hidrodinamica

TEXTO N° 3

HIDRODINÁMICA

Conceptos Básicos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Jesús Reyes M. Marzo 2014 Sede Valdivia, Chile 1

INTRODUCCIÓN Este material ha sido construido pensando en el estudiante de las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de tasas de flujo de un fluido, la ecuación de continuidad, el principio de Bernoulli y sus aplicaciones Torricelli y Venturi. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura Física de Fluidos. El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de Hidrodinámica, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones.

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FLUIDOS EN MOVIMIENTO En general el estudio de un líquido en reposo está basado en ciertos principios bien definidos de física, de tal manera que todos los problemas que usualmente se encuentran en hidrostática no son más que una aplicación de éstos principios cuya expresión matemática son fórmulas perfectamente conocidas; en cambio, un fluido en movimiento presenta en algunos casos condiciones muy complejas y por lo tanto el fenómeno no puede ser expresado de una manera exacta en alguna forma matemática debido a las condiciones exteriores más o menos variadas. A veces para una concepción clara de un fenómeno es necesario suponer ciertas condiciones ideales que permiten el establecimiento de algunas fórmulas fundamentales. Otras veces, dentro de ciertos límites se establecen algunas fórmulas empíricas que se pueden aplicar en la práctica, pero que sin embargo, resulta aventurado para el ingeniero no solo escoger para sus cálculos tal o cual fórmula, sino que también es importante que escoja los coeficientes adecuados para cada caso particular. Ahora se estudiara de fluidos en reposo, al tema más complejo de fluidos en movimiento, llamado dinámica de fluidos o hidrodinámica (si el fluido es agua). Se pueden distinguir dos tipos principales de flujo. Si el flujo es suave, de manera que las capas vecinas del fluido se deslizan entre sí suavemente, se dice que el flujo es aerodinámico o laminar (o en capas). En este tipo de flujo, cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme, llamada línea de flujo, y esas trayectorias no se cruzan entre sí (figura 1). Más allá de cierta rapidez, el flujo se vuelve turbulento. El flujo turbulento se caracteriza por torbellinos pequeños y erráticos llamados remolinos (figura 2). Los remolinos absorben una gran cantidad de energía y aunque incluso en el flujo laminar está presente una cierta cantidad de fricción interna, llamada viscosidad, ésta es mucho mayor cuando el flujo es turbulento. Unas cuantas gotas de tinta o de colorante derramadas en un líquido revelarán de inmediato si el flujo es laminar o turbulento.

Figura 1.

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Figura 2. LÍNEA DE FLUJO Es una línea imaginaria continua que denota en cada uno de sus puntos la dirección del vector velocidad del fluido. Las líneas de flujo de un sistema estable nunca se cruzan una a otra (pues una partícula podría seguir dos direcciones) y representan un patrón instantáneo de flujo el cual en otro instante puede ser completamente diferente.

Figura 3. Si seleccionamos un número finito de líneas de corriente como se muestra en la figura 4, esta región tubular se denomina tubo de flujo, las fronteras de este son líneas de corriente y por lo tanto ninguna partícula puede cruzar este tubo, comportándose como una verdadera tubería.

Figura 4.

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CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL FLUJO DE FLUIDOS El flujo se puede clasificar como estacionario (o estable) y no estacionario uniforme y no uniforme, laminar (o irrotacional) o turbulento (o rotacional), compresible e incompresible y viscoso y no viscoso. Un flujo es estacionario cuando los parámetros del flujo (velocidad, densidad., presión) son no cambian en el punto (puede ser diferente de punto a punto del espacio). Cuando ocurre lo contrario el flujo es no estacionario. Un flujo en un campo es uniforme cuando el vector velocidades constante e igual en todos los puntos de aquel campo y es no uniforme cuando el vector velocidad está variando. Un flujo es turbulento cuando las partículas del fluido tienen un movimiento irregular, caótico causando pérdidas de energía proporcionales al cuadrado de la velocidad, lo contrario ocurre cuando el movimiento es suave, ordenado, sus pérdidas son proporcionales a la velocidad y se conoce como flujo laminar. (En cada punto no hay velocidad angular respecto a ese punto). Experimentalmente se ha encontrado que hay una combinación de cuatro factores que determinan si el flujo por un tubo es laminar. Esta combinación es conocida como el Número de Reynolds, NRe ó Re y se define como:

N Re = Re =

ρ ⋅v ⋅ D η

Dónde: ρ : Densidad v : Velocidad promedio η : Viscosidad D : Diámetro de la tubería El número de Reynolds no tiene dimensiones, por lo tanto, es independiente del sistema de unidades utilizado. Se observa que hasta el va1or de 2000 el flujo es laminar y para valores mayores de 3000 el flujo es turbulento. LA TASA DE FLUJO DE UN FLUIDO La cantidad de flujo que pasa por un sistema por unidad de tiempo se puede expresar por medio de tres términos distintos: Q El flujo volumétrico, es el volumen de fluido que circula en una sección por unidad de tiempo. W El flujo en peso, es el peso del fluido que circula en una sección por unidad de tiempo. M El flujo másico, es la masa de fluido que circula en una sección por unidad de tiempo.

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El flujo volumétrico Q es el más importante de los tres, y se calcula con la siguiente ecuación: Q = Av Donde A es el área de la sección y v es la velocidad promedio del flujo. La unidad de la tasa del flujo volumétrico en el SI es metros cúbicos por segundo m 3 / s

[

]

El flujo en peso se relaciona con Q por medio de la ecuación:

W = γQ Donde γ es el peso específico del fluido. Entonces la unidad de W en el SI es [N / s ] El flujo másico M se relaciona con Q por medio de la ecuación:

M = ρQ Donde ρ es la densidad del fluido. Así la unidad de M en el SI es [Kg / s ] En la tabla 1 se resumen estos tres tipos de flujos de fluidos: Símbolo

Tabla 1. Definición

Nombre

W

Flujo volumétrico Flujo en peso

M

Flujo másico

Q

Unidades del SI 3 m /s

]

Unidades del técnico Inglés pie 3 / s

Q = Av

[

W = γQ W = γAv M = ρQ M = ρAv

[N / s]

