Hans Magnus Enzensberger - Il Mago Dei Numeri

Hans M. Enzensberger Il mago dei numeri Der Zahlenteufel! Ein Kopfkissenbuch für alle, die Angst vor der Mathematik haben, 1997

Illustrazioni di R. Susanne Berner EINAUDI TASCABILI Dello stesso autore nel catalogo Einaudi Palaver. Considerazioni politiche Colloqui con Marx e Engels Mausoleum La fine del Titanic Musica del futuro La grande migrazione Prospettive sulla guerra civile Zig zag Ma dove sono finito? Hans Magnus Enzensberger Il mago dei numeri Un libro da leggere prima di addormentarsi, dedicato a chi ha paura della matematica Illustrazioni e progetto grafico di Rotraut Susanne Berner Traduzione di Enrico Gannì Einaudi Titolo originale Der Zahlenteufel L'edizione italiana avviene con la mediazione dell'agenzia letteraria Eulama © 1997 Carl Hanser Verlag München Wien © 1997 e 1998 Giulio Einaudi editore S.p.A., Torino Prima edizione «Supercoralli» 1997 www.einaudi.it ISBN 88-00-15030-8

A Theresia

La prima notte Da un po’ di tempo ormai, Roberto si era stufato di sognare: faccio sempre la figura del cretino, pensava. Nei sogni veniva spesso inghiottito da un orrendo pescione che oltretutto puzzava tremendamente. Oppure gli capitava di essere su uno scivolo che non finiva mai. Gridava «Ferma!» o «Aiuto!», ma non c'era niente da fare, la velocità aumentava e aumentava e alla fine Roberto si svegliava in un bagno di sudore. Ma lo fregavano anche quando desiderava moltissimo qualcosa, tipo una bicicletta da corsa con almeno ventiquattro rapporti. Allora sognava che la bici - viola metallizzata lo stesse aspettando in cantina. Era un sogno incredibilmente dettagliato. La vedeva lì a sinistra, accanto allo scaffale dei vini, e sapeva addirittura il numero della combinazione del lucchetto: 12345. Era un giochetto da ragazzi ricordarsela! Roberto si svegliava in piena notte, ancora mezzo addormentato, prendeva la chiave e in pigiama barcollava giù per quattro piani - e invece della bici, cosa trovava, li accanto allo scaffale dei vini? Un topo, un topo morto. Lo avevano fregato! C'era cascato come un pollo. Via via Roberto capì come difendersi da queste carognate. Appena il sogno si preannunciava, pensava velocissimamente e senza svegliarsi: Rieccolo quel vecchio pesciaccio schifoso. So benissimo cosa succederà adesso. Vorrà inghiottirmi. Ma è chiaro che si tratta di un pesce sognato che può inghiottirmi solo in sogno. Oppure pensava: Sono di nuovo sullo scivolo, non c'è niente da fare, non posso assolutamente impedirlo, ma non scivolo davvero. E quando si ripresentava la meravigliosa bicicletta oppure un videogioco che desiderava da pazzi - li accanto al telefono, lo vedeva chiaramente, bastava allungare la mano - Roberto già sapeva che anche in questo caso lo stavano imbrogliando e basta. La bici neanche la guardava. La lasciava stare dov'era. Ma nonostante gli sforzi, la cosa era comunque scocciante: per questo dei suoi sogni non parlava volentieri. Finché un giorno non comparve il mago dei numeri. Roberto era abbastanza contento che questa volta nel sogno non ci fosse un pesce affamato, e che non stesse scivolando sempre più giù da una torre traballante su uno scivolo senza fine. Sognava invece un

prato. Di strano c'era solo che l'erba cresceva altissima verso il cielo, più alta della sua testa e delle sue spalle. Si guardò intorno e proprio davanti a sé vide un signore abbastanza vecchio e abbastanza piccolo, grande più o meno come una cavalletta, che si dondolava su una foglia di acetosella osservandolo con occhietti scintillanti. - E tu chi sei? gli chiese Roberto. E quel tizio, con sua grande sorpresa, gli urlò: - Sono il mago dei numeri! Ma Roberto non aveva proprio voglia di farsi prendere in giro da un nanetto come quello. - Tanto per cominciare, disse, il mago dei numeri non esiste. - Ah no? E se non esisto, perché allora mi rivolgi la parola? - E poi odio qualsiasi cosa abbia a che fare con la matematica. - E perché? - «Se due pasticcieri in sei ore fanno 444 ciambelle, quanto tempo impiegano cinque pasticcieri per farne 88?» - Tutte scemenze, continuò a brontolare Roberto. Un modo da deficienti per passare il tempo. Quindi fila! Aria! Con balzo elegante il mago scese dalla foglia di acetosella e si mise accanto a Roberto che per protesta si era seduto nell'erba alta. - Quella storia delle ciambelle chi te l'ha raccontata? Un professore probabilmente. - Chiaro! rispose Roberto. Mandibola, quel dilettante che ci fa matematica; ha sempre fame, anche se è già bello grasso. Quando crede che non ce ne accorgiamo perché stiamo impazzendo sui compiti di matematica, lui di nascosto tira fuori una ciambella dalla borsa e se la mangia mentre noi siamo li a lavorare. - Va be, disse il mago sogghignando. Mi dispiace per il tuo prof., ma con la matematica quella roba non c'entra. La sai una cosa? Gran parte dei veri matematici i calcoli non li sa nemmeno fare. Non vogliono sprecare il tempo, e poi ci sono le calcolatrici. Ce n'hai una anche tu, no? - Certo, però a scuola non possiamo usarla. Roberto vide un signore piuttosto vecchio, grande più o meno come una cavalletta, che si dondolava su una foglia di acetosella osservandolo con occhietti scintillanti.

- Ho capito, disse il mago. Non fa niente. Sapere un po’ le tabelline non guasta. Può tornare utile, se si scaricano le batterie. Ma la matematica, caro mio, è un'altra cosa! - Stai solo cercando di farmi cambiare idea, disse Roberto. Di te non mi fido e se cerchi di rifilarmi degli esercizi anche in sogno mi metto a urlare. È vietato maltrattare i minori! - Se l'avessi saputo che eri così vigliacco, commentò il mago, mi sarei risparmiato il viaggio. Voglio solo fare quattro chiacchiere. La notte infatti di solito non ho impegni e quindi ho pensato: proviamo a passare da Roberto che certamente non ne può più di scendere ancora da quello scivolo. - L'hai detto. - Allora siamo d'accordo. - Però non mi faccio fregare, aggiunse Roberto. Cerca di mettertelo in testa. A quel punto però il mago saltò su in piedi e all'improvviso non fu più tanto piccolo. - Non si parla così a un mago, gridò. Con occhi sfavillanti si mise a pestare i piedi sull'erba fino a quando non la schiacciò tutta. - Scusami, borbottò Roberto. La faccenda gli piaceva sempre meno. - Se della matematica si può parlare come si parla di film o di biciclette, un mago a cosa serve? - E qui che ti voglio, mio caro, rispose il vecchio. Di magico i numeri hanno che sono semplici. In fondo non ti serve nemmeno la calcolatrice. Per cominciare ti basta una sola cosa: l'uno. Puoi farci quasi tutto. Se ad esempio i numeri grandi ti fanno paura, diciamo ad esempio cinquemilionisettecentoventitremilaottocentododici, allora comincia così: 1+2 1+1+1 1+1+1+1 1+1+1+1+1 e poi prosegui, fino a cinquemilionieccetera. Non mi dirai che è troppo complicato! Ci arriva anche un cretino. O no? - Beh, sì, rispose Roberto. - E non è tutto, proseguì il mago. In mano adesso reggeva un bastone da passeggio col pomello d'argento che agitava davanti al naso di Roberto.

- Quando arrivi a cinquemilionieccetera continui a contare. Vedrai che puoi andare avanti all'infinito. Perché i numeri sono infiniti. Roberto non sapeva se credergli. - E tu come fai a saperlo? chiese. Hai fatto la prova? - No, la prova non l'ho fatta. Per prima cosa perché ci si metterebbe troppo e poi perché sarebbe inutile. Roberto non era convinto. - Insomnia, obiettò, o posso contare fino a li, e allora i numeri non sono infiniti, oppure sono infiniti e allora posso andare oltre. - Errore! gridò il mago. Gli tremavano i baffi, aveva la faccia paonazza e per la rabbia la testa gli si gonfiava sempre più. - Errore? E perché? chiese Roberto. - Sei un testone! Riesci a immaginare quanti chewing gum sono stati usati sino ad oggi in tutto il mondo? - Proprio no. - Prova a dire. - Tantissimi, disse Roberto. Alberto, Bettina e Charlie, quelli della mia classe, poi quelli in tutta l'Europa, poi quelli in America... saranno miliardi. - Minimo, confermò il mago. Allora, immaginiamo di essere arrivati all'ultimissimo chewing gum. Poi cosa faccio? Dalla tasca ne prendo un altro, e già abbiamo il numero di tutti i chewing gum più uno - il numero successivo. Hai capito? Non devo mica contarli, i chewing gum. Ti sto solo dicendo come andare avanti. Non c'è bisogno di altro. Roberto rimase pensieroso per un istante, poi dovette ammettere che l'ometto aveva ragione. - Funziona anche al contrario, aggiunse il vecchio. - Al contrario? Come al contrario? - Beh, - adesso il vecchio era tornato a sogghignare, - il fatto è che non esistono solo numeri infinitamente grandi, ma anche infinitamente piccoli. E sono infinitamente tanti. E dicendo questo, fece vorticare il suo bastone da passeggio come un'elica davanti al naso di Roberto. Mi fa venire la nausea, pensò Roberto. Era la stessa sensazione che provava sullo scivolo ogni volta che scendeva. - Piantala! gridò. - Calmati Roberto; in fondo è facilissimo. Ecco guarda, prendo un altro chewing gum...

E in effetti dalla tasca tirò fuori un vero chewing gum. Solo che era grande come un'asse di legno, di un viola molto sospetto e duro come un sasso. - E quest'affare sarebbe un chewing gum? - Il sogno di un chewing gum, disse il mago. Voglio dividerlo con te. Sta attento. Per ora è ancora intero. È il mio chewing gum. Una persona, un chewing gum. Infilò un pezzo di gesso - era di un viola molto sospetto - sulla punta del bastone e proseguì: - Si scrive così: scarabocchiò 1/1 due uno direttamente in aria, proprio come gli aerei quando scrivono la pubblicità in cielo. La scritta viola restò sospesa sullo sfondo delle nuvole bianche e piano piano si sciolse come gelato di more. Roberto non staccava gli occhi dal cielo. - Che forte, disse. Un bastone così mi farebbe proprio comodo. - Oh, non è niente di speciale. Però con quest'affare scrivo dove voglio, sulle nuvole, sui muri, sugli schermi televisivi. Non mi serve il bloc-notes e nemmeno la borsa. Ma non stavamo parlando di questo. Guarda il chewing gum. Adesso lo spezzo, così ciascuno di noi ne ha la metà. Un chewing gum, due persone. Il chewing gum lo mettiamo sopra e le persone sotto: 1/1+1 Adesso però ne vorranno un po’ anche gli altri, quelli della tua classe. - Alberto e Bettina, disse Roberto. - D'accordo. Alberto viene con te, e Bettina con me, così dobbiamo dividere entrambi. A ciascuno un quarto: 1/1+1+1+1 Naturalmente non abbiamo ancora finito. C'è sempre più gente che ne vuole un po’. Prima quelli della tua classe, poi tutta la scuola, tutta la città. Ognuno di noi quattro deve cedere la metà del suo quarto e poi la metà della metà, e la metà della metà della metà e così via. - così si va avanti fino alla nausea, disse Roberto. - Beh, si va avanti fino a quando i pezzi del chewing gum sono così piccoli che a occhio nudo non si vedono più. Ma non fa niente. Continuiamo a dividerli finché ciascuno dei sei miliardi di abitanti della terra ne ha un pezzetto. E poi tocca ai seicento miliardi di topi, che ne vogliono un po’ anche loro. Come vedi in questo modo non arriveremo mai alla fine.

Con il bastone il vecchio aveva continuato a scrivere in cielo degli uno viola sotto una linea infinitamente lunga e anche lei viola. - Stai imbrattando tutto il mondo, esclamò Roberto. - Ah! gridò il mago e iniziò a gonfiarsi. Lo faccio solo per farti un piacere! Sei tu ad avere paura della matematica e che per non fare confusione vuoi che le cose siano semplici semplici. - Continuare a mettere degli uno alla fine è una noia. E poi è anche un po’ scomodo, osò obiettare Roberto. - Vedi? disse il vecchio, e con un gesto disinvolto della mano pulì il cielo facendo scomparire tutti gli uno. Naturalmente sarebbe più pratico se ci venisse un'idea migliore invece di continuare a scrivere 1 + 1 + 1 + 1... In fondo è per questo che ho inventato tutti gli altri numeri. - Tu? Tu avresti inventato i numeri? Scusa sai, ma questa proprio... - Beh, insomma, disse il vecchio, io o qualcun altro. In fondo non ha importanza chi è stato. Perché sei così diffidente? Se vuoi, ti faccio vedere come dall'uno si fanno tutte le altre cifre. - E come si fa? - E semplicissimo, così: 1x1=1 e poi 11x11 Forse adesso ti serve la calcolatrice. - Ma va, disse Roberto. 11x11=121 - Hai visto, disse il mago, a furia di uno hai fatto un due. E adesso per favore dimmi quanto fa: 111x111 - Non esagerare, protestò Roberto. A mente non ci riesco. - Allora usa la calcolatrice. - E dove la trovo? Quando sogno non me la porto mica dietro. - Prendi questa, disse il mago mettendogliene in mano una tutta molle, come l'impasto di una torta. E poi era verdognola e appiccicosa; però funzionava. Roberto premette i tasti: 111 x 111 E cosa venne fuori? 12321 - Grandioso, disse Roberto. Abbiamo anche un tre. - Appunto. E adesso continua. Roberto iniziò a premere un tasto dopo l'altro. 1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321 - Ottimo! Il mago gli diede una pacca sulla spalla. C'è un trucco di cui ti sarai sicuramente accorto: se continui, non solo vengono fuori tutte le cifre da due a nove, ma puoi anche leggere il risultato da sinistra a destra o da destra a sinistra, un po’ come nelle parole ANNA, OTTO, ANILINA. Roberto si rimise a provare, ma già con 1111111 x 1111111 la calcolatrice rese l'anima a Dio. Fece pfff!, si trasformò in una poltiglia verdastra e piano piano si sciolse. - Che schifo! esclamò Roberto mentre con il fazzoletto si toglieva dalle dita quella roba verdognola. - Per queste cose ti serve una calcolatrice più grande. Un computer come si deve ce la fa senza problemi. - Sei sicuro? - Certo, rispose il mago. - Continuo? chiese Roberto. Fino alla nausea? - Certo. - Con 11 111 1111 111 x 11 111 111 111 hai già provato? - No, ancora no. - Non credo che funzioni, disse Roberto. Il mago cominciò a calcolare a mente, ma anche questa volta si gonfiò terribilmente, iniziando dalla testa, che sembrava un palloncino rosso. Rosso di rabbia, pensò Roberto, o per lo sforzo. - Aspetta, bofonchiò il vecchio. Che confusione. Accidenti! Hai ragione, non ci riesco. Come facevi a saperlo? - Non lo sapevo, rispose Roberto. Ho solo tirato a indovinare. Non sono mica scemo che mi metto a fare questi calcoli. - Come ti permetti? Nella matematica non si tira a indovinare, hai capito? La matematica esige precisione. - Ma sei stato tu a dire che si può andare avanti così fino alla nausea. Non hai tirato a indovinare anche tu? - Ma che ti salta in mente? Chi ti credi di essere? Sei un principiante, ricordatelo! E vuoi spiegare a me come vanno le cose? Ad ogni parola che pronunciava, il mago diventava sempre più grande e più grasso. Boccheggiava. Roberto cominciava ad avere paura.

- Sei un microcefalo, un pigmeo, un incapace gridò il vecchio, e non aveva ancora pronunciato l'ultima parola che dalla rabbia scoppiò con un gran botto. Roberto si svegliò. Era caduto dal letto. Gli girava la testa ma pensando a come aveva fregato il mago della matematica, gli veniva lo stesso da ridere.

La seconda notte Roberto scivolava. Era sempre la solita storia: non faceva in tempo ad addormentarsi, che cominciava a scivolare. Questa volta era una specie di pertica. Basta non guardare giù, pensò Roberto; si tenne aggrappato, le mani erano sempre più calde mentre scivolava, scivolava, scivolava... Quando con una botta atterrò sul muschio che ricopriva il terreno, sentì una risatina. Su un fungo color cuoio e morbido come raso c'era il mago dei numeri più piccolo di come lo aveva in mente - che lo guardava con i suoi occhietti scintillanti. - E tu da dove sbuchi? chiese a Roberto che indicò verso l'alto. La pertica era molto molto lunga e Roberto vide che in cima aveva una barretta obliqua. Era atterrato in un bosco di Uno giganteschi. L'aria intorno a lui era tutto un ronzio, con tantissimi numeri che gli svolazzavano davanti al naso come moscerini. Cercò di scacciarli con le mani, ma erano davvero troppi e si accorse che quei due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto e nove si avvicinavano sempre di più. A Roberto facevano abbastanza schifo anche le tarme e le falene e non gli piaceva proprio che quegli affari fossero tanto vicini. - Ti danno fastidio? chiese il vecchio, che allungò la manina e con un semplice ffft! soffiò via i numeri. L'aria ritornò limpida e solo gli Uno alti alti restarono lì protesi verso il cielo. - Siediti, Roberto, disse il mago. Stranamente questa volta era gentile. - E dove? Su un fungo? - Perché no? - Mi sento un po’ stupido, brontolò Roberto. Ma qui dove siamo? In un libro per bambini? L'ultima volta eri su una foglia di acetosella e adesso mi dici di sedermi su un fungo. Mi sembra di conoscerle queste cose, di averle lette da qualche parte. - Forse è il fungo di Alice nel Paese delle meraviglie, - rispose il mago.

- Chissà cosa c'entra con la matematica, borbottò Roberto. - così impari a sognare, mio caro. Credi che sia stato io a inventarmi tutti 'sti moscerini? Io non me ne sto certo a letto a dormire e sognare. Io sono sveglissimo! Allora, cosa c'è? Vuoi continuare a startene li in piedi o ti siedi? Roberto si rese conto che il vecchio aveva ragione. Si arrampicò sul primo fungo. Era grandissimo, morbido e gibboso e comodo come una poltrona. Basta non guardare giù, pensò Roberto; si tenne aggrappato, le mani sempre più calde mentre scivolava, scivolava, scivolava... Era atterrato in un bosco di Uno giganteschi. - Ti piace questo posto? - Abbastanza, rispose Roberto. Mi chiedo solo chi ha avuto tutte queste trovate, quei numeri-moscerini e quell'Uno a forma di pertica con il quale sono sceso fin qua. Neanche in sogno mi sarebbero venute in mente. Sei stato tu! - E possibile, disse il mago, stiracchiandosi tutto soddisfatto sul suo fungo. Però manca ancora qualcosa. - Cosa? - Lo zero. Era vero. In mezzo a tutti quei moscerini e quelle falene non c'era nemmeno uno zero. - Perché? chiese Roberto. - Perché lo zero è l'ultima cifra che è venuta in mente all'uomo. E non è tanto strano, perché lo zero è il numero più raffinato di tutti. Guarda! Di nuovo si mise a scrivere nel cielo con il bastone, nel punto in cui gli alberi-uno lasciavano un po’ di spazio: MCM - Quando sei nato, Roberto? - Io? Nel 1986, rispose Roberto contro voglia. E il vecchio scrisse: MCMLXXXVI - So cos'è questa roba. Sono i numeri che a volte si trovano al cimitero. - Li hanno inventati gli antichi romani. Quei poveretti non avevano davvero la vita facile. Tanto per incominciare è difficile decifrarli. Ma questo lo sai leggere, no?: I - E l'uno, disse Roberto. - E questo: X

- La x è il dieci. - Ottimo. E tu, mio caro, sei nato nel MCMLXXXVI - Accidenti com'è complicato, borbottò Roberto. - Appunto. E sai perché? Perché i romani non avevano lo zero. - Non ti seguo. E poi finiscila, lo zero è niente e basta. - Giusto. E questa la cosa geniale, disse il vecchio. - E perché allora il niente è un numero? Niente non conta niente. - Non è detto. Solo che non è facile avvicinarsi allo zero. Però possiamo provarci. Ti ricordi quando abbiamo suddiviso il grande chewing gum fra miliardi di persone, e poi anche fra i topi? Le porzioni erano sempre più piccole, talmente piccole che non si vedevano nemmeno più, neanche col microscopio. E avremmo potuto continuare a suddividere, ma al niente, allo zero, non ci saremmo arrivati. Ci saremmo andati vicino, ma non l'avremmo mai raggiunto del tutto. - E allora? chiese Roberto. - E allora dobbiamo trovare un'altra via. Possiamo provare con il meno. Con il meno è più facile. Il vecchio allungò il bastone e toccò lievemente uno dei lunghissimi Uno: si rimpicciolì subito e Roberto se lo trovò accanto in una dimensione accettabile. - Bene, adesso fai un po’ di calcoli. - Io non so fare i calcoli, obiettò Roberto. - Non dire sciocchezze. 1 -1= - Uno meno uno è zero, disse Roberto. Che ci vuole! - Lo vedi? Senza lo zero non funziona niente. - E perché scriverlo? Se non resta niente, si può anche evitare di scrivere. Perché ci vuole una cifra apposta per qualcosa che non c'è? - Prova a calcolare: 1 -2= - Uno meno due è meno uno. - Giusto. Però se non usi lo zero la tua sequenza di numeri viene così: ... 4, 3, 2, 1 -1, -2, -3, -4... La differenza fra 4 e 3 è uno, fra 3 e 2 ancora uno, fra 2 e 1 sempre uno, e fra 1 e -1? - Due, confermò Roberto. - Quindi fra 1 e -1 devi avere saltato un numero. - Il maledetto zero! esclamò Roberto.

- Te lo dicevo che senza lo zero non funziona niente. Anche quei poveretti dei romani credevano di poter fare a meno dello zero. E per questo che non potevano semplicemente scrivere 1986, e dovevano invece tormentarsi con le M e le C e le L e le X e le V. - E cosa c'entra con il nostro chewing gum e con il meno? chiese Roberto che si stava innervosendo. - Lascia perdere il chewing gum e lascia perdere anche il meno. Per lo zero il trucco è un altro. Devi usare il cervello, mio caro. Ce la fai ancora o sei stanco? - Non sono stanco, disse Roberto. E poi sono contento di non scivolare più. E abbastanza comodo questo fungo. - Bene. Allora vorrei sottoporti un piccolo esercizio. - Chissà perché adesso è così gentile, pensò Roberto. Secondo me vuole fregarmi... - Avanti, disse. E il mago chiese: 9+1= - Non è molto difficile, rispose Roberto di botto. È dieci! - E come lo scrivi? - Non ho la biro. - Non fa niente, scrivi nel cielo. Prendi il mio bastone. 9 + 1 = 10 scrisse Roberto in viola nel cielo. - Perché? chiese il mago. Perché hai messo uno zero? Uno più zero non fa dieci! - Ma no! replicò Roberto. Non ho scritto uno più zero, ho scritto un uno e uno zero, e questo è dieci. - E perché sarebbe dieci, se posso chiedertelo? - Perché si scrive così. - E perché si scrive così? Me lo sai dire? - Perché, perché, perché... Certo che rompi, si lamentò Roberto. - Non vuoi saperlo? chiese il mago, mettendosi comodo sul suo fungo. Ci fu un lungo silenzio, ma poi Roberto non ce la fece più. - E dimmelo, no?! esclamò. - Semplicissimo. E colpa del saltello. - Del saltello? ripeté Roberto sprezzante. Ma che dici? Da quando in qua i numeri saltellano? - Si dice saltellare perché io ho deciso di dire così. Ricordati che a comandare sono io. Non a caso sono il mago dei numeri, mettitelo bene in testa.

