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LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
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Cálculo Estructural
Calculó: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Fecha de elaboración:30 30 April 2010 Página:
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INTRODUCCIÓN ................................................................................................ ................................ .............................................................. 3 CAPÍTULO 1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MÉTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL MATRICIA ................................................................................................ ......................................... 5 1.1 MÉTODO DE LA RIGIDEZ................................................................................................ .................................................... 5 1.2 ÁLGEBRA LINEAL ................................................................................................ ................................ ............................................................... 15 1.3 MÉTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL ................................................................. ................................ 19 CAPÍTULO 2 MICROSOFT EXCEL® ................................................................ ........................................................... 25 2.1 ENTORNO DE TRABAJO ................................................................................................ ..................................................... 25 2.2 FUNCIONES MATEMÁTICAS ................................................................................................ .............................................. 26 2.3 VISUAL BASIC PARA APLICACION APLICACIONES................................................................. ................................................................. 27 CAPÍTULO 3 ANÁLISIS IS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT MICRO EXCEL® ................................................................................................................................ ................................ ............................................ 32 3.1 CÓDIGO FUENTE ................................................................................................ ................................ ................................................................ 32 3.2 FORMA DE INTRODUCIR LOS DATOS................................................................ .............................................................. 46 3.3 FORMA DE INTERPRETAR LOS RESULTADOS................................................................ ................................................ 59 3.4 ALCANCE DEL PROGRAMA ................................................................................................ ............................................... 65 3.4.1 Ventajas ................................................................................................................................ ................................ .................................... 65 3.4.2 Limitaciones ................................................................................................ ................................ ........................................................... 65 CAPÍTULO 4 EJEMPLOS ................................................................................................ ................................ .............................................. 66 4.1 MARCOS PLANO CON MIEMBROS DE SECCIÓN CONSTANTE ...................................................... ................................ 66 4.2 MARCOS PLANOS CON MIEMBROS DE SECCIÓN VARIABLE ....................................................... ................................ 88 CAPÍTULO 5 CONCLUSIO CONCLUSIONES ................................................................................................ ................................... 105
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INTRODUCCIÓN Con el creciente y amplio uso de la tecnología digital que se ha dado recientemente es imposible mposible que su influencia no lle llegue a la rama de la ingeniería civil y, de manera más específica, al campo de la ingeniería estructural, tanto así que existen en la actualidad infinidad de herramientas computacionales computacionales dirigidas a resolver problemas de análisis y diseño de estructuras. Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras, de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles, incluso so dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el análisis de estructuras. El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy recurrido r ya que es de enorme utilidad al realizar cálculos laboriosos y extremadamente repetitivos, evitando así cometer posibles errores. Sin embargo, la parte importante y crucial de un problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas por p el método de análisis, sino plantear el problema en cuestión de forma correcta. La tarea que lleva a cabo una computadora en el análisis estructural es tan sólo una parte de un proceso donde el ingeniero observa el problema, lo plantea, introduce en la computadora los datos correctos y, finalmente, interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que una máquina detecte un error en el planteamiento del problema, por consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer resultados correctos. Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa computacional, debe de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está
realizando, realizando
consecuentemente cualquiera que desee delegar el cálculo de una estructura a algoritmos computacionales, omputacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayado y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa computacional como apoyo en el análisis, para esto se ha realizado un programa computacional que pueda servirr de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de cálculo en Microsoft Office Excel ®, dicha hoja resuelve marcos planos mediante el método matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el número máximo de grados REALIZADO 4/30/2010 REVISADO 09/01/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez
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de libertad debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos de sección variable. Se eligió el tema para afianzar los conocimientos sobre análisis estructural, además para alentar a otros estudiantes a desarrollar sus propios programas, programas ya que es un método de autoaprendizaje, también para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se conozca –a grandes rasgos– la mecánica del mismo. El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que existen en el mercado, ya que éstos son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios ios en leguajes de programación, sin embargo se contribuye en que el programa –como estudiante de ingeniería civil– está orientado no a un uso profesional onal sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de ingeniería civil. Asimismo,, contrario a lo que se podría pensar, el programa computacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en el mercado en cuanto al hecho de que éste puede servir como un primer acercamiento al cálculo estructural mediante herramientas computacionales, ya que debido a su simplicidad será fácil para un estudiante comprender el mecanismo de operación.
