Hormigon II Iparte

HORMIGON II DISEÑO A FLEXION Y A CORTE VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA.-

Mr = As fy (d – a/2)

Ø = Factor de reducción de capacidad de carga por flexión = 0.90.

Mu = Ø As fy (d  – a/2)

La cuantía:    

As fy = 0.85 f‟c a b de donde: a 

 Asxfy  Asxfy 0.85  f  ' cxb cxb

 As bxd 

donde As= ρ b d.

x d/d =

  dfy 0.85  f  ' c

Reemplazando Reemplazando en Mu: Mu = Ø ρ bd fy (d

-

  bd  *  fy

) = Ø ρ bd2 fy (1 -

   *  fy

)

0.85  f  ' cxbx 2 1.7  f  ' c 0.59   *  fy 0.59   *  fy Mu = Ø ρ bd 2 fy (1 ) donde R = ρ fy (1 ) en Kg/cm2   f  ' c   f  ' c   fy Mu = Ø R b d 2; si w = ρ Mu = Ø f‟c bd 2 w (1 – 0,59 w) ;   f  ' c

Según el libro de WANG Y SALRON, referente a las cuantías: 1.- Para vigas de hormigón de peso normal, que no soportan o no están ligadas a elementos no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones: Para secciones rectangulares ρmax = 0.35 ρ b. Para secciones T o vigas tipo cajón ρ max = 0.35 ρ b. 2.- Para vigas de hormigón de peso normal, que soportan o no están ligadas a elementos no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones: Para secciones rectangulares ρmax = 0.25 ρ b. Para secciones T o vigas tipo cajón ρ max = 0.30 ρ b. 3.- Para vigas de hormigón de peso ligero, que no soportan o no están ligadas a elementos no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones: Para secciones rectangulares ρmax = 0.30 ρ b. Para secciones T o vigas tipo cajón ρ max = 0.35 ρ b. 116 artículo 21.3.2. ρ min = 14 / fy; ρmax = 0.025. Según el Código ACI ver página 116 ρ = 0.18 f‟c/ fy, para evitar el control de deflexiones, se gún libro de Chacón Toral y ACI - 63.

UTMach – FIC

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Página 1

2 VIGA DOBL EMENTE REFORZADA

Mr = M1 + M2.

Mr = A‟s f‟s (d-d‟) + (As-A‟s) fy (d-a/2) ( As   A' s )  fy Igualando en M 2: 0.85 f‟c ab = (As-A‟s) fy nos queda a = 0.85  f  ' cxb cxb

c= a/β1 = Posición del eje neutro.

 ' 

 f  ' s  Es

Є‟s= deformación unitaria a comprensión del acero.

Es = Módulo de elasticidad del acero. fy = Esfuerzo a la fluencia del acero. Donde: f‟s = Es * Є‟s; formula que sirve para pa ra comprobar el esfuerzo real en el acero.

 ' s c  d '



 cu c

;

Є‟s=

 u (c  d ' ) c

En las vigas doblemente reforzadas se considera que el acero a tracción fluya y el de compresión no calculándose calculándose su esfuerzo real para que armonice con la escasa resistencia del hormigón. Este tipo de vigas son de comportamiento comportamiento frágil, se debe evitar utilizar este tipo de vigas, vigas, se las utiliza principalmente principalmente en lugares donde esta restringido el peralte como en vigas de mezzanine, vigas de cimentación o en vigas  banda.

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2 VIGA DOBL EMENTE REFORZADA

Mr = M1 + M2.

Mr = A‟s f‟s (d-d‟) + (As-A‟s) fy (d-a/2) ( As   A' s )  fy Igualando en M 2: 0.85 f‟c ab = (As-A‟s) fy nos queda a = 0.85  f  ' cxb cxb

c= a/β1 = Posición del eje neutro.

 ' 

 f  ' s  Es

Є‟s= deformación unitaria a comprensión del acero.

Es = Módulo de elasticidad del acero. fy = Esfuerzo a la fluencia del acero. Donde: f‟s = Es * Є‟s; formula que sirve para pa ra comprobar el esfuerzo real en el acero.

 ' s c  d '



 cu c

;

Є‟s=

 u (c  d ' ) c

En las vigas doblemente reforzadas se considera que el acero a tracción fluya y el de compresión no calculándose calculándose su esfuerzo real para que armonice con la escasa resistencia del hormigón. Este tipo de vigas son de comportamiento comportamiento frágil, se debe evitar utilizar este tipo de vigas, vigas, se las utiliza principalmente principalmente en lugares donde esta restringido el peralte como en vigas de mezzanine, vigas de cimentación o en vigas  banda.

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3 Ejer c ic io Nº 1 

DIAGRAMA DE MOMENTOS

DIAGRAMA DE CORTANTES

En vigas simplemente armadas utilizamos el máximo momento positivo o negativo. En vigas doblemente armadas trabajamos con momentos positivos únicamente. Características de los materiales: f‟c = 210 Kg./cm2. fy = 4200 Kg./cm 2 para diámetros mayores a 12 mm. fy = 2800 Kg./cm 2 para diámetros menores a 12 mm. (Estribos). Para la 1ª P.A. y primer claro.

 As 

  [  √    ]; Mu = Ø R b d ; 2

0.85  f  ' c * b * d   2.36 Mu 1  1    fy  *  f  ' c * b * d 2 

R = ρ fy (1

-

0.59  *  fy   f  ' c

ρmax = 0.50 ρ b

 ; 

0.85  f  ' c * b * d   2.62 Mu  1 1       fy   f  ' c * b * d 2  

) en Kg./cm2

donde: ρ b = 0.85 β1   f  ' c  x   fy

ρmax = 0.5 (0.85)(0.85)

 As 

210

 x

6000

4200 6000  4200

6000 6000    fy

= 0.010625

R = 0.010625 x 4200 (1 -

0.59 x0.010625x4200

1587800 = 0.9 x 39.030 x b d 2  b d2 = 45201,70 cm 3

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210

) = 39.030 Kg/cm 2

b

d 30 38,82 35 35,94 25 42,52

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4 La sección de la viga es 25 x 35 cm. y el peralte efectivo es 30 cm, el peralte de 30 lo utilizo por razones de restricción (cuando la altura de entrepiso es pequeña < a 2.8m) 1.- Calculamos a la viga como simplemente armada. (DEL GRAFICO CORRESPONDIENTE A MOMENTO M2) La cuantía:    

Mu = Ø As fy (d  – a/2)

As = 0.010625 x 25 x 30 = 7,97 cm 2

 As bxd 

donde

As= ρ b d.

2 Ø 22 mm = 2* 3.8= 7.60 cm 2 (área de acero tentativo) ↔(AS-A‟S)=As2 a=

  dfy 0.85  f  ' c

 As *  fy

=

0.85  f  ' c * b

7.60 * 4200

=

0.85 x210 x 25

= 7,15 cm.

Mu = 0.9 x 7.60 x 4200 (30  – 7.15/ 2) = 7,591 T-m.; Mu se considera como Ø M 2 Mn = M1 + M2, el momento nominal o resistente y Mu = Ø M1 + Ø M2, el momento último, de donde: Ø M1 = Mu – Ø M2 M1 =

 Mu    M 2

 

=

1587800  759100 0,9

= 920 777,78 Kg-cm

Asumiendo que el acero a la compresión fluye. A‟s =

M1

=

fy (d - d' )

920777,78 4200(30  5)

= 8.77 cm 2 = área tentativa cuando fluye el acero:(fs→fy)

El acero total a la tracción será: As = As 2 + A‟s; donde As 2 corresponde al acero calculado a la flexión simple. As = 7.60 + 8.77 = 16.37 cm 2 que será el acero a tracción: 2 Ø 22 mm + 2 Ø 25 mm = 17.40 cm 2. Calculamos el esfuerzo real del acero. f‟s = Es * Є‟s= Es

a=

( As   A' s)  fy

c (17.40  8.77)4200

= 8,12 cm. y c = a/ β1 = 8,12/ 0,85 = 9,55 cm. 0.85 * 210 x 25 9,55  5 f‟s = 2x 10 6 * 0,003 = 2.858,64 Kg/ cm 2 < 4200 Kg/cm2 9,55 En el caso de que el acero a la compresión no fluye a la falla, hay que reajustar A‟s calculado 0.85  f  ' cxb

=

 u (c  d ' )

anteriormente que se consideró que si fluía. A‟s (real) = A‟s (tentativo) * fy/ f‟s ↔ A‟s (tentativo)= 8.77 cm2 A‟s (real) = 8.77 *4200/2.858,64= 12,89 cm 2 A‟s (real) = 4 Ø 20 mm = 12,56 cm 2.

Chequeamos si pasa la piedra en los hierros del lecho superior, para lo cual consideramos que utilizaremos estribos de 8 mm y el recubrimiento lateral de la viga es de 4 cm:  s 

25  8  2 * 0.8  4 * 2.0 2

 3.7 cm >2,5 cm.

CHQUEO:      '  0.50 *  b  0,010625;       '  UTMach – FIC.

 As   A' s b * d 



17,40  12,56 25 * 30

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 0,00645 OK.

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5 ACI-318-05: B.8.4.3 (pag. 387)      '  0.750 *  b  0,01594 ; para el caso normal.

Para calcular el hierro en los apoyos lo hacemos con los momentos negativos del diagrama de momentos, pero estos momentos se los calcula ubicados en la cara de las columnas y se denominan momentos críticos de diseño: Formulas: Para el apoyo izquierdo: Mx = R izq * x  –  w*x2/2  –  Mizq. Cuando x = 0.15 (la mitad de ancho de la columna); W= 3,99 t/m

 Mx x 0.15  16.61* 0.15  3.990 *

0.152 2

 18.695  16,248

Para el apoyo derecho: Mx = R der  * x – w*x2/2 – Mder .  Mx x 0.15  19.30 * 0.15  3.990 *

0.15 2 2

 30.8  27,949 t-m

LAS VIGAS EN PAQUETE

4 Ø 20 mm El hierro en apoyo izquierdo: As =

Mu a   * fy (d - ) 2

=

1624800 0.9 * 4200 (30 -

7,15 2

= 16,27 cm2 – 12,56 = 3,71 cm 2 )

As =3.71 cm2 = 2 Ø 16 mm = 4,02 cm 2, quedándonos: 4 Ø 20 mm + 2 Ø 16 mm = 16,58 cm 2 Chequeamos si pasa la piedra en los hierros del lecho superior, para lo cual consideramos que utilizaremos estribos de 8 mm y el recubrimiento lateral de la viga es de 4 cm: 25  8  2 * 0.8  4 * 2.0

 s 

2

 3.7 cm >2,5 cm.

SECCIÓN DE APOYO DERECHO Para el apoyo derecho: As=

Mu a  * fy (d - ) 2

=

2794900 0.9 * 4200 (30 -

4 Ø 20 mm

7,15 2

= 27,98 cm2 )

27.98 cm2 – 12.56 = 15.42 cm 2 As = 15.42 cm 2; 4 Ø 22 mm = 4 * 3.8 = 15.20 cm2. Resultado final: 4 Ø 22 mm +4 Ø 20 mm = 27.76cm 2 15,20 cm2 + 12,56 cm2 = 27,76 cm 2. Comprobación del momento real: Mu = Ø As fy (d  – a/2)

a=

( As   A' s)  fy

=

(27.76  2 * 4,90)4200

= 0,004 cm.

0.85 * 210 x25 Mu = 0.9 x 27.76 x 4200 (30  – 0.004/ 2)/105 = 31,459 T-m.;

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0.85  f  ' cxb

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6 DIAGRAMAS DE MOMENTOS Y CORTANTES DE 1º PLANTA ALTA

DETALLE DEL HIERRO EN LAS VIGAS DOBLEMENTE ARMADAS DE VIGAS DE 1º PLANTA ALTA

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7 CALCULO DE LOS ESTRIBOS. Formula: Vu = Ø Vc + Ø Vs. Donde: Vu = Cortante último requerido por las cargas exteriores. Vc = Cortante resistido por el hormigón. Vs = Cortante resistido por el estribo. Vs =

 Av *  fy * d  S 

Av = Área de un ramal del estribo. fy = Esfuerzo a la fluencia del acero, se utiliza en estribos = 2.800 Kg/cm 2. S = Separación de los estribos. La fuerza cortante resistida por el hormigón es: Vc = 0.53*   f  ' c * b * d  Vc =

para el criterio normal.     *Vu * d       Mu  

0.5 *   f  ' c + 175 

Vu * d 

b * d ≤ 0.93 *   f  ' c * b * d; criterio riguroso.

 1 , esta fórmula es apropiada para el diseño computarizado o la investigación,  Mu  para cálculos manuales su uso es tedioso porque ρ, V u, y M u cambian generalmente a lo largo de la luz de

Donde la cantidad

7 CALCULO DE LOS ESTRIBOS. Formula: Vu = Ø Vc + Ø Vs. Donde: Vu = Cortante último requerido por las cargas exteriores. Vc = Cortante resistido por el hormigón. Vs = Cortante resistido por el estribo. Vs =

 Av *  fy * d  S 

Av = Área de un ramal del estribo. fy = Esfuerzo a la fluencia del acero, se utiliza en estribos = 2.800 Kg/cm 2. S = Separación de los estribos. La fuerza cortante resistida por el hormigón es: Vc = 0.53*   f  ' c * b * d  Vc =

para el criterio normal.     *Vu * d       Mu  

0.5 *   f  ' c + 175 

b * d ≤ 0.93 *   f  ' c * b * d; criterio riguroso.

Vu * d 

 1 , esta fórmula es apropiada para el diseño computarizado o la investigación,  Mu  para cálculos manuales su uso es tedioso porque ρ, V u, y M u cambian generalmente a lo largo de la luz de

Donde la cantidad

la viga, exigiendo el cálculo de V c a intervalos cercanos.

En el diseño al corte nos interesa calcular S, asumiendo un valor de A v, la separación se la aplica hasta la distancia de dos veces el peralte (2d), fuera de esta longitud teóricamente no se requiere estribos, sin embargo se colocará con la separación de la mitad del peralte efectivo (d/2). Vu = Ø Vc + Ø Vs. Vu = Ø Vc + Ø

 Av *  fy * d   s

de donde s =

  Av *  fy * d  Vu   Vc

El cortante Vu, es el cortante crítico que esta localizado a la distancia igual al peralte efectivo de la viga a  partir de la cara de la columna.

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8 Se selecciona el mayor cortante crítico del claro. 19.30 4.84

Vu

=

4.84  0.45

; Vu = 17.51 ton. (Cortante crítico).

Ø Vc = Ø* 0.53*   f  ' c * b * d  = 0.85* 0.53 * 210 * 25 * 30 = 4,896 ton., para el criterio general. Para el criterio riguroso ri guroso tenemos:     * Vu * d       Mu  

Vc =

0.5 *   f  ' c + 175 

b * d ≤ 0.93 *

 f  ' c * b * d; criterio riguroso.

Vu = 17,51 ton.(cortante critico a d del apoyo) Vu * d   Mu

 1 , Para el apoyo apoyo derecho derecho tenemos: M u = 27,949 ton-m (el momento crítico a la cara del apoyo) ρ =

 As b * d 



27,76 25 * 30

 0,0370

Los valores de V u y M u son los calculados a la misma distancia de la cara de la columna, a la distancia d=30 cm) Para el apoyo derecho: 2 Mx = R der  der  * x – w*x /2 – Mder . Donde el valor de x = 0,45 m.

 Mx x 0.45  19.30 * 0.45  3.990 * Vu * d   Mu



17,51* 0,30 22,519

0.452 2

 30.8  22,519 t-m

 0,2333  1, debe cumplirse caso contrario hay que chequear los cálculos anteriores

210 0  17 175 5 * 0,0370 * 0,23333 * 25 * 30  6.567,23 Kg = 6,567 ton. ≤ 10,108 ton. Vc= 0,5 * 21

0.93 *  f  ' c * b * d = 0,93 * 210 * 25 * 30  10.107,74 Kg = 10,108 ton, Ø Vc = 0,85 * 6,567 = 5,582 ton., valor que representa (5,582/ 4,896 = 1,1401), el 14,01% en mayor  resistencia de la fuerza cortante del concreto. Asumo utilizar estribos de 10 mm en dos ramales; A s = 0.79 cm2, y Av = 2 * 0.79 = 1.58 cm 2. s=

  Av *  fy * d  Vu   Vc

=

0.85 *1.58cm 2 * 2800 Kg / cm 2 * 30cm 17510 Kg   5.582 Kg 

= 9.46 cm ≈ 10 cm.

El ACI-05, indica en el art. 21.3.3.2 que debe colocarse los estribos en una longitud igual a 2d, medido desde la cara de la columna, d/4, 8 veces el diámetro del menor diámetro longitudinal, 24 veces el diámetro de la armadura armadura transversal (estribo) y que la separación separación máxima no debe debe ser mayor de 30 cm, la que sea menor, después de 2d la separación de los estribos será d/2, el primer estribo irá a 5 cm de la cara de la columna. En vigas con diseño no antisismico s = d/4, se coloca s = d/2. 1.- s calculado = 10 cm. 2.- s = d/2 = 30 cm /2 = 15.0 cm. 3.- 8 ØL = 8 * 1.6 cm = 12.8 cm la menor es 10.0 cm. 4.- 24 ØT = 24 * 1,0 cm = 24 cm 5.- Smax ≤ 30 cm UTMach – FIC.

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9 Distancia que irán los estribos con la separación calculada: 2d = 2* 30cm = 60cm. Cantidad de estribos: 60cm /10.0 cm = 6 +1 = 7 estribos. 7 E Ø 10 mm c/ 10.0 cm en los extremos.

Comprobación del cortante a 2d de la posición del cortante crítico: 19.30 4.84

=

Vu1 4.84  1.05

; Vu1 = 15.113 ton. > Ø Vc = 4,896 ton.

Asumo utilizar estribos de 10 mm en dos ramales; A s = 0.79 cm2, y Av = 2 * 0.79 = 1.58 cm 2. 2

2

0.85 *1.58cm * 2800 Kg / cm * 30cm   Av *  fy * d  = 11.84 cm ≈ 12 cm. S= = 15113 Kg   5582 Kg  Vu1   Vc

Los estribos será: E Ø 10 mm c/ 12 cm; este chequeo solo se realiza en vigas doblemente doblemente armadas por su escasa cantidad de peralte y elevado cortante, pudiéndose mantener esta separación hasta 2d. Cantidad de estribos: 60 cm /12 cm = 5 +1 = 6 estribos. Los estribos estribos será: 6 E Ø 10 mm c/ 12 cm y el resto la separación cada 15 cm CALCULO DE LA MISMA MISMA VIGA SIMPLEME SIMPLEMENTE NTE ARMADA.

Para la 1ª P.A. y primer claro. Se utiliza el mayor momento de los claros de la planta (centro y extremos de las vigas) 2794900 Kg. cm. = Ø R b d 2 R = ρ fy (1

-

0.59  *  fy   f  ' c

) en Kg/cm2

Se calcula con la cuantía para evitar el control de deflexiones de: ρ = 0,18 f‟c/ fy = 0,18*210/4200=0,009 R = 0.009 x 4200 (1 -

UTMach – FIC.

0.59 x0.009x4200 210

) = 33.79 Kg/cm 2

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10

UTMach – FIC.

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11 SECCIÓN A - A

UTMach – FIC.

SECCIÓN B - B

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SECCIÓN C - C

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11 SECCIÓN A - A

UTMach – FIC.

SECCIÓN B - B

SECCIÓN C - C

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12 2794900 = 0.9 x 33.79 x b x d 2  b x d2 = 91.904.25 cm 3

b 30 35 25

d 55,35 d= 60cm y h= 65 cm 51,24 d = 55 cm y h= 60 cm 60,63

La sección de la viga es 30 x 65 cm y el peralte efectivo es 60 cm. Calculamos a la viga como simplemente armada. La cuantía:    

Mu = Ø As f y (d – a/2)

 As bxd 

donde As= ρ b d.

As = 0,009 x 30 x 60 = 16, 20 cm 2. Resultado: 2 Ø 25 mm + 2 Ø 22 mm = 2 x 4.9+ 2x 3.14= 9.8+ 6.28= 17.40 cm 2. a=

  dfy 0.85  f  ' c

=

 As *  fy 0.85  f  ' c * b

=

17.40 * 4200 0.85 x210 x30

= 13,65 cm.

Mu = 0.9 x 17.40 x 4200 (60  – 13.65/ 2) = 34,97 T-m > 27.949 T-m = la demanda. Para calcular el hierro en apoyo izquierdo lo hacemos con el momento negativo crítico del diagrama de momentos. 2 Ø 25 mm As =

Mu a   * fy (d - ) 2

=

1624800 0.9 * 4200 (60 -

Resultado final: 2 Ø 25 mm. Calculamos el hierro en centro del claro: Mu

1587800

13,65 2

= 8,08 cm 2 – 9,8 = -1,72 cm 2 )

12 2794900 = 0.9 x 33.79 x b x d 2  b x d2 = 91.904.25 cm 3

b 30 35 25

d 55,35 d= 60cm y h= 65 cm 51,24 d = 55 cm y h= 60 cm 60,63

La sección de la viga es 30 x 65 cm y el peralte efectivo es 60 cm. Calculamos a la viga como simplemente armada. La cuantía:    

Mu = Ø As f y (d – a/2)

 As

donde As= ρ b d.

bxd 

As = 0,009 x 30 x 60 = 16, 20 cm 2. Resultado: 2 Ø 25 mm + 2 Ø 22 mm = 2 x 4.9+ 2x 3.14= 9.8+ 6.28= 17.40 cm 2. a=

  dfy 0.85  f  ' c

 As *  fy

=

0.85  f  ' c * b

=

17.40 * 4200

= 13,65 cm.

0.85 x210 x30

Mu = 0.9 x 17.40 x 4200 (60  – 13.65/ 2) = 34,97 T-m > 27.949 T-m = la demanda. Para calcular el hierro en apoyo izquierdo lo hacemos con el momento negativo crítico del diagrama de momentos. 2 Ø 25 mm Mu

As =

=

a   * fy (d - ) 2

1624800 0.9 * 4200 (60 -

13,65 2

Resultado final: 2 Ø 25 mm. Calculamos el hierro en centro del claro: Mu

As =

=

a   * fy (d - ) 2

= 8,08 cm 2 – 9,8 = -1,72 cm 2 )

1587800 0.9 * 4200 (60 -

13,65

Resultado final: 3 Ø 18 mm = 7,64 cm 2. CALCULO DE LOS ESTRIBOS.

2

= 7,90 cm 2 )

Vu = Ø Vc + Ø Vs. Vu = Ø Vc + Ø

 Av *  fy * d  S 

de donde S =

  Av *  fy * d  Vu   Vc

El cortante Vu, es el cortante crítico que esta localizado a la distancia igual al peralte efectivo de la viga a partir de la cara de la columna. Se selecciona el mayor cortante crítico del claro. 19.30 4.84

=

Vu 4.84  0.75

; Vu = 16.31 ton. (Cortante crítico).

