Hueso de Ishango

 

Hueso de Ishango Imagen en la que se muestra el hueso de Ishango, por delante y por  detrás. El Hu Hues eso o de Is Isha hang ngo o es una her herram ramien ienta ta de hueso hueso que qu e data ata de dell Pa Pale leo olíti líticco Superior, Supe rior, aprox aproximada imadamente mente dell año de año 35 35.0 .000 00 a. C. Este Este objeto consiste en un largo hueso marrón (más específicamente, el peroné de un babuino)1 con un pedazo punzante de cuarzo incrustado en uno de sus extremos, quizás utilizado para grabar o escribir. En un principio se pensaba que se utilizaba para realizar conteos, ya que el hueso tiene una serie de muescas talladas divididas en tres columnas que abarcan toda la longitud de la herramienta, pero algunos científicos han sugerido que las agrupaciones de muescas indican un entendimiento matemático que va más allá del conteo. El Hueso de Ishango se exhibe de forma permanente en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales, situado en Bruselas, Bélgica. Descubrimiento y datación

El belga Jean de Heinzelin de Braucourt encontró en 1960 el Hueso de Ishango mientras exploraba lo que entonces era el Congo Belga2. Lo descubrió en el área africana de Ishango, cerca de la zona donde nace el río Nilo: en el Lago Edua Ed uard rdo o (que (que se en encu cuen entr tra a entre entre la fro front ntera era de Ugan Uganda da y la Re Repú públ blic ica a Democrática del Congo). Esto significa que la población establecida hace unos 20.000 años a orillas del lago en Ishango, pudo haber sido una de las primeras sociedades en realizar conteos, pero esta sociedad tan sólo sobrevivió unos pocos cientos de años antes de quedar sepultada por una erupción volcánica3. En un principio se estimó que el hueso databa de entre los años 9.000 a. C. y 6.500 a.C.4 Sin Sin em emba bargo rgo,, la data dataci ción ón del del si sititio o do dond nde e fue fue de desc scub ubie ierto rto fue fue 5 reevaluada y ahora se cree que tiene más de 20.000 años .

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“A ve very ry br brief ief histor historyy of pure pure mathe mathema matic tics: s: The Ishan Ishango go Bo Bone” ne”.. Unive Universi rsidad dad de Aust Austral ralia ia Mayores res Occiden Occ idental tal (disponi (disponible ble en  http://school.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/history.html ). Mayo detalles pueden ser consultados consultados en Shurkin, J. (1984). W. W. Norton & Co. (ed.)-“Engines of the mind: a history of the computer” , pp. 21 y Bogoshi, J.; Naidoo, K. and Webb, J. (1987)-“ The oldest mathematical artifact “, Math. Gazette (ed.). Heinzelin, Jean (Junio de1962). Scientific American (ed.). Ishango. 206, pp. 105-116. Williams, Scott W.-“Mathematicians of the African Diaspora”, Departamento de Matemáticas del Estado de Nueva York en Búfalo (http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html ( http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html ).   Gerdes Paulus (1991)-“On The History of Mathematics in Africa South of the Sahara”, Unión Matemática Africana, Comisión de la Historia de las Matemáticas en África. 2

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The Roots of  Marshack, Alexander (1991). Hill, Mount Kisco, Nueva YorkReview (ed.). (ed.). y Brooks, A.S.; Smith,Colonial CC. (1987)-The African Archaeological Civilization Ishango revisited: new age determinations and cultural interpretations, 5, pp. 65-78.

 

Significado de las muescas ¿Cálculos matemáticos? 

Las tres colu columnas mnas de mues muescas cas agrupad agrupadas as asimé asimétricam tricamente ente implican que la herramienta era más bi bien en func funcio iona nall que que decorativa. El hueso de Ishango pudo ser  tallado para establecer un sistema numérico. Columna central La col column umna a cen centra trall comienza con 3 muescas y luego duplica su número. El mismo proceso se repite con el número 4, que se duplica a 8 muescas, y luego se invierte el proceso con el número 10, que es dividido por la mitad mita d result resultand ando o en 5 muescas. Por esto se llega a la conc co nclu lussió ión n de que est sto os núme úmero ross no pueden ser   Columna izquierda puramente arbitra arb itrario rios, s, sin sino oatisbo que que sugieren algún de cálculos de multiplicación y divi divisi sión ón por por do dos. s. El hues hu eso o pued puede e habe haber  r  Columna derecha sido usado por lo tanto como una herramienta para llevar a cabo procedimientos matemáticos simples.  Además, el número de muescas de ambos lados de la columna central podría indicar una mayor capacidad de conteo. Tanto los números de la columna izquierda como los de la derecha son todos números impares (9, 11, 13, 17, 19 y 21). Los números de la columna izquierda son todos los números primos comprendidos entre 10 y 20 (que conforman un primo cuádruple), mientras que los de la columna derecha consisten en 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 y 20 - 1. Los números de cada una de estas columnas suman 60, y la sumatoria de lo loss núme número ross de la colu column mna a ce cent ntra rall es 48 48.. Am Ambo boss resultados son múltiplos de 12, lo que vuelve a sugerir  la existencia de un entendimiento de la multiplicación y la división6. ¿Calendario lunar? 

