Hoja de trabajo sesión 06calculo

CÁLCULO 3

UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 06: OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIÓN NIVEL I: 1. Halle los extremos condicionados de f ( x, y)  x 2  y 2 sujeto a la condición de enlace

x y  2 2. Halle los extremos condicionados de la función f(x;y;z) = xyz, sujeta a las condiciones de Enlace:

1 ( x, y, z )  x  y  z  3  0   2 ( x, y, z )  x  y  z  8  0 3. El cono z2 = x 2 +y 2 es cortado por el plano z = 1 + x + y en una curva C. Halle los puntos de C que están más próximos y más alejados del origen. 4. Un disco circular tiene la forma de una región acotada por el círculo x2 + y2 = 1. Si T es la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x; y) del disco y T (x ;y ) = 2x2 +y 2 — y, encuentre los puntos más calientes y más fríos del disco. NIVEL II: 1. Se va a construir un conducto para agua que va del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde los costos de construcción difieren (ver la figura). El costo por kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S. Para simplificar, sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange para localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice.

2. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.

3. Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de una caja rectangular y un volumen de 1 000 pies cúbicos, como se muestra en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida de calor por unidad de área a través del techo es cinco veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor a través de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. Determinar las dimensiones del cuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consiguiente minimizan los costos de calefacción. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

1

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

4. Un servicio de entrega de "paquetes establece que las dimensiones de una caja rectangular deben ser tales que, el largo más el doble del ancho, más el doble de la altura sea igual a 120 cm. Determine el volumen máximo de la caja rectangular que puede enviarse. NIVEL III: 1. Una organización internacional debe decidir cómo gastar los $4000 que se le han asignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de Ayacucho. Esperan dividir el dinero entre comprar trigo a $ 5 el saco y kiwicha a $ 10 el saco. Para el número P de personas que se alimentarán se comprarán x sacos de trigo e y sacos de kiwicha. Luego, P está dado por:

P ( x, y )  x  2 y 

x2 y 2 2(108 )

¿Cuál es el número máximo de personas que pueden alimentarse, y cómo la organización debe asignar su dinero? 3. Un cilindro circular recto cerrado con un volumen de 8000 pies cúbicos se construye con dos clases de material. La tapa y la base del cilindro se hacen de un metal que cuesta S/.16 el pie cuadrado. La cara lateral se cubre con un metal que cuesta S/. 20 el pie cuadrado. Calcule las dimensiones del cilindro para que el costo de construcción sea mínimo.

4. El costo de taladrar un túnel a través de un cerro es proporcional al cuadrado de la longitud del túnel. Se debe excavar dos túneles rectos desde los puntos P1 y P2 exteriores de un volcán hasta un punto común Q en la orilla de su lago circular interno. Trazando coordenadas se obtiene el lago como x 2 + y 2 = 1 y los puntos P1 y P2 como (4;5) y (2;3) respectivamente. Halle Q de modo que minimice el costo.

Bibliografía: # [1] [2]

CÓDIGO-L 515 THOM 2007 515 CLA PITA 2009

AUTOR THOMAS CLAUDIO PITA.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2

TÍTULO

PÁGINAS

Calculo en Varias Variables

973-974

Cálculo Vectorial

111-112

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA