Hidraulica de Tuberias [Juan G. Saldarriaga].pdf

illDRÁULICA DE TUBERÍAS

Juan G. Saldarriaga V. Profesor de ingenieríe hidráuiíca Universídad de los Andes

Revisión técnica

Germán R. Santos G. Profesor tituiar Escuela Colombiana de ingeniería

Santafé de Bogotá. Buenos Aires. Caracas· Guatemala· Lisboa· Madrid· México Nueva York· Panamá· San Juan· Santiago de Chile· sao Paulo Auckland • Hamburgo " Londres· Milán· Montreal • Nueva Delhi " París San Francísco " San Luís" Singapur • Sidney • Tokio· Taranta

Hidráulica de tuberías

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS. Copyright © 1998, por JUAN G. SALDARRIAGA V DERECHOS RESERVADOS. Copyright © 1998, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S A Avenida de las Américas, 46-41. Santafé de Bogotá, D. C., Colombia

Editora: Emma Ariza H.

1234567890

9012345678

ISBN: 958-600-831-2

Impreso en Colombia

Prlnted in Colombia

Se imprimieron 1AOO ejemplares en el mes de mayo de 2001 Impreso en Panamericana Formas e Impresos S.A.

A Carolina, Juliana y Alejandro quienes dan sentido a mi vida.

PREFACIO

Hidráulica de tuberías es el resultado de varios años de trabajo de investigación y docencia en el área de hidráulica de tuberías y sistemas de irrigación en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes. A pesar de que en la bibliografía técnica existente se encuentran excelentes textos de hidráulica, mecánica de fluidos, maquinaria hidráulica e incluso textos en hidráulica de tuberías, faltaba un libro que cubriera todos los aspectos del flujo en tuberías. El presente texto es un esfuerzo para suplir ese vaCÍo. Se caracteriza por estar centrado en el diseño de sistemas de tuberías, más que en los métodos de construcción, mantenimiento y operación de dichos sistemas. Para lograr su objetivo introduce una serie de algoritmos, diagramas de flujo y programas, en los disquetes adjuntos, los cuales penniten el diseño de todos los subsistemas de tuberías que pueden fonnar parte de un sistema mayor. También incluye comentarios de programas existentes en el mercado destinados al diseño de redes de tuberías para la distribución de agua potable. Con el fin de ayudar a entender el proceso de diseño, cada capítulo va acompañado de una serie de ejemplos resueltos y de una serie de problemas plameados. Igualmente, al final de cada capítulo se presenta la bibliografía utilizada, que puede ser consultada por el lector con el objeto de complementar algunos detalles de lateoría. Otra de las características de Hidráulica de tuberías es que abarca tcmas que usualmente se trataban en textos diferentes a pesar de estar muy relacionados. El libro contiene los temas de tuberías simples, sistemas de tuberías, sistemas de bombeo, sistemas de distribución de agua potable o acueductos y, finalmente, sistemas de riego convencionales y localizados de alta frecuencia. Está dividido en ocho capítulos. El capítulo 1 se dedica a establecer las teorías sobre las cuales se basa todo el diseño de sistemas de tuberías con flujo a presión. Es un capítulo que describe en foona detallada el desarrolJt) histórico del actual conocimiento del flujo turbulento en tuberías. Parte de los trabajos de Newton y Darcy y finaliza con los de PrandtI, Van Kánnán, Nikuradse, Colebrook y White. Establece en forma cIara las teorías de cantidad de movimiento, de flujo viscoso, de análisis dimensional, de longitud de mezcla y de interacción fluido-pared sólida que han permitido entender el flujo turbulento en tuberias y que permanecen como uno de los pocos casos de flujo turbulento con ecuaciones de diseño completamente desarrolladas y probadas en la práctica. Al final del capítulo aparece una tabla de resumen de estas ecuaciones. A pesar de que es un capítulo básico para entender el flujo en tuberías a presión, su lectura puede ser dejada de lado por el lector que no desee conocer en detalle la procedencia de las ecuaciones de diseño. El capítulo 2 está dedicado al diseño de tuberías simples, es decir aquellas tuberías con diámetro y material constante, que son la base para el diseño de los sistemas más complejos. En él se establecen los tres tipos de problemas de tuberías a los que se ve enfrentado el diseñador de tuberías y se describen las forma'> de solución. Esto lleva a la presentación de los cinco primeros diagramas de Hujo y a los cinco primeros programas, los cuales serán la base de los programas que se presentan en los demás capítulos. El texto remite a los programas mediante el ícono de un disquete identificado con un número de programa. En los disquetes que acompañan el libro se encuentra un ícono que identifica los 14 programas complementarios al texto. Haciendo doble clic con el ratón sobre el ícono seleccionado, el lector podrá utilizar cualquiera de los programas. El capítulo 3 presenta las ecuaciones y metodologías alternas para el diseño de tuberías simples. Las teorías de longitud de mezcla y de interacción fluido-pared sólida de Prandtl llevaron a ecuaciones no explícitas de diseño. Este problema fomentó el planteamiento de ecuaciones netamente empíricas para el diseño de sistemas de tuberías, algunas tratando de seguir unidas a la ecuación de Darcy-Weisbach y otras siguiendo un camino completamente diferente. Algunas de estas ecuaciones alcanzaron un éxito importante en la práctica de la ingeniería y siguen siendo utilizadas en el presente. Entre las ecuaciones de este tipo se

