecuación de la elipse, si su eje mayor mide 20, y la distancia entre las directrices vale 40, se sabe además que los focos están sobre el eje de las ordenadas y son simétricos al origen. Sol. 4x2 + 3y2 – 300 = 0. 9.- Dada la ecuación de la elipse: 4x2 + 3y2 – 300 = 0, hallar la distancia del foco inferior, a la directriz unilateral correspondiente. Sol. 15. 10.- El punto Q(-2 ; -2) es un extremo del eje menor de una elipse, de focos en la recta: x = 4, si la excentricidad vale ½, hallar la ecuación de la elipse. Sol. (x - 4)2 /36 + (y + 2)2 /48 = 1. 11.- El lado recto de una parábola, es el eje menor de la elipse: 41x2 + 16y2 – 656 = 0. Hallar su ecuación. Sol. x2 = 8y + 16 ; x2 = - 8y + 16 = 0. 12.- Demostrar que: si P (0 ; -1) es el punto medio de una cuerda de la elipse: x2 + 4y2 – 16 = 0, la ecuación de la cuerda es: y + 1= 0. 13.- Hallar la ecuación de la elipse de directriz: x = -1, foco en (4 ; -3) y excentricidad 2/3. Sol. 20(x-8)2 + 36(y + 3)2 -720 = 0. 14.- Los radios vectores de una elipse horizontal de centro en (0 ; 0), trazados desde un punto de una elipse, miden 10 y 15 unidades, si son perpendiculares entre si, hallar la ecuación de la curva. Sol. x2/156,25 + y2/75 = 1.

265

H.I.P.

LA ELIPSE

15.- Un punto se mueve de tal forma que: su distancia al punto Q (0 ; 5) es los 5/6 de su distancia no dirigida a la recta: 5y - 36 = 0. Encontrar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto. Sol. 36x2 + 11y2 - 396 = 0. 16.- Analizar y graficar la ecuación: 3x2 + 4y2 + 12x – 24y + 60 = 0. 17.- Analizar y graficar la ecuación: 5x2 + 2y2 - 30x + 20y + 95 = 0. 18.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en: (2 ; 1) y (4 ; 1), si su excentricidad vale ½. Sol. 3(x - 3)2 + 4(y - 1)2 = 12. 19.- Hallar la ecuación de la elipse de vértices en : (7 ; -2) y (-5 ; -2), si pasa por el punto Q (3 ; 2). Sol. (x - 1)2 + 2(y + 2)2 = 36. 20.- Hallar la ecuación de la elipse de vértice derecho en el origen de coordenadas y eje coincidente con el eje X, si la ecuación de su directriz más alejada del origen es: x = 12 y las coordenadas del foco más cercano al origen son: (-2 ; 0). Sol. 8(x + 3)2 + 9y2 = 72.

21.- Hallar la ecuación de la elipse, de foco en: (0 ; 2), si la directriz correspondiente tiene por ecuación x = 8 y la excentricidad vale 1/2. Sol. 3x2 + 4y2 + 16x – 16y – 48 = 0. 22.- Hallar la ecuación de la elipse, de foco en: (1 ; 1), si la directriz correspondiente tiene por ecuación: x + 15 = 0 y la excentricidad vale 1/3. Sol. 8x2 + 9y2 - 48x – 18y – 207 = 0. 23.- Una elipse de centro en el origen y eje mayor sobre la recta: 3x – 4y = 0, pasa por los puntos: (4 ; - 2) y (5 ; 5). Hallar su ecuación. Sol. 43x2 – 48xy + 57y2 = 1300. 24.- Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor de longitud 4, está sobre la recta: x – 2y = 0, y su eje menor de longitud 2, está sobre la recta: 2x + y = 0. Sol. 8x2 – 12xy + 17y2 – 20 = 0. 25.- Hallar la ecuación de la elipse de directriz: 2x – 2y – 1 = 0 y de foco correspondiente en: (2 ; -3), si esta pasa por el punto (1 ; -2). Sol. 17x2 + 16xy + 17y2 – 92x + 142y + 323 = 0. 26.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en (3 ; 6) y (-5 ; -2), si se conoce que su eje mayor mide 10(2)1/2. Sol. 17x2 – 16xy + 17y2 + 66x - 84y – 333 = 0.

266

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

5.5 LA HIPÉRBOLA. 5.5.1 DEFINICIÓN.

Fig. 194 Una hipérbola, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de manera que la diferencia de sus distancias no dirigidas, respecto de dos puntos fijos también del plano, es igual a una constante, la misma que se caracteriza, por ser menor que la distancia entre los puntos fijos. Los puntos fijos reciben el nombre de focos. La hipérbola está formada por dos ramas. Para los puntos que están en la rama derecha tenemos que: PF1 – PF2 igual a la constante dada, mientras que para los puntos de la otra rama PF2 – PF1 es igual a dicha constante. Restaremos siempre la distancia menor de la mayor. 5-5-2.- ELEMENTOS. Eje: Es la recta que pasa por los focos de la hipérbola, se le conoce también como eje focal. Los puntos de corte del eje y la curva son los vértices de la hipérbola. Centro: Es el punto medio del segmento que une los focos de la hipérbola. Eje normal: Es la recta perpendicular al eje focal en su punto medio, un segmento A1A2 de él, constituye el eje conjugado. Eje transverso: Es la parte del eje, comprendida entre los vértices. V1V2.

267

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Fig. 195 Cuerda: Es la recta que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola, como: CC’ ; DD’. Cuerda focal: Es la cuerda que pasa por uno de los focos, como: HH’. Lado recto: la cuerda focal perpendicular al eje. BB´ ; EE´ Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la curva, como: LL’. Radios focales o radios vectores: Son las rectas que unen un punto cualesquiera de la hipérbola con los focos, como: IF1 y IF2.

5-5-3.- ECUACIONES DE LA HIPERBOLA. Al igual que la parábola y la elipse, la hipérbola tiene algunas ecuaciones que sirven para representarla, las que dependen de la posición de la curva respecto de los ejes coordenados o de su presentación. Empezaremos con las ecuaciones en las formas canónicas, que corresponden a hipérbolas de centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. HIPERBOLAS DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE X. Para obtener la ecuación de las hipérbolas en esta posición, utilizaremos el siguiente procedimiento: Sea “c” la distancia que separa a cada foco del centro, de modo que la distancia entre los focos es “2c” y sea “2a” la constante a la que debe ser igual la diferencia de las distancias del punto a los focos.

268

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Las coordenadas de los focos son: F2 (-c ; 0) y F1 (c ; 0). Por definición: PF2 – PF1 = ± 2a ( El signo ± implica que el punto puede estar en cualesquiera de las ramas de la hipérbola, para evitar utilizarlo restaremos la distancia menor de la mayor) En nuestro caso: PF2 – PF1 = 2a Definiendo las distancias y reemplazando Fig. 196 ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a Pasamos un radical al otro miembro y elevamos al cuadrado:

[ ( x + c)

2

+ y2

]

2

=  2a + 

(x − c )2 + y 2 

2



x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 Hacemos términos semejantes: 4 xc − 4a 2 = 4a ( x − c) 2 + y 2

divi dim os para 4 :

xc − a 2 = a ( x − c) 2 + y 2

elevamos al cuadrado :

x 2 c 2 − 2a 2 xc + a 4 = a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 Ordenando y agrupando: x 2 (c 2 − a 2 ) − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 )

De acuerdo a la definición como lugar geométrico: 2 a < 2c

∴

c2 > a2

y

c2 − a2 > 0

269

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Por tanto podemos definir: b2 = c2 − a2

reemplazando :

x 2b 2 − a 2 y 2 = a 2b 2

dividiendo para a 2 b 2 :

x2 y2 − =1 a2 b2

1ra Ec. Canónica.

