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Cátedra: Dinámica Estructural

El siguiente trabajo es una TRANSCRIPCIÓN parcial de las publicaciones citadas, para ser utilizadas como GUÍA DE ESTUDIO de los estudiantes de la cátedra de Dinámica Estructural de la carrera de Ingeniería Civil. UNIDAD 3: SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD ÍNDICE Sistema de múltiples grados de libertad. _________________________________ 3 Sistema de múltiples grados de libertad. _________________________________ 3 1.

Condición de equilibrio dinámico. _________________________________ 3

1.1.

Ecuaciones de movimiento ______________________________________ 3

2.

Análisis de vibraciones libres. ____________________________________ 5

2.1.

Modos naturales de vibración. ___________________________________ 5

3.

Análisis de vibraciones forzadas. _________________________________ 8

3.1.

Solución mediante transformada de Laplace.________________________ 8

3.2.

Método de Newmark. _________________________________________ 14

3.3.

Método de Holzer.____________________________________________ 15

4.

Análisis de la respuesta dinámica. _______________________________ 16

4.1.

Ecuaciones de equilibrio dinámico de las edificaciones _______________ 16

4.2.

Desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento._________________ 17

4.3.

Método directo de integración paso a paso. [6] -pag36_______________ 19

4.4.

Método directo paso a paso de superposición modal _________________ 19

4.5.

Solución del problema de valores característicos (eigenvalores) de las ecuaciones de equilibrio dinámico; _______________________________ 19

4.5.1.

Superposición modal. _________________________________________ 23

4.5.2.

Superposición modal espectral. _________________________________ 24

5.

Programación en computadoras. ________________________________ 26

Bibliografía________________________________________________________ 26 TABLA DE GRÁFICOS Figura 01 Modelo sísmico de edificio de cortante y equilibrio de fuerzas _________ 4 Figura 02 Sistema no amortiguado ______________________________________ 6 Figura 03 Modos normales del sistema ___________________________________ 8 Figura 04 Sistema tratado en el ejemplo del método de Newmark ____________ 14 Tabla 01 Método de Newmark_________________________________________ 15 Tabla 02 Método de Holzer ___________________________________________ 16 Figura 05 Frame used in example of vibration analysis _____________________ 22

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Figura 06 Vibration properties for the frame______________________________ 23 Figura 07 Representing deflections as sum modal components _______________ 24

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SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD. 1.

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO DINÁMICO.

En la Unidad 2 (Sistemas dinámicos de un grado de libertad) vimos como un sistema amortiguado de un grado de libertad, estaba regido por la ecuación de equilibrio dinámico. Ahora debemos extender esto mismo a sistemas de varios grados de libertad, para lo cual seguiremos el mismo tipo de planteamiento utilizando masas concentradas y resortes, para luego entrar dentro del problema de la idealización dinámica de sistemas estructurales complejos, como puede ser un edificio de varios pisos [10] – pag 323. En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas están concentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes son sólo las laterales [2] –pag 108. The equation of motion of the system of a general beam-type structure can be formulated by expressing the equilibrium of the effective forces associated with each of its degrees of freedom. In general four types of forces will be involved at any point: the externally applied load pi (t) and the forces resulting from the motion, that it, inertia f Ii , damping f Di ; and elastic fSi . Thus for each of the several degrees of freedom the dynamic equilibrium may be expressed as; f I1 + f D1 + fS1 = p1 (t) f I2 + f D2 + fS2 = p 2 (t) f I3 + f D3 + fS3 = p3 (t) ..................................

or when the force vectors are represented in matrix form, f I + f D + fS = p(t)

which is the MDOF equivalent of the SDOF equation. [7] –pag 171. 1.1.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Las expresiones matemáticas que gobiernan la respuesta dinámica de las estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. Dichas ecuaciones se obtienen aplicando cualquiera de los principios de la mecánica clásica, como, por ejemplo, el principio D´Alembert, el de los trabajos virtuales, o el de Hamilton. En el caso de los edificios, los modelos dinámicos más usuales son el de edificio de cortante y el de pórtico tridimensional. [4] –pag 30. El modelo más sencillo con varios grados de libertad que se puede utilizar para describir el comportamiento dinámico de una estructura es el de edificio de cortante. Dicho modelo se representa esquemáticamente en la figura 01. Está basado en la hipótesis de que el edificio es simétrico, los forjado son infinitamente rígidos, los pilares no sufren deformación por axil y, en consecuencia, los únicos movimientos de los nudos son los horizontales. [4] – pag 30 El modelo de la figura 01 está sometido a una aceleración horizontal ″a (t) ″ de origen sísmico. Las ecuaciones del movimiento pueden deducirse estableciendo el equilibrio dinámico de cada masa, de acuerdo con el principio de d´Alembert. Aislando la masa ″m r ″ e introduciendo todas las fuerzas correspondientes, incluidas las de inercia, se obtiene el esquema de la figura 01. Expresando el equilibrio

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dinámico de la masa ″m r ″ en un sistema de referencia no inercial, con el origen en la posición inicial del edificio, se obtiene; Fir (t) − Fer (t) − Far (t) = 0

(r = 0,1, 2,....n) mn cn kn mrcr-

Fir(t)

Fer(t) Far(t)

kr m2 c2 k2 m1 c1 k1

a(t)

Figura 01 Modelo sísmico de edificio de cortante y equilibrio de fuerzas

En donde Fir (t), Fer (t), Far (t) son las fuerzas de inercia, elásticas y de amortiguamiento, respectivamente, correspondiente al grado de libertad ″r″ . El modelo dinámico completo está en equilibrio si lo están todas y cada una de sus masas. Escribiendo una ecuación de equilibrio para cada una de las masas, se obtiene un sistema de ecuaciones de equilibrio que se escribe en la siguiente forma matricial; Fir (t) − Fer (t) − Far (t) = 0

