H-Prépa - Maths Tout en Un - MP

Crédits photographiques Toutes les photographies de cet ouvrage proviennent de la photothèque H ACHETTE L IVRE .

Composition, mise en page et schémas : Publilog Maquette intérieure : SG Création et Pascal Plottier Maquette de couverture : Alain Vambacas c HACHETTE LIVRE 2005, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15

www.hachette-education.com ISBN : 978-2-01-181904-8

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L.122-4 et L.122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Avant-propos

L’objectif premier de cet ouvrage est la réussite aux concours et aux examens. Pour cela, nous avons tenté de rendre intelligible et attrayante une petite partie des mathématiques : celle du programme. Dans cette optique, nous souhaitons que ce livre soit un outil de travail efficace et adapté aux besoins des enseignants et des étudiants de tout niveau. Le cours est agrémenté de nombreux Exemples et Applications. Les Exercices aident l’étudiant à tester sa compréhension du cours, lui permettent d’approfondir sa connaissance des notions exposées... et de préparer les oraux des concours. Les Exercices résolus et TD sont plus axés vers les écrits des concours. L’algorithmique et le calcul formel font partie du programme des concours. De nombreux exercices prennent en compte cette exigence ainsi que des TD d’Algorithmique entièrement rédigés.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Les auteurs

3

Sommaire NORMES ET DISTANCES, SUITES D’UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ

7

TOPOLOGIE, ÉTUDE LOCALE DES APPLICATIONS

42

COMPLÉMENTS DE TOPOLOGIE

75

SÉRIES D’ÉLÉMENTS D’UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ

119

SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

177

DÉRIVATION, INTÉGRATION DES FONCTIONS VECTORIELLES

211

LE LIEN ENTRE DÉRIVATION ET INTÉGRATION

257

FONCTIONS INTÉGRABLES

292

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

334

SÉRIES ENTIÈRES

369

SÉRIES DE FOURIER

391

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

414

COMPLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

467

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES

499

COURBES ET SURFACES

517

STRUCTURES ALGÈBRIQUES USUELLES

549

FAMILLES DE VECTEURS. SOMME DE SOUS-ESPACES

602

DUALITÉ. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES

631

SOUS-ESPACES STABLES, ÉLÉMENTS PROPRES

663

RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES EN DIMENSION FINIE

692

ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

728

ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS

763

Maths, MP-MP∗

ADJOINT D’UN ENDOMORPHISME

795

ESPACES PRÉHILBERTIENS COMPLEXES, ESPACES HERMITIENS

834

TD INDICATIONS ET RÉPONSES

857

INDICATIONS ET RÉPONSES

885

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

INDEX

6

1040

1

Le terme « limite » apparaît, en 1735, dans un livre du mathématicien anglais Robins. Mais la notion de limite, d’abord strictement géométrique, ne s’est clarifiée que lentement. En 1800, Gauss en donne une définition précise dans le cas d’une suite réelle. C’est à Weierstrass, environ un demi-siècle plus tard, que nous devons la présentation à l’aide des « epsilon ». Au XXe siècle, l’étude des espaces fonctionnels conduit à élargir cette notion hors du cadre purement numérique. En 1906, Fréchet introduit la notion d’espace métrique et Banach fonde, en 1920, dans sa thèse, la théorie des espaces vectoriels normés, cas particuliers d’espaces métriques. Cet extrait de son introduction nous montre une démarche fréquente en mathématiques : « L’ouvrage présent a pour but d’établir quelques théorèmes valables pour différents champs fonctionnels, que je spécifie dans la suite. Toutefois, afin de ne pas être obligé à les démontrer isolément pour chaque champ particulier, ce qui serait bien pénible, j’ai choisi une voie différente que voici : je considère d’une façon générale les ensembles d’éléments dont je postule certaines propriétés, j’en déduis des théorèmes et je démontre ensuite de chaque champ fonctionnel particulier que les postulats adoptés sont vrais pour lui. »

O

B

J

E

C

T

I

F

S c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

Norme dans un espace vectoriel. Produit scalaire complexe. Boules d’un espace métrique. Applications bornées, applications lipschitziennes. Suites convergentes. Normes équivalentes. Valeurs d’adhérence d’une suite.

7

Maths, MP-MP∗

Dans tout le chapitre, K désigne R ou C et E, F sont des espaces vectoriels sur K.

1

Norme

1.1. Définition Une application N du K -espace vectoriel E dans R vérifiant les quatre propriétés suivantes est appelée norme sur E : 1. ∀ x ∈ E

N(x)

0.

2. ∀ x ∈ E

N(x) = 0 ⇒ x = 0 E .

3. ∀ (l, x) ∈ K × E

N(lx) = |l|N(x).

4. ∀ (x, y) ∈ E × E

N(x + y)

N(x) + N(y).

Un espace vectoriel E muni d’une norme N est appelé espace vectoriel normé et noté (E, N). Une norme sur E vérifie donc immédiatement la propriété (doc. 1) : ∀ (x, y) ∈ E × E

|N(x) − N(y)|

N(x − y).

Démonstration L’inégalité découle de : N(y)

Rapport CCP, 2002 « Le manque de rigueur dans l’appréhension des questions et dans la rédaction des solutions est fréquent : ceci apparaît de manière flagrante dans la vérification des propriétés de définition d’une norme. »

N(x) + N(x − y) et

N(x)

N(x − y) + N(y).

Théorème 1 Soit (E, N) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E. La restriction de N à F est une norme sur F, appelée norme induite sur F. Un vecteur x de (E, N) est dit unitaire si N(x) = 1. Si x est un vecteur x non nul de E, le vecteur est unitaire. Il est appelé vecteur unitaire x associé à x.

On utilise aussi fréquemment la notation pour une norme sur E. Cette inégalité et l’inégalité 4. cidessus généralisent la propriété bien connue : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés et supérieure à leur différence. y

x−y x

Doc. 1.

Pour s’entraîner : ex. 1 et 2.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 1

Normes sur l’espace vectoriel E = K

Déterminer toutes les normes sur le K -espace vectoriel K. 1) La fonction valeur absolue (ou module, dans C) est une norme sur K. 2) Considérons une norme N sur K. ∀x ∈ K N(x) = N(x.1) = |x|N(1) = c|x| en notant c = N(1) > 0.

8

Réciproquement, si c est un réel strictement positif, alors il est facile de prouver que l’application définie par : N(x) = c|x|, est une norme sur K. Les normes de K sont donc les multiples, par un scalaire strictement positif, de la fonction valeur absolue, (ou module)

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé 1.2. Exemples de normes 1.2.1 Des normes sur K

n

Considérons l’espace vectoriel E = Kn . Pour tout X = (x 1 , . . . , x n ) de E, on pose : n

N1 (X) =

|x i | et

N∞ (X) = max |x i |. i∈[[1,n]]

i=1

Les deux applications N1 et N∞ sont des normes sur Kn . De plus, si K = R, vous avez vu en première année que l’application de E × E dans R définie par : n

(x, y) −→ x | y =

x i yi i=1

est un produit scalaire sur E.

Vous avez défini la norme associée à ce produit scalaire en posant : N2 (x) =

x|x .

Cette norme est dite norme euclidienne sur Rn . Nous verrons que ceci peut s’étendre à Cn . 1.2.2 Des normes sur C([a, b], R) a et b sont deux réels fixés et a < b. L’application : ( f , g) −→

b

a

f (t)g(t) d t, définit un produit scalaire sur

E = C([a, b], R). La norme associée est notée N2 et définie de C([a, b], R) dans R par : b

f −→

a

f 2 (t) d t.

Au VIe siècle avant J.-C., dans les cités grecques d’Asie Mineure apparaît une forme de pensée nouvelle. Dans un effort d’explication du monde, hors des mythes et de la religion, la science grecque se construit, nourrie des connaissances du monde antique. Ainsi Thalès (environ 640-546 avant J.-C.), commerçant habile et grand voyageur, consacra la fin de sa vie à l’étude de la philosophie, de l’astronomie et des mathématiques. Trois siècles plus tard, Euclide d’Alexandrie (environ 365-300) introduit les notions de définitions, axiomes, postulats et propositions. Son livre « les Éléments » est le premier traité logique de mathématiques. Il rassemble les résultats mathématiques de son temps, les structure en une science déductive et apporte nombre de découvertes nouvelles. La géométrie euclidienne est la géométrie fondée sur les axiomes et postulats introduits par Euclide.

Mais C([a, b], R) peut aussi être muni de la norme N1 définie de C([a, b], R) dans R par : f −→

b

a

| f (t)| d t.

que

b

a

| f (t)| d t = 0, la fonction | f | est continue et positive, on peut donc

en déduire que | f | = 0, puis que f = 0. De plus, on pose, pour tout f de E, f ∞ = sup{| f (t)| ; t ∈ [a, b]}. Cette définition est justifiée par le fait qu’une fonction continue sur un segment, à valeurs réelles ou complexes, est bornée. L’application ∞ , définie sur E, vérifie les propriétés 1 et 2 d’une norme. Montrons qu’elle satisfait aussi les propriétés 3 et 4. Soit f un élément de E et l un scalaire. Alors : lf

∞

= sup{|l f (t)|; t ∈ [a, b]} = sup{|l f (t)| ; t ∈ [a, b]} = |l| f

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Les normes de fonctions prêtent souvent à confusion, l’écriture f (x) ∞ est souvent preuve que le candidat ne comprend pas bien ce qu’il fait. »

∞

(voir une justification plus générale dans la preuve du théorème 9).

9

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Les propriétés 1, 3, 4 de la définition d’une norme s’établissent sans peine. En ce qui concerne la deuxième propriété, si f est une fonction de E telle

Maths, MP-MP∗

Soit f et g deux éléments de E. On sait que : ∀ x ∈ [a, b] (| f (x) + g(x)| Par conséquent :

f +g

∞

f

| f (x)| + |g(x)| ∞

+ g

f

∞

+ g

∞.

∞.

Pour s’entraîner : ex. 3.

1.3. Produit d’une famille finie d’espaces vectoriels normés Théorème 2 Soit (E i , Ni )i∈[[1, p]] une famille de p espaces vectoriels normés sur K et E l’espace vectoriel produit. Alors l’application définie de E dans R par : x = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) −→ N(x) = max Ni (x i ) i∈[[1, p]]

est une norme sur E appelée norme produit. Remarque : La norme produit n’est pas la seule norme sur un espace produit. Les deux applications suivantes des normes sur E.

1

et

2

de E dans R sont également p

x = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) −→ x

1

=

N j (x j ) j =1

⎛ x = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) −→ x

2

=⎝

p

⎞1/2 2 N j (x j ) ⎠

j =1

Exemple : Nous avons déjà rencontré l’espace vectoriel R2 muni des normes N1 , N2 et N∞ . Seul (R2 , N∞ ) est un espace vectoriel produit. Il est l’espace vectoriel produit de (R, | |) par lui-même.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

2

Produit scalaire complexe

Généralisons la notion de produit scalaire à des espaces vectoriels complexes.

2.1. Définition et exemples E étant un espace vectoriel complexe, un produit scalaire complexe sur E est une application w de E × E dans C sesquilinéaire, hermitienne, définie positive, c’est-à-dire telle que : 1. ∀ (x, y) ∈ E 2

10

w(x, y) = w(y, x). (hermitienne)

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé 2. ∀ (x, y1, y2 ) ∈ E 3 3. ∀ x ∈ E

w(x, x)

∀ (l, m) ∈ C2

w(x, ly1 +my2 ) = lw(x, y1 )+mw(x, y2 ).

0 et (w(x, x) = 0 ⇒ x = 0). (définie positive)

Un espace vectoriel réel ou complexe muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien. Une application de E × E dans C, hermitienne et linéaire par rapport à la seconde variable possède la propriété suivante : ∀ (x 1 , x 2 , y) ∈ E 3

∀ (l, m) ∈ C2

w(lx 1 +mx 2 , y) = lw(x 1 , y)+mw(x 2 , y).

Elle est dite semi-linéaire par rapport à la première variable. Semi-linéaire par rapport à la première variable, linéaire par rapport à la seconde, elle est qualifiée de sesquilinéaire. Exemples : Lorsque E = Cn , l’application w définie par : n

w((x 1 , . . . , x n ), (y1, . . . , yn )) =

x i yi i=1

est le produit scalaire canonique de Cn .

Dans le cadre du chapitre sur les séries de Fourier, nous étudierons de manière approfondie l’espace vectoriel C2p des fonctions continues et 2p -périodiques de R dans C. Sur cet espace, l’application suivante de C2p × C2p dans C 2p 1 ( f , g) −→ ( f | g) = f (t)g(t) d t 2p 0 est un produit scalaire. Démonstration Montrons que cette application est définie positive. Les autres axiomes sont faciles à vérifier. Si f est dans C2p , alors ( f | f )

La continuité est essentielle.

0.

2p 1 | f (t)|2 d t = 0. La fonction | f |2 est 2p 0 continue et positive sur [0, 2p], donc f = 0.

De plus, soit f telle que : ( f | f ) =

Pour s’entraîner : ex. 4.

L’outil essentiel pour pouvoir définir une norme à l’aide d’un produit est l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Cette inégalité est aussi un outil fondamental et très utilisé pour construire des inégalités. Théorème 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit E un C -espace vectoriel muni d’un produit scalaire w. Alors : ∀ (x, y) ∈ E 2

|w(x, y)|2

w(x, x)w(y, y).

L’égalité a lieu si et seulement si la famille (x, y) est liée : x = 0 E ou (∃ l ∈ C)(y = lx).

Augustin-Louis Cauchy (17891857), mathématicien français, catholique et légitimiste convaincu, a posé les fondements de l’Analyse moderne dans son « Cours d’analyse de l’École royale polytechnique », en 1821. Son œuvre englobe toutes les branches des mathématiques.

11

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

2.2. L’inégalité de Cauchy-Schwarz

Maths, MP-MP∗

Démonstration • Fixons (x, y) dans E 2 . Si w(x, y) = 0, l’inégalité est vérifiée. Si w(x, y) = 0, alors y = 0 E et d’après la définition : ∀l ∈ C

w(x + ly, x + ly)

0.

Or : w(x + ly, x + ly) = w(x, x) + lw(y, x) + lw(x, y) + llw(y, y) Donc :

∀l ∈ C

w(x, x) + 2 Re(lw(x, y)) + |l|2 w(y, y)

0

(∗)

Or, w(x, y) est un complexe non nul, donc il existe u réel tel que : w(x, y) = |w(x, y)|eiu . Donc, en utilisant (∗) avec l = te−iu où t est un réel, on obtient : ∀t ∈ R

w(x, x) + 2t|w(x, y)| + t 2 w(y, y)

0

(∗∗)

Nous avons un trinôme du second degré en t à coefficients réels et de signe constant sur R. Donc :

D = |w(x, y)|2 − w(x, x)w(y, y)

0.

• Supposons que : |w(x, y)|2 − w(x, x)w(y, y) = 0

et

Hermann Schwarz (1843-1921), mathématicien allemand, élève de Weierstrass, lui succède à l’université de Berlin en 1892. Il publie, pour le 70 e anniversaire de Weierstrass, un important travail dans lequel il généralise aux intégrales de fonctions complexes, l’inégalité, démontrée en 1821 par Cauchy pour des n-uplets de réels.

y = 0.

Le polynôme, w(x, x)+2t|w(x, y)|+t 2 w(y, y), du second degré en t, admet une racine double t0 . On pose l0 = t0 e−iu . On obtient : w(x + l0 y, x + l0 y) = 0 puis x + l0 y = 0 E . La réciproque est triviale.

Application 2

Inégalités portant sur des intégrales

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Les fonctions f et g étant continues de [0, 1] dans C, montrer les inégalités : 1) | 2) |

1 0

0

1

1

f (t)g(t) d t|2 g(t) d t|2

1 0

0

| f |2 (t) d t

|g|2 (t) d t.

1) L’application w définie par : w( f , g) =

1 0

f (t)g(t) d t

est un produit scalaire sur C([0,1], C).

12

1 0

|g|2 (t) d t.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne : ∀ ( f , g) ∈ (C([0,1], C))2 |

1 0

1

f (t)g(t) d t|2

0

1

| f |2 (t) d t

0

|g|2 (t) d t.

2) En choisissant pour fonction f la fonction constante, x −→ 1, on obtient alors : ∀ g ∈ C([0,1], C)|

1 0

g(t) d t|2

1 0

|g|2 (t) d t.

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé 2.3. La norme associée Théorème 4 Soit E un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire w. Alors la + fonction x 2 = w(x, x), est une 2 de E dans R , définie par : norme sur E, dite norme associée au produit scalaire. Démonstration De même que dans le cas réel, seule l’inégalité triangulaire demande un peu de travail. • Fixons x et y dans E. x+y

2 2

= w(x + y, x + y) = w(x, x) + w(y, y) + w(x, y) + w(y, x) = x

2 2

+ y

2 2

+ 2Re(w(x, y)).

Or, si z est dans C, Re z

|z|, donc :

Re (w(x, y))

x

|w(x, y)|

2

y 2 . (inégalité de Cauchy-Schwarz)

Et nous en déduisons l’inégalité de Minkoswki : x+y

x

2

2

+ y 2.

Corollaire 4.1 (Inégalité de Minkoswki) Soit E un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire w.

Pour la démonstration l’exercice 5.

voir

Alors la norme associée vérifie l’inégalité : x+y

x

2

2

+ y 2.

L’égalité a lieu si et seulement si la famille (x, y) est positivement liée : x = 0E

ou

(∃ l ∈ R+ )(y = lx). Pour s’entraîner : ex. 5 et 6.

Exemples :

n

(z 1 , . . . , z n )

2

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Sur Cn , la norme associée au produit scalaire canonique est : 2

=

|z i | . i=1

La fonction

2

de C2p dans R : f −→ f

2

=

1 2p

2p 0

2

| f (t)| d t

est une norme sur le C-espace vectoriel C2p des fonctions continues et 2p périodiques de R dans C.

13

Maths, MP-MP∗

Théorème 5 Soit (E, ( | )) un espace vectoriel préhilbertien réel ou complexe. Pour tout vecteur x de E, on a : x = sup{|(x | y)| ; y

1}

= sup{|(x | y)| ; y = 1} x|y y

= sup

; y = 0E

.

Démonstration Soit x un vecteur fixé de E non nul. On vérifie : x|z z

; z ∈ E − {0 E }

= {|(x | y)| ; y = 1} ⊂ {|(x | y)| ; y

1}

L’inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer que ces ensembles non vides de R sont majorés par x . Ils admettent une borne supérieure atteinte pour z = x ou x y= . Le cas x = 0 E est trivial. x

2.4. Autres exemples de normes Exemples : E = C([a, b], C) pour (a < b) est muni des normes : b

N1 : f −→

a b

N2 : f −→ ∞

: f −→ f

a

∞

| f (t)| d t ;

| f 2 (t)| d t ;

= sup{| f (t)| ; t ∈ [a, b]}.

La norme N2 découle du produit scalaire sur E défini par :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

( f |g) =

b a

f (t)g(t) d t.

La calculatrice TI propose dans le menu « Maths, matrix, normes » 2nd , 5 , 4 , B

, trois normes sur l’espace vecto-

riel Mm,n (K), des matrices réelles ou complexes. En notant A = (ai j )(i, j )∈[[1,m]]×[[1,n]] ces normes sont : m

n

2

|ai, j | =

nor m( A) =

Tr(t A A), norme associée

i=1 j =1

au produit scalaire ( A, B) −→ Tr(t AB) défini sur Mm,n (K).

14

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

m

colnor m( A) = max

|ai j |

j ∈[[1,n]]

i=1

⎛

n

r ownor m( A) = max ⎝ i∈[[1,m]]

⎞ |ai j |⎠

j =1

Vous vérifierez que les fonctions colnorm et rownorm définissent bien des normes sur Mn (K) et que, pour tout ( A, B) de (Mn (K))2 : rownorm (AB)

rownorm(A) rownorm(B)

colnorm (AB)

colnorm (A) colnorm(B). 2

En identifiant Mn (K) et Kn , la fonction norm correspond aussi à la norme 2 N2 de Kn . Normes sur K[X].

n

Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à n : P =

ai X i .

i=0

On pose : n

N1 (P) =

n

|ak | ; N2 (P) = i=0

2

|ai | ; N∞ (P) = max |ai |. i∈[[0,n]]

i=0

N1 , N2 , N∞ sont trois normes sur K[X]. N2 découle d’un produit scalaire.

3

Espace métrique

3.1. Distance

1. ∀ (x, y) ∈ G × G

d(x, y)

2. ∀ (x, y) ∈ G × G

d(x, y) = 0 ⇔ x = y

3. ∀ (x, y) ∈ G × G

d(x, y) = d(y, x)

4. ∀ (x, y, z) ∈ G × G × G

0

d(x, y)

• L’ensemble G n’est pas nécessairement un espace vectoriel. • La dernière propriété est appelée inégalité triangulaire. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

G étant un ensemble non vide, une distance sur G est une application d de G × G dans R telle que :

z

d(x, z) + d(z, y)

Le couple (G, d) est un espace métrique .

3.2. Distance associée à une norme Théorème 6 Soit (E, ) un K-espace vectoriel normé. L’application d de E × E dans R+ définie par d(x, y) = x − y est une distance sur E. Elle est appelée distance associée à la norme sur E.

x

y

Doc. 2.

15

Maths, MP-MP∗

Exemple : Soit E = R2 . Notons x = (x 1 , y1 ) et y = (x 2 , y2 ). La distance associée à : • la norme N1 est : d1 (x, y) = |x 1 − x 2 | + |y1 − y2 | ; • la norme N2 est : d2 (x, y) = dienne) ;

(x 1 − x 2 )2 + (y1 − y2 )2 (distance eucli-

• la norme N∞ est : d∞ (x, y) = max (|x 1 − x 2 |, |y1 − y2 |). L’intérêt de la notion de distance provient du fait qu’aucune structure algébrique n’est nécessaire pour parler d’une distance sur un ensemble, alors que, pour parler d’une norme, il faut un espace vectoriel. Pour s’entraîner : ex. 7.

3.3. Distance induite sur une partie d’un espace métrique Si A est une partie non vide de l’espace métrique (G, d), la restriction de d à A × A est une distance sur A appelée distance induite sur A.

Remarque : Tout espace vectoriel normé est donc un espace métrique. Toutefois, la réciproque est fausse. Considérons E, E deux espaces vectoriels de dimension finie. La relation : rg ( f + g)

rg ( f ) + rg (g)

établie en algèbre permet de montrer que l’application : d : L(E, E ), ×L(E, E ), −→ R ( f , g) −→ rg ( f − g) est une distance sur L(E, E ). Si cette distance était associée à une norme, N, on aurait : ∀ f ∈ L(E, E ),

3.4. Distance de deux parties d’un espace métrique Soit A et B deux parties non vides de l’espace métrique (G, d). L’ensemble {d(x, y) ; x ∈ A, y ∈ B} est une partie non vide, minorée de R. Il admet une borne inférieure appelée distance de A à B, et notée d( A, B) : d( A, B) = inf{d(x, y); x ∈ A, y ∈ B}. Lorsque B = {x} et A est une partie non vide de (G, d), la distance de A à B est appelée distance de x à A et notée d(x, A).

4

Boules d’un espace métrique

Dans ce paragraphe, (G, d) est un espace métrique.

4.1. Boules ouvertes, boules fermées, sphères c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit a un point de G et r un réel positif, la boule ouverte de centre a et de rayon r est l’ensemble noté B(a, r ) ou BO (a, r ) et défini par BO (a, r ) = {y ∈ G ; d(a, y) < r } La boule fermée de centre a et de rayon r est notée B F(a, r ) et définie par : B F(a, r ) = {y ∈ G ; d(a, y)

r }.

La sphère de centre a et de rayon r est notée S(a, r ) et définie par : S(a, r ) = {y ∈ G ; d(a, y) = r }. En particulier, si (E, ) est un espace vectoriel normé, la sphère S(0 E , 1) est appelée sphère unité, la boule BO (0 E , 1) boule unité ouverte et la boule B F(0 E , 1), boule unité fermée.

16

N( f ) = d(0, f ) = rg ( f ). Et donc : ∀l ∈ K

∀ f ∈ L(E, E ),

N(l f ) = rg (l f ) = |l|rg ( f ). Ce qui est faux. Ceci ne définit pas une distance sur P(E) − [. Vous vérifierez que les propriétés 2 et 4 d’une distance ne sont pas satisfaites, en général.

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé y

Exemples : E = R. B(a, r ) =]a − r , a + r [ pour N1 , N2 , N∞ .

1 BN2 (0,1)

2

E = R . a = 0 E , r = 1. E est muni des normes : N1 (x, y) = |x| + |y|;

N2 (x, y) =

x 2 + y 2;

N∞ (x, y) = max(|x|, |y|).

BN1 (0,1) 0

Les boules B N1 (0,1), B N2 (0,1), B N∞ (0,1) ont été représentées (doc. 3). On constate que les boules obtenues dépendent de la norme choisie.

1 x

BN∞ (0,1)

Doc. 3.

Théorème 7 Soit E = E 1 × E 2 × · · · × E p l’espace vectoriel produit des espaces vectoriels normés (E i , Ni )i∈[[1, p]] , muni de la norme produit N. Alors les boules de (E, N) sont les produits de boules des espaces vectoriels normés (E i , Ni )i∈[[1, p]] de même rayon. Toute boule ouverte ou fermée de E est telle que : B(a, r ) = B1 (a1 , r ) × · · · × B p (a p , r ). Pour s’entraîner : ex. 8 et 9.

4.2. Parties bornées d’un espace métrique Théorème 8 A étant une partie de l’espace métrique (G, d), les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

A

a

• Il existe un réel M tel que : ∀ (x, y) ∈ A2 d(x, y) M. • La partie A est incluse dans une boule de l’espace métrique (G, d).

Corollaire 8.1 Une partie A de l’espace vectoriel normé (E, ment si : ∃ K ∈ R+ ∀ x ∈ E x

) est bornée si et seuleK. Pour s’entraîner : ex. 10.

4.3. Applications bornées X étant un ensemble non vide, (G, d) un espace métrique et f une application de X dans (G, d), f est dite bornée si l’ensemble { f (x); x ∈ X} est une partie bornée de (G, d).

Doc. 4.

Remarques : 1) Toute partie d’une partie bornée est bornée. 2) Toute union finie de parties bornées est une partie bornée. 3) Toute partie finie est bornée. 4) Dans un espace vectoriel normé produit,

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• Pour tout a de G, il existe une boule de centre a contenant A. Une partie A de l’espace métrique (G, d) est dite bornée si elle vérifie l’une de ces propriétés (doc. 4).

E = E1 × E2 × · · · × E p muni de la norme produit, tout produit de parties bornées des E i , est une partie bornée de E. Mais la réciproque est fausse.

17

Maths, MP-MP∗

On définit alors l’ensemble B(X, G) des applications bornées de X dans G. En particulier, lorsque l’espace métrique est un espace vectoriel normé, (F, ), l’application f de X dans F est bornée si et seulement si : ∃ K ∈ R+

∀x ∈ X

f (x)

K.

Le théorème suivant nous fournit un outil essentiel. Théorème 9 X étant un ensemble non vide et (F, alors :

Rapport CCP, 2003 « Les candidats éprouvent beaucoup de difficultés pour prouver qu’une fonction est non bornée ; on lit beaucoup d’affirmations fausses : – Le produit d’une fonction bornée et d’une fonction non bornée sur l’intervalle I est une fonction non bornée sur I . »

) un K-espace vectoriel normé,

• B(X, F), est un sous-espace vectoriel de F(X, F) . • L’application ∞ de B(X, F) dans R définie par : f −→ f

∞

= sup f (x)

est une norme sur B(X, F).

x∈X

Démonstration 1. La structure de sous-espace vectoriel de F(X, F) découle immédiatement de : ∀ ( f , g) ∈ (F(X, F))2 2. • ∀ f ∈ B(X, F)

f

∞

( f + g)(X) ⊂ f (X) + g(X).

= 0 ⇒ f = 0.

• Soit l dans K et f dans B(X, F), alors : ∀x ∈ X Donc (l f ) est bornée et

(l f )(x) = |l| f (x) lf

|l| f

∞.

|l| f ∞ . 1 et à la fonction l f donne : Si l = 0, cette inégalité appliquée à l Concluez. ∞

lf

∞

|l| f

∞.

• Vérifiez que, si f et g sont deux applications bornées de X dans F, alors ( f + g) est bornée et : f ∞ + g ∞. f +g ∞

5

Applications k -lipschitziennes

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

5.1. Définitions (E 1 , d1 ) et (E 2 , d2 ) étant deux espaces métriques, une application f de E 1 dans E 2 est dite lipschitzienne sur une partie X de E 1 si : ∃k ∈ R

∀ (x, y) ∈ X 2

d2 ( f (x), f (y))

kd1 (x, y).

Remarques : • Le réel k de la définition n’est pas unique. Si k convient, tout réel supérieur à k convient également. k est nécessairement positif. Si k = 0, l’application f est constante. Et, en particulier, on peut supposer k > 0. • On dit aussi que f est k -lipschitzienne (ou lipschitzienne de rapport k).

18

Rudolph Lipschitz (1832-1903), mathématicien allemand. Son travail sur les équations différentielles le conduit à introduire la notion de fonctions que nous appelons lipschitziennes. Rapport Mines, 1997 « La notion d’application lipschitzienne n’est pas assimilée. »

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

Une isométrie est une application f de (E 1 , d1 ) dans (E 2 , d2 ) telle que : ∀ (x, y) ∈ E 12 d2 ( f (x), f (y)) = d1 (x, y). Exemples importants : Soit I un intervalle de R et g une application de classe C1 de I dans R, de dérivée bornée. ∃M

∀x ∈ I

|g (x)|

M.

L’inégalité des accroissements finis nous donne : ∀ (x, y) ∈ I 2

|g(x) − g(y)|

M|x − y|.

Réciproquement, si pour tout couple (x, y) de réels distincts, on a : |g(x) − g(y)| |x − y|

M.

Puisque g est dérivable, on peut passer à la limite quand y tend vers x. On obtient :

∀x ∈ R

|g (x)|

M.

Une application de classe C1 de I dans R est lipschitzienne sur I si et seulement si sa dérivée est bornée. En particulier, si I est un segment de R, toute application de classe C1 de I dans R est lipschitzienne sur I . Étant donné un espace vectoriel normé (E, ∀ (x, y) ∈ E

| x

Ceci permet de conclure que (E, E ) dans R.

E E

− y

E|

E ),

on a établi que :

x−y

E.

est une application lipschitzienne de

Soit (E, d) un espace métrique et A une partie non vide de E. En effet : ∀ (x, y, z) ∈ E 3

d(x, z)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’application f de E dans R définie par f (x) = d(x, A) est 1-lipschitzienne. d(x, y) + d(y, z).

Mais : d(x, A) = inf d(x, z). z∈ A

Donc : ∀ z ∈ A

d(x, A)

d(x, y) + d(y, z).

Puisque d(x, A) − d(x, y) est un minorant de {d(y, z) ; z ∈ A}, on a : d(x, A) − d(x, y)

d(y, A).

De même, en permutant x et y, on obtient : d(y, A) − d(x, A) Finalement : ∀ (x, y) ∈ E 2

|d(x, A) − d(y, A)|

d(x, y).

d(x, y).

19

Maths, MP-MP∗

5.2. Deux résultats importants N est la norme produit.

Théorème 10 Soit (E 1 × E 2 × · · · × E p , N) un espace vectoriel normé produit. Alors, pour tout j de [[1, p]], l’application coordonnée p j de E 1 × E 2 × · · · × E p dans E j définie par (x 1 , x 2 , . . . , x p ) −→ x j est 1-lipschitzienne.

Théorème 11 (Composition d’applications lipschitziennes) (E 1 , d1 ), (E 2, d2 ), (E 3 , d3 ) étant trois espaces métriques, si f une application lipschitzienne de E 1 dans E 2 et g une application lipschitzienne de E 2 dans E 3 , alors g ◦ f est une application lipschitzienne de E 1 dans E 3 . Pour s’entraîner : ex. 11.

Application 3

Quelques propriétés des fonctions lipschitziennes de R dans R (d’après Centrale 1996, Math 1)

On désigne par f et g deux applications de R dans R. 1) On suppose que f est dérivable sur R. Prouver que f est lipschitzienne sur R si et seulement si f est bornée sur R. 2) On suppose que f et g sont lipschitziennes et bornées sur R. Montrer que la fonction produit f g est lipschitzienne sur R. 3) Le produit de deux fonctions lipschitziennes est-il une fonction lipschitzienne ?

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

4) On suppose que f est lipschitzienne sur R. Montrer qu’il existe deux réels positifs A et B tels que : ∀x ∈ R

| f (x)|

∀ (x, y) ∈ R2

(0

⇒ (| f (x) − f (y)|

x−y

1) Voir l’exemple 1 du paragraphe 5.1.

20

1)

M|x − y|).

Prouver que f est lipschitzienne sur R.

Pour tout couple (x, y) de réels, on sait que : f (x)g(x) − f (y)g(y) = f (x)(g(x) − g(y)) + g(y)( f (x) − f (y)). On en déduit que : | f (x)g(x) − f (y)g(y)| | f (x) g(x) − g(y)| + |g(y) f (x) − f (y)| ( f

A|x| + B.

5) On suppose que f vérifie la propriété suivante : ∃M ∈R

2) Supposons que f et g soient respectivement k -lipschitzienne et l -lipschitzienne et bornées sur R.

∞l

+ g

∞ k)|x

− y|.

Donc f g est lipschitzienne. 3) Considérons le cas où f = g = IdR . Les fonctions f et g sont 1-lipschitziennes. Leur produit est la fonction (x −→ x 2 ) qui est dérivable et de dérivée non bornée. Donc f g n’est pas lipschitzienne. 4) Supposons que f soit A-lipschitzienne. Alors : ∀ (x, y) ∈ R2

| f (x) − f (y)|

A|x − y|.

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé En prenant y = 0, on trouve : ∀x ∈ R

| f (x)|

On peut écrire :

| f (x) − f (0)| + | f (0)|

p

A|x| + | f (0)|.

i=0

5) Fixons x et y deux éléments distincts de R. Pour la rédaction, supposons x < y. • Si y − x

| f (ai+1 ) − f (ai )|. i=0

M|x − y|.

• Si y − x > 1, l’ensemble des entiers compris entre x et y est non vide. Notons-les dans l’ordre croissant a1 , . . . , a p et posons a0 = x et a p+1 = y. x = a0

p

1, on sait déjà que :

| f (x) − f (y)|

a2

a3

ap−1

Par construction, |ai+1 − ai |

| f (ai+1 ) − f (ai )| i=0 p

M|ai+1 − ai |

y = ap+1

i=0

Doc. 5.

6

1, donc :

p

| f (y) − f (x)|

ap = E( y)

1 + E(x) = a1

( f (ai+1 ) − f (ai ))|

| f (y) − f (x)| = |

= M|y − x|.

Suites convergentes d’un espace vectoriel normé

6.1. L’espace vectoriel normé des suites bornées Une application u de N dans E : n −→ u n , est appelée suite d’éléments de E. On la note alors : u ou (u n )n∈N ou, plus simplement (u n ). L’ensemble des suites d’éléments de E est un espace vectoriel noté E N ou F(N, E). Une suite (u n ) d’éléments de E est dite bornée si {u n ; n ∈ N} est une partie bornée de E. L’ensemble l ∞ (E) des suites bornées d’éléments de E est un sous-espace vectoriel de E N , normé par l’application N∞ définie par :

Rapport Mines Albi, 1997 « On rencontre des majorants dépendants de l’entier naturel n. »

n∈N

6.2. Suites convergentes, suites divergentes Une suite (u n ) d’éléments de l’espace vectoriel normé (E, convergente dans (E, ) (ou encore converge pour la norme ∃l ∈ E

∀´ > 0 ∃ N ∈ N

∀n ∈ N

(n

N ⇒ un − l

Une suite (u n ) d’éléments de l’espace vectoriel normé, (E, converge pas, est dite divergente. Ceci peut se traduire par : ∀l ∈ E

∃´ > 0

∀N ∈N

∃p∈N

(p

), est dite ) si : ´)

Rapport Centrale, 2003 « La notion de convergence relativement à une norme n’est pas acquise. »

L’ordre des quantificateurs est fondamental.

), qui ne

N et u p − l > ´)

21

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

N∞ (u) = sup u n .

Maths, MP-MP∗

Théorème 12 Soit (u n ) une suite convergente d’éléments de l’espace vectoriel normé, (E, ). Alors l’élément l de E tel que : lim u n − l = 0 est n→+∞ unique. Il est appelé la limite de la suite (u n ) et noté

lim u n .

n→+∞

La suite (u n ) d’éléments de l’espace vectoriel normé (E, l si et seulement si : ∀´ > 0 ∃ N ∈ N

∀n ∈ N

(n

Rapport X, ENS PSI 2000 « Nous avons aussi relevé quelques erreurs : confusion entre une suite qui ne converge pas et une suite qui tend vers l’infini. »

) converge vers

N ⇒ u n ∈ B F(l, ´))

Remarques : Montrer que la suite (u n ) converge vers l équivaut à montrer que la suite réelle ( u n − l ) tend vers 0. Exemple : E = C([0,1], R). Considérons la suite ( f n ) définie par : f n (t) = t n . 1

1 . n + 1 0 La suite de fonctions ( f n ) converge vers la fonction nulle relativement à Alors

fn

1

=

| fn (t)| d t =

Mais elle ne converge pas vers la fonction nulle pour

∞

car

fn

∞

1.

= 1.

La notion de convergence dépend de la norme considérée sur l’espace vectoriel.

Rapport Mines, 1997 « La détermination de limites simples est parfois laborieuse, quand elle ne conduit pas à des affirmations proprement monsn n trueuses (la limite de n+1 est donnée comme égale à 1 ; si √ n u n tend vers 1, on en conclut que u n tend vers 1n (sic)). » Rapport CCP, 2003 « Certains candidats ont affirmé que d( f , E n ) = 0 car “ E n tendait vers E ” sans se soucier de donner un sens mathématique à cette dernière assertion. »

Application 4

Une suite de Ramanujan

On considère la fonction f définie sur R+ par :

Calculons les premiers termes :

f (x) = x(x + 2)

u1 = u2 = 3 = u3.

et la suite (u n ) définie par :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

u 1 = f (1), u 2 = et, pour tout n un =

1 + f (2), u 3 =

La suite serait-elle constante ? 1 + 2 1 + f (3)

3 :

1 + 2 1 + 3 1... 1 + (n − 1) 1 + f (n).

Montrer que la suite (u n ) converge et donner sa limite. Rapport Centrale, 2001 « L’étude classique d’une suite numérique est rarement conduite de façon efficace : est-ce parce qu’il s’agit d’une notion étudiée en première année ? »

22

Rapport Mines, 1997 « Quand on étudie une suite, il peut être utile d’observer le comportement des premiers termes. » Vous vérifierez que, pour tout x f (x) = x Pour tout n

0 :

1 + f (x + 1).

3 :

1 + f (n) =

1+n

1 + f (n + 1).

La suite (u n ) est constante, égale à 3.

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé Ramanujan (1887-1920), mathématicien indien, autodidacte, est un des grands mathématiciens du XXe siècle. Son extraordinaire intuition lui fit découvrir de nombreuses formules mathématiques. Beaucoup restent à démontrer. Citons : 3

3

1·3 1·3·5 1 +9 −13 2 2·4 2·4·6 dont la justification n’est pas évidente. 1−5

3

+· · · =

2 p

Pour s’entraîner : ex. 12.

6.3. Propriétés des suites convergentes Deux théorèmes généralisent les propriétés des suites convergentes réelles ou complexes. La démonstration de ces théorèmes ne présente aucune difficulté. Théorème 13 Toute suite convergente d’éléments d’un espace vectoriel normé, (E, est bornée.

),

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Enfin dans les justifications, mieux vaut ne pas invoquer le mathématicien “Desgendarmes”, dont l’existence est obscure. »

Théorème 14 L’ensemble des suites convergentes d’éléments d’un espace vectoriel normé, (E, ), est un sous-espace vectoriel de l ∞ (E) et l’application, qui, à une suite convergente, associe sa limite, est linéaire. Autrement dit, si les suites (u n ) et (vn ) convergent : ∀ (a, b) ∈ K2

lim (au n + bvn ) = a lim u n + b lim vn .

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Exemple : f

1

=

1 0

| f (t)| d t. y

Considérons, dans E, la suite ( f n ) définie par : ⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎨−n 3 x + n 2 si x ∈ 0, n fn (x) = . 1 ⎪ ⎪ ,1 ⎩0 si x ∈ n ∀ n ∈ N∗

fn

1

=

1 0

| f n (t)| d t =

La suite ( f n ) n’est pas bornée dans (E,

1 ),

1 n

0

(−n 3 t + n 2 ) d t =

n²

n . 2

donc elle diverge.

O

1 n

1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

E = C([0,1], R) muni de la norme :

x

Doc. 6.

6.4. Convergence des suites d’un sous-espace vectoriel normé Soit (E, ) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E. L’espace vectoriel F, muni de la norme induite par , est un espace vectoriel normé, (F, ). Si (u n ) est une suite d’éléments de F, cette suite

23

Maths, MP-MP∗

est dite convergente dans F si elle converge dans l’espace vectoriel normé (F, ), c’est-à-dire si elle converge dans (E, ) et si sa limite appartient à F. Dans le cas contraire, elle sera dite divergente dans F. Exemple : E = K[X], F = {P ∈ K[X]; P(1) = 0}. On pose, pour tout n > 0 : Pn = 1 −

1 (X + X 2 + · · · + X n ); n

Qn =

1 − Xn . n

Alors, pour tout n > 0, on a : Pn ∈ F;

Q n ∈ F;

1 − Pn

∞

= Qn

∞

=

1 . n

On en déduit que la suite (Q n ) converge vers le polynôme nul dans (E, ∞ ). Ce polynôme appartient à F. La suite converge dans (F, ∞ ). Quant à la suite (Pn ), elle converge vers le polynôme 1 dans (E, ∞ ). Ce polynôme n’appartient pas à F. La suite diverge dans (F, ∞ ).

6.5. Convergence des suites d’un espace vectoriel normé produit Soit (E i , Ni )i∈[[1, p]] riel normé produit.

p espaces vectoriels normés et (E, N) l’espace vecto-

Considérons une suite u de E. Pour tout n de N et tout i de [[1, p]], il existe u in dans E i tel que u n = (u 1n , u 2n , . . . , u np ). Notons, pour tout i de [[1, p]], u i la suite (u in )n∈N de E i et u = (u 1 , . . . , u p ). Théorème 15 Si (E i , Ni )i∈[[1, p]] sont p espaces vectoriels normés, (E, N) l’espace vectoriel normé produit, alors la suite u = (u 1 , . . . , u p ) converge vers l = (l1 , . . . , l p ) dans (E, N) si et seulement si, pour tout i de [[1, p]], la suite u i converge vers li dans (E i , Ni ). Démonstration Elle vous paraîtra aisée si vous utilisez : p

N(u − l) = max Ni (u i − li )

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

i∈[[1, p]]

et, pour tout i de [[1, p]], Ni (u i − li )

7

Ni (u i − li )

i=1

N(u − l).

Normes équivalentes

Sur un même espace vectoriel, on peut utiliser plusieurs normes et, à chaque norme, correspond une notion de convergence. Ainsi, si E = K, toutes les normes étant de la forme N(x) = c|x|, nous avons déjà vu que les parties

24

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé bornées sont les mêmes pour toutes les normes et il en est de même des suites convergentes. Mais, intéressons-nous à E = C([0,1], R), muni des normes : f

1

=

1 0

| f (t)| d t

et

f

2

=(

1 0

| f (t)|2 d t)1/2

√ et à la suite ( f n ) définie par : f n (t) = nt n . On constate : fn

1

=

√ n n+1

et

fn

2

n . 2n + 1

=

La suite ( f n ) converge vers la fonction nulle pour

1,

mais pas pour

2.

La question qui se pose alors est : à quelle condition deux normes sur un même espace vectoriel donnent-elles la même notion de convergence, c’est-àdire les mêmes suites convergentes ?

7.1. Norme et convergence des suites Théorème 16 Soit E un K espace vectoriel et N1 et N2 deux normes sur E. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : 1. ∃ a ∈ R+∗

∀x ∈ E

N2 (x)

aN1 (x).

2. Toute suite (u n ) d’éléments de E qui converge vers 0 E relativement à la norme N1 converge aussi vers 0 E pour la norme N2 . Démonstration Étudions seulement le deuxième point. Raisonnons par contraposée. Nous allons montrer que, si la propriété 1. n’est pas vérifiée, alors il existe une suite de E convergeant vers 0 E pour la norme N1 , mais pas pour la norme N2 . On suppose : En particulier :

∀ a ∈ R+∗ ∀ n ∈ N∗

∃x ∈ E ∃ un ∈ E

N2 (x) > aN1 (x). N2 (u n ) > n N1 (u n ).

Nous en déduisons N2 (u n ) > 0, puis u n = 0 et : N1 (u n ) > 0. vn = Par construction : N2 (vn ) =

1 un . n N1 (u n ) c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Posons alors :

1 N2 (u n ) > 1, n N1 (u n )

1 donc la suite (vn ) ne converge pas vers 0 E pour la norme N2 . Mais : N1 (vn ) = . n Donc la suite (vn ) converge vers 0 E pour la norme N1 .

Exemple : E = C([0,1], R). Puisque : ∀ t ∈ [0,1] | f (t)| ∀f ∈E

f

1

=

1 0

| f (t)| d t

f 1

0

f

∞, ∞dt

on a : =

f

∞.

25

Maths, MP-MP∗

Toute suite ( f n ) d’éléments de E qui converge vers 0 E pour ∞ converge aussi vers 0 E pour 1 . Mais, nous avons déjà vu que la suite ( f n ) définie par : f n (t) = t n converge vers 0 E pour 1 , mais pas pour ∞ . Les deux normes ne jouent pas le même rôle sur E.

7.2. Normes équivalentes Deux normes N1 et N2 sur le même espace vectoriel E sont dites équivalentes si : ∃ (a, b) ∈ (R+∗ )2

∀x ∈ E

a N1 (x)

N2 (x)

a et b sont indépendants de x.

b N1 (x).

Théorème 17 Si E est un K-espace vectoriel, la relation définie sur l’ensemble des normes de E, « N1 et N2 sont deux normes équivalentes », est une relation d’équivalence.

Théorème 18 Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Les deux normes N1 et N2 sont équivalentes. 2. Une suite (u n ) d’éléments de E converge vers un élément l de E relativement à la norme N1 si et seulement si elle converge vers l pour la norme N2 .

Corollaire 18.1 Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Les deux normes N1 et N2 sont équivalentes. 2. Toute boule de l’espace vectoriel normé (E, N1 ) contient une boule de l’espace vectoriel normé (E, N2 ) de même centre et réciproquement. Démonstration • Soit a et b dans R+∗ tels que : aN c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

B1

r x, b

1

N2

bN1 . Pour tout x de E, on a :

⊂ B2 (x, r ) ⊂ B1

r x, . a

• Réciproquement, soit (xn ) une suite de E qui converge vers l dans (E, N1 ). Montrons que la suite (xn ) converge vers l dans (E, N2 ). Fixons ´ > 0. Il existe ´1 > 0 tel que B2 (l, ´) contienne la boule B1 (l, ´1 ). Il existe P dans N tel que : ∀n

P

y 1 BN2 (0,1)

BN1 (0,1) 0

1 x

xn ∈ B1 (l, ´1 ).

BN∞ (0,1)

Donc : ∀n

P

xn ∈ B2 (l, ´). Pour s’entraîner : ex. 13.

26

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Savoir tracer les boules unité dans R2 ou R3 pour les normes, permet de mieux comprendre ce que sont des normes équivalentes. »

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

Application 5

Cas de Rn

Soit E = Rn et, pour x = (x 1 , . . . , x n ), posons : n

n

N1 (x) =

|x i |;

N2 (x) =

2) Avec N2 , on a aussi : ∀ i ∈ [[1, n]] |x i |2

2

|x i | ;

i=1

i=1

Donc :

i∈[[1,n]]

De même, il existe |x 0 | = N∞ (x). Donc :

Montrer que ces normes sont équivalentes.

N2 (x)

1) On peut écrire : ∀ i ∈ [[1, n]] |x i | Donc :

N1 (x)

n N∞ (x).

∀ x ∈ Kn

∀ x ∈ Kn

|x 0 | = N∞ (x).

Donc : ∀ x ∈ Kn

N∞ (x)

N∞ (x)

N2 (x)

√

n N∞ (x).

3) Et, par conséquent :

|x 0 | = N∞ (x), N1 (x)

|x 0 | = N∞ (x).

Les normes N2 et N∞ sur Kn sont équivalentes. On en déduit :

N∞ (x).

Il existe i 0 tel que :

alors :

√ n N∞ (x).

N2 (x)

N∞ (x) = max |x i |

2 N∞ (x).

N1 (x)

n N∞ (x).

Les deux normes N1 et N∞ sur Kn sont équivalentes.

1 N1 (x) n

N2 (x)

√ n N1 (x).

Les normes N1 et N2 sont donc équivalentes. En réalité, pour comparer N1 et N2 , nous avons simplement utilisé la transitivité de la relation d’équivalence.

7.3. Exemples Exemple 1 : Soit (E, N) l’espace vectoriel normé produit des (E i , Ni ) (i ∈ [[1, p]]). L’espace vectoriel E peut également être muni des normes 1 et 2. Ces normes sont équivalentes car : N(x)

x

2

x

p N(x).

1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀x ∈ E

Exemple 2 : E = K[X] . Nous remarquons d’abord que : N∞

N2

N1 .

Considérons alors la suite de polynômes définie par : n

Pn (X) =

Xk.

k=0

Alors : N1 (Pn ) = n + 1 ;

N2 (Pn ) =

√ n+1

et

N∞ (Pn ) = 1.

27

Maths, MP-MP∗

Si N1 et N∞ étaient équivalentes, il existerait a > 0 tel que N1 On aurait, pour tout n : a n + 1. Ceci est faux.

aN∞ .

Si N2 et N∞ étaient équivalentes, il existerait b > 0 tel que N2 √ On aurait, pour tout n : b n + 1. Faux.

bN∞ .

Et enfin, de la même manière, si N1 et N2 étaient équivalentes, il existerait √ n + 1. d > 0 tel que : N2 dN∞ . On aurait donc, pour tout n : d Faux. Sur K[X], les normes N1 , N2 et N∞ ne sont pas équivalentes, mais : N∞ N2 N1 . Exemple 3 : Reprenons E = C([0,1], K). Nous avons rencontré les normes : f

1

=

1 0

| f |,

f

2

1

=

0

|f|

2

et

f

∞

= sup | f (t)|. t∈[0, 1]

La norme N1 est appelée norme de la convergence en moyenne, la norme N2 est appelée norme de la convergence en moyenne quadratique et le norme N∞ norme de la convergence uniforme. Appliquons l’inégalité de Cauchy-Schwarz sous la forme : 1

∀ f ∈ C([0,1], K) | On en déduit En outre :

2.

1

0

1

f (t) d t|

0

De plus, on a déjà vu que : 1

∀ f ∈ C([0,1], K)

0

1

2

| f (t)| d t

2

| f (t)| d t

f

2 ∞

0 1

1 0

dt =

2

|1| d t. ∞.

f

∞.

Par conséquent : 2 ∞. Toutefois, la suite ( f n ) définie par f n (t) = t n est telle que : 1 1 fn 1 = , fn 2 = √ et f n ∞ = 1. n+1 2n + 1 Elle converge vers 0 E pour 1 et pour 2 , mais pas pour ∞.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Les normes Les normes D’autre part, si

1 2

et et 1

ne sont pas équivalentes. ne sont pas équivalentes.

∞ ∞

et

2

étaient équivalentes, il existerait a > 0 tel que : a

2

n+1 √ . 2n + 1

On aurait donc, pour tout n : a Ce qui est faux. Les normes

1

Dans C([0, 1], K), les normes mais : 1

28

1.

et

2 1,

ne sont donc pas équivalentes. 2,

2

∞ ∞.

ne sont pas équivalentes,

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

8

Suites extraites, valeur d’adhérence

8.1. Suite extraite d’une suite u Soit u une suite d’éléments de E et w une application strictement croissante de N dans N, alors l’application v = u ◦ w : n −→ vn = u w(n) , est appelée une suite extraite de u. Elle est notée v = (u w(n) )n∈N ou, plus simplement (u w(n) ). Remarque : Il est aisé de montrer par récurrence que : ∀ n ∈ N

n

w(n).

Théorème 19 Soit u une suite de l’espace vectoriel normé (E, ). Toute suite extraite d’une suite extraite de u est une suite extraite de u.

Si v = (u w(n) ) et w = v◦ c, alors : wn = u w(c(n)) . Attention à l’ordre : (u w◦c(n) )n et (u c◦w(n) )n ne sont pas les mêmes suites extraites.

Théorème 20 Si (u n ) est une suite de l’espace vectoriel normé (E, ) convergeant vers la limite l, alors toute suite extraite de (u n ) converge aussi vers l.

La réciproque est manifestement fausse. Il suffit de regarder la suite (−1)n pour s’en convaincre.

Théorème 21 Soit (u n ) une suite telle que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) ont la même limite l. Alors, la suite (u n ) converge vers l. Pour s’entraîner : ex. 14 et 15.

8.2. Valeur d’adhérence d’une suite Soit u une suite d’éléments de E. Un vecteur a de E est appelé valeur d’adhérence de la suite u s’il existe une suite extraite de (u n ) convergeant vers a.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 22 L’élément a est une valeur d’adhérence de la suite (u n ) si et seulement si toute boule de centre a, non vide, contient une infinité de termes de la suite : ∀ ´ > 0 ∀ N ∈ N ∃ n ∈ N (n N et u n ∈ B(a, ´)). Démonstration Soit u une suite d’éléments de E et a tel que toute boule de centre a, non vide, contient une infinité de termes de la suite. Il existe donc un entier n 1 tel que u n1 ∈ B(a, 1). Supposons que, pour un certain p 1 fixé, nous ayons établi l’existence de p termes de la suite u n1 , . . . , u n p tels que : n 1 < n 2 < ... < n p et, pour tout i de [[1, p]] : u ni ∈ B a,

1 i

.

29

Maths, MP-MP∗

1 . p+1 La suite (u n p ), ainsi construite par récurrence, est une suite extraite de (u n ), qui converge vers a. Il existe alors un entier n p+1 > n p tel que : u n p+1 ∈ B a,

La réciproque est immédiate.

Théorème 23 Si (u n ) est une suite d’éléments de E convergeant vers l, alors l est l’unique valeur d’adhérence de la suite (u n ).

Corollaire 23.1 Toute suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence est divergente.

Théorème 24 Une suite bornée de réels ou de complexes converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence. Démonstration Nous savons, depuis la première année, que toute suite (u n ) bornée de réels ou de complexes admet au moins une valeur d’adhérence a. On suppose cette valeur d’adhérence unique. Montrons par l’absurde que la suite (u n ) converge vers a. Si elle ne converge pas vers a, il existe ´ > 0 tel que l’ensemble {n|u n ∈ B(a, ´)} est infini. Il est alors possible de construire par récurrence une suite bornée extraite de la suite u dont aucun élément n’appartient à B(a, ´). Cette suite extraite admet une valeur d’adhérence b = a. La suite (u n ) admet alors au moins deux valeurs d’adhérence. Pour s’entraîner : ex. 16.

Application 6

Valeurs d’adhérence de la suite (cos n)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (cos(n)) est [−1, 1]. On admettra que Z + 2pZ est dense dans R (voir Application 4, chapitre 2). Considérons un élément a de ] –1, 1]. Montrons d’abord que tout intervalle de la forme ]a −a, a[ (a > 0) contenu dans [−1, 1] contient au moins un terme de la suite. En effet, il existe u et v dans ]0, p[ tels que cos u = a − a et cos v = a. Or Z+2pZ est dense dans R. Il existe m et p dans Z tels que m + 2p p ∈ ]v, u[.

30

Nous en déduisons : cos(m) ∈ ]a − a, a [ car la fonction cosinus est strictement décroissante sur ]0, p[. Or, cos(m) = cos(|m|). Ce qui précède permet d’affirmer que l’intervalle ]a − a, a [ contient un terme, cos(n 1 ), de la suite (cos(n)). Or, l’ensemble {cos(n); n n 1 } est fini. Il existe alors b > 0 tel que, pour tout n n 1 : cos(n) ∈ ]a − b, a[. Posons a1 < min

a ,b . 2

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé Il existe un entier n 2 > n 1 tel que :

Il existe alors b > 0 tel que, pour tout n

cos(n 2 ) ∈ ]a − a1 , a[.

cos(n) ∈ ]a − b, a[.

Supposons que, pour un certain m 1, on ait déterminé m entiers naturels n 1 , n 2 , . . . , n m et m réels a0 , a2 , . . . , am−1 tels que :

am−1 ,b . 2 Il existe un entier n m+1 > n m tel que :

Posons am < min

cos(n m+1 ) ∈ ]a − am , a[.

n 1 < n 2 < ... < n m , a0 = a et, pour tout j de [[1, m]], pour tout n

nj :

cos(n) ∈ ]a − a j , a[, cos(n j ) ∈ ]a − a j −1 , a[ a j −1 et a j < . 2 L’ensemble {cos(n); n

nm :

On a construit par récurrence une suite extraite de la suite (cos(n)) qui converge vers a. Nous en déduisons que a est une valeur d’adhérence de la suite (cos(n)). On procède de manière analogue avec a = −1 en travaillant sur ]a, a + a[.

n m } est fini.

Application 7

Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite

lim (u n+1 − u n ) = 0.

n→+∞

Montrer que l’ensemble V ad(u) des valeurs d’adhérence de u est un intervalle fermé. √ 2) Étudier la suite (cos n). 3) Soit f une fonction continue de [a, b] dans [a, b] (a < b). On considère la suite définie par : a0 ∈ [a, b]

et

Montrer que, si (an ) converge.

(∀ n ∈ N)

(an+1 = f (an )).

lim (an+1 − an ) = 0 , la suite

n→+∞

n→+∞

∀n ∈ N

n

q ⇒ |u n+1 − u n |

´.

Considérons l’intervalle ] − ∞, c[. Il contient a, donc : ∃r

max( p, q) u r ∈] − ∞, c[.

De même, l’intervalle ]c, +∞[ contient b, donc : ∃s

∀´ > 0

∀p∈N t

p

r

u s ∈]c, +∞[.

et

∃t ∈ N u t ∈ ]c − ´, c + ´[.

Supposons l’intervalle V ad(u) majoré et notons b = sup V ad(u). Si b ∈ V ad(u), il existe ´ > 0 et N dans N tels que : ∀n

1) Soit a < b deux valeurs d’adhérence de la suite u et c ∈ ]a, b[. Nous allons montrer que c ∈ V ad(u). Fixons alors un entier p > 0 et un réel ´ > 0. lim (u n+1 − u n ) = 0 entraîne : ∃q ∈ N

L’ensemble A = {n ∈ N; r n s et u n < c} est une partie non vide et finie de N. Il admet donc un plus grand élément t. Nous en déduisons : c. Or, t > q, ce qui entraîne u t < c et u t+1 |u t+1 − u t | < ´. D’où : u t ∈ ]c − ´, c + ´[. Nous avons donc établi :

N

u n ∈ ]b − ´, b[.

Aucun réel de ]b − ´, b[ n’appartient alors à V ad(u), ce qui contredit le choix de b. On procède de même pour la borne inférieure de V ad(u) lorsque V ad(u) est minoré. (Voir également l’exercice 5, chapitre 2.)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Soit u une suite réelle telle que :

2) Regardons si la suite (u n ) vérifie les hypothèses de la première question. √ √ √ √ n+ n+1 n− n+1 u n+1 −u n = −2 sin sin . 2 2 Donc :

lim (u n+1 − u n ) = 0.

n→+∞

31

Maths, MP-MP∗

L’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite est donc un intervalle contenu dans [−1, 1]. L’application r définie sur N par : r(n) = n 2 est strictement croissante, donc :

extraite, (aw(n) ). La suite (aw(n)+1 ) = ( f (aw(n) )) converge alors vers f (l), grâce à la continuité de la fonction f . Or lim (aw(n)+1 −aw(n) ) = 0. Donc : n→+∞ f (l) = l. Si V ad(u) = [c, d] ⊂ [a, b] avec c < d, alors il existe p tel que :

V ad(u ◦ r) ⊂ V ad(u) ⊂ [−1, 1]. Or, nous savons que : V ad(u ◦ r) = [−1, 1].

a p ∈ ]c, d[.

Nous pouvons conclure : V ad(u) = [−1, 1]. 3) La suite (an ) est bornée. Montrons qu’elle a une unique valeur d’adhérence. La suite (an ) admet une valeur d’adhérence l, limite d’une suite

9

On a : f (a p ) = a p car a p est une valeur d’adhérence de u. La suite est alors stationnaire à partir du rang p, ce qui contredit V ad(u) = [c, d]. Donc V ad(u) = {l}. La suite (an ) converge donc vers l.

Comparaison de suites

Dans ce paragraphe, (u n ) est une suite d’éléments du K-espace vectoriel normé (E, E ) et (an ) une suite d’éléments de K.

9.1. Relation de domination La suite (u n ) est dite dominée par la suite (an ) si : ∃K ∈R

∃N ∈N

∀n

N

un

K |an |.

On écrit alors : u n = O(an ). Lorsque la suite scalaire (an ) ne s’annule pas, u n = O(an ) équivaut à dire 1 que la suite vectorielle u n est une suite bornée de (E, ). an c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

9.2. Relation de négligeabilité La suite (u n ) est dite négligeable devant (an ) si et seulement si : ∀´ > 0 ∃ N ∈ N

∀n

N

un

´|an |.

On écrit alors : u n = o(an ). Lorsque la suite scalaire (an ) ne s’annule pas, u n = o(an ) équivaut à dire 1 que la suite vectorielle u n converge vers 0 E . an

32

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

Propriétés : (u n ) et (vn ) étant deux suites d’éléments de E, (an ), (an ) et (bn ) trois suites d’éléments de K, alors : 1. u n = O(an ) et vn = O(an ) ⇒ u n + vn = O(an ). 2. u n = O(an ) et k ∈ K ⇒ ku n = O(an ). 3. an = O(bn ) et u n = O(an ) ⇒ an u n = O(an bn ). 4. u n = o(an ) ⇒ u n = O(an ). 5. u n = o(an ) et vn = o(an ) ⇒ u n + vn = o(an ). 6. u n = o(an ) et k ∈ K ⇒ ku n = o(an ). 7. u n = o(an ) et an = O(bn ) ⇒ u n = o(bn ). 8. u n = O(an ) et an = o(bn ) ⇒ u n = o(bn ).

9.3. Équivalence de deux suites Soit u et v deux suites d’éléments de E. La suite u est dite équivalente à la suite v, et on note u n ∼ vn , si la suite u − v est négligeable devant la suite réelle v , c’est-à-dire si : ∀´ > 0

∃N ∈N

∀n

N

u n − vn

´ vn .

Théorème 25 La relation définie sur l’ensemble des suites d’éléments de E par « la suite u est équivalente à la suite v » est une relation d’équivalence : réflexive : ∀ u ∈ E N

un ∼ un ;

symétrique : ∀ u ∈ E transitive : ∀ u ∈ E

N

N

∀ v ∈ EN ∀v ∈ E

N

u n ∼ vn ⇒ vn ∼ u n ; ∀ w ∈ EN

u n ∼ vn et vn ∼ wn ⇒ u n ∼ wn .

Rapport Mines Albi, 1997 « L’erreur la plus classique est d’ajouter des équivalents. » « En fait, on fait toutes sortes de choses avec les équivalents : on les ajoute, on les intègre, le but semblant être d’arriver au résultat demandé plutôt que d’être rigoureux. » Rapport X, ENS 2000 « Erreurs étonnantes, et pourtant trop persistantes... si an ∼ bn alors le module de an − bn tend vers 0. » « Nous avons aussi relevé quelques erreurs : manipulation erronée d’équivalents... »

Démonstration Cette relation est clairement réflexive. Montrons qu’elle est symétrique. Soit u et v deux suites telles que : u n ∼ vn . ∀´ > 0 ∃ N ∈ N

∀n ∈ N

n

N ⇒ u n − vn = vn − u n

´ vn .

Mais : u n + vn − u n

u n + ´ vn . c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

vn = u n + (vn − u n ) Et donc : (1 − ´) vn

D’où :

vn

u n . On choisit ´ < 1 et on en déduit : 1 un . vn 1−´ = O( u n ). D’après la propriété 7 ci-dessus : vn − u n = o( u n ).

v est donc équivalente à u et la relation est symétrique. Soit u, v et w trois suites telles que : u n ∼ vn et vn ∼ wn . ´ ´ ∀´ > 0 ∃ N ∈ N ∀n N u n − vn vn et vn − wn vn . 2 2 Donc, pour tout n N, on a : u n − wn ´ vn . Or : wn = O( vn ). Donc

u n − wn = o( wn ), puis u n ∼ wn .

33

Maths, MP-MP∗

Remarquons que nous avons établi dans cette démonstration le résultat suivant : Théorème 26 Si (u n ) et (vn ) sont deux suites équivalentes d’éléments de E, alors : u n = O( vn )

et

La réciproque est fausse. Considérez les suites définies par : un = n

vn = O( u n ).

et

vn = −n.

Théorème 27 Soit (u n ) et (vn ) deux suites équivalentes d’éléments de E. Si la suite (u n ) converge vers l, alors la suite (vn ) converge aussi vers l. Démonstration Soit ´ > 0 fixé. La convergence de la suite (u n ) vers l se traduit par : ∃ N1 ∈ N

∀n ∈ N

n

N1 ⇒ u n − l

´.

Puisqu’elle converge, cette suite est bornée, donc : ∃ M ∈ R+∗

∀n ∈ N

un

M.

Enfin, les suites u et v étant équivalentes : ∃ N2 ∈ N

∀n ∈ N n

´ un M

N2 ⇒ u n − vn

´.

Récapitulons : ∀n ∈ N

n

sup(N1 , N2 ) ⇒ vn − l

u n − vn + u n − l

2´.

La suite v converge donc vers l.

Théorème 28 Soit (u n ) une suite d’éléments de E convergeant vers l. Si l = 0 E , la suite (u n ) est équivalente à la suite constante (l) : u n ∼ l.

Dans ce cas, il est essentiel que l soit non nulle. (Considérer la suite (1/n)). D’autre part, u n ∼ 0 E ne signifie pas que la limite de (u n ) soit nulle, mais que la suite (u n ) est identiquement nulle à partir d’un certain rang.

9.4. Cas des suites numériques Les suites numériques (ou scalaires) sont les suites de réels ou de complexes. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 29 Deux suites scalaires (an ) et (bn ) ne s’annulant pas, sont équivalentes si et seulement si : an lim = 1. n→+∞ bn Attention : Les équivalents ne s’additionnent pas ! 1 1 1 ∼ + 2 n n n Notons u n =

34

1 1 1 + − + 3 n n n

et =

−

1 1 1 + ∼− . n n3 n

1 et vn = n3

1 1 + n n2

−

1 1 = 2. n n

Rapport Mines-Ponts, 2003 « On trouve des abus du type x(x + 1)...(x + n) ∼ n! ce qui est manifestement absurde si x = 1, par exemple. »

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé Les suites (u n ) et (vn ) ne sont pas équivalentes. Comparaison des suites de référence Rappelons les résultats vus en première année : a

n

Rapport TPE, 1997 « La notation O est souvent confondue avec la notation o. Pour de nombreux candidats, on a : u n ∼ vn ⇒ eu n ∼ evn »

n

• Avec a > 1 et a > 0 : n = o(a ) et a = o(n!). • Avec a > 0 et b > 0 : (ln n)b = o(n a ). • Avec a, b, c, d : n a (ln n)b = o(n c (ln n)d ) ⇔ (a > c) ou (a = c et b > d) Pour s’entraîner : ex. 17 et 18.

Application 8

Exponentielles et logarithmes de suites équivalentes

2) Étant donné deux suites réelles (u n ) et (vn ), prouver que les deux suites (exp(u n )) et (exp(vn )) sont équivalentes si et seulement si lim (u n − vn ) = 0 . n→+∞

1 1 3) On pose x n = 1 + et yn = 1 + 2 . Prouver n n que les deux suites (x n ) et (yn ) sont équivalentes et que les suites (ln(x n )) et (ln(yn )) ne le sont pas. 4) Soit (x n ) et (yn ) deux suites équivalentes de réels strictement positifs. Prouver que, si

lim yn = l ∈ R − {1}, alors les

n→+∞

suites (ln(x n )) et (ln(yn )) sont équivalentes. 1) On constate que Donc

lim

n→+∞

En revanche,

vn ln n =1− . un n

vn = 1. un

exp(vn ) 1 = exp(− ln(n)) = . exp(u n ) n

Les suites (exp(u n )) et (exp(vn )) ne sont pas équivalentes. exp(vn ) 2) Puisque = exp (u n − vn ), on a : exp(u n ) lim (u n − vn ) = 0 ⇔ lim

n→+∞

n→+∞

3) Il est clair que De plus ln(x n ) ∼

lim

n→+∞

exp(vn ) = 1. exp(u n )

xn = 1. yn

1 1 et ln(yn ) ∼ 2 . n n

ln x n = +∞. ln yn 4) Puisque les suites (x n ) et (yn ) sont équivalentes, on peut écrire x n = yn (1 + ´(n)) où ´(n) = 0. Donc ln(x n ) = ln(yn ) + ln(1 + ´(n)) et : Donc

lim

n→+∞

ln x n ln(1 + ´(n)) =1+ ln yn ln yn

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) On pose u n = n et vn = n − ln(n). Prouver que les deux suites (u n ) et (vn ) sont équivalentes et que les suites (exp(u n )) et (exp(vn )) ne le sont pas.

(le quotient par ln(yn ) est possible pour n assez grand). ln x n On conclut aisément que lim = 1. n→+∞ ln yn

35

Maths, MP-MP∗

•

Pour montrer que l’application N de E dans R est une norme, on peut :

– si N se présente sous la forme d’une racine, regarder si elle dérive d’un produit scalaire. – sinon, montrer qu’elle vérifie les quatre axiomes de la définition d’une norme.

•

Pour montrer qu’une partie A d’un espace vectoriel normé, (E,

– un réel M > 0 tel que : ∀ x ∈ A x – une boule B(a, r ) telle que : A ⊂ B(a, r ).

), est bornée, on cherche :

M.

•

Pour montrer qu’une fonction f de X dans (E, tout x de X, on ait : f (x) M.

) est bornée, on cherche M tel que, pour

•

Pour prouver qu’une fonction f de (E 1 , d1 ) dans (E 2 , d2 ) est lipschitzienne sur une partie X de E 1 , on peut : – si E 1 = E 2 = R et X est un intervalle, montrer que f est de classe C1 sur X et à dérivée bornée sur X. – majorer l’expression d2 ( f (x), f (y)) sur X 2 par un terme de la forme K d1 (x, y).

•

Pour montrer que la suite (u n ) converge vers l :

•

lim

n→+∞

u n − l = 0.

Pour montrer que les normes N1 et N2 sont équivalentes, on cherche deux réels a et b > 0, tels que : ∀ x ∈ E a N1 (x) N2 (x) b N1 (x).

•

Pour montrer que les normes N1 et N2 ne sont pas équivalentes, on peut : – chercher une suite (u n ) d’éléments de E, convergeant vers 0 E pour l’une, mais pas pour l’autre. N1 (u n ) – chercher une suite (u n ) d’éléments de E − {0 E }, telle que tende vers 0 ou +∞. N2 (u n )

•

Pour montrer que a est une valeur d’adhérence de la suite (u n ), on peut :

– chercher une suite extraite de (u n ) convergeant vers a. – montrer que toute boule non vide de centre a contient une infinité de termes de la suite (u n ).

•

Soit (an ) et (bn ) deux suites numériques ne s’annulant pas et (u n ) une suite d’éléments de l’espace vectoriel normé (E, ).

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

– Pour vérifier que la suite (u n ) est dominée par la suite (an ), il suffit de montrer que la suite 1 un est bornée. an – Pour vérifier que la suite (u n ) est négligeable devant la suite (an ), il suffit de montrer que : lim

n→+∞

1 un an

= 0.

– Pour vérifier que les deux suites (an ) et (bn ) sont équivalentes, il suffit de montrer que : lim

n→+∞

Si les suites s’annulent, revenir à la définition.

36

bn = 1. an

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

Exercice résolu Une curieuse boule dans R2 ÉNONCÉ 1

1) Montrer que l’application (x, y) → N(x, y) =

|x +

0

√ 2 ty | d t est une norme sur R2 .

2) Déterminer la boule unité B = {(x, y) ∈ R2 ; N(x, y)

1}.

− → → − 3) La représenter graphiquement dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i , j ). On montrera que B est délimitée par des segments et deux courbes dont l’équation se simplifie en effectuant une rotation du repère. CONSEILS

SOLUTION

La seule difficulté réside dans :

1) Soit (x, y) tel que N(x, y) = 0. La fonction : √ t −→ |x + 2t y| est continue et positive sur [0, 1]. Donc, pour tout t de [0, 1], on a x +

√ 2t y = 0.

Cette fonction polynomiale s’annulant sur [0, 1] est l’application nulle : x = y = 0. 2) Déterminons l’ensemble : B = {(x, y) ∈ R2 ;

N(x, y)

1}.

Puisque N(x, y) = N(−x, −y), il suffit de déterminer B∩{(x, y); y • Si x

0 et y

0, alors :

N(x, y) = • Si x Si x +

0 et y

√ 2y

1 0

N(x, y) =

1 0

−(x +

−x √ 2y

0

√

• Si x par :

2 y. 2

−(x +

2t y) d t = − x + √ 2t y) d t +

√ 2 √ 2x 2 = +x+ y. 2 y 2 3) • Si x

√

0, alors :

0, N(x, y) =

√ Si x + 2y > 0,

√ (x + 2t y) d t = x +

0}.

1 −x √ 2y

√ 2 y 2

(x +

.

√ 2t y) d t

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

N(x, y) = 0 ⇒ (x, y) = 0.

0 et y

0, y

0, les points de B sont caractérisés par : √ 2 x+ y 1. 2 √ 0 et x + 2y 0, les points de B sont caractérisés √ 2 x+ y 2

−1.

37

Maths, MP-MP∗

• Si x par :

2.5 2 1.5 1

x2 +

x

x y

Doc. 1. 0 0, les points de B sont caractérisés

− → − → Si M a pour coordonnées (x, y) dans le repère (O, i , j ) et (X, Y ) − → → − dans le repère (O, I , J ), on a :

0.5

0

0 et x +

√ √ 2x y + y 2 − 2y 0. √ √ Notons (C) la courbe d’équation : x 2 + 2x y + y 2 − 2y = 0. − → − → Considérons la rotation d’angle a. Les vecteurs i et j sont transfor− → − → més en les vecteurs I et J . La matrice de passage de l’ancienne base à la nouvelle est : cos a − sin a P= . sin a cos a

y

−2 −1.5 −1 −0.5

0, y

2

x

√

X−

2 1− 2

2

√ 2 cos 2a.

√ 2 + 1− 2

√

Y−

On reconnaît l’équation d’une ellipse de centre le point

2

− √ 2 y=

x+

√ √ 2 2 1− ,1+ 2 2

1

de grand axe a =

2+

,

√ 2 et de petit axe b =

2−

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Doc. 2. W -5;&6pu#m-1/+pcon"fcXdl#>cm-1/+pcon#n"m">ck-1/+pcon"Xerlu#l"roZ √ √ y = 2, x = 0 , y = 2, x = 0

W -5;&6pu#m-1/+pcon"fcXkdl#>cm-1/+pcon#n"m">ck-1/+pcon"Xerlu#l"roZ y=

√ √ 2, x = −2 , y = 2, x = −2

W -5;&6pu#m-1/+pcon"fcXkdl#m-1/+pcon"Xerlu#l"roZ y=

38

2 1+ 2

√ 2, x = −2

√ 2.

2

= 1.

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

TD L’algorithme de Héron H ÉRON d’A LEXANDRIE utilisait une suite pour déterminer des valeurs approchées des racines des entiers. Nous allons étudier cette méthode et l’appliquer ensuite à des complexes, puis à des matrices. 1) a) a désignant un réel fixé, étudier la suite (u n ) définie par : ∀n ∈ N

u n+1 =

1 2

un +

a un

et u 0 ∈ R∗ .

Dans la suite de la question 1), on prendra : a>0

et

u 0 > 0.

b) Afin de préciser la vitesse de convergence de la suite (u n ), on pose : un vn = √ , a

puis

H ÉRON D ’A LEXANDRIE ( 1er siècle après J.-C.), mathématicien grec. Nous lui devons la formule liant l’aire, le périmètre et les trois côtés d’un triangle : S = p( p − a)( p − b)( p − c)

en = vn − 1.

1 2 e . La convergence est alors dite quadratique. 2 n √ c) On fixe a = 7 et u 0 = 1. Déterminer n pour que u n fournisse une valeur approchée de 7 à 2 · 10−5 près. √ Donner une valeur approchée de 7 à 10−5 près.

Montrer que, pour tout n

1, on a : en+1

2) a désigne maintenant un complexe fixé non nul, et a et −a ses racines carrées. a 1 La suite (z n ) est définie par : z 0 ∈ C, ∀ n ∈ N z n+1 = zn + . 2 zn a) On suppose que la suite (z n ) ne s’annule pas. En utilisant la suite (wn ) définie par : wn = est possible de choisir z 0 tel que la suite (z n ) converge vers a (respectivement −a). Interpréter géométriquement ce choix.

zn − a , montrer qu’il zn + a

b) Montrer que, si la suite (z n ) s’annule, le point d’affixe z 0 appartient à une droite d’origine O que vous décrirez géométriquement. Précisez les points de cette droite dont l’affixe conduit à une suite stationnaire nulle. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

c) Décrire, en fonction de la position du point d’affixe z 0 , la nature de la suite (z n ). d) On fixe a = i et z 0 = 1. Déterminer la limite de la suite (z n ). 3) M2 (R) est muni d’une norme N telle que, pour toutes matrices A et B de M2 (R), on ait : N( AB)

N(A)N(B)

et

N(I2 ) = 1.

A désigne une matrice carrée non nulle de M2 (R). La suite (X n ) est définie par : X 0 = I2 ∈ M2 (R)

et

(∀ n ∈ N) X n+1 =

1 X n + AX n−1 2

On suppose que la suite (X n ) ne s’annule pas. a) Étudier la nature de la suite (X n ) lorsque A est diagonale. b) Même question lorsque A est semblable à une matrice diagonale.

39

Exercices Montrer que, dans un espace vectoriel normé, l’application norme est convexe, c’est-à-dire vérifie : ∀ (x, y) ∈ E

2

Montrer que, dans l’espace vectoriel normé, (E, ∀ r ∈ R+∗

∀x ∈ E

∀ t ∈ [0, 1]

N(t x + (1 − t)y)

) :

∀ l ∈ K − {0}

lB(x, r ) = B(lx, |l|r ). t N(x) + (1 − t)N(y). L’espace vectoriel R2 est muni de la norme :

En déduire que B(0 E , 1) est convexe.

(x, y) Soit (E, ) un K -espace vectoriel normé et f un endomorphisme de E. On définit l’application N sur E en posant N(X) = f (X) . Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que N définisse une norme sur E.

∞

= sup(|x|, |y|).

On considère l’application F de R2 dans R2 définie par : (x, y) −→ F(x, y) = (y + 2 f (x), x − f (y)) où f est de classe C1 de R dans R et vérifie : | f | Montrer que, pour toute partie bornée P de R2 , la partie F −1 (P) est bornée.

Soit E = R2 et, pour tout x = (a, b) de R2 , √ N(x) = a 2 + 2ab + 5b2 .

(E,

2

Montrer que N est une norme sur R . Soit E un C-espace vectoriel et w une forme sesquilinéaire sur E. Montrer : ∀x ∈ E

w(x, x) ∈ R ⇔ ∀ (x, y) ∈ E

2

w(y, x) = w(x, y).

Montrer que, si la norme de l’espace vectoriel (E, ) est associée à un produit scalaire complexe w, on a, pour tous x et y de E : x + y = x + y ⇔ (∃ l

0)

(x = ly ou y = lx).

Et si la norme n’est pas associée à un produit scalaire ? 1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les complexes u et v pour que : |u + v| = |u| + |v|. 2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les comp

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

plexes (u j ) j ∈[[1, p]] ( p

1) pour que : |

|u j |. j =1

Soit (E, N) un K espace vectoriel normé, et d la distance associée à la norme. Montrer que : 1) ∀ (x, y, z) ∈ E

d(x, y) = d(x + z, y + z).

2) ∀ (l, x, y) ∈ K × E × E

d(lx, ly) = |l|d(x, y).

Montrer que, dans l’espace vectoriel normé, (E, ∀ (x, y) ∈ E 2

40

∀ r ∈ R+∗

) étant un espace vectoriel normé, on mu-

nit l’espace vectoriel E 2 de la norme N définie par N(x, y) = x + y . Montrer que la distance associée à la norme est 1-lipschitzienne. p p x = , x ∈ ]0, 1[ 2 2nx admet une unique solution notée xn . Étudier la suite (xn ) et donner un équivalent de xn quand n tend vers +∞. Montrer que l’équation : tan

f est une fonction continue de [0, 1] dans R+ . On considère l’application : N f de K[X] dans R+ définie par : N f (P) = sup | f (x)P(x)|. x∈[0,1]

1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que N f soit une norme sur K[X]. 2) Montrer que, s’il existe deux réels a, b strictement positifs tels que : a f g b f , alors les normes N f et Ng sont équivalentes.

p

uj| = j =1

3

1 . 3

x + B(y, r ) = B(x + y, r ).

1) Montrer qu’une suite (u n ) de réels ne tend pas vers +∞ si et seulement si on peut en extraire une suite majorée. 2) Montrer que, de toute suite (qn ) d’entiers naturels qui ne tend pas vers +∞, on peut extraire une suite constante. 3) Soit x un irrationnel et (rn ) une suite de rationnels converpn avec pn ∈ Z geant vers x. Pour tout n, on écrit rn = qn ∗ et qn ∈ N . Prouver que lim qn = +∞. n→+∞

) :

Une suite (u n ) de Rm telle que chacune des suites composantes admet une valeur d’adhérence admet-elle une valeur d’adhérence ?

1. Normes et distances, suites d’un espace vectoriel normé

Soit une suite (u n ) de complexes telle que la suite (|u n |) ne tende pas vers +∞. Montrer que la suite (u n ) a au moins une valeur d’adhérence. Est-il vrai que, si la suite (u n − vn ) tend vers 0, alors : u n ∼ vn ? Soit (u n ) une suite de réels telle que, pour tout n, on

3) Pour tout f de L, on pose N( f ) = inf I f . Montrer que N est une norme sur L. Soit (u n ) et (vn ) deux suites complexes telles que : 1 1 1 1 |u n − | et |vn − | ; lim u n vn = 1. 2 2 2 2 n→+∞ Montrer que (u n ) et (vn ) sont convergentes. Quelles sont leurs limites ?

∀n ∈ N

ait : u 5n + nu n − 1 = 0 .

Soit (z n ) la suite complexe définie par

**

1)

Montrer

que

l’application

définie

par

w(A, B) = tr(t A B) est un produit scalaire sur Mn (R). On appellera N la norme associée.

1 (z n + |z n |). 2 Montrer la convergence de la suite de terme général (|z n |). z 0 ∈ C et z n+1 =

Montrer la convergence et donner la limite de (z n ). (d’après Concours général) Étudier la suite définie par :

2) Comparer N(A) et N(t A). 3) a) Montrer que N(A B) b) Caractériser les N(A B) = N(A)N(B).

N(A)N(B), pour tous A et B.

couples

(A, B)

pour

lesquels

4) Comment étendre la norme N à Mn (C) ? 1) Déterminer une application f non nulle de L(C2 ), de matrice A dans la base canonique de C2 , qui admette, pour tout l complexe, la matrice lA dans une base appropriée. 2, 2) Montrer qu’il n’existe pas de norme sur Mn (C), n telle que : ∀ A ∈ Mn (C), ∀ P ∈ GLn (C), P A P −1 = A . ** dans E

n

Soit (E, < | >) un espace euclidien et (x1 , . . . , xn )

vérifiant : ∀ (i, j ) ∈ [[1, n]]

1) Montrer que :

xi − x j i< j

2

2

i = j ⇒ xi −x j n

+

xi

2

n

=n

i=1

u0

xi

.

i=1

2

u0

et

avec

n

converge vers ll .

k=0

u k vn−k n+1

1 0

f 2 (t) d t]1/2 .

1) Montrer que N est une norme sur E. √ 2) Montrer que f ∞ 2N( f ).

2) Montrer que g est 1-lipschitzienne.

définit :

I f + Ig ⊂ I f +g .

a(a 2 + 1) . x2 + 1

Soit E = C1 ([0,1], R). Pour f ∈ E, on pose :

3) N et

1) Prouver que, pour tout f de L, I f est un intervalle.

f (x) =

pectivement vers l et l . Montrer que la suite :

) un espace vectoriel normé. Pour tout x x de E, on pose g(x) = . 1+ x 1) Montrer que g définit une bijection de E dans la boule ouverte BO (0 E , 1).

2) Montrer que : ∀ ( f , g) ∈ L 2

u n+1 = f (u n )

N( f ) = [ f 2 (0) +

Soit (E, ) un K -espace vectoriel. On note L l’ensemble des applications lipschitziennes de (E, ) dans lui-même qui s’annulent en 0 E . Pour tout élément f de L, on note I f l’ensemble des réels k 0 tels que f soit k lipschitzienne.

1 . n+1

On considère deux suites complexes convergeant res-

n−1 . n

Soit (E,

un +

2) Étudier la suite définie par :

2 2

u n+1 =

1) Montrer le lemme de d’Alembert : si (an ) est une an+1 suite de réels strictement positifs tels que lim = l > 1, n→+∞ an alors la suite (an ) tend vers +∞.

2) On suppose qu’il existe une boule fermée B F(c, r ) contenant les xi . Montrer que : r

0, ∀ n ∈ N

∞

sont-elles équivalentes ?

On pose E = C2 ([0,1], R). Pour tout f de E, on N( f ) =

1 0

| f (x)| d x

N ( f ) = | f (0)| + | f (0)| +

N ( f ) = | f (0)| + 1 0

1 0

| f (x)| d x

| f (x)| d x

1) Montrer que ces 3 applications sont des normes. 2) Prouver que pour tout f de E, N( f )

N (f)

N ( f ).

3) Prouver que, deux à deux, ces normes ne sont pas équivalentes.

41

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Étudier la suite (u n ). Donner un développement asymptotique de (u n ) avec deux termes.

2

Topologie, étude locale des applications

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Leibniz, en 1692, utilise, dans un cadre géométrique, le terme de fonction. En étudiant la solution de l’équation des cordes vibrantes donnée par d’Alembert en 1747, Euler, en 1748, libère la notion de fonction de ce cadre et introduit la notation f (x). L’idée intuitive suivant laquelle une fonction est continue si son graphe peut être tracé sans lever le crayon, est attribuée à Euler. Bolzano et Cauchy, vers 1820, définissent correctement les fonctions continues de R dans R. Au début du XX e siècle, cette définition sera généralisée à des fonctions vectorielles d’une variable vectorielle. Le vocabulaire actuel de la topologie commence à apparaître avec la construction, par Cantor vers 1870, de l’ensemble R. La topologie réelle et l’introduction, au début du XX e siècle, des espaces métriques vont permettre la naissance de la topologie métrique. En 1914, Hausdorff (qui se suicide en 1942, avec sa femme et sa belle-sœur pour échapper aux camps de concentration) explicite les axiomes caractérisant l’ensemble des ouverts d’une topologie indépendamment de toute distance. 42

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Vocabulaire topologique de base : voisinage, ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière. Suites et topologie. Limite en un point d’une fonction d’un espace vectoriel normé dans un autre. Opérations sur les limites. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point. Continuité en un point, continuité sur une partie. Utilisation de la continuité : images réciproques d’ouverts et de fermés.

2. Topologie, étude locale des applications Dans tout le chapitre, K désigne R ou C et E, F sont des espaces vectoriels sur K. (E, E ) et (F, F ) désignent des K -espaces vectoriels normés. Nous noterons B(a, r ) la boule ouverte de centre a et de rayon r , respectivement B F(a, r ) la boule fermée de centre a et de rayon r .

1

Topologie

1.1. Voisinage d’un point Soit a un point de l’espace vectoriel normé (E, ). Une partie V de E est appelée voisinage de a quand elle contient une boule ouverte non vide de centre a : ∃ r > 0 B(a, r ) ⊂ V . On notera V (a) l’ensemble des voisinages de a. Propriétés : 1. Tout voisinage de a contient a.

Si 1 et 2 sont deux normes sur l’espace vectoriel E les normes 1 et 2 sont équivalentes si et seulement si, pour tout a de E, tout voisinage de a dans (E, 1 ) est voisinage de a dans (E, 2) et réciproquement. Rapport X, 2001 « Une translation de vecteur x permettait de transporter un voisinage de 0 en un voisinage de x. » 1 1 − , est n n n une famille infinie de voisinages de 0 dans (R, ||). Mais cette famille est infinie et son intersection est {0}. Ce n’est pas un voisinage de 0.

! La famille

2. E est un voisinage de a. 3. V (a) est non vide. 4. Toute partie de E contenant un voisinage de a est un voisinage de a. 5. Toute intersection finie de voisinages de a est un voisinage de a. 6. Toute réunion de voisinages de a est un voisinage de a. Démonstration Seule la cinquième propriété mérite une démonstration. Soit V1 , . . . , Vm , m voisinages de a. Appelons r1 , . . . , rm , m réels > 0 tels que, pour tout i de [[1, m]], la boule B(a, ri ) soit contenue dans Vi . Posons r = min {r1 , . . . , rm }. Alors r > 0 et : m B(a, r ) ⊂ ∩ Vi . i=1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Georg Cantor (1845-1918), mathématicien allemand, introduit les notions d’ouvert, de fermé. Ami de Dedekind, il construit la théorie des ensembles. Il montre que R n’est pas équipotent à N, mais qu’il est équipotent à Rn . Il écrit d’ailleurs à ce sujet « je le vois mais ne le crois pas ». Ses travaux sur les ensembles infinis sont alors violemment contestés et il meurt dans un asile d’aliénés. Exemple : Topologie induite sur un sous-espace vectoriel Soit F un sous-espace vectoriel de E. La norme induite, F , sur F par celle de E permet de munir F d’une structure d’espace vectoriel normé. Cherchons les voisinages d’un point a de F, dans (F, F ). Les intersections de F avec les voisinages, dans (E, ), d’un point a de F sont des voisinages de a dans F. Réciproquement, soit V un voisinage de a dans F. Il existe r > 0 tel que : B F (a, r ) ⊂ V . L’ensemble W = V ∪ B E (a, r ) est un voisinage de a dans E. Et : W ∩ F = V .

43

Maths, MP-MP∗

En conclusion, les voisinages d’un point a de F dans (F, intersections avec F des voisinages de a dans (E, E ).

F)

sont les

1.2. Ouverts, fermés d’un espace vectoriel normé Une partie O de l’espace vectoriel normé (E, ) est appelée un ouvert de E lorsqu’elle est un voisinage de chacun de ses points, c’est-à-dire : ∀a ∈ O

∃r > 0

B(a, r ) ⊂ O.

L’ensemble des ouverts de l’espace vectoriel normé E est appelé topologie de E.

Si 1 et 2 sont deux normes sur E, elles sont équivalentes si et seulement si tout ouvert de (E, 1 ) est un ouvert de (E, 2 ) et réciproquement.

Une partie F de l’espace vectoriel normé (E, ) est appelée un fermé de E lorsque son complémentaire dans E, E F, est un ouvert de E. Exemple : [ et E sont des ouverts et des fermés de (E,

).

Théorème 1 Dans un espace vectoriel normé, • toute réunion d’ouverts est un ouvert, • toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.

Corollaire 1.1 Dans un espace vectoriel normé, • toute intersection de fermés est un fermé, • toute réunion finie de fermés est un fermé.

! Une intersection infinie d’ou-

verts n’est pas nécessairement un ouvert : 1 1 ] − , [= {0}. n n ∗ n∈N

Rapport X, 2001 « Dans certaines mauvaises copies, on trouve que L est fermé car c’est une « réunion de fermés », toute partie de E serait fermée comme réunion de points. » B(a, r)

Théorème 2 Dans un espace vectoriel normé :

r

• toute boule ouverte est un ouvert, a

• toute boule fermée est un fermé.

B(x, e)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Démonstration 1. Considérons, pour un réel r 0 fixé, la boule ouverte B = B(a, r ) et montrons qu’elle est voisinage de chacun de ses points (doc. 1).

Doc. 1.

Si r = 0, alors B = [ et le résultat est établi. Supposons maintenant r > 0.

B(x, r)

Soit x un élément de B. Considérons le réel strictement positif r = r − d(a, x). De plus : ∀ y ∈ B(x, r)

d(x, y) < r − d(a, x).

On en déduit : d(a, y)

d(a, x) + d(x, y) < r .

r x BF(a, r)

a

Et, par conséquent : B(x, r) ⊂ B(a, r ) = B. L’ensemble B est donc un voisinage de x. 2. Soit B F(a, r ) (r

0) la boule fermée de centre a et de rayon r .

Montrons que son complémentaire dans E est un ouvert de E (doc. 2).

44

x e

Doc. 2.

2. Topologie, étude locale des applications Soit x n’appartenant pas à B F(a, r ), on a : d(a, x) > r . Appelons r le réel d(a, x) − r . Alors : ∀ y ∈ B(x, r) d(x, y) < d(a, x) − r . d(y, a).

La boule ouverte B(x, r) est contenue dans

E (B F(a, r )).

l

Pour s’entraîner : ex. 1, 2 et 3.

Les notions de convergence et d’ouvert sont en relation par le résultat suivant que nous vous laissons démontrer à titre d’exercice.

u0

u4

u2

un

x

u1

Théorème 3 Si (u n ) est une suite convergente de E, de limite l, alors tout ouvert de E contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

u3

Doc. 3. y

Théorème 4. Topologie d’un espace vectoriel normé produit Considérons l’espace vectoriel normé, (E, ), produit de (E i ,

i )i∈[[1, p]] .

Tout produit de fermés des espaces vectoriels normés (E i , fermé de (E, ).

i)

J2

]

i ) est un

]

Tout produit d’ouverts des espaces vectoriels normés (E i , ouvert de (E, ).

]

I1

]

est un

]

O

I2

]

Or : r < d(x, a) − d(x, y)

x

]

J1

]

! Les réciproques sont fausses. L’intérieur de la parabole d’équation : y = −x 2 , c’est-à-dire l’ensemble {(x, y) ; y + x 2 < 0} est un ouvert de R2 , muni de la norme ∞. La droite d’équation : y = 5x est un fermé de R2 , muni de la norme

Doc. 4.

∞.

1.3. Intérieur d’une partie A étant une partie de l’espace vectoriel normé, (E, ), un élément a de A est appelé point intérieur à la partie A si A est un voisinage de a. L’ensemble des points intérieurs à la partie A de E est appelé intérieur de la ◦

partie A et noté A . Propriétés c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

A et B étant deux parties de E, on a : ◦

1. A ⊂ A. 2. ∀ a ∈ E ◦

◦

a ∈ A ⇔ (∃ r > 0) (B(a, r ) ⊂ A).

