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MECANICA DE FLUIDOS-HIDROSTATICA INTRODUCCION

2. FLUIDOS EN EQUILIBRIO

En el presente capitulo nos abocamos al estudio de las propiedades de los fluidos (líquidos y gases) en reposo y en movimiento. Describiremos la densidad y la presión de los fluidos que nos llevan a la noción de flotabilidad. Dado que el movimiento interno de los fluidos es muy complicado, nos limitaremos a las consecuencias de la conservación de masa y energía para fluidos en movimiento

La condición necesaria para que un fluido se encuentre en equilibrio es que sus fronteras solo experimenten fuerzas normales. Es decir un fluido en equilibrio se encuentra bajo la acción de tensiones normales únicamente. Cualquier esfuerzo cortante o tangencial producirá el deslizamiento del fluido sobre sus fronteras y éste entonces, fluirá.

1. FLUIDOS Se denominan fluidos a aquellas sustancias entre cuyas moléculas las fuerzas de cohesión intermolecular son muy débiles o no existen, por lo cual dichas moléculas se pueden deslizar unas sobre otras y desplazarse con relativa independencia como en el caso de los líquidos o moverse a grandes velocidades generando fuerzas de repulsión entre moléculas como en el caso de los gases. A diferencia de los sólidos, los fluidos no son capaces de sostener esfuerzos cortantes de allí que no ofrecen resistencia a los cambios de forma y suelen gotear o escurrirse a través de orificios o conductos; en particular los gases se filtran por  pequeñ  peq ueños os poros poros o se difund difunden en en los sól sólido idos. s. Como el fluido es completamente deformable, toma la forma de su recipiente. Este ejerce una fuerza sobre él, que debe ser normal a la superficie, porque cualquier componente

Fig.1. fuerzas sobre la superficie de un líquido. 

3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Debido a sus propiedades especiales los fluidos se estudian en términos de densidad, compresibilidad, presión y volumen en lugar de fuerzas y dimensiones lineales como se acostumbra en el estudio de cuerpos rígidos o  partíc  par tícula ulas. s.

Compresibilidad. Un líquido perfecto es incompresible, pero un líquido real si es compresible pero en un grado muy pequeño en comparación con los gases que si son muy compresibles.

tangencial ejercería una fuerza cortante sobre el fluido y este respondería deformándose hasta que desapareciera la fuerza de corte. Los líquidos  presen  pre sentan tan su supe perf rfic icie ie "l "lib ibre re"" (e (en n cont contac acto to co con n la atmósfera) gracias a la cohesión intermolecular y el peso del líquido en tanto que los gases ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene.

Densidad  (ρ): es la masa por cada unidad de volumen de una sustancia. En S.I., se expresa en 3 kg/m .

ρ=

dV

 

(1)

La densidad es constante en todo el volumen de una sustancia incompresible, lo cual es aproximadamente cierto en los líquidos bajo ciertas condiciones restringidas. En cambio la densidad disminuye con la altura en la atmósfera que es un buen ejemplo de fluido compresible. Sin embargo en una región donde hay pequeñas

La mecánica de los fluidos comprende la Hidrostática  o estudio de las propiedades mecánicas de los fluidos en reposo y la Hidrodinámica, el estudio de los líquidos en movimiento. Una parte de la hidrodinámica que estudia el aire en movimiento se llama aerodinámica.

 

dm

1

 

  variaciones de altura la densidad considerarse constante en dicha región.

Mercurio Aire Helio Oxigeno

puede

Peso específico  (γ), es el peso de cada unidad de

13,6 1,293x10-3  -3 0,179x10   1,43x10-3 

volumen de la sustancia, se expresa en N/m3.

PRESION (P). La presión media P, en cualquier

γ=

dP dV

=

(dm)g

= ρg  

superficie de área S, se define como la fuerza

(2)

dV

 perpen  per pendic dicula ularr por un unida idad dd dee área área.. 

Se denomina densidad relativa  (ρr ) o gravedad específica a la densidad de un cuerpo comparado con la densidad de otro (generalmente el agua)

ρ r   =

densidad del cuerpo densidad del agua

 

P=

F S

 

(4)

es la magnitud de la fuerza que ejerce el fluido por unidad de superficie. La presión es un escalar y su valor es independiente de la orientación de la superficie.

(3)

EJEMPLO 1. Calcular la densidad relativa del Consideremos como indica la Fig. (2) un elemento de superficie ∆S y actuando sobre él una fuerza ∆F. Por definición se tiene:

acero y del aire si la densidad densidad del agua agua es de de 3 1000 kg/m . 7800 kg/m3  1,3 kg/m3 

densidad del acero: densidad del aire:

densidad relativa del acero: densidad relativa del aire:

   ∆ F    = ∆S→ 0 ∆S 

P = lim 

7,8 0,0013

La densidad relativa tiene el mismo valor en cualquier sistema de unidades que se emplee.