(1)

Los vectores delas fuerzas elásticas, Fe (t) de inercia, Fi (t) y amortiguamiento Fa (t) , se definen mediante las siguientes expresiones; Fe (t) = KX(t)

+ {1} a(t)  Fi (t) = −M  X(t) 
F (t) = CX(t)

(2)

a

Donde X es el vector de desplazamientos respecto a la base del edificio de cortante, K es la matriz de rigidez. La matriz de masa M es diagonal para modelos de cortante y la matriz de amortiguamiento C se considera, en una primera aproximación, proporcional a la de masa, a la de rigidez, o una combinación lineal de las dos. Reemplazando las ecuaciones (2) en (1), se obtienen las ecuaciones de movimiento de modelo; [4] –pag 32.

+ CX(t)
+ KX(t) = − M {1} a(t) (3) MX(t)

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2.

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ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES.

Vale la pena aclarar que el manejo del amortiguamiento en sistemas de varios grados de libertad es mucho más complejo que las simplificaciones introducidas en los sistemas de un grado de libertad y por esta razón la presentación que sigue se hará para sistemas no amortiguados y la introducción del amortiguamiento se realizará posteriormente, una vez se haya definido la solución de la respuesta de los sistemas de varios grados de libertad. [10] –pag 323 Las vibraciones libres amortiguadas en el modelo dinámico se expresan como; [4] pag 34

+ CX(t)
+ KX(t) = 0 MX(t)

(4)

En lugar de resolver la ecuación (3), conviene primero considerar el caso más simple en el que no existen amortiguadores y no existe movimiento el terreno, con lo cual dicha ecuación se convierte en; [2] -pag 109

+ KX(t) = 0 MX(t)

(5)

The problem of vibration analysis consists of determining the conditions under which the equilibrium condition expressed by equation (5) will be satisfied. By analogy with the behavior of SDOF systems, it will be assumed that the freevibration motion is simple harmonic, which may be expressed for a MDOF system as; x = A sen ( ωt + ϕ0 )

(6)

In this expressions x represents the shape of the system (which does not change whit time; only the amplitude varies) and ϕ0 is a phase angle. When the second time derivate of equation (6) is taken, the accelerations in free vibration are;

x = −ω2 Asen ( ωt + ϕ0 ) = −ω2 x

(7)

Substituting Eqs (7) and (6) into Eq. (5) gives; −ω2 M A sen ( ωt + ϕ0 ) + K A sen ( ωt + ϕ0 ) = 0

which (since the sine term is arbitrary and may be omitted) may be written; [7] pag 201 (8)

(K − ω2 M)A = 0

La ecuación (8) corresponde a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Para que existan valores de A distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule, esto es;[2] -pag 110 K − ω2 M = 0

2.1.

(9)

MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN.

Matemáticamente, la expresión (9) constituye un problema de valores característicos. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuación algebraica de grado n cuya incógnita es ω2 , siendo n el número de grados de libertad cuya solución conduce a n valores de ω2 , es decir, a n frecuencias naturales de vibración ω , que corresponden a otros tantos períodos de naturales 2π ω . Para estructuras estables los valores de ω2 son reales y positivos, y sus raíces cuadradas son las

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frecuencias naturales. Remplazando cada valor de frecuencia ω j en (8) podemos obtener vectores A j diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibración. No resultan soluciones únicas para cada modo sino solamente valores relativos entre las ″a ij ″ , es decir, que no están definidas las amplitudes de las vibraciones, sino las relaciones entre todas ellas. [2] -pag110. (consultar ejemplo práctico [2] -pag111) Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requieren dos coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece una introducción simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. [14] -pag 132. Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuración correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrán entonces dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tenderá a un máximo, a las dos frecuencias naturales [14] -pag 132. Consideremos el sistema no amortiguado de la figura 02. Usando coordenadas x1 y x2, medidas desde una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son



1 = − k ( x1 − x 2 ) − kx1 mx



1 = k ( x1 − x 2 ) − kx 2 2mx

(10)

X2

X1 K

K

K

m

2m

K X1

K X2

K (X1-X2) m

2m

Figura 02 Sistema no amortiguado

Definimos ahora un modo normal de oscilación como uno en el cual cada masa experimenta un movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de equilibrio. Para tal movimiento podemos escribir;

x1 = A1eiω t x 2 = A 2 eiω t

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Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales tenemos

( 2k − ω m ) A − kA = 0 − kA + ( 2k − 2ω m ) A = 0 2

1

2

2

1

2

que se satisfacen para cualquier valor A1 y A 2 si el determinante siguiente, es cero;

( 2k − ω m ) 2

−k

( 2k − 2ω m ) 2

−k

=0

Haciendo ω2 = λ , el determinante de arriba conduce a la ecuación característica. 2

3 k   k λ −3 λ +   = 0 2 m  m 2

Las raíces de esta ecuación son

k 3 1 k 3  = 0.634 λ1 =  − m 2 2 m k 3 1  k 3  = 2.366 λ2 =  + m 2 2 m y las frecuencias naturales del sistema son 1

k m

1

k m

ω1 = λ1 2 = 0.634 ω2 = λ 2 2 = 2.366

La sustitución de estas frecuencias naturales en la ec. (10) nos permite hallar la razón de las amplitudes. Para; ω12 = 0.634

k , obtenemos m

 A1     A2 

(1)

=

k 1 = = 0.731 2k − ω12 m 2 − 0.634

que es la razón de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal. Análogamente, usando ω22 = 2.366

 A1     A2 

(2)

=

k obtenemos m

k 1 = = −2.73 2 2k − ω2 m 2 − 2.366

para la forma modal correspondiente al segundo modo normal. Podemos presentar los dos modos normales gráficamente como en la figura 03. En el primer modo

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normal, las dos masas se mueven en fase; en el segundo modo normal las masas se mueven en oposición o, fuera de fase. [14] -pag132

0.731

1.0

1.0 -2.73

Figura 03 Modos normales del sistema

3.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES FORZADAS.

