Hasil Kali Triple

A. Hasil Kali Triple (Triple Product ) 1. Hasil Kali Vektor Triple Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B dan C dapat menghasilkan hasil-kali yg mempunyai arti dalam bentuk - bentuk sebagai berikut: (A x B)C , A.(B x C) Hukum-hukum yg berlaku pada hasil kali tripel : 1. (A x B)C ≠ A(B x C) 2. A(B x C) = B(C x A) = C(A x B). volume sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi A,B,C atau negative dari volume ini,sesuai dengan apakah A,B dan C membentuk sistem tangan kanan ataukah tidak. Jika: A = A 1 i+ A2 j+ A3 k B = B 1 i+B 2 j+ B3 k C = C1 i+C 2 j+C3 k

A . (B x C) =

| | A1 A 2 A 3 B1 B2 B 3 C1C2C3

3. A x ( B x C ) ≠ ( A x B ) X C 4. A x ( B x C ) = ( A ◦ C )B – ( A ◦ B )C A x ( B x C ) = ( A ◦ C )B – ( B ◦ C )A Contoh : 1. Bila P = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j + R3k. Buktikan bahwa

P · (Q x R) =

| | P 1 P 2 P3 Q1 Q2 Q3 R1 R 2 R 3

2. Bila A = 2i – 3j , B = i + j – k ,C = 3i – k, hitunglah A · (B x C) 3. Tentukan persamaan untuk bidang yg ditentukan oleh titik – titik K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan M(-1, 3, 2) ? 4. Buktikan A x (A x (A ◦ B) = (A x A) (B x A) ! Jawab :

HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

1

1. P . (Q x R) = P

| | i jk Q1 Q2 Q3 R1 R2 R 3

=

( p1 i+ p2 j+ p3 k ) .[ ( Q 2 R3 −Q 3 R 2) i+ ( Q1 R 3−Q3 R 1 ) j+ ( Q1 R2 −Q3 R1 ) k ] = p1 ( Q1 R3−Q3 R2 )−P 2 ( Q1 R 3−Q3 R 1 ) + P3 (Q1 R2 −Q 3 R1 )

=

| | P 1 P2 P3 Q1 Q2 Q3 R1 R2 R 3

2. Cara 1 A . (B x C) = ( 2i – 3j ) .

| | i jk 1 1−1 3 0−1

= (2i -3j – 0) . (-i – 2j – 3k) = -2 -16 + 0 =4 Cara 2

A . (B x C) = .

| | 23 0 1 1−1 3 0−1

= -2 + 6 = 4

3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dan sebarang titik N(x,y,z) adalah : A1 = 2i – j + k, A2 = 3i + 2j – k, A3 = - i + 3j – 2k dan A = xi + yj + zk. Maka : NK = A – A1 = (x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k LK = A2 – A1 = (3 – 2)i + (2 + 1)j + (-1 – 1)k = i + 3j – 2k . MK = A3 – A1 = (-1 – 2)i + (3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k Semuanya terletak pada bidang yg dikehendaki, sehingga : NK · (LK x MK) = 0 A – A1 · [(A2 – A1) x (A3 – A1)] [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · [(i + 3j –2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0 [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · (11i + 5j + 13k) = 0 HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

2

11(x – 2) + 5(y + 1) + 13(z – 1) = 0 11x – 22 + 5y + 5 + 13z – 13 11x + 5y + 13z = 13 + 22 – 5 11x + 5y + 13z = 30 4. A x (A x (A x B) = (A ◦ A) (B x A) Misal : A x B = C Maka A x (A x (A ◦ B) = A x (A ◦ C) = (A ◦ C)A – (A ◦ A)C = (A x (A ◦ B)) A – (A ◦ A) (A ◦ B) = 0 (A) – (A ◦ A) (A x B) = - (A ◦ A) (A ◦ B) = (A ◦ A) (B x A) Jadi, terbukti A x (A x (A x B) = (A ◦ A) (B x A) 2. Hasil Kali Skalar Tripel Hasil kali skalar tripel adalah skalar . untuk lebih jelas nya perhatikan Jika : ⃗ A = A x i+ A y j+ A z k ⃗ B =Bx i+ B y j+ B z k ⃗ C =C x i+C y j+C z k i

|

j

||

||

A Az A Az A ⃗ A ×⃗ B= y − x + x By Bz Bx Bz Bx

|

Cx

| |

A Az A ⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C= y − x B y Bz Bx

k

|

Ay By

Cy

||

Az A + x Bz Bx

|

|

C Ax A y Az Ay = Bx B y Bz By C x C y Cz

|

z

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1) A × B ∘ C =( B × C ) ∘ A =( C × A ) ∘ B ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Sehingga ( A × B ) ∘ C = A ∘ ( B × C ) Nilai hasil kali hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya , letak tanda

×

dan

∘

nya tidak mempengaruhi hasilnya . jika urutan

vektornya ditukar maka tanda nya akan berubah sehingga : HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

3

⃗ ⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C =−⃗ B×⃗ A∘⃗ C =−⃗ B∘⃗ A ×C 2) Hasil kali skalar tripel ⃗ C

⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C =0

bila dan hanya bila

⃗ A ,⃗ B

dan

sebidang

bukti : a.

⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C =0 → ⃗ A ,⃗ B dan ⃗ C sebidang ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Jika A × B ∘ C =0 maka A × B ⊥ C atau salah satu dari

⃗ A ,⃗ B

⃗ dan C



vektor nol , berarti : ⃗ ⃗ Apabila salah satu dari A , B ⃗ A , ⃗ B



Apabila

⃗ dan C sebidang ⃗ ⃗ ⃗ A ×⃗ B⊥ C maka C

atau

⃗ C

vektor nol maka pasti

bisa diletakkan sebidang dengan

⃗ A

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ dan B sehingga A , B dan C sebidang ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C =0 b. jika A , B dan C sebidang → ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ jika A , B dan C sebidang, maka A × B ⊥ C

sehingga

⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C =0 Arti Geometris dari Diberikan vektor

⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C

⃗ A ,⃗ B

⃗ dan C

HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

4

⃗ A ,⃗ B

Gambar 1 vektor ⃗ A

⃗ = OA

⃗ B

⃗ = OB

⃗ C

⃗ = OC

⃗ P

=

⃗ dan C

⃗ A ×⃗ B

|⃗A × ⃗ B| = luas jajaran genjang OADB ⃗ A ×⃗ B∘ ⃗ C

=

⃗ P∘ ⃗ C

⃗ ⃗ = |P||C| cos θ

C diatas bidang OABD |⃗ C| cos θ = tinggi ⃗

Jadi

⃗| |⃗A × ⃗ B ∘C

⃗ A ,⃗ B

= volume bidang enam OADB-CEFG disusun oleh

⃗ dan C

Catatan :

luas

jajaran genjang OABC

|⃗ OB||⃗ AA |=|⃗ OB||⃗ OA|

sin

θ

=

⃗ OB × ⃗ OA

Contoh : Bila A =2i -3j , B= i + j – k, C= 3i – k , Hitunglah A ∘ ( B ×C ) ? Jawab :

HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

5

|

|

i j k ∘ 1 1 −1 = ( 2i -3j ) 3 0 −1

A ∘ ( B ×C )

= (2i -3j +0 ) ∘ ((-1)- 2j - 3k) = -2 + 6+0 =4

B. Himpunan Vektor-Vektor Resiprokal (Reciprocal) Himpunan vektor2 A, B, C dan A’, B’, C’ disebut himpunan atau sistem vektor-vektor resiprokal bila : A’ · A = B’ · B = C · C’ = 1 A’ · B = A’ · C = B’ · A = B’ · C = C’ · A = C’ · B = 0 Himpunan A, B, C dan A’, B’, C’ adalah himpunan vektor vektor Resiprokal jika dan hanya jika : B xC CxA A’ = A · B x C , B’ = A · B x C , C’ = BxA A·B x C dimana A · B x C ≠ 0 contoh: 1. Bila diketahui vektor A = 2i + 3j – k , B = i – j – 2k , dan C= - i + 2j + 2k. Tentukan suatu himpunan vektor-vektor Resiprokal terhadap himpunan vektor-vektor tersebut ?

Jawab: A’ =

B xC A·B x C

,

B’ =

CxA A·B x C

,

C’ =

BxA A·B x C

BxC=

| | i jk 1−1 1 −12 2

= i(2) – j(0) + k = 2 i – 0j + k

HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

6

A’ =

B xC A. BxC

C x A=

B’ =

AxB=

C’ =

=

| | i jk −12 2 2 3−1

CxA A. Bx C

| | i jk 23−1 1−1−2

A xB A. Bx C

2 i−0 j+ k 3

=

2 3

i+

1 3

k

= i (-8) + j (3) – k (-7) = - 8i + 3j – 7k

=

−8 i−3 j−7 k 3

=-

8 3

i+j-

7 3

k

5 3

k

= i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i + 3j – 5k

=

−7 i+3 j−5 k 3

=-

7 3

i+j-

2. Dari ketentuan (rumus) di atas buktikan bahwa A’ · A = B’ · B = 1? Jawab : A’ · A = B’ · B = 1 B xC A. Bx C A’ · A = A · A’ = A · A . B x C = A . B x C = 1 B’ · B = B · B’ = B ·

CxA A. Bx C

=

A. Bx C A. Bx C

=1

HASIL KALI TRIPLE DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL

7