H.A. Cap 5.v2

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5.- ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS A TORSIÓN 5.1.- Introducción Los elementos de hormigón armado muchas veces, además de estar sometidos a flexión cortante y cargas axiales, deben resistir solicitaciones torsionales que tienden a retorcer el elemento con respecto a su eje longitudinal. Por otra parte, muy rara vez se tienen elementos sometidos únicamente a momentos torsores. Las vigas extremas que sirven de sustento para las losas apoyadas, las vigas de soportes de pasarelas, gradas y losas en voladizo, y las escaleras son casos de elementos de hormigón armado sujetos a momentos torsores. Al considerar dichos efectos, es importante diferenciar entre torsión primaria y secundaria. La torsión primaria, llamada también de equilibrio o isostática, se presenta cuando la carga externa no tiene otra alternativa que ser resistida por la torsión; por ejemplo, una losa en voladizo como se muestra en la Figura 5.1. Sin los momentos de torsión, la losa colapsaría.

Figura 5.1: Torsión primaria en losa en voladizo.

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La torsión secundaria, también llamada por compatibilidad o hiperestática, se genera a partir de los requisitos de continuidad y compatibilidad de deformaciones. Si no se considerara la continuidad en el diseño, se presentaría un agrietamiento en el elemento, pero no el colapso. Un ejemplo de esta torsión se presenta en la Figura 5.2.

Figura 5.2: Torsión secundaria en una viga de borde de losa. Si las vigas de borde son rígidas a la torsión y está reforzada adecuadamente, entonces los momentos en la losa serán aproximadamente los de un apoyo empotrado. Sin embargo, en el caso contrario se presentará agrietamiento y se reducirá la rigidez a torsión, por lo que los momentos en la losa serán aproximadamente los de un apoyo fijo.

5.2.- Resistencia a torsión en vigas de hormigón sin refuerzo Para un elemento prismático rectangular elástico, los esfuerzos de corte por torsión se distribuyen sobre la sección transversal, como se muestra en la Figura 5.3. La

línea

punteada

corresponde a la distribución de esfuerzos para un material inelástico, como el hormigón.

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Figura 5.3: Esfuerzos causados por la torsión. Según el punto 4.2, los esfuerzos cortantes corresponden a esfuerzos de tracción diagonal los cuales, si exceden la resistencia a la tracción del hormigón, se forma una grieta a través de la viga. El valor del momento torsor que corresponde a la formación de esta grieta diagonal se conoce como torsor de agrietamiento: 𝑇𝑐𝑟 = √𝑓𝑐′

𝐴2𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝

(5.1)

Donde 𝐴𝑐𝑝 es el área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón y 𝑃𝑐𝑝 es el perímetro de la sección.

5.3.- Umbral de torsión y corte Los momentos torsores que no excedan aproximadamente un cuarto del torsor de agrietamiento 𝑇𝑐𝑟 , no producen una reducción estructuralmente significativa en la resistencia a flexión ni en la resistencia a cortante, por lo que se permite despreciar los efectos de la torsión si el momento torsional mayorado 𝑇𝑢 , es menor que: 𝑇𝑢 ≤ 𝜙

0,27√𝑓𝑐′

𝐴2𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝

(5.2)

Para elementos sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión:

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𝑇𝑢 ≤ 𝜙

0,27√𝑓𝑐′

𝐴2𝑐𝑝 𝑁𝑢 √1 + 𝑃𝑐𝑝 𝐴𝑔 √𝑓𝑐′

(5.3)

Donde 𝐴𝑔 es el área bruta de la sección de hormigón. En caso de no despreciar los efectos de la torsión, se debe tener en cuenta que en pocos casos los elementos están sometidos a torsión pura, sino también a flexión y corte. Cabe recordar que tanto el cortante como la torsión producen esfuerzos de corte 𝜏 y este, a su vez, produce aplastamiento en la superficie del hormigón y fisuras. Por lo tanto es necesario limitar también el tamaño de la sección transversal donde el ACI establece: 2

𝑉 2 𝑇𝑃 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ( 𝑐 + 2√𝑓𝑐′ ) 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1,7𝐴𝑜ℎ

(5.4)

Donde 𝑝ℎ es el perímetro del eje del estribo y 𝐴𝑜ℎ es el área encerrada por el eje del estribo.

