Guillermo Lopez Dumrauf - Calculo Financiero Aplicado, un enfoque profesional (2da edicion)

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2* Edición A ctualizada

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L»)|*e7 I'iunirauí, Guillermo ( diculo Financiero Aplicadlo Un enínqiie Prulesiona]. 2da edición acnuiUzada y ampüadaBuenos Aires La Ley 2006 720p ,24xJ6cm (FEDYE)

ISBN 987-03-08B2-1 ! Finanzas. 1 Titulo í .DD 332

Iii'Im ' i's , 1. I rv S A F. el 1ii. mil II. •' ' I I' li. '11»\ \i'| Buenos Anes ' »M l.iiic iiicans clcctioni''.ir iiKiTbnnical. ineludingphoiocrrpymgard reccirding ■II b> aii> i.i/nrination .si 'iisrc or icincvii System, . innui pcrniission in vc'rilinp írom Il« publisher Tirida’ 13'.>ii ;j*mplares

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Guillermo López Dumrauf es Doctor de la Universidad de Buenos Ai­ res con una tesis sobre la estructura de capital óptima de la firma Hn la práctica profesional se desempeña como consultor económico financiero y asesor de empresas y entidades financieras. Desde 199i) es socio del J-sludio Tisocco y Asociados, consultores y auditores de empresas. Es autor de los libros “Finanzas Corporativas" (Grupo Guía. 2003) y “Cál­ culo Financiero Aplicado" (La Ley, 2003) cuya calidad ha sido ampliamen- ' te reconocida por académicos y practicantes y adoptadas com o texto de cursos de grado y posgrado por varias universidades sudamericanas. 'J ambién colabora como columnista en revistas y diarios especializados en eco­ nomía y finanzas. El Dr, Dumrauf tiene una amplia y reconocida trayectoria académica y es profesor titular en las más prestigiosas casas de estudio de nuestro país, tal el caso de las universidades del GEMA, ITBA y UBA y el instituto univer­ sitario ESEADE. En ellas dicta m aterias com o Finanzas Corporativas, Valuación de Empresas, Fusiones y Adquisiciones, Cálculo Financiero Apli­ cado y Derivados Financieros en programas de Maestría y más recieiitemenre, Opciones Reales en los doctorados de economía y finanzas Du­ rante el año 2004 dictó un seminario sobre fusiones y adquisiciones en un programa realizado en conjunto por la Universidad del Salvador y la StattUnn’ersiiy ofNew York. También es profesor de la certificacíríi) imerniioo nal ClíA (Certified Imemaiíonal Investment Analysisj en el programa dic­ tado jior el Instiiiitü Argentino de Ejecutivos de Finanzas en Argentina, Ha sido convocado en numerosas oportunidades como conferencista in­ ternacional y ha sido expositor en Seminarios en las Universidades del Gema, San Andrés, Torcuato Di Telia, Universidades Nacionales de Córdo­ ba, Rosario, Lujan y Entre Ríos; Católica de Salta, Universídade Heder.il di. Espirito Santo íBrasilj, Politécnico Grancolombíano ytlniversidad lavei lana (Colombia) Universidad Autónoma Gabriel Rene Moreno y Univeisidad Mayor de San Simón (Üolivia) y la Universidad Nacional de El Salvador (Centroamérlca) donde fue declarado docenre distinguido en 1996 Hoy su interés está concentrado en los procesos de valuación e Implemenidcion de las opciones reales integrando el análisis tradicional por descuciiru de flujos con la simulación de Monte Cario Su tesis doctoral hie desarrollada sobre la base de un niodelu de b o iu ir a r in g - ír a d e a ff para determinar la estnictura de capital óptima de la ñmid

# r P r e f a c io

Esta obra procura ser un puente entre la teoría v la práctica coM'liana Medir ia rentabilidad de una aplicación rinanciera o de una inversión pi •ductiva, así como el cálculo del costo del capital, convierten al cálculo iinanciero en una herramienta indispensable para el profesional de las I ilianzas y los Negocios. La matemática financiera es una disciplina que una vez aprendida, tiene inmediata aplicación en una gran cantidad de píoblemas de la vida real: cálculos de tasas de interés efectivas, eqiiivalentías de rendimienin.s para distintas operaciones, saldos de deuda en un pt*’« tamo, refinanciaciones de obligaciones, rentabilidad de iv-nos, etcét»'ra Cada vez que la inflación asoma su horrible cabeza, se suma la compi' jidad de un contexto inflacionario donde se Itace necesario el cálculo aparecer en la practica. Niiestio deseo es que este libro quede “gastado" por su manoseo •u j.-, consulta diana, que brinde al lector un conocimiento acabado del rál^ult. financiero y que se convierta en una referencia obligada para avutlar a tomar mejores decisiones financieras

Ginu-ERMo López D umrau'-

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e s t in a t a r io s

Esie libro está destinado fundamentalmente a los profesionales en rien­ das econtitnicas y también a los estudiantes de cursos de grado y posigrado. analistas financieros, ejecutivos financieros y otros profesionales que gan uso dei cálculo fínanciero en su labor cotidiana.

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# P a n o r á m ic a d e

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Las categorías que componen las maiemállcas financieras sr eiinientran llenas de detalles; no obstante, el orden de los tenin’; sigue íi estruc­ tura lógica que debe tener un manual de cálculo financiero, permitiendo al lector transitar con fluidez por la avenida p r¡in c ip a } de la nraiemátrca financiera. * Esta obra ha sido estructurada en cinco partes, üi primera pnri« orli­ pa de las operaciones simples, que tratan operaciones con un sol'i capital Aquí traíamos el interés simple y el interés compuesto, la ronvrisii»' de tasas de interés y los números Indice También hemos incluido un rnpnulo introductorio, que brinda una panorámica acerca de las aplicaí:i*mes '• las razones por las cuales es importante saber cálculo financiero La segunda parte trata las opcrariones "complejas” tal com»' -r «i^nomma a las rentas En la vuia real hay una cantidad de snuacionec l de ni­ vel introductorio, se ha tratado de abarcar los tópicos principales, inclu-

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G uiueráío López Dumkauf

yendo la descripción de las principales opciones y los métodos de valuación por neiicralidad ante el nesgo y el portafólío replicado. También se descri­ be brevemente la fórmula de Black-Scholes, que tuvo una gran influencia en la forma en que los operadores fijan precios y realizan coberturas con opciones E) último capitulo trata las opciones reales y su aplicación en las finanzas corporativas, que será sin lugar a dudas el tema donde se concen­ trarán los métodos de valuación en los próximos años. En cada capítulo se ha procurado una inmediata conexión con las si­ tuaciones reales que enfrenta coiidianamenie ios profesionales que ha­ cen uso de las matemáticas financieras. Por caso, el efeclo de los coeficien­ tes de indexacíón creados por los Gobiernos Nacionales en las operacio­ nes financieras, resoluciones del BCRA y otras operaciones. Se incluyen algunas aplicaciones con planilla de cálculo ripo Excel y también calcula­ dora financiera del tipo HP 12 C. que permiten resolver los problemas con mayor rapidez.

Cambios en la segunda edición Después del éxito que tuvo Cálculo Financiero Aplicado, un en foqu e profesúm al, y luego de tres años, sentí la necesidad de realizar una actua­ lización e incorporar algunos cambios, siempre con el afán permanente de mejorar la obra. El liíiro fue integralmente revisado y la pane estructural de la matemática financiera, comprendida entre los capítulos 1 a 9, mantiene esencialmente el mismo orden con algunos pequeños cambios, básicamente la incorporación de ejemplos y explicaciones adicionales. Se agregaron más preguntas y ejer­ cidos a! final de cada capítulo y fueran corregidos algunos errores en la priniftra etiicjón a partir de sugerencias que realizaron los practicantes, profeso­ res y finidamemalniente, los alumnos a quienes agradezco por separado. En ranos casos se incluyeron funciones de Excehí) que permiten resolvei mui has situaciones con mayor eficiencia. En general, se mejoró el layü ü íd e l.i obra, se actualizaron algunas figuras yse incluyeron algunas nue­ vas. En esta ocasión, los apéndices fueren incluidos al final de los capítulos para que el lector obtenga un mayor provecho. En general contienen casos reales, situaciones particulares o análisis matemáticos adicionales. Los cambios más Importantes se producen a partir del capítulo 10 donde se tratan las técnicas de evaluación de proyectos con la incorporación de ejemplos nuevos y una revisión más profunda de las técnicas tradiciona­ les, en jianicular para los casos de proyectos de inversión con diferente tamaño Los capítulos 11 y 12 que tratan la valuación y la volatilidad de bonos tuvieron varios cambios: se incorporaron \'aluaciones de nuevos bonos y se incluyó una sección para tratar la inmunización de cañeras de bonos, con un ejemplo real con dos bonos argentinos al final del capítulo que los praci icantes podrían encontrar muy interesante.

C a l c u l o h iH A N C ií R O a p l i c a ü u

El capítulo 13 que trata las opciones financieras también fue m ejorado y el capítulo 14 que trata las opciones reales tuvo varios cambios: en los ejem­ plos ¡nidales se buscó una mayor conexión con la técnica iradíctonaí del valor actual neto, se subrayaron las diferencias entre ésta y la técnica de real opíions y se incluyeron apéndices con 4 casos reales,

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Esta nueva edición condene un capítulo adiciónal. El capítulo 15 trata e) costo del capital, lema particularmente resbaladizo aiín en países con merca­ dos de capitales desarrollados. En el caso de las compañías que actúan en economías emergentes, con mercados de capitales poco desarrollados y en la mayoría de los casos sin oferta piíblica de sus acciones, el problema es mucho más complicado. El tratamiento del costo de oportunidad del capital a utilizar en un pro­ yecto o en la valuación de una compañía, es un tema recurrente en un curso de matemática financiera y quisimos dar respuesta al reclamo de lus alumnos y los practicantes. En la estimación de) costo de capital exísie mucho espacio para equivocarse, de forma que en el: mejor de los casas tendremos, tal vez, una estimación razonable. En este capitulo describi­ mos los argumentos teóricos y los pasos que siguen los practicantes para la estimación del costo del capital en compañías de capital cerrada, donde estamos muy lejos lodaLna de tener un método científico. Quien de.st:uliia algún día un método generalmente aceptado para las compañías de caj»i tal cerrado, ganará tm importante recunocímienio entre la comunidad académica

Apéndice con repaso de matemáticas, fórmulas más utilizadas y respues­ tas a los problemas de final de capítulo El lector que busque refrescar sus conocimientos de inatemáticu baaica encontrará un apéiidice duiide se e.xplicar, en forma sencillci Idí, tiimni Clones mas toniunes pasaje de términos, poit-nciacíón.,. lugaritinn^ y dn rivadas También hemos destinado una sección para resumir las lYiríiiubs ru.is utilizadas que ser\irán al usuario como una guía rápida. En esta segunda edición se ha incrementado la cantidad de preguntas y ejercicios al final de cada capitulo En total, esta edición coniietur c-en a de 100 preguntas y más de 150 ejercicios, además de las preguntas dt aianevaluación y los ejercicios y ejemplos que aparecen tratados dentro de cuna capitulo. La totalidad de las respuestas y las resoluciones aparecen en un largo apéndice destinado al efecto, donde se detallan las fórnnibs lunizádas y con un comentarlo para los ejercicios más complejos que ayuda a ou resolución paso a paso .

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PágiJia web Víirios tópicos tratados en este libro son recogidos en presentaciones del , jpo P ow erP oin t y también pianilias de aiículo. Estas pueden encontrarse en mi uebs/rcpersonal; w-vv^v.dumraufnet.com.ar I os (exins, presentaciones y planillas de cálculo que aparecen en mí site son do acceso publico.

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r e c o n o c im ie n t o s

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Siempre digo que fa parte de los agradecímieníos es una de las que más disfrutamos los autores. En realidad, el placer es doble, ya rjue esta sección se escribe después de l)aber sido consumido por los laberintos del libro...

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Por ello, quiero agradecer a iodos aquellos que se tomaron el {ralíajo de realizar una lectura crítica y crlteriosa deaJgunos capítulos. Tuve la ayuda desinteresada de los siguientes profesores. Carlos Alvarez de Toled»', tpn*»n realizó una cuidadosa revisión de los capítulos vinculados a las operariones .simples. Miguel Delfiner. quien me hizo varios comentarios útiles para el capítulo correspondiente a las opciones financieras. Darío Stefanclli y Felipe Gilabert realizaron una lectura profe.sínnal y haustiva de varios capíiulos y realizaron importantes sugerenctos

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Quiero también agradecer muy especialmente a Juan Ignacio F' 'pntt»'eí; (UNLU), a Paulino Mallo (UNMDP). Marcelo Oelfino (UNC), Adrián T aí.tUn y Luciano Machaín (UNR) por sus ütiies comentarios.

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Tengo una agradecimiento muy especial "en forma contínu-t'' para Néstor Fernández}' Federico Bunsow a quienes les espera una carrera profe.sional y académica absolutamente prometedora. Los imercambios so­ bre lemas profesionales y académicos con ellos son permanentes y seria injusto remitir su colaboración a un capíitiln específico ^4ésto^ ya va pm su tercer libro y seguramente Federico comenzará muy pronto.

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También tengo una lista de practicantes de las finanzas a quien'’S ag'adecerle sus valiosos aportes y com entarios: José Luis Seoane, Douglas Elespe. Miguel Peres, Gonzalo Mandagarán Rivas, Fteddy Vieytes< y Gu. lavo Seraci, Victoria Giarrizo me proporcionó estadísticas sobre el FBI y Juan Ma­ nuel Vázquez, Francisco Tesi, Gabriel Serio y Fernando Toledano ine pío-

porcionaron información sobre el mercado de capitales

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Una gran cantidad de alumnos aportaron también su impórtame cola­ boración para mejorar la obra Varios de ellos se tomaron el trabajo de leer secciones completas de la primera edición del libro para buscar errores y realizar sugerencias En realidad, los alumnos suelen encarar esta tarea cmi mucha responsabilidad y buena voluntad, por lo que merpcen mi más sin­ cero reconocimiento. Deseo agradecer especialmente a; María Florencia San

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CüttiFRMa lOf’£Z DumIIAUF losé, Marcelo íuncá, Alejandra Massey, Carla Arias, Gabriel Gambetta, Ariel Küasñüsky, Femando Guillermo Dauz, Gonzalo Sposaio. Cecilia CarovíllanO, César Delconttí, Gastón ürbma, Gabriel Delgado, Adnana Sierra y Luís Morís. Mi agradecimiento para Fernando Sagarna y Verónica AJumíra de La Ley por el esfuerzo para que la obra saliera en termino, Verónica, eii su doble eandit'ión de matemática y profesional en ciencias económicas, se constiaiyó en una revisora de lujo. Quiero agradecer al licenciado en matemáticas Gustavo Bíze por la diagraínacíon de la obra, por imprimirle un estilo agradable que facilita su lectur.i y por el cuidado del detalle Loá seres queridos, con justicia, pueden sendr que este tipo de proyectos conspira contra el tiempo para estar en familiay tienen razón. Hijos, ya ven­ drán las compensaciones. Espero que esta "mala costumbre" sea percibida de acuerdo a lo que deaa el maiemáiico y filósofo Blaise Pascal; "los malos libros provocan malas costumbres, y las malas costumbres provocan buenos libros' Aprovecíiu la oponunidad para agradecer muy especialmente a mi csposu Emilia, quien se tomó el trabajo de leer y revisar la primera edición práctK,ameme en su totalidad. Su condición de profesional eri ciencias ecori-rniicas fue una gran ayuda y el grado en que se involucró en este proyecto me ayudó mucho a mejorar la obra, Fiiúilmente, quiero agradecer a aquelíos que sin saberlo, fueron someti­ dos a los primeros borradores, cuando en el aula o en la vida real se trataba una ciitísiión ú se .ííiaUzaba imá operación financiera V a todos aquellosque aun igíiurauda ciue sus opinitmes esiabanalimeniaridulaobra. hdn propordv>iiado un Iru'alorable aporre.

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Destinatarios ^ Panorámica de la ob ra.

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Reconocimientos....,

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iNTHODt/GCIÓrt AL CAJjCULO Fí NANCIEHO

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1,1. ¿Por qué debemos saber Cálculo Financiero?. 1 2 , El valor tiempo del dinero........—............ Diferencia entre el interés y la tasa de interés Diferencia entre incremento, porcentual y cantidad de veces en que crece un capital.

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Tasas de interés activas y pasivas, Componentes de la tasa de interés ........ .

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.

El costo del capital en las economías emergentes......i. Remas y valuación de flujos de efectivo.....i........... Reglas para llegar a buen puerto 1,3, Panorámica de las aplicaciones del cálculo financiero. La inflación desimye e! valor déla moneda , Préstamos . El dólar fiiturú y otros contratos de fuimos Tipo de cambio reai, El riesgo país Planes de jubilación y pensión . Opciones. Rendimienfos de tos activaos financieros tn Argentina 111912005..

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C viiLim o lorEi Dummuí Pág. Pcferencias bibliográficas..

J7 C\rfTUi.o 2 ll'TTEnÉS SiMPlf

ío'M»duccióri............................... ..................................................... ........ 2

19

1 La cap»!ilizacítSn en el irgiinen simple: caracierisiicas prin­ cipales ......... ............................................................................... ......

20

Cuadro de marcha progresiva del interés simple.......................

20

Formulas derivadas del momo a interés simple .......................

21

La formula de! monto a interés simple cuando varía la tasa interés................................................. .....................................

23

Arrálíds del m idiiniento y funciones del monto e interés ncnmulado ........................ .......... .................................................

23

rUiro medio ..... ............ ............................................................... ..

26

Tasa fU'’d ia ........... ........... ................................... ... ..................

27

Tasa {»TO[ioicional en el interés simple.....................................

20

Interés civil y comercial.................................................................

29

forma {¡fl contar los intervalos de tiempo en la fiepública Argeniífra................................................................. .................. .

30

Pjcniplos de aplicación del interés simple en la vida reaJ.........

31

2 At nialiracíón en e! interés simple: descuento racional y desrom erciaj...............................

36

«'u n d f de marcha del descuento racional...... ................... ........

37

rcrniiil-*" rliMivadas del descuentcí racional............. ............ .....

37

Anális's del descuento lacional........... ................ .......................

38

.*.n ílis»': de las funciones del descuento racional con deri''adas.

39

I a operación de descuento en la práctica; el descuerno comerrial.............

40

t nmo sp pacta el desruenío en la vida real, la tasa de des­ cuento nominal.... .......... ............. ................................. . .

43

La equivalencia entre las tasas de interés vencida y de descueiilo pan operaciones con mis de un período....................

44

Uí’«cr««’mn c.iMncrcial y racional; dos medidas difsr»'ntes de una misma operación ............. .............................................. ..

45

Cuadio de marcha del descuento comercial........ ......................

46

Fórmulas derivadas del descuento comercial..... ............ ...........

47

Análisis del descuento comercial.____ ______________ _____

47

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C a l c u l o F in a n C í x r O A r iJ C A t > P

Tág. Tiempo que {arda el descuento en anular Un cap ital o d>>cunienio ................................. — ........ .................. .— 2.3. Equivalencia de capitales en el régimen simple y reernpía'’.o

49 3

4$ Vencímiemocomún .... .............................. ........................ .... ..

.

Vencimiento medio ..................... ........... ......... .......................

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Un atajo para calcular el vencimiento medio: la lasa no infiu^ ye en el descuento com ercial......... .......... .......

52 53

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sr , Problem as............... ......... ................................................. ............... ....... .

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Referencias bibliográficas .......... ........ ...............—................

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A p én d ice 2A • Conversión de tasa nom inal anual adelantada rn tasa efectiva de descuento................................................... .............. .....

62

Apéndice 2B - Conversión de tasa nominal anual adelantada tasa de interés efectiva..................................... .................... ..

6,3

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C atitulo 3

iNTERfó CoMrUETlO Introducción...................................... .................. ............. 3,1.

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Capitalización en el régimen compuesto . .............___ _

65 .

66

Rendimientos cíe jos depósitos a plazf‘ fijo en la Rppúbli' a Argén tin a ......... ..................... .................. ..

6 7 /'

Características principales dcl interés com puesto..................

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Cuadro de marcha progresiva del interés com puesto........ . .

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6í)

La fórmula de! monto com puesto cuando la tasa de inteiés 68 Clasificación del régimen compuesto

___ _ ..

69

Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto ...................

69

Aplicaciones del interés compuesto en la vida real ........................

71

Análisis de las funciones monto e interés acum ulado,—

72

Tiempo necesario para que un capital se convierta en muL tipio de sí m ism o......... ............................................ ................... .....

73

Tiem po en que dos capitales, colocad os a diferente tasa, alcanzan igual m onto......................... .................................. . „

73 ■

Comparación entre el monto simple y el monto compuesto.

74..

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41 I a lasa proporcional y equivalenie en los regímenes simple

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I I monto a interés simple y el nionlo a inierés compuesto: comparación gráfica ................................................................... .

76

* lomo fraccionario

77

........................................................................ .

1 1ínteres compuesto y el anatocismo.............................................. 3

:■} 3.

2.

7fi

Pegimen de actualización compuesto....................................... 79 I I valor actual con tasa de interés compuesta................................

79

Análisis de la función del valor actual con interés compuesto con derivadas.....................................................................................

80

L1 d escu ento com puesto con tasa adelantada- cuadro de marcha...................................

01

1 onmilas derivadas del descuento compuesto..............................

82

.'\naJisis del descuento compuesto ....................................................

83

hepresenraciones gráficas del valor actual y del descuento.........

84

/'.nalists de laa funciones del descuento compuesto con deriv'adas .

84

' ‘ornparairiÓM del interés y el descuento en los regímenes ...... 3Íni(ile y í i/inpuesiu

85

l{düción entre la tasa de interés y la tasa de descuerno en el régimen com puesio.....................

85

I quivaJenri j de capitales en el interés compuesto............... ........

86

eiicimienicíCünujri) vencimiento m edio.... ................................

87

• iwnparacion del vencirmenio medio en los regímenes simj)Ic y c.t.nhpiic:s(o ..............

88

' iulida«.l de I veiicimienui medio en la práctica .........................

88

'(esu in en ................. ........ .................................. ................. ........................ ..

aa

l'reguiitas..................................................................................................

89

Piol>l«-mas....................................................................... kcferiiicias bibliográficas................

92

Apenvlice 3 A - Tasas de crecim iento de! FBI en la Argentina j^'lK^2u04.................

93

CAPírtíLO 4 T.asas de I nterés InCrotmcción..................................................................................

95

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95

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! as tasas de interés vencidas............................................................

C a i. o m , o F iN A N C if R O A r n C A u r »

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La lasa nomínaJ de la operacidn................. ............... ....... . .... .L..

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El costo financiero total del préstamo: castrtiel banco X5$*;,.v. w ..

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Caso de aplicación el coeficiente de estabilización dé refe^ renda iCUTiJ...................................................... ......................... .

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cálculo del saldo del préstamo ^

índexacidn en el sistema francés

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Cálculo del saldo del préstamo; métodos; prGSpeclívo’'y re trnspecuvo

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Intereses periódicos

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Cuota periódica........................................ ___________ . . . i . - . . . ' ' Intereses abonados entre períodos no consecutivos Resumen de fórmulas

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Com paración entre el sistem a de am oriizaeión francés y alemán....,

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Responsabilidad del presiam ísia en los sistem as francés y 0.3, Sistema americano.1«

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.r % : Financiam iento con sistem as qüe calculan ín le re se s süb>e saldo ......................................................................... .

294

Financiamiento con intereses calculados directam ente so b íe el cap ital...................... ....... ................ ....... . 295 Efectos impositivos del tipo de financiamientó ............... .

297

Ranking del ahorro fiscal............... ............ ...................................... .

298

R esu m en............................................................................... ..............

299

Preguntas...................................................................................... ....................... .

299

Problem as..................................... ...............................................................

.

299

Introducción................ .......................... ............ .............. ..................................

.301

10. l.

La tasa de rendimiento contable........... ...... .............. ...........

302

10.2.

El período de recupero (payback)...... .............. H04 .

10.3.

Período de recupero descontado (discounted payback)____ .....

10.4.

El valor actual n e to ........ .......................................... ........

Referencias bibliográficas..........................................3oo

Capítulo 10

^

T écnicas de E vaduación de Proyectos de ¡m'^ERsióN .

306

Como debe interpretarse el VAN....................... ........................... ......

10.5.

¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcuh»r el VAN?.................................................................. ...i...... ............ .

’.io

La regla de! valor actual iieto: si el VAN es positivo............______

31j

Análisis de la función del VAN........ ....... ........... ...... ................. ......

M.2

El valor terminal en los proyectos de inversión .............................

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L.a lasa intema de retom o.----- ----------- --------- ... ..... ... ............

^tr<

La regla de decisión de la TIR .............. ...................... ...................

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El supuesto de la reinversión de fondos................. . .............. . . Como calcular la TIR sin am da de calculadoras fin an cieras:.. . Proyectos "convencionales” o "sim ples”: cuando él VAN )’ la TIR coinciden....... .......................................... ................... Diferencias y analogías entre el VAN y la T IR ........ .—

■

10-6. El índice de rentabilidad o relación beneficio-costo ......... —

3! fl ’- l ó ‘3 2 1

.

^21

Regla de decisión del índice de r e n t a b i l i d a d *

222

10.7. Algunas com plicaciones en Jas técnicas de presupuesto de capital................ .............................................................................. -

223

I** inconveniente: proyectos mutuamenteexcluyente.s

.

323

ii

Loí>¿2 PuMRAUf

2'“ íncanvenienre; reinversión de fondos ................................— 3 " inconvenienre: proyectos de endeudamiento

10.8.

10.9.

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330

4'* inconvenieme: la estruaura temporal de la tasa de interés ....

331

5“ inconveniente: TíR múltiples o ausencia de unaTIR.......... .

332

LaTfRm odiRcada............ ............................ ....................................

334

La reinversión de fondos---------- ---------- --------------------- -------

336

Otra forma de calcularlaTIR modificada ..................... ................

337

TIR modificada: ejemplo de aplicación con Excel®.......... ..........

337

¿LiTlR Modificada puede corregirlos errores de la TIR?...........

338

Proyectos con diferente vida: cuando la regla directa del V.LN puede fallar—______ __ _________________ _____________

340

£1 método de la anualidad equivalente____________________

342

lÜ.lO La "duration" en la evaluación de proyeaos-------------------------

343

Más acerca de proyectos con diferente tam año------------ --------

345

lü .ll Cálculo dcl V(\N y la TIR con flujos no periódicos-------------- —

346

10.12 Los proyectos sólo se aceptan sí son buenos proyectos.

^8

10.12 Í.OS proyectos, ía estrategia y la teoría de opciones------

349

Hesumen . ................... .............................................. .................... ....

350

Pregí mías

350

_____ ____________ :........................................

Pf obíemas........................... ..... ................... ............... .....................

352

»

Hefei encías bibliográficas.

356

i

Pági/ias ivcb recomendadas:.

357

I Cu’rruLO 11

I

Irniio&ucci^N A LAValuació.n y Cálculo DE R endimietíto de B onos

I

I I t »

t #

íntrodücción ... . . . ............. .— ............

359

11-1

Conceptos Fundamentales

360

Pagos de capital o principal .......

361

Valor residual............. ........... ..

362

Pagos de interés ----------- -—

363

Detalles en la construcción del flujo de fondos del b o n o ..........

365

Acerca de la forma de contar Jos días cuando e! servicio cae en un día no laborable—........................................................... .

366

Intereses corridos-------------- ----- ------------ --- ----- ---------

367

’

11.2.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ C á IC U K ;^ ^ ^ ^ > N C U : X ■ ( in . f U c > v t > M

’, .~

. . :

V aluación y cálcu io del rencJiíiíjcíiiiCf de la inver&k>ii e ii Valuadán de un bono con pago del principal al final

Mtí

Medidas de rendimientos de la inversión en bonos..*,.........,.,... • r-itiM Concepto de rendimiento al vencimiento (Yield to M au in ly j.....

370

Rendimiento corriente feurrení yíeld) ................... ...... ......... ........3 :1 Ganancias de capital (capital gain yieldj y rendimiento total e sp erad o .................... ....... ..... ................................................. 3V'J~ Rendiniienro total esperado (TIR )........................................ 3 7 1 Consideraciones impositivas......................... .......... ....

37:1

Evolución del precio del bono hasta su v e n c i m i e n t o 374

11.3.

E! rendimiento cuando el bono tiene una opción de rescate anticipado (cad feaiure)......... *...............................7:.....,..,-.^........

37S

Valuación de Obligaciones compradas entre períodos in ter­ medios .......................................... ....... .................. ........ ........................

3? o

. V'aluación de un bono adquirido entre dos períodos de rema El criterio de la reinversión de los cupones a una tasa "segura’’ ..

!i7'7 3. n

La función "TIR no periódica"........................................ ......... .

11.4.

E)em|>los reales, cálculo ele rendimiento de bonos argeniinos ..

{uü

E|empío reales costo efectivo de financiarse co n ohligacitínes negociables...................................... ................... ................ .

.3ííj

Riesgos asociados a la inversión en b on os............................. .

3H-í

Riesgo de la tasa de Ín te re s................................................... ........ ....

3»i i

Riesgu de reinversión ......................... ....... ........... ...........— Ríesgcib de los bonos con op ciones............................... ,

... .......

3? 7

Riesgo de re:>caie anticipado................................ ....... . ..................

S h-í

Riesgo de inflación......................... ....... .......................... ..... 33c Riesgo de devaluación........................................... ......... ....... . Riesgo de default....................................... .............-............................. 11.5.

3 Opciones de v e n ia ___ ___ _____ __________ _

. ...

44^

...................

44«

Factores que determinan el precio de una opción El precio de la acció n ........................................... .............. 433 El precio de ejercicio............... ..................... ......... . .................

153

La volatilidad..................................... ....... .......... ............................... ; El tiempo de vnda de la opción ....................... .............453 La tasa de imerés libre de riesgo.... ....... .......Vi......................... ... 13.3.

"I

■

•.

^^

j

* v d |j gm-

C apitulo 13

13.1.

0

433

453

Los dividendos................ ....... ........ ....................... ....................... ..

is-i

Ejercicio de la opción antes de su vencimiento

....

455

Opciones de compra que no distribuyen dnridendos*...............

455

Opciones de venta que no distribuyen dividendos

457

El efecto de los dividendos

45H

C iM L it a M O L o p fzD u M R A U f

Pág.

13

13 5.

4

La pariv-iad pul-cali en las opciones europeas............................. .

45Ü

Linnies inferior y superior para el valor de las opciones que no dísifibiiyen dividendos.................................................... ...... .

460

Valuación de opciones con el método binomial......................

464

¿Oué es un mundo neutral al riesgo?................ ............................

468

El atajo de las probabilidades neutras ponderadas....................

*169

[TUUj 14 IríTitonncciON a i as O pciones Reales íiurOiiucción ..................................................... ..............................................

489

ínircducción: las opciones en las finanzas corporativas........................

490

14 1.

Valuación de una opción de díferimienio de la inversión inicial .....

491

Primer paso* Calculamos el valor presente sin flexibilidad.......

492

Segundo paso: diseño y análisis del árbol de decisión........... .

494

UsarelV.AN más la técnica DTAvdola la ley de! precio único......

495

Tercer paso: valuación de la opción real con los métodos del ponafolio replicado y neutralidad ante el riesgo..............

496

La técn ica del VAN no valúa correctam ente la opción de diferir............... ...........

499

11.2. Diferencias fundamentales entre los métodos VAN y ROA .........

499

_ _ _ _ _ _ _ _ _

C a l C . iJ I O rin A r jC IfK D A lM lV lK ) _ _ _ _ _ _ _ _ ._ _

■ A A >¡ t:

Obtención ele las lasa» a;usiaclas ai riesgo

*iH''

Inexisiencia de activo negücíado ÍMarketed Asser Disdai/ner)

14.3.

. íiíM.i

Portafolio replicado con los retornos del proyecto,....../--.- ......

Sol

Método de v'aluación suponiendo neiilraljdad ante e! nesgo ...

fíiií

O pciones clasicas; expansión, contracción y abandono de la actividad ............ ............... .......................... ............... .

S«ni

Valuación de la opcion de expansión

S04

Valuación de la opción de abandono

.......... .......

SoT

Valuación de la opción de co n tra e r......... .................. ............ 5on

M.4.

Valuación de la opción com bin ad a............. ................................ .

5) I

Valor de la opción de expansión cuando se pagan dividendos ...

S i4

Revisión del VAN y las técnicas de valuación de op cion es reales.......................... .................................................... .........................

f/17

Tasas ajustadas al nesgo (TAR).................................... .......... ......... ., 6 l7 Probabilidades objetiva.^ y probabilidades hedge ...................... Diferencias entre opciones reales y opciones financieras ....... . Resurnen ............................................... ....................... ................. .............

.ií‘i ^IH *>,.'0

Preguntas.................. . ......... ...... .................. .......................... ....... . ..........- ; Problemas ................. .................... ................................... ...................— Referencias bibliográncas.—.................... .............................................

-' -I V. t

Apéndice A - Caso real en la industria de la construcción' "flo rízonte" ............................................................................ ................................. Apéndice B - Caso real en la industria de la consrruccíón; “C í n ' ' * > w " ' .-Apéndice C - Caso real en la ind u stria a g ro -b io tecn o lcig ica : ‘Agrogen" ........................... ................................................................ Apéndice D - Caso real en telecomunicaciones; "T e ln et"........ .

TyiV 'ó

C apítulo 15 E l C osto de C apital Introducción...................................... ................. .................. ............531 15.1.

¿Qué ren d im ien to debe reco m p en sarn o s una inv^ersión 'Tiesgosa"........................................... ............................. ........ ....... -.....

532

El rendimiento que podemos obtener en una alternativa de nesgo sim ilar............. .............. ........... ....... .....................................

.533

El riesgo de negocio................................ ........................... ...... El riesgo financiero........... ......... ........................ ........ ..... .

5J4 .

f>34

'jU lL L E P M O Ix 'r r ? .f . ^ U M P A U E

l'i

........... ......... ...................

Pág WS

El proceso de esiirnacion del cosio del capiial de las acciones en in [irát tica..................... *.................................................. ...............

*i39

Ln lasa libre de riesgo........................................................................

‘>40

E! capiU'J asseí pricItiR model ICAPM'

I" 4

/lasas de c«no o larg'' pla?o?...........................................................

15.5

i55

Her*)incndaciones de algunas consultoras.............. .............. ....

.M4

Una solución de compromiso...........................................................

544

Le prima por riesgo de mercado......................................................

546

Al guiñemos a favor de incluir el promedio aritm élico...............

546

Argumentos a favor de incluir el promedio geométrico.............

546

Piirnn de riesgo de mercado impiícita fimplied equity risk picmmnl ..........................................................................................

546

l’niiKisde meicado lócales no representativas............................

548

¿Qué har'Mi los consultores en laArgcnlina?.............. ..................

548

R^roinendacione*: de algunas consultoras.............................. .....

549

El coeficienie b e ta ..............................................................................

549

liiiei valo.': de medición .....................................................................

i5 7

C.ile iiki del líela con Excclif*................. ........... ..............................

550

Ln técnica dcl beta comparable........................................................

551

Ali la que nos cuenta sobre la vida de Herrj' Creen n a 3 4 -]9 1 6 ). también cdiha ida com o "1.a bru)a de Wall Street", la m ujer que desafió loa piecoiu'ept.is acerca de la incapacidad de las m ujeres para trabajar y tomar decisíuiu-s en el mundo de las finanzas. Cuenta la historia que Hetty Greeti rean m com o herencia de su padre un millón de dólares y centuplico su vjioi al cabo de 50 años. La filosofía que Creen utilizaba para tomar sus declsiuJM-^ puede ser resumida en sus propias palabras: "Ib n o creo m u c h o en Itis accion es. N u n ca co m p ro a ccio n es tle em prcsiH industríales La con strucción d e in m u eb les y ca m in o s spu Uts cosas epic m e ;gustan. Antes d e d ecid ir u n a inversión p ro cu ro to d a la in form ación y o stld c acerca d e l negocio. No Iioy secretos p a ra h a c e r u n a fo rtu n a . Toda h q u e u s­ ted d e b e h a c e r es co m p ra r b a ra to y lu ego v en d er m ds caro, acu u m d o rdctun a h n en te y ser persisren íe" ¿Qué podem os aprender de Heiry Creen? Primero, está claro que no era una especuladora. Hetty Creen no buscaba los rendimientos de como plazo. En cambio, Invertía conservadorainente en busca de los rendimien­ tos de largo plazo. Aunque no se sabe con certeza cuál fue el m o m o ile la riqueza que acumuló a la fecha de su fallecimiento, se dice que su m illón

GuiafRAJOLortz DuMn.M.if heredado se convirtió en casi JOO millones 5] años después. Debemos j>ercatanios que esto puede alcanzarse con una (asa ligeramente superior al 9.5% anual a interés compuesto como puede verse en la figura 1.5. (3) Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo pla­ zo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo (4).

Monto

F ijara 1 S Evntudñn de I millón al 9.6% anual compue5(o

ella supo uulízai d interés compuesto y aprovechar las oporMiniila/I»? Siempre prestó pero nunca se endeudó. En los momentos de pánico íínaufiero, cuando los precios de los títulos descienden. Herry Gieen siempre supo .sacar [rrnvecho, pues contaha cotr los e.xcedenies de caja ne­ cesarios. «Itf'en enlemlió que las oportunidades también requieren pre­ paración y planincncióii cuidadosa. Ella .sicmi'ie estuvo bien preparada. lercero. nunca consumió el capital. l.os "gole.s financieros" suelen hacercent siiiiH»'i'’MPs iiedr«e(iuilíbrio. Ella enlrnrdió que la moderación dd con'■.iMttn prescMir brinda ma3'orconsumo hit no

'. rrnr ro. i ueen prnhi» qite las tmtleres no son "finanripraiTi»>ni«»” inferiores .r) hombre, cuenta la leyemla. batallr» con Jos mejores hombres finan­ cieros y j»aiu» varias veces. Hoy vivimos un tiempo donde las oportunidades pnrnlnmujei en finanzas son mayores que antaño y esto es en parte gracias aotias “FleltyCreen". Diferencia entre el intet és y la tasa de interés Concepiualmente, b tasa de interés representa el precio d e la unidad de capilal en ¡a unidad de tiempo. En tal sentido, representa el precio por "alquí-

(3) Si el anual compuesto es una buenatosa derendimiento, tpdo depende deia inflaciónque Iluhoenesepedoda rrofundizvemos esietemaenel capitulo5, cuandotrate­ mos latasa de interósreal. Ni El imetd? compuesto tambiénpuedeexterminaral deudor. Sí hubiéramos recibido 1inilldn en préstamo, ynunca hubiéramosamontado capital opagadointereses, debería­ mos 100mtUnnesaJ cabode50años.

INTRODUCCION AL CÁLCULO fiNANCILRC»

lar" I peso de capital. Para los cálculos inatemá ticos, la tasa de in teréí siempre es expresada en tanto p o r uno. Por ejemplo, para una tasa de in terés del diez por ciento, sería: 0,10 (en lamo por uno) Multiplicando 0,10 x l= 0,10 En este ejemplo, la tasa de interés y el interés coinciden. Pero es sólo cuando el capital es igual a la unidad: para un capital cualquiera, por ejem­ plo C=900, entonces 0,10 x 900=90. El in lerés représenla el valor absoluto (el valoren “meLÓlico”) qu e /esului de m ultiplicar la tasa de interés p ar un capital. Recuerde que la tasa de interés siempre expresa un valor relativo mientras qué el Interés represrnia una magnitud absoluta, Ije tasa de interés aparece expresada simbólicamente también en tanto por ciento, generalmente cuando es publicitada en ia.s pizarras de lo- bancos (por ejemplo, podemos verque los baticos publiciian las tasas de interés para los depósitos a plazo fijo como 1% para 30 días, etc.). Diferencia entre incremento porcentual y cantidad de veces en une ciece un capital .. A veces se confunde el porcentaje de rendimiento con la cai‘lid;'M de veces en que crece un capital o un índice de jirecios. La tabla 1.1 adair. la diferencia. Mientras que un Incremento del 100% e.s igual a 2 ver«s dr in­ cremento en el capital, 1.000% es igual a 10 veces y un incremento de 4.9'‘n% es igual a 49 veces;

Capital al inicio Capital al final

Incremento en porcentaje

200

100%

too

1.000

100

5.000

900% 4.900%

too

lncretpcrio en cantidad tic veces 2 iO 49

la b ia I.| in crem enioporcenlual ein rrenien to medido en cantidad deve< «s

Es fácil verque 1.000 es igual a lOO veces diez; sin embargo, para calcular el porcentaje de Incremento, la cuenta clásica es 1.000/100 - 1, y luego mul­ tiplicamos este resultado por 100 para obtener el porcentaje de íik remento. Del mismo modo, si un bien subió su precio 10 veces en un año, podemos decir que su precio se incrementó en un 900%. En el capítulo 2. cuandn tratemos el interés simple, aclararemos perfectamente el por qué de este cálculo.

Cjuíllermo López Du^1R.^uf

1

Tasas de interés, activas y pasivas

>

Es común que en la terminología bancada se hable de tasas de interés “activas* y “pasivas*. La tasa de interés activa es aquella que cobra una ínsiitucidri financiera por los préstamos que otorga. Recibe el nombre de "activa" pues los préstamos constituyen el activo de una institución financiera.

m i

La tasa de interés pasiva es aquella que una insUnidón financiera abona por los depósitos. Recibe el nombre de tasa de interés “pasiva" por represeniai los depósitos el pasivo de las entidades financieras. La diferencia entre las dos lasas constituye el denominado "sprend” de la entidad finan­ ciera con el cual luego debe cubrir los costos de operación y obtener una ganancia.

■’l »

Componentes de la tasa de interés Cf.nceptuaJtnenle. la tasa de interés siempre tiene 3 componentes:

3

ií

• I a inflación; a mayor inflación, mayor tasa de interés, pues los deposi­ tantes exigen mantener el poder adquisitivo de su dinero (5). • f 1valor del tiempo o interés "puro", que está asociado al concepto de t.isa d»! interés real que veremos en el capitulo 4. Por ahora, diremos que el iiiteré;. “puro" representa el verdadero valor del tiempo. •t i riesgo: a mayor riesgo, mayor debe ser la tasa de interés. Si vamos a invertir en un aciívu riesgoso, demandamos un mayor premio a cambio para compensar el riesgo asumido. Ese premio veremos que se manifiesta en for­ ma de una mayor lasa de interés.

5 r.l costo riel capital en las economías emergentes

■3

3

3 3

En los textos tradicionales de cálculo financiero o matemática financief.t utilizados en cursos de grado, los dos primeros conceptos son estudiados y analizados en forma e.Kltaustiva El tratatnienin de! nesgo, en general, es reservado para los lexios ile finanzas corporativas Sin embargo, en mis cviisos de calculo financiero, yen particular en temas como la evaluación de proyei tos, pude apreciar la creciente demanda de los alumnos por apren­ der a eitimar el componente riesgo en la lasa de interés y estimar el costo de capital que debe utilizarse lmi un proyecto de inversión o en la valuación de uiiacompañía. F^or ser Cálculo FmancieroAplicado un texto también desti­ nado a estudiantes de posgrado y practicantes de las finanzas, le dedicamos un traiamiento especial a este tema en el capítulo 15, donde se aborda la femaií ja del costo de capital y se describen los modelos tradicionales como el CAPfvl. Adícionalinenie. por se un lema de extrema importancia, se descri-

3 ^ 3 .:3

3

Í5) i)el otro lado, podría decirse quelas empresas que aumaicaionsus preaos estarían et>condicione» üe pagar tasas másatlas.

ÍNTKODUCCION Al C aiCULO FuíaNCHUO btín las adapiacíones que en la práctica de la cunsultoría financiera suden realizarse a dichos modelos para su uso en economías em ergentes y [nua empresas cuyas acciones no tienen oferta pública. Rentas y valuación de flujos de efectivo En la vida real, hay muchas situaciones y contratos que involucran c o ­ rrientes de pagos a Intervalos de tiempo más o menos equidisianies. f n cálculo financiero, estas corrientes de pago reciben el nombre d e '•rentas". Por ejemplo, las cuotas de los préstamos, los flujos de caja de un proyecio de inversión. las cuotas de un plan de ahorro y muchos otros casos Dehido a que los flujos de caja se producen en momentos diferentes de tiem po, son diferentes en valor: si por ejem plo queremos saber cuánto valen hoy lü pagos fijos de $100 mensuales, no podemos sumarlos sim plem ente, pues estaríamos sumando peras con manzanas. Como vimos ames, $ 1,20 deniio de un año son equivalentes a $ 1 de hoy cuando la tasa 9e interés es igual di 20% anual. Cuando tenem os varios flujos de caja, debemos convenir todos los flujos que ocurren en diferentes m omentos de tiempo a un punto de tiempo com ún, que podría ser el año 0, el año 2, el año 5. etcétera. El pumo clave es que lodos los cash flows deben ser “d escontad os" (6) {para expresarlos en valor presente) o capitalizados (para expresarlos en valur futuro) a un punto com ún de referencia en el tiempo. Estos temas son [rala­ das en varios capítulos del libro, pero específicam ente en los capítulos 6 y 7, destinados a rentas. Reglas para llegar a buen puerio Recomendamos tres reglas que deben seguirse para garantizar un saiislaciorio uso del cálculo financiero. 1. Recordar que el tiempo tiene valor. Siempre un peso de lu»y vale rusa que un peso del futuro. 2. El signo igual (=). En muchas operaciones com plejas a veces deiiento> razonar ecuaciones que implican igualdades. Este punto parece ser pero Insisiimos en que debemos cerciorarnos que se verifica la igualdad ciiai itlo Igualamos dos míenrbrosen una ecuación. En particular, |ienaar”en leinú nos de signo igual" puede ser útil cuando trabajamos con polinomius Ciui varios dalos. 3. Saber "moverse" en el eje de tiempo: cuando valuamos una corriente de pagos; a menudo querremos valuarla en diferentes momentos Por eicmplu, querremos saber cuánto vale hoy una corriente de ingresos en un proyei lo de Inversión o querremos saber cuánto vale en el futuro lus aportes que hacemos a un fondo de pensión

(6) Enel CbiiCextoesiricio de cálculo rinancierose le asigna al concepto de"desaicni»* un significado diferente. Esta cuesiidn es aclarada enel capimiu 1.

1 » .

G uiiurmo Loftz DuMPAur Conforme avancemos en la materia» una mgla mas se hará presente: ini f'csrycon ri€ s g o j\^ lc m e n o s q u c u n p c s o a in nesgo.

l.B . rANOlUT.nc\ DE US APíJCAaONES DEL O^LCUl.O FlT')ANaERO ni metHoambiente del cálculo finandeTo por evcelencia es el mercado de capiiales: cUariamente sus operadores utili::an diversas fdrmulas para calcu­ lar tasas de interés» comparar rendimientos de operaciones, e\^luar posibili­ dades de arbitraje, calcular rendimientos de bonos o de portafolios, etcétera. También es muy uiilisado por los analistas bancarios, que si bien al trabajar con irmdias operaciones ^.siandariiado.s como es el caso de los préstam csy reajrrir a un proíjrama de computación pam el cálculo de las \'ariables. debenan lenerun conodm ienlo del trasfondo de dichas operaciones. Las empresas lo utilizan para el cálculo de la rentabilidad deunproyect*'de inversión, paraet*alua.rel m sto d e capital y pan? muchas operaciones similares a las que mencionamos en los párrafos anteriores. Por último, el rdlrtjin finannero es utUizado a nivel doméstico, cuando comparamos la jenT^biliíiad de un plazo fijo con la que ofrece un bono o una letra de corto plazo de? r:''b»ejT?o. o cuando e'.’aluamos el c o s to de un préstamo, la cuota '’pje chorar. Y muchas otras oper5cipnes- La figura 1.6 muestra lo? comparados de las Lebac (Letras del Banco Central) y los piaron }«ir*rajías en, un periodo de 1i días, observado en el añn 20í?2fn casi eí pprit>*?o. las Lebacs ofreaan rendimientos superiores: l«b

«■«^1 - r?c í

J f -r> ( OU

Fi^ifr» IJ! CnmpYrarÉrafaü5 lebstcs f pl«wir¡n 3 MdÍ35 - Foaidcn a "despeiar la niebla*'

In t r o d u c c i ó n a lC a l o j io F i n a n c i e r o

en orden a calcular los verdaderos rendirnletUos reales. La inflacídn en la Repüblica Argentina—un fenómenoque parece estar muerto en el mundo de la globaiizacid n— recru d eció fu ertem ente con el a b a n d o n o de la Convertibilidad monetaria y la devaluación del peso en enero de 2002. Como se obscn'a en la figura 1.7 los precios mayoristas subieron m ás Wel ino% desde entonces mientras que el IPC acumuló casi 55% desde la devaluación hasta d iciem bre de 2004. Este fenóm eno suele ocurrir lu eg o de las devaluaciones; los precios mayoristas trepan rápidamente debido a • íu carác­ ter de transables. es decir comerciables con el resto del mundo (7), mientras que los precios minoristas suelen subir más despacio en una primera etapa. En el largo plazo, los predos se equilibran. Esto presagia nuevos aumentos en el índice de precios al consumidor, aunque la convergencia se ha visto lentiiicada debido al congelamiento de tarifas de serxicios público? que apli­ có el Gobienio en ese mismo período.

C« 5?

fin irá

O c-99

De-01

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C»:-03

0 -.P 4

J.7Evolución preri^smayorisiasy minorisiis- Fuínte: INDEC

Los periodos de inllación aguda, fundamentalmente en la dé* adas del s*’ tenla y del ochenta, obligaron a cam biar varias t'eces la denoniinación del signo innneLaiin. quitándole ceros para poder facilitar lo.s cálculos en las iransardones. Solamente para que el lector tenga una idea, e»- la fnidg 1.2 aparecen las distintas denominaciones con sus equivalencias rt»s|»ecto de) peso actual, que rige desde el 1/1/92: Peso (l•t•92aí ynjgnlg)

Austral ÍIS-«^5« 31-t2-91)

Peso A/pertrnc ti-s-es 3M4Js-es)

Peso Ley ie.l8S |M-70ftr31*5-53>

P is e bloneO» fiadc’ial

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0.0031

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C.CWXOT'-V^I

G ua 4 ceros ai P^oL«y IC-IW

Ouüa 2 onus al Fbso

Qua 4 ceros al Oua3o!fcsal Ausral

Í4-1V1B94 ol2»*t2-t?5í*)

Vort»fifi ftK v n a í

Tabl&1.2 Cambios de denominacídnde la moneda argenrina yequívaJencL't!i

f7) Porejemplo.elcuefoesimbícnque al ser exportable, acompaña lnniedjpíam*“i»»»es de reí io. «ino hasta etapas muy avanzadas de sus carrera.s proíesionaies, y en miKlinc casos no se preocupan sino hasta el momento en que ya es driMasin io tarde, lo que Ies impide alcanzar sus metas de retiro. No es menos cierto que en nuestro país, la rentabilidad del si'-'em •de los Pondos administrados ha presentado grandes oscilaciones. En ¡a fipuia 1.12 se observa la rentabilidad histórica anualizada promedio del sistema para el período 1995/2000 y los límites máximos y mínimos entre los rnale.s dehia oscilar la remabilidad de cada uno de los fondos de acu^'ulr t la legislación \igente.

Figura I 12 Sistema de Fondo; de liib iia d d n } pensión - nentabilidad anualizada promedio

.CuiLLEPuMo loptr D umr,\uf

14

3 3 3 riS

Hasta 1997 la rentabilidad promedio se mantuvo en tomo del 20%, a partir del cual se produjo una abrupta cafda hasta llegar a niveles de rentabi­ lidad negativa en el ejercicio 97/98. Luego la rentabilidad se recupera diurante el período 98/99 para Volver a disminuir en 2000. Las oscilaciones han sido la consecuencia de la precaria situación económica, que desembocó en el d e fa u lt de la deuda pública declarado a principios de 2002, lo cual golpeará fuerte­ mente las carteras de los fondos, debido a la participación importante de títulos del Gobierno. En la figura 1.13 se ilustran dos magnitudes usualmente utilizadas para comparar el desempeño de los fondos de cada una de las administradoras: la rentabilidad histórica y la rentabilidad anual. La rentabilidad obtenida por cada Administradora se ordena en forma decreciente en base a la ren­ tabilidad histórica obtenida hasta diciembre de 2000.

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Figura 1.13 Renrabílidad histórica y TemabQidad anua) por Administradora

" 3

L.( rentabilidad de los fondos es un resultado que depende de factores Loyuiíturales y, por lo tanto está sujeto a la suerte que corra la macroeconoinía. No obstante, el hecho de que exista incertidumbre en cuanto a la rentabilidad futura del haber que se cobrará en la Jubilación, no nos exime de realizar una planificación cuidadosa para esta etapa. Recuerde que usted debe considerar el largo plazo y que el periodo de ahorro durante la vida activa suele alcanzar más de 40 años, sí pensamos en una persona que co­ mienza a trabajar a los 20 y se jubila a los 65. Como veremos, el cálculo línanciero es imprescindible para estimar los haberes jubiíatorios, como se miie:.tra en un ejemplo sencillo que aparece en el capítulo 6 de rentas temporarias. Optíones Uno de los instrumentos derivados financieros que más se han desarro­ llado en los lili irnos años son las denominadas *'opdones". Las opciones más i topulares son las financieras, aunque en los últimos años las opciones reales han tenido un desarrollo que promete revolucionar el campo de las

< ^ í f > * i * ií í ;c T n L

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F in a n c ie r o

r.