VI

HIDRÁULICA DE rUBERíAS

destacan las de Moody, Wood, Barr y Hazen-Williams, las tres primeras siguen la metodología de Darcy y la última es completamente independiente. El capítulo 3 presenta estas ecuaciones, con ejemplos para los tres tipos de problemas de diseño de tuberías antes descritos. Al final del capítulo se hace una comparación entre las ecuaciones de Hazen-Williams y de Darcy-Weisbach en conjunto con la de Colebrook-White. A partir del capítulo 4 se inicia el análisis de sistemas complejos de tuberías. Sin embargo, las soluciones a problemas de diseño en estos sistemas se basLm en los cinco algoritmos planteados en el capítulo 2. El capítulo 4 aborda el problema de operar sistemas de tuberías con bombas. Se establece en detalle el efecto que una bomba tiene sobre la línea de gradiente hidráulico del flujo en una tubería y se introducen los conceptos de curva de la bomba y curva del sistema. Luego de introducir los conceptos básicos de la operación de bombas se desarrolla la metodología de diseño de ésta, la cual queda incluida en el diagrama de tlujo 6 y en el programa 6. El capítulo 5 establece las metodologías de diseño de tuberías en serie y de tuberías en paralelo. La primera parte del capítulo se relaciona con el diseño de sistemas en serie; nuevamente se establecen las metodologías para resolver los tres tipos de problemas del diseño de sistemas de tuberías, las cuales quedan resueltas en tres diagramas de flujo con sus correspondientes programas. En esta parte del capítulo se introducen los diagramas de flujo 7, 8 Y 9 Y sus programas. Al final de esta primera parte se estudian los tubos porosos, caso particular de los tubos en serie, utilizados en los sistemas de riego que se estudian en el capítulo 8, La segunda parte del capítulo 5 analiza el caso de las tuberías en paralelo. Los diagramas de-flujo 10, 11 Y 12 Y sus conespondientes programas contienen las metodologías de solución de los tres tipos de problemas para el caso de sistemas en paralelo. Los capítulos 6 y 7 se dedican al análisis de redes de tuberías. El primero de éstos desarrolla el caso de las redes abiertas o sistemas de redes matrices en sistemas de acueductos, aquellas tuberías expresas que interconect,m los diferentes tanques del sistema. Para el análisis de este tipo de redes se introduce el concepto de balance de cantidad en un nodo y luego se procede a establecer las metodologías de diseño de los tres tipos de problemas en el caso de las redes abiertas. Se desarrollan los diagramas de flujo 13 y 14 Y sus correspondientes programas. Estos 14 programas fueron desarrollados como parte integral del texto Hidráulica detuberías. Tal como se estableció anteriormente, los archivos ejecutables se encuentran incluidos en los disquetes adjuntos. Todos los programas fueron desarrollados en lenguaje TURBO PASCAL para WINDOWS y pueden correr en un computador pe compatible con procesador 80486 o superior y con una memoria RAM de por lo menos 8 megabytes. El capítulo 7 está relacionado con las redes cerradas de tuberías, es decir aquellas redes que contienen al menos un circuito cerrado y que conforman los sistemas típicos de distribución de agua potable en los centros urbanos. En el capítulo se describen en detalle las diferentes metodologías para resolver problemas de diseño de redes cerradas partiendo de las más antiguas, tales como la de Hardy-Cross hasta las más modernas como la del gradiente. Se muestra cómo las metodologías existentes se desarrollaron únicamente para el primer tipo de problema de tuberías, la comprobación del diseño. Se hace una corta descripción, sacada de INTERNET, de algunos de los principales programas comerciales: KYPIPE 3, CYBERNET, WATERCAD y EPANET. La última parte del capítulo se dedica a describir metodologías para atacar el tercer tipo de problemas, el diseño en sí de las redes, a través de rutinas de optimización de costos de tuberías. Se introducen los criterios de diseño de redes cerradas de Wu y de Featherstone y se describe el programa REDES. desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, el cual pennite el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable. Una versión académica de este programa, limitada a redes de máximo 30 tubos, se encuentra en los disquetes que vienen con el libro.

PI 5000) la variación log(llp/0 vs.log(v) volvía a ser aproximadamente lineal con pendientes desde 1.75, para tubos muy lisos, hasta 2.0 para tubos muy rugosos. La zona de transición se obtenía para 2200 ~ Re ~ 5000. En ésta la variación log(D.p/~ vs, log(v) era muy compleja, log Ap f

4

LAMINAR

TRANSICION

TURBULENTO

'og v

Figura 1.7 Gráfica logarítmica de los resultados del segundo experimento de Reynolds.

El trabajo de Reynolds llegó hasta este punto, Se estableció que los fluidos se "hacían más viscosos" cuando pasaban de flujo laminar a flujo turbulento. invalidando la ley de viscosidad de Newton [~ = ¡.

Imprimir Pot

1

@

Diagrama de flujo .3 Cálculo de potencia en tuberías simples.

Diseño de tuberías simples El proceso de diseño es bastante simple porque la ecuación 2.3 es explícita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el diagrama de flujo 4. Este diagrama de nujo puede utilizarse tanto para tubeIias de diámetros comerciales como para tuberias de acero (diámetro a la medida). Es importante tener en cuenta q~e. en el momento de programar este procedimiento debe existir una homogeneidad dimensional: si se utIliza el sistema internacional, por ejemplo, tanto el diámetro de la tubería como su rugosidad absoluta y su longitud deben estar expresados en metros. Esta aclaración es válida para todos los diagramas de flujo anteriores.

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

92

Es necesario aclarar que para que el proceso de diseño converja se deben tener en cuenta dos restricciones

importantes: El primer diámetro supuesto tiene que ser menor que el diámetro final del diseño. Se sugiere empezar siempre con un diámetro muy pequeño, lo cual implica un mayor número de iteraciones, pero a; el caudal que pasa por esta tubería es de 138.5 l/s, ligeramente superior aJ caudal requerido en este diseño.

Ejemplo 2.4 Suponiendo que la planta de tratamiento de Ubaté se localiza a s610 15 m del río Suta, sitio de descarga, la tubería tendría un total de 17 m de longitud. Si las uniones fueran roscadas. las pérdidas menores serian: entrada (km = 0.5),

un codo (km = 0.8), uniones (km = 4 X 0.5) Ysalida (km = 10). Calcular el diámetro de la tubería comercial eriPVC requerida para la descarga.

Los datos del problema son:

I k,

=

17 m 0.00015 m

DISEÑO DE TUBERíAS SIMPLES

95

0.12m3/s 2.2 ~

1

0.5

4.3

1.17 X

la metodología de

la ecuación de Colebrook-

el diagrama de flujo utilizado en el ejemplo anterior, se obtienen los siguientes resultados:

h¡

d

V

a

a", ad

L hm

(m)

(pulgadas)

(m/s)

(m'/s)

(Sí/No)

(m)

2.2

4

3.394

0.0275

2.2

6

4.388

0.0800

2.2

8

5.255

1704

No +----

No

Sí

605

1-3.85 I:~t~~~': ItIS f"'"lid,,. ITlenor-"''->-

~

diam. c6mercial

Prog.5

I

Imprimir d1t1

¡

~

I

r.::l'1

L_p_é_r_d_id~a~s~m~e_n_o_r_es~-~ altas

S

Ih" - h,

Igclecta d

~

-1

r~ n. I V;--4>1

?

diam. comercial

Imprimir d

~~

No ?

v, < v,

Sí

::>-----,

No

Suponer d ~pequeño"

Diagrama de flujo 5 Diseño de tuberías simples con altas pérdidas menores.

DiSENO DE TUBERíAS SIMPLES

h,

d

V

a

(m)

(pulgadas)

(mis)

(m'/s)

2.2

4

3.394

0.0275

2.2

6

4.388

0.0800

2.2

8

5.255

0.1704

0.5

8

2.477

0.0803

0.5

10

2.85

0.1444

0.48

8

2.426

0.0787

0.48

10

2791

0.1414

0.49

8

2.451

0.0795

0.49

10

2.82

0.1429

0.483

8

2.434

0.0789

0.483

10

2.799

01419

a~

99

a

d

(Sí/No)

No No Sí No Sí No Sí No Sí No Sí

L hm

Vp

(m)

(mis) 3.168 3.168

6.05

3.168

1.344

2785

178

2.785

1.289

2.8014

1.707

2.8014

1.317

27933

1.744

2.7933

1297

2799

1718

2799

En la última iteración se tiene:

v, 2799

Vp

mis

2799

mis

d

10 pulgadas

h,

0.483 m

2:hm

1.718 m

H H

+ 2: hm 0.483 m +

H

2.201 m = 2.20 m

h,

1.718 m

La última igualdad.significa.que de los 2.2 ID de cabeza disponible, 0.483 mse están gastando por fricción y 1.718 ID se gastan en las pérdidas menores. Es daro que en este caso esas pérdidas menores son más importantes que las de fricción.

los diagramas de flujo 4 y 5, los errores de aproximación E (error de aproximación para la cabeza y Ev (para la velocidad) deben ser definidos por el diseñador, Cuanto más pequeños sean éstos, exactos serán los resultados finales pero más iteraciones requerirá el proceso de cálculo. Se sugiere un

HIDRÁULICA DE TUBERIAS

100

valor de 1 cm para E y de lcm/s para Ev. Igualmente, los valores de i1d (incremento en el diámetro para tuberías no comerciales) y de tlh (corrección en la cabeza de fricción supuesta) deben ser dados por el diseñador. Los valores sugeridos son:

ad

= 5 mm y

ah =

5 cm.

