HT1-Inecuaciones Lineales y Cuadráticas-SOLUCIÓN

MATEMATICA BASICA SEMANA 01: INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 1.

Resolver las siguientes inecuaciones: a) x  24  3x Solución

x  24  3x 24  3x  x 24  2x 12  x

C.S.  12; b)

2 x  2 6 4 Solución

2 x  2 6 4  2x  2  24

 2x  26 x  13

C.S.  13; c)

x  2 x  4 x  33 2 Solución

x  2 x  4 x  33 2  x  4 x  8x  33 2 11x  33 2 66 x 11 x6

C.S.  6; d)

2 1   x 2 x    3  2   3 2   2 Solución

4 3 x  6 3 2 2 x 4 3 2x     6 2 3 2 2x 

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4 x  x 8  9  36  2 6

3x 19  2 6 3x   x

19 3

19 9

 19  C.S .   ;   9  e)

3( x  1) x  4 2( x  1)   6 2 3 Solución

 3x  3  3( x  4) 2 x  2  6 3  3 x  3  3 x  12 2 x  2  6 3  6 x  15 2 x  2  6 3  6 x  15  2x  2 2  6 x  15  2(2 x  2)  6x  15  4x  4

19  10 x

19 x 10 19   C.S .    ;  10  

f)

4(2 x  1) x  4 x   2(2  ) 3 4 3 Solución

16(2 x  1)  3( x  4) 2x  4  12 3

 32 x  16  3x  12  12  2 x  12 3  35 x  28  12  2 x 4

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 35 x  28  4(12  2 x)  35x  28  48  8x 48  28  35x  8x

76  43x

76 x 43 76   C.S .    ;  43   g)

(2 x  3) 2  4 x 2 ( x  7)  4( x  2)3

4 x 2  12 x  9  4 x 3  28x 2  4( x 3  6 x 2  12 x  8)  12 x  9  4 x 3  24 x 2  4 x 3  24 x 2  48 x  32  12x  9  48x  32  60 x  41  60 x  41 x

41 60

C.S . 

h)

41 ;  60

 2  3  4x  4 Solución

 2  3  3  4x  3  4  3  5  4x  1  5  4x  1 1  5  4 x  1 4 1 5 x 4 4

 1 5 C.S .   ;   4 4

i)



1 1 1  3x   5 4 3

Solución



1 1 1  3x   5 4 3

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

1 1 1 1 1 1   3x     5 4 4 4 3 4

1 7  3x  20 12 1 7 x 60 36 1 7 C.S .   ;   60 36  2.

Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas:

a)

x 2  4x  4  0 Solución

Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 − 2)2 > 0 Igualando a

cero la expresión cuadrática (𝑥 − 2)2 = 0 ,

se tiene como punto crítico 𝑥 = 2

de

multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:

++

+ 2

−∞

+∞

Considerando el punto crítico 2 abierto, por ser la desigualdad estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; por lo tanto: CS: ℝ − {2}.

b)

x 2  2x  1  0 Solución

Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 + 1)2 ≥ 0 Igualando a

cero la expresión cuadrática (𝑥 + 1)2 = 0 ,

se tiene como punto crítico 𝑥 = −1

de

multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:

+

+ −∞

-1

+∞

Considerando el punto crítico -1 cerrado, por ser la desigualdad no estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; por lo tanto: CS: ℝ.

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c)

4x2  4x 1  0 Solución

En primer lugar multiplicamos por (-1) a toda la desigualdad, quedando: 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 ≤ 0 Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (2𝑥 − 1)2 ≤ 0 Igualando a cero la expresión cuadrática (2𝑥 − 1)2 = 0 , se tiene como punto crítico 𝑥 = 1/2 de multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:

+

+ 1/2

−∞

+∞

Considerando el punto crítico 1/2 cerrado, por ser la desigualdad no estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; no se ha sombreado ninguna región pues debemos buscar intervalos con el signo menos, que como podemos apreciar no hay, de esta forma la única solución es el punto pintado, es decir: CS: {1/2}.

d)

x 2  9  6x Solución

En primer lugar acomodamos el ejercicio de tal manera que la expresión cuadrática este a un lado de la desigualdad, quedando: 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 < 0 Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 − 3)2 < 0 Igualando a

cero la expresión cuadrática (𝑥 − 3)2 = 0 ,

se tiene como punto crítico 𝑥 = 3

de

multiplicidad par (en este caso se repite dos veces), ahora lo ubicamos en la recta real:

+ −∞

+ 3

+∞

Considerando el punto crítico 3 abierta, por ser la desigualdad estricta y los signos se repiten por ser el punto crítico de multiplicidad par; no se ha sombreado ninguna región pues debemos buscar intervalos con el signo menos, que como podemos apreciar no hay, Tampoco encontramos puntos críticos pintados, es decir: CS: { }

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e)

x 2  13  6 x Solución

En primer lugar acomodamos el ejercicio de tal manera que la expresión cuadrática este a un lado de la desigualdad, quedando: 𝑥 2 − 6𝑥 + 13 > 0 Esta expresión no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (−6)2 − 4(1)(13) (discriminante) es ∆= −16 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad mayor que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra: CS: ℝ.

f)

x2  x  3  0 Solución

La expresión : 𝑥 2 − 𝑥 + 3 ≤ 0 no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (−1)2 − 4(1)(3) (discriminante) es ∆= −11 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad menor o igual que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra que dice que si el discriminante es negativo y el coeficiente principal positivo, la expresión cuadrática es siempre positiva, en este ejercicio nos piden que la expresión cuadrática sea menor o igual a cero, es decir algo imposible, por lo tanto: CS: { }.

g)

x2  2x  5  0 Solución

La expresión : 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 < 0 no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (2)2 − 4(1)(5) (discriminante) es ∆= −16 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad menor

que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra que dice que si el

discriminante es negativo y el coeficiente principal positivo, la expresión cuadrática es siempre positiva, en este ejercicio nos piden que la expresión cuadrática sea menor que cero, es decir algo imposible, por lo tanto: CS: { }.

h)

x 2  x  72  0 Solución

Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 + 9)(𝑥 − 8) < 0

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Igualando a cero los factores 𝑥 + 9 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 , se tiene como puntos críticos 𝑥 = −9 ∨ 𝑥 = 8 de Ahora lo ubicamos en la recta real:

-

+

8

-9

−∞

+ +∞

Nos quedamos con el intervalo que tiene signo menos pues la desigualdad así lo pide; por lo tanto: CS: 〈−9; 8〉

i)

x2  6 x  8  0 Solución

Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (𝑥 − 4)(𝑥 − 2) > 0 Igualando a cero los factores 𝑥 − 4 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 , se tiene como puntos críticos 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 2 Ahora lo ubicamos en la recta real:

−∞

++

4

2

++

+∞

Nos quedamos con el intervalo que tiene signo más pues la desigualdad así lo pide; por lo tanto: CS: 〈−∞; 2〉 ∪ 〈4; +∞〉

j)

1  2 x  3x 2  0 Solución

En primer lugar multiplicamos por (-1) a toda la inecuación, quedando 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1 ≤ 0 Factorizando la expresión cuadrática se tiene: (3𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≤ 0 1

Igualando a cero los factores 3𝑥 − 1 = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0 , se tiene como puntos críticos 𝑥 = ∨ 𝑥 = −1 3

Ahora lo ubicamos en la recta real:

-

+ −∞

-1

+ 1/3

+∞

Nos quedamos con el intervalo que tiene signo menos, incluyendo los extremos pues la desigualdad así lo pide; por lo tanto: CS: [−1; 1/3]

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k)

3x 2  8x  11  4( x  1) Solución

En primer lugar acomodamos el ejercicio de tal manera que la expresión cuadrática este a un lado de la desigualdad, quedando: 3𝑥 2 − 8𝑥 + 11 ≥ 4𝑥 − 4 → 3𝑥 2 − 12𝑥 + 15 ≥ 0 → 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 ≥ 0 Esta expresión no es posible factorizar en el campo de los números reales, pues ∆= (−4)2 − 4(1)(5) (discriminante) es ∆= −4 < 0, esto significa que debemos dar una respuesta inmediata para esto analizamos el coeficiente principal y el tipo de desigualdad, en nuestro caso: 𝑎 = 1 > 0 y la desigualdad mayor que cero, por lo tanto por el teorema fundamental del algebra: CS: ℝ.

3.

Comisiones. La comisión mensual de un agente de ventas es de 15%, si vende más de $12 000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $3 000 por mes, ¿cuánto debe de vender como mínimo para acceder a dicha comisión? Solución Sea “x” la cantidad de dinero por las ventas realizadas. Entonces,

0,15 x  3000 300000 x 15 x  20 000

Respuesta. El vendedor debe vender como mínimo $20 000 por mes para obtener una comisión de al menos de $3 000.

