Hubungan Uji Student (T) Dan Uji F

 

 

1

Hubungan Uji Student  (t)  (t) dan Uji F  Luh Riska Mahayani[1], I Wayan Puja Astawa [2]  Program Studi S1 Pendidikan Matematika, Jurusan Matematika, FMIPA UNDIKSHA

 Abstrak — Statistika Statistika merupakan metode untuk menganalisa dan menginterpretasikan sebuah data, dimana terdapat berbagai macam uji statistik yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan mengenai populasi atau sampel yang akan diambil. Metode yang dapat digunakan dalam menguji kesamaan ratarata antar dua kelompok dapat digunakan Uji t. Sedangkan pada beberapa kasus pengujian hipotesis kesamaan rata-rata dua kelompok atau lebih bisa digunakan Uji F. Dalam artikel ini akan dikaji hubungan antara uji t dan uji F serta dalam contoh penerapannya.  Kata Kunci- Uji t, Uji F 

I.  PENDAHULUAN  

tatistika merupakan penelitian terhadap suatu peristiwa yang berkaitan dengan cara-cara pengumpulan data,  pengolahan, penyelidikan, dan penarikan kesimpulan  berdasarkan data-data yang sudah dikumpulkan (Arikunto: 2006). Dalam buku “Statistical Theory in Research”, (Anderson dan Bancroft, 1952) menyatakan bahwa statistika adalah ilmu dan seni pengembangan dan penerapan metode yang paling efektif sehingga kemungkinan kesalahan dalam kesimpulan dan estimasi dapat diperkirakan dengan menggunakan penalaran induktif berdasarkan matematika  probabilitas. Dengan demikian, statistika adalah metode untuk mengumpulkan, menganalisa dan menginterprestasikan data yang disajikan dalam bentuk tabel/daftar, gambar, diagram atau ukuran-ukuran tertentu serta akan menarik kesimpulan tentang populasi berdasarkan data sampel.

S

kausalitas antara dua atau lebih variabel benar-benar terkait secara benar dalam suatu kausalitas empiris ataukah hubungan tersebut hanya bersifat random atau kebetulan saja. Untuk menguji kebenaran suatu hipotesis dalam  penelitian, terdapat uji statistik parametrik dengan beberapa uji yang dapat digunakan untuk mengambil kesimpulan mengenai populasi dari sampel yang akan diambil. Uji t adalah salah satu tes statistik yang dipergunakan untuk menguji kebenaran atau kepalsuan hipotesis nihil yang menyatakan bahwa diantara dua buah rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi yang sama, tidak terjadi  perbedaan yang signifikan (Sudijono, 2009:278). Selain itu ada juga yang disebut dengan Anava atau Anova adalah sinonim dari analisis varians terjemahan dari analysis of variance, sehingga banyak orang menyebutnya dengan anova. Anova merupakan bagian dari metoda analisis statistika yang tergolong analisis komparatif lebih dari dua rata-rata (Riduwan, 2008). Maka pada beberapa kasus pengujian kesamaan rata-rata bisa digunakan sebaran F atau dikenal dengan Uji F. Sehingga dalam hal ini akan dikaji hubungan antara Uji-t dan Uji-F. II.  KAJIAN PUSTAKA 

 A.   Distribusi Normal Distribusi normal, disebut juga Distribusi Gauss, adalah   distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan adalah dalam berbagai analisis statistika. analisis statistika.   Distribusi normal dibagi menjadi dua yaitu distribusi normal baku dan distribusi normal

Statistik memegang peranan yang penting dalam  penelitian,  peneli tian, baik dalam penyusu penyusunan nan mod el, per perumus umus an hipotesa, dalam pengembangan alat dan instrumen  pen gump ula n data, dat a, da la m pe ny us un an de sa in  pe ne li ti an , da la m pe ne nt ua n sa mp el da n da la m an al is a data. Salah satu tahap dalam proses penelitian adalah tahap analisis data. Tahap analisis data merupakan tahap dimana data yang telah dikumpulkan dengan berbagai teknik  pengumpulan data diolah dan disajikan untuk memecahkan  permasalahan yang akan diteliti. Permasalahan-permasalahan umumnya banyak terjadi pada kehidupan sehari-hari, baik  persoalan permasalahan rumit atau komplek, sehingga untuk menyelesaikan hal tersebut memerlukan metode atau cara yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Dalam  banyak hal, pengolahan dan analisa data tidak luput dari

umum Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata memiliki  rata-rata nol dan dan simpangan  simpangan baku satu. Distribusi ini  juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena memiliki grafik fungsi kepadatan probabilitas yang mirip dengan bentuk lonceng. Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi normal standar, biasanya dilambangkan dengan huruf kapital Yunani yaitu  adalah integral:

 penerapan teknik dan metode statistika tertentu, yang mana kehadirannya dapat memberikan dasar bertolak dalam menjelaskan hubungan-hubungan yang terjadi. Statistik dapat digunakan sebagai alat untuk mengetahui apakah hubungan

range

Փ ℎ

Փ = √ 122 − −/  ,,, = √ 2 −  

Fungsi kesalahan berupa fungsi   memberikan  probabilitas dari variabel acak dengan distribusi normal dengan mean 0 dan varians 1/2 yang mana jatuh dalam kisaran direpresentasikan dengan persamaan:  