Vibraciones forzadas armónicas. La solución de esta ecuación diferencial no homogénea se divide en dos partes: una solución homogénea y una solución particular. La solución homogénea corresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales. La solución particular depende de la fuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de la respuesta correspondiente a la solución homogénea desaparece pasado algún tiempo pues el amortiguamiento la disminuye; por lo tanto, sólo la solución particular es de interés cuando ha transcurrido algún tiempo después de iniciado el movimiento. [10] -pag27. Vibraciones transitorias. La determinación de la respuesta de un sistema que se ve afectado por una excitación que no es ni periódica ni armónica presenta un grado de complejidad mayor. No obstante, el planteamiento matemático de su solución es relativamente sencillo. En muchos casos prácticos donde se tienen excitaciones que no se prestan a una descripción matemática hay necesidad de recurrir a métodos numéricos para obtener la solución. [10] -pag32. Excitación en la base. El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es muy importante en la Dinámica Estructural, pues la excitación sísmica induce este tipo de respuesta. [10] -pag35. Ver Ecuaciones de Equilibrio Dinámico en Sistemas de Varios Grados de Libertad. [10] -Pag323. 3.1.

SOLUCIÓN MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Definición de la Transformada de Laplace [14] -pag446. Si f

(t)

es una función

conocida de t , para valores de t > 0 , su transformada de Laplace f( s ) se define como: ∞

f (s) = ∫ e −st f (t) dt =L f (t)

(a)

0

en donde s es compleja. La integral existe para la parte real de s > 0 siempre que f ( t ) sea una función absolutamente integrable de t en el intervalo de 0 a ∞ . Ejemplo 1: Sea f ( t ) constante para t > 0 , su L.T. ∞

L c=∫ ce 0

−st

ce−st dt = − s

∞

= 0

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c s

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Ejemplo 2: Sea f (t) = t su L.T. es encontrado integrando por partes, haciendo

u = t du = dt dv = e−st dt

te−st L t=− s Transformada

de

Laplace

de

∞

+ 0

v=−

e−st s

1 ∞ −st 1 e dt = 2 ∫ s 0 s

derivadas.

f (t) continua, entonces f (t) tiende a f (0) cuando

Si

L f (t) = f (s) existe, siendo

t → 0 y la L.T. de su derivada

′ = d f (t) dt es igual a: f (t) ∞

∞

∞

0

0

0

L f´(t) = ∫ e−st f´(t) dt = e−st f (t) + s ∫ e−st f (t)dt = −f (0) + sf (s) Análogamente, L.T. de la derivada segunda será;

L f´´(t) = s2 f (s) − sf (0) − f´(0) Transformación de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Consideremos la ecuación



+ cx
+ kx = F(t) mx Su L.T. es;

m[s 2 x (s) - sx (0) - x
(0)] + c[sx (s) - x (0)] + k x (s ) = − F(s) Que puede ordenarse como

x (s) =


(0) F (s ) ( ms + c) x (0) + m x + ms 2 + cs + k ms2 + cs + k

La ecuación de arriba es llamada la “ecuación subsidiaria” de la ecuación diferencial. La respuesta se encuentra a partir de la transformación inversa; el primer término representa la respuesta forzada y el segundo las respuesta debida a las condiciones iniciales. Para el caso más general, la ecuación subsidiaria puede escribirse en la forma

x (s) =

A (s ) [14] –pag448 B (s )

En donde A (s) y B(s) son polinomios, B(s) en general de mayor orden que A (s) . Referencia bibliográfica extra: [15] -pag295, [11] Metodología para el cálculo dinámico de estructuras Resumen La metodología desarrollada, utilizando la Transformada de Laplace y como herramienta de cálculo MATLAB, permite encontrar las amplitudes de oscilación de

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los distintos niveles en estructuras con múltiples grados de libertad, teniendo en cuenta su amortiguamiento estructural, cuando es solicitada sinusoidalmente desde su fundación. Metodología Se debe tener en cuenta que, para que esta transformada sea aplicable, el sistema debe cumplir con los siguientes requisitos:
Las variables y sus derivadas e integrales de los diversos órdenes deben tener exponentes unitarios.
Los términos no deben presentar operaciones entre variables.
Los coeficientes de las variables deben ser constantes. En un sistema de 1 grado de libertad, si se desea conocer la respuesta referida a la excitación, es conveniente tratar directamente la función transferencia X1 X 0 , siendo X1 y X 0 las transformadas de los desplazamientos del primer nivel y de la fundación respectivamente, resultando:

X1 cs + k = 2 X 0 ms + cs + k Por una propiedad de la transformada el reemplazo de s por jω en la igualdad anterior muestra, en forma de número complejo, la ley de variación de x1 x 0 en función de la frecuencia de excitación ″ω″ , siendo x1 y x 0 las amplitudes de los desplazamientos en el nivel 1 y en la fundación respectivamente, quedando:

x1 cjω + k = x 0 − mω2 + cjω + k Ordenando y racionalizando se llega a una expresión del tipo:

x1 = a + jb x0 Como en rigor interesa la relación de amplitudes en términos absolutos conviene calcular los módulos, con lo que:

x1 = a 2 + b2 x0 Con el objeto de sistematizar la metodología se adopta un sistema de 3 grados de libertad. Al igual que para el caso de 1 grado de libertad, la estructura es solicitada desde la fundación con un movimiento sinusoidal simulando una acción del tipo sísmica de dirección horizontal. Si bien se utiliza un modelo físico matemático de desplazamiento vertical, se debe tener en cuenta que para el caso de estructuras civiles los desplazamientos dominantes son los del tipo horizontal. La figura 1 muestra la similitud entre la estructura real y el modelo físicomatemático equivalente. Para evitar confusiones con los signos de las fuerzas que se originan en cada uno de los componentes, conviene bloquear todos los niveles liberando de a uno el nivel