4.

Ganancias. Para una compañía que fabrica pantalones, el costo variable (mano de obra y material) es $10 por pantalón. El costo fijo (el costo sin importar la producción) es de $80 000. Si el precio de venta de un pantalón es de $30, ¿Cuál es el mínimo número de pantalones que debe vender para que la compañía obtenga ganancias? Solución Sea “x” la cantidad de pantalones fabricados y vendidos. Recordando que:  El costo total es el costo variable más el costo fijo. Es decir:

CT  10x  80 000 

El Ingreso es el precio unitario por la cantidad vendida. Es decir:

I  30x 

Ganancia se obtiene cuando el ingreso es mayor que el costo total. Es decir:

I  CT

30 x  10 x  80 000 30 x  10 x  80 000

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20 x  80 000 x  4 000 Respuesta. La cantidad mínima de pantalones que se debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 4 001 unidades.

5.

Ganancias. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $ 19,95. El costo de fabricación de cada cartucho es de $ 12,92. Los costos fijos mensuales son de $ 8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿cuántos cartuchos como mínimo debe fabricar y vender el fabricante para obtener ganancias? Solución Sea “x” la cantidad de cartuchos fabricados y vendidos. Ingreso:

I  19,95 x Costo total:

CT  12,92x  8000 Utilidad:

U  I  CT La ganancia es:

U  I  CT  0 19,95 x  (12,92 x  8000)  0

19,95 x  12,92 x  8000  0 7,03 x  8000

x

8000 7,03

x  1137, 98 Respuesta. La cantidad mínima de cartuchos que se debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 1 138 unidades.

6.

Ganancias. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben producirse y venderse de modo que la compañía obtenga ganancias? Solución  Sea “x” la cantidad de revistas producidos y vendidos por encima de 10 000 unidades. Es decir:

x  10 000 

Costo unitario de publicación: $1,5, entonces el costo total es: CT  1,5x



Ingreso de los distribuidores: I1  1,4 x

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

Ingreso de publicidad: I 2  10%[1,4( x  10 000)]

Entonces de la pregunta se puede plantear la siguiente inecuación:

I1  I 2  CT 1,4 x  10%[1,4( x  10000)]  1,5 x 1,4 x  0,1[1,4( x  10000)]  1,5 x 1,4 x  0,14( x  10000)  1,5 x 1,4 x  0,14 x  1400  1,5 x 1,54 x  1400  1,5 x 1,54 x  1,5 x  1400 0,04 x  1400

x

1400 0.04

x  35 000 Respuesta. La cantidad mínima que se debe reproducir y vender para obtener ganancias es de 35 001 revistas.

7.

Ganancias. La editorial AMAUTA S.A.C determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista G de Gestión es de S/. 16. El ingreso recibido de los distribuidores es S/. 15 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de los 4000 ejemplares. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga como mínimo una ganancia de S/. 6 500? Solución  Sea “x” la cantidad de revistas producidos y vendidos por encima de 4 000 unidades. Es decir:

x  4 000 

Costo unitario de publicación: S/.16, entonces el costo total es: CT  16 x



Ingreso de los distribuidores: I1  15x



Ingreso de publicidad: I 2  10%[15( x  4 000)]

Entonces de la pregunta se puede plantear la siguiente inecuación:

I1  I 2  CT  6500 15 x  10%[15( x  4000)]  16 x  6500 15 x  0,1[15( x  4000)]  16 x  6500

1,5( x  4000)  x  6500 1,5 x  6000  x  6500 0,5 x  6500  6000 0,5 x  12500

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x

12500 0,5

x  25000 Respuesta. La cantidad mínima que se debe vender para obtener una ganancia mínima de 6500 es 25 000 revistas. 8.

Rentar o comprar.Un empresario de una constructora está en duda entre alquilar o rentar una camioneta y le solicita ayuda a uno de sus ingenieros civiles. El ingeniero hace las siguientes investigaciones: a) La renta es de 5 000 dólares mensuales, el mantenimiento diario y pago al chofer es de 50 dólares. b) Si opta por comprar tendrá una inversión 48 000 dólares y mantenimiento diario y pago al chofer de 70 dólares. Sabiendo que la obra se terminará en un año y que el ingeniero tomó la decisión de alquilar. ¿Qué tipo de análisis matemático utilizó el ingeniero para tomar esa decisión? Y ¿por qué? Solución 



Construyamos una tabla con la información proporcionada. Rentar

Comprar

5 000  12  50 x

48 000  70 x

Según la pregunta se tiene

5 000  12  50 x  48 000  70 x 60 000  50 x  48 000  70 x 60 000  48000  70 x  50 x 12 000  20 x

600  x Respuesta. El número mínimo de días que deberá usarse la máquina excavadora para que la renta sea más barata que la compra es de 601 días. Ahora como la obra termina en un año, tenemos 365 días. Por tanto el ing. No tomó una buena decisión.

