Hugo Alberto Rincón Mejía Álgebra Lineal

HUGO ALBERTO RINCÓN MEJÍA

ÁLGEBRA LINEAL

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM 2006

ÁLGEBRA LINEAL 2ª edición, 2006

©Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias ISBN: 968-36-9263-X

La presente obra fue impresa bajo demanda por vez primera en los talleres de Publidisa Mexicana SA de CV en el mes de junio de 2006. Publidisa Mexicana SA de CV Calzada Chabacano Nº 69, Planta Alta Colonia Asturias Deleg. Cuauhtémoc 06850 México DF www.publidisa.com

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A mis padres, Hugo Armando Rinc´on Orta y Angelina Aurelia Mej´ıa Arzate, con todo mi cari˜ no, por haber esperado demasiado de m´ı.

Introducci´ on ´ ´ Este texto contiene el material de los cursos Algebra Lineal I y Algebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios a˜ nos. Tiene algunas caracter´ısticas especiales: Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que la definici´on de Espacio vectorial puede resultar muy complicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma. En el cap´ıtulo de Espacios vectoriales, no s´olo se demuestra la existencia de bases, sino que se da una demostraci´on de que las bases para un espacio vectorial tienen el mismo cardinal. La demostraci´on es una aplicaci´on del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles. Se presentan dos cap´ıtulos acerca de espacios con producto interior. El primer cap´ıtulo incluye la teor´ıa que los estudiantes de F´ısica necesitan con urgencia, mientras que el u ´ltimo cap´ıtulo usa la teor´ıa de espacios invariantes. En este cap´ıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de F´ısica cu´antica. Se hacen ejemplos detallados de c´alculos de formas can´onicas y se hace ´enfasis en la teor´ıa de diagonalizaci´on simult´anea. Como aplicaci´on, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza la situaci´on en que las potencias de una matriz cuadrada convergen.

Agradezco la ayuda que me han prestado algunos de mis estudiantes. Entre ´estos puedo recordar a Ricardo Hern´andez Barajas, Alina Madrid Rinc´on, Antonieta Campa, Patricia Pellicer Covarrubias, Alejandro Alvarado Garc´ıa y Sa´ ul Ju´arez v

Ord´on ˜ez. Especialmente agradezco a Rolando G´omez Macedo, por la lectura cuidadosa que realiz´o, se˜ nalando una buena cantidad de errores tipogr´aficos y de notaci´on. Agradezco la gran ayuda prestada por los matem´aticos Julio C´esar Guevara y Guilmer Gonz´alez Flores quienes revisaron cuidadosamente el libro y me se˜ nalaron una gran cantidad de diagramas, dibujos y detalles de estilo que hab´ıa que corregir. Agradezco a Ang´elica Mac´ıas y a Nancy Mej´ıa por el dise˜ no de la cubierta del libro. Este libro se benefici´o grandemente del inter´es que puso en ´el la M. en C. Ana Irene Ram´ırez Galarza, a quien estoy profundamente agradecido. A pesar de todo, es inevitable que permanezcan errores en el libro, de los cuales s´olo yo soy responsable. Agradecer´e a las personas que hagan favor de se˜ nal´armelos. Para terminar, quisiera manifestar el gusto que me da trabajar en la Facultad de Ciencias, donde los profesores entregan lo mejor de s´ı mismos a sus alumnos, sin regatear esfuerzos y sin ambici´on de lucro. Trabajar en el Departamento de Matem´aticas de la Facultad de Ciencias ha sido uno de los eventos m´as afortunados que me han ocurrido. Aprovecho esa oportunidad ´ para manifestar mi aprecio y reconocimiento a mis compa˜ neros del grupo de Algebra, quienes casi todos fueron mis maestros. Agradezco al profesor C´esar Rinc´on Orta, por su ejemplo, sus ense˜ nanzas, su paciencia y por el afecto inagotable que me ha brindado siempre. Gracias, T´ıo.

vi

´Indice general

1. Operaciones asociativas 1.1. Semigrupos y monoides . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Tablas de multiplicar . . . . . . . . . 1.1.2. Monoides con cancelaci´on . . . . . . 1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Subgrupos y restricci´on de funciones. 1.3. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Producto de copias de un anillo. . . .

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1 1 2 5 6 8 13 15

2. Espacios vectoriales 2.1. Espacios vectoriales y subespacios . . . . 2.2. El subespacio generado por un conjunto 2.3. Dependencia e independencia lineal . . . 2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . 2.6. Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 19 23 32 35 46 50 52

3. Transformaciones lineales 3.1. Transformaciones lineales, n´ ucleos e im´agenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. La propiedad universal de las bases . . 3.3. La matriz de una transformaci´on lineal 3.4. Suma y producto de matrices . . . . . 3.5. La matriz de cambio de base . . . . . .

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67 . . . . .

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. 67 . 73 . 85 . 94 . 102

4. Sistemas de ecuaciones lineales 111 4.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.1. Matrices reducidas y escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2. La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . 4.3. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . 4.4. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. C´alculo de la base dual para un espacio dimensi´on finita . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. La dimensi´on del espacio dual . . . . . 4.5. La transpuesta de una funci´on lineal . . . . .

. . . . . . de . . . . . .

. . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . 126 . . . . . . . . . . . 136 . . . . . . . . . . . 137 . . . . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . . 143

5. Espacios con producto interior I 5.1. Productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. La norma inducida por un producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. El Teorema de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . 5.3. La traza y la adjunta de una matriz . . . . . . . . . . 5.4. Ortogonalidad y el Teorema de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Matrices respecto a una base ortonormal . . . 5.4.2. Representaci´on de elementos del espacio dual 5.5. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . 5.7. Transformaciones lineales y productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Operadores unitarios en R2 . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Movimientos r´ıgidos (Isometr´ıas) . . . . . . . . . . .

151 . . . . . . . . . 151

6. Determinantes 6.1. Funciones n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Factorizaci´on u ´nica como producto de ciclos . 6.1.2. Estructura c´ıclica y signo de una permutaci´on 6.2. El desarrollo por renglones del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Invertibilidad y el determinante . . . . . . . . . . . . 6.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185 . . . . . . . . . 185 . . . . . . . . . 189 . . . . . . . . . 195

. . . . . . . . . 154 . . . . . . . . . 154 . . . . . . . . . 156 . . . . .

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158 168 169 169 171

. . . . . . . . . 174 . . . . . . . . . 177 . . . . . . . . . 179

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213 218 223 226

7. Polinomios con coeficientes en R 231 7.1. Polinomios y el algoritmo de la divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2. La estructura algebraica de R[{] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 viii

8. Vectores propios y diagonalizaci´ on 8.1. Vectores y valores propios . . . . . . . . . . . . . 8.2. El polinomio caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . 8.3. Espacios propios y diagonalizabilidad . . . . . . . 8.4. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . 8.5. El polinomio m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. El polinomio m´ınimo y diagonalizabilidad

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247 247 250 256 264 270 273

9. Subespacios T-invariantes 9.1. Subespacios W invariantes . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Subespacios T-c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Polinomio caracter´ıstico y polinomio m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. El Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . 9.5. Diagonalizaci´on simult´anea . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable

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292 296 298 303

10.Formas can´ onicas 10.1. Lemas b´asicos de descomposici´on . . . . . . . . 10.2. La matriz compa˜ nera de un polinomio . . . . . 10.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . 10.4. El p-zoclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Sumandos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Forma can´onica racional . . . . . . . . . . . . . 10.7.1. Diagrama de puntos . . . . . . . . . . . 10.8. M´as acerca de los diagramas de puntos . . . . . 10.9. Forma can´onica de Jordan . . . . . . . . . . . . 10.10.Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10.1.L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov

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313 313 316 317 320 350 351 357 359 368 373 382 382 389

11.Espacios con producto interior II 11.1. Operadores normales, autoadjuntos, unitarios . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Operadores normales, I = C . . . . 11.3. Operadores autoadjuntos, I = R . 11.4. Operadores unitarios . . . . . . . . 11.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . ix

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283 . . . . . . . . . 283 . . . . . . . . . 289

407 . . . . .

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407 408 410 413 413

11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.6. El teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Algunas notaciones utilizadas en el libro

423

Bibliograf´ıa

429

´Indice alfab´ etico

430

x

Cap´ıtulo 1

Operaciones asociativas 1.1.

Semigrupos y monoides

Para mayor informaci´on sobre estos temas, recomendamos al lector los libros de Jacobson [3] y Rotman [7], aunque como lo que necesitaremos es bastante poco, esperamos que baste con lo que se presenta aqu´ı. Definici´ on 1 Una operaci´on  en un conjunto [ es una funci´on  : [ × [ $ [= Muchas veces escribiremos d  e en lugar de escribir  ((d> e)) = Definici´ on 2 Decimos que la operaci´on  : [ × [ $ [ es asociativa si {  (|  }) = ({  |)  }>

;{> |> } 5 [=

En este caso la pareja ordenada ([> ) se llama semigrupo. Ejemplo 1 Son semigrupos: 1. (N> +) > 2. (N> ) > donde  denota la multiplcaci´on usual, 3. (€ ([) > _), 4. (€ ([) > ^) > 5. ({i : [ $ [ | i es una funci´ on} > ) Son semigrupos. 1

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

2

1. (Z> ) no es un semigrupo:

Ejemplo 2

1 = 1  0 = 1  (1  1) 6= (1  1)  1 = 1= 2. Consideremos la operaci´on de diferencia de conjuntos en € ({0> 1}) = {>> {0} > {1} > {0> 1}} > observando que {0> 1} = {0> 1} \> = = {0> 1} \ ({0> 1} \ {0> 1}) 6= ({0> 1} \ {0> 1}) \ {0> 1} = >= Conclu´ımoa que (€ ({0> 1}) > \) no es un semigrupo.

1.1.1.

Tablas de multiplicar

Definici´ on 3 Sea  una operaci´ on en un conjunto finito {d1 > d2 > ===> dq } > la tabla de multiplicar de > es el arreglo cuadrado  d1 d2 .. .

d1 d1  d1

dl .. .

dl  d1

dm .. .

dm  d1

dq

dq  d1

d2

···

dl d1  dl

···

dm d1  dm

···

dq d1  dq

dl  dm dm  dl dq  dm

dq  dq

Ejemplo 3 En el conjunto {0> 1} se pueden definir 16 operaciones. Para convencernos de ello, calculemos la cardinalidad de o n i {0> 1} × {0> 1} $ {0> 1} | i es una funci´on = Notemos lo siguiente: cada uno de los cuatro elementos de {0> 1} × {0> 1}tiene que ir a dar a 0 ´o a 1 bajo una funci´ on de las de arriba. Entonces debe ser claro que hay 2  2  2  2 = 16 elementos en el conjunto de funciones cuya cardinalidad estamos calculando. De estas 16 operaciones hay 8 asociativas. Mencionamos algunas:

1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES

3

1.  0 1 0 0 0 1 0 0 es asociativa. 2. Por la misma raz´on,  0 1 0 1 1 1 1 1 es asociativa. 3. La disyunci´on l´ogica b 0 1 0 0 1 1 1 0 es asociativa. 4. La conjunci´on l´ogica a 0 1 0 0 0 1 0 1 es asociativa. 5. Definamos  por: {  | = | poner par´entesis en

;{> | 5 {0> 1} = Es claro que las dos maneras de {  |  }>

nos produce el mismo resultado: }= La tabla correspondiente es  0 1 0 0 1 = 1 0 1 6. Dualmente,  0 1 0 0 0 = 1 1 1

4

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

Hasta este momento hemos escrito 6 de las 8 operaciones asociativas que se pueden definir en {0> 1} = Ejercicio 1 Encuentre las otras dos operaciones asociativas que se pueden definir en {0> 1} = Para mostrar una operaci´on que no es asociativa en el conjunto {0> 1} > tomemos la tabla de la implicaci´on, “ , ”: , 0 1 0 1 1 = 1 0 1 No es asociativa pues, 0 , (0 , 0) = 0 , 1 = 1> pero (0 =, 0) =, 0 = 1 =, 0 = 0= Definici´ on 4 Sea  una operaci´on asociativa en V= 1. h 5 V es un neutro izquierdo para > si h  { = {> ;{ 5 V= 2. h 5 V es un neutro derecho para > si {  h = {> ;{ 5 V= 3. h 5 V es un neutro para > si h es un neutro izquierdo y derecho para = Observaci´ on 1 Si h es un neutro izquierdo para  y i es un neutro derecho para la misma operaci´on, entonces h = i= Demostraci´ on. h = h i = i= La primera igualdad se da porque i es neutro derecho y la segunda porque h es neutro izquierdo. Observaci´ on 2 Si h> i son dos neutros izquierdos distintos para una operaci´on , entonces  no tiene neutro. Ejemplo 4 Un semigrupo con dos neutros izquierdos: * 0 1 0 0 1 = 1 0 1 N´otese que no hay neutro derecho.

1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES

1.1.2.

5

Monoides con cancelaci´ on

Definici´ on 5 Una terna (P> > h) es un monoide si (P> ) es un semigrupo y h es neutro para  . Definici´ on 6 Sea (P> > h) un monoide y supongamos que d  e = h>

d> e 5 P>

diremos que d es inverso por la izquierda de e y que e es inverso por la derecha de d= Observaci´ on 3 Si { es inverso por la izquierda de d y } es inverso derecho de d> d 5 P> entonces { = }= Demostraci´ on. } = h  } = ({  d)  } = {  (d  }) = {  h = {= 1. En un monoide el inverso de un elemento (si existe) es u ´nico. 2. Si {> } son inversos izquierdos de d, entonces d no tiene inverso derecho (y por lo tanto no tiene inverso). Demostraci´ on. Se sigue inmediatamente de la Observaci´on anterior. ¡ ¢ Ejemplo 5 Consideremos el monoide NN > > LgN = La funci´on  : N $ N tal que  (n) = n + 1> tiene inverso izquierdo porque es inyectiva, no tiene inverso derecho porque no es suprayectiva. La funci´ on iq : N $ N ½ n

7$

n  1 si n A 0 q si n = 0

es un inverso izquierdo para > para¡ cada q 5 ¢N. La funci´ on  tiene una infinidad de inversos izquierdos en el monoide NN > > LgN > y claro, no puede tener inverso= Ejercicio 2 Diga como se reflejan en una tabla de multiplicar los siguientes hechos: 1. La operaci´on es conmutativa (es decir d  e = e  d, para cada d y e). 2. El elemento d es cancelable por la izquierda. 3. El elemento d es cancelable por la derecha. 4. d tiene inverso por la derecha. 5. h es neutro izquierdo para la operaci´on.

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

6

1.2.

Grupos

Definici´ on 7 Un grupo es un monoide (P> > h) en el que cada elemento tiene inverso. Definici´ on 8 si la operaci´on en un grupo (P> > h) es conmutativa, diremos que el grupo es conmutativa (o abeliano) Observaci´ on 4

1. En un grupo cada elemento tiene un u ´nico inverso.

2. En un grupo d  { = h implica que d es el inverso de { (y que { es el inverso de d). Demostraci´ on. Se sigue de la Observaci´on 3. Ejercicio 3 Sea [ un conjunto, denotemos El| ([) el conjunto de biyecciones de [ a [= Demuestre que (El| ([) > > Lg[ ) es un grupo. Ejemplo 6 Tomemos [ = {0> 1> 2}. Hay 6 biyecciones en el conjunto anterior. x

{0> 1> 2} 0 1 2

$ {0> 1> 2} 7$ 0 7$ 2 7$ 1

{0> 1> 2} 0 1 2

$ {0> 1> 2} 7$ 1 7$ 2 7$ 0

es una, y [

es otra. Obs´ervese que x  [ 6= [  x= Ejercicio 4 Muestre que si |[| > 3 entonces (El| ([) > > Lg[ ) es un grupo no conmutativo. Recordemos que en un monoide P, un inverso izquierdo y un inverso derecho de d 5 P tienen que coincidir. En particular, en un grupo (J> > h) el inverso de cada elemento es u ´nico, de hecho podemos demostrar lo siguiente:

1.2. GRUPOS

7

Teorema 1 En un grupo (J> > h) son equivalentes 1. e es el inverso de d= 2. d es el inverso de e. 3. d  e = h. 4. e  d = h= Demostraci´ on. 1) / 2) e es el inverso de d / ((d  e = h) a (e  d = h)) / / ((e  d = h) a (d  e = h)) / d es el inverso de e= 2) , 3) Es claro. 3) , 4) Por c), e es inverso derecho de d= Como J es un grupo, d tiene un inverso } (que es inverso por los dos lados). Entonces e = } y as´ı e es inverso izquierdo de d= 4) , 1) An´alogo al argumento de arriba. Corolario 1 En un grupo (J> > h) valen las siguientes afirmaciones: 1) Denotemos por d31 al inverso de d= La funci´on ( )31 : J $ J es inyectiva y suprayectiva (de hecho, es autoinversa). 2) ({  |)31 = | 31  {31 = ¡ ¢31 = {= 3) ({)31 Demostraci´ on. 1) Simplemente notemos que d  d31 = h = d31  d implica que ¡ ¢31 = d= d es el inverso de d31 = Es decir, (d)31 2) Se sigue de que {  |  | 31  {31 = {  h  {31 = h= 3) Visto en 1). Notaci´ on 1 Es com´ un que la operaci´on para un grupo se denote con +, en este caso, el neutro se denota 0> y el inverso de d se denota d , en lugar de d31 =

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

8

1.2.1.

Subgrupos y restricci´ on de funciones.

Definici´ on 9 Si [  D se define la funci´ on inclusi´on lD $ D [ : [ { 7$ { de esta manera podemos pensar la inclusi´ on de un conjunto en otro como una funci´on. Definici´ on 10 Sea [  D | sea i : D $ E una funci´ on. En este caso podemos tomar la composici´on de lD [ con i , es decir, i

D lD [

-

E

¡ µ ¡ ¡i l[ D ¡

6

[ Llamaremos i|[ a la composici´on i  lD on de i a [. [ = i|[ se llama la restricci´ Observaci´ on 5 Si  es una operaci´ on en V, y [ es un subconjunto de V, entonces [ × [ es un subconjunto de V × V y entonces podemos considerar |[×[ : [ × [ $ V V×V

W

-

V

µ ¡ ¡ ¡ W ¡ |[×[ ¡

6 lV×V [×[

[ ×[

Notemos que |[×[ : [ ×[ $ V no es una operaci´on en [, puesto que el codominio no es [= Sin embargo, si nosotros tuvi´eramos que ;{> | 5 [> {  | 5 [> podr´ıamos tomar |[×[ : [ × [ $ [. En este caso diremos que [ es un subconjunto de V cerrado bajo = Observaci´ on 6 Sea  operaci´on en V> y sea [ un subconjunto de V cerrado bajo = Entonces:

1.2. GRUPOS

9

1.  asociativa , |[×[ es asociativa. 2.  conmutativa , |[×[ es conmutativa. Definici´ on 11 Sea (J> > h) un grupo y V un subconjunto de J, diremos que V es un subgrupo de J si ¡ ¢ V> |V×V > i es un grupo. Ejercicio 5 Son equivalentes para un subconjunto V de J> con (J> > h) grupo: 1. V es un subgrupo de J= a) V es cerrado bajo = b) h 5 V= c) v 5 V , v31 5 V= Ejercicio 6 Demuestre que 1. La intersecci´on de dos subgrupos de un grupo J es un subgrupo de J. 2. La intersecci´on de una familia {K }M[ de subgrupos de J es un subgrupo de J= Ejercicio 7 Si [ es un subconjunto de un grupo J, entonces la intersecci´on de la familia de subgrupos que contienen a [ es el menor subgrupo que contiene a [= Se llama el subgrupo generado por [> y lo denotaremos h[i = Ejemplos 7

1. El subgrupo generado por el neutro de un grupo (J> > h) es {h} =

a) {h} es cerrado bajo = b) h 5 {h} = c) h31 = h 5 {h} = Entonces {h} es un subgrupo que contiene a h= Es claro que es el subgrupo que genera {h} (no puede haber otro subgrupo m´as peque˜ no que contenga h). 2. El subgrupo de (Z> +> 0) generado por 2 es 2Z=

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

10 a) 2 5 2Z=

b) 2Z es cerrado bajo la suma. c) 0 5 2Z> d) 2n = 2 (n) 5 2Z= Entonces 2Z es un subgrupo de Z que contiene a 2. Si K es un subgrupo de Z que contiene a 2> debe de contener tambi´en a 0  (2) = 2> a 2  2 = 4, a 0  (4) = 4>..., a 2n> a 0  2n = 2n> a 2n  2> a 0(2n  2) = 2 (n + 1) >... Es decir, K debe contener a 2Z. Por lo tanto 2Z es el menor subgrupo de Z que contiene a 2= 3. El subgrupo de Z generado por q es qZ= Es an´alogo al anterior. 4. Todos los subgrupos de Z son de la forma qZ> con q 5 N= a) Un subgrupo K de Z tiene que contener por lo menos al neutro 0. Si K = {0} entonces K = 0Z= b) Si K 6= 0Z, tomemos un entero p distinto de 0 que pertenezca a K. Si p ? 0> notemos que 0  p = p A 0 es un elemento de K= As´ı que K contiene enteros positivos. Otra manera de decir esto es: K _ Z+ 6= B= Usemos el principio del buen orden para convencernos de que podemos tomar el menor entero positivo que pertenece a K= Entonces q 5 K y por lo tanto qZ  K= c) Tomemos un elemento de K, { digamos, y apliquemos el algoritmo de la divisi´on a { y q: t > q { u 06u?q como { = tq + u, entonces u = {  tq = { + (t) q 5 K. De aqu´ı vemos que u tiene que ser 0, pues de nos ser as´ı, u ser´ıa un elemento de K m´as Q peque˜ no que el m´as peque˜ no ). Como u = 0 entonces { = tq 5 qK= 5. El subgrupo de Z generado por {q> p} es qZ + pZ = {q}1 + p}2 | }1 > }2 5 Z} = (q; p) Z donde (q; p) denota el m´ aximo com´ un divisor de q y p=

1.2. GRUPOS

11

a) Primero convenz´amonos de que {q}1 + p}2 | }1 > }2 5 Z} es un subgrupo de Z que contiene tanto a q como a p= (Es cerrado bajo la suma, contiene al 0, es cerrado bajo tomar inversos, y contiene a q y a p= b) Supongamos ahora que K es un subgrupo de Z que contiene a q, y a p. Entonces tambi´en debe contener al subgrupo generado por q, es decir qZ  K. Lo mismo puede decirse de pZ= Como K es cerrado bajo la suma entonces qZ + pZ K= Por lo tanto, qZ + pZ es el subgrupo generado por {q> p}. c) Ahora, qZ + pZ = gZ, para alg´ un natural g. Es f´acil comprobar que es el m´aximo com´ un divisor de q y p= 6. qZ _ pZ = [q; p] Z donde [q; p] hq denota el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de q y p= Teorema 2 Si j 5 J> entonces hji = {j } | } 5 Z} =1 Demostraci´ on. 1. h = j 0 5 {j} | } 5 Z} } z 2. j  j = j}+z 5 {j} | } 5 Z}, (ejercicio). 3. (j } )31 = j 3} 5 {j } | } 5 Z}, (ejercicio). Luego, {j } | } 5 Z} es un subgrupo de J que contiene a j = j 1 . Por lo tanto hji 6 {j} | } 5 Z} = Por otra parte, se demuestra por inducci´on, que j} 5 hji > ;} 5 Z. Esto nos da la igualdad entre {j } | } 5 Z} y hji = Observaci´ on 7 Si [  J> entonces ª © h[i = dn11 dn22 dn33 ===dnqq | q 5 N> dl 5 [> nl 5 Z = Ejemplo 8 Las simetr´ıas del cuadrado son un subgrupo de El| {1> 2> 3> 4} = Ejercicio 8 Si J es un grupo, entonces 1 }

j se define de la manera siguiente:

1. j 0 = h, el neutro. 2. j n+1 = j n  j ¡ ¢n 3. j n = j 1 n A 0=

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

12

1. ;j 5 J> ;}> z 5 Z> j}  jz = j }+z = 2. ;j 5 J> ;} 5 Z> j 3} = (j} )31 = 3. ;j 5 J> ;}> z 5 Z> (j } )z = j }z = Definici´ on 12 Sea Y un conjunto de puntos en el plano euclidiano, una funci´ on i : Y $ Y es una simetr´ıa de Y si respeta las distancias entre puntos de Y= Observaci´ on 8 Sea Y finito, como en la definici´on anterior, entonces una simetr´ıa de Y es una biyecci´on: Demostraci´ on. Si { 6= | son elementos de Y , entonces su distancia es distinta de 0> por lo tanto g (i ({) > i (|)) = g ({> |) 6= 0. En particular, { 6= |= Por lo tanto i es inyectiva. Como i es inyectiva, y Y es finito, entonces i es biyectiva. Observaci´ on 9 Si Y es un subconjunto finito del plano, entonces {i : Y $ Y | i es simetr´ıa} es un subgrupo de El|(Y )= Demostraci´ on. 1. La composici´on de dos simetr´ıas es una simetr´ıa: Supongamos que i> j son dos simetr´ıas de Y> y que {> | 5 Y= Entonces glvw ((j  i ) ({) > (j  i) (|)) = glvw (j (i ({)) > j (i (|))) = = glvw (i ({) > i (|)) = glvw ({> |) = 2. La funci´on identidad LgY es una simetr´ıa. 3. Si i es una simetr´ıa, entonces i 31 tambi´en lo es: sean {> | 5 Y> entonces { = i (x) > | = i (y) (recordemos que i es suprayectiva). Entonces ¡ ¢ ¡ ¢ glvw i 31 ({) > i 31 (|) = glvw i 31 (i (x)) > i 31 (i (y)) = = glvw (x> y) = glvw (i (x) > i (y)) = glvw ({> |) = En particular, si 1> 2> 3> 4> son los v´ertices de un cuadrado, las simetr´ıas del conjunto de v´ertices del cuadrado son los elementos de un subgrupo de El| {1> 2> 3> 4} = Contemos el n´ umero de simetr´ıas del cuadrado: el n´ umero posible de im´agenes de 1 es 4= La imagen del 3 queda determinada por la imagen de 1= 2 tiene que ir a dar a un vecino de la imagen de 1 (dos posibilidades). Esto ya determina la imagen de 4= En total hay 4 × 2 = 8 simetr´ıas del cuadrado. Observando la figura anterior, vemos que las 8 simetr´ıas del cuadrado son 4 reflexiones (sobre los ejes de simetr´ıa) y 4 rotaciones (incluyendo la identidad).

1.3. ANILLOS

13

Figura 1.1:

1.3.

Anillos

Definici´ on 13 Un anillo es una quinteta (U> +> > 0> 1) tal que: 1. (U> +> 0) es un grupo conmutativo. 2. (U> > 1) es un monoide. 3.  se distribuye sobre +, por los dos lados, es decir que u  (v + w) = (u  v) + (u  w) >

;u> v> w 5 U=

(v + w)  u = (v  u) + (w  u) >

;u> v> w 5 U=

y Cuando en un anillo la operaci´on  es conmutativa, el anillo se llama anillo conmutativo. Hay que notar que la suma en un anillo siempre es conmutativa. Ejemplos 9

1. (Z> +=> 0> 1) es un anillo.

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

14 2. (Zq > +=> 0> 1) es un anillo. 3. (Q> +=> 0> 1) es un anillo. 4. (R> +=> 0> 1) es un anillo.

Ejemplo 10 Tomemos un conjunto [. Consideremos € ([) definamos en € ([) una suma de la manera siguiente: D + E =: (D ^ E) \ (D _ E) (esto se llama la diferencia sim´etrica de D y de E> y tambi´en se denota por D{E). Definamos ahora el producto de D y de E como su intersecci´on: D _ E= Proposici´ on 1 Veremos que (€ ([) > +> _> >> [) es un anillo. Demostraci´ on. Lo u ´nico no trivial que hay que demostrar es que + es asociativa (y que la intersecci´on se distribuye sobre la suma). Comparemos D + (E + F) con (D + E) + F = F + (D + E) = F + (E + D) (la suma es conmutativa). Veremos que D + (E + F) es inalterado por el intercambio D #$ F y con esto habremos terminado. En efecto: D + (E + F) = [D _ E f _ F f ] ^ [D _ F _ E] ^ [E _ F f _ Df ] ^ [F _ E f _ Df ] Notemos que los uniendos de enmedio son invariantes bajo el intercambio de D con F, mientras que los extremos se mapean uno en el otro, cuando uno intercambia D con F. La siguiente es una verificaci´on de la igualdad anterior. D + (E + F) = (D\(E + F)) ^ ((E + F)\D) = = (D _ [(E\F) ^ (F\E)]f ^ ([(E\F) ^ (F\E)] _ Df ) = = (D _ [(E _ F f ) ^ (F _ E f )]f ) ^ ([(E _ F f ) ^ (F _ E f )] _ Df ) = = (D _ [(E _ F f )f _ (F _ E f )f ]) ^ [(E _ F f _ Df ) ^ (F _ E f _ Df )] = = (D _ [(E f ^ F) _ (F f ^ E)]) ^ [(E _ F f _ Df ) ^ (F _ E f _ Df )] = = ([(D _ E f ) ^ (D _ F)] _ (F f ^ E)) ^ [(E _ F f _ Df ) ^ (F _ E f _ Df )] = = [[(D _ E f ) _ (F f ^ E)] ^ [(D _ F) _ (F f ^ E]] ^ [(E _ F f _ Df ) ^ (F _ E f _ Df )] = = [[(D _ E f _ F f ) ^ >] ^ [> ^ (D _ F _ E)]] ^ [(E _ F f _ Df ) ^ (F _ E f _ Df )] = = [(D _ E f _ F f ) ^ (D _ F _ E)] ^ [(E _ F f _ Df ) ^ (F _ E f _ Df )]= Ejercicio 9 Complete los detalles de la demostraci´on de que (€([)> +> _ > >> [) es un anillo.

1.3. ANILLOS

1.3.1.

15

Producto de copias de un anillo.

Definici´ on 14 Sea (U> +> > 0> 1) un anillo y sea [ un conjunto. U[ es el conjunto de las funciones de [ a U= Si tenemos dos elementos de U[ , i y j, podemos sumarlas por medio de la definici´on: ¡ ¢ ˜ ({) =: i ({) + j ({) = i +j Del lado izquierdo de la ecuaci´on anterior tenemos la suma que se est´ a definiendo y ˜ es una operaci´on en U[ y del lado derecho la suma en el anillo U. Notemos que + que es conmutativa, asociativa con neutro: ˆ0> la funci´ on constante y notemos tambi´en que la funci´on i tiene inverso aditivo: i= i calculada en { da i ({). Definimos el producto en U[ , de manera similar: (i ˜j) ({) =: i ({)  j ({) = Es una verificaci´ on rutinaria la de la asociatividad de ˜, y la distributividad de ˜ ˜ El neutro del producto es la funci´on constante ˆ1= sobre += Teorema 3 Sea (U> +> > 0> 1) un anillo. Entonces valen las siguientes afirmaciones: 1. ;u 5 U> 0  u = u  0 = 0= 2. ;u> v 5 U> ((u + v = 0) , (u = v a v = u)) = 3. ;u 5 U> (1)  u = u = u  (1). 4. ;u> v 5 U> [(u)  v =  (u  v) = u  (v)]. 5. (u)  (v) = u  v. Demostraci´ on. 1. 0 + (u  0) = (u  0) = u  (0 + 0) = u  0 + u  0= Cancelamos u  0> para obtener u  0 = 0. An´alogamente, obtenemos 0  u = 0. 2. Esta es una propiedad de los grupos. 3. (1)  u + u = (1)  u + 1  u = (1 + 1)  u = 0  u = 0= An´alogamente, u  (1) = u= 4. u  v + (u)  v = 0  u = 0= Adem´as =u  (v) + u  v = u  (v + v) = u  0 = 0. 5. (u)  (v) =  (u  (v) =  ( (u  v))) = u  v= Definici´ on 15 Un anillo (U> +> > 0> 1) es un

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

16

1. Anillo conmutativo si  es conmutativa. 2. Dominio si (U\ {0} > > 1) es un monoide con cancelaci´on.. 3. Anillo con divisi´on si (U\ {0} > > 1) es un grupo. 4. Campo si (U\ {0} > > 1) es un grupo abeliano. Observaci´ on 10 Todo campo es un dominio pero hay dominios que no son campos. Demostraci´ on. Que un campo es un dominio, se sigue del hecho de que un grupo es un monoide con cancelaci´on. Por otra parte (Z> +> > 0> 1) es un dominio que no es campo. Definici´ on 16 Una unidad en un anillo U es un elemento con inverso multiplicativo. El conjunto de las unidades para un anillo U> lo denotaremos U× . Ejemplo 11 Consideremos el anillo de los enteros m´odulo q, Zq . Entonces Z× d 5 Zq | (d; q) = 1} = q = {¯ En efecto: Si (d; q) = 1, entonces hay una combinaci´on entera de d y gh q, d} +qz = 1. De aqu´ı es claro que d} = ¯1, por lo que }¯ es el inverso multiplicativo de d ¯= Rec´ıprocamente, si d¯ tiene inverso multiplicativo }¯, entonces d} = ¯1= Esto equivale q a d}  1, es decir que q | (d}  1), que se puede expresar como: ¯2> ===> q  1 = {¯ d 5 Zq | (d; q) = 1} / [(n; q) = 1> ;n 5 Z, tal que 1 6 n ? q] / q es primo.

Ejercicio 10 Demostrar la unicidad de t y de u en el Ejemplo 4 c.

1.3. ANILLOS

17

Ejercicio 11 Una m´ aquina acepta palabras de ocho letras (definidas como sucesiones de ocho letras del alfabeto, inclusive si no tiene significado) e imprime una palabra de ocho letras consistente de las primeras 5 letras de la primera palabra seguida de las u ´ltimas tres letras de la segunda palabra. Demuestre que el conjunto de las palabras de ocho letras con esta regla de multiplicaci´on es un semigrupo. ¿Ser´ıa ´este el caso si la m´aquina imprime las cuatro primeras letras de la primera palabra seguidas de las cuatro u ´ltimas de la segunda palabra? ¿Alguno de estos dos sistemas tiene neutro? Ejercicio 12 Sea (P> > 1) un monoide y sea p 5 P. Def´ınase un nuevo producto p por d p e = d  p  e. Demuestre que esto define un semigrupo, ¿bajo que condiciones hay neutro? Ejercicio 13 Sea V un semigrupo, x un objeto que no pertenece a V= T´omese P = V ^ {x} y extendamos el producto en V a un producto binario en Pdefiniendo xd = d = dx ;d 5 P. Demu´estrese que (P> > x) es un monoide. Ejercicio 14 Sea J un conjunto finito con una operaci´on binaria  y un neutro h= Demu´estrese que J es un grupo / su tabla de multiplicar tiene las siguientes propiedades: 1. Todo rengl´on y columna de la tabla contiene cada elemento de J= 2. Para cada par de elementos {> | de J\ {h} sea U un rect´angulo en el cuerpo de la tabla que tiene h en uno de sus v´ertices, { un v´ertice en el mismo rengl´on que h y | un v´ertice en la misma columna que h> entonces el cuarto v´ertice depende s´ olo de la pareja ({> |) y no de la posici´on de h= Ejercicio 15 Encuentre los inversos multiplicativos de 2> 8> 11> 13> 15 en Z17 \ {¯0} y en Z53 \ {¯0} = Ejercicio 16 Muestre que si la suma y la multiplicaci´ on en un anillo (U> +> > 0> 1) son conmutativas, entonces una distributividad implica la otra. Ejercicio 17 Mostrar que en un anillo U, u  0 = 0 = 0  u> ;u 5 U= Ejercicio 18 Suponga que en un anillo (U> +> > 0> 1) > 0 = 1= ¿Cu´antos elementos tiene U? Escriba las tablas de sumar y de multiplicar.

CAP´ITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

18

Ejercicio 19 ¿Qu´e pasar´ıa si en un anillo adem´as se tuviera que la suma se distribuyera sobre el producto? ¿Puede pasar esto? ¿C´omo ser´ıa U? Ejercicio 20 ¿Por qu´e un campo debe tener por lo menos dos elementos? Ejercicio 21 Considere el conjunto o n s d + e 2 | d> e 5 Q s´ umense y multipl´ıs quense como reales. ¿Es esto un campo? ¿Qui´en es el rec´ıproco de un elemento d + e 2 6= 0? ª © s umense y multipl´ıquense Ejercicio 22 Considere el conjunto d + e 1 | d> e 5 Z s´ como complejos. ¿Es esto un anillo? ¿Qui´enes son los elementos con rec´ıproco? Ejercicio 23 Compruebe la regla de los signos en un anillo: 1. (d) (e) =  (de) = 2. (d) (e) =  (de) = 3. (d) (e) = de= Ejercicio 24 Tomemos el anillo (€ (N) > +> _> >> N) > resuelva las ecuaciones: 1. [ + 2N = {2n + 1 | n 5 N} = 2. [ + {0> 1> 2> 9} = {0> 3} = 3. [ _ \ = N= 4. [ _ (\ + [) = >= (Aqu´ı, “resolver” quiere decir, encontrar todas las soluciones).

Cap´ıtulo 2

Espacios vectoriales 2.1.

Espacios vectoriales y subespacios

˜ ¯0> I> · : I × Y $ Y ) tal Definici´ on 17 Un espacio vectorial es una quinteta (Y> +> que: ³ ´ ˜ 0 es un grupo abeliano. 1. Y> +> 2. · : I × Y $ Y satisface: a) 1 · y = y , ;y 5 Y= b) (fg) · y = f · (g · y), ;f> g 5 I> ;y 5 Y= ˜ y, ;f> g 5 I> ;y 5 Y= c) (f + g) · y = fy +g ¡ ¢ ˜ ˜ · z> d) f · y +z  = f · y+f  ;f 5 I> ;y> z  5 Y= Los elementos de Y se llaman vectores, los de I se llaman escalares, y cuando sea claro como se definieron las operaciones, escribiremos I Y en lugar de toda la quinteta ordenada. I Y se lee: Y es un espacio vectorial sobre el campo I= Ejemplo 12 (R [{] > +> ¯0> R> · : R × R [{] $ R) es un espacio vectorial.. ³ ´ ˜ 0> R> · : R× R q $ R es un espacio vectorial, con las operaEjemplo 13 R q > +> ciones definidas de la manera siguiente: ˜ (e1 > e2 > ===> eq ) = (d1 + e1 > d2 + e2 > ===> dq + eq ). 1. (d1 > d2 > ===> dq ) + 2. f · (d1 > d2 > ===> dq ) = (fd1 > fd2 > ===> fdq ) = 19

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

20

Teorema 4 Si Y es un espacio vectorial sobre I , entonces 1. 0 · y = 0, ;y 5 Y . 2. d · 0 = 0> ;d 5 I= 3. (1) y = y , ;y 5 Y= ˜ (0 · y ) = 0 · y = (0 + 0) · y = 0 · y+0 ˜ · y . Cancelando 0 · y , Demostraci´ on. 1. 0+  obtenemos 0 = 0 · y . ³ ´ ³ ´ ˜ d · 0 = d · 0 = d · 0+ ˜ 0 = d · 0+d ˜ · 0. Cancelando 2. Sea d 5 I , entonces 0+ d · 0, obtenemos: 0 = d · 0= ˜ (1) · y = (1 + (1)) · y = 0 · y = 0. De aqu´ı que (1) · y = y = 3. 1 · y+ Ejemplo 14 Sea I un campo y sea [ un conjunto. Entonces on} = I [ = {i : [ $ I | i es una funci´ Se define la suma de funciones de la manera usual, y el producto de un elemento de I por una funci´on tambi´en de la manera usual: ¡ ¢ ˜ : [ $ I es la funci´on tal que i +j ˜ ({) = i ({) + j ({) = 1. i +j 2. f · i : [ $ I es la funci´on tal que (f · i) ({) = f (i ({)) = Entonces:

¡ [ ¢ ˜ ˆ0> I> · : I × I [ $ I [ I > +>

es un espacio vectorial. ¡ ¢ ˜ ˆ0> es un grupo conmutativo, se deja como ejerciDemostraci´ on. Que I [ > +> cio. Propiedades del producto por escalares: 1. (1 · i ) ({) = 1 · i ({) = i ({) > ;{ 5 [= Por lo tanto las funciones 1 · i y i coinciden. 2. [(fg) · i ] ({) = (fg) · i ({) = f (gi ({)) = f ((gi) ({)) = (f · (g · i )) ({), ;{ 5 [> por lo que las funciones [(fg) · i] y (f · (g · i)) coinciden. 3. [(f + g) (i )] ({) = (f + g) (i ({)) = fi ({) + gi ({) = = (fi ) ({) + (gi) ({) = (fi + gi) ({) > ;{ 5 [= Por lo£tanto, + g) (i ) = ¡ (f¢¤ £¡(fi +¢ gi ).¤ ˜ ˜ ({) = f [i ({) + j ({)] = 4. f · i +j ({) = f i +j ¡ ¢ ˜ · j ({) > ;v 5 [= = f (i ({)) + f (j ({)) = (f · i) ({) + (f · j) ({) = f · i +f ¡ ¢ ˜ = f · i +f ˜ · j= Por lo tanto f · i +j

2.1. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

21

Observaci´ on 11 Tomemos un campo I y tomemos [ = {1> 2> ===> q} × {1> 2> ===> p} > un elemento D en I [ se llama una matriz de q × p con coeficientes en I= Por costumbre, uno escribe Dl>m en lugar de escribir D (l> m) = Tambi´en por costumbre, uno suele escribir una matriz D en la forma de un arreglo rectangular: 3 4 D1>1 D1>2 D1>3 · · · D1>p E D2>1 D2>2 D2>3 · · · D2>p F E F E .. F= C . D Dq>p Dq>1 Dq>2 Dq>3 Ejemplos 15 De acuerdo a las definiciones: 1. (D + E)l>m = Dl>m + El>m ; (l> m) 5 {1> 2> ===> q} × {1> 2> ===> p} = µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 3 5 0 7 8 2 10 13 2. + = = 6 7 8 9 5 4 15 12 12 3. (fD)l>m = fDl>m ; (l> m) 5 {1> 2> ===> q} × {1> 2> ===> p} = ¶ ¶ µ µ 6 8 10 3 4 5 = = 4. 2 12 14 16 6 7 8 ¡ ¢ ˜ ˆ0> I=· : I × Y $ Y un espacio vectorial, y sea Z  Y= Definici´ on 18 Sea Y> +> Diremos que Z es un subespacio vectorial de Y si ³ ´ ˜ |Z ×Z > 0> I> ·|I ×Z : I × Z $ Z Z> + es un espacio vectorial. Cuando esto pase, escribiremos Z 6 I Y= ; ˜ ? i) Z es cerrada bajo + Proposici´ on 2 Z 6 I Y / ii) 0 5 Z= = iii) ;d 5 I> ;z  5 Z> d · z  5 Z= Demostraci´ on. ,) ˜ |Z ×Z sea una operaci´on en Z significa que + ˜ |Z ×Z : Z × Z $ Z> es i) Que + decir, que sumando dos elementos de Z se obtiene un elemento de Z= Esto es lo ˜ mismo que decir que Z es cerrado bajo +=

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

22

˜ |Z ×Z debe coincidir con el neutro de + ˜ que es 0= Por lo tanto ii) El neutro de + 0 5 Z= iii) Que ·|I ×Z : I × Z $ Z es una funci´on con dominio I × Z y codominio Z significa exactamente lo mismo que ;d 5 I> ;z  5 Z> d · z  5 Z= +) Supongamos que se cumplen i), ii) y iii). ˜ |Z ×Z es una operaci´on en Z= Por el inciso i), tenemos que + ˜ |Z ×Z es asociativa y conmutativa. Por herencia, + ´ ³ ˜ |Z ×Z > 0 es un monoide. Lo anterior, junto con ii), nos dicen que Z> + Ahora, de la condici´on³iii) y del Teorema 4 tenemos que z  = (1) · z  5 Z, ´ ˜ |Z ×Z > 0 es un grupo conmutativo Es una cuesti´on ;z  5 Z= Conclu´ımos que Z> + sencilla comprobar que el producto ·|I ×Z : I³× Z $ Z satisface las ´ propiedades ˜ |Z ×Z > 0> I> ·|I ×Z es un espacio pedidas a un producto por escalares. As´ı que Z> + vectorial.1 Ejemplo 16 C (R) = {i : R $ R | i es continua} es un subespacio de RR : 1. La suma de dos funciones continuas es continua. 2. La funci´on constante ˆ0 es continua. 3. El producto de un escalar por una funci´on continua es continua. Recordemos que I ([) = {i : [ $ I | sop (i ) es finito} = Aqu´ı hay que recordar tambi´en que sop (i ) = {{ 5 Dom (i ) | i ({) 6= 0} = Entonces Ejemplo 17 I ([) 6 I [ pues: 1. La suma de dos i> j 5 I [ , de soporte finito es de soporte finito, ¡ funciones ¢ ˜  sop(i ) ^ sop(j). (La uni´on de dos conjuntos finitos es puesto que sop i +j finita, y un subconjunto de un conjunto finito es finito). 1 Por ejemplo, (fg) · z  = f · (g · z)  para cualesquiera escalares f> g y cualquier z  5 Z> porque lo anterior se cumple para cualquier vector en Y=

2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

23

2. La funci´on constante ˆ0 tiene soporte >, que es finito. 3. Si f es un escalar y i es una funci´on de soporte finito, entonces f·i tiene soporte finito ya que sop(f · i )  sop(i ) ((fi) ({) 6= 0 , f (i ({)) 6= 0 , i ({) 6= 0). Definici´ on 19 Si D 5 Pq×p (I ) > su transpuesta es la matriz Dw 5 Pp×q (I ) tal w que Dl>m = Dm>l = Definici´ on 20 Decimos que una matriz D 5 Pq×q (I ) es sim´etrica si D = Dw . Ejemplo 18 Denotemos por Sq = {D 5 Pq×q (I ) | D es sim´etrica} = Entonces Sq 6 Pq×q (I ) = Demostraci´ on. 1. Supongamos que D> E son matrices sim´etricas. Entonces (D+ w E)wm>l = (D + E)l>m = Dl>m + El>m = Dwl>m + El>m = Dm>l + Em>l = (D + E)m>l . Por lo tanto w (D + E) = D + E, es decir, D + E tambi´en es sim´etrica. 2. La matriz de ceros es sim´etrica: Om>l = 0 = Ol>m = 3. Si D es sim´etrica y f es un escalar, entonces (fD)l>m = fDl>m = fDm>l = (fD)m>l = (fD)wl>m =

Ejemplo 19 Denotemos por Tq = {D 5 Pq×q (I ) | Dl>m = 0 si l A m} > =(el conjunto de las matrices triangulares superiores). Entonces Tq 6 Pq×q (I ) = 1. Supongamos que D> E son matrices triangulares superiores y sea l A m. Entonces (D + E)l>m = Dl>m + El>m = 0 + 0 = 0= Por lo tanto D + E es una matriz triangular superior. 2. La matriz de ceros es triangular superior:: Ol>m = 0 si l  m= 3. Si D es triangular superior, f es un escalar, e l A m entonces (fD)l>m = fDl>m = f0 = 0=

2.2.

El subespacio generado por un conjunto

Teorema 5 Si {Z }M[ es una familia de subespacios vectoriales del espacio I Y> entonces _ {Z }M[ tambi´en es un subespacio de Y=

24

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Demostraci´ on. 1. Sean {> | 5 _ {Z }M[ , entonces {> | 5 Z , ; 5 [. Como cada Z es cerrada bajo la suma, entonces { + | 5 Z > ; 5 [= Por lo tanto { + | 5 _ {Z }M[ = 2. 0 5 Z , ; 5 [> por lo tanto 0 5 _ {Z }M[ = 3. u 5 I> { 5 _ {Z }M[ , u 5 I> { 5 Z > ; 5 [ , u{ 5 Z > ; 5 [ , u{ 5 _ {Z }M[ . Definici´ on 21 Sean I Y un espacio vectorial y [ un subconjunto de Y , definimos L ([) = _ {Z 6 Y | [  Z } = L ([) se llama el subespacio de Y generado por [, debido a que es el menor subespacio de Y que incluye a [= Teorema 6 L ([) es el menor subespacio de Y que incluye a [= Demostraci´ on. Como L ([) = _ {Z 6 Y | [  Z } es una intersecci´on de subespacios de Y , entonces L ([) tambi´en lo es, de acuerdo con el Teorema 5. Por otra parte, si Z es un subespacio de Y que incluye a [> entonces pertenece a la familia de subespacios que estamos intersectando al definir L ([) = Por lo tanto L ([) 6 Z . Ejemplo 20 Sea I Y y y 5 Y . Entonces L ({y }) = {f · y | f 5 I } =: Iy = Demostraci´ on. ) {f · y | f 5 I } =: Iy es un subespacio de Y que contiene a y : 1. fy + gy = (f + g) y 5 Iy = Por lo que Iy es cerrado bajo la suma. 2. 0 = 0y 5 Iy = 3. f 5 I> ny , f (ny) = (fn) y 5 Iy = 4. y = 1y 5 Iy . Como Iy es un subespacio vectorial que contiene a y, debe entonces ser mayor o igual que el menor subespacio que tiene la propiedad, es decir que L ({y})  Iy= ) Por otra parte, como y 5 L ({y }) 6 Y , cada m´ ultiplo escalar de y debe estar en L ({y}), es decir, Iy  L ({y}) =

2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

25

Ejemplo 21 L ({(1> 2)}) = {(n> 2n) | n 5 R} 6 R2 =

y

x

Observaci´ on 12 Z 6 Y / Z = L (Z ). Demostraci´ on. +) Obvio. ,) Como Z  Z 6 Y> entonces L (Z ) 6 Z= Por definici´on, un conjunto siempre est´a inclu´ıdo en el subespacio que genera. Por lo tanto, Z  L (Z ) = Definici´ on 22 Si Z1 > Z2 6 Y , Z1 + Z2 =: L (Z1 ^ Z2 ) = Proposici´ on 3 Si Z1 > Z2 6 Y , entonces Z1 + Z2 = {z 1 + z 2 | z  1 5 Z1 , z  2 5 Z2 }. Demostraci´ on. Denotemos con V al conjunto {z 1 + z 2 | z  1 5 Z1 > z  2 5 Z2 } = Este conjunto es un subespacio de Y> que incluye tanto a Z1 como a Z2 : En efecto:  2 > x2 5 Z2 , entonces (z 1 + z  2) + 1. Supongamos que z  1 > x1 5 Z1 y que z (x1 + x2 ) = (z  1 + x1 ) + (z  2 + x2 ) 5 V= 2. 0 = 0 + 0 5 V=  2 ) = fz  1 + fz  2 5 V= 3. f · (z 1 + z

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

26

4. ;z  5 Z1 > z  =z  + 0 5 V= Por lo tanto Z1  V=  = 0 + z  5 V= Por lo tanto Z2  V= 5. ;z  5 Z2 > z Entonces V es un subespacio de Y que incluye a Z1 ^ Z2 = Por lo tanto L (Z1 ^ Z2 ) 6 V=  2 5 Z2 > tenemos que ambos elementos pertenecen a Por otra parte, ;z  1 5 Z1 > z Z1 ^ Z2 , as´ı que z  1> z  2 5 L (Z1 ^ Z2 ) = Por lo tanto z 1 + z  2 5 L (Z1 ^ Z2 ) = Entonces V  L (Z1 ^ Z2 ) =

Teorema 7 Si [ 

IY

y [ 6= > entonces

L ([) = {1{1 + === + q{ | q 5 N> {l 5 [> l 5 I } = Demostraci´ on. Denotemos con h[i al conjunto {1{1 + === + q{ | q 5 N> {l 5 [> l 5 I } = Es claro que h[i es cerrado bajo la suma, que contiene a 0 y que es cerrado bajo multiplicaci´on por escalares. Entonces es un subespacio que incluye a [= Por lo tanto L ([)  h[i Por otra parte, dados cualesquiera vectores {1 > {2 > {3 > ===> {q 5 [ y escalares d1 > d2 > d3 > ===> dq > entonces, como [  L ([) > tenemos que {1 > {2 > {3 > ===> {q 5 L ([) > que como es un subespacio, tambi´en contiene a los m´ ultiplos d1{1 > d2{2 > d3{3 > ===> dq{q de {1 > {2 > {3 > ===> {q > respectivamente. Como L ([) es un subespacio, entonces d1{1 + d2{2 + d3{3 + === + dq{q 5 L ([) > ;d1 > d2 > d3 > ===> dq 5 I> ;{1 > {2 > {3 > ===> {q 5 [= Por lo tanto h[i  L ([).

2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

27

Definici´ on 23 Dada {Z }M[ una familia de subespacios de I Y , definimos X ¢ ¡ {Z }M[ =: L ^ {Z }M[ = Es decir, la suma de una familia de subespacios es el subespacio de I Y generado por la uni´on de la familia de subespacios. P Teorema 8 {Z }M[ es el menor subespacio de Y que incluye cada Z = Demostraci´ on. Primero notemos que X ¡ ¢ Z  ^ {Z }M[  L ^ {Z }M[ =: {Z }M[ = Ahora, si Z  ] 6 Y , ; 5 [, entonces ^ {Z }M[  ], por lo que ¡ ¢ L ^ {Z }M[ 6 ]= ¡ ¢ P De lo anterior, vemos que L ^ {Z }M[ = {Z }M[ es el menor subespacio que incluye a cada Z . Observaci´ on 13 [  \  Y , L ([)  L (\ ) = Demostraci´ on. L ([) es el menor subespacio que incluye a [ y por otra parte, [  \  L (\ ) 6 Y . Proposici´ on 4 Para cada [> \  Y , se tiene que L ([ ^ \ ) = L ([) + L (\ ) = L (L ([) ^ L (\ )) = Demostraci´ on. L ([) + L (\ ) = L (L ([) ^ L (\ )) > es cierta, por definici´on. Ahora, [ ^ \  L ([) ^ L (\ )  L (L ([) ^ L (\ )) , , L ([ ^ \ )  L (L ([) ^ L (\ )) = Por otra parte, [  [ ^ \ , L ([)  L ([ ^ \ ). An´alogamente, L (\ )  L ([ ^ \ ). Por lo tanto, L ([) ^ L (\ )  L ([ ^ \ ) > as´ı que L (L ([) ^ L (\ ))  L ([ ^ \ ) = De la proposici´on anterior basta recordar que L ([ ^ \ ) = L ([) + L (\ ).

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

28

Teorema 9 (Ley Modular) Si [> \> ] son subespacios de I Y tales que [ 6 \> entonces \ _ ([ + ]) = [ + (\ _ ]) = Demostraci´ on. ) [> (\ _ ])  \ , tambi´en [> (\ _ ])  ([ + ]) = Por lo tanto [[ + (\ _ ])  \ ] a [[ + (\ _ ])  ([ + ])] = Entonces [ + (\ _ ])  \ _ ([ + ]) = ) Sea | 5 \ _ ([ + ]) > entonces | = { + }, con { 5 [> } 5 ]= Basta demostrar que } 5 \ _ ]. Pero } = |  { 5 \ + [ = \ (ya que [ 6 \ ), adem´as } 5 ]= Definici´ on 24 Sean Z1 > Z2 6 Y> se dice que Y es la suma directa de Z1 y Z2 si: n o 1. Z1 _ Z2 = 0 y 2. Z1 + Z2 = Y= L En esta situaci´on, escribiremos Y = Z1 Z2 = n o L Cuando Z1 _ Z2 = 0 . escribiremos Z1 + Z2 = Z1 Z2 = Teorema 10 Son equivalentes para Z> N 6 Y : L 1. Y = Z N= n o 2. N 6 Y y es m´aximo con la propiedad de que Z _ N = 0 = 3. N 6 Y y es m´ınimo con la propiedad de que Z + N = Y= n o Demostraci´ on. 1) , 2) Es claro que Z _ N = 0 = Veamos que N es m´aximo con esta propiedad: N ¡ N´6 Y , N´_ (N + Z ) = N + (N´_ Z ) (por la Ley modular). Por otra parte, N´_(N + Z ) = = N´. Por lo tanto N´= N´_(N + Z ) = N +(N´_ Z ) = n N´_Y o As´ı que (N´_ Z ) 6= 0 , pues de otra forma N´= N= n o En resumen: N ¡ N´6 Y , (N´_ Z ) 6= 0 =

2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

29

1) , 3) Resta demostrar que N es m´ınimo con la propiedad de que N + Z = Y : Supongamos que N´¡ N 6 Y= Entonces N _ (N´+ Z ) = N´+ (N _ Z ) = n o  N´+ 0 = N´. Entonces N´+ Z 6= Y> ya que en caso contrario, N = N´= 2) , 1) Basta demostrar que Z +N = Y= Supongamos que Z +N $ Y . Entonces para alguna  5nI o(note que  6= 0 implica que { 5 Z n + N> o Q  ) por lo tanto z  = n 5 Z _ N = 0 = Es decir, Z _ (N + L ({{})) = 0 > contradiciendo que N es m´aximo con esta propiedad.. Por lo tanto, Z + N = Y y L as´ı Z N = Y= 3) , 1) Ejercicio.

Ejemplo 22 En RR sean ª © P (R) = i 5 RR | i ({) = i ({) > © ª I (R) = i 5 RR | i ({) = i ({) = Entonces P (R) > I (R) 6 RR (la demostraci´on de esto se deja como ejercicio), adem´as:

1. Para i 5 P (R) _ I (R), i ({) = i ({) = i ({) = Esto implica que 2i ({) = 0= Por lo tanto, i ({) = 0> ;{ 5 R= Por lo tanto i = ˆ0. (3{) (3{) + i ({)3i 5 P (R) + I (R). 2. Para i 5 RR > i ({) = i ({)+i 2 L 2 R Conclu´ımos que R = P (R) I (R) =

½ Ejemplo 23 Sea i ({) = nuaci´ on:

sen ({) si { 6 0 > cuya gr´afica se muestra a conti{3  7{ si {  0

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

30

y

x

i ({) Tomando s ({) =

i ({)+i (3{) , 2

y q ({) =

i ({)3i (3{) , 2

y

vemos las gr´aficas de i> s y q:

8 6 4 2

-3

-2

-1

1 -2 -4 -6 -8

i ({) > s ({) > q ({)

2

3

4

x

2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

31

Ejemplo 24 En Pq (R) sean Sq (R) = {D 5 Pq (R) | D = Dw }, sea Aq (R) = {D 5 Pq (R) | D = Dw }. Entonces Sq (R) > Aq (R) 6 Pq (R), (Ejercicio). Adem´as: 3 4 0 ··· 0 E F 1. D 5 Sq (R) _ Aq (R) , D = Dw = D , D = C ... . . . ... D = 0 ··· 0 2. Para F 5 Pq (R) > F = 12 (F + F w )+ 12 (F  F w ) = Como 12 (F + F w ) es sim´etrica y 12 (F  F w ) es antisim´etrica, entonces F 5 Sq (R) + Aq (R) = Por lo tanto Pq (R) = Sq (R) + Aq (R) = L Por lo tanto Pq (R) = Sq (R) Aq (R) = Teorema 11 Son equivalentes para Z> N 6 I Y : L 1. Y = Z N= 2. ;y 5 Y> y = z  + n con z  5 Z y n 5 N    + n, con z  1 5 Z> n1 5 N> (Y = Z + N). Ahora sup´ongase que yn=oz  1 + n1 = z  = n  n1 5 Z _ N = 0 , por lo tanto z 1 = z  y n = n1 . Con lo entonces z 1  z que queda demostrada la unicidad.. 2) , 3) Inmediato. n o 3) , 1) Basta demostrar que Z _ N = 0 . Sea { 5 Z _ N> entonces 0 = 0 + 0 = { + ({) = Por lo tanto { = 0= Proposici´ on 5 [  I Y , L ([) =

S

L (\ ).

\ \[ \ finito

Demostraci´ on. ) \  [ , L (\ )  L ([). En S particular, L (\ )  L ([), para cada subconjunto finito \ de [. Por lo tanto L (\ )  L ([) = \ \[ \ finito

) Si [ es finito, no hay nada que demostrar. Podemos suponer que [ es infinito, y en particular, que es 6= >= Si 0 6= y 5 L ([), entonces y = d1{1 + d2{2 + === + dn {n ,

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

32

con n 5 N> dl 5 I> {l 5 [= Entonces y 5 L ({{1 > {2 > ===> {n }) > note que {{1 > {2 > ===> {n } es finito. S Por lo tanto L ([)  L (\ ) = \ \[ \ finito

2.3.

Dependencia e independencia lineal

Definici´ on 25 V  Y es linealmente dependiente (o= g=) si ) = L 0 \ 0 = Observaci´ on 14 Son equivalentes para V  I Y : 1. V es o= g= 2. entonces ({{} ^ V\ {{})  L (V\ {{}) = Es decir que V  L (V\ {{}). Por lo tanto L (V) 6 L (V\ {{}) = 2) , 1)Si L (V) = L (V\ {{}) > para alg´ un { 5 L> entonces { 5 L (V) = L (V\ {{}) = Teorema 12 V = {{1 > {2 > ===> {q }  L ({{m | m ? l}) =

IY

es o= g=. / ===> q} tal que {l 5

Demostraci´ on. +) P {l 5 L ({{m | m ? l})  L (V\ {{l }) (que existe dado que V l{l , adem´as m A p implica que m = 0 (p es m´aximo), es o= g=), entonces {p = l=1 l6=p

por lo tanto: {p =

X l{l 5 L ({{m | m ? l}) l=1 l?p

2.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

33

Teorema 13 Son equivalentes para   I Y : 1.  es o= g= 2. ===> {q }: 5. ===q} tal que {l 5 L ({{m | m ? l}) = Demostraci´ on. Con lo que se ha demostrado hasta este momento, u ´nicamente falta demostrar la equivalencia de 4) con las dem´as proposiciones. 3) , 4) P  = {{1 > {2 > ===> {q } o= g= , |2 > ===> |q } a 0 = dl |l con alg´ l=1

Sea dg 5 {d1 > ===> dq } tal que dg 6= 0= As´ı, tenemos que dg|g =

q X dl|l l=1 l6=g

esto implica que |g =

¶ q µ X 1 dl|l 5 L (\ {|g }) = dg l=1 l6=g

Por lo tanto,  es o= g= Ejemplo 26 En I [{] > V = {1> {> {2 > ===> {q > ===} no es o= g= Demostraci´ on. Sea W  V> W finito , W = {{l1 > {l2 > ===> {ln } = ¡ © o ª¢ Q o Si { 5 L W \ { entonces {o = l1 {l1 + l2 {l2 + === + ln {ln con ln 6= o . Por lo tanto V no es o= g=

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

34

Definici´ on 26 V  I Y es o= l= (linealmente independiente) si V no es o= g= Ejemplo 27 > I Y es o= l= Q

Pues si > fuera linealmente dependiente, > tal que { 5 L (>\ {{}) > = Observaci´ on 15 Son equivalentes para { 5I Y : 1. {{} es o= l= 2. { 6= 0= Demostraci´ on. {{} es o= l= /

¬ ( } 65 L ({{} \ {}})

/

n o { 65 L ({{} \ {{}) = L (>) = 0

/

{ 6= 0=

Proposici´ on 6 V  W  Y> V o= g= , W es o= g= Demostraci´ on. V o= g= , W o= l= , V es o= l= Teorema 14 Son equivalentes para V I Y : 1. V es o= l= 2. Todo subconjunto finito W de V es o= l=

2.4. BASES

35

Demostraci´ on. 1) , 2) Por el Corolario 4. 2) , 1) Por contrapuesta. Si V es o= g= entonces L (\ {{}) $ L () = 3. ;   tal que  es finito,  es o= l= P dl|l , dl = 0> ;l= 4. ;   tal que  es finito, 0 =  |l M

2.4.

Bases

Definici´ on 27 Decimos que  I Y genera I Y , si L () = Y . Tambi´en se dice que  es un conjunto generador de I Y= Observaci´ on 16 Dado que Y 6 I Y y L (Y ) = Y , entonces Y es un conjunto generador de Y . As´ı, todo espacio vectorial tiene conjuntos generadores. Definici´ on 28  I Y es una base para I Y si  es o= l= y  genera I Y= Ejemplo 28 {1> {> {2 > ==={q > ===} es una base para I [{] = Notaci´ on 2

1. J (I Y ) = {[  Y | [ es o= l=}

2. G (I Y ) = {[  Y | [ genera I Y } = Teorema 15 Son equivalentes para  I Y : 1.  es base de Y= 2.  es un elemento m´aximo en J (Y ) = 3.  es un elemento m´ınimo en G (Y ) =

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

36

Demostraci´ on. 1) , 2) Es claro que  5 J (I Y ) > basta demostrar que es m´aximo. Sup´ongase que  $  0 entonces entonces  ^ {{} es o= g= ({ 5I Y =L() =L([ ^ {{}] \ {{}) = Pero  ^ {{}   0 , por lo que  0 5 @ J (I Y ) = 2) , 3) Dado que  5 J (I Y ), basta demostrar que L () =I Y= Sea { 5 Y es claro que si 1. si { 5  entonces { 5 L () = 2. si { 65  entonces  ^ {{} es linealmente dependiente, y entonces hay alguna combinaci´on lineal 0 = 1{1 + === + q{q + q+1{ con {l 5  y con alg´ un coeficiente distinto de 0= Notemos que q+1 6= 0> pues en caso contrario tendr´ıamos que  es o= g= Por lo tanto 1 { = [1{1  ===  q{q ] > q+1 es decir, { 5 L () = Conclu´ımos que  5 G (I Y ) = 3) , 1) Basta demostrar que  es o= l= ;{ 5 > L (\ {{}) ¡I Y =L() = ,  es o= l= Definici´ on 29

IY

es finitamente generado si [ finito tal que [ 5 G (Y ) =

Observaci´ on 17 [ 5 G (Y ) / el u ´nico subespacio de I Y que incluye a [ es Y= Teorema 16

IY

finitamente generado por [ , tomemos  = [= 2. Si [ no es m´ınimo en G (I Y ) > entonces en cuyo caso tomamos  = [1 o bien L 5 J (I Y ) = Entonces

Demostraci´ on. Podemos suponer que L 6 J (ya que si L  J> el resultado es inmediato). Sea J = {|1 > |2 > ===> |p } con L _ J = {|1 > ===> |n } n ? p> (esto se puede conseguir, reenumerando los vectores, si hiciera falta). Sea {1 5 L\(L _ J)> {{1 > |1 > |2 > ===> |p } es o=g= (porque {1 5 L({|1 > |2 > ===> |p })). Ahora, como {{1 > |1 > |2 > ===> |p }  L, se tiene que ===> |m31 }) y as´ı es claro que L ({{1 > |1 > |2 > ===> |p } \ {|m }) = L ({|1 > |2 > ===> |p }) =I Y= Lo que se ha hecho es tomar un elemento de J\L (|m ) y cambiarlo por un elemento {1 de L\J, de tal manera que se obtiene un nuevo conjunto generador (J1 = [J\ {|m }] ^ {{1 }). De esta manera podemos repetir el argumento, con J1 e L= Notemos ahora que (L _ J1 ) = {{1 > |1 > |2 > ===> |n } tiene un elemento m´as que (L _ J): {1 = Si tuvi´eramos que repetir el argumento una vez m´as, obtendr´ıamos un nuevo conjunto generador J2 , tal que |(L _ J1 )| ? |(L _ J2 )| === 6 |J| esto implica que el n´ umero de veces que se puede aplicar el argumento es finito, y debe ser claro que el proceso termina hasta que L  Jn > es decir hasta que L = L _ Jn > por lo que |L| 6 |Jn | = |J| = En R3 > J = {(1> 0> 0) > (0> 1> 0) > (0> 0> 1)} 5 G (R3 ) = Por lo tanto un conjunto linealmente independiente en R3 tiene a lo m´as 3 elementos. Es decir [  R3 > |[| A 3 , [ es o=g= 1. {(1> 0> 0> 1) > (0> 1> 0> 2) > (0> 0> 1> 3) > (0> 0> 1> 4) > (1> 2> 3> 4)} genera R4 y 2. {(1> 0> 0> 1) > (0> 1> 0> 2) > (0> 0> 1> 0} es o= l= en R4 =

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

38

Demostraci´ on. 1. Para ver que el primer conjunto genera R4 resolvamos { (1> 0> 0> 1) + | (0> 1> 0> 2) + } (0> 0> 1> 3) + v (0> 0> 1> 4) + w (1> 2> 3> 4) = = (d> e> f> g) > que como sistema de ecuaciones tiene 3 1 0 E 0 1 E C 0 0 1 2

la matriz aumentada 4 0 0 1 d 0 0 2 e F F> 1 1 3 f D 3 4 4 g

con forma escalonada y reducida: 3 1 0 0 0 1 d E 0 1 0 0 2 e E C 0 0 1 0 13 4f  g + d + 2e 0 0 0 1 10 g  d  2e  3f

4 F F= D

2. Veamos ahora que {(1> 0> 0> 1) > (0> 1> 0> 2) > (0> 0> 1> 0} es o= l= en R4 : Una manera de verlo es notando que en el conjunto anterior, ning´ un vector es combinaci´on lineal de los anteriores. Otra, es resolviendo { (1> 0> 0> 1) + | (0> 1> 0> 2) + } (0> 0> 1> 0) = (0> 0> 0> 0) : 3 4 1 0 0 0 E 0 1 0 0 F E F C 0 0 1 0 D> 1 2 0 0 3 4 1 0 0 0 E 0 1 0 0 F F cuya forma escalonada y reducida es E C 0 0 1 0 D > es decir, { = 0> | = 0> } = 0= 0 0 0 0 Ahora sean ;3 4 3 4 3 4< 0 A 0 1 A A @ ?E F E F E FA 1 0 F>E F>E 0 F > L= E C 0 D C 0 D C 1 DA A A A > = 0 2 1 ;3 4 3 4 3 4 3 4 3 4< 1 A 0 0 0 1 A A A @ ?E F E F E F E F E 0 F E 1 F E 0 F E 0 F E 2 F F > > > > > J= E C 0 D C 0 D C 1 D C 1 D C 3 DA A A A > = 4 4 3 2 1

2.4. BASES

39

entonces ;3 4 3 0 1 A A ?E F E 0 F E 1 L _J= E C 0 D>C 0 A A = 2 1

4< A A F@ F = DA A >

;3 4< 0 A A A @ ?E FA 0 F ^ J es o= g= por lo que alg´ un vector en la Como J genera Y , entonces E D C 1 A A A A > = 0 lista 4 3 1 0 E 0 F E 0 E F>E C 1 D C 0 1 0 3

4 3

4 3 0 0 F E 1 F E 0 F>E F>E D C 0 D C 1 3 2

4 3 1 0 F E 0 F E 2 F>E F>E D C 1 D C 3 4 4 4 3

4 F F D

es combinaci´on lineal de los anteriores. Es f´acil ver que ´este no es el primero, ni el segundo, ni el tercero. El cuarto vector no puede ser f=o= de los anteriores, pues tendr´ıa que ser m´ ultiplo del primero (observar las dos primeras coordenadas). El quinto vector es f=o= del primero y del cuarto vectores de la lista: 4 3 1 0 E 0 F E 0 E F>E C 1 D C 0 1 0 3

4 3 0 0 F E 1 F E 0 F>E F>E D C 0 D C 1 3 2 4 3

4 3

4 0 F E 0 F F>E F= D C 1 D 4

Resolvamos 3 4 1 0 E 0 E 0 F E E F {C D + |C 0 1 1 0 3

3 4 0 0 E E F F F + }E 1 F + wE 0 C 1 C 0 D D 3 2 4

3

3

4 0 F E 0 F F = E F= D C 1 D 4 4

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

40

4 0 1 0 0 0 E 0 0 1 0 0 F F Cuya matriz aumentada es:E C 1 0 0 1 1 D, con forma escalonada y reducida: 0 1 2 3 4 3 4 1 0 0 0  13 E 0 1 0 0 0 F E F C 0 0 1 0 0 D = Por lo que 0 0 0 1 43 3 4 3 4 3 4 0 0 0 E 0 F E 0 F E 0 F E F = 1@3 E F + 4@3 E F = C 1 D C 1 D C 1 D 3 0 4 3 4 0 E 0 F F Ahora, podemos quitar E C 1 D del conjunto 4 ;3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4< 1 A 0 0 0 1 0 A A A ?E F E F E F E F E F E F@ E 0 F > E 0 F > E 1 F > E 0 F > E 0 F > E 2 F C 1 D C 0 D C 0 D C 1 D C 1 D C 3 DA A A A > = 4 4 3 2 1 0 3

obteniendo:

;3 4 3 1 0 A A ?E F E E 0 F>E 0 C 1 D C 0 A A = 1 0

4 3 0 0 F E 1 F E 0 F>E F>E D C 0 D C 1 3 2 4 3

4< 1 A A F E 2 F@ F F>E D C 3 DA A > 4 4 3

que sigue generando R4 y que incluye al conjunto L= Teorema 18 Si I Y es finitamente generado, entonces todas las bases de Y son finitas y tienen el mismo n´ umero de elementos. Demostraci´ on. Sea   Y un subconjunto generador finito, y >  0 dos bases de Y= Por el teorema anterior, || > | 0 | 6 || = Ahora,  5 J (Y ) >  0 5 G (Y ) , || 6 | ´| = Sim´etricamente, tenemos que | ´| 6 || =

2.4. BASES

41

Definici´ on 30 Sea I Y finitamente generado y  una base de I Y= La dimensi´on de I Y es || = Teorema 19 Son equivalentes para  I Y con dim(Y ) = q : 1.  es base. 2.  5 J (Y ) a || = q= 3.  5 G (Y ) a || = q= 4.  = {{1 > ===> {q } a ;{ ===> q 5 I tal que { = 1{1 + === + q{q = Demostraci´ on. 1) , 2) Es claro, por el Teorema 18. 2) , 1) Basta demostrar que J (Y ) es m´aximo. Sup´ongase que  $  0 . Como la dim(I Y ) es q> esto significa que hay un conjunto generador con q elementos (una base). Por lo tanto un conjunto con m´as de q elementos como  0 debe ser o= g= Por lo tanto,  $  0 ,  0 es o= g= 1) , 3) Es inmediato del Teorema 18. 3) , 1) Hay que ver que  es m´ınimo en G (Y ) = @ G (Y ) > ya que Si  0 $ > entonces  5  0 5 G (Y ) >  5 J (Y ) , || 6 | 0 | ? || = 1) , 4) Sea y 5I Y> entonces y = 1{1 + === + q{q > con l 5 I= Si adem´as, y =  1{1 + === +  q{q > entonces 0 = y  y = 1{1 + === + q{q  ( 1{1 + === +  q{q ) = = (1   1 ) {1 + === + (q   q ) {q y como  es o= l=, tenemos que 0 = (1   1 ) = === = (q   q ), es decir que 1 =  1 > ===> q =  q = 4) , 1) Es claro que  genera tambi´en se tiene que 0 =

q P

IY

, ahora, si 0 =

l{l entonces, dado que

l=1

0 · {l > la hip´otesis de unicidad implica que

l=1

0 = 1 = === = q , por lo tanto  es o= l=

q P

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

42

Ejemplo 29 En I [{] > Sq (I ) = {i 5 I [{] | grad (i) 6 0}^{0 ({)} es un subespacio de I [{] y  = {1> {> {2 > ===> {q } es una base de Sq (I ) = Escojamos ahora q + 1 elementos distintos en I> d0 > d1 > ===> dq . Definamos el polinomio

q Q

il =

({  dm )

m=0 m6=l q Q

(dl  dm )

m=0 m6=l

Notemos que

½ il (du ) =

Si

q P

1 si u = l = 0 si u 6= l

l il = 0 ({) 5 Sq (I ) > entonces evaluando en dl tenemos que l = 0> y esto pasa

l=0

para cada l 5 {0> ===> q} = Por lo tanto {i0 > ===> iq } es o= l= y como |{i0 > ===> iq }| = q + 1> tenemos que {i0 > ===> iq } es una base para Sq (I ) = As´ı, si queremos un polinomio en R q cuya gr´afica en R2 pase por los q + 1 puntos del plano (d0 > g0 ) > ===> (dq > gq ) > es f´acil ver que j ({) = g0 i0 + === + gq iq , cumple lo requerido. Ejemplo 30 Construyamos un polinomio v ({) cuya gr´ afica pase por los puntos (3> 3) > (2> 1) > (1> 0) > (2> 4) > (5> 1) : Denotemos d0 = 3> d1 = 2> d2 = 1> d3 = 2> d4 = 5 q Q

il =

m=0 m6=l q Q

({  dm ) > (dl  dm )

m=0 m6=l

i0 =

({ + 2) ({ + 1) ({  2) ({  5) 1 9 1 1 1 = {4  {3  {2 + { + (3 + 2) (3 + 1) (3  2) (3  5) 80 20 80 5 4

2.4. BASES i1 =

43

({ + 3) ({ + 1) ({  2) ({  5) 3 15 19 1 15 =  {4 + {3 + {2  {  (2 + 3) (2 + 1) (2  2) (2  5) 28 28 28 28 14

i2 =

({ + 3) ({ + 2) ({  2) ({  5) 1 19 2 1 5 = {4  {3  {2 + { + (1 + 3) (1 + 2) (1  2) (1  5) 36 18 36 9 3

i3 =

1 4 1 ({ + 3) ({ + 2) ({ + 1) ({  5) 1 3 19 2 49 = {  { + { + {+ (2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) (2  5) 180 180 180 180 6

i4 =

1 4 1 ({ + 3) ({ + 2) ({ + 1) ({  2) 1 3 1 2 1 = { + {  {  { = (5 + 3) (5 + 2) (5 + 1) (5  2) 1008 252 1008 63 84

Ahora, 3i0 + (1) i1 + 0i2 + 2i3 + 5i4 = µ

¶ 1 4 1 9 1 1 {  {3  {2 + { + + 80 20 80 5 4 ¶ µ 15 3 3 15 2 19 1 4 + + (1)  { + { + {  {  28 28 28 28 14 µ ¶ 1 4 1 3 19 2 49 1 +4  {  { + { + {+  180 180 180 180 6 µ ¶ 1 4 1 3 1 2 1 1 1 = { + {  {  { 1008 252 1008 63 84 1 17 9 143 5 v ({) = {4  {3  {2 + {+ = 20 60 20 60 2

= 3

y

4 3 2 1

-3

-2

-1

1 -1

v ({)

2

3

4

5

x

44

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Teorema 20 Si  es o= l= en un espacio vectorial base tal que   =

IY

de dimensi´on q, entonces

Demostraci´ on. Sea  0 una base de I Y= Como  0 genera I Y y  es o= l=, entonces 0 || 6 | | = Sea  = {|1 > ===> |p } y  0 = {{1 > ===> {q } y reordenemos los elementos de  y  0 de manera que  _  0 = {|1 = {1 > ===> |n = {n } = Entonces n 6 p 6 q= 1. Si n = p entonces  _  0 = , por lo que    0 y no hay nada que demostrar. 2. Si n ? p, entonces {|n+1 > {1 > ===> {q } es o= g= Entonces existe un vector que es combinaci´on lineal de los anteriores (y no es |n+1 porque es 6= 0, por ser parte de un conjunto o= l=) Entonces ===> q} tal que {l 5 L ({|n+1 } ^ {{m | m ? l}) > (l A n, Q

porque si l 6 n> entonces {|n+1 > {1 > ===> {l }  > que es o= l=> )= , L ({|n+1 } ^ {{m | m 5 {1> ===> q} \ {{l }}) = L ({|n+1 > {1 > ===> {q }) = L ({{1 > ===> {q }) =I Y= Entonces {|n+1 } ^ {{m | m 5 {1> ===> q} \ {{l }} es un conjunto generador de I Y con q elementos, por lo que es una base de I Y= 0 Tomemos  ´= {|n+1 } ^ {{m | m 5 {1> ===> q} \ {{l }} y repitamos el argumento, con 0  y  ´, notando que ahora, 0  _  ´= {|1 > ===> |n > |n+1 }

Con un elemento m´as en la intersecci´on. El argumento se puede repetir hasta obtener una base  tal que  _  = {|1 > ===> |n > |n+1 > ===> |p } = = Observaci´ on 18 Si I Y es un espacio vectorial de dimensi´ on q y Z 6 Y> entonces I Z tiene base y dim(Z ) 6 dim (Y ) = Demostraci´ on. Todo subconjunto de Z que sea o= l=> tambi´en es o= l= en Y= Un subconjunto linealmente independiente de I Y tiene a lo m´as q elementos. Tomemos un subconjunto V1 de Z o= l= (si hay: por ejemplo >). Si es m´aximo o= l= entonces V1 ya es un base de Z= Si no lo es, es porque hay un conjunto V2 que contiene propiamente a V1 (y por lo tanto tiene m´as elementos). Podemos repetir el argumento mientras no encontremos un conjunto o= l= m´aximo. As´ı obtenemos V1 ¡ V2 ¡ === ¡ Vn sucesi´on de conjuntos o= l= en donde cada conjunto tiene por lo menos un elemento m´as que el anterior. Por lo tanto q  |Vn |  n  1. Con esto vemos que el proceso termina, y termina cuando hemos encontrado una base de Z=

2.4. BASES

45

Teorema 21 Sea I Y un espacio vectorial de dimensi´on q. Entonces Z1 > Z2 6I Y , dim (Z1 + Z2 ) = dim (Z1 ) + dim (Z2 )  dim (Z1 _ Z2 ) = Demostraci´ on. Sea  1 una base de Z1 _ Z2 . Como  1  Z1 es o= l=, entonces  pues un elemento z  en  2 _  1 pertenecer´ıa a L ( 1 ), con lo que  1 ^  1 Q

ser´ıa o= g= ). Nuestro objetivo es demostrar que  1 ^  1 ^  2 =:  es una base para Z1 + Z2 . 1.  1 ^  1 ^  2 genera Z1 + Z2 : L ( 1 ^  1 ^  2 ) = L (( 1 ^  1 ) ^ ( 1 ^  2 )) = = L ( 1 ^  1 ) + L ( 1 ^  2 ) = Z1 + Z2 = 2.  1 ^  1 ^  2 es linealmente independiente: Si  1 ^  1 ^  2 fuera o= g= entonces habr´ıa en  1 ^  1 ^  2 un vector que depende linealmente de los anteriores (escr´ıbanse primero los elementos de  1 > despu´es los de  1 > y por u ´ltimo los de  2 ). Como  1 ^  1 es o= l=, por ser una base de Z1 > entonces habr´ıa un elemento {m de  2 que es f=o= de los elementos anteriores. Digamos que X {l , | 5 L ( 1 ) > } 5 L ( 1 ) > {m = | + } + l l?m

entonces

X { =: {m  {l = | + }, | 5 L ( 1 ) > } 5 L ( 1 ) > l l?m

entonces { 5 L ( 2 ) _ L ( 1 ^  1 )  Z1 _ Z2 = Como  1 es una base de Z1 _ Z2 , entonces { 5 L ( 1 ). Pero entonces  1 ^ {{} es o= g= pero por otra parte X X X X {m  {l = fo z  o, z  o 5  1 , {m = {l + fo z o l l?m

o

l l?m

o

,  1 ^ {{1 > ===> {m } es o=g= Q

pero tambi´en es un subconjunto de  1 ^  2 que es o= l= por ser una base de Z2  = Esta contradicci´on muestra que  1 ^  1 ^  2 es o= l=

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

46 Por u ´ltimo,

¯  ¯ ¯  ¯  ¯ ¯ ¯ ¯ dim (Z1 + Z2 ) = ¯ 1 ^  1 ^  2 ¯ = ¯ 1 ^  1 ¯ + | 2 | + | 1 |  | 1 | = = dim (Z1 ) + dim (Z2 )  dim (Z1 _ Z2 ) =

2.5.

