Hid Rodin Á Mica

 

FISICA BIOLOGICA Clase teórica, Hidrodinámica, Unidad IV

FLUJO DE FLUIDOS IDEALES: HIDRODINAMICA El siguiente material corresponde a una síntesis no literal basada, principalmente, en los textos: -  Fundamentos Físicos de los Procesos Biológicos, vol. 2, e-book, Villar R., López C., Cussó F. (Editorial Club Universitario, Univer sitario, San Vicente, Alicante). -  Física para Ciencia e Ingeniería, vol. 1, Giancoli D., 2008 (Pearson Education, Mexico)

Vamos a analizar ahora el movimiento de los fluidos. Inicialmente consideraremos un fluido que se mueve por un tubo de sección variable. Supondremos que: -  El fluido es ideal, es decir que no presenta viscosidad. -  El fluido es incompresible, su densidad es la misma m isma en todos sus puntos. -  El régimen es estacionario: en cada punto del espacio la velocidad y aceleración del fluido no cambian con el tiempo, aun cuando puedan ser distintas en puntos diferentes. Nótese que estacionario no es equivalente a “en reposo”. El fluido se m ueve, pero su velocidad y aceleración en cada punto del espacio no cambian con el tiempo. -  El régimen es laminar, no presenta turbulencias. Caudal En un conducto por el que circula un fluido se define caudal como el volumen de fluido que pasa por una sección transversal de la tubería, por unidad de tiempo: Q

 

=

V

 

t

[Q] = m3/s (SI), también se utilizan otras unidades unidades como el litro/min El caudal también puede expresarse en función de la velocidad v   (uniforme en toda la sección) que tiene el fluido en una sección de área  A de la tubería:

 =  .   Si en el conducto no hay fuentes ni sumideros, es decir que no se producen pérdidas ni aportes extra de fluido, el caudal se conserva, el mismo volumen de fluido que entra por un extremo debe salir por el otro, en el mismo tiempo.

Por lo tanto la conservación del caudal o ecuación de continuidad  se  se puede escribir como:

1 =    1  1 =     

 

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ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli describe la dinámica de un fluido en un conducto, al relacionar la presión, con la velocidad y la posición del punto considerado en el fluido. Aplicando el teorema trabajo  – energía (el trabajo mecánico que se realiza desde el exterior sobre el fluido es igual al incremento de su energía mecánica) se encuentra que:

P1 + ½ δ v 12 + δ g h1 = P2 + ½ δ v 22 + δ g h2 = constante

Los puntos “1” y “2” son dos puntos cualesquiera en el fluido. P : presión presión ejercida ejercida por por el fluido [P] = N/m2 (SI) δ: densidad [δ] = kg/m3  (SI) v : velocidad [v ] = m/s (SI) h: altura, con respecto al referencial elegido [h] = m (SI)     = 1        =    Energía cinética por unidad de volumen              =   ℎ =    Energía potencial por unidad de volumen

Estas energías por unidad de volumen se miden en J/m3, en el sistema internacional.    Nótese que 3= 3 =  =    





Es decir que tanto la energía cinética por unidad de volumen como la potencial por unidad de volumen se miden en unidades equivalentes a las de presión.

Nótese que se supone, implícitamente, que no existe transferencia de calor entre el fluido y el medio exterior, lo cual es una aproximación correcta en la mayoría de los casos, ya que suele ser mucho más lento el proceso de transmisión del calor que el del flujo. Tampoco existe disipación de calor en el seno del fluido, ya que no hay viscosidad. El término ½ δ v 2 + δ g h  volumen  del fluido, por lo que se puede decir h   es la energía mecánica por unidad de volumen del que: La suma de la presión y la energía mecánica por unidad de volumen del fluido, es constante en cualquier punto.

 

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Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Fórmula de Torricelli Considérese la situación representada en la siguiente figura, en la que un líquido sale de un “gran” depósito que lo contiene, a través de un pequeño orificio lateral practicado en el mismo y a una profundidad h por debajo de la superficie libre.