[49]

Siendo: c2 = a2 + b2 la relación fundamental de la hipérbola. Hay que tomar en cuenta que en la hipérbola no hay una relación fija entre los valores de “a” y “b”, pudiendo ser: a < b , a > b o a = b, en el último caso la hipérbola se denomina equilátera. Analizamos la primera ecuación canónica para conocer el comportamiento de la curva y obtener los parámetros principales. Los puntos de corte de la curva con el eje X, son: (-a ; 0) y (a ; 0) que son las coordenadas de sus vértices, por tanto, la longitud del eje transverso es igual a 2a. La curva no corta al eje Y, pero, el segmento acotado por A1 (0 ; b) y A2 (0 ; - b) es el eje conjugado, por lo que la longitud de éste será igual a 2b. Se cumple además que: c = distancia del punto al foco ; a = distancia del centro al vértice y b = distancia del centro a uno de los extremos del eje conjugado. La hipérbola es simétrica respecto de los ejes y del origen. Si despejamos la variable “y”, tendremos: y=±

b 2 x − a2 a

Para que exista “y” debe cumplirse: x2 − a2 ≥ 0

Resolviendo esta inecuación, obtenemos el campo de variación de “x”

{−∞ < x

≤ − a }∪ { a ≤ x < ∞

}

Lo que nos indica, que entre los vértices no existe curva y que ésta consta de dos ramas. Despejando ahora la variable “x”, tendremos: a y 2 + b2 b Para que “x” exista debe cumplirse que: x=±

y 2 + b2 ≥ 0 270

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Como la expresión comparada con cero, es una suma de cuadrados perfectos, cualquier valor que tome la variable “y” hará que la inecuación se cumpla, por tanto el campo de variación de “y” es: - ∞ < x < ∞ Lo que implica que la curva, es de longitud infinita. Al despejar las variables “x e y” , podemos observar que la curva no posee asíntotas horizontales ni verticales, la obtención de las asíntotas inclinadas y su análisis, las realizaremos mas adelante. Para definir la longitud del lado recto sustituimos x = c en la ecuación [49] y usando la relación: c2 = a2 + b2 hallamos que los extremos de uno de los lados rectos son:  b2  c ; a 

  

;

 b2  c ; − a 

  

Por tanto la longitud del lado recto es: 2b2 / a. La excentricidad de la hipérbola se define como: e = c/a puesto que c > a, este número es siempre mayor que 1. HIPERBOLAS DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE Y. Realizando un procedimiento similar al anterior, podemos demostrar que si una hipérbola, tiene su centro en el origen y su eje es coincidente con el eje Y, su ecuación es: y2 x 2 − =1 a 2 b2

[50]

2da Ec. Canónica.

En esta ecuación se sigue cumpliendo que el eje transverso es 2a, los vértices son de coordenadas (0 ; a) y (0 ; -a); el eje conjugado vale 2b, la excentricidad sigue definida por e = c/a y su lado recto vale 2b2 / a. Para saber si una hipérbola es horizontal o vertical, basta fijarnos en la variable que tiene el signo positivo, el signo positivo indica el eje sobre el cual se abre la curva. Fig. 197

5-5-3-1.- ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA. A diferencia de las otras cónicas, una hipérbola tiene asociadas dos rectas que guardan una relación importante con ella. Estas rectas son las diagonales prolongadas del rectángulo, cuyos lados son paralelos e iguales a los ejes conjugado y transverso, este rectángulo recibe el nombre de rectángulo fundamental de la hipérbola. 271

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Fig. 198 Las ecuaciones de las asíntotas, se obtienen fácilmente al igualar a cero el segundo miembro de la ecuación de la curva y factorarla.

y2 x 2 − =1 a 2 b2

y2 x 2 =0 − a 2 b2

;

y xy x  +  − =0 a ba b x 2 y2 − =1 a 2 b2

;

by − ax = 0 ; by + ax = 0

x 2 y2 =0 − a 2 b2

;

x y x y  +  − =0 a ba b

;

factorando :

Ec. asíntotas.

factorando :

bx + ay = 0

;

bx − ay = 0

Ec. asíntotas.

Puesto que resulta sencillo graficar las ecuaciones de las asíntotas, estas deben emplearse siempre para trazar los gráficos de las hipérbolas. Si el rectángulo fundamental se transforma en un cuadrado, lo que sucede cuando: a = b, la hipérbola se denomina equilátera, su ecuación se escribe: x2 − y2 = a2

Hip. Horizontal.

y2 − x2 = a2

Hip. Vertical.

272

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

DIRECTRICES DE LA HIPERBOLA

Las ecuaciones de las directrices de la hipérbola, son las mismas ecuaciones que ya dedujimos para las directrices de la elipse, razón por la cual no hacemos su demostración. Si queremos calcular los radios focales de un punto de la rama izquierda, estos serán: r1 = - ex - a

;

r2 = ex - a

PROBLEMAS DE APLICACION 187.- Hallar las ecuaciones de la hipérbola y de sus asíntotas, si el centro de la curva coincide con el origen de coordenadas y uno de los extremos del eje transverso tiene por coordenadas (6 ; 0); su excentricidad es igual a 5/3.

Por la simetría de la hipérbola, el otro extremo del eje transverso es: (-6 ; 0),la hipérbola es horizontal, siendo su ecuación de la forma: x2 y2 − =1 a2 b2 La distancia del centro al vértice es “a” (semieje transverso) y es igual a:

a = xV − x C

; a = 6−0 ; a = 6

Trabajando con la excentricidad:

273

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

e=

c 5 = a 3

b2 = c2 − a 2

de donde : c = ∴

5a 5.6 = = 10 3 3

b 2 = 100 − 36 = 64

Por la relación fundamental: Reemplazando en la ecuación de la hipérbola: x2 y2 Sol. − =1 36 64

Para obtener las ecuaciones de las asíntotas, igualamos a cero el segundo miembro de la ecuación y factoramos: x yx y  +  − =0 6 86 8 Sol.

8x − 6 y = 0

de donde :

;

8x + 6 y = 0

188.- Hallar la ecuación de la hipérbola horizontal, de centro en el origen, si su distancia focal es el doble del eje transverso y la curva pasa por el punto (5 ; 4). De acuerdo a los datos del problema: 2c = 4a o c = 2a ; por tanto las coordenadas de los focos son: F(2a ; 0) y F’ (-2a ; 0). De la relación fundamental: b2 = c2 − a 2 b 2 = 4a 2 − a 2 = 3a 2

Reemplazamos estos valores y las coordenadas del punto, en la ecuación de la hipérbola: x2 y2 − =1 a2 b2

∴

25 16 − =1 a 2 3a 2

operando :

59 reemplazando en : b 2 = 3a 2 3 Obtenemos que: b2 = 59 finalmente: a2 =

274

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

3x 2 y 2 Sol. − =1 59 59

189.- Una hipérbola, tiene por vértices los focos de la elipse, cuyos semiejes miden 5 y 3 respectivamente, y por focos los vértices de la elipse. Si los ejes de simetría de las dos curvas coinciden con los ejes coordenados, hallar la ecuación de la hipérbola.

