Guión de Clase # 2 - Diagrama de Mason y Ecuación de Estado

UNIVERSIDAD DON BOSCO ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO. Ing. María Celia Parada Díaz. Diagramas de flujo. Otro procedimiento alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema de control, es el método de los gráficos de señal. Un gráfico de flujo de señal es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Al aplicar el método de gráficos de flujo de señal al análisis de sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en ‘ s ’. Éste consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con dirección y sentido. Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama conectada entre dos nodos, actúa como multiplicador de señal. La señal fluye solamente en un sentido. El sentido de flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da relaciones entre las señales. Si se utiliza esta herramienta para representar un sistema de control, puede usarse una fórmula de ganancia, denominada fórmula de ganancia de Mason, para obtener las relaciones entre las variables del sistema sin necesidad de efectuar la reducción del gráfico. Definiciones: Nodo: Un nodo es un punto que representa una variable o señal. Transmitancia: La transmitancia es una ganancia real o una ganancia compleja entre dos nodos. Se expresan en términos de la función de transferencia entre dos nodos. Rama: es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos. La ganancia de una rama es una transmitancia. Nodo de entrada o fuente: Es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente. Nodo de salida o sumidero: Es un nodo que sólo tiene ramas de entrada, esto corresponde a una variable dependiente. Nodo mixto: Es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen. Camino o trayecto: Es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas. Si no se cruza ningún nodo más de una vez, el camino o trayecto es abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual partió, y no cruza ningún otro más de una vez, es un camino o trayecto cerrado. Si un camino o trayecto cruza algún nodo más de una vez, pero finaliza en un nodo diferente de aquel del cual partió, el camino o trayecto no es ni abierto ni cerrado. Lazo: Es un camino o trayecto cerrado. Ganancia de lazo: Es el producto de las transmitancias de ramas de un lazo. Lazos disjuntos: Son los lazos que no tienen ningún nodo en común. Trayecto o camino directo: Es el camino o trayecto de un nodo de entrada (fuente) a un nodo de salida (sumidero), sin cruzar ningún nodo más de una vez. Ganancia de trayecto directo: La ganancia de trayecto directo es el producto de las transmitancias de rama de un camino o trayecto directo.

Gráfico de flujo de señal

Propiedades de los gráficos de flujos de señal: 1. Una rama indica la dependencia funcional de una señal respecto a otra. Una señal pasa sólo en la dirección indicada por la flecha de la rama. 2. Un nodo suma las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas las ramas de salida. 3. Un nodo mixto que tiene ramas tanto de entrada como de salida, puede considerarse como un nodo de salida (sumidero) añadiendo una rama de salida de transmitancia unitaria. (Véase la figura anterior. Nótese que una rama con transmitancia unitaria aparece dirigida desde también designado por

x3

a otro nodo

x3 ). Sin embargo, téngase en cuenta que usando este método no se puede

cambiar un nodo mixto por una fuente. 4. Para un sistema dado, un gráfico de señal no es único. Se pueden dibujar muchos gráficos de flujo de señal diferentes para un sistema dado, escribiendo las ecuaciones del sistema de forma diferente.

1

Álgebra de gráficos de flujo de señal. Un gráfico de flujo de señal para un sistema lineal se dibuja utilizando las definiciones recién indicadas. Al hacerlo, se colocan los nodos de entrada (fuente) a la izquierda y los nodos de salida (sumideros) a la derecha. Las variables independientes y dependientes de las ecuaciones, se convierten en nodos de entrada y nodos de salida, respectivamente. Las transmitancias de rama se pueden obtener a partir de los coeficientes de las ecuaciones. Para determinar la relación entrada-salida, se puede utilizar la ecuación de Mason, la que se dará más adelante, o bien el gráfico de flujo de señal se puede reducir a un gráfico que contiene sólo nodos de entrada y de salida. Para lograr esto, se utilizan las reglas siguientes;

1. El valor de un nodo con una rama de entrada, como se ve en la figura, es

x2  ax1

2. La transmitancia total de ramas en cascada es igual al producto de todas las transmitancias en las

ramas. Se pueden combinar ramas en cascada en una única rama multiplicando sus transmitancias, como se ve en la figura.

3. Se pueden combinar ramas en paralelo sumando sus transmitancias, según la figura.

4. Se puede eliminar un

nodo mixto, como se ve en la

figura .