3. A est un ouvert. ◦

4. A est la réunion de tous les ouverts contenus dans A. ◦

5. A est le plus grand ouvert contenu dans A. ◦

6. A ouvert ⇔ A = A . ◦ ◦

◦

7. A = A .

45

Maths, MP-MP∗

◦

◦

8. A ⊂ B ⇒ A ⊂ B . ◦

◦

◦

9. A ∩ B = A ∩ B . ◦

◦

◦

10. A ∪ B ⊂ A ∪ B . (égalité fausse en général) Démonstration

B(a, r)

◦

3. Montrons que A est voisinage de chacun de ses points. ◦

◦

Si A est non vide, soit a un élément quelconque de A . D’après la définition : ∃r > 0

B(a, r ) ⊂ A.

a

◦

◦

Montrons que cette boule est contenue dans A . Nous pourrons en déduire que A est voisinage de a, donc un ouvert de E.

r

y

A B(y, )

Soit alors y un élément de B(a, r ). Nous avons établi que B(a, r ) est un ouvert, donc : ∃´ > 0

B(y, ´) ⊂ B(a, r ) ⊂ A.

Doc. 5.

◦

D’où : y ∈ A . 4. Soit O un ouvert contenu dans A. Si a est un élément de O, O est un voisinage de a. A est donc aussi un voisinage ◦

◦

de a, a est un élément de A . On obtient : O ⊂ A . ◦

A contient tout ouvert contenu dans A. Il contient alors la réunion de ces ouverts. Étant lui-même ouvert, il est la réunion de ces ouverts. ◦

5. Il en résulte que A est le plus grand ouvert contenu dans A. ◦ ◦

◦

◦

7. A est le plus grand ouvert contenu dans A, c’est donc A . 8. Si A est contenu dans B, le plus grand ouvert contenu dans A est nécessairement ◦

◦

contenu dans B, c’est-à-dire : A ⊂ B . ◦

◦

9. On a : A ∩ B ⊂ A ⇒ A ∩ B ⊂ A . On procède de même avec A ∩ B ⊂ B. ◦

◦

◦

On en déduit A ∩ B ⊂ A ∩ B . ◦

◦

◦

◦

◦

De plus, A ∩ B est un ouvert contenu dans A ∩ B, donc : A ∩ B ⊂ A ∩ B . 10. On procède de même que ci-dessus. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Mais, l’inclusion réciproque est fausse. Il suffit de considérer, dans (R, | |), les parties A = ]0,1] et B = ]1,2[. ◦

◦

Exemple : Vérifiez que : Q = [ et R − Q = [. Pour s’entraîner : ex. 4.

1.4. Adhérence d’une partie A étant une partie de (E, ) et a un élément de E, on dit que a est un point adhérent à la partie A si tout voisinage de a rencontre A : ∀ V ∈ V (a) V ∩ A = [.

46

On dit alors aussi simplement que a est adhérent à A. L’ensemble des points adhérents à A est appelé l’adhérence de A et noté A.

2. Topologie, étude locale des applications

Propriétés A et B étant deux parties de (E, 1. a ∈ A ⇔ ∀ r > 0

) et a un élément de E, on a :

B(a, r ) ∩ A = [.

2. A ⊂ A. 3. A est un fermé. 4. A est le plus petit fermé contenant A. 5. A est l’intersection de tous les fermés contenant A. ◦

A.

6.

A=

7.

A = A.

◦

8. A fermé ⇔ A = A. 9. A ⊂ B ⇒ A ⊂ B. 10. A ∪ B = A ∪ B. 11. A ∩ B ⊂ A ∩ B. 12. A = A 13. a ∈ A ⇔ d(a, A) = 0. Démonstration Ces propriétés se déduisent de celle des intérieurs. Il suffit de montrer au préalable la propriété 6. x ∈ A ⇔ ∃ r > 0 B(x, r ) ∩ A = [ ⇔ ∃ r > 0 B(x, r ) ⊂ A ◦

⇔x ∈

A.

On montre ensuite la propriété 13. d(a, A) = 0 ⇔ ∀ ´ > 0 ∃ x ∈ A d(a, x) < ´ ⇔ ∀ ´ > 0 B(a, ´) ∩ A = [ ⇔ a ∈ A.

Exemple : Vérifiez que : Q = R et R − Q = R. Un exemple important dans R Soit A une partie majorée (respectivement minorée) non vide de R, la borne supérieure (respectivement inférieure) de A est un point adhérent à A.

Les boules

Montrer que, si (E, normé, alors :

) est un espace vectoriel

1) ∀ a ∈ E

∀r > 0

B O(a, r ) = B F(a, r ).

2) ∀ a ∈ E

∀r > 0

B F(a, r ) = B O(a, r ).

◦

Soit a dans E et r > 0.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 1

Pour s’entraîner : ex. 5.

1) B O(a, r ) est le plus petit fermé contenant B O(a, r ), donc : B O(a, r ) ⊂ B F(a, r ). Soit x tel que :

x − a = r.

On va montrer que : ∀´ > 0

B O(a, r ) ∩ B O(x, ´) = [.

47

Maths, MP-MP∗

´ Soit ´ dans ]0, r [. L’élément y = (a − x) + x r appartient à B O(a, r ) ∩ B O(x, ´). Donc : B F(a, r ) ⊂ B O(a, r ).

BF(a,r)

a

Puis : B F(a, r ) = B O(a, r ).

BO(x, r) x

a

B(x, ) y

x

BF(a, r)

y

Montrons que x ne peut être intérieur à B F(a, r ), c’est-à-dire que : B O(x, r) n’est pas incluse dans B F(a, r ). r x −a En effet, y = x + ∈ B O(x, r). 2 x −a r Mais y − a = r + > r . 2 ◦

D’où : B F(a, r ) = B O(a, r ). ◦

2) B F(a, r ) est le plus grand ouvert contenu dans ◦

B F(a, r ), donc : B O(a, r ) ⊂ B F(a, r ) . Soit x tel que

Remarque : Dans un espace métrique, (G, d) quelconque, ces deux propriétés ne sont plus vraies. Il suffit de considérer, avec n 1 fixé, G = L(Rn , Rn ), et la distance d définie par :

x − a = r et r > 0.

d( f , g) = rg ( f − g).

1.5. Caractérisation séquentielle d’un point adhérent, d’une partie fermée Les suites d’éléments de E fournissent un puissant outil pour manipuler la topologie de E. Théorème 5 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E. Un point a de E est adhérent à A si et seulement si a est limite d’une suite de points de A. Démonstration • Soit (u n ) une suite de A convergeant vers l. ∀´ > 0 ∃n ∈ N

u n ∈ B(l, ´).

Donc : B(l, ´) ∩ A = [. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

D’où : l ∈ A. • Soit a ∈ A. Alors : ∀ n ∈ N∗ Soit u n un point de B l, convergeant vers l.

1 n

B l,

1 n

∩ A = [.

∩ A. On construit ainsi une suite d’éléments de A

Théorème 6 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E. A est fermée si et seulement si toute suite d’éléments de A, convergente dans E, converge dans A.

48

2. Topologie, étude locale des applications

Application 2

Une réunion de fermés

Soit k ∈ R+ . Pour tout n de N∗ , on pose : Bn = {(x, y) ∈ R2 ; x − et B =

1 n

2

+ y−

1 n

2

1 y

k2 } n2

A2

Bn . Donner une condition nécessaire n∈N∗

B6

et suffisante sur k pour que B soit fermé.

A6

A4

1 1 , le centre de la boule Bn et n n faisons une figure. Nous constatons alors deux cas différents.

k =1

Vous savez que deux cercles de centre C et C sont emboîtés si et seulement si d(C, C ) |R − R |.

1,5

1

Si

y

2

A2

0,5 A4

A6 0

B2 x

Notons An

− 0,5

B4

B6

0,5 B4

− 0,5

x

1

1 1 − n n+1

c’est-à-dire si k boîtées.

1,5

B2

2

k k − , n n+1

√ 2, les boules Bn sont em-

√ Alors B = B1 et B est fermé. Si k < 2, les boules ne contiennent pas O. Or, O est la limite des points An . Il n’appartient pas à B. B n’est pas fermé.

1.6. Parties denses Rapport, CCP 2003 « Toutefois on relève un nombre important d’étudiants qui ne savent pas ce qu’est la densité. » c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A, B deux parties de E telles que : A ⊂ B. A est dite dense dans B si B est contenu dans l’adhérence de A, c’est-à-dire : B ⊂ A. En particulier, une partie A de E est dite dense dans E si son adhérence est E, c’est-à-dire si : A = E. Exemples : Q, R\Q sont denses dans R. Du paragraphe précédent, il découle immédiatement : Théorème 7 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A, B deux parties de E telles que A ⊂ B.A est dense dans B si et seulement si tout élément de B est limite d’une suite d’éléments de A. Pour s’entraîner : ex. 6.

49

Maths, MP-MP∗

Application 3 Les fermés et les sous-espaces vectoriels Soit (E, que :

) un espace vectoriel normé. Montrer

1) Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est un sous-espace vectoriel de E. 2) Si H est un hyperplan de E, alors H est fermé ou H est dense dans E.

1) La démonstration est triviale à l’aide du théorème 5. 2) Soit H un hyperplan de E. Alors : H ⊂ H et H est un sous-espace vectoriel de E. Si H = H , H est fermé. Si H = H , soit a dans H − H . Alors : E = H ⊕ Ka, puis E ⊂ H .

Application 4

Les sous-groupes de R

1) Soit (G, +) un sous-groupe de (R, +), non réduit à {0}. Montrer que G est dense dans R ou de la forme aZ, avec a > 0. 2) En déduire que, pour ab = 0, aZ + bZ est a dense dans R si et seulement si n’appartient b pas à Q. 1) Soit g non nul dans G, alors −g appartient à G. La partie {x ∈ G|x > 0} est une partie non vide de R, minorée par 0. Elle admet une borne inférieure a. Montrons maintenant que, si a = 0, alors G est dense dans R et, si a > 0, alors G = aZ.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• Supposons a = 0. Soit x réel et r > 0. Il existe g dans G tel que : 0 < g < r . x Posons n = E . Nous avons : g n

x < n + 1. g

Donc : ng ∈]x − r , x + r [. Puis : ] x − r , x + r [∩G = [. G est dense dans R. • Supposons a > 0. Établissons d’abord que : a ∈ G. Si a n’est pas dans G, on peut trouver g1 dans G tel que : a < g1 < 2a, puis g2 dans G

50

tel que : a < g2 < g1 < 2a. On en déduit : 0 < g1 − g2 < a. Or, g1 − g2 est dans G. Ce n’est pas possible. Il est alors immédiat que : aZ ⊂ G. Soit g dans G. Écrivons : g = na + r , avec : g n=E et r ∈ [0, a[. a Alors r appartient à G, donc r = 0. Nous en déduisons : aZ = G. 2) Soit a et b deux réels non nuls. aZ + bZ est un sous-groupe de R. Supposons qu’il existe x réel tel que : aZ + bZ = xZ. Nous en déduisons l’existence de deux entiers relatifs p et q tels que : a = x p et b = xq. a est alors un rationnel. b a Réciproquement, supposons que est un rationb p nel , p et q étant premiers entre eux. Nous saq vons qu’il existe deux entiers u et v tels que : pu + qv = 1. Puis : {am + bn ; m ∈ Z, n ∈ Z} =

b ( pm + qn) ; m ∈ Z, n ∈ Z q

=

b Z. q

2. Topologie, étude locale des applications 1.7. Frontière d’une partie A étant une partie de l’espace vectoriel normé (E,

) :

un point frontière de A est un point adhérent à A mais n’appartenant pas à l’intérieur de A. La frontière de A est l’ensemble des points frontière de A, c’est-à-dire : ◦

A − A, ou encore, ce qui revient au même : A ∩ A. Conséquences : • La frontière de A est une partie fermée de E. • La frontière de A est la frontière du complémentaire de A. Exemples : Dans R, la frontière de ]a, b[ est {a, b}. Dans R, la frontière de Q est R. Dans un espace vectoriel normé, la frontière de B(a, r ) est S(a, r ).

1.8. Topologie induite Les notions rencontrées dans ce chapitre se généralisent à une partie A, qui n’est pas un espace vectoriel. Cette extension, bien que légère, nous sera indispensable lors de l’étude de la continuité. Si (E, ) est un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E, la restriction de à A possède les propriétés d’une norme. Nous ne parlerons pas de norme sur A, car A n’est pas nécessairement un espace vectoriel. Mais nous savons que la distance d sur E, associée à la norme , définit sur A une distance induite (que nous noterons encore d, pour simplifier) et que l’espace ( A, d) est alors un espace métrique. Les boules de l’espace A sont alors les intersections de A avec des boules de E. Plus précisément, en notant B A une boule de A : ∀a ∈ A

∀r > 0

B A (a, r ) = A ∩ B(a, r ).

Il est alors possible, en utilisant les boules de A, de définir sur A une topologie, dite topologie induite sur A.

A

x a

Une partie O de A est un ouvert pour la topologie induite de A si : ∀a ∈ O ∃r > 0

B A (a, r ) ⊂ O.

Attention : Un ouvert relatif à A n’est pas nécessairement un ouvert de E. ]1,2] est un ouvert de [0,2], mais n’est pas un ouvert de R.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On dit que O est un ouvert relatif à A. Doc. 6.

Théorème 8 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E. Une partie O de A est un ouvert relatif à A si et seulement si O est l’intersection d’un ouvert de E avec A. Une partie F de A telle que A\F soit un ouvert relatif à A est un fermé relatif à A.

51

Maths, MP-MP∗

Théorème 9 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E. Une partie F de A est un fermé relatif à A si et seulement si F est l’intersection d’un fermé de E avec A. Attention : Un fermé relatif à A n’est pas nécessairement un fermé de E. [1,2[ est un fermé de [0,2[, mais n’est pas un fermé de R. Soit a ∈ A et V une partie de A contenant a. S’il existe r > 0 tel que B A (a, r ) ⊂ V , on dit que V est un voisinage de a relatif à A. Théorème 10 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E contenant a. Une partie V de A contenant a est un voisinage de a relatif à A si et seulement si V est l’intersection d’un voisinage de a dans E avec A.

2

Limites

Soit A une partie de E et f une application de A dans F. Dans tout ce qui suit, a désigne un point adhérent à A et b, c des points de F. Nous adopterons les conventions suivantes :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• Si a est un point de E adhérent à A, on dit que f possède la propriété P au voisinage de a si P est vraie sur l’intersection de A avec une boule de rayon non nul de centre A. 1 Exemple : la fonction x → sin est bornée au voisinage de 0. x • Si E = R, on dit que f possède la propriété P au voisinage de +∞ si P est vraie sur un intervalle du type ]c, +∞[. On procède de manière similaire en −∞. 1 Exemple : la fonction x → est bornée au voisinage de +∞. x

2.1. Définitions On dit que f admet b comme limite au point a si : ∀´ > 0 ∃d > 0 ∀x ∈ A

( x −a

E

d) ⇒ ( f (x) − b

F

´).

Dans ce cas, on dit aussi que f (x) tend vers b quand x tend vers a. Théorème 11 La limite de f en a, lorsqu’elle existe, est unique.

52

2. Topologie, étude locale des applications Lorsque f admet b comme limite au point a, on note : lim f (x) = b

ou

x→a

lim f = b. a

Théorème 12 f admet b comme limite en a si et seulement si : ∀ V ∈ V (b) ∃ W ∈ V (a)

Vous remarquerez que W ∩ A est un voisinage de a relatif à A.

f (W ∩ A) ⊂ V .

Corollaire 12.1 Si f admet en a la limite b, alors b est adhérent à f ( A). Démonstration Soit a dans A et V un voisinage de b. Il existe donc un voisinage W de a tel que : f (W ∩ A) ⊂ V . L’élément a étant adhérent à A, nous avons : W ∩ A = [. Donc : V ∩ f (A) = [ et b ∈ f (A).

P étant une partie de A, a un point de E adhérent à P, on dit que f admet une limite au point a selon P lorsque la restriction de f à P admet une limite en a : ∃b ∈ F

∀ V ∈ V (b) ∃ W ∈ V (a)

f (W ∩ P) ⊂ V .

Si f admet une limite en a, alors f admet une limite en a selon P.

On suppose ici que E = R et on note b un point de F. Lorsque f est définie sur un intervalle de la forme ]x 0 , +∞[, on dit que f admet b comme limite en +∞ si : ∀´ > 0 ∃ y ∈ R On écrit alors :

∀x ∈ A

(x

y) ⇒ ( f (x) − b

F

´).

lim f (x) = b ou lim f = b.

x→+∞

+∞

On définit de même une limite en −∞. +∞ ou −∞ comme limite

Ici, F = R et a est un point adhérent à A. On dit que f admet +∞ comme limite au point a si : ∀K ∈R

∃d > 0 ∀x ∈ A

( x −a

E

d) ⇒ ( f (x)

Exemple : Lorsque E = R, a est un réel, f est définie sur A et P =]a, +∞[, on retrouve la définition de la limite de f en a à droite rencontrée en première année. De même, avec P = ] − ∞, a[, on obtient la limite à gauche de f en a. Prenons : E = F = R, A = ]0, +∞[ et définissons f en posant f (x) = x x . La limite à droite de f en 0 est 1.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Limite en +∞ et en −∞

K ).

Et l’on note : lim f (x) = +∞ ou lim f = +∞. x→a

a

On définit de même une limite −∞ au point a. Extension au cas d’une variable vectorielle dont la norme tend vers +∞ Soit f une fonction d’une partie A non bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie (E, ), à valeurs dans R.

53

Maths, MP-MP∗

• On dit que f tend vers 0 lorsque

x

tend vers +∞ si :

∀´ > 0 ∃ K > 0 ∀x ∈ A

x

• On dit que | f | tend vers +∞ lorsque ∀M > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ A

K ⇒ | f (x)| x

´.

tend vers +∞ si :

x

K ⇒ | f (x)|

M.

Exemple : Soit f de R2 dans R, définie par : f (x, y) = x exp(−(x 2 + y 2 )). Cette fonction tend vers 0 lorsque

(x, y)

tend vers +∞. Pour s’entraîner : ex. 7, 8 et 9.

2.2. Limites d’applications et suites convergentes Théorème 13 Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : • L’application f admet une limite en a. • Il existe un élément b de F tel que, pour toute suite (u n ) d’éléments de A qui converge vers a dans (E, E ), la suite ( f (u n )) converge vers b dans (F, F ). • Pour toute suite (u n ) d’éléments de A, convergeant vers a, la suite ( f (u n )) converge. Démonstration Seule l’implication (3) ⇒ (2) nécessite un peu de rigueur. Supposons que f possède la troisième propriété. Soit alors deux suites (u n ) et (vn ) d’éléments de A, convergeant vers a. La suite (xn ) définie par : x2n = u n et x2n+1 = vn converge aussi vers a. La suite ( f (xn )) converge. On en déduit l’égalité des limites des suites extraites ( f (u n )) et ( f (vn )) de la suite ( f (xn )). Soit b la limite commune des suites ( f (xn )) lorsque (xn ) est une suite d’éléments de A convergeant vers a. Par l’absurde, supposons que f n’admette pas b comme limite en a, alors : ∃´ > 0 ∀d > 0 ∃x ∈ A En prenant d =

x −a

d

E

f (x) − b

F

> ´.

1 , on obtient : p+1

∃´ > 0 ∀ p ∈ N

∃ xp ∈ A

xp − a

E

1 p+1

La suite (x p ) converge donc vers a dans (E, converge pas vers b dans (F, F ). Faux.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

et

E ),

et

f (x p ) − b

F

> ´.

mais la suite ( f (x p )) ne

Remarque : De nombreux résultats sur les limites découleront des résultats analogues sur les suites. Nous laisserons les démonstrations aux soins du lecteur. Exemple : 1 n’a pas de limite en 0. La fonction f définie sur R∗ par : f (x) = sin x 1 En effet, pour p dans N, posons x p = p , f (x p ) = (−1) p . + pp 2 La suite (x p ) converge vers 0 et la suite ( f (x p )) diverge.

54

y 1

0,5 0 − 0,5

0,2

0,4

x

0,6

0,8

1

−1

Doc. 7. Avec Maple : graphe de la 1 fonction x → sin . x

2. Topologie, étude locale des applications 2.3. Limites d’applications à valeurs dans un espace vectoriel normé produit Soit F = F1 × F2 × · · · × Fp un espace vectoriel normé produit, chaque Fi étant muni d’une norme Ni . f est une application de A dans F. Pour tout i de [[1, p]], il existe une application fi de A dans Fi telle que : ∀x ∈ A

f (x) = ( f 1 (x), f 2 (x), . . . , f p (x)).

Nous noterons f = ( f 1 , f 2 , . . . , f p ) et, pour tout i de [[1, p]], f i est appelée i ème application composante de f . Théorème 14 Soit F = F1 × F2 × · · · × Fp un espace vectoriel normé produit et f = ( f 1 , f 2 , . . . , f p ) une application de A dans F. L’application f admet au point a la limite b = (b1 , b2 , . . . , b p ) si et seulement si, pour tout i de [[1, p]], l’application f i admet au point a la limite bi . Démonstration Cette démonstration simple utilise les inégalités : n

fi (x) − bi i )

( f (x) − b

et (∀ i ∈ [[1, n]]

f i (x) − bi

i

f (x) − b ).

i=1

2.4. Combinaison linéaire de limites Théorème 15 L’ensemble des applications de A dans F qui admettent une limite en a est un sous-espace vectoriel de F( A, F). L’application de cet ensemble dans F qui, à f associe lim f , est linéaire. a Si f et g admettent au point a une limite, pour tout couple (a, b) de K2 : lim(a f + bg) = a lim f + b lim g. a

a

a

2.5. Produit de limites c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 16 Soit f une application de A dans F admettant b comme limite en a et u une application de A dans K ayant a comme limite en a. Alors, le produit u f admet ab comme limite au point a : lim u f = lim u lim f . a

a

a

Corollaire 16.1 L’ensemble des applications de A dans K qui admettent une limite en a est une sous-algèbre de F(A, F). L’application de cette algèbre dans K qui, à f associe lim f , est un morphisme d’algèbre. a

55

Maths, MP-MP∗

2.6. Inverse de limites Théorème 17 Étant donné une fonction u de A dans K, de limite b en a, avec : b = 0. Alors : • ∃r > 0

∀ x ∈ B F(a, r ) ∩ A

u(x) = 0,

1 • en posant B = B F(a, r ) ∩ A, la fonction est définie sur B, a est u 1 1 admet pour limite au point a : un point adhérent à B et u b lim a

1 1 = . u lim u a

Démonstration • Puisque b = 0,

b > 0. Il existe r > 0 tel que : 2 ∀x ∈ A

x −a

∀x ∈ B

0<

b . 2

r ⇒ |u(x) − b|

E

b 2

|u(x)|

3

b . 2

• Montrer que a est adhérent à B est un exercice élémentaire. De plus : ∀x ∈ B

0

1 u(x) − b 1 = − u(x) b u(x)b

u(x) − b 2 . b2

Ceci permet de conclure.

Rappelons qu’un quotient de termes positifs se majore en majorant son numérateur ou en minorant son dénominateur.

2.7. Composition des applications G)

Dans ce paragraphe, (G, de F.

est un espace vectoriel normé, B une partie

Théorème 18 Si f est une application de A dans B qui admet comme limite b au point a, alors : • le point b est adhérent à B, c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• si, de plus, l’application g : B −→ G admet la limite c en b, l’application g ◦ f admet c comme limite en a. En d’autres termes : lim g ◦ f (x) = lim g(y).

x→a

y→b

Démonstration 1. Établi dans le corollaire 12.1. 2. Fixons ´ > 0. g admet c comme limite en b donc : ∃d > 0 ∀y ∈ B

56

y−b

F

d ⇒ g(y) − c

G

´.

Rapport CCP, 2002 « Le langage est très souvent d’une rare imprécision : par exemple, sur une indétermination du type l’infini à la puissance 0, un candidat dira que la limite est 1 car “l’exposant l’emporte sur la limite” ».

2. Topologie, étude locale des applications Un tel d > 0 étant déterminé, on sait aussi que : ∃m > 0 ∀x ∈ A

x −a

E

m⇒

f (x) − b

d.

F

On en déduit : ∀x ∈ A

x −a

E

m ⇒ g( f (x)) − c

G

´.

Pour s’entraîner : ex. 10.

3

Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

La comparaison de fonctions au voisinage d’un point est un outil permettant de préciser le comportement de ces fonctions de manière plus fine que la seule étude des limites. Dans ce paragraphe, f désigne toujours une application de A dans F, w une application de A dans K et a un point adhérent à A.

3.1. Relation de domination La fonction f est dite dominée par w au point a si : ∃K ∈R On écrit alors : a, f =a O(w).

∃ V ∈ V (a) ∀ x ∈ V ∩ A

f (x)

K |w(x)|.

Cette notation est due à Landau (1877-1938), mathématicien allemand.

f = O(w) ou, s’il est nécessaire de préciser le point

Propriétés : 1. Si w ne s’annule pas au voisinage de a, f = O(w) si et seulement si 1 la fonction f est une fonction bornée au voisinage de a. w 2. ( f = O(w) et g = O(w)) ⇒ f + g = O(w). ( f = O(w) et a ∈ K) ⇒ a f = O(w).

L’ensemble des applications de A dans F, dominées par w au voisinage de a, est donc un sous-espace vectoriel de F A . c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

3. Si u est une application scalaire dominée par c, et f une application vectorielle dominée par w, alors l’application vectorielle u f est dominée par wc.

3.2. Relation de négligeabilité La fonction f est dite négligeable devant w au point a si : ∀´ > 0

∃ V ∈ V (a) ∀ x ∈ V ∩ A

f (x)

´|w(x)|.

On écrit alors : f = o(w), ou, s’il est nécessaire de préciser le point a : f =a o(w).

La notation f = o(w) n’est pas une égalité, mais une relation d’appartenance. Elle signifie que f appartient à l’ensemble des fonctions négligeables devant w au point a. Elle est aussi due à Landau.

57

Maths, MP-MP∗

Théorème 20. Théorème de caractérisation f étant une application de A dans F, w une fonction de A dans K et a un point adhérent à A : 1. f est négligeable devant w en a si et seulement s’il existe un voisinage V de a et une fonction ´ de A dans F, de limite nulle en a, telle que : f = ´w. 2. Si w ne s’annule pas sur un voisinage de a, sauf peut-être en 1 a, f = o(w) si et seulement si la fonction f a pour limite 0 F lorsque w 1 x tend vers a : f =a o(w) ⇔ lim f = 0 F . a w

Propriétés : 1. f = o(w) ⇒ f = O(w). 2. f = o(w) et w = O(c) ⇒ f = o(c). 3. f = O(w) et w = o(c) ⇒ f = o(c). 4. f = o(w) et g = o(w) ⇒ f + g = o(w). f = o(w) et a ∈ K ⇒ a f = o(w). L’ensemble des fonctions négligeables devant w en a est un espace vectoriel sur K. 5. Si u est une application scalaire négligeable devant c, et f une application vectorielle négligeable devant w, alors l’application vectorielle u f est négligeable devant wc.

3.3. Fonctions vectorielles équivalentes en un point Pour toute application f de F( A, F), on note R qui à x associe f (x) .

f

l’application de A dans

Théorème 21 La relation définie sur F( A, F) par : f ∼a g ⇔ f − g =a o( g ) est • réflexive : f ∼a f ; • symétrique : f ∼a g ⇒ g ∼a f ; c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• transitive : f ∼a g et g ∼a h ⇒ f ∼a h. Les fonctions f et g sont alors dites équivalentes en a.

( f ∼a g) ⇔ ( f − g →a 0). »

On note aussi : f (x) ∼a g(x), ou f (x) ∼ g(x).

lim( f − g) = 0 n’entraîne pas : a f ∼a g. Cherchez un contreexemple.

Démonstration La relation est : • symétrique : Soit f et g deux fonctions de A dans F telles que : f −g = o( g ). Montrons que : g − f = o( f ). Pour cela, nous allons d’abord établir que g = O( f ). D’après l’hypothèse : ∀ ´ > 0 ∃ V ∈ V (a) Or :

58

g(x)

f (x) + g(x) − f (x)

∀ x ∈ V ∩A f (x) + ´ g(x) .

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Les notions de limite et d’équivalent sont vagues, il semble qu’un o( f ) soit quelque chose de “petit”, que :

f (x)−g(x)

´ g(x) .

2. Topologie, étude locale des applications Et donc : ∀ x ∈ V ∩ A

(1 − ´) g(x)

f (x) .

Prenons ´ < 1, il vient : ∀ x ∈ V ∩ A Par conséquent : g = O( f ) et Ainsi : f − g = o( g ) et

g(x)

1 f (x) . 1−´

g = O( f ).

g = O( f ), d’où : f − g = o( f ).

• Transitive : Soit f , g, h telles que : f − g = o( g ) et g − h = o( h ). D’après la démonstration ci-dessus, nous savons que : g−h = o( g ) et Donc : ( f − g) + (g − h) = o( g ) et

g = O( h ),

g = O( h ), soit : f − h = o( h ).

La démonstration précédente nous a permis de montrer la propriété suivante : Propriété :

La réciproque est fausse. Cherchez un contre-exemple.

Soit f et g des fonctions de A dans F et a un point adhérent à A. Alors : f ∼ g ⇒ g = O( f )

et

f = O( g ) .

Théorème 22 Soit f et g des fonctions de A dans F et a un point adhérent à A. Si f et g sont équivalentes en a et si f admet la limite l en a, la fonction g admet aussi la limite l en a : f ∼a g

et

lim f = l ⇒ lim g = l. a

a

Démonstration Exploitons nos différentes hypothèses : ´ . 2 lim f = l, donc f est bornée sur un voisinage V2 de a : ∃ M > 0 ∀ x ∈ V2 a

∀ x ∈ V1 ∩ A

f (x) − l

a

f ∼ g soit : ∀ ´ > 0 ∃ V3 ∈ V (a)

g(x) − l

g(x) − f (x) + f (x) − l

M.

´ f (x) . 2M est un voisinage de a. Pour tout x dans

∀ x ∈ V3 ∩ A

Ainsi, pour ´ > 0 fixé, V1 ∩ V2 ∩ V3 V1 ∩ V2 ∩ V3 ∩ A, on a :

f (x)

f (x) − g(x)

´. Ceci permet de conclure. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

lim f = l donc : ∀ ´ > 0 ∃ V1 ∈ V (a)

Mais la réciproque n’est vraie que si la limite l est non nulle, ainsi que le précise le théorème suivant dont la démonstration est immédiate : Théorème 23 Soit f une application de A dans F, de limite l non nulle en un point a adhérent à A. Alors f est équivalente en a à la fonction constante, notée l, définie sur A par l(x) = l : lim f = l a

et

Dire que f est équivalente en a à la fonction nulle, notée 0, signifie que f est identiquement nulle sur un voisinage de a.

l = 0 F ⇒ f ∼ l. a

59

Maths, MP-MP∗

Théorème 24 f et g désignant des fonctions vectorielles définies sur A, u et v des fonctions scalaires définies sur A et a un point adhérent à A, alors : 1. u ∼ v et f ∼ g ⇒ u f ∼ vg, 2. si u et v ne s’annulent pas sur un voisinage de a : u∼v a

et

f ∼g ⇒ a

f g ∼ . u a v

Théorème 25 Soit f et g deux fonctions de A dans F équivalentes en a, point adhérent à A. Alors les fonctions scalaires f et g sont équivalentes en a, c’est-à-dire :

Exercice : Montrer que, dans chacune des relations o et O, on peut remplacer une fonction par toute autre fonction équivalente. Ainsi, par exemple : f = o(w) et w ∼ c ⇒ f = o(c).

f ∼a g ⇒ f ∼ g . a

3.4. Cas particulier des fonctions numériques équivalentes en un point Les fonctions f et g étant définies sur une partie A de R, à valeurs dans K et a étant un point de A adhérent à A, les définitions et théorèmes vus dans le paragraphe précédent s’appliquent toujours. Il est toutefois possible de compléter ces résultats par les théorèmes suivants utilisant le fait que f et g sont à valeurs numériques.

Rapport Mines Albi, 1997 « De nombreux candidats ignorent exp(x 2 ) .» la signification de O 2x

Théorème 26 f et g étant deux fonctions numériques définies sur A et a un point adhérent à A, alors : et

f ∼a g ⇔ ∃ V ∈ V (a) ∃ w ∈ F(V ∩ A, K)

f = (1 + w)g

lim w = 0.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

a

Conséquences : 1. Si f et g sont deux fonctions numériques définies sur A et s’il existe un voisinage de a sur lequel g ne s’annule pas, alors : f ∼a g ⇔ lim a

f = 1. g

2. Soit f et g deux fonctions réelles, équivalentes en a. On suppose que g est de signe constant sur un voisinage de a. Alors il existe un voisinage de a sur lequel f et g ont le même signe.

60

Rapport Centrale, 2003 « Les techniques de base ne sont pas assimilées : la manipulation des équivalents et des fonctions « ◦ » se fait sans aucune précaution, ce qui conduit à des erreurs fatales, beaucoup ayant cru résoudre la question par l’utilisation des équivalents. »

2. Topologie, étude locale des applications

Propriétés : 1. ∀ n ∈ N∗

n

∀ i ∈ [[1, n]]

n

f i ∼ gi ⇒

fi ∼ i=1

2. ∀ n ∈ N∗

gi . i=1

f ∼ g ⇒ f n ∼ gn .

3. f et g étant équivalentes en a et telles qu’il existe un voisinage de a sur lequel f (et donc g) ne prenne que des valeurs positives (respectivement strictement positives), alors : ∀ a ∈ R+

f a ∼ g a (resp. ∀ a ∈ R

f a ∼ g a ).

4. e f ∼ eg ⇔ lim( f − g) = 0. a

f ∼ g n’entraîne pas e f ∼ eg .

a

5. f et g étant équivalentes en a, à valeurs strictement positives et telles que g admet en a une limite l, élément de R+ \{1} ∪ {+∞}, alors ln f et ln g sont équivalentes en a, c’est-à-dire :

Ainsi que vous l’avez déjà rencontré en première année, la relation d’équivalence n’est compatible ni avec l’addition, ni avec la soustraction. C’est une source d’erreurs fréquentes et graves.

∀ ( f , g) ∈ F( A, F) ( f ∼ g, lim g a

a

= l ∈ R+ \{1} ∪ {+∞}) ⇒ ln f ∼ ln g. a

6. lim f = l et l = 0 ⇒ f ∼ l. a

a

Théorème 27 w étant une application de A dans B, à valeurs réelles, a (respectivement b) un point adhérent à A (respectivement B), f et g deux fonctions de B dans F, alors : 1. lim w = b et f =b O( g ) ⇒ f ◦ w =a O( g ◦ w ). a

2. lim w = b et f =b o( g ) ⇒ f ◦ w =a o( g ◦ w ). a

3. lim w = b et f ∼ g ⇒ f ◦ w ∼ g ◦ w. a

b

a

Rapport Mines-Ponts, 2003 « ...il y a des abus concernant l’addition des ∼, qui n’est pas valable en général et doit être justifiée. » Rapport Mines-Ponts, 2003 « De nombreux étudiants confondent développements limités et équivalents, ainsi il n’est pas rare de rencontrer par exemple : x2 . De plus, la cos x ∼ 1 − 2 recherche d’équivalents, même simples, pose souvent problème. Il en est de même du choix de l’ordre auquel doit se faire un développement limité. »

Exemple : 1 − x 2 ∼1−

√

1

2(1 − x) 2 .

Exemple : lim

x→+∞

x a (ln x)b = lim x a−c (ln x)b−d = x→+∞ x c (ln x)d

x a (ln x)b = o(x c (ln x)d ) ⇔ [(a < c)

0 si a < c ou (a = c et b < d) +∞ sinon ou

(a = c

et

Rapport Mines-Ponts, 2003 « On rencontre « t x e−t ∼ e−t , t → +∞ ». De tels abus ne peuvent être acceptés et il est souhaitable de rappeler la définition des ◦, ∼ . »

b < d)] .

Pour s’entraîner : revoir les exercices de première année.

61

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Arccos x ∼1− sin(Arccos x) ∼1−

Maths, MP-MP∗

Application 5

Étude d’une fonction décroissante (extrait de Centrale 1993 math 1) x+1

On désigne par f une application continue, positive et décroissante de R+∗ dans R.

On en déduit : ∀ x ∈ ]0, d[ 0

1) Dans cette question, on suppose que :

2) Nous allons établir que f (x)− f (x+1) = o( f (x)).

x

0

Montrer que :

x

x x+1

=

x

f (t) d t

| f (t)| d t.

2) Dans cette question, on suppose que f est de classe C1 .

Fixons ´ > 0. Puisque f =+∞ o( f ), il existe A > 0 tel que : (t A) ⇒ (| f (t)| ´ f (t)).

• Montrer que :

On en déduit que, pour x ]x, x + 1[, − f (t) = | f (t)|

• En supposant de plus que f est convexe, prouver la réciproque.

−

y

x+1 x

1 f (x)

(x

x

O

1 x+a x+1

x+1 x

x+a x

f +

x+1 x+a

(∗)

f (c)

Fixons ´ dans ]0,1[. D’après (*), on a :

x

f

´ f (x)).

´ f (x)+ f 2

´ = f (x) 2

´ f + 2 f (x)

Or lim+ f (x) = +∞, il existe d > 0 tel que : x→0

∀ x ∈ ]0, d[

f ´2 f (x)

´ . 2

´ 2

f (x +1)− f (x) = f (c).

De plus, f est convexe et décroissante, donc :

a f (x) + f (a).

0

f (x) − f (x + 1)

∀ x > 0, ∃ c ∈ ]x, x +1[

f

a f (x) + (1 − a) f (x + a)

x+1

A) ⇒ (0

´ f (x) d t = ´ f (x).

• L’application f est de classe C1 et le théorème des accroissements finis permet de dire que :

x

Pour tout a ∈]0,1[ et x > 0,

x

´ f (x).

On a prouvé que f (x) − f (x + 1) =+∞ o( f (x)), c’est-à-dire : f (x) ∼+∞ f (x + 1).

f (x+a)

f =

´ f (t)

f (t) d t = f (x) − f (x + 1)

On a donc :

x+1

A et t dans

Intégrons sur [x, x + 1] : 0

1)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

x+1

f (x) − f (x + 1) = −

f =0+ o( f (x)).

( f =+∞ o( f )) ⇒ ( f (x) ∼+∞ f (x + 1)).

62

f (x)´.

• Puisque f est décroissante et de classe C1 ,

lim f (x) = +∞.

x→0+

x+1

f

.

f (x+1)

0 et | f (x+1)|

f (x)− f (x+1).

Fixons ´ > 0. Puisque f (x) ∼+∞ f (x + 1), il existe A > 0 tel que : ∀x D’où, (x

A, 0

f (x) − f (x + 1)

A) ⇒ (| f (x + 1)|

´ f (x + 1). ´ f (x + 1)).

On a prouvé que : f (x + 1) =+∞ o( f (x + 1)). Donc : f =+∞ o( f ).

2. Topologie, étude locale des applications

4

Continuité en un point

4.1. Définition et caractérisations Lorsque a est dans A et f admet en a la limite b, d’après la définition de la limite, on peut écrire : ∀´ > 0

∃d > 0 ∀x ∈ A

x −a

E

d ⇒ f (x) − b

´.

F

En particulier, on obtient : f (a) = b. Dans ce cas, on dit que f est continue au point a. Ainsi, si f est définie au point a, f admet la limite b en a si et seulement si f est continue en a. Mathématiquement, l’application f est continue au point a de A si : ∀´ > 0

∃d > 0 ∀x ∈ A

x −a

E

d ⇒ f (x) − f (a)

F

´.

ou, ce qui revient au même, si : ∀ W ∈ V ( f (a)) ∃ V ∈ V (a)

f (V ∩ A) ⊂ W .

Remarque : La définition de la continuité en un point dépend des normes considérées sur E et sur F. Toutefois la substitution à l’une de ces normes d’une norme équivalente ne modifie pas l’ensemble des fonctions continues en ce point. Exemple : Définissons la fonction de Dirac d de R dans R par : d(x) =

0 si x = 0 . 1 si x = 0

Paul Dirac (1902-1984), mathématicien et physicien anglais, fonde la théorie complète de la mécanique quantique et publie « The principles of quantum mechanics » en 1930. Pour ce travail, il reçoit le prix Nobel de physique en 1933. Après avoir enseigné les mathématiques à Cambridge pendant 37 ans, il devient, à 69 ans, professeur de physique à Florida State University.

Théorème 28 L’application f est continue au point a de A si et seulement si, pour toute suite (x p ) d’éléments de A qui converge vers a dans (E, E ), la suite ( f (x p )) converge vers f (a) dans (F, F ).

Rapport Mines Albi, 1997 « La continuité de g pour obtenir les limites éventuelles de (u n ) n’a presque jamais été signalée. »

Théorème 29 Soit F = F1 × F2 × · · · × Fp un espace vectoriel normé produit. Une application f de A dans F est continue en a si et seulement si ses p applications composantes sont continues en a.

Pour s’entraîner : ex. 11.

63

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’application d n’a pas de limite en 0. Elle n’est pas continue. Toutefois, en 0, elle admet 0 comme limite à gauche et 0 comme limite à droite.

Maths, MP-MP∗

4.2. Prolongement par continuité Théorème 30 Soit f une application de A dans (F, F ) et a un point de A. Alors l’application f est continue en a si et seulement si x→a lim f (x) existe et x=a

vaut f (a).

Si a est un point adhérent à A n’appartenant pas à A, l’application f n’est pas définie en a. Cependant, si f admet b comme limite au point a, alors on peut définir l’application f de A ∪ {a} dans F en posant : f (x) =

f (x) si x = a b si x = a

Par construction, f est continue au point a. L’application f est appelée le prolongement par continuité de f au point a. Exemples : Soit l’application f de R2 − {(0,0)} dans R définie par : f (x, y) = Vérifiez que :

lim

(x,y)→(0,0)

x 2 y2 . x 2 + y2

f (x, y) = 0.

Rapport CCP, 2001 « On peut signaler pour anecdote, qu’il n’y a pas prolongation de la fonction (il ne faut pas exagérer des matchs de football). »

En pratique, et bien que ceci soit un abus de notation (car on modifie l’ensemble de départ de f ) on s’autorise à dire simplement que l’on prolonge f par continuité en posant f (a) = b, et sans utiliser la notation f .

Nous pouvons donc prolonger par continuité f en (0,0) en posant f (0,0) = 0. L’application f de R2 − {(0,0)} dans R définie par : f (x, y) =

x2

xy + y2

est-elle prolongeable par continuité en (0,0) ? 1 1 1 Les deux suites , et 0, convergent vers (0,0) dans R2 . n n n 1 1 Si f était prolongeable par continuité, alors les suites f , et n n 1 f 0, auraient la même limite et ce n’est pas le cas. n c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Donc f n’est pas prolongeable par continuité en (0,0).

5

Application continue sur une par tie

5.1. Définition et propriétés algébriques On dit que l’application f est continue sur A (ou continue de A dans F) si f est continue en tout point de A. Une application f continue, bijective de A sur une partie B de F dont la réciproque f −1 est continue sur B est appelée un homéomorphisme de A sur B.

64

Rapport Ensi, 1997 « De nombreux raisonnements faux ou absurdes liés à la notion de fonction continue sur un intervalle. »

2. Topologie, étude locale des applications Notation : On désigne par C( A, F) ou C0 ( A, F) l’ensemble des applications continues de A dans F. Lorsque F = K, on abrège C( A, K) en C( A).

f continue sur A et f | A continue n’ont pas le même sens. Trouvez A. y

• C( A, F) est un sous-espace vectoriel de F A = F( A, F).

• C( A) est une sous-algèbre de K A . x

• Si u est une fonction continue de A dans K et f une fonction continue de A dans F, alors la fonction u f est une fonction continue de A dans F.

• Si F est de dimension n et si l’on note B une base de F, f 1 , . . . , f n les applications composantes de f dans la base B, alors : ( f ∈ C( A, F)) ⇔ (∀ i ∈ [[1, n]]

f i ∈ C( A)).

• Si f est une fonction continue de A dans K qui ne s’annule en 1 aucun point de A, alors la fonction est continue sur A. f

• Notons B une partie de F. Si f est continue de A dans F, g continue de B dans G, et si f ( A) ⊂ B, alors g ◦ f est continue de A dans G.

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Bien que cette difficulté ait déjà été mentionnée dans les précédents rapports, certains candidats continuent de confondre la notion de continuité de la restriction d’une fonction à un sous-ensemble, et la continuité de cette fonction sur ce sous-ensemble. »

Cherchez une bijection continue qui ne soit pas un homéomorphisme.

Pour s’entraîner : ex. 12.

5.2. Exemples importants 5.2.1 Applications lipschitziennes

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 31. Continuité des applications lipschitziennes Toute application lipschitzienne d’une partie A de E = Rn , à valeurs dans R, est continue sur A. Nous avons vu que : ∀ (x, y) ∈ E 2 L’application (R, | |).

E

| x

E

− y

E|

x−y

E.

est une application 1-lipschitzienne de (E,

Elle est donc continue sur (E,

E)

dans

E ).

Soit (E, E ) un espace vectoriel normé, la norme produit sur l’espace vectoriel E 2 et d la distance associée. L’application d est lipschitzienne, donc continue.

65

Maths, MP-MP∗

En effet : ∀ (x 1 , y1 ) ∈ E 2

∀ (x 2 , y2 ) ∈ E 2

|d(x 1 , y1 )−d(x 2 , y2 )|

| x 1 −y1

E−

x 2 −y2

x 1 − y1 − x 2 + y2 x 1 −x 2

E+

E|

E

y1 − y2

E

2 (x 1 , y1 ) − (x 2 , y2 ) Soit F = F1 × F2 × · · · × Fp un espace vectoriel normé produit. Pour tout i de [[1, p]], la projection pi de F sur Fi est 1-lipschitzienne, donc continue. 5.2.2 Fonctions du type : w(x, t) = g(t) On considère (E, E ), (F, F ) et (G, G ) trois espaces vectoriels normés, I une partie non vide de G et g une application continue de I dans F. L’application suivante w de E × I dans F définie par w(x, t) = g(t) est continue sur I × E. Exemple : L’application h de R2 dans R2 , définie par h(x, t) = (t+t 2 , 1+x), est continue sur R2 . 5.2.3 Fonctions du type : H(x, t) = f (x)g(t) On considère (E, E ) et (G, G ) deux espaces vectoriels normés, A une partie non vide de E, I une partie non vide de G. Étant donné f dans C( A) et g dans C(I ), l’application H de A × I dans K définie par H (x, t) = f (x)g(t) est continue sur A × I . y

2

Exemple : l’application (x, y) −→ cos(x)e est continue sur R . 5.2.4 Fonctions polynomiales On appelle fonction monôme des n variables (x 1 , . . . , x n ) toute application f de Kn dans K pouvant se mettre sous la forme : n

f (x 1 , . . . , x n ) = c i=1

x iri

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

où c est un élément de K et r1 , . . . , rn sont des entiers positifs ou nuls. On appelle fonction polynomiale des n variables (x 1 , . . . , x n ) toute combinaison linéaire de fonctions monômes des n variables (x 1 , . . . , x n ). Toute fonction polynomiale des n variables (x 1 , . . . , x n ) est continue sur Kn . Exemple : La fonction Det de (Mn (K), ∞ ) dans K, est continue en tant que composée de fonctions continues. En effet, l’application f de (Mn (K), ∞) 2 dans (Kn , ∞ ), définie par f (M) = (m i j )(i, j )∈[[1,n]]2 est 1-lipschitzienne et le déterminant est une fonction polynomiale des m i j .

66

Il existe des applications continues, non lipschitziennes comme la fonction f de R+∗ dans R : x −→

1 . x

En effet : |x − y| 1 1 = − x y |x y| et pour tout réel M, il existe (x, y) ∈ (R+∗ )2 tel que : 1 |x y|

M.

On en déduit que f n’est pas lipschitzienne.

2. Topologie, étude locale des applications 5.2.5 Fonctions rationnelles de n variables On appelle fonction rationnelle des n variables (x 1 , . . . , x n ) toute fonction P f de Kn dans K pouvant se mettre sous la forme : f = où P et Q Q sont deux fonctions polynomiales des n variables (x 1 , . . . , x n ), le dénominateur Q n’étant pas le polynôme nul. Le domaine de définition de f est l’ensemble D des points de Kn en lesquels Q ne s’annule pas.

Toute fonction rationnelle f des n variables (x 1 , . . . , x n ) est continue sur son domaine de définition D.

Rapport ENS Lyon, 2000 « Rappelons aussi que la continuité partielle n’entraîne pas forcément la continuité au sens de la norme en général. »

Application 6

Trois exemples de fonctions continues

(x, t) −→

n

tx

t e 1 + t2 + x2

est continue sur R2 . 3) Montrer que l’application h définie sur R × R+∗ par : h(x, y) = y x est continue sur R × R+∗ . Peut-on prolonger h en un point (x 0 , 0) ? 1) Notons f 1 , f 2 et f 3 les applications composantes de f . On remarque que f 1 et f3 sont des fonctions polynomiales en (x, y, z). De même l’application (x, y, z) −→ x y est une fonction polynôme en (x, y, z) et la fonction sinus est continue sur R. Le théorème de composition des applications continues permet d’en déduire que f 2 est continue sur R3 . Donc f est continue sur R3 . 2) L’application g est le produit des deux applicatn tions (x, t) −→ et (x, t) −→ ext . 1 + t2 + x2 La première est une fonction rationnelle continue sur R2 . xt

L’application (x, t) −→ e est la composée de l’application exponentielle qui est continue sur R

et de (x, t) −→ xt qui est une fonction polynomiale, continue sur R2 . Donc g est continue sur R2 . 3) Comme h(x, y) = exp (x ln(y)), un raisonnement similaire aux deux précédents permet de conclure. Si x 0 < 0, alors x ln(y) tend vers +∞, lorsque (x, y) tend vers (x 0 , 0), donc h ne peut être prolongée par continuité en (x 0 , 0). Si x 0 > 0, alors x ln(y) tend vers −∞, lorsque (x, y) tend vers (x 0 , 0), donc h peut être prolongée par continuité en (x 0 , 0) en posant h(x 0 , 0) = 0. Qu’en est-il lorsque x 0 = 0 ? Choisissons y = x > 0, et faisons tendre x vers 0, alors h(x, y) = h(x, x) = ex ln(x) tend vers 1. Donc h(x, y) tend vers 1 si l’on s’approche de (0,0) en restant sur la droite d’équation y = x. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Montrer que la fonction f définie sur R3 par : f (x, y, z) = (x 2 + y 2 , sin(x y), z − 2x), est continue sur R3 . 2) Montrer que l’application g :

Mais, si l’on s’approche de (0,0) en restant sur la courbe d’équation y = e−2/x , alors : h(x, y) = e−2 . On ne peut donc pas prolonger h par continuité en (0,0). Attention : Cette fonction se rencontre souvent dans les problèmes de concours. Il faut se méfier du point (0,0) (voir Centrale 1995).

Pour s’entraîner : ex. 13.

67

Maths, MP-MP∗

5.3. Topologie et applications continues Théorème 32 Soit f une application d’une partie A de E, à valeurs dans F. Alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

Le terme « relatif à » est essentiel. Pensez à la fonction Arctan. Arctan (R) = ] −

1. f est continue ;

p p , [. 2 2

2. l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé relatif à A ; 3. l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert relatif à A. Démonstration • Montrons que : 1 ⇒ 2. Soit W un fermé de F. A adhérent à f −1 (W ) est dans f −1 (W ). Soit x (x p ) d’éléments de f −1 (W ) ∩ A qui converge vers continue sur A, donc la suite ( f (x p )) converge vers pour tout p, f (x p ) est dans W , car x p appartient à

Montrons que tout point x de un tel point, il existe une suite x dans (E, E ). Or f est f (x) dans (F, F ). De plus, f −1 (W ).

Donc f (x) est la limite d’une suite d’éléments de W . Il est alors adhérent à W , qui est fermé. f (x) est dans W et x dans f −1 (W ).

Rappelons que la notation : f −1 (W ) = {x ∈ E| f (x) ∈ W }, ne signifie pas que f est bijective, mais désigne l’image réciproque par f de la partie W de F.

• Montrons que : 2 ⇒ 3. Soit W un ouvert de F. Rappelons que : f −1 (

F W)

= {x ∈ A| f (x) ∈

W étant un ouvert de F,

FW

F W}

= {x ∈ A| f (x) ∈ W } =

A(

f −1 (W )).

6

est un fermé de F, donc :

f −1 (

F W)

=

A(

f −1 (W ))

4 y

est un fermé relatif à A et, finalement, f −1 (W ) est un ouvert relatif à A.

2

• Montrons que : 3 ⇒ 1. Soit a un point de A. Montrons que f est continue en a, c’est-à-dire que : ∀ W ∈ V ( f (a))

∃ V ∈ V (a)q f (V ∩ A) ⊂ W .

Soit W un voisinage de f (a). Il existe U , ouvert de F, tel que : { f (a)} ⊂ U ⊂ W . a est donc dans f −1 (U ). Par hypothèse, f −1 (U ) est un ouvert relatif à A. Il existe donc un ouvert O de E, tel que : f −1 (U ) = O ∩ A. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’élément a appartient à O et O est un ouvert de E. Donc O est un voisinage de a tel que : f (O ∩ D) ⊂ W . On choisit V = O.

Exemple : Soit f ∈ C(E, R) et a ∈ R. L’ensemble {x ; f (x) = a} est un fermé de (E,

E ).

L’ensemble {x; f (x) > a} est un ouvert de (E,

E ).

L’ensemble {x ; f (x)

E ).

a} est un fermé de (E,

Pour s’entraîner : ex. 14, 15, 16 et 17.

68

−2

−1

0

1

x

2

−2 −4 −6

L’image directe d’un ouvert n’est pas un ouvert en général. Ainsi, si nous considérons la fonction g de ] − 1, 1[ dans R : x −→ x 3 − x. √ √ 2 3 2 3 f (] − 1,1[) = − , . 3 3

2. Topologie, étude locale des applications

Application 7

L’espace vectoriel normé (Mn (K),

1) Montrer que l’ensemble GLn (K) est une partie dense de Mn (K). 2) Montrer que GLn (K) est un ouvert de Mn (K). En déduire la frontière de GLn (K) dans (Mn (K), ∞ ). 1) Soit M une matrice singulière de Mn (K) quelconque. Considérons les matrices M +lIn . On sait que Det(M + lIn ) est un polynôme en l, qui s’annule en 0. Ce polynôme admet au plus n racines. Donc, pour tout ´ > 0, il existe a dans ]0, ´[ tel que Det(M + a In ) = 0.

∞)

La matrice M + a In appartient à GLn (K) et : (M + a In ) − M

∞

= a < ´.

Donc M appartient à l’adhérence de GLn (K). 2) L’application Déterminant est continue et K∗ est un ouvert de K. GLn (K) = Det−1 (K∗ ). Donc GLn (K) est un ouvert de Mn (K). ◦

Fr(GLn (K)) = GLn (K)\ GLn (K) = Mn (K) − GLn (K). La frontière de GLn (K) est donc l’ensemble des matrices singulières de Mn (K).

5.4. Continuité et parties denses Théorème 33 Soit f une application continue d’un espace vectoriel normé (E, ) dans un espace vectoriel normé (F, ). L’image de toute partie A dense dans E par f est une partie dense dans f (E).

Soit y = f (x) un point de f (E) n’appartenant pas à f (A) et V un voisinage de y. La continuité de f entraîne l’existence d’un voisinage U de x tel que f (U ) ⊂ V . Or U rencontre A, f (U ) rencontre f (A). Donc V rencontre f (A).

Exemple : Une partie dense de l’ensemble des complexes unitaires a Soit a un réel tel que soit irrationnel. L’application f : t −→ eit est p continue sur R. L’ensemble aZ + 2pZ est un sous-groupe dense dans R a car n’appartient pas à Q. Son image par f : G = {eian |n ∈ Z} est une p partie dense de U . Enfin, aZ + 2pZ = R. Donc G est distinct de U .

Exemple : Z + 2pZ est dense dans R. L’application cosinus est continue sur R. L’ensemble cos(Z+2pZ) = cos(Z) = cos(N) est dense dans [−1, 1].

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Démonstration

Théorème 34 Soit f et g deux applications continues de A dans F et D une partie dense de A. Si f et g coïncident sur D, elles coïncident sur A. Démonstration Soit a dans A. D est dense dans A, donc il existe une suite (u n ) de points de D convergeant vers a. Pour tout n, nous avons : f (u n ) = g(u n ). La continuité de f et de g en a permet de conclure : f (a) = g(a).

Exemple : Cherchons les applications continues de R dans R telles que : ∀ (x, y) ∈ R2

f (x + y) = f (x) + f (y).

69

Maths, MP-MP∗

Vous montrerez par récurrence que, pour tout n de Z : f (n) = n f (1). Pour tout ( p, q) de Z × N∗ , le calcul de f ∀r ∈ Q

q

p q

permet d’établir que :

f (r ) = r f (1).

Les applications f et (x −→ x f (1)) sont continues sur R. Elles coïncident sur Q, dense dans R. Donc : ∀x ∈ R

f (x) = x f (1).

Réciproquement, toute fonction linéaire convient.

•

Pour montrer qu’un point x de A est intérieur à A, on peut chercher une boule ouverte de centre x, contenue dans A.

•

Pour prouver qu’un point x de E est adhérent à A, on peut :

• chercher une suite d’éléments de A convergeant vers x ; • montrer que toute boule ouverte de centre x rencontre A.

•

Pour établir que A est ouvert, on peut montrer que :

• A est voisinage de chacun de ses points ; •

•

EA

est fermé.

Pour montrer que A est fermé, on peut :

• considérer une suite quelconque de A, convergente dans E et prouver que sa limite appartient à A ; • montrer que tout point adhérent à A est dans A ; • montrer que

•

E

A est ouvert.

Pour montrer que A est dense, on peut prouver que :

• A est l’image d’une partie dense par une application continue ; • tout élément x de E est limite d’une suite d’éléments de A ; c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• toute boule ouverte de E a une intersection avec A non vide.

•

Pour prouver que la fonction f admet b comme limite au point a, on pourra :

• décomposer f et utiliser les opérations sur les limites ; • utiliser les fonctions composantes de f lorsque l’espace F est un espace vectoriel normé produit ; • trouver une fonction g, définie sur un ouvert contenant a, à valeurs dans R+ et telle que : lim g = 0 a

• prouver que : ∀ ´ > 0

70

∃d > 0

et

∀ x ∈ A, f (x) − b

∀x ∈ A

( x −a

E

F

g(x) ;

d) ⇒ ( f (x) − b

F

´).

2. Topologie, étude locale des applications

• Pour prouver que la fonction f n’admet pas b comme limite au point a, on pourra trouver une suite (x n ) d’éléments de E qui converge vers a et telle que la suite ( f (x n )) ne converge pas vers b. •

Pour prouver que la fonction f n’admet pas de limite au point a, on pourra : • trouver une suite (x n ) d’éléments de E qui converge vers a et telle que la suite ( f (x n )) n’ait pas de limite ; • prouver que f n’est bornée dans aucune boule de centre a ; • construire deux suites (x n ) et (yn ) d’éléments de E qui convergent vers a et telles que les suites ( f (x n )) et ( f (yn )) ne convergent pas vers la même limite.

•

Pour prouver que la fonction f est continue au point a, on pourra : • décomposer f en fonctions plus simples (polynômes, fractions rationnelles, produits, composées,...) et utiliser les opérations sur les fonctions continues en un point ; • utiliser les fonctions composantes de f lorsque l’espace F est un espace vectoriel normé produit ; • montrer que pour toute suite (x n ) d’éléments de E qui converge vers a dans (E, ( f (x n )) converge vers f (a) dans (F, F ) ; • en désespoir de cause, sortir les ´, d de la définition.

E ),

la suite

•

Pour prouver que la fonction f n’est pas continue au point a, il suffit de trouver une suite (x n ) d’éléments de E qui converge vers a et telle que la suite ( f (x n )) ne converge pas vers f (a).

•

Pour prouver qu’une fonction f est continue sur A, on pourra : • décomposer f en fonctions plus simples (polynômes, fractions rationnelles, produits, composées,...) et utiliser les opérations sur les fonctions continues ; • montrer que f est continue en chaque point de A ; • montrer que f est lipschitzienne sur A ; • montrer que l’image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de A ; • montrer que l’image réciproque de tout fermé de F est un fermé de A.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

TD 1. L’égalité du parallélogramme (E,

) est un espace vectoriel normé sur R dont la norme vérifie l’égalité du parallélogramme : ∀ (x, y) ∈ E 2

x+y

2

+ x−y

On pose : f (x, y) =

x+y

2

2

=2 x

− x−y 4

2

2

+2 y

2

.

L’objectif de cet exercice est d’établir que f est un produit scalaire et que

est la norme associée.

71

Maths, MP-MP∗

1) Prouver que :

∀ (x, y, z) ∈ E 3

2) En déduire que :

f (x + y, z) + f (x − y, z) = 2 f (x, z)

∀ (x, z) ∈ E 2 ∀ (x, y, z) ∈ E 3

f (2x, z) = 2 f (x, z) f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z)

3) Montrer que l’application : F de R dans R : a −→ F(a) = f (ax, z) est continue et en déduire : ∀ (a, x, z) ∈ R × E × E

f (ax, z) = a f (x, z).

Conseil : Montrez d’abord la propriété pour a dans Q. 4) Prouver que f est un produit scalaire dont la norme associée est

.

5) Établir que, si (E, ) est un R-espace vectoriel normé tel que, pour tout sous-espace vectoriel F de dimension 2, la restriction de la norme à F découle d’un produit scalaire sur F, alors la norme découle d’un produit scalaire.

2. Une équation fonctionnelle Nous allons déterminer l’ensemble des applications de R dans R, continues en au moins un point et vérifiant la relation suivante dans laquelle a désigne une constante réelle : (∗) ∀ (x, y) ∈ R2 1) Que remarquez-vous ? 2) Prouver que :

∀ (u, v) ∈ R2

f (x + y) + f (x − y) = a f (x) f (y)

f (2u) + f (2v) = a f (u + v) f (u − v).

En déduire la continuité de f en 0. 3) On fixe x. Calculer : lim [ f (x + y) + f (x − y)]

y→0

et

lim [ f (x + y) f (x − y)].

y→0

En déduire que f est continue sur R. 4) Prouver que f est de classe C∞ sur R. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

5) Montrer que :

∀ (x, y) ∈ R2

6) Déterminer toutes les solutions de (*).

72

f (x) f (y) = f (y) f (x).

Exercices Montrer que, si A est une partie de (E, ) et O un ouvert de E, alors A + O est un ouvert de E. Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E vérifiant : ∀ x ∈ A ∀ t 0 t x ∈ A.

Soit (E, ) et (F, N) deux espaces vectoriels normés, et f une application linéaire de E dans F telle que, pour toute suite bornée (u n ) de E, la suite ( f (u n )) soit bornée. Montrer que f est continue sur E. Considérons la fonction f définie par : ⎧ ⎨ ln(1 + x y) si x = 0 f (x, y) = x ⎩ y si x = 0

Montrer que, si A est ouvert : A = E. Le résultat analogue est-il vrai si A est supposé fermé ? Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie. Déterminer les sous-espaces vectoriels ouverts et fermés dans E. Soit (E, ) un K-espace vectoriel normé de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. On suppose que F admet un point intérieur. Montrer que F = E. Soit (u n ) une suite d’un espace vectoriel normé, (E, ). Pour tout n de N, on note Un = {u p ; p n}. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (u n ) est l’ensemble Un . n∈N

Déterminer son domaine de définition et prouver qu’elle est continue sur ce domaine. Soit (E, E ) et (F, F ) deux R-espaces vectoriels normés et f une application de E dans F telle que : • ∀ (x, y) ∈ E •

f (x + y) = f (x) + f (y).

f est bornée sur B F(0 E , 1) : ∃ M ∈ R+

∀x ∈ E

( x

1⇒

E

f (x)

F

M).

1) Prouver que f est lipschitzienne. 2) En déduire que f est linéaire.

Soit (E, ) un R-espace vectoriel normé et A une partie de E. Montrer que A est dense dans E si et seulement si A rencontre tout ouvert non vide U de E.

Soit (E, | ) un espace préhilbertien complexe. Montrer que l’orthogonal de toute partie A de E est un sousespace vectoriel fermé de E.

On définit l’application f de R dans R en posant : 0 x

si x ∈ Q . si x ∈ R − Q

En quels points l’application f admet-elle une limite ? Soit a un réel. Pour tout x de R∗ , on pose : a + sin x1 . x Étudier, en fonction de a, les limites à droite et à gauche de f en 0. f (x) =

On définit la fonction g sur R2 \{(0,0)} par : x 3 − y3 . x 2 + y2 Calculer la limite de g en (0, 0). g(x, y) =

Soit (E, ) un espace vectoriel normé et h une application de E dans E. On suppose que : h admet une limite, x L, en 0 E et que ∀ x ∈ E h = h(x). Prouver que h 2 est constante.

Soit f et g deux fonctions continues de [a, b] dans R telles que : ∀ x ∈ [a, b] f (x) > g(x). Montrer qu’il existe l > 0 tel que : ∀ x ∈ [a, b]

f (x) > l + g(x).

On considère l’espace vectoriel E = Kn muni d’une norme E . Montrer que : A = {(v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ E n ; (v1 , v2 , . . . , vn ) libre } est un ouvert de E n , pour la norme produit

.

Montrer que, si n est un entier > 0 et p dans [[1, n]], l’ensemble : {A ∈ Mn (R) ; rg (A) p} est un fermé de (Mn (R), ∞ ). Soit A un convexe d’un espace vectoriel normé. 1) Montrer que l’adhérence de convexes.

A et son intérieur sont

73

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

f (x) =

Maths, MP-MP∗

*

2) Montrer que l’application w définie sur E par :

Déterminer toutes les applications h de R dans R ayant une limite finie en 0 et telles que :

w(x) = d(x, A), est convexe.

∀t ∈ R

Mn, p (R) est muni de la norme ∞ et on considère l’ensemble A des matrices de Mn, p (R) de rang n. Montrer que A est vide ou dense dans Mn, p (R). 1) Montrer qu’une boule d’un espace vectoriel normé est convexe. L’objectif de l’exercice est de montrer que certaines parties convexes, fermées de (Rn , ∞ ) sont une boule unité fermée pour une certaine norme de Rn que nous préciserons.

Étudier la continuité en un point x0 quelconque de la fonction f définie sur R∗ par : ⎧ ⎨ 1 si x = p avec q ∈ N∗ , p ∈ Z∗ et p ∧ q = 1 q f (x) = q . ⎩0 sinon 1) Soit A et B deux fermés non vides de (E, Prouver que :

a) Montrer que C est un voisinage de 0.

2) Soit A et B deux fermés non vides et disjoints de (E, ).

A(x) = {l ∈ R+∗ |x ∈ lC}

(A ∩ B = [) ⇔ (∀ x ∈ E

• En déduire l’existence de deux ouverts disjoints U et V tels que : A ⊂ U et B ⊂ V .

Dans la suite, on pose jC (x) = inf A(x). n

c) Montrer que jC est une norme sur R . d) Montrer que C est la boule unité fermée de (Rn , jC ). p

Soit (Un ) une suite d’ouverts denses de R . Montrer p

que ∩ Un est dense dans R . En déduire que R n∈N

p

On considère l’application f définie sur R2 par : ⎧ 4 2 ⎨ x + y si x y = 0 . f (x, y) = xy ⎩ 0 si x y = 0 1) Calculer f (x, ax).

Soit f une application convexe de R

dans R.

+

1) Montrer que, pour tout a de R , la fonction : x −→

u0

Soit f une application continue de R dans R et dans R. On définit la suite (u n ) par u 0 et : ∀ n ∈ N u n+1 = f (u n ).

Montrer que la suite u converge si et seulement si elle possède une unique valeur d’adhérence. *

Le théorème du graphe fermé

1) Soit f une application continue de R dans lui-même. Prouver que son graphe est un fermé de (R2 , ∞ ). 2) Construire une fonction de R dans R dont le graphe est un fermé de (R2 , ∞ ) et qui n’est pas continue sur R.

2) L’application f a-t-elle une limite en (0, 0) ? +

**

ne peut

être la réunion d’une suite (Fn ) de fermés d’intérieurs vides.

*

d(x, A) + d(x, B) = 0).

• Construire une application f , continue de E dans R et telle que : f | A = 0, f |B = 1.

n’est pas vide.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

).

2) Soit C une partie de (Rn , ∞ ) convexe, fermée, bornée, symétrique par rapport à 0 et d’intérieur non vide. b) On fixe x dans Rn . Montrer que :

f (x) − f (a) x −a

est croissante sur ]a, +∞[. f (x) 2) Montrer que admet une limite dans R lorsque x x tend vers +∞. f (x) 3) On suppose que la limite l de est réelle. Montrer x que f (x) − l x admet une limite l dans R.

74

h(2t) = h(t) cos(t).

3) Soit f une application bornée de R dans lui-même dont le graphe est fermé dans (R2 , ∞ ). Montrer que f est continue sur R. Soit f une application de (E, E ) dans (F, Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1) f est continue ; 2) ∀ A ⊂ E

f (A) ⊂ f (A) ;

3) ∀ B ⊂ F

f −1 ( B) ⊂ f −1 (B) ;

4) ∀ B ⊂ F

f −1 (B) ⊂ f −1 (B).

◦

◦

F ).

3

Compléments de topologie

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Notions de suites de Cauchy, d’espace complet. Continuité uniforme. Parties connexes par arcs. Notion de partie compacte.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Comment caractériser une suite convergente lorsqu’on ignore sa limite ? Le critère de Cauchy le permet, dans certains espaces vectoriels normés. Ces espaces seront dits complets. Alors qu’une application continue ne transforme pas nécessairement une suite de Cauchy en une suite de Cauchy, une application uniformément continue le fait. Vous avez vu en première année que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Afin de généraliser ce théorème à des espaces vectoriels normés, nous allons substituer à la notion intuitive de partie « d’un seul tenant » celle de partie connexe par arcs. Nous retrouvons, pour les suites d’une partie compacte, le théorème de Bolzano-Weierstrass, rencontré en première année pour les suites complexes bornées. Pourquoi ce théorème se généralise-t-il aux espaces vectoriels normés de dimension finie ? L’équivalence des normes sur de tels espaces en est la raison. Un cas particulier d’application entre espaces vectoriels normés est celui d’application linéaire. La linéarité fournit plusieurs caractérisations très simples de la continuité et permet de définir la norme d’une telle application.

Le théorème de Bolzano-Weierstass. Cas des espaces vectoriels normé de dimension finie. Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés. Définition d’une norme d’application linéaire. Continuité des applications bilinéaires entre espaces vectoriels normés.

75

Maths, MP-MP∗

Dans ce chapitre (E, égal à R ou C.

1

) désigne un espace vectoriel normé sur un corps K

Espaces complets

1.1. Suites de Cauchy Une suite (u n ) de l’espace vectoriel normé (E, Cauchy de E lorsqu’elle vérifie la condition : ∀ ( p, q) ∈ N2

∀´ > 0 ∃ N ∈ N

(p

), est appelée suite de

N et q

N ⇒ u p −u q

´).

Le concept de suite de Cauchy apparaît, en 1817, dans un article de Bolzano, quatre ans avant sa définition par Cauchy. Il ne semble pas que Cauchy ait eu connaissance de cet article de Bolzano. Une théorie complète des nombres réels a été nécessaire pour que le critère de Cauchy, d’abord admis, puisse être démontré. Ces théories datent des années 1860-1870 environ et sont l’œuvre de Dedekind, Weierstrass et Cantor.

Remarques : • Si deux normes sont équivalentes sur E, toute suite de Cauchy pour l’une est une suite de Cauchy pour l’autre. • La condition de Cauchy peut aussi s’écrire : ∀´ > 0 ∃ N ∈ N

∀ ( p, k) ∈ N2

(p

N ⇒ u p+k − u p

´).

Théorème 1 Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

! La réciproque est fausse. Cherchez un contre-exemple.

Démonstration (u n ) est une suite convergente de limite l. Fixons ´ > 0. On sait que : ∃N ∈N

∀p

N

up − l

´ . 2

On en déduit que, pour tout couple ( p, k) de N2 : p

N ⇒ u p+k − u p

u p+k − l + u p − l

´.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 2 Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration (u n ) est une suite de Cauchy de (E, que : ∀ ( p, k) ∈ N2

76

(p

). Prenons ´ = 1, il existe N1 dans N tel N1 ⇒ u p+k − u p

1).

L’ensemble {u q ; q rayon 1.

N1 } est borné, car inclus dans la boule de centre u N1 et de

Par ailleurs, {u p ; 0 bornés est bornée.

p

N1 } est fini, donc borné. La réunion de deux ensembles

Rapport X, 2001 « Le critère de Cauchy est rarement utilisé ou cité spontanément pour étudier la convergence d’une suite ou d’une série. » Rapport ENS Lyon, 2000 « Dans le même ordre d’idées, la bn bn−1 condition − tend vers 0 an an−1 bn n’assure pas que la suite an soit de Cauchy. »

3. Compléments de topologie

Théorème 3 Toute suite de Cauchy qui possède au moins une valeur d’adhérence l converge vers l. Démonstration Soit (u n ) une suite de Cauchy de (E, ) possédant une valeur d’adhérence l, et (u c(n) ) une suite extraite de (u n ) convergeant vers l. ∀p∈N

up − l

u p − u c( p) + u c( p) − l .

Fixons ´ > 0. La suite (u c(n) ) converge vers l. Il existe N1 dans N tel que : ∀p

N1

u c( p) − l

´.

La suite (u n ) est une suite de Cauchy. Il existe N2 dans N tel que : ∀p Or, c( p)

N2

∀k ∈ N

p. Donc pour tout p

u p+k − u p

max(N1 , N2 ), on a :

´. up − l

2´.

La suite (u n ) converge.

Corollaire 3.1 Toute suite de Cauchy qui possède une suite extraite convergente, converge.

1.2. Espace vectoriel normé complet Un espace vectoriel normé est dit complet si toute suite de Cauchy converge. Un espace vectoriel normé complet est appelé un espace de Banach . Théorème 4 R et C sont complets. Démonstration Soit (u n ) une suite de Cauchy de K. D’après le théorème 2, elle est bornée. Le théorème de Bolzano-Weierstrass vu en première année assure qu’on peut extraire une suite convergente.

Stefan Banach (1892-1945), mathématicien polonais, est un des fondateurs de l’analyse fonctionnelle. Enseignant, à partir de 1920, à l’université de Lwow, il retrouve régulièrement des étudiants et des collègues à la table d’un café. Les discussions vont bon train, sans crainte de blâme du professeur. Les idées fusent, les plus intéressantes sont notées dans un cahier. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

D’après le corollaire 3.1, la suite (u n ) converge.

Exemple : Soit (E 1 , 1 ), . . . , (E p , p ) des espaces vectoriels normés et (E, ) l’espace vectoriel normé produit. L’espace vectoriel normé (E, ) est complet si et seulement si, pour tout i de [[1, p]], l’espace vectoriel normé (E i , i ) est complet. Ainsi Rn et Cn sont complets pour la norme ∞. Un espace vectoriel normé dont la norme est associée à un produit scalaire est appelé espace préhilbertien (réel ou complexe). Si, de plus, cet espace est complet, il est appelé espace de Hilbert. Pour s’entraîner : ex. 1, 2 et 3.

77

Maths, MP-MP∗

Application 1

Une suite de Cauchy dans R3

On considère, dans l’espace vectoriel euclidien R3 la suite (Z n ) = (u n , vn , wn ) définie par : Z 0 = (u 0 , v0 , w0 ) ∈ R3 et, pour tout n : ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ u n+1 = u n − wn − 61 ⎪ ⎪ 3 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 1 1 vn+1 = u n + vn − wn + 61 . ⎪ 3 2 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎩ wn+1 = u n + vn − wn + 61 3 3 3 ⎞ 1 1 ⎜3 0 −6⎟ ⎟ ⎜ ⎜1 1 1⎟ ⎜ . On note A la matrice ⎜ − ⎟ 3⎟ ⎟ ⎜3 2 ⎝1 1 1⎠ − 3 3 3 1) Montrer que, pour tout vecteur X de R3 , on a : AX 2 k X 2 , où k est un réel de ]0, 1[. ⎛

2) En déduire que la suite (Z n ) est une suite de Cauchy de R3 . 3) Montrer qu’elle converge et calculer sa limite. 1) Posons X = (x, y, z).

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On a : AX 2 1 = (2x − z)2 + (2x + 3y − 2z)2 + 4 (x + y − z)2 . 6

En majorant 2x y par x 2 + y 2 , . . . , nous obtenons : √ 33 AX 2 X 2. 6 √ 33 Posons k = . 6 2) Il suffit de remarquer que, pour tout n 1, Z n+1 − Z n = A(Z n − Z n−1 ), puis, par récurrence : Z n+1 − Z n

2

2

k n Z 1 − Z 0 2.

On en déduit, pour tout entier n et pour tout entier p 1 : p

Z n+ p − Z n

2

=

(Z n+ j − Z n+ j −1 )

2

j =1 p

Z n+ j − Z n+ j −1

2

j =1

k n+1 Z 1 − Z 0 2. 1−k La suite (Z n ) est donc une suite de Cauchy pour la norme 2. 3) L’espace vectoriel R3 est complet pour la norme ∞ . Les normes 2 et ∞ sont équivalentes dans R3 . Donc la suite (Z n ) converge vers (a, b, c). En utilisant les opérations sur les limites de suites convergentes, on trouve : a = −99, b = 36, c = 30.

1.3. Parties complètes d’un espace vectoriel normé (E, ) étant un espace vectoriel normé, et A une partie de E, la partie A est dite complète si toute suite de Cauchy d’éléments de A converge dans A. Théorème 5 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie complète de E, alors A est une partie fermée de E.

78

k Z n − Z n−1

3. Compléments de topologie

Démonstration Soit (u n ) une suite d’éléments de A, qui converge vers a. Puisque cette suite converge, elle est une suite de Cauchy. Or A est complet, donc la limite a appartient à A. Ainsi A est une partie fermée de E.

Théorème 6 Soit (E, ) un espace vectoriel normé, et A, B deux parties de E telles que : • B est une partie complète de E, • A est une partie fermée de E, • A ⊂ B. Alors A est une partie complète de E. Démonstration Soit (u n ) une suite de Cauchy de A, elle est donc aussi une suite de Cauchy de B. La partie B étant complète, la suite (u n ) converge dans B. Sa limite est dans A puisque A est une partie fermée de B. La partie A est complète.

Corollaire 6.1 Les parties complètes d’un espace de Banach sont les parties fermées de cet espace. Exemple : Tout intervalle [a, b](a < b) est une partie complète de R. Toute boule fermée est une partie complète de (Kn ,

).

Application 2

Suite décroissante de fermés dans un espace de Banach

E n = {a}.

Puisque

∀´ > 0

f (E n ) = f ({a}). n∈N

1) Pour tout n de N, l’ensemble E n est non vide, choisissons x n dans E n .

∃N ∈N

∀n

N

D(E n )

´.

Par conséquent : ∀´ > 0

∃N ∈N

∀n

N

x n − x n+ p

n∈N

2) Soit f continue de E dans F. Montrer que :

lim D(E n ) = 0, on a :

n→+∞

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit (E, ) un espace de Banach et (E n ) une suite décroissante de fermés non vides de E telle que : lim D(E n ) = 0, où D(E n ) désigne le n→+∞ diamètre de E n . 1) Montrer qu’il existe a dans E tel que :

∀p∈N ´.

La suite (x n ) est de Cauchy dans E espace complet, elle converge. Soit a sa limite. Pour tout n de N on a : ∀p∈N

x n+ p ∈ E n

et

a = lim x n+ p . p→+∞

Donc a est dans E n = E n .

79

Maths, MP-MP∗

Puis a ∈

E n . Soit b dans n∈N

E n . Les élé-

De plus

n∈N

ments a et b sont dans chacun des E n , donc : ∀n ∈ N

a−b

D(E n ). f (E n ). n∈N

f (E n ) = f ({a}). n∈N

L’application f est continue en a. Soit W un voisinage quelconque de f (a) : ∃r > 0

∃N ∈N

∀n

N

D(E n )

r.

On a alors :

Ceci entraîne : a = b. 2) Il est immédiat que f (a) est dans Montrons que

lim D(E n ) = 0, donc :

n→+∞

∀n

N

D’où : ∀ n

E n ⊂ B(a, D(E n )) ⊂ B(a, r ). N

f (E n ) ⊂ f (B(a, r )) ⊂ W .

Ceci étant vérifié pour tout voisinage de nous en déduisons :

f (a),

f (E n ) = f ({a}).

f (B(a, r )) ⊂ W .

n∈N

Application 3

Théorème du point fixe

Soit (E, ) un espace vectoriel normé et f une application d’une partie complète A de E dans E. On suppose que f ( A) ⊂ A et que f est contractante, c’est-à-dire lipschitzienne de rapport k < 1.

Cette suite est bien définie car : f ( A) ⊂ A.

Montrer que f admet un point fixe et un seul et que toute suite (u n ) définie par :

Ensuite : ∀ (n, p) ∈ N2

u0 ∈ A

et

∀ p ∈ N u p+1 = f (u p )

converge vers le point fixe de f .

On montre par récurrence que : ∀p∈N

Soit a et b tels que : f (a) = a et f (b) = b.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

u i+1 − u i i= p

Unicité du point fixe Alors, puisque f est contractante : k a−b .

Ceci est impossible si a = b puisque k < 1. D’où : a = b. Existence du point fixe Considérons u 0 un point de A et (u p ) la suite définie par u 0 et : ∀ p ∈ N u p+1 = f (u p ).

80

n+ p−1

u n+ p − u p n+ p−1

Remarque : Ce théorème permet de définir et approcher des êtres mathématiques divers : solutions d’équations différentielles (théorème de CauchyLipschitz), fractals (ENSET 1988, 1re épreuve)...

a − b = f (b) − f (a)

k p u1 − u0 .

u p+1 − u p

ki u1 − u0

i= p p

k u1 − u0 . 1−k Or, 0 k < 1, donc k p tend vers 0 lorsque p tend vers +∞. La suite (u p ) est donc une suite de Cauchy d’éléments de la partie complète A. Elle converge vers a, élément de A. Nous savons que : ∀p∈N

f (u p ) − f (a)

k up − a .

La suite ( f (u p )) = (u p+1 ) converge donc vers f (a). D’où : f (a) = a.

3. Compléments de topologie 1.4. Critère de Cauchy pour une application Théorème 7 Soit (E, ) un espace vectoriel normé, (F, ) un espace de Banach, A une partie de E, a un point adhérent à A et f une application de A dans F. Alors l’application f admet une limite en a si et seulement si : ∀´ > 0

∃a > 0

x−a

E

∀ (x, y) ∈ E 2

0 ∃a > 0

∀x ∈ A

x −a

E

0 ∀ y ∈ A ( x − y E d) ⇒ ( f (x) − f (y)

F

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∃ a > 0 ∀ (x, y) ∈ A 2

´).

Ici, d dépend de ´ et de x. Lorsque f est uniformément continue sur A, le d de la définition ne dépend que de ´, et non pas de x.

81

Maths, MP-MP∗

2.2. Les propriétés de base Théorème 8 Toute application uniformément continue sur A est continue sur A.

Théorème 9 Toute application lipschitzienne sur A est uniformément continue sur A, donc continue sur A. Remarque : 400

Mais les réciproques sont fausses. • Considérons la fonction définie par : f (x) = x 2 , de R dans R. Cette fonction est continue, mais : f (x) − f (y) = (x − y)(x + y), donc : ∀d > 0

300 y

f (x) − f (x − d) = d(2x − d).

200

Il existe x réel tel que : d(2x − d) > 1.

100

Ceci montre que f n’est pas uniformément continue sur R. √ • Considérons la fonction définie sur R+ par : g(x) = x. Cette fonction est dérivable sur R+∗ et sa dérivée n’est pas bornée, donc elle n’est pas lipschitzienne sur R+ . Soit x et y deux réels tels que : 0 y x. √ √ On a alors : 0 y x y et x + y − 2 x y x − y. Donc : √

x−

√

√

y

x − y.

Vous en déduirez que g est uniformément continue sur R+ . Théorème 10 La composée de deux applications uniformément continues est uniformément continue.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 11 (Lemme de recollement) Soit I et J deux intervalles de R tels que : x = max I = min J est dans I ∩ J , et f une application uniformément continue sur I et sur J . Alors f est uniformément continue sur I ∪ J . Démonstration Fixons ´ > 0. On sait que : ∃ d1 > 0

∀ (t, u) ∈ I

|t − u|

d1 ⇒

f (t) − f (u)

F

´.

∃ d2 > 0

∀ (t, u) ∈ J

|t − u|

d2 ⇒

f (t) − f (u)

F

´.

Posons d = min(d1 , d2 ). Pour tout couple (t, u) d’éléments de I ∪ J , quatre cas sont possibles :

82

• t et u sont dans I , alors : |t − u|

d⇒

f (t) − f (u)

F

´.

• t et u sont dans J , alors : |t − u|

d⇒

f (t) − f (u)

F

´.

−20

−10

0

10 x

20

Doc. 1. Graphe de la fonction x → x 2.

3. Compléments de topologie • t est dans I et u dans J . Comme x = sup I = inf J ∈ I ∩ J , on a : t donc : |t − u|

d⇒

f (t) − f (u)

F

f (t) − f (x)

F

+ f (x) − f (u)

x

u,

2´.

F

• u est dans I et t dans J , ce cas se ramène au précédent. Nous avons établi que : ∀ ´ > 0 ∃ d > 0 ∀ (t, u) ∈ (I ∪ J )2

(|t − u|

d) ⇒ ( f (t) − f (u)

F

2´).

2.3. Suites et continuité uniforme Théorème 12 Soit (E, ) et (F, ) deux espaces vectoriels normés et f une application uniformément continue d’une partie A de E dans F. Alors l’image par f de toute suite de Cauchy (u n ) de A est une suite de Cauchy ( f (u n )) de F. La continuité uniforme de l’application f est nécessaire. Il suffit pour s’en 1 assurer de considérer la fonction f définie sur ]0, +∞[ par : x −→ et la x 1 suite définie par : u n = . La fonction f n’est pas uniformément continue n sur ]0, +∞[, sinon la suite (n) serait de Cauchy. Théorème 13 Soit (E, E ) et (F, F ) deux espaces vectoriels normés et f une application de E dans F. Alors f est uniformément continue si et seulement si, pour toutes suites (x n ) et (yn ) telles que la suite (x n − yn ) converge vers 0 E , la suite ( f (x n ) − f (yn )) converge vers 0 F .

Ce théorème permet de retrouver le fait que la fonction : x −→ x 2 n’est pas uniformément continue sur R. Il suffit de considérer 1 x n = n et yn = n + . n

Pour s’entraîner : ex. 6.

3

Connexité par arcs c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La notion de connexité par arcs, conformément au programme officiel, ne sera développée que dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie. Toutefois, vous pourrez constater, en l’étudiant, que cette notion peut se généraliser en dimension quelconque. Cette restriction permet de limiter la difficulté des exercices et d’utiliser l’intuition géométrique.

3.1. Définitions, exemples Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie et A une partie de E. On appelle chemin dans A toute application continue f de [0,1] dans A et arc dans A toute image d’un chemin de A. f (0) est l’origine de l’arc, f (1) est l’extrémité de l’arc.

83

Maths, MP-MP∗

Une partie A de E est connexe par arcs si, pour tous a et b de E, il existe un arc d’origine a et d’extrémité b contenu dans A.

Théorème 14 Toute partie convexe est connexe par arcs. Démonstration En effet, soit a et b deux points de A. Par définition de la convexité, le segment [a, b] est contenu dans A. L’application : f :

A a

b

[0,1] −→ A t −→ tb + (1 − t)a

est une fonction polynôme, donc continue et l’arc f ([0, 1]) est le segment [a, b]. Il a pour origine a et extrémité b.

Doc. 2. Toute partie convexe de E est connexe par arcs.

Une partie A de E est dite étoilée de E s’il existe un point a de A, tel que, pour tout b de A, le segment [a, b] est contenu dans A, c’est-à-dire : ∃a ∈ U

∀b ∈ U

[a, b] ⊂ U

Théorème 15 Une partie étoilée est connexe par arcs.

a

b

Démonstration Soit b et c dans A. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨2ta + (1 − 2t)b L’application t −→

⎪ ⎪ ⎪ ⎩(2t − 1)c + (2 − 2t)a

si

t ∈ 0,

si

t∈

1 2

1 ,1 2

est un chemin d’extrémités b et c. Pour s’entraîner : ex. 7 et 8.

3.2. Continuité et parties connexes par arcs

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 16 Soit (E, ) et (F, ) deux espaces vectoriels normés de dimension finie, A une partie de E et une application continue f de A dans F. Alors, si B est une partie de A, connexe par arcs dans E, la partie f (B) est connexe par arcs dans F. Démonstration Soit f (a) et f (b) deux points de f (B). B étant connexe par arcs, il existe une application u continue de [0,1] dans B, telle que : u(0) = a et u(1) = b. L’application f ◦ u est donc continue de [0,1] dans f (B), et vérifie : f ◦ u(0) = f (a)

et

f ◦ u(1) = f (b).

La partie f (B) est donc connexe par arcs dans F.

84

Doc. 3. Toute partie étoilée de E est connexe par arcs.

3. Compléments de topologie

Corollaire 16.1 Soit A une partie connexe par arcs de l’espace vectoriel normé, (E, ), et B une partie non vide de A. Si B est une partie ouverte et fermée relativement à A, alors B = A. Démonstration Soit f l’application de A dans R, définie par : f (x) = Montrons que f −1 (O).

f

1 si x ∈ B 0 si x ∈ B

est continue sur A. Soit O un ouvert de R, considérons

Si 0 ∈ O et 1 ∈ O, alors : f −1 (O) = [. Si 0 ∈ O et 1 ∈ O, alors : f −1 (O) = A\B. Si 0 ∈ O et 1 ∈ O, alors : f −1 (O) = B. Si 0 ∈ O et 1 ∈ O, alors : f −1 (O) = A. f −1 (O) est donc, dans tous les cas, un ouvert de A. L’application f est continue sur A, qui est connexe par arcs. Nous en déduisons que f (A) est un connexe par arcs de R. Or, f (A) ⊂ {0,1}. Donc f (A) = {0} ou f (A) = {1} . Comme B = [ on a f (A) = {1}. Donc B = A.

Corollaire 16.2 Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles de R. Démonstration Si A est un intervalle de R, c’est un convexe. Le théorème 14 assure que A est connexe par arcs. Si A n’est pas un intervalle. Il existe a et b dans A et c tel que a < c < b et c ∈ A. On note B l’ensemble ] − ∞, c[ ∩ I et C l’ensemble ]c, +∞[ ∩ I . Alors B et C sont des ouverts relatifs à I non vides. La partie B vérifie les hypothèses du corollaire 16.2 et cependant B = A. Donc A n’est pas connexe par arcs.

Application 4

Soit A une partie connexe par arcs de l’espace vectoriel normé, (E, ). Soit B une partie de ◦

◦

E telle que A rencontre B et E B . Montrer que A rencontre la frontière de B, Fr(B).

a

B°

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Où un connexe par arcs rencontre la frontière d’une partie

A

b

Doc. 5. La partie A connexe par arc rencontre la frontière de B.

85

Maths, MP-MP∗

◦

◦

Donc X est un fermé relatif à A.

Soit X = A ∩ B et Y = A ∩ E B . X et Y sont des ouverts relatifs à A .

Or X = f. D’après le corollaire 16.1 on a X = A puis Y = f ce qui n’est pas.

Montrons par l’absurde que :

Par conséquent :

A ∩ Fr (B) = f. Si A ∩ Fr (B) = f alors X =

A ∩ Fr (B) = f.

AY .

Application 5 Application localement constante sur un connexe par arcs Soit A une partie non vide de l’espace vectoriel normé (E, ). Une application f de A dans un espace vectoriel normé (F, ) est localement constante si, en tout point a de A, il existe une boule B(a, r )(r > 0) telle que l’application f est constante sur B(a, r ) ∩ A.

Soit a un point de A, b = f (a) et B = f −1 ({b}). L’application f est localement constante, donc continue, sur la partie A. {b} est un fermé de F et f est continue sur A, donc B est un fermé de A. Montrons ensuite que B est un ouvert de A.

Montrer que toute application localement constante sur une partie A non vide, connexe par arcs de E est constante.

Soit x dans B. Alors f (x) = b et il existe r > 0 tel que : ∀ y ∈ B(x, r ) ∩ A f (y) = b.

Soit f une application localement constante sur la partie A, connexe par arcs, de E.

Le corollaire 16.2 permet de conclure : B = A.

On en déduit que : B(x, r ) ∩ A ⊂ B. B est donc un ouvert de A.

Pour s’entraîner : ex. 9, 10 et 11.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Corollaire 16.3 (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie et f une application continue d’une partie A de E, connexe par arcs, dans R. Alors f ( A) est un intervalle de R. Remarques : • Ce théorème porte le nom de théorème des valeurs intermédiaires car si la fonction f prend les valeurs réelles u et v, alors elle prend toute valeur comprise entre u et v. • En particulier, si E = R et si f est une application continue d’une partie A de R dans R, l’image d’un intervalle de R est un intervalle de R.

86

Vous avez rencontré, en première année, ce théorème pour des fonctions continues de R dans R et vous connaissez bien la preuve visuelle, si évidente, de ce théorème. Sa démonstration, elle, n’est pas simple et elle ne fut rédigée qu’au XXe siècle par le mathématicien tchèque Bolzano. En tentant d’en dépasser l’évidence visuelle, les mathématiciens furent conduits à approfondir la notion de continuité, puis la structure de R et, petit à petit, à élaborer l’analyse mathématique moderne, outil essentiel de la Physique.

3. Compléments de topologie

Application 6

Homéomorphismes entre intervalles de R

I et J sont deux intervalles de R et f une application surjective de I sur J . 1) Montrer que deux des trois propriétés suivantes entraînent la troisième. a) f est continue.

Alors : a ∈ ] f −1 (b − ´), f −1 (b + ´)[. Il existe b > 0 tel que : ]a − b, a + b[ ⊂ ] f −1 (b − ´), f −1 (b + ´)[. On a : ∀x ∈ I

x ∈ ]a −b, a +b[ ⇒ f (x) ∈ ]b−´, b+´[.

b) f est injective. c) f est strictement monotone.

L’application f est continue en a.

2) En déduire qu’une surjection possédant deux de ces propriétés est un homéomorphisme de I sur J .

Si a est une borne de l’intervalle, on procède de la même manière. • Montrons que les propriétés a) et b) entraînent c).

1) Il est immédiat que les propriétés a) et c) entraînent b).

Considérons l’ensemble A = {(x, y) ∈ I 2 ; x < y}. C’est une partie de R2 connexe par arcs. f (x) − f (y) est L’application h : (x, y) −→ x−y continue sur A .

Montrons que les propriétés b) et c) entraînent a). Supposons f strictement croissante. Soit a un point intérieur à I . Il existe a > 0 tel que : ]a − a, a + a[ ⊂ I . Alors : f (a) ∈ ] f (a − a), f (a + a)[.

Par conséquent, h( A) est un intervalle de R. Mais h ne s’annule pas sur R, car f est injective sur I . L’intervalle h( A) est donc contenu dans R+∗ ou dans R−∗ . Nous en déduisons la stricte monotonie de f .

Donc b = f (a) est intérieur à J . Fixons ´ > 0 tel que :

2) Si une surjection possède deux de ces propriétés, sa réciproque possède les propriétés b) et c). C’est un homéomorphisme.

◦

]b − ´, b + ´[ ⊂ J .

Application 7

Le théorème de Darboux

Montrer que f (I ) est un intervalle. y

Considérons l’application ⎧ ⎨ {(x, y) ∈ I 2 ; x < y} −→ R, f (x) − f (y) w: (x, y) −→ . ⎩ x−y

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit f une application dérivable d’un intervalle non vide I de R dans R.