 

 

2

Integral ini tidak dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi dasar, dan sering dikatakan sebagai fungsi khusus. Namun,  banyak pendekatan numerik yang diketahui, seperti di bawah ini: Kedua fungsi terkait erat, yaitu:

Փ = 12 1√ 2

 

Untuk distribusi normal umum dengan kepadatan  f , mean dan standar deviasi   maka, fungsi distribusi kumulatif

=Փ  = 12 1 1√ 2  =Փ =1Փ :  >

adalah:

Distribusi gamma dapat digunakan untuk memodelkan distribusi peluang dari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. C.   Fungsi Beta Fungsi Beta, dinyatakan dengan B(m,n) di definisikan sebagai:    B(m,n)= ,   yang konvergen untuk

 ∫ −1− ,, = ++,,> 0 >0. ⁄ −−, > ,  =2 =2∫ ∫  0,,>0 =∫ = ∫ + . >0,>0 

Sifat-sifat Fungsi beta antara lain yaitu: 1.   

 

2. 

Komplemen dari standar CDF normal direpresentasikan sebagai dimana sering disebut Q-function. Ini memberikan probabilitas bahwa nilai dari variabel normal acak standar X akan melebihi .  Definisi lain dari Q-function, yang semuanya merupakan transformasi sederhana dari Փ juga Փ juga digunakan sesekali.

 Փ== 1  Փ Փ=Փ   + 1 1     − Փ= 2  √ 2 .    3  3.5 . .  21!! . .   =∫∫ −−  > 0 = ∞ −   >0   1 =  1=! =1 1=1  = √    

Grafik CDF normal standar Փ  Փ   (Phi) memiliki rotasi simetri 2 kali lipat di sekitar titik (0, 1/2), yaitu . Hal tersebut dijabarkan sebagai fungsi antiderivatif (integral tak terbatas) sebagai berikut:  

CDF dari distribusi normal standar dapat diperluas dengan Integrasi oleh bagian menjadi:

 

di mana !! menunjukkan faktorial ganda.  B.   Fungsi Gamma

Fungsi Gamma yang dinyatakan oleh , yang merupakan suatu fungsi bernilai riil dengan satu peubah, didefinisikan oleh suatu bentuk integral, yaitu:  , dengan   Kriteria dari konvergensi dipenuhi. Untuk x mendekati nol dengan mendekati , fungsi eksponensial orde yang lebih cepat dari setiap perpangkatan . 

3.  4. 

 

 

 D.   Distribusi Chi-Kuadrat (  ꭓ   



Dalam teori dan statistik probabilitas, distribusi chi-kuadrat (juga chi-kuadrat atau distribusi ( ꭓ  ( ꭓ  ) dengan derajat kebebasan k adalah distribusi sejumlah kuadrat kpeubah acak normal baku yang saling bebas. Distribusi chikuadrat adalah kasus khusus dari distribusi gamma dan merupakan salah satu distribusi probabilitas yang paling sering digunakan dalam statistik inferensial, khususnya dalam  pengujian hipotesis atau dalam penyusunan selang kepercayaan (Boes, Duane C. 1974) Distribusi ini berguna untuk menguji hubungan atau  pengaruh dua buah variabel nominal dan mengukur kuatnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel nominal lainnya. Karakteristik distribusi chi kuadrat yaitu: 1)   Nilai Chi‐Square selalu positif. positi f.  2)  Terdapat beberapa keluarga distribusi Chi‐Square, yaitu distribusi Chi‐Square dengan dk=1, 2, 3, dst.   3)  Bentuk Distribusi Chi‐Square adalah menjulur  positip.  Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari distribusi chi-kuadrat adalah

−−   :: == 2Γ 2 , >0 0,         Γ     ,   ;=  222 =  2 , 2 ,  =  =   10 −−/,,  > 0 > > 0 , >> 0, ; 22 = 1  −/

Fungsi gamma ini, dapat dipandang sebagai suatu fungsi dari bilangan n (tidak perlu harus bulat), memenuhi beberapa hubungan antara lain: 1.    2.    3.    4.  5. 

