Hidrologi Aplikasi Metode Statistik Untuk Analisa Data Jilid 2

hidrologi tpftri tdoile$tdirlt urffitndinDta

rilid 2

Penerbit'NCVA'

Soeu,r;arno

hidrolo sl Aplkni Metode Stttbtlk untuk Analba Data

rilid 2

Soewarno Ptrnanur 'l{ 0VA'

ill

xotrx ?os 1468.

BANDUIIG

Y

KATA PIqNGAIYTAA I

t

;

Buku HIDROLOGI - Aplikasi Metode Statistik untuk Analisis Data jilid II ini, merupakan lanjutan dari buku dengan

Badan Perpustakaan

judul yang sama Jilid i. Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan atas segala rahmat-Nya, penulis dapat menyusun buku ini. Disusun dengan maksud mengenalkan aplikasi metode statistik dalam analisis data hidrologi pada kegiatan penelitian yang terkait dengan hidrologi atau sumber daya air, baik oleh hidrologiwan, dosen dan mahasiswa maupun para tenaga fungsional seperti peneliti,

Propinsi Jawa Timur

perekayasa dan litkayasa serta konsultan teknik.

{

i 1

MILIK z}iz\Eo

\n\, \ll1ut

Pada buku

jilid I, telah diuraikan tentang metode

statistik, variabel hidrologi, pemilihan sampel, proses hidrologi, kualitas data, tipe data dan penyajian data. Pengukuran parameter statistik, meliputi pengukuran tendensi sentral, dispersi. Aplikasi distribusi peluang deskrit dan kontinyu, yang meliputi distribusi Normal, Log Normal, Pearson tipe III, log Pearson tipe III, Frechet, Gumbel,

Gumbel tipe III, Goodrich. Dilanjutkan dengan

uraian

memperkirakan debit banjir metode serial data, POT, regresi, perbaikan perhitungan debit banjir dan pada buku jilid I tersebut cliakhiri dengan metode memperkirakan debit banjir berdasarkan tlata linggi muka air. HAK PENULIS DILINDUNGI OLEH UNDANG.UNDANG DILARANG MEMPERBANYAK SEBAGIAN ATAUPUN SELURUHNYA

DARI EUKU INI DALAM BENTUK STENSIL, FOTO COPY, ATAU CARA LAIN

TANPA IJIN PENULIS

llraian pada buku jilid ke II ini dimulai Bab I, disajikan aplikrrsi rrli hipotesis tentang nilai rata-rata dan varian dari suatu iirl tl:rtrr hiclrologi runtut waktu, dengan menggunakan distribusi rrolrrrrl. tlistrilrusi-t, distribusi chi-kuadrat dan distribusi-F, dan tliaklriri tlcngan rrnalisis varian klasifikasi satu arah dan dua arah dilcngkapi pula dengan metode non parametrik untuk menguji scr

sampel data hidrologi.

Aplikasi mctodc statistik untuk analisis deret berkala data ilt

lridrologi diuraikan pada Bab II, yang meliputi uji : ketidak adaan trend, stasioner dan persistensi, kemudian dilanjutkan dengan analisis trend, diakhiri dengan uraian membangkitkan (generating) deret berkala sintesis.

Hubungan antara dua buah variabel hidrologi yang terdiri dari variabel tidak bebas (VTB) dan variabel bebas (VB) disajikan pada bab III. Hubungan tersebut dapat dinyatakan dengan rumus matematikayang umunmya disebut dengan model regresi. Dimulai dengan aplikasi model regresi linier sederhana yang meliputi : penentuan model, batas daerah kepercayaan , pengujian titik potong, pengujian koefisien korelasi peringkat. Kemudian dilanjutkan aplikasi hubungan sebuah VTB dan sebuah VB dengan model regresi : eksponensial, berpangkat, logaritmik, polinomial. Pada bagian akhir Bab III, disajikan aplikasi hubungan antara

VTB dengan dua atau lebih VB, dalam model regresi linier berganda dan berpangkat berganda dan dibagian akhir Bab III disaj ikan uji Durbin-Watson. sebuah

Pada bagian akhir buku ini disajikan Bab IV, menguraikan tentang aplikasi metode statistik untuk uji ketelitian pengukuran debit. Dimulai dengan ketelitian pengukuran debit menggunakan alat ukur arus (curuent meter) yang meliputi : sumber kesalahan, penentuan ketelitian parameter, penentuan ketelitian pengukuran dan dilanjutkan dengan uji-statistik berdasarkan pengukuran data di lapangan. Uraian buku ini diakhiri dengan ketelitian pengukuran debit menggunakan ambang (weir) dan uji-statistik berdasarkan pengukuran data dilapangan.

Dengan maksud memudahkan pemahaman aplikasi metode statistik untuk analisis data hidrologi. setiap tahapan uraian selalu disajikan contoh persoalan. Namun demikian hendaknya hasil perhitungan dari setiap contoh untuk tidak dijadikan kesimpulan tentatrg penomena hidrologi dari pos hidrologi atau DPS yang bersangkutan. Pada pokoknya contoh-contoh pada buku ini dimaksudkan hanya sekedar untuk memudahkan pemahaman bukan iv

rrr rl

r

rlr l lrl u;u r lrrurl isis l)cnonlcna hidrologi yang scbcnarnya.

I't'nrrlis rncngucapkan banyak terima kasih kepada Bapak Ir. lrrr'srorf Locbis. M. Eng, Bapak Ir. Ali Hamzah Lubis, Bapak Ir. Srrrrrpudjo Komara Winata M.Eng, Bapak Ir. Bambang Kayanto. l)pl. HE, yang telah memberikan kesempatan dan bimbingan sepenuhnya kepada penulis untuk melaksanakan penelitian dalam bidang hidrologi terapan sehingga bermanfaat pada penulisan buku ini. Kepada penerbit Nova yang telah menerbitkan buku ini dan kopada semua pihak yang telah membantu, penulis mengucapkan tcrima kasih.

Kepada istri tercinta Siti Nurhidayatun dan kedua anak tersayang Teddy Nurhidayat dan Dwiki Nurhidayat, terima kasih atas kesabaran dan dorongannya.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempuma, oleh karena itu kdtik dan saran dari semua pihak akan penulis terima dengan senang hati.

Bandung, 7 Mei 1995

Penulis: Soewarno

I

ls

darfitat

1.6.

isi 2.

.4.4. IJji Chi-Kuudrut Untuk Dutu

Berpusang:un

Metode Non Parametrik

17

1.5.1. Uji Mann - llhitney .5.2. Uji Kruskal - lVallis

48

I

52

Analisis Varian

57

1.6.1. Klasifikasi Satu Arah 1.6.2. Klasifikasi Dua Arah

59

APLIKASI METODE STATISTIK UNTUK ANALISIS DERET BEBKALA DATA HIDROLOGI 2.1. Pendahuluan 2.2. Uji Ketidakadaan Trend

Kata Pengantar

ut

Daftar Isi

vt

1. APLIKASI UJI HIPOTESIS DATA HIDROLOGI 1.1. Pendahuluan 1.2. CaraPengujian 1.3. Pengujian Nilai Rata-Rata 1.3.1. Pengujian Nilai Rata-Rata Sampel Besar 1.3.2. Pengujian Nilai Rata-Rata Sampel Kecil 1.3.2.1. Menguji Rata-Rata Dua Set Sampel 1.3.2.2. Menguji Rata-Rata Sampel dan Rata-Rata Populosi

1.3.3. Interval Kepercayaan Nilai Ruta-Rutct 1.3.4. Uji+ Untuk Data Berpasangen 1.3.5. Pengujian Rata-Rata Sampel Jika Varian Tidak Samo Jenis 1.3.6. Penentuan Jumlah Sampel

1.4. Pengujian Nilai Varian

. 1.4.1. Pengujian Varian Sampel dan Varian Populasi 1.4.2. Pengujian Varian Populasi 1.4.3. Uji Kesamaan Jenis Varian Sample vi

2.2.1. Uji Korelasi Peringkat Metode Spearman 2.2.2. Uj i Mann-Whitney 2.2.3. Uji Tanda dari Cox dan Stuart

2.3. Uji Stationer 2.4. Uji Persistensi 2.5. Analisa Trend

I I

t8 22 23

26 30 33

3s 35 38 40

3.

APLIKASI MODEL REGRESI DAN AI\ALISrc KORELASI DATA HIDROLOGI 3.1. Pendahuluan 3.2. Model Regresi 3.3. Model Regresi Linier 3.3.1

.

83

8s 87

9t 93

98

2.6.1. Menggunakan Tabel Bilangan Acak 2.6.2. Menggunakan Proses Markov

9

I7

83

t02

2.6. Membangkitkan Data Sintetik

8

66

95

2.5.1. Metode Analisis Regresi 2.5.2. Metode Rata-Rata Bergerak

3

.t,t

102 103

t08 t11

Il5 t3t t3t t35

Sederhana

Penentuan persamaan

3.3.2. Batas Daeroh Kepercayaan Garis Regresi 3.3.3. Pengujian Titik Potong 3.3.4. Pengujian Koefisien Regresi 3.3.5." Pengujian Koeli.r ian Korelasi 3.3.6." Koefisien Kora ltr:; i Peringkal

140

t40 t49 i/53

t56 t58

t60

vii

3.4. Model 3.5. Model 3.6. Model 3.7. Model 3.8. Model

Regresi Regresi Regresi Regresi Regresi

Eksponensial Berpangkat

172

Logaritmik Polinomial

184

Berganda

201

3.8.1. Model Regresi Linier Berganda 3.8.2. Model Regresi Berpangkat Berganda 3.9../ Uji Durbin Watson

4. APLIKASI METODE STATISTIK UNTUK UJI KETELITIAN PENGUKTIRAN DEBIT 4.1. Pendahuluan 4.2. Jenis Kesalahan Pengukuran Debit 4.3. Ketelitian Pengukuran Debit dengan Alat Ukur Arus 4.3.1. Sumber Kesalahan pengukuran 4.3.2. Penentuan Ketelitian Parameter pengukur Debit 4.3.3. Perhilungan Ketelitian pengukuran Debit 4.3.4. Kekurang Telitian pengukuran Debit dengan Alat Ukur Arus 4.4. Ketelitian Pengukuran Debit Menggunakan Ambang 4.4.1. Ketelitian Pengukuran Lebar Ambang 4.4.2. Ketelitian Pengukuran Tinggi Muka Air Ambang 4.4.3. Ketelitian Penentuan Koefisien Debit 4.4.4. Contoh Pengukuran Debit dengan Ambang Tajam 4.4.5. Pengukuran Debit dengan Ambong Lebar Daftar Bacaan

163

178

202 215 221

bab

233 233

234 236

r.

aerihasi uri lrliOotesis data hidtologi

2i6 238 245

246 255

2s6 256 257 2s8 263 267

1.1

PENDA'IULUAN

jilid I dengan judul yang sama, dalam penelitian hidrologi, adalah suatu hal yang tidak nrungkin melaksanakan pengambilan data dari seluruh populasi Qxtpulutirtn). karena keterbatasan dana, waktu dan tenaga. Umumnya keputusan dalam analisis hidrologi ditentukan Seperti telah disampaikan pada buku

berdasarkan informasi yang diperoleh dari sampel (sample). Dari informasi tersebut dapat dibuat penafsiran

l). 2).

perkiraan parameter statistik dari satu populasi, membandingkan parameter statistik dari populasi.

Teknik yang membicarakan kedua penafsiran itu disebut dengan statistika penafsiran (statistical inferences) dan banyak digunakan dalam penguj ian hipotesis statistik (t e s t ing s t at i s t i c al hypo t he s i s). vru

,)

I Hipotesis statistik adarah suatu dugaan atau pemyataan tentang parameter statistik yang didasarkan pada sampel dari data. Pengukuran parameter statistik terah dibicarakan padaBab II, pada buku jilid I dengan judul sama. Keputusan tentang dugaan atau pernyataan tentang popurasi yang dibuat berdasarkan sampel disebut dengan keputusan statistik (s tati s tic al de c is ions). Hipotesis statistik dirumuskan agar kita dapat dengan mudah menolak atau menerima dugaan yang kita buat. Untuk maksud memudahkan perumusan tersebut maka hipotesis statistik dinyatakan dengan istilah hipotesis nol (null hyporhe::is). Contoh : dari data curah hujan yang dikumpulkan selama 50 tahun. apabila dibuat distribusi frekuensinya maka dapat dibuat suatu dugaa, hahwa distribusi data curah hujan tersebut mengikuti distribusi ,.r.rar, dugaan tcrsebut sering dinyatakan sebagai hipotesis nol. Dalam hipotesis nor dirumuskan bahwa tidak ada perbedaan (no true dffirences) antara parameter statistik dan populasi. Penolakan hipotesis nor berarti menerima hipotesis arternatip (alternative hypothesis). Hipotesis nor dan hipotesis alternatip sering ditulis dengan simbol yang berbeda. Hipotesis nol ditulis dengan simbol Ho dan hipotesis artematip ditulis i"rg* simbol H,. sebagai contoh, dari dua daerah pengaliran sungai topsl dilakukan pengukuran erosi, masing-masing sebanyak 50 lokasi. Buat suatu hipotesis apakah besarnya erosi rata-r ata d,ari kedua Dps tersebut sama, maka dapat ditulis :

I)ada bab ini akan disajikan cara pcngujian hipotcsis, grcngujian nilai rata-rata (mean), pengujian varian, dan analisis veuian dari sampel data atau populasi.

1.2. CABA PENGUJ'AN Setiap hipotesis dapat benar atau tidak benar, oleh karena itu diperlukan pengujian. Andaikata suatu hipotesis (Ho) menduga besamya erosi rata-rata kedua DPS adalah sama, tetapi pengukuran di lapangan dengan sejumlah sampel acak ternyata menunjukkan perbedaan yang menyolok, maka dapat dikatakan bahwa perbedaan yang diperoleh dari pengukuran erosi tersebut sebagai perbedaan yang meyakinkan (significance), atau disebut juga sebagai perbedaan yang nyata, perbedaan yang berarti, dengan kondisi demikian maka Ho ditolak. Prosedur untuk menentukan apakah suatu hipotesis diterima atau ditolak atau apakah sampel berbeda meyakinkan dengan populasi disebut dengan pengujian hipotesis atau pengujian kepercayaan (test of hypothesis or test of signtficance). Dalam melakukan pengujian hipotesis mungkin terjadi kesalahan, oleh karena itu ada 4 kemungkinan :

1). hipotesis betul tetapi hasil pengujian menolak (telah mengalami kesalahan jenis I dalam pengambilan

Ho:X,=nr,atauXl-Xr=0 H, : X, *X?,atauX1 -Xz *0

keputusan).

2). hipotesis salah tetapi hasil pengujian menerima (telah mengalami kesalahan jenis II dalam pengambilan

Apabila ternyata dari hasil pengujian temyata X, : X, maka berarti besarnya erosi rata-rata dikedua DpS tersebut sama atau tidak berbeda pada derajat kepercayaan tertentu (lever of signrficance) dan derajat kebebasan tertentu (degrees offreedom).

keputusan).

3). hipotesis

betul dan hasil pengujian menerima

(pengambilan keputusan tidak salah).

4). hipotesis salah

Perkataan sama dari hipotesis nor tidaklah berarti sama persis nilainya atau sama sekali tidak mengandung suatu perbedaan.

dan hasil pengujian

menolak

(pengambilan keputusan tidak salah).

Apabila dijumpai perbedaan haruslah semata-mata terjadi karena

kesalahan sampling.

'l'abcl

l.l,

menunjukkan kesalahan dalam pengu.f ian hipotesis.

h

Tabel L1. Macam Kesalahan Dalam Pengujian Hipotesis. Keputusan

Keadaan sebenarnya

Hipotesa Benar Hipotesis diterima

Tidak salah

Hipotesis ditolak

Kesalahan Jenis I

Hipotesis Salah Kesalahan Jenis

Il

Tidak salah

llrrtrrk kcpcrlualr praktis, dera.iat kcpcrt',tytttltt rlllt'ttlttlntt rrrlrurryl a ' 0.01 atau a: 0,05. Dengan n 0.(ll scrirrl'. rllrllrttl o tlt.rrgrrr.r derajat kepercayaan sebesar 1,00 , irri hcritrli ltttltrvtt kira-kira I dari tiap 100 kesimpulan kita akan tttcnolak lrilxrlcsis

yang seharusnya diterima. Dengan kata lain 99 oh dapat dipcrt:ttytt, dan telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal dcrnikiun dapat dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada dcraiat kepercayaan 0,01 yang berarti kemungkinan salah hanya 1,0 7o sa.iaPengujian Hipotesis dapat dilaksanakan dengan cata:

l)

Pengujian dua sisi (two-failed test), atau

2) Pengujian satu sisi (one-failed test). Perbedaan kesalahan Jenis contoh serupa berikut :

l).

I

dan Jenis

II,

dapat disampaikan

Untuk jelasnya dapat dilihat pada Gambar

Dari dua populasi, diduga perbedaan nilai rata-ratanya adalah tidak nyata atau nol, tetapi dari sampel yang diambil menunjukkan bahwa pengujian hipotesis menyatakan nilai rata-rata populasi adalah berbeda nyata,

l.l.a

sampai 1.1.c.

doaroh 9anarimoon

dengan demikian kita telah membuat kesalahan Jenis I.