 Alexander Marshack examinó el hueso de Ishango con un microscopio y concluyó que esta antigua herramienta puede representar un calendario lunar  Williams, Scott W.-“Mathematicians of the African Diaspora”, Departamento de Matemáticas del Estado de Nueva York en Búfalo.

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de seis meses7. Claudia Zaslavsky ha sugerido que esto puede indicar que el creador del instrumento era una mujer, investigando la relación entre las fases lunares con el ciclo menstrual m enstrual8. Hallazgos similares

Se han registrado otros descubrimientos de herramientas de conteo (palos o huesos con varios cortes), encontrados a lo largo de todo el mundo. El Hueso de Le Lebo bomb mbo, o, un pe pero roné né de ba babu buino ino de 35 35.0 .000 00 añ años os,, fue fue en enco cont ntra rado do en 9 Suazilandia . Una tibia de lobo de 32.000 años que cuenta con 57 muescas, agrupadas de a 5 grupos, fue encontrada en Checoslovaquia en 193710.  

NUMEROS MAS ANTIGUOS Las matemáticas nacieron del peroné de un babuino Las matemáticas, patrimonio de los griegos, pueden dejar de serlo en breve. La culpa la tiene el peroné de un simio babuino donde hace 35.000 años antes de Cristo, alguien realizó 29 muescas. Es el legado matemático más antiguo y se Ishango, encontró en la parte meridional de Africa. reciente, el Hueso una herramienta de hueso con grupos de Más muescas dispuestas ende columnas, denota registros de cuentas. Era el libro l ibro de contabilidad de un poblado neolítico a orillas del lago Edward, en la frontera entre Zaire y Uganda. Estos hallazgos demuestran que si nuestros primeros padres nacieron en Africa, con ellos también aparecieron las matemáticas. m atemáticas.

La cresta del pavo real (Las Matemáticas y sus raíces no europeas), de George Gheverghese Joseph, que acaba de ser editado en España por Pirámide, recoge las diferentes pruebas que desmitifican la paternidad griega de las matemáticas. Los investigadores que analizaron el «Hueso de Ishango» observaron ciertos patrones numéricos subyacentes dentro de cada fila, conteniendo números primos, e interpretaron el modo en que están agrupadas las muescas como un signo del concepto de duplicación o de multiplicación por dos. Lo que les llevó a la conclusión de que este hueso parece haber sido algo más que una simple cuenta. Pequeñas ciudades-estado de Sumeria, como Uhr, Eridu o Nippur (3.500 años a. de C.) C.) desa desarr rrol olla laro ron n nú núme mero ross se sexa xage gesi sima male les, s, y el prim primer er im impe peri rio o mesopotámico construyó tablas de multiplicar y de dividir. Los comienzos del álgebra, de la geometría y la astronomía se localizan en el primer imperio 7

Brooks, A. S. and Smith, C C. (1987)-“The African Archaeological Review” (ed.). Ishango revisited: new age determinations and cultural interpretations, 5, pp. 65-78. 8 Zaslavsky, Zaslavs ky, Claudia (1979). L. Hill (ed.)-“ Africa  Africa Counts: Counts: Number Number a and nd Patt Pattern ern in African African Cultu Culture”  re” y Zasla Zas lavsk vsky, y, Cl Claud audia ia (Enero (Enero de 1992 1992)-“ )-“Int Intern ernati ation onal al Stud Studyy Group Group on Ethno Ethnoma mathe thema matic tics”, s”, Newsletter (ed.), 1, Women as the First Mathematicians. 9

Pegg, Ed http://mathworld.wolfram.com/LebomboBone.html Jr. "Lebombo "Lebombo Bone." From MathWorld --A --A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.  http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/origins/origins.pdf  http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/origins/origins.pdf   

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babilónic babiló nico, o, rei reinan nando do Hammur Hammurabi abi aut autor or de dell pri primer mer cód código igo legisl legislati ativo vo de la humanidad (1.700 años antes de Cristo). Las matemáticas fueron puestas al servicio de la religión con los Vedas de la India, que lograron auténticas obras de arte en sus altares sacrificiales en una portentosa simbiosis de geometría, aritmética y mística. Los papiros egipcios de Ahmes y de Moscú reúnen una colección de 112 problemas con sus soluciones respectivas. El método de cálculo egipcio siguió vigente en toda Europa hasta bien entrada la Edad Media. En fin, que al griego Pitágo Pit ágoras ras,, hin hindúe dúes, s, africa africanos nos,, summer summerios ios y eg egipc ipcios ios le sacar sacaron on sig siglos los de ventaja. http://www.elmundo.es/papel/hemeroteca/1996/11/10/cronica/178351.html  Lebombo Bone The Lebombo bone is the oldest known mathematical artifact. It dates from BC and consists of 29 distinct notches that were deliberately cut into a baboon's fibula. It was discovered within a cave in the Lebombo mountains of  Swaziland. Un ábaco de hace 20.000 años  años  RECIEN REC IENTES TES EST ESTUDI UDIOS OS SOB SOBRE RE LO LOS S HUE HUESOS SOS DE ISH ISHANG ANGO O VIE VIERTE RTEN N NUEVOS DATOS SOBRE EL ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS. El pasado 2 de de 2007 concluyódeendos Bruselas científico cuya finalidad eramarzo descifrar el significado huesosun de encuentro 10 a 14 centímetros de largo hallados en los años 1950 en Ishango (República Democrática del