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CAPÍTULO 1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MÉTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL 1.1 MÉTODO DE LA RIGIDEZ
Una de las definiciones fundamentales es la de estructura, concepto que Juan Tomás Celigüeta, en su Curso de Análisis Estructural, Estructural define de la siguiente forma: “Una estructura es, para ara un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos.” (Celigüeta 1998: 1) Un concepto también definido por Roberto A. Falcón, aunque de manera más técnica: “Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas…”. juntas…”. (Falconí 2004: 5) Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras uras están formadas por miembros unidos entre sí (en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarán elementos y a las uniones y voladizos se les designará nudos), ), los cuales se encargan de mantener estable un estado de fuerzas (o una carga), lo que nos lleva a definir análisis estructural:
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder p primero a su idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura, sobre la forma en que éstos están unidos entre sí, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las técnicas propias del Análisis Estructura Estructural. l. Para este análisis REALIZADO 4/30/2010
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siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura… estructura (Celigüeta 1998: 3)
Entonces el objetivo del análisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en un n punto cualquiera de una estructura, para esto se pueden seguir muchos métodos, algunos de los cuales se enumeran a continuación y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su naturaleza. 1. Soluciones analíticas: analíticas: consisten en resolver directamente las ecuaciones ecu que controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos sencillos.
o
Integración de la ecuación de la elástica en v.
o
Teoremas de Mohr para vigas.
o
Método de la viga conjugada para vigas.
2. Empleo de las ecuaciones de la estátic estática: a: sólo se pueden aplicar a estructuras isostáticas.
3.
o
Método del equilibrio de los nudos para armaduras.
o
Método de las secciones para armaduras.
o
Método de la barra sustituida para armaduras.
Métodos basados en la flexibilidad.
o
Principio del trabajo virtual vir complementario omplementario y principio del potencial complementario estacionario.
o
Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti Crotti-Engesser. Engesser.
o
Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.
o
Método de la compatibilidad de deformaciones e en vigas.
o
Fórmula de los tres momentos para vigas.
o
Principio de Müller-Breslau Müller para cargas móviles.
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4. Métodos basados en la rigidez.
o
Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario.
o
Primer teorema de Castigliano.
o
Método de rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo.
o
Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos.
De todos los métodos anteriores, para este trabajo el que nos interesa es el método de rigidez en formulación matricial, matricia , debido a su fácil implementación y sistematización en computadoras. Para explicar el método de la rigidez hace falta definir ciertos conceptos e hipótesis necesarios. Se dice que un modelo matemático es más exacto mientras más variables se involucren en n el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas variables como son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que están unidas, también intervienen los procedimientos de construcción, los cambios de temperatura, la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de estas variables se despreciarán, suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuación se enumeran las hipótesis: 1.-Comportamiento amiento lineal de la estructura y de los materiales. 2.-Movimientos Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura. 3.-Se Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez. 4.-Los Los materiales son homogéneos e isótropos 5.-Las Las uniones de los elementos y de la estructura son ortogonales. 6.-Los Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en dos dimensiones).
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7.-Se Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de los elementos. esariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo 8.-No necesariamente debe ser rectangular. Las hipótesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición. Dicho principio establece que los efectos que produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura, son equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las fuerzas del sistema actuando independientemente. Dentro de la estructura, en cualquier cualquier elemento, sección o nudo, la suma de las fuerzas y momentos será cero, en este caso, como es una estructura plana, se debe cumplir que: ∑ 0
∑ 0
∑ 0
Para analizarr una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructura mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas. Si una estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el análisis álisis y deberá replantearse una nueva estructura. En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a determinar su grado de indeterminación. Como se mencionó anteriormente, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, entonces, e ell grado de indeterminación será el número de incógnitas que excedan el número de ecuaciones disponibles. Las incógnitas en el método de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros. Esto Esto lleva a definir el término grado de indeterminación cinemática, cinemática, que no es otra cosa que la suma de todos los desplazamientos independientes en los nudos. Ahora bien, ya que se han definido las hipótesis y las condiciones de la estructura, se debe hablarr del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los REALIZADO 4/30/2010
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desplazamientos). Dicho método se llama así porque parte de la definición de rigidez, la cual nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo multiplicada a por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se utilizan acciones producidas por desplazamientos unitarios, éstas son traslaciones o rotaciones unitarias, y las acciones serán fuerzas o momentos. Las acciones causadas por desplazamientos desplazamientos unitarios se conocen como “rigideces”. Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y determinar sus rigideces.
θ =1 M
Mk
j
L
FIGURA 1
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario. io. Si la fuerza necesaria para producir dicho desplazamiento
es igual
a la rigidez
del elemento multiplicada
por el mismo
desplazamiento ∙ Δ, y si, Δ 1 entonces .. Por el método de la viga conjugada:
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Mk EI Mj EI L
FIGURA 2
0 ⟶
∙ 1 ∙ 2 0; ∴ 2 2 3 2 3
Al provocar un giro unitario en el extremo con se genera factor de transporte de 12.
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, es decir, existe un
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Rk
Rj = V =θ
Mk EI Mj EI L
FIGURA 3
El cortante en es el valor del giro en ese punto ! " 0; ⟶
Como
∙ 2 ∙ 1 # # ! 0 2 3 2 3
∙ 2 ∙ 1 2 1 # # ! 0 ⟶ # ! ! 0 2 3 2 3 6 12
Como ! " 1 Entonces
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4 !