[ ] [lb / s ]

[Kg / s]

[Slug / s ]

f

Debido a que los metros cúbicos por segundo y los pies cúbicos por segundo son flujo enormes, es frecuente que se manejen otras unidades como litros por minuto [L / min ],

[

]

metros cúbicos por hora m 3 / h y galones por minuto [gal / min ] ó [gpm] . Las equivalencias en conversión son:

[

1[L / min ] = 0,06 m 3 / h

[

]

]

1 m / s = 60000[L / min ] 1[gal / min ] = 3,785[L / min ] 3

[

1[gal / min ] = 0,2271 m 3 / h

[

]

]

1 pie / s = 449[gal / min ] 3

6

En la tabla 2 se listan algunas tasas comunes de flujo volumétrico para distintas tasas de sistema: Tabla 2. Flujo volumétrico [L / min ] m3 / h

[

]

0,9-7,5

15-125

0,60-6,0 6,0-36 2,4-270 12-240

10-100 100-600 40-4500 200-4000

2,4-900

40-15000

108-570

1800-9500

Bombas recíprocas que manejan fluidos pesados y compuestos acuosos de lodo Sistemas hidráulicos de aceites industriales Sistemas hidráulicos para equipos móviles Bombas centrífugas en procesos químicos Bombas para control de flujos y drenaje Bombas centrífugas para manejar desechos de minería Bombas centrífugas de sistemas contra incendios

[

Ejemplo 1: Convertir un flujo volumétrico de 30[gal / min ] a pie 3 / s Solución 6,68 × 10

−2

[pie / s ]

[

Solución 0,01 m / s

]

3-30 30-150 10-1200 50-1000 10-4000 500-2500

]

3

[

Ejemplo 2: Convertir un flujo volumétrico de 600[L / min ] a m 3 / s 3

Flujo volumétrico [gal / min ] 4-33

]

Ejemplo 3: Convertir un flujo volumétrico de 30[gal / min ] a [L / min ] Solución 113,6[L / min ]

El método de cálculo de la velocidad de flujo en un sistema de ductos cerrados depende del principio de continuidad, que se explicara a continuación.

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LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Consideremos el flujo laminar estable de un fluido a través de un tubo cerrado como se ilustra en la figura 5. Primero determinamos cómo cambia la rapidez del fluido con el tamaño del tubo. La tasa de flujo de masa (o flujo másico o caudal másico) se define como la masa ∆m de fluido que pasa por un punto dado por unidad de tiempo ∆t M= Flujo másico = Caudal másico =

∆m ∆t

Figura 5. En la figura 5, el volumen de fluido que pasa por el punto 1 (es decir, por el área A1 ) en un tiempo ∆t es ∆A1∆l 1 donde ∆l 1 es la distancia que el fluido se desplaza en el tiempo ∆t Como la velocidad del fluido que pasa por el punto 1 es ∆v1 = ∆l 1 / ∆t la tasa de flujo de masa que pasa por el área A1 es

∆m1 ρ1∆V1 ρ1 A1∆l 1 = = = ρ1 A1v1 ∆t ∆t ∆t Donde ∆V1 = A1∆l 1 es el volumen de la masa ∆m1 y ρ1 es la densidad del fluido. De forma similar, en el punto 2 (a través del área A2 ) la tasa de flujo es ρ 2 A2 v2 . Como ningún fluido fluye por los lados, las tasas de flujo por A1 y A2 deben ser iguales. Por lo tanto, como:

∆m1 ∆m2 = ∆t ∆t Tenemos

ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v2 Esta es la ecuación de continuidad.

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Si el fluido es incompresible ( ρ no cambia con la presión), lo que es una aproximación excelente para líquidos en la mayoría de los casos ( y a veces también para gases) entonces ρ1 = ρ 2 y la ecuación de continuidad toma la forma:

A1v1 = A2 v2 El producto Av representa la tasa de flujo de volumen (es decir, el volumen de fluido que pasa por un punto dado por una unidad de tiempo segundo, minuto, hora, etc.), ya que ∆V / ∆t = A∆l / ∆t = Av , que en unidades del SI es m 3 / s . La ecuación anterior nos dice donde el área transversal es grande, la velocidad es pequeña, y donde el área es pequeña la velocidad es grande.

[

]

La ecuación de tasa de flujo indica que la velocidad del fluido es mayor donde el área transversal del tubo es menor. Es decir:

A  v2 =  1 v1  A2  Y v2 es mayor que v1 si A2 es menor que A1 Este efecto es evidente en la experiencia común de que el agua sale con mayor rapidez de una manguera provista con una boquilla, que de la misma manguera sin boquilla.

Figura 6. Se puede expresar la ecuación anterior como una tasa de flujo volumétrico constante, RV :

RV = Av Suponiendo un fluido ideal cuya densidad no cambia, se puede expresar también una tasa de flujo másico constante, Rm :

Rm = ρAv La unidad de la tasa de flujo másico en el SI es kilogramos por segundo (kg/s).

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Ejemplo 4 Un jardinero está regando el pasto con una manguera de 2 [cm] de diámetro, por la que puede fluir 30 litros de agua en un minuto. Calcular la rapidez con la cual el agua sale de la manguera. Solución: De los datos, el caudal de agua es Q = 30[L / min ] transformando las unidades, se obtiene: 3 3  cm 3   L  30 × 10  cm  Q = 30  = = 500  s  60  s   min    El área de la sección transversal de la manguera es: 2 A = π ⋅ r 2 = π ⋅ (1[cm]) = π cm 2

[ ]

Por lo tanto, la rapidez de salida del agua por la manguera será:  cm 3  500   Q  s  = 159,156  cm  = 1,59156  m  Q = Av → v = =  s   s  A π cm 2

[ ]

Ejemplo 5 Calcule la velocidad media de la sangre en la aorta (radio 1 centímetro) cuando el caudal es 5 [L/min] Solución

 cm 3  5litros 5000cm 3 Caudal = = = 83, 3   1min 60 s  s  Caudal = Av

v=

Caudal 83, 3  cm  = = 26,526   2 A π (1)  s 

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Ejemplo 6 Una manguera de 2 [cm] de diámetro por la que fluye agua a una velocidad de 3 [m/s] termina en un tubo cerrado que tiene 50 orificios pequeños de 0,2 [cm] de diámetro. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua en cada agujero? Solución Por la ecuación de continuidad A1v1 = 50 A2 v2

