Hidráulica básica APUNTES

M. E. Guevara A.

INTRODUCCIÓN

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HIDRÁULICA 1. Generalidades 1.1 Definición La palabra Hidráulica viene del latín hydraulica y ésta del griego hydrauliké que corresponde al término femenino de hydraulikós, que a su vez se deriva de hydraulis, cuya traducción al español podría ser tubo de agua, pues se compone de dos palabras: hydor = agua, y aulos = tubo. Sin embargo, otros autores en forma mas pintoresca, traducen hidráulica como órgano de agua y sitúan su origen en el griego hydor = agua, y en aulein = tocar la flauta. Realmente, esta interpretación se debe a que hidraulus es un antigüo instrumento musical precursor del órgano de nuestros días, en el que un depósito con agua estabiliza la presión del aire que pasa por los tubos.

Figura 1.1 Origen de la palabra de hidráulica. IAHR Bulletin. 1997. 1.2 Objetivos 1.2.1 Objetivo General Estudiar los principios que rigen el movimiento del agua en sistemas de conducción a flujo libre y a presión, considerando flujo permanente uniforme y variado en régimen de flujo turbulento. 1.2.2 Objetivos Específicos • • •

Analizar y diseñar hidráulicamente sistemas de conducciones a presión y a flujo libre. Resolver ejercicios prácticos sobre conducción de agua por tuberías y canales. Familiarizar al estudiante con los fenómenos hidráulicos reales mediante las prácticas de laboratorio fomentando, además, su interés por la experimentación y la investigación.

1. 2.3 Objetivos Instruccionales • • •

Clasificar tipos de flujo: permanente, no permanente, uniforme, variado. Conocer y manejar las ecuaciones básicas del flujo libre y a presión. Definir los parámetros hidráulicos para el diseño de canales.

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• • • • • • • •

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Dimensionar la sección transversal de los canales según diferentes criterios de diseño. Conocer los casos mas comunes en el diseño de canales Identificar controles en el flujo: compuertas, vertederos, cambios de pendiente, caídas, etc. Analizar y calcular los perfiles de flujo variado: rápido y gradual. Calcular pérdidas de energía hidráulica tanto por fricción y localizadas. Diseñar conducciones de agua a presión incluyendo sistemas simples, en serie, en paralelo, abiertos y mixtos. Analizar el funcionamiento de sistemas de conducción a presión según la posición de la tubería con relación a las líneas de energía y por efectos de la sobrepresión causada por el golpe de ariete. Conocer diferentes clases de tuberías.

1.3 Enfoques - Hidráulica empírica que se basa en la experiencia de construcción de obras hidráulicas desde la antigüedad. - Hidráulica teórica o general en la que se estudian las leyes de la hidrostática y la hidrodinámica. - Hidráulica aplicada en la que la experiencia y las bases teóricas se usan para lograr el aprovechamiento del agua en proyectos de desarrollo como: sistemas de abastecimiento del agua potable, centrales hidroeléctricas, adecuación de tierras con irrigación y drenaje, puertos, control de inundaciones, recreación, industria, etc. Leonardo da Vinci hace mas de 500 años se refería a que en la hidráulica la experiencia va antes que la razón y este pensamiento sigue vigente hasta nuestros días en que vemos que el tratamiento empírico o experimental ha prevalecido sobre el razonamiento teórico a pesar de la cantidad de modelos matemáticos que tratan de simular la realidad sin lograr representarla en su totalidad.

1.4 Sectores de aplicación de la Hidráulica Abastecimiento de agua para consumo (acueductos) Generación de energía hidráulica (centrales hidroeléctricas) Irrigación de campos agrícolas Drenaje vial, urbano y rural Control de inundaciones Hidráulica fluvial Hidráulica marítima y de costas Navegación Máquinas hidráulicas (turbinas, bombas, arietes) Hidroinformática Modelación hidráulica e hidrológica Hidrología de aguas superficiales y subterráneas Impacto ambiental de obras hidráulicas Industria Recreación Calidad de agua Tratamiento de agua potable y residual

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1.5 Aplicaciones de Computador en Hidráulica 1) Los siguientes son ejemplos de programas comerciales desarrollados por Haestad Methods, Inc., que es la empresa líder en creación de aplicaciones computacionales en el campo de la hidráulica (http://www.haestad.com) • • • • • • •

FlowMaster: Principios básicos de la hidráulica y aplicaciones: tuberías, canales, orificios, vertederos. StormCAD: Diseño de alcantarillados pluviales. CulvertMaster: Diseño de alcantarillas. WaterCAD: Diseño de sistemas de flujo a presión y análisis de calidad de agua. SewerCAD: Diseño de alcantarillados sanitarios. Pondpack: análisis de cuencas y diseño de embalses. CYBERNET: modulo adicional para AutoCAD que sirve para el análisis de redes a presión.

