História de las Matemáticas

Patricia Sarobe nº 24, Anastasiya Kudelya nº 8

3º eso B

Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, medir la Tierra, y predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas con la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. - Los diferentes tipos de cantidades o números han tenido un papel importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura y la tecnología. - El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los naturales y los enteros. • Álgebra elemental: en ella se estudian las reglas que dirigen las operaciones aritméticas. • Teoría de los números: en ella se estudian las propiedades más profundas de los números enteros. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). El álgebra abstracta sirve para resolver ecuaciones con mayor facilidad. El concepto de vector es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de estructura y espacio. La geometría surge a partir del estudio del espacio. Primero fue la geometría euclídea y después trigonometría. La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras. Cronológicamente, esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según la periodicidad establecida por A.N. Kolmogorov. Nacimiento de las matemáticas Este periodo se prolonga hasta los siglos VI-V a.C. cuando las matemáticas se convierten en una ciencia independiente con objeto y metodología propios. También podría denominarse matemáticas antiguas o prehelénicas y en ella se suelen englobar las matemáticas de las antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotamia, China e India. Grecia estaría situada a caballo entre este periodo y el siguiente. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar

objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (Basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización. Antigua civilización Egipcia Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones. Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos. Mesopotamia o antigua Babilonia Bajo esta denominación se engloban los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar. Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a

matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c mediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general. China antigua: Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos. El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser

considerado como una especie de ábaco primitivo. Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento. India antigua: Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C., centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

Grecia La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas. El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS. Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc... Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2. En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas). Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad. La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el

número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides. Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas. El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides. Métodos infinitesimales. En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad... Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la aplicación a la matemática de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a

Euxodo y aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas, búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera forma del método de límites. Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales". Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga. Estos tres últimos matemáticos citados, Euclides, Arquímedes y Apolonio, sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200 a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que los resultados perdieron generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales. En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por la aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del descenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gémines de Rodas (100 a.C.), Teon de Alejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI). Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia, desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica teórica y el método axiomático.

Las matemáticas a través del tiempo Los textos de matemática más antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, algunos textos cuneiformes tienen más de 5000 años de edad. 3000 A.C.Se inventa en China el ábaco, primer instrumento mecánico 2500 A.C. para calcular. Se inventan las tablas de multiplicar y se desarrolla el cálculo de áreas.

1600 a.C. aprox.

El Papiro de Rhind, es el principal texto matemático egipcio, fue escrito por un escriba bajo el reinado del rey Hicso Ekenenre Apopi y contiene lo esencial del saber matemático de los egipcios. Entre estos, proporciona unas reglas para cálculos de adiciones y sustracciones de fracciones, ecuaciones simples de primer grado, diversos problemas de aritmética, mediciones de superficies y volúmenes.

La matemática griega es conocida gracias a un prólogo histórico escrito en el siglo V D.C. por el filósofo Proclo. entre 600 y 300 Este texto nombra a los geómetras griegos de aquel A.C. período, pero sin precisar la naturaleza exacta de sus descubrimientos. Se establece la era pitagórica. Pitágoras de Samos, personaje semilegendario creador de un gran movimiento metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos estaba en la geometría elemental, donde destaca el famoso Teorema de Pitágoras, el cual fue establecido por su escuela y donde la tradición de los pitagóricos llevó a atribuírselo a su maestro. Con respecto a la aritmética el Del 550 al 450 saber de los pitagóricos era enorme. Fueron los primeros en A.C. analizar la noción de número y en establecer las relaciones de correspondencia entre la aritmética y la geometría. Definieron los números primos, algunas progresiones y precisaron la teoría de las proporciones. Los pitagóricos propagaban que todo podía expresarse por medio de números, pero luego tuvieron que aceptar que la diagonal de un cuadrado era inconmensurable con el lado del cuadrado. El mercader Hipócrates de Quíos, se convirtió en el primero Hacia el 460 a.C. en redactar unos Elementos, es decir, un tratado sistemático de matemáticas. alrededor de 406 El astrónomo Eudoxo, establece una Teoría de la a 315 A.C. Semejanza. 276-194 A.C.

El matemático griego Eratóstenes ideó un método con el

cual pudo medir la longitud de la circunferencia de la tierra. 300-600

Los hindúes conocen el sistema de numeración babilónica por posición y lo adaptan a la numeración decimal, creando así el sistema decimal de posición, que es nuestro sistema actual.