π (1)2 (3) = 50π (0,1)2 v2 v2 =

3 m = 6  50(0,01) s

Ejemplo 7 Cuando se abre poco a poco un caño de agua, se forma un pequeño chorro, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al caño y que al final, se rompe formando gotas. ¿Cuál es la velocidad del agua cuando ha recorrido una distancia h ? Solución La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura 7. La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del caño es A0 , y la velocidad del agua es v0 . Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

v 2 = v02 + 2 gh Aplicando la ecuación de continuidad

A0 v0 = Av

π ⋅ r02 ⋅ v0 = π ⋅ r 2 ⋅ v Despejando el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al caño

r = r0 ⋅

v02 1 = r0 ⋅ v0 2 2 v0 + 2 gh v0 + 2 gh

Figura 7.

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Ejemplo 8 Para la figura 8, los diámetros interiores del ducto en las secciones 1 y 2 son de 50[mm] y 100[mm] respectivamente. En la sección 1 fluye agua a 4°C con velocidad promedio de 8 [m/s]. Calcular: a) Velocidad en la sección 2. b) Flujo volumétrico. c) Flujo en peso. d) Flujo másico.

Figura 8. Solución a) Velocidad en la sección 2 De la ecuación de continuidad, se tiene que:

A1v1 = A2 v2 A  v2 =  1 v1  A2  A1 =

A2 =

πD12 4

πD22 4

=

=

π (50[mm])2 π (100[mm])2 4

Entonces la velocidad en la sección 2 es: A v2 =  1  A2

[ [

 1963,495 mm 2 v2 =  2  7853,982 mm

[

]

[

]

= 1963,495 mm 2

4

= 7853,982 mm 2

 v1 

]  ⋅ 8 m  = 2 m  ]  s   s  12

Observar que con el flujo estable de un líquido, conforme aumenta el área donde fluye, la velocidad se reduce. Esto es independiente de la presión y la elevación. b) Flujo volumétrico Q

Q = Av , aplicando la ecuación de continuidad el flujo se puede calcular utilizando la sección 1 o bien la sección 2

Q = A1v1

Q = A2 v2

ó

[

2

]

[

A1 = 1963,495 mm = 1963,495 mm

2

2 ( 1) [m 2 ] ]⋅ = 0,001963495[m 2 ] 2 2 (1000) [mm ]

m v1 = 8  s m Q = A1v1 = 0,001963495 m 2 ⋅ 8  s

[ ]

 m3  Q = 0,01570796    s  c) El flujo en peso W

[

W = γ ⋅ Q a 4°C, el peso específico del agua es 9,8 kN / m 3

]

 m3   kN  W = 9,8 3  ⋅ 0,01570796   m   s   kN  W = 153,938008   s  d) El flujo másico M

[

M = ρ ⋅ Q a 4°C, la densidad del agua es 1 × 10 3 kg / m 3

]

 m3   kg  M = 1 × 10 3  3  ⋅ 0,01570796   m   s   kg  M = 15,70796    s 

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Ejemplo 9 ¿Qué pasaría si en el ejemplo anterior fluye agua pero a una temperatura de 70°C? ¿Existe algún cambio? La respuesta es sí, lo que cambia es la densidad del agua. La  kg  densidad del agua a 70°C aproximadamente es ρ H 2O = 978 3  . Calcular Q,W , M m  con este dato. Compare sus resultados. Solución

 m3  Q ≈ 0,01570796    s  N  W ≈ 150,551  s  kg  M ≈ 15,362    s 

La tabla 3 muestra la densidad y peso específico para el agua en la escala Celsius. Temperatura [°C] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Tabla 3. Peso específico [kN/m3] 9,8 9,8 9,8 9,8 9,78 9,77 9,76 9,741 9,722 9,702 9,682 9,663 9,643 9,614 9,584 9,555 9,516 9,486 9,457 9,428 9,388

Densidad [kg/m3] 1000 1000 1000 1000 998 997 996 994 992 990 988 986 984 981 978 975 971 968 965 962 958

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El principio de Bernoulli El principio de Bernoulli establece que donde la velocidad de un fluido es alta, la presión es baja, y donde la velocidad es baja, la presión es alta. Por ejemplo, si se miden las presiones en los puntos 1 y 2 en la figura 9, se encontrará que la presión es menor en el punto 2, donde la velocidad es mayor, que en el punto 1, donde la velocidad es menor.

Figura 9. A primera vista, tal vez se esperaría que una rapidez mayor en el punto 2 implicara una mayor presión. Sin embargo, éste no es el caso. Si la presión en el punto 2 fuera más alta que en el 1, esta mayor presión retardaría al fluido, mientras que de hecho éste se acelera al pasar del punto 1 al punto 2. Así, la presión en el punto 2 debe ser menor que en el punto 1, para ser consistente con el hecho de que el fluido acelera. Para ayudar a aclarar cualquier malentendido, pensemos en que un fluido con mayor rapidez ejercería una mayor fuerza sobre un obstáculo que se interpusiera en su trayecto. Sin embargo, esto no es lo que queremos decir al referirnos a la presión en un fluido y, además, no estamos considerando los obstáculos que interrumpen el flujo. Examinamos un flujo laminar suave. La presión del fluido se ejerce sobre las paredes de un tubo o sobre la superficie de cualquier material por el que circula el fluido. Bernoulli desarrolló una ecuación que expresa este principio de forma cuantitativa. Para obtener la ecuación de Bernoulli, suponemos que el flujo es estable y laminar, que el fluido es incompresible y que la viscosidad es muy pequeña, de manera que se puede ignorar. Para generalizar, se supone que el fluido se mueve en un tubo de sección transversal no uniforme que varía de altura con respecto a un nivel de referencia dado (ver figura 10).

Figura 10.