2). Dilain pihak apabila kita menduga bahwa perbedaan rata-ratanya adalah nyata akan tetapi hasil pengujian menyatakan bahwa perbedaannya tidak nyata (not

docroh

p.nol okon

g

significant) maka kita telah membuat kesalahan Jenis ke II. (iutttltttt

l I tt

H

l'attguf iun Dua Si,si

1x ,r.sofr dengana: 5'%

Peluang untuk melakukan kesalahan Jenis I, umunnya dinyatakan dengan simbol (cr) dan peluang untuk melakukan kesalahan Jenis ke il umunnya dinyatakan dengan simbol (B). Dalam pengujian umwnnya peluang dari kesalahan jenis satu yang ditentukan terlebih datrulu. Dalam pengujian hipotesis, peluang maksimum. untuk mengalami resiko kesalatran Jenis I disebut dengan derajat kepercayaan (level of significance), disebut juga dengan daerah h,ritis (critical region) atau daerah penolakan II* (rejection region),

sedangkan daerah penerimaan H0 disebut dengan daerah penerimaan (acceptance region). Derajat kepercayaan umumnya dinyatakan sebagai 100 % a (dalam%).

- t.645

(iutnhur I t.b. Pengujiqn Satu Sisi Kiri dengan tr ' 5

'%.

1

.lrstr ibusi saia

doaroh Daaarimoon

(lihat (ianrbar l.l.b dan l.l.c).

Sebagai uraian pengantar cukup sampai disini. Sccirru unlunt

pengujian hipotesis data hidrologi dapat dilaksanakan o,5o I

o,a3

doaroh

panololon

prosedur sebagai berikut

l). 2).

Gambar

l.l.c.

Pengujian Satu Sisi Kanan

a = 5 %o dengan a = 5 94.

Dalam pengujian dua sisi daerah penolakan terletak pada sisi kanan dan kiri. Dari gambar 1.1.a, menunjukkan FIo akan diterima jika nilai statistik yang dihitung berada diantara d, dan dr, dan jika terletak diluar daerah d, dan d, maka H0 ditolak. Bila pengujian hipotesis dilaksanakan pada derajat kepercayaan 5 o/o, maka daerah penerimaan tiap sisi adalah 47,50 Yo dan daerah penolakannya adalah 2,50 o/o. Apabila kita menggunakan kurva dan distribusi normal luas daerah penerimaan 0,475 adalah berhubungan dengan kesalahan standar sebesar 1,96 pada tiap sisi. Apabila pengujian hipotesis hasilnya berada diluar daerah 1,96 kesalahan standar maka hipotesa Ho ditolak, karena berada di daerah penolakan. Umumnya dalam pengujian dengan cara dua sisi derajat kepercayaan 5 % (95 oh dapat dipercaya) yang sering digunakan. Walaupun demikian untuk mengurangi resiko yang disebabkan oleh kesalahan Jenis I, dapat menggunakan derajat kepercayaan I % (99 % dapat dipercaya). Pengujian hipotesis dengan cara dua sisi umumnya digunakan untuk pengujian nilai ekstrem di kedua sisi distribusi, misal : pengambilan keputusan apakah dua sampcl data hujan berasal dari populasi yang sama.

tlcrrgnrr

:

Kumpulkan data hidrologi tersebut dan hitung paramctcr statistiknya (perhitungannya lihat buku jilid I). Buat suatu dugaan atau pernyataan dan langkah selanjutnya tentukan hipotesis nol (Ho) dan hipotesis alternatip (H,).

3). Pilih uji statistik yang digunakan. 4). Tentukan derajat kepercayaan. misal a = 0,05 ata:u d, = 0.01.

5). Hitung nilai uji statistiknya. 6). Tolak Ho apabila nilai uji statistiknya berada didaerah kritis (di daerah penolakan) dan terima Ho apabila nilai uji statistiknya berada didaerah penerimaan.

Hasil pengujian yang telah dilaksanakan akhirnya diharapkan suatu kesimpulan dapat diperoleh dengan tepat. Metode pengujian yang menganggap populasi atau sampel mengikuti distribusi tertentu di sebut dengan metode parametrik Qtarametic method), sedangkan metode non parametrik (non parametric method) yang diuji dianggap tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Beberapa uji statistik metode parametrik yang sering digunakan untuk analisis hidrologi antara lain :

l).

Uji-Distribusi Normal (Normal distribution test). Uji distribusi normal umumnya digunakan untuk menguji rala-rata dari dua populasi (sampel ukuran besar).

2). Uji-T (Tee-tesr),t Pengujian satu sisi umumnya digunakan untuk menguji nilai ekstrem hanya pada satu sisi saja, misal dalam hal menguji apakah alat ukur arus (current meter) Jenis A lebih baik daripada Jenis B untuk mengukur kecepatan aliran sungai. Untuk pengujian hipotesis cara satu sisi maka daerah penolakan hanya berada disalah satu sisi

Uji-T

umumnya digunakan untuk menguji sampel

ukuran kecil : menguji nilai rata-rata 2 (dua) kelompok sampel, menguji nilai rata-rata tcrhadap rata-rata populasi, menguji data yang berpasangln, menguji koefisien korelasi.

t,

3)

Uji-Chi Kuadrat (KI - square test),A2 Uji-Chi kuadrat umumnya digunakan

I )t'rrgrrrr

untuk

uji kecocokan (Goodness of fit). Dikembangkan oleh Karl Pearson dan digunakan dalam uji hipotesis dalam menguji data yang diperoleh secara pemilihan acak (random sampling) dari suatu populasi. 4).

Uji-F (AIF-Test),F Uji-F digunakan untuk menguji nilai varian, dan untuk menguji sampel dalam analisis varian.

l).

p2, atau

Hipotesis altematip yang pertama menggunakan metode pengujian dua sisi, sedangkan hipotesis alternatip yang kedua dan ketiga menggunakan metode pengujian satu sisi. Beberapa asumsi yang diambil dalam pengujian

ini adalah

:

1). hasil pengukuran mempunyai distribusi normal. 2). populasi mempunyai nilai varian (cr'z) yang sama. 3). dua sampel yang diuji adalah bebas (independent).

bab 1.3, Pengujian nilai varian dibahas pada sub bab 1.4. Sedangkan sub bab 1.5 membahas penggunaan metode non analisis varian.

H, : pr +

:

2). Ht: p, ) pr, atau 3). H, : lrr < l-rz.

Prosedur pengujian nilai rata-rata hitung (mean) dibahas pada sub

parametrik untuk menguji hipotesis dan sub bab 1.6 membahas

lripotcsis alternatip

Pengujian nilai rata-rata dapat menggunakan pengujian distribusi normal atau pengujian distribusi - t.

Nilai tr,ata.tqts Sampel f,,esalr sub bab ini hanya digunakan untuk mempelajari

1.3.1. Penguiian

13. PENOA'IAN N'LA'

RATA.RAiA

Masalah umum yang biasa dijumpai dalam analisis hidrologi adalah membandingkan nilai rata-rata dari dua sampel. Misalnya saja pengambilan sampel dilakukan dengan cara acak dengan jumlah Nr, ymB diambil dari suatu populasi dengan nilai rata-rata tidak diketahui (unknown mean) sebesar pr dan sampel yang lain dengan jumlah Nr, yang diambil dari suatu populasi dengan nilai rata-rata tidak diketahui (unknown mean) sebesar pr,. Pengukuran sampel yang pertama adalah X,, Xu, Xr, ... , Xr, dan sampel-sampel yang kedua adalah X',, X'r, X'r, ..., X',2. Nilai rata-ratanya adalah X, dan Xz .

ini akan membahas sehubungan dengan dugaan atau pernyataan "Apakah terdapat perbedaan nyata antara Pada sub bab

Xr clan X2 . Dengan kata lain menguji hipotesis nol.

Pada

pcrrnasalahan dalam hubungannya dengan jumlah sampel besar siria. Wulaupun sebenarnya dalam analisis hidrologi umumnya sulit rurrtuk sccaril .jclas n-rcnentukan batas yang tegas antara jumlah surnpcl besar dan jumlah sampel kecil. Umumnya para ahli statistik tclah menentukan bahwa suatu sampel dengan ketentuan :

1). jumlah kurang dari 30 buah disebut sampel kecil. 2). jumlah sama atau lebih dari 30 buah disebut sampel besar.

Beberapa asumsi dalam pemecahan masalah untuk sampel besar (large samples) adalah : 1). distribusi pemilihan acak dari sampcl rncndckati distribusi normal, dan

2). rrilai daripada sanrpcl cukup tlckat (:ttllit tlclrgiur rrilai populirsr

II,TK

I\4 Badan Peii-ruslakaan

it.ttlt

close)

10

lt

Berdasarkan asumsi tersebut salah satu metode untuk menguji dua sampel diambil atau berasal dari populasi yang sama adalah dengan

J). llitung pcrbandingan nilai .l

pengujian distribusi normal (normal distribution resf). Distribusi normal atau kurva normal disebut juga dengan distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan. Fungsi densitas (density function) peluang normal dari suatu variabel random kontinyu X dapat ditulis dengan persaminn berikut ini :

P(x)

: -+ o

Keterangan

P(X)

o n e x p

t- X'-Xr;' olr, Keterangan

t X, : X2 :

variate standar normal dari distribusi normal. rata+atahitung sampel pertama. rata-ratahitung sampel kedua.