2) KYPIPE3: análisis de sistemas de flujo a presión (www.engr.uky.edu/ce/KYPIPE/kypipe.html). 3) EPANET: programa desarrollado por la Agencia de Protección Ambiental de los Estados Unidos (EPA: Environmental Protection Agency) para el estudio y análisis del comportamiento de redes hidráulicas a presión (www.epa.gov) 4) REDES: programa desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes (Colombia) para el diseño de redes de distribución de agua potable. 5) RIEGOS: programa desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes (Colombia) para el cálculo de sistemas de irrigación localizados de alta frecuencia. 6) FLOWPRO: programa para el cálculo de flujo libre permanente, uniforme y variado. (http://www.prosoftapps.com/flowpro.htm) 7) UCF Civil Engineering Software: conjunto de programas para hidrología e hidráulica (http://www-cee.engr.ucf.edu/software/) 8) HYDRAL: programa para cálculo de parámetros hidráulicos en canales prismáticos e irregulares. 9) H-CANAL: programa para cálculo de parámetros hidráulicos en canales prismáticos, salto hidráulico y perfiles de flujo gradualmente variado. 10) HEC-RAS: programa desarrollado por el Centro de Ingeniería Hidrológica del Cuerpo de Ingenieros Militares de los Estados Unidos (Hydrologic Engineering Center), para realizar análisis de sistemas de ríos (River Analysis System). HECRAS facilita el cálculo de perfiles del agua y de los parámetros hidráulicos del cauce. Es una versión moderna para WINDOWS del HEC-2 (www.hec.usace.army.mil/software)

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2. Tipos de Flujo El flujo es el movimiento de un fluido y se puede clasificar según varios criterios: 2.1 Según el tipo de movimiento 2.1.1 Flujo libre El movimiento del fluido se realiza por conductos abiertos o cerrados parcialmente llenos, de forma que existe una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. El movimiento se realiza gracias a la fuerza de la gravedad. Piezómetro Superficie del agua y Solera del canal Canal Nivel de Referencia Figura 2.1. Flujo libre. El flujo libre tiene lugar en la naturaleza en ríos y arroyos y en forma artificial en canales de conducción de fluidos, acueductos, alcantarillados, drenajes, etc. 2.1.2 Flujo a presión El movimiento del agua se realiza por conductos cerrados sobre los que el fluido ejerce una presión distinta a la atmosférica. El movimiento se debe principalmente a la acción de la presión hidráulica. Un ejemplo, son los sistemas de distribución de agua potable. Presión relativa = P/γ Tubos piezométricos

Eje de la tubería

Nivel de Referencia Figura 2.2. Flujo a presión. 2.2 Según el espacio 2.2.1 Flujo uniforme Los parámetros hidráulicos del flujo (velocidad, profundidad del agua) permanecen constantes a lo largo del conducto. δV δA δQ =0 =0 =0 δL δL δL

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Se considera uniforme el flujo de líquidos en tuberías o canales de sección constante y gran longitud. 2.2.2 Flujo variado Los parámetros hidráulicos del flujo varían a lo largo del conducto. δV δA ≠0 ≠0 δL δL Por ejemplo, controles en los canales como compuertas, presas, cambios de pendiente, hacen que el flujo sea variado. En conductos a presión, el flujo es variado cuando hay cambios de sección transversal y presencia de controles como válvulas.

2.3 Según el tiempo 2.3.1 Flujo permanente Los parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el tiempo o sea que la velocidad de las partículas que ocupan un punto dado es la misma para cada instante.

δV =0 δt

δP =0 δt

δQ =0 δt

La mayoría de los problemas prácticos implican condiciones permanentes del flujo, como por ejemplo, el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga. 2.3.2 Flujo no permanente o inestable Los parámetros hidráulicos del flujo varían en el tiempo.

δV ≠0 δt

δP ≠0 δt

Ejemplos son la salida de agua por el orificio de un depósito bajo carga variable y la creciente en un río.

2.4 Según el tiempo y el espacio 2.4.1 Flujo permanente uniforme Los parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el espacio y el tiempo. 2.4.2 Flujo no permanente uniforme Los parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el espacio pero no en el tiempo. Es prácticamente imposible encontrar este tipo de flujo en la naturaleza, debido a que los cambios tendrían que ocurrir en forma simultánea a todo lo largo de la conducción.

