Hoja Teoría 1

 

COMMMA - INGENIERÍA

 

COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS UNIDAD I: MATRICES, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y RELACIONES BINARIAS 

SESIÓN 03: PAR ORDENADO, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS

2021 - 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

1

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PAR ORDENADO 

PLANO CARTESIANO 

PRODUCTO CARTESIANO 

RELACIONES BINARIAS  DEFINICIÓN:

Ejemplo:

  

Sean los conjuntos

= {2;4;7} y



= {1;3;5} 

Determine los elementos de la siguiente relación:

    ∈     = {( ; )

×  /

+

< 6} 

Solución:

    ×

= {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (7; 1), (7 (7;; 3) 3)(7 (7;; 5)} 

= {(2; 1), (2; 3), (4; 1)} 

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ℝ ℝ

RELACIÓN LINEAL 

Dom(R)=   Ran(R)=  

RELACIÓN CUADRÁ CUADRÁTICA TICA 

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EJERCICIOS RESUELTOS

           

1.  1.  Sean los conjuntos = { ; ; } y = { Halle el producto cartesiano de ×  

;

;

} 

De los conjuntos: Rpta:

              �    ∈           2   2  ⟹  2    ⟹    

= {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (8, 1), (8; 2),(8; 3)} 

×

2.  2.  Halle el dominio y rango de la relación:

= ( , )

×  /

+

=    

+

Para hallar el dominio de la relación, despejamos “y” +3

+1=0

( + 3)

=

1

Analizamos los valores que toma “x” para que “y” sea real:

Por ello:



, 3 > [1, + [ 

=<

1

 

=±

−1 +3 ≥

+3

0 

2   ∞∞2 ∪  ⟹∞ 2    2   ⟹    2 2 

Para hallar el rango de la relación, despejamos “x” +3

+1=0

(

1) =

3

Analizamos los valores que toma “y” para que “x” sea real: { 1,1}  Por ello: =

    

1

≠

=

3

+1 1

 

±1 

3.  3.  José Luis, dueño de una empresa de cementos, contrató un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias de la venta de x unidades de cementos, están dadas por =  ¿Cuántos cementos debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?

    

= 120

  2        − Hallamos el vértice:   2  2   donde   2   120−2 ,    2    De la ganancia:

(

=

= 60

,

)

     ⇒

=

1,

= (60) = 36 3600 00

= 120

 

= 0 

  (60 (60,, 3600) 3600) 

Rpta: Para maximizar las ganancias debe vender 60 cementos y la ganancia máxima es 3600.

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PROBLEMAS PROPUESTOS: NIVEL I:

 

1.  1.  Si



= {1;2;8}   

= {4;7;6}, identifica la siguiente relación:

    ∈   ⁄   = {( ; )

> } 

×

2.  2.  Determina la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: a) ejerelación horizontal se conoce el todo nombre eje x, odel ejeproducto de las ordenadas b) El Una binaria de A encon B es subde conjunto AxB c) Los puntos situados en el eje de las ordenadas tienen primera componente nula d) Los puntos situados en el eje de las abscisas tienen segunda componente nula e) El Dominio Dominio de una relación está formado formado por las primeras primeras componentes componentes de sus pares ordenados. f) El Rango de de una una relación relación está está fformado ormado por las segundas componentes de sus pares ordenados

        ∈∈     ≤     ∈                    ∈     

( ( ( ( (

) ) ) ) )

(

)

3.  3.  Dados los conjuntos: = {2;4;6}; = {0;3;5}. Relaciona según corresponda: a) = {( , ) ×  / + 5}  = {(3; 4);(5;2)}  b) = {( , ) ×  / + = 7}  = {(3; 6);(5;4)}  ×  / + = 9}  = {(2; 3); (2; 5);(4;5)}  = {( , ) c) d)

= {( , )

4.  4.  Sea la relación:

×  /

 

< } 

= {( {(2; 2; 0); (2; 3);(4;0)} ;(4;0)} 

= {(0; 0); (5; 2); (10;8); (15;4); (20;2)}, determina el dominio y el rango.