El siguiente ejemplo muestra el efecto de la rugosidad absoluta de la tubería sobre el diámetro de diseño. Como se verá, sus resultados implican que siempre que sea económicamente posible se deben utilizar las tuberías más lisas que se encuent.ren en el mercado.

Ejemplo 2.5 De acuerdo con el diseño agronómico de un sistema de riego localizado

de alta frecuencia, para un cultivo de mango es necesario transportar un caudal de 60 lis entre la bocatoma, sobre una quebX:ida cercana a la finca, y la estación de ferthTÍgacíón.Con ~l fin de que el agua sea movida por gravedad, la bocatoma se localiza &90 m aguas arriba de la estación generándose de esta fomla una diferencia de niveles de 15.2 m entre estos dos puntos. ¿Qué diámetros en PVC yen hierro galvanizado se requieren? l.-as rugosidades absolutas de éstos son: 0.0015 mm y 0.15 mm. respectivamente. La viscosidad cinemática del aguaés 1.14 X 10~6 m 2/s. Para ambos casos, el coeficiente global de pérdidas IUenoreE es 11.9. Diseño en PVC: Los diámetros disponibles comercialmente para est.e material son:

dnominal (")

dreal

3

80.42

4

103.42

6

152.22

8

198.48

10

247.09

12

293m

(mm)

Con la mctodolog(a expuesta en este capítulo y el diagrama de flujo 4 se obtiene la siguiente tabla de resultados:

DISEÑO DE TUBERIAS SIMPLES

101

h,

dreal

V

Q

Q,;; Qd

L hm

(111)

(m)

(m/s)

(1113($)

(sí/no)

(m)

15.2

0.08042

1.19967566 0.00609371

no

0.87292243

15.2

0.10342

1.42097041 0.01193669

1.22466703

15.2

0.15222

183659054 0.03342302

no no

2.04584462

152

0.19848

2.18535429 0.06761534

si

2.89662096 ,

12.3034

0.19848

1.945542

sí

2.29577425

12.9042258

0.19848

1.99724209 0.06179511

si

2.41940948

12.7805905

0.19848

1.9866947

0.06148877

sí

2.39392326

12.8060767

019848

1.98887274 0.06153616

si

239917511

12.8008249

0.19848

1.98842408 0.06152228

sí

23980928

00601955

12.8019072

0.19848

1.98851654 0.06152514

sí

2.39831584

12.8016842

0.19848

1.98849749 0.06152455

si

2.39826988

12.8017301

0.19848

1.98850142 0.06152467

sí

2.39827935

Losanteri(}J·e~n~sultados índicanque~ne19lsodel

PVC es necesario

col()(::i1" una tUberíli d~ 8 pulgadas de difÍll19tro nominaL

•

piséño en hierro galvanizado: si se utilizan lOs Busmos diámetros de a de este problema, y se· sigue nuevamente el se obtienen los siguientes resultados;

PVC, dados en la

(~). 1st 15.2 15.2 » 15-2 15.2 12.4653835

012 QConOA.

Ir~'$'

12.892736 12.8896231 12.8901947 12.8900898

dreal

V

Q

Q,;; Qd

L hm

(m)

(m/s)

.(m 3/s)

(sI/no)

(m)

0.08042 0.10342 0.15222 O19848 0.24709 0.24709 0-24709 0-24709 0.24709 0-24709 0.24709 024709

1.03160922 1.21638615 1.56126187 1.84895052 2.12336294 1.91829283 1.95755584 1.9504044 1.95171967 1.9514782 1.95152254 1.9515144

0.00524002 0.01021811 0.02841248 0.05720693 010181797 0.0919846 0.09386731 0.09352439 0.09358746 0.09357588 009357801 009357762

no no no no

0.64547346 0.89740998 1.47842556 2.07347372 2.73461646 2.23191558 2.32421488 2.30726401 2.31037692 2.30980525 2.30991024 230989096

si sí si si sí si si si

HIDRÁULICA DE TUBERIAS

102

En este caso es necesario utilizar un diámetro de 10 pulgadas. El caudal máximo es de 93.58 lis, bastante superior al demandado. Sin embargo, por no existir un diámetro comercial entre 8 y 10 pulgadas, el diseño con hierro galvanizado resultaría aquí antiecon6mico.

El ejemplo anterior muestra el efecto de la rugosidad en los diseños de tuberías. Cuanto menor sea la

rugosidad de la pared interna de la.." tuberías, menores serán los diámetros resultantes de procesos de diseño. Esta relación no se aplica en todos los casos (por eso se habla de una tendencia) debido a los valores discretos de los diámetros de tubedas comercialmente disponibles.

En el ejemplo 2.6 se muestra un caso que combina varios de los algoritmos presentados en este capítulo.

Ejemplo 2.6

Se desea diseñar una tnberia para mover agua a 2l'C (v = 0.988 X 10'¡¡ m'js) a través de una longitud de 365 m, con una diferencia de cabeza favorable de 33.2 m. Si el materíal que se debe ntilizar es PVC (k, = 0.0000015 m) y se puede suponer un coeficiente global de pérdidas de 7.4, ¿cuáles el diámetro requerido para mover un caudal de 270 lis? En caso de que se requiera uua válvula al final de la tubería, ¿cuál debe ser el coeficiente de pérdidas menOfe,s que,de,b~"Pro~uc~X?,ªn c~o de que posteriormente se quiera duplicar el caudal en esta tubería, ¿cuál es la potencia de la bomba que debería colocar&'e si se elimip.:ala válvula antes colocada? Utilice ecuación de Darcy-Weisbacn para su análisis, conjuntameu}e con 1,3 eéu~cióri (fe Colebrook-White.

la

• Diseño original: Los datos del problema son:

H

=

33.2 m

k,

=

0.0000015 m

v

=

1.14 X 10-6 m'js

Q

=

270 l/s

=

365m

;¡; km

7.4

Con estos datos, y siguiendo el diagrama de flujo 4, el resultado del diseño es: .

W

. '

. . " .

•

DISEÑO DE TUBERíAS SIMPLES

v

103

hm

Q

9,84E-06 4,6025

7,9897

0,0839

0,2032

7,38E-06 5,5347

11,5539

0,1794

0.254

5,91E-06 6,3783

1.5345

0,3231

0.254

591E-06 4.5547

7.8244

0.2307

0.254

5.91E-06 5.5132

11.4643

0.2793

0.254

5.91E-06 5.0686

9.6898

0.2568

d

J

h,

0,1524

kjd

0.254

5.91E

5.2893

10.5522

0.268

0.254

5.9

5.1831

10,1324

0.2626

0,3048

4,92E-06 7.157

19,3198

0.5222

0.3048

365

4.92E-06 4.4611

7.5063

0.3255

0.3048

365

4.92E-06 6.2304

14.6409

0.4546

0.3048

365

4.92E-06 5.2233

10.2905

0.3611 0.4272

18.559

0.3048

365

22.9094 4.92E-06 5.8551

12.9304

0.3048

365

20.2695 4.92E-06 5.4792

11,3233

0.3997

0.3048

365

21.8766 4.92E-06 5.7106

12.2998

0.4166

0.3048

365

20.9001

11.7057

0.4064

0.3048

365

21.4942 4.92E-06 5.6562

12.0669

0.4127

0.3048

365

21.133

4.92E-06 5.6045

11.8472

004089

0.3048

365

21.3527 4.92E-06 5.636

11.9808

0.4112

0.3048

365

21.2191

11.8996

0.4098

0.3048

365

21.3003 4.92E-06 5,6285

11.949

004106

4.92E-06 5.571

4.92E-06 5.6169

. za a mover 262 lis. Por consiguiente, se debe tubería de 10" 12", Sin embargo, como el caudal que se puede una tU 10 lis) es superior al caudal demandado, es necesario colocar una

caso, los datos del problema son;