^tnan^as corporativas. Las opciones otorgan en general, el derecho d eco m prar o vender un activo pero lo interesante es que no obligan a hacerlo, como los otros derivados financieros como íos futuros y los forwards. Por ejemplo, las opciones de compra otorgan a su poseedor el derecho — pero no la obligación— de comprar un activo a un precio determinado durante un plazo determinado (opciones americanas) o en una fecha determ inada (opciones europeas). Inclusive, muciias compañías dan a sus ernpleadas "stock options" que representan opciones de compra sobre !as mismas ac* dones de la empresa. Sí ía empresa mejora su desempeño, aum entaría su valor de mercado, y sus acciones valdrían más. En ese caso, sí el empfeaLto posee la opción de comprar acciones de la compañía a un precio fijo, y el precio de mercado se sitúa en ese momento bien por encima de ese precio, podría obtener una ganancia muy interesante, de manera que el em pleado tendría el incentivo para mejorar en su trabajo pues de esa manera también mejoraría la eni[>resa y codos se beneficiarían. L a té c n ic a d e la s o p c io n e s s e h a e x te n d id o e n lo s ú lt im o s a ñ o s a I¿j í o p c io n e s re a le s , q u e tr a ta n o p c io n e s s o b r e a c tiv o s r e a le s , ta le s c o m u s o n lu e x p a n s ió n d e u n a p la n ta , e l a b a n d o n o d e u n n e g tjc io , e l c a m b io d e u n n i¿ to d ü d e p r o d u c c ió n y m u c h a s , m u c h a s o tr a s . P u e d e a f ir m a r s e s in iu g a í j d u d a s q u e la té c n ic a d e la s o p c io n e s re a le s es u n o d e lo s c a m p o s m á s fe i (i le s p a ra la in v e s tig a c ió n f in a n c ie r a y a le n ta m o s f u e r te m e n le s u e s iu d u * i* in v e s tig a c ió n p u e s c re e m o s q u e q u ie n la s d o m in e , se g e n e ra rá e n e l í iilu n » u n a v e n ta ja c o m p a r a tiv a . Real options y a lia h e c h o la tr a n s ic ió n d e s d e u n m o d e s to im e r é s a c a d é m ic o e n la d é c a d a d e l n o v e n ta , a u n fu e r te in te ic ;. a c a d é m ic o y e m p r e s a r ia l e n la ú l t im a d é c u v la . £1 in te r é s p o r p a r te tic g e re n te s es c a d a v e z m a y o r y h a y m u c h a in q u ie t u d p o r a p r e n d e r y a p lic a i la s n u e v a s té c n ic a s . H o y , la té c n ic a se u t ili z a c o m o u n c o m p le m e n t o d e h i té c n ic a D C F o V A N p a ra v a lu a r la f le x ib ilid a d q u e tie n e n lo s d ir e c tiv o s e n las d e c is io n e s fin a n c ie r a s . Se d e s t in a n d o s c a p í tu lo s a la s o p c io n e s : e/ c a p í m íu 13 c o n s titu y e u n a in t r o d u c c ió n a la s o p c io n e s fin a n c ie r a s e n g e n e ra l, i i i d u y e n d o u n p e q u e ñ o e je m p lo de v a lu a c ió n , y e l c a p it u lo 14 in t r o d u c e a l le í a l m u n d o d e la s o jic io n e b re a le s .

¿La Bolsa es un juego cic azar o un “casint) a! revés"? Los c a s in o s , p a ra g a n a r d in e ro , p re c is a n q u e e n tre g e n te ; c u á n ta m á s g c í t te e n tra a ju g a r, m a y o re b ^ e rá n las g a n a n c ia s d e l c a s in o , ya q u e la Le y d e Iwa G ra n d e s N ú m e r o s e s tá a s u fa v o r. Si u n d ía s ó lo e n tra ra u n a p e rs o n a u ju g .u . e l c a s in o p o d r ía p e r d e r ese d ía .' P e ro s i esa p e r s o n a v ^ to d o s lo s d ia a . la e s ta d ís tic a v u e lv e a e s ta r a fa v o r d e l c a s in o , y a la la rg a , la p e rs o n a a c a b a ia p e r d ie n d o s u d in e ro . E n c a m b io , p a re c ie ra q u e la B o ls a d e V a lo re s e s c o m o u n c a s in o a l re vé s: q u ié n m a n tu v o u n a c a rte ra d e m e rc a d o c o m p u e s ta p o r a c c io ­ n e s d e c o m p a ñ ía s a m e r ic a n a s d u r a n te e l p e r ío d o q u e v a d e s d e e l 3 1 -2 -1 ^ 2 5 h a s ta e l 3 1 -1 2 -2 0 0 2 o b tu v o u n r e t o m o a n u a líz a d o e n d ó la re s d e U ),6 % a n ,4 *í« , s e g ú n se m ir e lo s r e n d im ie n to s d e la s c o m p a ñ ía s c o n s id e ra d a s g ra n d e j, o pequeñas. L a fig u r a 1.14 r e p r o d u c e e l fa m o s o g r á fic o d e Ib b o t s o n A s s o c ia te s , ip ii: a ñ o tra s a ñ o , r e p r o d u c e e l r e n d im ie n t o d é la s a c c io n e s . lo s b o n o s d c lle s u ii»

ÜUILLERAÍU LÓÍ'EZ D ü MHAUI

lo

las letras del tesoro y la inflación, comenzando con U$S 1 el 31 de diciembre ele 1925 y suponiendo reinversión en el mism o activo hasta el 31 de diciem­ bre de 2002 (77 años). Retomo

5.2% -3.8% 3.1%

rigura l.l la forma en como se analiza la operación, siendo en el fondo, exac­ tamente iguales. Comenzaremos describiendo el llamado descuento ra c io -' nal a los fines leúiicos, para inmediatamente concentrarnos en las facetas del descuento comercial, por ser esta forma J e calcular el descuento la más ex­ tendida en la práctica y por ser la forma en que el de.scucnlo es percibido por

los agentes económicos. El descuento racional: Es aquel que se practica sobre el v'alor actual o presente del documento (que denominarerno.s V, o Co. ya que es el análogo del capital inicial en el interés simple). En el descuento racional, los intereses se calculan sobre el capital recibido "V":

iNTEilfs S imple D r^VA ji El valor recibido es Igual aJ m om o del documento menos el descuerno: 7 = D i- D r

""

ycom oCn = V-k-Dr=i V-¥V.Ln Si UamamosVral valor actualcon descuento racional, tenemos 1/ r - ---------V

‘

(l + m)

Observe que la fórmula del valor actual con descuento raciona] es exaaam enie igual a la fórmula del capital inicial en el interés sim ple; ya que Vr es igual a Co.

Cuadro d em arcJiad el descuento racional Si observa la siguiente tabla verá com o la función del descuento peiíódico es decreciente;

T

D r=

(1 + in)

Cii-V/-

o - » .)

Dr= O i-tr

1

0

IDO

0

1/(1+i)

l-I/fl+í)=i/(l+i)

90.90

í',09

2

l/(l+i2)

l-l/(Ui2)= i2/a+í2)

8333

3

l/(l +i3)

M/(l+L3)= Í3/(I+Í3)

7S.92

2‘'.077

4

1/ÍI +Í4)

I-I/(l+i4)= ¡ 4 / [ I h

7Í.42

27.57

OO

0

0 1

.

4)

1

1

*0

iíXj

*

Fórm ulas derivadas del descuento racional Las fórmulas son exactam ente las mismas que \imos para el niomu a interés simple y sus fórmulas derivadas. Recuerde que en el descuento ra­ cional los intereses se calculan sobre el capital recibido en piéstam o. de ahí el nom bre de "racional". " '

'í í i

I

i

G ittL L fM w io L ó p e z D u M R A ijf

Tasa de imerés

A'iilor actual

. C n -V i = --------Vj i

p ..

0 ■ * '.a

f

(1+í.n)

n

Nüniero de perfuJos

Descuerno acumulado

C/j - V = ---------

D(0,/i) = 1/././I

,

»‘lnáU;.is del descuento racional D.'.scmnto p eriódico: El descuento periódico es decreciente. Esto puede observarse si calcu­ lamos el descuento periódico por diferencia entre valores actuales de un período a «tro, por ejemplo del período 2 al período 3: I Íi+i2)

I

1+ Í 3 - I - / 2

ÍJ+/3)

(I+/2).(l+/3)

Íl + í 2 ) . ( l + í 3)

■ a " a ' »

a «

a

A inedida que crece el número de períodos, el t'alor del denominador crece, por lo tanto el valor del cociente decrece. Infensidad p eriód ica o descuerno c/ecliuo: Se refiere a la proporción que representa el descuento periódico res­ pecto del valor sobre el que se aplica el descuento, que en este caso es el valor actual que quedó del período anterior. Emonces, dnndiendo el des­ cuento periódico por el valor actual, tenemos:

» a

a a

a aa

a a a a 9

i ' -I = n I

) = Cji

Lñ flerikada primera, aplicando la regla

Tor In tanto, la derivada primera sería

'

u’r 4 v'u itv —------ ;-----

— '—- > 0 (1 + m r

V la «leiivad.a segunda es -2 Í^/(ii inP < ó H desrueiUo racional es por |o tanto, una funcifin crecieníecuyo techo es el valor nominal. l.a operación de dc.scuenlo eii la práctica: d descuento comercial Cuandií ios intereses se abonan al Inicio do la operación de descuento, las lasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento, A este tipo de opcraiorta so la denomina "descuento comerciar o "descuento bancatío", sietulo la mós utilizada en la práctica de los negocios. Como el descuento se practica sobre un valor final o monto (el valor final es el v^alor nomina! del documento, sea e.ste un pagaré, un cheque, etc.) 3’ no sobre e! capital que realmente se presta en la operación, resulta UM beneficio adicional para el prestamista, como veremos a continuación. Ejemplo: se tiene un documento de $1 que vence dentro de 1 mes (4), pero se decide de.sconlarlo en una entidad nnanciera, para disponer de (4) En este ejem pio .se fia trabajado con una (esa efectiva de descuento que Uamamos d Icuando ei periodo de la operación es uno solo, la tasa nom inal de descuento yla efectiva de descuen(osnnÍg\iales). '

iNTERÍi SiMrU cíe.Clívo InniedíatameMíe. El (jescuento es cJel 20% mensya!. de forma laí fjue se reciben 80 centavos: Hoy

1 mes

0,80

S( d-0,20

En el descuento comercial los intereses se calculan sobre el val«»r nomi­ nal del documento, que es asinnlabíe a un capital futuro o monto (c n): ChCn.d.n De fonna tal que el valor actual del documento es igual al valor nominal menos el descuento: I ! V = Cu’Cn.d.n

f

V ^ C n (l-d M ) En nuestro ejemplo, el valor actual recibido es: V - l~ 0,20x 1 - 0 ,8 0 Ob«;cr\'e que p1 descuento se practica, a diferencia del descuemo ra* ional, sobre un valor futuro (el valor nominal del documento, que es el valor, que tendrá el documento dentro de un mes) pero se recibe en préstamo una suma menor (0.80), Por lo tanto el prestamista gana un rendimiento que es igual al descuento fdj sobre la cantidad que efectivamente presta a -d j: . D escu ento V alor actu al ¿Cuál es el rendimiento que obtuvo el prestamista sí cobró el 20% de interés sobre un capital de $1 y en realidad sólo prestó O.BO? Obviamente, es mayor al 20% pues si colocáramos el dinero obtenido en préstamo al 20% apenas alcanzaríamos 36 cenlar^os 0,80 X (1+0,20)^0.96 La tasa de interés implícita o equivalente en la operación anterior puede despejarse fácilmente razonando cuál es la tasa de interés vencida a la que tendríamos que colocar el capital obtenido en préstamo (1-d), para re­ construir el peso que dio origen a la operación: (D d).(l+i) = i 0,80 X a + i)

i

¡¡íM

G u iL L g R M Q L ó p e z D u m r a ü f

Doníle larítas.^daintjr^ vencida ir^u^u serd .ai qge también arribamos ra2onando el rendimiento que tuvo el prestamisca; /= ■ l-d-

0,20 1 - 0 ,2 0

= 0,25 = 2 5 %

Este tipo de descuento tiene una característica distintiva: la tasa que se litiliza en la operación es una tasa d e descuento o adelantada, ya que se calcula sobre el valor que el documento tendrá en el futura A esta tasa de descuento le corresponda una tasa equivalente "i" vencida, que en nues­ tro ejemplo resulta ser del 25 %. Por lo tanto, el verdadero costo efectivo de la operación de descuento siempre hay que medirlo en término de tasa de interés vencida. Hay numerosos casos en ja vida real donde aparecen operaciones que tácitamente involucran una tasa de descuento. Por ejemplo, los bienes que *se venden con un precio de lista (que puede abonarse con tarjeta de crédi­ to). o con un descuento por pago al contado. Suponga que un bien puede adqiiifíráe según las slginentes.condíciones: P ieao lista; IQO Piecio al contado: 10% de descuento Ei precio de lista puede abonarse con tarjeta, y tenemos la opción de abonarlo al contado con un descuento. Supongamos que el resumen de la tarjeta habría que pagarlo dentro de 30 días. Pero la pregunta que debe­ mos hacernos es: ¿cuál es el interés mensual que terminamos pagando sí no aprovechamos el 10% de descuento? Podemos despejar el costo de fi­ nanciar la compra con tarjeta con la fórmula para despejar la tasa vencida a partir de la tasa de descuento: Ü.IO = n.l 111=11,11% l-d 1 -0 ,1 0 Si hubiéramos abonado la compra al contado, habríamos desembolsa­ do líMi I !Ü0 tnenos un diez por ciento). Es fácil ver que de 90 a 100 hay un i i ,11%, leniendo en cuenta que al perder el descuento, terminamos abo­ nando 100 dentro de un mes y esto implica un costo del 11.11%. Es posible establecer una relación de equivalencias entre lasas de descuento y tasas líe ínieres vencidas, como se obser\'a en la tabla 2.6: —

1 -----10,0% 20.0% 30,0% 40,0% 50.0% 60.0% 70,0% 80,0% 90,0%

i

11,1% 25,0% 423^ 66.79^ 100,0% 150.0% 233,3% 400,0% 900,0%

T abU 2 6 Equivalencia émre rasas vencidas y de descuerno

; •'

-

'

_ Í N T E R f S

^, , |{

Observe como la diferencia entre ambas casas aumenta a medida que aumenta el vafor'nominal de la tasa de descuento. Por ejemplo, para un Sü%de descuento habría que colocar el dinero al 100% para reconstíiuir el capitul que dio origen a la operación. ' ^ Cómo se pacta el descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal En la práctica el descuento de documentos se pacta generalmente una tasa nominal anual de descuento, que llamaremos "/fm/' y se proporcio­ na para la cantidad de días hasta el vencimiento del documento. De la proporción de la tasa nominal de descuento surge una tasa de descuento efectiva “d" para el plazo de la operación. Ejemplo: Se descuenta un documento de $ 2.000 en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, pactándose una tasa nominal anual de de.5Cuento del 90%, El descuento de la operación es • ? . D = Cn X f { m ) x 365

2.000

X 0,90

X —

= 172,6

365

y el valor actual recibido

V=¡Cn x ( l - f ( m ) x ----- ) 365

2.000

x a -0,90 x - ^ ) = 365

1.827,4

En el Apéndice B de este capítulo fíuede verse una tabla de conversión entre tasas adelantadas y vejícidas para diferentes plazos. Por supuesto, l.i lasa nominal de descuento de! 90 % implicaba una tasa efectiva de des cuento para 35 días de 8.63%:

= / ( mi X

365

== 0 . 9 0 X

365

= 0,0863

En e) capítulo 4 abundaremos sobre las relaciones entre las disiímas tasas, siendo posible obtener una lasa efectiva de interés a partir de una nominal de descuento, o una tasa efectiva de descuento a partir de una nominal de interés, y así sucesivamente (5). ' _ ' .

(5)

Cuando !a capitaU zacian e& co n iín u a, las tasa!¡ de in ierés y de d escuento se igijalao

44

G u i l u r m oL ó p e zD u m u a u f

LaequivaiencJa entre las tasas de interés vencida y de descuento pora opera­ ciones con más de un período Vimos anteriormente que en Ja operación de descuento surge una tasa de interés vencida implícita o equivalente, que se podía obtener rápida­ mente medíante la ecuación i = ci/l-d. Esta ecuación de arbitraje servía para operaciones que se contrataban por un solo período y las tasas involucradas eran efectivas. Sí bien en la práctica las operaciones de des­ cuento se contratan siempre por un solo período (independientem ente fíe cuantos días tenga éste) f6), solamente a los efectos teóricos vamos a definir la relación entre ambas tasas cuando la operación de descuentose corítrata por más de un período, lo que nos permitirá establecer una im­ portante observación: en eí régim en sim p k , las ta sa s so n siem p re n o m in a ­ les. Para esto basta despejar la tasa de interés vencida i a la que colocada durante n períodos el valor actual (1-dn) vuelve a reproducir el peso que originó la operación: l¡-dii}.(lA Ín} ^ 1 í 3" nulo téruunos obtenemos una expresión que nos permitirá obteiif»r In oquivniencía entre las lasas de inerés y de descuento para diférenip*: períodos. Vaino.s a reproducir la deducción por pasos: i n ¡u in ir tic d: ------- = l + m l - (fn - I r ;;, 1 - tín l - ( l - W n) _ . (I ~í/n)n

I-

dn

d a p a rtir d e i:

1 1 -I- in

■= l - d n

1

dn - l - (U rn )

. i!+ i/i)-l ( l + i/t in

ü = --------- ------

l4

m

l ina observación impórtame es que el valor que adquiere "n” modifica 1.1 relación entre la tasa de interés vencida i y la tasa adelantada d. Vere­ mos en el próximo capítulo que esto no ocurre en el interés compuesto, donde .se trabaja con tasas efectivas. Volvamos a mirar las fórmulas fina­ les:

(6) C)»^citnos que se controla por uu periodo pues la operación finaliza cuando se des­ cuenta el tiocumenlo: no vuelven a practicarse nuevos descuentos sobre el mismo valor nominal.

iN T F R t S S iM P U

\ -d n

4 5

. ¿/=I + in

f j

En rigor de verdad i debería ser denominada ''Jim)" y d debería ser denominada “fím )" en esas ecuaciones. La razón es muy sim ple: tanio í como d resultan ser siempre tasas nomlnaJes cuando el num ero de perío­ dos d éla operación e.s mayor a uno (y son también efectivas cuando n = i). En el ejemplo que descontábam os un documento con una d = 0,2'J y n = i entonces i = 0,25. Veamos ahora qué ocurre si d si 0,20 perón = 2 Matemá­ ticamente, al realizar i = d /]-d n , cuanto mayor es el valor que adquiere n. menor es el vaJor del denominador, y en consecuencia mayor es el valor de i. Si descontam os un documento de $ 1 por dos períodos siendo d = 0.2U el descuento efectivo es del 40 % (de forma ral que la lasa efectiva de'descuen­ to es “dn" por lo cual el valor actual resulta ser de S 0,60; luego deberíamos colocar esta suma durante dos períodos aTiina tasa de interés vencida del 33,33 % para reconstruir el peso inicial (7), de forma tal que i es una lasa nominal, siendo "i.n ’ la verdadera tasa efectiva de la operación: (1-0,20.2) = 0,60

r' m '-

cCr C '

0.60 (1+0.33x21=1 La diferencia i-rí es el interés del descuento o e! descuento del interés. Definiendo la tasa de descuento d como lo que se descuenta a h* unidad de capital en la unidad de tiempo, es decir que se entrega (1-d), que capitali­ zando a la tasa i debe reconstruir el peso: ( } -d ).(J + i)^ l

C t'

C -

C "

-

De esta relación d e arbitraje p o d em o s verificar que: a) d = i.v la lasa de descuento es igual al valor actual de la lasa ü vint'’»és (ya que v= 1/1+i) b) i = d(l +i) la tasa de interés es igual ai monto de la tasa de de.'?' uenin

« í:

« r .«I

'

c) i - d = d(l+¡) - d = d íl+ j-J) = d.i ' Conclusión; la diferencia entre ambas tasas puede sintetizarse conu» él interés de descuento o el descuento del interés.

« í-

Descuento com ercial y racional: dos medidas diferentes de unr m ism a operación

m -

En realidad, el descuento com ercial y el descuento racional >on dos medidas diferentes de una misma operación. Cuando en el ejemplo ante-

(7) Como .se verá en el próximo capítulo, en el régimen compue.sto el vale» nün'>«‘ro de períodos de la operación, no modifícala relación entre la tasa vencida yla ia~a valor nominal (o capital final) los descuentos periódicos practicados son siempre iguales (si es que no se modifica la tasa de liesciienio utilizado).. Por lo tanto los descuentos acumulados serían: a) Descuentos acumulados D(0,n) = D(O.l) + Dtl,2) + p{2,3) Por lo tamo D(0,n) = Cu -

+ D (n-l.n) = Cn.ii.n

Dr - (Cn * Cn.d.n) = Cn.d.n

■

De manera que el descuento acumulado es igual a n veces él desuitiito periódico. -

4 8

G u H I E R A íO L ó Í E Z ,D w 4 P ; . M í r

b) lúteusidad periódiea del desciienlo o descuento efectivo: el descuerno efectivo es creciente, ya que si bien el descuento periódico es constante, la proporción en relación al valor presente aumenta en cada período:

J - r f X /7

Al aumentar el número de períodos p, el denominador es menor, y en consecuencia, e! resultado es cada vez ma^nDr. El valor actual en el descuento comercial aparece representado en la figura 2.5. fe una función lineal de la fo rm a je -nx+b válida en el intervalo conipi endido entre n = 0 y n = 1/d; corta a los ejes en los puntos ÍO.l) y (1/ flO) y (ieíjp un coendontc angular igual a (>d), donde d representa la pen­ diente de la futición, que es decreciente ya que a medida que descontamos él valor nominal por un período mayor, el valor actual desciende. La fun­ ción de.scuento se observa en la figura 2.6 y también es una función lineal pero credcm e desde n ='Óy teniendo por techo el valor nominal cuando n =¡ 1/d (no puede descontarse más que el capital toral que dio origen a la oper.adón) -

InrfRfs SíMru Tiempo que tarda el descuento en anular uii capital o tlocuriieriIb ; En teoría, como pudo observarse en el cuadro de marcha, el déscuento comercial puede llegar a hacerse Igual o superior al valor de! capital descoii' tado. En el primer caso supondría un valor actual nulo y en el segundo se obtendría un absurdo matemático, ya que el valor actual del documento sería negativo (8). El tiempo en que un capital se anula es igual a la inversa (recíproco) d*: la lasa de descuento (9); para obtener el número de períodos que anula el valor del documento, simplemente Igualamos a 0 (cero) el valor actual: ■ I

Si 1-dn = 0 y despejando el número d e períodos (enemas n = - d

tv m -

p p '-

■

El descuento comercial podría ser tachado de irracional ppr.el caso ex­ tremo mencionado, pero si recordamos que en la práctica su uso re limita a plazos cortos, dicha circunstancia no se presenta. ■

Preguntas de auio-evaJuacidn: L ¿Por qué la operación de descuento comercial involucra una tasa de interés implícita? 2. ¿Porqué decimos que en el régimen simple las tasas deinter: 10) = 11.416,25 El nuevo docum ento, firmado con vencim iento dentro de diez meses por un valor de $11.416,25, es equivalente a los dos docum enios,poi í.ono y 10.000 pesos, que vencían dentro de 6 y 8 meses, respectivamente Un punto muy im portante que debe remarcarse, es que, en e l régim en sim p le, siem p re d e b e ca lcu la rse p rim er o e l v a lo r a c tu a l d e l d ocu m en to, parü d esp u és c a lc u la r su eq u iv a len te en o tra f e c h a fu tu ra. Por ejemplo, el docii“ m entó de $ 1.000 que vencía a los 6 m eses tiene un valor^resem e de 892,85;; la diferencia de 107,15 son los intereses entre el momento 0 y el m es 6; s i ' capItaJizáxamos el valor nom inal del docum ento (1.000) para llevario iliici lam ente a la fecha futura donde vencerá el nuevo documento, esto sería im o rrecto, puesto que se estaría capitalizando los intereses y se transformaría la ' operación en una de interés com puesto.

b) por descuerno comercial Si la tasa de interés vencida es del 2% m ensual, la lasa de descueni,. equivalente es influida por el número de períodos, según vimos antes en este mism o capítulo, donde la obteníam os a partir de la siguiente e>:jnesión; d=-

1+ in

Para e) primer docum ento la d equivalente para 6 meses es;

0,02 1 + 0 ,0 2 x 6

= 0,01785

Y para el segundo docum ento la d equivaleñie para U mesej. es:

— ^= 0.01724

1 + 0 ,0 2 x 8

.

Luego, resolvemos el valor presente de am bos documentos; v = v ,.v , V = 1.000 (1 - o ,O I78 5 X 6)+ ¡0 .0 0 0 ( h 0.01724 >: SJ = 9.513,55

GtJltL£RMO lÓP£2 D umRAUF Que es el mismo valor obtenido a travéwS de la fórnuila del valor actúa] con descuento raciona] que vimos anteriormente, £1 valor nominál del nuevo documento también se calcula igual que antes, mediante la fórmula del mon­ to a interés simple, para diez penodos:

Q = 9.513,55 (1-f 0,02 X i 0) = 1L416,25 Vencimicnlu medio Se habla de vencimiento medio cuando solam en te se m odijica el p lazo d e vencimiento; no se Ic cambia el valor a los pagos ya que los capitales se reem plazan p or un cap ital C, que es igual a la sum a de los capitales originales. Siguiendo con el ejemplo anterior, donde el valor actual de los dos do­ cumentos a reemplazar era de 9.513,55, debemos resolver el nümero de períodos que tarda ese valor en igualar la suma de los dos documentos ÍC, -» C=i/.d00) rara obtener el plazo de vencimiento se recurre a la fórmula que obtiene d nóniero de períodos, y que habíamos deducido de la formúla del monto a interés simple: 11 .0 0 0 - 9 . 5 1 3 , 5 5

:7 .8 l

‘*.5 1 3 ,5 5 x 0 ,0 2

la parte fraccíqnarin de la respuesta (0,81 meses), debe interpretarse como el TdTr de un tnes de 30 días, lo que significaría que el plazo sería igual a 7 inpsc« y 2‘1 día.s. «

A diíc»pncia del vpndmiento común, cuando tenemos un problema de tuedí' » ía incógnita puede ser una sola: el número de períodos,

miar nom inal del nuevo documemo es predefinido cvnio Insuma de hs rniai rs anmituiles de Im áoannentos aue reemplaza, y por lo tamo no es

va q u ? c/

'liva incógniia;'

_j---- - _|

/

t 000

10.000

-.81 Observe que el valor del número de periodos cae entre los dos vencírmVmoj, como no podía ser de otra manera. Si lo analizamos desde los límites, e! '*encimiento común nunca podría haber caído en el período 6 o en el 8. £n el primer caso porque el valor presente de 10.000 harían que la suma de los dos documentos seamenor a 11.000 y en el segundo porque en ei período ocho los 1-000 capitalizados harían que la suma sea mayor a ILUOO. Por lo tanto, necesariamente el vencimiento común debe caer entre

ÍNrEPis SíMPU

53

los vencimientos. ¿Más cerca de 6 o de ocho? La fecha del vencimiento comün dependerá de dos cosas: a) el valor nominal de los documemos y bl ia tasa de interés. El lector puede comprobar por su cuenta que: • si el orden de los vencimientos se hubiera invertido, con 10.000 ven­ ciendo en el mes 6 y 1.000 venciendo en e) mes 8, el vencimiento común se produciría en el período 6,17, • sí la tasa de interés hubiera sido del veinte en vez del dos por cíente, el vencimiento común caería en 7,79. Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el des-^ cuento comercial El último punto de la sección anterior ilustraba una relación n5U3' im­ portante: aún para grandes cambios en la tasa de ¡hterés vencida, el ven­ cimiento medio se "corre muy poco” ¿Por qué ocurre esto? Cuando la la.sa de interés aumenta, hay dos fuerzas que juegan en sentido coníratío: por un lado se capitaliza el valor del documento cuya fecha de vencimiento es anterior al vencimiento medio, y por orro lado se reduce el valoi actual del docum ento cuya fecha de vencimiento es posterior al vencimiento medio. En general, el vencimiento medio se mueve hacia la fecha de ven­ cimiento del documento de mayor valor, pero un aumento en la rasa de interés produce el siguiente cambio: • si el documento con mayor valor aparece después el vencimíeoio medio se anticipa. • si e! documento con mayor valor aparece el aumento de la tasa lo acer­ ca a su fechá de vencimiento. Lo inverso se cumple para reducciones en la tasa de interés. Estos ?feci son todavía más importantes en el régimen compuesto, y conocer esfa roa- . cíón tiene particular importancia en situaciones de la vida lea), por eí‘'mjd'), en la ''inmunización" de carteras de títulos de renta fija. Esta siluaddn '■•e describe con detalle en el capítulo 12 donde se traía el efecto precio-tasa >.lc interés en los bonos.

m m

« « I:

m

El caso del vencimiento medio en el descuerno comercial planteaim caso

interesante,y¿3quepodemosca/cularloi/uiepe/iííieníemc/ireíielatm/7'jlecohtrato de descuento de In operación. El principio de equivalencia nos díco que el valor actual del nuevo documento es igual a la suma de los valores actuales de los documentos que reemplaza: C a -d .t)^ C ,( J'< L tJ -i- C ,( l~ d .t^

-

Distribuyendo y luego sacando factor coinün queda: C - C d J = C ,’ C rd,t^-i-C j-C ^d.tj Como en el vencimiento medio el nuevo documento simplificar la ecuación y queda:

Cj + Q podemos

■fr

n U M fjv U f'

Finalmente pódennos despejar r l -

^2*^2

C ■

, .

:

1.000 x 6 + 10.000 x 8

. En el ejemplo

lEOOO

— — = /.oí

^ si se in\drtieran los vencimientos, como fue mencionado anteriormen­ te, el período t hubiera sida de nuevo 6,17 1 0 .0 0 0 x 6 + 1 .0 0 0 x 8 i = ——--------------------- ------------- = 0 ,1 7

ÍLOOO

En el caso particular de que C] = Cj la fórmula quedaría \^

+

NC,

^h+h N

donde N representa el número de documentos. Observe que en estas expre­ siones no aparece la tasa de descuento de la operación. £1 resultado hubiera sido el mismo ya sea que la tasa de descuento hubiera sido el 2% o el 200%. Sin embargo vimos que cuando aplicábamos el descuento racional un cam­ bio en la casa de interés vencida tenía influencia, aunque muy poca, en el vencimiento medio de la operación. ¿Por qué en el descuento comercial el canibio en la tasa de descuento no influye sobre el resultado? Ya vimos que para que el descuento comercial y el racional arrojen exactamente el mismo resultado, tendríamos que utilizar para cada documento la tasa equivalente p a n cada período, según el vencimiento de cada documento. Así. tendríamos que calcular la d equivalente a la i en cada período, ya que la relación se ve aJterada por el número de períodos, como fue demostrado anteriormente. En cambio, si utilizamos el descuento comercial y se predefine una tasa de coníraío d, si bien es cierto que cuanto mayor sea ésta menor será el valor presen­ te de los documentos, in m ed iatam en te a p arece im plícita u n a tasa vencida d e a rb itra je q u e igu ala el valor presente con la su m a d e los d ocu m en tos (ILOOO) siem pre en idéntico plazo. Por ejemplo si hacemos ei cálculo con tasas de descuento de d = 2% y d = 10% mensual, el valor presentede los documentos en cada caso sería: 1.000 (1-0,02 X 6 )+ 10.000 (1- 0,02 x 8) = 9.280 1

(1-0,10 X 6)+ 10.000 (l - 0,10 x 8) * 2.400

Luego, el vencimiento medio en ambos casos sena: ,n =

Cn -Co Cn.d

U.OOO-9 .2 8 0

11.000x0,02

= 7.8181

^

B -£ £ = ll:E £ r ¿ d o o .7 .s ,s i

Cn.d

11.000 > 9 \

15

0 .2 0 6 %

fl 2 4 7 %

Ú .2 6 9 %

0 ,3 3 0 %

0 ,3 7 1 %

0 ,4 1 3 %

0 .4 5 4 %

0 496%

0 ,5 3 7 %

0 .5 7 9 %

Ú £20%

16

0 .2 2 0 %

(1 2 6 4 %

0 300%

0 .3 5 2 %

Q .o o e * ;

0 4 4 (1 %

f> 4 £ 5 %

0 .5 2 9 %

0 573%

0 .6 1 7 %

n 5h2%

0 .4 2 1 %

0 .4 6 0 %

0 .5 1 5 %

0 .5 o 2 %

0 609%

0 656%

C .7 '» 4 %

17

0 .2 3 3 %

0 .2 3 0 %

0 .3 2 ? %

0 .3 7 4 %

la

0 .2 4 7 %

0 .2 9 7 %

0 346%

0 .3 9 6 %

0 .4 4 0 %

0 496%

ü .5 4 5 %

0 595%

0 6 4 5 *.

0 695%

0 .7 4 « %

19

P 261%

0 313%

0 366%

0 .4 1 8 %

0 ,4 7 1 %

0 .5 2 3 %

0 .5 7 K %

0 .6 2 9 %

C 6 8 l%

0 .7 3 4 %

O . í f '’ ,

20

0 .2 7 5 %

0 .3 3 0 %

0 385%

0 440%

0 .4 5 6 %

0 ,5 5 1 %

0 .6 0 5 %

0 .6 6 2 %

0 ,7 1 7 %

0 773%

0.í25%

21

0 ,2 8 9 %

0 .3 4 6 %

0 ,4 0 4 %

0 .4 6 2 %

0 .5 2 1 %

0 .5 7 9 %

0 .E 3 7 %

0 695%

0 ,7 5 4 %

Q s i: %

0 ,^ 7 1 * .

22

0 ,3 0 2 %

Q .3 6 3 %

0 .4 2 4 %

0 ,4 8 5 %

0 ,5 4 5 %

0 ,6 0 6 %

0 .6 6 7 %

0 ,7 2 9 %

P .7 9 0 %

0 651%

q .m

23

0 ,3 1 6 %

0 .3 3 0 %

0 ,4 4 3 %

0 .5 0 7 %

0 ,5 7 0 %

0 .£ 3 4 %

0 .6 9 8 %

0 752%

0 .8 3 5 %

O.Í9Q7, U.1'51'.

24

0 ,3 3 0 %

0 .3 9 6 %

0 462%

0 .5 2 9 %

0 ,5 9 5 %

0 ,6 6 2 %

0 .7 2 9 %

0 793%

C 852%

0 379%

25

0 .3 4 4 %

0 .5 5 1 %

0 ,6 2 0 %

0 ,6 9 0 %

0 .7 5 9 %

0,8:9%

0 893%

0 ,3 5 8 %

1 C Jb .

26

0 . 3 5 T '.

O.J13% 0 ,4 3 2 % 0 429% 0.6P1%

0 .5 7 3 %

0 .6 4 !%

0 717%

0 790%

0 iC 2 %

0 935%

1 ,ü 0 7 %

1 ( m ' i .IV

27

C .3 7 1 %

0 .4 4 6 %

Ü .5 2 1 %

0 .5 9 5 %

0 ,6 7 0 %

C 745%

0 820%

0 896%

0 .9 7 1 %

t 046%

1 ,1 .% %

0 ,6 1 7 %

0 035%

0 ,7 7 3 %

0 .8 3 1 %

0 'Í2 9 %

l. O C ’ %

1 0 5 6 '-

M £J% 1 :o t‘ .

20

0 .3 6 5 %

0 ,4 6 2 %

Q .5 4 0 %

29

C ,3 9 3 %

0 479%

C .5 5 9 %

0 .6 4 0 %

C ,7 2 0 %

0.8üi%

0 .8 9 2 %

0 ,9 6 3 %

1 044%

1,125%

30

0 413%

n 496%

0 .5 7 9 %

0 6S2%

0 745%

0 ,8 2 9 %

0 .9 1 2 %

0 996%

1 P ^0%

1 ,1 5 4 %

: '.

»

•

i i ' t t i^ '

t

1

Ü

9 9

m

it t 9 :

i

f >Í'K-

I'-

C A P I T U I J 3 3

li'iTERÉs C ompuesto

“La m agnitud de las cantidades de niñero fuirece variar en m odo notable según hayan de ser pagadas o cobradas" ,

Aldous HiixJeyí 1894-1963), po-iOÍnciéí;

I ntroducción Cuando hablamos de interés compuesto nos referimos al régimen t n que hay capital inación de intereses; a diferencia del interés simple, en el régimen compuesto el interés se incorpora al capital y produce nuevos íme reses. Para que el interés se "componga" tiene que haber más de un pcriod'» n subperíodo de capitaiízadón; en un solo período no puede haber inierés compuesto (tendría que haber por ío menos dos). En la vida real aparece el interés compuesto, por ejemplo, cuando renovamos un depósiiu a pla­ zo fijo; los intereses obtenidos en la primera aplicación se integran al fil pital y producen interés compuesto en el segundo período. Podemos hablar de régimen compuesto en sus dos acepciones , es i en casi 11 años, abarcando toda la época en que rigió la converUbilidaU monetaria peso-dólar hasta que fue oficialmente abandonada en encu> de 2002. Los datos utilizados para elaborar la función del monto fueiuii obtenidos de la encuesta de ias.is de interés pasivas para depósitos en [n sos que realiza el Banco Central de la Itepúblíca Argentina y también fue­ ron Utilizadas como referencia (as tasas de interés pasivas para deiJtismt:, en pesos del Banco de la Nación Argentina.

53.5 $3,ü S2.5-

S 2.0 ■ S 1.5 $ 1.0

50.5 so.o

Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Ma>- Mar91

92

93

94

95

96

97

96

99

00

01

02

Fig;ura 3.3 Monto con rasa pasiva (com enzando con $1 el 1/1/91)

Características principales del Interés compuesto 1, Los intereses siempre se calculan sobre él monto acumulado al final del período anterior, de manera tal que existe capitalización de intereses;

I

GuaLERMü LorE¿ Dümilu«f en sentido estricto, 'capitalización'significa que los intereses se incorpoiaii a l capital, ¡lacwnóo que los intereses produzcan nuls intereses. 2, Se deduce del punto anterior, quedos intereses representan una suma variabie. a medida que la incorporación de los intereses hacen que el capital sobie el que se calcularon, aumente período a período.

■í A-' •;K'

3. Kí capital tiene un crecimiento que es proporcional a su v^aior durante el periodo anterior. La constante de proporcionalidad es ia razón entre el valor e n un período y el anterior {1 + I), Describimos a contimiarión, a fin de poder mostrar las relaciones entre los distintos componentes de una operación a interés compuesto, el cuadro de marcha progresivo del interés compuesto: Cuadro de marcha progresiva del interés compuesto t^pliótlo-

O ip liáK n íciát

In te ré s

Momo perífidicn .

i

Co

l(0 .I)= C o .l

C, = C o+Cn.l = Co { N i)

2

C o (lH )

U l,2 )= C o (l+ i)l

C, = Co(

P

C 4 )(t+ i)* '

l{p -l.p ) = | C on+ i)P-')f

C,. = C a (l+ I)n

. ,

i) +Co (1 4f) i = Co {1 +í

Por lo tanto, la fórmula genérica deí monto compuesto para n peiíodos. resulta .ser: Cn = Co (1+i)" Ejentplo: se depositan $1.000 al 10% mensual durante un período de 5 meses, r.í iMonto al final del quinto mes es

fí H Ii

•l.tKHr íU o. lO)'‘ = Í.UlO^Sl IA Inimula ílel mnnb» c«Miipuc.stn ciiamlo la ta.'ia do iiiieiér. varía En el r*janiplo anterior, suponíamos que la tasa de interés se mantenía ronstante a lo largo de todo el período de la operación. En la práctica esta situacióii tnuy dlíícU que ocurra; lo usual es que la tasa de interés se modifique. En ese caso, deberemos utilizar distintas ta.sas para cada período el momo resultante surgirá de la siguiente ecuación:

Gn = C o ( l + i , ) x ( l + g x

\: ti i

(I + g

Ejemplo: su[jonga que usted depositó $100 en una institución financieray ganó cn una operación el 2% mensual el primer mes, el 3% en el según* do y íinalmer.tc un 5% en el tercero. El monto final al cabo de los tres meses será: lUO (1+0.02) X (J+0,03) X (1+0,05) = 110,3 Como puede apreciar, en el régimen compuesto los factores de capitali­ zación (1+i) .ícnm/í/p/íc/m.

1 i,

( 1

n9-

h>inRl5 CONSPUESTO

Claslficadón del régimen compueslo En el régimen de interés compuesto y de acuerdo a) tipo de operación, es posible establecer una cJasificación en función déla capitalización inieresesv Esta puede señ­ al Periódica: los intereses se capitalizan durante n períodos y al iinal de cada uno de ellos. Ejemplo; colocamos un capital de $100 aJ 10% durante 2 períodos: los intereses se capitalizan dos veces: 100(1+0,10)2 = 121 b) Subperiódica: los intereses se capitalizan en forma subperiódíca a lo largo de n períodos, es decir que hay capitalizaciones intermedias dentro de cada período y aparece una “tasa proporcional”. Ejemplo: colocamos un capital de $100 al 10% nominal anual con capitalización sem es'ral y la operación dura dos arlos. De manera que habrá cuatro capitalizaciones, puesto que hay dos semestres en cada año:

• '

m m

100=^l + 2 ^ j =121.55 Observe que la tasa del 10% nominal anual la dividimos por 2 (dos) para proporcionarla al semestre, para llevarla al niomemo donde se pinduce la capitalización. Este caso es muy común en la práctica, donde las operaciones a plazo fijo se realizan a una tasa nominal anual, pero ia cnpitalización se produce en períodos intermedios. c) Continua: los intereses se capitalizan por instantes de tiempo La naturaleza económica subyacente es que los intereses se capitalizan con­ tinuamente, sí bien el reflejo de las operaciones se hace en m o m e n to s dis­ cretos. Por ejemplo, si se colocaran $100 aJ 10% continuo anual, lendríamos: 100 e0-“’= 110,51 No es el momento de tratar aquí Ja capitalización subperiódica de los intereses y el caso límite donde los intereses se capitalizan por instames de tiempo. Estos temas serán tratados con exhaustívidad en el j'trd.vímo capítulo. ■

m m m m m m

n

Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto

Capital inicial

Tasa de interés

Número de períodos _ InCn -'lii C o

c=.-=

, ( i + iT

^Co

ln (l + i)

Interés _ acumulado

Coií-t rT-eVí

m

■m

im

GuiiiERA.\o Lope?' Dumrauf

mé m

Ta*nbién, lá tasa de interés puede calcularse c o n j^ síguiemeS fórntU' las:;

C oJ Podemos obtener la lasa de interés también por antilogaritmo: I = an

¡ In O i— InCo I

-l

- J

■m

La utilización de la primera expresión suele ser más práctica, al traba* jar con calculadoras de bolsillo que incluyan la función de potencia. , Intereses acu m u lad os

m

Si quisiéramos calcular los intereses acumulados entre el momento 0 y eí moniemo n, simplemente podríamos hacerlo por diferencia entre el , nioncír y el capital inicial: If0.n) = CíxACo Como Cn = Co{l+i)"

.

^

”

l(0,n) = Co(l+i)" - Go I(6,n) = Co( ( U i ) " - 11

m

n

Adicionalmente se puede demostrar que los intereses acumulados for­ man una progresión geométrica creciente. Suponiendo que el capital oríginal lie la operación Co = 1, sumando los intereses de cada período teneiiiüs: ÍULnU I(n.lL + 1(1,2 )> 1(2,3)+ IKui) = l.i + K(Ui)^ + i(l+i)»

i.(l+i)p‘ 4

í{0.n) = i.(l 4 ( l 4 Í } ' V + ( l + i P ^

■?»

La expresión del segundo térmiho es una progresión geométrica de razón q = Iri (recuerde que una progresión geométrica es una sucesión de términos tal que cada uno es igual al anterior multiplicado por la razón). Utilizando la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica creciente: -

^ -1

S^i

q + / r-i 1+/~1

.

JnT£WS COMÍ'UtSTO

i ■'■•;„ ■■: ■ V y finalmente 1(0,n) a (14 í)“ - l

^

\ -■

íí

que resulta ser la expresión genérica de 1(0,n) válida para una capital d e $1; si el capital inicial es diferente de $1, entonces utilizamos Co como expresión para el capital original y llegamos a la misma fórmula descrita anreriarjnrientc en esta sección: r(0,n) = Co((l+i)'‘- 1)

'V

Aplicaciones del interés compuesto en la vida real

^ '

a) El interés com puesto y las m edias geom érricas

’

?

Hay varios fenómenos de la vida real que involucran una"capítalízacióir compuesta. Por ejemplo, la tabla 3.2 muestra el crecimiento de la población en la República Argentina en la década del noventa. Sí la población pasó detener 32,6 millones de habitantes en 1991 a36,2 millones en 2001, ¿ a qué t a ^ a anual promedio creció la población? ' Año

Población (en habitantes)

1991

32.615-528

2001

36.223.947

^

Tabla 3.2 Población total

Para calcularlo, establecemos la tasa promedio geométrica con la fór­ mula de la tasa de interés, considerando como monto a la población de 2001 y como capital original a la población de 1991. 36.223.947 > -1 = 0,0105 =1,05% wiual 32.615.528

Figura 3.4 P o biácjón total del país,.'Vños 1869-2001 piienie: IMDHC. Censos nacionales de población

GnílltOMO LOPEZ D umr,w ^

72

bi figuia 3 4 rnuesira la evolución de la pobUcióri lutal para el período ! RG9'20ü(. Pelamos para el lector el cálculo de las tasas de crecimiento para cada década y sus conespondienfes tasas equivalentes anuales. b) La pauta de inflación contenida en elprestipiieatú nacional Bn el presupuesto nacional suele incluirse una pauta de inílacidn anual que coMSirluye un.a especie de meta predefinida a alcanzar, que es supera­ da por la realidad en la mayoría de las ocasiones. Por ejemplo, suponga que se esiahlece una pauta de inflación del 12% para todo el año, mientras que la inllación acumulada hasta abril es del P%. ¿Cuál deberia ser la infla­ ción mensual de mayo a diciembre para poder cumplir con la menciona­ da pauta? Simplemente planteamos la ecuación correspondiente donde 1.08 representa el capital inicial de la operación, que "colocado a una in­ flación mensua!" durante 8 meses alcanza un monto de 1,12 y despejamos la tasa de Inflación mensual: ’ .

(1.081

1.08

(1.12) / / " - J = 0.0045 =0.45% mensual

rdt» dístingiiiinos aquí si los meses tienen más o menos de 30 días, pues el INDtC difunde la tasa de inflación nrensual para cada mes caleiulario, , independientemente de cuantos días tenga éste. Análisis de las funciones monto c interés acumulado En la función del monto alnierés compuesto, el valor de "n" resulta ser, un valor discreto, lo que le da a la función unafo n n a escalonada en la práclira: cow n se observa en la figura por ejem[»lo, cuando depositamos un rn{»ilal (.h‘ TI cu un Iranco, desde el punto de vista contable, el reflejo de la r.Ti Mcitin do la 'juma de dmero solo tiene lugar al filial del [miiner período, í-uíuuilt» -se transforma f»n lo mismo ocurrirá ron el segundo período al lliinl dcl cual se transloi mará en $1,21 y así sucesivamente, como se mues­ tra en la figura 3.5.

73 .

iNTEBii C ompuesto

No obstante, desde el punto de vista matemático jq función es p x ponencia], y por lo tanto escontinuay aparece representada en la figura 3.5 con forma de curva. ^ Tiempo necesario para que un capital se convierta en m últiplo de sí mis­ mo SI queremos saber cuál es el número de períodos que necesíl;* un ca ­ pital para convertirse en múltiplo de sí mismo (dupUcarse, iriplicai se, cua­ druplicarse, etc.) simplemente igualamos la fórmula del monto a interés compuesto pero expresando el monto como un múltiplo del capital inicial (A/.Co) donde M es un múltiplo que podría ser igual a dos, tres, cuatro veces y media, etcétera. M.Co sC od+i)" . ■‘ ■ Despejando M tenemos M s (1+i)"

i ' '

FinaJmeníe, aplicando logaritmos en ambos mieTiibros:

'■

-

;

\nM In (I-h i) Eje/nplo; calcular cuántos meses demoraría un capital deSlO.OOn en du­ plicarse, sí la tasa de interés es del 1% mensual In 2 Inl 1 +

0,01}

=

69,66 meses

69,66 meses significaría que el capital tarda en duplicarse 69 meses y 20 días, aproximadamente. . Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, aJcan2an igual momo En noviembre de 1987, la entidad financiera S&B tuvo probIen>as para devolver los depósitos a los ahorristas. Muchos de los créditos otorgados no se cobraron generando importantes pérdidas, y cuando el probfema se hizo público, los depositantes acudieron en masa a retirar sus ahorros, pero S&B se negó a reintegrar el dinero, argumentando que era imposible de­

volverle a lodos sus depósitos de una sola vez. A cambio, pidió un ijempo para que, con el dinero que constituía el "capital de trabajo" de la compa­ ñía y que se prestaba a una tasa de interés más alta (tasa activa) qu« la que se pagaba por los depósitos (tasa pasiva), ese capital igualara en el futuro el monto que tendrían los depósitos que ganarían una tasa de interés me­ nor. El argumento esgrimido fue que los ahorristas deberían esperar un tiempo para que el capira! más pequeño Igualara al capital mayor, ya que devengaban tasas diferentes. Suponga que la tasa de interés para los de­ pósitos era del 1% mensual y que por los préstamos se cobraba el 3% men-

>A

.,

■

. v -"O u iL U O N ío López D u m r au f

suai, 1.0S depósitos totales ascendían a $3*000,000,- mientras que el "capitaí } de tratjaio" de S&BsóIo alcanzaba a $500.000.- ¿En qué tiempo ambos capiíaItís íguajarían su valor en el futuro? Para calcularlo, igualamos las fórrnulas páLfa los montos de ambos capitales con distintas tasas de interés, quedando por dcíspejar la incógnita "n”: • C ,x ( l - f q ) - ^ C jX O + í^ r

c ',

'

n + o r :

In p , ~ In C 2 = n X [in (I f íj ) - In (1 + /,) ] In C, - In C 2

n =

V

l n ( ] + Z 2 ) - l n ( l + í,)

In3.000.000-In 5Q0.0Q0 = 91,37 meses In(1.03)-in 0.01)

ft = ■

P iid em o s c o m p ro b a rlo h a cien d o 3 .0 0 0 .0 0 0 (1 ,0 1 )*‘-^^®* = 50 0 .0 0 0 (1.03)*'J'“ =: 7.447.226,8. Ea la figura 3.6 se observa como los dos capitales igualan su valor en el período 91.37.

Acontinuádóri realizaremos una comparación entre ambos regímeíies en sus aspectos más relevantes, fundamentalmente el rendimiento .efectivo.” A

fNTf RfS COMFUESTCr Monto

Capital ai iíUció liiter¿5 periódico Periodo Single 100

Cum¡JUtfálO

100

Coin->

Siinple

puesto

10

10

Com­

,, J(eii,dirrueitCú efectivo

Com­

Simple

puesto

lio

no

10%

10%

9.09%

10%

Sim{jle

puesto

lio

lio

10

11

120

121

120

121

10

12,1

130

133.1

8.33%

10%

130

133,1

JO

13,31

140

146,41

7,69%

10%

Tabla 3.3 Rendimiento en los regímenes simple ycompuesto P e la tabla 3.3 se observa que: • En e! régim en simple el interés periódico se mantiene cotistante^ míentras que en el régimen com puesto es crecte/ife. : ' • El rendim iento efectivo es d ec r ec ien te en el régimen simple, m íenlas que se m antiene co/wímtre en el régimen com puesto, v Sí bien la tasa de interés periódica siem pre era la misma U 0% ], en el régimen simple el interés periódico de $10 representa un porcentaje m t ñor de rendim iento conform e éste se com para contra un monto que au­ m enta período a período. ^ En cam bio en el régimen com puesto, con la incorporación de los inte­ reses aj capital en cada periodo de capitalización, los intereses periódicos son crecientes, pues siem pre se calculan sobre el monto acum ulado a¡ ti­ na! del período anterior, aunque el rendim iento efectivo se m antiene cons­ tante.

La tasa proporcional y equivalenté en los regímenes simple y conipuesn» Veremos ahora que en el régimen simple, las tasas son proporcionales y a la vez equivalentes, mientras que en el régimen compuesto, son sola­ m ente equivalentes. Cuando capitalizamos superiddicamenfe, para ohiener la tasa proporcional hacem os:

m

. -

Sea por ejem plo, el 12% nominal anual con capitalización semestral:

0,12

—^ = 0,06 semestral Efectivamente, el 6% sem estral es la tasa proporcional del 12% anual, y a su vez es tam bién una lasa equivalente en el régimen simple, pues en este régimen 6% en el sem estre es igual que el 12% en el año, ya que las tasas se sum an (no hay capitalización de intereses). -

C Í lU lU R M O L ó P £ 2D u M R iV J f

Sin embargo, en el régimen compuesto, el 6% semestral no es equivalente al 12’?o"amial, ya que si obtenemos el 6% en un semestre, y renovamos la operacídn por otro semestre hasta alcanzar un año, obtenemos el 12,36% anual (1,06)^=1,1236 (el monto es mayor debido a la capitaJizacldn de los intereses). Por (o tanto, en ei régimen compuesto las tasas de interés son siempre y solamente equivalentes, ya que trabajamos siempre con tasas efectivas: el 6% semestiai es equivalente al 12,36% anual, no al 12% como era en el régimen simple. En el capítulo 4 profundizaremos el estudio sobre las tasas equivalentes; por ahora sólo diremos que son aquella.s que expresadas en diferentes momentos, tienen el mismo rendimiento efectivo cuando se las compara en un momento cualquiera. Siguieiiílo con el ejemplo anterior, en el régimen compuesto la tasa equivalente al 12% anual sería menor al 6% proporcional semestral (en realidad sería ya que con una tasa semestral menor al 6%,Tnpltalizando intereses igual llegaría al 12% anual, En cambio, en el interés simple, ei 6% semestral es equivalente al 12% anual, y a la vez proporcional. Preguntas de auto-evaluación:

.

L ¿Como puede ser clasificada la capitalización en el interés compueslü? 2. ¿T'or (,|ué en el régiiiien compuesto las tasas son solo equivalen" ■les? . El monto a «nierés simple y el monto a iiueiés compuesto: comparación gráfloi

De la fi{,urá3.T se observa que:

1. Cuando el número de períodos es mayor a l, el monto a interés com­ puesto es mayor al monto a Interés simple, debido a la capitalización de jo s interc,scs.