5.4.- Diseño a torsión de vigas de hormigón con refuerzo Para resistir la torsión para valores de 𝑇𝑢 superiores a 𝑇𝑐𝑟 , el refuerzo debe estar conformado por estribos poco espaciados y por barras longitudinales. Cuando los elementos se refuerzan en forma adecuada, como se muestra en la Figura 5.4, las fisuras en el hormigón aparecen para un momento torsor igual o poco mayor que el de un elemento no armado, según la Ecuación 5.1.

Figura 5.4: Sección con armadura a torsión. Curso de Hormigón Armado Profesor Ing. Paulo Castillo Calderón

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Las grietas forman un patrón en espiral (Figura 5.5). Después del agrietamiento, la resistencia a la torsión disminuye a la mitad y el resto de la torsión la debe resistir la armadura. Dicha armadura de refuerzo se calcula por separado, es decir, existen expresiones para los estribos y las barras longitudinales.

Figura 5.5: Elemento estructural con grietas a torsión. Las disposiciones del ACI establecen que de acuerdo al método de diseño LRFD: 𝑇𝑢 ≤ 𝜙𝑇𝑛

(5.5)

Para torsión, el coeficiente de reducción es 𝜙 = 0,75. La resistencia nominal a la torsión debe calcularse: 𝑇𝑛 =

1,7𝐴𝑜ℎ 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 𝑠

(5.6)

Donde 𝜃 se puede tomar igual a 45° y 𝐴𝑡 es el área de una rama de estribo cerrado que resiste torsión. Además, debe proporcionarse armadura longitudinal para soportar la componente horizontal de los esfuerzos de corte producidos por la torsión: 𝐴ℓ =

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𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑣 𝑃 cot 2 𝜃 𝑠 ℎ 𝑓𝑦𝑡

(5.7)

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Al igual que en el capítulo anterior, se permite diseñar a una distancia 𝑑 desde la cara interior del apoyo con un momento 𝑇𝑢 calculado a dicha distancia, tomando consideraciones similares. La armadura necesaria para torsión debe agregarse a la necesaria para resistir el cortante, momento y fuerza axial que actúan en combinación con la torsión. Debe cumplirse el requerimiento más restrictivo para el espaciamiento y colocación.

5.4.- Requerimientos para la armadura El código ACI exige que los estribos utilizados para refuerzo transversal deban anclarse con ganchos estándar a 135° alrededor de una barra longitudinal, a menos que el hormigón que rodea dicho anclaje esté confinado contra el desprendimiento como un ala de viga T o losa. Donde se requiera refuerzo para torsión el área mínima de estribos cerrados debe calcularse como: (𝐴𝑣 + 2𝐴𝑡 )𝑚𝑖́ 𝑛 = 0,2√𝑓𝑐′

𝑏𝑤 𝑠 𝑏𝑤 𝑠 ≥ 3,5 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡

(5.8)

Y el área mínima total de refuerzo longitudinal:

𝐴ℓ𝑚𝑖́ 𝑛 = 1,33

𝑓𝑦𝑡 √𝑓𝑐′ 𝐴𝑐𝑝 𝐴𝑡 − ( ) 𝑃ℎ 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦

(5.9)

Donde 𝐴𝑡 /𝑠 no debe tomarse menor que 1,75𝑏𝑤 /𝑓𝑦𝑡 . Se permite reducir la armadura longitudinal en la zona de compresión por flexión en una cantidad igual a 𝑀𝑢 /(0,9𝑑 𝑓𝑦 ), siempre y cuando cumpla con la Ecuación 5.9. Para controlar el agrietamiento en espiral, el máximo espaciamiento de los estribos a torsión no debe exceder 𝑃ℎ /8 o 300 [𝑚𝑚]. La armadura longitudinal de torsión debe estar distribuida a lo largo del perímetro del estribo con espaciamiento máximo de 300 [𝑚𝑚]. Dichas barras deben estar dentro de los estribos y debe haber al menos una barra longitudinal en cada