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Consideraremos la cantidad de fluido ilustrado y calcularemos el trabajo efectuado para moverlo desde la posición indicada en la figura 10 a la posición representada en la figura. En este proceso, el fluido que entra por el área A1 fluye una distancia ∆l 1 y obliga al fluido en el área A2 a moverse una distancia ∆l 2 . El fluido a la izquierda del área A1 ejerce una presión p1 sobre nuestra sección de fluido y efectúa un trabajo

W1 = F1∆l 1 En el área A2 , el trabajo efectuado sobre nuestra sección de fluido es:

W2 = − p2 A2 ∆l 2 El signo negativo está presente porque la fuerza ejercida sobre el fluido es opuesta al movimiento (el fluido mostrado en color efectúa trabajo sobre el fluido a la derecha del punto 2). También la fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre el fluido. Como el efecto neto del proceso mostrado en la figura 10 es mover una masa m de volumen A1∆l 1 = A2 ∆l 2 (ya que el fluido es incompresible) del punto 1 al punto 2, el trabajo que realiza la gravedad es:

W3 = − mg ( y 2 − y1 ) Donde y1 e y2 son las alturas del centro del tubo arriba de un nivel de referencia arbitrario. En el caso mostrado en la figura 10, este término es negativo ya que el movimiento es ascendente, contra la fuerza de gravedad. El trabajo neto W efectuado sobre el fluido es:

W = W1 + W2 + W3

W = p1 A1∆l 1 − p2 A2 ∆l 2 − mgy 2 + mgy1 De acuerdo con el principio del trabajo y la energía, el trabajo neto efectuado sobre un sistema es igual al cambio de su energía cinética. Así:

1 2 1 2 mv2 − mv1 = p1 A1∆l 1 − p 2 A2 ∆l 2 − mgy 2 + mgy1 2 2 La masa m tiene un volumen A1∆l 1 = A2 ∆l 2 para un fluido incompresible. Se puede sustituir m = ρA1∆l 1 = ρA2 ∆l 2 y también dividir entre A1∆l 1 = A2 ∆l 2 , para obtener:

1 2 1 2 ρv2 − ρv1 = p1 − p2 − ρgy 2 + ρgy1 2 2

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Al reordenar, se tiene:

p1 +

1 2 1 ρv1 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy2 2 2

Esta es la ecuación de Bernoulli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser dos puntos cualesquiera a lo largo de un tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli se puede escribir como: 1 p + ρv 2 + ρgy = constante 2 En cada punto en el fluido, donde y es la altura del centro del tubo por arriba de un nivel de referencia fijo. Observar que si no hay flujo v1 = v2 = 0 , entonces la ecuación de Bernoulli se reduce a la ecuación hidrostática:

p2 − p1 = − ρg ( y 2 − y1 ) La ecuación de Bernoulli es una expresión de la ley de la conservación de la energía, ya que la obtuvimos a partir del principio del trabajo y la energía. Una consecuencia importante de la ecuación de Bernoulli se hace evidente si y = 0 , lo que significa que a elevación constante:

p+

1 2 ρv = constante 2

Si consideramos insignificante la diferencia horizontal en las alturas de flujo dentro de 1 un tubo constreñido, obtenemos, para la ecuación de Bernoulli, p + ρv 2 = constante. 2 En una región con menor área transversal, la rapidez de flujo es mayor, por la ecuación de Bernoulli, la presión en esa región es menor que en otras regiones (ver figura 11).

Figura 11.

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Aplicaciones del principio de Bernoulli: Teorema de Torricelli La ecuación de Bernoulli se aplica a muchas situaciones. Un ejemplo es el cálculo de la velocidad v1 de un líquido saliendo de un grifo en el fondo de un recipiente (figura 12).

Figura 12. Elegimos el punto 2 en la ecuación de Bernoulli como la superficie superior del líquido. Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande comparado con el del grifo, v2 será casi cero. Los puntos 1 (el grifo) y 2 (la superficie superior) están abiertos a la atmósfera, por lo que la presión en ambos puntos es igual a la presión atmosférica: p1 = p2 . La ecuación de Bernoulli toma entonces la forma:

1 ρ ⋅ v12 + ρgy1 = ρgy 2 2 O bien

v1 = 2 g ( y 2 − y1 ) = 2 gh Este resultado se llama Teorema de Torricelli. Aunque se reconoce como un caso especial de la ecuación de Bernoulli, Evangelista Torricelli, un discípulo de Galileo, lo descubrió un siglo antes que Bernoulli, y de ahí su nombre. La ecuación v = 2 gh nos dice que el líquido sale del grifo con la misma rapidez que tendría un objeto que cae libremente desde la misma altura. Esto no debe sorprender ya que la ecuación de Bernoulli se basa en la conservación de la energía.

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Otro caso especial de la ecuación de Bernoulli surge cuando un fluido fluye horizontalmente sin cambio apreciable en su altura; es decir, y1 = y 2 . La ecuación de Bernoulli toma entonces la forma:

1 1 p1 + ρ ⋅ v12 = p 2 + ρ ⋅ v22 2 2 La cual nos dice en términos cuantitativos que cuando la rapidez es elevada la presión es baja y viceversa. También explica muchos fenómenos comunes, algunos de los cuales se ilustran en la figura 13. La presión en el aire que sopla a gran rapidez a través de la parte superior del tubo vertical de un atomizador de perfume (figura 13a) es menor que la presión normal del aire que actúa sobre la superficie del líquido en el frasco. El perfume es empujado hacia arriba del tubo por la presión reducida en la parte superior. Una pelota de ping pong se puede hacer flotar arriba de un chorro de aire (algunas aspiradoras pueden soplar aire), figura 13b; si la pelota empieza a abandonar el chorro de aire, la presión mayor en el aire quieto fuera del chorro empuja la pelota de regreso.

Figura 13.

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Efecto Magnus Consideremos un cilindro (o una esfera) en un fluido en movimiento. Si el cilindro rota en torno a un eje perpendicular a la corriente del fluido, y además hay roce viscoso entre el cilindro y el fluido, entonces el cilindro arrastrará al fluido haciendo que las velocidades del fluido a ambos lados del cilindro no sean iguales. En el caso mostrado en la figura 14, la velocidad es mayor arriba que abajo.