.2m 1.14 X 10-6 mZfs

ks

=

0,0000015 m

Q

=

270 l/s

I

365 m

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

104

la

0.02

d

Q

(m)

(pulg)

(m'/s)

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01087521

12

0.27

1141568.5

0.01155533

0.01097521

f

0.01155533

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150328

0.01150328

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150783

0.01150783

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150743

0.01150743

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150746

12

0.27

1V"~Q <

0.01150746

0.01150746

12

0.27

1141568.5

0.01150746

f = Las pérdidas

DISEÑO DE TUBERfAS SIMPLES

105

el coeficiente global de pérdidas menores·es: 2

2: h

m

=};

k

m

..'::-

29

O' 4'

Luego,

t 2

911"2

d4 }; hm

16 2 X

=

62

9.81

X 23.59

X

3380

Finalmente, el coeficiente de la válvula es;

=

Cálculo

26.40

la potencia de Ja bomba

du¡,liC'lrel caudal:

m

m literal ant"rior se emnma.

rugoS¡.aaú relati va

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

106

k.

d

Q

(m)

(pul)

(m"ls)

0.0000015 0.0000015

12

0.54

2283136.99 0.00983886

12 12 12

0.54 0.54 0.54

2283136.99 0.01038641 2283136.99 0.01034216 2283136.99 0.01034563

12 12 12 12

0.54 0.54 0.54 0.54

2283136.99 0.01034536 2283136.99 0.01034538 2283138.99 0.01034538

f

0.02 0.00983886

0.01038641 0.0000015 0.01034216 0.0000015 0.01034563 0.0000015 0.01034536 0.01034538 0.01034538

0.0000015 0.0000015 0.0000015

Re

f

2283138.99 0.01034538

Por consiguiente, el factor de friccion es:

f

=

0.0103

y las pérdidas por fricción son:

I Q' h=f ' ~= 8 f , - , , d 29 d g1T 365 0.54 (0.3048)5 9.81 X 1T'

' = 8 X 0.0103 ~~-c --=O~7

=

34.43 m

Por último, se calcula la cabeza producida por la bomba y su potencia:

32.2

+ Ha

= 34.43

+ 7.4

0 2 42 2 g1T2 d4

He = 34.43 m + 20.66 m - 33,2 m = 21.89m

Pot= pOgH = 1000 kglm' X 0.54 m'ls X 9.81 mis' X 21.89 m = 116 kW

DISENO DE TUBERíAS SIMPLES

107

~:~~~)~:':~:::e~

pu(l1(l1:I'ay~stlf.u~rí0'.~~. d~~cle(;()lo(;~d()sttlberías . ell para1~lo a la existente. Las tres tuberías están elaboradas en acero (k, = O.046 mm). La que existía originalmente tiene una longitud de 278 ro, un diámetro de 18 pulgadas y un coeficiente de pérdidas menores de 7.7. Las dos tuberías nuevas tienen una longitud de 312 ro, un diámetro de 12 pulgadas y un

235

HIDllÁUUCA DE TUBERíAS

236 I-~~

-----------

-~~---------~--~~-

coeficiente global de pérdidas menores de 9.4. La presión en el nodo de aguas arriba es de 875 kPa y el caudal total es de 460 l/s. Las características físicas del crudo que circula por la tubería son: ~ensidad p =

860 kglm3 y viscosidad ¡.L= 7.19 x 10-3 Pa.s. Calcular el caudal que pasa por cada tubería y la pérdida de cabeza. Con los datos del problema se hacen los cálculos iniciales:

=!!é= p

x 10" m 0.4572 m

.c:::=--:-:..::e-", = 1006

d,

-=-:7':"::--= La cabeza en

nodo inicial es:

x 10""'

= 1509 x 1()'

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALELO

237

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

238

v,

1.663 mIs

=

Por consiguiente, las pérdídas a lolargo de la primera tubeifa son:

H= R

(/,

1, + 2: k",,)

d,

2g

278 + 7.7) 1,663' m 18 x 0.0254 2 x 9.81

H = (0.01885 X R

Cálculo del caudal a través de las dos toberías nuevas: Si se sigue el diagrama de flujo 1 se obtiene el siguiente caudal para las tuberías nuevas (Ver tabla 5.6):

H (m)

lil

I rJ

k/d

h,,

v

hm

Q

H

(m)

(mis)

(m)

(m'/s)

1.5763

1.191

0.11502

2.7

0.0001509

2.7

2.7

0.0001509

1.5095

0.OB320

2.7

0.0001509

2.07714

0.09941

2.7

0.0001509

1.81067

0.09209

2.7

0.0001509

1.93686

0.09561

2.7

0.0001509

1.87732

0.09396

2.7

0.0001509

1.90546

0.09475

2.7

0.0001509

1.89217

0.09438

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERfAS EN PARALELO

239

o; = 273 lis + 2 x 94.50 l/s 0'= T calculado resultó ser muy similar al caudal total

una sola iteración no es sorprendente debido p1'imera' íteracÍón se baSÓ' un

en

HIDRÁULICA DE rUBERIAS

240

criterio muy fuerte (ecuación 5.28), resultado de entender bien la ecuación de Darcy-Weisbach y a que las tres tuberías están elaboradas con el mismo material y tienen diámetros relativamente similares (lo cual implica factores de fricción muy parecidos). Pero aun en casos en que las tuberías estuvieran hechas de materiales muy diferentes y que tuvieran diámetros también muy diferentes, el proceso descrito, utilizando la ecuación 5.28, garantiza una convergencia en máximo 3 iteraciones. Finalmente, los resultados del ejemplo son:

0,

= 273

l/s

0, = 94.5 lis 03 = 94.5 lis La presión en el nodo final es:

Héf= 103.71 m - 2.70 m '0

=

101.01 m

x 9.81 m x 10101 m

s'

I

p,!)= 852.2 kPa

I

r.:::1l.C-1. Diseño de tuberías en paralelo laId Prog, 11

En la práctica de la ingeniería no es usual diseñar sistemas de tuberías en paralelo, debido a su ineficiencia a nivel hidráulico y económico (para una misma área mojada dos tuberías tienen un perímetro mojado 41.42% mayor que el perímetro mojado de una sola tubería). Este caso sólo se justifica en aquellos diseños que resulten en un diámetro supetior al disponible comercialmente en el sitio de la obra. De ser así se diseña cada una de las tuberías como tubos simples con la mitad del caudal demandado. Lo que se podría interpretar como el diseño de tuberias en paralelo es la ampliación de una tubería existente, situación bastante común en los sistemas de distribución de agua potable. y en menor escala los sistemas de ricgo localizado dc alta frecuencia, debido a los aumentos en la demanda. por tanto, diseño se limita a un conjunto de dos tuberías únicamente: una conocida yotra por diseñar, lo cual

TUBERIAS EN SERIE YTUBERIAS EN PARALELO

241

que una de las dos tuberías en paralelo existe, de modo que se conoce un diámetro y la cabeza en el nodo inicial. Se conocen otras variables como las dos longitudes, las dos rugosidades relativas o coeficientes de Hazen-Williams, los dos coeficientes globales de pérdidas menores, las características del fluido (densidad y viscosidad) y el caudal final deseado. Las incógnitas del proceso de diseño son el diámetro de la nueva tubería y la cabeza en el nodo final. Esta última es diferente a la que tenía la tubería original debido a que la presencia de la nueva tubería afecta la hidráulica de aquélla. El diseño de tuberias en paralelo se basa en los diagramas de flujo 1 a 4 desarrollados en el capítulo 2 de este texto, así como en las ecuaciones 5.23. 5.24, 5.28 Y5.29.

El proceso de diseño se inicia suponiendo que la cabeza del nodo final pennanece constante, lo cual permite, junto con el caudal que se desea aumentar, diseñar la nueva tubería. Debido a que ésta debe tener un diámetro comercialmente disponible es muy probable que deje pasar un caudal superior al deseado. Este hecho implica, una vez se tenga un caudal igual al deseado, que la presión en el nodo final aumente, 'afectando el caudal en la tubería existente; se incumple así la ecuación de conservación de la masa. De ahí en adelante el proceso es igual al de comprobación de diseño para tubelÍas en paralelo. En el proceso que se explica a continuación el subíndice 1 se refiere a la tubería nueva y el subíndice 2 a la tubería existente. El caudal demandado se representa como Q o' el cual debe ser superior al caudal inicial de la tubería existente. El diagrama de flujo 12 y el ejemplo 5.7 ilustran el diseño de este sistema de tuberías.

~ I D, -

D, - D,

•

I

Disellar la tuberla t siguiendo el diagrama de !1ujo 4

Calcular Q, utilizando la ecuación 5.28

Calcular la polencia requerida para ia tuberia 1 sigu'lendo el diagrama de íiujo 3 ¡ . - - - -

IH

R -

PoUp D, 9

•

I

o la metodología de Hazen~WiJliams del ejemplo 3.4, .... O \a metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.3,

®lB

I-IIDI,ÁUlICA DE roBERíAS

242

Calcular Q" siguiendo el diagrama de flujo 1

No

0,

~ 0, 0: (529) 0,

* O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.4.

Diagrama defltlljo 12 Diseño de tuberías en paralelo.

Ejemplo 5.7 (Este ejemplo se basa en la tubería diseñada en el ejemplo 2.3 del capítulo 2)

En la planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubaté, la tubería de descarga al río Suta tiene un diámetro de 12 pulgadas, está elaborada en hierro galvanizado (ks = 0.15 mm), tiene una longitud de ISO m y un coeficiente de pérdidas menores de 3.3. La cabeza en el nodo de entrada es de 2.7 m y la de! nodo de salida es 0;5 m. Bajo estas condiciones el caudal máximo que puede fluir por la tubería es de 138.51/5. Por razones de crecimiento de la industria lechera del municipio, el caudal total que debe ser tratado aumenta a 224.2 Us. ¿Qué diámetro deberá tener una tubería

TUBERIAS EN SERIE YTUBERIAS EN PARALELO

243

paralela a la primera si el material es PVC? ¿Cuál es la nueva presión en el nodo de salida? La longitud y el coeficiente global de pérdidas menores de la nueva tuberia son ignales a los de la tuberia existente. La temperatura media del agua es de 14 'C. Para el agna a 14 oC se tiene que: p=

1.17X 1O-6 m'/s

Si se sigue el diagrama de flujo 12 se obtienen los resultados mostrados a continuación:

Caudal por la tubería uueva:

0, = 0D- 0, 0,

= 224.2 lis -

138.5 lis

lO, = 85.7 l/s 1 Diseño de la nueva tubería: Mediante el diagrama de flujo 4 se obtiene el signiente diámetro para la nueva tubería (Ver tabla 5.7):

h,

dreal

v

Q

Q~Qd

1.hm

(m)

(m)

(mis)

(m3/s)

(si/no)

(m)

2.2

0.1016

1.28646

0.01043

no

0.2784

2.2

0.1524

1.68527

0.03074

no

0.4777

2.2

0.2032

2.03571

0.06602

no

0.6970

2.2

0.254

2.35369

0.11926

si

0.9318

1.268

0.254

1.73949

0.08814

si

0.5089

1.691

0.254

2.03740

0.10324

sí

0.6982

244

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

__·_ _· -

I-------~~_·_·~-_··_--~·

I I

.

O

O", O.

:2.hm

(mis)

(m 3/s)

(sí/no)

(m)

0.254

1.90886

0.09672

sí

0.6129

1.587

0.254

1.96767

0.09970

sí

0.6512

1.549

0.254

1.94142

0.09837

sí

0.6339

1.566

0.254

1.95327

0.09897

sí

0.6417

1.558

0.254

1.94795

0.09870

sí

0.6382

1.562

0.254

1.95035

0.09883

sí

0.6398

1.56

0.254

1.94927

0.09877

sí

0.6391

1.561

0.254

1.94975

0.09880

sí

0.6394

1.561

0.254

1.94954

0.09878

sí

0.6393

h,

dreal

(m)

(m)

1.502

,

V

:

Tabla 5"7 Resultados del diseño de la nueva tubería en PVC.

De acuerdo con la tabla 5.7 el diámetro de la nueva tubería en PVC es:

di = 0.254 m

Id, = 10pulg I Cálculo del nuevo O,: (5.28)

Si se tiene en cuenta que las longitudes de las dos tuberías son iguales se llega a:

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALELO

11"

Re,

X (10 X 0.0254) X 117 X 10-'

= 372700

y la rugosidad relativa es:

=

k., d,

0.0000015 10 X 0.0254

k

;', = 5.91 X 10-'

Con estos dos valores se calcula el factor de fricción mediante el diagrama de flujo 2:

f, = 0.0140 La velocidad en la tubería les:

v = Q, , A,

0.08699m'ls

=

; (10

v, = 1.717 mis

X

0.0254) m'

245

HIDRÁULICA DE lUBERíAS

246

Por consiguiente, las pérdidas a lo largo de la ptimera tubería son:

HR~hl+h 1

H R

m1

~ (0.0140

150 10 X 0.0254

+ 3.3)

1.717'

2 x 9.81

m

Cálculo del caudal a través de la tubería existente: Utilizando el diagrama de flujo 1 se obtiene el siguiente caudal para la tubería antigua (Ver tabla 5.8): H

k/d

h,I

v

Hm

Q

(m)

H

(mis)

(m)

(m'ls)

1.738

000049213

1.738

1.9850

066276

0.144841

1.738

0.00049213

1.07524

1.5511

0.40467

0.113178

(m)

1.738

000049213

133333

1.7326

0.50492

0.126423

1738

000049213

1.23308

1.6644

046593

0.121444

1.738

0.00049213

1.27207

1.6912

048109

0123403

1.738

0.00049213

1.25891

1.6809

0.4752

0.122645

1.738

0.00049213

1.2628

1.6849

047749

0.12294

1.738

0.00049213

1.26051

1.6833

04766

0.122826

1.738

0.00049213

1.2614

1.6839

047695

0.12287

1738

0.00049213

1.26105

1.6837

0.47681

0.122853

1.738

000049213

1.26119

1.8838

0.47686

0.12286

1.738

0.00049213

1.26114

16838

047684

O 122857

1.738

0.00049213

1.26116

1.6838

047685

0.122858

1.738

000049213

1.26115

1.6838

047685

O 122858

Tabla 5.8 Resultado del caudal para la tubería existente.

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PAllAlELO

total seglmdal ileracié,n, CI"Yos resulItados son:

mis

247

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

248

PROBLEMAS

Para todos los problemasde es~ capítulo se puedesuponer qrietos diárrtetroS reales son iguales a los nominaJes comerciales. del~s tuberías. La base .de diámetros es: 2, 2'1" 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 6Q Y72 pulgadas. A no ser que s~ específiqueunfluídodiferente,se debe trabajar con agua a 15"C, con las siguientes características:

999.1 kg/m 3

p

1.14 X

=

10~3

1.141 X

Pa.s

10~6

m'/s

5.1

Resuelva el ejemplá5. lteniendo encue?tagueno existen caudales laterales en las uni?ne~?e la seriedec~at~o. tuberías. C0nlpare el caudal final con el de dicho ejemplo. ¿Qué conclusión puede extraerse?

5.2

Una bomba transllÚte una cabeza total de 47 ID al flujo de agua en una serie de tres tuberías, tal como se muestra eIlla figura P5.2. Las tres tuberías están elaboradas enPVC (k, = 1.5 X 10~6 m). ¿Cnál es el caudal que l1~ga al tanque ubicadoaguas abajo? ¿Cómo varía éste si se sUSpencl¡;~ls~guIlcl()c;atl;215

i}s

/>---1-::;¡;t:~COia27 314 lis

94 ifs

Figura P6.14

6.15 Resuelva el problema anterior teniendo en cuenta que el material de todas las tuberías cambia a PVC ¿Cuál es el efecto sobre los diámetros de é3tas y sobre las cabezas piezométricas en cada una de las uniones? 6.16 Resuelva el ejemplo 6.3 teniendo en cuenta que el material de las tuberías es PVC (k" "'" 0,00'15 mm) y que se mantienen los mjsmos coeficientes globales de pérdidas menores. 6.17 Resuelva el ejemplo 6.3 para una bomba que produzca una cabeza de 90 m. Compare los resultados que se obtengan con los encontrados en dicho ejemplo para las tres bombas considerad.as. 6.18 Diseñe la red mostrada en la figura P6.l8. La bomba B 1 produce una cabeza de 35 m y la bomba B2 produce una cabeza de 70 m.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES ABIERTAS

291

Todas las tuberias deben ser de hierro galvanizado (k = 0.15 mm).

E~ l~ .•~ts~~~~)iry?if~n:lo~ c~ll~~e~. ~~i11an-6

-0.05036

6-1

-0.09036

(mlm'/s)

7.42255

67.8979

0.02002

4.47563

369,8637

0.01708

6.19715

123.0624

0.01607

...3,07615

34.04415

¡

2.6249

594.6582

Al utilizar la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal: ~Q =

Circuito

Tubaria

-0.002207 m3js

Caudal

h,+ ¡hm (h, + ¡ h,,)IC

f

(m'/s) 2

(m)

(mlm'/s)

2-3

0.03754

0.01771

12.19377

324,8108

2-5

-0,00989

0.02048

...3,06059

309,3373

3-4

0.00246

0,02551

~0.23546

95.7577

5-4

-0.03246

0.01795

...7,60129

234,1823

¡

1,2964

964.0881

HIDRÁULICA DE TUBERrAS

312

Mediante la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

ilO = -0.000672 m 3/s Cuarto ciclo Circuito

Tubería

Caudal

f

3

(m /s)

1

h, + 2: hm

(h, + 2: h.)/C

(m)

(m/m'/s)

1·2

0.10744

0.01583

7.13879

66.4474

2-5

0.01057

0.02033

3.48427

5-8

-005256

0.01700

-6.72352

327.8573 --.•----1279091

6-1

-0.09256

0.01603

-3.22112

34.7985

0.6584

557.0123

¿

La ecuación 7.10 lleva al cálculo de la corrección de caudal:

ilO Circuito

Tuberla

= -0.000591 m3/s

Caudal

f

(m'/s)

2

h,+ L hm

(h,+ I hm)/Q

(m)

(m/m'/s)

2-3

0.03687

0.01774

11.77619

319.4083

2-5

-0.00998

0.02046

-3.10815

311.5832

3-4

0.00154

0.02437

0.36473

116.4819

5-4

-0.03313

0.01791

-7.90423

238.5733

0.3991

938.54123

Al utilizar la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

ilO

= -0000202

m3/s

Como las sumatorias de las pérdidas por fricción y de las pérdidas menores (h¡ + ¿ hm) son pequeñas ~n los dos circuitos, el proceso debe parar. Esto significa que se está cumpliendo la ecuación de conservación

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CERRADAS

3]3

de la energía en cada 'circuito. En el momento de parar el proceso las correcciones de caudales (/la) resultantes eran muy pequeñas. Los resultados que se obtuvieron, ,en forma resumida, son:

Tubo

1·2 I 2·3

3-4

Caudal

106.60 36.60

3.40

2-5

4·5

1-6

5-6

33.40 10.10 53.30 93.30

(lis)

106.601ps 10,101ps 5

93.301ps

53,301ps

40lps

3

3.401ps

40lps

4 33,4Qlps

6

36.601ps

30lps

30lps

FIgura 7.4 Resultados de caudales en les tuberras.

Nodo

1

2

3

4

5

6

Presión (m)

100

92,96

81,35

81.77

89.80

96.72

92,96 m

89,BOm 1

1

51

Sl.35m 81.77 1 1

4'

Figura 7.5 Resultados de las cabezas en los nodos. resión pueden variar su valor dependiendo de la len. Tal variación se debe a que en el momento de pararei proceso no se tiene nná precisí6n absoluta en los caudales. Sin embargo, las diferencias son pequeñas. Esle hecho es válido para los ejemplos de todo este capítulo.

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

314

Ejemplo 7.2 Método de Hardy-Cross con corrección de cabezas Resolver el problema del ejemplo 7.1 utilizando el método de Hardy-Cross con corrección de cabezas. En este caso, la ecuación resultante para cada mberia es una ecuación de comprobación de diseño, tal como se definió en el capítulo 2. Luego, para cada una de ellas se debe utilizar el diagrama de flujo 1 con las siguientes ecuaciones:

v=

_-_2~:=.-.-,- I09.c(~ + 3.7 d

'.

251_{!_J d {2 gdh,

(2.3)

y: (2.1')

Las suposicionesiniciale.s para las cabezas píezométricas en cada uno de los nodos de la red, teniendo el nodo 1 como el de cabeza fija e igual a 100 metros, son las siguientes:

Nodo Presión (m)

2

3

4

5

6

92

80

75

90

95

1

100m

2

3

92m

80m

90m

75m 5

4

95 m 6

Figura 7.6 Suposición de cabezas en cada uno de los nodos de la red.

. . . -,........,,~ ""',. ~-, ....~. "" ,. ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CERRADAS

I

-----~

La única tubería que necesita un proceso iterativo es la tubería 2-3, ya

'""". '""

. ... •. coeficienteeskm ==10~O.EI nodo 1 no se c,orrige. puesto que en éste la

,

cabeza es fija e igual a 100 metros.

