Hitung Manual ANOVA

STATISTIK II (INDUKTIF) Uji Hipotesis Analysis of Varians (ANOVA) MODUL 13

Oleh Ir.Sahibul Munir,SE.,MSI

FAKULTAS EKONOMI PROGRAM KELAS KARYAWAN

UNIVERSITAS MERCU BUANA 2007/2008

ANALYSIS OF VARIANCE Analisis of Variance (ANOVA) adalah metode statistik yang digunakan untuk menguji signifikasi perbedaan dari 2 (dua) rata – rata populasi atau lebih.

Didalam pengujian analysis of variance (ANOVA) dibedakan menjadi 2 (dua) :

1. One Way Anova (Uji Satu Arah) 2. Two Way Anova (Uji Dua Arah) Pengujian One Way Anova Dalam uji one way ANOVA hanya memperhitungkan satu faktor saja yang menyebabkan variasi. Sedangkan langkah – langkah dalam pengujian ini meliputi :

1). Menentukan Ho dan Ha Ho : µ1 = µ2 = µ3 =……µn (tidak ada perbedaan diantara rata – rata dari beberapa populasi ) Ho : µ1 # µ2 # µ3 #….# µn atau µ1 = µ2, tetapi µ2 # µ3 # …..#µn (bahwa satu atau lebih M tidak sama dengan M lainnya).

2). Menentukan daerah penerimaan Ho dan Ho Didalam pengujian signifikansi perbedaan rata – rata populasi (pengujian hipotesis) dengan metode ANOVA digunakan distribusi F sebagai berikut:

Terima Ho

Terima Ho / Tolak Ho.

Titik kritis

Titik kritis dicari dengan bantuan Tabel F. Titik kritis ini ditentukan oleh “taraf nyata” (λ) dan derajat bebas atau degree of freedim (df).

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Sahibul Munir, SE. M.Si.

STATISTIK II

2

Numerator = k - 1 df denumerator = k (n – 1)

k = jumlah kolom n = jumlah elemen tiap kolom λ = menunjukan besarnya kemungkinan terima Ho.

3). Menentukan nilai F. hitung (F-ratio) Variance Between Sample F-ratio = Variance Within Sample Explained Variation = Residual Variation

Untuk menghitung F- ratio digunakan tabel ANOVA sbb : Tabel ANOVA Sumber Between –Columns Residual Total

Sum of Squares n.∑(x1 –x)2

df k-1

Mean Square SSCols  / df

n. ∑ ∑ (x1t – x)2

n-1

SSres / df

F-ratio Mscols MSres

4). Membandingkan nilai F-ratio dengan F-tabel. Ho diterima jika F-ratio lebih kecil dari F-tabel (titik kritis) dan tolak Ho jika F-ratio lebih besar dari F-tabel .

5). Membuat kesimpulan . Jika Ho diterima artinya kita menerima hipotesis yang menyatakan bahwa ratarata populasi tidak berbeda. Tetapi apabila yang diterima Ha, maka kita menolak hipotesis yang menyatakan bahwa ng menyatakan bahea rata-rata populasi tidak berbeda.

One-way Analisis of Variance Analisis varian satu arah digunakan untuk menguji signifikansi perbedaan rata-rata hitung yang hanya mencakup satu klasifikasi atau satu variabel independen.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Sahibul Munir, SE. M.Si.

STATISTIK II

3

Diketahui terdapat 3 (tiga)merek mesinyaitu mesin A,mesin B dan mesin C yang ingin diuji apakah terdapat perbedaan produktifitas diantara tiga merk mesin tersebut. Setelah diambil sempel sebanyak 5 (lima) buah mesin untuk setiap merek,maka diperoleh data sebagai berikut:

Mesin A

Mesin B

Mesin C

47

55

54

53

54

50

49

58

51

50

61

51

46

52

49

x1 = 49

x2 = 56

x3 = 51

Pertanyaan : Ujian dengan taraf nyata (χ):5%,hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata produktivitas ke 3 merek mesin adalah tidak berbeda.

Penyelesaian : 1). Ho :

1=

2

=

3

Ho : satu atau beberapa µ berbeda dari µ lainnya.

2). Menentukan titik kritis (penerimaan / penolakan Ho)

χ = 5 % = 0,05

Terima Ho

→ Terima Ho

Titik kritis F (χ,df) = 389 F (0,05, 2, 12) = 3,89

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Sahibul Munir, SE. M.Si.