Bandingkan variat standar normal (t) dengan variat standar normal pada tabel (1.2) yaitu nilai tc, dengan

fungsi densitas (ordinat kurva normal). deviasi standarpopulasi dari variabel x. 3,14157

aturan keputusan

hipotesis nol (Hr) diterima. 2). Jika nilai t > tc maka hipotesis nol (Hr) tidak diterima atau ditolak atau dengan kata lain menerima hipotesis alternatip (H,).

variabel random kontinyu.

nilai rata-rata hitung populasi dari variabel X.

Pengujian distribusi normal termasuk uji-parametik Qtarametric test) dan dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut : 1). Tentukan deviasi standar dari perbedaan

nilai

:

l). Jika nilai t < tc maka

2,718?,8

rata-rata

hitung:

Tabel 1.2 Nilai tc Untuk Pengujian Distribusi Normal. Dcraiat Kepercayaan

0,1

0,05

0,01

0,015

0,002

1,28 atau + 1,29

- 1,645

- 2,33

- 2,58

- 2,88

atau

atau + 2,33

atau

atau

+ 2,59

+ 2,88

- 2,59

- 2,81

- 3,08

atau

atau + 2,81

+ 3,08

(cr)

or-?=l lo,

2 6't 2 + -

lNr

Keterangan

or-2

:

3) Kepdtusan:

:

: : : : : :

(1.3)

I

(l.l)

"

J2n

:

:

6r' : 6z' : Nr : N2 :

Nz

-

(r.2)

uji satu

SISI

-

:

uji dua sisi deviasi standar dari perbedaan rata-rata hitung (p, - pr). varian sampel pertama varian sampel kedua jumlah sampel pertama jumlah sampel kedua

1,645 atau

+ 1,645 Sumber : Bonnier,

Catatan

. .

+ 1,645

-

1,96 atau + 1,96

+ 2,58

l98l

:

hipotesis diterima jika nilai t

daripada nilai tc.

hipotesis ditolak jika nilai t

daripada nilai tc.

atau

t:t

72

ConlohJ.L l)ari curah hujan tahunan dari pos hujan Dago (X,) dan pos lrujnrr Malabar (Xr) selama tahun 1950 - 1981 (32 tahun), tercatat putlrr tabel 1.3. Kedua pos hujan tersebut terletak di DPS Citarum Hulu, Kabupaten Bandung, Propinsi Jawa Barat (lihat gambar 1.2).

t1

\

\

(

( / --. _J\

I

li[[

(.nJ-

\\

M

1O

=

\

Yi *t(

I

Tentukan apakah sifat curah hujan kedua pos hujan tersebut berbeda pada derajat kepercayaan sebesar 5,00 yo.

\B U B

bo

q

-Inwoh Contoh

I l-

:

Karena jumlah data kedua pos hujan tersebut sama atau lebih dari 30 buah, maka dapat disebut sampel besar dan dianggap distribusinya mengikuti distribusi normal. Data hujan tahtrnan tersebut pada tabel 1.3, dicatat dari dua lokasi pos hujan yang berbeda dengan jarak kurang lebih 40 km oleh karena itu dua set data tersebut dapat dikatakan bebas (independenf) satu dengan yang lain.

L 04 qi

Selanjutnya dapat dibuat hipotesis sebagai berikut

q.

q

\\)

Ho : pr =

B

a

I

\ )

fu-

\-^-/

I

/

H, : p,

^i \

\B

-a

o

pz

* p,

:

(tidak terdapat perbedaan nyata nilai rata-rata hitung dua populasi). (terdapat perbedaan nyata).

Apabila dianggap deviasi standar dari sampel (S) sama dengan standar deviasi populasi (o), maka : Sr = or, dan S, = or, sehingga

.=l I Keterangan

:

(r,-x)' N-1

:

S : deviasi standar dari sampel Xi : nilai pengamatan i = 1,2, ..., N X = nilai rata-rata hitung N = jumlah sampel

74

l6

Tabel 1.3. curah Hujan PoS Hujan Dago dan Marabar (dalam mm/tahun) Tahun

No.

Dago

xt

ll

Malabar x2

(x,-Xf

(X,-X)

rx,-il

t.u4

-333

l 10.899

2.742

246

60.516

1.74',1

-230

52.900

2.305

-l9l

36.48I

1952

2.t27

150

22.500

2.718

222

49.284

1953

1.693

-284

80.656

2.089

407

165.649

1954

2.092

I

l5

t3.225

3.25t

755

570.025

1955

2.248

27t

73.44t

3.099

603

363.609

1956

1.970

49

2.878

382

t45.924

t957

1.553

424

179.776

2.419

-77

s.929

I

958

2.693

7t6

r2.656

3.205

709

l

959

t.'770

-207

42 849

t.751

-'145

555.025

1960

2.s09

532

281 (\24

t.666

-830

688.900

l96l

t.577

400

,uo.uro

t.760

-'736

541.696

,,.

t962

1.923

-54

,.ntul

2.698

202

40.804

L,. L..

lg63

1.129

-848

,,r,nol

1.513

-983

966.289

lg64

t.857

-120

,

o.oo,

2.554

1.672

-305

,, ,rt

-19

36r

t3

508.369

lllu. L. l'. l, lil I

,0.

|

I

ra.

5

l

re6s

I

2.061

i

17.

te66l

1.958

18.

r',atl

1.264

I I

-'7

I

19.

re68

2.482

505

20.

uolI

2.005

28

2t.

,srol

2.37t

394

22.

reTr

2.130

153

|

,rr.or.rl

|

,to I

r

I

te72l

ss.zro

t.907

-70

I I

361 .20 r

25.

,nrol l 965

-t2

26.

rszs

,ool ,oon rl

I

2.316

339

1.650

.327

I

,rrrl

29. 30.

I

v

uzrl

2.t17

r40

,r.uro

,','rsl

2.627

650

orr rool

,rtoI

r.978

I

r98l

I.9t3

-64

oJ.t49

l5

LXi

T

zqsl I

I

32. (ATA.RATA

roo.rze

.r93

31. UMLAH

3.364 189.22s

197

38.809

-923

,r,.r,,I

s2

e9.22sl

sse.orcl

t.nu'rl

-529

zts.t.+tl

I

'l

+.osal 4.3t6.1

1.977

Sumber data: Publikasi curah hujan, Puslitbang pengairan

-I

:

-707

orr.ronl

.057

,.rrr.rorl .ruo oo,

l

1.249

,,rrl

692

orr rool

q taol

1.644

,.rrr.rrul

I

2.6221

z.rtol t zztl ,.r rul

,.r,,

I

, rrrl 76.85't

2.496

t26 -326 727

220

,

,

I

r.rru

I I

t06.2761

,n

rrnl

or.oor

t7

l

,rnl rfi

341

,,u

t5

t3.928.63

I

378mm/tahun

2.496 mm/tahun

lE#l@:li

or_2=

:

uromm/tarrun

:

lo,2 .Tu, ar2l) I

n,

I

o, ,= l(:zt)'

32 132 +(67q21 I

I

t.t ts

:

Berdasarkan persamuuln (1.2)

315

I

t.784

I

58

-435

I

601

28.

N2:32 79.857 : - = -# Xz

-744

r.43e

2.5',18

19761

8l

I

I

r.789

32

Untuk Pos Hujan Malabar

rrrl ,.ril ,.rrrl ,

4.eoo

1973

27.

,.unrl

zt.+osl

24.

I

)

x=63,2-49 = 1.977 mm/tahun

lq'lte'6lr ti ^s, =l=7il'l

I

I

I

23.

I

502.1

:

N,:32

les0

|

data dan perhitungan pada tabel | .3, dipcrolch

Untuk Pos Hujan Dctgo

I 6,i)'

l95l

:.

l)lri

or -2

=

135,98 mm/tahun.

Berdasarkan persamaan (1.3) nilai variat dari standar normal

,:l*l

t-

r.977 -2.4961

-ffi-l

:

:3,81

Dengan metode pengujian dua sisi, dari data tabel 1.2, berdasarkan nilai variat dari standar normal (tc) pada derajat kepercayuun 5 oZ, nraka dipcroleh tc : 1,96. Oleh karena nilai t: 3,81 lebih hcsar dari

t7

I(i tc, maka hipotesis nol yang menyatakan Fr : lrz ditolak. Dengan demikian dapat dikatakan 95 % data hujan tersebut berasal dari populasi yang berbeda atau dapat dikatakan 95 % adalah benar bahwa data hujan kedua pos hujan Dago dan Malabar di DPS Citarum Hulu mempunyai perbedaan yang nyata. Dengan demikian keberadaan kedua pos hujan tersebut masing-masing diperlukan untuk kedua lokasi tersebut. Pengujian khusus dapat dilakukan apabila parameter statistik dari populasi diketahui nilai :

p: o:

rata - rata hitung deviasi standar

=

x =

variat standar normal terhitung rata-ratahitung sampel

p

rata-rata hitung populasi

o N

: : :

z

Pada kasus contoh 1.2, maka dapat dilakukan pengujian satu sisi (one tailed test).

Ho: Hr

:

:60l/det. (pompa jenis A tidak diganti) F > 60lldet. (pompa jenis A diganti dengan jenis B) Fr

:

X : 7}lldet. tr : 60 //det. o : l0lldet. N=50 maka berdasarkan rumus (1.4) dapat dihitung variat standar normal

terhitung: (1.4)

Keterangan: t

lsb,ab contoh 1.2.

