Histograma

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMAS HISTOGRAMA ¿Qué es es? ?

• Grafico de barras que muestra la forma con la que se distribuye la variable (o datos) y la magnitud con la que varían, si están concentrados o dispersos, etc.

  s   e   r   o    l   a   v   e    d    d   a    d    i    t   n   a    C

Valor de los datos agrupados

HISTOGRAMAS HISTOGRAMA ¿Qué es?

• Muestra la forma o tipo de la variación (o dispersión) de esta variable.

• No representa los datos en forma sucesiva. “Todo en la misma bolsa”.

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA

¿Cómo se construye? - Pasos 1.

Tomar datos y generar una tabla.

2.

Ordenar los datos de menor a mayor.

3.

Calcular el rango de las observaciones.

4.

Decidir la cantidad de intervalos •

5.

(intervalo = categorías = clases).

Obtener la longitud (ancho) de los intervalos.

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA

¿Cómo se construye? - Pasos 6.

Definir los extremos de los intervalos.

7.

 Agrupar las mediciones por intervalo.

8. 9.

Dibujar el histograma.  Análisis

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Ejemplo Resuelto •

•

En una planta envasadora se recibe un lote de botellas plásticas. Se toma una muestra de 42 unidades (mediante técnicas adecuadas de muestreo), obteniéndose los siguientes  pesos (en gramos). Realizar el histograma.

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Ejemplo Resuelto 1.

Tomar datos y generar una tabla.

Peso en gramos de cada botella muestreada 62.0 63.2 64.4 63.8 64.0 66.0 66.3 59.5 64.5 65.5 64.3 64.3 62.1 64.2 65.3 65.8 64.5 68.5 64.2 64.8 64.8 64.3 63.8 64.0 62.2 62.7 64.8 68.0 63.3 67.1 63.3 62.9 66.9 66.5 63.4 63.1 68.2 67.3 61.2 62.5 63.5 62.5

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Ejemplo Resuelto 2.

Ordenar los datos de menor a mayor.

59.5 62.7 63.5 64.3 64.8 66.5 61.2 62.9 63.8 64.3 64.8 66.9 62.0 63.1 63.8 64.3 65.3 67.1 62.1 63.2 64.0 64.4 65.5 67.3 62.2 63.3 64.0 64.5 65.8 68.0 62.5 63.3 64.2 64.5 66.0 68.2 62.5 63.4 64.2 64.8 66.3 68.5

MÍNIMO

MÁXIMO

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Ejemplo Resuelto 3.

Calcular el rango de las observaciones.

Rango = Valor Máximo - Valor Mínimo Rango = 68.5 – 59.5 = 9.0

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA 4.

Ejemplo Resuelto

Decidir la cantidad de intervalos

• Existen dos criterios para definir “k” o cantidad de intervalos. Si entre ellos no coinciden, se toma un valor intermedio (n= cantidad de datos).

K = 1 + 3.3 x log (n) K = 1 + 3.3 x log (42) K = 42

6.48

[Regla de Sturges ]

6.36

K= n Definimos K=7

• NOTA: Otros autores suelen tomar un valor arbitrario entre 6 y 12 intervalos, método poco recomendable.

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA 5.

Ejemplo Resuelto Obtener la longitud (ancho) de los intervalos.

Rango d= K (cant. Intervalos)

d=

9.0 7

1.285 => tomamos d=1.3

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Ejemplo Resuelto

6.

Definir los extremos de los intervalos.

Ei = Ei-1 + d •Estos son los inicios de cada intervalo. El inicio de c/u , es el final del anterior, pero ¿dónde ponemos un valor si coincide con ese inicio –fin?, adoptamos que van en el intervalo superior, y los valores del anterior se toman hasta una unidad de medida menos. En el ejemplo es una décima de gramo.

E0 = 59.5 (inicio = mínimo) E1 = 59.5 + 1.3 = 60.8 E2 = 60.8 + 1.3 = 62.1 E3 = 62.1 + 1.3 = 63.4 E4 = 63.4 + 1.3 = 64.7 E5 = 64.7 + 1.3 = 66.0 E6 = 66.0 + 1.3 = 67.3 E7 = 67.3 + 1.3 = 68.6 (valor final)

HISTOGRAMAS Ejemplo Resuelto

HISTOGRAMA

7- Agrupar la cantidad de mediciones por cada

intervalo Frecuencia: Cantidad de datos que “caen” dentro de ese intervalo

Intervalo

Frecuencia

59.5 - 60.7

1

60.8 - 62.0

2

62.1 - 63.3

10

63.4 - 64.6

14

64.7 - 65.9

6

66.0 - 67.2

5

67.3 - 68.6

4

HISTOGRAMAS Ejemplo Resuelto 8.-

HISTOGRAMA

Dibujar el Histograma

14 12 10

      d      a 8       d       i       t      n 6      a       C4 2

59.5

60.8

62.1

63.4

64.7

66.0

67.3

68.6

HISTOGRAMAS Notas Aclaratorias:

• En caso que alguno de los valores coincida con los extremos de los intervalos de clase, se debe adoptar una convención la cual asigne esos valores siempre al intervalo de la derecha (o izquierda).