1100

Omar Khayyam desarrolla un método para dibujar un segmento cuya longitud fuera una raíz real positiva de un polinomio cúbico dado.

1525

El matemático alemán Christoff Rudolff emplea el símbolo actual de la raíz cuadrada

1545

Gerolamo Cardano publica el método general para resolver ecuaciones de tercer grado

1550

Ferrari da a conocer el método general de resolución de una ecuación de cuarto grado

1591

Francois Viète escribió In artem analyticem isagoge en el cual se aplicaba por primera vez el álgebra a la geometría.

1614

Napier inventa los logaritmos.

1617

John Napier inventa un juego de tablas de multiplicación, llamada "los huesos de Napier". Posteriormente publicó la primera tabla de logaritmos.

1619

Descartes crea la Geometría Analítica.

1642

El matemático Blaise Pascal construye la primera máquina de calcular, conocida como la Pascalina, la cual podía efectuar sumas y restas de hasta 6 cifras.

1684

Se crea, casi simultáneamente, el Cálculo Infinitesimal por Newton y Leibniz.

1743

Langlois inventa el pantógrafo.

1746

D'Alembert enuncia y demuestra parcialmente que "cualquier polinomio de grado n, tiene n raíces reales o complejas".

1761

Johann Lambert prueba que el número p es irracional.

1777

Leonard Euler matemático suizo, simboliza la raíz cuadrada de -1 con la letra i (de imaginario).

1798

El matemático italiano Paolo Ruffini enuncia y parcialmente demuestra la imposibilidad de resolver ecuaciones de 5º grado.

1812

Laplace publicó en París su Théorie analytique des probabilités donde hace un desarrollo riguroso de la teoría de la probabilidad con aplicaciones a problemas demográficos, jurídicos y explicando diversos hechos astronómicos.

1817

Bernhard Bolzano presenta un trabajo titulado "Una prueba puramente analítica del teorema que establece que entre dos valores donde se garantice un resultado opuesto, hay una raíz real de la ecuación". Dicha prueba analítica se conoce hoy como teorema de Bolzano

1822

Poncelet descubre lo que él llamó "Propiedades Proyectivas de las Figuras"

1831

G.W.Leibniz pone de manifiesto el valor del concepto de grupo, abriendo la puerta a las más importantes ideas matemáticas del mundo contemporáneo.

1872-1895

Es creada la Teoría de Conjuntos por el matemático ruso Georg Cantor.

1904

El matemático sueco Niels F. Helge von Koch construye la curva que lleva su nombre.

1924

Se instauran las medallas fields con el fin de premiar a matemáticos destacados.

1975

Mitchell Feingenbaum descubre un modelo matemático que describe la transición del orden al caos.

1977

Los matemáticos K. Appel y W. Haken resuelven el histórico teorema de los cuatro colores con ayuda de un computador.

Pitágoras Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona. Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía. Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto. La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo. El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría». También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva

su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega. Euclides Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad.Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios. Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo. Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto. La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Más allá, incluso, del ámbito estrictamente matemático, fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la ética.

De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella. Mujeres Matemáticas Teano (s. XVI a.C.) El marco histórico en el que nos situamos para estudiar la vida de Teano es el de la antigua Grecia. Durante el periodo de la Grecia clásica se edificó una matemática original y brillante y se tomaron algunos elementos de civilizaciones vecinas que construyeron quienes les precedieron tanto en Babilonia como en Egipto. Por lo que sabemos hoy el tipo de conocimientos que nos revelan los papiros egipcios es de carácter eminentemente práctico, y tratan sobre cuestiones de cálculo aritmético y mediciones geométricas. Tales, Pitágoras y Teano aparecen en el siglo VI antes de nuestra era. Son figuras indefinidas históricamente, ya que no ha quedado ninguna obra matemática suya y ni siquiera existe constancia de que las escribieran. A Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de la matemática y a Teano nació en Crotona, fue discípula de Pitágoras y se casó con él. Enseñó en la escuela pitagórica. Se conservan fragmentos de cartas y escritos que prueban que fue una mujer que escribió mucho, y eso mismo le atribuye la tradición, que considera como suyos varios tratados de matemáticas, física y medicina. El tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una reflexión sobre el número se piensa que es de Teano. Se le atribuyen otros tratados sobre los poliedros regulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea. Después de la rebelión contra el gobierno de Crotona, a la muerte de Pitágoras, Teano pasó a dirigir la comunidad, con la escuela destruida y sus miembros exiliados y dispersos, sin embargo con la ayuda de dos de sus hijas difundió los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto.