Cette application w est continue et l’ensemble {(x, y) ∈ I 2 ; x < y} est convexe, donc connexe par arcs. On en déduit que la partie :

I

I

Doc. 4.

x

A={

f (x) − f (y) ; (x, y) ∈ I 2 , x < y} de R x−y

87

Maths, MP-MP∗

est connexe par arcs. C’est un intervalle de le théorème des accroissements finis nous que : A ⊂ f (I ). De plus, soit x dans I une suite de points de I , tendant vers x leurs supérieures. Alors, lim w(x, x n ) = n→+∞

4

R. Or, indique et (x n ) par vaf (x).

Donc : A ⊂ f (I ) ⊂ A. A est un intervalle de R, f (I ) est donc un intervalle de R. Jean Gaston Darboux (1842-1917), mathématicien français.

Compacité

4.1. Définition Cette caractérisation des parties compactes d’un espace vectoriel normé de dimension finie est dite de Bolzano-Weierstrass.

Une partie A de E est compacte si, de toute suite d’éléments de A, on peut extraire une suite convergente dans A. On dit alors aussi simplement que A est un compact de E. Théorème 17 Toute réunion finie de parties compactes est compacte. Toute intersection de parties compactes est compacte.

4.2. Quelques propriétés topologiques Théorème 18 Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie compacte de E. Alors A est une partie fermée, bornée de E. Démonstration Supposons que, de toute suite d’éléments de A, on puisse extraire une suite convergeant vers un élément de A. Nous devons montrer que : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) A est fermé. Soit a un point adhérent à A. Il existe une suite (u p ) d’éléments de A qui converge vers a. D’après l’hypothèse sur A, on peut extraire de la suite (u p ) une suite qui converge vers un élément b de A. Mais toute suite extraite de la suite convergente (u p ) converge vers a, donc : b = a et a ∈ A. Tout point adhérent à A est dans A, donc A est fermé. 2) A est borné. Supposons le contraire. Alors : ∀ p ∈ N ∃ u p ∈ A

up

p.

Pour toute suite extraite (u w( p) ) de (u p ), on peut affirmer que, pour tout p : w( p) donc : ∀ p ∈ N u w( p) w( p) p.

p,

Aucune suite extraite de (u p ) n’est bornée, donc aucune suite extraite de (u p ) n’est convergente. Ceci contredit notre hypothèse, donc A est borné.

88

Remarque : Si deux normes de E sont équivalentes, toute partie compacte pour l’une est compacte pour l’autre.

3. Compléments de topologie Bernhard Bolzano, né à Prague en 1781, ordonné prêtre en 1805, est, à partir de 1820, activement surveillé par la police de l’empire austro-hongrois qu’il a critiqué. Son travail en mathématiques, axé sur la recherche de fondements rigoureux, le conduit à énoncer à plusieurs reprises des résultats qui ne seront étudiés et développés que plus tard. Ainsi de la théorie des ensembles infinis. Théorème 19 Soit A une partie compacte de E. Alors toute partie B, contenue dans A et fermée, est une partie compacte de E. Démonstration Soit (u p ) une suite d’éléments de B. C’est également une suite d’éléments de A qui est compact. Cette suite admet une suite extraite (u w( p) ), convergente dans A. Sa limite l est donc adhérente à B. Puisque B est fermé, l appartient à B. La suite extraite, (u w( p) ) converge dans B.

Théorème 20 Soit E = E 1 × · · · × E p un espace vectoriel normé produit et, pour tout i de [[1, p]], Ai un compact de E i , alors la partie A = A1 × · · · × A p de E est un compact de E. Démonstration Ce théorème se démontre par récurrence. Effectuons la démonstration pour p = 2. Considérons la suite (u p , v p ) de A 1 × A 2 . (u p ) est donc une suite du compact A 1 . Il en existe une suite extraite, (u w( p) ), convergente dans A 1 . Considérons alors la suite (vw( p) ). C’est une suite d’éléments du compact A 2 . Il existe donc une suite extraite de cette suite, (vw ◦ c( p) ), convergente dans A 2 . La suite (u w ◦ c( p) ) est une suite extraite de la suite convergente (u w( p) ), donc converge. La suite (u w ◦ c( p) , vw ◦ c( p) ) est donc une suite extraite de (u p , v p ), convergente dans A 1 × A 2 . Ceci prouve la compacité de la partie A 1 × A 2 . Pour s’entraîner : ex. 12 et 13.

La réciproque de ce théorème est fausse en général. C’est un point que nous aurons l’occasion de préciser dans le chapitre suivant. Remarque : A étant une partie fermée de E, les parties contenues dans A et fermées sont les fermés relatifs de A. En effet, puisque B est un fermé relatif à A, il existe une partie fermée F de E telle que : B = F ∩ A. B est l’intersection de deux fermés de E. Il est fermé dans E.

Application 8

Fermés et compacts

1) Soit (x n ) une suite de A + B convergeant vers x. Pour tout n de N, x n s’écrit : x n = yn + z n , avec yn dans A et z n dans B. La suite (yn )

est une suite du compact A. On peut en extraire une suite (yw(n) ) convergente dont la limite y est dans A. La suite (z w(n) ) est alors la différence de deux suites convergentes, elle converge vers x − y. Puisque B est fermé, x − y est un élément de B, donc : x ∈ A + B. La partie A + B est fermée dans E. √ 2) Considérons les ensembles Z et 2Z. Ce sont deux fermés de R2 . Aucun n’est borné, donc au√ cun n’est compact. Z+ 2Z est un sous-groupe de √ R. 2 n’appartient pas à Q. Ce sous-groupe est dense dans R.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie. 1) Montrer que, si B est une partie fermée de E, et A une partie compacte de E, alors A + B est une partie fermée de E. 2) Ceci est-il toujours exact si A est seulement supposée fermée ? √ Considérer dans R2 , les ensembles Z et 2Z .

89

Maths, MP-MP∗

Théorème 21 Toute partie compacte est une partie complète. Démonstration Soit (u p ) une suite de Cauchy d’éléments de A compact, cette suite admet une suite extraite convergente. Elle converge.

Théorème 22 Soit A une partie compacte de E. Alors toute suite de A admettant une unique valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence. Démonstration Effectuons une démonstration par l’absurde. Supposons que (u p ) soit une suite de A possédant une unique valeur d’adhérence a et ne convergeant pas vers a. Ceci se traduit par : ∃´ > 0 ∀ N ∈ N

∃p∈N

p

N

et

u p − a > ´.

Utilisant cette propriété, on peut alors construire une suite, (u w( p) ), extraite de (u p ) et telle que : (∗) ∀p∈N u w( p) − a > ´. Il suffit de choisir w(0) tel que : u w(0) − a > ´, puis w(1) tel que : w(1) > w(0)

et

u w(1) − a > ´.

En supposant la suite ainsi construite jusqu’au rang n, on détermine de même w(n + 1). Cette suite est une suite d’éléments du compact A, donc elle possède une valeur d’adhérence b. De plus, la condition (*) entraîne que : a = b, ce qui contredit l’énoncé.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

4.3. Le théorème de Bolzano-Weierstrass sur les suites réelles ou complexes Rappelons le théorème de Bolzano-Weierstrass, vu en première année. Théorème 23. Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée de réels ou de complexes, on peut extraire une suite convergente.

Corollaire 23.1 Les parties compactes de R ou de C sont les parties fermées, bornées.

90

Ce théorème énoncé par Bolzano vers 1830 a été démontré par Weierstrass vers 1860.

3. Compléments de topologie 4.4. Les parties compactes d’un espace vectoriel normé de dimension finie, (E, ∞ ) Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K, (e1 , . . . , e p ) une base de E. La norme ∞ sur E relative à cette base est la norme définie par : p

∀x ∈ E

x=

x i ei −→ x

∞

i=1

= max |x i |. i∈[[1, p]]

Théorème 24 (E, ∞ ) étant un espace vectoriel normé de dimension finie, les compacts de (E, ∞ ) sont les parties fermées, bornées de E. Démonstration Soit A une partie fermée, bornée de (E,

∞ ).

Montrons que A est compacte.

Soit (u n ) une suite d’éléments de A. Écrivons : p

un =

u n,i ei . i=1

A est bornée, donc : ∃ M ∈ R+

∀a ∈ A

a

∞

M.

Or, pour tout n, u n est dans A, donc : max |u n,i |

M.

i∈[[1, p]]

La suite (u n,1 ) est donc une suite d’éléments de K bornée. Il existe une application w1 , strictement croissante de N dans N, telle que la suite extraite, (u 1w1 (n) ), converge vers l1 . La suite (u 2w1 (n) ) est encore une suite bornée de K. Il existe de même une application w2 , strictement croissante de N dans N, telle que la suite extraite, (u w1 ◦ ... ◦ w2 (n),2 ), converge vers l2. En itérant le procédé, par récurrence finie, on établit l’existence, pour tout k de [[1, p]], d’une application strictement croissante de N dans N, wk , telle que la suite extraite, (u w1 ◦ w2 ◦ ... ◦ wk (n) , k), converge vers lk. Posons alors :

p

li ei . c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

l= i=1

On a :

p

max |u w1

i∈[[1, p]]

◦ w2 ◦ ... ◦ w p(n) ,i

− li |

|u w1

◦ w2 ◦ ... ◦ w p(n) ,i

− li |.

i=1

Pour tout i de [[1, p]], la suite (u w1 ◦ w2 ◦ ... ◦ w p(n) ,i ) est extraite de la suite (u w1 ◦ w2 ◦ ... ◦ w j (n),i ) qui converge vers li . Elle converge vers l i . La suite (u w1 ◦ w2 compacité de A.

◦ ... ◦ w p(n) )

converge donc vers l pour

∞,

ce qui prouve la

Et que se passe-t-il pour les autres normes ? Cette question sera étudiée au § 5. Pour s’entraîner : ex. 14.

91

Maths, MP-MP∗

4.5. Image d’un compact par une application continue Théorème 25 Soit A une partie de (E, E ) et f une application continue de A dans F, alors, si K est une partie compacte de E, contenue dans A, f (K ) est une partie compacte de F. Démonstration Nous allons établir la compacité de f (K ) en montrant que, de toute suite de f (K ), il est possible d’extraire une suite convergeant vers un élément de f (K ). Fixons donc (y p ) une suite d’éléments de f (K ) : ∀ p ∈ N

∃ xp ∈ K

Rapport X, 2000 « Pour en déduire la compacité de K , la plupart se sont assignés à montrer qu’il s’agissait d’une partie fermée et bornée. Ce n’était pas la méthode la plus directe... La définition même de K aurait dû inciter à voir K comme image d’une partie compacte de Rn par une application continue. »

y p = f (x p ).

(x p ) est une suite d’éléments de K et K est compact. Il existe une suite extraite (xw( p) ) qui converge vers un élément x de K . Or, f est continue en x, et

lim xw( p) = x, donc :

p→+∞

lim f (xw( p) ) = f (x).

p→+∞

La suite (yw( p) ), extraite de la suite (y p ), converge vers un élément f (x) de f (K ).

Exemple : Le produit de p parties compactes de p espaces vectoriels normés est un compact de l’espace vectoriel normé produit. La continuité des p projections pi , de E dans E i permet d’affirmer que la réciproque est exacte. Pour s’entraîner : ex. 15.

Application 9

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Un homéomorphisme

Soit f une application continue d’une partie compacte A de l’espace vectoriel normé (E, E) dans l’espace vectoriel normé (F, F ) . On suppose que la restriction de f à A induit une bijection g de A sur f ( A) . Montrer que g est un homéomorphisme. Que dire si A n’est pas compact ?

Or f (S) est un compact de F contenu dans f ( A) donc un fermé de f ( A). L’application g −1 est continue de f ( A) sur A.

Soit S un fermé de A, c’est un compact de E. Son image réciproque par g −1 est f (S).

Mais l’application f −1 n’est pas continue, car U est un compact et A ne l’est pas.

Soit A = ]0, 2p] et f de A dans U définie par f (t) = eit . L’application f est continue et bijective de A sur U.

Théorème 26 Soit A une partie compacte non vide de l’espace vectoriel normé (E, E ) et f une application continue de A dans R. Alors f est bornée et atteint ses bornes sur A.

92

Rapport X, 2000 « Ce n’est pas parce qu’une fonction continue est minorée qu’elle atteint sa borne inférieure. »

3. Compléments de topologie Remarque : En d’autres termes, sous ces hypothèses, on peut écrire : ∃K ∈R

∀x ∈ A

| f (x)|

K ;

∃ x0 ∈ A

f (x 0 ) = inf f (x) = min f (x) ;

∃ x1 ∈ A

f (x 1 ) = sup f (x) = max f (x).

x∈ A

x∈ A

x∈ A

x∈ A

Démonstration

Rapport Centrale, 2003 « Le mot extremum déclenche chez presque tous les étudiants le calcul des dérivées partielles même lorsqu’il s’agit de fonctions continues sur un compact et qui ne sont, bien sûr, pas de classe C1 sur la frontière. »

D’après le théorème précédent, f (A) est un compact de R, donc une partie fermée et bornée de R. L’application f est donc bornée. De plus, la borne supérieure d’une partie non vide et majorée de R est un point adhérent à cette partie. Donc sup ( f (A)) est un point adhérent à f (A), mais f (A) est une partie fermée de R, donc sup( f (A)) est dans f (A). Le raisonnement est identique pour la borne inférieure.

Exemple : La fonction f : (x, y) −→ x exp(−(x 2 + y 2 )) est continue sur R2 et f (1,1) = De plus :

1 . e2

lim

(x,y) →+∞

f (x, y) = 0.

Il existe donc R > 0 tel que : ∀ (x, y) ∈ R2 \B F(0, R) | f (x, y)| <

1 . e2

f est continue sur le compact B F(0, R). Elle est bornée sur ce compact et : ∃ (a, b) ∈ B F(0, R)

M=

sup

(x,y)∈B F(0,R)

| f (x, y)| = | f (a, b)|.

Or : (1,1) ∈ B F(0, R). D’où : sup | f (x, y)| =

(x,y)∈R2

sup

(x,y)∈B F(0,R)

| f (x, y)| = f (a, b).

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’application f est de classe C1 sur R2 et : f (a, b) = sup | f (x, y)|. (x,y)∈R2

Donc :

∂f ∂f (a, b) = (a, b) = 0. ∂x ∂x

Nous obtenons : (a = ±1 et b = 0)

ou

(a = 0 et b = ±1).

Or : f (0,1) = 0 et f (1,0) = e−1/2 . Et : M = e−1/2 .

93

Maths, MP-MP∗

Application 10

Distance entre deux parties

Soit (E,

) un espace vectoriel normé.

1) Montrer que, si A est un compact de E, alors, pour tout x de E, il existe x 1 dans A tel que : d(x, x 1 ) = d(x, A).

L’application d de A1 × A2 dans R est continue. Donc il existe (x 1 , x 2 ) dans A1 × A2 tel que : x 1 − x 2 = d( A1 , A2 ) = inf x−y . (x,y)∈ A1 × A2

2) A1 et A2 étant deux compacts de E, montrer qu’il existe (x 1 , x 2 ) dans A1 × A2 tel que : x 1 − x 2 = d( A1 , A2 ) =

2) A1 × A2 est un compact de E × E pour la topologie produit.

inf

(x,y)∈ A1 × A2

x−y .

3) Soit A un compact de E et F un fermé de E. Montrer que, si A et F sont disjoints, alors d( A, F) > 0 . 4) En est-il de même si A et F sont deux fermés disjoints de E ? 1) Nous savons que : d(x, A) = inf d(x, a). L’apa∈ A

plication : a −→ d(x, a) est continue sur A. Donc il existe x 1 dans A tel que : d(x, x 1 ) = d(x, A).

3) Supposons A et F disjoints avec : d( A, F) = 0. Pour tout n de N∗ , il existe (an , f n ) dans A × F 1 tel que : d(an , f n ) < . n La suite (an ) est une suite du compact A. Elle possède une suite extraite (aw(n) ), convergente vers a, élément de A. La suite (d(aw(n) , f w(n) ) converge vers 0. Donc la suite ( f w(n) ) converge vers a. Or, F est fermé. Nous en déduisons que a appartient à F. Ce qui est absurde. 4) Si l’on choisit E = R2 , A = {(x, y) ∈ R2 ; x y = 1} et F = {(x, 0); x ∈ R}. Chacune de ces parties est fermée. La propriété est fausse lorsque A est seulement supposée fermée.

Pour s’entraîner : ex. 16 et 17.

4.6. Uniforme continuité et compacité Théorème 27 (Théorème de Heine) Soit A une partie compacte de E et f une application continue de A dans F, alors f est uniformément continue sur A. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Démonstration Effectuons une démonstration par l’absurde. Nous allons supposer que A est compact et que f n’est pas uniformément continue sur A. ∃ ´ > 0 ∀ a > 0 ∃ (x, y) ∈ A 2

x−y

a

E

et

f (x) − f (y)

F

> ´.

Introduisons des suites : ∀ n ∈ N∗

∃ (xn , yn ) ∈ A 2

xn − yn

E

1 n

et

f (xn ) − f (yn )

F

> ´.

(xn ) est une suite d’éléments du compact A. Elle admet une suite extraite convergente vers un élément a de A, et donc : lim

n→+∞

94

xw(n) − a

E

= 0.

Eduard Heine (1821-1881). Ce théorème a été établi par Heine en 1872, pour une fonction continue sur un segment [a, b] de R. La démonstration de ce théorème l’a conduit à préciser les propriétés des parties fermées et bornées de R que nous appelons maintenant des compacts.

3. Compléments de topologie De plus, pour tout n : 0 donc :

lim

n→+∞

yw(n) − a

yw(n) − a

E

yw(n) − xw(n)

E

= 0.

E

+ xw(n) − a

E,

f est continue en a, d’où :

lim f (xw(n) ) = lim f (yw(n) ) = f (a).

n→+∞

Or : ∀ n

f (xw(n) ) − f (yw(n) )

n→+∞

F

> ´. Ceci est impossible.

Exemple Continuité uniforme de (x −→

√

x) √

1) La restriction de la fonction à [1, +∞[ est dérivable et sa dérivée est 1 positive, majorée par . Elle est lipschitzienne sur [1, +∞[, donc uniformé2 ment continue sur cet intervalle. 2) Toutefois, cette fonction n’est pas lipschitzienne sur R+ , car, si x et y sont distincts : √ √ x− y f (x) − f (y) 1 = = √ √ x−y x−y x+ y et cette quantité n’est pas bornée lorsque x et y décrivent R+ . √ 3) Cependant, la fonction est continue sur le segment [0, 1], elle est donc uniformément continue sur ce segment et le théorème 11 permet de conclure.

5

y

y=√x

2

Fonction à dérivée bornée sur [1, +`] 1 Fonction continue sur le compact [0, 1] 1

4

x

Doc. 6. Graphe de la fonction : √ x→ x

Topologie d’un espace vectoriel normé de dimension f inie

5.1. Équivalence des normes dans un espace vectoriel de dimension finie Théorème 28 Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors toutes les normes sur E sont équivalentes.

La démonstration de ce résultat n’est pas exigible des étudiants.

Démonstration c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit N une norme sur un espace vectoriel E de dimension finie. Fixons une base (e j ) j ∈[[1, p]] de E. Nous allons montrer que N est équivalente à la norme infinie associée à cette base. p

Si x dans E s’écrit

x j e j , on a : j =1

⎛ N (x) = N ⎝

p

⎞

p

xjej⎠

j =1

p

|x j | N e j

x

N ej .

∞

j =1

j =1

p

Notons b le réel strictement positif

N e j . On a : ∀ x ∈ E

N(x)

b x

∞.

j =1

Montrons ensuite par l’absurde, que : ∃ a > 0

∀x ∈ E

a x

∞

N(x).

95

Maths, MP-MP∗

Supposons en effet que : ∀a > 0 ∃x ∈ E Prenons a =

a x

∞

> N(x).

1 . On a donc : n+1 ∀n ∈ N

∃ xn ∈ E

1 xn n+1

∞

> N (xn ) .

On en déduit que xn = 0 E . Considérons : yn =

xn . xn ∞

On obtient une suite (yn ) d’éléments de la sphère unité S de (E, ∞ ) qui est une partie fermée et bornée de E pour la norme ∞ . S est donc une partie compacte de (E, ∞ ). Il existe donc une suite extraite, (yw(n) ), de (yn ) qui converge vers un élément l de S pour ∞. Par conséquent :

lim

n→+∞

Or :

N yw(n) − N (l)

Donc :

yw(n) − l

∞

= 0.

N yw(n) − l

b yw(n) − l

∞

.

lim N(yw(n) ) = N(l) > 0,

n→+∞

car l est dans S. Mais : N (yn )

1 , d’où n+1

lim N(yn ) = 0. Ceci est impossible.

Remarque : Nous pouvons maintenant, a posteriori, comprendre pourquoi, dans le chapitre 1, sur les espaces vectoriels de dimension finie rencontrés, nous avons montré que les normes N1 , N2 , N∞ sont équivalentes. Et tous les exemples de normes non équivalentes rencontrés se situent toujours dans des espaces vectoriels de dimension infinie.

Exemple : Nous avons montré que la fonction Det est continue de (Mn (K), ∞ ) dans K, en tant que fonction polynôme des variables m i j . Les normes sur Mn (K) étant équivalentes, cette fonction est continue, quelle que soit la norme considérée sur Mn (K).

n→+∞

Pour s’entraîner : ex. 18.

5.2. Le théorème de Bolzano-Weierstrass Corollaire 28.1 (Théorème de Bolzano-Weierstrass) Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie. Les compacts de E sont les parties fermées bornées de E. Exemples : Les compacts de R, C, Rn , Cn en sont les parties fermées et bornées. Par conséquent, de toute suite bornée de l’un de ces espaces, on peut extraire une suite convergente.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 11

Rapport X, 2001 « On peut lire dans les copies des expressions comme « fermé borné », on ne sait ni de quel « fermé » il s’agit, ni par quoi il est borné. » Rapport ENS Lyon, 2000 « Il faut savoir que l’espace est de dimension finie pour identifier les compacts et les parties fermées bornées, ce qui n’est pas souvent précisé. »

Une suite et sa limite

Soit (u n ) une suite d’éléments d’un espace vectoriel normé de dimension finie (E, ) convergeant vers L. Montrer que la partie de E définie par : A = {u n |n ∈ N} ∪ {L}

96

est un compact de E. A est une partie bornée de E. Montrons que A est également une partie fermée de E en vérifiant que E A est un ouvert. Montrons que E A est voisinage de chacun de ses points. Soit a dans E A.

3. Compléments de topologie Les points a et L sont distincts, donc il existe r > 0 tel que :

´ = min({r } ∪ {d(a, u i )|i ∈ [[0, N − 1]]).

B(a, r ) ∩ B(L, r ) = [. La suite converge vers L, donc il existe N dans N tel que : ∀n

N

Posons :

Alors : B(a, ´) ⊂

u n ∈ B(L, r ).

E A.

Application 12 Distance d’un point à un fermé

Soit A une partie fermée d’un espace vectoriel normé, (E, ), de dimension finie et x un point de E . Montrer qu’il existe x 0 dans A tel que : d(x, x 0) = d(x, A) . Soit x 1 dans A et K la partie de E définie par : K = A ∩ B F(x, x − x 1 ). Intersection d’un compact et d’un fermé, la partie K est compacte.

Il existe donc x 2 dans K tel que : d(x, x 2) = d(x, K )

x − x1 .

Pour tout y n’appartenant pas à B F(x, x − x 1 ), on a : d(x, y) x − x1 . D’où : d(x, x 2) = d(x, A).

Pour s’entraîner : ex. 19, 20 et 21.

5.3. Topologie d’un espace vectoriel normé de dimension finie

Par conséquent, dorénavant, lorsque nous utiliserons un espace vectoriel normé de dimension finie E, nous ne préciserons pas toujours la norme considérée. De plus, nous utiliserons systématiquement, puisqu’elles sont équivalentes, la norme la plus avantageuse pour le problème qui sera le nôtre... Théorème 29 Soit E un espace vectoriel de dimension finie p, (e1 , . . . , e p ) une base p

de E et (u n ) une suite de E. Si nous notons, pour tout n, u n = p

et l =

un j e j j =1

l j e j , alors la suite vectorielle (u n ) converge vers l si et

Les boules ne coïncident pas. Il suffit, pour s’en assurer, de considérer dans R2 les boules correspondant aux normes 1 et . 2

Exemple : ⎛1 ⎜n lim ⎜ n→+∞ ⎝ 1 1+ n

1 1⎞ sin n n⎟ ⎟ ⎠ 1

n

j =1

seulement si, pour tout j de [[1, p]], la suite numérique (u n j ) converge vers l j .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les notions de partie bornée, d’ouvert, de fermé, de voisinage, d’adhérence, d’intérieur, de compact, de convergence sont indépendantes de la norme considérée.

=

0 e

0 . 1

97

Maths, MP-MP∗

Théorème 30 Tout espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach. Démonstration Soit (u n ) une suite de Cauchy de (E, ). Puisqu’elle est de Cauchy, cette suite est bornée. Il existe une application strictement croissante w de N dans N telle que la suite extraite (u w(n) ) converge. La suite (u n ) est une suite de Cauchy qui possède une suite extraite convergente, elle converge.

Théorème 31 Soit une partie A de (E, ), un point a adhérent à A et un espace vectoriel normé de dimension finie (F, ), muni d’une base (e1 , . . . , e p ). Alors l’application f de A dans F définie par p

x −→ f (x) = j =1

p

admet en a la limite L =

f j (x)e j

Un espace vectoriel normé de dimension quelconque peut n’être pas complet. Ainsi, considérons E = R[X] muni de la norme ∞ et la suite de polynômes (Pn ) définie par : n 0

La suite (Pn ) est de Cauchy car : Pn − Pm pour 0

n

coordonnées f j admettent en a la limite l j .

Si la suite vers :

(Pn ) q

6

1 2n+1

convergeait

ak X k ,

0

on aurait, pour n > q : Pn − L

un espace vectoriel normé de dimension (e1 , . . . , e p ) et une application f de A est continue sur A si et seulement si les de f sont continues sur A.

=

m.

l j e j si et seulement si les p applications

Corollaire 31.1 Soit une partie A de (E, ), finie (F, ), muni d’une base dans F. Alors l’application f p applications coordonnées f j

∞

L=

j =1

Xk . 2k

Pn =

∞

1 . 2q+1

Donc : lim

n→+∞

Pn − L

∞

= 0.

Ceci est absurde. La suite (Pn ) diverge.

Applications linéaires continues

6.1. Caractérisation des applications linéaires continues

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 32 (E, E ) et (F, F ) étant deux espaces vectoriels normés et f une application linéaire de E dans F, alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

98

f est continue sur E. f est continue en 0 E . f est bornée sur la boule unité fermée. f est bornée sur la sphère unité. ∃ K ∈ R+ ∀ x ∈ E f (x) F K x f est lipschitzienne sur E. f est uniformément continue sur E.

E.

L’équivalence des conditions 1 et 5 est due à Banach.

3. Compléments de topologie

Démonstration Chacun de ces points entraîne le suivant et le septième entraîne le premier. 2. f est continue en 0 E , donc, avec ´ = 1, on a : ∃a > 0 ∀x ∈ E

x

a⇒

E

f (x)

1.

F

On en déduit, pour tout x de la boule unité fermée B : ax donc :

a,

E

f (ax)

1. 1 , par linéarité de f . Finalement, pour tout x de B : f (x) F a 4. Puisque f est bornée sur S, il existe M > 0 tel que : ∀x ∈ S Or :

F

f (x)

x x

∀ x ∈ E − {0 E }

Par conséquent :

x x

f D’où :

f (x)

F E

F

M.

F

M x

E

∈ S.

M. E,

vrai également si x = 0 E . 5. Il suffit d’appliquer 5. à x − y et d’utiliser la linéarité de f .

6.2. Exemples Exemple 1 : E = F = R2 , munis de leurs produits scalaires canoniques. Un automorphisme orthogonal de E est continu. Exemple 2 : Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E et p la projection de E sur F parallèlement à G. On montre que p est continue. On fixe (e1 , . . . , en ) une base de E telle que (e1 , . . . , e p ) soit une base de F. On note ∞ la norme infinie relative à cette base. p

ai (x)ei est un vecteur de E, alors p(x) = i=1

Et ∀ x ∈ E

ai (x)ei .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n

Si x =

i=1

p(x)

x

∞

∞.

L’application p est continue. p

Exemple 3 : Soit E = R[X] = F et posons, pour tout P(X) =

aj X

j

:

j =0

N(P) = max{|a j |; 0

j

p}

et

N (P) = max{ j !|a j |; 0

j

p}.

Vous vérifierez que N est une norme sur E. On note f l’application de E dans F : P −→ (X + 1)P.

99

Maths, MP-MP∗

Cherchons s’il existe k dans R+ tel que, pour tout P de E : N((X + 1)P) Or :

k N(P).

N((X + 1)P) = N(X P + P)

Et :

N(X P) + N(P).

N(X P) = N(P).

Donc :

N((X + 1)P)

2N(P).

L’application f est donc continue sur (E, N). Est-elle continue pour la norme N ? Si elle l’était, il existerait une constante k telle que : ∀P ∈ E

N ((X + 1)P)

k N (P).

Appliquons cette inégalité à : P = 1 + X + X2 + · · · + Xn. Nous obtenons : n + 1 k pour tout n dans N. L’application f n’est pas continue pour la norme N . Exemple 4 :

p

Soit E = R[X] = F et posons, pour tout P(X) =

aj X

j

:

j =1

N(P) = max{|a j |, 0

j

p}.

L’opérateur de dérivation est un endomorphisme de E. Pour tout n de N, D(X n ) = n X n−1 , donc : N(D(X n )) = n, alors que : N(X n ) = 1.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Le quatrième point du théorème ci-dessus n’est donc pas réalisé par l’application linéaire D. D n’est pas une application continue de (E, N) dans (E, N). Xn Remarquez également que la suite converge vers 0 E dans (E, N), n n X mais la suite image D ne converge pas vers 0 E dans (E, N). n Exemple 5 : Soit E = C∞ (R, R), D l’opérateur de dérivation sur E et N une norme quelconque sur E. Si D était continue sur E pour la norme N, il existerait k réel tel que : ∀f ∈E

N( f )

k N( f ).

Appliquez cette inégalité à (x −→ enx ). On obtient n dans N.

k pour tout n

Il n’existe aucune norme sur E rendant D continu. Pour s’entraîner : ex. 22, 23 et 24.

100

3. Compléments de topologie 6.3. Lorsque E est un espace vectoriel de dimension finie Théorème 33 Soit (E, E ) et (F, F ) deux espaces vectoriels normés, E étant de dimension finie. Alors toute application linéaire de E dans F est continue. Démonstration E est un espace vectoriel de dimension finie p. On peut choisir la norme de E. On fixe une base (e1 , . . . , e p ) de E et on munit E de la norme ∞ relative à cette base. Soit f une application linéaire de E dans F. p

Tout x de E s’écrit

Rapport CCP, 2002 « Beaucoup de candidats ayant montré correctement l’implication “ ( Ak )k∈N converge vers A ⇒ (P −1 Ak P)k∈N converge vers P −1 A P ” ne parviennent pas à montrer la réciproque qui s’établit sur le même modèle. »

p

x j e j . Donc : f (x) =

x j f (e j ).

j =1

j =1

On en déduit : p

p

∀x ∈ E

f (x)

|x j | f (e j )

F

F

x

f (e j )

∞

F.

j =1

j =1 p

f (e j )

F

est un réel positif indépendant de x.

j =1

L’application f est donc continue sur E.

Corollaire 33.1 Lorsque E est de dimension finie, l’ensemble LC(E, F) des applications linéaires continues de E dans F est l’ensemble L(E, F) des applications linéaires de E dans F.

Application 13

Une application linéaire sur Rn [X]

x∈[−1,1]

1) Montrer que, pour tout complexe z 0 , il existe un réel k > 0 tel que : (∗)

∀P ∈ E

|P(z 0 )|

k S(P).

2) Déterminer la plus petite constante k permettant d’obtenir la relation (*) lorsque n = 0 et lorsque n = 1. 1) L’application S est une norme sur le R -espace vectoriel de dimension finie E et, si l’on consi-

dère C comme un R -espace vectoriel, la fonction module est une norme sur C. L’application f de E dans C : P −→ P(z 0 ) est linéaire et E est de dimension finie. Elle est continue. Il existe donc un réel k > 0 tel que : ∀P ∈ E

| f (P)| = |P(z 0 )|

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit E = Rn [X] et S la fonction définie sur E par : S(P) = sup |P(x)|.

k S(P).

2) • Lorsque n = 0, E est l’ensemble des polynômes constants et ∀ P ∈ E |P(z 0 )| = S(P). La plus petite constante cherchée est k = 1. • Lorsque n = 1, les éléments de E sont de la forme P(x) = ax + b et pour un tel polynôme : S(P) =

sup |P(x)| = |a| + |b|.

x∈[−1,1]

101

Maths, MP-MP∗

Par ailleurs,

Pour les monômes de degré 1 : P(x) = ax, on a :

P(z 0 ) = az 0 + b

et

|P(z 0 )|

Deux cas se présentent : Si |z 0 | 1, alors : |P(z 0 )|

|a| |z 0 | + |b|.

|a| + |b|

|P(z 0 )| = |z 0 |S(P). Donc, dans ce cas, la plus petite constante cherchée est k = |z 0 |. On a prouvé que :

S(P).

Pour les polynômes constants, on a toujours |P(z 0 )| = S(P). Donc, dans ce cas, la plus petite constante cherchée est k = 1.

∀ P ∈ R1 [X] |P(z 0 )|

Si |z 0 | > 1, alors : |P(z 0 )|

|a| |z 0 | + |b z 0 |

max(1, |z 0 |)S(P).

Et la constante k = max(1, |z 0 |) est la plus petite possible.

|z 0 |S(P).

Pour s’entraîner : ex. 25 et 26.

6.4. Une norme sur l’espace vectoriel LC(E, F) L’ensemble des applications linéaires continues de (E, E ) dans (F, F ) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F, L(E, F). Ce sous-espace vectoriel est noté LC(E, F) . On note de manière analogue LC(E) l’espace vectoriel des endomorphismes continus de l’espace vectoriel normé (E, E ). Soit f une application linéaire continue de (E, savons qu’il existe un réel K tel que : ∀x ∈ E

f (x)

F

E)

K x

dans (F,

F ),

nous

E.

En particulier : ∀x ∈ E

x

1 ⇒ f (x)

E

K.

F

Donc, l’ensemble { f (x) F ; x E 1} est une partie non vide et majorée de R. Il admet une borne supérieure que nous notons f . Ainsi : f = sup x

E

f (x)

1

F.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Plus précisément, si E et F E sont deux normes équivalentes sur E, deux normes équivalentes sur F, alors les normes et sur et F LC(E, F) sont équivalentes.

La valeur de f dépend des normes E et F utilisées, même si la notation f n’y fait pas référence.

Théorème 34 L’application N:

⎧ + ⎨ LC(E, F) −→ R ⎩

f

−→

f = sup x

E

1

f (x)

F

est une norme sur LC(E, F) appelée norme subordonnée à F.

102

Remarque : Nous avons déjà remarqué que la norme dépend des normes E et F.

E

et

Rapport Centrale, 2001 « L’idée de norme d’une application linéaire est manifestement mal comprise de la très grande majorité des candidats. »

3. Compléments de topologie

Démonstration 1)

f

Lorsque E est de dimension finie, B F(0 E , 1) est un compact. Pour tout f de LC(E, F), l’application (x −→ f (x) F ) est continue sur E. Elle est bornée sur B F(0 E , 1) et atteint ses bornes. Il existe x 0 dans B F(0 E , 1) tel que : f = f (x 0 ) F .

= 0 ⇒ f = 0.

2) ∀ f ∈ LC(E, F)

∀a ∈ K

3) ∀ f ∈ LC(E, F)

∀ g ∈ LC(E, F)

af

( f + g)(x) Et donc :

f + g = sup x E

1

= |a| f . ∀ x ∈ B F(0 E , 1),

f (x) + g(x) f (x) + g(x)

f + g .

f + g .

F

Pour s’entraîner : ex. 27.

6.5. Propriétés de Théorème 35 Soit f dans LC(E, F). • Pour tout x de E, on a

f (x)

•

f (x)

f = min{k; ∀ x ∈ E

f

F

k x

F

x

E.

E }.

Démonstration La propriété est vraie pour x = 0 E . x Pour x = 0 E , y = est tel que : x E

y

f (y)

E

= 1, donc, par définition de

F

, on a :

f ,

1 f (x) F f , d’où l’inégalité souhaitée. x E La borne supérieure est le plus petit des majorants.

soit :

f (y)

F

=

Cette démonstration permet aussi d’établir le théorème suivant.

f (x) F = sup f (x) x E x E =1

f = sup

x=0 E

Démonstration sup

x E =1

f (x)

F

sup

x E

Les ensembles { f (x) Donc :

sup

x E =1

f (x)

F

1

f (x)

F; x

F

sup

x E 1 x=0 E

∈ S(0 E , 1)} et {

= sup

x=0 E

f (x) F . x E

F

f (x) F x E

= sup

x E 1 x=0 E

sup

x=0 E

f (x) F . x E

Remarque : Si E est de dimension finie, S(0 E , 1) est un compact : ∃ x 0 ∈ S(0 E , 1) f = f (x 0 ) F .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 36 Pour tout f de LC(E, F), on a :

f (x) F . x E

f (x) F ; x ∈ E\{0 E }} sont égaux. x E

En pratique, pour montrer que f = k, on montre d’abord que f k, puis : 1) Si on peut montrer qu’il existe x 0 ∈ E − {0 E } tel que : f (x 0 ) = k x 0 , alors la conclusion ( f = k) en découle.

103

Maths, MP-MP∗

2) Sinon, on cherche une suite (u n ) de E − {0 E } telle que converge vers k, car, dans ce cas : ∀´ > 0

∃ n0 ∈ N

∀n ∈ N

n

n0 ⇒ k − ´ <

f (x) F = k. x E

Et ceci prouve bien que : sup

x=0 E

f (u n ) F un E

f (u n ) F un E k.

Application 14 Normes d’un projecteur et d’une affinité L’espace vectoriel R2 est muni de sa structure euclidienne usuelle et désigne la norme eucli2 dienne : (x, y) = x + y 2 . On note L la norme d’endomorphisme sur L(R2 ) associée à : f

L

=

sup

(x,y)

E

1

f (x, y) .

Soit a un réel quelconque. On désigne par p le projecteur sur R(1, 0) = {l(1, 0) ; l ∈ R} parallèlement à R(a, 1) et par q le projecteur sur R(a, 1) parallèlement à R(1, 0). y

q(x, y) +

+ (x, y)

+ P(x, y)

p

et

L

q

L.

2) Notons f l’affinité par rapport à R(1, 0) pa√ 1 rallèlement à R( 3, 1) de rapport . 2 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

y 1 1 2

0

√3 1 √3 2 (x, y)

Doc. 8.

104

Pour tout (x, y) tel que (x, y) = (cos t, sin t).

L.

x f(x, y)

(x, y)

= 1, notons

√ 1 + a2. p(x, y) = |x −ay| = | cos t −a sin t| √ On en déduit p L 1 + a 2 . Or : √ 1 −a p √ ,√ = 1 + a2. 2 2 1+a 1+a √ D’où p L = 1 + a 2 .

2) En posant a =

x

Doc. 7.

f

Donc p(x, y) = (x − ay, 0) et q(x, y) = (ay, y).

(x,y)

+ + O a 1

Calculer

(x, y) = (x − ay, 0) + (ay, y).

D’autre part : q(x, y) = (ay, y) = y(a, 1), donc : √ q(x, y) = |y| 1 + a 2 . √ Donc : q L = sup q(x, y) = 1 + a 2 .

1+

1) Calculer

1) ∀ (x, y) ∈ R2

√

E

1

3 dans la question précédente, 1 l’affinité f est l’application f = p + q. 2 √ 3 y 2 . y, ∀ (x, y) ∈ R f (x, y) = x − 2 2 Pour tout (x, y) tel que (x, y) = (cos t, sin t).

(x, y)

= 1, notons

√ 3 f (x, y) sin 2t 1− 2 √ √ 3 1+ 3 1+ = . 2 2 √ √ √ 2 2 1+ 3 Et : f ,− = . 2 2 2 √ 1+ 3 On en déduit que : f L = . 2

3. Compléments de topologie

Application 15 Une norme subordonnée non atteinte L’espace C([0, 1], R) est muni de la norme infinie ∞ . On considère la forme linéaire u définie sur C([0, 1], R) par : 1 2

u( f ) =

0

1

f −

Pour montrer que u = 1, on va introduire une suite de fonctions ( f n ) définie par le schéma suivant :

f.

1 2

Montrer que u est continue pour

1

.

∞

Calculer sa norme subordonnée et montrer qu’elle n’est pas atteinte. ∀ f ∈ C([0, 1], R) 1 2

0

1 2

|u( f )|

|f|+

1 1 2

0

1

|f|

1

f +

0

1 2

|f|

On en déduit que u est continue et que

f u

1 0

1 1 − 2 n

1 1 + 2 n

1

∞

−1

1.

Si la norme était atteinte pour une fonction f de C([0, 1], R) de norme infinie égale à 1, on aurait égalité entre tous les termes de l’inégalité ci-dessus. En particulier, on aurait :

1/2

0

f

On vérifie que

fn

∞

= 1 et que :

u( f n ) = 1 −

(1 − | f |) = 0 avec

1 − | f | continue et positive. On en déduit que l’application | f | est constante égale à 1. Comme f est continue, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, ceci n’est possible que pour f constante. Or, dans ce cas, u( f ) est nulle et l’égalité n’est pas vérifiée.

1 . n

On en déduit que : lim

n→+∞

puis

|u( f n )| = 1, fn ∞

u = 1.

Pour s’entraîner : ex. 28, 29 et 30.

)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

6.6. Propriétés de (LC(E, F),

(E, E ), (F, F ), (G, G ) étant trois espaces vectoriels normés, pour simplifier les notations, nous écrirons : ∀ u ∈ LC(E, F) ∀ v ∈ LC(F, G) ∀ w ∈ LC(E, G)

u = sup x

E

v = sup y

F

w = sup x

E

1

1

1

u(x)

F

v(y)

G

w(x)

G

105

Maths, MP-MP∗

Théorème 37 Pour tout u de LC(E, F) et tout v de LC(F, G), l’application linéaire v ◦ u est continue de E dans F et on a : v ◦ u v u . Démonstration Soit x dans E : v ◦ u(x) Donc :

v◦u

v

v

G

u(x)

v

F

u

x

E.

u .

On en déduit par récurrence : Corollaire 37.1 Lorsque E = F = G et

E

=

F

=

:

G

fn

∀ f ∈ LC(E) ∀ n ∈ N

n.

f

6.7. Caractérisation de l’équivalence des normes Une application f de (E, E ) dans (F, F ), bijective, continue et telle que f −1 soit continue est un homéomorphisme de E sur F. On dit aussi que f est bicontinue . Théorème 38 (E, E ) et (F, F ) étant deux espaces vectoriels normés et u une application linéaire et surjective de E dans F, u est un homéomorphisme de E sur F si et seulement si : ∃ (a, b) ∈ (R+∗ )2

∀x ∈ E

a x

u(x)

E

b x

F

E

Démonstration • Supposons que u soit un homéomorphisme de E sur F. La continuité de u s’écrit : ∃ b ∈ R+∗ Celle de u −1 s’écrit : ∃ d ∈ R+∗

∀x ∈ E

u(x)

u −1 (y)

∀y ∈ F

E

b x

F

d y

E.

F.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Substituons u(x) à y, on obtient : ∀x ∈ E

1 x d

u(x)

E

F

b x

E.

• Réciproquement, montrons d’abord que u est injective. Si u(x) = 0 F , alors

u(x)

F

= 0, puis

x

E

= 0, et enfin x = 0 E .

L’application f est donc un isomorphisme d’espace vectoriel. Par hypothèse, nous 1 avons : (∀ y ∈ F u −1 (y) E y F ) et (∀ x ∈ E u(x) F b x E) a Les applications u et u −1 sont donc continues.

106

3. Compléments de topologie

Corollaire 38.1 Les normes N1 et N2 sur l’espace vectoriel E sont équivalentes si et seulement si l’application Id E est un homéomorphisme de (E, N1 ) sur (E, N2 ).

Toute isométrie de (E, bicontinue.

) est

Corollaire 38.2 Les normes N1 et N2 sur l’espace vectoriel E sont équivalentes si et seulement si les parties ouvertes de (E, N1 ) et de (E, N2 ) coïncident.

6.8. Algèbre normée unitaire Une algèbre unitaire est un ensemble ( A, +, ×, .) telle que : 1) ( A, +, ×) est un anneau d’élément unité e. 2) ( A, +, .) est un espace vectoriel sur K. 3) ∀ a ∈ K ∀ (x, y) ∈ A2 a.(x × y) = (a.x) × y = x × (a.y). Supposons de plus l’algèbre A muni d’une norme telle que : e =1

et

(∀ (x, y) ∈ A2

x×y

x

y ).

La norme est alors appelée une norme d’algèbre et ( A, +, ×, ., est une algèbre normée unitaire .

)

Exemple : Soit A dans Mn (K) et l’endomorphisme w de Mn (K) : X −→ AX. Cherchons la norme subordonnée à ∞ de w A . Prenons X tel que X ∞ 1. Alors : ⎛ ⎞ AX Donc :

∞

wA

= max ⎝| i∈[[1,n]]

n

n

a i j x j |⎠

max

i∈[[1,n]]

j =1

|ai j | = rownorm( A). j =1

rownorm( A ). n

Mais : ∃ i 0 ∈ [[1, n]]) rownorm ( A) =

|ai0 j |. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

j =1

Considérons le vecteur X 0 = (x 1 , . . . , x n ) défini par : ⎧ a ⎪ ⎨ i0 j si ai0 j = 0 |a i0 j | xj = ⎪ ⎩ 0 sinon Alors : AX 0 ∞ rownorm ( A). X 0 appartient à la boule unité, donc : w A = rownorm( A ). Ce résultat nous permet de retrouver la propriété : ∀ ( A, B) ∈ (Mn (K))2 en écrivant :

w A ◦ wB

rownorm(MN) wA

rownorm(M)rownorm(N)

wB .

107

Maths, MP-MP∗

En utilisant la transposition, nous obtenons un résultat analogue pour colnorm. De plus : rownorm (In ) = colnorm (In ) = 1. L’algèbre (Mn (K), +, ., ×) est une algèbre normée unitaire pour les normes colnorm et rownorm.

La norme ∞ , définie sur Mn (K) et la norme 1 ne sont pas des normes d’algèbre.

Exemple très important : (E, E ) étant un espace vectoriel normé, et A une partie non vide de E, l’ensemble B( A, C) des applications bornées de A dans C peut être muni de deux lois de composition interne et d’une loi de composition externe par : ( f , g) −→ f + g ;

( f , g) −→ f × g ;

∀a ∈ C

(a, f ) −→ a f .

Vous vérifierez sans peine que, muni de ces lois, B( A, C) est une algèbre unitaire. De plus, l’application définie de B( A, C) dans R par : f −→ f

= sup | f (x)|

∞

x∈ A

est une norme sur B( A, C). Vous vérifierez que c’est une norme d’algèbre. L’algèbre B( A, C) munie de

∞,

est donc une algèbre normée unitaire.

Théorème 39 (E, E ) étant un espace vectoriel normé, l’algèbre LC(E) des endomorphismes continus de E, munie de la norme subordonnée à E, est une algèbre normée unitaire.

7

Les applications bilinéaires

7.1. Continuité des applications bilinéaires Théorème 40 (E, E ), (F, F ), (G, G ) étant trois espaces vectoriels normés et B une application bilinéaire de E × F dans G, alors les propriétés suivantes sont équivalentes : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• ∃K ∈R

∀ (x, y) ∈ E × F

B(x, y)

G

K x

E

y

F, .

• B est continue sur E × F. Démonstration • Pour établir la continuité de B, fixons x0 et y0 dans E × F. ∀ (x, y) ∈ E × F

B(x, y) − B(x0 , y0 ) = B(x, y − y0 ) + B(x − x0 , y0 ).

Donc : B(x, y) − B(x0 , y0 )

G

B(x, y − y0 )

+ B(x − x0 , y0 )

108

G

G

K x

E

y − y0

F

+ K x − x0

E

y0

F.

Remarque : Le théorème 40 se généralise aux applications multilinéaires. Il est en particulier utilisé avec des déterminants.

3. Compléments de topologie Pour r > 0 fixé, soit B((x0 , y0 ), r ) = B(x0 , r ) × B(y0 , r ) la boule ouverte de centre (x0 , y0 ) et de rayon r dans l’espace vectoriel normé produit E × F. Cette boule est bornée, donc : ∃ M > 0 ∀ (x, y) ∈ B((x0 , y0 ), r )

(x, y)

M.

E×F

On en déduit : ∀ (x, y) ∈ B((x0 , y0 ), r )

0

B(x, y) − B(x0 , y0 )

2K M max( x − x0 Cette inégalité implique :

E,

lim

(x,y)→(x 0 ,y0 )

continuité de B.

y − y0

F)

G

2K M (x, y) − (x0 , y0 )

B(x, y) − B(x0 , y0 )

G

E×F .

= 0 et ceci prouve la

• Réciproquement, la continuité de B en (0 E , 0 F ) implique : ∃a > 0

max( x

E,

y

F)

a ⇒ B(x, y)

1.

G

Pour x = 0 E et y = 0 F , on a : B(x, y) = B

=

y E ay x E ax , a x E a y E

x E y E B a a

ax ay , x E y E

1 x a2

E

y

F

1 Le résultat est acquis avec K = 2 , car l’inégalité est aussi valable lorsque x ou y a est nul.

Remarque : Pour démontrer la réciproque, nous avons seulement utilisé la continuité en (0 E , 0 F ). En fait, nous vous invitons, à titre d’exercice, à montrer que, sous les mêmes hypothèses, la continuité de B en (0 E , 0 F ) équivaut à sa continuité sur E × F.

Application 16 Un exemple d’application continue

f (x) = (x ∧ u) ∧ x, où u est un vecteur fixé de R3 . On va montrer que f est une application continue de R3 dans R3 . 1) Montrer que f n’est pas linéaire. 2) On note g l’application de R3 × R3 dans R3 définie par : g(x, y) = (x ∧ u) ∧ y Montrer que g est bilinéaire. 3) En déduire que f est continue sur R3 .

1) On constate que : ∀ (a, x) ∈ R × R3 , f (ax) = a2 f (x). Donc f n’est pas linéaire.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On considère la fonction f définie sur R3 par :

2) Immédiat grâce aux propriétés du produit vectoriel. 3) ∀ (x, y) ∈ R3 × R3

g(x, y) 3

x

y

u .

3

g est donc continue sur R ×R muni de la norme produit. De plus, l’application i de R3 dans D définie par i (x) = (x, x) est continue sur R3 car chacune des fonctions coordonnées est continue. Comme f = g ◦ i , la continuité de f est démontrée.

109

Maths, MP-MP∗

7.2. Quelques exemples L’application de K × E dans E : (a, x) −→ ax est bilinéaire. De plus : ∀ (a, x) ∈ K × E

ax

|a| x

E

E.

Elle est continue sur K × E. Soit E un espace préhilbertien réel ou complexe et w le produit scalaire sur E, Alors w est continu sur E × E car : ∀ (x, y) ∈ E × E

| < x|y > |

x

y

E

F.

Soit (E, +, ×, ., ) une algèbre normée, alors l’application de E × E dans E : (x, y) −→ x × y est bilinéaire continue. En effet : x×y

x

E

y

E

E.

En particulier, l’application de LC(E) dans LC(E) : (u, v) −→ u ◦ v est continue. Soit E = R[X] muni de la norme ∞ , et B l’application bilinéaire de E × E dans E : (P, Q) −→ P Q. On suppose B continue, il existe K > 0 tel que : ∀ (P, Q) ∈ E 2

PQ

K P

∞

Posons alors : P = Q = 1 + X + · · · + X n . Nous avons : P ∞ = 1 = Q ∞ et PQ Alors, pour tout n entier : n + 1 continue.

∞

∞

Q

∞

= n + 1.

k. Ceci est absurde. B n’est donc pas

Considérons maintenant la norme N définie sur E par : N(P) = sup |P(t)|. t∈[0,1]

Alors :

∀ (P, Q) ∈ E 2

N(P Q)

N(P)N(Q).

L’application B est continue pour la norme N.

7.3. Lorsque E et F sont de dimension finie

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 41 Soit (E, ) et (F, ) deux espaces vectoriels normés de dimension finie et (G, ) un espace vectoriel normé. Alors toute application bilinéaire de E × F dans G est continue. Démonstration Les dimensions de E et F sont finies. Soit (e1 , . . . , e p ) une base de E et ( f 1 , . . . , f q ) une base de F. Munissons E et F des normes infinies relatives à ces bases. p

On a : ∀ x ∈ E

∀y ∈ F

x=

q

xjej, y = j =1

p

q

Donc : B(x, y) =

x j yk B(e j , fk ). j =1 k=1

110

yk f k . k=1

3. Compléments de topologie On en déduit : q

B(x, y)

p

|x j | |yk | B(e j , f k )

G

G

k=1 j =1

x

∞

y

∞

max{ B(e j , f k ) ; 1

j

p, 1

k

q}.

Donc B est continue.

Corollaire 41.1 Soit E 1 × · · · × E m un espace vectoriel produit d’espaces vectoriels de dimension finie et (G, ) un espace vectoriel normé. Alors toute application multilinéaire de E 1 × · · · × E m dans G est continue. Exemples : Si E est un espace vectoriel de dimension finie p, alors l’application déterminant de E p dans K est p− linéaire, donc continue sur E p . Soit f de Mn (K) dans Mn (K) : A −→ A2 . f est-elle linéaire ? Nous allons montrer que f est continue. L’application f est la composée de deux applications continues : et

( A, B) −→ AB.

La première est continue car ses composantes le sont, la seconde car elle est bilinéaire en dimension finie. Pour s’entraîner : ex. 31.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

A −→ ( A, A)

Rapport ENS Lyon, 2000 « La continuité est souvent mal justifiée : certains reviennent à la définition, et commettent des abus dans les majorations ; d’autres se contentent d’affirmations vagues du style : « Le déterminant est une fonction continue » sans qu’on sache quelle est la norme choisie ni la définition générale d’un déterminant. »

111

Maths, MP-MP∗

•

Pour montrer qu’une suite (u n ) est une suite de Cauchy, on peut :

• majorer

u n − u n+ p

par une suite (vn ), indépendante de p, qui converge vers 0 ;

• montrer que (u n ) est l’image par une application uniformément continue d’une suite de Cauchy.

•

Pour montrer qu’une suite de Cauchy converge, on peut :

• prouver que E est complet ; • chercher une valeur d’adhérence l. La suite converge alors vers cette valeur.

•

Pour montrer qu’un espace vectoriel normé, (E,

), est complet, on peut :

• regarder si la dimension de E est finie ; • vérifier que toute suite de Cauchy converge.

•

Pour montrer qu’une application f admet une limite en a, on peut vérifier le critère de Cauchy des applications.

•

Pour prouver qu’une application est uniformément continue sur A, on pourra :

• regarder si elle est lipschitzienne sur A ; • recoller deux fonctions uniformément continues ; • sinon, vérifier la définition.

•

Pour montrer que la fonction f n’est pas uniformément continue sur A, on pourra :

• construire deux suites d’éléments de A, (u n ) et (vn ), telles que la suite (u n − vn ) converge vers 0 E et la suite ( f (u n ) − f (vn )) ne converge pas vers 0 F ; • chercher une suite de Cauchy (u n ) telle que la suite ( f (u n )) ne soit pas de Cauchy.

•

Pour montrer qu’une partie A de (E,

) est connexe par arcs, on peut :

• si E = R, vérifier que A est un intervalle ; • montrer que A est convexe ; • montrer que A est étoilé ; • montrer que A est l’image par une application continue d’une partie connexe par arcs ; • pour tout couple (a, b) d’éléments de A, construire un arc d’extrémités a et b.

•

Pour montrer qu’une fonction f de A dans R s’annule, on peut vérifier que :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• A est connexe par arcs ; •

f est continue ;

• ∃ (a, b) ∈ A2

•

f (a) < 0 et f (b) > 0.

Pour montrer qu’une fonction f de A dans R est de signe constant, on peut vérifier que :

• A est connexe par arcs ;

112

•

f est continue ;

•

f ne s’annule pas.

3. Compléments de topologie

•

Pour montrer que deux parties A et B de E sont égales, on peut vérifier que :

• B⊂A ; • A est connexe par arcs ; • B est ouvert et fermé relativement à A.

•

Pour montrer qu’une partie A est compacte, on peut :

• si E est de dimension finie, prouver que A est fermée et bornée. Que E soit ou non de dimension finie, on peut aussi : • montrer que A est l’image d’un compact par une application continue ; • chercher une partie B compacte de E, telle que A soit fermée relativement à B ; • établir que, de toute suite d’éléments de A, il est possible d’extraire une suite convergente dans A.

•

Pour montrer qu’une suite d’une partie compacte converge, il suffit d’établir qu’elle possède une unique valeur d’adhérence.

•

(F,

Pour montrer qu’une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés, (E, F ), est continue, on peut :

• conclure immédiatement si E est de dimension finie ; • chercher une constante K telle que, pour tout x de E : f (x)

F

K x

• chercher une constante K telle que, pour tout x de B F(0 E , 1) : f (x) • chercher une constante K telle que, pour tout x de norme 1 : f (x) F

F

E

E)

et

;

K ; K ;

• montrer que f est continue en 0 E .

•

Lorsque l’application linéaire f est continue, pour calculer majorations les plus fines possibles :

f , on peut, en procédant à des

D’abord, trouver une constante K telle que : • f (x) F • ou f (x)

K pour tout x tel que x E K pour tout x tel que x F

• ou f (x) F K x Dans les trois cas f

1 ; E = 1 ;

pour tout x de E. K.

E

•

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Ensuite, lorsque l’on pense détenir « la plus petite constante » K , on s’en assure en cherchant : • soit un vecteur non nul v tel que f (v) F = K v E ; f (u n ) F • soit une suite (u n ) de E − {0 E } telle que converge vers K . un E On peut alors conclure que f = K . Pour montrer qu’une application bilinéaire de E × F dans G est continue, on peut :

• conclure directement si E et F sont de dimensions finies ; • majorer B(x, y) G pour tout (x, y) dans E × F, afin de mettre en évidence une constante K qui vérifie la définition.

113

Maths, MP-MP∗

TD 1. Fonctions höldériennes (d’après X 1997). CONSEILS

ÉNONCÉ

N’oubliez pas de vérifier l’existence de K a ( f ).

On désigne par I = [a, b], où a < b, un segment et, pour tout entier k 0, par Ck (I ) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, de classe Ck sur I . Pour toute fonction f à valeurs complexes bornée sur I , on pose : f ∞ = sup | f (x)|. x∈I

Pour tout nombre a > 0, on note E a l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes f sur I ayant la propriété suivante : il existe un réel K 0 tel que : ∀ x, y ∈ I

| f (x) − f (y)|

K |x − y|a

Pour une telle f , on note K a ( f ) le plus petit de ces nombres K . 1) Décrire E a lorsque a > 1. Dans toute la suite, on suppose 0 < a < 1. 2)a) Vérifier que l’on a : Pensez à l’inégalité des accroissements finis. Vous pourrez montrer que : – La suite ( f n) converge vers une fonction f pour ∞. – f est dans E a . – La suite ( f n) converge aussi vers f pour a.

C1 (I ) ⊂ E a ⊂ C0 (I ). b) Indiquer une fonction appartenant à E a , mais non à C1 (I ). 3) Comparer E 1 , E a et E b lorsque 0 < a < b < 1. Pour toute f de E a , on pose : f 4) Montrer que

a

5) Montrer que (E a ,

a

= f

∞

+ K a ( f ).

est une norme sur E a . a)

est complet.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

2. Trois cas d’étude de la distance d’un point à un convexe fermé CONSEILS

ÉNONCÉ

Faites des figures pour tout le TD.

1) Dans cette partie, E = R2 . Pour tout vecteur V = (x, y) de R2 et toute partie non vide A de E, on pose : (x, y) = max(|x|, |y|)

et

d(V , A) = inf V − X . X∈A

a) Prouver que G = {(x, y) ∈ E|y = 1} est un convexe fermé de E. b) Démontrer que d(0 E , G) = 1. c) Montrer qu’il existe une infinité de points (x, y) de G tels que : d(0 E , G) = (x, y) .

114

3. Compléments de topologie 2) Dans cette partie, E = C0 ([0, 1], R). Pour tout f de E, et toute partie non vide A de E, on pose : f

∞

= sup | f (x)|

et

x∈[0,1]

g∈ A

1 2

a) Prouver que G = { f ∈ E| de (E,

d∞ ( f , A) = inf

f −

0

∞ ).

1

∞.

f = 1} est un convexe fermé

1 2

b) Démontrer que d∞ (0 E , G) = 1. c) Montrer qu’aucun élément g de G ne vérifie Appliquez le théorème de BolzanoWeierstrass à la suite (vn ).

f −g

g

∞

= 1.

3) Dans cette partie, (E, (|)) est un espace préhilbertien réel de dimension finie et F un fermé non vide de E. On note 2 la norme euclidienne associée au produit scalaire. a) Montrer que, pour tout x de E, il existe x 1 dans F tel que : x − x1

2

= inf x − y 2 . y∈F

b) Montrer que, si F est de plus supposé convexe, alors le point x 1 est unique. 4) Que constatez-vous ? 5) Dans cette partie, comme au 3), (E, (|)) est un espace préhilbertien réel de dimension finie. Dans la suite, F est un convexe, fermé, non vide de E et on appelle proj F l’application de E dans E définie au 3)a) en posant proj F (x) = x 1 . a) Soit x un élément de E et x 1 = proj F (x). Montrer que : ∀y ∈ F

(y − x 1 |x 1 − x)

0.

b) Dans cette question, F est un sous-espace vectoriel de E. • Vérifier que F est convexe et fermé. • Montrer que proj F est la projection orthogonale sur F. c) Soit u un point frontière de F. Il existe une suite (u n ) de vecteurs n’appartenant pas à F, telle que : ∀ n ∈ N∗

u − un

2

1 . n

xn − u n . xn − u n • Montrer que la suite (x n ) de F converge vers u et que :

On note x n = proj F (u n ) et vn =

∀y ∈ F

y − x n |vn

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Appliquez le théorème de BolzanoWeierstrass à la suite (vn ).

0.

• En déduire qu’il existe un vecteur unitaire v de E tel que : ∀y ∈ F

y − u|v

0.

115

Exercices Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie dense de E. On suppose que toute suite de Cauchy d’éléments de A converge dans E. Montrer que (E,

) est complet.

Montrer qu’un espace vectoriel normé (E, ) est complet si et seulement si toute suite de E telle que : ∀n u n − u n+1 2−n converge. (d’après Centrale PC 1997) Soit a et b deux réels tels que a < b et w une application lipschitzienne de ]a, b[ dans C. 1) Montrer que les suites (u n ) et (vn ) définies, pour n > 0, b−a b−a par : u n = w(a+ ) et vn = w(b− ) ont une limite, n+1 n+1 notée respectivement u et v lorsque n tend vers +∞. 2) On définit la fonction w0 sur [a, b] w0 (a) = u, w0 (b) = v et, pour tout x ∈ {a, b}

par

:

w0 (x) = w(x). Montrer que w0 est lipschitzienne sur [a, b]. Soit f une application uniformément continue de R dans R. Montrer qu’il existe a et b > 0 tels que : ∀x ∈ R

| f (x)|

a|x| + b.

Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. On considère la fonction caractéristique de A, x A , de E dans R. Donner une condition nécessaire et suffisante sur A pour que la fonction caractéristique x A , soit continue. En déduire quelles sont les parties à la fois ouvertes et fermées d’un espace vectoriel normé. On (R) est-il connexe par arcs ? Soit (E, ) un espace vectoriel normé, A une partie compacte de E et (E n )n∈N une suite décroissante de fermés non vides contenus dans A. Montrer que E n = [. n∈N

Montrer que, si la boule B F(0,1) est compacte, alors E est complet. Soit f continue de R dans R. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : * L’image réciproque de tout compact est un compact. *

lim | f | = +∞ et

x→+∞

lim | f | = +∞.

x→−∞

Montrer que [0,1] et [0,1[ ne sont pas homéomorphes. Soit f une application uniformément continue de R

+

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

dans R telle que, pour tout y de R+∗ , la suite ( f (ny)) converge. Montrer que f admet une limite réelle lorsque x tend vers +∞.

N(x)→+∞ x∈F

La réciproque d’une bijection uniformément continue est-elle uniformément continue ?

Montrer qu’il existe a dans F tel que : f (a) = inf f (x).

L’intérieur d’une partie connexe par arcs est-il connexe par arcs ?

Soit (E, ) un espace vectoriel normé et K un compact contenu dans la boule unité ouverte de E. Montrer qu’il existe un nombre r de ]0,1[ tel que K soit contenu dans la boule fermée B F(O, r ).

Soit f une application continue d’une partie A d’un espace vectoriel normé (E, E ) dans (F, F ) et G = {(x, f (x)); x ∈ A} contenu dans E × F, muni de la norme produit. Montrer que A est connexe par arcs si et seulement si G l’est. Soit (E, ) un espace vectoriel normé de dimension finie et A, B deux parties connexes par arcs de E. 1) Montrer que A × B est connexe par arcs. 2) En déduire que A + B est connexe par arcs.

116

Soit E = Rn , muni de la norme N = ∞ , et une application f continue d’un fermé F de E dans R telle que : lim f (x) = +∞. x∈F

Soit n > 0. Montrer que si n 2, l’ensemble des matrices singulières de Mn (K) n’est pas compact. Soit f une application continue d’une partie A d’un espace vectoriel normé, (E, ), dans (F, ), les espaces vectoriels étant de dimension finie, et G le graphe de f . Montrer que A est compacte si et seulement si G est compacte.

3. Compléments de topologie

Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé E de dimension finie. Montrer qu’il existe un ouvert U de E tel que U soit compact et K soit contenu dans U . Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et A une partie bornée de E non vide. 1) Montrer qu’il existe deux points a et b de A tels que : 2

d(A) = sup { x − y ; (x, y) ∈ A } = a − b . d(A) est le diamètre de A. 2) Montrer qu’aucun des points a, b n’est intérieur à A. 3) En déduire que le diamètre de A est égal au diamètre de sa frontière. L’espace vectoriel E = R[X] est muni de la norme p

ai X i =

i=0

Soit (wn ) une suite d’éléments de L(E) où E est un espace vectoriel de dimension finie. 1) On suppose que, pour tout x de E, la suite (wn (x)) converge dans E et l’on note f (x) = lim wn (x). Montrer n→+∞ que f est un endomorphisme de E. 2) Montrer que la suite (wn ) converge dans L(E) si et seulement si, pour tout vecteur x de E, la suite (wn (x)) converge dans E. On désigne par N1 , N2 et N∞ les normes usuelles sur Mn (K). Calculer les normes subordonnées à chacune de ces normes de la fonction trace. Soit N une norme sur Mn (K). Prouver :

|ai |. i=0

1) Montrer que l’application dérivation D est linéaire mais n’est pas continue relativement à la norme .

∃ k ∈ R+

∀ (A, B) ∈ Mn (K)2

N(A B)

k N(A)N(B).

2) On définit f de E dans R par f (P) = P(0). Montrer que f et f ◦ D sont des applications linéaires continues de (R[X], ) dans R.

R2 est muni d’une norme quelconque. Soit f de R2 1 dans R2 telle que : ∃ a ∈ ]0, [ ∀ (x, y) ∈ (R2 )2 2 N( f (x) − f (y)) a[N( f (x) − x) + N( f (y) − y)].

Soit w une forme linéaire sur (E, ). Montrer que w est continue si et seulement si Ker w est fermé.

Montrer que f admet un point fixe unique.

Soit (E, E ) et (F, F ) deux K -espaces vectoriels normés et f une application linéaire de E dans F. On suppose que, pour toute suite (u n ) de E N convergeant vers 0 E , la suite ( f (u n )) est bornée. Montrer que f est continue. Montrer, en utilisant une application linéaire, qu’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E de dimension finie est un fermé de E. E est un espace euclidien, (F1 , . . . , F p ) sont des p

sous-espaces vectoriels de E tels que : ∩ Fi = {0}. i=1

Montrer qu’il existe a, b dans R+ tels que, pour tout x

(E, ) est un espace vectoriel normé de dimension supérieure à 2. 1) Montrer que E\{0 E } est connexe par arcs. 2) En déduire qu’il n’existe aucun homéomorphisme entre R et un espace vectoriel normé de dimension supérieure à 2. On suppose n > 0. 1) Soit a1 , . . . , a p des nombres complexes. Montrer que C\{a1 , . . . , a p } est connexe par arcs. 2) Montrer que GLn (C) est connexe par arcs. 3) Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables (c’està-dire semblables à des matrices diagonales) de Mn (C) est connexe par arcs.

p

dans E : ad(0 E , x)

d(x, Fi )

bd(0 E , x).

i=1

Soit f une fonction continue de [0, +∞[ dans R telle que : lim f (x) = 0. x→+∞

2

L’espace vectoriel R est muni de sa structure euclidienne usuelle. On note L la norme d’endomorphisme sur L(R2 ) subordonnée à la norme euclidienne. Calculer f L lorsque f est : 1) une rotation ;

2) une symétrie orthogonale ;

3) une homothétie ; 4) le projecteur sur R(1, 0) parallèlement à R(1, 1).

Montrer que f est bornée sur [0, +∞[, qu’elle atteint au moins une de ses bornes et qu’elle est uniformément continue sur [0, +∞[. **

Soit f une application continue de Rn dans Rn

et x0 un point de Rn . On définit la suite récurrente (xn ) par : ∀ n ∈ N xn+1 = f (xn ) et on suppose que la suite (xn ) admet une et une seule valeur d’adhérence.

117

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

p

définie par :

Donner la norme des applications f et f ◦ D de l’exercice 22.

Maths, MP-MP∗

1) Montrer que, si la suite (xn ) n’est pas bornée, alors : ∃a ∈ R

n

∀N ∈N

∃n

N

(xn ∈ B F(a, 1)

et

xn+1 ∈ B(a, 1)).

En déduire qu’il existe une suite extraite (xw(n) ) de la suite (xn ) telle que, pour tout n : xw(n) ∈ B F(a, 1)

et

xw(n)+1 ∈ B(a, 1).

2) Montrer que (xn ) converge. *

Soit S

K = {(x1 , . . . , xn ) ∈ (R ) ; x1 + · · · + xn = S} 1) Montrer que K est compact. 2) Montrer que l’application de K dans R : n

xi

(x1 , . . . , xn ) −→ i=1

a un maximum qu’elle atteint en un point où toutes les coordonnées sont égales. 3) En déduire que la moyenne géométrique de réels positifs est inférieure à leur moyenne arithmétique. Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé (E, ) et f une application de K dans K telle que : ∀ (x, y) ∈ K 2 x = y ⇒ f (x) − f (y) < x − y 1) Montrer que f admet un point fixe et un seul, a. 2) Soit x0 un point quelconque de K et (xn ) la suite récurrente définie par : ∀ n ∈ N xn+1 = f (xn ). Montrer que la suite (xn ) converge vers a. **

Soit A une partie compacte de l’espace vectoriel normé (E, ) et f une application de A dans A vérifiant : ∀ (x, y) ∈ A 2 f (x) − f (y) x−y . 1) Montrer que f (A) = A. (On pourra considérer la suite récurrente définie pour tout point x de A, par : x0 = x et, pour tout n, xn+1 = f (xn ).) 2) Montrer que f est une isométrie. (Utilisez deux suites récurrentes associées à f et procédez comme dans la question précédente.)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

(d’après ENSAE 1997) (E, ) désigne un espace vectoriel normé et K un compact non vide de E. 1) Montrer que, pour tout ´ > 0, il existe un entier n n

n boules B(xi , ´) telles que : K ⊂

3) En déduire que f est bijective.

1 et

B(xi , ´). i=1

2) En déduire qu’il existe, pour tout ´ > 0 fixé, un sousespace vectoriel E ´ de E, de dimension finie, tel que, si l’on pose : F = E ´ ∩ K , on ait : ∀ x ∈ K d F (x) ´.

0 fixé et K la partie de Rn définie par : + n

118

*

Soit (E,

) un espace vectoriel normé de dimension

finie. 1) Montrer que tout projecteur de E est continu. On note N la norme d’endomorphisme continu associée à la norme de E. 2) Montrer que si N( p) 1.

p est un projecteur non nul, alors :

3) Caractériser les projecteurs tels que : N( p) = 1, lorsque E est un espace euclidien. *

Soit n > 0. Montrer que :

1) L’ensemble des matrices diagonalisables de Mn (C) est dense dans Mn (C). 2) On (R) est compact et {A ∈ On (R) ; A2 = In } est compact. **

(E, E ) et (F, F ) étant deux espaces vectoriels normés de dimension finie, on note G = GL(E, F) et I l’ensemble des isométries de E sur F. Montrer que : I = [ ⇔ inf

f ∈G

**

f

f −1 = 1.

On considère l’espace vectoriel normé,

E = (C([0,1], C),

∞)

et w une forme linéaire sur E.

La forme w est dite positive si : ∀ f

0 w( f ) ∈ R+ .

1) Montrer que toute forme linéaire positive est continue. 2) Montrer que, si w est une forme linéaire continue, vérifiant w = 1 et w(1) = 1, alors w est positive. (Considérer : 0 f 1, g = 2 f − 1, w(g + it)t ∈ R, où g + it : x −→ g(x) + it)

4

Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Lorsque les mathématiciens commencent à s’intéresser aux séries, c’est pour calculer leurs sommes. Ils entreprennent ces calculs sans se préoccuper de l’existence de la somme et de la convergence de la série. C’est le cas de Gauss (1777-1855) qui étudie, en 1797, la somme de 0! − 1! + · · · + (−1)n n!. En 1813, il publie un mémoire sur la somme : ab a(a + 1)b(b + 1) x x+ g g(g + 1) 2 a(a + 1)...(a + n − 1)b(b + 1) . . . (b + n − 1) x n +···+ . g(g + 1)...(g + n − 1) n! 1+

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Définition des séries d’éléments d’un espace vectoriel normé. Correspondance bijective entre suites et séries. Critère de Cauchy pour les séries. Séries absolument convergentes. Séries alternées. Critères de convergence dans le cas des séries de réels positifs, applications aux séries absolument convergentes.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Il dénonce l’usage des séries divergentes : dès qu’une série « cesse de converger, sa somme en tant que somme, n’a aucun sens ». Considérant une série de terme général u n et la suite Sn = u 1 + · · · + u n , Bolzano (1781-1848) affirme que |Sn+r − Sn |, quel que soit r ∈ N, « reste plus petite que toute grandeur donnée, si on a pris auparavant n suffisamment grand ». C’est le premier énoncé de la condition nécessaire du « critère de Cauchy ». Sa démonstration de la propriété réciproque est erronée. En effet, pour cette démonstration, il fallait définir au préalable l’ensemble des nombres réels. Ceci ne sera fait que bien plus tard, en 1869, par Meray (1835-1911), Dedekind (1831-1916), Cantor (1845-1918) et Weierstrass (1815-1897). Le cours d’analyse de Cauchy (1789-1857), paru en 1821, donne une définition rigoureuse de la convergence d’une série. En 1826, Abel (1802-1829) publie un mémoire sur la série du binôme et déclare : « le nombre de théorèmes concernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement fondés, est limité. On applique ordinairement les opérations de l’analyse aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. »

Développement décimal d’un réel. Série et intégrale. Formule de Stirling. Séries usuelles dans une algèbre normée. Produit de deux séries absolument convergentes. Étude des sommes doubles.

119

Maths, MP-MP∗

Dans ce chapitre (E, ) est un espace vectoriel normé de dimension finie sur un corps K égal à R ou C.

1

Généralités

1.1. Vocabulaire Soit u = (u n )n∈N une suite de E. On définit la suite s = (sn )n∈N en posant n

∀n ∈ N

sn =

uk .

n

étudiée, mais les sommes partielles s’écriront pour n

k=0

Le couple (u, s) sera appelé série associée à la suite u et noté

u n ou

u n quand il y aura un risque de confusion sur l’indice de sommation.

Lorsque la série

n 0 : sn =

u k et, k=n 0

∞

somme sera notée

L’élément sn sera appelé somme partielle d’ordre n. Si la suite s converge, on dira que la série contraire, on dira qu’elle diverge.

n

quand il y aura convergence, la

n

uk . k=n 0

u n converge. Dans le cas

u n converge, la suite s admet une limite dans E que

∞

nous noterons

Nous pouvons être amenés à considérer des suites u = (u n )n∈N dont le terme général n’est défini qu’à partir d’un certain rang n 0 . On se ramène à la définition précédente en posant u n = 0 pour n < n 0 . Nous continuerons de noter u n ou u n la série

u n . Cette limite sera appelée somme de la série

un .

n=0

Étudier la nature de la série u n , c’est étudier la convergence de cette série. Deux séries sont de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes. Attention :

∞

1) Ne pas confondre les différents symboles n k=n 0

uk .

2) N’écrire

u n ou n=0

u k qu’après avoir vérifié la convergence de la k n0

notations n

et

∞

∀ n ∈ N rn =

u k − sn . k=0

∞

u k − sn sera appelé reste d’ordre n de la série

uk . »

un ,

un , n 0

un .

Cauchy, en 1821, écrivait : « J’ai été forcé d’admettre diverses propositions qui paraîtront peutêtre un peu dures ; par exemple, qu’une série divergente n’a pas de somme ».

k=0

Théorème 1 Soit u k une série convergente et (rn )n∈N la suite des restes de cette série. Alors : • la suite (rn )n∈N tend vers 0 ;

120

un n=0

k=0

u n converge, on peut définir la suite r par :

L’élément rn =

Rapport Mines-Ponts, 2003 « De trop nombreux étudiants confondent la notion de série et la somme d’une telle série quand elle converge. Plus généralement, on déplore un amalgame entre les +∞

∞

Lorsque la série c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

uk , k=0

k=n 0 ∞

série.

un , n=0

∞

u k ou

un ,

n

! Les expressions

+∞

u k et k=n+1

rn n’ont de sens que lorsque la série converge.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé ∞

• pour tout n, on a : rn =

uk ; k=n+1

∞

• ∀n ∈ N

u k = sn + rn . k=0

Le reste rn sert à mesurer l’écart entre la somme partielle sn et la somme S de la série convergente u k . En termes de calcul numérique, si l’on sait majorer |rn | = |S − sn |, on majore ainsi l’erreur commise en remplaçant S par Sn .

Rapport Centrale 2003 Il faut noter aussi que certaines questions très simples (par exemple le fait que la série de terme général an+1 converge si la série de terme général an converge) ont gêné un nombre considérable de candidats, ce qui est anormal. Ceci peut signifier que la notion de série n’est pas comprise, et qu’il faudra sans doute insister là-dessus à l’avenir.

1.2. Exemples 1 dite série harmonique est divergente. n+1

La série

n+1

1 n+1 minoration des sommes partielles suivantes :

En effet, les inégalités : ∀ n ∈ N∗

ln(n + 2) = diverge.

n+2 1

n

dt t

k=0

n

dt t

n

1 k +1

et à

lim

n→∞

k=0

1 conduisent à la n

1 = +∞. La série k +1

1 n

1 n+1

n

n+1

Doc. 1.

La série géométrique sur C associée à la suite géométrique de premier

1 − q n+1 admet une limite en +∞ si et seule1−q u0 ment si |q| < 1. Dans ce cas, la limite est . Vous pouvez noter égale1−q q n+1 . ment, que, pour tout entier n, nous avons : rn = u 0 1−q Pour q = 1, la suite des sommes partielles diverge quand u 0 = 0. En effet, pour q = 1, sn = u 0

1 . En remarquant que n(n − 1) 1 1 =1− . k(k − 1) n

Soit u = (u n )n∈N définie par : u n = 1 1 un = − , nous obtenons : n−1 n +∞

D’où : k=2

n k=2

1 = 1. k(k − 1)

1.2.1 Expression de l’exponentielle réelle

Rapport du concours TPE, 1995 « Il y a des confusions entre la série géométrique, qui converge pour |r | < 1 (r étant la raison) et le calcul des sommes partielles de cette même série que l’on peut préciser, même si la série diverge. » Rapport Centrale, 2003 « Les très diverses formulations permettant (théoriquement) de calculer une somme de termes d’une suite géométrique s’avèrent dans les faits assez peu efficaces. Peutêtre serait-il préférable de savoir une bonne fois pour toutes ce que vaut 1 + q + · · · + q n . » Rapport Centrale, 2003 « On peut simplement regretter le peu d’aisance avec les sommes géométriques. »

Soit x réel. L’inégalité de Taylor-Lagrange sur [0, x] s’écrit : ex −

n k=0

xk k!

|x|n+1 |x| e . (n + 1)!

121

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

terme u 0 non nul et de raison q converge si et seulement si |q| < 1. Sa u0 somme est alors égale à . 1−q

Maths, MP-MP∗

n+1

|x| e|x| = 0. n→∞ (n + 1)!

Nous savons que : lim

∞

Pour tout x réel : ex =

n=0

Rapport Centrale, 1997 « Il est regrettable de perdre de précieuses minutes avant de recon∞ (−1)n .» naître la somme n!

xn . n!

n=0

1.2.2 Expression du sinus et du cosinus La fonction sinus est indéfiniment dérivable sur R et pour x réel, sin (x) = sin x + +∞

L’inégalité de Taylor-Lagrange sur [0, x] conduit à sin x = k=0 +∞

De la même manière, on montre que cos x = k=0 +∞

Pour tout x réel : sin x =

(−1)k

k=0

p . 2

x 2k+1 (−1)k . (2k + 1)!

2k

x (−1)k . (2k)!

x 2k+1 et cos x = (2k + 1)!

+∞

(−1)k

k=0

x 2k . (2k)!

Pour s’entraîner : ex. 1, 2.

1.3. Premières propriétés Théorème 2 On ne change pas la nature d’une série en modifiant un nombre fini de ses termes. Démonstration Soit u n et vn deux séries qui ne diffèrent que par un nombre fini de termes. Il existe un entier p tel que : ∀ n p u n = vn . Notons s et s les suites des sommes partielles respectives de u n et de vn . Nous obte-

! Si les séries convergent, les

sommes ne sont pas les mêmes.

p−1

nons : ∀ n

p

sn − sn =

(u k − vk )

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

k=0

Ce dernier terme est une constante, donc la convergence de la suite s équivaut à celle de la suite s .

Théorème 3 Si la série

u n converge, alors : lim u n = 0. n→∞

Démonstration ∀ n ∈ N∗

122

! La réciproque de la proposi-

∞

u n = sn − sn−1 . Or lim sn = lim sn−1 = n→∞

n→∞

u n donc, lim u n = 0. n=0

n→∞

tion précédente est fausse, la série harmonique nous en donne un contre-exemple.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Corollaire 3.1 Si la suite (u n )n∈N ne tend pas vers 0, alors la série

u n diverge.

Dans ce cas, la divergence est qualifiée de grossière. Exemple : La série

(−1)n diverge car son terme général ne tend pas vers 0.

Rapport CCP, 2002 « Un candidat à qui il était demandé si le terme général tendait vers 0 a répondu : “Cette étude est sans intérêt puisque la convergence du terme général vers 0 n’implique pas la convergence de la série.” »

Théorème 4. Caractérisation à l’aide d’une base Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie p et (e1 , e2 , . . . , e p ) une base de E. Pour toute série

u n , il existe p séries d’éléments de K, notées p

u n,i et définies par : ∀ n ∈ N

un =

u n,i ei . Alors : i=1

• La série pour tout i .

u n converge si et seulement si les séries

u n,i convergent

• Si la série converge, sa somme a pour coordonnées les sommes des séries coordonnées : p

∞

i=1

n=0

∞

un = n=0

u n,i

ei .

Corollaire 4.1 (Séries complexes) Soit

u n une série complexe. Alors :

• La série

u n converge si et seulement si les séries

Re(u n ) et

Im(u n ) convergent. u n converge si et seulement si la série ∞

En cas de convergence, on a :

∞

un = n=0

u n converge. ∞

Re(u n ) + i n=0

Im(u n ). n=0

Théorème 5 L’ensemble des séries convergentes d’éléments de E est un espace vectoriel sur K. ∞

Pour utiliser l’égalité :

L’application de cet ensemble dans E définie par : u −→

vous devez, au préalable, justifier la convergence d’au moins deux séries parmi les trois.

u n est lin=0

néaire. Quelles que soient les séries convergentes avons : ∞ ∞ ∀ (a, b) ∈ K2

(a u n + b vn ) = a n=0

u n et

∞

( u n + vn ) = n=0

∞

un + n=0

vn n=0

∞

un + b n=0

vn , nous

∞

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• La série

vn . n=0

123

Maths, MP-MP∗

Corollaire 5.1 Pour toute série et

u n et pour tout scalaire a non nul, les séries

un

a u n sont de même nature.

! Si la série Corollaire 5.2 Si la série u n converge et si la série

vn diverge, alors la série

(u n + vn ) diverge. Pour s’entraîner : ex. 3, 4 et 5.

2

u n diverge et

si la série vn diverge, on ne peut pas en déduire la nature de la série (u n + vn ) . Étudiez par exemple les séries définies par : ∀ n ∈ N u n = 1 et vn = −1 et ∀ n ∈ N u n = 1 et vn = 1.

Séries d’éléments d’un espace de Banach

2.1. Critère de Cauchy Théorème 6 Soit u n une série d’éléments de l’espace vectoriel normé de dimension finie E. La série

u n converge si et seulement si :

∀ ´ > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀ (n, p) ∈ N

2

n+ p

n

uk

n0 ⇒

´

k=n+1

Démonstration E est de dimension finie. Il est complet. La série u n converge si et seulement si la suite des sommes partielles vérifie le critère de Cauchy.

Exemple : Utilisons le critère de Cauchy pour montrer que la série harmonique diverge. 2n k=n+1

1 k

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

et p = n.

2n k=n+1

1 1 = . Le critère n’est pas vérifié pour ´ dans 2n 2

0,

1 2

Application 1

Étude de la transformation d’Abel

Niels Henrik Abel (1802-1829), mathématicien norvégien. Il étudie la convergence des séries entières et les intégrales. Il est à l’origine de la notion de polynôme irréductible sur un corps.

124

On considère une suite (an )n∈N de R+ et une suite (bn )n∈N de l’espace vectoriel normé E de dimension finie.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé On notera Sn la somme partielle d’ordre n de la série an bn et Bn celle de la série bn . 1) Exprimer Sn en fonction des suites (an )n∈N et (Bn )n∈N . Ce type de calcul est appelé une transformation d’Abel. Rapport Centrale, 2003 « Que penser d’un candidat qui invoque une sommation d’Abel pour étudier la convergence d’une série qui ne nécessite qu’un développement limité du terme général... » 2) On suppose que la suite (an )n∈N est positive, décroissante, de limite nulle et que la suite (Bn )n∈N est bornée. Montrer que la série an bn est convergente. einu pour 3) En déduire la nature de la série na a ∈ R et u ∈ R − 2pZ. 1) Calculons Sn en remplaçant les termes bk par Bk − Bk−1 . On conviendra de donner la valeur 0 à B−1 pour que la formule reste valable pour n = 0. n

Sn = =

n

a k Bk − k=1

n

n−1

=

a k Bk − k=0

+ an+ p Bn+ p + an+1 Bn . La suite (Bn )n∈N est bornée. Il existe un réel M tel que : ∀ n ∈ N Bn M. Par conséquent, nous obtenons les majorations : ∀n ∈ N

Sn+ p − Sn

2an+1 M. La suite (an )n∈N tend vers 0. Nous pouvons en déduire que : ∀´ > 0 ∃ N ∈ N ∀n ∈ N

n

N ⇒ 2an+1 M < ´.

Ainsi : ∀´ > 0 ∃ N ∈ N ∀n ∈ N ∀ p ∈ N n

N ⇒ Sn+ p − Sn < ´.

eiku = eiu

k=1

einu − 1 , eiu − 1

puis l’inégalité :

(ak − ak+1 )Bk + an Bn .

n

eiku

k=1

2) On utilise le critère de Cauchy.

eiu

einu + 1 |eiu − 1|

|eiu

2 . − 1|

Les sommes partielles de la série einu sont bornées. 1 Pour a > 0, la suite est décroissante, n a n∈N positive et de limite nulle.

∀n ∈ N ∀ p ∈ N n+ p−1

(ak − ak+1 )Bk + an+ p Bn+ p k=0 n−1

(ak − ak+1 )Bk − an Bn k=0

(ak − ak+1 )M + an+ p M + an+1 M k=n+1

ak+1 Bk k=0

−

∀p∈N n+ p−1

k=0

Sn+ p − Sn =

(ak − ak+1 ) Bk k=n+1

n

n−1

=

n+ p−1

Sn+ p − Sn

3) Puisque u = 0[2p], nous avons l’égalité :

ak Bk−1

k=0

∀p∈N

Le critère de Cauchy est vérifié et l’espace E étant complet, la série an bn converge.

ak (Bk − Bk−1 ) k=0 n

∀n ∈ N

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀n ∈ N

Ceci conduit à la majoration suivante :

La question 2 assure la convergence de la série étudiée.

n+ p−1

Pour a 0, le terme général de la série ne (ak − ak+1 )Bk + an+ p Bn+ p − an+1 Bn . tend pas vers 0, la série diverge grossièrement. k=n+1 einu Nous pouvons donc affirmer que la série na Nous savons que ak −ak+1 0 pour tout entier k. converge si et seulement si a > 0. =

Pour s’entraîner : ex. 6.

125

Maths, MP-MP∗

2.2. Séries absolument convergentes Soit

u n une série d’éléments de E. Nous dirons qu’elle est absolument

convergente lorsque la série

un

est convergente.

Théorème 7 Soit u n une série absolument convergente d’un espace vectoriel normé de dimension finie. La série

u n est convergente et : ∞

∞

un .

un n=0

n=0

Démonstration La convergence de la série est une conséquence directe du critère de Cauchy et de n+ p

n+ p

l’inégalité suivante : ∀ (n, p) ∈ N2

uk .

uk k=n+1

k=n+1 n

n

uk

uk

De plus, ∀ n ∈ N

et l’application

n

∞

lim

uk =

n→∞

Puisque la série

un

est continue :

k=0

k=0

k=0

uk . k=0

converge, par passage à la limite, on a : ∞

∞

un .

un n=0

n=0

Exemples : Nous avons vu que la série permet d’affirmer que la série converge.

1 converge ; le théorème 7 nous n(n − 1) n (−1) est absolument convergente. Elle n(n − 1)

Reprenez l’étude de l’Application 1. Vous pouvez maintenant traiter la question 2) sans utiliser le critère de Cauchy. Nous avions l’égalité suivante : n

∀n ∈ N

Sn =

n−1

a k Bk −

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

k=0

n−1

ak+1 Bk = k=0

(ak − ak+1 )Bk + an Bn . k=0

On sait que la suite (an )n∈N converge vers 0 et que la suite (Bn )n∈N est bornée. Nous pouvons en déduire que la suite (an Bn )n∈N converge vers 0. Pour montrer que la suite S converge, il suffit maintenant de montrer que la série (ak − ak+1 )Bk est convergente. Pour cela, nous allons montrer qu’elle est absolument convergente. n

n

(ak − ak+1 )Bk = k=0

n

(ak − ak+1 ) Bk k=0

(ak − ak+1 )M

La suite croissante des sommes partielles de la série majorée, elle converge.

126

a0 M.

k=0

(ak − ak+1 )Bk

est

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Application 2

La série harmonique alternée

(−1)n La série n’est pas absolument convern+1 gente car la série des valeurs absolues est la série harmonique qui diverge. Montrez que la (−1)n série converge et calculez sa somme. n+1 ∀n ∈ N n

(−1)k = k+1

sn = =

k=0 1 0

n

( k=0

n

(−1)

1

k 0

k=0

(−t)k ) d t =

1 0

sn =

1 0

Corollaire 7.1 (−1)n La série converge et sa somme est n+1

∞ n=0

0

(−t)n+1 d t. 1+t

1 d t = ln 2 1+t

et : |

1 − (−t)n+1 dt 1+t

0

1

1 dt − 1+t

Or :

k

t dt

1

Ainsi

1 0

(−t)n+1 d t| 1+t

1 0

t n+1 d t =

1 . n+2

lim sn = ln 2.

n→∞

(−1)n = ln 2. n+1

Une série convergente n’est pas nécessairement absolument convergente. La (−1)n appelée série harmonique alternée est convergente, mais elle série n+1 n’est pas absolument convergente. Une série convergente et non absolument convergente est dite semi-convergente. Pour s’entraîner : ex 7.

Correspondance entre Leibniz et Bernoulli

[...] Je voudrais que la science des Séries, à laquelle s’est excellemment appliqué Newton, ait été poussée plus loin, surtout en ce qui concerne le moyen de savoir lesquelles convergent, parmi celles qui entrent dans le cadre des transcendantes aussi bien que des ordinaires. [...] La règle la plus universelle, c’est-à-dire commune aux ordinaires comme à n’importe laquelle des transcendantes, est celle-ci : Toute valeur expri-

mée par une série est convergente quand les termes de la série décroissant à l’infini1 sont alternativement positifs et négatifs. [...]

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Leibniz à Jean Bernoulli, Vienne, le 25 octobre 1713

Jean Bernoulli à Leibniz, Bâle, le 6 décembre 1713 [...] Pour le moment, je ne sais pas si l’on peut démontrer ce que tu as affirmé, que toute valeur exprimée par une série est convergente, et par conséquent finie, quand les termes de la série continûment décroissants sont alternativement positifs et négatifs. [...]

1 Ce qui signifie que le terme général tend vers 0, sans inclure forcément la décroissance de la suite, comme on le voit plus loin.

127

Maths, MP-MP∗

Leibniz à Jean Bernoulli, Vienne, le 10 janvier 1714 Si tu y prêtes attention, tu remarqueras facillement que toute valeur exprimée par une série est convergente, et par conséquent finie, quand les termes de la série continûment décroissants sont alternativement positifs et négatifs. Et voici la démonstration : Soit la série : L a − b + c − d + e − f +g − h + i − k + etc. M dont les termes décroissent à l’infini de sorte que n’importe lequel soit inférieur au précédent. Je dis 1◦ que sa quantité est finie et 2◦ que le morceau de série pris au début et terminé par un +, noté L, est plus grand que la série elle-même, et 3◦ qu’inversement le morceau pris de même et terminé par un −, soit M est plus petit que la série ; mais 4◦ que l’erreur est toujours plus petite que le dernier terme ou le dernier terme voisin terminé par un −, et 5◦ que la série continuée jusqu’au bout est convergente à l’infini. Appelons S la série. D’abord, L est supérieur à S, parce que pour avoir S à partir de L, il faut plus soustraire (à savoir, f , h, etc.) qu’ajouter (à savoir, g, i , etc.), ce qui fut l’assertion 2◦ . Mais M est inférieur à S, car pour avoir S à partir de M, il faut plus ajouter (à savoir, g, i , etc.) que soustraire (à savoir, h, k, etc.), ce qui fut l’assertion 3◦ . C’est pourquoi S tombe entre L et M et est donc une quantité finie, ce qui fut l’assertion 1◦ . Mais l’erreur, c’est-à-dire la différence entre S même et les extrémités L et M est inférieure à la différence entre les extrémités (à savoir f ) d’où s’ensuit l’assertion 4◦ .