- Va be, stai tranquillo, disse Roberto per calmarlo. Spiegami questa storia del saltello. - Te la spiego volentieri. Sarà bene ricominciare dall'uno. O meglio, dalla tabellina dell'uno. Puoi andare avanti finché vuoi, il risultato sarà sempre uno. 1x1=1 1x1x1=1 1x1x1x1=1 - E ovvio. - D'accordo, però prova a fare lo stesso con il due. - OK, disse Roberto. 2x2=4 2x2x2=8 2 x 2 x 2 x 2 = 16 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =32 come sale in fretta; se vado avanti ancora un po’ mi serve la calcolatrice. - Non è il caso. Comunque se prendi il cinque ti arrampichi ancora più velocemente: 5 x 5 » 25 5 x 5 x 5 = 125 5 x 5 x 5 x 5 = 625 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15625 - Basta, gridò Roberto. - Ma perché ti agiti tanto ogni volta che viene fuori un numero grande? Di solito i numeri grandi sono inoffensivi. - Non ne sarei troppo convinto, disse Roberto. E poi è difficile continuare a moltiplicare il cinque. - Hai ragione. E infatti un mago dei numeri non scrive tutta quella roba, sarebbe una noia; scrive: 5'1 = 5 5'2 = 25 5'3 = 125 eccetera eccetera. Cinque in alto l'uno, cinque in alto il due, cinque in alto il tre. Detto altrimenti, faccio saltellare il cinque. Hai capito? E se fai la stessa cosa con il dieci è ancora più facile, fila via liscio, anche senza calcolatrice. Se fai saltellare il dieci una volta, resta com'è: 10'1 = 10 Se lo fai saltellare due volte:

"10'2 = 100 Se lo fai saltellare tre volte: 10'3 = 1000 - Lo faccio saltellare cinque volte, esclamò Roberto, e viene fuori centomila. Poi lo rifaccio e ho un milione. - E avanti fino alla nausea, aggiunse il mago. È facilissimo! Lo zero ha questo di bello, che sai subito quanto vale un numero: più sta davanti, più vale, più sta in fondo, meno vale. Se scrivi 555, l'ultimo cinque vale esattamente cinque, non di più; il penultimo cinque vale già dieci volte di più, ossia cinquanta; e il cinque che sta davanti, vale cento volte di più dell'ultimo, ossia cinquecento. E sai perché? Perché è scivolato avanti. I cinque degli antichi romani invece, erano e restavano sempre dei cinque, perché i romani non riuscivano a saltellare. E non riuscivano a saltellare perché non avevano lo zero. E sempre per lo stesso motivo dovevano scrivere dei numeri bislacchi come MCMLXXXVI. In fondo, a te Roberto è andata ancora bene! Con lo zero e con qualche saltello puoi costruire tutti i numeri che vuoi, grandi o piccoli, non fa differenza. Ad esempio il 786. - Il 786 non mi serve a niente. - Santo cielo, perché vuoi proprio sembrare più stupido di quel che sei! Se non ti va il 786, prendi il tuo anno di nascita, il 1986. Il vecchio si stava minacciosamente gonfiando, e così pure il fungo sul quale stava seduto. - Muoviti, urlò; ti ho detto di muoverti. Ci risiamo, pensò Roberto. Quando si agita, non lo reggo, è peggio di Mandibola. Scrisse cautamente un grande Uno nel cielo. - Hai sbagliato! gridò il mago. Hai sbagliato tutto! Perché mi è capitato proprio un imbranato come te? Ti ho detto di fabbricare il numero, non di imbrattare il cielo. Roberto a quel punto avrebbe preferito svegliarsi. Perché devo farmi trattare in questo modo? pensava, mentre vedeva la testa del mago diventare sempre più grossa e sempre più paonazza. - Dal fondo, gridò il vecchio. Roberto lo guardò senza capire. - Devi iniziare dal fondo, non da davanti. - Se lo dici tu... Roberto non aveva nessuna voglia di litigare. Cancellò l'uno e scrisse un sei. - Bene. L'hai capita? Adesso andiamo avanti.

- Se proprio ci tieni, rispose Roberto scocciato. Però, scusa se te lo dico, preferirei che non ti arrabbiassi per ogni cavolata. - Mi spiace, disse il vecchio. Ma non posso farci niente. Un mago dei numeri in fin dei conti non è Babbo Natale. - Sei contento del mio sei? - Il vecchio scosse la testa e sotto ci scrisse: 6X1=6 - Ma è la stessa cosa, disse Roberto. - Aspetta e vedrai. Adesso tocca all'otto. Però devi saltellare! Roberto aveva compreso cosa intendeva il vecchio, e scrisse: 8 x 10 = 80 - Ho capito come funziona, esclamò ancora prima che il mago potesse dire qualcosa. Usando il nove, devo saltellare due volte con il dieci, e scrisse: 9 x 100 = 900 1x1000 = 1000 Aveva saltellato tre volte. - Se li sommiamo: 6+80+900+1000 = 1986 - Beh, non è mica difficile. Ci riesco anche senza mago dei numeri. - Davvero? Mi sembra che ti stia montando un po’ la testa, mio caro. Per ora hai avuto a che fare solo con dei numeri banalissimi. Bazzecole. Aspetta che dal mio cappello tiri fuori i numeri schiacciati. Che sono ancora di più. E poi quelli immaginati, e quelli irragionevoli, che sono ancora più degli infiniti: non puoi nemmeno immaginare! Numeri che girano sempre in cerchio, e numeri che non finiscono mai! Mentre diceva queste cose continuava a sghignazzare. Adesso gli si vedevano anche i denti, erano tantissimi, un numero infinito, e poi si mise addirittura a far vorticare il suo bastone davanti agli occhi di Roberto... Mentre diceva queste cose, continuava a sghignazzare. Adesso gli si vedevano anche i denti, erano tantissimi, un numero infinito... - Aiuto! gridò Roberto e si svegliò. Era ancora tutto intontito quando disse a sua madre: - Sai quando sono nato? 6 x 1 e 8 x 10 e 9 x 100 e 1 x 1000. - Ma cos'ha quel ragazzo, disse lei, e scuotendo la testa gli diede una tazza di cioccolata. - così ti riprendi! Mi sembri un po’ confuso.

Roberto bevve la sua cioccolata senza dire niente. Le madri non è che capiscono proprio tutto, pensò.

La terza notte A Roberto non dispiaceva che il mago dei numeri ogni tanto in sogno lo andasse a trovare. Anzi! E vero che il vecchio era molto saccente e i suoi scoppi d'ira davvero poco divertenti. Non si poteva mai sapere quando avrebbe cominciato a gonfiarsi, a urlare, a diventare paonazzo. Ma era sempre meglio, molto meglio, che essere inghiottiti da un pesciaccio tutto viscido o scivolare sempre più giù in un buco nero. E poi Roberto aveva deciso di dimostrare al mago, nel caso si fosse rifatto vivo, che non era proprio deficiente. Bisognerebbe trovare il modo di dargli una lezione, pensò prima di addormentarsi. Si da un sacco di arie con quel suo zero. E invece è più o meno uno zero anche lui. È solo un fantasma! Basta svegliarsi... e scompare. Ma per dargli una lezione, Roberto doveva prima sognarlo, e per sognarlo, prima doveva addormentarsi. Roberto si accorse che non era poi tanto facile. Era sveglio e si rigirava nel letto. Non era mai successo prima. - Perché non riesci a stare tranquillo? chiese il mago. Roberto si accorse che il suo letto era in una grotta. Davanti a lui c'era il vecchio che faceva vorticare il bastone da passeggio. - Dai, Roberto, alzati. Oggi tocca alle divisioni! - Non ne possiamo proprio fare a meno? chiese Roberto. Avresti almeno potuto aspettare che mi addormentassi. E poi le divisioni non le reggo. - Perché no? - Ma perché quando si usa il più o il meno, o si moltiplica, i conti tornano sempre. Quando si divide invece no. Spesso c'è un qualche resto che mi da un fastidio tremendo. - La domanda che bisogna porsi è: quando succede? - Succede cosa? chiese Roberto. - Quando succede che c'è un resto e quando non succede, spiegò il mago. È questo il punto essenziale. A certi numeri glielo si legge in faccia che si possono dividere senza resto.

- Certo, disse Roberto. Con i numeri pari fila tutto liscio se si dividono per due. Non ci sono mai problemi! E facile dividere anche i numeri della tabellina del tre: 9/3 15/3 e via. dicendo. E come quando si moltiplica, solo al contrario: 3 x 5 = 15 Quindi 15 / 3 = 5 E non mi serve nessun mago, ci riesco anche da solo. Roberto avrebbe dovuto essere prudente. Con uno strattone, il vecchio lo tirò giù dal letto. Gli tremavano i baffi, il naso iniziava a diventare rosso e la testa sembrava ingrossarsi. - E invece non sai un bel niente! Solo perché hai imparato a memoria le tabelline, credi di avere capito tutto! Un bel niente sai! Ci risiamo, pensò Roberto. Prima mi tira giù dal letto, poi si arrabbia se gli dico che non ho voglia di mettermi a dividere quegli stupidi numeri. Roberto avrebbe voluto svignarsela. Ma come si fa a uscire da un sogno? Si guardò intorno nella grotta, ma non riuscì a trovare l'uscita. - Per pura bontà d'animo accetto di dare qualche dritta a un dilettante, e appena apro bocca lui si mette a fare lo strafottente. - E la tua sarebbe bontà d'animo? disse Roberto. Avrebbe voluto svignarsela. Ma come si fa a uscire da un sogno? Si guardò intorno nella grotta ma non riuscì a trovare l'uscita. - Dove vuoi andare? - Fuori di qui. - Se te ne vai adesso, lo minacciò il mago, non mi faccio più vedere. Stattene con il tuo prof, a morire di noia e a mangiare ciambelle fino alla nausea. Meglio non insistere, pensò Roberto. - Scusami, disse, non volevo offenderti. - Acqua passata, rispose il vecchio, la cui rabbia era subito sbollita. - Diciannove, borbottò. Provaci con il 19. Prova a dividerlo in parti uguali; ma non deve rimanere resto. Roberto pensò. - Si può fare in un solo modo, disse alla fine. Lo divido in diciannove parti uguali. - Non vale, rispose il mago. - Oppure lo divido per zero.

- Non vale nemmeno questo. - Perché non vale? - Perché è proibito. Dividere per Zero è assolutamente vietato. - E se lo facessi lo stesso? - Salterebbe in aria tutta la matematica! Il mago stava di nuovo arrabbiandosi. Per fortuna si calmò quasi subito e disse: - Prova a riflettere. Che risultato avresti, dividendo il 19 per zero? - Che ne so. Cento magari, oppure zero, oppure qualcosa in mezzo. - Prima con il tre hai detto che bastava farlo all'incontrario. 3 x 5 =15 Quindi 15 / 3 = 5 Adesso prova a farlo con il 19 e lo zero! Roberto iniziò a calcolare: - Diciamo che 19 diviso zero fa 190. - E all'incontrario? - 190 per zero... 190 per zero... è zero. - Visto? Puoi prendere il numero che vuoi, ma il risultato è sempre zero e mai 19. E questo vuol dire che non puoi dividere un numero per zero perché il risultato è sempre sballato. - Va bene, disse Roberto, allora non dividiamo per zero. E con il 19 cosa ci faccio? Resta sempre un resto, che lo divida per 2, per 3, per 4, 5, 6, 7, o per 8. - Se ti avvicini ti dico un segreto. Roberto si chinò e i baffi del vecchio gli fecero solletico all'orecchio. Allora il mago gli sussurrò un segreto. - Devi sapere che esistono quei banalissimi numeri che si possono dividere, e poi gli altri dove invece non si può. Io preferisco questi. E sai perché? Perché sono dei principi. I matematici ci si rompono la testa da più di mille anni. Sono numeri meravigliosi. L'undici ad esempio, o il tredici, ma anche il diciassette. Roberto era un po’ stupito perché il mago aveva un'aria estasiata come se stesse assaporando un manicaretto. - E adesso, mio caro, dimmi quali sono i primi numeri principi. - Lo zero, rispose Roberto per farlo arrabbiare. - Lo zero non vale, gridò il vecchio facendo di nuovo vorticare il suo bastone. - Allora l'uno. - Non vale neanche l'uno. Quante volte devo dirtelo!

- OK, disse Roberto. Non ti agitare. Allora il due. E anche il tre, almeno credo. Il quattro no, ci abbiamo già provato. Il cinque, certo, il cinque non si può dividere. Va be, e poi gli altri. - Come sarebbe a dire: e poi gli altri? Il vecchio si era già calmato. Anzi si fregava le mani. E quando lo faceva, si poteva essere certi che aveva in mente uno dei suoi trucchi. - E questo il bello dei numeri principi, disse. Nessuno sa in anticipo in base a quale ordine compariranno, a parte il sottoscritto, naturalmente, ma io non lo dico a nessuno. - Neanche a me? - A nessuno! Mai! La cosa divertente è proprio questa: che un numero non rivela se è principe o no. Nessuno può dirlo prima. Bisogna fare la prova. - E come? - Adesso ti faccio vedere. Con il bastone, iniziò a scarabocchiare tutti i numeri da 2 a 50 sul muro della grotta. E questo fu il risultato del suo lavoro: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Ecco, mio caro, adesso il bastone prendilo tu. Quando scopri che un numero non è principe, devi solo toccarlo con la punta e scompare. - Manca l'uno, si lamentò Roberto. E anche lo zero. - Quante volte devo dirtelo? L'uno e lo zero non sono numeri come gli altri. Non sono né principi, né non-principi. Ti ricordi cosa hai sognato all'inizio? Che tutti gli altri numeri derivano dall'uno e dallo zero? - Se lo dici tu, disse Roberto. Per prima cosa cancello tutti i numeri pari, perché quelli si possono facilmente dividere per due. - Meno il due, lo avvisò il vecchio. Il due è principe, ricordatelo. Roberto prese il bastone e iniziò. E in un batter d'occhio il muro numerato divenne così: 23579 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

- E adesso continuo con il tre. Il tre è principe. E tutti i numeri che seguono nella tabellina del tre non sono principi, perché si possono dividere per tre: 6, 9, 12 eccetera. Roberto cancellò la tabellina del tre e il risultato fu: 2357 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 - Poi la sequenza del quattro. Anzi, no, dei numeri che si possono dividere per quattro possiamo fregarcene, li cancello, perché il quattro non è principe, ma 2X2. Il cinque invece sì che è principe. Il dieci naturalmente no, e poi è già scomparso, perché è 2X5. - E puoi cancellare anche tutti gli altri che finiscono con cinque, disse il vecchio. - Certo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.49 Ormai Roberto ci provava gusto. - Il sei neanche a pensarci, disse, perché è 2 X 3. Il sette invece si, il sette è principe. - Ottimo! esclamò il mago. - Anche l'undici. - E quali restano? Beh, caro lettore e cara lettrice, questo devi scoprirlo tu. Prendi un bel pennarello grosso e continua fino a quando restano solo numeri principi. Detto fra noi: sono esattamente quindici, non uno di più e non uno di meno. - Bravissimo, Roberto. Il mago dei numeri si accese la pipa e sì mise a ridacchiare. - Che c'è da ridere? chiese Roberto. - Beh, fino a cinquanta non è molto difficile, disse il mago. Si era seduto a gambe incrociate e rideva malignamente. - Ma prova a pensare a un numero come 10 000 019 oppure come 141421356237307.

E numero principe o no? Se sapessi quanti matematici si sono rotti la testa per scoprirlo! Questo è un osso duro anche per i più grandi maghi dei numeri! - Ma se hai appena detto che sapevi come andava avanti ma che non volevi dirlo. - Beh, sì, insomma ho esagerato un po’. - Almeno lo ammetti, disse Roberto. A starti a sentire ogni tanto sembra di parlare con il papa e non con il mago dei numeri. - Le anime più semplici ci provano con computer giganteschi. E calcolano per mesi e mesi, senza smettere, e alla fine il computer va in tilt. E poi devo confessarti che il trucco di cancellare prima la sequenza del due, poi quella del tre, del cinque e così via non l'ho inventata io, è una storia vecchia. Non che sia male, no, però se ti trovi davanti a numeri molto grandi ci metti dei secoli. Ormai abbiamo escogitato dei metodi molto raffinati, ma per quanto possano essere perfezionati, con i numeri principi siamo ancora alle prime armi. E questo è diabolico; e il diabolico è divertente. Non trovi? Il mago dei numeri sembrava proprio allegro e faceva vorticare il suo bastone. - D'accordo, disse Roberto, ma perché starci tanto dietro? - Non fare domande stupide! Il bello è proprio che nel regno dei numeri non c'è quell'odore di chiuso e di muffa che c'è nella matematica del tuo professor Mandibola. Lui e le sue ciambelle! Dovresti essere contento se ti svelo questi segreti. Ad esempio questo: pensa a un numero superiore a uno, un numero qualunque, e poi raddoppialo. - 222, disse Roberto. E 444. - Fra ciascuno di questi numeri e il suo doppio c'è sempre, e dico SEMPRE, almeno un numero primo. - Sei sicuro? - Il 307, disse il vecchio. Ma funziona anche con numeri grandissimi. - Come fai a saperlo? - Aspetta, aspetta, c'è di meglio, disse il vecchio stiracchiandosi. Ormai non lo fermava più nessuno. - Prendi un numero pari, non importa quale, basta che sia superiore a due, e ti farò vedere che è la somma di due numeri principi. - 48, esclamò Roberto. - Trentuno più diciassette, disse il vecchio, senza pensarci molto. - 34, gridò Roberto.

- Ventinove più cinque, replicò il vecchio, senza nemmeno levarsi la pipa di bocca. - E funziona sempre? chiese Roberto stupito. Perché? - Piacerebbe saperlo anche a me, disse il vecchio corrugando la fronte e osservando i riccioli di fumo che soffiava in aria. Quasi tutti i maghi dei numeri che conosco hanno cercato di scoprirlo. Funziona sempre, senza eccezioni, ma nessuno sa perché. Nessuno è riuscito a dimostrare che è così. Questa poi..., pensò Roberto, e gli venne da ridere. - Incredibile, disse, davvero incredibile. In fondo gli piaceva stare a sentire queste storie. Come sempre quando non sapeva andare avanti, il mago aveva un'espressione abbastanza stizzita, ma poi si era rimesso a sfumacchiare e rideva anche lui. - Sei meno stupido di quel che sembra, mio caro. Adesso però devo proprio andare, mi spiace. Ho in programma ancora qualche visita ai matematici. Mi diverte molto tormentarli un po’. Stava già diventando più sottile. Anzi no, non sottile, solo più trasparente, e poi nella grotta non ci fu più nessuno. Solo una nuvoletta di fumo sospesa a mezz'aria. Roberto vedeva ancora i numeri scarabocchiati sul muro, ma erano sempre più incerti e la grotta gli sembrava morbida e calda come una coperta. Cercò di ricordare cosa avessero di strano i numeri principi, ma i suoi pensieri stavano diventando sempre più bianchi e nuvolosi come una montagna di cotone. Raramente aveva dormito così bene. E tu? Se non ti sei ancora addormentato ti faccio vedere un ultimo trucco. Oltre che con i numeri pari, funziona anche con quelli dispari. Scegline uno qualunque. Deve solo essere più grande di cinque. Diciamo 55. Oppure 27. Anche questo puoi metterlo insieme con numeri principi, però te ne servono tre, non due. Prendiamo il 55: 55=5+19+31 Tu prova con il 27. Vedrai che funziona SEMPRE, anche se a dire il vero non so spiegarti perché.

La quarta notte

- Ma perché dobbiamo cambiare continuamente posto? Una volta mi porti in una grotta senza uscita, un'altra finisco in un bosco di Uno con funghi grandi come poltrone e oggi? Mi dici dove siamo? - Al mare. Non lo vedi? Roberto si guardò intorno. Vedeva solo sabbia bianca e dietro a una barca a remi rovesciata, sulla quale se ne stava seduto il mago dei numeri, le onde. Una zona abbastanza desolata! - Ti sei di nuovo dimenticato la calcolatrice. - Quante volte devo dirtelo, rispose Roberto, che quando mi addormento non posso portarmi dietro tutto. Tu la sera sai già cosa sognerai? - No, certo, rispose il vecchio. Ma quando mi sogni, già che ci sei potresti sognare anche la calcolatrice. E invece no! Devo rimettermi a fare magie! Che tormento! E poi mi vieni anche a rimproverare perché la calcolatrice è troppo molle o troppo verde o troppo appiccicosa. - Comunque è meglio che niente, disse Roberto. Il mago alzò il bastone e a Roberto apparve una nuova calcolatrice. Era un po’ meno ranocchiosa dell'altra, ma in compenso gigantesca: era una specie di mobile lanuginoso, morbido e lungo come un letto o un divano. Sul fianco c'era un'assicella con un'infinità di tasti, anche questi lanuginosi, e il riquadro sul quale apparivano i numeri riempiva tutto lo schienale di quello strano apparecchio. - Allora, adesso scrivi uno diviso tre, ordinò il vecchio. 1/3 disse Roberto premendo i tasti. Sulla finestrella infinitamente lunga in caratteri verde chiaro apparve il risultato: 0,3333333333333333333 - Ma non finisce mai? chiese. - Sì sì, disse il mago. Finisce dove finisce la calcolatrice. - E poi? - Poi continua. Solo che non puoi leggerlo. - Ma è sempre lo stesso, un tre dopo l'altro. Sembra di scivolare. - Hai ragione. - Mmm..., bofonchiò Roberto, questa roba non mi piace; preferisco scrivere un terzo. Ecco: 1/3 E molto meglio. - Certo, disse il vecchio. Però devi usare i numeri frazionari, e le frazioni, se ricordo bene, non le sopporti. «Se 1/3 di 33 pasticcieri in 2

ore e mezza fanno 89 ciambelle, quante ciambelle fanno 5 e 3/4 pasticcieri in i ora e mezza?» - E dai, finiscila! Mi sembri Mandibola. Allora è meglio la calcolatrice e i numeri dopo la virgola, anche se non finiscono mai. Però mi piacerebbe sapere da dove vengono tutti quei tre. - Beh, funziona così: il primo tre dietro la virgola sono tre decimi. A questo si aggiunge il secondo tre che fa tre centesimi, il terzo tre millesimi e così via. Alla fine li puoi sommare. 0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 Capito? Sicuro? Allora prova a moltiplicare il tutto per tre, il primo tre, cioè i tre decimi, poi i tre centesimi e così via. - Nessun problema, rispose Roberto. Riesco a farlo anche a mente: 0,3 x 3 = 0,9 0,03 x 3 = 0,09 0,003 X 3 = 0,0009 03 X3 0,9 E così via. - Bravo. E se adesso sommi tutti i nove, cosa succede? - Un attimo, eh! 0,9 più 0,09 uguale 0,99; più 0,009 uguale 0,999. Sempre più nove. È un'altra di quelle cose che sembrano andare avanti all'infinito. - Infatti. Però se ci pensi bene c'è qualcosa che non torna! Se sommi tre terzi dovresti arrivare a 1, no? Perché tre volte un terzo da un intero, su questo non ci piove. E quindi? - E che ne so, rispose Roberto. Manca qualcosa. 0,999 è quasi uno, ma non del tutto. - Hai perfettamente ragione. Ed è per questo che devi continuare con i nove senza mai smettere. - Ma non si può, non farmi ridere! - Che problema vuoi che sia per un mago dei numeri! Il vecchio fece una risata maligna, alzò il suo bastone, lo agitò in aria, e tutto il cielo all'istante si riempi di un lunghissimo serpente di nove che si inerpicava sempre più in alto. - Fermati, fermati! strillò Roberto. Che schifo!