El problema tiene dos soluciones, según se tomen las cónicas horizontales o verticales, resolveremos el primer caso. Por los datos del problema, en la elipse se cumple que: a = 5 ∴ V (5 ; 0) ; V ' (−5 ; 0) c 2 = 25 − 9 = 16 ∴ c=4 F (4 ; 0) ; F ' (−4 ; 0) Para la hipérbola tendremos: V (4 ; 0) ; V ' (−4 ; 0) ; a = 4 F(5 ; 0) ; F’(-5 ; 0) ; c = 5

Determinamos el valor de b: b 2 = c 2 − a 2 ∴ b 2 = 25 − 16 ; b 2 = 9

Sol.

x2 y2 − =1 16 9

190.- Hallar los puntos de la hipérbola: 9x2 – 16y2 = 576, cuyos radios vectores respecto del foco derecho, son iguales a 9/2. Pasamos la ecuación a la forma canónica y leemos los valores de a y b. x2 y2 − =1 64 36 a =8 ; b=6

275

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Calculamos el valor de “c” para definir la coordenadas de los focos: c2 = a2 + b2 c = 10

∴

c 2 = 64 + 36 ; c 2 = 100

;

F (10 ; 0) ; ´F ' (−10 ; 0)

La distancia de un punto P(x1 ; y1) de la hipérbola, al foco derecho, debe ser 9/2, por tanto: 9 = 2

(x1 − 10)2 + y12

elevamos al cuadrado :

81 = x12 − 20 x1 + 100 + y12 4

ordenando :

( 1)

4 x12 + 4 y12 − 80 x1 + 319 = 0

Las coordenadas del punto P(x1 ; y1) satisfacen la ecuación de la curva:

(2)

36 x12 − 64 y12 = 2304

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 16 x12 + 16 y12 − 320 x1 + 1276 = 9 x12 − 16 y12 − 576 25 x12 − 320 x1 + 700 = 0 x1 = 10

;

x2 =

14 5

operando :

resolviendo la ecuación :

(no solución )

Con este valor de x1 despejamos el de y1 de la ecuación (2):

y12 =

9 x12 − 576 16

de donde :

y1 = ±

9 2

Hay por tanto, dos puntos de la curva que cumplen lo pedido: Sol: P1 (10 ; 9/2)

;

P2 (10 ; -9/2)

276

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

191.- Las coordenadas de los focos de una hipérbola son: (10 ; 0) y (-10 ; 0), si la

ecuación de una de sus asíntotas es: 4x + 3y = 0, hallar la ecuación de la curva.

Por la posición de los focos, la hipérbola es horizontal, c = 10, su ecuación es de la forma: x2 y2 − =1 a2 b2

sus asíntotas son :

bx − ay = 0 bx + ay = 0 ; La asíntota dada es de la forma:

bx + ay = 0

se cumplirá que :

4 b = 3 a

lo que es igual que :

4a = 3b

Por la relación fundamental de la hipérbola: a 2 + b 2 = 100

( 2)

Resolviendo el sistema entre (1) y (2): 100 =

a2 =

Sol.

9b 2 + b2 16

9 . 64 = 36 16

resolviendo :

b 2 = 64

con estos valores :

x2 y2 − =1 36 64

192.- Dada la ecuación de la hipérbola: 25x2 – 144y2 = 3600, hallar la distancia que hay entre el foco y la asíntota derechos. La ecuación en su forma canónica es: x2 y − =1 144 25

∴

a = 12

;

b=5

Con estos valores: c 2 = 144 + 25

c 2 = 169

∴

F (13 ; 0)

277

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Hallamos las ecuaciones de las asíntotas: y2 x2 − =0 144 25

factorando :

 x y x y  −  + =0  12 5   12 5 

de donde :

5 x − 12 y = 0

5 x + 12 y = 0

;

Hacemos distancia del foco a la asíntota derecha: d=

13 (5) − 0 =5 13

de donde :

Sol.

d =5

193.- Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en: (8 ; 0) y (-8 ; 0), si las ecuaciones de sus asíntotas son: 3x – 2y = 0 ; 3x + 2y = 0. Por las coordenadas de los focos, sabemos que se trata de una hipérbola horizontal de centro en el origen, siendo el valor de c = 8. La ecuación y las asíntotas de la curva son de la forma: 2

x2 y − 2 =0 2 a b

bx − ay = 0

;

;

bx + ay = 0

Por tanto se cumple que: b 3 = a 2

∴

3a 2

b =

(1)

De la relación fundamental de la hipérbola: 64 = a 2 + b 2

(2)

Resolviendo el sistema entre: (1) y (2):

9a 2 64 = a + 4 2

9a 2 b = 4 2

de donde :

;

576 b = 13 2

a2 =

256 13

con este valor :

13 x 2 13 y 2 finalmente : Sol. − =1 256 576

194.-. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si una de sus asíntotas tiene por ecuación: 3x + 4y = 0 y uno de sus focos está en (0 ; 20).

278

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Por la posición del foco sabemos que la hipérbola es vertical y que c = 20. Por la relación fundamental de la hipérbola: 400 = a 2 + b 2 :

de donde

a = 400 − b 2 (1) Las asíntotas pasan por los vértices del rectángulo fundamental, por tanto las coordenadas del vértice (b ; a), satisfacen la ecuación de la asíntota dada: 3b + 4a = 0

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2):

3b + 4 400 − b 2 = 0 9b = 6400 − 16b 2 b 2 = 256

Sol.

resolviendo : finalmente :

con este valor :

a 2 = 144

y2 x2 − =1 144 256

195.- La excentricidad de una hipérbola es 3/2, las ecuaciones de sus directrices son: x = ± 4/3, hallar la ecuación de la curva, si el centro coincide con el origen de coordenadas. La ecuación de la hipérbola es de la forma: x2 y2 − =1 a2 b2 Por la definición de excentricidad: c 3 = a 2

279

de donde :

c=

3a 2

(1 )

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Las ecuaciones de las directrices son de la forma: a2 x= c

por tan to :

3a 2 c= 4

( 2)

a2 4 = c 3

de donde :

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 3a 3a 2 = 2 4 a=2 c=

de donde :

sustituyendo en (2) :

3. 4 =3 4

por la relación fundamental :

b2 = 9 − 4 = 5

Sol.

x2 y2 − =1 4 5

finalmente :

Hip. horizontal.

HIPERBOLAS EQUILATERAS O RECTANGULARES Cuando una hipérbola tiene el eje transverso de igual longitud que el eje conjugado, decimos que la hipérbola es equilátera o rectangular. Como : a = b

la ecuación :

b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 x2 − y2 = a2 x− y =0

toma la forma :

sus asíntotas son : ;

x+ y =0

Estas asíntotas se caracterizan por ser perpendiculares entre si, razón por la cual se la llama hipérbola rectangular.

Una forma muy útil y simple de la hipérbola equilátera es: xy = k, siendo k una constante diferente de cero. Esta curva tiene por asíntotas a los ejes coordenados. Si k es positiva su gráfica es similar a la de la figura. 280

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Propiedad: en las hipérbolas equiláteras: e = 2

196.- Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera, que pasa por el punto P(-2 ; -3) y tiene por asíntotas, a los ejes coordenados. Si los ejes coordenados son las asíntotas de la hipérbola equilátera, esta tendrá una ecuación de la forma: xy = k Como el punto pertenece a la curva, sus coordenadas satisfacen su ecuación: (−2) (−3) = k k =6

por

de donde : tan to :

Sol. xy = 6

HIPERBOLAS CONJUGADAS. Si se tienen dos hipérbolas tales que: el eje transverso de cada una, es igual al eje conjugado de la otra, decimos que estas hipérbolas son conjugadas. Cada hipérbola es la hipérbola conjugada de la otra.

Si la ecuación de la hipérbola es: x2 y2 − =1 a 2 b2

entonces :

y2 x2 − =1 b2 a 2

es la conjugada.

Para obtener la ecuación de la hipérbola conjugada, basta cambiar el signo, de uno de los miembros de la ecuación original, por ejemplo: si la ecuación de la hipérbola es: 2 x 2 − 7 y 2 = 18

entonces :

7 y 2 − 2 x 2 = 18

es la ecuación de la conjugada.

Las hipérbolas conjugadas tienen un centro común, sus asíntotas son también comunes y sus focos equidistan del centro. Si construimos el rectángulo fundamental, es fácil realizar un bosquejo de un par de hipérbolas conjugadas, ya que las diagonales del rectángulo, son las asíntotas de las hipérbolas conjugadas.