- I nterís C ompuesto 'i'

«

77

2i Ambas fundones igualan su valor cuando el número de periodos es igual a uno (recuerde que para que exista interés compuesto debe haber más de un período). 3. Desde el pujuo de vista de la función matemática, cuando el nújnero de periodos se encuentra entre 0 y 1, la función del monto simple es ni8y:sire; sa!r¿> esdpuladóa expresa en connario"Cctnc se aprecia, a partir de ia Lsy de Convertibilidad se maodujeron s i ea Código Q tíL eliminando, en gran medida, la ambit z b iz sobre este tema, S n embargo. luego se produjeron fa-rjs fundaron d oon n a plenarta sobre ia famia de capitalización de Íniítíscs.. carne ts d caso "Uzal SA c/Moreno’ luego modificado por el

iHTEHii* COMHJESTO

fallo “Calle Guevara. Raúl (Fiscal de Cámara) $/He;^isíón de P le n a rio " 25/00/2003“. La Cámara Nacional de Apelaciones en lo Comercial modificiá la doc ­ trina plenaria sentada en los autos "Uzal SAc/ Moreno, Enriques/ ejecuii* vo“ del 2/10/91 a través del fallo “Calle Guevara, Raiil'’ en re la ció n a la modalidad de la capitalización de intereses devengados por un crécijtu cuyo obligado se encuentra en mora. Por razones de espacio, el fa llo no es transcripto, pero el lector interesado puede encontrar el texto com p leto en mí website www.diimraufnet.com.ar Preguntas de aiito-evaJuución: 1. ¿Cuál es la finalidad de cíilcular un monto fraccionario? 2. ¿Para qué una entidad querría calcular cóm o los In tereses se devengan diariamente?

3 .2 .

R e g ím e n

de

AcrUAUZAaoN

c o m p u e st o

Es posible establecer valores presentes con tasa de interés com puesta y también con tasa de descuento com puesta. A continuación expI¡caMl(J^ ambas alternativas, si bien el descuento compuesto con tasa de desciieniu o adelantada, no se utiliza en la práctica. El valor aciual con tasa de interés compuesta Cuando definimos el monto de un capital, establecimos una relación directa entre el capital inicial y el valor final del mismo a un momenu» del tiempo "n". sujeto a un régimen de capitalización a una tasa de interés vencida. Si se pretende disponer hoy de un capital futuro, tendremos que dci contarle los inrereses que representan la diferencia entre el capital dts|*>< nibie dentro de n unidades de tiempo y su valor actual. Esta diferencij :>«* denomina descuento y se define como la com pensación o el preciv» t[nidebe pagarse por la disponibi-idad inmediata de un capital antes de ^*l vencimiento dentro de n unidades de tiempo. Estos temas tueron vistor en el capítulo anterior, cuando tratamos el régimen simple. Hareuiui. i*» mismo ahora con el régimen compuesto. Suponga que usted tiene derecho a cobrar la suma de $100 dentro de un año, y que la tasa de interés de oportunidad sigue siendo del 10%. En­ tonces. esa. suma de dinero vale hoy para usted algo menos, debido a que la disponibilidad inmediata del dinero tiene un precio, que es nuevamen­ te e! \*alor del tiemoo: 0

nioi

-----S S0.9

-1 sno $1

Guilleiuvío Lortz DuMRAur

SO

El valor de 90,9 representa el valor presente de la suma de diriéro ftjtura. Usted ha renunciado a cierta cantidad de dinero por tener la disponibilidad inmediata de ésta. La iiocidn del valorpresenle o valor actual representa una de las ideas más importantes en finanzas y tiene una multiplicidad de aplica­ ciones. La figura 3.8 muestra ei valor actual de una suma de $100 que es actualizada con tasasdeinterésdel 10 y el 20 por ciento a medida que aumen­ ta el niímero de períodos.

El valor ncUia! es menor cuanto más alta es la tasa de inteiés utilizada en el cálculo y cuanto mayor es el número de períodos por los cuales es actualizado. Observe que los valores actuales tienden a cero cuando el n ú m c H i cíe períodos crece, debido a la fuerza del interés compuesto ya sea pnr el tamaño de la tas.i de interés o cuando el número de períodos se alarga. Por rjcmplo, para veinte períodos n.lül

-14.86

V con una tasa de interés del 20%:

= 0.026

Aiuülsis de la función del valor actual con interés compuesto con deriva­ das rrtmero derivaremos la hincidn con respecto al número de períodos. Siendo la función del valor actual con tasa de interés compuesta l/(l+i)"

^ ^______ ______ ______

Como es una función del tipo a* (donde x es un exponenic variable) la derivada primera es:

iNTEPis C ompuesto Y la derivada segunda es

, ;

a + / r '[ i n a + í ) ''] ’ ) o Como la derivada primera es negativa,'sabemos que la función es decreciente; como la derivada segunda es positiva, sabemos que es cón­ cava. Si derivamos la función con respecto a la tasa de interés, entonces tene­ mos una función del tipo a" (donde n es un exponente fijo) y entonces la derivada primera es

(-l)(l + /)=' 0 "

'

1

i

— -

9T

De nuevo, como la derivada primera es negativa; sabemos que la fun­ ción es decreciente; corno la derivada segunda es positiva, sabemos t|ue es cóncava. El factor de actualización i/fi+0" es uno de los más utilizados en las fi­ nanzas de empresas, generalmeme cuando se calcula un valor presetue una corriente de ingresos futura, en un proyecto de Inversión, en la njación de precios de activos como bonos o acciones, o en la valuación de enipres-is po» el método de descuento de flujos. Haremos un uso intenso de este laaor d pagos. Ahora describiremos —a los fines teóricos ya que el descuento com­ puesto no se utiliza en la práctica— el descuento compuesto con tasa adelan­ tada, de la misma forma que lo hicimos en su momento con el descuento comercial simple.

i

El descuento compuesto con tasa adelantada: cuadro de nrardia El descuento compuesto no es de utilización extendida en la prnclica., pues los descuentos suelen hacerse una sola vez y por un solo período. En el descuento compuesto, aplicamos el descuento sobre el valor íitia! dri documento, pero a diferencia del descuento comercial simple, el descuento de cada período se calcula sobre el valor actual al final del período amerior; t

Monto

l

Cn

2

VaJoractua]

Descuento periódico D{0.l)=Cn,d

V,=Cn(l-d)

CnU-d)

D(l,2) = Cn{l-d).d

V, =Cn(I-d)-Cn{l-d)d = Cn(l-d).(l-d) =CnÜ-d)-’

Cri(l-d)*

>D(2.3)rCn(I-d)»,d

1t

3

:

V,^Cn(l-d)í-Cn(l-dP.d = •Cna-d)*.a-d) = Cna-d)’ ^

m

.33

I

G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f

En g e n era l, p ara un períod o “p** cu alquiera, el valor actu al será Vp = Cn(l>d|p.

i

I

Y el valor actual para un documento descontado por n penados, será V = C n (l-d K

i

E n latab la3.4 sem u estralam archad el valoractualdeSl alolargo detres períodos: t

Monto

Descuento periódico

v, = (i-o.2 0 )=o,ao

Valor actual

1

0,20

2

0,80

0.80x0,20=0,16

V, = 0,80-0.16=0,64

3

0,64

0.64 x 0.20=0,128

V, = 0,64-0.128=0,512

i

i

Foriiiulás derivadas dej descuento com puesto

.

A partir de la fórmula principal V =.C n(l-d)" pueden derivarse el valor norTiinal (final! del docum ento (Cn), el tiempo y la tasa de descuento:

i

Valor actual ’

Valor nominal

V = A ^ ( l- r í ) V

S

(1 -d )”

Tiempo

Tasa de descuento

i n K - ln / / / í.= --------------- In (l-r í):

}-,s fácil deducir las fórmulas a partir de Ja ftinción del valor actual ,V-.-|

;

n; ji' i '"

- N ü - j y 1^ función del valor nom inal del documento es un sim ple pasaje de térm inos. Veremos el cáJculo para el número de períodos y la tasa de des­ cuento. Partíeiido de la expresión del valor actual y pasando N dividiendo, tenem os

tV

= (1 - 1/)"

Aplicando logaritm os en ambos términos

in — = l n { l - í i ) “ y nor queda finalniente n

In V -ln A Í In (I-r í)

I n t £r£s C ompuesto Para la tasa de descuento, también partiendo de la expresión V N luego pasa n com o ejqponente inverso y pasando términos queda

Análisis dei descuento com puesto De acuerdo con el cuadro de m archa anterior, los descuentos periódicos se calculan sobre valores actuales (hacem os el descuento sobre un valor que ya fue descontado)* El descuerno del prim er año se calcula sobre el capiial nom inal, y por lo tanto los descuentos son variables y decrecientes en pro­ gresión geom étrica al igual que los capitales que le dan origen. D escu en to p e r ió d ic o Como vimos en la Tabla, es decreciente. Por ejemplo, el descuento qmse realiza en el período tres, puede o b ten erse por diferencia de vaií)it-i actuales al final de los períodos dos y tres: D (2,3j = (l-d)2 - n -d )* Luego, sacando factor com ún (1-d)^ tenem os :

= { l - d ) í V I ] - ( l - d ) l = (l-d)2.d

Observ'e que a medida que aum enta el exponente en el segundo miefií bro de ja ecuación el valor del descuento es cada vez menor. Poi cjem pJ.j, el descu ento para el próxim o períodc» llevaría com o exponente a 3 v 0 y la derivada segunda es negativa, por lo cual concluimos que >a fun­ ción es creciente y convexa, cuyo límite es uno (como máximo el descuen­ to puede igualar al valor nominal) cuando n tiende a infinito. ! * - d -d }" lln(l-d|]2< 0

C om paración del in terés y el descuento en Jos régim enes sim ple y com ­ puesto La tabla 3-5 resume una com paración entre los regímenes sim ple v conipuesta tanto para el interés com o para el descuento, para dos categorías: el rendiiniento/descuento periódico y el rendim ienlo/descuento efectivo.

Función

Interés/Descuento periódico '

Rendimiento 1 Descu*'nto efectivo

Interés simple

Constante

Decreciente

Descuento comercial

Constante

Creciente

Descuento lacional

Decreciente

Decreciente

Inferes compuesto

Creciente

Constante

Descuento compuesto

Decreciente

Constante

t i i

T abla 3.5 co m p aracid n regím enes sim ple y confipuestp

Relación é n tre la tasa de interés y la tasa de descuento en el régimen conipuesto AI Igual que en el régimen-simple, existe una equivalencia entre la lasa de descuento y la tasa de interés vencida. Para obtener una a partir do otra, primero igualamos los factores de actualización 1

a+0'

-■ So

y

G uillerkío L ópez D umrauf

Para eliminar la “n" podemos extraer raíz enésima en ambos miembros, y quedaría: -In

= ’^ a - d r

■

Sim plificando con el exponente d éla función desaparece la raíz y que-

da l

A partir de esta expresión se puede deducir una tasa a partir de la otra: d a p artir d e i

/a p a rtir d e d {1 + 1) ==

X a-¿í)

(1 + /)

i-(i-d )

d^

(\-d)

I=

1

d = i—

d

(1 + 0 - 1

(1 + 0

d = l+i

0 -^ )

C omo se aprecia, el régimen compuesto plantea una importante dife­ rencia con el régimen simple en la relación entre la tasa de interés venci­ da y la tasa de descuento, ya que ésta no es función del número de perío­ d os En el régim en com puesto la relación entre la tasa vencida y la adeIdiitiida es constante, ya que las tasas son siempre efectivas. Tal como ve­ remos en capitalización continua, la tasa instantánea de interés es igual a la taia instantánea de descuento.

Preguntas de aiiio-evaJuacíón: 1 ¿Cuáles son las variables de la función valor actud? 2 En el descuento com puesto la relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento no depende del número de penodos ¿a qué se debe?

3 -3. E q u i v a l e n o a

d e c a p ít a l e s e n e l i n t e r é s c o m p u e s t o

Aplicando el mismo principio que vimos en el capítulo anterior, dire­ mos que dos capitales son equivalentes si tienen el mismo valor actual. Supongamos tres capitales diferentes, uno se ubica en el período 6, otro

I ntehés C ompulsto

íH

en el período 8 y otro en e! período JO. Ambos serán equivaJenlessí actuafiVados con la niisma lasa d e jnteré;í i, llénen el mismo valor aciual.

i _______ (i + /)‘

( j + í )'•‘

(i + O’”

Sí tienen el mismo valor actual son equivalentes en el m om en to 0 y en todos los momentos; caso contrario no serán equivalentes en ningún mor mentó.

'

Vencimiento com ún y vencim iento medio Igual que en e! régimen sim ple, en el vencim iento común es posible tener dos incógnitas; el valor nominal del documento (N) y el núm ero de períodos; en el vencim iento medio sólo podemos tener como incógnita e) número de períodos por el cual debem os firmar el nuevp documento, pues el valor nominal se preestablece com o la sum a de los docum entos que se reem plazan. . • Ejem plos: a) Se tienen 2 docum entos de $10.000 y $*-10.000 que vencen en 2 y A años respectivamente. En que fecha vencerá el que los reemplace si m ili zamos el 10% sem estral de interés com puesto? ¿Por cuál vaíoi debería ju ­ marse un docum ento que venza en el octavo sem estre y sea ei|uivdleiue desde el punto de vista financiero? Si resolvemos eí problem a utilizando tasas de interés vencidas, teñe mos que el valor actual de los dos docum entos es Co = 10.000/(1,lUÍ- + 40.000 /íl,10)8 _ 25.490,429 Luego resolvernos n con la fórmula para el régim en de inferes cmnpuesto; In O í -in Co

In 5 0 .0 0 0 -In 25.490,4

In (1 -f /)

In(UO)

= 7,{)6 sem estres

Para calcular el valor del docum ento que vence en el octavo senlesiit; y reemplaza a los otros dos, sim plem ente capitalizarnos por ü períuilus t í valor actual Co: 25.490,42

54.6-10,97

b) Suponga que usted quiere refinanciar 4 pagarés de $10.000 cada uno que vencen al fina! de cada año, durante 4 años, descontados al 10% anual. Se desea co n o cer el vencim iento de uno de $50.000 que consolide la deuda. Primero calculam os el valor presente de cada documento que icsulia serCo=31>698,65 (dejam os para el lecto ría com probación correspondieu' le). Finalm ente, volvernos a utilizar la fórmula para el régimen de inteiés com puesto: —

G

n -

u il l e r m o

L c r t z D i ' i- ip a u f

liiC n -ln C o In50.000-In31.698,65 . . — ------------- -- ------------------------------- = 4,78 ÍI/IÍ7Í In(UO) In (l + /■)

Como esie problema Involucra una cnrrienle de 4 pagos Iguales, se po­ dría haber considerado como una operación de rentas, aunque es un proble­ ma típico de vencimiento medio. Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y com ­ puesto Volvamos por un momento sobre el ejemplo visto en el capítulo ante­ rior donde trrtamos el vencimiento medio en el régimen simple. Ejemplo: Se ita documentado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por importes de $1.000 y de 510.000 respectivamente. La (asa de iiiiei«s vtMidda es dcl 2% mensual. Re.solvpiemns el ejemplo del vencijnleritü w r d io pero .ahora suponiendo ca}iílaliz.íción mensual. Co=l.n00/(l.l)2)-« 4 10.000 /íl.02)"=9.122.87

InOi -In C o

in 11.0 0 0 -In 9 4 2 2 .8 7

^ I

,l ----------------------- ------------------------------------ = 7 h i ( I + /) ln (1 .0 2 j

Si la lasa de inlcrcs luihiera aumentado al 20%, el vencimiento medio se iihicarí.a ni 7,70. Como se observa, los valores obtenidos en el venci­ miento medio en el régimen compuesto piescntan valores muy similares a lo' obtenidos eti el régimen simple. Mtíiidnfl rln| vcnciinii'iuu medio en la jiváctira n v e ii '- im ic iii o m e d io e n e l r é g im e n í r m ip u e s iu es d e u t ilid a d e n la •■iil' r»*n! e n p r o b l'm iiis le la c lo n a d o s c o n iu n n im / '.^ r ió n «Je c a ñ e ra s d e l>o• »os. J.H f|U '' la c o m liin a r io n d e d ife re n te s n iiiln s c o n d ire re n ie s v e n c im ie n n>s V e s tn ic in r a s d e flu jo s , p e r m ite a c o ta r la s fln r iu a c io n e s d e r e n d im ie n lo s dp (a r.arl«»rn n á s ic a m e n te . c u a n d o la tasa d e in te ré s a u m e n ta , s i b ie n se ir> fín re e l p re c io (in lo s I m h io s . I os c u p o n e s q u e se c o b ra n d e é s to s p u e ­ d e n r e iiiv o t lir s e n ta sa s ta m b ié n m á s alta.s, y d e fin ie n d o u n a fe c h a a p r o ­ p ia d a p a r a la li q u i d a r ló n d e la c a rte ra , e l r e n d im ie n t o de é s ta a l v e n c i­ m ie n to q u e d a a c o ta d o e n u n ra n g o . La in m u n iz a c ió n d e c a rte ra s d e b o ­ n o s se tr a ta e n d e ta lle e n el c a p itu lo 12.

.Resumen

El régimen compuesto aparece en la vida real en cada operación don­ de se renueva un de|uí.siio a plazo que incorpora los intereses ganados en el período anteiior. o también en cada .situación donde se capitalizan los

Í N T E R í sC o m p u e s t o

3^?

in te re s e s , c o rn o p o r ejemplo cuando un deudor se atrasa en el pago de una cuota de un préstamo a un banco. Para que el interés se "componga'’ siempre tiene que haber más de un período o subperíodo de capitalización; en un solo período no puede haber interés compuesto. Vimos que existe interés compuesto cuando avanzamos en seniicio posi­ tivo del tiempo y también cuando actualizamos una suma de dinero iutura y calculamos su valor actual o presente bajo las reglas del interés compuesto. Particularmente, en las finanzas es muy común que se píense en términos «le "valor presente" y a menudo tengamos que actualizar corrientes d«‘ pag/)s bajo las reglas del interés compuesto. Por último, vimos que la equivalencia de capitales también se da en el régimen compuesto, y ésta se producía en la medida que éstos tuvieran el mismo valor presente.

P reguntas i Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés en ei rópínipn simple de intereses. Comente brevemente en qué difiere Ja m ism a r'»lnrión cuando el régimen aplicable es el de intereses compuestos. 2. ¿Cuál es la finalidad de calcular un monto fraccionario? 3 Describa 3 situaciones en las que es relevante calcular un.i mr-lia gooniélrica, 4. En el régimen compuesto de íntere.ses, ei interés periódico es (cons­ tante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódi­ cas son (constantes / crecientes/ decrecientes). 5. En el régimen compuesto de descuento, el descuento perjódiro «s: (constante /creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas electivas periódicas son (constantes / crecientes / decrecientes). 6. Suponga que usted tiene la oportimidacl de colocar su dínem a plazo fijo al 12% anual por 10 días en el régimen simple, ¿es esta opción inejoi que otra que le ofrece un rendimiento efectivo del 1% mensual?

P roblemas l. El día 5/07/01 se depositan $500 ai 6% mensual efectivo por un plazo de 30 días, renovándose la operación por otros 30 días al 7% efectivo men­ sual y al finalizar ese plazo se vuelve a renovar el plazo fijo por otros 30 días obteniéndose un 5% mensual. Determinar: a) Capital final al que se arriba aJ final de los 90 días. b) El rendimiento total de !a operación para el período total de coloca­ ción (90 días).

GlllLLlR>.»0 LOPtZ ^UMR.oo

. a

n

( 1)

♦

i:

i? p

(t> Esto puede entenderse sí pensamos que en una operación de plazo fijo donde se aplíci# un capital de 5 I, se contrató un interés del 10%: al fin del período obtendremos $ l, 10 y ni un peso más. E! interés en realidad se capitalizó en forma continua, por instantes de - uemifO, y esa es la realidad económica subyacente en la operadón, si bien la contabilidad lo refiga en íonTia discreta.

J Refómando ahora e) tem a ele )a capitalización subperiódica c o n íasas proporcionales, el monto obtenido era (súponiendo que Co =; 1 y n );

l.iíííL 'j

Cn-

m

(2)

Haremos 2 transformaciones para lograr una expresión simüar a la expre­ sada en ( 1 ), Entonces:

^

1) En (2) multiplico y divido el exponente p o r''j(in )’' :

2 ) En (2 ), dentro del paréntesis, divido por "jím )" el numeraiim y el denu: m inador de la fracción j(m )/m , obteniendo: /(«I Cn =

m [

j(m )^

Si observam os la expresión encerrada en el corchete, verem os que eí; precisam ente el num ero irracionai V '. Por consiguiente, si considero que la capitalización de los intereses se efectúa en forma continua (ei intervalo de tiempo entre capilalizacíones tiende a cero y entonces m tiende a inhn ito ), en la ex p re sió n d e n tro del c o r c h e te se te n d rá ta m b ié n (píe m / j í m } - > ~ . Todo esto nos lleva a la con clu sión que e! m ayor valor qiit* puede tom ar ese c o r c h e te es e l n um ero V ' E n to n c e s , si el valor del c o r­ chete es V ' cuando m tiende a infinito, nos queda; Cn =

= e®

Llam am os " 6" a la lasa norríinal cuando existe capitalización coruiimd, que no es otra cosa que la “tasa instantánea". En el caso de que la opera d o n dure n períodos, tendrem os; Cn = e**"'* - e®** que es la expresión del m onto con capitanzación contin.ua. La tasa instan­ tánea - tam bién denom inada "fuerza del interés" ^ es a q u e lla q u e c a p ita li­ z a n d o en f o r m a c ó n rin iia , g e n e r a e l m is m o m o n to q u e c a p ita liz a n d o con la ta s a e fe c tiv a en f o r m a d is c o n tin u a :

y:'

e« = (l+ i) La tasa instantánea "5" puede despejarse aplicando logaritmos; 5 in •i.;

. í

= In, ( 1 +i)

c o m o el logaritmo de la base es igual a 1 . tenemos 6 = l o g t u i )

V.k

" í:

G ua i£R ;.\ü López

108

ü u m iu u f

A n álisis lie la fu n c ió n e"-*

La primer derivada con respecto a n es: o* e"* > 0.

sVi Oy la segtin da derivada es

Por lo que podernos decir que es una función creciente ycdncava. Ejemplo en los contratos de futuros o forwards se supone que su pre­ cio evoluciona de acuerdo a una capitalización continua. Sabiendo que el precio al contado de una mercancía es de $100, calcule cuál será el precio íiituríMjpiitro Je seis meses si la tasa semestral continua de apreciación es del 6%. \ F=I0ue“«'í= 102,53

El valor límite de la lasa noininaJ cuando el miniero de capitalizaciones (¡ende a iitííjiito Vamos a demostrar aliora que como la tasa nominal converge a la tasa inslant.lnea cuando la frecuencia de capitalizianón tiende a inrmito (es decir |iH) y se obtiene por tlefinícíón. la lasa nominal instantánea A. Entonces, cuando los intervalos de capitalización se hacen cada vez más pequeños. Ja freaiencia de capitalización tiende a infinito y puede demostrarse que en el límite, para ni4*», ia tasa instantánea de interés (5) se igual con la lasa instantánea de descuento (5’). Los valores de j(m) y f(rn) se representan en la figura 4.2 donde: para m

U

j(in)

pnmm = l j(ni) = i f(m) = d pata i

n

jirn) = f(m) = 5 = 5'

Cuamlom - 1 iiohaycapitaJizadóndeíntere.se.syilm)=iy fim)=d (en la ngnra i = .^5% y d = 20'.o pues iccuerde del ca[)ílulo 2 qu es )a equivalencia que se daba entre las dos tasas para m = li, Pero a medida que m aumenta. w fion ien iin q u e las tasas efectiv as i y d se m an tien en con stan tes (cuyos valores npnreren representadas por las líneas gruesas) en realidad estarnos par­ tiendo de litsas nominales cada vez más pequeñas para llegar ai mismo lendimienio efectivo; con lasas nominales cada vez más pequeñas, para ll«*gai a la misma i preciso una mayor frecuencia en la capilalizacídn de intereses. A medida que in sigue aumentando seguimos ganando intereses más lcnlam'’nte hasta tender a ««: en este caso tendremos la tasa nominal más pequeña de 0,2232 (obviamente la tasa nominal aliora es más baja necísariamfinte ya que al haber más capitalizaciones de intereses para lle­ gar a la misma i tengo que partir de tasas nominales cada vez más bajas) que es la ta?sa nominal instantánea y es el caso donde e! interés de interés t/i) ha sido el más alto. 5 es el interés de un instante de tiempo y a es el Interés del Interés. (l+l)=:l-HS4.o.(max)

'íii

T asas de ím E P is En el descuento^ a medida que m aumenta, se precisa que la tasa n«AminaJ de descuento vaya en aumento para mantener d constante, debido a que el descuento se aplica sobre valores descontados, En el límite, cuando m tíendé a infinito la tasa nominal de descuento es igual a la tasa instantánea agadas por los depósitos {tasas pasivas). Del lado de los tomadores de crédito, podemos decir que las empresas, cuando la inflación aumenta tam­ bién están en condiciones de pagar una tasa más alta (e) tomador de cré­ dito paga la tasa activa) pues han subido los precios de sus productos. Obtención de la tasa real en el régimen continuo tJuando el régimen de capitalización era discontinuo, el rendimiento real de una operación se obtenía por cociente entre el monto con tasa ápaj ente y el monto con la tasa de inflación. Si por ejemplo, ¡,=0,07 y ji=0,05 ia tasa real resulta con un valor algo menor a la diferencia entre ambas (í, = 0,019048). Pero en un régimen de capitalización continua, la tasa reai también es instantánea, y como veremos, surge por diferencia entre la tasa aparente continua y la tasa de inflación continua.

Sí consideramos un contexto donde la tasa de interés y la tasa de inriacidn se capitalizan contimiameme, resulta que ja lasa real, calculada a través dei cociente de m on tos pero aliora con tasas instantáneas de interés y d e ijina-. cidn.es:

aplicando logaritmos para despejar la tasa real, queda:

Aplicaciones en el mundo real a) Las ventas de Editorial "Panorama"

I

Muchas veces, para calcular incrementos reales en una variable hay que realizar un análisis del cambio que se produce en Jos precios relativos. Pano­ rama es una editorial que en los últimos 3 años ha aumentado sus ingrescjs nominales por ventas. Este incremento se debe en parte a los aumentos de precios de sus productos y en parte a la mayor cantidad de unidades vendi­ das. Los datos son los siguientes: Ventas anuales 2001 (en pesos) = 15 millones Ventas anuales 2004 {en pesos) = 20 millones - -

Inflación en los últimos 3 años = 60% Aumento de precios de la empresa en los últimos 3 años = 20%

‘

Queda claro que el incremento aparente o tasa aparente de crecímienro de las ventas puede calcularse como un simple cociente entre las veñmi

20

■

/ = - - 1 = 3 3 .3 3 %

,

■

V siendo la tasa de inflación del 60%, la variación real de las ventas fue negaliva

1 + 7T

1,60

La pregunta qué debemos hacernos ahora, es cuánto de esta v'ariacidn se debe a la variación en las unidades vendidas, ya que la empresa auniemo sus precios en el mismo período en un 20%. Para ello, debemos pensar en la tasa de variación de precios de los productos de panorama como la tasa de inflación, en la variación porcentual total de las ventas como la tasa aparen­ te y Juego a partir de esos dos datos, despejam os la tasa real de crecimiemu de las ventas: ' .

16

GuiLUnM O L ópez D u m p a u f l-h ; Ir

l + ;r

1,20

Panorama aumentó sus ventas en términos reales (unidades vendidas) en un l l.J%, pero la explicación la encontramos en el diferente aumento de pt ecios: nuentras Panoram a aumentó sus precios en un 20%. la inflación fue del 60%. Cuando multiplicamos el crecimiento real por el cociente entre las diferentes tasas de crecimientos de precios, podemos explicar la variación real negativa de las ventas:

í,

l 20

-------1 = -1 6 ,6 6 %

I.ÓO

bl El final de la converlibilidad monetaiia y el Decreto 214/02 A través del Decreto 214/02 el Poder Ejecutivo Nacional transformó a pesos todos los depósitos bancarios en dólares estadounidenses, a reizón de $1,40 p o r 1 dólar. Al m ism o tiem po estableció im T o e fic ie n te de indexación (Cneficienle de Estabilización de Referencia. C ER l para el ajuste íle los créditos y depiisitos anteriores a la sanción del Elecreto. Teniendo en cuenta que el coenciente C ER al 5/8/2002 alcanza a 1,3046 y que ade­ más se reconoció una lasa del 2% nom inal anual, un depositante se reali­ za las siguietiies preguntas: ]. .d-'uái es el valor del depósito en pesos que a la fecha de la "pesiEb ra d ó n ” alcanzaba a USSID.OOO.- teniendo en cuenta que ios intereses canitaJizan semestralinente? 2. ;/\ cu.ánios dólares equivale el depósito si a! 5/8/2002 el dólar cotiza n. razón de S3.7Ü?

3. sCuál debería ser el ajtiste mensual por mllación im plícito en el CliR para que al final de un período de 3 años a partir del 5/8/2002. que el •ahorrista vuelva a tener la m ism a cantidad de dólares que tenía antes si el dólar cotiza para entonces en $10? 1. lO.iJUO

(1,40) y {1,3046} x (1,01) =18.447,04

2. 18.447,04 / 3,70 = 4.905,69 3. Como la in[laclón es un factor escindible que podemos integrar a las fórmulas tmdícionales, y teniendo en cuenta que los intereses capitalizan semestralmcnte, despejamos la tasa de inflación mensuál implícita en el CER de la siguiente ecuación: 18.447,04 X ( U C E R „ ^ J 3 « x (l,01)s= 100.000 C E R m ensual = 4.63% mensual

:íi

T asas Dt

ín teres

U7

Preguntas de auto-evaluación: 1. ¿Cuándo la tasa de Interés real puede ser mayor que la aparente? Z ¿Por qué ta Inflación es un fenómeno de interés compuesto?

4-3. OrEFiAaoNES en moneda fatranieha La pérdida del poder adquisitivo de la moneda nacional hace que los agentes económ icos busquen refugio en una moneda "dura” para prote­ ger sus ahorros. Cuando se opera en moneda extranjera eruían siempre cinco i'artables en el análisis: 1. La tasa de interés doméstica. 2. La tasa de interés internacional. 3. La inflación interna. 4. La inflación externa. 5 El tipo de cambio nominal. En general, se puede decir que quien opeia con moneda e?ctranieni !•» I^ace con tre;; Tines posibles: cobertura, arb itraje y e?peciilacieriodo, ¿cuál debería ser el tipo de cambio dentro de un año para que no e.’dstan posibilidades de arbitraje? Utilice capitalización discreta. Respuesta; 3,6029 13. Usted tiene la posibilidad de efectuar un depósito a 10 días en la lícpóblica Argcrilina al 10% nominal anua! o nfeciuarla en un Banco de ÍJ.SA al 6,5% nominal anual. Suponga un año de 365 días para el caso ciel inerc.ado aigcntino y de 360 días para e! morcado americano. Usted tiene peso.s V los tipos de cambio son; TCVj^,:::0,993 TCC,, =0,995 L'cterminc: al El monto

obtenido con

cada moneda para

el plazo

de 10 días.

bl Sd e rcio n e la alternativa más ventajosa mediante el teorema del rendimiento sw ap.

c) Calcule el rendimiento swap mínimo a partir del cual se hará más ventajosa a la otra moneda d) El tipo de cambio paridad. Respuesta; a) 1,002739 y 1,001805 b) conviene operación en m oneda extranjera c) 0,00093248 d) 0,99393 14. El índice de precios ai consum idor para los meses de marzo y abril de 2005 fueron 157,39 y 158.16; en el m ism o plazo la TNA que podía ganarse

u

IASA5 DE INItKJíi

1j » '

i

en un depósito a plazo fijo por 30 días era del 3%. ¿Cuál fue la lasa real en dicho período si efectivamente se constituyó un plazo fijo?

i

Respuestas -0,24% 15. H o y es 6 de mayo de 2005 y la inflación esperada para el m es es de 0,8%. La T N A que puede obtenerse en un depósito a plazo fijo por 30 días es del 3,5%. El dólar futuro se negocia al 31 de mayo a $2,91 y el tipo de cam bio al contado e s T C V = $2,90 (vendedor) y T C C = $2.88 (com prador). La T N A que puede obtenerse en un depósito en dólares en el C itigroup de N u e ­ va York es de 2,75% para 30 días. Calcule cuál es la mejor alternativa entre a) realizar un plazo fijo en m o n e d a dom éstica b) vender dólar futuro c) realizar un plazo fijo en m oneda extranjera. En todos los casos calcule el m ejor rendi­ m iento al 31 de mayo, en términos reales, asum iendo que su capital hoy e.stá en pesos. Respuesta: L a m ejor alte rn ativa es el plazo fijo en pesos, que rinde 0,00239 (0,24%) real 16. La in flación anual proyectada es del 12%. Sé desea saber cuál debe­ ría ser la T N A que debería obtenerse en una operación a plazo fijo aju.stable por inflación, capitalizable cada 30 días, si se pretende un rendim iento real del 0,4% para 30 días. Respuesta: 16,29% 17. Sab ie n do que la T N A de interés para un depósito a plazo (¡jo efec­ tuado el 01/05/05 fue del 4 % para 31 días de plazo, se desea saber: a) cuál debe ser el increm ento de precios al consumidor, si se pretende obtener un rendim iento real del 0,4%. b) cuál será el índice de precios al con su m id or (el índice del It^C) ‘=1 se cum ple el registro de inflación mensual obtenido en a) y teniendo en cuen­ ta que al 30/04/05 el registro del IP C era de 158,16. Respuesta: a) -0 ,0 6 % IP C m a y o = 158,06 18. U n a entidad financiera cobra el 50% nom inal anual de di'«;(-Ln’nto para operaciones a 30 días. Se pide que determine la tasa efectiva de inte­ rés m ensual y anual de la operación. Respuesta: T E M = 4,28%

T E A = 66,62%

19. D a d a la tasa efectiva anual de Interés del 5%, calcular la tasa in stan ­ tánea anual (para 365 días) y la tasa instantánea para 180 días. Respuesta: 4,88% y 2,41% 20. Una acción cotiza hoy a $100. Al final de los próximos tres mese-s. su cotización puede aum entar a $125 o puede dism inuir a $80. Calcule las a!'

i i i

i i i

i c

UI.IÜERMO LOPEZ UUMRAUf tasas instan táneas trimestrales de interés y de descuento implícitas en estas cotizaciones y demuestre q ue los rendimientos son simétricos si se los calcuia com o el logaritmo del cociente de precios. Respuesta: 5=22,31%

5 ’=-22.31%

I

J ■-V.Í í?

- 21. Se desea calcularel valor de un contrato de futuros para una com m odity cuyo precio de contado es igual a $ 100 y que se entregará dentro de 3 meses. La tasa libre de riesgo es del 5% anua! continua (Utilice un año de 360 días) Respuesta: 101,26-

\

22. Hallar el valor presente de un flujo de efectivo de $1 que se produce dentro de 50 años, si se aplica descuento continuo con tasa instantánea del 5% anual. Respuesta: 0,082

_

,

..

_

. ,

Referencias bibuogrAficas Rvmco Central de la República Argentina, Comunicación "A" 3052. B.inco Central de la República Argentina, Boletín estadístico, año XIIÍI, N“4 .a b ril2002, . .. Decreto 214/02 el Poder Ejecutivo Nacional. M adura, J eff (2000) Adminírrracíd/j Financiera In tern acion al, 6* edición, Thomson, México. El rcMAN, DAiao; Stonehill, Ainuua: M offett, Michael (2000),.Tas Finanzas en las Empresas Multinacionales, ÍP edición, Pearson Educación. México.

i

I

I A iA i U t u>< Iti\cj

Apéndice

4A .

AnAUSIS de lAS OPEItAaONEs" nNANCIERAs' CON LOS DATOS DEL DIARIO

‘

-j'* - ' f

En los diarios especializados puede encontrarse información s o b re lu$ distintos activos financieros que se ofrecen en el mercado. Es natural riKc el inversor compare rendim ientos para elegir la m ejor aiternaliva. En generaJ, los activos financieros com piten entre sí, y es muy p ro b a b le cjtie encontrem os que los rendimientos se encuentran bastante alineado^, con jas diferencias lógicas de riesgo y liquidez. No deben dejar de contem plai se y artalizarse los costos de transacción (comisiones, derechos) q u e pue­ den modificar la decisión sobre una alternativa a favor de otra Los ciivo dros que aparecen a continuación reflejan la información de los rriercados financieros para activos de renta fija, con un solo pago al vencí m ientu, para el día 4 de mayo de 2005 y todos los análisis se realizaron con la in fo i-,, mación de esa fecha.

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z/j6iiros en pesos y las TNA para depósitos en dólares. En el prim er caso lúa rendim ientos aparecen directam ente en térm inos de rasas efectivas, dun de se ob sen 'a com o aum entan para plazos más largos. Lo mismo suceile con las TNA para depósitos en dólares, aunque en algunos casos dism inu­ ye cuando se alarga el plazo de colo cació n (p o re je m p lo , la TNA pasa du 0,44% a 0,40% anual cuando el plazo pasa de 30 a 59 días, pero luegti vuelve a aum entar para plazos de 60 o más días). Es de notar que en el m ercado argentino los rend im ientos en dólares son m enores a los rendi­ m ientos en pesos (por ejem plo, en dólares puede o b ten erse en un depósi­ to a 30 días 0,0044x30/365=0,00036s:0.036% m ientras que en pesos la TLM es del 0,32% ). El cuadro 2 muestra los rendim ientos para depósitos a plazo fijo en Nue­ va York, donde las TNA se ubican en torno de 2,75/2,85% para 30 días {0,23/0,237% efectivas)

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Cuadro 2

jjCa-tiDcmd» V. r-^'v ■f.jrtuta :.¿a»:ía&BW, jjrtíw '^sf 2Trm77Í¿D5

"raiM ií í ^ í í í t í M

; i,

Ii i > u tres años para el período base No debemos olv'ldar que todas las cotnpa raciones que obtengamos reflejarán variaciones respecto del período qu«; hemos elegido como base. Esto es importante también en las estadísticas financieras. Por ejemplo, cuando se calcula el tipo de cambio “rear paia saber si el dólar está "caro" o “barato" un cálculo simple consiste en coiitparar una serie de cotizaciones nominales contra la cotización de un pe­ ríodo base, teniendo en cuenta la evolución de los precios en Argentina y' USA. Dependiendo el penodo que se adopte como base, podrá ocurrir que la cotización actual del dólar sea "alta" o "baja". Es posible que si se cnmj*ara la cotización actual contra la cotización que tenía la moneda noiieiaiiericana en ia hiperinflación Argentina de Í9B9, resulte que el dólar es bara­ to y si se lo compara contra la cotización de finales de los setenta sea caro Como veremos, algunas veces se adopta una base por convención, pues

G u iL L E iu toL ó p e zD u m í i a u f

m

por alguna circunstancia particular, una com pañía podría querer com pajar |>ór ejeinplo, sus ventas contra las ventas de determinado período; C orrim iento d e la b a se d e un n ú m ero ítidice Cada tanto se modifica la base de los índices de precios produciendo una mpliira en la continuidad d elasseriesqu e.d esd eel pumo de vista teórico no admite solución cuando se cambia la población de referencia, la clasificación y ponderación de los gastos de consumo, el conjunto de bienes selecciona' dos, etcétera. No obstante, como se necesitan serles continuas para realizar comparaciones de la evolución histórica de los precios, se utiliza un procedía miento de empalme que consiste en transformar la serie vieja en su equiva*\ lente para la nueva base. En el caso de los índices de precios, un objetivo de este cam bio podría ser tener com o'ano base un período más reciente. Otro olijetivo podría ser el permitir que dos seríes de bases diferentes sean com parables al expresarlas ' en la misma base. Para cam biar la base xínicamente se requiere que cada índice sea dividido por el nümero índice del nuevo período base. De forma tal que un índice para un mes que está expresado con una base de un periodo anterior podernos reexpresarlo en una base nueva. A continuación com enta­ mos el caso del cambio de la base para el índice de precios a! consumidor IPC C HA (Gran B uenos Aires): C oeficiente d e e m p a lm e con la serie ba se l9Sn La nueva base elegida para el IPC fue el año 1999. En la tabla 5.1 se muestra el IPC para octubre de 2000, que fue de 99.74 a nivel general. El mismo mes con base en 1908 hubiera sido de 319.401.4. El coeficiente de empalme surge de comparar, para el mes de octubre de 200Ü, los valores de los índices de ambas bases:

i ^,4

í > i t

-r •ir

índices de octubre ric 2000 baso 19HH base 1999 Híve! general alimemos y bebidas

;/

,

indumeiuaña \’ivienda pquiparnicmoy funcionamiento del hogar atención mtidica y gastos para la salud transporte y comunicaciones esparcimiento educación bienes y servidos varios

coeficiente ib’ empalme

99,74 100,00 95,99 99.41

319,481,4 264.286,5 156.621,2 323.708.1

0,000312193 0,000378377 0,000612080 0.000307098

97,13

354.095,0

0,000274305

. 101,14

' 51Z578,0

0,000197316 0,000350759 0,000213317 0,000120475 0,000300592

lOOpS 90.13 99,52 104.02

286.684,1. 460.018.9 826.062,6 346.050,1

labia 5.1 Índfciísde precios ycoelicicnt? deempaJme

Indices y C o i n c i entes de Ajuste

m

Observe cóm o al cam biar la base también se reduce el núniero de dígitos de] índice, tornándolo más sencillo de operar con calcu lad oras de bolsillo. ro c t 2000.1999

^

'

i

NG_______________

^N C ~~ TO(t 2000.I99S 'NC

4

4 4

donde; NG = Nivel general Para expresar el mes de octubre con base 99 hacem os: o c iu b v f btisf SB = o ctu b re b a se 98 x De forma tal que el coeficiente de em palm e de las dos series fue de 0,000312193 ya que este es el núm ero que surge de dividir el índice con base 99 entre el índice con base 1988. Este procedim iento perm ite m ante­ n e rla s variaciones porcentuales anteriores y posteriores al m om ento del cam bio de año base, que fueron m edidas por el sistem a vigente en cada período. Con la aplicación de este procedim iento se logra com patíbilizar la ser rie actual (base 1999} y la arueríor (base 1988) y dar un criterio perfecta­ m ente definido para determ inar tasas de variación.

:^4

4 4 i

4

D eflación d e las series cro n o ló g ic a s en las estad ísticas em p resa ] ios Es com ún que algunas estadísticas en la empresa involucren ‘ amidades de dinero com o son las ventas, stocks, y otras categorías, Cuandf» las cifras se establecen en cantidades de dinero, éstas por lo general incluyen cam bios tanto en cantidades com o en precios. Los cambios en ios precios distorsionan la com paración: obsérvese la tabla 5,2 que contiene venías de una com pañía fabricante de autopartes: Años

Ventas en miles de pesos

IPC

Ventas deílacionadas a Díc 95

Ventas en Varfacbuj año base porcenfn.'ii »cal

1995

42.500

100

100,00 ^ 1

n,nn%

1996

43.569

102.3

43.569/102,3 x 100=42.589,44

lorui

".21%

1997

45 0-S8

106,3

45-058/106,3 .v100=42.387,58'

99.74

- (1.0Ó3)

Es común que la información se presente en términos de variaciones porcentuales respecto del año base, como se muestra en las columnas 5 y 6 de la tabla. En general, SI el resultado es mayor que 100, por ejemplo 102, significa que el rubro creció un dos por ciento, y sí el resultado fuera 95, significa una disminución del 5 % siempre contra el año base. Por ejem­ plo, al ver que las ventas de los años 96 y 99 representan 100,21 y 94,83 ínmediataraenie sabemos que aumentaron 0,21% y bajaron 5,17% respectivameme, comparadas contra diciembre de 1995:

Venias 99 en p e s o s d e l 95 _ 40.304 l^£T/i/a5 d el 95 -íí

^_

q

.

) 7 /^^

5

42.500

’

■ ■

Observe que en todos los casos, cuando reexpresamos cifras en la m one­ da de un año. estamos comparando más bien "cantidades" antes que "pesos", ya que las cifras están expresadas en la moneda de un mismo año. También podríamos querer saber cómo variaron las venías respecto al año anterior. Para ello, simplemente deflactamos la serie de venías corriente por la inflación del año, y luego la comparamos con las ventas del año ante­ rior. Por ejemplo, si queremos comparar las ventas del año 99 con respecto al año anterior, hacemos: , _

Venias

I9S9 _

( J + ^ , 5^ )

43.569 (1.0074)

= 43.246,5

Como las ventas del 98 fueron de 40.568, decimos quelas ventas aumen­ taron en términos reales de un año a otro en un 6,6% (43.569/43.246 -1 ).

ín d ice d e venias en su perm ercados Las estadísticas de las ventas en supermercados son elaboradas por el INDEC. A continuación se muestra su evolución en el período Enero 2002' Mayo2002;

Periodo

Ventas loiüles

Respecto período anterior

Respecto a igual período

IPC nivel general

Ene-02

1.032.920

-20.1

-7.3

99.84

Fel)-02

1.025.640

-0.7

-3.3

102,97

Mar-02

1.2.S3.362

222

l.b

107,05

Abr-ü2

LI4B.H00

-8,3

-2.5

118.17

May-02

1.203.000

4.7

1U.4 ■

122,91

Tabla 5.3 Evolución de las vi;nias. enero 2002/tnayo 20fl2 Fueiue: Indcc

La tabla 5.3 muestra un incremento nominal de las ventas si compara­ mos mayo contra enero del mismo año. Sin embargo, los aum enus en ventas, en períodos inflacionarios pueden deberse más a un aumento de precios que a un aumento en la cantidad de unidades vendidas. Para saber cuál fue el incremento real de las ventas debemos tener en cuenta la infla­ ción. Si comparamos las venta;; de mayo de 2002 contra enero de! mismo año, hay un aumento nominal del 16,46% (1.203.000/1.032920-1). pero sí tenemos en cuenta que la inflación minorista del período fue del 23,10%

m

G uilup Í

ao

Lope? DuMR.^uF

fl22,9i799,a4-^ 1) hubo una caída de las venta f-'

f if

.-•.f

i

ér.

IrmicES Y C oeficientes

í'

de

A juste

m

Incrementos írradonaies del tipo de cambio nominal fueron seguidos en general de anclajes del mismo que a la larga llevaron aJ atraso del tipo dé cambio real vía incremento depredes. Cuando el atraso se bacía m uy impor­ tante, generando fuertes déficit en ia balanza comercia], sobrevenía una devaluacldn de la moneda, que volvía a traer inflación y otra vez atrasaba el tipo de cambio, y vuelta a empezar. La figura 5.1 permite establecer 5 períodos bien diferenciados: 1. Después del atraso cambiarlo al que llevó ia famosa "tablita’’ caiii' biaría de los' 70. se observa un incremento del tipo de cambio real (re de 2001. 2. En junio de 1985 es implementado el Plan Austral, que prácticamente congela el tipo de cambio nominal y conduce a un atraso del tipo dr cam­ bio en la segunda parte de la década del 80, que termina con un pioceso hiperlnflacíonario. v 3. Se desata la hiperínflación en 1989, y el tipo de cambio real es oí más alto del período analizado. En marzo de 1991 es implementado el Plan de Convertibilidad que logra mantener el tipo de cambio nominal fijo du­ rante más de una década. El tipo de cambio volvió a au^asarse. tocando niveles similares a los registrados al comienzo de la década del 80. 4. En enero de 2002 se devalúa la moneda nacional y e l Plan de Convertibilidad es abandonado. El tipo de cambio real aumenta fuerte­ mente. 5. El tipo de cambio real muestra una tendencia permanente a la baja a partir de 2003. Cálculo del Tipo de Cam bio Real

Decíamos en la sección anterior que el lipn de cambio real ciejiendia . no sólo del tipo de cambio nominal sino también de la evolución ue los precios internos en Argentina y en Estados Unidos. Un cálculo más arma­ do debería incluir la diferencia de productividad entre !ns dos países, qvfc es lo que debería determinar a la larga, el tipo de cambio real (IJ Para calcular el tipo de cambio rea) se procede de*acuerdo a la S'guíeníe ecuación: > r c í? = -

TCN

-X

IPM

'A r g fn iir u t

{ 1) Píeríseque si bienlamoneda deunpaís puede revalúarse frente alamoned^i de ouo pa/s. podiía eompen.sar lapérdlda decompentividad con aumentos enproductividad, que le permitiríanbajar costos yen consecuencia precios. Estoocurrió entre lapónyEstarlos Uní-, dos enel pasado.

1 5 4

Gu^LUR^AO López D umrauf

. Donde:- S "

S

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rcR: tipo de cambio real

S S'S^' .

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■_ -.S^; .,/ ^

TCN: tipo de cambio nominal índice de precios al consumidor en la República Argentina

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rPMys^: índice de precios mayoristas en Estados Unidos

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Observe que el primer miembro de la ecuación divide el tipo de cam* . bio nominal por el índice de precios interno, pues de esa forma se deflacta el tipo de cambio para quitarle la pérdida de competitividad por la suba de nuestros precios inrernos. Luego se multíplica por el índice de preciok externo para reflejar ía ganancia de competitividad por los aumentos de precios en Estados Unidos. Se usa el Indice de Precios Mayoristas de EEUU comparado con el IPC nuestro porque lo que se quiere ver es la corapeticividad del país, entonces comparando IPM que es principalmente el índice de los bienes transables (com erciables can el reszo del m undo), con el * ÍPC que Incluye los bienes y servicios no transables de Argentina. Enton­ ces til índice combinado permite ver la relación de competitividad entre precios internacionales y precios domésticos. Debemos tener en cuenta que los precios internacionales están controlados en su mayoría por los EE.riU. . . índice de rlésgo-país lU riesgo país se define como la sobretasa que debe pagar un estado soberano por su deuda pública respecto a la tasa de interés de un Lnstrun tentó de deuda libre de riesgo. Se asume que la tasa de los bonos del tesoro norteam ericano (T-bond) representan un rendimiento libre de ríes[‘o.

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I,P. Morgan elabora Uri indicador del riesgo país denominado EMBl plus ÍEnierging Markets boncl Index) que es de difusión más extendida en­ tre los operadores y utilizado para ía toma de decisiones. E! EMBi incluye una ponderación de bonos entre los cuales se cuentan los bonos deí plan braay, Eurobonos y bonos locales emitidas en dólares. La ponderación se establece según un promedio de rentabilidad diaria, monto en circulación y liquidez de cada instrumento. Además deben cumplir con cienos requisitos niínimos como por ejemplo tener una emisión mínima de U$S 500 millo- . nes, la calificación de riesgo ser menor o igual a BBB+/Baal y tener un ven­ cimiento superior a un año. LKndiceEMBI plus brinda a los inversores una herramienta de medición para el rendimiento y el riesgo que se puede obtener en los mercados emer­ gentes. ' £1 índice del mercado de valores (Men'al) En todos los países que tienen bolsas de valores existe un índice que mÍd«T la evolución de las acciones cotizantes más representativas. En la

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Lyi.

^ 'Argentina .leñemos e! MervaJ, que representa e] valor de mercado de una cartera de acciünes/seíeccíohada dé acuerdo a la participación, cantidad de cransacciones y valor de cotización en la Bolsa de Comercio de Buenos Aires. La fecha y valor base son: 30 de junio de 1986 igual a $ 0,01. El Indice N-íerval se computa continuamente durante la jornada de transacciones y se e>dtíbe en las pantallas del Sistema de Información Bursátil. La nómina de sociedad y sus ponderaciones se actualizan rrimestralmenie, de acuerdo con la parricí' pación en el mercado de los últimos seis meses. El valor relativo de las accio­ nes incluidas en el índice es computado en varías etapas. Primero se calculan los siguientes coeficientes de participación.u, ^

n

\ N .

V

Donde;

■i ■

f

■ ,

'

nj=

Cantidad de transacciones en la acción"!''.

N=:

Cantidad total de rransacciones en acciones durante los últimos seis meses. ]

Vj =

Valor efectivo negociado en la acción "i" durante los últimos seis meses.

V=

Valor efectivo total operado en acciones durante los últimos seis meses.

P, =

Participación de la acción "i" sobre el total de transacciones y monto efectivo operado.