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en estudio y los adyacentes para conformar la ecuación diferencial que modeliza la dinámica de ese nivel. Nivel

Liberación del nivel i

Liberación del nivel i+1

Liberación del nivel i-1

1

m1

x1 + ( c1 + c2 ) x
1 + ( k1 + k 2 ) x1

−c 2 x
2 − k 2 x 2

−c1x
0 − k1x 0 = 0

2

m 2

x 2 + ( c2 + c3 ) x
2 + ( k 2 + k 3 ) x 2

−c3 x
3 − k 3 x 3

−c 2 x
1 − k 2 x1 = 0

3

m3

x 3 + x
3 ( c3 ) + x 3 ( k 3 )

0

−c3 x
2 − k 3 x 2 = 0

Reordenando obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones acopladas en el cual se observa explicitada en el segundo miembro de la primera ecuación la solicitación procedente de la fundación.

x1 + (c1 + c2 )x
1 + (k1 + k 2 )x1 − c 2 x
2 − k 2 x 2 = c1x
0 + k1x 0 m1

 x 2 + (c2 + c3 )x
2 + (k 2 + k 3 )x 2 − c2 x
1 − k 2 x1 − c3 x
3 − k 3 x 3 = 0 m 2

m

 3 x 3 + c3 x
3 + k 3 x 3 − c3 x
2 − k 3 x 2 = 0  m s 2 + ( c1 + c 2 ) s + ( k1 + k 2 )  − ( c 2s + k 2 ) 0  1   − ( c 2s + k 2 ) − ( c3s + k 3 )  m 2 s 2 + ( c 2 + c3 ) s + ( k 2 + k 3 )   − ( c3s + k 3 ) 0 m3s 2 + c3s + k 3    

(

)

 X 1   c1 s + k 1 X 0        = X 0  2  X   0   3  

Aplicando la transformada de Laplace y escribiendo en forma matricial resulta: Queda así determinando un sistema de 3 ecuaciones diferenciales simultáneas con 3 incógnitas que son las transformadas de los desplazamientos absolutos de cada uno de los niveles. Al resolver el sistema los desplazamientos x i obtenidos serán valores complejos y referidos a un sistema absoluto de coordenadas. Para conocer los desplazamientos relativos será necesario operar por diferencias entre los desplaza_ mientos x i de

los distintos niveles. La Figura 2 muestra un diagrama vectorial donde pueden apreciarse las respuestas en amplitud y fase; como x 0 es la excitación y tiene una amplitud conocida se toma como referencia y se la asume como un valor real.

El cálculo del desplazamiento relativo entre niveles - Figura 3 - es muy importante desde el punto de vista de las solicitaciones estructurales ya que permite obtener, por ejemplo, los momentos flectores y los esfuerzos de corte. Resolución del sistema de ecuaciones – ejemplo. Determinar la respuesta en el dominio de la frecuencia de una estructura de hormigón reforzado de 5 m de longitud en cada dirección y 3 m de altura entre cada nivel, losas macizas de 12 cm de espesor, vigas perimetrales de 20 cm de ancho por 50 cm de altura y 4 columnas de 20 cm por 20 cm de lado, excitada por un movimiento sinusoidal horizontal en la fundación de 5 mm de amplitud. La masa de cada nivel se determinó siguiendo los lineamientos del reglamento INPRES – CIRSOC para las construcciones sismorresistentes. La rigidez de entrepiso se calculó aplicando el método de Wilbur. Para calcular la constante de amortiguamiento “ c ” se adoptó como relación de amortiguamiento el 5% del

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amortiguamiento crítico, valor empleado para estructuras de hormigón reforzado con armadura, mediante la relación c = ζ ∗ 2 k
m . %-------------------------------------------clear all; s='(j*w)'; k3 = 6130268.2; k2 = 5869819.5; k1 = 6436539.3; % Rigidez en N/m m3 = 23400; m2 = 23400; m1 = 23400; % Masa en kg Pzita = .05; % Relación de amortiguamiento %-------------------------------------------c3= Pzita *2*(m3*k3)^.5; c2= Pzita *2*(m2*k2)^.5; c1=. Pzita *2*(m1*k1)^.5; x0=.005; % Desplazamiento inicial en metros p1 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 1 0 0 0]'); p2 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 1 0 0]'); p3 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 1 0]'); p0 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 0 1]'); dp0=expand(determ(p0));dp1=expand(determ(p1));dp2=expand(determ(p2));dp3=expand(determ( p3)); dp0=subs(dp0,s,'s');dp1=subs(dp1,s,'s');dp2=subs(dp2,s,'s');dp3=subs(dp3,s,'s'); %-------------------------------------------hilf=0; for f=0:.01:8 w=2*pi*f; hilf=hilf+1; x(hilf)=f; x1=eval(dp1)/eval(dp0)*x0; x2=eval(dp2)/eval(dp0)*x0; x3=eval(dp3)/eval(dp0)*x0; d1a(hilf)=abs(x1);

d1r(hilf)=abs(x1-x0);

d2a(hilf)=abs(x2);

d2r(hilf)=abs(x2-x1);

d3a(hilf)=abs(x3);

d3r(hilf)=abs(x3-x2);

a1a(hilf)=abs(-x1*w^2); a1r(hilf)=abs(-x1*w^2); a2a(hilf)=abs(-x2*w^2); a2r(hilf)=abs(-x2*w^2+x1*w^2); a3a(hilf)=abs(-x3*w^2); a3r(hilf)=abs(-x3*w^2+x2*w^2); end %-------------------------------------------figure(1) subplot(1,2,1),plot(x,d1a*1000,'r-',x,d2a*1000,'b-',x,d3a*1000,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Desplazamiento [mm]') TITLE('DESPLAZAMIENTOS ABSOLUTOS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,d1r*1000,'r-',x,d2r*1000,'b-',x,d3r*1000,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]')