Figura 14. De acuerdo a la ecuación de Bernoulli, la presión en el lugar 1 serán inferior que en el lado 2 ( p1 > p 2 ) . Esta diferencia de presión genera una fuerza neta sobre el cilindro hacia arriba. Es este efecto, llamado efecto Magnus, el responsable de los así llamados “efectos” que se pueden observar en numerosos juegos de pelota. Suponga que una bola es pateada de tal manera que va rotando a la derecha sobre un perpendicular del je a su dirección móvil durante su movimiento a la izquierda (ver la figura 15). Entonces la bola experimentaría la fuerza de Magnus. Así la bola se mueve con una trayectoria curvada hacia la derecha del arquero.

Figura 15.

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Levantar una bola con un embudo En el espacio entre la superficie del embudo y la superficie de la bola la presión es menor que la presión atmosférica, y esta diferencia de presión soporta la bola contra la acción de la gravedad.

Figura 16. Una bola ligera apoyada por un jet del aire. La presión sobre la bola es menor que debajo de ella. Efecto chimenea ¿Por qué sube el humo por una chimenea? En parte se debe a que el aire caliente se eleva (es decir, debido a la densidad). Pero el principio de Bernoulli también tiene un lugar importante. Debido a que el viento sopla a través de la parte superior de la chimenea, la presión es menor ahí que dentro de la casa. Por eso el aire y el humo son empujados hacia arriba de la chimenea. Incluso en una noche calmada, existe el flujo de aire suficiente en el ambiente en el extremo superior de 1 chimenea para permitir el flujo ascendente del humo. Si las tuzas, perros de la pradera, conejos y otros animales que viven bajo el no se asfixian, el aire debe circular en sus madrigueras. Estas siempre tienen por lo menos dos entradas. La velocidad del flujo del aire a través de los diferentes hoyos por lo regular será un poco distinta. Esto conduce a una pequeña diferencia de presión que fuerza al flujo de aire a través de la madriguera por el principio de Bernoulli. El flujo de aire se intensifica si un hoyo está más arriba que el otro (lo que a menudo hacen los animales) puesto que la velocidad del viento se tiende a incrementar con la altura.

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La ventilación en una mina La ventilación en una mina responde a tres propósitos principales: para proporcionar el aire fresco para la respiración de los mineros, diluir los gases nocivos que puedan ser formados subterráneamente. En un túnel horizontal simple de minería generalmente es suficiente la ventilación natural utilizando la diferencia en la presión de aire asociada a la diferencia en nivel entre dos aberturas, la entrada de la mina y la parte superior de un eje de ventilación (efecto chimenea).

Figura 17.

Empuje sobre las alas de un avión Una superficie aerodinámica como el ala de un avión se diseña de tal modo que perturba las líneas de corriente del fluido en una región de espacio, dejando la otra no perturbada.

Figura 18. Las, líneas de corriente encima del ala son comprimidas y las que se encuentran debajo del ala permanecen no perturbadas, resultando el flujo mayor en la parte superior.

1 1 p1 + ρ ⋅ v12 = p 2 + ρ ⋅ v22 2 2 Como v1 > v2 , resulta p2 > p1 . Produciendo una fuerza de empuje hacia arriba. En realidad, el principio de Bernoulli es sólo un aspecto de la sustentación de un ala. Las alas se inclinan un poco hacia arriba, de modo aire que choca contra la superficie inferior se desvíe hacia abajo; el cambio en la cantidad de movimiento de las moléculas de aire que rebotan deviene en una fuerza ascendente adicional sobre el ala. De igual modo la turbulencia desempeña una función de gran importancia.

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Velocidad de salida de líquido a través de un orificio

Figura 19. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 se tiene:

p1 + ρgy1 +

1 1 ρ ⋅ v12 = p2 + ρgy 2 + ρ ⋅ v22 2 2

Como en 1 y 2 la presión es la presión atmosférica, la expresión se reduce a

1 2

1 2

ρgy1 − ρgy 2 = ρ ⋅ v22 − ρ ⋅ v12 g ( y1 − y 2 ) =

1 2 v2 − v12 2

(

)

Por la ecuación de la continuidad A1v1 = A2 v2

A  v1 =  2 v2  A1  Como ( y 2 − y1 ) = h Reemplazando, se tiene: 2 1  2  A2   gh = v2 −  v2   2  A1   

1 A  gh = 1 −  2  2   A1  

2

  v22 

Finalmente, despejando v2

23

v2 =

2 gh A  1 −  2   A1 

2

Si A1 >> A2 , A2 (orificio), entonces:

v2 = 2 gh Resultado que es igual al caso de un orificio lateral. Tiempo de vaciado El flujo volumétrico a través del orificio es Q = Av . En una cantidad de tiempo pequeña ∆t , el volumen de fluido que pasa por la tobera es: Volumen que fluye = Q∆t = A2 ⋅ v2 ⋅ ∆t Mientras tanto, debido a que el flujo está saliendo del tanque, el nivel baja. Durante el incremento pequeño de tiempo ∆t , el nivel del fluido disminuye una distancia pequeña ∆y ó ∆h . Entonces, el volumen del fluido que salió del tanque es: Volumen expulsado = − A1 ⋅ ∆y = − A1 ⋅ ∆h Estos dos volúmenes deben ser iguales:

A2 ⋅ v2 ⋅ ∆t = − A1 ⋅ ∆y ∆t = Como v2 =

t 2 − t1 =

2 gh A  1 −  2   A1 

2

− A1 ⋅ ∆y A2 ⋅ v2

, reemplazando y ordenando se tiene:

− 2( A1 A2 ) 1 2 ⋅ h2 − h11 2 2g

(

)

o bien

2( A1 A2 ) 1 2 ⋅ h1 − h21 2 2g Esta ecuación se utiliza para calcular el tiempo que se requiere para vaciar un tanque de h1 a h2 t 2 − t1 =

(

)

24

El medidor de Venturi Es un manómetro colocado en el tubo para medir la velocidad de flujo líquido. Un líquido de densidad ρ fluye por un tubo de sección transversal A1 . En el cuello el área se reduce a A2 y se instala el tubo manométrico como se indica en la figura 20.