Congo), por el profe Congo), profesor sor belga J. De Heinzelin Heinz elin junto a la cabecera del Nilo, y que actualmente se conservan en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Bélgica. Estos huesos se encuentran cubiertos de muescas transversales grabadas, que qu e lo co conv nvie iert rten en en la pr prim imer era a he herr rram amie ient nta a co cono noci cida da co con n hu huel ella lass de razonamiento lógico, su edad se ha estimado en unos 20.000 años. Según los expe ex pert rtos os qu que e lo loss ha han n ex exam amin inad ado, o, ev evid iden enci cian an qu que e lo loss pr prime imero ross si sist stem emas as numéricos se inventaron en África 15.000 años antes de que la escritura y la numeración aparecieran en Mesopotamia.

 

En un extremo del Hueso de Ishango hay una pieza de cuarzo para escribir y el hueso tiene una serie de muescas grabadas en grupos. Primero se pensó que esas es as mue muesc scas as er eran an al algú gún n titipo po de ma marc rcas as de cu cuen enta tass si simi mila lare ress a ot otro ross primitivos registros encontrados en diversos lugares del mundo. Sin embargo, el hue ueso so de Is Isha han ngo pa pare recce se serr mu much cho o má máss que una sim imp ple cue uen nta  Algunos investigadores sostienen que con las muescas de uno de los huesos pueden pue den for formar marse se tre tress gru grupo poss de cif cifras ras ind indica icativ tivas as de la ex exist istenc encia ia de un sistema aritmético complejo en base 10 Si las muescas las organizamos en cifras en uno de los huesos aparecen tres grupos de cifras El primer grupo es de 11, 21, 19 y 9 El segundo 11, 13, 17, y 19

El tercero 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, y 7 El matemático Dirk Huylebrouck y otros expertos han hecho notar que el primer  grupo se puede leer 10 + 1, 20 + 1, 20 – 1 y 10 – 1 El segundo grupo son números primos y el tercero es una especie de regla de duplicación ( de 3 a 6, de 4 a 8 , de 5 a 10 ) otros estudiosos se inclinan más por un sistema de numeración en base 6 ó 12. En numerosas tribus africanas, como los yasgua de Nigeria utilizan sistemas en base 12, Con una sola mano con el dedo pulgar se van tocando cada falange de los otros dedos (del 1 al 3 en el dedo índice, la 4, 5 y 6 del dedo medio o corazón hasta llegar a la 12 en la punta del meñique, con el que llegamos a una docena) Por medio de la utilización de microscopios se han encontrado más marcas y hay versiones que se inclinan en considerar a este hueso como un registro de las fases de la luna. ¿Quién sino una mujer que hace seguimiento de sus ciclos podría necesitar un calendario lunar? ¿Fueron las mujeres africanas nuestras primeras matemáticas? Pero todavía quedan muchas dudas por resolver  http://revistasacitametam.blogspot.com/2008/01/un-baco-de-hace-20000aos.html   aos.html

http://www.math.buffalo.edu/mad/AMU/amu_chma_09.html#beginnings   http://www.math.buffalo.edu/mad/AMU/amu_chma_09.html#beginnings

 

The Ishango Bone – Is This The World’s Oldest Mathematical Artefact? Most people think that the study of mathematics has its origins in  Ancient Egypt and Babylonia, but this view was dramatically challenged in the 1950’s with the discovery of a small animal bone, inscribed with markings that appear to represent numbers. This artefact was discovered in the small African fishing village of  Ishango, on the border of Zaire and Uganda by the Belgian geologist Jean de Heinzelin. The Ishango Bone now lies at the Museum of Natural Sciences in Brussels, and has been dated to around 20,000 BC. It is thought to be the oldest mathematical artefact ever discovered. The Bone  At first glance the bone appears to be a simple writing tool. It is 10 cm long, and at one end is embedded with a piece of quartz thought to be for engraving and tattooing. Closer examination reveals a series of notches running up the side of the bone, in three columns. The notches are clustered together as shown below:

The middle column begins with 3 notches, and then doubles to 6 notches. The process is repeated for the number 4, which doubles to 8 notches, and then reversed number 10,no which islyhalved to 5an notches. This suggests that th the e layo layout utforofthenu numb mber erss is not t pure purely ra rand ndom om and d in inst stea ead d su sugg gges ests ts so some me

