Heiskanen
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G E O D E S I A F I S I C A
WEIKKO A. HEISKANEN Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia
HELMUT MORITZ Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín
W. H. FREEMAN AND COMPANY San Francisco y Londres
PREFACIO Casi todas las mediciones geodésicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, el estudio de las propiedades físicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodésicas, las cuales constituyen la base de la geodesia física, representa una parte esencial de la educación de un geodesta. En los diez años que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, “The Earth and Its Gravity Field” (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el tiempo resultaba cada vez más difícil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto teóricos como prácticos, en una nueva edición del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El gran aumento en la cantidad de información disponible requería que este se limitara concretamente a los aspectos geodésicos; los adelantos teóricos han hecho necesario un mayor énfasis en los métodos matemáticos. Así nació este libro, cuyo propósito es exponer los aspectos teóricos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresión “física teórica”. Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado, se deberá contar con todos los conocimientos matemáticos y físicos requeridos por los departamentos de geodesia física. Los capítulos del 6 al 8 presentan varios temas más especializados y avanzados en los que actualmente se están realizando muchas investigaciones. (Es posible que estos capítulos sean más parcializados que los demás). El lector que logre conocer esta materia a fondo estará en capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado un capítulo sobre métodos celestes o astronómicos; este material podría formar parte del curso básico. Hemos puesto todo nuestro empeño para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deducciones detalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de los principios se han considerado más importantes que los desarrollos matemáticos formales pero sin omitir estos últimos. Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los últimos adelantos teóricos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el capítulo 8. Se han omitido intencionalmente aquellas técnicas de observación como las que se utilizan para las observaciones astronómicas o las mediciones gravimétricas ya que no tienen mucha relación con una presentación que, básicamente es teórica. Al final de cada capítulo hay una bibliografía de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cuales podrían resultar útiles para un estudio más detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el año de publicación –por ejemplo, Kellogg (1929). No ha sido nuestra intención establecer prioridades. Los nombres relacionados con las fórmulas deben considerarse principalmente rótulos o membretes convenientes. Así mismo, se ha indicado la obra de mayor acceso o más completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera. La mayoría de nuestras propias investigaciones que se han incluido en el libro se llevaron a cabo en la Universidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revisó cuidadosamente la redacción en inglés de partes del manuscrito.
Diciembre 1966 WEIKKO A. HEISKANEN HELMUT MORITZ
INDICE
1 Principios de la Teoría del Potencial 11. Introducción. Atracción del Potencial. 1 12. Potencial de un Cuerpo Sólido 3 13. Potencial de una Superficie Material 5 14. Potencial de una Doble Capa 6 15. Fórmulas Integrales de Gauss y Green 9 16. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green 11 17. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet 14 18. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas 17 19. Armónicas Esféricas 19 110. Armónicas Esféricas de Superficie 20 111. Funciones de Legendre 21 112. Funciones de Legendre del Segundo Tipo 26 113. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad 28 114. Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas 29 1.15. Desarrollo dela Distancia Recíproca en Armónicas Zonales. Fórmula de Descomposición 33 1.16. Solución del Problema de Dirichlet por medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson 35 1.17. Otros Problemas de Valores Límites 37 1.18. La Derivada Radial de una Función Armónica 38 1.19. La Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales 41 1.20. Armónicas Elipsoidales 43 Referencias 48
2 El Campo de Gravedad de la Tierra 21. Gravedad 49 22. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada 51 2.3. Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Líneas de la Plomada 53 2.4. Coordenadas Naturales 58 25. El Potencial e la Tierra en Términos de Armónicas Esféricas 60 26. Armónicas de Grado Inferior 64 27. El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel 67 28. Gravedad Normal 70 29. Desarrollo del Potencial Normal 74 210. Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal 77 211. Valores Numéricos. El Elipsoide Internacional 82 212. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia 84 213. El Campo Anómalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical 85 214. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas 90 2.15. Anomalías de la Gravedad 92 2.16. Fórmula de Stokes 95 2.17. Formas Explícitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas 98 2.18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario 101 2.19. Generalización dela Fórmula de Stokes para N 103 2.20. Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra 110 2.21. El Elipsoide Terrestre Medio 112 2.22. Desviaciones de la Vertical. Fórmula de Vening Meinesz 114
2.23. El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reducción de Aire Libre al Nivel del Mar 117 2.24. Determinación Práctica del Valor de las Fórmulas Integrales 120 Referencias 126
3 Métodos Gravimétricos 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.
Reducción de la Gravedad 129 Fórmulas Auxiliares 130 La Reducción de Bouguer 133 Isostasia 136 Reducciones Isostáticas 140 El Efecto Indirecto 144 Otras Reducciones de la Gravedad 146 Efectos Esféricos 150 Determinación Práctica del Geoide 155 Referencias 162
4 Alturas Sobre el Nivel del Mar 4.1. Nivelación con Nivel de Burbuja 164 4.2. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas 166 4.3. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey 167 4.4. Alturas Ortométricas 170 4.5. Alturas Normales 174 4.6. Comparación de los Diversos Sistemas de Alturas 176 4.7. Alturas Trianguladas 178 Referencias 182
5 Métodos Astrogeodésicos
5.1. Introducción 183 5.2. Proyecciones hacia el Elipsoide 184 5.3. Proyección de Helmert. Coordenadas Geodésicas y Rectangulares 186 5.4. Reducción delas Observaciones Astronómicas al Elipsoide 190 5.5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Verticales y de las Distancias 194 5.6. Reducción de las Coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada 198 5.7. La Determinación Astrogeodésica del Geoide 202 5.8. Interpolación de las Desviaciones de la Vertical. Nivelación Astrogravimétrica 206 5.9. Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum 209 5.10.Determinación del Tamaño de la Tierra 215 5.11.Elipsoides de Mejor Ajuste y el Elipsoide Terrestre Medio 220 5.12.Geodesia Tridimensional 223
Referencias 230
6 Campo de Gravedad Fuera de la Tierra 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.
Introducción Gravedad Normal – Fórmulas Cerradas Gravedad Normal – Desarrollos en Serie Perturbaciones de la Gravedad – Método Directo Perturbaciones de la Gravedad – Método de Revestimiento Perturbaciones de la Gravedad – Prolongación Ascendente Otras Consideraciones Anomalías de la Gravedad Fuera de al Tierra Referencias
7 Métodos Estadísticos en la Geodesia Física 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10.
Introducción La Función de Covarianza Desarrollo de la Función de Covarianza en Armónicas Esféricas Influencia de Zonas Distantes en la Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz Interpolación y Extrapolación de las Anomalías de Gravedad Precisión de los Métodos de Predicción. Predicción Mínima Cuadrática Propagación del Error. Precisión de las Armónicas Esféricas Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalías de la Gravedad Precisión de las Anomalías Medias Correlación con la Elevación Referencias
8 Métodos Modernos para Determinar la Configuración de la Tierra 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7.
Introducción Reducciones de al Gravedad y el Geoide El Problema de Molodensky Ecuaciones Integrales Lineales Aplicación de las Integrales de Green Ecuación Integral para la Capa Superficial Solución de la Ecuación Integral
8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13.
Interpretación Geométrica Desviaciones dela Vertical Prolongación Descendente hasta el Nivel del Mar Reducción de la Gravedad según la Teoría Moderna Determinación del Geoide con las Anomalías a Nivel del Suelo Repaso Referencias
9 Métodos Astronómicos 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8.
Introducción. Métodos de Observación Determinación del Tamaño de la Tierra con Observaciones de la Luna Efectos Dinámicos del Achatamiento de la Tierra Determinación del Achatamiento a partir de la Precisión Orbitas de los Satélites Artificiales Determinación de las Armónicas Zonales Coordenadas Rectangulares del Satélite y sus Perturbaciones Determinación de las Armónicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones
Referencias
CAPITULO 1
1.1.
Introducción. Atracción y Potencial
El propósito de este capítulo es presentar los principios de la teoría del potencial, incluyendo las armónicas esféricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir la plena comprensión de los capítulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de los teoremas y de las fórmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquier otra parte del textos sobre la teoría del potencial (léanse las referencias al final de este capítulo). Se ha tratado de hacer una presentación sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa y exacta. Aun así, es posible que el lector considere este capítulo más bien abstracto y hasta más difícil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prácticas ofrecerán más adelante un concepto más concreto de los temas expuestos en este capítulo, tal vez el lector prefiera leerlo por encima la primera vez para luego regresar a él cuando sea necesario. De acuerdo con la ley de la gravitación de Newton, dos puntos cuyas masas están representadas por m1, m2, separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a
F =k
m1m2 l2
(11)
Esta fuerza está orientada a lo largo de la línea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. En unidades de egs, dicha constante tiene un valor de
k = 66.7 X 10 −8 cm 2 g −1 sec −2 (12) según las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930. Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simétrica, resulta conveniente denominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atraída. Para mayor sencillez podemos considerar la masa atraída igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La fórmula F =k
m l2
(13)
Aunque las masas representan la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia l de m. Ahora podemos incorporar un sistema de coordenadas rectangulares xyz, y denotar las coordenadas de la masa atrayente m por ξ , η , ζ y las coordenadas del punto atraído P por x, y, z. La fuerza puede representarse mediante un vector con magnitud de F (fig. 11). Los componentes de F pueden expresarse así
km x− ξ x− ξ =−km l2 l l3 km y−η y−η Y =−F cos β=− 2 =−km 3 (14) l l l km z−ζ z−ζ Z=−F cos γ=− 2 =−km 3 l l l X =−F cos α=−
en donde
l= x−ξ 2 y−η 2 z−ζ 2 (15)
Luego incorporamos una función escalar
V =
km , (1 6) l
conocida como el potencial de gravitación. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarán por consiguiente así
X =
∂V ∂V ∂V , Y = , Z= , (17) ∂x ∂y ∂z
Esto puede verificarse fácilmente diferenciando (16), dado que
1 ∂l 1 x− ξ ∂ 1 x− ξ =− 2 =− 2 =− 3 ,. .. . .. .. (18) ∂x l l l ∂x l l
El símbolo vectorial de (17) se expresa F = (X,Y,Z) – grad V (17’) Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la función escalar V. Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (17), las tres componentes del vector F pueden sustituirse por una sola función V. Especialmente cuando estamos considerando la atracción de sistemas de masas puntuales o de cuerpos sólidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho más fácil tratar con el potencial que con las tres componentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son válidas las relaciones (17); la función sería entonces sólo una suma de las contribuciones de las respectivas partículas. De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . . . . . , m sistema sería la suma de las contribuciones individuales (16): V =
km1 l1
km 2 l2
. .. .. .. . .
km n ln
n
=k ∑ i =1
mi li
n
, que si tenemos el potencial del
(19)
FIGURA 11 Las componentes de la fuerza gravitacional. La figura superior muestra la componente y.
1.2.
Potencial de un Cuerpo Sólido
Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v (fig. 12) con una densidad de ρ=
dm , (110) dv
en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (19) se convierte en una integral
dm ρ =k ∭ dv , (111) l l v v En donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm = ρ dv y el punto atraído P. V =k
∭
FIGURA 12 Potencial de un cuerpo sólido
Si denotamos las coordenadas del punto atraído por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de ( ξ , η , ζ ), las coordenadas vemos que l está dada nuevamente por (15), y podemos escribir explícitamente V x , y , z =k
∭ v
ρ ξ ,η , ζ 2
x−ξ y−η 2 z−ζ 2
d ξdηdζ , (111’)
puesto que el elemento de volumen está expresado por Esta es la razón por la que tenemos integrales triples en (111) Las componentes de la fuerza de atracción están dadas por (17). Por ejemplo,
η =k ∭ ρ ξ , η , ζ v
∂ 1 d ξdηdζ . ∂x l
Nótese que hemos intercambiado el orden de la diferenciación y de la integración. Si sustituimos (18) en la expresión anterior, obtenemos finalmente
X =−k ∭ v
x−ξ l3
ρd v .
Hay expresiones similares que son válidas para Y y Z. El potencial V es continuo en todo el espacio y se anula cuando tiende a infinito como 1/ l. Esto es obvio por el hecho de que para distancias l muy grandes el cuerpo actúa más o menos como una masa puntual, con el resultado de que su atracción está representada aproximadamente por (16). En consecuencia, los planetas se consideran generalmente masas puntuales en lo que se refiere a la mecánica celeste. Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, también son continuas en todo el espacio, pero no así las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las segundas derivadas presentan una discontinuidad. Esto se manifiesta por el hecho de que el potencial V satisface la ecuación de Poisson:
V =−4πkρ (113) En donde V = El símbolo
∂ 2 V ∂2 V ∂ 2 V (114) ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2
, llamado el operador de Laplace, tiene la forma
∂2 ∂2 ∂2 ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2 Analizando (113 y 114) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrá que ser discontinua junto con ρ . En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vacío, la densidad ρ es cero y (113) se convierte en V =0 (115) Esta es la ecuación de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armónicas. Por consiguiente, el potencial de gravitación constituye una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas allí satisface la ecuación de Poisson. 1.3.
Potencial de una Superficie Material
Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con un espesor de cero y una densidad de
k=
dm dS
en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso más o menos imaginario pero aun así de gran importancia teórica. Al igual que (111), el potencial está dado por V =k
∬ S
dm k =k ∬ dS (116) l S l
en donde l representa la distancia entre el punto atraído P y el elemento de superficie dS (fig. 13).