5. Se puede eliminar un lazo, como aparece en la figura. Nótese que

x3  bx2 , x2  ax1  cx3

De aquí

x3  abx1  bcx3 ó x3 

ab x1 1  bc

bc . La eliminación ab ab . x3  x1 ; que indica que la transmitancia total es 1  bc 1  bc

La ecuación anterior corresponde a diagrama que tiene un lazo propio de transmitancia del lazo propio produce la ecuación,

Representación de sistemas lineales en gráficos de flujo de señal. En este caso se va dibujar el gráfico en función de las ecuaciones del sistema. Sea un sistema definido por las siguientes ecuaciones:

x1  a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 + b1u 1 (a) x2  a21 x 1 + a22 x 2 + a23 x 3 + b2u2 (b) x3  a31 x 1 + a32 x 2 + a33 x 3 (c)

Donde

u1

y

u2 ,

son variables de entrada y

x1 , x2 y x3 son

variables de salida. Se puede obtener un

gráfico de flujo de señal, es decir, una representación gráfica de estas tres ecuaciones simultáneas para este sistema que indique la interdependencia de las variables, de la siguiente manera:

2

x1 , x2 y x3 , como se muestra en la figura: transmitancia entre x j y xi . La ecuación (a) establece

Primero se sitúan los nodos Nótese que

aij es

la

x1 es

que

igual a la suma de

las cuatro señales a11 x 1 , a12 x 2 , a13 x 3 y b1u 1 ; de idéntica forma para las otras dos ecuaciones. Al operar con un gráfico de flujo de señal, se pueden considerar los nodos de entrada (fuentes) uno a la vez. Entonces la salida de señal es igual a la suma de las contribuciones individuales en cada entrada.

Ecuación c Ecuación a

Gráfico de flujo de señal para el sistema completo

Ecuación b

Fórmula de ganancia de Mason para gráficos de flujos de señal. La transmitancia entre un nodo de salida y un nodo de entrada es la ganancia total, entre esos dos nodos. La fórmula de ganancia de Mason, es aplicable a la ganancia total, está dada por

P

1  Pk  k  k

,

De donde:

pK = ganancia de trayectoria o transmitancia de la k-ésima trayectoria directa.  = determinante del gráfico = 1- (suma de todos los lazos de ganancias individuales)

+ (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos)- (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos + … = 1   La a

  Lb Lc   Ld Le L f  ... b ,c

d ,e, f

 La = suma de todas las ganancias de lazos individuales. a

 Lb Lc = suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos.

b ,c

 Ld Le L f

d , e, f

= suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos

disjuntos.

k =

cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la

trayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor de

k

se obtiene a partir de

,

para quitar

los lazos que tocan la trayectoria P . (Nótese que las sumas se toman de todos los caminos posibles desde una entrada a una salida). Ejemplo: Sea el sistema que aparece en la figura.

3

Se convierte en un diagrama de flujo de señal correspondiente a este sistema. La función de transferencia

C ( s) / R( s)

se obtendrá usando la fórmula de Mason. En este sistema hay un solo camino o trayectoria

directa entre la entrada

De

esta

figura

R( s ) y la salida C ( s ) . La trayectoria de ganancia directa es P1  G1G2G3

se

observa que hay tres lazos

L1  G1G2 H1

individuales. Las ganancias de estos lazos son:

L2  G2G3 H 2

.

L3  G1G2G3 Obsérvese que como los tres lazos tienen una rama en común, no hay lazos disjuntos. Por tanto el determinante  está dado por

  1  ( L1  L2  L3 )  1  G1G2 H1  G2G3 H 2  G1G2G3

Se obtiene el cofactor

1

del determinante a lo largo del trayecto directo que conecta el nodo de entrada

con el nodo de salida, retirando los lazos que tocan este trayecto: Como el trayecto se obtiene Por tanto, la ganancia total entre la entrada cerrado, está dada por

1  1 R( s ) y la salida C ( s ) ,

P1

toca los tres lazos,

o función de transferencia de lazo

G1G2G3 C ( s) P P 1 1  R( s)  1  G1G2 H1  G2G3 H 2  G1G2G3

.

Ejemplo: Sea el sistema que aparece en la figura. Se desea hallar la función de transferencia de lazo cerrado C ( s ) / R ( s ) usando la fórmula de Mason.

En este sistema hay entre la entrada la entrada

tres trayectos directos R ( s) y la salida C ( s ) . Las ganancias de los trayectos directos son

P1  G1G2G3G4G5 P2  G1G6G4G5 P3  G1G2G7

4

L1  G4 H1 Hay cuatro lazos individuales. Las ganancias de estos lazos son

L2  G2G7 H 2 L3  G6G4G5 H 2 L4  G2G3G4G5 H 2

L1 no toca al lazo L2 . Por tanto el determinante  está dado por   1  ( L1  L2  L3  L4 )  L1 L2  1  G4 H1  G2G7 H 2  G6G4G5 H 2  G2G3G4G5 H 2  G4 H1G2G7 H 2 El cofactor 1 se obtiene eliminando de  los lazos que tocan el trayecto P1  G1G2G3G4G5 . Por tanto, quitando L1 , L2 , L3 , L4 y L1 L2 de la ecuación anterior, se obtiene 1  1 En forma similar el cofactor  2 es 2  1 El cofactor  3 se obtiene eliminando L2 , L3 , L4 y L1 L2 da como resultado  3  1  L1 La función de transferencia de lazo cerrado C ( s ) / R ( s ) es entonces P  P   P  P  P  P (1  L1 ) C ( s) P 1 1 2 2 3 3  1 2 3  R( s)   G1G2G3G4G5  G1G6G4G5  G1G2G7 (1  G4 H1 )  1  G4 H1  G2G7 H 2  G6G4G5 H 2  G2G3G4G5 H 2  G4 H1G2G7 H 2 El lazo