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esquina de los estribos. Finalmente, las barras longitudinales no deben tener un diámetro menor a 10 [𝑚𝑚]. El refuerzo para torsión debe disponerse hasta una distancia 𝑏𝑤 + 𝑑 más allá del punto en que se cumple la Ecuación 5.2.

5.5.- Disposiciones para vigas T o L Para vigas T, una porción de las alas que sobresalen contribuye al momento de torsión de agrietamiento y, si está armada con estribos cerrados, contribuye a la resistencia de torsión. El ancho del ala que debe contribuye a la resistencia de la viga a cada lado del alma debe ser igual a la menor de: a)

La proyección de la viga por encima o por debajo de la losa (la mayor), ℎ𝑤 .

b)

Cuatro veces el espesor de la losa, 4ℎ𝑓 . Tales dimensiones se muestran en la Figura 5.6:

Figura 5.6: Ancho de ala contribuyente y definición posible de 𝐴𝑜ℎ . Para valores superiores al momento torsor de fisuración 𝑇𝑐𝑟 , el momento de torsión aplicado es resistid por la porción de sección representada por 𝐴𝑜ℎ . La sección utilizada para calcular 𝐴𝑐𝑝 no debe ser necesariamente la misma para calcular 𝐴𝑜ℎ .

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Ejemplo 5.1 La viga mostrada en la Figura soporta una losa en voladizo, ambas construidas monolíticamente. Se pide diseñar y determinar el espaciamiento de la armadura a torsión y corte en el alma de la viga si ésta soporta un momento torsor último máximo 𝑇𝑢 = 5 [𝑡 ⋅ 𝑚] y un corte último 𝑉𝑢 = 20 [𝑡]. Considere que la estructura se emplazará en una zona sísmica. El hormigón empleado es de calidad H30 y el grado del acero es A63-42H. Utilice estribos de diámetro 12 [𝑚𝑚]. La distancia desde la fibra superior de la viga al centroide de la armadura a flexión es de 𝑑 = 54 [𝑐𝑚] y la distancia desde cualquier borde al centroide de los estribos es 𝑟𝑣 = 4,5 [𝑐𝑚]. La armadura existente a flexión corresponde a 4∅25.

Figura 5.7: Ejemplo 5.1. Solución Se calcula las propiedades de la sección efectiva (viga L): ℎ𝑤 = 45 [𝑐𝑚] < 4ℎ𝑓 = 60 [𝑐𝑚] 𝐴𝑐𝑝 = 30 ⋅ 60 + 45 ⋅ 15 = 2.475 [𝑐𝑚2 ] 𝑃𝑐𝑝 = (30 + 60 + 45) ⋅ 2 = 270 [𝑐𝑚] Se verifica el umbral de torsión: Curso de Hormigón Armado Profesor Ing. Paulo Castillo Calderón

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𝜙

0,27√𝑓𝑐′

𝐴2𝑐𝑝 2.4752 = 0,75 ⋅ 0,27√250 = 0,726 [𝑡 ⋅ 𝑚] < 𝑇𝑢 = 5 [𝑡 ⋅ 𝑚] 𝑃𝑐𝑝 270

Por lo tanto es necesario considerar la torsión. 𝐴𝑜ℎ = (𝑏𝑤 − 2𝑟𝑣 )(ℎ − 2𝑟𝑣 ) = (30 − 9)(60 − 9) = 1.071 [𝑐𝑚2 ] 𝑃ℎ = 2 ⋅ [(𝑏𝑤 − 2𝑟𝑣 ) + (ℎ − 2𝑟𝑣 )] = 144 [𝑐𝑚] Se verifica la sección: 2