- Mi basta schioccare le dita e scompaiono. Ma lo faccio solo se ammetti che questo serpente di nove dietro lo zero, se continua a crescere e crescere è uguale a uno. E intanto il serpente cresceva sempre più. Piano piano oscurò tutto il cielo. Ma sebbene gli facesse schifo, Roberto non voleva cedere. - Mai e poi mai, disse. Puoi continuare finché vuoi con il tuo serpente, ma qualcosa manca sempre: l'ultimo nove. Il mago dei numeri alzò il suo bastone, lo agitò in aria, e tutto il cielo all'istante si riempì di un lunghissimo serpente di nove che si inerpicava sempre più in alto. - L'ultimo nove non esiste, gridò il mago. Roberto ormai non si scomponeva più, quando il vecchio aveva i suoi piccoli scoppi d'ira. Aveva capito che quando succedeva c'era sempre di mezzo un punto interessante, un interrogativo al quale non era facile trovare risposta. Ma il serpente infinito scodinzolava minaccioso vicino al naso di Roberto, e ormai aveva avvolto anche il mago che non si vedeva quasi più. - Va bene, va bene, disse Roberto, mi arrendo. Ma togli di mezzo il serpente. - Così va meglio. Con una certa fatica il vecchio sollevò il bastone ormai tutto ricoperto di nove, mormorò qualche parola incomprensibile e subito il mondo fu liberato da quel groviglio. - Uff, sbuffò Roberto. Succede solo con i tre e i nove? O questi serpentacci vengono fuori anche con gli altri numeri? - Caro mio, di serpenti infiniti ce n'è come granelli di sabbia in riva al mare. Prova a dire quanti ce ne sono solo fra 0,0 e 1,0! Roberto si mise a pensare intensamente, poi disse: - Un numero infinito. Tremendamente tanti. Tanti quanti ce n'è fra uno e fino alla nausea. - Non male. Anzi, ottimo, disse il mago. Ma riesci a dimostrarlo? - Certo che ci riesco. - Voglio proprio vedere. - Scrivo uno zero e una virgola, disse Roberto. Dopo la virgola scrivo un uno: 0,1. Poi un due. E così via. Se continuo, dietro la virgola ci saranno tutti i numeri esistenti, e questo prima ancora di arrivare a 0,2. - Tutti i numeri interi.

- Beh certo, tutti i numeri interi. Per ogni numero fra uno e infinito ce n'è uno con davanti uno zero e una virgola, e tutti sono inferiori a uno. - Sei grande, Roberto. Sono fiero di te. Sembrava davvero molto soddisfatto. Ma siccome non poteva farne a meno, gli venne un'altra idea. - Alcuni dei tuoi numeri dietro la virgola si comportano però in maniera strana. Devo farti vedere come? - Prego! Basta che non riempi la spiaggia con quegli orrendi serpentacci. - Non ti preoccupare. Useremo la tua grande calcolatrice. Devi solo scrivere sette diviso undici. Roberto non esitò un istante. 7/11= 0,6363636363636 - E questa che roba è? esclamò. Sempre 63, e poi ancora 63 e ancora 63. Mi sa che va sempre avanti così. - E ovvio, ma questo ancora non è niente. Prova facendo sei diviso sette. Roberto scrisse: 6/7 = 0,857 142857 142857 - Dopo un po’ tornano gli stessi numeri, esclamò. 857 142, e poi ricomincia da capo. È un numero che gira in cerchio! - Eh sì, i numeri sono creature davvero fantastiche. Sai, in fondo di banali non ce ne sono. Ciascuno ha un suo profilo, i suoi segreti. Non si riesce mai a scoprire tutti i loro trucchetti. Ad esempio il serpentone di nove dietro lo zero e la virgola che non finisce mai, e che però è come un semplice uno. E poi ce ne sono molti altri che sono ancora più indisciplinati e dietro la virgola fanno i matti. Sono i numeri irragionevoli. Si chiamano così perché non stanno alle regole del gioco. Se hai ancora un attimo di tempo e un po’ di voglia ti faccio vedere cosa combinano. La gentilezza del mago era sempre sospetta: Roberto ormai sapeva che quando si comportava così, aveva in programma qualche sconvolgente novità. Però era troppo curioso per non stare al gioco. - D'accordo, disse. - Ti ricordi, no, come si fa a saltellare? Come abbiamo fatto con il dieci e con il due? Dieci per dieci per dieci uguale a mille, e per fare più in fretta: 10.3 = 1000 E lo stesso anche con il due.

- Certo. Se faccio saltellare il due ho: 2,4,8,16,32 e così via fino alla nausea, come sempre con i tuoi giochetti. - Bene, disse il vecchio. Due in alto il quattro fa? - Sedici, rispose Roberto. L'ho appena detto! - Perfetto. E adesso facciamo la stessa cosa ma all'indietro. Io dico 16 e tu fai un saltello indietro. - Otto! - E se dico otto? - Quattro, disse Roberto. E chiaro. - Adesso devi solo ricordarti come si chiama questo trucco. Non si dice: saltellare all'indietro, ma tirare fuori le rape, così come si tirano fuori delle radici dalla terra. Quindi rapa di cento è dieci, rapa di diecimila è cento. E cos'è rapa di venticinque? - Venticinque, disse Roberto, è cinque per cinque. Quindi cinque è la rapa di venticinque. - Se continui così, Roberto, un giorno o l'altro sarai il mio apprendista stregone. Rapa di quattro? - Rapa di quattro è due. - Rapa di 5929? - Sei impazzito? urlò Roberto. Era lui adesso a perdere le staffe. Come faccio a saperlo? L'hai detto anche tu che fare i calcoli è per deficienti. Già ci rompono a scuola, ci manca solo che mi metta a sognarlo. - Rilassati, disse il mago. Per questi problemucci abbiamo la nostra calcolatrice tascabile. - Sì, tascabile. Ma se è grande come un divano! osservò Roberto. - Comunque ha un tasto con scritto: (segno di radice quadrata). Avrai già capito cosa significa. - Rapa, esclamò Roberto. - Perfetto. Adesso prova: Rad. 592.9 = Roberto provò e subito sullo schienale, del divano apparve il risultato: - Stupendo. Adesso però viene il bello! Per favore schiaccia Rad. 2 e reggiti forte! Roberto schiacciò i tasti e vide comparire: 1,4 142 1356237309504880 1688724....

- Che orrore, disse. Non ha nessun senso. E una specie di insalata russa di numeri. Non ci capisco più niente. - Nessuno ci capisce niente, caro Roberto. E questo il problema. La rapa di due è appunto un numero irragionevole. - E come faccio a sapere come prosegue dopo gli ultimi tre numeri? Perché l'ho già capita che va avanti all'infinito. - Infatti. Ma non posso esserti d'aiuto. Le cifre successive le trovi solo se continui a calcolare fino a quando non sciopera la calcolatrice. - Pazzesco, disse Roberto. Davvero incredibile. A scriverlo nell'altro modo Rad.2 quel mostro non è poi così mostruoso. - È vero. Per scrivere Rad.2 ti basta un bastone da passeggio. Il mago dei numeri tracciò alcune figure nella sabbia. - Guarda: (disegni di quadrati). E adesso prova a contare i quadratini piccoli. Noti qualcosa? - Certo, sono tutti numeri saltellanti, 1x1 = 1'2 2x2 = 2'2 = 4 3x3 = 3'2 = 9 4x4 = 4'2 = 16 - Si, disse il mago, e certamente avrai anche capito come funziona. Devi solo contare quanti sono i quadratini su ogni lato del quadrato e hai subito il numero con il quale devi saltellare. E viceversa. Se sai quanti quadratini ha tutto il quadrato, facciamo 36, e da questo numero tiri fuori la rapa, torni al numero di quadratini di un lato: Rad.1 = 1, Rad.4 = 2, Rad.9 = 3, Rad. 16 = 4 - OK, disse Roberto, ma questo cosa c'entra con i numeri irragionevoli? - Mmmm... Sai, i quadrati sono tipi strani. Di loro non ti devi mai fidare! Hanno quest'aria bravina, ma possono anche essere delle carogne. Guarda questo, ad esempio. Tracciò nella sabbia un normalissimo quadrato vuoto. Poi dalla tasca prese un righello rosso e lo mise di traverso: E se ogni lato è lungo uno... - Come uno? Un centimetro, un metro o cosa? - Ma è uguale, disse il mago spazientito. Scegli tu. Puoi chiamarlo un bing o un bang, come ti pare. E adesso ti faccio una domanda: quanto è lungo il righello rosso nel mezzo? - E come faccio a saperlo?

- Rapa di due, esclamò il vecchio trionfante. Aveva un ghigno diabolico. - E perché? Roberto aveva di nuovo la sensazione di essere stato colto di sorpresa. - Non te la prendere, disse il mago. Ci arriviamo subito! Ci mettiamo sopra un altro quadrato, storto, così. Tirò fuori altri cinque righelli rossi e li mise sulla sabbia. Adesso la figura era così: - E ora indovina quanto è grande il quadrato rosso, quello storto. - E che ne so. - E esattamente il doppio di quello nero. Devi solo spostare in uno dei quattro angoli del quadrato rosso la parte inferiore di quello nero. Sembra uno di quei giochi che facevamo sempre da piccoli, pensò Roberto. Si piega un foglio che all'interno si è dipinto di rosso e di blu. Sono il paradiso e l'inferno e chi lo apre e prende il rosso va all'inferno. - Ammetti quindi che quello rosso è il doppio di quello nero? - Lo ammetto, disse Roberto. - Bene. Se il quadrato nero, come avevamo stabilito, è grande un bang possiamo scriverlo così: e quanto sarà grande quello rosso? - Il doppio, disse Roberto. - Quindi due bang, spiegò il mago. E quanto sarà lungo ogni lato di quello rosso? Per calcolarlo devi saltellare all'indietro! Tirare fuori la rapa! - Si! esclamò Roberto che aveva capito tutto. - Rapa, disse, rapa di due! - E così siamo tornati al nostro numero sballato e irragionevole: 1,414213... - Fermati, fermati, disse subito Roberto, altrimenti impazzisco anch'io. - E meno peggio di quel che pensi, lo tranquillizzò il vecchio. Non ti ho mica detto di calcolare il numero. Devi solo scriverlo nella sabbia, basterà. Però non credere che questi numeri irragionevoli siano rari. Anzi, è vero il contrario, sono frequenti come granelli di sabbia. Detto fra noi, sono addirittura più frequenti degli altri numeri. - Ma non mi avevi detto e stradetto che erano infiniti anche quelli normali? - E infatti è vero. Lo giuro! Però appunto, di quelli irragionevoli ce ne sono molti di più. - Di più di cosa? Di più di infinitamente tanti? - Esatto.

- Non esageriamo, disse Roberto sicuro di sé. Non ci casco. Più di infinito non esiste. E una scemenza. - Vuoi che te lo dimostri? chiese il mago. Vuoi che faccia una magia, che compaiano tutti? Tutti i numeri irragionevoli insieme? - No ti prego! Mi è bastato il serpente di nove. E poi facendo una magia non è che dimostri niente. - No grazie, per oggi basta. Sono stanco morto. E si sdraiò sulla calcolatrice morbida, lanuginosa e grande come un divano. - È vero. Stavolta mi hai dato una lezione. Il mago dei numeri però non se la prese. Corrugò la fronte e si mise a pensare intensamente. - Eppure, disse alla fine, forse la dimostrazione mi viene ancora in mente. Potrei provarci. Ma solo se insisti. - No grazie, per oggi basta. Sono stanco morto. Voglio fare una bella dormita, altrimenti domani a scuola sarà peggio del solito. Se non ti spiace mi metto giù un momento. Quell'affare mi sembra molto comodo. E si sdraiò sulla calcolatrice morbida, lanuginosa e grande come un divano. - Fai pure, disse il vecchio. Ti sei già addormentato. Dormendo si impara più facilmente. Questa volta il mago dei numeri se ne andò in punta di piedi per non svegliarlo. Forse non è poi così male, fece in tempo a pensare Roberto. Anzi, in fondo è quasi simpatico. Dormì tranquillo e senza sogni sino a mattina inoltrata: aveva dimenticato che era domenica, e la domenica non si va a scuola.

La quinta notte E all'improvviso tutto era finito. Roberto aspettava inutilmente che lo venissero a trovare dal regno dei numeri. Alla sera andava a letto come sempre e di solito sognava, ma non di calcolatrici grandi come divani e di numeri saltellanti, ma di grandi buchi neri in cui cadeva, o di ripostigli pieni di vecchie valigie dalle quali uscivano formiche gigantesche. La porta era chiusa, non poteva uscire e le formiche gli salivano su per le gambe. Un'altra volta voleva attraversare un fiume impetuoso ma non c'era ponte e quindi doveva saltellare da un masso all'altro: quando era ormai sicuro di poter raggiungere l'altra riva,

all'improvviso si trovava su un masso dal quale non riusciva ad andare né avanti né indietro. Un incubo dopo l'altro, ma del mago nemmeno l'ombra. Normalmente posso scegliere a cosa pensare, si diceva Roberto di cattivo umore. Solo in sogno bisogna sopportare tutto. Chissà poi perché. - Sai, disse una sera a sua madre, ho deciso che d'ora in avanti smetto di sognare. - E una buona idea, ragazzo mio, rispose lei. Quando hai gli incubi, il giorno dopo a scuola non stai attento e mi porti a casa dei brutti voti. Naturalmente non era questo che Roberto odiava nei sogni. Però rispose solo buona notte, perché sapeva che le madri non è che capiscono proprio tutto. Ma quella sera, non appena si fu addormentato, tutto ricominciò da capo. Stava attraversando un grandissimo deserto, dove non c'era né ombra né acqua. Indossava solo un costume da bagno, camminava e camminava, aveva sete, sudava, ai piedi aveva già le vesciche, quando in lontananza all'improvviso vide alcuni alberi. Deve essere un miraggio, pensò, o forse un'oasi. Zoppicò fino alla prima palma e qui sentì una voce che gli sembrava di conoscere. - Ciao Roberto! Guardò verso l'alto. Non si era sbagliato! Seduto in mezzo alla palma c'era il mago dei numeri che faceva ondeggiare i rami. - Ho una sete pazzesca, disse Roberto. - Sali su, disse il vecchio. Con uno sforzo enorme, Roberto raggiunse il suo amico sull'albero. Il mago aveva in mano una noce di cocco e con un coltellino fece un buco nel guscio. Il latte era squisito. - E da un po’ che non ti fai vivo, disse Roberto. Dove sei stato tutto questo tempo? - Lo vedi, no, sono in vacanza! - Per oggi che programma abbiamo? - Ma non eri stanco per la marcia nel deserto? - Ho visto di peggio, disse Roberto. Sto già meglio. Allora cosa c'è? Sei a corto di idee? - Non sono mai a corto di idee, rispose il vecchio. - Ma hanno a che fare sempre e solo coi numeri. - E certo! Sono la cosa più divertente. Toh, prendi. Diede a Roberto una noce di cocco.

- Buttala giù! - E dove? - Buttala giù e basta. Roberto la gettò nella sabbia. Dall'alto sembrava un punticino. - Buttane un'altra. E poi un'altra ancora. E un'altra, ordinò il mago. - E a che scopo? - Aspetta e vedrai. Roberto colse tre noci di cocco fresche e le buttò giù. Ecco cosa apparve nella sabbia: (disegno di triangoli). - Continua! gli disse il vecchio. Roberto continuò a buttare giù noci. - E adesso cosa vedi? - Sono tutti triangoli, rispose Roberto. (disegno di triangoli). - Vuoi che ti aiuti? chiese il mago dei numeri. E così si misero a cogliere e gettare, fino a quando giù divenne tutto triangoloso, così: (disegno di triangoli). - E strano che le noci di cocco cadano tutte in modo così ordinato, si stupì Roberto. Non ho nemmeno preso la mira e anche se ci avessi provato, a tirare così bene non sono mica capace. - Beh, rispose il vecchio con un sorriso, una mira tanto precisa ce l'hai solo in sogno... e nella matematica. Nella vita di tutti i giorni non funziona mai niente, nella matematica invece funziona sempre tutto. Comunque potevi anche non usare delle noci di cocco. Andavano bene anche le palle da tennis, i bottoni, i cioccolatini. Adesso prova a contare quante noci hanno quei triangoli. - Il primo triangolo non è nemmeno un triangolo ma un punto. - Oppure è un triangolo, disse il mago, che ha continuato a ridursi e adesso è così piccolo che si vede solo un punto. E allora? - E allora siamo tornati all'uno, disse Roberto. Il secondo triangolo è fatto di tre noci, il terzo di sei, il quarto di dieci e il quinto... boh, prima dovrei contare. - È inutile, ci puoi arrivare da solo. - No che non ci arrivo, disse Roberto. - Sì che ci arrivi, ribadì il mago. Il primo triangolo, che non è nemmeno un triangolo vero, è fatto di una noce. Il secondo ha due noci di cocco in più, quelle nella parte inferiore, quindi: 1+2 = 3 Il terzo ne ha esattamente tre in più, la fila in basso, quindi:

3+3 = 6 Il quarto ha un'altra fila con quattro noci di cocco in più, quindi: 6+4 = 10 Il quinto allora quante ne ha? Roberto era di nuovo concentratissimo. 10+5 = 15 esclamò. - Possiamo anche smetterla di buttare giù noci di cocco. Ho capito come va avanti. Il triangolo successivo avrebbe ventuno noci: le quindici del triangolo numero cinque e le sei nuove, ventuno in tutto. - Ottimo, disse il mago. Adesso possiamo andare giù e stare un po’ più comodi. Scendere fu facilissimo e quando arrivarono in basso, Roberto non credette ai suoi occhi. C'erano infatti due sedie sdraio a strisce bianche e azzurre, una fontanella nella quale zampillava l'acqua e su un tavolino ai bordi di una piscina due bicchieri pieni di succo d'arancia ghiacciato. Adesso capisco perché il vecchio ha scelto questa oasi, pensò Roberto. Ci si fanno delle vacanze da sogno. Dopo che ebbero svuotato i bicchieri il mago disse: - Le noci di cocco adesso possiamo anche dimenticarcele. Quel che conta sono i numeri, numeri di una particolare qualità. Li chiameremo numeri triangolari. E ce ne sono di più di quel che pensi. - L'avevo intuito, disse Roberto. Se le cose non vanno avanti fino alla nausea tu non sei contento. - Ma no, guarda, per il momento bastano i primi dieci. Aspetta che li scrivo. Si alzò dalla sedia sdraio, prese il suo bastone da passeggio, si chinò sul bordo della piscina e cominciò a scrivere sull'acqua: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ... Non si ferma proprio davanti a niente, pensò Roberto fra sé e sé. cielo o sabbia che sia, i suoi numeri il vecchio li mette dappertutto. Neanche l'acqua è al sicuro. - Non riesci nemmeno a immaginare cosa si può fare con questi numeri triangolari, gli sussurrò in un orecchio il mago. Facciamo solo un esempio: prova a pensare alla differenza. - Alla differenza fra cosa? chiese Roberto. - Fra due numeri triangolari vicini. Roberto guardava i numeri che galleggiavano sull'acqua e pensava. 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ....

- Tre meno uno fa due. Sei meno tre fa tre. Dieci meno sei fa quattro. Vengono fuori tutti i numeri da uno a dieci, uno in fila all'altro. Che forte! E probabilmente va avanti così. - Esattamente, disse il mago spaparanzandosi tutto soddisfatto. Ma non credere che sia tutto qui! Dimmi un numero qualunque, e io ti dimostro che riesco a comporlo con al massimo tre numeri triangolari. - D'accordo, disse Roberto: 51. - E facile, me ne bastano due: 51 = 15+36 - 83! - Volentieri: 83 = 10+28+45 - 12! - Facilissimo: 12 = 1+1+10 Come vedi, funziona sempre. E adesso ti faccio vedere una cosa davvero incredibile, caro Roberto. Prova a sommare due dei numeri triangolari vicini. Ne vedrai delle belle. Roberto osservò più attentamente i numeri sulla superficie dell'acqua. 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ... Ne sommo sempre due: 1+3 = 4 3+6 = 9 6+10 = 16 10+15 = 25 - Ma sono tutti numeri saltellati: 2'2, 3'2, 4'2,5'2! - Non male, vero? disse il vecchio. Puoi continuare così all'infinito. - Beh, insomma, non esageriamo, commentò Roberto. Preferirei fare il bagno. - Prima però ti faccio vedere un altro dei miei numeri da circo. - Ma fa un caldo tremendo, brontolò Roberto. - Va bene, allora lasciamo perdere. A questo punto però posso anche andarmene, disse il mago dei numeri. Ci risiamo, si è offeso, pensò Roberto. Se non lo fermo, probabilmente mi appariranno una marea di formiche rosse. Perciò disse: - No, no resta. - Hai voglia di vederlo?

- Certo che ne ho voglia. - Allora guarda. Se sommi tutti i numeri normali da uno a dodici cosa viene fuori? - Ufff, disse Roberto. Che noia! Mi deludi. Potrebbe essere un esercizio del professor Mandibola. - Non ti preoccupare. Con i numeri triangolari è facilissimo. Cerchi il dodicesimo, e hai la somma di tutti i numeri da uno a dodici. Roberto osservò l'acqua e si mise a contare: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 - Settantotto, disse. - Giusto. - E come mai? Il mago prese il bastone e sull'acqua scrisse: 123456 12 11 10 9 8 7 - Se i numeri da uno a dodici li scrivi uno sotto l'altro, i primi sei da sinistra a destra, gli altri da destra a sinistra, capisci il perché: 1+ 2+ 3* 4+ 5+ 6+ 12= 11= 10= 9= 8= 7= --- --- --- -- -- -13 13 13 13 13 13 Adesso fai una riga: Poi la somma: Risultato? - Sei volte tredici, rispose Roberto. - Spero proprio che non ti serva la calcolatrice. - Sei per tredici, fa settantotto, disse Roberto. - Il dodicesimo numero triangolare. Giustissimo! Adesso vedi a cosa servono i numeri triangolari. Ma non sono male neanche quelli quadrati. - Non avevamo detto che facevamo il bagno? - Il bagno possiamo farlo anche dopo. Prima pensiamo ai numeri quadrati. Roberto osservava la piscina dove i numeri triangolari galleggiavano in bell'ordine come anatroccoli dietro mamma anatra. - Se non ci dai un taglio, disse minaccioso, mi sveglio e i numeri scompaiono tutti. - Ma scompare anche la piscina, disse il vecchio. Comunque lo sai perfettamente che non si può smettere di sognare a comando. E poi il capo chi è? Tu o io?

Rieccolo che si arrabbia, pensò Roberto. E magari si rimette anche a urlare. Solo in sogno, naturalmente. Ma a me non piace quando mi urlano, nemmeno in sogno. Chissà adesso cosa ha in mente. Il vecchio prese alcuni cubetti di ghiaccio da un recipiente e li appoggiò sul tavolo. - Non ti preoccupare, disse cercando di consolare Roberto. È come prima con le noci di cocco, solo che adesso invece dei triangoli ci sono i quadrati: (disegni di quadrati). - OK, disse Roberto, risparmiati le spiegazioni. Lo capisce anche uno stupido cosa succede. Sono tutti numeri saltellati, né più, né meno. Conto quanti sono i cubetti su ogni lato del quadrato, e poi faccio saltellare il numero: 1x1 = 1'2 1 2x2 = 2'2 = 4 3x3 = 3'2 = 9 4x4 = 4'2 = 16 5x5 = 5'2 = 25 e via di questo passo, come al solito. - Ottimo, disse il mago. Sei magicamente bravo, sei un apprendista stregone di prim'ordine, devo ammetterlo, mio caro. - Ma io voglio fare il bagno, brontolò Roberto. Se non soffrite troppo il caldo, potete continuare a giocare con i cubetti di ghiaccio, prima che si sciolgano. Dovete solo fare qualche riga nel quadrato, così: (disegno di quadrati) e sotto scrivere: 13579 E il numero dei cubetti che c'è in ciascuno degli angoli che avete tracciato nel quadrato. E sommando i numeri da 1 a 9, quale sarà il risultato? Un numero che avrete l'impressione di aver già visto. - Hai voglia di scoprire come funzionano i numeri pentagonali? O quelli esagonali? - Non è che muoia dalla voglia, rispose Roberto. Si alzò e saltò in acqua. - Aspetta, gridò il mago. La piscina è tutta piena di numeri. Dammi un momento, li pesco fuori tutti. Ma Roberto stava già nuotando, e intorno a lui i numeri - tutti triangolari - si cullavano sulle onde e lui nuotò e nuotò, fino a quando non riuscì più a sentire cosa gli diceva il vecchio. Era infatti una piscina infinita, infinita e meravigliosa come i numeri.