I

Primer ciclo

NODO

TUBO

2

1-2

2·5

92 92

100 80

92

h, 8.000 12.000 9.398 9.984 9.853 9.882 9.876

90

a

Q/h,

0.1140

0.01425

9.877

-0.0372

0.00310

2.000

-0.0079

0.00394 0.02130

-o,

-0.0600

};

0.0089

Luego; mediante la ecuación 7.15 se calcula la corrección de cat.ezals,

córi elsiguiél1te resultado: tl.H¡

0.8350 m

Nodo

Tubo

H,

H,

3

3-2

80

92.835

h

Q

Q/h,

12.835 10.044 10.674

.

10.532 10.564

.

3-4

80

75.000

10.559

0.0386

0.00300

5.000

-0.0128

0.00257

-Q"

-0.0400

¡;

-0.0143

0.00557

315

HIDRÁULICA DE fUBEfiiAS

316 .........

..

Posterionnente, al utilizar la ecuación 7,15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado:

tlH,

~

5.1265 m I

Nodo

Tubo

H¡

H

4

4-3 4-5

75

74.8735

0.127

-0.0017 0.01387

75

90000

15000

0.0463 0.00309 0.01687

Q

h¡

Glh¡

-001 -0.0300 I

0.0145

Así, la corrección de cabeza en el nodo 4 es:

tlH¡

~

1.7249 m

Nodo

Tubo

H,

H,

h,

5

5-2

90 90

92.835 76.725

13.275

90

95.000

5000

5-4 5-6

Q

2835

-DoI ¿;

Glh,

0.0095 0.00335 -0.0434 0.00327 00450 0.00899 001562 -00300 -0.0190

Luego, la cabeza en el nodo 5 se debe corregir en:

tlH,

Nodo

Tubo

H¡

6

6-1

95

6-5

95

~

-2.4296 m

H.¡ 100 87.570

Q

h,

Glh,

5.000

01165 0.02329

7430

-0.0554 0.00746 0.03075

-QOi

-00400

¿;

00211

ANÁUSIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CERRADAS

La corrección de cabeza en el nodo 6 es:

AH,

=

1.3700 m

317

HIDRÁULICA DE rUBERíAS

318

La ecuación 7.15 lleva al cálculo de la corrección de cabezas, con el siguiente resultado:

!:!.H,

~

3.5445 m

Nodo

Tubo

H¡

H¡

h,

4

4-3

76.725

78.418

1.693

00072 000426

4-5

76.725

87.570

10.846

00391 000360

Q

OIh¡

0.00786

-Oc.

-0.0300

2:

00163

Luego, la corrección de la cabeza en el nodo 4 es:

!:!.H,

Nodo

Tubo

~

4.1473 m

H¡

H¡

h,

Q

OIh¡

.

5

5-2

87.570

91.699

4.128

00116

0.00281

5-4

87570

80.872

6698

-0.0304

0.00453

5-6

87.570

96370

8.800

00605

000688 001422

-QUi

-0.0300

2:

00118

La cabeza en el nodo 5 se debe corregir en:

!:!.H,

~

1.6534 m j

Nodo

Tubo

H¡

6

6-1

96370

6-5

96370

H¡

100 89.224

Q

h¡

OIh¡

3.630

0.0985 0.02715

7.146

·0.0543 000760 003474

-

-00,

-00400

2:

00043

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CERRADAS

319

La corrección de la cabeza en el nodo 6 es: AH,

=

0.2454 m

Tercer ciclo Q

Qfh,

0.1162

0.01400

-0.0392

0.00295

-0.0088

0.00357 0.02053

-OD

-0.0600

%

0.0081

Q

3-4 - Qf)<

2:

-0.0400 0.0092

Q/h,

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

320

Al utilizar la ecuación 7,15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado:

AH¡

Nodo 4

Tubo

2.8601 m

4~3

H, 80.872

H, 81.278

4-5

80.872

89224

h(

Q

Qlh( 0.0033 0.00818

0.406 8.352

0.0341

';';'QOl

-0.0300

;¡;

0.0074

0.00408 0.01227

corrección de la cabeza del nodo 4 es:

AH¡ = 1.2106 m

Nodo

Tubo

5

Q

5-2

H, 89.224

H¡ 92.493

h( 3269

Qlh( 0.0102 0.00313

5-4 5-6

89.224 89.224

82.083 96.615

7.141 7.392

--0.0314 0.00440

-GOl ;¡;

....

0.0552 000747 001501 -0.0300 0.0041

corregir en:

AH¡ = 0.5439

Nodo

Tubo

6

6-1

H, 96.615

96.615

H¡ 100

89.768

h( 3.385

Q

6.848

0.0950 -0.0531

--QDI ;¡;

-0.0400 00019

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERfAS REDES CERRADAS

321

HIDRÁULICA DI' TUBFRíi\S

322

Mediante la ecuación 7.15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado: aH,

03398 m

Nodo

Tubo

H¡

~

4

4-3

82.083

4-5

82.083

Q

Q/h,

81.618

h, 0.465

-00036

0.00770

89768

7685

0.0326

000425

-QOi

-00300

¿;

-0.0009

001195

La corrección en la cabeza en el nodo 4 es:

aH,

Nodo

Tubo

H¡

5

5-2

=

-0.1560 rn

h, 3199

Q

Q/h,

89768

H, 92966

00101

0.00317

5-4

89768

81927

7841

-0.0330

000421

5-6

89768

96723

6955

0.0535

000769

-°0,

-00300

L

00006

001507

La cabeza en el nodo 5 se debe corregir en:

M'( = 0.0856m

Nodo

Tubo

H.,

6

6-1

96723

6-5

96723

H¡

100 89853

Q

Q/h,

h, 3.277

00934

002857

6869

-00532

0.00787 003624

.-

-Doi ¿;

-0.0400 00002

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CERRADAS

323

La corrección en la cabeza del nodo 6 es: AH, = 0.0135 m Quinto ciclo

Nodo 2

Tubo 2-1

a 92.966 92.966

100

7.034

81.618

11.348

89.853

8.894 9.446 9.322 9.350 9.343 0.345 3.113

0.1066

O/h, 0.01516

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

324

Mediante la ecuación 7.15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado: IlH, = -0.1455 m

Nodo

TUbo

4

Q

h(

4-3

/j, 81.927

H¡ 81.472

0.454

Qlh( -0.0035 0.00778

4-5

81.927

89.853

7.927

0.0332 000419 0.01196

-O" -0.0300 };

0.0004

Luego,

= Nodo

Tubo

5

-0.0590 m

81.868

7.986

-0.0333

0.00417

96.736

6.883

0.0532

0.00773

5-4

89853 89853

Q/h(

0.0101

5-2

H¡ 93.008

5-6

Q

h( 3.155

H, 89.853

0.00319

0.01509 -Qf)¡'

-0.0300

};

0.0000

Después:

= Nodo

Tubo

6

6-1

H, 96.736

6-5

96736

-0.0051 m

H¡ 100 89.848

Q

h(

Q/h,

3264

00932

0.02856

6.888

-0.0532

000773 003629

-QOJ

-00400

};

00000

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CERRADAS

325

Luego:

fj.H, = -0.0018 m En este último ciclo, todas las correcciones para las cabezas piewmétricas en los nodos son p~ueñas, lo cual significa que el proceso ha convergido. LOs resultados finales son:

Tubo

1-2

3-4

4-5

2-5

5-6

1-6

3.5005

33.30

10.00

53.20

93.20

2-3

Caudal 106.60 36.20 (l/s)

36.20 Ips

106.60lps 1000lps

3.501ps

4

5

6

3

C.~~__532t¡;--;;(.~-3:33i:.303tíIPp,s;--330~IPS

..

