Hidrograma Unitario

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Hidrograma Unitario Es el hidrograma producido por una cuenca por unidad de precipitación. Es un mecanismo que relaciona la lluvia con la escorrentía superficial de una cuenca. Se puede describir como la respuesta de la cuenca a una precipitación unitaria. Para el desarrollo del hidrograma unitario se utiliza el concepto de linealidad de un sistema, el cual se aplica a un sistema hidrológico. Para que un sistema sea lineal se deben cumplir las siguientes hipótesis: 1. Principio de proporcionalidad. Si una solución f(Q) de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, se multiplica por una constante C, la función resultante Cf(Q) es también una solución. 2. Principio de aditividad o superposición. Sí dos soluciones f1(Q) y f2(Q), de una ecuación diferencial lineal se suman, la función resultante f1(Q) + f2(Q), es también una solución de la ecuación. Función Impulso respuesta. La respuesta de un sistema lineal se caracteriza únicamente por su función impulso respuesta. Si un sistema recibe una entrada unitaria aplicada instantáneamente en el tiempo τ , la respuesta del sistema en un tiempo posterior t, está descrita por la función de respuesta de impulso unitario u(t-τ ), donde t-τ , es el tiempo de retardo desde que se aplicó el impulso. Si aplicamos el principio de proporcionalidad y aditividad aplicando dos impulsos uno de magnitud a, en el tiempoτ 1, y otro de magnitud b, en el tiempo τ 2, la respuesta del sistema será: au(t-τ 1)+bu(t-τ 2). De igual forma una entrada continua puede tratarse como la suma de impulsos infinitesimales. Si se aplica este concepto a las relaciones precipitación –caudal, y consideramos que I(τ ), es la intensidad de la precipitación, entonces I(τ )dτ , es la profundidad de la precipitación caída en un intervalo de tiempo dτ , entonces la escorrentía directa que ocurre en un tiempo t- τ es I(τ )u(t-τ )dτ , y el caudal estaría dado por la siguiente expresión: t

Q (t ) = ∫ I (τ )u (t −τ ) dτ 0

(Vent Te Chow, pag 210)

llamada integral de convolución, y es la ecuación fundamental en la solución de sistemas lineales en una escala continua de tiempo.

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(Tomada: Figura 7.2.1. De Vent. Te Chow , pag 211). Función Respuesta de Paso. Es la respuesta a una entrada que pasa de la tasa cero (0) a uno(1), en el tiempo cero y continúa indefinidamente a esa tasa. Por lo cual: I (τ) =1 para τ ≥ 0 t

Q(t ) = g (t ) = ∫ u (t −τ ) dτ 0

De lo anterior se aprecia que la función respuesta de paso es igual a la integral de la función impulso respuesta. Función Respuesta de Pulso Es una entrada unitaria que ocurre con una duración ∆ t, donde la tasa de entrada está dada por I (τ ) =

1 , para 0 ≤ τ ≤ ∆τ , y cero en cualquier otro lugar. ∆t

La función respuesta de pulso unitario se puede obtener utilizando los principios de proporcionalidad y aditividad aplicados a la función respuesta de paso, de tal manera que la función respuesta de pulso unitario está dada por la siguiente función: ALFONSO ARRIETA PASTRANA Ing.Civil Msc. Hidráulica. Doctor Ciencias del Mar

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h(t ) =

1 [ g (t ) − g (t − ∆t )] ∆t

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Sistema Lineal en Tiempo Discreto. Las funciones respuesta de impulso, paso y pulso se han definido en el dominio de tiempo continuo, a continuación se hace el análisis cuando el tiempo se divide en intervalos de tiempo discretos ∆ t. Un sistema discreto se puede representar de dos formas; como información por pulsos o como información por muestras. El caso de la información por pulsos es aplicado a la toma de datos de precipitación y se puede expresar de la siguiente manera: m∆t

Pm = ∫

( m −1) ∆t

I (τ) dt

para m= 1,2,3....