La sesta notte - Probabilmente credevi che fossi l'unico, disse il mago quando si rifece vivo. Questa volta era seduto su una sedia pieghevole in mezzo a un campo di patate infinitamente grande. - L'unico cosa? - L'unico mago dei numeri. Ma non è così. Sono uno dei tanti. Nel paradiso dei numeri, da dove vengo anch'io, siamo a migliaia. Purtroppo non sono il più grande. I capi veri se ne stanno nei loro uffici a pensare. Ogni tanto ce n'è uno che si mette a ridere e dice frasi del tipo: «Rn uguale Rn diviso n fattoriale per f di n parentesi aperta più theta parentesi chiusa», e allora gli altri annuiscono in segno di intesa e ridacchiano anche loro. A volte non capisco nemmeno di cosa stanno parlando. - Per essere un poveraccio come dici, sei abbastanza risoluto, obiettò Roberto. Vuoi essere compatito? - E secondo te, perché mi mandano in giro di notte? Perché lorsignori hanno ben altro per la testa e non vanno certo a trovare un apprendista come te, mio caro. - Quindi posso considerarmi fortunato perché mi compari in sogno almeno tu? - Ti prego di non fraintendermi, disse l'amico di Roberto - ormai i due erano infatti quasi vecchi amici - quello che escogitano quei signori non è male. Uno che mi piace particolarmente è Bonaccione. Ogni tanto mi spiega le cose che ha scoperto. È italiano. Purtroppo è morto da un sacco di tempo, ma era un mago dei numeri questo non conta. È davvero simpatico, il vecchio Bonaccione. Fra l'altro è stato uno dei primi ad avere capito lo zero. Non l'ha inventato, però ha avuto lui la brillante idea dei numeri bonaccioni. Come tutte le buone idee, la sua invenzione inizia con l'uno... ma ormai questo lo sai. O meglio, con due uno: 1 + 1 = 2. Prende gli ultimi due numeri e li somma, 1=1 1+1=2 quindi... 1+2=3 di nuovo 2+3=5

di nuovo gli ultimi due... 5+3=8 gli ultimi due... 5 + 8 = 13 8 + 13 = 21 e così via. - Fino alla nausea. - E ovvio. Il mago cominciò a recitare i numeri bonaccioni, e, seduto sulla sua seggiolina, si abbandonò addirittura a una specie di cantilena. Una vera e propria bonaccionata: Unounoduetrecinqueottotrediciventunotrentaquattrocinquantacinque ottantanovecentoquarantaquattroduecentotrentatretrecentosettantasette. .. Roberto si tappò le orecchie. - D'accordo, d'accordo, disse il vecchio, la smetto. Forse è meglio se te li scrivo così riesci a ricordarteli. - E dove li scrivi? - Dove vuoi tu. Magari su un rotolo. Svitò la parte finale del suo bastone da passeggio e ne estrasse un sottile rotolo di carta. Lo gettò per terra e gli diede un colpo. Incredibile quanta carta c'era in quel bastone! Un serpente infinito che continuava a srotolarsi seguendo i solchi del campo, fino a quando non svanì in lontananza. E naturalmente sul rotolo c'era tutta la successione di Bonaccione con i suoi numeri: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 Da lì in poi i numeri erano così lontani e così piccoli che Roberto non riusciva più a leggerli. - E allora? chiese. - Se sommi i primi cinque e aggiungi uno, ottieni il settimo. Se sommi i primi sei e aggiungi uno, ottieni l'ottavo. E così via. - Bah..., disse Roberto che non sembrava particolarmente entusiasta. - Funziona anche se ogni volta salti un numero bonaccione, però deve sempre esserci il primo uno, disse il mago. Guarda: 1+1 = 2 (e adesso ne salti uno) +3 (e adesso ne salti un altro) +8 (e adesso ne salti un altro ancora) +21

Se sommi questi quattro, quale risultato ottieni? - Trentaquattro, rispose Roberto. - Quindi il prossimo numero bonaccione dopo il 21. Se questo sistema è troppo faticoso, puoi anche saltellare. Ad esempio prendi il quarto numero bonaccione e lo fai saltellare. Il quarto è il 3, e 3'2 cosa da? - Nove, rispose Roberto. - Poi prendi il prossimo numero bonaccione, il quinto, e fai saltellare anche questo. - 5'2 = 25, disse Roberto senza esitazione. - Bene e adesso somma questi due. 9 + 25 = 34 - Un altro numero bonaccione, esclamò Roberto. - E più precisamente, visto che quattro più cinque fa nove, il nono, disse il vecchio fregandosi le mani. - Ho capito. Grandioso, veramente; però mi piacerebbe sapere a cosa serve. - Beh, disse il mago dei numeri, non credere che la matematica sia solo per matematici. Neanche la natura può fare a meno dei numeri. Persino gli alberi e le vongole sanno contare. - Non dire bestialità, disse Roberto. - Sì, tutte le bestie, credo. O almeno si comportano come se avessero in mente i numeri bonaccioni. Forse hanno capito come funzionano i numeri. - Non credo proprio. - Oppure le lepri. È meglio scegliere le lepri, sono più sveglie delle vongole. In questo campo qualche lepre ci sarà! - Io non ne vedo, disse Roberto. - Eccone due. E in effetti comparvero due minuscole lepri bianche che si avvicinarono saltellando e si sedettero ai piedi di Roberto. - Credo, disse il vecchio, che siano un maschio e una femmina. Ne abbiamo quindi una coppia. Come tu ben sai, inizia tutto con l'uno. - Vuole farmi credere che sapete contare, disse Roberto rivolgendosi alle lepri. Ma quando è troppo è troppo. Non credo a una parola. - Ah, Roberto, Roberto, che ne sai tu delle lepri, dissero le due in coro. Non hai idea di quel che dici! Probabilmente pensi che siamo lepri delle Alpi.

- Lepri delle Alpi? rispose Roberto che voleva dimostrare di non essere poi così ignorante. Ma le lepri delle Alpi ci sono solo in inverno! - Appunto. Noi invece siamo bianche solo finché siamo giovani. Per diventare adulte ci vuole un mese e allora il pelo diventa marrone e vogliamo avere dei figli. Prima che nascano, un maschio e una femmina, passa un altro mese. Questo ricordatelo! - Ne volete solo due? disse Roberto. Mi hanno sempre detto che le lepri mettono al mondo un'infinità di piccoli. - Certo che abbiamo un'infinità di piccoli, risposero le lepri, ma mica tutti insieme. Due al mese sono sufficienti. E i nostri figli faranno così anche loro, vedrai. - Non credo che staremo qui tutto questo tempo. Prima che siate cresciute, mi sarò risvegliato. Domani mattina devo andare a scuola. - Nessun problema, si immischiò il mago. Su questo campo di patate il tempo corre molto più in fretta di quel che pensi. Un mese dura solo cinque minuti. Ti ho portato un orologio-lepre, per dimostrarti che non dico bugie. Tieni! E così dicendo fece comparire un orologio di notevoli dimensioni. Aveva due orecchie da lepre ma un'unica lancetta: - Inoltre non indica le ore ma i mesi; suona ogni volta che ne passa uno. Premendo questo pulsante, l'orologio parte. Vado? - Sì, risposero le lepri. - D'accordo. Il mago schiacciò, l'orologio si mise a ticchettare, la lancetta si mosse. Arrivata all'uno, si sentì la suoneria. Era passato un mese, le lepri erano molto più grandi e il loro pelo aveva già cambiato colore: non erano più bianche, erano marroni. Quando la lancetta raggiunse il due erano passati due mesi - la signora lepre mise al mondo due minuscoli leprotti bianchi. Adesso c'erano due coppie di lepri, quelle giovani e quelle vecchie. Queste ultime però non erano ancora soddisfatte. Volevano altri figli e quando la lancetta raggiunse il tre, si sentì di nuovo la suoneria e la vecchia lepre mise al mondo altre due lepri. Roberto si mise a contare. Adesso c'erano tre coppie: e cioè la primissima (marrone), i figli del primo parto che ormai erano cresciuti (e avevano il pelo marrone), e quelli più giovani con il pelo bianco. Poi la lancetta si avvicinò al quattro, e allora successe che la vecchia lepre mise al mondo un'altra coppia, i suoi primi figli anche, imitati dai

secondi, e adesso a saltellare sul campo di patate c'erano cinque coppie, e più precisamente i genitori, tre coppie di figli e una di nipoti. Tre coppie erano marroni, due bianche. - Se fossi in te, disse il mago, non mi azzarderei nemmeno a cercare di distinguerle. Avrai i tuoi problemi anche solo a contarle! Quando l'orologio arrivò al cinque, Roberto ancora riuscì a seguire: Adesso c'erano otto coppie di lepri. Quando la suoneria suonò per la sesta volta, erano già tredici: Una confusione incredibile, pensò Roberto, dove andremo a finire! Ma anche alla settima volta riuscì ancora a contare: erano esattamente 21 coppie. - Hai notato qualcosa? chiese il mago. - Certo, rispose Roberto. Sono tutti numeri bonaccioni: l'orologio-lepre continuava inesorabile la sua marcia. - Aiuto! urlò Roberto. Non finisce più! Migliaia di lepri! Che disastro! È un incubo! 1 1 2 3 5 8 13 21 .... Nel frattempo però erano venute al mondo schiere di lepri bianche che giocavano e saltellavano in mezzo alle altre. Non ce la faceva a tenerle d'occhio tutte e a contare. L'orologio-lepre continuava inesorabile la sua marcia. La lancetta aveva ormai iniziato il secondo giro. - Aiuto! urlò Roberto. Non finisce più. Migliaia di lepri! Che disastro! - Per farti capire come funziona la cosa, ti ho portato una lista-lepre, sulla quale puoi vedere cos'è successo fra l'ora zero e le sette. - Ma le sette ormai sono passate, esclamò Roberto. Adesso sono più di mille. - Per la precisione 4181, e presto, ossia fra cinque minuti, saranno 6765. - Pensi di fare qualcosa o aspetti che il mondo sia invaso dalle lepri? chiese Roberto. - Beh, basterebbe aspettare un po’, disse il vecchio, senza battere ciglio. Ancora qualche giro della lancetta, e la cosa sarebbe fatta. - Ti prego, no! lo supplicò Roberto. È un incubo! Non che ce l'abbia con le lepri, anzi mi piacciono, ma quando è troppo è troppo. Dai, fermale! (orologio delle lepri: ora - genitori - figli - nipoti - pronipoti coppie bonaccione).

- Se vuoi lo faccio, però devi ammettere che le lepri si comportano proprio come se avessero imparato a memoria i numeri bonaccioni. - D'accordo, d'accordo, lo ammetto. Adesso però muoviti, se no fra un po’ ce le ritroviamo anche in testa. Il mago premette due volte il pulsante dell'orologio-lepre che subito iniziò a muoversi all'indietro. Ogni volta che si sentiva la suoneria, le lepri diminuivano, e dopo qualche giro, la lancetta era tornata sullo zero. Sul campo di patate erano rimaste due lepri. - Di queste cosa vuoi farne? Vuoi tenerle? chiese il vecchio. - Meglio di no. Altrimenti si ricomincia da capo. - Eh sì, la natura è fatta così, disse il vecchio dondolandosi tutto soddisfatto sulla sua sedia. - Eh si, rispose Roberto, Bonaccione è fatto così. Quando ci sono di mezzo i tuoi numeri, si finisce sempre all'infinito. Non so se la cosa mi piace. - Ma come hai visto, funziona anche nell'altro senso. Siamo tornati da dove abbiamo iniziato, all'uno. E così si lasciarono in pace e lasciarono in pace anche le ultime due lepri. Il mago andò a trovare Bonaccione, il suo vecchio conoscente nel paradiso dei numeri, e anche tutti gli altri che se ne stanno a inventare magie sempre nuove; Roberto invece continuò a dormire e fu svegliato dalla sveglia. Era contento che fosse una sveglia normalissima e non un orologio-lepre. Chi ancora non crede che le cose avvengono come se la natura sapesse contare, dia un'occhiata all'albero nella pagina successiva. Per alcuni di voi forse la storia delle lepri era troppo complicata. In un albero non c'è niente che saltella, se ne sta fermo, e perciò è più facile contarne i rami. Per favore cominciate dal basso, dalla riga rossa n. i che, come la n.2, attraversa solo un tronco. Con la riga n. 3 si aggiunge un secondo ramo. E adesso continuate a contare. Quanti saranno i rami su in alto, alla riga n. 9? (disegno dell'albero dei numeri bonaccioni).

La settima notte - Ma cos'ha quel ragazzo? disse la madre di Roberto, sono davvero un po’ preoccupata. Prima andava sempre giù in cortile, oppure al parco a giocare a pallone con Alberto, Charlie, Enzo e gli altri. Adesso se ne sta tutto il giorno in camera. Invece di fare i compiti, sulla

scrivania ha un grande foglio di carta sul quale continua a disegnare delle lepri. - Silenzio, per favore, disse Roberto. Se parli non riesco a concentrarmi. - E poi continua a borbottare numeri, numeri e ancora numeri. C'è proprio qualcosa che non va. Parlava fra sé e sé, come se Roberto non fosse nella stanza. - Prima i numeri non lo interessavano per niente. Anzi ce l'aveva a morte con il professore per i compiti di matematica. Esci, vai a prendere un po’ d'aria, aggiunse alla fine. Roberto alzò gli occhi dal foglio e disse: - Hai ragione. Se continuo a contare le lepri, finisce che mi viene mal di testa. (Disegni con le lepri) E così Roberto uscì. Al parco c'era un grande prato, però senza lepri. - Ciao Roberto, gli disse Alberto vedendolo arrivare. Vuoi giocare? C'erano anche Enzo, Giovanni, Ivan e Charlie. Giocavano a calcio, ma Roberto non aveva voglia. Non hanno proprio idea di come crescono gli alberi, pensava. Quando tornò a casa era già abbastanza tardi e subito dopo cena andò a dormire. Per precauzione nella tasca del pigiama mise un grosso pennarello. - Come mai vai a letto così presto? si stupì sua madre. Prima volevi sempre stare alzato fino a tardi. Ma Roberto sapeva perfettamente cosa voleva, e sapeva anche perché non diceva niente a sua madre, che non gli avrebbe certamente creduto se le avesse spiegato che le lepri, gli alberi e persine le vongole sanno contare e che un mago dei numeri era suo amico. Si era appena addormentato quando comparve il vecchio. - Oggi ti faccio vedere una cosa stupenda, gli disse. - Tutto quello che vuoi, ma risparmiami le lepri. Mi hanno perseguitato tutto il giorno. Continuavo a confondere le bianche e le marroni. - Lasciale perdere! Vieni con me. Portò Roberto ad una casa bianca che aveva la forma di un cubo. Anche dentro era tutta bianca, comprese le scale e le porte. Arrivarono in una grande stanza vuota e bianca come la neve. - Non c'è nemmeno una sedia, si lamentò Roberto. E quei cubetti di porfido cosa sono? Si avvicinò al mucchio nell'angolo e osservò le pietre più da vicino.

- Sembra vetro, o plastica, constatò. Sono tutti grossi cubi. E dentro c'è della roba che luccica. Devono essere dei cavi elettrici o qualcosa del genere. - Sono congegni elettronici, disse il vecchio. Se vuoi possiamo costruire una piramide. Prese alcuni dei cubi e li mise in fila sul pavimento bianco. - Dai, dammi una mano. Aggiunsero altri cubi e alla fine la fila era così: - Ferma! disse il mago. Quanti cubi abbiamo messo? Roberto si mise a contare. - Sono diciassette; che però è un numero strambo, disse. - Meno strambo di quel che pensi. Devi solo togliere un uno. - Così sono sedici. Un altro numero saltellato. Un due saltellato quattro volte: 2'4 - E bravo, disse il vecchio, non ti sfugge proprio niente. Adesso però continuiamo a costruire. Il prossimo cubo lo mettiamo sulla fessura fra i due che stanno sotto, come fanno i muratori. - OK, disse Roberto. Però una piramide non riusciremo mai a farla, perché le piramidi alla base hanno un triangolo o un quadrato, mentre questo affare è piatto. Faremo un triangolo, non una piramide. - D'accordo, disse il mago dei numeri. Allora facciamo un triangolo. E continuarono fino a quando non ebbero finito: (disegno di un triangolo di cubetti: in cima Roberto, in basso il mago). Sembra vetro, o plastica, constatò. Sono tutti grossi cubi. E dentro c'è della roba che luccica. Devono essere dei cavi elettrici o qualcosa del genere. - Finito! esclamò Roberto. : > - Finito? Il bello viene adesso. Il mago si arrampicò su uno dei lati del triangolo e poi sul cubo più alto scrisse un uno! - Ci risiamo, bofonchiò Roberto. Tu e il tuo uno. - Certo, rispose il vecchio, è con l'uno che inizia tutto. Ormai dovresti proprio saperlo... - E come si prosegue? - Ci arriviamo subito. Su ogni cubo successivo scriviamo sempre il risultato che abbiamo ottenuto sommando quello che c'è sopra. - Facilissimo, disse Roberto. Dalla tasca prese il grosso pennarello e scrisse:

1 11 - Un uno dopo l'altro, disse. Fin qui la calcolatrice non serve proprio. - Continua, continua, disse il mago, fra un po’ ne arrivano degli altri. E Roberto scrisse: 121 - Facilissimo, disse. - Non esaltarti troppo, mio caro. Aspetta di vedere come va avanti. Roberto continuò a contare e scrisse: 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 - Ho capito, i numeri sul margine sono sempre degli uno, anche se continuiamo a scendere. E posso scrivere subito anche quelli vicino, nella fila obliqua, perché sono i numeri normali: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... Salendo e scendendo lungo il triangolo scrisse: 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1661 1771 18 8 1 1991 1 10 10 1 - E della fila obliqua successiva, quella proprio accanto all'1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... cosa mi dici? Leggi i primi quattro numeri. Al mago era tornato il sorriso da furbetto, e Roberto da in alto a destra a in basso a sinistra lesse: - 1, 3, 6, 10 ... Non so perché ma mi sembra di ricordarli. - Le noci, esclamò il vecchio, le noci di cocco. - Ah già, certo, adesso ricordo, 1, 3, 6, 10: sono i numeri triangolari. - E come si fanno? - Questo purtroppo me lo sono dimenticato, rispose Roberto. - È semplicissimo:

1+2=3 3+3=6 6 + 4 = 10 10 + 5 = 15 - ... 15 + 6 = 21, proseguì Roberto. - E ci voleva tanto? E così Roberto iniziò a scrivere sui cubi un numero dopo l'altro. Da un lato era sempre più facile, perché non doveva arrampicarsi tanto in alto, ma dall'altro quei dannati numeri erano sempre più grandi. (triangolo completo da 1 a 16). - Che stress! disse. Non puoi pretendere che faccia tutti i calcoli a mente. - Come preferisci, disse il vecchio. Non ti agitare! A meno che non ci metta lo zampino il diavolo, dovrei farcela come niente! E con la velocità del lampo riempì tutto il triangolo. - Lì in basso non è che ci sia molto spazio, disse Roberto. 12 870! Fantastico! - Oh, ma queste sono sciocchezzuole. Nel triangolo c'è molto di più. Ben detto! Forse pensate che serva solo per scervellarsi. Ma vi sbagliate. E proprio il contrario. Serve ai pigri che non hanno voglia di stare lì a fare i conti. Se ad esempio volete sapere cosa viene fuori sommando i primi dodici numeri triangolari, dovete scendere obliquamente verso destra lungo la terza fila, quella che comincia con 1, 3, 6, 10. Seguitela con il dito fino al dodicesimo cubo. Poi cercate il numero che si trova proprio sotto a sinistra. Quale? In questo modo potete fare a meno di calcolare quanto fa 1+3 + 6+10+15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 + 66 + 78. - Ma tu hai idea di cosa abbiamo costruito? chiese il mago dei numeri. Non è solo un triangolo, è un monitor! Uno schermo. Secondo te perché i cubi hanno tutti un'anima elettronica? Mi basta accenderlo, questo affare, e vedrai che si illumina. Batté le mani e la stanza divenne buia. Poi le ribatté e il primo cubo, quello più in alto, si illuminò di rosso. - Ancora l'uno, disse Roberto. Quando il vecchio batté di nuovo le mani, la prima riga si spense e si accese la seconda, rossa come un semaforo. - Forse questo riesci a sommarlo, disse. - Certo, bofonchiò Roberto, 1 + 1 = 2. Non è proprio il massimo! Il mago batté ancora le mani: si accese la terza riga, anche questa era rossa.

- Dunque, 1 + 2 + 1=4, disse Roberto. Risparmiati gli applausi, ho già capito. Sono le nostre vecchie conoscenze, i due saltellati. La prossima riga avrà 2 x 2 x 2 o 2'3, uguale a 8. E così via: 16, 32, 64. Fino a dove non finisce il triangolo. - L'ultima riga, disse il vecchio, dà 2'16, ed è già un bel numero. 65 536, se vogliamo essere precisi. - Preferisco non esserlo! - Non fa niente. Il mago batté le mani e fu nuovamente buio. - Vuoi vedere qualche altra vecchia conoscenza? chiese. - Beh, dipende. Il vecchio batté tre volte le mani, i cubi si riaccesero: alcuni erano gialli, altri blu, altri ancora verdi o rossi. - Sembrano coriandoli, disse Roberto. - Vedi le scale dello stesso colore che da in alto a destra portano in basso a sinistra? Sommiamo tutti i numeri di una di queste scale, e vediamo cosa viene fuori. Inizia in alto con il rosso! - C'è un solo gradino, disse Roberto. L'uno, come al solito. - Poi il giallo sotto. - Anche qui uno solo: l'uno. - Adesso tocca al blu. Due cubi. -1 + 1 = 2. - Poi quello verde subito sotto. Due cubi verdi. - 2 + 1=3. •*.,./. Roberto aveva capito il giochetto: - Di nuovo rosso: 1+3 + 1=5. E giallo: 3 + 4+1 = 8. Blu: 1 + 6 + 5 + 1 = 13. - Cosa potrebbe essere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... - Ma certo, Bonaccioni! I numeri-lepre. - Vedi quanta roba c'è nel nostro triangolo? Potremmo continuare per giorni interi, ma credo che oggi tu non abbia più tanta voglia. (disegno del triangolo colorato in rosso, blu e giallo). - Puoi giurarci, ammise Roberto. - D'accordo, basta conti. Il mago batté le mani e i cubi colorati si spensero. - Il nostro monitor però sa fare un sacco di altre cose. Se batto ancora le mani sai cosa succede? Si accendono tutti i numeri pari, mentre restano spenti quelli dispari. Vuoi che provi? - Se non puoi proprio farne a meno... Ma Roberto fu veramente sorpreso dal risultato.