Modelado de sistemas físicos. Al analizar sistemas de control, el alumno debe ser capaz de modelar sistemas dinámicos y analizar las características dinámicas. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión, o al menos, bastante bien. Un modelo matemático no es único para un sistema determinado; éste puede representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos, dependiendo de la perspectiva. La dinámica de muchos sistemas, se describe en términos de ecuaciones diferenciales, que se obtienen a partir de las leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Obtener un modelo matemático razonable es la parte más importante del análisis. Sistemas mecánicos: La ley fundamental que rige los sistemas mecánicos es la segunda Ley de Newton. Esta puede aplicarse a cualquier sistema mecánico. Trace el diagrama de bloques para el sistema mecánico de la figura, luego simplifíquelo para obtener la función de transferencia entre Suponga el desplazamiento

x0

X o ( s ) / X i ( s) .

medido desde la posición de equilibrio cuando

xi  0 . Definiendo la suma de las fuerzas que actúan sobre la masa obtienen las ecuaciones del sistema, como sigue:

m

como

F,

se

Donde :

..

m x0  F

.

.

F  b( x o  xi )  k ( x o  x i )

F = Fuerza m = masa b = coeficiente de fricción viscosa k = constante del resorte x = desplazamiento . x = velocidad .. x = aceleración

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Reescribiendo las ecuaciones en forma de Transformadas de Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero, se tiene

ms 2 X o ( s)  F ( s )

F ( s )  b  sX 0 ( s )  sX i ( s )   k  X 0 ( s )  X i ( s )   (bs  k )  X i ( s)  X 0 ( s ) 

De las ecuaciones anteriores, se obtienen los elementos del diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura.

Conectando adecuadamente las señales, se puede construir el diagrama de bloques del sistema, como se puede ver en la figura

El diagrama simplificado aparece en las figuras siguientes, después de haber efectuado la eliminación del lazo de retroalimentación.

La función de transferencia entre

X o ( s ) / X i ( s) es entonces

X o ( s) b( s )  k  2 X i ( s) ms  bs  k

.

Sistemas eléctricos: En esta sección abordaremos los circuitos eléctricos que involucran los resistores, los capacitores y los inductores. Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de un malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff. Circuito LRC. Considere el circuito eléctrico que aparece en la figura siguiente: El circuito está formado por una inductancia L (henry), una resistencia R (ohm), y una capacitancia C (farad). Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff al sistema, obtenemos las ecuaciones siguientes:

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L

di 1  Ri   idt ei dt C

1 idt eo C Estas ecuaciones dan un modelo matemático del circuito. Un modelo mediante la función de transferencia del circuito también se obtiene del modo siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores y se suponen condiciones iniciales iguales a cero, para obtener

LsI ( s )  RI ( s )  11 I ( s)  Eo ( s) Cs Si se supone que

11 I ( s )  Ei ( s ) Cs

ei

es la entrada y

eo la salida, la función de transferencia de este sistema resulta ser

Eo ( s) 1  2 Ei ( s ) LCs  RCs  1 MÉTODO DEL ESPACIO DE ESTADO PARA EL ANÁLISIS DE CONTROL DE SISTEMA. CONCEPTO DE ESTADO. Se trata de la caracterización interna del sistema que en cada instante t resume la historia del sistema. La salida dependerá del estado y de la entrada del sistema. El estado futuro del sistema dependerá del estado actual y de la entrada actual del sistema. VARIABLES DE ESTADO. Conjunto mínimo de valores que expresan el estado dinámico del sistema. Cabe destacar que puede que sean o no magnitudes físicas y es de gran ayuda elegirlas, siempre que sea posible, de modo que puedan realimentarse. El conjunto de n variables del sistema formarán el vector de estados. VECTOR DE ESTADO: Si se necesitan

n

variables de estado para describir por completo el

n variables de estado se consideran los n componentes vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t  to , una vez que se obtiene el estado en t  to y se especifica la entrada u(t) para t  to . comportamiento de un sistema determinado, estas de un vector

x.