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2.4.3 Flujo variado permanente Los parámetros hidráulicos del flujo varían en el espacio pero no en el tiempo. Este tipo de flujo puede subdividirse en gradualmente variado o rápidamente variado. - Flujo gradualmente variado. Los cambios en la velocidad del flujo son graduales en la dirección principal del flujo como cuando existen contracciones o expansiones suaves en las conducciones. También es el caso de las curvas de remanso en los embalses. Este tipo de flujo se subdivide a su vez en gradualmente variado retardado o acelerado, según que la velocidad disminuya o aumente en el sentido del flujo. - Flujo rápidamente variado. Los cambios en las características del flujo son abruptos a lo largo de la conducción como cuando ocurren variaciones bruscas en la sección transversal de un conducto, o flujo a través de válvulas y rotores de bombas. Este tipo de flujo se subdivide a su vez en rápidamente variado retardado o acelerado, según que la velocidad disminuya o aumente en el sentido del flujo. 2.4.4 Flujo variado no permanente Los parámetros hidráulicos del flujo varían en el espacio y en el tiempo. Debido a que el flujo uniforme no permanente prácticamente no existe en la naturaleza, al flujo variado no permanente se le conoce simplemente como no permanente. Este tipo de flujo se subdivide a su vez en rápidamente variado retardado o acelerado y en gradualmente variado retardado o acelerado El golpe de ariete en tuberías a presión, las olas y las mareas en flujo libre, son ejemplos de flujo variado no permanente.. 2.4.5 Flujo espacialmente variado El caudal varía a lo largo de la conducción pero permanece constante en el tiempo.

δQ ≠0 δL 2.5 Según el régimen del flujo 2.5.1 Flujo con régimen laminar Se presenta si las fuerzas viscosas son muy fuertes con relación a las fuerzas inerciales. El movimiento de las partículas del fluido se realiza siguiendo trayectorias definidas o líneas de corriente y las capas de fluido con espesor infinitesimal parecen deslizarse sobre capas adyacentes. 2.5.2 Flujo con régimen turbulento Se presenta si las fuerzas viscosas son débiles con relación a las fuerzas inerciales. Las partículas del fluido con régimen laminar se mueven ordenadamente siguiendo trayectorias definidas, pero al aumentar la velocidad las partículas del fluido chocan entre sí y se desvían siguiendo trayectorias irregulares que no son suaves ni fijas y que constituyen el flujo turbulento. 2.5.3 Flujo con régimen transicional La transición de flujo con régimen laminar a turbulento es gradual y se llama transicional. Se presenta cuando el filamento del fluido comienza a hacerse inestable.

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Número de Reynolds Osborne Reynolds de la Universidad de Cambridge (Inglaterra) realizó sus experimentos para establecer el régimen de flujo en tuberías entre 1880 y 1884. El número de Reynolds representa la preponderancia de las fuerzas viscosas con relación a las fuerzas de inercia y permite clasificar el régimen de flujo. VL Re = υ Re = número de Reynolds L = longitud característica, usualmente en función del radio hidráulico υ = viscosidad cinemática [υ = 10-6 m2/s para agua a 20 °C] •

Si se usa como longitud característica el radio hidráulico, el número de Reynolds es VR y los valores límites son: Re = υ Flujo laminar Re < 500 Flujo turbulento Re > 1000 Flujo transicional 500 < Re < 1000 Debe aclararse que en experimentos se ha demostrado que el régimen de flujo puede cambiar de laminar a turbulento con valores entre 500 y 12500 cuando se ha trabajado con el radio hidráulico como longitud característica, por lo que algunos aceptan los siguientes límites: Flujo laminar Re < 500 Flujo turbulento Re > 12500* Flujo transicional 500 < Re < 12500 * El límite superior no está definido. •

Si se usa como longitud característica un valor de cuatro veces el radio hidráulico, 4VR . En la práctica, se aceptan los siguientes límites: (L = 4R), se obtiene Re = υ Flujo laminar Re < 2000 Flujo turbulento Re > 4000 Flujo transicional 2000 < Re < 4000

2.6 Flujo homogéneo y estratificado La variación de la densidad del flujo hace que se clasifique como homogéneo o estratificado. Si en todas las dimensiones espaciales la densidad del flujo es constante, se dice que el flujo es homogéneo, pero si la densidad varía en cualquier dirección el flujo es estratificado, como es el caso de grandes embalses o cuando hay cambios de temperatura.

2.7 Flujo unidimensional, bidimensional y tridimensional El flujo unidimensional tiene lugar cuando la dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. El análisis como flujo unidimensional es aceptable cuando se toma como única dimensión la línea de corriente central del flujo y pueden considerarse como despreciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en

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direcciones normales a dicha línea de corriente. En estos casos se consideran como representativos del flujo los valores medios de la velocidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores. El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional debido al efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero es variable para otros puntos, pero si se trabaja con valores medios en cada sección se puede considerar unidimensional. Por ejemplo y en la práctica, el flujo en tuberías y canales de conducción de agua se analiza mediante principios de flujo unidimensional, incluso en casos de curvas en que la geometría es tridimensional y la velocidad varía en las secciones rectas del conducto. El flujo bidimensional tiene características idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dichos planos, o bien ellas permanecen constantes. Es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) solamente en dos direcciones. El flujo es tridimensional cuando sus características varían en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones; este es el caso mas general del flujo pero el de mas difícil análisis.