Dari contoh 1,2 dapat diketahui bahwa

Disamping itu diketahuijumlah pengambilan sampel sebesar N dan rata-rata hitungnya adalah X. tentukan apakah X mempunyai perbedaan yang nyata dengan p, maka dapat ditentukan dengan persamaan berikut ini :

t= tX-p).N

)r'nfliur rrraksud mengiunbil rcsiko scbcsar 5 %r, tctttukan n|rrrlnh l('nrs pornpa B dapat diterima sebagai penggantijcnis pompa A I

deviasi standar populasi

jumlah sample

Contoh 1.2.

Dari suatu embung (telaga, situ-situ) untuk keperluan irigasi, aimya dipompa dengan menggunakan pompa jenis A, debit pompa rata-rata adalah 60 lldet dan deviasi standarnya l0 //det. Jenis pompa B diusulkan untuk mengganti jenis pompa A. Untuk menentukan apakah jenis pompa tersebut diganti atau tidak, maka pompa jenis B diuji coba selama 50 kali dan ternyata mampu memompa air dari embung dengan debit rata-rata70 lldet.

r: t:

6-+16 (70

- 60) /so l0

:

7,077

Dari tabel 1..2, pada derajat kepercayaan o : 5 o%, untuk pengujian satu sisi diperoleh variat standar normal t. = 1,645. Karena nilai t lebih besar dari pada tc maka hipotesis nol ditolak. Dengan dernikian dapat dikatakan jenis pompa B dapat mengganti jenis A dengan mengambil resiko 5 %o. Atau dapat dikatakan 95 % benar bahwa jenis pompa B dapat digunakan sebagai penggganti jenis pompa A.

1.3.2. Penguiian

Nilai f,,atq.tata tlampcl Kccil

nilai rata-rata untuk .iunrlah sampel besar (lrl > 30). Apabila jumlah sampcl kccil Pada sub bab 1.3.1 telah dijelaskan pengujian

MII, IK Bnrl:rrt l'crIrrrtrrk:rrn

l8

l9 K

distribusi-t. Distribusi-t dapat dinyatakan dengan persamaan

P(t)

:

a(l

12

clcrattgittt

:

[]

variabel-t terhitung. = rata-rata hitung samPel set ke l. rata-ratahitung sampel set ke 2. Nr ' jumlah sampel set ke 1. jumlah sampel set ke 2. N,

x,

d1 +l

+:-t- r

(l.s)

du'

r,=

Keterangan:

P(t) :

peluang densitas fungsi t a

fid-

l'(q#)

rl-

fungsi gama

L-

student's variabel-t

U

x' dk

=u (Xr/du),

variat student's normal

: :

:

"=l

I

: x-p o

(pada sub bab i.3.1 U dinyatakan sebagai

S,',

dr :

+ Nz S 2 N1 + N 2- ,

N1 Sr

2

2

t'

(r.7)

Sr':

varian sampel set ke I dan ke 2. N, + N, - 2 = derajat kebebasan

t)

variabel chi-kuadrat

Keoutusan:

derajat kebebasan (degrees offreedom)

Peluang densitas fungsi t tersebut telah dibuatkan tabel nilai distribusinya seperti ditunjukkan pada tabel I.l pada bagian akhir Bab I, dimaksudkan untuk memudahkan aplikasinya.

Apabila t terhitung lebih besar dari nilai kritis tc, (lihat tabel I.1) pada bagian akhir Bab I pada derajat kepercayaan (a) tertentu, maka kedua sampel yang diuji tidak berasal dari populasi yang sama.

Apabila t terhitung lebih kecil dari tc maka kedua sampel berasal dari populasi yang sama.

1.3.2.1. Menguji rata-rata dari dut set sompel

Untuk menguji dua sct sarnpel data apakah berasal dari populasi yang sama atau ridak clapat menggunakan pengujian distribusi-t, yang juga merupakan u.ii-parametrtk Qtarametric test) seperti distribusi normal. Pengujian distribusi-t dapat dilakukan dengan persamaan sebagai berikut

lx,

-x,l

':"1*;

:

(1.6)

Contoh 1.3. Curah hujan tahunan telah dicatat dari pos hujan di Dago, Kodya Bandung selama 12 tahun dari tahun 1974 - 1985, sebagai X,, dan juga pos hujan di Majalaya, Kabupaten Bandung didaerah Bandung Selatan di Daerah Pengaliran Sungai Citarum Hulu, sebagai Xr. I)atanya dapat dilihat pada tabel l.4. 'lerrlrrkirn apakah sifat hujan dari kedua pos hujan tersebut berbeda rtyatir lrirtli.r cicririat kepercayaan 5 %o.

20

2t

Jawab Contoh 1.3.

.; 20.553 x.,:=ff:

z

Tabel 1.4. Curah Hujan di Dago dan Majalaya (dalam mm/tahun).

r,: Tahun

No.

xl

IUMLAH

(X,-X)

(X,-X)'

-91

2.316

260

67.600

1.934

66

4.356

r.650

-406

l 64.836

2.645

7?7

603.729

977

t.784

a1a

73.984

1.872

4

l6

978

2.t t7

6l

3.72t

2.261

393

154.449

979

2.627

57r

326.04t

2.2t5

347

120.409

980

1

978

-'t8

6.084

2.059

l9l

36.481

981

l .913

- 143

20.449

1.133

-735

540.225

982

t.2t6

-840

705.600

l .188

-680

462.400

983

2.759

703

494.209

1.308

-560

3

984

2.759

'70

4.900

985

2.2r6

160

25.600

2.051

183

1.901.305

zu.))J

5

x

24.66'l 2.0s6

-5.

-

1985, Puslitbang Pengairan.

:

Dari tabel .4, untuk pos hujan Dago

:

t2

"#

:

2.056 mrn/tahun

: ?3:T'l'

(ffi-E);

Dari persamaanl.T

= o.,umm/tahun

:

o:

Nr.Sr 2 +Nz.Sz N1 +N2 -2

o:

l2x(4t6)2 +nx(476)2

12+ll-2

dan dari rumus 1.6

13.600

2

= 466 mm/tatrun.

:

lf ' -x'l -l r rtl "l[*"rl

33.489 2.269.5t5

1.868

pr : p, (tidak ada perbedaan) Hr : pr * 1t, (terdapatperbedaan)

Sr: '

361

976

8.281

:

X,=

l9

975

Dapat dibuat hipotesrs

Nr:

(Xr-X)'

1.965

Sumber : Data dari Buku Publikasi Hujan Tahun 1974

Ho

r.887

(XrX)

9'14

xX,

IATA.RATA

Majalaya x2

Dago

l'868mn/tahun

416 mrn/tahun

r_l2.os6-1.8681 :0,966 4661i* + I ; Dengan dasar lrcngujian dua sisi pada derajat kepercayaan 5 %o (u: 0,05), Ho akan ditolak bila t terletak diluar batas -to,o, sampai to,o* untuk derajat kebebasan Nr + N2 - 2. Untuk N, * N, - 2:21, dari tabel I-l Qihat dibagian akhir bab I), diperoleh hasil - 0,028 < 0,966 < + 2,080, oleh karena itu Ho dapat diterima pada derajat kepercayaan 5 %o atau dengan kata lain dapat disimpulkan bahwa 95 oh adalah benar bahwa tidak ada beda nyata antara curah hujan rata-rata tahunan di Dago dan Majalaya. Rata-ratanya dapat dihitung dengan persamaEln berikut ini :

..-Nr.X, +Nr.X,

'

(1.8)

Nr *Nz

Berdasarkan rumus 1.8, maka rata-rata curatr hujannya adalatr

Untuk pos hujan Majalaya:

Nr:

1l

(12 x 2'056) +

(l.l x 1'868) :

12+ l1

1.966 mm/tatrun

:

9'

23

Juwahl-onlol--1"4-

1.3.2.2. Menguji rata-rata sampel dan rata-rata populasi Untuk menguji apakah rata-rata sampel (X) berbeda nyata

terhadap rata-rata populasi menggunakan persamaan 1.9

(p), dapat dilakukan dengan

lluat hipotesis sebagai berikut

: 1977 mm/tahun (rata-rata salna) H, : F * 1977 mm/tahun (rata-rata tidak sama) Ho : p

:

(l.e)

{= S

dari contoh 1.4, diperoleh

X Keterangan

t : X: p : N: S:

:

.-- Z.OSO mm/tahun

Ir . 1.977 mm/tahun S = 416 mm/tahun N = 12 tahun

:

nilai student's-t terhitung rata-rata sampel rata-ratapopulasi jumlah sampel deviasi standar sampel

:

Dari persamaan 1.9 : 1

:

CX -.+r)

/N

S

dengan derajat kebebasan

dr:

N-

1

Persamaan (1.9) pada dasamya sama dengan rumus untuk ukuran sampel besar seperti ditunjukkan pada rumus (1.4) untuk pengujian distribusi normal. Bedanya untuk sampel besar nilai t, adalah variat standar normal (lihat tabel 1.2) dan untuk sampel kecil t adalah nilai student-t (lihat tabel I-l) pada bagian akhir bab I. Apabila jumlah sampel bertambah maka hasil kedua perhitungan dari rumus 1.4 dan rumus 1.9 akan sama (mendekati sama).

