Ht-Semana 3 - 2
July 13, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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TEMA: Optimización de funciones de varias variables con restricción CURSO: Cálculo 3 SEMANA: 3_2
Muchos problemas de optimización tienen restricciones para los valores que pueden usarse en la solución óptima. En esta sección se estudia una ingeniosa técnica para resolver tales problemas. Es el método de los multiplicadores de Lagrange. Lagrange. I. TEOREMA DE LAGRANGE. Suponga que la función tiene un extremo en el punto sobre la gráfica de la ecuación restricción . Si y tienen primeras derivadas parciales continuas en un conjunto abierto que contiene la gráfica de la ecuación de restricción y , entonces existe un número real λ tal que .
=(, ) (,)=0 (, )) = ((,, )) (, ) = (, )
El número real para el cual Lagrange.
( , ) (,,) ≠ 0
recibe el nombre de multiplicador de
II. MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES (CON ( CON UNA RESTRICCIÓN). RESTRICCIÓN ). Sean y funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción . Para hallar el mínimo o el máximo de ,, seguir los pasos descritos a continuación.
1) Resolver simultáneamente las ecuaciones el sistema de ecuaciones siguiente.
(, )= ) = (, ) = (, (, )= ) =
)y
resolviendo
(,,(,,))=∙ = (,)
2) Evaluar en cada punto solución obtenido en el primer paso.
•
•
El valor mayor da el máximo de sujeto a la restricción El valor menor da el mínimo de sujeto a la restricción
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(,, ) = (, ))==
, ,
.
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III. MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES (CON ( CON UNA RESTRICCIÓN). RESTRICCIÓN ).
= (, ,, )
Para encontrar los extremos de una función de tres variables sujeto a la , suponiendo que y satisfacen las hipótesis del teorema de restricción Lagrange, seguir los pasos descritos a continuación.
(,, ,, ) =
1) Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones:
((,,,, ,,,, )) == (,(, ,,,, )) {(,(,,,))=,)== (, ,, ) (,, ,,) = (, , )= ℎ ∇ (, ) = ∇(, ) + ∇ℎ(, ) ; (, ) = , ℎ(, ) = 2
2) Evaluar en cada punto solución obtenido en el primer paso.
•
•
El valor mayor da el máximo de sujeto a la restricción
, ,
El valor menor da el mínimo de sujeto a la restricción
.
IV. MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (CON (CON DOS RESTRICCIONES). RESTRICCIONES). En problemas de optimización que involucran dos funciones de restricción y se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange, (letra minúscula mu del alfabeto griego), y resolver las ecuaciones:
donde los vectores gradiente no son paralelos.
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TEMA: Optimización de funciones de varias variables con restricción CURSO: Cálculo 3 SEMANA: 6 HOJA DE TRABAJO NIVEL I: CONOCIMIENTO / COMPRENSIÓN 1) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Proposición
Valor de verdad
Al optimizar la función sujeto a la restricción , suponiendo que ∇g ≠ 0, entonces los vectores gradientes de y son paralelos en ( ()) ∩ ( () ). cualquier punto del Al optimizar la función sujeto a la restricción , suponiendo que ∇g ≠ 0, entonces alcanza su valor máximo o mínimo en los puntos donde los vectores gradientes de y son paralelos.
Geométricamente:
(, (,) ) (, )= (,,) =
(,)=
Maximizar sujeta a es encontrar el valor más grande de tal que la curva de nivel corte a . Esto sucede cuando las curvas se tocan, es decir, cuando tienen una recta tangente común.
2) Se ilustran un mapa de curvas de nivel de y una curva cuya ecuación es . Estime los valores máximos y mínimos de sujeta a la restricción . Explique su razonamiento.
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(,,) = 8 (,,) = 8
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NIVEL II: APLICACIÓN / ANÁLISIS 3 + 4 − 3 sujeto a la restricción 3) Encuentre los valores extremos de (, ) = 3 ( − 1) + = 25 . 4) Sea (, ) = + 2 . Encuentre los valores máximo y mínimo de la función (, ) sujeto a la restricción + = 1 5) Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar el máximo de (, ) = + + 2 + 2 − 4 − 8 sujeto a la restricción + = 1.
6) Rectángulo de mayor área en una elipse. Use el método de multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en la elipse con los lados paralelos a los ejes coordenados. coordenados.
2⁄16 + 2⁄9 = 1 (,,) = 42 −4+2
(,, ))
7) Hormiga en una placa de metal. La temperatura en un punto de una placa de metal es de . Una hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 con centro en el origen ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima encontradas por la hormiga? hormiga? 8) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x 2 + 4 y 2 = 4 a la recta x + y = 4 .
NIVEL III: SÍNTESIS / EVALUACIÓN 9) Localización de un radiotelescopio: radiotelescopio: Usted debe construir un radio telescopio en un planeta recién descubierto. Para minimizar la interferencia, quiere colocarlo donde el campo magnético del planeta es más débil. El planeta es esférico con un radio de 6 unidades. Con base en un sistema de coordenadas cuyo origen es el centro del planeta, la fuerza del campo magnético está dada por . ¿Dónde debe colocar el radiotelescopio?
(,,) =6−2 + + 60
10) Un semicírculo está sobre un rectángulo (ver la figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores de Lagrange para verificar que la longitud del rectángulo es el doble de su altura.
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11) Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos, como se muestra 11) en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.
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12) A un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapa cónica en la forma que se ilustra en la figura adjunta. El radio del tanque es de 3 m y su área superficial total corresponde a 81 . Encuentre las alturas x y y de manera que el volumen del tanque sea un máximo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CÓDIGO UPN 515LARS/C/22010 515STEW/V2008
CITA APA Larson, R. (2010). Cálculo 2. McGraw Hill. Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables: trascendentes tempranas. Cengage Learning. Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. McGraw-Hill Interamericana.
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