2.8 Flujo irrotacional y rotacional El flujo irrotacional se presenta en fluidos ideales en que no existen viscosidad (µ = 0) ni tensiones cortantes, no pueden transmitirse pares y no tienen lugar movimientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. Por lo tanto, el flujo irrotacional equivale a decir que la vorticidad es cero y un ejemplo es el flujo uniforme. En el caso de flujos rotacionales (µ ≠ 0), la velocidad de cada partícula varía en proporción directa del centro de rotación y por lo tanto existe vorticidad.

2.9 Flujo incompresible y compresible El flujo es incompresible si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables. En caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y gases a bajas temperaturas se consideran incompresibles. En la práctica, se contempla que el flujo es compresible solo en casos como el del golpe de ariete en tuberías y en el flujo de gases.

2.10 Flujo potencial En flujo potencial las líneas de corriente y de potencia son ortogonales y al sistema se le llama usualmente red de flujo. El análisis de flujo con potencial permite tener un conocimiento mas preciso de la distribución de velocidades y presiones, a lo largo de las superficies de frontera de un flujo o de una sección transversal del mismo. El análisis de flujo bi y tridimensional, basado en la existencia de un potencial de velocidades, proporciona una aproximación mas real de la mayor parte de las soluciones, las cuales pueden también ser aplicadas al flujo a través de medios porosos, como es el caso de un suelo. En flujo potencial se cumple la ecuación de Laplace. ∂ 2φ ∂ 2φ + =0 ∂x 2 ∂y 2

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φ = función potencia El análisis está basado en la existencia de un modelo matemático llamado flujo con potencial, en que existe una función escalar φ (x, y, z) tal que la velocidad en cada punto sea igual al negativo del gradiente de la función potencia φ. Vx = −

∂φ ∂φ ∂φ ,V y = − , V z = − ∂x ∂y ∂z

La existencia de flujo potencial está limitada a los casos de flujo irrotacional, pero no impone restricciones en cuanto a las propiedades del fluido. Puede existir un flujo con potencial aunque éste sea compresible o viscoso (no permanente o permanente) pero la mayoría de los planteamientos se restringen al flujo incompresible y no viscoso.

3. Principios Fundamentales de la Hidráulica Tres principios fundamentales se aplican para analizar el flujo de líquidos y en particular el agua:

3.1 Conservación de la masa: a partir de la cual se establece la ecuación de continuidad para una vena líquida. Q = VA = V1A1 = V2A2 =...... VNAN Q = caudal V = velocidad media del flujo A = área de la sección transversal del flujo En forma mas general, la ecuación de caudal se expresa de la siguiente manera considerando que la velocidad media puede variar de punto a punto en la sección transversal: A

Q = ∫ vdA 0

v = velocidad media en un punto dA = área del flujo con velocidad v A = área total del flujo

3.2 Conservación de la energía: a partir de la cual se establece la ecuación de la energía que tiene en cuenta las pérdidas de energía que se producen por el desplazamiento de un fluido de un punto a otro a lo largo de un conducto. La ecuación de la energía se aplica siguiendo una línea de corriente.

Z1 +

p1 V2 p V2 + α 1 = Z 2 + 2 + α 2 + ∑ hp(1− 2 ) γ γ 2g 2g

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∫ v dA ≈ ∑ α= 3

V 3A

1

2

3

4

N

Vi 3 ∆Ai

i =1

V 3A N

i Vi ∆Ai Figura 3.1. Sección transversal de un cauce dividida en franjas.

Figura 3.2. Representación gráfica de los componentes de la energía hidráulica total en un conducto a presión. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975. H1 = H2 + ∑hp(1-2) ∑hp(1-2) = H1 - H2 H1= Z1+ P1/γ + α

V12

2g V2 H2= Z2 + P2/γ + α 2 2g H1 = Energía total en el punto 1 H2 = Energía total en el punto 2 Z = energía potencial por unidad de peso o cabeza de posición P/γ = energía de presión por unidad de peso o cabeza de presión V2 = energía cinética por unidad de peso o cabeza de velocidad 2g ∑hp = pérdidas por unidad de peso entre dos puntos α = coeficiente de variación de la velocidad en la sección transversal o coeficiente de Coriolis Teóricamente, α es igual a 1.0 para una distribución uniforme de velocidades, α = 1.02 a 1.15 para régimen de flujo turbulento en tuberías y α = 2.0 para régimen de flujo laminar. Para flujo libre α puede variar entre 1.1 y 2.0. En la mayoría de los cálculos se

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toma α = 1.0 lo que no introduce serios errores en los resultados ya que la cabeza de velocidad representa usualmente un pequeño porcentaje de la energía total. ∑hp =

∑hf + ∑hl

∑hf = sumatoria de pérdidas por fricción Son debidas al contacto entre el fluido y la frontera sólida del conducto y entre partículas de agua si el régimen de flujo es turbulento. Constituyen usualmente las pérdidas mayores de energía. ∑hl = sumatoria de pérdidas locales Son producidas por aditamentos o accesorios que cambian la dirección o geometría del conducto. Constituyen usualmente las pérdidas menores de energía. La ecuación de la energía es una ampliación de la ecuación original de Bernoulli, la que no contempla pérdidas de energía y se restringe a fluidos no viscosos con flujo permanente e incompresible, es decir a fluidos ideales. Z1 +

P1 V2 P V2 + α 1 = Z2 + 2 +α 2 γ γ 2g 2g

3.3 Conservación de la cantidad de movimiento o momentum: a partir de la cual se establece la ecuación de fuerzas. De acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton se tiene que el cambio de momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de agua en un cauce es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo de agua. n

∑F

i

= βρQ∆V

i =1

Al aplicar la ecuación de momento en dirección al flujo siguiendo una línea se tiene: F1 − F2 ± Wsenθ − F f = βρQ(V2 − V1 )

∫v β=

2

dA

V 2A

∑ ≈

N

Vi 2 ∆Ai

i =1

V2A

n

∑ F = sumatoria de fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo de agua i

i =1

βρQV = momentum del flujo que pasa a través de la sección de un cauce por unidad de tiempo, según principios de mecánica. βρQ∆V = cambio de cantidad de movimiento por unidad de tiempo entre dos secciones transversales F = fuerza debida a la presión hidrostática W = peso contenido en el volumen de control θ = ángulo de inclinación de la solera del canal Ff = fuerza debida a la fricción entre el fluido y la frontera sólida β = coeficiente de Momentum o coeficiente de Boussinesq ρ = densidad del fluido ∆V = variación de la velocidad entre dos puntos

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Volumen de control

Figura 3.3. Representación gráfica de las fuerzas actuantes en un volumen de control en flujo libre. Cano, G. R. 1985. En la práctica, β = 1.33 para flujo laminar en tuberías y β = 1.01 a 1.07 para flujo turbulento en tuberías. En flujo libre β varía entre 1.03 y 1.33. En la mayoría de los casos puede considerarse igual a la unidad.

4. Energía Hidráulica La energía hidráulica es la capacidad que tiene una masa de agua para realizar un trabajo que consiste en el desplazamiento del fluido a lo largo de un conducto. Para ésto es necesario contar con un potencial hidráulico que puede estar dado por un desnivel topográfico, un tanque de carga o por una motobomba. 4.1 Tipos de Energía Hidráulica 4.1.1 Energía potencial ó energía de posición por unidad de peso o cabeza de posición (Ep) Es la energía que posee un fluido debido a su posición con relación a un determinado nivel o plano de referencia. T = Trabajo realizado para que el fluido con peso W se mueva una distancia Z T = WZ Ep = T/W W = peso del fluido W Z Z = desplazamiento Ep = energía potencial por unidad de peso NR Ep = Z [m]

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4.1.2 Energía de presión por unidad de peso o cabeza de presión (Epr) Es debida a la fuerza que actúa sobre el área transversal de un conducto. La energía de presión se representa por la altura de la columna líquida que está por encima del punto considerado.

A F

P = presión F = fuerza A = área P = F/A

∀ = volumen γ = peso específico del fluido

L

T=FL

T = PAL

∀ = W/γ

T = P∀

T = PW/γ Epr = T/W Epr = P/γ [m]

4.1.3 Energía cinética por unidad de peso o cabeza de velocidad (Ec) Es la energía que posee el agua en virtud del movimiento con una velocidad V. Representa la altura a la que subiría un líquido si es lanzado verticalmente con una velocidad V. Está dada por la siguiente ecuación: 1 2 Energía cinética total = MV 2 1W V2 2 g W M = W/g

Ec =

V2 [m] Ec = 2g

Energía hidráulica total La energía hidráulica total de un fluido en movimiento en cualquier punto de una conducción está dada por la suma de los tres tipos anteriores de energía. 2 P V H =Z+ + [m] γ 2g H = energía hidráulica total por unidad de peso Z = energía potencial por unidad de peso o cabeza de posición P/γ = energía de presión por unidad de peso o cabeza de presión V2/2g = energía cinética por unidad de peso o cabeza de velocidad

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4.1 Representación gráfica de la energía hidráulica (H) •

Energía hidráulica total de un fluido en reposo

P3/γ

Z1

H

P2/γ

Z3

Z2

Plano de referencia Figura 4.1. Energía hidráulica en un tanque en reposo. P P2 = Z3 + 3 γ γ H = H1 = H2 = H3

H = Z1 = Z 2 +

Como se observa, la energía hidráulica total es constante en cualquier punto de un fluido en reposo. La energía cinética se considera despreciable en depósitos como tanques, embalses o lagos, que tengan sección transversal muy grande con relación a la del conducto y si el nivel del agua permanece constante.

Energía hidráulica en conductos a presión CAT = Z + P/γ + V2/2g

2

V /2g

CP = Z + P/γ

P/γ Cota clave H

Cota eje = Z

Z Cota batea N.R. Figura 4.2. Energía hidráulica en flujo a presión.

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Energía hidráulica en conductos a flujo libre CAT = Z + Y + V2/2g 2

V /2g Superficie libre del agua CP = Z + Y H

y = P/γ Z Cota solera del canal = Z

N.R. Figura 4.3. Energía hidráulica en flujo libre.

4.3 Líneas de energía Son líneas que permiten visualizar los componentes de la energía hidráulica de un fluido en movimiento a lo largo de un conducto. Si se determinan las cotas de alturas totales CAT y las cotas de alturas piezométricas CAP y se unen mediante líneas rectas se obtienen la línea de alturas totales LAT, y la línea de alturas piezométricas LP, respectivamente. • • •

Línea estática LE Línea de alturas totales LAT Línea de alturas piezométricas LP

Las líneas de alturas totales y piezométrica no tienen una pendiente constante debido a la existencia de resistencias locales al flujo, como por ejemplo cambios en la sección del conducto. En los tramos con flujo uniforme, las LAT y LP son paralelas. La LAT siempre desciende en el sentido del flujo. La LP puede ascender o descender en el sentido del flujo. Es descendente en la mayoría de los casos pues la energía de presión se va perdiendo, pero asciende cuando se pasa de una velocidad mayor a una menor o sea cuando hay una ampliación en la conducción. 4.4 Gradientes de Energía Representan la variación de la energía hidráulica por unidad de peso con relación a la longitud del conducto.

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Gradiente hidráulico o gradiente de energía o de alturas totales ( I = Sf) Es la variación de la energía total respecto a la longitud del conducto, o sea, la pérdida por fricción por unidad de longitud real del conducto en un tramo recto. Sf = I = δΗ/L Sf = I =

= (H1 - H2) / L hf L

hf = pérdidas por fricción L = longitud real del tramo El gradiente siempre será positivo en sentido del flujo porque H1 > H2 al existir siempre una pérdida de energía. •

Gradiente piezométrico (GP)

Representa la variación de la línea piezométrica con respecto a la longitud real del conducto en un tramo recto. GP =

(Z1 + p1 / γ ) − (Z 2 + p 2 / γ ) L

Los gradientes hidráulico y piezómetrico son iguales cuando el flujo es uniforme. Pueden ser positivos o negativos en el sentido del flujo considerando que el término Z + P/γ, puede aumentar o disminuir en el sentido del flujo. Usualmente el gradiente piezométrico es positivo porque la presión va disminuyendo en el sentido del flujo, pero como se dijo anteriormente, en una ampliación del conducto la presión aumenta y en consecuencia el gradiente piezométrico será negativo.

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5. Flujo uniforme con régimen laminar El flujo laminar se presenta si las fuerzas viscosas (FV) son muy fuertes con relación a las fuerzas inerciales (FI). Esto se presenta cuando el gradiente de velocidad es muy bajo de forma que la fuerza viscosa es grande y las partículas de fluido se desplazan pero no tienden a rotar por lo que las partículas siguen trayectorias definidas. Ejemplos de fluidos que se comportan con régimen laminar son pinturas, miel y la sangre en algunas venas y arterias. FV = τA = µ

dV A, válida para fluidos Newtonianos. dy

FI = ma = m

τ A y µ V a M W

dV W dV = dt g dt

FV > FI = esfuerzo cortante = área = distancia desde las paredes del conducto a un punto dentro del fluido = viscosidad dinámica = velocidad de flujo = aceleración del flujo = masa del fluido = peso del fluido

El movimiento de las partículas líquidas se realiza en forma ordenada sin entrecortarse las líneas de corriente, presentando las siguientes características: • Existe rozamiento entre el fluido y las paredes del conducto pero no entre las partículas del fluido. • No hay intercambio de energía entre las líneas de corriente.

• Se presenta para flujos con velocidades bajas. • La pérdida de carga por fricción unitaria es proporcional a la velocidad del flujo elevada a la primera potencia, tal como se demuestra a continuación: hf = f

L V2 D 2g

f = coeficiente de fricción La anterior ecuación la dedujeron experimentalmente Darcy, Weisbach y otros hacia el año 1850. Posteriormente, esta ecuación se pudo demostrar a partir de bases teóricas. Para régimen de flujo laminar, el médico francés Poiseuille (1799-1869) y el ingeniero alemán G. Hagen (1794-1884), en investigaciones realizadas simultáneamente, dedujeron la siguiente expresión para f.

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f = 64/Re Ecuación de Hagen-Poiseuille (1846) hf = 32υ

LV gD 2

• La distribución vertical de la velocidad a través de la sección del conducto sigue una ley de variación parabólica. gS f  Dy − y 2  υ  4

Vy =

  

y D

Figura 5.1. Distribución parabólica de velocidad en régimen de flujo laminar. Si y = 0, se tiene que Vy = 0 Si y = D/2, se tiene que V y =

gS f D 2 16υ

y es la velocidad máxima.