9.

Rentar o comprar. Un constructor debe decidir si ha de comprar o rentar una máquina excavadora. Si la rentara, tendría que pagar $4800 al mes (sobre una base anual), y el costo diario (gasolina, aceite y conductor) sería de $480 por cada día que se utilizara; si la comprara, su costo fijo anual sería de $32 000 y los costos diarios de operación serían de $640 por día. Calcular el número mínimo de días al año que tendría que utilizar la máquina para justificar su rentar en vez de comprarla. Solución 



Construyamos una tabla con la información proporcionada. Rentar

Comprar

4800  12  480x

32 000  640 x

Según la pregunta se tiene

4800  12  480 x  32 000  640 x 57600  480x  32000  640x 57600  32000  640x  480x DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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25600  160x

25600 x 160

x  160 Respuesta. El número mínimo de días que deberá usarse la máquina excavadora para que la renta sea más barata que la compra es de 161 días. 10. Precio. Un empresario compra un lote de 150 motos por un total de $525 000. Vende al público 80 motos a $5 800 cada una. ¿A qué precio le conviene vender las motos restantes en la temporada de liquidación si desea obtener como mínimo un 35% de ganancia? Solución 

Sea es “p” el precio que se asignará a las 70 motos que falta vender.



Ingreso total:

I T  80  5800  70 p 

Costo total

C  525 000 

Ganancia.

G  35%(525000) Reemplazando se tiene:

464 000  70 p  525 000  183 750 70 p  61 000  183 750 70 p  183 750  61 000 70 p  244 750

p

244 750 70

p  3496,43 Respuesta. El precio mínimo al cual se debe vender las 70 motos restantes para obtener una ganancia mínima del 35% es de $3 496,43. 11. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 metros de cerca disponibles. calcule los intervalos de variación para el largo y ancho del terreno, si el área delimitada debe ser de al menos 2 100 m 2 Solución 

Hagamos un bosquejo de la gráfica del terreno

𝑦 𝑥 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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

De acuerdo al gráfico, se tiene: 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 200 → 2𝑥 + 2𝑦 = 200 → 𝑥 + 𝑦 = 100 → 𝑦 = 100 − 𝑥



Por otro lado Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥𝑦 → 𝐴 = 𝑥(100 − 𝑥) → 𝐴 = 100𝑥 − 𝑥 2



Se desea 𝐴 ≥ 2100 → 100𝑥 − 𝑥 2 ≥ 2100 → 𝑥 2 − 100𝑥 + 2100 ≤ 0 Para resolver esta expresión se procede a factorizar (𝑥 − 30)(𝑥 − 70) ≤ 100 Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real.

-

+ 30

−∞ 

+ 70

+∞

De acuerdo a esta gráfica 𝑥 ∈ [30; 70], luego reemplazamos en 𝑦 = 100 − 𝑥 , los valores de 𝑥 y obtenemos que 𝑦 ∈ [30; 70]

12. Un ingeniero civil quiere hacer un borde de ancho uniforme con gras sintético alrededor de una cabaña rectangular. La cabaña tiene una longitud de 10 m y un ancho de 6 m. Si se cuenta con gras para cubrir a lo más 36 m2. ¿Cuál será el máximo valor que puede tomar el ancho del borde? Solución 

Hagamos un bosquejo de la gráfica del terreno 10 + 2x

x

x x

x 10

6 + 2x

6

x

x x

x



Del gráfico mostrado se tiene: Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑠 = (10 + 2𝑥)(6 + 2𝑥) − 60 → 𝐴 = 4𝑥 2 + 32𝑥



Se debe cumplir 𝐴 ≤ 36, para dar respuesta a nuestra pregunta, veamos 4𝑥 2 + 32𝑥 ≤ 36 → 𝑥 2 + 8𝑥 ≤ 9 → 𝑥 2 + 8𝑥 − 9 ≤ 0 → (𝑥 + 9)(𝑥 − 1) ≤ 0 Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real:

-

+ -9

−∞ 

+ 0

1

+∞

Por condición lógica 𝑥 > 0, debido a esto y la gráfica de la recta real se tiene que el valor de 𝑥 debe ser: 𝑥 ∈ ⟨0; 1]

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Por lo tanto el valor máximo que puede tomar el ancho del borde es de 1 metro. 13. La empresa Cementos Lima necesita determinar el mínimo precio que debe asignar a cada bolsa de cemento que produce. Si se sabe que la cantidad de bolsas que produce diariamente está dada por la expresión x  50  2 p y además se espera que los ingresos diarios sean como mínimo de $300. Solución Sea 𝐼: ingreso diarios; Sea 𝑥: cantidad de bolsas de cemento Se tiene: 𝐼 = 𝑝𝑥 → 𝐼 = 𝑝(50 − 2𝑝) → 𝐼 = −2𝑝2 + 50𝑝 Se espera que los ingresos diarios sean como mínimo 300 dólares, es decir: 𝐼 ≥ 300 → −2𝑝2 + 50𝑝 ≥ 300 → 𝑝2 − 25𝑝 + 150 ≤ 0 Factorizando, esta expresión y ubicando los puntos críticos en la recta real se tiene: (𝑝 − 15)(𝑝 − 10) ≤ 0

-

+ −∞

10

+ 15

+∞

Lo cual indica que el precio varía de 10 a 15 a dólares, como nos piden el precio mínimo, la respuesta sería de 10 dólares.

14. John, gerente de una empresa de agro exportación, proyecta enviar al mercado europeo cierta cantidad de

un producto nuevo desde Perú. Él proyecta que por la venta de “x” cajas de ese producto, el precio de cada caja es p  5000  2 x nuevos soles. Además el costo total es C  360000  1000 x  2 x nuevos soles ¿Cuántas cajas deberán venderse para obtener utilidades de al menos S/. 640 000? 2

Solución Sea x el número de cajas vendidas al mercado extranjero.

U  640000  I  C  640000  px  C  640000

(5000  2 x) x  (360000  1000 x  2 x2 )  640000

5000 x  2 x 2  360000  1000 x  2 x 2  640000 4 x 2  4000 x  1000000  0 x 2  1000 x  250000  0

 x  500 

2

0

C.S  {500} 15. Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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cada incremento de 75 céntimos en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solución Según el enunciado del problema construimos la siguiente tabla. (Nota: 0.75 = 3/4 )

PRECIO POR CORTE

CANTIDAD DE CLIENTES

p=8

q = 120

p = 8 +(3/4) x

q = 120 – 10x

x es el número de incrementos de 0,75 soles

4p=32+3x

q = 120 - 10[(4p -32)/3]

x = (4p -32)/3

q = (680-40p)/3

I  pq

I ( p) 

p(680  40 p) 3

Por lo tanto, la función es:

I ( p)  Se desea que

 40 p 2  680 p ; Dom ( I )  [8 ;17] 3

I  (8)(120)

Es decir:

 40 p 2  680 p I  (8)(120)   960  40 p 2  680 p  2880   p 2  17 p  72 3 2 Entonces: p  17 p  72  0  ( p  8)( p  9)  0

-

+ −∞

8

+ 9

+∞

Por lo tanto para cumplir lo establecido el precio debe variar de 8 a 9, como nos piden el precio máximo, la respuesta sería de nueve dólares.

16. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de $ 60. Por cada disminución de DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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$ 5 en el precio se venderán 45 unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $ 19500?

Solución Según el enunciado del problema construimos la siguiente tabla. (Nota: 0.75 = 3/4 )

PRECIO

DE

CADA

CANTIDAD DE UNIDADES

COSMÉTICO

DE UN COMÉTICO

p = 60

q = 300

p = 60-5 x

q = 300+45x

x es el número de descuentos de 5 dólares

60-p=5x

q = 300+ 45[(60-p)/5]

x = (60-p)/5

q = 840-9p

I  pq

I ( p)  9 p 2  840 p Por lo tanto, la función es:

I ( p)  9 p 2  840 p ; Dom( I )  [0 ; 60] Se desea que I  19500 Es decir:

 9 p 2  840 p  19500  3 p 2  280 p  6500  0  ( p  50)(3 p  130)  0 Luego:

-

+ −∞

130/3

+ 50

+∞

Por lo tanto para cumplir lo establecido el precio debe variar de 130/3 a 50, como nos piden el precio máximo, la respuesta sería de 50 dólares.

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