Conjuntos parcialmente ordenados

Definici´ on 31 Un conjunto parcialmente ordenado (COPO) es una pareja (V> 6) donde V es un conjunto y 6 es una relaci´on de orden en V= Recordemos que una relaci´on en un conjunto V es de orden si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Definici´ on 32 Sea (V> 6) un COPO, un elemento { 5 V es m´aximo si ¬ ( | 5 V , { = |= Definici´ on 33 Un COPO es una cadena (o conjunto totalmente ordenado) si ;{> | 5 V> { 6 | b | 6 {= Ejemplo 31 (N> |) no es una cadena: 2 6| 3 a 3 6| 2= Definici´ on 34 Sea (V> 6) un COPO, 1. { 5 V es el elemento mayor, si v 6 { ;v 5 V= Denotaremos may(V) al mayor elemento de V, cuando lo haya.

2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

47

Figura 2.1: 2. { 5 V es el elemento menor, si { 6 v ;v 5 V= Observaci´ on 19 Si (V> 6) es un COPO y W  V entonces W × W  V × V= Como 6 es una relaci´on en V (6  V × V “la relaci´on 6 es un subconjunto de V × V), entonces [6 _ (W × W )]  W × W Denotemos 6 _ (W × W ) por 6W = La relaci´ on 6W es una relaci´ on de orden en W= 

lqf -

6

6

lqf

W

V×V lqf

lqf-

W ×W

Ejemplo 32 Por ejemplo (N> |) es un COPO, y {1> 2> 3> ===> 10}  N. Observaci´ on 20 No se deben confundir los conceptos de m´aximo y mayor. En el ejemplo anterior, no hay elemento mayor y hay 5 elementos m´ aximos. Sea (V> 6)un COPO y sea D  V= Una cota superior para D en V es un elemento x 5 V tal que d 6 x> ;d 5 D= Ejemplo 33 Una cota superior para {1> 2> ===> 10} en (N> |) es 7560=

48

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

1080 840 945 8 7560 > 7 7560 > 9 7560 = 0 0 0 Definici´ on 35 Sea (V> 6)un COPO y sea D  V= Una cota inferior para D en V es un elemento o 5 V tal que o 6 d> ;d 5 D= Notaci´ on 3 Sea (V> 6)un COPO y sea D  V= Denotaremos por D al conjunto de cotas superiores para D, denotaremos por D el conjunto de cotas inferiores de A. Definici´ on 36 (V> 6)un COPO y sea D  V= 1. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas superiores de D> lo llamaremos el supremo de D= En s´ımbolos: ¡ ¢ sup (D) =: men D =

2. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas inferiores de D> lo llamaremos el ´ınfimo de D= En s´ımbolos: ¡ ¢ ´ınf (D) =: may D = Ejemplo 34 En (N> |) el conjunto de cotas superiores para dos n´umeros q> p es el conjunto de sus m´ ultiplos comunes, y el menor de los m´ultiplos comunes es su m´ınimo com´ un m´ ultiplo. Es decir sup {q> p} = men {e | q divide a e> p divide a e } = p=f=p= {q> p} = Ejemplo 35 Un subconjunto D de R> con el orden usual, tiene supremo si est´a acotado por arriba (es decir, si tiene cota superior). Esto se conoce como Teorema del Supremo. Ejemplo 36 Sea (€ ([) > ) el COPO de los subconjuntos de un conjunto [, con el orden parcial dado por la inclusi´ on. Entonces: sup {D> E} = men {\ | D  \> E  \ } = D ^ E= ´ınf {D> E} = may {\ | \  D> \  E} = D _ E=

2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

49

Figura 2.2: Ejemplo 37 En el COPO ({1> 2> 3> ===> 10} > |), 1. sup {2> 3} = 6= 2. inf{6> 9} = 3= 3. {4> 6} = {2> 1} = 4. {3> 5} = >= Por lo que {3> 5} no tiene supremo. Observaci´ on 21 El supremo de un conjunto D en un COPO (V> 6)> si existe, es u ´nico. Demostraci´ on. Sean x y y dos supremos para D. Entonces x> y 5 D = Como x es el menor elemento de D y y 5 D > entonces x 6 y. Por simetr´ıa, y 6 x= As´ı que x = y= Notaci´ on 4 Escribiremos d ? e ´o d ¡ e> para indicar que d 6 e a d 6= e= Observaci´ on 22 Sea D  V> (V> 6) un COPO. Son equivalentes para x 5 V : x no es el supremo de D= x no es cota superior de D b (x es cota superior de D, pero no es la menor). ( 6) un COPO no vac´ıo, si toda cadena en V tiene una cota superior en V, entonces D contiene elementos m´aximos. Ejemplo 38 Sea [ un conjunto y consideremos el COPO (€ ([) > ) = Si {\ }M[ es una cadena en € ([) > entonces ^ {\ }M[ es una cota superior para la cadena y pertenece a € ([) = El Lema de Zorn nos dice que € ([) tiene un elemento m´aximo y es claro que ´este es [= Ejemplo 39 Un ideal de Z es un subconjunto cerrado bajo la resta, entonces un ideal de Zresulta ser un subgrupo aditivo y por lo tanto es de la forma qZ, q 5 Z. Definamos U (Z) = {D $ Z | D es un ideal propio} = De nuevo es claro que (U (Z) > ) es un COPO (por ser un subconjunto de € (Z)). U (Z) 6= >, y si {D }M[ es una cadena en U (Z), entonces ^ {D }M[ es una cota superior para la cadena (hace falta ver que es un ideal). El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de ideales m´aximos propios. De hecho, son de la forma sZ, con s un n´ umero primo. Teorema 22 Todo espacio vectorial I Y tiene base. Demostraci´ on. (J (Y ) > ) es un COPO, donde J (Y ) = {L  Y | L es o= l=} =

2.6. LEMA DE ZORN

51

Adem´as J (Y ) 6= >> pues > 5 J (Y ) = Tomemos {L }M[ una cadena en J (Y ) = Es claro que ^ {L }M[ es una cota superior para la cadena, veamos que sigue perteneciendo a J (Y ) = Sea I  ^ {L }M[ > entonces I = {{1 > {2 > ===> {n } con {l 5 Ll > digamos. Como finito

{L }M[ es una cadena, entonces {Ll }lM{1>===>n} tambi´en lo es y entonces uno de los elementos de esta familia es el mayor. Entonces ^ {Ll }lM{1>===>n} = Lm > por lo que I  Lm que es o= l=, por hip´otesis. Luego I es o= l= Como todo subconjunto finito finito

de ^ {L }M[ es o= l=, entonces ^ {Ll }lM{1>===>n} 5 J (Y ) = El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de un elemento m´aximo en J (Y ), pero un elemento as´ı, es una base. Definici´ on 37 dim(I Y ) = || >  /$

base

I Y=

M´as adelante demostraremos que la anterior definici´on es buena, es decir que cualesquiera dos bases de un espacio vectorial I Y tienen la misma cardinalidad. Esto ya lo sabemos para espacios finitamente generados. Pero hay espacios vectoriales que no son finitamente generados, como el espacio de los polinomios con coeficientes reales en donde hay un conjunto linealmente independiente infinito: © ª 1> {> {2 > === > ver el Corolario 5. Teorema 23 Todo subconjunto L o= l= en un espacio vectorial I Y est´a inclu´ıdo en una base de I Y= Demostraci´ on. Apliquemos el Lema de Zorn al COPO T = ({M  Y | L  M a M es o= l=} > ) = La demostraci´on es semejante a la del Teorema 22. Lo que obtenemos es un conjunto E m´aximo en T = Resta demostrar que adem´as de que E es m´aximo en T > tambi´en es m´aximo en J (Y ) = Si E $ E´ , entonces E´ no pertenece a T . Como incluye a L, lo que sucede es que no es o= l= Por lo tanto E es o= l= m´aximo.

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

52

2.7.

Dimensi´ on

Teorema 24 Z 6I Y , { 5 L ( 0 ) = Digamos que { =

{ =

X

X

lxl , xl 5 > m ym , ym 5  0 =

P P Entonces {  { = 0 = lxl  ( m ym ) > que es combinaci´on lineal del conjunto o= l= = Por lo tanto, todos los coeficientes son 0= En especial, { = 0= El siguiente Teorema es de gran importancia, pues nos dice que cualesquiera dos base de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, con lo que se puede definir la dimensi´on de un espacio vectorial como la cardinalidad de una base.

Teorema 25 Sean D> E dos bases para I Y , entonces |D| = |E| =

Demostraci´ on. Haremos uso del Lema de Zorn. Sea n h o i  T = (L{ > I{ ) | L{  D> I{ : L{ À$ E> (E\ [I{ (L{ )]) ^ L{ /$ Y o=l=

definimos la relaci´on 6 en T por: (L{ > I{ ) 6 (L| > I| ) si L{  L| a I||L{ = I{ =

´ 2.7. DIMENSION

53

Vale la pena hacer ´enfasis en todo lo que se est´a pidiendo de T :

Para cada pareja (L{ > I{ ) se est´a pidiendo que (E\ [I{ (L{ )]) sea ajeno con L{ > y que su uni´on sea linealmente independiente en Y . N´otese que a E se le quita la imagen de L{ bajo I{ y se reemplaza con L{ . 1. Veamos primero que (T> 6) es un COPO. a. (L{ > I{ ) 6 (L{ > I{ ) ya que L{  L{ a I{|L{ = I{ = b. [(L{ > I{ ) 6 (L| > I| )] a [(L| > I| ) 6 (L{ > I{ )] , L{  L| , L|  L{ = Por lo que L{ = L| = Adem´as I{|L| = I| = Pero tambi´en I{|L| = I{|L{ = I{ = c. [(L{ > I{ ) 6 (L| > I| )] a [(L| > I| ) 6 (L} > I} )] , L{  L|  L} y I}

L} AA$ E =% inc. % I| L| adem´as

I|

L| AA$ E =% inc. % I{ L{

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

54

¡ ¢ Entonces I}|L{ = I}|L| |L{ = (I| )|L{ = I{ = Por lo que L{  L} y I}|L{ = I{ , es decir 



que (I{ > L{ ) 6 (I} > L} ) =T 6= > : (>> >) 5 T˙ : > AA$ E y E\> (>) ^ > es o= l en I Y= 2. Sea {(L{ > I{ )}{M[ una cadena en T= Definimos por I : ^ {L{ }{M[ $ E = y 7$ I| (y ) si y 5 L| a. Tenemos que ver que esta funci´on est´a bien definida: Si y 5 L| a y 5 L} > dado que (L| > I| ) > (L} > I} ) forman parte de una cadena, entonces (L| > I| ) 6 (L} > I} ) o (L} > I} ) 6 (L| > I| ) = Sin perder generalidad supongamos que (L| > I| ) 6 (L} > I} ) = As´ı tenemos que I} (y ) = I}|L| (y ) = I| (y ) = b. Veamos ahora que I es inyectiva: si y 6= z>  y > z  5 ^ {L{ }{M[ , entonces y 5 L| > z  5 L} > |> } 5 [. Podemos suponer sin perder generalidad que (L| > I| ) 6 (L} > I} ) > por lo tanto y> z  5 L} = Adem´as I (y) = I| (y) = I} (y ) 6= I} (z)  = I (y) (recordar que I} es inyectiva). Por ·lo tanto I es inyectiva. µ ¶¸ µ ¶ ^ {L{ }

c. Veamos ahora que E\I

{M[

^

^ {L{ }

{M[

es o= l en I Y=

· µ ¶¸ µ ¶ · µ ¶¸ µ ¶ E\I ^ {L{ } ^ ^ {L{ } = E\ ^ {I (L{ )} ^ ^ {L{ } {M[

{M[

·µ =

{M[

{M[

¶¸ µ ¶ _ {E\I (L{ )} ^ ^ {L{ } =

{M[

{M[

 1 > ===> z  p }  ^ {L{ }, entonces {z  1 > ===> z  p} As´ı, si {y1 > ===> yq }  _ {E\I (L{ )} y {z {M[

{M[

 L| , p. a. | 5 [ (por ser {(L{ > I{ )}{M[ una cadena) y {y1 > ===> yq }  E\I (L| ). Entonces {y1 > ===> yq > z  1 > ===> z  p }  E\I (L| ) ^ L| > que es o= l= Hemos demostrado que cualquier subconjunto finito de ¶¸ µ ¶ · µ E\I ^ {L{ } ^ ^ {L{ } {M[

es o= l=

{M[

¶¸ µ ¶ · µ d. Por u ´ltimo, veamos que E\I ^ {L{ } > ^ {L{ } son conjuntos ajenos: {M[ ¶¸ µ {M[ ¶ · µ Supongamos que hay y 5 E\I ^ {L{ } _ ^ {L{ } . Entonces {M[ ¶¸ ·µ {M[ ¶¸ · µ = _ {E\I (L{ )} y y 5 L{ > p. a. { 5 [= Entonces y 5 E\I ^ {L{ } {M[

{M[

Q

y 5 E\I (L{ ) _ L{ > p. a. { 5 [  =

´ 2.7. DIMENSION

55

¡ ¢ e. Con todo lo anterior, hemos demostrado que ^ {L{ }{M[ > I 5 T. Adem´as es claro que es cota superior para la cadena {(L{ > I{M[ )}{M[ = 3. Por el Lema de Zorn, T tiene alg´ un elemento m´aximo (P> j) = En particular j P AA$ E> y E\j (P) ^ P /$ Y= o= l

Supongamos que () = Entonces 

(E\ (j (P) ^ {y})) ^ P /$ Y o= l

(2.1)

³ ´  adem´as L (E\ (j (P) ^ {y})) ^ P 6= Y (pues de lo contrario ´ ³  y 5 L E\ (j (P) ^ {y }) ^ P > 

Q

y as´ı E\ (j (P)) ^ P ser´ıa o= g= ) entonces ´ ³  D\P * L (E\ (j (P) ^ {y })) ^ P = ´ ³  (en caso contrario, D = (D\P) ^ P  L (E\ (j (P) ^ {y })) ^ P > por lo que ³ ´Q  Y = L (D)  L (E\ (j (P) ^ {y})) ^ P  =) ³ ´  Como D\P * L (E\ (j (P) ^ {y })) ^ P > y j¯ por j¯ :

¯ P lqf=

j:

6

P

-

lq|hfw=

=

E 6

lqf=

-

lq|hfw=

E

j(z)  = y

¢ ¡ ¯ Tenemos ¡ que ¡ ¢¢P> j¯ 5 T : ¯ ^P ¯ = [E\ (j (P) ^ {y })] ^ (P ^ {z}) E\ j¯ P  > que es o= l= por 2.1 y 2.2. Adem´as [E\ (j (P) ^ {y})] y P ^ {z}  son ajenos (obs´ervese 2.2). ¢ ¡ ¯ j¯ Q Pero entonces (P> j) ¡ P>  = La contradicci´on viene de la hip´otesis () =

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

56 Por lo tanto

E\j (P) = > b D\P = >= 4. Si D\P = > entonces D  P  D= Por lo que h i  D = P y (E\j (D)) ^ D /$ Y= o=l

Pero como D es o= l= m´aximo, entonces E\j (D) = >> por lo que E  j (D)  E= Por lo tanto j es una biyecci´on entre D y E= Por lo tanto |D| = |E| = Si E\j (P) = > entonces j es suprayectiva, por lo que |D|  |P|  |E| = En cualquier caso, |D|  |E| = Por simetr´ıa, |E|  |D| = Por el Teorema de CantorSchroeder-Bernstein, |D| = |E| = Teorema 26 Si |D| 6 |E| y |E| 6 |D|, entonces |D| = |E|. Demostraci´ on. ([2]). i

j

Sean D AA$ E y D AA$ E funciones inyectivas. Tomemos e1 5 E= Si e1 5 Im (i) entonces entonces continuamos mientras sea posible. Obtenemos una sucesi´on i

j

i

i

e1 #| d1 #| e2 #| d2 #| ==== Tenemos tres posibilidades: @ Im (j) = La sucesi´on anterior termina en una dn porque dn 5

(2.3)

La sucesi´on anterior termina en una em porque em 5 @ Im (i ) =

(2.4)

La sucesi´on anterior no termina.

(2.5)

Empezando con una d1 en D> podemos repetir el anterior procedimiento, obteniendo una sucesi´on j i j i d1 #| e1 #| d2 #| e2 #| ==== De nuevo, uno tiene las tres posibilidades mencionadas arriba. Definamos ED =: {e1 5 E | (2.3)} >

´ 2.7. DIMENSION

57 ED =: {e1 5 E | (2.4)} > E" =: {e1 5 E | (2.5)} >

y definamos an´alogamente, DD > DE > D" = Ahora, observemos que i|DD

DD AA³ ED es una biyecci´on: Si la sucesi´on j

i

j

i

i

d1 #| e1 #| d2 #| e2 #| ==== #| dn termin´o, entonces la sucesi´on i

j

i

j

i

i

i (d1 ) #| d1 #| e1 #| d2 #| e2 #| ==== #| dn tambi´en termin´o. Por lo tanto la correspondencia d1 7$ i (d1 ) va de DD a ED = Es claro que todos los elementos de ED provienen de un elemento de DD = (Los elementos de E que no est´an en la imagen de i pertenecen a EE ). De la misma manera, j|EE

EE AA³ DE es una biyecci´on, y tambi´en i|D"

D" AA³ E" es una biyecci´on. Por lo tanto |DD | = |ED | > |EE | = |DE | y |D" | = |E" |. ¯ ¯ ¯ ¯     ¯ ¯ ¯ ¯ Por lo tanto |D| = ¯DD ^ DE ^ D" ¯ = ¯ED ^ EE ^ E" ¯ = |E| =

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

58 Ejercicios

¡ ¢ ˜ ˆ0> es un grupo conmutativo. Ejercicio 25 Demostrar que en el ejemplo 11, I [ > +> Ejercicio 26 Mostrar que ;>  5 I> ;D> E 5 Pq×p (I ), se tiene que (D + E)w = Dw + E w =  5 Y , entonces L ({y > z})  = Ejercicio 27 Si I Y es un espacio vectorial y y> z L ({y }) + L ({z})  = {y +  z  | >  5 I } = Ejercicio 28 L (>) = L

³n o´ n o 0 = 0 .

Ejercicio 29 Demuestre 3) , 1) en el Teorema 13. Ejercicio 30 Demostrar que P (R) > I (R) 6 RR = Ejercicio 31 Demostrar que Sq (R) > Aq (R) 6 Pq (R). Ejercicio 32 Considere el sistema de ecuaciones con coeficientes en I : { + 2| + 5v  w 3{ + 6| + 3} + 21v  2w 5{ + 10| + 3} + 31v  w 3{ + 6| + 2} + 19v + 2w

=0 =0 =0 = 0=

1. Tome I = R y muestre que el conjunto V de soluciones es un subespacio de R5 . Encuentre una base para V= 2. Lo correspondiente,. con I = Z5 = 3. Lo correspondiente,. con I = Z7 = 4. Lo correspondiente,. con I = Z11 = Ejercicio 33 Demostrar que ;F 5 Pq (R) = Ejercicio 34 Muestre que

1 2

(F + F w ) es sim´etrica y

1 2

(F  F w ) es antisim´etrica,

n R1 o i : R $ R | i es continua y 0 = 0 i 6 RR .

´ 2.7. DIMENSION

59

Ejercicio 35 Muestre que © ª V = i 5 RR | i sus dos primeras derivadas existen y i´´({) = i ({) es un subespacio del espacio © ª C" (R) = i 5 R2 | i (q) ({) existe ;q 5 N> ;{5 R = Ejercicio 36 Muestre que sen({) y cos({) son un conjunto linealmente independiente del espacio V del ejercicio anterior. Ejercicio 37 Construir un polinomio cuya gr´ afica pase por los puntos (3> 3) > (1> 1) > (0> 0) > (5> 1) = Ejercicio 38 Digamos que i : R $ R tiene per´ıodo  A 0 si i ({ + ) = i ({) > ;{ 5 R= En este caso diremos que i es peri´odica. Por ejemplo, sen({) tiene per´ıodo 2= 1. i : R $ R de per´ıodo  y j : R $ R de per´ıodo  = u> u 5 Q\ {0} , i + j es peri´odica= 2. Diga un per´ıodo para i + j= 3. ¿Es Z = {i : R $ R |i tiene per´ıodo 2q> q 5 Z} un subespacio de RR ? 4. ¿{sen(q{) | q 5 N}  Z ? 1.0

y -1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.5 -0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

-1.0

sen(10x)

y -1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

1.0

0.5

-0.5

-1.0

sen(10x+210)

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

60

Ejercicio 39 ¿Es {sen(q{) | q 5 {1> 2> 3}} o= l en RR ? . Ejercicio 40 Sea J = ¾ ½ (1> 2> 3> 4> 5) > (2> 1> 4> 3> 5) > (1> 1> 1> 1> 1) > (1> 2> 3> 4> 1) > (0> 1> 0> 1> 0) > (3> 3> 7> 7> 10) > (2> 1> 4> 3> 0) 1. Encontrar un subconjunto o= l= de J que genere el mismo subespacio que J= 2. Encontrar un subconjunto o= l= de J que genere el mismo subespacio que J y que contenga los elementos (0> 1> 0> 1> 0) > (3> 3> 7> 7> 10). Ejercicio 41 ¿Cu´antas matrices escalonadas y reducidas hay en P3×4 (Z2 )? Ejercicio 42 Respecto al ejercicio anterior, ¿cu´antas matrices escalonadas y reducidas hay de rangos 1> 2> 3> respectivamente? Ejercicio 43 ¿Cu´antas matrices antisim´etricas hay de 5 × 5 con coeficientes en Z3 ? D´e una base para el espacio de las matrices antisim´etricas de 5 × 5 con coeficientes en Z3 . Ejercicio 44 Construya un polinomio v ({)cuya gr´afica pase por los puntos (3> 3) > (2> 1) > (1> 0) y tal que su derivada en 0 sea 1. Ejercicio 45 Construya un polinomio v ({)cuya gr´afica pase por los puntos (3> 3) > (2> 1) > (1> 0) y tal que su integral de 1 a 1sea 0. Ejercicio 46 Muestre que {x> y}6= es o= l= / {x + y> x  y}6= es o= l= Ejercicio 47 Muestre que la afirmaci´ on anterior es falsa si uno retira la hip´otesis de que los elementos sean distintos (tome y = 0 y vea que pasa). Ejercicio 48 Muestre que son equivalentes para Z1 > Z2 6 I Y : L 1. Y = Z1 Z2 = Recuerde que esto significa que n o Y = Z1 + Z2 a Z1 _ Z2 = 0 =

´ 2.7. DIMENSION

61 

2. ; 1 base de Z1 > ; 2 base de Z2 ,  1 es ajena con  2 y  1 ^  2 es una base de Y= Ejercicio 49 Considere Tq = {D 5 Pq (R) | Dl>m = 0> l A m} = ¿Cu´al es la dimensi´on de Tq ?. Ejercicio 50 Considere Lq = {D 5 Pq (R) | Dl>m = 0> l ? m} = ¿Cu´al es la dimensi´on de Lq ? Ejercicio 51 Considere Dq = {D 5 Pq (R) | Dl>m = 0> l 6= m} = ¿Cu´al es la dimensi´on de Dq ? Ejercicio 52 Considere Sq = {D 5 Pq (R) | Dl>m = Dm>l > ;l> m} = ¿Cu´al es la dimensi´on de Sq ? Ejercicio 53 Compruebe que dim (Tq + Sq ) = dim (Tq ) + dim (Sq )  dim (Tq _ Sq ) = Se define el rango de una matriz D como dim (L ({D1 > ===> Dp })) > es decir la dimensi´on del espacio generado por los renglones de D= Ejercicio 54 Demostrar que el rango de una matriz escalonada es el n´ umero de renglones distintos de cero, notando que un rengl´on distinto de cero no puede ser combinaci´on lineal de los renglones debajo. Ejercicio 55 Demostrar que si las matrices D> E 5 Pq×p (R) son reducidas y escalonadas y tienen el mismo espacio de renglones, entonces D = E. Ejercicio 56 Suponga que las matrices D y E son reducidas y escalonadas y que se obtienen aplicando operaciones elementales a la misma matriz F= Demuestre que D = E. Ejercicio 57 D´e una base para las matrices diagonales de 3 × 3 con coeficientes en R. Ejercicio 58 D´e una base para las matrices sim´etricas de 4 × 4 con coeficientes en R= Ejercicio 59 D´e una base para las matrices antisim´etricas de 4 × 4 con coeficientes en R=

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

62

Ejercicio 60 D´e una base para el espacio de las matrices triangulares superiores (ceros debajo de la diagonal principal) de 3 × 3 con coeficientes en R= Ejercicio 61 Muestre que el conjunto {(1> 2> 3> 4) > (0> 1> 4> 3)} se puede completar a una base de R4 , con cualesquiera dos elementos de la base can´onica. Sugerencia: Muestre que si uno forma una matriz que tenga como renglones a los 4 3 elementos del 1 2 3 4 E 0 1 4 3 F F conjunto dado y dos elementos de la base can´onica (por ejemplo E C 0 0 1 0 D 0 0 0 1 tiene rango 4.) Ejercicio 62 3 1 2 3 E 0 2 3 E C 1 0 0 0 0 0

Tomemos el conjunto {(1> 2> 3> 4)> (0> 2> 3> 4)}. Entonces la matriz 4 4 4 F F, tiene rango 3, por lo que el conjunto 0 D 1 {(1> 2> 3> 4) > (0> 2> 3> 4) > (1> 0> 0> 0) > (0> 0> 0> 1)}

es o= g= Encuentre todas las bases de R3 que contienen a (1> 2> 3> 4) > (0> 2> 3> 4) y a dos elementos de la base can´onica. Ejercicio 63 Sean ;3 4 3 5 A A ?E F E E 6 F>E C 3 D C A A = 5 3 4< 0 A A E 5 F@ E F C 6 DA A > 8

4 3 7 5 E 3 9 F F>E 2 D C 3 1 9

4< ;3 5 A A A A F E 7 F@ ?E F > E F>E D C 2 DA AC A = > A 0 4 3

4 3 9 7 E 8 9 F F>E 7 D C 4 1 2

4 F F> D

en R4 . Llamemos Z1 al subespacio generado por el primer conjunto de vectores y Z2 al generado por el segundo conjunto de vectores. Encontrar las dimensiones de Z1 > Z2 > Z1 + Z2 > Z1 _ Z2 = Encontrar bases  3     1   2   3 > >

´ 2.7. DIMENSION

63

de los subespacios correspondientes al diagrama. Z1 + Z2 

3

% Z1 #0  2

-

-

%

 /$ Z2 =

1 

Z1 _ Z2 Ejercicio 64 Muestre que hay bases como en el ejercicio anterior, para cualesquiera dos subespacios Z1 > Z2 de un espacio vectorial I Y= (No suponga que dim (Y ) es finita). n i o Ejercicio 65 Sea [  R, definamos Q[ =: R $ R | i (u) = 0> ;u 5 [ = 1. Muestre que Q[ 6 RR . 2. Suponga que \  R= Muestre que Q[ _ Q\ = Q[\ = 3. Demuestre que

© ª  [ ^ \ = R / Q[ _ Q\ = 0ˆ =

© ª 4. ([ ^ \ ) $ R , Q[ _ Q\ 6= ˆ0 = 5. Q[ + Q\  Q[K\ = ¢ ¡ 6. RR  Q[ + Q\ , ([ _ \ = >) ´i h ³  ¢ ¡ L Q\ / ([ _ \ = >) a [ ^ \ = R = 7. RR = Q[ 8. j 5 RR , tal que j (u) 6= 0 , Q{u}

L

L (j) = RR .

9. Usando lo anterior muestre que Q{u} es m´aximo en Ejercicio 66 Encuentre un subespacio Z m´aximo en (Z 6= Qu )

; u 5 R=

£© ª R ¢ ˆ0 > R .

£© ª R ¢ ˆ0 > R tal que

64

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 67 Demuestre que si D> E son conjuntos, entonces (|D| 6 |E|) b (|E| 6 |D|) = ½µ ¶ ¾ i[ Sugerencia: Considere == [> [ AA$ E | [  D , defina un orden J en = ¶ µ ¶ µ i[ i\ por: [> [ AA$ E J \> \ AA$ E si ([  \ y i\

\ AA$ E E > % = %i[ [ es decir, i\|[ = i[ = Muestre que = no es vac´ıo, que J es un orden parcial, que toda cadena en = est´a acotada por arriba. Concluya que = contiene un elemento m´aximo (P> iP ) = Observe que P = D b i (P) = E. Concluya. Ejercicio 68 Muestre que son equivalentes para Z> ] 6 I Y : L 1. Y = Z ]= 2. ] es m´ınimo en {X 6 Y | Z + X = Y } = Ejercicio 69 1. Muestre que cualquier segmento de recta en el plano (que tenga m´as de un punto) tiene tantos puntos como el intervalo [0> 1] = 2. Use lo anterior para mostrar que cualesquiera dos intervalos cerrados infinitos tienen la misma cardinalidad. 3. Muestre tambi´en que cualesquiera dos intervalos abiertos no vac´ıos tienen la misma cardinalidad. 4. Usando el Teorema de Cantor-Schr¨oeder-Bernstein muestre que un intervalo abierto no vac´ıo tiene la misma cardinalidad que un intervalo cerrado infinito (y la misma cardinalidad de un intervalo que incluye un extremo y excluye al otro, como (0> 2] o [2> 8)). 5. Muestre que el intervalo [0> 1) tiene tantos puntos como [0> 4). 6. Muestre que (1> 1) tiene tantos puntos como R.

´ 2.7. DIMENSION

65

Ejercicio 70 Use el Teorema de Cantor-Schr¨oeder-Bernstein para demostrar que |N| = |N × N| = Ejercicio 71 Sugerencia: muestre que las siguientes funciones son inyectivas. N AA$ N × N N × N AA$ N > (q> p) 7$ 2q 3p q 7$ (q> 0) Ejercicio 72 Muestre que la uni´ on de dos conjuntos ajenos con la misma cardinalidad que N, sigue siendo de la misma cardinalidad de |N|. Por ejemplo, Muestre que © ª© ª N× {0> 1} = (q> 0) | q 5 N+ ^ (0> p) | p 5 N+ ^ {(0> 0)} tiene |N| elementos. Sugerencia: el primer uniendo corresponde biyectivamente con los pares positivos, el segundo con el conjunto de impares. Ejercicio 73 Muestre que si I es finito y ajeno con [ infinito entonces |[ ^ I | = |[| = Sugerencia: suponga que I = {{1 > {2 > ===> {n } Supongamos adem´as que I _ N = +n >= Note que {0> 1> ===> n  1} ^ {n> n + 1> ====} = N y que N $ {n> n + 1> ====} es una biyecci´ on. Concluya que ¯  ¯ ¯ ¯ |N| = |{0> 1> ===> n  1} ^ {n> n + 1> ====}| = ¯I ^ N¯ = Ahora use que [ incluye una copia de N> Q digamos. As´ı que [ ^I = ([\Q)^Q = ([\Q) ^ (Q ^ I ) = Ejercicio 74 (Opcional). Muestre, usando el Lema de Zorn, que si [ es un conjunto infinito entonces |[| = |[ × {0> 1}| Sugerencia: Sea (à D=

! i]

]> ] AA³ ] × {0> 1}

) | > 6= ]  D>

ordenado por: (\> i\ ) b (]> i] ) si \  ] y i]

] AA³ ] × {0> 1} inclus. % = % inclus. \

i\

AA³ \ × {0> 1}

66

CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

la inclusi´ on. Note que D no es vac´ıo porque como [ es infinito, entonces [ incluye una copia de N. Note tambi´en que si (P> iP ) es un elemento m´ aximo en D, entonces el conjunto D\P no puede contener una copia de N, por lo que debe ser finito.

Cap´ıtulo 3

Transformaciones lineales 3.1.

Transformaciones lineales, n´ ucleos e im´ agenes

Definici´ on 38 Sean lineal si:

IY

,

IZ

espacios vectoriales. Una funci´on W : Y $ Z es

1. ;{> | 5 Y> W ({ + |) = W ({) + W (| ) > 2. ; 5 I> ;{ 5 Y , W ({) = W ({) = Observaci´ on 23 Notemos que si W : Y $ Z es una funci´ on, entonces podemos definir otra funci´on W ×W Y ×Y $ Z ×Z = (y1 > y2 ) 7$ (W (y1 ) > W (y2 )) Entonces la condici´on 1) anterior se puede expresar diciendo que el diagrama (y1 > y2 )

 7 $

y1 + y2 +

& (W (y1 ) > W (y2 ))

Y ×Y $ Y &W ×W = &W + Z ×Z $ Z 7$

& W (y1 ) + W (y2 ) = W (y1 + y2 )

conmuta. Tambi´en se puede expresar diciendo que “da lo mismo primero sumar en Y y despu´es aplicar W (obteniendo W (y1 + y2 )) que primero aplicar W y despu´es sumar en Z (obteniendo W (y1 ) + W (y2 )). 67

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

68

Observaci´ on 24 La condici´on 2) anterior se puede expresar diciendo que el diagrama (f> y ) 7 $  fy · I ×Y $ Y &LgI ×W = &W & & · I ×Z $ Z (f> W (y)) 7 $  f · W (y ) = W (fy) conmuta. Es decir que “da lo mismo primero multiplicar por f y despu´es aplicar W> que primero aplicar W y despu´es multiplicar por f”. 1. U la rotaci´on por un a´ngulo .

y

y

x

x 2.  c : R 2 $ R 2 (reflexi´on sobre una l´ınea c).

y

x

´ 3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES, NUCLEOS E 3.

LgY : Y y

´ IMAGENES

69

$ Y = 7$ y

lqfo=

4. Z /$ Y = z  $ 7 y 5.

ˆ0Y : Y y

$ Y = 7$ 0

Ejercicio 75 I campo, W : I $ I lineal , {2 5 W 31 (\ ) , W ({1 )+W ({2 ) 5 \ , W ({1 + {2 ) = W ({1 )+W ({2 ) 5 \=

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

70

c) { 5 W 31 (\ ) > f 5 I , W ({) 5 \> f 5 I , fW ({) 5 \ , W (f{) = fW ({) 5 \ , f{ 5 W 31 (\ ) = Podemos notar los siguientes casos particulares. Teorema 28 Si W : Y $ Z es lineal, entonces n o 1. Ker(W ) =: y 5 Y | W (y) = 0 es un subespacio de Y= 2. W (Y ) 6 Z= n o Demostraci´ on. 1. Simplemente notemos que Ker(W ) = W 31 0Z = 2. Notemos que Y 6 Y= Ejercicio 76

RR

f·

$R R es una funci´on lineal ;f 5 R=

Ejemplo 40 La funci´on identidad en un espacio vectorial, es una funci´on lineal: LgY : I Y $I Y= Ejemplo 41 Si lineal.

IZ

6

IY

entonces la funci´on inclusi´on Z /$ Y es una funci´on

Ejemplo 42 La funci´ on constante

ˆ0 :

IY

y

$ IZ es lineal. 7$ 0Z

Teorema 29 Son equivalentes para W : Y $ Z lineal: 1. W es inyectiva. n o 2. Ker(W ) = 0 = 3.  5 J (Y ) , W () 5 J (Z ) > ; 5 J (Y ) = ³ ´ ³ ´ n o Demostraci´ on. 1) , 2) W 0 = 0 , 0 5 Ker(W ) , 0 6 Ker(W )= Ahora, si W es inyectiva, entonces 0 es el u ´nico vector que se mapea al 0Z = Por lo tanto n o Ker(W ) = 0 . 2) , 3) Supongamos que  5 J (Y ) pero que W () es o= g= Entonces W () incluye un subconjunto finito o= g=, que es de la forma W () con   > = finito.

´ 3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES, NUCLEOS E

´ IMAGENES

71

Supongamos que  = {y1 > ===> yn }6= > W () = {W (y1 ) > ===> W (yn )} = Si W (yl ) = W (ym ) entonces W (yl )  W (ym )n =o 0, entonces 0 = W (yl )  W (ym ) = W (yl  ym ) = Por lo tanto yl ym 5Ker(W ) = 0 = Entonces yl = ym = As´ı que podemos suponer que los elementos de {W (y1 ) > ===> W (yn )} son distintos. Como es o= g= por hip´otesis, entonces hay un vector en W (y1 ) > ===> W (yn ) que es f=o= de los anteriores y no es W (y1 ) > ya que no es 0Z > puesto que y1 6= 0Y = Digamos que W (ym ) = W (y1 ) + === + W (ym31 ) > de donde W (y1 ) + === + W (ym31 )  W (ym ) = 0= por lo tanto y1 + === + ym31  ym 5 Ker (W ) por lo que y1 + === + ym31  ym = 0> pero entonces {y1 > ===> ym31 > ym } es o= g=u  3) , 2) Si x 6= 0> entonces n o {x} es o= l= Por lo tanto {W (x)} es o= l=> as´ı que W (x) 6= 0= Por lo tanto, Y \ 0  Y \ (Ker (W )), es decir que n o Ker (W )  0  Ker (W ) = 2) , 1)

W (x) = W (y) , W (x)  W (y) = 0 , , W (x  y) = 0 , n o , x  y 5 Ker (W ) = 0 , x  y = 0 , x = y=

Teorema 30 Son equivalentes para W : Y $ Z lineal: 1. W es suprayectiva.

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

72

2.  5 G (Y ) , W () 5 G (Z ) > ; 5 G (Y ) = Demostraci´ on. 1) , 2) Supongamos que W es suprayectiva y que  5 G (Y ). Entonces el u ´nico subespacio de I Y que incluye a  es Y (recuerde que L () es el menor subespacio que incluye a ). Queremos ver que Z es el u ´nico subespacio que incluye a W () = Si W ()  ] ¡ Z> entonces   W 31 (]) 6 Y= Como acabamos de observar, Y es el u ´nico subespacio que incluye a = Por lo tanto W 31 (]) = Y= Pero aplicando W , y usando que W es suprayectiva, tenemos que ] = W (W 31 ) (]) = W (Y ) = Z u(] ¡ 

Z )= 2) , 1) Tomemos  una base de Y> entonces W ()  W (Y ) 6 Z> por lo que L (W ()) 6 W (Y ) = Pero por 2), tenemos que L (W ()) = Z= De esta manera, Z = L (W ()) 6 W (Y ) 6 Z= Es decir, Z = W (Y ). Ejemplos 43 1. Los u ´nicos subespacios de R son {0} y R= Entonces toda funci´on lineal R $ R 6= ˆ0 es una biyecci´ on. 2. sen({) : R $ R no es lineal. 3. {2 : R $ R no es lineal. h(

)

4. R $ R no es lineal pues 0 no est´a en la imagen de h( ) . k k

5. R $ R no es lineal. Ejemplo 44 ( )w : Pq (R) $ Pq (R) y Lg : Pq (R) $ Pq (R) son funciones lineales. Entonces ( )w  Lg : Pq (R) $ Pq (R) es una funci´on lineal. ¡ ¢ Ejemplo 45 1. Ker ( )w  Lg = {D | Dw  D = O} = {D | Dw = D} el subespacio de las matrices sim´etricas. ¡ w ¢ 2. ( )  Lg (Pq (R)) = {Dw  D | D 5 Pq (R)} 6 Aq (R) el espacio de las matrices antisim´etricas. Ejercicio 77 Muestre que vale la igualdad en el ejemplo anterior, es decir que © w ª D  D | D 5 Pq (R) = Aq (R) =

3.2. LA PROPIEDAD UNIVERSAL DE LAS BASES

73

·(31)

Ejercicio 78 R $ R es una funci´ on lineal. Muestre que la funci´on RR $ RR i 7$ i ({) es una funci´ on lineal ¿o no?.

3.2.

La propiedad universal de las bases

Teorema 31 (Propiedad universal de las bases) Son equivalentes para  I Y : 1.  es una base para I Y= 2. ;i :  $ Z funci´on, y i :  $ Z= Definamos iˆ : Y $ Z por: edvh

iˆ ({) =

X

fl i (yl ) >

P en donde 0 6= { = flyl > con yl 5 , fl 6= 0. (Recu´erdese que la expresi´on de { como f=o= de elementos de  con coeficientes distintos de 0 es u ´nica porque  es una base de Y .) Es claro que ³ ´ iˆ 0 = 0 si i ha de ser lineal. Veamos que i es lineal: si x> y 5 Y> escribamos x = y y =

X X

flyl > yl 5  glyl > yl 5 

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

74

podemos suponer agregando coeficientes 0 arriba y abajo si es necesario, que las yl que aparece en cada suma son las mismas. As´ı: ³hX i hX i´ iˆ (x + y ) = iˆ flyl + glyl = ³X ´ X (fl + gl ) yl = = iˆ (fl + gl ) i (yl ) = X X X fl i (yl ) + gl i (yl ) = iˆ (x) + iˆ (y) = = [fl i (yl ) + gl i (yl )] = Adem´as

³ ³X ´´ ³ ³X ´´ ³X ´ iˆ (f · y) = iˆ f · glyl = iˆ f · glyl = iˆ f (glyl ) = ´ X ³X X X (fgl ) i (yl ) = f (gl i (yl )) = f gl i (yl ) = = iˆ (fgl ) yl = = fiˆ (y ) =

´nica funci´on lineal Y $ Z con esa propiedad Debe ser claro que iˆ| = i= Que iˆ es la u se deja como ejercicio. +) Supongamos que  tiene la propiedad enunciada en 2). Primero veamos que  es o= l= Si existiera { 5  tal que { 5 L (\ {{}) definamos la funci´on i :  $ I { 7$ 1 = | 7$ 0 si | 6= { Por hip´otesis habr´ıa una funci´on lineal iˆ : Y $ I tal que conmuta el diagrama  i& I

/$ Y .iˆ =

De la definici´on de i se sigue que iˆ|L(\{{}) = ˆ0|L(\{{}) . Entonces 1 = iˆ ({) = iˆ|L(\{{}) ({) = ˆ0|L(\{{}) ({) = 0u= 

Esta contradicci´on muestra que  es o= l= n o Veamos ahora que  5 G (Y ). Sup´ongase que L () ¡ Y , entonces h2 } la base can´onica para R2 > sea i :  $ R2 h1 7$ (2> ¡ 3)s ¢ h2 7$ 5> 2 entonces iˆ : R2 $ R2 es tal que iˆ ({> |) = iˆ ({h1 + |h2 ) = {i (h1 ) + |i (h2 ) = ³ s ´ s ´ ³ = { (2> 3) + | 5> 2 = 2{  5|> 3{ + | 2 = Corolario 6 Sea  una base para I Y y sean W> V : Y  Z dos funciones lineales. Son equivalentes: 1. W = V= 2. W| = V| = Demostraci´ on. 1) , 2) Es obvio. 2) , 1) Tanto W como V est´an en un diagrama conmutativo W| =V|

 /$ Y & .W > Z

W| =V|

 /$ Y & .V Z

la unicidad en la propiedad universal obliga la igualdad de W y V= Lo anterior se expresa diciendo lo siguiente “para ver que dos funciones lineales coinciden, basta ver que coinciden en una base de I Y=

76

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

Observaci´ on 25 Notemos que la propiedad universal de las bases nos dice que si  es una base de I Y> entonces hay una biyecci´on Z  $ KrpI (Y> Z ) . i 7$ iˆ ¯ ¯ Entonces |KrpI (Y> Z )| = ¯Z  ¯ = Ejemplo 47 El n´ umero de funciones lineales de (Z2 )2 a (Z2 )2 es ¯ ¯ ¯(Z2 )2 ¯2 = 16= Contamos de manera expl´ıcita el n´ umero de im´agenes posibles de la base can´onica {(1> 0) > (0> 1)} = Tenemos que (Z 2 )2 tiene 4 elementos: {(0> 0) > (1> 0) > (0> 1) > (1> 1)} = As´ı, es claro que el n´ umero es 4 × 4= (4 posibles im´agenes para (1> 0) y otras tantas para (0> 1)). Ejercicio 79 ¿Cu´antas funciones lineales hay de (Z3 )3 a (Z3 )3 ? Ejercicio 80 ¿Cu´antas funciones lineales hay de (Zs )q a (Zs )p ? Corolario 7 Si W : Y $ Z es lineal y se anula en una base de I Y , entonces W = ˆ0= Demostraci´ on. Se sigue del Corolario anterior, notando que W y ˆ0 coinciden en la base . Lema 1 W : I Y $ I Z es lineal / ;{> | 5 Y> ;f 5 I> W ({ + f|) = W ({) + fW (|) = Demostraci´ on. ,) Si W es lineal y {> | 5 Y> f 5 I entonces W ({ + f|) = W ({) + W (f|) = W ({) + fW (|) = +) Tomando f = 1, tenemos que W ({³+ 1|) = ) +´1W (|) = ´ W ({³ Tomando { = 0, entonces W (f|) = W 0 + f| = W 0 + fW (| ) = fW (|) = Teorema 32 Sean W : Y $ Z y X : Z $ [ son funciones lineales.. Entonces 1. X  W : Y $ [ tambi´en es una funci´ on lineal. 2. Ker(X  W ) = W 31 (Ker (X )) =

3.2. LA PROPIEDAD UNIVERSAL DE LAS BASES

77

Demostraci´ on. 1. (X  W ) ({ + f| ) = X [(W ) ({ + f| )] = X [W ({) + fW (|)] = = X (W ({)) + fX (W (|)) = (X  W ) ({) + f [(X  W ) (| )] = 2. { 5 Ker (X  W ) / (X  W ) ({) = 0 / X (W ({)) = 0 / (W ({)) 5 Ker (X) / { 5 W 31 (Ker (X )) =

Definici´ on 40 Si I Y y I Z son espacios vectoriales entonces KrpI (Y> Z ) = {W : Y $ Z | W es lineal} =

Ejercicio 81 Sean I Y y I Z son espacios vectoriales. 1. Demuestre que Z Y = {i : Y $ Z | i es una funci´on} es un espacio vectorial, con las definiciones naturales de suma y de multiplicaci´ on por escalares (por ejemplo, (fi ) (y ) =: f · i (y ) 2. KrpI (Y> Z ) 6 Z Y = Ejercicio 82 Demuestre que s1

R3 $ R > ({> |> }) 7$ {

s2

$ R R3 > ({> |> }) 7$ |

s3

$ R R3 ({> |> }) 7$ {

son funciones lineales. Entonces ;n> o> p 5 R> ns1 +os2 +ps3 es tambi´en una funci´on lineal. Es decir que la funci´on i (({> |> })) = n{ + o| + p} es una funci´ on lineal. Ejercicio 83 Demuestre que toda funci´on lineal de R3 a R es de la forma descrita en el ejercicio anterior.

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

78 Ejercicio 84

1. Demuestre que s

n $ R Rq ({1 > {2 > ===> {q ) 7$ {n

es una funci´on lineal. 2. Demuestre que

Rq

$

({1 > {2 > ===> {q ) 7$

R q P

fn {n

n=1

es una funci´on lineal para cada sucesi´on f1 =f2 > ===> fn 5 R= 3. Demuestre que toda funci´on lineal de R q a R es de esta forma. Ejercicio 85

1. Demuestre que l

n R $ Rq 3

4

u 7$ C0> 0> ===> u > ===> 0D | {z } n lugares

es una funci´on lineal. 2. Demuestre que f·l

n Rq R $ 3

4

u 7$ C0> 0> ===> fu > ===> 0D | {z } n lugares

es una funci´on lineal. 3. Demuestre que i

Rq R $ { 7$ (f1 {> f2 {> ===> fq {) es una funci´on lineal. Definici´ on 41 W : Y $ Z lineal es un isomorfismo si ;= Demostraci´ on. 1) , 2) Por definici´on un isomorfismo es una funci´on con inverso. Las funciones invertibles son precisamente las biyectivas. 2) , 3) Por los Teoremas 29 y 30, W () es o= l= y genera Z= W|

3) , 2) Primero notemos que  $ W () es una biyecci´on. Basta ver que es inyectiva. Si no lo fuera, tomemos dos vectores x 6= y 5  tales que W (x) = W (y ) = Cambiemos la base  cambiando y por y  x> para obtener el nuevo conjunto  0 (que sigue siendo base de Y , ejercicio f´acil). Notemos que W (y  x) = 0 5 W ( 0 ) > por lo que W ( 0 ) es o= g y entonces no es una base para Z u= 

W|

Toda vez que hemos notado que  $ W () es una biyecci´on, tomemos la funci´on j inversa W () $ = Como W () es una base para, la propiedad universal de las bases nos dice que se definen: 1. nul(W ) = dim (Ker W ) : y se llama la nulidad de W= 2. rango(W ) = dim (W (Y )) = Teorema 35 Para una funci´ on lineal W : Y $ Z , con dim(Y ) 5 N, se tiene que nul (W ) + rango (W ) = dim (Y ) = Demostraci´ on. Tomemos [ 6 Y tal que Y = Ker(W )

L

[= Tenemos que

nul (W ) + dim ([) = dim (Y ) (la uni´on de una base de Ker(W ) con una base de [³ nos ´ da una base de I Y ). ;y 5 Y>    y = n + {> con n 5 N> { 5 [= Entonces W (y ) = W n + W ({) = W ({) = Por lo tanto W (Y )  W ([)  W (Y ) y podemos considerar el diagrama W

Y $ % lqfo= [

W|[

W (Y ) k

$ W ([)

3.2. LA PROPIEDAD UNIVERSAL DE LAS BASES

81

o n o ¡ ¢ n es inmediato que Ker W|[ = { 5 [ | W ({) = 0 = (Ker (W )) _ [ = 0 = Por lo tanto W|[ es una funci´on lineal inyectiva y as´ı, es un isomorfismo de [ en W ([) = W (Y ) = Por lo tanto, dim ([) = dim (W (Y )) = rango (W ) = Una simple sustituci´on, nos da el resultado deseado: nul (W ) + dim ([) = dim (Y ) nul (W ) + rango (W ) = dim (Y )

Corolario 8 Sea W : Y $ Z una funci´ on lineal entre dos espacios vectoriales de la misma dimensi´on q (q 5 N). Son equivalentes: 1. W es inyectiva. 2. W es suprayectiva. 3. W es un isomorfismo. Demostraci´ on. Basta mostrar n o que 1) / 2). W es inyectiva / Ker(W ) = 0 / nul(W ) = 0 / rango(W ) = dim (Y ) / dim (W (Y )) = dim (Y ) / W (Y ) = Y / W es suprayectiva. Definici´ on 43 Recordemos que I ([) = {i : [ $ Y | sop (i) es finito} = Para cada { 5 [ definimos $ I { : [ { 7$ 1 = { 6= | 7$ 0 Observaci´ on 26 sop( { ) = {{} que es finito, por lo tanto  { 5 I ([) . Lema 2 { { }{M[ es una base de I ([) = Demostraci´ on.

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

82 1. Si

q X fl  {l = ˆ0 l=1

entonces para una m 5 {1> ===> q} tenemos que ! Ã q q X X fl  {l ({m ) = (fl · {l ({m )) = fm ;m 5 {1> ===> q} = 0 = ˆ0 ({m ) = l=1

l=1

Por lo tanto { { }{M[ es linealmente independiente. P j ({)  { : 2. Sea ahora j 5 I ([) > demostraremos que j = {Msop(j)

a) Para } 5 [\sop(j), entonces j (}) = 0 y 3 4 X X C j ({) { D (}) = (j ({)  { (})) = 0= {Msop(j)

{Msop(j)

b) Para } 5sop(j) > entonces 3 4 X X C j ({)  { D (}) = j ({)  { (}) = j (}) · 1 = j (}) = {Msop(j)

Por lo tanto j =

{Msop(j)

P

j ({)  { =

{Msop(j)

Teorema 36 Si I Y es un espacio vectorial, entonces Y u I ([) para alg´ un conjunto [= Demostraci´ on. Sea  una base de I Y y consideremos I () > la biyecci´on  AA ³ {{ }{M } 7$ } muestra que I Y tienen la misma dimensi´on. Ejemplo 48 Una funci´ on ib : R $ R que respeta la suma y que no respeta la multiplicaci´on.

3.2. LA PROPIEDAD UNIVERSAL DE LAS BASES

83

Recordemos que R es un espacio vectorial sobre Q> de manera natural. Como los espacios vectoriales tienen base, entonces R es isomorfo a Q(X) para alg´ un conjunto [ (podemos escoger [ como una base de Q R= Podemos notar que [ tiene que ser infinito, pues |Q2 | = |N2 | = |N| > de aqu´ı que si q 6 2p , entonces ¯ ¯ ¯ p ¯ ¯¯ p31 ¯¯ |Q| 6 |Qq | 6 ¯Q2 ¯ = ¯Q2 ¯ = === = |Q| ? |R| = ¯2Q ¯ = En particular, podemos escoger y1 5 [ y definir la funci´on i

[ $ R . y1 7$ 2y1 { 7$ { si { 6= y1 Por la propiedad universal de las base, de donde se tiene que 2 = 1 u= 

Ejemplo 49 Una funci´on que respeta la multiplicaci´on por escalares que no respeta la suma. Sea

i : R2 $ R2 ({> 0) 7$ (2{> 0) = ({> |) 7$ ({> |) si | 6= 0

i respeta multiplicaci´on por escalares: i (f ({> 0)) = (2f{> 0) = f (2{> 0) = fi ({> 0) = i (f ({> |)) = i (f{> f|) = (f{> f|) = f ({> |) = fi ({> |) si | 6= 0 i no respeta la suma: (1> 1) = i ((1> 1)) = i ((1> 0) + (0> 1)) = i (1> 0) + i (0> 1) = (2> 0) + (0> 1) = (2> 1) 6= (1> 1) = ¯ ¯ Ejemplo 50 El n´ umero de funciones ¯lineales de I Y a I Z es ¯Z  ¯ mientras que ¯ el n´ umero de funciones de Y a Z es ¯Z Y ¯ = Por ejemplo, el n´ umero de funciones lineales de R a R es |R| > pues tenemos la biyecci´on R $ KrpR (R> R) = f 7$ f· Pero, ¯ ¯ ¯ ¯ |R| ? ¯2R ¯ 6 ¯RR ¯ >

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

84

¯ ¯ ya que |R| ? |€ (R)| = ¯2R ¯ = Adem´as 2R /$ RR , pues toda funci´ on con valores en {0> 1} > puede pensarse como una funci´ on con valores en R= Las funciones lineales de Y a Z son “pocas” comparadas con todas las funciones de Y a Z= Observaci´ on 27 Para cualquier conjunto [> se tiene que |[| ¡ |€ ([)| = [ $ € ([) es inyectiva, por lo que |[| 6 |€ ([)| = { 7$ {{} Si existiera una funci´on biyectiva i : [ AA³ € ([), consideremos el conjunto Demostraci´ on. La funci´on

D = {} 5 [ | } 5 @ i (})} como D 5 € ([) > entonces D = i (x) > para alguna x 5 [= Notemos ahora que x 5 D , x 5 @ i (x) = D. Por lo tanto x 5 @ D = i (x). Pero como x 5 @ i (x) > entonces x 5 Du. 

Como no hay biyecciones entre [ y € ([), tenemos que |[| ¡ |€ ([)| = ¯ ¯ Observaci´ on 28 |€ ([)| = ¯2[ ¯ = Demostraci´ on. 2[ = {i : [ $ {0> 1} | i funci´on} = La funci´on 

2[ $ € ([) i 7$ {} 5 [ | i (}) = 1} es una biyecci´on. Ejercicio 87 Muestre que la funci´on "

€ ([) $ 2[ \ 7$ "\ donde "\ es la funci´on caracter´ıstica de \ : ½ "\ (}) =

1 si } 5 \ > 0 si } 5 @\

es la inversa de la funci´ on  de la Observaci´on anterior.

´ LINEAL 3.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION

3.3.

85

La matriz de una transformaci´ on lineal

Definici´ on 44 Sea I Y con base  = {{1 > {2 > ===> {q } definamos x : Y $ I q mediante la propiedad universal de las bases por medio de {l  /$ Y &¯ &* .x = hl I q Observaci´ on 29 Notemos que x es un isomorfismo, cuyo inverso tiene la propiehl ) = {l . dad de que x31  ( µ Observaci´ on 30 x (y ) = x 3 4 d1 E d2 F E F E .. F = C . D dq 3 E E El vector E C

d1 d2 .. .

q P

¶ dl{l

l=1

=

q P

x (dl{l ) =

l=1

q P

dl x ({l ) =

l=1

q P

dlhl =

l=1

4 F F F se llama el vector de coordenadas de y respecto a  y tambi´en D

dq se denota [y ] = Observaci´ on 31 W : I q $ I p lineal , W (d1 > d2 > ===> dq ) = d1 W (h1 ) + d2 W (h2 ) + ==== + dq W (hq ) = Definici´ on 45 La matriz de W : I q $ I p es la matriz cuyas columnas son W (h1 ) > W (h2 ) > ====> W (hq ) : (W (h1 ) W (h2 ) ====W (hq )) = Ejemplo 51 La matriz de W : R3 $ R2 tal que W ({> |> }) = (2{ + 3|> {  2|  }) es

µ

2 3 0 1 2 1

¶ =

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

86

Definici´ on 46 Si W : Y $ Z es una funci´ on lineal entre los espacios vectoriales sobre el campo I> de dimensiones q y p, respectivamente, con bases  = {{1 > {2 > ===> {q } >  = {|1 > |2 > ===> |p } respectivamente. Entonces [W ] es la matriz de x W x31 

I q $ I p en el diagrama conmutativo 3 Y $ E &x C Iq

x W x31 

$

4 Z &x F D= p I

Expl´ıcitamente, la m-´esima columna de [W ] es el vector en I p : ¢ ¡ ¢ ¡ (hm ) = (x  W ) x31 hm ) = x  W  x31   ( = (x  W ) ({m ) = x (W ({m )) = [W ({m )] es decir, es el vector de coordenadas de W ({m ) respecto a la base = Observaci´ on 32 El coeficiente l> m-´esimo de la matriz [W ] es la i-´esima coordenada de [W ({m )] = Ejemplo 52 Consideremos la funci´on derivada G : P3 (R) $ P2 (R) y tomemos las bases can´ onicas  = {1> {> {2 > {3 } y  = {1> {> {2 } entonces 3 4 0 1 0 0 [G] = C 0 0 2 0 D = 0 0 0 3 Teorema 37 Sean I Y y I Z dos espacios de dimensi´on finita q> p respectivamente, con sendas bases > . Los espacios vectoriales KrpI (Y> Z ) y Pp×q (I ) > son isomorfos. Demostraci´ on. Denotemos  = {{1 > ==={q } >  = {|1 > ===> |p } = Definamos  [

KrpI (Y> Z ) $ Pp×q (I ) = W 7$ [W ]

´ LINEAL 3.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION

87

1. [ es una funci´on lineal. Tomemos W> V 5 KrpI (Y> Z ), f 5 I , entonces [ (W + fV) = [W + fV] . Calculemos la columna m´esima de esta matriz: ´m ³ [W + fV] = [(W + fV) ({m )] = [W ({m ) + (fV) ({m )] = = [W ({m ) + f (V ({m ))] = x (W ({m ) + f · V ({m )) = = x (W ({m )) + f · x (V ({m )) 1 = [W ({m )] + f · [V ({m )] ³ ³ ´m ´m ³ ´m = [W ] + f · [V] = [W ] + f · [V] = Como las m-´esimas columnas de las matrices [W + fV] y [W ] + f · [V] coinciden, y esto vale para cada columna, entonces [W + fV] = [W ] + f · [V] . Por lo tanto [ es lineal. ¡ ¢ © ª 2. [ es inyectiva. Para mostrar esto basta ver que Ker [ = ˆ0 , la transformaci´on lineal cero. Sea W una transformaci´on lineal de Y a Z tal que [ (W ) = O= Entonces, para cada 3 4 0 ¡  ¢m E .. F m m, tenemos que [ (W ) = O = C . D = 0 Entonces 3 4 0 E F x (W ({m )) = [W ({m )] = C ... D 0 Pero entonces, aplicando x31  > obtenemos 4 0 E .. F  W ({m ) = x31  C . D = 0Z > 0 3

de aqu´ı tenemos que W se anula en la base = Por lo tanto W = ˆ0= (Ver el Corolario 7). Demostraci´ on. 3. Veamos que [ es suprayectiva. Sea D 5 Pp×q (I ) = Queremos resolver la ecuaci´on [W ] = D= Para una W que

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

88

satisfaga la ecuaci´on, debemos tener que sus m´esimas columnas coincidan. Entonces debe pasar que 4 3 Dl>m E D2>m F ³ ´m F E [W ] = Dm = E .. F > C . D Dp>m ³ ´m como [W ] = [W ({m )] = x (W ({m )), entonces debe suceder que 3 E E x (W ({m )) = E C

Dl>m D2>m .. .

4 F F F> D

Dp>m es decir que

3 W ({m ) =

x31 

E E E C

Dl>m D2>m .. . Dp>m

4 p F X F Dl>m |l 5 Z= F= D l=1

La propiedad universal de las bases, nos asegura que una funci´on lineal Y $ Z tal p P que {m 7$ Dl>m |l >para cada m. Es claro que si llamamos W a esta funci´on lineal, l=1

entonces [ (W ) = D= Tenemos que [ es un isomorfismo. Definici´ on 47 Sea D 5 Pq×p (I ) > definiremos la funci´on lineal (D · ) : I p $ I q (Multiplicar por D por el lado izquierdo) defini´endola en la base can´ onica de I p : D · hm = (D · ) (hm ) =: Dm = Entonces

! Ãp p X X (D · ) fm hm = fm Dm = m=1

m=1

on lineal (se ha Observaci´ on 33 (D · ) : I p $ I q es por definici´on una funci´ usado la propiedad universal de las bases para definirla).

´ LINEAL 3.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION

89

Observaci´ on 34 La matriz de (D · ) respecto a las bases can´onicas de I q y I p es D= on. Sean  y  las bases can´onicas de I p y I q respectivamente. ³ Demostraci´ ´m £¡ ¢¤ ¡ m ¢  [(D · )] = [(D · hm )] = Dm = D = Teorema 38 Sean  = {{1 > ===> {q } /$ I Y y  = {|1 > ===> |q } /$ I Z y W : Y $ Z edvh edvh lineal. Entonces el siguiente cuadrado es conmutativo: W

x

Y $ Z & &x =

I

q

[W ] ·

$ I

(3.3)

p

Demostraci´ on. Sea y 5 I Y> queremos demostrar que W

x

y $ W (y ) & &x [W ] ·

[(y)] $

[W ]

=

· [(y)] = [W (y)]

En efecto: supongamos que y = f1{1 + f2{2 + === + fq{q > entonces (x  W ) (y) = x (W (y)) = [W (y )] = = [W (f1{1 + f2{2 + === + fq{q )] = = [f1 · W ({1 ) + f2 · W ({2 ) + === + fq · W ({q )] = = f1 · [W ({1 )] + f2 · [W ({2 )] + === + fq · [W ({q )] = ´1 ´2 ´q ³ ³ ³ = f1 · [W ] + f2 · [W ] + === + fq · [W ] = ´ ´ ´ ³ ³ ³ = f1 · [W ] · h1 + f2 · [W ] · h2 + === + fq · [W ] · hq = ³ ´ ³ ´ ³ ´ = [W ] · f1h1 + [W ] · f2h2 + === + [W ] · fqhq = = [W ] · (f1h1 + f2h2 + === + fqhq ) = = [W ] · [({)] =

90

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejemplo 53 Sea  = {1> {> {2 > {3 } /$ P3 (R),  = {1> {> {2 } /$ P2 (R) = Tomemos base

la funci´on derivada G : P3 (R) $ P2 (R) entonces 3 4 0 1 0 0  [G] = C 0 0 2 0 D 0 0 0 3

base

y tenemos que el diagrama siguiente conmuta: G

P3 (R) $ x & [G] ·

R

P2 (R) &x =

$ R

4

3

Utilizando esto, podemos calcular G (d + e{ + f{2 + g{3 ) : ´ ³ ¢ ¡ ¢ ¡   x d + e{ + f{2 + g{3 = G d + e{ + f{2 + g{3 = x31   [G] · 3 4 3 3 44 d d ³ ´E e F E  E e FF  31 31 F E E FF x  [G] · E C f D = x C[G] C f DD = g g 3 3 44 3 4 d E 0 1 0 0 E e FF C D E FF = x E C 0 0 2 0 C f DD = 0 0 0 3 g 3 3 4 3 4 3 4 3 44 0 1 0 0 Cd C 0 D + e C 0 D + f C 2 D + g C 0 DD = = x31  0 0 0 3 3 4 e C 2f D = e + 2f{ + 3g{2 = = x31  3g Definici´ on 48 Sea  = {{1 > ===> {q } /$

edvh

Observaci´ on 35

3 E E [LgY ] = E C

I Y>

definimos Lq =: [LgY ] .

0 ··· 1 ··· .. . . . . 0 0

1 0 .. .

0 0 .. . 1

4 F F F= D

(3.4)

´ LINEAL 3.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION

91

³ ´m Demostraci´ on. [LgY ] = [LgY ({m )] = [{m ] = hm = Definici´ on 49 Sean D 5 Pq×p (I ) y E 5 Pp×u (I ) = Definimos DE como la matriz de (D · )  (E · ) : I u $ I q , respecto a las bases can´onicas de I u y I q = E·

D·

I u $ I p > I p $ I q son funciones lineales, tomemos >  y  las bases can´onicas de I u > I p > I q > respectivamente. Calculemos DE expl´ıcitamente: (DE)m = [((D · )  (E · )) hm ] = [D (Ehm )] = x (D (Ehm )) = D (x (Ehm )) = Pues D=

I p $ I q x & &x D· q I $ I p conmuta. Por otra parte, x (Ehm ) es la j-´esima columna de la matriz de E · respecto a las bases  y . Es decir, que es E m . Ahora 3 4 E1>m Ãp ! p p E E2>m F ³ ³ ´´ X X X ¡ ¢ E F DE m = D E .. = En>m in = En>m D in En>m Dn = (3.5) F=D C . D n=1 n=1 n=1 Ep>m o n Aqu´ı estamos denotando  = i1 > i2 > ===> ip = p P En>m (Dl ) = DeAs´ı, la i-´esima coordenada de DE> es la i-´esima coordenada de n=1

notemos por l : Entonces (DE)l>m

Ip $ I = (d1 > d2 > ====> dp ) 7$ dp

Ãp ! Ã p ! X X ¡ l¢ ¡ n¢ = l En>m D En>m  l D = = n=1

n=1

! Ã p ! ! Ã p Ãp X X X ¡ n¢ En>m l D En>m Dl>n = Dl>n En>m = = = n=1

n=1

En resumen, (DE)l>m

! Ãp X = Dl>n En>m = n=1

n=1

(3.6)

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

92 W

V

Teorema 39 Sean I Y $ I Z $ I ] funciones lineales entre los espacios vectoriales Y> Z> ], con bases > >  de cardinalidad q> p> u respectivamente. Entonces [V  W ] = [V] [W ] = Demostraci´ on. Consideremos el diagrama x

W

V

[W ] ·

[V] ·

Y $ Z $ ] & &x &x =

I q $ I p $ I p Agrand´emoslo de la manera siguiente: W

Y $ x &

V

Z &x

[W ] ·

I q $ Lg &

$ ] &x [V] ·

Ip

$ I p = &Lg

([V] · )([W ] · ) $

Iq

Ip

Compar´andolo con VW

x

Y $ &

Iq

[VW ] ·

] &x =

Ip ´ ³ ´ ³ ´ ³      [W ] = [V] (V  W )x = [V] · · [W ] Observamos que [V  W ] · = x31       · $

= Por lo tanto [V  W ] = [V] [W ] = Ejemplo 54 Consideremos las rotaciones U y U en el plano sus matrices respecto a la base can´onica de R2 son ¶ ¶ µ µ cos () sen () cos () sen () y sen () cos () sen () cos () respectivamente. Como U

 R2 $ Lg=x &

R2

[U ] ·

$

R2 &x = R2

´ LINEAL 3.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION

93

¶ cos () sen () · , por lo que · = Entonces, U = sen () cos () ¶ ¶µ ¶ µ µ ¶ µ (cos ()) {  (sen ()) | { cos () sen () { = = = U (sen ()) { + (cos ()) | | sen () cos () | µ

[U ]

Ahora, es claro que U U = U+ > por lo que ¶ ¶µ µ cos () sen () cos () sen () = sen () cos () sen () cos () ¶ µ cos ( + ) sen ( + ) = = sen ( + ) cos ( + ) Si efectuamos el producto en el lado izquierdo de la ecuaci´on anterior, tenemos que: ¶ µ cos () cos ()  sen () sen ()  cos () sen ()  sen () cos () = sen () cos () + cos () sen () cos () cos ()  sen () sen () µ ¶ cos ( + ) sen ( + ) = > sen ( + ) cos ( + ) en donde est´ an inclu´ıdas las f´ormulas cos ( + ) = cos () cos ()  sen () sen () y sen ( + ) = sen () cos () + cos () sen () = Ejemplo 55 Sean D> E matrices de p×q y de q×v> con coeficientes en I= Entonces 1. D = DLq = 2. E = Lq E= Demostraci´ on. Sean > >  las bases can´onicas de I q > I p y I v , respectivamente. D·

(D· )Lg

1. Consideremos las funciones I q $ I p y Lg : I q $ I q = Entonces I q $ I p es una funci´on lineal cuya matriz respecto a las bases can´onicas satisface: D = [(D · )] = [(D · )  Lg] = [(D · )]  [Lg] = D · Lq = E·

2. Consideremos las funciones I v $ I q y Lg : I q $ I q = E = [(E · )] = [Lg  (E · )] = [Lg] [(E · )]  = Lq · E=

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

94

Ejercicio 88 Sea  c : R2 $ R2 la reflexi´on sobre la l´ınea c que pasa por el origen. Muestre que su matriz respecto a la base can´onica es µ ¶ cos (2) sen (2) > sen (2)  cos (2) donde  es el ´angulo que hace la l´ınea c con el semieje de los reales positivos. Ejemplo 56 Sean  c1 y  c2 reflexiones sobre las l´ıneas c1 y c2 (una con a´ngulo  y otra con ´angulo > con el semieje de los reales positivos) respectivamente. Entonces  c1   c2 tiene matriz µ

¶ ¶µ cos (2) sen (2) cos (2) sen (2) = sen (2)  cos (2) sen (2)  cos (2) µ ¶ cos (2  2) sen (2  2) = = sen (2  2) cos (2  2)

Entonces la composici´on de dos reflexiones es una rotaci´on.

3.4.

Suma y producto de matrices

Teorema 40 El producto de matrices es asociativo. Es decir, si D 5 Pq×p (I ), E 5 Pp×u (I ), F 5 Pu×v (I ) entonces (DE) F = D (EF) 5 Pq×v (I ) = Demostraci´ on. Consideremos las funciones lineales F·

E·

D·

I v $ I u > I u $ I p > I p $ I q componi´endolas obtenemos ((D · )  (E · ))  (F · ) = (D · )  ((E · )  (F · )) puesto que la composici´on de funciones es asociativa. Denotemos ahora > > >  son las bases can´onicas de I v > I u > I p > I q > respectivamente. Entonces [((D · )  (E · ))  (F · )] =

3.4. SUMA Y PRODUCTO DE MATRICES

95

= [((D · )  (E · ))]  [(F · )] = ³ ´ [(D · )]  [(E · )]  [(F · )] = (DE) F= De la misma manera, [(D · )  ((E · )  (F · ))] = D (EF) = Definici´ on 50 Diremos que una matriz D 5 Pq×q es invertible, si es su propio inverso. Por lo tanto debe pasar que ¶31 µ ¶ µ cos (2) sen (2) cos (2) sen (2) = = sen (2)  cos (2) sen (2)  cos (2) En efecto,

¶ ¶µ cos (2) sen (2) cos (2) sen (2) = sen (2)  cos (2) sen (2)  cos (2) µ ¶ cos2 (2) + sen2 (2) 0 = = 0 sen2 (2) + cos2 (2) ¶ µ 1 0 = = 0 1

µ

96

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

¡ ¢ ¡ 2 ¢ ¶n µ ¶ 1 cos ¡2 sen q ¢ ¡ ¢q > n 5 Z> 0 sen 2 cos 2 q q son los v´ertices de un qgono regular centrado en 0, uno de cuyos v´ertices es (1> 0) = Tomemos q = 9, y n 5 {0> 1> 2> ===> 8} en ¡ ¢ ¡ 2 ¢ ¶n µ ¶ µ cos ¡2 1 sen 9 ¢ ¡ ¢9 = 2 0 cos sen 2 9 9 ¡ ¢ ¡ 2 ¢ ¶0 µ ¶ µ ¶ µ cos ¡2 1 1 sen 9 ¢ ¡ ¢9 > = 2 0 0 cos sen 2 9 9 ¡ 2 ¢ ¡2 ¢ ¶ ¡ 2 ¢ ¶1 µ ¶ µ µ cos ¡ 9 ¢ sen 1 cos ¡ 9  ¢ ¡ 2 ¢9 > = 2 0  cos sen 2 sen 9 9 9 ¡ ¢ ¡ 2 ¢ ¶2 µ ¶ µ ¡ ¢ ¡ ¢ ¶ µ cos ¡2 cos2 29¡  1 sen¡2 29 ¢ sen 9 ¢ 9 ¢ ¡ ¢ = > 0 2 cos 29  sen 29  cos 2 sen 2 9 9 ¡ ¢ ¡ 2 ¢ ¶3 µ ¶ µ ¡ ¢ ¶ ¡ ¢ µ cos ¡2 sen 3 cos¡ 29 ¢ sen2 ¡29  ¢ 1 cos3¡92   9 ¢ 9 ¢ ¡ ¢ > = 0 cos 2 sen 2 3sen 29  cos2 29   sen3 29  9 9 ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ ¶4 µ ¶ µ cos ¡ 9 ¢ sen 1 ¡ 2 ¢9 = 0 sen 2 cos 9 9 ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¶ µ cos4 29¡  9 cos¡2 29¢ sen2 ¡29  ¢+ sen¡4 29¢ ¢ = 4sen 29  cos3 29   4 cos 29  sen3 29  .. . µ

Ejemplo 59 Los v´ertices de R2 dados por

3.4. SUMA Y PRODUCTO DE MATRICES

Teorema 41 Sean D 5 Pp×q (I ) > E> F 5 Pq×u = Entonces D (E + F) = DE + DF= Demostraci´ on. Consideremos las funciones lineales (E · ) > (F · ) 5 KrpI (I u > I q ) y la funci´on lineal (D · ) 5 KrpI (I q > I p ). Entonces (E · ) + (F · ) 5 KrpI (I u > I q ) y entonces (D · )  ((E · ) + (F · )) = 2 (D · )  (E · ) + (D · )  (F · ) = Por lo tanto, [(D · )  ((E · ) + (F · ))] = [(D · )  (E · )] + [(D · )  (F · )] = [(D · )]  [(E · )] + [(D · )]  [(F · )] = DE + DF= Estamos denotando > >  las bases can´onicas de I u > I q > I p , respectivamente. De la misma manera, [(D · )  ((E · ) + (F · ))] = [(D · )] [(E · ) + (F · )] = ³ ´ D [(E · )] + [(F · )] = D (E + F) =

Ejercicio 89 Demostrar que si E> F 5 Pq×u > D 5 Pu×v (I ) > Entonces (E + F) D = ED + FD= Teorema 42 Son equivalentes para una matriz D 5 Pq×q (I ) : 1. D es invertible. 2. D tiene inverso derecho.