5.  5.  Dados los conjuntos: = { 2;0;1} ; = {0, 1; 2} , determina el dominio y rango de la siguiente relación: = {( ; ) ×   / < + 2} 

NIVEL II:

2+3 ;  conjuntos:   3   ∈   ∈   ≤ ≤  ≤ 7.  7.  Dados los siguientes

6.  6.  Dados los conjuntos,



=

/0 <

10

= { 1;1;3;5}, determine:

        ∈    ≤  ≤                ∈   ≤  ≤    ∈∈ ∧     ≤   ={

 / 1 Determine: ) ×  

= {1;0;7}.

3} ; = {4 2/ ) ×   ) ×  

8.  8.  Sean los conjuntos: = { /0 10} , = {2  / número de elementos de la siguiente relación: = {( ; )

9.  9. 

;1 ) ×  

4} ;

4} . Determine el + 1 = } 

5<

×  /

    ∈   ≤  ≤     ∈   ≤  ≤ 21     ∈∈     2   2 ∪ 1

Sean los siguientes conjuntos: 5} y las relaciones Definidas por: Determine:

×  

= {( ; ) = {( ; )

(

)

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= {2  /

;1

3};

= {2

1/

;3

×  / = 2 + 1}   ×  / = 19}

(

) 

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    ∈   2   2

10.   10.

Halle el dominio y rango de una relación:

11.   11.

Una mueblería produce 100 sillones a un costo de 2500 dólares, pero si produce 300 el costo es de $6,500. Si se sabe que la relación del costo (C)  (C)  y el número de sillones (x) (x)   es lineal, obtenga una fórmula que exprese esta relación y calcule el costo de producir 450 sillones.

= {( ; )

×  /

+3

+ 1 = 0} 

NIVEL III 12.  En el año 2004, la producción de autos de la marca Toyota fue de 1500 unidades, mientras que en el año 2005 fue de 1800 unidades. Suponiendo que la relación entre el número de unidades “N” y el año “x” es lineal. Escriba una relación lineal que describa “N” en términos de “x” y determine el número de unidades producidas en el año 2008. 13.   Un algodonero recoge 30 kg cada hora y demora media hora preparándose todos los días cuando 13. 15   donde “y” inicia la jornada. La relación que representa esta situación es = 30 representa los kg de algodón recogido y “x” el tiempo transcurrido en horas. Con la información. a) a)   Construya la tabla para la anterior relación y grafíquela en el plano cartesiano. b) b)   ¿Cuántos kilogramos de algodón se recogerán en una sola jornada de 8 horas? c) c)   ¿Si el algodonero recibe un pedido de 135 Kg, lo podrá cumplir en una sola jornada de 4 horas?

 

14.  Una empresa que produce calcímetros calcímetros tiene un costo fijo mensual de S/. 300 y un costo variable por unidad producida de s/. 10. Además, A demás, se sabe que el precio de venta de cada calcímetro está dado por la siguiente relación = 100 0,1 , donde “x”, es el número de calcímetros que produce y vende mensualmente. a) a)   Construya la relación utilidad y grafíquela en el plano cartesiano. b) b)   ¿Cuál es la utilidad si fabrica y vende 212 calcímetros? c) c)   ¿Cuál es el nivel de producción que maximice la utilidad, y cual es dicha utilidad?

  

15.   La marca FERROX, dedicada a la venta de rodamientos de apoyo de exportación de cierto modelo, 15. vende sus rodamientos de apoyo en dos tiendas especializadas en el rubro. En la tienda “TOPS” vende su rodamiento de apoyo “modelo A” a S/. 50, siendo su costo S/. 30 por unidad y teniendo costos fijos de S/. 20 000. En la tienda “CIVILS”, vende su rodamiento de apoyo “modelo B” a S/. 60, siendo su costo unitario de S/. 35 y sus costos fijos de S/. 25 000 para ese modelo. a) a)   Determine las funciones de costo, ingreso y utilidad para cada tienda. b) b)   Calcule la utilidad que obtiene cada tienda al vender 100 rodamientos de apoyo. c) c)   Además, el gerente desea saber cuál de las dos tiendas obtiene ganancias más rápidamente. Referencia bibliográfica N°

CÓDIGO

1

510 MILL /M 2006

Miller, Charles D.

Matemática: Razonamiento y Aplicaciones

UPN - LIMA

2

510 HARS/ EJ.6

Harshbarger / Reynolds

Matemáticas aplicadas

UPN - LIMA

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AUTOR

TITULO

6

UBICACIÓN

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