Tal vector se denomina

ESPACIO DE ESTADO. Es el espacio n-dimensional cuyos ejes son las n variables de estado. Todo estado estará representado como un punto en el espacio de estados. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO. En el análisis de espacio de estado se manejan tres tipos de variables comprendidas en el modelo de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y las variables de estado. El sistema dinámico debe incluir elementos que memoricen los valores de la entrada para

t  t1 . Como en

un sistema de control continuo en el tiempo, los integradores sirven como dispositivos de memoria, se puede considerar a la salida de tales integradores como variables que definen el estado interno del sistema dinámico. Así las variables de los integradores sirven como variables de estado. La cantidad de variables de estado que definen completamente la dinámica del sistema, es igual a la cantidad de integradores incluidos en el sistema. Suponga un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas comprenden n integradores. Suponga que

r entradas u1 (t ), u2 (t ), ..., ur (t ) y m salidas y1 (t ), y2 (t ), ..., ym (t ) . n salidas de los integradores como variables de estado: x1 (t ), x2 (t ), ..., xn (t ) .

también hay

Se definen Entonces el

sistema

se

puede

g

describir con

x1 (t )  f1 ( x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t ) g x 2 (t )  f 2 ( x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t ) . . .g x n (t )  f n ( x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t ) 7

Las salidas del sistema

y1 (t ), y2 (t ), ..., ym (t )

están dadas por

y1 (t )  g1 (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t ) y2 (t )  g 2 (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t ) . . . ym (t )  g m (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t )

Si se define

  x1 (t )   x2 (t )    x(t ))  .  , f (x,u, t )   .  .    xn (t ) 

f1 (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t ) f 2 (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t )  .  .  . f n (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t )

  y1 (t )   y2 (t )  .  y (t ))  , g (x,u, t )   .   .    yn (t ) 

g1 (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t )  g 2 (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t )    . , u(t )    .   .   g m (x1, x2 ,...xn ; u1 , u2 ,...ur ; t )

u1 (t ) u2 (t ) .  .  .  ur (t )

Con estos conceptos aclarados, podemos decir que el análisis en el espacio de estado, para un sistema de una entrada y una salida se centra en estos tres tipos de variables: la entrada, la salida y las variables de g

estado.

x(t )  f(x, u, t ) y (t )  g( x, u, t )

Y si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, estas ecuaciones se simplifican a: g

x(t )  A(t)x(t )  B(t )u(t ) y (t )  C(t)x(t )  D(t)u (t ) Donde: A(t): Matriz de estado del sistema (matriz de evolución),

B(t): Matriz de aplicación del control (matriz de entrada), C(t): Matriz de observación (matriz de salida); D(t): Matriz de transición directa de control. En la figura se muestra el diagrama de bloques de las ecuaciones anteriores.

Si las funciones vectoriales f y/o g no comprenden explícitamente al tiempo t, se denomina al sistema g

como sistema invariante en el tiempo. En este caso, las ecuaciones pueden simplificarse

x(t )  f(x, u) y (t )  g( x,u ) .

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Las

ecuaciones

pueden

linealizarse

en

el

entorno

del

punto

de

operación,

como

sigue:

g

x(t )  Ax(t )  Bu(t ) y (t )  Cx(t )  Du (t ) . Donde la primera es la ecuación de estado del sistema lineal invariante en el tiempo y la segunda es la ecuación de salida del sistema. Ejemplo: Sea el sistema mecánico que aparece en la figura: Se supone el sistema lineal. La fuerza externa desplazamiento

y(t)

u(t)

es la entrada al sistema, y el

de la masa es la salida. En ausencia de la fuerza externa, se

mide el desplazamiento

y(t)

desde la posición de equilibrio. Se trata de un sistema

de una sola entrada y una sola salida. gg

Del

diagrama,

g

m y  b y  ky  u

la

ecuación es :

Este sistema es de segundo orden. Esto significa que el sistema incluye dos integradores. Las

variables

se definen como

de

x1 (t ) y x2 (t )

x1 (t ) = y (t ) g

x2 (t ) = y (t )

estado

, entonces se obtiene

g

x1 = x2 g

x2 

g 1 1 (ky  b y )  u m m

ó g

x1 = x2 k b 1 x1  x2  u m m m La ecuación de salida es y  x1 g

x2  

En forma vectorial matricial las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:

   0  x1        k  m  x2

1     b  m 

x1  0       1    x2  m

Esta es una ecuación de estado

La ecuación de salida, se puede escribir como sistema. Estas ecuaciones están en la forma normalizada

y  1

 x1 0    x  2

Esta es una ecuación de salida para el

9

g

x  Ax + Bu y  Cx  Du

 0 

Donde

A= 

 k  m

1 

 b m

 0

  B=   1    m

C=  1

0 ;

D=0

La figura es un diagrama de bloques para el sistema. Nótese que las salidas de los integradores son variables de estado.

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