Hipatia de Alejandría (370-415) Nació en Alejandría, su padre era matemático y profesor de museo y se preocupó de darle una buena formación y lo consiguió pues Hipatia fue una filósofa, astrónoma y matemática que llegó a superar a su padre. Contribuyó a la invención de aparatos como el aerómetro y construyó el astrolabio. Era defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira alrededor del sol). Trabajó sobre escritos relacionados con las ecuaciones diofánticas, sobre las cónicas y la geometría y también elaboró tablas sobre movimientos de los astros. Estudió en el museo y después viajó por Italia y Atenas donde perfeccionó sus conocimientos, y cuando volvió a Alejandría fue profesora durante 20 años. Enseñó matemáticas, astronomía, lógica, filosofía, mecánica... de todas partes del mundo llegaban estudiantes para aprender de ella. Hipatia era el símbolo del ideal griego porque reunía sabiduría, belleza, razón y pensamiento filosófico y además era una mujer científica y con papel político importante. En el año 415 cuando tenía 45 años fue asesinada por monjes fanáticos de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén ya que ella era partidaria del racionalismo científico griego y no quiso convertirse al cristianismo. Émilie de Châtelet Émilie de Breteuil, Marquesa de Châtelet nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint-Jean-en-Greve. Su abuelo paterno ocupó el cargo de consejero de estado y su padre, el barón de Breteuil, gozó de la confianza del rey Luís XIV. Tuvo seis hermanos, aunque sólo sobrevivieron tres, ella fue la quinta. Se casó con Florent Claude, marqués de Châtelet. Cuando ella se casó tenía 19 años y él era un hombre experimentado de 30, su hija nació el 30 de junio de 1726. Al año siguiente tuvo a Florent Louis Marie y su tercer hijo murió unos días después de que naciese. Después tuvo relaciones amorosas con otros hombres. Con diez años ya había estudiado matemáticas y la metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán y traducía textos en latín. En un café de París no la dejaron entrar por ser mujer. Estudió a Descartes, Leibniz y a Newton. Escribió las

instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton. Después de quedarse embarazada terminó la edición de la Principia. Ada Lovelace La corta vida de Ada Lovelace transcurrió en la primera mitad del siglo XIX, bajo el influjo de las ideas clásicas de la sociedad victoriana muy arraigadas en la alta clase social a la que pertenecía, pero impregnado al tiempo del ideal romántico que hombres como su padre llevaron a cabo hasta las últimas consecuencias. Este hecho privó a Ada, tal vez, del disfrute de los momentos más apasionantes del siglo. El saber científico ya no era una referencia de prestigio social sino la manera de no quedarse al margen del progreso, auténtica fuente de riqueza y, por ende, de poder. Esta actitud tan abierta hacia la formación científica hizo posible que las mujeres de elevada posición social pudieran dedicarse al estudio, consiguiendo gran notoriedad y siendo reconocidas por sus contemporáneos. Las mujeres estaban aún lejos de conseguir un trato igualitario. Sin embargo, comenzaban a convivir con el progreso desde un protagonismo nuevo. Las obreras de las fábricas percibían a diario la desigualdad salarial. En este clima todavía incipiente de cambio, de confusión y de esperanza, nace Ada Lovelace. Su vida está marcada por dos factores: la personalidad estricta y puritana de su madre y el ambiente culto y refinado del que formó parte. Ada vivió prácticamente toda la vida condicionada por los dictados de su madre, Ana Isabel Milbanke, cuyo matrimonio con Lord Byron apenas duró un año, se separaron al mes del nacimiento de Ada, apenas conoció a su hija pero le dedicaba bellos poemas, y al parecer sus últimas palabras fueron para ella. Ada murió a la edad de 36 años. Babbage continuó intentado la construcción de su máquina analítica pero desistió del proyecto tras numerosos fallos. Ambos fueron olvidados casi completamente hasta que los ordenadores fueron reinventados durante la segunda guerra mundial.