 

understanding of the principle of multiplication and division by 2. The bone may th ther eref efor ore e ha have ve be been en used used as a co coun untiting ng tool tool for for si simp mple le ma math them emat atic ical al procedures. This view is further supported by looking at the number of notches on either  side of the central column. The numbers on both the left and right column are all odd numbers (9, 11, 13, 17, 19 and 21). Furthermore, the numbers on the left column are all prime numbers, suggesting some mathematical knowledge. The numbers on each side column add up to 60, with the numbers in the central column adding up to 48. Both of these numbers are multiples of 12, again suggesting an understanding of multiplication and division. Is this proof of mathematical insight?  There are several critics who feel that the mathematical claims for the Ishango bone are exaggerated. exaggerated. They suggest suggest that, as there are only 4 numbers numbers on the left hand column of the bone, it may be just a simple coincidence that all of  these are prime numbers. The most compelling aspect of their argument is the fact that there is no evidence of the knowledge of prime numbers before the Classical Greek period, at least l east 10,000 years later. It was suggested that the Ishango bone, instead of being a counting device, mayy in ma inst stea ead d be so some me sort sort of ca cale lend ndar ar,, an and d ther there e is so some me ci circ rcum umst stan antia tiall evidence to suggest this may be the case. One of the oldest known calendars was discovered in 1940 in caves in Lascaux, France, andindicate are consists of drawings representing theofvarious phases of the moon. They the awareness of the 29 day cycle the moon and are the earliest known examples of a lunar calendar. These drawings were painted at around 18,000 BC, making them of a similar age to the Ishango Bone.

13 dots and an empty   square. The dots rep represent  a lunar cycle, up until the 14th day when the moon disappears from view, represented by the empty square.

   A horse, and a of 29 dots. The represent the 29 of the lunar cycle.

series dots days

Lunar calendars represent one of the earliest uses of numbers by mankind, and

 

both the Isturitz Baton (an antler bone found in Isturitz, France engraved with markings) and the Blanchard Bone shown below (found in Abri Blanchard, France) provide examples of the use of bones as possible lunar calendars. Both of these findings can be dated to around the time of the Ishango Bone. They cont co ntai ain n ma mark rkin ings gs th that at co coinc incid ide e with with 2, 4 an and d 5 mo mont nth h lu luna narr ph phas ases es,, an and d suggestions have been made that the notches on the Ishango Bone correlate to a 6-month lunar calendar. The suggestion is further substantiated by the present day use of bones, strings and other objects as lunar calendars in African civilizations. If the Ishango Bone is indeed a lunar calendar, it would be one of the earliest examples to be unearthed outside of Europe. But most scholars do not consider recording dates to be proper mathematics. The Blanchard Bone Plaque, discovered   in Abri Blanchard, Fran rance. This bone has been dated back to around   25,000 - 32,000 BCE. 

Calendar or Calculator? The Ishango Bone is clearly open to interpretation and there is evidence both for and against it being a calendar or some kind of mathematical device. The puzzle will only be solved if other similar items can be unearthed. Only then will we know if these notches represent dates, calculations or coincidences. http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html  http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html 

MATEMÁTICAS DE LA PREHISTORIA ¿En qué momento, comenzó la humanidad a pensar en términos de relaciones numéricas y geométricas? La tradición pretende que la ciencia matemática empezó en Grecia, hacia el siglo V a.C., para no dejar a las civilizaciones anteriores más que parcelas cuyo contenido matemático es a la vez deslavazado y concreto. Si el origen del hombre sigue siendo todavía enigmático desde distintos puntos de vista, es sin embargo casi seguro que, hacia el año 40 000 a.C. (hombre de Neandertal), el hombre comenzó a pensar. Desde este momento, el hombre de la prehistoria adquiere conciencia del medio en el que vive y tiene que procurar, con toda urgencia, su supervivencia. Lass nu La nume mero rosa sass ex exca cava vacio cione ness ar arqu queo eoló lógi gica cass real realiz izad adas as en de depó pósi sito toss y sedimentos neolíticos revelan ya la existencia de una industria perfeccionada y actividades sociales propias de una sociedad en marcha. Dos elementos matemáticos importantes surgen en esta sociedad prehistórica: 1) lenguaje articulado en elen que sistema derelaciones números; espaciales. 2) un utensilios y construcciones loshay queunintervienen

 