4 2 ; REVISADO 09/01/2010
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De e manera similar se obtienen las rigideces para para cuando el giro se aplica en el extremo izquierdo y en el derecho, también cuando se aplica una traslación en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras 4, 5, 6 y 7.
θ j =1
4 EI L
2 EI L
j
k
6 EI L2
−
6 EI L2
FIGURA 4
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2 EI L
4 EI L
13
k
j
θk = 1 6 EI L2
6 EI − 2 L
FIGURA 5
6 EI L2
∆ j =1
6 EI L2
j
k
−
12 EI L3
12 EI L3
FIGURA 6
−
−
6 EI L2
6 EI L2
j
∆k = 1 k
12 EI L3
12 EI − 3 L
FIGURA 7
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento serían:
wL2 12
wL2 12
wL 2
wL 2
FIGURA 8
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1.2 ÁLGEBRA LINEAL
El álgebra lineal incluye la teoría y la aplicación de sistemas lineales de ecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propósito de este trabajo, bastarán los siguientes: El primer concepto a definir es el de matriz, que es un arreglo rectangular de elementos – en nuestro caso números – escritos entre corchetes, por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre: ./*0 '()(*+,- 1 $1500 '()(*+,- 2 $1400 '()(*+,- 3 $750
/1*/*0 $1600 $1550 $800
,*20 $1650 $1600 $1000
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3 columnas, entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el primer término el número de renglones, el cual se denominará m y el segundo término será el número de columnas y se le denominará con la letra n.. De manera genérica una matriz cualquiera de & D . será: , ⋮ B ,A>
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al renglón y luego a la
columna, por ejemplo el elemento ,
C
de la matriz de ventas será $1600 que corresponde
a la sucursal 2, en el mes de marzo. Cuando en una matriz & o n es igual a 1 se dice que es un vector, si & 1 entonces es un vector renglón y si . 1 será un vector columna.
Matrices especiales REALIZADO 4/30/2010
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Existen ciertas matrices que deberán mencionarse deb debido ido a su utilidad en el método de le rigidez: Matrices cuadradas.cuadradas. & . Matriz simétrica.- ,9 ,9
,9 ,9 0 excepto cuando H
Matriz diagonal.-
Matriz identidad.- ,9 ,9 0 excepto cuando H entonces ,9 1
Adición de Matrices
La adición se define únicamente para matrices 7 8,9 : y E 819 : del mismo
tamaño
y
su
suma
–denotada denotada
por
A+B A+B–
se
obtiene
sumando
los
elementos
correspondientes. Las matrices de orden diferente no pueden pueden sumarse.
Multiplicación por escalares
El producto de cualquier matriz 7 8,9 : de & D . y cualquier escalar (un escalar
es un número o también es una matriz de orden 1 × 1) ) denotado por cA es la matriz )7 8),9 : de & D . obtenida al multiplicar cada elemento de A por c.
Multiplicación de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz 7 8,9 : de &I D .I y una matriz
E 819 : de &F D .F está definido si y sólo si .I D &F , es decir, el número de renglones del
segundo factor B debe ser igual al número de columnas del primer factor A y entonces el resultado será la matriz G 8)9 : de &I D .F de con elementos: >J
)9 ,9 1 K<
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Transpuesta ranspuesta de una matriz
Resulta útil definir la transpuesta de una matriz 7 8,9 : como 7U 8,9 :.
Inversa de una matriz Para el método de las rigideces únicamente se utilizarán inversas de matrices
cuadradas, así pues la inversa de una matriz 7 8,9 : de & D . se denota por 7R< y es una matriz de & D . tal que
77R< 7R< 7
donde I es una matriz identidad de orden & D .
Si A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa, entonces A se llama ama matriz singular.
Determinante de una matriz Un determinante es un escalar asociado a una matriz. Sea una aplicación uno a
O1 uno LMN del conjunto O1,2,3,4, ⋯ , .T sobre sí misma, en este caso el número de permutaciones será .! . Se dice que M es par o impar mpar si hay un número par o impar de
parejas LH N tal que H Q , si M es par, la permutación es positiva, si M es impar, la permutación es negativa.
123 L1,2NL1,3NL2,3N 0 # 231 L2,3NL2,1NL3,1N 2 # 312 L3,1NL3,2NL1,2N 2 # 321 L3,2NL3,1NL2,1N 3 132 L1,3NL1,2NL3,2N 1 213 L2,1NL2,3NL1,3N 1
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Sea el determinante de la matriz cuadrada 7 8,9 : que se denota por |7|, la suma
calculada de todas las permutaciones
,