281

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Todas las hipérbolas conjugadas tienen la siguiente propiedad: e12 + e 22 = e12 .e 22 197.- Hallar las coordenadas de los vértices, focos y la excentricidad de la hipérbola conjugada a la que tiene por ecuación 16x2 – 9y2 = 144. 16 x 2 − 9 y 2 = 144

entonces :

9 y 2 − 16 x 2 = 144

Ec. conjugada

Pasamos la ecuación a la forma canónica: 9 y 2 16 x 2 − =1 144 144 y2 x2 − =1 16 9

por tanto :

Hip. vertical.

De esta ecuación: a2 = 4

por tan to : a = 2

c 2 = 16 + 9 = 25 ∴ c = 5

y

y

V1 (0 ; 4) ; V2 (−4 ; 0)

f 3 (0 ; 5)

;

f 4 (0 ; − 5)

;

e=

5 4

HIPERBOLAS DE CENTRO EN (H ; K) Y EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.

Si los centros de las hipérbolas ya no están en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, deberemos deducir las ecuaciones que sirven para representar a estas curvas, a las que se conoce como ecuaciones ordinarias.

282

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Trazamos por el centro (h ; k), un nuevo sistema de ejes X’ Y’, paralelos a los ejes originales XY, las hipérbolas tienen ya su centro en el origen y sus ejes son coincidentes con los nuevos ejes, las ecuaciones de las curvas respecto de los nuevos ejes X’Y’ , son por tanto las ecuaciones canónicas, que se determinaron en el tema anterior. y' 2 x' 2 − 2 =1 a2 b y ' 2 x' 2 − 2 =1 a2 b

Hipérbola horizontal.

Hipérbola vertical

Aplicando las ecuaciones de traslación, obtendremos: (x − h)2 ( y − k)2 − =1 a2 b2

[51]

Ec. ordinaria.

( y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2

[52]

Ec. ordinaria.

Las hipérbolas representadas por estas ecuaciones ordinarias, son simétricas con respecto de sus ejes y del nuevo origen, siguen cumpliendo con la relación fundamental: c2 = a2 + b2 ; su excentricidad e = c/a siempre es mayor que uno; la longitud del lado recto sigue siendo L.R = 2b2/a.

EJERCICIOS DE APLICACION

198.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de focos en: (-6 ; 2) y (0 ; 2), si uno de los extremos de su eje conjugado es de coordenadas: (-3 ; 3).

El eje de la curva pasa por los focos, por tanto esta es horizontal, el eje normal pasa por el extremo del eje conjugado y es perpendicular al eje focal, las coordenadas del centro son el punto medio entre FF’. xC =

−6+0 = −3 2

C (−3 ; 2)

283

por tan to :

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Definimos los valores de “b” y “c”: b = 3−2 =1 c = 0 − (−3) = 3

Con estos valores, hallamos: a a 2 = c2 − b2 = 9 − 1 = 8 Finalmente: ( x + 3) 2 ( y − 2) 2 − =1 8 1

Sol.

199.- Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyas asíntotas tienen por ecuaciones: 2x – y – 6 = 0 ; 2x + y – 2 = 0, si la curva pasa por el punto: (-11 ; 8).

Por la posición del punto respecto de las asíntotas, deducimos que la hipérbola es horizontal. Las coordenadas del centro son el punto de corte de las asíntotas. 2x − y − 6 = 2x + y − 2 de donde − 2y − 4 = 0 y = −2 con este valor : x=2

∴

C (2 ; − 2)

La ecuación, la podemos escribir como el producto de sus asíntotas:

(2 x − y − 6) (2 x + y − 2) = a 2 b 2

operando :

4 x 2 − 16 x − y 2 − 4 y + 12 = a 2 b 2

agrupando :

(

) (

)

4 x 2 − 4 x + 4 − y 2 + 4 y + 4 + 12 − 16 + 4 = a 2 b 2 4( x − 2 ) − ( y + 2) = a 2 b 2 2

2

Ec. Hipérbola

Las coordenadas del punto deben satisfacer esta ecuación:

284

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

4(− 11 − 2 ) − (8 + 2 ) = a 2b 2 2

2

a 2b 2 = 576

reemplazando este valor :

(x − 2)2 − ( y + 2)2

Sol.

realizando las operaciones :

144

=1

576

200.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de ejes paralelos a los ejes coordenados, si su centro es el punto (2 ; -3) y la curva pasa por los puntos: (3 ; 1) y (6 ; 8).

El problema tiene dos soluciones, dependiendo de si tomamos una hipérbola horizontal o una vertical. 1ra. Solución. Hip. Horizontal.

(x − 2)2 − ( y + 3)2

=1 a2 b2 2 2 b 2 ( x − 2 ) − a 2 ( y + 3) = a 2 b 2 Los puntos deben satisfacer esta ecuación: b 2 (3 − 2) − a 2 (1 + 3) = a 2 b 2 2

2

Realizando las operaciones:

(1)

b 2 − 16a 2 = a 2b 2

b 2 (6 − 2 ) − a 2 (8 + 3) = a 2b 2 2

2

(2)

16b 2 − 121a 2 = a 2b 2

Resolviendo el sistema entre (1) y (2): b 2 − 16a 2 = 16b 2 − 121a 2 15b = 105a 2

b = 7a 2

2

2

simplificando : reemplazamos en (1) :

7 a − 16a = 7 a 2

2

7 a + 9a = 0 4

tér min os semejantes :

2

4

de donde : factorando :

a 2 (7 a 2 + 9) = 0 a12 = 0

;

a 22 = −9 / 7

285

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Estos valores no pueden ser solución del problema, por tanto no existe la hipérbola horizontal. (una cantidad elevada al cuadrado no puede ser negativa). 2da. Solución. Hipérbola vertical.

(y + 3)2 − (x − 2)2

=1 a2 b2 2 2 b 2 (y + 3) − a 2 (x − 2) = a 2 b 2 Los puntos dados, satisfacen esta ecuación: b 2 (1 + 3) − a 2 (3 − 2) = a 2 b 2 2

2

(1)

16b 2 − a 2 = a 2 b 2

b 2 (8 + 3) − a 2 (6 − 2) = a 2 b 2 2

2

(2)

121b 2 − 16a 2 = a 2 b 2

Resolvemos el sistema entre (1) y (2): 16b 2 − a 2 = 121b 2 − 16a 2 15a 2 = 105b 2

simplificando :

a 2 = 7b 2

reemplazando en (1) :

16b 2 − 7b 2 = 7b 4 7b − 9b = 0 4

tér min os semejantes :

2

de donde : factorando :

b (7b − 9) = 0 2

2

b22 = 0

b22 = 9 / 7

;

Con este valor, determinamos el de a2: a 2 = (9 / 7 )7 = 9 7( x − 2 ) ( y + 3) =1 − 9 9 2

Sol.

2

201.- Hallar la ecuación de la hipérbola, que tiene uno de sus vértices en el punto (3 ;1), si el foco más próximo es de coordenadas (5 ; -1) y su excentricidad vale 3/2.

286

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Por la posición del vértice y el foco la hipérbola es horizontal y k = 1 Calculamos la distancia del vértice al foco: dVF = c − a = xF − xV = 5 − 3 = 2 De la excentricidad: e=

c 3 = a 2

∴

c=

3a 2

(2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2):

c−a = 2 c=

3.4 =6 2

reemplazando :

3a − a = 2 de donde : a = 4 2

definimos b 2 : b 2 = 36 − 16 ;

;

con este valor :

b 2 = 20

Calculamos el valor de h: d CF = 6 ; d Cf = x F − x C

Sol.

; 6 = 5 − xC

∴

x C = −1

C (−1 ; − 1)

(x + 1) 2 − ( y + 1) 2 = 1 16

20

202.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (-2 ; 2), un extremo de su eje conjugado en (0 ; 2) si pasa por el punto (0 ; -4).

