Hidraulica Basica Unidad 3 MODELOS HIDRAULICOS

HIDRAULICA BASICA UNIDAD 3 MODELOS HIDRAULICOS

ÍNDICE TEMA introducción 3 Modelos hidráulicos 3.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica 3.1.2 Leyes de similitud. Condiciones de Froude, Euler y Reynolds PROBLEMAS 3.1.3 Planeación y construcción de modelos hidráulicos 3.2 Flujo en orificios, compuertas y vertedores PROBLEMAS

Pagina 2 3 6 10 14 16 17 20

3.2.1 Coeficientes de velocidad , contracción y gasto y sus aplicaciones PROBELMAS

22

3.3 Dispositivos de medición

28

3.3.1 Tubo de Pitot

28

PROBLEMAS

28

3.3.2 Tubo de Venturi

29

PROBLEMAS

31

3.3.3 Rotámetro

34

Conclusión

35

Bibliografía

36

26

1

Introducción En mecánica de fluidos el riguroso tratamiento matemático de los problemas, con base exclusivamente en los métodos analíticos, no siempre permite llegar a la solución completa, a menos que se planteen hipótesis simplificadoras que, además de restar generalidad a la solución, pueden llegar a falsear los resultados a tal grado que no tengan relación alguna con el comportamiento real del fenómeno. Por otra parte, debido a la variedad de problemas, muchas veces resulta difícil establecer las condiciones de frontera previas a cualquier solución matemática. En otros casos, las soluciones analíticas se deben plantear de tal manera que no se ignoren los aspectos físicos del fenómeno y que determinados puntos de la respuesta queden supeditados a la experimentación. En este trabajo de investigación se estudiara y resolverá algunos problemas de lo mencionado anteriormente.

2

3.- Modelos Hidráulicos Los modelos hidráulicos han encontrado creciente aplicación para controlar y modificar diseños analíticos de estructuras hidráulicas. Mediante el uso de modelos físicos es posible experimentar a costos relativamente bajos y con economías substanciales de tiempo, hasta obtener condiciones óptimas.

Lo anterior en ningún caso significa que una técnica substituya a la otra. Sería un error suponer que una serie de resultados y de reglas sencillas obtenidas de la investigación experimental supla un tratamiento racional del mismo, pudiendo ocurrir que dichos resultados tuvieran validez solo en el intervalo de valores para el cual se efectuaron las mediciones. Además, aun cuando fuera posible hacer un estudio exhaustivo del fenómeno, resulta necesario tomar en consideración una serie de factores de índole apreciativa que limitan la extrapolación y generalización de las respuestas. La adecuada combinación del análisis matemático y la verificación experimental permite superar esos obstáculos, restringiendo la hipótesis a aquellas cuya experiencia y razonamiento físico han mostrado no tener serios efectos sobre las características esenciales del fenómeno. Mientras el tratamiento empírico recalca el desarrollo algebraico de una formula deducida de la investigación experimental, a menudo con poca justificación física, el análisis racional intenta una solución completa para la función correcta y las constantes numéricas involucradas. Por otra parte, la mecánica de fluidos emplea los principios del análisis dimensional para incorporar las variables, que la experiencia ha demostrado como esenciales, en una expresión adimensional básica, sistemática y matemáticamente ordenada; asimismo, toda vez que sea 3

posible se desarrolla, al menos aproximadamente, la interrelación funcional de los diferentes miembros de esta expresión. Por último, 1a investigación experimental suministra las constantes numéricas y la verificación esencial sobre la exactitud del análisis; también trae consigo el estudio de las características del flujo aunadas a las propiedades del fluido y a las condiciones de frontera o geometría del mismo. Así, por ejemplo, el estudio experimental completo del v0 empuje de un flujo sobre un cilindro significaría variar la velocidad y utilizar varios fluidos de distintas características, así como cilindros de diferente diámetro, para determinar el coeficiente de arrastre en cualquier condición imaginable. Una investigación en este sentido representaría un trabajo formidable casi imposible de realizar; sin embargo, una planeación adecuada de las combinaciones de las diversas variables que ocurren en cada problema permite llegar a generalizaciones realmente extraordinarias con el menor esfuerzo, costo y tiempo; muchas veces con una presentación muy simple. Para este caso particular es suficiente estudiar la variación del coeficiente de arrastre, mediante la simple variación del parámetro adimensional -llamado de Reynolds- que involucra todos estos factores, para obtener una relación sencilla. La técnica seguida para encontrar las combinaciones posibles se apoya en el empleo de parámetros dimensionales formados con las diferentes variables del problema, que permite la transposición de los resultados de un modelo físico a la estructura real. La teoría de la similitud que satisface esta necesidad fue establecida por Kline: "Si dos sistemas obedecen al mismo grupo de ecuaciones y condiciones gobernantes, y si los valores de todos los parámetros y las condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas deben de exhibir comportamientos similares con tal de que exista una solución única para el grupo de ecuaciones y condiciones." Los principales parámetros dimensionales de utilidad en la dinámica de fluidos se obtienen de las ecuaciones del movimiento de los fluidos. No obstante lo anterior, si se conocen las variables importantes que intervienen en un problema, el llamado análisis dimensional un constituye un procedimiento sencillo y puramente matemático para determinar los parámetros más aplicables en cada caso. 4

La experimentación se basa en la construcción y operación de un modelo reducido a escala cuyo tamaño se supedita a factores como espacio disponible, capacidad de las instalaciones del costo del modelo, efectos de escala, etcétera. Para la operación se requieren los aparatos y dispositivos que midan las características hidráulicas del escurrimiento: gastos, velocidades, presiones, tiempos, etcétera.

Laboratorio de hidráulica que contiene modelos hidráulicos a escala

Modelo para el diseño hidráulico

5

Modelo hidráulico

3.1- Similitud geométrica, cinemática y dinámica.  Similitud geométrica Considere dos flujos, como los mostrados en la fig. 5. 1, que se designaran como modelo y prototipo. Mientras que el primero tiene, en general, dimensiones menores que el segundo y es el que se reproduce en el laboratorio, el segundo representa la estructura real por construir.

6

Figura 5.1. Similitud dinámica entre dos flujos del modelo y el prototipo (a y b)

La similitud geométrica implica, de un modo estricto, que sea igual la relación de todas las longitudes homologas en los dos sistemas. Esto es, si dentro de los flujos ciertas dimensiones se seleccionan y además, se designan con p al prototipo y con m al modelo (Fig. 5.1), la similitud geométrica significaría, por ejemplo, que le =

Sp Sm

Donde

le

es la escala de líneas que cuantifica el tamaño relativo de los

dos sistemas. Una consecuencia de la similitud geométrica exacta es que la relación de áreas y volúmenes en ambos sistemas se puede expresar en l términos del cuadrado y del cubo de e , esto es: A e =l 2e

V c =l 2e En algunos casos, es factible que la similitud geométrica exista solo en lo que se refiere a las dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales pueden quedar distorsionadas con otra escala de líneas (como el caso de los modelos de ríos o de puertos) donde el conservar las misma escala de líneas en las tres direcciones significaría tener tirantes muy pequeños en los modelos. Se tendrían así, por ejemplo, escalas de líneas de dimensiones verticales y horizontales, como sigue: l ev =

H P Sp = … H m Sm

l eh=

Bv … Bm 7

La similitud geométrica se extiende también a la rugosidad superficial de las paredes que limitan al flujo, pues si el modelo tiene un tamaño igual a un décimo del prototipo

l (¿¿ e=10) ¿

, entonces la altura de las

proyecciones de las rugosidades debe estar en la misma relación. Esto es difícil de lograr en la práctica, por lo que en ocasiones es necesaria una distorsión geométrica en la dimensión longitudinal de la conducción respecto a las otras dos dimensiones, con objeto de lograr la misma relación de pérdidas de energía en ambas estructuras.