Existen algunos factores que pueden persuadirnos de que el hombre primitivo poseía una cierta idea del concepto de número.     P or ejemplo, numerosas tribus primi primitivas tivas que viven actualmente en Australia   y Polinesia poseen un sistema de números, más o menos elaborado. Estas tribus, que viven en la edad de piedra (varias de ellas no poseen ni agricultura, ni utensilios perfeccionados como el arco y la flecha), consiguen contar y utilizar un lenguaje de tipo descriptivo.   Se Se conoce el descubrimiento, en Checoslovaq Checoslovaquia, uia, de un hueso perteneciente   a un lobo joven, hueso sobre el que aparece una sucesión de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos series, por grupos de cinco. Este hueso fue descubierto en sedimentos que datan de hace aproximadamente 30 000 años. FORMACIÓN DEL NÚMERO EN EL HOMBRE PRIMITIVO  Antes de que existiese un lenguaje capaz de favorecer la comunicación verbal, el hombre primitivo podía observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos: un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo yestableció, una manada de lobos, Esta distinción entre la unidad y la pluralidad, la sin duda, muy etc. pronto. Igualmente, la noción de par —dos pies, dos manos, dos ojos, etc.— debió llamar su atención.  A partir de estas rudimentarias observaciones, el hombre primitivo extrae gradualmente la idea de comparación y asocia, a cada objeto observado, un signo, una cosa que le sea familiar. Puede así asociar a una colección de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección de signos puede ser muy variada según las tribus o pueblos primitivos: una tribu (o incluso un individuo) utilizará rayas hechas en la madera, en un hueso o en la arena; otra recurrirá a un montón de guijarros o incluso a cocos; y otra preferirá los gestos de la mano (posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza; etc. La enumeración de un grupo de objetos observados deja paso a la numeración con la aparición de un leng lengua uaje je arti articu cula lado do (e (esc scri rito to o habl hablad ado) o).. Es Esta ta tran transi sici ción ón co corr rres espo pond nde e probablemente al cambio de vida del hombre prim primititiv ivo o qu que e se conv convie ierte rte en pr prod oduc ucto tor, r, co come merc rcia iante nte,, en ve vezz de si simp mple le proveedor de alimento. El comerciante necesita un lenguaje articulado para conseguir vender sus productos y debe poseer un sistema de números para contar. El productor evalúa la cantidad de objetos producidos, el número de corderos criados, las pérdidas por robo, y todo esto presupone el conocimiento de un sistema de numeración adecuado al tipo de vida del hombre primitivo. La numeración presenta también variantes según las tribus:

 

Por ejemplo, los antiguos sumerios utilizaban las palabras «hombre», «mujer» y «varios», en lugar de «uno», «dos» y «tres», respectivamente. Así el hombre simboliza el número 1. Por matrimonio, él y su mujer representaban el número dos. Todo lo que sobrepasase numéricamente el dos estaba simbolizado por  «varios». Los pigmeos de Africa utilizan el sistema repetitivo siguiente: a, oa, ua, oa-oa, para los números uno, dos, tres y cuatro, respectivamente. Las tribus kamilarai de Australia utilizan también un sistema repetitivo: uno se dice «mal»; dos se dice «bulan»; tres es «guliba»; cuatro corresponde a «bulan bulan»; etc. No obstante, la sustitución de los objetos por palabras del lenguaje no significa aún que el concepto de número esté en el pensamiento del que enumera. En esta fase, el hombre primitivo, que asocia a tres vacas tres palab pal abras ras dis distin tintas tas,, no pue puede, de, sin las palabr palabras, as, pen pensa sarr en el núm número ero tre tres. s.  Además, experiencias experiencias etnográficas efectuadas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesión ordenada de palabras numéricas no lleva necesariamente consigo la comprensión del concepto de número cardinal. Eliminar soporte al material elementoelnumérico que del objeto observado, para no retener más que el corresponde en el proceso de numeración, equivale de hecho a exigir  que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva no se adquiere sino progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos importantes: el número cardinal, que proporciona la expresión cuantitativa, y el número ordinal, que pone de manifiesto la existencia de un primer elemento seguido de un segundo y de un tercero, etc. El hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las relaciones siguientes: 1) la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña ningún papel en la numeración; 2) el orden en el que los elementos son observados no influye en el resultado final, es decir, en el número cardinal; 3) el último elemento contado corresponde de hecho, en la medida en que sólo sea necesario el resultado de la cuenta, al número cardinal de la colección. Por consiguiente, el paso difícil de dar consiste en reconocer al último elemento contado como aquel que expresa «cuántos elementos contiene el conjunto que se quiere contar». ¿A qué nivel las tribus de hombres prehistóricos cumplieron las condiciones antes citadas? Esta pregunta permanecerá probablemente sin respuesta debido a la ausencia casi total de documentos relativos a este tipo de cuestiones. AGRUPAMIENTO DE LOS NÚMEROS Si los signos para representar los números precedieron cronológicamente a las palabras, el agrupamiento de

 