Ø Vc = 0.53*   f  ' c * b * d  = 0.85* 0.53 * 210 * 30 * 60 =11,751 ton. Asumo utilizar estribos de 8 mm en dos ramales; A s = 0.50 cm 2, y Av = 2 * 0.50 = 1.00 cm 2. S=

  Av *  fy * d  Vu   Vc

=

0.85 *1.00cm 2 * 2800 Kg / cm 2 * 60cm 16310 Kg   11751 Kg 

= 31.32 cm.

El ACI-05, indica en el art. 21.3.3.2 que debe colocarse los estribos en una longitud igual a 2d, medido desde la cara de la columna, d/4, 8 veces el diámetro del menor diámetro longitudinal, 24 veces el diámetro de la armadura transversal (estribo) y que la separación máxima no debe ser mayor  de 30 cm, la que sea menor, después de 2d la separación de los estribos será d/2, el primer estribo irá a 5 cm de la cara de la columna.

12

13

1.- s calculado = 31.32 cm. 2.- s = d/2 = 60 cm /2 = 30 cm. 3.- 8 ØL = 8 * 2.2 cm = 17,6 cm la menor es 17.5 cm. 4.- 24 ØT = 24 * 1,0 cm = 24 cm 5.- Smax ≤ 30 cm Distancia que irán los estribos con la separación calculada: 2d = 2* 60cm = 120cm. Cantidad de estribos: 120cm /17.5 cm = 6.86 ≈ 7 +1 = 8 estribos.

8 E Ø 8 mm c/ 17.5 cm en los extremos y el resto será la separación máxima de los estribos: d/2 = 60 /2 = 30 cm.

13

14

14

15

15

DISEÑO DE VIGAS CHATAS O VIGAS BANDA. CAL CULO DE LA S CARGA S EN UNA LOSA DE 25 DE ESPESOR, CON  VIGAS CHATA S. EVALUACIÓN DEL PESO DE LA LOSA: Volumen de losa del paño 2-3-C-B = 4.00 x 6.00 x 0,25 = 6.00 m 3. 18 → Vol = 0.60 x 0.60 x 0.20 x 18 = 1,296 m 3.  Número de cajonetas de 60 x 60 x 20 = 6 x 3 =  Número de cajonetas de 60 x 40 x 20 = 6 x 3 + 2 x 3 = 24→ Vol = 0.60 x 0.40 x 0.20 x 24 = 1,152 m 3. → Vol = 0.40 x 0.40 x 0.20 x 6 = 0,192 m 3.  Número de cajonetas de 40 x 40 x 20 = 3 x 2 = 6 → Vol = 0.60 x 0.30 x 0.20 x 3 = 0,108 m 3.  Número de cajonetas de 60 x 30 x 20 = 3 → Vol = 0.40 x 0.30 x 0.20 x 3 = 0,072 m 3.  Número de cajonetas de 40 x 30 x 20 = 3

Volumen de hormigón armado = 6.00 - 2.820 = 3.180 m 3.

Volumen de bloques = 2,820 m 3.

Relación de HºA = 3.180 / 6.00 = 0.530. → 53 % del volumen. Relación de bloques = 2.820 / 6.00 = 0.470. → 47 % del volumen.

Dimensiones de bloque LL-19 = 39 x 19 x 19 cm.; peso del bloque 8,50 Kg (para losas de 25 cm) Peso específico del bloque LL-19 = 8,50 Kg / (0.39 x 0.19 x 0.19) m 3 = 603.74 Kg /m3 = 0,604 t/m3. Dimensiones de bloque LL-14 = 39 x 19 x 14 cm.; peso del bloque 7,50 Kg (para losas de 20 cm) 15

16 Peso específico del bloque LL-14 = 7,50 Kg / (0.39 x 0.19 x 0.14) m 3 = 722.96 Kg /m3 = 0,723 t/m3. Peso de HºA en losa = 3,180 m 3 x 2,4 t/ m3 = 7,632 t. Peso de bloques = 2,820 m 3 x 0,604 t/ m3 = 1,703 t. Peso de la losa = 9,335 t. 2 Peso de la losa por m = 9,335 t / (6 m x 4 m) = 0.389 t/ m 2. VOLUMEN DE HORMIGÓN POR m2 DE LOSA = 3.180 m 3/ (6m x 4m) = 0.1325 m3 /m2.

EVALUACIÓN DE LA CARGA MUERTA: Peso propio de losa (e = 25 cm) = …………………………………….0.389 t/m2. Peso de embaldosado = ………………………………………………. 0.055 t/m 2. Peso de cielo razo (enlucido inferior de losa) = ………………………0.050 t/m 2. Peso de pared (e = 10 cm) = ………………………………………….. 0.130 t/m 2. CARGA MUERTA TOTAL: W D = 0.624 t/ m2. LA CARGA VIVA PARA OFICINA O DEPARTAMENTO: W L = 0.200 t/m2. Mayorización de cargas: U = 1.2 D + 1.6 L. Wu = 1.2 W D + 1.6 WL = 1.2 x 0.624 + 1.6 x 0.200 = 1,069 t/ m 2. La carga por metro lineal, se multiplica por la distancia perpendicular del pórtico (área de influencia). Wu = 1,069 t/ m2 x 4.0 m = 4.275 t/ m.

PORTICO C-1-2-3-4

CALCULO DE LAS INERCIAS: En columnas: Ic = En las vigas: I v =

bxh3 12 bxh3 12

 

25 * 253 12 50 * 253 12

 32.552,08cm 4  65.104,17cm 4

Si consideramos además los nervios de 10 cm a lo largo del pórtico que también contribuyen a soportar  las cargas sobre las estructura, la nueva inercia de la viga será una viga de sección en T, y su inercia viene dada por: 16

17 Iv=

bxh

 

3

, el valor de α, es:

  

12 X   Y (1  x)

 X   Y (1   X  X 3  Y (1   X )3  3 XY (1   X )

Siendo X = e/ h; los valores de e/ h varían desde 0.16 hasta 0.34 Y = b‟/ b; valores de e/ h varían desde 0.15 hasta 0.60

La sección transversal perpendicular a la dirección del pórtico es:

17

18

Aplicando la fórmula α = 29.454; I =

bxh

 

3

=

400 x253 29.454

 212.192,98cm 4

Relación de inercias en viga = 212.192,98/ 65.104,17 = 3,259 veces. Analizaremos la viga HK (la que tiene mayor momento), en la primera planta alta.

 Ra   Rb 

W  * L 2 W  * L 2

 

 M   L  M   L

 

4.275* 6 2 4.275* 6 2

 

16.60  3.22 6 16.60  3.22

Comprobación = W * L = 4.275 * 6  M  max 

 Rb

2

2W 

 M b 

10.5952 2 * 4.275

6

 15.055t   10.595t 

= 25.650t

 3.22  9.909t   m

Puntos de inflexión: X1=

2 * M  max W 



2 * 9.909 4.275

 2.15m

Xo = R  b /W = 10.595/ 4.275 = 2.48 m X = Xo – X1 = 2.48 – 2.15 = 0.33 m. X = Xo + X1 = 2.48 + 2.15 = 4.63 m. Características de los materiales: f‟c = 210 Kg./cm2.

fy = 4200 Kg./cm 2 para diámetros mayores a 12 mm. fy = 2800 Kg./cm 2 para diámetros menores a 12 mm. (Estribos).

18

19

Para la 1ª P.A. y segundo claro. Mu = Ø R b d2 R = ρ fy (1

-

0.59  *  fy   f  ' c

ρmax = 0.50 ρ b

) en Kg/cm2

donde: ρ b = 0.85 β1   f  ' c  x   fy

ρmax = 0.5 (0.85)(0.85)

210

 x

6000

4200 6000  4200

R = 0.010625 x 4200 (1 -

6000 6000    fy

= 0.010625

0.59 x0.010625x4200 210

) = 39.030 Kg/cm2

Considerando el mayor momento de la viga: 16,16 t  –  m, que esta ubicado al eje de la columna, calculamos el crítico que esta ubicado a la cara de la columna: Para el apoyo izquierdo: Mx = R izq * x – w*x2/2 – Mizq. Cuando x = 0.125 (la mitad de ancho de la columna); W= 4,24 t/m  Mx x 0.12 5  15.055 * 0.125  4.24 *

14,311*105 = 0.9 x 39.030 x b d 2  b* d2 = 40.740,74 cm 3

0.1252 2

 16.16  14,311 t-m

b d 35 34,12 40 31,91 50 28.54 90 21.28 La sección de la viga es 90 x 25 cm. (consid erando 4 nervios de 10 cm y la viga de 25 cm x 90 cm) y el peralte efectivo es 22.5 cm, el recubrimiento 2,50 cm y el peralte total de 25 lo utilizo por razones de restricción (cuando la altura de entrepiso es pequeño). 1.- Calculamos a la viga como simplemente armada. (MOMENTO CRÍTICO DE: -14,311 t-m) en el extremo izquierdo. Mu = Ø As f y (d – a/2)

La cuantía:    

As = 0.010625 x 90 x 22.5 = 21.52 cm 2 1 Ø 16 mm = 2.01 cm 2 10 Ø 16 mm = 20.10 cm 2

 As bxd 

donde

As= ρ b d.

19

20 a=

  dfy

 As *  fy

=

=

20.10 * 4200

= 1,18 cm.

0.85 x 210 x 400 Mu = 0.9 x 20.10 x 4200 (22,5  –  1.18/ 2)/105 = 16,65 T-m.> 14,311 t-m., diseñamos como viga 0.85  f  ' c

0.85  f  ' c * b

simplemente armada si consideramos los dos nervios a cada lado, quedándonos como resultado 6 Ø 16 mm, y 1 Ø 16 mm en cada nervio. Chequeamos si pasa la piedra en los hierros del lecho superior en la viga, (6 Ø 16 mm) para lo cual consideramos que utilizaremos estribos de 8 mm y el recubrimiento lateral de la viga es de 4 cm:  s 

50  8  2 * 0.8  6 *1.6 3

 10.27 cm >2,5 cm.

Si solamente consideramos la viga chata de 50 x 25, será: As = 0.010625 x 50 x 22,5 = 11,95 cm 2 1 Ø 16 mm = 2.01 cm2 (área de acero tentativo). 6 Ø 16 mm = 12.06 cm 2 ↔ (AS-A‟S) = As2 a=

  dfy 0.85  f  ' c

=

 As *  fy

=

12.06 * 4200

= 5,68 cm.

0.85 x210 x50 Mu = 0.9 x 12.06 x 4200 (22.5  –  5.68/2)/105 = 8,96 T-m. < 14,311 t-m., diseñamos como viga 0.85  f  ' c * b

doblemente armada. Se considera como Ø M 2 = 8,96 t-m. Mn = M1 + M2, el momento nominal o resistente y Mu = Ø M1 + Ø M2, el momento último, de donde: Ø M1 = Mu – Ø M2 M1 =  Mu

   M 2  

=

1431100  896000 0,9

= 594.555,56 Kg-cm

Asumiendo que el acero a la compresión fluye. A‟s

=

M1

=

fy (d - d' )

594.555,56 4200(22.5  2.5)

= 7.08 cm 2 = área tentativa cuando fluye el acero:(fs→fy)

El acero total a la tracción será: A s = As2 + A‟s; donde As 2 corresponde al acero calculado a la flexión simple. As = 12.06 + 7.08 = 19.14 cm 2 que será el acero a tracción: 10 Ø 16 mm = 20.10 cm 2 Calculamos el esfuerzo real del acero a compresión. f‟s = Es * Є‟s=

a=

Es

( As   A' s)  fy 0.85  f  ' cxb

 u (c  d ' )

=

f‟s = 2*106 * 0,003

c (20.10  7.08)4200

= 6,13 cm. y c = a/ β1 = 6,13/ 0,85 = 7,21 cm. 0.85 * 210 x50 7,21  2.5 = 3.919,56 Kg/ cm 2 < 4200 Kg/cm 2 7,21

En el caso de que el acero a la compresión no fluye a la falla, hay que reajustar A‟s calculado anteriormente que

se consideró que si fluía. A‟s (real) = A‟s (tentativo) * f y/ f‟s = = 7.08 cm 2* 4200/3919,56= 7,59 cm2 5 Ø 14 mm = 7.70 cm2. Chequeamos si pasa la piedra en los hierros del lecho superior en la viga, ( 10 Ø 16 mm)  para lo cual consideramos que utilizaremos estribos de 8 mm y el 20

21 recubrimiento lateral de la viga es de 4 cm:  s 

50  8  2 * 0.8  10 *1.6 4

 6.1 cm >2,5 cm.

CHEQUEO:      '  0.50 *  b  0,010625;       '   As   A' s  b * d 

20,10  7,70 50 * 22,5

 0,0110

OJO.

     '  0.750 *  b  0,01594 ; para el caso normal. (art B.8.4.3)

Para el centro del claro cuando el momento es de 9,909 t-m. Del cálculo anterior se vio que momento resistente con la cuantía máxima ρmax = 0.50 ρ b , es de M u = 16,65 t-m; es necesario calcular el hierro correspondiente para la demanda de 9,909 t-m. Mu = Ø ρ bd2 f y (1 -

0.59   *  fy   f  ' c

)

donde R = ρ f y (1 -

9,909 x 105 = 0.9 ρ * 50 * 22,5 2 * 4200 (1 -

0.59  *  fy   f  ' c

0.59  * 4200 210

) en Kg/cm2

)

9,909 x 105 = ρ * 95 681 250 ( 1 – ρ* 11.8) 9,909 x 105 = ρ * 95 681 250 – ρ2 * 1.129‟038,75 ρ2 * 1.129‟038,75 - ρ * 95 681 250 + 9,909 x 10 5 = 0 ρ2 * 1.129‟038,75 - ρ * 95 681 250 + 9,909 x 10 5 = 0 84,74 = no se toma > ρmax = 0.50 ρ b = 0.010625 ρ=

95681250 

95681250

2

 4 *1'129.038,75 * 9,909 x105 



2 *1'129.038,75 El área de hierro en la viga de 50 x 25 cm, será: As = ρ x b x d

0.01036 = se toma

As = 0.01036 * 50 * 22.5 = 11.66 cm 2. 8 Ø 14 mm = 12.32 cm 2. 50  8  2 * 0.8  8 *1.4  s   9.73 cm>2.50 cm. 3

Para el extremo derecho y volado de 1,50m del claro cuando el momento es de 3,22 t-m, pero el momento del volado es 4,81 t-m, se diseña con el mayor valor. Del cálculo anterior se vio que momento resistente con la cuantía máxima ρmax = 0.50 ρ b, es de Mu = 16,65 t-m; es necesario calcular  el hierro correspondiente para la demanda de 4,81 t-m. (Utilizar momento crítico a la cara columna) Mu = Ø ρ bd2 f y (1 -

0.59   *  fy   f  ' c

)

donde R = ρ f y (1 -

4,81 x 105 = 0.9 ρ * 50 * 22,5 2 * 4200 (1 -

0.59  *  fy

0.59  * 4200 210

  f  ' c

) en Kg/cm2

)

4,81 x 105 = ρ * 95 681 250 (1 – ρ* 11.8) 4,81 x 105 = ρ * 95 681 250 – ρ2 * 1.129‟038.750 ρ2 * 1.129‟038.750 - ρ * 95 681 250 + 4,81 x 10 5 = 0 0.07938 = no se toma > ρmax = 0.50 ρ b = 0.010625 21

22

ρ

=

95681250 

95681250

2

 4 *1129038750 * 4,81 x105 



2 *1129038750

0.00537 = se toma El área de hierro en la viga de 50 x 25 cm, será: A s = ρ x b x d As = 0.00537 * 50 * 22,50 = 6.04 cm 2. 6 Ø 12 mm = 6.78 cm 2; pero como en el extremo izquierdo de la viga va varillas de 16 mm, tenemos que utilizar de este diámetro: 3 Ø 16 mm = 6.03 cm2.

CALCULO DE LAS CARGAS EN UNA LOSA DE 20 DE ESPESOR, CON VIGAS CHATAS.

CALCULO DE LAS CARGAS EN UNA LOSA DE 20 DE ESPESOR, CON VIGAS CHATAS. EVALUACIÓN DEL PESO DE LA LOSA: Volumen de losa del paño 2-3-C-B = 4.00 x 6.00 x 0,20 = 4.80 m 3. 18 → Vol = 0.60 x 0.60 x 0.15 x 18 = 0,972 m 3.  Número de cajonetas de 60 x 60 x 15 = 6 x 3 =  Número de cajonetas de 60 x 40 x 15 = 6 x 3 + 2 x 3 = 24→ Vol = 0.60 x 0.40 x 0.15 x 24 = 0,864 m 3. 3 → Vol = 0.40 x 0.40 x 0.15 x 6 = 0,144 m .  Número de cajonetas de 40 x 40 x 15 = 3 x 2 = 6 → Vol = 0.60 x 0.30 x 0.15 x 3 = 0,081 m 3.  Número de cajonetas de 60 x 30 x 15 = 3 → Vol = 0.40 x 0.30 x 0.15 x 3 = 0,054 m 3.  Número de cajonetas de 40 x 30 x 15 = 3 Volumen de hormigón armado = 4.80 - 2.115 = 2.685 m 3.

Volumen de bloques = 2,115 m 3. 22

23 Relación de HºA = 2.685 / 4.80 = 0.559 m 3. → 55.9 % del volumen. Relación de bloques = 2.115 / 4.80 = 0.441 m 3. → 44.1 % del volumen. Dimensiones de bloque LL-14 = 39 x 19 x 14 cm.; peso del bloque 7,50 Kg (para losas de 20 cm) Peso específico del bloque LL-14 = 7,50 Kg / (0.39 x 0.19 x 0.14) m 3 = 722.96 Kg /m3 = 0,723 t/m3. Peso de HºA en losa = 2,685 m 3 x 2,4 t/ m3 = 6,444 t. Peso de bloques = 2,115 m 3 x 0,723 t/ m3 = 1,529 t. Peso de la losa = 7,973 t. 2 Peso de la losa por m = 7,973 t / (6 m x 4 m) = 0.332 t/ m 2. VOLUMEN DE HORMIGÓN POR m2 DE LOSA = 2.685 m3/ (6m x 4m) = 0.112 m 3 /m2. EVALUACIÓN DE LA CARGA MUERTA:

Peso propio de losa (e = 20 cm) = …………………………………….0.332 t/m 2. Peso de embaldosado = ………………………………………………. 0.055 t/m 2. Peso de cielo razo (enlucido inferior de losa) = ………………………0.050 t/m 2. 2 Peso de pared (e = 10 cm) = ………………………………………….. 0.130 t/m .

CARGA MUERTA TOTAL: W D = 0.567 t/ m2. LA CARGA VIVA PARA OFICINA O DEPARTAMENTO: W L = 0.200 t/m2. Mayorización de cargas: U = 1.2 D + 1.6 L. Wu = 1.2 W D + 1.6 WL = 1.2 x 0.567 + 1.6 x 0.200 = 1,000 t/ m 2. La carga por metro lineal, se multiplica por la distancia perpendicular del pórtico (área de influencia). Wu = 1,000 t/ m2 x 4.0 m = 4.00 t/ m. ADHERENCIA, ANCL AJ E Y LONGITUD DE DESARROL LO. FUNDAMENTOS DE LA ADHERENCIA A FLEXIÓN.

Si se utilizaran barras de refuerzo circulares lisas para la construcción de la viga de concreto reforzado de la figura (a), y si éstas mismas se engrasaran o lubricaran de alguna otra manera antes del vaciado del concreto, la viga sería apenas un poco más fuerte que si se construyera utilizando concreto simple, es decir, sin refuerzo. Si se aplicara una carga como en la figura (b), las barras mantendrían su longitud original a medida que la viga se flexara. Las barras se deslizarían longitudinalmente con respecto al concreto adyacente, que estaría sometido a deformaciones de tensión a causa de la flexión presente. En este caso no sería válida la propuesta relativa a la premisa de que la deformación en la barra embebida de refuerzo es la misma que la del concreto circundante. Para que el concreto reforzado se comporte como se pretende, es esencial que se desarrollen fuerzas de adherencia en la interfase entre el concreto y el acero, de manera que se evite un deslizamiento significativo en esa interfase. La figura ilustra las fuerzas de adherencia que actúan en la interfase del concreto como resultado de la flexión, mientras que la figura (d) presenta las fuerzas de adherencia, iguales y opuestas, que se ejercen sobre el refuerzo. Es mediante la acción de estas fuerzas de adherencia en la interfase que se impide el deslizamiento indicado en la figura (b). Hace algunos años, cuando se utilizaban barras lisas, es decir, sin deformaciones en la superficie, la resistencia de adherencia inicial era provista únicamente por la unión química y por la fricción mecánica, relativamente débiles, entre el acero y el concreto. Una vez que se sobrepasaban las fuerzas de adhesión y la fricción estática para cargas superiores, pequeñas cantidades de deslizamiento llevaban a un entrelazamiento de la rugosidad natural de la barra y el concreto. Sin embargo, esta resistencia de adherencia natural es tan baja que la unión entre el acero y el concreto se rompía con frecuencia en vigas reforzadas con barras lisas. En estos casos la viga entra en colapso a medida que la barra se desliza a través del concreto. 23

24

Fig. 1. Esfuerzos de adherencia ocasionados por flexión: (a) viga antes de ser cargada; (b) deslizamiento libre entre concreto y acero; (c) fuerzas de adherencia que actúan sobre el concreto; (d) fuerzas de adherencia que se ejercen sobre el acero. Para evitar esto, se proporcionaba anclaje en los extremos de las barras, principalmente en forma de ganchos como aparece en la figura 2. Si el anclaje es adecuado, la viga no presentará colapso aunque la adherencia se rompa en toda la longitud de los anclajes. Esto se explica porque el elemento actúa como un arco atirantado como se ilustra en la figura 2, donde el concreto no fisurado que aparece en forma sombreada representa el arco y las barras de anclaje, el tensor. En este caso, los esfuerzos de adherencia son cero a lo largo de la longitud en donde ya no existe adherencia. Esto significa que a todo lo largo de la longitud no adherida, la fuerza en el acero es constante e igual a T = M max/z. En consecuencia, la elongación o alargamiento total del acero en estas vigas es mayor que en aquellas vigas donde se mantiene la adherencia, que genera deflexiones más amplias y mayores anchos en las grietas. Para mejorar esta situación, en la actualidad se utiliza barras corrugadas. Con éstas barra, las áreas de las estrías sobresalientes se apoyan en el concreto circundante lo que produce un incremento importante de la resistencia de adherencia. Resulta posible, entonces, en la mayor parte de los casos, eliminar aditamentos especiales de anclaje como los ganchos. Con las varillas corrugadas los anchos de las grietas se reducen al igual que las deflexiones.

