Hipotesis de Timoshenko

LA HIPOTESIS DE TIMOSHENKO La teoría de vigas de Timoshenko fue desarrollada por el ingeniero ucraniano-estadounidense Stephen Timoshenko, estableciéndose como un modelo matemático riguroso ampliamente utilizado para describir la vibración transversal de vigas, postulado en la década de 1920. También denominada la teoría de vigas gruesas. Históricamente el primer modelo de viga importante fue la Teoría de Vigas de Euler-Bernoulli o teoría clásica de vigas como consecuencia de las obras de Bernoulli (Jacob y Daniel) y Euler, creado en el año de 1744. En 1921 y 1922, Timoshenko propuso una mejora al añadir el efecto de deformación de corte. Mostró, a través del ejemplo de una viga apoyada sencilla, que la corrección frente a cortante es cuatro veces más importante debido a la inercia de rotación en comparación con la teoría de Euler-Bernoulli La viga de Timoshenko tiene en cuenta la deformación por cortante y los efectos de inercia rotacional, haciéndola adecuada para describir el comportamiento de vigas altas. La viga de Timoshenko es menos rígida que la de Euler-Bernoulli y por tanto tiene mayores deflexiones verticales bajo una carga estática y tiene frecuencias de vibración menores para las mismas condiciones de frontera. Si, la viga se vuelve infinitamente rígida a cortante y esta teoría coincide con la de Euler-Bernoulli. La viga de Timoshenko aproxima mejor la deformación real de la sección transversal de vigas de gran canto que la teoría de Euler- Bernoulli. A medida que la relación longitud/altura disminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas después de la deformación.   

Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga. El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral; G puede ser diferente de E/2). El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral; G puede ser diferente de E/2).

La teoría de vigas de Timoshenko introduce los efectos de primer orden por cortante se consideran las deformaciones transversales por cortante transversal), mediante el supuesto que Las secciones se mantienen planas, pero no necesariamente normales al eje neutro deformado, Fig.1.8.

La descripción del comportamiento de la viga involucra dos variables independientes en cada punto del eje neutro, la deflexión transversal ω, y la rotación de la sección transversal Ɵ, por lo que la deformación por cortante en cada punto a lo largo del eje de la viga está dada en la EC. Que se muestra a continuación, por la diferencia entre la rotación de la sección transversal y la pendiente del eje neutro.

El campo de ecuaciones que define el PVF ( problemas de valores de frontera) en 0 < X < L de la teoría de las vigas de Timoshenko son: a) Compatibilidad cinemática:

b) Compatibilidad constitutiva:

c) Equilibrio interno:

d) Condiciones esenciales de frontera:

La rotación Ɵ, de la sección transversal y la curvatura, K, del eje longitudinal deformado son:

La compatibilidad constitutiva en la ec. (b) está dada por las relaciones momento-curvatura y las relaciones cortante-deformación:

Donde V es la fuerza cortante transversal, ϒ el promedio de las deformaciones por cortante en la sección transversal, G es el módulo de rigidez a cortante y AS = K A es el área efectiva de cortante. El factor K considera en promedio la corrección de distribución por cortante hecha para distribución de las deformaciones por cortante sobre el espesor de la sección transversal, e.g., para las vigas de sección transversal rectangular el valor de K es usualmente 5/6. Las ecuaciones de equilibrio interno, ec. (c), se definen por las siguientes relaciones:

EL MODELO DE FLEXION: TEORIA DE TIMOSHENKO: Este modelo permite mejorar la respuesta de la teoría de Bernouilli-Euler cuando la razón entre la longitud de la viga y la principal dimensión de la sección comienza a ser cada vez más pequeña. Esto significa vigas de aspecto más robusto. La teoría de Timoshenko se basa en las mismas hipótesis que la teoría de Bernouilli Euler, aunque con el agregado de algunas adicionales a saber:  Se supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la sección de la viga.  La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con los desplazamientos flexionales. Para simplificar el proceso deductivo, que se dará en forma completa a partir de suponer el campo de desplazamientos, se procederá a reducir el problema flexional a un solo plano, para ir fijando ideas en el plano XY, y posteriormente se extenderá el problema flexional a dos planos. Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexión según la teoría de Timoshenko se empleará el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales como entidades arbitrarias. Ahora bien, de acuerdo con las hipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para una viga en flexión se puede reducir a las siguientes expresiones:

Exprs. (A)

Exprs. (B)

En la Expresión (B’) se utiliza el apóstrofo para indicar la derivación con respecto a la variable x. Con la descripción cinemática puesta en evidencia en las expresiones (A’) y (B’) es claro que plano de la sección transversal (que se mantiene siempre plana) de la viga, no es perpendicular al eje neutro una vez deformada la misma. Para ello se puede ver la comparación entre las teorías Bernoulli-Euler y Timoshenko. Por otro lado recuérdese que según la teoría de flexión clásica (iTeoría de Bernoulli-Euler), la deformación axial es proporcional a la derivada de la rotación flexional definida en función de la primer derivada del desplazamiento flexional del eje neutro, y en consecuencia de la tangente de la curva de deformación del eje neutro. Adicionalmente de la (B’) se tiene que la deformación por corte transversal no es nula y en consecuencia la tensión cortante no es nula.

Conclusión: En hipótesis de Timoshenko, se admite que las secciones transversales perpendiculares al eje baricéntrico pasen a formar un ángulo con ese eje baricéntrico por efecto del esfuerzo cortante.