Por la posición del centro y de uno de los extremos del eje conjugado, la hipérbola es vertical, siendo su ecuación de la forma:

( y − 2)2 − ( x + 2)2 a2

b2

=1

Calculamos el valor de b: d CA = b ; b = x A − x C

287

; b = 0+2 = 2

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación de la curva:

(− 4 − 2)2 − (0 + 2)2 a2

4

36 −1 = 1 a2

Sol :

=1

operando :

de donde : a 2 = 18

( y − 2) 2 ( x + 2) 2 − =1 4 18

203.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (2 ; 3), si uno de sus focos está en: (6 ; 3) y la directriz correspondiente es: x = 3.

Definimos el valor de “c”: c = d Cf

; c = x f − xC

; c = 6−2 = 4

Por la ecuación de la directriz: a2 = 3−2 c

de donde :

a2 = 4

Hallamos el valor de “b”: b 2 = 16 − 4 = 12

con estos valores :

Sol.

( x − 2) 2 ( y − 3) 2 − =1 4 12

ECUACION GENERAL DE LAS HIPERBOLAS EN POSICIONES ORDINARIAS. Las ecuaciones ordinarias de las hipérbolas, de ejes paralelos a los ejes coordenados, las podemos escribir en la forma: b 2 (x − h ) − a 2 ( y − k ) = a 2 b 2

Hipérbola de eje horizontal.

b 2 ( y − k ) − a 2 (x − h ) = a 2 b 2

Hipérbola de eje vertical.

2

2

2

2

Al desarrollar estas expresiones y ordenarlas se obtiene:

288

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

b 2 x 2 − a 2 y 2 − 2b 2 hx + 2a 2 ky + b 2 h 2 − a 2 k 2 − a 2 b 2 = 0 − a 2 x 2 + b 2 y 2 + 2a 2 hx − 2b 2 ky + b 2 k 2 − a 2 h 2 − a 2 b 2 = 0 Se observa, que las dos ecuaciones contienen términos en x2 e y2 , cuyos coeficientes son de diferentes signos, así también, ambas ecuaciones carecen de términos en xy. Si nos referimos a la ecuación general de segundo grado: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Para que ésta ecuación represente una hipérbola, en una de las posiciones ordinarias, debe cumplirse que: B = 0 y que, A y C sean de diferente signo, tomando la ecuación la forma: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

[ 53 ]

Para saber si las ecuaciones escritas en esta forma, representan siempre hipérbolas ordinarias, realizamos el siguiente análisis: Suponemos que A es positivo y que C es negativo; entonces a C lo podemos escribir como – C’, siendo C’ positivo; completando cuadrados:   2 Ey Dx D 2  E2  D2 E 2    + A  x 2 + − C y − + = F ' − + −  A 4 A2  C ' 4C '2  4 A 4C '   2

 E  D2 E 2 D   = − −F A x +  − C '  y − 2C '  4 A 4C ' 2A    2

Si el segundo miembro de esta ecuación es positivo o negativo, la ecuación representa una hipérbola horizontal o vertical. Si el segundo miembro de la ecuación es igual a cero, la expresión, representa dos rectas que se cortan. Todo este análisis se resume en el siguiente teorema. TEOREMA 12: Una ecuación de segundo grado, que carece de término en xy y en la que los coeficientes de x2 e y2 son de signos opuestos, representa: una hipérbola en posición ordinaria o dos rectas que se cortan.

PROBLEMAS DE APLICACION 204.- Analizar y determinar los principales parámetros del lugar geométrico representado por la ecuación : 4x2 – 9y2 + 16x – 54y – 101 = 0

289

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Al ser los coeficientes de x2 e y2 de signos contrarios y de acuerdo al teorema enunciado, ésta ecuación debe representar una hipérbola o dos rectas que se cortan, para analizar y determinar sus parámetros principales, la pasamos a la forma ordinaria completando cuadrados.

)

(

) (

) (

)

Agrupando : 4 x 2 + 4 x − 9 y 2 + 6 y = 101

(

4 x 2 + 4 x + 4 − 9 y 2 + 6 y + 9 = 101 + 16 − 81 4( x + 2 ) − 9( y + 3) = 36 2

2

(x + 2)2 − ( y + 3)2 9

4

finalmente :

=1

hipérbola horizontal. Es una hipérbola horizontal, de centro: (-2 ; - 3), en la cual: a = 3 y b = 2. Definimos el valor de c: c 2 = 9 + 4 = 13 Para hallar las coordenadas de los vértices, a la abscisa del centro le sumamos y le restamos el valor de “a”. V ' (− 5 ; − 3)

;

V (1 ; 3)

Para hallar las coordenadas de los focos, a la abscisa del centro le sumamos y restamos el valor de “c”:

(

F ' − 2 − 13 ; − 3

)

(

)

F − 2 + 13 ; − 3

;

Para hallar las coordenadas de los extremos del eje conjugado, sumamos y restamos a la coordenada del centro, el valor de “b”: A(−2 ; − 1)

A' (−2 ; − 5)

;

Calculamos la excentricidad: e=

c a

e=

;

13 3

e > 1

;

Hallamos la longitud del lado recto: LR =

2b 2 a

;

LR =

2.4 9

;

LR =

290

8 9

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Para definir las ecuaciones de las asíntotas, igualamos a cero el término independiente de la ecuación y factoramos. 4( x + 2 ) − 9( y + 3) = 0 2

2

factorando :

[2(x + 2) − 3( y + 3)] [2(x + 2) + 3( y + 3)] = 0 2x − 3y − 5 = 0

;

de donde :

2 x + 3 y + 13 = 0

Ec. Asíntotas.

Para definir las ecuaciones de las directrices, las hallamos primero referidas al nuevo sistema de ejes: x´ =

a2 c

;

x´ = −

a2 c

por tanto : x ´ =

3 13

x´ = −

;

3 13

Ahora las escribimos referidas al sistema coordenado original:  2   − 2 x =  13  

;

 2   − 2 x =  − 13  

205.- Dada la ecuación: 16x2 – 9y2 = 14y hallar el valor de los semiejes, las coordenadas de los focos, la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas y directrices y graficar el lugar geométrico. Pasamos la ecuación a la forma ordinaria, para esto agrupamos y completamos cuadrados. 14 49  49  16 x − 9  y 2 + y +  = − 9 9 81   2

2

factorando :

2

2

7  9 y +  2 16 x 9  =1 − 49 49 − − 9 9

7  C 0 ; −  9 

7 49  16 x − 9  y +  = − 9 9  2

7  y+  x2 9  − =1 49 49 144 81

finalmente :

a2 =

;

49 82

b2 =

;

49 144

Definimos el valor de “c”: c2 =

49 49 + 82 144

;

c2 =

11025 11664

operando :

291

c=

35 36

por tan to :

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Hallamos las ecuaciones de las directrices, referidas a los nuevos ejes: y ´=

a2 c 49

y ´=

y ´= −

;

35

82

→

y ´=

36

a2 c

por tan to :

126 205

;

y ´= −

126 205

Estas ecuaciones referidas a los ejes originales se transforman en: 126  7 = y −−  205  9 −

126  7 = y −−  205  9

de donde :

y=−

301 1845

;

y = − 0,163

de donde :

y=−

2569 1845

;

y = − 1,39

Con la ecuación definida, ya podemos graficar la curva: Calculamos la excentricidad:

e =

c a

35 ; e=

36 ; e = 5 7 4 9

> 1

Calculamos la longitud del lado recto:

LR =

2b a

 49  2   144  LR = 7 9

2

;

LR =

;

7 8

Coordenadas de los focos: para determinar las ordenadas de los focos, basta sumar y restar el valor de “c” a la ordenada del centro. YF1 = −

7 35 + 9 36

;

YF1 =

7 36

YF2 = −

7 35 − 9 36

;

YF2 = −

21 12

∴

∴

7   F1  0 ;  36   21   F2  0 ; −  12  

Asíntotas de la curva: igualamos a cero el segundo miembro de la ecuación y factoramos.