Et en continant autant que l’on veut, f est inférieure à toute quantité donnée par hypothèse ; et ainsi on aura également l’assertion 5◦ . Jean Bernoulli à Leibniz, Bâle, le 28 février 1714 C’est une bonne démonstration que celle que tu as donnée de la convergence de la valeur d’une série dont les termes alternativement positifs et négatifs décroissent continûment, à condition bien entendu que chacun soit inférieur au précédent, est bonne. Mais je pensais que tu pourrais démontrer que la valeur est également finie quand les termes de la série sont ainsi disposés que chaque terme positif soit inférieur au précédent positif et que chaque terme négatif soit inférieur au précédent négatif et sinon peut-être pas inférieur mais supérieur à l’immédiat précédent ; ce qu’il est de toute façon impossible de démontrer ; il y a des contre-exemples, comme 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1− + − + − + − + − + etc. 2 3 4 5 8 7 16 9 32 dont les termes décroissent à l’infini, et sont alternativement positifs et négatifs ; cette série a pourtant une valeur infinie : en effet, les termes positifs constituent la série harmonique, qui, comme il est évident, a une somme infinie : les négatifs quant à eux forment une série géométrique, dont la valeur est finie. En outre, dans ton hypothèse dans laquelle le terme voisin du précédent est supposé plus petit, la valeur finie de la série est démontrée très facilement par un autre moyen : a−b+c−d + f −etc. a−b+b−d +d − f + f −etc. = a. Donc a − b + c − d + e − f etc. est plus petit que a. Donc la valeur de cette série est finie. Les autres assertions démontrées par toi sont aussi démontrées facilement à partir de là. [...]

2.3. Étude des espaces l1 (N, K), l2 (N, K) c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Nous noterons l ∞ (N, K) l’ensemble des suites bornées à valeurs dans K, avec K = R ou K = C. Théorème 8 L’ensemble l 1 (N, K) des suites u = (u n )n∈N de K telles que la série |u n | converge est un espace vectoriel sur K. L’application

S de l 1 (N, K) dans K, définie par u −→

linéaire.

+∞

u k est k=0

L’application N1 définie de l 1 (N, K) dans R+ , définie par u −→ est une norme sur l 1 (N, K).

128

+∞

|u k | k=0

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Démonstration Les deux premiers points se vérifient facilement. Vérifions que N1 est une norme. N1 est bien définie sur l 1 (N, K), à valeurs dans R+ . ∀ u ∈ l 1 (N, K) ∀ k ∈ K

+∞

N1 (ku) =

+∞

|ku n | = |k| n=0

∀ u ∈ l 1 (N, K) ∀ v ∈ l 1 (N, K) triangulaire sur K.

|u n | = |k|N1 (u). n=0

N1 (u + v)

Montrons maintenant que : ∀ u ∈ l 1 (N, K)

N1 (u) + N1 (v) résulte de l’inégalité N1 (u) = 0 ⇔ ∀ n ∈ N u n = 0.

Si u est la suite nulle, il est évident que N1 (u) = 0. +∞

Supposons maintenant que N1 (u) = 0, alors :

|u k | = 0. k=0 n

Puisque : ∀ n ∈ N |u n |

|u k | = 0.

0, on a : ∀ n ∈ N k=0

On en déduit : ∀ n ∈ N

u n = 0.

Théorème 9 L’ensemble l 2 (N, K) des suites u = (u n )n∈N de K telles que la série |u n |2 converge est un espace vectoriel sur K. L’application w de l 2 (N, K)2 dans K, définie par w(u, v) =

u n vn n∈N

est un produit scalaire sur l 2 (N, K). 2

La norme associée u −→

|u n | sera notée N2 . n∈N

Démonstration • l 2 (N, K) est une partie non vide et stable par combinaison linéaire de l’espace vectoriel F(N, K). En effet, prenons deux suites u et v de l 2 (N, K) : ∀n ∈ N

|u n + vn |2 = |u n |2 + |vn |2 + u n vn + u n vn .

|u n |2 + |vn |2 . Donc : 2 ∀ n ∈ N |u n + vn |2 2(|u n |2 + |vn |2 ).

Nous savons que : |u n vn |

La majoration |u n vn | également que la série

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La suite u + v est dans l 2 (N, K). |u n |2 + |vn |2 vérifiée pour tout entier naturel n, montre 2 |u n vn | converge, ce qui assure l’existence de w(u, v).

On prouve facilement que, si u est dans l 2 (N, K) et k dans K, alors ku est également dans l 2 (N, K). Il reste à montrer maintenant que w est un produit scalaire. Vous vérifierez que pour tout u de l 2 (N, K) arbitrairement choisi, l’application v −→ u n vn est linéaire. n∈N

∀ u ∈ l 2 (N, K) ∀ v ∈ l 2 (N, K)

n

w(u, v) =

u n vn = lim n∈N

n→∞

n

u k vk = lim k=0

n→∞

u k vk . k=0

129

Maths, MP-MP∗

La continuité de la conjugaison sur K, permet d’écrire : n

u k vk =

lim

n→∞

u n vn = w (v, u).

k=0

Pour tout u de l 2 (N, K) on a :

n∈N

w(u, u) =

|u n |2

un un = n∈N

0.

n∈N

On montre ensuite que w(u, u) = 0 si et seulement si, pour tout entier n de N, on a : u n = 0.

Application 3

Comparaison des normes sur E = l p (N, K) avec p = 1 ou 2 ou ∞

Comparez les normes N1 , N2 et N∞ . Nous pouvons déjà remarquer que, si N est fixé, nous avons : N

|u n |

|u n |

n=0

n=0

La convergence de la série celle de la série

2

N

2

|u n | entraîne donc

N2

N1

• Montrons par l’absurde que N∞ et N2 ne sont pas équivalentes sur l 2 (N, K).

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

3 Soit

0.

Soit u n une série de réels alternée telle que la suite (|u n |) tende vers 0 en décroissant. Alors :

130

u n converge,

que

um ,

nous avons :

• Enfin, si N1 et N∞ étaient équivalentes, il existerait a tel que : N1 aN∞ . On en déduirait N2 aN∞ , et N2 et N∞ seraient équivalentes, ce qui n’est pas.

Théorème10 (Théorème spécial des séries alternées)

• la série

tel

• Montrons ensuite que N1 et N2 ne sont pas équivalentes sur l 1 (N, K).

u n une série de réels, nous dirons qu’elle est alternée lorsque : u n u n+1

a>0

Il suffit de considérer la suite u m définie par : um n = 1 si n < m et 0 sinon. √ Alors N∞ (u m ) = 1 et N2 (u m ) = m. √ ∀m ∈ N m a. D’où le résultat.

Séries alternées

∀n ∈ N

existe

Avec la même suite N1 (u m ) = m.

|u n |2 . Par conséquent :

l 1 (N, K) ⊂ l 2 (N, K) ⊂ l ∞ (N, K) et N∞

Supposons qu’il N2 aN∞ .

Rapport Mines-Ponts, 2003 « L’utilisation orale d’abréviations est à proscrire, comme le “TSA” pour le théorème des séries alternées ou le “CSSA” pour critère spécial des séries alternées. » Rapport ENS Lyon, 2000 « Le critère spécial sur les séries alternées à termes réels... est souvent cité mais l’hypothèse de la décroissance à partir d’un certain rang du module du terme général de la série est oubliée ou n’est pas vérifiée. L’encadrement qui en résulte n’est pas donné. »

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

∞

• pour tout n entier, le reste

u k est du signe de u n+1 et : k=n+1 ∞

|u n+1 |.

uk k=n+1

Rapport Mines-Ponts, 2003 Beaucoup de candidats pensent que la somme d’une série alternée convergente est toujours du signe du premier terme ou que la valeur absolue de son n ième reste partiel est toujours majorée par la valeur absolue du premier terme négligé, cela sans s’être assuré que le critère spécial était vérifié.

Démonstration

+u1

On suppose par exemple que : ∀ n ∈ N u n = (−1)n |u n |. Notons vn = |u n |, an = s2n et bn = s2n+1 . On va montrer que les suites a et b sont adjacentes. ∀n ∈ N

bn − an = −v2n+1 < 0 bn+1 − bn = −v2n+3 + v2n+2 an+1 − an = v2n+2 − v2n+1

0

car la suite v est décroissante.

0

+u3 u0+u1=S1

n→∞

+u2n+1

Les suites a et b sont adjacentes, les suites (s2n )n∈N et (s2n+1 )n∈N convergent vers la même limite. Par conséquent, la série est convergente et nous avons l’inégalité :

R2n+1 R2n

∞

un

s2n+1

s2n .

n=0

∞

u n −s2n

De plus, l’inégalité u 2n+1

s2n+2

n=0

u n −s2n a le signe

0 montre que le réel n=0

∞

u n − s2n+1

du terme u 2n+1 . L’inégalité u 2n+2

O S2n+1

∞

∞

u n − s2n+1 a

0 que le réel

n=0

∞

le signe du terme u 2n+2 . Nous obtenons ensuite : ∀ n ∈ N

n=0

u n − sn |

|

|u n+1 |.

n=0

x→ 1 √x Doc. 3. On remarque sur ce schéma 1 que x → √ est décroissante, mais x 1 √ que la suite , n − (−1)n n∈N∗ bien que voisine de la courbe, n’est pas une suite décroissante.

2n−1 2n 2n+1 2n+2 2n+3

Exemples : Étudier les séries de terme général : un =

(−1)n , n ln n

vn =

(−1)n + ln n n ln n

et wn =

(−1)n n + 1 . n(n + 1)

On vérifie facilement que la série de terme général u n est alternée et que la suite (|u n |)n∈N est décroissante et converge vers 0. Le théorème spécial des séries alternées assure la convergence.

S2 u0=S0 +u2

car la suite v est décroissante.

D’autre part, la limite lim (bn − an ) est nulle car la suite v converge vers 0.

∀n ∈ N

S3

S

S2n S2n+2

+u2n+2 Doc. 2. Critère spécial des séries alternées.

! Toutes les séries alternées ne

vérifient pas le critère spécial. La série de terme général (−1)n un = √ vérifie-t-elle les n − (−1)n hypothèses du théorème spécial ? Il s’agit bien d’une série alternée, définie pour n 2. On pourrait croire qu’elle vérifie les hypothèses du théorème spécial, (−1)n (−1)n car : √ ∼ √ et n n − (−1) n 1 √ est décroissante de n n∈N limite nulle. Or, il n’en est rien. (−1)n La suite n −→ √ n − (−1)n n’est pas décroissante car 2 p − 1 < 2 p + 1 + 1. Utilisons une autre méthode. En multipliant par l’expression conjuguée, vous montrerez que la série u n est la somme d’une série convergente et d’une série divergente.

131

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• sa somme est comprise entre deux sommes partielles successives quelconques,

Maths, MP-MP∗

1 On remarque que : vn = u n + . La série est ainsi la somme d’une série n convergente et d’une série divergente. Elle est donc divergente. 1 (−1)n De la même manière, nous avons : wn = + . Il s’agit ici (n + 1) n(n + 1) de la somme de deux séries convergentes. La série de terme général wn est convergente. Étude de la série de Riemann alternée

(−1)n où a ∈ R. na Pour a 0, le terme général de la série ne tend pas vers 0. Par conséquent, la série diverge. Pour a > 0, la valeur absolue du terme général décroît et tend vers 0, donc la série vérifie les hypothèses du théorème spécial des séries alternées ; ce qui assure sa convergence. En conclusion, la série de Riemann alternée converge si et seulement si a > 0.

Soit la série

u n définie par : ∀ n ∈ N

un =

Pour s’entraîner : ex 8.

4

Convergence des séries de réels positifs, séries absolument convergentes

4.1. Caractérisation fondamentale Théorème 11 Soit u n une série de réels positifs. La série

u n converge si et

n

seulement si la suite

uk k=0

est majorée.

Rapport Mines-Ponts, 2003 « L’utilisation orale d’abrévations est à proscrire, comme “SATP” pour séries à termes positifs. »

n∈N

Démonstration ∀ n ∈ N sn+1 = sn + u n+1 . La suite s est croissante. Elle est convergente dans R si et seulement si elle majorée.

Remarque : La série u n diverge si et seulement si lim sn = +∞. n→∞

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 4

Encadrement des sommes partielles par des intégrales (d’après Estp 1997)

À la suite réelle positive (an )n∈N∗ , on associe la suite (bn )n∈N∗ telle que : ∀ n ∈ N∗

132

1 bn = n

2n

ak . k=n+1

1) On introduit, pour k

1, Sk = k 2

j ∈N j k

Montrer que la suite (Sk ) est majorée.

1 . j

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé Prouver que : lim Sn = ln 2 et que : ∀ k ∈ N

Sk

ln 2.

bk .

2) En déduire que les séries de même nature. 1) Pour k

ak et

bk sont

1, calculons Sk = k 2

la parité de k. 2p

1

Si k = 2 p : Sk k 2

=

k j ∈N 2 j k

j=p

j ∈N j k

1 suivant j

∀ n ∈ N∗

⎞ a k⎠ ⎝ Bn = bj = j j =1 j =1 k= j +1 ⎛ ⎞ n

2n

=

1 p+1 = p p

k=2

2.

Sk k 2

j ∈N j k

1 = p+1

2 p+1 p 2p p−1

dt t

1⎟ ⎟ j⎠

2n

ak Sk

2

ak = 2 A2n . k=2

⎞

⎛ n k=2

⎜ ⎜ak ⎝ k 2

j ∈N j k−1

1⎟ ⎟. j⎠

On obtient : ∀ n ∈ N∗

D’autre part, pour tout p > 1 nous avons : 2p + 1 = p

2j

j ∈N j k−1

k 2

k=2

La suite (Sk ) est majorée par 2.

ln

⎜ ⎜a k ⎝

2p + 1 − p 1 = = 1. Minorons Bn par p+1 p+1

j = p+1

⎛

n

2n

De même, pour k = 2 p + 1, nous avons : 2 p+1

ak et

2) Comparons maintenant les séries

S2 p

2p + 1 2p = lim ln = ln 2. L’enp→∞ p−1 p cadrement précédent donne : lim S2 p = ln 2. Or lim ln p→∞

p→∞

De la même manière, un encadrement de S2 p+1 prouve que : lim S2 p+1 = ln 2.

p→∞

Finalement, nous obtenons : lim Sn = ln 2. n→∞

2p + 1 donc, ln 2 est un minorant de ln 2 ln p S2 p . De même, ln 2 S2 p+1 . Sk

1 2

An

Bn

2 A2n .

Si la série ak converge, il existe un réel A tel ∗ que : ∀ n ∈ N An A.

2p dt = ln . t p−1

En conclusion, nous avons ∀ k ∈ N∗

ln 2 −

ln 2.

Ceci prouve que : ∀ n ∈ N∗ Bn 2 A. La suite (Bn )n∈N∗ est croissante, car les termes de la série sont positifs, et majorée, donc convergente. La série bk converge. Réciproquement, si la série bk converge, il existe un réel positif B tel que : ∀ n ∈ N∗

Bn

B.

Nous obtenons une majoration de la suite croissante ( A2n )n∈N∗ et par conséquent sa convergence. La suite ( An )n∈N∗ est croissante, la suite extraite ( A2n )n∈N∗ converge, la limite de la suite ( An )n∈N∗ est donc finie. La série ak converge.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n→∞ ∗

En conclusion, les deux séries sont donc de même nature.

133

Maths, MP-MP∗

! Il ne faut pas confondre cette

Corollaire 11.1 Soit u n une série d’éléments de E. La série

u n est absolument

n

convergente si et seulement si la suite

uk

∃ M ∈ R+ ∀ n ∈ N

est majorée.

k=0

n∈N

4.2. Comparaison de deux séries Théorème 12 (Comparaison directe) u n et

vn deux séries de réels positifs telles que u n = O(vn ).

• Si la série

vn converge, alors la série

• Si la série

u n diverge, alors la série

u n converge. vn diverge.

Démonstration Dans ce cas : ∃ a ∈ R∗+ ∃ n 0 ∈ N ∀ n ∈ N

n

n0 ⇒ un

n

uk

M

k=0

Pour s’entraîner : ex. 9 et 10.

Soit

caractérisation avec :

qui ne prouve pas l’absolue convergence, ni même la convergence. Observez par exemple la série (−1)n . Rapport Centrale, 2001 « Ce n’est pas parce que les sommes partielles d’une série sont bornées que celle-ci est convergente ; dans le cas envisagé cet argument suffisait parce que la série que l’on considère est à termes positifs, mais encore fallait-il le dire... »

avn .

Notons respectivement s et s les suites des sommes partielles de

u n et

vn .

Si la suite (sn )n∈N est majorée, la suite (sn )n∈N est également majorée.

Exemples : Nous avons montré la convergence de la série

1 est vérifiée pour tout n 2. Le théorème 12 n(n − 1) 1 1 1 montre la convergence de la série . D’autre part 3 = o . Par n2 n n2 1 conséquent, la série converge. n3 √ Étudier la nature de la série de terme général u n = sin p n 2 + 2n + 3 . L’inégalité

1 n2

1 dans le §1. n(n − 1)

On a :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

u n = sin np + p +

p +O n

1 n2

= (−1)n+1

p +O n

1 n2

.

p La série de terme général (−1)n+1 vérifie le critère spécial des séries altern née, elle converge. 1 La série converge. La série u n est la somme de deux séries n2 convergentes. Elle converge.

134

Corollaire 12.1 Soit u n et

vn deux séries de réels positifs telles que u n ∼ vn .

Alors les séries

u n et

vn sont de même nature.

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Pour des séries dont le terme général n’a pas un signe constant il n’y a pas que la convergence absolue ou le critère spécial de séries alternées : par exemple il est possible d’utiliser un développement asymptotique du terme général. » Rapport Mines-Ponts, 2003 « L’utilisation de développements limités ou asymptotiques pour étudier la nature d’une série de signe non constant afin « d’éclater » le terme général en plusieurs morceux à étudier séparément est rarement bien effectuée. »

Rapport Ensi, 1997 « Les seuls critères de convergence habituellement invoqués sont celui de d’Alembert et le critère spécifique aux séries alternées. L’utilisation, pourtant souvent commode, d’équivalent est rarement invoqué, et encore plus rarement à bon escient. ».

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Démonstration Dans ce cas u n = O(vn ) et vn = O(u n ) ce qui nous ramène au théorème 12.

Exemples :

! Dans tous ces théorèmes, l’hy-

1 . 2n(3n − 1) 1 1 1 La série converge et ∼ 2. n2 2n(3n − 1) 6n 1 Donc la série converge. 2n(3n − 1) Étudier la nature de

(−1)n u n définie par u n = √ . Nous avons n − (−1)n vu, dans le § 3, que cette série ne vérifie pas le critère des séries alternées et qu’elle diverge. (−1)n Voici une autre méthode que vous devez connaître : u n ∼ √ . La série n (−1)n de terme général √ vérifie les hypothèses du théorème spécial des séries n alternées. Elle converge. Mais elle n’est pas de signe constant, nous ne pouvons utiliser le corollaire 12.1. Cependant, nous pouvons remarquer que : Considérons la série

pothèse « série à termes positifs » est essentielle. Veillez à ne pas utiliser le théorème d’équivalence lorsque les séries ne sont pas de signe constant. Le deuxième exemple ci-contre montre comment conclure dans ce cas. Rapport Centrale, 1997 « La règle des équivalents ne s’applique qu’aux séries à termes réels de signe constant. Le jury a (−1)n trop souvent entendu u n ∼ n donc u n converge. ».

(−1)n 1 un = √ + √ √ . n n n − (−1)n 1 1 1 ∼ . La série harmonique de terme général Or √ √ est din n n n n − (−1) 1 vergente. Par conséquent, la série de terme général positif √ √ n n − (−1)n est divergente. La série u n est la somme d’une série convergente et d’une série divergente. Elle diverge. Corollaire 12.2. Comparaison directe avec une série géométrique Soit

1 pour tout entier n

• S’il existe un réel k 0 et un entier n 0 tels que tout entier n n 0 , la série u n converge.

√ n un

n 0 , la

k < 1 pour c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

u n une série de réels positifs. √ • S’il existe un entier n 0 tel que n u n série u n diverge.

Démonstration Dans le premier cas : ∀ n ∈ N n n 0 ⇒ u n 1. La série u n diverge grossièrement. Dans le deuxième cas : ∀ n ∈ N n n 0 ⇒ u n k n . Or la série géométrique de raison k converge puisque 0 < k < 1 ce qui assure la convergence de la série.

135

Maths, MP-MP∗

Application 5 Règle de Cauchy

On suppose que lim

n→∞

√ n

u n = l.

Ceci assure la convergence de

1) Montrer que la série u n diverge lorsque l > 1 et qu’elle converge lorsque l < 1. Que dire si l = 1 ? Ce résultat est appelé « règle de Cauchy ». 2) Étudier les séries de terme général √ −n a , b) u n = ch a) u n = 1 + n n

−n 3

√ n 1) Si l > 1, à partir d’un certain rang : 1 un . 1+l Si l < 1, on choisit k = ∈ [0, 1[. L’inter2 valle [0, k] est un voisinage de l, donc : ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N

n

n0 ⇒ ∀ n ∈ N

√ n

Pour l = 1, la nature de la série n’est pas déterminée a priori. n 1 1 Les deux séries 1+ et vén n2 √ rifient lim n u n = 1. La première diverge n→∞ car lim u n = e = 0, la seconde converge. n→∞

a=0.

un

k.

√ √ 1 √ et lim n u n = 0. La série 2) a) n u n = n→∞ 1+ n converge. √ 1 −n 2 ln(ch an ) b) n u n = . 2 = e a n ch n √ a2 n Donc lim u n = e− 2 < 1. n→∞

La série converge.

Corollaire 12.3 Soit u n une série d’éléments de E et

vn une série de réels

positifs telles que : u n = O(vn ). Si la série

vn converge, alors la

série

u n est absolument convergente.

Théorème 13 (Comparaison logarithmique)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit u n et vn deux séries de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe un entier naturel n 0 tel que, pour tout entier n n0 , vn+1 u n+1 Alors : un vn • u n = O(vn ). • Si la série

vn converge, alors la série

• Si la série

u n diverge, alors la série

Démonstration De l’inégalité de l’hypothèse, on déduit : ∀ n La suite de terme général

n0

u n converge. vn diverge.

u n+1 vn+1

un . vn

un est donc décroissante. Donc : ∀ n vn

n0

un vn

Ceci prouve que u n = O(vn ). Le théorème 12 assure les deux derniers points.

136

un .

u n0 . vn0

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Corollaire 13.1 (Règle de d’Alembert) Soit

u n une série d’éléments de E\{0 E } telle que : lim

n→∞

• Si l > 1, la série

u n diverge grossièrement.

• Si l < 1, la série

u n est absolument convergente.

• Si l = 1, on ne peut rien dire sur la nature de Démonstration Pour l > 1, il existe un entier p tel que : ∀ n Par conséquent : ∀ n grossièrement.

p

u n+1

un

p

u n+1 = l. un

un .

u n+1 un

1.

u p > 0. La série

u n diverge

1+l Si l < 1, on choisit k = ∈ [0,1[. L’intervalle [0, k] est un voisinage de l, 2 aussi : u n+1 k. ∃ n0 ∈ N ∀ n n0 un On applique le théorème 13 à la suite u et à la suite v définie par : ∀ n ∈ N vn = k n . La convergence de la série

vn entraîne alors celle de la série

Pour l = 1, la nature de la série n’est pas déterminée a priori. Par exemple, pour la série harmonique divergente, nous avons : lim

n→∞

un . u n+1 =1 un

1 u n+1 , nous avons également lim = 1. n→∞ u n n2

et, pour la série convergente

Rapport TPE, 1994 « Dans quelques copies, on peut lire :... l’utilisation absurde du critère de d’Alembert sous la forme k! Ak+1 où A ∈ Mn (R) ce (k + 1)! Ak qui est inadmissible pour un étudiant de “spé”. » Rapport ENS Lyon, 2000 « Trop de candidats oublient encore de considérer le module du quotient et non le quotient seul avant d’utiliser le théorème de d’Alembert. » Rapport Centrale, 1997 « erreurs étonnantes, et pourtant u n+1 persistantes... si la limite de un est 1 alors la série converge. ». Rapport Centrale, 2003 « On pouvait relever plusieurs erreurs grossières : utilisation de la règle de d’Alembert comme condition nécessaire et suffisante de convergence, confusion entre max et sup... »

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Remarques : u n+1 = 1+ , la série u n diverge car à partir d’un certain rang Si lim n→∞ un u n+1 1. un Attention : Il n’y a pas de réciproque. Si la série converge, on ne peut pas u n+1 en déduire que lim < 1, ni que cette limite existe. Vous pouvez, n→∞ u n 1 par exemple, étudier la série u n définie par ∀ n ∈ N∗ u 2n = 2 et n 1 u 2n+1 = 3 . Cette série est la somme de deux séries définies par : n 1 ∀ n ∈ N∗ v2n = 2 , v2n+1 = 0 n 1 et v0 = 0 et ∀ n ∈ N∗ w2n = 0 et w2n+1 = 3 . n 1 converge, donc les sommes partielles de la série vn sont La série n2 +∞ 1 majorées par . La série vn converge. n2 1

1 converge, donc les sommes partielles de la série n3 +∞ 1 wn sont majorées par . La série wn converge. n3

De même, la série

1

137

Maths, MP-MP∗

La série

u n est la somme de deux séries convergentes. Elle converge.

Nous obtenons les limites suivantes : lim

n→∞

La suite de terme général

u 2n u 2n+1 = +∞ et lim = 0. n→∞ u 2n+2 u 2n+1

un n’a pas de limite. u n+1

Exemple : Soit la série

u n définie par ∀ n ∈ N

un =

n! . nn

u n+1 1 < 1 ce qui prouve la convergence. La condition nécessaire = un e de convergence nous donne le résultat étudié en première année : n ! = o(n n ). lim

n→∞

Pour s’entraîner : ex. 11 à 15.

4.3. Application au développement décimal d’un réel positif 4.3.1 Bref rappel sur les entiers Il est aisé de constater qu’un nombre entier n strictement positif, qui s’écrit avec k chiffres en base 10 est tel que : 10k−1 n < 10k . On en déduit que : k − 1 log10 (n) < k et k = 1 + E(log10 (n)), où E désigne la fonction partie entière. Avec cette notation, si n 0 , n 1 , . . . , n k−1 sont les chiffres de l’écriture en base 10 de n : k−1

n j ∈ {0, . . . , 9} et n =

n j 10 j

j =0

Nous allons montrer qu’une méthode pour calculer les chiffres (n j )0 l’écriture de n en base 10 est la suivante : n i est le reste de la division euclidienne par 10 de la partie entière de En effet :

n = 10i

k−1

n j 10 j −i =

j =0

i−1

n j 10 j −i + n i +

j =0

k−1

j k

de

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

k−1

et n i +

n j 10 j −i

j =i+1

k=1

n j 10 j −i est un entier. Donc E

j =i+1

n 10i

k−1

= ni +

k−1

Or, pour j

i + 1, on a : j − i

1 donc

de 10 et peut s’écrire : E

n 10i

k−1

= ni +

j =i+1

n j 10 j −i est un multiple

n j 10 j −i = n i + 10qi

j =i+1

où n i ∈ {0, . . . , 9} et qi ∈ N, donc n i est le reste de la division euclidienne de E

138

n j 10 j −i .

j =i+1

n 10i

par 10.

n = 5 + 2 × 10 + 0 × 100 + 7 × 1 000 + 1 × 10 000. Ce système de numération, dit de position, nous vient de l’Inde, en passant par les savants arabes pour arriver en Occident au Moyen Âge.

n . 10i

Pour j ∈ [[0, i −1]], on pose j −i = −k avec par conséquent k dans [[1, i ]] et on a : i−1 i 9 1 − 10−i 9 1 < =1 0 n j 10 j −i 9 × 10−k = 10 1 − 10−1 10 1 − 10−1 j =0

Chacun sait, depuis l’école primaire, que l’écriture (en base 10) n = 17 025 signifie que :

Avec la syntaxe du langage de la TI : n i = mod( f loor (n/10 ˆi ), 10)

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé 4.3.2 L’écriture décimale d’un réel strictement positif Nous allons étudier quatre questions : 1) Étant donné un nombre réel positif x, comment déterminer une représentation décimale de x, c’est-à-dire une suite (u n ) de [[0, 9]]N, telle que : x = u 0 , u 1 u 2 ....u n .... avec u 0 ∈ N en faisant le lien avec les valeurs approchées de x. 2) Toute écriture décimale représente-t-elle un réel ? Est-elle unique ? 3) Quand la représentation décimale d’un réel est-elle finie ? 4) Comment utiliser une représentation décimale pour comparer deux réels ? 1) Observons tout d’abord les valeurs approchées d’un réel positif. Quel est le lien entre ces valeurs et l’écriture usuelle de ce réel ? Lorsque on écrit p = 3, 1415926..., on est certain que : 3 p 3+1=4 1 2 3+ = 3,1 p 3 + = 3,2 10 10 1 4 1 5 3+ + + + = 3,1415 p 10 100 1 000 10 000 1 4 1 6 3+ + + + = 3,1416. 10 100 1 000 10 000 Plus généralement, soit x ∈ R+ , pour tout n entier naturel notons pn = E(x10n ) la partie entière de x10n . pn 10−n

x < pn 10−n + 10−n .

rn = pn 10−n est alors une valeur approchée de x à 10−n près par défaut. Nous allons montrer que la suite r est croissante. ∀ n ∈ N∗ pn−1 x10n−1 < pn−1 + 1 ; multiplions cette inégalité par 10, nous obtenons ∀ n ∈ N∗ 10 pn−1 x10n < 10 pn−1 + 10. Or pn est le plus grand entier inférieur à x10n . Nous pouvons en déduire : ∀ n ∈ N∗

10 pn−1

pn < 10 pn−1 + 10.

Multiplions cette inégalité par 10−n et nous obtenons : ∀ n ∈ N∗

pn−1 10−(n−1)

c’est-à-dire : ∀ n ∈ N∗

rn−1

pn 10−n < pn−1 10−(n−1) + 10−(n−1) rn < rn−1 + 10−(n−1)

d’où la croissance de la suite r . D’autre part nous avons vu que 10 pn−1

Comment apparut la notation p ? Oughtred, en 1647, utilisa le symbole d/p pour noter le quotient du diamètre d’un cercle à sa circonférence. David Gregory, en 1697, nota p/r le rapport de la circonférence d’un cercle au rayon. William Jones, en 1706, écrivit le premier le symbole p avec sa signification actuelle. Euler adopta ce symbole en 1737. Il devint alors rapidement une notation standard. p est la première lettre du mot grec signifiant périmètre.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀n ∈ N

Il est assez connu que, par 4 exemple : = 1,33333..., 3 la suite de 3 se poursuivant indéfiniment. De même : √ 2 = 1,4142135... et on dispose d’algorithmes pour calculer par récurrence la suite √ des décimales de 2. Des mathématiciens et informaticiens « s’amusent » à calculer le plus de décimales possibles de p, nombre mystérieux et fondamental. p = 3,14159265.. et non pas, comme on le rencontre souvent p = 3,14116..... Il est indispensable de donner un sens rigoureux à cette notation et nous disposons maintenant des outils nécessaires pour y parvenir.

pn < 10 pn−1 + 10.

Donc pour tout entier n non nul, il existe un entier u n de [[0, 9]] tel que : pn = 10 pn−1 + u n . Donnons l’expression de la suite r en fonction de la suite u : ∀ n ∈ N∗

rn = rn−1 +

un . 10n

139

Maths, MP-MP∗

n

Par récurrence, nous obtenons : ∀ n ∈ N∗ n

u 0 = r0 , ainsi : rn = k=0

10−n près.

k=1

uk . Prenons 10k

uk est une valeur approchée par défaut de x à 10k

10−n nous assure que lim rn = x ce qui prouve que la

Or |x − rn |

uk converge et que x = 10k

série

rn = r0 +

n→∞

∞ k=0

uk . 10k

Théorème 14 Soit x un réel positif. Pour tout n entier naturel, notons pn = E(x10n ) la partie entière de x10n . Alors, pour tout entier naturel n non nul, il existe un entier u n de [[0, 9]] tel que pn = 10 pn−1 + u n et : ∞ uk uk • la série converge, sa somme est x = ; 10k 10k k=0

∞

uk est appelé le développement décimal de x et, pour tout n 10k

• k=0

n

de N, k=0

près.

uk est une valeur approchée par défaut de x à 10−n 10k

2) Réciproquement nous venons d’associer à x un développement décimal. Or nous savons tous que 0,999999... et 1,00000... désignent le même réel. Considérons une suite v telle que ∀ k ∈ N∗ vk ∈ [[0, 9]] et v0 ∈ N. La vk converge-t-elle ? série 10k vk La série converge car le terme général de la série est positif, majoré 10k vk 9 par le terme général d’une série géométrique convergente : 0 . k 10 10k ∞

Posons x = k=0

à 10 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∞ k=0

−n

vk . Le réel sn = 10k ∞

par défaut de x = k=0

n k=0

vk est-il une valeur approchée 10k

vk ? En d’autres termes, le développement 10k

vk est-il celui que nous aurions obtenu par la méthode précédente ? 10k ∞

∀n ∈ N ∞

Or k=n+1

sn

x

sn + k=n+1

9 . 10k

9 = 10−n nous donne l’encadrement : 10k ∀n ∈ N

sn

x

sn + 10−n

Le réel sn est une valeur approchée par défaut de x à 10−n près.

140

Il est d’ailleurs un poème en alexandrins qui aide à retenir les premières décimales de p. « Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages 31415926535 Glorieux Archimède, artiste ingénieux 8979 Toi de qui Syracuse aime encore la gloire 32384626 Soit ton nom conservé par de pieuses histoires ! » 43383279 Une version plus moderne, en anglais : « How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard... » Voir le site « Pi through the ages » à l’adresse : www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/.

Voir à ce sujet le livre : « Le fascinant nombre p » de JeanPaul Delahaye, chez Belin.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé Le développement que nous aurions obtenu par la méthode précédente sera ∞ vk identique à si et seulement si la deuxième partie de la double inéga10k k=0 lité est stricte : x < sn +10−n . C’est-à-dire si et seulement si, pour tout entier ∞ ∞ vk 9 n, nous avons < . 10k 10k ∀n ∈ N

sn

k=n+1

k=n+1

Cette dernière condition est équivalente à l’existence, pour tout entier n, d’un entier k > n tel que vk < 9. Dans le cas contraire, les vk sont tous égaux à 9 à partir d’un certain rang. Considérons le plus petit entier n tel que, pour tout k > n, on ait vk = 9. Alors x = sn + 10−n et le développement décimal de x défini au 1) est sn + 10−n. Soit la suite u définie par : ∀ k < n

u k = vk ; u n = vn +1 et ∀ k > n ∞

Alors le développement décimal de x est ∞ k=n+1

k=0

vk est dit impropre. 10k

u k = 0.

uk et le développement 10k

Pour que le développement donné soit le développement décimal de x, il faut exclure ce deuxième cas pour tout n. En conclusion : Théorème 15 Toute série

vk telle que v0 appartienne à N et telle que pour tout 10k entier naturel k non nul, on ait vk élément de {0,1, . . . , 9}, converge et ∞ vk sa somme est un réel x positif. 10k k=0

• Si pour tout entier naturel n, il existe un vk < 9 d’indice k > n, ∞ vk alors x = est identique au développement décimal de x et ce 10k k=0 développement est unique. • S’il existe un entier naturel m tel que vm < 9 et vk = 9 pour tout entier k > m, alors

k=0

vk + 10−m est un nombre décimal. 10k

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

m

x=

m−1

vk vm + 1 + , tous les termes 10k 10m k=0 d’indice strictement supérieur à m sont nuls. Le développement décimal de x est

x admet alors exactement deux développements de ce type, le dévelop∞ vk pement décimal et le développement impropre x = dont tous les 10k k=0 termes d’indice strictement supérieur à m sont égaux à 9. En conclusion, il y a unicité du développement décimal si et seulement si x n’est pas un nombre décimal.

141

Maths, MP-MP∗

3) Comparons maintenant deux réels en comparant leurs deux développements décimaux. ∞ ∞ uk vk Soit x = et y = . On suppose que v0 et u 0 sont des k 10 10k k=0 k=0 entiers et que, pour tout entier k non nul, u k et vk appartiennent à [[0, 9 ]]. Si u 0 < v0, nous avons x < y car u 0 x < u 0 + 1 v0 y. Si u 0 = v0 et s’il existe m tel que ∀ k < m n k=0

uk = 10k

n k=0

vk pour tout n < m. 10k m

De plus, u m + 1

vm , donc nous avons : k=0

Ainsi x < y car : m k=0

uk 10k

m

x< k=0

u k = vk et u m < vm , alors :

uk + 10−m 10k

uk + 10−m 10k m k=0

vk 10k

m k=0

vk . 10k

y.

En conclusion : Théorème 16 L’ordre de deux réels positifs est le même que celui des deux premiers entiers distincts de leur développement décimal. Ceci nous permet de représenter un réel positif x par son développement dé∞ uk cimal en écrivant : 10k k=0

x = u 0 , u 1 u 2 ...u n ... c’est l’écriture usuelle que vous utilisez depuis l’école primaire. Vous retrouvez aussi la même méthode de comparaison. x = u 0 , u 1 u 2 ...u n est alors une valeur approchée par défaut de x à 10−n . Pour les réels négatifs, l’usage est un peu différent, on écrit le développement de −x précédé du signe −. Dans ce cas les valeurs approchées, ainsi obtenues, sont des valeurs approchées par excès.

Remarque : L’étude précédente se généralise en remplaçant 10 par un entier supérieur à 2. En base 2, on obtient le développement dyadique d’un réel posi∞ uk tif x = avec u 0 entier 2k k=0 et, pour tout entier n non nul, u n élément de {0,1}. En base 3, on obtient le développement triadique d’un réel positif ∞ uk x = avec u 0 entier et, 3k k=0 pour tout entier n non nul, u n élément de {0,1, 2}. Les bases 8 et 16 sont utilisées en informatique.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 6

Développement décimal d’un rationnel ∞

uk son 10k k=0 développement décimal. Nous dirons que ce développement décimal est périodique à droite quand il existe un entier N ∈ N et un entier p ∈ N∗ non nul tels que ∀ k N u k = u k+ p . Soit x un réel strictement positif et

142

Dans ce cas nous noterons : x = u 0 , u 1 u 2 . . . u N . . . u N + p−1 Le but de cette application est de montrer que le développement décimal d’un réel x est périodique à droite si et seulement si x est un rationnel.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé Nous avons déjà étudié le cas des décimaux, aussi nous supposerons que x n’est pas un décimal. 318 1) Montrer que le développement décimal de 990 est périodique. 2) Montrer que le réel 0,218 est un rationnel non décimal.

+∞

uk . Elle 10k k=N converge vers la même somme, nous obtenons : p−1 ∞ ∞ u N + j p+i uk 1 = . k N 10 10 10 j p+i k=N tielles de la série de somme

j =0

Chacune

3) Montrer que tout développement décimal périodique à droite représente un rationnel. p 4) Soit x = un rationnel non décimal tel que q p ∈ N∗ et q ∈ N∗ .

u N +i

a) Raviver ses souvenirs d’école primaire et donner une méthode simple d’obtention du développement décimal de x.

D’où :

N −1

x= k=0 N −1

=

3 +2 10

+∞ i=0

i=0

1 102i

1 + 102i+2

+∞ i=0

1 = 0,321. 102i+3

2) Soit x = 0,218 notons y = x − 0,2. Le réel y vérifie : 100y = 1,8 + y. Nous obtenons : y=

18 990

puis

x=

12 . 55

k=0

x= k=0

uk = 10k

N −1 k=0

uk + 10k

∞ k=N

N −1

= k=0 N −1

= k=0

j =0

uk 1 + 10k 10 N

p−1

uk 1 + N k 10 10

p−1

uk + 10k

p−1 i=0

p−1

1 10 N

u N + j p+i 10 j p+i i=0 ⎛

u N +i ⎝

i=0

+∞

j =0

u N +i i=0

⎞ 1

10 j p+i

⎠

1 1 i 10 1 − 10− p

u N +i 10 p−i . 10 N + p − 10 N

Ainsi x est une somme finie de rationnels, donc un rationnel. p 4) a) Soit x = fraction irréductible de ]0, 1[ q pour simplifier la démonstration. Effectuons la division euclidienne de 10n p par q. ∃ !(qn , tn ) ∈ N2

10n p = qqn + tn

0

tn < q (∗)

p = qn . q Remarquons que le terme qn obtenu est le terme pn défini dans le paragraphe 4.3.2. La (n + 1)ième décimale u n+1 est donnée par : Alors : E 10n

3) Soit x un réel strictement positif. Supposons ∞ uk que son développement décimal soit pé10k k=0 riodique à droite. Il existe un entier naturel N et un entier naturel p non nul tels que, pour tout k N on ait u k = u k+ p . ∞

positifs

uk . 10k

La suite des sommes partielles de la sép−1 u N + j p+i 1 rie est une suite ex10 N 10 j p+i i=0 j traite de la suite convergente des sommes par-

u n+1 = pn+1 − 10 pn = qn+1 − 10qn 1 = (10tn − tn+1 ) q D’où

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

=

3 21 + 10 1 000

∞

termes

k=N

318 3(100 − 1) + 21 318 = = 990 10(100 − 1) 10(100 − 1) 3 21 = + 10 10(100 − 1) 3 21 = + 10 1 000 1 − 1/100 =

uk + 10k

à

pour i appartenant à [[0, p − 1]] 10 j p+i converge, car les sommes partielles sont majorées ∞ uk par . 10k

c) Conclure.

+∞

séries

j

b) Montrer que le développement décimal de x est périodique à droite.

1)

i=0

des 1

(déduit de (∗))

10tn tn+1 = u n+1 + . q q

tn+1 10tn ∈ [0, 1[, donc u n+1 = E . q q En d’autres termes, la division effectuée depuis le primaire donne, lorsque x est rationnel, le développement décimal de x. Or

143

Maths, MP-MP∗

b) La suite des restes (tn )n∈N est une suite d’entiers de [[0, q − 1]].

Alors la question a) permet d’affirmer que u n 0 +1 = u n 1 +1 . Vous montrerez par récurrence que la suite (u n )n∈N est périodique à partir de n 0 et que x est un rationnel non décimal.

• Si la suite s’annule, appelons n 0 le plus petit entier n tel que tn = 0. On montre que la suite est qn nulle à partir du rang n 0 et que x = n00 est un 10 décimal.

c) Pour x décimal le développement est de période 1, la suite associée étant nulle à partir d’un certain rang. Pour x non décimal positif, l’étude du 3) et du 4) prouve l’équivalence. Pour x négatif la conclusion est identique en étudiant −x.

• Si la suite ne s’annule pas, il existe des entiers distincts n et m tels que tn = tm . Soit n 0 et n 1 les plus petits entiers distincts n et m tels que tn = tm . On suppose n 0 < n 1 .

Finalement : un réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à droite. Rapport Mines-Ponts, 2003 « Les encadrements demandés... s’appuient sur la technique de comparaison série-intégrale, ils posent des difficultés à un nombre important de candidats. »

4.4. Comparaison d’une série à une intégrale Théorème 17 Soit f de [0 , +∞[ dans R+ continue par morceaux et décroissante. • La série de terme général wn = • La série

n−1

f (t) d t − f (n) est convergente.

f (n) converge si et seulement si lim

n→∞

Démonstration ∀ n ∈ N∗

n

wn =

n n−1

n

f (t) d t −

n−1

Or f est décroissante, donc : ∀ n ∈ N∗

0

n

wn

n−1

n

La somme partielle

n

f (n) d t =

n−1

n 0

f (t) d t existe.

[ f (t) − f (n)] d t

Cf

[ f (n − 1) − f (n)] d t = f (n − 1) − f (n).

[ f (k − 1) − f (k)] est égale à f (0) − f (n). k=1

Or f est décroissante, minorée par 0. Le théorème de la limite monotone assure l’existence dans R de lim f (x). La série [ f (n − 1) − f (n)] est convergente x→∞ de somme f (0) − lim f (x). x→∞

Par comparaison directe, nous obtenons la convergence de la série de terme général wn . Écrivons les sommes partielles : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n

wk = k=1

Si la limite lim

n→∞

puisque la série

n 0

n 0

n

f (t) d t − n n→∞

f (k) = lim

n→∞

k=1

wn converge.

Ceci prouve la convergence de la série

lim

n→∞

144

f (k) k=1

f (t) d t existe : lim

Réciproquement, si la série

f (n).

f (n) converge alors : n 0

t → f(t)

∞

f (t) d t =

∞

wk + k=1

f (k). k=1

n 0

∞

f (t) d t −

wk , k=1

f (n) n−1n

Doc. 4.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Corollaire 17.1

1 , pour a réel, est convergente si et seulena

La série de Riemann ment si a > 1. Démonstration

L’application f : t −→ t −a est continue sur [1 , +∞[. 1 Pour a 0, lim a = 0. Donc la série diverge. n→∞ n Pour a > 0, la fonction f est décroissante, positive.

n

La série de Riemann converge si et seulement si la limite lim

n→∞

Pour a > 0 et a = 1, nous avons, pour tout x de [1 ; +∞[, x 1

1 t −a+1 dt = a t 1−a n

Dans ce cas, la limite lim

n→∞

x

= 1

n→∞

n 1

f (t) d t existe.

f (t) d t existe si et seulement si −a + 1

0

Bernhard Riemann (1826-1866), mathématicien allemand, élève de Gauss. Il donne une construction rigoureuse de l’intégrale. Son travail le conduit à considérer des fonctions de la variable complexe comme somme d’une série.

1 (x −a+1 − 1). 1−a

Pour a = 1, nous avons pour tout x de [1 , +∞[, lim

0

Rapport Centrale, 1997 « Une somme de Riemann n’est pas une série de Riemann. ».

x 1

0.

1 d t = ln x et dans ce cas ta

1 d t = +∞. En conclusion la série converge si et seulement si a > 1. ta

Corollaire 17.2 Il existe un réel g, appelé constante d’Euler, tel que : n k=1

1 = ln n + g + o(1). k ∞

g=1−

Démonstration est continue, positive et décroissante sur [1 , +∞[. Pour

tout entier n non nul wn =

n n−1

D’après le théorème 17, la série n

wk = k=2 n

Par conséquent, la suite k=1

n 1

k=2 ∞

=1−

ln 1 + k=1

f (t) d t − f (n).

k 1 − k−1 k 1 1 − k k +1

a pour valeur approchée 0,577...

wn converge, or : 1 dt − t

n k=2

1 = 1 + ln n − k

n k=1

1 . k

1 − ln n converge vers un réel g = 1 − k

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La fonction f

1 t −→ t

ln

∞

wk . k=2

145

Maths, MP-MP∗

Application 7

Formule de Stirling

James Stirling (1692-1770), mathématicien britannique. Il publie, en 1730, « Methodus differentialis ». Il y traite des séries et des sommations en utilisant des méthodes différentielles.

Intégrons une deuxième fois par parties : (t − n + 1)2 1 wn = − 2 t

1) Exprimez ln(n ! ) à l’aide de la série de terme n

général wn =

n−1

ln td t − ln n.

2) En intégrant deux fois par parties, montrer qu’il existe un réel K 0 tel que n 1 1 ln(n !) = n ln n − n + 1 + + K + o(1). 2 k k=2

3) Montrer qu’il existe un réel L tel que : 1 ln(n !) = n ln n − n + ln n + L + o(1). 2 4) Calculer les intégrales de Wallis : Wn =

p 2

o

cosn xd x.

Wn+1 = 1. n→∞ Wn En déduire un équivalent de (n !). Montrer que lim

John Wallis (1616-1703), mathématicien britannique. Dans son « Arithmética infinitorum » (1656), il calcule ces intégrales et en déduit un développement de p en produit infini. Dans son traité d’algèbre de 1685, il ose utiliser les racines complexes d’un polynôme. Nous lui devons l’usage du symbole ∞ n k=2

en posant wn = c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

ln(n !) =

n 1

n

k

k=2

k−1

ln k =

1) ln(n !) =

n n−1

ln t d t − wk

ln t d t − ln n pour n > 1. n

ln t d t−

n

wk = n ln n−n+1− k=2

wk . k=2

2) Il s’agit donc d’étudier le comportement de n

wk . Une intégration par parties nous donne : k=2

n

1 wn = (n − 1)[ln(n) − ln(n − 1)] − t d t. n−1 t n n 1 1 = (n − 1) dt − t dt n−1 t n−1 t n 1 =− (t − n + 1) d t. t n−1

146

−

Or :

1 1 =− − 2n 2 0

n n−1

n n−1

n

n−1 n n−1

(t − n + 1)2

(t − n + 1)2

(t − n + 1)2

1 d t. t2 n

1 dt t2

1 dt 2t 2

n−1

1 dt t2

1 . n (n − 1) 1 De plus, la série de terme général n (n − 1) converge. Donc la série de terme général n 1 (t − n + 1)2 2 d t aussi. Par conséquent, la t n−1 1 série de terme général wn + , définie pour n 2 2n est convergente, sa somme est négative. Il existe un réel K 0 tel que : n n 1 1 wk + = −K + o(1). 2 k =

k=2

k=2

Revenons à ln(n ! ) :

ln(n !) = n ln n − n + 1 +

1 2

n k=2

1 + K + o(1) k

3) Utilisons maintenant la constante d’Euler : 1 ln(n !) = n ln n − n + 1 + (ln n − 1 + g) + K + o(1) 2 1 1 ln(n !) = n ln n − n + ln n + (1 + g) + K + o(1) 2 2 Nous obtenons l’existence d’un réel L tel que 1 ln(n !) = n ln n − n + ln n + L + o(1) 2 4) D’où : √ √ n ! = n n e−n ne L+o(1) soit n ! ∼ n n e−n ne L . Ensuite nous déterminons l = e L en utilisant les intégrales de Wallis. Soit Wn =

p 2

o

cosn x d x. En intégrant par par-

ties, on montre que nWn = (n − 1)Wn−2 . Puis, par récurrence, p (2 p)! W2 p = 2 22 p ( p!)2

et

W2 p+1 =

22 p ( p!)2 . (2 p + 1)!

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé D’autre n, Wn+2

part, Wn+1

pour tout entier Wn nous donne :

Wn+2 n+1 = n+2 Wn

Wn+1 Wn

naturel

En utilisant les formules (2 p) ! ∼ l

1

p e

et p ! ∼ l

Wn+1 puis lim = 1. n→∞ Wn Ainsi Wn+1 ∼ Wn . Or W2 p W2 p+1 =

p car W2 p est positif. 2(2 p + 1)

Donc W2 p ∼

p . 2(2 p + 1)

D’où l =

√

p

√

2p e

2p

2p

p nous obtenons : √ p 2 W2 p ∼ √ . 2l p

2p.

Corollaire 17.3 n n√ n!∼ 2pn. e Pour s’entraîner : ex. 16 et 17.

4.5. Comparaison d’une série à une série de Riemann Théorème 18 Soit u n une série réelle. • On suppose qu’il existe un réel a et un élément l = 0, tels que l un ∼ a . n Si a > 1, alors la série u n converge. Si a

1, alors la série

u n diverge.

• S’il existe un réel a > 1 tel que lim n a u n = 0, alors la série n→∞ converge. • S’il existe un réel a

un

1 tel que lim n a u n = +∞, alors la série n→∞

u n diverge.

Une erreur fréquente est de penser que toute série est comparable à une série de Riemann. Il faut se garder d’affirmer que : si la série u n converge, alors 1 u n = o( ). n Observons l’exemple suivant. Soit une série u n définie par 1 lorsque n est le carré un = n d’un entier et u n = 0 dans les 1 autres cas. Alors : u n = o( ). n Les sommes partielles sont majorées, cette série converge.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 8

Série de Bertrand

Joseph Bertrand (1822-1900), mathématicien français, suivait, à 11 ans, les cours de préparation à l’école Polytechnique. Ses travaux portent sur la géométrie différentielle et les probabilités. Il conjectura en 1845 l’existence, pour tout entier n > 3, d’un nombre premier compris entre n et 2n − 2. Ce résultat fut démontré, en 1850, par Tchebychev et amélioré, en 1931, par Breusch.

Pour tout entier n

48, il existe un nombre pre9n mier compris entre n et . 8 1 Montrer que la série pour a n (ln n)b (a, b) ∈ R2 définie pour n > 1, est convergente si et seulement si : [a > 1 ou (a = 1 et b > 1)] .

147

Maths, MP-MP∗

a+1 1 alors n g u n = . a−g 2 n (ln n)b • Pour a > 1, le réel g appartient à ]1, a[. Donc lim n g u n = 0 et g > 1. La série n→∞ converge.

Soit g =

Soit x ∈ [2 , +∞[. Pour b = 1, nous obtenons : x

• Pour a < 1, le réel g appartient à ]a , 1[. Donc lim n g u n = +∞ et g < 1. La série din→∞ verge. • Pour a = 1, le terme général de la série vérifie 1 nu n = . (ln n)b Pour b < 0, lim nu n = +∞ et la série diverge. Pour

b

n→∞

0, on introduit la fonction 1 f : t −→ qui est continue, décroissante, t (ln t)b positive sur [2 , +∞[. La série est convergente si et seulement si lim

n→∞

n

2

f (t) d t existe.

2

Pour b = 1, nous avons : x dt = ln (ln t) b 2 t (ln t) Finalement lim n

x

(ln t)1−b dt = b 1−b t (ln t)

n→∞

n 2

. 2

x . 2

dt = +∞ pour 1 t (ln t)b

b

dt est un réel fini pour b > 1. n→∞ 2 t (ln t)b Le résultat est établi. et lim

Application 9

Règle de Raabe et Duhamel

Joseph Ludwig Raabe (1801-1859), mathématicien suisse. Jean-Marie Constant Duhamel (17971872) mathématicien et physicien français. Soit

u n une série de réels strictement positifs. u n+1 a 1 On suppose que = 1 − + o( ), où a est un n n un réel.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Pour a > 1, on définit la série vn par 1 ∗ ∀ n ∈ N vn = b en choisissant le réel b tel n que 1 < b < a. Comparer les deux séries, en déduire la convergence de la série un .

certain rang.

vn+1 u n+1 − vn un

0 à partir d’un

La série de Riemann vn converge puisque b > 1. L’inégalité précédente montre alors que la série u n converge. 2) Pour a < 1, on prend b tel que a < b < 1. vn+1 u n+1 Donc − 0 à partir d’un certain rang. vn un ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N

n

n0 ⇒

vn+1 vn

1−

2) Que peut-on dire si a < 1 ? 3) Montrer que l’on ne peut pas conclure a priori, quand a = 1.

La divergence de la série de Riemann

1) Nous constatons que

3) Considérons la série de Bertrand

vn+1 = vn

1+

1 n

−b

=1−

b +o n

vn+1 u n+1 a−b − = +o vn un n

148

a − b > 0. Donc

1 n

1 n .

.

traîne celle de la série

l n

u n+1 . un

vn en-

un .

1 . n (ln n)a Elle converge pour a > 1 et diverge pour a 1. Cependant dans les deux cas : u n+1 1 =1− +o un n

1 n

.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé Attention : L’étude des séries de Bertrand et la règle de Raabe-Duhamel nous permettent de mettre en œuvre des techniques classiques d’étude de séries à termes positifs. Toutefois, les conditions de convergence de ces séries ne sont pas au programme. Il est par contre indispensable de savoir déterminer si une telle série converge.

Rapport TPE, 1997 « Rappelons que si un résultat hors programme (théorème de Césaro, règle de Bertrand...) est utilisé, l’examinateur peut en demander la démonstration. ».

Pour s’entraîner : ex. 18 et 19.

4.6. Séries usuelles dans une algèbre normée de dimension finie Dans ce paragraphe, ( A, +, ×, ◦, finie, d’élément unité e.

) est une algèbre normée de dimension

Théorème 19 Soit ( A, +, ×, ◦, ) une algèbre normée de dimension finie, d’élément unité e et u un élément de A tel que u < 1. u n est absolument convergente, e − u est inversible et

Alors la série (e − u)−1 =

+∞

un .

n=0

Démonstration • A est une algèbre normée donc, pour tout u élément de A et tout entier n, nous avons : u n u n . Si u < 1, la série géométrique de terme général u n est convergente. On en déduit la convergence absolue de la série un . n

D’autre part : (e − u)

uk =

lim

n

uk −

u k+1 = e − u n+1 .

k=0

k=0

k=0

n→∞

n

u n+1 = 0. D’où lim (e − u) n→∞

n

u k = e.

k=0

L’application v −→ (e − u)v de A dans A est linéaire, donc continue car A est de dimension finie. Ceci nous permet d’écrire : u k = (e − u) lim

n→∞

+∞

On obtient (e − u)

n→∞

k=0

n

uk .

k=0 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n

lim (e − u)

u k = e.

k=0

Corollaire 19.1 La série z n , où z est complexe, est absolument convergente si et seulement si |z| < 1. Dans ce cas, Pour |z|

1, la série

z

n

1 = 1−z

+∞

zk .

k=0

diverge.

149

Maths, MP-MP∗

Corollaire 19.2 E désigne un espace vectoriel normé de dimension finie et L(E) l’algèbre normée des endomorphismes de E munie de la norme subordonnée à la norme de E. u n est

Soit u un élément de L(E). Si u < 1, alors la série absolument convergente, Id E − u est inversible et : (Id E − u)−1 =

+∞

un .

n=0

Corollaire 19.3 On choisit sur M p (K) une norme d’algèbre. Soit A dans M p (K) de norme A < 1. An est absolument convergente, I p − A est inversible

Alors la série et (I p − A)−1 =

+∞

An .

n=0

Théorème 20 Soit ( A, +, ×, ◦, ) une algèbre normée de dimension finie et u un élément de A. un • La série est absolument convergente. n! +∞

• L’application u de A dans A, définie par u −→ n=0

cation exponentielle sur A, notée exp. • ∀u ∈ A

exp(u) = eu =

+∞ n=0

un . n!

Démonstration

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit u dans A. A est une algèbre normée, donc

un n!

=

Corollaire 20.1 Pour tout complexe z, la série ez =

+∞ n=0

150

zn . n!

u n n!

un n!

u n est convergente de somme e n! un convergence absolue de la série . n! La série de terme général

un est l’applin!

u

. Ceci assure la

zn est absolument convergente et n!

Remarque : Pour u réel, nous retrouvons l’exponentielle étudiée au § 1. Nous montrerons, dans le § 6, qu’il s’agit bien de l’exponentielle complexe définie dans les classes antérieures.

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Corollaire 20.2

Mn est absolument n!

Pour toute matrice M de M p (K) , la série +∞

Mn est notée exp M ou e M . n!

convergente et la matrice n=0

Corollaire 20.3 E désigne un espace vectoriel normé de dimension finie et L(E) l’algèbre normée des endomorphismes de E. Soit u dans L(E) . un est absolument convergente et l’endomorphisme n! est noté exp u ou eu .

+∞

La série

n=0

un n!

Théorème 21 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et B = (e1 , . . . , e p ) une base de E. Si u appartient à L(E) et si M est la matrice de u dans la base B, alors exp M est la matrice de exp u dans cette même base. Démonstration Notons f l’application qui, à un endomorphisme de E, associe sa matrice dans une base B fixée. C’est un morphisme d’algèbre. Donc : n

∀n ∈ N

f k=0

n

uk k!

= k=0

Mk . k!

L’application f est linéaire, donc continue, puisque nous sommes en dimension finie. Nous obtenons par passage aux limites qui existent ici : +∞

f k=0

+∞

= k=0

Mk = exp M. k!

Correspondance bijective entre suites et séries

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

5

uk k!

À une suite u, nous avons associé une série u n , c’est-à-dire la suite s des sommes partielles de cette série. Inversement, soit w une suite de E. Existe-t-il une suite v dont w soit la suite des sommes partielles ? La suite w est la suite des sommes partielles de v si et seulement si : n

∀n ∈ N

wn =

vk . k=0

C’est-à-dire, si et seulement si : ∀ n ∈ N∗

vn = wn − wn−1

et v0 = w0 .

151

Maths, MP-MP∗

Théorème 22 Soit w = (wn )n∈N une suite de E. • Il existe une unique suite v d’éléments de E dont w soit la suite des sommes partielles. Elle est définie par : La série

v0 = w0 et ∀ n ∈ N∗ vn = wn − wn−1 . vn est appelée série associée à la suite w.

• La suite w converge si et seulement si la série

vn converge.

∞

• Si la série

Remarque : Pour simplifier l’écriture, on prend, pour tout entier n, vn = wn − wn−1 en convenant que w−1 = 0 E .

vn converge, alors :

vn = lim wn . n=0

n→∞

Exemples : n! n n √ pour tout entier naturel n non nul n e converge. On simplifie l’expression en composant par la fonction logarithme : ∀ n ∈ N∗ wn = ln(an ). Avec les notations du théorème précédent, nous obtenons : 1 1 vn = 1 + n − ln 1 − . 2 n 1 1 Un développement limité de vn est : vn = − +o . Cette série 12n 2 n2 converge. La suite w converge, notons L sa limite. n n√ Ainsi : lim an = e L = l avec l > 0. On obtient : n ! ∼ l n. n→∞ e Pour déterminer l, on utilise les intégrales de Wallis et on termine comme dans l’Application 7. La suite a définie par an =

Pour tout entier naturel n, Arctan (n + 1)−Arctan n = Arctan

1 . 1 + n + n2

1 est la même que celle de la suite 1 + n + n2 1 de terme général Arctan n. La série Arctan converge et sa 1 + n + n2 p somme est . 2 La nature de la série

Arctan

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour s’entraîner : ex. 20 et 21.

6

Étude de la somme , des restes et des sommes par tielles

6.1. Sommation des relations de comparaison Théorème 23 Soit u n une série d’éléments de E et

vn une série de réels

positifs. On suppose que la série vn est convergente. On peut alors comparer les restes respectifs rn et rn de ces séries.

152

Rapport Centrale, 2003 « Il ne suffit pas de dire “d’après un théorème de cours”, il faut énoncer ledit théorème avec hypothèses et conclusion et justifier le fait qu’il est applicable dans le cas présent. »

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé • Si u n = o(vn ), alors la série rn = o(rn ). • Si u n ∼ vn , alors la série gente et rn ∼ rn .

u n est absolument convergente et

u n est une série à termes positifs conver-

• Si u n = O(vn ), alors la série rn = O(rn ).

u n est absolument convergente et

Démonstration • u n = o(vn ) donc : ∀ ´ > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀ n ∈ N n Nous retrouvons l’absolue convergence de la série

n0 ⇒ un

´vn

un .

De plus : +∞

∀n ∈ N n

n0 ⇒ 0

rn

+∞

uk

´

k=n+1

Donc : rn = o(rn ).

vk . k=n+1

• u n ∼ vn se traduit par u n − vn = o(vn ) ; la propriété précédente assure alors que rn − rn = o(rn ). Le troisième point se démontre comme le premier.

Application 10 Restes des séries de Riemann convergentes

k=n+1

1 en remarquant k2

1 1 1 que − ∼ 2. k k+1 k De la même manière, donner un équivalent des +∞ +∞ 1 1 restes : et . 3 k k4 k=n+1

k=n+1

• Il s’agit de deux séries convergentes, le théo+∞ +∞ 1 1 1 ∼ − . rème 23 assure 2 k k k+1 k=n+1

+∞

Or k=n+1

1 1 − k k+1 +∞ k=n+1

k=n+1

=

+∞

k=n+1 +∞

Or k=n+1

2 ∼ k3

+∞

k=n+1

1 1 − k2 (k + 1)2 +∞

Par conséquent : k=n+1

k=n+1

1 1 ∼ . k2 n

positifs. On suppose que la série

D’après le théorème 23, nous avons : 1 1 − k2 (k + 1)2 =

.

1 . (n + 1)2

1 1 ∼ 2. 3 k 2n

• On démontre de la même manière que : +∞ 1 1 ∼ 3 , en considérant la fraction 4 k 3n

1 donc : n+1

Théorème 24 Soit u n une série d’éléments de E et

1 1 2 ∼ 2− . 3 k k (k + 1)2

Nous remarquons que :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

+∞

Trouver un équivalent de

1 1 − . 3 k (k + 1)3

vn une série de réels

vn est divergente.

153

Maths, MP-MP∗

Les suites des sommes partielles des séries tées s et s .

u n et

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Le jury a été peiné de voir que certains candidats ne parviennent pas à obtenir un équivalent simple n 1 de quand n tend vers 2k − 1 k=1 l’infini. »

vn sont no-

• Si u n = o(vn ), alors sn = o(sn ). • Si u n ∼ vn , alors u n est une série à termes positifs divergente et sn ∼ sn . • Si u n = O(vn ), alors sn = O(sn ). Démonstration

´ vn . 2 est différent de 0 à partir d’un certain rang

• u n = o(vn ) donc ∀ ´ > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀ n ∈ N D’autre part, lim sn = +∞, donc sn n→∞ n1.

n

n0 ⇒ un

Soit N > max {n 0 , n 1 } et n un entier supérieur à N. Alors : N−1

n

uk +

sn k=0 k=N sn sn car les vk sont positifs.

N−1

N−1

n

uk

uk k=0

sn

´ + 2

vk k=N

uk k=0

sn

+

sn

´ 2

N−1

Or lim sn = +∞ et n→∞

uk

est un réel fixé indépendant de n, donc :

k=0

N−1

uk lim

k=0

= 0.

sn

n→∞

Pour ´ > 0, il existe un entier naturel p > N tel que, pour tout n

p, on ait :

N−1

uk k=0

sn

<

´ . 2

Finalement, nous avons montré que : ∀´ > 0 ∃ p ∈ N ∀n ∈ N

n

p ⇒ sn < ´sn .

Ce qui signifie sn = o(sn ). • La démonstration du deuxième point se déduit du premier et la démonstration du troisième se fait de la même manière que le premier.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 11

n

1

Un développement asymptotique de n

Donner un développement asymptotique de 1 à l’ordre 2 en . n

k=1

k=1

1 k

u n ∼ vn et n

donne : k=1

vn est divergente. Le théorème 24 1 ∼ k

n

1 • Soit u n = ln 1 + n entier naturel non nul n.

154

1 et vn = pour tout n

ln 1 + k=1

k

1 k

n

ln 1 + k=1 n

ln

= k=1

1 k

. Or :

k+1 k

= ln(n + 1).

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

k=1

1 ∼ ln n. k

Finalement, les développements n

• On considère la suite de terme général n 1 An = − ln n, définie pour n entier natuk

k=1

n

k=1

nous donnent :

rel non nul et la série an associée : a1 = A1 et, pour n 2, an = An − An−1 .

k=1 n

• Notons Bn =

1 1 1 1 an = + ln 1 − = − 2 +o d’où n n 2n n2 1 an ∼ − 2 . 2n Il s’agit du terme général d’une série convergente, le théorème 23 nous donne : +∞

+∞

(−ak ) ∼ k=n+1 +∞

Or k=n+1

k=n+1

1 1 ∼ donc 2 k n +∞

obtenons :

n

ak − k=1

+∞ k=n+1

ak = − k=1

k=1

est : bn =

1 . 2k 2

n

ak = k=1

1 +o 6n 3

1 n3

+∞

Or : k=n+1

.

k=1

n k=1

1 1 1 = ln n + g + − +o k 2n 12n 2

1 k

bk ∼ n+1

k=0

Un développement asymptotique de la suite

+∞

bk ∼

+∞

n

. bn

1 n

k=n+1

1 . 6k 3

1 1 ∼ 2. 3 k 2n

Par conséquent : D’où :

Théorème 25

1 n

.

n+1

1 ak ∼ − . Nous 2n 1 n

1 −ln n k

1 1 − ln n − g − et k 2n

+∞

1 +o 2n

k=1

1 1 = ln n + g + +o k 2n

Le théorème 23 assure :

ak .

k=1

n

et

Un développement limité de bn à l’ordre 3 en

+∞

n

1 n

la série associée : 1 b1 = − g et pour n > 1, bn = Bn − Bn−1 . 2

Nous retrouvons l’existence de la constante g=

1 +g+o 2n

ak =

1 . 12n 2

1 1 1 = ln n + g + − +o k 2n 12n 2

1 n2

.

est : n∈N

1 n2

. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n

Donc

Exemple : Moyenne de Césaro Soit une suite u de limite l. u n − l = o(1). La série de terme général 1 est divergente. Le théorème 24 n

assure : k=0

Puis :

n

(u k − l) = o

1 n+1

n

n

1 k=1

d’où :

u k − (n + 1)l = o(n). k=0

u k = l + o(1). k=0

155

Maths, MP-MP∗

Théorème 26 (Moyenne de Césaro) Soit une suite u de limite l. La suite v de terme général vn =

1 n+1

est convergente, de limite l.

n

uk k=0

Pour s’entraîner : ex. 22.

6.2. Produit de deux sommes, produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Soit

u n et

Cauchy de

vn deux séries de R ou C, on appelle produit de u n et

vn la série

Remarque Pour les suites à support fini on retrouve le produit de deux polynômes.

wn définie par : n

wn =

u p vq = p+q=n

Rapport Mines-Ponts, 2001 « Très mauvaise connaissance du produit de Cauchy de deux séries. »

u p vn− p p=0

pour tout entier naturel n.

! Ce théorème ne se généralise

Théorème 27 Soit u n et C.

vn deux séries absolument convergentes de R ou

Le produit de Cauchy

wn de ces deux séries, défini par : n

wn =

u p vq = p+q=n

∞

p=0

wn = ⎝

n=0

Remarque : Ce théorème se généralise aux séries absolument convergentes d’une algèbre normée de dimension finie. Il permet en particulier de montrer que, si deux matrices A et B commutent, alors e A+B = e A e B = e B e A .

u p vn− p ,

est une série absolument convergente et : ⎛ ⎞⎛ ∞

u p⎠ ⎝

p=0

⎞

∞

vq ⎠ .

q=0

Démonstration Étudions d’abord le cas où les séries sont dans R+ . On note Un = n

Vn =

n

k=0

et

uk ,

wk . On a : Wn

Un Vn

W2n . Les séries

un

k=0

vn sont convergentes. La suite des sommes partielles de la série de réels positifs ⎞⎛ ⎞ ⎛ wn est majorée par ⎝

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n k=0

vk et Wn =

∞

∞

u p⎠ ⎝

q=0

p=0

∞

ci-dessus permettent d’affirmer que :

vq ⎠ . La série ⎛

wn = ⎝

∞

wn et l’encadrement

⎞⎛ u p⎠ ⎝

p=0

n=0

∞

⎞ vq ⎠ .

q=0

Étudions maintenant le cas où les séries sont dans R ou C. On applique ce qui prén

cède aux séries

|u n | et ∞ n=0

156

|vn | . On note wn = ⎛ wn = ⎝

∞ p=0

⎞⎛ |u p |⎠ ⎝

|u p | |vn− p | . On obtient : p=0

∞ q=0

⎞

|vq |⎠ .

pas aux séries semi-convergentes. Étudiez dans l’exercice 37 le cas (−1)n u n = vn = √ . n+1

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé La série

wn est absolument convergente car : ∀ n ∈ N ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∞

∞

wn = ⎝

Il reste à prouver : n=0

∞

u p⎠ ⎝

p=0

|wn |

wn .

vq ⎠ .

q=0

Pour cela, en notant E n = {( p, q) ∈ [[0, n]]2 ; p + q > n} on majore : n

n

n

wk − k=0

k=1 ∞

Or

n

uk

vk

u k vk k∈E n

k=1

⎛ wn = ⎝

n=0

∞

⎞⎛

n

wk −

k∈E n

k=0

n

|u k | k=1

|vk | . k=1

⎞

∞

|u p |⎠ ⎝

p=0

|vq |⎠ .

q=0 n

n

n

wk −

On en déduit lim

n→∞

|u k | |vk |

k=0

uk k=1

vk = 0, puis l’égalité attendue. k=1

Corollaire 27.1 Pour tous nombres complexes z et z , on a : exp(z+z ) = exp(z) exp(z ). Démonstration

∞

Les séries exp(z) = n=0

∞

zn et exp(z ) = n!

n=0

zn sont absolument convergentes pour n!

tout z de C et pour tout z de C. On effectue le produit de Cauchy en posant : ∀n ∈ N

wn = p+q=n

1 zp z q = p! q! n!

p+q=n

n! n 1 z = (z + z )n . p!q! n!

Remarque : Nous pouvons, maintenant, vérifier que l’exponentielle complexe est bien celle que nous avions définie en première année. Soit z = a + ib. Alors : ez = ea eib .

Corollaire 27.2 L’espace vectoriel l 1 (N, C) des séries absolument convergentes, muni du

D’autre part,

produit de Cauchy et de la norme N : u −→

eib =

+∞

|u n | est une algèbre

n=0 ∞

n=0

normée contenant la sous-algèbre des polynômes.

=

bn n!

(−1)n

b2n+1 (2n + 1)! c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

vn deux séries absolument convergentes de R ou C, et

(−1)n

= cos b + i sin b.

en = 0.

la série produit de Cauchy définie par wn =

∞ n=0

L’élément unité e est la série de terme général en défini par e0 = 1 et : ∀ n ∈ N∗

b2n (2n)!

+i

La structure d’algèbre résulte du théorème 27.

u n et

in

n=0

Démonstration

Soit

∞

wn

u p vq , pour tout entier naturel n. p+q=n

∞

∞

N(w) = et N(e) = 1.

u p vq n=0

p+q=n

|u p | |vq | = N(u)N(v) n=0 p+q=n

p

D’autre part, le polynôme P =

ak X k peut être noté (a0 , a1 , . . . , a p , 0, 0, . . .) et

k=0

le produit de deux polynômes s’effectue comme le produit de Cauchy. On peut donc plonger K[X] dans cette algèbre.

157

Maths, MP-MP∗

Application 12 Expression de

1

(a − z) p+1

1) Montrer que, si z est un complexe de module strictement inférieur à 1 et p un entier naturel, la n+p n série z est absolument convergente p 1 et a pour somme . (1 − z) p+1 2) Montrer que, si a est un nombre complexe non nul fixé, pour tout complexe z de module strictement inférieur à |a|, on a : +∞ n+ p 1 zn = . p+1 an+ p+1 p (a − z) n=0

sous la forme d’une somme Alors nous pouvons effectuer le produit de Cauchy des deux séries absolument convergentes n+p n zn. z et p Le terme général de la série produit est : wn = i+ j =n

• Pour p = 0, la série +∞

convergente et : n=0

zn =

z n est absolument 1 pour |z| < 1. 1−z

i+p p n

Donc i=0

=

i+p p

i + p+1 p+1 =

Par conséquent, wn =

−

i+p . p

i+p . p+1

n+1+ p . p+1 n+1+ p n z . p+1

n+1+ p p+1 solument convergente. Sa somme est :

z n est ab-

1 1 . (1 − z) p+1 1 − z 2) Il suffit d’appliquer le résultat précédent à

Pour s’entraîner : ex. 25.

6.3. Interversion des sommations d’une suite double d’un espace vectoriel normé

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

i=0

La série de terme général

• Supposons que, pour un certain entier naturel p, et pour tout z complexe de module stricten+ p n z soit ment inférieur à 1, la série p 1 absolument convergente de somme . (1 − z) p+1

Soit u = (u p,q )( p,q)∈N2 une suite double de R+ . Lorsque p est fixé dans N, la série indexée par q sera notée u p,q pour éviter toute confusion. On q

note PF (N2 ), l’ensemble des parties finies de N2 . On dit que u est sommable si et seulement s’il existe un réel positif M tel que, pour tout partie finie J de PF (N2 ) , on ait : u p,q M. ( p,q)∈J

158

n

Or nous savons que :

(Procéder par récurrence et utiliser un produit de Cauchy.)

1) Montrons par récurrence sur p que la série n+p n z est absolument convergente et a p 1 pour somme . (1 − z) p+1

i + p i+ j z = zn p

z . a

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé u p,q ; J ∈ PF (N2 )} est non vide majoré. Il admet une

L’ensemble { ( p,q)∈J

borne supérieure notée

u p,q et appelée somme de u. ( p,q)∈N2

Théorème 28. Interversion des sommations dans le cas des réels positifs Soit u = (u p,q )( p,q)∈N2 une suite double de réels positifs. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) Pour tout q de N, ⎛ la série

⎝

u p,q converge et la série p

∞

⎞ u p,q ⎠ converge.

p=0

(ii) Pour tout p de N, ⎛ la série

⎝

u p,q converge et la série q

∞

⎞ u p,q ⎠ converge.

q=0

Si l’une de ces deux propriétés est vérifiée, alors : ⎛ ⎛ ⎞ ∞

∞

⎝

p=0

u p,q ⎠ =

∞

⎝

q=0

q=0

∞

⎞

u p,q ⎠ .

p=0

Démonstration • Supposons tout d’abord u sommable. Il existe un réel strictement positif M tel que

u p,q

M pour toute partie finie

( p,q)∈ J

J de N2 .

Soit un entier naturel q. Nous remarquons que, pour tout n de N, la partie [[0, n]] × {q} est une partie finie de N2 . Pour tout q de N, la suite des sommes partielles de la série de réels positifs u p,q est majorée par u p,q . La série p

( p,q)∈N2

u p,q converge. p

m

∀m ∈ N ∀n ∈ N q=0

⎝

n

u p,q ⎠ =

p=0

u p,q ( p,q)∈[[0,n]]×[[0,m]]

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour tout n, m de N la partie [[0, n]] × [[0, m]] est une partie finie de N2 aussi : ⎛ ⎞ u p,q . ( p,q)∈N2

+∞

Or pour tout q dans [[0, m]], les sommes

u p,q existent. p=0

En faisant tendre n vers +∞, nous obtenons : ⎛ ⎞ m

∀m ∈ N q=0

⎝

∞

p=0

u p,q ⎠

u p,q ( p,q)∈N2

par linéarité du passage à la limite.

159

Maths, MP-MP∗

L’inégalité précédente prouve que les sommes partielles de la série à termes positifs ⎛ ⎞ ⎝

+∞

p=0 ∞

rifie :

u p,q ⎠ sont majorées par ⎛

∞

⎝

q=0

⎞ u p,q ⎠

p=0

u p,q . Cette série converge. Sa somme vé( p,q)∈N2

u p,q . ( p,q)∈N2

• Supposons maintenant que, pour tout entier naturel q, la série ⎛ ⎝

et que la série

∞

⎞ u p,q ⎠ converge. La somme

p=0

⎛

∞

Remarque

⎞

∞

⎝

q=0

u p,q converge p

u p,q ⎠ existe.

p=0

2

Soit J dans PF (N ), il existe m et n entiers tels que J ⊂ [[0, n]] × [[0, m]]. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m

u p,q ( p,q)∈ J

q=0

n

⎝

m

u p,q ⎠

p=0

⎝

q=0

∞

p=0

∞

Ainsi, pour toute partie J finie de N , on a :

u p,q ( p,q)∈ J

∞

u p,q

⎛ ⎝

⎞

u p,q ⎠ .

p=0

⎛ ⎝

q=0

⎞

∞

u p,q ⎠ .

p=0

En représentant la suite u dans un tableau à double entrée, nous remarquons que⎞: ⎛

u p,q ⎠ .

p=0

q=0

( p,q)∈N2

∞

∞

⎝

q=0

2

La suite u est sommable et

∞

u p,q ⎠

∞

Enfin les deux inégalités obtenues nous donnent

u p,q =

⎛ ⎝

⎞

∞

u p,q ⎠ .

u p,q =

que, dans le cas où (ii) est vérifiée, on a :

p=0

( p,q)∈N2

⎝

∞

∞

u p,q ⎠ correspond à

p=0

une sommation par colonnes, ⎛ ⎞ ∞

Une démonstration analogue montre que (ii) est équivalente à⎛u sommable ⎞ et ∞

⎝

q=0

p=0

q=0

( p,q)∈N2

∞

q

0 1 2 3 4 ... q u0,q 0 u00 u01 u02 ... u1,q 1 u10 2 u20 3 4 5 .. . up,q p up0 up1 ... .. .

p

u p,q ⎠ .

⎝

p=0

∞

u p,q ⎠ correspond à

q=0

une sommation par lignes.

q=0

Application 13

La fonction dzeta z de Riemann.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit u définie par u p,q = ∞

q

2. On note z(q) = p=1

1 pour p pq 1 . pq

2 et

1) Montrer que la suite u est sommable et calculer sa somme.

+∞

+∞

(z(q) − 1) = q=2

160

q=2

n=1

q=2

La série de terme général

1 est converp ( p − 1)

gente. Calculons sa somme. Prenons un entier naturel n tel que n

2) Prouver l’identité suivante : +∞

1) Pour p fixé, il s’agit d’une suite géométrique de 1 raison . p ∞ 1 1 = . pq p ( p − 1)

1 −1 nq

= 1.

n p=2

1 = p( p − 1)

n p=2

1 1 − p−1 p

2 : =1−

1 . n

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé ∞

Nous obtenons : p=2

1 = 1. p( p − 1)

∞

∞

⎝

p=2

q=2

∞

q=2

n=1

étudiant la suite double

On en déduit : ⎛

∞

2) Montrons l’égalité

⎞ 1 ⎠ = pq

⎛

∞

⎝

q=2

∞ p=2

D’après la question 1) :

⎞

+∞

1 ⎠ = 1. pq

1 nq

(n,q)∈N2 n>1,q>1

+∞

+∞

q=2

n=1

(z(q) − 1) = q=2

1 −1 nq

= 1 en

.

1 −1 nq

= 1.

Pour s’entraîner : ex. 24.

Rapport Centrale, 2003 « Série double. Cette théorie, si utile et pas si difficile que l’on pourrait croire, n’a guère profité à ceux dont l’exercice la requérait. Il y a là une riche partie de cours dont la connaissance est à améliorer sans contestation. »

Théorème 29. Interversion des sommations dans un espace vectoriel normé de dimension finie Soit u = (u p,q )2(p,q)∈N une suite double de l’espace vectoriel normé (E, ) de dimension finie. Alors : • Si, pour tout entier naturel q, la série ⎛ ⎝

gente et si la série

⎞

∞

u p,q est absolument converp

u p,q ⎠ converge, alors :

p=0

⎛

∞

⎝

q=0

⎞

∞

u p,q ⎠ =

p=0

∞

⎛ ⎝

p=0

⎝

gente et si la série

u p,q ⎠ .

u p,q est absolument converq

⎞

∞

⎞

q=0

• Si, pour tout entier naturel p, la série ⎛

∞

u p,q ⎠ converge, alors :

q=0

⎝

q=0

∞

⎞ u p,q ⎠ =

p=0

∞ p=0

⎛ ⎝

∞

⎞ u p,q ⎠ .

q=0 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

⎛

∞

Démonstration Pour tout entier naturel q, la série

u p,q est absolument convergente, donc converp

+∞

∞

gente, et :

u p,q

u p,q .

p=0

⎛ ⎝

La série q

p=0 ∞

⎞

u p,q ⎠ converge. Par comparaison directe, nous obtenons la

p=0

⎛

+∞

convergence de la série

u p,q q

p=0

⎝

puis la convergence de la série q

∞

⎞ u p,q ⎠ .

p=0

161

Maths, MP-MP∗

Soit un entier naturel n. Nous avons : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n

⎝

q=0

∞

n

u p,q ⎠ −

p=0

q=0

+∞

⎝

q=0

n

+∞

q=0

p=n+1

u p,q ⎠

p=0

⎛

n

n

⎝

u p,q

⎞ u p,q ⎠ =

p=n+1

⎛

n

⎝

q=0

⎞

∞

u p,q ⎠ −

p=0

⎛

n

⎝

q=0

⎞

n

u p,q ⎠ .

p=0

On montre comme dans le théorème précédent avec la suite double ( u p,q )( p,q)∈N2 de n

R+ et les parties finies [[0, n]] × [[0, n]] que : lim

n→∞

⎛ ⎝

La série q

⎞

∞

n

u p,q = ( p,q)∈N2

u p,q ⎠ converge, par conséquent :

p=0

⎛

n

⎝

lim

n→∞

⎞

∞

u p,q ⎠ = ⎛

n

Puis :

⎝

Cependant, la convergence de la série q

⎛

n

⎝

lim

n→∞

q=0

n

Nous obtenons ainsi : lim

n→∞

q=0

⎛

⎝

⎞

u p,q ⎠ nous donne :

p=0

⎛

∞

u p,q ⎠ =

n

u p,q ⎠ = 0.

p=0

∞

p=0

⎛

⎞

n

⎝

⎞

∞

u p,q ⎠ = 0.

p=0

q=0

⎛

⎞

n

⎝

n

u p,q ⎠ −

p=0

q=0

⎛

n

⎞

u p,q . ( p,q)∈N2

q=0

∞

⎝

lim

u p,q ⎠ =

p=0

u p,q ⎠ −

⎛

n n→∞

⎝

p=0

q=0

⎞

∞

⎞

∞

⎝

lim

n→∞

⎛

∞ q=0

p=0

q=0

Donc :

⎞ u p,q ⎠ =

p=0

∞

⎝

∞

⎛ ⎝

q=0

En échangeant les rôles de p et q on a :

⎛ ⎝

q=0

⎞ u p,q ⎠ .

p=0

q=0

∞

∞ p=0

∞

⎞ u p,q ⎠ . ⎞

u p,q ⎠ =

p=0

∞

⎛ ⎝

p=0

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Quand les

et les

p

Soit la suite double u définie par : ∀ ( p, q) ∈ N2

u p,q =

u p,q = 0 pour p = q.

p2

1 pour p = q et − q2

∞

⎞ u p,q ⎠ .

q=0

Application 14

162

u p,q .

q=0 p=0

ne s’échangent pas q ∞

Montrer l’existence des sommes ∞

et p=0

⎛ ⎝

∞ q=0

⎞

q=0

⎛ ⎝

∞ p=0

u p,q ⎠ . Que remarque-t-on ?

⎞ u p,q ⎠

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

p2

p

1 converge car − q2

1 1 ∼ 2 en +∞. 2 2 p −q p Calculons sa somme. Prenons un entier naturel N. N p=0, p=q

1 1 = p2 − q 2 2q 1 = 2q

D’où :

−1 −q

N p=0 p=q

1 + n

N −q 1 N +q

1 1 − p−q p+q 1 − n

q

N −q

1 1 + n 2q

1 = 2q

1 − − 2q

1 = 2q

1 N +q − − ln − o(1) . 2q N −q

∞ p=0 p=q

1

1 + n

N +q

1

1 1 = − 2. p2 − q 2 4q

1 n

La série de terme général − de somme −

p2 . 24 ∞

Nous pouvons écrire : ∞

Puis : q=0

⎛ ⎝

⎛ ⎝

q=1

⎞

∞

u p,q ⎠ =

p=0

1 est convergente 4q 2

∞

⎞ u p,q ⎠ = −

p=0

p2 . 24

p2 8

Nous pouvons remarquer que u p,q = −u q, p , aussi, en inversant les rôles de p et q, nous obtenons : ∞ p=0

⎛ ⎝

∞ q=0

⎞ u p,q ⎠ = −

p2 . 8

Les deux sommes calculées existent, mais elles ne prennent pas la même valeur.

Pour s’entraîner : ex. 25, 26 et 27.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour q fixé, la série

163

Maths, MP-MP∗

• Pour montrer la convergence et calculer la somme d’une série, on peut exprimer la suite s des sommes partielles, puis montrer qu’elle converge. Pour cela, on peut : • étudier directement la limite de s ; • encadrer les sommes partielles par des intégrales connues ; • encadrer les sommes partielles par des sommes partielles de séries dont on connaît la somme. La limite obtenue est la somme de la série.

•

Pour montrer qu’une série

u n de réels positifs converge, on peut :

• montrer qu’elle est la somme de deux séries convergentes ; • chercher une série

vn convergente telle que u n ∼ vn ;

• majorer (u n )n∈N par une suite (vn )n∈N telle que la série u n+1 • regarder si admet une limite l < 1 ; un • trouver une série

vn converge ;

vn convergente telle que u n = o(vn ) ou u n = O(vn ) ;

• trouver un réel a tel que lim n a u n = 0 et a > 1 ; n→∞

• essayer la comparaison à une intégrale ; • montrer que la suite des sommes partielles est majorée ; • s’il s’agit d’une série dont le terme général est le produit de deux termes, effectuer une transformation d’Abel ; u n+1 vn+1 • trouver une série vn convergente telle que à partir d’un certain rang ; un vn • montrer qu’elle vérifie le critère de Cauchy.

•

Pour montrer qu’une série

u n de réels positifs diverge, on peut :

• montrer que son terme général ne tend pas vers 0 ; • montrer qu’elle est la somme d’une série convergente et d’une série divergente ; • chercher une série

vn divergente telle que u n ∼ vn ;

• minorer u n par le terme général vn d’une série divergente ; u n+1 • regarder si admet une limite l > 1 ; un c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• trouver une série

vn divergente telle que vn = o(u n ) ou vn = O(u n ) ;

• trouver un réel a tel que lim n a u n = +∞ et a n→∞

1;

• essayer la comparaison à une intégrale ; • montrer que la suite des sommes partielles n’est pas majorée ; vn+1 u n+1 • trouver une série vn divergente telle que à partir d’un certain rang ; vn un • montrer qu’elle ne vérifie pas le critère de Cauchy.

164

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

•

Pour montrer qu’une série u n d’éléments d’un espace vectoriel normé de dimension finie ou d’un espace de Banach converge, on peut : • s’il s’agit d’une série alternée, appliquer le théorème spécial ; • montrer que la série est absolument convergente ; • utiliser un développement généralisé de u n ; • trouver une série

vn de réels positifs convergente telle que u n = o(vn ) ou u n = O(vn ) ;

• trouver un réel a tel que : lim n a u n = 0 et a > 1 ; n→∞

• s’il s’agit d’une série dont le terme général est le produit de deux termes, effectuer une transformation d’Abel ; • montrer qu’elle vérifie le critère de Cauchy ; • trouver une série de réels positifs rang.

vn convergente telle que

u n+1 un

vn+1 à partir d’un certain vn

• Pour trouver un équivalent d’une somme partielle d’une série divergente ou d’un reste de série convergente, penser à utiliser une intégrale. • •

Pour montrer qu’une suite converge, on peut montrer que la série associée converge.

•

Pour étudier les restes d’une série

u n convergente, on peut :

• introduire une série de réels positifs

vn convergente telle que :

Pour obtenir un développement généralisé d’une suite, on peut chercher un équivalent des restes ou des sommes partielles de la série associée.

+∞

– u n = o(vn ), alors

+∞

uk = o n+1

+∞

– u n ∼ vn , alors

vk n+1

+∞

uk ∼ n+1

vk n+1

+∞

– u n = O(vn ), alors

+∞

uk = O n+1

vk n+1

•

Pour étudier les sommes partielles d’une série

• introduire une série de réels positifs n

– u n = o(vn ), alors k=0 n

vn divergente telle que : vk

k=0 n

uk ∼ k=0

u n divergente, on peut :

n

uk = o

– u n ∼ vn , alors

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• encadrer les restes par des intégrales, ou des sommes.

vk k=0

165

Maths, MP-MP∗

n

n

– u n = O(vn ), alors

uk = O

vk

k=0

k=0

• encadrer les restes par des intégrales, ou des sommes. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

•

∞

∞

⎝

Pour montrer que q=0

u p,q ⎠ =

p=0

∞

⎝

p=0

∞

u p,q ⎠ où u = (u p,q )( p,q)∈N2 est une suite double

q=0

de nombres réels ou complexes ou d’éléments d’un espace vectoriel normé de dimension finie, on peut montrer que, pour tout entier naturel q, la série u p,q est absolument convergente et que la série ⎛ ⎝

∞

p

⎞

u p,q ⎠ converge ou bien que, pour tout entier naturel p, la série

p=0

⎛ ⎝

convergente et que la série

⎞

∞

u p,q est absolument q

u p,q ⎠ converge.

q=0

⎛

•

Pour effectuer le produit des deux sommes ⎝

∞

⎞

⎛

u p ⎠ et ⎝

p=0

∞ q=0

⎞ vq ⎠ de deux séries de R ou C,

absolument convergentes, on calcule la somme de la série produit de Cauchy de terme général : n

wn =

u p vq = p+q=n

∞

On obtient :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n=0

166

⎛ wn = ⎝

∞ p=0

⎞⎛ u p⎠ ⎝

∞ q=0

⎞ vq ⎠ .

u p vn− p . p=0

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

Exercices résolus 1. Du bon usage des équivalents ÉNONCÉ

√

an 2 n Étudier la nature de la série de terme général u n = √n où a et b sont deux nombres complexes. 2 + bn CONSEILS

SOLUTION

Comparez les deux suites : √ (2 n ) n∈N et ( bn )n∈N , puis trouvez un équivalent de u n .

• √Pour |b| 1, la suite (√b n )n∈N est √négligeable devant la suite n (2 ) n∈N . Par conséquent : (2 n + bn ) ∼ 2 n puis u n ∼ a n . Pour |a| 1, le terme général u n ne tend pas vers 0, la série diverge. Pour |a| < 1, la série est absolument convergente car |u n | ∼ |a|n . Par conséquent : (2 Soit vn = D’Alembert.

|a| |b|

√ n

n

2

√ n

) n∈N est négligeable devant la suite (bn )n∈N . a n √n + bn ) ∼ bn puis u n ∼ 2 . b

Pour |b| > 1, la suite (2 √ n

. Étudions la série

vn+1 |a| √n+1−√n = 2 vn |b| Si |a| < |b|, alors la série lument convergente. Si |a| = |b|, alors |u n | ∼ 2 u n diverge. Si |a| verge.

et

vn à l’aide de la règle de

lim

n→∞

vn+1 |a| = . vn |b|

vn converge, et la série √ n

u n est abso-

et le terme u n ne tend pas vers 0. La série

|b|, alors le terme u n ne tend pas vers 0. La série

u n di-

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• En conclusion, la série u n converge si et seulement si (|a| < |b| et |b| > 1) ou (|a| < 1 et |b| 1).

2. Une rotation bien cachée ÉNONCÉ

→ Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et − r un vecteur de E. − → − → − → → → → Pour tout x de E, on définit par récurrence : x 0 = x et ∀ n ∈ N − x n+1 = − r ∧− x n. ∞ − → xn → Soit f : − x −→ . n! n=0

1) Montrer que f est un endomorphisme et que f est l’exponentielle d’un endomorphisme. 2) Préciser la nature de f .

167

Maths, MP-MP∗

CONSEILS

SOLUTION

→ → 1) On constate que : ∀ n ∈ N − x n+1 = u(− x n) − → → n − puis que : ∀ n ∈ N x n = u ( x ).

1) Utiliser l’endomorphisme : → → → u :− v −→ − r ∧− v.

→ L’application f a un sens : f : − x −→ L’application f est un endomorphisme.

2) Se placer dans une base orthonormée bien choisie.

→

→

x

r

→

h

→

i

→

j

u(→ n)

Doc. 6.

∞

n=0

→ u n (− x) et f = eu . n!

− → → 2) Supposons − r non nul, prenons alors k =

− → r − → r

− → − → puis i et j

− → − → − → tels que ( i , j , k ) soit une base orthonormale directe. Pour simplifier, → notons r la norme de − r. − → − → − → − → − → − → − → − → On obtient : u( i ) = r k ∧ i = r j , u( j ) = r k ∧ j = −r i et enfin − → − → u( k ) = 0 . ⎛ ⎞ 0 −r 0 ⎜ ⎟ La matrice M de u dans cette base est : M = ⎝r 0 0⎠ 0 0 0 Par récurrence, on a : ⎞ ⎛ 0 0 (−1) pr 2 p ⎟ ⎜ M2 p = ⎝ ∀ p ∈ N∗ 0 (−1) pr 2 p 0⎠ 0 0 0 ⎞ ⎛ p+1 2 p+1 0 0 (−1) r ⎟ ⎜ M 2 p+1 = ⎝(−1) pr 2 p+1 0 0⎠ . 0 0 0 ⎞ 0 ⎟ On obtient e M = 0⎠ . n=0 1 → − Par conséquent, f est la rotation d’axe (0, r ) et d’angle r . Pour − → − → r = 0 , l’application f est l’identité.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∞

⎛ cos r M ⎜ = ⎝ sin r n! 0 n

− sin r cos r 0

3. Reste d’une série alternée convergente ÉNONCÉ

Étudier la convergence et donner un équivalent du reste d’ordre n de la série de terme général : u n = (−1)n CONSEILS

SOLUTION

Chercher un équivalent des restes d’ordre pair et d’ordre impair, puis les comparer.