97

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

98

3. D tiene inverso izquierdo.. 4. La funci´on D · : I q $ I q es inyectiva. 5. La funci´on D · : I q $ I q es suprayectiva. 6. La ecuaci´on D{ = 0 tiene s´olo la soluci´ on trivial. 7. La ecuaci´on D{ = e tiene soluci´on, ;e 5 I q =3 8. Cada ecuaci´on D{ = e tiene soluci´ on u ´nica, ;e 5 I q = Demostraci´ on. 1) , 2) Es claro. 2) , 5) Supongamos que E es una matriz en Pq×q (I ) tal que DE = Lq = Entonces LgI q = Lq · = DE · = (D · )  (E · ). Por lo tanto, (D · ) tiene inverso derecho, y como tal, es suprayectiva. 5) , 1)Se sigue del Corolario 8. 1) , 3) Es claro. 3) , 4)Supongamos que F es una matriz en Pq×q (I ) tal que FD = Lq = Entonces LgI q = Lq · = FD · = (F · )  (D · ). Por lo tanto, (D · ) tiene inverso izquierdo, y por lo tanto, es inyectiva. 4) / 6) D · : I q $ I q es inyectiva, si y s´olo si su n´ ucleo es trivial, si y s´olo si D{ = 0 , { = 0= Hasta aqu´ı, hemos visto que las primeras 6 afirmaciones son equivalentes. 5) / 7) D · : I q $ I q es suprayectiva si y s´olo si ;e 5 I q > C 1 D 7$ C 1 D > C 0 D 7$ C 0 D = 1 1 1 0 0 1 ;3 3 4 4 3 4 3 4< 1 1 1 2 @ ? Expresemos C 0 D como f=o= de C 1 D > C 1 D > C 0 D , a fin de poder = > 0 1 1 1 calcular V en h1 (la primera columna de la matriz de V=)= 4 3 3 4 3 4 3 4 1 1 2 1 Resolvemos { C 1 D + | C 1 D + } C 0 D = C 0 D > : es decir, 1 1 1 0 { + |  2} = 1 { + | = 0 {  | + } = 0 3

4 1@2 cuya soluci´on es : C 1@2 D = 1 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 2 0 Ahora resolvemos { C 1 D + | C 1 D + } C 0 D = C 1 D > es decir, 1 1 1 0 { + |  2} = 0 { + | = 1 {  | + } = 0 3

4 1@2 cuya soluci´on es C 1@2 D = 0

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

100 Por u ´ltimo, resolviendo.

{ + |  2} = 0 { + | = 0 {  | + } = 1 3

4 1 obtenemos la soluci´on C 1 D = Esto quiere decir que la matriz de V es 1 4 3 1  2  12 1 C  1 1 1 D = 2 2 1 0 1 En efecto, 43 4 3 4 1 1 2  12  12 1 1 0 0 C  1 1 1 D C 1 1 0 D = C 0 1 0 D> 2 2 1 0 1 1 1 1 0 0 1 3

pero tambi´en 4 3 4 43 1 1 0 0 1 1 2  2  12 1 C 1 1 0 D C  12 12 1 D = C 0 1 0 D = 1 0 1 0 0 1 1 1 1 3

El teorema anterior nos sugiere un algoritmo para invertir una matriz. Teorema 43 Sea D 5 Pq×q invertible, entonces la inversa de D es la matriz cuya m-´esima columna es la soluci´ on de D{ = hm . Demostraci´ on. DE m = (DE)m = (Lq )m = hm = As´ı que para encontrar la inversa de la matriz D, habr´ıa que resolver las ecuaciones D{ = hm para cada m. ¡ ¢ D |hm > reduci´endola y escalon´anEsto se hace tomando la matriz ¢ ¡ ¯ aumentada ´nica. dola. Al final se debe obtener Lq ¯E m puesto que la soluci´on es u Uno puede resolver las q ecuaciones D{ = h1 > D{ = h2 > ===> D{ = hq

3.4. SUMA Y PRODUCTO DE MATRICES

101

simult´aneamente, si se toma la matriz aumentada ¡ ¢ D |Lq y se reduce y escalona. Se termina en ¡

Lq |E

¢

>

donde E satisface DE = Lq > es decir que E = D31 = Ejemplo 61 Reduciendo y escalonando la matriz: 3 1 2 3 4 1 0 0 E 1 3 5 8 0 1 0 E C 0 0 1 2 0 0 1 1 2 3 5 0 0 0 obtenemos

3

1 E 0 E C 0 0 Por lo tanto 3

1 E 1 E C 0 1

2 3 0 2

3 5 1 3

0 1 0 0

0 0 1 0

4 0 0 F F> 0 D 1

4 0 1 2 1 2 0 1 1 2 0 F F= 0 2 0 1 2 D 1 1 0 0 1

43 1 2 1 2 4 E 1 1 2 0 8 F FE 0 1 2 2 DC 2 1 0 0 1 5

Ejercicio 90 Calcular la inversa de 3 1 E 1 E C 0 1

2 3 0 2

3 5 1 3

3

4

1 F E 0 F=E D C 0 0

4 4 8 F F> 2 D 5

en P4×4 (Z5 ) > P4×4 (Z7 ) = Ejercicio 91 Calcular la inversa de 3 2 4 6 8 E 3 7 11 18 E C 2 4 7 10 2 5 8 13 en P4×4 (R) =

4 F F D

0 1 0 0

0 0 1 0

4 0 0 F F= 0 D 1

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

102

3.5.

La matriz de cambio de base

Sea W : Y $ Z una funci´on lineal, >  0 dos bases para I Y> > ´ dos bases para Z= Como W = LgZ  W  LgY entonces [W ] = [LgZ ]´  [W ]´´  [LgY ]´= En particular, para W : Y $ Y> > ´ bases para I Y tenemos que [W ] = [LgZ ]´  [W ]´´  [LgY ]´= Su uno hace T = [LgY ]´> notemos que T31 = [LgY ]´ y uno puede escribir [W ] = T31  [W ]´´  T=

Definici´ on 51 La matriz [LgY ]´ se llama la matriz de cambio de base de  a ´, ya que el siguiente cuadrado es conmutativo: LgY

- Y { 7$ { * &¯ &¯  {] 7$[{] 0 ? ?[

Y *



I ||

-

[LgY ] 

0·

0

I | |

de donde se v´e que [LgY ]´ · manda el vector de coordenadas de { respecto a la base  al vector de coordenadas de { respecto a la base ´. As´ı, si  = {{1 > ===> {q },  3 d1 ´ E . [LgY ] C .. dq

= {|1 > ===> |q } y { = d1{1 + === + dq{q entonces 4 3 4 e1 F E .. F D = C . D , { = e1|1 + === + eq|q = eq

Definici´ on 52 Se dice que dos matrices D y E 5 Pq×q (I ) son similares si tenemos que [Lg] = [Lg] ,) Si D = T31 ET> entonces D representa a D · : I q $ I q . Entonces D = [D · ] > donde  es la base can´onica de I q = D = [D · ] = [Lg] [D · ] [Lg] y D = T31 ET. Entonces es claro que si [Lg] = 31 T , entonces E = [D · ] = De [Lg] = T31 observemos que basta tomar n¡ ¡ ¢1 ¡ ¢2 ¢n o  = T31 ¯ > T31 ¯ > ===> T31 ¯ =

Ejercicio 93 Sea W : S3 (R) i

$

¶ µ R 1 P2×2 (R) R2 i i 0 0 7 $  i´(0) i (1)  i (0)

1. Encuentre la matriz de W respecto de las bases can´onicas. 2. Encuentre la inversa de la matriz anterior. µ ¶ d e 3. Encuentre W 31 , y diga cu´anto es W 31 = f g 4

Cuando una funci´on lineal W : Y $ Y , va de Y a Y , se dice que W es un operador.

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

104

µ 4. Aplique la f´ormula para encontrar W Ejercicio 94

1.

31

1 2 3 4

¶

a) Encuentre un polinomio cuya integral de 0 a 1 valga 2,

b) su integral de 0 a 2 sea 4> c) su derivada en 0 sea 7 d) y su valor en 1 sea 2 m´as su valor en 0= Ejercicio 95 Sea W

S5 (R) $ µ P2×3 (R) ¶ i (1) i((2) i (0) R1 i 7$ = i i´(0) i´´(0) 31 1. Calcule la matriz de W respecto a las bases can´onicas. 2. Encuentre el inverso de la matriz del inciso anterior. 3. Muestre que W es un isomorfismo. 4. Calcule W 31 . 5. Use W 31 para encontrar un polinomio que en 1 valga 2, en 2 valga 3, que en 0 valga 5, que tenga un m´aximo local en 0> y que su integral de 1 a 1 sea 2 Ejercicio 96 Muestre que el conjunto de todos los polinomios que satisfacen el inciso 5 del ejercicio anterior son tantos como |R| = Ejercicio 97 Sea W

S5 (R) $ µ P2×3 (R) ¶ i (1) i ((2) i (0) = i 7$ i´(1) i´(2) i´´(0) 1. Calcule la inversa de W= 2. Use el inciso anterior para encontrar un polinomio que en 1 valga 1, en 2 valga 1> en 0 valga 3, y tales que sus derivadas en 1,2, y 0 sean 1,-1,0, respectivamente.

3.5. LA MATRIZ DE CAMBIO DE BASE

105

6 4 2

1

2

-2 -4 -6

Ejercicio 98  = {sen ({) > cos ({)} es una base para {i 5 R $ R |i´´({) = i ({) > i tiene todas sus derivadas} =  = {sen ({ + 1) > cos ({ + 1)} es otra base. Encuentre la matriz de cambio de coordenadas [Lg] , y las coordenadas de sen({)  3 cos ({) respecto de = Ejercicio 99 Recuerde que la proyecci´on sobre Z a lo largo de ], es L s]Z : Z ] $ Z = z  + } 7$ z  1. Demuestre que s]Z es idempotente, es decir, que s]Z  s]Z = s]Z = 2. Muestre que todo operador lineal W : Y $ Y idempotente es una proyecci´on, Ker(W ) mostrando que W = sW (Y ) = 3. Sean Z1 , Z2 , Z3 los subespacios de R 2 , siguientes: Z1 = {({> 0) | { 5 R} Z2 = {(0> {) | { 5 R} Z3 = {({> {) | { 5 R} > Z3 2 calcular sZ Z1 > sZ1 y ver que son distintos.

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

106

Ejercicio 100 Sean  una base de Z (Z de dimensi´ on p) y W : Y $ Z una funci´on. 1. Demuestre que W es lineal / x  W : Y $ I p es lineal. 2. Demuestre que V : Y $ I p es lineal / sl V es lineal para cada l 5 {1> ===> p} = 3. Use lo anterior para mostrar que W

S5 (R) $ µ P2×3 (R) ¶ i (1) i((2) i (0) R1 i 7$ i i´(0) i´´(0) 31 es lineal. Ejercicio 101 Consideremos las matrices 3 3 4 1 0 0 0 E E 0 2 0 0 F E F D=E C 0 0 2 0 D yT=C 0 0 0 1

4 1 1 3 7 0 8 4 6 F F> 0 1 3 1 D 0 0 0 1

1. Calcule T31 3

2. Verifique que TDT31

1 E 0 =E C 0 0

4 0 1 1 2 0 6 F F= 0 2 1 D 0 0 1 q

3. Note que TDq T31 = (TDT31 ) > ;q 5 Q= 48 3 1 0 1 1 E 0 2 0 6 F F. 4. Calcule E C 0 0 2 1 D 0 0 0 1 1. Muestre que 3

3

ln : I $ I q > u 7$ uhwn 44

es lineal, donde Chwn = C0> 0> ===> 0> 1> 0> ===> 0DD. | {z } k coordenadas

3.5. LA MATRIZ DE CAMBIO DE BASE 3

107 {1 {2 .. .

E W E 2. Si I q $ I q es lineal, entonces W E C

4 F F F= D

{q = (W  l1 ) ({1 ) + (W  l2 ) ({2 ) + === + (W  lq ) ({q ) 3. (l1  s1 + l2  s2 + === + lq  sq ) = LgI q 4. Muestre que W es lineal si y s´olo si W  ln es lineal, para cada n 5 {1> ===> q}. µ ¶ µ ¶ D E [ \ Ejercicio 102 Suponga que y son matrices de q×p y p×u> F G ] T respectivamente. Suponga que las submatrices D> E> F> G> [> \> ]> T son tales que se pueden realizar los productos µ Muestre que

D[> E\> D\> ET> F[> G]> F\> GT= ¶ ¶ µ ¶ µ D[ + E] D\ + ET [ \ D E = = · F[ + G] F\ + GT ] T F G

Ejercicio 103 Verifique lo anterior multiplicando las matrices ¸ · ¸ 4 3 · ¸ · ¸ 4 3 · 6 2 7 1 1 1 1 F E C 1 0 D E · 2 ¸ · 2 1 ¸ F = C 6 £ ¤ £1 0¤ 9 6 D 1 0 1 4 2 68 4 Ejercicio 104 Se dice que Z 6 Y es W invariante,W : Y $ Y lineal, si W (Z ) 6 Z> es decir si W Y Y 6 lqf=

Z

6

=

lqf=

W|Z

-

Z

conmuta. 1. Suponga que la dimensi´ on de Y es q y que la de Z es p= Muestre que si  es una base para Z> entonces existe  base de Y tal que ¶ µ £ ¤ W|Z  E  = [W ] = 0 F

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

108

2. Muestre que W invertible , W|Z invertible y F es invertible. 3. Muestre que W es invertible +, !31 µ £ ¤ ¶31 Ã ³£ ¤ ´31 W|Z  E \ W|Z  = > 0 F 0 F 31 £ ¤ donde \ satisface W|Z  \ + EF 31 = 0= Es decir, \ = µ Ejercicio 105 Muestre que

³£ ¤ ´31 ¡ ¢  W|Z  EF 31 =

D E 0 F

¶ es invertible +, D y F son invertibles.

Ejercicio 106 Muestre que 4 3 1 2 1 9 51 7 7 E 3 3 5 9 1 5 8 F F E E 0 0 2 µ ¶ 4 4 5 5 F F E F= D E > E 0 0 0 1 0 0 0 F E 0 F E 0 0 0 0 1 0 0 F F E C 0 0 0 0 0 1 0 D 0 0 0 0 0 0 1 es invertible, calculando 431 4 4 5 5 E µ ¶31 1 0 0 0 F F E 1 2 0 1 0 0 F = > F 31 = E F > E 3 3 C 0 0 1 0 D 0 0 0 1 µ ¶ 1 9 51 7 7 E= 5 9 1 5 8 3

D31

2 0 0 0 0

y usando el ejercicio anterior. Ejercicio 107 Muestre que si W : Y $ Y tiene un subespacio W invariante Z , son equivalentes:

3.5. LA MATRIZ DE CAMBIO DE BASE

109

1. W es invertible. 2. W|Z : Z $ Z y sZ ]  W  l] , son invertibles, donde a) Y = Z

L

],

l]

b) ] $ Y es la inclusi´ on, c) sZ on sobre ] a lo largo de Z= ] es la proyecci´ Ejercicio 108 Muestre que R4 W : 3 R4 4 $ 3 { + 2| + 7}  3w { E E | F E F 7$ E 3{ + 4| + 2}  4w C C } D }+w 2} w

4 F F D

tiene un subespacio W invariante Z de dimensi´on 2 que satisface las condiciones del inciso 2 del ejercicio anterior. ()

Ejercicio 109 1. Muestre que C$C la conjugaci´on, no es una funci´on C lineal. Es decir, que no respeta multiplicaci´on por complejos. 2 2 µ R ¶ $ µ R ¶ { { es Rlineal. 2. Sin embargo, muestre que 7 $  | | ()

3. Concluya que C$C respeta la suma pero no es lineal.

110

CAP´ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

Cap´ıtulo 4

Sistemas de ecuaciones lineales 4.1.

Operaciones elementales

Observaci´ on 36 Para una matriz D 5 Pq×p (I ) > E 5 Pp×u (I ) > se tiene que ¢ ¡ DE = DE¯1 | DE¯2 | === | DE¯r Demostraci´ on. (DE)¯j = (DE) hm = D (Ehm ) = DE¯j = 3

4

Observaci´ on 37 Denotemos hwl = C0> ===> 1> 0> ==>0D. Sea D 5 Pq×p (I ) > entonces | {z } l lugares

hwl D = Di , ¯

el i-´esimo rengl´ on de D= Demostraci´ on. Ahora,

¢ ¡ hwl D = hwl D1¯ | hwl D2¯ | === | hwl D¯r = 3

4 D1>m 3 4 E .. F E . F E F hwl D¯j = C0> ===> 1> 0> ==>0D E Dl>m F = Dl>m = | {z } E . F C .. D l lugares Dq>m

111

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

112

3 E E Observaci´ on 38 DE = E C

D1 E ¯ D¯2 E .. .

4 F F F= D

D¯r E Demostraci´ on. (DE)i = hwl (DE) = (hwl D) E = Di E= ¯

¯

Definici´ on 54

1. Definimos la operaci´on elemental Jl>m : Pq×p (I ) $ Pq×p (I ) >

como la operaci´ on que intercambia los renglones i-´esimo y j-´esimo. 2. Definimos la matriz elemental Jl>m =: Jl>m (Lq ) = Teorema 45 Si F 5 Pq×p (I ) entonces Jl>m (F) = Jl>m · (F) Demostraci´ on. 3

; w A ? h1 E . .. E l lugares E A = hw E m E E .. Ji>j · (F) = E . E w E  h l E E .. C .

4

< A A A A A A @

F F F m lugares F F A F A A F · (F) = A A F A > F F F D

hwq 3

; A ? F1¯ E .. E i lugares . E A = F E j E E .. ¯ =E . E E F i E E ..¯ C . Fn ¯

< A A A A A A @

4

F F F j lugares F F A F A A F = J l>m (F) = A A F A > F F F D

4.1. OPERACIONES ELEMENTALES

113

Definici´ on 55 Definimos la funci´ on Pf>l : I q $ I q > f 5 I por medio de: Pf>l : I q $ I q hl 7$ f · hl hm 7$ hm > m 6= l= As´ı, Pf>l multiplica por f la l-´esima coordenada de un vector en I q . Definici´ on 56 Sea  la base can´onica de I q , denotemos por Mf>l la matriz [Pf>l ] , es decir que Pf>l - Iq Iq Lg=x

=

? Mf>l · Iq

x =

?

Iq

N´otese que Pf>l = Mf>l · = Definici´ on 57 Ahora definamos Mf>l : Pq×p (I ) $ Pq×p (I ) por medio de: 3 3 4 4 D1 D1 ¯ ¯ E .. F E .. F E . F E . F E E F F Mf>l E Di F = E f · Di F > es decir, Mf>l multiplica por f el l´esimo rengl´on E . ¯ F E .¯ F C .. D C .. D Dn Dn ¯ ¯ de una matriz. N´otese que Mf>l es lineal. Teorema 46 Si D 5 Pq×p (I ) entonces Mf>l (D) = Mf>l (Lq ) · D= Demostraci´ on. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Mf>l (D) = Pf>l D1¯ | Pf>l D2¯ | === | Pf>l (Dm¯ ) = ¡ ¢ = Mc>i · D1¯ | Mc>i · D2¯ | === | Mc>i · Dm¯ = = Mc>i · D = (Mc>i · h1 | Mc>i · h2 | === | Mf>l · hq ) · D = = (Pf>l (h1 ) | Pf>l (h2 ) | === | Pf>l (hq )) · D = = Mf>l (Lq ) · D=

114

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definici´ on 58 Definamos Sf>l>m ; Pq×p (I ) $ Pq×p (I ) por ½ Dk si n 6= m ¯ Sf>l>m (D)k = = fD i + Dj si n = m ¯ ¯

¯

Teorema 47 Sf>l>m (D) = Sf>l>m (Lq ) · D. Demostraci´ on.

½ hwn Sf>l>m (D) =

Dk si n 6= m ¯ = fDi + Dj si n = m ¯

Por otra parte,

½ hwn Sf>l>m

(Lq ) =

entonces

hwk si n 6= w ¯ w fhi + hj si n ¯ ¯ ½

hwn Sf>l>m

(Lq ) · (D) =

¯

m > =m

Dk si n 6= m ¯ = fDi + Dj si n = m ¯

¯

Definici´ on 59 1. Las funciones Jl>m > Mf>l (f 6= 0)> Sf>l>m se llaman operaciones elementales de rengl´on y las matrices Jl>m (Lq ) > Mf>l (Lq ) (f 6= 0)> Sf>l>m (Lq ) > se llaman matrices elementales. 2. Se dice que Jl>m > es de tipo 1, Mf>l (f 6= 0)> es de tipo 2, Sf>l>m es de tipo 3= 3. Se dice que las matrices Jl>m (Lq ) > Mf>l (Lq ) (f 6= 0)> Sf>l>m (Lq ) > son de tipo 1, 2, 3, respectivamente. Ejercicio 110 1. Demuestre que las operaciones elementales son invertibles. De 31 = Jl>m > M31 hecho, demuestre que Jl>m f>l = M 1 >l > Sf>l>m = S3f>l>m . f

2. Demuestre que las matrices elementales son invertibles. Muestre que (R (Lq ))31 = R31 (Lq ) = 3. Concluya que el inverso de una matriz elemental H, es del mismo tipo que H. Notaci´ on 5 1. Si D 5 Pq×p (I ), el rango (de renglones de D) es la dimensi´on del espacio generado por los renglones. Denotaremos por rango(D) al rango de renglones de D.

4.1. OPERACIONES ELEMENTALES

115

2. Si D 5 Pq×p (I ), el rango (de columnas de D) es la dimensi´ on del espacio generado por las columnas. denotaremos rangoW (D). Teorema 48 Si R es una operaci´ on elemental de rengl´on, entonces para cualquier matriz D 5 Pq×p (I ) > se tiene que R (D) = R (Lq ) · D= Demostraci´ on. Teoremas 45, 46, 47. 3< I q = Teorema 49 rangoW (D) = rango(D · ), donde I p D·

Demostraci´ on. {h1 > ===> hp } genera I p > por lo tanto © ª (D · ) ({h1 > ===> hp }) = D1¯ > D2¯ > ===> Dm¯ genera la imagen de (D · ). Entonces rango (D · ) = dim L

ª¢ ¡© 1 2 D¯ > D¯ > ===> Dm¯ = rangoW (D) =

Lema 3 Sea W : Y $ Z una funci´ on lineal, y ! : ] $ Y> [ : Z $ \ isomorfismos entonces rango(W  !) = rango(W ) = rango(#  W ). Demostraci´ on. rango (W  !) = dim ((W  !) (])) = = dim (W (! (]))) = dim (W (Y )) = rango (W ) = #

W entonces Por otro lado, si consideramos Y 3 # () es una base para # (W (Y )) = Lo anterior se debe a que tenemos un isomorfismo #|W (Y )

W (Y )3333< # (W (Y )) = Entonces rango(#  W ) = dim (# (W (Y ))) = dim (W (Y )) = rango(W ) =

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

116

Ejercicio 111 Si el diagrama Y

W

-

Z

=

*

?

[

X

#

-

?

\

conmuta, y *> # son isomorfismos, demuestre que rango(W ) = rango(X). Teorema 50 Las operaciones elementales de rengl´on no alteran el rango de rengl´ on de una matriz. Demostraci´ on. Sea R una operaci´on elemental de rengl´on, y sea D una matriz en Pq×p (I ), veamos que el espacio generado por los renglones de D est´a inclu´ıdo dentro del espacio generado por los renglones de R (D) = 1. Si R = J l>m > es claro que ³n o´ L ({D1 > ===> Dn }) = L (Jl>m (D))1 > ===> (Jl>m (Dn )) = ¯

¯

¯

¯

2. Si R = Mf>l > entonces {D1 > ===> Dn }  L ¯

ya que

¯

³n o´ (Mf>l (D))1 > ===> (Mf>l (Dn )) > ¯

¯

n o (Mf>l (D))1 > ===> (Mf>l (Dn )) = {D1 > ===> fDi > ===> Dn } = ¯

¯

¯

¯

¯

3. Si R = Sf>l>m , entonces el conjunto de renglones de R (D) es: ; < A A ? @ D1 > ===> fDi + Dj > ===> Dn > ¯A A {z ¯ }¯ =| ¯ > m lugares

¡ ¢ como Dj = fDi + Dj  fDi , entonces debe ser claro que ¯ ¯ ¯ ¯ ³n o´ {D1 > ===> Dn }  L (Sf>l>m (D))1 > ===> (Sf>l>m (D))n = ¯

¯

¯

¯

En cualquier caso tenemos que L {D1 > ===> Dn }  L ¯

¯

o´ ³n (R (D))1 > ===> (R (D))n = ¯

¯

4.1. OPERACIONES ELEMENTALES

117

Una nueva aplicaci´on del argumento, nos dice que ³n o´ ³n¡ ¢ ¡ ¢ o´ R31 R (D) 1 > ===> R31 R (D) n = L (R (D))1 > ===> (R (Dn )) L ¯

¯

¯

¯

= L {D1 > ===> Dn } = ¯

¯

Entonces, como una operaci´on de rengl´on no cambia el espacio generado por los renglones de una matriz, tampoco cambia el rango de rengl´on. Teorema 51 Las operaciones elementales de rengl´on no alteran el rango de columna de una matriz. Demostraci´ on. Sea R una operaci´on elemental de rengl´on, y sea D 5 Pq×p (I ). Como vimos en el Teorema 48, R (D) = R (Lq ) · D= Observando el diagrama D·

R(Lq )·

I p $ I q $ I q> y en vista de que R (Lq ) · es un isomorfismo1 (R (Lq ) tiene como inversa R31 (Lq )) conclu´ımos, usando el Teorema 49 y el Lema 3 que rangoW (D) = rango (D · ) = rango ((R (Lq ) · )  (D · )) = = rangoW (R (Lq ) · D) = rangoW (R (D)) =

Definici´ on 60 Se definen las operaciones elementales de columna J´l>m > M´f>l > S´f>l>m > de la manera natural. An´ alogamente se definen las matrices elementales de columna J´l>m (Lq ) > M´f>l (Lq ) > S´f>l>m (Lq ) =

Ejercicio 112 Una matriz elemental de columna es una matriz elemental de rengl´on (y del mismo tipo). Por ejemplo, J´l>m (Lq ) = Jl>m (Lq ) = 1 Recu´erdese que una funci´on lineal entre dos espacios de dimensi´on finita es invertible si y s´ olo si su matriz es invertible.

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

118

Ejercicio 113 Denotemos por E´ una operaci´on elemental de columna y por E a la operaci´ on de rengl´on que se obtiene al suprimir el s´ımbolo “´”. (Es decir, si E´= J´l>m , w entonces E = J l>m .) Demuestre que E´(D) = (E (Dw )) . Teorema 52 Las operaciones elementales de columna no alteran el rango de rengl´on. Demostraci´ on. Usaremos el ejercicio anterior. ¡ ¡ ¢¢w rango (E´(D)) = rango E Dw = ¢ ¡ ¢ ¡ = rangoW E Dw = rangoW Dw = rango (D) = En donde hemos usado que una operaci´on elemental de rengl´on no altera el rango de columna para afirmar que rangoW E (Dw ) = rangoW (Dw ) > y el hecho obvio de que rangoW (Dw ) = rango(D) = Es claro que una operaci´on elemental de columna no altera el espacio generado por las columnas de una matriz. En consecuencia, las operaciones elementales de columna no alteran el rango de columna de una matriz. Podemos resumir en el siguiente Teorema. Teorema 53 Una operaci´on elemental (de rengl´on o de columna) no altera el rango (de rengl´ on o de columna) de una matriz.

4.1.1.

Matrices reducidas y escalonadas

Definici´ on 61 Una matriz D 5 Pq×p (I ) est´a reducida y escalonada si 1. Di 6= 0 , el primer coeficiente distinto de cero de Di 2 es 1= ¯ ¯ ³ ´   2. Dm 6= 0> l ? m , (Di 6= 0 y el coeficiente principal de Di va a la izquierda del ¯ ¯ coeficiente principal de Dj ). ¯

3. Si Dl>n es el coeficiente principal del rengl´on l´esimo, entonces la columna k´esima es hl = Ejemplo 62 3 1 2 E 0 0 2. E C 0 0 0 0 2

1. Una matriz de ceros est´a reducida y escalonada. 4 3 0 1 0 0 1 2 0 F F est´a reducida y escalonada. 0 0 0 1 D 0 0 0 0

Este coeficiente se llama el coeficiente principal.

4.1. OPERACIONES ELEMENTALES 3

1 E 0 3. E C 0 0 3 0 E 0 4. E C 0 1 3 0 5. C 1 0 3 1 E 0 6. E C 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

0 0 0 3

0 0 2 3 0 0 2 0 0 0

3 0 0 0

119

4 0 0 F F est´a reducida y escalonada. 0 D 1 4 0 0 0 1 2 0 F F no est´a reducida y escalonada. 0 0 1 D 0 1 0 4 1 2 0 0 1 0 D, no est´a reducida y escalonada 0 0 1 4 0 1 0 2 2 0 F F no est´a reducida y escalonada. 0 0 1 D 0 0 0

Definici´ on 62 En Pq×p (I ) definimos la relaci´on 12 por: D 12 E si E se puede obtener de D mediante operaciones elementales de rengl´on. Observaci´ on 39 Notemos que D 12 E / ===> Ev operaciones elementales de rengl´on tales que E1  ===  Ev (D) = E / ( ===> Hv matrices elementales tales que H1 · === · Hv · D = E). Observaci´ on 40 La relaci´on 12 es de equivalencia. Demostraci´ on. 1. ;D 5 Pq×p (I ), D = M1>1 (D) = Lq · D = D. 2. D 12 E , H1 · === · Hv · D = E , D = Hv31 · === · H131 · E , E 12 D. 3. (D 12 E a E 12 F) , H1 ·===·Hv ·D aK1 ·===·Kw ·E = F para matrices elementales H1 > ===> Hv > K1 > ===Kw . Entonces K1 · === · Kw · H1 · === · Hv · D = K1 · === · Kw · E = F> es decir, D 12 F= Teorema 54 Toda matriz D 5 Pq×p (I ) se puede reducir y escalonar por medio de un n´ umero finito de operaciones elementales de rengl´ on.

120

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Demostraci´ on. Por inducci´on sobre p, el n´ umero de columnas de D= Notemos que si D es la matriz cero, entonces D ya est´a reducida y escalonada. Base. 3 4 D1>1 E .. F E . F E F Si p = 1, entonces D = E Dl>1 F = Si Dl>1 6= 0, entonces Jl>m (D) es una matriz E . F C .. D Dq>1 4 3 Dl>1 E .. F E . F F E cuya coordenada superior es distinta de 0: E D1>1 F > aplicando M 1 >1 obtenemos Dl>1 E . F C .. D Dq>1 4 3 1 E .. F E . F F E E D1>1 F > ahora aplicando E . F C .. D Dq>1 S3D2>1 >1>2 > S3D3>1 >1>2 > ===> S3Dq>1 >1>2 3

1 0 .. .

4

E F E F E F sucesivamente, obtenemos E F que ya est´a reducida y escalonada. E F C 0 D 0 Paso inductivo. Supongamos que p A 1 y que la afirmaci´on es cierta para matrices con menos de p columnas. Por hip´otesis de inducci´on, podemos encontrar matrices elementales H1 > ===> Hv tales que

¡ ¢ Hv ·> === · H1 D1¯ > ===> Dp31 = U>

4.1. OPERACIONES ELEMENTALES

121

est´a reducida y escalonada, entonces Hv ·> === · H1 · D = (U | y) > donde U est´a reducida y escalonada y y 5 I q =3 = Consideremos 4 3 ; A 0 1 * * ··· * * * A A F E A A E ? 0 0 0 1 ··· * * * F E 0 0 0 0 ··· * * * F F E u renglones E A . .. .. .. . . .. .. .. F A . E A . . . . . . . . F A A (U | y ) = E = 0 0 0 0 ··· 1 * * F F> E F E E 0 0 0 0 ··· 0 0 * F F E E .. .. .. .. . . . F C . . . . · · · .. .. .. D 0 0 0 0 ···

0 0 *

si las coordenadas u + 1, u + 2>...> q de la u ´ltima columna son 0, entonces la matriz completa ya est´a reducida y escalonada. En caso contrario, hay una n´esima coordenada (n A u) de la u ´ltima columna distinta de cero. Intercambiando el rengl´on n´esimo con el u + 1´esimo, conseguimos que el coeficiente u + 1> q´esimo de la matriz sea distinto de cero, enseguida lo podemos cambiar por un 1, multiplicando el u + 1´esimo rengl´on por el rec´ıproco del u + 1> q´esimo coeficiente. As´ı el rengl´on u + 1´esimo es (0> 0> ===> 0> 1) > por medio de operaciones de rengl´on del tercer tipo, podemos cambiar los dem´as coeficientes en la u ´ltima columna por 0. Obtenemos 3 4 ; A 0 1 * * ··· * * 0 A A E F A A E ? 0 0 0 1 ··· * * 0 F E 0 0 0 0 ··· * * 0 F E u renglones F E A . .. .. .. . . .. .. .. F A . E A . . . . . . . . F A E A = 0 0 0 0 ··· 1 * 0 F E F> E F E 0 0 0 0 ··· 0 0 1 F E F E .. .. .. .. .. .. .. F C . . . . ··· . . . D 0 0 0 0 ···

0 0 0

que ya est´a reducida y escalonada. Ejercicio 114 Demuestre que una matriz puede ser transformada en una u ´nica matriz reducida y escalonada. Teorema 55 El rango de rengl´on y el rango de columna de una matriz coinciden. 3

¡ ¢ Recordemos que DE = DE 1¯ | DE 2¯ | === | DE¯r > si D 5 Pq×p (I ) y E 5 Pp×u (I ).

122

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Demostraci´ on. Sea D 5 Pq×p (I ) > por medio de operaciones elementales de rengl´on se puede escalonar y reducir D. Supongamos que se obtienen urenglones distintos de 0, entonces h1 es la columna que corresponde al coeficiente principal del primer rengl´on, h2 es la columna que corresponde al coeficiente principal del segundo rengl´on, ... hu es la columna que corresponde al coeficiente principal del rengl´on u. Intercambiando columnas si fuera necesario, podemos llevar la matriz a la forma 3 ; 4 A ? 1 ··· 0  ···  E .. . . ..  · · ·  F E Lu F . . . E A F E = 0 ··· 1  ···  F E F> E 0 ··· 0 0 ··· 0 F E F E F .. . C . · · · .. 0 · · · 0 D 0 ··· 0 0 ··· 0 esta matriz tiene el mismo rango de rengl´on que de columna: u. Pero tiene el mismo rango de rengl´on (y de columna) que D> pues se obtuvo de D por medio de operaciones elementales, que como hemos visto no alteran los rangos. Observaci´ on 41 El Ejercicio anterior se puede replantear en la siguiente manera: se ha observado que la relaci´ on 12 es una relaci´on de equivalencia en Pq×p (I ) = Entonces en cada clase de equivalencia hay una u ´nica matriz reducida y escalonada. En particular, hay tantas clases de equivalencia en Pq×p (I ) @ 12, como matrices reducidas y escalonadas. Notemos, como un caso particular de la observaci´on anterior, lo siguiente. Lema 4 D 5 Pq×q (I ) es invertible / D 12 Lq . Demostraci´ on. ,) Si D es invertible, entonces es equivalente a una matriz reducida y escalonada con rango de columna q (rangoW (D) = rango (D · ) = q> pues D · es un isomorfismo entre I q y I q ). Si H es la matriz reducida y escalonada equivalente con D> entonces tiene q renglones distintos de cero. De la misma manera que en la demostraci´on del Teorema 55, conclu´ımos que las q columnas de H son h1 > h2 > ===> hq , es decir que H = Lq . +) Si Hn · Hn31 · === · H1 · D = Lq entonces Hn · Hn31 · === · H1 = D31 .

4.2. LA INVERSA DE UNA MATRIZ

123

Corolario 9 D 5 Pq×q (I ) es invertible / D es un producto de matrices elementales. Demostraci´ on. +) Es claro pues toda matriz elemental es invertible y un producto de matrices invertibles es invertible. ,) Como en la demostraci´on del Lema anterior, tenemos que Hn · Hn31 · === · H1 = D31 = entonces 31 · H 31 = D = H131 · === · Hn31

4.2.

La inversa de una matriz

En el u ´ltimo Lema tenemos que si Hn · Hn31 · === · H1 · D = Lq , entonces Hn · Hn31 · === · H1 = D31 = Si ponemos Lq en la ecuaci´on anterior obtenemos Hn · Hn31 · === · H1 · Lq = D31 = Lo que sugiere los siguiente: Para obtener el inverso de una matriz invertible D 5 Pq×p (I ) > hay que reducir y escalonar D> y despu´es aplicar a Lq las mismas operaciones elementales de rengl´on. Es decir que si Hn · Hn31 · === · H1 · D = Lq > entonces Hn · Hn31 · === · H1 · (D | Lq ) = (Lq | D31 ). Si uno toma la matriz aumentada (D | Lq ) y uno la reduce y escalona por medio de operaciones elementales de rengl´on, al final obtiene uno (Lq | D31 ) = Ejemplo 63 3

4 4 3 1 0  30 5 1 1 1 0 0 1 0 0  15 C 5 1  16 D > 1 0 0 1 0 Do n C 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 6 6 0 0 1 3

por lo que

4 3 431 1 0  30  15 5 1 1 C 1 1  16 D = C 5 1 0 D = 1 1 1 0 6 6 3 3

124

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

De manera an´aloga, si uno reduce y escalona una matriz invertible D por medio de operaciones elementales de columna, obteniendo Lq = DH1 H2 ===Hv , entonces D31 = Lq H1 H2 ===Hv = As´ı que ¶ ¶ µ µ D Lq H1 H2 ===Hv = = Lq D31 4 3 4 3 1 1 1 5 1 1 E 1 E 5 1 1 0 F 0 F F E F E E F E 0 0 6 6 F 6 6 F FÃ E E ÃE Ejemplo 64 E 0 F 0 0 F F E 1@5 0 F E 1 C 0 C 0 1 0 D 1 0 D 0 0 1 0 0 1 4 3 4 3 1 0 0 1 0 0 E 0 E 1 2 1 F 2 1 F F E F E F E 6 F E 0 6 6 6 6 F E F E ÃE F Ã E 0 1@5 1@5 F Ã 1@5 1@5 1@5 F E F E C 0 C 0 1 0 D 1 0 D 1 0 1 0 0 1 3 4 3 4 1 0 0 1 0 0 E 0 E 0 1 0 F 0 1 F E F E F E 6 6 6 F F E 6 6 6 E F E F ÃE F Ã E 0 1 1 F Ã 5 5 F E E 0 1@5 1@5 F C 0 C 0 1 0 D 0 1 D 1 2 1 1 1 2 3 3 4 4 1 0 0 1 0 0 E 0 E 0 1 0 F 1 0 F E E F F E 0 E 0 F 0 6 0 1 F E 1 E F F 1 F ÃE 1 1 F> E  5 F E 5 0 E  5 0  30 F C 1 1 C 1 1 1@6 D 1 D 1 1 2 1 1 1@3 de nuevo, hemos obtenido que 3 1 4 3 431 1  5 0  30 5 1 1 C 1 1 1@6 D = C 5 1 0 D = 1 1 1@3 0 6 6 Ejemplo 65 Por u ´ltimo, podemos notar que si llevamos la matriz invertible D a la identidad Lq , por medio de operaciones elementales de rengl´on y columna, es decir, si Hn · Hn31 · === · H1 · D · I1 · I2 · === · Iv = Lq >

4.2. LA INVERSA DE UNA MATRIZ

125

entonces multiplicando por los inversos de las Hl del lado izquierdo y por los inversos de las Im del lado derecho, obtenemos: 31 · Lq · Iv31 · === · I231 · I131 > D = H131 · === · Hn31 · Hn31

entonces D31 = (Lq · I1 · I2 · === · Iv ) · (Hn · Hn31 · === · H1 · Lq ), esto sugiere lo siguiente: µ

D | Lq Lq | 

¶

y uno lleva el bloque D a la identidad por medio de operaciones µ ¶ Lq | F elementales de rengl´on y columna, obteniendo al final > entonces D31 = E| EF= Notemos que en el bloque indicado por un asterisco no hace falta poner nada (si se quiere se puede completar con ceros). Ejemplo 66 3 E E E E E E C 3 E E E E E E C 3 E E E E E E C

4 3 4 1 1 1 1 0 0 5 1 1 1 0 0 E 1 1 0 0 1 0 F 5 1 0 0 1 0 F F E F E 0 6 6 0 0 1 F 0 6 6 0 0 1 F FÃ FÃE E 1@5 0 0    F 1 0 0    F F E F C 0 1 0    D 0 1 0    D 0 0 1    0 0 1   

3 4 1 1 1 1 1 1 0 0 E 0 2 1 1 0 0 1 0 F E F E 0 1 0 1 1 0 0 1@6 F FÃE E 1@5 0 1@5 0 0    F E F C 0 1 0 1 0    D 0 0 0 0 1    3 4 1 0 1 0 0 1 0 1@6 E 0 1 0 2 1 1 1 0 F E F E 0 0 0 1 1 0 0 1@6 F FÃE E 1@5 0 1@5 0 0    F E F C 0 1 0 1 0    D 0 1 0 0 1   

4 1 1 0 0 1 1 1 0 F F 0 0 1@6 F 1 FÃ    F 0 F    D 0    1 4 0 1 0 1@6 1 1 1 0 F F 1 0 0 1@6 F FÃ 0    F F 0    D 1   

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

126

3 E E E ÃE E E C

1 0 0 1 0 0 1@5 0 0 1 0 1

4 0 1 0 1@6 0 1 1 1@6 F F 1 0 0 1@6 F F=  F 0   F  D 0    1  

As´ı que 4 43 4 3 1 1 1@5 0 0 1 0 1@6 5 0 30 1 0 D C 1 1 1@6 D = C 1 1  16 D = =C 0 1 1 13 0 1 1 0 0 1@6 3

D31

4.3.

Sistemas de ecuaciones

Notaci´ on 6 Dado el sistema de p ecuaciones con q inc´ognitas D1 >1 {1 + === +D1 >q {q = e1 .. .. .. > . . . Dp >1 {1 + === +Dp >q {q = ep tambi´en lo podemos representar matricialmente por

3 E donde D = C

D1 >1 .. . Dp >1

D{ = e 3 3 4 4 {1 === D1 >q E . F E F .. D > { = C .. D > e = C . === Dp >q {q

(4.1) 4

e1 .. F = . D ep

Adem´as decimos que el sistema D{ = 0 es el sistema homog´eneo asociado a 4.1. Teorema 56 Sea VK el conjunto de soluciones de 4.2, entonces VK 6 I q y dim (VK ) = q  rango (D) =

(4.2)

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES

127

´ n o ³ D· Demostraci´ on. VK = { 5 I q | D{ = 0 = Ker : I q $ I p 6 I q y dim (VK ) + rango (D) = nul (D · ) + rango (D · ) = q= , dim (VK ) = q rango(D) = ³ ´ Definici´ on 63 D | e se llama la matriz aumentada del sistema de q × p 4.1. ³ ´ D | e es la matriz que se obtiene al agregarle a la matriz D la columna e> como u ´ltima columna. Ejemplo 67 El sistema de ecuaciones 2{ + 3| = 1 2{ + 5| = 2 tiene matriz aumentada:

µ

2 3 1 2 5 2

¶ =

Definici´ on 64 Si E es una operaci´on elemental de renglones, podemos aplicar la operaci´ on E a un sistema de ecuaciones, aplic´andosela a la matriz aumentada del sistema. Es decir,³ si E es ´una operaci´on elemental, y D{ = e es un sistema ³³ de ecuaciones, ´´  entonces E D{ = e es el sistema que tiene matriz aumentada E D | e = ³ ´ Ejercicio 115 Muestre que E D{ = e / E (D) { = E (E) = Ejemplo 68 Consideremos el sistema de ecuaciones 3 4 3 3 4 {1 1 2 3 4 5 E {2 F E E 0 F E 9 8 7 6 F E F E {3 F = E F C C 2 4 s 6 8 10 D E C {4 D 3 h 2  1 {5

4 1 1 F F> s D 3 2

y tomemos la operaci´on elemental S3>4>2 , la operaci´on que suma 3 veces el cuarto rengl´on al segundo.. La matriz aumentada del sistema es: 4 3 1 2 3 4 5 1 E 0 9 8 7 6 1 F F> E C 2 4 6 8 10  D s s 3 h 2  1 3 2

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

128

el resultado de aplicar S3>4>2 a la matriz anterior es: 4 1 2 3s 4 5 1 s E 9 9 + 3h 8 + 3 2 7 + 3 3 1 + 9 2 F F= E D C 2 4 8 10  s6 s 3 h 2  1 3 2 3

As´ı que el resultado de aplicar la operaci´on elemental S3>4>2 al sistema original es el sistema 3 4 3 4 {1 4 3 1 s 1 2 3s 4 5 E {2 F F E F E 9 9 + 3h 8 + 3 2 7 + 3 3 F E F E {3 F = E 1 + 9 2 F = E E F C D D C 2 4 8 10  C {4 D s6 s 3 h 3 2 2  1 {5 Es decir: {s1 +¢ 2{2 + 3{3 + 4{4 + 5{5 ¡ 9{1 + (9 + 3h) {2 + 8 + 3 2 {3 + (7 + 3) {4 + 3{5 2{1 + 4{2 + 6{ s 3 + 8{4 + 10{5 3{1 + h{2 + 2{3 + {4  {5

= = = =

1 s 1 + 9 2 = s 3 2

Teorema 57 Las operaciones elementales no alteran el conjunto de soluciones de los sistemas de ecuaciones. Demostraci´ on. Sean o n ³ ´o n V = { 5 I q | D{ = e > V´= { 5 I q | E (D) { = E e = Veremos que V = V´. )y 5 V , Dy = e , H · (Dy ) = H · e (con H = E (Lp ))> por lo tanto E (Lp ) D = E³ (D)´ = Entonces E (D) ·y = (E (Lp ) D) ·y = (HD) ·y = H (D · y ) = H ·e = E (Lp ) ·e = E e = Por lo tanto y 5 V´= Por lo tanto V  V´= ) An´alogo al inciso anterior, usando que E 31 es una operaci´on elemental. ³ ´ Teorema 58 D{ = e tiene soluci´ on / rango(D) = rango D | e =

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES

129

Demostraci´ on.

D{ = e tiene soluci´on / {1 D1 + === + {q Dq = e tiene soluci´on / ¡© ª¢ e 5 L D1 > ===> Dq / ³© ª¢ ª n o´ ¡© / L D1 > ===> Dq = L D1 > ===> Dq ^ e ³ ´ rango (D) = rango D | e =

Teorema 59 Sean y

o n V = { 5 I q | D{ = e 6= > n o VK = { 5 I q | D{ = 0 >

entonces toda soluci´on f 5 V puede escribirse como f = v + vK con vK 5 VK > donde v 5 V= Demostraci´ on. Sea f 5 V, entonces f = v + (f  v) = Ahora, f  v 5 VK pues D (f  v) = Df  Dv = e  e = 0= Rec´ıprocamente, si f = v + vK , entonces tenemos que D (v + vK ) = Dv + DvK = e + 0 = e| por lo tanto f 5 V= Como las matrices se pueden reducir y escalonar por medio de operaciones elementales de rengl´on y como las operaciones elementales no cambian las soluciones, podemos notar que para resolver un sistema de ecuaciones lineales de q × p basta hacer dos cosas: 1. Reducir y escalonar la matriz aumentada del sistema. 2. Resolver el sistema reducido y escalonado resultante. En adelante, fijaremos nuestra atenci´on en sistemas con matrices reducidas y escalonadas.

130

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definici´ on 65 Si un sistema de ecuaciones est´ a reducido y escalonado, podemos partir el conjunto de las variables en dos conjuntos: 1. El conjunto de las variables que corresponden a coeficientes principales de los renglones de la matriz (a estas variables les llamaremos principales). 2. El conjunto de las dem´as variables, a las que llamaremos libres. Observaci´ on 42 Si un sistema de ecuaciones est´a reducido y escalonado (y tiene soluci´on), entonces se pueden intercambiar las columnas (si hiciera falta) a fin de obtener un sistema de la forma ¶ µ Lu |  O|O donde u es el rango de la matriz del sistema e Lu es la matriz identidad de u × u. Observaci´ on 43 Sea

D{ = e

es un sistema reducido y escalonado tal que DT = sistema

µ

Lu |  O|O

¶ = Consideremos el

DT{ = e=

Entonces T · : VD{=e $ VDT{=e , es una biyecci´on entre el conjunto de soluciones de D{ = e y el conjunto de soluciones de DT{ = e= Demostraci´ on. v es soluci´on de DT{ = e +, DTv = e +, Tv es soluci´on de D{ = e= El inverso de T · es T31 · . T es un producto de matrices elementales de columna del primer tipo: T es de la forma siguiente: T = J´1>l1  J´2>l2  ===  J´u>lu > (convengamos en que J´n>n = Lp , para la afirmaci´on anterior). Notemos ahora que J´l>m (Lp ) = Jl>m (Lp ) (ejercicio). As´ı que en la demostraci´on del teorema anterior, si v es soluci´on de DT{ = e> entonces J1>l1  J2>l2  ===  Ju>lu v es una soluci´on de D{ = e= Lo anterior muestra que para resolver un sistema reducido y escalonado de ecuaciones, basta resolver el sistema que resulta al reordenar las columnas de manera que las u primeras sean h1 > h2 > ===> hu (estamos suponiendo que el rango de la matriz del sistema es u). El p´arrafo anterior muestra como recuperar las soluciones del sistema original.

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES

131

Ejemplo 69 Para resolver el sistema con matriz aumentada 4 1 5 5 7 5 7 0 E 0 0 1 9 6 9 3 F F> E C 0 0 0 0 1 7 9 D 0 0 0 0 0 1 5 3

(4.3)

podemos intercambiando las columnas 3 y 2> luego las columnas 3> 5 y por u ´ltimo las columnas 4 y 6> obtener: 4 3 1 0 1 5 5 7 5 7 0 E 0 1 F E 0 1 6 9 0 9 3 E Fo nE C 0 0 1 7 0 0 9 D C 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 3

0 0 1 0

4 0 5 38 855 0 0 9 222 F F 0 0 0 44 D 1 0 0 5

digamos que las variables son {1 > ===> {6 entonces las variables principales son {1 > ===> {4 y las libres son {5 y {6 = Entonces 4 3 {1 E E {2 F F E E C {3 D = {1 C {4 3

4 3 1 E 0 F F + {2 E D C 0 0

4 3 0 E 1 F F + {3 E D C 0 0

4 3 0 E 0 F F + {4 E D C 1 0

4 0 0 F F= 0 D 1

3

3 E E E Entonces E E E C

{1 {2 {3 {4 {5 {6

4 3 3 4 4 855 5 38 E 222 F E E F F F  {5 E 0 F  {6 E 9 F = =E C 44 D C 0 D C 0 D 5 0 0 4 4 4 4 3 3 3 855 5 38 F E 222 F E 0 F E 9 F F F F F E E E F F E 44 F E 0 F E F  {5 E F  {6 E 0 F = F=E F E 5 F E 0 F E 0 F F F F F E E E D C 0 D C 1 D C 0 D 0 0 1

As´ı, asignando valores a {5 y {6 obtenemos las soluciones. Si queremos recuperar las soluciones del sistema original 4.3 podemos aplicar las

132

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

operaciones elementales de rengl´on J2>3  J3>5  J2>4 a 4 4 4 3 3 3 5 38 855 E 0 F E 9 F E 222 F F F F E E E F E 0 F E E 44 F F  {6 E 0 F F  {5 E E E 0 F E 0 F E 5 F F F F E E E C 1 D C 0 D C 0 D 0 1 0 4 3 4 3 4 3 855 + 5{5  38{6 855 855 + 5{5  38{6 E F E F E 0 F 222  9{6 {5 F E F E F E E F E F E 222 F 44 222  9{ 6 F E E E F F es decir, J2>3 J3>5 J4>6 E F=E F=E 0 F 5 {6 F E F E F E C D C D C 44 D {5 44 5 {6 5 4 3 4 3 5 38 E 1 F E 0 F F E F E E 0 F E 9 F F F E E + {5 E F + {6 E F E 0 F E 1 F C 0 D C 0 D 0 0 En efecto: 3 4 4 855 + 5{5  38{6 3 4 3 F 1 5 5 7 5 7 E 0 {5 E F E E 0 0 F E 3 F 1 9 6 9 F 222  9{6 FE E F F=E F C 9 D = C 0 0 0 0 1 7 DE { 6 E F D 0 0 0 0 0 1 C 5 44 5 En general, podemos observar lo siguiente: Observaci´ on 44 El sistema de q ecuaciones con p inc´ ognitas 3 4 e1 4 E ... F 3 E F {1 µ ¶ E F Lu |  E .. F E eu F D{ = F C . D=E O|O E 0 F E F {p C ... D 0

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES es equivalente a:

133

3

4 {1 E .. F E . F E F E {u F E F = {1h1 + {2h2 + === + {uhu = E 0 F E . F C .. D 0 3

4 e1 3 E .. F Du+1 E . F E F E 0 E e F E = E u F  {u+1 E .. E 0 F C . E . F C .. D 0 0

3

4

E F E F F  ===  {p E C D

Dm ¯ 0 .. .

4 F F F> D

0

as´ı que una soluci´on satisface 4 3 {1 E .. F E E . F E E F E E {u F E E F=E E {u+1 F E E . F E C .. D C {p 3

4 e1 3 .. F Du+1 . F F E 1 eu F E F  {u+1 E .. 0 F C . F ... D 0 0

4

3

E E F E F F  {u+2 E E D C

Du+2 0 1 .. .

4

3 F F E F E F  ===  {p E F C D

0

Que como se v´e est´a inclu´ıda en la matriz D= Ejemplo 70 3 3

1 E 0 E C 0 0

0 1 0 0

4E 0 51 73 86 43 E E E 0 73 91 50 50 F FE 1 1 5 39 8 D E E E 0 0 0 0 0 C

{1 {2 {3 {4 {5 {6 {7

4 F 3 4 F 4 F F E 67 F F F=E F C 49 D F F 0 D

Dm ¯ 0 .. . 1

4 F F F= D

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

134

tiene las soluciones dadas por 3 4 3 51 4 E 73 E 67 F E F E E 1 E 49 F E F E E 0 F + v E 1 E F E E 0 E 0 F E F E C 0 C 0 D 0 0

3

4

E F E F E F E F F + wE E F E F E F C D

73 91 5 0 1 0 0

4

3

E F E F E F E F F + xE E F E F E F C D

86 50 39 0 0 1 0

4

3

E F E F E F E F F+}E E F E F E F C D

43 50 8 0 0 0 1

4 F F F F F= F F F D

Ejemplo 71 Consideremos el sistema { + 2| + } = 1 { + 2|  } = 2 ¶ µ ¶ 1 2 0 32 1 2 1 1 o n cuya matriz aumentada es , intercambiando 1 2 1 2 0 0 1  12 la segunda columna con la tercera, obtenemos µ ¶ 1 0 2 32 > 0 1 0  12 µ

el sistema correspondiente tiene soluci´on 3 3 4 3 C

4 2 D + w C 0 D > w 5 I> 0 1

2  12

intercambiando los renglones (en realidad, coordenadas) 2 y 3 obtenemos las soluciones del sistema original: 3 4 3 3 4 2 2 C 0 D + w C 1 D > w 5 I=  12 0 En efecto:

µ

1 2 1 1 2 1 µ =

1 2 1 2

44 2 CC 0 D + w C 1 DD =  12 0 3 3 4 ¶ µ ¶ + 2w 2 1 C w D = 1 = 1 2  12

¶

33

3 2

4

3

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES Ejemplo 72

135

3 E 4E 1 2 1 0 2 5 0 1 E E C 0 0 0 1 2 3 0 2 D E E E 0 0 0 0 0 0 1 3 E C 3

{1 {2 {3 {4 {5 {6 {7

4 F F 3 4 F 1 F F = C 2 D= F F 3 F D

Intercambiando las columnas 2 y 4> y 3 y 7 obtenemos: 3 4 {1 E {2 F E F 3 4 E {3 F 3 4 E F 1 1 0 0 2 2 5 1 1 E F C 0 1 0 0 2 3 0 2 D E {4 F = C 2 D = E {5 F E F 3 0 0 1 0 0 0 0 3 E {6 F E F C {7 D {8 Cuyas soluciones son: 4 4 4 3 4 3 3 3 3 1 2 2 5 1 E 2 F E 0 F E 2 F E 3 F E 0 F F F E F E E E E E 3 F E 0 F E 0 F E 0 F E 0 F F F E F E E E E E 0 F E 1 F E 0 F E 0 F E F  w2 E F  w3 E F  w4 E 0 E F  w1 E E 0 F E 0 F E 1 F E 0 F E 0 F F F E F E E E E E 0 F E 0 F E 0 F E 1 F E 0 F F F E F E E E E C 0 D C 0 D C 0 D C 0 D C 1 0 0 0 0 0

4

3

F E F E F E F E F E F  w5 E F E F E F E F E D C

1 2 3 0 0 0 0 1

4 F F F F F F> F F F F D

intercambiando los renglones 2 y 4 y despu´es los renglones 3 y 7> obtenemos las soluciones del sistema original: 3 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 1 2 2 5 1 1 E 0 F E 1 F E 0 F E 0 F E 0 F E 0 F E F F F F F F E E E E E E 0 F E 0 F E 0 F E 0 F E 1 F E 0 F E F F F F F F E E E E E E 2 F F F F F F E E E E E E F  w1 E 0 F  w2 E 2 F  w3 E 3 F  w4 E 0 F  w5 E 2 F > E 0 F E 0 F E 1 F E 0 F E 0 F E 0 F E F F F F F F E E E E E E 0 F E 0 F E 0 F E 1 F E 0 F E 0 F E F F F F F F E E E E E C 3 D C 0 D C 0 D C 0 D C 0 D C 3 D 0 0 0 0 0 1

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

136 en efecto:

3 E E 4E 1 2 1 0 2 5 0 1 E E C 0 0 0 1 2 3 0 2 D E E E 0 0 0 0 0 0 1 3 E E C 3

4.4.

1 + 2w1 2w2 5w3 w4 +w5 w1 w4 2  2w2 3w3 +2w5 w2 w3 3  3w5 w5

4 F F F F F F = F F F F D 3

4 1 = C 2 D= 3

Espacios duales

Definici´ on 66 Se define el espacio dual de I Y como Y W = KrpI (Y> I ) = Observaci´ on 45 Si la dimensi´on de Y es finita, entonces dim (Y W ) = dim (Y ) = Demostraci´ on. Supongamos que  = {{1 > {2 > ===> {q } es una base para I Y , definimos la base dual de ,  W = {i1 > ===> iq } por medio de ½ 1 si l = m il ({m ) = 0 si l 6= m esto suele expresarse tambi´en as´ı: il ({m ) =  l>m > 4

donde  denota la delta de Kronecker.  W = {i1 > ===> iq } es o= l= Supongamos que f1 i1 > ===> fq iq = 0 : Y $ I> evaluando en {m obtenemos fm = (f1 i1 > ===> fq iq ) ({m ) = ˆ0 ({m ) = 0= ½ 4

 l>m =

1 si l = m 0 si l 6= m

4.4. ESPACIOS DUALES

137

Como esto sucede para cada m> tenemos que  W es o= l=  W = {i1 > ===> iq } genera Y W : Si k : Y $ I es lineal, entonces k est´a determinada por sus valores en , as´ı es natural que k = k ({1 ) · i1 + === + k ({q ) · iq > en efecto, si eval´ uamos en {m obtenemos k ({1 ) · i1 ({m ) + === + k ({q ) · iq ({m ) = k ({m ) = Como k y k ({1 ) · i1 + === + k ({q ) · iq coinciden en la base , entonces k = k ({1 ) · i1 + === + k ({q ) · iq = As´ı,  W = {i1 > ===> iq } genera Y W =

4.4.1.

C´ alculo de la base dual para un espacio de dimensi´ on finita

Supongamos que  = {{1 > ===> {q } es una base para I q , y denotemos  = {h1 > ===> hq } la base can´onica. Denotemos  W = {i1 > ===> iq } la base dual de = Entonces il

Iq $ I = {m 7$  l>m Ahora, Iq

il

-

I

x

Lg

?

Iq

{m

[il ]fdq  ·

7$

-

?

I

[il ]fdq {m ] =  l>m  · [

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

138

muestra que la matriz cuyo rengl´on l´esimo es [il ]fdq es la inversa de la matriz cuyas  columnas son {1 > ===> {q = Pues se tiene que 3 E E E E E E E C

[i1 ]fdq  .. . [il ]fdq  .. . [iq ]fdq 

4 F F F F F ({1 | === | {m | === | {q ) = ( l>m ) = Lq = F F D

De lo anterior, es claro que para calcular la base dual de > basta encontrar la matriz = (f1 > ===> fq )> inversa de la matriz cuyas columnas son los elementos de = Si [il ]fdq  entonces il (hm ) = fm = Esto querr´ıa decir que il ({1 > {2 > ===> {q ) = f1 {1 + === + fq {q = Podemos resumir la discusi´on anterior en el siguiente Teorema. Teorema 60 Si  = {{1 > ===> {q } es una base para I q , y T = ({1 | === | {m | === | {q ) > entonces el elemento l´esimo de la base dual, il se calcula de la siguiente manera: 31 il ({1 > {2 > ===> {q ) = T31 l>1 {1 + === + Tl>q {q =

Ejemplo 73 Encontrar la base dual de  = {(1> 2> 3) > (1> 1> 1) > (0> 1> 0)} en R3 = 4 4 3 1 1 1 0  2 0 12 Tomemos T = C 2 1 1 D > su inversa es: C 23 0  12 D. As´ı que la base  12 1  12 3 1 0 dual {i1 > i2 > i3 } satisface: 3

i1 ({> |> }) =  (1@2) { + (1@2) }> i2 ({> |> }) = (3@2) {  (1@2) }> = i3 ({> |> }) = (1@2) { + |  (1@2) }> Una vez que sabemos encontrar la base dual  W para una base de I q , podemos tambi´en encontrar la base dual de un espacio de dimensi´on finita:

4.4. ESPACIOS DUALES

139

Observaci´ on 46 En el diagrama 

/$

edvh

Y

I

x

LgI

?

/$ I q x () edvh

il

-

?

I

si {i1 > ===> iq } es la base dual de x () > entonces il  x es la base dual de . Demostraci´ on. Sea |m , el m´esimo elemento de , entonces  l>m = il (x (|m )) = (il  x ) (|m ) Ejemplo 74 Encontrar la base dual de {1 + {2 > 1  2{> 1 + {} en S2 (R) = Usando el diagrama anterior, esto equivale a encontrar la base dual de ª © x 1 + {2 > 1  2{> 1 + { > en R3 , donde  = {1> {> {2 } =

;3 4 3 4 3 4< 1 1 @ ? 1 Como x {1 + {2 > 1  2{> 1 + {} = C 0 D > C 2 D > C 1 D > formando la ma= > 0 0 3 1 4 1 1 1 triz con estas columnas obtenemos: C 0 2 1 D > cuya inversa es 1 0 0 4 3 0 0 1 C 1  1  1 D. 3 3 3 2 1  23 3 3 ;3 4 3 4 3 4< 1 1 @ ? 1 Entonces la base dual de C 0 D > C 2 D > C 1 D es {i1 > i2 > i3 } > con = > 1 0 0 i1 (d> e> f) = f> µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 i2 (d> e> f) = d e f> 3 3 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1 2 i3 (d> e> f) = d+ e f= 3 3 3 Por lo tanto, la base dual de {1 + {2 > 1  2{> 1 + {} es i1  x > i1  x > i1  x =

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

140 Es decir que

¢ ¡ (i1  x ) d + e{ + f{2 = f> µ ¶ µ ¶ µ ¶ ¢ ¡ 1 1 1 (i2  x ) d + e{ + f{2 = d e f> 3 3 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ 1 2 2 (i3  x ) d + e{ + f{2 = d+ e f= 3 3 3 Por ejemplo, notemos que ¡ ¢ 1 1  = 0> (i2  x ) 1 + {2 = 3 ¶3 µ 1 1 + 2 · = 1> (i2  x ) (1  2{) = 3 3 1 1  = 0= (i2  x ) (1 + {) = 3 3

4.4.2.

La dimensi´ on del espacio dual

Observaci´ on 47 Si I Y es de dimensi´on infinita entonces ¯ ¯ dim (Y W ) = dim (Krp (Y> I )) = ¯I  ¯ > donde  es una base de Y (para afirmar esto nos apoyamos en la propiedad universal de las bases ). (N) Ejemplo ¯¡ (N) ¢W ¯ 75¯ Q ¯ un ¯ es ¯ espacio vectorial de dimensi´on |N| sobre Q. Ahora, ¯ Q ¯ = ¯QN ¯ A ¯2N ¯ = |R| A |N|. ¡ (N) ¢W ¢W ¡ Q es un espacio vectorial sobre Q, por lo tanto Q(N) es isomorfo a Q() , ¢W ¡ para alg´ un conjunto  cuya cardinalidad es la dimensi´on de Q(N) = Si || = |N| > entonces ¯¡ ¯ ¢W ¯¯ ¯ ¯ |N| ? ¯ Q(N) ¯ = ¯Q(N) ¯ = |N| u=  ¡ (N) ¢ ¡¡ (N) ¢W ¢ = || A |N| = dim Q Por lo tanto, dim Q ¯ ¯ Ejercicio 116 Demuestre que ¯Q(N) ¯ = |N|: Sugerencia: ¯ ¯ ¯ ¯ 1. ¯Q(N) ¯ = ¯N(N) ¯ = ¯ ¯ 2. ¯N(N) ¯ = {D  N |A es finito} =

4.4. ESPACIOS DUALES

141

3. {D  N |A es finito} = ^ {In }nMN , In = {D  N | |A| = k} = Por ejemplo I0 = {>} = 4. |In | = |N| si n A 0= 5. Como {D  N |A es finito} es una uni´on numerable de numerables (m´as un elemento) entonces {D  N |A es finito} es numerable. Ejercicio 117 Demuestre las afirmaciones de la proposici´on siguiente: Si [ es un conjunto infinito, entonces ¯ ¯¡ ¡ ¢ ¯ ([) ¢W ¯ ¯¯ [ ¯¯ ¯¯ [ ¯¯ ¯ = I = 2 A |[| = dim I ([) = ¯ I Recordemos que si [ es un conjunto infinito, entonces |[ × [| = |[| > de aqu´ı se sigue que si |[| 6 |\ | > entonces |[ × \ | = |\ |. Ejercicio 118 Demuestre que son equivalentes para conjuntos infinitos [ y \ : 1. |[ × [| = |[|. 2. |[ × \ | = m´ax {|[| > |\ |} = 1. De |N × N| = |N|, deduzca que una uni´on numerable de conjuntos ajenos numerables es numerable. 2. Deduzca que una uni´on numerable de conjuntos infinitos todos de cardinalidad |[| es |[| = ¯ ¯ Lema 5 Si [ es un conjunto infinito y I es una campo infinito, entonces ¯I ([) ¯ = m´ax {|I | > |[|} = ¯ ¯ Demostraci´ on. ) I ([) tiene una base de cardinalidad |[| > por lo que ¯I ([) ¯  ˆ en I ([) > entonces |[|. Por otra parte, es claro que si i es un elemento distinto de ¯ 0([) ¯ ([) ¯ I es¯ un subconjunto de I de cardinalidad |I | = Entonces I ¯  |I | = As´ı que ¯ i([) ¯I ¯  m´ax {|I | > |[|}. 6) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ [ ¯ ([) ¯ ¯ ¯ ¯I ¯ = ¯ (4.4) {i | sop (i ) = J}¯ = ¯ ¯ ¯ ¯JJ\[ finito

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

142

¯ ¯ ¯ ¯ Ahora, |{i | sop (i ) = J}| = ¯(I \ {0})J ¯ = |(I \ {0})| pues J es finito. Adem´as como I es infinito, entonces |(I \ {0})| = |(I )| = Supongamos que ] es un conjunto infinito. Denotemos por €i lq (]) el conjunto de los subconjuntos finitos de ]> y denotemos €n (]) el conjunto de los subconjuntos de [ de cardinalidad n= Es claro que [ €i lq (]) = {€n (])} = nMN

€1 (]) $ ] es una biyecci´on, por lo que |€1 (])| = |]| = {{} 7$ { ] × ] $ €1 (]) ^ €2 (]) es una funci´on suprayectiva, Tenemos tambi´en, que ({> |) 7$ {{} ^ {|} luego, |]| = |] × ]|  |€1 (]) ^ €2 (])|  |]| = €0 (]) = {>} = Ahora,

Entonces |€2 (])| 6 |]|. An´alogamente, |€3 (])| 6 |]| > ===> |€n (])| 6 |]| > ;n 5 N= Entonces, un conjunto infinito ] satisface: ¯ ¯ ¯€ (])¯ = |]| = i lq Viendo ahora 4.4, notamos que I ([) =

S

{i | sop (i) = J} J\[ es la uni´on de una J finito

familia de conjuntos de cardinalidad 6 |I | > con ´ındices en un conjunto de cardinalidad |[|. Entonces ¯ ([) ¯ ¯I ¯ 6 |I × [| 6 m´ax {I> [} =

Corolario 10 Si I Y es un espacio vectorial de dimensi´on infinita sobre un campo infinito I , entonces |I Y | = m´ax {|I | > dim (Y )} = Ejemplo 76 Consideremos el espacio vectorial Q R> entonces |Q R| = m´ax {|Q| > dim (Q R)} = m´ax {|N| > dim (Q R)} = Por lo que R es un espacio vectorial sobre Q, de dimensi´on |R|.

´ LINEAL 4.5. LA TRANSPUESTA DE UNA FUNCION

143

Ejercicio 119 Si [ es un conjunto infinito, use el resultado del ejercicio 117: ¯ ¯¡ ¡ ¢ ¯ ([) ¢W ¯ ¯¯ [ ¯¯ ¯¯ [ ¯¯ ¯ = I = 2 A |[| = dim I ([) > ¯ I para concluir que si |[|  |I | > I infinito, entonces ³¡ ¡ ¢W ´ ¯¯¡ ([) ¢W ¯¯ ¯ [ ¯ ¢ =¯ I dim I ([) ¯ = ¯I ¯ A dim I ([) = Ejercicio 120 Concluya que dim

¡¡ (N) ¢W ¢ ¡ ¢ Q A dim Q(N) =

¡¡ ¢W ¢ ¡ ¢ 1. Muestre que dim Q(R) A dim Q(R) = ¡¡ ¢W ¢ ¡ ¢ 2. Muestre que dim R(R) A dim R(R) =

Ejercicio 121

Ejercicio 122 ¢W ¢ Demuestre ¡ ¢que para todo campo I existe un conjunto [ tal que ¡¡ A dim I ([) = dim I ([) Ejercicio 123 Muestre que si I Y es de dimensi´on infinita o si I es infinito entonces |I Y | = m´ax {|I | > dim (Y )} =

4.5.

La transpuesta de una funci´ on lineal

Teorema 61 Si W : Y $ Z es una funci´ on lineal, entonces W

ZW $ Y W i 7$ i  W es una funci´ on lineal. i

W

i

Demostraci´ on. Si Z $ I es una funci´on lineal, entonces Y $ Z $ I tambi´en lo es. Por otra parte, si i> j 5 Z W > f 5 I , entonces (  W ) (i + fj) = (i + fj)  W = i  W + (fj)  W = i  W + f ((j)  W ) = ´ ³ W Observaci´ on 48 ker Z W $ Y W = ª © = i 5 Z W | i  W = ˆ0 : Y $ I = {i 5 Z W | W (Y )  Ker (i)} =

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

144

Teorema 62 Si Y> Z son de dimensi´ on finita q y p> con ³ bases ´  y  respectivamente w W y W : Y $ Z es una funci´on lineal, entonces [  W ] W = [W ] = Demostraci´ on. Sean  = {{1 > ===> {q } >  = {|1 > ===> |p } >  W = {i1 > ===> iq } >  W = {j1 > ===> jp } = ³ ´ W j Entonces [  W ] W ¯ = [(  W ) (jm )] W = [(jm  W )] W = Supongamos que 4 3 f1 E .. F E . F F E [(jm  W )] W = E fl F > E . F C .. D fq esto equivale a: jm  W = f1 i1 + === + fl il + === + fq iq = Aplicando esta funci´on a {l > obtenemos jm (W ({l )) = (jm  W ) ({l ) = fl = Por otra parte, dada la definici´on de [W ] > tenemos que (denotando los coeficientes de [W ] > con aes, [W ] = (dn>o ) ): p P dn>l|n > as´ı que aplicando jm , obtenemos W ({l ) = n=1

Ãp ! X fl = jm (W ({l )) = jm dn>l|n = dm>l = n=1 W

Si recordamos que fl est´a en el rengl´on l´esimo de la columna m´esima de [  W ] W > tenemos que ³ ³ ´ ´ W [  W ] W = fl = dm>l = [W ] = l>m

m>l

³ ´ ³ ´w W Es decir que [  W ] W = [W ] = ´ ³ ´w ³ W Como [  W ] W = [W ] ,  W tambi´en se denota W w .

´ LINEAL 4.5. LA TRANSPUESTA DE UNA FUNCION

145

hy()

WW ¡ ¢ Teorema 63 La funci´ on Y $ Y es una funci´ on liy 7$ hy(y) , tal que hy(y) (i) = i (y) neal inyectiva.

Demostraci´ on. 1. hy(y) es efectivamente un elemento de Y WW : Supongamos que i> j 5 Y W y que f 5 I> entonces hy(y) (i + fj) = (i + fj) (y ) = = i (y) + (fj) (y) = i (y ) + f (j (y )) = ¡ ¢ = hy(y) (i) + f hy(y) (j) = 2. hy() es lineal:, queremos ver que  = hy(y+fz) hy() (y + fz)  = hy(y ) + f · hy(z)  = En efecto: si i 5 Y W > entonces hy(y+fz) y + fz)  =  (i) = i ( = i (y) + i (fz)  = i (y) + fi (z)  = ¢ ¡ = hy(y) (i) + f · hy(z) (i ) =  ¡ ¡ ¢¢ hy(y) + f · hy(z) (i) =  ¡ ¢ W ˆ 3. Si y 5 Ker hy() > entonces hy(y) = 0 : Y $ I> es decir que hy(y) (i ) = 0> ;i 5 Y W = Por lo tanto y 5 Ker(i ) > ;i 5 Y W = Demostraremos que esto s´olo es posible si y = 0= Si y 6= 0, | y 5 _ W {Ker (i)}, entonces {y} es o= l=, por lo tanto {y} es parte i MY

de una base  de Y= Tomemos la funci´on constante ˆ1 :  $ I , por la propiedad universal de las bases, existe una funci´on lineal K : Y $ I , que extiende a k. Entonces K (y ) = 1 6= 0= As´ı que y 5Ker(K) @ > pero K 5 Y W > u= Esta contradicci´on  ¡ ¢ n o muestra que Ker hy() = 0 , por lo que la funci´on lineal hy() es inyectiva. Ejercicio 124 D´e un ejemplo de un espacio vectorial I Y tal que hy() : Y $ Y WW , no sea un isomorfismo. Teorema 64 Si W : Y $ Z es una funci´on lineal, entonces el siguiente diagrama es conmutativo: hy( ) - Y WW Y =

W

? hy(

Z

)

W ww

?

Z WW

146

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Demostraci´ on. Sea y 5 Y , entonces ¡ ww ¢ ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ W  hy() (y ) = W ww hy(y) =  W w hy(y) = hy(y)  W w = Apliqu´emosla a una funci´on i 5 Z W : ¢ ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ hy(y)  W w (i ) = hy(y) W w (i ) = hy(y) (i  W ) = (i  W ) (y) = ¢ ¡ Por otra parte, hy()  W (y ) = hy() (W (y )) = hy(W (y)) , aplic´andola en i, obtenemos hy(W (y)) (i) = i (W (y)) = Por lo tanto, ¢ ¡ ;i 5 Z W : hy(y)  W w (i ) = hy(W (y)) (i) > as´ı que hy(y)  W w = hy(W (y)) . hy()

Corolario 11 Si I Y es de dimensi´on finita, entonces Y $ Y WW es un isomorfismo. Demostraci´ on. Basta observar que en este caso, dim(Y ) = dim(Y W ) = dim(Y WW ). Corolario 12 Si I Y es de dimensi´on finita, y  es una base de Y W > entonces  es la base dual de una base  de I Y= Demostraci´ on. Digamos que  = {i1 > ===> iq } = Tomemos  W = {1 > ===> q } hy(

)

la base dual de = Como Y $ Y WW es un isomorfismo, entonces l = hy(yl ) para alguna yl > para cada l. Entonces  l>m = l (im ) = hy(yl ) (im ) = im (yl ). De donde tenemos que  = {y1 > ===> yq }W . Ejemplo 77 Consideremos el diagrama 3 E E E E W =E E E C

Sq (R) % L ({{> {2 > ===> {q })

hy(1) hy(2) .. .

4 F F F F F F F D

hy(q) 333333333333<

W|S ({{>{2 >===>{q }) 333333333333<

Rq k Rq >

´ LINEAL 4.5. LA TRANSPUESTA DE UNA FUNCION

147

entonces W|L({{>{2 >===>{q }) es una funci´ on suprayectiva, pues para cada sucesi´on f1 > ===> fq 5 R> existe un polinomio de grado 6 q tal que (ver el ejemplo 29) i (0) = 0> i (1) = f1 > ===> i (q) = fq = Un polinomio i con esta propiedad es un m´ ultiplo de { y por la tanto pertenece al subespacio L ({{> {2 > ===> {q }) = W|L ({{>{2 >===>{q })

Entonces la funci´ on lineal L ({{> {2 > ===> {q })333333333333< R q es suprayectiva, y como el dominio y codominio son ambas de dimensi´ on q, entonces W|L({{>{2 >===>{q }) es un isomorfismo. Por lo tanto la matriz de W|L({{>{2 >===>{q }) respecto a las bases {{> {2 > ===> {q } y can´onica es invertible, esta matriz es la siguiente: 4 3 1 12 · · · 1q E 2 22 · · · 2q F F E E 3 32 · · · 3q F F= E E .. .. . . . F C . . . .. D q q2 · · · qq ¶ µ µ ¶ µ ¶ 2  12 1 12 1 1 , cuya inversa es: Ejemplos 78 1. = = 2 4 2 22 1 12 3 4 3 4 1 12 13 1 1 1 2. C 2 22 23 D = C 2 4 8 D, cuya inversa es : 3 32 33 3 9 27 4 3 1 3  32 3 C 5 2  12 D = 2 1 1  12 2 6 Ejemplo 79

1.