En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior.
FIGURA 13 Potencial de una Superficie Material Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el límite si es desde el interior
dV ∂ 1 =−2π kkk ∬ k dS ; (117a) dn ∂n l S
dV ∂ 1 =+ 2π kkk ∬ k dS . (117b) dn ∂n l S Para efectos de este texto ∂/∂ n denotará la deriva en dirección de la normal exterior n (fig. 13). Por ende vemos que la derivada normal ∂ V /∂ n tiene una discontinuidad en S : ∂V ∂V − =−4π kk (118) ∂n ? ∂n ?
Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (117a,b) y representan la discontinuidad en S dela derivada de V a lo largo de una dirección arbitraria m :
∂V =−2πk k cos m , n k ∬ k ∂∂m ∂m S
∂V =+ 2πk k cos m , n k ∬ k ∂∂m ∂m S
1 dS . l
(119a)
1 dS . l
(119b)
en donde (m,n) denota el ángulo entre la dirección m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (117a,b) y de la continuidad de las derivadas tangenciales. Las discontinuidades ocurren únicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todas partes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la ecuación de Laplace para las funciones armónicas, V =0 . En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo sólido, anulándose como 1/ l para l ∞ . El potencial de las superficies materiales también se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo del potencial de doble capa que se explica continuación. 1.4. Potencial de una Doble Capa Imagínese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y –m, separadas por una distancia h pequeña (fig. 14). En gravitación, éste sería un caso enteramente imaginario puesto que no existen masas negativas, no obstante, el concepto matemático resulta útil. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen en efecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva está dado por
V ¿ =
km l
,
¿ el potencial de la masa negativa por
V −¿ = ¿
Luego el potencial total del dipolo estaría representado por
km h
,
¿ V −¿ =km
1 1 − . l h
¿ ¿ V =V ¿ ¿ Si denotamos la dirección del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylor con respecto a h :
1 1 ∂ 1 1 ∂2 1 2 = − h h −. .. . .. .. h l ∂n l 2 ∂ n2 l
FIGURA 14 Potencial de un Dipolo Al sustituir en la fórmula anterior obtenemos
V =k . mh .
∂ 1 mh 2 ∂ 2 1 −k .. .. .. . .. ∂n l 2 ∂ n2 l
o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio de M,
Mh ∂ 2 1 ∂ 1 V =k . M . −k . . .. .. .. . ∂n l 2 ∂ n2 l La cantidad mh = M se conoce como el momento dipolar. Supongamos ahora que la distancia h disminuye indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolar M = mh permanece infinito. En consecuencia, los términos de orden superior tienden a cero cuando h 0 y la expresión para V llega a un limite : V =kM
∂ 1 (120) ∂n l
Este es el potencial de un dipolo. Una doble capa en la superficie S podría considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequeña. La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P’ que se encuentran muy cerca uno del otro y cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 15). Por tanto, todo par de puntos correspondientes P, P’ forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura anterior está representada por = k (h muy pequeña, k muy grande). Aplicando (120) y sumando una sucesión (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidos en forma continua sobre la superficie S, obtenemos V =k
∂ 1 ∂ 1 . dM = k ∬ . dS (121) l ∂n l S
∬ ∂n S
Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.
FIGURA 15 El potencial de doble capa como límite del potencial de dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas. Es continuo en todas partes excepto en la superficie S; allí obtenemos dos limites diferentes para el potencial, dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S : V e=2πkμ
∬ S
V i =−2πkμ
∬ S
∂ 1 dS . (122a) ∂n l
∂ 1 dS . (122b) ∂n l
La diferencia, V e−V i =4πkμ , (123) es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasamos de afuera hacia adentro. Aunque las ecuaciones (122a,b) son similares a las (117a,b) la diferenciación ∂ / ∂ n se refiere a la normal a la superficie en el punto atraído P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las fórmulas para el potencial de doble capa, y por consiguiente en (122a,b), la diferenciación ∂ / ∂ n se toma a lo largo de la normal a la superficie en el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto la dirección de la normal a la superficie hacia fuera. La doble capa deberá distinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el mismo (se anulan como 1/ l), así como el hecho de que son armónicas tanto en el interior como en el exterior de S, satisfaciendo allí la ecuación de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezas totalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan usarse matemáticamente, especialmente con relación a los teoremas de Green. 1.5. Fórmulas Integrales de Gauss y Green Los teoremas y fórmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones básicas de la teoría del potencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia teórica. Fórmula de Gauss. Empezando por la fórmula integral de Gauss,
∭ div F . dv=∬ F n . dS , (124) v
S
en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proyección del vector F sobre la normal exterior a la superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes X, Y, Z, es decir, F = (X, Y, Z) entonces div F =
∂ X ∂Y ∂ Z (125) ∂ x ∂ y ∂z
Como la fórmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemáticas para ingeniería o de física matemática, no es necesario desarrollarla aquí. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva. La fórmula (124) es válida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado físico. El caso en que F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden existir fuentes de flujo donde éste se genera, o sumideros donde éste muere. La intensidad de las fuentes o sumideros se mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (124) representa la cantidad de fluido generado (o muere) en el tiempo unitario a través de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempo unitario a través dela superficie S. La fórmula de Gauss (124) expresa el hecho de que ambas cantidades son equivalentes. En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretación intuitiva no es tan obvia, pero muchas veces puede aplicarse la analogía del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitación las componentes X, Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (17) : X = Por tanto
∂V ∂V ∂V , Y = , Z= , ∂x ∂y ∂z
∂ X ∂ Y ∂ Z ∂ 2 V ∂2 V ∂ 2 V div F = = = V, ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2 de manera que según la ecuación de Poisson (113) div F = 4 πkρ , Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa ρ . La parte derecha de (124) se conoce como el flujo de fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional análogo también al flujo del fluido. Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las ecuaciones (1 7), es posible expresar la fórmula de Gauss en términos de la función V. Para el momento tomamos el eje x positivo en la dirección de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F será la componente X: Fn = X. Luego, como ∂ V /∂ x=∂ V /∂ n ; la derivada de V en la dirección de la normal n exterior, vemos que de acuerdo con (17)
F=
∂V ∂n
Incorporando esto y la relación div F =
V a (124), obtenemos
∂V
∭ V . dv=∬ ∂ n . dS . (126) v
S
Esta es la fórmula integral de Gauss para el potencial. Al deducir (126) de (124) únicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una función V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuación de Poisson para el campo gravitacional. Por lo tanto, la integral de Gauss también es válida para una función arbitraria V que sea suficientemente regular y diferenciable. Fórmulas de Green. Estas fórmulas se deducen de (124) mediante la sustitución X =U
∂V ∂V ∂V , Y =U , Z=U , ∂x ∂y ∂z
en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) está representado por
F n =U
∂V . ∂n
Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (125) la divergencia sería,
div F =
∂ U ∂V ∂U ∂V ∂U ∂V U V . ∂x ∂ x ∂ y ∂y ∂z ∂ z
De esta manera (124) pasa a ser
∂ U ∂V ∂U ∂V ∂U ∂V ∂V . dv=∬ U . dS . (127) ∂ x ∂ y ∂y ∂z ∂ z ∂n S
∭ U . V . dv∭ ∂ x v
v
Esta es la primera identidad de Green. Si en esta fórmula intercambiamos las funciones U y V y restamos la ecuación nueva de la original, obtenemos
∂V
∂V
∭ U . V −V . U dv=∬ U ∂ n −V ∂ n dS . (128) v
S
Esta es la segunda identidad de Green. En estas fórmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la región espacial v (v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y segundo orden. Es de gran importancia en el caso que
U=
1 , l
en donde l representa la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P está fuera de la superficie S, entonces 1/ l es regular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la misma, entonces 1/ l se torna infinito en algún punto de v y (128) no podrá aplicarse directamente sino que deberá modificarse. Pasando por alto la derivación mencionemos solamente el resultado :
1
∭l v
V . dv=− pV ∬ [ S
1 ∂V ∂ 1 −V ]. dS , (129) l ∂n ∂n l
en donde p = 4 π si P está dentro de S, 2 π si P está en S, 0 si P está fuera de S. Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (128) en el término –pV. La razón por la que (1 29) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el término que contiene ∂/∂ n (1/ l), el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidades en S. Si P está fuera de S, entonces 1/ l es regular en v, y la ecuación (129), con p = 0, es consecuencia inmediata de (128); v es el interior de la superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en dirección hacia fuera. La tercera identidad de Green (129) y también resulta válida si v es el exterior de la superficie S y la normal n es la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de , obteniendo así :
∭ v
1 1 ∂V ∂ 1 V . dv=− pV −∬ [ −V ]. dS , (129’) l l ∂n ∂n l S
en donde p = 4 π si P está fuera de S, 2 π si P está en S, 0 si P está dentro de S. Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es válida para las funciones V que, además de satisfacer los requerimientos generales para las identidades de Green, satisfacen asimismo ciertas condiciones en infinito, como el de anularse allí.
1.6.
Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green
Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales. 1. En la tercera identidad (129), hacemos que V≡1. De modo que
∂
∬ ∂n S
1 . dS= { 4 π si P está dentro de S, 2 π si P está en S ó 0 si P está fuera de S. (130) l
Estas fórmulas, que a veces resultan útiles , también fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremas sobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como éste tiene un valor constante dentro de la superficie y es cero fuera de ésta, con la discontinuidad característica (123) en S.
2.
En este caso, V es una función armónica fuera de S : V = 0. Si el punto P también está fuera de S, entonces la tercera identidad (129) resultaría en (p = 4 π ) :
V =−
1 1 ∂V 1 1 ∂ . dS ∬ . dS . (131) ∬ 4 S l ∂n 4 S l ∂n
Esta fórmula demuestra que toda función armónica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (1 16) con una densidad de k =−
1 ∂V , 4πk ∂ n =V/ 4πk .
y un potencial de doble capa (121), con una densidad de 3.
V =−
Aquí también V resulta armónica fuera de S. Supongamos además que S sea una superficie donde V = Vo = const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De manera que para un punto P fuera de S, aplicamos (131), obtenemos
1 1 ∂V V ∂ 1 . dS ∬ . dS . ∬ 4 S l ∂n 4 S ∂n l
La segunda integral es cero de acuerdo con (130). Por tanto
1 1 ∂V V =− ∬ . dS (132) 4π S l ∂ n Esta fórmula, atribuida a Charles, muestra que toda función armónica puede presentarse como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si V es el potencial de Newton de un cuerpo sólido dentro de S, podemos decir que es posible reemplazar cualquier cuerpo sólido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 16).
Daremos a continuación dos ejemplos algo más elaborados que consideramos sumamente importantes desde el punto de vista de la geodesia física. 4.
En la segunda identidad (128) hacemos que U≡1. Volvemos a obtener la fórmula de Gauss (126) :
∂V
∭ V . dv=∬ ∂ n . dS . v
S
FIGURA 16.
Teorema de Charles. En cualquier punto P fuera de S, el potencial de una capa superficial cuya densidad
−1 k =− 4πk . ∂ V
/∂ n es igual a la del sólido atrayente en sí.
Aplicamos esta fórmula al potencial de gravedad W (gravitación más fuerza centrífuga; refiérase a la sección 21) :
∭W v
. dv=∬ S
∂W . dS . ∂n
La función W satisface una ecuación (26)
W =−4πkρ2ω2 ,
la cual es similar a la ecuación de Poisson (113); ω representa la velocidad angular de la rotación de la tierra S. Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que
∭ −4πkρ2ω2 . dv=−∬ gn . dS . v
S
ó M =
1 ω2 g . dS v , (133) ∬ 4πk S n 2πk
en donde
M =∭ ρ . dv v
M es la masa de la tierra y v su volumen. Básicamente, esta ecuación es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partir de la gravedad medida. Nótese que no es necesario conocer la distribución detallada de la densidad en el interior de la tierra.
5.
Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (129) a un punto sobre la superficie terrestre. Entonces p = 2 π , de manera que tenemos
1
∭ l . W . dv2πW−∬ v
S
[
1 ∂W ∂ 1 −W . dS=0 l ∂n ∂n l
]
Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos
1
∭ l .−4πkρ2ω2 . dv2πW∬ v
S
∂ 1 gn . dS=0 ∂n l l
[ ] W
y según (111),
W =k ∭ v
1 ρ . dv ω 2 x 2 y 2 , l 2
finalmente obtenemos
S
∂ 1 gn dv . dS 2 πω 2 x 2 y 2 2ω2 ∭ =0 ∂n l l l v
[ ]
−2πW∬ W
(134)
Todas las cantidades de esta ecuación hacen referencia a la superficie S.
La ecuación (134) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, sería razonable suponer que la ecuación anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podríamos considerar esta ecuación como la base matemática para determinar la superficie física S de la tierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdo con la famosa teoría de Molodensky (refiérase al capítulo 8).
17. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet
Anteriormente se definieron las funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace
V =0 . Específicamente, una función se considera armónica en una región v del espacio si satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos de v. Si dicha región consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendrá además que anularse como 1/ l para l ∞ . Es posible demostrar que toda función armónica es analítica (en la región donde satisface la ecuación de Laplace); quiere decir, que es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden. La función armónica más sencilla es la que representa la distancia recíproca
1 1 = 2 l x−ξ y− η 2 z−ζ 2 ξ , η , ζ ) y (x, y, z), la cual se considera una función de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en el ξ , η , ζ ); comparemos (15) y (16) para km = 1.
entre dos puntos ( punto (
Puede demostrarse fácilmente que 1/ l es armónica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma manera que (18) :
x−ζ ; ∂ 1 x−ξ ∂ 1 y− η ∂ 1 ¿ =− 1 , =− 1 , =−¿ l 1 ∂x l ∂y l ∂z l ¿ l l
∂2 1 −l 2 3 x−ξ 2 ∂ 2 1 −l 2 3 y−η 2 ∂ 2 1 −l 2 3 z−ζ 2 = , 2= , 2= l l ∂ x2 l l2 ∂y l2 ∂z l2
Si sumamos las últimas tres ecuaciones y aplicamos la definición de
1 =0 ; l
, hallamos que
(135)
es decir que 1/ l es armónica. El punto ( ξ , η , ζ ), en donde l equivale a cero y 1/ l a infinito, es el único donde no puede aplicarse la deducción anterior; 1/ l no es armónica en este punto exclusivamente. De hecho, el potencial algo más general (16) de una masa puntual arbitraria m también es armónico excepto en ( (135) no cambia al multiplicar ambos lados por km.
ξ
,
η
,
ζ
) dado que
En el exterior de las masas atrayentes, no sólo el potencial de una masa puntual es armónico sino también cualquier otro potencial gravitacional. Consideremos ahora el potencial (111) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciación y de la integración, hallamos que de acuerdo con (111)
V =k
[
ρ
]
∭ l . dv =k ∭ ρΔ v
v
1 . dv=0 ; l
es decir, que el potencial de un cuerpo sólido también es armónico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes.
ξ
,
Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deducción anterior resulta nula puesto que 1/ l pasa a ser infinito para el elemento de masa dm ( η , ζ ) que coincide con P (c, y, z), y (135) deja de ser válida. Esta es la razón por la que el potencial de un cuerpo sólido no es armónico
en su interior y más bien satisface la ecuación diferencial de Poisson (113). De la misma manera podemos demostrar que el potencial (116) de una capa atrayente en una superficie S es armónico en todos sus puntos con excepción de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (121) de una doble capa es también armónico en todas partes excepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el límite del potencial combinado de dos capas superficiales contiguas; compárese la fig. 15. De manera que el potencial gravitacional es armónico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes y, por consiguiente, lo mismo ocurre con el potencial externo de la tierra si hacemos caso omiso de la atmósfera y la fuerza centrífuga. A esto se le debe la importancia que tienen las funciones armónicas en la geodesia física.
En general, es posible generar la misma función armónica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante conocido es el del potencial externo de una esfera homogénea:
V=
kM l
,
en donde M representa la masa de la esfera y l la distancia desde su centro1. Por tanto, todas las esferas homogéneas concéntricas con la misma masa total M, cualquiera que sea su tamaño, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro, puesto que el potencial de una masa puntual se determina también con esta fórmula. Otro ejemplo sería el teorema de Charles (132). Tomemos cualquier potencial V de Newton y denotemos una de sus superficies equipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sería el mismo que le de una capa superficial con una densidad
−
1 ∂V . ; 4πk ∂ n
Véase la fig. 16. Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una función V que sea armónica fuera de una superficie S está determinada por sus valores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un número infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la función armónica V dada. Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teoría del potencial no tiene una solución única (problema directo: determinación del potencial a partir de las masas; problema inverso: determinación de las masas a partir del potencial). El problema inverso se presenta en la exploración geofísica con las mediciones gravimétricas: se deducen masas invisibles basándose en las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma más completa, es necesario contar con información adicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geología o de mediciones sísmicas. Dada la importancia del teorema de Stokes, haremos aquí una prueba sencilla de su primera parte. Supongamos que determinada distribución de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos además que una distribución diferente de masa dentro de S genera un potencial V’ que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V’ – V por U, entonces, de acuerdo con nuestra hipótesis, U = 0 en S. Tomando la primera identidad de Green (127) y poniendo una función igual a la otra, obtenemos 2
∭ U . U . dv∭ v
v
2
2
∂U ∂U ∂U ∂x ∂y ∂z
[ ]
. dv=∬ U . S
∂U . dS . ∂n
Esta ecuación se aplica al exterior de S, de manera que v represente la región fuera de S.2 Dado que U = V’ – V, siendo esta la diferencia de dos funciones armónicas, también resulta armónica fuera de S y tenemos que U= 0 en v; además, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos 2
∭
2
∂U ∂U ∂U ∂x ∂y ∂z
2
[ ]
. dv=0
Si solo una de las derivadas de U tiene v otro valor que no sea cero, esta ecuación dejará de ser válida ya que el integrando debe ser siempre positivo cero. De manera que todas las derivadas de U tendrán que ser cero; es decir que U es una constante. Dado que U, como función armónica, tiene que ser cero en infinito, la constante tendrá que ser cero también. Por lo tanto, V’ – V = 0 o sea V’ = V en todo v, que es precisamente lo que se está tratando de demostrar. El teorema de Stokes establece que hay una sola función armónica V que asume determinados valores límites en una superficie S, siempre que dicha función armónica exista. La aseveración de que para valores límites asignados arbitrariamente existe siempre una función V que asume en S los valores límites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armónica fuera de S y V armónica dentro de S. El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemáticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincaré y Hilbert; la demostración resulta bastante difícil. El problema de calcular la función armónica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores límites en S se conoce comúnmente como el problema de Dirichlet, o el primer problema de los valores límites de la teoría del potencial. Se tratará con mayor detalle en la sección 116. Finalmente quisiéramos hacer notar que no hay función que sea armónica en todo el espacio (excepto en el caso de V ≡ 0) : siempre hay por lo menos una excepción. El potencial de una masa puntual, V = km / l, es singular para l = 0; el potencial de una distribución superficial o de una doble capa en una superficie S es armónico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S.
1
Esto se ve enseguida analizando (239) : en el caso de una simetría esférica, tanto Jnm como Knm deberán ser cero. Ello es posible si U es armónica, puesto que siendo éste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de las secciones anteriores quedarán satisfechas. 2
2
1.8. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas Las funciones armónicas más importantes son las llamadas armónicas esféricas. Para su determinación, es necesario incluir las coordenadas esféricas: r (vector radial), θ (distancia polar), λ (longitud concéntrica) (fig. 17). Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones x = r sin θ cos λ, y = r sin θ sin λ, (136) z = r cos θ o inversamente por 2 2 2 (137)
r= x y z , x 2 y2 , θ=tan−1 z y λ=tan−1 . x
FIGURA 17. Coordenadas esféricas y rectangulares. Para expresar la ecuación de Laplace por medio de las coordenadas esféricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento de distancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos
∂x ∂x ∂x ∂ r ∂ θ ∂λ , ∂r ∂θ ∂λ ∂y ∂y ∂y dy= ∂ r ∂ θ ∂λ , ∂r ∂θ ∂λ ∂x ∂z ∂z dz= ∂ r ∂ θ ∂λ. ∂r ∂θ ∂λ dx =
Diferenciando (136) e incorporándolas la fórmula básica
ds 2 =dx 2 dy 2 dz 2 Obtenemos
ds 2 =dr 2r 2 dθ2 r 2 sin 2 θ . dλ 2 .
(138)
Hubiera sido posible hallar esta conocida fórmula más fácilmente por medios geométricos, pero el método utilizado es más general y además puede aplicarse también a la coordenadas elipsoidales. En (138) no hay términos con dr dθ, dr dλ y dθ dλ. Esto demuestra el hecho de que las coordenadas esféricas son ortogonales: las esferas
r = const., los con los θ = const. y los planos λ = const se intersecan entre sí ortogonalmente. La forma general del elemento de arco expresado en coordenadas ortogonales arbitrarias q1, q2, q3 es
ds 2 =h 21 . dq12h 22 . dq 221h 23 . dq 23 .
(139)
puede demostrarse que el operador de Laplace en estas coordenadas es
V=
1 ∂ h2 h 3 ∂ h3 h1 ∂ h1 h 2 h 1 h 2 h3 ∂ q 1 h 1 ∂ q2 h2 ∂ q 3 h3
[ ]
Para las coordenadas esféricas, tenemos que
q 1 =r , q 2 = θ , q 3 =λ .
(140)
Una comparación de (138) con (139) mostrará que
h1 =1, h 2 =r , h3 =r . sin θ . Si sustituimos esto en (140), obtenemos
V=
1 ∂ 2 ∂V 1 1 ∂ ∂V ∂2 V r sin θ . ∂r ∂ θ r 2 sin 2 θ ∂2 λ r2 ∂ r r 2 sin θ ∂ θ
Al efectuar las diferenciaciones, hallamos
V=
1 ∂ 2 V 2 ∂ V 1 ∂2 V cot θ ∂ V ∂2 V =0 . ∂r2 r ∂r r2 ∂ θ2 r 2 ∂ θ r 2 sin 2 θ ∂ λ 2
(141)
que representa la ecuación de Laplace expresada en coordenadas esféricas. Se obtiene una expresión alterna multiplicando ambos lados por r 2
1 ∂2 V V ∂ V ∂2 V ∂V r 2r cot θ =0 . ∂ r ∂ θ2 ∂ θ sin 2 θ ∂ λ 2 ∂r2 2∂
2
(1 41’)
esta fórmula resulta mucho más conveniente para nuestro trabajo posterior.
1.9. Armónicas Esféricas Trataremos de resolver la ecuación de Laplace (141) o (141’) separando las variables r, θ, λ por medio de una sustitución tentativa V(r, θ, λ) = f (r) Y(θ, λ) (1 42) En donde f es una función de r solamente, y Y es una función de θ y de λ solamente. Al sustituir esto en (1 – 41’) y dividiendo por f Y, obtenemos
1 2 1 ∂2 Y ∂Y 1 ∂2 Y r f ''2 rf ' =− cot θ , f Y ∂ θ2 ∂ θ sin 2 θ ∂ λ 2
en donde las primas denotan una diferenciación con respecto al argumento (r, en este caso). Como la parte izquierda depende solamente de r y al parte derecha solamente de θ y λ, ambos lados deberán ser constantes. Por consiguiente, podemos separar la ecuación en dos:
r 2 f '' r 2 rf ' r −n n1 f r =0,
(1 43)
1 ∂2 Y ∂2 Y ∂Y cot θ n n1Y =0, ∂ θ sin 2 θ ∂ λ 2 ∂ θ2
(1 44)
en donde hemos representado la constante por medio de n (n + 1). Las soluciones de (1 43) están expresadas mediante las funciones
f r =r n
y
f r =r − n1 ;
(1 45)
esto deberá comprobarse por sustitución. Si denotamos las soluciones de (1 44) hasta ahora desconocidas por ecuación de Laplace (1 41) se resuelve por medio de la funciones
V =r n Y n θ , λ
y
V=
Y nθ , λ r n1
(1 46)
Y n θ ,λ
vemos que la
Estas funciones se conocen como las armónicas esféricas sólidas, mientras que las funciones
Y n θ , λ
se conocen como las armónicas
esféricas de superficie (de Laplace). Ambas se llaman armónicas esféricas; del tipo al que se está haciendo referencia por lo general se deduce del contexto. Más adelante veremos que n no es una constante arbitraria sino que tiene que ser entero 0, 1, 2, .......... Si una ecuación diferencial es lineal y conocemos varias soluciones entonces, como es bien conocido, la suma de estas soluciones será también una solución en sí. Por lo tanto podemos concluir que ∞
∞
V =∑ rnY nθ ,λ
y
Y n θ ,λ
n=0
n=0
son también soluciones de la ecuación de Laplace
V=∑
V =0
r n1
(1 47)
; es decir, funciones armónicas.
Lo importante es que toda función armónica –con ciertas restricciones puede expresarse en una de las formas indicadas en (1 47).
110. Armónicos Esféricos de Superficie Ahora tenemos que determinar las armónicas de superficie de Laplace
Y n θ , λ
.
Trataremos de resolver (1 44) por medio de una nueva sustitución tentativa
Y n θ , λ
= g (θ) h (λ), (1 48)
en donde tanto la función g como la h dependen de una sola variable. Efectuando esta sustitución en (1 44) y multiplicando por hallamos que
sin 2 θ/ gh
sin θ h '' sin θ . g ''cos θ . g' n n1sin θ . g =− , g h en donde las primas denotan diferenciación con respecto al argumento : θ en g, λ en h. La parte izquierda es una función de θ solamente, y la derecha es una función de λ solamente. Por lo tanto ambos lados tendrán que ser nuevamente constantes; supongamos que la constante sea 2 . De esta manera se divide la ecuación diferencial parcial (1 44) en dos ecuaciones diferenciales regulares para las funciones g (θ) y h (λ):
sin θ.g' ' (θ) + cos θ.g' (θ) + [n (n + 1) sin θ −
h '' λ m2 h λ =0
m2 .g(θ) = 0; sin θ
m
(1 49)
(1 50)
Las soluciones de la segunda ecuación son las funciones
h λ =cos mλ
y
h λ =sin mλ ,
(1 51)
tal como puede comprobarse por sustitución. La primera ecuación es más difícil. Puede demostrarse que sus soluciones tienen significado físico solamente si n y m son números enteros 1, 2, ........ y si m es menor que o igual a n. Una de las soluciones de (1 49) es la llamada función de Legendre
P nm cos θ
la cual será tratada con más detalle en la siguiente sección. Por tanto
g θ = P nm cos θ
(1 52)
y las funciones
Y n θ , λ =P nm cos θ cos mλ
y
Y n θ , λ =P nm cos θ sin mλ
(1 53)
son soluciones de la ecuación diferencial (1 44) para las armónicas de superficie de Laplace. Dado que esta ecuación es lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones (1 53) será también una solución en sí. Dicha combinación lineal tiene la siguiente forma general: n
Y n θ , λ = ∑ [ a nm P nm cos θ cos mλb nm P nm cos θ sin mλ] , m=0
en donde a nm y
bnm
son constantes arbitrarias. Esta es la expresión general para la armónica de superficie
Si incluimos esto en las ecuaciones (1 47), vemos que
Yn
.
m
V r , θ , λ = ∑ r n=0
m
V r , θ , λ = ∑
n=0
n
n
∑ [ a nm P nm cos θ cos mλb nm P nm cos θ sin mλ ] , (1 54a)
m=0
1
n
∑ [ anm P nm cos θ cos mλbnm P nm cos θ sin mλ] , (1 54b)
r n1 m=0
son soluciones de la ecuación de Laplace V =0 ; es decir, funciones armónicas. Además, tal como se ha mencionado anteriormente, son en realidad soluciones muy generales : toda función que sea armónica dentro de determinada esfera podrá desarrollarse para formar una serie (1 54a), y toda función que sea armónica fuera de determinada esfera (como por ejemplo, el potencial gravitacional de la tierra) podrá desarrollarse para formar una serie (1 54b). Así vemos como las armónicas esféricas pueden resultar útiles en la geodesia.
1.11.
Funciones de Legendre
En la sección anterior se definió la función Pnm (cos θ) de Legendre como una solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 49). La n denota el grado y m el orden de Pnm . Resulta conveniente transformar la ecuación de Legendre (1 49) sustituyendo t = cos θ (1 55) Para evitar confusiones, utilizamos una raya para indicar que g es una función de t. Por lo tanto, g (θ) = g (t),
dg dg dt = =−g ' t sin θ , dθ dt dθ g '' θ =g '' t sin 2 θ−g '' t cos2 θ . g ' θ =
Si insertamos esto en (1 49), dividimos por sin θ, y luego sustituimos sin 2
[
2
1−t g '' t −2t . g ' t n n1−
θ = 1 t 2 m2 1−t 2
]
obtenemos
. g t =0 .
(1 56)
La función de Legendre g (t) = Pnm (t), definida por
P nm t =
1 2n n !
1−t 2 m/ 2
satisface (1 56). Aparte del factor (1 − t 2 ) m / 2 =
( t − 1) 2
n
d nm 2 t −1n , nm dt
sin m θ
(1 57)
y de una constante, la función Pnm es la (n +m)ésima derivada del polinomio
. De esta manera es posible determinar su valor numérico sin ninguna dificultad. Por ejemplo,
1−t 2 1/ 2 d 2 2 1 P 11 t = t −1= 1−t 2∗2= 1−t 2 =sin θ . 2 2∗1 dt 2 El caso m = 0, tiene especial importancia. A menudo las funciones
P n t =P nθ t P nm t =
P nθ t
se denotan sencillamente por
dn 2 t −1n , n n 2 n ! dt 1
Pn t
. Luego (1 57) da
(1 57’)
Como m = 0, no hay raíz cuadrada, es decir, no hay sin θ. Por lo tanto, las son sencillamente polinomios de t. Se conocen como polinomios de Legendre. Aquí mostramos unos cuantos de los primeros polinomios para n = 0 hasta n = 2.
P p t =1,
P1 t =t ,
3 1 P 2 t = t 2 − t , 2 2
5 3 P 3 t = t 2 − t , 2 2
P4 t =
35 4 15 2 3 t − t , 8 4 8
P 5 t =
63 5 35 3 15 t − t t, 8 4 8
(1 58)
Recordemos que t = cos θ. Los polinomios podrán obtenerse por medio de (1 57’) o más fácilmente usando la fórmula de recursión
P n t =−
mediante la cual es posible calcular
P2
n−1 2n−1 P n−2 t t . P n−1 t , n n
a partir de
P0
y
P1
,
P3
a partir de
P1
(1 59)
y
P2
, etc. En la fig. 18 se muestran las graficadse
los polinomios de Legendre. Las potencias de cos θ pueden expresarse en términos de los cosenos de múltiplos de θ, tales como
1 1 cos 2 θ= cos 2θ , 2 2
1 3 cos 2 θ= cos 3θ cos θ . 4 4
Por consiguiente, también podemos expresar
Pn
(cos θ) en esta forma, obteniendo
3 1 P 2 cos θ = cos 2θ , 4 4 5 3 P 3 cos θ = cos 3θ cos θ , 8 8 35 5 9 P 4 cos θ = cos 4θ cos 2θ , 64 16 64 63 35 15 P 5 cos θ = cos 5θ cos 3θ cos θ , 128 128 64 .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . Si el orden m no es cero, es decir, m = 1, 2, . . . . . , n, las funciones de Legendre
(1 58’)
Pnm (cos θ) se conocen como las funciones asociadas de Legendre.
Estas pueden reducirse fácilmente a polinomios de Legendre por medio de la ecuación
2 m /2
P nm t = 1−t
d m Pn t dt m
,
(1 60)
que se desarrolla de (1 57) y (1 57’). De esta manera es posible expresar las funciones asociadas de Legendre en términos de polinomios de 2 Legendre del mismo grado n. Aquí damos algunas P , escribiendo t = cos θ,
1−t =sin θ :
nm
P 11 cos θ =sin θ
P 21 cos θ =3sin θ cos θ ,
P 22 cos θ =3sin 2 θ ,
P31=sin θ
P 32=15 sin 2 θ cos θ ,
15 3 cos 2 θ− , 2 2
P 33=15 sin 2 θ .
también mencionamos una fórmula explícita para cualquier función de Legendre (polinomio o función asociada) :
(1 61)
2 m/ 2
P nm t =2 1−t −n
r
2n−2k !
∑ −1k k ! n−k ! n−m−2k ! t n−m−2k . (1 62) k=0
donde r representa el número entero más alto ≤ (n m) / 2; v. g. r es (n m) / 2 o (n –m 1) / 2, cualquiera que sea un número entero. Esta fórmula resulta conveniente para la programación de una computadora electrónica. Puesto que es difícil encontrar esta fórmula útil en trabajos publicados hemos incluido aquí su deducción la cual es bastante sencilla y sin complicaciones. La información requerida sobre factoriales puede obtenerse de cualquier colección de fórmulas matemáticas.
FIGURA 18
Polinomios de Legendre como
funciones de t = cos θ. Arriba, n
es par; abajo, n es impar.
El teorema del binomio de Newton da: n
t 2 −1n = ∑ −1k k=0
n
n! n 2n−2k t = ∑ −1k t 2n−2k . k k ! n−k ! k=0
De esta manera se convierte en
P nm t =
1 2
n
1−t 2 m /2 ∑ −1k n k =0
1 t 2n−2k , k ! n−k !
Al suprimirse el factor común n! La résima derivada de la potencia t 8 es
dr r s! t =s s−1 .. .. . .. .. s−r1 t s−r = t s−r . r s−r ! dt Si ponemos r = n + m y s = 2 n – 2k, tenemos
2n−2k ! n−m−2k d nm 2n−2k t = t . nm n−m−2k ! dt Al insertar esto en la expresión anterior para Pnm (t) y notar que el exponente más bajo posible de t es t ó t° = 1, obtenemos (1 62). Las armónicas esféricas de superficie son las funciones de Legendre multiplicadas por cos mλ o sin mλ : Grado 0
P 0 cos θ ;
Grado 1
P 0 cos θ ;
Grado 2
P 2 cos θ ;
y así sucesivamente.
P 11 cos θ cos λ , P 11 cos θ sin λ ;
P 21 cos θ cos λ , P21 cos θ sin λ , P 22 cos θ cos 2λ , P22 cos θ sin 2λ ;
La representación geométrica de estas armónicas esféricas resulta útil. Las armónicas donde m = 0, es decir los polinomios de Legendre, son polinomios de grado n en t, de manera que tienen n ceros. Estos n ceros son todos reales y están situados en el intervalo 1 ≤ t ≤ +1, es decir 0 ≤ θ ≤ π (fig. 18). Las armónicas donde m = 0 cambian por lo tanto de signo n veces en este intervalo; además no dependen de λ . Su representación geométrica es por consiguiente similar al caso a de la fig. 19. Como dividen la esfera en zonas, también se conocen como armónicas zonales.
Las funciones asociadas de Legendre cambian de signo n – m veces en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π. Las funciones cos mλ y sin mλ tienen 2m ceros en el intervalo 0 ≤ λ ≤ 2 π, de manera que la representación geométrica de las armónicas para m ≠ 0 es similar a la del caso b. Dividen la esfera en compartimientos en los que son positivas y negativas alternativamente al igual que un tablero de ajedrez, y se conocen como armónicas t eserales. En el caso particular de n = m degeneran en funciones que dividen la esfera en sectores positivos y negativos, en cuyo caso se conocen como armónicas sectoriales (fig. 19, caso c).
FIGURA 19 Los diferentes tipos de armónicas esféricas : (a) zonales, (b) Teserales, (c) sectoriales.
1.12.
Funciones de Legendre del Segundo Tipo
La función de Legendre no es la única solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 56). Hay una función de naturaleza completamente diferente que también satisface esta ecuación. Se le conoce como la función de Legendre del segundo tipo, de grado n y de orden m, y que se denota por
Qnm t
.
Aunque
P nm t
Qnm t
son funciones de naturaleza totalmente diferente, satisfacen relaciones muy similares a las que satisfacen las
.
Las funciones “zonales”
Qn t ≡Q nθ t están definidas por n
y las otras por
1 1t 1 Qn t = P n t ln − ∑ P k −1 t P n−k t , 2 1−t k =1 k
(1 63)
2 m /2
Qnm t =1−t
d m Qn t dt m
La ecuación (1 64)es completamente análoga a (1 60); además, las funciones
.
(1 64)
Qn t
satisfacen la misma fórmula de recursión (1 59) que las
funciones .
Si determinamos el valor de las primeras Q n por medio de (1 63) hallamos que
1 1t Q0 t = ln =tanh−1 t , 2 1−t t 1t −1=t tanh−1 t−1, Q 1 t = ln 2 1−t 3 1 1t 3 3 1 3 Q2 t = t 2− ln − t= t 2 − tanh −1 t− t . 4 4 1−t 2 2 2 2
(1 65)
Estas fórmulas y la fig. 110 muestran que las funciones Q nm son en realidad muy distintas a las funciones Pnm . Por la singularidad ±
∞
en t = (v. G. = 0 ó π) vemos que es imposible sustituir Q nm (cos θ) por Pnm (cos θ)si θ representa la distancia polar, ya que las funciones
armónicas tienen que ser regulares.
No obstante, las hallaremos en la teoría de las armónicas elipsoidales (sección 1 20), la cual se aplica al campo de gravedad normal de la tierra (sección 2 7). Por este motivo necesitamos las funciones de Legendre del segundo tipo como funciones de un argumento complejo. Si el argumento z es complejo tendremos que sustituir la definición (1 63) por
n
1 z1 1 Q z = P z ln − ∑ P k −1 z P n−k z , n n 2 z−1 k =1 k
(1 63’)
en
donde los polinomios de Legendre
Pn z
se definen mediante las mismas fórmulas que en el caso de un argumento real t. Así pues, el único
cambio en comparación con (1 63) es la sustitución de
1 1t ln =t tanh −1 t , 2 1−t .
FIGURA 1 10 Funciones de Legendre del segundo tipo. Arriba n es par; abajo n es impar. 1 z1 −1
ln
2 .
Por
z−1
=coth z ,
específicamente tenemos
1 z1 Q0 z = ln =corh−1 z , 2 z−1 z z1 Q1 z = ln −1=z coth−1 z−1, 2 z−1 (1 65’) 3 1 z1 3 3 1 3 Q2 z = z 2 − ln − z= z 2− coth−1 z− z . 4 4 z−1 2 2 2 2
1.13.
Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad
En esta sección trataremos con las armónicas esféricas de superficie. En (1 54a,b) desarrollamos las funciones armónicas en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Similarmente es posible desarrollar una función f (θ, λ) arbitraria (por lo menos en sentido muy general) en la superficie de una esfera para formar una serie de armónicas de esfera de superficie :
m
m
n
f θ , λ = ∑ Y n θ , λ = ∑ ∑ [ a nm R nm θ , λ b nm S nm θ , λ ] , (1 66) n=0 en donde hemos utilizado las formas abreviadas3
R nm θ , λ
=
Pnm cos θ cos mλ
n=0 m=0
,
S nm θ , λ = P nm cos θ sin mλ.
(1 67)
Se han usado las establecidas por MacMillan (1930); él utiliza las formas abreviadas C nm θ , λ = Pnm cos θ cos mλ ,
3
y,
S nm θ , λ
=
P nm cos θ sin mλ.
Los símbolos
a nm
y
b nm
son coeficientes constantes que ahora procederemos a determinar. Para ello, son esenciales las llamadas relaciones
de Ortogonalidad. Estas relaciones poco comunes significan que la integral sobre la esfera unitaria del producto de cualesquiera dos funciones diferentes
Rnm
y
S nm
es cero :
∬ R nm θ , λ Rsr θ , λ . dσ=0
Si s ≠ n, r ≠ m o ambos
σ
∬ S nm θ , λ S sr θ , λ . dσ=0 σ
∬ R nm θ , λ S sr θ , λ . dσ=0 σ
En el caso del producto de dos funciones equivalentes
Rnm
ó
S nm
Si s ≠ n, r ≠ m o ambos En cualquier caso
tenemos
4π
∬ [ R nθ θ , λ ]2 . dσ= 2n1 ; σ
2π nm ! ∬ [ R nm θ , λ ] . dσ=∬ [ S nm θ , λ ] . dσ=2n1 n−m ! σ σ 2
(No hay ninguna
S n0
2π
(m ≠ 0). (1 69)
2
, ya que sin 0λ = 0.) En estas fórmulas hemos utilizado la forma abreviada
π
∬ =∫λ=0 ∫θ =0 σ
para la integral sobre la esfera unitaria. La expresión
dσ = sin θ dθ dλ
denota el elemento de superficie de la esfera unitaria o el elemento de ángulo sólido, el cual se define como el área correspondiente en al esfera unitaria. Ahora resulta fácil determinar los coeficientes
Si multiplicamos ambas partes de la ecuación por un
a nm
y
bnm
R sr θ , λ
en (1 66).
e integramos sobre la esfera unitaria, obtenemos
∬ f θ , λ Rsr θ , λ ]. dσ=asr ∬ [ Rsr θ , λ ] 2 . dσ , σ
σ
ya que en el lado derecho de la integral doble se anularán todos los términos, salvo el que tiene n = s, m = r, de acuerdo con las relaciones de Ortogonalidad (1 68). La integral del lado derecho tiene el valor dado en (1 69) de manera que se ha determinado podemos calcular
bsr
multiplicando (1 66) por
S sr θ , λ
e integrando sobre la esfera unitaria. El resultado es
a sr
. En forma similar
2n1 ∬ f θ , λ P n cos θ . dσ ; 4π σ 2n1 n−m ! a nm = ∬ f θ , λ R nm θ , λ . dσ ;⋱ 2π nm ! σ 2n1 n−m ! b nm = ∬ f θ , λ S nm θ , λ . dσ ;⋰ 2π nm ! σ a nθ=
(1 70)
( m ≠ 0 )
Los coeficientes
b nm
a nm
y
pueden por lo tanto
determinarse mediante una integración. Notamos que también es posible hallar directamente las armónicas esféricas de Laplace
Y n θ , λ =
Y n θ , λ
en (1 66) mediante la fórmula
π 2n1 2π f θ ', λ ' P n cos ψ sin θ ' . dθ ' . dλ', ∫ ∫ λ ' =0 θ ' =0 4π
(1 71)
en donde ψ es la distancia esférica entre los puntos (θ,λ) y (θ’,λ’), de modo que (fig. 111)
cos ψ=cos θ . cos θ ' sin θ sin θ '
(1 72)
La ecuación (1 71) puede verificarse fácilmente mediante cálculos directos, sustituyendo
P n cos ψ
de la fórmula de descomposición (1
82) de la sección 15.
1.14.
Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas
Las fórmulas de la sección anterior para el desarrollo de una función a una serie de armónicas de superficie son bastante difíciles de manejar. Si analizamos las ecuaciones (1 69) y (1 70) vemos que hay diferentes fórmulas para m = 0 y m ≠ 0; además, las expresiones son relativamente complicadas y difíciles de recordar.
FIGURA 111 La distancia esférica ψ.
Rnm
Por consiguiente, se ha propuesto reemplazar las armónicas “convencionales”
y
S nm
definidas por (1 67) y (1 57) ó (1 62), por otras
funciones que difieran por un factor constante y sean más fáciles de manejar. Aquí consideramos solamente las armónicas totalmente normalizadas 4 que parecen ser las más convenientes así como las más usadas. Las denotamos por
Rnm
y
S nm
;están definidas por
R nθ θ , λ = 2n1 . R nθ θ , λ ≡ 2n1. P n cos θ ;
R nm θ , λ S nm θ , λ
= 2 2n1
n−m ! nm !
R nm θ , λ S nm θ , λ
(1 73)
( m ≠ 0).
Las relaciones de Ortogonalidad (1 68) son válidas también para estas armónicas totalmente normalizadas, mientras que las ecuaciones (1 69) se simplifican completamente : se convierten en
2 2 1 R nm . dσ=∬ S nm . dσ=1 . ∬ 4π σ σ
(1 74)
Esto significa que el cuadro de medio de cualquier armónica totalmente normalizada es uno, en donde el promedio se calcula sobre la esfera (promedio = integral dividida por el área 4π). Esta fórmula para cualquier m sea esta cero o no.
Si desarrollamos una función arbitraria f (θ, λ) para formar una serie de armónicas totalmente normalizadas, análoga a (1 66), m
f θ , λ = ∑
n
∑ [ a nm Rnm θ , λ b nm S nm θ , λ ] , (1 75)
n=0 m=0
Entonces los coeficientes
a nm b nm estarán dados sencillamente por H
C=W 0 −W ∫ gdH
(1 76)
0
es decir, los coeficientes serán los productos medios de la función y la armónica correspondiente
Rnm
o
S nm
.
La sencillez de las fórmulas (1 74) y (1 76) representa la ventaja principal de las armónicas esféricas totalmente normalizadas, haciéndolas útiles en muchos respectos, aun cuando las funciones
Rnm
y
S nm
(1 73) sean algo más complicadas que las
Rnm
y
S nm
convencionales : tenemos que
4
R nm θ , λ
=
Pnm cos θ cos mλ
,
S nm θ , λ
=
Pnm cos θ sin mλ.
.
Las armónicas totalmente normalizadas han sido sencillamente “normalizadas” en la forma que establece la teoría de las funciones reales; hemos tenido que utilizar esta expresión extraña porque el término “armónicas esféricas normalizadas” ya se ha usado en otras funciones, lamentablemente muchas veces para funciones que no han sido realmente “normalizadas” en el sentido matemático de la palabra. JahnkeEmdeLosch (1960) utiliza una forma diferente de normalización.
En donde n−2k
Pnm(t)=
2n1
r
(l77a)
k
¿
∑ −1 2n−2k !/ k ! n−k ! n−2k !talignl ¿¿ ¿
k =0
para m=0, y
2 2n1 n−m !/ nm !∗2−n 1−t 2 m / 2 n−m−2k r
∑ −1k 2n−2k !/ k ! n−k ! n−2k !talignl ¿¿ ¿
(l77b)
¿
k =0
para m diferente de 0. Esto corresponde a (162): aquí, al igual que en (162), r es el numero entero mas alto ¿ (nm)/2 Hay relaciones entre los coeficientes a b
nm
nm
y b
nm
para armónicas totalmente normalizadas y los coeficientes a
para armónicas convencionales que por supuesto son las inversas de las expresadas en (173):
ng
a
n0
= a
¿¿ ¿¿ ¿ ¿
/
2n1 (178)
¿¿ ¿¿ ¿ ¿ a nm b nm
m diferente de cero
1/2 2n1 nm !/ n− m ! ∗¿ {¿ } ¿{} 115. Desarrollo de la Distancia Reciproca en Armónicas Zonales. Formula de Descomposición
nm
y
La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas esféricas son: P(r, θ , λ ), P(r´ θ ´, λ ´ esta representada por l 2 =r 2 r ´ 2−2 rr ´cos ψ (179)
en donde ψ es el ángulo entre los vectores radíales r y r´ (fig. 112), de manera que según (172),
• cos ψ cos θ cos θ + sin θ sin θ cos λ´ λ). Suponiendo que r' 0 para ψ0, y la singularidad de M para ψ 0 sera neutralizada. Siempre que V sea dos veces diferencíable en P. De esta manera obtenemos
π ∂V 1 R 2 2π v−Vr = Vr ∫λ=0 ∫θ =0 sen θ ´ dθ´ dλ ´ 197 ∂r R 2π l0
esta ecuación representa aV/ar en la esfera r = R en términos de V en dicha esfera; de modo que ahora tenemos Vr=(R,θ,λ), V=(R´,θ´,λ´) 198 SoÍución en términos de armónicas esféricas. Podemos expresar Vr como ∞
∂V 1 R =− ∑ ∂r R n=0 r
n1
Y n λθ
199
Una diferenciación nos da ∞ ∂V Rn1 Y n λθ 1100 =− ∑ n1 n1 ∂r r n=0
Para r=R esto se convierte en ∞
∂V 1 =− ∑ α1 Y n θ , λ ∂r R n=0 Esto es el equivalente de (197} en términos de armonicas esféricas. De esta ecuación obtenemos un resultado secundario interesante. La ecuación (1100) podria escribirse ∞
∂V 1 1 =− V p− ∑ nY n θ , λ ∂r R R n=0 Si comparamos esto con (197) vemos que si estuviera en una esfera de radioR . ∞
V p = ∑ Y n θ , λ (1101) n=0
entonces ∞ π R 2 2π v−Vr 1 sen θ ´ dθ ´ dλ´ = ∫ ∫ − ∑ nY n θ , λ (1102) 3 2π λ=0 θ=0 0 R n=0 l
Esta ecuación se formula en su totalidad usando cantidades que hacen referencia a la superficie esférica solamente. Además, para cualquier funcion preestablecida en la superficie de una esfera podemos hallar una función en el espacio que sea armónica fuera de la esfera y asuma los valores de la funcion preestablecida en la misma. Esto se hace resolviendo el problema exterior de Diricnlet. Según esto podemos concluir que (1102) es valida para una función arbitrarla V definida sn la superficie de una esfera. Esto se usara en las secciones 223 y 88. 119. Ecuación de Laplace Expresada en Coordenadas Elipsoidales
Las armónicas esféricas son las mas usadas en geodesia porque son relativamente sencillas y la tierra es casi esférica. Como la tierra se asemeja mas a un elipsoide de revolución es de esperar que las armónicas elipsoidales, las cuales se definen en una forma similar a las armónicas esféricas, sean hasta mas apropiadas. todo se reduce a un asunto de conveniencia la matemática puesto que se pueden usar tanto las armónicas esféricas como las elipsoidales para cualquier cuerpo atrayente, cualquiera que sea su forma. Como son mas complicadas, sin embargo, se usan solo en ciertos casos especiales que no dejan de ser Importantes, especificamente en problemas que requieren el calculo preciso de la gravedad normal.
Para ello, es necesario incluir las coordenadas elipsoidales (µ,λ,θ (Ffg. 114). En un sistema rectangular, el punto P ) tiene las coordenadas x,y,z. Ahora pasamos por P la superficie de un elipsoide de revolución cuyo centro es el origen O, cuyo eje coincide con el eje z y cuya excentriciflad lineal tiene un valor constante E. La coordenada µ es el semieje menor de este elipsoide, θ es el complemento de la latitud reducida" β de P con respecto a este elipsoide (su definición puede verse en 1a ,f1g. 114), y λ es la longitud geocéntrica en el sentido normal de la palabra. estas coordenadas(µ,λ,θ ) estan especialmente adaptadas a un elipsoide de revolución; son distintas a las coordenadas elipsoidales de Lame que hacen referencia a un elipsoide de tres ejes diferentes. Por este,motivo nuestras armónicas elipsoidales son diferentes a las de Lame, las cuales son menos adecuadas para los problemas geodésicos. Las coordenadas elipsoidales (µ,λ,θ estan relacionadas con x. y,z por medio de las ecuaciones )
x= 2 E 2 sen θ cos λ x= 2 E 2 sen θ sen λ 1103
z= cos θ
que pueden leerse de la figura, considerando que P.