Todas las acciones cotizantes son consideradas en forma decreciente, de acuerdo con su participación, hasta un acumulado del 8í) %. Entonces, la participación correspondiente al mercado global se ajusta del sigineiue modo: P. ■, - A

Donde:

PAJ. = Participación ajustada de la acción "í". Para obtener la denominada "cantidad teórica" (la cual será utilizada durante el próximo trimestre), se aplica la siguiente fórmula: M

^

■

■

Gi/iLítfMO ijí*tíz

J '5

D o n é e:

1A=

VgJorameriardelfndíceícorreTpondíentealdcl cierre del IrimeS' írc precfrdentffj

Qsr

Colízaríón de la acción T ^Cantidad teórica'de la acción "I*. •

£J Indice se computa, en lonces, de la nianet a siguiente:

’. = Í 2 q . c , /-i l'ond c: =

VHl'jr tiel índice en el p e río d o 't'

0,=:^ "Ciiiíidadledrica’*delaacclón'l". r.^ = í>>M¿3Ción «lela acción 'rcn elp crío rlo '!' liin to CMM el irad icional Merval. aparece en 1999 un nuevo índice "Merval Argentina" respondiendo a una necesidad del nicicado local de teílejar el movltrricnto genuino de empresas locales cuya nclividad tío ligndn a oltos mercados o econom ías de olios países distorsionando el re-u liado final dcl m ism o. Por ello se ha decidido formar un nuevo Indice com puosio por 17 empresas radicadas en el país. Dicho índice se ha fiiado en rir»0.47 para su feclia de inicio que es el 30/12/1999. Se lom ó esta fpciia y c.'ie valor porque fueron los valores originales r^'pbtrados por el Mrii'nl tr-’didotuii justo antes de la incorporación dr* empresas extranjen s r»n el inisnin. Pot lo tanto al primer día del año 2000 rl indice Merval (r.-tnidoiinl y H Indirc Mer\'al Argentina tenían el mismo «p|nr y anihos ••'.lahan cr>nipuesto^ por em presas de bandera nacional. A p aiiir dr allíla disndaciün peiniilí* vrr In evolución bursátil basándonos puta y exclusivnnií'nif' r o las colir.aciones de empresas nacionales. Para dcierm inar la í'M iinm iacinn dcl nuevo índice .se toman los papeles lorale.s que hayan «’perado el 09*^ del volumen total del trimestre. En este caso dicho volum . u f

L iq u id a d o n d e las pérd id as y las gananciasi

' ;

Durante eJ día el Mercado de Valores tiene previsto (dentro de lo que es

su esquem a de administración y manejo de riesgos) cálculos de pérdidas y ganancias; por lo cual, el inversor seguramente acordará con su Agente de ' Bolsa o Sociedad de Bolsa la constitución de un depósito adicional para cubrir las exigencias de requerimientos de pérdidas que puedan producirse a lo largo del día. Supongamos que una hora después de com prar los co n ­ tratosa $ 3.750 por unidad, el INDOL® Agosto cotiza a $ 3.700: en ese caso el inversor estará perdiendo $50 por contrato (compró a $ 3.750 un contrato que ahora cotiza a $ 3.700). Por lo tanto el Mercado de Valores requerirá que deposite las pérdidas acumuladas: $ 50 por contrato. En nuestro ejemplo $i 500 (10 contratos x$50). Si en cambio el precio al m om em o del cálculo es S 3.800 el inversor está ganando 550 por contrato, quedando sus ganancias acretiiíadas hasta el final del día. Esas ganancias acreditadas se usarán para com pensar las potenciales pérdidas que surjan al final dei día en la liquida­ ción diaria de pérdidas y ganancias. Al final del día el Mercado de Valores realiza la liquidación diaria de pérdidas y ganancias, com parando el precio ¿i] momento del cálculo y el precio de cierre del día anterior. La liquidación ai final del día implica que las posiciones que están perdiendo deben poner los pcisos y las posiciones que están ganando pueden retirar sus ganancias (esta:, operaciones son juegos de suma cero: lo que pierde el com prador lo gana el vendedor o lo que gana el comprador lo pierde el vendedor). El precia de futuro confluye con el precio de contado (es el último día hábil del mes), y por lo tanto la liquidación del contrato se realiza com parando el precio de cierre del día anterior contra el Tipo de Cambio de Referencia calculado por el Banco Central, que es el activo subyacente del contrato. La Sumatoria de los pesos que reciba (cuando gano) o que entregue (cuando pierdo) diariamente a !o largo del mes, servirán para com pensar en el últi­ mo cha hábil del mes la diferencia de precios que exista entre el precio de contado del dólar (según el Tipo de Cambio de Referencia calculado por el Banco Centra! que recordemos es el activo subyacente del contrato) y el precio de com pra a que adquirí los contratos (2). En nuestro ejemplo: ^ ' • Día 1: apertura de la posición (día de compra de los contratos): co m ­ pra a $ 3.750 y precio de cierre a $ 3.700, tendre que depositar $ 50 por contrato • D ía2; el precio de cierre es $ 3.800. cobraré $ 100. • Día 3: el precio baja a $ 3.600, deberán depositarse $ 200. • Día 4: el precio sube a $3.650, cobraré $50.

,

(2) Esto íiupiíca que la cobertura es imperfecia porque, en especial los pequeños inversores, realizarán las transacciones en el mercado Ubre del ddlar a un precio que no necesadameme coincida con el activo subyacente del contrata

I'

• Día 5: al vencimiento el Tipo de Cambio de referencia dei BGFLA es $3.900 (por cada ÜSSli.üüO}, entonces recibiré $250. ' Observe que al vencim iento, el precio del futuro coincide con el precio del contado. Veamos cóm o se com pensan las ganaiiciasy/o pérdidas de nuestra posición en el m ercado de futuros respecto a la cotización en el m ercad o de contado: ('50+ 100'200+50+250)= + $150, Día I (apertura) 2 3 4 5 (vencimiento)

Apertura 3.750 3.700 3.800 3.600 3.650

Cierre 3,700 3.800 3.600 3.650 3.900

Pe'rdída o Ganancia -5 0x 10 =>500 100 X 10 = -1.000 -200

X

10 = - 2.000

50x10=500 250x10 = 2.500

Tabla 5.4 indol: proceso de ajuste a mercado Por lo tamo, si bien en el m ercado de contado^ que és donde se c o m ­ prarán e fe ctiv a m e n te los b ille te s, el p re cio de com p ra de USSl.OOO es $3.900, al recibir $150 com o resultado de la posición en el mercado d e fu­ turos, el "precio neto" es de $ 3,750 por cada IJ$S1.000 f$3.900-$150), que es ju stam en te el precio ai que com pré mis contratos INDOL® Agosiu ci día de apertura de la posición. Además, ese día, el inversor tendrá liberada la garantía de U $S100 por contrato que depositó al abrir-la posición, Claro que un inversor puede cam b iar de opinión respecto a la tend en­ cia que tendrá la cotización de la divisa y, por Jo lanio, no esperar al ven ci­ m iento sino cerrar su posición anticip adam ente. El modo de liaceilo sera tom ando una posición opuesta: en nuestro ejem plo, el inversor com p ra­ do en 10 contratos INDOL® Agosto $3.750* tendrá que vender 10 coniratos INDOL(I> Agosto. Claro que d ep end erá del precio de venía de los ,ji> contratos, el resultado final por el cierre de su posicldn. El m ism o desarrollo, pero con signos contrarios, es aplicable a un ejem ­ plo de co b ertu ra para un inversor que n ecesite vender dólares a ftnur £ 2D u m r a u f'

tasa lié caja cíe ahorro diaria equivalente a la del 2/01/02 (dos días hábiles, aitíeiiores). Cdníd'el indíce y Jas tasas se encuentran expresados en porCtíntajes hay que pasarlos a sistema decimal, dividiéndolos por 100 (cien}: - 1(59,4369/100-2) x (1 +0,15/100)^^-21x100= 59,4449 Lú m ism a metodología es utilizada para calcular las siguientes series, ínclu yendo, según el caso, tasas de interés de caja de ahorro y/o plazo fijo: • Series deTasa de interés de los créditos comprendidos en la Ley 23.370. • Seríes de Tasa de interés de los créditos cuyo costo se encuentra vincu­ lado al establecido por el uso del Préstamo Consolidado (Sublfmite ClienteA la General) y para restantes operaciones. ' El coeficiente de estabílizacidn de referencia (CER) El “Coefícienre de Esrabilización de Referencia*’ (CER) se crea mediante el articuiü 4“ d el Decreto 214/02 y establece la aplicación del índice de precios sd consuíiiidur (ÍPC) a todas las deudas en dólares estadounidenses u otras monedas extranjeras con el sistema financiero, cualquiera fuere su monto o iiaruraieza, estableciéndose una tasa mínima para los depósitos y una tasa máxima para los préstamos. En los artículos 2 ,3 ,8 y 11 se detalla el alcance para las siguientes operaciones: • iodos ios depósitos en dólares u otras monedas extranjeras existentes en el sistema financiero fueron convertidos a pesos a razón de $ 1.40 por cada ' dólar. • todas las deudas en dólares u otras monedas extranjeras con el sistema rinandero, cualquiera fuere su monto o naturaleza, fueron convertidas a pe­ sos a l azdn de $ 1,00 por cada dólar. • las obligaciones exigibles de dar sumas de dinero, expresadas en dóla­ res esiadüunidenses u otra moneda extranjera, no nncuiadas al sistema fi­ nanciero, Cualquiera sea su origen o nalurale2:a, se convertirán a razón de un dólar estadounidense (U$S i j = un peso ($ I). aplicándose a ellas lo dispuesto enel.‘‘jíículo4® • las deudas en dólares estadounidenses o en otras monedas extranje­ ras, trátismíUdas por ia entidades financieras en propiedad fiduciaria a fidei­ comisos financieros, serán convertidas a pesos con la equivedencia estableci. da por el artículo 3" del presente Decreto, aplicándoles lo dispuesto en el artículo 4» del mismo. ^ Resulta Importante aclarar que a todas las operaciones crediticias cele­ bradas después de la sanción del Decreto 214/02, no serán ajustadas por el CER. El período base elegido para el índice fue lafecha de sanción del decretó 2/0212902 í 1.00). Como normalmente el ÍPC se difunde en la primera semana del mes pero no esta disponible sino hasta el día 4 o 5 de cada mes, el decreto 214/02 el Ministerio de Economía, en su resolución 47/2002 estableció la siguiente forma de cálculo:

1^

"Apartlrdel d ía 7 d e ca d a m e sy e liiltim o d ía d e lm e s,e lC B R se c q n srru írá

en base a la tasa media geométrica calculada sobre !a variación del índ ice de Precios al Consumidor (IPC) del mes anterior” “Para la construcción del CER para los días com prendidos entre el p rim e ­ ro de cada mes y el 6 del mismo, se em pleará la tasa inedia geom érríca ca lc u ­ lada sobre la variación del IPC entre el segundo y el tercer mes anterior al mes en curso." El CER es difundido por el BCRA y puede encontrarse en la página de la entidad (ver referencias bibliográficas al fin del capítulo). La tabla 5.8 m u estra la evolución del CER en los primeros 7 días de su creación. Observe q u e al principio disminuye hasta el día 6 (debido a que arrastra la inflación del mea de diciem bre, que fue negativa) y luego com ienza a crecer, Fecha

CER diario

02/02/2002

1,0000

02/03/2002

1,0000

02/04/2002

0,9 9 9 9

02/05/2002

0,9999

02/06/2002

0,9999

02/07/2002

1,0007

02/08/2002

1,0015

Tabla 5.8 Evolución diaria del CER Puesto que el CER se origina a partir de la sanción del D ecreto 2)4/02. com ienza a calcularse a panír del 1 /02/2002 (3), por lo que para el cálculu de los prim eros 6 días de! m es, d eb em o s lom ar la intlación prom edia geom étrica ocurrida entre noviem bre y d lcienibre (segundo y tercer rncü anterior al mes de febreio). Así, para el mes de febrero se utilizará la varia: ción del mes de dícienibre, o sea 97,60 / 97.60 = 0,9991809. O bserv e que la ín flíicíó n de d ic ie m b re Fue lig e ra m e n te negativa (0.9991009-1 = -0,000819), In que provocó que el CEH ílisnrimryeia hasta el día 6, a partir del cual se aplica la inflación de enero, que fue de) 2,3%. E! CER es calculado teniendo en cuenta la cantidad dé días que tiene el mes en que se aplicará, no la cantidad de días que tiene el m es en que fuc com putada la inflación. En el ejem plo, si bien la tasa de inflación corres­ ponde ai m es de diciem bre que tiene 31 días, se com putan 28 días para calcular la tasa equivalente diaria que seivlrá para el ajuste diario cleí CEíl, : ya que el mes a aplicar la inflación de diciem bre resulta ser febrero, que

(3) El CER nene valor 1(uno) hasia el 3/2/02 inclusive.

G uíilep^io López DuMm»r

liene 2B dfas. La tasa equivalente diaria 81-0.0819% mensual de dlcienibie es ( 1 - 0 , 0 0 0 8 ■ 0,000029262 de tal forma que para obtener el CER corres­ pondiente al día *1/02/2002 multiplicamos el CER del 3/02/2002 por el factor que incorpora la tasa equivalente diaria: 1.000 X (1-0,000029262)= 0,999970738 Con la misma tasa equivalente diaria calculamos el CER hasta el día G, que será igual al CER del día 5 multiplicado nuevamente por el factor aníerion 0,9999 X (I-ü.000029262)=0,99988296 Luego, a partir del día 7 y hasta el día 6 de! mes siguiente, el CER es j calailado utilizando la tasa equivalente diaria correspondiente que incor­ pora la inflación de enero. Para obtenerla, dividimos el IPC de enero por . el de diciembre que aparecen en la tabla 5.9 y calculamos la tasa equivalente para un mes de 28 días:

Año

Mes

'índice de precios majonlstn nivel aenerel

IPC Nivel tíencral CBA

2001

Noviembre

100.40

97.68

2001

L^ídembre

ion.22

97,60

2002

Enero

10G,9n

99,84

20Í12

Febrero

119.03

102.97

Tabla 5.9 índices de prerios mayoristayminorista Q9.RJ \2»

1 = 0 ,0 0 0 8 1 0 7 3 6

Lu^qa, .nplir.nn’.ns ai CER del 6/02/2002 el factor ((ue incorpora dicha tasa equivalente: 0.999 ^ (!,OÜÜ8j0736)=L0007

Fí cneficicnle de variación de los salarios ni Poder Ejecutivo Nacional, a través del decreto 762/2002 exceptuó de In aplicación del Coeficiente de Estabilización de Referencia (C.E.R.) a to­ dos aquellos préstamos otorgados a personas físicas por los siguientes su­ jetos: • entidades financieras comprendidas en la Ley * sociedades cooperativas ♦ a.sociadones

21.526

Í N D I C E S Y C o e f i c i e n t e s d e A i u s t e

165

• personas físicas o Jurídicas de cualquier naturaleza Las operaciones exceptuadas— bajo ciertas condiciones— fueron las si­ guientes: • préstamos con garantía hipotecaria • préstamos personales con o sin garantía hipotecaria • préstamos personales con garantía prendaría • contratos de locación de inmuebles Para que operara la excepción, éstas debían contenerlas siguientes carac­ terísticas: a) los préstamos que tengan como garantíahípotecaria la vivienda única, famíllary de ocupación permanente, originariamente convenidos en dólares estadounidenses u otra moneda extranjera y transformados a pesos por el Decreto N®214/02 y sus modificatorios, dictados en el marco de emergencia declarada por la Ley N®25,561, sinlím ile de monto. b) los préstamos personales, con o sin garantía hipotecaria, originaria­ mente convenidos hasta la suma de pesos doce mil ($ 12.000) o hasta la suma de dólares estadounidenses doce mil (U$S 12.000) u otra moneda extranjera y transform ad os a pesos por el D ecreto N® 214/02 y stis modificatorios, dictados en el marco de emergencia declarada por la l ey N''25.56I. c) los préstamos personales con garantía prendaria originariamente con­ venidos hasta la suma de pesos treinta mil (S 30.000) o dólares esladonriidenses treinta mil (U$S 30.000) ii otra monedaextranjeray transformados a pesos por el Decreto N° 214/02 y sus modincatorios, dictados en el marco de eniei gencia declarada por la Ley N® 25.551. A su vez, en el artículo 2'’ clel mencionado decreto también se exceplno de la aplicación del CER a los conlrntos de locación de inmucbl^'s locatario fuere una persona física y el destino de la locación fu c e el de vivienda única familiar y de ocupación permanente, dejando qiir jas lenovaciones o los nuevos contratos sean pactados librem ente por las par­ tes. En reemplazo del coeficiente de ajuste CER, se dispuso en el ariíruln 3" que a partir del 1"' de octubre de 2002 las obligaciones de pago mrricionadas se actualizarán en función de la aplicación de un Coeficiente de Varia­ ción de Salarios (C.V.S.) que confeccionará y publicará el Instituto Nacio­ nal de Estadística y Censos, dependiente de la Secretaría de Política Eco­ nómica del Ministerio de Economía. Hasta esa fecha se mantendrán las tasas de interés vigentes a la fecha del presente, de conformidad con las normas legales y reglamentarias aplicables. El CVS se compondrá de la tasa de variación diaria obtenida de la evolu­ ción mensual del índice de Salarios (I.S), publicado por el INDEC, organis­ mo que depende la Secretaría de Política Económica del Ministerio de Eco­ nomía. y devengarán la tasa de Interés nominal anual convenida en el con-

trato de origen vigente ál 2 de febrero de 2002. Cuando la tasa m encionada sea. su p erior al prornedio de Jas tasas vigentes en el sistem a financiero du­ rante el año 2001 que inform e el BCBA, se aplicará,esta Ultima. EL decreto . 762 fue reglanientado por ei decreto 1242/2002 que crea el CVS y establece p recision es e ii cuanto a su constniccid n y el nivel de las tasas de Interés aplicables.

C oeficiente d eV ariacitíndeSalarios, Composición El CVS es un indicador que mide las variaciones de los salarios tanto del sector publico com o delsectorprivad oen cada mes. ParaJa obtención de los\ salarios está previsto efectuar una encuesta de periodicidad mensual a las' empresas del sector privado y recabar información medíante los circuitos administrativos del sector público.

¡i i

El CVS es un índice del tipo Laspeyres con una estructura que ponderará o cu p a ció n y r a m a d e a ctiv id a d . La información para obtener las ponderacio­ nes de Ocupación provendrá de la fn c u e s ta Permanente de Hogares y la in- • form ación por ram a de actividad provendrá del Sistema Integrado de ju bila­ ciones y pensiones, correspondiendo las ponderaciones a masas salariales •en am bos casos. El ÍNDEC pu blicará m ensualm eníe el nivel general del índice de sala­ rios (iS) y tam b ién las tablas del CVS en ja que se incluirán las casas diarias corresp ond ientes al índice, calculadas de acuerdo con la siguiente fórmula: IS ..-,

IS . Dónde: es la tasa de variación diaria equivalente a la variación mensual que lian tenido lo.s salarios cuando se com para un mes (el mes de referencia) con el mes inm ediato anterior. /5„., e /5^.^son los valores correspondientes al índice de'salarios delm es de lefeieiicía y del mes anterior. k es la cantidad de días que tiene el m es en curso. El índice de salarios (iS) que luego senñrá para el cálculo del CVS, deter­ mina la variación de los salarios comparando los salarios de un período contra los salarios de un período definido como "base". El salario estará referido a un puesto de trabajo y no a una persona física, y ei INDEC defi­ niría oportunam ente los conceptos que integran e! salario. Para calcular el índice de salarios, primero se multiplica e! salario del período actual por la "cantidad" del período base, esto para cada elem en­ to del com puesto, y después sum a cada uno de los valores resultantes. Lue­ go esta cantidad es dividida por la cantidad que resulta de multiplicar el salario del periodo base por "cantidad" del período base:

;í -

'i I

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.;,..„ ,..:- ,v :,\ D onde:

" S %

a

;.v

' ■■■'._■ ■

• ' ■■■

W^ = salario del período actual IV^ = salario de! período base

Q^:= cantidades del período base Los períodos b ase se refieren a un m es y las cantidades refieren n las utilizadas para com p on er el peso relativo que tendrá la ocu pación y la i ama de actividad. Com o cada nüm ero de índice depende de los m ism os salarios tom ados p a ra la com p aración y la cantidad base tam bién es siem p re la mis­ ma, se puede com p arar el índice de un período directam ente con el índiIT a S TÉMI'0H.«e úliínio caso, si bien deberíamos haber considerado un período de difenrníenio p = 3. al uiilizar la fórmula para los pagos adelantados se multiplica por (I+i) y se produce una simplificación de términos que getíerau una ecuación equivalente a la utilizada para pagos vencidos al co n ­ siderar un período p=2:

V’(p+l,n,il= Cx Ílíí2-d.x—1—X(l+i) (1 + i)"/

u +if

l^ara la notación simbólica, de aquí en adelante denotaremos con vp el pérf ido de diferimiento, donde i; r= . h l+ f

v r=

1

(1 + 0 '

í:j empío Durante los años noventa, cierta empresa vendía electrodomésticos y equipos dé m úsica en cuotas fijas, permitiendo diferir el pago inicial por

m

r e n t a s T e m p o R . A . R I A S

m

90 días, abonando con tarjeta de crédito. Ciertam ente se trataba de u n a renta diferida, donde el período de diferim iento era igual a 2 (dos) si los p agos se consideraban vencidos. Suponga que usted debía abonar 6 cuotas fija s de $ 100 por un equipo de audío, y que la tasa de la financiacrón era del 2% ; en ese caso, el valor actual de los pagos era:

í /(/7 +

] .6 .0 ;0 2 ) = 1 0 0 x

( H - 0 .0 2 ) ‘ - 1

(I + 0 ,0 2 )‘ x 0 ,0 2

l „ __________

(1 + 0 ,0 2 )'

= 538.39

O en form a equivalente, si usted Jo que quería averiguar era la cu o ta que debía abonar por un bien cuyo precio de contado era de $538.39:

C = 5 3 8.39 X

(l + 0,02)‘ x-0,02

x a + o , o 2 )V=ioo

(1 + 0 ,0 2 ) ‘ - I

R entas an ticip ad as e im p o sicio n e s Esta clase d e rencas se d en o m in an “a n ticip a d a s" p recisam en te p o r an ticip arse sus pagos al m o m en to de la valu ació n . El caso más com ú n es eJ de la “im p o sició n " d on d e el p eríod o de v alu ación es “n", de form a tal que todos los pagos son valuados en el últim o período, conform ando una suma de m ontos a in te rés com puesro. Una im p osició n vencida representa el típico caso de un plan de ah orro con el ob jetiv o de acu m u lar una sum a de dinero ai final de un períod o d eterm in ad o, con un objetivo preciso, com o puede ser ad qu irir un au tom óvil, rep o n er una m aquinaria o am oriizar una deuda. En rigor de verdad, la im posición es una sum a de m ontos a interés com púesto. Casos con creto s de im p osicio n es son los aportes que reaJizaii Joá individuos a los fondos de p ensión con el objetivo de acum ular el caf)íu»l que luego financiará la ju b ila ció n , o los fondos de am ortización (sí/¡L-ifn‘ funcis) que constitu yen las em presas con el objetivo de acum ular el capital necesario para redim ir una obligacitjn con vencim iento al final de didnr plazo de ahorro. Si bien la mayoría de las im posiciones son de pagos ade laniados, com en zarem o s por m ostrar la form ula para el caso de los pagos vencidos y luego pasarem os a ver el caso de los pagos adelantados.

im posición de pagos vencidos Si bien la fórm ula de la im posición, com o se verá luego, es posible ob ­ tenerla d irectam ente al capitalizar por n períodos el valor de la renta in ­ m ediata de pagos vencidos, prim ero realizarem os una dem ostración ex­ plícita de esto, al capitalizar cada uno de los pagos hasta el período fina!, com o se muestra a continu ación en el siguiente eje de tiem po:

G u iliepm o Lora DuMiwur

134

I-

n-2

n-1

$1

$1

l ■'-+

1

$1

SI

SI

$

1

(1 + 0 ' (I + O"-' (1 + 0 ”- ' ( 1 + 0 " “' Figura 6 ^ Im posición de piigos vencidos

sumar los valores futuros, y aplicar la propirdari conmutativa de la •íiima, obtenemos una progresión geométrica creciente, de razón (1+i). ya que cada término resulta igual al anterior multiplicado por 1+Í: 5 = I + U + i) + ( I + i f + .........( 1 + 0 ”"' AI aplicar la fórmula de la suma de términos para una progresión geométrica creciente, tenem os: j = o, í L z l 7 -1 } al leemplazar a p i y q=l+í nos queda finaímenle : _

n + f)"-l

De aaictrfo con la nom endatura del cálculo firiandero, llamaremos a esta expresión: a + r r -i

J Í L n ,0 = -

V ía fórmfíU general, para e! caso d e díferenlcs de la unidad, 'erfa igual a la anterior multiplicada por la cuota correspondiente:

Á iX f^ -J)= C X

O + íT -i

PdtrtAS l£Mrop>WAi

18j

Imposiciones de pagos adelantados En ia práctica, todaslasImposiciones son de pagos adelantados (3). pues se comienza a ahorrar "hoy" no dentro de un período, Al Igual que en el caso de la renta temporaria, lo fórmula para la imposición de pagos adelantados es igual a la de pagos vencidos, multiplicada por (l+i), ya que se gana ínierós por un período más. Los pagos por período adelantado se verían dr la si­ guiente forma en un eje de tiempo: n*2

rv1

$1

$1

-'Vv$ 1

$ 1

$1

(14/)

(1 -í í Y (i-i i)

m

(1-* 0 ' P íg ^ a 6.10 Im posición d« pagos adelantados

La suma de términos se vería de esta forma:

S ==(1 + í) -í- (1 -f- i)“ + ......... (1 + i) Observe que ahora el primer período gana intereses por fl-*-!)" y «:l últi­ mo por (l+i). Finalmente, al reemplazar en la fórmula para la rP’ términos de una progresión geométrica creciente, con una cuota igual C, tenemos: /i(0.n./) = C x (l- f-z ) x Como puede apreciar, la fórmula para el ^'alor de una imposición d« pagos adelantados, es igual al de la imposición de pagos vencidos, miili»pilcada por 1-t-i.

fSJTal vezpodríaasimilarse kjs ahorrosquesereartzanenun fondodepensióncomouna imposición vencida, ya que el aporte se calcula sobre un salarlo quese abona por período venddo.

í(-\- -•, .

m

G ü tL L É iu toL ó p e zD u m r . < u f

í') ‘ ■■■ ..

Puesto que su objetivo es acum ularun capital queíe permita comprar el in raueble que tanto desea, usted quiere determinar el capital acum ula­ do que resulta de depositaren una institución financiera durante 24 m e­ ses la suma de 57.341,28, siendo que gana una tasa de interés del 1% m en­ sual: ■

Vir0.24,0.01) = 7 .341,28x (I,01)x

n

1

----- ^ = 200.000

0,01

Aitémativamente, usted podría haber planteado el problema como la cuota que debería depositar mensualmente para acumular $200.000; en ese caso, puede despejar la cuota con un simple pasaje de términos:

^

200.000 = C ■ . í ;í

^ -

0.0]

■

:

>

despejamos la cuota, resulta C = 7.341.28

■ -í. C = 2 0 0 .0 0 0

(1 .0 I)“ - 1

x d .o i ) = '7.341.28

Si las cuotas se hubieran considerado como vencidas, hubiera sido ne­ cesaria una cuota más alta, de 7,414,7. En cambio, con pagos adelantados, para formar el mismo capital de $200.000.- se requiere una cuota menor, ya que al depositar la cuota a! principio de cada período y no al final, se gana iriteiés por un período más. Óiferenda entre una renta anticipada y una imposición Idda imposición es una renta anticipada, pues los pagos se anticipan al momento de valuación que se produce en el último período. Pero no toda renta anticipada es una imposición, ya que si bien los pagos pueden antiüparse al momento de valuación, éste puede ubicarse antes o después de n, como muestra en la figura 6 lll y la condición de "anticipación de pagos al momento de valuación" seguiría cumpliéndose: )

Uom«iito d« valuación 0

1

2

Anticipada

Imposición

Anticipada

rv-1

n

n+i

■l— Figura 6 .1 1 D iferencia lemre im pasición y rema anticipada

H

R f NIAS TiMf'ORARJAS'

, 6.2, Relaciones y categorías V.

.la'/

importantes de las rentas

r

-V/

Exisi&una cantidad de relaciones im portantes éntrelas rentas q u e hem os ‘ descrito en las seccion es anteriores y que tratam os a continuación.

Rema inmediata e imposición Una im posición es igual a una renta inm ediata capitalizada p o r n p e ­ ríodos: s (J .n J )

n ^ ir

Va que si capitalizam os el valor de la renta inm ediata a ü , n, i) por a períodos a la tasa de interés i obtenem os el valor de la im posición: íl± ^ x a + z r = ííiiL - i

(I+/)"í

r

i

Obviamente, al actualizar el valor de la im posición, obtenem os la ren­ ta inm ediata: V

/

"^(1 + /)"

V"

(l + í Y i

R esum iendo, una im p osició n es igual a una renta inm ed iata c a p ita li­ zada por n períodos a una tasa de interés i: a ( l,n r iX Ü + i)'' - s f l , n , i )

y una rem a inm ediata es ígoial a una im posición actualizada por n pe­ ríodos a una tasa de interés i: 1 (! + /)"

= a(l,n,i)

Diferencia entre las cuotas de una rem a inm ediata y una im posición , La diferencia entre la cu o ta de una renta inm ediata de pagos vencidos y la cuota de una im p osició n con pagos vencidos es igual a la lasa deinterés "í", m ientras que la diferencia entre la cuota de una rem a inmedtaia de pagos adelantados y la cu ota de una im posición de pagos adelantados ^ es igual a la tasa de d escu ento "d":

a(l,n,i)-'~sÜ,n,i)-^ = i a(0,n ,i)’[':s(0 ,n ,i)‘ ^ d

; v

Recuerde que las fórm ulas an teriores representan la cu ota para una reriia Inm ediata vencida cuyo valor es igual a $1 y ía cuota de unaimpvi-

, .f:

< G ií U u ? jw oL í > r £ Z D v tíí/i» r

155

lició n T en ad a cuyo vaior fina] tam bién e? igual a 51: n(Urifiy^ ' ^ Y

Sí r^giplazamas en íasíónmiJas rcnezuos: ii^ r r

4 K r T -l]_ . n - h o '- i

a -^ iT -i

V en el caso de los pagos adelantados: I —__________ i I —_s____1 i h + / )-^*________ -i| ¡ ________ V_____ v _____

tl+ fT *—I

(l + f)

1 (l + O

(1 + 0 ” —I

(l-*-0

(l-^O

¿Por qué en ei primer caso ía diferencia es iguaJ a ”'í"? Esto es porque la m ota de un'préstam o siempre contiene los intereses que s° cobran por '*?te. mícrtrnís que en una imposición de pago'; vencido'-, las m otas no con­ tienen inlerés, puesto que aJ a b o n a ra son cuotas puras de rapíín/ que sólo ganarán intereses en el futuro, como por ejemplo lo.*: aportes que se hacen en un fondo de pensión. r>c forma tal que (l+í) representa la a io ta que se abona pnr un présta­ mo de $1 y si calculárnosla díferenda con la cuota de una im itosicíón vencí' da de 5 1 obtenem os: n + i} - i^ z En cuanto al segundo caso, sí bien es muy difícil encontrar una renta inmediata de pagos adelantados (el pago por adelantado de los servicios educativos podría ser un caso), la cuota de la renta inmediata de pagos adelantados para un V= S J se amortiza con una cuota de C= SI íesto sólo tien" rele''ancta desde el punto de vista teórico puesto qne seria el caso de rra'btr im presíamn d e S J y devoK'erin en fo n n a ínn)edi.^ta. de forma que el pago tam bién sería igual a ? I y no tendría ínierds). inientrns que la cuola adeíaniarla de r*na imposición solo formará A^SJ ai rabo de un período ruando gane interés, de manera que resulta inferior en n percentaje "d*’ rafculado sylue el i'alor final de $1, de manera que (I-d ) impuesto por un penudo resulte un valor de $1. Poi lo tanto 1 - ( } - d ) - ( i d Una renta ínmedrara de pagos adelantados e.s igual a una renta inme­ diata de pagos vencidos m ultipíicadapor ü -í-Í): -1 íí( J ,q ,0 '< ( l + 0 = fl(0tfíd’) = -------------- 0 + 0

a+/ri

nesiimiendo, Jas reíadones fundamentales de las rentas son lassíguíeníes: 1} Toda renta de pagos adelantados es igual a su correspondiente de pagos venados, capitalizada por un período más (la fórmula es igual a la de pagos vencidos multiplicada por (I+í

2) T ods renus d Ju id m s%igu^J a sv a fr rtz p m d l^ n it inm ediata ^cííí^Uza^ da por p períodos, donde p rcpretenta el número de períodof p o r íjüe se difiere el prim er p a f o,

3J La diferencia enere la cuoU de una renu mmedíara y la cuota de una imposición es igual a la rara de ínteréc ven cid a"ít 4} Una imposición es igual a una rema inmediata capitalizada p^T n nodos a la ta3a de ínieréc ú mientras que una renta inmediata « igual a imposición actualizada por n períodos a la tasa de interés "í*.

Cuadro resumen del valor de la.s rentas temporarias Conociendo la fórmula d éla renta ín rr‘:díara temporaria de pzg:r* v^ncides, podemos ohtener las fórmulas de ías otras rentas adicionando Ir,' (actores de capitalización y aauaíízación correspondíentec. La fila

I tlv s i'C / r 'J M í . m a

Operan los días 26 de cada mes y el porceníaje de actualización en caso de mota es del 4% mensual. El 26 de Septiembre la empresa restituye el bien recibido en leasing y se pacta una refínancíación en 5 cuotas fijas de S I.665 cada una- Determíne si la tasa efectiva implícita contenida en la reñnanciadón es similar a la que se utiliza en los casos de mora. Respuesta: 6,28% mensual 7. El 1/1/2002 se ha comprado una propiedad mediante la entrega de 30 documentos iguales, mensuales y consecutivos que vencen a partir del 1/2/02. El importe de cada documento es de $2.000.- hasta diciembre de 200$, y a partir del 1/1/04 inclusive aum entan su importe a $5.000 cada uno. Sabiendo que la tasa de Interés utilizada es del 2% mensual, -cuál es el valor equivalente de contado de la propiedad? ' Respuesta: 57.105,66

m

^

8. José se encuentra evaluando los costos de una Formación completa en ciencias económ icas y desea calcular el valor presente de todos ios co.stos asociados con su educación, losé usaría 4 anos para obtener una licen­ ciatura, cuyo COSÍO es de $8.000 por qada año. Luego usaría otro.s 2 años para obtener su Master en Administración de Empresas, donde debrria pagar $9.000 por año. Finalmente, un Doctorado Insumiría 4 años más, a un costo de $9.000 por año. Si la tasa de interés de'oportunidad de José es í del 10% anual, ¿Cuál es el valor presente de los costos de la educación? Adicionalmente, calcule cuál debería ser su renta anual equivalente para recuperar la inversión suponiendo que Juan hoy tiene 28 años y e.s|vrr3 trabajar hasta los 65 años (hasta jubilarse). Note que debería paraedo calcu­ lar también cual sería el valor futuro de los costos de educación al momemo de comenzar a trabajar. Note que la respuesta también puede ser aniplíñcla para reconocer no sólo el valordel tiempo sino tam biénel ingreso clífnrencial que generaría una educación superior. R esp u esta: V alor p r e s e n te = 5 2 .1 3 1 ,2 3 : Valor fu tu io = :l35.214/18 C= 13.931.19 (Se sugiere comparar la respuesta con la rema anual 'jue ui'liene una persona sin estudios universitarios) 9. Para que su hijo reciba U$S 100.000.- aJ cumplir 17 años, usted rcanza depósitos mensuales adelantados a partir de la fecha de naciiniem o, que'ganan el 4% anuaL D icha cantidad debería slervir para financiar b's costos de los estudios universitarios, incluyendo alimentación y vivienda en un país extranjero. Determinar el importe de cada deposito, sabiendo que no se realizan pagos cuando el hijo cum ple 15 años. Suponga un año de 360 días.

i

Respuesta: 341,92 10. ídem problem a anterior, pero ahora suponga que el padre recién comienza a ahorrar cuando el hijo cuenta con 12 años. • Respuesta: 1.503,31

G u iu e r m oL ó p e zD u m r a u f

11. Hl vaioE actual de una renta de 18 cuotas^ valuadas al 4% m ensual, es de $100.000,* Calculan a) El valor de la cuota b) ¿Con qué sum a se cancela la renta, junto con la décima cuota? c) Si no se pagaron las cuotas número 10,11 y 12, ¿d eque importe deben ser las restantes? > Respuesta: C =7.899.33;V ,^=81.083,52 í C=:473,6 12. El valor actual de una renta de 24 cuotas mensuales adelantadas que corresponden a los pagos que se realizan en un Posgrado de Econotnía es de $ 15.000 valuadas al 1% mensual. Si luego de la cuota 16 se de­ sean pagar S 1.000.- por mes, ¿cuántas cuotas más se deberán abonar?

m

Respuesta: 5,58 13. Un colegio cobra diez mensualidades de $ 500 en carácter de cuota para el ciclo primario. El padre de un alumno ofrece pagarlas diez mensuali­ dades por adelantado, solicitando Un descuento del 20% por pago en efectivo. £1 colegio rechaza la oferta aduciendo que no precisa efectivo y que no le conviene la propuesta. La tasa de interés de oportunidad del colegio es del 1%. ¿Quién tiene razón? > Respuesta: el colegio 14. En el ejemplo anterior, se modificaría la respuesta si la tasa de interés de oportunidad del colegio fuera del 5% mensual? Respuesta: sí, en ese caso se invierte la respuesta y el colegio debería acep tar _ '

15. Un plan de ahorro establece que deben depositarse 48 cuotas fijas, mensuales y consecutivas, pero sólo se han abonado 30 de ellas. La tasa de interés es del 12% anual con capitalización mensual (año 360 días). Las 18 restantes se depositan regularmente después de transcurridos 5 meses sin depósitos. ¿Cuál ha sido la cuota mensual si al final de la operación la cuenta tiene ua saldo de S 30.0ÜO? Respuesta: 473,6

,r•

R eferencias bibuogrA^^

.

-

pEHitANDEZ, Néstor H., (2003) “Funciones Financieras de Excer, capítulo 3, 1* edición, Errepar, Buenos Aires.

i ít.

C a p ít u l o ?

R entas P erpetuas y R entas V a ria bles

“Piifide las dificultadesíjuÉ examinas en tan­ cas partes como sea posible para su mejor sulu-^ clón” René Descanes 1596-1650, FiJósofo y maiemáticG francés

I ntroducción En el capítulo am erior tratam os las rencas tem porarias con cuotas co n s­ tantes. En este capítulo tratarem os el caso lím ite de las rentas perpetuas y extenderem os el análisis para tratar las rentas cuya cu ota varía periód ica­ m ente en un po rcen taje o en una sum a fija. Las fórm ulas de las rentas perpetuas tienen un uso am pliam ente extendi­ do en el cam po de las finanzas coiporativas, y acad ém icam ente es tam bién muy utilizada en todo lo que hace a la fijación de precios de activos, funda­ m entalm ente acciones. En el caso de las rentas variables, su uso tam bién se encuentra muy exten­ dido principalm ente en la valuación de accion es cuyos dividendos crecen a una tasa determ inada. Tam bién es muy utiiizad ala fórm ula con crecim iento constante para determ inar el fam oso ‘V alor term inal" o “valor continuo" d éla em presa en m archa, cuando se realiza la valuación de una com pañía por el m étodo del flujo de fondos descontado. ' Las fórmulas de rentas variables tam bién son utilizadas en la valuación de com pañías cuando se plantea el crecim iento por fases. Por ejemplo, los negocios "estrella", generalm ente tien en flujos de efectivo que crecen fuerte los prim eros años para luego dism inuir y acercarse a la tasa de crecim ien­ to de la econom ía en que opera. O tam bién podem os asim ilar los présta­ mos donde existen cláusulas de ind exad ón a una renta variable, ya que las cuotas sufren el aju ste por índice de precios. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:

:

♦ Valuar perpetuidades, en especial acciones.

'

"

'* _.V

"‘i ‘ ' . I,

' • Valuar acciones cuyos dividendos crecen a una tasa constante,

5

' ' ^ •

V '*

^ ’

■204

G u a iE R M O lú r £ Z D U M flAU F'

" Adaptar ta fórmula de la renta temporaria con cuotas variables a situa­ ciones de la vida real

7.1. Rentas PERPETUAS Una rema perpetua es una serie de pagos que dura y permanece, en principio para siempre. En tal sentido, constituye el caso límite donde el número de períodos tiende a infinito. Como el tiempo "n" es infinito no puede establecerse su monto, pero sí puede establecerse su valor presente. Como consecuencia de ello sólo se conocen fórmulas para calcular su valor actual, la renta y la tasa de interés. A diferencia de las rentas temporarias, donde se conocía el momento de inicio y cuando finalizaban los pagos de renta, en las rentas perpetuas se conoce también el momento de inicio pero no cuando terminan. En la vida real, existen casos de rentas perpetuas como el Premio Nobel. En 1968, el Banco Central de Suecia instituyó en un compromiso econó­ mico a perpetuidad el premio Banco Central de Suecia en Memoria de Alfred Nobel, encargando la selección de los ganadores a la Real Academia de Ciencias. El testamento de Nobel destina casi toda su fortuna a un fon­ do que "deberá ser distribuido" en partes ¡guales, como premio a las per­ sonas que en el año precedente hayan aportado los mayores beneficios a distintas disciplinas, entré ellas, la economía. Existen otros compromisos a perpetuidad cómo el Premio Internacional de Literatura Neustadt, que l(v entrega la Universidad de Oklahoma y la revista World literature Today. Fue establecido en 1969 y es el más importante que se entrega en EEUU a escritores, poetas o dramaturgos no nacidos en el país. Un generoso fondo de la familia Neustadt de Ardmore (Okialioma) y Dallas (Texas), asegura la perpetuidad del premio. Los bonos “C onsor del gobierno inglés también fueron emitidos a perpetuidad, sólo pagan intereses y no cancelan capital. En 1992, el Go­ bierno Argentino también emitió bonos a perpetuidad (los denominados "Fenobonos") que años más tarde entraron en cesación de pagos cuando fue declarado el d efau lt de la deuda pública Argentina en diciembre de 2001 (1). En 2005, la famosa empresa Coca Cola emitió una obligación a perpetuidad. Con la suposición que una compañía nunca quebrará, ios dividendos sobre sus acciones preferentes pueden considerarse como una perpetui­ dad. Para la deducción de las fórmulas, seguiremos el mismo camino que utilizamos para presentar las rentas temporarias: primero veremos ia renta

' W Ky m

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(I) El lector interesadopuedeverificarestainformaciónenhttp;//infoIeg.mecqn.gov,ar/ lnroíegJntcmeUanexDs/5000'9999/8l03/texact.htm,

R e n t a s P e r p e t u a s y R e n t a s V a m a b i e s

20.J

inmediata, luego la diferida y finalmente Ja anticipada. El esquema de razo­ namiento será el mismo que utilizamos en el capítulo anterior, con los deta­ lles del caso. Primero presentaremos el eje de tiempo, luego deduciremos las fórmulas y nnalmente veremos algunos ejemplos.

Renta Imnediata de pagos vencidos En la figura 7.1 se aprecia nuestra ya conocida corriente de pagos unitaria, sólo que esta vez el número de pagos tiende a infinito:

Figura7.1 Valoracrual de una corrienie unUaria de pagos vencidos aperpetuidad Observamos quede! polinomio surge una progresión geométrica decre­ ciente, ya que cada término es igual al anterior multiplicado por l/ (l4i), que es la razón de la progresión. Puesto que l/(l+ i)< l, cada término disminuyesu valor con respecto al anterior:

r

í

I

(i+ i)

(i+ i)‘

I

S = ------- + ---- —

------- r+ . (i+ i)’

Aplicamos nuevamente la fórmula de la progresión geométrica: ol'.serx'e que la renta perpetua inmediata de pagos vencidos, también es una suma de valores actuales, sólo que ahora no conocemos su final: 1 - -

5 = (i+ O

I

o * ') ' i_ _ L ( 1+0

La expresión 1 /(1+í)" tiende a cero cuando n tiende a infinito, de forma tal que nos queda:

•O ujuckmo L o ra DuMitují

¿ -

1

i

(U i)

(l + / ) - l

•sz

I i

(í+ / )

-m

De dcuerdo coa la nomencldiura utilizada en Cálculo Financiero, llama* remos a esta expresión: * " q

- ■ 'a

.

0(1,' ■^.i) = í que représenla la expresión de una renta perpetua inmediata de pago^ uniiariüs vencidos. Para utilizar la fórmula general, donde los pagos no son iguales a la unidad, sim plemente multiplicamos la fórmula anterior por la cuota C de la renta. Adoptaremos la letra mayúscula ‘*1’” para la expresión, igual que lo liicimos en el caso de las rentas temporarias, con* forme a la notación generalm ente aceptada de la m atemática financiera o cálculo financiero:

""-a

■' i ■'in

A :? í

f Uiu forma sencilla e imuiiiva de mostrar que el \'alor presente de una renca jierpeiua es Igual a C/l es calcular la perfjetuidad como el producto de la la.sa J e interés por el capital que genera la renta:

V' X í = C Esto significa que un capital V, multiplicado por 1, siempre producirá una lenta igual u C. Piense por ejemplo, en un capital colocado en un ban­ co donde sólo se rciiian los Intereses; el capital siempre permanecería in­ tacto, y por )o tanto en cada período generaría una cantidad de intereses Iguales a C (2). Ejemplo. Cíeítu activo genera una renta perpetua de $1, siendo la tasa de interés del 1U%. El valor actual de la renta perpeiiia es: O .lO j.

a ¿fc-

II»

- i = 10 0,10

¿Lina corriente Idocurrid pensar que ladeuda exiei naArgentina genera unpago perpetuo dr tmeíeíi*s7

ÍUmAí í^tRrmMS yRwtas VAHíAgm "

\

:

ao/

^(),(K)22 (U ü ) l^evolucíóti del valor de una corriente perpetua de $ l puede verse en ía figura 7.2, A medida que aumenta el número de períodos, el valor actual acumulado crece al principio y luego se estabiliza cuando el m im ero de pagos alcanza aproximadamente 50 períodos La contribucídn de íós pa­ gos futuros al valor actual es práciicam enle nula debido al efecto d el inifc’i réi compuesto, que torna despreciable el valor presénte de los pagas futu­ ros.

Figura 7.2 Vulur acuia) de una currienie de pagos cuando n tiende oinfíiuro

Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de Ips dividendos En general, los modelos de valuación ele acciones se basan también en el descuento del ílujo de fondos, en este caso, el flujo de fondos disponible para el accionista. Se emlende que una vez cubiertos los costos, pugadu los impuestos y realizadas las provisiones para los activos de trabajo y acti­ vos fijos necesarios para el lunctonamienio del negocio, el remanente pue­ de distribuirse a los accionistas en la forma de un dlvÍLÍendo en efectivo. Podemos calcular el valor intrínseco o justo de las acciones a partir del flujo de dividendos descontado por e! rendimiento exigido o esperado por el accionista (JLe) pora inversiones de riesgo similar. Supongamos que la compañía no rellene utilidades, por lo tanto no reinvierle en sí misma y reparte todas las uillldadcs como dividendos. SI la compañía no reinvieite, entonces no crece, y por lo íatuo no variarán las exigencias de capiuil de trabajo. Si la cifra de la depreciación se Iguala a la necesaria para U renovación de bienes de uso, entonces la cifra de dividendos se Igualaiá a la utilidad neta después de impuestos y representará una perpetuidad igual a los dividendos del primer año D, como se observa en la figura 7.3

. í

■í . -M

GuiLLERAlO Lóriz D umrauf

203

___ op

D

D

D

D

(i+ke) D (U k ef

D iU k e)\

- \r D íi+ H

T

Figura 7.3 Valor actual de una corriente de dividendos perpetua

Como vimos en el capítulo anterior, el valor de la perpetuidad puede calcularse simplemente dividiendo el flujo de fondos (en este caso los di­ videndos) por la tasa de interés (en este caso el costo de oportunidad del accionista); p = .R

,

ke

’

Ejemplo: Santa Emilia S.A. es una compañía que ya ha alcanzado su tedio de crecimiento, y como no tiene oportunidades de seguir creciendo, ilislribuye un dividendo anual a perpetuidad de SIO.- siendo el costo de oportunidad de los accionistas del 20% anual.

— = 50 0,20

%

Ejemplo real: los ferrobonos argentinos En ocrubre ele 1991, el Gobierno Nacional emitió bonos en dólares a perpetuidad denominados "FERROBONOS" cuyas principales característi­ cas (que aparecen en el decreto presidencial 52/92) transcribimos a conti­ nuación; I ■'

, a) Fecha de emisión: I" de Octubre de 199L b) Vencimiento; Se extenderán con carácter de perpetuidad, sin venci­ miento. c) Aplicación: Los "FERROBONOS" podrán ser utilizados como medio de pago en Jas ventas de activos de FERROCARRILES ARGENTINOS y FE­ RROCARRILES METROPOLITANOS S.A. También podrán pagarse los cá-

S I-

R e n t a sP e r p e t u a s y R e n t a s V a r / á b u s

209

nones y/o alquileres de concesiones y/o bienes de FERROCARRILES ARGEN­ TINOS y FERROCARRILES METROPOUTANOSSA ; ■ Los bonos deberán ser recibidos a su valor nominal e intereses corridos a la fecha de aplicación de los mismos y en la proporciones que indiquen las empresas vendedoras para cada acto jurídico. d) Intereses: Devengarán la tasa de interés que rija en el mercado interbancario de LONDRES (UBOR) para los depósitos en Euroddlares a CIENTO OCHENTA (180) días de plazo. Esta tasa será determinada por el BANCO CENTRAL DE LA REPUBUCA ARGENTINA sobre la base prome­ dio que surja de las tasas informadas por sus bancos corresponsales en aquella plaza, ai cierre de las operaciones concertadas TRES (3) días hábi­ les antes de comenzar Cada período de renta. Los intereses se pagarán se­ mestralmente en dólares estadounidenses. Los Ferrobonos Argentinos fueron emitidos a perpetuidad argumen­ tando que los ingresos de FERROCARRILES ARGENTINOS no cubrían los egresos operativos excluidos los salarios ni las inversiones mínimas para mantener la capacidad operativa hasta la entrega de las concesiones. La­ m entablem ente, su historia crediticia no es muy buena: ingresaron en default junto con otros bonos de la deuda pública Argentina en diciembre de 2001. . Las ganancias de capital no son importantes en el valor de la perpetuidad Cuando los inversores com pran acciones de una com pañía esperan obtener dos tipos de ganancias; los dividendos, y las ganancias de capital {si es que el precio del próximo año es mayor al del año corriente). Por caso, para calcular el precio de hoy, descontamos el dividendo y el precio de las acciones dentro de un año:

10 + 50

P

”

(I + í e )

(1,20)

El precio del ario siguiente será igual al dividendo y al precio al final del segundo año, descontados por un año (aliora estamos parados al final del año 1 en el eje de tiempo). p

=

'

^ 2

K

(1 + jtc)

Podemos reexpresar el precio de hoy en función de los dividendos y del precio al final del año 2, reemplazando en la fórmula anterior el precio del segundo año: '

A , D. + fi ( l + k e ) (l + k e y

0 ''

a iu

G u il l e r m o LO pez D u m ra uf

- Finalm ente, la corriente total de dividendos y precios luciría de ja si­ guiente form a, donde t representa un período lejano, más allá de donde m iésíro s ojos pueden ver: / > = _A —

(1 + te)

A

Dy

Dy

(l + fe)=

(1 + fe)'

(I + A-e)'

(l + k e y

Observe en la tabla 7.1 y en la figura 7.4 cómo a medida que avanza­ m os en el tiem po, el valor actual de la corriente de dividendos acum ula­ dos aum enta su participación en el precio toral, a la par que el valor actual del precio futuro tiende a cero. La razón es sencilla: el valor de las accio­ nes de una em presa está dado fundam entalm ente por el valor actual de sus dividendos, pues si consideram os que venderemos las acciones den­ tro de muchosL años, lo que obtengamos en aquel m om ento tiene hoy un valor que se aproxim a a cero.

Período

Valor Actual dividendos acumulados

Vüor Actual predo futuro

7b tal

1

8,33.

41,67

50

2

15,28

34.72

50

3

21,06

28.94

50

4

25,69

24,11

50

10

41,92

50

49,99

*

^8,08

50

0,01

50

Tabla 7.1 Valor actual de los diiñdendos acumulados yde] precio futuro

^ y. Si! ■

Yí •í

m

’.P

f#;'10

50

□ Valor Actual dividendos acumulados ■V alor AcUiol prado hjiuro .

' Figura 7.4 Composición del valor actual dela acción Fin alm en te, sí el valor presente del precio futuro de las acciones en m u ch os añ os tien d e a cero, lo que im porta es la corriente de dividendos y

-

RfNTAS Pírpetuas

■ K '

'rvvfji

y

R entaS Variables

2l\

podem os vaJuarlas acciones sim plem ente descontando la corriente de divi* dendos con la tasa de rendim iem o que exige elinversorp ara com prar accio­ nes de esta com pañía: " ' "

T

/> = J 5 _ = 5 0 0 .2 0

: -y

La ecuación anterior tam bién puede pensarse del siguiente m odo: ios accionistas están dispuestos a pagar $50 por las acciones de la.conipañía, pues com o saben que recibirán un dividendo de $10, pagando $50 están reconociendo im plícitam ente que quieren ganar un 20% (pues diez repre­ sen ta el veinte por ciento d e cin cu en ta).

R end im ien tos de la inversión en a ccio n e s Ai igual que en las obligaciones, las acciones nos ofrecen dos tipos de rendim ientos: los dividendos y las g anancias de capital. En términos rela­ tivos, puede calcu larse el "dividend yield" q u e representa la proporción que representa el dividendo actual sob re el precio actual de la acción:

D/v/denr/y/á/J = — = — = 0 ,2 0

P

50

N ote que en el caso de la perpetuidad, para acciones que no crecen, el “dividend yieid" es igual al rendim iento esperado por los accionistas. Le.

R entas d iferidas El valor de la renta diferida es igual a su correspondiente imnediata de pagos vencidos, pero actu alizad a por el período de diférim iento, exacta­ m en te com o lo vim os en el cap ítu lo an te rio r para el caso de Jas rentas tem p o rarias: V (p

■C

1

= — X - — ------

^

í

(1 + í ) '’

": ^

'

Rentas anticipadas En la introducción d ecíam os que no se con o cen los m ontos de las ren­ tas jperpetuás, ya que el nüm ero de pagos tiende a infinito. Por lo tanto no existe la Im p osición cuando h a b la m o s de ren tas perpetuas, pues para ser im posición, los pagos d eben estar valuados en el último período (“n"). Sin embargo, es posible plantear el caso de la renta anticipada, donde hay una serie de pagos que se anticipan aJ m om en to de valuación, que se produce

G ü iL U w ^ toL ó p e zD u m i u u f

212

en un momento "t". Para obtener el valoren t, sim plemente capitalizamos el valor de fa renta perpetua inmediata por t períodos, de forma tal que todos los pagos realizados a perpetuidad son valuados en t:

0

l 00

o(l,w,i)(l+0

Ejemplo: Usted está queriendo valuar una compañía que se encuentra totalm en­ te financiada con acciones, y reparte un dividendo a perpetuidad de $100. El costo de oportunidad del inversor es del 20%, pero usted quiere calcu­ lar el valor que tendrá la com pañía dentro de 5 años, pues espera venderla para esa fecha:

100a(l,ao.0.20) = 500.