• La suite

168

(−1)n

ln n n

n∈N∗

ln n . n

est décroissante, de limite 0. La série alternée

ln n vérifie le critère spécial des séries alternées. Elle converge. n

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé • Étudions le reste d’ordre 2 p : +∞

(−1)n

R2 p = n=2 p+1

ln n . n

La série converge, nous pouvons grouper les termes 2 par 2. (Ceci se ramène à la convergence d’une suite extraite de la suite convergente ⎛ ⎞ ⎝

n

(−1)k

k=2 p+1

ln k ⎠ k

:

n∈N∗ +∞

R2 p = − k= p+1

Cherchons un équivalent de rème 23. ln(n + 1) ln n − = n+1 n

ln(2k − 1) ln 2k − 2k − 1 2k

.

ln(n + 1) ln n − , afin d’utiliser le théon+1 n 1 − ln n ln n ln n n =− 2 +o n(n + 1) n n2

n ln 1 +

Revenons à R2 p . Nous avons :

.

ln 2k ln(2k − 1) ln 2k − ∼− 2k (2k − 1) (2k)2 +∞

D’après le théorème 23 : R2 p ∼ − k= p+1

ln 2k . (2k)2 +∞

• Étudions le reste d’ordre 2 p + 1.R2 p+1 =

(−1)n

n=2 p+2

ln n . En procén

dant de la même manière, nous obtenons successivement : +∞

R2 p+1 = k= p+1

ln 2k ln(2k + 1) − 2k 2k + 1

+∞

, puis R2 p+1 ∼ k= p+1

ln 2k . (2k)2

• Comparons maintenant R2 p et R2 p+1. Les équivalences précédentes montrent que R2 p+1 ∼ −R2 p . Par conséquent, Rn+1 = −Rn + o(Rn ). D’autre part,

On en déduit Rn ∼ (−1)n+1

1 ln n . 2 n

ln(n + 1) . (n + 1) c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Rn = Rn+1 + (−1)n+1

4. Cherchez la suite double ! ÉNONCÉ

Soit x dans C tel que : |x| < 1. Montrer l’égalité suivante : +∞ n=1

x 2n−1 = 1 − x 2n−1

+∞ n=1

xn . 1 − x 2n

169

Maths, MP-MP∗

CONSEILS

SOLUTION

Utiliser le développement :

Vérifions, tout d’abord, l’existence des deux sommes.

1 = 1−u

+∞

Pour |x| < 1, nous obtenons les inégalités suivantes : p

p=0

x 2n−1 à l’aide 1 − x 2n−1 n=1 d’une somme double.

|x|

|x| |1 − x 2n−1 |

+∞

et exprimer

2n−1

2n−1

u pour |u| < 1

Or |x|2n−1

|x| < 1, donc

1 − |x|2n−1

|x|2n−1 |1 − x 2n−1 |

|x|2n−1 . 1 − |x|

La série de terme général |x|2n−1 est convergente. Par conséquent, la série x 2n−1 est absolument convergente, donc convergente. 1 − x 2n−1 On procède de même pour la deuxième série. +∞

Exprimons n=1 +∞

2n−1

x 2n−1 à l’aide d’une somme double. 1 − x 2n−1 ⎛ ⎞ ⎛

x = 1 − x 2n−1

n=1

+∞

x 2n−1 ⎝

n=1

+∞

+∞

x (2n−1) p ⎠ =

p=0

+∞

⎝

n=1

⎞ x (2n−1)( p+1) ⎠ .

p=0

Nous souhaitons intervertir les sommations. D’après le théorème 29, il suffit de vérifier que, pour⎛tout n de N∗ , ⎞ la |x|(2n−1)( p+1) converge et que la série

série

⎝

Or, pour tout n de N∗ , la série et

|x|(2n−1)( p+1) ⎠

p=0

converge. +∞

+∞

(2n−1)( p+1)

|x|

=

p=0

|x|

|x|

2n−1

1 − |x|

2n−1

(2n−1)( p+1)

converge pour |x| < 1

.

D’autre part, l’inégalité démontrée dans la première partie : |x|2n−1

|x|2n−1 1 − |x|

2n−1

1 − |x|

⎛ ⎝

prouve la convergence de la série

+∞

⎞

(2n−1)( p+1) ⎠

|x|

.

p=0

D’après le théorème 29, on a : ⎛ ⎞ +∞

⎝

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n=1

+∞

x (2n−1)( p+1) ⎠ =

p=0

a

+∞

+∞

p=0

n=1

+∞

= +∞

Or

x p+1

p=0

x 2( p+1)

n=0 +∞

Donc n=1

170

x (2n−1)( p+1) =

⎛ ⎝

+∞ p=0

n

=

1 . 1 − x 2( p+1) ⎞

x (2n−1)( p+1) ⎠ =

+∞

x 2( p+1)

n

+∞

+∞

p=0

n=0

x (2n+1)( p+1)

.

n=0

+∞ p=0

x p+1 = 1 − x 2( p+1)

+∞ p=1

xp . 1 − x2 p

4. Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé

TD d’algorithmique 1

Accélération de convergence de la série

n2

FONDEMENTS MATHÉMATIQUES On se propose d’obtenir, de plusieurs manières différentes, une valeur 1 approchée de la somme S de la série , en accélérant la convern2 gence de la série. +∞

1 p2 ; Sn = = k2 6 k=1 1 Nous savons que : Rn ∼ . n

n

On pose S =

k=1

1 ; Rn = k2

+∞ k=n+1

Les résultats admis sont démontrés dans le livre d’exercices.

1 . k2

(1) La première méthode consiste à approximer S par Sn +

1 . n

1 1 est une valeur approchée par excès de S et que S − (Sn + ) n n (2) La deuxième méthode est due à Stirling. Nous admettrons que Sn +

q

Nous admettrons que, pour n

1 et q

1, en posant Sn = Sn + k=1

1 . n2

(k − 1)! k(n + 1) · · · (n + k)

(q − 1)! 0 S − Sn . 2 (n + 1) (n + 2) · · · (n + q) Expliciter Sn et l’inégalité précédente lorsque q = 2. (3) La troisième méthode, dite d’Euler-Mac Laurin, utilise un développement asymptotique du reste Rn , pour approximer S. On définit par récurrence une suite de polynômes par les conditions suivantes : P0 (X) = 1 ;

∀n

1

Pn (X) = n Pn−1 (X)

et

1 0

Pn (t) d t = 0

k=1

(b) Pour tout n

1 et p

Expliciter Sn = Sn +

1 : Rn −

1 1 − 2+ n 2n

p k=1

1 1 + − n 2n 2

p k=1

B2k n 2k+1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

et on pose, pour tout entier naturel n : Bn = Pn (0). Ces polynômes sont appelés polynômes de Bernoulli et le nombre Bn n-ième nombre de Bernoulli. Nous admettrons que : n n (a) Bn−k = 0 pour n 2 et B2k+1 = 0 pour k 1. k (2 p + 1)! sup |P2 p+1 (t)| t∈[0,1] n 2 p+2

.

B2k et l’inégalité précédente lorsque p = 2. n 2k+1

MÉTHODOLOGIE INFORMATIQUE Le but du programme est de calculer S avec une précision fixée ´ > 0. (1) Comparer, avec la calculatrice, les résultats obtenus en calculant Sn , Sn +

1 pour différentes valeurs de n. n

171

Maths, MP-MP∗

1 . n (3) Écrire une procédure de calcul de S, par la méthode de Stirling pour q = 2.

(2) Écrire une procédure de calcul de S, en approchant S par Sn +

(4) Écrire une procédure de calcul de S, par la méthode d’Euler-Mac Laurin pour p = 2. SOLUTION 1)

2) Accélération de la convergence Avec Maple

W G5996d[X3/5:p63-o ;5:=; 7l* Z 2;5 0 ∃ N ∈ N ∀n

N

| f n (x) − f (x)|

´

(1)

Exemples :

René Baire (1874-1932), mathématicien français, étudia les nombres irrationnels et les fonctions d’une variable réelle. Nous lui devons ce résultat étonnant : « L’ensemble des points de continuité d’une fonction dérivée est dense. »

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Pour étudier la convergence d’une suite de fonctions, la représentation graphique des premières fonctions de la suite (à l’aide de la calculatrice éventuellement) permet de s’orienter vers le type de convergence que semble posséder la suite. »

f n (t) = t n sur A = [0, 1]. La suite ( f n ) de fonctions converge simplement vers la fonction f définie sur [0, 1] par f (1) = 1 et, pour t < 1, f (t) = 0. (doc. 1.)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

W =--)96p+WXel+YXdoZ 47 [Xp7l+okW+B7Z 4 [X)7=33;"p;.9.+p47p7l+ol 7X.74.7.+"ol+o Z 3;5+pu4p+ol-61p47p*l+ol *Xdgg`orl+XeggdoZ f n := (n, t) → t n f := 0 f n (x) =

sin(x) cosn (x) p sur A = 0, . 1 − cos(x) 2

Soit x fixé dans

178

0,

p , alors cos(x) appartient à ]0, 1[. 2

1

t

0,8 0,6

k=1

0,4

k=2 k=3 k=4 k=5

0,2 0

0,2

0,4

0,6

t 0,8

1

Doc. 1. Convergence simple sur [0,1] de la suite de fonctions ( f n ).

5. Suites et séries de fonctions La suite de fonctions ( f n ) converge donc simplement sur fonction nulle. (doc. 2.)

0,

p 2

vers la

15

W 47 [Xp7l+okWp-.7p#on:5-p#oB7o fpdk:5-p#oo Z

10

sin(x) cos(x)n 1 − cos(x)

f n := (n, t) →

20

5

W 4 [X#kWe Z W 3;5+ pu4p#ol-61p47p*l#ol *Xdggdeorl#Xegdggdg``oZ

k = 10 0

Pour s’entraîner : ex. 1.

1.1.2 Convergence simple d’une série de fonctions De même, la série de fonctions

1

Doc. 2. Convergence simple sur p 0, de la suite de fonctions 2 ( fn ) .

u n converge simplement sur A, si, pour

tout x de A, la série numérique

u n (x) converge.

On appelle alors fonction somme de la série la fonction S définie sur A par : ∞

S(x) =

u n (x). 0

La série de fonctions

k=1

u n converge simplement sur A vers S si :

∀x ∈ A ∀´ > 0 ∃ N ∈ N ∀n

N

|Sn (x) − S(x)|

´

Étudier la convergence simple d’une suite de fonctions ou d’une série de fonctions revient à étudier la convergence d’une suite ou d’une série numérique dépendant du paramètre x. Le domaine de convergence simple est le domaine de définition de la fonction somme.

Application 1

La fonction z de Riemann et la fonction m

Déterminer les domaines de définition de ces deux fonctions.

On considère les fonctions : ∞

z(x) = 1

1 nx

∞

et m(x) = 1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La fonction z et son prolongement à C sont fondamentales en théorie des nombres. Cette fonction est en particulier l’objet d’une conjecture de Riemann (1826-1866), reprise par Hilbert dans son huitième problème, et toujours non élucidée. Aussi, cette fonction et la fonction m, ingrédients classiques des problèmes de concours, nous fourniront-elles un fil conducteur pour les chapitres d’étude des suites et séries de fonctions. Au fur et à mesure de l’approfondissement de nos connaissances, nous en verrons la mise en œuvre avec ces deux fonctions.

(−1)n+1 . nx

z est appelée la fonction z de Riemann.

1 1) La série numérique converge si et seulenx ment si x > 1. Le domaine de définition de la fonction somme z est ]1, +∞[ (doc. 3).

179

Maths, MP-MP∗

3 S7(x)

(−1)n+1 2) De même, la série numérique est nx grossièrement divergente pour x fixé, inférieur ou égal à 0. Elle converge pour x > 0 comme le montre le critère spécial des séries alternées. La fonction somme m de cette série de fonctions est donc définie sur ]0, +∞[ (doc. 4).

S15(x)

2

1 y = S7 (x)

1

S4(x) 2

3

5

4

y = S15 (x)

6

Doc. 3. La fonction z de Riemann. y = S4 (x)

W /6-+=/+Z47[Xp7l#okW7B pk#o Z G7[Xp7l#okW-)9pq*qBpk#ol q*qXdgg7o Z 3;5+puG7pal#olG7p^l#ol G7pd`l#orl#Xdgedgg^oZ 0

f n := (n, x) → (−1)(n+1) n (−x) n

Sn := (n, x) →

(−1)( k

+1)

1

2

3

4

5

6

Doc. 4. La série de fonctions converge vers la fonction m .

k (−x)

k =1

1.2. Convergence uniforme de suites et séries de fonctions

1.2.1 L’espace vectoriel normé (B(A),

∞)

Considérons l’espace vectoriel, B( A), des fonctions bornées de A dans K et l’application : ⎧ ⎨ B( A) → R+ ∞ : f → f ∞ = sup | f (x)|. ⎩ x∈ A

! Nous constatons ainsi que par-

ler de la convergence d’une suite de fonctions n’a de sens que si l’on précise le type de convergence envisagé et l’intervalle d’étude.

Nous avons rencontré cette application et montré qu’elle est une norme sur B( A). 1.2.2 Convergence uniforme de suites de fonctions c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Une suite ( f n ) de fonctions de A dans K converge uniformément sur A s’il existe une fonction f de A dans K telle que : lim

n→+∞

f − fn

∞

= 0.

La suite ( f n ) converge uniformément sur A vers f équivaut à : ∀´ > 0

∃N ∈N

∀n

N

fn − f

∞

´

soit à :

∀´ > 0 ∃ N ∈ N ∀n

180

N ∀x ∈ A

| f n (x) − f (x)|

´

(2)

Rapport Mines-Ponts, 2003 « ...lacunes dans les connaissances de seconde année (convergence uniforme)... »

5. Suites et séries de fonctions • La convergence uniforme de la suite de fonctions ( f n ) est donc la convergence de la suite ( f n − f ) de fonctions bornées de B( A), relativement à la norme ∞ , vers la fonction nulle (doc. 5). • La convergence uniforme de la suite de fonctions ( f n ) vers f sur un intervalle A de R s’exprime ainsi : pour tout ´ > 0, il est possible de trouver un entier N tel que, pour tout n N, le graphe de f n soit contenu dans la bande du plan x Oy : {(x, y) | x ∈ A, y ∈ [ f (x) − ´, f (x) + ´]} .

y ε

y = f (x) y = fn (x) ε

a

b

x

Doc. 5. Convergence uniforme sur [a, b].

La relation (2) ressemble beaucoup à la relation (1), mais la position du « ∀ x ∈ A » n’est pas la même. Dans la relation (1), l’entier naturel N dépend de x, alors que dans la relation (2), le même N convient pour tous les x. Ceci justifie la terminologie « uniforme ». On retrouve le fait que la convergence uniforme entraîne la convergence simple, la réciproque étant fausse, comme le montre l’exemple 2 du paragraphe suivant. À cause de cette définition, la norme la convergence uniforme.

∞

est aussi appelée norme de

Théorème 2 (Condition suffisante de non-convergence uniforme) A étant une partie d’un espace vectoriel normé de dimension finie et ( f n ) une suite de fonctions de A dans K convergeant simplement vers f , s’il existe une suite (x n ) de points de A tels que la suite numérique ( f n (x n ) − f (x n )) ne tende pas vers 0, alors la convergence de la suite ( f n ) vers f n’est pas uniforme sur A. Démonstration En effet :

∀ n ∈ N | f n (xn ) − f (xn )|

fn − f

∞

Pour s’entraîner : ex. 2 et 3.

1.2.3 Quelques exemples

Dans « Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste » (1892), Poincaré voulait caractériser complètement tous les mouvements de systèmes mécaniques. Il montra notamment que des développements en série, utilisés dans le problème des trois corps, étaient convergents, mais pas uniformément convergents en général, remettant ainsi en question les démonstrations de stabilité de Lagrange et Laplace. Voir site Internet : http ://www-groups .dcs.st-and.ac.uk / ∼ history/Mathematicians /Poincare.html.

On considère la suite de fonctions ( f n ) définie par : fn :

R+ x

→ R → x 2 e−n x .

Étudions la convergence de cette suite de fonctions. • Fixons d’abord x pour étudier la convergence simple de la suite ( f n ). La suite ( f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur R+ .

181

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 1 Si ( f n ) est une suite de fonctions de B( A) convergeant uniformément sur A vers f , alors la suite de fonctions ( f n ) converge simplement sur A vers f .

Maths, MP-MP∗

• Cette convergence est-elle uniforme ? Pour tout n 1, la fonction f n est dérivable et f n (x) = xe−n x (2 − n x). Par conséquent : ∀ x ∈ R+

| f n (x)|

fn

2 n

=

4 −2 e . n2

Rapport X-ESPCI, 2002 « Il est fortement conseillé aux futurs candidats de réviser les différents types de convergence des séries de fonctions. »

La suite de fonctions ( f n ) converge donc uniformément sur R+ vers la fonction nulle. Fonction « bosse glissante » Soit la fonction f n définie sur R+ par (doc. 6) : ⎧ 1 ⎪ ⎪ fn (x) = 2 n 2 x si x ∈ 0, ⎪ ⎪ 2n ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 1 1 fn (x) = −2 n 2 x − si x ∈ , ⎪ n 2n n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎩ fn (x) = 0 si x n

y 2 y = f2 (x)

.

y = f1 (x)

• Vous prouverez que la suite de fonctions ( f n ) converge donc simplement vers la fonction nulle. • La convergence n’est pas uniforme sur R+ , car : fn − 0

∞

x 1 2

Doc. 6. Fonction « bosse glissante ».

= sup | f n (t)| = n. t∈R+

• Toutefois, si nous choisissons a > 0 et si nous considérons la restriction des fn à [a, +∞[, la suite de fonctions ( f n |[a,+∞[ ) converge uniformément vers la fonction nulle sur [a, +∞[.

Rapport Mines-Ponts, 2003 « La convergence a été encore plus rarement étudiée. »

1.2.4 Convergence uniforme sur tout compact J étant une partie de A, lorsque ( f n − f ) est bornée sur J , on note : sup | f (x) − f n (x)| = x∈J

f n|J − f |J

∞.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Une suite de fonctions ( f n ), définies sur A et convergeant simplement sur A vers une fonction f , converge uniformément vers f sur tout compact contenu dans A si, pour tout compact J de E contenu dans A, la suite ( f n|J ) des restrictions de f n à J converge uniformément vers la restriction f |J de f à J . En d’autres termes, la suite de fonctions ( f n ) converge uniformément vers f sur tout compact contenu dans A si, pour tout compact J de E contenu dans A, on a : lim f n|J − f |J ∞ = 0. n→+∞

• Les fonctions f n − f doivent donc être bornées sur tout compact J de A, à partir d’un certain rang. • La convergence uniforme sur A entraîne la convergence uniforme sur tout compact de A. Mais la réciproque est fausse. Il suffit de considérer le premier exemple ci-dessous. Pour s’entraîner : ex. 4.

182

ε

y y = f (x)+ ε a 0

y = f (x)− ε

x

b y = f (x) y = fn (x)

Doc. 7. Convergence uniforme sur tout compact.

Lorsque A est un intervalle, nous utiliserons aussi la convergence uniforme sur des intervalles contenus dans A . Vous en verrez un exemple dans l’application 2.

5. Suites et séries de fonctions 1.2.5 Exemples Soit f n : [0, 1[→ R,

t → tn. 1

Le graphe et le calcul nous indiquent que : fn − 0

∞

= sup t n = 1 t∈[0,1[

La convergence de la suite de fonctions ( f n ) vers la fonction nulle n’est pas uniforme sur [0, 1[. Mais, si J = [a, b] est un segment de [0, 1[, on a : f n|J − 0

∞

=b

n

0,6

n=1 n=2

0,4

n=3 n=4

0,2

n=5

0

n

Lorsque n tend vers +∞, b tend vers 0, donc la suite de fonctions ( f n ) converge uniformément sur tout compact de [0, 1[ vers la fonction nulle. (doc. 8.) Soit la suite ( f n ) de fonctions définies sur [0, +∞[ par : f n (x) =

0,8

n (x 3 + x)e−x . nx +1

• Fixons x dans [0, +∞[:

0,2

0

0,6

0,8

1

Doc. 8. Convergence uniforme sur tout compact de [0, 1[.

T :**&63l(TUbg(VUak W 14 XUl4g(kfT(A4 W 1 XU&4:008"l8+6+(l14l4g(kg 4U+41+4+("kg(k W 082(lp1l(kg*3.l14l'g(kg'Uadd]kng (Ubddak W f n := (n, t) → t n f := 0

La suite numérique ( f n (x)) converge. La suite de fonctions ( f n ) converge simplement sur [0, +∞[ vers la fonction f définie par : f (x) =

0,4

si x = 0 2

−x

(x + 1)e

sinon.

• La convergence est-elle uniforme sur [0, +∞[ ? Faisons appel à Maple, ou à une calculatrice graphique, pour le graphe de f et celui des f n , pour n allant de 1 à 10. (doc. 9.) La distance entre les réels f n (t) et f (t) est proche de 1 pour x proche de 0. n (t 3 + t)e−t e−t 2 ∀ t > 0 | f n (t) − f (t)| = − (t 2 + 1)e−t = (t + 1) . nt + 1 nt + 1

0,6

k = 10

0,4

k=3

0,2

k=2

k=1

∞

1 + b2 . na+1

La convergence de la suite de fonctions ( f n ) vers f est uniforme sur tout compact [a, b] de [0, +∞[.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Doc. 9.

T ,3*(:,( X14 XUl4g#kfTl4jl#A _i#kj3#0lf#kkcl4j#iak W 1 XU&4:008"l8+6+(l14l4g#kg 4U+41+4+("kg#k W T 082(lp1l#kg*3.l14l'g#kg 'Uaddabkng#Ubddak W

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

fn

f n|[a,b] − f |[a,b]

y = f (x)

0,8

−1/n

e 1 1 − f . n n 2 La convergence de la suite ( f n ) vers f sur [0, +∞[ n’est pas uniforme. Considérons les restrictions de ces fonctions à un segment [a, b] (0 < a < b). 1 + b2 e−t 2 ∀ t ∈ [a, b] | f n (t) − f (t)| = (t + 1) . nt + 1 na+1

D’où :

1

n (x 3 + x)e(−x) nx +1 f := x → (x 2 + 1)e(−x)

f n := (n, x) →

1.2.6 Cas des fonctions bornées Théorème 3 Soit ( f n ) une suite de fonctions bornées convergeant uniformément vers f sur A, alors la fonction f est bornée.

183

Maths, MP-MP∗

Démonstration ∀x ∈ A

| f (x)|

f − fn

∞

+ fn

n.

La convergence uniforme d’une suite ( f n ) de fonctions bornées sur A, vers f est la convergence dans l’espace vectoriel normé (B( A), ∞ ). Corollaire 3.1 Soit ( f n ) une suite de fonctions bornées sur A convergeant uniformément vers f sur A, alors la suite ( f n ) vérifie le critère de Cauchy de convergence uniforme : ∀´ > 0

∃N ∈N

∀n

N

∀p∈N

f n+ p − f n

∞

< ´.

Le problème suivant se pose alors : une suite de fonctions de B( A) vérifiant le critère de Cauchy de convergence uniforme, converge-t-elle simplement et uniformément sur A ? En d’autres termes, l’espace vectoriel normé (B( A), ∞ ) est-il complet ? Théorème 4 L’espace vectoriel normé (B( A),

∞)

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Certains semblent mal maîtriser la notion de convergence uniforme car ils ne précisent pas le domaine de variation de la variable. »

est un espace de Banach.

Démonstration Soit ( f n ) une suite de Cauchy de (B(A), ∃N ∈ N ∀n

N

∞ ).

∀ p ∈ N ∀x ∈ A

Pour tout ´ > 0 : | f n+ p (x) − f n (x)|

´

(∗)

Pour tout x de A, la suite ( f n (x)) est donc une suite numérique de Cauchy. Elle converge. Appelons f (x) sa limite. On définit ainsi une fonction f de A dans K. Pour tout ´ > 0 : ∃N ∈ N ∀n

N

∀ p ∈ N ∀x ∈ A

| f n+ p (x) − f n (x)|

´

(∗)

Fixons alors n N et faisons tendre p vers +∞. La continuité de la fonction y → |y| sur K permet d’écrire : ∀ x ∈ A | f (x) − f n (x)| ´. Le théorème 3 nous permet d’affirmer que f est dans B(A) et que la suite de Cauchy ( fn ) converge dans (B(A), ∞ ) vers la fonction f .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 2

De la convergence simple à la convergence uniforme

Soit ( f n ) une suite de fonctions de [0, 1] dans R convergeant simplement vers une fonction f .

∃´ > 0

On suppose que, pour toute suite (x n ) de [0, 1] convergeant vers un x de [0, 1], la suite ( f n (x n )) converge vers f (x). Montrer la convergence uniforme de la suite ( f n ).

Soit :

Supposons que la suite de fonctions ( f n ) ne converge pas uniformément. On en déduit :

184

∀N ∈N

∃n > N

f n+ p − f n

∞

∃p>0 >´

∃ ´ > 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p > 0 ∃ x N ∈ [0, 1] | fn+ p (x N ) − f n (x N )| > ´

5. Suites et séries de fonctions Appliquons cette relation à ´ et à N = 1, on obtient : ∃ n = w(1) > N ∃ n + p = c(1) > n ∃ x 1 ∈ [0, 1] | f c(1) (x 1 ) − f w(1) (x 1 )| > ´ Itérons en choisissant N > c(1), puis N > c(2) et ainsi de suite. On construit ainsi deux suites extraites ( f w(n) ) et ( f c(n) ) de la suite de fonctions ( f n ) et une suite (x n ) d’éléments de [0, 1] telles que : ∀ n ∈ N | f c(n) (x n ) − f w(n) (x n )| > ´

Or, [0, 1] est une partie compacte de R, donc il existe une suite (x r(n) ), extraite de la suite (x n ), convergeant vers un élément x de [0, 1]. Et nous avons : ∀ n ∈ N | f c ◦ r(n) (x r(n) ) − f w ◦ r(n) (x r(n) )| > ´ Considérons la suite (yn ) définie, pour tout n de N, par : si c ◦ r(m) n < c ◦ r(m + 1) yn = x r(m) . Cette suite converge vers x. Et, par construction, la suite ( f n (yn )) ne converge pas vers f (x).

1.2.7 Convergence uniforme d’une série de fonctions Soit (u k ) une suite de fonctions de A dans K. Alors, la suite des sommes n

partielles (Sn ), définie par Sn (x) =

u k (x), est une suite de fonctions 0

définies sur A . Si la série de fonctions u k converge simplement sur A, on peut définir la fonction reste d’indice n sur A en posant : ∞

∀n ∈ N

∀x ∈ A

Rn (x) =

u k (x). k=n+1

Théorème 5 Soit u k une série de fonctions de A dans K. Les propriétés suivantes sont équivalentes : • La suite des fonctions sommes partielles (Sn ) associée converge uniformément sur A. • La série de fonctions u k converge simplement sur A et la suite des fonctions restes (Rn ) converge uniformément sur A vers la fonction nulle. Démonstration

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• La convergence uniforme de la suite de fonctions (Sn ) sur A entraîne sa convergence simple. De plus, elle équivaut à la convergence uniforme sur A de la suite de fonctions ( Rn ) vers la fonction nulle. • La réciproque est immédiate en appelant S la fonction somme de la série de fonctions uk .

Une série de fonctions u k vérifiant ces propriétés est appelée série uniformément convergente sur A. Corollaire 5.1 Soit u k une série de fonctions de A dans K convergeant uniformément sur A, alors la suite de fonctions u k converge uniformément sur A vers la fonction nulle.

185

Maths, MP-MP∗

Corollaire 5.2 Soit u k une série de fonctions de A dans K. S’il existe une suite (x k ) de points de A telle que la suite (u k (x k ) ne converge pas vers 0, alors la série de fonctions u k ne converge pas uniformément sur A. 1.2.8 Convergence uniforme sur tout compact d’une série de fonctions La série de fonctions u k est dite convergente uniformément sur tout compact de A lorsque, pour tout compact J de A, la série de fonctions u k|J converge uniformément sur J . En pratique, lorsque A est une partie de R, on s’intéressera plutôt à la convergence uniforme sur tout segment de la série de fonctions. Exemple : Considérons la série de fonctions définies sur C, zn u n (z) = . n! • Convergence simple.

u n , avec :

zn Nous avons déjà établi que, pour tout z de C, la série numérique n! converge absolument et nous avons nommé exponentielle la fonction somme : ∞

zn = ez . n! 0 La série de fonctions converge donc simplement sur C. (doc. 10.) exp(z) =

∀z ∈ J

|z|

40

∀z ∈ J

|u n (z)|

Mn n!

et

u n|J

Mn La série numérique converge. La série n! malement sur tout compact de C. • Converge-t-elle uniformément sur C ?

∞

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

k=8

u n converge donc nor+∞

Soit n fixé. La fonction reste d’ordre n est définie par On remarque que : t n+1 ∀ t ∈ R+ Rn (t) . (n + 1)!

Rn (z) = n+1

zk . k!

t n+1 = +∞. La suite de fonctions (Rn ) ne converge donc pas t→+∞ (n + 1)! uniformément vers la fonction nulle sur C. lim

Pour s’entraîner : ex. 5.

186

10 -4

Mn . n!

k=7

20

k=9

M.

k = 10 y = exp(x)

30

k=7

k = 10

Ainsi :

Or,

Rapport Centrale, 2001 « Et toujours l’erreur classique : la convergence uniforme sur tout compact [a, b] de ]0, +∞[ implique la convergence uniforme sur ]0, +∞[ . » 50

• Convergence normale sur tout compact de C. Soit J un compact de C. On a : ∃M ∈R

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Il y a toujours confusion entre convergence uniforme sur tout compact de A et convergence uniforme sur A . »

-2

0 -10

2

-20 -30

Doc. 10. Sommes partielles de la xn série : n! T ,3*(:,( X T I XU082(lp*3.l724%3,( l*3,+3*l3#0l#kg#g'kg028"426kg 'U[ddabkng#Uf\dd^k X T G XU082(l3#0l#kg#Uf\dd^k X T $+(-l082(*k X5+*08:"lpIgGng (+(83U;"U3#0l#k;k W

5. Suites et séries de fonctions

Application 3

Utilisation du critère spécial des séries alternées : La fonction m

La fonction m est définie sur R+∗ par : ∞

Le majorant est indépendant de x et tend vers 0.

(−1)n−1 . nx

m(x) = 1

La série de fonctions de somme m(x) converge uniformément sur [b, +∞[, pour tout b > 0.

1) Étudier la convergence uniforme sur tout intervalle [b, +∞[ (avec b > 0 ) de la série de fonctions définissant la fonction m. 2) Montrer que cette convergence n’est pas uniforme sur R+∗ . 1) Soit b > 0 fixé. Le critère spécial des séries alternées s’applique. ∀x

b

|Rn (x)|

(−1)n (n + 1)x

1 . (n + 1)b

2) Montrons que la convergence de cette série de fonctions n’est pas uniforme sur R+∗ . Pour tout n, (−1)n u n+1 = Rn − Rn+1 . Les fonctions u n , différences de fonctions bornées sur R+∗ , sont bornées sur R+∗ . Si la convergence de la série de fonctions était uniforme sur R+∗ , la suite (u n ) aurait pour limite 0 dans l’espace vectoriel normé des fonctions bornées sur R+∗ , muni de u n ∞ = 1, ∞ . Or, ce n’est pas le cas.

1.3. Une condition suffisante de convergence uniforme : la convergence normale 1.3.1 Définition

Théorème 6 Toute série de fonctions u k normalement convergente sur A est absolument et uniformément convergente sur A. Démonstration Soit de A.

u k une série de fonctions normalement convergente sur A et x un point

Alors, la série numérique convergente

uk

∞,

|u k (x)| est à termes positifs, et majorée par la série donc converge. La série numérique

solument, donc la série de fonctions

u k converge simplement sur A. De plus : ∞

∀x ∈ A

u k (x) converge ab-

|Rn (x)|

∞

|u k (x)| n+1

uk

∞

= ´n .

n+1

´n est le reste d’une série numérique convergente, donc tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

! La convergence normale ne concerne que les séries de fonctions. La réciproque est fausse. Considérons la série de fonctions (−1)n constantes . n Cette série de fonctions n’est pas normalement convergente. Cependant, elle converge pour tout x réel car la série numérique (−1)n vérifie le critère spén cial des séries alternées et, pour tout n : ∞ (−1)k Rn ∞ = sup k t∈R

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Étant donné une suite (u k ) de fonctions bornées sur A, on dit que la série de fonctions u k converge normalement sur A si la série uk ∞ converge.

n+1

1 , n+1 donc la série de fonctions converge uniformément sur R.

La suite des fonctions restes converge uniformément vers la fonction nulle sur A.

187

Maths, MP-MP∗

1.3.2 Convergence normale sur tout compact u k converge normalement sur tout com-

On dit que la série de fonctions

pact si, pour tout compact J de A, la série

u k|J

∞

converge.

Exemple :

xn La série qui définit la fonction exponentielle converge normalement n! sur tout compact de R. 1.3.3 Méthode pratique Théorème 7 Soit u k une série de fonctions définies sur A, à valeurs dans K. S’il existe une suite de réels (´n ) telle que : • ∀n ∈ N ∀x ∈ A • la série

|u n (x)|

´n

´k converge.

alors la série de fonctions

u k converge normalement sur A.

Théorème 8 Si la série de fonctions alors :

u k est normalement convergente sur A, ∞

∞

un

un

∞

0

Démonstration

n

u k (x) et S(x) = 0

On sait que : ∀ n ∈ N ∀ x ∈ A

Lorsqu’une série de fonctions converge normalement sur tout compact de A, elle converge uniformément sur tout compact de A.

uk

uk

∞

∞

∞.

0

0

uk

Il en résulte : ∀ x ∈ A |S(x)|

.

∞0

∞

un

=

∞

n

|Sn (x)| ∞

∞

Rapport Mines-Ponts, 2003 « Encore cette année le jury rappelle qu’il faut préciser sur quel ensemble a lieu telle ou telle convergence. » Rapport E3A, 2002 « Les majorations permettant d’établir la convergence normale sont presque toujours inexactes voire farfelues. » Rapport Mines-Ponts, 2003 « Il fallait majorer par une expression indépendante de x pour obtenir la convergence normale. »

u k (x) .

0

S

Rapport Mines-Ponts, 2003 « La notion même de convergence normale est mal connue et encore moins bien maîtrisée. »

∞

Posons Sn (x) =

Puis :

∞.

0

Rapport Mines-Ponts, 2001 « Mauvaise connaissance de la convergence normale. »

un

∞

∞

.

0

0

Pour s’entraîner : ex. 6 et 7.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 4

Les fonctions z et m

Rappelons que : ∞

z(x) = 1

1 nx

∞

;

m(x) = 1

(−1)n+1 nx

et que z est définie sur ]1, +∞[ et m sur ]0, +∞[.

188

1) Étudier la convergence normale de la série de fonctions définissant z. 2) Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions définissant z. 3) Étudier la convergence normale de la série de fonctions définissant m.

5. Suites et séries de fonctions 4) Donner une relation entre les fonctions z et m. 1) Montrons d’abord que z est normalement convergente sur tout intervalle [a, +∞[ (a > 1 fixé). 1 1 , ∀ x ∈ [a, +∞[ nx na 1 La série numérique converge, donc la série na 1 de fonctions est normalement convergente nx sur [a, +∞[. Mais la convergence de la série de fonctions définissant z n’est pas normale sur ]1, +∞[. 2) Si la convergence de la série de fonctions n −x était uniforme sur ]1, +∞[, on aurait :

En faisant tendre x vers 1, on obtiendrait : 1 2

∀ x ∈ ]1, +∞[ n+1

1 kx

Rn (x)

Rn

n+1

Rn

∞,

3) On en déduit que la série de fonctions (−1)n+1 converge normalement sur tout internx valle [a, +∞[ (a > 1 fixé). 4) Relation entre m(x) et z(x). Pour tout x > 1 : ∞

m(x) =

1 −2 nx

= (1 − 21−x )

∞.

1 k

ce qui contredit la convergence uniforme.

1 2n

2n

∞ 1 ∞ 1

1 (2n)x 1 = z(x)(1 − 21−x ). nx

1.4. Extension aux applications vectorielles 1.4.1 Les définitions Considérons l’ensemble F( A, F) des applications d’une partie A d’un espace vectoriel normé de dimension finie E, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie F. Les normes sur F sont équivalentes, notons N une norme sur F et, si f est bornée, f ∞ = sup N( f (x)). x∈A

Soit ( f n ) une suite de fonctions de F( A, F) et f une fonction de F( A, F). On dit que : 1. La suite de fonctions ( f n ) converge simplement vers f sur A si : ∀x ∈ A

lim N( fn (x) − f (x)) = 0

n→+∞

2. La suite de fonctions ( f n ) converge uniformément vers f sur A si : lim

n→+∞

sup N fn (x) − f (x) x∈ A

=0

c’est-à-dire

lim

n→+∞

fn − f

∞

=0 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

3. La suite de fonctions ( f n ) converge uniformément vers f sur tout compact de A si, pour tout compact J de A, la suite de fonctions ( f n|J ) converge uniformément vers f | J . 4. La série de fonctions u n converge simplement sur A si la suite des fonctions sommes partielles (Sn ) converge simplement sur A. 5. La série de fonctions u n converge uniformément vers S sur A si la suite des fonctions sommes partielles (Sn ) converge uniformément vers S sur A. 6. La série de fonctions u n converge uniformément vers S sur tout compact de A si, pour tout compact J de A, la suite des fonctions sommes partielles (Sn|J ) converge uniformément vers S| J .

189

Maths, MP-MP∗

7. La série de fonctions série numérique

un

8. La série de fonctions

u n converge normalement vers S sur A si la ∞

converge. u n converge normalement vers S sur tout com-

pact de A si, pour tout compact J de A, la série numérique converge.

u n|J

∞

1.4.2 Les théorèmes Tous les théorèmes et résultats précédemment énoncés dans le cadre des fonctions à valeurs dans K restent valables. Il suffit de substituer dans les énoncés et les démonstrations la norme sur F, N, à la valeur absolue de K, | |, qui n’est autre qu’une norme de K. En pratique, dans les démonstrations, il faudra choisir, parmi les normes sur F, celle qui se trouve la plus adaptée. Théorème 9 L’espace vectoriel normé des fonctions bornées de A dans F, muni de la norme ∞ , (B( A, F), ∞ ), est un espace de Banach. De plus, munissons l’espace vectoriel F d’une base (e j ) j ∈[[1, p]] . Si f est une application de F( A, F), on peut écrire : p

∀ x ∈ E f (x) =

f j (x)e j . j =1

Les p applications f j ainsi définies sont appelées applications coordonnées de f . Théorème 10 Soit A une partie d’un espace vectoriel normé de dimension finie E, F un espace vectoriel normé de dimension p sur K, muni d’une base (e j ) j ∈[[1, p]], ( f n ) une suite d’applications de E dans F et f une application de E dans F. Alors : 1. la suite ( f n ) converge simplement vers f sur A si et seulement si, pour tout j de [[1, p]], chacune des p suites d’applications coordonnées ( f n j ) converge simplement vers la j -ième application coordonnée de f ; c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

2. la suite ( f n ) converge uniformément vers f sur A si, et seulement si, pour tout j de [[1, p]], chacune des p suites d’applications coordonnées ( f n j ) converge uniformément vers la j -ième application coordonnée de f . Démonstration Nous laissons le soin au lecteur de la rédiger en tenant compte des simplifications apportées par un choix judicieux de la norme de F.

Théorème 11 Soit A une partie d’un espace vectoriel normé de dimension finie E, F un espace vectoriel normé de dimension p sur K, muni d’une base

190

5. Suites et séries de fonctions (e j ) j ∈[[1, p]],

une série d’applications de E dans F. Alors la

un

série d’applications u n converge normalement sur A si et seulement si, pour tout j de [[1, p]], chacune des p séries d’applications coordonnées u n j converge normalement sur A. 1.4.3 Exemples Soit ( A, +, ×, ., ) une algèbre normée de dimension finie (c’est-à-dire que l’espace vectoriel (A,+,.) est de dimension finie) et d’élément unité e. Considérons, pour n dans N, l’application : A → A u → un

fn :

Soit B = {u ∈ A, u < 1} et, pour r dans ]0, 1[, la boule fermée Br = {u ∈ A, u

r} .

1. Pour tout u de Br , on a : u

n

rn < 1

et la série numérique r n converge. Donc la série de fonctions fn converge normalement sur Br . Or, tout compact de B est contenu dans un Br . La série de fonctions f n converge normalement sur tout compact de B. Soit S la fonction somme de la série de fonctions

fn .

2. De plus, nous avons vu en algèbre, que, pour tout u de A tel que u < 1, alors (e − u) est inversible et : (e − u)−1 =

∞

u n = S(u)

0

En effet, pour un tel u de A, on a : p

(e − u)

u n = e − u n+1 ,

lim u n+1 = 0 E .

n→+∞

0

La continuité de l’application v → (e − u) ◦ v permet de conclure. Soit ( A, +, ×, ., ) une algèbre normée de dimension finie et d’élément unité e. Considérons, pour n dans N, l’application :

Pour tout R > 0, on a : f n|B R

A → A un u → n! ∞

=

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

fn :

Rn . n!

Rn converge vers e R , donc la série de fonctions n! converge normalement sur B F(0, R), donc sur tout compact de A.

Or, la série numérique fn

La somme de la série de fonctions f n est appelée fonction exponentielle. ⎧ ⎪ ⎨ A → A∞ un S = exp : u → = eu ⎪ ⎩ n! 0

191

Maths, MP-MP∗

Application 5

Ensemble des éléments inversibles d’une algèbre normée

Soit a un élément inversible de (A, élément quelconque de A. Alors :

1 est contenue dans a l’ensemble des éléments inversibles de A.

la boule ouverte B O a,

Continuité de la limite d’une suite (ou d’une série) de fonctions

2.1.1 Le théorème Théorème 12 Soit ( f n ) une suite de fonctions de F( A, F) et a adhérent à A. • ( f n ) converge uniformément sur A vers f ;

k=1

0,6

Alors : • la suite (bn ) converge vers un élément b de F ;

0,4

f admet en a la limite b : lim

x→a

lim

n→+∞

fn (x)

= lim

n→+∞

lim

x→a

f n (x)

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1 t

Doc. 11. La fonction limite n’est pas continue sur [0, 1]. fn : t → t n f :t →

Démonstration • Montrons que la suite (bn ) est une suite de Cauchy de F. Fixons un ´ > 0. La suite ( f n ) converge uniformément vers f sur A, et : ∃ N ∈ N ∀n ∃ N ∈ N ∀n

L’application

k=5

0,2

.

Le théorème s’applique donc aux extrémités des intervalles de définition des fonctions f n . Il s’applique aussi en +∞ si A contient un intervalle de la forme [c, +∞[ et en −∞ si A contient un intervalle de la forme ] − ∞, c].

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

y

0,8

• chaque fonction f n admet une limite bn en a.

F

N ∀p∈N

N ∀ p ∈ N ∀x ∈ A

f n+ p − fn

∞

´.

f n+ p (x) − f n (x)

est continue. Faisons tendre x vers a :

∃N ∈ N ∀n

192

Inconvénients de la convergence simple On ne maîtrise pas les propriétés analytiques : continuité, dérivabilité de la fonction limite en cas de convergence simple de la suite ou de la série de fonctions.

1

Si la suite vérifie :

Donc :

h .

a = a −1 = 0

2.1. Théorème d’interversion des limites

•

a −1

Notons :

) et h un

a + h = a(1 A + a −1 h). Nous savons que, si a −1 h < 1, alors a + h est inversible.

2

a −1h

Or

Montrer que l’ensemble des éléments inversibles d’une algèbre normée ( A, ) est un ouvert de A.

N ∀p∈N

bn+ p − bn

F

´.

F

´.

0 si t ∈ [0, 1[ 1 si t = 1

Rapport Mines-Ponts, 2001 « L’interversion des passages à la limite ou la justification de la convergence de la série sont mal traitées ou passées sous silence. »

5. Suites et séries de fonctions La suite (bn ) est donc une suite de Cauchy de F, elle converge vers un élément b de F. • Montrons que f admet en a la limite b. f (x) − b

f (x) − fn (x)

F

+

F

f n (x) − bn

+ bn − b

F

F.

Fixons ´ > 0. Il existe N tel que : ∀n On en déduit : ∀n

N

f − fn

N ∀x ∈ A

∞

´ et

f (x) − b

F

bn − b 2´ +

F

´.

f n (x) − bn

F.

Terminons en supposant a réel. Soit n

N, la fonction f n admet bn comme limite en a, donc : ∃ V ∈ v(A) ∀ x ∈ V ∩ A

f n (x) − bn

F

´.

En définitive, pour cet ´ fixé, pour ce n et pour tout x de V ∩ A, on a : f (x) − b

F

3´.

On a prouvé que : lim f (x) = b. x→a

2.1.2 Les conséquences

• Soit ( f n ) une suite de fonctions de C( A, F) convergeant uniformément vers f sur A. Alors f est continue sur A. • Soit ( f n ) une suite de fonctions de C( A, F) convergeant vers uniformément sur tout compact de A. Alors f est continue sur A.

f

Corollaire 12.2 Lorsque A est une partie compacte de E, l’espace vectoriel C( A, F) des applications continues sur A est un sous-espace vectoriel fermé de (B( A, F), ∞ .)

Rapport Mines-Ponts, 2001 « L’interversion des passages à la limite ou la justification de la convergence de la série sont mal traitées ou passées sous silence. »

Si la suite ( f n ) de fonctions continues sur A converge uniformément vers f sur tout compact de A, alors f est continue sur tout compact de A, donc continue sur A.

Pour s’entraîner : ex. 8 et 9.

Corollaire 12.3. Théorème d’interversion des limites pour une série de fonctions Soit (u n ) une suite de fonctions de F( A, F) et a adhérent à A. Si : • la série de fonctions

u n converge uniformément sur A vers S ;

• chaque fonction u n admet une limite bn en a ; alors : • la série

bn converge vers un élément b de F ;

Rapport E3A, 2002 « Ils affirment que S est forcément continue, vu qu’une somme d’applications continues est continue. » Rapport Centrale, 2000 « Les théorèmes d’interversion (limites, séries, intégrale) sont évidemment à justifier avec soin. »

193

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Corollaire 12.1 • Soit ( f n ) une suite de fonctions de F( A, F) et a un point de A. Si toutes les fonctions fn sont continues en a et si la suite de fonctions converge uniformément sur A vers f , alors f est continue en a.

Maths, MP-MP∗

• la fonction somme S admet en a la limite b. ∞

lim

x→a

∞

u n (x) 0

=

lim u n (x)

x→a

0

Corollaire 12.4 Soit u k une série de fonctions continues sur A, uniformément ∞

convergente sur tout compact de A. Alors la fonction somme S =

uk k=0

est continue sur A.

Pour s’entraîner : ex. 10, 11 et 12.

2.1.3 Exemples La fonction z de Riemann. Supposons la série de fonctions uniformément convergente sur ]1, +∞[. On peut alors appliquer à la fonction z le théorème de la double limite, car : 1 1 lim x = . x→1 n n 1 On en déduit que la série converge. C’est faux. n

• On peut avoir f = lim f n continue en a, sans que les f n soient continues. Ainsi, la suite de fonctions ( f n ) définies E(x) sur R+ par f n (x) = (n + 1) converge simplement vers la fonction nulle. Elle converge aussi uniformément sur tout compact de R+ , mais les f n ne sont pas continues, bien que f le soit. • On peut aussi avoir : f = lim f n continue en a, sans que la convergence soit uniforme. Ainsi, la suite de fonctions ( f n ) définies sur R+ par : f n (x) = t n converge simplement sur [0, 1[ vers la fonction nulle f . Il n’y a pas convergence uniforme, mais les f n et f sont continues sur [0, 1[ .

La fonction m. Si l’on suppose la série de fonctions définissant m uniformément convergente sur ]0, +∞[, on peut appliquer le théorème d’interversion des limites, avec : lim

x→0

(−1)n+1 = (−1)n+1 . nx

On obtient la convergence de la série La série de fonctions

(−1)n+1, ce qui est faux. y

u k définie par :

u k (t) = (−1)k ln 1 +

t −1 k(2 + t 2 )

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Si t est un réel fixé, la série numérique u k (t) est une série alternée qui vérifie le critère spécial des séries alternées, et donc converge. De plus, pour tout n, on a : t2 − 1 |S(t) − Sn (t)| = |Rn (t)| |u n+1 (t)| ln 1 + (n + 1)(2 + t 2 ) En distinguant les cas |t| 1, et |t| < 1, on obtient : 1 ln 1 + Rn ∞ . La série de fonctions u k converge uniforn+1 mément sur R vers S (doc. 12). 1 De plus, lim u k (t) = (−1)k ln 1 + . Donc, nous pouvons appliquer le t→+∞ k théorème d’interversion des limites. On obtient :

194

0,5

2

0,4 0,3

y = S20(x) y = S5(x) y = S10(x)

0,2 −1 −2

0,1 0 −0,1

x

1 2

−0,2 −0,3

Doc. 12. Convergence uniforme sur R de la série de fonctions. T ,3*(:,( X T 082(l*3.l1822,l#kcl'iakg 'U]ddabkg#Ubdd]k W

5. Suites et séries de fonctions (−1)k ln 1 +

• la convergence de la série numérique ∞

•

lim S(x) =

x→+∞

1 k

(−1)k ln 1 +

1 2n

S2n =

(−1)k ln 1 +

k=1

= k=1

= ln

Utilisons la formule de Stirling : n! ∼ n n+1/2 e−n S2 p ∼ ln

2 p

k+1 k

(−1)k ln

32 52 . . . (2 n − 1)2 (2 n + 1) 22 42 . . . (2 n − 2)2 (2 n)2

= ln

;

. 2n

1 k

1 k

(2 n + 1)((2 n)!)2 24 n (n!)4

√ 2 p. On en déduit :

lim S2n = lim Sn = lim S(x) = ln

. Donc

n→+∞

.

n→+∞

x→+∞

2 p

.

Application 6

Les fonctions z et m

Rappelons que :

∞

∀ x > 1 z(x) = et :

∞

∀x > 0

m(x) = 1

y

1

5) Retrouver ce résultat en utilisant la relation établie entre z et m dans l’application 4.

1 nx

(−1) nx

6) Montrer la continuité des fonctions z et m sur leurs intervalles de définition.

n+1

y 1 0,8

5

0,6

4

0,4

3

0,2

2

x 2

4

6

8

0

10 x

Doc. 14. La suite de fonctions converge vers la fonction m.

Doc. 13. La fonction z.

T ,3*(:,( W14 XUl4g#kfTlfakA l4iakj4A lf#k W E4 XUl4g#kfT*&6llfakA lm'miakjm'mA lf#kg m'mUadd4k W 082(lpE4l`[g#kgE4l`Zg#kng#Ubdbadd[k W

T 082(l@3(:l#kg#Uaddabk W

1) Montrer que lim m(x) = x→0

2) Calculer m(1). 3) Donner

lim z(x) et

x→+∞

1 . 2

4) Montrer que : ∃ a ∈ R préciser a.

f n := (n, x) → (−1)(n+1) n (−x)

lim m(x).

x→+∞

z(x) ∼1+

1 2 3 4 5 6 7

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1

n

a et x −1

Sn := (n, x) →

(−1)( k

+1)

k

(−x)

k =1

195

Maths, MP-MP∗

1) Regroupons les termes deux à deux dans l’expression de m(x). ∞

m(x) = 1 + n=1

D’où :

∞

−1 + 2 m(x) =

(−1)n+2 . (n + 1)x 1 1 − . nx (n + 1)x

(−1)n+1

n=1

L’étude, sur [1, +∞[, de la fonction : 1 1 u→ x − u (u + 1)x permet d’appliquer le critère des séries alternées. Nous pouvons écrire : 0 1 Puis, 2 Donc :

−1 + 2 m(x)

m(x)

∞

2) m(1) = 1

1−

1−

1 . 2 · 2x

lim m(x) =

x→0 n+1

(−1) n

1 . 2x

lim z(x) = 1

1 . 2

k+1

2

k

dt tx

1 [−(n + 1)−x+1 + 1] x−1 n 1

z(x) ∼1

5) Immédiat.

lim m(x) = 1.

x→+∞

1 kx

1 [k −x+1 − (k − 1)−x+1 ]. −x + 1

D’où :

d’où :

1 4) Procédons également en comparant x à une n intégrale. Soit x > 1 fixé. ∀k

1 kx

1 x −1

= ln 2.

et

1 [(k + 1)−x+1 − k −x+1 ] −x + 1

k k−1

dt . tx

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

et (e − u) B O(0, 1).

196

=

n

u

1+

1 , x −1

1 . x −1

1 kx pour obtenir la continuité

(−1)k+1 De même, la série de fonctions kx converge uniformément sur tout [b, +∞[, avec b > 0. la fonction m est continue sur R+∗ .

< 1, (e − u) est inversible

u = S(u). La convergence est normale sur tout compact de 0

z(x)

est continue sur R+∗ de z.

Démonstration ∞

1 [−n −x+1 + 1]. x−1

x→

Théorème 13 Soit A, +, ×, ·, une algèbre normée de dimension finie et d’élément unité e. L’application S de B O(0, 1) dans A, u → S(u) = (e −u)−1 , est continue sur B O(0, 1).

−1

1+

6) Il suffit de rappeler que la série de fonctions 1 converge uniformément sur tout [b, +∞[, kx avec b > 1 et que la fonction :

2.2. Exemples

Nous avons vu, que, pour tout u de A tel que

1 kx

Faisons tendre n vers +∞, on obtient :

3) De même, les séries de fonctions définissant les fonctions z et m étant normalement convergentes sur l’intervalle [2, +∞[, on peut appliquer pour chacune le théorème de la double limite et on obtient : x→+∞

ce qui donne :

5. Suites et séries de fonctions Montrons que la fonction S est continue sur B. Nous allons établir par récurrence que les applications f n : (u → u n ) sont continues sur A. Pour n = 2, on a : f 2 = g ◦ h, avec : h:

A → A2 u → (u, u)

et

g:

A2 → A (u, v) → uv

h est continue, ainsi que g en tant qu’application bilinéaire car A est de dimension finie. L’application f2 est donc continue. De même, supposons pour un certain n

2, l’application f n continue.

Alors on a f n+1 = g ◦ h n , avec : hn :

A → A2 u → un , u

g et h n sont continues, donc l’application f n+1 est continue sur A. On en déduit que l’application : S: est continue sur B.

Théorème 14 Soit A, +, ×, ·, unité e.

B→A u → S(u) = (e − u)−1

une algèbre normée de dimension finie et d’élément

La fonction exponentielle exp :

⎧ ⎪ ⎨ A → A, ∞ ⎪ ⎩u →

0

un = eu , n!

est continue sur A. Démonstration

3

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

un Pour tout R > 0, la série de fonctions converge normalement sur B F(0, R), n! donc sur tout compact de A. un est continue sur A. Pour tout n, l’application u → n! La somme de la série de fonctions est donc continue sur A.

Approximations

Dans ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie.

3.1. Fonctions en escalier On appelle subdivision d’un segment [a, b] de R, toute suite finie et croissante de points de [a, b], (x i )i∈[[0,n]] , telle que a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b.

197

Maths, MP-MP∗

On appelle fonction en escalier sur [a, b], toute fonction f à valeurs dans F, définie sur [a, b], pour laquelle il existe une subdivision (x i )i∈[[0,n]] de [a, b], telle que la restriction de f à chaque ]x i , x i+1 [ (i ∈ [[0, n − 1]]) soit une fonction constante (doc. 15).

y

L’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel F([a, b], F). Cet espace vectoriel est noté E([a, b], F). Une fonction f de R dans F est dite en escalier sur R s’il existe un segment [a, b] de R tel que f |[a,b] soit en escalier sur [a, b] et f |R−[a,b] soit nulle. Exemple : La fonction f définie sur R par : ⎧ 0 si ⎪ ⎪ ⎨ E(x) si f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 si

[ a

] b x

O

Doc. 15. Fonction en escalier sur [a, b]. y

−2

x

−2 < x < p p

x.

π

O

x

3.2. Fonctions continues par morceaux On appelle fonction continue par morceaux sur [a, b], toute fonction f à valeurs dans F, définie sur [a, b] pour laquelle il existe une subdivision (x i )i∈[[0,n]] de [a, b], telle que la restriction de f à chaque ]x i , x i+1 [ (i ∈ [[0, n − 1]]) puisse se prolonger en une fonction continue sur [x i , x i+1 ]. Une telle subdivision est appelée subdivision adaptée à la fonction f . L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] est un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de [a, b] dans F. Cet espace vectoriel est noté CM([a, b], F). Une fonction f d’un intervalle I de R dans F est dite continue par morceaux sur I si sa restriction à tout segment contenu dans I est continue par morceaux. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de I dans F. Cet espace vectoriel est noté CM(I , F).

Doc. 16. Fonction en escalier sur R. Rapport X-ESPCI, 2001 « Les difficultés proviennent ... de la continuité par morceaux. » y

[ a

O

] b

x

Doc. 17. Fonction continue par morceaux sur [a, b] . y

Exemple c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La fonction partie entière, E, est continue par morceaux sur R.

3.3. Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux sur [ a, b ] Théorème 15 Toute fonction continue par morceaux sur un segment [a, b], à valeurs dans F, est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur [a, b]. Ce théorème se traduit par l’une des deux formulations équivalentes suivantes :

198

[ a

O

] b

x

Doc. 18. Fonction non continue par morceaux sur [a, b] .

5. Suites et séries de fonctions • ∀ f ∈ CM([a, b], F) ∀ ´ > 0

∃ g ∈ E([a, b], F)

• ∀ f ∈ CM([a, b], F) ∃ ( f n ) ∈ E([a, b], F)N

lim

n→+∞

f −g

∞

´.

f − fn

∞

= 0.

Démonstration Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b], à valeurs dans F. Fixons un réel ´ > 0 et notons A l’ensemble des c de [a, b] tels que f puisse être approchée uniformément sur [a, c], à ´ près, par des fonctions en escalier sur [a, c]. Posons lim f (x) = l. x→a

∃ a > 0 ∀ x ∈]a, a + a[

f (x) − l

F

´

La fonction g définie sur [a, a + a] par : g(a) = f (a) et ∀ x ∈]a, a + a] g(x) = l est en escalier sur [a, a + a] et approche uniformément f à ´ près sur cet intervalle. A est une partie non vide de R, majorée par b. Elle possède une borne supérieure M. M a + a. Montrons que : M = b. Si M < b, un raisonnement analogue, construit avec les limites à gauche et à droite de f en M, permet de montrer l’existence de b > 0 tel que f soit approchée uniformément à ´ près sur [a, M + b] par une fonction en escalier sur cet intervalle. Donc : M = b.

3.4. Approximation uniforme des fonctions continues sur [ a, b ] par des fonctions affines par morceaux et continues.

y

Une fonction f de [a, b] dans F est dite continue affine par morceaux s’il existe une subdivision (x i )i∈[[1,n]] de [a, b], telle que la restriction de f à chaque [x i , x i+1 ] (i ∈ [[1, n − 1]]) soit affine (doc. 19). Une telle fonction est alors continue sur [a, b]. Théorème 16 Toute fonction continue sur un segment [a, b], à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie F, est limite uniforme d’une suite de fonctions continues affines par morceaux sur [a, b].

x a

y = f (x)

b

Doc. 19. Fonction affine par morceaux sur [a, b].

Démonstration

∀ x ∈ [ak , ak+1 ]

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit f une fonction continue sur [a, b], à valeurs dans F. D’après le théorème de Heine, la fonction f est uniformément continue sur [a, b]. Soit alors n dans N et 1 ´= . On a : n+1 1 ∃ g > 0 ∀ x ∈ I ∀ x ∈ I |x − x | g ⇒ f (x) − f (x ) F n+1 b−a Posons p = E et partageons [a, b] en p + 1 intervalles égaux, chacun est g b−a b−a de longueur < g. Écrivons : ak = a + k pour k ∈ [[0, p + 1]]. p+1 p+1 On définit la fonction gn sur chaque [ak , ak+1 ] par : gn (x) = xak + bk

Les vecteurs ak et bk de F sont déterminés par : gn (ak ) = f (ak ) On obtient donc : ak =

f (ak+1 ) − f (ak ) ak+1 − ak

et

gn (ak+1 ) = f (ak+1 )

et bk =

ak+1 f (ak ) − ak f (ak+1 ) ak+1 − ak

199

Maths, MP-MP∗

On a alors : ∀ x ∈ [ak , ak+1 ]

y

x − ak [ f (ak+1 ) − f (ak )] gn (x) − f (ak ) = ak+1 − ak

x

Or |ak+1 − ak | < g. D’où : f (ak+1 ) − f (ak )

<

F

Et par conséquent : ∀ x ∈ [ak , ak+1 ]

f (x) − gn (x)

1 n+1

puis

gn (x) − f (ak )

f (x) − f (ak )

F

F

F

<

a = a0 a1 a2 a3

1 . n+1

+ f (ak ) − gn (x)

F

a4

a5 a6 b = a7 y = gn (x)

y = f (x)

<

2 . n+1

Doc. 20. Construction d’une fonction affine par morceaux sur [a, b] approchant f .

3.5. Approximation uniforme des fonctions continues sur [ a, b ] par des fonctions polynomiales Théorème 17 (Théorème de Stone-Weierstrass) Toute fonction à valeurs complexes, continue sur un compact [a, b] , peut être approchée uniformément sur [a, b] par des fonctions polynomiales sur [a, b]. Démonstration E désigne l’espace vectoriel normé C([0, 1], R) muni de la norme n un ∞, entier naturel non nul, R[X] l’espace vectoriel des fonctions polynômes définies sur [0, 1] et Rn [X] le sous-espace vectoriel de R[X] des fonctions polynômes de degré n. On introduit également, pour k dans [[1, n]] les fonctions pn k de Rn [X], et Tn de R[X] définies par : pn k : x → pnk (x) = À toute fonction

n x k (1 − x)n−k ; k

n

Tn : x → Tn (x) =

(k − nx)2 pn k (x).

k=0

1) ∈ (R[X])N de ses

f de E, on associe la suite (Bn [ f ], n n

k n

f

polynômes de Bernstein, définis par Bn [ f ] = k=0

pn k .

Nous remarquons que l’opérateur de E dans Rn [X] : f → Bn [ f ] est linéaire. 1) Posons m = inf { f (x), x ∈ [0, 1]} et M = sup { f (x), x ∈ [0, 1]} et montrons que m

Bn [ f ]

M. n

La fonction pn k est positive et

pn k (x) = (x + 1 − x)n = 1, donc :

0 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀ k ∈ [[1, n]]

∀ x ∈ [0, 1]

n

puis : m = m

n

pn k (x)

f

0

0

2) On introduit les fonctions f 1 (x) = x, f2 (x) = x 2 .

mpn k (x) k n

f0,

f

k n

pn k (x)

M pn k (x) n

pn k (x) = Bn [ f ](x)

M

pn k (x) = M. 0

f1,

f2 de E définies par

f 0 (x) = 1,

Calculons Bn [ f0 ], Bn [ f 1 ], Bn [ f 2 ]. La question précédente s’applique ici avec m = M = 1, d’où Bn [ f0 ] = f 0 . n

En outre, Bn [ f1 ](x) = k=0

Donc Bn [ f1 ] = f1 .

200

n k

k k x (1 − x)n−k = n

n k=1

n−1 k x (1 − x)n−k = x. k−1

Cette démonstration, qui n’est pas exigible des étudiants, fait souvent l’objet d’une partie d’un problème de concours. Nous avons donc choisi de la présenter sous cette forme, en utilisant le problème ENSAI, 1997. Vous remarquerez que, dans ce problème a = 0 et b = 1 et généraliserez au cas d’un intervalle [a, b] quelconque.

5. Suites et séries de fonctions Enfin :

n

Bn [ f 2 ](x) = Bn [ f 1 ](x) + Bn [ f2 − f 1 ](x) = x − n−1

=x− 1

0

n−1 n

k n

n k

k 1− n

k

x (1 − x)

n−k

n−1 n−2 k x (1 − x)n−k = x − x(1 − x) k −1 n

n−1 1 f2 + f 1 . Donc Bn [ f2 ] = n n Nous en déduisons, pour tout x de [0, 1] : n

Tn (x) =

n

(k − n x)2 pn k (x) = n 2

0

2

k −x n

0

pn k (x)

= n 2 Bn [ f2 ](x) − 2x Bn [ f 1 ](x) + x 2 Bn [ f0 ](x) = nx(1 − x). Snd (x) =

3) Pour d > 0, on définit sur [0, 1] :

pnk (x). 0 k n | nk −x | d

Montrons que : 0 fonctions (Snd , n

Tn . Nous en déduirons que, pour d fixé, la suite de n 2 d2 1) converge uniformément vers 0 sur [0, 1]. Snd

Pour tout x de [0, 1], on a : 0

Snd (x)

k −x n d2

pnk (x) 0 k n | nk −x | d

1 n 2 d2

0 k n | nk −x | d

0 k

pnk (x)

Tn (x) n 2 d2

(k − n x)2 pn k (x) | nk −x |

2

Karl Weierstrass (1815-1897), mathématicien allemand, excellent pédagogue, professeur à l’université de Berlin en 1856 est parfois surnommé le « père de l’analyse moderne ». Ses travaux portent, entre autres, sur l’ensemble des réels, dont il donne une construction, et sur les fonctions réelles ou complexes. Nous lui devons l’usage des « epsilon » dans les démonstrations de continuité, la notion de convergence uniforme. En 1861, il pense trouver le premier exemple de fonction continue sur un segment et dérivable en aucun point. En fait Bolzano avait déjà trouvé un tel exemple en 1834. Il eut aussi le mérite de reconnaître et de soutenir les talents mathématiques de son élève, Sonia Kowalewski, sans les préjugés sexistes de son époque.

n d

1 et Fixons d > 0. La fonction x → x(1 − x) admet sur [0, 1] un maximum en 2 1 1 ce maximum a pour valeur , donc : ∀ x ∈ [0, 1] |Snd (x)| . 4 2nd2 La suite de fonctions (Snd , n

1) converge donc uniformément vers 0 sur [0, 1].

4) Montrons que la suite de fonctions (Bn [ f ], n sur [0, 1].

1) converge uniformément vers f

f est continue sur le compact [0, 1], donc uniformément continue sur ce compact. Fixons alors ´ > 0, il existe d > 0 tel que : |x − y|

Puis, si x ∈ [0, 1] :

d ⇒ | f (x) − f (y)|

n

| f (x) − Bn [ f ](x)| =

k n

f (x) − f k=0 n

k n

f (x) − f Partageons alors [[1, n]] en deux. | f (x) − Bn [ f ](x)|

k=0

f (x) − f 0 k n | nk −x | d

2M 0 k n | nk −x | d

k n

pnk (x) pnk (x).

pn k (x) +

pnk (x) + ´ 0 k n | nk −x | 0 ∃ a > 0 ∀ (x, x ) ∈ R2

Prenons a <

|x − x | < a ⇒ | f (x) − f (x )| <

´ . 2

a , alors : 2 ∀ t ∈ [−a, a]

| f (x − t) − f (x)| <

´ 2

a a 1 ´ 1 ´ | f (x − t) − f (x)|kn (t) d t < kn (t) d t < . 2p −a 2 2p −a 2 Nous savons également que f est bornée, puisqu’elle est périodique et continue, et que la suite de fonctions (kn ) converge uniformément vers la fonction nulle sur [−p, −a] ∪ [a, p] . On en déduit :

donc :

∃ M ∈ R+∗

f

∞

0, on substitue ei n 2p t/T à ei n t . Nous reverrons ceci dans le chapitre sur les séries de Fourier. Dans ce chapitre, nous verrons également une application importante de ce théorème.

5. Suites et séries de fonctions

•

L’étude d’une suite (ou d’une série) de fonctions commence le plus souvent par celle de la convergence simple. On fixe la variable x et on étudie la suite (ou la série) numérique associée.

• La convergence uniforme d’une suite ( fn ) de fonctions vers une fonction f est l’étude de la convergence de ( f − f n ) vers 0 dans l’espace vectoriel normé (B( A, F), ∞ ). •

Pour étudier la convergence uniforme d’une suite de fonctions sur A, on peut :

• chercher à majorer f n (x) − f (x) F par un réel an ne dépendant pas de x et tendant vers 0 lorsque n tend vers l’infini ; • faire l’étude, n étant fixé, de la fonction f n − f , dans le but de déterminer f n − f ∞ .

•

Lorsque la suite de fonctions ne converge pas uniformément sur A, on peut chercher à établir la convergence uniforme sur tout compact de A.

•

Pour étudier la convergence uniforme d’une série

u n de fonctions sur A :

• si la série numérique u n (x) vérifie, pour tout x, le critère spécial des séries alternées, on majore le reste |Rn (x)| par |u n+1 (x)|, puis on tente de majorer |u n+1 (x)| par un réel an ne dépendant pas de x et tendant vers 0 lorsque n tend vers l’infini ; • sinon, on peut essayer de prouver la convergence normale de la série de fonctions.

•

Pour étudier la convergence normale d’une série de fonctions bornées sur A , on essaye de majorer |u n (x)| par le terme général an ne dépendant pas de x d’une série convergente : ∀x ∈ A

|u n (x)|

an

et

an

converge.

•

Pour montrer qu’une fonction f , limite d’une suite de fonctions ( fn ), est continue sur A, il suffit d’établir que : • les fonctions f n sont continues sur A ; • la convergence de la suite ( f n ) vers f est uniforme sur tout compact de A.

•

Pour montrer qu’une fonction S, somme d’une série de fonctions

u n , est continue sur A,

il suffit d’établir que :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• les fonctions u n sont continues sur A ; • la convergence de la série u n vers S est uniforme sur tout compact de A.

• Pour montrer qu’une suite ( fn ) (ou une série fn ) de fonctions ne converge pas uniformément sur A, on pourra prouver que, en un point a adhérent à A, les fonctions f n admettent une limite bn mais que la suite (bn ) (resp. la série bn ) diverge.

205

Maths, MP-MP∗

TD Polynômes d’interpolation de Lagrange et convergence (D’après ENSI, 1990) Dans tout cet exercice, n désigne un entier naturel non nul, Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré n, a et b deux réels tels que : a < b et x 0 , x 1 , . . . , x n , n + 1 réels distincts tels que : a x 0 < x 1 < · · · < x n b. f est une fonction continue sur [a, b]. 1) Donner l’expression du polynôme Pn de Rn [X] tel que, pour tout j de [[0, n]] : Pn (x j ) = f (x j ). Nous allons étudier la convergence de la suite (Pn ) dans deux cas particuliers. A) Premier exemple : f est de classe C∞ sur [a, b] et toutes les dérivées de f sont bornées sur [a, b] par une même constante réelle M 1) x étant un réel de [a, b] différent de tous les x j , on note w la fonction définie sur [a, b] par : w(u) = f (u) − Pn (u) −

f (x) − Pn (x) qn (u), qn (x)

n

où qn est le polynôme défini par qn (x) =

(x − x j ). j =0

En utilisant plusieurs fois le théorème de Rolle, montrer qu’il existe un réel v de [a, b] tel que : f (x) − Pn (x) = 2) Pour chaque entier n

f (n+1) (v) qn (x). (n + 1)!

1, on choisit arbitrairement les réels x 0 , x 1 , . . . , x n tels que : a

x0 < x1 < · · · < xn

b

et on définit ainsi une suite de fonctions polynômes (Pn ). Montrer que la suite de fonctions (Pn ) approche uniformément f sur [a, b]. Donner un exemple pour f et [a, b] . B) Second exemple : La fonction f est définie sur [−1, 1] par f (x) = |x| et, pour tout entier j de [[0, n]], on pose : x j = −1 + c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) p et q étant des entiers naturels tels que 0 p

(−1)k

k=0

m désignant la partie entière de

q k

p < q, montrer :

q − 2k − 1 = 1 + (−1) p k +1

q −1 p

n , on pose : 2 m

A(n) =

(−1)k

n k

n − 2k − 1 k +1

(−1)k

n k

n − 2k − 1 . k +1

k=0

et :

n

B(n) = k=m+1

206

2j . n+1

q − 2p − 2 p+1

(1)

5. Suites et séries de fonctions 2) Montrer que Pn (1) = A(n) − B(n). 3) Calculer A(n) + B(n) et en déduire Pn (1) en fonction de n et de m. 4) Calculer Pn (1) lorsque n est pair. 5) Calculer Pn (1) lorsque n est impair. Donner alors un équivalent en +∞ de | f (1) − Pn (1)|. 6) En déduire que la suite (Pn ) n’est pas simplement convergente sur [−1, 1].

Exercice résolu 1 sh (nx)

La série de fonctions ÉNONCÉ

u n où, pour n > 0, u n est définie sur R+∗ par u n (x) =

On considère la série de fonctions

1 . sh (n x)

+∞

1) Donner le domaine de définition de la fonction somme S =

u n . Etudier la convergence normale. 1

2) Donner un équivalent en 0 et en +∞ de S. CONSEILS

SOLUTION

Regarder le domaine de convergence simple de la série de fonctions.

1) Étudions d’abord la convergence simple de la série de fonctions. Soit x fixé, strictement positif. u n (x) ∼ 2e−n x . La série numérique e−n x est une série géométrique de raison e−x . La série de fonctions converge simplement sur R+∗ . Précisons le mode de convergence de la série de fonctions.

1

Si n est un naturel non nul fixé, la fonction x → sh (n x) est croissante sur R+ , de 0 à +∞. La fonction u n n’est pas bornée sur R+∗ .

0,5

-5

0

Considérons un réel a > 0. 5

10

u n|[a,+∞[

∞

=

-0,5 -1

& /60'5)%457!#)*2+521937. 727(!$$!""3. 9(-!"$$!".8(-!$$!3 ,

1 . sh (n a)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

-10

un

1 entraîne la conversh (n a) gence normale (donc uniforme) de la série de fonctions sur [a, +∞[.

La convergence de la série numérique 2) • Si x > 0 : N +1 1

dt sh (t x)

N 1

1 sh (n x)

1 + sh (x)

N 1

dt . sh (t x)

207

Maths, MP-MP∗

Utiliser la décroissance de la fonction 1 pour encadrer positive : t → sh (t x) son intégrale sur [n, n +1] et comparer S(x) à une intégrale.

b

Calculons, pour 0 < a < b et x > 0, b a

b a

dt 1 = sh (t x) x

bx ax

(N + 1) x th 1 ⎜ 2 ln ⎜ x ⎝ x th 2

bx

du 1 = sh (u) x

dt 1 = ln th sh (t x) x

Puis : ⎛

a

u 2

bx ax

⎞

dt . sh (t x)

du u u a x 2th ch 2 2 2 ⎛ ⎞ bx th 1 ⎜ 2 ⎟ ⎟ = ln ⎜ a x ⎠. ⎝ x th 2 ⎛

N

⎟ ⎟ ⎠

1

1 sh (n x)

Nx th 1 1 ⎜ 2 + ln ⎜ x ⎝ sh (x) x th 2

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

Les termes de cette inégalité ont une limite lorsque N tend vers +∞ : 1 − ln th x

x 2

S(x)

1 1 − ln th sh (x) x

x 2

(1)

• De plus, lorsque x tend vers 0, on a : 1 ln th x

x 2

∼0

1 x ln x 2

∼0

ln(x) x

et

1 1 ∼0 . sh (x) x

Nous en déduisons, lorsque x tend vers 0 : S(x) ∼0 −

ln(x) . x

x x 1 ∼+∞ 2e−x et ln th ∼+∞ th − 1 ∼+∞ −2e−x . sh (x) 2 2 Pour l’étude en +∞, l’inégalité (1) ne suffit plus. Procédons plus finement 1 en isolant . sh (x) ⎛ ⎞ Nx (N + 1) x th th N ⎟ 1 1 1 ⎜ 2 2 ⎟. ln ln ⎜ ⎠ x th (x) sh (nx) x ⎝ th x 2 2 •

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

D’où : Avec :

1 1 − ln(th (x)) sh (x) x

1 ∼ 2e−x , sh (x)

1 ln th x

S(x)

x 2

1 1 − ln th sh (x) x

∼ −2

e−x , x

x 2

.

1 e−2x ln(th (x)) ∼ −2 . x x

Les deux derniers termes sont donc négligeables devant le premier. Nous en déduisons, lorsque x tend vers +∞, S(x) ∼ 2e−x .

208

Exercices ∞

Soit ( f n ) une suite de fonctions monotones convergeant simplement vers f sur un intervalle I de R. Montrer que la fonction f est monotone.

Calculer : a) lim

x→1

b) ∞

lim

x→+∞

Étudier la convergence sur [0,1] de la suite de fonctions : fn (x) = x n (1 − x)n

1

x2 . (n + x)2

1

∞

e−n x n2

et

Construire, le plus simplement possible, une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément sur [0, p] vers la fonction sinus.

1

cos(n x) n 3/2

est définie et continue sur R.

∞

p . 2 2) f n (x) = n x n (1 − x 2 ) sur [0, 1].

f (x) = 0

(−1)n x n . 2n + 1

Étudier l’ensemble D de définition de f .

(ln x)2n − 2 sur R+∗ . (ln x)2n + 2

f est-elle continue sur D ? Déterminer f (1).

n + x2 . n2 +

par :

Étudier la convergence de cette série de fonctions. Étudier la convergence simple, uniforme, normale de la xe−n x . ln n

Est-il possible de trouver une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément sur ]0, 1] vers la fonction 1 f :t → ? t On considère la suite de fonctions ( f n ) définies par : f n (x) = exp(−x n ). Étudier la convergence simple de la suite ( f n ). Soit a ∈ ]0, 1[. La convergence est-elle uniforme sur [a, +∞[ ? Soit a > 1. Même question sur [a, +∞[.

Soit a > 0, f une fonction continue de [a, +∞[ dans R et l un réel tels que lim f (x) = l. x→+∞

Montrer que, pour tout ´ > 0, il existe une fonction poly1 nôme P telle que la fonction, x → P , approche x uniformément f , à ´ près sur [a, +∞[. Soit f une fonction continue de [0, 1] dans R telle que, pour tout n de N, on ait : 1 0

t n f (t) d t = 0.

Montrer que f est la fonction nulle. Soit la suite de fonctions ( f n ) définie, sur R+∗ , par : 2

fn (x) = n x a e−n x . Étudier, selon les valeurs du réel a, la convergence de la série de fonctions fn . *

Soit (Pn ) une suite de polynômes de R p [X] ( p > 0 fixé). On suppose que la suite de fonctions polynômes associée converge simplement sur R vers une fonction f .

209

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

(−1)n

Soit la série de fonctions u n définie sur R ⎧ sin x ⎪ ⎪ si x ∈ [n p, (n + 1) p[ ⎨ (n + 1) u n (x) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 si x ∈ [n p, (n + 1) p[

série de fonctions

f (x) =

0,

Étude de la série de fonctions

1

On considère la fonction f définie par :

Étudier la convergence de la suite de fonctions :

3) f n (x) =

x→0

e−nx . n2

Montrer que la fonction définie par : ∞

1) f n (x) = (sin x)n sur

lim+

Maths, MP-MP∗

1) Montrer que f est une fonction polynôme de degré et que la convergence est uniforme sur tout segment de R.

p

2) Que dire de cette suite si la convergence est uniforme sur R?

∞

(D’après ESTP, 1997) 1, on pose : z n Dn (z) = e − 1 + n 1) Établir que Dn (z) peut s’écrire sous la forme : z

1 Arctan (n x). n2

1

1

(−1)n+1 en fonction de a et de Ca . n 1−a

Pour tout complexe z et tout entier n

On considère la fonction définie par : f (x) =

∞

3) Calculer

n

ak (n)

1) Donner son domaine de définition et de continuité. k=0

2) Étudier ses limites aux bornes du domaine. 3) Donner un équivalent en +∞ de f (x) − lim

x→+∞

*

Pour tout réel x > 1 et tout entier n 1 , u(x) = ln(x)

f (x).

0, on pose :

n

vn (x) = (−1) u(x + n).

1) Prouver la convergence de la série

vn (x).

On notera désormais f (x) sa somme. 2) Trouver une relation simple entre f (x),

f (x +1) et u(x).

3) Montrer que f admet, pour x tendant vers +∞, une certaine limite l à préciser. 4) Montrer que f est strictement décroissante. (On peut regrouper les termes deux par deux.) 5) Établir l’existence de D, nombre réel positif à préciser, tel D . que f (x) ∼+∞ ln(x) Soit (A, ) une algèbre normée et f un morphisme d’algèbre de A dans R. Montrer que f est continu. *

Soit q un réel de ]−1, 1[ et u n la fonction de C dans C, définie par : n

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1 de degré n 1 a2 (n) = . Calculer n

k − 1, avec a0 (n) = 0, a3 (n).

a1 (n) = 0,

2) Démontrer la double inégalité 0 peut opérer par récurrence.)

ak (n)

k(k − 1) . (On 2n

|z|2 |z| e . 2n 4) Montrer que Dn (z) converge uniformément vers 0 sur tout compact K de C. 3) Prouver l’inégalité |Dn (z)|

5) On suppose x réel et n pair, n = 2 m, m 1. Prouver que D2 m (x) possède une seule racine xm sur ]−∞, 0[, telle que xm = l m, où la constante l est racine d’une équation à préciser. **

On considère la fonction f définie par : ∞

f (t) =

n tn 1 − tn

Déterminer le domaine de définition de f . p2 Montrer que f (t) ∼1 . 6 (t − 1)2 **

f est une fonction continue de [0, 1] dans R+ .

On considère l’application : N f : K[X] → R+ P → N f (P) = sup | f (t)P(t)|

1−q z . k=1

Montrer que la suite de fonctions (u n ) converge vers une limite u, qui est une fonction continue.

p=n+1

zp , p!

1, un polynôme en

k

u n (z) =

∞

où ak (n) est, pour k

0

*

t∈[0,1]

On note

P

∞

= sup |P(t)|. t∈[0,1]

1) Montrer que N f est une norme si, et seulement si, f = 0.

*

1) Montrer que, pour tout a de ]0, 1[ , il existe un réel Ca > 0 tel que : n 1

1 k 1−a

=

na − Ca + o(1). a

2) Déterminer un équivalent de Ca lorsque a tend vers 0.

210

zk + k!

2) Montrer que, si N f et Ng sont équivalentes, alors f et g ont les mêmes zéros. 3) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que N f et ∞ soient équivalentes. 4) Montrer que, N f et Ng sont équivalentes si, et seulement si : ∃ (a, b) ∈ R+∗2 a f g b f.

6

Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Dérivabilité en un point, fonction dérivable sur un intervalle. Opérations sur les fonctions dérivables. Fonctions de classe Ck ou Ck par morceaux sur un intervalle. Intégrale d’une fonction vectorielle continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann d’une fonction continue.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Les recherches de nombreux savants (Stevin, Képler, Galilée, Cavalieri, Pascal, Fermat, Descartes...), aux XVIe et XVIIe siècles, sur les centres de gravité, les mesures de volume, la tangente, la cycloïde,... préludent à la naissance, à la fin du XVIIe siècle, du calcul différentiel et intégral moderne. Progressivement, le support géométrique fait place aux notions abstraites de limite et d’infiniment petit. En 1696, Guillaume de l’Hospital publie le premier livre de calcul infinitésimal. Ce puissant outil est mis au point par Newton (1643-1727) et Leibniz (1646-1716) avec des langages différents, mais les notations de Leibniz s’imposent. Il permet de résoudre des problèmes qui se ramènent à des équations différentielles. La construction rigoureuse de cette théorie s’achève au XIXe siècle avec la construction axiomatique des réels. En 1961, le mathématicien américain Robinson (1918-1974) publie son « Analyse non standard ». Il y donne un sens rigoureux à la notion d’infiniment petit, si chère à Leibniz.

Linéarité de l’intégrale, inégalité de la moyenne. Relation de Chasles, invariance par translation. Convergence en moyenne et en moyenne quadratique d’une suite ou d’une série de fonctions continues sur un segment.

211

Maths, MP-MP∗

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I de R, non vide et non réduit à un point. Elles sont à valeurs dans un K -espace vectoriel E de dimension finie (K = R ou C). De telles fonctions seront dites à valeurs vectorielles (ou simplement vectorielles). Lorsque E = K, ces fonctions seront dites à valeurs numériques (ou numériques). Nous noterons F(I , E) le K− espace vectoriel de ces fonctions. Si I n’est pas borné supérieurement, nous adopterons la notation sup I = +∞. De même, si I n’est pas borné inférieurement, inf I = −∞.

1

Dérivation

1.1. Fonctions dérivables sur un intervalle 1.1.1 Définitions Dérivabilité en un point Soit x 0 un point de I et f une fonction de I dans E. f est dite dérivable en x 0 de I si l’application de I \ {x 0 } dans E, définie par : f (x) − f (x 0 ) x → x − x0 admet une limite en x 0 . Alors, la limite est appelée dérivée de f en x 0 et df notée f (x 0 ) ou D f (x 0 ) ou encore (x 0 ) et elle appartient à E. dx

Isaac Newton (1643-1727), physicien, mathématicien et astronome anglais.

Théorème 1 Soit x 0 un point de l’intervalle I et f une application de I dans E. L’application f est dérivable en x 0 si et seulement s’il existe une application ´ de I dans E et un vecteur V de E tels que : ∀x ∈ I

f (x) = f (x 0 ) + (x − x 0 )V + (x − x 0 )´(x) et

lim ´(x) = 0 E

(1)

x→x0

Lorsque f est dérivable, la propriété (1) s’écrit également :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

f (x) = f (x 0 ) + (x − x 0 ) f (x 0 ) + o(x − x 0 ) Théorème 2 Soit x 0 un point de l’intervalle I et f une application de I dans E. Si f est dérivable en x 0 , alors f est continue en x 0 .

! La réciproque est fausse.

La fonction valeur absolue fournit un contre-exemple.

Dérivées à gauche, à droite Si x 0 est un point adhérent à I , différent de sup I , on dit que f admet une dérivée à droite en x 0 si l’application de I \ {x 0 } dans E définie par : f (x) − f (x 0 ) x→ x − x0 admet une limite à droite en x 0 .

212

Rapport E3A, 2002 « ...oubliant malheureusement souvent la justification de l’existence des dérivées. »

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles y

La limite est alors appelée dérivée à droite de f en x 0 et notée f d (x 0 ) ou df + D f (x 0+ ) ou encore (x ) ; elle appartient à E. dx 0 On définit de même la dérivée à gauche.

2

1 x

−2

Propriétés Les propriétés suivantes s’établissent sans peine : 1) Soit x 0 un point de I . Si f est dérivable à droite (respectivement à gauche) en x 0 , alors f est continue à droite (respectivement à gauche) en x 0 . 2) Soit x 0 un point intérieur à I . Si f est dérivable à droite et à gauche en x 0 , alors f est continue en x 0 . 3) Soit x 0 un point intérieur à I . si :

f est dérivable en x 0 si et seulement

•

f est dérivable à droite en x 0 ;

•

f est dérivable à gauche en x 0 ;

•

f d (x 0 ) = f g (x 0 ).

1.1.2 Interprétations géométrique et cinématique de la dérivation

0

−1

1

Doc. 1. La fonction : x → max 0, x + x 2 est dérivable à droite et à gauche en −1 et en 0. Rapport Concours TPE, 1997 « Les candidats rencontrent de plus en plus de difficultés en calcul : calcul de dérivées, de primitives, décomposition en éléments simples, voire même calcul algébrique élémentaire. »

Entraînez-vous à calculer des dérivées.

Interprétation géométrique L’étude des courbes est développée dans le chapitre 15. Soit (I , f ) un arc paramétré de E et t0 un point intérieur à I . Supposons f dérivable et de dérivée non nulle au point t0 de I . La courbe admet au point f (t0 ) une tangente qui est la droite affine Tt0 = f (t0 ) + R f (t0 ). Cette droite est la position limite de la sécante Dt0 t lorsque t tend vers t0 (doc. 2). Interprétation cinématique

f (t0) f (t0)

f (t)

Tt0 Dt0 t

S y

x

Doc. 2. La droite affine :

Le paramètre t est appelé le temps ; il varie dans l’intervalle I . Le support S = f (I ) de la courbe est la trajectoire du point mobile dont on étudie le mouvement. La fonction f est la loi horaire du mouvement. f (t) − f (t0 ) , lorsqu’elle t − t0 existe, est la vitesse instantanée du point mobile à l’instant t0 . f (t) − f (t0 ) La limite en t0 de la fonction vectorielle t → , lorsqu’elle t − t0 existe, est le vecteur dérivé f (t0 ). Il est appelé vecteur vitesse du point mobile à l’instant t0 . t→

Tt0 = f (t0 ) + R f (t0 ) est tangente à la courbe (I , f ) au point f (t0 ) lorsque f (t0 ) = 0 E . Rapport Mines-Ponts, 2001 « Confusion entre continuité et dérivabilité. » Rapport Centrale, 2000 « Ce n’est pas parce qu’on a pu calculer la dérivée d’une fonction que celle-ci est dérivable, mais parce que la fonction est dérivable qu’on peut calculer sa dérivée. »

213

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La cinématique du point permet de donner l’interprétation suivante à l’étude d’une courbe (I , f , S).

La limite en t0 de la fonction numérique

z

Maths, MP-MP∗

On remarque que si f est dérivable en t0 , alors la vitesse instantanée du point mobile en t0 est la norme du vecteur vitesse en ce point. Pour s’entraîner : ex. 1.

1.1.3 Fonction dérivable sur un intervalle Une fonction dérivable en tout point de l’intervalle I est dite dérivable sur I . Lorsque f est dérivable sur I , on peut définir la fonction dérivée de f : Df = f :

I → E x → f (x)

L’égalité des accroissements finis n’est valable que pour les fonctions à valeurs réelles. Nous verrons l’inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles. Dans l’application qui suit, nous démontrons cette inégalité dans le cas particulier d’une fonction à valeurs dans un espace euclidien.

Application 1

Inégalité des accroissements finis dans un espace euclidien

Soit (E, | ) un espace euclidien, la norme associée à | et [a, b] un segment d’intérieur non vide de R. Montrer que si f est une application de [a, b] dans E, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors : ∃ c ∈]a, b[

f (a) − f (b)

→

Par définition de F, nous obtenons : f (b) − f (a) | f (b) − f (a)

= (b − a) | f (b) − f (a)| f (c) | Et grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ∃ c ∈ ]a, b[

[a, b] → R t

∃ c ∈ ]a, b[ |F(b) − F(a)| = (b − a)|F (c)|

∃ c ∈ ]a, b[

(b − a) f (c)

Définissons l’application F : F:

dérivable sur ]a, b[ ; on peut donc lui appliquer le théorème des accroissements finis :

f (b) − f (a)

f (b) − f (a) | f (t)

F est à valeurs dans R, continue sur [a, b] et

2

(b − a)

f (b) − f (a)

f (c)

L’inégalité recherchée en découle.

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables 1.2.1 Linéarité de la dérivation c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 3 Soit f et g deux applications de I dans E, dérivables sur l’intervalle I , et a et b deux scalaires. L’application a f + b g est dérivable sur I et, de plus : (a f + b g) = a f + b g 1.2.2 L’espace vectoriel C1 (I, E) Les fonctions f dérivables sur I dont la dérivée f est continue sur I sont dites continûment dérivables ou de classe C1 sur I . L’ensemble de ces fonctions est noté C1 (I , E). Pour s’entraîner : ex. 2.

214

Rapport E3A, 2002 « Une minorité invoque la linéarité de la dérivation. »

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

Théorème 4 • C1 (I , E) est un sous-espace vectoriel de C0 (I , E). • L’application D : C1 (I , E) → C0 (I , E), linéaire.

f → D( f ) = f

est

Rappelons que C(I , E) ou C0 (I , E) désigne l’ensemble des applications continues de I dans E.

1.2.3 Composée d’une application linéaire et d’une application dérivable Théorème 5 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, u une application linéaire de E dans F, f une application de I dans E et x 0 un point de I . • Si f est dérivable en x 0 , alors l’application u ◦ f est dérivable en x 0 et : (u ◦ f ) (x 0 ) = u f (x 0 ) • Si f est de classe C1 sur I , alors u ◦ f l’est aussi et : (u ◦ f ) = u ◦ f Démonstration Si f est dérivable en x0 , il existe une application ´ de I dans E telle que : ∀x ∈ I

f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) f (x0 ) + (x − x0 ) ´(x)

et

lim ´(x) = 0 E

x→x 0

Par conséquent : ∀x ∈ I

u ◦ f (x) = u ◦ f (x0 ) + (x − x0 ) u f (x0 ) + (x − x0 )u ´(x)

De plus, toute application linéaire entre espaces vectoriels normés de dimension finie est continue, donc lim u ´(x) = 0 F . x→x 0

1.2.4 Dérivation composante par composante Dans ce paragraphe, on note B = (ei )i∈[[1, p]] une base de E.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour tout i de [[1, p]], on considère l’application i e coordonnée dans la base B (on dit aussi i e composante), notée ei∗ : ⎧ E → K ⎪ ⎪ ⎨ p ∗ ei : ⎪ v= a j e j → ei∗ (v) = ai ⎪ ⎩ j =1

On constate que ei∗ est une application linéaire de E dans K. Pour toute application f de I dans E et tout i de [[1, p]], on note f i = ei∗ ◦ f . L’application f peut s’écrire :

f :

⎧ I ⎪ ⎨

→

⎪ ⎩x

→

E p

f (x) =

fi (x) ei i=1

215

Maths, MP-MP∗

Les applications f i , de I dans K, sont appelées les applications coordonnées ou applications composantes de f relatives à la base B. Théorème 6 Soit B = (ei )i∈[[1, p]] une base de l’espace vectoriel E, x 0 un point de l’intervalle I et f une application de I dans E. • f est dérivable en x 0 si et seulement si les applications coordonnées de f relatives à la base B sont dérivables en x 0 . Alors : p

f (x 0 ) =

f i (x 0 ) ei i=1

• Lorsque f est dérivable sur I , les applications coordonnées de f sont les dérivées des applications coordonnées de f : p

∀x ∈ I

f (x) =

fi (x) ei i=1

• f est une application de classe C1 de I dans E si et seulement si chaque application coordonnée de f est une application de classe C1 de I dans K.

Corollaire 6.1 Soit I un intervalle de R, E un K-espace vectoriel de dimension finie et f une application continue de I dans E , dérivable sur l’intervalle ] inf I , sup I [ . Alors f est constante sur I si et seulement si pour tout x de cet intervalle f (x) = 0 E . Le cas des fonctions à valeurs complexes : Soit f une application de I dans C. Les fonctions Re f , Im f et f sont définies sur I par : Re f (x) = Re f (x) ; Im f (x) = Im f (x) ; f (x) = f (x). La famille (1, i) est une base de C, R-espace vectoriel de dimension 2 et les fonctions Re f et Im f sont les applications coordonnées de f dans cette base. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Corollaire 6.2 Soit I un intervalle de R et f une application de I dans C. Les propriétés suivantes sont équivalentes : •

f est dérivable sur I .

• Re f et Im f sont dérivables sur I . •

f est dérivable sur I .

Lorsqu’elles sont vérifiées, on a : D f = D(Re f ) + i D(Im f ),

216

D

f = D f = D(Re f ) − iD(Im f )

Le théorème des accroissements finis appliqué à chaque application coordonnée de f permet de prouver ce corollaire.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

Corollaire 6.3 Soit I un intervalle de R et f une application de I dans C. Les propriétés suivantes sont équivalentes : •

f est de classe C1 sur I .

• Re f et Im f sont de classe C1 sur I . •

f est de classe C1 sur I .