- Incredibile! Un disegno. Tutti triangoli nel triangolo, ma a testa in giù. Roberto era davvero molto meravigliato. - Vedi: alcuni triangoli sono grandi, altri invece piccoli, disse il mago. Il più piccolo sembra un cubo ma in realtà è un triangolo. Quello medio è fatto di 6 cubi, quello grande di 28. Naturalmente sono numeri triangolari. Adesso si illuminano di giallo solo i numeri pari. Secondo te cosa succede se sul nostro monitor accendiamo tutti i numeri che si possono dividere per tre, quattro o cinque? Basta che batta le mani e lo saprai. Con quale divisore vogliamo provare, con il cinque? - Sì, disse Roberto. Tutti quelli divisibili per cinque. Il vecchio batté le mani, i numeri gialli si spensero, e si accesero quelli verdi. - Neanche in sogno ci sarei arrivato, disse Roberto. Ancora triangoli, ma diversi. Sei proprio un mago! - Hai ragione, mio caro, a volte mi chiedo anch'io dove finisca la matematica e dove inizi la magia. - Fantastico. Hai inventato tutto tu? - Ma no! - E chi allora? - Non lo so! Il triangolo dei numeri grande è una roba vecchia, molto più vecchia di me. - Anche tu però in fatto di età non scherzi proprio! - Io? Scusa, ma nel paradiso dei numeri sono fra i più giovani. Il nostro triangolo ha almeno duemila anni. Se ricordo bene, l'idea è di un cinese. Però noi ci giochiamo ancora, e così continuiamo a scoprire nuovi trucchi. Se continuate così, pensò Roberto fra sé e sé, non arriverete mai a una conclusione. Però non lo disse. Ma il mago dei numeri lo aveva capito lo stesso. - Sì, la matematica è davvero una storia infinita, disse. Scavi e scavi e trovi sempre qualcosa di nuovo. - E non potete mai smettere? chiese Roberto. - Io no, sussurro il mago, lui invece sì, e mentre parlava il verde dei cubi divenne sempre più pallido e lui stesso sempre più sottile, fino a quando non sembrò un filo, come quel bambino della fiaba che non mangiava mai la minestra. La stanza era buia buia, e presto Roberto aveva dimenticato tutto, i cubi colorati, i triangoli, i numeri bonaccioni e persino il suo amico, il mago dei numeri.

Dormì e dormì, e quando la mattina successiva si svegliò, sua madre gli disse: - Sei così pallido, Roberto. Hai fatto dei brutti sogni? - No, rispose Roberto, perché? - Secondo me non stai bene. - Dai mamma, smettila di angosciarmi. Qualcuno di voi vuole sapere quale disegno viene fuori se sullo schermo si accendono i numeri che si possono dividere per quattro? Avanti! Non è necessario essere un mago. Ci possono arrivare tutti! Prendete una matita colorata e riempite i numeri della tabellina del quattro. Se i numeri sono troppo grandi, usate la calcolatrice. Prendete il numero, premete -f 4, e vedete se il risultato funziona. Alla pagina successiva trovate il triangolo:

La ottava notte Roberto era alla lavagna. Al primo banco c'erano i suoi migliori amici: Alberto, che giocava bene a calcio, e Bettina, che aveva le trecce. I due litigavano come al solito. Ci mancava solo ritrovarsi a scuola anche in sogno! pensò Roberto. In quel momento si aprì la porta, ma non entrò il professor Mandibola... entrò il mago dei numeri. - Buon giorno, disse. Vedo che state già litigando. Posso sapere perché? - Bettina ha occupato il mio posto, rispose Alberto. - E allora chiedile di cambiare. - Non vuole, disse Alberto. - Roberto per favore scrivi, disse il vecchio. - Scrivo cosa? - Scrivi A per Alberto e B per Bettina. Alberto è seduto a sinistra, Bettina a destra. Roberto non ne vedeva la ragione, ma pensò: Se lui si diverte con questa roba, facciamolo contento... - Ecco Bettina, disse il mago, adesso tu siediti a sinistra e tu, Alberto, a destra. Che strano! Bettina non protestò nemmeno. Si alzò da brava e scambiò il posto con Alberto. E Roberto alla lavagna scrisse: B A.

In quel momento si aprì di nuovo la porta: era Charlie, in ritardo come al solito. Si sedette a sinistra accanto a Bettina. CBA scrisse Roberto. Bettina però non era affatto d'accordo. - Se proprio devo stare a sinistra che sia a sinistra sinistra! disse. - Va bene, va bene, bofonchiò Charlie, mettiti qui. E i due si scambiarono i posti: BCA Ma questa volta a ribellarsi fu Alberto. Io voglio stare vicino a Bettina, esclamò. Charlie, che in fondo era d'animo buono, si alzò lasciandogli il posto: BAC Se andiamo avanti così, disse Roberto fra sé e sé, la lezione di matematica possiamo anche scordarcela. E infatti andarono avanti così, perché adesso era Alberto che voleva stare a sinistra sinistra. - Ma dobbiamo alzarci tutti, disse Bettina. Non capisco perché, ma se insisti... Dai Charlie, vieni! E quando si furono riseduti, la situazione era questa: ABC Non poteva durare, è chiaro! - No, accanto a Charlie non ci voglio stare, disse Bettina. Era davvero insopportabile! E siccome non la piantava, a cedere furono i suoi compagni. Roberto scrisse: CAB - Adesso però basta, esclamò. - Dici? chiese il mago. Guarda che i tuoi compagni non hanno ancora esaurito tutte le possibilità. Perché non vi mettete così: Alberto a sinistra, Charlie al centro e Bettina a destra? - Neanche per sogno, esclamò Bettina. - E dai, fai ancora uno sforzo, disse il vecchio. I tre si alzarono controvoglia e si sedettero così: ACB - Roberto, hai notato qualcosa? Ehi, Roberto, guarda che sto parlando con te! Agli altri non è il caso di chiedere. Roberto osservò la lavagna: AB CBA BA BCA BAC ABC CAB ACB - Mi sembra che abbiamo provato tutte le possibilità, disse. - Lo credo anch'io, confermò il mago. Ma non può essere che in classe siate solo in quattro. Ci sono degli assenti. Non aveva ancora finito di parlare che si aprì la porta: era Dorotea, tutta trafelata.

- Ma che succede qui dentro? Mandibola non c'è? E lei chi è? chiese rivolgendosi al mago. - È un caso eccezionale, rispose il vecchio. Il professor Mandibola si è preso qualche giorno di ferie. Ha detto che non ce la fa più, fate troppa confusione. - Non posso dargli torto, rispose Dorotea. Sono tutti seduti ai posti sbagliati. Charlie, si può sapere perché ti sei messo proprio lì? Di solito ci sto io! - Allora proponi tu come devono mettersi, Dorotea, disse il mago. - Seguirei semplicemente l'alfabeto. A come Alberto, B come Bettina, C come Charlie e così via. Sarebbe la soluzione più semplice. - Come vuoi. Proviamo. Alla lavagna Roberto scrisse: ABCD (schema completo delle posizioni): ABCD BCDA CDAB DABC ABDC BCAD CDBA DACB ACDB BDAC CABD DBCA ACBD BDCA CADB DBAC ADCB BACD CBDA DCAB ADBC BADC CBAD DCBA Agli altri però quella disposizione dei posti non piaceva per niente. Scoppiò un putiferio, e Bettina era la più scatenata: mordeva e graffiava se qualcuno non voleva cederle il posto. Tutti spingevano e si facevano largo. Pian piano però quel gioco un po’ folle cominciò a divertirli. Si scambiavano i posti sempre più in fretta, e Roberto, che scriveva, quasi non riusciva più a seguirli... Alla fine la banda dei quattro aveva provato tutte le posizioni possibili, e alla lavagna c'era scritto: (schema completo delle posizioni). Meno male che c'è qualche assente, pensò Roberto, altrimenti non la finiremmo più. In quel momento si aprì la porta e in classe si precipitarono Enzo, Federica, Giovanni, Heidi - che era tedesca - Ivan, Jeannine - che era francese - e Karol che era polacco. - No, vi prego, non sedetevi! esclamò Roberto. Mi fate impazzire! ~ D'accordo, disse il mago, fermiamoci qui. Potete andare a casa. - No, vi prego non sedetevi! esclamò Roberto. Mi fate impazzire! - D'accordo, disse il mago, fermiamoci qui. Potete andare a casa. Le lezioni sono sospese.

- E io? chiese Roberto. - Tu se vuoi resta. Gli altri scesero in cortile. Roberto osservava quello che aveva scritto alla lavagna. - Allora, cosa ne pensi? gli chiese il mago. - Boh... Di chiaro c'è solo che aumentano sempre: aumentano sempre le possibilità di sedersi. Con due studenti, beh, era semplice. Due studenti, due possibilità. Tre studenti, sei possibilità. Con quattro siamo già a, dunque aspetta eh... siamo già a ventiquattro. - E quando ce n'è uno solo? - Che domande! Con uno c'è una possibilità sola. - Prova moltiplicando, disse il vecchio. STUDENTI possibilità' 11 21X2=2 31X2X3=6 4 1 X 2 X 3 X 4 = 24 - Però! disse Roberto. Interessante! - Se a partecipare al gioco sono sempre di più, a scrivere ci si annoia. Si può fare più in fretta. Basta scrivere il numero dei partecipanti e metterci dietro un punto esclamativo: 4! = 24 Che si dice: quattro bum! - E se non avessimo mandato a casa Enzo e Federica e Giovanni e Heidi e Ivan e Jeannine e Karol, secondo te cosa sarebbe successo? - Una confusione inimmaginabile, disse il mago. Si sarebbero messi a sperimentare tutte le possibilità e ti posso assicurare che ci avrebbero messo un sacco di tempo. Con Alberto, Bettina e Charlie sarebbero stati in undici, ossia ci sarebbero stati undici bum! possibilità di sedersi. Prova a dire quante sono? - A mente non ci si riesce! A scuola ho sempre la calcolatrice. Però la tengo nascosta perché Mandibola non le sopporta. E Roberto iniziò a scrivere: 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 = - Undici bum! disse, sono esattamente 39 916 800. Quasi quaranta milioni! - Come vedi, se avessimo fatto la prova fra ottanta anni saremmo ancora qui. I tuoi compagni si muoverebbero in carrozzella e ci vorrebbero undici infermiere per spostarli. Usando la matematica

invece si fa un po’ prima. Anzi, mi viene in mente un'altra cosa. Prova a vedere se i tuoi compagni sono ancora giù in cortile. - Probabilmente sono andati a mangiare un gelato e adesso stanno andando a casa. - Per salutarsi si danno la mano? - Figurati. Al massimo si dicono «Ciao» oppure «A dopo». - Peccato, disse il mago. Mi piacerebbe sapere cosa succede se tutti danno la mano a tutti. - Scordatelo! Ci vorrebbe un'eternità. Verrebbe fuori un numero enorme di strette. Immagino undici bum! se sono in undici. - Ti sbagli! rispose il vecchio. Se sono in due, rifletté Roberto, basta una stretta di mano. In tre... - Forse è meglio scrivere. e Roberto scrisse: persone strette di mano AABAB A B C AB AC BC A B C D AB AC AD BC BD CD - Allora: in due è una stretta, in tre sono tre, e in quattro già sei. - 1, 3, 6... Non ti dice niente? Roberto non riusciva a ricordare. Allora il mago disegnò alla lavagna alcuni grossi punti: - Le noci di cocco, esclamò Roberto. I numeri triangolari! - E come funzionano? - Dovresti saperlo: 1+2 = 3 3+3 = 6 6+4 = 10 10+5 = 15 15+6 = 21 21+7 = 28 28+8 = 36 36+9 = 45 45+10 = - Sono esattamente 55 strette di mano. - Beh, insomma, è un numero ancora accettabile, commentò Roberto. - Se non hai voglia di fare tanti conti, puoi seguire anche un sistema diverso. Disegni alcuni cerchi, così: A ogni nuovo cerchio aggiungi una lettera: A per Alberto, B per Bettina, C per Charlie e così via. Poi colleghi tutte le lettere:

(disegno dei cerchi). Carino, vero? Ogni riga è una stretta di mano. Puoi controllare. - 1, 3, 6, 10, 15 ... Ci risiamo, disse Roberto. Però c'è una cosa che non mi torna. Mi spieghi perché quando ti ci metti tu, funziona sempre tutto? - La matematica è magica, o se vuoi diabolica, proprio per questo. Funziona tutto. Beh, insomma, diciamo quasi tutto. Perché i numeri principi, come ben sai, sono un po’ strambi. E anche in altri casi bisogna stare molto attenti se non ci si vuole sbattere la testa. Nel complesso però nella matematica c'è davvero un certo ordine. Un sacco di gente la odia proprio per questo. Io non sopporto gli sciattoni, e a questi non piacciono i numeri. A proposito, guarda un po’ fuori. Il vostro cortile fa proprio schifo! Roberto non poteva dargli torto, c'erano dappertutto cartacce, lattine vuote di CocaCola, giornaletti strappati. - Basterebbe che tre di voi prendessero una scopa, e in mezz'ora il cortile cambierebbe da così a così. - A chi pensi? chiese Roberto. - Beh, ad Alberto, Bettina e Charlie, ad esempio. Oppure a Dorotea, Enzo e Federica. Ma andrebbero bene anche Giovanni, Heidi, Ivan, Jeannine e Karol. - Ma hai appena detto che ne bastano tre. - Sì, certo, obiettò il mago. Ma quali tre? - Si possono combinare come si vuole, disse Roberto. - E vero. Ma se non ci sono tutti? Se ne abbiamo solo tre, Alberto, Bettina e Charlie? - In questo caso tocca a loro. - Bene, allora scrivi! Roberto scrisse: ABC - E se Dorotea torna, cosa facciamo? Avremmo altre soluzioni. Roberto ci pensò su un po’. Poi scrisse alla lavagna: ABC ABD ACD BCD - Quattro possibilità, disse. - Per caso passa anche Enzo. Perché non dovrebbe dare una mano? Adesso abbiamo cinque candidati. Prova un po’. Ma Roberto si rifiutò. - Dimmelo tu, rispose snervato. - Va bene. Con tre persone possiamo fare solo un gruppo di tre. Con quattro ci sono quattro gruppi diversi, e con cinque, dieci. Aspetta che lo scrivo:

Persone Gruppi 3 ABC 4 ABC ABD ACD BCD 5 ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE - Ma questa lista è strana anche per un altro motivo. Come vedi ho disposto tutto in ordine alfabetico. Quanti gruppi della lista iniziano con Alberto? Dieci. Quanti con Bettina? Quattro. E con Charlie uno solo. In questo gioco si ripresentano sempre gli stessi numeri: 1 4 10 .... indovina come va avanti? Se arriva altra gente, diciamo Federica, Giovanni, Heidi e così via. Quanti gruppi di tre avremmo? - Non ne ho la più pallida idea, disse Roberto. - Ti ricordi quando abbiamo inventato quella storia delle mani? Quando tutti salutavano tutti? - Era facile, bastava usare i numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, .... Però questo sistema non si può usare per le nostre squadre di spazzini, perché lavorano in tre. - Hai ragione. Ma se sommi i primi due numeri triangolari? - Viene quattro. - E se aggiungi anche quello successivo? - Viene dieci. - E se ne sommi un altro ancora? - 10 + 10 = 20. - così ci siamo. - E adesso dovrei continuare fino all'undicesimo numero? Vuoi scherzare? - Non ti preoccupare. Si può fare anche in un altro modo, senza contare, senza fare prove, senza ABCDEFGHILM. - E come? - Con il nostro caro vecchio triangolo dei numeri, disse il vecchio. - E vuoi disegnarlo qui alla lavagna? - Neanche per sogno. Troppo lungo. Mi sono portato dietro il bastone. Con la canna toccò la lavagna e immediatamente apparve il triangolo in tutto il suo splendore e per di più in quattro colori. - Devi ammettere che è abbastanza comodo, disse il vecchio mago. Per le strette di mano ti basta contare dall'alto verso il basso i cubi verdi: con due persone una stretta, con tre persone tre, con undici 55.

Per il nostro trio di scope devi usare i cubi rossi, e anche questa volta partire dall'alto e poi scendere. Inizi con tre persone, e c'è una possibilità sola. Se puoi scegliere fra quattro persone hai quattro combinazioni, con cinque già dieci. E se ci sono tutti e undici cosa succede? - Allora sono 165 possibilità, rispose Roberto. E facilissimo. Il triangolo è quasi come un computer. E i cubi gialli a cosa servono? - Beh, ormai mi conosci e sai che non mi accontento facilmente. Noi maghi dei numeri tendiamo sempre a esagerare un po’. Cosa fai se per quel lavoro tre persone non ti bastano? Devi prenderne quattro. E la fila gialla ti dice quante possibilità ci sono di scegliere un quartetto da otto persone. - Settanta, rispose Roberto, che aveva capito come fosse semplice trovare la risposta nel triangolo. - Precisamente, confermò il mago. Dei numeri blu non voglio nemmeno parlare. - Saranno i gruppi dell'otto. Se ci sono otto persone, non ci vuole molto a capire che ho un'unica possibilità. Se invece ho dieci candidati posso formare ben 45 gruppi diversi. E così via. - Perfetto, hai capito tutto. - Adesso mi piacerebbe sapere cosa sta succedendo giù in cortile, disse Roberto. Guardò fuori dalla finestra e si accorse che il cortile era pulito come non era mai stato prima. - Mi chiedo solo chi sono i tre che hanno sgobbato. - Tu certo no, mio caro Roberto, disse il mago. - Come faccio a pulire il cortile se devo stare qui tutta la notte a spassarmela con numeri e cubi? - Ammettilo però che ti sei divertito, disse il vecchio. - E ora? Tornerai presto? - Prima voglio andare in vacanza, disse il mago. Tu intanto puoi chiacchierare con il professor Mandibola. Non che Roberto ne avesse molta voglia, ma non aveva scelta. La mattina dopo doveva tornare a scuola. Quando entrò in classe, Alberto, Bettina e gli altri erano già ai loro posti. E nessuno cercava di scambiare banco con gli altri. - Eccolo il nostro genio, lo salutò Charlie. - Il nostro caro Roberto studia anche mentre dorme, lo prese in giro Bettina. - Credete che gli serva a qualcosa? chiese Dorotea.

- Ho i miei dubbi, commentò Karol. E comunque Mandibola non lo può vedere. - Sapeste io! rispose Roberto. Se fosse per me, quello...! Prima che arrivasse Mandibola, Roberto diede un'occhiata giù in cortile. Siamo alle solite, pensò, è un letamaio! È proprio vero che dei sogni non ci si può fidare. Si salvano solo i numeri: quelli non ti fregano mai. E in quel momento entrò l'inevitabile professor Mandibola con la sua borsa piena di ciambelle. (Disegno del prof. Mandibola).

La nona notte Roberto sognava di sognare. Ormai era un'abitudine. Ogni volta che in sogno gli succedeva qualcosa di sgradevole, ad esempio di trovarsi su un sasso al centro di un fiume senza potere andare né avanti né indietro, pensava: certo è una situazione poco piacevole, ma è solo un sogno. Quando però gli venne l'influenza e dovette stare a letto tutto il giorno con la febbre, quel trucchetto non gli servì molto, perché Roberto sapeva: i sogni provocati dalla febbre sono i peggiori. Si ricordava che quando era stato ammalato un'altra volta, era finito nel bel mezzo di un'eruzione vulcanica. Montagne sputafuoco lo avevano scaraventato in cielo, e da lassù aveva iniziato a precipitare lentamente, molto molto lentamente e per poco non era finito nella bocca del vulcano... Preferiva davvero non pensarci. Per questo cercava di stare sveglio, sebbene sua madre gli dicesse: - Se dormi, l'influenza passa prima. E non leggere tanto! Ti fa male. Lesse all'incirca dodici fumetti e poi si sentì tanto stanco che gli si chiusero gli occhi. Ma il suo sogno fu davvero insolito. Sognò infatti di avere l'influenza e di essere a letto e che seduto sulla sponda del letto ci fosse il mago dei numeri. Sul comodino c'è il bicchiere con l'acqua, pensava. Mi sento tutto caldo. Ho la febbre. Ma forse non mi sono proprio addormentato. - Ah no? gli disse il vecchio. E io? Mi stai sognando o ci sono davvero? - E che ne so, rispose Roberto.

- Comunque non importa. Sono venuto a farti una visitina perché non stai bene. E chi non sta bene deve starsene a casa e non può andarsene in giro per il deserto o a contare lepri nei campi di patate. Quindi ho pensato che potevamo trascorrere una seratina tranquilla, senza tanti trucchetti. Però ho invitato anche qualche numero, così non ci annoiamo. Ormai lo sai che senza di loro non riesco a vivere. Ma non ti preoccupare, sono innocui. - Dici sempre così, gli fece notare Roberto. Bussarono alla porta e il mago disse: «Avanti». I numeri entrarono a spron battuto ed erano così tanti che la camera di Roberto fu immediatamente strapiena. Si stupì di quanta gente ci stesse fra la porta e il letto. I numeri sembravano dei corridori in bicicletta o dei maratoneti perché sulle magliette bianche tutti avevano il loro numero. La camera era abbastanza piccola, ma più ne entravano più sembrava lunga. La porta si allontanava di continuo e alla fine era quasi invisibile in fondo al corridoio. I numeri se ne stavano li a ridere e scherzare, ma a un certo punto il mago li apostrofò, urlando come un sergente: - Attenti! Prima sequenza, in fila! E subito si misero in fila con la schiena rivolta al muro, per primo l'uno poi tutti gli altri. - E lo zero dov'è? chiese Roberto. - Lo zero un passo avanti, gridò il mago. Si era nascosto sotto il letto. Venne fuori e disse tutto imbarazzato: - Credevo che non avreste avuto bisogno di me. Sto male, forse mi sta venendo l'influenza. Chiedo umilmente una licenza per malattia. - Ritirarsi, gridò il vecchio, e lo zero si rifugiò di nuovo sotto il letto. - Eh sì... è un tipo un po’ così, lo zero. Vuole sempre un trattamento speciale. Ma gli altri numeri... ti sei accorto di come ubbidiscono? Guardò compiaciuto i numeri normali che se ne stavano tutti ordinati in fila: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, .... - Seconda sequenza, in fila! gridò, e subito si presentarono schiere di nuovi numeri, che con gran scalpiccio finalmente riuscirono a mettersi nel giusto ordine: Nella camera - ammesso che di camera si potesse ancora parlare perché ormai era piuttosto un tunnel infinitamente lungo - stavano proprio davanti agli altri e portavano una maglietta rossa. - Ah, disse Roberto, ecco i numeri dispari.