2E 2 es el semieje mayor del elipsoide cuya superficie pasa por
Si tomamos µ= const, hallamos
x 2 y 2 z 2 2 2 E 2
que representa un elipsoide de revolución. Para θ= const. Obtenemos
Ck=
R α 2 − α1 2πG
[ J ψ 2 −J ψ1 ]
lo cual representa un hiperboloide de una hoja, y para λ = const. obtenemos el plano meridiano La distancia focal constante E = OF1, la cual es igual para todos los elipsoides µ= const. caracteriza el sistema de coordenadas. Para E = O tenemos las coordenadas esféricas usuales µ=r λθ como caso limite. Para hallar el elemento de arco expresado en coordenadas elipsoidales se procede de la misma forma que con las coordenadas esféricas, ec. (138) y se obtiene,
u 2 E 2 cos2 θ 2 ds= du u 2 E 2 cos θ dθ2 u 2 E 2 sen 2 θdλ2 1104 2 2 u E
El sistema de coordenadas (µ,λ,θ ) es aqui también ortogonal: los productos du, dθ,etc. hacen falta en la ecuación para ds. Si aplicamos θ=q2,µ=q1,λ=q3 tenemos en (139)
h 21 =
u 2 E 2 cos 2 θ , h 2=u 2 E 2 cos θ , h 2 = u 2 E 2 sen 2 θ 2 2 2 3 u E Sí sustituimos esto en (140) obtenemos
V=
2 2 2 ∂ ∂V ∂ ∂V ∂ u E cos θ ∂ V 2 2 u E sen θ sen θ ∂u ∂θ ∂ θ ∂ λ u 2 E 2 sen θ ∂ λ u 2 E 2 cos 2 θ sen θ ∂ u
1
{ [
[
]
]}
Si efectuamos las diferenciaciones y suprimimos el factor común sin θ, obtenemos
V=
1 u 2 E 2 cos 2 θ
(1105)
[
u 2 E 2
2 2 2 ∂2 V ∂ V ∂2 V ∂ V u E cos θ ∂ 2 V 2u cot θ ∂ u ∂ θ2 ∂ u u 2 E 2 sen 2 θ ∂ λ 2 ∂ u2
]
que es la ecuación de Laplace expresada on coordenadas elipsoidales. Se obtiene una expresión alterna haciendo caso omiso del. factor u 2 E 2 cos 2 θ −1
[
0= u 2 E 2
2 2 2 ∂2 V ∂ V ∂2 V ∂ V u E cos θ ∂2 V 2u cot θ 1105´ ∂u ∂ θ2 ∂ u u 2 E 2 sen 2 θ ∂ λ 2 ∂ u2
]
En el caso limite E0, estas ecuaciones se reducen a las expresiones esféricas (141) y (141'). Armónicas Elipsoidales 120 Para resolver (i105) o (l105'l procedemos de manera totalmente ana1oga al método utilizado para resolver la ecuación correspondiente (141') en coordenadas esféricas. Los pasos podrán resumirse de la siguiente manera. Por medio de una sustitución tentativa V(r λθ)=f(r)g(θ)h( λ) separamos 1as variables(r λ θ) para descomponer la ecuacion diferencial parcial original (141') en tres ecuaciones diferenciales regulares (143), (149) y (150).
Para resolver la ecuación dé Laplace; en coordenadas elipsoidales (1105') hacemos la respectiva sustituccion tentativa V(µ λθ)=f(µ)g(θ)h( λ) (1106) Sustituyendo y dividiendo por fgh obtenemos
1 u 2 E 2 cos2 θ h ´´ 0= u E f ´´2 uf ´ g ´´g´cot θ 2 g u E 2 sen 2 θ h
[
2
2
]
La variable λ solo ocurre por el cociente h"/h, que por consiguiente deberá ser constante._ 1esto resulta mas claro si escribimos la ecuación en la forma
1 h ´´ u2 E 2 sen 2 θ 1 2 2 u E f ´´2 uf ´ g ´´g ´cot θ = g h u 2 E 2 cos2 θ f
{
}
El lado izquierdo .depende solamente de µ y θ y el lado derecho solamente de λ Los dos lados no pueden ser exactamente iguales a menos que ambos sean iguales a la misma constante.
h ´´ =−m 2 h
El factor por el que se multiplica h"/h puede descomponerse de la. si guiente manera:
u 2 E 2 cos 2 θ 1 E2 ,: = − u 2 E 2 sen 2 θ sen 2 θ u 2 E 2 Si insertamos las ultimas dos expresiones en la ecuación anterior y combinamos las funciones de la misma variable obtenemos '
1 1 E2 m2 2 2 2 u E f ´´2 uf ´ 2 m =− g´´g ´cot θ f g u E 2 sen 2 θ
Los dos lados son funcionas de diferentes variables independientes y por lo tanto deben ser constantes. Si denotamos dicha constante por n(n+1) obtenemos finalmente . ' 2
[
2
u E f ´´ u 2 uf ´ u − n n1 −
E2 2
u E
2
]
m 2 f u =0 (1107)
m2 sen θg´´ θ cos θg´ θ − n n1 sen θ− g θ =0 sen θ
[
]
(1108)
h ´´ λ m 2 h λ =0 (1109) Estas son las tres ecuaciones diferenciales regulares en que se descompone la ecuacion diferencial parcial (1105) mediante la separacion de variables (1106) La segunda y tercera ecuaciones son las mismas que en el caso esférico, ecuaciones, (149) y (150); la primera ecuación es diferente. las sustituciones
t=cos θ transforman 1a primera y segunda ecuaciones en
[
2
1−r f ´´ r 2 rf ´ r n n1 −
[
1−t 2 f ´´ t 2 tf ´ t n n1 −
m2 1−r 2
m2 1−t 2
]
]
f r =0
f t =0
en donde la raya inidica las funciones f y q están expresadas en términos de los nuevos argumentos r y t. Por las armónicas esféricas ya estamos familiarisados con la sustitución t =cos θ y con la ecu.icion correspondiente para g(t) en donde t=cosθ, las Qmn(t)"^fr) se cancela" por razones obvias, como hmos visto en la sección 112.Para f(r), sin embargo , ambos grupos de funciones Pnm(λ) y Qnm(r) son posibles soluciones; corresponden a1as dos soluciones diferentes, f = rn y f = r −1 n1 en el caso esférico. . , . Finalmente, (11.09) tiene como antes las soluciones cos(mλ) y sen(nλ). Resumimos todas las soluciones individuales:
u u óQnm / i i E E
f u= Pnm i
g u= Pnm cos θ ; h λ =cos m ó senm λ
aqui n y m S0 entonces, según el teorema del valor medio del calculo integral, es posible expresar el valor promedio del efecto de esta zona así
Lo cual equivale a
Con esta formula puede verse que S0 debe ser más o menos proporcional a H si se desea obtener el mismo error ε para las diferentes elevaciones H. Por ejemplo, si So = 10H, entonces ε = 0.1 Δg . Si Δg no excede de 10 mgals, entonces ε será menor que 1 mgal. Esto por lo general puede darse por sentado porque se espera que los valores de Δg para la zona S > So tienden a promediarse cuando So tiene un valor alto. Siendo ese el caso, solo es necesario extender la integración hasta 10 veces la elevación. Las consideraciones de la sección anterior también pueden aplicarse en muchos aspectos a la continuación ascendente de las anomalías gravimétricas. Nuevamente, se tendrá que usar anomalías de aire libre que hagan referencia al nivel del terreno o, para mayor exactitud, a alguna superficie de nivel. Si el terreno está sobre el nivel del mar, pero es razonablemente plano, resulta mejor considerar H como la elevación sobre el terreno y no sobre el nivel del mar, porque entonces el terreno podrá considerarse localmente como parte de una superficie de nivel. Para mayor información sobre la precisión, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1962).
El problema inverso, o sea la continuación descendente de las anomalías gravimétricas, ocurre cuando se reduce la gravedad medida a bordo de una aeronave, y también en determinada solución del problema geodésico de los valores límites que se describirá en la Sección 810. No hay una fórmula integral cerrada inversa para (675) o (676), pero es posible resolver el problema de la continuación descendente con el método iterativo de la Sección 810. La continuación ascendente y la descendente también se usan en la exploración geofísica pero aquí el propósito es bastante diferente. Se han desarrollado varios métodos relacionados, algunos de los cuales también pueden aplicarse con fines geodésicos; véanse, por ejemplo, las publicaciones de Jung (1961, Sección 7.22), Oean (195R), Hellderson (1960) y Tsuboi (1961). Referencias Arnold, K. (1959). Zur Bestinlmung der geoidllndulationen aus Freiluftanomalien. Schwerewerte in grossen Hohen über der Erdoberflache. Veroff. Geod. Inst. Potsdam, No. 12. Brovar, V.V. (1963). Computation of the disturbing potential and its deriva tives above the earth. English Transl. of the Iussian journal."Geodesy and Aerophotography" by .AJn. Geophys. Union, ~Io. 3, pp. 1.42144. Dean, W. C. (1958). Frequency analysis for Gravity interpretation Geophysics, v. XXIII, pp. 97127. . Henderson, R. G. (1960). A comprehensive system of automatic computation in magnetic and gravity interpretation. Geophysics, v. XXV, pro 569585.
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METODOS ESTADISTICOS EN LA GEODESIA FISICA 71. introducción Los problemas más importantes de la geodesia física se formulan y resuelven en términos de integrales extendidas a toda la tierra. Un ejemplo típico sería la fórmula de Stokes. Por consiguiente, es necesario conocer, en principio, la gravedad g en todos los puntos de la superficie de la tierra. En realidad, aun en el caso de la red gravimétrica más densa., solo se mide g en relativamente pocos puntos, de modo que para los otros es necesario estimar g mediante interpolación. En muchas partes extensas de los océanos no se ha efectuado absolutamente ninguna observación; estos vacíos tienen que llenarse con algún tipo de extrapolación.
Matemáticamente, no hay diferencia alguna entre la interpolación y la extrapolación: por lo tanto se denotan mediante el mismo término, predicción. La predicción (interpolación o extrapolación) no puede, por supuesto,
proporcionar valores exactos; por tanto, el problema es estimar los errores que pueden esperarse en la gravedad g o en la anomalía gravimétrica Δg. Como Δg se utiliza también para calcular otras cantidades, tales como la ondulación geoidal N o las componentes de la desviación ξ y η , hay que investigar la influencia de los errores de predicción de Δg sobre N., ξ y η, etc. A esto se le conoce como propagaci6n de errores. Además es importante saber qué métodos de predicción proporcionan la mayor precisión, bien sea en Δg o en las cantidades derivadas N., ξ y η, etc. Para poder determinar los "mejores" métodos de predicción, obviamente resulta necesario, haber resuelto primero el problema anterior, conocer el error de predicción de Δg y su influencia en las cantidades derivadas. Hay otro aspecto incluido. En principio, las fórmulas integrales presentadas comprenden siempre integraciones sobre toda la tierra. En la práctica, no obstante, muchas veces las integraciones sólo abarcan un área limitada, ya sea porque no existen mediciones gravimétricas, más allá de la misma o porque si se extienden no se observa prácticamente ningún aumento en la precisión. Después habrá que estimar el efecto de las zonas distantes no tomadas en cuenta. En resumen, se tienen los siguientes problemas: l. Estimación de los errores de interpolación y extrapolación de Δg; 2. Estimaci6n del efecto de estos errores en las cantidades derivadas N., ξ y η, etc. 3. Determinación del mejor método de predicción.' 4. Estimación del efecto de las zonas distantes omitidas. Como los que interesan son los errores promedio y no los individuales, se requieren procedimientos estadísticos. Este es el tema del presente capítulo. 7.
72. La función de Covarianza ,
Es realmente notable que todos los problemas arriba mencionados pueden resolverse mediante una sola función de una variable sin ninguna otro información. Esta es la función de Covarianza de las anomalías gravimétricas. Primero se necesita una medida del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas Δg. Si se halla el promedio de Δg en toda la tierra, se obtiene el valor cero:
(71)
El símbolo M representa el promedio sobre toda la tierra (sobre la esfera unitaria), este promedio es igual a la integral sobre la esfera unitaria dividida por su área 4π. La integral es cero si no hay término de grado cero en el
desarrollo de las anomalías gravimétricas Δg en armónicos esféricos, es decir si se usa un elipsoide de referencia con la misma masa que la tierra y con el mismo Potencial que el geoide. Esto se dará por sentado en todo este capítulo2. Evidentemente la cantidad M { Δg }, que es cero, no puede usarse para caracterizar el tamaño promedio de las anomalías gravimétricas. Considérese entonces el cuadrado promedio de Δg
(72)
Se le llama la varianza de las anomalías gravimétricas. Su raíz cuadrada es la anomalía media cuadrática ( r.m.s.):
(73)
la anomalía media cuadrática es una medida muy útil del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas; por lo general se da en la forma: r.m.s { Δg}= ± 35 m.gals; Los signos de más y de menos expresan la ambigüedad del signo de la raíz cuadrada e indican que ésta puede ser positiva o negativa. La anomalía media cuadrática es muy intuitiva pero la varianza de Δg es mucho más fácil de manejar matemáticamente y se presenta para una generalización significativa. 1
Se está omitiendo primero la correlación con la elevación.
De no ser ese el caso, es decir si M {Δg} = m diferente de cero entonces es posible formar anomalías gravimétricas nuevas Δg* = Δg – m, restando el valor promedio m. Luego M Δg* = 0 y todos los desarrollos subsiguientes se aplican a es anomalías Δg* “centradas". 2
En lugar del cuadrado promedio de Δ, considérese el producto promedio de las anomalías gravimétricas g Δg Δg´ en cada par de puntos P y P´ que tienen una distancia constante s, de separación. Este producto promedio se llama la Covarianza de las anomalías gravimétricas para la distancia s y se define por . Covs {Δ g} = M {Δ g Δ g´} (74)
E1 promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P´ en donde PP' = s = constante.' La Covarianza caracteriza la correlaci6n estadística de las anomalías gravimétricas Δg y Δg´, que viene a ser su tendencia a tener más o menos el mismo tamaño y signo. Si la Covarianza es cero, entonces las anomalías Δg Δg´ no están correlacionadas , o sea que son independientes1 la una de la otra; en otras palabras, ni el tamaño ni el signo de Δg tienen influencia alguna sobre el tamaño o el signo de Δg´. Las anomalías gravirnétricas en puntos que se encuentran muy separados pueden considerarse no correlacionadas o independientes dado que las perturbaciones locales que producen Δg casi no tienen influencia sobre Δg´ y viceversa.