Figura 20. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2

1 1 p1 + ρgy1 + ρv12 = p 2 + ρgy 2 + ρv22 2 2 Como están a la misma altura

p1 +

1 2 1 ρv1 = p2 + ρv22 2 2

p1 − p2 =

1 ρ v22 − v12 2

(

)

Por la ecuación de continuidad

A1v1 = A2 v2

→

A  v2 =  1 v1  A2 

Luego

p1 − p 2 =

1  A12 − A22  2 v1 ρ 2  A22 

(1)

Por otra parte, la presión en el nivel 3 por la rama 1 es

p3 = p1 + ρgH

25

Y por la rama 2 es

p3 = p2 + ρg (H − h ) + ρ ′gh

(2)

p1 − p2 = gh(ρ ′ − ρ ) Igualando las expresiones (1) y (2)

1 2  A12 − A22   = gh(ρ ′ − ρ ) ρv1  2 2  A2  Finalmente

v1 = A2

2 gh(ρ ′ − ρ ) ρ A12 − A22

(

)

26

Ejercicios Resueltos – Hidrodinámica PROBLEMA 1 Un depósito de agua está cerrado por encima con una placa deslizante de 12 m2 y 1200 kg. Calcular a) El nivel del agua en el depósito es de 3,5 m de altura. Calcular la presión en el fondo. b) Si se abre un orificio circular de 5 cm de radio a medio metro por encima del fondo, calcular el volumen de agua que sale por segundo por este orificio. (Se considera que el área del orificio es muy pequeña frente al área del depósito). Considere la presión atmosférica como 1 × 10 5 [Pa ]

m g ≈ 10  2  s 

Figura 21.

Solución

a) Presión en el fondo = pa + p placa + pcolumna _ de _ H 2O

F + ρgh A mg = 1 × 10 5 + + ρgh A 1200 ⋅ 10 = 1 × 10 5 + + 1000 ⋅ 10 ⋅ 3,5 12 = 1,36 × 10 5 [Pa ] = 1 × 10 5 +

27

b) Ecuación de Bernoulli

Figura 22.

1 1 p1 + ρgy1 + ρv12 = p 2 + ρgy 2 + ρv22 2 2

p1 = 1× 10 5 +

y1 = 3[m]

1200 ⋅10 = 101000[Pa ] 12

y 2 = 0[m]

v1 ≈ 0[m s ]

ρ = 1× 10 3 [kg m 3 ]

p2 = pa = 1 × 10 5 [Pa ]

1 1,01× 10 5 + 1× 10 3 ⋅10 ⋅ 3 = 1× 10 5 + ⋅1×10 3 ⋅ v22 2 131000 − 1 × 10 5 =

v2 =

1 ⋅ 1 × 10 3 ⋅ v22 2

2 ⋅ 31000 1000

m v2 = 62 ≈ 7,874   s

Q = A2 v2  m3  m 2  Q = π ⋅ (0,05[m]) ⋅  7,874    = 0,06184    s    s  Al flujo volumétrico también se le denomina gasto y se simboliza con la letra G.

Q = G = A⋅v

28

PROBLEMA 2 Un sifón es un dispositivo para sacar el líquido de un envase que sea inaccesible o que no pueda ser inclinado fácilmente. La salida C debe estar más baja que la entrada A, y el tubo se debe llenar inicialmente del líquido (esto generalmente se logra aspirando el tubo en el punto C). La densidad del líquido es ρ a) ¿Con qué velocidad el líquido fluye hacia fuera en el punto C? b) ¿Cuál es la presión en el punto B? c) ¿Cuál es la altura máxima H que el sifón puede levantar el agua?

Figura 23. Solución a) Compare la superficie (donde la presión es la presión atmosférica pa y la velocidad es aproximadamente cero) con el punto C. Aplicando la ecuación de Bernoulli:

p + ρgy +

1 2 ρv = constante 2

pa + 0 + ρg (h + d ) = pa +

1 2 ρv + 0 2

v = 2 g (h + d ) b) Compare la superficie con el punto B.

1 p a + 0 + ρg (h + d ) = p B + ρv 2 + ρg (h + d + H ) 2

p B = pa −

1 2 ρv − ρgH 2

Reemplazando el valor de v , hallado en (a).

29

1 p B = p a − ρ [2 g (h + d )] − ρgH 2

p B = p a − ρg [(h + d + H )] c) Cuando H es un máximo, la velocidad y la presión en ese punto se aproxima a cero, así que comparando la superficie y el punto B obtenemos:

pa + 0 + ρg (h + d ) = 0 + 0 + ρg (h + d + H ) pa = ρgH H=

[ ] ]) ( [ ])

pa 1,013 × 10 5 N m 2 = = 10,337[m] ρg 1× 103 kg m 3 ⋅ 9,8 m s 2

(

[

PROBLEMA 3 Un tanque de almacenaje abierto grande se llena de agua. Se hace un agujero pequeño en un lado del tanque a una profundidad h debajo de la superficie del agua. ¿Con qué velocidad el agua fluirá del agujero? Solución En la superficie p = p a y v ≈ 0 . En el agujero p = p a ecuación de Bernoulli nos queda:

y v = v , entonces la

1 p a + 0 + ρgh = p a + ρv 2 + 0 2

v = ρgh

30

PROBLEMA 4 Los bomberos utilizan una manguera del diámetro interior 6 centímetros para entregar 1000 litros de agua por minuto. Un inyector se une a la manguera, y se quiere lanzar el agua hasta una ventana que está 30 metros sobre el inyector. a) ¿Con qué velocidad debe el agua dejar el inyector? b) ¿Cuál es el diámetro interior del inyector? c) ¿Qué presión en la manguera se requiere? Solución

[ ]

 m3  10 −3 m 3  L  Q = 1000  = 1000 = 0 , 01 6   60[s ]  min   s  a) Cuando el agua deja el inyector, p = p a y v = v , en el punto más alto v = 0 , tal que aplicando la ecuación de Bernoulli