Fig. 2 Acción de arco atirantado en una viga con adherencia pequeña o nula. 24

25

Esfuerzo de adherencia basado en el análisis simple de sección fisurada. Para el tramo corto de una viga con longitud dx, como el que se ilustra en la siguiente figura 3 (a), el momento a un lado por lo general difiere de aquél al otro lado en una pequeña cantidad dM. Si esta  pieza se aisla y se supone que después del agrietamiento el concreto no resiste esfuerzos de tensión, las fuerzas internas son las que se indican en la figura a. El cambio en el momento flector dM produce un cambio en la fuerza de la barra. dM  dT   (a)   jd 

Fig. 3. Fuerzas y esfuerzos que actúan en una longitud diferencial de la viga: (a) diagrama de cuerpo libre del elemento de concreto reforzado; (b) diagrama de cuerpo libre del elemento de acero.

Donde jd es el brazo de palanca interno entre las fuerzas que resultan de tensión y las de compresión. Puesto que la barra o barras deben estar en equilibrio, este cambio en la fuerza de la barra es resistido en la superficie de contacto entre el acero y el concreto mediante una fuerza igual y opuesta que  produce la adherencia, como se indica en la figura 3 (b). Si u es la magnitud del esfuerzo de adherencia promedio local por unidad de área superficial de la  barra, entonces con la suma de fuerzas horizontales. u Σo dx = dT (b) Donde Σo es la suma de los perímetros de todas las barras. Entonces:

u

dT 

(c) odx Que indica que el esfuerzo de adherencia local es proporcional a la tasa de cambio de la fuerza en la  barra a lo largo de la luz. Como alternativa, se sustituye la ecuación (a) en la ecuación (c) y el esfuerzo de adherencia unitario puede formularse como: u

dM 

ojd .dx

(d)

A partir de la cual: 25

26 u

V 

ojd 

(e)

(e) es la ecuación convencional “de una sección elástica fisurada” para los esfuerzos de adherencia a flexión e indica que el esfuerzo de adherencia unitario es proporcional al cortante en la sección en  particular, es decir, a la tasa de cambio de momento flector, es aplicable a las barras a tensión en una zona de concreto que se supone totalmente fisurada y en donde el concreto no resiste ninguna tensión, no se aplica al refuerzo sometido a compresión en donde los esfuerzos de adherencia a flexión son muy  bajos. Distribución real de los esfuerzos de adherencia a flexión. La distribución real de los esfuerzos de adherencia a lo largo de las barras de refuerzo corrugadas es más compleja que la que se representa mediante la ecuación (e) y (c), proporciona mejores elementos estructurales para comprender el comportamiento de las vigas. La figura 4 ilustra un segmento de viga sometido a flexión pura. El concreto deja de resistir esfuerzos de tensión únicamente donde queda ubicada la grieta real, allí la tensión en el acero es máxima y tiene el valor de T= M/ jd. Entre las grietas, el concreto sí resiste cantidades moderadas de tensión, transmitidas mediante esfuerzos de adherencia que se ejercen a lo largo de la superficie en contacto con el acero en la dirección señalada en la figura 4(a). Como se ilustra en la figura 4(c), esto reduce la fuerza de tensión en el acero. A partir  de la ecuación (c) es obvio que el esfuerzo de adherencia u es proporcional a la tasa de cambio de la fuerza y varía, entonces, como aparece en la figura 4(d), los esfuerzos de adherencia son máximos donde la pendiente de la curva de la fuerza en el acero es mayor y son nulos donde la pendiente es cero. Figura 4: Variación de la fuerza en el acero y del esfuerzo de adherencia en un elemento de concreto reforzado sometido a flexión pura:

(a) segmento de concreto fisurado;

(b) esfuerzos de adherencia que actúan sobre las barras de refuerzo;

26

27 (c) variación de la fuerza de tensión en el acero;

(d) variación del esfuerzo de adherencia a lo largo del acero.

Figura 5. Efectos de las grietas de flexión de una viga sobre los esfuerzos de adherencia: (a) viga agrietada por flexión, (b) variación de la fuerza de tensión T en el acero a lo largo de la luz, (c) Variación del esfuerzo de adherencia u a lo largo de la luz. En muy rara ocasión las vigas se encuentran sometidas a momentos de flexión pura; generalmente, éstas soportan cargas transversales  produciendo cortantes y momento que varían a lo largo de la luz. La figura 5. (a) ilustra una viga sometida a una carga distribuida. El agrietamiento indicado es común. La fuerza en el acero T es proporcional al diagrama de momento y se presenta con la línea  punteada de la figura 5(b). Sin embargo, el valor real de T es menor  que el que predice el análisis simple  para todos los puntos excepto en las ubicaciones reales de las grietas. La variación real de T se indica con líneas continua en la figura 5(b). En la figura 5(c) se muestran en línea punteada los esfuerzos de adherencia que predice la teoría simplificada y la variación real con línea continua. Obsérvese que el Figura 6. Fracturamiento del concreto a valor de u es igual al determinado por la ecuación (e), lo largo del refuerzo. únicamente en aquellos sitios donde la ………………………………………………………………….. pendiente del diagrama de fuerza del acero es igual a la teoría simple. En todos los demás puntos, si la pendiente es mayor que la supuesta, el esfuerzo de adherencia es mayor, si la pendiente es menor, el esfuerzo de adherencia es menor. En este ejemplo, exactamente a la izquierda de las grietas los esfuerzos de adherencia son mucho mayores que los determinados por la ecuación (e); u 

V 

, que producirán muy probablemente fallas de ojd  adherencia locales. Justo a la derecha de las grietas, los esfuerzos de adherencia son mucho menores que los calculados y, de hecho, en general son negativos muy cerca de la grieta, es decir, las fuerzas de adherencia actúan en dirección opuesta. 27

28

RESISTENCIA ÚLTIMA DE ADHERENCIA Y LONGITUD DE DESARROLLO. Cuando se presenta una falla por adherencia, ésta produce por lo general un fracturamiento del concreto a lo largo de la barra, bien sea en planos verticales como se ilustra en la figura 6(a) o en  planos horizontales como se indica en la figura 6(b). Este fracturamiento resulta principalmente de la acción de cuña cuando las estrías de la barras se apoyan contra el concreto. El fracturamiento de tipo horizontal de la figura 6(b) se inicia con frecuencia en una grieta diagonal. Existen dos hipótesis para que se produzca el fallo de la viga por adherencia: 1.- El desprendimiento de las varillas de acero y el desplazamiento de las varillas sobre el hormigón. 2.- El fracturamiento del hormigón. Cuando se analizó anteriormente la falla al cortante de una viga como se indica en la figura 7, y la  participación de las fuerzas en una grieta diagonal en una viga sin estribos como se aprecia en la otra figura 8, la forma de la fisura de manera curva con inclinación de 45º (dovela) aumenta la tendencia hacia el fracturamiento, esto es que por lo general las fallas a cortante y de adherencia están interrelacionadas intrincadamente. Cuando el fracturamiento se esparce a todo lo largo hasta el final de una barra no anclada, se presenta una falla completa de adherencia. Es decir, el deslizamiento del acero con relación al concreto conduce a un colapso inmediato de la viga.

Figura 7. Falla a cortante de una viga de concreto reforzado: (a) Vista global, (b) detalle cercano al apoyo derecho.

28

29

Figura 8. Fuerzas en una grieta diagonal de una viga sin refuerzo en el alma (sin estribos). Para las barras corrugadas, ensayos realizados en la Universidad de Texas y en el United Status Bureaau of Standards, indican que el fracturamiento ocurre cuando la fuerza total de adherencia U= u Σo por pulgada de longitud de barra, que se transmita desde el acero hasta el concreto, alcanzan un

valor crítico. Esta fuerza última de adherencia en libras por pulgada lineal de barra en gran parte es independiente del tamaño de la barra o del perímetro. El concepto de la acción de cuña coincide muy aceptablemente con lo anterior, puesto que los efectos de una cuña con determinada forma dependen más de la fuerza que se le aplica que de su tamaño. Se encontró que la fuerza de adherencia última  promedio por pulgada de longitud de barra aproximada es: Un = 35   f  ' c . Se observó que fuerzas de adherencia de esta magnitud producían fallas por fracturamiento, deslizamiento considerable o excesivo y otras deformaciones no admisibles. Estos ensayos fueron realizados principalmente sobre vigas del tipo que se ilustran en la figura 6(a), donde una sola barra produce el fracturamiento vertical. Para varias barras en una sola fila y con los espaciamientos comunes en vigas, la fuerza última de adherencia aproximadamente es el 80% de la determinada por la última ecuación. Se encontró que la resistencia a la adherencia se correlaciona mejor con  f  ' c que con f `c; esto coincide con el concepto de que la resistencia al fracturamiento del concreto depende principalmente de su resistencia a la tensión en vez de su resistencia a la compresión. Si se tienen en cuenta las grandes variaciones locales en los esfuerzos de adherencia causados por las grietas a flexión y las diagonales, es evidente que las fallas locales de adherencia, inmediatamente adyacentes a las grietas, se presentarán a menudo a cargas considerablemente inferiores que la carga de falla de la viga. Esto conduce a la presencia de  pequeños deslizamientos locales, a un poco de ensanchamiento de las grietas y al aumento en las deflexiones, pero no será peligroso, siempre y cuando la falla no se extienda a todo lo largo de la barra con el deslizamiento total que resulta. De hecho como se analizó en relación a la figura 2, cuando los anclajes en los extremos son confinables, pueden presentarse fallas de adherencia a lo largo de toda la longitud de la barra, excluyendo los anclajes, sin que la capacidad de carga de la viga se afecte. En la viga de la figura 9, el momento y, en consecuencia, el esfuerzo en el acero evidentemente son nulos en los apoyos por estar simplemente apoyada, y máximos en el punto a (sin tener en cuenta el  peso de la viga). Si se designa el esfuerzo en el acero en el punto a como fs, la fuerza total de tensión en este punto en una barra con área A b es Ts = A b * fs, mientras que en el extremo de la barra la fuerza es cero. Evidentemente esta fuerza se transfiere desde el concreto hasta la barra a lo largo de una 29

30 longitud l mediante esfuerzos de adherencia en la superficie. Por consiguiente, la fuerza de adherencia  promedio por unidad de longitud, a lo largo de la longitud l es:  Ab *  fs

U=

l 

Si esta fuerza de adherencia unitaria U es menor que el valor último Un = 23.7  f  ' c ecuación que corresponde a la fuerza de adherencia última promedio por centímetro de longitud de barra, no ocurrirá fracturamiento u otro tipo de falla total a lo largo de la longitud l. Expresado de otra manera, la longitud mínima necesaria para generar por adherencia determinada fuerza en la barra A b * fs es: ld =

 Ab *  fy U n

=

 Ab *  fy 23.7 *  f  ' c

=

0.042194 Ab *  fy  f  ' c

(PARA FRACTURAMIENTO VERTICAL)

La longitud ld se conoce como longitud de desarrollo de la barra, se utiliza para barras individuales o aquellas que están suficientemente espaciadas en forma lateral, para las barras con espaciamientos relativamente pequeños, común en vigas, se divide la ecuación anterior por 0,80 y se obtiene: ld =

ld =

0.0527425 Ab *  fy   f  ' c 0.06 Ab *  fy   f  ' c

≥ 0.0057 d b *fy ;

(PARA FRACTURAMIENTO HORIZONTAL)

Fórmula con valor redondeado utilizado para los cálculos

De acuerdo con esta ecuación la viga de la figura 9 no fallará por adherencia si la longitud l es mayor o igual a la longitud de desarrollo l d. Es decir, la viga fallará a flexión o a cortante en vez de hacerlo por  adherencia, seguirá siendo válido, aun si en las zonas adyacentes a las grietas ocurren deslizamientos locales sobre pequeñas zonas a lo largo de la viga.

Figura 9. Longitud de desarrollo. Dispos icion es del código ACI referente a la longitu d de desarrollo.

El código ACI-05, en el capítulo 12, que se refiere a: longitudes de desarrollo y traslapes del acero de refuerzo, en su artículo 12.2.1 dice: “La longitud de desarrollo ld, en términos del diámetro db para varillas corrugadas y alambre corrugado sujetos a tensión, será calculada por medio de la sección 12.2.2 ó la 12.2.3, pero ld no debe ser menor que 30 cm. Artículo 12.2.2 Para varillas corrugadas o alambre corrugado, ld/ db deberá ser como sigue: 30

31

Espaciamiento libre de varillas que son Desarrolladas o traslapadas no menos que db, recubrimiento libre no menor que db, y estribos o anillos a lo largo de ld en número no menor que el mínimo de reglamento ó Espaciamiento libre de varillas que son desarrolladas o traslapadas no menos que 2db, y recubrimiento libre no menor que db. Otros casos.

Varilla Nº 6 y menores, Y alambres corrugados

Varillas Nº 7 y mayores

( ≤ 18 mm )

( ≥ 20 mm )

l d 



d b

l d  d b



  fy *  *   *  

l d 

5.3   f  ' c

d b

3  fy *  *   *  

l d 

13   f  ' c

d b



  fy *  *   *   6.6   f  ' c



3  fy *  *   *   10.6   f  ' c

12.2.3 Para varillas corrugadas o alambre corrugado, ld/ db deberá ser: l d 



3 fy *   *   *  

 c  k tr    d    b    c  k tr    no deberá tomarse mayor de 2,5. En donde el término  d    b   d b

10.6  f  ' c  

12.2.4 Los factores a utilizarse en las expresiones para el desarrollo de varillas corrugadas y alambres corrugados en tensión en el Capítulo 12 son como sigue: α = Factor de ubicación de acero de refuerzo

Refuerzo horizontal colocado de tal manera que más de 30 cm. de concreto fresco, es colado en el elemento bajo la longitud de desarrollo o traslape (hierr os del lecho superior)……………………..1,3 Otro refuerzo (hierros del lecho inferior)…………………………………………………………….. 1,0 β = Factor de recubrimiento.

Varillas recubiertas con capas epóxica o alambres con un recubrimiento menor que 3db, o en un espaciamiento libre menor que 6db…………………………………………………… …………. 1,5 Todas las otras varillas o de alambres con capa epóxica…………………………………………… 1,2 Refuerzo sin recubr imiento…………………………………………………………………………. 1,0 Sin embargo, el producto de α * β no necesitará tomarse con un valor mayor que 1,7. γ = Factor de tamaño del refuerzo. Varilllas del Nº 6 (18 mm) y menores y alambres corrugados…………………………………….. 0,8 Varillas Nº 7 (20 mm) y mayores………………………………………………………………….. 1,0 γ = Factor de concreto de agregado ligero. Cuando se utiliza concreto de agregado ligero……………………….………………………..…… 1,3

Sin embargo, cuando se especifica fct, se permitirá tomar el valor 1,8

 f  ' c  fct 

, pero no menor que.. 1,0 31

32 Cuando se utiliza concreto de peso normal………………………………………………..………. 1,0

c = espaciamiento o dimensión del recubrimiento en cm. Utilizar lo más pequeño, ya sea la distancia desde el centro de la varilla o alambre hasta la superficie más cercana de concreto, o una mitad del espaciamiento centro a centro de las varillas o alambres que se están desarrollando.  Atr  *  f   yt  K tr  = = índice de refuerzo transversal, en donde 105 * s * n Atr  = área total de la sección transversal que se encuentra dentro del espaciamiento s, y que cruza el  plano potencial de separación, a través del refuerzo que se está desarrollando, Kg/cm 2. f yt = resistencia especificada a la fluencia del refuerzo transversal, Kg/cm 2. s = espaciamiento máximo del refuerzo transversal, dentro de ld, centro a centro, cm. n = número de varillas o alambres que se están desarrollando a lo largo del plano de separación. Se podrá utilizar K tr  = 0 como una simplificación de diseño aún si el refuerzo transversal se halla  presente. Como ejemplo calcularemos la longitud de desarrollo de las varillas en la viga doblemente armada que calculamos inicialmente, en el extremo izquierdo tenemos: en el lecho superior 4Ø 20mm + 2 Ø16 mm, y en el lecho inferior 2 Ø 25 mm + 2 Ø 22 mm., las características de los materiales son, fy = 4.200 Kg/cm 2, y, f „c= 210 Kg/cm 2 los factores: α = 1,3 para las varillas del lecho superior y 1,0  para las del lecho inferior; β = 1,0 por no haber recubrimiento epóxico alrededor del hierro, y γ = 0,8  para diámetros iguales o menores a 18 mm, y 1,0 para los diámetros mayores a 20 mm. Para las varillas de 20 mm (lecho superior) l d  d b

l d  d b



  fy *   *   *   6.6   f  ' c



: l d  

d b *  fy *   *   *  

3 fy *   *   *  

 c  k tr      d b  

10.6  f  ' c  

6.6  f  ' c

=

2,0 * 4.200 *1,3 *1,0 *1,0 6.6 210

 114,17cm

 c  k tr    ≤ 2,5: d    b  

; En donde el término 

c = espaciamiento o dimensión del recubrimiento en cm. Utilizar lo más pequeño, ya sea la distancia desde el centro de la varilla o alambre hasta la superficie más cercana de concreto, o una mitad del espaciamiento centro a centro de las varillas o alambres que se están desarrollando. 1.- El espaciamiento de centro a centro de las barras de Ø 20 mm es: = 25  – (2 * 4 + 2 * 1,0 + 2*2,0) = 11,0 cm., la mitad es 5,5 cm 2.- El recubrimiento lateral hasta el centro de la barra es: = 4 + 1,0 + 2,0/2 = 6,0 cm. 3.- El recubrimiento superior es = 4+ 1,0 + 2,0/2 = 6,0 cm., se toma el menor valor y es 5,5 cm = c. El plano de fracturamiento potencial ocurrirá en el plano horizontal de las barras, en el cálculo de A tr  se utilizará dos veces el área de la barra de los estribos, con los estribos de 10 mm, espaciados a 7,5 cm, tenemos 32

33

K tr  =

 Atr  *  f   yt 

= índice de refuerzo 105 * s * n transversal.  Atr  *  f   yt  0,79 * 2 * 2.800  2,81cm. , y = 105 * 7,5 * 2 105 * s * n  c  k tr    5,5  2,81    =    4,16 cm ≤ 2,5 cm., 2 , 0 d      b    

 No se cumple, tomamos 2,5 cm. l d  d b



3 fy *   *   *  

 c  k tr    10.6  f  ' c   d    b  

: l d  

3 * d b *  fy *   *   *  

 c  k tr    10.6  f  ' c   d    b  



3 * 2,0 * 4.200 *1,3 *1,0 *1,0 10.6 210  2,5

 59,06cm

Se toma el mayor valor, la longitud de desarrollo ld = 114,17 cm. ≈ 115 cm. En nuestro caso la longitud de desarrollo es 165 cm  – 15 cm (mitad columna) = 150 cm.

12.4 Longitud de desarrollo de varillas en paquete 12.4.1 La longitud de desarrollo de cada varilla individual dentro de un paquete de varillas sujeto a tensión o a compresión, debe ser la longitud de la varilla individual aumentada un 20% para un  paquete de 3 varillas y un 33% para un paquete de 4 varillas. 12.4.2. Para determinar los factores apropiados en la sección 12.2, una unidad de varillas en paquetes deberá ser tratada como una sola varilla de un diámetro derivado del área total equivalente.

33

34

12.5 Longitud de desarrollo de ganchos estándar en tensión. 12.5.1 La longitud de desarrollo lhd, en centímetros, para varillas corrugadas en tensión, que terminen en un gancho estándar (sección 7.1) se debe calcular como el producto de la longitud de desarrollo  básica lhd de la sección 12.5.2 y los factores de modificación aplicables de la sección 12.5.3, pero lhd no debe ser menor que 8 db ni menor que 15 cm. 2

12.5.2 La longitud de desarrollo básica lhd para una varilla con gancho con fy igual a 4.200 Kg/cm debe ser…… 318 *

d b   f  .' c

12.5.3 La longitud de desarrollo básica lhd se debe multiplicar por el factor o factores aplicables para: 12.5.3.1 Resistencia de la varilla a la fluencia Varillas con fy distinto de 4.200 Kg/cm 2……………………………………………fy/4.200 12.5.3.2 Recubrimiento de concreto Para varillas # 11 (20 mm) y menores (normales al plano del gancho el recubrimiento lateral no debe ser menor de 6,3 cm, y para gancho de 90º el recubrimiento en la extensión de la varilla más allá del gancho no debe ser menor de 5 cm………………………………………………………… 0,7

12.5.3.3 Anillos y estribos. Para varillas de # 11 (20 mm) y menores, el gancho cerrado vertical u horizontal dentro de los anillos o amarres de estribos, espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo total lhd, no debe ser mayor de 3db, donde db es el diámetro de la varilla con gancho………………………………… 0,8. 12.5.4 Para varillas que se están desarrollando mediante un gancho estándar en extremos discontinuos de elementos con recubrimiento tanto lateral como superior (o inferior) sobre el gancho de menos de 6,3 cm, la varilla con gancho se debe encerrar dentro de los anillos, o amarres de estribos, espaciados a lo largo de toda la longitud de desarrollo ldh, no mayor que 3 db, donde db es el diámetro de la varilla con gancho. En este caso no deberá aplicarse el factor de la sección 12.5.3.3. (es decir no se aplica el factor de 0,8). 12.5.5 Los ganchos no deben considerarse efectivos en la longitud de desarrollo de varillas en compresión. Con referencia a la unión viga  –  columna la varillas en el extremo izquierdo que es discontinuo, la varillas que son 4 Ø 20 mm + 2 Ø 16 mm deben extenderse dentro de la columna y terminar en un gancho vertical estándar a 90º, manteniendo una distancia libre de 5 cm hasta la cara externa de la columna. El peralte efectivo de la viga que es de 30 cm, hay que determinar la longitud mínima que debe empotrarse el gancho desde la cara interior de la columna y especificar los detalles del gancho,  para lo cual se utiliza la ecuación indicada en la sección 12.5.2 La longitud de desarrollo básica l hd  para una varilla con gancho con fy igual a 4.200 Kg/cm 2 debe ser  318 *

2,0cm 210

318 *

d b   f  .' c

=

 43,89cm  45cm. , en nuestro caso la columna que es de 30 x 30 cm, la distancia

disponible es 30  – 5 (recubrimiento) = 25 cm., hay una deficiencia de 10 cm, pero la varilla continuará en la dirección vertical después del dobles (gancho de 90º) con una longitud que será: 12 db = 12 * 2,0 34

35 = 24 cm ≈ 25 cm. El gancho debe doblarse con un diámetro mínimo de 8

especifica que el radio de doblamiento es: 16 /2 = 8 cm.

db = 8 * 2,0 = 16 cm, se

12.10 Longitud de desarrollo del refuerzo sujeto a flexión: generalidades. 12.10.1 El acero de refuerzo de tensión se puede desarrollar doblándolo en el alma para anclarlo o hacerlo continuo con el acero de refuerzo de la cara opuesta del elemento. 12.10.3 el acero de refuerzo se debe extender más allá del punto en el que ya no es necesario resistir la flexión en una distancia igual al peralte efectivo del elemento ó 12 db, el que sea mayor, excepto en los apoyos de claros simples y en el extremo libre de voladizos. 12.10.4 El refuerzo continuo debe tener una longitud de anclaje no menor que la longitud l d, más allá del punto en donde no se requiere refuerzo por tensión doblado o terminado, para resistir flexión. 12.11 Longitud de desarrollo del acero de refuerzo para momento positivo. 12.11.1 Por lo menos 1/3 del refuerzo por momento positivo en elementos libremente apoyados y ¼ del refuerzo por momento positivo en elementos continuos, se debe prolongar a lo largo de la misma cara del elemento en el apoyo. En vigas, dicho refuerzo se debe prolongar, por lo menos 15 cm. en el apoyo. 12.11.2 Cuando un elemento sujeto a flexión sea parte fundamental del sistema que resiste cargas laterales, el acero de refuerzo por momento positivo que se requiere prolongar en el apoyo de acuerdo con la sección 12.11.1, se debe anclar para que desarrolle la resistencia especificada de fluencia f y a la tensión en la cara de apoyo. 12.11.3 En los apoyos libres y en los puntos de inflexión, el acero de refuerzo de tensión por  momento positivo debe limitarse a un diámetro tal que l d calculado para f y por la sección 12.2 satisfaga la ecuación (12.2), excepto que la ecuación 12.2 no necesita satisfacerse para la terminación del refuerzo más allá del eje central de los apoyos simples mediante un gancho estándar, o un anclaje mecánico equivalente por lo menos a un gancho estándar.  M n l d    l a (12.2) V u Donde: Mn es el momento nominal suponiendo que todo el acero de refuerzo de la sección sufre esfuerzos hasta el punto de la resistencia especificada a la fluencia f y. Vu es la fuerza factorizada por cortante en la sección. l a en el apoyo será la longitud de anclaje más allá del centro del apoyo. l a en el punto de inflexión debe limitarse al peralte efectivo del elemento ó 12 db, lo que sea mayor. El valor  Mn/Vu se puede incrementar en un 30% cuando los extremos del acero de refuerzo estén confinados por una reacción de compresión.