 

 

Peubah acak kontinu X berdistribusi Gamma, dengan  parameter   dan fungsi kepadatan peluangnya dituliskan dengan persamaan berikut:

 

di mana

  menunjukkan fungsi gamma, yang memiliki

nilai bentuk tertutup untuk integer k. Fungsi distribusi kumulatif dari Chi Kuadrat yaitu:  

di mana adalah fungsi gamma yang lebih rendah dan  adalah fungsi gamma yang diatur. Dalam kasus khusus k = 2 fungsi ini memiliki bentuk yang sederhana yaitu:  

 

 

3

dan pengulangan integral dari fungsi gamma membuatnya mudah untuk menghitung untuk k kecil lainnya. Misalkan  batas Chernoff pada bagian  bawah dan bagian atas CDF dapat diperoleh. Untuk kasus ketika   (yang mencakup semua kasus ketika CDF kurang dari setengah) yaitu:   Sedangkan untuk kasus ketika  sama, yaitu:  

≡/ 01 . 4 . 2 √   1/2/2  = √ 13. 24.. 5.3 2 24.

di mana v adalah jumlah derajat kebebasan dan fungsi gamma. Ini mungkin juga ditulis sebagai:

adalah

di mana B adalah fungsi Beta. Khususnya untuk derajat kebebasan bernilai integer v dimana  genap:  

Untuk  

  ganjil:

 

Gambar 1.  plot plot dari fungsi kepadatan probabilitas t-distribusi (merah) untuk 1, 2, 3, 5, 10, dan 30 derajat kebebasan dibandingkan dengan distribusi normal standar (biru). Plot sebelumnya ditampilkan dalam warna hijau. Fungsi kepadatan probabilitas simetris, dan bentuk keseluruhannya menyerupai bentuk lonceng variabel terdistribusi normal dengan mean 0 dan varians 1, kecuali  bahwa itu i tu sedikit lebih rendah dan lebih lebar. Ketika jumlah derajat kebebasan tumbuh, distribusi-t mendekati distribusi normal dengan mean 0 dan varians 1. Karena alasan ini v  juga dikenal sebagai parameter normalitas. (John Kruschke, 2014) Fungsi distribusi kumulatif dapat ditulis dalam bentuk I, fungsi beta tidak tuntas yang diatur untuk  yaitu:

Dimana,

1 > 0 1   = −  = 1 2  2 , 2 =   1 <    

 

 

 Nilai-nilai lain akan diperoleh dengan simetri. Formula alternatif, berlaku untuk  yaitu:

1  12 , 12 1; 32 ;   −  = 12    √ 2 2 

di mana

  

 

adalah kasus khusus dari fungsi hipergeometrik. adalah

 F.   Distribusi F Uji Signifikasi simultan (Uji Statistik F), yaitu  pengujian terhadap variabel independen secara bersama (simultan) yang ditujukan untuk mengetahui apakah semua variabel tersebut independen secara bersama-sama dapat  berpengaruh terhadap variabel dependen (Santoso, 2006). Dalam hal ini, distribusi F adalah rasio dua distribusi chisquare dengan derajat kebebasan  ,  masing-masing, di mana setiap chi-square pertama dibagi oleh derajat kebebasannya.

 dan 

 

 

4

Rumus untuk fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi F adalah:

 /  /−      /        /2 /2        = /2/2/2/21 +/  1  /      = −−

 

di mana   dan   adalah parameter bentuk dan Γ adalah fungsi gamma. Rumus untuk fungsi gamma yaitu:  

Dalam konteks pengujian, distribusi F diperlakukan sebagai "distribusi standar" (yaitu, tidak ada parameter lokasi atau skala). Namun, dalam konteks pemodelan distribusi (seperti distribusi probabilitas lainnya), distribusi F itu sendiri dapat diubah dengan parameter lokasi, μ, dan parameter skala, σ.  σ.   Sedangkan, rumus untuk fungsi distribusi kumulatif dari distribusi F adalah:

Dimana 

=1 2 , 2  = +.   −1−  ∫ ,,= ,− ,  = −1   dan

 

Gambar 3. Plot dari fungsi distribusi kumulatif F dengan nilai yang sama dari  dan  sebagai pdf plot di atas.

  adalah fungsi beta yang tidak

lengkap. Rumus untuk fungsi beta yang tidak lengkap adalah:  

Dimana B adalah fungsi Beta yaitu:

 

Berikut ini merupakan plot dari fungsi kepadatan probabilitas F dan dungsi distribusi komulatif F:

G.  Transformasi Variabel Beberapa variabel dapat diperoleh dari hasil transformasi. Untuk mengetahui fungsi distribusi dari variabel yang di transformasi, dapat digunakan beberapa metode seperti fungsi distribusi cumulatif (cdf) dan fungsi densitas probabilitas (pdf). Berikut penjelasannya: 1. Fungsi Distribusi Cumulatif (cdf)  (cdf)  Anggaplah bahwa Y adalah variabel acak kontinyu dengan kumulatif fungsi distribusi (cdf) . Misalkan   =   ( ) menjadi  fungsi Y, dan tujuan sekarang adalah menemukan distribusi U. Teknik CDF ini sangat  baik digunakan ketika CDF  memiliki ekspresi analitis  bentuk tertutup. Metode ini dapat digunakan untuk   kedua transformasi univariat dan bivariat.  Langkah-langkah teknik CDF antara lain: 1.  Identifikasi domain Y dan U. 2.  Tulis   =  (   ≤ ), cdf dari U, dalam hal ,

 



     

cdf dari Y. 3.  Bedakan

≡≤

    −−  =

untuk mendapatkan pdf dari U,

 

2. Fungsi Densitas Probabilitas (pdf), univariat

Anggaplah bahwa Y adalah variabel acak kontinu dengan cdf dan domain , dan misalkan   =   ( ), di mana :   → ℛ adalah fungsi satu-ke-satu satu -ke-satu yang  berkelanjutan yang didefinisikan di atas . Contoh fungsifungsi tersebut termasuk terus menerus (ketat) peningkatan /  penurunan fungsi. f ungsi. Ingat pada kalkulus ba bahwa hwa jika  adalah satu-ke-satu, ia memiliki invers unik   . Ingat juga bahwa  jika  monoton naik atau turun maka .



Gambar 2. Plot dari fungsi kepadatan probabilitas F untuk 4 nilai yang berbeda dari parameter bentuk

Turunan rumus teknik pdf menggunakan metode cdf :

 ⇔⇔ − = 

Anggaplah bahwa didefinisikan di atas

( ) adalah fungsi dari y yang . Kemudian, hasilnya adalah dan: 

 

 

5

  =≤=    − −   =[≤ =   ]    == −=  −−   −>0 −       =1−  − < 0−   =   =  1    = −  −     = −  −   .

 

Membedakan. mendapatkan:

 

  sehubungan dengan U, kita akan

 

 

(Berdasarkan aturan rantai) Sekarang karena demikian

 , dengan  monoton naik, begitu juga . Jika  ( ) monoton turun, maka: , yang mana:

 dan  dan

 

 

Berdasarkan hasil tersebut maka dibuktikan bahwa nilai pdf dari U tidak sama dengan 0 sehingga persamaan menjadi :  

Jika   menunjukkan domain Y, maka domain untuk U.

  menunjukkan

  =    = −  

Langkah-langkah teknik pdf antara lain:kontinu dan satu-ke1.   Pastikan transformasi satu di atas . 2.  Temukan domain Y dan U. 3.  Temukan transformasi inversi   dan turunannya (sehubungan dengan u). 4.  Gunakan rumus di atas untuk . III.   PEMBAHASAN 

 A.   Hubungan Uji t dan Uji F Teorema 1. Jika Pembuktian:

 ~ ~

 kemudian

 = ~1,

 

  1   2 =     ++/ 2 1 2    1 √  /−  ,  > 0 1/2/1 1/2/2 1//1/+/ = 1/2/2 +/ //  /2/2/− /+/ = /2/2/2/211  

 

 

yang merupakan fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak F (1, v). Maka, dari pembuktian tersebut terlihat hubungan antara uji t dan uji F yaitu  maka   Jika kita menguji hipotesis nol bahwa rata-rata dua buah kelompok tidak berbeda, teknik ANAVA dan uji-t (uji dua  pihak) akan menghasilkan kesimpulan yang sama, keduanya akan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam hal ini, statistik F pada derajat kebebasan 1 dan n-k akan sama dengan kuadrat dari statistik t. Berdasarkan penjabaran diatas terbukti bahwa adanya hubungan antara Uji t dengan Uji F dengan menggunakan distribusi, maka hubungan nilai statistik F dan t dapat dilihat  pada tabel dibawah ini. Diketahui:

   ~ ~    =  ~1,

a)  Ada 2 variabel penelitian (

= 2

)

 b)  Jumlah observasi (responden) yang kita gunakan untuk membentuk persamaan ini sebanyak 20 responden. c)  Untuk uji t pengujian hipotesis Uji t (dua sisi) α = 5% atau 0,05, jadi dua sisi 2,5% atau 0,025. Derajat bebas pengujian adalah n –  n  –  k   k = 20 –  20  –   2 2 = 18. d)  Untuk uji F pengujian hipotesis diilakukan pada α = 5% atau 0,05. Dan = k-1 = 2 –   1 = 1 sedangkan   = n  –   k = 20  –   2 = 18 (sama dengan derajad bebas pengujian pada uji t).





Pada tabel dapat dilihat sebagai berikut: Distribusi Student’s t dengan v  derajat kebebasan memiliki fungsi kepadatan probabilitas yaitu:

++/ −          1 /2   = √   11     , 2∞