1 p a + ρv 2 + 0 = pa + 0 + ρgh 2

m v = 2 gh = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 30 = 588 = 24,249   s b) El caudal es

 π ⋅ D2   ⋅ v Q = Av =  4  

D=

4⋅Q 4 ⋅ 0,01 6 = ≈ 0,03[m] π ⋅v π ⋅ 24,249

c) La velocidad en la manguera es vm y se calcula como:

Qm = Am vm

vm =

Qm 4 ⋅ Qm 4 ⋅ 0,01 6 m = = = 5,895  2 2 Am π ⋅ Dm π ⋅ (0,06 ) s

Aplicando la ecuación de Bernoulli

pm +

1 2 1 ρvm + 0 = pa + ρv 2 + 0 2 2

31

pm − pa =

1 ρ v 2 − vm2 2

pm − p a =

1 (1000 ) (24,249)2 − (5,895)2 2

(

(

)

)

pm − pa = 276631,488[Pa ] ≈ 2,766 × 10 5 [Pa ] = 2,766[atm] (man) PROBLEMA 5

[

]

Un tubo horizontal por el que fluye líquido de densidad ρ 0 a razón de Q m 3 s se bifurca en dos ramas en el plano vertical, una superior y otra inferior, de secciones transversales a1 = a2 = a abiertas a la atmósfera (ver figura 24). Si la distancia entre las ramas es h , determinar: a) Las cantidades q1 y q2 de líquido (en m 3 s ) que fluyen por ambas ramas. b) La condición que debe cumplir Q para que exista flujo en la rama superior.

[

]

Figura 24. Solución a) La relación de Bernoulli se puede aplicar entre los puntos A y B1 también entre A y B2 . Por transitividad, la relación de Bernoulli también es válida entre los puntos B1 y B2 . Se tiene

Figura 25.

32

1 1 p1 + ρgh1 + ρv12 = p 2 + ρgh2 + ρv22 2 2 Pero p1 = p2 = p a , h1 = h y h2 = 0 , luego

1 2 1 ρv1 + ρgh = ρv22 2 2 Los flujos que circulan por la rama superior e inferior vienen dados por q1 = av1 y q2 = av2 , respectivamente. También se tiene que Q = q1 + q2 De las relaciones anteriores se deduce que:

q1 =

Q 2 − 2a 2 gh 2Q

y

q2 =

Q 2 + 2a 2 gh 2Q

b) Para que circule líquido por la rama superior se debe tener que:

Q > a 2 gh

PROBLEMA 6 El tanque cilíndrico presurizado de 5 [m] de diámetro, contiene agua la que sale por el tubo en el punto C, con una velocidad de 20 [m/s]. El punto A está a 10 [m] sobre el punto B y el punto C está a 3 [m] sobre el punto B. El área del tubo en el punto B es 0,03 [m2] y el tubo se angosta a un área de 0,02 [m2] en el punto C. Asuma que el agua es un líquido ideal en flujo laminar. La densidad del agua es 1000 [kg/m3]

a) b) c) d)

Figura 26. ¿Cuál es el flujo en el tubo? ¿A qué razón está bajando el nivel de agua del tanque? ¿Cuál es la presión en B? ¿Cuál es la presión absoluta del aire encerrado en el tanque?

33

Solución a) El flujo en el tubo:

 m3  Q = AC vC = πR 2 vC = (0,02 ) ⋅ (20 ) = 0,4    s  b) La razón a la que está bajando el nivel de agua del tanque:

 m3  AA v A = 0,4    s  2

5 AA = π   = 19,635 m 2 2

[ ]

 m3  0,4    s  vA = 19,635 m 2

[ ]

m v A = 0,02   s c) La presión en B por Bernoulli

p B + ρghB +

1 2 1 ρv B = pC + ρghC + ρvC2 2 2

0,4 m = 13, 3   , pC = p a = 1,013 × 10 5 [Pa ] , hC = 3[m] , 0,03 s 1 p B = pC + ρghC + ρ vC2 − v B2 2

hB = 0 , v B =

[

m vC = 20   s

]

p B = 2,418 × 10 5 [Pa ] d) Aplicando Bernoulli

1 1 p A + ρgh A + ρv A2 = p B + ρghB + ρv B2 2 2 1 p A = p B + ρg (hB − hA ) + ρ v B2 − v A2 2

(

)

(

)

p A = 2,418 ×10 5 + 1× 10 3 ⋅ 9,8 ⋅ (0 − 10 ) + 0,5 ⋅1×10 3 13, 3 2 − 0,02 2 = 232688,689[Pa ] 34

PROBLEMA 7 La sección transversal del tubo de la figura 27 tiene 8 cm2 en las partes anchas y 4 cm2 en el estrechamiento. Cada segundo salen del tubo 4 litros de agua a la atmósfera.

Figura 27. a) ¿Cuál es la velocidad en A1 ? b) El agua proviene de un gran depósito abierto. ¿A qué altura se encuentra el nivel de agua? c) ¿Cuál es la diferencia de presión entre 1 y 2? d) ¿Cuál es la diferencia de alturas entre las columnas de mercurio del tubo en U? Solución a) Q = 4

 m3  litros 4 × 10 −3   s  s 

[ ]

[ ]

A1 = 8 cm 2 = 8 × 10 −4 m 2

 m3  4 × 10 −3    s  = 5 m  Q = A ⋅ v → v1 = −4  s  8 × 10 m 2

[ ]

b) El agua proviene de un gran depósito abierto. ¿A qué altura se encuentra el nivel de agua?