-► 50nr 1.201V i .244.16

7.2. Rentas variables temporarias en progresión geométrica Hasta el momento hemos visto aquellas rentas cuyos pagos periódicos constituían siempre una suma constante. Podemos considerar ahora aque­ llas rentas cuyos pagos varían siguiendo alguna regularidad m atem ática: esto es. cuando los pagos varían en una cantidad fija (progresión aritméli^ ca) o cuando varían en una suma variable (progresión geométrica). En el primer caso, decimos que las rentas varían en progresión aritm é­ tica cuando cada pago es igual al anterior en más o en menos una suma fija R. en cuyo caso la renta v ariará en progresión a ritm étic a crecien te o decreciente, respecüvam enl?.. En el caso de las rentas que varían en progresión geométrica, cada pago es igual al anterior m u ítip licad o p o r un fa c to r q (siendo q mayor, igual o nienor a uno) en cuyo caso hablamos de ren tas v ariables en p rog resión geom étrica creciente o decreciente, respectivam ente. ¿Cuándo aparecen rentas que varían en progresión geométrica o arit­ mética en la vida real? En el primer caso diremos que en Ja valuación de acciones es muy utilizada la fórmula de Gordon de los dividendos crecien­ tes; ésta plantea que los dividendos crecen a una tasa constante que transfor­ ma a la corriente de dividendos en una peq^etuidad creciente en progresión geométrica. En el segundo caso, podemos decir que la cor riente de intereses periódi‘ eos de un préstamo por sistema de amortización alemán, representa una

•■4--

•-Í-.

?U

[U n t a sP e r t e t u Á s y[ U n t a s V a w a b l e s

progresión aritm ética decreciente, puesto que aí amortizarse e l capital en cantidades iguales porperíodo, los intereses se reducen siempre e n una sum a fija-Esto tam bién ocurre a veces con bonos u obligaciones con program as de am ortización periódica del capital. A co n tin u ació n m ostrarem os las deducciones corresp o n d ien tes a las rentas tem porarias y perpetuas, en sus versiones in m ed iata, diferida y anticipada.

p;-'

Renta inmediáta conpagosvariables vencidos La figura 7.5 m uestra el valor actual de una corriente de cu otas varia­ bles, donde cada pago representado por C crece a una tasa "g ":

'" i c (i+ g )

c (i^ g )'

c(H g r‘

c (i+ g r

(1 + 0

I

c (i+ g ) 0 + 0^ c (i+ g y (l+ iT

Ik*

i?#

C ( l+ g ) " d+O" Figura 7,5 VaJqr a ctu al de u n a ren ta co n cu o ta s variables

Al sum ar los valores actuales tenem os:

C (l+ o

C(l+g)^C(l+gr\2 (1 + / )'

,v , C(l +g)-

(1 + 0 ’

Debido a que la expresión de la sum a de tén n in os resulta ser una pro­ gresión geométrica, aplicam os la fórmula de la sum a de términos y reémplazando tenem os:

..

G u íl ie r m oL ó p e zD u m r a u f

S~a

iliJl i - i] i-Í£ ± il

Su fónnula resulta ser a + i)

x — ^ ,_ < ií£ )

^

(1+/) Sí sacam os com iin denominador y simplificamos términos, tam biénpodem os obtener una expresión más reducida: 1q +0

V v ( l , - C X-

i-g

Efemplo:

^

Suponga una corriente de pagos que crece a un 5% durante un período de 10 aflús, y debe determ inarse su valor presente. Utilizando la fórmula que acabam os de ver. tenem os: (U Q .0 5 )

l-

(1 + 0.20)

i' = 1 0 x .

0.20-0,05

- = 49,13

que representa el valor presente de una corriente cuyo primer pago es de SIO y luego crece al 5% anual hasta el año diez. Caso especial: qué ocurre cuando g=i Cuando la tasa de crecim iento es igual a la tasa de interés utilizada en la actualización (g=i), la suma de térm inos es igual a:

‘ “

c(l + g )

C (l + g y

(i+ .f

( 1 + .7

(i+ .«)

C (l + g r .....

(1+/)"

, ■

: \

en cuyo caso podemos valuar la renta multiplicando la cuota por n y divi­ diéndola por el factor de actualización (como a partir del segunda período las cuotas crecen a una tasa igual a la utilizada para calcular el valor pre­ sente. tenernos n cuotas actualizadas por un soio periodo):

C

(1 0 +

'Xn '

R ^ T A S Í ' í UPBTUAS Y R fN T A S V a k j a b l í s

Rentas variables diferidas

¿

Su valor es exactam en te igual a la ele la renta temporaria, inm edíaía,ya

a+g)

1-

(1+/)

V v ( p + l , / i , í , g ) ' = ^ C X-

i-ü

0 ^ /y

Rencas variables anticipadas (imposición) Su valor es exactam ente igual a la de la renta tem poraria, inmediata, variable de pagos vencidos, capitalizada por (1+i)" en el caso de la im posi­ ción : l-

A v ( h n , i \ ^ ) = C X-

(1 + g) a + i)

-x(J + /)“

Por supuesto, para que una renta sea anticipada, basta con que el m o­ m ento de in iciación de los pagos se anticip e al m om ento de valuación, con lo cual, podríam os ten er una ren ta que se valúa en n-rl o en n-1 y sería anticipada, aunque no im posición, ya que para ser im posición debe valuarse siem pre en el últim o período. Resulta ser igual a la inm ediata capitalizada por n períodos:

1-

Av(I,/2,í ,^ ) = C x *

iliilT

(i + O

- x ( l + /)"

Ejem plo: H éctor realiza un ahorro voJuntario depositando todos los meses ei 20% de su salario en una entidad financiera que le paga una rasa de interés efectiva mensual del 1%. Su salario asciende en la actualidad a $2.000, pero éste es ajustado por la tasa de inflación todos los meses. De esa forma, la su m a de dinero que H éctor deposita todos ¡os meses crece de acuerdo a Ja tasa de inflación. Suponiendo que la tasa de inflación mensual se ubique en el 0,5% y que el ahorro será realizado durante 24 meses, debemos cal­ cular cuánto dinero tendrá acumulado al cabo d^e ese período. ;

1--

A v (í,24 A O 1,0,005) = 400 x-

(1 + 0,005)

-|24

0 + 0,01) J . ^ (i + 0,0I)" = II^|05,9S 0,01-0,005

üuiLLEWvlO CbfEZ D u MIUUF

il6

7.3. UEKrAS VARIABLES PERPETUAS EN PROGRESION GEOMÉTRICA

La fórmula de ía renta perpetua variable en progresión geom étrica tieiie gran aplicación en la valuación de activos financieros com o las acciones y también es utilizada a menudo para obtener el denominado "valor de la con­ tinuidad” o "valor terminal” de ia firma, asumiendo que a partir de un deter­ minado momento, el flujo de caja crece a una tasa constante.

Renta iiunediaia, variable, de pagos vencidos St retomarnos la expresión anterior para la renta variable temporaria, puede verse que cuando n tiende a infinito, el segundo término se anula ya que tiende a cero: l-

'0 + g)

(1 + 0

= C X-

i-g' “ Y por lo tanto queda la siguiente expresión, que es la renta perpetua, variable, ele pagos vencidos: V V d .^ O g )--:— i- g La aplicación de esta fórmula requiere de una restricción: i >g; como veremos, en la vida real, siempre i es mayor que g cuando utilizamos esta fórmula con fines de valuación de activos financieros. Ln ap licación d e la ren ta p erp etu a d e p ag os variables p a r a la v alu ación d e acciones con dividen dascrecien íes. La fórmuia de la renta inmediata variable en progresión geométrica, es la fórmula que difundieron Gordon y Schapíro (3) para e! cálculo del valor de las acciones cuyos dividendos crecen a una tasa constante: tam bién lla­ mada fórmula de valuación de los dividendos {DVTVf, D iv id en d V aluaiion Model). ,

Ai

Por ejemplo, si una firma retiene parte de sus utilidades y reinvierte en sí misma, luego es lógico suponer que las utilidades aumentarán en el futuro y los dividendos crecerán a una tasa g (growíh). Suponga que los dividendos de la empresa Perpetua S.A, para el primer año son D=100 y g=5%, siendo la tasa de rendimiento exigida por el inversor i=10 %. Luego el valor de las acciones de Perpetua sería; S =-

D

100

r-g

0 3 0 -0 ,0 5

: 2.000

(3) Puede consultarse GonooN. Myron, "The Investment, Fíiiandng andtirevaluatíonof t|ieCorporation", Irwing. Homewood, II, 196Z

[ l£ N T A S P e r p e t u a s Y R e n t a s V a r i a b u s

5 :4 .:,

m

Vamos aliora a explicitar lo que se encuentra detrás de esta form ula. pongam os que se trata de calcular el valor de las acciones de u n a firm a que tiene un alto potencial de crecim iento, pues se mueve en un sector donde las posibilidades de expansión le obligan a reinvertír en sí misma una propor­ ción de sus utilidades, de form a tal que no distribuye la totalidad de las m is­ mas com o dividendos, sino sólo una parte. El resto es invertido dentro de la m isma em presa para com prar activos de trabajo y seguir creciendo en ventas y resultados. Supongamos que ia com pañía com o un todo crece a una tasa ‘'g" ' ■ (de growth, crecim iento). Es razonable que si las ventas, y todos ios costos y gastos y los activos crecen a una tasa g, ¡os activos tam bién lo hagan. A^oO

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

loo

105,0

1103

115,8

121,6

50

52,5

55,1 :

57,9

60,8

Impuestos

20,0

21,0

.22.1

23,2

24.3

Utilidad neta

30,0

31.5

33,1

34,7

36,5

Dividendos (50%)

15,0

15,8

16.5

17,4

18,2

Venías

"

Costos

Tabla 7.2 Crecimiento de las venias, utilidad neta ydividendos Com o puede verse en la tabla 7.2, cuando la com pañía crece com o un todo al 5 %, los di\ndendos crecen a la m ism a tasa. Por lo tanto, podemos plantear en un eje de tiem po la corriente de dividendos, tal cual h» h ici­ mos en el capítulo anterior y ahora m ostram os en la figura 7.6:

A

D,(l-^g)^

D,(}+g}i

(l + te ) fiO + g) (l+Áey

(1+A:e)^ A(l■^g)^ (1 + te)*

Figura 7.6 Valor actual de una corriente dé dividendos con crecimiento constarle

••v

2U

G u il l eu m o López D u m r a u f

1‘odemos calcular ahora el precio de las acciones aplicando la fórmula vista en el capítulo anterior 10

k e-s

0 ,2 0 - 0 ,0 5

= 66,66

Note que si la com pañía no creciera, g=0 y entonces el precio de las acciones de Perpetua sería igual al que obtuvimos'¿n el apartado anterior, cuando la firma no crecía. Podemos despejar de la ecuación el rendim ien­ to esperado por los accionistas atand o hay crecim iento: ,

ke

A 10 = — + £ = --------- + 0,05 = 0,20 P . . 6 6 ,6 6

Críticas a l m o d e lo d e los d iv id en d o s con crecim iento Se han realizado algunas críticas al modelo de los dividendos, tales com o: 1; La fórmula no puede utilizarse a menos que g i4v (L o o .í,^ ) = - - ^ X ( l + z)'

Por supuesto, no existe imposición cuando hablamos de rentas perpe­ tuas, toda vez que no existe un período final. Ejem plo: Suponga que una em presa paga dividendos perpetuos por JlOO que crecerán a razón de g=3% anual. La tasa de interés ¡=13% y usted desea calcular el valor que tendrían las acciones dentro de 10 años a partir de hoy.

100 0 ,1 3 -0 ,0 3

e.

x ( U 3 ) '° = 3.394,6

7.4. RfirTTASVARIABLESTEMPORARIASENPROGRESION ARITMÉTICA Una renta es variable en progresión aritmética cuando cada cuota es igual a la anterior, más o menos una c a n tid a d fija . Sería el caso d e nn p rés­ ta m o cuyas cu o ta s se in c rem en ta n en u n a su m a f i j a o d ecrecen en u n a su m a fija . El ejem plo inm ediato es el sistem a alem án de amortización, donde los Intereses se reducen en una suma fija que es igual al pioducto de la amortización que se realiza en cada período por la tasa de interés. De esta forma, la cuota del sistem a alem án se reduce en una suma fija perío­ do a período. Tratamos eí sistema alemán con detalle en el próximo capí­ tulo.

222 .:

GUILIERA.1Q L ópez D

umrauf

Ren ta uunediata variable de pagos vencidos '

"^

Por ejemplo, si en un préstamo la primera cuota $ 100 y cada cuota crece en relación a la anterior en $ 10, diremos que la segunda cuota Q =; $ 110, y que la razón de la progresión R = 10, Antes de poder calcular el valor de la renta Inmediata para una renta cuyas cuotas varían en progresión aritmética es necesario ver ün arbitrio matemático que nos será de suma utilidad. Para ello, veamos cómo puede calciíiarse el valor de una rem a inmediata con cuotas constantes pero a través d é la resta de dos rentas inmediatas perpetuas: CAlculo d e la ren ta in m ed ia ta tem p oraria a través d e la d iferen cia e/irre a o s ren tas in m ed ia ta s perp etu as. Podemos calcular el valor desuna renta temporaria inmediata a partir de la diferencia de los valores de dos rentas perpetuas en diferentes mom em os de tiempo. Prim ero supongamos una renta perpetua de pagos unitarios que tiene com o momento de iniciación de pagos el momento 0 (cero) y por lo tamo su valor en cero es igual a a(l,«», i). La segunda, tiene como m om ento de iniciación d^ pagos el momento "n” y también se ex­ tiende hacia eríntinito, teniendo com o valoren dicho momento n, tam­ bién aU,**, i). o

af 1.00,1)

ai 1.oo.il

Si restamos al valor de la primera renta el de la segunda actualizada por n períodos (que corresponde actualizar puesto que los valores de am­ bas rentas se encuentran en diferentes momentos de tiempo) obtendre­ mos el valor de la renta entre 0 y n: a(í,«>.i)-a(i,««.il¡.v"=: a(l,n ,i) 1 1

1

/ / a+0"

'

(l-t-Z r -i

o + o '’/ Ai

Al lora que hemos visto que una renta temporaria inmediata de pagos venchios puede calcularse por medio de la resta de dos perpetuas con distinros momentos de iniciación de pagos, podemos plantear el eje de tiem­ po para la renta variable en progresión aritmética, cuya razón de varia­ ción definiremos como R, siendo R una suma fija que puede ser positiva o negativa. ^

R entas Perpetuas y R entas V ariables MI-MV O

1

2 1

3 1

n , 'i

C

C

c

(1)

C.afí,ñ,i)

H

(2)

R .V

1

1

R

Fi

1

R

R

(3) - (4)

- R .}/*

i

1

/

/

R .^ ‘ R y

Factor común: R/¡ 0(1,n,l) R/IVn Como puede observarse en el eje de tiempo, hem’o s descompuesto la renta variable en progresión aritm écica en 4 corrientes, que valuaremos en el m om ento 0 (cero) por separado. (1) Es una renta tem poraria inm ediata de pagos vencidos, cuya cuota es C. ^ (2) Esta renta se obtiene por diferencia entre dos rentas perpetuas: la primera renta perpetua la im a g in a m o s co m en z a n d o al final del período 1 (uno) y se extiende hasta el infinito; su valor al final del período 1 es igual a R/i, pero com o necesitam os valuarla en 0 la ajustamos por v (la actuali­ zam os por un período). Luego a este valor le restam os la renta perpetua que im a g in a m o s co m en z a n d o al final del período n y se extiende hasta el infinito: su valor en n es igual a R/i pero com o necesitamos valuarla en 0 para restársela a la prim er renta perpetua que habíamos imaginado antes, la ajustam os por V" (la actualizam os por n períodos.) De esta form a — por m edió de la resta de dos rentas perpetuas que im aginam os com enzando en distintos m om entos— habrem os obtenido el valor de Ja corriente de $ R que va de 2 a n. Para las rentas (3) y (4) procedem os idénticamente, ajustándolas siem ­ pre al m om ento de valuación 0 (cero). Sacam os factor com ún R/í.v en el prim er térm ino de las corrientes (2) a (4), y factor com ún R/i.v" en el segundo término. De esta forma nos que­ da:

Ctí(l,/i, /)-h“ (v- i - - t - ... v")- ~ v"n Cri(l,/tí) +^ d(l,w,/) - ¿ v‘*n i

■, i

G u iL L E f u A O L ó p e zD u m r a u f

m

'

R

„

¿Por qué quedad último término de la ecuadon como y v n es decir multiplicado por"ii veces"? Es lo mismo considerar n o n -í, ya que si se consideran "términos" en general, aunque no existan "n Rs“ al restar n veces la razón actualizada, como la expresión R/ia(l»n.i) que aparece en el segundo término de la fórmula tiene como último término a j v ' al restar la misma expresión en el segundo término de la fórmula se anula un término de cada lado, así que si se consideran n-1 términos o n términos, debe considerárselo en los dos miembros. _ Finalmente sacamos factor común a(l,n,i) en los dos primeros térmi­ nos y q u e d a :'. " ' ' Vv(l,n, 7?) =

j fl(l,n ,i) ^ v " n

Ejerriplo: F.n los préstamos por sistema alemán (que veremos en el próximo ca­ pítulo) los intereses decrecen en una suma fija. Suponga un préstamo que se abona en cuatro cuotas, siendo la primera de $35. y que se reducen en $2,5 por mes (R=-2,5). La tasa de interés es del 10% mensual y debemos determinar el valor actual de la r e n t a :- - -

VMW.0.10,-2,5) = í C + —

0,10

1a(1.4.0.1 0 )-—

J

0.10

X —i - - x 4 = 100 ( 1.10)'

Renta variable diferida Es igual a la renta inm ediata de pagos vencidos, actualizada por el pe­ ríodo de díferimientor para obtenerla multiplicamos la fómula de la renta inmediata por el factor de actualización que com prende el período de díferimíento o aplazo 1^=1/(l-fl)p V v {p + \ j í J , R ) -

C+—

— v "n

u

*

Imposición Es Igual a la renta inmediata de pagos vencidos, capitalizada por n pe­ ríodos:

c+ U

R

aa,n ,i)--V n a + iy . ■i

R e n t a sP e r p e t u a s yR e n t a s V a r i a b l e s

> i

22$

Por supuesto, también puede calcuiarse la renta anticipada valuando la renta en unperíodo diferente de n pero siempre con elrequisito del momen' to de iníciaddn de pagos anticipándose al momento de vaJuadtín.

-

7 .5 . R entas variables perpetuas en progresión ARiTMÉncA

Podemos obtener las fórmulas directamente de jas respectivas fórmulas para las rentas temporarias variables inmediata, diferida y anticipada, sim­ plemente analizando el caso límite cuando n tiende a infinito: Renta variable inmediata de pagos vencidos Como la fórmula para la renta temporaria inmediata es:

Vv{l,n,UR) =

a{\,n,i) - ^ n

Cuando n tiende a infinito queda:

Renta variable diferida 'M I

Es igual a la perpetua inmediata actualizada por el período de diferí' miento ■ ^

Renta variable anticipada Es igual a la perpetúa inm ediata capitalizada por t períodos (en las perpe­ tuas no hay im posición):

Av(I, l, transformamos el producto de q.v en un factorde capitalización equivalente cuya tasa llamamos i")

R entas P erpetuas Y R entas V ar.>ablei despejando v = (l+rO/q

233

^

reemplazando en la fórmula de la renta inmediata a v ppr y = 1 +í"/q y a q v p o rq v = l+ i” c (H -n ^ K (l + r)" q

-i-a + n

multiplicando por -1 numerador y denominador^ qu ed a:

£ Ü ± n ,a q

t a í"

- ! .£ ,( o ,,,n q

que, com o se observa, resulta una imposición de pagos adelantad‘)s cuya cuota es igual a c/q.

*•

C A P fr ü L O 8

P r ésta m o s c o n I nterjeses so b r e S a ld o

“S i y o te d eb o una libra, tengo un p roblem a; p ero si te d eb o un m illón , el problem a es (uyuZ

Lord JoJin Mayríard Keynes (1883-19^6). ¡

E cünom ísra ingles

Tanto las organizaciones com o los individuos requieren de préstam os de dinero para adelantar consum os o realizar inversiones. Uno de ios préstamos m ás com unes es el que requieren las familias con destino a la com pra de viviendas, que en general suele ser otorgado por entidades financieras bajo el sistem a francés, y en algunos casos, por sistem a alem án. v En n u estro m edio existen diferentes m odalidades de préstam os en cu an to a la d evolución (am ortizaciónj del capital y la form a de cálculo de los intereses. En el co n texto estricto de las Finanzas, "am ortizar” alude al p ro ceso que extingue una deuda m ed ian te el pago del capital, también llam ado frecu en tem en te p r in c i p a l . E n to n ces, cuando hablam os de am o r­ tizar un p réstam o nos referim os al p ro ce so p o r el cuál se devuelve el cap i­ tal que originó la obligación. Las m od alidad es m ás extendidas son las que calcu lan in tereses sobre saldos, que en general p odem os clasificarlos del siguiente m odo: 1. Sistema Francés

'^

2. Sistema Alemán 3. Sistema Am ericano

-

Describirem os sistem áticam ente cad a una de estas modalidades, con particular énfasis en los m ás utilizados en nuestro medio. A los efectos de poder establecer una com p aración integral entre los mismos, en todos los casos considerarem os un préstam o por valor de V =$IO O con una tasa de contrato /= id % y se am ortizará en 4 períodos en todos los casos. Esta m e­ todología perm itirá una com paración directa entre las cuotas resultantes de cada modalidad y también establecer un “ranking” en términos del costo , efectivo para establecer com paraciones con los tipos de préstamo que ve­ rem os en el próxim o capítulo. La com paración se extenderá para tratar el punto de vista de la em p resa que solícita un préstam o, en cuyo caso el

2K>

G u í i l e r m oL ó p e zD u m r a u f

efecto de paJanca fín a n c ie ro y los ahorros fiscales que generan Jos Intereses serán las variables del análisis. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: ♦ Calcular las principales categorías de un préstamo (cuota, valor ac^ lual.etc,) • Calcular el saldo del préstamo en un momento determinado. ■* Calcularelverdaderp costo efectivo del préstamo. • Analizar la conveniencia de uno u otro sistema desde la perspectiva de la empresa (efecto palanca financiero, ahorro fiscal] o desde el punto de vista de un particular.

8 J . S istema FRAi'JCÉs Es uno de los sistemas más utilizados en nuestra plaza financiera y es también llamado sistem a de amortización progresivo, debido a que la amortización del préstamo crece en progresión geométrica. Como los in­ tereses se calculan sobre saldo, y éste decrece a medida que se va devolvien­ do el capital, la amortización necesariamente debe crecer con el objeto de mantener la cuota constante. Entonces tenemos que las cuotas de este siste­ ma están compuestas por dos componentes: Cuota total =: amortización periódica (tp) + interés periódico I {p-l,p }

B Interés □ Capital

Figura 8.l Composición de la cuota en ej sistema francés Observe eri la figura 8.1 cómo la ültíma cuota contiene muy poco inte­ rés y prácticamente está compuesta sólo por amortización de capital. Esto hace que la cancelación "anticipada* en este sistema— si lo que se busca es un ahorro de intereses— sea conveniente hacerla a! principio de éste, pues una, cancelación anticipada en ios últimos períodos generaría un ahorro muy bajo de intereses.

•í»"* 'X

'

W:

P r é s t a m o s c o ní n t f r é s s o b r e S a l d o

237

Fórm ulas m ás utilizadas • VaJor del préstamo El valor del préstamo en este sistema resulta de calcular el valor ac tual de las cuotas que lo com ponen (y que contienen interés), por lo tanto resulta ser una renta Inmediata de pagos vencidos: V = C f l ( I ,7 Z ,0 = C

a + » r-i d + O "

m p )= p c -T p

Para los intereses abonados entre p y n: 0

p

n '

J{p ,n)^{n -p )C -{T n -T p ) Para los intereses abonados entre p y le

o

P

k

I{p ,k)^{k-p)C -{T k^T p)

Préstam o s

ccn

iN TÉRts

so bré

¿4'

Sa l d o

Vamos a d esarrollar esta úUiina expresiórj ya que nos sirve p ara ca lcu ­ lar la cantid ad de in te rese s ab o n ad a en tre dos períod os c u a le sq u ie ra , si renom bram os co rrecla n ien te a p y a k (por ejernplo, si querem os ca lcu la r los intereses entre 0 y p, es co m o si p=0 y k=p). Por lo tam o, es una fó n iiu la general para calcu lar los in tereses ab on ad os entre períodos no c o n s e c u ti­ vos. C om o T k y Tp so n dos to tales a m o rtizad o s en d iferen tes p erío d o s, son Im p o sicio n es del fo n d o a m o rtiz a n te l, p o r k y p p erío d o s resp ectív a rn en íe; reem p lazan d o Tk y Tp por sus resp ectiv a s fó rm u las, te n e m o s:

(l +/)‘ -l . (1+/) -í,

l{p ,k ) = { k - p ) C -

Sacand o facto r com ú n t, y d en om in ad or com ú n i dpntro del co rch ete, queda: , ' (i+ / )‘ - a + o '

H p ,k) = {k - p )C -t,

E je m p lo

.

D eterm in am o s ah ora los in tereses a b o n a d o s entre el m o m en to 0 y la m itad del p réstam o :

1(0,p ) ^ p C - T p - p C - í^

(l + i V - \

^(0.60) = 6 0 X 7 1 7 , 3 5 X 2 1 7 , 3 5 X ■ ^

= 2 5 .2 9 0 ,0 9

0,01

R esu m en de fó rm u las p ara el sis te m a fra n cés

C ateg o ría

F ó rm u la u su al

Valor del p réstam o

V = C

1-r

(i+ / r /. F órm u las altern ativ as: V = C

1

1'

7 I (i+ í)"

■■

‘V ■ ;

■ ■■■ ■ .

■ ■ ■ ■ ■

: ; ■

^ ,/V n

t :- .' -

,

>15

'

GuiLLEflM O LOPEZ DUMRAUr

Categoría

Fórm ula usual

Cuota

c = v 'il ± in (i+ í)"-i f

Nu mero de períodos In

C-Vi

n = —^ In (I -h/) S>'\ 'lasa de interés

Interpolación lineal Fórmula de Baily

Amortizáci'Hi periódica

=

(1 + 0 '

Fórm ula alternativa; tp - C - iT , - C ~ i x C

(í + 0

i-ír-ii

-1

(1 + 0 Total am ortizado

Fondo amortizante

rp=t^

(1 + 0 ^ - 1

. c

t, =■

'

(i+ O "

Fórm ula alternativa; /, ~ C —Vi Interés periódico

-i

(I + O

Fórmula alternativa; / ( p - i . p ) = í , 1 ( 1 + 0 '- 0 + í r ' J Intereses entre períodos

Tiempo medio de reem bolso

/ ( p ,k ) ^ (/ c -p ) C -íi

d + iy -a + iy '

In ( i + 0 ” - l + l p iT M R y ^ ’

ln(l + í)

J U S T A M O S CON In t e r j é s s o b u e S a l d d

Categoría

24^

Fórniuia usual

Tasa de amortización

V( p-l ) Saldo del préstamo

Método prospectivo

Vp = C

(1+0

(n-p)

Método retrospectivo

;

Vp=v-Tp=v Tabla 6.3 Resumen de fórmulas para el sistema francés El recálculo de la cuota del préstamo por refinaridación

Existe una cantidad de casos donde es necesario recalcular el saldo de! préstamo. Las causas más comunes son: ^ 1. Cancelación anticipada 2. Atrasos del deudor en el pago de cuotas que motivan una refinanciación 3. Pagos extraordinarios durante la vida del préstamo 4. Cambios en la tasa de interés 5. Alargamiento del plazo Excepto en el caso de la cancelación anticipada, en todos los casos se hace necesario el recálculo de la cuota, ya que significan un cambio en las condiciones contratadas al inicio del préstamo. Ejemplos:

'

a) Cancelación anticipada Un préstamo de $50.000 que fue contratado por 10 años (120 »neses) tiene un TNA del 12% (1% mensual) y la cuota resulta sér de: C= 50.000 a(1.120,0.01)=:717,35

^

;

Puesto que el prestatario decide cancelarlo anticipadamente ¡il final del período 20, podemos calcular el saldo del préstamo mediante el méto­ do retrospectivo actualizando las 100 cuotas (120 cuotas totales menos 20 que ya fueron pagadas) que faltan pagar:

•?;í' ■2:5¿í- .;

G untfR M O López D ump ^auf

•V'-. Para apreciar com o disminuye el saldo del pre'stamo, observamos cuales serían los saldos al final de (os períodos 20,60 y 100: 20 45.214.06

60 32.248,71

100

12.945,06

120

0

Como vimos antes en la labia de marcha, las cuotas contienen una m a­ yor porción de intereses al principio, ya que el capital se amortiza en forma progresiva. Esto genera que el saldo de la deuda disminuya lentam ente al prÍncíi»ío, siendo que en la mitad del plazo se deba más de la mitad del préstamo inicial (la mitad seria 25.000 pero al final del período 60 se deben '3 2 .2 4 8 .7 1 )., * b) ciacióu

Atrasos del deudor en el pago de cuotas que motivan una refínan-

Supongamos que al final del período 20 el deudor se atrasa en el pago de las cuotas durante 3 m eses y el banco decide cobrarle en carácter de intereses punitorios el 2% mensual {el doble de la tasa de interés del prés­ tamo) y $50 en carácter de gastos administrativos. Los bancos suelen ca­ pitalizar las cuotas que se dejan de abonar por el período de m ora (ver más abajo com entario sobre la Cbmunicación "A“ 3052 punto 1.6.2., inte­ reses punitorios). En ese caso su nuevo saldo después de los 3 meses de atraso será: , 717,35 5(1,3.0.02) -»•717,35 a (1,97.0.01)= 2.195,39 +44.410,43= 46.605,80 (si la tasa de interés de la mora hubiera sido del 1%, también se podía cal­ cular ei saldo actualizando 100 cuotas y luego capitalizar este resultado por 3 meses, llegando al mismo resultado) A partir de ese momento, podrían darse dos situaciones: a) que el prés­ tam o se salde en el período de tiem po originalmente pactado, en cuyo caso lo cuota sufrirá un aumento o b) que se mantenga la cuota original, alargando el plazo del préstamo, (si la tasa de interés de la mora hubiera sido dct 1%, también se podría calcular el saldo actualizando 100 cuotas y luego capitalizar este resultado por 3 meses, llegando al mismo resulta­ do). a) préstamo saldado en el plazo original: debemos saldarlo en 97 m e­ ses pues el atraso fue de tres periodos. La tasa vuelve a ser la originalmen­ te pactada en el préstamo. L a n u ev a c u o ta se ría

C ^ 4 6 .6 0 5 ,8 0 a (l,9 7 ,0.01)^752,816

b) 5 e m antiene la cuota original, alargando el plazo del préstamo: en este caso la incógnita es por cuántos meses se deberá seguir abonando la cuota original de 717,35:

m -i'-

P kcstamos con Interís souiu ía id o n = 105,ü D ebido a que algunas calculadoras redondean el valor calculado de n para el próximo núm ero entero mayor^ en el ejem plo anterior es posible que — aunque sean necesarios 106 pagos para liquidar el préstam o— sola­ m ente 105 sean de 717,35 y un último m e n o r Hn la práctica, se sigue el proce­ dim iento de redondear hacia arriba el núm ero de períodos, com o se explica a continuación. E l a ju s te d e l n ú m ero d e p e r ío d o s c u a n d o n n o es en tero Como no es posible que un préstam o se conced a por "105, 8 períodos" se procede a ajustar la cu ota sim plem ente redondeando el núm ero de p e­ río d o s. P or e je m p lo , sí d e fin im o s n = 1 0 6 , la c u o ta r e s u lta n te será C = 715 ,2 5 . In tereses p u n ito rio s. C o m u n ic a c ió n "A" 3 0 5 2 d e l BCFl^ En su C om unicación "A" 3052 el BCRA reglam entó la aplicación de Jos intereses punitorios por atrasos de los deudores, estableciendo que se con­ certarán librem ente entre Jas partes. A la vez, en el punto 1.6.2. estableció que en los préstam os am ortízables m ediante pagos periódicos, Jos intere­ ses punitorios sólo podrán aplicarse sobre el m onto de las cuotas vencidas e impagas y no sobre el saldo de deuda total, en el caso de que la entidad acreedora decida p ercibir dichos servicios sin ejercitar la facultad que se hubiera convenid o de consid erar toda la obligación com o de plazo ven­ cido. Asim ism o, en su com u nicación "B " 7541 del día 9/10/2002 difundió las tasas de interés prom edio que se cobraron en 2001 para los siguientes ti ­ pos de préstam os: H ipotecarios

12,38%

Prendarios

16,41%

Personales

25,98%

c) Pagos extraordinarios durante la \rida del préstam o Supongam os aiiora que el deudor decide realizar un pago extraordi­ nario de $10 000 al fina) del período veinte. Como las cuotas adeudadas co n tie n e n intereses que todavía no se han devengado, necesariam ente dicho pago debe im putarse al capital, por lo cual el nuevo saldo de la deu­ da ai final del período veinte será: V2o= 717,35 aíU O O ,0.01) = - Pago Extraordinario = Saldo ñero

4 5 .2 1 4 .0 6 flO 000) 3 5 .2 1 4 ,0 6

■v V .

' v'

'

'm

G u i l l b r m o L o r izD u M R A u r

Y la nueva cuota resultará, si se mantiene el número de períodos origltmbnenté pactados C= 35.214,06 a(ia00,0.01)=558,69

Como ios bancos imputan las amortizaciones parciales y cálculo del sal­ do del préstamo Los bancos suelen imputar el pago de amortizaciones parciales a la porción de capital-de las últimas cuotas, disminuyendo en consecuencia, el número de cuotas que resta abonarse. SI volvemos a nuestro ejemplo Inicial de un préstamo de $100 en 4 cuotas fijas de 31,54 a una tasa del 10%, y de repente el deudor quiere hacer un pago extraordinario de $ 20,68, e! saldo de la deuda sería el mismo tanto si fuera calculado a partir del méto­ do prospectivo o si el banco Imputara el pago extraordinario al capital de la última cuota, en aiy o caso el saldo por pagar sería de $26,07 : V js 31,54 a(l,2,0.10) =

54,75

- Pago Extraordinario =

f28.63)

Saldo neto

26,07

Se observa en la tabla fi.4, que si al final del segundo período (o al princi­ pio del tercero) se deben 54,75 y se abona por anticipado 28,60, el saldo icsultante es de 26,07, exactamente igual al que Ilegííbamos mediante el mé­ todo prospectivo. Período

Snido Intcinl

Interés perlátilcn

AmorÜzndón pcrlúdlcn

Cuntft

Ibíal nmnrUzaclo

1

ion

10

21,55

31.55

21.55

2

78,4P

7.85

2.1.7

31.55

45.25

a

54,78

5,'ia

26.(17

31.55

71,32

4

28.01

2.87

26.66

31.55

. \W

TOTAL

26,19 Tabla 8.4 Mattha del préstamo

d) Alargamiento del plazo rinalmente. si por algún motivo se concediera una refinanciación que contemple un plazo más largo, permaneciendo todas las demás x'arlables constantes, la cuota disminuiría. Por ejemplo, supongamos que al final de la cuota 20 , el deudor solicita se le alargue el plazo del préstamo por 10 meses más. de forma que faltarían 110 cuotas. En esc caso la nuex'a cuota sería:

C = 45.214.06 ti(u lO.O.Ol)’' = 679.60

P r íh a m o s c o n In t e r í s s o b r e S a l d o

2 5 3

C 4 5 . 2 I 4 . 0 6 ( ''- ° ‘ i ^ S g ^ = 679,60 {1 .0 1 2 )” “ 1

e)

Cambios en la tasa de Interés

Si la tasa de Interés contratada en el préstamo fuera variable, un tambio en ésta también origina un cambio en el valor de la cuota. Si p o r ejemplo, la tasa de Interés aumentara ai 1,2% al final del período 20, la nueva cuota a abonar a partir del período 21 sería:

C = 45.214,06 a(U 00,0.0I2)*' =778,83

C = 45.214,06

(1,012)'” xO,OI2

= 778,83

(1,012)"” - 1 Una refinanciación puede contemplar variaciones en todas las categortas de! préstamo (tasa de interés, plazo y hasta una quita del capital). En general, las reflnancinclones se pactan muchas veces haciendo una mezclado las tres varlable.s mencianadas, reestructurando la deuda de manera que el deudor pueda pagarla. Andlisis d e sen sibilidad d e la cu ota y los intereses p ag a d o s llesuUn interesante observar en la tabla ft.S corno sr ni*>diRca bt cuota nn este sistema cuando varía el monto del préstamo y el mimero d(’ perio­ dos. Lo lasa nominal anual considerada en lodos los ca.sos es del 12 %. V\n 13 meco m 15.000 1.333 cacoo 1.777 25-COO ZZ2\ aacoo ZE55 3SCOO ano Í0.000 aS54 4ÍCÜ0 3993 sacüo 5SCO0 mr eacoo 1331 6iW0 1775 7aooo 1319 71COO leM sacoo 7.1C3 85-CCO 7.S52 sacco 7.»6 95.0QD 1441 IKLOOQ 1K5

34 471 7oe w? t.177 1.412 t.&ia ).RI3 allí 2354 1559 1624 aceo 1295 as3t 1756 4.001 4.ZJT 4.472 -2+1 La Sumatoria nos dice que el Interés del prímer período se pagará por n cuotas de capital que falta abonar, el del segundo período por n *l, él dél tercero por n-2 y así sucesivamente, basta que en el último período paga­ remos por una sola cuota de capital. Como la Sumatoria de términos rnen-

3oc»

G u il l e r m o Ló pez D

uwrauf

donada forma una progresión aritmética decreciente, podemos utilizar la fórmula de la suma de términos para una progresión aritmética, donde: aj: primer término de la progresión a^: último término de la progresión N; ndmero de términos de la progresión 5 = £ l± Í L . x .v

Ahoi*a podemos expresar los intereses abonados entre cero y n como:

r/A \

V .n

+l

+l

i -------n = Vi -------

Seguimos ei mismo camino para expresar el cálculo de intereses entre otros períodos intermedios:

J

Y ^

V .n + n - { p ~ l ) n

2 f.y

Y

J

V .(/I —p) + l (n - p ) ! ( p , n ) = ‘- i

• 0 ^ J

n

------------- [ k - p )

. 2

m

P restamos

com

I n h r ís

sobre

S aido

Resumen de fórmulas Categoría

Fórm ula

Amortización periódica

Interés periódico

Cuota

V n

! { p - \ ,p ) =

C p = — [l -i-/(n - p + 1)] n

Tasa de interés

Toral amortizado

Intereses entre períodos no consecutivos

Interpolación lineal

T p ^ p n

-

■

n

2

Método prospectivo Vi

^, ~

V

Saldo del préstamo M étod o re:raspecth*o

Tabla B. 11 Fiirraulas del sisrema alemán Comparación enire el sísrem a de am ortización francés y alem án Si bien ambos sistemas calculan intereses sobre saldo, el diferente rit­ mo de amortización determina que diñeran en la cuota a pagar para idén­ tico préstamo. De esta manera, para el mismo monto obtenido en présta­ mo, la cuota en el sistem a francés resulta m enor al principio que la que se abona en el sistem a alem án, pero com o la cuota del alem án decrece en progresión aritm ética, a partir de cierto m om ento pasa a ser inferior a la del ñ nncés (en el sistema alemán se devuelve más rápido el capital, y los intereses decrecientes hacen que la cuota disminuya hasta quedar por de­ bajo de la cuota del sistema francés).

:K.g

G u il ie r m oL ó p e zD u m r a u f

o Interés ESCapital

2 3 Número de períodos

4

Figura B.9 Cuota sistema alemán

B1Interés S Capital

2 3 Número de períodos

4

, XVilKifT

Figura 8.10 Cuota sistema francés Como se aprecia en las figuras 8.9 y 8.10, para iüéntico préstam o de $100 a devolver en cuatro cuotas, la cuota es más alta al principio en el sistem a alem án ($35) mientras que en el francés siempre es de $31.54 para luego caer y ubicarse en $27,5; por debajo de la cuota que se abona en el sistem a francés. Otras consideraciones serían las siguientes: 1. Siem pre que coincidan las tasas de pacto en ambos sistemas, ten ­ drán idénticas TIR, ya que calculan los intereses sobre saldos de deuda. E.$lo los hace equivalentes desde el punto de vista del costo financiero. 2. Las ctiotas del préstamo, constantes en el francés y decrecientes en el alem án, son distintas en su importe pero equivalentes ya que en ambos casos la TIR coincide con la tasa de interés p a cta d a en el préstamo. 3. En el sistem a alemán se pagan menos intereses, debido a que el rit­ mo de amortización del capital es mayor que en el sistema francés. 4. En el sistem a alemán se amortiza la mitad del préstamo en la mitad del número de períodos (n), mientras que en el francés la amortización de la mitad del préstamo se produce en un número de períodos mayor a la mitad de "n” debido a la amortización progresiva del capital.

-

P restamos c o n Interes so &re Sa ld o

2^^

ResponsabiJjdacl del prestamista en los sistemas francés y alemán El p restam ista tiene la responsabilidad de reinvertir el c a p ita l q u e re ­ cibe com o am o rtización del préstam o en cada cu ota que co b ra , tanto en el sistem a fran cés com o en eJ alem án. No ocurre lo m ism o c o n el sistem a am ericano, donde el deudor es quien tiene la responsabilidad del capital, ya que lo devuelve recién en el Ultimo período.

8.3. Sistema AMERíCANo En este sistem a se ab on an ú n icam ente intereses calculados sobré sal­ do, (que siem pre serán iguales a í.V) y el capital se devuelve en una única cu ota al final del préstam o. D ebido ai esfuerzo financiero que significa devolver todo el capital de una sola vez, es posible que el deudor decida facultativam ente (o se obli­ gue por m edio de un con trato) ah orrar en una institución una sum a de dinero p e rió d ica (cu o ta facultativa) que le p erm ita co m p o n e r el capital del préstam o que tien e que devolver ai vencim iento. De m an era que en el sistem a am ericano podem os tener dos variantes: el tradicional y ccm con s­ titución de un fondo de am ortización o “sin kin g fu n d '\ Algunas entidades com o el B anco Mundial otorgaron créditos de este tipo a em presas argen­ tinas en el pasado, tal el caso de Hidronor. A veces las em presas em iten bonos con cláusulas de sinking fund, donde se establece cláusulas conoci­ das corno “s in k in g f u t id r e d e m íio n ”, proced im iento m ed iante el cual un in stru m ento de renta fija o bono se va am ortizando periód icam ente de form a parcial en las fechas previstas para ello. El prestatario debe ir asig­ nando ios ingresos que va recibiendo de su actividad a un fideicom iso en donde se m antienen cu entas de reserva para el servicio de la deuda. Sistem a am erican o tradicional En el sistem a am ericano tradicional se pagan solam ente imei eses so­ bre el capital y éste se devuelve en la última cuota, com o se apref ia en la figura 8.11: t20

100

-

80 w

60

40 -20 ••

o Número de períodos 0 INTERES BAMORTIZACION

vv-r: r:r

Figura 8.11Cuota sistema americano ."■ O: , .

. .

,

...............................................................

G u íil e r m oL ó p e zD u m r a u f

Cuadrv» de marcha En ta tabla 8.12 se observa la marcha del préstamo; sdlo se pagan intere­ ses y eJ capital se abona al vencimiento. Período

Saldo inicial

Interés Amortizactdn perlddico periódica

Qiota

100

10

lOÚ

10

10 10

100

10

10

loo

10

Total

40

iOO

lio

Total amortizado

100

Tabla S.I2 Marcha del préstamo Siscen ia a m e rica n o co n c o n stitu ció n de Fondo de A m ortización Es lina variante del sistem a am ericano tradicional, aunque en este caso e s posible realizar un ahorro periódico en forma voluntaria, con el fin de co m p o n e r el cap ital del préstam o (V). Así es com o se deposita una sum a de dinero en u n a in stitu ción financiera donde se gana una tasa de interés i* (que es una tasa de interés pasiva) por lo cual esta modalidad a veces es d en om in ad a “sistem a de las dos tasas" puesto que se paga una al banco por el p réstam o y se gana otra en el ahorro voluntario. Como el deudor está pagando en este caso dos cuotas (la de interés del préstam o y ia facul­ tativa) su cu ota total sería: C = :V i+ C F La CF (cuota facultativa) es la que le perm ite acum ular el valor del prés­ tam o, y esta corriente de pagos tiene la forma de una imposición para acu­ m ular \/: V =-C F,s(l,n ,i’)

por lo tanto CF = V .s{l,n,i') ‘

Siendo i' la tasa que se gana en el ahorro de las cu o ta s facu ltativ as para con siiiu ír el fondo ele am ortización.

C o m p aració n de la cu o ta que se a b o n a en el sistem a am erican o de las dos tasas con la cu ota del sistem a francés Si í'= i, p od em os reem plazar en la ecuación de la cu ota total que se pagaría con constitu ción de fondo de am ortización para dem ostrar que la cu ota cota! que se pagaría entonces en esta variante del sistem a am erica­ no sen a igual a l a cuota que se abonaría por idéntico préstam o en el siste­ m a fran cés: C V i + V s(l,n ,i)*‘ 5=V (i+ s(l,n,i)-*j

m

m

I^RESTAMOS CON NJTtRES SOHRfc :>Al,DO

sn

y como i + sü,n,í) ‘ = a(l,n,i) ‘ Nos queda entonces C = Van,n,i)'‘ que es la expresión para la cunia dinl sistema francés. Queda demostrado entonces que si ia tasa de interés ganada en el aho­ rro de la cuota facultativa i' íuera igual a Ja i del préstamo, la cuota total que pagaríamos en esta variante del sistema americano sería igual a la cuota que se abonaría en el sistema francés. Hemos realizado la comparación cnn la cuota del sistema francés puesto que esta última es constante (en el siste­ ma americano con constitución de fondo de amortización también se paga una cuota constante, que es igual a la cuota del préstamo más ia ciio ta íacu Itativa). Resumiendo; Si - ¡'> i

-C americano < CF

Si

l' = i

C americano = CF

Si

i' < i

C americano > CF

A la vez surge un a nueva tasa efectiva para el tom ador del préstam o cuan­ do íV i, q u e llam arem o s i" y que p o d em os resum ir a s í : .

Sí

í'> í entonces i" < i

Si

í'= i entonces i“ = i

Sí

V< i entonces

i" >I

Ejemplo Sup onga un créd ito p o r $ 5 0 .0 0 0 .- que tien e una tasa de interés del 1% m ensual y q u e se devuelve en 10 cu otas por sistem a am ericano. Realizare­ m os los cálcu lo s p ara el ca so d ond e se ahorra un a cu ota facultativa que gan a u n a ,la s a de in te rés i ’ en u n a In stitu ció n financiera, que supondre­ m os se puede u b icar p o r en cim a o por d eb ajo de ja tasa de interés del cré­ dito. La cuota que se ab o n aría por id én tico p réstam o en el sistem a francés sería de $ 5.279,10. V am os a d em ostrar ah ora lo analizado m ás arriba a)

i ' - 1,5%

C= 5 0 ,0 0 0 [0.01 + 5 (U 0.0.015)-^ b ) V=0,5%

= 500 + 4.671.71=5:171.71

(V < i)

C= 5 0 M 0 [0,01 t s(l,10,0.005y^

c) V = l %

T

( i ’ > i)

(Vlz

C,^ = 573.88 + 173,8 8 ia ,0 1 )‘» -(l,0 1 )« -‘10.21=648,49

^ Cugl3,4 lUA' 657.88 573.83 65772 S73Jffl 657,15 57378 656.78 S73.B8 E5E.40 57378 ^,□ 2 57378 573,88 65574 573.88 655.25 57378 65476 654 46 57378 573.88 65476 573.68 65375 65325 57378 57378 6S274 652.43 573;ffl 65271 57378 65158 57378 651.15 573.86 57378 650.72 57378 65028 573.88 6497* 549,40 57373 , 648.95 57378 573.08 r '5>::£48,4Sí^ti;

-Cuala

í^ i

m fe ■ p . fe jr - i

fe; !§•

vv''

‘

C a p ít u l o s

P r é st a m o s c o n I n t e r e s e s D ir e c t o s "Sí qu ieres saber el v alor d el dinero, traca d e consegu irlo p restado” Benjanjín Frankiin fl706-I79ój. Ciennfíco. político y fildsofo norieanjericano

I ntroducción En el capítu lo an terior vim os los sistem as de am ortización de présíainos que calcu laban intereses sob re saldo. A unque estos sistem as son los de uso m ás extendido, existen otros tipos de préstam os que calculan los intereses d irectam en te so b re el capital de diversas form as, lo cual hace que la tasa á t interés de estos sistem as se transform e en u n a tasa ficticia, toda vez que la verdadera tasa de interés im plícita es d iferente de la tasa de contrato y deber > ser calculada por in terp olación lineal. Tam bién las entidades financieras ponen a disposición de los clientes lín eas de créd ito que no se e n cu a d ra n p e rfe cta m e n te en alguna de la.s m odalidades que hem os descriio. En general, se diseña un tipo de présiu mo cuyo program a de am ortización de capital y pago de intereses se ali­ nee con el flujo de efectivo del cliente, tal es el caso de los préstam os para el se cto r agropecuario. En este capítulo tam bién se realiza una consideración sobre los efeGios de un d eterm in ad o tipo de p réstam o sob ré la rentabilid ad em presaria, desde el punto de vista del a p alan cam ien to fin anciero y el ahorro fiscal que generan los intereses de una deuda. Aunque los m étodos para la eva* liiación de proyectos de inversión serán tratados exhaustivam ente en el próxim o cap ítu lo, aq u í se m e n cio n a n algunas m edidas de rentabilidad com o el VAN y la TÍR de un proyecto y cóm o éstas se modifican cuando el proyecto es financiado con alguna de las modalidades conocidas. Después de leer este capítulo, usted deberia ser capaz de: • Calcular el verdadero costo efectivo de Jos préstam os con intereses di­ rectos sobre el capital. • Calcular los efectos sobre la rentabilidad del capital propfo que tiene la elección de un determ inado tipo d e préstam o.

Záo.

G u II LFIVMO Lí ÍPEZ, OUMiUUF

ü.l, Préstv\mos con íntí-reses directos .Se d e n o m in a n p ré s ta m o s c o n in te re s e s d ire c to s a a q u e llo s q u e d e u n a fo rm a u o tra , c a lc u la n lo s in te re s e s d ire c ta n ^ e n te s o b re e l c a p ita l q u e c o m ­ p o n e el p ré s ta m o , y lu e g o los d is trib u y e n e n tre la s c u o ta s . E s to d e te r m in a { jiie e n to d o s lo s caso s la ta sa n o m in a l a la q u e se c o n tra te el p ré s ta m o ie.sulte s e r u n a la sa fic tic ia , ya q u e n o re p re s e n ta el v e rd a d e ro c o s to e fe c ti­ v o de ! p ré s ta m o , q u e p u e d e c a lc u la rs e si se o b tie n e la tasa e q u iv a le n te so* l ’ re s a ld o p a ra c a d a u n a d e las tasas d ire c ta s q u e se u t iliz a n en es to s s is te ­ m as. E x is te n v a ria n te s , p e ro a q u í d e s c rib ire m o s las q u e c o n s id e ra m o s m á s im p o rta n te s , a s a b e r; a . Tasa d ire c ta c a rg a d a b. Tasa d ire c ta d e s c o n ta d a c . T a sa d ire c ta p ro m e d ia d a

_

.

la s a tU rc c ta c a rg a d a Los in te re s e s se c a lc u la n d ire c ta m e n te s o b re el c a p ita l e n ig u a l fo r m a q u e e l r é g im e n s im p le ; lu e g o e l to ta l d e in te re s e s se s u m a n a l v a lo r d e l p ré s ta m o , y p a ra c a lc u la r e l v a lo r d e la c u o ta se d iv id e )a s u m a de \ ^ I ( 0 , n ) p o r el n ú m e ro to ta l de p e río d o s n . La ta sa d e in te ré s u tiliz a d a se d e n o m i­ n a V , p a ra d is tin g u ir la d e la " ¡ " q u e re p re s e n ta a la la s a d e in te ré s s o b re s a ld o s ,

V’ + /(0,;t) _ V + V n i

(li-r/i)

C o m o lo s in te re s e s se c a lc u la n d ire c ta m e n te s o b re e l c a p ita l in ic ia l y lu e g o se p ro rra te a n , su rg e d e este s is te m a u n a ta s a e q u iv a le n te s o b re s a l­ d o s q u e es m a y o r q u e la tasa d ire c ta r, s ie n d o r u n a ta sa fic tic ia , p u e s to q u e si u n o c o m p a ra la ta sa de iu ie ré s s o b re sa ld o s q u e a b o n a p o r p e río d o , se o b s e rv a q u e ésta es m a y o r q u e la ta sa d ire c ta " r" ; p o r e je m p lo ,, si o b s e rv a ­ m o s la c o lu m n a "ta s a s o b re s a ld o s " d e la ta b la 9,1 v e re m o s q u e e n e l p r i­ m e r p e n o d o se a b o n a el 10% (1 0 /1 0 0 ), p e ro en ei s e g u n d o la ta sa tre p a al 13.3,'l% ya q u e en la p rim e ra c u o ta se c a n c e ló $25 de c a p ita l, p e ro se s ig u e a b o n a n d o u n interé.s fijo de $10. E sta re la c ió n se m a g n ific a c u a n d o o b s e r­ v a m o s la tasa e q u iv a le n te q u e es a b o n a d a en el ú ltim o p e río d o (40% ) ya q u e s e g u im o s a b o n a n d o SIO d e in te re s e s p e ro a h o ra s o b re u n s a ld o d e

capital de S25 (1).

(1) Los préstamos coninteresesdirectos noconstituyenunverdadero"sistema" U amordzacidnpériddicaque mostramosaquí es solamentealos efectos depoderdespejaran Inte­ res sobresaldo.