- Si, però adesso indovina quanti sono se paragonati a quelli vicino al muro con la maglietta bianca. - Ma è chiaro, disse Roberto. Un numero sì e uno no è dispari. Quindi i rossi sono la metà dei bianchi. - Vuoi dire che i numeri normali sono il doppio di quelli dispari? - Certo. Il mago rise, ma non era una risata simpatica, e Roberto ebbe l'impressione che volesse prenderlo in giro. - Mi spiace deluderti, mio caro, disse il vecchio. Di ogni tipo ce n'è la stessa quantità. - Non è possibile, esclamò Roberto. Tutti i numeri non possono essere tanti quanti la metà. Non sta né in cielo né in terra! - Fai attenzione! Te lo dimostro. Si rivolse ai numeri e urlò: - Prima e seconda fila, stretta di mano! - Ma perché urli tanto, disse Roberto arrabbiato. Non siamo mica in caserma. Cerca di essere un po’ più gentile! Ma la sua protesta si perse perché ciascuno dei bianchi aveva dato la mano a uno dei rossi, e adesso erano tutti schierati a coppie come soldatini di stagno: - Vedi? Con ogni numero normale da uno a là in fondo ce n'è uno dispari, sempre da uno a là in fondo. Oppure riesci a mostrarmene anche uno solo rosso che sia senza compagno bianco? Quindi: i numeri normali sono infiniti, e ne esistono altrettanti dispari. Appunto infiniti. Roberto rimase a riflettere per un po’. - Vuoi dirmi che se divido infinito per due, ho due volte infinito? Ma allora il tutto sarebbe grande quanto la metà! - Certo, disse il mago. Ma c'è dell'altro! Tirò fuori un fischietto e fischiò. Dal fondo della camera infinita sbucò subito una nuova colonna. I numeri questa volta indossavano magliette verdi. Si agitarono e sgambettarono sino a quando il vecchio maestro disse: - Terza sequenza, in fila! In breve tempo i verdi si misero ordinatamente in fila davanti ai rossi e ai bianchi: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... - Ma sono i numeri principi, osservò Roberto. Il vecchio annuì. Poi fischiò di nuovo, quattro volte di seguito. Adesso la camera di Roberto era davvero un inferno. Un vero incubo! Chi l'avrebbe mai detto che in un'unica stanza - per quanto ormai lunga come dalla terra alla luna - ci

sarebbero stati tutti quei numeri! Mancava l'aria: la testa di Roberto scottava come una lampadina accesa. - Basta, gridò. Non ne posso più! Avanti! rispose il mago dei numeri. I numeri entrarono a spron battuto ed erano così tanti che la camera di Roberto fu immediatamente strapiena. - E l'influenza, disse il mago dei numeri. Domani starai meglio. Poi riprese a dare ordini: - Ascoltate tutti! Le sequenze quattro, cinque, sei e sette, in fila! E diamoci una mossa! Roberto sbarrò gli occhi, che ormai stavano chiudendosi, e vide sette tipi diversi di numeri con le magliette bianche, rosse, verdi, blu, gialle, nere e rosa ordinatamente in fila nella sua camera infinitamente estesa: Gli ultimi numeri delle maglie rosa non riusciva quasi più a leggerli, perché erano così lunghi che quasi non ci stavano. - Crescono davvero molto in fretta, disse Roberto. Non riesco a stargli dietro. - Bum! disse il vecchio. I numeri con il punto esclamativo. 3! = 1x2x3 4! = 1x2x3x4 e così via. E più veloce di quanto si pensi. E degli altri cosa mi dici? Li conosci? - Dei rossi abbiamo già parlato, sono i dispari, e quelli verdi sono i principi. Quelli blu... bob, non so perché, ma mi sembra di conoscerli. - Pensa alle lepri! - Ah già, sono i bonaccioni. E i gialli quasi sicuramente quelli triangolari. - Non male, caro Roberto. Influenza o no, come apprendista fai davvero progressi. - Beh, e quelli neri sono semplicemente quelli saltellati, 2'2, 2'3, 2'4 eccetera. - E di ogni tipo ce n'è lo stesso numero, aggiunse il mago. - Infinitamente tanti, sospirò Roberto. È proprio tutta questa confusione che mi spaventa. - Sequenze da uno a sette, rompete le righe! gridò il vecchio Maestro. E subito cominciò di nuovo la scalpicciare, lo spingere, il pestare, lo spintonare. Solo quando tutti i numeri se ne furono andati, vi fu un silenzio delizioso e la camera di Roberto tornò a essere piccola e vuota come era stata prima.

- Adesso ci vuole proprio un bicchiere d'acqua e un'aspirina, disse Roberto. - E riposati per bene, così domani torni in forma. Il mago dei numeri addirittura gli sistemò il letto. - Devi solo tenere aperti gli occhi, gli disse. Il resto te lo scrivo sul soffitto. • - Il resto cosa? - Beh, disse il vecchio, che faceva di nuovo vorticare il suo bastone da passeggio, abbiamo mandato via le sequenze perché fanno troppo chiasso e sporcano dappertutto. Adesso tocca alle file. - Le file? Ma quali file? - Insomma, non devi pensare che i numeri si schierino sempre l'uno accanto all'altro come soldatini di piombo. Cosa succede se si uniscono? Voglio dire, se si sommano? - Non ti seguo, sospirò Roberto. Ma il vecchio sul soffitto aveva già scritto la prima fila. - Non avevi detto che dovevo riposarmi? chiese Roberto. - Non fare tante scene. Devi solo leggere cosa c'è scritto: - Adesso ci vuole proprio un bicchiere d'acqua e un'aspirina, disse Roberto. Ma il Vecchio faceva vorticare di nuovo il suo bastone da passeggio. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... - Sono delle frazioni, esclamò Roberto indignato. Che schifo! - Scusa tanto, ma queste sono davvero semplicissime. Non ti pare? - Un mezzo più un quarto, più un ottavo più un sedicesimo e così via, lesse Roberto. Sopra c'è sempre un uno e sotto i saltellati della sequenza del due, quelli con la maglia nera. 2, 4, 8, 16 ... Sappiamo già come va avanti. - Certo, ma cosa succede se sommiamo tutte queste frazioni? - Non lo so, rispose Roberto. Visto che la fila non finisce mai, probabilmente otterremo un numero infinitamente grande. D'altra parte però 1/4 è meno di 1/2, 1/8 è meno di 1/4 e così via... quindi quello che aggiungo è sempre più piccolo. I numeri scomparvero dal soffitto. Roberto fissava il soffitto ma vedeva solo una lunga linea: (disegno di linea da 0----------1). - Ah, disse dopo un po’. Forse ho capito. Si inizia con 1/2, poi si aggiunge la metà di 1/2, dunque 1/4. E quello che diceva comparve subito nero su bianco.

1/2 + 1/4 - E continuo, così aggiungo sempre la metà. La metà di 1/4 è 1/8, la metà di 1/8 è 1/16 e così via. I pezzetti diventano sempre più piccoli, e poi finiranno per essere così minuscoli che non potrò più vederli, un po’ come con il chewing gum diviso. 0---1/2---3/4----1 ---1/2---1/4---1/8---1/16---1/32 E posso continuare così finché campo. Arrivo quasi fino a uno, ma mai del tutto. - E invece sì. Devi solo andare avanti fino alla nausea. - Non ne ho nessuna voglia. E poi sono a letto con l'influenza. - Comunque, aggiunse il vecchio, adesso sai come prosegue e che risultato si ottiene. Perché tu magari ti stanchi, ma i numeri no, non si stancano mai. Dal soffitto era scomparsa la linea, e c'era invece scritto: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 ... = 1 - Stupendo, esclamò il mago. Eccellente! Adesso avanti! - Sono stanco. Devo dormire! - Si può sapere che cosa vuoi? chiese il vecchio. Stai già dormendo... In fin dei conti mi stai sognando, e sognare si può solo nel sonno. Roberto dovette dargli ragione, anche se aveva ormai la sensazione che il suo cervello iniziasse ad avere i crampi... - Va bene, disse, ancora una delle tue, e poi mi lasci in pace. Il mago alzò la sua bacchetta e fece schioccare le dita. Sul soffitto apparvero altri numeri: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ..... = - Lo stesso di prima, disse Roberto. Anche questa fila posso sommarla finché voglio. Ogni nuovo numero è più piccolo di quello che lo precede. E alla fine probabilmente avremo di nuovo uno. - Dici? Sarà meglio dare un'occhiata da vicino. Prendiamo i primi due numeri. Adesso sul soffitto c'erano solo i primi due elementi della fila: 1/2 + 1/3 3 - Quanto fa? - Non lo so, borbottò Roberto. - Non fare il furbo con me, si arrabbiò il mago. Cos'è di più, la metà o un quarto? - La metà naturalmente, rispose Roberto stizzito. Non sono mica scemo.

- Lo so che non lo sei. Ma dimmi un'altra cosa: cos'è di più, un terzo o un quarto? - Un terzo naturalmente. - Ci siamo. Abbiamo quindi due frazioni, ciascuna delle quali è più di un quarto, e quanto sono due quarti? - Ma che domanda! Due quarti sono la metà. -Vedi? 1/2 + 1/3 sono quindi più di 1/4 + 1/4 E se adesso prendiamo i prossimi quattro elementi della fila e li sommiamo, il risultato sarà ancora più della metà: 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 - Troppo difficile, brontolò Roberto. - Stupidaggini, gridò il mago. Cos'è di più, un quarto o un ottavo? - Un quarto. - Cos'è di più, un quinto o un ottavo? - Un quinto. - Esatto. E con il sesto e il settimo è lo stesso. Delle quattro frazioni 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 ogni singola è più di un ottavo. E quanto sono quattro ottavi? - Quattro ottavi sono esattamente 1/2, rispose Roberto controvoglia. - Stupendo. Adesso abbiamo ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + di 1/2 + di 1/2 + di 1/2 + di 1/2 e così via fino alla nausea. Come vedi, già sommando i primi sei elementi di questa fila abbiamo più di uno. E potremmo continuare così, se ne avessimo voglia. - Ti prego no, disse Roberto. - E se continuassimo così - ma non temere, non lo facciamo - dove arriveremmo? - Probabilmente all'infinito, rispose Roberto. Sei davvero magico! - Però ci vorrebbe un bel po’ di tempo, spiegò il mago. Prima di arrivare a mille impiegheremmo, anche se fossimo velocissimi a calcolare, fino alla fine del mondo. Perché la fila cresce molto lentamente. - Meglio lasciare perdere, disse Roberto. - D'accordo, lasciamo perdere. La scritta sul soffitto svanì piano piano, il vecchio maestro scomparve senza fare rumore, il tempo passò. Roberto si svegliò

perché il sole gli faceva solletico al naso. Quando sua madre toccandogli la fronte disse: - Grazie al cielo la febbre è scesa! Aveva già dimenticato che scivolare dall'uno all'infinito è facile facile, ma che per farlo ci vuole molto tempo.

La decima notte Roberto era seduto sul suo zainetto, in mezzo alla neve. Continuava a nevicare e il freddo gli entrava nelle ossa. A perdita d'occhio non c'era una luce, una cosa, un essere umano. Era una vera e propria tempesta di neve! Ed era anche buio. Se non cambiava qualcosa, buona notte! Gli sembrava di non sentire più le dita e non aveva idea di dove si trovasse. Forse al Polo nord? Ormai livido per il freddo, Roberto cercava disperatamente di riscaldarsi dandosi dei colpetti. Non voleva certo morire assiderato! Contemporaneamente c'era però un secondo Roberto che se ne stava comodamente seduto in poltrona e osservava l'altro quasi ghiacciato. Si può sognare se stessi, pensò stupefatto. Poi i fiocchi di neve che investivano il Roberto fuori al gelo divennero sempre più grandi, e il Roberto vero, quello che se ne stava al caldo in poltrona, si accorse che non c'era un fiocco che assomigliasse all'altro. Tutti quei grandi, morbidi fiocchi erano diversi. Di solito avevano sei angoli o raggi. E se si osservava attentamente, si vedeva che il motivo si ripeteva: stelle a sei punte in una stella a sei punte, raggi che si diramavano in raggi sempre più piccoli, punte che producevano altre punte. Una mano lo toccò leggermente sulla spalla e una voce che conosceva bene disse: - Non sono meravigliosi, questi fiocchi? Seduto proprio alle sue spalle c'era il mago dei numeri. - Dove sono? chiese Roberto. - Aspetta, accendo la luce, gli rispose il vecchio. (disegno: Stelle a sei punte in una stella a sei punte, raggi che si diramano in raggi sempre più piccoli - non sono meravigliosi, questi fiocchi?). All'improvviso tutto si illuminò, e Roberto si accorse di essere in un cinema, una sala piccola ma elegante, con due file di poltrone rosse. - Una rappresentazione privata, disse il mago. Solo per te!

- Pensavo già di morire assiderato, rispose Roberto. - Ma era solo un film! Guarda cosa ti ho portato. Questa volta non era una calcolatrice. E quell'affare non era nemmeno verde o molliccio o grande come un divano, ma grigioargento, con un piccolo schermo che si poteva aprire. - Un computer, esclamò Roberto. - Si, disse il vecchio, una specie di portatile. Quando digiti qualcosa, appare sullo schermo. Inoltre con il mouse puoi disegnare direttamente sullo schermo grande. Se hai voglia iniziamo. - Però basta tempeste di neve! Meglio un po’ di matematica che morire assiderati al Polo nord. - Digiti qualche numero bonaccione? - Tu e i tuoi numeri bonaccioni! disse Roberto. Ma Bonaccione cos'è, il tuo preferito? Premette i tasti e sullo schermo comparve la sequenza di Bonaccione: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 ...... - Adesso prova a dividerli, disse il vecchio maestro. Sempre due vicini. Il più grande diviso per il più piccolo. - D'accordo, rispose Roberto. E iniziò a digitare un numero dopo l'altro, curioso di scoprire cosa sarebbe apparso sullo schermo grande: 1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = 1,5 5/3 = 1,66666 ... 8/5 = 1,6 13/8 = a,625 21/13 = 1,615384615 ... 34/21 = 1, 619047619 .... 55/34 = 1,617647059 .... 89/55 = 1,618181818.... - Che forte! disse. Ancora dei numeri che non finiscono. Il 18 che si morde la coda. E alcuni altri hanno proprio un'aria irragionevole. - Giusto, però c'è anche dell'altro, gli fece notare il vecchio. Roberto si mise a riflettere, poi disse: - Tutti questi numeri vanno su e giù. Il secondo è più grande del primo, il terzo più piccolo del secondo, il quarto di nuovo un po’ più grande e così via. Sempre su e giù. E quanto più si va avanti, tanto meno oscillano.

- Proprio così. Quanto più sono grandi, tanto più i bonaccioni tendono a stabilizzarsi verso un numero mediano, e cioè verso 1,618 033 989... Ma non credere che la cosa finisca qui, perché il risultato è un numero irragionevole che non finisce mai. Ti avvicini sempre più, ma puoi fare tutti i calcoli che vuoi, la fine non la raggiungerai mai. - Va be, disse Roberto, lo sappiamo che i bonaccioni sono un po’ fuori di testa. Ma perché vanno su e giù intorno a questo strano numero? - Oh, rispose il vecchio, non c'è niente di strano. Lo fanno tutti. - Tutti chi? - Non solo i bonaccioni. Prendiamo due banalissimi numeri normali. Dimmi i primi due che ti vengono in mente. - Diciassette e undici, disse Roberto. - Bene. Adesso per favore sommali. - Ce la faccio a mente: 28. - Perfetto. Se guardi lo schermo, capisci come vanno avanti le cose: 11 + 17 = 28 17 + 28 = 45 28 + 45 = 73 45 + 73 = 118 73 + 118 = 191 118 + 191 = 309 - Ho capito, disse Roberto. E adesso, che faccio? - Facciamo come avevamo fatto con i numeri bonaccioni. Dividiamo. Prova! Mentre Roberto scriveva, i numeri apparivano sullo schermo: 17/11 = 1,545454... 28/17 = 1,647058.... 45/28 = 1,607142... 73/45 = 1,622222.... 118/73 = 1,616438... 191/118 = 1,618644... 309/191 = 1,617801.... - Di nuovo quel numero folle, esclamò Roberto. Non ci capisco niente. È dentro a tutti i numeri? Funziona davvero sempre così? Con due numeri qualunque all'inizio? Non importa quali scelgo? - Certo, rispose il vecchio maestro. E se ti interessa di faccio vedere cos'altro è 1,618... Sullo schermo comparve una cosa orrenda:

- Una frazione, gridò Roberto. Una frazione così mostruosa... vederla fa male agli occhi... e non finisce mai, mai, mai! Odio le frazioni. A Mandibola piacciono, e si diverte a propinarcele per farci soffrire. Ti prego, togli di mezzo quell'orrore. - Non ti agitare. È solo una frazione continua. Però devi ammetterlo: è fantastico che l'i,618, il nostro numero folle, salti fuori usando un'infinità di uno sempre più piccoli. - Ammetto tutto quel che vuoi, basta che mi lasci in pace con le frazioni, soprattutto con quelle che non hanno fine. - D'accordo, Roberto, d'accordo. Voglio solo che tu ti stupisca. Se le frazioni continue non ti piacciono, facciamo qualcos'altro. Adesso disegno un pentagono: Ogni lato di questo pentagono è lungo uno. - Ma uno cosa? chiese Roberto immediatamente. Un metro, un centimetro, cosa? Vuoi che misuri? (disegno di un pentagono). - E del tutto indifferente. Il vecchio era leggermente irritato. - Diciamo che ogni lato del pentagono è lungo un bang. Possiamo metterci d'accordo in questi termini, non trovi? - Va bene, ci sto. Nel pentagono adesso disegno una stella rossa: La stella rossa è composta di cinque linee rosse. Scegli una di queste linee, per piacere, e io ti dico quanto è lunga. Esattamente 1,618... bang, né più, né meno. - Incredibile! Ma questa è pura magia! Roberto era davvero impressionato. Il mago dei numeri sorrideva lusingato. - E non è tutto, disse. Guarda: adesso prendiamo la stella e misuriamo i due tratti rossi che ho segnato con A e B: - A è un po’ più lungo di B, osservò Roberto. - Preferisco dirti subito di quanto è più lungo, così non stai li a scervellarti. A è lungo esattamente 1,618... volte B. E potremmo continuare ancora, beh, lo sai bene, fino alla nausea, perché la nostra stella è come i fiocchi di neve: nella stella rossa c'è un altro pentagono nero, e nel pentagono nero un'altra stella rossa eccetera. - E salta sempre fuori quel maledetto numero irragionevole? chiese Roberto. - L'hai detto. Se non sei ancora stufo... - Non sono per niente stufo, lo rassicurò Roberto. È abbastanza divertente!

- Allora prendi il tuo portatile. Digita quel numero, te lo detto: 1,618 033 989.... Ecco. Adesso sottrai 0,5: 1,618 033 989 - 0,5 = 1,118 033 989... E ora raddoppia. Quindi per 2: 1,118 033 989... x 2 = 2,236 067 977... Bene, e adesso saltella il risultato, moltiplicandolo per se stesso. C'è un tasto apposta con su x2: 2,236067977.... '2 = 5,000 000 000 - Cinque, esclamò Roberto. Ma non è possibile! Perché viene fuori cinque? Proprio cinque? - Eh sì, disse il mago gongolante, riecco il nostro pentagono con la stella rossa a cinque punte. - Davvero magico, disse Roberto. - E adesso nella stella ci facciamo qualche nodo. Ne facciamo uno nei punti in cui le linee si intersecano o dove si incontrano: Prova a contare quanti nodi sono. - Dieci, rispose Roberto. - E adesso per piacere conta le superfici bianche. Roberto ne contò undici. - Adesso ci serve anche il numero delle linee. Di tutte quelle che collegano due nodi. Ci volle un po’ perché Roberto fece confusione, ma alla fine scoprì quante linee c'erano: 20. - Esatto, disse il vecchio. E adesso ti faccio qualche calcolo: 10+11-20 = 1 (N+S-L=1). Se sommi nodi e superfici e poi sottrai il numero delle linee, hai uno. - E allora? ' - Forse credi che sia così solo per il nostro pentagono, ma ti sbagli. La cosa buffa è che il risultato è sempre uno, con qualsiasi figura, anche se è complicatissima e irregolare. Prova, disegna quel che vuoi, vedrai che è così. Gli diede il computer, e Roberto con il mouse sullo schermo disegnò: - Risparmiati la fatica, disse il vecchio. Ho già contato. La prima figura ha sette nodi, due superfici, otto linee. Fa 7 + 2 -8=1. La seconda 8 + 3 -10=1. La terza 8 + 1 -8 = 1. Sempre lo stesso uno!

Fra l'altro il discorso non vale solo per le figure sul piano, ma anche per cubi o piramidi o diamanti tagliati. Solo che in questi casi il risultato non è 1 ma 2. - Fammi vedere! - Ecco, guarda, sullo schermo adesso c'è una piramide. - Neanche per sogno, obiettò Roberto. Al massimo sono dei triangoli. - D'accordo, ma cosa succede se li ritagli e li pieghi? Sullo schermo apparve subito il risultato, anche senza forbici e colla: - E con le figure che ti farò vedere adesso puoi fare la stessa cosa, disse il vecchio che sullo schermo disegnò varie forme: - Tutto qui? pensò Roberto. Di modelli così ne ho fatti ben altri! Se si ritaglia e incolla la prima figura viene fuori un cubo. E le altre due? - Adesso ti faccio vedere: una specie di piramide doppia con un vertice in alto e l'altro in basso e un affare quasi sferico di venti triangoli identici: (Disegno di figure geometriche). Ma puoi costruire anche una specie di sfera tutta di pentagoni. Il pentagono non è la nostra figura preferita? Disegnato su carta viene così:(disegno). E se lo incolli, così: (pentagono incollato). - Mica male, disse Roberto. Se mi capita un giorno mi metto li e lo faccio. - Ma per favore non adesso, perché vorrei tornare al nostro gioco con i nodi, le linee e le superfici. Prima prendiamo il cubo, è più facile: ' (disegno di un cubo coi suoi vertici). Roberto contò 8 nodi, 6 superficie 12 linee. - Allora, 8 + 6 -12 = 2, disse. - Sempre due! Quel coso può essere complicato e storto fin che vuoi ma il risultato è sempre due. Nodi più superfici meno linee fa due. È una regola ferrea. Ecco qual è il segreto dei solidi che costruisci con la carta, caro mio. Comunque le cose non cambiano nemmeno con i brillanti dell'anello di tua madre. E probabilmente nemmeno con i fiocchi di neve che però si sciolgono prima che tu abbia finito di contare. La voce del vecchio stava diventando sempre più debole e sempre più ovattata. La piccola sala cinematografica era tornata buia e sullo schermo si era rimesso a nevicare. Ma Roberto non aveva paura. Sapeva di essere al caldo, in un cinema, dove non si moriva assiderati, anche se ai suoi occhi il mondo appariva sempre più bianco.

Quando si svegliò si accorse che non era sotto una coltre di neve ma sotto la sua bella coperta bianca: che non aveva nodi, né linee nere e nemmeno una vera e propria superficie, e che naturalmente non era un pentagono. E ovviamente era scomparso anche il meraviglioso computer grigio-argento. Com'era la storia di quel numero mostruoso? Uno virgola sei, questo se lo ricordava, ma il resto di quel numero infinito, no. (disegno del mago sulla neve). Chi ha un po’ di pazienza e sa usare bene colla e forbici, può provare a costruire dei modelli a partire dalle figure con tre, quattro e cinque angoli delle ultime pagine. Però ricordatevi di disegnare anche le linguette per incollare le figure ritagliate. Se quando avete finito con tutti e cinque i modelli non siete ancora stufi, potete costruire anche un altro oggetto, particolarmente raffinato. Ma fatelo solo se avete molta pazienza e sapete lavorare con precisione. Prendete un foglio molto grande (almeno 35 x 20 cm) di carta spessa, però non di cartone, e su questo disegnate la figura riprodotta alla pagina successiva, cercando di essere molto precisi. I lati dei triangoli devono essere tutti lunghi uguali. Quanto potete deciderlo voi, magari 3 o 4 cm (oppure un bang). Poi ritagliate la figura. Con un righello ripiegate in avanti le linee rosse e indietro quelle blu. Poi incollate: le linguette con scritto A sul triangolo con a, E su b e così via. Il risultato? Un anello assolutamente pazzesco fatto di dieci piccole piramidi che potete girare avanti e indietro (ma dovete farlo con cautela!): vi appariranno dei pentagoni e delle stelle a cinque punte. Ah, dimenticavo : provate a indovinare cosa viene fuori se contate e sommate i nodi (o gli angoli), le superfici e le linee: N + S - L =? (disegno di figura geometrica con molti lati incollati).