los signos (rayas verticales, guijarros, dedos de la mano, etc.) influenció sin duda, de manera directa, la base del sistema de numeración elegido. Parece que las tribus más primitivas utilizaron primero el agrupamiento de dos en dos, después de cuatro en cuat cu atro ro y de seis seis en seis seis.. Oc Ocas asio iona nalme lment nte, e, la lass va varia riante ntess co corre rresp spon onde den n a agrupamientos de tres en tres (tribus americanas). Un sistema muy natural y en boga corresponde a los dedos de la mano y puede así implicar  agrupamie agrup amientos ntos de cinco cinco en cinco (dedos) (dedos),, de diez en diez (ded (dedos) os) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos). En un principio, este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupamientos naturales y fácilmente accesibles, sino también de favorecer, por la «disposición» de los dedos, una distinción entre número cardinal y número ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y veinte objetos aparecen en varias partes del mundo. Otros agrupamientos fueron también utilizados por ciertas tribus primitivas, especialmente los agrupamientos de doce, de sesenta y de ocho. Docume Doc umenta ntació ción n so sobre bre una inves investig tigaci ación ón emp empren rendid dida a po porr la Uni Univer versid sidad ad de Stanford sobre de en las tribus primitivas americanas. Aporta que, numeración que307 se sistemas encuentran de estos sistemas, 146 pertenecen a los agrupamientos de diez, 106 a los agrupamientos de cinco y diez, 81 son binarios, 35 sop de base veinte y de base cinc cinco o y ve vein inte te,, 15 pert perten enec ecen en a los los ag agru rupa pami mien ento toss de cuat cuatro ro,, 3 so son n agrupamientos de tres y uno solo corresponde a la base ocho. Una vez comprendida perfectamente la noción de agrupamiento, es natural que el hombre primitivo asigne entonc ent onces es un símbo símbolo lo par partic ticula ularr al agr agrupa upamie miento nto uti utiliz lizado ado.. Es Está tá aho ahora ra en posesión de los elementos que podrá combinar para inventar su sistema de numeración. SISTEMAS DE NUMERACIÓN La necesidad de un sistema de numeración proviene de la naturaleza de las actividades propias de un pueblo prim primititiv ivo. o. La Lass tr tribu ibuss qu que e pose poseía ían n gr gran ande dess reba rebaño ñoss do dome mest stic icad ados os o qu que e practicaban una agricultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar números grandes y favoreciese la invención de un calendario. ¿Cuáles son los procedimientos utilizados durante la prehistoria (o que tienen en ella su origen) y que dieron lugar lug ar a los difere diferente ntess sis sistem temas as de numera numeració ción? n? Un pri primer mer pro proced cedimie imiento nto consiste en prolongar el agrupamiento añadiendo unidad a unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano izquierda como agru ag rupa pamie mient nto, o, ut utili iliza zará rá lo los s dedo deOtra doss posible (u (uno no a uno) uno) de su ma mano no de dere rech cha a pa para ra prolongar la cuenta hasta diez.

 

extensión consistiría en utilizar los dedos de los pies. Este procedimiento, aunque muy simple, introduce dificultades enormes en el lenguaje, puesto que requiere r equiere la creación de nuevas palabras. Otro procedimiento, mucho más eficaz, consiste en utilizar el principio de la «repetición» en la numeración de los objetos contados. Por ejemplo, en base tres, los pigmeos de Africa emplean el sistema repetitivo siguiente: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se corresponden con a, oa, ua, oa-oa, oa-ua y ua-ua.  Al hombre primitivo, que utiliza una mano-de cinco dedos como base, le es suficiente añadir la otra mano para contar hasta diez; después, una segunda persona registra las cuentas de diez a veinte,y así sucesivamen sucesivamente. te. Una variante consiste en utilizar los diez dedos como base y proceder así de la misma forma que antes. Este proced pro cedimi imient ento o está está catal cataloga ogado do co como mo «si «siste stema ma adi aditiv tivo o no posicio posicional nal»; »; su principal defecto es que utiliza un gran número de símbolos. El te terc rcer er méto método do,, muy muy poco poco em empl plea eado do dura durant nte e la preh prehis isto tori ria, a, se ba basa sa esencialmente en el principio de la posición. Cualquier símbolo posee el valor indicado por la posición que ocupa en la sucesión de símbolos que representa un número u otro. El ejemplo por excelencia de este tipo de sistema, llamado «sistema posicional», es nuestro sistema decimal. El desarrollo de los sistemas de numeración de la época prehistórica no fue, probablemente, más allá del tipo aditivo no posicional. No obstante, esto no impidió a los hombres primitivos establecer los primeros elementos de una aritmética práctica y de una geometría orientada a la medición de áreas y volúmenes. Con la aparición del comercio, la industria y la agricultura, el hombre primitivo debe no solamente saber contar, sino también ser capaz de hacer un balance de sus actividades comerciales. Los métodos primitivos varían enormemente cuando se trata de registrar las diversas formas de actividad económica: marcas en la madera, nudos en una cuerda, grupos de guijarros o de cocos, rayas en papiros o en tablillas de arcilla, etc. Y hacer el balance implicaba necesariamente conocer las reglas elementales de cálculo numérico. No era cuestión en aquella época de utilizar  números que no fuesen los naturales. Los números enteros, racionales, irracionales, complejos. por no citar más que éstos, son invenciones de nuestra era. GEOMETRÍA EMPÍRICA. La adquisición de los rudimentos del cálculo aritmético da lugar a la medición de longitudes, áreas y volúmenes. Las unidades de medición se eligen con frecuencia entre las partes del cuerpo humano: el dedo, el pie, el pulgar, la mano, el antebrazo. Los volúmenes se miden con ayuda de cestos o de conchas de tamaño «standard». La construcción de líneas las casas se lleva a cabo con ayuda de reglas que garantizan la existencia de y ángulos

