HIPERBOLA INFORME

INTRODUCCIÓN

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En el presente trabajo de investigación que realizamos podemos dar a conocer sobre la ecuación de la hipérbola para poder resolver problemas cotidianos, en donde informaremos una definición de manera adecuada; encontraremos algunas clasificaciones, procedimientos y reglas para utilizar en el campo de la construcción, también analizaremos sobre el estudio estudio de la ecuación ecuación hiperbólica.

Esperamos que dicha investigación nos ayude a examinar e intuir mejor en el tema donde emanaremos a comunicar a orientar lo adquirido.

I.

MEMORIA 1.1 ANTECEDENTES:

El origen del estudio de la hipérbola es debido a que en la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

En este aspecto una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una

curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

1.2 OBJETIVO GENERAL:

-

Adquirir unos conocimientos preventivos, básicos y generales; tanto a nivel teórico como práctico, que nos permitan resolver problemas de aplicación en nuestra vida cotidiana.

1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: -

Proporcionar conocimientos para el desarrollo y hallar la ecuación de la hipérbola.

-

Brindar un concepto claro y metodológico de la hipérbola.

-

Elaboración de ejercicios y problemas.

-

Saber graficar bien la hipérbola en el plano.

II. JUSTIFICACIÓN 

Como futuros ingenieros debemos estar bien formados con toda clase de temas relacionados a la construcción civil para así en el futuro poder desempeñarnos y  realizar un trabajo con éxito y no tener problemas más adelante.

La ecuación de la hipérbola es una técnica indispensable en el desarrollo de problemas cotidianos, los profesionales son muy demandados, pues requiere de una gran habilidad y destreza al desarrollar este tipo de trabajo.

III.

MARCO TEORICO DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto. Construcción Se debe tomar una hoja de acetato, en ella se dibuja una circunferencia y un punto fuera de ella. Para construir una hipérbola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto de la circunferencia cada vez, tendremos que las marcas de los dobleces han formado una hipérbola. El punto dibujado es un foco y el centro de la circunferencia es el otro foco. Otra forma de encontrar una hipérbola es la siguiente. Se colocan dos conos unidos en su vértice y se hace un corte de base a base de los conos. El perímetro de este corte será una elipse. Aplicaciones La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f'. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. El sistema de navegación loran (acrónimo de long range navigation) usa las propiedades de la reflexión de la hipérbola

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Ecuación Ordinaria

Ecuación canónica de la hipérbola con el eje focal en el eje X:

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas “eje x” las coordenadas de los focos son: F'(−c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que a:

, llegamos

Ejemplos Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Ecuación canónica de la hipérbola con el eje focal en el eje y

Si el eje real está en el eje de las ordenadas “eje y” las coordenadas de

los focos son: F'(0, −c) y F(0, c)

La ecuación será:

Ejemplo Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación ordinaria de la hipérbola de eje focal X

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplos Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical Y

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplo Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

Ecuación General de la hipérbola Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Ejemplos

Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

1

2

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Ejercicio de aplicación 1 La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km. Al este de la estación A. un barco navega 100km al norte de la línea que une A y B. desde ambas estaciones se envía señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/s. Si la señal enviada desde A llega al barco. ¿ A que distancia está de cada una de las estaciones?

Solución

Ejercicio de aplicación 2 Los espejos hiperbólicos (empleados en algunos telescopios) tienen la propiedad de cada rayo dirigido a un foco se refleja hacia el otro foco. El espejo de la figura tiene ecuación(x 2 /36)- (y2/64) = 1. ¿en que punto del espejo se reflejara la luz procedente del punto (0.10) hacia el otro foco?

V.CONCLUSIONES:

En este trabajo de matemática hemos investigado sobre la ecuación de la parábola hemos visto la suma importancia que tiene este tema en las problemas cotidianos Hemos visto también lo necesario que son las gráficas de la hipérbola En todo problema llega el momento en el que debemos aplicar la ecuación de la parábola. También es importante saber la ubicación de los puntos en el plano , que es un concepto que pasara a ser fundamental y utilitario en nuestras profesiones y quehacer constructivo.