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Cátedra: Dinámica Estructural

TITLE('DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS') LEGEND ('Nivel 1-0','Nivel 2-1','Nivel 3-2',0) axis auto figure(2) subplot(1,2,1),plot(x,a1a,'r-',x,a2a,'b-',x,a3a,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Aceleración [m/s²]') TITLE('ACELERACIONES ABSOLUTAS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,a1r,'r-',x,a2r,'b-',x,a3r,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') TITLE('ACELERACIONES RELATIVAS') LEGEND ('Nivel 0-1','Nivel 1-2','Nivel 2-3',0) axis('auto')

Los siguientes gráficos muestran las aceleraciones absolutas y los desplazamientos relativos y del ejemplo analizado. ACELERACIONES ABSOLUTAS

8

60

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

7

DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS

Nivel 1-0 Nivel 2-1 Nivel 3-2

50

40

5 Velocidades m/s

2 Aceleraciones m/s

6

4 3

30

20

2 10

1 0

0

2 4 6 Frecuencia [Hz]

8

0

0

2 4 6 Frecuencia [Hz]

8

Conclusión Durante la marcha del estudio se ha indagado en profundidad en la teoría de la Dinámica de los Sistemas con grados de libertad múltiples modelizados con parámetros concentrados pero, en contraste con los desarrollos encontrados en la bibliografía consultada, aquí se ha tenido en cuenta el amortiguamiento estructural. Como resultado de este análisis se ha logrado desarrollar un método de cálculo que, utilizando la Transformada de Laplace y Matlab como herramientas, permite evaluar la respuesta de los “n” grados de libertad de una estructura cuando

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se la solicita con cargas alternativas sinusoidales por la fundación, por sus niveles o por ambas simultáneamente. Bibliografía [11] 3.2.

MÉTODO DE NEWMARK. w3=200 ki= rigidez del entrepiso i, en ton/cm k3=80

wi= Peso del i, en ton

w2=400 k2=200

w1=400 k1=200

Figura 04 Sistema tratado en el ejemplo del método de Newmark

Este método[2] –pag113, propuesto por su autor en 1943, esta basado en el proceso de iteración de Stodola - Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962). En la forma en que a continuación se describe, el método es aplicable al cálculo del modo fundamental de vibración de las estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas. En estas estructuras la masa de los pisos intermedios está ligada sólo a la de los pisos superior en inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso correspondiente (la figura .... muestra una estructura de este tipo). En su forma más general el método se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre las diferentes masas (Newmark y Rosenblueth, 1971). Los pasos en que consiste el método se han aplicado en la Tabla 01 a la estructura de la Figura 04 y son los siguientes: a) Supóngase una formas ' X ' para el modo. Esta es la que aparece en el renglón 1 de la tabla. Para comenzar, es usualmente apropiado suponer valores iguales al número de orden del piso (de abajo hacia arriba). b) Obténgase la fuerza de inercia en cada masa correspondiente a la configuración supuesta. Estas fuerzas serían M X ω2 ; como se desconoce

'ω2' , se calculan los productos M X = F ω2 , que forman el segundo renglón de la tabla. c) A partir de las fuerzas de inercia calcúlense las fuerzas cortantes en los entrepisos, también divididas entre 'ω2' ; esto es, se calcula V ω2 como se anota en el tercer renglón de la tabla d) Dividiendo las fuerzas cortantes entre las rigideces de entrepiso, obténganse las deformaciones de entrepiso también divididas entre 'ω2' . Esto se presenta en el renglón cuarto de la tabla como ∆ V ω2

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e) Acumulando deformaciones de entrepiso determínese una nueva configuración de los desplazamientos de las masas Y ω2 (quinto renglón de la tabla). Para calcular la frecuencia se pueden promediar los valores del último ciclo o, mejor aún, determinarla con el coeficiente de Schwartz (que es una forma del cociente de Rayleigh), como sigue: 2

ω =

(

)(

Σi Fi ω2 Yi ω2

(

Σi Fi Yi ω2

)

2

)

Método de Newmark K: Tn / cm

200.000

200.000

80.000

M: Tn s² / cm

0.408

0.408

0.204

1

X

1.000

2.000

3.000

2 3

F / w² V / w²

4 5

DY / w² Y / w²

6

w² .............

1 2

X F / w²

3 4

V / w² DY / w²

5

Y / w²

6

w²

0.408 1.836

0.816 1.428

0.00918

..........

0.612 0.612

0.00714

0.00765

0.00918

0.01632

0.02397

109

123

125

..........

..........

..........

1.000 0.408 1.642 0.00821

........

1.750 0.714 1.234 0.00617

........... 2.550 0.520

0.520 0.0065

0.00821

0.01438

0.02088

121.8

121.7

122.1

Tabla 01 Método de Newmark

3.3.

MÉTODO DE HOLZER.