P restam os

Período

Saldo

con

Intereses D

irectos

Tasa sobre T o t.'l Cuota saldos arnoTiiriído

Interés

Ainorüzáddn

100,00

10

25

10%

75,00

10

25

1333%

inicial

2SI

p e rió d ic a

35

25 50

50,00

10

ZS

20 %

35

75

25,00

10

25

'10%

35

10('

TO TAL

40.00

Tabla 9 .) Intereses directos cargados por período

De la observación de la tabla 9.1, surge claramente que la tasa de inte­ rés sobre saldo que abono en un préstamo de $ 100 que se reintegra en 4 cuotas de $ 35, debe ser mayor al 10 % aparente que me dice lá tasa carga­ da en forma directa; lo cual sugiere la existencia-de una tasa de interés sobre saldo equivalente que debe ser mayor al 10 % y que calculamos a continuación.

Obtención de la tasa sobre saldos a partir de la directa cargada r Para obtener la tasa sobre saldos, simplemente calculamos mediante el procedimiento de la interpolación lineal reiterada, que es la tasa "im ­ plícita" que actualiza la corriente de 4 períodos de S35. igualándola ál va­ lor del préstamo de $ 100;

100 =

35

35

35

35

(1+ 1)

(i+ í)'

(1+ / )’

(i+ iT

"

t t 4

Por interpolación 14,96°>\

En este ejemplo, la tasa de interés sobre saldosTesulta casi un 50Td mayor a la tasa directa cargada, que es una tasa "ficticia", pues no repré­ senla el verdadero costo efectivo de la operación.

Obtención de la tasa directa a partir de la tasa sobre saldos Para obtener r a partir de i. igualamos las fórmulas de las cuotas para los sistemas francés y directa cargada, ¿Por qué obtener r igualando la cuota del sistema de la tasa directa cargada con ia cuota del sistema francés? Siniplemente porque en ambos sistemas la cuota es constante: no hubiéra­ mos podido obtener una equivalencia en un sistema donde la cuota no

0

Í8 3

G u iller m o López D um rau f

permanece constante, como sucede por ejemplo con eJ sistema alemán o el americano.

.i(l,n,/T' = - + n

■m

»

é ''ñ

' S

I

■"^1

n (l,n ,/ )’ ‘ -----= r n La relación en tre r e i cuando se m odifica el núm ero de períodos

En este tipo de préstamo, como JiemosLVisio, hay una tasa de interés ficti­ cia y para calcular la tasa verdadera de interés debemos recurrir a una interpolación. Sin embargo, la diferencia entre esta última y la tasa de con­ trato ficticia no es constante conforme varía e! número de períodos. Debi­ do a que existe un momento en que dicha diferencia atraviesa por un máxi­ mo, conviene exam inar esta relación cuidadosamente, debido a sus implicancias económicas para el prestamista y el prestatario. Las tres rela­ ciones básicas que debemos tener en cuenta son las siguientes:

1. Cuando el número de períodos es igual a l(uno) o cuando tiende a infinito, la i y la r son iguales (si el número de períodos es igual a uno, la casa que se abona es igual por el sistema sobre saldos (francés) que por el método de la tasa directa, y cuando n tiende a infinito, prácticam enie no se a b on a capital, con lo cu al el interés pasa ser un interés sobre saldo. Si n = 1 reemplazamos en la ecuación que nos permite obtener r, el número de períodos por 1(uno); observe que la expresión a (l.l.i)‘‘ es igual a 1+i pues como a(l,l,i) sin el exponente "-1“ representa un pago vencido de $1 que es igual a 1/1+i, al elevar a la menos uno el término se invierte y queda fl+i). Como restamos 1/1, finalmente el miembro del lado izquier­ do es igual a i, por lo que i=r

si n—>«, la expresión a (l,l,i)'"e s igual a i, y como el segundo término aparece dividido por infinito, tiende a cero, y de nuevo í=r íí(I,oo,í)’ ‘

■m

m ..4 ' 4

n

OO

r

2 La relación entre la i y la r muestra que son iguales en n = 1, para luego i pasar a ser mayor que r, alcanzando una distancia que es máxima en un momento (que es óptimo para el prestamista) y luego vuelven a

P r is t a m o s

Intereses D iREcros

con

¿H i

igualarse cuando el número de perjfodas tiende a infinito, como se obser­ va en la tabla 9.2 y en la figura 9.1.

Período

Cuota

r

i

1

no

10%

10,00%

2

60

10%

13,07%

3

43.3

4

35

'*

10%

1426%

10%

14,96%

5

30

10%

1524%

6

26.7

10%

1534%

7

24,3

10%

1535%

8

22,5

10%

1529%

_9

21,1

10%

152íÍ

iB § M

10

20

10%

15,10%

n

19,1

10%

14,98%

■'m'

12

18,3

10%

14,85%

Tubia 9.2 Helac'idn entre l í rasa directa y la tasa sobre saklos cuando cam bia el núm ero de perfudos

,

En la figura 9.1 se aprecia cómo la diferencia entre la tasa sobre saldos y la tasa directa es máxima alrededor del período siete, para luego comen­ zar a disminuir y acercarse nuevamente las tasas cuando el número de períodos tiende a infinito. Esto claramente significa que hay un período óptimo para "calzar" los préstamos desde el punto de vista del presianiista, si es que se desea maximízar la rentabilidad de cada peso prestado. 18% 16% ■ 14 12 %

i (tasa sobre saldos;

y i dilerancla máxima

-

10“/c 8"/- -I

6%

/

r (lasa ciirecia}

-

4% ■ 2% 0%

0

/^o"

20

30

40

50

patiocio dplim ó

Figura 9,1 Diferencia entre “r" y la tasa sobre saldos

60

2S'\

G uillerk\o Lúriz D umrauf

3, La diferencia entre ambas tasas es mayor cuanto menores son la I y la r en vaJorcs nominales: sí por ejemplo la tasa directa utilizada es del 1%, la diferencia con la i equivalente es mayor que si la tasa directa utilizada hubie­ ra sido digamos, el 10 % Ejemplo: FJ 10 de mayo de 1992, un aviso de una concesionaria de automóviles prom odonaba el siguiente plan de pago para el modelo Peugeot 405: Cantidad de cuotas: 36 pagos mensuales Tasa de interés directa: 0,54 % mensual Precio contado del automóvil: $ 32.000 Primero calculamos la cuota a abonar:

C = 32.ÜOOX

= 1.061.69

36

Luego, !a tasa de interés sobre saldos equivalente es la que iguala la corriente de cuotas ai v^alor contado del automóvil:

..---i

32.000 = 1.061,69 ¿7(1,36,0.. Pesolviéndo por interpolación lineal reiterada, i = 0,98%. Es fácil observar que se comprueba ía relación mencionada anterior­ mente, pues la tasa sobre saldos no llega a ser el doble (0,98%), pero la diferencia es mayor que en el caso anterior, donde la diferencia entre ta­ sas no superaba el 50 %.

Nilmero Períodos 12 24 . 36 48 60

Qioía

r

i

2839,5 1506.1 1061,7 839,5 706,1

0,54% 0.54% 0,54% 0.54% 0,54%

0.98% 1.00% 0.99% 0,98% 0,97%

Tabla9.3 Relaciónentre latasa directa ylata.sasobre saldos cuandolas tasas decontratoson“bajas"

I fp ,

V «a

Finalmente, en la tabla 9.4 se muestra una serie de equivalencias en­ tre la tasa directa y la tasa sobre saldos cuando cambia el número de pe­ riodos del préstamo.

M í

f

205

Préstamos CON Intereses Directos í\Jt

l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50

1% bO% u% 1,5% 1,6% 1.6% 1,7% 1,7% 1.7% 1.0% ' 1.8% 1,8% 1.8% 1.8% 1.7%

2% 2,0% 2,7% 3,0% 3.2% 33% 3,3% 3.4% 3.4% 3,4% 33% 3,4% 33% 33% 33%

3% 3,0% 4.0% 4.4% 4.7% 4.8% 4.9% 5,0% 5.0% 5.1% 5.1% 5.0% 4,8% 4.6% 4,4%

4% 4.0% 5.3% 5.9% 6,2% 6.4% 6.5% 6,6% 6,6% 6,6% 6.6% 6,4% 6,1% 5,8% 5.6%

5% 5,0% 6.6% 7.3% 7,7% 7,9% 8,1% 8,1% 8,1% 83% 8.1% 7,8% 7,3% 7.0% 6,7%

6% 6.0% 7.9% 8,0% 9.2% 9.4% 9.6% 9.6% 9.6% 9,6% 9.6% 9.1% 0,5% 8,1% 7,8%

7% 7,0% 93% 103% 10,7% 10,9% 11,0% 11,1% 11,1% 1M% 11,0% 103% 9,7% 93% 8,9%

8% 8,0% 10,5% 11,6% 12.1% 12.4% 12.5% 123% 12.5% 12.5% 12.4% 11.5% 10,8% 103% 9,9%

9,0% U.8% 13,0% 13,5% 13.8% 13,9% 14,0% 13,9% 13.9% 13.8% 12,7% 11,9% 11,3% 10,9%

10% 10,0% j;u% 14.4% 15,0% 15,2% 153% 15,3% 15,3% 15,2% 15.1% 13,9% 11,0% 12.4% 12.0%

Tabla 9.4 Equivalencias entre la tasa directa yla tasa solire saldo

i

i i

« i

I i

€ €

i

i

i 9 .2 . I ntereses directos descontados

€

Es el caso donde se descuentan sobre la deuda inicial todos los intere­ ses del préstamo. Los intereses se calculan bajo las reglas del régim en sim ­ ple sobre un capital nom inal y el prestatario recibe en realidad un "présta­ m o efectivo" que es igual al capital nom inal que solicita en préstam o m e­ nos los intereses que le deducen por adelantado.

i

€

Siendo: í = la tasa de interés directa descontada y N = capital n o m in al de la operación;

i

Los intereses totales son iguales a 1(0,n) = N.t.n y el valor que se recibe en préstam o es igual al capital nom inal m enos los intereses totales: V = N - N . t . n = N (l-t.n ) D e form a tal que primero debem os calcular el capital nom inal (N) que d ebem os p e d ir para un préstam o efectivo (V). Supongamos que la tasa t = 10% n = 4 y que queremos recibir $100 com o préstamo efectivo. El ca­ pital nom ina] de la operación será: N =

V

100

(1-r/i)

(1-0,10x4)

= 166,66

Entonces la cuota que deberá abonarse por el préstamo es igual a N /n = 166,66/4=41,66.

i « ü « m

m

m -'

G u i l l e r \ioL ó i^ e zD u m r .\u f

D tvform a tal que hem os recibido $100 en préstam o que am ortizarem os en 4 cu otas fijas de $41,661; observe que la verdadera tasa efectiva de in te­ ré s es la q u e iguala la siguiente ecuación: 100=

41,66 (i+ n

41,66

41.66

41.66

- — - T + - — -T- + (i+ i)’ (i+ í)’ (i+ í)'

P or interpolación 24,08% La tasa sob re sald os “i’’ de la operación fue, calculada por interpolación lineal, aq u ella q u e iguala la co rrien te de 4 pagos de $ 41,66 con los $ 100 que se recib iero n en préstam o. O bserve que tanto la tasa de interés directa cargad a com o la casa d irecta d escontad a no expresan el verdadero rend i­ m ien to o co sto de la unidad de capital en el período. Son tasas ficticias que sólo sirven co m o recu rso para e sta b lecer la cu ota periódica o d eterm inar la su m a realm en te p restad a cu ando ella no coincide con la solicitad a. Si se d esea o b te n e r el co sto efectivo de la op eración siem pre debe hallarse la tasa so b re sald os.

O btención de r a p artir de la tasa directa cargada Puede o b ten erse la tasa directa descontada a partir de la tasa directa cargada si relacionam os los valores actuales obtenidos con el sistem a de la tasa sobre saldos (francés) y de la tasa directa descontada, tenem os: V ^ .C a (l,n ,i) = N ( l~ t n ) C o m o N=nc, podem os reemplazar en la igualdad anterior: V~ C a (J,n ,i) =: n C (l~ tn ) Y sim plificando la cuota C queda n ( j~ t n ) - a ( J ,n ,i) Corno lo que querem os obtener es una expresión que sea igual a la lasa directa cargada (r). invirtiendo los términos, y luego restando y sum ando al primer m iem bro nt, podremos simplificar la expresión (1-nl) en el primer cociente, para que quede 1/n; ~

1 1 -n f

nt

n (\ —n t)

;i(I-7 i/ )

n

(1 - n / )

Y sí recordam os que ¿ i(l,n ,r)" —

n

= r

P restamos cüN Í ntereses D irectos

2.8 >

E nton ces tam bién jTodemos expresar r e n fu n d ó n de t y viceversa: r s=-

t

r=

rn

¿Existen casos de préstam os con intereses d escontados en la vida real? En 1994 un grupo de m ultím edios argentino obtuvo un préstam o de este tipo en el exterior. Lo cu rioso ñ je la operatoria: previo a recibir el présta­ m o, ía em p resa d eb ía ad ela n ta r los in te rese s. En la p ráctica, el flujo de fondos era igual a un préstam o con intereses descontados. Aunque es poco frecu ente, a veces ap arecen casos de entidad es que otorgan este tipo de préstam os a sus em pleados. Tam bién en algunos estados brasileros, existen organism os g u berna­ m entales que otorgan este tipo de préstam os para em pleados públicos y ju bilad o s. ( *

9 .3 . I n t k r e s e s

p r o m e d ia d o s

Los intereses prom ediad os representan una modalidad donde los in ­ tereses se calcu lan igual q u e en el sistem a alem án, y luego se distribuyen en partes iguales para cada cu ota del préstam o:

Interés prom ediado =•

/(O.n)

Las cu otas son co n stan tes, y z que están conform adas por una porción de intereses que es co n stan te m ás u n a parte de am ortización de capital tam bién con stan te, igual que en el sistem a alem án. Los intereses periódicos se calcu lan so b re los sald os a fin del período anterior, por lo tanto son d ecrecien tes en progresión aritm ética, pero a ios efectos de su cobro se sum an y se prom edian, por lo tanto se convierten en intereses consraniei para el deudor. D en otarem os cóm o "u" a la ta sa de interés de contrato en este tipo de préstam o para poder distinguirla de la verdadera tasa “i" sobre saldos im plícita en éste. Para calcular los intereses a e un período cualquiera usamos Ja misma fórmula que en el sistem a alem án; / ( / ? - l, p ) = n —

( n - p + I)

. n ■

-

■■

r

:

■■■■■■ • ’

.

n e iá c í d n e n t r e la ta s a d e in t e r é s p r o m e d ia d o s U y la ta s a s o b r e s ó id o s í

La tasa ii d ebe ser m ayor que í para am ortizar idéntico préstam o ya que no p erntanece co n stan te u través del tiem po según se observa en la figura 9.2 íháy im diferim iento de intereses con respecto al sistem a alV> mán): ‘

Güiuíumo Lórtz DuMPJvur

Período i

Interés InIcJol perlrtdlco im in S fíkio

Interés prome* diodo íi,25

1 AniorU- Oiatn Oinfn Tbtnl zacJrtn dst. pcriddfcn nlnmüi pronirdlo arnorUzndn 2't 25 3J.25 25

-J_ J 3

75

7.5

6,25

2'»

m

fi

6,25

2Í¡

30

31.25

75

4

2'j

2,5

0,2'i

2*¡

27,5

31,?.5"

lt)0

'ííTIAL

25

“

32,5

31.25

50

1

laMrt 0 'í Intffrfftrnprnmmlindoi ÍMlMrtílíWI

rijxuríi 9.2 CuoM con }nlpr?te-, pmmetlmdo^

Como puede apreciarse en la figura íi.2, Jus iníereses nhoiiados sobre «aldn son menores al principio que los que se alionarían en tm préstamo por el sísíctiia alemán a la misma tasa de interés de contrato pero Iiicro P'Lsan a ser más altos conformo se avanza en el tiempo. Sí bien el total de interf'so? alionadas es Igtial en ambos préstamos, liay un rljííTjniienla de nitereses que se termina abonando en las últimas cuotas. Como iodo pago ^r» el ftitmn vale menos en el presente, esto determina que la tasa "I" equi■calente sea menor a la tasa "u" de contrato. La verdadera tasa sobre saldos la que iguala la siguiente ecuacidn;

, 00 =

n+/)

(i+ iy

(i+ / y

(1+/)'

P or in terpolación 9,56%

r R É S T A M O S C O M Í M T £ R £ 5 £ 5 D I R E C T O S

239

9.4» líJTEnESES ADEÍ.ANTADOS y AMOnTfZAQÚN VEfODA

i

Esto modalidad es la que originalmente se denomlnd "sistema nleinátr dado que en algunos países de Europa Oriental era cormíri que lo*^ intere­ ses se abonaran por adelantado respecto de cada período y la aíuortb-acldn ticl capital so realíce por período vencido. De forma tal que es igual ai sistema que en la Eepübllca Argentina se conoce corno alemán- con la linlcn diferoncin respecto al momento en que se pagan los Intereses. Eslo introduce una serle de cambios en la tabla de marclm del préstamo por .sistema alemán que tiicnclonamos a continuación: I. Los Intereses se pagan por período adelantado aunque siguen calcu­ lándose sobre el saldo fíela deuda al Ipicio dcl período. Por ejemplo, el inte­ rés del primer [)críodo será: '

l(0,l)=\'.ii

(>otm» los Inlcre.scs se abonan por adelaiifhdó, la tasa del pré.s«am'» es criinn una tasa de descuento (dj; por lo tanto los Intcrese.s son variables y decieclcnle.s en pmgrc.síón aritmética de razón - V.d pues los Intereses se lefluceii petindo n período en el producto de la lasa de descuento por el valor fiel préstamo. 2. Los ÍMtcrc.scs de la lilllma cuota son nulos (el üllimo sr'i-vdcio S'ilo con(lene amor t Iznclón de capital). 3. Iiinln con la entrega del dinero dcl préstamo se deduce el interés corjLvqjniidicntoal fii lnicr período, de forma lal

» .:

m i

25 (i+í)^

P o r interpolación U , 1 1 %

Observe que el préstamo efectivo es de $90 (100 menos los intereses adelantados) y la tasa de interés sobre saldos que resulta es exactamente igual a la que surgía para una tasa de descuento del 10% a partir de la rela­ ción i=d//l-d) vista en el capítulo dos;

0,10

t= m .i

M ^ 0 + if a+/V

100-10

I ' i .

(1+/)

1 -r/

1 -0 ,1 0

= ii,n %

Concluimos entonces que la tasa implícita o TÍR de este tipo de présta­ mo e:i la tasa sobre saldos equivalente a la casa de contrato, que es una tasa de descuento o adelantada. 9 .5 . E l

c o sto

f i n a n c i e r o d e l a s d i s t i n t a s m o d a u d .a d e s

DE PRÉSTAMOS

m

Podemos resumir ahora el costo financiero de las diferentes modalida­ des de préstam o, com parando las que calculan los intereses sobre saldo con las que calculan intereses directos.

P r es t a m o s

con

I nteheses D

irecto s

Suponiendo que la lasa de contrato (nomina]} para cada sistem a fuera igual al 10%, y el número de períodos n= 4 (para ser coherente con los ejem ­ plos anteriores) el costo financiero de cada uno, ordenado en form a ascen­ dente sería; SISTEMA

Tasa efectiva

intereses directos promediados

9.56 %

francés

10,0%

alemán

10,0%

amen cano

10,0 %

intereses adelantados

11,11 %

intereses directos cargados

14,96 %

intereses directos descontados

24,08 %

Tabla 9.7 Comparación de costo fínandera para diferentes modalidades de préstamo

9.6. O tius

modalidades de préstamos üTIUZADAS

EÍ4 LA PRÁCTICA Algunos bancos argentinos han ideado algunos sistem as de préstamos que no necesariam ente se idencifícan con alguno de los vistos hasta ahora. Pasam os a describir algunos de ellos, por encontrarlos de cierta origina­ lidad.

El préstam o con saldo milLzable Se trata de un préstamo cuya cuota de amortización se realiza por un enésimo del préstamo (V/n) al igual que en el sistema alemán y las infereses se calculan sobre saldos, pero con la variante de perniitiile aJ diente utilizar una porción de! préstamo otorgado como si fuera una cuenta co­ rriente. Este Kie un producto que tuvo una gran aceptación entre los clientes que recurrían generalmente al descubierto bancario para financiar el giro del negocio. E! costo del descubierto bancario es muy alto; esta modalidad les permiiió, mediante la hipoteca de un inmueble, ir retirando dinero en préstamo de acuerdo a sus necesidades con un interés muy inferior al des­ cubierto bancario. Una vez utilizada una fracción del monto otorgado como préstamo, era obligación cancelar dicha suma en “n" cuotas, pero luego se perntitía la renovación del crédito y el ciclo volvía a Iniciarse. Si bien toda hipoteca tiene costos de transacción, la diferencia en el costo fínandero era muy grande. v ; . :

-

,';í '

G uillermo López

D umilaup

Prestamos para actívidacles específicas Algunos bancos de plaza, como el Banco de la Provincia tie Buenos Aires, tienen algunas líneas de préstamo que buscan ser un traje a medida de las necesidades del cliente. En general, establecen cronograrnas de amortiza­ ción que se encuentran "calzados" con el flujo de efectivo del negocio, de manera de asegurar su repago. A continuación se m encionan algunos casos. a) Préstamó'para pasturas En este préstamo se pagan intereses anualmente más un 50% del capital ai final del primer año, para saldar completamente el préstamo aJ final del segundo año cancelando el 50% del capital restante. Originalmente preveía una 1 NA del 14%. .

h j P réstam o p a ra siem b ra d e trigo,___

Este tipo de préstamo prevé cancelación de intereses y capital a los 180 días cuando el cereal ya se cosechó, vendió y cobró. LaTNA era del 9%. c) Préstam o p a ra gastos de ex p lotación y/o ad m in istración El cronograina de pagos para este Upo de préstamo era muy particular, por eientplo se pagaban intereses a los 180 días, luego Intereses + 50% del capital a los 270 días y rmalmeme intereses y el saldo del capital a los 365 días. laTM Aeradel 15%. Como se observa, en los tres casos mencionados las tasas son bastante más bajas que en otros bancos y la metodología de cancelación es única. También existe.ti a veces refinanciaciones con cronograrnas de amoríizadón en cuotas a los 210 v 270 días con la cosecha de .soja y maíz respeclívamente, alionando los iniereses en forma bimestral. En general, las ta­ sas de interés son siempre variables. En épocas de esLabílidad existían otros préstaiiio.s del Banco Bice con

Una tasa muy ventajosa y se otorgaba para compra de hembras. Otro caso eran los préstamos para financiación de exportaciones donde se daba un plazo de IRO a 210 días para cancelar intereses y capital. El importe de estos pré.stnmos erarv en proporción a los kilos de cereal destinados a la venta a algún exportador de primera línea.

9.7. Los SISTEMAS DE PRÉSTAMOS Y EL IMPACTO EN U

RENTABIUDAD

DEL CAPITAL PROPIO

Debido a que las empresas suelen conformar su estructura de capital con diferentes tipos de deuda, y en particular, las empresas suelen recurrir a los préstamos comerciales de mediano plazo para financiar su crecimiento, cree­ rnos necesario describir brevemente los aspectos financieros e imposiuT'os

que tienen los diferentes sistemas de préstamos y su im pacto en dr>s vária^ bles cruciales: a) La rentabilidad del capital propio b) El aljorro fiscal El ritmo de devolución del capital ajeno es diferente en cada sistema y modifica la palanca financiera puesto que varía según fjue tipo de sistema de amortización se utilice; el retorno del capital propio varía según el tiem­ po por el cual se usa dicho capital. Como regla general, diremos que cuando el rendiniisnfo de un activo supera el costo de la deuda, el rendim iento del capital propio se inci ementa (efecto leverage) y este efecto depende del ritmo de amortización del c a ­ pital y tam bién del ahorro fiscal que proporcionan los intereses que se pagan por !a deuda (2). Por ejemplo, suponga que usted tiene entre manos un proyecto que de­ manda una inversión inicial de $ 400 y genera ingresps netos por$ 150 duran­ te 4 períodos: ' i

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 FF proyecto

-400

150

150

150

150

TIR 18,4%

Tabla 9.B F lu jo de efectivo del proyecto sin finsinciam ienro

Suponiendo que el costo de oportunidad del capital fuera del 15%. el proyecto sería elegible, pues la TIR es del 10,4%. Analizaremos ahora que pasa con el rendimiento del capital propio cuando financiamos el proyec­ to con distintos sistemas de reembolso de préstamos. Para poder aislar eí efecto leverage del efecto impositivo, consitieraremos primero eí flujo de fondos del capital propio, restando de) flujo de fondos del proyecto los ser­ vicios de capital e intereses, sin considerar impuestos. Esto nos permitirá apreciar como se modifica el rendimiento del capital propio cuando varía el ritmo de devolución del capital según los distintos sistemas. Pnsleriorrnente, evaluaremos el impacto impositivo por separado (3j. Comenzaremos por aquellos sistemas que calculan intereses sícal propio

•300

Año l

Año 2

Año 3

Año 4

25

25

25

25

TTR

10

7.5

5

2.5

115

U7.5

120

122.5

21.03%

TIR

TablaBS Rnanciamientocoa sistemaalemán

.Ano O Ano 1 Ano 2

Ano 3

Año 4

21,55

26.0T

28,63

5,40

2.87

Afnordzadón Intereses F F a pitaí propio

•301

23,70

10

7.85

118,45

118.45

118.45 118.45 21,16%

T u blaS.lO Fin ancíam iem o co n sistem a francés

Añü 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Amortizaddn

0

Intereses FF capiialpropio

-300

0

0

100

10

10

10

10

140

140

140

40

mi

22,81 %

T abla 9.11 Fínanciam iento co n sistem a am ericano

Come puede apreciarse, en la medida que el rendimiento del proyecto es mayor al costo de la deuda, se produce un aumento en la TIR del capital propio. Este aumento es mayor cuanto mayores el grado de apalancamiento. El s iste m a a m e rica n o es aquel que provee el m ayor grado de apaiancainíento, puesto que el capital permanece más tiempo en poder del prestatario.

P restam os

con

InTtRtsts D

2 ‘>5

irecto s

Flnanclumienio con Intereses calculados dircctamentesobree] capital

Año 0 Ano 1 Año 2 Año 3 Año 4 Amortización

25

25

25

25

Intereses

10

10

10

10

115

115

115

115

FF cap propio

-300

Tm

19,6%

Tabla S.12 Intereses Directos Cargados

Amortización ■

*r

intereses

•

f

FF cap propio

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 25 23 25 25 6,25 -300

6,25

6.25

TIH

6.25

118.75 118,75 118,75 118.75 21.3%

Tabla 9,13 Intereses Directos Promediadoi C : X

í. *i.

Amortización Intereses FFcap propio

Ano 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 25 25 25 25 lU

7.5

5

2.S

O

•310

117.5

120

12Z5

125

TIR

2U.41 %

Tabla 9.14 Intereses«AdetanradosyAmortizaciónVencida(.AntizipatizenSinseni

Aniortizadón

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 25 25 25 25

Intereses FF cap propio

-300

1Ó.6

16,6

16.6

16,6

108.3

ioa.3

iaa,3

108,3

IIR

L6.5 %

Tabla 9.15 Intereses Directos Descornados Lil tabla 9.16 resume el efecto de la palanca Unanciera con las disiinias modalidades de préstamo:

Tipo de préstamo .Amerícano Francés Alemán Int. Directos Promediados Int. Adelantados Int DUecios Cargados im Directos Descontados

TIR 22,81 To 21,16% 21,03 % 21,3 % 20,41 % 19,59 % 16,52 %

Tabla 9.16 Efecto Je palanca financierasobre el rendimiento del capital propiu

G U I L lE lU r í O L ó r £ 2DUMRAUr

2 9 6

Tánlo éfsísteina francés como los sistemns aiemán y americano llenen el mismo costo financiero ya que tienen la misma TIR. En cambio, cuando los intereses se calculan en forma directa este apalancainlento disminuye debíclo al efecto de adelantarlos intereses o descontarlos directam ente. El lector puede apreciar en las figuras 9.3, 9.4 y 9.5 que siguen, cómo evoluciona la rentabilidad del capital propio cuando la financiación es con préstamos con intereses sobre saldos, por ser los que se utilizan para financiar inversiones a cierta escala, donde la diferencia en el ritmo de devolución del capital deter­ mina un mayor apalancaiiiiento.

m

\

.2 . - 3 Nro. de períodos

ü Amortización de capital n Intereses □ Rentabilidad del cap propia

Figura 9.3 Fin an ciación con sistem a am ericaiin

160 MO

120

IDO

'/ «

BO

‘

60

- ’-.'v / - ' •'''/i!

k A ceptar

~ k ¿ E lp roy ecto tiene o p cion es?

< k R ech a z a r

Figura 10,5 Regla de decisión de laTIR Hn el caso de que la TIR se encuentre muy próxima del costo del capiial, el VAN también sería muy próximo de cero, por lo cual nuevamente se aplica In que dijimos con respecto a dar un paso más e indagar si e! proyec­ ta tiene opciones y cual es su valor. Volvamos ahora al proyectó de la cade­ na de pizzerías de Azzurra para evaluarlo con Ja TJK: líK)0 =

500

500

800

(I +TIR) lí +TlRf {Umy

LaTIR dcl proyecto es 32,9%, y como supera el costo de oportunidad riel capital

también deberíamos aceptarlo.

;La TIR representa realmente la tasa de rentabilidad periódica que obtenernos en la inversión? ¿Azzurra puede quedarse tranquila y estar se­ gura de qué obtendrá un 32,9%? Para que esto realmente ocurra, deben cumplirse el supuesto implícito de la TIR acerca de la reinvereión de fon­ dos, que comentamos a conlinuadóm

T

é c n ic a s de

E v a l u a c ió n

de

I^r o y e c t o s

de

In v e r s i ó n

m

El supuesto de la reiiiversión de fondos En e! criterio de la TIR se supone im plícitam ente que cada flujo de rondos es reinvertido por el núm ero de períodos que falta para finalizar la vida útil del proyecto. Por lo tanto, se supone que cada flujo es reinvertido por ri-j períodos a la TIR; si inultiplicanios y dividimos la expresión con tenida en la Sumatoria por ri+T//y"'^ nos queda: —

(i+r/y?r

^

+

-F F o = 0

Esta últim a expresión es igual a la prim era ya q u e m uestra com o los distintos flujos de fondos son reinvertidos hacia el futuro por el tiempo que falta hasta el período n (el exponente n -j significa que cada flujo |es reinvertído por los períodos que faltan desde j hasta n) y luego son actualizados a la TIR por n períodos. Para él caso que nos ocu pa, la reinversión se vería de esta forma:

_ 500(1 + 0,329)^^- 500(1 + 0,329) + 800 (1 + 0,329)’ El criterio de la TIR supone que los fondos que libera el proyecto son reinvertidos dentro del m ism o o en otros proyectos similares a ia misma TIR. asum iendo que ese rendim iento se m antendrá con stan te durante toda la vida del proyecto. Cuando calculam os antes la TIR del proyecto, nada nos decía que ésta se apartaría del 32,9% ; por Jo tanto, el criterio asume un rendim iento constan te d urante la vida del proyecto. Estas condiciones muchas veces no se cum plen en la práctica, donde un proyecto que pre­ senta rendim ientos muy grandes en algunos períodos y rendim ientos muy bajos en otros (lo cual nos indica que la TIR es un p r o m e d io p o n d e ia d o de los diferentes rend im ientos que el proyecto gen era en cad a período). O podemos tener un proyecto con una TIR muy grande pero con escasas pipbabílidades de reinvertir los fondos "liberados" a la m ism a TIR. La TIR representa un rend im iento calculado "ex-ante"; la verdadera rentabilidad solam ente se con o cerá con exactitud al final de la vida del mismo y esa rentabilidad será "ex-pos(" que dependerá íundam entalm enté •de la tasa a la que puedan reinveríirse los fondos, En aquellos proyectos cuyo flujo de efectivo es muy dispar es claro que la rentabilidad no se m antiene constante. En aquellos proyectos que tie­ nen TIR muy altas, ia posibilidad de reinversión a la m ism a TIR dependera en mucho de sus oportunidades de crecim iento, pues la empresa debena encontrar continuam ente proyectos con la misma TIR En general, las com ­ pañías que descubren un buen negocio muestran altas tasas de rendimiento y crecimiento al principio (por ejemplo, telefonía celular) hasta que la apa­ rición de ia com petencia y los productos sustitutos hace que las tasas de rendimiento converjan h a d a el costo del capital y las tasas de crecim iento hacia el nivel de actividad económ ica general.' ' .

G uílLFíÜw -10 Lól*i;¿ D umkauf

-?ií&

Corivx»calcuiai la XIR sin ayuda de calculadoras financieras Si bien las calculadoras financieras y las planillas electrónicas de cál­ culo /a traen incorporadas funciones para el rápido cálculo de la TIR, rnost» aremos ahora un procedim iento matemático para obtenerlo sin ayu­ da due eí VAN sea Igual a cero, no significa que el proyecto no tenga

_______________ TtCNlC/\S DE E va UMCION DE l‘ aüYECTO-> Di \t\^/LUSUm _______ _ ^ 3 ! ‘ *

vaJor, pues el VAN se calcula con la rasa de oporümiciod, que iw debs coniuii dlrse con laTíR. LaTlH es la tasa intrínseca del proyecto, la tasa ‘'implícita" que iguala el valor presente dei flujo de efectivo futuro al desembolso inicial lo que sí es equivalente a un VAN igual a cero.

Cualquier rasa de interés de oportunidad (k) inferior a la TÍR indicará que el proyecto debería aceptarse (además, note que el VAN sería mayen que cero). La situación sería exactamente la inversa si-k ñiera mayor a la TIR. Esto nos conduce a una importante conclusión: Ejemplos de aplícacidn con Excel® y con calculadora financiera HP I2C Se realiza una inversión por $10,000 que generará 3.000,4.200 y6.800 en los tres años siguientes. Para calcular la TIR con Excel® o calculadora financiera HP12C: Con Excel® debe inuoduclr: =TiR( -10.000,3.000,4.200,6.800) es igual a 16,34% Con calculadora financiera HP 12C debe introducir; -10000 g CFo 3000 g CFj 4200 hCFj 6800gCFj lOi y finalmente: pulsar la tecla amarilla "f" yJuego ia tecla'*1RR" Recursos auxiliares 10,2 La TIR paso a paso con Excelt® ycalculadora íiiiaricíera H P J2 C

Proyectos “convencionales” o “sim ples”; cuando el VAN y la TIR coincitíen Se dice que un proyecto es "convencionar o "simple” cuando comienza con un flujo de fondos negativo que representa el desembolso de la invéisíón inicial, y luego se suceden una serie de flujos de fondos siempre posiuvos hasta el final de su vida lítil:

^ F F o f F/q 4- F F , -f ,......,...-!- FF„ + V r

310

G u !L L ffo .^ oL ó p e zD u m i i a u f

Este patrón de flujos hace que la función del VAN sea decreciente cuan­ do aum enta la tasa de interés de oportunidad. En los proyectos sim ples com o el de Azzurra donde la inversión es analizada individualmente (Azzurra no tenía otro proyecto com petitivo al de la cadena de pizzerías) siempre que sea elegible por el VAN, tam bién lo será por la TIR y viceversa. Esto se debe a que si la TIR es mayor a la tasa de oportunidad el proyecto sería aceptado también por el VAN^ ya que éste sería positivo y por lo tanto el proyecto será aceptado con cualquiera de los dos métodos. Si por ejemplo, la tasa de oportunidad fuera k,, ésta sería m a y o ra la T lR y sería rechazado el pi oyecto también por el criterio del VAN, ya que éste sería negativo, com o se observa en la figura 10.7:

VAN >0

VAN lMecH.,^^-x^vr---ír

■'.}y-CTyy-

Ji:/f:■ »,;■■ '-.•i;'-

/- ■ .,-sá;;vs=ií^

‘ v" . ,OS>áer»t*,H

i "i

; Í6wt»l)l¿«gied&.yí -

ü

-A

^

^

Figura 10.JOProcedimiento para encontrar la ITR con Solver

Finalm ente, pulsam os "resolver’' y aparece e) resultado de Solver en la figura 10,11: B6

'''/t'19.190288914128^"'"'" ■»»/ “ "Ffí . ' 0

fe ]-------^ —

FF, -200

FF, -300

•200

•3Ó0

$-O.OOi

üaT'

400"

2D0

J,.., ...

'

. L ■:

;

_ i

~r~ .......

■íis'dl'¿^^ií^¿íTifír'"

•■T'':'©Dí

.Slatver h » l ú ^ d a u ü : ( á k x t & v ^ h m ú t i f e á i a t o d t tt u rtstnaierKíyt:^^^; .• ^ a M d ó r^ ;^;u ~ 'i '-'¡í? t í;

í

Í5i ig r ji? n ___ yaj.-...

FF,

19.20%}

c o n lo lv F r

^It

!

1 400

...... .......

jEEEEE' tSs

.l-' rrAeen»*5- nera ingresos por un determinado período y más tarde requiere otra inyec­ ción de dinero para completarlo. La reinversiüii de fondos ■

•

~

.. Juan es un con.stnictor que se encontraba analizando los flujos de fon­ dos de un proyecto de construcción de viviendas. Como la mayoría de los pinpresarios, tenía inclinación por las medidas de rentabilidad que pudie­ ran expresarse en un porcentaje. Al serle expuesta la TIR del proyecto, la primera impresión de Juan fue sospechar acerca del 39% como tasa de ren­ tabilidad anua!. No creía que el proyecto pudiera generar tamaña rentabili­ dad, y por otra parte le preocupaba el desembolso que habría que realizar en el tercer año. El flujo de fondos del proyecto para la construcción de viviendas era el siguiente:

FF. ~ lO.OÓO

5.000

FF, 10,000

FF3

FF,

-2.000

4,000

5.0JK)

VAN a li o %

TTR

6.494,5

39.4 %

T a h l a l O . lS V A N v ri R

En procura de una medida de rentabilidad que contemple que tal vez no sea posible lo reinversión de (os fondos a la TIR, y que por otra parte incluye­ ra la forma en que se Rnanciaría el egreso del tercer año, los analistas del proyecto calcularon la TIR modi/ícrtdrt. Mfm forma de hacerlo consiste en suponer la reinversión de los flujos de íondos positivos a una tasa de reinversión segura (por convención se utiliza la tasa de oportunidad del 10% ya que ésta representa la oportunidad de invertir los fondos en un proyecto de riesgo similar) hasta el final del quinto año donde termina el proyecto. Los flujos de fondos negativos se supone son Tinanciados a la tasa que nos cuesta ei capital ajeno, que en este ejemplo es del 8%. De esta forma, los flujos de fondos negativos son vistos como finan­ ciando el faltatrte de íondos hacia el futuro. El valor acumulado al final resulta ser el valor futuro de los flujos de fondos Por último, se realiza el cociente entre el valor futuro de los fondos acumulados y el desembolso inicial, eleva­ do al inverso del número de períodos que dura el proyecto:

337

T é c n i c a s d eE v a l u a c i ó nd e P r o y e c t o sd eIn v e r s i ó n

'HRM ■[

5.000(1,10)' + lO.OOO(UO)’ + 4.000(1,10) + 5^000 - 2,000(1,08)^ 10.000

Ltio.ooo J

-i

-1 = 22.6%

27.697i7 representa el valor futuro neto de los flujos positivos y neír afivos que son reinvertjdos al diez-por ciento y financiados al 8% respectivamente. Finalm ente, mediante el cociente entre este valor y la inversión y calculando una lasa equivalente para el período de 5 años, se obtiene la TIR modilicacla. LaTIR M es del 22,6%, inferiora la TIR original del 39,4%. La diferenciase explica por la reinversión de fondos a una tasa inferior ai 39,4% y el efecto de financiarse ai 8%. O tra form a de calcular la T IR m odificada Existe una variante para el cálculo d éla TIRM (aparentem ente es el méto­ do que se conoció originalmente) que consiste en actualizar los flujos nega­ tivos con la tasa de oportunidad hasta el m om ento cero, integrándolos al desem bolso inicial (asimilándolos a una inversión), y capitalizar los flujos positivos hasta el final de la vida útil también con la tasa de oportunidad del capital. La TIRM que resulta en este caso es del 21%, algo menor al 22,6% que obtuvimos con el método anterior. TIRM =

tísica

5.000(1.10)' +10.000(1,10)^ +4.000(U O ) + 5.(íOO

30.030,30 11.587.66

10.000 + 2000(1.08)'

-J

- 1 = 21%

m í^ i

El problem a que existe con este método es que al actualizar los flujos de fondos negativos, cuanto más alta sea la tasa para financiarlos, menor serán en valores presentes, con lo cual aumenta la TIR modificada. Entonces, cuanto más alía sea lasa de financiamiento. mejor, lo que no tiene mucho S( ntido, ‘Como vemos, este método no explícita la capitalización del flujo de londos para el financiamiento, cuando la práctica usual sería financiarlo hacia ei futuro (15). TIR modificada: ejemplo de aplicación con Excel® La TIR modificada puede ser calculada muy fácilmente con la función TIRM de Excel®. Suponga que un proyecto requiere una inversión de $120,000

(15) Una dlscusiónsobre el tema puede encontrarse en el artículo déWiuj/w.lR. McDanIel,

ÜANia E McCartv, and KennethA. Jessell, "Discounted Cash Flowwith Expüdt Reinvpstmenl

Rates:Tutoríal and Extensión." TficH/wnctólfléw'citíAugust 1988,369-385.

338

G u u l e r m o L ó p e zD u m r /u f

w y generará flujos de efectivo por 39.000,30.000.21.000,37.000 y ^6.000 pesos durarfleesos cinco aflos de actividades. En ei aflo 6 es necesario financiar una ampliación lo que genera un flujo negativo neto para ese año de -20.000, el séptimo año íermina el proyecto generando un flujo de $40.000. Los flujos positivos se reinvierten al 12% y el flujo negativo se financia al 10%. Para calcular la TIRM simplemente pulsamos el signo/'y buscamos en funciones financieras TIRM; luego completamos la ventana en las casillas “valores” (para los flujos de fondos) “tasa de financiamiento" y '"tasa de reinversión" como aparece en la figura 10.17:

-rompaJW.itf.ta____ ______ 'I".

AA«1"

}" .jicop;

á li'i

.SL . 3?mQ _

ñ

^ r g u r m f c ; d 0 f u n e i¿ n

'■7i

i3J.V4t«if«fiwnroOT: l

is

Figura 10.27 TIR modificada con Excel® Un aviso de cuidado: tenga presente que Excel® calcula la TIRM actuali­ zando los flujos negativos al momento cero (tratándolos como una inver­ sión) y ello tiene el inconveniente mencionado anteriormente. El argumento para actualizar flujos de Inversión es que sf esta se producirá con seguridad, la casa)jara calcular el valor presente debe ser menor dado el menor riesgo de e ste flujo. Pero ya h em os d escrito lo que ocurre cu ando la rasa de financiamiento aumenta: el valor presente de los flujos negativo^ disminuye, con lo cual aumenta la TIRM cuánto más alta sea la tasa de financiamiento, lo cual no tiene mucha lógica. Otro caso que debe tenerse en cuenta es cuando hay proyectos m utua­ mente excluyentes y se producen contradicciones entre el VAN y la TIR. Es posible que al calcular e! flujo de fondos incremental para obtener la tasa de Fisher, se produzca más de un cam bio designo en su desarrollo y resulte más de unaTlR o ésta sea incalculable. En esos casos, Usted deberá calcular ei VAN o la TIRM si desea obtener una medida de rentabilidad periódica. ¿La TIR m odificada puede corregirlos errores de la TIR? En una sección anterior describimos una serie de situaciones donde la aplicación de la regla directa de la TIR conducía a un error. Vamos ahora a

w %

«

TáCHiCAi DE Evaluación dl Proyectos de Imveksioii

3 3 ^ -

volver sobre los ejemplos donde mostramos esas compiicaciones d e la para ver com o Ja TIRM puede vérselas con dichos inconveníeiues. Para ello reproduciremos dichos ejemplos realizando una compardcldii eiilre los re­ sultados que arrojan el VAN, la TIK y la TIRM. a. El problema del tamaño de la Inversión inicial

Proyecto AñoO A

•100

Año I

Año 2

Año 3

VAN

Tin

TlRftl

400

0

0

$263,64

300%

300.0%

250%

250.0%

B

-200

700

O

0

$ 436.36

B-A

•100

300

O

0

$ 172.T3 200.00% 20flLO%

Tabla lü.l6VAN.TIHyTIRMIncrement4iJes f Volviendo a nuestro problema del (amaño inicial, y calculando laTIRM , podernos ver que el VAN es un criterio superior en este caso a la TIR y a la TlRlví pues selecciona el proyecto correcto (B) indicando la cantidad en que cambia la riqueza del accionista. Sin embargo, cuando calcularnos la TIR incremental y la TIUM incrernenial (en la tercera fila) observamos que ambas son capaces de funcionar tan bien com o el método del VAN, selec Clonando el proyecto B. b. Diferente patrón del flujo de fondos

Proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 VAN al 10%

TIR

TIRM

A

•1,000

800

500

100

S 215,63

2539%

17,4%

B

■1.000

100

500

l.ÜOO

$255.45

20,44%

10,7%

D-A

0

-700

0

900

$ 39,02

1339%

12.2%

Tabla 10. l7V A N ,TIU yTIU M Increm én tales

Aquí Otra vez la TIRM y el VAN dan el mismo resultado, ya que ambos seleccionan el proyecto B. En este caso, no hubiera sido necesario el análi­ sis increm ental. Las TIRM que aparecen en la tabla 10.16 se calcularon con la función del Excel®, que com o ya hemos dicho, actualiza los flujos dn fondos negativos al m omento cero. En los proyectos A y B no hay cambios de signo en el flujo de fondos, pero sí en el flujo incremental B-A. Observe que si hubiéramos calculado la TIRM incremental de B-A ca p iia liz a n d o eí flu jo d e fo n d o s d e l fin a n cia rn ien to , por ejem plo al 10% (suponiendo que nos cobren el 10% para financiar el flujo negativo) tendríamos al final de! ano tres: -700 (1,10)^+900=53 ¿Pero contra qué com paramos esta cifra si lu Inversión increm ental es cero? No puede calcularse la TIRM por este último

Guii.Uiu.Ao L ópez D u m ilm jí

.V40

método: en este caso, laTIR incremental y laTlRM Increinenial muestran un leSTiUailo que supone comparar $900 del momento 3 contra los $700 del momento l actualizados con la TIR al momento cero en el método TIR y con la tasa de oportunidad en el método, de la TIRM. c. Proyectos no conv encionales

Proyecto

Año 2

TIRl

Año 0

Año l

TIR 2

VAN a I1 0 %

TIItM

-5.000

30.000 -30.000 26,79% 373,2%

$ -2.520,66

5.24%

Tabla 10.18 TIRM para proyectos con TIR múltiples

De n u ev o el VAN y la T IR M n o s d an el m ism o re su lta d o : el p ro y ecto __ d e b e s e r re ch a z a d o , p u es el VAN es n eg ativ o y la T IR M es m e n o r al c o s to de o p o rtu n id a d (la T IR M s e c a lc u ló n u e v a m e n te c o n la fu n c ió n de E x ce l® ). O b se rv e q u e en e s te e je m p lo , la TIR M se c a lc u la su p o n ie n d o q u e el flu jo n e g ativ o del a ñ o 2 se a c tu a liz a p o r dos p e río d o s ai 10% {s u ­ p o n e m o s q u e el fin a n c ia m ie n lo n o s c u e sta el 10% ). P e ro si h u b ié ra m o s c a lc u la d o la TIR M sin a c tu a liz a c ió n de los flu jo s n eg a tiv o s, só lo h u b ié ­ ram o s ca p ita liz a d o el flu jo p o sitiv o del añ o 1 y te n d ría m o s al final del año d os: 3 0 .0 0 0 (1 ,1 0 )-3 0 .0 0 0 = 3 .0 0 0 . C o m p a ra n d o $ 3 .0 0 0 al fin a l del añ o d o s c o n u n a in v e rs ió n in ic ia l d e $ 5 .0 0 0 re su lta u n a T IR n e g a tiv a de -2 2 ,5 4 % U(3 .0 0 0 /5 0 0 0 ) - 1P '2- 1|}. D esp u és de ver estos e jem p lo s, ¿p o d em o s d ecir que la TIRM fu n cio n a ra z o n a b lem en te? No, fíjese que ta m b ién en el p rim er ejem p lo, p ara el d iferen te ta m a ñ o de la inversió n, la regla d irecta fu ncionaba m al (laT IR M se le c c io n a b a el proyecto A). La TIRM in crem en tal fu ncionaba m ejor. Sin em bargo, todavía debem os seguir viendo otros e je m ­ plos an tes de dar un v ered icto.

1 0 .9 . P royectos gon diferente vida: cuando la regia directa

DELVAN PUEDE FAJ.LAR Hasta donde hem os visto, el Y/\N. m ás allá de dar una respuesta confusa en el caso de proyectos no convencionales ídom le el VAN au m en tab a para cierto intervalo de aum ento del costo de oportunidad), siem pre nos daba la respuesta correcta. Vamos a m ostrar ahora un caso donde la regla directa del VAN nos da una respuesta incorrecta, que es el caso de los proyectos con diferente vida. Esto es muy común en las decisiones de reemplazo de m a­ quinarías, en proyectos de forestación y hasta en los bonos u obligaciones financieras. Ejem plo: una decisión de reem plazo de una niaquínaría envuelve dos proyectos m utuam ente excluyentes: m antener la vieja o com prar una nu e­ va. Suponga que la com pañía C a lca d o s B eira R ía está evaluando la com . pra de un a m aquinaria para la fabricación de calzado y cu enta con dos

T íc n ic a íd eE v a l u a c ió w d eP r o y e c t o sd eIn v e r s íó n

34]

alternativas: la maquinaria A que tiene una vida útil de 4 añ os y ia maqui­ naria B que deberá reemplazarse al cabo de 2 anos. Cuando calculamos e] VAN, la TIR y la TIRM de ambas aiternaíivas, ei criterio del VAN nos dice que la maquinaría A es la m ejor alternativa. Afio 1

Afio 2

Año 3

Año 4

TER

VAN a l 10%

'^R^f

A (4 años) ►40.000

8.000

14.000

15.000

17.000

11,77%

S 1.723,93

U.17%

J3 (2 años)

10.000

15.000

15,14'?

$ 1,487,60

11,99%

Proyecto

Afio 0

20.000

►

Tabla 10.19 Proyectos con diferente vida Nuevamente aparece una contradicción entre el VAN y la JíR r oJ pro­ yecto A dura 4 años y tiene el VAN mayor, pero pdr la TIR elégírfainos el proyecto B. Veremos que el caso de los proyectos con diferente vitia nos plantea un caso donde la regla directa del VAN nos da en primera ínstajicia, una respuesta incorrecta. La pregunta relevante que debemos hacer­ nos es ¿qué ocurre al final de la vida del proyecto más corto? Lo más pro­ bable es que la compañía reemplace la maquinaria ai finai del segundo año. Cuando las vidas son igualadas, veremos que tanto el VAN como la TIRM dan la respuesta correcta. Para realizar una comparación apropiada utilizaremos la técnica de la "cadena de reemplazos" que consiste en evaluar el proyecto de 2 años como si al final del segundo ano fuera realizado un reemplazo de la maquinaria por $20.000 generando una nueva corriente de efectivo Idéntica a la ante­ rior por otros dos anos. En ese caso, eJ flujo dei proyecto B se vería de esta forma: Año 0

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4 1

-20.000

10.000

-5.000

10.000

15.000 1

T a b la 1 0 .2 0 F lu jo s d e fo n d o s del p ro y e c to B c o n re em p la z o d e la m á q u in a al fina] del a ñ o 2

Ei flujo de fondos neto del año 2 es de -5000 ya que al final de ese año se produce el reemplazo (15.000-20.000). De esta forma, igualamos la vida de ambos proyectos en un horizonte común de 4 años. Luego calculamos

el VAN, la TIR y la TIR M para el proyecto B con una vida de cuatro años y entonces realizamos una comparación con las tres medidas de rentabili­ dad. Proyecto

TIR

VAN al 10%

TIRM

A

11,77%

$ 1.723,93

1L17%]

15,14%

$ 2.717,a3 ;

U,90%

B

<

Tabla 10.21 VAN,TÍRyTIRM cuando se igualan yldas

■Ha

G u i l l e b j v í o L ó p e zD u m r a u p

Obsérve que antes de igualar las vidas de ambos proyectos, el proyecto A hubiera sido elegido por el criterio del VAN, mientras que el proyecto B hubie­ ra sido seleccionado por los criterios de la TIR y la TIRM. lin a vez que se igualan las vidas en 4 años, tanto el VAN como la TIR como la TIRM nos dicen que ef proyecta B es el más rentable. La regla directa del VAN fallaba en este caso, mientras que la TIR y la TIRM, aplicadas directamente, nos daban la respuesta correcta. Si los anteriores "rounds” fueron para el VAN, este es para laTIR El m étodo de la anualidad equivalente Aunque el ejem plo anterior ilustró com o es necesario extender el análisis si estam os com parando proyectos mutuamente excluyentes con vidas dife­ rentes, en la práctica el e s c u lo puede ser un poco más complejo. Podríamos tener que com parar proyectos de 4 ,5 . y 9 años, en cuyo caso requeriríamos . una larga cadena de reem plazos a lo largo de un horizonte de 180 años (el raiiltiplo com ún para proyectos de 4 ,5 y 9 años de vida). En estos casos, es posible utilizar un procedim iento más sencillo; la anualidad equivalente, que envuelve tres pasos; 1. Se calcula primero el VAN de cada proyecto. De la tabla 10.18 vimos que el VAN A= L 723.93 y el VAN B= 1.487,60 Z Calcular la anualidad equivalente para el VAN de cada proyecto. La fórmula para el cálculo de la anualidad equivalente fue vista en el capítulo de remas tem porarias y en este caso es igual a calcular la "cuota” de una rénta tem poraria inm ediata donde el valor presente es igual al VAN del proyecto. / Anualidad equivalente de! proyecto A: 1.723,93a {1,4,0.10)‘=543,85 Anualidad equivalente del proyecto B: 1.487,60a (1,2,0.10)‘‘=857,14 El VAN del proyecto A tienen una anualidad equivalente de $ 543,85 para 4 años y el proyecto B tiene una anualidad equivalente de $ 857,14 para 2 años. 3. Asumiendo que se realizarán continuos reemplazos al final de la vida de cada proyecto hasta el Infinito, podemos considerar el valor presente de la perpetuidad de cada anualidad equivalente: 543,85 / 0,10= 5,438,50 ’•

857:14 / 0,10= 8.571,41

/

El cálculo de la anualidad equivalente supone que los proyectos pue­ den ser renovados perm anentem ente dando forma a cash flows infínltos, donde el cash Row es la anualidad equivalente. Considerando vida infini• ca, el proyectó B es el mejor. Cuando tratamos con proyectos que tienen diferente yida, debemos tener cuidado de realizar los ajustes apropiados ya que en estos casos, observam os que el VAN tampoco era un método Séguro- Este ejemplo demuestra que la TIRM a veces puede lidiar con pro-

I tCNfCAi Di: EVAIUACIOH D£ pROyECTOS dE I n v ERSIOM

3-ij

yectos donde la regla directa de! VAN no Aincíona. Puede considerarse una in ejo rraed id a de rentabilidad periódica que la TIK (radicíonal, ya que; a. Perm ite in corp orar una ta.'>a de reinversión más ajustada a la realidad. b. Evita el problem a que tiene la TíR cuando él proyecto tiene flujos no co n v en cio n ales. c. Puede lidiar bastante bien con la mayoría de los problemas cuando tratam os con proyectos m u tu am ente excluyentes. La TIRM puede ser un b u ena m edida al íguai que el Vj\N pero m> es infalible. Vimos que cuando los proyectos diferían en e! tamaño o escala de la inversión, la regla puede conducir a error. También había problemas con la interpretación del resultado cuando los flujos de fondos cam biaban de signo y utilizábam os directam ente la función del Excel®. Aquí jo s analistas deberían utilizar la T íR M increm ental o el VAN, que aún todavía tendría problem as con ios proyectos de vida desigual. ' tn

Sí U sted lo q u e q u ie r e es ten er u n a m e d id a d e la re n ta b ilid a d p erió d ic a d e u n a in versión , e n ten d id a c o m o un p o r c e n ta je d e ren d im ien to, lo m ejor es h a c e r ex p lícita la in terp reta ció n e c o n ó m ic a d e lo q u e o cu rrirá con e l jlu jo d e e fe c tiv o : r e a liz a r la s s u p o s ic io n e s c o r r e c ta s d e ta s a s d e rein v ersió n y fin a n c ia m ie n iü p a r a o b te n e r un v a lo r fu t u r o a l q u e lu eg o p o d e m o s c o m ­ p a r a r con la in versión in ic ia l y d e esta m a n e r a o b te n er u n a m e d id a d e ren­ t a b ilid a d p e r ió d ic a eq u iv a le n te.