35

36

12.12 Longitud de desarrollo del acero de refuerzo para momento negativo. 12.12.1 El acero de refuerzo para momento negativo en un elemento continuo, restringido o en voladizo, o en cualquier elemento de un marco rígido, debe anclarse en o a través de los elementos de apoyo por longitud de anclaje, ganchos o anclajes mecánicos. 12.12.2 El acero de refuerzo para momento negativo tendrá una longitud de anclaje en el claro como se estipula en las secciones 12.1 y 12.10.3. 12.12.3 Por lo menos 1/3 del acero de refuerzo total por tensión en el apoyo proporcionado para el momento negativo, tendrá una longitud de anclaje más allá del punto de inflexión, no menor que el  peralte efectivo del elemento ó 12 db, ó 1/16 del claro libre, lo que sea mayor.

36

37

12.14 Traslapes en el acero de refuerzo: generalidades.

37

38 12.14.1 En el acero de refuerzo sólo se deben hacer traslapes cuando lo requieran o permitan los planos de diseño, las especificaciones, o si lo autoriza el ingeniero.

12.14.2 Traslapes. 12.14.2.1 Para varillas mayores de Nº 11 (32 mm) no se deben utilizar traslapes, excepto cuando lo indique la sección 12.16.2 y la 15.8.2.3. 12.14.2.2 Los traslapes de paquetes de varilla deben basarse en la longitud de traslape requerida para varillas individuales dentro de un paquete, aumentada de acuerdo con la sección 12.4. Los traslapes de las varillas individuales dentro de un paquete no deben sobre traslaparse. No deben traslaparse  paquetes enteros.

SOLDADURA E7018 12.14.2.3 Las varillas traslapadas por medio de traslapes sin contacto en elementos sujetos a flexión no deben separarse transversalmente más de 1/5 de la longitud de traslape requerida, ni más de 15 cm. 12.15 Traslapes de alambres y varillas corrugadas sujetos a tensión. 12.15.1 La longitud mínima del traslape en tensión será conforme a los requisitos de empalme clase A o B, pero no menores que 30 cm, donde: Traslape clase A………………………………………………..1,0 * l d. Traslape clase B……………………………………….………..1,3 * l d. Donde, de acuerdo con la sección 12.2 , l d es la longitud de desarrollo por

tensión para la resistencia a la fluencia especificada f y, sin el factor de modificación de la sección 12.2.5. 12.15.2 Los traslapes de alambres y varilla corrugados sujetos a tensión deben ser clase B, excepto que sean permisibles traslapes de clase A cuando: (a) el área del refuerzo proporcionado es al menos el 38

39 doble que el requerido por análisis a todo lo largo del traslape y (b) una mitad, o menos, del refuerzo total está traslapado dentro de la longitud del traslape requerido. 12.15.4.1 Los empalmes deben estar escalonados cuando menos 60 cm, de tal manera que desarrollen en cada sección por lo menos, 2 veces la fuerza de tensión calculada en esa sección, pero no menos de 1.400 Kg/cm2 para el área total del refuerzo proporcionado.

TABLA Nº 1

f „c = 210 Alambre, varillas 20 Varillas 22 mm y menores o mm y mayores alambre corrugado

Espaciamiento libre entre varillas desarrolladas o db, empalmadas ≥ recubrimiento libre ≥ db y estribos no menores que el especificado por el código a lo largo de o ld espaciamiento libre entre varilla desarrollada. Otros casos

ld = 48 * db ld = 65 * db

(L. I.) (L. S.)

ld = 66 * db

ld = 50 * db ld = 62 * db

f „c = 280 Alambre, varillas 20 mm y menores o alambre corrugado

ld = 42 * db ld = 55 * db

ld = 82 * db

( L. I.) (L. S.)

ld = 57 * db

Varillas 22 mm y mayores

ld = 49 * db ld = 64 * db ld = 71 * db

L. I. = Lecho inferior; L. S. = Lecho superior. Esta tabla, se la utiliza en reemplazo de las fórmulas antes indicadas. Con estas indicaciones vamos a calcular la longitud de traslapes como la longitud del empalme de la columna: Para el traslape clase B, que se multiplica por 1,3 está contemplado en el valor de α, cuando la varilla

esta ubicada en el lecho superior. Para la varilla de 20 mm, ubicada en el lecho superior y extremo izquierdo lado discontinuo del ejemplo desarrollado. l d  

d b *  fy *   *   *   6.6  f  ' c

=

2,0 * 4.200 *1,3 *1,0 *1,0 6.6 210

 114,17cm ≈ 115 cm. Este valor equivale a calcular 

con los valores de la tabla Nº 1, con: l d = 65 db = 65 * 2,0 = 130 cm., será la longitud para traslapar los hierros Ø 20 mm en la viga, en las zonas de grandes esfuerzos y las del lecho superior, para los demás casos se reduce en un 30% o los mismo que 91 cm.(130 * 0.70), o l d = 48 db = 48 * 2,0 = 82 cm., aplicando las consideraciones de la tabla Nº 1: 1.- Espaciamiento libre entre varillas desarrolladas o empalmadas ≥ db, En el lecho superior tenemos 4 Ø 20 mm., tenemos (el recubrimiento lateral es de 4 cm.) S = (25 – (8 +2 * 1,0 + 4 * 2,0))/2 = 3,5 cm. > 2,0 mm. 2.- Recubrimiento libre ≥ db y El recubrimiento va desde el centro de la varilla de 20 mm, hasta el extremo superior = 2,0/2 + 1,0 +4 = 6 cm > 2,0 3.- Estribos no menores que el especificado por el código a lo largo de ld El diámetro de los estribos no debe ser menor de 8 mm. (Normalmente utilizamos 8, 10 y 12 mm.) 39

40 Para la longitud del empalme de la columna α = 1,3 y se aplica la misma fórmula. El diámetro del

acero longitudinal en la columna es de 16 mm. l d  

d b *  fy *   *   *   6.6  f  ' c

=

1,6 * 4.200 *1,3 *1,0 *1,0 6.6 210

 91,34cm ≈ 90 cm. Este valor equivale a calcular 

con: l d = 58 db = 58 * 1,6 = 92,8 cm. Para las varillas de 25 mm., ubicadas en el lecho inferior. Para la longitud del empalme α = 1,0 por encontrarse las varillas en el lecho inferior y se aplica

la

misma fórmula. l d  

d b *  fy *  *   *   6.6   f  ' c

=

2,5 * 4.200 *1,0 *1,0 *1,0 6.6 210

 109,78cm ≈ 110 cm. Este valor equivale a calcular 

con: ld = 50 db = 50 * 2,5 = 125 cm. CORTE DE VARILLA S EN EL L ECHO INFERIOR. Vamos a cortar en nuestro ejemplo la mitad de las varillas que cubren el momento positivo (en el centro del claro) que son 2 Ø 25 mm + 2 Ø 22 mm, calculamos el Mu para 2 Ø 25 mm: As = 9.8 cm 2.

Mu = Ø As fy (d  – a/2); a = 7.15 cm. Mu = 0.9 x 9.80 x 4200 (30  – 7.15/ 2) =……………………………………………………..9,789 T -m. Pasando al diagrama de momentos se determinará la ubicación de corte de las varillas. Para la 2 Ø 22 mm, calculamos el Mu para 2 Ø 22 mm: As = 7.6 cm 2 Mu = 0.9 x 7.6 x 4200 (30  – 7.15/ 2 ) =……………………………………………………....7,591 T -m. La demanda es 15,878 T-m < 17,380 T-m. Distancia que debe sobrepasar más allá del punto de inflexión: 12 db = 12 * 2,5 cm. = 30 cm., ó el peralte efectivo d = 30 cm., el mayor valor. Calculamos la ecuación de momentos:  M  x

 M  x  16,61* X  

3,99 * X 2

  Rizq * X  

W  * X  2 2

 M izq

 18,695  16,61* X   1,995 * X 2  18,695 Ó

2 2 Mx =  1,995 * X   16,61X   18,695

Con esta ecuación tabulamos y graficamos, como también con el valor del momento de 9,789 T-m que corresponde a 2 Ø 25 mm., igualando la ecuación de Mx:

 Mx  9,789  1,995 * X 2  16,61X   18,695 , encontramos los valores de X, de la ecuación: 1,995 X 2 – 16,61 X + 28,484 = 0; X 1 = 5,858 m y X 2 = 2,468 m.(9-5,858= 3,142) Las varillas a cortar las 2 Ø 22 mm, tendrán como punto de partida: 2,468 - 0,30 = 2,168 m., y como  punto final: 5,858 + 0,30 = 6,158 m., o la distancia del otro extremo: 9  – 6,158 = 2,842 m. Aplicando el artículo 12.12.3: l d  

 M n V u

 l a

Para las varillas que cruzan a todo lo largo en el lecho inferior que son 2 Ø 25 mm:  Mn 

 Mu  



9,789t   m 0,90

 10,877t   m. (9,789 t-m es el momento producido por 2 Ø 25 mm.)

40

41 El cortante en el punto de inflexión = 1,34 m en el extremo izquierdo. Vu = 16,61 – 3,99 * 1,34 = 11,263 m.

l a

=

l d

≤

12 d b = 12 * 2,5 = 30 cm. el peralte efectivo d = 30 10,877t   m 11,263t 

el mayor valor se toma

 0,30m  1,27m.

En el gráfico tenemos: 4,16m. - 2,468 m = 1,692 m + 0.30 = 1,992m, se cumple (el refuerzo inferior en extremo izquierdo).

Para el extremo derecho de las mismas varillas 2 Ø 25 mm; el punto de inflexión está a 2,02 m del extremo derecho. Vu = 16,61 – 3,99 * 2,02 = 11,24 m. l d

≤

10,877t   m 11,24t 

 0,30m  1,27m.

En el gráfico tenemos: 9 m - 4,16m. = 4,84 m  –  3,142 = 1,698 + 0.30 = 1,998 m, se cumple (el refuerzo inferior en extremo derecho). Si aplicamos los valores de la tabla Nº 1: l d = 50 d b = 50 * 2,5 cm = 125 cm = 1,25 m

41

42 CORTE DE VARILLA S EN EL L ECHO SUPERIOR. SUPERIOR. Para el apoyo izquierdo: Vamos a cortar en nuestro ejemplo 2 Ø 16 mm del total que cubren el momento negativo que son 4 Ø 20 mm + 2 Ø 16 mm, calculamos el Mu para para 4 Ø 20 mm: As = 12.566 cm 2. Mu = Ø As fy (d  – a/2); a = 7,15 cm.  – 7.15/ 2) =………………………………………….…….12,552 T -m. Mu = 0.9 x 12.566 x 4200 (30  – 7.15/ Pasando al diagrama de momentos se determinará la ubicación de corte de las varillas. Para la 2 Ø 16 mm, calculamos el Mu para 2 Ø 16 mm: As = 4.02 cm 2  – 7.15/ 2) =…………………………………………………....4,015 T -m. Mu = 0.9 x 4.02 x 4200 (30  – 7.15/ La demanda demanda es 16,238 16,238 T-m (momento (momento crítico en la cara de la columna) < 16,567 T-m.

Distancia que debe sobrepasar más allá del punto de inflexión: i nflexión: 12 db = 12 * 2,0 cm. cm. = 24 cm., ó el peralte efectivo d = 30 cm., el mayor valor. Calculamos la ecuación de momentos:  M  x

 M  x  16,61* X  

3,99 * X  2

  Rizq * X  

W  * X  2 2

 M izq

 18,69 695 5  16,61* X   1,99 995 5 * X 2  18,69 695 5Ó

2 995 5 * X 2  16,61X   18,69 695 5 Mx =  1,99

Con esta ecuación ecuación que graficamos anteriormente, anteriormente, ubicamos la ordenada ordenada con el valor del momento de -12,556 T-m (en los apoyos apoyos los valores son negativos) negativos) que corresponde a 4 Ø 20 mm., y hallamos la distancia horizontal de intersección con la curva o igualando la ecuación de Mx:

 Mx  Mx  12,55 552 2  1,99 995 5 * X 2  16,61X   18,69 695 5 , encontramos los valores de X, de la ecuación: 1,995 X 2 – 16,61 X + 6,143 6,143 = 0; X 1 = 7,938 m y X 2 = 0,388 m., se toma solo X 2. Las varillas a cortar las 2 Ø 16 mm, tendrán como punto de partida: 0,388 + 0,30 = 0,688 m., y la longitud total será: 0,25 + 0,10 + 0,688 = 1,038 m. Si aplicamos los valores de la tabla Nº 1: l d = 65 d b = 65 * 1,6 cm = 104,0 cm = 1,04 m. ≈ 1,05 Los 1,05 m se descompone: 0,25 (gancho) + 0,10 (mitad apoyo sin recubrimiento) + 0,70 (distancia desde ele eje hasta el extremo de los hierros de 16 mm) Para el extremo derecho Vamos a cortar en nuestro ejemplo la mitad de las varillas que cubren el momento negativo que son 4 Ø 20 mm + 4 Ø 22 mm, calculamos el Mu para 4 Ø 20 mm: As = 12.566 cm 2. Mu = Ø As fy (d  – a/2); a = 7,15 cm.  – 7.15/ 2) =……………………………..………………….12,552 T -m. Mu = 0.9 x 12.566 x 4200 (30  – 7.15/ Pasando al diagrama de momentos se determinará la ubicación de corte de las varillas. Para la 4 Ø 20 mm, y calculamos el el Mu para 4 Ø 22 mm: As = 15.20 cm 2  – 7.15/ 2) =……………………………………………….......15,183 T -m. Mu = 0.9 x 15.20 x 4200 (30  – 7.15/ La demanda es 27,939 T- m (momento crítico en la cara de la columna) ≈ 27,735 T-m. Distancia que debe sobrepasar más allá del punto de inflexión: i nflexión: 12 db = 12 * 2,2 cm. cm. = 26,4 cm., ó el peralte efectivo d = 30 cm., el mayor valor. Calculamos la ecuación de momentos:  M  x

  Rizq * X  

W  * X  2 2

 M izq 42

43

 M  x  16,61* X  

3,99 * X 2

 18,695  16,61* X   1,99 995 5 * X 2  18,69 695 5Ó

2 995 5 * X 2  16,61X   18,69 695 5 Mx =  1,99

Con esta ecuación ecuación que graficamos anteriormente, anteriormente, ubicamos la ordenada ordenada con el valor del del momento de -12,556 T-m (en los apoyos apoyos los valores son negativos) negativos) que corresponde a 4 Ø 20 mm., y hallamos la distancia horizontal de intersección con la curva o igualando la ecuación de Mx:

 Mx  Mx  12,55 552 2  1,99 995 5 * X 2  16,61X   18,69 695 5 , encontramos los valores de X, de la ecuación: 1,995 X 2 –  16,61 X + 6,143 6,143 = 0; X 1 = 7,938 m y X 2 = 0,388 m., se toma la diferencia entre los 9m - X1 = 1,062. La distancia desde el eje de la columna será: 1,062 + 0,30 = 1,362 1,40 m. Si aplicamos los valores de la tabla Nº 1: l d = 62 d b = 62 * 2,2 cm =136,4 cm = 1 ,36 m ≈ 1,40

DEFLEXIÓN Y FISURACIÓN EN VIGAS. El término estado límite se usa en la actualidad para describir la condición en que una estructura o  partes de ella, dejan de cumplir la función para la que fue diseñada. Hay dos clases de estados límites: l ímites: por resistencia y por servicio. Los estados límites por resistencia se basan en la seguridad o capacidad de carga de las estructuras e incluyen el pandeo, la fractura, la fatiga, el volteo, etc. Los conocimientos adquiridos anteriormente son estudios de estados límites por flexión fl exión de varios miembros. Los estados límites por servicio se refiere al comportamiento de las estructuras bajo cargas normales de servicio y tienen que ver con el uso y la ocupación de las estructuras; aquí se incluyen deflexiones, agrietamientos y vibraciones. Adviértase que estas circunstancias pueden afectar el uso de las estructuras, pero no implican su colapso. Las vibraciones verticales en puentes y pisos de edificios, así como las vibraciones laterales y torsionales en edificios altos, pueden ser muy molestosas para los usuarios de las estructuras. Sin embargo, las vibraciones no son usualmente un problema en edificios de concreto reforzado de poca altura (menor a 10 pisos), pero es necesario estar al tanto de los casos que su efecto es considerable.

Importancia de las deflexiones.- La adopción de diseño por resistencia en años recientes, junto con el uso de concretos y aceros de mayor resistencia, ha permitido el uso de miembros relativamente esbeltos. Como resultado de esto, las deflexiones y el agrietamiento por deflexión se han vuelto  problemas más severos de lo que eran hace algunas décadas. Las deflexiones excesivas en vigas y losas pueden ocasionar pisos combados, la formación de charcos en losas de cubierta, vibraciones excesivas y aún interferencia en el funcionamiento de la maquinaria emplazadas en esas estructuras; estas deflexiones pueden dañar las paredes divisorias y desajustar el cierre de puertas y ventanas. Además pueden afectar la apariencia de una estructura o alarmar a los ocupantes del edificio, aún cuando éste sea perfectamente seguro. Cualquier estructura usada por la gente debe ser lo suficientemente rígida y libre de vibraciones como para generar un ambiente de seguridad. Control de deflexiones.- una de las mejores maneras de reducir las deflexiones es incrementar el  peralte de los miembros, pero las exigencias de mantener los miembros con el peralte tan bajo como sea posible. (Los miembros con bajo peralte implican pisos más delgados y los pisos más delgados 43

44 implican edificios de menor altura y poco peso, con las consecuencias de reducir la cimentación, los costos se reducen en plomería, cableado, elevadores, materiales de fachada, etc.

Espesores mínimos.- La siguiente tabla corresponde a la tabla 9.5(a) del código ACI, muestra un conjunto de espesores mínimos que deben usarse en las vigas y losas en una dirección. Espesor mínim o d e vigas o de losas en un a dirección a meno s q ue se  calculen deflexiones. Espesores mínimos, h Simplemente Un extremo Ambos extremos En volados Miembros Apoyada Continuo Continuos Miembros no de carga o unidos a tabiques o a otra construcción  parecida que pueda dañarse por grandes deflexiones Losas macizas en L/20 L/24 L/28 L/10 una dirección. Vigas o losas acanaladas en una L/16 L/18.5 L/21 L/8 dirección Deflexiones máximas.- Si no se utilizan los espesores indicados anteriormente, se tendrá que calcular  las deflexiones. Las deflexiones calculadas no deben de exceder a la especificada por el código ACI, que corresponde a la tabla 9.5 (b).

Deflexiones calculadas permisibles máximas según código ACI. Tipo de miembro Techos planos que no carguen o estén unidos a elementos no estructurales que puedan dañarse por grandes deflexiones. Pisos que no carguen o estén ligados a elementos no estructurales que puedan dañarse por grandes deflexiones. Techos o pisos cargando o ligados a elementos no estructurales que pueden resultar dañados por grandes deflexiones. Techos o pisos cargando o ligados a elementos no estructurales que no pueden resultar dañados por grandes deflexiones.

Deflexión por considerara Deflexión inmediata debida a la carga viva L.

Deflexión límite L/180 *

Deflexión inmediata debida a la L/ 360 carga viva L. Parte de la deflexión total que L/ 480 ‡ ocurre después de la conexión de los elementos no estructurales (suma de la deflexión a largo  plazo debida a todas las cargas L/ 240 § sostenidas y la deflexión inmediata debida a cualquier  carga viva adicional).† * Este límite no toma en cuenta el ensanchamiento. Este último debe revisarse mediante los cálculos apropiados de las deflexiones, incluyendo las deflexiones adicionales debidas al agua encharcada y mediante la consideración de los efectos a largo plazo de todas las cargas sostenidas, de la contraflecha, de las tolerancias de construcción y de la confiabilidad de los dispositivos de drenaje. † La deflexión a largo plazo se determinará de acuerdo con las secciones 9.5.2.5 ó 9.5.4.2 del código

ACI pero puede reducirse según la cantidad de deflexión calculada que ocurra antes de la conexión de los elementos no estructurales. Esta cantidad se determinará con base en datos de ingeniería relativos a las características de tiempo-deflexión en miembros similares a los que están bajo consideración. ‡ Este límite puede excederse si se toman medidas adecuada s para prevenir daños a los elementos apoyados o conectados. 44

45 § Pero no mayor que la tolerancia dada a los elementos no estructurales. El límite puede ser excedido si se proporciona una contraflecha, de manera que la deflexión total menos la contraflecha no exceda el límite.