4 3 1 1 1 1 14 E 2 4 8 16 24 F F=E 34 D C 3 9 27 81 4 16 64 256 44 4 4 4 3  14 3 E  13 19  7 11 F 3 4 3 24 F = y su inversa es: E 3 7 C 2  14 D 2 6 1 1  16  16 24 4 3

1 E 2 E C 3 4 3

12 22 32 42

13 23 33 43

4 F F> D

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

148

Ejemplo 80 (Sq (I ))W tiene dimensi´ on q + 1= ½Z 1 Z 2 Z q Z q+1 ¾  (Sq (I ))W = > > ===> > r

r

r

r

nR R R q R q+1 o 1 2 Adem´as r > r > ===> r > r > === es o= l= en (R ({))W Demostraci´ on. Supongamos que Z 1 Z 2 Z d1 +d2 +=== + dq r

r

Z

q

q+1

= ˆ0=

+dq+1

r

r

Por inducci´on sobre q= Base: si q = 1, entonces µ ¶ Z 1 Z 1 = ˆ0 , d1 = d1 1 = ˆ0 (1) = 0 = d1 r

r

nR o 1

Por lo tanto r es linealmente independiente. Paso inductivo: Supongamos que Z 1 Z 2 Z q Z d1 +d2 +=== + dq +dq+1 r

r

r

q+1

= ˆ0=

r

Basta demostrar que existe un polinomio i 5 Sq (I ) tal que Z

Z

1

i = ==== = r

Z

q

q+1

i = 0> pero con r

i 6= 0=

r

Consideremos la funci´on K

Sq (I³) $ I q+1 R1 R2 R q R q+1 ´ j 7$ r j> r j> ===> r j> r j = Entonces 1 7$ (1> 2> 3> ===> q> q + 1) ¢ ¡ 2{ 7$ 12 > 22 > 32 > ===> q2 > (q + 1)2 ¢ ¡ 3{2 7$ 13 > 23 > 33 > ===> q3 > (q + 1)3

´ LINEAL 4.5. LA TRANSPUESTA DE UNA FUNCION

149

... ¡ ¢ (q + 1) {q 7$ 1q+1 > 2q+1 > 3q+1 > ===> qq+1 > (q + 1)q+1 = Ahora, el conjunto ¡ ¢ ½ ¾ (1> 2> 3>¡===> q> q + 1) > 12 > 22 > 32 > ===> q2 > (q + 1)¢2 > ===> > 1q+1 > 2q+1 > 3q+1 > ===> qq+1 > (q + 1)q+1 es linealmente independiente, por el ejemplo 77. Como la funci´on lineal K manda una base de Sq (I ) en una base de I q+1 y como ambos espacios tienen la misma dimensi´on, tenemos que K es un isomorfismo. Entonces K31 ((0> 0> ===> 0> 1)) =: i es un polinomio tal que Z 1 Z q i = ==== = i =0 r

pero

R q+1 r

r

i 6= 0=

nR R R q R q+1 o 1 2 es una base de Ejercicio 125 En vista del ejemplo 80, r > r > ===> r > r W (Pq (R)) . As´ı que debe ser la base dual de una base de Pq (R), encontrar esta base para q 5 {1> 2> 3> 4}.

150

CAP´ITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Cap´ıtulo 5

Espacios con producto interior I 5.1.

Productos interiores

En lo que sigue, I 5 {R> C} = Definici´ on 67 Sea I Y un espacio vectorial, un producto interior (definido positivamente) h> i : Y × Y $ I es una funci´ on tal que 1. ;z  5 Y , h > zi  : Y $ I es una funci´ on lineal.  yi> donde la barra denota conjugaci´on compleja. 2. hy > zi  = hz> n o 3. hy > y i 5 R+ ^ 0 . 4. hy > y i = 0 , y = 0. Definici´ on 68 El producto interior usual en R q est´a dado por 3 4 x1 E x2 F E F hx> yi = y w · x = (y1 > y2 > ===> yq ) · E .. F = x1 y1 + x2 y2 + === + xq yq = C . D xq Observaci´ on 49 El producto anterior efectivamente es un producto interior: Demostraci´ on. 151

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

152

1. Notemos que h > y i = y w · ( ) : R q $ R es una funci´on lineal (es un caso partiD· cular de que I q $ I p es una funci´on lineal, para una matriz D 5 Pp×q (I )). 2. hx> yi = hy> xi = hy> xi. Pues aqu´ı, conjugar equivale a no hacer nada). 3. hy > y i = y1 y1 + y2 y2 + === + yq yq  0= 4. (hy> yi = y1 y1 + y2 y2 + === + yq yq = 0) +, ³ ´ +, (yl = 0> ;l 5 {1> ===> q}) +, y = 0 = ¡ ¢ Definici´ on 69 Sea D 5 Pq×p (I ), definimos la matriz conjugada de D por: D l>m = Dl>m . Es decir que los coeficientes de D> se obtienen conjugando cada uno de los coeficientes de D= µ Ejemplo 81

1 1+l 1  2l 7 5  10l 1 + l

¶

µ ¶ 1 1l 1 + 2l = = 7 5 + 10l 1  l

Definici´ on 703El producto interior usual en Cq est´a dado por hx> y i = (yw ) · x = 4 x1 E x2 F E F (y1 > y2 > ===> y q ) · E .. F = x1 y1 + x2 y 2 + === + xq yq = C . D xq Observaci´ on 50 El producto anterior es en efecto un producto interior: Demostraci´ on. 1. h > yi = (yw ) · es lineal, y el argumento es el mismo que en la Observaci´on 49= ³ ´w 2. hz>  y i = (y w )z  = (y w )z  (pues esto es un escalar). Ahora, hz>  y i =

´w ´w ³ ³ (yw )z  =z  w (y w ) =

³ ´ww ³ ´ww = z  w (y ) = z  w (y ) = z  w (y ) = hy> zi== 

5.1. PRODUCTOS INTERIORES 3.

153 3

4 y1 E F hy> yi = (y w ) · y = (¯ y1 > ===> y¯q ) C ... D yq =

q q X X y¯l yl = |yl |2 5 R+ ^ {0} = l=1

l=1

4. Por u ´ltimo, si hy> yi = 0> entonces

q P l=1

|yl |2 = 0= Por lo anterior, |yl | = 0 ;l>

as´ı que yl = 0> ;l= Por lo tanto y = 0=

Observaci´ on 51 hy > i : C Y $ C> puede no ser lineal:  = hy > fzi  = hfz>  y i = f hz>  yi = hy> i (fz)  yi = fhy> zi  = f hy > zi  = (f hy > i) (z)  = = fhz> En particular,  = (l hy> i) (z)  6= (l hy> i) (z)  > hy > i (lz) si hy> zi  6= 0= Por ejemplo, con el producto usual en C2 tenemos que ¿µ ¶ µ ¶À µ ¶ ¡ ¢ 2 2 0 > = 0 l = l= 1 l 1 µ Por otra parte,

0 l

¶

µ =l ¿µ

l =

2 1

0 1

¶ > pero

¶

µ >l

=l

¡

0 1

¶À

0 1

¿µ 6= l

¢

µ

2 1

2 1

¶ µ ¶À 0 = > 1

¶ = l=

Ejercicio 126 Demuestre que si h > i es un producto interior en I Y y f 5 R+ > entonces f h > i : Y ×Y $ I es un producto interior definido positivamente. Sugerencia: note que f h > i = (f )  h > i, y que (f ) : I $ I es una funci´on lineal=

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

154

5.2.

La norma inducida por un producto interior

Definici´ on 71 Si I Y es un espacio con producto interior (definido positivamente), definimos + k k : Y $ Rp ^ {0} = hy> yi y 7$ Esta funci´on se llama la norma de Y respecto a h > i. Una notaci´on m´as adecuada ser´ıa k kh > i > pero esto har´ıa m´as pesada la notaci´on. Observaci´ on 52 k k : Y

$ R+ ^ {0} tiene las siguientes propiedades:

³ ´ 1. ky k  0, y ky k = 0 / y = 0 = 2. ky k2 = hy > y i = q p p p f hy> yi = |f|2 hy > y i = |f| hy > y i = |f| ky k = Aqu´ı |f| = 3. kfy k = hfy> fy i = f¯ s f¯ f es el m´odulo del n´ umero complejo f.

5.2.1.

El Teorema de Cauchy-Schwarz

Teorema 65 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) En un espacio vectorial I Y con h > i1 entonces |hy> zi|  6 ky k kzk  = Demostraci´ on. Consideremos el producto interior de y  z  consigo mismo: hy  z>  y  zi  esto es un n´ umero real mayor o igual que 0= Podemos escribir: 0 6 hy  z>  y  zi  = h y> y  z  i + h z>  y  z  i= = hy > yi + hy> zi  + hz>  yi + hz>  zi  =  + hz>  yi +  hz>  zi  = = ky k2 + hy > zi = kyk2 +  hy > zi    hz>  yi +  kzk  2= 1 En esta secci´on consideramos s´ olo productos interiores definidos positivamente, as´ı que ya no haremos esta aclaraci´ on.

5.2. LA NORMA INDUCIDA POR UN PRODUCTO

INTERIOR

155

= ky k2 +  hy> zi   hy> zi  +  kzk  2= Escojamos ahora  =

hy>zi  hz>  zi 

=

hy >zi  2 > kzk  2

y sustituy´amosla en

  hy> zi  +  kzk  2: 0 6 ky k2 +  hy> zi obtenemos 0 6 kyk2 + 

hy > zi   hy > zi  hy> zi  hy > zi hy > zi   hy> zi  + kzk  2: kzk  2 kzk  2 kzk  2 kzk  2

Multiplicando ahora por kzk  2 obtenemos 0 6 kyk2 kzk  2 + hy> zi  hy> zi   hy> zi  hy> zi  + hy> zi  hy> zi>  por lo tanto 0 6 kyk2 kzk  2 + hy> zi  hy> zi  > es decir que |hy> zi|  2 = hy > zi  hy> zi  6 ky k2 kzk  2> as´ı que |hy > zi|  2 6 kyk2 kzk  2> por lo que |hy > zi|  6 ky k kzk  = Ejemplo 82

h > i : C [0> 1] × C [0> 1] $ R R1 (i> j) 7$ 0 i j

es un producto interior en el espacio de las funciones reales continuas definidas en el intervalo [0> 1] = La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma en este caso que ¯Z 1 ¯ s¯Z 1 ¯ ¯Z 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ i j¯¯ 6 ¯¯ i i ¯¯ ¯¯ jj ¯¯= ¯ 0

0

0

Por ejemplo, ¯Z 1 ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ sen ({) cos ({)¯¯ =  cos2 (1) = >35404=== 6 ¯ 2 2 0 2 Esta elecci´ on de  resulta de considerar la componente de y a lo largo de z>  cuya definici´ on se d´a en la secci´ on de ortogonalidad.

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

156 s Z

Z

1

6

(sen ({))2 0

1

(cos {)2 = 0

1p ( cos2 1 + cos4 1 + 1) = >44534=== 2

Otro R 1 ejemplo: { ({2 + 5) = 11 = 2>75 4 0 q s R1 R 1 2 ({)2 0 ({2 + 5)2 = 15 535 = 3>084==== 0 Ejercicio 127 Compruebe que en efecto h > i : C [0> 1] × C [0> 1] $ R R1 (i> j) 7$ 0 i j es un producto interior en el espacio de las funciones reales continuas definidas en el intervalo [0> 1] = Teorema 66 (Desigualdad del tri´ angulo) En un espacio vectorial I Y con h > i, se tiene que kx + yk 6 kxk + kyk = Demostraci´ on. kx + yk2 = hx + y> x + y i = kxk2 + kyk2 + hx> yi + hy> xi = Como hx> y i + hy > xi = hx> y i + hx> yi = 2 Re (hx> y i), es claro que basta demostrar que 2 Re (hx> y i) 6 2 kxk ky k = A la vista del Teorema de Cauchy-Schwarz, basta demostrar que |Re (hx> y i)| 6 |hx> yi| = Pero esto es algo que se cumple para todo n´ umero complejo } = d + el : |}|2 = }¯ } = d2 + e2  d2 = , |}|  |d| = |Re (})|

5.3.

La traza y la adjunta de una matriz

Teorema 67

1.

wu : Pq×q (I ) $ D

I q P 7 $ Dl>l l=1

es una funci´on lineal.

5.3. LA TRAZA Y LA ADJUNTA DE UNA MATRIZ

157

2. Si D 5 Pq×p (I ) > E 5 Pp×q (I ) > entonces wu (DE) = wu (ED) = 3. Si D 5 Pq×q (I ) > entonces wu (D) = wu (Dw ) = ¡ ¢ 4. Si D 5 Pq×q (I ) > entonces wu D = wu (D)= sl : Pq×q (I ) $ I es D 7$ Dl>l W una funci´on lineal, y del hecho de que KrpI (Pq×q (I ) > I ) = (Pq×q (I )) es un espacio vectorial. µ ¶ P P P 2. wu (DE) = Dl>n En>l = Dl>n En>l = wu (ED) = Demostraci´ on. 1. Esto se sigue del hecho de que

l

n

l>n

3. Basta observar que una matriz cuadrada tiene la misma diagonal principal que su transpuesta, y que la P traza es la suma de los elementos de la diagonal. ¡ ¢ P 4. wu D = Dl>l = Dl>l = wu (D)= Observaci´ on 53 Las operaciones de transponer y conjugar matrices conmutan. Es w decir que si D 5 Pq×p (I ) > entonces Dw = D = ³ w´ ¡ ¢ Demostraci´ on. Dw l=m = (Dw )l=m = (D)m>l . Por otro lado, D

l>m

¡ ¢ = D m>l =

(D)m>l = Observaci´ on 54 Si D 5 Pq×p (I ) > E 5 Pp×u (I ), entonces (DE) = DE= Demostraci´ on. (DE)l>m =

X X Dl>n En>o = Dl>n En>o n

=

n

X ¡ ¢ Dl>n En>o = DE l>m n

Teorema 68

h > i : Pq×q (I ) × P ¡ q×q ¢(I ) $ I hD> Ei = wu E w D

es un producto interior en Pq×q (I ).

158

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

¡ ¢ Demostraci´ on. 1. h > Ei = wu  E w · es una composici´on de funciones lineales, por lo tanto es lineal. 2. ¡ ¢ ¡ ¢ hE> Di = wu Dw E = wu EDw = ³¡ ¢ ¢w ´ ¢ ¡ ¡ = wu DE w = = wu E ww Dw = wu DE w ³ ´ ³ ´ ¢ ¡ ¡ ¢ = wu DE w = wu DE w = wu DE w = wu E w D = = hD> Ei= 3.

à ! ¡ ¢ X X hD> Di = wu Dw D = Dw l>n Dn>l = l

n

à ! à ! X X X X w = D l>n Dn>l = Dn>l Dn>l = l

l

n

=

X

n

|Dn>l |2 5 R+ ^ {0} =

l>n

4. Por u ´ltimo, es claro que

P

|Dn>l |2 = 0 , D es la matriz cero.

l>n

w

Notaci´ on 7 Si D 5 Pq×p (I ) > denotaremos DW = Dw = D . DW se llama la matriz adjunta de D=

5.4.

Ortogonalidad y el Teorema de Gram-Schmidt

Definici´ on 72 Diremos que x> y en un espacio con producto interior son perpendiculares u ortogonales si hx> yi = 0= Representaremos esta situaci´ on escribiendo x B y=

5.4. ORTOGONALIDAD Y EL TEOREMA DE

GRAM-SCHMIDT

159

Observaci´ on 55 Si {x> y} es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial I Y de dimensi´on finita, entonces yi : x>y i 0 = h(x  y) > yi = hx> yi   hy > y i ,  = h , donde notamos que hy> yi = kyk2 6= h y >y i 0> pues y 6= 0> por ser y un elemento de un conjunto linealmente independiente. Notaci´ on 8

h x>y i y hy >yi

=

h x>y i y kyk2

se llama “la componente de x a lo largo de y”.

Observaci´ on 56 En R2 uno tiene que la componente de x a lo largo de y es (kxk cos()) kyyk . Donde  es el “´angulo de y a x”= Esto sugiere la siguiente definici´on. Definici´ on 73 Si x> y son dos vectores en I Y con h > i, frv () = Observaci´ on 57 warz, es que

hx> yi = kxk ky k

1. Notemos que una consecuencia del Teorema de Cauchy-Sch|frv ()| 6 1=

2. Notemos tambi´en que x> y son vectores ortogonales / frv () = 0, que tambi´en es compatible con nuestra experiencia geom´etrica acerca de R2 = Definici´ on 74 Si V 6 I Y> Y con h > i, entonces V z = {z  | hy > zi  = 0> ;y 5 V} .

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

160

Teorema 69 V z 6 I Y= D E D E ³ ´ Demostraci´ on. 1. y > 0 = 0> y = h > y i 0 = ¯0 = 0= Por lo tanto 0 5 V z = 2. z  1> z  2 5 V z > f 5 I , hy > z  1 + fz  2 i = hy> z  1 i + f¯ hy > z  2i = 0 + 0 = 0 hn o i 0 >I Y ( )z : € (Y ) $ Podemos considerar que es una funci´on que manV 7$ Vz da un subconjunto V de Y en un subespacio de I Y= Teorema 70 ( )z : € (Y ) $ V 7$

hn o i 0 >I Y Vz

tiene las siguientes propiedades: 1. ( )z invierte el orden. 2. V z = (L (V))z = 3. ([ ^ \ )z = [ z _ \ z = 4. (Z1 + Z2 )z = Z1z _ Z2z > si Z1 > Z2 son subespacios de I Y . 5. (Z1 _ Z2 )z  Z1z + Z2z = Demostraci´ on. 1. Si [  \ y y 5 \ z , entonces h|> yi = 0> ;| 5 \ , en particular h{> yi = 0> ;{ 5 Z1 > es decir, y 5 [ z = 2. V  L (V) , (L (V))z  V z = Rec´ıprocamente si y 5 V z y { 5 L (V) > entonces { = as´ı:

* h{> y i =

q X f{l > y l=1

+ =

q P

fl{l con {l 5 V> fl 5 I>

l=1

q X fl h{l > y i = 0= l=1

5.4. ORTOGONALIDAD Y EL TEOREMA DE

GRAM-SCHMIDT

161

3. [  ([ ^ \ ) , ([ ^ \ )z  [ z . De la misma manera, ([ ^ \ )z  \ z = Entonces

([ ^ \ )z  [ z _ \ z =

Por otra parte, y 5 [ z _ \ z , h{> yi = 0> ;{ 5 [> ;| 5 \= Es decir, h{> y i = 0> ;{ 5 [ ^ \= Por lo que [ z _ \ z  ([ ^ \ )z = 4. (Z1 + Z2 )z = (L (Z1 ^ Z2 ))z = (Z1 ^ Z2 )z = Z1z _ Z2z . 5. Z1 _ Z2  Z1 , (Z1 )z  (Z1 _ Z2 )z = An´alogamente, (Z2 )z  (Z1 _ Z2 )z > as´ı que (Z1 )z + (Z2 )z  (Z1 _ Z2 )z = Ejercicio 128 Sea Y un espacio con producto interior de dimensi´ ¡ o¢n finita y sea Z un subespacio de Y= Demostrar que dim (Y ) = dim (Z ) + dim Z z = Ejercicio 129 Demostrar que si dimensi´on de I Y es finita entonces (Z1 _ Z2 )z = Z1z + Z2z = Sugerencia, usar el Corolario 13 y el inciso 4 del Teorema anterior. Ejercicio 130 Encontrar un ejemplo de que (Z1 _ Z2 )z ª Z1z + Z2z = Ejercicio 131 Mostrar que si I Y es un espacio de dimensi´on finita, entonces son equivalentes para dos subconjuntos [> \ de Y : 1. [ z = \ z = 2. L ([) = L (\ ) =

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

162

Definici´ on 75 Sea I Y un espacio vectorial con h > i > se dice que ] 6 Y es un complemento ortogonal de Z 6 Y si L 1. Y = Z ]= 2. hz>  }i = 0> ;z  5 Z> ;} 5 ]= Definici´ on 76 Sea I Y un espacio vectorial con h > i y sea   Y= 1.   I Y se llama ortogonal, si hx> y i = 0> ;x 6= y 5 = 2.   I Y se llama ortonormal, si ½ hx> y i = x>y =

0 si x 6= y > ;x> y 5 = 1 si x = y

Teorema 71 (Gram-Schmidt) Sea I Y un espacio vectorial con h > i. Sea {yq }qMN /$ Y> entonces o=l

< {z  q }qMN

/$

ortonormal

Y>

tal que L ({y1 > ===> yp }) = L ({z  1 > ===> z  p }) > para cada p 5 N= Demostraci´ on. Construiremos {z  q }qMN recursivamente: z  1 =: kyy11 k > notemos que y1 6= 0 puesto que y1 es un elemento de un conjunto linealmente independiente. Notemos que {z  1 } es un conjunto ortonormal y que los espacios generados por y1 y z  1 coinciden.  p } conjunto ortonormal de Supongamos ahora que hemos constru´ıdo {z  1 > ===> z vectores tal que L ({y1 > ===> ym }) = L ({z  1 > ===> z  m }) > ;m 6 p=  1 > ===> z  p }) = En particular, estamos suponiendo que L ({y1 > ===> yp }) = L ({z Definimos ! ! à à p h p P P yp+1 > z mi hyp+1 > z mi z m = z  m = yp+1  } =: yp+1  m> z mi m=1 hz m=1 z  p+1 =

} = k}k

1. A yp+1 se le est´an restando sus componentes a lo largo de cada uno de los vectores z  l = Ahora tenemos que comprobar que

5.4. ORTOGONALIDAD Y EL TEOREMA DE

GRAM-SCHMIDT

163

2. {z  1 > ===> z  p } ^ {z  p+1 } es ortonormal y 3. L ({z  1 > ===> z  p } ^ {z  p+1 }) = L ({y1 > ===> yp+1 }) = Por construcci´on, todos los vectores de {z  1 > ===> z  p } tienen norma 1. Tomemos ahora n 6 p y calculemos hz  p+1 > z  ni : À ¿ 1 }  ni = hz  p+1 > z >z n = h}> z  ni = k}k k}k ! + * à p h P 1 yp+1 > z mi = n = yp+1  z m > z k}k m> z mi m=1 hz À ¿ 1  ni hyp+1 > z = n = yp+1  z  n> z k}k hz  n> z  ni µ À¶ ¿ 1  ni hyp+1 > z = hyp+1 > z =  ni  n z  n> z k}k hz  n> z  ni µ ¶  ni 1 hyp+1 > z = hyp+1 > z  ni   ni = hz  n> z k}k hz  n> z  ni =

1  n i  hyp+1 > z  n i) = 0= (hyp+1 > z k}k

Ahora, tenemos que  1 > ===> z  p } ^ {yp+1 }) = L ({z  1 > ===> z  p }) + L {yp+1 } = z  p+1 5 L ({z = L ({y1 > ===> yp }) + L {yp+1 } = L ({y1 > ===> yp } ^ {yp+1 }) = De aqu´ı se sigue que L ({z  1 > ===> z  p } ^ {z  p+1 })  L ({y1 > ===> yp } ^ {yp+1 }) = ! à p P hyp+1 >z mi Como } =: yp+1  z  m > entonces hz  m >z mi m=1

yp+1

} = k}k + k}k

Ã

p h P yp+1 > z mi z m m> z mi m=1 hz

! =

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

164 Ã =

p h P yp+1 > z mi z m m> z mi m=1 hz

! + k}k z  p+1 5 L ({z  1 > ===> z  p } ^ {z  p+1 }) =

 1 > ===> z  p } ^ {z  p+1 }) As´ı que L ({y1 > ===> yp } ^ {yp+1 })  L ({z Nota 1 El proceso recursivo descrito en la demostraci´on del Teorema anterior se llama “proceso de Gram-Schmidt”. on numerable (finita) tiene una Teorema 72 Un espacio I Y con h > i de dimensi´ base ortonormal. Demostraci´ on. T´omese una base numerable (finita) y apl´ıquesele el proceso de Gram Schmidt. Se obtiene un conjunto ortonormal que genera Y . En el Ejercicio 132 se pide demostrar que un conjunto ortonormal es linealmente independiente. Ejemplo 83 Encontremos un conjunto ortonormal en R4 que genere el espacio generado por {(1> 2> 3> 4) > (1> 1> 1> 1) > (1> 2> 1> 2)} = z1 = s

(1>2>3>4)

== s s s ¢® s

¡1s 1 1 2 30> 15 30> 10 30> 15 30 z1 = 13 30 : (1> 1> 1> 1)  (1> 1> 1> 1) > 30 s =(1> 1> 1> 1)  13 30 I130 (1> 2> 3> 4) = 13 (2> 1> 0> 1) = (1>2>3>4)(1>2>3>4)

1

(2>1>0>31)

1

(2>1>0>31)

3 = 3 1 I6 = I16 (2> 1> 0> 1) = k 13 (2>1>0>31)k 3 Por u ´ltimo: ¿ À s (1>2>3>4) (1> 2> 1> 2)  (1> 2> 1> 2) > s (1>2>3>4)  (1>2>3>4)(1>2>3>4) (1>2>3>4)(1>2>3>4) E D  (1> 2> 1> 2) > I16 (2> 1> 0> 1) I16 (2> 1> 0> 1) = ¢ ¡ 8 (1> 2> 3> 4)  32 (2> 1> 0> 1) =  35 > 95 >  95 > 35 = = (1> 2> 1> 2)  h(1>2>3>4)>(1>2>3>4)i 6

Entonces z2 =

I

(33>9>39>3) = 305 (3> 9> 9> 3). As´ı que z3 = k(33>9>39>3)k Veamos que {(1> 2> 3> 4) > (2> 1> 0> 1) > (3> 9> 9> 3)} es un conjunto ortogonal:

h(1> 2> 3> 4) > (2> 1> 0> 1)i = 2 + 2  4 = 0 h(1> 2> 3> 4) > (3> 9> 9> 3)i = 3 + 18  27 + 12 = 0= h(2> 1> 0> 1) > (3> 9> 9> 3)i = 6 + 9  3 = 0= Para ver que {z1 > z2 > z3 } generan el mismo espacio que {(1> 2> 3> 4) > (1> 1> 1> 1) > (1> 2> 1> 2)} >

5.4. ORTOGONALIDAD Y EL TEOREMA DE

GRAM-SCHMIDT

165

basta ver que las matrices cuyos renglones son z1 > z2 > z3 y (1> 2> 3> 4) > (1> 1> 1> 1) > (1> 2> 1> 2) > respectivamente son equivalentes por renglones. Para esto basta ver que ambas matrices tienen la misma forma reducida y escalonada: 3 4 1 2 3 4 C 1 1 1 1 D> 1 2 1 2 cuya forma reducida y escalonada es 3 4 1 0 0 1 C 0 1 0 1 D= 0 0 1 1 (Comprobarlo). Por otra parte, 3

4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 C 2 1 0 1 D o n C 0 3 6 9 D o n 3 9 9 3 3 9 9 3 3

1 2 o n C 0 3 0 15 3 1 2 o nC 0 1 0 0 3 1 o nC 0 0

4 3 3 4 1 2 6 9 D o nC 0 1 0 15 0 15 4 3 3 4 1 2 2 3 Do nC 0 1 30 30 0 0 4 3 2 3 4 1 2 0 1 0 1 Do nC 0 1 0 0 1 1 0 0 1 3 4 1 0 0 1 1 D= o nC 0 1 0 0 0 1 1

4 3 4 2 3 Do n 0 15 4 3 4 2 3 Do n 1 1 4 1 1 Do n 1

Observaci´ on 58 Un conjunto ortogonal de vectores distintos de 0 es o= l=

166

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

n o Demostraci´ on. Si   Y \ 0 es un conjunto ortogonal, para ver que es o= l= basta demostrar que cualquier subconjunto finito es o= l= Sea    finito, digamos que  = {{1 > ==={p } > supongamos que f1 {1 + === + fp {p = 0= Multiplicando por {l > obtenemos 0 = fl h{l > {l i = fl k{l k2 = Como k{l k2 6= 0> esto implica que fl = 0> como esto sucede para cada l> conclu´ımos que  es o= l= Ejercicio 132 Demuestre que un conjunto ortonormal de vectores es o= l= Teorema 73 Un subespacio Z de dimensi´on finita de un espacio I Y con h > i, tiene un complemento ortogonal. Demostraci´ on. Sea Z de dimensi´on finita con base  = {{1 > ==={q } = Entonces z Z z =  z = {z 1 _ === _ {q para ver que esto es un complemento ortogonal de Z , basta ver que L z Z Z = Y= _) Es claro que y 5 Z _ Z z , hy> yi = 0 , y = 0= +) Si y 5 @ Z , entonces  ^{y } es linealmente independiente. Aplicando el procedimiento de Gram-Schmidt, obtenemos un conjunto ´^{y´} ortonormal tal que ´es una base para Z y tal que y 5 L (´^ {y´}) = L (´) + L ({y´}) = Z + L ({y´})  Z + Z z , ya que y´5 Z z > por ser ortogonal a una base de Z= Por lo tanto Y \Z  Z + Z z > por otra parte Z  Z + Z z > as´ı que Y = (Y \Z ^ Z )  Z + Z z . Entonces Y = Z + Z z= Corolario 13 Si dim (Y ) es finita, entonces dimZ + dim Z z = dim Y= 3

6 0 4 0 D· Ejercicio 133 Sea R6 $ R3 tal que D = C 2 0 2 0 3 2 1 2 (Ker (D · ))z , y compruebe que tiene dimensi´on igual al rango

2 2 1 de

4 0 2 D, encuentre 2 (D · ) =

Ejercicio 134 Encuentre una base ortonormal para Ker(D · )z = 3

4 2 0 2 0 2 2 E· Ejercicio 135 1. Sea R6 $ R3 E = C 6 0 4 0 2 0 D > encuentre 4 0 6 1 0 2 (Ker(E · ))z . 2. Encuentre una base ortonormal para (Ker (E · ))z =

5.4. ORTOGONALIDAD Y EL TEOREMA DE

GRAM-SCHMIDT

167

3. Encuentre Ker(D · ) _ Ker(E · ) = (la misma D de los dos ejercicios anteriores) resolviendo 43 3 4 3 4 {1 0 6 0 4 0 2 0 E 2 0 2 0 2 2 F E {2 F E 0 F FE E F E F E 3 2 1 2 1 2 F E {3 F E 0 F FE E F E F E 2 0 2 0 2 2 F E {4 F = E 0 F > FE E F E F C 6 0 4 0 2 0 D C {5 D C 0 D 0 4 0 6 1 0 2 {6 Ejercicio 136 T´omese D y E como en el ejercicio previo. 1. Encuentre la dimensi´ on de (Ker (D · ) _ (Ker (E · )))z > y una base ortonormal. 2. Compruebe que (Ker (D · ) _ (Ker (E · )))z = (Ker (D · ))z + (Ker (E · ))z = Ejercicio 137 Muestre que h > i : R [{] × R [{] $ R tal que hd0 + d1 { + === + dq {q > e0 + e1 { + === + ep {p i =

X

dl el

es un producto interior. Ejercicio 138 Ortonormalice el conjunto {1> {> {2 > {3 } respecto al producto interior del ejercicio anterior. Ejercicio 139 Ortonormalizar el siguiente conjunto: V = {(1> 0> 1) > (0> 1> 1) > (1> 3> 3)} y expresar y = (1> 1> 2) como combinaci´ on de la base ortonormalizada. Ejercicio 140 Sea Y = R3 > V = {(1> 1> 1) > (1> 1> 2)} = Calcular V z = Ejercicio 141 Muestre que h > i : R [{] × R [{] $ R tal que hi> ji = producto interior.

R1 0

ij es un

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

168

Ejercicio 142 Ortonormalice el conjunto {1> {> {2 > {3 } respecto al producto interior del ejercicio anterior. R Ejercicio 143 Muestre que h i> j i = 3 i j define un producto interior en C [> ], el espacio de las funciones reales continuas definidas en [> ] = Demuestre que 1. sen{ y cos { son ortogonales respecto a este producto interior. 2. sen(q{) >

cos (p{), son ortogonales s 3. kcos ({)k = = s 4. ksen ({)k = =

y -2

-1

1

y 0

1

y

0.5

-2 -0.5

2

sen({) cos ({)

5.4.1.

2

0

x

sen({)sen({)

cos ({) cos ({)

y

-2

2

x

1

4

x

0.5

-3 -2 -1 -0.5

1

2

3

x

sen(2{) cos (3{)

Matrices respecto a una base ortonormal

Teorema 74 Sea W : Y $ Y un operador lineal en un espacio de dimensi´ on finita Y con h > i = Si  = {{l }16l6q es una base ortonormal de Y , entonces ´ ³ = hW ({m ) > {l i = [W ] l>m

³ ´ = Entonces Demostraci´ on. Escribamos dl>m = [W ] l>m 3 4 d1>m E d2>m F ´j ³ E F [W ] ¯ = [W ({m )] = E .. F > C . D dq>m

5.5. EL OPERADOR ADJUNTO

169

es decir que W ({m ) = d1>m {1 + d2>m {2 + === + dq>m {q = Aplicando h > {l i obtenemos dl>m : hW ({m ) > {l i = hd1>m {1 + d2>m {2 + === + dq>m {q > {l i = dl>m =

5.4.2.

Representaci´ on de elementos del espacio dual

Teorema 75 Si I Y es un espacio con h > i de dimensi´ on finita, entonces ;i 5 Y W , zi  = ˆ entonces z Demostraci´ on. Si i = 0>  = 0 satisface la afirmaci´on. i ˆ entonces Y ³ I es lineal suprayectiva, as´ı que Si i 6= 0, nul (i ) + rango (i) = dim (Y ) = Es decir que Ker(i) es un subespacio de Y de dimensi´on dim (Y )  1= Como L Y = Ker (i) (Ker (i ))z > escojamos 0 6= } 5 (Ker (i ))z > entonces i (}) 6= 0= Tomemos z  = }> ¯ h}> }i = k}k2 = As´ı que  = de tal manera que i (}) = h} > } i =  Es claro ahora que h > zi  |(Ker(i ))z = i|(Ker(i ))z

i ( }) = k } k2

por otra parte, h > zi  |Ker(i ) = ˆ0|Ker(i ) = i|Ker(i ) > pues z  5 (Ker (i))z =

5.5.

El operador adjunto

Teorema 76 Sea I Y un espacio vectorial de dimensi´on finita con h > i. Sea W : Y $ Y un operador lineal en Y= Entonces existe un operador lineal W W : Y $ Y tal que hW (y) > zi  = hy> W W (z)i  ;y > z  5 Y=

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

170

Demostraci´ on. Dada z  5 Z> entonces h > zi   W : Y $ I es lineal por ser composici´on de funciones lineales. Por el Teorema 75, zi  W = h >z  0 i = Definamos W W (z)  =: z  0= Por definici´on, hy > zi   W = hy > W W (z)i  = Resta ver que W W : Y $ Y>as´ı definida es una funci´on lineal: tenemos que  2 5 Y> ;f 5 I> hy> W W (z  1 + fz  2 )i = hW (y) > z  1 + fz  2i = ;y > z  1> z  2 i = hW (y) > z  1 i + f¯ hW (y) > z  2i = = hW (y ) > z  1 i + hW (y ) > fz = hy > W W (z  1 )i + f¯ hy > W W (z  2 )i = hy > W W (z  1 )i + hy > fW W (z  2 )i = = hy> W W (z  1 ) + fW W (z  2 )i =  1 + fz  2 )i = hy> W W (z  1 ) + fW W (z  2 )i > obtenemos De hy > W W (z  1 + fz  2 )i  hy > W W (z  1 ) + fW W (z  2 )i = 0 = hy > W W (z  1 + fz  2 )]  [W W (z  1 ) + fW W (z  2 )]i = = hy > [W W (z Como esto vale para toda y> en particular vale si ponemos y = [W W (z  1 + fz  2 )]  [W W (z  1 ) + fW W (z  2 )] = De aqu´ı obtenemos que  1 + fz  2 )]  [W W (z  1 ) + fW W (z  2 )] = 0> [W W (z es decir que W W es lineal. Definici´ on 77 Si W> W W son operadores lineales en un I Y un espacio vectorial con h > i tales que hW (y) > zi  = hy> W W zi  > ;y> z  5 Y> W W se llama el operador adjunto de W = Ejercicio 144 Sea W : R2 $ R2 lineal, definida por W ({> |) = ({ + 2|> 2{ + |) = Calcular W W = Ejercicio 145 Para un operador lineal W en Y un espacio con producto interior, demostrar que si W W W = ˆ0 entonces W = ˆ0=

5.6. PROPIEDADES DEL OPERADOR ADJUNTO

5.6.

171

Propiedades del operador adjunto

Teorema 77 Sea I Y un espacio vectorial de dimensi´on finita3 con h > i. Sean W> X 5 Krp (Y> Y ) > f 5 I= 1. (LgY )W = LgY = 2. (0Y )W = 0Y : Y $ Y= 3. (fW )W = f¯ (W W ) = 4. (X  W )W = W W  X W = 5. (X + W )W = W W + X W = 6. W WW = W= W

7. Si W es invertible, entonces (W W )31 = (W 31 ) = Demostraci´ on. 1. hLgY (y ) > z  i = hy> z  i = hy> LgY (z)  i= D E  i = 0> z  = 0 = hy> 0Y (z)  i= 2. h0Y (y) > z  3. h(fW )(y )> zi  = h(f(W ))(y )> zi  = fhW (y )> zi  = fhy > W W (z)i W W = hy > f¯W (z)ih  y > (¯ fW )(z)i.  4. Ejercicio. 5. Ejercicio. 6. hW W (y) > zi  = hz>  W W (y )i = hW (z)  > y i = hy> W (z)i  = hy > W (z)i  = W

W

W

7. LgY = (LgY )W = (W  W 31 ) = (W 31 )  W W > esto muestra que (W 31 ) es inverso W izquierdo de W W = Sim´etricamente, (W 31 ) es inverso derecho de W W . Por lo tanto W 31 (W 31 ) =(W W ) . Ejercicio 146 Demuestre los incisos 4 y 5 del Teorema anterior. 3 La hip´otesis de que I Y es de dimensi´ on finita s´olo se usa para poder contar con los adjuntos de los operadores. Las mismas afirmaciones se pueden hacer suponiendo la existencia de estos adjuntos, quitando la hip`otesis de finitud.

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

172

Teorema 78 Sea I Y un espacio vectorial de dimensi´ on finita con h > i = Sea  = {{l }16l6q una base ortonormal de I Y= Sea W un operador en Y= La matriz del operador adjunto W W respecto a  est´a dada por ³ ´w ³ ´W [W W ] = [W ] = [W ] = Demostraci´ on. ³ ´ [W W ]

l>m

= hW W ({m ) > {l i = h{m > W WW ({l )i = h{m > W ({l )i =

³ ´ = hW ({l ) > {m i = [W ]

m>l

Corolario 14 W W = x31  

³ ´w ´W ´ ³³ = [W ] = [W ] l>m

l>m

´W ´ ³³ [W ] ·  x =

Demostraci´ on. El diagrama Y x

?

Iq

WW

-

= W ([W ] ) ·

-

Y x

?

Iq

es conmutativo, en vista del teorema anterior. W

2 C2 µC ¶ $ µ ¶ Ejemplo 84 tiene matriz { { (5  5l) + | (3  7l) 7$ | { (9 + 7l) + | (5l) µ ¶ 5  5l 3  7l = 9 + 7l 5l

Su matriz adjunta es

µ

¶ 5 + 5l 9  7l 3 + 7l 5l µ ¶ ´W ´ ³³ {  > obtenemos. Entonces W W = x31  x  [W ] · > calculando en    | µ ¶ ³ ³³ ´W ´ ´µ { ¶ {  = x31 = WW  [W ] ·  x    | |

5.6. PROPIEDADES DEL OPERADOR ADJUNTO ³³ ´W ´ µ { ¶  =  [W ] · = | µ³ µ ¶¶ ´W { = x31 [W ] =  | ¶ µ ¶¶ µµ { 5 + 5l 9  7l = = x31  | 3 + 7l 5l µµ ¶ µ ¶¶ 5 + 5l 9  7l { = x31 =  3 + 7l 5l | ¶ µ 5{ + 5l{ + 9|  7l| = = 3{ + 7l{  5l| A manera de verificaci´ on, tomemos ¿ µ ¶ µ ¶À ¿µ ¶ µ ¶À 1l 1 2  20l 1 W > = > = 2 + 2l 2l 6 + 8l 2l ¶ µ ¡ ¢ 2  20l =: 14  32l = 1 2l 6 + 8l Pues ¶ ¶µ ¶ µ µ 1l 5  5l 3  7l 1l = = W 2 + 2l 9 + 7l 5l 2 + 2l µ ¶ 2  20l = = 6 + 8l Por otra parte, ¶ ¿µ ¶À ¶ µ ¶À ¿µ µ 1l 9 + 23l 1l 1 W >W = > = 2 + 2l 7 + 7l 2 + 2l 2l µ ¶ ¡ ¢ 1l = = 9  23l 7  7l 2 + 2l = 14  32l> pues µ ¶ µ ¶µ ¶ 1 5 + 5l 9  7l 1 W W = = 2l 3 + 7l 5l 2l x31 

Ejercicio 147 Calcular el operador adjunto de W

3 C3 3C 4 $ 3 4 { { (5) + | (7l) + l} C | D  7 $ C { (3 + 7l) + | (5l) + } (5) D = } { (5) + | (7l) + } (1  l)

173

174

5.7.

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

Transformaciones lineales y productos interiores

Recomendamos a los lectores el libro de la M. en C. Ana Irene Ram´ırez Galarza [6] para los aspectos y aplicaciones en Geometr´ıa del producto interior. Teorema 79 Son equivalentes para un operador lineal suprayectivo W : Y ³ Y en un espacio vectorial con h > i : 1. W respeta el producto interior, es decir hW (x) > W (y)i = hx> yi > ;x> y 5 Y= 2. W respeta la norma,. es decir kW (x)k = kxk > ;x 5 Y= 3. W manda conjuntos ortonormales en conjuntos ortonormales. 4. W es invertible y W 31 = W W = Demostraci´ on. 1), 2) Se sigue de la definici´on de norma. 2),1) kW (x  y )k2 = k(x  y )k2 As´ı que hx  y> x  yi = hW (x  y ) > W (x  y )i = = hW (x)  W (y) > W (x)  W (y)i = Entonces kxk2 + hx> y i + hy> xi + kyk2 = = kW (x)k2 + hW x> W (y)i + hW (y ) > W (x)i + kW (y)k2 > de donde tenemos, cancelando kxk2 con kW (x)k2 y kyk2 con kW (y)k2 que:  hx> yi   hy> xi =  hW x> W (y)i +  hW (y) > W (x)i = As´ı que  hx> yi + hx> yi =  hW x> W (y )i + hW (x) > W (y )i> ¡ ¢ ¡ ¢ por lo que 2 Re  hx> yi = 2 Re  hW x> W (y)i , as´ı que ¢ ¡ ¢ ¡ Re  hx> y i = Re  hW x> W (y)i > ; 5 I=

(5.1)

5.7. TRANSFORMACIONES LINEALES Y PRODUCTOS

INTERIORES

175

Si tomamos  = 1> tenemos que Re hx> y i = Re hW (x) > W (y )i = Por otra parte, dado } = d + el 5 C> tenemos que Re (l}) = Re (l (d  el)) = Re (ld + e) = e = Im (d + el) = Im (}) = As´ı que si tomamos  = l en 5.1, obtenemos Im hx> y i = Im hW (x) > W (y)i = Dado que los n´ umeros hx> y i y hW (x) > W (y)i comparten sus partes reales e imaginarias, conclu´ımos que hx> y i = hW (x) > W (y)i = 1), 3) Es claro.

n o 3) , 4) W es inyectiva, pues si { 6= 0> entonces k{{k es un conjunto ortonormal, o n {) > en particular, kW ({)k = k{k > y W ({) 6= 0= Luego as´ı que tambi´en lo es Wk( {k n o Ker(W ) = 0 , por hip´otesis tenemos que W es suprayectivo. Hemos visto en el p´arrafo precedente que kW ({)k = k{k > ;{ 5 Y= As´ı que tambi´en tenemos que W respeta el producto interior, ya que hemos demostrado que 1) y 2) son equivalentes. As´ı, hW (y ) > zi  = hW (y ) > W W 31 zi  = hy> W 31 zi  > de donde vemos que W 31 = W W = W  = hy > W 31 W (z)i  = hy> zi  = 4), 1) hW (y ) > W (z)i  = hy > W W (z)i Teorema 80 Sea I Y un espacio vectorial de dimensi´ on finita con h > i = Son equivalentes para un operador lineal W : 1. W respeta el producto interior. ´31 ³ 2. Para cualquier base ortonormal > [W W ] = [W ] = 3. Los renglones de [W ] forman una base ortonormal de I q = 4. Las columnas de [W ] forman una base ortonormal de I q =

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

176

Demostraci´ on. 1), 2) Si W respeta el producto interior, entonces con el mismo argumento del Teorema de arriba, vemos que W tambi´en respeta la norma y por lo tanto W es inyectivo. Dada la hip´otesis de que dim(Y ) es finita, tenemos que W es invertible. Cuando W es invertible, cualquier matriz que lo represente es invertible tambi´en. Como estamos dentro de las hip´otesis del Teorema anterior, tenemos que W 31 = W W . Ahora, ´31 ¤ ³ £ [W W ] = W 31  = [W ] = 2), 3)

³ £ ¤ ´  l>m = [W ] W 31 

l>m

´ ³ = [W ] [W W ]

l>m

³ ´³ ´j ³ ´ µ³ ´j ¶   W ¯ W  ¯ = [W ] = [W ] [W ] = [W ] i ¯

i ¯

à ! ³ ³ ´ µ³ ´w ¶¯j ´ µ³ ´ ¶w   = [W ] = [W ] = [W ] [W ] i ¯

i ¯

j ¯

à ! ³ ´ µ³ ´ ¶w w µ³ ´ ¶ww µ³ ´ ¶w     = [W ] [W ] [W ] [W ] = = i ¯

j ¯

j ¯

i ¯

+!w Ã*µ ´ ¶w µ³ ´ ¶w ³   > [W ] = [W ] = i ¯

j ¯

+ *µ ´ ¶w µ³ ´ ¶w ³   =  m>l = Esto muestra que los renglones de [W ] > [W ] [W ] Luego i ¯

j ¯

forman un conjunto ortonormal. 3),4)  l>m =

¿³³ ´ ´w ³³ ´ ´w À µ³³ ´ ´w ¶w ³³ ´ ´w = [W ] j [W ] i > [W ] j [W ] i = ¯

=

¯

¯

¯

³³ ´ ´ ³³ ´ ´w µ³³ ´ ´ ³³ ´ ´w ¶ww [W ] j [W ] i = [W ] j [W ] i = ¯

¯

¯

¯

à ! ³³ ´ ´ µ³ ´w ¶j w µ³³ ´ ´ ³³ ´W ´j ¶w ¯   ¯ = [W ] i [W ] = = [W ] i [W ] ¯

¯

5.8. OPERADORES UNITARIOS EN R2

177

! !w õ ! Ãõ ³ ´w ¶¯i w ³³ ´W ´j ³³ ´W ´i ¶w ³³ ´W ´j w     ¯ ¯ ¯ [W ] = = [W ] [W ] [W ] = =

¿³³ ´W ´j ³³ ´W ´i À ¯ ¯ = > [W ] [W ]

³ ´W ´ ³ Tenemos que las columnas de [W ] = [W W ] forman un conjunto ortonormal. P Esto equivale a decir que W W () es un conjunto ortonormal. Si y = f{{> entonces  {M

* + X X X ky k = f{{> f{{ = f{ |f{ |2 > 2

 {M

 {M

 {M

aqu´ı hemos usado la ortonormalidad de = Como tambi´en W W () es ortonormal, entonces * + X X W W W (f{{) > W (f{{) = kW (y )k = 2

W

 {M

 {M

+ * X X X W W f{ W ({) > f{ W ({) = |f{ |2 = =  {M

 {M

 {M

De donde vemos que W W preserva la norma. Entonces los renglones de [W W ] forman un conjunto ortonormal, as´ı que las columnas de [W WW ] = [W ] forman un conjunto ortonormal. 4), 1) Parte del argumento anterior muestra que si las columnas de [W W ] forman un conjunto ortonormal entonces W W respeta la norma. Apliquemos esto a W = (W W )W =

Definici´ on 78 Los operadores que respetan el producto interior se llaman unitarios (u ortogonales si I = R)..

5.8.

Operadores unitarios en R2

Ejemplo 85 Un operador unitario en R2 es una rotaci´on ´o una reflexi´ on.

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

178

Demostraci´ on. La matriz de un operador unitario X:R2 $ R2 > respecto de la base can´onica es una matriz con columnas ortonormales. ¶ µ (y renglones) d e es dicha matriz, entonces: Digamos que D = f g µ 1. µ 2.

d e f g d f e g

¶µ ¶µ

d f e g d e f g

¶

µ =

¶

µ =

d2 + e2 df + eg df + eg f2 + g2 d2 + f2 de + fg de + fg e2 + g2

¶

µ =

¶

µ =

1 0 0 1 1 0 0 1

¶ = ¶ =

3. d2 + e2 = 1= Ahora, la funci´on cos( ) n o ¡{¢ (sen( )) 2 2 2 [0> 1) $ | { + | = 1 5 R | ¡cos()¢  7$ sen()

es una biyecci´on. Equivalentemente, hl(

)

[0> 1) $ {} 5 C | |}| = 1}  7$ hl() es una biyecci´on. µ Entonces existe  5 [0> 1) tal que

d f

¶

µ =

cos () sen ()

¶ =

Como d2 + e2 = 1 = (cos ())2 + e2 entonces e2 = 1  (cos )2 > as´ı que q q e = ± 1  (cos ())2 = ± (sen ())2 = ±sen() > As´ı las posibilidades son: ¶¾ ¶ µ ¶ ½µ µ cos () sen () cos () sen () d e = tomando > 5 sen  cos  sen () cos  f g en cuenta que las columnas deben ser ortogonales. ¶ µ cos () sen () corresponde a la rotaci´on por un a´ngulo . sen () cos ()

5.9. MOVIMIENTOS R´IGIDOS (ISOMETR´IAS) µ Como

cos () cos (  @2) sen () sen (  @2)

¶

µ =

cos () sen () sen ()  cos ()

179 ¶ , tenemos que

esta es la matriz de la reflexi´on sobre una l´ınea que hace un ´angulo @2 con la parte positiva del eje {. 3 4 cos () 0 sen () D sin efec0 1 0 Ejercicio 148 Escriba el inverso de la matriz C sen () 0 cos  tuar ning´ un c´alculo. ¿Qu´e resultado us´o? Ejercicio 149 Demuestre que el inverso de un operador unitario es unitario. Ejercicio 150 Escriba los coeficientes que faltan en 3 4 1@2 d 0 C e 1@3 f D k n o de manera que se obtenga una matriz unitaria en P3×3 (R) =

5.9.

Movimientos r´ıgidos (Isometr´ıas)

Definici´ on 79 Sea Y un espacio real con producto interior. Una funci´ on i : Y $ Y se llama movimiento r´ıgido (o isometr´ıa) si ki ({)  i (|)k = k{  | k ;{> | 5 Y= Proposici´ on i , def´ınase W : Y $ Y mediante W ({) = ³on ´ 7 Para una tal funci´  i ({)  i 0 = Entonces i es lineal y adem´as: 1.

a) kW ({)k = k{k ;{ 5 Y= b) kW ({)  W (|)k = k{  |k ;{> | 5 Y=

Ejercicio 151

1.

a) hW ({) > W (|)i = h{> | i ;{> | 5 Y=

b) kW ({ + d|)  W ({)  dW (|)k = 0 ;{> | 5 Y> d 5 R= (Es decir que W es lineal) 2. Todo movimiento r´ıgido es un operador ortogonal seguido de una traslaci´on.

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

180 3. det(W ) = ±1=

4. Si Y = R2 y  es la base ordenada can´onica para R2 ??, entonces existe un ´angulo  (0 6  ? 2) tal que µ ¶ cos () sen()  si det (W ) = 1 [W ] = sen() cos () y

µ [W ] =

cos () sen() sen()  cos ()

¶ si det (W ) = 1

5. Todo movimiento r´ıgido en R2 es una rotaci´on (con respecto al origen) seguida de una traslaci´on o una reflexi´on (con respecto ale eje |) seguida de una rotaci´on (con respecto al origen) seguida de una traslaci´on. Obs´ervese que: ¶ ¶ µ ¶µ µ cos () sen () 1 0 cos () sen() = = sen ()  cos () 0 1 sen() cos () Demostraci´ on. 1.

a) kW ({)k = ki ({)  i (0)k = k{  0k = k{k = b) kW ({)  W (|)k = k{  |k : kW ({)  W (| )k = = ki ({)  i (0)  (i (|)  i (0))k = = ki ({)  i (|)k = = k{  |k = z }| { porque f es isometr´ıa c) hW ({) > W (|)i = h{> |i ;{> | 5 Y : Como kW ({)  W (| )k2 = k{  | k2 > entonces kW ({)k2  2 hW ({) > W (| )i + kW (| )k2 = = hW ({)  W (|) > W ({)  W (|)i = = h{  | > {  | i = k{k2  2 h{> |i + k| k2 = Cancelando kW ({)k2 con k{k2 y kW (|)k2 con k|k2 , acabamos.

5.9. MOVIMIENTOS R´IGIDOS (ISOMETR´IAS) d) hW ({ + d|)  W ({)  dW (| ) > W ({ + d| )  W ({)  dW (|)i = = hW ({ + d| ) > W ({ + d| )i  2 hW ({ + d|) > W ({) + dW (| )i + + hW ({) + dW (|) > W ({) + dW (| )i = = hW ({ + d| ) > W ({ + d| )i  2 [hW ({ + d|) > W ({)i + d hW ({ + d|) > W (|)i] + + hW ({) > W ({)i + 2d hW ({) > W (| )i + d2 hW (|) > W (|)i = = h({ + d| ) > ({ + d|)i  2 [h({ + d| ) > ({)i + d h({ + d|) > (|)i] + + h({) > ({)i + 2d h({) > (|)i + d2 h(| ) > (| )i = = h(d|) > ({ + d|)i + h({) > ({ + d|)i  2 [h{> {i + d h|> {i + d h({) > (| )i + dd h|> (| )i] + + h({) > ({)i + 2d h({) > (|)i + d2 h(| ) > (| )i = = dd h| > |i + d h|> {i + d h{> |i + h{> {i  | {z } ¸ · 2 h{> {i +d h| > {i + d h{> | i + dd h|> | i + | {z } + h{> {i +2d h{> |i + d2 h|> |i = 0= | {z } 2. Ahora, tenemos que W es un operador ortogonal y de ³ ´ W ({) = i ({)  i 0 > ³ ´ tenemos que i ({) = W ({) + i 0 > por lo que i=

³

³ ´´ + i 0  W=

181

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

182

3. Ya hemos visto que

µ [W ]

=

o

µ [W ] =

cos () sen () sen () cos () cos () sen () sen ()  cos ()

¶ ¶ =

Por lo tanto i= o i=

³

³

³ ´´ ·µ cos () sen () ¶ ¸ + i 0  · = sen () cos ()

³ ´´ ·µ cos () sen () ¶ ¸ · = = + i 0  sen ()  cos ()

Resolviendo, ·µ

cos () sen () sen ()  cos ()

¶

tenemos que µ ¶µ cos () sen () 1 [= sen ()  cos () 0 ³ ³ ´´ ··µ  cos () i = + i 0  sen () ³ ³ ´´ ··µ cos ( + ) i = + i 0  sen ( + )

µ =[

¶

¸ · =

¶  cos () sen () = = sen ()  cos () ¶µ ¶¸ ¸ sen () 1 0 · = =  cos () 0 1 ¶µ ¶¸ ¸ sen ( + ) 1 0 · = = cos ( + ) 0 1 0 1

¶

1 0 0 1 µ

Pues sen( + ) = sen() y cos ( + ) =  cos = En resumen: ³ ´´ ·µ cos () sen () ¶ ¸ ³ · = i = + i 0  sen () cos () ´o i=

³

³ ´´ ··µ cos ( + ) sen ( + ) ¶ µ 1 0 ¶¸ ¸ + i 0  · = sen ( + ) cos ( + ) 0 1

Es decir, tenemos una rotaci´on seguida de una traslaci´on o una reflexi´on seguida de una rotaci´on, seguida de una traslaci´on.

5.9. MOVIMIENTOS R´IGIDOS (ISOMETR´IAS)

183

Ejercicio 152 Dar un ejemplo de un operador ortogonal que no sea ni reflexi´on ni rotaci´on. Regresaremos despu´es a estudiar con m´as detalle el producto interior, cuando dispongamos de la Teor´ıa de los subespacios W -invariantes, de los conceptos de vector y valor propios, adem´as de la Teor´ıa acerca de las formas can´onicas para un operador.

184

CAP´ITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

Cap´ıtulo 6

Determinantes 6.1.

Funciones n-lineales

Observaci´ on 59 Recu´erdese que W : I q $ I es lineal sii ===> dq 5 I tales que W ({1 > ===> {q ) = d1 {1 + === + dq {q = Definici´ on 80 Una funci´on  : Pp×q (I ) $ I es qlineal si ;D 5 Pp×q (I ) > ;m 5 {1> ===> q> } la siguiente funci´ on es lineal q D $ 3 m : I

{

I 4 D1 E ..¯ F E . F E F E Dm31 F E F E { F 7 $ E F E Dm+1 F E F E .. F C . D Dn ¯

donde Dl denota el l´esimo rengl´on de D. Ejemplo 86  : Pp×q (I ) $ I con µ 

d e f g

¶ = dg  ef 185

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

186 µ es 2lineal ya que para D =

d e f g

¶ 5 Pp×q (I ) > µ

D 1 ({> |) = 

¶

{ | f g

= g{  f|>

que es una funci´on lineal, en vista de la Observaci´on anterior y ¶ µ d e = e{ + d|> ({> |) =  D 2 { | que tambi´en es lineal. Ejemplo 87 ˆ0 : Pq×p (I ) $ I es qlineal, ya que si D 5 Pp×q (I ), se cumple que q q ˆ ˆ0D m : I $I = 0 : I $ I pues

33

44 D1 ¯ EE .. FF EE . FF EE FF ˆ0D {) = ˆ0 EE { FF = 0= m ( EE . FF CC .. DD Dn ¯

Ejemplo 88 { : Pp×q (I ) $ I con { (D) = Pp×q (I ), entonces

q Q

Dn>1 es qlineal ya que si D 5

n=1

33

44 D1 ¯ EE .. FF EE . FF 3 4 EE FF EE Dm31 FF q EE FF EY F E FF E F {D {) = { E m ( EE { FF = C Dn>1 D · {1 , EE Dm+1 FF n=1 EE FF n6=m EE .. FF CC . DD Dn ¯

que lineal por la Observaci´on 59. Teorema 81 El conjunto de funciones qlineales es un subespacio de I Pq×q (I ) el espacio vectorial de las funciones de Pq×q (I ) a I=

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

187

Demostraci´ on. Ya hemos observado que la funci´on constante ˆ0 : Pq×q (I ) $ I es qlineal. Veamos ahora que la suma de dos funciones qlineales es qlineal: Supongamos que >  : Pq×q (I )  I son dos funciones qlineales. Tomemos una matriz D 5 Pq×q (I ) y escojamos una m en {1> 2> ===> q}. Queremos demostrar que ( + )mD : I q $ I es lineal. Ahora, ( + )mD : I q $ I ¢ > ¡ { 7$ ( + ) D1¯ · · · Dm31 { Dm+1 · · · Dn¯ y

¡

¢ D1¯ · · · Dm31 { Dm+1 · · · Dn¯ = ¢ ¡ = ( + )mD ({) =  D1¯ · · · Dm31 { Dm+1 · · · Dn¯ + ¡ ¢ + D1¯ · · · Dm31 { Dm+1 · · · Dn¯ = ¡ ¢ = mD ({) + mD ({) =  mD + mD ({) = ( + )

Por lo tanto ( + )mD =  mD + mD >as´ı que es lineal por ser la suma de dos funciones lineales. Por u ´ltimo, si  es una funci´on qlineal y f 5 I , entonces f tambi´en es qlineal: ¡ ¢ (f)mD  ({) = (f) D1¯ · · · Dm31 { Dm+1 · · · Dn¯ = ¢¢ ¡ ¡ = = f  D1¯ · · · Dm31 { Dm+1 · · · Dn¯ ¡ m ¢ ¡ m¢ = f  D ({) = f D ({) ¢ ¡ Por lo tanto (f)mD = f mD = (f · )  mD > que es lineal por ser la composici´on de la funciones lineales  mD : I q $ I y (f · ) : I $ I= Una manera alternativa de enunciar el u ´ltimo Teorema es afirmando que las combinaciones lineales de funciones qlineales son qlineales.

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

188

Definici´ on 81 Sea  : Pp×q (I ) $ I q  olqhdo ,  es “alternante” si 3 E E E C

.. . Di ¯ Dl+1 = Di ¯ .. .

4 F F F = 0> D

es decir, si la funci´ on  aplicada a una matriz con dos renglones consecutivos iguales es cero. ¶ µ d e Ejemplo 89 det : P2×2 (I ) $ I definida por det = dg  ef, es alterf g nante. Ejercicio 153 Demostrar que el conjunto de funciones alternantes de Pq×q (I ) $ I es un subespacio de I Pq×q (I ) = Definici´ on 82 Un determinante de orden q es una funci´ on  : Pq×q (I ) $ I que es qlineal alternante, y tal que 3 E E  (Lq ) =  E C

4 0 ··· 0 1 ··· 0 F F .. . . .. F = 1= . . . D 0 0 ··· 1

1 0 .. .

Observaci´ on 60 La funci´on del Ejemplo 89, det : P2×2 (I ) $ I es un determinante. Demostraci´ on. Resta s´olo observar que µ ¶ 1 0 det =1 0 1 Permutaciones

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

6.1.1.

189

Factorizaci´ on u ´nica como producto de ciclos

Definici´ on 83 Denotemos por Vq al conjunto de permutaciones de {1> ===> q} = Sea  5 Vq , definimos la relaci´ on J en {1> ==> q} por l J m si ===> q} = Demostraci´ on. Reflexividad) l J l pues l = Lg{1>===>q} (l) = 0 (l) = Simetr´ıa) l J m , l = n (m), para alguna n 5 Z= Aplicando 3n > obtenemos ¢ ¡ 3n (l) = 3n n (m) = 0 (m) = m> por lo que m J l. Transitividad) ¡ ¢ (l J m> m J p) , l = n (m) > m = o (p) > para algunas n> o 5 Z = Entonces

¢ ¡ l = n (m) = n o (p) = n+o (p) >

por lo que l J p. Notaci´ on 9 Si  5 Vq > escribiremos  de la siguiente forma: ¡ ¢ ¡ ¢  = 1>  (1) >  2 (1) > ===>  n1 (1)  u>  (u) >  2 (u) > ===>  nu (u)  === | {z } ciclo

en esta notaci´on, estamos suponiendo que ¡ ¢   n1 (1) = 1> y que ¡n1 es el¢ menor natural v tal que  v+1 (1) = 1= Tambi´en estamos suponiendo que   nu (u) = u y que nu es el natural menor con esa propiedad. Desde luego,  podr´ıa ser un solo qciclo: (1> 2> 3> 4) 5 V4 es la permutaci´on que manda 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4 y 4 a 1=

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

190 Ejemplo 90

1. Sea  5 V5 tal que  7$ 1  7$ 2  7$ 3  7$ 4  7$ 5

2 1 > 4 5 3

entonces  = (1> 2) (3> 4> 5) = 2. Sea

 5 V4 tal que  7$ 1  7$ 2  7$ 3  7$ 4

2 3 > 1 4

entonces  = (1> 2> 3) (4) = 3. La permutaci´on (1> 2> 3) (5> 8) (6> 12) 5 V12 hace lo siguiente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7$ 2 7$ 3 7$ 1 7$ 4 7$ 8 7$ 12 = 7$ 7 7$ 5 7$ 9 7$ 10 7$ 11 7$ 6

Notaci´ on 10 Si  5 Vq y ¢ ¡  = 1>  (1) >  2 (1) > ===>  n1 (1)  ===  (m)  ===

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

191

es decir si  (m) = m> omitiremos escribir el ciclo (m) = Por ejemplo, en el ejemplo 2) anterior, en lugar de escribir (1> 2> 3) (4) > escribiremos (1> 2> 3) simplemente. Un ciclo de la forma (m), se llama un ciclo trivial. Proposici´ on 8 Si i : [ $ [ es una funci´on biyectiva tal que i ({) = {, entonces i p ({) = {> ;p 5 Z= Demostraci´ on. 1) Si p = 0, entonces i p ({) = i 0 ({) = lg[ ({) = {= Supongamos ahora que i p ({) = {> entonces i p+1 ({) = i (i p ({)) = i ({) = {= Con lo anterior, tenemos que i p ({) = {> ;p 5 N= 2)Si i ({) = {> entonces { = lg[ ({) = i 31 (i ({)) = i 31 ({) = Entonces por el inciso anterior. Por lo tanto

¡ 31 ¢p i ({) = {> ;p 5 N> ¢p ¡ i 3p ({) = i 31 ({) = {> ;p 5 N=

Combinando las conclusiones de este inciso y del anterior, tenemos que i p ({) = {> ;p 5 Z=

Observaci´ on 62 En vista de la Observaci´on 61, tenemos que {1> ===> q}se parte en clases de equivalencia, respecto a la relaci´on J = Es claro que la clase de equivalencia de l es [l]J = {p (l) | p 5 Z} =

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

192 Observaci´ on 63

[l]J = {p (l) | 0 6 p 6 o> p. a. o 5 N} = Demostraci´ on. ) Claro. ) La funci´on

N $ {1> ==> q} p 7$ p (l)

no es inyectiva ({1> ==> q} es finito). Por lo tanto, existe n 6= o> tales que n (l) = o (l) = Tomemos n 5 N> m´ınimo con la propiedad anterior. Si n A 0 entonces n (l) = o  (l) > con o A n A 0>as´ı que de   n31 (l) = 1+n31 (l) = n (l) = o (l) = 1+o31 (l) =   o31 (l) y del hecho de que  es inyectiva, obtenemos n31 (l) = o31 (l) > contradiciendo la elecci´on de n. As´ı tenemos que n = 0 y por lo tanto l = 0 (l) = o (l) > para alguna o A 0> que podemos suponer m´ınima con esta propiedad. Dada } 5 Z, aplicando el algoritmo de la divisi´on con o, o

t } u

06u?o

>

as´ı que } (l) = to+u (l) = u+to (l) = ¡ ¡¡¡ o ¢t ¢ ¢ ¢  (l) = = u ot (l) = u = u (l) = En el¢ u ´¢ltimo paso hemos usado la proposici´on 8. Pues o (l) = l implica que ¡¡ o t  (l) = l. Definici´ on 84  5 Vq > es ajena con  5 Vq si lo que mueve  lo fija =

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

193

Ejemplo 91 (1> 2> 3) es ajena con (5> 7) (4> 9) en V10 , pues los elementos movidos por (1> 2> 3) > 1,2,3, son fijados por (5> 7) (4> 9). Observaci´ on 64  5 Vq > es ajena con  5 Vq si y s´olo si  es ajena con = Demostraci´ on. Supongamos que  es ajena con . Sea l 5 {1> ==> q} tal que  (l) 6= l= Es claro que entonces  (l) = l, pues si  (l) 6= l, entonces  (l) = l u= 

Observaci´ on 65 Si >  5 Vq son permutaciones ajenas, entonces    =   = Demostraci´ on. Tomemos l 5 {1> ===> q} = Consideremos los siguientes casos: 1) l es movido por  (sim´etrico con el caso de que l sea movido por ). 2) l es fijado por  y . (Notemos que l no puede ser movido por  y  a la vez puesto que  y  son ajenas). En el primero de los casos, l es fijado por = As´ı que (  ) (l) =  ( (l)) =  (l) > mientras que (  ) (l) =  ( (l)) =  (l) = Esto se debe a que  (l) es un elemento movido por  :  ( (l)) =  (l) ,  (l) = lu= 

En el segundo caso, (  ) (l) =  ( (l)) =  (l) = l y tambi´en (  ) (l) =  ( (l)) =  (l) = l= Entonces ;l 5 {1> ===> q} se tiene que (  ) (l) = (  ) (l). Por lo tanto  = = Teorema 82 Toda permutaci´on Lg 6=  5 Vq , se puede factorizar como producto de ciclos ajenos no triviales, de manera u ´nica, excepto por el orden de los factores. Demostraci´ on. Por inducci´on sobre el n´ umero de puntos movidos por = Base. Si  mueve cero elementos, es porque  = Lg> en este caso convenimos en que  es producto vac´ıo de ciclos no triviales. Paso inductivo. Supongamos que  mueve n A 1 elementos , y la afirmaci´on cierta para permutaciones que mueven menos de n elementos.

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

194

Tomemos un elemento { movido por , y formemos el ciclo ¡ ¢  = {>  ({) > 2 ({) > ===> v ({) > donde v+1 ({) = {= Ahora  31   fija todos los elementos {>  ({) > 2 ({) > ===> v ({) > es decir que mueve menos puntos que . Pues si y es un punto movido por  31  , entonces y 6= ( 31  ) (y) = As´ı que  (y) 5 @ {{>  ({) > 2 ({) > ===> v ({)} > por lo que y 6= ( 31  ) (y) =  (y) > de donde tenemos que yes movido por . Por hip´otesis de induccci´on, tenemos que  31   =  1   2  ===   p un producto de ciclos no triviales ajenos dos a dos y que no mueven puntos de {{> ({)> 2 ({)> ===> v ({)}. Por lo tanto  =    1   2  ===   p es una factorizaci´on en ciclos no triviales ajenos dos a dos. Unicidad. Supongamos que  1   2  ===   p =  1   2  ===   v son dos factorizaciones en ciclos no triviales de . Demostremos que ambas factorizaciones son iguales, por inducci´on sobre p= Base. Si p = 1> entonces  =  1 y entonces las clases de equivalencia de J son todas triviales excepto por la clase de los elementos movidos por  1 = Esto demuestra que v = 1, pues elementos en distintos ciclos  l , no estar´ıan en la misma clase de equivalencia y ser´ıan movidos por = Pero entonces tendr´ıamos que 1 = 1= Paso inductivo. Supongamos que p A 1= Tomemos un elemento movido por  1 > digamos z> entonces  1 = (z>  (z) > 2 (z) > ===) = Como z es movido por , entonces  debe ser movido por alguna  m > y podemos suponer, sin perder generalidad que m = 1(las  l conmutan entre s´ı). Como antes,  1 = (z>  (z) > 2 (z) > ===), as´ı que en  1   2  ===   p =  1   2  ===   v podemos cancelar  1 con  1 = De donde  2  ===   p =  2  ===   v Podemos aplicar la hip´otesis de inducci´on para concluir la demostraci´on.

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

6.1.2.

195

Estructura c´ıclica y signo de una permutaci´ on

Sea  un ciclo, definimos la longitud del ciclo como el n´ umero de elementos movidos por ´el. Una trasposici´on es un ciclo de longitud dos, por ejemplo (1> 2) = Definici´ on 85 Sea (1) 6=  5 Vq > definimos la estructura c´ıclica de  es la sucesi´on c ( 1 ) > c ( 2 ) > ===> c ( n ) > donde  =  1   2  ===   n es una factorizaci´ on en ciclos ajenos dos a dos no triviales y tal que c ( 1 ) 6 c ( 2 ) 6 === 6 c ( n ) > Ejemplos 92

1. La estructura c´ıclica de (1> 2> 3) (4> 5) (7> 8> 9> 10) es 2> 3> 4

2. La estructura c´ıclica de (1> 2) es 2= Lema 6 Si  es un ciclo en Vq y  es una permutaci´on en Vq , entonces     31 es un ciclo de la misma longitud que = Demostraci´ on. Notemos que si  (l) = m entonces     31 ( (l)) =    (l) =  (m) = En s´ımbolos: 

31

l 7$ m ,  (l) 7$  (m) En particular, n es un punto fijo de  +,  (n) es un punto fijo de     31 y adem´as ( (l) > 2 (l) > 3 (l) > ===) es un ciclo de     31 = Por lo que si  = (l1 > l2 > ===) entonces     31 = ( (l1 ) >  (l2 ) >  (l3 ) > ===) =

Observaci´ on 66 Si  y  son ciclos de la misma longitud en Vq entonces l2 > ==> ln ) y  = (m1 > m2 > ==> mn ) = Para encontrar una permutaci´on  con la propiedad deseada, notemos que como     31 = ( (m1 ) >  (m2 ) >  (m3 ) > ===) basta que hagamos  (m1 ) = l1 >  (m2 ) = l2 > como en el diagrama (m1 > & (l1 >

m2 > & l2 >

¯

¯

=== === ===

> mn ) & > > ln )

¯

completamos la definici´on de  dando cualquier biyecci´on entre {1> ===> q} \ {m1 > ===> mn } y {1> ===> q} \ {l1 > ===> ln } =

Definici´ on 86 Se dice que  y  son conjugadas en Vq si 2> 3> 4> 5) y (8> 6> 3> 1> 2) son conjugadas en V10 : Hagamos la siguiente asignaci´ on: (1 & (8

¯

2 & 6

¯

3 & 3

¯

4 5) (6) (7) (8) (9) (10) ¯ &  &¯  &¯  &¯  &¯  &¯ & 1 2) (4) (5) (7) (9) (10)

¯

Teorema 83 Dos permutaciones en Vq son conjugadas si y s´olo si tienen la misma estructura c´ıclica. Demostraci´ on. +) Supongamos que  1  2 === n y  1  2 === n son dos productos en ciclos ajenos dos a dos que tienen la misma estructura c´ıclica. As´ı, podemos suponer que c ( l ) = c ( l ) = Para fijar mejor nuestra atenci´on, tomemos  l = (d1>l > d2>l ====> dol >l ) y  l = (e1>l > e2>l ====eol >l )

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

197

Definamos ahora  5 Vq de tal manera que d1>l > d2>l ==== dol >l ¯ &  &¯ ====  &¯ ;l 5 {1> ===> n} e1>l > e2>l ==== eol >l Es decir que  (dk>l ) = ek>l . Completamos la definici´on de  por medio de cualquier biyecci´on entre ³ ´ ³ ´ {1> ===> q} \ ^ {dk>l }kM{1>===>ol } y {1> ===> q} \ ^ {ek>l }kM{1>===>ol } = l

l

Entonces es claro, como en la Observaci´on 66 que  l 31 =  l = Entonces ¢¡ ¢ ¡ ¢ ¡  ( 1  2 === n ) 31 =  1 31  2 31 ===31  n 31 =  1  2 === n ,) Es claro que si  1  2 === n es un producto de ciclos ajenos entonces para cada  se tiene que ( 1 31 ) ( 2 31 ) ===31 ( n 31 ) tambi´en es un producto de ciclos ajenos: (Los s´ımbolos x y y est´an ambos en el ciclo  l ) / /

( }l (x) = y para alguna } 5 Z) ¢} ¡  (y) =  ( }l (x)) =  }l 31 ( (x)) =  l 31 ( (x))

/  (y) y  (x) est´an ambos en el ciclo  l 31 =

Definici´ on 87 Se define vlj : Vq $ {1> 1} por: vlj () =

Y

(1)c( l )31

l  l ciclo de la factorizaci´ on en ciclos ajenos de 

Ejemplos 94

1. vlj ((1> 2)) = (1)c((1>2))31 = (1)231 = 1.

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

198 2. vlj ((1)) =

Q

(1)c( l )31 = 1. Pues (1) es la permutaci´on identidad, que no

 l M

tiene ciclos no triviales en su factorizaci´on. Por otro lado, el producto vac´ıo se define como 1. Se suele llamar permutaciones pares a las permutaciones con signo 1 e impares a las permutaciones con signo 1. Nota 2 La funci´ on vlj est´a bien definida en virtud del teorema de factorizaci´on u ´nica. Lema 7 Si  5 Vq y  = (m> n) es una transposici´on en Vq = Entonces vlj ( ) = vlj () = vlj ( ) Demostraci´ on. Si  es la identidad, la afirmaci´on se sigue de que el signo de la identidad es 1, mientras que el signo de una transposici´on es 1= Si  no es la identidad, factoricemos como producto de ciclos ajenos no triviales, digamos que  =  1  2 === n Supongamos que  = (l> m). Consideremos tres casos: i)  ajena con = ii) Los elementos que mueve  , l> m son movidos por un mismo ciclo  n . iii) l y m son movidos por distintos ciclos en { 1 >  2 > ===>  n } = Caso i) Es claro que aqu´ı la factorizaci´on en ciclos ajenos de  es  1  2 === n  As´ı que

4 3 Y c( )31 vlj ( 1  2 === n  ) = C (1) l D (1)c( )31 = l

3 4 Y = C (1)c( l )31 D (1)1 = vlj ( 1  2 === n ) = l

Caso ii) Supongamos que l> m son movidos por  n > digamos que  n = (l = l1 > l2 > ====> lp = m> ===> lv ) >

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

199

as´ı que vlj ( n ) = (1)v31 = Entonces  n  = (l> lp+1 > ===> lv ) (m> l2 > l3 > ===> lp31 ) es el producto de dos ciclos ajenos, de longitudes v  p + 1 y p  1 respectivamente. Luego vlj ( n  ) = (1)v3p (1)p32 = (1)v32 = (1) (1)v = (1) vlj ( n ) = Entonces vlj ( ) = (1) vlj () = Caso iii) Supongamos, sin perder generalidad, que  1 = (l = l1 > l2 > ===> ln )  2 = (m = m1 > m2 > ===> mu ) De tal manera que vlj ( 1 ) = (1)n31 y vlj ( 2 ) = (1)u31 > y por lo tanto vlj ( 1  2 ) = (1)n+u = (1)n+u32 = Por otra parte,  1  2  = (l> m2 > ===> mu > m> l2 > ===> ln ) un ciclo de longitud u + n, por lo que vlj ( 1  2  ) = (1)u+n31 = (1) (1)n+u32 = vlj ( 1  2 ) = Por lo tanto vlj ( ) = (1) vlj () =

Observaci´ on 67 Toda permutaci´ on  5 Vq (q  2) se puede escribir como producto de transposiciones. Demostraci´ on. La permutaci´on identidad (1) es tal que (1) = (1> 2) (1> 2) = Como toda permutaci´on que no sea la identidad puede factorizarse como producto de ciclos ajenos no triviales, basta ver que todo ciclo no trivial se puede escribir como producto de transposiciones.