292

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

7  y+  9  49 81

2

−

x2 = 0 49 144

operando :

2

7  81  y +  − 144 x 2 = 0 9 

factorando :

7  9  y +  − 12 x = 0 9 

de donde :

12 x − 9 y − 7 = 0

7  9  y +  + 12 x = 0 9 

de donde :

12 x + 9 y + 7 = 0

206.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de ejes paralelos a los ejes coordenados, si la curva pasa por los puntos: A(0 ; 1) ; B(0 ; -5) ; C(2 ; -2) y D(6 ; -2). La ecuación general de la hipérbola es: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, si A y C son de diferente signo; como existen cinco incógnitas y solamente hay cuatro condiciones, dividimos toda la ecuación para “A”, que es diferente de cero, y cambiamos de nombre a las variables.

x2 +

C 2 D E F y + x+ y+ =0 A A A A

;

C =P ; A

D =Q ; A

E =R ; A

F =S A

Re emplazando : x 2 + Py 2 + Qx + Ry + S = 0 Las coordenadas de los puntos deben satisfacer ésta ecuación: Con (0 ; 1) : Con (0 ; − 5) : Con (2 ; − 2) : Con (6 ; − 2) :

0+ P+0+ R+S = 0 ; 0 + 25 P + 0 − 5 R + S = 0 ; 4 + 4 P + 2Q − 2 R + S = 0 ; 36 + 4 P + 6Q − 2 R + S = 0 ;

P+R+S =0 25 P − 5 R + S = 0 4 P + 2Q − 2 R + S = −4 4 P + 6Q − 2 R + S = −36

(1 ) (2) (3) (4)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

( 1)

y (2 ) P+R+S =0 − 25P + 5R − S = 0 −−−−−−−−−−− − 24 P + 6 R =0

( 1)

y

(3 )

P+ R+S =0 − 4 P − 2Q + 2 R − S = 4 −−−−−−−−−−−−−−− − P − 2Q + 3R =4

(5 ) 293

( 6)

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

( 1)

y

(4)

(6 )

+R+S = 0 − 4 P − 6Q + 2 R − S = 36 −−−−−−−−−−−−−−− − 3P − 6Q + 3R = 36

y

(7 )

+ R + S = −4 3P − P − 2Q + R = 12 −−−−−−−−−−−− =8 2P − 2R

P

( 7)

(8 )

Finalmente: (8) y (5): − 8P + 2 R = 0 2P − 2R = 8 −−−−−−−−− − 6P

=8

por tan to : P = −

4 3

Reemplazando este valor en (5): R = 4P

 4 R = 4 −   3

∴

R=−

;

16 3

Reemplazando estos valores en (1): S =− P−R

;

 4   16  S = − −  − −   3  3 

S=

;

20 3

Reemplazando en (3): Q=

− 4 − 4P + 2R − S 2

;

Q=

(

−4−4 −4

3

) + 2 ( − 16 3 ) − 20 3 2

; Q =−8

Reemplazando estos valores en la ecuación de la hipérbola: x2 −

4 2 16 20 y − 8x − y + =0 3 3 3

operando :

Sol. 3 x 2 − 4 y 2 − 24 x − 16 y + 20 = 0.

HIPERBOLAS DE EJES OBLICUOS. Si la cónica no tiene los ejes, ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados, ninguna de las ecuaciones estudiadas nos servirá para representarla, y generalmente diremos que la curva esta rotada. Para hallar las ecuaciones de las hipérbolas en esta posición, aplicamos su definición como lugares geométricos, obteniendo ecuaciones que están en la forma: 294

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 En las cuales B es diferente de cero, que, como estudiamos en la sección 5, representan secciones cónicas; la presencia del término en xy, nos indica, que la curva no tiene los ejes ni paralelos ni coincidentes con los ejes coordenados.

EJERCICIOS DE APLICACION 210.- Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en: (2 ; 3) y (-4 ; 1), si el eje transverso es igual a 2.

Los ejes de la curva no son ni paralelos ni coincidentes con los ejes coordenados, para determinar su ecuación, nos valemos de la definición de la cónica como lugar geométrico. PF − PF' = 2a PF = ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 PF' = ( x + 4) 2 + ( y − 1) 2

( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 −

[

( x − 2) 2 + ( y − 3) 2

( x + 4) 2 + ( y − 1) 2 = 2

]2 = [

2+

( x + 4) 2 + ( y − 1) 2

]2

Ordenamos y elevamos nuevamente al cuadrado los dos miembros:

[ 3x + y + 2 ] 2 = [

( x + 4) 2 + ( y − 1) 2

]2

desarrollando :

9 x 2 + y 2 + 12 x + 4 y + 4 + 6 xy = x 2 + 8x + y 2 − 2 y + 17 Finalmente, haciendo términos semejantes y ordenando: Sol. 8 x 2 + 6 xy + 4 x + 6 y − 13 = 0

211.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de centro en: (3 ; 1), si uno de sus focos está en (7 ; 3) y uno de los extremos del eje conjugado es el punto (2 ; 3).

295

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Al graficar los datos dados, vemos que el eje de la curva no es ni paralelo ni coincidente con los ejes coordenados, por lo que deberemos aplicar la definición de la cónica, como lugar geométrico, para hallar su ecuación; para lograr este objetivo, debemos determinar las coordenadas del otro foco y el valor de “a”.

Hallamos la pendiente del eje, que pasa por el centro y el foco: m=

1− 3 3−7

m=

;

1 2

Hallamos la ecuación del eje: y −1 =

1 ( x − 3) 2

∴

x − 2y − 1 = 0

Las coordenadas de F’ satisfacen ésta ecuación: x1 − 2 y1 − 1 = 0

de donde :

x1 = 2 y1 + 1

(1)

Hallamos el valor de “c”, que es la distancia del centro al foco: d CF = c

d CF = d CF '

;

c=

d CF =

(3 − 7) 2 + (1 − 3) 2

( x1 − 3) 2 + ( y1 − 1) 2

x12 + y12 − 6 x1 − 2 y1 − 10 = 0

(2)

Resolvemos el sistema entre ( 1 ) y ( 2 ): (2 y1 + 1) 2 + y12 − 6 (2 y1 + 1) − 2 y1 − 10 = 0 4 y12 + 4 y1 + 1 + y12 − 12 y1 − 6 − 2 y1 − 10 = 0 5 y12 − 10 y1 − 15 = 0 y1 = 3 y1 = −1

resolviendo :

con este valor : con este valor :

c=

;

x1 = 7 x1 = −1 296

;

20

d CF = 20

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Por lo tanto: F’ (-1 ; -1). Hallamos el valor de “b”, que es la distancia del centro al extremo del eje conjugado:

b=

(2 − 3) 2 + (3 − 1) 2

b=

;

5

Determinamos el valor de “a”. a2 = c2 −b2

a 2 = 20 − 5

;

a2 = 5

;

Aplicamos la definición de lugar geométrico: PF − PF ' = 2a

reemplazando valores :

2

15 =

( x − 7) 2 + ( y − 3) 2 −

[

( x − 7) 2 + ( y − 3) 2

− 16 x − 8 y − 4 = 4

] = [2 2

15

( x + 1) 2 + ( y + 1) 2

15 +

( x + 1) 2 + ( y + 1) 2

]