STATISTIK II

4

Numerator = k –1 = 3 – 1 = 2 df denominator = k (n – 1) = 3 (5 – 1 ) = 12

3). Menghitung F-ratio.

Sscols = n. ∑ (x1 – x)2 X = x1 + x2 + x3 = 49 +56 + 51 = 52 k

3

Sscols = 5 [(49 – 52)2 + (56 – 52)2 + (51-52)2] = 130 Ssres = ∑1∑1 (xit – xi)2 Ssres = (47 – 49)2 + (53 – 49)2 + (49 – 49)2 + (50 – 49)2 + (46 –  49)2 + = (55 – 56)2 + (54 – 56)2 + (58 – 56)2 + (61 – 56)2 + (52 – 56)2 + = (54 – 51)2 + (50 –51)2 + (51 –51)2 + (51-51)2 + (49 –51)2 = 94 Tabel ANOVA Sumber

SS

df

Between Machines

MS

F ratio

130 130

2

Residual

2 94

94

12

12

65 = 65

7,83

= 8,3

= 7,83

4) Membandingkan F- ratio dengan F tabel karena F – ratio > F tabel yaitu 8, 3 > 3, 89, maka Ho ditolak .

5) Kesimpulan Kita menolak hipotesis yang menyatakan bahwa rata – rata produktivitas ke 3 merk mesin tersebut tersebut. Tidak berbeda .

contoh 2 : jumlah elemen sampel dari setiap populasi tidak sama.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Sahibul Munir, SE. M.Si.

STATISTIK II

5

Dalam rangka menguji signifikansi perbedaan rata – rata jarak tempuh perliter pemakaian BBM darai 3 merek mobil produksi th. 2003, diambil sampel yang hasilnya sebagai berikut : Jarak tempuh perliter pemakaian BBM

Merk Vois ( X1 ) = Merk Vosi (X2) Merk Viso (X 3) 25

28

26

19

26

25

24

25

27

28

22

-

-

24

-

ujilah dengan taraf nyata (X) = 5% hipotesis yang menyatakan bahwa rata – rata produktivitas ke –3 merk mesin adalah tidak berbeda.

Penyelesaian : 1) Ho : µ 1= µ 2 =µ 3 Ha : satu atau lebih µ berbeda dari lainnya . 2) daerah kritis, dengan χ = 0, 05

Numeataor = k – 1 = 3 – 1 = 2 Df Denominator = Σ kolom = 12 – 3 = 9

Tolak Ho

Terima Ho

F(0,05,2,9) =4,26

3) mencari F – ratio atau F- hitung

Untuk jumlah data sampel antar populasi yang tidak sama maka rumus

F- ratio adalah : F- ratio adalah =

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

VBS

Ir. Sahibul Munir, SE. M.Si.

STATISTIK II

6

VWS VBS ( Variance Between Sample ) =

n

ni

( X1 – X )2

k–1 

VBS = N`1.( X1- X )2 + n2 ( X2 –X)2 + n2 (x2 –x)2 + n3 (x3 – x)2 k –1

x1 = (25 + 19 + 24 + 28) : 4 = 24 x2 = (28 + 26 + 25 + 22 +24) : 5 = 25 x3 = (26 + 25 + 27) : 3 = 26 x = 4.(24) + 5 (25) + 3. (26) = 24.9 4 +5 + 3 VBS = 4. (24 –24,9)2 + 5 (25 – 24,9) 2 + 3 (26 – 24,9) 2 = 3,46 3-1 VWS (Variance Within Sample) 

VWS = (n – 1). S12 + (n2 – 1). S22 + (n3 – 1). S23 n1 + n2 + n3 - 3 S12 = (25 – 24)2 + ( 19 – 24)2 + (24 – 24)2 + (28 – 24)2 =14 4–1 S12 = (28 – 25) 2 + (26 – 25)2 + (25 – 25)2 + (22 – 25)2 + (24 –

25)2 = 2 5–1 S32 = (26 – 26)2 + (25 – 26)2 + (27 – 26)2 = 1 3–1 VWS = (4 –1). 14 + (5 – 1). 5 + (3 – 1) = 7,1 4 + 5 + 3 –3 F. ratio = VBS =3,46 = 0,48 VWS 7,1

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Sahibul Munir, SE. M.Si.

STATISTIK II

7