Contoh 1.4. Data curah hujan tahunan dari pos hujan Dago, Kodya Bandung tahun 1950 - 1981 sebagai populasi (lihat data tabel 1.3), telah diperoleh bahwa rata-rata populasi p : 1977 mrn/tahun (lihat Contoh Ll). Sedangkan data dari pos hujan Dago untuk tahun 1974 - i985 selar-na 12 tahun (lihat tabel 1.4) dianggap sebagai sampel, dengan rata-rata sampel X : 2.056 mm/tahun (lihat contoh 1.3). Tentukan apakah terdapat perbedaan nyata antara rata-rata sampel x dengan rata-ratapopulasinya p pada derajat kepercayaan 5 0/o'

t-

(2.0s6-r.e77){e

Dari tabel

416

I-l pada bagian

:

0,657

akhir bab I, pada derajat kepercayaan

: \-l=

5

l1 adalah tc:2,201(untuk pengujian dua arah 5 % harus dibagi kedalam dua sisi, masing-masing untuk -h,0, dan +h,ozs). OIeh karena t lebih kecil dari tc maka hipotesis nol (Ho) diterima dan menolak hipotesis altematip (H,). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa 95 Yobetr:/bahwa rata-rata sampel data hujan pos Dago tahun 1974 - lgl5 tidak mempunyai beda nyata terhadap rata-rata populasinya dari data hujan tahun 1950 - 1981. Yo dengan derajat kebebasan du

1.3.3.

Intetaal Kepetcay,aan Untuh Nilai f,rata+ata

Pada sub bab 1.3.1 telah disampaikan pengujian nilai rata-rata sampel besar (N > 30) dengan menggunakan pengujian tlistribusi normal, dan pada sub bab 1.3.2 telah disajikan pengujian lrcrrliujian distribusi-t. Pada sub bab 1.3.3 akan disajikan penentuan

24

zfi

interval kepercayaan untuk nilai rata-rata hitung (confidence for the mean). Penentuan interval kepercayaan dapat

interval

ditentukan dengan rumus sebagai berikut

1).

Untuk Sampel Besar,

N

:

> 30

Interval kepercayaan untuk nilai rata-rata p padaderajat kepercayaan o adalah :

x-t"ft Hc maka H6 ditolak dan harus menerima hipotesis alternatip H,.

Contoh 1.15.

Dari contoh 1.14, berdasarkan data evapotranspirasidi pos iklim Singomerto dan Wonosobo, seperti tercantum pada tabel 1.9.

'l'entukan apakah kadua kelompok data evapotranspirasi tersebut oh berasal dari populasi yang s€una, pada derajat kepercayaan 5 dengan menggunakan Uj i Kruskal-Wallis.

66

54

Jawab Contoh 1.15.

Contoh 1.16.

z

Buat hipotesis statistik sebagai berikut

. .

Analisa contoh

hipotesis nol Ho : pr = p, (sama) hipotesis alternatip Hr : pr * pr, (berbeda)

Pada contoh I . 14, telah diperoleh bahwa dari tabel I . l0

:

Tabel

Data evapotransparasi di Singomerto,

nt: 12 R,=94 Data evapotransparasi di Wonosobo,

n2: 12 Rz:206 Jumlah seluruh data N = Nr

* N, :

12

+ 12:24

H

:

HH:

Berat Spesifik Angkutan Sedimen Melayang Sungai Citarum - Nanjung tahun l98l (dalam gram/cm3)

Januari

Februari

Maret

April

I

0,66

0,61

2

0,63 0,53 0,51 0,45

0,59

0,62 0,57

0,52 0,62

0,61

0,71

0,64 0,56

0,68 0,69

J 5

0,67 0,65

0,60

:

ffi'$(#)r-t3(N+r)l

ffitry.ry1

H: #

l.l I

No.

4

Berdasarkan rumus 1.39, maka

air untuk

menentukan hcrut spesifik (spesifik weight) angkutan sedimen melayang dari lokasi pos duga air sungai Citarum - Nanjung yang diambil secara acak pada tahun 1981, hasilnya dari bulan Januari - April tercantum pada tabol 1.1 1.

:

-t3(25)l

(T6,33+3536,33) -(7s)

14,24-75=-60,75

Sumber : DPMA, Buku Laporan No. 246lHI-43/1981

Tentukan apakah angkutan sedimen melayang dari pos duga air sungai Citarum - Nanjung mempunyai berat spesifik dari populasi yang sama pada derajat kepercayaan 5 o/o, menggunakan metode non parametrik, Uji I(ruskal-Wallis.

Dari tabel I-3 pada tabel y2, bagian akhir Bab I, diperoleh batrwa

untuk derajat kepercayaan 5 Yo dan derajat kebebasan k:2 - I : l, nilai Hc : 3,841. Temyata nilai H jauh lebih besar jika dibanding dengan Hc, oleh karena itu hipotesis nol Ho ditolak dan harus bahwa 95 % betul, kedua kelompok data avapotranspirasi pada tabel 1.9 berasal dari populasi yang berbeda. Oleh karena keberadaan pos iklim di Singomerto dan Wonosobo, masingmasing sangat diperlukan (populasinya berbeda). Kesimpulan ini sama dengan kesimpulan contoh 1.14.

Jawab Contoh 1.16.

z

1). Buat hipotesis statistik

. .

:

hipotesis nol Ho: Pr : V2: llo: ltq hipotesis altematip Hr : pr * trt, * ltz * Vt

2). derajat kepercay aan 5 %o. 3). daerah kritis Hc ) X'o,r, untuk derajat kebebasan :

k- I

66 67

4-l:3, Hc:7,815

(lihat tabel I-3, bagian akhir Bab I).

4). Data dalam tabel 1.11, diubah nilai berat spesifik itu menjadi peringkat urutan dari yang terkecil sampai yang terbesar untuk Setiap bulan, seperti ditunjukkan pada tabel 1.12. Tabel No.

t

.

Februmi

April

Maret

l.

l6

2. 3. 4.

r3 4 2

t7 l5

t4

t8

5.

I

8

5

l9

36

56,5

Jumlah

r.6. AtAt rsrs vABtAN

12. Peringkat Urutan Data Tabel I .l l.

Januari

9,5 7

I1,5

3

6 9,5

I 1,5 20

46

:

71,5

:

:

:

Sekarang dengan mensubstitusikan n, 5, trz 5, 1r 5 dan rU 5 serta Rr :36, Rr:56,5, Rr:46, Ro:71,5 dan N :20, maka berdasarkan nrmus (1.39), dapat dihitung nilai Uji Kruskal-wallis sebagai berikut :

H=

ffit$(ff)]-o^*,,, , : ffitg. ry .ry.

ry]-r3(20+,)

,

= h Fc.

Jawab Contoh 1.16.

Untuk analisis varian dengan model klasifikasi satu arah, maka data pada tabel I .13, dapat dihitung seperti ditunjukan pada tabel. 1.14.

Untuk penyelesaian klasifikasi satu arah, maka klasifikasi hanya dibedakan dalam satu kriteria Hipotesis Statistik

. .

:

hipotesis nol, Ho : pr = $z: $t hipotesis alternatip Hr : lrr * pz * ltz

Dari tabel 1.14, diketahui jumlah kelas k = 3 DPS, jumlah total data N:34 buah, jumlah perlakuan atau group: bulan n: 12 (= jumlah data dalam kelas ke-i.

1).

Varian Antar Sampel

Varian antar sampel (variance between the .rumpltr), tlulurrr lrnl irri adalah varian debit sedimen antar pos duga air yrrrrg nrcnccnninkun

6lt

64

v, = l2(

perbedaan perlakuan (treatments) dan perubahan dalam variasi

Perlakuan yang sama dapat menghasilkan data pengamatan yang berbeda karena perubahan variasi. Misal : dalam curah hujan yang sama dapat menghasilkan konsentrasi sedimen yang berbeda .karena perubahan penggunaan lahan tiap DPS. Tahap perhitungan varian sedimen melayang antar pos duga air adalah (data tabel l.14) :

air'

sampel antar pos duga

V, =

0,.1I - 0,38F

t 12(0,44 - 0,38)'+

l0(0,40 - 0,38),

0, 106

(4). Hitung rata-ratakuadrat antar sampel (antar kelas) S, ul

V, = k-1-

:

o, 106 :0.053 'v'vJJ 3-l

(/). Hitung nilai rata-rata sedimen melayang tiap pos duga air, gunakan rumus (1.a5)

:

2).