 

(5)

(S.I.)

Unidades prácticas de uso generalizado:

TABLA 1.Densidad relativa de algunas algunas

1)  atmósfera (atm) = 1,013x10  Pa 2)  torr = 1 mmHg = 133 Pa 3)  1mm H2O = 9,8 Pa ≈ 10 Pa 5

sustancias.

Acero Aluminio Bronce Cobre Hielo Hierro Oro Plata Platino Plomo Agua (a 4°C) Agua de mar Alcohol etílico Benceno Glicerina

dS

Unidades de presión y equivalencias 1 Pascal (Pa) = 1N/m2 

Sustancia

dF

Densidad relativa  7,8 2,7 8,6 8,9 0,92 7,8 19,3 10,5 21,4 11,3 1,0 1,025 0,81 0,90 1,26

Fig. 2. Presión ≡ fuerza distribuida. Si se conoce el valor de la presión en cada punto de una superficie es posible hallar la fuerza que ejerce el fluido sobre dicha superficie con la siguiente expresión: dF=P.dS

2

(6)

 

Las ecuaciones de movimiento en direcciones Y y Z son, respectivamente,

La fuerza dF es siempre perpendicular a la superficie dS. Sin embargo esta fuerza es equilibrada por su reacción dF' que también actúa sobre el mismo elemento de superficie.

∑F

y

EJEMPLO 2.  Sabiendo que la densidad del aire 3

a nivel del mar es 1,3 kg/m  encuentre el peso del aire contenido en el salón de clase cuyas

= Py δ x δ z − Ps δ x δs senθ δ x δ yδz  =ρ ay 2

dimensiones son: 8m x 5m x 3m.

∑F

Solución Calculando la masa y el peso del aire de

z

3

volumen V = 8m x5mx3m = 120 m   Masa Peso

las

m = ρ V = 1,3 (8×5×3) = 156 kg W = mg = 156(9,8) = 1528,8 N

= Pz δ x δ y − Ps δ x δ s cos θ δ x δ yδz δ x δ yδ z =ρ az   −γ 2

2

De la Fig.3, también se verifica,

Luego en el aula existe tanta masa de aire aproximadamente aproximadame nte igual a la de dos personas.

δ y = δ s cos θ  

4. PRINCIPIO DE PASCAL

y

δ z = δs senθ  

De modo que las ecuaciones de movimiento se reescriben como

Las propiedades básicas que caracterizan a un fluido en equilibrio están descritas de una manera muy concisa en una ley conocida como "el  princi  pri ncipio pio de Pascal Pascal". ". Tal pri princi ncipio pio afirma afirma que: que: "La

δ Py

presión ejercida sobre un fluido encerrado es transmitida íntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene".

− Ps = ρa y

y  

2

Pz − Ps = (ρa z + γ )

δz 2

 

Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δx ,δy y δz tienden a cero, manteniendo el ángulo. Se concluye que

Demostramos este principio consideremos el diagrama del cuerpo libre de la Fig.3 obtenido al eliminar una pequeña cuña triangular del fluido de alguna ubicación dentro de la masa de fluido. Si no existen esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso. Se  permitirá, en este análisis general, el movimiento acelerado del elemento de fluido.

Py= Pz= Ps La expresión anterior confirma analíticamente el Principio de Pascal que expresado de otro modo dice: la presión en un punto de un

fluido en reposo, en movimiento, es independiente de la odirección en tanto no haya esfuerzos cortantes. Consideremos la Fig.4.

Fig.3. Fuerzas sobre un elemento de arbitrario de forma de cuña. Además, para facilitar el análisis no se muestran las fuerzas en al dirección X.  

Fig.4. Los líquidos trasmiten la presión.

3

 

  Según el principio de Pascal, la presión ejercida  por la fuerz fuerzaa F1 es trasmitida a los dos pistones de secciones S2 y S3 de modo que: p1 = p2 = p3 o bien:

F1 S1

=

F2 S2

=

F3 S2

 

5. VARIACION DE LA PRESION CON LA PROFUNDIDAD A la profundidad "y" de un líquido en reposo, de densidad ρ consideremos un elemento de volumen dV (pequeña porción líquida) de masa dm en forma de una placa rectangular de área S y espesor d y;  y; Fig. 6

(7)

La fuerza en el pistón 2 está dada por:

F2

 S 2  F1   =    S1  

(8)

Se observa que si S2  es por ejemplo 10 veces mayor que S1, se obtendrá para F2 una fuerza igual a 10 veces la fuerza F1. Por tanto un dispositivo de esta naturaleza permite multiplicar la fuerza. Las máquinas hidráulicas de amplio uso en la industria  pesa  pe sada da ti tien enen en su fu fund ndam amen ento to en el pri princi ncipio pio de Pascal.