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

200 Sea  = (l1 > l2 > ===> ln ) consideremos

(l1 > ln ) === (l1 > l3 ) (l1 > l2 ) es f´acil comprobar que  = (l1 > ln ) === (l1 > l3 ) (l1 > l2 ) =

Corolario 15 Una permutaci´on  5 Vq es par (es decir tiene signo 1) si y s´olo si se puede factorizar como producto de un n´ umero par de transposiciones. Demostraci´ on. vlj ( 1  2 === n ) = (1) vlj ( 1  2 === n31 ) = = (1) (1) vlj ( 1  2 === n32 ) = === = (1)n31 vlj ( 1 ) = (1)n = De lo anterior es claro que aunque la factorizaci´on de una permutaci´on como producto de ciclos ajenos no es u ´ nica, s´ı se conserva la paridad del n´ umero de transposiciones en una factorizaci´on. Ejemplo 95 (1> 2> 3) = (1> 3) (1> 2) = (3> 4) (1> 3) (1> 4) (1> 2) = Observaci´ on 68 Para cualesquiera dos permutaciones >  5 Vq , se tiene que vlj() = vlj()vlj(). Supongamos que  =  1  2 === n > as´ı que su signo es (1)n31 = Entonces vlj () = vlj ( 1  2 === n ) = = (1) vlj ( 1  2 === n31 ) = === = (1)n vlj () = vlj () vlj () = Existencia y unicidad del determinante Definici´ on 88 det : Pq×q (I ) $

Lema 8 det: Pq×q (I ) $ I es qlineal:

P

Iµ ¶ Q = vlj () Dl>(l)

MVq

l=1

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

201

Demostraci´ on. Como sabemos que una combinaci´on de funciones qlineales es qlineal, basta demostrar que la funci´on g : Pq×q (I ) $ Q I D 7$ Dl>(l) l=1

es qlineal. Tomemos una matriz D 5 Pq×q (I ) > n 5 {1> ===> q} = Queremos demostrar que la funci´on ¯ : Iq $ (g )nD I ¡ ¢ { 7$ g D1¯ > ===> Dn31 > {> Dn+1 > ===> Dn¯ Ahora, ¯ (g )nD

4 3 Y ¡ 1 ¢ ({) = g D¯ > ===> Dn31 > {> Dn+1 > ===> Dn¯ = C Dl>(l) D {31 (n) = (l)6=n

4

33 = CC

Y

4

Dl>(l) · D   31 (n) D ({)

(l)6=n

Por lo que

4

3 ¯ = C (g )nD

Y

Dl>(l) · D   31 (n)

(l)6=n

que es lineal por ser composici´on de funciones lineales. Aqu´ı, I  31 (n) : I q $ > { 7$ {31 (n) es proyectar la coordenada  31 (n)-´esima y Q

I es la multiplicaci´on por

Q

(l)6=n

Dl>(l) ·

-

I

Dl>(l) =

(l)6=n

Notaci´ on 11 Denotemos por Dq el conjunto de las permutaciones pares en Vq , y denotemos Eq el conjunto de las permutaciones impares en Vq =

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

202

Observaci´ on 69 Si q  2 el n´ umero de permutaciones pares coincide con el n´umero de permutaciones impares. Demostraci´ on. Tomemos la transposici´on  = (1> 2). Entonces (1>2)

Dq À³ Eq  7$ (1> 2)   es una biyecci´on cuya funci´on inversa es ella misma. Por lo tanto |Dq | = |Eq | = Observaci´ on 70 Si  5 Vq > entonces Y Y Dl>(l) = D31 (l)>l = l=1

l=1

Demostraci´ on. Basta notar que {(l>  (l)) | l 5 {1> ===> q}} =

¢ ª ©¡ 31  (m) > m | m 5 {1> ===> q} >

para lo que basta notar que m =  (l) +,  31 (m) = l. Lema 9 det: Pq×q (I ) $ I es alternante: Demostraci´ on. Supongamos que la matriz D tiene dos columnas consecutivas iguales, digamos que Dn = Dn+1 , entonces ! Ã X Y vlj () Dl>(l) = det (D) = l=1

MVq

Entonces det (D) = =

X

! Ã !! Ã Ã X Y Y = vlj () Dl>(l) + vlj () Dl>(l) l=1

MDq

MEq

l=1

(n>n+1)

Ahora, usando el hecho de que Dq À³ Eq es una biyecci´on, podemos escribir, tomando  = (n> n + 1) > det (D) = ! à !! à à X X Y Y = = vlj () Dl>(l) + vlj (  ) Dl> (l) MDq

l=1

MDq

l=1

6.1. FUNCIONES N-LINEALES =

X

203

! Ã !! Ã Ã X Y Y vlj () Dl>(l)  vlj () Dl> (l) l=1

MDq

l=1

MDq

Consideremos ahora un producto à ! Y Dl> (l) > l=1

Y Y Y Y Dl> (l) = D( )31 (l)>l = D(31  31 )(l)>l = D(31  )(l)>l = l=1

l=1

1

l=1

=C

Y

D(31  )(l)>l D · D(31  )(n)>n · D(31  )(n+1)>n+1 =

lM{n>n+1} @

4

3 =C

l=1

4

3

Y

D(31  )(l)>l D · D(31  )(n)>n+1 · D(31  )(n+1)>n =

lM{n>n+1} @ 2

4

3 =C

Y

D31 (l)>l D · D31 (n+1)>n+1 · D31 (n)>n =

lM{n>n+1} @ 3

=

Y

D31 (l)>l =

lM{1>===>q}

Y

Dl(l) =

lM{1>===>q}

A la vista de este u ´ltimo c´alculo, vemos que el producto à ! Y vlj (  ) Dl> (l) l=1

se cancela con el producto

! Ã Y vlj () Dl> (l) l=1

1

Es claro que ;>  5 Vq > se tiene que (  )1 =  1  1 = Por otra parte si  es una transposici´on, entonces  1 =  . 2 Aqu´ı usamos que las columnas n´esima y (n + 1) ´esima de D coinciden. 3 Aqu´ı evaluamos  = (n> n + 1) en cada elemento.

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

204 en

X MVq

por lo tanto X

! Ã Y vlj () Dl>(l) l=1

! Ã Y vlj () Dl>(l) = 0=

MVq

l=1

Teorema 84 det : Pq×q (I ) $ I es un determinante. Demostraci´ on. Resta ver que det (Lq ) = 1= En efecto, consideremos ! Ã X Y vlj () (Lq )l>(l) > MVq

Q l=1

l=1

(Lq )l>(l) es distinto de 0 si y s´olo si cada factor es distinto de 0= Esto sucede si y

s´olo si  (l) = l= Por lo que el u ´nico sumando distinto de 0 en ! Ã X Y vlj () (Lq )l>(l) > MVq

l=1

corresponde a  = (1) > entonces ! Ã ! Ã X Y Y vlj () (Lq )l>(l) = vlj ((1)) (Lq )l>(1)(l) = 1= MVq

l=1

l=1

Denotemos por I n>o la operaci´on elemental que intercambia las columnas n y o de una matriz. Denotemos por Mf>n> la operaci´on elemental que multiplica por f (f 6= 0) la columna n Denotemos por S f>n>o la operaci´on elemental que suma f veces la columna n a la columna o=

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

205

Lema 10 Podemos observar el efecto en det (D), de efectuar una operaci´on elemental de columna. ¡ ¢ 1. det I n>o (D) =  det (D) = ¢ ¡ 2. det Mf>n> (D) = f · det (D) = ¢ ¡ 3. det S f>n>o (D) = det (D) = Demostraci´ on. 1. Veamos que sucede si intercambiamos dos columnas consecutivas en una matriz D : Notemos que ¡ ¢ 0 = det D1¯ D2¯ === Dk¯ + Dn+1 Dn+1 + Dk¯ === Dn¯ ¡ ¢ pues en D1¯ D2¯ === Dk¯ + Dn+1 Dn+1 + Dk¯ === Dn¯ coinciden las columnas n y n+1= Por otra parte, ¡ k ¢ ¡ ¢ ¯ (det)kD D¯ + Dn+1 = det D1¯ D2¯ === Dk¯ + Dn+1 Dn+1 === Dn¯ Para fijar ideas, denotemos ¡ ¢ E = D1¯ D2¯ === Dk¯ + Dn+1 Dn+1 === Dn¯ As´ı que n+1

(det)E

¡ k ¢ ¡ ¢ D¯ + Dn+1 = det D1¯ D2¯ ===Dk¯ + Dn+1 Dn+1 + Dk¯ === Dn¯ = = 0=

Entonces

¡ k ¢ ¢ ¢ n+1 ¡ n+1 ¡ D¯ + Dn+1 = (det)E Dk¯ + (det)E Dn+1 = ¡ ¢ = det D1¯ D2¯ === Dk¯ + Dn+1 Dn === Dn¯ + ¢ ¡ + det D1¯ D2¯ === Dk¯ + Dn+1 Dn+1 === Dn¯ = ¡ ¢ ¡ k ¢ n+1 ¯ D¯ + D = (det)kF¯ Dk¯ + Dn+1 + (det)kD = n+1

0 = (det)E

4

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ k¢ k ¡ n+1 ¢ ¯ D¯ + (det)D ¯ D = = (det)kF¯ Dk¯ + (det)kF¯ Dn+1 + (det)kD ¢ ¡ 1 ¢ ¡ n>n+1 n+1 n+1 D === Dn¯ = (D) + det (D) + det D¯ === D = det (F) + det I ¢ ¡ det I n>n+1 (D) + det (D) = ¢ ¡ n>n+1 (D) =  det (D) = , det I 3 4

donde F =

CD1¯ |

4 D2¯

=== {z

Dk¯

n+1 columnas

Dk¯

} ===

Dn¯ D

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

206 Segunda demostraci´ on.

; i @ {n> n + 1} ? E¯ = D¯i si l 5 n>n+1 E k¯ = Dn+1 Llamemos E = I (D), entonces = = E n+1 = Dn Entonces ! Ã X Y det (E) = vlj () El>(l) = l=1

MVq

4

33 =

X

vlj () CC

Y

El>(l) D En>(n) En+1>(n+1) D =

l6={n>n+1}

MVq

4

33 =

X

Y

vlj () CC

E31 (l)>l D · E31 (n)>n · E31 (n+1)>n+1 D =

33 =

4

l6={n>n+1}

MVq

X

4

vlj () CC

4 Y

4

D31 (l)>l D · D31 (n)>n+1 · D31 (n+1)>n D =

l6={n>n+1}

MVq

X

=

¢ ¡ vlj  31 ·

MVq

33 · CC

4 Y

4

D(31 (n>n+1))(l)>l D · D31 (n>n+1)(n+1)>n+1 · D31 (n>n+1)(n)>n D =

l6={n>n+1}

=

X

¡ ¢ vlj ((n> n + 1)) vlj  31  (n> n + 1) ·

MVq

4

33 · CC

Y

4

D(31 (n>n+1))(l)>l D · D31 (n>n+1)(n+1)>n+1 · D31 (n>n+1)(n)>n D =

l6={n>n+1}

=

X

¡ ¢ vlj  31  (n> n + 1) ·

MVq

33 · CC

4 Y

4

D(31 (n>n+1))(l)>l D · D31 (n>n+1)(n+1)>n+1 · D31 (n>n+1)(n)>n D =

l6={n>n+1}

=  det (D) =

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

207

Para concluir esto u ´ltimo notamos que -

Vq

Vq

 7$  31  (n> n + 1) es una biyecci´on, pues es la composici´on de las biyecciones Vq $ Vq  7$  31 y Vq

(n>n+1)

 7$ En general,

-

Vq

  (n> n + 1)

¡ ¢ det I m>n (D) =  det (D) :

Sin perder generalidad supongamos m ? n  1, ahora, (m> n) = (m> n  1)  (n> n  1)  (m> n  1) y tambi´en (m> n  1) = (m> n  2)  (n  1> n  2)  (m> n  2) por lo que (m> n) = = (m> n  2)  (n  1> n  2)  (m> n  2)   (n> n  1)  (m> n  2)  (n  1> n  2)  (m> n  2) Si m = n  2> entonces (m> n) = (n  1> n  2)  (n> n  1)  (n  1> n  2) es una composici´on de transposiciones consecutivas, si m ? n  2> entonces tenemos que (m> n  2) = (m> n  3)  (n  2> n  3)  (m> n  3) que podemos sustituir en la ecuaci´on 6.1. Continuando de esta manera vemos que (m> n)

(6.1)

208

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

se puede expresar como composici´on de (un n´ umero impar) de transposiciones que intercambian dos n´ u meros consecutivos. ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ 2. det Mf>n (D) = (det)nD f · Dk¯ = f · (det)nD Dk¯ = f · det (D) . 3. ¡ ¢ ¡ ¢ det S f>n>o (D) = det D1¯ === Do31 D¯l + fDk¯ Do+1 === Dn¯ = ¡ ¢ = (det)¯lD D¯l + fDk¯ = ¡ ¢ ¡ ¢ = (det)¯lD D¯l + (det)¯lD f · Dk¯ = ¡ ¢ ¡ ¢ = (det)¯lD D¯l + f · (det)¯lD Dk¯ = = (det)¯lD (D) = Pues

¡ ¢ ¡ ¢ (det)¯lD Dk¯ = det D1¯ === Do31 Dk¯ Do+1 === Dn¯ = 0>

ya que la matriz en la que se eval´ ua el determinante tiene dos columnas iguales: la n´esima y la o´esima. Ejemplo 96 Consideremos la transposici´ on (2> 5) 5 V7 = Entonces (2> 5) = (2> 4) (4> 5) (2> 4) > (2> 4) = (2> 3) (3> 4) (2> 3) Por lo que (2> 5) = (2> 3) (3> 4) (2> 3) (4> 5) (2> 3) (3> 4) (2> 3) > es una composici´on de 7 transposiciones que intercambian n´ umeros consecutivos. Podemos evaluar un determinante en una matriz elemental. ¡ ¢ Corolario 16 1. det I m>n (Lq ) =  det (Lq ) = 1= ¢ ¡ 2. det Mf>n (Lq ) = f · det (Lq ) = f= ¢ ¡ 3. det S f>n>o (Lq ) = det (Lq ) = 1= Lema 11 Sea D 5 Pq×q (I ) > y  : Pq×q (I ) $ I un determinante. Si rango(D) ? q, entonces  (D) = 0=

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

209

Demostraci´ on. Si rango(D) ? q, entonces las columnas de D forman un conjunto linealmente dependiente. Por lo que en la lista de las columnas de D: D1¯ > D2¯ > ===> Dn¯ hay una columna que es combinaci´on lineal de las anteriores (Teorema 12). Si la primera columna es combinaci´on lineal de las anteriores, entonces D1¯ = 0> entonces ³ ´ det (D) = (det)1¯D 0 = 0> ya que las funciones lineales mandan 0 a 0 y (det)1¯D : I q $ I es lineal. Si la columna m´esima es combinaci´on de las anteriores (con m A 1) entonces D¯j =

X fl D¯i = l?m

De manera que S 3fm31 >m31>m  ===  S 3f2 >2>m S 3f1 >1>m (D) tiene 0 en su m´esima columna, as´ı que ¡ ¢ 0 = det S 3fm31 >m31>m  ===  S 3f2 >2>m S 3f1 >1>m (D) = det (D) =

Teorema 85 Si ; Pq×q (I ) $ I es un determinante, D 5 Pq×q (I ) y H es una matriz elemental, entonces  (DH) =  (D)  (H) = Demostraci´ on. Simplemente recordemos que si H = R (Lq ) > donde R es una operaci´on elemental de columna, entonces DH = DR (Lq ) = R (D) = Ahora, u ´sese el Lema 10, que habla del efecto de una operaci´on elemental en el determinante de una matriz. Teorema 86 Si  : Pq×q (I ) $ I es un determinante y D> E 5 Pq×q (I ) > entonces  (DE) =  (D)  (E) =

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

210

Demostraci´ on. Hemos visto que un determinante calculado en una matriz de rango menor que q>vale 0= Por otra parte recordemos que rango (DE) 6 m´ın {rango (D) > rango (E)} > por lo que si una de las dos matrices, D ´o E tiene rango menor que q, entonces DE tambi´en tiene rango menor que q y rango (DE) = 0 = rango (D) rango (E) = Supongamos que tanto D como E son de rango q= Entonces E se puede escribir como producto de matrices elementales. (Corolario 9) E = H1 H2 ===Hn Aplicando el Teorema anterior varias veces obtenemos que  (E) =  (H1 )  (H2 ) === (Hn ) = Aplicando el mismo Teorema, tenemos que  (DE) =  (DH1 H2 ===Hn ) =  (D)  (H1 )  (H2 ) === (Hn ) =  (D)  (E) =

Teorema 87 El determinante es u ´nico. Demostraci´ on. Supongamos que  1 , 2 : Pq×q (I )  I son dos determinantes. Hemos visto que tienen que coincidir en las matrices de rango menor que q> donde valen 0 y en las matrices elementales. Supongamos ahora que D es una matriz de rango q, entonces D = H1 H2 ===Hn y  1 (D) =  1 (H1 ) ·  1 (H2 ) · === ·  1 (Hn ) = =  2 (H1 ) ·  2 (H2 ) · === ·  2 (Hn ) =  2 (D) = Toda vez que hemos visto que el determinante de orden q es u ´nico, podemos hablar del determinante y no de “un determinante”.

6.1. FUNCIONES N-LINEALES

211

Teorema 88 det (Dw ) = det (D) > ;D 5 Pq×q (I ) = Demostraci´ on. Ã

Y vlj() Dwl>(l)

¡ ¢ X det Dw =

=

Y vlj() D(l)>l

! =

l

=

X

Ã

X

! =

l

Ã

Y vlj() Dl>31 (l)

MVq

X

Y vlj() D(l)>l

MVq

Ã

MVq

=

l

MVq

X

!

! =

l

Ã

! Y vlj( ) Dl>31 (l) = 31

31 MVq

l ( )31

Pues vlj ( 31 ) = vlj () (f´ıjese en que   31 = (1) ) y adem´as la funci´on Vq À³ Vq es una biyecci´on (es su propio inverso). ¡ ¢ , det Dw = det (D) =

Corolario 17 det : Pq×q (I ) $ I es una funci´on qlineal y alternante respecto a los renglones. En particular podemos describir el efecto de una operaci´on elemental de rengl´on en el determinante de una matriz. Si R es una operaci´on elemental de rengl´on, denotemos R´la operaci´on de columna correspondiente, por ejemplo (In>o )´= I n>o = Corolario 18 Si R es una operaci´on elemental de rengl´on, entonces 1. det (R (D)) =  det (D) si R = I n>o = 2. det (R (D)) = f det (D) si R = Mf>l = 3. det (R (D)) = det (D) si R = S f>l>m =

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

212

Demostraci´ on. Simplemente notemos que ¡¡ ¢¢w R (D) = R´(D)w > entonces

³¡ ¡ ¢¢ ´ w det (R (D)) = det R´ Dw = ¡¡ w ¢ ¢ ¡ ¡ w ¢¢ = det R´ D = det D · R´(Lq ) = ¡ ¢ = det Dw det (R´(Lq )) = = det (D) det (R´(Lq )) = = det (D · R´(Lq )) = = det (R´(D))

As´ı que

¡ ¢ det (Il>m (D)) = det (Il>m´D) = det I´l>m (D) =  det (D) = det (Mf>l (D)) = det (Mf>l´(D)) = f · det (D)

y

¡ ¢ det (Sf>l>m (D)) = det (Sf>l>m´(D)) = det S f>l>m (Lq ) · (D) = det (D) =

¢¢w ¡¡ Ejemplo 97 Veamos un ejemplo de que R (D) = R´(D)w : Digamos que 3 4 58 90 53 17 E 1 94 F 83 72 F D=E C 86 23 84 99 D 19 50 88 85 y queremos aplicar la operaci´on elemental de rengl´on S1>2>4 = Es decir que queremos sumar el segundo rengl´on al cuarto. Es claro que se obtiene 4 3 58 90 53 17 E 1 94 83 72 F F E C 86 23 84 99 D = 18 44 171 13 Esto mismo lo podemos 3 58 90 E 1 94 E C 86 23 19 50

hacer de la siguiente 3 4 53 17 ( )w E 83 72 F F 7 $E C D 84 99 88 85

manera 58 90 53 17

4 1 86 19 94 23 50 F F S71>2>4 $ 83 84 88 D 72 99 85

6.2. EL DESARROLLO POR RENGLONES DEL 3

58 E 90 E C 53 17

6.2.

3 4 1 86 18 ( )w E 94 23 44 F F 7 $E C 83 84 171 D 72 99 13

DETERMINANTE

213

4 58 90 53 17 1 94 83 72 F F= 86 23 84 99 D 18 44 171 13

El desarrollo por renglones del determinante

d Notaci´ on 12 Si D 5 Pq×p (I ) > l> m 5 {1> ===> q} > denotaremos D l>m >la matriz en on l´esimo y la columna m´esima P(q31)×(p31) (I ) que se obtiene al suprimir el rengl´ de la matriz D 4 53 58 90 53 17 E 85 1 94 83 72 F F Ejemplo 98 Si D = E C 49 86 23 84 99 D > entonces 78 19 50 88 85 3

3

4 53 58 90 17 d C 49 86 23 99 D = D 2>4 = 78 19 50 85 Observaci´ on 71 Sea  : Vq À³ Vq una biyecci´on tal que  (q) = q= Entonces ¢ ¡ vlj () = vlj  |{1>===>q31} Demostraci´ on. Si  es la identidad en {1> ===> q}entonces  |{1>===>q31} es la identidad en {1> ===> q  1} > y ambas tienen signo 1= Si  6= (1) > entonces la factorizaci´on de  en ciclos ajenos no triviales coincide con la factorizaci´on de |{1>===>q31} > debido a que como  (q) = q> entonces q no est´a en ning´ un ciclo de la factorizaci´on de . Entonces tenemos que: Lema 12

P

vlj ()

 (q)=q

q Q

´ ³ d Dl>(l) = Dq=q · det D q>q =

l=1

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

214 Demostraci´ on. X

vlj ()

 (q)=q

q q31 X Y Y Dl>(l) = vlj () Dl>(l) Dq=q =  (q)=q

l=1

= Dq=q ·

Dq=q ·

X

Y ¢ q31 ¡ vlj  |{1>===>q31} Dl>|{1>===>q31} (l) =

|{1>===>q31}

l=1

X

´ ³ d Dl>(l) = Dq=q · det D q>q =

q31 Y

vlj ()

l=1

MVq31

Pues

l=1

Vq31 { 5 Vq |  (q) = q} $  7$  |{1>===>q31}

es una biyecci´on, por lo que “cuando  corre sobre { 5 Vq |  (q) = q} >  |{1>===>q31} corre sobre Vq31 ”. Observaci´ on 72 Consideremos D 5 Pq×q (I ) > m 5 {1> ===> q} = Consideremos ahora d el coeficiente n> o de D q>m D1>1 D1>2 === D1>m31 D2>1 D2>2 === D2>m31 D3>1 D3>2 === D3>m31 .. .. .. ... . . . · · === === entonces

´ ³ d D q>m

n>o

½ =

· D1>m+1 === D1>q · D2>m+1 === D2>q · D3>m+1 === D3>q = .. .. .. ... . . . · === === ·

(6.2)

Dn>o si o ? m = Dn>o+1 si o  m

Por ejemplo, observe el coeficiente D1>m+1 en la matriz 6.2, y note que est´a en la d m´esima columna de D q>m = As´ı que si tomamos la funci´on {1> ===> q} \ {n} m

 ˆ

½ {1> ===> q  1} m si m ? n 7 $  m  1 si m A n $

6.2. EL DESARROLLO POR RENGLONES DEL

DETERMINANTE

entonces para  5 Vq tal que  (q) = q, se tiene que ´ ³ d Dm>(m) = D q>n

=

m>ˆ  |{1>===>q31} (m)

215

Lema 13 Consideremos { 5 Vq |  (q) = n}, entonces X

vlj ()

 (q)=n

q ´´ ³ ³ Y d = Dm>(m) = Dq>n (1)q3n det D q>n m=1

Demostraci´ on. q X Y vlj () Dm>(m) = vlj ()

X  (q)=n

 (q)=n

m=1

= Dq>n ·

Ã

X

m?q31

à vlj () vlj (  )

 (q)=n

!

´ Y ³ d D q>n

!

´ Y ³ d D q>n

m?q31

· Dq>n =

m>ˆ  |{1>===>q31} (m)

m>ˆ  |{1>===>q31} (m)

=

Ahora observemos el siguiente diagrama conmutativo: {1> ===> q} %



À³

{1> ===> q} %

|{1>===>q31}



À³

{1> ===> q} %

 ˆ

{1> ===> q  1} À33333333< {1> ===> q} \ {n} À³ {1> ===> q  1} Donde las flechas horizontales son biyecciones. Desde luego,  (n) = q. Ahora, como (  ) (q) =  (n) ¡ = q> entonces ¢ tenemos que vlj (  ) = vlj ˆ   |{1>===>q31} = Por otra parte, si expresamos  en notaci´on c´ıclica tenemos que  = (q> q  1> q  2> ===> n) as´ı que si signo es (1)q3(n31)+1 = (1)q3n = Notemos adem´as que Vq31 { 5 Vq |  (q) = n} À³  7$ ˆ   |{1>===>q31} es una biyecci´on. (Si uno observa que dominio y codominio tienen (q  1)! elementos basta observar que la funci´on es inyectiva: ˆ   |{1>===>q31} = ˆ  |{1>===>q31} ,  |{1>===>q31} = |{1>===>q31} >

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

216 pero adem´as  (q) = n =  (q) = Por lo tanto X

vlj ()

 (q)=n

q Y Dm>(m) = m=1

= Dq>n · ·

X

q3n

(1)

¡ ¢ vlj ˆ   |{1>===>q31}

Ã

´ Y ³ d D q>n

m>ˆ   |{1>===>q31} (m)

m?q31

 ˆ  |{1>===>q31}

! =

³ ´ d = Dq>n (1)q3n · det D q>n =

Teorema 89 det (D) =

´´ ³ P³ d Dq>n (1)q3n det D = q>n n

Demostraci´ on. det (D) = =

3 XE X E vlj () C n

 (q)=n

4 q Y l=1

F Dl>(l) F D=

´´ ³ X³ d = Dq>n (1)q3n det D = q>n n

La ecuaci´on anterior se llama el desarrollo del determinante respecto al q-´esimo rengl´on. El determinante se puede desarrollar respecto de cualquier rengl´on: ´´ ³ P³ Corolario 19 det (D) = Dp>n (1)p3n det Dd = (desarrollo del determip>n n

nante respecto al p´esimo rengl´on). Demostraci´ on. Podemos suponer que p ? q. Por medio de intercambios de rengl´on llevemos el rengl´on p´esimo al u ´ltimo rengl´on. Es decir, aplicamos sucesivamente las operaciones elementales de rengl´on Ip>p+1 > Ip+1>p+2 > ===> Iq31>q

6.2. EL DESARROLLO POR RENGLONES DEL

DETERMINANTE

217

¿Cu´antos intercambios de rengl´on hicimos? Escribiendo q = p + (q  p) > vemos que hicimos q  p intercambios. 3 4 D1 ¯ E D2 F E .¯ F E . F E . F E F E D F Sea E = E p31 F la matriz que se obtuvo al hacer los intercambios. Es claro E Dp+1 F E . F E .. F E F C Dn D ¯ Dm ¯ que det (D) = (1)q3p det (E) = (1)p3q det (E) = hagamos ahora el desarrollo del determinante de E respecto el u ´ltimo rengl´on. Entonces ³ ³ ´´ X d Eq>n (1)q3n det E = det (E) = q>n n

´´ ³ X³ [ = Dp>n (1)q3n det D p>n n

d [ Pues E q>n = Dp>n = Entonces det (D) = (1)p3q ·

³ ´´ X³ [ Dp>n (1)q3n det D = p>n n

´´ X ³ ´´ ³ ³ X³ p+n [ [ = Dp>n (1)p3n det D = D = (1) det D p>n p>n p>n n p3n

Pues (1)

n p+n

= (1)

3n

> ya que (1)

= (1)n > pues (1)3n ·(1)n = (1)0 = 1=

El resultado anterior, junto con el hecho de que det (D) = det (Dw ) implica que el determinante tambi´en se puede desarrollar por columnas: ¶¶ µ Xµ \)w (Dp>n )w (1)p+n det (D = det (D) = p>n n

³ ´´ X³ \ = > (Dn>p ) (1)p+n det (D n>p ) n

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

218 ³ ´w \)w = (D \ = pues (D p>n n>p ) det (D) =

³ ´´ X³ \ (Dn>p ) (1)p+n det (D n>p ) n

se llama el desarrollo del determinante respecto a la p´esima columna. Nota 3 Es claro que det (D) = 0 si D tiene dos renglones iguales.

6.3.

Invertibilidad y el determinante

Definici´ on 89

1. Sea D 5 Pq×q (I ) > definimos el cofactor de Dl>m > Fl>m por ´ ³ d Fl>m = (1)l+m det D l>m

2. Definimos la matriz de cofactores de D> F 5 Pq×q (I ) por la misma relaci´on anterior. Ejemplo 99 Si

3

4 5 5 7 D = C 5 7 0 D 7 6 4

Entonces

¶ 5 5 = 5> 7 6 µ ¶ 5 0 = (1)1+2 det = 20= 7 4 µ

F2>3 = (1)2+3 det F1>2 La matriz de cofactores es 3

4 28 20 79 C 62 69 5 D = 49 35 60

6.3. INVERTIBILIDAD Y EL DETERMINANTE

219

As´ı sucede que el desarrollo respecto del l´esimo rengl´on del determinante de D es det (D) =

´ X ³ X X ¢ ¡ d Dl>m (1)l+m det D Dl>m Fl>m = Dl>m Fm>l = DF w l>l l>m = m

m

m

Como esto sucede para cada l, entonces los elementos de la diagonal en el producto DF w es det (D). Veamos lo que es un elemento fuera de la diagonal del producto DF w , calculemos ¡ w¢ DF l>m , l 6= m= ³ ´ X X X ¡ w¢ w d Dl>n Fn>m = Dl>n Fm>n = Dl>n (1)m+n det D DF l>m = m>n n

n

n

que es el desarrollo respecto al m´esimo rengl´on de la matriz 3 4 ; D1 A A ¯ A E A D2 F A E F A A E ? .. ¯ F E . F E m renglones F E Di F A A E ¯ F> A A .. F E A A . F E A = E Di F E F E .. ¯ F C . D Dn ¯

y es 0> siendo el determinante de una matriz con dos renglones iguales. Resumimos lo anterior en la siguiente f´ormula: 3 4 det (D) 0 === 0 E F 0 det (D) === 0 E F DF w = det (D) · Lq = E F= . . C D . 0 0 0 0

0

=== det (D)

An´alogamente, ³ ´ X X X ¡ w ¢ w d F D l>l = Fl>n Dn>l Fn>l Dn>l = Dn>l (1)l+n det D n>l = det (D) = n

n

n

(6.3)

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

220

Pues es el desarrollo del determinante de D respecto a la l´esima columna de D= Tambi´en, para l 6= m, ´ ³ X X X ¡ w ¢ w d F D l>m = Fl>n Dn>m = Dn>m Fn>l = Dn>m (1)l+n det D n>l n

n

n

que es el desarrollo respecto a la l´esima columna del determinante de la matriz ! Ã 1 2 j m31 D¯j === Dn¯ = ¯ === D}¯=== D |D¯ D{z l columnas

Por tener dos columnas iguales el determinante de la matriz anterior es 0= Entonces 4 3 det (D) 0 === 0 F E 0 det (D) === 0 F E F w D = det (D) · Lq = E F= . . D C . 0 0 0 0 0 === det (D) Corolario 20 D 5 Pq×q (I ) es invertible si y s´ olo si det (D) 6= 0= Demostraci´ on. +) Tenemos que 3 µµ D

¶ ¶ E 1 E Fw = E det (D) C

y tambi´en

3 µµ

¶ ¶ E 1 E Fw D = E C det (D)

4 0 === 0 1 === 0 F F .. . . .. F . . D . 0 0 === 1 1 0 .. .

4 0 === 0 1 === 0 F F .. . . .. F = . . D . 0 0 === 1

1 0 .. .

³ ´ 1 As´ı que det(D) F w = D31 = ,) Si D es invertible, entonces ¢ ¡ ¢ ¡ 1 = det (Lq ) = det DD31 = det (D) det D31 = por lo que det (D) 6= 0 y adem´as det (D31 ) =

1 = det(D)

(6.4)

6.3. INVERTIBILIDAD Y EL DETERMINANTE

221

Notaci´ on 13 La transpuesta de la matriz de cofactores se suele llamar la “adjunta cl´asica” o “adjugada”. 3 4 1 2 1 1 E 3 0 2 1 F F Ejemplo 100 Calcularemos el determinante de D = E C 2 1 5 4 D 1 6 3 3 4 3 5 0 9 7 E 3 0 2 1 F F det (D) = det (S2>3>1 (D)) = det E C 2 1 5 4 D = 1 6 3 3 3 4 3 4 5 0 9 7 5 9 7 E 3 0 2 1 F 3+2 F C D= = det S6>3>4 E C 2 1 5 4 D = (1) (1) det 3 2 1 11 33 27 11 0 33 27 3 3 44 3 4 5 9 7 26 5 7 0 1 D= = det CS 32>3>2 S 3>3>1 C 3 2 1 DD = det C 0 11 33 27 92 21 27 µ ¶ µ ¶ 26 5 13 5 = 2 det = = (1)2+3 det 92 21 46 21 = 2 · (13 · (21) + 5 · 46) = 86= Ejercicio 155 Sea P 5 Pq×q (I ) > D 5 Pu×u (I ) > E 5 P(q3u)×(q3u) (I ) > u 6 q> de tal manera que ¶ µ D F = P= 0 E Demostrar que det (P) = det (D) det (E) = Sugerencia: inducci´on sobre u y desarrollo respecto a la primera columna. 3 4 µ ¶ 1 2 7 1 2 C D 3 4 9 Ejemplo 101 det = det · 3 = (4  6) · 3 = 6= 3 4 0 0 3 Ejemplo 102 Sean f0 > ===> fq elementos de un campo infinito I= Se define W

I q+1 Sq (I ) $ = i 7$ (i (f0 ) > ===> i (fq ))

222

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

Tomemos  y  las bases can´onicas de Sq (I ) 3 1 f0 f20 E 1 f1 f2 1 E 2 E [W ] = E 1 f2 f2 E .. .. .. C . . . 1 fq f2q

y de I q+1 > respectivamente. Entonces 4 === fq0 === fq1 F F === fq2 F F= . . . .. F . D === fqq

Veremos que

³ ´ Y det [W ] = (fl  fm ) = m?l

Por inducci´ on sobre q= Base. Si q = 0> entonces as´ı que

Y

¡

[W ] =

(fl  fm ) =

Y

1

¢

>

(fl  fm ) = 1 = det

¡

1

¢

´ ³ = det [W ] =

mMB

m?l60

Paso inductivo. Supongamos que q A 0 y la afirmaci´ on cierta para q  1= Recordemos que [W ] = [Lg] [W ]´[Lg]´ para cualquier base ´ de Sq (I ). Sea © ª ´= 1> {> ===> {q31 > iq donde

q31 Q

iq =

({  fm )

m=0 q31 Q

= (fq  fm )

m=0

Entonces 3 [Lg]´ =

E E E E E C

1 0 0 .. .

1 .. .

0 0 0 0

===

0 1 . === .. 2 .. . . . .. . . === 1 q31 === 0 q

4 F q31 F Y F (fq  fm ) = F con q = F m=0 D

6.4. LA REGLA DE CRAMER

223

Para ver esto u ´ltimo, simplemente note que el coeficiente principal de iq es

m=0

on lineal de As´ı que si expresamos {q como combinaci´ © ª 1> {> ===> {q31 > iq el u ´ltimo coeficiente es

q31 Q

1 q31 Q

=

(fq 3fm )

(fq  fm ).

m=0

Por otra parte,

3 [W ]´ =

As´ı 3 E E E = det E E C

1 1 .. . 1 1

1 1 .. .

E E E E E C 1 fq31 1 fq

=== fo31 0 === fo31 1 .. ... . o31 === fq31 === fo31 q

0 0 .. .

4

F F F F= F 0 D 1

³ ´ ³ ´ ³ ´ det [W ] = det [W ]´ det [Lg]´ = 3 1 4 1 0 === 0 o31 f0 === f0 0 E .. E 0 1 === . 2 === fo31 0 F f1 1 FE . . . .. . E . . . . F .. .. .. F E . . ... . . . . . . FE 0 0 === 1  E o31 q31 fq31 === fq31 0 D E q31 Q fq === fo31 1 C 0 0 === 0 (fq  fm ) q 3 E E = det E C

1 1 .. .

f0 f1 .. .

1 fq31 =

Y m?l6q31

6.4.

f0 f1 .. .

(fq  fm )

=== fo31 0 === fo31 1 .. ... . === fo31 q31 q31 Y

F F F F F= F F F D

m=0

4

F q31 FY (fq  fm ) = F D m=0

(fq  fm ) =

m=0

4

Y

(fq  fm )

m?l

La regla de Cramer

Sea D 5 Pq×q (I ) > una matriz invertible, consideremos el sistema de ecuaciones D{ = e>

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

224

con e 5 I q = El sistema anterior se puede escribir en las formas equivalentes: D1 {1 + D2 {2 + === + Dq {q = e= O bien

D1>1 {1 + D1>2 {2 + D2>1 {1 + D2>2 {2 + .. .. . . Dq>1 {1 + Dq>2 {2 +

=== +D1>q {q = 0 === +D2>q {q = 0 .. .. = ... . . === +Dq>q {q = 0

Desde luego, el sistema tiene la soluci´on u ´nica D31e= 3

4

v1 E v2 F E F Digamos que E .. F = D31e es la soluci´on y calculemos C . D vq ³ ´ ³ ´ m (det)D e = det D1 D2 ===Dm31 e Dm+1 ===Dq = ¡ ¢ = det D1 D2 ===Dm31 D1 v1 + D2 v2 + === + Dq vq Dm+1 ===Dq = X ¡ ¢ = det D1 D2 ===Dm31 D2 vn Dm+1 ===Dq = n=1

=

X ¡ vn det D1 D2 ===Dm31

¢ Dm+1 ===Dq =

Dn

n=1

Todos los sumando que corresponden a n = 6 m son 0 pues en ¢ ¡ 1 2 D D ===Dm31 Dn Dm+1 ===Dq las columnas m´esima y n´esima coinciden. Entonces ³ ´ ¡ m (det)D e = vm det D1 D2 ===Dm31 Dm

¢ Dm+1 ===Dq = vm det (D) =

³ ´ det D1 D2 ===Dm31 e Dm+1 ===Dq , vm =

det (D)

=

(Regla de Cramer)

6.4. LA REGLA DE CRAMER

225

Ejemplo 103 Consideremos el sistema ¶µ µ ¶ µ ¶ {1 5 1 8 = 3 2 2 {2 Es decir,

µ det

µ

5 1 3 2

5{1 + {2 = 8 3{1 + 2{2 = 2

¶

¶ = 10  3 = 7=

Ahora 3 detC

Ejemplo 104 v1 = 3

8 1 2 2

4

3

D

detC

7

= 2> v2 =

5 8 3 2 7

4 D

2.

4 3 4 {1 d D C {2 D = C e D = {3 4 f µ ¶ 6 1 3 6 1 5 1 2 D = det = 6 + 5 = 1= 5 1 0 0 1 3 4 d 1 3 det C e 1 2 D f 0 1 = d + e + f= v1 = 1

3 1 3 Ejemplo 105 C 1 1 2 1 3 4 3 0 3 3 1 3 det C 1 1 2 D = det C 3 0 1 Entonces

43

3

4 3 d 3 det C 1 e 2 D 3 f 1 = 6e + 3f  5d v2 = 1 3 4 3 1 d det C 1 1 e D 3 0 f v3 = = 2f + 3d  3e= 1

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

226

Ejercicio 156 Muestre que son equivalentes para una funci´on  : Pq×q (I ) $ I : 1.  es una funci´ on alternante tal que  (Lq ) = 1= (Es decir  es un determinante). Q P vlj () Dl>(l) = 2.  (D) = l

MVq

3.  (D) =

³ ´ d (1)q+m Dq>m det D q>m =

P mM{1>===>q}

l

a)  es multiplicativa, es decir,  (DE) =  (D)  (E) = b)  es una funci´on aditiva respecto de la primera columna de cualquier matriz, e. d.  1D ({ + | ) =  1D ({) +  1D (|) = c)  (H) = 1> para toda matriz elemental del tercer tipo. a)  es multiplicativa, Q b)  (D) = Dl>l , para cualquier matriz triangular (inferior o superior). l

6.5.

Similitud

Recordemos que dada una matriz D 5 Pq×q (I ) > la funci´on D·

I q $ I q es lineal y que [D · ]fdq fdq = D= En este caso decimos que la matriz D representa a la funci´on lineal D · . En general: W < Y una funci´ Definici´ on 90 Sea Y 3 on lineal con dim (Y ) = q ? 4> decimos que D 5 Pq×q (I ) representa a W si D = [W ] , para alguna base  de Y=

Definici´ on 91 Decimos que las matrices D> E 5 Pq×q (I ) son similares si lineal dim (Y ) finita, entonces D y E son similares. 2. Si D representa a W : Y $ Y> lineal dim (Y ) finita, y E es similar a D, entonces E representa a W= 3. Si D y E son similares, entonces D y E representan al mismo operador Demostraci´ on. 1. D = [W ] > E = [W ] para algunas base  y  de Y . Entonces [W ] = [Lg] [W ] [Lg] > ³ ´31 como [Lg] = [Lg] , entonces D y E son similares. 2. Tenemos que D = [W ] y E = TDT31 para alguna base  de Y y alguna matriz invertible T 5 Pq×q (I ) = Entonces E = T [W ] T31 Basta hacer T31 = [Lg] = m

Para esto notemos que (T31 ) = [ym ] donde ym es el m´esimo elemento de la base = Basta pues, que definamos  por medio de ¡ 31 ¢m T > ym = *31  para tener que E = [W ] =5 D·

q q 3. Si D = TET31 > notemos que D = [D · ]fdq fdq , donde I $ I = Utilicemos ahora el inciso anterior.

Corolario 21 Dos matrices D> E 5 Pq×q (I ) son similares si y s´ olo si representan al mismo operador. Ejercicio 158 Demuestre que si D 5 Pq×q (I ) es una matriz triangular entonces q Y |D| = Dl>l = l=1 5

Desde luego, * : Y $ I q es la funci´ on que env´ıa y a su vector de coordenadas respecto a =

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

228 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ejercicio 159 Calcular ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

0 0 === 0 0 0 === 1 .. .. ... . . 0 1 === 0 1 0 === 0 0 0= == 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 0 ¯¯ 0 0 ¯¯ 0 1 ¯ 1 0 .. .

0 0 .. .

¯ ¯ ¡ ¢ Ejercicio 160 Sea D 5 Pq×q (C) > demuestre que ¯D¯¯ = |D|> donde D¯ l>m = Dl>m = Ejercicio 161 Demuestra que |fD| = fq |D| > si f 5 I> D 5 Pq×q (I ) = l3m Ejercicio 162 Sea D 5 Pq×q (I ) > I µun campo. ¶ Defina F por: Fl>m =  Dl>m > 1 2  5 I \ {0} = Calcule |F| = (Si D = 5 P2×2 (R) y  = 2> entonces 2 4 ¶ µ 0 2 · 1 231 · 1 ). F= 21 · 3 20 · 4

Ejercicio 163 Demuestre que si D 5 Pq×q (C) es tal que D = Dw > entonces |D| 5 R= 3 4 Dq E Dq31 F E F Ejercicio 164 Sea D 5 Pq×q (R) y sea E = E .. F (note que se invirti´ o el C . D D1 orden de los renglones de D). Calcule |E| = Ejercicio 165 Note que trasponer una matriz es como reflejar los coeficientes sobre la diagonal principal”, y que esto no cambia el determinante. Suponga que E 5 Pq×q (|R|) se obtiene reflejando”los coeficientes de D sobre una l´ınea vertical pas por ¶ de la matriz. Calcule |E| en t´erminos de |D| = µ el centro µ que ¶ 3 1 1 3 ). 7$ (Por ejemplo 4 2 2 4 Ejercicio 166 Suponga que F se obtiene de D reflejando sus elementos sobre una l´ınea horizontal. Muestre que |F| = |E|. Ejercicio 167 Sean }1 > }2 > }3 > z1 > z2 > z3 5 C = Decimos que los tri´angulos 4}1 >}2 >}3 y 4z1 >z2 >z3 son semejantes (4}1 >}2 >}3  4z1 >z2 >z3 ) si los a´ngulos internos de los dos tri´angulos coinciden (en el mismo orden), es decir que se pueden numerar en el sentido de las manecillas del reloj los a´ngulos, como > > =

6.5. SIMILITUD

229

Figura 6.1:

1.

a) Demuestre que 4}1 >}2 >}3  4z1 >z2 >z3

¯ ¯ ¯ }1 z1 1 ¯ ¯ ¯ / ¯¯ }2 z2 1 ¯¯ = 0= ¯ }3 z3 1 ¯

¯ ¯ ¯ }1 }1 1 ¯ ¯ ¯ 2. Demuestre que }1 > }2 > }3 son colineales / ¯¯ }2 }2 1 ¯¯ = 0= ¯ }3 }3 1 ¯ 3. Demuestre que 4}1 >}2 >}3 es equil´atero / 4}1 >}2 >}3 = 4}3 >}1 >}2 ¯ ¯ ¯ }1 }3 1 ¯ ¯ ¯ / ¯¯ }2 }1 1 ¯¯ = ¯ }3 }2 1 ¯ Ejercicio 168 Encuentre una condici´on, usando determinantes, para que 0> }1 > }2 > }3 5 |C| est´en en un mismo c´ırculo. Ejercicio 169 Repita el ejercicio anterior, cambiando 0 por }4 . Ejercicio 170 Suponga que la matriz K se obtiene de D rotando”90 en el sentido del reloj y sobre el centro Calcule el determinante de K en t´erminos 3 de la matriz. 4 3 4 1 2 3 7 4 1 del de D= (Por ejemplo C 4 5 6 D 7$ C 8 5 2 D). 7 8 9 9 6 3

CAP´ITULO 6. DETERMINANTES

230

Ejercicio 171 20604> 53227> 25755> 20927> 78421 son m´ ultiplos de 17= Demuestre que ¯ ¯ ¯ 2 0 6 0 4 ¯ ¯ ¯ ¯ 5 3 2 2 7 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 5 7 5 5 ¯  0 mod 17= ¯ ¯ ¯ 2 0 9 2 7 ¯ ¯ ¯ ¯ 7 8 4 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ejercicio 172 Calcular: ¯¯ ¯ ¯

1 1 1 1

1 2 1 2

1 1 3 1

1 2 1 4

¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯>¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 2 1 3 1 4 1 5

1 3 1 4 1 5 1 6

1 4 1 5 1 6 1 7

1 5 1 6 1 7 1 8

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Cap´ıtulo 7

Polinomios con coeficientes en R 7.1.

Polinomios y el algoritmo de la divisi´ on

Definici´ on 92 Sea U un anillo, y N el conjunto de los naturales, © ª U(N) = i 5 UN | i ({) 6= 0 en un subconjunto finito de N = Definici´ on 93 Si i es un elemento de U(N) , denotaremos sop (i) =: {{ 5 N | i ({) 6= 0} = ¢ ¡ ¢ ¡ (N) ˜ |U(N) ×U(N) > ˆ0 es un subgrupo de UN > +> ˜ ˆ0 = Proposici´ on 9 U > + ¡ ¢ ˜ |U(N) ×U(N) > ˆ0 es un subgrupo del grupo Demostraci´ on. Veremos que U(N) > + ¢ ¡ N ˜ ˆ0 : U > +> 1. Cerradura). Tenemos que observar que la suma¡ de dos ¢ funciones con soporte ˜  sop(i ) ^ sop(j) pues finito tiene soporte finito. Pero debe ser claro que sop i +j (i ({) + j ({) 6= 0 , (i ({) 6= 0 b j ({) 6= 0)). 2. Neutro: la funci´on constante ˆ0 tiene soporte vac´ıo (que es finito). 3. sop(i ) =sop(i ) = Vamos a darle a U(N) estructura de anillo, definiendo la multiplicaci´on de la siguiente manera: Definici´ on 94 (i  j) (q) =

X

i (l) j (m) =

l+m=q

Proposici´ on 10  es una operaci´on asociativa, con neutro, en U(N) : 231

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

232

Demostraci´ on. 1. q 5 sop (i  j) , 0 6= (i  j) (q) =

X

i (l) j (m) , l 5 sop (i ) a m 5 sop (j)

l+m=q

para alguna l y alguna m tales que l + m = q. Como sop(i ) y sop(j) son finitos, tambi´en es finito el conjunto de productos i (l) j (m). que sean distintos de 0= Por lo tanto sop(i  j) es finito. 2.  es asociativa: X ((i  j)  k) (q) = (i  j) (l) k (m) l+m=q

X

=

[(i  j) (l)] k (m) =

l+m=q

=

X

"

X l+m=q

X

# i (n) j (o) k (m)

n+o=l

(i (n) j (o)) k (m) =

n+o+m=q

Por otra parte si calculamos (i  (j  k)) (q) obtendremos X i (n) (j (o) k (m)) = n+o+m=q

3. El neutro es la funci´on ˜1 : N $ U tal que ˜1 (0) = 1> ˜1 (q) = 0> para todo q A 0= En efecto X ¡ ¢ ¡ ¢ ˜1  j (q) = ˜1 (l) j (m) = ˜1 (0) j (q) = j (q) = j  ˜1 (q) = l+m=q

Proposici´ on 11  se distribuye sobre la suma de U(N) = Demostraci´ on.

X

(i  (j + k)) (q) =

i (l) (j + k) (m)

l+m=q

=

X

"

i (l) (j (m) + k (m)) =

l+m=q

=

X

i (l) j (m) +

l+m=q

X

X

# i (l) j (m) + i (l) k (m)

l+m=q

i (l) k (m) = (i  j) (q) + (i  k) (q) =

l+m=q

= [i  j + i  k] (q) = Por lo tanto (i  (j + k)) = i  j + i  k=

´ 7.1. POLINOMIOS Y EL ALGORITMO DE LA DIVISION

233

¡ ¢ ˜ ˆ0> > ˜1 es un anillo, el anillo de polinomios con coefiProposici´ on 12 U(N) > +> cientes en U= 1. { =: (0> 1> 0> 0> ¯0> ===)= 2. Como consecuencia de la definici´on anterior, {2 =: (0> 0> 1> 0> ¯0> ===)>..., {q =: (0> ===> 0> 1>0> ¯0> ===)= {0 = ˜1 =: (1> 0> ¯0> ===)= | {z } q+1 lugares

3. Si i : i (0) > i (1) > ===> i (q) > 0> ¯0> === entonces i = i (0) ˜1 + i (1) { + === + i (q) {q = Definici´ on 95 grad(i ) =: m´ax {n | i (n) 6= 0}. Notemos que esta definici´ on no incluye al polinomio ˆ0= © ª Lema 15 Si I es un campo, y i> j 5 I (N) \ 0ˆ > entonces i  j 6= 0= Demostraci´ on. Basta ver que grad(i  j) =grad(i) + grad(j) : Si grad(i ) = q y grad(j) = p, entonces i (q) 6= 0 y i (m) = 0 ;m A q= Adem´as j (p) 6= 0 y j (m) = 0 ;m A p= Entonces (i  j) (q + p) =

X

i (l) j (m) = i (q) j (p) 6= 0, ya que l  q ´o m  p=

l+m=q+p

Adem´as si n  q + p, entonces (i  j) (n) =

P

i (l) j (m) = 0, ya que l A q

l+m=n

´o m A p= Teorema 90 La funci´on # : U $ U(N) definida por # (u) = uˆ, (la funci´on (u> 0> ¯0> ===)) es una funci´on que respeta la suma, el producto el uno, y adem´as es inyectiva. Es decir: 1. # (u + v) = # (u) + # (v) para cualesquiera u> v 5 U= 2. # (u  v) = # (u)  # (v) para cualesquiera u> v 5 U= 3. # (1) = 1= 4. # (u) = # (v) , u = v=

234

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

Demostraci´ on. 1. Sean u> v 5 U> entonces # (u + v) = u[ + v = (u + v> 0> ¯0> ===) = (u> 0> ¯0> ===) + (v> 0> ¯0> ===) = = uˆ + vˆ = # (u) + # (v) 2. Sean u> v 5 U> entonces # (u  v) = ud  v = (u · v> 0> ¯0> ===) = (u> 0> ¯0> ===)  (v> 0> ¯0> ===) = = uˆ  vˆ = # (u)  # (v) 3. # (1) = ˆ1 = 1U(N) = 4. # (u) = # (v) , (u> 0> ¯0> ===) = (v> 0> ¯0> ===) , u = v= ¡ ¢ ˜ ˆ0> > ˜1 es un dominio entero. Proposici´ on 13 Si I es un campo, entonces I (N) > +> © ª ¢ ¡ Demostraci´ on. Basta ver que I (N) \ ˆ0 > > ˜1 es un monoide con cancelaci´on. © ª Supongamos que i ({) j ({) = i ({) k ({) > i> j> k 5 I (N) \ ˆ0 = Entonces i ({) (j ({)  k ({)) = ˆ0= Como i 6= ˆ0> tenemos que j ({)  k ({) = ˆ0. Por el Lema anterior. ¡ ¢ ˜ ˆ0> > ˜1 hay algoritmo de Proposici´ on 14 Si I es un campo, entonces en I (N) > +> la divisi´ on: Si i ({) > j ({) 5 I (N) y j ({) 6= 0, entonces !u ({) 5 I (N) tales que 0 = u ({) ´o grad (u ({)) ? grad (j) , y i ({) = et + u= Como la proposici´on anterior es un poco larga, es mejor escribir el diagrama siguiente: t ({) j ({) i ({) u ({) 0 = u ({) ´o grad(u ({)) ? grad(j ({)) Demostraci´ on. Podemos suponer que i ({) 6= 0> pues en caso contrario, t ({) = 0 = u ({) sirven. Ahora, podemos hacerlo por inducci´on sobre grad(i ({)) : Base.

´ 7.1. POLINOMIOS Y EL ALGORITMO DE LA DIVISION

Si grad(i) = 0 =grad(j) > entonces j

i@j i 0

235

0 = u ({)

Si grad(i) = 0 ? grad(j) entonces j

0 i i

i = u ({) > grad(i ) ?grad(j)

Paso inductivo: Si grad(i) ? grad(j) entonces 0 i i

j

0 = u ({)

Si grad(i)  grad(j) > escribamos i = d0 + d1 { + d2 {2 + === + dq {q y j = e0 + e1 { + e2 {2 + === + ep {p Multipliquemos j por {q3p . Entonces i  {q3p j = 0 o´ grad(i  {q3p j) ? grad(i ) = En el primer caso tenemos j

{q3p i 0

0 = u ({)

y en el segundo tenemos t i  {q3p j u ({)

j

> 0 = u ({) o´ grad(u) ? grad(j)

por hip´otesis de inducci´on. En este u ´ltimo caso, i  {q3p j = tj + u> es decir que j

{q3p + t i u ({)

= 0 = u ({) o´ grad(u) ? grad(j)

Demostrar la unicidad se deja como ejercicio.

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

236

Corolario 22 Sea I un campo y i 5 I [{]. Entonces i ({) = j ({) ({  d) + i (d) = Demostraci´ on. {d

j ({) = i u ({) 0 = u ({) o´ grad(u) ? grad({  d)

Entonces u ({) es una constante, y i ({) = j ({) ({  d) + u. Evaluando en d, obtenemos la conclusi´on deseada. Definici´ on 96 Sean i ({) > j ({) 5 U [{] > diremos que i divide a j (i | j) si definiremos un producto de U×U(N) en U(N) , de manera que coincida con el producto en U(N) = Definici´ on 97

· : U × U(N) $ U(N) = (u> i ) 7$ ub · i

Ejemplo 106 Si i = (d0 > d1 > ===> dq > ¯0> ===) y u 5 U, entonces ¢ ¡ ui =: ubi = ud0 > ud1 > ===> udq > 0=== = De las definiciones y proposiciones antes demostradas, conclu´ımos que para i 5 U(N) con i = (d0 > d1 > ===> dq > ¯0> ===) se tiene que i = d0 1 + d1 { + === + dq {q = As´ı que U(N) =: U [{] = {d0 + d1 { + === + dq {q | q 5 N> dl 5 U} = (El anillo de los polinomios con coeficientes en R).

´ 7.1. POLINOMIOS Y EL ALGORITMO DE LA DIVISION

237

Observaci´ on 73 Dada d 5 R existe una u ´nica funci´ on Hy (d) : R [{] $ R, a la que llamaremos “evaluaci´ on en d”, tal que: 1. Hy (d) (ˆ u) = u, ;u 5 H= 2. Hy (d) ({) = d= 3. Hy (d) respeta la suma, el producto y el uno. Demostraci´ on. Se deja como ejercicio. Proposici´ on 15 ;u> v 5 R > ;i> j 5 R [{] : 1. 1 · i = i= 2. (uv) · i = u · (v · i ) = Ejercicio 173 Si U es un anillo conmutativo que est´a inclu´ıdo en un anillo V y d 5 V, entonces ;u 5 U [{] > tal que u = O, o grad(u) = 0= Adem´as Hyd (u{q ) = Hyd (u) · Hyd ({q ) = u · Hyd ({)q = u · dq = As´ı que Hyd (d0 + d1 { + === + dq {q ) = (d0 + d1 d + === + dq dq ) = Hy

Ejercicio 174 Demuestre que U [{] $d V respeta la suma, el producto y 1= Sugerencia: para demostrar que Hyd respeta productos, es decir, para ver que Hyd (i ({)  j ({)) = Hyd (i ({)) · Hyd (j ({)) > mostrar primero que se cumple para i ({) = O> luego para i ({) = f · {q = Y despu´es hacerlo por inducci´on sobre el grado de i 6= O.

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

238

7.2.

La estructura algebraica de R[{]

Definici´ on 98 Un subconjunto L de R [{] se llama ideal de R [{] si 1. 0 5 L. 2. i> j 5 L , i + j 5 L. 3. i 5 R [{] > j 5 L , i j 5 L a ji 5 L= Definici´ on 99 Se dice que un polinomio i ({) > distinto de cero es m´onico si su coeficiente principal es 1. Teorema 91 L 6 R [{] / L = R [{] j ({) := = {i ({) j ({) | i 5 R [{]} > con j ({) 5 R [{] > j ({) m´onico== Demostraci´ on. +) 0 = 0 · j 5 L= ij> i ´j , ij + i´j = (i + i)´j 5 L= i 5 R [{] > kj 5 L , i (kj) = (i k) j 5 L= ,) Si L = {0} entonces L = R [{] · 0= Si L 6= {0} > sea D = {q 5 N | = Escojamos el menor elemento de D (principio del buen orden) y llam´emoslo p= Despu´es tomemos una j 5 L tal que grad(j) = p= (N´otese que se puede escoger j con coeficiente principal 1> multiplicando por el rec´ıproco del coeficiente principal, si fuera necesario). Demostraremos que L = R [{] j . ) Sea i 5 L. Por el algoritmo de la divisi´on, i = wj + u con u = 0 o´ grad(u) ? Q

grad(j). Si u fuera distinto de 0 entonces u = i  wj 5 L y grad(u) ? p = men(D) = Por lo tanto u = 0 y as´ı i 5 R [{] j= ) j 5 L , R [{] 5 L. Teorema 92 Sean L> M 6 R [{], entonces: 1. L _ M 6 R [{].

7.2. LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE R[[]

239

2. L + M = {l + m | l 5 L> m 5 M} 6 R [{]. 3. L + M es el menor ideal de R [{] que incluye a L ^ M= Demostraci´ on. 1. a. Como L y M son ideales, entonces 0 5 L> 0 5 M, por lo que 0 5 L _ M. 1.b. i> j 5 L _ M , (i> j 5 L) a (i> j 5 M) , , (i + j 5 L) a (i + j 5 M) , i + j 5 L _ M= 1.c. i

5 R [{] > j 5 L _ M , (i 5 R [{] > j 5 L> j 5 M) , , (i j> ji 5 L) a (ij> ji 5 M) , ij> ji 5 L _ M=

2.a. 0 5 L> 0 5 M , 0 = 0 + 0 5 L + M= 2.b. l + m> l´+ m´5 L + M , (l + m) + (l´+ m´) = (l + l´) + (m + m´) 5 L + M . 2.c. .k 5 R [{] > l + m 5 L + M , k (l + m) = kl + km = lk + mk = (l + m) k 5 L + M. 3.a. L  L + M ya que ;l 5 L> l = l + 0 5 L + M. An´alogamente, M  L + M. Por lo tanto L ^ M  L + M= 3.b. Veamos ahora que L + M es el menor ideal que incluye a L ^ M: Si L ^ M  N 6 R [{] > entonces ;l 5 L> ;m 5 M> l> m 5 N= Como N es un ideal, l + m 5 N= Por lo tanto, L + M  N. Definici´ on 100 k 5 R [{] es el m´aximo com´ un divisor de i y j si 1. k | i> k | j (es decir, k es un divisor com´ un). 2. n | i> n | j , n | k= (Cualquier otro divisor com´ un divide a k). 3. k es m´onico. (Es decir, que el coeficiente principal de k es 1). Corolario 24 Dados i> j 5 R [{] > R [{] i + R [{] j = R [{] k, para alguna k 5 R [{] > m´onico. Adem´ as k es el m´aximo com´ un divisor de i y j. Demostraci´ on. A la vista de los resultados anteriores, lo u ´nico que requiere demostraci´on es la afirmaci´on de que k es el m´aximo com´ un divisor de i y j. 1. i 5 R [{] k , i = wk, para alguna k en R [{]. Es decir, k | i . An´alogamente k | j. Con esto vemos que k es un divisor com´ un de i y de j.

240

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

2. Si n es otro divisor com´ un, n | i y n | j. Digamos que i = n! y que j = n= Tambi´en tenemos que k = i + j= Entonces k = n! + n = n (! + ) = As´ı que n | k. As´ı que k es el m´aximo com´ un divisor de i y j. Observaci´ on 74 R [{] k = R [{] fk> ;f 5 R \ {0}. Demostraci´ on. k = 1@f (fk) , k 5 R [{] fk , R [{] k  R [{] fk. An´alogamente, (fk) 5 R [{] · k , R [{] · fk  R [{] · k= Observaci´ on 75 El m´aximo com´ un divisor de dos polinomios es u ´nico. Demostraci´ on. Sean g> g´ dos m´aximos divisores comunes de i y de j. g divisor com´ un y g´ m´aximo com´ un divisor , g | g´. Por simetr´ıa, g´ | g= g | g´ , g = g´, para alguna  5 R [{]. g´| g , g´ = g> para alguna  5 R [{]. Entonces g = g´ = g. Luego 0 = grad () = grad () + grad () = Por lo que  y  son polinomios constantes. Como g y g´ son m´onicos y g = g´> tienen coeficiente principal 1 y , tenemos que  = 1, as´ı que g = g´. Definici´ on 101 p ({) 5 R [{] es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de i y de j (se escribe p ({) = [i ; j]) si 1. p ({) es un m´ ultiplo com´ un de i y de j: p ({) 5 R [{] i, p ({) 5 R [{] j. 2. Si n ({) es otro m´ ultiplo com´ un entonces n ({) es m´ ultiplo de p ({) : n ({) 5 R [{] i , n ({) 5 R [{] j , p ({) | n ({) = 3. p ({) es m´onico.

7.2. LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE R[[]

241

Observaci´ on 76 Dados i> j 5 R [{] > R [{] i _ R [{] j = R [{] k, p. a. k 5 R [{], k=m´onico Adem´ as k es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de i y j. Demostraci´ on. k es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de i y j: ½ i |k k 5 R [{] i _ R [{] j , k = i a k = j , , k es m´ ultiplo com´ un de i j|k y de½j= i |n , n 5 R [{] i a n 5 R [{] j , n 5 R [{] i _ R [{] j = R [{] k , k | n= j|n Por lo que k es el m´ınimo m´ ultiplo com´ un de i y de j. Definici´ on 102 i 5 I [{] > I un campo, es irreducible si: 1. grad(i) A 0. 2. i = j · k , grad(j) = 0b grad(k) = 0. Observaci´ on 77 Sean i> k 5 I [{], i irreducible y m´onico. Entonces (i ; k) = i b (i; k) = 1. Demostraci´ on. i = (i; k) n> p. a. n 5 I [{] = Entonces grad(i; k) = 0b grad(n) = 0. Si grad(n) = 0> entonces n es el coeficiente principal de (i ; k) n> que es el coeficiente principal de i que es 1> as´ı n = 1 y i = (i; k) = Si grad(i ; k) = 0, an´alogamente al argumento anterior, concluimos que i = n= Corolario 25 {2 + d es irreducible en R [{] si d 5 R+ . Demostraci´ on. Sup´ongase que {2 + d = i · j con grad(i ) = grad(j) = 1 (suponQ

gamos que i = { + u). Entonces { + u | {2 + d , Hy(3u) ({2 + d) = 0 , u2 + d = 0  (la suma de dos reales positivos es un real positivo). Corolario 26 {2 + 1 es irreducible en R [{].

Definici´ on 103 En R [{] definimos la relaci´ on de “congruencia m´odulo {2 +1” por: ¡ ¢ {2 +1 i  j si {2 + 1 | (i  j) (/ (i  j) 5 R [{] ({2 + 1)).

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

242

{2 +1

Proposici´ on 16  es una relaci´on de equivalencia en R [{]. Demostraci´ on. Reflexividad) ¡ ¢ {2 +1 i  i ya que i  i = 0 ({) 5 R [{] {2 + 1 = Simetr´ıa)

¡ ¢ {2 +1 i  j , (i  j) 5 R [{] {2 + 1 =, ¡ ¢  (i  j) 5 R [{] {2 + 1 , ¢ ¡ {2 +1 , (j  i ) 5 R [{] {2 + 1 , j  i=

Transitividad) ¡ ¢ ¡ ¢ {2 +1 {2 +1 i  j  k , (i  j) 5 R [{] {2 + 1 a (j  k) 5 R [{] {2 + 1 , ¢ ¡ , (i  j) + (j  k) 5 R [{] {2 + 1 , ¡ ¢ {2 +1 , (i  k) 5 R [{] {2 + 1 , i  k= n o {2 +1 C = R [{] @  = i ({) | i ({) 5 R [{] = Donde i ({) denota la clase de congruencia de i ({)= Definici´ on 104 Dotamos a C de suma y de producto mediante las definiciones siguientes ˜ : C × C $ + C ¡ ¢ i¯> j¯ 7$ i + j ˜· : C C ¡ × C¢ $ = i¯> j¯ 7$ i · j Ejercicio 175 Demostrar que las operaciones reci´en definidas est´ an bien definidas, es decir, no dependen de la elecci´on de los representantes en las clases de congruencia. Proposici´ on 17

³ ´ ˜ 0>˜·> ¯1 es un anillo conmutativo (el anillo de los complejos). C> +>

7.2. LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE R[[]

243

¯ ¯ Demostraci´ ¡ ¢on. 1. i +¡ 0 = i¢+ 0 = i = 0 + i , ;i 5 C= ¡ ¢ ¯ = + j + k = i + j + k = i + (j + k) = (i + j) + k = i + j + k 2.i ¡ ¢ ¯ ;i> j> k 5 C= i¯ + j¯ + k> ¯ ;i> j 5 C= 3. i¯ + j¯ = i + j = j + i = j¯ + i> ¯ ¯ ;i 5 C. ¯ 4. i + i = i + (i) = 0> por lo tanto i = i, 5. ¡ ¢ ¡ ¢ i · j · k = i · j · k = i · (j · k) = ¡ ¢ ¡ ¢ ¯ = i¯ · j¯ · k> ¯ ;i> j> k 5 C= = (i · j) · k = i · j · k 6. 7. 8.

i¯ · ¯1 = i · 1 = i = 1 · i > ;i 5 C= ¯ ;i> j 5 C= i¯ · j¯ = i · j = j · i = j¯ · i> ¡ ¢ ¡ ¢ i · j+k =i · j+k =i ·j+i ·k= = i · j + i · k = i · j + i · k> ;i> j> k 5 C=

Proposici´ on 18 La funci´on [ : R $ C> definida por [ (u) = u¯, respeta la suma el producto, el uno y es inyectiva. Demostraci´ on. Sean u> v 5 R> entonces: 1. [ (u + v) = u + v = u¯ + v¯ = [ (u) + [ (v) = 2. [ (u · v) = u · v = u¯ · v¯ = [ (u) · [ (v) = 3. [ (1R ) = 1R = 1C = 4. ¡ ¢ {2 +1 [ (u) = [ (v) , u¯ = v¯ , u  v , {2 + 1 | (u  v) = Pero como u  v es 0 o su grado es cero, entonces u  v = 0= Por lo tanto u = v. Observaci´ on 78 En C, {2 = 1= {2 +1

Demostraci´ on. {2 + 1  0 , 0 = {2 + 1 = 1 + {2 = 1 + {2 , {2 = 1 Proposici´ on 19 Denotando { con l> tenemos que ;i 5 C, i = d + el> con d> e 5 R. Demostraci´ on. Aplicando el algoritmo de la divisi´on a i y a {2 + 1 : {2 + 1

t ({) i ({) u ({)

0 = u ({) o´ grad(u ({)) ? grad({2 + 1) = 2

244

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

como 0 = u ({) o bien grad(u ({)) 6 1> en cualquier caso podemos escribir u ({) = d + e{, con d> e 5 R= Entonces i = t · ({2 + 1) + d + e{= Ahora, notando que ({2 + 1) = ¯0> que se puede identificar u con u¯ para u 5 R, podemos escribir i = d + e{ = d + el=

Teorema 93 C es un campo. © ª Demostraci´ on. Sea i¯ 5 C\ 0 , entonces {2 + 1 - i , ({2 + 1; i ) = 1 , 1 =  ({) ({2 + 1) +  ({) i ,  ({) i = ¯1 ,  = i 31 = ´ Recordemos el “Teorema fundamental del Algebra”: (i ({) 5 C [{] > judg (i)  1) , con f 5 C > entonces i (¯ f) = 0> donde f¯ es el conjugado de f= Ejercicio 178 Demuestre que los u ´nicos polinomios irreducibles en R [{] son los de grado 1 y los de grado 2 que no tienen ra´ıces reales (¿cu´ales son ´estos). Ejercicio 179 Demuestre que un polinomio de grado 3 es irreducible / i no tiene ra´ıces. f Sea dq {q + === + d1 { + d0 5 Z [{] = Muestre que si 5 Q >(( f; g) = 1> f> g 5 Z) g es una ra´ız entonces f divide a d0 y g divide a dq = Ejercicio 180 Demuestre que si {q + dq31 {q31 + === + d0 5 ] [{] tiene una ra´ız racional, esta ra´ız tiene que ser entera. s s Ejercicio 181 Demuestre que q p 5 Q > p> q 5 N , q p 5 Z = s s s Ejercicio 182 Demuestre que 3 2> 6 18> 5 24 son irracionales. Ejercicio 183 Demuestra que {2 + { + 1 5 Q [{] es irreducible.

7.2. LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE R[[]

245

Ejercicio 184 Sean i ({) > j ({) 5 C [{] = Demuestre que (i; j) = 1 / i> j no tienen ra´ıces en com´ un. Ejercicio 185 Sea G

C [{] $ C [{] > i ({) 7$ i 0 ({) el operador derivada. Sea i ({) m´onico. Demuestre que todas las ra´ıces de i son distintas (es decir de multiplicidad 1) / (i ; i 0 ) = 1=(Equivalentemente: w tiene una ra´ız m´ ultiple / (i; i 0 ) 6= 1). Q $ Q [{] { incl.

&hyu & = Cuando hyu es inyectiva, se dice que u es trascenR u s dente. En caso contrario, se dice que u es algebraico sobre Q. ( 2 es algebraico, > h son trascendentes). Considere

&

Ejercicio 186 Demuestre que 1.

a) u algebraico , u ({) es irreducible.

2. El subanillo de R generado por Q y u es {i (u) | i 5 Q [{]} = (El subanillo mencionado se denota Q (u)). 3. Use el algoritmo de la divisi´on para mostrar que Q (u) = {j (u) | judg (j) ? judg (u )} = ( u

t ({) i ({) ) j ({) donde judg (j ({)) ? judg (u ), si j ({) no es cero.

Ejercicio 187 Demuestre que si u es algebraico sobre Q, entonces Q [u] es un campo. Sugerencia: k (u) 6= 0 , (k; u ) = 1 (u es irreducible). Entonces se puede escribir 1 en la forma 1 = k + , donde  y  son polinomios. Entonces  (u) es el inverso de k (u) = ¡s ¢4 s £s ¤ Ejercicio 188 Encuentre el inverso multiplicativo de 3 2 + 3 2 + 3 en Q 3 2 = s Sugerencia: encuentre primero el polinomio m´ınimo para 3 2=

246

CAP´ITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

Ejercicio 189 Sean f1 > f2 > ===> fq 5 R distintos, demostrar que ¯ ¯ ¯ 1 f1 (f1 )2 · · · (f1 )q31 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 f2 (f2 )2 · · · (f2 )q31 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 f (f )2 · · · (f )q31 ¯ Y 3 3 3 (fl  fm ) = ¯ ¯= ¯ .. .. ¯ .. .. ¯ . . ¯ m?l . . ¯ ¯ ¯ 1 fq (fq )2 · · · (fq )q31 ¯ Sugerencia: considere Sq31 (R) = {i ({) | i ({) hv ho srolqrplr 0 r judg(i)  q  hyfl R es una 1}>  = {1> {> {2 > ===> {q31 } /$ Sq31 (R)= Note que Sq31 (R) $ base i ({) 7$ i (fl ) funci´on lineal y que W Sq31 (R) $ 3 Rq 4 i (f1 ) E i (f2 ) F E F i ({) 7$ E .. F C . D i (fq ) tambi´en es una funci´ on lineal, cuya matriz respecto a 3 1 (f1 ) { (f1 ) · · · E 1 (f2 ) { (f2 ) · · · E E .. D = E ... . E C 1 (fq ) { (fq ) · · ·

y a la base can´onica de Rq es 4

Para hacer una demostraci´on por inducci´ on tomemos 3 1 f1 · · · fq32 1 E 1 f2 · · · fq32 2 E E .. .. [W ] 0 = E ... . . E C 1 fq31 fq32 q31 1 fq · · · fq32 q

0={1> {> ===> k ({)} tal que 4 0 0 F F .. F = . F F 0 D 1

F F F F= F D

(Estamos pidiendo que k (f1 ) = 0> k (f2 ) = 0> ===> k (fq31 ) = 0> k (fq ) = 1=) Entonces 0 [W ] = [W ] 0 [Lg] = ¯ ¯ ¯ 1 f1 ¯ ¯ ¯ = f2  f1 = Base de la inducci´on: ¯ 1 f2 ¯

Cap´ıtulo 8

Vectores propios y diagonalizaci´ on 8.1.

Vectores y valores propios W

1. Sea Y $ Y un operador lineal. Decimos que 0 6= y 5 Y es un vector propio de W correspondiente al valor propio  si: W ({) = {=

Decimos que  es un valor propio de la matriz D si  es un valor propio del operador I q 33D·3< I q = Es decir  es un valor propio de D si ) entonces la rotaci´on  : R2 $ R2 no tiene vectores propios (si y fuera un vector propio entonces  (y) > y y 0 deber´ıan estar en la misma recta. Cosa que no sucede. Ejemplo 109 Todos los vectores no nulos de R2 son vectores propios de  : R2 $ R2 > la rotaci´on por un a´ngulo . Ejemplo 110 Consideremos el operador derivada G

C " (R) $ C " (R) 247

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

248

en el subespacio de las funciones en RR que tienen derivadas de todos los o´rdenes. Los vectores propios de G correspondientes al valor propio 1 son las funciones no nulas tales que Gi = i es decir {fh{ | f 5 R\ {0}} = Teorema 94 Son equivalentes para f 5 I> y W : Y $ Y= 1. f es un valor propio de W= n o 2. ker (W  fLgY ) 6= 0 = 3. W  f · LgY no es inyectiva. Demostraci´ on. Se sigue de que W (y) = fy > +, W (y )  fy = 0 +, (W  fLg) (y ) = 0=

En el caso de que Y sea de dimensi´on finita, podemos agregar los siguientes incisos W  f · LgY no es biyectiva. [W  f · LgY ] no es invertible. det [W  f · LgY ] = 0= Teorema 95 Son equivalentes para 0 6= y 5 Y> Y $ Y>  5 I> dim (Y ) = q= 1. W ({) = {= 2. [W ] ({) =  [{] =

8.1. VECTORES Y VALORES PROPIOS

249

Demostraci´ on. Se sigue del diagrama conmutativo W

Y

7$

y

-

W (y) = y

&¯

*



&¯ 7$

[{]

*



[W ] (y ) =  [y ]

?

Iq

Y

0 ·

-

?

Iq

[W ]

Ejemplo 111 Si  es un valor propio de D 5 Pq×q (I ) > entonces 1. n es un valor propio de Dn = 2. n es un valor propio de f · Dn > ;f 5 I= 3. i () es un valor propio de i (D). Pues D{ = { , DD{ = D{ = D{ = {= por inducci´on Dn { = n {= En general, si i (w) = d0 + === + dn wn > entonces ¡ ¢ (i (w) (D)) ({) = (i (D)) ({) = d0 Lq + === + dn Dn ({) = d0{ + d1 {=== + dn n { = ¡ ¢ = d0 + d1 === + dn n { = i () {= Ejercicio 190 Se dice que una matriz D 5 Pq×q (I ) > es nilpotente si Dn = 0> para alguna n 5 N= Demuestre que si D es nilpotente entonces 0 es valor propio de D> y es el u ´nico valor propio de D.

250

8.2.