1.2.5 Composée d’une application bilinéaire et de deux applications dérivables Théorème 7 Soit E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie, I un intervalle de R, f une application de I dans E, g une application de I dans F et B une application bilinéaire de E × F dans G. On définit l’application B( f , g) de I dans G en posant : B( f , g) :

I x

→ →

G B( f , g)(x) = B( f (x), g(x))

• Si f et g sont dérivables au point x 0 de I , alors l’application B( f , g) est dérivable en x 0 et : B( f , g) (x 0 ) = B f (x 0 ), g(x 0) + B f (x 0 ), g (x 0 ) • Si f et g sont de classe C1 sur I , alors B( f , g) est de classe C1 sur I et : B( f , g) = B( f , g) + B( f , g ) Démonstration • La dérivabilité de f et de g en x0 se traduit par l’existence des applications ´1 et ´2 , définies sur I , à valeurs dans E et F respectivement et telles que : ∀x ∈ I

f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) f (x0 ) + (x − x0 )´1 (x)

et

∀x ∈ I

g(x) = g(x0 ) + (x − x0 )g (x0 ) + (x − x0 )´2 (x)

et

lim ´1 (x) = 0 E

x→x 0

lim ´2 (x) = 0 F

x→x 0

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On en déduit, pour tout x de I : B( f , g)(x) = B( f (x0 ), g x0 ) + (x − x0 ) B f (x0 ), g(x0 ) + B f (x0 ), g (x0 ) +(x − x0 )´(x)

Avec : ´(x) = (x − x0 )B f (x0 ), g (x0 ) + B ´1 (x), g(x0 ) + (x − x0 )g (x0 )

+(x − x0 )´2 (x) + B f (x0 ) + (x − x0 ) f (x0 ) + (x − x0 )´1 (x), ´2 (x) Or, toute application bilinéaire entre espaces vectoriels normés de dimension finie est continue. De plus : B 0 E , g(x0 ) = B f (x0 ), 0 F = 0G . On en déduit que lim ´(x) = 0G . Le théorème en découle. x→x 0

217

Maths, MP-MP∗

1.3. Exemples Soit f 1 , . . . , f n n applications de I dans K, dérivables sur I et g l’application produit : g:

I x

→ K → g(x) = f1 (x) f 2 (x) . . . f n (x)

On montre par récurrence que l’application g est dérivable sur I et que : n

g (x) =

f 1 (x) . . . f k−1 (x) f k (x) f k+1 (x) . . . f n (x) k=1

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, f une application dérivable de I dans E et w une application dérivable de I dans K. Alors, l’application : I → E wf : x → (w f )(x) = w(x) f (x) est dérivable sur I et (w f ) = w f + w f . Il suffit, pour prouver ceci, de considérer l’application bilinéaire : (l, x) → l x.

B : K × E → E,

Soit (E, | ) un espace préhilbertien de dimension finie, f et g deux applications dérivables de I dans E. Définissons l’application f |g :

f | g en posant : I

→ K

x

→

f |g (x) =

f (x)|g(x)

Le produit scalaire étant une application bilinéaire de E × E dans K, l’application f | g est dérivable sur I et f | g = f | g + f | g . En particulier, l’application : f | f :

I

→ K

x

→

f | f (x) =

f (x) | f (x) =

f (x)

2

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

est dérivable sur I et de dérivée f | f = 2 f | f . On sait que la fonction racine carrée est dérivable sur R+∗ . Supposons que la fonction f ne s’annule pas sur I , alors la fonction f | f est strictement positive. Le théorème de dérivation des fonctions composées vous permettra de f | f prouver que la fonction f est dérivable sur I et que f = . f De l’exemple précédent, on déduit le résultat géométrique suivant : Soit (E, | ) un espace vectoriel euclidien, f dans C1 (I , E) et R > 0. On note la norme sur E associée à | et on suppose que : ∀t ∈ I L’application (t → nulle :

f (t) = R

→ dM dt

M(t) R

f (t) | f (t) ) est constante sur I , donc sa dérivée est ∀t ∈ I

f (t) | f (t) = 0

On vient de prouver que, si la courbe (I , f , S) de l’espace euclidien E a son support S tracé sur la sphère de centre 0 E et de rayon R, alors, pour tout point t de I , les vecteurs f (t) et f (t) sont orthogonaux (doc. 3).

218

z

y

O x

R

Doc. 3. Mouvement d’un point mobile sur une sphère.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles −−→ Notons f (t) = O M(t). Choisissons une autre origine A : −−→ ∀t ∈ I f (t) = O M(t) −−→ −−→ = O A + AM(t) −−→ Le vecteur O A est constant, donc : −−→ d OM ∀t ∈ I f (t) = (t) dt −−→ d AM = (t) dt Le vecteur vitesse du point mobile M sur sa trajectoire ne dépend pas de l’origine utilisée pour effectuer les calculs. C’est pourquoi on le note souvent −−→ dM (t). dt

Dans cet exemple, R3 est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien orienté et ∧ désigne le produit vectoriel sur R3 . Soit f et g deux applications dérivables de I dans R3 . On définit f ∧ g en posant : I → R3 f ∧g: x → ( f ∧ g)(x) = f (x) ∧ g(x) Le produit vectoriel étant une application bilinéaire de R3 × R3 dans R3 , l’application f ∧ g est dérivable sur I et : ( f ∧ g) = f ∧ g + f ∧ g

Application 2

Les tangentes à l’hyperbole et à l’ellipse

2) Soit (H) une hyperbole de foyers F et F . Prouver que la tangente en tout point M de l’hyperbole (H) est la bissectrice intérieure de l’angle FMF . Les coniques étudiées sont tracées dans un plan euclidien (E, | ). On note la norme associée au produit scalaire. 1) On a vu en première année que : • il existe un repère orthonormé R = (O, i, j) du plan tel que l’équation de l’ellipse (E) dans ce repère soit de la forme : x 2 y2 + =1 a 2 b2 avec a > b > 0. En notant c = a 2 − b2 , les foyers F et F de (E) sont les points de coordonnées (−c, 0) et (c, 0) dans le repère R ; • l’ellipse (E) admet un paramétrage de classe C1 (par exemple, poser I = [0, 2p] et M(t) = O + a cos(t)i + b sin(t) j, le couple (I , M) est un paramétrage de classe C1 de l’ellipse).

• Avec les notations précédentes, on sait que : −−→ −−→ M ∈ (E) ⇔ F M + F M = 2 a Donc : ∀t ∈ I

d dt

−−→ −−→ F M(t) + F M(t)

=0

D’après les exemples précédents, d dt

=

−−→ −−→ F M(t) + F M(t) −−→ dM −−→ F M(t) (t) dt −−→ F M(t)

|

Notons : −−→ F M(t) − → u (t) = −−→ F M(t)

+

−−→ −−→ dM F M(t) (t) dt −−→ F M(t)

|

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Soit (E) une ellipse de foyers F et F . Prouver que la tangente en tout point M de l’ellipse (E) est la bissectrice extérieure de l’angle FMF .

−−→ − → F M(t) et u (t) = −−→ F M(t)

La linéarité du produit scalaire permet de conclure que : −−→ − → dM − → ∀t ∈ I u (t) + u (t) | (t) = 0 dt − → → Or les vecteurs − u (t) et u (t) sont des vecteurs − → → unitaires, on en déduit que − u (t)+ u (t) est un vecteur directeur de la bissectrice intérieure de F M F .

219

Maths, MP-MP∗

−−→ dM lui est orthogonal, on peut conclure Puisque dt que la tangente en M à l’ellipse est la bissectrice extérieure de l’angle F M F . y 4

M u(t)

Avec les notations précédentes : −−→ −−→ M ∈ (H) ⇔ | F M − F M | = 2 a −−→ −−→ Le signe de F M − F M détermine sur quelle branche de l’hyperbole se trouve le point M. y

u (t)

MF

MF

MF

MF

MF

1 0

F

F

5

x

Doc. 4. La tangente au point M de l’ellipse de foyers F et F est la bissectrice extérieure de l’angle F M F .

0

1

3

5

x

Doc. 5. La tangente au point M de l’hyperbole de foyers F et F est la bissectrice intérieure de l’angle F M F . On a donc :

• chaque branche de l’hyperbole (H) admet un paramétrage de classe C1 ; Notons (I , M) un tel paramétrage.

l’angle F M F .

• il existe un repère orthonormé R = (O, i, j) du plan tel que l’équation de l’hyperbole (H) dans ce repère soit de la forme : x2 y2 − 2 =1 2 a b √ avec a > 0 et b > 0. En notant c = a 2 + b2 , les foyers F et F de (H) sont les points de coordonnées (−c, 0) et (c, 0) dans le repère R ;

∀t ∈ I

1.4. Fonctions de classe Ck

Rapport CCP, 2001 « Le fait que r est de classe C2 n’a été établi que par un petit nombre... »

1.4.1 Définitions Soit k un entier naturel, une application f de I dans E est dite : • de classe C0 sur I si elle est continue sur I ; • de classe Ck+1 sur I si elle est dérivable sur I et si sa dérivée f classe Ck sur I ;

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

F

−−→ d −−→ ( F M(t) − F M(t) ) = 0 dt En utilisant les mêmes notations qu’au 1, on trouve : −−→ − → dM − → ∀t ∈ I u (t) − u (t) | (t) = 0 dt − → → Or − u (t) − u (t) est un vecteur directeur de la bis−−→ dM lui sectrice extérieure de F M F . Puisque dt est orthogonal, on peut conclure que la tangente en M à l’hyperbole est la bissectrice intérieure de

2) Pour une hyperbole (H), on sait que :

est de

• de classe C∞ sur I si elle est de classe Ck sur I pour tout entier k. Pour tout k ∈ N ∪ {∞} , on note Ck (I , E) l’ensemble des applications de classe Ck sur I , à valeurs dans E. Il est clair que : ∀k ∈ N

C∞ (I , E) ⊂ Ck+1 (I , E) ⊂ Ck (I , E)

Si f est de classe C2 sur I , l’application dérivée de l’application f d2 f . notée f , f (2) , D2 f ou encore d x2 Elle est appelée dérivée seconde de f .

220

MF MF

1

F 1

M

MF

Rapport Concours Mines-Ponts, 1997 « Une proportion relativement importante de candidats (plus de 20 %) trouve le moyen de se tromper dès le début dans le calcul de la dérivée seconde de

1 . C’est sin 2 x

difficilement excusable à bac + 2 ! » est

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles Soit k dans N∗ et f dans Ck (I , E). La dérivée k e de f est l’application dk f notée f (k) , Dk f ou encore . d xk Elle est définie par récurrence par la formule suivante : f (0) = f et f (k) = ( f (k−1) ) Pour s’entraîner : ex. 3, 4 et 5.

1.4.2 Opérations sur les applications de classe Ck à valeurs vectorielles Dans ce paragraphe, sauf spécification contraire, k ∈ N ∪ {∞} .

Théorème 9 Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, B = (ei )i∈[[1, p]] une base de E, k un élément de N ∪ {∞} et f une application de I dans E dont les applications coordonnées relativement à la base B sont notées f 1 , . . . , f p . Alors :

f ∈ Ck (I , E) ⇔ ∀ i ∈ [[1, p]]

fi ∈ Ck (I , K)

De plus, si k est un entier et si f est de classe Ck sur I , alors : ∀x ∈ I

p

f (k) (x) =

i=1

f i(k) (x) ei

On note Ck (I , K) = Ck (I ) Théorème 10. Formule de Leibniz Soit f et g deux applications de I dans K, de classe Ck sur I . la fonction produit f g est de classe Ck sur I et : ∀ p ∈ [[1, k]] ( f g)( p) =

p

j =0

p j

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), mathématicien et philosophe allemand. Il étudie d’abord la philosophie, le droit et la théologie. Agé de 26 ans, lors d’une mission diplomatique à Paris, il rencontre Huygens qui l’incite à approfondir sa connaissance des mathématiques et de la physique. Nous lui devons les notations modernes du calcul différentiel et intégral : dy , ... Ses très nombreux dx écrits témoignent d’un esprit universel.

f ( j ) g ( p− j ) .

k

L’ensemble C (I ) est une sous-algèbre de la K-algèbre F(I , K) 1.4.3 Composée de fonctions de classe Ck Théorème 11 Soit J un intervalle de R, w une fonction de classe Ck de J dans I et f une application de classe Ck de I dans E, alors l’application f ◦ w est de classe Ck sur J .

221

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 8 L’ensemble Ck (I , E) des applications de classe Ck de I dans E est un espace vectoriel sur K. Si k est un entier, l’application « dérivée k e », définie par : Ck (I , E) → C0 (I , E) Dk : f → Dk ( f ) = f (k) est linéaire.

Maths, MP-MP∗

Remarque : Si u est une fonction de classe Ck (k 1) sur un intervalle I à valeurs dans R∗ , alors la fonction (x → ln |u(x)|) est de classe Ck sur I et, de plus : d ln |u(x)| u (x) ∀x ∈ I = dx u(x)

Application 3

C’est le seul cas où il est possible de dériver directement une fonction contenant une valeur absolue sans distinguer les différents cas suivant le signe de u, ni utiliser la fonction signe.

Utilisation de la formule de Leibniz

Soit y = f (x) =

2) P0 (x) = 1, son monôme de plus haut degré est 1. x f (x) = √ . Donc P1 (x) = x, son mox2 − 1 nôme de plus haut degré est x.

x 2 − 1, x réel > 1.

1) Établir que : dn Pn (x) f (x) = f (n) (x) = 2 , dx n (x − 1)n−1/2 où Pn est une fonction polynomiale. 2) Préciser le mônome de plus haut degré de Pn (x). [Distinguer les cas n = 0, n = 1 et n 2.] 3) Établir que : Pn+1 (x) + An (x) Pn (x) + Bn (x) Pn−1 (x) = 0, où An (x) et Bn (x) sont des polynômes à préciser. (Prouver que (x 2 − 1) f (x) = x f (x) et lui appliquer la formule de Leibniz dn {u(x) v(x)} = . . . ) dx n 4) Démontrer que :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’égalité (1) vous permettra de prouver que, pour n 2, le monôme de plus haut degré de Pn (x) (−1)n−1 n! n−2 est x . 2 x 3) De l’égalité f (x) = √ , on déduit : 2 x −1 (x 2 − 1) f (x) = x f (x) (2) Sachant que, pour k 2, (x 2 − 1)(k) = 0, la formule de Leibniz permet d’écrire, pour n 2 : + n (2 x) f (n) (x) + n (n − 1) f (n−1) (x).

1. Calculer Pn (1).

5) De tout ce qui précède, déduire que (−1)n−1 f (n) (x) > 0 si n 2.

De même :

1) P0 (x) = 1.

Donc, d’après (2) : + (n 2 − 2 n) f (n−1) (x) = 0. Par définition des polynômes Pn , on trouve : Pn+1 (x) + (2 n − 1) x Pn (x)

Alors : (x 2 − 1) Pn (x) − (2 n − 1) x Pn (x) f (n+1) (x) = . (x 2 − 1)n+1/2 Posons : Pn+1 (x) = (x 2 − 1) Pn (x) − (2 n − 1) x Pn (x) C’est une fonction polynôme et : Pn+1 (x) f (n+1) (x) = 2 . (x − 1)(n+1)−1/2

[x f (x)](n) = x f (n) (x) + n f (n−1) (x). (x 2 − 1) f (n+1) (x) + (2 n − 1) x f (n) (x)

Supposons que, pour un entier n 0, on ait Pn (x) f (n) (x) = 2 (x − 1)n−1/2 avec Pn fonction polynôme.

222

(x 2

[(x 2 − 1) f (x)](n) = (x 2 − 1) f (n+1) (x)

Pn (x) = −n (n − 2) Pn−1 (x) pour tout n

−1 . Donc P2 (x) = −1, son − 1)3/2 monôme de plus haut degré est −1. f (x) =

(1)

+(n 2 − 2 n)(x 2 − 1) Pn−1 (x) = 0

(3)

Pour n 2 : An (x) = (2 n − 1) x et Bn (x) = (n 2 − 2 n)(x 2 − 1). Vous vérifierez que la formule reste valable pour n = 1. 4) De (1) et (3), nous déduisons : (x 2 − 1) Pn (x) + (n 2 − 2 n)(x 2 − 1) Pn−1 (x) = 0.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles D’où la formule : Pn (x) = −n (n − 2) Pn−1 (x) pour tout n

1 (4) De (3), on déduit : Pn+1 (1) + (2 n − 1) Pn (1) = 0.

Sachant que P1 (1) = 1, on en déduit par récurrence que :

Supposons que, pour un entier n (−1)n−1 Pn (x) > 0 pour tout x

d [(−1)n Pn+1 (x)] dx = (−1)n−1 (n + 1) (n − 1) Pn (x) > 0

(2 i − 1) i=1

et : Pn (1) = (−1)n−1

(2 n − 2)! 2n−1 (n − 1)!

5) Le signe de (−1)n−1 f (n) (x) sur ]1, +∞[ est celui de (−1)n−1 Pn (x). Pour n = 2, (−1)n−1 Pn (x) = 1 > 0.

1.

On sait que (−1)n Pn+1 (1) > 0 et, d’après (4) :

n

Pn+1 (1) = (−1)n

2, on ait :

Donc la fonction (x → (−1)n Pn+1 (x)) est strictement positive sur [1, +∞[. On a prouvé par récurrence que, pour tout n (−1)n−1 f (n) (x) > 0 pour tout x > 1.

2,

1.4.4 Ck -difféomorphismes Dans ce paragraphe, I et J sont deux intervalles de R d’intérieurs non vides et k est un élément de N∗ ∪ {∞} . Une application w de J dans I est un C k -difféomorphisme de l’intervalle J sur l’intervalle I si : • w est bijective ; • w est de classe Ck sur J ; • w−1 est de classe Ck sur I . Exemples : La fonction (x → ln x) définit un C∞ -difféomorphisme de R+∗ sur R. La fonction (x → x 3 ) est une bijection de R dans R qui est de classe C1 sur R, mais n’est pas un C1 -difféomorphisme de R dans R. Par contre, sa restriction de l’application (x → x 3 ) à R+∗ définit un C∞ difféomorphisme de R+∗ dans R+∗ . Soit a et b deux réels tels que a < b. • La fonction (t → a + t (b − a)) définit un C∞ -difféomorphisme de [0, 1] sur [a, b]. a+b b−a • La fonction (t → +t ) définit un C∞ -difféomorphisme de 2 2 [−1, 1] sur [a, b].

Rapport Ensam, 2002 « Peu de candidats savent ce qu’est un difféomorphisme et ceux qui s’en souviennent, tout en ignorant le théorème qui s’y rapporte... »

Rapport Centrale, 2001 « Les définitions de base ne sont pas connues : ... C1 difféomorphisme... »

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 12 Soit J un intervalle de R, k un élément de N∗ ∪ {∞} et w une application de classe Ck de J dans R. L’application w induit un Ck difféomorphisme de l’intervalle J sur l’intervalle w( J ) si et seulement si : ∀ t ∈ J w (t) = 0. Démonstration • Supposons que w soit un Ck -difféomorphisme de l’intervalle J sur w(J ). Alors w−1 est de classe Ck . De plus, w−1 ◦ w = Id J . Dérivons cette expression. ∀t ∈ J Donc ∀ t ∈ J

(w−1 ◦ w) (t) = (w−1 ) (w(t)) × w (t) = 1.

w (t) = 0

• Supposons que ∀ t ∈ J

w (t) = 0.

223

Maths, MP-MP∗

w est une application continue de J dans R qui ne s’annule pas sur l’intervalle J . Elle est donc de signe constant et la fonction w est strictement monotone, donc injective sur J . On a prouvé que w induit une bijection de J sur w(J ). w est continue, strictement monotone, donc w−1 est continue. Soit t0 un point de w(J ) et t dans w(J ) \ {t0 } . Alors (en posant w(x) = t et w(x0 ) = t0 ) : w−1 (t) − w−1 (t0 ) x − x0 = . t − t0 w(x) − w(x0 ) w−1 (t) − w−1 (t0 ) 1 admet la limite car w (x0 ) n’est pas nul. L’application t − t0 w (x0 ) 1 w−1 est donc dérivable en t0 . De plus : (w−1 ) = est continue sur w(J ). w ◦ w−1 • Si k > 1, vous montrerez par récurrence que w−1 est de classe Ck sur w(J ).

Application 4

Étude d’un C∞ -difféomorphisme

Soit la fonction sur R+∗ .

f définie par

f (x) = x + ln x

1) Montrer que f est un C∞ -difféomorphisme de R+∗ sur R. 2) Donner un développement limité à l’ordre 3 de f −1 au voisinage de 1. 3) Donner un développement asymptotique à deux termes de f −1 (x) en +∞.

2) Première méthode L’application f −1 est de classe C∞ sur R. La formule de Taylor-Young nous en donne un développement limité à tout ordre au voisinage de 1. À l’ordre 3, il s’écrit : f −1 (1 + h) = f −1 (1) + h f −1 (1) +

∞

1) Vous montrerez que f est de classe C sur R+∗ , que sa dérivée ne s’annule pas sur R+∗ et que f (R+∗ ) = R. f est donc un C∞ -difféomorphisme de R+∗ sur R. y

y = f (x)

y = 2 x −1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

3

0

=

f −1 (1) = 1

2

3

x

∀x ∈ R

1 f ◦ f −1

224

f −1

(1) =

et

f (y) = 1 +

1 y

1 1 = . f (1) 2 f −1

−1

Doc. 6. Les graphes de f et f −1 .

(1) + o h 3

Déterminons les dérivées successives de f −1 en 1 : f −1

1

(3)

f −1 (1) = a ⇔ a + ln a = 1 ⇔ a = 1

y= x +1 2

2

f −1

De plus :

y=x y = f −1(x)

h3 h 2 −1 ( f ) (1) + 2 6

1 . 8

(x) = −

f

f −1 (x)

f ◦ f −1 (x)

3

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles On déduit alors de (1) et (2) que :

×

(3)

1 f ◦ f −1 (x)

f −1 (x)

f (3)

(x) = −

5

f ◦ f −1 (x)

1 ( f −1 )(3) (1) = − . 32 Et nous obtenons : f

f −1 (x)

f

×

−1

h3 h h2 − + o h3 . (1 + h) = 1 + + 2 16 192

3

h h + + o h3 . 2 3

1+2h −

De plus,

x = f −1 (x) + ln

Donc : f −1 (x) ∼ x .

3

h h + + o h3 2 3

Finalement, f −1 (x) = x − ln x + o(1) .

(2)

Donc, le graphe de la fonction (x → x − ln x) est asymptote à celui de f −1 . Expérimentalement, le tableau suivant indique que le graphe de f −1 est au-dessus de celui de (x → x − ln x) pour les valeurs calculées.

Calculons les puissances de u : h2 h3 u = 2h − + 2 3 u = u3 =

lim ´(x) = 0.

x→+∞

x ´(x) = − ln x + o(1)

2

f −1 (1 + u) = 1 + a1 u + a2 u 2 + a3 u 3 + o u 3

+o h

3

4h −2h +o h

3

2

f −1 (x) .

Puis : ln x + ln 1 + ´(x) = −x ´(x), d’où :

(1) h2 h3 3 • Notons u = 2 h − + + o(h ). Lorsque h 2 3 tend vers 0, u tend aussi vers 0.

2

f −1 (x) tend vers

3) Lorsque x tend vers +∞, +∞.

f (1 + h) = 1 + h

= f −1

u3 u u2 + − + o u3 2 16 192

En reportant : x = x + x ´(x) + ln x + x ´(x) .

Donc : f −1

L’unicité du développement limité d’une fonction en un point permet de calculer : 1 1 1 a1 = , a2 = et a3 = − . 2 16 192

Soit f −1 (x) = x + x´(x) , avec

f (1 + h) = (1 + h) + ln(1 + h) 2

a1 + 4 a2 h 2 2

a1 − 2 a2 + 8 a3 h 3 + o h 3 . 3

f −1 (1 + u) = 1 +

Seconde méthode : Puisque f −1 (1) = 1, le développement limité de f en 1 va nous permettre de trouver celui de f −1 . • Posons x = 1 + h.

= 1+2h −

+

f −1 (x) × (−3)

+ f

4

1 + h = 1 + 2 a1 h + −

3

8 h3 + o h3

t x = f (t) y1 = f

−1

(x)

y2 = x−ln x

10

102

103

104

12,3

104,6

1 006,9

10 009,2

10

100

1 000

10 000

9,79

99,95

999,99

9 999,999 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

f −1

∀x ∈ R

1.5. Fonctions de classe C k par morceaux Dans ce paragraphe, k est un élément de N ∪ {∞} . Une application f définie sur un segment [a, b] à valeurs dans E est dite de classe C k par morceaux sur [a, b], s’il existe une subdivision

225

Maths, MP-MP∗

(a0 , a1 , . . . , an ) de [a, b] telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]ai−1 , ai [ soit prolongeable en une fonction de classe Ck sur [ai−1 , ai ].

y

Une telle subdivision est dite subordonnée à f .

1

1 a2

a = a0 a1 0

Exemples : Toute fonction en escalier sur [a, b] est de classe C∞ par morceaux sur [a, b] (doc. 7).

a3

x ab −1 b = an

Doc. 7. Une fonction en escalier est de classe C∞ par morceaux.

La fonction Arccos ◦ cos est continue, paire et 2p-périodique. Elle est aussi de classe C1 par morceaux sur tout segment de R (doc. 8). y

y 2 1,73 1,41

p

1 0,71

x −2p

0

−p

p

3p

2p

Doc. 8. La fonction Arccos ◦ cos . La fonction (x →

|x|) est continue sur R et de classe C1 sur R∗ .

Elle n’est pas de classe C1 par morceaux sur [−1, 1] (doc. 9). En pratique, pour prouver que f est de classe Ck par morceaux sur [a, b], il suffit de trouver une subdivision (a0 , a1 , . . . , an ) de [a, b] telle que, pour tout i ∈ [[1, n]] : •

f est de classe Ck sur ]ai−1 , ai [ ;

•

f admet une limite à droite en ai−1 ;

•

f admet une limite à gauche en ai ;

• l’application f i , définie sur [ai−1 , ai ] par :

f i (x) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

lim

t→ai−1+

f (t)

f (x) si

lim f (t)

t→ai−

si si

x = ai−1 x ∈ ]ai−1 , ai [ x = ai

est de classe Ck sur [ai−1 , ai ]. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Une application f est dite de classe Ck par morceaux sur un intervalle I quelconque si sa restriction à tout segment est de classe Ck par morceaux. L’ensemble des fonctions de classe Ck par morceaux sur l’intervalle I , à valeurs dans E, est un sous-espace vectoriel de F(I , E), noté CMk (I , E). Exemples : La fonction valeur absolue est continue et de classe C1 par morceaux sur R. Pour tout n de N, l’application x → |x|2n+1 R et aussi de classe C2 n+1 par morceaux.

226

est de classe C2 n sur

x −4

−3

−2

−1

0 0,5 1

Doc. 9. La fonction

2

x→

3

4

|x| .

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles Soit k dans N∗ et f dans F(I , E). On remarque que, si f est de classe Ck par morceaux sur I , alors les dérivées successives de f : f (x), f (x), . . . , f (k) (x) sont définies en tout point x de I sauf sur un ensemble P. L’ensemble P a la particularité suivante : tout segment [a, b] inclus dans I ne contient qu’un nombre fini de points de P. Dans ce cas, pour j ∈ [[1, k]], on note D j f ou f ( j ) la fonction de I \ P dans E définie par x → f ( j ) (x) . Théorème 13 Soit I un intervalle de R et f une application de I dans E. Si f est continue sur I et de classe C1 par morceaux sur cet intervalle, alors f est constante sur I si et seulement si D f = 0.

2

On retrouve la caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions continues sur I et dérivables sur l’ensemble des points intérieurs à I (cf. corollaire 6.1).

Intégration sur un segment l3

2.1. Intégrale d’une fonction en escalier 2.1.1 Définitions Soit E ([a, b], E) l’ensemble des fonctions en escalier de [a, b] dans E, w un élément de E ([a, b], E) . Notons (ai )i∈[[0,n]] une subdivision de J = [a, b] subordonnée à w et l i la valeur prise par w sur ]ai−1 , ai [ . Le vecteur de E : n

I (w) =

l1 l2 0

a=a0

a1

a2

a3 a4=b

Doc. 10. Ici, w est à valeurs dans R+ et : n

ai − ai−1 li i=1

[a,b]

est indépendant de la subdivision subordonnée à w utilisée pour le calculer.

w=

ai − ai−1 l i i=1

représente l’aire de la portion colorée.

n

Le vecteur I (w) =

ai − ai−1 li est appelé intégrale de la fonction i=1

w sur le segment [a, b]. Nous le noterons

[a,b]

w ou

J

w.

Théorème 14 Soit J un segment de R. L’application de E ( J , E) dans E , qui à w J

w, est linéaire, c’est-à-dire :

∀ (a, b) ∈ K2 ∀ (w, c) ∈ (E ( J , E))2 J

(aw + bc) = a

J

w+b

J

c

[a,b]

w=

J

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Si w est une fonction constante sur J , de valeur l :

2.1.2 Propriétés

associe

L’intégrale ne dépend pas des valeurs prises par w aux points de la subdivision.

w = (b − a) l

Dans le cas d’une fonction à valeurs réelles positives, on retrouve l’interprétation classique en terme d’aire. C’est d’ailleurs l’origine historique de la notion d’intégrale (doc. 11).

227

Maths, MP-MP∗

Théorème 15 Soit E et F deux K -espaces vectoriels de dimension finie, J = [a, b] un segment de R, w une application en escalier de J dans E et u une application linéaire de E dans F. Alors : • u ◦ w ∈ E ( J , F) ; •

J

u◦w=u

J

a0

w .

a1 a2

c3 a3

b2

c4

a4 a5

b = b3 c5 a6

Doc. 11. Construction d’une subdivision subordonnée simultanément à deux fonctions en escalier.

Théorème 16 Soit J un segment de R et w un élément de E (J , E) . Si norme sur l’espace vectoriel E, alors : •

b1 a = b0 = c0 c1 c2

est une

w ∈ E (J , R)

•

J

w

J

w .

Démonstration Soit (ai )i∈[[0,n]] une subdivision de J subordonnée à w. Sur chaque intervalle ]ai−1 , ai [, la fonction w est constante, donc la fonction w l’est aussi. Notons l i la valeur prise par w sur ]ai−1 , ai [. On a : n

n J

(ai − ai−1 ) l i

w =

(ai − ai−1 ) l i = i=1

i=1

J

w

Corollaire 16.1 Soit [a, b] un segment de R, w un élément de E ([a, b], E) , norme sur l’espace vectoriel E et M un réel 0 tel que : ∀ x ∈ [a, b]

w (x)

une

M.

Alors : [a,b]

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

En particulier, si

w

∞

[a,b]

w

[a,b]

w

= sup { w (x)

w

[a,b]

w

M (b − a) ; x ∈ [a, b]} , alors : w

∞ (b

− a)

2.2. Intégrale d’une application continue par morceaux sur un segment 2.2.1 Définition de l’intégrale Soit [a, b] un segment de R. Toute fonction vectorielle continue par morceaux, f , de [a, b] dans un espace vectoriel de dimension finie E peut être approchée uniformément par des fonctions en escalier sur [a, b].

228

Ce résultat a été vu dans le chapitre 5.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles Cette propriété va nous permettre de définir l’intégrale d’une application continue par morceaux sur un segment. Théorème 17 Soit [a, b] un segment de R et ceaux de [a, b] dans E.

f une application continue par mor-

Si (wn ) est une suite de fonctions en escalier de [a, b] dans E qui converge uniformément vers f sur [a, b], alors la suite de vecteurs [a,b]

wn

converge dans E.

Si (wn ) et (cn ) sont deux suites de fonctions en escalier de [a, b] dans E qui convergent uniformément vers f sur [a, b], alors : lim

n→+∞

[a,b]

wn = lim

n→+∞

[a,b]

cn

Démonstration Pour toute application f de CM ([a, b], E) , posons : f

= sup { f ( t)

∞

E

| t ∈ [a, b]} .

Dans la suite de la démonstration, on fixe un élément f de CM ([a, b], E) . • Soit (wn ) une suite de fonctions en escalier de [a, b] dans E qui converge uniformément vers f sur [a, b]. C’est une suite de Cauchy de l’espace vectoriel normé (CM([a, b], E), ∞ ) et : ∀´ > 0 ∃ N ∈ N ∀n ∈ N ∀ p ∈ N

(n

N) ⇒

wn+ p − wn

∞

´

Les fonctions wn+ p et wn sont des fonctions en escalier sur [a, b] ;

[a,b]

wn+ p −

[a,b]

wn

=

[a,b]

E

On en déduit que la suite de vecteurs

wn+ p − wn

[a,b]

converge donc dans E.

wn+ p − wn

∞

(b − a) .

E

wn

est une suite de Cauchy de E ; elle

• Notons (wn ) et (cn ) deux suites de fonctions en escalier de [a, b] dans E convergeant uniformément sur [a, b] vers f . Alors la suite (wn − cn ) converge uniformément sur [a, b] vers 0. [a,b]

wn

et

[a,b]

L (w) = lim

n→+∞

cn

[a,b]

wn

convergent dans E. Notons : et

L (c) = lim

n→+∞

[a,b]

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Les suites

cn

On sait que : ∀n ∈ N

0

[a,b]

wn −

[a,b]

wn − cn

cn

∞

(b − a) .

E

Le théorème d’encadrement permet de conclure que : L (w) = L (c)

Le théorème 17 permet de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

229

Maths, MP-MP∗

Soit f une application continue par morceaux de [a, b] dans E et (wn ) une suite de fonctions en escalier de [a, b] dans E qui converge uniformément vers f sur [a, b]. L’intégrale de f sur le segment [a, b] est la limite de la suite

[a,b]

[a,b]

wn . On la note

[a,b]

f ou

[a,b]

f ( t) d t.

f est un vecteur de E. Par définition :

lim

n→+∞

[a,b]

wn

=

[a,b]

f =

[a,b]

f ( t) d t

2.2.2 Sommes de Riemann Soit J un segment de R d’intérieur non vide et f une application continue de J dans E. On appelle somme de Riemann de f , associée à la subdivision (ai )i∈[[0,n]] de J , tout élément de E de la forme : n

S=

Lorsque f est elle-même une fonction en escalier, on peut choisir wn = f pour tout n. On obtient l’intégrale telle qu’elle avait été définie dans le paragraphe précédent. L’intégrale qui vient d’être définie pour les fonctions continues par morceaux sur un segment est bien une généralisation de l’intégrale des fonctions en escalier. Rapport CCP, 1997 « En ce qui concerne l’intégration, plusieurs candidats ont affirmé n’avoir jamais entendu parler de sommes de Riemann ».

y f(a4)

f (ti )(ai − ai−1 ), i=1

y=f(x)

f(a2)

où, pour tout entier i de [[1, n]], le réel ti est un élément de ai−1 , ai . Notons alors w la fonction en escalier de J dans E définie par : w(x) =

f (ti ) si f (an ) si

x ∈ ai−1 , ai x = an = sup J .

n J

f(a1) 0

La somme de Riemann S est égale à l’intégrale sur le segment J de la fonction en escalier w : w=

f(a3)

f (ti )(ai − ai−1 ) = S. i=1

x a=a0

a1

a2

a3

a4=b

Doc. 12. Sur ce schéma, b−a n = 4, ai = a + i n et l’aire grisée représente n b−a f (ai ) Sn = . n i=1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Notons J = [a, b] et, pour tout entier n > 0, b−a Pn = (ai )i∈[[0,n]] = a + i n

i∈[[0,n]]

.

Pn est une subdivision de [a, b] appelée subdivision régulière en n parties de [a, b]. Corollaire 17.1 Soit f une application continue de [a, b] dans E. Pour chaque entier n > 0, considérons une somme de Riemann de f associée à la subdivision Pn de [a, b] : n b−a b−a b−a An = f (ti ), où ti ∈ a + (i − 1) , a +i n n n i=1

Alors la suite ( An ) converge vers

230

[a,b]

f.

y f(a3 ) f(a2 ) f(a1 ) f(a0 ) 0

x a=a0

a1

a2

a3

Doc. 13. Sur ce schéma, b−a n = 4, ai = a + i n et l’aire grisée représente n−1 b−a Tn = f (ai ) . n i=0

a4

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles En particulier : n

b−a n→+∞ n

f = lim

[a,b]

= lim

n→+∞

f

a +i

b−a n

f

a +i

b−a n

i=1 n−1

b−a n

i=0

Démonstration On désigne par wn la fonction en escalier sur [a, b] définie par : ⎧ ⎪ ⎨ f (ti ) si x ∈ a + (i − 1) b − a , a + i b − a n n wn (x) = ⎪ ⎩ f (b) si x = b

y

t1

t3

t2

a=a0

a1

a2

t4 a3

x

t5

a4

a5

Doc. 14. La fonction en escalier wn . Le théorème 15 du chapitre 5 nous apprend que toute fonction continue sur un segment est la limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur ce segment. Il suffit de reprendre la démonstration de ce théorème pour constater que la suite de fonctions en escalier que nous venons de construire, (wn ) , converge uniformément vers f sur [a, b]. De plus, pour tout n,

b−a n

An =

n

f (ti ) = i=1

lim A n =

n→+∞

[a,b]

[a,b]

wn .

Donc :

Nous devons à Cauchy, en 1823, la première définition rigoureuse de l’intégrale. Il établit que si f est une fonction réelle, continue dans un intervalle [x 0 , X] , les sommes : S = (x 1 − x 0 ) f (x 0 ) +(x 2 − x 1 ) f (x 1 ) + ... +(X − x n−1 ) f (x n−1 ) admettent, lorsque max {x i+1 − x i ; i ∈ [[0, n − 1]]} tend vers 0, une limite. « Limite qui dépendra uniquement de la fonction f (x) et des valeurs extrêmes x 0 , X attribuées à la variable x. Cette limite est ce que l’on appelle une intégrale définie. » X

Cauchy la note

x0

f (x) d x.

Riemann montre que cette définition de l’intégrale s’applique à un ensemble de fonctions plus vaste.

f Pour s’entraîner : ex. 6.

Application 5 1) Calculer

1 n→+∞ n 2

n

lim

i sin i=1

ip n

.

2) On fixe un réel a = 1. Déterminer un équivalent de la suite (u n ) définie par : 2n

un = k=n+1

1 . ka

3) Traiter la question 2 dans le cas où a = 1.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Utilisation des sommes de Riemann 1) Notons : Sn =

1 n2

n

i sin i=1

ip n

=

1 n

n i=1

i sin n

ip n

En posant f (x) = x sin (px) , on constate que f est continue sur [0, 1] et que Sn est une somme de Riemann de f sur [0, 1]. Donc : lim Sn =

n→+∞

[0,1]

t sin (pt) d t =

1 p

231

Maths, MP-MP∗

2n

2) k=n+1

1 = ka

n i=1

1 1 a = a (n + i ) n

n

1

i=1

1+

i n

3) Lorsque a = 1 :

a.

2n

1 Posons g (x) = . La fonction g est (1 + x)a continue sur [0, 1]. 1 n

n

i n

g i=1

k=n+1

1 = k

n i=1

1 1 = n +i n

sur [0, 1] , donc : n

g i=1

i n

t −→

21−a − 1 = 1−a

2n k=n+1

2n

21−a − 1 1 1 ∼ ka 1 − a n a−1

lim

n→+∞

k=n+1

2.2.3 Linéarité de l’intégrale d’une application continue par morceaux sur un segment Théorème 18 Soit J un segment de R. L’application de CM ( J , E) dans E, qui à f associe

J

f , est linéaire :

∀ (a, b) ∈ K2 ∀ ( f , g) ∈ (CM (J , E))2

J

(a f + bg) = a

J

f +b

J

g

Démonstration Soit (wn ) et (cn ) deux suites de fonctions en escalier de J dans E convergeant uniformément vers f et g respectivement.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La suite de fonctions en escalier (awn + bcn ) converge uniformément vers a f + bg dans ce même espace, et :

J

(a f + bg) = lim

n→+∞

J

(awn + bcn ) = a

J

f +b

J

g.

Pour s’entraîner : ex. 7.

Théorème 19 Soit [a, b] un segment de R, f et g deux fonctions continues par morceaux de [a, b] dans E. Si f et g coïncident, sauf sur une partie finie de [a, b], alors : [a,b]

232

1+

i n

1 1+t

sur le segment [0, 1] . Donc :

On en déduit que : un =

i=1

1

On reconnaît là une somme de Riemann de la fonction continue :

est une somme de Riemann de g

1 lim n→+∞ n

n

f =

[a,b]

g

1 = k

[0,1]

1 d t = ln(2) 1+t

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles Conséquence importante Si f est une fonction définie sur un segment J = [a, b] privé d’une subdivision S = (a0 , a1 , . . . an ) de [a, b] et telle que la restriction de f à chacun des intervalles ouverts ]ai , ai+1 [ est prolongeable en une fonction continue sur [ai , ai+1 ], f peut être prolongée en une fonction continue par morceaux sur [a, b], que nous noterons f . L’intégrale de f sur [a, b] ne dépend pas des valeurs choisies pour prolonger f . Nous l’appellerons intégrale de f sur [a, b] et la noterons encore : J

f ou

[a,b]

Le graphe de x −→ | sin x | est en trait plein et celui de sa dérivée en pointillé.

f.

Considérez f − g .

Ainsi, si g est une fonction de classe C1 par morceaux de J dans E, on peut calculer

J

définie en tout point de J .

g bien que g ne soit pas

2.2.4 Intégrale et applications linéaires Théorème 20 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, u une application linéaire de E dans F, J un segment de R et f une application continue par morceaux de J dans E. Alors :

À vous de prouver, le plus brièvement possible, ce résultat.

• u ◦ f ∈ CM (J , F) •

J

u◦ f =u

J

f

.

Démonstration On note E une norme sur E et F une norme sur F. Puisque u ∈ L (E, F) , on sait qu’il existe un réel M tel que : ∀ v ∈ E u(v) F M v E. Pour toute application f de CM (J , E) , on pose Pour toute application g de CM (J , F) , on pose

f g

∞ ∞

= sup t∈ J

f ( t)

= sup g ( t) t∈ J

E.

F.

L’application f de CM (J , E) étant fixée, on introduit une suite (wn ) de fonctions en escalier de J dans E qui converge uniformément vers f sur J . On a donc : f − wn

∞

= 0.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

lim

n→+∞

De plus, les fonctions u ◦ wn sont des fonctions en escalier de J dans F et : ∀n ∈ N ∀t ∈ J

u ◦ f ( t) − u ◦ wn ( t)

F

= u ( f ( t) − wn ( t))

M f ( t) − wn ( t)

E

F

M f − wn

∞.

On en déduit : ∀n ∈ N 0

u ◦ f − u ◦ wn

∞

= sup u ◦ f ( t) − u ◦ wn ( t) t∈ J

F

M f − wn

∞.

La suite de fonctions en escalier (u ◦ wn ) converge uniformément vers u ◦ f sur J . D’où : u ◦ f = lim u ◦ wn . J

n→+∞

J

233

Maths, MP-MP∗

Or, wn est une fonction en escalier, donc

J

u ◦ wn = u

La continuité de l’application linéaire u permet d’écrire :

J

u ◦ f = lim u n→+∞

J

wn

=u

lim

n→+∞

J

wn

J

wn

=u

.

J

f

.

Dans la suite du paragraphe, on note B = (ei )i∈[[1, p]] une base de E. Corollaire 20.1 Soit J un segment de R et f une application continue par morceaux de J dans E. On note ( f i )i∈[[1, p]] les applications coordonnées de f relatives à la base B. Le calcul de l’intégrale de f peut être effectué composante par composante : p J

f =

fi

J

i=1

ei

En particulier, si f est une fonction continue par morceaux sur le segment J , à valeurs complexes, alors : •

J

•

Re

•

J

f =

J

f =

J

Re f + i

f

=

J

J

f

J

Im f ;

Re ( f ) , Im

=

J

Re f − i

f

J

J

=

J

Im ( f ) ;

Im f .

Application 6

Utilisation de fonctions complexes

Pour tout entier n c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

an =

[0, p2 ]

et

0, on pose : cosn (x) sin (nx) d x, n

Sn =

(−1)k ak .

k=0

1) Prouver que la suite (an ) tend vers 0. On pourra utiliser l’inégalité : | an |

n

[0, p2 ]

cos (x) d x.

2) On s’intéresse à la nature de la série

234

(−1)n an . Établir la formule : Sn = Im

[0, p2 ]

dx − Rn (x) , 1 + eix cos (x)

avec n+1

Rn (x) = Im

[0, p2 ]

−eix cos (x) d x. 1 + eix cos (x)

3) Démontrer que | Rn (x) | tend vers 0 quand n tend vers +∞. 4) En déduire la somme (−1)n an .

s

de la série

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

[0, p2 ]

p Pour tout x de 0, 2 (bn ) converge. b2n = =

: 0

bn+1

1 4n+1

[0,2p]

bn . La suite

1 4

eix + e−ix

[0,2p] 2n

cos2n (x) d x

dx

[0,2p]

k

est un entier non nul,

eikx d x = 0. On en déduit :

2p 4n+1

p = 2

2n n

n i=1

Donc ln (b2n ) = ln

p 2

=

p + 2

i i=1 n

ln 1 − i=1

lim ln (b2n ) = −∞ et

n→+∞

[0, p2 ]

− Rn (x).

[0, p2 ]

| cos(x) |n+1 d x. | 1 + cos(x)eix |

4) De ce qui précède, on déduit la convergence de la suite (Sn ) et : n→+∞

1 2i

ln 1 −

.

(−1)k ak

1 2i

est

n→+∞

n

k=0

= Im

lim b2n = 0.

− cos (x) eix

dx

3) On sait que, pour tout nombre complexe z, | Im (z) | | z | , donc :

∞ n

n+1

n→+∞

(2i )

divergente.

2) (−1)n an = Im

[0, p2 ]

1 dx 1 + cos(x)eix

s = lim Sn =

Or la série à termes négatifs Donc

[0, p2 ]

1 − − cos(x)eix 1 + cos(x)eix

Or | 1 + cos (x) eix | 1, donc | Rn (x) | bn+1 . Cette majoration prouve que lim Rn (x) = 0.

2

i=1

1 1− 2i

= Im

| Rn (x) |

2n

b2n =

(−1)k ak

= Im

Développons par la formule du binôme de Newton. On sait que, si

n

Sn =

p , − cos (x) eix = 1, donc : 2

0,

k=0

cos2n (x) d x =

[0, p2 ]

Pour tout x de

cosn (x) d x.

dx .

=

[0, p2 ]

[0, p2 ]

1 dx 1 + cos (x) eix

− cos (x) sin(x) d x. 1 + 3 cos2 (x)

En posant u = cos(x), on trouve : s=

[0,1]

ln(2) −u du = − . 2 1 + 3u 3

2.2.5 Cas des fonctions à valeurs dans R+ Théorème 21 (Positivité et croissance de l’intégrale) Soit [a, b] un segment de R, f et g deux fonctions continues par morceaux de [a, b] dans R. Alors : •

f

0⇒

•

f

g⇒

[a,b]

[a,b]

f

f

0 ;

[a,b]

Rapport Mines-Ponts, 1997 « Les fautes de calcul sont trop fréquentes, elles se doublent parfois d’absurdités ( trouver une valeur positive pour 1 1 1−x dx , par x 0 x −2 exemple). »

g.

235

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Notons bn =

Maths, MP-MP∗

y

Démonstration • Soit (wn ) une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f sur [a, b]. Pour n fixé dans N, définissons la fonction cn en posant : ∀ t ∈ [a, b] cn ( t) = max (0, wn ( t))

• cn est une fonction positive sur [a, b] ; f − wn

∞

∞.

La suite de fonctions (cn ) est une suite de fonctions en escalier sur [a, b] qui converge uniformément vers f sur [a, b]. Donc :

f = lim

n→+∞

[a,b]

[a,b]

cn

0

y f(c) f(c) 2 0 c−a c c+a

f =0 ⇔ f =0

Considérons une fonction f continue positive sur J et non identiquement nulle. Alors il existe un point intérieur à J , que l’on notera c , tel que f (c) > 0. La continuité de f en c entraîne (doc. 16) : f (c) 2

f (x)

g , d’où

f (x)

y=f(x) x

y=g(x)

J

! L’hypothèse de continuité est fondamentale comme l’illustre le schéma suivant (doc. 17). y

Appelons g la fonction définie par : ⎧ ⎪ ⎨ g(x) = f (c) si x ∈ [c − a, c + a] 2 ⎪ ⎩ g(x) = 0 sinon g est une fonction de CM (J , R) et f

x

Doc. 16.

Démonstration

∃ a > 0 ∀ x ∈ [c − a, c + a]

ai

alors : ∀ x ∈]ai−1 , ai [ [wn (x) = li cn (x) = 0

Théorème 22 Soit J un segment de R et f une fonction continue et positive sur J . Alors : J

ai−1

Doc. 15. Si sur ]ai−1 , ai [ : wn (x) = l i 0,

• cn est une fonction en escalier sur [a, b] ; f − cn

y=wm(x) 0

Vous prouverez que :

• ∀n ∈ N 0

y=f(x)

x 0

f

J

g = a f (c) > 0.

a

b

Doc. 17. Graphe d’une fonction positive et d’intégrale nulle sur [a, b] , mais qui n’est pas identiquement nulle sur cet intervalle.

Pour s’entraîner : ex. 8 et 9.

2.2.6 Une inégalité fondamentale c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit une norme sur E. L’application est une application continue de E dans R. Si [a, b] est un segment de R et f une application continue par morceaux de [a, b] dans E, alors f est une application continue par morceaux de [a, b] dans R. Théorème 23 Si [a, b] est un segment de R et f une application continue par morceaux de [a, b] dans E, alors :

[a,b]

236

f

[a,b]

f

(b − a)

f

∞

Rapport Mines-Ponts, 1997 « Les fautes de majoration-minoration sont fréquentes (même les plus grossières, du type cos( t) 1 implique a cos( t) a ). » Rapport E3A, 1997 « Rares sont les candidats qui prennent des précautions de valeurs absolues avant de majorer... »

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

Démonstration • Soit (wn ) une suite de fonctions en escalier de [a, b] dans E convergeant uniformément vers f sur [a, b]. Pour tout entier n, la fonction

est une fonction en escalier de [a, b] dans R.

wn

De plus : ∀ t ∈ [a, b] |

f ( t)

−

wn ( t)

La suite de fonctions en escalier f sur [a, b]. Donc :

|

wn

lim

n→+∞

f ( t) − wn ( t)

∞

converge uniformément vers la fonction

wn

[a,b]

f − wn

=

[a,b]

f

Par ailleurs, pour tout n, wn est une fonction en escalier de [a, b] dans E, donc :

[a,b]

Sachant que

lim

n→+∞

[a,b]

wn =

[a,b]

wn

[a,b]

wn

(1)

f et que la fonction

est continue sur E,

on peut passer à la limite dans (1). On obtient :

[a,b]

• ∀ t ∈ [a, b]

Donc :

f ( t)

[a,b]

f

f

[a,b]

f

∞.

f ( t) d t

[a,b]

f

∞

= (b − a)

f

∞.

Pour s’entraîner : ex. 10.

Application 7 [a,b]

Si f est une application continue par morceaux de [a, b] dans C, alors :

[a,b]

f

[a,b]

Prouver que

=

[a,b]

| f|

2) Soit f dans C. Prouver que

|f|

une application continue de [a, b]

[a,b]

f

=

[a,b]

ment si : ∃ a ∈ R ∀ x ∈ [a, b]

Dans cette application, nous allons étudier le cas d’égalité lorsque f est continue. 1) Soit f dans R.

f

une application continue de [a, b]

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’égalité

| f | si et seulef (x) ∈ R+ eia .

Remarque : Géométriquement, cela signifie que les valeurs prises par f sont toutes sur une demidroite du plan complexe issue de 0. 1) Si f est de signe constant sur [a, b], alors :

[a,b]

f

=

[a,b]

| f|

si et seule-

ment si f ne change pas de signe sur [a, b].

[a,b]

f

=

[a,b]

| f |.

237

Maths, MP-MP∗

Réciproquement, si

[a,b]

[a,b]

f

0, alors :

| f | − f = 0.

[a,b]

La fonction | f | − f est continue et positive sur [a, b]. Son intégrale est nulle, donc elle est identiquement nulle. Si

[a,b]

• Cas général :

f < 0, on applique le cas précédent à la

fonction − f .

Alors Donc : et

[a,b]

[a,b]

f (x) d x

=

[a,b]

[a,b]

| f (x) | d x

[a,b]

• Cas particulier : Alors

[a,b]

=

| f (x) | d x.

[a,b]

[a,b]

[a,b]

[a,b]

Re

| f |.

f = eia

[a,b]

f .

f e−ia f e−ia + i

[a,b]

Im

f e−ia .

Re

f e−ia .

On en déduit : [a,b]

Réciproquement, supposons que : f

=

f =

ia

f (x) d x = eia

[a,b]

On peut donc écrire :

f (x) ∈ R+ eia .

f (x) = | f (x) | e .

f est un nombre complexe non nul que l’on

∃a ∈ R

[a,b]

∀ x ∈ [a, b]

f =0

met sous forme trigonométrique :

2) Supposons que : ∃ a ∈ R ∀ x ∈ [a, b]

[a,b]

et

[a,b]

Donc

| f| =

[a,b]

Im

[a,b]

f e−ia = 0 f

| f | − Re

=

[a,b]

f e−ia

= 0.

Or, pour tout t de [a, b] : | f ( t) | − Re f ( t)e−ia

f =0

| f | = 0. La fonction | f | est conti-

nue et positive sur [a, b]. Son intégrale est nulle. Elle est identiquement nulle et le problème est résolu.

= | f ( t)e−ia | − Re f ( t)e−ia

0

car, pour tout nombre complexe z, | z | Re z. La fonction | f | − Re f e−ia est continue et positive sur [a, b]. Puisque son intégrale sur [a, b] est nulle, elle est identiquement nulle.

Application 8 c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Encore un peu de cinématique Il semble évident que la distance parcourue par un point mobile de l’espace E est inférieure au produit du temps de parcours par la vitesse maximale du point. Prouvez-le. Notons a et b les instants de départ et d’arrivée du point mobile et une norme euclidienne sur E. La trajectoire du point est paramétrée par l’ap[a, b] → E plication f : t → f ( t)

238

que l’on suppose de classe C1 , comme toujours en cinématique. La distance parcourue par le point mobile entre les instants a et b est d =

b a

f ( t) d t .

La vitesse maximale du point mobile est On a : d (b − a) f ∞

f

∞.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles 2.2.7 Valeur moyenne, inégalité de la moyenne La valeur moyenne de f sur le segment [a, b] est le vecteur de E : 1 b−a

[a,b]

f

Corollaire 23.1 : (Inégalité de la moyenne) Soit [a, b] un segment de R et f une application continue par morceaux de [a, b] dans E. La norme de la valeur moyenne de f sur [a, b] est inférieure à la valeur moyenne de la norme de f qui est elle-même inférieure à f ∞ . 1 b−a

[a,b]

1 b−a

f

[a,b]

f

f

y

∞

y=f(x)

2.3. Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle Dans ce paragraphe, E est un K-espace vectoriel de dimension finie. 2.3.1 La fonction caractéristique Soit K une partie de R. La fonction caractéristique de K est l’application de R dans R, notée x K , et définie par : xK :

R→R t → x K ( t) =

0 si t ∈ /K 1 si t ∈ K

x a

c

0

d

b

Doc. 18. Sur ce schéma, J = [a, b], K = [c, d], f est une fonction de [a, b] dans R+ . En noir, se trouve le graphe de f . En couleur, se trouve le graphe de f xK . L’aire de la partie tramée représente

K

f

Théorème 24 Soit J et K deux segments tels que K ⊂ J et f une application continue par morceaux de J dans E. On note f la restriction de f à K . Les deux propriétés suivantes sont vérifiées :

•

f ∈ CM (K , E) ;

J

f xK =

K

f.

Dans la suite, nous noterons cette intégrale

K

f.

2.3.2 La relation de Chasles Théorème 25 Soit [a, b] un segment de R , f une application continue par morceaux de [a, b] dans E et c un point de ]a, b[. Alors :

[a,b]

f =

[a,c]

f +

[c,b]

f

Michel Chasles, mathématicien français (17931880). Polytechnicien, il devient agent de change. Ruiné, il retourne aux mathématiques et excelle en géométrie.

239

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

•

Maths, MP-MP∗

Démonstration Les fonctions x[a,c] f + x[c,b] f et f sont continues par morceaux sur [a, b] et diffèrent uniquement en c. Donc leurs intégrales sur [a, b] sont égales.

2.3.3 Extension de l’intégrale Dans ce paragraphe, I est un intervalle de R et f est une application continue par morceaux de I dans E. Si J est un segment inclus dans I , alors la restriction de f à J est continue par morceaux et son intégrale sur ce segment est notée

J

f.

Étant donné deux éléments a et b de I , on définit l’intégrale de a à b

b de f , notée

a

f ou

b a

f =

b

a

f ( t) d t, par la formule :

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

f

[a,b]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−

si a < b

0E

Si f est continue par morceaux sur un intervalle I , pour tout a et b de I , on a :

si a = b

[b,a]

f

[a,b]

si a > b

max(a,b)

f

f

min(a,b)

On remarque que : ∀ (a, b) ∈ I 2

b a

f =−

a b

f

2.3.4 Invariance par translation Théorème 26 : (Invariance par translation) Soit [a, b] un segment de R, f une application continue par morceaux de [a, b] dans E et x 0 un réel. On définit l’application g sur [x 0 + a, x 0 + b] en posant (doc. 19) : g: Alors :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

[a,b]

y = f(x)

x 0

f =

y = g(x)

[x 0 + a, x 0 + b] → E x → g(x) = f (x − x 0 )

• g ∈ CM ([x 0 + a, x 0 + b], E) . •

y

[x0 +a,x0 +b]

a

b

x0+a

x0+b

Doc. 19. En noir : graphe de f . En couleur : graphe de g, où :

g.

g(x) = f (x − x 0 ).

2.4. Des normes sur C ([a, b], K) 2.4.1 Norme de la convergence en moyenne L’espace vectoriel C ([a, b], K) est muni de la norme N1 définie par : ⎧ ⎨C ([a, b], K) → R N1 : | f| f → N1 ( f ) = ⎩ [a,b]

Cette norme est appelée norme de la convergence en moyenne.

240

La continuité de f est essentielle pour obtenir l’implication : N1 ( f ) = 0 ⇒ f = 0.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

2.4.2 Convergence uniforme et convergence en moyenne L’espace vectoriel C ([a, b], K) est muni de la norme de la convergence uniforme : ∀ f ∈ C ([a, b], K)

[a,b]

f

[a,b]

| f | = N1 ( f )

(b − a)

f

∞.

On en déduit le théorème suivant : Théorème 27 Soit f une fonction continue de [a, b] dans K et ( f n ) une suite de fonctions de C ([a, b], K) convergeant uniformément vers f sur [a, b]. Alors : • La suite ( f n ) converge en moyenne vers lim N1 ( fn − f ) = 0.

f

:

n→+∞

•

lim

n→+∞

[a,b]

Exemples :

fn =

[a,b]

f.

Pour tout n,

fn

1

1 ne−x dx = fn . 0 2n + x 0 est une application continue de [0, 1] dans R.

Étudier la suite (u n ) où u n =

Sur cet écran de TI, se trouvent, de bas en haut, les graphes de f 1 , f 5 et f . La fenêtre utilisée est 0 x 1 et 0 y 0,5. Les graduations sur les axes sont espacées de 0,1.

La suite de fonctions ( fn ) converge simplement sur [0, 1] vers la fonction e−x f définie sur [0, 1] par f (x) = . 2 La convergence est-elle uniforme ? ∀ x ∈ [0, 1] | f (x) − fn (x) | =

xe−x 2 (2n + x)

La suite de fonctions ( fn ) converge uniformément vers suite (u n ) converge et : lim

n→+∞

1 0

ne−x dx = 2n + x

1 0

1 4n f sur [0, 1]. La

1 − e−1 e−x dx = . 2 2

! Si la suite de fonctions conti-

nues ( f n ) converge simplement, mais non uniformément vers f , le théorème ne s’applique plus. y n

• La suite de fonctions ( f n ) converge simplement vers la fonction en escalier f , définie par : 0 si x = 1 f :x→ 1 sinon • La suite de fonctions ( f n ) ne converge pas uniformément sur [0, 1] car f n’est pas continue. • Pour tout entier n : 1 1 | fn | = . n+1 0 Donc la suite de fonctions ( f n ) converge en moyenne vers la fonction nulle sur [0, 1]. On en déduit que la norme de la convergence uniforme ∞ et la norme de la convergence en moyenne N1 ne sont pas des normes équivalentes sur C ([a, b], K) .

0

1 1 2n n

2

x

Doc. 20. Représentation graphique de f n . 2

0

f n est l’aire d’un triangle de

hauteur n, de base 2 0

fn =

1 . 2

1 ; donc n

241

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Étudier la suite de fonctions ( f n ) définies sur [0, 1] par f n (x) = x n .

Maths, MP-MP∗

Corollaire 27.1 Soit u n une série d’applications continues de [a, b] dans K, convergeant uniformément sur [a, b] vers S, alors la série numérique [a,b]

u n est convergente et :

∞

∞ [a,b]

n=0

u n (x) d x

=

[a,b]

S=

u n (x) d x

[a,b]

n=0

Corollaire 27.2 Soit u n une série de fonctions continues de [a, b] dans K, convergeant normalement sur [a, b], alors : • La série numérique

N1 (u n ) =

[a,b]

| u n | est convergente.

• On note S la fonction somme de la série : ∞

∀ x ∈ [a, b] S(x) =

u n (x) n=0

La fonction S est continue sur [a, b] et de plus : ∞ [a,b]

S

N1 (S)

∞

N1 (u n )

(b − a)

n=0

un

∞

n=0

Démonstration La série à termes réels

un

∞

∀n ∈ N 0

est convergente. De plus, nous savons que :

N1 (u n )

(b − a) u n

(1)

∞

Cet encadrement permet de conclure que la série numérique gente.

N1 (u n ) est conver-

Les fonctions u n sont continues sur [a, b] et la série de fonctions converge normalement sur le segment [a, b]. Donc S est continue sur [a, b].

un

• [a,b]

S

[a,b]

|S| = N1 (S)

• De l’encadrement (1), on déduit aussi : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∞

∞

N1 (u n ) n

• Notons Sn = On sait que :

(b − a)

n=0

un

∞

n=0

u k la fonction somme partielle d’indice n de la série n

∀ n ∈ N N1 (Sn ) =

[a,b]

n

uk k=0

[a,b] k=0

n

|u k | = k=0

On peut passer à la limite dans cette inégalité et on obtient : ∞

N1 (S)

N1 (u n ) . n=0

242

un .

k=0 n [a,b]

|u k | =

N1 (u k ) . k=0

Remarque : Les définitions et les théorèmes de ce paragraphe se généralisent sans difficulté aux fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

Corollaire 27.3 Soit I un intervalle de R et u n une série de fonctions continues de I dans K. Si cette série de fonctions converge normalement sur tout segment inclus dans I , alors : ∀ (x, y) ∈ I

∞

2

y x

n=0

u n ( t) d t

=

y x

∞

u n ( t) d t n=0

Pour s’entraîner : ex. 11.

Application 9 Développement en série de la fonction logarithme sur ]0, 2]

Pour tout entier n et tout réel x de ] − 1, 1[, on pose u n (x) = (−1)n x n . 1) Soit a ∈]0, 1[. Montrer que la série de fonctions u n converge normalement sur [−a, a].

2) Les hypothèses du corollaire 27.1 sont satisfaites, donc : ∀ x ∈] − 1, 1[ ∞

(−1)n

n=0 ∞

ln (1 − x) = − n=0

∞

4) Montrer que, pour tout x de ]0, 2], (−1)n

n=0

(x − 1) n+1

n+1

.

|u n (x)|

x n+1 = n+1

x

x 0

∞

u n ( t) d t . n=0

0

1 d t = ln (1 + x) . 1+t

En remplaçant x par −x, on trouve la deuxième égalité. 3) La fonction (x −→ ln (1 + x)) est définie pour x > −1. x n+1 La série de fonctions (−1)n converge sur n+1 ] − 1, 1]. N

De plus, le calcul de

1) Ce résultat a déjà été vu. On peut écrire : ∀ x ∈ [−a, a] 0

(−1)n

n=0

3) Que dire des deux fonctions et des deux séries apparaissant à la question précédente lorsque x n’est pas dans ] − 1, 1[ ?

∞

=

Soit :

x n+1 et n+1

x n+1 . n+1

ln x =

u n ( t) d t

n

a .

Le majorant a n est indépendant de x. La convergence de la série géométrique a n permet de conclure.

1 = n+1

1 0

n=0

(−1)n , en écrivant n+1

t n d t montre que ln 2 =

∞ n=0

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∞

0

n=0

2) Montrer que, pour tout x de ] − 1, 1[, ln (1 + x) =

x

(−1)n . n+1

On procède de même pour la fonction (x −→ ln (1 − x)) en remplaçant x par −x. 4) Pour tout x de ]0, 2], x − 1 est dans ] − 1, 1] n+1 ∞ (x − 1) et ln x = ln (1 + (x − 1)) = (−1)n . n+1 n=0

243

Maths, MP-MP∗

2.4.3 Norme de la convergence en moyenne quadratique sur C ([a, b], K) L’application suivante : ⎧ ⎨ C ([a, b], R) × C ([a, b], R) → R | : ( f , g) → f | g = ⎩

!

La continuité est essentielle pour prouver l’implication f | f =0⇒ f =0 . En effet, si f| f = 0, alors

Le cas réel

[a,b]

f g

définit un produit scalaire sur le R -espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans R. On note N2 la norme sur C ([a, b], R) associée à ce produit scalaire. Elle est appelée la norme de la convergence en moyenne quadratique.

[a,b]

f 2 = 0 et l’application f 2

est continue et positive sur [a, b]. Son intégrale sur [a, b] est nulle, donc f est identiquement nulle.

Par définition, si f est une fonction continue de [a, b] dans R : N2 ( f ) =

[a,b]

f2

On rappelle l’inégalité suivante : Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit f et g deux éléments de C ([a, b], R) . Alors : 2 [a,b]

fg

[a,b]

| f |g |

f2

[a,b]

g2 Augustin-Louis Cauchy, mathématicien français (1789-1857).

N2 ( f ) N2 (g)

L’égalité a lieu si et seulement si f et g sont liées. En particulier, en prenant g = 1, on trouve : 2 [a,b]

f

(b − a)

[a,b]

f2

L’égalité a lieu si et seulement si f est constante. Le cas complexe

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’application suivante : ⎧ ⎨ C ([a, b], C) × C ([a, b], C) → C | : ( f , g) → f | g = ⎩

[a,b]

f g

définit un produit scalaire sur le C-espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans C. Comme dans le cas réel, on note N2 la norme sur C ([a, b], C) associée à ce produit scalaire. Elle est appelée la norme de la convergence en moyenne quadratique. Par définition, si f est une fonction continue de [a, b] dans C : N2 ( f ) =

244

[a,b]

| f |2

Herman Schwarz, mathématicien allemand (1843-1921).

De même que dans le cas réel, la continuité de f est essentielle.

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit f et g deux éléments de C ([a, b], C) . Alors : 2

2

fg

[a,b]

| f | |g|

[a,b] 2

L’égalité

[a,b]

=

fg

ment si f et g sont liées.

[a,b]

| f |2

[a,b]

[a,b]

| f |2

[a,b]

| g |2

| g |2

a lieu si et seule-

Cas particuliers En utilisant la fonction constante g = 1, vous prouverez que : 2

(b − a)

f

[a,b]

Vous démontrerez aussi que

[a,b] 2

t f ( t) d t

[a,b]

| f |2 b3 − a 3 3

[a,b]

| f |2 .

Pour s’entraîner : ex. 12 et 13.

Étude de

Soit a et b deux réels tels a < b. On désigne par F l’ensemble des fonctions continues de [a, b] dans R qui ne s’annulent pas sur [a, b]. b

1) Calculer inf

f ∈F

a

b

f

a

1 . f

3) Calculer

b

fn

a

a

1 fn

a

b

f

a

f cette

dans le cas où

1 f

où G est l’ensemble des éléments de F à valeurs strictement positives. Pour tout élément f de G, l’inégalité de Cauchy-Schwarz permet d’écrire : b

2) Déterminer pour quels éléments de borne inférieure est atteinte. b

b

a

b

f

1 f

a

a

b

f

a

1 f

=

b a

−f

a

1 − f

f ∈F

b a

f

b a

1 f

= inf

f ∈G

b a

f

b a

a

1 √

2

f

2

f

= (b − a)2

Donc :

b

inf

f ∈F

b

f

a

1 f

a

b

f

a

= (b − a)2

1 f

= (b − a)2

2) On vient de voir que cette borne inférieure est atteinte pour toutes les fonctions constantes. Réciproquement, pour tout élément de G tel que :

Donc : inf

1 f √

a

b

b

a

b

2

De plus, si f est une application constante, alors : a

b

f

b

f n (x) = enx . Qu’en concluez-vous ? 1) D’après le théorème des valeurs intermédiaires, tout élément de F est de signe constant sur [a, b] . De plus :

b

=

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 10

1 f

b a

f

b a

1 f

= (b − a)2

245

Maths, MP-MP∗

on a : b

f

a

b

2 a

1 √

2

f

=

b a

1 f√

2

3)

b a

b

enx d x

a

e−nx d x

f

C’est le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy1 Schwarz. Les fonctions f et √ sont colif néaires.

=

en(b−a) + e−n(b−a) − 2 n2

On trouve que :

On en déduit que f est constante. Pour les fonctions négatives, on applique ce qui précède à − f .

sup

f ∈F

b a

b

f

a

1 f

= +∞

2.4.4 Comparaison des trois normes Théorème 28 Pour toute application f de C ([a, b], K) : √ b − a f ∞ et N1 ( f ) N2 ( f )

√

b − a N2 ( f )

Corollaire 28.1 La convergence uniforme d’une suite de fonctions entraîne sa convergence en moyenne quadratique et la convergence en moyenne quadratique d’une suite de fonctions entraîne sa convergence en moyenne : lim

n→+∞

f − fn

∞

= 0 ⇒ lim N2 ( f − f n ) = 0 n→+∞

lim N2 ( f − f n ) = 0 ⇒ lim N1 ( f − f n ) = 0

n→+∞

n→+∞

y n2

Exemples : [a, b] = [0, 1] et f n (x) = x n . La suite ( f n ) converge vers la fonction nulle en moyenne quadratique, mais pas uniformément.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

[a, b] = [0, 1]. Pour tout n de N∗ et tout x de [0, 1] (doc. 21) : ⎧ 1 ⎪ ⎪ n(1 − n 2 x) si x ∈ 0, 2 ⎪ ⎨ n gn (x) = ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎩ 0 si x ∈ 2 , 1 n La suite (gn ) converge en moyenne vers la fonction nulle, mais pas en moyenne quadratique.

246

n

x 0

1 n2

1

Doc. 21. Graphe des fonctions gn et gn2 .

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

•

Pour montrer qu’une application f de l’intervalle I dans E est dérivable en x0 , on peut :

• utiliser les opérations sur les fonctions dérivables ; • chercher si f peut s’écrire : f (x) = f (x 0 ) + (x − x 0 )V + (x − x 0 )´(x),

avec

lim ´(x) = 0 E ;

x→x0

f (x) − f (x 0 ) existe ; x − x0 • choisir une base de E et montrer que les applications coordonnées de f sont dérivables en x 0 .

• montrer que la limite, lorsque x tend vers x 0 , de

•

Pour montrer qu’une application w de l’intervalle J dans l’intervalle I de classe C k est un C -difféomorphismede J sur I , on prouve que : k

• w est de classe Ck sur J ; • ∀t ∈ J

w (t) = 0 ;

• w( J ) = I .

•

Pour montrer qu’une application f de I dans E , de classe C1 par morceaux, est constante sur I , il suffit de prouver que :

•

f est continue sur I ;

• D f = 0.

•

Soit [a, b] un segment de R, E un espace vectoriel normé de dimension finie, f une fonction de C([a, b], E) et ( f n ) une suite de fonctions de C([a, b], E) convergeant simplement vers f sur [a, b]. Pour montrer que

lim

n→+∞

[a, b]

fn =

[a, b]

f , il suffit de prouver que la suite de fonctions ( f n )

converge uniformément vers f sur [a, b].

• Soit u n une série d’applications continues de [a, b] dans E, convergeant simplement sur [a, b] vers S. [a, b]

u n converge, on peut :

• montrer la convergence normale sur [a, b] de la série de fonctions • établir que la série de fonctions

un ;

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour montrer que la série numérique

u n converge uniformément sur [a, b] vers S ;

∞

• prouver que

[a, b]

u n (x) d x tend vers 0 lorsque N tend vers +∞. n=N

∞

On a alors : n=0

∞ [a, b]

u n (x) d x

=

[a, b]

S=

[a, b]

u n (x) d x. n=0

247

Maths, MP-MP∗

TD Les formules de quadrature de Gauss (formules d’intégration approchée) Cette méthode a été publiée en 1816. Notations (les résultats énoncés ici seront admis) • On désigne par E = C0 ([−1, 1], R) l’espace vectoriel des applications continues de [−1, 1] dans R que l’on munit de la norme ∞ . Pour g dans E : g

∞

= sup {|g( t)|, t ∈ [−1, 1]}

• Pour m ∈ N, Pm désigne l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à m. • Dans le problème, w désigne un élément de E vérifiant : ∀ x ∈ [−1, 1], w(x) > 0. • Pour f et g dans E, (( f , g)) désigne le réel : (( f , g)) =

1 −1

f (x) g(x)w(x) d x

(1)

ce qui définit une application bilinéaire symétrique de E × E dans R. Première partie I.1. Montrer que ((.,.)) est un produit scalaire sur E. On se propose de construire une suite ( pn )n∈N d’éléments de E qui vérifie : a) pn est un polynôme par rapport à la variable x, de degré n et dont le coefficient de x n est 1 ; b) pour tout n

1 et pour tout q ∈ Pn−1 , on a (( pn , q)) = 0 (c’est-à-dire que pn est orthogonal à Pn−1 ).

I.2. Montrer qu’il existe au plus une telle suite. I.3. Montrer que p0 = 1 et p1 (x) = x − I.4. On suppose que n

2 et que pn−1 et pn−2 sont connus. Soit alors an et bn les nombres réels : bn =

Montrer que : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

(( p0, x)) . (( p0, p0 ))

((x pn−1, pn−1 )) (( pn−1, pn−1)) , an = (( pn−2, pn−2)) (( pn−1, pn−1)) pn = (x − an ) pn−1 − bn pn−2

(2)

vérifie (a) et (b) si les pm , pour m ∈ {0, . . . , n − 1} , vérifient (a) et (b). Conclure à l’existence des ( pn ). I.5. Application. On suppose que w(x) = 1. Calculer p0 , p1 , p2 , p3 , et p4 . On revient au cas général où w est quelconque. On désire montrer que pn possède n racines simples et réelles. Prenons donc n

1.

I.6. Montrer que pn possède dans ] − 1, 1[ au moins une racine réelle de multiplicité impaire (on pourra remarquer que

248

1

−1

pn (x)w(x) d x = 0).

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles I.7. Soit alors (x 1 , . . . , x m ) pour m 1 les racines de pn qui appartiennent à ] − 1, 1[ et qui sont de multiplicité impaire. En considérant le polynôme p tel que p(x) = (x − x 1 ) . . . (x − x m ) et l’intégrale (( pn , p)), montrer que m = n et conclure que pn possède n racines distinctes qui appartiennent à ] − 1, 1[. Deuxième partie Une formule d’intégration approchée sur [−1, 1] est la donnée de k + 1 éléments distincts de [−1, 1] notés (x i )0 i k et de k + 1 nombres réels l i : (l i )0 i k . On écrit alors : 1 −1

k

f (x) w(x) d x ≈

l i f (x i )

(3)

i=0

Dans cette définition, k est un entier naturel arbitraire, on dira que (3) est une formule à k + 1 points. On associe alors à (3) une application D de E dans R définie par : pour f dans E, D( f ) =

1 −1

k

f (x) w(x) d x −

li f (x i )

(4)

i=0

On dira que (3) est d’ordre m ∈ N si : ∀ p ∈ Pm ,

D( p) = 0

(5)

II.1. Montrer que D : E → R est une application linéaire de l’espace vectoriel normé E dans R. II.2. Montrer qu’une formule d’intégration approchée à k + 1 points d’ordre m est telle que m

2k + 1.

On se propose de montrer qu’il existe une formule d’intégration approchée à k + 1 points qui soit d’ordre 2 k + 1. On désigne par x 0 , . . . x k les k + 1 racines de pk+1 (voir la question I.7). On note li pour i ∈ {0, . . . , k} le polynôme de Lagrange : x − xj li (x) = xi − x j 0

j k j =i

et on introduit les réels :

1

l i = (li , 1) =

−1

li (x) w(x) d x

(6)

Soit alors, pour f ∈ E, p( f ) le polynôme d’interpolation de Lagrange de f aux points x 0 , . . . x k . k

II.3. Montrer que p( f ) =

f (x i )li .

II.4. Montrer que :

k

l i f (x i ) = i=0

1 −1

p( f )(x) w(x) d x

(7)

II.5. En déduire que, pour ce choix de x i et l i , la formule d’intégration approchée (3) est au moins d’ordre k. k

II.6. Soit p ∈ P2k+1 . Montrer qu’il existe q ∈ Pk et r ∈ Pk tel que p = ql +r , où l est le polynôme

(x − x i ). i=0

II.7. Montrer que (avec les notations de la question II.6) : 1 −1

p(x) w(x) d x =

1 −1

r (x) w(x) d x

II.8. Conclure que si les (x i ) sont les racines de pk+1 et les (li ) sont donnés par (6), alors (3) est une formule d’intégration approchée à k + 1 points qui est d’ordre 2k + 1.

249

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

i=0

Maths, MP-MP∗

Troisième partie Dans cette partie, on suppose que w(x) = 1 pour tout x de [−1, 1] et on choisit pour (x i ) et (l i ) ceux obtenus à la question II.8 de sorte que (3), qui s’écrit ici : 1 −1

k

f (x) d x ≈

l i f (x i )

(8)

i=0

soit d’ordre 2k + 1 (k est un entier arbitraire). On admet alors l’estimation d’erreur suivante. Pour f ∈ C2k+2 ([−1, 1]; R) , on a : 22k+3 ((k + 1)!)4 (2k + 3)((2k + 2)!)3

|D( f )| III.1. En utilisant que p3 (x) = x 3 − 1 −1

f (2k+2)

(9)

∞

3 x, montrer que (8) s’écrit pour k = 2 : 5

f (x) d x ≈

1 5 f 9

−

3 5

+ 8 f (0) + 5 f

3 5

(10)

III.2. Écrire (9) dans ce cas. 1 √ III.3. Calculer 2 + x d x. −1

III.4. Montrer que (9) s’écrit pour f (x) =

√ 2+x :

|D( f )|

3 = 9,375 10−4 27 · 52

III.5. Avec combien de chiffres significatifs faut-il évaluer le second membre de (10) ? III.6. Évaluer le second membre de (10) et D( f ). Conclusion ? III.7. On rappelle la formule d’intégration approchée de Simpson (formule à 3 points) : 1 −1

f (x) d x ≈

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Comparer, sur l’exemple précédent f (x) = de (11) pour expliquer ce qui a été constaté.

250

√

1 [ f (−1) + 4 f (0) + f (1)] 3

(11)

2 + x, les valeurs approchées obtenues par (10) et (11). Étudier l’ordre

6. Dérivation, intégration des fonctions vectorielles

TD d’algorithmique Matrices tridiagonales et fonctions splines cubiques L’étude des systèmes tridiagonaux et des fonctions splines cubiques figure au programme d’algorithmique des concours. Une fonction spline cubique sur un segment [a, b] est une fonction de classe C2 sur ce segment et dont les restrictions aux intervalles d’une subdivision de ce segment sont polynomiales de degré inférieur ou égal à 3. Le but de ce TD est le calcul de la fonction spline cubique associée à une fonction f , définie sur [0,1], selon la méthode proposée dans le problème Centrale-Supelec PSI 2002, maths II. La démarche mathématique Soit f une fonction de classe C1 sur [0, 1]. i 1 On note x i = et h = . n n Étant donnés les réels m 0 , . . . , m n , u 1 , . . . , u n , v1 , . . . , vn , on considère la fonction g définie par « recollement de polynômes de degré 3 » en posant, pour i ∈ [[1, n]] et x ∈ [x i−1 , x i ] : g(x) = m i−1

(x i − x)3 (x − x i−1 )3 + mi + u i (x − x i−1 ) + vi . 6h 6h

Résoudre le problème de Centrale permet de trouver les scalaires m i , u i , vi tels que la fonction g ait les propriétés suivantes : • g est de classe C2 sur [0, 1] ; • pour tout i de [[0, n]], g(x i ) = f (x i ) ;

0

... ... 0

1

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

1

4

...

0

1

⎞⎛

m0

⎟⎜ .. ⎟ ⎜m 1 .⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ . .. ⎟ ⎜ . . .⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ . ⎟⎜ ⎜ .. 0⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ . ⎟ .. 1 ⎟⎜ ⎠⎝ mn 2

⎞

⎛

b0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ . ⎠ ⎝ bn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ; ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• g (0) = f (0) et g (1) = f (1). Calculer m 0 , . . . , m n revient à résoudre : ⎛ 2 1 ⎜ ⎜ ⎜1 4 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜ ⎜ .. ⎜. ⎝ 0 ...

le second membre étant défini par : 6 f (h) − f (0) 6 b0 = − f (0) , bi = 2 [ f (x i+1 ) − 2 f (x i ) + f (x i−1 )] pour i ∈ [[1, n − 1]], h h h f (1) − f (x n−1 ) 6 bn = f (1) − . h h Enfin, pour i ∈ [[1, n]], on a : h2 vi = f (x i−1 ) − m i−1 6 et h2 1 ui = f (x i ) − f (x i−1 ) − (m i − m i−1 ) . h 6

251

Maths, MP-MP∗

Les entrées On entre l’entier n ; le segment [0, 1] sera divisé en n segments de longueurs égales. On entre le réel x compris entre 0 et 1. La sortie Le programme affiche la valeur exacte f (x), la valeur de la fonction spline g(x) et l’écart entre ces deux valeurs. L’intérêt numérique L’énoncé de Centrale 2002 admet que l’erreur d’approximation est majorée, lorsque f est de classe C4 , par : || f − g||∞

13 || f (4) ||∞ 8n 4

L’écran ci-dessous (doc. 1) illustre ce phénomène en étudiant deux fonctions, et en utilisant n = 10. La deuxième fonction est très mal approchée par sa fonction spline cubique. À vous de comprendre pourquoi.

Doc. 1. Le programme Le programme ci-dessous n’est pas optimisé au niveau de la vitesse. Il suit simplement la démarche du problème mathématique : – construire et résoudre le système linéaire permettant de calculer les m i ; – calculer les valeurs de u i et vi ; – calculer g(x). Une difficulté technique oblige à beaucoup d’attention : le problème cité indexe les coordonnées de 0 à n ; le langage TI force à utiliser des indices de 1 à n + 1. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

[-3;7: 0, on pose : un =

max(x, bn ) d x,

min(x, bn ) d x.

1) Calculer

1 n

n−1

k n

f k=0

g

k+1 n

lim u n dans le cas où g est lipschitzienne.

n→+∞

2) Que dire si f et g sont seulement continues ? On considère l’arc défini par :

⎧ 3 ⎨ x(t) = a cos (t) ⎩

Soit f une application de classe C1 de [0, 1] dans R telle que f (0) = 0. Prouver que :

1/ p

p

Étudier les suites (u n ) et (vn ) définies par u 0 et v0

vn+1 =

i=0

Soit a et b deux réels tels que a < b et f

O Mi . n+1

3

y(t) = a sin (t)

t ∈ 0,

p 2

* (a > 0, fixé).

Soit z un nombre complexe de module = 1.

Calculer : I (z) =

2p 0

dt . z − ei t

7

Le lien entre dérivation et intégration

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Propriétés de l’application : x a

f (t) d t

Définition des primitives d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Dans ce chapitre, nous définissons les primitives d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie et mettons ainsi en évidence le lien entre dérivation et intégration dans le cadre des fonctions continues par morceaux. Puis nous exploitons le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral pour l’étude globale des fonctions de classe Ck par morceaux. Nous sommes ensuite en mesure d’effectuer une étude globale d’une fonction définie comme limite d’une suite (ou d’une série) de fonctions.

x→

Intégration par parties et changement de variable. Inégalité des accroissements finis. Les trois formules de Taylor. Dérivabilité d’une fonction limite d’une suite de fonctions. Dérivabilité d’une fonction limite d’une série de fonctions.

257

Maths, MP-MP∗

Dans ce chapitre, I est un intervalle de R d’intérieur non vide, K désigne R ou C et E est un K-espace vectoriel de dimension finie.

1

Primitives d’une fonction continue par morceaux

1.1. La fonction x →

x a

f ( t) d t

Théorème 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, f une application continue de I dans E et a un point de I . L’application F définie comme suit : ⎧ ⎨I →E x F: f ( t) d t ⎩ x → F(x) = a

est une application de classe C1 de I dans E et vérifie : ∀x ∈ I

Ce théorème a été établi en première année pour des fonctions à valeurs numériques. Le passage à des fonctions vectorielles se fait en raisonnant sur les applications coordonnées.

F (x) = f (x)

Généralisation : Considérons le cas où f est continue par morceaux sur l’intervalle I . Nous allons d’abord introduire quelques notations. Pour tout x de I \ {sup I } , la fonction f a une limite à droite en x ; on la note f d (x) = lim+ f (t). t→x

Pour tout x de I \ {inf I } , la fonction f a une limite à gauche en x ; on la note f g (x) = lim− f (t). t→x

Théorème 2 Soit f une application continue par morceaux de I dans E et a un point de I . ⎧ ⎨I→E x L’application F : est dérivable à droite f ( t) d t ⎩ x → F(x) = a

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

(respectivement à gauche) en tout point de IS (respectivement II ) et, de plus : Fd (x) = f d (x) et Fg (x) = f g (x) Démonstration Notons

une norme sur E.

Soit x un point de IS , il existe a > 0 tel que ]x, x + a[ soit contenu dans I et : ∀ h ∈ ]0, a[

Donc :

258

0

F(x + h) − F(x) 1 − f d (x) = h h F(x + h) − F(x) − fd (x) h

1 h

x+h x x+h x

f (t) d t −

1 h

x+h x

f (t) − f d (x) d t

fd (x) d t

(1)

Cette généralisation nous sera nécessaire lors de l’étude des séries de Fourier.

7. Le lien entre dérivation et intégration Fixons alors ´ > 0. ∃ d ∈ ]0, a[

∀t ∈ I

(x < t

x + d) ⇒ ( f (t) − f d (x)

´)

Par conséquent, pour tout h tel que 0 < h d, et tout t dans ]0, h], d’après (1), on a : F(x + h) − F(x) 1 x+h 0 − f d (x) ´dt = ´ h h x Ceci permet de conclure que : F(x + h) − F(x) − fd (x) = 0 E . lim h→0+ h

Corollaire 2.1 Soit f dans CM(I , E) et a un point de l’intervalle I . On définit F sur I en posant F(x) =

x

a

f (t) d t. Alors :

• F est continue sur I ;

Rapport Mines-Ponts, 2001 « Les primitives usuelles ne font pas toujours partie du bagage de certains candidats admissibles, ainsi que certaines propriétés élémentaires des fonctions hyperboliques. De manière générale, le calcul pratique des intégrales est un écueil, même pour les meilleurs. »

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Dérivation fausse pour f continue, de l’intégrale sur [a, x] de f (x) − f (a). »

• en tout point x de continuité de f , F est dérivable et F (x) = f (x) ; • F est de classe C1 par morceaux sur I .

Soit f une application continue sur l’intervalle I , à valeurs dans E, on appelle primitive de f toute application F dérivable sur I telle que : ∀x ∈ I

F (x) = f (x)

Soit f une application continue par morceaux de I dans E. On appelle primitive de f toute application F continue sur I , de classe C1 par morceaux sur I et telle qu’en tout point x de I en lequel f est continue, F est dérivable et F (x) = f (x).

Rapport Mines-Ponts, 2001 « Primitives classiques non connues. »

Le corollaire 2.1 peut s’énoncer ainsi :

Rapport Centrale, 2001 « Dans des exercices utilisant une fonction f de classe C1 sur un intervalle, les candidats ne pensent jamais à écrire f au moyen d’une intégrale portant sur f . »

Pour toute application f de CM(I , E), l’application F définie sur I par F(x) =

x

a

f (t) d t est une primitive de f sur I .

On en déduit le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral : Théorème 3 Soit f une application continue par morceaux de I dans E et a un point de I . • Si F1 et F2 sont deux primitives de f sur l’intervalle I , alors F1 et F2 diffèrent d’une constante : ∃V ∈ E

∀x ∈ I

F1 (x) = F2 (x) + V

Rapport E3A, 2002 « Notons les difficultés de calcul de nombreux candidats en calcul intégral. »

259

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1.2. Les primitives

• Si la fonction f est continue sur I alors, toute primitive F de la fonction f est de classe C1 sur I puisque F = f . • Le théorème 1 prouve qu’une fonction continue sur un intervalle admet toujours une primitive sur cet intervalle.

Maths, MP-MP∗

x

• La fonction F définie en posant F(x) =

f (t) d t est l’unique

a

primitive de f qui s’annule en a.

• Si G est une primitive de f sur l’intervalle I , alors : ∀ (u, v) ∈ I 2

G(v) − G(u) =

v

u

f (t) d t

Une application très classique de ce qui précède (et très utile dans les problèmes de concours !) est le corollaire suivant : Corollaire 3.1 Soit I un intervalle de R, [a, b] un segment contenu dans I et f une application de I dans E. Alors : • si f est de classe C1 sur I (∀ x ∈ I )

( f (x)− f (a) =

x

a

f (t) d t)

et

f

∞

f (a) +

b a

f

• si f est continue par morceaux sur I et h est une primitive de f : h

∞

h(a) +

b a

f .

Rapport E3A, 2002 « On a ainsi vu des candidats trouver la valeur 0 pour l’intégrale d’une fonction strictement positive, donner comme primitive de cosk+1 (x) cosk (x), . » (k + 1) sin x

On retrouve le théorème suivant : Si f est continue et positive sur [a, b] et si f = 0. En effet, fonction F(x) =

x

a

b

a

f = 0,

pour f,

une on

alors telle pose

f (t) d t.

F est de classe sante sur [a, b] ( De plus, F(b) = Donc F = 0 et

C1 et croisF = f 0 ). F(a) = 0. F = f = 0.

Application 1 Interprétation cinématique de la formule de la moyenne Soit M un point mobile du plan dont la trajectoire est paramétrée par (I , f ), où I est un intervalle de R et f une application de classe C1 de I −−→ dans R2 telle que ∀ t ∈ I O M(t) = f (t).

−−−−−−−→ −−−−−−−→ M(t0 ) M(t1 ) Or f (t1 ) − f (t0 ) = M(t0 ) M(t1 ) et t1 − t0 est la vitesse moyenne vectorielle entre t0 et t1 . D’où le résultat.

Montrer que la vitesse moyenne du point mobile entre les instants t0 et t1 (t0 t1 ) est égale à la valeur moyenne de la vitesse entre ces deux instants.

• Rappelons que, puisque le paramétrage est de classe C1 , la vitesse numérique du point mobile est la dérivée de l’abscisse curviligne : ds f (t) = (t) . dt

On note

la norme euclidienne usuelle de R2 .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’énoncé ne précise pas s’il s’agit de vitesse vec−−→ dM torielle f (t) = (t) ou de vitesse numédt rique f (t) . Traitons les deux cas. • La valeur moyenne de la vitesse vectorielle entre les instants t0 et t1 est : 1 t1 − t0

260

t1 t0

f (t) d t =

f (t1 ) − f (t0 ) . t1 − t0

La valeur moyenne de la vitesse numérique entre les instants t0 et t1 est : t1 t1 1 ds 1 f (t) d t = (t) d t t1 − t0 t0 t1 − t0 t0 d t s(t1 ) − s(t0 ) . t1 − t0 Or s(t1 ) − s(t0 ) est la distance parcourue par le point mobile entre les instants t0 et t1 , donc s(t1 ) − s(t0 ) est la vitesse moyenne du point mot1 − t0 bile entre les instants t0 et t1 . =

7. Le lien entre dérivation et intégration

Corollaire 3.2 (Extension au cas où f est continue sur I et de classe C1 par morceaux sur I ) Soit f une application continue de I dans E et de classe C1 par morceaux sur I . Alors : ∀ (a, x) ∈ I 2

f (x) − f (a) =

x

a

f (t) d t

Pour s’entraîner : ex. 1 et 2.

Application 2 La pente moyenne d’une ligne brisée

On considère une ligne brisée du plan (M0 , . . . , Mn ) telle que les abscisses (x 0 , . . . , x n ) des points (M0 , . . . , Mn ) forment une suite strictement croissante.

M0 M2

M5

x0

M4 x2

x3

x4

xn

x5

1 xn − x0

n

pi (x i − x i−1 ). i=1

Notons f la fonction affine par morceaux dont le graphe est la ligne brisée (M0 , . . . , Mn ). Cette fonction est continue et C1 par morceaux sur [x 0 , x n ]. Donc :

M3

x1

m=

x

M1

Doc. 1. Comment calculer la pente du segment de droite [M0 , M5 ] en fonction de celles des segments [M0 , M1 ], [M1 , M2 ], . . . , [M4 , M5 ]?

x0

Par ailleurs, pour tout i ∈ [[1, n]], f est constante sur l’intervalle ]x i−1 , x i [ et vaut pi , donc : xn x0

On note pi la pente du segment de droite [Mi−1 , Mi ]. Prouver que la pente m du segment de droite [M0 , Mn ] est le barycentre de la famille de points pondérés ( pi , x i − x i−1 )i∈[[1,n]] . C’est-à-dire que la pente moyenne est la moyenne pondérée des pentes, les coefficients de pondérations étant les (x i − x i−1 )i∈[[1,n]] . (L’idée de cette application est extraite de la revue « Chantier » de l’A.P.M.E.P. de janvier 1998, article de Sylviane Gasquet.)

f (t) d t = f (x n ) − f (x 0 ).

n

xi

i=1

xi −1

f (t) d t =

f (t) d t

n

=

pi (x i − x i−1 ).

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

y

On veut prouver que :

i=1

En divisant par x n − x 0 , on trouve la formule demandée : 1 xn − x0

n

pi (x i − x i−1 ) = i=1

=

1 xn − x0

xn x0

f (t) d t

f (x n ) − f (x 0 ) = m. xn − x0

261

Maths, MP-MP∗

1.3. Intégration par parties Vous avez rencontré en première année un outil fondamental, l’intégration par parties. Cet outil se généralise de la manière suivante : Théorème 5 Soit f une application de I dans K et V une application de I dans E. On suppose que f et V sont continues et de classe C1 par morceaux sur I . Alors : b

∀ (a, b) ∈ I 2

a

f (x)V (x) d x = [ f (x)V (x)]ba −

b

a

f (x)V (x) d x

Démonstration D’après les hypothèses sur f et V , la fonction produit f V est une application continue de I dans E et de classe C1 par morceaux sur I . En tout point x en lequel f et V sont dérivables, on peut écrire : ( f V ) (x) = f (x)V (x) + f (x)V (x). On applique le théorème 3 pour terminer.

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Recherche d’équivalent d’une fonction définie par une intégrale, les candidats ne pensent pas à l’utilisation d’une intégration par parties ou d’un changement de variables. »

Rapport Centrale, 2000 « Il est inadmissible de ne pas savoir intégrer une fraction rationnelle ; en revanche il est illusoire de rechercher les primitives de certaines fonctions. »

Application 3 Intégration par parties généralisée 1) Soit f et g deux fonctions de C(I , (K )). Montrer que : b

∀ (a, b) ∈ I 2

f ng =

a

+(−1)n−1

2) Calculer :

ln 2 0

b a

f n−1 g − f n−2 g + · · ·

f g n−1

b

+ (−1)n

a

b a

f gn .

1) La formule se démontre immédiatement par récurrence. 2) ln 2 e−3x (x 2 + x + 1) d x 0

=

e−3x 2 e−3x (x + x + 1) − (2x + 1) + e−3x 27 −3 9

ln 2 0

−

ln 2 0

0.

