Harmonija i Matematika u Muzici

Matematički fakultet Beograd

HARMONIJA I MATEMATIKA U MUZICI

Milica Živanović ml03007 Sardžaj Dijalektika ......................................................................................................

4

Alikvotni tonovi ..............................................................................................

4

Harmonija i spirala ........................................................................................

7

Alikvotni tonovi i harmonijska četvorka tačaka .........................................

9

Logaritamska spirala ..................................................................................... 11 Logaritamska spirala i zlatni presek ...........................................................

13

Logaritamska spirala i Zenonovi paradoksi ……………………………... 17 Zaključak ........................................................................................................ 19 Imenik ............................................................................................................. 21 Literatura ........................................................................................................ 29

2

“Bliznakinje načela krsta, oplođene čistim ukrštanjem, simetrija i armonija su uspele da začnu vaselenu i da je rode, razviju i nasele večnim životom.” Laza Kostić

3

Veliki matematičar Leopold Kroneker je 1886. godine na Kongrsu u Berlinu rekao: “Die Ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”. (“Cele brojeve je stvorio dragi Bog, a sve ostalo je delo ljudskih ruku.”) S druge strane, kineski filozof Li Pu Ve iz III veka pre Hrista, kaže da o muzici “može govoriti samo sa čovekom koji je shvatio sužtinu sveta”. I zaista, ove dve izjave između kojih je razmak od 2200 godina su dovedene u vezu!

Dijalektika Dijalektika kao metoda pobijanja ili dokazivanja bila je poznata i pre Platona. No, sasvim je sigurno da niko pre njega nije poznavao reč dijalektika. Tu reč je sam Platon skovao kao ime za filozofsku istraživačku aktivnost. Neposredni uzor za konstrukciju Platonove dijalektike bili su sokratski razgovori, sokratska ispitivanja. Platon govori o uzdizanju i osvešćavanju duše na putu saznanja. On kaže da je taj put ulazni, progresivan, počinje od najnižeg stepena saznanja (od onoga što pokazuju čula), ide preko proučavanja i razumevanja matematičkih oblika i relacija, da bi dospeo do onog najvišeg (“do uvida u vrhunsko dobro, koje je dobro po sebi, a ne po nečemu drugom”). Platon, s jedne strane, pod rečju dijalektika podrazumeva učešće ljubavi jer “ni do čega vrednog se ne može stići bez tog zanosa”, a s druge strane, podrazumeva veštinu dolaženja do pojmnovnog saznanja. Osnovni princip dijalektike glasi da se sve što zapažamo u prirodi i društvu, oko nas i u nama, razvija, menja i kreće. Međutim, obratićemo posebnu pažnju na jednu prirodnu pojavu koja, čini se, od iskona prkosi osnovnom principu dijalektike, a s druge strane objašnjava reči Leopolda Kronekera.

Alikvotni tonovi Poznato je da svaki muzički ton predstavlja složenu zvučnu pojavu. U zvuku svakog tona sadržani su i njegovi tzv. alikvotni tonovi (parcijalni tonovi ili harmonici), čije se frekvencije odnose prema tonu u kojem se pojavljuju, tj. osnovnom tonu, kao 1:2:3:4:5:6:7:8:9 itd. do određene granične frekvencije. Ova granica kod nekih instrumenata iznosi: Instrument Granična frekvencija (kHz)

Horna

Flauta

Violina

Truba

Triangl

1.5

4

8

9

16

4

Tako su, na primer u tonu A, čija je frekvencija 110Hz, sadržani sledeći alikvotni tonovi: Osnovni ton Alikvotni tonovi (Hz) 110 Hz 220 330 440 550 660 770 880 990 1100 1210 1320 1430 Približan ton a e1 a1 cis2 e2 g2 a2 h2 cis3 dis3 e3 f3 A u tonu C su sadržani naredni alikvoti:

Alikvotne tonove ne razabiramo sluhom kao samostalne tonove, nego samo kao prizvuk, odnosno boju glavnog, osnovnog tona. Takođe, što je manji broj alikvotnih tonova (tj. što je granična frekvencija niža) to je zvuk instrumenta “mekši” i obratno – što je alikvotnih tonova više, to je zvuk instrumenta oštriji. Na nekim instrumentima se, naročitim postupkom u sviranju, može postići da pojedini alikvoti zazvuče izdvojeno, kao tzv. flažoleti. Dovoljno je na odredjenom mestu žicu samo lagano dotaći, umesto čvrsto pritisnuti, usled čega nastaje specifična boja tona Slika ili dijagram odnosa tih tonova zove se zvučni spektar, a mogu se registovati i tzv. Helmholcovim rezonatorima, kojima je utvrđeno njihovo postojanje. Četvrti, peti i šesti alikvotni ton daju tonove durskog trozvuka, pa je na osnovu toga proistekla teorija nekih estetičara o prirodnoj osnovi durskog tonaliteta. Nemački muzikolig Hugo Riman postavio je hipotezu o postojanju niza alikvotnih tonova sa suprotnim kretanjem intervala – odozgo naniže. Fizičko postojanje donjeg alikvotnog niza nije eksperimentalno utvrđeno, ali prema Rimanu i četvrti, peti i šesti ton donjeg alikvotong niza obrazuju molski trozvuk. Na osnovu ovoga je izveden zaključak da i molski tonalitet ima u jednom akustičnom zakonu svoju prirodnu podlogu, što predstavlja tzv. Rimanovu hipotezu. Zaključimo, dakle, da je još od najdavnijih vremena, od kada je čovek proizvodio muziku bilo svojim glasom, bilo na nekom od prvobitnih muzičkih instrumena, u osnovi svakog tona ležao i leži niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… i to upravo onaj kojeg nam je po rečima Kronekera podario dragi Bog. Njihove recipročne vrednosti obrazuju tzv. harmonijski niz 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… za čiji naziv postoji više razloga. Prvo, kao što je već pomenuto, ovi tonovi u akustici često nose naziv harmonici, a sami brojevi tačno označavaju deo žice koja treperi prilikom proizvođenja odgovarajućeg tona. Zatim, svaki član ovog niza predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna člana koja se izračunava po formuli: H(a, b) =

5

2ab a +b

Pri tome treba imati u vidu da su još stari pitagorejci, a posebno Arhita, koristili aritmetičku i harmonijsku sredinu za podelu oktave na sve manje i manje intervale i tako dobili više različitih dijatonskih skala. Recipročna funkcija (hiperbola) y = k/x ima svoju podlogu u prirodnom zakonu, da je kod žice muzičkog instrumenta broj oscilacija obrnuto proporcionalan dužini dela žice koji treperi. U nizu alikvotnih tonova poseban i izuzetan značaj zauzimaju oktave. Pre svega, njihove frekvencije se odnose kao 1:2:4:8:16…, tj. obrazuju geometrijsku progresiju, čiji je količnik 2. Ali i bez toga, oktava je za sve harmoničare najvažniji interval u muzici i najsavršeniji. Tokom mnogih vekova, od vremena pitagorejaca do današnjih dana, matematičari, akustičari, teoretičari muzike i graditelji muzičkih instrumenata proučavali su problem tonskog uređivanja, izjednačavanja i tempiranja muzičkih skala i tačnog određivanja položaja svakog tona u njima, ali teško da se iko usudio da dirne u svetinju oktave, jer su intuitivno osećali da se ona nalazi u “temeljima postanka sveta”. S jedne strane, osnovni ton i njegova oktava nisu identični, a s druge strane, oba tona u čoveku pobuđuju “kvalitativno isti subjektivni doživljaj”. Svaki ton je u stanju da iz sebe izvede, po pravilu geometrijske progresije, čitav jedan neograničen niz oktava ili tzv. oktavni prostor. Ali i svaki novonastali ton ima tu istu reproduktivnu moć. Posmatrajmo sada uporedo dva pomenuta, možda najvažnija, na prirodnim zakonima zasnovana niza, i to: oktavni niz: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , ... niz prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Prvi od njih raste eksponencijalno, a drugi linearno. Vidimo da se članovi drugog niza dobijaju logaritmovanjem prvog za osnovu 2. Zapravo, drugi niz je niz logaritama prvog, što nas vodi do Veber-Fehnerovog zakona. Oktavni brojevi predstavljaju podražaje u obliku frekvencija, a prirodni brojevi odgovaraju “subjektivno doživljenim tonskim visinama”. Osnovni psihofizički zakon prema Fehneru ima oblik S = k * logR gde je S jačina oseta (ili kako neki više vole intenzitet senzacije), k je konstanta karakteristična za određeni modalitet, i R je intenzitet stimulacije tj. podražaja. Dakle, Fehnerov zakon glasi da “jačina oseta jeste proporcionalna logaritmu odgovarajućeg podražaja”. To opet znači da “eksponencijalnom rastu veličine podražaja odgovara linerani rast veličine oseta”. Veber-Fehnerov zakon je doživeo mnoge polemike i osporavanja, ali u oktavnom prostoru je dobio svoju najveću potvrdu. Oktava je fundamentalnan muzički interval koji “kao nijedan drugi tonski korak, u nama izaziva isti kvalitet oseta”. Koračanje duž niza oktava osećamo kao ravnomerno penjanje ili spuštanje, tako da se u ovom slučaju pomenuti zakon ostvaruje. Bitno je spomenuti da Gustav Teodor Fehner (1801-1887) jeste čovek koji je težio jednoj sveobuhvatnoj psihološkoj slici sveta – “sveta u kome se duhovni i materijalni procesi od početka razvijaju uporedo i zajedno, jedni sa drugima, isto kao i fizičko i psihičko u njegovoj psihofizici”. Kažu da iz njegovih dela govori “jedno istinsko 6