45

46

Contraflecha.- La deflexión en miembros de concreto reforzado pueden también controlarse por  medio de la contraflecha. Los miembros se construyen con un perfil longitudinal tal que asuman su  perfil teórico bajo alguna condición de carga (usualmente carga muerta y tal vez algo de carga viva). Algunos proyectistas toman en cuenta tanto las cargas muertas como las vivas al determinar la magnitud de la flecha, la cual se emplea principalmente en miembros de grandes claros. Calculo de deflexiones.- Las deflexiones en miembros de concreto reforzado pueden calcularse con ayuda de las expresiones usuales para deflexiones, varias de las cuales se mostrará a continuación. Las deflexiones en el centro del claro en una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida son 5 veces mayor que la deflexión en el centro del claro de la misma viga si sus extremos están empotrados. Debido a las variaciones tan grandes que ocurren cuando se tienen diferentes restricciones en los extremos, es esencial que estas restricciones sean consideradas si se quieren hacer cálculos realistas de deflexión. Momentos de inercia efectivos.- Independientemente del método que se use para el cálculo de deflexiones, existe un problema en la determinación del momento de inercia que debe usarse en las fórmulas correspondientes. La dificultad estriba en la estimación del agrietamiento que ha ocurrido. Si el momento flexionante es menor que el momento de agrietamiento (esto es, si el esfuerzo de flexión es menor que el módulo de ruptura, aproximadamente igual a 0,7 *   f  ' c para concreto de peso normal), la sección total sin agrietar proporciona rigidez y con ella puede calcularse el momento de inercia Ig de la sección completa. Cuando se tienen momentos mayores, ocurrirá grietas de tensión de tamaño diferente y variará la posición del eje neutro. Para ilustrar este problema de seleccionar el momento de inercia que ha de emplearse en el cálculo de deflexiones, haremos uso de la siguiente figura; aunque una viga de concreto reforzado puede tener un tamaño constante (o prismático) en toda su longitud, en los cálculos de deflexiones se comportará como si estuviese compuesta de segmentos de vigas de diferentes tamaños. Para la porción de una viga donde el momento es menor que el momento de agrietamiento, Magr, se puede suponer que la viga no está agrietada y el momento de inercia es igual a Ig. Cuando el momento es mayor que Magr, las grietas de tensión que se desarrollan en la viga ocasionarán que se reduzca la sección transversal de la viga, así que el momento de inercia  puede suponerse igual al valor transformado Iagr. Es como si la viga consistiese en los segmentos mostrados en la figura (d). Una sección de concreto que esté totalmente agrietada en su zona de tensión tendrá una rigidez con valor de un tercio a tres cuartos de la rigidez que tiene cuando no está agrietada. En diferentes secciones a lo largo de la viga, la rigidez varía en función del momento presente; se  puede ver que un método exacto para calcular deflexiones debe tomar en cuenta esas variaciones.

46

47 Efectos d e las grietas en las deflexiones.

Si se quiere obtener la deflexión inmediata de un miembro prismático no agrietado, puede suponerse que el momento de inercia es igual a Ig en toda la longitud del miembro. Si el miembro está agrietado en una o más secciones o si su peralte varía a lo largo del claro, deberá usarse un valor más exacto de I. La sección 9.5.2.3 del ACI, da un momento de inercia para usarse en los cálculos de deflexiones. Este momento de inercia es un valor promedio y debe usarse en cualquier punto de una viga simple en la que se busque la deflexión. Se le llama Ie o momento de inercia efectivo; se basa en una estimación de la cantidad probable de agrietamiento causado por el momento variable a lo largo del claro. 3    M agr   3    M agr    ( Ig )  1     I agr   Ie    M   M     a      a  

En esta expresión, Ig es el momento de inercia de la sección total (sin considerar el acero), M agr  es el momento de agrietamiento = fr * I g/ yt, con fr = 2 *  f  ' c para concreto de peso normal, M a es el momento máximo bajo carga de servicio que se presenta en el caso bajo consideración e I agr  es el momento de inercia transformado de la sección agrietada.

Deflexiones a largo plazo.- Con Ie y las ecuaciones apropiadas para deflexiones, se obtienen las deflexiones instantáneas o inmediatas. Sin embargo, las cargas sostenidas o de largo plazo ocasionan grandes incrementos en esas deflexiones debido a la contracción y al flujo plástico. Los factores que afectan los incrementos de la deflexión son: la humedad, la temperatura, las condiciones de curado, el contenido de acero de compresión, la relación entre el esfuerzo y la resistencia y la edad del concreto en el momento en que se aplica la carga. Si el concreto se carga a temprana edad, sus deflexiones a largo plazo se incrementarán considerablemente. Las deflexiones excesivas en las estructuras de concreto reforzado se debe principalmente a la aplicación de la carga a temprana edad del concreto. La deformación unitaria por flujo plástico después de 5 años (después de lo cual el flujo es insignificante)  puede ser mayor que 4 a 5 veces la deformación unitaria inicial, si la cargas se aplican a los 7 ó 10 días tras el colado, pero sólo 2 a 3 veces si las cargas se aplican 3 ó 4 meses después del colado. Debido a lo indicado, las magnitudes de las deflexiones a largo plazo sólo pude estimarse en forma aproximada. El código en artículo 9.5.25 establece que para estimar el incremento en deflexión debido a esas causas, la parte de la deflexión instantánea debida a las cargas sostenidas puede multiplicarse  por el factor λ, obtenido empíricamente, y el resultado se puede sumar a la deflexión instantánea.      1  50 *  ' En esta expresión, que es aplicable a concretos de peso normal y ligero, δ es un factor dependiente del

tiempo que se obtiene de la siguiente tabla que se encuentra en el código ACI, artículo 9.5.2.5 Duración de la carga sostenida 5 años o más 36 meses 24 meses 18 meses 12 meses 6 meses 3 meses

Factor δ dependiente del tiempo.

2.00 1.80 1.65 1.60 1.40 1.20 1.00 47

48 El efecto del acero de compresión en las deflexiones a largo plazo se toma en cuenta en la expresión  para λ con el término ρ‟ (cuantía del refuerzo a la compresión

  ' 

 A' s b * d 

) y debe calcularse en el centro

del claro en claros simplemente apoyados y continuos, y en el apoyo en vigas en voladizo. La carga muerta total de una estructura se clasifica como carga permanente, pero el tipo de ocupación determinará el porcentaje de carga viva que pueda llamarse permanente. Para un edificio de apartamentos o para oficinas será del 20% a 25% de la carga viva de servicio puede considerarse como sostenida, mientras que de 70% a 80% de la carga viva de servicio en bodegas caería dentro de esta clasificación. Para facilidad de manejar el concreto se agrega un poco más de agua, es posible que no se obtenga un mezclado y una compresión satisfactoria del concreto, lo que ocasiona huecos y cavidades. Finalmente, se retira el encofrado antes de que el concreto haya obtenido su resistencia de diseño plena. Si este es el caso, los módulos de ruptura y elasticidad serán muy bajos y se darán grietas excesivas en las vigas que no se hubieran dado si el concreto hubiese sido más resistente. Todos estos factores pueden ocasionar que las estructuras de concreto reforzado se deflexionen más de lo indicado  por los cálculos usuales.

TIPOS DE GRIETAS.- En esta sección se presentan algunos comentarios respecto a los diversos tipos de grietas que ocurren en el concreto reforzado. Las grietas de flexión son grietas verticales que se extienden desde los lados de tensión de las vigas hasta la región de sus ejes neutros, se ilustra en la siguiente figura (a). Si las vigas son aperaltadas las grietas estarán muy ligeramente espaciadas y algunas se juntarán y otras desaparecerán por arriba del refuerzo, estas grietas pueden ser más anchas hacia medio peralte de la viga que en el fondo. Las grietas inclinadas debido al cortante pueden desarrollarse en las almas de las vigas de concreto reforzado, ya sea como grietas independientes o como extensiones de grietas de flexión; en ocasiones las grietas inclinadas se desarrollan independientemente en una viga aun cuando no aparezcan grietas de flexión próximas, y son llamadas como grietas por cortante en el alma, que se ilustran en la figura (b), ocurren a veces en las almas de secciones presforzadas, particularmente en aquellas con patines anchos y almas delgadas. El tipo usual de grietas inclinadas por cortante son las grietas por tensión diagonal que se ilustra en la figura (c), se desarrollan usualmente tanto en vigas presforzadas como en vigas sin presforzar. Las grietas de torsión, ilustradas en la figura (d), son muy similares a las grietas de cortante excepto que describen trayectorias espirales alrededor de la viga. Aunque los esfuerzos de torsión son muy similares a los esfuerzos cortantes, los de torsión se presentan en todas las caras de un miembro, como resultado, estos se suman a los esfuerzos cortantes en un lado de la viga y se restan a los del otro. Algunas veces los esfuerzos de adherencia entre el concreto y el refuerzo dan lugar a desmembraciones a lo largo de las barras, como se muestra en la figura (e).

48

49

Algunos tipos de grietas en miembros de concreto.

CONTROL DE L AS GRIETAS DE FL EXIÓN .- Las grietas se presentan en las estructuras de

concreto reforzado debido a la baja resistencia a la tensión del concreto. En los miembros con bajos esfuerzos en el acero bajo cargas de servicio, las grietas serán muy pequeñas y de hecho no serán visibles excepto mediante una cuidadosa inspección, estas grietas se las llama microgrietas, son iniciadas generalmente por los esfuerzos de flexión.

Cuando los esfuerzos en el acero son altos bajo carga de servicio, especialmente cuando se usan aceros de alta resistencia, se formarán grietas visibles, estas grietas deben limitarse a ciertos tamaños máximos, de modo que no dañen la apariencia de la estructura y que no se haga presente la corrosión en las barras de refuerzo; con el uso de aceros de alta resistencia y el método de diseño por resistencia, el control de las grietas se ha convertido en un aspecto muy importante del diseño. Si bien las grietas no pueden eliminarse, pueden limitarse a dimensiones aceptables mediante la distribución del refuerzo, en otras palabras, se tendrán grietas menores si se usan varias varillas de pequeño diámetro con separaciones moderadas entre ellas, que si se usan unas cuantas varillas de grandes diámetro con grandes separaciones, tal manera de proceder conduce usualmente a resultados satisfactorio en el control de grietas.

EVALUACIÓN DEL ANCHO DE LAS GRIETAS.- Las grietas se presentan en el concreto en forma inevitable cuando se excede su resistencia a la tensión, por lo tanto lo que se busca es tan solo limitar el ancho de éstas. Para evaluar el ancho de las grietas se puede usar la expresión propuesta por  Gergely-Lutz: W max  0.1086 *104   *  f   s 3 d c * A

Donde: Wmax = Ancho de la grieta en mm. β = (h – c)/(d – c) = valor promedio del factor de profundidad, puede tomarse igual a 1.2. 49

50 = Esfuerzo máximo en el acero al nivel de carga de servicio, en Kg/cm 2. Puede usarse 0.6fy, si …………no se dispone de resultado de análisis. dc = Espesor, en cm, del recubrimiento medido hasta el centro de la primera línea de refuerzo. A = Área de concreto en tensión entre el número de barras, en cm 2. f s

 A 

b * t 

 bc

;

Donde:

t

= Profundidad del concreto en tensión. Se determina considerando el centro de gravedad de las ……... barras en tensión como el centroide del área de concreto en tensión. γ bc = Se define como el número de barras en el lado de tensión si todas las barras son del mismo ……..diámetro; o el área total de acero entre el área de la barra de mayor diámetro. La fórmula anterior no es aplicable a losas armadas en dos direcciones.

Es de notar que el refuerzo permisible de f s = 0.6f y en lugar del valor real del esfuerzo en el hacer sólo es aplicable a estructuras normales. Debe tomarse precauciones especiales para estructuras expuestas a climas muy agresivos, tales como en instalaciones químicas o en estructuras portuarias. En el caso de usar paquetes de barras como refuerzo, el ancho de la grieta W max en mm, se estima con la siguiente expresión: W max  0.1086 *104   *  f   s 3 d 'c * A'

Donde: d‟c

= Profundidad del recubrimiento al centro de gravedad del paquete.  A' 

b * t 

 bc

Para paquetes de dos barras → γ‟ bc = 0.815 γ bc. Para paquetes de tres barras → γ‟ bc = 0.650 γ bc. Para paquetes de cuatro barras → γ‟ bc = 0.570 γ bc.

50

51

An cho d e Grietas Permisibles.

Condición de exposición. Aire seco o con membrana de protección. Aire húmedo o suelo. Agentes químicos. Agua de mar. Estructuras de contención de agua.

Ancho Permisible 0.41 mm. 0.30 mm. 0.18 mm. 0.15 mm. 0.10 mm.

Factor z para verificación de con trol de g rietas en vig as y los as. La verificación de control de grietas sólo es necesaria cuando se usa acero en tensión con resistencia de fluencia, f y, que excede a 2.800 Kg/cm 2. El código ACI, en orden de reducir el tamaño de los cálculos, recomienda usar un factor z, donde:  z     f   s * 3 d c * A , en Kg/cm para barras aisladas.  z     f   s * 3 d ' c * A , en Kg/cm para paquetes de barras.

El valor de z no debe ser mayor que los valores siguientes: z = ≤ 31.000 Kg/cm para vigas en interiores, corresponde a w max = 0.40 mm. z = ≤ 23.200 Kg/cm para vigas en exteriores, corresponde a wmax = 0.30 mm. z = ≤ 27.500 Kg/cm pa ra losas en interiores, corresponde a w max = 0.40 mm. z = ≤ 20.600 Kg/cm para losas en exteriores, corresponde a w max = 0.30 mm.

Debe aclararse que barras pequeñas de refuerzo a espaciamiento menores dentro de la zona de tensión dan una mejor distribución del agrietamiento, por lo tanto son preferibles para conseguir el control del agrietamiento. El uso del factor z no es alentador, desde que no da indicación directa de la magnitud del ancho de la grieta. Control del ancho de grietas.- El código ACI-02, en la sección 10.6.4, menciona que el control de fisuras estará de acuerdo a una adecuada distribución del refuerzo; para lo cual indica que el acero de refuerzo en tensión, cercano a una superficie no deberá exceder a: (comparar con ACI-05)  2520    fs   fs      2800  106.400   s   2.5cc ; y no mayor a:  s  30  fs   fs      s 

96.000

 2.5cc ; y no mayor a:  s  30

(10-4)[2002] (10-4)[2005]

Donde cc es el recubrimiento en cm, y fs en Kg/cm 2, es el esfuerzo calculado mediante:   fs 

 M   As *  jd 

M, es el momento bajo cargas de servicio (no factorizadas). As, área de acero en tracción.  jd, es el brazo del momento interno, pudiendo ser: d  – a/2 ó d – c/3. Se permite tomar un valor de f s = 0.6f y. Las fórmulas anteriores han sido evaluadas para un ancho de grieta de 0.041 cm, por lo que se pueden modificar estas fórmulas dadas por el ACI para anchos permisibles de grietas “w”.

 96.000

 s  

    f   s

  w  2520  w   2.5 * cc  ; y no mayor a:  s  30 0 . 041   f        s   0.041

51

52

Ejercicio: De la viga doblemente armada calculada anteriormente, calcular en esta viga las deflexiones inmediatas causadas por la carga permanente, las deflexiones inmediatas causadas por la sobrecarga y las deflexiones adicionales a largo plazo causadas por la retracción de fraguado y el flujo plástico. Considerar: f‟c = 210 Kg/cm2; f y = 4.200 Kg/cm 2; Es = 2 *10 6 Kg/cm2; As = 2Ø 25 mm + 2 Ø 22 mm = 17.40 cm 2. Mu = 15,878 t-m. (Demanda); A‟s = 4Ø 20 mm = 12,56 cm 2. h = 35 cm; b = 25 cm; estribos: Ø 8 mm. Solución: El peralte efectivo, d = 35  – (4+ 0.8 + 2.5/2) = 28.95 cm. Las deflexiones inmediatas se calcularán por las fórmulas de la teoría de la elasticidad, considerando los efectos que tienen la fisuración y el refuerzo sobre la rigidez de la viga; las deflexiones adicionales deben determinarse multiplicando las deflexiones inmediatas causadas por la carga permanente por el factor λ del código.

Para el cálculo de las deflexiones inmediatas debemos determinar la profundidad del eje neutro a nivel de las cargas de servicio, utilizando el método de la sección transformada. n = Es / Ec = 2 * 106 Kg/cm2 / 15.100  f  ' c = 9.14

2n 1 A' s  2 * 9.14 112,56  217.04 cm2. n As = 9.14 * 17.40 = 159.04 cm 2. bx 2 2

 (2n  1) A' s( x  d ' )  nA s (d   x).

12.5 x2 + (2*9.14 -1) * 12.56 (x- 5) = 9.14 * 17.40 (28.95  – x) → x 1= 11.06 cm y x 2 = - 41.15 cm El momento de inercia de la sección transformada fisurada Icr será:  Icr  

 Icr  

bx 3 3

2 2  2n  1 A' s  x  d '  nAs d    x  .

25 *11.063 3

2 2  2 * 9.14  112.56 * 11.06  5  9.14 *17.40 * 28.95  11.06  70.145,73 cm4.

Por otra parte, I g = momento de inercia de la sección total de concreto será:  Ig  

bh 3 12



25 * 353 12

4  89.322,92 cm , y

Yt = Distancia medida desde el eje centroidal de la sección total, despreciando el refuerzo, hasta la fibra extrema en tracción: h  – x = 35 – 11,06 = 23,94 cm. Calculamos el momento de fisuración = M cr  =

  fr * Ig  Y t 

, en donde: 52

53   fr   2   f  ' c  2 * 210  28,98 Kg / cm 2

Mcr  =

28.98 * 89.322,92 23,94

 108.127,75 Kg-cm.

Como el momento en el centro del claro es M u = 15,878 t-m ó 1‟587.800 Kg -cm, (en la aplicación de la fórmula siguiente = M a) podemos calcular el momento de inercia efectivo Ie no mayor que Ig, así: 3    M   3   M cr   cr    I cr    I e    * I  g   1    M   M     a     a

3   108.127,75  3  108.127,75  4  I e   * 89.322,92  1    70.145,73  70.151,79 cm .   1'587.800     1'587.800   

Ie =70.151,79 cm 4 < Ig = 89.322,92 cm 4. (Cuando Ie > Ig, se toma Ie = Ig) Ec = 15.100   f  ' c  15.100 210  218.819,79 Kg/cm2. Cargas: Carga muerta = 1,575 t/ m = W D Carga viva = 1,05 t/ m = W L W = 2,625 t/ m.= 26,25 Kg /cm. Wu = 1.4 W D + 1.7 WL = 1.4 *1,575 + 1,7 * 1,05 = 3,99 t/ m. La deflexión elástica inmediata, será: (ver gráfico de página 44).  c 

1 384

 L4

1

26,25 * 9004

W  *   2,922 cm.  EI  384 218.819,79 * 70.151,79

Si la carga permanente es un 80% de la total, podemos concluir que: La deflexión inmediata causada por la carga permanente será: 0,80 * 2,922 = 2,34 cm. La deflexión inmediata causada por la sobrecarga será: 0,20 * 2,922 = 0,58 cm. La deflexión adicional a largo plazo (5 años o más) causada por la retracción de fraguado y el flujo  plástico se determinará multiplicando la deflexión inmediata causada por la carga permanente por el factor λ, donde:   

  ; Se toma δ = 2.0 (de la tabla  pag 46 para 5 años ó más), y 1  50  '  A' 12,56  0,01735.   '   s  bd  25 * 28,95 2.0     1,071 1  50 * 0,01735

La deflexión adicional a largo plazo será: 2,34 * 1,071 = 2,506 cm. (ACI art. Nº 9.5.2.5) Si la viga formara parte de una cubierta o de un piso que soporta o está unido a elementos no estructurales que no pueden ser dañados por deflexiones grandes, se debe cumplir: Deflexión a largo plazo por carga permanente + deflexión por sobrecarga debe ser menor de L/ 240. 2,506 cm + 0,58 cm = 3,086 cm. < L/ 240 = 900/ 240 = 3,75 cm. (es la deflexión reconocida por el código como lo indica en la página # 43). Para disminuir la deflexión no se justifica aumentar la cantidad de armadura a la compresión, pues se encarece la viga, no disminuyendo substancialmente la deflexión, igualmente se logra el mismo fin si se suministra a la viga una contra-flecha apropiada de 3,086 cm, al momento de construirla.

53

54

Ejemplo Nº 2. Verificar si la viga del ejemplo anterior satisface el criterio en condiciones de cargas de servicios para control de agrietamiento para las tres condiciones ambientales siguientes usando fs = 0.6 fy: a) Exposición interior usando la expresión de Gergely-Lutz. W  max  0.1086 *104   *  f   s 3 d c * A

Donde: Wmax = Ancho de la grieta en mm. β = (h – c)/(d – c) = valor promedio del factor de profundidad, puede tomarse igual a 1.2. f s = Esfuerzo máximo en el acero al nivel de carga de servicio, en Kg/cm 2. Puede usarse 0.6fy, si no se dispone de resultado de análisis. dc = Espesor, en cm, del recubrimiento medido hasta el centro de la primera línea de refuerzo. A = Área de concreto en tensión entre el número de barras, en cm 2.  A 

b * t 

 bc

; Donde:

t = Profundidad del concreto en tensión. Se determina considerando el centro de gravedad de las  barras en tensión como el centroide del área de concreto en tensión. γ bc = Se define como el número de barras en el lado de tensión si todas las barras son del mismo diámetro; o el área total de acero entre el área de la barra de mayor diámetro.  b) Exposición interior usando el procedimiento del factor Z, c) Exposición a agentes químicos. Solución: (del problema inicial tomamos c = 9,55 cm; ver pag 4) β = (h – c)/ (d – c) = (35 – 9,55)/ (28,95 – 9,55) = 1,31 ; cuando no se tiene se asume β= 1,2. El esfuerzo en el acero será: f s = n Mc / I = n M a (d-c)/ Icr  f s = 9,14 *15,878 * 10 5* (28,95- 9,55)/ 70.145,73 = 4.013,68 Kg/ cm 2. f s = 0.6 fy = 0.6 * 4.200 = 2.520 Kg/cm 2 dc = 4 + 0.8 + 2.54/2 = 6,07 cm; t = 2 dc = 2 * 6.07 = 12.14 cm. As = 2Ø 25 mm + 2 Ø 22 mm = 17.40 cm 2; 1 Ø 25 mm= 4.91 cm2; γ bc = 17.40 / 4.91 = 3.544 A = b * t/ γ  bc = 25 * 12.14 / 3.544 = 85.64 cm 2; 4

wmax  0.1086 *10 *   *  fs * 3 d c * A 4

wmax  0.1086 *10 *1,31* 2.520 * 3 6,07 * 85,64  0,288 mm.

b) Calculamos el factor Z:  Z    f   s * 3 dc * A  2.520* 3 6,07 * 85,64  20.262,31 Kg/ cm, esta bien porque para exposición interior 

es necesario que: Z < 31.000 Kg/ cm para vigas en interiores, corresponde a w max = 0.40 mm.

c) Para la exposición a agentes químicos es que: w permisible = 0,18 mm. En nuestro caso tenemos w max = 0,28 mm, lo que significa que si en el ambiente hay la presencia de agentes químicos, habrá corrosión en las armaduras, para estos casos hay que aumentar la sección de la viga y aumentar los recubrimientos.