• Velocidad media La velocidad media es la mitad de la velocidad máxima. V= V=

gS f R 2

gS f R 2 2υ

3υ

Flujo libre

Tubería circular a presión

1 Vmáxima 2 El esfuerzo cortante es proporcional al gradiente de velocidad V =

•

Newton dedujo la relación existente entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad a través de la sección transversal del conducto.

τ =µ

dV dy

D y τ y = γS f  −   4 2

Si y = 0, se tiene que τ = γRS f Si y = D/2 τ = 0 τy = esfuerzo cortante en un punto y de la conducción τ = esfuerzo cortante y = distancia desde las paredes del conducto a un punto dentro del fluido µ = viscosidad dinámica V = velocidad de flujo

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y D y

τ Figura 5.2. Variación lineal del esfuerzo cortante a través de la sección transversal de un conducto en régimen laminar. 6. Flujo uniforme con régimen turbulento El flujo turbulento se presenta si las fuerzas viscosas son débiles con relación a las fuerzas inerciales. Al aumentar el gradiente de velocidad se incrementa el intercambio de momentum molecular entre las partículas del flujo, la viscosidad pierde su efecto, las partículas tienden a rotar y debido a esto, cambian de trayectoria chocando entre si. El flujo de agua en las aplicaciones prácticas de la ingeniería presenta generalmente régimen turbulento. Se observa fácilmente en ríos y en la atmósfera. El movimiento de las partículas líquidas se realiza siguiendo trayectorias muy irregulares o desordenadas, presentando las siguientes características:

• Las líneas de corriente se entremezclan presentando transferencia de energía entre las partículas líquidas. • Existe fricción entre el fluido y la pared del conducto y entre partículas del fluido. • Se presenta para flujos con velocidades altas. • La distribución de la velocidad a través de la sección del conducto sigue una ley de variación logarítmica. Por ejemplo,  15 y  V y = 5.7V* log   a  •

Para un mismo punto dentro de la sección del conducto, existen pulsaciones de la velocidad. Esto implica que las componentes de velocidad están continuamente fluctuando lo que indica que el flujo sería no permanente. Sin embargo, en promedio en el tiempo, se puede asumir para efectos prácticos un valor medio de la velocidad a lo largo de una línea de corriente.

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INTRODUCCIÓN 20

Figura 6.1. Componentes de la velocidad del flujo turbulento en un conducto cilíndrico. Sotelo A. G. 1982. Como se observa, la distribución de velocidad en régimen de flujo turbulento es mas uniforme que en régimen laminar puesto que partículas con velocidad baja cerca de la pared son transportadas hacia el centro del conducto a zonas de mas alta velocidad y viceversa, por lo que velocidades bajas se mezclan con velocidades altas dando velocidades mas uniformes en la masa del fluido.

Figura 6.2. Fluctuaciones turbulentas de la velocidad. Sotelo A. G. 1982. La distribución no uniforme de la velocidad con relación al tiempo en régimen turbulento indica flujo no permanente, tal como se observa en las anteriores figuras. Sin embargo, si se consideran los valores medios en el tiempo, tomando la velocidad en un punto para intervalos largos, entonces se puede trabajar con velocidad constante. • La pérdida de carga por fricción unitaria es proporcional a la velocidad de flujo elevada a una potencia entre 1.7 y 2, tal como se ve en las ecuaciones de DarcyWeisbach, Hazen-Williams, logarítmica, que se discutirán mas adelante. •

El esfuerzo cortante para un punto a una distancia y de las paredes del conducto está influenciado por la resistencia por fricción que ofrece el conducto y que existe entre las partículas fluidas de la mezcla. Se considera que el esfuerzo cortante debido a la mezcla de las partículas se distribuye a través de la sección del conducto de la misma forma que la longitud de mezcla y que el efecto de la fricción entre fluido y conducto se distribuye de la misma forma que en régimen laminar.

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INTRODUCCIÓN 21

y D

+

= y

τc

+

τm

τ

=

τ = γRS f Figura 6.3. Variación lineal del esfuerzo cortante a través de la sección transversal de un conducto en régimen turbulento. τc = esfuerzo cortante debido a la resistencia por fricción que ofrece el conducto τm = esfuerzo cortante debido a la resistencia por fricción al mezclarse las partículas del fluido •

El esfuerzo cortante es proporcional al gradiente de velocidad elevado al cuadrado. Prandtl dedujo la ley que relacionaba el esfuerzo cortante y la velocidad a través de la sección recta.  dV τ = ρ (LM )   dy 2

  