• Para evitar este problema se suele “correr” los intervalos, restando en el extremo inferior la mitad de la resolución mínima (en nuestro caso la botellas fueron pesadas a la decima de gramo, deberán ser corridas 0.05 g) así nunca coincidirá un valor con los extremos de los intervalos de clase. Este corrimiento implica que el último valor se le asigna al último intervalo y no queda como un único valor de un intervalo ficticio extra a derecha.

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA 9.

- Análisis: los siguientes gráficos son histogramas representativos de diferentes tipos:

Distribución Normal (Gauss)

Distribución Sesgada

Distribución Bimodal

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA histogramas de diferentes tipos (continuación).

Distribución Truncada (sin punto de inflexión)

Distribución Meseta

Distribución Doble Curva

HISTOGRAMAS HISTOGRAMA: Cantidad de muestras

>n

> n (Nº datos) es > certeza y representatividad de la muestra.

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HISTOGRAMA Características

(útiles para el análisis)

• Forma (Incluye aproximación a la Normal, simetría, etc.).

• Media o tendencia central. • Dispersión o variabilidad.

HISTOGRAMAS

FORMA FORMA

HISTOGRAMAS Distribuciones continuas: Gaussiana

HISTOGRAMAS

Forma

(Kurtosis)

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA n→

(dist. Continua)

HISTOGRAMAS

Tendencias en las Distribuciones:

MODA (valor mas frecuente)

MEDIANA (50% valores c/lado) MEDIA ARITMETICA X = (ó Promedio):

n

∑X i =1

n

i

HISTOGRAMAS Ejemplo de valores ordenados, histograma, forma de distribución y curva de acumulado.

HISTOGRAMAS Ejercicio Nº1 • Realizar el Histograma de los siguientes datos, ya ordenados de menor a mayor. •Corresponden a la distancia entre los centros de dos perforaciones en una chapa. (spring Plate) •Calcule la Media, mediana y moda. •¿Cómo quedaría la curva de fracciones acumuladas? ,superpóngala con la forma de la distribución de los datos. (asimilándolas a distribuciones continuas)

Spring-plate 45.196

45.212

45.219

45.223

45.230

45.196

45.213

45.219

45.224

45.231

45.201

45.213

45.219

45.224

45.232

45.201

45.213

45.219

45.224

45.232

45.202

45.213

45.220

45.225

45.232

45.204

45.214

45.220

45.225

45.232

45.204

45.214

45.220

45.226

45.234

45.205

45.214

45.220

45.226

45.235

45.206

45.214

45.220

45.226

45.235

45.207

45.214

45.220

45.226

45.235

45.207

45.215

45.221

45.226

45.236

45.208

45.215

45.221

45.226

45.236

45.208

45.216

45.221

45.227

45.238

45.210

45.216

45.221

45.228

45.239

45.210

45.217

45.221

45.228

45.241

45.210

45.217

45.221

45.228

45.241

45.210

45.217

45.222

45.229

45.242

45.211

45.217

45.222

45.229

45.242

45.211

45.218

45.222

45.229

45.244

45.211

45.218

45.222

45.229

45.248

45.211

45.218

45.222

45.229

45.248

45.211

45.218

45.222

45.229

45.248

45.212

45.219

45.223

45.230

45.250

45.212

45.219

45.223

45.230

45.250

45.212

45.219

45.223

45.230

45.260

HISTOGRAMAS

 Aplicaciones: tamaños de partículas en molienda

Casi todos los casos en que se trabaje con sólidos granulados, se requieren analizar distribuciones. Los softwares son variados, muy útiles y de uso común. Los métodos manuales deben conocerse y comprenderse. Granulometrías: Siempre recurren a histogramas como la herramienta mas útil. Siempre hay que tener los conceptos claros y no quedarse con los resultados de un soft, que quizás esté mal parametrizado.

Ejercicio Nº2 : buscar en la red folletos comerciales de equipos de tamizado y ver aplicaciones de histogramas.

Ejercicio Nº3: Analizar los gráficos provenientes de un soft de la granulometría de dos partidas de un pigmento para pinturas con partículas muy pequeñas (escala en micrones).

Ejercicio Nº4: Dibujar en cada caso, a mano alzada, la curva ideal que marcaría el acumulado de partículas.

HISTOGRAMAS

 Aplicaciones: tamaños de partículas en molienda

Tablas de tamices con número de Malla para tamices. Perry, (sistemas sólido sólido ó Screening, Solid-Solid systems)

Número de malla: cantidad de perforaciones en una pulgada. (buscar un “numero” en la tabla y verificar, según su luz-apertura- y el diametro del alambre, como el valor coincide aproximadamente, variando según que familias de mallas se usen, Tyler u otra marca o norma)

HISTOGRAMAS

 Aplicaciones: Distribuciones de población y otras.

• Otras aplicaciones comunes a muchas ciencia aplicadas son las distribuciones de población. Por edad: histograma llamado “pirámide poblacional”.

EJERCICIO Nº 5 ; buscar ejemplos. Comparara diferentes épocas o paises. • Otros ejemplos de histogramas: distribuciones de alturas, peso corporal, ect.

EJERCICIO Nº 6; buscar ejemplos.

APLICAR EL CONCEPTO DE SEGMENTACIÓN. EJERCICIO Nº 7 a realizar en clase: 1º) Con todos los presentes en la clase realizar un histograma con la altura. 2º) Segmentar en dos histogramas independientes según sexo. Comparar el histograma general del (1º) con los casos sepatrados del (2º). Analizar.