jedinstvo religije, umetnosti i nauke, u kome Bog i priroda, duh i materija, vera i nauka stoje u tesnoj međusobnoj povezanosti”, kao i da je njegova glavna preokupacija bila “naći most između srca i razuma”. A složićemo se svi da je ovo u izvesnom smislu i jedna od preokupacija harmonije. Vratimo se sada na harmonijski niz koji predstavlja alikvotne tonove. Iz ovog niza možemo izdvojiti geometrijski podniz, odnosno oktavni podniz. Njegovim logaritmovanjem ponovo se dobija harmonijski niz, i ova igra uz pomoć logaritamske funkcije može po volji da se produži. Stoga se smatra da je logaritamska funkcija matematički izraz povezanosti fizičkog i psihičkog, objektivnog i subjektivnog.

Harmonija i spirala Niz alikvotnih tonova, odnosno harmonijski niz, fascinirao je sve prave istraživače nauke o harmoniji, koji su u njemu doživljavali jedan od osnovnih “prafenomena univerzuma” i otkrivali različita i višeslojna značenja. Poznati nemački harmoničar Peter Nojbeker spontano je i intuitivno alikvotni niz predstavio u obliku jedne spirale (sl. 2) pri čemu svaka oktava označava jedan nov ciklus, a zatim je to dovedeno u vezu sa biblijskom Knjigom postanja. “Broj 1 ukazuje da tonski prostor još nije u sebi struktuiran već haotičan, a jedina polazna tačka je osnovni ton – jedno – duh Božji koji sve obuhvata, odnosno kako Biblija kaže: “Beše tama nad bezdanom; i duh Božji dizaše se nad vodom.”

sl.2

Broj 2 u tonskom prostoru izaziva prvu polarizaciju koja istovremeno vodi ka cikličkoj oktavnoj strukturi. Prvi akt stvaranja je polarizacija u svetlost i tamu koja istovremeno vodi ka cikličkom fenomenu dana i noći. “I reče Bog: neka bude svetlost. I bi svetlost. I vide Bog svetlost da je dobra; i rastavi Bog svetlost od

tame.” Broj 3 se pojavljuje u drugom ciklusu kao prvo novo biće u obliku kvinte. Istovremeno sa njom nastala je i mogućnost formiranja kvintnog kruga, a time i mnoštva tonova u njihovoj organskoj uređenosti. Trojka polarizuje oktavu na kvintu i kvartu, a kvinta simbolizuje prvog čoveka Adama. Kvinta se kroz broj 5 dalje polarizuje u veliku i malu tercu. Pojavljuju se dur i mol – muško i žensko. Dok je u prvom ciklusu stvaranja čovek još bio androgeno biće, tek na ovom stepenu kroz polarizaciju na čoveka i ženu, dobija se istinski ljudski kvalitet. Sedmi alikvotni ton sa prethodnim obrazuje septakord koji se doživljava kao pitanje kojim se stvoreni čovek obraća stvaraocu. Pitanje se postavlja o kušanju sa drveta saznanja i obećanju zmije da će čovek postati kao Bog.