 Similitud cinemática y dinámica. La similitud cinemática entre dos sistemas de flujo se interpreta como la semejanza geométrica entre líneas de corriente de ambos flujos, sin distorsión o con ella. La similitud dinámica implica que haya similitud dinámica implica que haya similitud geométrica, o bien, distorsionada, además que sea la misma relación de las fuerzas dinámicas en puntos homólogos. En la similitud dinámica al igual que en la similitud geométrica, existen escalas de velocidades, viscosas, de fuerzas, tiempos, densidades, viscosidades, etcétera, que miden la relación entre las características de los flujos o propiedades de los fluidos utilizados en los mismos y referidas a dos puntos R homólogos, que se designaran con el símbolo hasta ahora utilizados, pero añadiendo el subíndice e (escala).por pe , μe , v e ejemplo se refieren a los propiedades de los fluidos que se utilicen en el prototipo y el modelo. 8

Además por definición sabemos que: (5.1a) le te

v e=

(5.1b) t e=

le ve

(5.1c) Q e = Ae V e (5.1d) ae =

le 2

te

(5.1e) pe =

ye ge

(5.1d) v e=

μe pe

Con las definiciones de escala antes dadas, la ecuación equivalente para el prototipo es (5.2) v 2m ) l ∂ vm 2 ¿ + e ∂ sm v e tn ∂ t m ∂(

( )

9

Los términos entre paréntesis, de esta ecuación, relacionan las diferentes escalas utilizadas y es igualmente valido utilizar los recíprocos (exceptuando el ultimo).por ejemplo igualando el primero con el que corresponde al de la aceleración convectiva (de valor de 1), por definición de escalas, resulta lo siguiente: (5.3) p p v 2p Pm v 2m = pp pm Esto es, para que haya similitud dinámica, por lo que respecta a la fuerza de presión, es necesario que el parámetro

Eu= pv 2 / p

sea el

mismo en el modelo y en el prototipo. En general, p representa la diferencia de presiones Δp, entre dos puntos de flujo o entre un punto y la presión atmosférica. Este parámetro es adimensional y es la relación entre la fuerza de inercia y la debida al gradiente de presiones.

3.1.2- Leyes de similitud. Condiciones de Froude, Reynolds y Euler Cuando se divide la fuerza que actúa en un fenómeno hidráulico por la fuerza de inercia (siempre está presente), se obtiene un numero 10

adimensional el cual debe ser el mismo en el modelo y prototipo en punto homólogos, cuando se cumpla la similitud dinámica. Las expresiones adimensionales, en el lenguaje hidráulico se les designan como leyes de similitud. Por medio de un razonamiento análogo se obtuvieron cuatro parámetros adimensionales a saber: Eu=

ℜ=

fuerza de inercia p v 2 = fuerza de presion ∆ p

fuerza de inercia vl vl = = fuerza viscosa μ/p v

F r 2=

S=

fuerza de inercia v2 = fuerza gravitacional gl

aceleracionlocal l = fuerza de inercia vt

El primer parámetro de los obtenidos arriba se llama número de Euler y rige aquellos fenómenos donde son preponderantes los cambios ∆ p de las presiones. Con

p=γ / g

y

h=∆ p/ γ , se escribe comúnmente así:

(5.4) p v2 v2 Eu= = ∆ p gh Parámetro que tiene importancia en fenómenos de flujo ocasionados por una gradiente de presiones donde la densidad y la aceleración del fluido intervienen primordialmente en el fenómeno y las fuerzas viscosas pierden importancia. 11

Es decir, el movimiento depende de la forma del flujo, con una configuración prácticamente invariable de las líneas de corriente. Esto ocurre en problemas de flujo a presión como en la tuberías, orificios, válvulas, compuertas, distribución local de presiones sobre un obstáculo, etcétera. 

El segundo número se llama de Reynolds y se acostumbrar a escribir: (5.5) vl ℜ= v

Es válido en aquellos flujos a poca velocidad donde las fuerzas viscosas son las más importantes. Un número de Reynolds grande indica una preponderancia marcada de las fuerzas de inercia sobre las viscosas, como por ejemplo - el flujo turbulento, en que la viscosidad tiene escasa importancia y el fenómeno depende solo del número de Euler. Cuando este es pequeño depende de ambos números. El número de Reynolds se usa a menudo como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de naves áreas, cuerpos sumergidos en un flujo, medidores de gasto, transiciones en conductos, etcétera, en los cuales las características del flujo están sujetas a efectos viscosos. 

El tercer número se llama de Froude y en general se representa como la raíz cuadrada de la relación de fuerzas, es decir: Fr=

v √ gl

El número de Froude tiene importancia en flujos con velocidades grandes que ocurren por la acción exclusiva de la gravedad; tal es el caso del flujo turbulento a superficie libre, donde los efectos viscosos son despreciables. A medida que aumenta el número de Froude, mayor es la reacción inercial de cualquier fuerza; en tanto disminuye, mayor es el efecto de la fuerza gravitacional. Cuando el flujo es horizontal, la acción del peso desaparece y con ella la influencia del número de Froude. 

Finalmente, en aquellos problemas de flujo no permanente en los que la periodicidad del fenómeno es importante, el número llamado de

12

Strouhal caracteriza su acción. Si se considera que la frecuencia del fenómeno periódico es f=1/t, se tiene que (5.7) S=

fl v

Donde t representa una dimensión típica del cuerpo obstruyendo el flujo y v una velocidad típica dentro del flujo. Este número es importante en flujos relacionados con la formación de vórtices, movimiento de ondas, efectos de vibración en cuerpos colocados en un flujo, etcétera y representa la raíz cuadrada de la relación de una fuerza hidroaerodinámica (que actúa para restaurar el equilibrio en la configuración de un flujo) y la fuerza de inercia de la masa oscilante del fluido. Como ya se había señalado, para lograr similitud dinámica es necesario que los números antes definidos resulten iguales en el modelo y en el prototipo. En la práctica no se pueden satisfacer todos los parámetros de manera simultánea y se da preferencia a aquel o aquellos que tengan mayor importancia en el flujo.

Sistemas de presión. En este caso, los cambios de presión se deben a una combinación de los efectos dinámicos producidos por la aceleración, viscosidad y gravedad. En el caso común de un flujo de densidad constante, el efecto de gravedad es una distribución de presiones hidrostáticas, superpuesta a una presión variable debida a otros efectos, de ahí que el número de Reynolds sea el más importante y deba ser igual en modelo prototipo, esto es: (5.8) V e le =1 ve Donde

Ve

es la escala de velocidad y

ve

de viscosidad cinemática;

resulta entonces lo siguiente: (5.9) 13

V e=

V e μe = l e pe l e

La escala de tiempos es (5.10) l e l 2e t e= = V e ve

La de aceleraciones (5.11) V e v 2e μ2e ae = = 3 = 2 3 t e l e pe l e La de las fuerzas viscosas (5.12) Fe =me a0= p e l 3e

μ2e μ2e = p2e l 3e p e

Y por último depresiones (5.13) F e μ2e Pe = = 2 A e pe l e Al utilizar el criterio de semejanza de Reynolds puede demostrarse que las fuerzas gravitacionales se anulan y no tiene, por lo tanto, efectos sobre las características del flujo. Sin embargo, en la mayoría de los estudios con modelos el número de Reynolds varía desde

1 x 106

a

14

6

20 x 10

, por la cual la utilización de este criterio de semejanza es poco

usual en la práctica.

PROBLEMA 5.1 Un dispositivo de investigación se encuentra sostenido por una barra cilíndrica de 0.15 m de diámetro, la cual a su vez está sujeta a una lancha y sumergida verticalmente en aguas profundas a 15°C, donde la velocidad, por el movimiento de la lancha, alcanza 3m/seg. Se desea determinar la fuerza de resistencias en la barra (inducida por el movimiento) con un modelo geométricamente similar, de 0.03 m de diámetro, en un túnel de viento de presión variable, donde es posible lograr velocidades hasta de 30m/seg, a una temperatura de 15°C. Solución Suponiendo que el túnel de viento se opera a 30m/seg, se puede obtener la densidad del aire, requerida por la condición de que el número de Reynolds sea igual en los dos sistemas. Para la temperatura de 15°C las escalas de viscosidad de ambos fluidos, de velocidades y de líneas son, respectivamente

μ p 1.18 X 10−4 μe = = =0.59 X 102 −6 μ m 2.0 X 10

15

V e=

pe =

Vp 3 = =0.1 V m 30

μ e ( 0.59 X 10 2) = =118.0 V e le 0.1 X 5

Debido a que la densidad del agua es

p=101.87 kg∗seg 2 /m4 , la de aire

debe ser pm=

101.87 =0.8633 kg∗seg2 /m4 2 1.18 X 10

Como la densidad del aire a presión atmosférica estándar es 0.125 2

kg∗seg /m

4

, el túnel debe controlarse con una presión de 6 atm,

aproximadamente, para alcanzar la densidad deseada.

De la ecuación (5.12) la escala de fuerza es 2 2

Fe =

(0.59 X 10 ) =29.5 1.18 X 102

La fuerza de resistencia en prototipo será entonces: F p =29.5 Fm

PROBLEMA 5.3 Determinar las escala de velocidad, gasto y fuerzas, para un modelo l e =100 construido a escala de una obra de excedencias que descargara un gasto de

10 000

m3 . seg 16

Solución El fenómeno que se presenta está sujeto a la ley de Froude, por lo que si se aplica la Ec. (5.14) la escala de velocidades resulta: V e =√ 100=10 O sea, que para obtener las velocidades del prototipo se necesita multiplicar por 10 las velocidades medidas en el modelo. De la Ec. (5.16), la escala de gastos vale: Qe =1005 /2=100 000 Entonces el gasto que deberá fluir en el modelo es 100< ¿ seg 10 000 m3 Q m= =0.1 =¿ 100 000 seg La escala de fuerzas, para

γ e =1

, de la Ec. (5.17) resulta ser

3

Fe =1 X 100 =1000 000

3.1.3Planeación hidráulicos

y

construcción

de

modelos

El uso de modelos físicos a escala reducida, llamados simplemente modelos hidráulicos, implica que éstos deben ser semejantes al prototipo, para lo cual debe satisfacerse las leyes de similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica, que en conjunto relacionan magnitudes físicas homólogas definidas entre ambos sistemas.

17

Cuando se va a realizar una comparación con respecto a la similitud geométrica se definen puntos homólogos sobre los cuales se definen magnitudes tales como velocidad, presión, etc.; de igual manera se definen lados, superficies y volúmenes homólogos. La similitud geométrica implica una relación constante para cualquier longitud L, esta relación es denominada escala de líneas de longitudes. Cuando la comparación entre el prototipo y modelo es con respecto a un movimiento, se establece entonces la similitud cinemática; ésta se cumple cuando los patrones la forma de los patrones de flujos homólogos son iguales en cualquier tiempo, es decir, hay similitud en el movimiento de los sistemas. Es por esto que la relación de velocidades entre estos puntos debe ser constante y es denominada escala de velocidades. Es un requisito que se cumpla con la similitud geométrica para que se cumpla la similitud cinemática. El movimiento de un fluido en el modelo y el en el prototipo, para que sea similar en forma completa, no es suficiente con que se cumpla con las similitudes geométrica y cinemática, también es necesario tomar en consideración la acción de fuerzas sobre las partículas de un fluido, tales como fricción, tensión superficial, gravedad o peso, fuerzas de inercia, de Coriolis, etc. Lo anterior implica que la relación de fuerzas homólogas también debe ser constante, estableciéndose así la escala dinámica de fuerzas. En el diseño de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los factores típicos que gobiernan su comportamiento y por lo tanto su modelación y diseño. A continuación se presentan algunos ejemplos: Tipo de estructura factores de diseño típicos 1. ESTRUCTURAS CONTROL a. tomas b. Muros de contención c. Compuertas d. Ataguías e. Divisoras de aguas

DE

Descarga niveles de agua. Velocidad, pérdidas, presión. (fuerzas), vibraciones, inestabilidades Vórtices, demanda de aire, sedimentos. Hielo, cavitación, oleajes. Patrones de flujo

18

2. a. b. c.

CONDUCCION Vertederos Canales Túneles

3. DISPARADORES ENERGIA a. Ampliaciones abruptas

Niveles de agua, perdidas. Velocidades, perdidas, entrada. De aire, cavitación.

DE Niveles de agua, perdidas.

b. Difusores c. Pantallas

Presión, vibración, demanda de aire. Cavitación, abrasión, oleaje.

3.2- Flujo en orificios, compuertas y vertedores Con el fin de tomar en cuenta los parámetros no considerados en la formulación teorice de un fenómeno, suelen considerar coeficientes de corrección a los valores teóricos obtenidos que proporcionen valores reales. El flujo a través de orificios, vertederos y compuertas son ejemplos típicos donde estos coeficientes encuentran aplicación. -

Coeficiente de descarga.

El coeficiente de descarga “Cd” es la relación entre el caudal real que pasa a través de un dispositivo y el caudal real. Cd= caudal real/caudal ideal -

Coeficiente de velocidad.