2

( x + 1) 2 + ( y + 1) 2

Elevando nuevamente al cuadrado y haciendo términos semejantes: Sol. x 2 − 11y 2 + 16 xy − 22 x − 26 y − 29 = 0. 212.- Hallar las coordenadas de los focos de la hipérbola, si los extremos del eje conjugado, son los puntos de corte de la recta: x + y + 1 = 0, con los ejes coordenados, se sabe además, que la recta que pasa por el punto P(4 ; 0) y por uno de los focos, contiene al lado recto. Hallamos las coordenadas de los puntos de corte de la recta dada y los ejes: Si Si ∴

x=0 → y=0 → A(0 ; 1) ;

y = −1 x = −1 B(−1 ; 0)

Las coordenadas del centro de la curva son las del punto medio entre A y B. xC =

297

1 −1+ 0 =− 2 2

;

yC =

0 −1 1 =− 2 2

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

El eje de la curva, es perpendicular al eje conjugado y pasa por el centro, definimos su ecuación: mL = − 1 y+

∴

1  =1 x + 2 

m eje = 1

1  2

operando :

Ec. eje : x − y = 0

La recta que pasa por P(4 ; 0) contiene al lado recto, por tanto, es perpendicular al eje, hallamos su ecuación: y − 0 = 1 ( x − 1)

∴

x+y=4

El punto de corte de esta recta con el eje, corresponde al foco de la curva: x+ y = 4 x− y =0 −−−−−−− 2y = 4

de donde : y = 2

Con este valor : x = 2

∴

F (2 ; 2)

Calculamos la distancia del centro al foco, que es el valor de “c”: 2

c=

2

5 2 1 1   2 +  + 2 +  = 2  2 2 

Valiéndonos de que el centro es punto medio entre los focos, calculamos las coordenadas de F’, que son de igual valor y signo, por ser el eje, la bisectriz del primer cuadrante.

−

1 2 + xF ' = 2 2

de donde :

xF ' = yF ' = −3 Sol. F (2 ; − 2)

;

F ' (−3 ; − 3)

298

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

PROPIEDAD INTRINSECA DE LA HIPERBOLA. Si “o” es el centro de una hipérbola cuyos semiejes transverso y conjugado son de longitudes a y b respectivamente y B es el pie de la perpendicular trazada desde cualquier punto P de la hipérbola a su eje focal se cumple que: (OB) 2 ( BP) 2 =1 − a2 b2

Si analizamos las ecuaciones canónicas de la hipérbola: y2 x2 =1 − b2 a2

y2 x2 − =1 a2 b2

;

En ellas se cumple que x2 e y2 no son más que las distancias de un punto cualquiera de la curva P(x ; y) a los ejes de esta, elevadas al cuadrado. AP = OB = x

;

BP = Y

( BP) 2 = y 2

;

( AP) 2 = x 2

Por lo que las ecuaciones las podríamos escribir: (OB) 2 ( BP) 2 − =1 a2 b2

;

(OB) 2 ( BP) 2 − =1 a2 b2

Si ahora analizamos las ecuaciones ordinarias: ( x − h) 2 ( y − k)2 =1 − b2 a2 ( y − k)2 ( x − h) 2 =1 − a2 b2

En ellas se cumple que el centro es de coordenadas (h ; k); siendo las ecuaciones de las rectas que contienen a los ejes transverso y conjugado: y = k ; x = h respectivamente, y los términos (x – h)2 y (y – k)2 son las distancias elevadas al cuadrado, que hay de un punto de la curva a estos ejes.

299

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

AP = OB = (x – h) (AP)2 = (x – h)2 PB = (y – k) (PB)2 = (y – k)2 Por lo tanto las ecuaciones .ordinarias las podemos escribir en .las formas: (OB) 2 ( PB) 2 − =1 a2 b2 (OB) 2 ( PB) 2 − =1 a2 b2

Si en general, L es la ecuación de la recta que contiene a los focos y L´ la recta perpendicular a L que pasa por el centro de la hipérbola; 2a la magnitud del eje transverso y 2b la del eje conjugado, la ecuación de la hipérbola la podemos escribir como: (OB) 2 ( PB) 2 − = 1 a2 b2 Esta manera de analizar la ecuación de la hipérbola es muy útil, cuando los ejes de la hipérbola, no son ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados.

EJERCICIOS DE APLICACION 215.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de centro en: (3 ; 1), un foco en: (7 ; 3) y un extremo del eje conjugado en: (2 ; 3).

300

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Por la propiedad intrínseca de la hipérbola, la ecuación de la curva la podemos escribir: (OB) 2 ( PB) 2 − =1 a2 b2 Hallamos la ecuación del eje conjugado: m=

1− 3 = −2 3− 2

y − 3 = −2( x − 2)

;

2x + y − 7 = 0

Por perpendiculares m eje transverso = 1/2

y −3 =

OB =

1 ( x − 7) 2

2x + y − 7

;

x − 2 y −1 = 0

;

BP =

Ec. eje transverso.

x − 2 y −1

5

5

c=

(3 − 7) 2 + (1 − 3) 2 =

20

b=

(3 − 2) 2 + (1 − 3) 2 =

5

a2 = b2 + c2

∴

a 2 = 20 − 5

a=5

;

Aplicando la propiedad intrínseca:  2x + y − 7    5   15

 x − 2 y − 1   5  =1  5 2

2

−

[2 x + y − 7]2 − [x − 2 y − 1]2 75

25

=1

operando :

desarrollando :

4 x 2 + y 2 + 49 + 4 xy − 28 x − 14 y − 3 x 2 − 12 y 2 − 3 + 12 xy + 6 x − 12 y = 75

finalmente :

Sol. x 2 + 16 xy − 11 y 2 − 22 x − 26 y − 29 = 0

216.- Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos ejes, focal y no focal, miden: 2 y 6 y coinciden con las rectas: x = 2y e 2x + y = 0 respectivamente. 301

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Por la propiedad intrínseca de la hipérbola, su ecuación la podemos escribir:

(OB) 2 ( BP) 2 =1 − b2 a2 Definimos los valores de a=

2 =1 2

BP =

b=

;

x − 2y 5

6 =3 2 OB =

;

2x + y 5

Planteando la ecuación de la hipérbola:

2

2

 2x + y   x − 2y      5   5  − =1 1 9

desarrollando :

36 x 2 + 36 xy + 9 y 2 − x 2 + 4 xy − 4 y 2 − 45 = 0

[2 x + y ]2 − [x − 2 y ]2 5

45

=1

finalmente :

Sol. 7 x 2 + 8 xy + y 2 − 9 = 0

217.- Hallar la ecuación de la hipérbola cuyo eje no focal, tiene por extremos los puntos de corte de la recta: x + y + 1 = 0 con los ejes coordenados. Se conoce además que la recta que pasa por el punto P (4 ; 0) y por uno de los focos, contiene al lado recto. Definimos las coordenadas de: A, B y el centro Si

x=0 →

y = −1 ∴ A (0 ; − 1)

Si

y=0 →

x = −1 ∴ B (−1 ; 0)

;

302

1  1 C − ; −  2  2

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA

Hallamos las ecuaciones del eje focal y del lado recto: m eje focal = 1

y+

1 1  = 1 x +  2 2 

de donde :

Ec. eje. x − y = 0 y − 0 = −1 ( x − 4)

(1) de donde :

Ec.L.R. x + y − 4 = 0 Hacemos sistema entre (1) y (2) para hallar las coordenadas del foco: de (1)

x= y

x+x = 4

reemplazamos en (2) :

de donde : x = 2

∴

f (2 ; 2)

Definimos los valores de a y b: 2

2

C = d Of =

5 2  1    1  − − 2 +  − − 2 = 2  2  2  

b = d OA =

2 2 2   1  1   − + 1 +  − − 0  = 2  2   2 

a2 =

25 1 − 2 2

;

a 2 = 12

Definimos las distancias BP y OB: BP =

x− y 2

;

OB =

x + y +1 2

Planteamos la propiedad intrínseca:

303

(2)

H.I.P.