La undicesima notte Ormai era quasi buio. Roberto attraversava tutto affannato piazze e strade della città vecchia che non conosceva. Correva a più non posso perché lo stava inseguendo il professor Mandibola. A volte l'inseguitore si avvicinava e Roberto riusciva a sentire il suo respiro affannoso. «Fermati!» gridava Mandibola, e allora Roberto accelerava il passo. Non aveva idea del perché lo inseguisse e perché lui

scappasse. Non mi prenderà mai e poi mai, pensava solo. E molto più grasso di me! Ma quando arrivò all'incrocio successivo, da sinistra vide venirgli incontro un secondo professor Mandibola. Attraversò di corsa la strada, nonostante il semaforo rosso, e a quel punto alle sue spalle sentì varie voci che lo chiamavano: - Roberto, fermati! Vogliamo solo il tuo bene! Ormai aveva alle calcagna quattro o cinque Mandibola e dalle vie laterali sbucavano altri insegnanti che assomigliavano come gocce d'acqua al suo inseguitore. E adesso arrivavano anche da davanti. Roberto gridò aiuto. Fu afferrato da una mano ossuta che dalla strada lo trascinò in una galleria tutta vetri. Appena in tempo! Era il mago dei numeri che gli sussurrò: - Seguimi! conosco un ascensore privato che porta all'ultimo piano. Le pareti dell'ascensore erano tutte di specchi e così Roberto vide un'infinità di maghi dei numeri e un'infinità di ragazzi identici a lui. Questa è la volta buona che la smetto di occuparmi di quantità infinite! pensò. Ma almeno adesso non sentiva più le voci di Mandibola. Roberto e il mago raggiunsero presto il cinquantesimo piano, la porta si aprì senza rumore ed essi uscirono su una meravigliosa terrazza. - È sempre stato il mio sogno, disse Roberto, mentre si sedevano su un dondolo di stile hollywoodiano. Giù in strada si era radunata molta gente; dall'alto sembrava di vedere delle formiche. - Non sapevo che al mondo ci fossero tanti professor Mandibola, disse Roberto. - Sì, sono davvero tanti; ma non fa niente, di loro non ti devi preoccupare, lo rassicurò il vecchio. Non sapevo che al mondo ci fossero tanti professor Mandibola, disse Roberto. Sì, sono davvero tanti; ma non fa niente, di loro non ti devi preoccupare, lo rassicurò il vecchio. - Queste cose probabilmente succedono solo in sogno, mormorò Roberto. Se tu non fossi arrivato appena in tempo, avrei perso completamente la testa. - Sono qui per questo. Quassù non ci disturberà nessuno. Allora, cosa c'è?

- Per tutta la settimana, dall'ultima volta che ci siamo visti, ho cercato di capire come sono collegate le cose che mi hai fatto vedere. Mi hai insegnato un'infinità di trucchetti, è vero. Però mi chiedo: perché? Perché facendo questi giochetti viene fuori quello che viene fuori? Ad esempio il numero maledetto? O il cinque? E perché le lepri si comportano come se sapessero cos'è un numero bonaccione? Perché i numeri irragionevoli non finiscono mai? E perché le cose che mi dici sono sempre giuste? - Ah, disse il mago, ormai siamo al punto che non vuoi più solo giocare con i numeri? Che vuoi sapere cosa ci sta dietro, conoscere le regole del gioco? Il senso del tutto? In sostanza poni gli stessi interrogativi di un vero matematico. - Lascia perdere i matematici. In fondo tu mi hai sempre solo mostrato le cose ma non le hai mai dimostrate. - È vero, disse il vecchio maestro. Devi scusarmi, ma il fatto è che mostrare è facile e divertente. Anche fare delle ipotesi non è male. E provare se l'ipotesi è giusta è ancora meglio. Del resto lo abbiamo fatto abbastanza spesso. Solo che questo purtroppo ancora non basta. Quel che conta è la prova, e persino tu a questo punto vuoi avere delle prove. - Certo. Perché alcune delle cose che mi hai detto le accetto. Di altre invece non capisco come avvengono, il perché e il per come. - In breve, non sei soddisfatto. Sono contento che sia così. Credi che un mago dei numeri come me sia mai soddisfatto di quello che scopre? No e poi no! È per questo che siamo sempre lì a scervellarci per trovare nuove prove. E un continuo almanaccare, scavare, escogitare. E quando finalmente si accende un lumicino - possono volerci anni, quando c'è di mezzo la matematica un secolo passa in fretta - beh, siamo contenti come Pasque. Siamo proprio felici. - Adesso esageri. Non credo sia tanto difficile trovare prove. - Ti sbagli di grosso. Anche quando credi di avere capito, può succedere che all'improvviso ti si aprano gli occhi e ti accorga che c'è qualcosa che non va. - Ad esempio? - Probabilmente pensi di avere capito la faccenda dei saltelli. Solo perché non hai problemi a passare da 2 a 2X2 e da 2x2 a 2x2x2. - Certo. 2'1, 2'2, 2'3 eccetera. È facilissimo. - Sì, sì, d'accordo, ma cosa succede se saltelli zero volte? 1'0, 8'0 oppure 100'0? Sai cosa viene fuori? Vuoi che te lo dica? Ti sorprenderà, ma il risultato è sempre uno:

1'0 = 1, 8'0 = 1, 100'0 = 1 - E perché? chiese Roberto stupito.! - Meglio lasciar perdere. Potrei dimostrartelo, ma credo che impazziresti se lo facessi. - Almeno provaci, esclamò Roberto furente. Ma il vecchio mago dei numeri non si scompose. - Hai mai provato, chiese, ad attraversare un fiume impetuoso? - Conosco la situazione, rispose Roberto, la conosco fin troppo bene! - Nuotare non vale perché la corrente ti porterebbe via subito. In mezzo al fiume però ci sono alcuni grossi massi. Tu allora cosa fai? - Scelgo dei massi che siano abbastanza vicini, così posso saltare da uno all'altro. Se mi va bene ce la faccio. Se no rimango bloccato. - E lo stesso succede con le dimostrazioni. E siccome ormai è da alcuni millenni che proviamo ad attraversare il fiume, tu non devi riprendere ogni volta da capo. Nel fiume ci sono già moltissimi massi dei quali ti puoi fidare. Sono stati provati milioni di volte. Non sono scivolosi, non si spostano, insomma, ci puoi salire sopra con assoluta sicurezza. Quando ti viene una nuova idea, un'ipotesi, allora cerchi il prossimo masso stabile. Se riesci ad arrivarci, salti finché non raggiungi la riva. E se stai un poco attento non ti bagni nemmeno i piedi. - Ho capito, disse Roberto. Però vorrei sapere dove è la riva sicura per i numeri, o per i pentagoni, o per i saltelli? - Domanda eccellente, commentò il mago. La riva sono alcune frasi molto, molto semplici. Quando sei arrivato lì, hai finito. Quella è la dimostrazione. - E quali frasi sarebbero? - Beh, ad esempio questa: per ogni numero normale, che sia il 14 o 14 miliardi, esiste un unico successore che trovi aggiungendo 1. Oppure: un punto non è divisibile perché non ha estensione. Oppure: fra due punti su una superficie puoi tracciare un'unica linea. Bisogna stare molto attenti ad ogni salto, disse il vecchio maestro. I massi sono troppo distanziati l'uno dall'altro. Se salti, cadi in acqua! (retta che continua all'infinito in entrambe le direzioni). - Fin qui ti seguo, disse Roberto. E da queste poche frasi, se continui a saltare, arrivi fino ai numeri mostruosi o ai bonaccioni? - È un gioco da ragazzi. Ma posso anche andare più in là. Solo che ad ogni salto bisogna stare molto attenti. Come quando attraversi il

nostro fiume. Alcuni massi sono troppo distanziati e allora non puoi saltare da uno all'altro. E se ci provi, cadi in acqua. A volte riesci a procedere solo per vie traverse, allungando il percorso, e altre non ci riesci per niente. Magari ti è venuta un'idea promettente ma non puoi dimostrare che va oltre. Oppure scopri che la tua ottima idea non era affatto ottima. Ti ricordi cosa ti ho mostrato proprio all'inizio? Come si ottengono tutti i numeri a partire da uno? 1x1 = 1 11x11 = 121 111x111 = 12321 1111x1111 = 1234321 E così via. Aveva tutta l'aria che si potesse continuare così per sempre. - Si, e tu te la sei presa quando ho detto che la cosa mi puzzava. Che poi l'ho detto solo per farti arrabbiare, perché in realtà non ci capivo niente. - D'accordo, però hai avuto fiuto. Infatti ho continuato a calcolare e quando sono arrivato a 1.111.111.111 sono davvero caduto in acqua: all'improvviso è venuta fuori un'insalata russa di numeri. Capisci? Il trucchetto era bello e funzionava bene, ma alla fine tutto questo senza prova non serve a niente. Come vedi, anche un mago dei numeri astuto come me ogni tanto ci casca. Ne ricordo uno, si chiamava Johnny della Luna, che aveva avuto un'idea grandiosa. L'aveva scritta in una formula che pensava funzionasse sempre. Poi quel pazzoide l'ha provata un miliardo e cinquecento milioni di volte, e ogni volta era giusta. Per poco non ci lasciava le penne a furia di calcoli con il suo megacomputer, calcoli molto ma molto più precisi dei nostri con il maledetto 1,618..., e naturalmente era convinto che le cose sarebbero sempre andate avanti così. Allora il buon Johnny si è spaparanzato tutto soddisfatto. Poi è passato un po’ di tempo - ma non tanto - ed è arrivato un altro mago, del quale non ricordo il nome, che si è messo a calcolare ancora, e con precisione ancora maggiore. E sai cosa ha scoperto? Che Johnny della Luna si era sbagliato. La sua formula era quasi sempre giusta, ma, appunto, non sempre. Quasi, ma non del tutto! Povero diavolo! Una sfortuna pazzesca! Fra l'altro era proprio dei numeri principi che si era occupato. E i numeri principi sono proprio molto particolari, credimi. La questione delle prove è davvero diabolicamente complicata.

- Sembra anche a me, disse Roberto. Anche quando si tratta solo di qualche ciambella. Mandibola ad esempio, quando ti rimbecillisce sul perché un certo numero di pasticcieri impiega un certo numero di ore per fare un certo numero di ciambelle: è proprio una rottura e molto meno divertente dei tuoi giochetti. - Ma forse gli fai torto. Mandibola deve arrabattarsi ogni santo giorno con i vostri compiti e non può saltare da un masso all'altro come noi, senza programmi scolastici, come capita. Poveraccio, un po’ mi fa pena. Fra l'altro credo sia andato a casa, a correggere. Roberto diede un'occhiata in strada, dove effettivamente era tutto tranquillo. - Alcuni di noi, disse il vecchio Maestro, fanno ancora più fatica del vostro Mandibola. Uno dei miei colleghi più anziani ad esempio, il famoso Lord Ruzzolo, una volta si è messo in testa di dimostrare che 1 + 1=2. Su questo foglietto mi sono segnato come ha fatto: (disegno di Roberto e il Mago seduti su una panchina). (rappresentazione della formula in algoritmo lungo una pagina). - Brrr! esclamò Roberto rabbrividendo. Che orrore! E a cosa serve? Che 1 + 1 = 2 lo so anch'io. - Certo, e lo sapeva anche Lord Ruzzolo, che però voleva saperlo con maggiore precisione. Vedi che fine si può fare. Fra l'altro ci sono molti problemi che sembrano facili come l'1 + 1 = 2, e che invece sono molto, molto difficili da risolvere. Ad esempio il viaggio. Immagina di andare in America dove hai venticinque amici. Ognuno vive in una città diversa e tu vuoi andarli a trovare tutti. Prendi la cartina e pensi a come fare. Vuoi fare pochi chilometri, per risparmiare tempo e benzina, visto che sei in macchina. Qual è il percorso migliore? Come ti organizzi? Sembra facilissimo, no? Ma ti posso comunque assicurare che è stato veramente un problemaccio per molti. Hanno provato a risolverlo anche dei maghi geniali, ma senza riuscirci. - E perché? disse Roberto stupito. Non può essere così complicato! Penso a quali possibilità ci sono, le riporto sulla cartina, e poi calcolo quale è la più breve. - Certo, disse il vecchio, in un certo senso fai una rete con venticinque nodi. - Esatto. Se voglio andare a trovare due amici c'è un unico tragitto, da A a B: A----B

- Ce ne sono due: potresti anche andare da B a A. - D'accordo, ma non cambia, replicò Roberto. E se sono tre amici? - Allora le possibilità sono già sei: A--B--C A--C--B B--A--C B--C--A C--A--B C--B--A (disegno di un triangolo con evidenziati i lati che collegano i tre vertici). Questi tragitti fra l'altro sono tutti lunghi uguali. Ma con quattro hai già l'imbarazzo della scelta: (disegno di un rettangolo con i lati e le diagonali che congiungono i vertici). - Si, disse Roberto, ma non ho la minima voglia di contare tutti i percorsi. - Sono esattamente ventiquattro, disse il mago. Ho paura che sia come con la disposizione dei posti nella vostra classe. Ti ricordi che confusione con Alberto, Bettina, Charlie e tutti gli altri, perché c'erano tante possibilità diverse nella scelta dei banchi. - Chiaro come il sole! Roberto aveva capito: Con tre studenti tre bum!, con quattro studenti quattro bum! e così via. - E lo stesso succede con il viaggio. - E allora tutto questo problema dove sarebbe? Devo solo calcolare quanti sono i tragitti possibili, e fra questi scelgo il più breve. - Ah! esclamò il vecchio. Se fosse così facile! Ma con 25 amici hai già 25 bum! possibilità, un numero tremendamente grande. All'incirca: 16x10'24 = 16.000.000.000.000.000.000.000.000 Non puoi davvero provarle tutte per scoprire il percorso più breve. Nemmeno con il computer più grande del mondo arriveresti mai alla fine. - In pratica non si può! - Beh, dipende. È da un po’ che ci scervelliamo sulla questione. I maghi dei numeri più intelligenti hanno provato tutti i trucchi possibili e sono giunti alla conclusione che a volte funziona e altre no. - Peccato, disse Roberto. Se funziona solo ogni tanto, è una cosa un po’ a metà. - E quel che è peggio, non possiamo nemmeno provare definitivamente che non esiste una soluzione perfetta. Sarebbe già

qualcosa, perché potremmo smettere di cercare. Avremmo quanto meno dimostrato che non c'è dimostrazione, e in fondo sarebbe una dimostrazione anche questa. - Mmmm, disse Roberto. Anche i maghi quindi ogni tanto fanno un bel bagno. La cosa mi tranquillizza. Ormai ero convinto che potevate fare magie a tutto spiano. - E solo un'impressione. Non hai idea di quante volte non riesco a superare il fiume! E allora mi accontento di tornare sulla vecchia sponda sicura senza essermi bagnato i piedi. Non voglio certo sostenere di essere il più grande. Però ai gran maestri fra i maghi dei numeri - forse avrai anche l'occasione di incontrarne alcuni - succede la stessa cosa. Ma questo significa solo che la matematica non finisce mai. E aggiungo: meno male. Resta sempre qualcosa da fare, caro Roberto. E per questo adesso mi devi scusare. Domani mattina voglio infatti dedicarmi all'algoritmo del simplesso semplice per i politopi... - L'algocosa? chiese Roberto. - Il modo migliore per venire a capo di un guazzabuglio. E per farlo devo avere ben dormito. Vado a letto. Buona notte! Il mago dei numeri era scomparso. Il dondolo oscillava ancora. Chissà cos'era un politopo? Non importa, pensò Roberto. Il professor Mandibola comunque non devo più temerlo. Se dovesse inseguirmi, il mago verrebbe certamente a salvarmi. Era una notte calda ed era piacevole continuare a sognare del più e del meno lassù in terrazza. Roberto continuò a dondolarsi e a non pensare a niente, fino a giorno inoltrato.

La dodicesima notte Roberto non sognava più. Basta con i pesciacci giganti che volevano inghiottirlo, con le formiche che gli salivano su per le gambe; e anche il professor Mandibola e i suoi tanti, tanti gemelli lo lasciavano in pace. Non scivolava più, non veniva chiuso in cantina, non era costretto a morire assiderato. Insomma, non aveva mai dormito meglio. Era bello, ma alla lunga anche un po’ noioso. Il mago dei numeri cosa combinava? Magari aveva avuto una buona idea e non era in grado di dimostrarla. Oppure si era perso in una di quelle superficipolipo, o come diavolo si chiamavano, di cui aveva parlato l'ultima volta? O semplicemente aveva dimenticato Roberto?

Sarebbe stata la fine del sogno! Un'idea che a Roberto non piaceva proprio. Sua madre era perplessa perché lui se ne stava in giardino per delle ore a pasticciare nodi e reti sulla cartina per scoprire quale fosse il sistema più comodo per andare in America a trovare degli amici che non esistevano assolutamente. - Forse dovresti fare i compiti, commentava di solito. Una volta lo beccò anche il professor Mandibola mentre durante l'ora di matematica nascondeva qualcosa sotto il banco. - Cos'hai li, Roberto? Fammi vedere! Ma Roberto aveva già appallottolato e gettato a Charlie il foglio con il grande triangolo dei numeri. Di Charlie poteva fidarsi, era suo amico: infatti fece in modo che Mandibola non scoprisse nulla. Una notte stava dormendo così profondamente e senza sogni che non si accorse nemmeno che qualcuno stava picchiando alla sua porta. - Roberto! Roberto! Gli ci volle un po’ prima di svegliarsi. Saltò giù dal letto e aprì la porta. Era il mago dei numeri. - Eccoti finalmente! disse Roberto. Non ci speravo più. - Svelto, disse il vecchio. Vieni con me! Sono riuscito a farti avere un invito. Guarda! Dalla tasca estrasse un cartoncino stampato in bei caratteri e con il bordo dorato. C'era scritto: STRETTAMENTE PERSONALE! AL SIGNOR ROBERT ALLIEVO DEL MAGO DEI NUMERI TEPLOTAXL È INVITATO AL GRANDE RICEVIMENTO NELL'INFERNO/PARADISO DEI NUMERI IL SEGRETARIO GENERALE ****** La firma era uno svolazzo illeggibile, che sembrava arabo o persiano. Roberto si vestì in tutta fretta. - Quindi ti chiami Teplotaxl? Perché non me l'avevi mai detto? - Solo gli iniziati possono sapere come si chiama un mago dei numeri, rispose il vecchio. - Allora adesso faccio parte del gruppo? - Quasi. Altrimenti non avresti avuto l'invito.

- Che strano, mormorò Roberto. Cosa vuoi dire: nell'inferno/ paradiso dei numeri? O è l'uno o è l'altro! - Mah, sai, paradiso, inferno, cielo dei numeri... in fondo alla fine non cambia, disse il vecchio. Era vicino alla finestra e la spalancò. - Te ne accorgerai anche tu. Sei pronto? - Si, rispose Roberto, anche se tutta quella storia un po’ lo preoccupava. - Allora sali sulle mie spalle. Roberto temeva di essere troppo pesante per il mago, che non era davvero un gigante ma anzi piuttosto mingherlino. Ma non voleva contraddirlo. Gli si era appena messo a cavalcioni, che il vecchio maestro fece un gran salto e spiccò il volo. Queste cose succedono davvero solo in sogno, pensò Roberto. (disegno di Roberto in groppa al Mago che vola verso il paradiso dei numeri). E perché no? Un volo senza motori, senza allacciarsi le cinture, senza quelle insopportabili hostess che gli davano sempre dei giocattolini di plastica o gli album da disegnare come se avesse ancora tre anni: era davvero un'altra cosa! Dopo un volo silenzioso il mago atterrò morbidamente su una grande terrazza. - Siamo arrivati, disse, facendolo scendere. Erano davanti a un palazzo molto esteso e sfarzoso che era illuminato a giorno. - Ma dove ho messo l'invito? chiese Roberto. Credo di averlo lasciato a casa! - Non fa niente, lo tranquillizzò il vecchio. Qui possono entrare tutti quelli che lo vogliono veramente. E chi lo sa poi, dov'è il paradiso dei numeri! Per questo motivo qui ci arrivano solo in pochissimi. La grande porta a battenti era aperta e nessuno si occupò degli ospiti. Entrarono: si trovarono in un corridoio infinitamente lungo con tantissime porte. La maggior parte erano accostate o aperte del tutto. Roberto diede un'occhiata curiosa nella prima stanza. Teplotaxl accostò l'indice alle labbra e disse: Ssst! Dentro c'era un uomo molto vecchio con i capelli tutti bianchi e un naso lungo lungo. Parlava da solo: - Tutti gli inglesi sono bugiardi. Ma cosa succede se sono io a dirlo? Perché anch'io sono un inglese. Quindi mento anch'io. E allora quello che ho appena detto - che tutti gli inglesi mentono - non può essere vero. E se invece dicono la verità allora deve essere vero anche quello che ho detto prima. E quindi è vero che mentiamo!

E mentre fra sé e sé bofonchiava, a passettini percorreva in cerchio la stanza. Il mago fece un cenno a Roberto, ed essi proseguirono. È il povero Lord Ruzzolo, gli spiegò. Ti ricordi, chi ha dimostrato che 1 + 1 = 2. - È un po’ fuori di testa? Non ci sarebbe da stupirsi, essendo stravecchio. - Non ti fare ingannare! E ancora lucidissimo. E poi, cosa intendi con vecchio? Lord Ruzzolo è uno dei più giovani, non ha nemmeno 150 anni. - Perché qui c'è anche gente ancora più vecchia? - Fra un po’ lo vedrai, disse Teplotaxl. All'inferno, cioè nel paradiso dei numeri non si muore. Raggiunsero un'altra porta. Era spalancata. Nella stanza c'era un uomo così piccolo che Roberto lo scoprì solo dopo averlo cercato a lungo. La stanza era piena di oggetti molto insoliti, fra cui alcune ciambelle di vetro. Piacerebbero a Mandibola, pensò Roberto, anche se non si possono mangiare e hanno una forma davvero strana. Erano infatti tutte contorte e avevano molti buchi. C'era anche una bottiglia di vetro verde. - Osservala con attenzione, gli disse il mago in un orecchio. Di questa bottiglia non si sa quale sia il dentro e quale il fuori. Ma non è possibile! pensò Roberto. Una bottiglia così esiste solo in sogno. - Prova a immaginare di volerla dipingere di blu dentro e di rosso fuori. Non si può, perché non ha bordi. Non sapresti mai dove finisce il lato rosso e dove inizia quello blu. - E l'ha inventata quel signore minuscolo? Ci starebbe tranquillamente nella sua bottiglia! - Ssst, piano! Sai come si chiama? Dottor Klein! È tedesco e il suo nome significa piccolo. Dai, dobbiamo proseguire. Passarono molte porte. Spesso c'era attaccato un avviso di cartone con scritto: Si prega di non disturbare! Davanti a un'altra porta spalancata si fermarono. Le pareti e i mobili erano ricoperti da uno strato di polvere finissima. - Non è polvere normale, disse Teplotaxl. Ha più granelli di quanti sia possibile contare. E la cosa più incredibile: un po’ di questo pulviscolo - ne basta quanto ce ne sta sulla punta di un ago - contiene tutta la polvere che c'è in questa stanza. Fra parentesi, è il professor Cantor ad averlo inventato. Il suo è un nome latino, significa cantante.