 

rectos. La geometría que se utiliza es empírica y está esencialmente dirigida a un fin utilitario o ritual. La justificación de las reglas utilizadas y de las convenciones elegidas es inexistente, por lo menos en los documentos recogidos sobre esta época. La geometría aparece también en las pinturas y motivos dibujados por estos pueblos primitivos. Una gran riquez riq ueza a de fig figura urass geo geomét métric ricas as se encue encuentr ntra a en va vasos sos,, ces cestos tos,, mur muros os de cavernas. Son abundantes los ejemplos de semejanza y de distintas formas de simetría en las decoraciones del Neolítico. La imaginación geométrica de estos pueblos es de una riqueza difícil de sospechar. Hay que mencionar también que el desarrollo de las matemáticas estuvo en esta época muy influenciado por la astronomía. Los pueblos primitivos poseían ciertos conocimientos relativos al sol, la luna y las estrellas. Además, un pueblo agrícola debía llevar la cuenta de los días y de las noches, así como de las distintas estaciones. Los pueblos primitivos adoptan casi todos un calendario lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de la vegetación y poseer unidades de tiempo útiles y convenientes. Por último, es indispensable subrayar la influencia de la religión la vida primitiva, tanto en el planoIncluso espiritual como en el de lassobre acciones diarias del hombre primitivo. si la civilización se estableció sobre un soporte religioso inherente i nherente a prácticas rituales, se debe, no obstante, considerar cuál fue el papel de la práctica religiosa del hombre primitivo en su concepción del número. Es muy probable que el desarrollo de las matemáticas pudiese haber estado influenciado, en sus orígenes, por las prácticas religiosas; en particular, el concepto de número y la geometría del hombre primitivo reflejan aspectos ligados al ámbito religioso. RESUMEN Las civilizaciones de la época neolítica o prehistórica, caracterizadas por la caza y una agricultura y un comercio rudimentarios, manifestaron interés por el número y la geometría empírica. Este comienzo de las matemáticas fue originado por las necesidades de su vida social y económica, y estuvo influenciado también por la religión y la magia. Los hombres primitivos desarrollaron sistemas de numeración (de tipo aditivo no posicional) que les permití per mitían an efe efectu ctuar ar cálcu cálculos los elemen elemental tales es co con n núm número eross na natur turale aless (ad (adició ición, n, sustracción, multiplicación). La geometría empírica del hombre primitivo se reduce a algunas reglas para medir longitudes y volúmenes. Los dibujos de rico colorido contienen figuras geométricas en las que predomina la simetría. La mayoría de los pueblos primitivos inventaron Bibliografía:un calendario lunar.

 

Jean-Paul Collete “Historia de las matemáticas”. Siglo XXI. José Luis Carlavilla y Gabriel Fernández “Historia de las Matemáticas”.Proyecto Sur. http://iesciezadeleon.juntaextremadura.net/descargas/hojamatematica01dic200 9.pdf 

Las matemáticas vienen de África Los expertos discuten sobre los huesos de Ishango, dos 'ábacos' de hace 20.000 años Dos huesos conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Bélgica indi in dica can, n, se segú gún n lo loss ci cien entíf tífic icos os qu que e lo loss ha han n ex exam amin inad ado, o, qu que e lo loss pr prime imero ross sistemas numéricos se inventaron en África hace 20.000 años, es decir, 15.000 años antes de que la escritura y la numeración aparecieran en Mesopotamia como co mo cu culmi lmina naci ción ón de la re revo voluc lució ión n ne neol olít ític ica a qu que e pr prop opag agó ó la ci civi viliz lizac ació ión n moderna. Loss hu Lo hues esos os,, de 10 a 14 ce cent ntím ímet etro ross de la larg rgo o y cu cubi bier erto toss de mu mues esca cass transversales, han protagonizado una reunión científica para intentar descifrar  su significado, que concluye hoy en Bruselas. Fueron hallados en los años cincuenta en Ishango (República Democrática de Congo), junto a la cabecera del Nilo. Aunque no pueden datarse directamente por carbono 14, los estratos circundantes indican una edaden cercana losuno 20.000 años. Si las muescas se agrupan cifras,aen de los huesos aparecen tres grupos de cifras. El primer grupo es 11, 21, 19 y 9; el segundo es 11, 13, 17 y 19, y el otro es 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7. El matemático Dirk Huylebrouck y otros expertos han hecho notar que el primer grupo puede leerse como: 10+1, 20+1, 20-1 y 10-1; que el segundo grupo está formado por números primos, y que el tercero parece seguir más o menos alguna regla de duplicación (de 3 a 6, de 4 a 8, de 5 a 10). Estos expertos ven ahí una indicación de un sistema aritmético complejo en base 10, aunque no logran determinar exactamente de qué tipo. De hecho, otros estudiosos han combinado las muescas y los grupos de muescas de otras formas para proponer un sistema de numeración en base 6 o 12.. Es 12 Esta ta hi hipó póte tesi siss vi vien ene e ap apoy oyad ada a po porr la ob obse serv rvac ació ión n de qu que e mu much chas as poblaciones africanas actuales, como los yasgua de Nigeria, utilizan sistemas de base 12 (en la lengua de los yasgua, "13" se dice "12+1"). Viene en apoyo de esta teoría una manera de contar habitual en la antigüedad. Con una sola mano, el pulgar va tocando cada falange de los demás dedos (1, 2, 3 en el índice; 4, 5, 6 en el dedo medio, etcétera). Al llegar al 12 (la punta del meñique), se apunta una docena con un dedo de la otra mano y se vuelve a empezar. Es un sistema muy útil para contar con los dedos hasta 72 (seis docenas), y naturalmente está en base 12 (4 por 3 falanges). En el poblado de Vestonice, en Moravia, en Checoslovaquia se descubre una quijada de lobo con más de 20,000 años de antigüedad. Tiene 55 marcas en grupos de 5. Es la primera evidencia de un sistema de numeración. The bone owes its name to the site where it was discovered.