LA HIPÉRBOLA 2

2

 x + y + 1 x− y     2   2    − =1 1 12 2

desarrolla ndo :

[x + y + 1]2 − [x − y ]2 24

x 2 + y 2 + 1 + 2 xy + 2 x + 2 y − 24 x 2 + 48 xy − 24 y 2 − 24 = 0

1

finalmente :

Sol. 23 x 2 − 50 xy + 23 y 2 − 2 x − 2 y + 23 = 0

RESUMEN DE FORMULAS FORMAS CANONICAS x2 y2 − 2 =1 a b

Eje coinidente con el eje X . V (0 ; 0)

y2 x2 − =1 a2 b2

Eje coincidente con el eje Y . V (0 ; 0)

FORMAS ORDINARIAS ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2

Eje paralelo al eje X . V (h ; k )

( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 a2 b2

Eje paralelo al eje Y . V (h ; k )

FORMA GENERAL Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0

A y C de diferente signo.

Para cualquier posición de la hipérbola: c2 = a2 + b2

Relación fundamental.

Lado Recto = 2b2/a e = c/a siempre > 1

304

=1

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LA HIPÉRBOLA

TEMAS DE INTERES 1.-Las rectas que unen los focos con cualquier punto de la hipérbola, forman ángulos iguales con la tangente a la hipérbola en dicho punto. Por tanto, si la superficie de un reflector es generada por la revolución de una hipérbola alrededor de su eje transverso, todos los rayos de luz provenientes del exterior que converjan sobre un foco, se reflejarán pasando por el otro foco. Esta propiedad se emplea en los telescopios junto a reflectores parabólicos. 2.-La diferencia de los tiempos en que un sonido se oye en dos puestos de escucha distintos, es proporcional a las distancias que separan a la fuente sonora de los puestos de escucha. Se sabe, por tanto, que este punto está sobre una cierta hipérbola. Si se emplea un tercer puesto de escucha para poder determinar otra hipérbola, la fuente sonora está en la intersección de las dos curvas.

EJERCICIOS ORALES 1.- ¿Qué representa la constante “c” en la hipérbola? 2.- ¿Puede ser “b” mayor o igual que “a”? 3.- Si la diferencia de las distancias de un punto a los focos, es mayor que 2a ¿qué posición tiene el punto respecto de la hipérbola? 4.- ¿Qué sucede, si en la ecuación de la hipérbola existe el término en xy? 5.- ¿Cuando la ecuación: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa a una hipérbola? 6.- En la ecuación general ¿puede C ser igual a cero? 7.- ¿Pueden ser de igual dimensión los ejes transverso y conjugado? 8.- ¿Cómo obtiene las ecuaciones de las asíntotas? 9.- ¿Cuántos diámetros tiene una hipérbola? 10.- ¿Cuál es la relación fundamental de la hipérbola?

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Los extremos del eje conjugado de una hipérbola, son los puntos ( 0 ; 3) y (0 ; -3), y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad. Sol. x2 – y2 – 9 = 0. 2.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si tiene un foco en (0 ; 5) y un vértice en (0 ; 2). Cuál es su excentricidad. Sol. 21y2 – 4x2 –84 = 0 ; e = 5/2. 3.- La diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a los focos es 8, si la distancia entre los focos es 12, cuál es su excentricidad? Sol. 3/2. 305

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LA HIPÉRBOLA

4.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (0 ; 0), excentricidad igual a 2, si uno de sus vértices está en: (0 ; 4). Sol. 3y2 – x2 – 48 = 0. 5.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si pasa por P(0 ; 6) y una de sus asíntotas tiene por ecuación: 2x + 3y = 0. Sol. 9y2 – 4x2 – 324 = 0. 6.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si pasa por P(10 ; 9/2) y tiene un foco en (10 ; 0). Sol. 9x2 – 16y2 = 576. 7.- Dada la ecuación de la hipérbola: x2/5 – y2/4 = 1, hallar la ecuación del diámetro que pasa por el punto medio de la cuerda: x – y - 3 = 0. Sol. 4x – 5y = 0. 8.- Dada la ecuación de la hipérbola: 7x2 – 3y2 = 21, hallar la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es: A(3 ; -1). Sol. 7x + y – 20 = 0. 9.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si uno de los extremos del eje conjugado está en: (0 ; 2) y su lado recto vale uno. Sol. x2 – 16y2 – 64 = 0. 10.- Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están situados en el eje de las abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas; se sabe además que la distancia entre sus directrices es 64/5 y las ecuaciones de sus asíntotas son: y = ±3/4. X. Sol. 36x2 – 64y2 = 2304. 11.- Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están situados sobre el eje de las ordenadas y son simétricos al origen, si su excentricidad vale 7/5 y la distancia entre sus directrices es 50/7. Sol. 24y2 – 25x2 = 600. 12.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de excentricidad 5/4, un foco en: (5 ; 0) si la ecuación de la directriz correspondiente es: 5x – 16 = 0. Sol. 9x2 – 16y2 = 144. 13.- Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene los mismos focos que la elipse: 3y2 + 4x2 = 48, y su excentricidad, es una unidad mayor que la de la elipse. Sol. 45y2 – 36x2 = 80. 14.- Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos: ( 1 ; 4) y (5 ; 4), si la longitud del lado recto es 5. Sol. 5x2 – 4y2 – 30x + 32 y – 39 = 0. 15.- Analizar y graficar la ecuación: x2 – 4y2 –8y – 4 = 0. 16.- Hallar la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados, si sus asíntotas tienen por ecuaciones: x – 3y + 2 = 0 ; x + 3y + 2 = 0, y su vértice está en: (-5 ; 0). Sol. (x + 2)2 – 9y2 = 9. 17.- Dada la ecuación de la hipérbola: 9x2 – 4y2 + 54x +16y + 29 = 0, hallar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola conjugada a la dada. Sol. 3x + 2y + 5 = 0 ; 3x – 2y + 13 = 0. 18.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de vértice en: ( 2 ; -1), un extremo del eje conjugado en: (-1 ; -3), si los ejes de la cónica, son paralelos a los ejes coordenados. Sol. 9 ( y + 3)2 – 4 (x – 2)2 = 36. 306

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LA HIPÉRBOLA

19.- Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en: (4 ; -2) y (4 ; 10), si su excentricidad vale 3. Sol. 8(y – 4 )2 – (x – 4 )2 = 32. 20.- Analizar y determinar los principales parámetros de la curva que tiene por ecuación: 12x2 – 4y2 +72x + 16y + 44 = 0. 21.- Hallar la ecuación de la hipérbola, si uno de sus focos está en: (-2 ; -5), una de sus directrices tiene por ecuación: 3y + 5 = 0, y su excentricidad vale 3/2. Sol. 4x2 – 5y2 + 16x +10y + 91 = 0. 22.- Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son los ejes coordenados y pasa por el punto: (-4 ; 5). Sol. xy + 20 = 0. 23.- Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera de centro en el origen, si una de sus asíntotas, tiene por ecuación: 2x – 3y = 0 y la curva pasa por el punto: (-1 ; 2). Sol. 6x2 – 5xy – 6y2 + 8 = 0. 24.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de foco en: ( a ; a), cuya directriz tiene por ecuación: x + y – a = 0, y su excentricidad vale raíz de dos. Sol. 2xy = a2. 25.- Uno de los focos de una hipérbola es: (4 ; 5) y uno de sus vértices es: (1 ; 1). Si se sabe que los puntos están en lados opuestos del eje conjugado y que el lado recto es los 2/3 del eje transverso, calcular las coordenadas del otro foco. Sol. (0,618 ; 0,49). 26.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de focos en: (3 ; 4) y (-3 ; -4), si la distancia entre sus directrices es 18/5. Sol. 7y2 + 24xy – 144 = 0.

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