7

Sa brojem 8 zatvara se još jedan oktavni ciklus, a sa brojem 9 počinje napredovanje i izgradnja tonske skale iz manjih elemenata. Posle broja 8 čovek mora da napusti rajski prostor i započne tegoban zemaljski život koji se u Bibliji opisuje rečima “Sa znojem lica svojega ješćeš hleb”.” Peter Nojbeker nije dao nikakvo matematičko izvođenje, niti je precizirao o kom obliku spirale je reč. Postoje, tri glavna tipa spirala (Arhimedova, hiperbolička i logaritamska). I sva tri su u neposrednoj, živoj i organskoj vezi sa nizom alikvotnih tonova, ali pored toga imaju i mnoga druga značenja i ispoljavanja. Jednačine svih ovih spirala izražavaju se u tzv. polarnim koordinatama ρ i θ, gde je ρ poteg ili rastojanje neke tačke od koordinatnog početka ili pola, a θ ugao između potega ρ i polarne (horizontalne) ose (sl. 3). Jedan od najvećih matematičara i naučnika helenističke epohe i celokupnog starog sveta bio je Arhimed (287 – 212. pre nove ere). U svojoj knjizi O spiralama, on definiše krivu koju mi danas nazivamo Arhimedova spirala kao “liniju opisanu tačkom koja se jednoliko kreće po pravoj, koja se pak sa svoje strane jednoliko obrće oko jedne stalne tačke”. Ako uzmemo da se početni položaj obrtne prave nalazi na polarnoj osi i da je početni položaj pokretne tačke u polu polarnog koordinatnog sistema, tada jednačina spirale ima oblik ρ = aθ, gde konstanta a predstavlja faktor proporcionalnosti. Na slici 4 imamo spiralu nacrtanu za dva suprotna smera obrtanja pokretne prave.

sl.3

sl.4

Ova kriva u muzičkom smislu predstavlja krivu frekvencija alikvotnih tonova. Uobičajeno je da se njihov redosled obeležava rednim brojevima (prvi, drugi, treći…) odozdo naviše. Ako je frekvencija osnovnog tona a, tada će frekvencije alikvotnih tonova dalje biti 2a, 3a, 4a, 5a, 6a… I to su tačno one brojne vrednosti i apscise tačaka u kojima spirala seče polarnu osu. Spomenimo da i gramofonska igla krećući se po ploči opisuje putanju koja tačno predstavlja Arhimedovu spiralu. Hiperboličku spiralu definišemo jednačinom ρ = a/θ. Primetimo da se poteg ρ neograničeno smanjuje kada ugao θ neograničeno raste, kao i da se odgovarajuća linija zavija kod pola i asimptotski mu se približava. S druge strane, ordinata ove krive je određena sa y = ρ·sinθ, pa imamo

8

a ⋅ s iθ n 〈a θ

y = ρ·sinθ =

jer je

s i θn . 〈1 θ

Spirala se odavde nalazi ispod prave y = a i asimptotski joj se približava (videti sl. 5), jer je lim

sin θ

θ →0

θ

=1

Ovu spiralu pominje i Isak Njutn u prvoj knjizi svojih Principia pri razmatranju zakona gravitacije i mogućeg obilaska planeta oko Sunca. Ova kriva u muzičkom smislu upravo predstavlja krivu samih alikvotnih tonova. Ukoliko izaberemo a = 2π dobićemo presečne tačke sa polarnom osom 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6... To znači da jedinični interval [0,1] možemo da posmatramo kao dužinu žice muzičkog instrumenta, pa će sl.5 spirala prolaziti tačno kroz one tačke na žici u kojima se stvaraju alikvotni tonovi. Svaki alikvotni ton predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna alikvotna tona.

Alikvotni tonovi i harmonijska četvorka tačaka Pokušajmo da dovedemo alikvotne tonove iliti harmonike u vezu sa tzv. harmonijskom četvorkom tačaka, na šta nas sam termin “harmonijski” navodi. Poznato je da 4 tačke A, B, C i D jedne prave linije obrazuju harmonijsku četvorku tačaka ako tačka C deli odsečak AB iznutra u istom odnosu u kome ga tačka D deli spolja: AC

:

CB

= AD : BD

(1)

Pitanje je da li bilo koja 4 alikvotna tona na žici muzičkog instrumenta prikazana kao tačke na brojnoj osi, mogu da predstavljaju harmonijsku četvorku tačaka.

9

Označimo apscise ovih tačaka sa n −1 n + a −1 n + b −1 n + c −1 , , i n n +a n +b n +c

pri čemu n označava redosled alikvotnog tona od koga počinjemo formiranje četvorke, a a, b i c su za sada nepoznati prirodni brojevi uz uslov a < b < c. Dvostruka proporcija (1) svodi se na  n + a −1 n −1   n + b −1 n + a −1   n + c −1 n −1   n + c −1 n + b −1  − − − −  : = :  (2) n   n +b n+a   n+c n   n+c n +b   n+a

Posle kraćeg računanja, relacija (2) svodi se na relaciju a · (c-b) = (b-a) · c

(3)

Primetimo da se u relaciji (3) više ne pojavljuje n, što znači da je svejedno od kog alikvotnog tona ćemo početi formiranje harmonijskih četvorki. Ovu relaciju posmatrajmo sada kao jednu tzv. Diofantovu jednačinu sa tri nepoznate veličine a, b, c uz uslov 0