Si se considera la Covarianza como una función de s = PP´, entonces se obtiene la función de Covarianza C(s) mencionada al principio: C(s) = Covs {Δ g} = M {Δ g Δ g´} (PP'=S). (75)
para s = O se tiene que C(O)= M{Δ g 2}= var {Δ g} (751) de acuerdo con (72). La Covarianza para s = O es la varianza:
1
En el sentido estricto de la estadística matemática la correlación cero y la independencia no son exactamente lo mismo, pero en este caso puede hacerse caso omiso de la diferencia.
En la figura 71 se muestra una forma típica de la función C(s) .Para distancias s pequeñas (de 1 Km., por ejemplo) es casi igual a Δg de manera que la Covarianza es casi igua1 a la varianza; en otras palabras, hay una correlación muy fuerte. La Covarianza C(s) disminuye al aumentar s, porque entonces las anomalías Δg y Δg´ se vuelven cada vez más independientes. En el caso de distancias muy grandes, la Covarianza será muy pequeña, pero en general no exactamente cero porque las anomalías gravimétricas no sólo se ven afectadas por las perturbaciones locales de la masa sino también por factores regionales. De. manera que en su lugar puede esperarse una osci1ación entre valores positivos y negativos pequeños1 La determinación práctica de la función de Covarianza C(s) es un tanto problemática. Si tuviera que determinarse con exactitud, sería necesario conocer la gravedad en todos los puntos de la superficie terrestre. Esto obviamente no es así puesto que, si se conociera, entonces la función de Covarianza perdería gran parte de su importancia porque sería posible resolver los problemas con exactitud sin necesidad de estadísticas. De hecho, la función de Covarianza solo puede estimarse usando muestras distribuidas en toda la tierra. Pero en la actualidad hasta eso resulta imposible porque los datos gravimétricos de los océanos son imperfectos o no existen del todo. Para una explicación sobre el muestreo y los problemas relacionados refiérase a la publicación de Kau1a (1963, 1966).
La estimación más completa que se ha hecho hasta la fecha es la de Kaula (1959). Algunos de sus valores se dan en la Tabla 71. Se refieren a las anoma1ías de aire libre. El argumento es la distancia esférica.
(76) que corresponde a una distancia linea1 s medida sobre la superficie terrestre; R es un radio medio de la tierra. La anomalía media cuadrática de aire libre es
(77)
Las covarianzas positivas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño y el mismo signo; las covarianzas negativas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño pero signos opuestos. Cuanto mayor sea esta tendencia, tanto Mayor será C(s); el valor absoluto de C(s), no obstante, jamás podrá exceder la varianza C(O). 1
Puede notarse que C(s) disminuye al aumentar ,s y que para, s/R > 30°, los valores son muy pequeños y oscilan entre positivo y negativo. Para ciertos fines se necesita una función de Covarianza local en lugar: de una global; luego el promedio M se extiende solamente a un área limitada y no a toda la tierra como en el caso anterior. Esta función de Covarianza local resulta útil para estudios más detallados en un área limitada por ejemplo, para problemas de interpolación. Como ejemplo se puede mencionar; que Hirvonen (1962), al investigar la función de Covarianza local de las anomalías de aire libre en Ohio, halló valores numéricos que están debidamente representados por un expresión analítica de la forma . (78)
Donde
(79) Esta función es válida para s g r ∂h γ ∂h
[esta es la ecuación (2/147c) aplicada a nivel del terreno], pero contiene, además de ∆g, las componentes ξ y n de la desviación de la vertical. La evaluación misma de ∂T/ ∂n en términos de ∆g, ε, n es un tanto difícil (Molodenskii et al., 1962ª, Capítulo V; Moritz, 1965, pág 13). Como en la siguiente sección se mostrara una solución mucho más conveniente al problema de Molodensky se omitirá su desarrollo dando sólo el resultado que es ∂T I∂γ = −¿ g T γ ξ tan d 1 η tan 3 2 cos 3 . ∂n γ∂h
[
]
(8 21)
donde B1 es el ángulo de inclinación de un perfil nortesur del terreno con respecto a la horizontal; en forma similar, B2 es la inclinación de un perfil esteoeste; B es el ángulo de máxima inclinación del terreno. Si se inserta (821) en (818), se obtiene :
T
Ι ∂ I I ∂ γ cos β − Td ∫∫ 2π ∂n l γ ∂h l
[
]
=
∑
1 I ∫∫ l g− γ ξt tan 31 η tan 32 cos 3d ∑ 2π
[
]
Esta es una ecuación integral lineal del segundo tipo para el potencial de perturbación T o para la anomalía de altura ζ = T/γ. Si se compara con (814) se verá que la función desconocida u está representada ahora por T. La función conocida ∫ está dada por el lado derecho de (8 22), y el núcleo K es igual a –1/2π multiplicado por la expresión en corchetes en al integral del lado izquierdo de (822). Esta ecuación integral también ha sido tratada por Levallois (1958).
Si se desea despejar T en esta ecuación, hay que conocer además de ∆g las componentes de la desviación ξ y η. Como las inclinaciones B1 y B2 son los valores aproximados de las componentes de la desviación suelen ser suficientes. Molodensky incluso logró eliminar ξ y η de (822) de una manera sumamente ingeniosa. Tal como se indicó anteriormente, en la siguiente sección se tratará un método muchísimo más sencillo. Por lo tanto, no se seguirá explicando el método actual y sólo cabe mencionar que la ecuación integral (822) puede resolverse mediante una iteración análoga a la descrita en la Sección 87. Aplicación al geoide. La ecuación integral (822) también puede aplicarse al geoide, siempre y cuando se haya “regularizado” eliminando las masas que se encuentran fuera del mismo. Luego, en lugar del teluroide ∑ se tiene el elipsoide de referencia E; además B1 = B2 = B = 0, y ∂/n = ∂/∂h. Así se obtiene T=
L ∂ I I ∂γ I I g ∫∫ ∂ h l − γ ∂ h l TdE = 2π ∫∫ I dE 2π
[
]
(8
23) Esta ecuación es mucho más sencilla que (822) porque no contiene las componentes de desviación ξ y η. Si el elipsoide de referencia se aproxima mediante una esfera, en otras palabras, se hace una aproximación esférica, la solución de (823) estará dada sencillamente por la fórmula de Stokes. Esto es obvio porque la fórmula de Stokes expresa T en términos de ∆g como aproximación esférica. Si las cantidades elipsoides de (823) se desarrollan en términos de e’2 o un parámetro similar del mismo orden del achatamiento,. Esta ecuación integral puede resolverse iterativamente usando la fórmula de Stokes como una primera aproximación. Es posible hallar de esta forma una solución relativamente sencilla al “problema de Zagrebin”, la determinación del geoide regularizado por medio de un elipsoide de referncia hasta el orden de e’ 2 (Molodenskii et al.. 1962ª, pág, 53).
318 El método de la ecuación integral hace posible en esta forma la solución numérica de los problemas de los valores límites de la geodesia física problema cuya solución por algún otro método puede resultar mucho más complicada y hasta imposible. Además de esta ventaja en la resolución de problemas, también hay una ventaja en la formulación de los mismos. Pro medio de las ecuaciones integrales (822) y (823) se describen completamente los respectivos problemas. La formulación convencional correspondiente sería determinar una función T que afuera de cierta superficie (la de la tierra o del geoide regularizado) satisfaga la ecuación diferencial de Laplace. ∆T = 0
(824a)
y esté sujeta a la condición límite (820),
∂T I ∂ γ − T =− g ∂h γ∂h
(824b)
sobre esta superficie. Obviamente, la formulación mediante una ecuación integral (en lugar de una ecuación diferencial y una condición límite), es mucho más breve; además, en muchos casos el problema se acerca más a su solución. Aún si T no es armónico, en el caso del geoide mismo, todavía resulta posible el método directo de la ecuación integral, mientras que el método convencional ya no puede seguir usándose directamente. La aplicación de una ecuación integral correspondiente a (823) al geoide mismo ofrece una solución matemática directa al problema de las reducciones de la gravedad para determinar el geoide (Moritz, 1965, Sección 4). Por tanto, el método de ecuación integral es eficaz para los problemas clásicos de la geodesia. 86 Ecuación Integral para la Capa Superficial. La ecuación integral (822) tiene la desventaja de que contiene, además de la anomalía gravimétrica ∆g, las componentes de desviación ξ y η. Como se mencionó, es posible transformar (822) de manera que sólo contenga ∆g, pero se vuelve bastante complicado. Es posible obtener una ecuación integral más práctica y sencilla de la siguiente manera. El potencial anómalo T puede expresarse como el potencial de una capa superficial (Sección 13) sobre la superficie de la tierra o, con el mismo grado de precisión, sobre el teluroide:
T =
∫∫
Φ d∑ l
El símbolo θ representa la densidad superficial κ multiplicada por la constante gravitacional. Esta expresión se inserta en la condición límite (820)
−
∂T I ∂γ T= g ∂h γ ∂ h
319 Si se desea diferenciar la ecuación (825) con respecto a h, hay que recordar de la Sección 13 que las derivada del potencial de una capa superficial son discontinuas en la superficie. Para la condición límite obviamente se necesita la derivada exterior, la cual está dada por la ecuación (119a) : ∂T ∂ I =−2πΦ cos 3∫∫ Φ d∑ ∂h ∂ hr l
(826)
donde la dirección de m es ahora la vertical del punto P al cual tanto T en (825) como la condición límite (820) están referidas; por tanto, se ha escrito ∂ /∂hp. El ángulo (m,n) es ahora el ángulo entre esta vertical y la normal a la superficie, que es el ángulo de inclinación B. Al insertar esta expresión en la condición límite, se obtiene : 2πΦ cos 3
∫∫
∂ I l ∂γ I − Φd∑ = g ∂ hr l γτ ∂ hr l
[
]
Las cantidades que están afuera de la integral siempre se toman en el punto P. Si las cantidades adentro de la integral han de hacer referencia a este punto, se marcan específicamente mediante el subíndice P, de lo contrario se tomarán en el elemento de superficie d∑. Resulta ilustrativo comparar esta ecuación con (822). Ambas son ecuaciones integrales lineales del segundo tipo. El coeficiente de T adentro de la integral en (822) evidentemente es muy similar al coeficiente correspondiente de φ en (827). Sin embargo, γ y las derivadas parciales ∂/∂n en (827) están referidos a P. La ventaja de la nueva ecuación integral (827) es que sólo depende de ∆g. Aproximación esférica. Ahora la ecuación integral (827) se escribe como una aproximación esférica. Nótese que esto significa que para la aproximación al elipsoide de referencia, pero no al teluroide, se utiliza una esfera,. Luego se hace una aproximación de los radios egocéntricos de P y de d∑ mediante (véase la figura 84). rP = r + hp, r = R + h
(828)
donde R es un radio medio de la tierra y h es la altura sobre el elipsoide o, con el mismo grado de aproximación , la altura ortométrica o también la normal. Se tiene que I =
r
2
r
r 2 −2r P r cos
r P −r cos ∂ I ∂ I = =− ∂h P l ∂r P l l3
2 I ∂γ = γP ∂ hP rP
320 de modo que después de un simple cálculo se halla que:
r 2 −r 2 ∂ I I ∂γ I 3 1 − = 2 ∂ hp l γp ∂ hp l 2r 1 l 2r 1 l
Figura 84 Aproximación esférica. Por tanto (827) se convierte en: 2 πφ cos β −∫∫
r 2 −r 2 3 1 φd∑ ¿ g 2 rpl 2 rpl 2
el elemento de superficie d dada po d
puede eliminarse observando que la proyección de d
∑
∑
en el horizonte local está
cos β
∑
esto es también igual a: r 2 dσ
donde d
∑
=
es el elemento de ángulo sólido puesto que r es el radio vector de d
dσ
∑
.
r 2 sec βdσ
Así, pues, la ecuación integral se convierte finalmente en: 2 πφ cos β −∫∫
3 2l
r 2 −r 2l 2
2 1
r2 sec β∗vd σ− g rp
(830)
ésta ecuación se resolverá y simplificará en la próxima sección. Si se conoce
φ
Τ= γς=∫∫
, entonces T y
ς
se determinan por medio de (825), que puede escibirse
Φ 2 r sec βdσ . l
aplicación al geoide. La ecuación integral (830) también puede aplicarse al geoide regularizado. Se tiene entonces que h = hp = β = 0, r = rp = R, 321 y (830) se convierte en: 2 πφ−
3R φ ∫∫ l dσ = g 2 0
(832)
donde l 0 =2R sin
vease la figura 113.
ϕ 2
(833)
T y N se expresan en términos de
φ
por medio de (331), que ahora pasa a ser T=GN=R2∫∫
φ dσ l0
(834)
donde G es el valor medio de la gravedad. Al insertar (834) en (832) se halla que
Φ =
1 3 1 3G g T = g v 2π 2R 2π 2R
(835)
Esta expresión de φ en términos de ∆g y N es equivalente a (657) dado que µ = 2πφ. La altura geoidal N esá dada como una aproximación esférica por la fórmula de Stokes.