Para calcular lo modos superiores al primero[2] –pag115, podemos emplear el procedimiento debido a Holzer (Crandall y Strang 1957). Este método es solo aplicable a estructuras sencillas acopladas. Los pasos a dar son: a) Supóngase arbitrariamente un valor de 'ω2' mayor que el modo fundamental previamente obtenido por cualquier método. b) Supóngase la amplitud del movimiento 'X1 ' de la primera masa a partir del apoyo. Conviene suponer un valor unitario. Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento '∆ X1 ' del primer piso. c) Calcúlese la fuerza cortante en el primer resorte, V1 = K1 ∆ V1 , donde 'K1 ' es la rigidez de entrepiso, y la fuerza de inercia en la primera masa, F1 = M1 ω2 X1 . d) Por el equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte

F2 = V1 - X1

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e) Obténgase la deformación de este último, ∆ X 2 = F2 K 2 f) Calcúlese

la

amplitud del desplazamiento de la segunda X 2 = -X1 - ∆ X 2 , y la fuerza de inercia en la misma, F2 = M 2 ω2 X 2

masa,

g) Repítanse los pasos (d) a (f) con el tercer resorte y la tercera masa. h) Continúese el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibración. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su diferencia constituye un residuo. ω2

K: Tn / cm

Supuesto

500

200.000

200.000

M: Tn s² / cm

0.408

0.408

0.204

X

1.000

0.980

-1.570

Dx

1.000

-0.020

-2.55

V

200.000

-4.000

-204

F

…

204.0

........

........

........

X 563

80.000

200.0 ........

1.000

........

-160 ........

0.851

-1.964

Dx

1.000

-0.149

-2.815

V

200.000

-29.70

-225.2

F

229.7

........

195.5

-225.6

Tabla 02 Método de Holzer

( 500*30 + 600* 44 )

74 = 560 ( interpolación lineal)

200*1+ 28.5*0.140 + 225.0* 2.810 = 563.0 228.5*1+195.5*0.886 + 223.0*1.950 200*1+ 29.7 *0.149 + 225.2* 2.815 ω2 = 563* = 562.5 229.7 *1+195.5*0.851+ 225.6*1.964

ω2 = 500*

4.

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DINÁMICA.

De acuerdo con las NTC (Normas Técnicas Complementarias – México) para diseño por sismo, toda estructura puede analizarse mediante un método dinámico. Se aceptan como métodos de análisis dinámico:[6] -pag34. a) El modal (modal espectral) b) El paso a paso de respuestas a sismos específicos 4.1.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO DE LAS EDIFICACIONES

M

d2 d u + C u ( t ) + Ku ( t ) = F( t ) (4.1) [6] -pag35 2 (t) dt dt

M = Matriz de masa C = Matriz de amortiguamientos

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K = Matriz de rigideces

u ( t ) = Vector de desplazamientos d u = Vector de velocidades dt ( t )

d2 u t = Vector de aceleraciones dt 2 ( ) 4.2.

DESACOPLAMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO.

La transformación que permite desacoplar las ecuaciones de equilibrio dinámico se puede expresar como. [6] -pag39

u = R y (4.18) Donde

y = vector del nuevo sistema coordenado

R =  r1 r 2 … r n  u = Matriz mod al r n = n - ésimo eigenvector De acuerdo con la transformación de coordenadas anterior 4.18 las expresiones de los vectores de velocidad y de aceleración resultan ser:

d d u ( t ) = R y( t ) dt dt (4.20) 2 d d2 u ( t ) = R 2 y( t ) dt 2 dt De acuerdo con las ecuaciones 4.18 y 4.20 las ecuaciones de equilibrio dinámico 4.1 en el sistema de referencia transformado se expresa como:

MR

d2 d y + CR y( t ) + KRy( t ) = F( t ) (4.21) 2 (t) dt dt

Al premultiplicar la ecuación 4.21 por la transpuesta de la matriz modal se obtiene la siguiente expresión.

R tM R

d2 d y + R t C R y( t ) + R t K Ry( t ) = R t F( t ) (4.21) 2 (t) dt dt

Al definir los siguientes conceptos

M∗ = R t M R = Matriz de masa transformada C∗ = R t C R = Matriz de amortiguamientos transformada K ∗ = R t K R = Matriz de rigideces transformada

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F∗( t ) = R t F( t ) = Vector de c arg as transformado De acuerdo con las expresiones de ortogonalidad de los eigenvectores respecto a las matrices de masas y de rigideces, la matriz de masa transformada sea una matriz diagonal, las ecuaciones de equilibrio dinámico transformadas se pueden escribir como

M∗

d2 d y + C∗ y( t ) + K∗ y( t ) = F∗( t ) 2 (t) dt dt

Que resulta ser un sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado, cuya ecuación i-ésima se puede escribir como:

m∗i

d2 ∗ d y c yi ( t ) + k ∗i yi( t ) = fi∗( t ) (4.25) + i i t ( ) 2 dt dt

La ecuación 4.25 representa la ecuación de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de libertad. Por lo anterior se puede decir que un sistema de N grados de libertad se transforma en N sistemas de un grado de libertad. Los coeficientes de las ecuaciones de un grado de libertad resultan ser: N

( )

m∗i = ∑ m k rki k =1

2

c∗i = 2ωi ζ i k ∗i = ωi2 m∗i N

fi∗

=-

∑ mk Iik

k =1 N

∑ mk ( rki )

2

d2 d2 u g ( t ) = -ci 2 u g ( t ) dt 2 dt

k =1

Donde:

m k = masa asociada al grado de libertad k - ésimo rki = componente k - ésimo del i - ésimo eigenvector ( mod o )

ωi = frecuencia natural de vibración del i - ésimo mod o ζ i = fracción del amortiguamiento crítico del i - ésimo mod o N

ci =

∑ mk rik

k =1 N

∑

k =1

( )

m k rki

2

= coeficiente de participación del i - ésimo mod o

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4.3.