Figura 28. 35

Aplicando Bernoulli

p1′ + ρgy1′ +

1 2 1 ρv1′ = p2′ + ρgy 2′ + ρv22′ 2 2

p1′ = p 2′ = p a ,

m y1′ = h , y 2′ = 0 , v1′ = 0 , v2′ = v2 = 5  s

1 1 2 2 p a + ρgh + ρ (0 ) = p a + ρg (0 ) + ρ (5) 2 2

h = 1,28[m] c) p1 + ρgy1 +

1 2 1 ρv1 = p2 + ρgy 2 + ρv22 2 2

y1 = y 2 = 0[m], v1 = 5[m s ], v2 =

p1 + ρg (0 ) +

A1 v1 = (8 4 ) ⋅ 5 = 10[m s ] A2

1 1 ρ (5)2 = p2 + ρg (0) + ρ (10)2 2 2

p1 − p2 = 37500[Pa ] d) ¿Cuál es la diferencia de alturas entre las columnas de mercurio del tubo en U?

p1 − p 2 = ρ Hg g∆y

∆y =

p1 − p 2 37500 = = 0,281[m] ρ Hg g (13600)9,8

36

PROBLEMAS PROPUESTOS – HIDRODINÁMICA 1) ¿Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 [cm], si el caudal de agua transportado es de 3800 [m3/día]? 2) ¿Qué diámetro debe tener una tubería para transportar 2 [m3/s] a una velocidad media de 3 [m/s]? 3) Una tubería de 30[cm] de diámetro, que transporta 110 [L/s], está conectada a una tubería de 15[cm] Determinar la altura de velocidad en la tubería de 15[cm] 4) Una tubería de 15 [cm] de diámetro transporta 80 [L/s] La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 [cm] y la otra de 10 [cm] de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 [cm] es de 12 [m/s] ¿Cuál es la velocidad en la tubería de 10[cm]? 5) A través de una tubería horizontal de 15 [cm] de diámetro fluye agua a una presión de 4,20 [kgf/cm2]. Suponiendo que no hay pérdidas ¿Cuál es el caudal si en una reducción de 7,5 [cm] de diámetro la presión es de 1,40 [kgf/cm2]? 6) Una tubería de 30 [cm] de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 [cm] y de nuevo aumenta a 30 [cm]. La sección de 15 [cm] está 60 [cm] por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 [cm], donde la presión es de 5,25 [kgf/cm2]. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio. ¿Cuál es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120[L/s]?. Suponer que no existen pérdidas. 7) Dos depósitos abiertos muy grandes A y F, (ver figura 29), contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia h1 por debajo del nivel del líquido en A. a) ¿Cuál es la velocidad de salida del líquido? b) ¿Cuál es la presión en el estrechamiento (C)? c) ¿A qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E? Expresar la respuesta en función de h1.

Figura 29.

37

8) Una regadera de jardín tipo hongo de las características mostradas en la figura 30, tiene la velocidad de salida del agua de 1[m/s]. El diámetro del hongo D es de 30 [cm], el diámetro de la tubería horizontal d es de 5 [cm], la altura H del tramo vertical es de 20 [cm], y el espacio entre los platos del hongo e es igual a 2 [cm]. a) Encontrar el caudal de agua en la tubería horizontal. b) Calcular la velocidad en el tramo horizontal. c) Calcular la presión en la parte más alta del tubo vertical. d) Calcular la presión en cualquier punto del tramo horizontal.

Figura 30. 9) Para abastecer de agua a una casa de dos pisos se recurre a un “hidropack”. Este sistema consiste en un depósito subterráneo, una bomba y un cilindro con agua y aire. La bomba inyecta agua a presión al cilindro, que en su parte superior queda con aire comprimido. Un medidor de presión detiene la bomba cuando la presión del cilindro alcanza el valor deseado (el mismo medidor vuelve a encender la bomba cuando la presión baja de cierto nivel). Si el nivel del agua en el cilindro se sitúa 1 metro por debajo del suelo, calcule la presión necesaria en el aire comprimido para que una llave de 1 cm2 de sección, a una altura de 5 metros sobre el suelo, entregue un caudal de 12 litros por minuto. (La sección transversal del cilindro es grande respecto a la de la llave). También encuentre la presión del aire al interior del cilindro.

Figura 31.

38

10) Suponga que el nivel de un líquido (agua) en un tambor tiene una altura h. A una altura b se hace una pequeña perforación lateral que permite que el agua emerja horizontalmente. ¿A qué altura se debe hacer la perforación para que el alcance d del agua se máximo?

Figura 32. 11) En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, tal como se muestra en la figura 33. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v = 2,5 m/s. La parte superior del tubo se encuentra a h0 = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeño agujero. ¿A qué altura h subirá el chorro de agua que sale por el agujero?

Figura 33. 12) Para el tanque de la figura 34 calcule el flujo volumétrico de agua que sale por la tobera. El tanque está sellado y hay una presión de 20 psi sobre el agua. La profundidad h es de 8 pies.

39

Figura 34. 13) Para el sifón de la figura 35, calcule a) El flujo volumétrico del agua que pasa por la tobera b) La presión en los puntos A y B. Las distancias son X=4,6 m e Y=0,9 m.

Figura 35.

40

14) Para el sifón de la figura 36, calcule a) El flujo volumétrico de aceite que sale del tanque b) Las presiones en los puntos A y D

Figura 36.

41

SOLUCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 1) 2) 3) 4) 5) 6)

2,48 [m s ] 92 [cm ] 1,97[m] 7,2[m s ] Q = 107[L s ] 17,6[cm]

7)

a) vD = 2gh1 b) pC = p a − 3ρgh1 c) h2 = 3h1

[

]

8) a) 0,019 m 3 s b) 9,6[m s ] c) 0,5572 × 10 5 [Pa ] d) 0,5376 × 10 5 [Pa ] 9) 10) b = h / 2 11) 43[m s ] = 156[km h ] 12)

[

2,9 pie 3 s

]

[

13) a) 4,66 × 10 −3 m 3 s 14)

]

b) p A = −2,82kPa

p B = −11,65kPa

42

BIBLIOGRAFÍA -Giancoli, Douglas C.

-Física para ciencias e ingeniería, Vol. 1 Ed. Pearson, 4ª Edición 2008

-Giles, Ranald V.

-Mecánica de los fluidos e hidráulica Ed. MC Gaw Hill

-Sears-Zemansky-Young-Freedman

-Física Universitaria, Vol. 1 Ed. Pearson, 11a Edición

-Serway-Jewett

-Física para ciencias e ingeniería, Vol 1 Ed. Cengage Learning, 7ª Edición 2008

-Mott, Robert L.

-Mecánica de Fluidos Ed. Pearson, 6a Edición

43