Deflexión en vigas simples.- La viga de la siguiente figura tiene una luz de 9,00 m y soporta una carga muerta de 1,575 t/m que incluye su peso propio, y una carga viva de 1.05 t/m, (cargas de servicio), f „c = 210 Kg/cm2. La viga esta simplemente apoyada. a) Calcular la deflexión instantánea para D + L. 54

55  b) Calcular la deflexión para las mismas cargas después de 5 años suponiendo que el 30% de la carga viva está sostenida. SOLUCION: a) Deflexión instantánea. Las cargas de servicio: W L=1,05 t/m WD=1,575 t/m W=2,625 t/m =2625 Kg/m  I  g  

1

 M a 

n

3

12

 M cr  

bh 

  fr * Ig 

Yt  W  * L2 8

 Es  Ec



1

3

12



* 25* 35  89.322,92cm

4

2 210

* 89.322,92  147.932,81 Kg   cm. 35 / 2 2625 Kg / m * 9 2   26.578,13 Kg   m. 8

2 *106 Kg / cm 2 15.100 210

 9,14 ;

n As = 9,14*17,40cm 2 = 159,04 cm2. Tomando momentos respecto al eje neutro. 25 X  *

 X  2

 159,04 * (30  x)

12,5x2 = 4.771,20 – 159,04 x 12,5 x2 + 159,04 x – 4.771,20 = 0 14,18 cm  x 

 159,04  159,042  4 *12,5 * (4.771,20) 2 *12,5



-26,91 cm El momento de inercia: 1 3 2  I cr   * 25*14,18  159,04(30 14,18)  3

63.563,38 Kg-cm4.

El momento de inercia efectivo:

3    M cr   3   M cr    I e    * I  g   1    Ma   I cr    Ma         3 3     147.932,81 Kg  cm     147.932,81  63.563,38  63.567,82cm4.  I e   89.322,92  1      26.578,13*100 Kg  cm    26.578,13*100 Kg  cm 

 E c  15.100   f  ' c  15.100 210  218.819,79 Kg / cm2

La deflexión instantánea para D + L:

55

56 4

 c 

5WL

384 E c * I e



5 * 26,25 Kg / cm * 900

4

384* 218.819,79 * 63.567,82

 16,12 cm.

b) La deflexión a largo plazo : la deflexión inicial debido a las cargas sostenidas es igual a: 10,50 Kg / cm  0,30 *15,75 Kg / cm

*16,12cm  9,35 cm. 26,25 Kg / cm Este valor se multiplica por el valor λ y se suma a la deflexión obtenida en la parte (a):

  

2.0 1  50 * 0

 2,00

La deflexión total a largo plazo = 16,12 + 2,00*9,35 = 34,82 cm. Relación de deflexiones = 34,82 / 3,086 = 11,28 veces.

DISEÑO DEVIGAS POR TORSIÓN Los elementos de concreto armado están sometidos comúnmente a momentos flectores, a fuerzas cortantes transversales asociados con estos momentos flectores y, en el caso de columnas a fuerzas axiales combinadas a menudo con flexión y cortante. Además pueden actuar fuerzas de torsión que tienden a retorcer el elemento con respecto a su eje longitudinal. Estas fuerzas de torsión rara vez actúan solas y casi siempre están acompañadas por momentos flectores, por cortantes transversales y algunas veces por fuerzas axiales. Desde 1.960 se ha dado una revolución importante en las actividades de investigación relacionadas con la torsión en el concreto armado. Por primera vez se incorporaron procedimientos prácticos de diseño en el Código ACI de 1.971, se hicieron revisiones menores en las siguientes tres ediciones, y se hizo una revisión sustancial en 1.995. Los procedimientos actuales de diseño fueron propuestos inicialmente en Suiza y ahora forman parte de los códigos modelos en Europa y Canadá. En muchas estructuras sí se presenta una torsión apreciable, como las vigas principales de los puentes que son torcidas por las vigas transversales y por las losas; se presenta en los edificios donde el borde de una losas de piso y sus vigas están soportadas por una viga de fachada, a su vez soportada por las columnas exteriores, como se ilustra en la siguiente figura, donde las vigas de piso tienden a torser  lateralmente la viga de fachada. Los temblores pueden producir fuerzas de torsión peligrosas en todos los edificios, lo que es en particular verdadero en estructuras asimétricas en las cuales los centros de masa y de rigidez, no coinciden; otros casos en que la torsión puede ser particularmente importante es en las vigas de escaleras curvas o en espiral, en vigas de balcones y en donde se aplican excéntricamente grandes cargas a las vigas. Como se aprecia en la otra figura es la aplicación excéntrica con esfuerzos resultantes de torsión muy grandes. Debe ser claro que si el miembro de soporte tiene capacidad de girar, los esfuerzos resultantes de torsión seran muy pequños, si el miembro está restringido, los esfuerzos de torsión serán muy grandes.

Se debe tener en cuenta que las fuerzas cortantes y de torsión máxima pueden presentarse en las zonas en que los momentos flexionantes son pequeños; en tales casos, puede ser particularmente importante la participación del cortante con la torsión en lo que respecta al diseño.

56

57

Refuerzo por torsión .- Las vigas de concreto reforzado sometidos a grandes fuerzas torsionales  pueden fallar repentinamente si no se les proporciona refuerzo por torsión; la adición de refuerzo torsional no cambia la magnitud de la torsión que generará grietas de tensión diagonal pero impide que los miembros se rompan a pedazos. Con el refuerzo, serán capaces de resistir momentos de torsión considerables sin fallar. Las pruebas han demostrado que tanto la varillas longitudinales como los estribos cerrados (o espirales) son necesarios para interceptar las numerosas grietas de tensión diagonal que ocurren sobre todas las superficies de las vigas sometidas a fuerzas torsionales apreciables. Cuando se utiliza vigas de alma anchas y se emplean estribos de ramas múltiples, en estos casos, las ramas exteriores de los estribos se deben diseñar por cortante y torsión, mientras que las ramas interiores se diseñan sólo por cortante vertical.

Momentos torsionales que se han de considerar en el diseño de vigas .- Al considerar los efectos de torsión en las estructuras de concreto reforzado, es importante diferenciar entre torsión primaria y torsión secundaria. La torsión primaria , algunas veces llamada torsión de equilibrio o torsión estáticamente determinada , se presenta cuando la carga externa no tiene otra alternativa que ser  resistida por torsión. En estos casos, la torsión necesaria para mantener el equilibrio estático puede determinarse en forma única y su magnitud no puede reducirse por medio de una redistribución de fuerzas internas o por la rotación del miembro. Un ejemplo de esto es una losa en voladizo, las cargas que se aplican en la superficie de la losa producen unos momentos de torsión que actúan a lo largo de la longitud de la viga de soporte; estos se equilibran mediante el momento torsor resistente que se genera en las columnas, sin la consideración de estos momentos la estructura se colapsaría. Como se aprecia en la la siguiente figura de torsión primaria o de equilibrio. 57

58

Torsión de compatibilidad .- El momento de torsión en una región dada de una estructura estáticamente indeterminada puede reducirse considerablemente si esa parte de la estructura se agrieta  bajo la torsión y “cede” o gira. El resultado será una redistribución de fuerzas en la estructura, este tipo de torsión se ilustra en la siguiente figura.

Esfuerzos de torsión.- Los esfuerzos de torsión se suman a los esfuerzos cortantes en un lado de un miembro y se restan en el otro, esta situación en una viga hueca se ilustra en la siguiente figura. Los esfuerzos de torsión son bastantes pequeños cerca del centro de una viga sólida, en estas vigas, los esfuerzos cortantes debido a la torsión Tu están concentrados en un “tubo” exterior del miembro, como

se aprecia en la figura (a) de las vigas sólidas, mientras que los esfuerzos cortantes debido a Vu están repartidos a través del ancho de la sección sólida, como es indica en la parte (b).

58

59

Después del agrietamiento, se supone que la resistencia por torsión del concreto es despreciable; las grietas por torsión tienden a describir espirales alrededor de las vigas (huecas o sólidas) localizados aproximadamente a 45º respecto a los bordes longitudinales de las vigas, se supone que la torsión es resistida por una armadura espacial imaginaria situada en el “tubo” exterior de

concreto de la viga; una armadura así se indica en la siguiente figura, donde las varillas longitudinales en las esquinas de la viga y los estribos transversales cerrados actúan como miembros a tensión en la “armadura”, mientras que

el concreto diagonal entre los estribos actúa como  puntal a compresión; el concreto agrietado es aún capaz de tomar esfuerzos de compresión. 59

60

MAGNITUD DEL MOMENTO TORSIONANTE EXTERNO.- La determinación de la solicitación se hace a través del análisis estructural. La práctica corriente de subdividir la estructura espacial en pórticos planos ortogonales elimina la posibilidad de involucrar torsiones dentro del análisis. Muy rara vez se calcula y se usa la propiedad mecánica de la barra denominada rigidez a la torsión. El no considerar a la torsión en el proceso de análisis ha hecho que el ingeniero estructural  pierda habilidad en su manejo y que se haya, acostumbrado a prescindir de la torsión sistemáticamente. Sin embargo, existen situaciones de carga y comportamiento estructurales en las cuales la solicitación a la torsión es dominante. Cuando la estructura es isostática la valoración del momento torsor es simple; en cambio, para organizaciones estructurales hiperestáticas su valoración puede ser más compleja. A continuación se presenta algunos casos sencillos para los cuales el diagrama del momento torsor resultante de la carga planteada. Del análisis de los diagramas que aparecen en la siguiente figura se establece una analogía con los diagramas de fuerza cortante que se generan al tratar cargas uniformemente distribuidas o concentradas en lugar de momentos torsores distribuidos o concentrados en un punto. Esta similitud puede ser una ayuda interesante cuando se trate de diagramar la variación del momento torsor producido en una viga. 60

61

AL GUNOS DIAG RA MA S DE TORSIÓN 

Cuando se requiere refuerzo torsional según el ACI.- El diseño de vigas de concreto reforzado por  torsión se basa en la analogía de una armadura tubular espacial de pared delgada, en la que el interior o núcleo resistente del concreto de las vigas o cualquier otro elemento a torsión se desprecia, después que la torsión ha ocasionado el agrietamiento de la viga, su resistencia a la torsión es proporcionada casi por completo por los estribos cerrados y el refuerzo longitudinal localizado cerca de la superficie del elemento. Una vez que ocurre el agrietamiento, se supone que el concreto tiene una resistencia despreciable a la torsión. ((Este no es el caso en el diseño por cortante, donde se supone que el concreto toma la misma cantidad de cortante que antes de agrietarse). Si los esfuerzos de torsión son menores que aproximadamente la cuarta parte del par de agrietamiento Tcr de un miembro, ellos no reducirán apreciablemente sus resistencias por cortante o flexión. Se supone que el agrietamiento por  torsión ocurre cuando el esfuerzo principal de tensión alcanza el valor 4   f  'c El ACI, en art. 11.6.1, establece que los efectos de la torsión pueden despreciarse en miembros no presforzados, si:   A2 cp   1   T  T u  0.11    f  'c    P   4 cr    cp  

Donde Acp es el área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal del concreto y Pcp es el perímetro exterior de esa sección transversal. Se supone que el agrietamiento torsional ocurrirá cuando el esfuerzo principal de tensión alcance la resistencia por tensión del concreto en compresióntensión biaxial. En otras palabras, el par aplicado puede ser limitado a un momento calculado de agrietamiento del miembro. (Si el par calculado para un miembro es mayor que el valor anterior, este 61

62 valor anterior puede utilizarse en el diseño), si los momentos torsionantes se reducen como se indicó anteriormente, será necesario redistribuir esos momentos a los miembros adyacentes. Los comentarios del ACI (R11.6.2.1 y R11.6.2.2) dicen que cuando el arreglo de las estructuras impone rotaciones por  torsión considerables dentro de una longitud corta de un miembro (como cuando un par grande está situado cerca de una columna rígida), deberá usarse un análisis más exacto (esto es considerar este esfecto cuando se calcule los pórticos de la estructura). Para miembros aislados con o sin patines, A cp es igual al área de las secciones transversales enteras (incluida el área de cualquier abertura en los miembros huecos) y Pcp representa los perímetros de las secciones transversales enteras. Si una viga es colada monolíticamente con una losa, puede suponerse que los valores de A cp y P cp incluyen parte de las losas adyacentes de las secciones T o L resultantes. Los anchos de las losas que pueden incluirse como partes de las vigas son descritos por el ACI art. 13.2.4, e indicados en la siguiente figura. Esos anchos o extensiones no deben exceder ni las proyecciones de las vigas arriba o debajo de la losa ni cuatro veces el espesor de la losa, rigiendo el menor.

Cuando se tiene una torsión considerable, puede resultar más económico seleccionar una viga mayor, de manera que no tenga que usarse un refuerzo de torsión. Una viga así puede resultar más económica que una menor con los estribos cerrados y el acero longitudinal adicional requerido en el diseño por  torsión. En otras ocasiones, tal procedimiento puede no ser económico y algunas veces las consideraciones arquitectónicas pueden dictar el uso de secciones menores.

Resistencia por momento torsionante.- Las dimensiones de los miembros sometidos a cortante y torsión son limitados por el código ACI, con el abjetivo de reducir el agrietamiento y de prevenir el aplastamiento de la superficie del concreto causado por los esfuerzos inclinados de compresión; esto se logra con las ecuaciones que siguen, en las que las partes de la izquierda representan los esfuerzos cortantes debidos a la fuerza cortante y a la torsión. La suma de estos dos esfuerzos en un miembro no debe exceder el esfuerzo que ocasione el agrietamiento cortante 4   f  'c , en estas expresiones Vc = 2   f  'c  bw d (Ec. ACI art. 11-3).

62

63 Para secciones sólidas: 2

  V u     T u * P h     V c             2 . 12  f   ' c  2  b * d  b * d    w    1.7 A oh     w  

(Ecu. ACI 11-18)

Para secciones huecas:   V u     T u * P h     V c             2 . 12   f   ' c  2  b * d  b * d  1 . 7  A oh       w     w  

(Ecu. ACI 11-19)

Si el espesor de la pared de una sección hueca es menor que A oh/Ph, el segundo término en la ecuación 11-19 del ACI no debe tomarse como

T u * P h 1.7 A

2

sino como

oh

T u 1.7 Aoh * t 

, en que t es el espesor de la pared

donde se está revisando los esfuerzos (en el ACI corresponde al art. 11.6.3.3). Otro requisito que se da en la sección 11.6.4.4 del ACI para secciones huecas, es que la distancia de la línea central del refuerzo transversal por torsión a la cara interior de la pared no debe ser menor que 0.5 A oh/Ph. En esta expresión, P h es el perímetro de la línea central del refuerzo torsionante cerrado más externo, mientras que Aoh es el àrea de la sección transversal del miembro encerrado por esta línea central. La letras oh (siglas inglesas) significan aro exterior (de estribos).

Diseño del Refuerzo por torsión.- La resistencia a la torsión de las vigas de concreto reforzado  puede incrementarse considerablemente añadiendo un refuerzo de torsión que consiste en estribos cerrados y varillas longitudinales. Si el momento torsionante factorizado para una viga es mayor que el   A2 cp   1   T cr  ), el código proporciona una valor dado en la sección 11.6.1 del ACI ( T u  0.11    f  'c      P cp   4

expresión para calcular el área absoluta mínima de los estribos cerrados transversales que deben usarse.

 Av  2 At   

3.5bw * s

(Ecu. ACI 11-23)

 f   yv

En esta expresión Av es el área de refuerzo requerido por cortante en una distancia s (que representa la distancia entre los estribos), es necesario aclarar que en el diseño por cortante, el área A v que se obtiene es para ambos ramales de un estribo cerrado (o para todas las ramas de un estribo de tres o cuatro ramas). El valor A t, que representa el área de los estribos necesarios por torsión, es para sólo un ramal del estribo; por lo tanto, A v + 2 At es el área total de ambos ramales del estribo necesario por  cortante más por torsión. Se considera conveniente usar iguales volúmen de acero en los estribos y en las varillas longitudinales adicionales, de manera que ambos participen por igual en la resistencia a los momentos de torsión. El ACI, indica que el área de los estribos At usados para resistir la torsión se calcule con la ecuación siguiente: T n 

2 Ao * At  *  f  yv  s

cot  

(Ecu. ACI 11-21)

Esta ecuación se escribe usualmente en la forma:

63

64  At   s



T n 2 Ao *  f   yv * cot  

El refuerzo transversal se basa en la resistencia T n por momento de torsión, que es igual a T u/Ø. El término Ao representa el área total encerrada por la trayectoria del flujo cortante alrededor del  perímetro del tubo. Esta área se define en términos de A oh, que es el área encerrada por los estribos cerrados más externos. La siguiente figura ilustra esta definición de A oh para varias secciones transversales de vigas.

El valor de Ao*θ puede determinarse por análisis o tormarse igual a 0.85A oh. El término θ representa el ángulo de las “diagonales a compresión” de concreto en la armadura espacial análoga. No debe ser 

menor de 30º o mayor de 60º y puede tomarse igual a 45º, de acuerdo con la sección 11.6.3.6 del ACI. En esta sección el valor de θ puede ser de 4 5º para los miembros no presforzados y esa recomendación la observamos aquí. En esta misma sección del ACI se sugieren valores de θ para el concreto

 presforzado. Según los comentarios del ACI (R11.6.3.8), las áreas requeridas de estribos por cortante y torsión se suman como sigue para un estribo de dor ramales: Total

 Avt   s



 Av  s



2 At   s

La separación del refuerzo transversal de torsión no debe ser mayor que P h/8 o 30cm, donde P h es el  perímetro de la línea central del refuerzo transversal cerrado más externo (Art 11.6.6.1 del ACI); hay que recordar que las separaciones máximas entre los estribos por cortante es d/2 y d/4 dado en art. 11.5.4.1 y 11.5.4.3 del ACI). Se ha encontrado que los especímenes de concreto reforzado con menos de aproximadamente 1% de refuerzo por torsión por volumen cargado en torsión pura, fallan tan pronto como ocurre el agrietmiento por torsión. El porcentaje es menor para los miembros sometidos a torsión y a cortante. La ecuación que sigue, que proporciona un área total mínima de refuerzo longitudinal por torsión, se  basa en usar aproximadamente 0.5% de refuerzo de torsión por volumen. En esta expresión, A cp es el área encerrada por la sección transversal exterior de concreto. El valor  At/s no debe tomarse menor que 1.75bw/f yv, de acuerdo con la sección 11.6.5.3 del ACI.  Al min 

1.3   f  ' c Acp   f   yt 

  A     f   yv   t   P h    s     f   yl 

(Ecu. ACI 11-24)

La sección 11.6.4.3 del ACI establece que el refuerzo longitudinal por torsión debe anclarse o desarrollarse en ambos extremos. La torsión máxima actúa generalmente en los extremos de las vigas y en consecuencia, las varillas longitudinales de torsión deben anclarse a su resistencia de fluencia en la cara de los soportes. Para hacer esto, puede ser necesario tener que usar ganchos o varillas horizontales en forma de U con 64

65 empalmes traslapados con el refuerzo longitudinal de torsión. Una práctica bastante común consiste en extender el refuerzo del fondo de las vigas de fachada sometidas a torsión, 15 cm hacia dentro de las columnas. Usualmente esto no es suficiente, para lo cual recomiendo como mínimo del doble (30 cm).

Requsitos adicionales del ACI.- Antes de resolver algunos ejemplos, es necesario mencionar otros requisitos del ACI: a) Las secciones localizadas a una distancia menor que d de la cara de la columna, pueden diseñarse  por el par de torsión a la distancia d. Sin embargo, si existe un par concentrado dentro de esta distancia, la sección crítica de diseño estará en la cara del soporte (art. 11.6.24 del ACI).  b) La resistencia de diseño por fluencia del refuerzo de torsión para miembros no presforzados no debe ser mayor que f y = 4.200 Kg/cm 2. El propósito de este valor máximo es limitar el ancho de las grietas diagonales (art. 11.6.3.4 del ACI). c) La tensión longitudinal creada por los momentos de torsión es parcialmente compensada en las zonas de compresión por la flexión de los miembros. En esas zonas, el área calculada de refuerzo longitudinal por torsión puede reducirse en una cantidad igual a

 M u 0.9d  *  f   yl 

, de acuerdo con la

sección 11.6.3.9 del ACI. En esta expresión, M u es el momento factorizado que actúa en la sección en combinación con Tu. Sin embargo, el refuerzo proporcionado no debe ser menor que los valores mínimos requeridos en las secciones 11.6.5.5.3 y 11.6.6.2 del ACI. d) El refuerzo longitudinal debe distribuirse alrededor del perímetro interior de los estribos y debe espaciarse a no más de 30 cm. Debe colocarse por lo menos una varilla en cada esquina de los estribos para proporcionar anclaje para los ramales del estribo. Esas varillas debe ser de 8 mm o mayores y deben tener diámetros no menores que 1/24 veces la separación entre los estribos (art. 11.6.6.2 del ACI). e) El refuerzo de torsión debe proporcionarse para una distancia no menor que b t + d más allá del  punto en que teóricamente ya no se requiere. El término b t representa el ancho de aquella parte de la sección transversal del miembro que contiene los estribos cerrados de torsión (atr. 11.6.6.6 del ACI). EJERCICIO:  La viga con 8,50 m que se muestra en la figura sostiene una losa maciza con un voladizo de 1,80 m desde el centro de la viga como aparece en la sección. La viga en forma de L resultante sostiene una carga viva de 1,34 t/m a lo largo de la línea central de la viga más 250 Kg/m 2 distribuida uniformemente sobre la superficie superior de la losa. La altura efectiva hasta el centroide del acero a flexión es de 54,61 cm y la distancia desde la superficie de la viga hasta el centroide del acero de los estribos 4,45 cm. Las resistencia de los materiales son: f „c=350 Kg/cm2 y f y= 4.200 Kg/cm2. Diseñar el refuerzo a torsión y a cortante de la viga.