y el sistema de información por muestra se aplica para los caudales, donde el caudal se define en el tiempo t=n∆ t, y su expresión es: Qn = Q ( n∆t )

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Donde Qn, es el caudal instantáneo en el n-ésimo intervalo. Por lo anterior las variables de entrada y salida de una cuenca se registran con dimensiones diferentes y usan representaciones discretas de información diferentes. En un dominio discreto el caudal se puede expresar de la siguiente manera: n∆t

Qn = ∫

0

I (τ ) =

PM ∆t

Pm ∆t

P1 ∆t

Qn =

I (τ )u ( n∆t −τ )dτ

∆t

∫

0

M∆t

∫

( M −1) ∆t

u ( n∆t −τ )dτ +

P2 ∆t

2 ∆t

∫

∆t

u ( n∆t −τ )dτ + .......... ....

Pm ∆t

m∆t

∫

( m −1) ∆t

u (n∆t −τ ) dτ +...

u ( n∆t −τ ) dτ

Función Respuesta de Pulso Discreto. La función respuesta de pulso continuo h(t), puede representarse en un dominio de tiempo discreto, como una función de información por muestra U. Donde: U ( n −m +1) = h[( n − m +1)∆t ]

La función en tiempo discreto para la integral de convolución para el caudal está dada por: Qn = P1U n + P2U n −1 +.......... PmU n −m +1 +.......... .. PM U n −M +1 M

Qn = ∑PmU n −m +1 m =1

La ecuación anterior es válida si n mayor igual que M; Si n es menor que M, sólo tendría que tenerse en cuenta los n primeros pulsos de entrada. Teniendo en cuenta la anterior restricción la ecuación de convolución en su forma discreta para el caudal toma la forma siguiente: Qn =

n ≤M

∑P U m =1

m

n −m +1

Donde: M= # de pulsos de entrada n= Intervalo de tiempo para el caudal

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Cuando el valor de n es menor que M, el contador m, varia de 1,2,.....n, pero si n es mayor que M, el contador tomas los valores m= 1,2,3.....M. Para el caso que se ilustra en la figura siguiente se tiene: Hay tres valores de precipitación que corresponden a tres pulsos de entrada; P1,P2,P3, por lo cual M=3. Para el primer intervalo de tiempo n=1, por lo tanto: Q1 = P1U 1−1+1 = P1U 1

Para n=2, m toma los valores de 1, y 2. Q2 = P1U 2 −1+1 + P2U 2 −2 +1 = P1U 2 + P2U 1

Para n=3, m tomas los valores 1,2,3. Q3 = P1U 3−1+1 + P2U 3−2+1 + P3U 3−3+1 = P1U 3 + P2U 2 + P3U 1

Para n=4 , m toma los valores de 1,2,3. De aquí en adelante los valores de m siguen siendo 1,2,3. Q4 = P1U 4 −1+1 + P2U 4 −2 +1 + P3U 4 −3+1 = P1U 4 + P2U 3 + P3U 2

Finalmente: Q5 = P1U 5 + P2U 4 + P3U 3 Q6 = P1U 6 + P2U 5 + P3U 4 Q7 = P2U 6 + P3U 5 Q7 = P3U 6