El coeficiente de velocidad “Cv” es la relación entre la velocidad media real en la sección recta de la corriente y la velocidad media ideal que se tendría son rozamiento. Cv= velocidad media real/velocidad media ideal -

Coeficiente de contracción.

El coeficiente de contracción “Cc” es la relación entre el área de la sección recta contraída de una corriente y el área del orificio a través del cual fluye el fluido. 19

Cc = área de flujo contraído/área de orificio Se cumple que

Cd= Cv*Cc

 Flujo en orificios

20

 Flujo en compuertas. Q=Cd b*a √2*g*y1

21

Cd = coeficiente de descarga B = ancho de compuerta A = abertura de compuerta Y1 = profundidad del flujo aguas arriba de la compuerta.

 Flujo en vertederos

b = ancho del vertedero h = carga de aguas arriba del vertedero Cd = coeficiente de descarga (en un vertedero son contracciones laterales puede emplearse Cd = 0.61 + 0.08 h/w).

22

PROBLEMAS

Problema de vertidor 23

3.2- Coeficientes de velocidad, contracción y gasto y sus aplicaciones. 24

Los coeficientes de velocidad, en un orificio, son básicamente experimentales. Sin embargo, en teoría es posible encontrar la magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de movimiento aplicada sobre un volumen de control limitado por la frontera del control del chorro en contacto con el aire, la sección contraída y, dentro del recipiente, por una superficie semiesférica de radio igual al del orificio (figura3.2.1-1). Para hacer lo anterior, se designa como v1 la velocidad de una partícula sobre la semiesfera de radio R, trazada en la Fig. 3.2.11 cuya direcciones radial al centro de la semiesfera. La superficie de la semiesfera vale: (3.6) A 1=2 π R 2 Y la correspondiente a la sección contraída: (3.7) A 0=C 0 A=C 0 π R

2

Fig. 3.2.1-1 Derivación del coeficiente de contracción para orificio de pared delgada.

De la ecuación de continuidad se obtiene: v 1=

A0 V A1

Sustituyendo las ecuaciones (3-6) y (3-7) en esta resulta que: (3.8) 25

1 v 1= C 0 V 2 Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento, es necesario conocer la velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La componente paralela al eje del orificio de las v1 v 1 cos θ velocidades , sobre la superficie de la semiesfera, vale ; es decir, que la variación según la ley cosenoidal como se muestra en la Fig. 3.2.1-2. De este modo, la media de las componentes de la velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la igualación del volumen del cilindro

V 1 π R2

con el volumen encerrado por la superficie

de ley cosenoidal; ósea:

V 1=

π R2

V 0=

2 v1 R

∬ cos θ dA A

cos θ= √

Y, con

3

Fig. 3.2.1-2 distribución de las componentes de la

θ

v1

R2−r 2 , dA=2 πr dr R

entonces:

R

∫ √ R 2−r 2 rdr 0

La integración conduce al estado siguiente: V 0=

¿−

−2 v 1 3 R3

2 v1 3 R3

3

[ ( R2−r 2) 2 ]

[−R3 ]

Finalmente se tiene que: 3 V 0= v 1 2

(3-9) 26

Sustituyendo la Ec. (3-8) en la (3-9) resulta: V 0=

C0 V 3

(3-10)

Por tanto, es posible evaluar los coeficientes

β

que interviniera en la

ecuación de la cantidad de movimiento. Por una parte, el coeficiente β para la sección contraída vale 1, pues se supone que la distribución de la velocidad coincide con la media; sin embargo, el coeficiente

β

para la semiesfera tiene un valor distinto de 1 y resulta al saber:

(3.11) θ

∬ v 21 cos θ dA β 1=

De la Fig. 3.2.1-2,

dA=2 πr dr 2

A

A V 2s

y además

sen θ=

r2 r2 2 ; cos θ=1− R2 R2

Con estas expresiones y considerando la Ec. (3-8) el valor de

β1

es:

C 20 V 2 r2 1− 2 2 πr dr =¿ 3 R

(

)

R

1 β1 = ∫¿ A V 2s 0

¿

2 2 1 C 0 V πR2 πR2 − 2 4 A V 2s 2

[

]