N =
R ∫ ∫ gS dσ 4−G o
(836)
Esto se inserta en (835), lo cual da como resultado 2πφ = ∆g +
3 ∬ gS dσ 8π o
(837)
Esta fórmula expresa φ en términos de ∆g y es por tanto una solución de la ecuación integral (832) Si se resuelve (835) se hallará que
T =
2R 2 πφ− g 3
(838)
Estas fórmulas sencillas son válidas para el geoide regularizado a una aproximación esférica. 322 8.7.1
Solución de la Ecuación Integral
Antes de resolver la ecuación integral (830) se simplifica, notándose que r = R + h = R
h R
l
difiere de R en menos de 103, lo cual es menor que el error de la aproximación esférica. De modo que puede decirse que:
r2 =R rp
y se obtiene
r2 – r2p = (h – hp) (r + rp) = 2R (h – hp)
2πΦ cos β
∫∫
2 3R R h−hr sec βΦdσ= g 2l l3
(839)
Esta ecuación es mucho más sencilla que (830), pero tiene casi la misma precisión. La expresión para la distancia l también puede simplificarse. Se halla que l2 = r2P + r2 – 2rPr cos ↓ = (R + hp)2 + (R + h)2 – 2(R + hp)( R + h) cos ↓ = 2R2 (1 – cos ↓) + eR(h + hp)( l – cos ↓) + h2p + h2 – 2hph cos ↓ hhr h P h 1 2 h−hp 2 2 r R
= 4R2 sin2
Por las mismas razones anteriores es posible omitir (h + hp) /R y hph/R2., obteniendo así I2 = I2o + (h + hp)2,
hh P
2
I= I o 1
Io
Aquí lo denota la distancia esférica (833) Después de completar estos pesos preliminares, se puede proceder a resolver la ecuación integral (839). El principio básico es utilizar un desarrollo en potencias de las cantidades h h P y tan β Io
323 Estas cantidades tienen el mismo orden de magnitud porque conforme I o → o, entonces obviamente (h hp) / lo se aproxima a tan β’, donde β’ es el ángulo de inclinación en la dirección de lo. Nótese que las cantidades (841) son de un orden de magnitud mayor que h/R en (839). A modo de ejemplo numérico, supóngase n declive moderado de una montaña cuya inclinación es β ) 15º a una elevación h de 1000 metros. Luego h 0.00016, pero tan β = 0.27
R Solución. La solución de (839) se obtiene mediante aproximaciones sucesivas. a)
Como primer paso se omiten las cantidades (841). Luego (839) se convierte en Φo 3R d =G o ∫∫ 2 lo o
2πΦo
(8.42)
donde se ha usado Go = ∆g
(8.43)
y la “aproximación de orden cero” de φ se ha denotado por Φ0. Como (842) tiene la misma forma que (832), su solución está dada por (837), que en la notación actual sería. 2πΦo = Go +
3 ∫ ∫ G o S dσ 8π o
(844)
b) Después de esto, se toman en cuenta las cantidades (841) pero únicamente a la primera potencia; se hace caso omiso de la segunda potencia y de potencias superiores. Luego se le aplicará a φ una pequeña corrección φ1 de manera que como una “aproximación de primer orden”. φ = φ0 + φ1
(845)
Con esta aproximación aún se tiene que 1 = 1o, cosβ = secβ = 1 porque se omiten los términos cuadráticos de la serie
l = l0
cos β =
1
2
Lo
2
1 h−h P =l o 1 . .. 2 lo
[ h−h r
l
1tan 2 β
=1−
]
1 tan 2 β. . . 2
324 Por tanto (839) se convierte en 2π (Φ0 + Φ1)
Φ 0 Φ1 h−h p 3R 2 dσ−−R ∫ 0∫ Φ Φ 1 dσ= g ∫ o∫ 2 l0 Po o
dado que tanto (h hp)/ lo como φ1 son cantidades de primer orden, su producto será omitido en la segunda integral, y se obtiene
2πΦo –
Φo 3R dσ2πΦ1 − ∫ ∫ o 2 Lo
Φo 3R dσ ∫ ∫ o 2 lo
R2
∫o ∫
h−h P l 10
Φ 1 dσ=G o
Los primeros dos términos del lado izquierdo son iguales al lado derecho de acuerdo con (842). Queda entonces
2πΦ1 –
2πΦ1−
Φo h−h P 3R dσ− R 2 ∫o ∫ Φ o dσ=0 ∫ ∫ o 2 lo l 1o
Φ 3R ∫ ∫ l 1 dσ=Go 2 o o
donde
∫o ∫ 2
h−hP Po
Φ o dσ
G1 = R La ecuación (845) es igual a la (842), salvo que se usa φ1 y G1 en lugar de φo y Go. Su solución por tanto está dada por (844) 2πΦ1 = G1 +
3 ∫ ∫ G1 S dσ 8π o
(848)
c) Como paso siguiente se pueden tomar en cuenta los cuadrados de las cantidades (841), omitiendo la tercera potencia y potencias superiores. El procedimiento es básicamente el mismo que en (b). De esta forma se puede proceder a aproximaciones cada vez más altas. Molodensky (Mlodenskii et al . . 1962ª. Pág. 118) ha ideado un método elegante para este fin y también las aproximaciones de segundo y tercer orden. No obstante, las pruebas prácticas han indicado que en la mayoría de los casos la aproximación de primer orden es suficientemente precisa. Por consiguiente, nos limitaremos a esta aproximación. Para obtener T y ζ a partir de φ, se usará (831), donde nuevamente se fija r = R.: T = R2
∫o ∫
Φ sec βdσ=R 2 l
∫o ∫
Φ0 l0
dσR
2
∫o ∫
Φ1 l0
dσ.. . .=T 0 T 1.. .
325 Puesto que tanto φ0 como φ1 satisfacen las ecuaciones de la forma (832) y están relacionadas con T0 y T1 por medio de las ecuaciones dela forma (834), se puede aplicar (838), obteniendo así T0 =
2R 2πΦo−G o 3
T1 =
2R 2πΦ1−G 1 3
Al insertar (844) y (848) se halla que To =
R ∫ ∫ G o S dσ 4π o
T1 =
R ∫ ∫ G1 S dσ 4π o
(849)
De esta manera la fórmula de Bruns, ζ = T/γ, finalmente da como resultado
ζ = ζ0 + ζ1 =
R ∫ ∫ gS dσ 4 πγ o 4 πγ ∫
R
G1 S dσ o∫
(850)
donde, según (847) y (835) G1 =
h−h p 3g R2 g ζ dσ ∫ ∫ o 1 2π 2R 0 l0
(851)
Por consiguiente ζ está de nuevo dado aproximadamente por la fórmula de Stokes; este es el término ζo. Además hay una pequeña corrección ζ1. Los pasos de cálculo son los siguientes: primero, calcular ζ0 mediante la fórmula de Stokes; luego evaluar G1 pro medio de (851); y, finalmente, usar G1 para calcular el término de corrección ζ1 en (8 50). En la próxima sección se verá que el término que contiene ζ0 en (851) incluso puede omitirse sin afectar la precisión. La fórmula integral (851) puede evaluarse según los métodos normales, tal como se explicó en la Sección 224; véase también la publicación Bursa (1965). El método donde se usa el potencial de una capa superficial ficticia para obtener una ecuación integral apropiada, descrito en la sección anterior, puede generalizase a fin de construir otras ecuaciones integrales par el problema de Molodensky. Estas pueden resolverse mediante el método iterativo empleado en la sección actual (Brovar, 1964). 326 8.8 Interpretación geométrica A continuación se escribe una interpretación geométrica de la solución aproximada de Molodensky (850),
ζ =
R ∬ gG ∂ S dσ 4 πγ o
(852)
usando la notación de la Sección 65, se utiliza µ =∆g +
3G ς 2R o
(853)
de modo que (851) toma la forma
G1 =
2 h−h P R μσ d ∬ 2π o l 3o
(854)
Ahora se aplica una transformación cuyo principio fue dado por Molodensky et al. (1962b),. Se escribe (h hP)µ = (h hP )µ + hPµP hPµP = hP(µ µP) + (hµ hPµP) Luego (854) se convierte en
G1 =
−h
− R2 ∬ P dσ 2π o l 3 0
h − h P R2 dσ ∬ 2π o l 30
(855)
Nótese que si se saca hp de la integral, puede denotarse sencillamente por h porque, con excepción de las cantidades que están dentro del signo de integral, todo está referido al punto P. Usando las ecuaciones (1101) y (1102) es posible expresar (855) en términos de armónicos esféricos. Sean los desarrollos esféricosarmónicos de las funciones µ y hµ. µ =
n
∑
n=0
n nh
=∑ h n=0
Luego (855) se convierte en G1 =
327 Si se resta y se suma 1/R veces
n
n
h 1 ∑ n n− R ∑ n h R o 0
n
n
n
n
o
o
h ∑ n =h =∑ h
se obtiene G1 =
h n 1 n n−1 n − ∑ n−1h n ∑ R o R o
()857)
De esta manera G1 puede dividirse en dos partes: G1 = Gµ + G12
Donde n
G11 =
h ∑ n−1 R o
G12 =
−
n =−h
− R2 ∬ 3 2π o l0
n
P
(858)
dσ−
h − h I R2 n−1 h n = ∑ ∬ R o 2π o l 30
P
h R
(859a) h R
(859b
Considérese primero el término G11. Si se escribe ∆g = {∆gn y To = {Tn}nótese que To significa aquí la aproximación de orden cero de la función T y no el armónico de grado cero), se tiene que µn = ∆gn +
3 T 2R n
Por tanto, (859a) se convierte en α
α
h 3h n−1 g 2 ∑ n−1 T n ∑ R o 2R o
Gµ =
α
=
α
h h 3h n2 g n −3 g 2 ∑ n−1 T n ∑ R o R 2R o
Según las ecuaciones (2216) y (2155)se tiene 1 α ∂g 1 α , ∑ n−1 T n = g n2 g n =− ∑ R o ∂g R o
de manera que Gn = h
∂ g 3h − g ∂ h 2R
(860)
Como se agregará G11 a ∆g, de acuerdo con (852) y (858), la cantidad (h/R)∆g, que a lo máximo es del orden de 10 3 ∆g, y lo que queda es Gu = h
328
∂g ∂h
Puede notarse que el término G11 corresponde a la reducción de la anomalía gravimétrica de aire libre del terreno a nivel del mar, mediante la elevación topográfica H. Si se omite otra vez un error relativo de h/R, de acuerdo con (2 217) se tiene
Gu =
−h
g− g R2 ∬ 3 P dσ 2π o l0
(861)
Antes de considerar G12, cabe notar que el término de corrección ζ1, el cual representa el efecto de G1., puede dividirse de la misma forma que G1. ζ1 = ζ11 + ζ12
(862)
Luego ζu =
R R ∂ g ∬ G 11 S dσ=− 4 πγ ∬ h ∂ h S dσ 4 πγ o o
ζ12 =
R ∬ G 12 S dσ 4 πγ o
(863a)
La segunda componente (863b)
puede evaluarse directamente. Debe recordarse que el equivalente de la fórmula de Stokes
ζ =
R ∬ g S dσ 4 πγ o
en términos de armónicos esféricos es
ζn =
R
n−1 γ
gn
Si se sustituye ζ por ζ12, ∆g por G12 y ∆gn por (n 1) (hµ)n/R, de acuerdo con (859b), entonces la conversión de (8 63b) a una expresión en armónicos esféricos sería
(G12)n =
R
n−1 γ
1 R
−
n−1 h n −
1 h n γ
La sumatoria desde n = 0 a ∝ da como resultado la fórmula sencilla
ζ12 =
h γ
(864)
329 Al insertar (853) con G = y esto resulta en ζ12 =
hg 3h − ς γ 2R o
(865)
Como ζ12 se agrega a ζo, nuevamente se introduce un error relativo del orden de h/R solamente si se omite el segundo término del lado derecho de esta ecuación. Por tanto, finalmente se obtiene ζ12 =
g h γ
Este término es tan sencillo como (860) y admite una interpretación geométrica correspondiente. Considérese la derivada de la anomalía de altura ζ. Se halla
∂ς ∂ T l ∂T l ∂γ l ∂T l ∂γ − = − 2 T =− − T ∂h ∂ h γ γ ∂h γ ∂ h γ ∂h γ ∂h
de acuerdo con la ecuación (2147) esto es igual a
∂ς g − ∂h γ
(866)
Por tanto (865) equivale a ς 12=
∂ς h ∂h
(867)
Puede observarse que el término ζ12 corresponde a la reducción de la anomalía de altura del nivel del mar al terreno, y el signo de esta reducción es opuesta al de (860’). Si se usa (863a) y (867), la solución (852) puede escribirse en su forma alterna
ζ =
R ∂ g ∂ς ∬ g− ∂ h h S dσ ∂ h h 4 πγ o
(868)
La interpretación geométrica de esta ecuación resulta obvia por lo indicado anteriormente: las anomalías de aire libre ∆g a nivel del terreno se reducen a nivel del mar para convertirse en ∆g• = ∆g
∂g h; ∂h
(869)
luego la integral de Stokes da como resultado las anomalías de altura a nivel del mar, las cuales se reducen hacia arriba al nivel del terreno agregando el término (867).
330
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