Varian dalam sampel (variance within thte samples) adalah mengukur perbedaan tiap data dalam sampel (dalam hal ini perbedaan debit sedimen melayang tiap pos duga air karena perbedaan waktu). Tahapan perhitungannya adalah :

n,=*p*1' maka:

*,=t#=

*r=#:

Varian Dalam Sampel

(1). Hitung nilai rata-rata sedimen melayang tiap pos

0,31

duga air, dengan menggunakan rumus (1.a5) 0,44

Xi

4.04 vn3_ --:0140 10 (2). Hitung rata-ratatotal, gunakan nrmus

(l'al)

*,=T:0,31 0 dan

X,>

Besarnya kesalahan standar dari perkiraan nilai P adalah

P:[q+B

o,

I

Y

(3.44)

merupakan deviasi standar dari residu nilai P.

Il(.,-,)-ll

"r:lLI-

I

Perhitungan Persamaan Regresi Berpangkat Debit dan Sedimen DPS Citarum - Nanjung.

pada log b. Sedangkan persamaan (3.43) identik dengan persamaan (3.2), sehingga dapat dinyatakan sebagai :

Nilai

3.7

:

(3.43)

/o^\ p=p+R(%/(q-q)

e.46)

Contoh 3.7,

Tabel

Persamaan (3.42) merupakan hubungan log-log antara log Y dengan Iog X, bentuknya garis lurus dengan kemiringan (a) dan memotong

sumbu log

-n211

:

Tentukan koefisien korelasi dan persamaan regresi berpangkat data sedimen dengan data debit pada tabel 3.4.

A:a q:logX

Sehingga persamaan (3.42) dapat disederhanakan menjadi

(3.4s)

[{tn,-D'ii}",-r'}]* SEp: o, [l

sederhana:

P:logY B =logb

)i=l (P, - P) (q'-Q)

R_

0

Selanjutnya dapat ditransformasikan kedalam persamaan linier

:

t

P=logY

q=logX

(q-q)

(P.P\

(dy.dxr) A,E1dx,.dx_-,; + ArX1dx2.dx.-r) + ... + A*,X(dx._r)2: E(dy.dx.-r) Ao

: Y - A, Xz- ... -A,-rX.-r

(3.6'i)

Apabila debit banjir tahunan tersebut dinyatakan sebagai variabel

tak bebas (Y), sedangkan variabel lainnya dinyatakan

sebagai

variabel bebas (X,, Xr, X, dan Xo) maka hubungan dari variabel tak bebas terhadap variabel bebas tersebut dapat dinyatakan sebagai regresi berganda. Model dari pada regresi berganda dapat berbentuk persamiurn:

. .

Persamaan (3.67) dapat disebut persamuum regresi berganda orde ke (m-l), dengan memperhatikan persamaan tersebut maka persamzum

regresi linier sederhana (3.2) dapat ditulis sebagai

Y:A,+A,X

:

(3.6e)

Persamaan (3.69) merupakan persamaan linier berganda orde ke satu atau persamaan regresi linier 2 variabel.

linier berpangkat

Contoh hubungan rumus MAF tersebut merupakan model

Persamaan regresi linier dengan 3 variabel dapat dinyatakan sebagai persamuuxl:

persamaan regresi berganda berpangkat.

Y=Ao+A,X,+AzXz

3.8.1 tregrcsi Llnict Bugande Apabila sejumlah m variabel membentuk suatu hubungan, satu variabel tak bebas (Y) dengan sejumlah (m-l) buah rrariabel bebas X, maka persamaan umum untuk menyatakan model regresi linier berganda adalatr :

Y

: & + ArXr + ... + A,X, + ... A,-r X.-r

(3.70)

dimana A, adalah titik potong garis regresi terhadap sumbu y. A, dan A2 adalah koefisien regresi parsial Qtartial regression cofficient). Nilali A, dan A, dapat dihitung dari persamaan normal

berikut: ArXdXr2 + A2E(dXr.dXr):

t(dY.dxr)

ArX(dXr.dX2) + A2XdX],: X(dY.dX,;

(3.67)

"1

20ft

204 dan nilai Ao dihitung dengan

standar. maka dapat dihitung dengan pcrsalr)aan

:

:

L

Ao:Y-ArXr -AzXz Dari persamaan (3.70), hubungan antara variabel

Q.7l)

Y dengan X,,

dengan menganggap variabel X, tetap disebut dengan koefisien korelasi parsial (koefisien regresi bagian) variabel Y terhadap X, dan dapdt dihitung dengan :

RB(YX,): Keterangan

R(YX r ) - R(YX, {R(X, Xr)})

l{ l

(3.72)

- R,(Yx,)}{ l -n'z6,xr;11}

:

RB(YX,):

koefisien korelasi parsial variabel Y terhadap X, Qtartial correlation cofficient). koefisien korelasi variabel Y dan X,. koefisien korelasi variabel Y dan Xr. = koefisien korelasi variabel X, dan X2.

: :

R(YXr) R(YXr) R(XrXJ

Dengan cara yang sama maka

RB(YXr)

:

RB(X,X2) =

:

R(YX2)

- R(YXr {R(XrXz)}) [{ I - R2(YXr)} { r - R2(X1Xr;11i - R(Yxr {R(Yxz)}) [{ I - R2ffxr)}{ I - R2(Yxz)}]} RCxrxz)

t1

- {l -R2(YXr)1{l -R2(YXz)}l}

[,-fl$]]

(rru)

Keterangan:

RM : koefisien korelasi berganda SEY: kesalahan standar dari perkiraan nilai Y.

SY :

deviasi standar dari variabel Y

Berdasarkan persamiuut (3.76), maka besarnya koefisien penentu atau koefisien determinasi dapat dihitung dengan persamairn :

RM2: [, - sev'l L SY2 I atau dapat

dihitung

(3.77.a)

:

(i-v)' r i=l ' RM2 =

t (', - Y)'

(3.77.b)

Nilai SEY, (3.73)

seperti juga pada model regresi linier sederhana, gunanya untuk mengukur dispersi data Y disekitar garis regresi i atas X, yang dapat dihitung dengan rumus :

(3.74)

SEY:

Dari persamaan (3.70) besamya koefisien korelasi antara variabel Y dan kombinasi pengaruh variabel Xr dan X2 disebut dengan koefisien korelasi berganda (multiple correlation cofficient) dan dapat dinyatakan sebagai RM.

RM:

RM:

(3.7s)

Apabila nilai RM dinyatakan sebagai nilai kesalahan perkiraan

(3.78)

Dalam memperkirakan nilai RM, ternyata tcrdupnt kelrilnngnn dalam menentukan derajat kebebasan, jumlth kehilnngnrr $nnul dengan jumlah konstanta dalam persamaan rcgrcsi ( )lelr knrcrrn itu diperlukan penyesuaian, yang dapat dihitung tletrgrur l)rr$nnrnur berikut ini :

I

206

RM'= Keterangan

t'

{,-

T} "}'

:

RM : n : k :

nilai koefisien korelasi linier berganda yang telah dikoreksi. nilai koefisien korelasi linier berganda terhitung. jumlah total pengamatan. jumlah total variabel bebas.

Untuk menguji derajat kepcrcayaan koefisien penentu regresi berganda dapat digunakan uji-F sebagai berikut

-D _ (l

:

RM2(n-m)

(3.80)

- RM2)(m - l)

pada derajat kebebasan

nl

=m-

I

dan n2 = n - m

Keterangan:

F

lain terdapat hubungan yang nyata antara variabel yang digunakan dalam analisis model regresi berganda.

(3.7e)

:

RM'

207

=nilaiFterhitung

RM2 = koefisien penentu n : jumlah pengamatan m = jurnlah total variabel bebas dan variabel tak bebas nr : derajat kebebasan variabel n2 : derajat kebebasan pengamatan

Pengujian pada derajat kepercayaan tertentu, apabila nilai F ternyata lebih kecil dari nilai F dalam tabel I-4 pada bagian akhir bab I, maka hipotesis nol (Hr) diterima dan menolak hipotesis alternatip

(H'). Dengan semakin bertambahnya variabel X sebagai variabel bebas yang digunakan maka untuk menentukan tingkat hubungan antara variabel Y dan salah satu variabel X dengan mengan'ggap variabel X yang lain konstan, akan semakin rumit. Perhitungan koefisien korelasi parsialnya semakin rumit. Untuk memudahkan penentuan tingkat hubungan variabel bebas (X) terhadap variabel Y, dapat diukur dari koefisien regresi terhadap nilai deviasi standamya. Umumnya disebut dengan koefisien tl (beta coeficient), sehingga persamaan 3.67 dapat dinyatakzm sebagai :

#:Fu+o'f *Bf

Sehubungan dengan hipotesis

H,

(3.80), maka dapat dibuat

:

:

R2:0,

B, =

berganda.

Hr

:

R'

;a

0,

berbeda nyata dengan nol, atau dengan kata

(3.8 l )

#,

B1

=

Ar*,

B, =

o,t

(3.82)

Sehingga:

Keterangan

:

a,-,

S.n-t

i?

:

: koefisien beta variabel ke m-l (tanpa satuan) A.-r : koefisien regresi variabel ke m-l S._r : deviasi standar variabel bebas ke m-1 SY : deviasi standar variabel Y B*-r

tidak berbeda nyata dengan nol, atau dengan kata lain tidak ada hubungan antara variabel yang digunakan dalam analisis model regresi

*B*-,*

dimana:

B.-r

persam:um

.

