Historia de Las Matrices

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Historia de las matrices

El preludio

El origen de las matrices es muy mu y antiguo y data de los siglos II y III A.C, en donde las matrices se desarrollaron a través del estudio de sistemas de ecu aciones lineales. Los babilonios son considerados como los primeros primeros en acercarse al descubrimiento de ecuaciones lineales simultáneas y por lo tanto a las matrices, pues pu es se hallaron tabletas de arcilla de 300 A.C donde se encuentran grabados problemas con ecuaciones lineales, un ejemplo de las mismas es la que hacen O’connor, O’connor, J. & Robertson, E.(1996): Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una proporción de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una  proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es 1100 medidas, ¿Cuál es el tamaño de cada terreno? (p.2). Durante la Dinastía Han que aconteció en China alrededor de los años 200 y 100 A.C apareció un texto titulado: “ Nueve Capítulos sobre el Arte Matemática” el Matemática” el cual nos dio el primer ejemplo del método matricial. Este es idéntico al de nuestra época, con la diferencia de que el método que los chinos utilizaban se expresaba y resolvía a través de las columnas de la matriz, mientras que el método de Gauss Gauss (el actual) se escribía mediante filas. Tomando como explicación el siguiente problema: Hay tres tipos de trigo, de los que tres sacos del primero, dos del segundo y uno del tercero hacen 39 medidas, dos del primero, tres del segundo y una del tercero son 34 medidas; una del primero, dos del segundo y tres del tercero son 26 medidas ¿Cuántas medidas de cada tipo de trigo contiene un saco? (O’connor, (O’connor, J. & Robertson, E., E., 1996.)

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A continuación el problema será resuelto con lo que hoy se conoce como Eliminación Gaussiana o de Gauss-Jordan Comenzamos escribiendo los coeficientes en una tabla:

Luego Multiplicamos la primera Columna (C1)  por tres y la restamos de la tercera Columna (C3). Después tomamos la Columna 2 (C2), la multiplicamos por 3 y la restamos de la tercera columna las veces que sea posible.

La nueva tabla quedará así: Ahora multiplicamos C1 por 5 y le restamos C2 las veces que sea  posible.

La nueva tabla queda así: De aquí se puede obtener la solución por sustitución. Rosales, A. (2009)

En el capítulo 7: “ Ni mucho ni poco” aparece el término Determinante por primera vez,  para después ser desarrollado por el matemático Japonés Seki Kōwa en 1683, el cual escribe “ Método para resolver los problemas disimulados” donde se encuentra formulas generales difíciles de interpretar. Seki estudió sobre los cálculos de determinantes de orden superior,

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coincidiendo en el tiempo con Leibniz al publicar sus resultados, aunque Seki los publico un más temprano que el alemán Leibniz. Basándose en ejemplos encuentra los determinantes de tipo 2x2, 3x3, 4x4 y 5x5, pero estos solo se usaron para resolver ecuaciones. Leibniz por los años 1683 escribía L’ Hôpital, Estaba convencido de que una buena notación matemática era la llave hacia el progreso, así, experimentó con diferentes notaciones  para sistemas de coeficientes. En este documento expone el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas.

10 + 11x + 12y = 0 Sistema de ecuaciones lineales

20 + 21x + 22y = 0 30 + 31x + 32y = 0

Matriz

10

11

12

20

21

22

30

31

32

Donde se dice, tiene solución puesto que el determinante de la matriz de los coeficientes es cero: 10 · 21 · 32 + 11 · 22 · 30 + 20 · 31 · 12 = 10 · 22 · 31 + 11 · 20 · 32 + 12 · 21 · 30 Leibniz usó la palabra 'resultante' para cierta suma combinatoria de términos de un determinante. Probó resultados diversos en resultantes, incluyendo lo qu e en esencia corresponde a la Regla de Cramer. Leibniz también estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas que lo llevaron, naturalmente, hacia la teoría de matrices. (O’connor, J. & Robertson, E., 1996.)

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En 1729 Maclaurin utilizó el método de los determinantes para resolver los sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas y dejó planteada el de 4 incógnitas en su escrito “Tratados de álgebra” donde se encuentra una similitud de la “regla de Cramer”. Luego del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kōwa y Leibniz, a finales del siglo XVII Cramer  publica en 1750 en "Introduction á l’analyses des lignes courbes algebraiques". Cramer daba la regla general para sistemas de (n x n), que surgió cuando se estudiaba la ecuación de una curva  plana pasando a través de un número dado de puntos.

Carl Friedrich Gauss idea un método para resolver un sistema de seis ecuaciones lineales de seis incógnitas con los coeficientes de una matriz, luego de que este las obtuviera mientras elaboraba sus estudios acerca de la órbita del asteroide Pallas. El sistema que el construyó ho y es de renombre y se denomina “La Eliminación Gaussiana”.

A gauss también se le atribuye la

introducción del término determinante a nuestro dialecto; este lo introdujo en “Disquisiciones

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Aritméticas” en el año 1801 mientras se discutían fo rmas cuadráticas. (O’connor, J. & Robertson, E., 1996.) Los nuevos conceptos

El término “matriz” aparece por primera vez hacia el año 1850, siendo introducidas por el Ingles James Joseph Sylvester en 1850, quien definió las matrices como un “arreglo cuadrilongo de términos”. Sylvester observó como algunas matrices conte nían dentro de ellas varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Cayley (considerado como el tercer matemático más prolífico de la historia) en 1853, luego de ver la importancia de la matriz, publicó una nota en donde por primera vez aparece la inversa de una matriz. Después en 1858, publica “Memorias sobre la teoría de matrices”, en donde introdujo la notación matricial:

Rosales, A. (2009)

Las nociones de matrices se introducen como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. En el texto se define también las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares (números reales diferentes de ce ro), contiene la primera definición abstracta de matriz. Las reglas de las operaciones matriciales elaboradas por Cayley son consideradas como uno de los orígenes del álgebra asociativa de matrices. Cayley en compañía de Hamilton elabora el “Teorema de Cayley-Hamilton”;dice que

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una matriz satisface su ecuación característica. Cayley comprobándolo en matrices de orden (2x2) y (3x3) y Hamilton en matrices de (4x4). (Luzardo, D. & Peña, A., 2006.) Ferdinand Georg Frobenius elaboró un trabajo en 1878 sobre las matrices en sustituciones probó que el resultado general de que una matriz satisface su ecuación característica. Siendo el primero en probar el teorema general, aunque él no estaba enterado del trabajo de Cayley, hasta el año 1896, en donde conoce su trabajo “Memorias sobre la teoría de matrices”, así que Frobenius atribuye el resultado a Cayley. Desde entonces utiliza el término matriz. En 1925 Werner Heisenberg elabora una formulación del principio de incertidumbre, contribución fundamental en la rama de la física, lo que hoy se conoce como mecánica cuántica. Fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1932 “Se ha pasado de la idea original de Sylvester (1851) de matriz como madre de los menores de un determinante, por las leyes del cálculo de matrices de Cayley (1858), hasta los  procedimientos de descomposición matricial de Weyr (1885).” Rosales, A. (2009)

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Lista de referencias

O’connor, J. & Robertson, E. (1996). Matrices and determinants. Extraído el 16 de mayo de 2016 desde http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html

Rosales, A. (2009) Evolución Histórica del Concepto de Matriz. Revista digital Matemática, 9, 2-15. . Extraído el 16 de mayo de 2016 Recuperado de http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesV9_n1_2008/Evolucion_Histo rica_del_concepto_de_matriz.pdf

Luzardo, D. & Peña, A. (2006). Divulgaciones Matemáticas, 14, 153 – 170.