La ecuación de Bernoulli se aplica en este caso de la siguiente forma. Se considera como primera sección la superficie libre del líquido (punto 1) y como segunda sección el orificio (punto 2). La presión en ambas secciones es la misma, ya que es igual a la presión atmosférica externa P0, que actúa sobre el fluido en ambos lugares. La velocidad de salida por el orificio es v , mientras que la velocidad en la superficie libre es aquélla con la que baja el nivelsidel fluido. La en superficie superior es muchode mayor que la sección del pequeño orificio de salida. Porque lo tanto, razonamos términos de la ecuación continuidad, comprobaremos que la velocidad con desciende el líquido en (1) es despreciable frente a v. Consideraremos a la velocidad en (1) prácticamente nula. Si elegimos el origen para medir las alturas al nivel del orificio pequeño, la ecuación de Bernoulli se reduce en este caso a: P0 + ½ δ. 0 δ. 02 + δ g h = P0 + ½ δ v 2 + δ g .0  P0 + δ g h = P0 + ½ δ v 2  δ g h = ½ δ v 2 

de donde

 = √ 2  ℎ

Ésta es la fórmula de Torricelli. Nótese que si la presión que actúa en los puntos 1 y 2 es diferente, no podrá cancelarse y la fórmula de Torricelli no será válida.

El efecto Venturi

Analicemos ahora la dependencia de la presión con la velocidad del fluido, en un tubo horizontal de sección variable como el representado en la figura. Como los dos puntos considerados se encuentran al mismo nivel, los términos “δgh “δgh”  ”   que representan la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen en la ecuación de Bernoulli son iguales en los dos miembros y se cancelan. La igualdad queda en la forma: P1 + ½ δ v 12 = P2 + ½ δ v 22 

 

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Esta ecuación indica que, si en una sección del conducto aumenta la velocidad, disminuye la presión en dicha sección. Recíprocamente, al disminuir la velocidad en una sección, aumenta la presión en ella. Esta propiedad tiene consecuencias muy importantes. Sin embargo, veamos antes que resulta algo paradójica. Supongamos que un fluido circula por un tubo horizontal que se estrecha progresivamente. La ecuación de continuidad indica que, al disminuir la sección del tubo, aumenta su velocidad. La ecuación del efecto Venturi indica que, como consecuencia, disminuye la presión. El efecto neto es que a menor sección, menor presión en el fluido, lo cual no era fácilmente esperable. La intuición sugiere, más bien, que en un estrechamiento de una conducción, aumenta la presión del líquido, lo cual no es correcto. Para ayudar a aclarar cualquier malentendido, tengamos en cuenta que un fluido con mayor rapidez ejercería una mayor fuerza sobre un obstáculo que se interpusiera en su trayecto. Sin embargo, esto no es lo que queremos decir al referirnos a la presión en un fluido y, además, no estamos considerando los obstáculos que interrumpen el flujo. Examinamos un flujo laminar suave. La presión del fluido origina fuerzas sobre las paredes de un tubo o sobre la superficie de cualquier material por el que circula el fluido.La fuerza por unidad de área, que el fluido ejerce sobre las paredes, disminuye cuando el fluido circula con mayor velocidad. Cuando el flujo no es horizontal, pero en el fluido se producen grandes variaciones de velocidad, el efecto Venturi es más relevante que el efecto del cambio de altura y la fórmula anterior se puede utilizar con buena aproximación. En caso de duda, debe aplicarse la ecuación completa de Bernouilli.

El venturímetro En la siguiente figura se representa un dispositivo denominado venturímetro. En un conducto de sección variable se han colocado dos tubos verticales. Por cada tubo sube una columna de líquido. La altura de esta columna es proporcional a la diferencia entre la presión ejercida por el líquido que circula en el conducto y la presión externa, que podemos suponer que es la presión atmosférica P0.

1 = 0 +   1    = 0 +     

y, por tanto, restando la primera ecuación de la segunda, se obtiene:

1 −  =   (1 −  ) Esta expresión se puede combinar con la ecuación de continuidad y la de Bernoulli, de modo que el venturímetro puede utilizarse, por ejemplo, para medir indirectamente la velocidad del líquido en ambos puntos del conducto y, por lo tanto, el caudal.