65

66 SOLUCIÓN: Si se aplican los coeficientes de carga del ACI a las cargas de la losa, se obtiene: γc= 2400 Kg/m 3 y h = 0,15 m El peso propio de la losa: 2400 Kg/m 3 * 0,15 m = 360 Kg/m 2. Carga muerta: WD = 360 Kg/m2 * (1,80 - 0,15) m = 594 Kg/ m. Carga viva: W L = 250 Kg/ m 2 * (1,80 – 0,15) m = 412,5 Kg/m. Mayorización de cargas: U= 1,2 D + 1,6 L Wu = 1,2 WD + 1,6 WL = 1,2 * 594 + 1,6 * 412,5 = 1.372,8 Kg/m.= 1,37 t/ m (a (1,80 + 0,15)/2 = 0,975m de excentricidad). La viga soportará directamente: Carga muerta: WD = 0,30 * 0,60 * 2400 = 432 Kg/ m. Carga viva: W L = 1.340 + 250 * 0,30 = 1.415 Kg/m. Carga factorizada: W u = 1.2 WD * 1.6WL = 1.2 * 432 + 1.6 *1.415 = 2.782,4 Kg/m = 2,78 t/m. La carga uniformemente distribuida sobre la viga = 1,37 + 2,78 = 4,15 t/m. y actúa simultáneamente con un momento torsor distribuido uniformemente de 1,37 * 0,975 = 1,336 t-m/m En la cara de la columna la fuerza cortante de diseño es: Vu = 4.15 * 8,50/2 = 17,85 t. En el mismo sitio, el momento de torsión es: Tu = 1,336 * 8,50/2 = 5,68 t-m. Resistencia cortante del concreto:  V c   * 0.53   f  'c *bw * d  Resistencia cortante del concreto: ØVc= 0,75 * 0,53 350 * 30 * 54,61/ 1000  9,52 t. Los valores de V u y Tu en la sección crítica de diseño, a una distancia d de la cara de la columna son: Vu = 4,15 * (8,50/2 – 0,5461) = 15,56 t. Tu = 1,336 * (8,50/2 – 0,5461) = 4,95 t-m. Los valores de V u y Tu en la sección a una distancia ≈ 2d = 1,20 m de la cara de la columna son: Vu = 4,15 * (8,50/2 – 1,20) = 12,66 t. Tu = 1,336 * (8,50/2 – 1,20) = 4,075 t-m. Acp = 30 * 60 + 15 * 45 = 2.475 cm 2. Pcp = 60 + 75 + 2 * 45 + 30 = 270 cm. (perímetro figura rayada) De acuerdo con el art. 11.6.2.2 código ACI-318-02, la torsión puede despreciarse si:   A2 cp   ( Kg / cm2 ) , representa el valor del momento torsionante que resiste la viga de T u   * 0,27   f  'c    P     cp  

hormigón.  2475 2   1  * 5  0,859t  m T u  0,75* 0,27 350 *  270     10

Tu = 4,95 t-m > 0,859 t-m, se debe considerar la torsión. Antes de diseñar el refuerzo a torsión, se debe verificar que la sección cumpla con la ecuación para secciones macizas o sólidas) 2

2

  V u     T u * P h     V c            2 . 12   f   '   c  b * d   1.7 A 2  b * d    u       w   0 h  

66

67 Aunque para verificar si la torsión podía despreciarse, Acp, se calculó considerando las aletas (tal como lo exige la sección 11.6.1 del Código ACI); los cálculos siguientes para funcionalidad y resistencia desprecian las aletas y no se proporciona ningún refuerzo a torsión en las mismas. Como referencia bw *d = 30 * 54,61 = 1638 cm 2. Considerando un recubrimiento de 4,45 cm hasta el centro de las varillas de los estribos en todas las caras: Xo = 30 – 2* 4,45 = 21,1 cm. Yo = 60 – 2 * 4,45 = 51,1 cm. Así: Aoh = Xo * Yo = 21,1 * 51,1 = 1078 cm2. Ao = 0,85 A oh = 0,85 * 1078 = 916,5 cm 2. Ph = 2(Xo + Yo) = 2(21,1 + 51,1) = 144,4 cm.

De la ecuación anterior:

67

68 2

2

  15600    4,95 *105 *144,4    37,40 Kg / cm2     2  30 * 54,61    1.7 *1078,21    9,52 *103    0,75 *   2.12 350   34,10 Kg / cm2  30 * 54,61  

37,40 Kg/cm2 ≤ 34,10 Kg/cm 2. Es correcto. La sección tiene un tamaño adecuado para la resistencia dada del concreto. Los valores de A t y Av, se calculan en la cara de la columna (únicamente como referencia). ACI-11.6.3.6. Utilizando la siguiente ecuación y con estribos verticales, el valor θ = 45º es para hormigón no

 presforzado (art 11.6.3.6 ACI-95) El refuerzo transversal por torsión se diseña usando:  At  

T u * s 2 * Ao *  f   yv * cot  



(4,95  0,859) *105 * s 2 * 0,85* 916,48* 4200 * cot 45º

 0,0625 s

Para un ramal del estribo vertical cerrado o 0,12504 s para dos ramales. A partir de la siguiente ecuación, el refuerzo en el alma para el cortante transversal, de nuevo calculado en la cara de la columna es:  Av 

(V u   V c ) s

    f   yv * d 



(19,30  9,52) *103 s 0,75* 4200 * 54,61

 0,0569 s

Esta área debe proporcionarse con dos ramales verticales. El valor calculado de A t disminuye linealmente hasta cero en el centro de la luz y el valor calculado de Av disminuye linealmente hasta cero a 1,20 m desde la cara del apoyo, el punto en el cual V u = ØV c. Así el área total que debe suministrarse mediante dos ramales verticales es: Para: 0 ≤ x ≤ 1.20 m. 2 At    Av  0,12504 s (1 

 x 4,25

)  0,0569 s (1 

x 1,20

)

Donde x es la distancia a partir de la cara del apoyo. Para: 1,20 ≤ x ≤ 4,25 m. 2 At    Av  0,12504 s (1 

x 4,25

)

Los estribos cerrados de Ø12 mm, dan un área total en los dos ramales de 2* 1,27 = 2,54 cm 2. Para 2At + Av = 2,54 cm2 el espaciamiento requerido a la distancia d y a intervalos de 0,60 m a lo largo de la luz  puede determinarse utilizando las relaciones dadas entre área de estribos y área de espaciamiento.

sd= 54,61

sx=0,60

18,15 cm

18,70cm 28,31cm 35,24cm 46,69cm 69,06cm

2 At    Av  0,12504 s(1  0,12504 s(1 

0,5461 4,25

 x 4,25

)  0,0569 s (1 

)  0,0569 s(1 

0,108973 s + 0,031 s = 2,54

sx=1,20 x 1,20

sx=1,80

sx=2,40

sx=3,00

)  2,54 ; Para x = 0,5461 m que es el

peralte efectivo:

0,5461

)  2,54 1,20 s = 18,15 cm ≈ 18 cm

68

69 Los valores de “s” indicados en la tabla, se deben verificarse las disposiciones del ACI para el

espaciamiento máximo. Para refuerzo a torsión, el máximo espaciamiento es el menor de: Ph/8 = 144,4/ 8 = 18,05 cm ó 30 cm, mientras que en las disposiciones para cortante, el máximo espaciamiento es d/2 = 54,61/ 2 = 27,31 ≤ 60 cm.

La primera de las disposiciones es la más restrictiva y en la figura se dibuja el máximo espaciamiento de 18,05 cm. ≈ 18 cm.

Estos requisitos se cumplen de manera práctica utilizando estribos cerrados de 12 mm, el primero localizado a 5 cm desde la cara de la columna con un espaciamiento de 18 cm a lo largo de toda la viga, este estribo servirá como refuerzo para la losa de volado. De acuerdo con el ACI, los estribos pueden interrumpirse en el punto para el cual V u < ØVc/2 (1,53 m desde el centro de la luz) o a una distancia (b t + d) = 0,66 m más allá del punto en el cual:   A 2 cp    T u   * 0,27  f  'c    P cp     

Este último punto está más allá del centro del elemento; por lo tanto se requieren estribos mínimos a lo largo de toda la luz. El acero mínimo de 2,54 cm 2 en el alma que suministra, satisface el mínimo establecido por el ACI de:

2 At    Av   2

3,5bw * s  f   yv

Avmin= 3,5 *30 * 18/ 4200 = 0,45 cm . Av = 2,54 cm2 ≥ Avmin = 0,45 cm2. Conforme. Para la losa de volado el momento flexionante/ m: 1,37 t/ m x 1,65 m x 0,975 m = 2,204 t-m/m El acero de refuerzo será:  A s 

 M u

    f   y (0.9d )



2,204 x105 0.9 x4200(0.9 x10)

 6.48cm2

Utilizando Ø 12 mm: As = 1.27 cm 2: el número de varillas /m= 6.48/1.27 = 5.1 + 1 = 6 varillas La separación: 100cm/ 6 = 16.67 cm. ≈ 15 cm. La separación de los estribos finalmente será cada 15

cm., para cubrir la demanda por torsión y del volado. Se calcula el acero longitudinal exigido para efectos de torsión a una distancia d desde la cara de la columna. En este sitio:  At 



 s

0.12504   x     0,5461  * 1    0,0625 * 1    0,05447 2 4,25     4,25   

A partir de la ecuación:  Al  

 At   s

   fyv  2  4200  2 2  cot    0,05447 *144,4 *   * cot 45º  7,87cm .  4200     fyl  

 P h 

Con un total no menor que: (ACI  – 11.6.5)  Al min 

1,33*   f  'c * Acp   f   y l 

  f   y v   At    P  *   h   f   y l     s  

69

70

 Al min 

1,33 * 350 * 2475 4200

 0,05447 *144,4 *

4200 4200

 6,80cm2

At/s no debe tomarse menor que:  At   s  At   s



1,76bw



 fyv 1,76 * 30 4200

 0,0126 , en nuestro caso es: 0,05447

De acuerdo con el ACI, el espaciamiento no debe ser mayor que 30 cm y las varillas no deben ser  menores que 10 mm de diámetro y no deben tener un diámetro menor que: s/ 24 = 14 / 24 = 0,583 cm. El refuerzo se ubicará en la parte superior, en el centro y en la parte inferior del elemento, colocando en cada nivel un área mínima de: A l /3 = 7,87 / 3 = 2,62 cm 2. En el centro de la altura se utilizará 2 Ø 14 mm = 3,08 cm 2, mientras que en las partes superior e inferior del elemento se aumentará el refuerzo a flexión en 2,62 cm 2 (2 Ø 14 mm). Aunque el área requerida A l disminuye en proporción directa a A t y por tanto disminuye linealmente desde una distancia d desde la cara de la columna hasta el centro de la luz, las varillas se prolongarán en forma continua a lo largo de la viga para facilitar la construcción. Aunque el ACI- 11.6.3 establece que el valor de A l  puede disminuirse en las zonas de compresión por  flexión en una cantidad igual a M u/ (0,9d f yl), aquí no se realiza esta reducción. Se proporcionará el empotramiento adecuado más allá de la cara de la columna con el fin de desarrollar en las varillas el valor completo de f y en ese sitio.

OTRO EJERCICIO: Diseñar la armadura para absorber corte y torsión en la sección crítica de la viga que se señala en la gráfica que, además de las cargas longitudinales que se indica, tiene una viga en voladizo con las cargas adicionales. qu1 = 2.000 Kg/m (incluye el peso propio). qu2 = 1.500 Kg/m (incluye el peso propio). Pu = 10.000 Kg. Las características de los materiales: f „c = 280 Kg/cm2; f y = 4.200 Kg/cm 2. 70

71 La viga previamente diseñada a la flexión tiene una sección de 40 x 80 cm, y d = 75 cm.

SOLUCIÓN: a) El análisis estructural determina para el punto D las siguientes solicitaciones puntuales: PD = 10.000 + 1.500 x 2 = 13.000 Kg. TD = 10.000 x 2 + 1.500 x 2 2/2 = 23.000 Kg-m. VB =

13.000 x5 8 13.000 x3



2 2.000 x8

 16.125 Kg .

 12.875 Kg . 2 Vcrit.= VB = 16.125 – 2000 x 0.75 = 14.625 Kg.

VA =

8



2.000 x8

Vu = 14.625/ 0,85 = 17.200 Kg. VBp = 16.125 – 2000 x 3 = 10.125 Kg, antes de P. VBp = 16.125 – 2000 x 3 – 13.000 = -2.855 Kg, despues de P. TB = TA =

23000 x5 8 23000 x3 8

 14.375,00 Kg   m = 14,375 t-m.  8.625,00 Kg   m = 8,625 t-m.

Comprobación:

23,000 t-m El valor de Vu en la sección a una distancia ≈ 2 d = 1,50 m de la cara de la columna es: Vu = (16.125 – 2000 x 1.50)/ 0.85 = 15.441,18 Kg. Resistencia cortante del concreto: ØVc= 0,75 * 0,53 280 * 40 * 75 / 1000  11,52 t.  b) La capacidad de momento torsor que tiene el hormigón sólo se valora con: Acp = 40 * 80 + 15 * 60 = 4.100 cm 2. Pcp = 80 + 100 + 60 + 15 + 40 = 345 cm.

71

72

De acuerdo con el Código ACI-318-02, la torsión  puede despreciarse si:

  A2 cp   ( Kg / cm2 ) T u   * 0,27   f  'c    P     cp    4100 2   1  * 5  1,6510t   m T u  0,75* 0,27 280 *  345     10

Tu = 14,375 t-m. > 1,6510 t-m, se debe considerar la torsión. Antes de diseñar el refuerzo a torsión, se debe verificar que la sección cumpla con la ecuación para secciones macizas o sólidas) 2

2

  V u     T u * P h     V c          2 . 12   f   '     c  2     bu * d    1.7 A0h    bw * d   

Aunque para verificar si la torsión podía despreciarse, A cp, se calculó considerando las aletas (tal como lo exige la sección 11.6.1 del Código ACI); los cálculos siguientes para funcionalidad y resistencia desprecian las aletas y no se proporciona ningún refuerzo a torsión en las mismas. Como referencia bw *d = 40 * 75 = 3.000 cm 2. Considerando un recubrimiento de 5,00 cm hasta el centro de las varillas de los estribos en todas las caras: Xo = 40 – 2* 5,00 = 30,0 cm. Yo = 80 – 2 * 5,00 = 70,0 cm. Así: Aoh = Xo * Yo = 30,0 * 70,0 = 1.200 cm 2. Ao = 0,85 Aoh = 0,85 * 1.200 = 1.020,0 cm 2. 72

73 Ph = 2(Xo + Yo) = 2(30,0 + 70,0) = 200,0 cm.

De la ecuación anterior: 2

2

5   17200    14,375 *10 * 200    162,65 Kg / cm 2     2  40 * 75    1.7 *1020  

 11,52 *103    0,75 *   2.12 280   29,486 Kg / cm2   40 * 75  

162,65 Kg/cm2 ≤ 29,486 Kg/cm 2. Es correcto. La sección tiene un tamaño adecuado para la resistencia dada del concreto. Los valores de A t y Av, se calculan en la cara de la columna (únicamente como referencia). ACI-11.6.3.6. Utilizando la siguiente ecuación y los estribos verticales. El refuerzo transversal por torsión se diseña usando:  At  

T u * s 2 * Ao *  f   yv * cot  



(14,375 1,651) *105 * s 2 * 0,85*1.020* 4200

 0,175 s

Para un ramal del estribo vertical cerrado o 0,350 s para dos ramales. A partir de la siguiente ecuación, el refuerzo en el alma para el cortante transversal, de nuevo calculado en la cara de la columna es:  Av 

(V u   V c ) s   f   yv * d   



(17,20 11,52) *103 s 0,75* 4200 * 75

 0,0240 s

Esta área debe proporcionarse con dos ramales verticales. El valor calculado de A t es constante a uno y otro lado de la carga excentrica aplicada a la viga y el valor calculado de A v disminuye linealmente hasta a 3,00 m desde la cara del apoyo izquierdo y a 5,00 m desde la cara del apoyo derecho, el punto en el cual V u = ØVc. Distancia a la que no se requiere estribos por cortante: ØV c = 11,52 t. V = 16.125  – 2000 * X = 11.520; X = 2,3025 m ≈ 2,30 m Así el área total que debe suministrarse mediante dos ramales verticales es: Para: 0 ≤ x ≤ 2.30 m. a partir del apoyo izquierdo que es el más crítico.

73

74 2 At    Av  0,350. s(1 

 x 3,00

)  0,0240. s(1 

x 2,30

)

Donde x es la distancia a partir de la cara del apoyo. Para: 2,30 ≤ x ≤ 3,00 m. 2 At    Av  0,350 s(1 

x 3,00

)

Los estribos cerrados de Ø12 mm, dan un área total en los dos ramales de 2* 1,27 = 2,54 cm 2. Para 2At + Av = 2,54 cm2 el espaciamiento requerido a la distancia d y a 1,50 m a lo largo de la luz  puede determinarse utilizando las relaciones dadas entre área de estribos y área de espaciamiento.

2 At    Av  0,350 s(1  0,350 s(1 

0,75 3,00

 x 3,00

sx=0,75

sx=1,50

9,00cm

13,86cm 28,86cm

)  0,0240 s(1 

)  0,0240s (1 

0,2625 s + 0,0162 s = 2,54

0,75 2,30

x 2,30

sx=2,25

)  2,54 ; Para x = 0,75 m

que es el peralte efectivo:

)  2,54

s = 9,11cm ≈ 9,00 cm

Para refuerzo por torsión, el máximo espaciamiento es el menor de: Ph/ 8 = 200 cm/ 8 = 25 cm o 30 cm, mientras que las disposiciones para cortante, el máximo espaciamiento es d/2 = 75/ 2 = 37.5 cm Estos requisitos se cumplen de manera práctica utilizando estribos cerrados de 12 mm, el primero localizado a 5 cm desde la cara de la columna, seguido de: Los estribos Ø 12 mm ira cada 9 cm hasta 2d = 1,50 m en el extremo izquierdo de la viga; el # estribos = 150cm/ 9 cm = 16,67 ≈ 17 + 1 = 18 estribos. El resto tendrá una separación cada 15 cm, esto es (antes de la carga puntual) 3.00m  – 1,50 = 1,50; el número de estribos será: 1.50/ 15 = 10 + 1 = 11. Los

estribos son verticales. El acero mínimo de 2,54 cm 2 en el alma que suministra, satisface el mínimo establecido por el ACI de:

2 At    Av  

3,5bw * s  f   yv

Avmin= 3,5 *40 * 8/ 4200 = 0,27 cm 2. Av = 2,54 cm2 ≥ Avmin = 0,27 cm2. Conforme. Se calcula el acero longitudinal exigido para efectos de torsión a una distancia d desde la cara de la columna. En este sitio:  At 



 s

0,350   x     0,75  * 1    0,175* 1    0,1311 2 3 , 00 3 , 00        

A partir de la ecuación:  Al  

 At   s

   f   yv   2 4200   cot    0,1311* 200,0 *    26,22cm2 .      f     4200     yl   

 P h 

Con un total no menor que: (ACI  – 11.6.5)

74

75

 Al min 

At/s no debe tomarse menor que:  s  At   s



1,76bw



1,76 * 40

  f   y l 

1,33 * 280 * 4100

 Al min 

 At 

1,33*   f  'c * Acp

4200

  fy   A     t   P h * v   fyl     s  

 0,1311* 200,0 *

4200 4200

 4,495cm2

 fyv 4200

Conforme.

 0,0168

De acuerdo con el ACI, el espaciamiento no debe ser mayor que 30 cm y las varillas no deben ser  menores que 10 mm de diámetro. El refuerzo se ubicará en la parte superior, en el centro y en la parte inferior del elemento, colocando en cada nivel un área mínima de 26,22 / 3 = 8,74 cm 2. En el centro de la altura se utilizará 2 Ø 25 mm = 4.9 x 2 = 9.8 cm 2, mientras que en las partes superior  e inferior del elemento se aumentará el refuerzo a flexión en 8,74 cm 2. Para el extremo derecho de la viga, el cálculo de los estribos será:  At  

T u * s 2 * Ao *  f   yv * cot  



(8,625  1,651) *105 * s 2 * 0,85*1.020* 4200

 0,0958 s

Para un ramal del estribo vertical cerrado o 0,1916 s para dos ramales. A partir de la siguiente ecuación, el refuerzo en el alma para el cortante transversal, de nuevo calculado en la cara de la columna es: Vcrit.= VA = 12.875 – 2000 x 0.75 = 11.375 Kg. Vu = 11.375/ 0,85 = 13.382,35 Kg.  Av 

(V u   V c ) s

    f   yv * d 



(13,382  11,52) *103 s 0,75* 4200 * 75

 0,0079 s

Esta área debe proporcionarse con dos ramales verticales. El valor calculado de A t es constante a uno y otro lado de la carga excentrica aplicada a la viga y el valor calculado de A v disminuye linealmente hasta a 5,00 m desde la cara del apoyo derecho, el punto en el cual Vu = ØVc. = 11,52 t. V = 12.875  – 2000 * X = 11.520; X = 0,678 m ≈ 0,68 m, le aproximamos hasta d = 0,75 m. Así el área total que debe suministrarse mediante dos ramales verticales es: Para: 0 ≤ x ≤ 0.75 m. a partir del apoyo derecho que es el menos crítico.

2 At    Av  0,1916. s(1 

 x 5,00

)  0,0079. s(1 

x

) 0,75

Donde x es la distancia a partir de la cara del apoyo. Para: 0,75 ≤ x ≤ 5,00 m. 2 At    Av  0,1916 s (1 

x 5,00

)

Los estribos cerrados de Ø12 mm, dan un área total en los dos ramales de 2* 1,27 = 2,54 cm 2. Para 2At + Av = 2,54 cm2 el espaciamiento requerido a la distancia d y a 1,50 m a lo largo de la luz  puede determinarse utilizando las relaciones dadas entre área de estribos y área de espaciamiento. 75

76 2 At    Av  0,1916 s(1  0,1916 s (1 

0,375 5,00

 x 5,00

)  0,0079 s(1 

)  0,0079 s (1 

0,177 s + 0,00395 s = 2,54

x 0,75

)  2,54 ; Para x = 0,75/2 m =

0,375m que es d/2.

0,375

)  2,54 0,75 s = 14,04cm ≈ 14,00 cm

A la distancia 2d = 0,75 * 2 = 1,50 m. 2 At    Av  0,1916 s(1  0,1916 s(1 

1,50 5,00

x 5,00

)  2,54

)  2,54

s = 18,94 cm ≈ 20,0 cm

Para refuerzo por torsión, el máximo espaciamiento es el menor de: Ph/ 8 = 200 cm/ 8 = 25 cm o 30 cm, mientras que las disposiciones para cortante, el máximo espaciamiento es d/2 = 75/ 2 = 37.5 cm Estos requisitos se cumplen de manera práctica utilizando estribos cerrados de 12 mm, el primero localizado a 5 cm desde la cara de la columna, seguido de: Los estribos Ø 12 mm ira cada 14 cm hasta 2d = 1,50 m en el extremo derecho de la viga; el # estribos = 150cm/ 14 cm = 10,71 ≈ 11 + 1 = 12 estribos. El resto tendrá una separación cada 20 cm, esto es (antes de la carga puntual) 5.0 m - 1.50 = 3.50 m; la cantidad de estribos será: 3.50/ 0,20 = 17.5 ≈ 18 +

1 = 19 estribos. El acero mínimo de 2,54 cm 2 en el alma que suministra, satisface el mínimo establecido por el ACI de:

2 At    Av  

3,5bw * s   fyv

Avmin= 3,5 *40 * 8/ 4200 = 0,27 cm 2. Av = 2,54 cm2 ≥ Avmin = 0,27 cm2. Conforme. COMPROBACIÓN # ESTRIBOS. Extr. Izq. Extr. Der. 5 17 x 9 = 153 10 x 15 = 150

5 11x 14 = 154 18x 20 = 360

Subtotal = 308 cm 519 cm Tota = 827 cm, sobrepasa la longitud de la viga, descontamos un estribo de 20 cm de espaciamiento.