Sonia Kovalevskaya Nació en Moscú, el 15 de enero del año 1850. Vivió su infancia en Pabilino, Bielorrusia. Sonia amaba desde niña la lectura y la poesía, se sentía poeta en su interior. Durante su niñez, además de su hermana, dos de sus tíos influyeron notablemente en su vida. Uno de ellos, un auténtico amante de la lectura y aunque no era matemático le apasionaba esta ciencia; su otro tío le enseñaba ciencias y biología. A los trece años empezó a mostrar muy buenas cualidades para el álgebra pero su padre, a quien le horrorizaban las mujeres sabias, decidió frenar los estudios de su hija. Aún así Sonia siguió estudiando por su cuenta con libros de álgebra, y aquello que nunca había estudiado lo fue deduciendo poco a poco. Sonia a partir de los conocimientos que ya tenía, explicó y analizó por si misma lo que era el concepto de seno tal y como había sido inventado originalmente. Un profesor descubrió las facultades de Sonia, y habló con su padre para recomendarle que facilitara los estudios a su hija. Al cabo de varios años su padre accedió y Sonia comenzó a tomar clases particulares. Los años de su adolescencia fueron años de rebelión, la época de las grandes revoluciones y manifestaciones de siglo XIX en las que el socialismo feminista iba ganando terreno. Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que se contraían matrimonios de conveniencia. Eso es lo que hizo Sonia para escapar de control paterno y poder salir a estudiar. Así se casó con Vladimir Kovalevsky y se marchó a Heildelberg, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente. Pronto atrajo la atención de los profesores que la recomendaron para la universidad de Berlín con Weierstrass, a quien consideraba el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella en privado. Al mismo tiempo que estudiaba comenzaba su trabajo de doctorado. Durante sus años en Berlín escribió tres tesis: dos sobre temas de matemáticas y una tercera sobre astronomía. Más tarde el primero de estos trabajos apareció en una publicación matemática a la que contribuían las mentes más privilegiadas. Gracias a Mittag- Leffer, Sonia pudo trabajar a prueba durante un año

en la universidad de Estocolmo. Durante este tiempo Sonia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos, más tarde seria premiada por la Academia de Ciencias de París, en el año 1888. Cálculo En general, el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos. Historia del cálculo -De la Grecia clásica a la Edad Media El término "cálculo" procede del latín calculum. Los antecedentes de procedimiento de cálculo se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra. La consideración del cálculo como un forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en su Lógica fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica. -Renacimiento El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista. El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII. -Actualidad En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores,

propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones/seg. El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico. -Concepto general de cálculo El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significación alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de expresiones bien formadas (EBF), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías. Álgebra El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática. La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe ‫)كتاب ال جبر والمقابلة‬ (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) ‫( جبر‬yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos). El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día toda el álgebra en las siguientes categorías: Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos. Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí misma de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de ésta se distingue: · Álgebra lineal, estudia las propiedades específicas de los espacios vectoriales. · Álgebra universal, estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. · Teoría de números algebraicos, una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos los cuales son raíces de los polinomios con coeficientes racionales. · Geometría algebraica, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría. Historia del álgebra El álgebra (una de las ramas más importantes de las matemáticas) tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver

ecuaciones de primer y segundo grado. El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofanto. Arquímedes se basó en la matemática para componer sus tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofanto de Alejandría fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos el análisis diofántico y la obra Aritmética, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta entonces. Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones, y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal. El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica). Estructura algebraica En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas, es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas principales son: - Semigrupo -Monoide -Grupo -Anillo -Cuerpo -Módulo -Espacio vectorial - Álgebra Algoritmo Un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste del matemático persa al-Jwarizmi) es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Es decir, que un algoritmo es un método para encontrar la solución a algún problema. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia y su definición queda formalizada por la Máquina de Turing. Su importancia radica en mostrar la manera de llevar a cabo procesos y resolver problemas matemáticos; al igual que las funciones matemáticas, los algoritmos reciben una entrada y la transforman en una salida ("efecto caja negra"). Sin embargo, para que un algoritmo pueda ser considerado como tal, debe ser definido, finito y eficiente. Por eficiente se entiende que las instrucciones encuentran la solución en el menor tiempo posible;