2

6.1 Longitud de mezcla La longitud de mezcla es un parámetro proporcional a la turbulencia que causa la mezcla de las partículas y fue investigada por Prandtl y su alumno T. Von –Karman hacia 1925. LM = Κy LM = longitud de mezcla Κ = constante universal de turbulencia, (Prandtl, von Karman) = 0.4 y = distancia de la partícula desde las paredes del conducto La longitud de mezcla se define como la distancia que tiene que viajar un paquete de moléculas típico para perder su momentum extra cuando se mueve de una capa con una velocidad a otra con diferente velocidad media. 6.2 Teoría de capa límite La teoría de capa límite fue planteada a comienzos del siglo XX por el alemán Prandtl y revolucionó en su momento la aeronáutica, la ingeniería naval y la mecánica de fluidos. Prandtl junto con otros investigadores descubrieron que cuando el flujo es turbulento existe cerca de las paredes de un conducto una pequeñísima sub-capa que tiene régimen laminar. Esta teoría de capa límite encuentra su aplicación en fluidos poco viscosos como el agua o el aire. La capa límite es la zona afectada por el esfuerzo cortante que se genera cuando un fluido en movimiento interactúa con una pared sólida.

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INTRODUCCIÓN 22

Al pasar el fluido de un depósito de gran tamaño en donde la velocidad es muy baja o nula, a un conducto cerrado, la velocidad va aumentando desde cero cerca de las paredes hasta un máximo en la zona central, haciendo que las partículas se empiecen a entremezclar ocasionando que el flujo se vaya volviendo turbulento hasta llegar a la turbulencia completa. La Figura siguiente explica el proceso:

Capa límite turbulenta

Capa límite laminar

Figura 6.4. Desarrollo de la capa límite. Cano, G. R. 1985. En una sección 0-0 antes de la entrada al tubo la distribución de velocidad es constante e igual a vo. Al acercarse el flujo a la sección 1-1 de entrada al tubo, las partículas de fluido en contacto con las paredes del tubo tienen velocidad vo que va aumentando hasta una velocidad máxima v1 en la zona central. En la sección 5-5 se tiene una corona exterior de fluido de espesor δ que se llama capa límite. En esta capa límite la velocidad es variable desde cero en las paredes del tubo a v1 en su límite interior; esta velocidad se conserva en un núcleo circular central. v1 se hace mayor a vo debido al retardo del flujo en la corona exterior. El flujo es laminar en la zona inicial del tubo tanto en la corona exterior y en el núcleo central debido a que las velocidades son bajas. Esta situación ocurre dentro del tubo entre las secciones 1-1 y 2-2. De la sección 2-2 en adelante la velocidad máxima dentro de la capa límite es suficientemente alta y se produce flujo turbulento dentro de la capa límite. El espesor de la capa límite aumenta hasta llegar a su valor máximo en la sección 3-3. A partir de esta sección desaparece el núcleo central de velocidad constante v1, la capa límite cubre toda la sección del tubo con un espesor igual al radio del conducto y se está en una zona de turbulencia completa. Debido a que la velocidad es muy baja en la proximidad de las paredes del conducto se desarrolla una pequeña capa de flujo laminar de espesor δo llamada sub-capa laminar. Esta es una capa de espesor muy pequeño (µ, mm) y en ella se sienten mucho los efectos de la viscosidad del fluido y del rozamiento. Régimen turbulento Espesor de la sub-capa δ0 laminar viscosa

Conducto Figura 6.5. Flujo turbulento y sub-capa laminar viscosa.

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INTRODUCCIÓN 23

6.7 Comportamiento hidráulico del conducto El concepto de sub-capa laminar permite explicar el efecto de la rugosidad sobre las paredes del conducto ya que la existencia de la sub-capa laminar y el efecto de la rugosidad influencian el comportamiento hidráulico de los conductos tal como se ilustra a continuación: δo

ε

ε δo

δ0 > ε Conducto hidráulicamente liso

ε > δ0 Conducto hidráulicamente rugoso

Figura 6.6. Comportamiento hidráulico del conducto. Cuando la rugosidad absoluta es apreciablemente menor que el espesor de la sub-capa laminar los remolinos y vórtices causados por las irregularidades se anulan por efecto de la viscosidad. En este caso la rugosidad no afecta la formación de la turbulencia y se dice que la superficie del material actúa como hidráulicamente lisa. Cuando la rugosidad absoluta es apreciablemente mayor que el espesor de la sub-capa laminar los remolinos y vórtices causados por las irregularidades destruyen la sub-capa laminar generando turbulencia apreciable y se dice que la superficie del material actúa como hidráulicamente rugosa. En teoría, se pueden usar los siguientes rangos para decidir si un conducto es hidráulicamente liso o rugoso:

ε > 6.1δ0 CHR ε < 0.305δ0 CHL 0.305δ0 < ε < 6.1δ0 Transición ε = rugosidad absoluta del conducto δ0 = espesor de la sub-capa laminar δ0 =

11.6υ V*

V* =

τ ρ

τ = γRS f V* =

γRS f ρ δ0 =

V* = velocidad cortante

= gRS f 11.6υ gRS f