 

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Pulverizador de líquido El funcionamiento de un pulverizador de líquido como el de la figura se puede explicar a partir del efecto Venturi. Al presionar el bulbo elástico, el aire fluye por el tubo horizontal y, debido al estrechamiento, en ese punto el valor de la presión pasa a ser inferior al atmosférico. Ello provoca que el líquido ascienda por el tubo, impulsado por la diferencia de presiones entre el vaso y el estrechamiento. Al llegar el líquido al estrechamiento, es pulverizado por la corriente de aire que continúa saliendo del bulbo.

La sustentación de los animales voladores y de los aviones El efecto Venturi, que se ha deducido como una consecuencia de la ecuación de Bernoulli, proporciona la base física de la fuerza de sustentación en el aire de los animales voladores y de los aviones. Tanto las aves y los insectos como los aviones son mucho más densos que el aire, por lo que la fuerza que los sustenta no es el empuje vinculado al principio de Arquímedes. Todos ellos vuelan gracias al movimiento. Si se detienen, caen al suelo. La fuerza de sustentación procede de conseguir, gracias al movimiento en el aire, que la presión en la parte superior de las alas sea menor que en la inferior, con lo que se produce una fuerza ascensional debida a la diferencia de presiones en el fluido. La diferencia de presiones se explica mediante el efecto Venturi. Algunos peces y mamíferos acuáticos, como los tiburones, emplean también esta acción sustentadora para no hundirse en el agua y para subir a la superficie desde aguas profundas, cuando carecen de otros sistemas de flotación. Examinemos la situación en un ala de avión, de acuerdo con el esquema de la figura en el que se representa el perfil del ala.

La fuerza de “sustentación” sobre el ala, actúa si ésta se mueve con una rapidez suficiente con respecto al aire y las alas se inclinan hacia arriba en un ángulo pequeño, el “ángulo de ataque” . Consideramos un sistema de referencia anclado en el ala. Tanto la inclinación hacia arriba como la superficie superior redondeada del ala hacen que la rapidez del aire sea mayor sobre el ala que debajo de ella, la presión por encima del ala es menor que la presión debajo de ésta (ecuación de Bernoulli). Por lo tanto, existe una fuerza neta ascendente en el ala llamada sustentación dinámica. Un ala plana, o con una sección transversal simétrica, experimentará sustentación siempre que la parte frontal del ala esté inclinada hacia arriba (ángulo de ataque). El ala que se ilustra en la figura puede experimentar sustentación incluso si el ángulo de ataque es cero, porque la superficie superior redondeada desvía el aire hacia arriba, haciendo que las líneas de flujo se junten.

 

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Palpitación vascular En una persona con arteriosclerosis avanzada, la arteria está restringida, como resultado de una placa presente en sus paredes interiores. Para mantener un caudal constante, la sangre debe pasar con más rapidez que lo normal por esta restricción. Si la rapidez de la sangre es suficientemente alta en la región reducida, su presión es baja y la arteria puede colapsarse por la presión externa, causando una interrupción momentánea del flujo de sangre. Durante el colapso no hay efecto Venturi, así que el vaso se vuelve a abrir bajo la presión arterial. Cuando la sangre circula por la arteria reducida, la presión interna desciende y la arteria se cierra nuevamente. Estas variaciones del flujo sanguíneo pueden escucharse con un estetoscopio. Si la placa se desprende y termina en un vaso más pequeño que lleve sangre al corazón, la persona puede sufrir un ataque cardíaco.

 Aneurisma Un aneurisma es una zona debilitada de una arteria donde las paredes de ésta se inflan. La sangre circula con más lentitud en esta región, como se desprende de la ecuación de continuidad, resultando un aumento de presión en la cercanía del aneurisma con respecto a la presión en otras partes de la arteria. Esta condición es peligrosa porque el exceso de presión puede causar que la arteria se rompa.