finito implica que tiene un determinado número de pasos, es decir, que termina; y definido, que si se sigue el mismo proceso más de una vez se llega siempre al mismo resultado. En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas. Algunos ejemplos se encuentran en los instructivos (manuales de usuario), los cuales muestran algoritmos para usar el aparato en cuestión o inclusive en las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. También existen ejemplos de índole matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un Sistema lineal de ecuaciones. Características del algoritmo El científico de computación Donald Knuth ofreció una lista de cinco propiedades, que son ampliamente aceptadas como requisitos para un algoritmo: 1. Carácter finito. "Un algoritmo siempre debe terminar después de un número finito de pasos". 2. Precisión. "Cada paso de un algoritmo debe estar precisamente definido; las operaciones a llevar a cabo deben ser especificadas de manera rigurosa y no mbigua para cada caso". 3. Entrada. "Un algoritmo tiene cero o más entradas: cantidades que le son dadas antes de que el algoritmo comience, o dinámicamente mientras el algoritmo corre. Estas entradas son tomadas de conjuntos específicos de objetos". 4. Salida. "Un algoritmo tiene una o más salidas: cantidades que tienen una relación específica con las entradas". 5. Eficacia. "También se espera que un algoritmo sea eficaz, en el sentido de que todas las operaciones a realizar en un algoritmo deben ser suficientemente básicas como para que en principio puedan ser hechas de manera exacta y en un tiempo finito por un hombre usando lápiz y papel". Knuth admite que, aunque su descripción pueda ser intuitivamente clara, carece de rigor formal, puesto que no está exactamente claro qué significa "precisamente definido", "de manera rigurosa y no ambigua", o "suficientemente básicas", y así sucesivamente. Medios de expresión de un algoritmo: Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico. La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles: 1- Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles.

2- Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución. 3- Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones. También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos. Diafragma de flujo Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO. Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción de procesos a personas ajenas a la computación. Pseudocódigo Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que asemeja a un lenguaje de programación pero con algunas convenciones del lenguaje natural. Tiene varias ventajas con respecto a los diagramas de flujo, entre las que se destaca el poco espacio que se requiere para representar instrucciones complejas. El pseudocódigo no está regido por ningún estándar. Máquina de Turing La máquina de Turing es un modelo matemático, diseñado por Alan Turing, que formaliza el concepto de algoritmo. A este modelo se le refiere comúnmente como la «descripción de más bajo nivel» por el hecho de que no utiliza ninguna expresión coloquial. Implementación Muchos algoritmos son ideados para implementarse en un programa de computadora. Sin embargo, los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un circuito eléctrico o un aparato mecánico. Análisis de los algoritmos Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo. El análisis de algoritmos se ha desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de entrada. El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computación y, en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar") un algoritmo es escribirlo en pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal como Léxico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador. Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que

podrían ejecutarse eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera algún dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de éste con una salida satisfactoria, sino que el éxito estaría definido en función de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecución del algoritmo. Por ejemplo, un algoritmo que verifica que hay más ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor útil. Si se implementa correctamente, el valor devuelto por el algoritmo será válido, hasta que evalúe el siguiente dígito binario. De esta forma, mientras evalúa la siguiente secuencia podrán leerse dos tipos de señales: una señal positiva (en el caso de que el número de ceros sea mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario. Finalmente, la salida de este algoritmo se define como la devolución de valores exclusivamente positivos si hay más ceros que unos en la secuencia y, en cualquier otro caso, devolverá una mezcla de señales positivas y negativas. Historia La palabra algoritmo proviene del nombre del matemático llamado Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi que vivió entre los siglos VIII y IX. Su trabajo consistió en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India. Sus libros eran de fácil comprensión, de ahí que su principal logro no fuera el de crear nuevos teoremas o corrientes de pensamiento, sino el de simplificar la matemática a punto tal que pudieran ser comprendidas y aplicadas por un mayor número de personas. Cabe destacar cómo señaló las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales árabes) y cómo explicó que, mediante una especificación clara y concisa de cómo calcular sistemáticamente, se podrían definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecánicos en vez de las manos (por ejemplo, ábacos). También estudió la manera de reducir las operaciones que formaban el cálculo. Es por esto que aún no siendo el creador del primer algoritmo, el concepto lleva aunque no su nombre, sí su pseudónimo. Así, de la palabra algorismo, que originalmente hacía referencia a las reglas de uso de la aritmética utilizando dígitos árabes, se evolucionó a la palabra latina, derivación de al-Khwarizmi, algobarismus, que más tarde mutaría a algoritmo en el siglo XVIII. La palabra ha cambiado de forma que en su definición se incluye a todos los procedimientos finitos para resolver problemas. Ya en el siglo XIX, se produjo el primer algoritmo escrito para un computador. La autora fue Ada Byron, en cuyos escritos se detallaban la máquina analítica en 1842. Por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque, desde Charles Babbage, nadie completó su máquina, por lo que el algoritmo nunca se implementó. La falta de rigor matemático en la definición de "procedimiento bien definido" para los algoritmos trajo algunas dificultades a los matemáticos y lógicos del siglo XIX y comienzos de XX. Este problema fue en gran parte resuelto con la descripción de la máquina de Turing, un modelo abstracto de computadora formulado por Alan Turing, y la demostración de que cualquier método anticipado por otros matemáticos que pueda encontrarse para describir "procedimientos bien definidos" puede ser emulado en una máquina de Turing (una