10.10. Dv “DUIIATION” en lA EVAI.UACÍÓNDEPROYECTOS Hemos visto las diferentes técnicas de evaluación de proyectos y es iiora de que hagam os un balance. La regla directa de la TIR se equivocaba en algunas circunstancias pero vimos que la mayoría de los problem as des­ aparecen cuando ponem os las cosas en perspectiva y damos un paso mas la! com o es calcular la tasa de Fisher o hacer explícita la reinversión dei flujo de fondos utilizando la TIRM . Sin em bargo, todavía los problemas pueden subsistir, com o vimos para él caso del diferente tamaño de la in­ versión inicial. También la regla directa del VAN puede fallar para proyec­ tos con diferentes vidas. Todos los casos analizados hasta este momento suponían que los flujos de fondos se m antienen constantes, lo cual supo­ ne evaluar una inversión en condiciones de certeza. En la práctica, se rea­ liza un análisis del riesgo del proyecto que incluye el análisis de sensibili­ dad, análisis de diferentes escenarios con probabilidades ponderadas y hasta la sim ulación de M onte Cario. Un análisis del riesgo dei proyecto se encuentra fuera del alcance de e.sta obra. Pero vamos a tratar el caso de la yaríacíón en la tasa de interés de oportunidad, lo cual nos acerca al con­ cepto de la *‘d iiratiú n ‘\ que tratarem os en forma detallada en eJ capítulo 12, Para poner las cosas en perspectiva, supondremos eí siguiente ejemplo donde aparecen dos proyectos con diferente inversión inicial:

.7-

G u iL L fiiw oL ó p e zÜ u m r a u e

344

Pmy

0

1

1

TIR

VAN TIRM al 10%

IR

Vay back

D ha Payback

Durarton

A

-2.000

1.000

2j)ao

2B,1% 5f;i,98

24.5%

1.20

1,50

1.66

1.61

D

-4.000

4D00

1.120

22.8% 561.98

17,5%

U4

1,00

139

U9

B-A

-2.0M

3i)00

-800

10,0%

7.0%

1.00

0.67

0,73

0.00

Ourarfon Modlricid a

0.97

Tabla 10.22 Duratíonde proyectos El VAN de ambos proyectos es exactamente igual al 10%. pero las TIR difieren y las otras medidas de rentabilidad también. Para colmo, si calcu­ lamos la tasa de Fisher también es igual al 10%, que representa el costo de oportunidad. Las diferentes reglas nos dan respuestas distintas: , M é tod o

Pro}'ecto

VAN

A = B

T IR

A

T IR M

A

Tasa de Fisher

A= B

ín d ic e de R entabilidad

A

r^ y b a c k

B

D isco unted Payback

B

Tabla 10.23 Resultados de los distintos métodos

Las reglas del Payback y el Discounted Payback nos dicen que es mejor e! proyecto B. pero ya hemos señalado sus defectos y hemos visto que no son confiables. El proyecto A presenta una mayor cantidad de indicadores favorables. ¿Significa esto que deberíamos elegirlo? No!! Nunca debemos elegir un proyecto por alguna metodología de "desempate” tipo "un m éto­ do me dice A. el otro B, pero como el tercero me dice A, éste es el mejor". Vamos ahora a refinar un poco el análisis, ya que hasta aquí hemos su­ puesto que la tasa de Interés de oportunidad no varía durante la vida del proyecto y hemos utilizado la misma tasa para calcular el VAN de ambos

proyectos. Utilizar la misma tasa para calcular el VAN de ambos proyectos supone que ambos tienen el mismo riesgo. Para un examen de este punto, remiti­ mos al lector al capítulo 15, donde tratamos la estimación del costo de capital. En este capítulo, a los efectos de evidenciar las herramientas de evaluación, hemos supuesto que es la misma para ambos proyectos y que era un dato. Pero ^qué ocurre si la tasa de interés varía? El VAN también se

.T í c n íc a s D £ E v a l u a c i ó n d e P h o v e c t o s D £ Im v e p ^ í ó n

345

modificaría, y es muy claro que una suba en la tasa de Interés inclinaría la decisión por el proyecto A y una disminución la inclinaría por el prr 0 y el flujo de fondos es con v en cion al. % - •

b) A ceptar el p royecto si la TÍR > co sto de oportnnldad del capital siem pre que el flujo de fondos se a co n v en cio n al o sim ple. 4

c) A ceptar el p royecto si la T IR > 0 siem p re que el flujo de fondos sea c o n v e n c io n a l. d) M arque d) si no h a m arcado ninguna de las a n lerio ies. 10, Ind iqu e la resp u esta falsa de las que ap arecen a co n tin u ació n s o ­ b re los p roblem as a los que puede dar lugar la ap licación de la regla d irec­ ta del Valor A ctual N eto (VAN): a) S u p o n e im p lícitam en te qu e los flujos de c a ja van a ser reinvertidos al co sto de oportunidad del capital. b) En los p ro y ecto s de e n d e u d a m ie n to , siem p re es p referib le el VAN m ás alto, ya que au m en ta a m ed id a q u e la tasa de oportunidad tam bién a u ­ m e n ta . c) Con p royectos que tien en vidas d iferentes, el VAN p u ed e dar a veces una resp u esta in co rre cta . di C uando hay p royectos m u tu a m en te exclu yentes, el criterio del VAN da siem p re la m ism a resp u esta q u e la TÍRM (TIR m od ificad a).

P R O B L E ^ i^ S

1. C alcad os Ip an em a está co n sid era n d o dos p lan es de exp ansión m u ­

tuamente excluyentes. El plan A requiere de 3 5 m illo n e s de p e s o s e involucra la m u d an za a u n a p la n ta m ay o r q u e p ro p o rcio n a rá un flujo de efectivo de 10 m illo n es d e p eso s p o r año d u ran te 2 0 a ñ o s. El p lan B re ­ quiere de 10 m illones de p esos para un proyecto que dará un uso m ás in ­ ten so a la m ano de o b ra y q u e tie n e una c o rrie n te esp era d a d e flu jo de efectivo de 3 m illones de p esos p o r añ o d u ran te 20 a ñ o s. La tasa requerid a de ren d im ien to de C alcados Ip an em a es del 10%.

?■JL0 ü i ,

T écnicas de Evaluación de Proyectos de Ínvefjiún

353

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'é.

a) C alcule el VAN y la T IR de ca d a proyecto. R e s p u e s ta :T lR A ;2 0 ,3 0 % ;T IR B :2 9 ,8 4 % ;V A N A :5 0 4 4 ;V A N B :1 5 ,5 4 .

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b) G rafique los p erfiles del VAN de los p lan es A y B y a p ro x ím e la ta sa de Físh er. c) P ro p o rcio n e u n a ex p lica ció n b a sá n d o se en las ta sa s d e rein v ersíó n y en los co sto s de op ortu n id ad , en cu a n to a la razón p o r ia c u a l el m éto d o del VAN es m e jo r que el m éto d o de la T IR , cu a n d o el co sto d e o p o rtu n id a d es del 10% R e sp u e sta : v er a p é n d ic e de re sp u e sta s-

.3 1 ♦

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2. El proyecto A tien e u n a inversión in icial de 7 .5 0 0 p e so s y se ‘áspera q u e p ro d u zca un flu jo de efectiv o de 2 .5 0 0 p e so s a n u a le s d u ra n te c in c o añ o s. El proyecto B tien e u n a inv ersión in icia l d e ‘3 5 .0 0 0 p e so s y se esp era qu e p rod u zca flu jos de efectiv o de 10.000 p eso s a n u a les d u ra n te c in c o a ñ o s. 4

a) C alcule el VAN, la T IR y el p eríod o de recu p ero de cad a p royecto, s u p o ­ n ien d o u n a tasa requ erid a de re n d im ie n to de 10% . « 4

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b) Si el p resu p u esto alcan zara para realizar los dos p ro y e cto s (son p ro ­ yectos in d ep en d ien tes, no exclu y en tes), ¿los dos p ro y ecto s d e b e ría n se r s e ­ leccion ad os? Sí son p ro y ecto s m u tu a m e n te ex clu y en tes, ¿qu é p ro y ecto d e b e ­ ría ser seleccio n ad o ?

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R esp u e sta : v er a p é n d ice d e re sp u e sta s.

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3. E xam in e los sig u ien tes flujos de efectiv o p ara dos in v e rsio n e s:

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Año

j**.‘

Inversión A Inversión B

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- $100

1

52

41

2

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14 « 1% J r ^

¿C uáles es el plazo de recu p ero de las dos in v ersion es? Si p ara a c e p ta r u n a inversión se req u iere un p lazo m áxim o de recu p ero de dos año.*^. ¿Cuál

J

ii-

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*

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X -:

ri *lü fí*

de estas dos es aceptable? ¿Es ésta necesariamente ia mejor inversión? Explique su resp u esta. R e sp u e sta : v e r a p é n d ic e d e re s p u e s ta s .

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4, En la p reg u n ta an terio r, ¿cu ál de las dos in v ersion es es la m e jo r si se re q u ie re u n re n d im ie n to del 5% ? R e sp u e sta : v e r a p é n d ic e d e resp u estas*

G uíuerm o López D umráuf 5. U ñainversión bajo estudio tiene unplazo de recupero de la ínversióni de cinco años y un costo de $1 mílJdn. Si eí rendimiento requerido es del J5%* ícuái es el VAN en el peor de los casos? Explique su respuesta. fíespuesta: - 502.823,26 6. Un bosque puede ser taladlo al cabo de 1 ,4 ó 6 años; cada proyecto de tala lepresem a un proyecto m utuam ente excluyeme. Ordenados por el V'AN, elegiríamos el proyecto de 6 años, por laTlR el de 1 año y por laTJRM el de o años. Iguale las vidas en 12 años y determine cual proyecto debe ser elegido.

Pro yeciii

Año O Añal Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 TIR VANal 10% TIRM

iañ.j -1.0ÜO 1200 •taños -1.000 6añí,s

-l.ÜOO

0

0

0

1.600

Q

0r

S9031

12,50%

S9232

11.60%

2.000 12,20% $126,95

12,20%

0

0

11,90%

20.00%

R esp uesta: ver apéndice de respuestas.

7. El Gobierno de El Salvador (Centroamérica) se encuentra analizan do la concesión de un servicio de provisión de energía. A continuación se m uestran los costos de m antenim iento que tendrían las plantas provee­ doras. El desem bolso inicial del proyecto alcanza a $684.512 y sería total­ m e n te financiad o con capital propio. El rendimiento libre de riesgo es rf=5%, la prim a esperada ele mercado rm=7% y el beta para proyectos si­ milares es 1,1. En base a estos datos, el Gobierno entiende que un rendi­ m iento ju sto para este tipo de proyectos no puede superar el 12,7%. La tasa del im puesto a las ganancias es del 30%. Usted es contratado como consultor del Gobierno y debe calcular eJ ingresa anual para que la TIR del accionista no supere el 12,7% anual, completando los datos que faltan en el cuadro del flujo de efectivo. Para ello deberá utilizar la función Solver de Excel'S), y una vez definida la fila de ingresos, deberá definir la tarifa de luz lenieiído en cu enta que en la ciudad existen unas 200.000 viviendas. Asu­ ma que no existen valores de recupero y el proyecto tiene una vida útil de cinco años.

Año 0

Año 1

Ingresos Costos de , mantenSmiento Depredación Castos totales , . (inane - deprec) Resultado antes de impuestos

, y ...

? 88379

Año 2 ■ r 88379

Año 3 t 88379

1

Año 4

Años

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7

88379

88379

136-902.4 136302.4 136.90¿4 136302,4 136302.4 225.681.4 225.881.4 225.881,4 225381,4 225381.4 l ,■

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Respuesta: ver apéndice de respuestas

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8. Elegir cu al de las siguientes alternativas de inversión es m ás rentable, teniendo en cuenta que existen proyectos mutuamente excluyentes y usted cuenta con $8.000 para invertir. UíiJíce los criterios dej VAN y el índice de Rentabilidad o Relación Beneficio/Cosio. Ei costo de oportunidad es del 10%-

Período Alternativa A Alternativa B Alternativa ClAltemativa D 0

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-8.000

^.000

^000

1 2

2.Ü00

2.000

1.500

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3.ÜQ0

3

3.000

4

6.000

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3.000

2.000

1.800

6.000

2.500

2.000

. ■

^. 2.500 ^

...

Respuesta: ver apéndice de respuestas. 9. Los proyectos A y B tienen el mismo VAN al 10%, igual índice de renta­ bilidad y TIRM pero diferente TíR, p a y b a c k y d is co iin íe d p a y b a ck . Explique a qué se deben estos resultados y cuál dé los dos proyectos elegiría, dado que usted cuenta con sólo $2.000 para invertir.

Pro­ yecto Año 0 Año 1 Año 2

TIR

VAN TIRM al 10%

m

A . -2.000 1.000 2.000 28,1% 561,98 24,5% 1,28 B

-2.01X1 L909

1.000 33,0% 561,99 24,5% 1.28

Payback

Discounlei.[ Payback

1,50

1,6o

l.tX)

1,32

Respuesta; ver apéndice de respuestas.

'Ai 'Ji'-T-, •fe?■

5.'-

10. Bio Epo es una com pañía farmacéutica que está considerando una ampliación de sus equipos e instalaciones para ios próximos años. Existen dos opciones: El equipo A cuesta $15.000 y genera un cash flow de $ 8.0ÜO durante 10 años. El equipo B tiene una vida de 11 años, cuesta $20.000 y genera un cash flow de $ 9.000 por año. El costo de oportunidad del capiiai es del 15%. ¿Cuál opción debería ser aceptada? Siga el procedimiento que con­ siste en calcular Ja anualidad equivalente para el VAN de cada proyecto y luego asuma reemplazos a perpetuidad. Respuesta: ei pro^'écto A.

G u iu f r m ú Loptz DuMpj\uf

35o

11. U citmpaii/a HocJia ha reaJIzado la evaJuacídn dn loa proyectos A, ñ y Ccon el VAN, el fiullce de rentabilidad y la 'n n . Los resultados son contradic­ torios y Rocha cuenta con $175 para Invertir. Usted debe detei minar cuál es el mejor proyecto (son Indivisibles) y para ello se le pide que realice el análisis in c rem en ia l y a d e m á s c a lc u le ¡a TIRM íncrem enlal asum iendo que la reínversidn de fondos se producirá a la lasa de oportunidad del 10%. 1 Prr»ycctt> A ñ o 0

A ño 1

Año 2

A fio 3

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$ 59,9J

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S 81.20

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64

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VAN a l 10%

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Respuesta: ver njiéudice de respuestas.* REFEnENOAS BIBUOGnÁFICAS SoLOMOfJ, E. (1956) ‘TfieArííhmetfcofCapiíalHiuigeíi/igDecLsio/is" en /ou n u i/ o/BusínesSfVoí 29. N*2. Abril 1956, p. 229-239. TacHnoEw, D.; RoBroiEK. A: MomALPANO, M (19651, *'An Analysis of Gritería for Investmenl and Fínauclng Decisions under Certaint)'”, ManageinentScience 12,151-179. TEiamoBv, D.; Robiciíek, A; MomALBANO, M (1965), "An Analysis ofCriteria for ínvestrnem and Financing Decisions underCertainty" Management Science 12, 151-179. “M athem atical Analysis of Rates of Return under Ceríainty” Management Science 11,395-403. Archct S.H.; D’amdrosio Cli. A. (1970), *Tlie Iheory o f business finance", M acm illan.’i’o ronlo. Es un libro que reúne los níejores artículos sobre finan­ zas hasta la década del 70, incluyendo algunos sobre las técnicas de evalua­ ción de proyectos de inversión.

t i

F ernandez, N.H. (2003), "Funciones Financieras de ExceP. capítulo 4, pri­ mera edición. Errepar. Buenos Aires. Prmo..... liatifui PofiieSgg . . ' !M»CNy iiogitatcigBggcioiat f^lvigáf fgogn )ÍR(inoiif

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Tabla I b 10 Flujo de fondos y costo rinandero de una obligación negociable

Pregunta^ de aulo-evaJuadón: 1. ¿Qué es la paridad de un bono? 2. ¿Por qué el rendimiento del inversor de una obligaddn puede dife­ rir del costo del emisor? 3. ¿Como afecta la opción de rescate anticipado al predo y por lo tanto al rendimiento de un bono?

1 1 .4 . R

ie s g o s

ASOCIADOS A LM N VERsiúN B 'J BONOS

A pesar de quedas obligaciones o bonos son títulos que prometen un rendimiento a los inversores, existen ciertos riesgos asociados a la inver­ sión en bonos. El riesgo más conocido es el riesgo tasa de interés, que des­ cribimos con cierto detalle a continuación.

Riesgo de la tasa de interés El riesgo precio-tasa de interés es el riesgo más conocido en la inver­ sión en bonos: cuando las tasas de interés aumentan, el precio de los bonos disminuye. Esta relación fue descrí pta en la sección donde mostrá­ bamos la relación enlce el precio del título y su valor par. Esto era fácil de entender: si usted tiene un bono que le rinde el 10% y de repente las tasas

V a lu a c ió n y C alc u lo de R e n d im ie n t o de B o n o .';

3R5

de los bancos comienzan a aumentar, llegando al 1 X%, seguramente, usted y el resto d élo s inversores, preferirán ganar el 11% y venderán los bonos, con lo cual éstos bajarán de precio. Por supuesto, en un mercado de capi­ tales eficiente, el precio de equilibrio se situaría en un nivel que el bono le ofrezca el 11% de rendimiento, y entonces las inversiones en bono.s volve­ rían á com petir con los rendim ientos que pagan los bancos por süs depó­ sitos. El efecto que tiene la tasa de interés no es igual en todos los bonos. Por ejemplo, un bono cupón cero, que no paga cupones de interés y se vende al descuento, es el bono que más sufriría un incremento en la tasa de inte­ rés. Todos estos detalles serán profundizados en un capítulo posterior, don­ de será tratado el tema de la volatilidad de los títulos de renta fija. Hay inversores en bonos que m antienen los mismos hasta el venci­ miento: en este caso, el riesgo rasa de interés nú es importante, toda vez que el bono tendería siempre a su valor par, como describimos antes. Siem­ pre que el em isorlio entre en cesación de pagos, el inversor podría espe­ rar al vencimiento y recuperar el valor nominal,:

I Riesgo de reínversión <

Los bonos producen un flujo de caja que es reinvertido por sus inver­ sores, en particular los inversores institucionales como los fondos de pei\sión y las compañías de seguros, que persiguen acumular un capital con fines específicos. Cuando las tasas de interés disminuyen, los inversores ganan una tasa menor sobre los flujos reinvertidos, reduciendo el valor del capital futuro. Esta situación es la que se cono ce com o riesgo de reinversión. El riesgo de reinversión depende del tipo de bono. Para Jos bonos de tipo bullet, el riesgo de reínversión se restringe a la reinversión de los cu­ pones de interés. Para los bonos con un reembolso periódico del capital, el riesgo es mayor, puesto que deben reinvertir no sólo los cupones de intereses sino también parte del capital. Los bonos del tipo cupón cero representan el caso límite pues no tienen riesgo de reínversión, ai no te­ ner cupones intermedios. >

I I A

A Riesgos de los bonos con opciones

Algunos bonos son emitidos con cláusüias que contienen opciones ya sea para el emisor como para el tenedor del bono. En general, su ejercicio significa una modificación en el flujo de fondos del bono, por lo cual alte­ ran su riesgo. Comentaremos algunos de estos riesgos a continuación. Riesgo de rescate anticipado Este riesgo está relacionado con el riesgo de reinversión, y se refiere a aquellos bonos que contienen una cláusula que otorga ai emisor el dete-

0,

GujiiEaM O López D umkauf

ch o dt> retirar parcial o totalmente la deuda, antes de que se llegue a la fecha de vencim iento establecida en el Prospecto de Emisión. Naturalmente, esto afecta el riesgo de reinverssdn para el comprador del bono, pues recibe todo el dinero de golpe cuando de otra forma seguiría cobrando una corriente de cu pones hasta el vencimiento. Los inversores reconocen este riesgo, y por lo tanto requieren un rendimiento mayor al ofrecido por igual bono pero sin la opción de rescate, com o fue explicado en la sección donde tratamos el rendi-

mierifu con cláusula de rescate anticipado.

O pción d e venta a n ticip a d a (P iítfeam re) Otorga al tenedor del bono el derecho a vendérselo al emisor al valor par en fechas que se establecen en el Prospecto de Emisión. En algunos casos el em isor debe cumplir con el compromiso con dinero en efectivo y en otros casos se prevé la uiilizacidn de alguna combinación de efecti­ vo, acciones ii otro activo financiero. Naturalmente, esta opción favore­ ce al tenedor, lo cual debería revelarse en el precio y el rendimiento del título.

O pción d e C onversión p o r accion es Otorga al tenedor del bono el derecho a convertirlos por acciones d éla com pañía emisora, a un precio determinado por el Prospecto de Emisión. La mayoría de las obligaciones convertibles es rescatable anticipadamen­ te con una prima, fijando un precio de rescate. Generalmente, hay una "agenda" de precios fijos de rescate (strlke redemption) que declina a lo largo de la vida de la obligación. Esta "cali proyisíon" le permite al emisor forzar una conversión de la deuda en acciones cuando el valor de conver­ sión excede el valor de rescate, pues los tenedores de estas obligaciones preferirán convertirlas por acciones antes que recibir menos dinero en un eventual rescateEl valor de un bono convertible por acciones es igual a su valor com o obligación más el valor de una opción de compra sobre las acciones de la firma.

Riesgo de inflación

'

El riesgo de inflación lo sufren todos los bonos, cada vez que ésta aso­ m a su horrible cabeza. No obstante, el efecto de la inflación es mayor en los bonos que no son emitidos en una moneda “dura" como el dólar. De esta forma, el riesgo por inflación es descontado en el precio con mayor incid encia en los bonos que son emitidos en monedas que tienden a de­ preciarse por la inflación no poseen cláusulas de índexación. Los bonos em itid os en pesos por el Gobierno Argentino e Indexados por el CER, cu­ bren del riesgo de la inflación al inversor, y en los periodos en que se espe­ ra estabilidad en la cotización dei dólar, son buenas alternativas para ob­ te n e r una ganancia atractiva en esa moneda.

V a l u a c io h Y C alculo DE R e n d im ie n t o

-Riesgo de devaluación

,

,

^ v. ;

de

Bo h ó s

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3H?

x .

Los bonos emitidos por empresas o Gobiernos de países que han devaluados sus monedas también tienen el riesgo de devaluación. Esto tam­ bién es reconocido por los inversores, qué demandan rendimientos mas altos para invertir en este tipo de obligaciones.

Riesgo de default El riesgo de cesación de pagos o default, existe cuando hay posibilida­ des de que la entidad emisora no pague los cupones de interés o capital ul vencimiento. Este tipo de riesgo es calificado por las agencias de crédito, que someten a las empresas emisoras a rigurosos análisis financieros para luego asignarle una calificación crediticia, que denota la calidad del bono, Profundizaremos este tema en un próximo capítulo. Riesgo de liquidez Este riesgo abarca a aquellos títulos que po tienen un gran mercado y que pueden resultar difíciles de vender cuando se lo precisa. En paríicularT; este es un riesgo que tienen muchas obligaciones de empresas sudameri­ canas, donde el mercado de capitales no ha alcanzado un desarrollo sufi­ ciente. En algunos casos, el mercado para estas obligaciones suele ser ex­ tremadamente ilíquido.

11.5. R iesgo SOBERANO, lUESCO PAIS y RIESGO DECRÉDITO Un indicador que se ha \aielco muy popular en los últimos lienipos en nuestro país es el denominado “riesgo país" que aparece relacionado con la forma en que los inversores perciben el riesgo de una inversión en un bono soberano Argentino. F^ara calcular el riesgo soberano, se calcula la diferencia entre los rendimientos de un título en dólares del gobierno Ar­ gentino con un título de vencimiento equivalente de la tesorería america­ na (Treasury Bonds). TIR bon o nrgenfí/io en U S S - T/R T-Bond - Prem io*por riesgo soherario Como parte del riesgo soberano incluye el riesgo de crédito, debemos restarlo para ver qué parte corresponde al riesgo país, como se muestra en la figura 11.7. Si las empresas callficacloras de riesgo poseen criterio^ estandarizados para la calificación del riesgo crediticio, entonces el pre­ mio por ei riesgo de crédito de un título con clasificación BB puede ser estimado calculando la diferencia entre el rendimiento de los títulos de empresas con clasificación igual a la del bono Argentino en EE.UU. (con lo. cual por encontrarse en EE.UU. no tendrían riesgo país) con ios títulos del

Gufiuw.tv í o n z DuMR,\ur gobierno americano con el mismo venciinienio. Esta diferencia puede ser utilíTadn como un indicador de premio por el riesgo de crédito incluido en im título de un país cuya deuda haya sido clasificada igual que la deuda An^entino.

1

Rwsgo d« crédito

RpndSmíwilp 1 i ^ « íacIq de tet £ 0 ^ íí?í gíífciemc'

R i«ígo sobefpfio R iesgo país

p a s a s i*iu»feKÍas etecíD d« garantías) RendiTíJeoto T -S ívkT ______________________ 1

Figura U.TRiesgo soberano, tirapo -iecrW itc' y riesgo psis l'acturcs que lafluyen en el riesgo país la s primas de rendimiento ntribiiibles al riesgo sobemno. riesgo de cuHÜlo y riesgo país reconocen básicamente la posibilidad de insolvencia del deudor, pero esto está relacionado con una serie de factores intrínse­ cos que se describen en la tabla X lA l. Factores ín tiín s c e o s

Riesgos políticos

riesgos fmancicros

rrobabilidad de Ircumplhniemo de compiomlscis nnanciems • E xprop iacio ne s

• Riesgo iu iíd ic o • Riesgo flscnl

• Riesgo cam biarlo • Riesgos políticos » Dlsrrífhios •Transíerenda (I5 i ■Cíiierm C o rru p c id n . fim id e

Tabla t i . l t Pactorra qucniecrun el riesgo |mís (15) FI lirago detrnn9rcrenrlAcnrrcs|miidi*Ji)ii Incnpnrldnd general rio Iiw ileucJnres de iiMpafuIctennínndo d«cim tpIlrconstm )hllKnclonM nnnnricrní rM iklo n la fn lin d e d lsiin ril* iiD bhil de in ntnneda en Ia c h a ) estd denomlitdda Ia otillgAcIdii. Imicpciicílentvmerito d« la iTMidklén flnanciern pnrtlcuiarrle) deudor

VALUAOOrJ Y CALCUIO

de

R£NDI/.U£NT0 D[ t’orios

38**

Como vimos el riesgo soberano contiene al riesgo de crédito y al i iesgo país, donde se reflefan una cantidad de factores que los inversores perci­ ban como riesgosos afectando la calidad de! título Argentino, En la medida que mayor sea el riesgo país que perciben los inversores, éstos se despren­ derán de Jos títulos Argentinos y su precio descenderá reflejando los ma­ yores rendimientos requeridos para mantenerlos. Los efectos de \or^ ries­ gos en el precio del bono (y por lo tanto en su TIR requerida) se pueden extender al caso de todos los bonos en general, apareciendo otros factores adicionales que pueden aumentar/dismi-nulrsu d em a n d a y q u esesin teti­ zan en la tabla 11.12. TTR de im b o n o

Precio de u n b o n o M enos:

M as;

Dexuento por riesgo ríe crédito, riespo fXiís» liquidez y opciones rícl emisor

Prínui por riesgo de cráiito, riesgo país, liquidezy opciones del emisor

M as; P ri/a n ;x>r

M enos: 7ÍW/1 ‘"resignada''

tm vcntajnsfíxnlesy ofyriones que otorgo ni inivrsot

raijajas pxalesy opciones que otorga al inivrsvr j

1 abin n . 12 Fnciore» quf* influyen en

\aprim a o el descuento

Cálculo lie la stripped ylelU Cuando los pago.s de renta o aipltal aparecen garantizados totai o pniclalmente. In TIR del inmo recoge este efecto, y este es menor al mi.smo icndimienio que tendría el bono si no tuviera garantías. I*ain estim ir cuál sería el reiuiimlenio sin gmaiUías, en el caso de Huios ftarclulmeiiie garanilzndos. puede seguirse los siguientes pasu.s pata dospo|ar ni bono de los efectos de las gm anuas: 1. Itlontiriear y separar los (luios gainnlizmlos do los mi gmaniizndns (en los Uonos Vwv y liiscount del Urady IMan, npateemn gmaiul^ndos los dos piiineuis pagos do interés v el oapitul í'on bonos tiel lesom de Hslndos Unido.s).

2. Obtenemos el [necio ile In porción garoniirmUi. Ctnnti se supime que esta porcldn e.s libro de riesgo, descontamos los cupones de ilKcrestíS giimutiziulos coa \\m taso libie de riesgo, 3. líi pioclo de la porcldn con riesgo sobotanu se obtieite por difelonclfl:

Ptticlii potción no^amntizaihirtptvcio itiUilfki lumo*~ Precio porcitUt gíininfírrídu

Z:}0-

Ct.iJLlEfWO LÓl’EZ'DuMRAUf

vUtia vez obtenido el precio de la porción na garantizada, Jo igualamos a la corrien te de cupones no garantizada y calcuJarnos la TIR correspondiente, q u e recibe el nom bre de “4.'írippeí;fyíetó’'

E l riesgo país y su relación con otras variables e indicadores econdinicos La figura 11,8 muestra cómo evolucionaron el índice Meival y ersiripped spread " (16) desde el año 1994 hasta el año 1999 cuando todavía el riesgo país m ostraba indicadores “presentables” De la figura 11.8 se desprende que parte de la variación del mercado accionario está relacionada con el riesgo país: cuando éste disminuye, las acciones suben de precio y vicever-

Corno veremos más adelante, el riesgo país llegó a ubicarse por enci­ m a de niveles impensados, luego de las turbulencias políticas y la deva­ luación de la m oneda en el año 2002. El riesgo país tam bién tiene impacto en la tasa de interés que pagan Jas otijigacíones del sector privado. En la figura 11.9 se observa la relación entre

I f p

9

(16) £1 sírípped spread es la d ifere nd a entre la TIR del bono argentino despojado de garantías y el bo no am erican o de duradóQ equivalente. (17) iistu dlos realizados po r G odíreyy Espinosa señalan que la inQuenda del riesgo sobe­ ra n o e x plica en p ro m e d io el 40% de la v a rla d ó n del mercado acdonario (ver encuesta reali­ zada e n la BepúbUcá A rg e n tin a p o r la UniversidadTotcuatoLHTella y eí In stitu to A rgentino de E je cu tiv o s de Finanzas).

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V a ü m c ió n

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de

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las tasas da contrato promedió de las obligaciones negociables emitidas en cada año con el promedio para el riesgo país aí momento de la aurorízaciOn y el momento de la colocación. ! ’ - '

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12

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"macla de $10 en el precio de! tíiulo (10/0,11=:90.9), perdiendo el rendim iento de todo el año. Pero sí la tasa de interés es ya tan baja como 2%, un incremen^ to de 2 a 2,04%, alcanza para anularla ganancia de interés al bajar el precio del título a $90. Por esta razón Keynes argumentaba que era peligroso comprar bonos cuando las tasas eran bajas. Los precios de los bonos que ofrecen una renta fija (o semifíja) (3) fluc­

túan inversamente a los cambios en la tasa de interés. Las preguntas que uno puede hacerse al saber esto serían las siguientes: • ¿Cuán sensible es el precio de un bono frente a los. cam bios en la rasa de interés? • ¿Cómo influye el plazo de vencimiento, el tamaño de los cupones y la periodicidad con que se pagan Jos mismos?" ' Esto puede resumirse en un solo concepta; la uola^iilidad del bono. El riesgo precio tasa de interés

I

Cuando nos referimos a la volatilidad del bono estamos aludiendo a la variabilidad de su precio con respecto al precio que tiene el bono en el m ercad o en un m om ento determ inado. El concepto de "Duration" que definiremos posteriorm ente sendrá para arrojar luz sobre ia volatilidad de un título, ya que a mayor Duration, mayor es la volatilidad del títulii. Mencionaremos ahora tres factores que afectan la volatilidad; • El plazo de vencimiento. - El tamaño de los cupones. • La frecuencia de pago del cupón. Con respecto a la influencia que ejerce cada uno de estos Jactores poi separado, diremos lo siguiente; 1. Dada una tasa de contrato, que fija el valor del cupón, y una yíeld inicial (la Tin que ofrece el bono en el m omento de su emisión, que puede ser diferente a la tasa de contrato del cupón) la volatilidad será mayor cuan10 mayor sea el plazo de vencimiento del bono. 2. Dado un determinado plazo de vencimiento la volatilidad del pre­ cio será mayor cuanto más pequeño sea el tamaño def cupón. 3. Dado un determ inado plazo de vencimiento, una tasa de contrato que fija el valor del cupón y una yieid inicial, la volatilidad será mayor cuanto menor sea la frecuencia de pago del cupón. En el primer caso se explica por ia incidencia del interés compuesto: cuanto mayor sea el plazo de vencimiento, mayor es la fuerza con laqu e opera el descuento (principalm ente en los bonos emitidos por sistema

(3)

Por e jem p lo , los B o d e n arg e n tin o s, q u e o fre c e n u n a tasa flo tan te tib o r .

■

404

G

u il l e r m o

Ló p e z D

umiuvuf

americano, doi^de el principal se encuentra en e! último período) sobre los últimos cupones de la corriente, deteriorando en mayor medida su valor presente. El segundo caso aparece relacionado con el primero: cuanto menor sea el tamaño de los cupones en relación al último, disminuye el peso relativo del valor presente de los cupones en el valor del título, cobrando mayor impor­ tancia el valor presente del último período (en el caso de los bonos emitidos por sistema americano esto es más evidente) quedando sesgada la variación del precio del bono más a la variación en el valor presente de los últimos períodos qué a la de los primeros. El tercer caso conviene aclararlo un poco más. Cuanto mayor es la fre­ cuencia del pago del cupón (digamos pagos semianuaies frente a pagos anu ales) cob ram o s m ás rápid©. El cobro anticipado de los cupones sem ianuaies frente a los cupones anuales, hace que estos "escapen" en par­ re al castigo que impone el interés com puesto cuando suben las lasa de interés. Por lo tanto, el valor actual de los cupones semianuaies es mayor que el valor actual de los cupones anuales. En los tres casos mencionados, la volatilidad aum enta cuando la D uration del bono es mayor. Esto se perci­ birá claram ente en los ejem plos a seguir, donde observaremos los cambios en los rendim ientos y precios para un bono emitido por el sistema america­ no cíe amortización, En la bibliografía suele utilizarse indistintamente el término "yield" o "yield to maturíty" para referirse a la TIR del bono, de manera que salvo éspecincación en contrario, utilizaremos los dos términos.

Ejemplo del plazo de vencimiento Suponga 3 bonos de VN = SlOO, todos con un cupón deJ 10%, pero con ciUerentPS plazos de vencimiento (1,10 y 25 años). Suponiendo que la tasa de rcndimíenio requerida por el mercado es inidalmente del 10 %, a conúnuación ntostramos cuáles serían los nuevos precios de los 3 bonos si la tasa de interés requerida por el mercado aumenta al 11%: P re c io del B o n o P recio del B o n o V encí m íen lo: Ip a ñ o s V en cim ie n to : 2 5 a ñ o s

nn re q u e rid a

P r e c io d el B o n o V e n c im ie n to ; 1 a ñ o

10%

$ lUO.UO

$ 100,00

$ 100,00

n%

$ 9 9 ,1 0

$ 9 4 ,1 1

$ 9 1 ,5 8

A % P recio

-0 ,9 0 %

-5 ,8 9 %

-8 ,4 2 %

Tabla 12 1 Precio y plazo de vencim iento

Como puede observarse, el bono con el plazo más largo de vencimiento es el ntás afectado en términos del cambio porcentual en su precio. Míen-

tras queel precio de un bono con vencimiento a 1 año solo cambia un ü.90%, lafuerza del interés compuesto determina que el precio del borio coi' vend* miento a 25 años disminuya un 8,42 %.

Ejemplo para el tamaño del cupón

Si analizamos el efecto del tamaño del cupón desde el límite conside­ rando un bono cupón cero (que constituye el caso extremo en términos de tamaño de cupón, puesto que no hay cupones), el plazo pesa de una manera especial, pues se cobra todo de una sola vez al vencimiento, de manera que cuanto más largo es el plazo de vencimiento con mayor fuer­ za operará el descuento en el precio del bono.

m # '

Supongamos que iniciaJmente se emite un bono cupón cero y el mer­ cado le exige ínicíalmente uña tasa del 1Q%. En la tabla 1 2 . 2 se .muestra el nuevo precio de los bonos cuando la tasa aumenta ^ 1 1 %: TIR

requerida

Predo del Bono Predo del Bono Predo del Bono Vencimiento: 1 año Vencimiento: 10 años Vencimiento: 2.5 afin

G u i l u b j c ^ oL ó p e zD u m r a u f

TIR requerida

Predo del Bono Cupón anual 1Q %

Predo dd Bono Cupón semestral 5 %

10%

S 100,00

$ 100.00

11%

$94,11

$95,7

á % Precio

-5,89%

-4.31%

T abla 12.3 P recio y frecu en cia de pago del cu pón

C oino puede observarse, el precio del bono que paga un cupón sem es­ tral resulta m enos afectado en su precio al cam biar la tasa de interés. Oci a s m e d id a s d e v o la t ilid a d e l v a lo r en el p recio d e un p u n to b á sico y e l v a lo r en la 7111 d e un c a m b io d e p recio Es com ú n que la volatilidad de un título se exprese en térm inos del efecto que tendría un cam bio de un punto básico (1 basis point = 0.01%) en la I IR exigida, sobre el precio del título. También la medida del basis poiní es utilizada para cuantificar la medida del riesgo país cuando se es­ cu ch an expresiones tales com o "la tasa del riesgo país subió tantos puntos básico i", en estos casos se suele com parar el diferencia] de las tasas de re­ torno de los b onos argentinos con sus similares del tesoro norteam erica­ no, considerados libres de riesgo. Puede resultar útil tener en m enta cier­ tas equivalencias com o las siguientes:

1 Uasispoint = 0.01 %

10 basis poinl=: 0.10%

100 basis point = i %

Para ver el valor en el precio de un pumo básico y el valor en la TIR de un cam b io de precio, supondrem os un bono emitido con un cupón del lu % para un plazo de vencim iento de 5 años. Cuando la TIR exigida es del 10%, e( bono coliza a la par. Si se produce un incremento de un basis point y la tasa aum enta al 10,1%, entonces el precio desciende. Lá variación de -0 ,3 8 representa el precio de un punto básico o visto al revés, el cam bio en el precio de -0 .3 8 representa el valor de un basis point en la TIRv

10%

Predo del Bono Vendmiento: 5 años S 100

10,01%

$99,96

A Precio

-0,038

TIR requerida

Tabla 12.4 Efecio en el precio de un punto básico

4(T/

V o l a t il id a d de T ítlilos c o n R ewTa F iia ' ^LajD//rrtn'íí/í fcluraeián) de un bono

El c o n c e p to de la '‘d u ratio n " fue. desaxcollado o rig in a lm e n te por Frederick Macaulay, quien percibió que el plazo de venciraiemo de un bono sólo daba información acerca de la fecha final en la cual se recibiría el pago del principal del bono, pero no consideraba lodos los pagos inlermedíoí, Como medida representativa de la vida media ponderada de la corrien­ te de pagos que generaba el bono elaboró un índice que es un promedio ponderado de cada uno de los pagos de un bono, donde el factor de pon­ deración es el valor presente de cada uno de esos pagos (que al ser dividi­ dos cada uno por el precio, se El tamañiO del cupón. ' La [recuencia en el pago del cupón. ' El plazo de vencimiento, * El monto de los intereses corridos. La duration de un bono disminuye cuando aumenta ia TIR exigida. - Cuando se incrementa ésta, el valor actual de los flujos más lejanos des­ ciende proporcionalmente más que el valor actual de los flujos de fondos

m

VoLATiiiDAD DE T ítulos

con

RE^^^A fiiA

^09

más cercanos debido a que ej exponente al que se eleva (1+TIR) es mayor en el primer caso. De este modo, el peso relativo de los flujos m ás cercanos se incrementa, y desciende el de los flujos más lejanos, haciendo que disminu­ ya la duration. La durad on de un bono aum en ta cuando dism inuye el lam ano del cupón. Dados dos bonos que sólo difieren en ia cuantía del cupón, aquél que pague un cupón mayor, tendrá m enor duración de M acauíay o m odi­ ficada que el otro para cualquier rentabilidad exigida. Esto es porque cuan­ do ei importe de los cupones es pequeño, el pago dei principal representa una fracción m ayor de Jos pagos totales: el valor actual del ultimo pago adquiere im portancia al dism inuir el Im porte de los pagos interm edios. El Importe del principal actúa sobre la duración de M acauíay y sobre la m o­ dificada de m odo inverso a com o lo hace el im porte de los cupones' cuan­ to mayor es el principal, mayores son estas duraciones. La razón es que cuanto mayor es el principal, en un sistem a am ericano el peso del Ultimo flujo es mayor. — , La duraüon disminuye cuando aum enta la frecuencia con que se pagaji los cupones. Dados dos bonos con el mismo valor nómina!, fraccionar el cupón y adelantar una parte del pago supone desplazar los pesos hacia la izquierda, y por tanto, también su centro de gravedad. Dados dos bonos con cupones del 10% anual y 5% semestral respeciivániente, el del 5% paga la misma cantidad de intereses en el año, pero lo paga antes, y por lo tanto, sus cobros están más "resguardados" de ios efectos del interés compuesto cuan­ do sube o baja la tasa de interés. La diiration disminuye cuánto mayor es la proporción de los imereses corridos en el precio. Por último, los intereses corridos son esencialmente una inversión en efectivo con una Duration muy cercana a cero, pues ya han sido devengados. Como el precio del un bono siempre los incluye, ':uantQ más grande sea la proporción del precio de un bono que se atribuye a los intereses corridos, menor será la Duration. Duration modificada De la derivada primera del precio del bono con respecto a un t aml)io en la tasa de interés surge el concepto de Duration Modifica. Primern pre-. sentaremos el concepto en forma intuitiva para luego desarrollar un aná­ lisis formal. La Duration Modificada es un indicador que nos s in e pata estimar cambios en el precio de los bonos cuando se modifica la TIR re­ querida por el mercado. Para ello solo hay que ajustar la fórmula de la Duration vista anteriormente actualizándola poi la TIR requerida. DM =

D

ield ” n o es lo m ism o q u e ja variación p o rce n ­ tual en la yleld. U n ca m b io en un p u n to p o rce n tu al es, por ejem p lo , cu an d o la víeld p a sa del 1 0 a IIl% .

-U 8

’C u itiE R M O L ó p e zD u m í i a u f

Vtírsniós primero, im a aproxim adón intuitiva para la convexií)vpara luego realizar un tratam iento formal. Para calcularla conivxííyri/np/a (Cx), utiliza­ m os Lt siguí ente x'órniula:

Cf

y " í.(/ + i) — ((1+ i+ m y

Ci = 1+

m jiL p

rm

Di>nde C F representa el flujo de fondos del bono, t e! período de tiem­ po de cada cupón, y m la frecuencia de pagos por año.

Cupdn

CF

Valor actual CF

■=■ 1 -

10 -

9,09

Valor actual CF x t.fi+11 m.m.P . . . — 0,1818 0,02“^

2

10

8,26

0,06

0,4958

3

10

7,51

0.12

0,9015

Líí+U mmP

4 ,

lú

6,83

0.2

1.3660

5

lio

68,30

0,3

20,490

100,00

Cx = 23,435

T abla 12,8 CálcuJo de la convexidad

Como 23,43 representa la segunda parte de la fórmula de la convexity simple, para obtener la Convexity (CV) nos falta dividir por (l+TITl)^ y tam­ bién dividir por 2 (ver sección de la derivación matemática de la convexity). ^ Cv ___________

23,435

(l + T//?)-2

(M 0 )"2

==9,6837

E jem p lo para el cam bio en el precio del bono cuando se increm enta la T IR requ erid a por el mercado Suponiendo que la T lR requerida por el mercado se incrementara en un 3%, sum ando los valores que nos dan la Duration modificada y la Convexity deberíamos determinar con exactitud el cambio porcentual en el precio del bono: A %

en el precio del bono por Duration modificada: ■ t: ■

.

.'

4 .■

-

A % en e í precio del bono por Convexity (0,03^ x 9,6837): Total

11,4

%

.1

„

■■

-

...

-

M 7% -10,6 %

'^r

-.X

V o u t í i i d a d d * T ít u io s c o n R enta I'I/ a '

Observe el leqtof que el porcenlaje de variación en el precio real a p a r e c e resaltado en la tabla 12,7 cuando la TíR exigida aumenta del íü a l 13%, y coincide exaccameme con el porcentaje de variación obtenido a través de la suma de la Düraíion Modificada con la Convexity. La Convexiry se mide por la distancia entre la línea que representa la duraiion modificada y la curva Precio-Rendimiento que representa la fun' ción real del precio del bono. Debe interpretarse como la tasa de cambio de la du ration modificada ante variaciones en el rendimiento exigido De manera que la expresión deJ cam bio porcentual en el precio queda expresado com o: A%

-D M X ATIR + F a c ío r d e C onvexity x (A T IR f

En.síntesis, m ientras la Duration M odificada no$ da una razonable aproximación para el cam bio en el precio del bono para pequeños cam ­ bios en laT IR requerida, al adicionarle la convexity obtenemos el cambio porcentual exacto.

Factores que afectan a la Convexity 1. Cuando aum enta la TÍR requerida de un bono,* cae su convexity y viceversa. 2. A mayor Duration, mayor convexity y viceversa. 3. Se encuentra relacionada positivam ente con la volatilidad: mayor volatilidad en los rendimientos genera mayor convexíc^^.

Derivación m atem ática de ia Convexity Si recordamos que lá derivada primera del precio del bono con respec­ to a la lasa de interés era

dTlR

d + r/ / o"

{[\ -T IR f

y como la Convexity es la derivada segunda, volviendo a derivar la ex­ presión anterior, nos queda dP dT lR

5

- 2 +6 ■ ■ - + .... - f d ? '+ 1)" ( l + T O )' (H -ra )

La derivada segunda es positiva, lo cual ños sugiere que la función es cóncava (y la curva precio-tasa es* convexa).

O U íU fP M O l ó P t 2 DUM«.^Uf

Lt (unción precio del bono también puede expresarse como una serie de layloi. Si conocemos el precio del bono para una TIR determinada (TIR„), luego el precio pma otra TIR. puede calcularse el precio de las sucesivas derivadas:

r = r ^ i — {TIR - T¡Ra) + {T!R - TiR)^ +.... VdriR “ TldTIR1 d"P

. + ---------- -{TÍR~TÍRV ^ n!d7//?"

Sí lo diferencia TIR-TIR^ es pequeña, pueden despreciarse todos los Humillos posteriores a la segunda derivada sin cometer un eiTor significa­ tivo: ’ 1 //’ p 1 dr r-r„ + ( ™ - r a . ) + 1 4 i- ( r ;R - ™ ) = VdTIR l'.dTIR'

Para cambios muy pequeños en la tasa de interés (TIR-TIR^ ) el segun­ do sumando c.s de escasa cuantía y entonces queda obviamente la expre­ sión de la duration modificada que es la expresión de la primera derivada para variaciones pequeñas en la TIR exigida.

■ir-, >1?.

1 dP r = r . . + --------- ;( T I R - T ¡ R ,) VdTIR

.¡Kj lUíltracíon de la duration y la convexity en el análisis financiero ü i duration no sólo es una medida de la volatilidad del bono, también puede funcionar para el análisis de operaemnes de arbitraje Suponga que un administrador de portalolios tiene una cartera compuesta por varios títulos de renta fija, con diferentes duraiicn. Si por ejemplo, esperara un aumento en ias tasas de interés, seguramente comprará bonos de menor duration por ser aquellos que mostrarían una menor caída en su precio y viceversa. La convexity provee mayor precisión para determinar la variación del precio de un bono, pero para pequeños cambios en las tasas de interés la fHiration Modificada proporciona una medida bastante aproximada de los cambios de precios, de fonna tal que la convexity queda relegada a un pla­ no más académico toda vez que no afecte los cálculos significativamente.

VouTmoAp DE TlTütas

cqhJ ^ mta Fíía

42Í"

Preguntas de auto-evaluación! L ¿Cuáles son los factores que afectan a ia Duratíon? 2. ¿Porqué los cambios en laT lR exigida no aíeciani de m anera siiné^ trica al precio del bono? 3, ¿Qué es la convexity?

12.2. Inmunización de una cartera p e bonos El valor de un portafolio de bonos depende de 1a estructura de tasas en el tiempo, incluyendo el momento en que el portafolio es liquidado Expli­ camos con detalle la estructura temporal en una próxima sección , po> ahora sólo diremos que las tasas de interés en cada año rio son iguales. La mayo­ ría de las veces, la curva de rendim ientos sigue un com portam iento as­ cend ente. Si el portafolio tiene el mismo retorno en una fecha especificada, no importa com o cambien las tasas de interés, y por lo tanto se dice que está in m u n iz a d o En realidad, veremos que el concepto de inmunización está relaciona­ do con el concepto de "vencimiento medio" que vimos en e l capítulo de interés compuesto. Podemos inmunizar una obligación con otro bono, o con un portafo­ lio de bonos,La idea básica es, desde el punto de vista de un inversor, que independientemente de los cambios que se produzcan en las tasas de In­ terés. el rendimiento del portafolio varíe lo menos posible. Las estrategias de inmunización están íntimamente relacionadas con el co n cep to de duratíon y tam bién, aunque en m enor m edida, el de convcxitv. Supongamos que una compañía debe pagar una obligación N dentro de n períodos. Su valor presente es:

N

P =-

o + ¿r Si la obligación es cubierta por un bono mantenido por la com pañía cuyo precio es igual al valor presente del flujo de.caja futuro: n

Q

■.■’TÍÍ’ííi

CiuiLLEiiMo López DuMiiAUfAltara supongam os que la lasa de interés k cambia a Ar+Al:. Sj realizamos ía ilerivada prim era, el valor presente de la Obligación es:

P t- AP= P + — Ak ilk .

-fiN

= P + AA-

[(l+A-)"*'_

Y el nuevo valor del bono es

dD

B > A B = B + - — AA- = B + A A y --------dk ^ d + i-r' t

SI las dos expresrones son iguales, un cam bio en k no afectará lacob er-

turaí. ,

■

^

^

'

-nN a+ ky

Coiiio el precio del bono y el valor presente de la obligación son igua-

les

N ii + k y Pnriemos sim plificar para obtener la expresión de la Duration sí hace­ m o s Ioíí siguientes pasos: 1. pividírnos am bos miembros por B y se despeja Ak • ~nN

«

íri'd + A)"' B

B

ü+ky

2. lu e g o se despeja N/(í+k)" del segundo miembro y queda del Jado d eiech u -n / (l+ k ). -

Y _ x'ií a + A - y * ’ B

N

1

ii+ k)ii+ ky B

3. SȒ can celan los signos menos y l/ (l+ k )U l x (l+k) se simplifican para q u ed ar UU+kH

V O L A T lltP A D D£ l lTULOS CQN fU N T A |-1)A

1 B ^ a + + kk yy

"

La "n" que resulta del despeje es la Duration. Inmunización y Duration

-

El análisis que realizaremos supone que la estrucrara temporal es sieni' pre plana (fíat) o que se traslada en forma paralela hacia arriba o hacia abajo. Si esto es cierto, luego ■ "*la condición para que el precio de im activo sea igual al valor futu­ ro de una obligación N para cualquier cambio en la tasa de interés es que la duration del activo y de la obligación sean iguales”. . La inmunización descrita aplica para la aproximación de primer or­ den. A continuación veremos algunos ejemplos. ' ' Ejemplo: Calcule la duration de los siguientes bonos, sabiendo que la TIR exigida por el mercado es igual ai 6% anual (el cupón de interés tam­ bién es anual).