Fig.6. La presión aumenta con la profundidad profundidad..  Como el fluido se encuentra en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección vertical es nula:

EJEMPLO 3.  En una est estaci ación ón de servic servicio io de automóviles el sistema de elevación usa aire comprimido que ejerce una presión sobre un

F' - F - (dm)g = 0

 pist  pistón ón pe pequ queñ eño o de de rrad adio io 2 cm. cm. La pres presió ión n se se ttra rasm smit itee al pistón grande de 10 cm de radio. ¿Qué fuerza deberá ejercer el aire comprimido para elevar un automóvil con un peso de 12kN?  12kN? 

(9)

 pero dm = ρdV; dV  pero dV = S.dy. Sustituyendo estos valores en la expresión anterior y dividiendo entre S obtenemos:

F' S

−

F S

= ρg dy  

(10)

 pero la difer  pero diferen encia cia de de pre presio siones nes F F'/S '/S - F/S F/S sobr sobree las las caras superior e inferior del elemento es muy  pequeñ  peq ueñaa een n razó razón n de de q que ue el esp espeso esorr de de la la lámi lámina na es apenas un diferencial; por lo cual designaremos a dicha diferencia con dp: Fig.4. Multiplicando la fuerza.  dp = ρ.g.dy  (10)2 

Solución Para el pistón grande: S2 = π

cm2

Esta ecuación diferencial es la ecuación fundamental de la hidrostática, da cuenta de las variaciones de la presión con la profundidad o altura como consecuencia de la masa del fluido. Si la densidad del fluido y la aceleración de la gravedad son constantes  podemos hallar la presión a una profundidad ‘y’ por integración inmediata de la Ec. (11)

y la fuerza es: F2 = 12kN. Para el pistón pequeño: 2 2 S1 = π(2)  cm  y se determinará la fuerza F1 . Por el principio de Pascal: la presión en el pistón 1 es igual a la presión en el pistón 2: F1 =

(11)

 S1   π(2) 2  = 12000 = 480 N   F2  S π(10) 2   2  

∫

P

Po

4

dp   =

∫

y

0

ρg d y  

(12)

 

donde los límites de integración se corresponden así: en la superficie superficie libre del del líquido es ‘y’ = 0 y la  presió  pre sión n a este este nivel nivel es la la presió presión n atmosf atmosféri érica ca Po A la profundidad ‘y’ la presión es P. Así obtenemos: P - Po = ρgy

(13)

ρgy

Esta diferencia Ph  =

recibe el nombre de Fig.8. Manómetro de mercurio de rama abierta. 

 pres  pr esió ión n hi hidr dros ostá táti tica ca porqu porqueela sepresión debe debe ún únic icam amen ente te al líquido. Al considerar atmosférica obtenemos la presión absoluta, que toma como nivel de referencia el vacío absoluto, luego: luego: P = Po + ρgy

Es aquel que utiliza un líquido contenido en un tubo en U, una de cuyas ramas se conecta al recipiente que contiene el gas cuya presión se desea determinar, y la otra rama rama esta abierta y en conexión con la atmósfera. El gas queda confinado dentro dentro del recipiente recipiente por el líquido en el tubo en U. Esta clase de manómetro manómetro se denomina también manómetro de rama abierta. En este caso la deformación producida es el desnivel del líquido en ambas ramas del tubo.

(14)

En conclusión podemos afirmar que si la densidad del fluido es constante (fluido incompresible) la  pres  presió ión n au aume ment ntaa li line neal alme ment ntee co con n llaa prof profund undida idad d Los puntos con igual profundidad tales como A, B, y C de la Fig.7 soportan la misma presión sin importar la forma de los vasos comunicantes

El valor de Pg (presión del gas) se obtiene observando que al nivel del punto A las presiones en el líquido en reposo deben ser iguales en ambas ramas del tubo: Pg = Po + ρ.g.h Y la presión manométrica del gas está dada por: Pg - Po = ρgh

Fig.7. A igual profundidad igual presión.

EJEMPLO 5. Si un manómetro de mercurio

EJEMPLO 4. ¿A qué profundidad en agua de

conectado al depósito de gas como se muestra en la Fig.8, indica un desnivel de 20 cm; ¿cuál es la  presió  pre sión nm mano anomét métric rica ad del el gas gas? ?

3

mar (  ρ   = 1035 kg/m ), la pres presió ión n hi hidr dros ostá táti tica ca es 5 igual a 1,013x10  Pa? La presión hidrostática está dada por: Ph = donde la profundidad es:

y=

Ph ρg

1.01 013x10 5 = 1035(9.8)

ρ.g.y, de

Solución: La presión manométrica está dada por  pm = ρgh = 13600(9,8)(0,20) = 27 kPa EJEMPLO 6.  El cili cilind ndro ro y el tubo tubo mostra mostrado doss en

= 9.987 m ≈ 10 m  

la Fig.8 contienen aceite de densidad relativa 0,8. En A se lee una presi ón manomé manométri trica ca de 40 kPa. El pistón pesa la mitad del peso W y su diámetro es 1 m. Calcular el peso W.  W. 