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

El polinomio caracter´ıstico

Nota 4 Si U es un anillo conmutativo, y D es una matriz de q × q con coeficientes en U> tenemos por definici´ on que det (D) =

X

vlj ()

q q ´ ³ Y X d Dl>(l) = (1)q+m Dq>m det D q>m = l=1

MVq

m=1

Observaci´ on 79 Si D> E 5 Pq×q (I ) entonces D+wE 5 Pq×q (I [w]) y det (D + wE) 5 Sq [I ] el conjunto de los polinomios de grado 6 q> junto con el polinomio O= Demostraci´ on. Por inducci´on sobre q= Base. Si q = 1, entonces D + wE = (d) + w (e) = (d + we) > cuyo determinante es d + we 5 S1 [I ] = Paso inductivo. det (D + wE) =

q X

³ ´ (1)q+m (Dq>m + wEq>m ) det Dq>m\ + wEq>m =

m=1

=

X

´ ³ d d (1)q+m (Dq>m + wEq>m ) det D q>m + wEq>m =

m=1

´ ³ d d Con (Dq>m + wEq>m ) 5 S1 (I ) y det D q>m + wEq>m 5 Sq31 (I ) Definici´ on 105 Si D 5 Pq×q (I ) definimos el polinomio caracter´ıstico de D> "D (w) por: "D (w) = det (D  wLq ) =

Lema 16 Si D 5 Pq×q (I ) entonces "D (w) es un polinomio de grado q con coeficiente principal (1)q = Demostraci´ on. Por la Observaci´on anterior, "D (w) 5 Sq (I ). Por inducci´on sobre q. Base. Si q = 1 entonces "(d) (w) = det ((d)  wL1 ) = det ((d  w)) = d  w=

8.2. EL POLINOMIO CARACTER´ISTICO

251

Paso inductivo. Si D 5 Pq×q (I ) > entonces "D (w) = det (D  wLq ) = =

à X

q+m

(1)

! ³ ´ ³ ´ \ Dq>m  w · (Lq )q>m det Dq>m  w (Lq )q>m +

m?q 1

´ ³ ´ ³ + Dq>q  w (Lq )q>q det Dq>q \  w (Lq )q>q =

Ahora, \ d d det(Dq>q \  w(Lq )q>q ) = det(D (w) q>q  w(Lq )q>q ) = det(Dq>q  wLq31 ) = "Dd q>q As´ı que el coeficiente principal de "D (w) es (1) (1)q31 = (1)q =

Teorema 96 Dos matrices similares D> E 5 Pq×q (I ) tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. Demostraci´ on. Supongamos que D = T31 ET= Entonces ¡ ¢ ¢ ¡ "D (w) = det (D  wLq ) = det T31 ET  wLq = det T31 ET  wT31 Lq T = ¡ ¢ ¢ ¡ = det T31 (E  wLq ) T = det T31 det (E  wLq ) det (T) = = det (E  wLq ) = "E (w) = Recordando que dos matrices cuadradas D> E 5 Pq×q (I ) son similares si y s´olo si representan a un mismo operador, podemos hacer la siguiente definici´on. W

Definici´ on 106 Si Y $ Y es un operador lineal en un espacio de dimensi´ on q> el polinomio caracter´ıstico de W> "W (w) se define como "D (w) > donde D es cualquier matriz que represente a W= 1

w · (Lq )q>m = 0 si q 6= m=

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

252

Observaci´ on 80 En vista del Teorema 95 tenemos que los valores propios de un W operador Y $ Y en un espacio de dimensi´ on finita, son los mismos que los valores propios de cualquier matriz [W ] que represente al operador. Teorema 97 Sea D 5 Pq×q (I ), los valores propios de D son las ra´ıces de su polinomio caracter´ıstico. Demostraci´ on. Como tenemos que  es un valor propio de D si y s´olo si det (D  Lq ) = 0= Basta demostrar que "D (w) () = det (D  Lq ) = Ahora, "D (w) =

q X

³ ´ ³ ´ (1)q+m Dq>m  w (Lq )q>m det Dq>m \  w (Lq )q>m =

m=1 Hy

Recordemos que I [w] 3333< I es un morfismo de anillos, as´ı que Hy respeta sumas y productos, por lo que podemos escribir "D () =

q X

³ ´ ³ ´ \ (1)q+m Dq>m   (Lq )q>m det Dq>m   (Lq )q>m =

m=1

= det (D  Lq ) = µ Ejemplo 112 Calculemos el polinomio caracter´ıstico de µµ "3 1 0 C 2 1

4 D

(w) = det

1 0 2 1

¶

µ w

1 0 0 1

¶¶

1 0 2 1

µ = det

¶ >

1w 0 2 1w

¶ =

= 1  2w + w2 = (w  1)2 = µ ¶ 1 0 Luego el u ´nico valor propio de es 1= 2¶ 1 µ ¶ ¶ µ µ 0 0 1 0 1 0 . Ahora, los vectores propios de = 1 En efecto: 2 0 0 1 2 1

8.2. EL POLINOMIO CARACTER´ISTICO ¶ ¶ µ 0 0 1 0 { = 0= son las soluciones de 2 0 2 1 Que a su vez, son las soluciones de

µ

µ Es decir, x2

0 1

¶

{1 = 0= ¶ µ n o 1 0  > x2 5 I \ 0 son los vectores propios de : 2 1 µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 0 0 0 =1· = 2 1 1 1

Ejemplo 113 Sea W

S2 $ S2 > i 7$ i + wi´+ i´ Sea  = {1> w> w2 } la base can´onica de W . Entonces 3 4 1 1 0 [W ] = C 0 2 2 D = 0 0 3 As´ı que

33

4 3 44 1 1 0 1 0 0 "[W ] (w) = det CC 0 2 2 D  w C 0 1 0 DD =  0 0 3 0 0 1 3 4 1w 1 0 2w 2 D = (1  w) (2  w) (3  w) = = det C 0 0 0 3w

Por lo que los valores propios de W son 1> 2> 3= Resolvamos 33 4 3 44 1 1 0 1 0 0 CC 0 2 2 D  1 C 0 1 0 DD { = 0 0 0 3 0 0 1 3 4 0 1 0 es decir, C 0 1 2 D { = 0= 0 0 2 3 4 3 4 3 4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 C 0 1 2 D 12 C 0 0 0 D 12 C 0 0 1 D 0 0 2 0 0 1 0 0 0

253

254

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION 3

4 1 Tenemos que {2 = 0 = {3 = Por lo tanto las soluciones son {1 C 0 D = An´alogamente, 0 para encontrar los vectores propios de [W ] correspondientes a 2 resolvemos 33 4 3 44 1 1 0 1 0 0 CC 0 2 2 D  2 C 0 1 0 DD { = 0> 0 0 3 0 0 1 3 4 1 1 0 cuya matriz del sistema es C 0 0 2 D = 3 4 3 0 0 14 1 1 0 1 1 0 Ahora. C 0 0 2 D 12 C 0 0 1 D > de donde se tiene que 0 0 1 0 0 0 3

4

{1 = {2 > {3 = 0=

1 Una soluci´on es C 1 D = 0 Por u ´ltimo resolvamos 33

4 3 44 1 1 0 1 0 0 CC 0 2 2 D  3 C 0 1 0 DD { = 0> 0 0 3 0 0 1

Con matriz asociada 3 4 3 4 3 4 2 1 0 2 0 2 1 0 1 C 0 1 2 D o n C 0 1 2 D o n C 0 1 2 D = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 1 on es C 2 D = As´ı que {1 = {3 > {2 = 2{3 una soluci´ 1 3 4 3 4 3 4 1 1 1 As´ı, C 0 D > C 1 D y C 2 D son los vectores propios de [W ] = Por lo que 0 0 1 3 4 3 4 3 4 1 1 1 C 0 D = 1> *31 C 1 D = 11 + w> *31 C 2 D = 1 + 2w + w2 *31    0 0 1

8.2. EL POLINOMIO CARACTER´ISTICO

255

deben ser los vectores propios de W : W (1) = 1 = 1 · 1> W (1 + w) = 1 + w + w · gwg (1 + w) + gwg (1 + w) = 2 + 2w = 2 · (1 + w) W (1 + 2w + w2 ) = 1 + 2w + w2 + w · gwg (1 + 2w + w2 ) + gwg (1 + 2w + w2 ) = 3 + 6w + 3w2 = 3 · (1 + 2w + w2 ) = W

Definici´ on 107 1. Si Y $ Y es un operador lineal> decimos que W es diagonalizable si existe una base  de Y formada por vectores propios de Y= 2. Decimos que una matriz D 5 Pq×q (I ) es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal. W

Teorema 98 Si Y $ Y es un operador lineal en un espacio de dimensi´ on q> son equivalentes: 1. W es diagonalizable. 2. ===> {q } una base de I Y formada por vectores propios de I Y= Digamos que W ({l ) = l{l = Entonces

3 E E [W ] = E C

1 0 0 0 0 2 0 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 0 q

4 F F F= D

Que no s´olo es diagonalizable sino que ya es diagonal. (Es diagonalizable pues es similar a s´ı misma). 2),3) Si [W ] es diagonalizable, entonces [W ] es similar a una matriz diagonal, digamos G= Entonces [W ] w G= Cualquier otra matriz [W ] que represente a W , tambi´en es similar a [W ] = As´ı que [W ] w [W ] w G=

256

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

3), 2) Obvio. 2),1) Supongamos que  = {{1 > ===> {q } y que 3 E E [W ] = E C

Entonces

1 0 0 0 0 2 0 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 0 q

4 F F F= D

´m ³ * (W ({m )) = [W ({m )] = [W ] = m hm =

Aplicando *31 obtenemos  (m hm ) = m *31 (hm ) = m {m = W ({m ) = *31   Adem´as cada {m 6= 0> por formar parte de una base  de Y= Entonces  es una base formada por vectores propios de W= Corolario 27 D es diagonalizable si y s´olo si D · es diagonalizable. h Demostraci´ on. D = I q

8.3.

D· 3333<

Iq

ifdq fdq

=

Espacios propios y diagonalizabilidad W

Definici´ on 108 Sea I Y $

IY

un operador lineal y sea  5 I= Definimos

H = Ker (W  LgY ) =

n o Observaci´ on 81  es un valor propio de W si y s´olo si H 6= 0 = Lema 17 Sean  6=  dos valores propios distintos de W . Supongamos que y 5 H > z  5 H son vectores propios de W (por lo tanto ambos son distintos de 0). Entonces {y > z}  es linealmente independiente en Y=

8.3. ESPACIOS PROPIOS Y DIAGONALIZABILIDAD

257

Demostraci´ on. Si {y > z}  fuera linealmente dependiente entonces uno de los dos vectores ser´ıa combinaci´on lineal de los anteriores, pero no es y > porque y 6= 0= Entonces z  = fy (8.1) Apliquemos W> para obtener z  = fy= Ahora multipliquemos la ecuaci´on 8.1 por  para obtener z  = fy Restando la u ´ltima ecuaci´on de la pen´ ultima, obtenemos 0 = f (  ) y= En vista de que y 6= 0, tenemos que f (  ) = 0> pero como  6= , entonces f = 0> por lo que z  = 0y = 0=u  Podemos generalizar el Lema anterior de la manera siguiente: Teorema 99 Sea {yl }lM[ un conjunto de vectores propios de W> tales que yl corresponde al valor propio l de W y adem´as l 6= m si l 6= m. Entonces {yl }lM[ es un conjunto o= l en Y= Demostraci´ on. Recordemos un conjunto es linealmente independiente si y s´olo si cada uno de sus subconjuntos finitos es linealmente independiente. Entonces podemos suponer sin perder generalidad que {yl }lM[ es finito. Demostraremos que {yl }lM{1>===>q} es finito por inducci´on sobre q. Base. Si q = 1, no hay nada que demostrar, pues un conjunto con un u ´nico vector distinto de 0 es o= l= Paso inductivo. Supongamos que q A 1 y que la afirmaci´on es cierta para q 1= Si {y1 > y2 > ===> yq31 > yq } no fuera o= g= entonces un vector de la lista es combinaci´on lineal de los anteriores, pero como, por hip´otesis de Inducci´on, {y1 > y2 > ===> yq31 } es o= l= entonces yq tendr´ıa que ser combinaci´on lineal de los anteriores. yq = f1y1 + f2y2 + === + fq31yq31 = A la ecuaci´on anterior primero le aplicamos W y luego la multiplicamos por q para obtener respectivamente qyq = f1 1y1 + f2 2y2 + === + fq31 q31yq31

258

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

y qyq = f1 qy1 + f2 qy2 + === + fq31 qyq31 = Restando la segunda a la primera, obtenemos 0 = f1 (1  q ) y1 + f2 (2  q ) y2 + === + fq31 (q31  q ) yq31 = Como {y1 > y2 > ===> yq31 } es o= l=, entonces los coeficientes de la ecuaci´on anterior son todos 0: f1 (1  q ) = 0 = f2 (2  q ) = === = fq31 (q31  q ) y como q 5 @ {1 > ===> q31 }, entonces cada fl = 0= Por lo tanto yq = 0 · y1 + 0 · y2 + === + 0 · yq31 = 0=u 

W

Lema 18 Si {l }lM[ es una familia de escalares distintos y I Y $ I Y es un operador lineal, entonces la suma de los espacios propios Hl es directa. Es decir X M Hl = Hl = lM[

lM[

Demostraci´ on. Necesitamos ver que la on de uno de los subespacios n intersecci´ o  con la suma de los dem´as es el subespacio 0 = Supongamos que n o X Hm _ Hl 6= 0 = lM[ r {m}

Entonces l2 > ===> ln }  [\ {m} = Por lo tanto {{m > {l1 > {l2 > ===> {ln } es linealmente dependiente. Pero el Teorema anterior asegura que es linealmente independiente por ser un conjunto de vectores propios que corresponden a valores propios distintos dos a dos. u  P Recordemos que una suma de subespacios {Zl }lM[ es directa, ncuando la ino  tersecci´on de cada sumando con la suma de los dem´as subespacios es 0 =

8.3. ESPACIOS PROPIOS Y DIAGONALIZABILIDAD Es decir

P

{Zl }lM[ =

L

259

{Zl }lM[ si

Zm _

n o {Zl } = 0 > ;m 5 [=

X lM[\{m}

Teorema 100 Son equivalentes para una familia {Zl }lM{1>===>p} de subespacios vectoriales no nulos de un espacio I Y de dimensi´on finita: 1. Y = 2. Y =

L P

{Zl }lM{1>===>p} . {Zl }lM{1>===>p} y

P {1>===>p}

{dim (Zl )} = dim (Y ) =

Demostraci´ on. 1), 2) Observemos que si l 6= m, y  l es una base para Yl >  m una base par Ym , entonces  l _  m = >= Pues si { 5  l _  m > entonces ! à X Zm u= { 5 Zl _ m6=l



Notemos que si  l /$ Zl entonces ^ { l }lM{1>===>p} es una base para I Y : edvh Recordemos que el subespacio generado por una uni´on de conjuntos es la suma de los subespacios generados por ellos. (Definici´on 23). Por lo tanto ³ ´ Xn o L ^ { l }lM{1>===>p} = L { l }lM{1>===>p} = Y> entonces tenemos que ^ { l }lM{1>===>p} es un conjunto generador de Y= Si ^ { l }lM{1>===>p} fuera linealmente dependiente, contendr´ıa un subconjunto finito o= g= digamos que {{1 > {2 > ==={q }  ^ { l }lM{1>===>p} es linealmente dependiente. Como los conjuntos  l son linealmente independientes, no todos los elementos de {{1 > {2 > ==={q } pertenecen al mismo conjunto  m = Agrupemos los elementos de {{1 > {2 > ==={q } > seg´ un la base  m a la que pertenecen, podemos suponer, reordenando si hiciera falta, que {1 = {1>1 > {2>1 > ===> {n1 >1 5  1 > {1>2 > {2>2 > ===> {n2 >2 5  2 > === ===> {1>v > {2>v > ===> {nv >v = {q 5  v =

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

260

Ahora hay una combinaci´on lineal de estos vectores que da 0 con no todos los coeficientes 0 : 3 4 nm X X X X 0 = C {l>m D = fl>m {l>m = z m= l>m

Con z m =

nm P

m

l=1

{l>m 5 Zm =

Ã

l=1

 2 + === + z  v 5 Z1 _ Entonces 0 6= z 1 = z

P

m

! Zl u=

l6=1



0 6= z  1 > pues z  1 es combinaci´on lineal no trivial de elementos de un conjunto linealmente independiente  1 = La contradicci´on anterior muestra que ^ { l }lM{1>===>p} es linealmente independiente, as´ı que es una base de I Y . ¯ X ¯ X ¯ ¯ {| l |} = {dim (Zl )} = , dim (Y ) = ¯^ { l }lM{1>===>p} ¯ = 2) , 1) Por induccci´on sobre p= Base. Si p = 1 no hay nada que demostrar. Si p = 2 entonces Y = Z1 + Z2 y dim (Y ) = dim (Z1 ) + dim (Z2 ) = Recordemos ahora que (Teorema 21). dim (Z1 + Z2 ) = dim (Z1 ) + dim (Z2 )  dim (Z1 _ Z2 ) > entonces dim (Y ) = dim (Z1 + Z2 ) = dim (Z1 ) + dim (Z2 )  dim (Z1 _ Z2 ) = dim (Z1 ) + dim (Z2 ) n o entonces dim (Z1 _ Z2 ) = 0> as´ı que Z1 _ Z2 = 0 > por lo que Y = Z1 Paso inductivo. Supongamos que p A 2= Y =

M

p X l=1

Z2 =

{Zl }

8.3. ESPACIOS PROPIOS Y DIAGONALIZABILIDAD y que dim (Y ) =

p X

261

{dim (Zl )} =

l=1

Entonces Y = Z1 +

p X

{Zl }

l=2

y dim (Y ) = dim (Z1 ) +

Ãp X

! {dim (Zl )} =

l=2

Por el caso p = 2, tenemos que Y = Z1

Ãp M X

! {Zl } =

l=2

Como dim

Ãp X

! {Zl }

= dim (Y )  dim (Z1 ) =

Ãp X

l=2

! {dim (Zl )}

 dim (Y1 ) =

l=1

=

Ãp X

! {dim (Zl )} >

l=1

tenemos, por hip´otesis de inducci´on que p X

{Zl } =

l=2

Por lo tanto Y = Z1

p M

{Zl } =

l=2

Ãp M X

! {Zl }

= Z1

à p M M

l=2

l=2

Ahora, es f´acil comprobar que Z1

à p M M l=2

! {Zl }

=

p M l=1

{Zl } =

! {Zl }

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

262

Ejercicio 191 Demuestre que son equivalentes para una familia {Zl }lM{1>===>p} de subespacios vectoriales de I Y : 1. Y = Z1

µp L L l=2

2. Y =

p L l=1

¶ {Zl } =

{Zl } = (Es decir, Y =

p P l=1

{Zl } y la intersecci´on de cada subespacio

con la suma de los dem´as subespacios es trivial. 3. ;y 5 Y> l 5 {1> ===> p} tales que y = {1 + {2 + === + {p = 4. (Y =

p P l=1

{Zl }, y 0 = {1 +{2 +===+{p > con {l 5 Zl ) , {1 = 0 = {2 = === = {p =

Observaci´ on 82 Si W : Y $ Y es un operador lineal diagonalizable en un espacio de dimensi´ on finita, entonces "W (w) es un producto de factores de grado uno. Demostraci´ on. Si W es diagonalizable, que representa a W= Digamos que 3 1 0 E 0 2 E E .. [W ] = G = E ... . E C 0 0 0 0

entonces existe una matriz diagonal G ··· ··· ...

0 0 .. .

· · · q31 ··· 0

0 0 .. .

4

F F F F> F 0 D q

de aqu´ı es claro que "W (w) = "G (w) = (1  w) (2  w) === (q  w) = Lo anterior muestra que para que un operador lineal en un espacio de dimensi´on finita sea diagonalizable, debe suceder que el polinomio caracter´ıstico se factorice como producto de factores de grado uno.

8.3. ESPACIOS PROPIOS Y DIAGONALIZABILIDAD

263

Ejemplo 114 Consideremos la rotaci´on por @4> R2 cuya matriz es

µ

con polinomio caracter´ıstico

@4 3333<

R2 >

cos (@4) sen (@4) sen (@4) cos (@4)

¶ >

s w2  w 2 + 1

que es irreducible sobre R>µpues sus dos ra´ıces son complejas no reales. ¶ cos (@4) sen (@4) ) no son diagonalizables. As´ı, tenemos que @4 (y sen (@4) cos (@4) Ejemplo 115 En cambio si pensamos que la rotaci´ on ocurre en el plano complejo, entonces @4 =(hl@4 · ) C 3333333333333< C> ¡ ¢ de tal manera que todos los elementos de C\ {(0> 0)} son vectores propios de hl@4 · > al valor propio hl@4 = As´ı que la matriz diagonal que representa a ¡correspondientes ¢ l@4 · es h ¡ l@4 ¢ 5 P1×1 (C) = h Por otra parte, no basta que el polinomio caracter´ıstico se factorice como producto de factores de grado uno, para que sea diagonalizable. ¶ µ 1 2 > es claro que su polinomio caracEjemplo 116 Consideremos la matriz 0 1 µ ¶ 1w 2 ter´ıstico, det = (1  w) (1  w) > es un producto de factores de grado 0 1w 1> pero no es diagonalizable: Si lo fuera, tendr´ıamos que ser´ıa similar a una matriz diagonal, µ ¶con el mismo poli1 0 nomio caracter´ıstico, es decir, tendr´ıa que ser similar a > pero entonces 0 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 1 0 1 0 =T T31 = TT31 = u= 0 1 0 1 0 1  Ejercicio 192 Una matriz triangular superior D con todos sus elementos de la diagonal iguales, es diagonalizable si y s´olo si D es diagonal.

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

264

8.4.

Matrices diagonalizables W

Teorema 101 Son equivalentes para un operador lineal I Y $ de dimensi´ on finita I Y :

IY

en un espacio

1. W es diagonalizable, con valores propios 1 > 2 > ===> n . L 2. Y = Hl = a) "W (w) = (1  w)p1 (2  w)p2 === (n  w)pn b) dim (Hl ) =nul(W  l Lg) = pl = Demostraci´ on. 1) ,2) Si W es diagonalizable, con valores propios 1 , 2 ,...,n , entonces existe una base de I Y formada por vectores propios de W= De esta base tomemos los elementos que corresponden a l para formar  l = Entonces M Y = {Hl } = 2), 3) Si Y =

L l=1

l=1

{Hl } > tomemos  l una base de Hl . Entonces la matriz de W

respecto a la base  1 ^  2 ^ === ^  n es 3 ; A ? 1 E ... E | 1 | × | 1 | ··· 0 E A = E 1 E E .. .. ... E . ;. E E A ? n E E ... 0 · · · | n | × | n | C A = n por lo que el polinomio caracter´ıstico de W es , (1  w)| 1 | (2  w)| 2 | === (n  w)| n | = Adem´as | 1 | + | 2 | + === + | n | = q= Basta hacer pl = | l | =

4 F F F F F F F> F F F F D

8.4. MATRICES DIAGONALIZABLES

265

3), 2) supongamos que "W (w) = (1  w)p1 (2  w)p2 === (n  w)pn y que dim (Hl ) = nul (W  l Lg) = pl > ;l 5 {1> ===> n} = Como las ra´ıcesndelo polinomio caracter´ıstico son los valores propios del operador W , entonces Hl 6= 0 > ;l 5 {1> ===> n} = Adem´as X M {Hl } = {Hl } > por el Lema 18. Entonces dim

³X

´ ³M ´ X {Hl } = dim {Hl } = {dim (Hl )} = X

¡ ¢ {pl } = grad "W (w) = q L L Como dim ( L {Hl }) = q = dim (Y ) > entonces {Hl } = Y= 2), 1) Si {Hl } = Y entonces la uni´on ^ { l }, donde  l es una base de Hl es una base de I Y formada por vectores propios de W= =

Definici´ on 109 Sea  un valor propio del operador W de dimensi´on finita, la multiplicidad de  como valor propio de W es la multiplicidad de  como ra´ız del polinomio caracter´ıstico de W . Es la mayor potencia entera de (w  ) que divide a "W (w). Ejemplo 117 Es claro que la matriz 3

1 E 0 D=E C 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

4 0 0 F F 0 D 3

es diagonalizable, pues es diagonal. Los valores propios de D son 1, 2, 3 con multiplicidades 1> 2> 1 ya que el polinomio caracter´ıstico es (1  w) (2  w)2 (3  w) = dim (H1 ) = 4  rango (D  L4 ) =

266

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION 33

1 0 EE 0 2 E = 4  rango E CC 0 0 0 0 33

0 0 2 0

0 0 EE 0 1 E E = 4  rango CC 0 0 0 0

44 4 3 1 0 0 0 0 FF E 0 F F  E 0 1 0 0 FF = 0 D C 0 0 1 0 DD 0 0 0 1 3 44 0 0 F 0 0 F FF = 4  3 = 1= 1 0 DD 0 2

dim (H2 ) = 4  rango (D  2L4 ) = 3 44 33 4 1 0 0 0 1 0 0 0 E 0 1 0 0 FF EE 0 2 0 0 F E FF E F = 4  rango E CC 0 0 2 0 D  2 C 0 0 1 0 DD = 0 0 0 1 0 0 0 3 44 33 1 0 0 0 EE 0 0 0 0 FF FF = 4  2 = 2= E E = 4  rango CC 0 0 0 0 DD 0 0 0 1 dim (H3 ) = 4  rango (D  3L4 ) = 3 44 33 4 1 0 0 0 1 0 0 0 E 0 1 0 0 FF EE 0 2 0 0 F E FF E F = 4  rango E CC 0 0 2 0 D  3 C 0 0 1 0 DD = 0 0 0 1 0 0 0 3 33 44 2 0 0 0 EE 0 1 0 0 FF E E FF = 4  3 = 1= = 4  rango CC 0 0 1 0 DD 0 0 0 0 3

0 E 0 Ejemplo 118 Mostrar que E C 0 6 3 w 2 2 2 E 0 4w 1 0 E det C 0 0 6w 0 6 2 2 8  w

4 2 0 F F es diagonalizable. 0 D 8 3 4 w 2 2 F F = (6  w) · det C 0 4  w 0 D= D 6 2 8w

2 4 0 2 4

2 1 6 2

8.4. MATRICES DIAGONALIZABLES µ = (6  w) · (4  w) det

w 2 6 8  w

267 ¶

¡ ¢ = (6  w) · (4  w) w2  8w + 12 =

= (6  w) · (4  w) (w  6) (w  2) = (6  w)2 (4  w) (2  w) = Adem´as: 3 0 E 0 E C 0 6

3 4 6 2 2 2 2 2 E 0 2 1 4 1 0 F F  6L4 = E C 0 0 0 0 6 0 D 6 2 2 2 2 8

Las soluciones de

3

1 E 0 E C 0 0 est´a generadas por

3

0 E 0 E C 0 6

2 2 2 4 1 0 0 6 0 2 2 8

Las soluciones de

est´an generadas por

3

0 E 0 E C 0 6

2 2 2 4 1 0 0 6 0 2 2 8

4 3 1 2 E 0 0 F Fo nE 0 D C 0 2 0

4 0 16  13 1  12 0 F F { = 0˙ 0 0 0 D 0 0 0

;3 4 3 4< 1 0 A A A A ?E F E F@ E 1 F > E 3 F = C 2 D C 6 DA A A A > = 0 1 4 3 4 3 4 2 2 2 F E F E F  4L4 = E 0 0 1 0 F o E D C 0 0 2 0 DnC 6 2 2 4 3

4 0 16  13 1  12 0 F F= 0 0 0 D 0 0 0

4 E 0 E C 0 6

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 1 0 1 F F= 1 0 D 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 1 0 0 F F= 1 0 D 0 0

4 2 2 2 0 1 0 F F { = 0> 0 2 0 D 2 2 4

;3 1 A A ?E E 1 C 0 A A = 1 4 3 2 F E F  2L4 = E 0 D C 0 6

4< A A F@ F = DA A > 4 3 2 2 2 E 2 1 0 F Fo nE C D 0 4 0 2 2 6

268

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

Las soluciones de

est´an generadas por:

Entonces

3

2 E 0 E C 0 6

4 2 2 2 2 1 0 F F { = 0 0 4 0 D 2 2 6 ;3 4< 1 A A A @ ?E FA E 0 F = C 0 DA A A A > = 1

;3 4 3 1 0 A A ?E F E E 1 F > E 3 C 2 D C 6 A A = 0 1

4 3 1 1 F E 1 F E 0 F>E F>E D C 0 D C 0 1 1 4 3

4< A A F@ F DA A >

es una base de I34 formada por vectores propios de D= 3 3 4 4 0 1 1 1  2 0  14 32 1 1 F E 1 3 1 0 F E 1 F entonces T31 = E  2 0  41 2 F = Por lo Adem´as si T = E C 2 6 0 0 D C 0 1 2 0 D 3 3 1 0 1 1 1  12 2 4 4 3 6 0 1 6 E 2 0 1 2 F F = Ahora que 4T31 = E C 0 4 2 0 D 6 4 3 2 4 43 43 3 0 1 1 1 0 2 2 2 6 0 1 6 E 2 0 1 2 F E 0 4 1 0 F E 1 3 1 0 F F FE FE E C 0 4 2 0 D C 0 0 6 0 D C 2 6 0 0 D 1 0 1 1 6 2 2 8 6 4 3 2 3 3 4 4 6 0 0 0 24 0 0 0 E E 0 24 0 0 F F F = 4 · E 0 6 0 0 F= =E C 0 0 4 0 D C 0 0 16 0 D 0 0 0 2 0 0 0 8 3 4 0 ··· 0 E F Teorema 102 Si D es diagonalizable, entonces "D (w) (D) = C ... . . . ... D = 0 ··· 0

8.4. MATRICES DIAGONALIZABLES Demostraci´ on. "D (w) = q

Sea { 5 I > entonces { =

n Q l=1 P

269

(l  w)pl > I q =

n L

Hl =

l=1

fl{l > {l 5 Hl = n n Q Q Por otra parte, "D (w) (D) = (l  w)pl (D) = (l Lg  D)pl = l=1

Entonces n Y

l=1

(l Lg  D)pl = (1 Lg  D)p1  (2 Lg  D)p2  ===  (n Lg  D)pn =

l=1

µ Apliquemos

n Q

¶ (l Lg  D)pl

· en fl{l :

l=1

((1 Lg  D)phq1 · (2 Lg  D)p2 · === · (n Lg  D)pn ) (fl{l ) = = (1 Lg  D)p1 · === · (l31 Lg  D)pl31 · (l+1 Lg  D)pl+1 · ===· · (n Lg  D)pn · (l Lg  D)pl (fl{l ) = 0= Pues (l Lg  D) (fl{l ) = fl ((l Lg  D) ({l )) = 0= Notemos que en (1 Lg  D)p1 · (2 Lg  D)p2 · === · (n Lg  D)pn los operadores se pueden reacomodar, pues ((m Lg  D)pm · (l Lg  D)pl ) = ((m Lg  w)pm · (l Lg  w)pl ) (D) = = ((l Lg  w)pl · (m Lg  w)pm ) (D) = (l Lg  D)pl · (m Lg  D)pm = Entonces

à n Y µ

por lo tanto

! (l Lg  D)

l=1 n Q

à n Y l=1

({) = 0> ;{ 5 I q >

¶

(l Lg  D)pl

l=1

pl

· es el operador ˆ0 en I q > por lo que !

(l Lg  D)pl

3

0 ··· E .. . . =C . . 0 ··· 3

4 0 .. F = . D 0

4 2 4 4 Ejercicio 193 Compruebe lo anterior con la matriz C 3 6 2 D = 3 2 6

270

8.5.

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

El polinomio m´ınimo W

Como ya hemos notado, si Y $ Y es un operador lineal en el espacio vectorial I Y= Se tiene un diagrama conmutativo I [w]

I f

3 ´ ´ ´ \ ´ ´ ? ´ - KrpI (Y> Y )

7$

w &¯ W

f·

donde \ es un morfismo de anillos que satisface: ¡ ¢ \ d0 + d1 w + d2 w2 + === + dq wq = d0 LgY + d1 W + d2 W 2 + === + dq W q = Notaci´ on 14 Denotemos ¡ ¢ © ª ˆ0 : W = i 5 I [w] | i (W ) = ˆ0 > ¡ ¢ el conjunto de polinomios que se anulan en W= Llamaremos a 0ˆ : W el anulador de W= ¢ ¡ Observaci´ on 83 ˆ0 : W es un ideal de I [w] = ¡ ¢ Demostraci´ on. Es claro que 0ˆ : W es cerrado bajo la suma, que contiene al polinomio 0 y que es cerrado bajo multiplicaci´on por cualquier polinomio. Observaci´ on 84 Como los ideales de I [w] est´ por un s´olo polinomio, ¢ ¡ an generados que se puede escoger m´ onico, tenemos que si ˆ0 : W 6= {O}, entonces ¡ ¢ ˆ0 : W = I [w] · [w]= El polinomio m´onico [w] se llama el polinomio m´ınimo para W= W

Teorema 103 Si Y $ Y ¡ es un ¢ operador lineal en un espacio vectorial I Y de dimensi´on finita, entonces ˆ0 : W 6= {O} =

8.5. EL POLINOMIO M´INIMO

271

Demostraci´ on. Recordemos que el espacio vectorial KrpI (Y> Y ) es isomorfo a Pq×q (I ) > as´ı que ambos tienen dimensi´on q2 = Luego el conjunto n o 2 Lg> W=W 2 > ===> W q es un conjunto con m´as de q2 vectores en un espacio vectorial de dimensi´on q2 > por lo que resulta linealmente dependiente. As´ı que existe una combinaci´on lineal 2

f0 Lg + f1 W + f2 W 2 + === + fq2 W q = ˆ0 con no todos los coeficientes iguales a 0. Es claro que entonces el polinomio ¡ ¢ 2 O 6= f0 + f1 w + f2 w2 + === + fq2 wq 5 0ˆ : W = µ Ejemplo 119 Sea

1 2 2 1

¶ · : R2 $ R2 = Tomemos ½µ

1 0 0 1

¶ µ ¶¾ 1 2 > 2 1

notemos que es linealmente independiente un vector es combi¶ lista ning´ ¶2 pues µ en esta µ 5 4 1 2 = Ahora. = naci´on lineal de los anteriores 4 5 2 1 ¶¾ ¶ µ ¶ µ ½µ 5 4 1 2 1 0 > > 4 5 2 1 0 1 es linealmente dependiente pues el sistema µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 1 2 5 4 0 0 { +| +} = 0 1 2 1 4 5 0 0 es equivalente a

3 4 1 1 E 2 E 0 F E E F {C D + |C 2 0 1 1 3

4 3 0 5 E F E F F+}E 4 F = E 0 C 4 D C 0 D 0 5 4

3

4 F F D

272 y

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION 3

1 E 0 E C 0 1

1 2 2 1

4 3 1 5 E 0 4 F Fo nE 4 D C 0 0 5

0 1 0 0

4 3 2 F F 0 D 0

que tiene la soluci´ on no trivial { = 3> | = 2> } = 1 As´ı que

µ 3Lg  2D + D2 =

0 0 0 0

¶ =

Luego el polinomio m´ınimo para D es un divisor m´onico de 3  2w + w2 = (w  3) (w + 1) = ¢ ¢ ¡ ¡ @ ˆ0 : D > tenemos que Notando que (w  3) 5 @ ˆ0 : D > (w + 1) 5 D (w) = 3  2w + w2 = Ejemplo 120 Si dim(Y ) no es finita puede suceder que un operador no tenga polinomio m´ınimo. Por ejemplo consideremos el operador Rw

r R [w] $ R [w] Rw i 7$ r i

Este operador no tiene polinomio m´ınimo: notemos que µZ w ¶¶ µ Z w µ µZ w µZ w ¶¶¶ wq (1) = === (1) = = (wq ) q! r r {z r } |r q signos de integral

Rw As´ı que si un polinomio d0 + d1 w + d2 w2 + === + dq wq 6= r (w) se eval´ ua en r y despu´es evaluamos en 1> obtenemos µ µZ w ¶¶ ¡ ¢ d1 dq 2 q (1) = d0 w + w2 + === + wq 6= 0 (w) = d0 + d1 w + d2 w + === + dq w 2! q! r

8.5. EL POLINOMIO M´INIMO

8.5.1.

273

El polinomio m´ınimo y diagonalizabilidad W

Teorema 104 Un operador Y $ Y definido en el espacio de dimensi´ on finita q es diagonalizable si y s´olo si W (w) = (w  1 ) (w  2 ) === (w  n ) > donde 1 > 2 > ===> n son los distintos valores propios de W= Demostraci´ on. ,) Si W es diagonalizable, entonces existe una base  de vecn Q tores propios de W= Consideremos el polinomio {w  l } > donde {l }lM{1>===>n} es el l=1

conjunto de los valores propios de W= Tomemos { 5  y supongamos que W ({) = m {> entonces 4 333 4 4 Ãà n ! ! n Y F EEEY F F F F F EE {w  l } (W ) ({) = E CCC {w  l }D · (w  m )D (W )D ({) = l=1

l=1 l6=m

333

4

4

4

n EEEY F F F EE {W  l Lg}F · (W  m Lg)F ({)F = =E CCC D D D l=1 l6=m

3

4

n EY F F =E C {W  l Lg}D ((W  m Lg) ({)) = l=1 l6=m

4

3

n F³ ´ EY E {W  l Lg}F 0 = 0= D C l=1 l6=m

µ Tenemos pues que el operador

n Q

l=1

> por lo tanto (Corolario 7)

n Q

l=1

¶ {w  l } (W ) se anula en cada elemento de la base

{W  l Lg} es el operador ˆ0= Entonces el polinomio

n Y l=1

¡ ¢ {w  l } 5 0ˆ : W

274 Por lo que

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION Ã n Y

!

¢ ¡ {w  l } I [w]  ˆ0 : W = W (w) · I [w] =

l=1

Por otra parte si W ({) = {> entonces 0 = ˆ0 ({) = W (W ) ({) = W () ({) > por el Ejemplo 111. Esto muestra que si  es un valor propio de W entonces  es una ra´ız de su polinomio m´ınimo. En particular,µ  valor propio ¶ de W , (w  ) | W (w) = n Q Por lo tanto {w  l } | W (w) y as´ı l=1

W (w) 5

à n Y

! {w  l } I [w] =

l=1

Por lo tanto

à n Y

! {w  l } I [w] = W (w) · I [w] =

l=1

De aqu´ı que

à n Y

! {w  l }

= W (w) =

l=1

+) Rec´ıprocamente, si à n Y

! {w  l }

= W (w) =

l=1

Veremos que W es diagonalizable por inducci´on sobre n= Base. Si n = 1, entonces (W  Lg) = ˆ0 implica que W = Lg= Que es diagonalizable. Si n = 2> entonces (W  1 Lg)  (W  2 Lg) = ˆ0= Hagamos la divisi´on 1 w  2 w  1 2  1

8.5. EL POLINOMIO M´INIMO

275

Entonces

1 ((w  1 )  (w  2 )) = 1 2  1 Entonces, evaluando en W> 1 ((W  1 LgY )  (W  2 LgY )) = LgY > 2  1

As´ı que ;y 5 Y> 1 1 (W  1 LgY ) (y)  (W  2 LgY ) (y ) = LgY (y) = y> 2  1 2  1 Ahora, observe que

1 2 31

(W  1 LgY ) (y ) 5 H2 pues µ ¶ 1 (W  2 ) (W  1 LgY ) (y) = 2  1

1 ((W  2 LgY ) (W  1 LgY ) (y )) = 0= 2  1 1 De la misma manera, 2 3 (W  2 LgY ) (y) 5 H1 = 1 Por lo tanto Y = H1 + H2 = Paso inductivo Supongamos que n A 2> Debemos demostrar que X H = Y= =

 valor propio de W Consideremos el diagrama W

W

-

Y

6

6 W|

n31 X Hl l=1

n31 P H l l=1

-

n31 X Hl l=1

Notemos que el diagrama anterior tiene sentido pues la imagen bajo W de un elemento n31 n31 P P de Hl , sigue estando en Hl = l=1

l=1

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

276

Es inmediato que el polinomio m´ınimo para

W| n31 P H l l=1

es

(w  1 ) · (w  2 ) · === · (w  n31 ) = Tomemos una combinaci´on de los polinomios (w  1 ) · (w  2 ) · === · (w  n31 ) y w  l , con coeficientes en I [w] que coincida con el polinomio 1. Esto se puede hacer porque el m´aximo com´ un divisor entre (w  1 ) · (w  2 ) · === · (w  n31 ) y (w  n ) en I [w] es 1= Simplemente observe que el u ´nico divisor m´onico com´ un posible es 1= O bien, haciendo la divisi´on w  n

t (w) (w  1 ) · (w  2 ) · === · (w  n31 ) f f 6= 0

se tiene que 1 1 1 =  t(w)(w  n ) + (w  1 ) · (w  2 · === · (w  n31 = f f Entonces 1 1 Lg =  t(W )(W  n Lg) + (W  1 Lg)  (W  2 Lg)  ===  (W  n31 Lg)> f f de aqu´ı que cualquier vector y se puede escribir como µ ¶ 1 y =  t (W ) (W  n Lg) (y) + f 1 + (W  1 Lg)  (W  2 Lg)  ===  (W  n31 Lg) (y ) f el primer sumando est´a en Ker ((W  1 Lg)  (W  2 Lg)  ===  (W  n31 Lg)) =

n31 X Hl l=1

(¿por qu´e?) y el segundo sumando est´a en Hn =

8.5. EL POLINOMIO M´INIMO

277

Por lo tanto IY

= (Ker ((W  1 Lg)  (W  2 Lg)  ===  (W  n31 Lg))) + Hn = =

n31 X Hl + Hn = l=1

Ejercicio 194 Demuestre que Ker ((W  1 Lg)  (W  2 Lg)  ===  (W  n31 Lg)) =

n31 X Hl l=1

en la demostraci´ on anterior. Sugerencia: (w  1 ) (w  2 ) === (w  n31 ) (w  1 ) (w  2 ) === (w  n31 ) > > === (w  1 ) (w  2 ) ===>

(w  1 ) (w  2 ) === (w  n31 ) (w  n31 )

son primos relativos en I [w] por lo que hay una combinaci´on con coeficientes en I [w] tal que (w  1 ) (w  2 ) === (w  n31 ) + === + (w  1 ) (w  1 ) (w  2 ) === (w  n31 ) +tn31 [w] = (w  n31 )

1 = t1 [w]

Ejercicio 195 Demuestre que si W 5 KrpI (Y> Y ) > con dim(Y ) ? 4> entonces los valores propios de W son las ra´ıces de W (w) = Concluya que W (w) y "W (w) tienen las mismas ra´ıces (por supuesto, las multiplicidades puede no coincidir. Ejercicio 196 Escriba 1 como combinaci´ on de w  1> w  2 y w  3 con coeficientes en R [w] = Ejercicio 197 Escriba 1 como combinaci´ on de (w  1)(w  2), (w  2)(w  3) y (w  1)(w  3) con coeficientes en R[w].

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

278

Ejemplo 121 Consideremos la siguiente matriz en P5×5 (Z5 ) = 3 E E D=E E C 3 E E E E C

4 0 0 3 2

0 4 0 0 0

1 2 0 1 4

4 3 4 2 2

2 4 2 4 0

4

4 0 0 3 2

0 4 0 0 0 3

F E F E F  wL5 = E F E D C

1 2 0 1 4

4 3 4 2 2

2 4 2 4 0

4 F F F= F D

4w 0 1 4 2 0 4w 2 3 4 0 0 w 4 2 3 0 1 2w 4 2 0 4 2 w

Su determinante es 3 4w 0 1 4 2 E 0 4w 2 3 4 E 0 0 w 4 2 det E E C 3 0 1 2w 4 2 0 4 2 w

4 F F F= F D

4 F F F = 3 + 2w + 2w2 + 4w3  w5 = F D

= "W (w) = 3 + 2w + 2w2 + 4w3  w5 = "W (2) = 0 y -t4 -2t3 + 2w + 1 t-2 -t +4t3 +2t2 +2t+3 4 2w  w3 + 2w2 + 2w + 3 2w2 + 2w + 3 w+3 0 5

Sea j (w) = w4  2w3 + 2w + 1> como j (1) = 0> w3  3w2  3w  1 w  1 w4  2w3 + 2w + 1 3w3 + 2w + 1 = 3w2 + 2w + 1 w + 1 0

8.5. EL POLINOMIO M´INIMO

279

Sea k (w) = w3  3w2  3w  1> como k (4) = 0> podemos hacer w2  2w  1 w + 1 w3  3w2  3w  1 2w2  3w  1 = w  1 0

x (w) = w2  2w  1 =  (w2 + 2w + 1) =  (w + 1)2  (w  4)2 = Entonces "W (w) = (w  2) (w  1) (w  4)3 = La matriz D es diagonalizable si y s´ olo si W (w) = (w  2) (w  1) (w  4) 3 E E E E C 3 E E E E C 3 E E E E C y

4 0 0 3 2

0 4 0 0 0

1 2 0 1 4

4 3 4 2 2

2 4 2 4 0

4 0 0 3 2

0 4 0 0 0

1 2 0 1 4

4 3 4 2 2

2 4 2 4 0

4 0 0 3 2

33 EE EE EE EE CC

0 4 0 0 0 2 0 0 3 2

1 2 0 1 4

4 3 4 2 2

2 4 2 4 0

4

3

F E F E F  2L5 = E F E D C 4

3

F E F E F  1L5 = E F E D C 4

3

F E F E F  4L5 = E F E D C

0 1 4 2 2 2 3 4 0 2 4 2 0 1 0 4 0 4 2 2

4 3 F E F E F·E F E D C

3 0 0 3 2

2 0 0 3 2

0 1 4 2 2 2 3 4 0 2 4 2 0 1 0 4 0 4 2 2

3 0 0 3 2

0 1 4 2 3 2 3 4 0 1 4 2 0 1 1 4 0 4 2 1

0 0 0 3 2

0 1 4 2 0 2 3 4 0 4 4 2 0 1 2 4 0 4 2 4 0 1 4 2 3 2 3 4 0 1 4 2 0 1 1 4 0 4 2 1

4 F F F F D 4 F F F F D 4 F F F F D

44 FF FF FF · FF DD

280

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION 3

3 E E =E E C 3 E E =E E C

2 2 1 2 3

0 0 0 20 10

E E ·E E C

0 0 0 3 2

3 1 4 3 2

0 0 0 4 2

0 1 0 0 0

0 10 0 0 0 15 0 10 0 5

4 0 1 4 2 0 2 3 4 F F 0 4 4 2 F F= 0 1 2 4 D 0 4 2 4 43 0 0 1 4 2 0 E 0 0 2 3 4 0 F FE E 0 0 4 4 2 0 F FE 4 D C 3 0 1 2 4 2 0 4 2 4 2 4 3 0 0 0 0 20 10 E 15 10 F F E 0 0 0 0 E 20 10 F F=E 0 0 0 0 20 10 D C 0 0 0 0 0 0 0 0 20 10

4 F F F= F D 0 0 0 0 0

4 F F F= F D

Por lo tanto D es diagonalizable. Ejercicio 198 Encuentre una base de 3 4 E 0 E D=E E 0 C 3 2

Z55 formada por vectores propios de 4 0 1 4 2 4 2 3 4 F F 0 0 4 2 F F= 0 1 2 4 D 0 4 2 0

Ejercicio 199 Demuestre que si W : Y $ Y es un operador lineal en un espacio de dimensi´ on finita q> tiene q valores propios distintos, entonces W es diagonalizable. 4 3 4 0 1 2 E 0 4 2 4 F F Ejercicio 200 Decidir si E C 0 0 0 4 D es diagonalizable. 0 0 1 0 3

4 3 0 12 Ejercicio 201 Decidir si C 4 4 2 D es diagonalizable. 6 0 1

8.5. EL POLINOMIO M´INIMO

281

Ejercicio 202 Supongamos que el operador W : Y $ Y en el espacio vectorial de dimensi´ on finita q tiene n valores propios distintos. 1. Si dim (H ) = q  n + 1> para alg´ un valor propio > demuestre que W es diagonalizable. 2. Si existen valores propios de W 1 > ===> m tales que ¢ ¡ dim H1 + === + Hm = q  n + m> demuestre que W es diagonalizable.

282

´ CAP´ITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

Cap´ıtulo 9

Subespacios T-invariantes Subespacios W invariantes

9.1.

W

Definici´ on 110 Sea I Y $ I Y un operador lineal y sea Z 6I Y= Diremos que Z es un subespacio W invariante de I Y (escribiremos Z 6 Y ), si W (Z )  Z . W

En caso de que Z 6 Y> tenemos que el siguiente diagrama conmuta: W

Y 6 lqf=

Z

W

-

Y 6

=

lqf=

W|Z

-

W|Z

Z

es decir que Z 6 Y si y s´olo si Z $ Z es un operador en Z= W

Ejemplos 122 Para cualquier W : Y $ Y : n o 1. 0 6 Y= W

2. Y 6 Y= W

3. Ker(W ) 6 Y= W

4. W (Y ) 6 Y= W

283

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

284

Teorema 105 Sea W : Y $ Y lineal, Z 6 Y> dim (Y ) = q ? 4> entonces "W | (w) Z

W

divide a "W (w).

Demostraci´ on. Tomemos una base  de Z y complet´emosla a una base  de Y= Digamos que p = dim (Z ) = I Entonces ¤ ¸ · £ W|Z  E = [W ] = 0 F Entonces [W ]  wLq =

¤ ¸ · £ E W|Z   wLp = 0 F  wLp3q

As´ı que "W (w) = "W

|Z

(w) "F (w) =

Ejemplo 123 Sea 3R d E e E C f g

4

entonces

W

R4 d + e + 2f  g E F e+g F 7$ E C D 2f  g f+g 4 $ 3

4 F > F D

3

4 1 1 2 1 E 0 1 0 1 F E F [W ]fdq fdq = C 0 0 2 1 D = 0 0 0 1 < ;3 4 u A A A A @ ?E F v F E Si tomamos Z = C D | u> v 5 R > entonces Z 6 Y> pues 0 A A W A A > = 0 3

1 E 0 E C 0 0

1 1 0 0

43 2 1 u E 0 1 F FE v 2 1 D C 0 0 1 0

3

4 u+v F E v F F F=E D C 0 D= 0 4

9.1. SUBESPACIOS W INVARIANTES Hagamos µ  = {h1 >¶h2 } y  =  ^ {h3 > h4 } . £ ¤ 1 1 y "W (w) = (1  w)2 | "W (w) = (1  w)3 (2  w) = W|Z  = |Z 0 1 Definici´ on 111 Sea Z 6 Y y consideremos Y KZ = {W : Y $ Y | W es lineal y W (Z )  Z } =

Teorema 106

Y 6 KrpI (Y> Y ) = 1. KZ

Y es cerrado bajo la composici´ on. 2. KZ Y Demostraci´ on. 1. KZ n eso un subespacio de KrpI (Y> Y ) : Y ˆ0 5 KZ ˆ pues 0 (Z ) = 0  Z= Y W> X 5 KZ , (W + X) (Z )  W (Z ) + X (Z )  Z + Z = Z= Y f 5 I> W 5 KZ , (fW ) (Z )  f (W (Z ))  fZ  Z= Y 2.W> X 5 KZ , (W  X ) (Z )  W (X (Z ))  W (Z )  Z= Y Notemos adem´as que LgY 5 KZ . En vista del Teorema anterior tenemos que Y es un espacio vectorial. Observaci´ on 85 1. KZ ¡ Y ¢ 2. KZ > +> > ˆ0> LgY es un anillo (no conmutativo en general).

Ejemplo 124 Sea < ;3 4 u A A A A @ ?E F v F E Z = C D | u> v 5 R 6 R4 = Y= 0 A A A A > = 0 Y = Calcularemos KZ Necesitamos encontrar todas las matrices [ 5 P4×4 (R) tales que 3 4 u E v F E  Z= [C F 0 D 0

285

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

286 44 3 u E E v FF E E FF E Como E C[ C 0 DD = ([)l C 0 l 3

3

4 u v F F > vemos que basta resolver 0 D 0 4 u ¢E v F F {4 E C 0 D=0 0 3

¡

{1 {2 {3

Es decir {1 u + {2 v = 0> ;u> v 5 R= Es claro que {1 = 0> {2 = 0= Y son de la forma Por lo tanto las matrices que corresponden a operadores en KZ 3 4     E     F F [=E C 0 0   D 0 0  

Ejercicio 203

1. Compruebe que {D 5 P4×4 (R) | D3>1 = D3>2 = D4>1 = D4>2 = 0}

es un subanillo de P4×4 (R) > es decir que es cerrado bajo la resta, el producto y que contiene al 1= 2. Compruebe que {D 5 P4×4 (R) | D3>1 = D3>2 = D4>1 = D4>2 = 0} es un subespacio vectorial de P4×4 (R) = Y Y > y j (w) 5 I [w] entonces j (W ) 5 KZ = Teorema 107 Si W 5 KZ

Demostraci´ on. Tenemos el diagrama conmutativo Y 6 lqf=

Z

W

-

Y 6

=

lqf=

W|Z

-

Z

9.1. SUBESPACIOS W INVARIANTES

287

que se puede componer consigo mismo: Y

W

-

Y

6

W

-

6

lqf=

Y 6

lqf=

Z

W|Z

-

Z

lqf= W|Z

-

Z

¢ ¡ ¢ ¡ como este diagrama sigue siendo conmutativo, vemos que W|Z  W|Z = (W  W )|Z > Y Y Y = por inducci´on, tenemos que W q 5 KZ = Como KZ es un espacio as´ı que W  W 5 KZ q Y vectorial, entonces fq W 5 KZ > ;fq 5 I= Adem´as Y f0 Lg + f1 W + === + fq W q 5 KZ =

Teorema 108 Sean W> X 5 Krp (Y> Y ) tales que W  X = X  W entonces 1. Ker(W ) 6 Y= X

2. W (Y ) 6 X= X

3. i (W )  j (X ) = j (X)  i (W ) > ;i> j 5 I [w] = 4. ;i> j 5 I [w] > Ker(i (W )) 6 Y y i (W ) (Y ) 6 Y= j(X)

j(X)

5. H = Ker(W  Lg) 6 Y= W

´ ³ 6. Ker (W  Lg)n 6 Y= W

Demostraci´ on. 1. Si { 5 Ker(W ) entonces ³ ´ W (X ({)) = X (W ({)) = X 0 = 0> esto es, X ({) 5 Ker(W ) > por lo que X (Ker (W ))  Ker(W ) > y entonces Ker(W ) 6 Y= 2. X (W (Y )) = W (X (Y ))  W (Y ) por lo tanto W (Y ) 6 Y= X

X

3. Se demuestra por inducci´on que X  W n = W n  X y por lo tanto X u W n = W n X u ;n> u 5 N=

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

288

Tambi´en por inducci´on sobre el grado de i , se demuestra que i (W )  j (X) = j (X)  i (W ) = 4. Se sigue de 1= 2. y 3. 5. y 5 Ker(W  Lg) , W (y ) = y , W (W (y)) = W ( (y)) = W (y) , W (y ) 5 Ker(W  Lg) = Por lo tanto W (Ker (W  Lg))  Ker(W  Lg), y as´ı Ker(W  Lg) 6 Y= W

6) Ejercicio. µ

¶ 1 2 Ejercicio 204 Sea D = 5 P2×2 (R) consideremos el operador D · 0 2 2 2 R $ R . Verifique que Ker(D · ) D· R2 y que Im(D · ) D· R2 .

:

Ejercicio 205 H´aganse las inducciones del inciso 3) del Teorema anterior. Ejercicio 206 Demu´estrese el inciso 6) del Teorema anterior. Y Ejercicio 207 En Y = S4 (R) considere Z = L ({w> w3 }) = Encuentre KZ =

Ejercicio 208 En Y = F([0> 1]), el espacio de las funciones reales continuas definidas en [0> 1], considere el subespacio Z = L {sen R(w) > cos (w)} = Muestre que para todo w Y > donde T = 0 es el operador integral. polinomio i (w) 5 R [w] > i (T ) 5 KZ hn o i Notaci´ on 15 1. Denotemos por W 0 > Y el conjunto de los subespacios W invariantes de I Y= 2. Denotemos por W [Z> Y ] el conjunto de los subespacios W invariantes de Y que incluyen a Z= Al usar esta notaci´on estamos suponiendo que Z 6 Y> si no fuera el caso usamos

W

(Z> Y ] =

W

Teorema 109 Si {Z }M[ es una familia de subespacios W invariantes de Y> entonces _ {Z }M[ es un subespacio W invariante de Y= Demostraci´ on. Como _ {Z }M[ 6 Y> basta demostrar que ¡ ¢ W _ {Z }M[  _ {Z }M[ = Sea { 5 _ {Z }M[ = Entonces { 5 Z > ; 5 [= Por lo tanto W ({) 5 Z > ; 5 [= Por lo tanto W ({) 5 _ {Z }M[ =

9.2. SUBESPACIOS T-C´ICLICOS

289 W

En vista del Teorema anterior, dado un subconjunto V  Y y un operador I Y $I Y> existe el subespacio W invariante generado por V= Denotaremos este espacio por LW (V) = ½ ¾ LW (V) = _ Z 6 Y | V 6 Z = W

Es claro que LW (V) es el menor subespacio W invariante que incluye a V= Teorema P 110 Si {Z }M[ es una familia de subespacios W invariantes de Y> entonces {Z }M[ es un subespacio W invariante de Y= Demostraci´ on. Si { = {1 + {2 + === + {q con {l 5 Zl , entonces W ({) = W ({1 ) + W ({2 ) + === + W ({q ) 5 Z1 + === + Zq > pues W ({l ) 5 Zl =

9.2.

Subespacios T-c´ıclicos

Definici´ on 112 Se define el subespacio W c´ıclico generado por { como LW ({)> W donde { 5 Y y Y $ Y es lineal. Observaci´ on 86 LW ({) = L ({{> W ({) > W 2 ({) > ===}) = {i (W ) ({) | i 5 I [w]} = Demostraci´ on. LW ({)  L ({{> W ({) > W 2 ({) > ===}) : Para esto, basta demostrar que L ({{> W ({) > W 2 ({) > ===}) es un subespacio W invariante. En efecto, tomemos una combinaci´on lineal de © ª {> W ({) > W 2 ({) > === > n X fl W l ({) > l=1

aplicando W obtenemos n X ¡© ª¢ fl W l+1 ({) 5 L {> W ({) > W 2 ({) > === = l=1

L ({{> W ({) > W 2 ({) > ===})  {i (W ) ({) | i 5 I [w]} :

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

290

Como arriba, un elemento de L ({{> W ({) > W 2 ({) > ===}) es de la forma n X fl W l ({) > l=1

es claro que esto es

Ãà n ! ! X l fl w (W ) ({) > l=1

con

à n ! X l fl w = f0 w0 + f1 w1 + === + fn wn 5 I [w] = l=1

{i (W ) ({) | i 5 I [w]}  LW ({) : Para esto basta notar que como { 5 LW ({) 6 Y> entonces todos los elementos de W

la sucesi´on

{> W ({) > W 2 ({) > ===> W n ({) > === pertenecen a LW ({)= Tambi´en dada cualquier conjunto finito de escalares f0 > f1 > ===> fn f0{> f1 W ({) > ===> fn W n ({) 5 LW ({) y tambi´en f0{ + f1 W ({) + === + fn W n ({) 5 LW ({)= De aqu´ı debe ser claro que i (W ) ({) 5 LW ({)> ;i(w) 5 I [w] = ¢ ¡ Lema 19 Z 6 Y , (Z 6 Y y i (W )|Z = i W|Z )= W

i (W )

Demostraci´ on. Por el Teorema 107 se tiene que Z 6 Y , Z 6 Y= W

Ahora, el diagrama conmutativo Y 6 lqf=

Z

W

-

Y 6

=

lqf=

W|Z

-

Z

i (W )

9.2. SUBESPACIOS T-C´ICLICOS

291

se puede componer consigo mismo para producir el diagrama conmutativo Y

W

-

6

-

6

lqf=

Z

W

Y

6

lqf= W|Z

Y lqf=

W|Z

-

- Z Z ¡ ¢2 = W|Z = Por inducci´on podemos demostrar

de donde podemos observar que (W 2 )|Z ¡ ¢ ¢n ¡ que W n |Z = W|Z > ;n 5 N. Y Ahora, fn · W n 5 KZ as´ı que Z 6 Y= Es f´acil ver que fn ·W n

¡ ¡ ¢ ¢n fn · W n |Z = fn · W|Z = Y Como f0 · Lg> f1 · W 1 > === fn · W n 5 KZ , entonces Z es ¢ ¡ f0 · Lg + f1 · W 1 + === + fn · W n  invariante

y es claro que

¡ ¢ f0 · Lg + f1 · W 1 + === + fn · W n |Z = ³ ¢ ´ ¡ = (f0 · Lg)|Z + (f1 · W )|Z + === + fn · W n |Z =

Teorema 111 Z 6 Y , W|Z (w) | W (w) = W

¢ ¡ ¢ ¡ Demostraci´ on. W (w) W|Z = W W|Z = W (W )|Z = ˆ0|Z = Por definici´on de polinomio m´ınimo, tenemos que W (w) 5 I [w] W|Z (w) = Teorema 112 Si W :I Y $I Y es n un operador linealo en un espacio de dimensi´on finita q, entonces W (w) = p=f=p= W|L ({) (w) | { 5 Y = W

Demostraci´ on. Por el Teorema anterior, W|L ({) (w) | W (w) = Por lo tanto W n o p=f=p= W|L ({) (w) | { 5 Y | W (w) = W

Por otra parte si hacemos n p (w) =: p=f=p= W|L

W

(w) | { 5 Y ( {)

o

>

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

292

entonces ;{ 5 Y> tenemos que W|L

{) W (

(w) | p (w) > por lo que

k (w) W|L para alg´ un k (w) 5 I [w] > as´ı que ³ p (W ) ({) = k (W )  W|L

{) W (

{) W (

(w) = p (w) >

´ ³³ (W ) ({) = k (W ) W|L

{) W (

´ ´ (W ) ({) = 0=

Entonces W (w) | p (W ) = Por lo tanto W (w) = p (W ) = Ejercicio 209 Demuestre que Z 6 Y si y s´olo si Z = W

9.3.

P

{LW ({) | { 5 Z } =

Polinomio caracter´ıstico y polinomio m´ınimo

Teorema 113 Si Y = LW ({{}) con dim (Y ) = q ? 4> entonces W (w) = ±"W (w) = Demostraci´ on. Es una consecuencia de las hip´otesis que © ª  = {> W ({) > ===> W q31 ({) es una base de I Y : Se tiene que

ª © n W ({) | n 5 N ¡ ¢ genera Y . Notemos que si W n ({) 5 L {> W ({) > ===> W n31 ({) entonces ¡ ¢ {W q ({) | q 5 N}  L {> W ({) > ===> W n31 ({) © ª y as´ı {> W ({) > ===> W n31 ({) genera I Y= Por lo tanto n  q= Tomemos ahora © ¡ ¢ª c = men n 5 N |W n ({) 5 L {> W ({) > ===> W n31 ({) = c  q=

9.3. POLINOMIO CARACTER´ISTICO Y POLINOMIO

M´INIMO

293

© ª Tomemos {> W ({) > ===> W c31 ({) > por la manera en que escogimos c en la lista anterior ning´ un vector es combinaci´on lineal de los anteriores, por lo que © ª {> W ({) > ===> W c31 ({) es linealmente independiente. Por lo tanto c 6 q= As´ı que c = q y por lo tanto © ª  = {> W ({) > ===> W q31 ({) es una base para I Y . Adem´as

3

4

0 E . . . . 1 E [W ] = Eh2 ..h3 .. · · · ..hq .. .. C .

F F F D

q31 donde W q ({) = 0{ + 1 W ({) + === + q31 W q31 ({) = Calculemos el polinomio caracter´ıstico: 3 w 0 E 1 w E E 0 1 E "W (w) = det E 0 0 · · · · · · · · · · · · E E .. .. C . . 0 0

0 0 0 .. .

0 1 2 .. .

w q32 1 q31  w

4 F F F F F F F D

desarrollando el determinante 3 w E 1 E E "W (w) = w det E 0 E .. C .

respecto al primer rengl´on tenemos 4 1 0 0 F w 0 2 F ¡ ¢ F . . 1 · · · · · · · · · .. .. F + 1q+1 0 > F .. . w q32 D 1 q31  w 0 0

por inducci´on, ¡ ¢¢ ¡ ¢ ¡ "W (w) = w (1)q31 wq31  q31 wq32  ===  2 w  1 + 1q+1 0 =

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

294

¡ ¢ = (1)q wq  q31 wq31  ===  2 w2  1 w  0 = As´ı que ¡ ¢ "W (w) (W ) = (1)q W q  q31 W q31  ===  2 W 2  1 W  0 calculando ¡ ¢en { : "W (W ) ({) = ¢ ¡ (1)q W q ({)  q31 W q31 ({)  ===  2 W 2 ({)  1 W ({)  0 ({) = 0= Por lo tanto W (w) | "W (w) = Supongamos ahora que W (w) = e0 + e1 w + === + wp > entonces 0 = ˆ0 ({) = W (W ) ({) = (e0 + e1 W + === + W p ) ({) > de donde tenemos que e0 ({) + e1 W ({) + === + ep31 W p31 ({) = W p ({) > entonces p  q= ¡ ¢ Por lo tanto grad(W (w)) = p  q = grad "W (w) = Por otra parte, W (w) | "W (w) como vimos arriba, as´ı que p 6 q= Por lo tanto W (w) y "W (w) tienen el mismo grado y s´olo pueden diferir en el signo, es decir W (w) = ±"W (w) = Resta comprobar la base de la inducci´on de que ¡ ¢ "W (w) = (1)q wq  q31 wq31  ===  2 w2  1 w  0 > si q = 1> entonces Y = L ({) y W ({) = 0{> luego  = {{} > [W ] = (0 ) y "W (w) = 0  w = (1)1 (w  0 ) = Ejercicio 210 Demuestre el rec´ıproco del Teorema anterior. Ejemplo 125 Sea

2 R2 µR ¶ $ µ ¶ d d + 2e = 7$ e 2d + e ¶ µ ¶ µ 1 1 , as´ı que = Entonces W 2 0 ¶¾¶ µ½µ ¶ µ µ½µ ¶¾¶ 1 1 1 = R2 = > LW =L 2 0 0

9.3. POLINOMIO CARACTER´ISTICO Y POLINOMIO Respecto a la base

½µ = µ

la matriz de W es [W ] =

0 5 1 2

¶

1 0

M´INIMO

295

¶¾ ¶ µ 1 > > 2

= Con polinomio caracter´ıstico

"W (w) = w (2  w) + 5 = w2  2w + 5= ¶2 µ ¶ µ 0 5 5 10 Adem´as = 1 2 2 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 0 5 5 10 0 0 5 2 + = = 0 1 1 2 2 1 0 0 De donde W (w) | w2  2w + 5= Adem´as w2  2w + 5, es irreducible en R [w] pues sus ra´ıces son: 1 + 2l y 1  2l (w  1  2l) (w  1 + 2l) = +w2  2w + 5= Por lo tanto W (w) = "W (w) = Ejercicio 211 Suponga que le consta que ¶ ¶µ ¶ µ ¶µ µ { | { | 0 2 0 2 = } z } z 1 2 1 2 µ ¶ µ ¶ { | { }2 / = = } z } { + 2} ¶ µ 0 2 en 1. Muestre que hay 25 matrices que conmutan con 1 2 P2×2 (Z5 )= 2. De ´estas, ¿cu´ antas son invertibles? 3. ¿Cu´antas matrices invertibles hay en P2×2 (Z5 )? µ ¶ ¶ µ 0 2 0 2 31 4. S S =T T31 / 1 2 1 2 µ ¶ 0 2 = / T31 S conmuta con 1 2 µ 5. ¿Cu´antas matrices en P2×2 (Z5 ) son similares a

0 2 1 2

¶ ?

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

296

Ejercicio 212 ¿Cu´ antas matrices hay en P2×2 (Z5 ) no diagonalizables, pero que tienen valores propios? Sugerencia. Notar que D no puede tener dos valores propios distintos si no es diagonalizable, entonces "D (w) = (w  )2 = D (w) = Ejercicio 213 ¿Cu´ antas matrices hay en P2×2 (Z5 ) que no sean diagonalizables, porque no tener valores propios? Sugerencia. Notar que w2 + ew + f no tiene ra´ıces en Z5 / e2 + f 5 {2> 3} = As´ı que hay 10 polinomios m´onicos de grado 2 sin ra´ıces en Z5 = Ejercicio 214 ¿Qu´e hay m´as en P2×2 (Z5 ) > matrices diagonalizables o matrices no diagonalizables?

9.4.

El Teorema de Cayley-Hamilton

Teorema 114 (Hamilton-Cayley) Si W 5 KrpI (Y> Y ) y dim (Y ) = q ? 4> entonces "W (w) (W ) = ˆ0 : Y $ Y= Equivalentemente: W (w) | "W (w) = Demostraci´ on. Recordemos los siguientes resultados que ya demostramos. n o 1. W (w) = p=f=p= W|L {{} (w) | { 5 Y = (Teorema 112). W 2. W|L {{} (w) = ±"W|L {{} (w) (Teorema 113). W W 3. Z 6 Y , "W (w) | "W (w) =(Teorema 105). W

|Z

Sea { 5 Y> entonces W|L {{} (w) = ±"W|L {{} (w) = W W Adem´as LW {{} 6 Y> as´ı que por 3., W

(w) | "W (w) = n o ultiplo com´ un para W|L {{} (w) | { 5 Y = Por lo Por lo tanto, "W (w) es un m´ W tanto W (w) | "W (w) = Digamos que W (w) k (w) = "W (w) > con k (w) 5 I [w] = As´ı que, evaluando en W : W|L

{} W {

(w) = "W|L

{} W {

"W (W ) = W (W )  k (W ) = ˆ0  k (W ) = ˆ0=

9.4. EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON

297

Ejemplo 126 Sea W

S2 (R) $ S2 (R) > i 7$ i + i´ y sea  = {1> w> w2 } la base can´onica de S2 (R) = 3 1 1 [W ] = C 0 1 0 0

Entonces 4 0 2 D> 1

por lo que "W (w) = (1  w)3 =31  3w + 3w42  w3 1 1 0 Escribamos las potencias de C 0 1 2 D : 0 0 1 3 4 3 4 3 4 3 4 1 0 0 1 1 0 1 2 2 1 3 6 C 0 1 0 D>C 0 1 2 D>C 0 1 4 D>C 0 1 6 D> 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 as´ı que 3

4 3 4 3 4 3 4 1 0 0 1 1 0 1 2 2 1 3 6 C 0 1 0 D  3C 0 1 2 D + 3C 0 1 4 D  C 0 1 6 D = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 4 0 0 0 = C 0 0 0 D= 0 0 0 Como LW (w2 ) = L ({w2 > w2 + 2w> w2 + 2w + 2}) y adem´as {w2 > w2 + 2w> w2 + 2w + 2} es l. i. entonces LW (w2 ) = S2 (R) = As´ı que W (w) = "W (w) > por ser S2 (R) un espacio W c´ıclico. Puede uno ver directamente que W (o su matriz) no satisfacen 1  w ni (1  w)2 = 3 4 1 1 0 Ejercicio 215 Mostrar que la matriz C 0 1 2 D no satisface 1  w y no satisface 0 0 1 (1  w)2 = Teorema 115 Si Z 6 Y , W : Y $ Y es diagonalizable, y dim(Y ) = q ? 4> W

entonces W|Z : Z $ Z es diagonalizable.

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

298

Demostraci´ on. W es diagonalizable +, W (w) = (w  1 ) · (w  2 ) · === · (w  n ) > donde 1 > ===> n son los distintos valores propios de W= Ahora, W|Z (w) | W (w), as´ı que W|Z (w) es un producto de factores de grado uno distintos. Como las ra´ıces del polinomio m´ınimo son los valores propios del operador, tenemos que W|Z es diagonalizable.

9.5.

Diagonalizaci´ on simult´ anea

Definici´ on 113 Dos operadores W> X : Y  Y son simult´aneamente diagonalizables, si existe una base  de Y tal que las matrices [W ] y [X] son diagonales. Teorema 116 Sean W> X : Y  Y dos operadores en un espacio de dimensi´on finita q= Supongamos que tanto W como X son diagonalizables. Entonces son equivalentes: 1. W  X = X  W= 2. W y X son simult´ aneamente diagonalizables. Demostraci´ on. 2) , 1) Supongamos que  es una base formada por vectores propios de W y de X= Sea { 5  y digamos que W ({) = {> X ({) = {= Entonces (W  X ) ({) = W (X ({)) = W ({) =  (W ({)) =  ({) > sim´etricamente, (X  W ) ({) = X (W ({)) = X ({) =  (W ({)) =  ({) > de aqu´ı es claro que los operadores W  X y X  W coinciden en la base . Por la propiedad universal de las bases, tenemos que W  X = X  W= 1) , 2) Por inducci´on sobre dim (Y ) = Base. Si dim (Y ) = 1> no hay nada que demostrar, pues Krp (Y> Y ) u Krp (I> I ) u I con

Paso inductivo.

I u Krp (I> I ) = f $ 7 f·

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION

299

Supongamos que dim (Y ) = q A 1> digamos que M M M Y = H1 H2 === Hn > n o donde 0 6= Hl = Ker(W  l LgY ) > l 5 {1> ===> n} = Supongamos que dim (H1 ) ? dim (Y ). H1 6 Y> puesto que W y X conmutan X

adem´as XH1 | es diagonalizable puesto que X es diagonalizable (Teorema 115). Entonces, por hip´otesis de inducci´on, W|H1 y X|H1 son simult´aneamente diagonalizables. Con el mismo argumento, tenemos tambi´en que W|H2 L === L Hn > y X|H2 L === L Hn > son simult´aneamente diagonalizables. Podemos suponer entonces que Y = H> donde H = Ker(W  Lg) = Entonces W =  · y entonces una base de vectores propios de X es tambi´en una base de vectores propios de W= Ejemplo 127 Veremos que 3 4 3 4 1 3 3 4 0 9 C 0 2 1 D , y C 0 8 0 D 0 4 3 0 0 8 son simult´ aneamente diagonalizables. 3 4 1 3 3 El polinomio caracter´ıstico para C 0 2 1 D es 0 4 3 3 4 1  w 3 3 0 2  w 1 D = 2 + 3w  w3 = (2  w) (1  w)2 = det C 0 4 3w Como

33

1 3 ((w  2) (w + 1)) CC 0 2 0 4 3 43 3 3 3 0 3 = C 0 4 1 D C 0 1 0 4 1 0 4 3 4 0 0 0 = C 0 0 0 D> 0 0 0

44 3 1 DD = 3 4 3 1 D= 4

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

300

vemos que el polinomio m´ınimo para esta matriz es (w  2) (w + 1) > por lo que la matriz es diagonalizable. 3 4 4 0 9 El polinomio caracter´ıstico para C 0 8 0 D es 0 0 8 33 44 4  w 0 9 0 8w 0 DD = 256 + 12w2  w3 = (4  w) (8  w)2 > det CC 0 0 8w Ahora,

3

4 3 43 4 4 0 9 0 0 9 12 0 9 ((w + 4) (w  8)) C 0 8 0 D = C 0 12 0 D C 0 0 0 D = 0 0 8 0 0 12 0 0 0 3 4 0 0 0 = C 0 0 0 D> 0 0 0 3 4 4 0 9 De aqu´ı, que C 0 8 0 D es diagonalizable. 0 0 8 Resta ver que ambas matrices conmutan: 3 43 4 3 4 1 3 3 4 0 9 4 24 15 C 0 2 1 D C 0 8 0 D = C 0 16 8 D > 0 4 3 0 0 8 0 32 24 3 43 4 3 4 4 0 9 1 3 3 4 24 15 C 0 8 0 D C 0 2 1 D = C 0 16 8 D = 0 0 8 0 4 3 0 32 24 Una base de vectores propios para la primera matriz se obtiene resolviendo 4 33 4 1 3 3 CC 0 2 1 D  2L3 D { = 0= 0 4 3 4 3 4 3 1 0  34 3 3 3 C 0 4 1 D o an generadas por n C 0 1  14 D, las soluciones est´ 0 0 0 0 4 1 ;3 4< ? 3 @ C 1 D = > = 4

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION

301

33

4 4 1 3 3 CC 0 2 1 D + 1L3 D { = 0= 0 4 3 3

4 3 4 3 0 1 1 1 Do n C 0 0 0 D. Espacio de 44 3 40C 1 D D= > 1 3 1 3 Una base de vectores propios para C 0 2 0 4

0 3 C 0 1 4 30;3 ? 1 LC C 0 = 0

soluciones:

4 3 1 D es 3

;3 4 3 4 3 4< 1 0 @ ? 3 C 1 D>C 0 D>C 1 D > = > 4 0 1 donde el primer vector es un vector propio que corresponde a 2 y los otros dos corresponden al valor propio -1. 3 4 4 0 9 Tomemos la segunda matriz C 0 8 0 D > como 1 0 0 8 3

431 3 3 1 0 C 1 0 1 D C 4 0 1 43 3 0  13 13 C 1 1 1 D C 0 43  13 3 1C

43 4 0 9 0 8 0 DC 0 0 8 43 4 0 9 0 8 0 DC 0 0 8

41 3 3 1 0 0  13 1 0 1 D =C 1 1 4 0 1 0 43

1 3

4

1 D =  13

4 3 1 0 1 0 1 D = 4 0 1 4 3 4 3 1 0 8 0 0 1 0 1 D = : C 0 4 9 D 4 0 1 0 0 8

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

302 3

4 3 4 3 4 3 1 4 0 9 Vemos que C 1 D > C 0 D son vectores propios de C 0 8 0 D : 4 0 0 0 8 3

43 4 3 4 4   0 9 3 0 C 0 8 0 DC 1 D = C 0 D / 0 0 8 4 0 3

4 3 4 24  3 0 /C 8 D=C 0 D/=8 32  4 0 An´alogamente, 3

43 4 3 4 4   0 9 1 0 C 0 8 0 DC 0 D = C 0 D / 0 0 8 0 0 3

4 3 4 4   0 C D = C 0 D /  = 4= 0 0 0 3

4 3 4 0 0 Como vimos, C 1 D no es un vector propio de la segunda matriz, pero C 1 D  1 1 3 4 1  C 0 D s´ı puede serlo: 0 Resolvamos 3 4 33 4 3 44 3 4 4   0 9 0 1 0 C 0 8 0 D CC 1 D   C 0 DD = C 0 D / 0 0 8 1 0 0 3

43 4 3 4 4   0 9  0 C 0 8 0 DC 1 D = C 0 D / 0 0 8 1 0 3 4 3 4 4 +  + 9 0 C D = C 0 D= 8 8 0

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION

303

Entonces  = 8 y 4 +  + 9 = 0 / 12 + 9 = 0, por lo tanto  =  34 > as´ı que 3 4 3 3 4 4 1 0 4 C 1 D  (3@4) C 0 D = C 1 D 1 0 1 3

es un vector propio com´ un para ambas matrices. Por lo tanto, una base de vectores propios comunes a las dos matrices es ;3 4 3 4 3 3 4< 1 ? 3 @ 4 C 1 D>C 0 D>C 1 D = = > 0 4 1 Los valores propios de la primera matriz respecto de los vectores anteriores son: 2> 1> 1 mientras que los de la segunda matriz son 8> 4> 8= Ejercicio 216 Decidir si las siguientes dos matrices son simult´aneamente diagonalizables y de serlo encontrar una base com´ un de vectores propios. 4 3 4 3 4 0 1 3 2 5 1 9 E 2 1 1 3 F E 2 2 1 3 F F E F E C 6 6 3 12 D > C 4 2 0 6 D = 2 0 1 1 2 2 1 6 Ejercicio 217 Decidir si la siguientes dos matrices son simult´aneamente diagonalizables y de serlo encontrar una base com´ un de vectores propios. µ ¶ µ ¶ 1 2 1 1 > = 2 1 1 2

9.5.1.

El centralizador de un operador diagonalizable W

Teorema 117 Sea Y $ Y es un operador lineal en un espacio de dimensi´ on q> entonces

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

304 1.

F (W ) = {X 5 Krp (Y> Y ) | W  X = X  W } es un subespacio vectorial de Krp (Y> Y ) y 2. F (W ) es cerrado bajo la composici´on. 3. F (W ) es un subanillo de Krp (Y> Y ) = Demostraci´ on. 1. b 0 conmuta con W= V> X conmutan con W , (V + X )  W = V  W + X  W = W  V + W  X = W  (V + X) = V conmuta con W , f 5 I , (fV)  W = (f ·  V)  W = f ·  (V  W ) = f ·  (W  V) = = (f ·  W )  V = (W  f · )  V = W  (f ·  V) = W  (fV) = 2. V> X conmutan con W , (V  X)  W = V  (X  W ) = V  (W  X) = (V  W )  X = = (W  V)  X = W  (V  X ) = 3. Basta notar que LgY conmuta con W= Ejercicio 218 Muestre que un operador W : Y $ Y conmuta con f·

Y $ Y> ;f 5 I= Denotemos D (Y ) = {W 5 Krp (Y> Y ) | W es diagonalizable} = Teorema 118 Si W : Y $ Y es un operador lineal diagonalizable en Y de dimensi´on finita, entonces F (W ) _ D (Y ) = {X : Y $ Y | X es simult´aneamente diagonalizable con W } = Demostraci´ on. Se sigue del Teorema 116.

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION

305

Ejercicio 219 Use el Ejemplo 111 para mostrar que para una matriz G 5 Pq×q (I ) diagonal y un polinomio j (w) 5 I [w] > 3

1>1

E E 0 E jE 0 E C 0 0

0 ...