76

77

CÁLCULO DE LAS VIGAS CURVAS DE MEDIA CIRCUNFERENCIA Y DE UN ANGULO MENOR Las vigas circulares de sección rectangular se utilizan con relativa frecuencia, en las estructuras de hormigón armado de los edificios urbanos, como balcones, tribunas, viseras, rotondas, esquinas. Igualmente las vigas en codo de sección rectangular tienen análogas aplicaciones. Para el cálculo de estas vigas curvas se supone que los puntos, de momentos flectores nulos o puntos de inflexión del diagrama representativo de los mismos, coinciden con los puntos de momento de flexión nulo en una, viga empotrada (AB = L, figuras 16 y 17), proyección del eje de la viga curva sobre la recta que une los apoyos A :y B.

Como tanto los diagramas de los momentos de flexión como los de torsión son simétricos, al ser la viga y las cargas simétricas, se ha representado a la derecha de las figuras 16 y 17, los diagramas de los momentos de torsión y a la izquierda los de flexión, Por simetría se pueden completar los diagramas y hacerles independientes, con los dos medios diagramas representados.

77

78

La armadura que corresponde para soportar el momento flector de una viga recta empotrada en sus dos extremos, cuya luz sea L, aumenta en un 25 por 100 para mayor seguridad, será la armadura de la viga curva para  sopor tar el momento flector. Los esfuerzos de torsión los absorberán los estribos, que deben ser continuos (espiral en forma de N), ya que la resistencia del hormigón a los efectos de torsión se aumenta muy poco por la presencia de las barras longitudinales, Estas "sirven únicamente como armadura soporte del zunchado, para lo cual la armadura necesaria soportar la flexión se distribuye lo más uniformemente posible en las caras superior e inferior de la viga. Estas barras serán como mínimo, de 12 mm., de diámetro. Los estribos dispuestos normales al eje de la viga, aumentan la resistencia a la torsión, pero con mucho menos eficacia que los zunchados continuos en forma de espiral a 45º, según ya se dejó indicado en el cálculo de vigas rectas, La armadura transversal o armadura espiral debe ligarse a las  barras longitudinales en todos los puntos de cruce, preferentemente con soldadura eléctrica. La figura 16 indica los diagramas y las fórmulas prácticas, que servirán para ca1cular las vigas curvas de media circunferencia. La figura 17, para las de un cuarto de circunferencia, que son las más usuales en la construcción de edificios urbanos. Hay que tener presente, como posteriormente se indicará, que los puntos de inflexión de una viga recta empotrada en sus dos extremos, de sección constante, distan del apoyo más próximo 0,25 L, para las cargas concentradas en el centro; 0.21 L, para las cargas uniformemente repartidas y

a ( L  a)  L

,  para

las cargas simétricas iguales y a la misma distancia de cada apoyo (siendo a la distancia al apoyo más  próximo). El signo más indica en los momentos de torsión, un momento con sentido de giro hacia abajo pasando entre la viga y los apoyos; el signo menos, el sentido contrario, o sea, de arriba hacia abajo pasando  por la región de afuera de la viga. En los momentos de flexión, los signos más o menos, indican que las fibras extendidas son las inferiores o las superiores de la viga, respectivamente. La armadura transversal o zunchada en forma de espiral con inclinación a 45º, ha de arrollarse en el mismo sentido que el de torsión y, por lo tanto, cambiará el sentido del arrollamiento en los puntos donde el momento de torsión sea nulo. Las secciones que se han de considerar son: en los momentos flectores, serán secciones verticales, normales a la recta que une los puntos A y B;  para la compresión axial, se tomarán las secciones rectas. En la figura 17, las líneas continuas se refieren; a una relación entre la altura de la viga h y su h

h

b

b

ancho b igual a 0,5 (  0,5) , y las líneas de puntos, dicha relación igual a 2; (  2) . En la viga semicircular (fig 16) las líneas continuas se refieren a una relación entre la altura de la viga y su ancho (h = 2 b). En las vigas semicirculares (fig. 16) empotradas en sus dos extremos, los momentos M y Mt son independientes de la relación

h b

Para la torsión, h't y v, son los coeficientes de

torsión y adherencia, CÁLCULO DE LA S VIGAS EN CODO  En las figuras 18 y 19 se representan los diagramas de los momentos flector y de torsión en vigas de sección rectangular, cuyo eje afecta, en plano horizontal, un codo simétrico en ángulo recto, para una carga 2 P concentrada en el centro (fig. 18) y una carga q uniformemente repartida (fig. 19). Al igual que en las figuras 16 y 17, las líneas de puntos se refieren, en la primera figura a que la relación entre la altura h y el ancho b, es igual a 2, y las líneas continúas a 0,5. En la Tabla XIII se han recopilado los resultados de los cálculos de Koenen y ampliados por Henler,

78

79 con auxilio de la cual, podemos resolver los casos que se nos presenten más frecuentemente sobre vigas curvas semicirculares y en cuarto de circulo así como las vigas en codo, en ángulo recto. Los ángulos y las distancias en la Tabla XIII se miden desde el eje central normal de la viga curva o codo.

79

80

80

81 DISEÑO DE UNA VIGA DE MA RCO (DISEÑO DE VIGA A NTISÍSMICA ) 

Características de los materiales: f „c = 210 Kg/cm 2; f y = 4.200 Kg/cm 2 para refuerzo longitudinal. f y = 2.800 Kg /cm2 para refuerzo transversal. ρmax = 0,50 ρ b = 0,011; ρmin = 14/fy = 0,0035. Wu = 5,81 t/ m.

81

82

82

83

SUPERPOSICION DE EFECTOS O ENSAMBLAJE: Superposición de efectos de momentos.-

 M  x   Rizq * X  

W * X 2 2

 M  x  22 * X  

 M izq

5,81* X 2 2

2

 15,00 

Mx = 22 * X  – 2,905 X -15 ecu # 1, para 0 ≤ X ≥ L (ecuación de momento por carga vertical).

m

 y 2   y1  x2  x1



35  (35) 80



70 8

 8,75

Mx=8,75 X – 35 ecu. # 2 cuando el sismo va de derecha a izquierda. Mx=-8,75 X + 35 ecu. # 3 cuando el sismo va de izquierda a derecha. 83

84 Superposición de ecu. # 1 + ecu. # 2 (CV + SISMO) Mx = 22 * X – 2,905 X2 -15 + 8,75 X – 35 2 Mx = 30,75 *X -2,905 X - 50 ecu. # 4 Superposición de ecu. # 1 + ecu. # 3 (CV + SISMO) Mx = 22 * X – 2,905 X2 -15 - 8,75 X + 35 2 Mx = 13,25 *X -2,905 X + 20 ecu. # 5 Tabulación de la ecuación # 4 X 30,75 *X -2,905 X - 50 ← 0 0,30 1 2 3 4 5 6 7 8

Mx -50,000 -41,036 -22,155 -0,120 +16,105 +26,520 +31,125 +29,920 +22,905 10,080

Tabulación de la ecuación # 5 X 13,25 *X -2,905 X + 20 → 0 0,30 1 2 3 4 5 6 7 8

Mx +20,000 +30,345 +34,880 +33,605 +26,520 +13,625 - 5,080 -29,595 -50,212 -59,920

Derivando la ecu # 4: Mx = 30,75 *X -2,905 X 2 - 50 nos queda. 30,75 – 2 * 2,905 X = 0; X = 5,29 m (punto de cortante nulo o de momento máximo). El momento máximo lo hallamos reemplazando el valor de X = 5,29 en Mx de la ecu. # 4

Mmax = 30,75 *5,29 -2,905 (5,29)2 - 50 = 31,370 t-m. Derivando la ecu # 5: Mx = 13,25 *X -2,905 X 2 + 20 nos queda. 13,25 – 2 * 2,905 X = 0; X = 2,28 m (punto de cortante nulo o de momento máximo). El momento máximo lo hallamos reemplazando el valor de X = 2,28 en Mx de la ecu. # 5 Mmax = 13,25 *2,28 -2,905 (2,28) 2 + 20 = 35,109 t-m.

84

85

85

86 En el diseño se debe cubrir las demandas a tracción y compresión en los extremos de las vigas y cumplir con 21.12.4 — Vigas (Código ACI-05) 21.12.4.1 — La resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que un tercio de la resistencia a momento negativo provista en dicha cara. La resistencia a momento negativo y positivo en cualquier sección a lo largo de la longitud del elemento deben ser mayores de un quinto de la máxima resistencia a momento proporcionada en la cara de cualquiera de los nudos.

DATOS: f „c =210 Kg/cm2; f y = 4200 Kg/cm2.; b= 30 cm.; d = 70 cm.

ρmax = 0,50 ρ b = 0,011; ρmin = 14/f y = 0,0035. 5

FORMULAS: Q 

 M u *10 2

 * bd    f  'c

; w

1  1  2.36 * Q 1.18

Mu

Q

w

ρ

-41.04 +35.11 -50.21

0.1551 0.1327 0.1898

0.1727 0.1451 0.2178

0.00864 0.00726 0.01089

S  

30  (8  2 * 0.8  3 * 2.5  2 * 2.2) 2

; ρ = w*   f  ' c ;

As = ρ bd.

  fy

As calculado 18.13 15.24 22.87

nØ 2 Ø 25 + 2 Ø 22 4 Ø 22 3 Ø 25 +2 Ø 22

As real 17.42 15.21 22.3 3

 4.25 cm. (el hierro en dos capas ver pag. 53)

CORTE DE HIERRO: Se cortara 2 Ø 22 en el apoyo izquierdo (refuerzo superior) Mu 2 Ø 22 = Ø b d2 f ‟c w (1 – 0,59 w); 2 Ø 22: As = 2 x 3,80 = 7,60 cm2. ρ=

 As bxd 

; w   

  fy

  f  ' c



 As

  fy 7,60 x 4200  x   0,0724 bxd    f  ' c 30 x70 x210

 Mu2 22  0,9 x30 x702 x210 x0,0724(1  0,59 x0,0724) / 105  18,34t   m

Diferencia de momento = 41,04  – 18,34 = 22,70 t-m.  Mx  2,905 X 2  30,75X   50  22,70 →x = 0,98 m. (ecu. # 4)

Distancia adicional: 1.- d = 70 cm. (el peralte efectivo) 2.- 12 d b = 12 * 2,5 = 30 cm. 3.- Lc/16 = (8- 0,60)/ 16 = 46,3 cm.; se toma 70 cm. 2 Ø 22 se prolongara: 0,98 + 0,70 = 1,68 m ≈ 1,70 m.

EN EL APOYO DERECHO SE CORTARA 1 Ø 25 + 2 Ø 22, su área es = 12,50 cm 2 (refuerzo superior) Mu1 Ø 25+2 Ø 22 = Ø b d2 f ‟c w (1 –  0,59 w); ρ=

 A s bxd 

; w    

  f   y

  f  'c



  f   y 12,50 x4200  x   0,119 bxd    f  'c 30 x70 x210  A s

Mu1 Ø 25+2 Ø 22  0,9 x30 x702 x210 x0,119(1  0,59 x0,119) / 105  29,29t   m Diferencia de momento = 50,21  – 29,29 = 20,92 t- m. → 2 Ø 25  Mx  2,905 X 2  13,25X   20  20,95 →x = 6,67 m. (ecu. # 5) Distancia complementaria: 8,00  – 6,67 = 1,33 m.

Distancia adicional: 1.- d = 70 cm. (el peralte efectivo) 86

87 2.- 12 d b = 12 * 2,5 = 30 cm. 3.- Lc/16 = (8- 0,60)/ 16 = 46,3 cm.; se toma 70 cm. 1 Ø 25 + 2 Ø 22 se prolongara: 1,33 + 0,70 = 2,03 m ≈ 2,05 m.

EN EL CENTRO DEL CLARO SE CORTARA 2 Ø 22, su área es = 7,605 cm 2 (refuerzo inferior) Mu2 Ø 22 = Ø b d2 f ‟c w (1 –  0,59 w); ρ=

 As bxd 

; w   

  fy

  f  ' c



 As

  fy 7,605 x 4200  x   0,076 bxd    f  ' c 30 x70 x 210

Mu2 Ø 22  0,9 x30 x702 x210 x0,076(1  0,59 x0,076) / 105  19,208t   m PARA EL EXTREMO DERECHO EL REFUERZO INFERIOR (hierros del lecho inferior) Diferencia de momento = 31,37  – 19,21 = 12,16 t- m. → 2 Ø 22 (el valor de 31,37 es el momento máximo de la superposición de efectos cuando el sismo actúa de derecha a izquierda).  Mx  30,75 X   2,905X 2  50  12,16 2,905 X2 – 30,75 X + 62,16 = 0  X  

30,75  30,752  4 * 2,905 * 62,16 2 * 2,905

(Ecu. # 4) X1 = 7,864 m (se toma)  X2 = 2,72 m (no se toma, ver diagrama momento). Distancia complementaria: 8,00  – 7,864 = 0,136 m.

Distancia adicional: 1.- d = 70 cm. (el peralte efectivo) 2.- 12 db = 12 * 2,5 = 30 cm. 3.- Lc/16 = (8- 0,60)/ 16 = 46,3 cm.; se toma 70 cm. 2 Ø 22 se prolongara: 0,136 - 0,70 = -0,564 m. No hay que cortar el hierro en el extremo derecho. PARA EL EXTREMO IZQUIERDO EL REFUERZO INFERIOR (hierros del lecho inferior) Diferencia de momento = 35,11  – 19,21 = 15,90 t-m.; (el valor de 35,11 es el momento máximo de la superposición de efectos cuando el sismo actúa de izquierda a derecha).  Mx  13,25 X   2,905X 2  20  15,90 (ecu. # 5) 2,905 X2 – 13,25 X - 4,10 = 0 X1 = 4,85 m (se toma)  X    X2 = -0,29 m (no se toma, por no representar un valor  2 * 2,905 neg) Por ser el valor de 4,85 m., mayor que la mitad del claro (L = 8 m) significa que no hay que cortar los hierros en este extremo). 13,25  13,252  4 * 2,905 * (4,10)

CALCULO DE LA LONGITUD DE DESARROLLO. ld =

0.06 Ab *  fy  f  ' c

≥ 0.0057 d b *fy

Para Ø 25 mm: As = 5.00 cm 2 = A b. 0.06 Ab *  fy  f  ' c

=

0.06 * 5.00 * 4.200 210

*1.4  124.73cm ≈ 125 cm.

0.0057 d b *fy = 0.0057 * 2.5 * 4.200* 1,4 = 83.79 cm. Se toma el valor mayor, que es 125 cm  – 45cm, (por el valor del gancho vertical mínimo: 18 d b = 18 * 2,5 = 45 cm) = 80 cm. Chequeo de los valores reales: 87

88 Apoyo Izquierdo (desde cara interior de la columna): 1.70 + 0.25 + 0,45 = 2.40 m. Apoyo Derecho (desde cara interior de la columna): 2.05 + 0.30 =2.35 m. Para Ø 22 mm: As = 3.80 cm 2 = A b. 0.06 Ab *  fy  f  ' c

0.06 * 3.50 * 4.200

=

210

*1.4  94.80m ≈ 95 m.

0.0057 d b *fy = 0.0057 * 2.2 * 4.200* 1,4 = 73.74 cm. Se toma el valor mayor, que es 95 cm  – 40cm, (por el valor del gancho vertical mínimo: 18 db = 18 * 2,2 = 39,6 cm ≈ 40 cm.) = 55 cm.

Chequeo de los valores reales: Apoyo Izquierdo (desde cara interior de la columna): 1.70 + 0.25 + 0,45 = 2.40 m. Apoyo Derecho (desde cara interior de la columna): 2.05 + 0.30 = 2.35 m. CAL CULO DE L A SUPERPOSICION DE CORTANTES.

Para el apoyo izquierdo: 16.5  30

I

Para

8



30  X 

; X= 5,16

El cortante a X= 2,0 (PI = 2,0 m) 30 5,16



V  5,16  2

Ldfinal = la +

;

V= 18,37 t.

 M  V 

= 0,70 +

35,11 18,37

 2,61m

Anclaje real: para Ø 25 mm: 0,45+0,25+1,70= 2,70 m. Para Ø 22 mm: 0,45+0,25+1,70= 2,40 m hay que Aumentar 2,61-2,40 = 0,21 m. Para el apoyo derecho: Para I

14  32,5 8



32,5  X 

;

X= 5,59 m 8 – 5,75 (PI) = 2,25; 88

89 32,5 5,59



V  5,59  2,25

;

V= 19,42 t.

m

m

 y 2   y1  x2   x1

 16,5  30,0  5,8125 80

y=ax+b V = -5,8125 x + 30,0 Ecuación # 6 ←

89

90

Ldfinal = la +

 M  V 

= 0,70 +

31,37 19,42

 2,32m ≈ 2,35 m.

Anclaje real: para Ø 25 mm: 2,05+0,30 = 2,35m . Para Ø 22 mm: 2,05+0,30 = 2,35m Tenemos el anclaje mínimo. CAL CULO DE LOS ESTRIBOS:  Cortantes críticos ubicados a x = 0,60/2 + d = 0,30 + 0,70 = 1,00 m V  4,16



30,00 5,16

;

V = 24,19 t.

V  4,59



32,50 5,59

;

V = 26,29 t.

90

91

Calculo de Vc según criterio general: Ø Vc  0,53 *   f  ' c * b * d   0,53 * 0,85 * 210 * 30 * 70  13,379 t. Asumo utilizar estribos de 8 mm en dos ramales; As = 0.5 cm 2, y Av = 2 * 0.5 = 1.0 cm 2. S=

  Av *  fy * d  Vu   Vc

=

0.85 *1.0cm 2 * 2800 Kg / cm 2 * 70cm 26290 Kg   13379 Kg 

1.- S calculado = 13 cm. 2.- S = d/4 = 70 cm /4 = 17.5 cm. 3.- 8 ØL = 8 * 2.5 cm = 20 cm 4.- 24 ØT = 24 * 0,8 cm = 19,2 cm 5.- Smax ≤ 30 cm

= 12.90 cm ≈ 13 cm.

la menor es 13 cm., hasta 2d = 2 * 70 = 140 cm.

 Número de estribos = 140 / 13 = 10,77 ≈ 11 + 1 = 12 estribos.

Calculo de la separación de los estribos a 1,40 m de la columna. V  5,59  1,4



32,50 5,59

;

V = 24,36 t.

Asumo utilizar estribos de 8 mm en dos ramales; As = 0.5 cm 2, y Av = 2 * 0.5 = 1.0 cm 2. S=

0.85 *1.0cm 2 * 2800 Kg / cm 2 * 70cm

  Av *  fy * d 

= 15.17 cm ≈ 15 = 24360 Kg   13379 Kg  Vu   Vc  Número de estribos = 140 / 15 = 9,33 ≈ 10 + 1 = 11 estribos.

cm. hasta 2d = 1,40m,

Para el resto Smax = d/4 = 70/ 4 = 35 cm.

CÁLCULO DE LOS ESTRIBOS SEGÚN EL CRITERIO RIGUROSO.     * Vu * d       Mn  

Vc =

0.5 *   f  ' c + 175 

Vc =

0.5 * 210 + 175 

0.93 *

210

b * d ≤ 0.93 *   f  ' c * b * d; criterio riguroso.

 0,0083 * 24,19 * 0,70   19 , 939    

30 * 70 = 17,81 t.

Vu * d    24,19 * 0,70    0,849 49 ≤ 1,00 conforme * 30 *70 = 28,302 t.    = 

   Mn  

  19,939  

Ø Vc = 0,85 * 17,81 = 15,139 ton Asumo utilizar estribos de 8 mm en dos ramales; As = 0.50 cm 2, y Av = 2 * 0.50 = 1.00 cm 2. S=

  Av *  fy * d  Vu   Vc

=

0.85 *1.00cm 2 * 2800 Kg / cm 2 * 70cm 26290 Kg   15139 Kg 

= 14.94 cm ≈ 15 cm.

El ACI-05, indica en el art. 21.33.2 que debe colocarse los estribos en una longitud igual a 2d, medido desde la cara de la columna, d/4, 8 veces el diámetro del menor diámetro longitudinal, 24 veces el diámetro de la armadura transversal (estribo) y que la separación máxima no debe ser mayor de 30 cm, la que sea menor, después de 2d la separación de los estribos será d/2, el primer estribo irá a 5 cm de la cara de la columna. 91

92 1.- S calculado = 15 cm. 2.- S = d/4 = 70 cm /4 = 17.5 cm. 3.- 8 ØL = 8 * 2.5 cm = 20 cm la menor es 15 cm. 4.- 24 ØT = 24 * 0,8 cm = 19,2 cm 5.- Smax ≤ 30 cm Distancia que irán los estribos con la separación calculada: 2d = 2* 70cm = 120cm. Cantidad de estribos: 120cm /15 cm = 8 +1 = 9 estribos. 9 E Ø 8 mm c/ 15 cm en los extremos y el resto cada 25 cm. (el código indica d/2 =35 cm como separación máxima) Tabulación de la ecuación # 4 Tabulación de la ecuación # 6 X

30,75 *X -2,905 X - 50

0 0,30 1 2 3 4 5 5,16 6 7 8

←

Distancia desde el Eje de la columna

 Mn

V = -5,8125 x + 30,0

← 0 0,30 1 Cortante crítico 2 3 4 5 5,16 7 8

Vx 30,00 28,25 24,19 18,38 12,56 6,75 0,94 0,00 -10,69 -16,50

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

5,16

24,19 22,155 19,939

18,38 0,12 0,108

12,56 16,105 14,495

6,75 26,52 23.868

0,94 31,125 28,013

0,00 31,322 28,190

1

0,849

119,130*

0,607

0,198

0,0235

ρ

0,0083

Vu (t) Mu (t-m) Mn (t-m) Vu * d 

X

Mx -50,000 -41,036 -22,155 -0,120 +16,105 +26,520 +31,125 +31,322 +29,920 +22,905 10,080

0,00724

* Debido que Mn es un valor pequeño da un resultado irreal.    

 As b * d 



17,42 30 * 70

 0,0083

   

 As b * d 



15,21 30 * 70

 0,00724

92