PRESION MANOMETRICA Se denomina así a la presión en exceso o en defecto con relación a la presión atmosférica: Pm = P - Po 

(15)

Para medir la presión se utiliza un manómetro cuyo funcionamiento se fundamenta en el hecho de que la deformación producida sobre un material sólido, líquido o gaseoso es proporcional amanómetro la tensión presiónseque ejerce manómetro el gas. El máso sencillo denomina diferencial.   

Fig.9. Presión en el seno de un líquido .

5

 

 

Solución Al nivel de la cara inferior del pistón; las  pres  presio ione ness en el acei aceite te so son n ig igua uale less en amba ambass columnas líquidas, de lo contrario el aceite estaría en movimiento en uno u otro sentido. Esto es: Por el lado izquierdo la presión manométrica hacia abajo es igual a la presión manométrica en A mas la presión de la columna líquida de 2 m de altura: Por el lado derecho la presión manométrica hacia abajo es igual a la presión ejercida por el peso W y

 po =

el pistón sobre la superficie líquida de área S (superficie del pistón en contacto con el aceite).

El resultado anterior define también la unidad de  presió  pre sión n deno denomin minada ada atmósfera. Esto es

Si la experiencia se realiza al nivel del mar se encuentra que h = 760 mm = 0.76 m como se indica en la Fig.10. Si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3 y g = 9.8 m/s2 se tiene:  po = 13600x9,8x0,76 = 1,013x105 Pa≈ 101 kPa

 presión  presió n por el lad lado o izquie izquierdo rdo = pre presió sión n por el lado derecho

PA   + ρgh =

  + 0.5W W S

ρ.g.h

atmósfera: 1 atm = 760 mm Hg = 1,013x105 Pa

EJEMPLO 7.  Un tubo de 1 cm2  de sección  

transversal, está unido por su extremo inferior a 2 una vasija de 2 cm de altura y 25cm  de sección transversal y por su extremo superior a una vasija de 2 cm de altura y 100 cm2  de sección transversal, (ver Fig.11)

donde la densidad del aceite es: ρ = 800 kg/m3; g = 2 9,8m/s ; h = 2 m. S es el área de la cara inferior del pistón (S = πd2/4) y PA = 40 kPa = 40000 Pa. Despejando W se tiene: W = S(PA + ρgh)/1.5 Puesto que el diámetro diámetro es d = 1 m se obtiene S = 2 0.785 m  y por tanto: W = (0.785)[40000 + 800(9,8)(2)] /1.5 = 29,13 kN

6. PRESION ATMOSFERICA Debido al peso del aire, los cuerpos que se encuentran inmersos dentro de la atmósfera terrestre experimentan la presión atmosférica cuyo valor fue determinado por Torricelli en un experimento en el cual se logra equilibrar la  presió  pre sión n atmo atmosfé sféric ricaa ccon on la presió presión n de de u una na column columnaa

Fig.11. La fuerza depende del área.  Si el líquido que con contiene tiene es Hg Calcular: a) La  presió  pre sión n manomé manométri trica ca en A. b b)) La presi presión ón abs absol olut utaa

de mercurio.

en E. c) La diferencia de presión entre C y E. d) La fuerza que se ejerce sobre el fondo de la vasija inferior e) El peso total del fluido.

Solución: a) La presión presión man manométrica ométrica en A es Pm,A = ρghA = 13600(9.8 )(0,02)= 2665,6Pa  b) Presió Presión n aabso bsolut lutaa een n el el punt punto oE PE = ρghE + po ; po = 1,013x105 Pa PE =13600(9,8)(0,10)+1,013x105 =1,146x105 Pa

Fig.10. Barómetro de Torricelli. 

c) Diferencia de presiones entre los puntos C y E

En la Fig.10, el contenido de mercurio del tubo vertical no se vierte totalmente porque se lo impide la presión atmosférica que está obrando en la superficie libre del mercurio en el recipiente. Por consiguiente:

PE - PC = ρ.ghCE =13600(9,8)(0,03) =3998 Pa

6

 

 

d) La presión manométrica en el fondo y el área del fondo son respectivamente:

 y2 - y1) ∆P = -ρog( y

Pm =ρ.gh = 13600(9,8)(0,12) = 15994 Pa 2 S = 0,0025 m  

la distancia entre pisos es y es  y2 - y  - y1 = 3 m. Luego:

∆P = - 1,3(9,8)(3) = - 38,22 Pa

Luego, la fuerza sobre el fondo es:

Aproximadamente Aproxim adamente la presión presión se reduce reduce en 40Pa 40P a por

15994(0,0025) = 39,98 N F = Pm S = 15994(0,0025) e) Volumen del Hg depositado

cada piso. Para grandes alturas podemos encontrar una relación entre presión y densidad considerando al aire como gas ideal cuya ecuación de estado es:

V = 25×2 cm cm  + 1×8 cm cm + 100×2 cm cm   -6 3 V = 258 ×10  m   3

3

3

WHg= ρgV = 13600×9. 9.8 8× 25  258 8×10-6 = 34,4 N

 pV = nRT nRT

7. VARIACION DE LA PRESION ATMOSFERICA CON LA ALTURA 

donde el número n de moles se obtiene dividiendo la cantidad m de gas entre su masa molar M (n = m/M ). Pero el aire es una mezcla de gases por lo cual su masa molar es un valor promedio:

En la atmósfera terrestre la densidad del aire varía 3 3 desde 1,293 kg/m  (aproximadamente 1,3 kg/m ) al nivel del mar hasta anularse totalmente alrededor de los 2000 km de altura; esto significa que la  pres  presió ión n atm atmos osfé féri rica ca tamb tambié ién n ha de redu reduci cirs rsee con la altura. Para describir matemáticamente ésta variación podemos hacer uso de la Ec. 11 del siguiente modo dp=- ρ.gdy (16)

Maire = 0,029 kg/mol Si admitimos que a una altura "y" un cierto volumen V de aire tiene una masa m, su densidad será ρ = m/V. A partir de estas consideraciones la ecuación de estado también se puede escribir de la siguiente manera:

donde "y" es ahora la altura medida sobre el nivel del mar y el signo menos indica que un incremento de altura dará lugar a una reducción de la presión. No debe olvidarse que en este caso la densidad es también una función de la altura. Sin embargo si las variaciones de altura son solo de algunos metros podemos suponer que la densidad se mantiene constante y por tanto la Ec.16 puede ser usado para encontrar la variación de la presión en

ρ=

 pM RT

 

(19)

reemplazando en la Ec. 16 y transponiendo la variable  p al al prim primer er mie miemb mbro ro tenemo tenemos: s:

dp  p

la siguiente forma:

∆ p = - ρg ∆y

(18) (18)

=−

Mg RT

dy  

(20)

Si T es constante; y observando que al nivel del mar (y = 0) la presión es la presión atmosférica normal po; los límites de integración integración para la presión presión y la altura son respectivamente: respectivamente: [p [ po, p] y [0,  y]  y]

(17)

EJEMPLO 8. ¿Cuál es la variación de la presión atmosférica que afecta a una persona que sube de un piso a otro en un edificio; si la distancia entre  pisos  pis os es de de 3 m y est esta a lloca ocaliz lizado ado cerca cerca al nive nivell del del mar?

 p

dp

 y

 Mg 

∫  p = - ∫  RT  dy  

 p o

0

El resultado es: Según la Ec.17 las presiones en el piso 1 y en el  piso  pis o 2 son respec respectiv tivame amente nte::

 p = p 0 e

P1 = po - ρog y1  P2 = po - ρog y2 

−

Mgy RT

 

(21)

De la Ec. 19 se deduce que la densidad y la presión son directamente proporcionales, Luego, si ρo y po, son respectivamente la densidad del aire y la  presi  presión ón atm atmosf osféri érica ca al niv nivel el del mar, mar, se se tien tiene: e:

La variación de presión es: ∆P = P2 - P1 7

 

 

ρo = po

M RT

 ó

M RT

 =

ρo  p o

 

Luego la expresión exponencial de la presión atmosférica toma la siguiente forma usual:

 p = p 0 e

−

ρgy  p 0

 

(22)  Fig.12. Superficie inclinada en un fluido.

Cuando la temperatura T varia con la altura necesitamos saber la relación entre T e y e  y.. Para el caso mas sencillo supondremos que entre ambas variables existe la siguiente relación lineal T = To – by

donde p = ρg y es  y es la presión hidrostática; dS es un elemento de superficie similar a una franja de longitud b; su valor es preferible expresarlo en función de la variable de integración ( y);  y); para esto proyectamos el área dS sobre la superficie vertical dS.sen α = b.d y   y  (25)

donde To es la temperatura al nivel del mar, b es una constante de conversión Reemplazando el valor de T en la Ec.20 e integrando se tiene: P

dp

Po

 p

∫

=

Mg  Rb

∫

y

0

De donde:

− b dy   To − by

dS = csec α .b.d y .  y .

Reemplazando dS en la Ec.24 y ejecutando la integración entre límites y límites y1  y  y 2

Los límites son po la presión al nivel del mar ( y = 0) y p a la altura “ y”. El resultado de la integración es:

  p   Mg  T o − by   =    Ln Ln   p o   Rb   To   de donde se despeja la presión:

P = P  o [1 − ( by / To )]Mg / Rb  

(23)

8. FUERZA SOBRE UNA SUPERFICIE SUMERGIDA

Fig.13. dSy  es proyección del área dS. 