 

Ishango is in Congo, only 15 km far from of the Equator, on bank of the Edward lake. This large Africa lake, one of the sources of the Nile, is 77 km long and 42 km broad. The area is close to the Virunga National park and the border Congo - Uganda. In the surroundings, the eternal snow of Ruwenzori culminates to 5.109 m.

Jean de Heinzelin de Braucourt 6 August 1920 - 4 November 1998 Jean de Heinzelin was a geologist.  A kind of a modern adventurer, Jean de Heinzelin was a field worker and a remarkable observer.  Africa was his main area of work, but he also took part in various expeditions in Europe, the United States and the Middle East. From 1946 onward, he was associated with the Royal Belgian Institute for   Natural Sciences. Sciences. At the Universities of Ghent and Brussels, he imparted his knowledge enthusiastically to students.  A chance in his career - the Ishango Bone discovery - brought him international fame. D. Huylebrouck, ``L'Afrique, berceau des mathematiques'', in Mathematiques exotiques Dossier No. 47, Pour La Science (2005) 46 50 2 G. G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of  Mathematics London: Penguin Books (1992). 3  A. Marshack, The Roots of Civilization Mount Kisco (1991) 4 D. Olivastro, ``The First Etches'' Ancient Puzzles New York: Bantam Books (1993): 7 - 30 5 V. Pletser & D. Huylebrouck, ``The Ishango artifact: the missing base 12 link'', Proc. Katachi Univ. Symmetry Congress (KUS2), Paper C11, (1999) 339 - 346. 6 Claudia Zaslavsky, Africa Counts New York: Lawrence Hill Books (1973) The most interesting, of a large number of tools discovered in 1960 at Ishango, is a bone tool handle called the Ishango Bone (now located on the 19th floor of  the Royal Institute for Natural Sciences of Belgium in Brussels, and can only be seen on special demand). At one end of the Ishango Bone is a piece of quartz for writing, and the bone has a series of notches carved in groups (shown below). It was first thought these notches were some kind of tally marks as found to record counts all over the world. However, the Ishango bone appears to be much more than a simple tally. The markings on rows (a) and (b) each add 60. Row (b) contains the prime numbers between andthe 20.notches Row (a)are is quitetoconsistent with a numeration system based on 10, 10 since

 

grouped as 20 + 1, 20 - 1, 10 + 1, and 10 - 1. Finally, row (c) seems to illustrate fo forr th the e meth method od of du dupli plica catition on (mul (multitipl plic icat atio ion n by 2) us used ed mo more re rece recent ntly ly in Egyptian Egyp tian multip multiplicat lication ion.. Re Rece cent nt st stud udie iess wi with th mic micro rosc scop opes es ill illus ustra trate te mo more re markings and it is now understood the bone is also a lunar phase counter. Who but a woman keeping track of her cycles would need a lunar calendar? Were women our first mathematicians? The following dating information was sent by email from Professor Charles Finch: The site where the Ishango Bone was found was re-dated by Alison Brooks more than a dozen years ago and found to be 25,000 years old rather than the original estimate of 8,500 years. However, the Lembombo Bone in Swaziland is still 10,000 years older, consistent with iron ore mining there going back 43,000 years ago. Proto-mathematics begins in Paleolithic Central and Southern Africa. references: 1. Shreeve, Shreeve, "The Dating G Game, ame,"" Disco Discover, ver, Se Septemb ptember er 1992 1992,, pp. 76-83. 76-83. 2. Alison Alison Brooks, Brooks, "Dat "Dating ing and Co Contex ntex o off Three Middle Middle St Stone one Age Age Sites wi with th Bone Points in the Upper Semliki Valley, Zaire," Science, 4/28/95, pp. 548-52. 1. 2. 3. 4. 5.

 AMUCHMA-NEWSLETTER-9:  AMUCHMA-NEWSLETTE R-9: AMUCHMA NEWSLETTER #9  J. De Heinzelin, Ishango, Scientific American, 206:6 (June 1962) 105-116. J. Shurkin, Engines of the mind: a history of the computer , W. W. Norton & Co., 1984., p21 J. Bogoshi, K. Naidoo Naidoo and J. Webb, The oldest mathe mathematica maticall artifact, artifact, Math. Gazette, 71:458 (1987) 294. Claudia Claud ia Zaslavsky Zaslavsky,, Women as the First Math Mathemati ematicians, cians, the Women in Mathematics Education Newsletter,Volume 7 Number 1, January 1992.

http://www.abibitumikasa.com/forums/afrikan-mathematical-scientifictechnological-systems/36803-ishango-bone.html