0

0

0

0 l>l

0 0

0 0

0 0 ... 0

0

3

4

j (1>1 )

F E 0 F E F E 0 F=E F E 0 D C q>q

0 0 0 0

0 ...

0

0

0

0

0 j (l>l )

0 0

0 0

0 0

0 0 ... 0

0 j (q>q )

4 F F F F= F D

Teorema 119 Son equivalentes para W> X : Y  Y operadores lineales simult´aneamente diagonalizables en un espacio I Y de dimensi´on finita, con conjuntos de valores propios {1 > ===> n }: y { 1 > ===>  p } 1. ===> n} ³ {1> ===> p} tal que H´ m =

X

Hx

[(x)=m

Donde H = Ker (W  Lg) > H´ = Ker (X  Lg) = Demostraci´ on. 1) ,2) Si W ({) = { entonces j (W ) ({) = j () {> (Ejemplo 111). As´ı que el conjunto de valores propios de j (W ) son  1 = j (1 ) > ===>  p = j (n ) Entonces [ es

[

{1> ===> n} $ {1> ===> p} = m 7$ v si j (m ) =  v Ahora, { 5 Hm , { 5 H´j(m ) > por lo que X

Hx 6 H´j(m ) >

x j(x )=j(m )

(9.1)

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

306 ;m 5 {1> ===> n} = Adem´as 3 Y =

4 X

XE E C j(m )

F X Hx F H´j(m ) = Y= D6

x j(x )=j(m )

j(m )

Como las sumas de arriba son directas, podemos concluir que 4 3 X XE X F ¢ ¡ F = dim (Y ) = E dim (H ) dim H´j(m ) >  x D C j(m )

x j(x )=j(m )

j(m )

por lo que, a la vista de la ecuaci´on 9.1, 3

4

F ¡ ¢ EX dim H´j(m ) = E dim (Hx )F C D= x j(x )=j(m )

2) , 1) [

Supongamos que {1> ===> n} ³ {1> ===> p} es tal que 3 4 E X F Hx F H´ m = E C D > ;m 5 {1> ===> p} = x [(x)=m

Tomemos un polinomio j (w) tal que j (l ) =  [(l) = Entonces W ({) = l{ , j (W ) ({) = j (l ) { =  [(l) · {= Por otra parte, W ({) = l{ , { 5 Hl 6 H´ [(l) > as´ı que X ({) =  [(l) · { = j (W ) ({) = En particular, X y j (W ) coinciden en una base de vectores propios para W> por lo que j (W ) = X=

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION

307

Ejercicio 220 Demuestre que ninguna de las dos matrices en el Ejemplo 127 se puede expresar como un polinomio evaluado en la otra matriz. 4 3 2 0 0 Ejemplo 128 Consideremos las dos matrices reales C 1 32  12 D y 1  12 32 3 4 3 0 0 C 4 1 2 D = 4 2 1 Los valores propios de la primera son las ra´ıces de 4 4 33 2 0 0 3 1 det CC 1 2  2 D  wD = 4  8w + 5w2  w3 = (1  w) (2  w)2 = 1  12 32 ;3 4< 4 4 4 333 2 0 0 ? 0 @ Llamemos H1 = KerCCC 1 32  12 D  1L3 D · D = L C 1 D = = > 1 3 1 4 4 333 1  2 2 4 2 0 0 Llamemos H2 = KerCCC 1 32  12 D  2L3 D · D = 1 3 ;3 4 3 4< 1  2 2 0 ? 1 @ = L C 2 D > C 1 D = = > 0 1 Los valores propios de la segunda son: las ra´ıces de 33 4 4 3 0 0 det CC 4 1 2 D  wD = 9  3w + 5w2  w3 = (1  w) (3  w)2 = 4 2 1 Llamemos ;3 4< 4 4 4 3 0 0 ? 0 @ H´31 = Ker CCC 4 1 2 D + 1L3 D · D = L C 1 D = > 4 2 1 1 333

Llamemos ;3 4 3 4 4< 4 4 3 0 0 0 @ ? 1 H´3 = Ker CCC 4 1 2 D  3L3 D · D = L C 2 D > C 1 D = > = 4 2 1 0 1 333

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

308 Tomemos la funci´on

{1> 2} $ {1> 3} 1 7$ 1 = 2 7$ 3

Tenemos que H´31 = H1 y ;3 4 3 4< 0 @ ? 1 H´3 = L C 2 D > C 1 D = > = 0 1 ;3 4 3 4< 0 @ ? 1 = H2 = L C 2 D > C 1 D = > = 0 1 Entonces debe existir un polinomio j (w) tal que 33 44 3 4 2 0 0 3 0 0 j CC 1 32  12 DD = C 4 1 2 D = 4 2 1 1  12 32 Tomemos un polinomio j (w) tal que j (1) = 1 y tal que j (2) = 3 : 3 (1  w)  (2  w) = 5 + 4w= En efecto.

3 3

2 0 C4 C 1 3 2 1  12 3 4 3 8 0 0 = C 4 6 2 D  5 C 4 2 6

4 4 0  12 D  5L3 D = 3 2

4 3 4 1 0 0 3 0 0 0 1 0 D = C 4 1 2 D = 0 0 1 4 2 1

Ejercicio 221 Encuentre un polinomio k (w) tal que 4 3 4 3 3 0 0 2 0 0 k C 4 1 2 D = C 1 32  12 D = 1  12 32 4 2 1 Ejercicio 222 Sean D> E 5 Pq×q (I ) > muestre que si E tiene m´as valores propios que D no puede haber un polinomio k (w) 5 I [w] tal que k (D) = E=

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION

309

Ejercicio 223 Muestre dos matrices diagonales D> E 5 Pq×q (I ), con el mismo n´ umero de valores propios tal que ninguna de ellas sea un polinomio i (w) 5 I [w] evaluado en la otra. ¶ µ d e > entonces Ejercicio 224 Sea D = f g µµ ¶¶ dw e "D (w) = det = w2  (d + g) w + dg  ef= f gw tiene dos ra´ıces distintas en Z5 sii (d2  2dg + g2 + 4ef) 5 {1> 4} = Ejercicio 225 ¿Cu´ antas matrices diagonalizables hay en P2×2 (Z5 )? Sugerencia: dos matrices similares tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. Ejercicio 226 3 4 Encuentre todas las matrices en P3×3 (Z5 ) que conmutan con 3 0 0 C 0 1 0 D= 0 0 1 Ejercicio 227 4 Cuente todas las matrices diagonalizables en P3×3 (Z5 ) que conmutan 3 3 0 0 con C 0 1 0 D. 0 0 1 Ejercicio 2283Encuentre4todas las matrices diagonalizables en P3×3 (Z5 ) que son 3 0 0 de la forma k C 0 1 0 D > para alg´ un polinomio k (w) 5 I [w] = 0 0 1 Teorema 120 Sea {W1 > ===> Wn } un conjunto finito de operadores diagonalizables que aneamente diagonalizables. conmutan dos a dos, entonces W1 > ===> Wn son simult´ Demostraci´ on. Por inducci´on sobre n= Base. Si n = 1 qr hay nada que demostrar. n=2 Supongamos que M Hl>2 === Y = Hl>1 donde l>1 > l>2 > === son los distintos valores propios de Wl .

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

310

Como W2 conmuta con W1 > entonces H1>m $ Y (Teorema 108). W2

Por el Teorema 115, W2|H

1>m

H1>m $ H1>m es diagonalizable. As´ı que H1>m =

X¡ ¢ H1>m _ H2>n > n

de donde tenemos que Y =

X¡ ¢ H1>m _ H2>n >

(9.2)

m>n

esta suma es directa (ejercicio). As´ı es claro que si tomamos una base  m>n de H1>m _ H2>n > entonces ^  m>n

m>n

es una base de vectores propios de W1 y de W2 = Paso inductivo. Supongamos que n A 2 y que W1 > ===> Wn31 son simult´aneamente diagonalizables, digamos que los vectores propios de Wm son m>1 > m>2 > ===> m>pm > entonces

³ ´ H1>l1 _ H2>l2 _ === _ Hn31>ln31 =

M

Y =

(l1 >l2 >===>ln31 )

Fij´emonos en un sumando directo de la ecuaci´on arriba, por ejemplo en Z = H1>1 _ H2>1 _ === _ Hn31>1 = Este sumando es Wn  invariante por ser una intersecci´on de subespacios Wn  invariantes. Como Wn|Z es diagonalizable, entonces M Z= (Z _ Hn >ln ) = ln

, Y =

M

³ ´ H1>l1 _ H2>l2 _ === _ Hn31>ln31 _ Hn>ln =

(l1 >l2 >===>ln31 >ln )

Es decir W1 > ===> Wn son simult´aneamente diagonalizables.

´ SIMULTANEA ´ 9.5. DIAGONALIZACION Ejercicio 229 Demostrar que la suma en 9.2 es directa.

311

312

CAP´ITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

Cap´ıtulo 10

Formas can´ onicas 10.1.

Lemas b´ asicos de descomposici´ on

Teorema 121 Sea W 5 KrpI (Y> Y ) y W (w) = i (w)j(w) con m.c.d. {i(w)> j(w)} = 1. Entonces Y = Ker (i (W ))

L

Ker (j (W )) =

Demostraci´ on. 1 = k (w) i (w) + n (w) j (w) > para algunos k(w)> n(w) 5 I [w], entonces LgY = k (W ) i (W ) + n (W ) j (W ) > entonces, ;y 5I Y> y = (i (W ) k (W )) (y) + (j (W ) n (W )) (y) > notemos que el primer sumando pertenece a Ker(j (W )) : j (W ) ((i (W ) k (W )) (y )) = (j (W )  i (W )) [k (W ) (y)] = = W (W ) [k (W ) (y)] = ˆ0 [k (W ) (y)] = 0= An´alogamente, (j (W ) n (W )) (y) 5 Ker(i (W )) = Por lo tanto Y = Ker (i (W )) + Ker (j (W )) = n o Resta ver que Ker(i (W )) _ Ker(j (W )) = 0 = Como LgY = k (W ) i (W ) + n (W ) j (W ) > entonces n o { 5 Ker (i (W )) _ Ker (j (W )) , { 5 Ker (LgY ) = 0 = 313

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

314 Por lo tanto

n o Ker (i (W )) _ Ker (j (W )) = 0 =

Lema 20 Sea W 5 KrpI (Y> Y ) y W (w) = sn11 (w) · sn22 (w) · === · snv v (w) > con sl (w) irreducible m´ onico para cada l 5 {1> ===> v} > y sl (w) 6= sm (w) si l 6= m= Sea ¢ ¡ Z = Ker sn22 (W )  ===  snv v (W ) = entonces 1. Z  Y= W

2. W |Z (w) = sn22 (w) · === · snv v (w) = Demostraci´ on. 1. Sea sigue del Teorema 108. 2. Como un operador se anula en su n´ ucleo, entonces ¡ ¢ sn22 (W ) · === · snv v (W ) = sn22 (w) · === · snv v (w) (W ) se anula en Z= Por lo tanto W |Z (w) | sn22 (w) · === · snv v (w) = Por otra parte, se sigue del Teorema anterior que ¢L ¡ Z> Y = Ker sn11 (W ) as´ı que es claro que ³ ´ sn11 (W )  W |Z (W ) = sn11 (w) · W |Z (w) (W ) se anula en Y= Por lo tanto, W (w) = sn11 (w) · sn22 (w) · === · snv v (w) | sn11 (w) · W |Z (w) > as´ı que sn22 (w) · === · snv v (w) | W |Z (w) =

´ ´ 10.1. LEMAS BASICOS DE DESCOMPOSICION

315

Teorema 122 Sea W 5 KrpI (Y> Y ) y W (w) = sn11 (w) · sn22 (w) · === · snv v (w) > con sl (w) irreducible m´ onico para cada l 5 {1> ===> v} > y sl (w) 6= sm (w) si l 6= m= Entonces ¢L ¡ ¢L L ¡ ¢ ¡ Ker sn22 (W ) === Ker snv v (W ) = Y = Ker sn11 (W ) © ª Demostraci´ on. p=f=g= sn11 (w) > sn22 (w) > ===> snv v (w) = 1= Entonces, por el Teorema anterior, ¡ ¢L¡ ¡ ¢¢ Y = Ker sn11 (W ) Ker sn22 (W )  ===  snv v (W ) = ¡ ¢ Sea Z =Ker sn22 (W )  ===  snv v (W ) > entonces con un razonamiento inductivo ( ya que el polinomio m´ınimo de W|Z es sn22 (w) · === · snv v (w) (Lema anterior), ¢L L ¡ ¢ ¡ === Ker snv v (W ) = Z = Ker sn22 (W ) As´ı, finalmente, ¢L ¡ ¢L L ¡ ¢ ¡ Ker sn22 (W ) === Ker snv v (W ) = Y = Ker sn11 (W ) (Obs´ervese que la base de la inducci´on, v = 1 es trivial y para v = 2 es inmediato del Teorema anterior). Lema 21 Si W (w) = s (w) es irreducible | dim(Y ) = q> entonces Y =

v M LW ({l ) = l=1

n o n o Demostraci´ on. Sea y 5 Y \ 0 > entonces 0 © LW (y ) 6 Y> por lo que W

1 6= W|L

y) W (

(w) | W (w) = s (w) =

As´ı que s (w) = W|L (y) (w) = ±yW|L W (y) (w) (Teorema 113). W Ahora, dim (LW (y)) = grad (s (w)) = Si LW (y ) © Y> tomemos y1 5 Y \LW (y ) > entonces LW (y) + LW (y1 ) = LW (y)

L

LW (y1 ) >

 ser´ıan todos de pues si 0 6= z  5 LW (y) _ LW (y1 ) > entonces LW (y) > LW (y1 ) > LW (z)   LW (y ) > LW (z)   LW (y1 ), entonces dimensi´on grad(s (w)) y como LW (z)  = LW (y) > u(y1 5 Y \LW (y))= LW (y1 ) = LW (z) 

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

316 Si LW (y )

L

LW (y1 ) © Y> tomemos y2 5 Y \ (LW (y)

(LW (y)

L

LW (y1 )) + LW (y2 ) = (LW (y )

L

L

LW (y1 )) > entonces

LW (y1 ))

L

LW (y2 )

L pues si 0 6= z  5 (LW (yL ) LW (y1 )) _ LW (y2 ) > entonces LW (z)  = LW (y2 ) > y entonces y2 5 LW (y2 ) 6 LW (y ) LW (y1 ) u= 

Continuando de esta manera encontramos una sucesi´on de subespacios LW (y ) > LW (y1 ) > LW (y2 ) > ===> LW (yv31 ) tales que LW (y)

L

LW (y1 )

L

LW (y2 )

L

===

L

LW (yv31 ) = Y

(La sucesi´on termina pues dim (Y ) = q ? 4). Adem´as dim (Y ) = v · grad (s (w)) > es decir que grad(s (w)) | dim (Y ) =

10.2.

La matriz compa˜ nera de un polinomio

Definici´ on 114 Sea i (w) = d0 + d1 w + d2 w2 + === + dq31 wq31 + wq un polinomio m´onico de grado q> definamos la matriz compa˜ nera de i como 4 3 0 0 · · · 0 0 d0 E 1 0 · · · 0 0 d1 F F E E 0 1 · · · 0 0 d2 F F E Fi = E .. .. . . .. .. F= .. F E . . . . . . F E C 0 0 · · · 1 0 dq32 D 0 0 · · · 0 1 dq31 Teorema 123 "W (Fi ) = ±i (w) = Demostraci´ on. V´ease la demostraci´on del Teorema 113

10.3. MATRICES DIAGONALES POR BLOQUES

317

3

4 0 0 1 Ejemplo 129 C 1 0 2 D tiene polinomio caracter´ıstico 0 1 3  (1 + 2w + 3w2 + w3 ) : 3 4 3 4 w 0 1 0 0 1 2 D = det C 1 + 2w w 2 D = det C 1 w 0 1 3  w 3w + w2 1 3  w ¶ µ ¡ ¢ 1 + 2w w =  1 + 2w + 3w2 + w3 = = 1 det 2 1 3w + w nera no Ejemplo 130 Como w2 + 1 es irreducible en R [w] > entonces su matriz compa˜ es diagonalizable, es decir, µ ¶ 0 1 1 0 no es diagonalizable. Por la misma raz´on, la matriz compa˜ nera de ¡2 ¢ w + 1 (w  2) (w) = w4  2w3 + w2  2w no es diagonalizable:

3

0 E 1 E C 0 0

10.3.

4 0 0 0 2 F F= 0 1 D 1 2

0 0 1 0

Matrices diagonales por bloques µ

Teorema 124 Si D =

E 0 0 F

¶ entonces D (w) = [E (w); F (w)] =

Demostraci´ on.

µ p

D =

Ep 0 0 Fp

¶ >

para toda p 5 N y tambi´en, µ ;fp 5 I> fp Dp =

fp E p 0 0 fp F p

¶ =

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

318 Entonces para

i(w) = f0 + f1 w + === + fp wp > tenemos que i (D) = f0 L + f1 D + === + fp Dp y que

µ i (D) =

i (E) 0 0 i (F)

¶ =

Entonces si i (D) = 0> tambi´en i (E) = 0 y i (F) = 0= Por lo tanto E (w) | i (w) y F (w) | i(w)= Por lo tanto, [E (w) ; F (w)] | i (w)= En particular, [E (w) ; F (w)] | D (w) = Por otra parte denotemos k(w) = [E (w) ; F (w)] > entonces k(w) = E (w) n1 (w) > k(w) = F (w) n2 (w) > entonces k(E) = n1 (E) E (E) = 0 y k(F) = n2 (F) F (F) = 0= Por lo tanto 3 3

4 3 0 ··· 0 0 ··· E E .. . . .. F E .. . . E C . . . D C . . ¶ E µ E 0 · · · 0 0 · · · k (E) 0 3 4 3 =E k(D) = E 0 k (F) 0 ··· 0 0 ··· E E E .. . . .. F E .. . . C C . . . D C . . 0 ··· 0 0 ···

4 4 0 .. F F . D F F 0 4 F F= F 0 F .. F F . D D 0

10.3. MATRICES DIAGONALES POR BLOQUES

319

Entonces D (w) | k(w) = [E (w) ; F (w)] = Por lo tanto D (w) = [E (w) ; F (w)] = 4 ¶ µ 0 0 4 0 3 . > E = C 1 0 8 D = Ejemplo 131 D = 1 4 0 1 5 El polinomio m´ınimo para E es: 4 + 8[  5[ 2 + [ 3 > el polinomio m´ınimo para F es: 3  4[ + [ 2 . 4 3 0 0 4 0 0 E 1 0 8 0 0 F F E F D := E E 0 1 5 0 0 F> C 0 0 0 0 3 D 0 0 0 1 4 ; < ? 1 @ 2 = 4 + 8[  5[ 2 + [ 3 , tiene ra´ıces: = > ½ ¾2 3 Las ra´ıces de 3  4[ + [ 2 , son = 1 por lo tanto, ª¢ ¡© p=f=p= 4 + 8[  5[ 2 + [ 3 > 3  4[ + [ 2 = ([  1)([  2)2 ([  3)> µ

as´ı que el polinomio En efecto, 3 0 E 1 E (D  1) = (E E 0 C 0 0 3 E E (D  2) = (E E C 2

E 0 0 F

3

¶

m´ınimo para D debe ser ([  1)([  2)2 ([  3)=

0 1 0 0 0

0 4 0 0 8 0 1 5 0 0 0 0 0 0 1

4

3

1 0 4 0 F E 1 1 8 0 F E F  1 · Lg5 ) = E 0 1 4 0 F E D C 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 0 4 4 4 0 E 4 4 4 0 0 F F E 2 E 0 F 1 1 0 F  2 · Lg5 ) = E 1 D C 0 3 0 0 1 4 0 0 0 0

0 4 0 0 0 8 0 0 1 5 0 0 0 0 0 3 0 0 1 4

0 0 0 3 3 0 0 0 0 1

4 F F F F D 4 F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

320 3 E E (D  3) = (E E C Ahora,

3 E E E E C

3 E E E E C

0 0 0 0 0

10.4.

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 4 0 0 0 8 0 0 1 5 0 0 0 0 0 3 0 0 1 4

4

3

F E F E F  3 · Lg5 ) = E F E D C

3 0 4 0 0 1 3 8 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 1 1

4 43 4 4 4 0 0 1 0 4 0 0 F E 1 1 8 0 0 F F E 4 4 4 0 0 F E F 1 1 0 0 F 0 1 4 0 0 FE 1 F= 0 0 1 0 D 0 0 0 1 3 D C 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 4 3 43 0 0 0 3 0 4 0 0 0 0 F E 0 0 0 E 1 3 8 0 0 0 0 F F E FE E E 1 2 0 0 F 0 0 F F=E 0 0 0 FE 0 C 0 0 0 D C D 0 0 0 3 3 1 3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 F F F F D

4 F F F F D

El p-zoclo W

Definici´ on 115 Sea Y $ Y un operador lineal en un espacio vectorial de dimensi´on finita, sea s (w) 5 I [w] > un polinomio irreducible, entonces s  zoc(Y ) =: Ker (s (W )) =

Observaci´ on 87 szoc(Y ) 6 Y= W

Demostraci´ on. Esto se sigue de que W y s (W ) conmutan (ver el Teorema 108). Lema 22 Sea {Z }M[ , una familia en X M[

entonces

W

Z =

h i {0}> Y tal que M

Z >

M[

M M s  zoc( Z ) = (s  zoc(Z )) =

10.4. EL P-ZOCLO

321

Demostraci´ on. Primero, s  zoc(Z )  Z y

X

s  zoc(Z ) 

M[\{}

X

(Z )>

M[\{}

por lo que X

s  zoc(Z ) _ (

M[\{}

y por lo tanto

X

y¯ 5 s  zoc(

s  zoc(Z ) =

M

n o (Z ) = 0

M[\{}

M[

)

X

{s  zoc(Z )})  Z _ M

s  zoc(Z )=

M[

Z ) , y¯ = z ¯1 + === + z ¯n con z ¯l 5 Zl

M[

y 0 = s(W )(¯ y) = s(W )(z ¯1 ) + === + s(W )(z ¯n ) 5 X M 5 Z = Z  , s(W (z ¯l ) = 0 , M[

M[

,z ¯l 5 s  zoc(Zl ) , y¯ 5

X

s  zoc(Z ) =

M[

M

s  zoc(Z )=

M[

) y¯ 5

M

s  zoc(Z ) , y¯ = z ¯d1 + === + z ¯n con z ¯l 5 s  zoc(Zl ) ,

M[

, s(W )(z ¯l ) = 0 , , s(W )(¯ y) = 0 , M Z , , y¯ 5 Ker(s(W )) y y¯ 5 M[

, y¯ 5 s  zoc(

M

M[

Z )=

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

322

Teorema 125 Sea Y = LW ({¯ {}) y (w) =: W (w), sea |¯ = k(W )(¯ {) con k (w) 5 I [w] = {})), entonces (i. e. |¯ 5 LW ({¯  ˆ (w) =: W|L

|}) W ({¯

(w) =

(w) = ((w); k(w))

Demostraci´ on. µ ¶ µ ¶ (w) (w) ( ) (W ) (¯ |) = ( ) (W ) (k(W ) (¯ {)) = ((w); k(w)) ((w); k(w)) µ ¶ µ ¶ (w) k(w) = · k(w) (W )(¯ {) = · (w) (W )(¯ {) = ((w); k(w)) ((w); k(w)) ¶ ¶ µµ ¶ ¶ µµ k(w) k(w) ˆ (W )  (W ) (¯ {) = (W )  0 (¯ {) = ¯0 = ((w); k(w)) ((w); k(w)) Por lo tanto,

µµ |¯ 5 Ker

¶ ¶ (w) (W ) 6W Y ((w); k(w))

entonces

µ LW ({¯ | })  N h¯u

y

µ

¶ (w) (W )> ((w); k(w))

¶ (w) (W|LW ({¯|}) ) = ˆ0|LW ({¯|}) ; ((w); k(w))

por lo que  ˆ (w)|

(w) = ((w); k(w))

Ahora, 0 =  ˆ (w)(W )(¯ |) =  ˆ (W )(k(W )(¯ {)) = (ˆ (w) · k(w))(W )(¯ {)> por lo que {¯ 5 Ker((ˆ (W ) · k(W )) 6W Y y entonces {})  Ker(ˆ (w) · k(w))(W ) Y = LW ({¯ con lo que (ˆ (w)k(w))(W ) = ˆ0= Entonces (w) |  ˆ (w)k(w)

10.4. EL P-ZOCLO

323

y por lo tanto (w) k(w) | ˆ (w) ((w); k(w)) ((w); k(w)) pero

µ

(w) k(w) ; ((w); k(w)) ((w); k(w))

¶ = 1>

por lo tanto (w) | ˆ (w)= ((w); k(w)) Finalmente conclu´ımos que (w) = ˆ (w)= ((w); k(w))

Ejemplo 132 De que si Y = LW ({), con polinomio m´ınimo, entonces para cualquier otro polinomio k(w), tenemos que W|L

{)) W (k(W )(

(w) =

W (w) = (W (w) ; k(w))

Tomemos el polinomio ¢ ¡ (w  1) (w  2) w2 + w + 1 5 R [w] > cuya matriz compa˜ nera es 3

0 E 1 D=E C 0 0

0 0 1 0

4 0 2 0 1 F F= 0 0 D 1 2

Entonces R4 = LW (h1 ) = Estamos tomando D· 3<

R4 ¡ 2 ¢ W + W + 1 · Lg (h1 ) = W : R4

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

324 33

0 EE 1 E E = CC 0 0

42 3 0 0 0 2 0 2 E 0 1 F F +E 1 0 0 1 C 0 1 0 0 0 0 D 0 0 1 2 1 2 4 3 3 1 0 2 6 E 1 1 1 E 1 F F (h ) = E =E C 1 1 1 C 1 D 1 0 1 3 7 0 0 1 0

4

4

F F F + L4 F (h1 ) = D D 4 1 1 F F= 1 D 0

Lo que debemos esperar es que este vector genere un espacio W -c´ıclico tal que la restricci´on de W a este subespacio tenga polinomio m´ınimo (w  1) (w  2), veamos que en efecto es as´ı: ;3 4 3 4 3 4 3 4 < 1 1 1 1 A A A A ?E F E 1 F E 1 F E F @ 1 2E 1 F E F E F E F LW C D = L C D > D C D > D C D > === = 1 1 1 1 A A A A = > 0 0 0 0 y

3

0 E 1 =E C 0 0 Ahora,

0 0 1 0

43 0 0 2 E 1 0 1 F FE 0 0 DC 1 1 1 2

;3 4 3 0 1 A A ?E F E 1 E F>E 1 C 1 D C 1 A A = 1 0

4 2 F E 1 F F F=E D C 1 D= 3 4

3

4< 2 A A F E 1 F@ F F>E D C 1 DA A > 3 4 3

ya es un conjunto linealmente dependiente. Expresemos el tercer vector como combinaci´on lineal de los anteriores, resolviendo el sistema con matriz 4 3 1 0 2 E 1 1 1 F F E C 1 1 1 D> 0 1 3 obtenemos

3

1 E 0 E C 0 0

4 0 2 1 3 F F= 0 0 D 0 0

10.4. EL P-ZOCLO As´ı que

325 3 4 1 E 1 F F) + 3W (E C 1 D 0

3 4 1 E E 1 F E F W 2 (E C 1 D) = 2 C 0 3

4 1 1 F F)> 1 D 0

por lo tanto el polinomio m´ınimo correspondiente es w2  3w + 2 = (w  1) (w  2) = Lema 23 Sea Y = LW (¯ {) y W (w) = sn (w) con s(w) 5 I [W ] irreducible y m´onico. Entonces ¢ ª ©¡ {) | ( (w) ; s(w)) = 1 = s  zoc(Y ) = sn31 (w) ·  (w) (W ) (¯ Demostraci´ on. ) Obvio. ) |¯ 5 (s  zoc(Y )) \{0} = (s  zoc (LW {¯ {})) \{0} , , |¯ = k(W )(¯ {) p. a. k(w) 5 I 1w] y s(W )(¯ | ) = 0= As´ı, W|L

|}) W ({¯

(w) | s(w)

(por definici´on), y entonces W|L

|}) W ({¯

(w) = s(w)=

Pero por el Teorema anterior: W|L

W

(w) = ({¯ |})

W (w) sn (w) = (W (w) ; k (w)) (W (w) ; k (w))

por lo que (W (w) ; k (w))) = sn31 (w)> entonces k(w) = sn31 (w)(w)

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

326

con (s(w); (w)) = 1. Finalmente se concluye que ©¡ ¢ ª |¯ 5 sn31 (w) ·  (w) (W ) (¯ {) | ( (w) ; s(w)) = 1

Lema 24 Sea Y = LW (¯ {) , W (w) = sn (w) con s(w) 5 I [W ] irreducible y m´onico y n o |¯ 5 Y \ 0 . Entonces s  zoc (Y ) = s  zoc({LW (¯ | )})= Demostraci´ on. ) Obvio. ) El Lema anterior garantiza que, }¯ 5 s  zoc(Y ) / }¯ = sn31 (W )t(W )(¯ {) con (s; t) = 1. Ahora sea 0 6= |¯ = k(W )(¯ {)> con k(w) = sp (w)j(w)> y (j(w); s(w)) = 1> entonces W|L

W

(w) = ({¯ | })

sn (w) = sn3p (w)= (sn (w); k (w))

z ¯ 5 s  zoc(LW ({¯ | }) / z ¯ = sn3p31 (W )u (W ) (¯ |) (u (w) ; s(w)) = 1= As´ı que © ª s  zoc(LW ({¯ | }) = sn3p31 (W )u (W ) (¯ | ) | (u (w) ; s(w)) = 1 = © ª = sn3p31 (W )u (W ) (sp (W )j(W )(¯ {)) | (u (w) ; s(w)) = 1 = ª © {)) | (u (w) ; s(w)) = 1 = = sn31 (W )u (W ) (j(W )(¯ Ahora, como

10.4. EL P-ZOCLO

327 (u (w) ; s(w)) = 1

y (j (w) ; s(w)) = 1 entonces (u (w) j (w) ; s(w)) = 1= Por lo tanto © ª s  zoc(LW ({¯ | }) = sn31 (W )u (W ) j(W )(¯ {) | (u (w) ; s(w)) = 1 Ahora, si }¯ 5 s  zoc(LW ({¯ {})> entonces }¯ = sn31 (W )t(W )(¯ {) con (s; t) = 1= Sea 1 = s + j, entonces t = t  1 = t  (s + j) = ts + jt> por lo que }¯ = sn31 (W )t(W )(¯ {) = sn31 (W )  (ts + jt) (W ) (¯ {) = ¡ ¢ = sn (W ) (t) (W ) (¯ {) + sn31 jt (W ) (¯ {) = ¢ ¤ £¡ n31 ¢ ¤ £¡ n31 {) = s tj (W ) (¯ {) > = 0 + s tj (W ) (¯ y (t; s) = 1= Entonces }¯ 5 s  zoc(LW ({¯ | })= As´ı que }¯ 5 s  zoc (LW ({¯ {}))  s  zoc(LW ({¯ | }) Teorema 126 Si dim (Y ) = q, W 5 Krp(Y> Y ) y W (w) = sn (w) con s(w) 5 I [w] irreducible y m´ onico, entonces Y =

u M (LW ({¯ {l }) l=1

p. a. {¯l 5 Y>

l = 1> ===> u=

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

328

Demostraci´ on. Por inducci´on sobre n. La base se demostr´o anteriormente como un lema. Consid´erese el diagrama conmutativo W

Y

-

Y

6

s (W ) (Y ) as´ı

6

=

lqf=

lqf=

W|s(W )(Y )

-

s (W ) (Y )

n o sn31 (W ) (s(W )(Y )) = 0 >

con lo que, W|s(W )(Y ) (w) | sn31 (w) y por lo tanto W|s(W )(Y ) (w) = so con o 6 n  1. Por hip´otesis de inducci´on v M (LW ({¯ |l })) s(W )(Y ) = l=1

con |¯l 5 s(W )(Y )\{0}, pero si |¯l 5 s(W )(Y ) entonces |¯l = s(W )(¯ {l )> Demostraremos primero que

{¯l 6= 0=

v v X M (LW ({¯ {l })) = (LW ({¯ {l }))= l=1

}¯ 5 LW ({¯ {l }) _

l=1

v X

v X km (W )(¯ {m ) ,

m=1 m6=l

m=1 m6=l

LW ({¯ {m }) , }¯ = kl (W )(¯ {l ) =

{l ) = , s (W ) (¯ } ) = kl (W )s(W )(¯

v X km (W ) s (W ) (¯ {m ) , m=1 m6=l

|l ) = , s (W ) (¯ } ) = kl (W ) (¯

v X km (¯ |m ) , m=1 m6=l

10.4. EL P-ZOCLO

329 v X LW ({¯ |m }) = {0} ,

|l }) _ , s (W ) (¯ } ) 5 LW ({¯

m=1 m6=l

|l }) _ , LW ({¯

v X LW ({¯ |m }) = {0} , m=1 m6=l

|l ) = s(W )¯(¯ } ) = 0 , , kl (W ) (¯ , sl (w) = W|L

|l }) W ({¯

, sl (w) = W|L para alguna l A 0

(w) |kl (w) ,

|l }) W ({¯

(w) |kl (w)

, s(w) | kl (w)=

Con un razonamiento an´alogo, s(w) | km (w) para m = 1> ===> v . Sea ˆ l (w)> kl (w) = s(w)k Entonces como {l ) = kl (W )(¯

l = 1> ===> v=

v X km (W )(¯ {m ) = }¯> m=1 m6=l

tenemos que: v ³ ³ ´ ´ X ˆ m (W ) (¯ ˆ l (W ) (¯ s(W )  k }¯ = s(W )  k {l ) = {m ) = m=1 m6=l v ³ ³ ´ ´ X ˆ l (W )  s(W ) (¯ ˆ m (W )  s(W ) (¯ = k k {l ) = {m ) = m=1 m6=l

ˆ l (W )(¯ |l ) = k

v ³ v ´ X X ˆ m (W ) (¯ |m ) 5 LW ({¯ |l }) _ LW ({¯ |m }) = {0}= k m=1 m6=l

m=1 m6=l

Es decir }¯ = 0 y por lo tanto v v X M (LW ({¯ {l })) = (LW ({¯ {l }))= l=1

l=1

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

330

Ahora, szoc(s(W )(Y ))  szoc(Y ) y szoc(Y ) satisface la base de la inducci´ Lon ya que su polinomio m´ınimo es s(w). Entonces szoc(Y ) = szoc(s(W )(Y )) N (con N 6W Y y es por lo tanto suma de W c´ıclicos). Veamos que v M (LW ({¯ {l })) _ N = {0}= l=1

à v ! M |¯ 5 (LW ({¯ {l })) _ N , l=1

à v ! M , |¯ 5 s  zoc(Y ) _ (LW ({¯ {l })) = l=1 v M

(LW ({¯ {l }))) =

= s  zoc(

l=1

=

v M (s  zoc(LW ({¯ {l }))) = l=1

1

=

v M (s  zoc(LW ({¯ |l }))) l=1

Por lo tanto,

n o |¯ 5 (s  zoc(s(W )(Y ))) _ N = 0 =

Por u ´ltimo demostraremos que v M M Y = ( (LW ({¯ {l })) N l=1

(y por lo tanto Y = (

u L

(LW ({¯ {l }))).

l=1

y¯ 5 Y , s(W )(¯ y) 5

v M LW ({¯ {l }) , l=1

, s(W )(¯ y) =

à v ! X kl (W )(s (W ) (¯ {l ) = s(W ) kl (W )((¯ {l ) (¯ {l ) ,

v X l=1

1

Por el Teorema anterior.

l=1

10.4. EL P-ZOCLO , y¯ 

331

v X kl (W ) (¯ {l ) 5 Ker(s(W )) = s  zoc(Y ) = s  zoc(s(W )(Y )) + N , l=1 v X {l ) + z) ¯ + n¯ , y¯ = ( kl (W )(¯ l=1

con z ¯ 5 s  zoc(s(W )(Y )) 

v X (LW ({¯ {l })) l=1

y n¯ 5 N entonces

v M M {l })) N y¯ 5 ( (LW ({¯ l=1

Por lo tanto

v M M {l })) N= Y = ( (LW ({¯ l=1

Definici´ on 116 Si D 5 Pq×u (I ) > y E 5 Pq×v (I ) > la concatenaci´ on de D y E es la matriz (D | E) 5 Pq>u+v que se obtiene agregando a D las columnas de E= ½ Dl>m si m$u . Expl´ıcitamente, (D | E)l>m = El>m3u si mAu Ejemplo 133 Consideremos el polinomio en R [{], {2 + 1 = s({), cuya matriz compa˜ nera es ¶ µ 0 1 = D= 1 0 2

({2 + 1) = {4 + 2{2 + 1, cuya matriz 3 0 0 E 1 0 E C 0 1 0 0

compa˜ nera es: 4 0 1 0 0 F F=E 0 2 D 1 0

3

y ({2 + 1) , cuya matriz compa˜ nera es: 3 0 0 0 0 E 1 0 0 0 E E 0 1 0 0 E E 0 0 1 0 E C 0 0 0 1 0 0 0 0

4 0 1 0 0 F F 0 3 F F = F= 0 0 F F 0 3 D 1 0

332

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

Formemos la matriz ¶ 4 3 µ 0 1 0 0 F E 1 0 F E 3 4 F E 0 0 0 1 F E E 1 0 0 0 F F E E F F E 0 0 F E C 0 1 0 2 D F E F E 0 0 1 0 E 4 F 3 G=E F 0 0 0 0 0 1 F E E E 1 0 0 0 0 0 F F E F F E E E 0 1 0 0 0 3 F F E F F E 0 0 E E 0 0 1 0 0 0 F F E F F E C C 0 0 0 1 0 3 D D 0 0 0 0 1 0 3

Por construcci´on, el polinomio m´ınimo para esta matriz es ({2 + 1) = Desde luego aqu´ı ya tenemos expresado M M LW ({h3 }) LW ({h7 })> R12 = LW ({h1 }) pero queremos ilustrar como funciona el argumento Sea 3< R12 > W : R12 G· ¡ 2 ¢ { + 1 (G) = 33 0 1 0 0 0 0 0 0 EE EE 1 0 0 0 0 0 0 0 EE EE 0 0 0 0 0 1 0 0 EE EE 0 0 1 0 0 0 0 0 EE EE 0 0 0 1 0 2 0 0 ¡ 2 ¢ E EE 0 0 0 0 1 0 0 0 = G + 1 = EE 0 0 0 0 0 0 0 0 EE EE 0 0 0 0 0 0 1 0 EE EE 0 0 0 0 0 0 0 1 EE E EE EE 0 0 0 0 0 0 0 0 EC C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

inductivo.2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

42

(10.1) 4

0 0 F 0 0 F F F F F 0 0 F F F F 0 0 F F F F 0 0 F F F F 0 0 F F + 1 · L 12 F 0 1 F F F F 0 0 F F F F 0 3 F F F F 0 0 F F F F 0 3 D D 1 0

2 Escojo deliberadamente este ejemplo, en que la descomposici´ on est´ a a la vista, precisamente para que sea claro.

10.4. EL P-ZOCLO 3 E E E E E E E E E =E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F = s(G)= 0 0 0 1 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 F F 0 0 0 1 0 1 0 3 0 F F 0 0 0 0 1 0 1 0 3 F F 0 0 0 0 0 1 0 2 0 D 0 0 0 0 0 0 1 0 2

Notemos ahora que s (W ) (R12 ) est´a generado por n o s (W ) ({h1 ===h12 }) = 0> s (W ) (h3 ) > ===> s (W ) (h12 ) =

(Observar que las dos primeras columnas de la matriz son 0 y corresponden a s(W )(h1 ) y s(W )(h2 ). Adem´as 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 1 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 F F 0 0 0 1 0 1 0 3 0 F F 0 0 0 0 1 0 1 0 3 F F 0 0 0 0 0 1 0 2 0 D 0 0 0 0 0 0 1 0 2

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

334 tiene rango 6, su transpuesta es

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2

Reduciendo y escalonando:

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

4 F F F F F F F F F F> F F F F F F F F D

4 F F F F F F F F F F= F F F F F F F F D

10.4. EL P-ZOCLO

335

su transpuesta es 3

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 F F F F F F F F F F= F F F F F F F F D

Por lo tanto  =: {¯ h3 + h¯5 > h¯4 + h¯6 > h¯7 + h¯9 > h¯8 + h¯10 > h¯9 + h¯11 > h¯10 + h¯12 } es una base para s (W ) (Y ) = Ahora, la matriz de s (W ) (Y )

G( )|s(W )(Y )

-

s (W ) (Y )

respecto a la base {¯ h3 + h¯5 > h¯4 + h¯6 > h¯7 > h¯8 > h¯9 > h¯10 > h¯11 > h¯12 } se obtiene as´ı: 3 0 1 E 1 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E C 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F FE E 0 1 0 0 0 0 0 0 F FE 1 0 F 0 0 0 0 0 0 0 0 FE E 0 1 E 0 2 0 0 0 0 0 0 F FE 1 0 F 1 0 0 0 0 0 0 0 FE E 0 1 E 0 0 0 0 0 0 0 1 F FE 0 0 F 0 0 1 0 0 0 0 0 FE E 0 0 E 0 0 0 1 0 0 0 3 F FE 0 0 F 0 0 0 0 1 0 0 0 FE E 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 D C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

4 F F F F F F F F F F= F F F F F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

336 3 E E E E E E E E E =E E E E E E E E E C

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 0 0 F F= 0 0 0 0 0 1 F F 0 0 1 0 0 0 F F 0 0 0 1 0 3 F F 0 0 1 0 1 0 F F 0 0 0 1 0 2 D 0 0 0 0 1 0

10.4. EL P-ZOCLO

337

Ahora quisi´eramos expresar cada columna de la matriz de la derecha como combinaci´on lineal de la base = Concatenando las siguientes matrices

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 0 0 F F> 0 0 0 0 0 1 F F 0 0 1 0 0 0 F F 0 0 0 1 0 3 F F 0 0 1 0 1 0 F F 0 0 0 1 0 2 D 0 0 0 0 1 0

obtenemos:

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 0 0 F F> 0 0 0 0 0 1 F F 0 0 1 0 0 0 F F 0 0 0 1 0 3 F F 0 0 1 0 1 0 F F 0 0 0 1 0 2 D 0 0 0 0 1 0

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

338

escalon´andola y reduci´endola obtenemos: 4 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 E 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 F F E E 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 F F E E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F= F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 De las 6 u ´ltimas columnas y eliminando los 6 u ´ltimos renglones , obtenemos 4 3 0 1 0 0 0 0 E 1 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 1 F F E E 0 0 1 0 0 0 F F E C 0 0 0 1 0 2 D 0 0 0 0 1 0 que es la matriz de s (W ) (Y )

G( )|s(W )(Y )

-

s (W ) (Y )

respecto de la base .. Hemos reducido el problema original, para una matriz de 16 × 16 a una matriz de 6 × 6= Notemos adem´as que el polinomio m´ınimo de , 4 3 0 1 0 0 0 0 E 1 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 1 F F> E S =: E F E 0 0 1 0 0 0 F C 0 0 0 1 0 2 D 0 0 0 0 1 0 es

¡ ¢2 1 + 2[ 2 + [ 4 = [ 2 + 1 =

10.4. EL P-ZOCLO

339

Es claro del diagrama s (W ) (Y )

W|s(W (Y ))

-

s (W ) (Y )

=

!

?

R6

S ·( )

!

-

?

R6

y de R6 = LW ({h1 }) que

M

LW ({(h3 )})

3

M ¡ ¡ ¢M ¢ s (W ) (Y ) = LW !31 h1 ) h3 ) = LW (¯ h3 + h¯5 ) LW (¯ h7 + h¯9 ) = LW !31  (  ( Ahora {1 ) : h¯3 + h¯5 5 s (W ) (Y ) , h¯3 + h¯5 = s (W ) (¯ resolvamos 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

3

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4

3

F E F E F E F E F E F E F E F E F E F (¯ E F {1 ) = E F E F E F E F E F E F E F E D C

Recuerde que  =: {h3 + h5 > h4 + h6 > h7 + h9 > h8 + h10 > h9 + h11 > h10 + h12 }

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 F F F F F F F F F F F F F F F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

340 reduzcamos y escalonemos 3 0 1 E 1 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E C 0 0 0 0 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

la matriz aumentada, 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 1 F F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 2 0 0 0 0 0 0 1 F F 1 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 F F 0 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 1 0 0 0 3 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 1 0 3 0 D 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4 0 0 0 0 F F 0 0 F F 0 1 F F 0 0 F F 0 1 F F> 0 0 F F 0 0 F F 0 0 F F 0 0 F F 0 0 D 1 0

10.4. EL P-ZOCLO

341

por lo tanto 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4

3 3

F E E F E E F E E F E E F E E F E E F E E F E E F E E F = E E F E E F E E F E E F E E F E E F E E F E E F E E D C C

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4

3

F E F E F E F E F E F E F E F E F E FE F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0

44 FF FF FF FF FF FF FF FF FF FF = FF FF FF FF FF FF FF FF DD

= (s (W ) (¯ h4 )  s (W ) (¯ h6 )) = s (W ) (¯ h4  h¯6 ) = As´ı h4  h¯6 = {¯1 = ¯

Resolvamos ahora 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4

3

F E F E F E F E F E F E F E F E F E F (¯ E { ) = h ¯ + h ¯ = 7 9 F 3 E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

4 F F F F F F F F F F> F F F F F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

342

4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 F F Concatenando: E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 F, reduciendo y esF E E 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 F F E C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 calonando: 4 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 F= F E E 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 F F E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 F F E C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3

Por lo tanto, 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

4

3

E F E F E F E F E F E F E F E F E F F = 2 E E F E F E F E F E F E F E F E F C D

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4

3

E F E F E F E F E F E F E F E F E F F  3E E F E F E F E F E F E F E F E F C D

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4

3

F E F E F E F E F E F E F E F E F E FE F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 3 0

4 F F F F F F F F F F= F F F F F F F F D

10.4. EL P-ZOCLO

343

2s(W )(¯ h8 )  3s(W )(¯ h10 )  s(W )(¯ h12 ) = s(W ) (2¯ h8  3(¯ h10 )  h¯12 ) = Por lo tanto {¯3 = 2¯ h8  3(¯ h10 )  h¯12 > funciona. As´ı, ³ ´M M Y = R12 = LW (¯ {1 ) LW (¯ {3 ) N=

³ M ´ N s  zoc(s (W ) (Y )) = s  zoc (Y ) =

s  zoc(Y ) = Ker(Y ))= Resolvamos s(G)¯ { = 0 : 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F FE E 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F FE F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 FE E E 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F FE F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 FE E E 0 0 0 1 0 0 0 1 0 F FE F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 F E E E 0 0 0 1 0 1 0 3 0 F FE F 0 0 0 0 1 0 1 0 3 F E E 0 0 0 0 0 1 0 2 0 D C 0 0 0 0 0 0 1 0 2

w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w10 w11 w12

4

3

F E F E F E F E F E F E F E F E F E F=E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 F F F F F F F F F >F F F F F F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

344 la soluci´on es :

4

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

w1 w2 w3 w4 w3 w4 w5 w6 2w5 2w6 w5 w6

4 F F F F F F F F F F: F F F F F F F F D

w1 h¯1 + w2 h¯2 + w3 (¯ h3 + h¯5 ) + w4 (¯ h4 + h¯6 ) + w5 (¯ h7 + 2¯ h9 + h¯11 ) + w6 (¯ h8 + 2¯ h10 + h¯12 ) = 3 E E E E E E E E E 4 Si se reduce y escalona E E E E E E E E E C 3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F, se obtiene 0 0 0 1 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 F F 0 0 0 1 0 1 0 3 0 F F 0 0 0 0 1 0 1 0 3 F F 0 0 0 0 0 1 0 2 0 D 0 4 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 F F 0 F F 1 F F 0 F F 2 F F 0 F F 0 F F 0 F F 0 F F 0 D 0

10.4. EL P-ZOCLO 4 3 4 33 4 3 44 33 4 3 44 0 0 0 0 1 0 E 0 F E 1 F EE 0 F E 0 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 1 F E 0 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 0 F E 0 FF EE 1 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 0 F E 1 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 0 F E 0 FF EE F E FF F +w2 E F +w3 EE F + E FF +w4 EE 0 F + E 1 FF + = w1 E E 0 F E 0 F EE 0 F E 0 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 0 F E 0 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 0 F E 0 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF E 0 F E 0 F EE 0 F E 0 FF EE 0 F E 0 FF E F E F EE F E FF EE F E FF C 0 D C 0 D CC 0 D C 0 DD CC 0 D C 0 DD 0 0 0 0 0 0 3 4 3 44 3 4 3 44 33 4 33 4 0 0 0 0 0 0 E 0 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 0 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 0 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 0 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 0 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 0 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 0 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 0 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 0 F E 0 FF E F E FF EE 0 F EE 0 F E F + 2 E F + E FF +w6 EE F + 2 E 0 F + E 0 FF +w5 E E 0 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 1 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 0 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 0 F EE 1 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 1 F E 0 FF E 0 F E 0 FF EE 0 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F E 0 F E 0 FF E 1 F E 0 FF EE 0 F EE 0 F E F E FF E F E FF EE F EE F C 0 D C 1 DD C 0 D C 0 DD CC 0 D CC 0 D 0 1 0 0 0 0 3

345

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

346 As´ı que ;3 A A A AE A E A A AE A E A A E A A E A A E A A A ?E E E E A E A A E A A E A A E A A E A A E A A E A A A C A A =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1

4< A A A FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA F@ F FA FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA A DA A A >

es una base para szoc(Y ) (observemos que tiene dimensi´on 6). Algunos vectores de esta base pertenecen a s (W ) (Y ), podemos ver cu´ales, resolviendo la ecuaci´on s (G) {¯ = }¯=

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F (¯ {) = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 F F 0 0 0 1 0 1 0 3 0 F F 0 0 0 0 1 0 1 0 3 F F 0 0 0 0 0 1 0 2 0 D 0 0 0 0 0 0 1 0 2

10.4. EL P-ZOCLO ;3 A A A AE A E A A AE A E A A E A A E A A E A A A ?E E = } 5 E E A E A A E A A E A A E A A E A A E A A E A A A C A A =

347 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1

4< A A A FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA F@ F = FA FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA A DA A A >

As´ı, somos conducidos al problema de ver cu´ales combinaciones lineales de las columnas de la matriz abajo a la izquierda, son combinaciones lineales de las columnas de la matriz abajo a la derecha.

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 1 0 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 1 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 F F 0 0 0 1 0 1 0 3 0 F F 0 0 0 0 1 0 1 0 3 F F 0 0 0 0 0 1 0 2 0 D 0 0 0 0 0 0 1 0 2

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1

4 F F F F F F F F F F> F F F F F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

348

este problema es equivalente al de encontrar las soluciones del sistema homog´eneo cuya matriz se obtiene concatenando las dos matrices anteriores:

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1

4 F F F F F F F F F F> F F F F F F F F D

escalonando y reduciendo:

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 F F 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 F F 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0 F F 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 F F= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10.4. EL P-ZOCLO

349

De aqu´ı vemos que la primera, y la 3 1 0 E 0 1 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E E 0 0 E C 0 0 0 0

segunda columnas de 4 0 0 0 0 0 0 0 0 F F 1 0 0 0 F F 0 1 0 0 F F 1 0 0 0 F F 0 1 0 0 F F 0 0 1 0 F F 0 0 0 1 F F 0 0 2 0 F F 0 0 0 2 F F 0 0 1 0 D 0 0 0 1

no est´an en s(W )(Y )> es decir ;3 3 4 1 A A A E A E 0 F A E A E F A E A E 0 F A E A E F A E A E 0 F A E A E F A E A E 0 F A A E F ?E E E 0 F E F LW E E 0 F = L AE E A E F A E A E 0 F A E A E F A E A E 0 F A AE E F A E A E 0 F A E A E F A A C C 0 D A A = 0 Por lo tanto R12 = LW (¯ {1 )

M

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 F E F E F E F E F E F E F E F E F E F>E F E F E F E F E F E F E F E F E D C

LW (¯ {3 )

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

M

4< A A A FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA F@ F = N= FA FA A FA A FA A FA A FA A FA A FA A DA A A >

LW (¯ h1 ) >

donde h4  h¯6 |¯ {3 = 2¯ h8  3¯ h10  h¯12 = {¯1 = ¯ Ahora, ¡ ¢ ¡ ¢ {1 ) = grad W |LW (¯{1 ) (w) = grad s (w)  W |LW (¯|1 ) (w) = 2 + 2 = 4 dim LW (¯ ¡ ¢ dim LW (¯ {3 ) = grad s (w)  W |LW (¯|3 ) (w) = 2 + 4 = 6

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

350

¡ ¢ dim LW (¯ h1 ) = grad W |LW (¯h1 ) (w) = grad (s (w)) = 2> Note, que en efecto, 4 + 6 + 2 = 12= Proposici´ on 20 W : Y $ Y lineal con (W|LW (¯ {) > w) = su (w) (s(w) 5 I [w] irreu31 ducible) , {k(W )s (W )(¯ {) | (s; k) = 1} = {j(W )su31 (W )(¯ {) | j 5 I [w]} Demostraci´ on. ) Obvio. ) Si s (w) | j(w) entonces j(W )su31 (W ) = ˆ0 5 {k(W )su31 (W )(¯ {) | (s; k) = 1}= Si s(w) - j(w) entonces la pertenencia es clara.

10.5.

Sumandos c´ıclicos

Observaci´ on 88 Si dim(Y ) = q y W (w) = sn con s 5 I [w] irreducible y W 5 Krp(Y> Y ) entonces el n´ umero p de sumandos en la descomposici´ on de Y en subespacios W c´ıclicos es dim(Y )  rango(s(W )) = grad(s(W )) p L )) Esto es, si Y = LW ({¯ {l }), entonces p = q3rango(s(W grad(s(W )) l=1

Demostraci´ on. Sea l 5 {o> ===> p}y (W |LW ({¯{l }) > w) = su (w)>

1 ? u 6 n>

as´ı, s  zoc(LW ({¯ {l })) = {su31 (W )  k(W )(¯ {l ) | (s; k) = 1} = {l ) | j 5 I [w]} = LW ({su31 (W )({l )})> = {j(W )su31 (W )(¯ entonces 1 - W |LW {¯{l } (w) | s(w) ( y por lo tanto son iguales), entonces dim(s  zoc(LW ({¯ {l })) = grad(s(w))=

10.6. ESPACIOS COCIENTE Adem´as, ya que s  zoc(Y ) =

351

p M

(s  zoc(LW ({¯ {l }))) >

l=1

se tiene dim(s  zoc(Y )) = p · grad(s(w))> y por lo tanto p=

10.6.

dim(s  zoc(Y )) dim(Ker(s (W ))) dim (Y )  (rango(s (W )) = = grad(s(w)) grad(s(w)) grad(s(w))

Espacios cociente Z

Z

Definici´ on 117 Sea Z  Y definimos  en Y por {  | si {  | 5 Z= Z

Observaci´ on 89  es una relaci´on de equivalencia en I Y= $  Demostraci´ on. Reflexividad) ;{ 5 Z> {  { = 0 5 Z> Simetr´ıa) {  | 5 Z ,  ({  |) = (|  {) 5 Z . Transitividad) ({  | 5 Z> |  } 5 Z ) , (({  }) = ({  |) + (|  }) 5 Z )

Definici´ on 118 Y @Z es el conjunto de clases de equivalencia n o Y @Z = [y]Z | y 5 Y =

Observaci´ on 90  p. a. z  5 Z } = y + Z= [y ]Z = {} | }  y 5 Z } = {} | } = y + z>

Teorema 127 ˆ +

X@Z × Y @Z $ Y @Z

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

352

ˆ [z definida por [z  1 ]Z + 1 + z  2 ]Z est´a bien definida  2 ]Z = [z

ˆ [|]Z no depende del representante de [{]Z : Demostraci´ on. La definici´on [{]Z +



³ ´ ³ Z ´ Z  , ({1 + | = { + z  + |) , {1 + |  { + | = {1  { , ({1 = { + z) ˆ [|]Z no depende del representante de [| ]Z = An´alogamente, [{]Z +



³ h i ´ b > 0 Z es un grupo conmutativo. Teorema 128 Y@Z> +

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio. Ejercicio 230 Demostrar el Teorema anterior. ˆ 

Definici´ on 119 Definimos I × Y @Z $ Y @Z por f ˆ [y]Z =: [fy ]Z =



Observaci´ on 91 ˆ no depende del representante de [y ]Z =

Z

Demostraci´ on. Supongamos que y  y1 > como Z

y  y1 / y1 = y + z>  z  5 Z> entonces fy1 = fy + fz  5Z Z

, fy1  fy=

Teorema 129 Y@Z es un espacio vectorial sobre I> con las operaciones anteriores. Demostraci´ on. Ejercicio. Ejercicio 231 Demuestre el Teorema anterior. Observaci´ on 92 Y y

s

$ Y@Z 7$ y + Z

es una funci´ on lineal suprayectiva con n´ ucleo Z=

10.6. ESPACIOS COCIENTE

353

Demostraci´ on. Es claro que s respeta la suma. Adem´as, s (fy ) = fy + Z = fˆ (y + Z ) pues fˆ [y ]Z = [fy]Z .



n o y | y + Z = 0 + Z n o h i  |z  5 Z = Z= = 0 Z = 0 + z

Ker(s) =

Es claro que s es suprayectiva. Corolario 28 Sea Z  Y y s : Y ³ Y@Z , Entonces 1. dim(Y ) = nul(s)+ rango(s(Y )) = dim(Z ) + dim(Y @Z ) 2. dim(Y@Z ) = dim(Y )  dim(Z ) Observaci´ on 93 Consideremos s

Y

À³ Y @Z

y

7$

lineal

y + Z

=



Si  /$ Z , y  ^  /$ Y , entonces s() /$ Y @Z= e

e

base

Demostraci´ on. s() genera Y @Z : Sea { 5 Y @Z , como { 5 L()  L () > entonces { = {1 + |1 con {1 5 L()> |1 5 L () > as´ı que s ({) = s ({1 ) + s (|l ) = s (|l ) = , s ({) 5 s (L ()) = L (s ()) = , Y@Z = s (Y )  L (s() = s (L ())  s (Y ) = , Y@Z = s (L ()) = s ()es o= l= en Y @Z : Supongamos que d1 (s|1 ) + === + dn (s|n ) = 0> |l 5 =

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

354

Como d1 (s|1 ) + === + dn (s|n ) = s (d1|1 + === + dn |n ) > tenemos que d1|1 + === + dn |n 5 Z _ L () = L () _ L () = n o Como L ()_L () = 0 > entonces d1|1 +===+dn |n = 0= Pero como  es linealmente independiente, d1 = === = dn = 0=

W

Observaci´ on 94 Si I Y $I Y es lineal y Z  Y entonces W

W

Y@Z Y@Z $ y + Z 7$ W (y) + Z es lineal y est´ a bien definida. Demostraci´ on. Veamos que eW est´a bien definida: y = y1 + z  5 Z , W (y ) = W (y1 ) + W (z)  Z

con W (z)  5 Z= Por lo que W (y)  W (y1 ) = Toda vez que hemos visto que la definici´on de W es buena, es inmediato que W es una funci´on lineal: ´ ³ ´ ³ W [x]Z + f [y ]Z = W [x + fy]Z = W (x + fy) =

´ ³ ´ ³ = W (x) + fW (y ) = W [x]Z + fW [y ]Z =



Podemos hacer un diagrama para representar la situaci´on anterior: Z W|Z

?

Z

lqf=

-

s

Y

=

W

lqf=

-

?

Y

-

= s

Y @Z W¯

-

?

Y @Z

as´ı que W  s = s  W=

(10.2)

10.6. ESPACIOS COCIENTE

355

W

Teorema 130 Sea Y $ Y un operador lineal en un espacio de dimensi´on finita W

W

y Z  Y . Entonces "W (w) | "W (w) = Donde Y @Z $ Y@Z es tal que y + Z 7$ W

W (y) + Z . 

Demostraci´ on. Sea  ^  /$ Y , donde  /$ Z , entonces e

edvh

s () /$ Y@Z> edvh

y observemos que

" [W ] 

=

[W ] 0

 £ ¤s() W s()

# =

Digamos que || = n> y que dim(Y ) = q= Sea |m el j-´esimo elemento de = |m )] = Entonces la columna n + m´esima de [W ]  es [W ( £ ¤s() Por otra parte, la m´esima columna de W s() es ¤ £ W (|m + Z ) s() = [W (|m ) + Z ]s() = Si + W (|m ) = z

X fn+o |o > o

con z  5 Z>  = {|1 > ===> |q3n } > entonces W (|m + Z ) = W (s (|m )) = s  W (|m ) = ! à X X fn+o |o = fn+o s (|o ) = = s z + o

£ ¤s() Por lo que la m ´esima columna de W s() 3

columna de [W ] 

 .. .

E E E E  es E E fn+1 E . C .. fq

4 F F F F F= F F D

3

fn+1 E fn+2 E E es E ... E C fq31 fq

4

o

F F F F > en tanto que la n + m -´esima F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

356

Podemos observar que el siguiente diagrama conmuta: lqf

Z

-



Y

-

Y @Z

¢ W|Z ¢ W ¢ W¯ * ¢ * ¢ *() ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ? ¢ ? ? lqf  ¢¢ ¢Y @Z Z Y ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ * ¢ ¢* ¢ ¢*() ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢® ¢®¢ ¢®¢ sI nq3n¢ lqf ¢ - q I ¢- q3n ¢ I In I ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  ¢ ¢ ¯ () ¢ · W [W ] · [W|Z ] · [ ]  () ¢ ¢ ¢ ?¢®¢ ?®¢ ? ¢®¢ sI nq3n lqf I - q3n n Iq

I

I

W

Teorema 131 Sea Y $ Y un operador lineal en un espacio de dimensi´ on finita y Z  Y . Denotemos W¯ : Y @Z $ Y @Z al operador tal que y + Z 7$ W (y ) + Z= Si W W es diagonalizable, entonces W¯ tambi´en es diagonalizable. ¡ ¢ Demostraci´ on. Es una consecuencia del Teorema 130 que W W¯ = ˆ0 : Y@Z $ Y@Z= As´ı que W¯ (w) | W (w) = As´ı que si W (w) es un producto de factores de grado uno distintos, entonces sucede lo mismo a W¯ (w) = Podemos juntar el Teorema anterior con el Teorema 115: Teorema 132 Si Z 6 Y , y W : Y $ Y es diagonalizable, dim(Y ) = q ? 4> W entonces W|Z : Z $ Z y W¯ : Y@Z $ Y@Z son diagonalizables. El Teorema anterior puede sugerir la siguiente pregunta, ¿ si W|Z : Z $ Z y W¯ : Y @Z $ Y @Z son diagonalizables, necesariamente W ser´a diagonalizable? µ Ejemplo 134 Sea Y = R2 | W =

1 2 0 1

¶

µµ Z =L

· : R2 $ R2 = Tomemos 1 0

¶¶ =

´ 10.7. FORMA CANONICA RACIONAL

357

Es claro que W|Z = LgZ > que es diagonalizable. Por otra parte, W¯ : Y@Z $ Y@Z µµ ¶ ¶ ½µ ¶ ¾ 0 0 est´a determinado por W¯ + Z > dado que + Z es una base para 1 1 el espacio Y@Z , que es de dimensi´on uno. µµ W¯

Ya que

0 1

¶

¶

µ

1 2 0 1

¶

· h2 + Z = +Z = µ ¶ µ ¶ 0 2 + Z= +Z = = 1 1

¶ µ ¶ 2 Z 0 :  1 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ½ ¾¶ 2 0 2 1  : 5Z =L = 1 1 0 0 µ

As´ı pues, W¯ : Y@Z $ Y @Z es la identidad en Y@Z , por lo que es diagonalizable. Sin embargo, W : R2 $ R2 no es diagonalizable, pues su polinomio m´ınimo es (w  1)2 =

10.7.

Forma can´ onica racional

Definici´ on 120 Si W : Y $ Y tiene polinomio m´ınimo sn (w) con s 5 I [w] irreducible y m´ onico, Y =

p M LW ({¯ {l })>  l = {¯ {l > W (¯ {l )> = = =} /$ LW ({¯ {l })> edvh

l=1

entonces

p

 = ^  l /$ Y l=1

edvh

se llama una base can´ onica racional para Y respecto de W .

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

358

Sup´ongase que el polinomio m´ınimo de W restringido a LW {¯ {m } es spm (w). As´ı, si pm pm spm (w) = e0 w + e1 w + === + egrad(spm )31 wgrad(s )31 (w) + wgrad(s )

entonces spm (W ) ({m ) = 0= Por lo que pm pm {m ) = e0 {¯m  e1 W (¯ {m )  ===  egrad(spm )31 W grad(s )31 (¯ {m )> (W grad(s ) )(¯

as´ı, se tiene que 3

¤ £ W|LW {¯{m }  l l

0 1 0 .. .

0 0 1 .. .

··· ··· ··· ... ...

0 0 e0 0 0 e1 0 0 e2 . 0 0 ..

4

E E E E =E E E E 0 0 1 0 egrad(spm )32 C 0 0 · · · 0 1 egrad(spm )31

es la matriz compa˜ nera de spm (W ) As´ı, 3 ¤ 1 E £W E |LW {¯{1 }  1 E E E E 0 ··· 0 E . . E . E . · · · ..  [W ] = E E 0 ··· 0 E .. E . E E 0 ··· 0 E E .. C . · · · ... 0 ··· 0

F F F F F F F F D

y se le llama ”bloque racional”. 0 ··· 0 .. . . · · · .. 0 ··· 0

... ···

¤ £ W|LW {¯{p }  p

···

¤ £ W|LW {¯{2 }  2 · · · 2

.. . 0 ··· 0 .. . . · · · ..

0 ··· 0

4

0 ··· 0 .. . . · · · .. 0 ··· 0 0 ··· 0 .. . . · · · .. 0 ··· 0 .. .

p

F F F F F F F F F F= F F F F F F F D

Cuando[W ] est´a descrita en esta forma se dice que est´a descrita en su forma can´onica racional.

´ 10.7. FORMA CANONICA RACIONAL

10.7.1.

359

Diagrama de puntos

Teorema 133 Si W : Y $ Y es lineal con W (w) = sn (w) con s irreducible entonces, umero de sumandos con polinomio m´ınimo sv (w) en Fv (Y ), el n´ Y =

p M

{LW ({¯ {l })}

l=1

es Fv (Y ) = =

¢ ¡ ¢¤ £ ¡ 1 · dim sv31 (W )(Y )  2 dim (sv (W )(Y )) + dim sv+1 (W )(Y ) = grad s (w)

Demostraci´ on. Recordar que si S (W )(Y ) =

p M

{LW ({¯ |l })}

l=1

}l ) entonces y |¯l = s(W )(¯ Y =

à p M

! {LW ({¯ }l })}

M

N>

l=1

donde s  zoc(Y ) = s  zoc (s(W ) (Y ))

M

N>

y N=

o M LW ({z ¯m })= m=1

5

Adem´as

W|L 5

}l ) W (¯

(w) = s(w) · W|L

|l ) W (¯

(w)

Por cada vector |l escribamos una columna de la siguiente forma .. . • • |1 •

.. . • |2 • = = =

•

|u •

|1 > |2 > |u donde el n´ umero de puntos en la columna “m” es “v” si W|L (| ) (w) = sv (w)= Este se l W llama un ”diagrama de puntos para s(W )(Y )”. Agregando un punto por cada {1 ===> {u y luego un

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

360

Denotemos por Fv (Y ) al n´ umero de columnas con v puntos (esto es, el n´ umero de sumandos con polinomio m´ınimo sv (w), en la descomposici´on ´M³ ´ ³ M M M M }1 }) === LW ({¯ }u }) LW ({z ¯1 }) === LW ({z ¯o }) Y = LW ({¯ Es claro que Fv (Y ) = Fv31 (S (W )(Y )) = Fv32 (S 2 (W )(Y )) = = = = = F1 (S v31 (W )(Y )) Ahora, dim (s  zoc (s (W ) (Y ))) + dim (N) = = dim (s  zoc (s (W ) (Y ))) + o · judg (s (W )) As´ı6 : F1 (Y ) = o =

dim(s  zoc(Y ))  dim((s  zoc(s(W )(Y )))) dim(N) = = grad(s(W )) grad(s(W ))

punto por cada sumando en Y =

o L

LW ({zm })> es decir, otros o puntos obtenemos

l=1

.. . .. . • |2 • = = = {2 • = = =

• • |1 • {1 •

•

|u • {u •

• • ===•

Este se llama el ”diagrama de puntos” para Y . 6 s  }rf (s (W ) (Y )) = s (W ) (Y ) _ (Nhu (s (W ))) = Ahora, de Y

s (W ) Y $ % % s (W ) (Y ) s (W )|s(W ) s (W ) (Y ) $ ³ ´ vemos que Nhu s (W )|s(W ) = s (W ) (Y ) _ (Nhu (s (W ))) = As´ı que ´ ³ ¢ ¡ Q xo s (W )|s(W ) + udqjr s2 (W ) = udqjr (s (W )) ´ ³ ¢ ¡ Q xo s (W )|s(W ) = udqjr (s (W ))  udqjr s2 (W )

´ 10.7. FORMA CANONICA RACIONAL

361

£ ¡ ¡ ¢¢¤ 1 · dim (Ker (s (W )))  rango (s (W ))  rango s2 (W ) = grad (s (W )) £ ¤ 1 = · dim(Y )  rango(s(W ))  ( rango(s(W ))  rango(s2 (W ))) = grad(s(W )) ¢¤ £ ¡ 1 = · dim (Y )  2 · rango (s (W )) + rango s2 (W ) = grad (s (W )) =

Por lo tanto F1 (sv31 (W )(Y )) = =

1 [dim(sv31 (W )(Y ))  2 dim(sv (W )(Y )) + dim(sv31 (W )(Y ))] = grad (s (W )) = Fv (Y )=

Observaci´ on 95 Fv (Y ) tambi´en es el n´ umero de bloques de tama˜ no [v · grad (s (w))] × [v · grad (s (w))] en la forma can´onica racional (los bloques que son la matriz compa˜ nera de sv (w)= Ejemplo 135 Calcular la forma 3 0 E 1 D=E C 0 0

can´onica racional de 4 1 5 3 0 0 1 F F 5 P4×4 (R) = 0 3 2 D 0 5 3

Soluci´ on. D (¯ h1 ) = h¯2 > y D2 (¯ h1 ) = ¯ h1 = Por lo tanto w2 + 1 es el polinomio m´ınimo para h¯1 . Ahora, 3 4 43 4 3 0 0 1 5 3 5 E 1 0 0 1 F E 0 F E 0 F E F FE F E C 0 0 3 2 D C 3 D = C 1 D 0 0 0 5 3 5 y 3 4 0 E 0 F E F = D2 (¯ h3 ) = ¯ h3 = C 1 D 0

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

362

Por lo tanto w2 + 1es el polinomio m´ınimo para h¯3 . L h1 ) LW (¯ h3 ) > W (w) = w2 + 1 Por lo tanto, R4 = LW (¯ Forma can´onica racional: 4 3 0 1 0 0 E 1 0 0 0 F F E C 0 0 0 1 D = 0 0 1 0 3

42 3 0 1 5 3 1 0 0 0 E 1 0 0 1 F E 0 1 0 0 2 E F D =E C 0 0 3 2 D = C 0 0 1 0 0 0 5 3 0 0 0 1 por lo tanto Entonces,

¡ ¢ rango D2 + 1Lg = 0= ¡ ¢ rango (Lg) = 4> rango D2 + 1Lg = 0=

Por lo tanto f1 =

1 (4  2 · 0 + 0) = 2= 2

Por lo tanto el diagrama de puntos para A es: •• Dos bloques, cada uno de dimensi´ on 2. Ejemplo 136 Calcular la forma can´onica racional de 3

2 E 0 E C 0 0 3

2 E 0 E C 0 0

1 2 0 0

4 0 0 F F 5 P4×4 (R) 0 D 2

1 2 0 0

0 1 2 0

0 1 2 0

43 0 1 E 0 F FE 0 0 DC 0 2 0

3

4 2 F E 0 F F = E F> D C 0 D 0 4

4 F F> D

´ 10.7. FORMA CANONICA RACIONAL as´ı que el polinomio m´ınimo m´ınimo para W|LW (¯h1 ) ). Ahora, 3 2 E 0 E C 0 0

363

para h¯1 es w  2 (abreviatura de: w  2 es el polinomio

1 2 0 0

43 0 1 E 2 0 F FE 0 DC 0 2 0

0 1 2 0

3

4 4 F E 4 F F = E F> D C 0 D 0 4

LW (¯ h2 ) = L {¯ h2 > D¯ h2 } = 3

0 E 1 E C 0 0 concatenando:

3

43 1 4 E 4 2 F FE 0 DC 0 0 0

0 E 1 E C 0 0 reduciendo y escalonando:

3

1 E 0 E C 0 0

1 2 0 0

4 F F> D

4 4 4 F F> 0 D 0

4 0 4 1 4 F F> 0 0 D 0 0

D2 (¯ h2 ) = 4D (¯ h2 )  4 (¯ h2 ) > por lo tanto, el polinomio m´ınimo (w  2)2 = Ahora, 43 4 3 3 0 0 2 1 0 0 E 0 2 1 0 FE 0 F E 1 E F F E E = D (¯ h3 ) = C 0 0 2 0 DC 1 D C 2 0 0 0 0 0 2 3

2 E 0 E C 0 0

1 2 0 0

0 1 2 0

43 0 0 E 0 F FE 1 0 DC 2 2 0

3

4 1 F E 4 F F = E F> D C 4 D 0 4

para h¯2 es w2  4w + 4 = 4 F F> D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

364 3

2 E 0 E C 0 0

1 2 0 0

0 1 2 0

43 1 0 E 4 0 F FE 0 DC 4 0 2

4 6 F E 12 F F F=E D C 8 D= 0 4

3

Por lo tanto

;3 4 3 0 A A 0 © ª ?E 0 F E 1 2 3 FE h¯3 > D (¯ h3 ) > D (¯ h3 ) > D (¯ h3 ) = E C 1 DC 2 A A = 0 0

Concatenando:

3

0 E 0 E C 1 0 reduciendo y escalonando:

3

1 E 0 E C 0 0

0 1 2 0 0 1 0 0

43

43 1 6 F E 4 F E 12 FE FE DC 4 DC 8 0 0

4 1 6 4 12 F F> 4 8 D 0 0 4 0 8 0 12 F F> 1 6 D 0 0

de donde D3 (¯ h3 ) = 6D2 (¯ h3 )  12D (¯ h3 ) + 8¯ h3 > as´ı que el polinomio m´ınimo es: w3  6w2 + 12w  8 = (w  2)3 = Finalmente,

3

2 E 0 E C 0 0

1 2 0 0

0 1 2 0

43 0 0 E 0 F FE 0 0 DC 0 1 2

4 0 F E 0 F F = E F> D C 0 D 2 4

3

por lo que el polinomio m´ınimo correspondiente es w  2= Por lo tanto el polinomio m´ınimo para D es (w  2)3 = Ahora, rango(D  2Lg)0 = 4> 3 0 1 0 0 E 0 0 1 0 E rango (D  2Lg) = rango C 0 0 0 0 0 0 0 0

4 F F = 2= D

4< A A F@ F = DA A >

´ 10.7. FORMA CANONICA RACIONAL

365

42 3 0 0 E 0 F F = rango E 0 C 0 0 D 0 0 43 0 1 0 0 0 EE 0 0 1 0 F E 0 3 E FE rango (D  2Lg) = rango E CC 0 0 0 0 D C 0 0 0 0 0 0 4 3 0 0 0 0 E 0 0 0 0 F F = rango E C 0 0 0 0 D = 0= 0 0 0 0 3

0 E 0 2 E rango (D  2Lg) = C 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 33

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

4 0 0 F F = 1> 0 D 0 44 0 F 0 F FF = D 0 D 0

As´ı, 1 (4  (2  2) + 1) = 1 1 1 f2 = (2  (2  1) + 0) = 0; 1 1 f3 = (1  (2  0) + 0) = 1; 1 Por lo tanto, el diagrama de puntos es f1 =

• • • • y la forma can´onica racional consta de un bloque de 3 × 3 y de otro de 1 × 1 : 4 3 0 0 8 0 E 1 0 12 0 F F E C 0 1 6 0 D 0 0 0 2 (w  2)3 = w3  6w2 + 12w  8= 3

0 E 0 E (D  2Lg) = C 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 0 F F> 0 D 0

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

366

tiene polinomio m´ınimo w2 = Una base para (D  2Lg) (R4 ) es h¯1 y h¯2 = Es claro que h¯2 genera W -c´ıclicamente (D  2Lg) (R4 ) = Resolvamos (D  2Lg) (¯ {) = h¯2 3 4 3 4 0 0 1 0 0 E 1 F E 0 0 1 0 F E F E F C 0 0 0 0 D {¯ = C 0 D > 0 0 0 0 0 las soluciones est´ an en:

;3 < 4 w1 A A A A ?E @ F 0 E F | w1 > w2 5 R = C D 1 A A A A = > w2

Por ejemplo h¯3 es una soluci´ on. Ahora, hay que escoger un elemento de Ker((D  2Lg) · ) que no est´e en 3;3 4 3 4 3 4 D · h¯3 > D · h¯3 = L C C D > C D > C F D 4 DA 2 1 A A A > = 0 0 0 3

0 0 E 0 1 Concatenando: E C 1 2 0 0 Resolvamos la ecuaci´on

4 1 4 F F. 4 D 0 3

0 E 0 E C 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

3 4 0 E 0 F F {¯ = E C D 0 0

4 0 0 F F 0 D 0

para obtener Ker((D  2Lg) · ). Las soluciones son: ;3 < 4 w1 A A A A ?E @ F E 0 F | w1 > w2 5 R = C 0 D A A A A = > w2

´ 10.7. FORMA CANONICA RACIONAL

367

Encontremos ahora un elemento de Ker((D  2Lg) · ) que no est´e en ª¢ ¡© LW (¯ h3 ) = L h¯3 > D · h¯3 > D2 · h¯3 = ;3 4 3 4 3 4< 1 A 0 0 A A @ ?E F E F E FA 1 0 F>E F>E 4 F = =L E D C D C D C 4 A 2 1 A A A > = 0 0 0 Consideremos la ecuaci´on 3 4 3 3 4 3 4 4 w1 1 0 0 E 4 F E 0 F E 1 F E 0 F E F E E F F F {E C 1 D + |C 2 D + }C 4 D = C 0 D= 0 0 0 w2 La matriz del sistema es

3

0 E 0 E C 1 0 Escalonando:

3

0 1 2 0

1 4 4 0

1 2 4 E 0 1 4 E C 0 0 1 0 0 0 Basta tomar w2 6= 0= Por ejemplo,obtenemos As´ı, la base can´onica racional es: ;3 4 3 4 3 1 0 0 A A ?E F E F E 1 0 E F>E F>E 4 C 1 D C 2 D C 4 A A = 0 0 0 4 3 0 0 1 0 E 0 1 4 0 F7 F Comprobaci´on: Sea T = E C 1 2 4 0 D= 0 0 0 1 7

3

T1

4 w1 0 F F= 0 D w2 0 0 w1 w2 h¯4

4 F F= D si w2 = 1 y w1 = 0=

4< ;3 4< A A A 0 A A A F@ ?E 0 F@ F ^ E F = DA AC 0 DA A A > = > A 1

4 4 2 1 0 E 4 1 0 0 F F =E C 1 0 0 0 D 0 0 0 1

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

368 Entonces 3 0 E 0 E C 1 0

10.8.