Consideremos una superficie plana inclinada un

F=

ángulo α respecto a la horizontal, sumergida de tal manera que su borde superior se halla a una  profun  pro fundid didad ad  y1  y su borde inferior a una  profun  pro fundid didad ad y  y2 como se muestra en la Fig.12. Si la longitud de dicha superficie es H y su ancho es b, su área es Hb. Desde que la presión varía linealmente con la profundidad, la presión media sobre dicha superficie es Pm = ½ ρ.g(  yy1 + y  + y2). Por tanto el valor de la fuerza es: F = Pm.S . Esto es:

F = ρ.g.b.csec α.

p dS  

 y 1

 ydy   (26)

observemos en la Fig.12 que: sen α = (y2 - y1)/H o csec α = H/( y2 - y1) Reemplazando en la Ec. 26, y luego de factorizar la diferencia de cuadrados se tiene:

Este resultado también se puede obtener por integración, a partir de la Ec. 6.

∫

∫

 y 2

F = ½ ρ.g.b.csec α.( y 22 - y12)

F = ½ ρg( y  y1 + y  + y2)Hb

F=

∫ (ρg  y)(csc α bdy)  

F = ½ ρ.g.( y 2 + y 1).Hb

(27)

EJEMPLO 9. Consideremos dentro de la

(24)

atmósfera terrestre a presión normal una cavidad 8

 

9. UBICACIÓN DE LA FUERZA RESULTANTE SOBRE UNA SUPERFICIE SUMERGIDA

hemisférica de radio R = 3 m como se observa en la Fig.14 Calcular la fuerza vertical sobre la  su  supe perf rfic icie ie cur curva va de de la cav cavid idad ad debid debido o a la presión presión atmosférica, suponiendo que esta vacío el interior.  interior. 

En ciertos casos interesa saber a que altura o en que posición actúa la fuerza total sobre una superficie sumergida La solución de este  proble  pro blema ma no es sino sino la det determ ermina inació ción n del centr centro o de las fuerzas paralelas dF que están actuando  perpendic  perpen dicula ularme rmente nte a la sup superf erfici icie. e. Est Esto o es: si suponemos que el centro de rotación o centro de momentos se encuentra en el borde superior de la  pared  par ed y sea yo  la profundidad a la que actúa la fuerza F. Respecto a dicho centro, el momento de la fuerza resultante F es igual a la suma (o integral) de los momentos de las fuerzas elementales dF. Esto es:

Fig. 14. Fuerza vertical sobre un hemisferio.

Solución. Si la presión atmosférica es constante; en la Fig.14 la fuerza oblicua dF sobre la pequeña  porció  por ción n de supe superfi rficie cie esf esféri érica ca dS dS es dF dF = p.dS p.dS Sin Sin embargo la fuerza vertical es sólo la componente dFy  y está obrando perpendicularmente sobre la superficie dSx. Entonces dFy = pdSx; de allí que la fuerza vertical total es:

yo F =

∫ y dF ; ó y

o

=

1 F

∫ ydF  

(28)

donde podemos reemplazar el diferencial de fuerza: dF dF = p dS = ρ.g. y.b.dy  y.b.dy

Fy =  pdS x = p dS x = p Sx Donde Sx es la proyección de la superficie hemisférica sobre un plano horizontal que resulta ser el área del círculo de radio R, Sx  = πR 2. Por consiguiente el resultado es:

∫

∫

Fy = p(πR ) = 1,013x10 (3,14)(3)  = 2,86x10  N 2

5

2

6

EJEMPLO 10.  En la Fig.15 Fig.15 la presió presión n en la cámara A es 2p y en la cámara B es 5p; si el orificio de 2 cm de radio está obturado obturado por una una válvula esférica de 3 cm de radio. ¿Cuál es la  fuerza  fue rza ejerc ejercida ida so sobre bre la válvu válvula la (supon (suponga ga que la válvula tiene un peso despreciable)

Fig.16.La fuerza resultante sobre el muro actúa a una profundidad yo . integrando entre límites desde  y =  y = 0 hasta y hasta  y =  = H

5 p

B

yo

2 p

A

= ρgb ∫ y F

2

 

dy =

0

ρgbH 3 3F

 

reemplazando el valor de F dado por la Ec. 27 resulta:

Fig.15. Dibujo para ejemplo 10.

yo =

En este caso la fuerza obra en dirección vertical y el área a través del cual actúa dicha fuerza es el área del orificio por tanto, la fuerza neta sobre la válvula es:

2 3

H 

2

medido desde el fondo del recipiente.