2

2

𝑉 2 𝑇𝑃 20 ⋅ 103 5 ⋅ 105 ⋅ 144 𝑘𝑔 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) = √( ) +( ) = 13,76 [ ] 𝑏𝑤 𝑑 30 ⋅ 54 1,7 ⋅ 1.0712 𝑐𝑚2 1,7𝐴𝑜ℎ 𝜙(

𝑉𝑐 𝑘𝑔 𝑘𝑔 + 2√𝑓𝑐′ ) = 0,75 (0,53√250 + 2√250) = 30,00 [ 2 ] > 13,76 [ 2 ] 𝑏𝑤 𝑑 𝑐𝑚 𝑐𝑚

La sección transversal tiene un tamaño adecuado. Despejando de la Ecuación 5.6 y en función de la separación: 𝑇𝑢 6 ⋅ 105 𝐴𝑡 = cot 𝜃 ⋅ 𝑠 = cot 45° ⋅ 𝑠 = 0,0872𝑠 𝜙1,7𝐴𝑜ℎ 𝑓𝑦𝑡 0,75 ⋅ 1,7 ⋅ 1.071 ⋅ 4.200 Para una rama de estribo cerrado y 2𝐴𝑡 = 0,1744𝑠 para dos ramas. Despejando de las Ecuaciones 4.10 y 4.8, la armadura de corte en función de la separación, válido para dos ramas de estribo: 𝑉𝑢 − 𝜙𝑉𝑐 20 ⋅ 103 − 0,75 ⋅ 0,53 √250 ⋅ 30 ⋅ 54 𝐴𝑣 = ⋅𝑠 = = 0,0577𝑠 𝜙𝑓𝑦 𝑑 0,75 ⋅ 4.200 ⋅ 54 El área total de estribos: 2𝐴𝑡 + 𝐴𝑣 = 0,0872𝑠 + 0,0577𝑠 Como ∅12 ⟹ 2,26 [𝑐𝑚2 ] para dos ramas de estribo: Curso de Hormigón Armado Profesor Ing. Paulo Castillo Calderón

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𝑠=

2,26 = 9,74 [𝑐𝑚] ≈ 10 [𝑐𝑚] 0,1744 + 0,0577

De los requerimientos mínimos de espaciamiento para torsión: 𝑠𝑚𝑖́𝑛 =

𝑃ℎ 144 = = 18 [𝑐𝑚] 8 8

De los requerimientos mínimos de espaciamiento para corte, en zona sísmica hasta 2ℎ = 120 [𝑐𝑚] desde el apoyo: 𝑠𝑚𝑖́𝑛 =

𝑑 54 = = 13,5 [𝑐𝑚] > 𝑠 = 10 [𝑐𝑚] 4 4

Aquí no tiene sentido armar 𝑏𝑡 + 𝑑 más allá de lo requerido por torsión, puesto que se necesita armar a torsión hasta justo la mitad de la viga. La armadura longitudinal: 𝐴ℓ =

𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑣 𝑃ℎ cot 2 𝜃 = 0,0872 ⋅ 144 ⋅ 1 ⋅ cot 2 45° = 12,56 [𝑐𝑚2 ] 𝑠 𝑓𝑦𝑡

Finalmente se disponen estribos cerrados ∅12@10 desde los apoyos hasta una distancia 2ℎ = 1,2 [𝑚] y estribos ∅12@18 en el centro de la viga (𝑠𝑚𝑖́ 𝑛 = 𝑃ℎ /8). La armadura longitudinal se distribuye en tres capas, donde el refuerzo inferior debe aumentar al existente en 12,56/3 = 4,19 [𝑐𝑚2 ] quedando en 4∅28 y el superior queda dado por la armadura mínima a flexión, es decir 2∅22:

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Es necesario recordar que existe la posibilidad de realizar este mismo diseño en la zona crítica a cortante de la viga, es decir, a una distancia 𝑑 desde los apoyos, lo cual entrega una armadura menos conservadora.

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