afirmación conocida como "tesis de Church-Turing"). En la actualidad, el criterio formal para definir un algoritmo es que se trata de un proceso que puede implementarse en una máquina de Turing completamente especificada, o en alguno de los formalismos equivalentes. El interés original de Turing era el problema de la detención: decidir cuándo un algoritmo describe un procedimiento de terminación. En términos prácticos importa más la teoría de la complejidad computacional, que incluye los problemas llamados NP-completos, es decir aquellos sobre los que generalmente se presume que requerirán tiempo más que polinómico para cualquier algoritmo (determinístico). NP denota la clase de los problemas de decisión que pueden ser resueltos en tiempo polinómico por una máquina de Turing no determinística. Técnicas de diseño de algoritmos -Algoritmos voraces: seleccionan los elementos más prometedores del conjunto de candidatos hasta encontrar una solución. En la mayoría de los casos la solución no es óptima. -Algoritmos paralelos: permiten la división de un problema en subproblemas de forma que se puedan ejecutar de forma simultánea en varios procesadores. -Algoritmos probabilísticos: algunos de los pasos de este tipo de algoritmos están en función de valores pseudoaleatorios. -Algoritmos determinísticos: sus pasos están perfectamente definidos y aportan una solución exacta. -Algoritmos no determinísticos -Divide y vencerás: dividen el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solución de cada uno de ellos para después unirlas, logrando así la solución al problema completo. -Metaheurísticas: encuentran soluciones aproximadas (no óptimas) a problemas basándose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos. -Programación dinámica: intenta resolver problemas disminuyendo su coste computacional aumentando el coste espacial. -Ramificación y acotación: se basa en la construcción de las soluciones al problema mediante un árbol implícito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones. -Vuelta Atrás: se construye el espacio de soluciones del problema en un árbol que se examina completamente, almacenando las soluciones menos costosas. Números primos El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad. Los números primos, menores que cien, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única. Características de los números primos -Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides) -Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap − a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat). -Un número p es primo si y sólo si el factorial (p − 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson). -Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que . (Postulado de Bertrand) -En toda progresión aritmética

, donde los enteros positivos

son primos entre sí, existen infinitos números primos. (Teorema de Dirichlet). -El número de primos menores que un x dado sigue una función asintótica a (Teorema de los números primos). -El anillo Z/nZ es un cuerpo si y sólo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y sólo si φ(n) = n − 1. Número amigo Dos números amigos son dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número). Un ejemplo es el par (220, 284), ya que: -los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284 -los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220 Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas. Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si p = 3 × 2n-1 - 1, q = 3 × 2n - 1, r = 9 × 22n-1 - 1, donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces 2npq y 2nr son un par de números amigos. Esta fórmula genera los pares (220, 284), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior. Los números amigos han sido estudiados por Al Madshritti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat(1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la

fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler. Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto. Número de oro Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc. Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte. Historia Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento. El valor numérico de es de 1,618... . es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periódico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al igual que PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la mayoría de sus aplicaciones. Clasificación de las matemáticas Las matemáticas se clasifican en el álgebra, en la geometría, en el análisis matemático, y en la combinatoria y la teoría de los números.