 

(29)

Luego la posición de la línea de acción de la fuerza hidrostática sobre la pared vertical se encuentra a 2/3 de la profundidad desde el nivel libre del líquido o a un tercio de la profundidad

F = (5p - 2p)πr = 3π pr   ; r = 2 cm 2

H

1

9

 

 

EJEMPLO 11.  El muro de un dique tiene una

Desde que el torque debido al peso del muro es mayor que el debido a la fuerza del agua, no es  posib  po sible le una vo volca lcadur dura. a.

 profundid  profun didad ad de 10 m y un una a longit longitud ud de 60 m. ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre la pared del dique si se llena con agua dulce hasta el borde  superi  sup erior? or? ¿S ¿Sii la pared pared es de concre concreto to arm armado ado 3 (densidad 5000 kg/m ) y tiene tiene un ancho ancho de 3 m,  podrá  pod rá resist resistir ir una posibl posiblee vvolc olcad adura ura? ?

10. FUERZA ASCENSIONAL EN UN FLUIDO: Principio de Arquímedes  Cuando se sumergen cuerpos livianos dentro de un fluido se observa que tienden a flotar demostrándonos que existe una fuerza ascendente. Esta fuerza ascensional obra en realidad sobre cualquier objeto sumergido sea  pesado  pes ado o livi liviano ano y se se d debe ebe a la la p pres resión ión hid hidros rostát tática ica que ejerce el fluido, como se demuestra a continuación: Consideremos dentro de un fluido, colocada horizontalmente una caja rectangular cuya superficie superior e inferior tiene la misma área S. Sin tener en cuenta el el peso de la caja vamos a calcular la resultante de de las fuerzas sobre sus 6 caras debido a la presión del fluido. Las fuerzas laterales se compensan o equilibran dos a dos y por tanto no hay resultante en la dirección horizontal.

Fig.17 . ¿Volcara el agua al muro? 

Solución  los datos son: Para el muro: longitud longitud b = 60 m ancho a= 3m  profun  pro fundid didad ad H = 10 m densidad ρc = 5000 kg/m3 Para el agua: densidad.

ρ = 1000 kg/m3

Puesto que el agua llena hasta el borde, para hallar la fuerza aplicamos: F = pmS, con pm  = ½ ρgH ; S = Hb F = (½ ρ g H)(Hb) = ½ (1000)(9,8)(10)(10)(60)   F = 2., N La altura a la que que actúa esta fuerza es: Fig.18. Fuerza sobre una caja vacía. ho = (1/3)H (1/3)H = 10/3 m En la dirección vertical la fuerza ascendente en la cara inferior es mayor que la fuerza sobre la cara superior ya que la presión aumenta con la  profun  pro fundid didad. ad.

Para averiguar si puede resistir una posible volcadura hallamos los torques debido a la fuerza F y la fuerza peso W respecto de un eje que pasa  por el pu punto nto A. (Fi (Fig.1 g.17) 7)

De acuerdo con la Fig.18 tenemos:

El torque que ejerce la fuerza F es:

τ = ho F = (10/3)(2,94x107) =

F2 = p2.S = F1 = p1.S =

7

9,8x10  N.m

El torque debido al peso del muro con respecto al  punto  pun to A es: es:

ρ.g.y2.S ρ.g.y1.S

La resultante resultante es: E = F2 - F1 = ρgS (y2 - y1)

τ ' = (a/2)W = (a/2)mg = (a/2)( ρcVg) τ ' = (3/2)(5000)(60x10x3)(9.8) τ ' = 1.32x108 N.m

E = ρgV

(30)

 pero el prod  pero product ucto o S.( S.(y y2 - y1) es el volumen V de la caja, que es igual al volumen del líquido desalojado por la caja. Por consiguiente podemos concluir que la fuerza E que está dirigida hacia

10

 

arriba es una fuerza ascensional debida a la  presió  pre sión n del líquid líquido o y su valor valor es igual igual al peso del del fluido desalojado como se puede ver examinando la Ec.30. Arquímedes fue el primer científico que llegó a esta conclusión basándose únicamente en sus observaciones experimentales.

 pérdida de  peso en agua  pérdida de  peso en aceite

=

γH O γ aceite 2

 

donde γaceite es el peso específico del aceite. O de otro modo:

Principio de Arquímedes "Todo cuerpo sumergido total o parcialmente experimenta una fuerza ascensional denominada empuje  cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado". Ver Ec.30.

W − W'

γH O

W − W" =

γ aceite

2

 

despejando se tiene:

EJEMPLO 12.Utilizando un dinamómetro se ha

γ aceite =

encontrado que el peso de un cuerpo suspendido en el aire es W. Cuando el cuerpo queda  su sp en endi dido do de dent ntro ro de dell ag ua el dinamómetro registra un peso aparente igual a W' y cuando el cuerpo se encuentra dentro del aceite su peso aparente es W". Con estos datos calcúlese la densidad del cuerpo y la densidad del aceite.

W − W" W − W'

γH O  2

EJEMPLO 13.  Un cuerpo que tiene un 3 3 volumen de 1,2 dm  y densidad 0,69 g/cm requiere de un peso mínimo de 403,2 g colocado encima  para  pa ra mant manten ener erlo lo su sume merg rgid ido o en un fluido (I) y del mismo modo para mantenerlo sumergido en un  fluido (II) necesita 198g. Determinar la densidad relativa del primer fluido respecto al  se  segu gund ndo. o.