Y de la Ec. (3-10) resultan entonces que: 27

(3.12) 2

9 9 2 2 πR β 1= C V = =1.125 2 2 2 c 8 8 π R Cc V

Es necesario conocer las fuerzas que impulsan al volumen de agua limitado por la sección contraída y las ecuaciones de la esfera; en un punto E sobre la semiesfera actúala presión p. la ecuación de Bernoulli para la línea de corriente, aplicada a este punto, es: 2 p va H=z + + γ 2g

Si se acepta que la carga

H es muy grande en comparación con el

radio del orificio, puede entonces despreciarse z y, por tanto, sobre toda la semiesfera la presión será constante y de valor: 2

(

p=γ H −

v1 2g

)

Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o fuerza total, sobre la superficie de la semiesfera, es :

(3.13)

(

2

)

v pA=γ H− 1 A 2g En la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza sobre dicha sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio es γ C AV g c

28

La cual se acelera desde la velocidad media

Vs

sobre la semiesfera,

expresada por la Ec. (3-10), hasta la velocidad media

V

en la sección

contraída. Así, de acuerdo con las Ecs. (3-8), (3-10), (3-12) y (3-13), la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como sigue:

( ) ]= γg A C V (V − 98 C3 V )

[

1 Cc V γ A H− 2g 2

2

c

c

Por otra parte, de la Ec. (3-2) se tiene que 2

H=

1 V + 2 Cv 2 g

Con lo cual resulta: V2 3 1 2 1 2C c − C c + C 0− 2 =0 2g 4 4 Cv

[

]

O bien eliminando la carga de velocidad, se tiene que:

( 34 − 14 ) C −2C + C1 =0 2 c

0

2 v

Por tanto: C2c −4 C c +

2 =0 2 Cv

Debido a que

C0

debe ser menor que 1, la raíz valida en estas

ecuaciones la correspondiente al signo negativo del radical; asi, se obtiene la ecuación:

(3.14) 29

√

C c =2− 4−

2 C20 Cv

En la tabla 3-1 se presentan los valores de Ec. (3-14), para diferentes valores de

Cv

Cv

y

Cd

calculados de la

y de la definición

Cd

.

TABLA 3-1 COEFICIENTES DE GASTO DE LA EC. 3-14 1 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95

Cc

0.586

0.60

0.615

0.631

0.647

0.664

Cd

0.586

0.594

0.603

0.612

0.621

0.631

PROBLEMA. Mediante un análisis dimensional se comprueba que los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, son función exclusivamente del número de Reynolds. De acuerdo con los resultados de diferentes investigadores para orificios circulares sus valores tienen la variación mostrada en la Fig. 3.2.1-4. Se observa que para números de Reynolds Re>10 5, los C v , C c y Cd coeficientes son independientes de dicho número y adquieren los valores constantes siguientes: C v =0.99 C c =0.605 C d=0.60

De la tabla 3-1 se tiene que para los valores

C c =0.60

y

C d=0.594

C v =0.99,

la Ec. (3-14) proporcionan

que coinciden prácticamente con los

coeficientes experimentales arriba indicados.

30

Por definición de contracción, para un orificio circular se obtiene (3.15) D=

√

Y con

1 D Cv c

C c =0.605

,

D=1.285 Dc

o bien

Dc =0.778 D

.

Cuando se trata de orificios rectangulares de poca altura los coeficientes C v , C c y Cd , son prácticamente los mismos en la Fig. 3.2.1-4. En este caso (en lugar de dimensión área

A=ab

D ) en el numero de Reynolds se utiliza la misma

a del orificio y en la ecuación (3-14) correspondiente a su ( b

es la dimensión del orificio).

31

3.3- Dispositivos de medición (tubo de Venturi, tubo de Pitot, rotámetro)  3.3.1 Tubo de Pitot El tubo tiene una forma de L y al introducirse en el líquido en movimiento (como las aguas de un río), debido a la presión, el agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli: V1=

c √ 2 gH

Dónde: H es la carga total que produce el flujo en m (altura de líquido) C es el coeficiente de descarga, puede escribirse en relación al coeficiente de velocidad y al de contracción.