Et donc : ln 2

e−3x (x 2 + x + 1) d x.

0

e−3x (x 2 +x +1) d x = −

(ln 2)2 5 ln 2 49 − + . 24 72 108

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour s’entraîner : ex. 3.

1.4. Changement de variables Théorème 6 Soit [a, b] un segment de R, w une application de classe C1 de [a, b] dans R telle que w([a, b]) ⊂ I et f une application continue de I dans E. Alors : w(b)

w(a)

262

f (t) d t =

b

a

f (w(u))w (u) d u

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Impossibilité de calculer des primitives simples comme celle de 1 et grande difficulté à 1 + cos2 (t) mettre en œuvre un changement de variable en tan t par exemple. »

7. Le lien entre dérivation et intégration

Démonstration Soit F une primitive de f sur I , alors F ◦ w est de classe C1 sur [a, b] et (F ◦ w) = ( f ◦ w)w . Donc : b a

f (w(u))w (u) d u = F ◦ w(u)

b a

w(b)

= F(w(b)) − F(w(a)) =

w(a)

f (t) d t.

En pratique, lorsque les hypothèses sont vérifiées, on pose t = w(u) et d t = w (u) d u, et on modifie les bornes. Corollaire 6.1 Soit I et J deux intervalles de R, w une application strictement monotone et de classe C1 de J dans I , et f une application continue par morceaux de I dans E. Alors : w(b)

∀ (a, b) ∈ J 2

f (t) d t =

w(a)

b

!

Il ne faut pas remplacer l’hypothèse « w([a, b]) contenu dans I » par « w(a) et w(b) appartiennent à I ». Pensez à I =

p

0

cos2 u d u.

f (w(u))w (u) d u

a

Démonstration Introduisez une subdivision du segment d’extrémités w(a) et w(b) adaptée à f . La stricte monotonie de w permet de montrer que f ◦ w est continue par morceaux. La relation de Chasles et le théorème 5 vous permettront de conclure.

Exemples : Soit T un réel > 0 et f une application continue par morceaux, T -périodique de R dans C. Prouver que : x

∀ (a, x) ∈ R2 ,

a T

∀ a ∈ R,

0

y

0

a

x

f (t) d t = f (t) d t =

x+T

f (t) d t.

a+T a+T a

f (t) d t.

T a+T x+T

x

Rapport TPE, 2002 « Le calcul intégral est mal maîtrisé, les changements de variables classiques sont méconnus. » Rapport Concours commun Polytechnique, 1997 « Certains n’hésitent pas à faire des changements de variable discontinus ou du genre logarithme complexe et s’étonnent d’aboutir parfois à des intégrales dont les deux bornes (réelles ou complexes) sont égales. »

0

a

T

a+T

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

y

x

Doc. 2. Deux propriétés de l’intégrale d’une fonction périodique. Avec : t = u + T : x+T a+T

f (t) d t =

x a

f (u + T ) d u =

x a

f (u) d u.

Pour la seconde relation, utilisons la relation de Chasles : T 0

f (t) d t =

a 0

f (t) d t +

a+T a

f (t) d t +

T a+T

f (t) d t.

263

Maths, MP-MP∗

D’après ce qui précède : T a+T

0

f (t) d t =

a

f (t) d t = −

a 0

f (t) d t.

D’où l’égalité demandée. Soit [a, b] un segment de R et ceaux de [a, b] dans E. Exprimer

b

f une application continue par mor-

f (t) d t en fonction d’une intégrale sur [0, 1] ou sur [−1, 1].

a

Avec : t = (b − a)u + a, b a

En utilisant t = b a

d t = (b − a) d u :

f (t) d t = (b − a)

1

f ((b − a)u + a) d u

0

b−a a+b b−a u+ , dt = du : 2 2 2 b−a b−a 1 a+b f (t) d t = f u+ 2 2 2 −1

d u.

Les primitives d’une fonction f , continue et périodique de R dans C, sont périodiques si, et seulement si, l’intégrale de f sur une période est nulle. En effet, notons T la période de f et F une primitive de f : ∀x ∈ R

2

F(x + T ) − F(x) =

x+T

f (t) d t =

x

T 0

f (t) d t.

Pour s’entraîner : ex. 4 et 5.

Inégalité des accroissements f inis

Théorème 6 (Inégalité des accroissements finis) Soit f une application de I dans E, [a, b] un segment contenu dans I et une norme sur E. Si les trois hypothèses suivantes sont vérifiées : •

f est continue sur [a, b].

•

f est de classe C1 sur ]a, b[.

• ∃l ∈ R c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Alors :

∀ t ∈ ]a, b[

f (t)

l.

f (b) − f (a)

l (b − a)

Démonstration f étant continue sur [a, b] et de classe C1 sur ]a, b[, pour tout ´ > 0 tel que b−a ´< , f est de classe C1 sur [a + ´, b − ´] ; donc : 2 f (b − ´) − f (a + ´) = Soit : f (b − ´) − f (a + ´) =

b−´ a+´

f (t) d t

b−´

a+´

f (t) d t.

l (b − a − 2´)

l (b − a).

Or, f est continue sur [a, b] et l’application norme est continue de E dans R ; donc, en faisant tendre ´ vers 0, f (b) − f (a) l (b − a).

264

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Peu de candidats semblent savoir que, si f est dérivable et 2p -périodique, sa dérivée est ellemême 2p -périodique. D’autres candidats écrivent que les primitives d’une fonction continue 2p périodique sont 2p -périodiques. »

7. Le lien entre dérivation et intégration Interprétation cinématique : Lorsque E est de dimension 2 ou 3, l’application f : t → f (t) représente la trajectoire d’un point mobile en fonction du temps et le théorème précédent se lit ainsi : Si, entre les instants a et b, la norme du vecteur vitesse est toujours majorée par l , alors la distance parcourue par le mobile entre ces deux instants est inférieure à l (b − a). Théorème 7 Soit [a, b] un segment inclus dans I et f une application continue de I dans E, de classe C1 par morceaux sur ]a, b[. On suppose qu’il existe un réel l tel qu’en tout point t de ]a, b[ en lequel f est dérivable, on ait : f (t) l. Alors : f (b) − f (a)

l (b − a)

Démonstration Il existe une subdivision (ai )i∈[[0,n]] du segment [a, b] telle que f soit de classe C1 sur tout intervalle ]ai , ai+1 [. Le théorème précédent s’applique sur le segment [ai , ai+1 ] et : ∀ i ∈ [[0, n − 1]]

l (ai+1 − ai ).

f (ai+1 ) − f (ai )

Sommons ces inégalités. On obtient : n−1

f (b) − f (a)

l (b − a).

f (ai+1 ) − f (ai ) 0

•

f est continue sur [a, b].

•

f est de classe C1 sur [a, b[.

•

f

a une limite l (l ∈ E) en b.

Alors f est de classe C1 sur [a, b] et f (b) = l. Démonstration Définissons l’application g ainsi : ⎧ [a, b] → E ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ si ⎨ f (x) g: x → g(x) = ⎪ ⎪ lim f (t) si ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ t→b

Une démonstration utilisant les fonctions coordonnées de f est aussi possible.

x ∈ [a, b[ x =b

t 0 tels que : •

f est continue sur [a, b].

•

f est de classe Ck sur [a, b[. f (r) a une limite lr (lr ∈ E) en b.

• Pour tout r de [[1, k]],

k

Alors f est de classe C f (r) (b) = lr .

sur [a, b] et, pour tout r de [[1, k]],

Application 4 La fonction x → exp −

! Le théorème condition suffisante soit dérivable mais nécessaire. Ex. 1 x 2 sin f :x→ x 0

: si

x=0

si

x=0

1 x2

1 Pn (x) exp − 2 3n x x

Considérons la fonction définie sur R par : ⎧ ⎪ ⎨ f (x) = exp − 1 si x = 0 x2 ⎪ ⎩ f (0) = 0

8 donne une pour que f elle n’est pas

+ Pn (x)

−3n 1 exp − 2 3n+1 x x

2Pn (x) + x 3 Pn (x) − 3nx 2 Pn (x) 1 exp − 2 x 3(n+1) x On pose alors : Pn+1 (x) = 2Pn (x) + x 3 Pn (x) − 3nx 2 Pn (x) Puisque Pn est un polynôme, Pn+1 en est un aussi et la formule annoncée est démontrée par récurrence. 1 1 3) On sait que lim 3n exp − 2 = 0. x→0 x x =

1) Prouver que f est continue sur R. 2) Prouver que f est de classe C∞ sur R∗ et que, pour tout entier n, il existe un polynôme Pn tel que : Pn (x) 1 ∀ x ∈ R∗ f (n) (x) = 3n exp − 2 x x 3) En déduire que f est de classe C∞ sur R et que, de plus : ∀ n ∈ N f (n) (0) = 0. 1) La continuité de f sur R∗ est immédiate. 1 De plus, lim exp − 2 = 0. Donc f est x→0 x continue sur R.

Donc ∀ n ∈ N

lim f (n) (x) = 0.

x→0

Le corollaire 8.1 permet d’en déduire alors que f est de classe C∞ sur R et que, de plus : ∀n ∈ N

f (n) (0) = 0 = lim f (n) (x) x→0

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

2) La formule est vraie pour n = 0 en posant Pn (x) = 1. Supposons que, pour un entier n 0, Pn (x) 1 f (n) (x) = exp − 2 , où Pn est un x 3n x polynôme. Alors : Pn (x) 2 1 f (n+1) (x) = 3n 3 exp − 2 + x x x

1 x2 repère orthonormé avec −2,33 x

Doc. 3. Le graphe de x → exp −

Pour s’entraîner : ex. 6. et 7.

266

dans un 2,33.

.

7. Le lien entre dérivation et intégration

3

Les formules de Taylor

Une des idées menant à l’étude des formules de Taylor est la généralisation de la relation caractérisant la dérivabilité d’une fonction f en un point a : f (a + h) = f (a) + h f (a) + o(h). Le but de ce paragraphe est de généraliser aux fonctions à valeurs vectorielles ces formules vues en première année pour les fonctions numériques.

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Les hypothèses des théorèmes conduisant aux différentes formules de Taylor sont tout aussi difficiles à obtenir. Le reste intégral est le plus populaire, mais son écriture exacte laisse bien souvent à désirer. »

3.1. Formule de Taylor avec reste intégral Théorème 9 Soit f une fonction de classe Cn de I dans E, de classe Cn+1 par morceaux sur I . Alors : f (b) = k=0

b

(b − a)k (k) f (a) + k!

a

(b − x)n (n+1) f (x) d x n!

Remarque : Cette égalité s’écrit également f (b) = Tn (b) + Rn (b), avec : n

Tn (b) = k=0

(b − a)k (k) f (a) et k!

Rn (b) =

b

(b − x)n (n+1) f (x) d x. n!

a

Tn (b) est appelé la partie régulière de la formule de Taylor et Rn (b) le reste intégral . Démonstration La démonstration s’effectue par récurrence. Le cas n = 0. Soit f une fonction continue de I dans E, de classe C1 par morceaux sur I et b

a, b deux points de I . On sait que f (b) − f (a) =

a

f (x) d x.

Le passage de n à n + 1. Soit n un entier 0. Supposons que, pour toute fonction dans E et de classe Cn+1 par morceaux sur I , on ait : ∀ (a, b) ∈ I 2

n

f (b) = k=0

(b − a)k (k) f (a) + k!

b a

f de classe Cn de I

(b − x)n (n+1) f (x) d x. n!

Brook Taylor, mathématicien anglais (1685-1731). Il invente l’intégration par parties. En 1715, il publie « Methodolus incrementorum directa et inversa », qui contient sa formule : h2 f (a+h) = f (a)+h f (a)+ f (a) 2 h3 + f (a) + . . . 6 sans précision sur le reste. L’intérêt de cette formule n’apparaît qu’en 1772, lorsque Lagrange y voit une des bases du calcul différentiel. Il donne en particulier le premier encadrement du reste. La formule de Taylor avec reste intégral est due à Cauchy. Il la démontre dans sa 35e leçon à l’École Polytechnique (1823). Il donne, dans la 38e leçon, 2 l’exemple (x → e−1/x ) étudié à l’application précédente.

n+1

Considérons une fonction g de classe C de I dans E et de classe Cn+2 par morceaux sur I . L’hypothèse de récurrence permet d’écrire : ∀ (a, b) ∈ I 2

n

g(b) = k=0

(n+1)

(b − a)k (k) g (a) + k!

b a

(b − x)n (n+1) g (x) d x. n!

1

L’application g est continue et de classe C par morceaux sur I . Intégrons par parties le reste intégral, nous obtenons la formule à l’ordre n + 1.

267

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

n

∀ (a, b) ∈ I 2

Maths, MP-MP∗

3.2. Inégalité de Taylor-Lagrange La formule de Taylor avec reste intégral est une égalité. Pour majorer la disn (b − a)k (k) f (a), une inégalité suffit. tance entre f (b) et k! k=0

Soit f une application de classe Cn+1 par morceaux de I dans E et J un segment inclus dans I . On sait qu’il existe une subdivision (ai )i∈[[0,n]] de J telle que f est n + 1 fois dérivable en tout point de J \ {ai |i ∈ [[0, n]]} et que la restriction de f (n+1) à chaque intervalle ]ai , ai+1 [ est prolongeable par continuité au segment [ai , ai+1 ]. On en déduit que f (n+1) est bornée sur chaque intervalle ]ai , ai+1 [ et sur J \ {ai | i ∈ [[0, n]]} . Si

désigne une norme sur E, on note : f (n+1) = sup

sup J

f (n+1) (x) | x ∈ J \ {ai | i ∈ [[0, n]]} .

Enfin, si a et b sont deux éléments de l’intervalle I , on note : Ja,b = [min(a, b), max(a, b)] . C’est le segment d’extrémités a et b. Théorème 10 Soit f une fonction de classe Cn de I dans E, de classe Cn+1 par morceaux sur I et une norme sur E. Alors : ∀ (a, b) ∈ I

n

2

f (b) − k=0

(b − a)k (k) f (a) k!

n+1

|b − a| sup (n + 1)! Ja,b

f

(n+1)

Démonstration Fixons a et b dans I . D’après la formule de Taylor avec reste intégral, on a : n

f (b) − c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

k=0

(b − a)k (k) f (a) k!

Ja,b

(b − x)n (n+1) f (x) d x. n!

Donc : n

f (b) − k=0

(b − a)k (k) f (a) k!

En distinguant les cas a

b et a

Ja,b

268

Ja,b

|b − x|n dx n!

b, vous prouverez que :

|b − x|n |b − a|n+1 dx = . n! (n + 1)!

sup Ja,b

f (n+1) .

Joseph Lagrange, mathématicien et physicien français (1736-1813). Mathématicien, il développe la théorie des fonctions. Cherchant à approximer une fonction par un polynôme, il reprend la formule de Taylor et précise le reste. Dans le domaine des équations différentielles, nous lui devons la technique de variation des constantes. Physicien, ses travaux portent sur la propagation du son, la théorie des cordes vibrantes et la mécanique céleste. Il participe à la création de l’École Polytechnique et y enseigne. Rapport CCP, 2000 « Le théorème des accroissements finis est souvent invoqué (pas toujours correctement d’ailleurs...) mais on rencontre parfois des horreurs. » Rapport Mines-Ponts, 2000 « L’inégalité de Taylor-Lagrange semble peu connue. »

7. Le lien entre dérivation et intégration

Application 5

Développement en série de x → (1 + x)a

Soit a ∈ R \ N. Pour tout réel x > −1, posons : f (x) = (1 + x)a et pour tout entier n > 0 : Mn (x) = sup f (n) ( t) ; t ∈ [min(0, x), max(0, x)] 1) Montrer que, pour tout réel x > 0 et tout entier n−1

Mn (x)

∀ x ∈ [0, 1[ ∞

f (x) = n=0

(1 − |x|)

n−1

a−n

∞

f (n) (0)

f (x) = n=0

= (1 − |x|)

xn . n!

1) Fixons un entier n > a. Pour tout réel t on a (1 + t)a−n 1. f (n) (t) =

0,

k=0

|x|n (1 − |x|)a n!(1 − |x|)n

k=0

f (k) (0)

xk k!

xn n!

n−1

|i − a| i=0

|i − a| (2) i=0

|x|n n!(1 − |x|)n vous vérifierez aisément que :

−

|i − a|.

De l’inégalité de Taylor-Lagrange nous déduisons, pour n > a : n−1

n−1

dn = (1 − |x|)a

Posons

De plus :

i=0

f (x) −

|i − a|.

n−1

|i − a| ; i=0

dn+1 |x| = . n→+∞ dn 1 − |x| lim

(a − i ) (1 + t)a−n . n−1

∀x > 0

|i − a|

i=0 n−1 a−n

De l’inégalité de Taylor-Lagrange nous déduisons, pour n > a : n−1 xk f (x) − ∀ x ∈ ] − 1, 0[ f (k) (0) k!

n−1

Mn (x)

n−1

i=0

i=0

Donc : ∀ x > 0

(1 + x)a−n

Mn (x)

Remarque : Le résultat obtenu est asymétrique 1 (convergence sur − , 1 ). Nous verrons ulté2 rieurement, en utilisant une méthode différente, que ∞ xn la formule f (x) = est valable sur f (n) (0) n! n=0 ] − 1, 1[.

Or :

∀ x ∈ ] − 1, 0[

i=0

1 ∀x ∈ − ,0 2

xn . n!

2) Fixons un entier n > a. Pour tout x de ] − 1, 0[ et tout t de [x, 0], on a (1 + t)a−n (1 + x)a−n . Donc :

|i − a|.

En déduire que :

f (n) (0)

f (x) = n=0

xn f (n) (0) . n!

2) Montrer que, pour tout réel x de ] − 1, 0] et tout entier n > a : Mn (x)

= x. Si x est dans ]0, 1[, ´n la règle de d’Alembert permet de conclure que lim ´n = 0 et, d’après (1) : n→+∞

∞

i=0

∀ x ∈ [0, 1[

lim

|i − a| ; vous vérifierez aiséi=0 ´n+1

n→+∞

|i − a|.

En déduire que :

ment que

n−1

(1)

1 |x| 0 tel que : ∀t ∈ I

On en déduit : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀x ∈ I

|x − a|

|t − a|

d ⇒ r ( t) max(a,x)

d ⇒ Rn+1 (x)

min(a,x)

´ Donc Rn+1 (x) = o((x − a)

n+1

).

|t − a|n r (t) d t

max(a,x) min(a,x)

´.

|t − a|n d t = ´

|x − a|n+1 . n+1

Corollaire 11.1 (Développement limité de la dérivée d’une application de classe C1 ) Soit f dans C1 (I , E) et a un point de I . Si f admet en a un développement limité d’ordre n, alors f admet en a un développement limité d’ordre n + 1.

270

L’hypothèse « f admet en a un développement limité d’ordre n » est fondamentale comme le prouve l’exemple suivant : On pose : f (x) =

x 3 sin 0

1 x

si

x=0

si

x=0

Vous montrerez que : • f ∈ C1 (R). • f admet un développement limité à l’ordre 2 en 0. • f n’a pas de développement limité à l’ordre 1 en 0.

7. Le lien entre dérivation et intégration Si celui-ci est :

n+1

f (x) = 0

alors le développement limité de f n+1

f (x) =

Rapport Centrale, 1997 développement limité de 1 a x est 1 + a + o ». 1+ x x Cherchez l’erreur.

(x − a)i Vi + o((x − ai )n+1 )

« Le

en a est :

i (x − a)i−1 Vi + o((x − a)n )

1

Pour s’entraîner : Revoir les développements limités faits en première année.

3.4. La formule de Taylor-Young Théorème 12 Formule de Taylor-Young Soit f une application de classe Cn de I dans E. Alors, f admet en tout point a de I un développement limité à l’ordre n donné par : n

f (x) = 0

(x − a)k (k) f (a) + o((x − a)n ) k!

Démonstration Puisque f est de classe Cn sur I , f (n) est continue en tout point a de I , ce qui peut s’écrire : (H0 ) f (n) (x) = f (n) (a) + o(1) Et ceci représente un développement limité à l’ordre 0 de f (n) au point a. Soit alors k ∈ [[0, n − 1]]. Supposons que : (Hk ) f (n−k) (x) =

k 0

William Young, mathématicien anglais (1863-1942). Il généralise la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables et détermine le reste qui porte son nom.

(x − a)i (n−k+i) f (a) + o((x − a)k ) i!

(n−k)

L’application f est continue sur I et f (n−k−1) est une primitive de sur I . On termine en appliquant le théorème précédent.

f (n−k)

Nous venons de prouver qu’une fonction de classe Cn sur un intervalle admet un développement limité à l’ordre n en tout point de l’intervalle. La réciproque est fausse : une fonction admettant un développement limité à l’ordre n en tout point d’un intervalle n’est pas nécessairement de classe Cn . L’exemple suivant le prouve.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On fixe n dans N∗ et on définit la fonction f de R dans R par : ⎧ 0 si x = 0 ⎨ 1 f (x) = si x = 0 ⎩ x n+1 sin xn On prouve aisément que : •

f est de classe C∞ sur R∗ .

• ∀x ∈ R

| f (x)|

|x|n+1 .

Donc f est continue sur R. •

f (x) =0 o(x n ).

Donc f admet un développement limité à l’ordre n en 0. •

f (x) n’a pas de limite en 0 et f n’a pas de dérivée seconde en 0.

271

Maths, MP-MP∗

4

L ’application u −→ ei u Théorème de relèvement

Le théorème central de ce paragraphe est une jolie application de la notion de primitive. Son utilité apparaîtra en géométrie plane et en calcul différentiel lors de l’utilisation des coordonnées polaires. Soit U = {z ∈ C ; |z| = 1} . On a rencontré, en première année, l’application de R dans C, u → ei u = cos u + i sin u. Cette application est un morphisme de groupe de (R, +) dans (U , ×). Il est surjectif, continu et n’est pas injectif. Son noyau est 2 pZ. Théorème 13

] − p, p[ → U \{−1}

est bijective. u → ei u Sa bijection réciproque est l’application Argument, notée Arg. Elle est définie par : ⎧ ⎨ U \{−1} → ] − p, p[ Arg : y ⎩ u = x + i y → Arg u = 2 Arctan 1+x

L’application :

Elle est continue sur U \ {−1} et ne peut pas être prolongée en une application continue sur U . Démonstration • Soit u = x + i y ∈ U \ {−1} ( x et y sont les parties réelle et imaginaire de u). On cherche u dans ] − p, p[ tel que x = cos u et y = sin u. u p p Si u ∈ ] − p, p[, alors ∈ − , . On aura : 2 2 2 1+x =

2 1+

tan2

u 2

= 0 et

y u = tan . D’où 1+x 2

u = 2 Arctan

y 1+x

On obtient un unique u dont on vérifie aisément qu’il est bien solution. Ceci assure la bijectivité de l’application. • La fonction Argument est donc définie par la formule :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀ u ∈ U \ {−1}

Im u Arg (u) = 2 Arctan 1 + Re u

Or, les applications u → Im u et u → Re u sont continues de C dans R, et 1 + Re u ne s’annule pas sur U \ {−1} . De plus, la fonction Arctangente est continue sur R, la continuité de la fonction Argument en découle. 1 1 • Notons u = ei(p− n ) et v = ei(−p+ n ) . Alors on a : n

n→+∞

Arg (u n ) = p −

1 n

;

Arg (vn ) = −p +

1 n

La fonction Argument n’est pas prolongeable par continuité en −1.

Ne pouvoir prolonger la fonction Argument par continuité en −1 semble être un obstacle mathématique important au fait de pouvoir « faire un tour complet autour de l’origine ». D’une certaine façon, le théorème du relèvement lève cet obstacle (doc. 5).

272

u1 u2 u3

v3 v2

un vn

0

1

x

v1

n

lim u n = lim vn = −1 ;

n→+∞

y

Doc. 4. La fonction Argument n’est pas prolongeable par continuité en −1 : lim u n = lim vn = −1 n→+∞

n→+∞

lim Arg (u n ) = p

n→+∞

lim Arg (vn ) = −p

n→+∞

7. Le lien entre dérivation et intégration f

I

U

θ

t) θ(

→

e

iθ

t→

Théorème 14 Soit n un entier 1. Pour toute application f de classe Cn sur l’intervalle I , à valeurs dans U , il existe une fonction u de classe Cn de I dans R telle que f = ei u . La fonction u est appelé un relèvement de f .

Doc. 5. ∀ t ∈ I

f (t) = ei u(t) .

Démonstration • Remarquons d’abord que, si une telle fonction u existe, elle n’est pas unique. En effet, u + 2p convient aussi. • D’autre part, si u existe, alors f (t) = ei u(t) iu (t) = iu (t) f (t), f L’application u doit être une primitive de −i . f f est à valeurs réelles. • Montrons que la fonction −i f | f (t)|2 = f (t) f (t) = 1.

On sait que : ∀ t ∈ I 1

f étant de classe C sur I , on a donc : ∀t ∈ I

f (t) f (t) + f (t) f (t) = 0 donc

2Re ( f (t) f (t)) = 0,

soit : ∀ t ∈ I

f (t) f (t) ∈ i R f (t) f (t) f (t) f (t). On en déduit que : ∀ t ∈ I − i ∈ R. Or f (t) f (t) = f (t) f (t) • Construction de u. t f (u) Soit a un point de I . Notons b(t) = −i d u et g(t) = ei b(t) . f (u) a On constate que b est à valeurs réelles et g à valeurs dans U . De plus g est dérivable : f (t) ∀ t ∈ I g (t) = i b (t)g(t) = i −i g(t) f (t) donc : ∀ t ∈ I g (t) f (t) − f (t)g(t) = 0 f La fonction est donc constante. g Or, b(a) = 0 et g(a) = 1, donc : ∀ t ∈ I

f (t) = f (a). g(t)

f (a) est un élément de U , il existe a ∈ R tel que f (a) = ei a . Donc : ∀ t ∈ I

f (t) = ei (a+b(t))

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La fonction u définie par u(t) = a + b(t) est un relèvement de f . f • u est de classe Cn . En effet, la fonction −i est de classe Cn−1 sur I et b f en est une primitive.

Application 6

Paramétrage polaire d’une courbe plane

− → → − Soit P un plan euclidien, (O, i , j ) un repère orthonormé direct de ce plan, la norme euclidienne et n un entier > 0. On considère une courbe de classe C

n

de P

paramétrée par : M:

I → P

− → − → t → M(t) = O + x(t) i + y(t) j

273

Maths, MP-MP∗

1) Dans cette question, la courbe ne passe pas par O. Prouver l’existence d’une application u de Cn (I , R) telle que : −−→ −−→ − → − → ∀ t ∈ I O M(t) = O M(t) (cos u(t) i +sin u(t) j )

D’après le théorème de relèvement, il existe une application u de Cn (I , R) telle que : ∀t ∈ I

2) Dans cette question, on suppose que la courbe n’a pas de point stationnaire et que n 2. Montrer que l’angle de la tangente avec l’axe des x peut être mesuré par une fonction w de classe C1 sur I .

2) Par hypothèse, la fonction

Considérons l’application : ⎧ i → U ⎪ ⎪ ⎪ x( t) ⎪ ⎨ t → f ( t) = x 2 ( t) + y 2 ( t) f : ⎪ ⎪ y( t) ⎪ ⎪ +i ⎩ 2 x ( t) + y 2 ( t)

Par construction, w mesure l’angle de la tangente avec l’axe des x.

Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel normé E de dimension finie.

5.1. Suites de fonctions 5.1.1 Convergence uniforme et intégration Nous avons établi dans le chapitre précédent que la convergence uniforme entraîne la convergence en moyenne. En voici une conséquence.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 15 Soit a un point de l’intervalle I , ( f n ) une suite de fonctions continues sur I à valeurs dans E et, pour tout n, h n la primitive de f n sur I telle que h n (a) = 0. Si la suite de fonctions ( f n ) converge uniformément sur tout segment de I vers f , alors la suite de fonctions (h n ) converge uniformément sur tout segment de I vers la primitive h de f telle que h(a) = 0. x

lim

n→+∞

a

x

f n (t) d t =

lim f n (t) d t

n→+∞

a

Démonstration Soit f une fonction continue par morceaux sur I , h une primitive de f sur I et a < b deux points de I . Pour tout x de [a, b] : h(x) − h(a)

274

x E

a

f

b E

a

est

−−→ −−→ d OM − → − → d OM (t) = (t) (cos w(t) i + sin w(t) j ) dt dt

Suites et séries de fonctions de classe C k

Et, pour tout x de I , on a :

−−→ d OM t→ dt

de classe C1 et ne s’annule pas sur I . D’après la question 1, il existe une application w de classe C1 de I dans R telle que, pour t dans x :

1) Puisque la courbe ne passe pas par O, on sait que ∀ t ∈ I x 2 (t) + y 2 (t) = 0.

5

f ( t) = ei u(t)

f

E

.

7. Le lien entre dérivation et intégration Puis : h |[a,b]

∞

h(a)

E

+

Le théorème en découle.

b a

f

E

.

5.1.2 Dérivation d’une suite de fonctions Théorème 16 Soit ( f n ) une suite de fonctions de I dans E telle que : 1

• pour tout n, f n est de classe C sur I ; • la suite ( f n ) converge simplement sur I vers f ; • la suite ( f n ) converge uniformément sur tout segment de I vers g. Alors f est de classe C1 sur I et f = g.

Démonstration Soit a un point de I , on a : ∀x ∈ I Posons h n = fn − fn (a).

fn (x) = f n (a) +

x a

f n (t) d t.

h n est la primitive sur I de f n qui s’annule en a. Il suffit d’appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions ( f n ) pour conclure.

Attention ! C’est la suite ( fn ) qui doit converger uniformément, comme le prouve l’exemple suivant : 1 f n (x) = x 2 + 2 . n Rapport Mines-Ponts, 1997 « Beaucoup plus grave est de voir omniprésente l’affirmation que la convergence uniforme de la série entraîne la convergence de la série dérivée, et justifie de dériver terme à terme. »

On déduit du théorème précédent une extension au cas des fonctions de classe Ck , dont nous vous laissons le soin de rédiger la démonstration par récurrence. Corollaire 16.1 Extension aux fonctions de classe C k Soit k dans N∗ ∪ {+∞} et ( f n ) une suite de fonctions de I dans E tels que : • pour tout n, ( f n ) est de classe Ck sur I ; • la suite ( f n ) converge simplement sur I vers f ; • pour tout entier non nul p k, la suite ( f n( p) ) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction g p . Alors f est de classe Ck sur I et, pour tout entier p non nul et inférieur ou égal à k : f ( p) = g p . Exemple : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Considérons, pour tout n de N∗ , la fonction f n définie sur ]0, +∞[ par x n f n (x) = 1 + . n La suite de fonctions ( f n ) converge simplement sur ]0, +∞[ vers la fonction exponentielle. Les fonctions f n sont de classe C∞ sur [0, +∞[ et, pour tout p 1 et tout n p, on a : 0 ex − ( f n )( p) (x) = h(x). La fonction h est de classe C∞ sur [0, +∞[ et : n(n − 1) . . . (n − p) x n− p−1 h (x) = ex − ( f n )( p+1) (x) = ex − 1+ . p+1 n n Or : n(n − 1) . . . (n − p) x n− p−1 x n− p−1 x n 1+ 1+ 1+ ex . p+1 n n n n

275

Maths, MP-MP∗

La fonction h est croissante sur [0, +∞[. Pour tout b > 0 et tout x de [0, b], on a : 0 h(x) h(b). Sur tout segment de ]0, +∞[, la suite de fonctions (( f n )( p) ) converge uniformément vers la fonction exponentielle. Nous retrouvons le fait que la fonction exponentielle est de classe C∞ et que sa dérivée est ellemême.

5.2. Séries de fonctions 5.2.1 Convergence uniforme et intégration Théorème 18 Soit a un point de l’intervalle I , (u n ) une suite d’applications continues sur I , à valeurs dans E. Si la série de fonctions u n converge uniformément sur tout segment de I alors, pour tout x de I : ∞

x

∞

x

u n (t) d t =

a

0

a

0

u n (t) d t

Exemples : ∞

1 = 1−t

∀ t ∈ ] − 1, 1[

t . Les hypothèses du théorème ci-dessus 0

sont vérifiées, donc : 1/2 0

et =

∀t ∈ R

∞ 0

x 0

et d t =

n

dt = ln 2 = 1−t

∞

1 2n+1 (n

0

+ 1)

.

tk . De la même façon, nous obtenons, pour tout x : k! x 0

∞ 0

tk k!

∞

dt = 0

x k+1 = ex − 1. (k + 1)! Pour s’entraîner : ex. 8 et 9.

5.3. Dérivation des séries de fonctions c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 19 Soit (u n ) une suite de fonctions de I dans E telle que : • pour tout n, u n est de classe C1 sur I ; • la série de fonctions

u n converge simplement sur I ;

• la série de fonctions de I.

u n converge uniformément sur tout segment

Alors, la fonction somme S de la série de fonctions 1

C sur I et :

∞

∀x ∈ I

S (x) =

u n (x) 0

276

u n est de classe

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Le théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions n’étant souvent pas appliqué correctement, de nombreux candidats n’ont pu démontrer que la fonction c était de classe C2 sur R. » Rapport E4A, 2002 « les théorèmes d’interversion série-intégrale ne sont pas toujours bien maîtrisés. »

7. Le lien entre dérivation et intégration Sous ces hypothèses, en notant DS = S , on peut également écrire : ∞

D

∞

un

=

0

Du n 0

Démonstration On applique le théorème précédent à la série de fonctions uniformément convergente un .

Corollaire 19.1 Soit k dans N∗ ∪ {+∞} et (u n ) une suite de fonctions de I dans E tels que : • pour tout n, u n est de classe Ck sur I ; • la série de fonctions

u n converge simplement sur I ;

• pour tout entier non nul p k, la série de fonctions uniformément sur tout segment de I . Alors la fonction somme S de la série de fonctions Ck sur I et, pour tout entier non nul p k : ∀x ∈ I

S ( p) (x) =

∞

u (np) converge u n est de classe

u (np) (x)

0

∞

Les fonctions z(x) = 1

1) Montrer que la fonction z est de classe C∞ sur ]1, +∞[ et calculer ses dérivées successives. 2) Étudier cette fonction et tracer son graphe. 3) Montrer que la fonction m est de classe C∞ sur ]0, +∞[ et calculer ses dérivées successives. 1) La fonction z est définie sur ]1, +∞[. Cherchons si elle vérifie les hypothèses du corollaire cidessus. Posons u n (x) = n −x pour x ∈ ]1, +∞[. Nous remarquons que :

1 nx

∞

et m(x) = 1

• la série de fonctions ment sur ]1, +∞[ ; • si p

u n converge simple-

1 et 1 < a < b, pour tout x de [a, b],

nx

on a : |(− ln n) p n −x | = (ln n) p n −x

(ln n) p n −a ;

(ln n) p n −a converge.

et la série

Donc la série de fonctions

u (np) converge nor-

malement sur tout segment de ]1, +∞[. La fonction z est donc de classe C∞ sur ]1, +∞[ et, pour tout x de ]1, +∞[ et tout p 1, on a :

• pour tout n de N∗ , la fonction u n est de classe C∞ sur ]1, +∞[ et, si p 1 : u (np) (x) = (− ln n) p n −x ;

(−1)n+1

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 7

z( p) (x) =

∞

(− ln n) p n −x .

1

2) En particulier, z(2) (x) =

∞

∞

z (x) =

(− ln n)n −x

et

1

(− ln n)2 n −x . La fonction z est

1

donc décroissante et convexe.

277

Maths, MP-MP∗

Nous savons que :

Montrons que la série numérique :

lim z(x) = +∞ et

x→1+

lim z(x) = 1

Avec Maple :

est, lorsque x est fixé, une série alternée vérifiant le critère spécial. Dans ce but, notons v la fonction définie sur R+∗ par v(t) = (ln t) p t −x .

W 3;5+pA6+=p#o #Xdggdeo Z

Cette fonction est dérivable et :

5

v (t) = (ln t) p−1 t −x−1 ( p − x ln t).

4

p Lorsque n est supérieur à exp , la foncx tion est décroissante. La série numérique (−1)n+1+ p (ln n) p n −x vérifie donc le critère spécial. La série de fonctions associée converge simplement sur ]0, +∞[.

3 2 1

(−1)n+1+ p (ln n) p n −x

x→+∞

2

10 x

8

6

4

Doc. 3. La fonction z. 3) Posons vn (x) = (−1)n+1n −x pour x ∈ ]0, +∞[. Nous remarquons que : • pour tout n de N∗ , la fonction vn est de classe C∞ sur ]0, +∞[ et, si p 1 ; vn( p) (x) = (−1)n+1 (− ln n) p n −x • la série de fonctions vn converge simplement sur ]0, +∞[ car elle vérifie, pour tout x de ]0, +∞[, le critère spécial des séries alternées. Soit p 1 fixé, pour tout x de ]0, +∞[ et tout n de N∗ , on a : vn( p) (x) = (−1)n+1(− ln n) p n −x .

• Considérons ensuite 0 < a < b, p 1 fixé p , alors la séet x dans [a, b]. Si n exp a rie (−1)n+1+ p (ln n) p n −x vérifie le critère spécial et : |Rn (x)|

(ln(n + 1)) p (n + 1)−a . La série de fonctions vn( p) converge uniformément sur tout segment de ]0, +∞[. La fonction m est donc de classe C∞ sur ]0, +∞[ et, pour tout x de ]0, +∞[ et tout p 1, on a : m( p) (x) =

) est une algèbre normée de dimension finie.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On fixe a dans A et on définit l’application u n : un :

R→ A t → u n (t) =

1) Montrer que la série de fonctions 2) Montrer que la série de fonctions segment de R.

t n an n!

u n converge simplement sur R. u n converge normalement sur tout

3) Montrer que la fonction somme de cette série de fonctions que l’on notera ea est de classe C∞ sur R et que : Dea = a ea = ea a. 4) Applications : considérer le cas où E est un espace vectoriel de dimension finie et A = L(E), puis A = Mn (K).

278

∞ 1

5.4. Un exemple important : la fonction exponentielle ( A, +, ×, ·,

(− ln(n + 1)) p (n + 1)−x

(−1)n+1(− ln n) p n −x .

7. Le lien entre dérivation et intégration 5) Fixons A = C et a = z un complexe. Montrer que la fonction ez est la solution de l’équation différentielle linéaire : y = z y, vérifiant la condition initiale : y(0) = 1. • Lorsque a = 0, u 0 = 1 et u n = 0 pour n 1. • Les questions 1, 2, 3 et 4 sont immédiatement résolues. Supposons donc a = 0. 1) Pour t = 0, la série

u n (0) converge.

Pour t = 0, on peut appliquer la règle de d’Alembert : u n+1 (t) ta = u n (t) n+1 La série vectorielle

et

u n+1 (t) = 0 < 1. u n (t)

lim

n→+∞

u n (t) est absolument convergente.

2) Soit [c, d] un segment de R. Notons R = max(|c|, |d|). Alors [c, d] ⊂ [−R, R]. ∀ t ∈ [c, d]

u n (t) =

|t|n a n!

Donc : ∀n ∈ N

sup

t∈[c,d]

n

Rn a n!

Rn a n!

u n (t)

n

n

.

Rn a n , vue à la question 1, assure la convern! gence normale sur [c, d] de la série de fonctions un . La convergence de la série

3) Pour tout n, la fonction u n est une fonction polynôme de la variable t, elle est donc de classe C1 sur R. La série de fonctions u n converge simplement sur R. Pour n = 0,

d u0 = 0, et pour n > 0 : dt d un nt n−1 a n (t) = = a u n−1 (t). dt n!

Or, la série de fonctions

u n converge normalement sur tout segment de

∀t ∈ R

d ea (t) = dt

∞ 0

d un (t) = dt

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

R, donc la série de fonctions a u n−1 aussi. Ainsi, la série de fonctions d un converge normalement sur tout segment de R. dt Nous pouvons appliquer le théorème et conclure que la fonction ea , somme de la série de fonctions u n , est de classe C1 sur R et que : ∞

a u n−1 (t) = a ea (t). 1

Une récurrence simple permet alors d’établir que ea est de classe C∞ sur R. 4) Lorsque E est un espace vectoriel de dimension finie, prenons A = L(E) et a = f un endomorphisme de E, alors l’application ea est l’application : ⎧ R → L(E) ⎪ ⎪ ⎨ ∞ n ef : t n ⎪ ⎪ t → e (t) = f f ⎩ n! 0

279

Maths, MP-MP∗

Elle est de classe C∞ sur R et De f = f e f = e f f . Lorsque A = Mn (K), fixons a = M une matrice carrée à coefficients dans K, alors l’application e M est l’application : ⎧ R → L(E) ⎪ ⎪ ⎨ ∞ n eM : t ⎪ t → e (t) = ⎪ Mn M ⎩ n! 0

∞

Elle est de classe C

sur R et De M = M e M = e M M.

5) Le résultat précédent s’applique. De plus, ez (0) = 1. Donc ez est bien la solution de l’équation y = zy vérifiant la condition initiale y(0) = 1.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour s’entraîner : ex. 10.

280

7. Le lien entre dérivation et intégration

•

Soit f une application continue de I dans E et de classe C1 par morceaux sur I .

Pour montrer une propriété ou une inégalité sur f , penser à écrire : ∀ (a, x) ∈ I 2

f (x) − f (a) =

x a

f (t) d t.

•

Pour montrer qu’une application de f dans [a, b] dans E, de classe C1 sur [a, b[, est de classe C1 sur [a, b], on peut montrer que : f est continue sur [a, b] et f

a une limite l (l ∈ E) en b.

•

Pour montrer qu’une application de f dans [a, b] dans E, de classe Ck sur [a, b[, est de classe C k sur [a, b], on peut montrer que : f est continue sur [a, b] et, pour tout r de [[1, k]],

•

f (r) a une limite lr (lr ∈ E) en b.

Pour calculer un développement limité, on peut :

• utiliser les opérations sur les fonctions admettant un développement limité ; • utiliser la formule de Taylor-Young, si la fonction est facile à dériver ; • intégrer le développement limité de f .

•

Suites de fonctions

Soit ( f n ) une suite de fonctions de I dans K convergeant simplement vers f sur I . Pour montrer que f est de classe C1 sur I , il suffit d’établir les deux propriétés suivantes : • pour tout n, f n est de classe C1 sur I ; • la suite ( f n ) converge uniformément sur tout compact de I vers g. Lorsque ceci est réalisé, on a g = f .

•

Séries de fonctions

Soit (u n ) une suite de fonctions de I dans K telle que la série de fonctions plement sur I vers S.

u n converge sim-

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour montrer que S est de classe C1 sur I , il suffit d’établir les deux propriétés suivantes : • pour tout n, u n est de classe C1 sur I ; • la série de fonctions

u n converge uniformément sur tout segment de I . ∞

Lorsque ceci est réalisé, on a S =

un . 0

281

Maths, MP-MP∗

TD 1. Suites récurrentes et point fixe A. Le théorème du point fixe (E, ) est un espace vectoriel normé de dimension finie, F est un fermé de E, f une application de F dans F qui est contractante (k-lipschitzienne avec k < 1). 1) Justifier que, pour tout élément u 0 de F, on peut définir une suite (u n ) telle que : ∀n ∈ N

u n+1 = f (u n )

(1)

Dans la suite de cette partie, u 0 est fixé dans F et la suite (u n ) est définie par (1). 2) Démonstration de la convergence de (u n ). Montrer que la suite (u n ) est une suite de Cauchy de (E,

) ; en déduire qu’elle converge vers un élément l de F.

3) Montrer que le point l est l’unique point fixe de f . kn u0 − u1 . 1−k Cette question complète le résultat de convergence par une indication sur la vitesse de convergence. 4) Prouver que, pour tout entier n :

un − l

B. Points fixes attractifs, points fixes répulsifs Dans cette partie et dans la suivante, I est un intervalle de R d’intérieur non vide et dans I . On suppose que f admet un point fixe, noté l.

f une application de I

1) Soit u 0 un point de I et (u n ) la suite récurrente définie par u n+1 = f (u n ). Montrer que, si pour un entier N, u N = l, alors la suite (u n ) est constante à partir du rang N. On dit qu’un point fixe l de f est attractif s’il existe un réel a > 0 tel que, pour tout u 0 de [l − a, l + a] ∩ I , la suite récurrente définie par u n+1 = f (u n ) converge vers l. On dit qu’un point fixe l de f est répulsif si toute suite récurrente (u n+1 = f (u n )) qui converge vers l est nécessairement stationnaire. Dans la suite, on suppose f de classe C1 sur I . 2) Montrer que si | f (l)| < 1 , il existe un réel a > 0 tel que la restriction de f à J = I ∩ [l − a, l + a] soit une application contractante de J . En déduire que l est un point fixe attractif de f . c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

3) Montrer que, si | f (l)| > 1, alors l est un point fixe répulsif de f . 4) Les exemples suivants montrent que, lorsque | f (l)| = 1, tout est possible. Étudier, pour chaque exemple, si le point fixe l est attractif ou répulsif. a) f (x) = −x 2 + 3x − 1 et l = 1. b) f (x) = e(x−1)

et l = 1.

c) f (x) = Arctan (x) et l = 0. d) f (x) = x 3 + x et l = 0. 1 e) f (x) = + 0, 5(x − 1)2 et l = 1. x 1 f) f (x) = − 0, 5(x − 1)2 et l = 1. x

282

7. Le lien entre dérivation et intégration C. Vitesse de convergence pour un point fixe attractif Dans cette partie, on suppose que | f (l)| = g < 1. On sait, d’après la deuxième partie, que l est un point fixe attractif de f . On suppose connu un réel a > 0 tel que f soit une application contractante de J = I ∩ [l − a, l + a]. Dans la suite, u 0 est choisi dans J et la suite (u n ) est définie par u n+1 = f (u n ). 1) Dans cette question, g = 0. Soit ´ un réel > 0 tel que g − ´ > 0 et g + ´ < 1. Prouver l’existence d’un entier n tel que : (g − ´) p |u n − l|

∀p∈N La minoration (g − ´) p |u n − l|

(g + ´) p |u n − l|.

|u n+ p − l|

|u n+ p − l| prouve que l’on ne peut guère faire mieux.

2) Dans cette question, g = 0 et f est de classe C2 . On note M = sup | f (t)|. t∈J

a) Étudier brièvement le cas où M = 0. b) Prouver l’existence d’un entier n tel que : ∀p∈N

|u n+ p − l|

1 10

2 M

2p

.

Pour simplifier, on peut dire qu’à partir du rang n, on double le nombre de décimales connues dans l’approximation de l par u k . Attention toutefois aux cas particuliers ( l proche de 4, par exemple). La vitesse de convergence est beaucoup plus rapide que dans le cas précédent.

2. Calculs approchés d’intégrale, majorations de l’erreur Les sommes de Riemann permettent de réaliser le calcul approché d’intégrales. Cette méthode élémentaire est appelée 1 méthode des rectangles. Son efficacité numérique est assez limitée car l’incertitude est un O , ainsi que nous n le montrons dans l’exercice 10 du chapitre 6. Dans ce TD, nous exposons trois autres méthodes simples de calcul approché d’intégrales. Pour deux d’entre elles 1 (méthodes des trapèzes et des tangentes), l’incertitude est un O ; pour la troisième (méthode de Simpson) n2 1 . c’est un O n4 A. La méthode des trapèzes et la méthode des tangentes c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Dans cette partie, f est une application de classe C2 de [a, b] dans C et M2 = sup | f (t)|. t∈[a,b]

La méthode des trapèzes 1.a) Interpréter b) Montrer que :

(b − a)( f (a) + f (b)) en terme d’aire de trapèze. 2 b a

f (t) dt −

c) En déduire que :

b a

(b − a)( f (a) + f (b)) = 2

f (t) dt −

b a

(b − a)( f (a) + f (b)) 2

(t − a)(t − b) f (t) dt 2 M2 (b − a)3 . 12

283

Maths, MP-MP∗

2) Prouver que, pour tout entier n > 0, on a : b a

f (t)dt −

b−a n

f (a) + 2

n−1

f

a+k

k=1

b−a n

+

M2 (b − a)3 . 12n 2

f (b) 2

La méthode des tangentes 3) En vous aidant d’un schéma, prouver que : b a

f (t) dt − (b − a) f

M2 (b − a)3 . 24

a+b 2

4) Prouver que, pour tout entier n > 0, on a : b a

b−a f (t) dt − n

n

f

a+ k−

k=1

M2 (b − a)3 . 24n 2

1 b−a 2 n

5) Prouver que, si f est convexe (ou concave) sur [a, b], alors les deux approximations précédentes de en fournissent un encadrement.

b a

f (t) dt

B. la méthode de Simpson1 Dans les deux méthodes qui viennent d’être exposées, on approxime d’abord l’intégrale de f sur [a, b] par une formule utilisant la valeur de f en un (ou deux) point. La méthode de Simpson donne une approximation de l’intégrale de f en utilisant, au départ, trois points d’interpolation. Dans la suite, pour toute application f continue de [a, b] dans C, on note : D( f ) =

b a

f (t)dt −

b−a 6

f (a) + 4 f

a+b 2

+ f (b) .

k

a+b . Calculer D(Pk ) pour k dans {0, 1, 2, 3} . 2 En déduire que D(P) = 0 pour toute fonction polynôme P de degré 3. 1) On pose Pk (t) =

t−

2) Dans cette question et dans la suivante, f est une application de classe C4 de [a, b] dans C. On note M4 = sup | f (4) (t)| et : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

t∈[a,b]

R4 (x) =

x a+b 2

(x − t)3 (4) f (t) dt. 3!

a) Prouver que D( f ) = D(R4 ). b) Montrer que : ∀ x ∈ [a, b] |R4 (x)| En déduire que |D( f )| 1

284

M4 4!

x−

a+b 2

4

.

M4 (b − a)5 . 720

Thomas Simpson, mathématicien anglais (1710-1761). Il exerce le métier de tisserand, apprend seul les mathématiques, écrit et publie plusieurs ouvrages de mathématiques à partir de 1737. Sa formule paraît en 1743 dans le cas des arcs de parabole. Elle était toutefois déjà connue de Cavalieri en 1639. Le grand mérite de Simpson est d’avoir pensé à découper [a, b] en n morceaux pour améliorer l’approximation.

7. Le lien entre dérivation et intégration M4 (b − a)5 M4 (b − a)5 au lieu de . Nous 2880 720 contentons nous de signaler ce résultat. Les amateurs de calculs vérifieront aisément que, si f = P4 , alors M4 (b − a)5 . On ne peut donc pas améliorer cette majoration valable pour l’ensemble des fonctions |D( f )| = 2880 de classe C4 .

Remarque : Un travail plus fin permet de majorer |D( f )| par

3) Pour tout entier n > 0, on pose : Sn ( f ) =

b−a 6n

n−1

f (a). + 2

b−a n

f

a+k

f

a+ k−

k=1 n

+4 k=1

Prouver que :

b a

f (t) dt − Sn ( f )

+ f (b)

1 b−a 2 n

M4 (b − a)5 . 720 n 4

4) Comparez avec votre calculatrice les valeurs approchées obtenues par ces trois méthodes pour p 0

sin(t) d t .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

5) Et avec MAPLE ?

285

Maths, MP-MP∗

Exercice résolu

Une série de fonctions

ÉNONCÉ

e−nx sur R+ . 2 1 + n 1) Montrer que la série converge normalement sur R+ . Qu’en déduisez-vous ? ∞ e−nx 2) Montrer que la fonction S = est de classe C∞ sur R+∗ . 1 + n2 0 3) Montrer que S vérifie une équation différentielle simple du second ordre sur R+∗ . On considère la série de fonctions de terme général u n (x) =

4) Montrer que la fonction S n’est pas dérivable en 0. 5) Calculer

lim S(x).

x→+∞

CONSEILS

SOLUTION

e−nx 1 . 2 n +1 n2 Les fonctions u n sont continues sur R+ et la série de fonctions un converge normalement sur R+ . Sa fonction somme, S, est continue sur R+ .

1) Pour tout n de N, et tout x

On montre, pour tout k 1, la convergence normale de la série des dérivées k-ièmes sur tout intervalle [a, +∞[ avec a > 0.

0 : |u n (x)| =

2) Les fonctions u n sont de classe C∞ sur R+ et, pour tout p 1, on a : e−nx u (np) (x) = (−n) p 2 . n +1 Soit a > 0. ∀ x ∈ [a, +∞[ |u (np) (x)| e−na n p−2 . La série e−na n p−2 converge, la série de fonctions u (np) converge normalement sur [a, +∞[. La fonction S est donc de classe C∞ sur R+∗ . ∞ 1 . 3) Pour tout x > 0, on a : S (x) + S(x) = e−nx = 1 − e−x ∞

4) Pour x > 0, S (x) = 0

∀ N ∈ N∗

0

e−nx −n 1 + n2

. Donc : N

S (x)

−

n n=0

e−nx . 1 + n2

+

La fonction S est croissante sur R . D’après le théorème de la limite monotone, elle admet une limite L en 0 dans R ∪ {−∞} .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Si L appartient à R, en passant à la limite dans l’inégalité, on obtient : N

∀ N ∈ N∗

L

− n=0

n . 1 + n2

n Or la série diverge. C’est absurde. Donc L = −∞. 1 + n2 De plus, la fonction S est continue en 0. Son graphe admet une tangente verticale au point d’abscisse 0. La fonction S n’est pas dérivable en 0. 5) La convergence normale sur R+ de la série de fonctions d’écrire : ∞ e−nx lim S(x) = lim = 1. x→+∞ x→+∞ 1 + n 2 0

286

u n permet

7. Le lien entre dérivation et intégration

TD d’algorithmique La méthode de Newton, résolution d’équations numériques Partie mathématique. Algorithme de Newton-Raphson. Si f est une fonction numérique continue sur ]a, b[, telle que f (a) f (b) < 0 , alors nous savons qu’il existe c dans [a, b] tel que : f (c) = 0 . Quelques dichotomies permettent d’approcher c par un réel x 0 , mais cette méthode converge lentement. On cherche alors une fonction g , définie telle que : f (x) = 0 ⇐⇒ g(x) = x sur un intervalle contenant x 0 et c , k-contractante (cf TD1), La suite définie par u 0 et, pour tout n entier, u n+1 = g(u n ) , converge vers c . La convergence est d’autant plus rapide que k est proche de 0. f (x) Si f est de classe C 1 sur [a, b] , la fonction g est alors choisie de la forme : g(x) = x − , avec a proche a de f (c) . Toutefois f (c) n’est pas connu, mais, lorsque f remédie.

ne s’annule pas au voisinage de c , le choix de a = f (x) y

c est alors un point fixe attractif pour la fonction h définie par : h(x) = x − La suite définie par x 0 et, pour tout n : x n+1 = h(x n ) converge vers c et la convergence est quadratique. Le nombre de décimales correctes est approximativement doublé à chaque itération. L’expression de la suite correspond à une linéarisation de la fonction f au voisinage de x n . En effet, si x n est calculé, on cherche x n+1 tel que :

f (x) . f (x) > plot({x^3-2*x-5,10*x-21},x=2..2.2);

1

0.5

f (x n+1) = 0 = f (x n + h) = f (x n ) + f (x n )h + h´(h). 0

La formule de linéarisation est due à Raphson en 1690. L’interprétation géométrique est simple. La fonction est approximée par sa tangente.

2

2.02

2.04

2.06

2.08

2.1

2.12

2.14

2.16

2.18

2.2

x

-0.5

-1

Partie informatique. En calcul formel, les nombres flottants (décimaux) sont représentés par des couples (m, e) d’entiers, respectivement la mantisse et l’exposant. Tous les calculs flottants en grande précision (précision de la machine) sont basés sur les calculs entre grands entiers. Les algorithmes entre grands entiers réalisent les calculs élémentaires comme la somme, la différence et le produit.

287

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

En négligeant le terme h´(h) , on obtient h = x n+1 − x n , puis x n+1 . Cette méthode a été exposée en 1669 par Newton pour la résolution de l’équation x 3 −2x −5 = 0 , avec x 0 = 2 .

Maths, MP-MP∗

Le premier qui ait mis au point une méthode de multiplication rapide semble être A. Karatsuba. Il remarque en 1962 qu’un entier de taille 2k peut s’écrire a + b10k . La multiplication de deux tels entiers : (a + b10k )(c + d10k ) = ac + [(a − b)(c − d) − ac − bd]10k + bd102k nécessite donc trois multiplications d’entiers de k chiffres, plus des décalages et des additions. 1) En utilisant la méthode de Newton-Raphson, indiquer un algorithme de calcul de l’inverse d’un entier n’utilisant que des additions et des produits. > restart:b:=11234567890: x:=10^(-10): to 3 do x:=2*x-b*x^2; od; x := x :=

x :=

876543211 10000000000000000000

889903113378401366139102931 10000000000000000000000000000000000000

890109842964375156914321919557643785687481429337130104118073571 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

> b:=11234567890:Digits:=20: x:=10^(-10): to 6 do x:=2.*x-b*x^2; od; > x := .876543211000000000010 -10 x := .8899031133784013661410 -10 x := .8901098429643751569310 -10 x := .8901098909999974086410 -10 x := .8901098910000000009110 -10 x := .8901098910000000008710 -10

> 1./b;

.8901098910000000008910 -10

2) Indiquer un algorithme de calcul de

√

2.

Modifier cet algorithme pour prendre en compte le nombre de décimales calculées. Comparer avec la version précédente.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

> f(x)=x^2-2; x(n+1)=x(n)/2+1/x(n) > restart:x:=7/5:st:=time(): to 5 do x:=x/2+1/x; od;time()-st; x := x := x := x :=

x :=

70 19601 13860

768398401 543339720

1180872205318713601

835002744095575440 2788918330588564181308597538924774401 1972063063734639263984455073299118880 0

288

99

7. Le lien entre dérivation et intégration L’instruction Maple suivante donne 1000 décimales exactes de racine 2. Nous vous laissons la joie de les découvrir. > restart:Digits:=1000:x:=1.4:st:=time(): to 9 do x:=x/2.+1/x: od:R:=x;evalf(sqrt(2));time()-st;

3) Indiquer un algorithme de calcul de la racine k-ième d’un entier m > 0 . > f(x)=x^k-m et x(n+1)=(k-1)x(n)/k+mx(n)^(1-k)/k. > restart: x:=3/2: k:=3: m:=5: to 4 do x:=(1-1/k)*x+m/k*x^(1-k); od; x := x := x := x :=

47 27

306061 178929

85982094476505407 50282628861668427

1906976194409842798920507776545608642156463726160701 1115206443760798337077626618277067277279580809462369

> restart: Digits:=1: x:=1.5: k:=3: m:=5: to 6 do Digits:=2*Digits: x:=(1-1/k)*x+m/k*x^(1-k); od; evalf(5^(1/3)); Digits := 2 x := 1.8 Digits := 4 x := 1.715 Digits := 8 x := 1.7099906 Digits := 16 x := 1.709975946802264 Digits := 32 x := 1.7099759466766969893623295134493 Digits := 64 x := 1.709975946676696989353108872543860109868104830668576167181479842

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1.709975946676696989353108872543860109868055110543054924382861707

289

Exercices Soit F la fonction définie par F(x) = Étudier la dérivabilité de F.

x 0

ln(1+xt) d t.

3) fn (x) = 1 +

x n

n

Déterminer les domaines de convergence simple et uniSoit telle que :

f une application continue de [a, b] dans R b a

f (t) d t = 0

On fixe un entier n > 0. Prouver l’existence d’une famille (xn,i )i∈[[0,n]] de réels telle que : x n,i

• ∀ i ∈ [[1, n]]

x n,i−1

1 f (t) d t = n

b a

p/4

Calculer I =

0

∞

u n (x) lorsqu’elle existe. 0

f (t) d t.

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le domaine de définition. 1) f (x) = [sin(2x)−2 cos(3x)]ex .

e−nx . Calculer la n

On pose, pour x réel, u n (x) = nx n . Calculer la somme

• a = xn,0 < xn,1 < . . . < xn,n = b.

(−1)n

forme de la série de fonctions somme S de cette série.

2) g(x) = xArccos 2 (x).

dt . + cos(t)

cos(t)3

Soit telle que :

une fonction continue de R+ dans R+ ,

f

∃ k > 0 ∀ x ∈ R+

f (x)

x

k

Montrer que f = 0. *

f (t) d t

0

1) Soit g une application de classe C2 de [a, b]

dans C. On note M = sup |g (t)|. t∈[a,b]

1 Calculer une primitive de sur (2t + 1)2/3 − (2t + 1)1/2

1 − , +∞ . 2

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit f une fonction de classe C1 de R+ dans R+∗ et a un élément de ] − ∞, 0[ ∪ {−∞}.

série

lim

x→+∞

f (x) = a. Déterminer la nature de la f (x)

f (n).

On pose :

n−1

Étudier la convergence de la suite ( f n ) sur [0, 1] vers f . Peut-on en déduire, avec les théorèmes du cours, que : 1 0

f = lim

1) fn (x) = nx exp(−nx 2 ) ;

n→+∞

1 0

fn ?

2nx 2) f n (x) = ; 1 + n2 x 4

k+1 n

f

un = k=0 n−1

f

vn = k=0

− f

2k + 1 2n

2k + 1 2n

− f

;

k n

Montrer que les deux suites (u n ) et (vn ) convergent vers une même limite que l’on déterminera. (2n + 1)(2n + 3)...(4n − 1) 3) En déduire lim . n→+∞ (2n)(2n + 2) . . . (4n − 2) *

Trouver toutes les fonctions de classe C2 de R dans

R telles que : ∀ x ∈ R

290

M(b − a)2 4

a+b 2

g(b) + g(a) − 2g

2) Soit f une application de classe C2 de [0, 1] dans C.

Soit f une fonction continue de [0, 1] dans R, dérivable en 0. Montrer que la fonction F définie sur ]0, 1] par x 1 F(x) = 2 t f (t) d t peut être prolongée en une fonction x 0 de classe C1 sur [0, 1].

On suppose que

Montrer que :

f (x) +

x 0

(x − t) f (t) d t = 1

*

(1)

Dans cet exercice, E = R3 [X] et, pour tout réel x et tout élément P de E, on pose f x (P) = P(x) ainsi que : F(P) =

b a

P(t) d t.

Dans la suite, a , b et c sont trois réels distincts.

7. Le lien entre dérivation et intégration 1) Trouver une condition nécessaire et suffisante simple liant a, b et c pour que les quatre formes linéaires f a , fb , f c et F forment une famille liée de E ∗ . 2) On suppose cette condition remplie. En déduire une expresb

sion simple de

a

R3 [X].

P(t) d t valable pour tout polynôme de

Par récurrence, on définit T 0 = Id E et, pour n T

n+1

=T ◦T

0 :

n

1) Montrer que : ∀ n ∈ N∗

T n ( f )(x) =

∀x ∈ R

x 0

(x − t)n−1 f (t) d t (n − 1)!

2) Déterminer Ker(T n ) et Im(T n ) pour tout entier n > 0.

Dans cet exercice, E = C0 (R) et, pour tout élément f de E, on définit l’application F( f ) en posant : F( f )(x) =

x 0

En déduire que (T n ) induit un isomorphisme de C0 (R, C) dans Im(T n ). 3) Déterminer les spectres de T et T 2 . 4) Montrer que, pour tout élément f de E, la série de fonctions T n ( f ) converge simplement sur R et donner une

t f (t) d t

1) Prouver que F est un endomorphisme de E.

∞

expression intégrale de

2) Étudier l’injectivité et la surjectivité de F.

n=1

3) Déterminer les éléments propres de F. *

1) Montrer que, pour tout entier n

T n ( f )(x).

3, l’équation

On considère la fonction f définie par : ∞

x n = ex admet une unique solution sur [0, n], notée u n .

f (x) =

(−1)n−1 n x 2 + n2

2) Démontrer que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite L.

1) Donner le domaine de définition de f . Calculer f (0).

3) Déterminer un développement limité de u n à la précision 1 o . n2

2) Donner une expression de f (x) − ln 2 sous la forme de la somme d’une série de fonctions. En déduire la limite de f en +∞.

1

3) Montrer que f est continue, puis de classe C∞ . 1) Montrer que, pour tout réel x > 0, on peut poser x2

f (x) =

x

∀ t ∈ [0, T ]

2) Prouver que f est de classe C1 sur R+∗ . 3) Calculer f et prouver que f R+∗ en un point a de ]1, 2[.

s’annule une seule fois sur 2

4) En utilisant la décroissance de la fonction t → e−t , déterminer un encadrement simple de f (x) et déterminer les limites de f en 0+ et en +∞. 5) Dresser le tableau des variations de f et donner l’allure de son graphe. *

Étude et graphe de la fonction définie par : F(x) =

x2 x

dt ln t

**

On note E = C0 (R, C) et on définit l’endomorphisme T de E par : T ( f )(x) =

x 0

**

Soit g une application continue de [0, T ] dans R. Montrer que :

2

e−t d t, et déterminer le signe de f (x). t

f (t) d t

t 0

∞

g(u) d u = lim

x→+∞

k=1

T

(−1)k−1 k!

0

∞

Pour x réel, on pose f (x) = converge.

1

ekx(t−u) g(u) d u

xn quand la série n2

1) Déterminer l’ensemble E de définition de la fonction f . 2) Donner pour la dérivée f (x) une expression simple valable sur ] − 1, 1[. En déduire le tableau de variations de f . p2 3) On donne f (1) = . Calculer f (−1). 6 4) Préciser les tangentes en x = −1 et x = 1 à la courbe d’équation y = f (x). 5) Trouver l’ensemble D de définition de la fonction w telle x que w(x) = f (x) + f − . 1−x 1 Calculer w (x). En déduire la valeur de f . 2

291

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

*

8

Fonctions intégrables

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’histoire de la théorie de l’intégration est typique du cheminement des idées mathématiques. Les mathématiciens du XVIIIe siècle ont utilisé le calcul différentiel et intégral sur des bases intuitives. En 1832, les travaux de Cauchy sur la notion de limite lui permettent de définir rigoureusement l’intégrale d’une fonction f continue sur un segment [a, b]. En 1854, Bernhard Riemann, dans son mémoire sur les séries trigonométriques, élargit le problème en cherchant à préciser les fonctions auxquelles cette définition s’applique. Il introduit les fonctions intégrables au sens de Riemann, un ensemble complexe, difficile à manipuler. e Au début du XX siècle, Emile Borel définit les ensembles de réels de mesure nulle. Henri Lebesgue, dans sa thèse de 1902, reprend certaines idées de Borel et fournit un cadre plus simple à l’intégration. Des théorèmes puissants vont s’appliquer aux suites et séries de fonctions, ainsi qu’aux fonctions définies par des intégrales. Nous présenterons certains d’entre eux en nous limitant à des fonctions continues par morceaux. Nous avons déjà défini la notion d’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Nous allons maintenant généraliser cette définition à des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque. 292

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Convergence d’une intégrale généralisée. Fonction continue par morceaux sur un intervalle I , intégrable sur I . Critères d’intégrabilité d’une fonction continue par morceaux sur I . Espaces vectoriels normés de fonctions intégrables. Théorème de convergence dominée. Intégration terme à terme d’une série de fonctions. Continuité d’une fonction définie par une intégrale. Dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.

8. Fonctions intégrables I désigne un intervalle d’intérieur non vide et K est R ou C. Les fonctions considérées dans ce chapitre seront des fonctions continues par morceaux sur I , à valeurs dans K.

1

Convergence des intégrales généralisées

1.1. Intégrales convergentes L’étude des séries nous a conduit à définir les séries numériques convergentes et les séries absolument convergentes. Nous allons, en procédant de manière analogue, étendre la notion d’intégrale. Soit f ∈ CM ([a, b[, K) b ∈ R . Pour tout x de [a, b[, on pose : x

F(x) =

a

f (t) d t.

Si F a une limite à gauche en b, on dit que l’intégrale (ou

[a,b[

Nous travaillerons toujours avec des fonctions continues par morceaux sur un intervalle I . Lorsque l’intervalle I considéré n’est pas un segment de R, les intégrales sont qualifiées d’impropres ou de généralisées.

b a

f (t) d t

f (t) d t) converge et on note :

[a,b[

f (t) d t =

b a

x

f (t) d t = lim

x→b−

a

f (t) d t.

On définit, de manière analogue, si f est une fonction de CM (]a, b], K) , a ∈ R , lorsqu’elle converge, l’intégrale

b a

f =

]a,b]

Soit f une fonction de CM (]a, b[, K) (a, b) ∈ R de ]a, b[. Si les fonctions

c

x→

x

f (t) d t

et

x

x→

c

f.

2

, et c un point

f (t) d t

admettent

une limite, réelle ou complexe, respectivement en a et en b, la somme

alors que l’intégrale

b a

f ( ou

]a,b[

b

a

f =

]a,b[

f . On dit c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

de ces limites est notée, de manière impropre,

f ) est convergente. Lorsque I = [a, b], et f est dans CM [a, b] , l’inté-

Une intégrale généralisée qui ne converge pas est dite divergente .

grale

b

f définie dans le cha-

a

pitre 5, est la limite en b de Soit f dans CM([a, b], K). Les intégrales convergent et : ]a,b]

f =

]a,b[

f =

[a,b[

f =

]a,b]

f,

[a,b]

]a,b[

f,

[a,b[

f

(x →

x

a

f ). Il est cohérent

d’utiliser la même notation.

f.

293

Maths, MP-MP∗

On dira aussi que l’intégrale

[a,b]

qualifiée d’impropre.

f converge, mais cette intégrale n’est pas

En définitive, si I est un intervalle, et f une fonction de CM(I , K), la notation

f désigne :

I

• Si I est un segment, l’intégrale définie dans le chapitre 5. • Sinon, lorsque l’intégrale

I

impropre.

f converge, la valeur de cette intégrale

2 1 Exemple : La fonction [p, +∞[→ C, x → 2i − 2 eix est continue sur x [p, +∞[. x 2 2 2 x 2 1 eix eit eip 2i − 2 eit d t = = − . t t x p p

p

Donc :

x

lim

x→+∞ +∞

L’intégrale

p

2i −

p

1 t2

+∞ p

2i −

1 t2

2

2

eit d t = −

eip . p

2

eit d t est convergente et : 2i −

1 t2

2

eit d t = −

2

eip . p

1.2. Une condition suffisante d’existence de l’intégrale impropre On dit qu’une fonction f de CM(I , K) est intégrable (ou sommable) sur I si l’intégrale

I

| f | converge.

dit que

Le théorème suivant donne une condition suffisante de convergence d’une intégrale impropre.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 1 Soit f une fonction continue par morceaux intégrable sur I . Alors l’inI

|f|

converge, on

I

L’ensemble des fonctions continues par morceaux et intégrables de I dans K est noté I(I , K).

tégrale

Lorsque

f converge.

I

f

est absolument

convergente. La notation I(I , K) n’est pas universelle. Vous rencontrerez parfois L1 (I , K). Attention, dans les ouvrages de mathématiques plus avancées, cette notation désigne un ensemble plus vaste que I(I , K), dans le cadre d’une théorie plus complexe.

Démonstration Rédigeons la démonstration dans le cas où I = [a, b[ et K = R. Soit f dans I(I , R). Nous savons que : 0 f + | f | 2| f |. La fonction 2

b a

x

a

( f + | f |)(t) d t

est croissante sur [a, b[, majorée par

| f (t)| d t. Elle admet une limite réelle en b. L’intégrale généralisée

converge.

294

x →

x a

f (t) d t

Rapport Centrale, 2001 « Les théorèmes généraux sur l’intégrabilité sont en général connus, les définitions le sont beaucoup moins ! »

8. Fonctions intégrables Lorsque la fonction f est à valeurs complexes, on utilise : f = Re( f ) + iIm( f ).

Théorème 2 Une fonction f de CM(I , K) est intégrable sur I si et seulement s’il existe un réel positif M tel que, pour tout segment J contenu dans I , on ait

J

|f|

M.

Cette caractérisation de f intégrable sur I est parfois proposée comme définition de l’intégrabilité de f .

Dans ce cas : | f | = sup

[c,d]⊂I

I

[c,d]

| f |.

Démonstration Rédigeons dans le cas où I = [a, b[. Alors la fonction w définie sur I par : x→

[a,x]

|f|

est croissante sur I . Elle admet une limite à gauche en b si et

seulement si elle est majorée sur I = [a, b[. Pour tout segment J ⊂ I , on a, si f est intégrable sur I : J

|f|

I

| f | = sup

[c,d]⊂I

[c,d]

| f |.

Corollaire 2.1 Soit f dans CM([a, b], K). Alors f est intégrable sur les intervalles [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[ et : ]a,b]

f =

]a,b[

f =

[a,b[

Rapport CCP, 2001 « L’intégrabilité de b et g est rarement convaincante. »

f =

[a,b]

f

Rapport Centrale, 2000 « ...ce que l’on doit vérifier dans le cadre strict du programme est la continuité, ou la continuité par morceaux de l’intégrande. »

Démonstration Soit f une fonction de CM(I , K), avec I = [a, b]. Le réel M =

I

| f (t)| d t convient.

Dans le cas où I = [a, b[, pour tout a < x < b, on a : fonction croissante de (x → généralisée

x a

x a

x a

| f (t)| d t

M. La

| f (t)| d t) a donc une limite réelle en b. L’intégrale

| f (t)| d t converge.

Rapport Mines-Ponts, 2001 « De plus, on peut attendre de candidats au concours commun qu’ils justifient dans un premier temps l’existence des intégrales qu’ils manipulent. »

Exemple : 2 • La fonction f : x → |x| sin(x)e−x

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Corollaire 2.2 2 Soit f une fonction de CM (]a, b[, K) (a, b) ∈ R , et c un point de ]a, b[. La fonction f est intégrable sur I si et seulement si elle est intégrable sur I ∩] − ∞, c] et sur I ∩ [c, +∞[. est continue sur R.

+

Sur R , la fonction f est intégrable car, pour tout [a, b] ⊂ R+ : b a

| f (x)| d x

b a

2

xe−x d x =

2 1 −a 2 e − e−b 2

1 . 2

295

Maths, MP-MP∗

Elle est également intégrable sur R− , car, pour tout [a, b] ⊂ R− : b a

b

|f|

a

2

|x|e−x d x

1 . 2

Rapport Ensam, 2002 « la notion d’intégrabilité de fonctions à valeurs complexes est maîtrisée par trop peu d’étudiants. »

Elle est donc intégrable sur R. Pour s’entraîner : ex. 1.

1.3. Les exemples à connaître +∞

Les intégrales généralisées

1

Riemann. Nature de l’intégrale

+∞ 1

dt et ta

1 0

dt sont appelées intégrales de ta

dt , où a est réel. ta

1 Les fonctions fa définies sur [1, +∞[ par f a (x) = a sont continues et x positives sur [1, +∞[. • Si a = 1, alors l’intégrale diverge. • Si a = 1 alors, pour tout x > 1 : x 1

x

dt −t −a+1 = ta a−1

1

1 = 1 − x −a+1 . a−1

Finalement : +∞

dt converge si et seulement si a > 1. Les ta 1 sont intégrables sur [1, +∞[ si et seulement si a > 1.

L’intégrale généralisée fonctions f a Dans ce cas :

+∞ 1

Nature de l’intégrale

1 0

1 dt = · ta a−1

dt , où a est réel. ta

Les fonctions f a définies sur ]0, 1] par positives sur ]0, 1]. • Si a = 1, alors l’intégrale diverge.

f a (x) =

1 sont continues et xa

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• Si a = 1 alors, pour tout x > 0 : 1 x

t −a+1 dt = − ta a−1

1 x

=

1 1 − x 1−a . 1−a

1

dt converge si et seulement si a < 1. Les fonctions f a a 0 t sont intégrables sur ]0, 1] si et seulement si a < 1. Dans ce cas :

L’intégrale

1 0

296

dt 1 = · a t 1−a

Bernhard Riemann, mathématicien allemand, (1826-1866). L’intervalle [1, +∞[ n’est pas borné. Rapport TPE, 2002 « On a ainsi vu des candidats affirmer (et même tenter de démon1 trer) l’intégrabilité de x → x sur ]0, 1[. »

L’intervalle ]0, 1] est borné, mais les fonctions ne sont pas bornées sur cet intervalle si a > 0.

8. Fonctions intégrables

Nature de l’intégrale

1

ln(t) d t.

0

La fonction définie sur ]0, 1] par sur ]0, 1]. Pour tout x > 0, :

1

x

f (x) = ln(x) est continue et négative

sur ]0, 1]. Nature de l’intégrale

est toujours divergente.

+∞ 0

dt ta

1

(− ln(t)) d t = − t ln(t) + t x .

L’intégrale converge et :

L’intégrale généralisée

1 0

(− ln(t)) d t = 1. La fonction ln est intégrable

+∞ 0

L’intervalle ]0, 1] est borné, mais la fonction n’est pas bornée sur cet intervalle.

exp(−at) d t, où a est réel.

Les fonctions f a , définies sur [0, +∞[ par f a (x) = exp(−at), sont continues et positives sur [0, +∞[. Si a = 0, l’intégrale diverge. Si a = 0, pour tout x > 0 : x 0

L’intégrale

+∞ 0

L’intervalle [0, +∞[ n’est pas borné.

exp(−at) d t = −

exp(−at) a

x 0

.

exp(−at) d t converge si, et seulement si a > 0. Les fonc-

tions f a sont intégrables sur [0, +∞[ si, et seulement si a > 0. En pratique, pour montrer que l’intégrale converge, nous essaierons de prouver que la fonction f est intégrable sur I . Lorsque I =]a, b[, l’intégrabilité sur I de f équivaut à la convergence des intégrales

]a,c]

| f | et

[c,b[

| f | donc à l’intégrabilité sur ]a, c] et sur [c, b[,

de | f | où a < c < b. Toutefois, il existe des fonctions non intégrables sur I dont l’intégrale converge.

Application 1 L’ intégrale On considère la fonction définie sur R+ par sin t t

si

t = 0,

2) Montrer que l’intégrale convergente. 3) En déduire que l’intégrale

0 +∞ −∞

dt

Considérons les intégrales

1) Montrer que la fonction f n’est pas intégrable sur R+ . sin t dt t

t

1) f est continue sur R+ .

f (0) = 1.

∞

0

sin t

est

np 0

n−1

| f|=

kp

n−1

p

k=0

sin(et ) dt est

convergente, mais non absolument convergente.

n−1 k=0

0

(k+1)p

k=0

=

np

0

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

f (t) =

∞

| f |.

| sin u| du u

sin t dt t + kp

1 (k + 1)p

p 0

sin t d t·

297

Maths, MP-MP∗

Donc

np

lim

n→+∞

Soit a et b deux réels, b > 0.

| f | = +∞ et f n’est pas inté-

0

Nous avons :

grable sur R+ .

b

2) Intégrons par parties. Pour tout x > 0 : x 0

sin t 1 − cos t dt = t t

x 0

+

x 0

0

1 − cos t d t· t2

Pour tout t

1 :

Mais :

b

sin e d t = sin(et ) d t =

−∞

2 · t2

x→+∞

sin t dt = t

0

= 3) La fonction h : sur R.

2

∞

sin t dt t

∞

1 − cos t d t· t2

0

0

t → sin(et )

−5

−4

−3

−2

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

298

n

M.

[an ,bn ]

f = lim

n→+∞

−∞

−1 0

1

Doc. 1. (t → sin(et ))

2) Si f est intégrable sur I , alors, pour toute suite croissante ([an , bn ]) de segments dont la réunion est égale à I , on a : f = sup

+∞

−1

est continue

1) f est intégrable sur I si et seulement si il existe un réel M et une suite croissante ([an , bn ]) de segments dont la réunion est égale à I telle

I

0

sin u d u· u

−0,5

Théorème 3 Soit f une fonction continue par morceaux de I dans R+ .

f

∞

sin u d u· u

[an ,bn ]

sin(et ) d t est

0,5

2.1. Utilisons l’intégration de fonctions continues par morceaux sur un segment

[an ,bn ]

ea

1

Critères d’intégrabilité de fonctions positives

que, pour tout n,

sin u d u· u

convergente, mais non absolument convergente.

x

x

eb

On en déduit que l’intégrale

sin t d t admet donc une limite fit 0 nie lorsque x tend vers +∞ et : lim

1

t

a +∞

Donc g est intégrable sur [1, +∞[ car son intégrale sur tout segment contenu dans [1, +∞[ est 2 majorée par d t. 2 t [1,+∞[ L’intégrale

eb

La fonction h n’est pas intégrable sur R+ .

1 − cos t La fonction g : t → est continue sur t2 +∗ R et prolongeable par continuité en 0. g est bornée et donc intégrable sur ]0, 1]. 1 − cos t t2

| sin(et )| d t =

f

2

3

t

8. Fonctions intégrables

Démonstration 1) Soit [c, d] un segment contenu dans I ; alors c et d sont dans I , donc : ∃N ∈N

∀n

N

[c, d] ⊂ [an , bn ] d’où

f est donc intégrable sur I et

I

f

sup n

[an ,bn ]

[c,d]

f

[an ,bn ]

f

M.

f . La réciproque est immédiate.

2) Ce point se démontre immédiatement en utilisant les inégalités.

Exemple : La fonction f : (x → e−x ) est continue et positive sur R+ . Pour tout n de N, on a : n e−t d t = [−e−n + 1] 1· 0

Donc f est intégrable sur R+ . De plus :

R+

e−t d t = 1.

2.2. Intégrabilité et primitives Lorsqu’une primitive F de la fonction f est connue, son utilisation est très efficace. Théorème 4 Soit f une fonction continue par morceaux de I dans R+ et F une primitive de f sur I . Alors : • f est intégrable sur I si et seulement si la fonction F est bornée sur I ; • si f est intégrable sur I , on a : I

f = lim F(y) − lim F(x) y→sup I

x→inf I

Exemple :

1 . f est continue, positive sur R. Sa primi1 + t2 tive F : (t → Arctan t) est bornée sur R . Elle est intégrable sur R dt = p. et 2 R 1+t Posons

f (t) =

Application 2

n−1

Convergence et limite de la suite u n =

√ 1

n−1

Étudier la suite définie par : u n = 1

1 Posons f (t) = √ sur ]0, 1[. t(1 − t)

1 √ k(n − k)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Pour s’entraîner : ex. 2 et 3.

1 k(n − k)

La fonction f est continue et positive sur ]0, 1[. 1 Son graphe admet la droite d’équation x = pour 2 axe de symétrie. Une primitive de f sur ]0, 1[ est la fonction (t → Arcsin (2t − 1))

299

Maths, MP-MP∗

y

Avec Maple :

3

W .7+pdf-1/+p+npdk+ool+oZ Arcsin (2t − 1) Doc. 2. Une primitive de f .

2

Cette primitive est bornée sur ]0, 1[, donc f est intégrable sur ]0, 1[. n−1

un = 1

=

1 n

1 1 √ = n k(n − k)

n−1 1

1 n

1 k n

1

k n

f

Posons vn =

n−1

E(n/2)

k n

f 1

1

k 1− n 0 1 n

.

(k+1) n k n

1, E

f

n −1 2

1 f n

x

1

Doc. 3. Comparaison intégrale et suite

2 Lorsque n est pair, 2vn = u n + et lorsque n n est impair, 2vn = u n . De plus, la fonction f est 1 décroissante sur 0, . 2 Pour tout k de

1 2

n 2

(k−1) h

f.

k n

k n

(k−1) n

( )

Nous en déduisons : Puis :

k n

1 f n

: E n 2 n

lim

n→+∞

E n 2 n 1 n

f

1 n

( )

:

k n

Et pour tout k = E

f =

1 2

0

vn

0

f.

f . D’où :

lim u n = lim 2vn =

n→+∞

1 2

f.

n→+∞

]0,1[

f = p.

2.3. Intégrabilité sur [a, +∞[ et comportement de f en +∞ Soit I = [a, +∞[ et f dans CM I , R+ .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Si f admet l pour limite en +∞ et si f est intégrable sur I , alors l = 0. 2) lim f = 0 ne suffit pas à assurer l’intégrabilité de f . 3)

x→+∞

lim

x→+∞

f = 0 n’est pas une condition nécessaire d’intégrabilité de f . y

Démonstration 1) f est une fonction positive et l sa limite en +∞. Si l = 0, alors l > 0. Dans ce cas, f ne peut être intégrable sur I , car (doc. 4) : ∃A∈ I

∀x

A

Et donc : ∀x

300

A

[ A, x]

f

f (x)

l · 2

l (x − A)· 2

[ a

l x

l 2 A

A+ x

Doc. 4. f n’est pas intégrable sur [a, +∞[.

8. Fonctions intégrables 2) Un contre-exemple suffit pour comprendre qu’une fonction continue par morceaux sur I , de limite nulle en +∞ et positive sur I , peut ne pas être intégrable sur I . 1 Considérons la fonction f définie sur I = [1, +∞[ par f (x) = . Elle est positive x x dt et continue sur I et de limite nulle en +∞. De plus = ln x tend vers +∞ t 1 lorsque x tend vers +∞. f n’est pas intégrable sur I .

()

2

()

3 = 9 2 4 3 2

3) Ici, un exemple suffit aussi pour montrer qu’une fonction peut être continue par morceaux, positive et intégrable sur [a, +∞[, sans nécessairement avoir de limite nulle en +∞.

3

2

Soit n > 1. Considérons la fonction f définie sur [0, +∞[ par : ⎧ 1 1 n ⎪ ⎪ si x ∈ n − n , n et n ∈ N∗ ⎪ f (x) = 3 x − n + n ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 1 f (x) = −3n x − n − n si x ∈ n, n + n et n ∈ N∗ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ f (x) = 0 si x ∈ / n − n,n + n ⎪ ⎩ 2 2 n

y

3

3 = 27 8 2

x

Doc. 5. Graphe de f

n

() 3 2

y

1

+

Alors, f est dans CM([0, +∞[, R ) et ne tend pas vers 0 lorsque x tend vers +∞, toutefois : n k 3 f = 3· ∀n 2 4 0,n+ 1n 1

x n − 1n 2

2

+∞

La fonction f est donc intégrable sur [1, +∞[ et

R

f = k=1

k

3 4

= 3.

n

n + 1n 2

Doc. 6.

Application 3

Intégrabilité et limite en +∞

lim x n = +∞ et

lim

n→+∞

n→+∞

f (x n ) = 0

∃ xn

n

f (x n )

´.

L’uniforme continuité de f se traduit par l’existence de a > 0 tel que, pour tout (x, y) de [a, +∞[2 |x − y|

a ⇒ | f (x) − f (y)|

1 ´. 2

xn

f

1 a´. 2

Le critère de Cauchy pour l’existence de la limite, quand x tend vers +∞, de 2) lim

x→+∞

f

x a

x

a

f , n’est pas vérifié.

est intégrable sur

[a, +∞[ ,

donc

f existe et, par conséquent :

1) Si f ne tend pas vers 0 en +∞, il existe ´ > 0 tel que : ∀n ∈ N

xn +a

Nous en déduisons, pour tout n :

lim

n→+∞

n+1 n

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit a un réel et f une application continue de [a, +∞[ dans R+ , intégrable sur [a, +∞[. 1) Montrer que, si f est uniformément continue sur [a, +∞[ , elle tend vers 0 en +∞. 2) Montrer qu’il existe une suite (x n ) croissante de [a, +∞[ telle que :

f = 0.

Or f est continue. Soit F une primitive de f . Pour tout n, il existe donc x n dans ]n, n + 1[ tel que : n+1

n

f = F(n + 1) − F(n) = f (x n ).

La suite obtenue (x n ) convient.

301

Maths, MP-MP∗

2.4. Comparaison à une série numérique Théorème 5 Soit f dans CM(R+ , R+ ), décroissante, alors la fonction f est intégrable sur R+ si, et seulement si, la série f (n) converge : f ∈ I R+ , R+ ⇔

f (n)

converge

Démonstration On se rapportera au chapitre 4 sur les séries numériques.

Exemples : Les intégrales de Riemann Les fonctions f a définies sur [1, +∞[ par f a (x) = et positives sur [1, +∞[.

1 sont continues xa

Lorsque a > 0, la fonction f a est positive, continue et décroissante sur R+ . Le théorème précédent nous indique qu’elle est intégrable si et seulement si la 1 série converge, donc si et seulement si a > 1. na Lorsque a 0, la fonction f a n’est pas intégrable sur R+ car ses primitives ne sont pas bornées. Si b est un réel fixé, les fonctions ga , définies sur ]b, +∞[ par 1 ga (x) = , sont continues et positives sur cet intervalle. Pour quelles (x − b)a valeurs de a sont-elles intégrables sur [b + 1, +∞[ ? Soit en reprenant le calcul précédent, soit en effectuant le changement de variable défini par u = x − b, vous montrerez aisément que : 1 La fonction x → (x − b)a ment si a > 1.

est intégrable sur [b + 1, +∞[ si et seule-

Rapport Centrale, 2000 « Les erreurs les plus fréquentes 1 sont de croire que 2 est intét grable sur R+ . »

La fonction ga n’est jamais intégrable sur ]b, +∞[. Elle est intégrable sur ]b, b + 1] lorsque a < 1.

Pour s’entraîner : ex. 4.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

2.5. Critères d’intégrabilité de fonctions à valeurs positives par comparaison 2.5.1 Croissance de l’intégrale Théorème 6. Croissance de l’intégrale Soit f , g dans CM I , R+ telles que 0

f

g.

• Si g est intégrable sur I , alors f est intégrable sur I et 0

I

f

I

g

• Si f n’est pas intégrable sur I , alors g ne l’est pas.

302

Les critères énoncés dans ce paragraphe sont des conditions suffisantes d’intégration.

8. Fonctions intégrables

Démonstration • Si g est intégrable sur I , alors, pour tout segment [a, b] contenu dans I , on a : 0

[a,b]

f

[a,b]

Donc f est intégrable sur I , et 0

I

f

g

I

I

g=M

g.

• Par contraposée, si f n’est pas intégrable sur I , g ne l’est pas.

Application 4

Pour s’entraîner : ex. 5.

Deux calculs d’intégrales

1) La fonction

1 t→ √ t(1 + t 2 )

0

dt √ = lim 2 t(1 + t 2 ) n→+∞

n 1 n

√ p 2 2

2) La fonction

dt 1 √ . 2 (1 + t ) 2 t

√ Effectuons le changement de variable u = t. √ ∞ ∞ dt du p 2 √ =2 = . (1 + u 4 ) 2 t(1 + t 2 ) 0 0

t →

positive sur ]0, +∞[.

Arctan t ta

est continue et

Or, sur ]0, 1], on a : t 1−a 2

est continue et

positive sur R+∗ . 1 1 √ et la fonction De plus, √ 2 t(1 + t ) t 1 t→√ est intégrable sur ]0, 1]. t 1 1 Pour tout t 1, on a √ (1 + t 2 ) t(1 + t 2 ) 1 est intégrable sur et la fonction t → (1 + t 2 ) [1, +∞[. 1 Donc la fonction t → √ est intét(1 + t 2 ) +∗ grable sur R . ∞

Avec Maple :

W .7+pcfpdm)Baool)Xegg.74.7.+"oZ

Arctan t ta

t 1−a .

La fonction (t → t 1−a ) est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si a < 2. Et, sur [1, +∞[, p 1 4 ta

Arctan t ta

p 1 . 2 ta

1 est intégrable sur [1, +∞[ ta si et seulement si a > 1. Arctan t Donc la fonction t → est intégrable ta sur ]0, +∞[ si et seulement si 1 < a < 2. La fonction

t→

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1 t→√ est t(1 + t 2 ) dt √ intégrable sur R+∗ et calculer . +∗ t(1 + t 2) R 2) Soit a > 0. Préciser pour quelles valeurs de Arctan t a la fonction t → est intégrable ta +∗ sur R . Arctan t 3) Calculer dt. t 3/2 +∗ R 1) Montrer que la fonction

3) Fixons 0 < ´ < A et intégrons par parties. A ´

Arctan t Arctan t d t = −2 √ 3/2 t t

A ´

+

A ´

dt 2√ t(1 + t 2 )

Puis : ∞ 0

Arctan t dt = 2 t 3/2

∞ 0

√ dt √ = p 2· 2 t(1 + t )

303

Maths, MP-MP∗

2.5.2 Intégrabilité et comparaison de fonctions au voisinage d’un point Théorème 7 Soit b ∈ R ∪ {+∞} et f , g deux fonctions de CM ([a, b[, R) . Si f =b O(g) et g est intégrable sur [a, b[, alors f est intégrable sur [a, b[ . Démonstration Soit f et g deux fonctions de CM ([a, b[, R) . Si f =b O(g), alors : ∃ K > 0 ∃ c ∈ ]a, b[

∀ x ∈ [c, b[

0

| f (x)|

K |g(x)|

f est donc intégrable sur [c, b[. Elle l’est sur [a, b[.

Corollaire 7.1 Soit b ∈ R ∪ {+∞} , et f et g deux fonctions de CM ([a, b[, R) .

On obtiendrait un théorème analogue avec des fonctions continues par morceaux sur ]a, b], a ∈ R ∪ {−∞} et f =a O(g). Rapport Centrale, 2001 « Pour l’étude de l’intégrabilité, on affirme (plus qu’on ne montre) 1 qu’on a affaire à un o 2 . Le t désarroi est grand lorsqu’on ne peut pas conclure ainsi. Étudier sin x l’intégrabilité de x → (x + sin x) est un exercice insurmontable. »

Si f ∼b g, alors f est intégrable sur [a, b[ si et seulement si g l’est. 2.5.3 Quelques exemples Considérons la fonction f définie sur [1, +∞[ par : f (x) = x n e−ax .

(n ∈ N, a ∈ R+∗ )

1 f est continue sur R+ , positive. Au voisinage de +∞, f (x) = O x2 1 et la fonction g, définie sur [1, +∞[ par g(x) = 2 , est intégrable sur x [1, +∞[ ; donc f est intégrable sur [0, +∞[. De plus : Donc :

x 0

t n e−at d t = − ∞ 0

t n e−at a

t n e−at d t =

n a

x 0

+ ∞

0

n a

x 0

t n−1 e−at d t·

t n−1 e−at d t·

Une récurrence simple permettra de prouver que : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∞ 0

t n e−at d t =

n! · a n+1

Soit la fonction f définie sur [1, +∞[ par f (x) =

e1/x . 1 + x2

f est continue sur [1, +∞[, positive. 1 Au voisinage de +∞, f (x) = O , qui est intégrable sur [1, +∞[. x2 f est donc intégrable sur [1, +∞[. Soit a et b deux réels (a < b) et f une fonction continue par morceaux, positive et bornée sur [a, b[. Alors la fonction F définie sur [a, b[ par F(x) =

304

x

a

f (t) d t est majorée.

! Approfondissez l’étude de ces

exemples, ils vous resserviront.

8. Fonctions intégrables En effet :

∀ x ∈ [a, b[

F(x)

(b − a) sup f (t)· t∈[a,b[

f est donc intégrable sur [a, b[. Ainsi, la fonction définie sur ]0, 1] par 1 f (x) = 1 − sin est intégrable sur ]0, 1]. x Pour s’entraîner : ex. 6 à 8.

Application 5

Intégrales de Bertrand

Considérons les fonctions définies sur R+∗ \ {1} 1 par f a,b (x) = a , où a et b sont deux x | ln x|b réels fixés. Ces fonctions sont continues et positives sur R+∗ \ {1} . 1) Pour quelles valeurs de a et b, ces fonctions 1 sont-elles intégrables sur 0, ? 2 2) Pour quelles valeurs de a et b, ces fonctions sont-elles intégrables sur [2, +∞[ ? Attention ! Contrairement à l’étude des intégrales de Riemann, dont les résultats sont exploitables dans une copie ou pour résoudre un exercice, cet exemple n’est traité que pour vous montrer des méthodes très importantes d’étude d’intégrabilité. Dans un problème ou un exercice de concours, les résultats suivants devront être redémontrés. 1) Étudions l’intégrabilité de f a,b sur

1 . 2 aux fonc-

0,

0

1

c

a

Doc. 8. Choix de c. Or, gc n’est pas intégrable sur l’est donc pas non plus. Si a = 1, soit x dans

[x,1/2]

dt = t| ln t|b

0,

0,

1 , 2

fa,b ne

1 . Alors : 2

du ub (en posant u = − ln t).