(3.s3)

1

20rl

('ontoh 3.1I Analisis hidrologi DPS Cimanuk, untuk data tahun 1981 - 1985, telah diperoleh data debit sedimen melayang dan data variabel fisik DPS, meliputi : luas DPS, panjang sungai, kemiringan alur sungai sebagai ditunjukkan pada tabel 3.20.

209 Berdasarkan persamaan (3.68) untuk menentukan nilai dan A, dihitung dengan persam&m berikut :

A,, Ar, A,

Ar>dxrz + A2xdxr.dX, + ArxdXr.dXr: >dY.dxr

Artdxr.dX2 + A2IdX2'? + A3XdX2.dXr: XdY.dX2

Arrdxr.dx3 + A2tdx2.dX' + A3tdx32: EdY.dXr Tabel 3.20 Debit Sedimen dan Variabel Fisik DPS Cimanuk. Lokasi *)

Variabel

I

Y

: sedimen (105 ton/thn)

X, : luas DPS

(1O'?km)

X, : panjang sungai(10'?km) X, : luas hutan (%) Sumber

t)

:

Lokasi

X, :

4

J

2

3

r,00

t,28

5,28

9,77

5 1,02

1,97

4,57

7,16

t4,t2

19,68

))1

4,69

7,57

16,79

19,33

34,38

24,05

20,65

23,55

47,58

Analisa Data Sedimen, Pusat Litbang Pengairan.

: I: 2: 3:

pos pos pos 4 = pos 5 = pos

Ao: Y-A,X, -ArXr-ArX,

duga duga duga duga duga

air air air air air

Cimanuk Cimanuk Cimanuk Cimanuk Cimanuk

- Bojongloa - Leuwidaun - Leuwigoong

Penyelesaian dituangkan pada tabel 3.21.

Berdasarkan penyelesaian tabel 3.21, maka diperoleh hubungan sebagai berikut :

:

- Wado

I x253,716 | 53.010,91 Ar + 54.519,50 III x 208,938 I -r3.010,9, A, - 56.

panjang sungai utama dan seluruh anak sungai.

A2

-

64.371,80 A,

= 135.304,45

0 - 1895,84 A2+ 37042,73 Ar: Tentukan model regresi linier berganda variabel Y atas variabel (X,, Xr, Xr) data tabel 3.20.

Hitung koefisien penentu dan korelasinya,

uji

pada derajat

buah

I. 208,938 Ar + 214,884 A2 -253,716 A3: 533,291 III. 214,884 At+226,920 A2-270,010 A3: 506,112 lll. -253,716 Ar - 270,010 A2 + 485,880 A3 : - 436,930 Perhitungan selanjutnya

- Tomo

3

Az=

44.013,

17 + 37

44.013,17

.042,73 A3

1.895, 84

Sehingga:

kepercayaan 95 oh diterima.

A,

:

19,53 Ax - 23,215

I x 214'884 | M a97,43 A,+ 46175'13 A:- 54-519,50 Ai = 114595,70 3-tt ,t u' Model regresiyangdigunakanadalahregresilinierbergandaorde "."o"t'*"i#"]ti;t;';'#i;;";iii':iit:tti:iii':li

Jawab Contoh

ke3:

Y=A.+A,

X'+A,X,+A,X,

^'

AI - 8.849,68 L,f,rc8

L895,84

211

270 Schingga

R3333 d6-6O HSjSe T+, 8=385

{i

:

d

A2-- 1,532 A1- 7,153

{.

6

ii

N

rl

s

lJ

Dari dua hubungan A, diperoleh

:

: L,532 A, - 7,153 17,99 A3: 16,062 A:: 0,89 Az Az

= =

c\l

ci

(l)

1,532 (0,89) - 7,153

Gt

a

- 5,78

CA

(u

Dari I, diperoleh

!

-o cl

F(r, E1..

:

cl

t

ii\

Ao, dihitung dari persamaan (3.68)

() tr

:

Fl o0 (l)

d

:

&:

- 46,751

u) (l) o)

:

d

iJ

6!66Q ha6h! r:qvIdle" ;6€i= €dna

{ \

s

oad !-

q

Fi

3a

6

€ d

I a d

F),

i.

€-

F o

d d

o

-€

s

€

€

F F 6

d 6

at

6 d

TJ

@

q.

€ o

c.l c)

F

+ 6

9=Frg

++

5

r660h .i

tooa

5:

.i

-60 od

!

I

di

rj n

3 o €

66h61 h69€h

rj+dddi

€ o

-dNd

>i

*

r6F66 N66r6 .f{F:.d6

z

o

dnr-9 .i+F:+o( ;-66

{a

I

FF6N€

6

tj

8 d

,++

r-&&\8^ I

o

.++

+

I

I

6 a

F -.i

td

ddN +N6h9 tj{vioi.d

cn

-o (d

E

o60hn

ts6660 Fh-ta

r a F.

d

8.qA{t"

N

fl

d

€n900 6+6hN dYi..idoi

\

A

HUTAN

Gl

-.:

q

o

Apabila data sedimen melayang dinyatakan sebagai variabel SEDM (105 ton/tahun), luas DPS sebagai variabel LUAS (1O'z km). Panjang sungai sebagai variabel PS (1O'? km) dan proporsi luas hutan sebagai HUTAN (%o), maka dari data tabel 3.20, terjadi hubungan : 46,751 + 9,577 LUAS - 5,79 pS + 0,gg

o-

dN600 NOh.hO Ytvll-q6l 6h60 6ddo

>.

i : - +o,lsr + g,577 xr - 5,78 Xz + 0,89 Xs

-

.i

+

(B

:

I F 6

d

.\

++T

(,)

c!3

SEDM

+,

6dhFh 66F

oooo! 609.!N €t6FOOo ea6or

! o

z

Dan akhimya model regresi linier berganda yang diperoleh adalah

o

sFTRS 66€6O ;6N-h Fd6N9TF dhno! d.d

d

.

--i-r:o:?

s8-E-qE

U' (.)

13,67 - 9,577(9,62) - (- 5,78)(10,13) - (0,89)(30,16)

:+'

h6hc9

$ t !

bo

oL{

Ao:

F

d

t

(l

Ao:Y-A,X-AzXzA:X Dari data tabel3.2l, maka

F

di.;d.i6 dd-i9

+++r+

(1)

Nilai

d6dfh

.6FF€ Y). +dF-h! O\9ddo

o

208,938 A, :533,291 - (- 5,78X214,884) + (0,89X253,716) Sehingga A, :9,577

8

6d-oe -F€Fh

d

19,53 A3 - 23,215

e o F d

I o I

6

rd d

-doth

!

fl $

212

218

'l'abel

No.

3.23 Nilai Y untuk Data fabel 3.21. Y

Y

I

1,00

1,32

2

1,28

0,48

3

5,28

5,69.

4

9,77

9,71

5

51,02

50,81

(Y-n - 0,32 + 0,80 - 0,41 + 0,06 + 0,27

RM2: I - 5,330 (10{1: 0,9994 Berarti bahwa 99,94 7o sedimen melayang yang dihasilkan oleh ke 5 DPS tersebut dapat dijelaskan oleh hubungan variabel luas DPS, panjang sungai, dan luas hutan, sedangkan sisanya 0,06 % disebabkan oleh faktor lain yang tidak termasuk dalam model ini.

(Y - v\2

4,1024 0,6400 0,1681

0,0036

Nilai koefisien korelasinya adalah : RM

0,0441

0,9996. Nilai yang dikoreksi dihitung dari rumus 3.78

0,9582 Sumber : Perhitungan.

persamiuut tersebut apabila - variabel LUAS dianggap bertambah atau berkurang satu unit satuan (100 km) dan variabel yang lain tetap, maka akan dapat menambah sedimen mclayang

Dari

RM':{1-.rl -RM2Xnn_k RM':

5

{1

-

(1

-o'2991)(s J_J

9,577 (10 ton/tahun).

Nilai kesalahan standar dari perkiraan untuk persamzum itu dihitung dalam tabel 3.23, hasilnya

: (RMz;i , atau RM :

:

1), ,

- 1) } :

0,9988

Ini berarti terdapat hubungan yang linier

antara variabel SED, dengan LUAS, PS dan HUTAN, karena RM'mendekati satu, yang juga dapat dibuktikan dengan Uji-F; mmus (3.79).

RM2(n-m)

-.. - (l RM'?)(m l) -

SEY:

SEY

: (Tf

i: )

0,48e (ro5 ton/tahun)

1.7e4,6)

):21'18(lo5ton/tahun;

Sehingga koefisien penentunya adalah

RM2=l-SEY2 . SY2

RM2=l-(0'489)2 (21, tg)

0.9994(5

- 4)

(l - o,gg94)(4 - 1)

:

sedangkan deviasi standar dari data sedimen, dihitung dari 3.21, adalah :

dY2)i-f sy= frn-t,J

f:' ^

:

tabel

_ JJJ'LLL