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MÉTODO DIRECTO DE INTEGRACIÓN PASO A PASO. [6] -pag36

Los métodos que actualmente se utilizan para integrar paso a paso las ecuaciones de equilibrio dinámico de las edificaciones se agrupan en: a) Métodos directos b) Métodos de superposición modal. 4.4.

MÉTODO DIRECTO PASO A PASO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

Otra forma de integrar paso a paso las ecuaciones de equilibrio dinámico de las estructuras es mediante la solución del problema de eigenvalores, según se indica a continuación. [6] -pag38 4.5.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE VALORES CARACTERÍSTICOS (EIGENVALORES) DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO;

Este caso corresponde a un problema de vibraciones libres no amortiguadas, cuyas ecuaciones resultan ser: [6] -pag38

M

d2 u t + Ku ( t ) = 0 dt 2 ( )

En las vibraciones libres el movimiento armónico, es decir

d2 u = -ω2 u ( t ) 2 (t) dt y las ecuaciones de vibración libre resultan ser

K u = ω2 M u que es el clásico problema de eigenvalores comúnmente expresado como:

Ax=λBx Definición; sea A una matriz de n × n. Se dice que un número λ es un valor propio de A si existe un vector solución K, no cero, del sistema lineal [15] -pagAP-16. AK = λK El vector solución K es un vector propio que corresponde al valor propio λ. El término híbrido eigenvalor se usa como traducción de la palabra alemana eigenwert que significa “valor propio”. A los valores propios y vectores propios se les llama también valores característicos y vectores característicos, respectivamente. Ejemplo; Vector propio de una matriz

 1   Compruebe que K =  −1 es un vector propio de la matriz  1    0 −1 −3    A= 2 3 3   −2 1 1   

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Solución; al multiplicar AK;

 0 −1 −3   1   −2        AK =  2 3 3   −1 =  2  = (−2)  −2 1 1   1   −2       

 1    −1 = (−2)K  1  

De acuerdo con la definición y lo que acabamos de decir, λ = -2 es un valor propio de A. [15] -pagAP-16 Ejemplo; Valores propios y vectores propios

 1 2 1   Determine los valores y vectores propios de A =  6 −1 0   −1 −2 −1   Solución; para desarrollar el determinante y formar la ecuación característica usamos los cofactores del segundo renglón;

det ( A − λI ) = Puesto

1− λ

2

0 = −λ3 − λ 2 + 12λ = 0 −1 − λ −2 −1 − λ

6 −1

que

1

−λ3 − λ 2 + 12λ = −λ ( λ + 4 )( λ − 3) = 0 ,

los

valores

propios

son

λ1 = 0, λ 2 = −4 y λ3 = 3 . Para hallar los vectores propios debemos reducir tres veces ( A − λI 0 ) , lo cual corresponde a los tres valores propios distintos. Para λ1 = 0

1 2 1 ( A − 0I 0 ) = 6 −1 0 −1 −2 −1 Entonces, k1 = −

1 2 0 1 2 1 0 0 → 0 −13 −6 0 → 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 6 0 → 0 1 13 0 0 0 0

1 13

0 6 0 13 0 0

1 6 k 3 y k 2 = − k 3 . Si k 3 = −13 , obtenemos el vector propio (*) 13 13

1 K1 =

6 −13

Para λ 2 = −4

( A + 4I 0 ) =

5

2

1

6 3 0 −1 −2 −3

0

1 2 −3 0

0 → 6 3 0 5 2

1

2

-3 0

1 0

1 0

0 0 → 0 −9 18 0 → 0 1 −2 0 1 0 0 −8 16 0 0 0 0 0

Entonces, k1 = − k 3 y k 2 = 2k 3 . Si k 3 = 1 , se obtiene el segundo vector propio

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−1 K2 =

2 1

Para λ3 = 3 La eliminación de Gauss-Jordan da;

( A − 3I 0 ) =

−2

2

1

6 −4 0 −1 −2 −4

0

1 0 1 0

0 → 0 1 3 0 2 0 0 0 0 0

Entonces, k1 = − k 3 y k 2 = −

3 k 3 . Si k 3 = −2 , conduce al tercer vector propio 2

2 K3 =

3 −2

(*) Naturalmente, k 3 pudo ser cualquier número distinto de cero; en otras palabras, un múltiplo constante distinto de cero de un vector propio también es un vector propio. Cuando una matriz A de n × n tiene n valores propios distintos, λ1 , λ 2 ,..., λ n se demuestra que se puede determinar un conjunto de n vectores propios independientes(*) K1, K2,....., Kn; sin embargo, cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, quizá no sea posible hallar n vectores propios de A linealmente independientes. (*) La independencia lineal de los vectores columna se define igual que la de las funciones. [15] -pagAP-17 Example; The analysis of vibration frequencies by the solution of the determinantal equation (9) will be demonstrated with reference to the structure of fig. 05. The stiffness matrix for this frame can be determined by applying a unit displacement to each story in succession and evaluating the resulting story forces. Because the girders are assumed to be rigid, the story forces can easily be determined here by merely adding the sides way stiffnesses of the appropriate stories. [7] -pag202

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Cátedra: Dinámica Estructural m = 1.0

k = 600 m = 1.5

k = 1200 m = 2.0

k = 1800

Figura 05 Frame used in example of vibration analysis

The mass and stiffness matrices for this frame thus are

1.0

 kip.sec2  m = 1  in  

0 0

0

0

1.5 0 0 2.0

1 −1 0 kips   k =  600  −1 3 −2 in   0 −2 5 from which

kips   k − ω m =  600  in   2

1− B −1 0

−1

0

−2 3 − 1.5B −2 5 − 2B

(a)