E in effetti l'inquilino di quella stanza, un signore pallido con pizzetto e occhi penetranti, non la smetteva di canticchiare: - Infinito per infinito da infinito! E mentre canticchiava, saltellava nervosamente in cerchio. Strainfinito per infinito da strainfinito. Meglio filarsela, pensò Roberto. Il suo amico bussò a una delle porte successive e una voce cortese disse: Avanti. Teplotaxl aveva proprio ragione, tutti gli abitanti del palazzo erano così vecchi che al loro confronto lui sembrava un giovanotto. I due che incontrarono adesso davano tuttavia l'impressione di essere molto vivaci. Uno di loro aveva occhi grandi e portava la parrucca. - Prego, signori, si accomodino. Mi chiamo Boiler, e questo è il professor Gas. Il professor Gas aveva l'aria severa e non alzò quasi gli occhi dalle sue carte. A Roberto sembrò che la visita non gli fosse molto gradita. - Stavamo parlando dei numeri principi, disse quello gentile. Come certamente saprete è un argomento di grande interesse. - Oh sì, certo, disse Roberto. Non si sa mai cosa combinano. - Hai ragione. Ma non ho ancora perso la speranza di scoprirlo, con l'aiuto dei miei colleghi. - E il professor Gas cosa fa, se posso chiedere? Ma il professore non voleva dire su cosa stava riflettendo. - Ha fatto una scoperta straordinaria. Si sta occupando di un tipo di numeri completamente nuovo. Come li ha chiamati, caro amico? - i, rispose il signore dallo sguardo severo, e non aggiunse altro. - Sono i numeri immaginati, spiegò Teplotaxl. Signori, vogliate scusare il disturbo. E così proseguirono. Passarono un attimo da Bonaccione, la cui stanza era piena di lepri. Poi videro stanze in cui lavoravano, chiacchieravano, dormivano indios, arabi, persiani e indiani; e quanto più procedevano, tanto più gli inquilini erano vecchi. - Quello lì, disse Teplotaxl, che sembra un maragià, ha almeno duemila anni. Le stanze davanti alle quali passavano diventavano sempre più grandi e sempre più fastose, finché alla fine Roberto e la sua guida si ritrovarono davanti a una specie di tempio. - Lì non possiamo entrare, disse il vecchio. Quell'uomo con il vestito bianco è talmente importante che un piccolo mago come me non può neanche rivolgergli la parola. Viene dalla Grecia e non riesci nemmeno a immaginare quante cose ha inventato. Le vedi le piastrelle del

pavimento? Tutte stelle a cinque punte e tutti pentagoni. Voleva ricoprire il pavimento senza lasciare nemmeno una fessura e quando si è accorto che non era possibile, ha inventato i numeri irragionevoli. La rapa di cinque e la rapa di due. Ti ricordi no, che numeri orrendi sono? - Certo che mi ricordo, lo rassicurò Roberto. - Si chiama Pitagora, sussurrò il mago. E sai cos'altro ha inventato? La parola matematica. Ecco, siamo quasi arrivati. Entrarono in una sala che era la cosa più grande che Roberto avesse mai visto, più grande di una cattedrale e più grande di un palazzo dello sport, e molto, molto più bella. Le pareti erano ornate di mosaici con disegni sempre diversi. Una grande scalinata portava verso l'alto, così in alto che non se ne vedeva la fine. Su una specie di largo gradino c'era un trono d'oro, sul quale però non c'era seduto nessuno. Roberto era molto impressionato. Non aveva immaginato che l'abitazione dei maghi dei numeri fosse così lussuosa. - Ma che inferno! disse. Questo è il paradiso! - Non dirlo. Non voglio certo lamentarmi, però sai, a volte di notte, quando non riesco ad andare avanti con i miei problemi, c'è da impazzire! Sei a un passo dalla soluzione e all'improvviso ti trovi davanti a un muro... e questo è l'inferno! Roberto per discrezione non disse niente e si guardò intorno. Solo allora al centro della sala vide un tavolo che sembrava infinitamente lungo. Da un lato c'erano i servitori, e proprio accanto all'ingresso un tizio altissimo con in mano un batacchio. Alzò il braccio e con un ampio gesto percosse un grande gong che risonò in tutto il palazzo. - Vieni, disse Teplotaxl, cerchiamoci un posto là in fondo. Mentre si accomodavano all'estremità del tavolo, passarono i maghi dei numeri più importanti. Roberto riconobbe Boiler e il professor Gas, anche Bonaccione che su una spalla aveva una lepre. Gran parte di quei signori però non li aveva mai visti. C'erano solenni Egizi, Indiani con un punto rosso in fronte, Arabi con le tuniche, monaci con il saio, anche neri e Indios, Turchi con le scimitarre e Americani in blue-jeans. Roberto era stupito di quanti maghi dei numeri ci fossero e quanto fossero rare le donne. Vide solo sei o sette figure femminili, che nessuno sembrava prendere molto sul serio. - Ma dove sono le donne? Non le fanno entrare? chiese. - Prima non le volevano. La matematica, si diceva a Palazzo, è roba da uomini. Ma credo che le cose cambieranno. Le migliaia di ospiti spostavano le sedie e si salutavano sottovoce. Lo spilungone all'ingresso batté ancora il gong, e si fece silenzio. Sulla

grande scalinata comparve un cinese con abiti di seta che si sedette sul trono d'oro. - E quello chi è? chiese Roberto. - È l'inventore dello zero, sussurrò Teplotaxl. - È il più grande di tutti? - Il secondo. Il più grande abita lassù, dove finisce la scalinata, fra le nuvole. - È cinese anche lui? - Se lo sapessi! Non l'abbiamo mai visto. Però lo veneriamo tutti. È il capo supremo di tutti i maghi dei numeri, perché ha inventato l'uno. Chissà, magari non è nemmeno un uomo. Magari è una donna! Roberto era talmente impressionato che per molto tempo non disse niente. Nel frattempo avevano iniziato a servire la cena. - Ma sono tutte torte, esclamò Roberto. Ssst! Parla piano, ragazzo mio. Qui mangiamo solo torte, perché sono rotonde e perché il cerchio è la figura più perfetta. Provane una. Roberto non aveva mai mangiato niente di così squisito. - Se vuoi sapere quanto è grande una torta, da dove cominci? - Non lo so. Non me l'hai ancora detto, e a scuola siamo ancora fermi alle ciambelle. - Ti serve un numero irragionevole, quello più importante. Quel signore là, in fondo al tavolo, l'ha inventato più di duemila anni fa. E un greco. Se non ci fosse stato lui, magari oggi non sapremmo ancora con precisione quanto è grande una torta, o le nostre ruote, i nostri anelli o i serbatoi per il petrolio. Insomma tutte le cose che hanno forma circolare. Anche la luna, e la nostra terra. Senza il numero pi non si potrebbe fare niente. Nella sala intanto si era alzato un brusio, perché la conversazione si era animata. La maggior parte dei presenti mangiava con buon appetito, e solo alcuni avevano lo sguardo assente e facevano delle palline con la pasta della torta. Anche da bere ce n'era a sufficienza, per fortuna le bevande venivano servite in bicchieri di cristallo pentagonali e non nelle folli bottiglie del signor Klein. Una volta finito il pasto risonò il gong e l'inventore dello zero si alzò dal trono e scomparve verso l'alto. Uno dopo l'altro si alzarono anche gli altri maghi, i più importanti naturalmente per primi, e a passettini se ne tornarono nelle loro stanze da studio. Alla fine restarono solo Roberto e il suo protettore.

Si avvicinò un signore con una meravigliosa uniforme che Roberto non aveva nemmeno notato. E certamente il segretario generale, pensò, quello che ha firmato il mio invito. - Dunque, disse il dignitario con espressione severa, questo è il suo apprendista? Un po’ giovane, non crede? Qualche magia almeno la sa fare? - Non ancora, rispose l'amico di Roberto, ma se continua così, ci arriverà presto. - E con i numeri principi come andiamo? Sa quanti sono? - Tanti quanti quelli normali, quelli dispari e quelli saltellati, rispose in fretta Roberto. - Va bene, allora possiamo risparmiargli l'altra parte dell'esame. Come si chiama? - Roberto. - Alzati, Roberto. Sei ammesso al rango inferiore degli apprendisti dei numeri, e come segno del tuo grado ti conferisco l'ordine pitagorico di quinta classe. Con queste parole gli mise intorno al collo una pesante catena con una stella d'oro a cinque punte. - Molte grazie, disse Roberto. - Naturalmente questa onorificenza deve restare segreta, aggiunse il segretario generale, e senza degnare Roberto di uno sguardo, si girò e scomparve. - Ecco, abbiamo finito, disse l'amico e maestro di Roberto. Adesso me ne vado. D'ora in poi te la devi cavare da solo. - Come? Non puoi mollarmi proprio adesso, Teplotaxl! gridò Roberto. - Mi dispiace ma devo tornare al lavoro, rispose il vecchio. Roberto si accorse che era commosso e che anche a lui veniva da piangere. Non si era reso conto di quanto si fosse affezionato al mago dei numeri. Tutti e due fecero però finta di nulla, e quindi Teplotaxl disse solo: - Stammi bene, Roberto, e Roberto rispose solo: - Ciao. (disegno di tavola imbandita... in fondo a destra Roberto seduto). Il suo amico era già scomparso. Roberto era da solo nell'immensa sala, seduto al tavolo ormai sparecchiato. Come diavolo faccio a tornare a casa? pensò. Aveva la sensazione che la catena che aveva al collo diventasse ogni minuto più pesante. E poi forse non aveva digerito quella meravigliosa torta o magari aveva bevuto un

bicchierino di troppo. Comunque sia, si appisolò sulla sedia, e dopo un po’ dormiva sodo come se non fosse mai volato fuori dalla finestra sulle spalle del suo maestro. Quando si svegliò era naturalmente nel suo letto, come sempre, e sua madre lo scuoteva dicendogli: - Forza, Roberto. Devi alzarti, se no farai tardi a scuola. Ah già, si disse Roberto, sempre la solita storia. In sogno si mangiano ottime torte, e se sei fortunato ti danno addirittura una stella d'oro, però appena ci si sveglia, scompare tutto. Ma in bagno, mentre in pigiama si stava lavando i denti, sentì un solletico sul petto e quando controllò, trovò una piccolissima stella a cinque punte appesa a una catenella d'oro. Non riusciva a crederci. Questa volta il sogno gli aveva portato davvero qualcosa! Quando si vestì, si tolse la catenella con la stella e se la mise in tasca, perché non voleva che sua madre gli facesse delle domande stupide. Chi te l'ha data? avrebbe chiesto immediatamente. Sono cose da ragazze! E Roberto non poteva assolutamente spiegarle che si trattava di un'onorificenza segreta. La scuola era come sempre, solo che il professor Mandibola aveva un'aria molto stanca. Si barricò dietro al giornale. Evidentemente voleva mangiarsi le sue ciambelle in santa pace. Per questo aveva pensato un esercizio che avrebbe certamente impegnato la classe per tutta l'ora. - Quanti studenti ci sono nella vostra classe? aveva chiesto. La solerte Dorotea si era subito alzata e aveva risposto: - Trentotto. - Brava Dorotea. Adesso fate attenzione. Al primo qui davanti, come si chiama, ah già, Alberto, dò una ciambella. A te Bettina, che sei la seconda, ne dò due, a Charlie tre, a Dorotea quattro, e così via fino al trentottesimo. Adesso per favore calcolate quante ciambelle ci servono per rifornire tutta la classe. Ecco un perfetto compito alla Mandibola! Che vada al diavolo, pensò Roberto. Ma fece finta di niente. Mandibola cominciò a leggere il giornale, e i ragazzi si chinarono sui quaderni. Roberto naturalmente non aveva nessuna voglia di fare quello stupido esercizio. Se ne stava lì a fissare nel vuoto.

- Cosa c'è Roberto? Stai di nuovo sognando? gli chiese Mandibola, che evidentemente gli studenti li teneva d'occhio. - Stavo pensando, rispose Roberto e cominciò a scrivere: 1+2+3+4+5+6.... Mio Dio, che noia! Quando arrivò all'undici si ingarbugliò. Proprio a lui doveva succedere, a lui che era stato insignito dell'ordine pitagorico, sebbene solo di quinta classe! Allora gli venne in mente che non portava la sua stella. Se l'era dimenticata nella tasca dei pantaloni. Con cautela tirò fuori la catenina e senza che Mandibola se ne accorgesse se la mise al collo, che era il suo posto. In quello stesso istante capi come poteva elegantemente risolvere il problema. Non a caso era un esperto di numeri triangolari. Com'era la faccenda? Nel quaderno scrisse: 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 12= 11= 10= 9= 8= 7= --- --- --- -- -- -13 13 13 13 13 13 6 x 13 = 78 Se funzionava con i numeri da uno a dodici, doveva funzionare anche con i numeri da uno a trentotto! 1+ 2+ 3+ .... 18+ 19+ 38= 37= 36= ......21= 20= --- --- --- ..... --- --39 39 39 .... 39 39 19 x 39 =? Dalla cartella prese una calcolatrice, che tenne sotto il banco per non farsi vedere, e digitò: 19 x 39 = 741 - Fatto, esclamò. È facilissimo! - Ah sì? disse il professor Mandibola abbassando il suo giornale. - 741, disse Roberto sottovoce. Nella classe regnava il più assoluto silenzio. - Come hai fatto? chiese Mandibola. Oh beh, rispose Roberto, è un calcolo che viene quasi da solo. E sotto la camicia toccò la piccola stella e pensò con gratitudine al mago dei numeri.

Avvertenza Nei sogni è tutto diverso rispetto alla scuola o alla scienza. Quando Roberto e il mago parlano, a volte si esprimono in maniera un po’ strana. D'altra parte il Mago dei numeri è una storia insolita. Ma non crediate che tutti capiscano le parole che i due usano nei sogni! Il vostro prof, di matematica o i vostri genitori, ad esempio. Se a loro dite saltellare o rapa non capiranno assolutamente cosa state dicendo. Gli adulti, infatti, quando parlano di queste faccende usano parole completamente diverse: invece di saltellare dicono quadrare o elevare alla potenza, e invece di rapa, alla lavagna scrivono radice. I numeri principi durante le lezioni di matematica si chiamano numeri primi, e il vostro prof, non dirà mai nella vita cinque bum, perché deve usare un'espressione un po’ stramba: cinque fattoriale. In sogno naturalmente queste espressioni tecniche non esistono. Quindi quando il mago si esprime usando delle immagini e fa saltellare i numeri invece di elevarli alla potenza, non si tratta di una bambinata: in sogno facciamo sempre quello che ci pare. A scuola invece non si dorme e solo raramente si sogna. Per questo il vostro prof, fa bene a esprimersi come tutti gli altri matematici del mondo. Per piacere, tenetene conto, altrimenti saranno guai grossi.

Elenco persone e oggetti smarriti Chi ha letto il libro e dopo non si ricorda come veniva chiamata una certa cosa, per ritrovarla in fretta può controllare nella lista, dove troverà, ordinate secondo l'ABC, non solo le parole dei sogni usate da Roberto e dal mago, ma anche quelle «vere», quelle ufficiali usate dai matematici. Queste ultime sono stampate normalmente, le parole dei sogni invece sono in corsivo. Nella lista, fra l'altro, ci sono anche alcune espressioni che nel libro non compaiono nemmeno. Lasciatele pure perdere. Magari il Mago dei numeri finisce in mano a un prof, di matematica o a un altro adulto. Le aggiunte sono state fatte per loro: così si divertono un po’. Albero 117-18 Algoritmo del simplesso 226 Anello di piramidi 205-6 Anello tetraedrico 205-6 Angoli (nodi) 198-200, 203-6 Archimede di Siracusa (287-212 a. C.) 242 Assiomi 215-17 Autosimilarità 196 Bang 77-78, 195 Boiler, professor (Leonhard Euler, noto come Eulero) 237-38, 240 Bonaccione (Leonardo da Pisa, detto Fibonacci) 104, 238, 240 Bottiglia di Klein 235-36 Bum! (fattoriale) 152-53, 175, 224 Calcolo combinatorio 145-64 Cantor, Georg (1845-1925) 236-37 Ciambelle (Oggetti topologici) 235 Combinazioni senza ripetizione (strette di mano, squadra spazzini) 154-63 Congettura di Goldbach 58-59 Crivello di Eratostene (test di primalità) 53-56 Cubo (esaedro) 201, 203 Curva di Koch 188 Diagonale del quadrato 76 Dimostrazioni 214-22, 225

Divisione 46-47 Divisione per zero 50-52 Divisione del chewing gum (numeri infinitamente piccoli) 13-16 Dodecaedro (sfera di pentagoni] 202 Elevazione a potenza (saltellare] 34-37 Elevazione a zero 214 Eratostene (280 ca. - 200 a. C.) 53-56 Esaedro (cubo) 201, 203 Estrarre la radice) (tirare fuori la rapa, saltellare all'indietro] 73-76 7376 Euler, Leonhard, noto come Eulero (1707-1783], professor Boiler 23738, 240237-38, 240 Fattorizzazione 57 Fattoriali (bum!) 152-53, 175, 224 Fiocco di neve 187-88 Formula di Eulero 198-200, 206 Frattali 187-89 Frazioni 14-16, 177-83 Frazioni continue 194 Frazioni decimali 64-71, 191 Frazioni decimali illimitate 64-71, 191 Frazioni decimali periodiche 71, 191 Frazioni semplici 14-16, 178-79 Gas, professor (Carl Friedrich Gaus) 237-38,240 Gaus, Carl Friedrich (1777-1855), professor Gas 237-38, 240 I (radice di 1) 238 Icosaedro 201-2 Insiemi infiniti numerabili 12-13, 169-75 Ipotesi 200 Klein, Felix (1849-1925) 235-36 Leonardo da Pisa, detto Fibonacci (1170 ca. - 1240), Bonaccione 104, 238, 240 Lepri 107-17 Limite, valore limite 67, 179, 192 Linee (spigoli) 198-200, 203-6 Lord Ruzzolo (Bertrand Russell) 220-22,234-35 Luna, Johnny della (Johan van de Lune) 218-19 Lune, Johan van de (Johnny della Luna] ' 218-19 Moltiplicazione del chewing gum (numeri infinitamente grandi) 12 Noci di cocco (numeri triangolari) 89-93

Nodi (angoli) 198-200, 203-6 Numeri bonaccioni (Successione di Fibonacci) 104-17, 135-36, 190 Numeri dispari 170-71 Numeri immaginari (numeri immaginati] 238 Numeri immaginati (numeri immaginari) 238 Numeri infinitamente grandi 12-13 Numeri infinitamente piccoli 13-16 Numeri irragionevoli (numeri irrazionali) 71, 74, 191 Numeri irrazionali (numeri irragionevoli] 71, 74, 191 Numeri naturali (numeri normali, numeri normalissimi] 169-71 Numeri negativi 30-31 Numeri normali (numeri naturali) 169-71 Numeri normalissimi (numeri naturali) 169-71 Numeri primi (numeri principi] 51-59, 172 Numeri principi (numeri primi) 51-59, 172 Numeri quadrati 98-99 Numeri romani 29 Numeri triangolari (noci di cocco] 89-97, 129-31, 155-56, 248-49 Oggetti topologici (ciambelle] 235 Orologio delle lepri 109-17 Ottaedro (piramide doppia) 201 Ottimizzazione 225 Pascal, Blaise (1623-1662) 124-41 Pentagono 195-98 Permutazione (scambio dei posti 145-53 Piramide (tetraedro) 200 Piramide doppia (ottaedro) Pitagora di Samo (vi sec. a. C.) 238-39 Pitagora, teorema di 77-79 Poliedri 198-206 Poligoni 200 Politopo 226 Postulato di Bertrand 58 Pulviscolo di Cantor 236 «Principia Mathematica» (B. Russell e A. N. Whitehead) 220-21 Problema del commesso viaggiatore (viaggio in America) 225 Quadrare (saltellare col due) 75-76, 132, 175 Quadratura del cerchio (torta) 242 Quantità, insiemi strainfiniti non numerabili 78-79, 237 Radice quadrata 75

Radici (rape) • 73-76 Rape (radici) 73-76 Reticolo, grafo 198-99 Ricorsione 193 Russell, Bertrand (1872-1970), Lord Ruzzolo 220-22, 234-35 Saltellare (elevare a potenza, quadrare) 34-37 Saltellare all’indietro (estrazione di radice) 73-76 Scambio dei posti (permutazione) 145-53 Serie aritmetiche 96-97, 247-49 Serie armoniche 180-83 Serie geometriche 178-79 Sfera di pentagoni (dodecaedro) 202 Sistema decimale 33-40 Spigoli (linee] 198-200, 203-6 Spugna (triangolo) di Sierpinski 136-41 Squadra spazzini (combinazioni senza ripetizione) 157-61 Strette di mano (combinazioni senza ripetizione) 154-57 Successione di Fibonacci (numeri bonaccioni} 104-17, 135-36 Test di primalità 53-57 Tetraedro 200 Torta (quadratura del cerchio) 242 Triangolo dei numeri (triangolo di Pascal, detto anche di Tartaglia) 124-41 Triangolo di Pascal (detto anche Tartaglia; triangolo dei numeri) 12441 Triangolo di Sierpinski 136-41 Unità, elemento unitario 11, 241 Valore limite, limite 67, 179, 192 Viaggio in America (Problema del commesso viaggiatore) 222-25 Zero 28-32, 37, 241

Ringraziamenti Non essendo un matematico, l'autore ha più di un motivo per ringraziare tutti coloro che gli hanno dato una mano. Per primo Theo Renner, il suo insegnante di matematica, che - a differenza del professor Mandibola - era sempre in grado di dimostrare che in matematica la gioia prevale sulla paura. Fra i maghi dei numeri più recenti i cui lavori si sono dimostrati utili vuole ricordare John H. Conway, Philip J. Davis, Keith Devlin, Ivar Ekeland, Richard K. Guy, Reuben Hersh, Konrad Jacobs, Theo Kempermann, Imre Lakatos, Benoit Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen e Ian Stewart. Pieter Moree del Max-Planck-Institut für Mathematik di Bonn è stato così gentile da rivedere il testo e correggere alcuni errori. Ovviamente nessuno dei signori citati è responsabile dei sogni di Roberto. Monaco, autunno 1996 H. M. E

Indice

La prima notte La seconda notte La terza notte La quarta notte La quinta notte La sesta notte La settima notte La ottava notte La nona notte La decima notte La undicesima notte La dodicesima notte Avvertenza Elenco persone e oggetti smarriti Ringraziamenti

Stampato per conto della Casa editrice Einaudi presso Mondadori Printing S.p. A., Stabilimento di Martellago (Venezia) Ristampa: Einaudi Tascabili. Letteratura

Divertente, fantasioso, imprevedibile: un viaggio alla Lewis Carroll nei misteri della matematica che è diventato un grande successo. «Tutti i bambini sognano di volare. In matematica si vola, eccome». H. M. Enzensberger Roberto è uno dei tanti ragazzi per i quali la matematica è un incubo incomprensibile. Una notte gli appare in sogno un curioso ometto rosso che gli propone straordinari giochi di prestigio: non con le carte, ma con i numeri. Per altre undici notti Roberto si addentra così nell'esplorazione di sistemi numerici complessi, capisce sempre meglio le leggi e i meccanismi che li governano, incontra Pitagora e Archimede. Scoprirà che la matematica non è affatto la cosa noiosa e un po’ crudele che si studia a scuola, ma semmai un'avventura entusiasmante. Per H. M. Enzensberger la matematica è un mondo immaginario, che riserva continue sorprese ed è capace di colpirti con la sua genialità. Questo libro, scritto per una bambina di dieci anni ma destinato ai lettori di tutte le età, ne è la prova. Traduzione di Enrico Canni. Le avventure di Roberto, questa volta nel tempo e nello spazio, proseguono nel nuovo romanzo di Enzensberger, Ma dove sono finito?, appena pubblicato da Einaudi. Di Hans Magnus Enzensberger (1929), saggista, narratore e poeta, Einaudi ha inoltre pubblicato i volumi di poesia La fine del Titanic (1980) e Musica del futuro (1997); Ma dove sono finito? seguito ideale del Mago dei numeri; inoltre i saggi La grande migrazione (1993), Prospettive sulla guerra civile (1994) e Zigzag (1999). Rotraut Susanne Berner (1948) vive a Heidelberg, e ha scritto e illustrato numerosi libri per bambini. In copertina: un'illustrazione di R. S. Berner (elaborazione grafica). ISBN 88-06-15030-8