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Hidrograma unitario De acuerdo con el planteamiento anterior, el hidrograma unitario es la función respuesta de pulso unitario para un sistema hidrológico lineal y fue propuesto por Sherman en 1932, y se define como el hidrograma de escorrentía directa resultante de una unidad de exceso de lluvia producido sobre un área de drenaje a una tasa constante durante un período de duración. El concepto de hidrograma unitario se utiliza para escorrentía superficial. Para la deducción del hidrograma unitario se requiere el registro de datos de precipitación y caudal en una cuenca. El modelo de hidrograma unitario parte de las siguientes hipótesis:(Vent Te Chow, pag 220-221) 1. El exceso de precipitación tiene una intensidad constante dentro de la duración efectiva. 2. El exceso de precipitación está uniformemente distribuido a través de toda el área de drenaje. 3. El tiempo base del hidrograma unitario resultante de un exceso de lluvia es constante. 4. Las ordenadas de todos los hidrogramas unitarios de una base de tiempo común son directamente proporcionales a la cantidad total de escorrentía directa representada por cada hidrograma. 5. Para una cuenca dada, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado refleja las características no cambiantes de la cuenca. Este modelo fue desarrollado para cuencas grandes pero se recomienda su aplicación para cuencas de 0.5 hectáreas hasta 25 km2. Se considera que el modelo no es aplicable a la escorrentía producida por la nieve y el hielo. En términos generales para la aplicación del método se hacen las siguientes recomendaciones: 1. Las tormentas seleccionadas para el análisis deben ser de corta duración, ya que producirán exceso de lluvia intenso y aproximadamente constante, con pico único y tiempo base corto. 2. Cuando el área es demasiado grande, se recomienda dividirla en varias subáreas, de tal forma que la lluvia se pueda considerar uniforme. 3. Los hidrogramas unitarios son aplicables cuando las condiciones del canal no cambian y las cuencas no tienen almacenamientos considerables, lo cual implica que el área de drenaje no tenga muchos embalses, y que el flujo no transite por la llanuras de inundación.

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Cálculo del hidrograma unitario. Para el cálculo del hidrograma unitario se requiere tener disponible datos de precipitación y escorrentía superficial. A los datos de precipitación se le extrae todas las abstracciones principalmente la infiltración y la evapotranspiración y nos queda la lluvia efectiva o exceso de lluvia. A los datos de caudales se les extraen los caudales base y nos queda la escorrentía superficial. Los datos que se utilizan para el análisis son los de lluvia efectiva y los de escorrentía superficial. Utilizando la ecuación de convolución en forma discreta dada por: Qn =

n ≤M

∑P U m =1

m

n −m +1

Se obtiene un sistema de ecuaciones, las cuales pueden resolverse por el método de eliminación Gausiana: Se parte de la siguiente información: M= Número de pulsos de exceso de precipitación, Pm. N= Número de pulsos de escorrentía directa. N-M+1= Número de intervalos definidos de ordenadas del hidrograma unitario. Los valores de Qn y Pm son conocidos y se requiere conocer los valores del hidrograma unitario Un-m+1. El sistema de ecuaciones que se obtiene es el siguiente: Q1 = P1U 1 Q2 = P2U 1 + P1U 2 Q3 = P3U 1 + P2U 2 + P1U 3 ...... QM = PM U 1 + PM −1U 2 +....... P1U M QM +1 = 0... + PM U 2 +.......... .. P2U M + P1U M +1 ...... Q N −1 = 0 +0 +0 +0 +0.......... .... +.......... .......... ... PM U N −M + PM −1U N −M +1 Q N = 0 +0 +0 +.......... .......... .......... ..... +0 +.......... .......... ... + PM U N −M +1

En la mayoría de los casos el sistema de ecuaciones está sobredimensionado debido a que existen mas ecuaciones N que incógnitas N-M+1.

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Como la solución del hidrograma unitario no es única se han propuestos varios métodos de solución, como por ejemplo el método de Collins 1939, de aproximaciones sucesivas quien parte de un hidrograma supuesto y por cálculos sucesivos corrige los errores hasta un valor permitido. Otro método es el de regresión lineal el cual consiste en minimizar el error de mínimos cuadrados y se tiene también el método de programación lineal quien optimiza la función objetivo. Hidrograma Unitario Sintético El hidrograma unitario descrito anteriormente es aplicable solamente para la cuenca y para el punto de la corriente donde se midieron los caudales y las precipitaciones, mientras que el hidrograma unitario sintético se propone para que se utilice en otros puntos de la corriente dentro de la misma cuenca o para cuencas vecinas con características similares. Se han propuesto tres tipos de hidrogramas unitarios sintéticos: 1. Los que relacionan las características del hidrograma con las características de la cuenca. 2. Hidrogramas unitarios adimensionales 3. Basados en modelos de almacenamiento de la cuenca. A continuación se describen los dos primeros que son los de mayor aplicación. Hidrograma Unitario Sintético de Snyder. Fue desarrollado por Snyder en 1938, para cuencas localizadas en los montes apalaches de los estados unidos con tamaños que variaban entre 30 a 30.000km2. Entre las relaciones propuestas se tienen las siguientes(ver figura anexa):