Where

B≡

ω2 600

The frequencies of the frame are given by the condition that ∆ = 0 where ∆ is the determinant of the square matrix in eq (a). Evaluating this determinant, simplifying, and equating to zero leads to the cubic equation;

B3 − 5.5B2 + 7.5B − 2 = 0 The three roots of this equation may be solved directly or obtained by trial and error; their values are B1 = 0.3515 , B2 = 1.6066 , B3 = 3.5420 . Hence the frequencies are;

ω12   210.88   2    ω2  =  963.96   2   2,125.20   ω3  

 ω1  14.522       rad  ω2  = 31.048     ω   46.100   sec   3  

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The analysis of vibration mode shapes will be demonstrated by applying it to the structure of fig.05. The mode shapes can be found by introducing the values of Bn , inverting, and multiplying as indicated. The calculations for the three mode shapes of this system follow;

0.6485  0.3018

Mode 1: B1 = 0.35 → 

 −0.6066   −0.6790

Mode 2: B2 = 1.61 →  Mode 3: B3 = 3.54

 −2.5405 →   2.4382 

Of course, the displacement of mass a in each mode has been assumed to be unity. The three mode shapes for this structure are sketched in fig.06. [7] -pag 207.

1.000

0.648

0.301

1.000

1.000

-2.5405

-0.6066

-0.6790

2.438 = 31.048

MODE 1 W1= 14.522

MODE 3 W3= 46.100

MODE 2 W2= 31.048

Figura 06 Vibration properties for the frame

Referencia Bibliográfica extra [14] -pag183. 4.5.1. SUPERPOSICIÓN MODAL. Consider, for example, the cantilever column shown in fig. 07, for which the deflected shape is expressed in terms of translational displacements at three levels. Any displacement vector v (static or dynamic) for this structure can be developed by superposing suitable amplitudes of the normal modes as shown. For any modal component v n , the displacement are given by the product of the mode-shape vector φn and the modal amplitude Yn ; thus[7] –pag220

vn = φn Yn

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The total displacement vector v is then obtained by summing the modal vectors as expressed by v11

v1

v2

v21

+ v31

v=Φ Y

v13

v23

v22

= v3

v12

+ v32

v1=Φ Y1

v33

v2=Φ Y2

v3=Φ Y3

Figura 07 Representing deflections as sum modal components N

v = φ1Y1 + φ2 Y2 + … + φ N YN = ∑ φn Yn n =1

or, in matrix notation,

v = ΦY In this equation, it is apparent that the NxN mode-shape matrix Φ serves to transform the generalized coordinate vector Y to the geometric coordinate vector v . The generalized component in vector Y are called the normal coordinate of the structure.

φTn mv = φTn mφ1Y1 + φTn mφ2 Y2 + … + φTn mφ N YN Because of the orthogonality property with respect to mass, …….for…., all terms on the right hand side of this equation vanish, except for the term containing….., leaving

φTn mv = φTn mφn Yn From which

φTn mv Yn = T φ n mφ n

n = 1, 2,......, N

(12-6)

If vector v is time depend, the… coordinate will also be time dependent; in this case, taking the time derivative of Eq. 12-6 yields El llamado análisis modal aprovecha las propiedades de los modos de vibrar para reducir el problema de resolver un sistema acoplado de n ecuaciones diferenciales al de n ecuaciones diferenciales desacopladas. [2] -pag121. 4.5.2. SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL. Método de la respuesta espectral [6] -pag43 Este método corresponde al denominado análisis de las NTC para el diseño por sismo. Su secuencia se resume a continuación.

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a) Desacoplamiento de las ecuaciones de equilibrio dinámico b) Obtención de la respuesta espectral de cada una de las ecuaciones de equilibrio desacopladas. De acuerdo con el RCDF87 se calcula mediante la siguiente expresión

yi max = ci

Ai ωi2

y′max = respuesta espectral de desplazamientos transformados del mod o i-esimo ωi = Frecuencia natural de vibración del mod o i - ésimo Ai = Ordenada del espectro de aceleraciones de diseño asociada al príodo natural de vibración Ti =

2π ωi

ci = coeficiente de participación del mod o i - ésimo c) Cuantificación de los vectores de desplazamientos máximo de la estructura para cada modo.

ui

max

= r i yi max

r i = Eigenvector asociado al mod o i - ésimo d) Obtención de la respuesta total de la estructura a. Método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS)

S=

N

∑ Si2 i1

b. Método de la combinación cuadrática completa (CQC)

S=

N N

∑∑ Si pijS j i=1 j=1

pij =

8

(

)

ζ i ζ jωi ω j ζ i ωi + ζ jω j ωi ω j

( ωi - ω j ) + 4ζiζ jωiω j + 4 ( ζ 2i + ζ 2j ) ω2i ω2j

ζ i = Valores del amortiguamiento crítico del mod o i - ésimo

( que se sup one cons tan te para todos los mod os ) ωi, j = Frecuencia natural de vibracion del mod o i - ésimo Referencia bibliográfica extra: [7] –pag 211, 221 y 222, [10] –pag 396

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5.

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PROGRAMACIÓN EN COMPUTADORAS.

BIBLIOGRAFÍA [1]

ALONSO, Marcelo y Edward J. FINN; “Física Volumen I Mecánica” – Editorial: Addison-Wesley Iberoamericana ISBN 0-201-00227-2; Año 1986.

[2]

BAZÁN, Enrique y MELI, Roberto;” Diseño sísmico de edificios”; Editorial Limusa ISBN 968-18-5349-0; Año 1999

[3]

BOYCE. DIPRIMA, “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera” – Editorial Limusa ISBN 968-18-4974-4

[4]

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Mgter. Ing. Mario Alberto NIETO – Ing. Gonzalo Martín AIASSA

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