0 1 2 0

1 4 4 0

431 3 0 E 0 F F E 0 D C 1

2 0 0 0

1 2 0 0

0 1 2 0

43 0 0 0 E 0 1 0 F FE 0 DC 1 2 2 0 0

1 4 4 0

4 3 0 0 E 1 0 F F=E 0 D C 0 0 1

4 0 8 0 0 12 0 F F. 1 6 0 D 0 0 2

M´ as acerca de los diagramas de puntos

El siguiente Teorema nos dice que para calcular el diagrama de puntos para W|Ker sn1 (W ) , donde W (Y ) = sn11 (w) sn22 (w) ===snv v (w) > no hace falta calcular primero 1

¢ W|Ker sn1 (W ) ¡ ¢ ¡ Ker sn11 (W ) 33333331333< Ker sn11 (W ) = Regresemos a la situaci´on general: Teorema 134 Sea W : Y $ Y lineal, dim (Y ) ? 4= con W (Y ) = sn11 (w) sn22 (w) ===snv v (w) = Entonces l l+1 rango sl31 1 (W )  2  rango s1 (W ) + rango s1 (W ) = ³ ´ ³ ´ W|Ker sn1 (W )  2  rango sl1 W|Ker sn1 (W ) + = rango sl31 1 1 1 ³ ´ l+1 +rango s1 W|Ker sn1 (W ) = 1

Demostraci´ on. Primero , recordemos que M M M Ker sn22 (W ) === Ker snv v (W ) Y = Ker sn11 (W ) Adem´as, tenemos que W

n |Ker s 1 (W )

Ker sn11 (W )333333133< Ker sn11 (W ) tiene polinomio m´ınimo sn11 (w) = Notemos que como M M M Ker sn22 (W ) === Ker snv v (W ) > Y = Ker sn11 (W )

´ ACERCA DE LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS 10.8. MAS entonces

M

W = W|Ker sn1 (W ) 1

W|Ker sn2 (W )

M

2

===

M

369

W|Ker snv v (W ) >

entonces s1 (W ) = s1 (W )|Ker sn1 (W )

M

1

s1 (W )|Ker sn2 (W )

M

2

===

M

s1 (W )|Ker snv v (W ) =

En este momento observemos que s1 (W )|Ker sn2 (W ) : Ker sn22 (W ) $ Ker sn22 (W ) 2

es un isomorfismo: {) = 0 = sn11 (W ) (¯ {) {¯ 5 Ker sn22 (W ) _ Ker sn11 (W ) , sn22 (W ) (¯ ¡ n1 ¢ , W |L (¯{) (w) | s1 (w) ; sn22 (w) = 1 , W |L (¯{) (w) = 1 , {¯ = 0= W

W

n

|Ker s2 2 (W )

Por lo tanto s1 (W ) morfismo. As´ı,

es una funci´on lineal inyectiva, por lo tanto es un iso-

n

|Ker s2 2 (W )

rango

³ ´ s1 (W )|Ker sn2 (W ) = dim Ker sn22 (W ) = 2

An´alogamente, µ ¶ n rango s1 (W )|Ker snm (W ) = dim Ker sm m (W ) ;m 6= 1= m

Por lo tanto, rango (s1 (W )) = ´ ³ M M M s1 (W )|Ker sn2 (W ) === s1 (W )|Ker snv v (W ) = = rango s1 (W )|Ker sn1 (W ) 1

2

= rango s1 (W )|Ker sn1 (W ) + dim Ker sn22 (W ) + dim Ker sn33 (W ) + === 1

=== + dim Ker snv v (W ) = En resumen, rango (s1 (W )) = rango s1 (W )|Ker sn1 (W ) + dim Ker sn22 (W ) + 1

+ dim Ker

sn33

(W ) + === + dim Ker snv v (W ) =

Podemos aplicar el mismo argumento a sv1 (W ), para obtener: rango (sv1 (W )) =

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

370

= rango sv1 (W )|Ker sn1 (W ) + dim Ker sn22 (W ) + 1

+ dim Ker

sn33

(W ) + === + dim Ker snv v (W ) =

Entonces l l+1 rango sl31 1 (W )  2  rango s1 (W ) + rango s1 (W ) = Ã ! ³ ´ Xv nm l31 = rango s1 dimKer sm (W ) W|Ker sn1 (W ) + 1

à 2 rango

sl1

à + rango

sl+1 1

m=2

! ³ ´ Xv nm dimKer sm (W ) W|Ker sn1 (W ) + 1

m=2

! v ³ ´ X nm dim Ker sm (W ) W|Ker sn1 (W ) + 1

m=2

³ ´ ³ ³ ´´ l W  2 rango s W + = rango sl31 n n 1 1 1 1 |Ker s1 (W ) |Ker s1 (W ) ³ ´ +rango sl+1 W|Ker sn1 (W ) = 1 1

Teorema 135 Si rango s (W ) = rango s2 (W ), entonces ¢ ¡ rango sl (W ) = rango (s (W )) > ;l 5 N=

s(W )|s(W )(Y )

Demostraci´ on. De s (W ) (Y )333333333< s2 (W ) (Y ) > se tiene que ´ ³ rango s (W ) = nul s (W )| + rango s2 (W ) = ³ ´ Por hip´otesis, se tiene que nul s (W )| = 0, as´ı que s (W )| es un isomorfismo entre s (W ) (Y ) y s2 (W ) (Y ). Ahora como s2 (W ) (Y )  s (W ) (Y ). Tenemos que s(W )|

s2 (W ) (Y )333< s3 (W ) (Y ) tambi´en es un isomorfismo. Se concluye por inducci´on. Teorema 136 Si rango sl (W ) = rango sl+1 (W ) > entonces rango sl+m (W ) = rango sl (W ), ;m 5 N= Demostraci´ on. C´opiese de la de arriba.

´ ACERCA DE LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS 10.8. MAS 3 E E Ejemplo 137 Sea D =: E E C

0 2 0 6 2 1 2 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 4

371

4 F F F = Encontraremos su forma can´onica F D

racional. El espacio c´ıclico generado por h¯1 est´a generado por 4 3 4 3 4 3 2 0 1 E 0 F E 1 F E 0 F F E F E F E E 0 F>E 1 F>E 0 F= F E F E F E C 0 D C 1 D C 0 D 0 1 0 Por lo tanto el polinomio m´ınimo El espacio c´ıclico generado por h¯2 4 3 3 4 3 0 2 0 E 1 F E 2 F E 1 F E E F E E 0 F>E 0 F>E 1 F E E F E C 0 D C 2 D C 1 1 4 0

para h¯1 es w2 + 2. est´a generado por 43 2 0 6 2 E 2 0 0 2 F FE E 0 1 3 2 F FE 2 1 1 2 D C 4 3 3 4

Por lo tanto el polinomio m´ınimo para h¯2 es w2 + 2. El espacio c´ıclico generado por h¯5 est´a generado por 4 3 3 4 3 4 3 0 2 0 E 0 F E 2 F E 6 F E F E E F E F E E 0 F>E 2 F>E 6 F>E F E E F E F E C 0 D C 2 D C 6 D C 10 4 1 3

0 2 E 0 2 E concatenando: E E 0 2 C 0 2 1 4 polinomio m´ınimo para

0 4 6 8 6 8 6 8 10 16 h¯5 es

4

3

E F E F F escalonando: E E F C D

1 0 0 0 0

2 2 0 2 4

4 8 8 8 16 0 1 0 0 0

4

3

F E F E F=E F E D C

0 2 0 0 0

4 F F F= F D

4 F F F> F D 4 0 4 0 2 F F 1 2 F F = Por lo tanto el 0 0 D 0 0

¡ ¢ w3  2w2 + 2w  4 = (w  2) w2 + 2 =

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

372 Entonces

¡ ¢ el polinomio m´ınimo para A es (w  2) w2 + 2 =

Entonces R5 = Ker (D  2Lg) Ahora,

3 E E E E C

Resolviendo

0 2 0 6 2 1 2 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 4 3 E E E E C

M 3

4

E F E F F2=E E F C D

2 2 0 6 2 1 4 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1 3 2 1 4 3 3 2

¡ ¢ Ker D2 + 2 =

2 2 0 6 2 1 4 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1 3 2 1 4 3 3 2

43 FE FE FE FE DC

el conjunto de soluciones es: ;3 < ; 3 4 0 A A A A A A A A E A A A F ?E ? E @ A E w1 F E w1 F | w1 5 R = w1 E E F E A A A A A A C w1 D C A A A A A A = > = 2w1

{1 {2 {3 {4 {5

0 1 1 1 2

3

4

F E F E F=E F E D C

0 0 0 0 0

4 F F F= F D

4 F F F F D

< A A A A F @ F F | w1 5 R = F A A D A A > 4

Por otra parte, 3 E E D2 + 2 = E E C y

0 2 0 6 2 1 2 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 4

3 E ¡ 2 ¢2 E D +2 =E E C

0 0 0 0 0

0 0 0 6 0 6 0 6 0 12

42

3

F E F E F +2=E F E D C

0 0 12 6 12 6 12 6 24 12

42

3

F E F E F =E F E D C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 6 0 6 0 6 0 12 0 0 0 0 0

0 0 12 6 12 6 12 6 24 12

0 0 36 72 36 72 36 72 72 144

0 36 36 36 72

4 F F F F D

4 F F F= F D

´ 10.9. FORMA CANONICA DE JORDAN

373

As´ı que ¡ ¢0 ¡ ¢ ¡ ¢2 rango D2 + 2 = 5> rango D2 + 2 = 1> rango D2 + 2 = 1= y f1 =

521+1 121+1 = 2> f2 = = 0> f3 = 0> === 2 2

Por lo tanto el diagrama de puntos es • • Por lo tanto la forma can´onica racional es: 3 E E E E C

10.9.

2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0

4 F F F= F D

Forma can´ onica de Jordan

Si s(w) = w con  5 I> W (w) = (w)n (o lo que es lo mismo, W 3Lg (w) = (w)n ), entonces3haciendo X =: W  Lg, tenemos que 4 3 4 0 0 ··· 0 0 E E 1 0 ··· 0 0 F F E E F F E E F F E E 0 1 ... F · · · 0 F E E F F E C .. .. . . F D . 0 0 . . E F E F E F 0 0 ··· 1 0 E F E F y por lo tanto  [X ] = E  3 4 F E F 0 0 ··· 0 0 E F E E 1 0 ··· 0 0 F F E E F F E ... E F F E 0 ··· E 0 1 F F E E . . . F F E C .. .. . . 0 0 D F C D

..

...

..

0 0 ··· 1 0 [W ] = 

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

374 3 3

 0 ··· E E 1  ··· E E E E .. .. . . . E E . . E E E C 0 0 ... E E 0 0 ··· E E E E E E E 0 E =E E E E E .. E . E E E E E E E 0 E E C

4 0 0 0 0 F F .. .. F . . F F  0 D 1 

4 ···

0

4  0 ··· 0 0 E 1  ··· 0 0 F E F . E F E 0 1 .. F ··· E . . . F C .. .. . .  0 D 0 0 ··· 1 

0

0 3

.. .

..

.

3

.. .

4  0 ··· 0 0 E 1  ··· 0 0 F E F . E F 0 · · · E 0 1 .. F E . . . F C .. .. . .  0 D 0 0 ··· 1  que se llama la forma can´onica de Jordan para Y .

F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F D

Definici´ on 121 Un bloque de Jordan correspondiente al valor propio  es de la forma 4 3  0 ··· 0 0 0 E 1  ··· 0 0 0 F F E . F E E 0 1 .. 0 0 0 F F= E . . . E .. .. . .  ... ... F F E C 0 0 ··· 1  0 D 0 0 ··· 0 1  3

4 2 1 0 1 E 0 3 1 0 F F Ejemplo 138 Consideremos D = E C 0 1 1 0 D 0 1 0 3 Es obvio que el polinomio m´ınimo para h¯1 es w  2.

´ 10.9. FORMA CANONICA DE JORDAN

375

El espacio W -c´ıclico generado por h¯2 est´a generado por los vectores 4 4 3 4 3 3 4 3 26 6 1 0 E 1 F E 3 F E 8 F E 20 F F F E F E E F>E C 0 D C 1 D > C 4 D > C 12 D > 26 6 1 0 3 4 0 1 6 26 E 1 3 8 20 F F, reduciendo y escalonando: concatenando: E C 0 1 4 12 D 0 1 6 26 4 3 1 0 0 12 E 0 1 0 16 F F E C 0 0 1 7 D= 0 0 0 0 Por lo tanto el polinomio m´ınimo para h¯2 es w3  7w2 + 16w  12 = (w  3) (w  2)2 Ahora,

;3 4 3 0 1 A A ?E F E 0 E F>E 1 C 0 D C 0 A A = 0 0

4 3 6 1 F E 3 F E 8 F E F>E D C 1 D>C 4 6 1 4 3

ya es una base de R4 , pues 3 1 0 1 6 E 0 1 3 8 det E C 0 0 1 4 0 0 1 6

4< A A F@ F DA A >

4 F F = 1  1  (6 + 4) = 2= D

Por lo tanto W (w) = (w  3) (w  2)2 = Calculemos el diagrama de puntos para Ker(W  3Lg) : 3 3 4 1 1 0 1 2 1 0 1 E E 0 3 1 0 F 0 1 0 E F3=E 0 C 0 C 0 1 1 2 0 1 0 D 0 1 0 0 0 1 0 3

4 F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

376 tiene rango 3.

3

42 3 4 1 1 0 1 1 0 1 1 E 0 E F 0 1 0 F E F = E 0 1 2 0 F C 0 C D 1 2 0 0 2 3 0 D 0 1 0 0 0 0 1 0

tiene rango 3. Por lo tanto f1 = 4  2  rango (D  3Lg) + rango (D  3Lg)2 = 4  6 + 3 = 1 f2 = 3  2  3 + 3 = 0 = f3 = === Por lo tanto, el diagrama de puntos es: • Diagrama de puntos para Ker(W 3 2 1 0 E 0 3 1 E C 0 1 1 0 1 0 es de rango 2=

es de rango 1.

 2Lg)2 : 3 4 1 E 0 F F2=E C 0 D 3

4 0 1 0 1 0 1 1 0 F F> 0 1 1 0 D 0 1 0 1

3

42 3 0 1 0 1 0 2 E 0 1 1 0 F E 0 0 E F E C 0 1 1 0 D = C 0 0 0 1 0 1 0 2 3

43 3 0 1 0 1 0 2 E 0 1 1 0 F E 0 0 E F E C 0 1 1 0 D = C 0 0 0 1 0 1 0 2

1 0 0 1

4 1 0 F F> 0 D 1

1 0 0 1

4 1 0 F F 0 D 1

es de rango 1. Entonces, f1 = 4  2  2 + 1 = 1 f2 = 2  2  1 + 1 = 1 f3 = 1  2  1 + 1 = 0 = f4 = ===

´ 10.9. FORMA CANONICA DE JORDAN

377

Por lo tanto el diagrama de puntos para Ker(W  2Lg)2 es • • • Por lo tanto la forma can´onica racional es 3 3 0 0 E 0 0 4 E C 0 1 4 0 0 0

4 0 0 F F 0 D 2

y3 ) = y¯4 , y W (¯ y4 ) = 4¯ y3 +4¯ y4 = Esto significa que hay una base y¯1 > y¯2 > y¯3 > y¯4 tal que W (¯ Si cambiamos a la base {¯ y1 > y¯2 > y¯4 > (W  2Lg) y¯4 } > como (W  2Lg) y¯4 = 4¯ y3 + 4¯ y4  2¯ y4 = 4¯ y3 + 2¯ y4 )> y4 + (W  2Lg) y¯4 y (W  2Lg) y¯4 = 2  (W  2Lg) y¯4 = Por lo tendremos que W (¯ y4 ) = 2¯ que la matriz respecto de esta nueva base es: 3 4 3 0 0 0 E 0 2 0 0 F E F C 0 0 2 0 D> 0 0 1 2 µ ¶ 2 0 donde es un bloque de Jordan. 1 2 W

Teorema 137 Sea Y $ Y , con lineal

dim (Y ) ? 4 y W (w) = (w  1 )n1 (w  2 )n2 · = = = · (w  v )nv = Entonces el n´ umero de bloques de Jordan de o × o , correspondientes a 1 es fo >1 = rango (W  1 Lg)o31  2  rango (W  1 Lg)o + rango (W  1 Lg)o=+1 > y en general, fo >x = rango (W  x Lg)o31  2  rango (W  x Lg)o + rango (W  x Lg)o=+1 =

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

378

Demostraci´ on. Se sigue de la Observaci´on 10.9. Corolario 29 Sea Y

W 3 <

Y es lineal con dim (Y ) ? 4. Son equivalentes

1. W es diagonalizable. a) (Los u ´nicos factores irreducibles de W (w) son de grado 1) y b)

¡ ¢ rango (W  x Lg) = rango (W  x Lg)2 para cada x valor propio de W

Demostraci´ on. 1),2)) Es claro que si W es diagonalizable, entonces todos los factores irreducibles de W (w) son de la forma w  x = Adem´as, todos los bloques de Jordan (y racionales son de la forma (x ) = Dado un valor propio x > tenemos que la forma de Jordan para Ker(W  x Lg) es 4 3 x 0 · · · 0 E 0 x · · · 0 F F E E .. .. . . .. F C . . . . D 0 0 · · · x Entonces, f1 >x = dim (Ker (W  x Lg)) = Ahora, dim (Ker (W  x Lg)) = dim (Y )  rango (W  x Lg) = Como f1 >x = rango (W  x Lg)0  2  rango (W  x Lg) + rango (W  x Lg)2 = entonces f1 >x = dim (Ker (W  x Lg)) = dim (Y )  rango (W  x Lg) , dim (Y )  2  rango (W  x Lg) + rango (W  x Lg)2 = = dim (Y )  udqjr (W  x Lg) , rango (W  x Lg) = rango (W  x Lg)2 = 2),1)

´ 10.9. FORMA CANONICA DE JORDAN

379

v Q (w  l )nl > basta ver que cada nl es 1= Y para esto basta Tenemos que W (w) = l=1 ver que fo >x =

= rango (W  x Lg)o31  2  rango (W  x Lg)o + rango (W  x Lg)o=+1 = 0 para o  2 (esto querr´ıa decir que no hay bloques de 2 × 2> 3 × 3> === etc., es decir que todos los bloques ser´ıan de 1 × 1> y se ver´ıan as´ı: (x )). Como rango(W  x Lg) =rango(W  x Lg)2 = Entonces por el Teorema 135, rango (W  x Lg) = rango (W  x Lg)2 = rango (W  x Lg)3 = === entonces f2 >x = rango (W  x Lg)  2  rango (W  x Lg)2 + rango (W  x Lg)3 = 0 y para o  2 , fo >x = rango(W  x Lg)o31  2  rango(W  x Lg)o + rango(W  x Lg)o+1 = 0=

Teorema 138 Sean D> E 5 Mq×q (I ) = Son equivalentes: 1. D es similar a E= 2. D y E tienen la misma forma can´onica racional. (Excepto por una permutaci´ on en el orden de los bloques). 3. D> E tienen el mismo polinomio m´ınimo y para cada i (w) tal que i (w) | D (w) > se tiene que rango i (D) = rango i (E) = 4. rango i (D) = rango i (E), y para cada i (w) tal que i (w) | D (w), se tiene que rango i (D) = rango i (E) = 5. rango i (D) = rango i (E), para cada i (w) 5 I [w] =

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

380

Demostraci´ on. 1),5) ) Supongamos que D = T31 ET= Entonces E y D son matrices que representan al operador lineal E· < I q> Iq 3 as´ı que rango (D) = rango (E · ) = rango E= Ahora,

¡ ¢ T31 i (E) T = i T31 ET = i (D) :

i) Se tiene que T31 ET = D> entonces ¡ ¢ T31 E n+1 T = T31 E n ET = T31 E n TT31 ET = T31 E n T D= As´ı que por inducci´on se tiene que T31 E p T = Dp , ;p 5 N= ii) Es claro que ;fp 5 I> T31 fp E p T = fp Dp = iii) Es claro que T31 (f0 Lq + f1 E + === + fp E p ) T = ¢ ¡ = T31 f0 Lq T + T31 f1 ET + === + T31 fp E p T = = f0 Lq + f1 D + === + fp Dp = Una vez que hemos visto que las matrices i (E) y i (D) son similares, podemos concluir que tiene el mismo rango. 5) , 4)) Es obvio. 4) , 3)) Solamente hay que demostrar que D y E tienen el mismo polinomio m´ınimo. Como rango D (E) = rango D (D) = 0, entonces D (E) = 0= Por lo tanto, E (w) | D (w). Por simetr´ıa, D (w) | E (w) y entonces D (w) = E (w) = 3) , 2)) Se sigue del Teorema 134. 2) , 1)) D es similar a su forma can´onica racional que es similar a E. Corolario 30 Son equivalentes para dos matrices D> E 5 Mq×q (I ) > cuyos polinomios caracter´ısticos s´olo tengan factores irreducibles de grado 1: 1. D es similar a E= 2. D y E tienen la misma forma can´ onica de Jordan. Demostraci´ on. Teorema anterior. Llamemos matriz escalar a una matriz de la forma fLq > f 5 I=

´ 10.9. FORMA CANONICA DE JORDAN

381

Ejercicio 232 Sean D> E en P2×2 (I ) no escalares. Demuestre que D y E son similares si y s´ olo si D y E tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. Ejercicio 233 La relaci´on de similitud es una relaci´on de equivalencia en Pq×q (I ) = Encuentre todas las clases de similitud en P6×6 (Q) con polinomio m´ınimo ({ + 2)2 ({  1) = Ejercicio 234 Encuentre todas las clases de similitud en P6×6 (Q) con polinomio caracter´ıstico ({4  1) ({2  1) = Ejercicio 235 Determine todas las forms can´ onicas racionales posibles para una 2 transformaci´ on con polinomio caracter´ıstico {2 ({2 + 1) = Ejercicio 236 Sea

QY

de dimensi´on finita y Y

W

$ Y un isomorfismo tal que

olqhdo

W 31 = W 2 + W= Demuestre que dim (Y ) es un m´ ultiplo de 3. Demuestre tambi´en que todos los operadores que satisfacen las condiciones son similares. Ejercicio 237 Sea E 5 P10×10 (Q) tal que "E (w) = (w  2)4 (w2  3)3 > E (w) = (w  2)2 (w2  3)2 y udqjr (E  2L10 ) = 8= Encuentre las formas can´ onicas racional y de Jordan de E= 4 3 2 0 0 0 E 3 2 0 2 F F Ejercicio 238 Sea W : Q Y $ Q Y tal que [W ] = E C 0 0 2 0 D = Encuentre 0 0 2 2 una base  de Y tal que [W ] est´e en forma can´onica racional. Ejercicio 239 Sea D 5 P7×7 (C) el bloque de Jordan de 7 × 7 con  en la diagonal. Calcule la forma de Jordan de D3 = (Considere los casos  = 0>  6= 0). Sea E 5 P4×4 (I ) tal que "E (w) = (w  1)4 = Demuestre que hay 5 posibilidades para la forma de Jordan de E. Demuestre que E (w) y udqjr (E  L4 ) determinan la forma can´onica de Jordan. Ejercicio 240 Encuentre la forma can´ onica de Jordan 3 2 0 0 0 1 0 0 0 E 0 2 0 0 0 0 0 0 E E 0 0 2 0 0 0 0 0 E E 0 0 0 3 0 0 0 1 D=E E 0 0 0 0 2 1 0 0 E E 0 0 0 0 0 2 1 0 E C 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3

de 4 F F F F F F= F F F F D

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

382

Ejercicio 241 Encuentre la forma can´onica racional de la matriz del ejercicio anterior. Ejercicio 242 Si D 5 Pq×q (C), demuestre que D = E + Q donde E es diagonalizable, Q es nilpotente y EQ = QE= (Sugerencia: usar formas can´onicas de Jordan). Ejercicio 3 1 D=C 0 0

243 Determine las formas can´onicas racional y de Jordan para 4 1 0 1 0 D= 1 1

244 Sea D 5 P3×3 (C) tal que su forma can´ onica de Jordan 3 4 7 0 E 0 1 D y sea E 5 P4×4 (C) con forma can´onica de Jordan: E C 0 7 0 Sea C Y = {[ 5 P3×4 (C) | D[ = [E}

Ejercicio 3 2 0 C 0 7 0 0

10.10.

Cadenas de Markov

10.10.1.

L´ımites

es 1 7 0 0

0 1 7 0

4 0 0 F F= 0 D 7

Consideremos el anillo conmutativo n o i U = RR = R$R | i es funci´on > donde la suma y el producto son los naturales, es decir que (i + j) (d) = i (d) + j (d) > ;d 5 R> (i · j) (d) = i (d) · j (d) > ;d 5 R= Uno puede considerar matrices de q × q con coeficientes en U. Por ejemplo ¶ µ hw w2 + 1 5 P2×2 (U) = cos (w) ww ¡ ¢ Ahora, si D 5 Pq×q RR > puede uno considerar l´ımites, por ejemplo l´ımD (w) = w (esto significa que Dl>m (w) : R $ R es una funci´on ; (l> m) 5 {1> ===> q} × {1> ===> q}) l´ımD (w) = : O> donde wm =

l´ımDl>m (w) = w con las operaciones naturales de suma y¡de producto. ¢ De nuevo podemos considerar Pq×q I N > por ejemplo ¶ µ 1 1 p 2 p ¡ ¢ s > p p p 1 + p1 y considerar por ejemplo µ

1

¶

1

2p ¡ p ¢p s p p 1 + p1

l´ım

pm (p) · · · F = D p entonces  ·

(p + 1) = p

(p+1) $ p p entonces 1. || ? 1 , l´ım M p = 0= p || = 1 , l´ım M p no existe= p F 1 0 D 0 1

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

386 4

3

0 0 ··· 0 0 E . E 1 0 .. 0 0 E . Llamemos Q = E E 0 1 .. 0 0 E . . . C .. .. . . 0 0 0 0 ··· 1 0 Consideremos la existencia de

F F F F > supongamos que esta matriz es de n × n= F F D l´ım (Q + Ln )p > para distintos valores de .

p entonces olp (Q + Ln )p existe y es 0= p 1 a p1 = p= Pues 3 3 4 0 0 ··· 0 0 0 E E F ... E 1 0 E 0 0 0 F E E F 2 ... E 1 F Q = E = > Q 0 0 F E 0 1 E E . . . E . F C .. .. . . 0 0 D C .. 0 0 ··· 1 0 0 4 3 0 0 ··· 0 0 E 0 0 ··· 0 0 F F E E 0 0 ··· 0 0 F F E Q3 = E 1 0 · · · 0 0 F = F E E 0 1 ··· 0 0 F D C .. .. . . .. .. . . . . . p

0 ··· . 0 .. . 0 .. .. . . . . 0 ···

0 0

4

F 0 0 F F 0 0 F F> F 0 0 D 1 0

Entonces p

((Q + Ln ) )2>1  6= 1> || = 1)

µ ¶ µ ¶ p µ ¶ X p ¡ l¢ p p = Q 2>1 = Q2>1 = = p= l 1 1 l=0

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

388

Consideremos la entrada 1> 1 de (Q + Ln )p : p = Veamos que no converge: ¯ ¯ v+1 ¯  v ¯ = |v | |  1| = |  1| = Veamos que c 6= l´ım p : p 1 de (Q + Ln )p : p =

Observaci´ on 96 Sea D 5 Pq×q (C) > olp Dp existe si y s´olo si olp M p existe para p 1]) = 3 E E Si comenzamos con una poblaci´on inicial E C

p1 p2 .. .

4 F F F > entonces la poblaci´on en el D

pq estado m en la siguiente etapa ser´a: Sm>1 p1 + Sm>2 p2 + === + Sm>q pq

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

390

pues por ejemplo Sm>1 p1 representa la cantidad de poblaci´on que pas´o del estado 1 al estado m= Como 3 4 p1 E F Sm>1 p1 + Sm>2 p2 + === + Sm>q pq = Sm C ... D > pq 3 4 p1 E F tenemos que S C ... D es la distribuci´on de la poblaci´on en la etapa 1= (La etapa pq inicial es la etapa cero). 3 4 p1 E F Repitiendo el argumento, tenemos que S S C ... D es el vector de poblaci´on en pq la etapa 2> y en general 3 4 p1 n E .. F S C . D pq es el vector de poblaci´on en la etapa n= Ahora es claro que la poblaci´on converge a un l´ımite si y s´olo si l´ım S n existe. nE 6 C ¡ s ¢s A A 1 = 1 l 2l 3  3 3 6

4< 1 A A s s ¡ ¢ F E 1 l l 3  3 3 F@ F>E 4 F D C ¡s ¢ s DA A 1 > l l 3+3 3 4 4 3

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

392

por lo que el l´ımite de las potencias de S es 3 9 s s 1 5 5 1  57 l 3 + 19 l 3 + 19 19 57 E s s E 6 7 7 3 3  57 l 3  19 l 3  19 E 19 57 E s ¢s s ¢s ¡ ¡ C 4 2 2 l 4 + l 3 3 57 l 4 + l 3 3 19 57 3

1

E E 1 ·E E C 1

1

1

¡ s ¢s 2l 3 + 3 3 ¡ s ¢s 1 l 2l 3  3 3 6 1 l 6

¡s ¢s l 33 3 ¡s ¢s 1 l l 3+3 3 4

1 l 4

4

4 3 1 0 0 F F E F·C 0 0 0 F D· F D 0 0 0

4 F F F = F D 3 E E = E C

En el l´ımite, la proporci´on ser´ a: 3 9 9 E E E C

19

19

9 19

6 19

6 19

6 19

4 19

4 19

4 19

4

3 4 3 F 1 FC D E =C F 0 D 0

9 19 6 19 4 19

9 19

9 19

9 19

6 19

6 19

6 19

4 19

4 19

4 19

4 F F F D

4 F D=

6 4 Eventualmente, habr´ a 9@19 de pa˜ nales nuevos, 19 de pa˜ nales usados y 19 de pa˜ nales de dos usos. En porcentajes: 47>3 68 % pa˜ nales nuevos, 31= 579 % de pa˜ nales usados y 21=053 % de pa˜ nales de dos usos.

Ejercicio 248 Compruebe que una base de Jordan para 3 4 1@3 1@3 1 E F E 2@3 0 0 F E F C D 0 2@3 0 es

;3 4 3 4< 4 3 1 1 ¢s A A ? 1 @ s ¡ s s ¡ ¢ F E 1l l 3  3 3 F 1 C 1 D>E l 2l 3 + 3 3 = > D C 6 ¡ s D C 4 s s ¡ ¢ ¢s A A 1 = 1 > 1 l l 3 + 3 3 l 2l 3  3 3 4 6

10.10. CADENAS DE MARKOV

393

Proposici´ on 22 Sea D 5 Pq×q (R) denotemos X l = |Dl>m | m

la suma de los tama˜ nos de los elementos en el l´esimo rengl´on de D= Denotemos  (D) = m´ax {l | l 5 {1> ===> q}} = Si  es un valor propio de D> entonces || ?  (D) = Demostraci´ on. Sea { un vector propio de D correspondiente a > entonces D{ = {, as´ı que tomando las coordenadas l´esimas tenemos que 3 4 {1 E F X Dl>m {m  {l = Dl C ... D = m=1 {q ¯ ¯ ¯ X ¯X X ¯ ¯  ¯ Dl>m {m ¯  |Dl>m {m | = |Dl>m | |{m | = ¯ ¯ m=1

m=1

Como consecuencia, |{l | 

X

|Dl>m | |{m | 

m=1

m=1

à X

! |Dl>m | m´ax {|{m |}m

m=1

Digamos que m´ax {|{m |}m = |{P | > la ecuaci´on de arriba vale para l = P, as´ı que à ! X || |{P | = |{P |  |DP>m | |{P | = m=1

Entonces || 

X

|DP>m | = P  =

m=1

El resultado anterior, se puede aplicar a Dw > de donde obtenemos que (recuerde que los valores propios de D y de Dw coinciden) que ¡ ¢ ||   Dw =:  (D) = En resumen: un valor propio de una matriz D es menor o igual que la mayor de las sumas de los valores absolutos de los coeficientes en un rengl´on (o columna). En vista de lo que se acaba de mencionar, podemos hacer la siguiente observaci´on.

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

394

Observaci´ on 98 Si  es un valor propio de una matriz de transici´ on, entonces ||  1= Demostraci´ on. Hemos notado ya que la suma de los elementos de cada columna en una matriz de transici´on es 1= Definici´ on 123 1. Diremos que una matriz de transici´on es positiva si todos sus coeficientes pertenecen a R+ = 2. Diremos que una matriz de transici´on D es regular, si tal que Dq es positiva. Enseguida veremos como son los valores propios de una matriz regular. Teorema 141 Sea D 5 Pq×q (C) positiva (es decir que sus coeficientes son reales positivos). un4valor propio de D tal que || =  (D) > entonces  =  (D) y 3;Si3 es4< A A 1 A A @F ?E FA EA E E 1 F F H = S E E .. F F = C . DA CA AD A A > = 1 A Demostraci´ on. Consideremos un vector propio { correspondiente a = As´ı que D{ = {> tomando las coordenadas P´esimas, donde |{P | = m´ax {|{m |}1$m$q > tenemos que ¯ ¯ ¯ ¯X ¯ ¯  (D) |{P | = || |{P | = |{P | = ¯ DP>m {m ¯  ¯ ¯ m à ! X X  |DP>m {m |  |DP>m | |{P |   (D) |{P | > m

m

As´ı que las desigualdades en realidad son igualdades, as´ı que por ejemplo, Ã ! X X |DP>m {m | = |DP>m | |{P | > m

m

de donde se sigue que |{m | = |{P | > ;m 5 {1> ===> q} =

10.10. CADENAS DE MARKOV

395

Una vez notado esto, podemos escribir ¯ ¯ ¯ ¯X ¯ ¯  (D) |{l | = || |{l | = |{l | = ¯ Dl>m {m ¯  ¯ ¯ m à ! X X  |Dl>m {m |  |Dl>m | |{l |   (D) |{l | = m

m

As´ı podemos observar que à ! X Dl>m |{l |   (D) |{l | > ;l 5 {1> ===> q} = m

Por lo que

X Dl>m =  (D) > ;l 5 {1> ===> q} = m

Entonces la suma de los elementos en cada rengl´on de D es  (D) > por lo que 3 4 4 3 4 3 1  (D) 1 E 1 F E 1 F E  (D) F E F F E F E D E .. F = E .. F =  (D) E .. F > C . D C . D C . D 1  (D) 1 entonces  (D) es un valor propio de D. Por otro lado, como ¯ ¯ ¯X ¯ X ¯ ¯ Dl>m |{m | > ¯ Dl>m {m ¯ = ¯ ¯ m

m

+ debe suceder (Ejercicio) que existe 3 un 4complejo x y escalares  1 >  2 > ===>  q 5 R tales 1 E 2 F E F que {m =  m x> entonces { = x E .. F > as´ı que C . D q 3 3 4 4 1 1 E 2 F E 2 F E E F F D{ = D E .. F x =  (D) E .. F x> C . D C . D q q

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

396 3 E E de donde se tiene que D E C

1 2 .. .

4

3

E F E F F =  (D) E C D

1 2 .. .

4 F F F= D

q q Como vimos arriba, un vector propio que correspondiera a un valor propio de tama˜ no  (D) > debe 3 4absolutos de sus coordenadas iguales. 4 los valores 3 tener 1  E 1 F E  F E F E F As´ı que { = x E .. F = x E .. F para  5 R+ > x 5 C= C . D C . D 1  En resumidas cuentas, un vector propio de D que3corresponda a un valor 4 1 E 1 F E F propio con tama˜ no  (D) debe ser un m´ ultiplo complejo de E .. F = Como ´este es un C . D 1 vector propio que corresponde a  (D) > entonces los valores propios de tama˜ no  (D) > coinciden con  (D) = Otra vez: si || =  (D) > entonces existe un vector propio } que 3 4 1 E 1 F E F corresponde a , pero como es un m´ ultiplo de E .. F > en realidad corresponde a C . D 1  (D) = Corolario 31 Sea D 5 Pq×q (C) positiva (es decir que sus coeficientes son reales positivos). Si  es un valor propio de D tal que || =  (D) > entonces  =  (D) y H es de dimensi´on 1. Demostraci´ on. Simplemente notemos que  (D) =  (Dw ) y apliquemos el Teorema anterior. Es inmediato entonces que || =  (D) =  (Dw ) ,  =  (Dw ) =  (D) = Por otra parte, ¡ ¢ dim H(D) = q  rango (D   (D) Lg) = ¡ ¡ ¢ ¢w = q  rango D   Dw Lg = ¡ ¢ ¢ ¡ w = q  rango D   Dw Lg = ¡ ¢ ª © = dim { 5 R q | Dw{ =  Dw { = 1=

10.10. CADENAS DE MARKOV

397

Ejercicio 249 Sean d1 > d2 > ===> dq 5 R+ > }1 > }2 > ===> }q 5 C tales que ¯ ¯ ¯X ¯ X ¯ ¯ dm |}m | ¯ dm }m ¯ = ¯ ¯ m

m

entonces 1 > 2 > ===> q 5 R tal que }m = m x= Sugerencia: inducci´ on y desigualdad del tri´angulo. +

Corolario 32 Si D es una matriz de transici´on positiva y  es un valor propio de D entonces 1. ||  1= 2. || = 1 , = = 1= 3. dim (H1 ) = 1= on regular entonces Teorema 142 Si D 5 Pq×q (C) es una matriz de transici´ 1. La multiplicidad de 1 como valor propio de D es 1. 2. O = l´ım Dp existe. p

21 71 30 71 20 71

21 71 30 71 20 71

4 F D=

10.10. CADENAS DE MARKOV

403 3

E En efecto, la forma can´onica de Jordan de C

1 3 2 3

1 5 2 5 2 5

0 3

1 E 0 C 0

0

1 15

2 5 1 5 2 5

4 F D es 4

0 0

s 1 + 15 l 17 0

1 15

F D> s 1  15 l 17

con base can´onica : ;3 4 3 4 3 4< 1 1 A A ? 1 @ s s E F F 2 1 9 3 C 1 D>E C  5 + 10 ls17 D > C  20  20 ls17 D = A A = 1 > 1 9 3  25  10  20 l 17 + 20 l 17 3

1 E 0 Como el l´ımite de las potencias de C 0

0

1 15

s 1 + 15 l 17 0

4

0 0

1 15

F D es s 1  15 l 17

3

4 1 0 0 C 0 0 0 D> 0 0 0 3 E entonces el l´ımite de las potencias de C

1 3 2 3

0

1 5 2 5 2 5

2 5 1 5 2 5

4 F D es:

3

431 3 4 1 1 1 1 0 0 s s E 1  2 + 1 l 17  9  3 l 17 F C D · C 0 0 0 D· 5 10 s 20 20 s 2 1 9 3 0 0 0 1  5  10 l 17  20 + 20 l 17 4 3 1 1 1 s s F E E 2 1 9 3 · C 1  5 + 10 l 17  20  20 l 17 D = C s s 1 9 3 1  25  10 l 17  20 + 20 l 17 3

Que coincide con el c´alculo previo.

21 71 30 71 20 71

21 71 30 71 20 71

21 71 30 71 20 71

4 F D=

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

404

Ejemplo 141 En un hospital, los pacientes se distribuyen en los estados: leve (l), y graves (g). Si alguien muere se admite un nuevo paciente de enfermedad leve en el hospital, lo mismo si sana. La probabilidad de que en un mes sane un paciente leve es de 60 %, de que siga siendo enfermo leve es 20 % y de que se ponga grave es del 20 %. Si un enfermo est´a grave la probabilidad de que en un mes sane es del 10 %, de que su enfermedad se vuelva leve es del 20 %, de que siga grave es del 50 % y de que muera es del 20 %. La matriz que describe el proceso es la siguiente: µ o j ¶ >8 >5 >2 >5

o j

¶ ¶p µ >8 >5 >8 >5 es una matriz positiva, para encontrar l´ım basta >2 >5 >2 >5 p429 % enfermos leves y 28>571 % enfermos graves. Ejercicio 250 Encontrar el l´ımite, cuando p tiende a infinito, de 3 E E E C

1 6 2 6 1 6 2 6

1 5 1 5 1 5 2 5

1 10 2 10 3 10 4 10

3 6 1 6 1 6 1 6

4p F F F = D

10.10. CADENAS DE MARKOV

405

Ejercicio 251 La gente de una ciudad vive en el centro, en la periferia o en una casa rentada. Los estados se puede etiquetar f> s o u= Las probabilidades de cambiar de estado en un a˜ no son las siguientes: si se vive en el centro, hay un 40 % de probabilidad de seguir en el centro, 30 % de alquilar una casa y 30 % de mudarse a la periferia. Si se alquila una casa hay 50 % de probabilidad de seguir rentando 40 % de mudarse a la periferia y 10 % de mudarse al centro. Por u ´ltimo, si se vive en el centro hay un 60 % de probabilidad de seguir viviendo en el centro, un 20 % de mudarse a la periferia y un 20 % de alquilar una casa. ¿ Despu´es de mucho tiempo, cu´ales ser´an las proporciones relativas de la poblaci´ on? Llamemos matriz escalar a una matriz de la forma fLq > f 5 I= Ejercicio 252 Sean D> E en P2×2 (I ) no escalares. Demuestre que D y E son similares si y s´ olo si D y E tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. Ejercicio 253 La relaci´on de similitud es una relaci´on de equivalencia en Pq×q (I ) = Encuentre todas las clases de similitud en P6×6 (Q) con polinomio m´ınimo ({ + 2)2 ({  1) = Ejercicio 254 Encuentre todas las clases de similitud en P6×6 (Q) con polinomio caracter´ıstico ({4  1) ({2  1) = Ejercicio 255 Determine todas las formas can´onicas racionales posibles para una 2 transformaci´ on con polinomio caracter´ıstico {2 ({2 + 1) = Ejercicio 256 Sea

QY

de dimensi´on finita y Y

W

$ Y un isomorfismo tal que

olqhdo

W 31 = W 2 + W= Demuestre que dim (Y ) es un m´ ultipo de 3. Demuestre tambi´en que todos los operadores que satisfacen las condiciones son similares. Ejercicio 257 Sea E 5 P10×10 (Q) tal que "E (w) = (w  2)4 (w2  3)3 > E (w) = (w  2)2 (w2  3)2 y udqjr(E  2L10 ) = 8. Encuentre las formas can´ onicas racional y de Jordan de E= 4 3 2 0 0 0 E 3 2 0 2 F F Ejercicio 258 Sea W : Q Y $ Q Y tal que [W ] = E C 0 0 2 0 D = Encuentre 0 0 2 2 una base  de Y tal que [W ] est´e en forma can´onica racional.

´ CAP´ITULO 10. FORMAS CANONICAS

406

Ejercicio 259 Sea D 5 P7×7 (C) el bloque de Jordan de 7 × 7 con  en la diagonal. Calcule la forma de Jordan de D3 = (Considere los casos  = 0>  6= 0). Sea E 5 P4×4 (I ) tal que "E (w) = (w  1)4 = Demuestre que hay 5 posibilidades para la forma de Jordan de E. Demuestre que E (w) y udqjr (E  L4 ) determinan la forma can´onica de Jordan. Ejercicio 260 Encuentre la forma can´ onica de Jordan 3 2 0 0 0 1 0 0 0 E 0 2 0 0 0 0 0 0 E E 0 0 2 0 0 0 0 0 E E 0 0 0 3 0 0 0 1 D=E E 0 0 0 0 2 1 0 0 E E 0 0 0 0 0 2 1 0 E C 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3

de 4 F F F F F F= F F F F D

Ejercicio 261 Encuentre la forma can´onica racional de la matriz del ejercicio anterior. Ejercicio 262 Si D 5 Pq×q (C), demuestre que D = E + Q donde E es diagonalizable, Q es nilpotente y EQ = QE= (Sugerencia: usar formas can´onicas de Jordan). Ejercicio 263 Determine las formas can´onicas racional y de Jordan para 3 4 1 1 0 D = C 0 1 0 D= 0 1 1 Ejercicio 3 2 0 C 0 7 0 0

Sea

CY

onica de Jordan es 264 4 Sea D 5 P3×3 (C) tal que su forma can´ 0 1 D y sea E 5 P4×4 (C) con forma can´ onica de Jordan 7 3 4 7 1 0 0 E 0 7 1 0 F E F C 0 0 7 0 D= 0 0 0 7

= {[ 5 P3×4 (C) | D[ = [E} = Encuentre dim (Y ) =

Cap´ıtulo 11

Espacios con producto interior II 11.1.

Operadores normales, autoadjuntos, unitarios

Recordemos que un operador W : Y $ Y en un espacio con producto interior es Normal, si conmuta con su adjunto: W W W = W W W= Autoadjunto (o hermitiano cuando I = R) si W = W W = Unitario si preserva el producto interior. Como vimos, una equivalencia a que un operador sea unitario es que su adjunto coincida con si inversa, es decir, W W = W 31 = De aqu´ı vemos que los operadores autoadjunto y los operadores unitarios son operadores normales. Es una consecuencia del Teorema 108 que si W es normal entonces i (W ) conmuta con j (W W ) > para cualesquiera dos polinomios i (w) y j (w) 5 C [w] = En particular, si W W W ¯ ¡es normal, ¢ Wentonces (w  Lg) (W ) = W  Lg conmuta con (W  Lg) = W  Lg = ¯ w   (W ) = ´ Recordemos que el “Teorema Fundamental del Algebra” asegura que C es un campo algebraicamente completo, es decir que cualquier polinomio de grado positivo con coeficientes en C tiene una ra´ız en C. Observaci´ on 99 Si W es un operador normal en C Y con valor propio > entonces ¯ es un valor propio de W W = De hecho, W ({) = { / W W ({) =  ¯ · ({) =  407

408

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

Demostraci´ on. W ({) = { / / 0 = hW ({)  {> W ({)  {i / / 0 = h(W  LgY ) ({) > (W  LgY ) ({)i / / 0 = h{> (W  LgY )W (W  LgY ) ({)i / / 0 = h{> (W  LgY ) (W  LgY )W ({)i / / 0 = h(W  LgY )W ({) > (W  LgY )W ({)i / ¯ Y ({) / / 0 = (W  LgY )W ({) = W W ({)  Lg W ¯ · ({) = / W ({) = 

11.2.

Operadores normales, I = C W

Teorema 143 Sea C Y $ C Y un operador normal en un espacio de dimensi´on finita no nula con producto interior. Entonces W es diagonalizable. Demostraci´ on. "W (w) tiene tantas ra´ıces (contando multiplicidades) como dim(Y ). Digamos que los valores propios de W (las ra´ıces de "W (w) ) son 1 > ===> n = Como de costumbre, denotemos Hl = Ker(W  l LgY ) > as´ı que M M H1 === Hn  C Y= Demostrar que W es diagonalizable equivale a demostrar que M M === Hn = C Y= H1 Si la inclusi´on fuera propia, entonces ³ ´z n o M M Z =: H1 6= 0 = === Hn

C

Y z=

Notemos que Z es W  invariante: {l 5 Hl > z  5 Z , hW (z)  > {l i = hz>  W W ({l )i = ®

W ¯ · {l =  hz>  {l i = 0=   hz>  W ({l )i = z>

11.2. OPERADORES NORMALES, I = C

409

Entonces podemos considerar W|Z

Z $ Z n o que tambi´en tendr´ıa un valor propio. por la hip´otesis de que Z 6= 0 = Ahora, un valor propio de W|Z es tambi´en un valor propio de W ("W |Z (w) | "W (w) > Teorema 105). n o P Por lo tanto Z _ ( Hl ) 6= 0 u .  Esta contradicci´on muestra que X Y = Hl > por lo tanto W es diagonalizable. W

Corolario 33 Sea C Y $ C Y un operador normal en un espacio de dimensi´on finita no nula con producto interior. Entonces 1. W W es simult´aneamente diagonalizable con W . 2. W W = j (W ) para alg´ un j (w) 5 C [w] = Demostraci´ on. 1. Se sigue de que ¯ {= W ({) = { / W W ({) =  Por lo tanto una base de vectores propios de W es tambi´en una base de vectores propios de W W = 2. Como la funci´on conjugaci´on, ª ( ) © ¯ 1 > ===>  ¯n {1 > ===> n } $  es una funci´on suprayectiva, podemos aplicar el Teorema 119 W

Corolario 34 Sea C Y $ C Y un operador en un espacio de dimensi´on finita no nula con producto interior. Entonces son equivalentes: 1. W es normal. 2. W W = j (W ) para alg´ un j (w) 5 C [w] =

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

410

Demostraci´ on. 1. , 2.) Si W es normal, entonces W conmuta con W W > entonces W y W W son simult´aneamente diagonalizables (Teorema 116), as´ı que por el Corolario anterior, tenemos que W W = j (W ) para alg´ un j (w) 5 C [w] = 2. , 1. ) W conmuta con cualquier polinomio evaluado en W . µ Ejercicio 265 Sea D =

2 l 1 2

¶ = Demostrar que es normal y encontrar j (w) tal

W

que j (D) = D = W

Teorema 144 Sea C Y $ C Y un operador normal en un espacio de dimensi´on finita no nula con producto interior. W es normal / Y tiene una base ortonormal formada por vectores propios de W= Demostraci´ on. ,) Ya vimos que W es diagonalizable, por lo tanto Y = H1

M

===

M

Hn =

Por el Teorema de Gram-Schmidt, basta ver que vectores propios que corresponden a distintos valores propios de W son ortogonales. En efecto, ´ ³ 0 6= { 5 H1 > 0 6= | 5 H2 , , 1 h{> |i = h1{> |i = = hW ({) > | i = h{> W W (|)i = ®

¯ 2| = 2 h{> |i = = {>  As´ı que 0 6= h{> |i , 1 = 2 u=  ¯ {= Por lo tanto W W conmuta con W si W es diagona+) W ({) = { / W W ({) =  lizable.

11.3.

Operadores autoadjuntos, I = R W

Teorema 145 Sea R Y $ R Y un operador autoadjunto en un espacio de dimensi´on finita no nula con producto interior. Entonces W es diagonalizable.

11.3. OPERADORES AUTOADJUNTOS, I = R

411

Demostraci´ on. Consideremos el diagrama W

Y

-

Y

! [W ] ·

?

[W ] ·

Rq

Cq Como [W ] =

!

?

?

-

Rq

-

Cq

?

³ ³ ´W ´w [W ] = [W ] > (pues [W ] es una matriz sim´etrica con coe-

un valor ficientes reales) entonces [W ] · es un operador normal, as´ı que tiene alg´ propio  5 C. ³ ´W ¯ es un valor propio de [W ] · = [W ] · . Ahora,  valor propio de [W ] · ,   ¯ son valores propios de [W ] · = Adem´as  · { = [W ] · { = [W ] · · { =  ¯5R. por lo que  =  As´ı tenemos que W tiene un valor propio real (de hecho, todo sus valores propios son reales). Ahora el argumento prosigue por inducci´on sobre la dimensi´on de Y . Supongamos que M M M === Hn Z> Y = H1 donde Z = (H1

L

===

L

Hn )z =

¡ ¢W ³ W ´ Entonces Z es W invariante. Adem´as W|Z = W|Z = W|Z > as´ı que si ˆ0 6= W|Z > tenemos que W|Z tambi´en tendr´ıa alg´ un valor propio. n o L L Por lo tanto Z _ (H1 === Hn ) 6= 0 u .  n o L L As´ı que Z = 0 por lo que Y = H1 === Hn > es decir, W es diagonalizable.

Corolario 35 Toda matriz D 5 Pq×q (R) sim´etrica, es diagonalizable.

412

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II 3

4 1 2 3 Ejercicio 266 Muestre que C 2 4 5 D es diagonalizable. 3 5 6 Ejercicio 267 Sea W : R3 $ R3 definida por W (({> |> })) = ({  | + }> { + |> }  {) = Decir si W es autoadjunto. El resultado anterior se aplica para eliminar t´erminos cruzados en las formas cu´adricas que se estudian en geometr´ıa anal´ıtica. Ejercicio 268 Eliminar el t´ermino cruzado en 4{2 + 5{| + 9| 2 + 8 = 0> mediante un cambio de coordenadas. Sugerencia: µ ¶µ ¶ ¡ ¢ 4 5@2 { 2 2 4{ + 5{| + 9| = { | = 5@2 9 | Ejercicio 269 Encontrar nuevas coordenadas {´> |´de manera que las siguientes formas cuadr´aticas puedan escribirse como 1 ({´)2 + 2 (|´)2 y decidir que tipo de curva determinan: 1. {2 + 4{| + | 2 = 0= 2. 2{2 + 2{| + 2| 2 = 0= 3. 2{2 + 2{| + 2| 2 = 0= Ejercicio 270 Determinar si el siguiente operador lineal es normal, autoadjunto o ninguna de las dos. W : R2 $ R2 definido mediante W (({> |)) = (2{  2|> 2{ + 5|) = Encontrar una base ortonormal para R2 formada por vectores propios de W=

11.4. OPERADORES UNITARIOS

11.4.

413

Operadores unitarios W

Teorema 146 Sea C Y $ C Y un operador normal en un espacio de dimensi´on finita no nula con producto interior. W es unitario / C Y tiene una base ortonormal de vectores propios correspondientes a valores propios de tama˜ no 1= Demostraci´ on. ,) Si W es unitario entonces existe  una base ortonormal de Y de vectores propios. Adem´as { 5  , k{k = kW ({)k = k{k = || k{k , || = 1= +) Sea  Y formada por vectores propios cuyos valores propios sean /< base ortonormal

de tama˜ no 1. Digamos que  = {{1 > ===> {q } = Entonces W () = {W ({1 ) > ===> W ({q )} = {1 ({1 ) > ===> q ({q )} es un conjunto ortonormal en Y= Como W manda la base ortonormal {{1 > ===> {q } en la base ortonormal {1{1 > === > q{q }, conclu´ımos que W es unitario (es claro que W preserva la norma). Ejercicio 271 Para la siguiente matriz D encontrar una µ matriz¶ortogonal o unitaria 0 1 = S y una matriz diagonal G tal que S W DS = G= D = 1 0

11.5.

Proyecciones

Recordemos que si Z

L

] = Y> entonces s]

Z $ Y > Y z  + } 7$ z 

se llama la proyecci´on sobre Z a lo largo de ] . Observaci´ on 100 s]Z depende de ] tanto como de Z . Por ejemplo, si Y Z ]1 ]2

= = = =

R2 > {(0> |) | | 5 R} > {({> 0) | { 5 R} > © ª ({> {) 5 R2 | { 5 R >

414

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

entonces s]Z1 ({> |) = s]Z1 (({> 0) + (0> |)) = (0> |) > mientras que s]Z2 ({> |) = s]Z2 (({> {) + (0> |  {)) = (0> |  {) =

y

4 2

-4

-2

2 -2

4

x

-4

Teorema 147 Son equivalentes para W : Y $ Y : 1. W es una proyecci´on (W = s]Z ). 2. W es idempotente. ( W 2 = W  W = W ). Demostraci´ on. 1. , 2. ) Es claro. Ker(W ) 2. , 1=) Demostraremos que W = sW (Y ) = L Para empezar, veamos que Y = Ker(W ) W (Y ) = _) { 5 Ker (W ) _ W (Y ) , { = W (|) para alguna | 5 Y y adem´as

0 = W ({) =

Entonces 0 = W ({) = W (W (|)) = W (|) = {= n o Por lo que Ker(W ) _ W (Y ) = 0 = +) { 5 Y , { = ({  W ({)) + W ({) 5 Ker(W ) + W (Y ) > pues W ({  W ({)) = W ({)  W (W ({)) = W ({)  W ({) = 0=

11.5. PROYECCIONES

415

Hemos demostrado que Y = Ker (W )

M

W (Y ) =

Adem´as, Ker(W )

Ker(W )

sW (Y ) ({) = sW (Y ) (({  W ({)) + W ({)) = W ({) > ;{ 5 Y= Ker(W )

Por lo que sW (Y ) = W=

11.5.1.

Proyecciones ortogonales

Definici´ on 124 Sea Y un espacio vectorial con producto interior, con un subespacio Z  Y tal que Z = Z zz = z

Llamamos proyecci´ on ortogonal sobre Z , a la proyecci´on sZ Z = Observaci´ on 101 1. Si Y es de dimensi´on finita, en la definici´ on anterior siempre se tiene que Z = Z zz = L z 2. Si Z es de dimensi´on finita, se tiene que Y = Z Z > por lo que Z = Z zz Teorema 148 Son equivalentes para un operador W : Y $ Y en un espacio con producto interior. 1. W es una proyecci´on ortogonal. 2. W es idempotente y normal. z

Demostraci´ on. 1. , 2. ) W = sZ Z , W es idempotente. Supongamos que { = {1 + {2 > {1 5 Z> {2 5 Z z > | = |1 + |2 > |1 5 Z> |2 5 Z z > entonces D z E sZ {) > | = h{1 > |1 + |2 i = h{1 > |1 i = Z ( D E z = h{1 + {2 > |1 i = {> sZ |) > Z (

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

416

´W ³ z Zz = s = de donde conclu´ımos que sZ Z Z Ker(W )

2. , 1=) Como W es idempotente, entonces W = sW (Y ) > basta demostrar que Ker (W ) = (W (Y ))z y W (Y ) = (W (Y ))zz = Sea { 5Ker(W ) y sea | = W (}) > entonces D E h{> W (})i = hW W ({) > }i = h¯0{> }i = 0> } = 0= Por lo tanto Ker(W )  (W (Y ))z = Veamos ahora que (W (Y ))z  Y : W

³ ´ | 5 W (Y )z > W ({) 5 W (Y ) , hW (| ) > W ({)i = h|> W W (W ({))i = h| > W (W W ({))i = 0= Una vez que hemos visto que W (Y )z  Y> supongamos que | 5 (W (Y ))z > entonces W (| ) 5 W (Y )z por lo que

W

hW (| ) > W (|)i = 0> por lo tanto W (| ) = 0> es decir que | 5 Ker(W ) = Acabamos de demostrar que W (Y )z  Ker(W ) = Por lo tanto W (Y )z = Ker(W ) = Resta demostrar que W (Y ) = (W (Y ))zz = Siempre se tiene que W (Y )  (W (Y ))zz . Rec´ıprocamente, sea { 5 (W (Y ))zz > entonces { = W ({) + ({  W ({)). Como {  W ({) 5 Ker(W ) = W (Y )z > entonces h{> {  W ({)i = 0= Como W ({) 5 W (Y )  (W (Y ))zz > tambi´en tenemos que hW ({) > {  W ({)i = 0= Por lo tanto 0 = h{> {  W ({)i + hW ({) > {  W ({)i = = h{  W ({) > {  W ({)i =

11.5. PROYECCIONES

417

De aqu´ı que {  W ({) = 0> as´ı que { = W ({) 5 W (Y ) = Con esto vemos que (W (Y ))zz  W (Y ) = Por lo tanto (W (Y ))zz = W (Y ) = Entonces Ker (W ) = (W (Y ))z y W (Y ) = (W (Y ))zz = Ker (W )z = Por lo tanto Y = W (Y )

M

Ker (W ) = W (Y )

M

W (Y )z =

Observaci´ on 102 Notemos que un operador idempotente y normal tiene que ser autoadjunto, en vista del teorema anterior. Ejercicio 272 Demuestre por inducci´on que si D 5 Pq×q (C) es idempotente y normal, entonces D = DW = Teorema 149 Sea Z  Y> Z de dimensi´on finita, Y con producto interior, enz tonces sZ {) es el vector de Z m´as cercano a {= Z ( ³ ´ ³ ´ z z z {) + {  sZ {) > con {  sZ {) 5 Z z = AhoDemostraci´ on. { = sZ Z ( Z ( Z ( ra, ;z  5 Z> k{  zk  = h{  z>  {  zi  = D z ³ ´ ³ ´ E z z z = sZ {) + {  sZ {)  z>  sZ {) + {  sZ {)  z  = Z ( Z ( Z ( Z ( D³ z ´ ³ ´ ³ z ´ ³ ´E z z = sZ {)  z  + {  sZ {) > sZ {)  z  + {  sZ {) = Z ( Z ( Z ( Z ( D³ z ´ ³ z ´E D³ ´ ³ ´E z z = sZ {)  z  > sZ {)  z  + {  sZ {) > {  sZ {) = Z ( Z ( Z ( Z ( °³ z ´°2 D³ ´ ³ ´E z z ° ° = ° sZ {)  z  ° + {  sZ {) > {  sZ {)  Z ( Z ( Z ( ° D³ ´ ³ ´E ° z z z ° °  {  sZ {) > {  sZ {) = °{  sZ {)° = Z ( Z ( Z (

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

418

11.6.

El teorema espectral W

Teorema 150 (Espectral) Sea I Y $ I Y un operador lineal en un espacio de dimensi´ on finita con producto interior. Supongamos que W es normal si I = C y que W es autoadjunto si I = R= Hz

Sean 1 > ===> n los distintos valores propios de W> denotemos Wl =: sHl la proyecci´on l ortogonal sobre Hl = Entonces L L === Hn = 1. Y = H1 L 2. Denotemos Zl´= Hm > entonces Zl´= Zlz = m m6=l

3. Wl Wm =  l>m Wl > donde  l>m denota la delta de Kronecker. 4. LgY = W1 + === + Wn = 5. W = 1 W1 + === + n Wn = Demostraci´ on. 1. Esto sucede porque W es diagonalizable (Teoremas 143 y 145). 2. Para un operador normal, vectores propios que corresponden a distintos valores propios son ortogonales: pues si tomamos a x 5 H1 > y 5 H2 > 1 6= 2 > entonces 1 hx> y i = h1 (x) > yi = hW (x) > yi =

® ¯ 2 (y) = 2 hx> yi = = hx> W W (y )i = x>  Esto muestra que Hm  (Hl )z ;m 6= l= Por lo tanto Zl´  (Hl )z > por otra parte las dimensiones de ambos espacios coinciden, dadas las descomposiciones de Y : M Y = Hl Zl´y M Y = Hl (Hl )z = Por lo tanto, Zl´= (Hl )z =

11.6. EL TEOREMA ESPECTRAL

419

3. Como Wl es una proyecci´on, entonces ¡ ¢ Wl  Wl = Wl = Si l 6= m> entonces Wm (Y ) = Hm  Zl´ = (Hl )z > as´ı que Wl (Wm (Y ))  ³ ´ ³ ´ n o Hz Wl (Hl )z = sHl (Hl )z = 0 = l En resumen, WL l Wm = L l>m Wl = 4. Como Y = H1 === Hn > si y = z  1 + === + z n debe ser claro de los incisos anteriores que W1 (y) = z  1 > ===> Wn (y) = z  n > entonces y = W1 (y ) + === + Wn (y) = (W1 + === + Wn ) (y ) > ;y 5 Y= 5. Respetando la notaci´on del inciso anterior, W (y) = = = = =

W (z  1 + === + z  n) =  n ) = 1 (z  1 ) + === + n (z  n) = W (z  1 ) + === + W (z 1 (W1 (y)) + === + n (Wn (y )) = (1 W1 ) (y) + === + (n Wn ) (y) = (1 W1 + === + n Wn ) (y) > ;y 5 Y>

Por lo tanto, W = 1 W1 + === + n Wn =

W

Corolario 36 Sea C Y $ C Y un operador normal en un espacio de dimensi´ on finita con producto interior. W es autoadjunto / cada valor propio de W es un elemento de R. Demostraci´ on. Como W = 1 W1 + === + n Wn (con la notaci´on del Teorema espectral), entonces WW = = = =

(1 W1 + === + n Wn )W = (1 W1 )W + === + (n Wn )W = ¯n W W = ¯ 1 W W + === +   1 n ¯ n Wn = ¯ 1 W1 + === +  

ya que las proyecciones ortogonales son autoadjuntas (Observaci´on 102).

420

CAP´ITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

¯ l > para cada l, y por Ahora, si cada valor propio de W es real entonces l =  lo tanto W = W W = Rec´ıprocamente, si ¯ 1 W1 + === +  ¯ n Wn > 1 W1 + === + n Wn =  tomemos {l un vector propio de W que corresponda a l > entonces l{l = = =

(1 W1 + === + n Wn ) ({l ) = ¢ ¡ ¯ n Wn {l = ¯ 1 W1 + === +   ¯ l{l 

¯l= Como {l 6= 0> entonces l =  W

Corolario 37 Sea I Y $ I Y un operador lineal no nulo en un espacio de dimensi´on finita con producto interior. Supongamos que W es normal si I = C y que W es autoadjunto si I = R=³ ´ z

H

Entonces cada Wl = sHl l

es un polinomio evaluado en W=

Demostraci´ on. Usaremos la notaci´on del Teorema espectral. Como W = 1 W1 +===+n Wn y como Wl Wm =  l>m Wl > es claro que Wl W = l Wl = Wl W= Entonces los operadores W y Wl son simult´aneamente diagonalizables. La afirmaci´on es cierta si ³ W ´s´olo tiene un valor propio, pues en este caso 1 W = 1 W1 , por lo que W1 = 1 W = 11 w (W ) = (Si 1 = 0 entonces W = ˆ0 u) Y = H1 >  por lo que W1 = LgY = Supongamos ahora que W tiene por lo menos dos valores propios. ³ ´ z

H

Como Wl = sHl debe ser claro que Wl tiene exactamente dos valores l propios:  1 = 1 y  2 = 0= Denotemos Hl´=: {{ 5 Y | Wl ({) =  l{} > l 5 {1> 2} = Es claro que H1´= Hl y que H2´= Ker (Wl ) =

M Hm = m m6=l

11.6. EL TEOREMA ESPECTRAL

421

Por lo tanto la suprayecci´on [

{1> ===> n} ³ {1> 2} l 7$ 1 l 6= m 7$ 2 satisface

X

H´ m =

Hx =

[(x)=m

Pues H´1 = H´ 1 = Hl =

X

Hx

[(x)=1

y H´0 = H´ 2 =

X X Hx = Hx = m m6=l

[(x)=2

La conclusi´on sigue inmediatamente del Teorema 119. Ejercicio 273 Muestre que el Corolario anterior falla si no pedimos que el operador W sea distinto de ˆ0= ¶ µ 0 1 : Ejercicio 274 Para D = 1 0 1. Demostrar que D · posee una descomposici´on espectral. 2. De manera expl´ıcita, definir cada una de las proyecciones ortogonales en los espacios propios de D · W= 3. Verificar los resultados usando el Teorema espectral.

422

Algunas notaciones utilizadas en el libro: C: conjunto de n´ umeros complejos N: conjunto de n´ umeros naturales Q: conjunto de n´ umeros racionales R: conjunto de n´ umeros reales Z: conjunto de n´ umeros enteros € ([): conjunto de subconjuntos de [ _: intersecci´on ^: uni´on  ^: uni´on ajena  D ^ E: uni´on de D con E> que adem´as son ajenos R q : producto directo de q copias de R Pq×p (I ): conjunto de las matrices de q renglones y p columnas Pq (I ): conjunto de las matrices de q × q con coeficientes en I ,: implica /: si y s´olo si b: disyunci´on, supremo a: conjunci´on, ´ınfimo ×: producto cartesiano \: diferencia de conjuntos ;: cuantificador universal : i es una funci´on de D en E i

D ³ E: i es una funci´on suprayectiva D AA$ E: funci´on inyectiva D AA³ E: funci´on biyectiva 423

i  j: “j seguida de i ” : funci´on sucesor El| ([): conjunto de biyecciones de [ a [ Lg[ : funci´on identidad en el conjunto [ |[|: cardinal de [ {31 : inverso de { en un grupo 2Z: conjunto de los pares qZ: conjunto de m´ ultiplos de q 2 Z + 1: conjunto de los impares q Z + p Z: conjunto de combianciones enteras de q y p (q; p): m´aximo com´ un divisor de q y p [q; p]: m´ınimo com´ un m´ ultiplo de q y p : inclusi´ o n de [ en D lD [ i|[ : restricci´on de i a [ i |\ : correstricci´on de i a \ |\ i|[ : restricci´on de i a [>correstringida a \ h[i: subgrupo generado por [ h: neutro en un monoide glvw: distancia E f : complemento de E Z q : enteros m´odulo q ]× q : unidades de Z q R [{]: anillo de los polinomios con coeficientes en R d ¯: clase de congruencia de d Z I Y : Z es un subespacio de Y L ([): subespacio generado por [ Dl>m : coeficiente en el rengl´on l y en la columna m de D S q : conjunto de las matrices sim´etricas de q × q T q : conjunto de las matrices triangulares supeiores de q × q L ([): subespacio generado por [ L ({): subespacio generado por { { h1 > h2 > ===> hq }: base can´onica de R q M : suma directa Z  ]: suma directa de los subespacios Z y ] P (R): subespacio de las funciones reales pares de variable real I (R): subespacio de las funciones reales impares de variable real Y u Z : Y es isomorfo a Z Lq : matriz idnetidad de q × q 424

 l>m : delta de Kronecker [W ] : matriz de W respecto a las bases  y  [W ]fdq onicas fdq : matriz de W respecto a las bases can´ [{] : vector de coordenadas de { respecto a la base  *

Y $ I q : la funci´on { 7$ [{] nul: nulidad rango rangoW : rango de columna |: tal que, divide a, concatenaci´on de matrices, restricci´on, correstricci´on (D | E): concatenaci´on de las matrices D y E M: bloque de Jordan h | i: producto interior kk: norma ||: valor absoluto, m´odulo h() : funci´on exponencial W ×X  7$ (W (y) > W (z))  Y × Z $ [ × \ : la funci´on (y > z) W W : adjunto de W Dw : transpuesta de D D · : multiplicar por D a la izquierda · D: multiplicar por D a la drecha f · : multiplicar por f KrpI (Y> Z ): espacio de las funciones lineales de Y a Z D¯j : m´esima columna de D Di l: -´esimo rengl´on de D ¯ U : rotaci´on por un a´ngulo   : rotaci´on por un a´ngulo   c : reflexi´on respecto de la l´ınea c c.l.: combinaci´on lineal l.i: linealmente independiente l.d.: linealmente dependiente Sq (I ): conjunto de los polinomios de grado a lo m´as q junto con el polinomio cero I [{]: espacio de los polinomios con coeficientes en I I (N) : conjunto de los polinomios con coeficientes en I> pensados como sucesiones casi nulas Il>m : operaci´on elemental que intercambia los renglones l y m de una matriz Il>m : Il>m (Lq ) Mf>l : operaci´on elemental de rengl´on que multiplica por f el rengl´on l de una 425

matriz Mf>l : Mf>l (Lq ) Sf>l>m : operaci´on elemental que suma f veces el rengl´on l al rengl´on m de una matriz R > E : operaciones elementales l>m I : operaci´on elemental que intercambia las columnas l y m de una matriz f>l M : operaci´on elemental de columna que multiplica por f la columna l de una matriz f>l>m S : operaci´on elemental de columnna que suma f veces la columna l a la columna m de una matriz : conjunto de soluciones de un sistema homog´eneo V K ¶ µ D 0 : matriz con submatriz D y con el resto de sus coeficientes 0 0 0 W Y : espacio dual  W : base dual de la base  Y ([) : espacio de las funciones de [ a Y que se anulan en casi todo elemento de [ hy() Y $ Y WW : la funci´on y 7$ hyy hyy Y W $ I : la funci´on W 7$ W (y) + R : conjunto de reales positivos wu: traza q X Dl>l > cuando D 5 Pq×q (I ) wu (D): l=1

Dw =nDW : adjunta de D o V z : y | hy > vi = 0> ;v 5 V hn o i ()z : € (Y ) $ 0 >I Y : V 7$ V z hn o i 0 >I Y : conjunto de los subespacios de I Y [Z> []: conjunto de los subespacios de I Y que contienen a Z y que est´an contenidos en [ Re (}): parte real de } Lp (}): parte imaginaria de } det> ||: determinante : funci´o¢n alternante, determinante ¡ funci´on q-lineal, 1>  (1) >  2 (1) > ===>  n (1) : ciclo en Vq Vq : grupo de las permutaciones en {1> 2> ===> q} Dq : grupo de las permutaciones pares en {1> 2> ===> q} vlj (): signo de  426

d D on l y la columna n l>n : matriz que se obtiene al suprimir en la matriz D el rengl´ Hyd : R [{] $ R [{]: la funci´on i ({) 7$ i (d) i ({)

 : congruencia m´odulo i ({) C " : conjunto de las funciones reales de variable real que tienen derivada q-´esima para cada q "D (w): polinomio caracter´ıstico de D D (w): polinomio m´ınimo para D "W (w): polinomio caracter´ıstico de W W (w): polinomio m´ınimo para W D 12 E: E se obtiene al aplicar uan operaci´on elemental a D H : subespacio de Y cuyos elementos son los vectores propios de W correspon¡ dientes ¢ © al valor propio  ª ˆ0 : W = i 5 I [w] | i (W ) = ˆ0 I [w] W (w) = {i 5 I [w] | i 5 I [w]} Z W Y : Z es un subespacio W invariante de Y Y : conjunto de operadores W en Y que hacen a Z W -invariante KZ LW ([): subespacio W -invariante generado por [ LW ({): subespacio W -c´ıclico generado por { F (W ): conjunto de los operadores que conmutan con W D (Y ): conjunto de los operadores en Y que son diagonalizables Fi : matriz compa˜ nera del polinomio i s  }rf>: s-zoclo, Nhu (s (W )) > s (w) polinomio irreducible Y@Z : espacio cociente fV (Y ): n´ umero de sumandos directos con polinomio m´ınimo sv (w) en una descomposici´on de Y en sumandos directos W -c´ıclicos

427

428

Bibliograf´ıa [1] Devlin, K. The joy of Sets. New York. Springer Verlag. 1993. [2] Hamilton, A.Numbers, Sets & Axioms: the apparatus of Mathematics. Cambridge. Cambridge University Press. 1982. [3] Jacobson, N. Basic Algebra I. New York. W. H. Freeman and Company, 1985. [4] Hern´andez Hern´andez, F. Teor´ıa de Conjuntos. M´exico. Aportaciones Matem´aticas. Sociedad Matem´atica Mexicana. 1998. ´ [5] Friedberg, S. Insel, A. Spence, L. Algebra Lineal. M´exico. Publicaciones Cultural. 1982. [6] Ram´ırez Galarza, A. I. Geometr´ıa Anal´ıtica: Una introducci´ on a la Geometr´ıa. M´exico. Prensas de Ciencias, UNAM. 1998. [7] Rotman, I. An introduction to the Theory of Groups. New York. Springer Verlag. 1995.

429

´Indice alfab´ etico adjugada, 221 adjunta cl´asica, 221 algoritmo para invertir una matriz, 100 alternante, 188 anillo, 13 con divisi´on, 16 conmutativo, 13, 16 dominio, 16 asociatividad del producto de matrices, 94

cota superior, 47 delta de Kronecker, 136 dependencia lineal, 32 caracterizaci´on, 33 desigualdad del tri´angulo, 156 diagonalizaci´on simult´anea, 298, 309 diferencia sim´etrica, 14 dimensi´on, 41, 52 de una suma de subespacios, 45

base, 35 can´onica racional, 357 base dual, 136 bases existencia, 50 propiedad universal, 73 bloque de Jordan, 374

escalares, 19 espacio cociente, 352 de funciones lineales, 77 dual, 136 espacio propio, 256 espacio vectorial, 19 finitamente generado, 36

cadena, 46 cadena de Markov, 390 campo, 16 Concatenaci´on, 331 conjunto generador, 35 linealmente dependiente, 32 ortonormal, 162 parcialmente ordenado, 46 COPO, 46 cota inferior, 48

forma can´onica de Jordan, 374 racional, 358 funci´on alternante, 188 inclusi´on, 8 lineal, 67 n-lineal, 185 peri´odica, 59 que respeta la suma pero no la multiplicaci´on, 82 430

´INDICE ALFABETICO ´

431

restricci´on de una, 8

matriz identidad, 90 matriz invertible y producto de matrices elementales, 123 m´aximo com´ un divisor, 11, 239 may, 46 mayor elemento, 46 menor elemento, 47 m´ınimo com´ un m´ ultiplo, 11, 240 monoide, 5, 17

grupo, 6, 17 ideal de U [{], 238 independencia lineal, 34 caracterizaci´on, 35 ´ınfimo, 48 inversa de una matriz, 100 inverso, 5 isometr´ıa, 179 isomorfismo, 78

q-lineal, 185 kernel, v´ease nucleo de una funcion lineal neutro, 4 derecho, 4 izquierdo, 4 ley modular, 28 nilpotente, matrices matriz, 249 producto, 91 norma, 154 similares, 102, 226 n´ ucleo de una funci´on lineal, 69 matrices invertibles nulidad, 80 caracterizaci´on, 97 operaci´on, 1 matriz, 21 asociativa, 1 aumentada, 127 restricci´on de una, 9 compa˜ nera, 316 conmutativa de cambio de base, 102 restriccion, 9 diagonalizable, 255 operaci´on elemental, 112—114 reducida y escalonada, 118 y rango, 118 respecto a una base ortonormal, 168 operaciones elementales de columna, 117 sim´etrica, 23 operador triangular, 23 adjunto, 170 matriz de transici´on autoadjunto, 410, 419 positiva, 394 diagonalizable, 255, 264 regular, 394 normal, 407, 410 matriz de una transformaci´on lineal, 86 unitario, 177, 407, 413 matriz elemental, 112, 114 matriz elemental de columna, 117 operador autoadjunto, 407 matriz escalonada, 61 operador ortogonal, 177

´INDICE ALFABETICO ´

432 orden parcial, 46 ortogonal a un conjunto, 159 szoclo, 320 periodo, 59 polinomio irreducible, 241 m´onico, 238 polinomio caracter´ıstico, 250 polinomio m´ınimo, 270 producto de matrices, 91 producto interior, 151 Propiedad universal de las bases, 73 proyecci´on, 105, 413 ortogonal, 415 rango, 80 reflexi´on, 68, 177 matriz de una, 94 regla de Cramer, 224 regla de los signos, 18 relaci´on de orden, 46 rotaci´on, 68, 177 rotaciones en el plano, 92 semigrupo, 1, 17 simetr´ıa, 12 similitud, 102, 226 sistema homog´eneo, 126 sistemas con soluci´on, 128 Sistemas de ecuaciones, 126 soporte, 22 subespacio generado por un conjunto, 24 W c´ıclico, 289 W invariante, 283 generado por V, 289 subespacio vectorial, 21

subespacios suma de, 25 suma directa de, 28 subgrupo, 9 generado por un conjunto, 9 suma directa, 28 sumas directas, 262 caracterizaci´on, 31 supremo, 48 W invariante, 107 Tablas de multiplicar, 2 Teorema Cantor-Schroeder-Bernstein, 56 Cauchy-Schwarz, 154 Cayley-Hamilton, 296 del supremo, 48 el rango de rengl´on coincide con el rango de columna, 121 espectral, 418 existencia de bases, 50 ´ fundamental del Algebra, 407 Gram-Schmidt, 162 transformaci´on lineal matriz de una, 86 unidad, 16 valor propio, 247 variables libres, 130 principales, 130 vector propio, 247 vectores, 19 ortogonales, 158 Zorn Lema de, 50