53.20 Ips

30 Ips

40lps

Figura 7.7 Resultados de los caudales en las tuberías.

Nodo Presión (m)

1

2

3

4

5

6

100

93.008

81.472

81.868

89.848

96.734

100 m

93.008 m

1,;-------=7:.:::L... I I

I

1

89.848 m

81.868 m

I I I

51

Figura 7.8 Resultados de las cabezas de presión en los nodos.

..l8~1~.472 m I I

31

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

326

MéTODO DE NEWTON-RAPHSON El método de Newton-Raphson es un método numérico que permite la solución de ecuaciones no lineales o cálculo de raíces de ecuaciones, en forma rápida y segura; las ecuaciones pueden ser explícitas o no explícitas: f(x)

=

O

explícita

9 (x)

=

x

no explícita

f(x)

es decir

= 9 (x)

-x

La raíz de la ecuación puede calcularse mediante iteraciones sucesivas siguiendo la regla de Newton. Dicha regla establece que si Xo es una aproximación a la raíz de ~x) entonces Xo + 8Xo es una mejor aproximación, donde:

(7.18)

Esta ecuación resulta de una serie de Taylor para f (Xo + 8X), tal como se muestra a continuación:

f(X ()

+ 8X ) o

=

f(X )

+ f (X ) 8X +

0 0 0

r

(Xol 8X' 2!

+

r

(X,) 8X; 31 ~

Q

+.

(7.19)

donde las primas indican derivadas de la función f. Si Xo + 8Xo es la raíz de la función f, entonces: (7.20)

Si se iguala las ecuaciones 7.19 Y7.20 Ydespreciando los términos de segundo orden y órdenes superiores de 8Xo' se obtiene la siguiente ecuación:

f(XJ

+ df 8X dx

'

df 8X

dx"

= O

(7.21)

= -f(X) "

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS REDES CERI,ADAS

327

Este procedimiento se puede generalizar fácilmente para encontrar las raíces de sistemas de ecuaciones

no lineales. Si se requiere resolver un sistema de N ecuaciones, las mejoras a las raíces aproximadas (XOI ' X021 X03' ' XON ), las cuales son 8X01 ' 8X02 ' 8X03l 8X04 ' 8XON pueden calcularse resolviendo las siguientes N ecuaciones lineales simultáneas:

Xodl

(7.22)

donde:

i

=

1, N

Esta última ecuación puede expresarse en forma matricial si se recurre a la ecuación 7.21 Yresolverse mediante un proceso de eliminación de Gauss. Los elementos conocidos son 8f/8x¡ y ~"La matriz resultante

es:

afi aXi afo aXi

afi aX2 afo axo

af, aXN

afN ax,

afN aX2

afN

axoi axoo

I-f, -fo (7.23)

axd

aXON 1-

L-f,J

La anterior ecuación puede ser resuelta por eliminación gaussiana. En forma general, el sistema 7.23 puede escribirse en fonna más compacta:

r 1-1 Of 1

LOx"

[Ox] ~ [-F]

(7.24)

Donde OffOx denota la primera matriz de la ecuación 7.23 Y Dxy ...,- F denotan las dos matrices columnas; entonces, multiplicando por la matriz inversa:

HIIWÁUIICA DE TUBERí,\s

336

U/oH,

U/oH,

Unión

Tubo

2

1-2

0.1073

00075

2-3

-0.0391

00015

2-5

-00087

00018

3-2

00391

00015

3-4

00138

00012

4-3

-0.0138

0.0012

4-5

00262

0.0026

5-2

00087

0.0018

5-4

-00262

0.0026

5-6

00521

00039

6-1

00879

0.0151

6-5

-00521

0.0039

3 4

5

6

Qi¡

-f.,

-0.01082 -0.00049

-000269 ·-0.01287

-000380

0.01762

----

-0.00834 -000467

-0.01900

000420 J

En forma matricial:

-00108

00015

00000

00018

00000

0.0015 . 00027

0.0012

00000

00000

00012 -0.0038

0.0018

00000

00026

00000

00000

00000

I

dH,

0000

00000

dH3

--0013

00026

00000

dH,

0.016

·00083

0.0039

dH3

-0.005

00039 -00190

dHI¡

0.004

Los resultados para el vector dH¡ son:

dH2

0202

dH3

2954

dH,

-4351

dH\

-0946

dH,

-0417

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS REDES CERRADAS

329

(7.5)

se obtiene:

(7.28)

Es evidente que esta ecuación es de la fonna siguiente:

(7.29)

Es decir: (7.30)

Las ecuaciones 7.29 y 7.30 son válidas para ¡variando entre 1 y Nu; es decir, se tiene un conjunto de ecuaciones que pueden ser resueltas mediante el método de Newton-Raphson. Para aplicar el método (ecuación 7.23) se debe calcular la matriz [Df/Dx]. En este caso:

.EL

81,

8X¡

oH)

.EL

.EL

8X,

oH,

(7.31)

y:

(7.32)

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

330 donde

~,y ~representan cabezas

en los nodos. Luego:

r

Z {2Q A;; (H Hf' (:z + ti ~j j

jo

j

km;j

-

Alllevar a cabo el proceso de derivación se obtiene:

(7.33)

En esta ecuación Hj debe ser mayor que Ht En caso contrario se debe utilizar el valor absoluto. Por otro lado, para la cabeza H¡ se tiene que:

N,

:z

j = 1

Nuevamente, al desarrollar el proceso de derivación:

(7.34)

y comparar las ecuaciones 7.31 Y7.32 se obtiene:

~=-~ ~ 8H;

j= 1

oH¡

(7.35)

ANÁLISIS DE I Max i No~

?

Cabezas iniciales

cabezas nuevas

Algoritmo: cabezas ideales Figura 7.32 Diagrama de flujo del procedimiento cabezas ideales, el cual permite el cálculo de la función de optimización objetivo.

I

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS REDES CERRADAS

427

Cálculo de diámetros

Hasta este momento, el programa ha calculado una vez la red (mediante el método del gradiente) con los diámetros supuestos de 8 pulgadas. Por consiguiente, se tiene un caudal para cada uno de los tubos de la red, de forma tal que se cumple la ecuación de continuidad en cada uno de los nodos. Con estos caudales es posible calcular el factor de fricción de Darcy para carla uno de los tubos, utilizando la ecuación de Colebrook-White: _1 = -2 lo

{f

Q"

(~+ 37 d

2.517rdVJ 4 Q {f

(1.67)

conjuntamente con los diagramas de flujo 2a o 2b, descritos en el capítulo 2. Con el factor de fricción calculado en esta forma, junto con el caudal y las cabezas ideales, es posible calcular un nuevo diámetro para cada tubo mediante la ecuación de Darcy-Weisbach:

f _f v ' d 2 9

(1.36)

/ v' d= f h, 2 9

(7.68)

h ,

=

De donde es fácil despejar el diámetro:

~~CTJ r----+t 0= F L, V,' I

A

~

1

j