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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS DISEÑO INTEGRAL DE OBRAS DE DRENAJES PARA CARRETERAS t p = 5.5t r

tp= Tiempo de retardo al pico tr= Duración de la lluvia. El retardo de la cuenca está dado por la siguiente expresión: t p = C1C t ( LL C ) 0.3

Donde : tp está dado en horas, L es la longitud de la cuenca en kilómetros, desde la divisoria de aguas hasta la salida, Lc es la distancia en kilómetros desde la salida de la cuenca hasta el punto de la corriente mas cercano al centroide del área de la cuenca. C1=0.75 Ct= Es un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región. El caudal por unidad de área de drenaje en m3/s.km2 está dado por: qp =

C 2C P tp

Donde : C2=0.75, y Cp es un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región. Los valores de Ct y Cp, para calcularlos de una cuenca instrumentada, se miden los valores de L y Lc, utilizando un mapa de la cuenca, y se utiliza un hidrograma unitario deducido para esa cuenca. La duración efectiva de la lluvia para la cuenca instrumentada se denomina tR en hora, el tiempo de retardo tpR, y el caudal pico por unidad de qpR. Si se encuentra en la cuenca instrumentada que tpR es muy diferente que 5.5tR el retardo de la cuenca estándar se calcula como: t p = t pR +

tr − tR 4

Y se proponen las siguientes relaciones: q pR =

q pt p t pR

El tiempo base puede estimarse como: tb =

5.56 q pR

El ancho en horas de un hidrograma unitario a un caudal igual a un cierto porcentaje del caudal pico esta dado por: 1.08 W = CW q − pR

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Donde Cw es igual a 1.22 para el 75% del caudal pico, y de 2.14 para un porcentaje del 50% del caudal. Hidrograma Adimensional del SCS. El hidrograma unitario del SCS, es un hidrograma unitario sintético en el cual el caudal se expresa en función del caudal pico y el tiempo se expresa en función del tiempo al pico. (ver figua anexa) Los valores del caudal pico qp y del tiempo al pico Tp, se estiman utilizando un modelo simplificado de hidrograma unitario triangular. Para el cálculo se proponen las siguientes expresiones: tb = 2.67 TP tr +t p 2 t p = 0.6t c

TP =

qp =

2.08 A TP

tb= Tiempo base del hidrograma unitario triangular. Tp= Tiempo al pico en horas tr= Duración de la lluvia de exceso. A=Área de la cuenca en km2 tc=Tiempo de concentración de la cuenca. tp=Tiempo de retardo de la cuenca

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Hidrogramas Unitarios para Diferente Duración Si se dispone de un hidrograma unitario para una cuenca dada, para una duración de lluvia de exceso determinado, se puede construir el hidrograma unitario para una duración diferente siempre y cuado la duración sea múltiplo entero de la duración con la cual se dedujo el hidrogranma unitario, aplicando los principios de superposición y proporcionalidad. Para el caso de una lluvia de exceso de duración infinita, e intensidad unitaria, está se puede considerar como la suma de varias lluvias continuas de duración ∆ t, lo cual da como resultado la curva S. (Ver figura anexa). Para obtener el hidrograma unitario para una duración diferente ∆ t´, se resta el valor de la curva S en el tiempo t menos el valor de la curva S en el tiempo t-∆ t´.

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