PROBLEMAS 32

1.-Un tubo de Pitot, teniendo un coeficiente de 0.98, se emplea para medir la velocidad del agua en el centro de una tubería. La altura de presión de estancamiento es 5.58m y la altura de presión estática en la tubería es de 4.65m. ¿Cuál es la velocidad?

Solución: Si el tubo se adapta y posiciona correctamente, un punto de velocidad cero (punto de estancamiento) se desarrolla en B enfrente del extremo abierto del tubo (véase figura 9-1). Aplicando el teorema de Bernoulli desde A en el líquido en reposo asta B se tiene

(

2

)(

pA v A pB + +0 = +0+0 w 2g w

)

Entonces, para un fluido ideal desprovisto de fricción V 2 A pB pA = − 2g w w

ó VA =

√

2g

( pbw − pAw )

Para el tubo real debe introducirse un coeficiente c que depende de la forma del tubo. La velocidad real para el problema anterior seria VA =

√

c 2g

( pbw − pAw )

= 0.98

√ 2 g ( 5.58−4.65 )

= 4.18 m/s

PROBLEMA 2.- A través de un conducto fluye aire, y el tubo de Pitot estático que mide la velocidad está conectado a un manómetro diferencial conteniendo agua. Si la desviación del manómetro es 10 cm, calcular la velocidad del aire, suponiendo que el peso específico del aire es constante e igual a 1.22 kg/cm3 y que el valor del coeficiente del tubo es 0.98 Solución: Para el manómetro diferencial, 33

(PB-PA)/ w = (10/100) (1000/1.22) = 82 m aire. Entonces, V = 0.98

√ 19.6 ( 82 )

= 39.3 m/s

 3.3.2 Tubo de Venturi El efecto Venturi (también conocido tubo de Venturi) consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presión al aumentar la velocidad después de pasar por una zona de sección menor, llamada “garganta”. Si en esta parte estrecha se introduce el extremo de otro conducto o tubo, se produce una aspiración del fluido contenido en él. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano: Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

Se puede deducir una expresión para la rapidez de flujo v1 en función de las áreas transversales A1 y A2 y la diferencia de altura h en los tubos verticales, quedando v 2=

√( ( ) ) 2g ∆H A2 2 1− A1

34

De esta fórmula, podemos concluir que entre mayor sea la diferencia de alturas entre los dos tubos, mayor debe ser la velocidad del fluido en el estrechamiento. También podemos ver (un poco más difícilmente) que a mayor diferencia entre las áreas 1 y 2, es mayor la velocidad en la parte estrecha. Se pueden medir directamente las presiones en la parte normal y en la parte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas partes. Se puede demostrar que aplicando la ecuación de Bernoulli, la velocidad del líquido se obtiene con la siguiente expresión:

Además de determinar la velocidad de los fluidos en un conducto, el efecto Venturi tiene otras aplicaciones: el suministro de gasolina de un motor con carburador se consigue utilizando un tubo de Venturi; los rociadores o atomizadores, como los utilizados para pintar, también aplican este efecto.

PROBLEMA 1.- Por un tubo de Venturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule:

35

2 1 Figura ejemplo 1

     H

a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo? Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está representado por la ecuación de continuidad: (1) Q= A1 v 1= A 2 v 2 A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parte ancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de Bernoulli: (2) 1 P1−P2= ρ ( v 22−v21 ) 2 El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a la misma altura. Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P 1 – P2 se calcula a partir de la diferencia de alturas H que es dato, entre los dos tubos 36

manométricos instalados para tal propósito en el tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático, P 1 – P2 = 2gH, como es el caso de los dos tubos manométricos midiendo la diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos: v 1=

A2 v A1 2

Por lo que A2 2 2 v= . v2 A1 2 1

( )

Y la ecuación (2) queda: 2

( ( ))

A 1 ρg ∆ H= ρ v 22 1− 2 2 A1

Despejando v2 de la ecuación anterior:

v 2=

√( ( ) ) √( ( ) ) √ ( ( 2g ∆H = A2 2 1− A1

2 x 9.8 m/s (0.3 m) 2g ∆H = =2.93 m/s 4 d2 3/4 pulg 4 1− 1− 1 pulg d1

))

Entonces el gasto, ecuación (1), será: −4

2

−4

3

Q= A 2 V 2=2.85 x 10 m x 2.93 m/s=8.35 x 10 m /s=0.835