[ln 2,| ln x| ]

Lorsque x tend vers 0, | ln x| tend vers +∞ et nous sommes ramenés à une intégrale de Riemann sur [ln 2, +∞[. La fonction est intégrable si et seulement si b > 1. 2) Étudions l’intégrabilité de f a,b sur [2, +∞[. En procédant de manière analogue, vous montrerez que, lorsque a = 1, f a,b est intégrable sur [2, +∞[ si, et seulement si a > 1, et lorsque a = 1, si, et seulement si b > 1.

c

1

Or, gc est intégrable sur

0,

0

a

Doc. 7. Choix de c. aussi.

1 , 2

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Si a = 1, nous allons comparer f a,b 1 tions gc , définies par gc (x) = c . x Pour a < 1, en choisissant c dans ]a, 1[, on a, 1 1 au voisinage de 0 : a =o . b x | ln x| xc

f a,b l’est donc

Pour a > 1, en choisissant c dans ]1, a[, on a, 1 1 au voisinage de 0 : c = o . x x a | ln x|b

Joseph Bertrand, (1822 − 1900).

mathématicien

français,

305

Maths, MP-MP∗

3

Propriétés de l’intégrale

3.1. Linéarité de l’intégrale Théorème 8 I(I , K) est un K-espace vectoriel. L’application

f →

f

I

est une forme linéaire sur I(I , K).

Démonstration Vous vérifierez que I(I , K) est un sous-espace vectoriel de F(I , K). Pour la linéarité, rédigeons dans le cas où I = [a, b[. Si f et g sont intégrables sur I , et si a et b sont deux scalaires : lim

x→b

[a,x]

(a f + bg) = a lim

x→b

f + b lim

x→b

[a,x]

[a,x]

g·

Nous pouvons en déduire la cohérence des notations utilisées. En effet, soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle I . Si f est positive et intégrable sur I , nous savons que, en supposant I = [a, b[ pour simplifier : [a,b[

f = sup

[c,d]⊂I

[c,d]

f = lim

x→b

[a,x]

f·

Si f est à valeurs réelles, on pose : f + = max( f , 0) et

f − = min(− f , 0)·

Alors les fonctions f + et f − possèdent les propriétés suivantes : • les fonctions f + et f − sont continues par morceaux sur I • f = f+ − f− , |f| = f+ + f− • 0 f + | f | et 0 f− |f| Par conséquent, f est intégrable sur I si, et seulement si les fonctions f + et f − le sont et, dans ce cas : I

f =

I

f+ −

I

f −·

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Si f est à valeurs complexes, on pose : f = Re( f ) + iIm( f )· Alors les fonctions Re( f ) et Im( f ) possèdent les propriétés suivantes : • les fonctions Re( f ) et Im( f ) sont continues par morceaux sur I • 0 |Re( f )| | f | et 0 |Im( f )| | f | Par conséquent, f est intégrable sur I si et seulement si les fonctions Re( f ) et Im( f ) le sont et, dans ce cas : I

306

f =

I

Re( f ) + i

I

Im( f )·

8. Fonctions intégrables 3.2. Relation de Chasles Théorème 9 Soit f une fonction continue par morceaux et intégrable sur deux intervalles I et J . Si I ∪ J est un intervalle et si I ∩ J est vide ou réduit à un point, alors f est intégrable sur I ∪ J et : I ∪J

f =

f +

I

J

f

Démonstration Ces résultats se démontrent en utilisant la convergence des intégrales.

Théorème 10 Soit J et I deux intervalles tels que J ⊂ I et f une application continue par morceaux intégrable de I dans K. Les deux propriétés suivantes sont vérifiées : • •

Michel Chasles, mathématicien français, (1793-1880). Polytechnicien, il devient agent de change. Ruiné, il retourne aux mathématiques. Il excelle en géométrie.

f ∈ I( J , K) J

f =

I

f xJ .

Démonstration Si [a, b] est un segment contenu dans J , alors :

[a,b]

| f|

I

| f |.

Donc f est intégrable sur J . L ’égalité

J

f =

I

f x J se démontre en utilisant une primitive F de f sur I .

Application 6

Des équivalents

a) Montrer que, si alors

b

x

g =b O

b) Montrer que, si [a, b[, alors

x

a

f est intégrable sur [a, b[, b

x

f

g =b O

a

f

Alors, pour tout x b

.

x

2) a) En déduire que, si f ∼b g et si f n’est pas intégrable sur [a, b[, alors

x

a

g ∼b

x

a

f.

Arctan t dt t

1) a) Il existe K > 0 et c dans [a, b[ tels que, pour tout x de [c, b[ : |g(x)|

x

0

lorsque x tend vers +∞.

.

f n’est pas intégrable sur

x

b) Donner un équivalent de

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1) Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b[ b ∈ R ∪ {+∞} , à valeurs respectivement dans R+ et dans C, telles que g =b O( f ).

D’où :

g b

x

K f (x).

c, on a : b x

g =b O

|g|

K b x

f

b x

f.

.

307

Maths, MP-MP∗

b) Utilisons les mêmes notations que dans la question précédente. x a

x

g

a c

x→

x tend vers b et x a

a

x c c a

f

|g| + x

|g| + K

a

La fonction

c

|g| =

x c

|g|

f·

c

tend vers +∞ lorsque

x

g =b O

f

a

( f − g) =b o

a

a

g.

t →

Arctan t p ∼+∞ . t 2t Donc elle n’est pas intégrable sur ]0, +∞[ et : x 0

.

x

x

Arctan t est continue sur t ]0, +∞[ et se prolonge en 0 par continuité. b) La fonction

|g| est un réel fixé. Donc :

Vous démontrerez de même que dans la question 1) b), qu’alors : a

a

f ∼b

De plus

2. a) Si f ∼b g, alors f − g =b o( f ).

x

x

Donc

f

Arctan t d t ∼+∞ t

Or :

x 1

Soit :

1

Arctan t d t ∼+∞ t x

.

x

0

Arctan t dt t x 1

p dt 2t

Arctan t p d t ∼+∞ ln x t 2

3.3. Intégrale et continuité Rapport Mines-Ponts, 2001 « Un tracé rapide, direct ou à l’aide de la calculatrice, de la fonction à intégrer peut permettre d’orienter son étude. »

Théorème 11 Soit f une fonction continue, positive et intégrable sur I . L’intégrale de f sur I est nulle si et seulement si f est nulle. Démonstration f est une fonction continue, positive et intégrable sur I . Supposons que

I

f = 0 et rédigeons la démonstration dans le cas où I = [a, b[.

Pour tout x de [a, b[ :

0

[a,x]

f

I

f = 0.

f est continue et positive sur [a, x], elle est donc nulle sur [a, x]. Donc nulle sur I .

f est

Rapport Mines-Ponts, 2001 « Il convenait de préciser que la fonction à intégrer était continue et strictement positive. »

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 7

La fonction Gamma : G (x) = x étant un réel fixé, on définit la fonction f sur R+∗ par f (t) = e−t t x−1 . +∗

1) Étudier son intégrabilité sur R . 2) On définit sur R+∗ la fonction G par G (x) =

308

R+∗

e−t t x−1 dt.

R+∗

e−t t x−1 d t.

Montrer que : ∀ x ∈ R+∗

G (x + 1) = x G (x)·

3) Expliquer pourquoi la fonction G peut être considérée comme un prolongement de la factorielle.

8. Fonctions intégrables 1) f est continue et positive sur R+∗ , que nous allons scinder en ]0, 1] et [1, +∞[.

Lorsque A tend vers +∞ et ´ vers 0, on obtient :

Au voisinage de 0, f (t) ∼ t x−1 . Donc : f ∈ I ]0, 1], R ⇔ x > 0. Au voisinage de +∞,

1 t2

f (t) = o

Donc

3) En particulier : G (1) =

f est intégrable sur R+∗ si et seulement si x > 0. 2) Soit x > 0, A > 0 et ´ > 0, fixés. Intégrons par parties sur [´, A] :

´

e−t t x d t = − e−t t x

A ´

+

A

xe−t t x−1 d t

´

A

= −e− A A x + e−´ ´x +

´

lim e−´ ´x = 0.

´→0

G (x + 1) = x G (x).

. Donc :

f ∈ I [1, +∞[, R .

A

lim e− A A x = 0 ;

A→+∞

xe−t t x−1 d t.

R+∗

e−t d t = 1,

puis par récurrence : G (n + 1) =

R+∗

t n e−t d t = n!

Cette égalité nous permet de comprendre que la fonction G , introduite par Euler, peut être considérée comme un prolongement de la factorielle.

3.4. Inégalité de la moyenne Théorème 12 Soit f une fonction continue par morceaux intégrable de I dans K. Alors : f | f |. I

I

Rapport CCP, 2001 « les intégrales simples deviennent par leur convergence, et trop souvent leur calcul, un cauchemar partagé par les candidats et les examinateurs. »

Démonstration Ce résultat se démontre en utilisant la convergence des intégrales et la relation analogue vérifiée sur tout segment contenu dans I .

3.5. Changement de variables

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Théorème 13 Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle I et f une bijection d’un intervalle J sur I , de classe C1 sur J . Alors : • f est intégrable sur I si et seulement si f ◦ f |f | est intégrable sur J • si f est intégrable sur I : I

f =

J

f ◦ f |f |

• en notant a, b les extrémités de J et a1 , b1 les limites en a, b respectivement de f : b1 a1

f (x) d x =

b a

f (f(t)) f (t) d t

309

Maths, MP-MP∗

Démonstration Nous allons effectuer la démonstration dans le cas où I = [a, b[ . Le C1 -difféomorphisme w est une application strictement monotone, on pourra supposer que w est strictement croissant. Dans ce cas, w est de classe C1 et w est strictement positive sur I , de plus : J = w(a), lim w = [w(a), b[ . x→b−

Nous pouvons procéder par équivalence : | f | est intégrable sur J si et seulement si lim

x→b

Or

x

lim

x→b

| f (t)| d t = lim

x→b

w(a)

= lim

x→b

w−1 (x) a w−1 (x) a

x w(a)

| f (t)| d t existe.

| f ◦ w(u)|w (u) d u | f ◦ w(u)| |w (u)| d u.

car w est strictement positive sur I . De plus w−1 est continue sur J aussi : w−1 (x)

lim

x→b

y

| f ◦ w(u)| |w (u)| d u = lim

y→b

a y

Or la limite lim

y→b

a

grable sur I .

a

| f ◦ w(u)|w (u) d u.

| f ◦ w(u)|w (u) d u existe si et seulement si ( f ◦ w)w est inté-

Nous obtenons finalement | f | est intégrable sur J si et seulement si ( f ◦ w)w est intégrable sur I . Dans ces conditions : f = lim

x→b

J

= lim

y→b

x w(a) y

w−1 (x)

f (t) d t = lim

x→b

a

f ◦ w(u)w (u) d u =

a

I

f ◦ w(u)w (u) d u

( f ◦ w)w .

Dans le cas où w est strictement décroissante, J =

lim w ; w(a) = ]b ; w(a)]

x→b−

et w est strictement négative.

J

f = lim

x→b

w(a)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

y→b

Exemple : Calcul de

x→b

x

= − lim

y a

∞ 0

| f (t)| d t = lim

w−1 (x)

f ◦ w(u)w (u) d u = lim

y→b

f ◦ w(u)w (u) d u y a

f ◦ w(u)||w (u)| d u =

ln t dt a2 + t 2

• La fonction f : De plus :

a

t→

ln t + t2

a2

est continue sur ]0, +∞[.

ln t 1 ln t ∼0 2 ln t et =∞ o 2 2 +t a a + t2

a2

Cette fonction est donc intégrable sur ]0, +∞[.

310

1 t 3/2

.

I

( f ◦ w)|w |.

8. Fonctions intégrables • La fonction (u → t = au) est bijective et de classe C1 de R+∗ dans R+∗ . Posons t = au, alors : +∞ 0

ln t dt = + t2

a2

=

∞ 0

ln(au) adu a 2 (1 + u 2 )

ln a p 1 + a 2 a

+∞ 0

ln u d u. 1 + u2

1 • La fonction t → u = est bijective et de classe C1 de ]0, 1] dans t 1 [1, +∞[. Posons u = , alors : t +∞ 1

Nous en déduisons :

ln t dt = − 1 + t2

+∞ 0

0

ln u d u. 1 + u2

ln t d t = 0, puis : 1 + t2

+∞ 0

1

ln a p ln t dt = . a2 + t 2 a 2 Pour s’entraîner : ex. 9. et 10.

Espaces vectoriels normés de fonctions intégrables

4.1. La norme N1 Les fonctions continues et intégrables sur I à valeurs dans K constituent un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel C (I , K) des fonctions continues de I dans K. Cet espace vectoriel est muni de la norme N1 , dite norme de la convergence en moyenne, définie par : N1 ( f ) =

I

Le produit de deux fonctions intégrables sur I n’est pas nécessairement intégrable sur I . Il suffit de considérer la fonction : 1 f : ]0, 1] → R, x → √ x et de prendre f = g.

| f|

4.2. Fonctions de carré intégrable Une fonction continue par morceaux, à valeurs dans K, intégrable sur I lorsque | f |2 est intégrable sur I .

f , est dite de carré

Théorème 14 Le produit de deux fonctions continues par morceaux de carré intégrable sur I est intégrable sur I. Démonstration Soit f et g deux fonctions continues par morceaux de carré intégrables. 1 Alors, f g est continue sur I , et de plus, | f g| | f |2 + |g|2 . La fonction 2 | f g| est majorée par une fonction intégrable sur I , donc est intégrable sur I .

La fonction f , définie sur R+∗ 1 par f (t) = , est continue 1+t et de carré intégrable sur R+∗ et non intégrable sur R+∗ .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

4

La fonction g définie sur R+∗ par : ⎧ ⎨ √1 − 1 si t ∈ ]0, 1] g(t) = t ⎩ 0 si t 1 est continue, intégrable sur R+∗ , mais n’est pas de carré intégrable sur R+∗ .

311

Maths, MP-MP∗

Théorème 15 L’ensemble E des fonctions continues, à valeurs dans K, de carré intégrable sur I , est un sous-espace vectoriel de C(I , K).

4.3. Un produit scalaire sur E Théorème 16 Lorsque K = R, l’application : ( f , g) → ( f |g) =

I

fg

définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel des applications continues de carré intégrable sur I , à valeurs réelles. Lorsque K = C, l’application : ( f , g) → ( f |g) =

I

fg

définit un produit scalaire complexe sur l’espace vectoriel des applications continues de carré intégrable sur I , à valeurs complexes.

4.4. La norme N2 La norme définie par ce produit scalaire est appelée norme de la convergence en moyenne quadratique, et notée N2 . ∀ f ∈E

N2 ( f ) =

I

| f |2

1/2

Théorème 17. Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit f et g deux fonctions continues et de carrés intégrables sur I , alors : f |g

Augustin-Louis Cauchy, mathématicien français, (1789-1857) .

N2 ( f )N2 (g)

L’égalité a lieu si et seulement si f et g sont liées.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Corollaire 17.1 Soit f et g deux fonctions continues et de carrés intégrables sur I , alors : |( f |g)|

N1 ( f g)

N2 ( f )N2 (g)

Corollaire 17.2 Si ( f n ) et (gn ) sont deux suites de fonctions continues de carré intégrable sur I convergeant en moyenne quadratique vers f et g, alors f n |gn tend vers f |g . On dit aussi que le produit scalaire est continu pour la norme N2 .

312

Hermann Schwarz, mathématicien allemand, (1843-1921) .

8. Fonctions intégrables

Démonstration ( f |g) − ( fn |gn ) = ( f − f n |g) + ( f n |g − gn ) Donc :

|( f |g) − ( f n |gn )|

|( f − f n |g)| + |( f n |g − gn )| N2 ( f − f n )N2 (g) + N2 ( f n )N2 (g − gn )

Or

lim N2 ( f − fn ) = 0,

lim N2 (g − gn ) = 0

n→+∞

n→+∞

N2 ( f n ) = N2 ( f n − f + f )

et :

N2 ( f − f n ) + N2 ( f )

est bornée. D’où le résultat. Pour s’entraîner : ex. 11.

∞

Une curieuse inégalité :

0

f 2 (x) d x

2

4 an

Soit f dans C1 (R+ , R) telle que les applications 0

g : x → x 2 f 2 (x) et f

2

∞ 0

Montrer que l’application f 2 est intégrable et que

0

f2

2

4

∞ 0

g

∞ 0

f 2.

Or,

lim

n→+∞

Quand a-t-on égalité ?

Pour x

1, on a 0

f 2 (x)

g(x).

Or g est intégrable sur [1, +∞[ . Par comparaison directe, f 2 est intégrable sur [1, +∞[ . De plus, continue sur [0, 1] , la fonction f 2 est intégrable sur [0, 1] . La fonction g est intégrable sur [0, +∞[ , donc il existe une suite croissante (an ) telle que

1 x f 2 (x) 2

=

1 g(an ) 1 − 2 an 2

0

−

an

1 2

an 0

0

f 2 (x) d x

f 2.

x f (x) f (x) d x = −

1 2

∞ 0

f 2.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne alors : 1 4

∞ 0

f2

2

∞ 0

=

∞ 0

x 2 f 2 (x) d x g

∞ 0

∞ 0

f (x) d x

f 2.

Il y a égalité si et seulement si g = 0 ou s’il existe k dans R tel que, pour tout x, on ait f (x) = kx f (x). 2

lim an = +∞

La fonction f est alors de la forme x → Cekx où C et k sont deux réels.

lim g(an ) = 0.

Réciproquement, la fonction f convient si k < 0 (intégrabilité de g et f 2 ).

n→+∞

et telle que

0

an

=

g(an ) = 0, donc : an

∞

(Cette application utilise l’application 3 de ce chapitre)

f 2 (x) d x

0

x f (x) f (x) d x

soient intégrables sur [0, +∞[.

∞

∞

x 2 f 2 (x) d x

n→+∞

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Application 8

313

Maths, MP-MP∗

Application 9

Familles de polynômes orthogonaux

Soit I un intervalle ouvert et non vide de R et k une fonction continue de I dans R+∗ tels que, pour tout entier n 0, la fonction x → x n k(x) est intégrable sur I . On désigne par E l’ensemble des applications f de I dans R, continues sur I et telles que la fonction x → f 2 (x)k(x))

Expliciter P0 , . . . , P4 . b) Les polynômes de Tchebychev : I = ] − 1, 1[, Prouver que

1 k(x) = √ 1 − x2

dn (1 − x 2 )n−1/2 d xn où an est un réel que l’on calculera.

• Si f et g sont deux éléments de E, alors la fonction x → f (x)g(x)k(x)

Expliciter P0 , . . . , P4 . c) Les polynômes de Laguerre :

est intégrable sur I . E est un sous-espace vectoriel de C0 (I , R). • L’application :

Prouver que

( f , g) →

f |g =

I

f (x)g(x)k(x) d x

définit un produit scalaire sur E. 1. a) Prouver que toute fonction polynôme est dans E. b) Montrer l’existence d’une unique famille de polynômes (Pn )n∈N telle que : • pour tout n, Pn est unitaire de degré n ; • si n et k sont deux entiers distincts, alors Pn |Pk = 0. c) Démontrer que, pour tout entier n, le polynôme Pn admet n racines distinctes dans I .

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

dn (x − a)n (x − b)n , d xn où an est un réel que l’on calculera. Pn (x) = an

est intégrable sur I . Vérifier les assertions suivantes.

| : E × E → R,

d) En constatant que : ∀ (P, Q) ∈ R[X]2

X P|Q = P|X Q

prouver l’existence de deux suites réelles (u n ) et (vn ) telles que : ∀n

2

X Pn−1 = Pn + u n Pn−1 + vn Pn−2

2) Quelques familles classiques a) Les polynômes de Legendre : I = ]a, b[,

314

Prouver que

k(x) = 1

Pn (x) = an

1 − x2

k(x) = e−x

I = ]0, +∞[,

dn −x n [e x ] d xn où an est un réel que l’on calculera. Pn (x) = an ex

Expliciter P0 , . . . , P4 . d) Les polynômes de Hermite : I = ] − ∞, +∞[, k(x) = e−x

2

Prouver que 2 dn e−x d xn où an est un réel que l’on calculera. Expliciter P0 , . . . , P4 .

Pn (x) = an ex

2

1. a) Toute fonction polynôme est continue sur I . La condition d’intégrabilité est vérifiée par toute fonction monôme, donc, par linéarité de l’intégrale, par toute fonction polynôme. b) Fixons N > 0 et travaillons dans R N [X] muni du produit scalaire | et de la base (1, X, X 2 , . . . , X N ). Orthogonalisons cette base par le procédé de Schmidt. Nous posons P0 = 1 et supposons la famille (P0 , . . . , P j ) construite jusqu’à l’ordre j fixé de [[1, N − 1]]. Appelons p j la projection orthogonale de R N [X] sur le sous-espace vectoriel R j [X]. Le polynôme X j +1 − p j (X j +1 ) est orthogonal à R j [X] et appartient à R j +1 [X].

8. Fonctions intégrables Posons

Supposons que, pour un certain n

P j +1 = X j +1 − p j (X j +1 ).

Il vérifie les conditions imposées. Tout polynôme les vérifiant lui est colinéaire. Deux polynômes unitaires colinéaires sont égaux.

2, on ait :

X Pn−1 = Pn + u n Pn−1 + vn Pn−2 . Le polynôme X Pn − Pn+1 appartient à Rn [X], donc peut s’écrire sous la forme : n

X

j+1

X

j+1

X Pn − Pn+1 =

j+1

− pj (X )

ai Pi . i=0

De plus, si i

n:

X Pn − Pn+1 |Pi = ai Pi | Pi = X Pn |Pi j+1

pj (X )

= Pn |X Pi = 0 si i

j[x]

Donc :

De plus, les polynômes ainsi définis ne dépendent pas de N. Il existe donc une unique famille de polynômes (Pn ) vérifiant les conditions requises. c) La propriété est vraie pour n = 0. Fixons n > 0. Nous savons que Pn |P0 = 0, donc que Pn (x)k(x)d x = 0.

∃ (u n+1 , vn+1 ) ∈ R2 X Pn − Pn+1 = u n+1 Pn + vn+1 Pn−1 2. a) Nous contrôlons d’abord que, pour tout n de N, la fonction (x → x n ) est intégrable sur ]a, b[. Vérifions que, pour tout p et pour un certain a p que nous préciserons, le polynôme Pp est unitaire et que les polynômes (Pn ) sont orthogonaux. Pour tout p de N∗ , Pp unitaire entraîne :

Si Pn ne s’annule pas dans I , la fonction continue Pn k est de signe constant dans I . Son intégrale sur I ne peut s’annuler. Supposons alors que Pn admette p racines de multiplicité impaire sur I , avec p < n. Appelons x 1 , . . . , x p ces racines et Q le polynôme

ap =

1 . (2 p)(2 p − 1) . . . ( p + 1)

Soit n < m. Calculons Pn |Pm . Pn |Pm = an am

Q(X) = (X − x 1 ) . . . (X − x p ).

b a

dm (x − a)m (x − b)m d x. d xm

Ce polynôme appartient à Rn−1 [X] donc Pn |Q = 0. Le polynôme Q Pn n’a que des racines de multiplicité paire sur I , il est donc de signe constant sur cet intervalle et ceci nous montre alors que l’hypothèse p < n est impossible. d) Il est immédiat que : ∀ (P, Q) ∈ R[X]2

Vous effectuerez n + 1 intégrations par parties successives. En tenant compte du fait que a et b sont racines d’ordre m de [(x − a)m (x − b)m ], donc racines de ses dérivées jusqu’à l’ordre m − 1, vous obtiendrez : Pn |Pm = (−1)n+1an am

X P|Q = P|X Q

Montrons l’existence des suites (u n ) et (vn ). Le polynôme X P1 − P2 appartient à R1 [X]. Il est donc combinaison linéaire de P0 , P1 et s’écrit : X P1 − P2 = u 2 P1 + v2 P0 .

dn [(x − a)n (x − b)n ] d xn

b a

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Doc. 9. (Pn )n∈N

I

n−2 .

d2n+1 [(x − a)n (x − b)n ] d x 2n+1

dm−n−1 [(x − a)m (x − b)m ] d x d x m−n−1 = 0. Les polynômes de Legendre sont fournis par une petite procédure Maple.

315

Maths, MP-MP∗

Avec Maple : 7 -3.345+3?:/+29)4& 5*00)))K!=&@4&$))K! 345>

1

n n Legendre := proc(n) diff((x − a) × (x − b) , x $ n)/

0,5

product(n + i, i = 1..n) end

7 -3.345+3)E&>-3.345+3)D&>-3.345+3)C&>-3.345+3)B&> 7 02+ ( 0+28 E '2 B 52 92;;39')-3.345+3)(&"K& 25> 1

x −

b−

2

1 2

-1

0

-0,5

a

0,5

x

1

-0,5

2 1 2 2 (x − b) + (x − a) (x − b) + (x − a) 3 6 1 1 3 9 2 9 2 3 (x − b) + (x − a) (x − b) + (x − a) (x − b) + (x − a) 20 20 20 20 1 8 18 4 3 2 2 (x − b) + (x − a) (x − b) + (x − a) (x − b) 70 35 35 8 1 3 4 + (x − a) (x − b) + (x − a) 35 70 1

6

1

x −

x x

3

+

2

−

b−

2

1

+ (−a − b) x + 3 2

b−

3 2

a

x

2

6

1 2

2

b + 3

+

7 -)E"K&>-)D"K&>-)C"K&>-)B"K&> 7 /;2' )-)B"K&"K:FII*40*4*'J&> 1−x 1−2x + 1−3x +

a 1

2

a +

6 2

b +

5

-1

5

3

1−4x +3x ab

ab+

2

2

x

2

x2 −

−

2 3

x

3

1 6

x3

+

1 24

x

4

infinity

3

a

5

2

x

1 3 2 2 b − ab − a b − a − 20 20 20 20 1

x

4

+ (−2 a − 2 b) x

+ +

1 70

−

2 7

9

9

2

3

1 2

3

3

9

+

7

3 a −

2 7

9

2

24 9 2 2 a + ab+ b 7 7 3 b −

12 7

2 a b−

x

12 7

2

ab

0 2

infinity

x

8 8 3 1 4 18 2 2 4 3 b + ab + a b+ a + a b 35 35 70 35

Doc. 10. Polynômes de Legendre.

7 6)E"K&>6)D"K&>6)C"K&>6)B"K&> 7 /;2' )6)B"K&"K:!*40*4*'JII*40*4*'J&> 2x

b) c) d) On procède de même. Maple dispose d’un package de polynômes orthogonaux et connaît les polynômes de Tchebychev, Laguerre et Hermite.

4 x2 − 2 3 8 x − 12 x 4 2 16 x − 48 x + 12

infinity

Attention ! les polynômes fournis par Maple ne sont pas unitaires. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

x

Avec Maple : 7 L*',)2+',2/2;J&> [G, H , L, P, T , U ]

-infinity

7 H)E"K&>H)D"K&>H)C"K&>H)B"K&> 7 /;2')H)B"K&"K:!EIIE&>

0

x

infinity

x 2x 4x 8x

316

4

2

3

−1 −3x

− 8x

2

+1

Doc. 11. Polynômes de Tchebychev, Laguerre et Hermite.

8. Fonctions intégrables

5

Suites et séries de fonctions intégrables

5.1. Théorème de convergence dominée Théorème18. Théorème de convergence dominée de Lebesgue Soit ( f n ) une suite de fonctions continues par morceaux de I dans K telles que : • la suite de fonctions ( f n ) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I ; • il existe une fonction w continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que, pour tout entier n, | f n | w (hypothèse dite de domination).

Henri Lebesgue, mathématicien français, (1875-1941). D’origine très modeste, il entre à l’École Normale Supérieure après des études brillantes. Élève de Borel, il construit en 1902 la théorie de l’intégration qui porte son nom. Le théorème de convergence dominée date de cette période.

Alors : les applications f n et f sont intégrables sur I ; fn

I

lim

n→+∞

I

converge vers

fn =

f :

I

lim f n =

I n→+∞

I

f

La démonstration de ce théorème est hors-programme.

Pour s’entraîner : ex. 12 et 13.

Rapport X, 2001 « ...difficultés rencontrées pour utiliser la convergence dominée. »

Application 10 Calcul de (D’après École Nationale du Génie de l’Eau et de l’Environnement de Strasbourg, 1996.) On pose, pour n Bn =

∞ 0

1) Soit n

dx 1+

x2 n

1 √ n

et Cn =

n

0

1−

x2 n

n

In−1 =

0

cos2n−2 wdw.

2) Montrer que, pour n fixé gn :

x→

est intégrable sur R+ .

0

x2 1+ n

2

e−t d t

3) Montrer que : ∀n

n⇒

1 ∀ x ∈ R e−x ∞

1−

n

x2 n

e−x

2

−n

0

2

1+

2

e−t dt.

5) a) Montrer que la suite (Cn ) converge vers : ∞ 0

1, la fonction −n

x2

1 ∀x ∈ R

x2 1 n 1 + x2 √ 4) Calculer Bn en posant x = n tan w. En dé∀n

duire

1. Calculer p 2

dx.

∞

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

la suite numérique

2

e−t dt.

b) Calculer Cn . En déduire 6) Montrer que

∞ −∞

2

∞ 0

e−t dt = G

2

e−t dt. 1 2

.

317

Maths, MP-MP∗

p 2

1) In−1 =

0

Utilisons la formule de Stirling :

cos2n−2 w d w =

1 4

2p

e

iw

0

1 1 = 4 22n−2

+e 2

√

2n−2

−iw

2n − 2 × 2p . n−1

x2 n

−x 2

− x2

−n ln 1 +

x2 n

L’inégalité : 1

1 + x2

∀x ∈ R

1+

x2 n

n

est une conséquence de la formule du binôme. √ 4) Calculons Bn en posant x = n tan w. On obtient : √ p 2 √ p n 2n − 2 2n−2 Bn = n cos w d w = 2n−1 n−1 2 0 Dans le but de montrer la convergence de la suite (Bn ), considérons la suite de fonctions (gn ) avec : gn (x) =

1+

x2 n

−n

.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• Les fonctions gn sont continues, positives et intégrables sur R+ . • La suite de fonctions (gn ) converge simplement 2 sur R+ vers la fonction continue (x → e−x ). 1 • La fonction positive et intégrable x → 1 + x2 majore chacune des fonctions gn . Le théorème de convergence dominée permet d’affirmer que la suite (Bn ) converge et : lim Bn =

n→+∞

318

∞ 0

2

e−x d x.

p . 2

5) a) Posons ⎧ 2 ⎪ ⎨ 1− x n fn : x → ⎪ ⎩ 0

n

si x

√ n

si x >

√ n.

• La suite de fonctions ( f n ) converge simple2 ment sur R vers f : x → e−x , continue.

est vérifiée pour la même raison.

∀n

√

• Les fonctions f n , pour n 1, sont continues par morceaux sur R+ et intégrables sur R+ .

L’inégalité : ∀x ∈ R

2

e−x d x =

Appliquons à la suite ( f n ) le théorème de convergence dominée.

découle de la concavité de la fonction ln .

1

0

1 et x réel :

x 2 < n ⇒ n ln 1 −

∀n

∞

D’où

2) La fonction gn est continue et positive sur R+ . De plus, gn (x) = +∞ O x −2n et la fonction (x → x −2n ) est intégrable sur [1, +∞[. 3) L’inégalité, pour tous n

p 2

Bn ∼

dw

• Et enfin, les fonctions f n sont majorées par f , qui est intégrable sur R+ . ∞

Donc la suite (Cn ) converge vers b) Calculons Cn On obtient Cn =

0

2

e−x d x.

√ en posant x = n sin w. √

n

p/2 o

cos2n+1 w d w.

√ √ n In+1 Cn n In √ √ ∞ p p −x 2 Donc Cn ∼ ; d’où e dx = . 2 2 0 6) La dernière question résulte du changement de variable u = x 2 . D’où :

∞ 0

2

e−x d x = lim

a→0

= lim

u→0

A→+∞

∞ −∞

a U

lim

U →+∞

1 = G 2 D’où

A

lim

u

2

e−x d x e−u √ du 2 u

1 2

2

e−t d t = G

Ce résultat est à connaître.

1 2

=

√ p.

8. Fonctions intégrables 5.2. Intégration terme à terme d’une série de fonctions Conformément au programme, nous admettrons le théorème suivant. Théorème 19 Soit (u n ) une suite de fonctions continues par morceaux de I dans K et telle que : • pour tout n, u n est intégrable sur I ; • la série de fonctions u n converge simplement sur I et sa fonction somme, S, est continue par morceaux sur I ; I

|u n (t)| d t

converge.

Alors : S est intégrable sur I ; ∞ I

S=

I

=

0

I

0

Exemple D’une intégrale à une série

et exprimer

0

un .

ln u . Montrer que f ∈ I(]0, 1], R) 1 + u2

f sous la forme d’une série.

∀ u ∈ ]0, 1[ Posons f n (u) = −u

∞

1 = 1 + u2

=

(−u 2 )n .

0

Alors :

1

• les fonctions fn sont continues et intégrables sur ]0, 1] ; f n converge simplement sur ]0, 1] vers

1 0

1

| fn | = −

0

f,

0

u 2n ln u d u = lim

Donc

x→0

1 0

f =

1 0

u 2n+1 ln u 2n + 1

ln u du = 1 + u2

∞ 0

−

0

0

1

n→+∞

∞

1

(−t)n d t +

lim

0

0

(−t)k d t

n+1

(−t)n+1 dt 1+t

(−t)n+1 d t = 0. 1+t 1 0

(−t)n d t =

0

1

u 2n ln u d u

1 x

0 1

0

dt = ln 2. 1+t ∞ 0

1 0

(−t)n d t.

Mais le théorème précédent ne s’applique pas, car la série 0

converge. En effet : 1

0

dt 1+t 1 ∞

(−t)k d t +

Donc ∞ (−1)n+1 = n 1 Donc :

ln u.

• la série de fonctions continue sur I ; • la série numérique :

n

1

0

Or,

0

0

=

De plus, f (u) ∼0 ln u, qui est intégrable sur ]0, 1]. Donc f est intégrable sur ]0, 1]. Nous savons que :

0

1

(−t)n d t =

n

La fonction f est continue et négative sur ]0, 1].

2 n

∞

1

On considère la fonction f : u → 1

Ce théorème ne règle pas certains cas très simples, par exemple, lorsque la série de fonctions est une série géométrique. Considérons :

∞

un

[x,1]

u 2n du 2n + 1

1 =− (2n + 1)2

Rapport Centrale, 2001 « Oubli des valeurs absolues lors de l’hypothèse de convergence de la série

(−1)n+1 . (2n + 1)2 Pour s’entraîner : ex. 14.

t n d t diverge.

I

| f n |. »

Rapport Centrale, 2001 « fonction G souvent méconnue. »

319

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• la série numérique

Maths, MP-MP∗

Application 11

La fonction G et la fonction z

Rappelons que les fonctions G et z sont définies, respectivement sur ]0, ∞[ et ]1, +∞[ , par : G (x) =

∞ 0

−t x−1

e t

∞

dt

et z(x) =

n

−x

.

1

Montrer que ∀ x > 1

z(x)G (x) =

Première étape Fixons x > 1.

∞

z(x)G (x) =

∞

n −x

0

n=1 ∞

= n=1

∞ 0

∞

= n=1

0

t x−1 dt. et − 1

e−t t x−1 d t

e−un u x−1 d u

Ces fonctions sont positives, continues et intégrables sur R+∗ d’après le calcul ci-dessus. • La série de fonctions fn converge simplement sur R+∗ , car, pour u fixé strictement positif, la série numérique e−un u x−1 est une série géométrique, de raison e−u .

z(x)G (x) =

∞ 0

0

=

0

Fonctions déf inies par une intégrale

6.1. Continuité Théorème 20. Continuité d’une fonction définie par une intégrale Soit f : ((x, t) → f (x, t)) une fonction de A × I dans K. On suppose que : • f est continue par rapport à la première variable, x ; • f est continue par morceaux par rapport à la seconde variable, t ; • il existe w dans I(I , R+ ) telle que : ∀ (x, t) ∈ A × I | f (x, t)| w(t) (hypothèse de domination). Alors : • pour tout x de A, la fonction (t → f (x, t)) est intégrable sur I ; • la fonction F, définie sur A par F(x) = f (x, t) d t, est continue sur A. I

e−un u x−1

du

u x−1

∞

e−nu

du

1 ∞

0

∞ n=1

∞

A est une partie de Rm et I est un intervalle de R.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

e−un u x−1 d u

Donc, la fonction somme de la série de fonctions est intégrable sur R+∗ et, de plus :

=

Pour intervertir le signe et l’intégrale, vérifions les hypothèses du théorème.

320

∞

• La série numérique

(en posant t = u n)

Seconde étape

6

u → e−u n u x−1 .

converge d’après le calcul de la première étape.

e−t t x−1 n −x d t

∞ 0

∞

f n les fonctions définies sur R+∗

• On note par :

u x−1 e−u du = 1 − e−u

∞ 0

u x−1 du . eu − 1

Rapport X, 2001 « Très peu de candidats utilisent les théorèmes au programme avec hypothèse de domination. » Rapport TPE, 2002 « ...insuffisamment appris en analyse, le théorème de continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre. » L’application w ne dépend pas de x. Les hypothèses de continuité sont vérifiées en particulier lorsque f est continue sur A × I.

8. Fonctions intégrables

Démonstration Cette démonstration est une application du théorème de convergence dominée. • La fonction (t → f (x, t)) est continue par morceaux sur I . De plus, la majoration ∀ t ∈ I | f (x, t)| w(t) entraîne l’intégrabilité sur I de la fonction (t → f (x, t)). • Notons a un point de A et fixons une suite (xn ) de points de A convergeant vers a. Pour tout n, considérons l’application : gn : Les hypothèses concernant mettent d’affirmer que :

I→

K

Rapport X, 2001 « Il semble que devant une question de ce type le candidat choisisse un peu au hasard entre convergence uniforme, dominée... »

t → gn (t) = f (xn , t)

f par rapport à t et l’hypothèse de domination per-

• la fonction gn est continue par morceaux de I dans K

;

• il existe une fonction w de I(I , R+ ) telle que |gn |

;

w

• la suite de fonctions (gn ) converge simplement sur I vers la fonction continue par morceaux g, définie par g(t) = f (a, t) car la fonction f est continue par rapport à la première variable. On peut appliquer le théorème de convergence dominée et conclure par : lim

n→+∞

ou encore lim F(xn ) = lim

n→+∞

n→+∞

I

I

gn =

I

f (xn , t) d t =

g

I

f (a, t) d t = F(a).

Corollaire 20.1 f est une fonction de A × I dans K. On suppose que : • f est continue par rapport à la première variable ; • f est continue par morceaux par rapport à la deuxième variable ; • pour tout compact K contenu dans A , il existe w K dans I(I , R+ ) telle que (hypothèse de domination sur tout compact de A ) : ∀ (x, t) ∈ K × I

w K (t).

| f (x, t)|

Alors : • pour tout x de A, la fonction (t → f (x, t)) est intégrable sur I ; • la fonction F, définie sur A par F(x) = sur A.

I

f (x, t) d t, est continue

Rapport CCP, 1997 « Les problèmes d’intégrales dépendant d’un paramètre sont souvent bien traités, à l’exception de la continuité et de la dérivabilité sous le signe somme d’une fonction définie sur un intervalle ouvert par une intégrale impropre : les candidats essaient en général de vérifier le critère de domination sur l’intervalle ouvert tout entier, alors que continuité et dérivabilité étant des propriétés locales, il suffit la plupart du temps de le vérifier pour tout segment contenu dans l’intervalle ouvert de définition. »

Corollaire 20.2 f est une fonction continue de A × [c, d] dans K. Alors la fonction F, définie sur A par F(x) = continue sur A.

[c,d]

f (x, t) d t, est

321

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La fonction F est continue en a.

Maths, MP-MP∗

Exemple : La fonction gamma, G (x) = • La fonction :

∞ 0

e−t t x−1 d t

f : R+∗ × R+∗ → R, (x, t) → e−t t x−1

est continue sur R+∗ × R+∗ . Elle vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de R+∗ . En effet, si 0 < a < b, on a : ∀ x ∈ [a, b] ∀ t ∈ R+∗

e−t t x−1

et la fonction t → e−t sup t a−1 , t b−1 G est donc continue sur R+∗ . • Minorons G (x). Pour tout x G (x)

3 2

e−t t x−1 d t

e−t sup t a−1 , t b−1

est intégrable sur R+∗ .

1 : e−3

3 2

t x−1 d t

e−3 2x−1 .

G (x) D’où lim G (x) = +∞. De plus, lim = +∞, le graphe de G adx→+∞ x→+∞ x met, en +∞, une branche parabolique verticale.

Nous pouvons, de plus, remarquer que le graphe admet une branche asymptotique dans la direction de l’axe des ordonnées. Pour s’entraîner : ex. 15.

6.2. Dérivabilité A désigne dans ce paragraphe un intervalle de R. Théorème 21. Dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale Soit A un intervalle de R et f : ((x, t) → f (x, t)) une fonction de A × I dans K. On suppose que : • pour tout x de A, la fonction (t → f (x, t)) est continue par morceaux et intégrable sur I ; ∂ f • f admet une dérivée partielle, , par rapport à la première com∂x posante ; c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• cette dérivée partielle est continue par rapport à la première variable, x, et continue par morceaux par rapport à la seconde, t ; ∂ f • ∃ w ∈ I(I , R+ ) ∀ (x, t) ∈ A × I (x, t) w(t) ∂x ∂ f hypothèse de domination de . ∂x Alors la fonction F, définie sur A par F(x) = 1

classe C sur A et, pour tout x de A : F (x) =

322

I

∂ f (x, t) d t ∂x

I

f (x, t) d t, est de

(formule de Leibniz)

Rapport E3A, 2002 « Peu de candidats dérivent correctement une intégrale à un paramètre. Les justifications de dérivation sous le signe intégrale sont absentes ou incorrectes. »

• Les hypothèses de continuité sont vérifiées en particulier ∂f lorsque f et sont conti∂x nues sur A × I . • Si de plus A et I sont des segments de R, l’hypothèse de domination est vérifiée par la fonction constante sup

x∈ A,t∈I

∂f (x, t) . ∂x

8. Fonctions intégrables

Démonstration Soit a dans A. Fixons une suite (xn ) d’éléments de A \ {a} qui converge vers a. F(xn ) − F(a) = xn − a

f (xn , t) − f (a, t) d t. xn − a

I

Par hypothèse, pour t fixé, l’application (x → f (x, t)) est de classe C1 sur A. Notons : f (xn , t) − f (a, t) ∂ f h n (t) = et h(t) = (a, t). xn − a ∂x • La suite de fonctions continues par morceaux (h n ) converge simplement sur I vers la fonction continue par morceaux h. • À t fixé, en utilisant l’inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction (x → f (x, t)), on a : f (xn , t) − f (a, t) xn − a

sup

x∈ A

∂f (x, t) ∂x

w(t).

Le théorème de convergence dominée s’applique à la suite de fonctions (h n ) : lim

n→+∞

I

hn =

I

h.

Donc :

∂ f F(xn ) − F(a) = (a, t) d t. xn − a I ∂x La fonction F est dérivable sur A et sa fonction dérivée est l’application lim

n→+∞

x→

I

∂ f (x, t) d t ∂x

qui est continue sur A d’après le théorème précédent. F est donc de classe C1 sur A. Pour s’entraîner : ex. 16.

Exemple : Calcul de In (x) =

+∞ 0

dt x + t2

n

Soit x un réel strictement positif. On définit, pour tout entier n fonction In ci-dessus.

1, la

• Un premier calcul : +∞ 0

dt p = √ . 2 2 x x +t

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

I1 (x) = • Dérivabilité de In .

Soit a > 0. Considérons, pour n [a, +∞[×R+ par : fn (x, t) =

1 fixé, la fonction 1 x + t2

fn définie sur

n·

Cette fonction est continue sur [a, +∞[×R+ et admet une dérivée partielle continue sur [a, +∞[×R+ : ∂ fn n (x, t) = − ∂x x + t2

n+1

·

323

Maths, MP-MP∗

De plus :

∀ (x, t) ∈ [a, +∞[×R+

n

n

0

x+

n+1 t2

a + t2

n+1

·

n

est intégrable sur R+ . Nous en déduin+1 a + t2 sons que la fonction In est de classe C1 sur ]0, +∞[ et que La fonction :

t →

In (x) = −n In+1 (x). • Expression générale de In . Vous vérifierez par récurrence que, pour tout n In (x) =

1, on a :

p (2n)! −(2n−1)/2 x (2n − 1) 4n (n)!

Corollaire 21.1 Soit f : ((x, t) → f (x, t)) une application de A × I dans K. On suppose que : • pour tout x de A, la fonction (t → f (x, t)) est continue par morceaux et intégrable sur I ; ∂ f • f admet une dérivée partielle, , par rapport à la première compo∂x sante ; • cette dérivée partielle est continue par rapport à la première variable, x, et continue par morceaux par rapport à la seconde, t, ; • pour tout segment [a, b] contenu dans A, on a : ∃ w ∈ I(I , R+ ) ∀ (x, t) ∈ [a, b] × I (hypothèse de domination de

∂ f ∂x

∂ f (x, t) ∂x

sur tout segment de A.)

Alors la fonction F, définie sur A par F(x) = classe C1 sur A et : F (x) =

I

w(t)

I

f (x, t) d t, est de

∂ f (x, t) d t ∂x

Corollaire 21.2 Soit f une fonction de [a, b] × [c, d] dans K. On suppose que : f est continue sur [a, b] × [c, d]. ∂ f • f admet une dérivée partielle, , par rapport à la première com∂x posante continue sur [a, b] × [c, d].

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

•

Alors la fonction F, définie sur [a, b] par F(x) = de classe C1 sur [a, b] et : F (x) =

[c,d]

[c,d]

f (x, t) d t, est

∂ f (x, t) d t ∂x Pour s’entraîner : ex. 17.

324

8. Fonctions intégrables

Application 12

Toujours la fonction gamma

1) Montrer que la fonction G est de classe C1 sur R+∗ . 2) Montrer que la fonction G est de classe C∞ sur R+∗ . 3) Calculer G et G .

En vous inspirant de la question précédente, vous montrerez par récurrence que la fonction G est de classe C∞ sur R+∗ et : ∞

0

(ln t) p e−t t x−1 d t.

3) En particulier :

1) • Soit x > 0. La fonction (t → e−t t x−1 ) est continue et intégrable sur R+∗ . • La fonction f : ((x, t) → e−t t x−1 ) admet une dérivée partielle par rapport à la première composante. Et : ∂ f (x, t) = (ln t)e−t t x−1 . ∂x

G (x) =

et

G (x) =

∞ 0 ∞ 0

(ln t)e−t t x−1 d t

(ln t)2 e−t t x−1 d t

0.

La fonction G est donc convexe sur R+∗ . Nous pouvons tracer son graphe (doc. 12).

• Cette dérivée partielle est continue par rapport à x et continue par rapport à t. Soit [a, b] un segment inclus dans R+∗ . Alors, pour tout (x, t) de [a, b] × R+∗ :

Avec MAPLE :

T 082(lGRNNRl(kg(Ubdadd]kW

|(ln t)| e−t sup t a−1 , t b−1 = w1 (t).

20

Vous vérifierez que la fonction w1 est continue et intégrable sur R+∗ .

10

La fonction G est de classe C1 sur R+∗ . 2) La fonction f admet une dérivée partielle par rapport à la première composante à tout ordre p 1. ∂p f (x, t) = (ln t) p e−t t x−1 ∂x p

1

2

3

4

5

t

Doc. 12. La fonction gamma.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∂ f (x, t) ∂x

1 G ( p) (x) =

∀p

I désigne un intervalle d’intérieur non vide et K est R ou C. Les fonctions considérées sont des fonctions continues par morceaux sur I .

•

Pour montrer que l’intégrale

I

f converge :

• on peut montrer que la fonction | f | est intégrable sur I . ; • si I = [a, b[, on peut montrer que

x→

x a

f

admet une limite à gauche en b.

325

Maths, MP-MP∗

•

Pour montrer qu’une fonction f est intégrable sur I, on procède en deux étapes :

• on précise sur quel intervalle f est continue par morceaux : ([inf I , sup I [ , ] inf I , sup I ], ...) ; • pour terminer, on partage éventuellement I en ] inf I , a] et [a, sup I [, avec a ∈ I et on applique un critère d’intégrabilité sur chacun de ces intervalles.

•

Critères d’intégrabilité globaux

La fonction f est continue par morceaux sur I . • Critère par comparaison de fonctions On montre l’existence d’une fonction g positive, continue par morceaux et intégrable sur I telle que : | f | g. • Critère utilisant une primitive de | f | On introduit une primitive F de | f | et on montre que F est bornée sur I . • Critère utilisant les segments contenus dans I On montre l’existence d’une constante M telle que : ∀ [a, b] ⊂ I

•

b a

|f|

M.

Critères d’intégrabilité locaux : comparaison de fonctions

La fonction f est continue par morceaux sur ]a, b]. • On cherche une fonction g continue par morceaux, positive et intégrable sur ]a, b] telle que f =a O(g). • On cherche une fonction g continue par morceaux et intégrable sur ]a, b] telle que f ∼a g. On pourra procéder de manière analogue pour un intervalle [a, b[

•

Critère par comparaison avec une série

Soit f dans CM R+ , R+ , décroissante. Pour montrer que la fonction converge.

•

f est intégrable sur R+ , il suffit de montrer que la série

f (n)

Pour intervertir somme et intégrale sur un intervalle I d’une série de fonctions

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

• Si la série de fonctions est une série géométrique, on raisonne directement en calculant la somme partielle. • Sinon, on peut utiliser le théorème de convergence dominée. • On peut aussi utiliser le théorème d’intégration terme à terme d’une série de fonctions.

326

8. Fonctions intégrables

Exercice résolu 1 Deux expressions d’une même fonction On considère, pour x réel, la fonction F définie par F(x) = 1) Montrer que la fonction F est définie sur R.

1 0

exp t x ln t d t.

2) Montrer qu’elle est croissante et continue sur R. 3) Déterminer

lim F(x) et

x→+∞

lim F(x).

x→−∞

4) Établir, pour x > 0, l’égalité :

∞

F(x) = 0

CONSEILS

(−1)n · (nx + 1)n+1

SOLUTION

1) Fixons le réel x et considérons la fonction wx définie sur ]0, 1] par wx (t) = exp t x ln t . Cette fonction est continue sur ]0, 1] et se prolonge par continuité en 0 en posant : 1 si x > 0 wx (0) = 0 si x 0 La fonction wx est donc intégrable sur ]0, 1] et F est définie sur R. Prendre x 1 et F(x 2 ).

x 2 et comparer F(x 1 )

2) Considérons deux réels x 1 et x 2 tels que x 1 de ]0, 1], nous pouvons écrire t x1 t x2 , puis exp t x1 ln t

x 2 . Alors, pour tout t

exp t x2 ln t .

La fonction F est croissante sur R. Soit [a, b] un segment de R et w la fonction de [a, b]×]0, 1] dans R, définie par w(x, t) = exp t x ln t . Alors : • la fonction w est continue par rapport à x sur [a, b] et continue par rapport à t sur ]0, 1] ; • pour tout x de [a, b], on a w(x, t)

w(b, t) ;

• la fonction (t → w(b, t)) est intégrable sur ]0, 1].

On pourra montrer que, pour tout x >0 : 1 exp − exp t x ln t x pour étudier la limite de F en +∞.

3) • Travaillons d’abord avec x > 0.

On pourra choisir a dans ]0, 1[ et partager l’intégrale en deux pour étudier la limite de F en −∞.

• Supposons ensuite x < 0 et a dans ]0, 1[.

Pour tout t de ]0, 1], on a e−x ln t −x ln t. 1 1 D’où : t x ln t − ; puis exp − exp t x ln t x x Nous en déduisons lim F(x) = 1.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Ainsi, la fonction F est continue sur tout segment de R. Elle est continue sur R.

1.

x→+∞

Pour tout t de ]0, a[, nous avons successivement ln t < ln a < 0, puis t x > ax > 0 et enfin : exp t x ln t < exp ax ln a .

327

Maths, MP-MP∗

Par conséquent : a

0 < F(x) =

0

1

exp t x ln t d t +

a

exp t x ln t d t

a exp ax ln a + (1 − a). Remarquons ensuite que, si a est fixé, on a : lim exp ax ln a = 0.

x→−∞

Il suffit alors de fixer ´ > 0, puis de choisir a dans ]0, 1[ tel que : (1 − a) < ´. On choisit ensuite M réel vérifiant pour tout x < M : 0 < a exp ax ln a Ceci montre que On pourra utiliser l’égalité : ∞

exp(u) = 0

un · n!

´.

lim F(x) = 0.

x→−∞

4) Supposons x > 0. x

Écrivons, pour t dans ]0, 1], t t = exp t x ln t =

∞ 0

t nx (ln t)n et pon!

t nx (ln t)n · Les fonctions u n sont continues sons, pour tout n, u n (t) = n! sur ]0, 1] et se prolongent par continuité en 0 en posant u n (0) = 0. Étudions la convergence de la série de fonctions u n sur [0, 1]. Soit g la fonction définie sur [0, 1] par g(t) = t x ln t. t g (t)

1

0

e− x 0

−

+

0

1 0

g(t) −

1 xe

1 1 et la série numérique converge. La série n n!(ex) n!(ex)n de fonctions de la variable t, u n , converge normalement sur [0, 1]. On peut donc permuter l’intégrale et la somme : un

∞

=

F(x) =

0 ∞

= 0

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∞

1

On calcule, pour n

0

1 n!

∞

t nx (ln t)n n! 1

0

1,

0

0 n

t x ln t 1

dt =

1 nx 0

t (ln t)n dt n!

d t.

t x ln t

n

d t en utilisant une intégration par

parties sur [´, 1], avec 0 < ´ < 1.

1 n t nx (ln t)n−1 d t. nx + 1 0 0 On montre alors, par récurrence que, pour tout n 1 : 1

(t x ln t)n d t = − 1 0

t x ln t

n

dt =

(−1)n n! (nx + 1)n+1 ∞

et on conclut, pour tout x > 0 : F(x) = 0

328

(−1)n . (nx + 1)n+1

8. Fonctions intégrables

Exercice résolu 2 p/2

Calcul de

0

(− ln(sin(x)) d x

ÉNONCÉ

1) Factoriser X 2m − 1 et en déduire une expression simplifiée de m−1

Im =

kp 2m

sin k=1

.

2) Montrer que la fonction − ln(sin) est intégrable sur ]0, 1]. 3) Déduire de la question 1 la valeur de

p/2 0

SOLUTION

1) Nous savons que : X 2m − 1 =

2m

X − exp k=1

= X2 − 1

m−1

ikp m kp m

X 2 − 2X cos

k=1

+1 .

Par conséquent : X 2m−2 + X 2m−4 + . . . + 1 =

m−1

X 2 − 2X cos

k=1

kp m

+1 .

En particulier, pour x = 1, on obtient : m = 2m−1

m−1

1 − cos k=1

Et :

m−1

sin k=1

2) La fonction De plus,

kp m kp 2m

= 22(m−1)

m−1

sin2

k=1

kp 2m

. c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

CONSEILS

− ln(sin(x) d x.

√

=

m · 2m−1

x → − ln(sin(x)) est continue sur

0,

p . 2

− ln(sin(x)) ∼0 − ln(x)

et la fonction − ln est intégrable sur ]0, 1]. La fonction − ln(sin) est p donc intégrable sur 0, . 2

329

Maths, MP-MP∗

3) Considérons, ci dessous, le graphe de la fonction (x → − ln(sin x)). y

p x 2

(k −1)p (k +1)p 2n 2n

0

La fonction − ln(sin) est décroissante sur p 2m

m−1

p/2

kp 2m

− ln sin 1

0,

0

p , donc : 2

(− ln (sin(x))) d x.

Par ailleurs, fixons ´ > 0. Puisque la fonction − ln(sin) est intégrable p sur 0, , il existe a > 0 tel que, pour tout a de ]0, a[ , on ait : 2 a

− ln(sin(x)) d x

0

Pour tout m > p/2

1 , on a alors : a

− ln(sin(x)) d x

0

´.

´+

p 2m

m−1

− ln sin 1

kp 2m

.

D’où : p 2m

m−1

kp 2m

− ln sin 1

p/2 0

´+

(− ln(sin(x))) d x

p 2m

m−1

− ln sin 1

kp 2m

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Puis : −

p/2

p ln Im 2m

0

On en déduit :

p/2 0

330

− ln(sin(x)) d x

− ln(sin(x)) d x =

´−

p ln(2). 2

p ln Im . 2m

.

Exercices 1 t

Montrer que la fonction t → cos2 sur

0,

p . 2

est intégrable

b

Existence et calcul de

a

n

1,

la fonction

1

Existence et calcul de

1 0

1

dt (1 + t)

0

3

t 2 (1 − t)

.

1

Étudier la suite

0

1 f (x) = 1 + x 2 | sin x|3/2

Existence et calcul des intégrales : x dx ; tan x

2)

0

établi en exercice résolu. Existence et calcul de

Arctan (x) d x. x(1 + x 2 )

− ln(sin(x)) d x =

0

1

1) La fonction f : x →

∞

sin(x) dx = ex − 1

∞ 1

. 1 · 1 + n2

p ln 2 2

√ e−x cos( x) d x =

∞

n! · (2n)! 0 0 √ Indication : On pourra utiliser l’écriture de cos( x) comme somme d’une série.

ln(t) −√ d t. 1−t

0

0

nx(1 − x)n d x

Montrer que :

p/2

Indication : On pourra utiliser

∞

Montrer que

Montrer que f est intégrable sur R.

0

d t.

R+ dans C. Montrer que : x 1 f (t) d t = 0. lim √ x→+∞ x 0 (On pourra fixer B > 0 et intégrer sur [0, B] et sur [B, x].)

On considère la fonction f définie sur R par :

∞

ln(t) t(1 − t)3/2

f est une fonction continue et de carré intégrable de

| ln x|n d x.

Existence et calcul de :

−√

0

f : x → | ln x|n est intégrable sur ]0, 1] et calculer

1)

dx , (b − x))(x − a)

où 0 < a < b.

Montrer que, pour tout

p/2

√

(−1)n

(D’après Écrin, 1996.) a étant un réel, on pose F(a) =

Arctan x x ln(2 + x 2 )

∞ 0

dt . 1 + ta

Montrer que F est continue sur son domaine de définition.

2) Pour quelles valeurs de t, la fonction f définie par 1 x −t est-elle intégrable sur ]0, 1[ ?

cédent.

1−x x

f (x) =

Les notations sont les mêmes que dans l’exercice pré1) Montrer que F est de classe C1 sur ]1, +∞[ et déterminer F . 2) Montrer que F

Montrer que, pour tout n

f n : t → t (ln t) intégrale u n =

2

1

0

de

N,

la fonction

est intégrable sur ]0, 1] et calculer son n

t (ln t)2 d t en fonction de n.

En déduire une expression de d’une série.

n

1 0

(ln t)2 d t sous la forme t +1

0.

Indication : On pourra couper l’intégrale en deux et faire un changement de variables. 3) Préciser

lim F(n). En déduire lim F.

n→+∞

+∞

4) Déterminer lim+ F(a). a→1

5) Donner le tableau de variations de F et l’allure de son graphe.

331

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

est-elle intégrable sur ]0, +∞[ ?

Maths, MP-MP∗

∞

On rappelle que

0

1) Soit a > 0. Calculer

2

e−x d x =

∞ 0

√

p . 2

2

e−ax d x.

2) En déduire, pour tout p de N, la valeur de : ∞ 0

2

x 2 p e−ax d x. ∞

3) Calculer, pour a > 0,

0

2

xe−ax d x.

4) En déduire, pour tout p de N, la valeur de : ∞ 0

2

x 2 p+1 e−ax d x.

Soit a > 0. Préciser pour quelles valeurs de a et b | sin x|a la fonction f : x → est intégrable sur R+ . xb

*

On considère, pour l ∈ ]0, 1[, la fonction g définie sur ]0, 1[ par 1 . g(x) = 1−l x (1 − x)l 1) Montrer que g est intégrable sur ]0, 1[. 1

On note I (l) =

0

g(x) d x.

2) À l’aide d’un changement de variable homographique, montrer que : +∞ du I (l) = · 1−l (1 + u) u 0 3) En déduire l’expression de I (l) au moyen de J (l) et de J (1 − l), où 1 du · J (l) = 1−l (1 + u) 0 u 4) Donner une expression de J (l) comme somme d’une série convergente. 5) En déduire que :

*

Soit

f une fonction de classe C2 de R+ dans

R+∗ et a < 0, tels que lim +∞

f = a. f est intégrable sur R+ .

Montrer que la fonction f

I (l) =

En déduire la nature de la série

f (n).

Soit f C, 1-périodique.

Montrer que ∞

(−1)n = a + nb

0 ∞

En déduire 0

*

0

t a−1 d t. 1 + tb

(−1)n . 3n + 1

* ∞ 0

dx · (1 + x) . . . (n + x)

1) Calculer In et étudier la limite de la suite (In ). 1 2) On pose f n (x) = . (1 + x) . . . (n + x) f (x) En considérant n , donner un équivalent de f n (x) 1 0

3) Montrer que 1 0

et en déduire la nature de la série

332

In .

R

dans

n+1

f : x → x a ei x . 1) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles grable sur [1, +∞[. 2) 1

f est inté-

Montrer que, si a appartient à [−1, 0[, l’intégrale

+∞

x a ei x d x est convergente et donner une relation entre : +∞

3) Lorsque a

dx = n In+1 (1 + x) . . . (n + x)

une application continue de

On considère, pour tout réel a, la fonction :

1

fn (x) d x.

1

(−1)n · l2 − n 2

2) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que f (t) soit intégrable sur [1, +∞[. la fonction t → t 3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’in∞ f (t) tégrale d t soit convergente, mais non absolument t 0 convergente.

On définit In =

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

1

∞

f (t) d t. t n 1) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la série u n converge. On pose u n =

Soit a et b deux réels strictement positifs.

1 + 2l l

x a ei x d x

et

0, montrer que

Qu’en conclure pour : +∞ 1

+∞ 1

x a−1 ei x d x.

+∞ 1

x a ei x d x ?

x a cos x d x diverge.

8. Fonctions intégrables 4) Qu’en déduire pour les intégrales : +∞ 1

x a cos x d x

+∞

et

1

f x a sin x d x ?

0

dans R. 1) Déterminer

5) a) Déterminer le signe de ∞

est une fonction continue et bornée de R+

n→+∞

2) Posons In =

a

x sin x d x

∞

lim

∞ 0

n f (x)e−nx d x ; déterminer : L = lim In .

lorsque a appartient à [−1, 0[.

n→+∞

b) Montrer que les intégrales : ∞ 0

cos(x 2 ) d x

∞

et

0

sin(x 2 ) d x

Préciser le signe de *

sin(x 2 ) d x.

F(x) =

2) Étudier

n→+∞

lim

−∞

n→+∞

n 2 x 2 e−n x d x. 1 + x2

*

2 2

a

n 3 x 2 e−n x d x. 1 + x2

−∞

lim

n→+∞

0

x 1− n

n

√

h(t) d t. x2 − t2

Soit

f une fonction continue et intégrable de R+

dans R.

On pose, pour tout x ln(x) d x =

0, la fonction t → e−xt f (t)

1) Montrer que, pour tout x est intégrable sur R+ .

1) Montrer que : n

0

h (0) = 0 = h(0).

2 2

a

lim

x

Montrer que F est de classe C1 sur R si et seulement si :

a est un réel fixé.

1) Étudier

*

0

3) On suppose f de classe C1 , de dérivée bornée sur R+ et telle que f (0) = 0. Déterminer un équivalent de (In − L). h étant une fonction de classe C1 de R dans R, on définit la fonction F par

sont convergentes. ∞

f (x)e−nx d x.

0

∞ 0

−x

e

w(x) =

ln(x) d x.

2) En déduire la valeur de cette intégrale.

0,

2) Montrer que

∞ 0

e−xt f (t) d t.

lim xw(x) = f (0).

x→+∞

3) Montrer que w est continue sur R+ . f continue et bornée sur Soit f la fonction définie par

1) Montrer que la fonction w : x → f (x) exp −t x 2

2) Calculer la limite de f (x) exp −t x

2) Déterminer f (0), 2

dx

lorsque t tend vers +∞. 3) On suppose f (0) = 0. Donner un équivalent de R

f (x) exp −t x

lorsque t tend vers +∞.

∞

2

dx

e−t d t. 1 + xt

0

1) Étudier f . Montrer que domaine à préciser.

est intégrable sur R.

R

f (x) =

f est de classe C∞ sur un

f (0) et

lim

x→+∞

f (x).

3) Résoudre l’équation différentielle x 2 y + y = x sur ]0, +∞[.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

On considère une fonction R et un réel t > 0.

Montrer qu’il existe une unique solution g telle que lim g(x) = 0.

x→0

Vérifier que g(x) = x f (x). Déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers +∞.

333

9

Équations différentielles linéaires

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

L’invention du calcul différentiel par Leibniz et Newton, à la fin du XVIIe siècle, a permis la modélisation mathématique de nombreux phénomènes naturels. Beaucoup de problèmes de Mécanique, d’Astronomie, de Physique s’expriment par des équations différentielles. La résolution de ces équations revêt deux aspects complémentaires : l’existence et la détermination des solutions. Vers 1840, Liouville a prouvé que des équations différentielles simples (y = x + y 2 ) ne sont pas intégrables par quadrature, c’est-à-dire en utilisant uniquement les fonctions usuelles, les opérations algébriques et la primitivation. La détermination pratique de solutions exactes, lorsqu’elle est possible, requiert souvent l’utilisation de nombreux outils de l’Analyse et de l’Algèbre développés dans ce cours : séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, fonctions définies par une intégrale, diagonalisation des matrices... Une grande ingéniosité est alors nécessaire. À défaut de solutions exactes, des méthodes d’analyse numérique permettent de déterminer des solutions approchées. 334

O

B

J

E

C

T

I

F

S

Structure de l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations linéaires du premier ordre. Système fondamental de solutions de l’équation homogène. La méthode de variation des constantes. Cas des équations linéaires à coefficients constants. Méthodes pratiques pour l’étude des équations différentielles du second ordre.

9. Équations différentielles linéaires Dans ce chapitre, K désigne R ou C, I un intervalle de R et F un espace vectoriel normé de dimension finie sur K.

1

Équations différentielles linéaires d’ordre 1

1.1. Généralités Soit a une application continue de I dans L(F) et b une application continue de I dans F. C1 (I , F) → C1 (I , F) L’application F : est linéaire. x → ax C’est pourquoi les équations différentielles : x − ax = b

(E)

et

x − ax = 0

(H)

sont appelées des équations différentielles linéaires . L’équation différentielle (E) est une équation différentielle linéaire avec second membre.

Une solution sur I de l’équation différentielle (E) appartient à C1 (I , F). Lorsque F = K, les fonctions solutions de ces équations sont à valeurs scalaires et ces équations sont qualifiées d’équations différentielles scalaires.

L’équation différentielle (H) est une équation différentielle linéaire sans second membre, ou homogène. On dit que (H) est l’équation homogène associée à (E). Une I -solution de l’équation différentielle (E) (on dit aussi solution sur I de (E)) est une application w de I dans F, dérivable sur I , telle que : ∀t ∈ I

w (t) = (a(t))(w(t)) + b(t).

La linéarité de l’application F permet de démontrer le théorème suivant.

Rapport X, 2001 « Les sujets élémentaires qui bloquent totalement un candidat sont : ...,toute équation différentielle linéaire (premier ou second ordre). »

Théorème 1 Soit a une application continue de I dans L(F) et b une application continue de I dans F. L’ensemble S(H) des I -solutions de l’équation différentielle linéaire homogène : x = ax (H) c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

est un sous-espace vectoriel de C1 (I , F). Si l’équation différentielle linéaire avec second membre : x = ax + b

(E)

admet une I -solution, w1 , alors toute I -solution de (E) est somme de la solution particulière w1 et d’une solution de l’équation homogène associée (H) . S’il est non vide, l’ensemble S(E) des I -solutions de (E) est le sous-espace affine de C1 (I , F) de direction S(H) : S(E) = w1 + S(H).

Il est important de constater que, dans tous les cas, l’équation homogène (H) admet au moins une solution (la fonction nulle), alors que l’équation avec second membre (E) peut ne pas en avoir.

335

Maths, MP-MP∗

1.2. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire Le problème de la recherche d’une solution vérifiant une condition initiale donnée est appelé problème de Cauchy associé à l’équation et noté : = ax + b x x(t0 ) = x 0

(E)

où t0 est dans I et x 0 dans F. (E) n’a pas de solution sur R. Théorème 2. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire Soit a une application continue de I dans L(F), b une application continue de I dans F et (E) l’équation différentielle linéaire : x = ax + b Pour tout (t0 , x 0 ) de I × F, il existe une et une seule I -solution w de l’équation différentielle (E) telle que w(t0 ) = x 0 . Démonstration Existence de solutions sur I • Considérons la suite de fonctions (wn ) continues de I dans F définie de la manière suivante : w0 = 0 et

(∀ n ∈ N) (∀ t ∈ I )

(wn+1 (t) = V0 +

t t0

[(a(s))(wn (s)) + b(s)] d s).

On montre par récurrence l’existence et la continuité des fonctions wn . • Désignons par N(a(t)) la norme d’endomorphisme de a(t) subordonnée à la norme de F, et K un segment contenu dans I et contenant t0 . L’application t → N(a(t)) est continue, donc bornée sur le segment K . Il existe un réel positif M tel que : ∀ t ∈ K N(a(t)) M. De plus, on a : ∀t ∈ K

w2 (t) − w1 (t)

Supposons que, pour un certain n ∀t ∈ K

M|t − t0 | w1|K − w0|K

∞.

1, on ait : Mn

wn+1 (t) − wn (t)

|t − t0 |n w1|K − w0|K n!

∞.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Alors, pour tout t de K : t

wn+2 (t) − wn+1 (t)

t0

M n+1 M n+1

a(s)[wn+1 (s) − wn (s)] d s t

|s − t0 |n w1|K − w0|K ∞ d s n! t0 |t − t0 |n+1 w1|K − w0|K ∞ . (n + 1)!

Finalement, en notant D(K ) le diamètre de K , pour tout n

336

wn+1|K (t) − wn|K (t)

M n w1|K − w0|K

wn+1|K − wn|K

M n w1|K − w0|K

∞

0 :

|t − t0 |n ∞ n! D(K )n . ∞ n!

Rapport E4A, 2002 « Beaucoup d’imprécisions dans l’application du théorème de Cauchy-Lipschitz. » Rapport X, 2002 « Le théorème de Cauchy-Lipschitz est souvent correctement appliqué. » Rapport X, 2001 « utilisation par une très grande majorité des candidats du théorème de Cauchy-Lipschitz alors que les solutions considérées vérifiaient des conditions aux limites. »

9. Équations différentielles linéaires La série wn+1|K − wn|K ∞ converge. La série (wn+1 − wn ) converge donc normalement sur tout compact de I . La suite de fonctions (wn ) admet une limite w. De plus, la convergence normale sur tout compact de la série de fonctions et la continuité de ces fonctions entraînent la continuité de la fonction w. • Montrons que la fonction w est une I -solution de l’équation différentielle. Elle est continue et puisque, pour tout n, wn (t0 ) = x0 , il en est de même de w. Fixons t dans I et K un segment contenu dans I et contenant t0 et t : w(t) = lim wn+1 (t) = x0 + lim n→+∞

t

n→+∞

t0

[(a(s))(wn (s)) + b(s)] d s.

Or, pour tout s de K : [(a(s))(wn (s)) + b(s)] − [(a(s))(w(s)) + b(s)] = (a(s))(wn (s) − w(s)) N(a(s)) wn (s) − w(s) M wn|K − w|K

∞

.

Nous en déduisons la convergence uniforme sur K de la suite de fonctions (s → (a(s))(wn (s)) + b(s)) vers la fonction (s → (a(s))(w(s)) + b(s)). D’où : w(t) = x0 + = x0 +

t

lim [(a(s))(wn (s)) + b(s)] d s

t0 n→+∞ t t0

[(a(s))(w(s)) + b(s)] d s .

L’application s → (a(s))(w(s)) + b(s) est continue sur I . L’application w est donc de classe C1 sur I et : ∀t ∈ I

w (t) = (a(t))(w(t)) + b(t).

L’application w est une I -solution de l’équation différentielle linéaire. Unicité Nommons w et c deux I -solutions du problème de Cauchy et construisons les suites (wn ) et (cn ) de fonctions de I dans F définies par w0 = w , c0 = c et la relation de récurrence utilisée au début de cette démonstration. Les suites de fonctions (wn ) et (cn ) sont des suites constantes. Un raisonnement analogue à celui effectué pour établir l’existence de la solution montre que, en utilisant les mêmes notations : 0

wn|K − cn|K

∞

M n w|K − c|K

∞

D(K )n . n!

Nous en déduisons que w = c.

Corollaire 2.1 Soit a une application continue de I dans L(F). Notons S(H) l’espace vectoriel des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène x = ax. Pour tout t0 de I , l’application S(H) → F est un isomorphisme d’espace vectoriel. w → w(t0 )

Rapport X, 2002 « Très peu de candidats ont songé à appliquer le théorème de CauchyLipschitz de manière rétrograde (en changeant t en T − t). »

337

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

∀n

Maths, MP-MP∗

Corollaire 2.2 Soit a une application continue de I dans L(F). L’espace vectoriel S(H) des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène x = ax a même dimension que F.

Corollaire 2.3 Soit a une application continue de I dans L(F). Notons S(E) l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire x = ax + b. Alors S(E) est non vide et a la structure d’espace affine de même dimension que F.

1.3. Exemples d’équations différentielles linéaires d’ordre 1 Exemple 1 : Cas où F = K Ce cas a été étudié en première année. Soit a et b deux fonctions continues de l’intervalle I dans K. Vous savez que la droite vectorielle des solutions de l’équation différentielle scalaire homogène x = a(t)x est t → Ce A(t) ; C ∈ K , où A désigne une primitive sur I de la fonction a. Résoudre l’équation différentielle x = − 2x + e−2t (3t + 1). Nous reconnaissons une équation différentielle linéaire, à coefficients constants, du premier ordre. L’ensemble de ses solutions, définies sur R, est une droite affine. L’équation homogène associée est x = −2x. L’ensemble de ses solutions est : t → ce−2t ; c ∈ R .

Une solution particulière de l’équation différentielle linéaire avec second membre s’obtient grâce à la méthode de variation de la constante.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Une solution particulière de l’équation avec second membre s’obtient sous la forme P(t)e−2t , P désignant une fonction polynôme. 3 Le polynôme P est de degré 2 et : P(t) = t 2 + t + a où a est un réel 2 quelconque. Finalement l’ensemble des solutions de l’équation différentielle est : ce−2t +

3 2 t + t e−2t ; c ∈ R . 2

Exemple 2 : Cas où dim F = n Choisissons B = (e1 , . . . , en ) une base de F.

⎞ b1 (t) ⎟ ⎜ B(t) = ⎝ ... ⎠ , ⎛

Pour tout t de I , notons A(t) = (ai, j (t))(i, j )∈[[1,n]]2 , ⎞ ⎛ x 1 (t) bn (t) ⎜ .. ⎟ X(t) = ⎝ . ⎠ les matrices respectivement associées à a(t), b(t) et w(t). x n (t)

338

Rapport X, 2002 « Ces questions ont été bien traitées par presque tous les candidats qui savent comment transformer une équation du deuxième ordre en système du premier ordre. »

9. Équations différentielles linéaires L’équation différentielle linéaire x = a(t)x + b(t) s’écrit matriciellement : X (t) = A(t)X(t) + B(t). Cette écriture matricielle se traduit en termes de système d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 : ⎧ ⎪ ⎨ x 1 (t) = a11 (t)x 1 (t) + · · · + a1n (t)x n (t) + b1 (t) .. .. .. .. (S) . . . . ⎪ ⎩ x n (t) = an1 (t)x 1 (t) + · · · + ann (t)x n (t) + bn (t)

Application 1 Système différentiel et matrice de similitude

Résoudre le système différentiel (E) :

avec a et b dans C. 1 + 3i −18 + i − t, est une solution partiz(t) = 50 10 culière de (E1 ).

y (t) = x(t) + 3y(t) + t avec la condition initiale

x(0) = −0,36 y(0) = 0,02

.

La matrice de ce système différentiel linéaire est 3 −1 A= . 1 3 a −b C’est une matrice de la forme que l’on b a appelle matrice de similitude. Dans ce cas, il est toujours intéressant de résoudre le système en posant z = x + iy. Ici, on obtient : z (t) = (3 + i ) z(t) + 1 + i t (E) équivaut à : z = (3 + i )z + 1 + it (E 1 ) Les solutions de l’équation homogène associée sont de la forme z(t) = Ce(3+i)t , où C est une constante complexe. Cherchons une solution particulière de (E) sous la forme d’un polynôme de degré 1 : z(t) = a + t b

Les solutions de (E1 ) sont les fonctions de la forme : z(t) =

−18 + i 1 + 3i − t + Ce(3+i) t 50 10

où C ∈ C. Nous en déduisons les solutions réelles de (E) en posant C = C1 + i C2 : ⎧ 9 t ⎪ ⎪ + e3t (C1 cos t − C2 sin t) ⎨x(t) = Rez(t) = − − 25 10 ⎪ ⎪ ⎩ y(t) = Imz(t) = 1 − 3t + e3t (C2 cos t + C1 sin t) 50 10

Avec la condition initiale, nous C1 = C2 = 0. Donc : ⎧ 9 t ⎪ ⎪ ⎨ x(t) = − − 25 10 ⎪ ⎪ ⎩ y(t) = 1 − 3t 50 10

obtenons

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

x (t) = 3x(t) − y(t) + 1

Exemple 3 : Équation différentielle linéaire scalaire d’ordre supérieur à 1 Considérons n fonctions continues a1 , . . . , an−1 , b de I dans K et l’équation différentielle linéaire : x (n) +

n−1

ak (t)x (k) = b(t)

(E)

k=0

339

Maths, MP-MP∗

⎛ ⎜ ⎜ En notant X = ⎜ ⎝

x x .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, nous obtenons une traduction de cette équation ⎠

x (n−1) différentielle sous la forme d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 : ⎛

⎞ ··· ··· ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ .. ⎜ 0 ⎟ . x x 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ x ⎟ ⎜ .. .. . . . x .. .. .. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . X = ⎜ .. ⎟ = ⎜ . ⎟ ⎜ .. ⎟ + ⎜ .. ⎟ ⎟⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎜ .. .. .. .. ⎜ . . . ⎟ . (n) ⎜ ⎟ x (n−1) b(t) x ⎝ 0 0 ··· ··· 1 ⎠ −a0 (t) −a1 (t) · · · · · · −an−1(t)

2

0

1

0

Système fondamental de solutions. Le wronskien

2.1. Définitions Dans ce paragraphe, la dimension de F est n et on étudie l’équation différentielle linéaire : x = a(t)x (E) traduite, à l’aide d’une base de F, par le système différentiel linéaire homogène : X = A(t)X (H) où A est une application continue de I dans Mn (K). On sait déjà que l’ensemble S(E) des solutions de ce système différentiel est un sous-espace vectoriel de dimension n de C1 (I , Kn ). Une famille (w1 , . . . , wn ) de n éléments de S(E) est appelée un système fondamental de solutions de l’équation différentielle (E) si et seulement si c’est une base de S(E). Notons X 1 , . . . , X n les matrices colonnes des applications w1 , . . . , wn relativement à la base choisie B pour F.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

La famille (w1 , . . . , wn ) est un système fondamental de solutions de l’équation différentielle (E) si et seulement si la famille (X 1 , . . . , X n ) est une base de S(H). Dans ce cas, la famille (X 1 , . . . , X n ) est appelée un système fondamental de solutions du système différentiel (H). Soit (X 1 , . . . , X n ) une famille de n éléments de S(H). Pour tout j de [[1, n]], on note : ⎞ w1 j (t) ⎟ ⎜ X j (t) = ⎝ ... ⎠ . ⎛

wn j (t)

340

Hœné Wronski : mathématicien polonais (1776-1853).

9. Équations différentielles linéaires Le wronskien de la famille (X 1 , . . . , X n ) est la fonction W de I dans K définie par : ∀t ∈ I

W (t) = Det((wi, j (t))(i, j )∈[[1,n]] ) = Det(X 1 (t), . . . , X n (t)).

Théorème 3 Soit (X 1 , . . . , X n ) une famille de n éléments I -solutions du système différentiel linéaire homogène : X = A(t)X

Rapport Mines-Ponts, 2000 « Les techniques de résolution sont connues, l’aspect théorique (théorème de Cauchy-Lipschitz, et surtout la notion de wronskien) beaucoup moins. »

(H)

et W le wronskien de cette famille. Les propositions suivantes sont équivalentes : • ∀t ∈ I • ∃ t0 ∈ I

W (t) = 0 ; W (t0 ) = 0 ;

• la famille (X 1 , . . . , X n ) est un système fondamental de solutions de (H). Démonstration Soit t0 un point quelconque de I et u l’application de S(H) dans F, définie par : u(w) = w(t0 ) Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire permet d’affirmer que u est un isomorphisme d’espace vectoriel. Par conséquent :

Rapport Centrale, 2001 « Il est décevant de constater que certains candidats ne savent pas donner la solution générale d’un tel système lorsque sa matrice est diagonalisable. »

(w1 , . . . , wn ) base de S(H) ⇔ (w1 (t0 ), . . . , wn (t0 )) base de F ⇔ Det B (w1 (t0 ), . . . , wn (t0 )) = 0 Puis :

⇔ W (t0 ) = 0 (w1 , . . . , wn ) base de S(H) ⇔ ∀ t ∈ I

W (t) = 0.

2.2. La méthode de variation des constantes Dans ce paragraphe, I est un intervalle de R, A une application continue de I dans Mn (K) et B une application continue de I dans Kn .

X = A(t)X

(H)

Soit (C1 , . . . , Cn ) une famille de n fonctions de I dans K. On définit l’application Z de I dans Kn en posant :

La méthode de variation des constantes permet de résoudre complètement le système différentiel avec second membre lorsqu’un système fondamental de solutions du système homogène est connu.

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Lemme 1 Soit (X 1 , . . . , X n ) un système fondamental de solutions de :

n

Z (t) =

C j (t)X j (t) j =1

Alors, Z est de classe C1 sur I si, et seulement si, chaque fonction coefficient l’est.

341

Maths, MP-MP∗

Démonstration Soit M(t) la matrice dont les colonnes sont X 1 (t), . . . , X n (t). Par définition : ⎞ ⎛ C1 (t) ⎟ ⎜ Z(t) = M(t) ⎝ ... ⎠ Cn (t) Or, Det M(t) = W (t) = 0. Donc la matrice M(t) est inversible et : ⎞ ⎛ C1 (t) ⎜ .. ⎟ −1 ⎝ . ⎠ = M(t) Z(t) Cn (t) Notons M(t) = (wi j (t))1

et N(t) la transposée de la matrice des cofacteurs

j n 1 i n

de M(t). On sait que M(t)−1 =

1 N(t). W (t)

est de classe C1 sur I . ⎞ ⎛ C1 (t) ⎟ ⎜ I si et seulement si la fonction t → ⎝ ... ⎠ l’est.

Chaque fonction coefficient wi

j

Z est de classe C1 sur

Cn (t)

Lemme 2 Soit (X 1 , . . . , X n ) un système fondamental de solutions de : X = A(t)X

(H)

Toute application dérivable Z de I dans Kn s’écrit de manière unique sous la forme : n Z (t) =

C j (t)X j (t) j =1

les C j étant des fonctions dérivables de I dans K.

Lemme 3 Soit (X 1 , . . . , X n ) un système fondamental de solutions de : X = A(t)X

(H)

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Soit (C1 , . . . , Cn ) une famille de n fonctions de classe C1 de I dans K. L’application X définie par : n

X(t) =

C j (t) X j (t) j =1

est solution du système avec second membre : X = A(t) X + B(t) n

si et seulement si ∀ t ∈ I

C j (t) X j (t) = B(t). j =1

342

(E)

Démonstration : Immédiat si vous regardez le début de la démonstration précédente.

9. Équations différentielles linéaires Exposé de la méthode On considère le système différentiel linéaire

X = A(t)X + B(t)

(E).

On suppose connu (X 1 , . . . , X n ), un système fondamental de solutions du système homogène associé : X = A(t)X (H). • Soit (C1 , . . . , Cn ) une famille de n fonctions de classe C1 de I dans n

K. La fonction X =

C j X j est solution de (E) si et seulement si : j =1 n

∀t ∈ I

C j (t) X j (t) = B(t). j =1

n

L’équation

C j (t) X j (t) = B(t) est un système linéaire de Cramer. La j =1

résolution détermine les fonctions C1 , . . . , Cn . Connaissant C1 , . . . , Cn , il reste à calculer n primitives pour déterminer les fonctions C1 , . . . , Cn . On reconnaît dans l’expression n

Les solutions du système différentiel (E) sont les fonctions X de la forme :

k j X j (t)

les solutions de

j =1

n

X(t) =

(C j (t) + k j ) X j (t)

l’équation homogène.

où k1 , . . . , kn sont n constantes.

j =1

Pour s’entraîner : ex. 1

Application 2

Nous reconnaissons un système différentiel linéaire que nous pouvons écrire, en utilisant les notations habituelles X = A(t) X + B(t). L’ensemble de ses solutions a la structure d’espace affine de dimension 2. Les fonctions : 1 −t

et w2 : t →

t 1

sont des solutions du système homogène associé. Calculons leur wronskien : W (t) =

1 t

x+

1

y+

2t 2 − 1

t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1 ⎪ 1 t 3t ⎪ ⎪ ⎩ y =− x+ 2 y+ 2 2 t +1 t +1 t +1

Résoudre ce système.

w1 : t →

t

t = 1 + t2 = 0 1

Le couple (w1 , w2 ) est un système fondamental de solutions du système homogène. Cherchons les solutions du système avec second membre sous la forme :

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Le système

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x =

t → l1 (t) w1 (t) + l2 (t) w2 (t) La méthode de variation des constantes montre que les fonctions l1 et l2 sont solutions de : ⎧ ⎪ ⎪ ⎨

l1 (t) + tl2 (t) =

⎪ ⎪ ⎩ −tl (t) + l (t) = 1 2

2t 2 − 1 t2 + 1 3t t2 + 1

343

Maths, MP-MP∗

−1 2t ; l2 (t) = 2 . +1 t +1 l1 (t) = −Arctan t + k1 Puis : ∀t ∈ R l2 (t) = ln(1 + t 2 ) + k2 où k1 et k2 sont des constantes.

Soit : l1 (t) =

t2

Les solutions du système avec second membre sont les fonctions de la forme : t→

−Arctan t + t ln(1 + t 2 ) + k1 + k2 t tArctan t + ln(1 + t 2 ) − k1 t + k2

Application 3 Étude de x + x = cotan t

Résoudre, sur ]0, p[, cette équation différentielle (E). x(t) Posons Z (t) = avec y(t) = x (t). y(t) L’équation différentielle équivaut au système différentiel : Z (t) =

0 1 0 Z (t) + −1 0 cotan t

Les fonctions : Z 1 (t) =

3

cos t − sin t

(S)

(E)

forment un système fondamental de solutions du système homogène associé. Résolvons le système avec second membre en posant : Z (t) = a(t) Z 1 (t) + b(t) Z 2 (t) La méthode de variation des constantes donne : a (t) = − cos(t)

Puis, après intégration : x(t) = sin(t) ln tan

et

Z 2 (t) =

sin t cos t

Équations linéaires à coeff icients constants

L’équation différentielle linéaire : c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

t 2

+ K 1 cos(t) + K 2 sin(t)

où K 1 et K 2 sont des constantes.

3.1. Définition

x = a(t)(x) + b(t) est dite à coefficients constants lorsque l’application a est constante. Elle s’écrit alors (E) x = a x +b(t), où a désigne un endomorphisme de F. Munissons l’espace vectoriel F d’une base et notons A la matrice de a relativement à la base choisie de F. Cette équation différentielle linéaire se traduit matriciellement par le système différentiel linéaire : X = AX + B(t) Le système différentiel linéaire homogène associé est X = AX.

344

et b (t) = cos(t) cotan(t)

(S)

9. Équations différentielles linéaires

Application 4

⎧ ⎨ x =x+ y+z y = y+z Le système : ⎩ z = z

La matrice du système est triangulaire et la résolution est simple. La dernière équation se résout en : z(t) = Cet , C ∈ R Puis la seconde devient : y = y + Cet

(2)

Les fonctions y cherchées sont de la forme : y(t) = (C t + B)et , (B, C) ∈ R2 La première équation est alors :

On obtient : x(t) =

C

(1)

t2 + (B + C) t + A et 2

En résumé : ⎧ t2 ⎪ ⎪ ⎨ x(t) = C + (B + C) t + A et 2 y(t) = (Ct + B)et ⎪ ⎪ ⎩ z(t) = Cet avec ( A, B, C) ∈ R3 .

3 2 1 0 −1 −2 −3 −3

−2

−1

0

1

2

33

2

1

0

−1

−2

T ,3*(:,(X *"* XU 5+11l#l(kg(kU#l(ki"l(ki!l(kg 5+11l"l(kg(kU"l(ki!l(kg5+11l!l(kg(k U!l(kX 174* XU p#l(kg"l(kg !l(knX +4+(XU#lbkU+g"lbkU)g!lbkU'X *XU5*28%3lp*"*g+4+(ng 174*kW :**+/4l*kX 1 2 t kt e + tet k, 2 y(t) = et j + tet k, z(t) = et k}

s := {x(t) = et i + tet j +

T PXU?>X #XU&4:008"l#l(kg(kX "XU&4:008"l"l(kg(kX !XU&4:008"l!l(kg(kX 12, + 1,26 fa (2 a 52 12, ) 1,26 fa (2 a 52 12, ' 1,26 fa (2 a 52 PXUPg*0:737&,%3l?#l(kg"l(kg!l(k>g (Ufaddag :#3*UQJBKMg %+3$U?f_dd_gf_dd_gf_dd_>kX 25X 25X 25W $+(-l082(*kX 5+*08:"lPkW

−3

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

x = x + (C t + B + C)e

t

Avec MAPLE :

3.2. Le problème de Cauchy en 0 Dans le chapitre 4, nous avons établi le lemme suivant. Lemme 4 Soit a un endomorphisme de F. Alors : ∀ (s, t) ∈ K2

eta esa = e(t+s)a = esa eta ;

l’application ea définie sur R par ea (t) = eta est dérivable sur R et ea (t) = aeta = eta a.

345

Maths, MP-MP∗

Théorème 4 Soit a un endomorphisme de F. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène x = ax est {t → eta (C) ; C ∈ F} . Démonstration w ∈ S(H) ⇔ ∀ t ∈ R −ta

L’application t → e

w (t) − a (w(t)) = 0. est inversible, donc :

w ∈ S(H) ⇔ ∀ t ∈ R

e−ta (w (t) − aw(t)) = 0.

L’application t → (w(t), e−ta ) est de classe C1 sur R, car chacune de ses composantes l’est. De plus, nous savons que, si B est une application bilinéaire et continue et si u et v sont deux applications de classe C1 sur R, l’application t → B(u(t), v(t)) est de classe C1 sur R et : (B(u(t), v(t)) = B(u (t), v(t)) + B(u(t), v (t)). Or, l’application B définie sur F × L(F) par B(x, u) = u(x) est bilinéaire et continue car F est de dimension finie. Nous en déduisons que l’application t → e−ta (w(t)) est de classe C1 sur R et que sa dérivée est l’application t → e−ta (w (t) − aw(t)). Puis :

Bien noter que, dans cette démonstration, e−ta désigne un endomorphisme de F.

w ∈ S(H) ⇐⇒ ∀ t ∈ R (e−ta (w(t))) = 0 ⇐⇒ ∃ C ∈ F ∀ t ∈ R

e−ta (w(t)) = C

⇐⇒ ∃ C ∈ F ∀ t ∈ R

w(t) = eta (C).

Corollaire 4.1 Soit a un endomorphisme de F et ´ un vecteur propre de l’endomorphisme a pour la valeur propre l. L’application w définie sur R par w(t) = el t ´ est une solution de l’équation différentielle linéaire homogène x = a x. Démonstration En effet : eta (´) =

∞ 0

t n an (´) = n!

∞ 0

tn n a (´) = n!

∞ 0

tn n l ´ = el t ´ n!

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Corollaire 4.2 Soit a un endomorphisme de F, diagonalisable, et (´1 , . . . , ´n ) une base de vecteurs propres de a associés respectivement aux valeurs propres l1 , . . . , ln . Les n applications wi définies sur R par wi (t) = eli t ´i forment un système fondamental de solutions de l’équation différentielle linéaire homogène x = ax. Corollaire 4.3 Soit A une matrice de Mn (K). L’ensemble des solutions du système différentiel linéaire homogène X = A X est t → et A C; C ∈ Mn,1 (K) .

346

Ces n applications forment une famille génératrice.

9. Équations différentielles linéaires

Corollaire 4.4 Soit A une matrice de Mn (K), diagonalisable, et (X 1 , . . . , X n ) une base de vecteurs propres de A associés respectivement aux valeurs propres l1 , . . . , ln . Les n applications wi définies sur R par : wi (t) = eli t X i forment un système fondamental de solutions du système différentiel linéaire homogène X = AX.

Théorème 5 Soit a un endomorphisme de F et e un vecteur de F. L’unique sox =ax lution sur R du problème de Cauchy est la fonction w x(0) = e définie sur R par w(t) = eta (e). Pour s’entraîner : ex. 2 et 3.

Application 5 Le système différentiel :

Utilisons la méthode de variation des constantes pour terminer la résolution du système différentiel. Soit w(t) = a(t) w1 (t) + b(t) w2 (t). Pour que w soit solution du système, il suffit que :

X = A X + B(t) t 0 1 et B(t) = . 1 0 −t 2 La matrice A admet pour valeurs propres −1 et 1. Elle est diagonalisable et les droites vectorielles propres associées à ces valeurs propres sont 1 1 respectivement R et R . −1 1 Les fonctions :

a (t) w1 (t) + b (t) w2 (t) =

avec A =

w1 : t → e−t

1 −1

et w2 : t → et

1 1

forment un système fondamental de solutions du système homogène.

t . −t 2

c Hachette Livre – H Prépa / Math – La photocopie non autorisée est un délit

Nous reconnaissons un système différentiel linéaire avec second membre. L’ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension 2 de C1 (R, R2 ). x Posons X = . Le système équivaut à : y

x = y+t y = x − t2

Vous en déduirez : a (t) =

puis :

1 (t + t 2 )et 2

et b (t) =

1 (t − t 2 )e−t 2

x(t) = t 2 + 1 + ae−t + bet y(t) = t − ae−t + bet

avec (a, b) ∈ R2 .

347

Maths, MP-MP∗

Avec MAPLE :

1 1 _C1e(−t) + _C1et 2 2 1 1 + _C2et − _C2e(−t) + 1 + t 2 2 2 1 1 1 t (−t) y := t → _C1e − _C1e + _C2e(−t) 2 2 2 1 + _C2et + t 2

x := t →

T ,3*(:,(X *"* XU 5+11l#l(kg(kU"l(ki(g 5+11l"l(kg(k U#l(kf(=`X

174* XUp#l(kg"l(knX

*XU5*28%3lp*"*ng 174*kW :**+/4l*kW

4

#XU&4:008"l#l(kg(kW "XU&4:008"l"l(kg(kW

2

PXU?>X$+(-l082(*kX 12,