Fig. 19. Pesos aparentes en agua y aceite del bloque. Fig.20. La masa m flota sumergida. 

 pero  pe ro el em empu puje je E es ig igua uall a la pé pérd rdid idaa de pe peso so

Solución  La densidad relativa del líquido (I) E = W - W' = donde

γH OV

respecto al (II) está dada por:

(31)

2

γ H O es el peso específico del agua .De ésta

δ=

2

última relación despejamos el volumen del cuerpo V (volumen de líquido desalojado), y luego en la fórmula del peso especifico.

γ=

W W − W'

  l liquid de densid nsidad ad de del liquido oI de densi nsidad dad de dell liquid liquido o II

=

ρ1 ρ2

 

En las Fig. 20.a y 20.b se muestra los dos líquidos diferentes (I) y (II) en los cuales el cuerpo de peso mg y volumen V se encuentra íntegramente sumergido y en reposo.

γH O  2

Para determinar el peso específico del aceite observemos en la Ec. 31 que cuando el volumen es constante como en el caso presente, la  pérdida de peso de un objeto es di dire rect ctam amen ente te

Por consiguiente en cualquiera de los dos casos el empuje (E) equilibra al peso del cuerpo (mg) y al peso que tiene encima (W 1 ó W2). Esto es:

 prop  pr opor orci cion onal al al al pe peso so eesp spec ecíf ífic ico o (o la de densi nsidad dad)) del líquido:

líquido (I): E1 = mg + W1  líquido (II): E2 = mg + W 2

 

11

(32) (33)

 

    En donde: W1  = m1g, W2 = m2g, E1  = E2 = ρ2gV. Entonces:

ρ1gV ρ2gV

= mg + m1g = mg + m2g

4. ¿Cómo definirías el peso aparente?

ρ1gV,

a)  El peso que tiene el cuerpo por su aspecto  b)  El peso del líquido desalojado  c)  El peso del cuerpo menos el empuje  d)  Masa del cuerpo por la densidad del

(34) (35)

Si dividimos miembro a miembro las ecuaciones (34) y (35) obtenemos:

ρ 1 m  g + m1 g =  = ρ 2 mg + m 2 g

m + m1 m + m2

líquido.   sumergido podemos decir 5. De un cuerpo que:

 

a)  b)  c)  d) 

Si el volumen del cuerpo es 1,2 dm3 = 1200 cm3  su 3 3 masa será m = ρ.V = (0,69 g/cm )(1200cm ) = 828 g. Las otras masas son: m1 = 403,2 g y m2 = 198 g. La densidad buscada es:

δ=

828 + 403,2 828 + 189

6. Si un cuerpo que flota lo hundimos hasta tener sumergido un volumen doble del que tenía, podemos decir que:

= 1,2  

11. CUESTIONARIO PRINCIPIO DE

a)  El empuje se duplica  b)  El equilibrio se mantiene  masa de agua desalojada es igual a c)  La la mitad de la masa del cuerpo.   d)  El peso aparente es cero 

SOBRE EL ARQUIMEDES

7. Un cuerpo de masa 20 kg flota sumergiendo 1/4 de su volumen ¿cuál es la relación entre las densidades del cuerpo y del líquido en el que flota?

1. ¿Qué volumen tiene sumergido un cuerpo que flota? a)  Todo su volumen.  b)   Ningún volumen.  c)  La mitad de su volumen.  d)  Depende sólo del peso del cuerpo.  e)  Depende del peso del cuerpo y de la densidad del líquido. 

a)  El líquido es cuatro veces menos denso que el cuerpo  b)  Tienen igual densidad  c)  El cuerpo tienen una densidad cuatro veces menor que la del líquido  d)  El cuerpo tiene una densidad 8 veces menor. 

2. es elque peso del líquido desalojado por¿Cuál un cuerpo flota? a)  b)  c)  d) 

8. Una lancha de 300 kg de masa flota en el agua. Al subir a ella una persona de 70 kg de masa se hunde un poco más. ¿Cuántos litros desaloja?

Un peso igual a su volumen.  Igual al peso del cuerpo en el vacío.   Menor que el peso del cuerpo.  Un peso igual al peso aparente.  

a)   b)  c)  d) 

3. Cuando se alcanza el equilibrio, la masa de agua desalojada en gramos es igual a: a)  b)  c)  d) 

Siempre está en equilibrio  Tiene menos volumen pero igual masa  A mayor profundidad mayor empuje.  su masa no varía. 

La masa del cuerpo  El volumen del cuerpo en cm3  Al peso del cuerpo  Al peso aparente. 

12

Depende del volumen de la persona (300-70) litros 70 litros 370 litros.