Cupón Vencimiento Valor nominal Precio

Bono A

Bono B

Bono C

6,70%

6,99%

5,90%

10

15

30

1000

1000

1000^

S 1.031,52

$ 1.095,96

$986,24

T abla 12.9 Precio de lo s b o n o s A. B y C

La Idea es inm unizar una obligación que ha contraído la em presa por $1.000 y que vence dentro de 10 años. Como la tasa de interés que se contra­ tó es del 6%, la obligación valdrá dentro de 10 años: 1.000 a ,0 6 ) ‘“=L790.85 Como el bono A cotiza sobre la par, tenem os que com prar $1.000 de cada bono; para el caso del bono A precisam os com prar 1.000/1.051,52 x 1.000 = 951,00. En los otros bonos hacem os cálculos sim ilares: Bono C

Bono A

Bono B

Precio

$ 1.051,52

$ 1.095,96

$

VN p/comprar $1000 de market valué

$ 951,00

$ 912.44

$ 1.013,96

7,6655

10,0000

14,6361

Duration

T ab la 12,10 D uration de los b o n o s A, B y C

986,24

tiU ÍllE R M O LÓPEZ ÜUMRAUf

4 i4

Puede dem ostrarse que si reínvertimos los cupones que paga cada bono hasta la fecha del vencim iento de la obllgacidn (lü años) y adem ás sum amos el valor presente de los cupones que se pagan después de esa fecha hasta el vencim iento de cada bono, la sum a de estos dos valores multiplicada por el porcentaje adquirido de market valué, iguala el valor que tendría la obliga­ ción en 10 años, para cualquiera de los tres bonos;

Cupones reinvertidos

$ 883,71

$921,07

PV cupones restaures

1000

$ 1 .0 4 1 ,6 2

. $ 988,53

$ 1.883,11

5 1.962.69

$ 1.766,20

95,10%

91,24%

101,40%

$ l.790,B5

$ 1.790, B5

$ 1.790,85

Total % adquirido de $1.000 de market valué Valor en la duration

$ 777,67

T ab la 12.11 Valor de los b o n o s e n k fech a de la d u ration

5i las tasa de interés cam bia, puede observarse el impacto en la cobertura que proporciona cada bono. Si la tasa de interés se reduce por debajo del 6%, el bono A no cubriría la obligación y el bono C ía cubriría en exceso. Sí la tasa sube, la conclusión es inversa. ¿A qué se debe? La e x p lic a c ió n fu n cio n a en dos sen tid os; la duration y la tasa de reinversión/descuento. En el caso del Bono A, cuando la tasa sube, su m enor duration beneficia la reínversidn de los cupones iniciales y si bien castiga el valor presente de los cupones más lejanos, lo hace en m enor medida que los otros bonos, cuya duration es mayor. En cambio, cuando la tasa baja, los cupones reinvertldos no alcanzan a com poner la suma de 1.790,85 que es el monto de la obligación que vence en el año 10, Con el bono C pasa justam ente lo contrario; al ser el de mayor duration. se bene­ ficia con tasas bajas (por el efecto en el valor presente de los cupones) dis-

2.700 -t c

Bono A

2.500 -

ra ■2.300 Ti C u

✓ /

Bono B ^

■'2.100 ■

l515 1.900 > 1.700

B on o C

N

1,500 ■ 0%

5%

10%

15%

20 %

Ta$as de interés Figura 12.6 Valor de ios b o n os en ie fech a de la durnUon para d íjerentea lasas

V o l a t il id a d df i itu lo s c u n rí.tN iA n jA minuye su coberiura con tasas más alias hasta que vuelva a anrnem ar con tasas muy altas debido a que com ienza a aum entar ei P^so relativo cié los cupones reinvcriídos y a dism inuir el del valor presente de los cupones m ás lejanos, Ei bono B tiene una duratíon igual a la de la óblígacióii y m uestra una cobertura bastante estable para tasas enire i y iU% y luego com ienza a aum entar para tasas más altas.

Inm unización y convexity

..

Puede dem ostrarse que un portafolio com puesto por más de un bono proporciona una m ejor inm unización que un scSlo bono. Esto se lelucíoiia con el concepto de convexity. Supongamos que la tasa de interés aimieiiía aJ 7%: ¿cuál es la cobertura que proporciona cada bono por separado? ¿cuál es la cobertura que proporciona un portafolio com puesto por los bonos/\ y C?

Bono A

Bono n

Cupones reinvertidos

$ 1.067,81

$ 1.113,71

PV cu|x>nes restanies

JOÍX)

$ 8flS,82

$í6U,ÍM

$ 2.0G7.81

$ 1.999,53

$ 1.591,25

% adquirido de $L000 de niarket valué 0.95100370Í) 0,912444541

I,0139569H‘ $1.613.40

Total

$ 1.966,49

Valor en duratíon

S .‘«0,31

Tabla 12.12 Precio dé los bontis A, n yC

J l i p-

rí'I.l'k

$ 1.0.24,46

.Don j C

La duraiion de un portafolio es igual a la duraüon prom edio pundeiu* da de las duratíon de los activos incluidos en el portafolio, Podemo;; oljíener una determ inada duraiion invírtiendo los porcentajes adecuan Ta.sa nijvin 1 J

3 l 5 6 7 8 9 in

'

1 (1% 8% 8% 8% 0% 8% 0% fl%

8% 8%

CiJpíín 1800 1720 16‘K> 1560 1400 1400 132D

1240 1160 1080

Tactor descuerilo 0,94 0,^9 0 02 0.76 0,70 O.W 0,59 0.54 0,50 0 45 Total

IT desron latir» 1697,50 1516,45 1M2.4M 1181.26 1030.91 897,09 775.22 669,93 575,48 491.08 10.177.41

Tabla J 2.16 Valor intrínseco de un bono con programa de amo.mzación con lasa fom ’ard

V o u m iD A D D i T portam iento, y todos han aportado algo. Fundam entalm ente, la curva de rend im ientos es p erm an en tem en te observada por los op erad ores ptíi’a establecer oportunidades de arbitraje.

P reguntas

1. ¿Cuáles son las dos cosas que nos dice la Duración? 2. ¿Cómo incide el tam año del cupón en la Duración? 3. ¿Por qué precisam os de la convexity cuando los cam bios en las 71 h . exigidas son significativas? ’ 4. ¿Qué factores afectan la convexity? 5. ¿Cuándo suele verificarse una estructura temporal descencJenie? 6. ¿La Duratíon siem pre aum enta con el plazo de vencim iento? 7. ¿La Duración siempre baja cuando aum enta el tamaño del cupón/ 8. ¿Cuál es el argumento que vincula la duratíon con la inmunización de un portafolio de bonos? 9. ¿Cómo se vincula la convexity con la inm im ización de un portafolio de bonos?

P roblemas (L a m a y o r í a d e la s r e s p u e s ta s a p a r e c e d ir e c t a m e n t e e n e l A p é n d ic e tlti r e s p u e s ta s y r e s o lu c io n e s p o r r a z o n e s d e e s p a c io .)

1. Usted debe calcular la Duralion y la Duratíon Modificada de! siguienre bono bullei cuyos flujos de caja aparecen a continuación. Hecnerde que la aplicación Excel posee una fórmula para dicho cálculo.

Fecliii 10/02/02 io/oa/02 10/02/03 10/08/03 10/02/04

Flujo de Caja -95 10 10 10 no

Ilespueslá: T líl sem estral: i 1,63% ; D uratíon: 1,733; Duratíon Modifi­ cada: 1,54H.

HÚ

GUlLLER^\0 Ló FEZ D um RaUF

2. En e( ejercicio anterior, ¿qué hubiera ocurrido con la Duralion si la tasa de interés exigida aumentaba ai 15%? Respuesta.* Duration 1,7162289 yDuration Modificada 1,4779151. 3. Hoy es 21/7/2001 y usted se encuentra frente a la siguiente informa­ ción acerca del rendimiento de bonos del tipo "zero coupon", y quiere de­ term inar cóm o han sido calculados los rendimientos anuales. Tenga en cuenta que estos bonos, al no poseer un cupón de interés, se venden al descuento, y por lo tanto la "Yield” refleja su rendimiento Implícito. El pri­ mer bono vence a los 180 días y los otros dos vencen a los 90 días. Los rendimientos anuales de los T-Bonds aparecen calculados para un año de 360 días. Aplique las reglas del interés compuesto para detenninar el ren­ dim iento:

Bono TB ' TB TB

Cupón Vencimiento Predo 0.0% 17/01/02 ~ “98,561 0,0% 18/10/01 99,289 0.0% 18/10/01 99,356

TIR anual (efectiva) 2,94% 2,90 2,62 %

' Respuesta: ver apéndice de respuestas.

4. La tabla siguiente contiene la cotización de las LEBAC correspon­ dientes a! día 15/10/2002 y que sale publicado en el diario /Vmbito Finan­ ciero del 16/10/2002. Usted debe comprobar que el rendimiento efectivo anual (recuerde que este aparece comoTIREA, tasa interna de retomo efec­ tiva anual).

Vencimiento t'cdia 15/10/2002 25/10/2002

Precio 99,30

Días para vio 9

Tí REA 32.96%

Respuesta: ver apéndice de respuestas-

5.; F re n te a lo s s ig u ie n te s b o n o s c u p ó n d e l te s o ro a m e ric a n o , u s te d d e b e a n lic a r e l p r o c e d im ie n to d e b o o ls ír a p p in g p a ra o b te n e r las ta sa s c o n ta d o o c o r r ie n te s d e c a d a s e m e s tre . La YTM a p a re c e e x p re s a d a c o m o n o m in a l s ó lo a lo s e fe c to s d e c o m p a r a r c o n o tra s la sa s n o m in a le s .

Fecl\a Cupón semestral 0 6 meses 0 12 meses 18 meses 8% 9% { 24 meses

TiR anual (nominal) 10% 9% 8% 10%

Predo 96,6184 92,4556 98.6255 98,2270

Respuesta: /Vño 1: 3,5%¡ Año 2: 4%; Año 3:8,95% ; Año 4:10,04%,

VOUTILÍDAD DE TITULOS CON FUNTA Fl)A

4T1

6. Calcule el precio, la duratíon y la duration modificada de los bonos A y B. El primero paga un cupón anual del 10% y el segundo de 13%, Ambos tienen un valor nom inal de $1.000 y un vencim iento a 10 años. La TIR exigida por el mercado es del 7%, Respuesta: Precio A: 1.210,71 D=7,06; MD = 6,60 Precio B; 1.421,41; D = 6.75; MD = 6,31. 7. Con la ñinción Duración de Excel, calcule la duration para distínlos plazos de vencimiento que van desde 5 Basta 100 años de vencimiento y con cupones que van desde el 0 al 19%. Tome con fecha de liquidación el 21-05-96. Respuesta: ver apéndice de respuestas. r 8. Para el ejemplo de inmunización de los bonos A, B y C que se anaJizd en la seccidn "Inmunización y Duration" suponga que la TIR exigida por el mercado se eleva al 15%. ¿CuáJ es el bono que provee mejor cobertura ante un aumento de la tasa de interés y cuáJ es el motivo? Respuesta: ver apéndice de respuestas.

REFEn£NCIAS BIBUOGRAFICAS Fabozzi, pRANxy Fabozzi, Dessa (1989) “BondM arkets.Analysis andStinieges". Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. F abozzi, F rank y Fabozzi, D essa (1995) ‘T h e H a n d b o o k o f F ixed fu com e Secwríf/es" Irwin Illinois. Cox í., I ngersoll J., Ross S. (1981) "A R e-ex a m in a tio n o f tr a d itio jia l H ypotheses a b o u i ih e Term Structures o f ¡nterest B ates” Journal of Finalice. Septiembre 1981, ps, 769-799. pERfUNDEZ, Pablo (1999) “Valoración de empresas", Gestión 20n0, Bar­ celona, 1999. 1“ ed., Barcelona, 1999. F ernandez, N. H., T u n cio n es fin a n ciera s d e Excel", cap in ilo 6. I" pdicíón, Ed. Errepar, Buenos Aires, 2003. F erT'íAndez, N. H., “Excel p ara con in dores”, 1® edición, Ed, Errepar, Bue­ nos Aires, 2003.

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de

B enninga, S. "Financial Modelling" 2* ed (2000) MTT Press, Cambridge. Massachusseíts, .

G u iU tR A iO

L0PÉ 2

DUMRAUf

A p é n d ic e ÍN M U N I2A CIÓ N DE UN PORTAFOUO DE BONOS CON

B oden 2 0 0 5 Y B oden 2 0 1 3 Ai ju í v erem o s un caso real de inm unización de carteras de bonos. Si com ­ b in a m o s e ficie n te m e n te un bono con un fu en ep ag o al principio (Boden 2005) q u e a p ro v e ch e las rein version es a tasas altas si es que éstas suben y com p en ­ se el i) n p a cto en v alor p resen te de los cu pones del bono de plazo m ás largo (B o d e n 2 0 1 3 ). La c a rte ra se ad quiere por U $S 97,5 (37+60,5) el 20-3-04 y se liq u id a en la fe ch a d e la duration: 3 0 -4 -0 8 A con tin u ació n aparecen los Qiijos d e fo n d o s d el B o d e n 200 5 y del Boden 2013:

Precio al 29-WH Intd openo d o

Libar 1* pedodo

-67,5 03AI5AM Convendáfl 1,2400% Ifliar actual

Actual/365

9,77% okámbito

1.15%TVlanud

vencimiento"-pías paliado’>Vresítfuá| rxupón Interés ■ r AmoTtizacion -

17Í05W

-37

170 351

03/11/04 03/ü5«)5

184 181

40 40

0,23 0,23

0.23 40.23

0.00

40.00

Tabla 12,18 Flujo de forrdos dei Boden 2005

Prado al 29-34M .. tniaopeHodo Ltoof rpartodo

-60,5 3CU04/04 1,2580% Ubor actual

iu a s fw s fe } ; V v e n cim ie n to . ' ‘^ 'P ü s p eriod a

f

l'-; J : .

17105^ 4 30/10A)4 3om4/os 30M0/QS 30m4/DÓ 30/10/06 j0rt)4/07 30/10107 30/04/01! 30/10/06 30AH/0S 30/10/0£) 30AM/1C1 30/10/10 30/04/11 30briQ/t1 30/04/13Í 30/10/12 30/04/13

16S 348 531 71 3 8QS 1078 1261 1444 1627 1809 1992 2 174 23S7 2S39 2722 2905 3 088 3270

183 182 1B3 182 183 182 183 183 183 18 2 183 182 183 182 183 183 18 3 182

n a anual 11.85% ok ámbito Convención Adual/355

í.15% ^ C apllaj residual 100,0 100.0 100.0 100,0 87.5 87,5 - 75,0 75,0 62.5 62.5 50,0 50,0 - 37,5 37,5 25.0 25.0 12.5 12.5

Cupóri Interés -

-

0.58 0.57 0.58 0,57 0,50 0.50 0,43 0 .0 0.36 .. 0.36 0.29 0.23 0.22 0 .2 2 0,14 0,14 03)7 0,07

Amartizacióñ 0.0 0.0 0,0 12.5 0,0 12.5 0.0 12.5 0,0 12.5 0.0 12J5 0.0 12.5 0,0 12.S 0.0 12,5

1

■ Flujo ca ja '=/-eo .s O.d 0.6 0.6 13,1 0,5 13.0 0.4 12,9 0,4 12,9 0.3 12.» 0 .2 12.7 0.1 12,8 0.1 12,6

Tabla 12.19 Flujo de fondos dei Boden 2013

Y la figu ra 12,15 m u estra que la cartera produce un gran flujo de fon­ d o s e n lo s p rim e ro s pagos (la am ortización del 40% del Boden 2005) y pa­ g o s m e n o re s en los sem estres subsiguientes.

Volatilidad DE: T ítuioí cún Renta Fija. ;'

Figura 12.15 Flujo de fondos que entrega la cañera Si los flujos de fondos anreriores a! 3 0 -4 '0 8 son reinverrídos Ijasia esa fecha y los posteriores son actualizados hasta la misma fecha, tenemos doa “corrienies", una que capitaliza y la otra que es actualizada. La suma dú la^ dos co rrien ies es el valor de la cartera al vencim iento. En la tabla 12.dU ap are ce el valor de la cartera al ven cim ien to en la colum na de lotal. A partir del d inero que d esem bolsam os para com prar la cartera ll$ S iJ7, d (37+60,5) y el total, observarnos que la rentabilidad anual fluctúa aproxi­ m adam ente entre el 10 y el 12% para variaciones en la rasa de interéa de m ercado que van del 1 al 20% y entonces hemos conseguido ínmunizai la carte ra.

vmeremia ''í;..{;q'p^){z3Pión *

w •1 iL5'

1% 1% 2^i»

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3^/i 4% 5% 6%

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a% 9^/0 10% íl% 12*,i. 1 14% 15% 16% 17% 18^5, 19% 20%

70,8 70.8 72.5 74,1 , 75.8 77.6 79.3 81,1 02.9 84.8 86,7 86.6 90,5 92.5 94,3 96.5 98.6 100,7 102,8 104.9 107,1

'jiiá d J ': 61,8 6 ia 59.2 56,7 54.3 52.1 50.0 48.0 46,1 44,3 42.6 41.0 39,5 38,0 „ 36,6 35.3 34.0 32.8 31.7 30,6 •■^29,6

-í?91lí?iiilít|fl

lO.SS^L 132,7 132,7 . 1Ü.9S1¿ 10.71% 131,7 10.47“,« 130.8 lOZEbv 1305 10.14% 129.7 10.04% 12S.3 129,1 ^ 9 95% 129 0 9.9 Tic 129,1 10,0?% 129.3 i ú. roí ó 129,6 10 22ÍV 130.0 • 10,36% 130,5 10,54% 131,1 10.74% 131 a 10 97ÍÍ 132,6 T1,2í«i 133.5 11.5 0 Í. 134.5 11,30-/» , 135,6 12,13*/» 136.7

Tabla 12.20Valor total y rentabilidad anual de la carrera

i

i i

C A PfruLol3

T

e o r ía d e

O

p c io n e s

“‘E stu dié ¡a ecu ación d iferen cial duran te m ud to s m eses. C om etí cientos d e errores estúpidos q u e m e con du jeron h acia un callejón sin sa li­ d a. N ada fu n cion aba... Los cálcu los reueiaron q u e e l va lar d e la opción no depen día d d rendi­ m iento esperado d e la acción, n i d el rendim ien­ to esperado d e otros activos. Aíe fascin ó “.

Fisdier BlackíJ0.38-J99.5), coaurorde lafórmula queganó el Premio Nobel de Economía en 1997

I .i I

i

ll'm iO D U CCIÚ N

Uno de los instrumentos derivados financieros que más se han desa­ rrollado en los últimos años son las denominadas "opciones";, Las opcio­ nes más populares son las financieras, aunque en los últimos años las op­ ciones reales han tenido un desarrollo que promete revolucionar el cam­ po de las finanzas corporativas. Las opciones otorgan en general, el dere­ cho de comprar o vender un activo pero lo interesante es que no ofiligan a hacerlo, como es el caso de otros derivados financieros tales como los fu­ turos y los forwards. Por ejemplo, las opciones de compra y venta otorgan' a su poseedor el derecho —pero no la obligación— a comprar o vender un activo determinado (por ejemplo una acción) a un precio determinado durante un plazo determinado (opciones americanas) o en una fedia de­ terminada (opciones europeas). Por lo tanto, una propiedad fundamenlal de las opciones es que éstas nunca pueden tener valor negativo, pues nos otorgan un derecho, pero no nos obligan. Los contratos de opciones son instrumentos derivados financieros pues su valor se negocia sobre el valor de un activo subyacente o especie como pueden ser acciones, títulos públicos, índices de acciones o las divisas. Las primeras transacciones de opciones de compra y de venta tu\ieron lugar en Europa y Estados Unidos en el siglo XVIIL En la República Argentina, el organismo que autoriza el funcionamiento de los Mercados de Futuros y Opciones y aprueba los términos y condiciones de los contratos es la Co­ misión Nacional de Valores. Las opciones cotizan en la Bolsa de Comercio

«

44 ó.

GuiLLERAto Ló pez D umraué

d e B u e iio s A ires d on d e b ásicam en te las transacciones se realizan sobre a c c io n e s de las com p añías m ás grandes y con mayor volurnen negociado (A cindar, G alicia). Las op ciones negociadas en nuestro mercado de valo­ res s o n todas am ericanas, com o en la mayoría de los mercados. En las o p cio n e s financieras, sus categorías, com o el precio de ejercicio, el p récltí y plazo de ven cim ien to vienen definidos por contrato. Como vere­ m os en el próxim o capítulo, esto no ocurre con las opciones reales, que b á s ic a m e n te se id en tifican con activos físicos; en las opciones reales no s ie m p re es tan claro cual es el precio de ejercicio o el plazo He vencim iento y a m e n u d o es difícil d etectarlas y definir un m odelo apropiado para valo­ rarlas. En e ste cap ítu lo realizam os una introducción al mundo de las opciones, ya q u e un tratam ien to com pleto de las distintas clases de opciones y com bi­ n a c io n e s en tre ellas e stá m u cho más allá del alcance de este libro. Com en­ z a re m o s d escrib ien d o las clásicas op cion es financieras de com pra y venta, .. s u s x a ia c te r ís tic a s p rincip ales y los posibles resultados.-Luego verem os los “i^ crD res~ q ire'afecrairáirp fK tO y algunos otros detalles, com o por ejem plo, cu a n d o es co n v en ien te ejercer una opción am ericana de com pra o de venta. E sto n os p erm itirá introd u cir el tem a y con o cer sus principales aspectos p ara luego p resen tar el m odelo de valuación de opciones por el m étodo b in o m ia l y fin alm en te d escribir el m érodo de Black Schoíes, cuya fórm ula p ara v alorar op cio n es europeas que no reparten dividendos m ereció el pre­ m io Noí»el en 1997. Des| >ués de leer e ste capítulo, usted d eb ería serca p a z d e: ►R e co n o ce r los principales tipos de opciones. * C u áles so n los factores que determ inan el precio de una opción. * U iilizar el m étodo binom ial para valuar una opción sencilla. * Ü líiizar la fórm ula de Black Scholes parala valuación de opciones euro­ p e a s q u e no pagan dividendos.

13.1. P rincipales TIPOS DE OPCIONES H ay dos tipos b ásicos de opciones: las opciones de compra [cali op íion s) y las opc ion es d e ven ia [p iit o p tion s). Una opción de compra eu r o p ea otorga a su p ro p ietario el d erecho a com prar un activo determ inado (por e jem ­ p lo u n a a cció n ) en u n a fecha determ inada, a un precio especificado. La o p c ió n d e v en ta europea da al propietario el derecho de vender un activo d eterm in a d o en una fecha determ inada a un precio especificado. Las op­ c io n e s a m e rica n a s son iguales a las europeas excepto porque pueden ejer­ c e r s e en cu alq u ier m o m en to durante el plazo del contrata. E n g e n era l, los ad qu írentes de un a opción de com pra sobre una ac^ c ió n p ie n sa n q u e la a cció n subirá de precio y comprando la opción buscan a s e g u ra rs e u n p recio especificado: los adquírentes de una opción de venta

T eoría d í O icíoneí

-h ;

sobre una acción especulan con que ésta bajará de precia y quieren rarse tam bién un precio especificado, Ei precio especificado en el contrato se lo conoce com o precio de ejerci­ cio o “strikeprice** y éste puede ser inferior, igual o superiorai precio de m er­ cado en el m om ento de emitirla. Ei precio de las opciones es un dato objetivo y puede observarse en el m ercado, ya que surge de la oferta y !a dem anda. No obstante, debemos decir que éste en general es fuertem ente influido por el valor que resulia de aplicar la fórmula de fijación de precios de Hlack-Scholes, que tuvo una enorm e inOuencia en ia forma en que los operadores fijan precios y reali­ zan coberturas con opciones. Los m étodos de valoración de opciones, in­ cluyendo BíiiS se explican en este capítulo. Por el momento, para facilitar el ra zo n am ien to y para eje m p lifica r los resultados de op eracion es con opciones de com pra y venta que m ostram os a continuación, .e! precio de , la opción será un dato. ■

R esultado de las op cion es de com p ra Considerem os la situación de un inversor que adquiere una opción de com pra e u r o p e a que le otorga el derecho de com prar en la lecha de venci­ m iento, una acció n de la com pañía M olinos del Norte con un precio de ejercicio de E = lOÜ. Suponiendo que el precio actual de las acciones sea de S = 90 y la fecha de vencim iento es dentro de 3 meses, deberá pagarse por la opción una “prim a" $5 por acción, resultando ia inversión total de 5.5 (la "prim a" es ei precio de m ercado de la opción). A la fecha de vencimiento pueden pasar tres cosas: • Si el precio de la acción es igual a $100, el inversor serta indiferente a ejercer la op ción, ya que de todos m odos perdería el valor de la pn'fná que pago por la op ción ($5). • Si el precio de ia acción es m en or a $ 100, el inveisor decidirá no ejercitarla, pues no ten d ría sen tid o pagar $100 por una m ercaircía que puede adquirirse por m enor valor en el mercado. En este caso, el inveisor lim ita su perdida a $5 que es lo que pagó por la opción. • Si el precio de la acción se situara por encim a de $ IOO, la opción sé ejercería, ya que se obtend ría una ganancia. ‘ La figura 13.1 m uestra el resultado posible de nuestra opción de com ­ pra para una acción de M olinos del Norte que tiene un precio de ejercicio de $100. Si el precio de la acció n resulta ser inferior a dicha cifra, nadie ejercerá la op ción . Si el p recio de la acció n (S) resulta mayor a $100, el resuU ado d e ¡a o p c ió n s e r á ig u a l a l v a lo r d e m e rca d o d e ia acción , m en os los $100 q u e te n em o s q u e p a g a r p a r a a d q u ir ir la y m en o s ¡a p rim a q u e se p a g ó p o r la o p ció n . >genera posiciones que se las co n o ce com o "in the money", "at the m oney" y "oiit of ‘

■»48

G

utuerm o

Ló p e z D

u m r au e

Ihe money”. Una opción “In the money“ (en dinero) es aquella que propor­ ciona un flujo de caja positivo a su propielario en el caso de que sea ejer­ cida inmediatamente. De la misma manera, las opciones cuando estdn *'at íhe money“ o “out of the money" proporcionan un flujo de coja Igual a cero o negativo, respectivamente, si fueran ejercidas inmediatamente. En el caso de la opción decompra.se encuentra “in tlie money" si c! precio de la acción superara el precio de ejercicio S>E, "at the money" sí S=E y "out of the money" sí S1

n

Precio de la opción

5

5

5

5

Precio de ejercido

ion ino im 100

Resuhado nc(o

•15

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-5

‘labia 13.1 R esu ltadoíideln cpción dccQ in prn

Podemos extraer algunos conclusiones; ♦ El comprador de la opción Umita las pérdidas ni precio de la opción aiam lo d precio de la acción queda por debajo del precio de ejercicio (por einnplo cuando la acción rale $90. la opción no se cjcrclla, pero sólo se pieidc io que se pago por la opción (S5). • Cuando la acción supera el precio de ejercicio, aunque no se recuj'eie lo que se pagó por In opción, se cstani mr|or ejercitándolo que sin

T

eo iu a üe

O rc ro N ts

4 4 V

hacerlo (cuando la acción vale 1D2 ejercitando se pierden S3, no hac iéndolo se pierden $5). * Por encim a de un precio de $105, com ienzan Jos resultados positi­ vos. Ee100

“ou! OÍ Iho money"

"al íhe money*

'in Ihe money"

Cuando adquirimos una opción debemos erogar hoy e! dinero para comprarla. Después esperamos para ver sí al cabo del plazo de vencimien­ to [o durante dicho plazo en el caso de las opciones americanas) Ir opción acaba teniendo algún valor. Ese período de tiempo tiene un valor conoci­ do como el *Vme prem ium " y representa dos cosas: un costo hundido que sólo puede ser recuperado si la opción es ejercida con un beneficio y a la vez es un control para cl poseedor de la opción. Una vez ejercitada la op­ ción, dicho control obviamente se pierde. Opciones de venta Las opciones de venta nos dan el derecho a verulcr un acción o un activo determinado a un precio de ejercicio. Supongamos que tenemos una opción de venta para vender una acción de la compañía Púrpura a un precio de ejercicio de ejercicio E = 300. El precio (prima) de In opción de venta es de $50 por acción. La forma de calcular cl resultado de Ir opción de venta c.s exactamente la inversa que utífizamos para la opción de com ­ pra: la opcirín de venta solam ente tendrá valor cuan do el precio d r m ercado de la acción sea inferior a l ptvcio d e ejerclcip, ya que en eso caso nblnndrernos una ganancia cuando vendamos por $300 una mercanrin cuyo precio de mercado es por ejemplo, $200. En cambio, si cl pícelo cJr murcadn de la acción es de $‘KU), nadie querría vender In acción a S3U0, y In op­ ción expiraría sin sci ejercitada. í’or lo tanto, cl icsulíndo tic la opción lU* venta en In fecha de vencimiento será Igual ni fjrccio d e ejercicio m enos el precio d e m ercado de. la acción v m enos la prim a pngndi' por In opc»ón (que llamaremos “p^poi Iratnrsc de la prltnn de un pul).

E-S-p

G uíILERmO Ló1'£2 D ummüf' t n las op cid iies de venta es al revés que en las opciones de com pra: la o p c ió ji está "in ih e m oney" “at the money" o "out o f the m oney" següri el p recio de la accidíiSG encuentre por debajo, igual o por encim a del precio de ejercicio: E=300

i n fhe money**

s

*al Ihe money*

"oul oí iha money"

Podem os resum ir los resultados del put en la tabla 13.2 Becio de ejercicip„.

300 300 300 .300

Precio de la acción

100

200

300 400

Precio de la opción - 50

50

50

50

Resultado neto

50

-50

-50

150

Tabla 23.2 HcsuUados de ia opción de venta

Resultados de la com pra de calis y puts O pción de com pra:

(MaxlS^E;0¡~ c)

O pción d e venta:

'(M axfE-S;0h p )

En las ventas de calis y puts los resultados son exactam ente los inver­ sos, ya que lo que gana el vendedor es exactam ente igual a lo que pierde el com p i ador y viceversa. P o . ( d o n e s en o p cio n es En cada contrato de opciones siem pre hay dos partes: el com prador y el ventiedor o em isor de la opción. Se define como posición larga (long) a la parte que h a com prado la opción mientras que se entiende como posi­ ció n c tjn a (short) a la parte que ha vendido la opción. El vendedor (em i­ sor) do u n a o p ció n de venta recib e un ingreso en efectivo por la venta p ero ad qu iere un pasivo potencial a futuro, si los com pradores ejercitan las o p cio n es. Al vencim iento (o durante el plazo hasta el vencim iento en e l caso de las op cion es am ericanas) se conocen los verdaderos resultados p ara fas partes. Por ejem plo sí el com prador de una opción de com pra tie­ n e un b en eficio , este es igual a la pérdida del vendedor de la opción y vice­ versa. Las figuras 13.3 a 13.6 resum en las posiciones para los compradores y v en d ed o res d e opciones de com pra y de venta.

-íSi '

TtCíRlA D£ Oí'CIONtS

Figura 13.3 Resultados compra del caü

figura 13.5 Resultados compra dei put

" \

/ \ ‘ \

Figura 13.4 Resultados para el vendedor del cali

/.

/ Figura 13.6 Resultados para el vendedor del pul

P regu n tas de au to -ev a lu a ció n : 1. ¿Qué es una opción de com pra? ^ 2. ¿Qué es una op ción de venta? 3. ¿Qué diferencia existe entre una opción de com pra europea y una am erican a?

] :1.2. F actores que determinan el precio de una opciún El precio de una opción es una fu n d ón de seis factores; C = fíS,E,t,a,rf;D)

r

v ^ '

Donde S = precio de la acción; E = precio de ejercid o ; í = tiempo hasra el vencim iento; o = volatilidad del precio de la acción: rf= rasa de interéslibre de riesgo y D = dividendos ; . A continu ación describirnos en detalle com o influyen sobre el p red o de las opciones. ..

4n

CuiLUPJtto L ó r c i D mmfj^uí

El precio de la accidn Cuanto mayor es el precio de la acción, mayor es eí valor de la opción de compra. Esto es claro» pues cu an to m a y orsea la d iferen cia entre el precio d e la acción y su p recio d e ejercicio, m ayor será la g an an cia q u e proporciona^ rd la op ción , tanto sea una opción de compra o de venta. Imagine que usted compró una opción de compra europea sobre las acciones de Moli­ nos del Norte con un precio de ejercicio de SIOO. cuando el precio de la acción se encontraba en 95. Si el precio de la acción aum enta, también oumemará el precio de la opción, pues las chances de ejercitarla son potencíalmenle ciertas. H precio de ejercicio Cuanto m ayorsea el precio de ejercicio de una opción de compra, menor sera el precio dela-opcíón. puesto que las chances deque el precio de merca­ do de la acción supere al precio de ejercicio serán menores. Lo contrario se aplica para la opción de venta. Es por eso que las opciones cotizan con pre­ cios diferentes para precios de ejercid o distintos. La volatilidad La volatilidad es un factor clave en el 'V'alor de la opción. Cuanto mayor es la volatilidad, más cara será la opdón (tanto de compra como de venta) ya que a mayor variabilidad en el precio de la acción, mayor es )a probabi­ lidad de eierd d o cuando el precio de la acdón se ubique en la zona "in the money". En general, los precios de las acciones de las compañías que com ­ ponen el Nasdaq son muy volátiles, y los precios de las opciones sobre estas acciones son más caros. La posibilidad de desechar los resultados desfavorables y tomar ventaja de los retornos favorables hacen a las op* Clones sobre activos riesgosos más valiosas. El tiempo de vida de la opción Cuanto mayor es el plazo del contrato, mayor es el valor de la opción ya que hay más chances de que en algún momento el precio de la acción se ubique “in the money". El precio de la opdón incluye un elemento lempnrai. que tiende a disminuir conforme se aproxima la fecha de expiración de! contrato de la opdón, ya que disminuyen las probabilidades que tiene el precio de mercado de superar al de ejercicio. Suponiendo que una op­ ción de compra está por expirar, y todavía el precio de la acción no alcan­ zó al predo de ejercicio, las chances de que lo haga son muy bajas, y por lo tanto el valor de la opción disminuirá. Como dijimos anteiionnente. en el valor de la opción está contenido el "premio por el tiempo" y es un valor que responde a mantener el control sobre la situación; el poseedor de la opción puede esperar para ejerdtarla o dejar que expire si no le conviene hacerlo.

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e o r ía d e

O r c iO N £ 5

4:0

La tasa de interés libre de riesgo La adquisición de una opción europea de compra (1) sobre u n a acción es equivalente a comprar la acción, pero financiando parte de la compra con deuda, pues se difiere lama>'or parte de) pago, que es el precio d e ejercicio. El pago inicial viene dado por el costo de la opción (c), m ientras que el pago diferido será el vaJor presente del precio de ejercido (E) a la tasa de interés libre de riesgo. T representa el plazo hasta el vencimiento. El valor presente del precio de ejercicio puede expresarse como

O suponiendo actualización discreta.

E

El uso de la capitalización discreta o continua no modifica demasiado los resultados. Suponiendo que el precio de ejercicio sea igual a 100 y la tasa de interés libre de riesgo anual sea del 5?b. tendríamos que el valor presente del precio de ejercicio calculado por las dos alternativas sería: 1 0 0 e ’^-“^ = 9 5 ,1 2

100

(1,05)

= 95,24

Es muy común que se recurra a la capitalización continua para el cál­ culo para que sea consistente con otras fórmulas de valoración que asu­ men matemática continua, como es el caso de las fórmulas deBíack-Scholes y sus derivadas. De estas expresiones se observa que si la tasa de interés aumenta, m e­ nor será el valor actual del precio ejercicio y por lo tanto mayor será el valor de la opción, ya que la diferencia entre el precio de la acción y e! valor presente de! precio de ejercicio se torna mayor:

c =

-----------------f

(1 + ^ )^ Sin embargo, aquí hay una aparente contradicción, puesto que el p?ede una acción es una función decreciente del tipo de interés (2!, según vimos en el capítulo 7 cuando explicamos los modelos de valuación de acciones por dividendos cuando tratamos las rentas que variaban en pro­ gresión geométrica. Para que esto suceda el efecto que tiene e! aumento c ío

tu Enrealidad. ]aafirmaciónse cumplesólo paraun cali europeo, yaque lapai idad put­ eadpostula que P+S,=c+Ee^. (2) El valor de un activo en general responde asuflujo de fondos descontado. AJaumen­ tar la tasa deinterés, el valor presente de la corriente de efectlw disminuye.

454

G u iller m o López D u m r .\uf

ert ta tasa de ¡níei és sobre el valor presenie del preqo de ejercicio supera el efecto el sobre el precio de la acddn (3), Én el caso de las opciones de venta es al revés, ya que un aumento en la tasa de interés líbre de riesgo disminuye en vaJorpresente el precio de ejerci­ cio, que es lo que percibimos cuando la ejercitamos. Ei precio de la opción de venta debería reflejar aproximadamente la diferencia entre el valor presente dtíl prfíCío de ejercicio y el precio de la acción:

H

m

(1 + //) En este momento puede aparecer un poco extraño que en la valora­ ción de opciones inter\'enga una tasa de interés libre de riesgo. La fórmula para valorar las opciones tardó muchos años en obtenerse, hasta que Fischer Black y Myron Scholes realizaron un hallazgo extraordinario, que revolucionaria las finanzas; el valor de la opción no dependía de los rendí- rnientos de la acciónl!

i

'é'

En una próxima sección de este capítulo explicamos cómo las opcio­ nes pueden valorarse independientemente de las preferencias por el ries­ go de los inversores, inclusive como si éstos fueran neutrales al riesgo, por lo cual utilizaremos una tasa de interés libre de riesgo, aunque esto parez­ ca ahora algo extraño. Los dividendos Cuando se paga un dividendo en efectivo, se reduce el valor del patri­ monio neto, generando un descenso en el valor de libro de las acciones que, también se refleja en el precio de mercado. Los dividendos entonces siem pre reducen el precio de la acción en la fecha ex dividendo, y por lo tamo reducen el valor de la opción de compra, mientras que provocan un aumento en el valor de la opción de venta. La tabla 13.3 resume la forma en que los factores mencionados afectan el precio de las opciones de com­ pra y venta:

3i aumenta el preao de la acción la tasa de interés el tiempo hasta la expíradón la volatilidad del precio de la acdón él precio de ejerddo Los dividendos

Precio de la opdón de compra aumenta aumenta aumenta aumenta disminuye disminuye

Precio de la opdón de venta disminuye disminuye aumenta aumenta aumenta aumenta

Tabla 13.3 Efecto enel precio de las opciones decompraydeventa (3) Su llega adicho resultadoderivandoei vatorde laopciónconrespectoaun cambio en ía tasa de interés en la fórmula de Black-Scholes.

T eOHIa D£ O cciones

.455

Preguntas deaiilo-evaluacióru 1. ¿Por qué cuando aumenta la volatilidad aumenta el valor dé la opciónV 2. ¿Por qué cuando aumentan los dividendos se reduce el valor de la opcidn?

13.3. EíERCICIODELAOPCIONANTES DESU\'ENClMtENTO Las opciones americanas pueden ejercitarse antes de su vencimiento. A príorí podríamos pensar, por ejemplo en el ca so de una opción de com­ pra, que sí el p recio d e la acción se encuentra suficientemente por encima del precio de ejercicio, convendría ejercitarla antes del vencim iento y embolsar la ganancia inmediatamente. Sin embargOj veremos que esto no es conveniente cuando la acción no paga dividendos. Sin embargo, sí puede resultar ventajoso ejercitar una opción de venta que no paga divi­ dendos antes del vencimiento cuando el precio de la acción se encuentra por debajo del precio de ejercicio. Recuerde que los dividendos ¡nnuycu en el valor tanto de las opciones de compra como de venta. Opciones de compra que no distribuyen dividendos En esta sección, demostraremos que nunca debe ejercerse una opción americana sobre acciones que no distribuyen dividendos antes del vencimiento. Vale decir, que es mejor mantener ’Viva" la opción y no ejercitarla sino hasta el vencimiento. Los resultados son importantes pues además nos ayudarán a preparar el terreno para el próxírno capítulo, donde trata­ remos las opciones reales. Para lo que resta del capítulo estableceremos la siguiente convención para distinguir entre opciones europeas y america­ nas: c =: opción d e com p ra eu ropea C ~ opción d e com pra am erican a Suponga que usted tiene una opción de compra americana sobre ac­ ciones que no distribuyen dividendos y falta un mes para el vencimiento. El precio de ejercicio es 90 y el precio de las acciones es actuaJmente lOÜ, Parece tentador ejercer la opción y embolsar inmediatamente ja diferen­ cia ílOO'SOslO). Sin embargo, hay tres razones para no hacerlo: L El valor tiempo del dinero: si el precio de ejercicio se paga dentro de un mes, éste será menor en valor presente. Recuerde que todo peso riel futuro vale menos en el presente; siempre es mejor pagar más ,tarde que

G u i l l e r m oL ó p e zÜ u M R A u r

más temprano Si las acciones no distribuyen dividendos, no se liabrásacrificado ninguiia entrada de dinero.

2. Si el inversor planea conservar las acciones durante un mes, pued ocurrir que el precio de ia acción disminuya; en ese caso, el inversor se felicitará por no haber ejercido la opción, pues en ese caso tendría a ccio­ nes que valdrían m enos. Si se ejercitara la opción, el seguro que propor­ ciona contra las bajadas del precio de las acciones con respecto a] precio ; de ejercicio (siempre suponiendo que las acciones se desea conservarlas hasta eí vencim iento de la opción) desaparece.

3. Inm ediatam ente el inversor podría pensar en ejercitar la opción y vender Inm ediatam ente la acción para em bolsar la diferencia. Este argum em o del íijjo "m ás vale pájaro en mano" tam poco conduce a la m ejor estrategia. El argum ento es sencillo: e l in versor o b ten d rá m á s d in e ro s i v en d e ¡a o p ció n en vez d e ejercita rla . ¿Por qué? N ecesariam ente habrá inversores que deseen m antener las acciones y esta rá n d isp u estos a p a g a r p o r la o p ció n la d ifere n cia en tre e l p r e c io d e la a c c i ó h y e l v a lo r p resen te d e l p r e c io d e ejerció d o . Si !a tasa de interés anual libre de riesgo es del 5% y falta un mes para el vencim iento, debem os proporcionarla al mes (0,05/12=0.006) para calcular el valor presente del precio de ejercicio. Dti ese modo el valor de la opción cíe com pra sería; C = 5 -

= 100-

90

= 10.37

(1 + ^ ) m

De ese modo, el inversor obtendría $10,37 en contraposición a los $10 que obtendría ejercitand o la opción y vendiendo inm ediatam ente la a c ­ ción, Para reforzar ia afirm ación, apelam os al argum ento de im posibili­ dad de arb itraje; la op ció n de com pra necesariam en te tien e que valer .$10,37, de otro modo habría oportunidades de arbitraje. Por ejem plo, el inversor podría vender las acciones por $100, com prar la opción por $10 y la diferencia de $90 colocarla a la tasa libre de riesgo 90(1+0,05/12)=90,37 luego-ejercería la opción de com pra y volvería a tener la acción pagando el precio de ejercid o de $90 y em bolsando ia diferencia de 0,37 sin ningún tipo tie rie.sgo. Si la opción de com pra am ericana sobre acciones que no pagan divi­ dendos no conviene nunca ejercitarla antes del vencimiento, tiene por lo menos el mismo valor que una opción de com pra europea sobre las m is­ mas acciones; ; C^ C Puesto que el propietario de una opción de com pra am ericana tiene • siempre la oportunídád de ejercitaria, mientras que el propietario de una : de cpnipra europea sólo puede hacerlo al vencim iento, la opción

T eoría DF. O rao N ts

4 > v

de compra americaaa debe tener más valor que la opción de compra eutov pea. > : CZc

'’-'l:-;-

De manera que la opción de compra arnerícana tiene que ser mayor a la diferencia entre el precio de la acción y el valor actual d el precio de ejercicio:

(1 + — )

m

Se observa que sí rf > 0, necesariamente C > S - £ (cuanto mayor es rf menor es el valor actual del precio de ejercicio y mayor se hace la diferen­ cia).'Si fuese mejor ejercerla antes del vencimiento, entonces C sería igual a S - E, que no es lo que ocurre, por lo tanto deducimos que no conviene el ejercicio antes del vencimiento, ¿Qué ocurre si la acción paga dividendos?

;S I I ;

En este caso sí puede ser conveniente ejercitar la opción de compra antes del vencimiento, ya que el flujo de efectivo que se obtendría cobran­ do el dividendo podría ser mayor al que se obtiene vendiendo la acción. De hecho, los inversores a veces ejercen la opción de compra para adquirir la acción porque creen que pagará dividendos. Opciones de venta que no distribuyen dividendos A la inversa de lo que ocurría con las opciones de compra, purde ser ventajoso ejercer una opción de venta sobre acciones que no distribuyen dividendos antes del vencimiento. Supondremos que; o p c ió n d e v en ta e u r o p e a P= o p c ió n d e v en ía a m e r ic a n a

Suponga que el precio de ejercicio es de 100 y el precia de las acciones es 80; ejerciendo inmediatamente, un inversor obtiene un beneficio in­ mediato de 20 pesos. Por el principio del valor tiempo del dinero, sabemos

que recibir 20 pesos ahora es m ejor que recibirlos en el futuro, cuando venza la opción. En general, el ejercicio de la opción de venta será más atractivo cuando S disminuye y aumenta la tasa de interés (piense que si aumenta la lasa de interés, disminuye el valor presente del precio de ejer­ cicio que voy a recibir en el futuro cuando ejerza la opción).

P>

--S

G

u il u íu a o

L

ó p e z

D

u m r a u f

El valor tiempo cJel dinero nos explica que como puede ser conveniente ejercitar una opción de venta americana antes del vencimiento. Como es mejor recibir un peso hoy que recibirlo en el futuro, la opción de venta americana tendrá siempre un valor superior a su correspondiente opción de venta euro­ pea iP > p).

El efecto de ios dividendos Los resultados que hemos visto hasta ahora suponían acciones que no distribuían dividendos. Cuando se distribuyen dividendos, no podemos afirm ar que una opción am ericana no se ejercerá antes del vencimiento, porque los dividendos harán que el precio de las acciones baje de golpe haciend o la Opción menos atractiva. Además, el inversor puede pensar que es conveniente ejercitar la opción sobre una acción porque piensa ‘ q u e ésta puede pagar dividendos y de esta forma obtendría un mayor flujo de efectivo que le com pense ia disminución que se produciría en el precio de ia acción. Por otra parte, se hace más atractiva la opción de venta. Como el pago de dividendos hace bajar el precio de la acción, concluimos enton­ ces que la distribución de dividendos genera; 1. Hn el caso de las opciones de compra, disminuye el valor de Ja op­ ción , haciendo que de repente sea más conveniente ejercerla antes del ven cim ien to 2, En el caso de las opciones de venta, éstas aumentan su valor La paridad put-call en las opciones europeas

I

í » iI kr

|, I ':'

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La paridad pul-cali refleja una de Jas propiedades más importantes de las opciones europeas de compra y venta, ya que nos muestra como pode­ m os obtener el valor de una opción de compra a partir de la opción de venta y viceversa. Aunque la mayoría de las opciones son americanas, esta propiedad luego veremos que puede ser utilizada no sólo en las opciones financieras, sino que tam bién es aplicable a situaciones de las finanzas corporativas. Recordemos por un momento como seria una operación donde es ad­ quirida una opción de compra europea y supongamos que se tiene el di­ nero para com prar la acción a! vencimiento de la opción. SI la opción no vence boy sino que lo hace dentro de tres meses, no precisamos tener todo el dinero hoy, sino sólo el valor actual del precio de ejercicio que es igual al precio de ejercicio a la fecha de vencimiento actualizado por la lasa de interés libre de riesgo EíÜ +rf) (4). Por otra parte, supongamos que existe un inversor que com pra una opción de venta y además posee la acción. R esu m iend o: ^

(4) Suponemos capitalizaddn discreta. Los resultados nodifieren si trabajamos con la tasa equivalenre instantánea COTIcapUalizadóñ coniinua.

4 5 ‘l

T eoría de O pcíones

m

El comprador de un cali en trega hoy la prima de la opción d elcall fe) valor presente del precio de ejercicio (^ .

el

El comprador de un Put entrega h o y ]a p rim a del Pui fp) nnel valurcorrieme del activo (5). Al vencimiento pude ocurrir alguna de estas dos siruaciones; a) que el precio de la acción sea mayor a! precio de ejercicio: ambos inversores terminan poseyendo el activo (el poseedor del cai) lo ejercitará y el cornpradordel put no, porlo tanto ambos acabarán poseyendo la acción); b) que el precio de la acción sea menor a! precio de ejercicio; ambos inversores Eerminan quedándose con el dinero en efectivo, pues el posee­ dor del cali no ejercitará la opción y el poseedor del put si lo hará, ven­ diendo la acción. Como las dos posiciones son equivalentes, tenemos la siguiente relación: ^ ' '' . > r ; ^ /

w Sí esta relación es cierta, entonces un Put puede ser visto como un Cal! más el valor presente del precio de ejercicio menos el precio corrienie del activo: ~ . c + B ( l+ r f) ^ S

p

í

5 » y el Cali entonces puede ser visto como un Put más e! precio corrieníe del activo menos el valor presente del precio de ejercicio:

’m S

f

c ~ p + S - E /( l+ r f)

' ;*hÍ'í | A plicacion es d e la p a r id a d p u t-ca ll en las fin a n z a s A veces las empresas em iten obligaciones "convertibles". Estas obliga­ ciones le perm iten al emisor, convertir estos títulos de deuda por acciones de la com pañía, a precios preestablecidos en el prospecto de em isión. Generalm ente esta obligaciones son em itidas can una cláusula de rescate, con precios tam bién preestablecidos para rescatar las obligaciones, que tienden a forzar la conversión de las obligaciones por acciones. La mayo­ ría de las obligaciones convertibles es rescaiable anticipadam ente con una prima. Sí la firma rescata anticipadam ente la obligación, el propieta­ rio cuenta con un breve período, en el cual debe decidir si convierte la obligación o la entrega, recibiendo el precio de rescate en efectivo. Más allá de la discusión académ ica que existe acerca de sí las obligaciones convertibles constituyen una forma eficiente de finandam iento (5), una obligación convertible puede ser vista com o una obligación pura más una opción de com pra sobre las acciones de la firma (G+E), o también conio

,

(5) En la liiera lu ra cié F in a n z a s ex iste u n a discuslcin a ce rca de s( las o hllg acio nes co n vei tib ie s co n stitu y en u n a form a d e d eu d a b a r a tá o u n a v en ta diferid a d e u ccio n e s a un p r e d o aira c tlv o .V eá sfcB rea le y & M y crsí2 0 0 0 ). ,

L i M M i i m o LorEt O umpauf

ías accione.'? de la firma má.s una opción de venta sobre las mismas {S+P| ya que si el precio de la.s ncdones es bajo, preferirá entregar la obligación V recibir el dinero en cfeclivo. Esto se debe a que tanto sí el pieclo de las nrdones sube o baja, en ambos casos los resultados son exaclnmente lgua< les, como se muestra en la figura 13.7r

SI 5

U pgiones

S i e l p r e c io d e las accio n es su b e a $120, el valor d é l a cartera sería: IZO

0,403

^15=^34,00 Si e í p recio d e las a ccio n es b a j a a $90, e l valor d e la cartera s e r ía :8 3,33 x O Jib ) =^34,08 La carrera descripta es considerada libre de riesgo pues nos asegura eí m ism o retorno al v encim iento. O bserve que si hubiéram os razonado el raíio de cobertura a partir de cuantas opciones deberíamos emitir por cada a cció n , el resultado es equ ivalente, ya que por cada acción d eb e n a m o s em itir 2,44 opcion es: 1 2 0 ^ 15 A ^ 83,33 ^ 0 3 6 ,6 7 = 15 A A = 2 ,4 4

/■

'

Cálculo del co e ficie n te de co b ertu ra o *'hédge"

;

Si lla m a m o s u al c o e fic ie n te d e alza y d al c o e fíc ie n re de b a ja : ASu - cu = ASd - c d D esp ejan d o e l coeficien te

Á—

cií —c d S u -S d

El coeficien te de cobertura es igual al cam bio en el precio de la op­ ción dividido por el cam bio en el p recio de las acciones cuando nos m ovem os entre los puntos de convergencia.

Ya sea que el precio de las acciones suba o baje, el valor de la cartera siem p re es de $34,08 al final de los 3 m eses. Las carteras libres de riesgo d eben ganar una tasa de ínteres libre de riesgo. Suponiendo que esre fuera del 6% anual, podem os calcular el valor de la cartera hoy, que debe ser el valor presen te (0) de 34,08. Como la tasa anual libre de riesgo es del 6%, d eb em os proporcionarla al trim estre (0.06/4=0,015} 3 4 ,0 H

-

= 3 3 .5 7

(i+ 0 ,0 1 5 ) Ahora que ya sabem o s que el valor presente de nuestra cartera es de $33,57, para calcular el precio de la op ción (c) tenem os en cuenta que nues­ tra Inversión es igual al precio que pagam os por las acciones menos lo que cobram os por la venta d é la opción. El precio de las acciones hoyes de 100,

(8) Cafculamos el vaJorpresentesuponiendoaauáJizacióndiscreta.Busaclelaaciuart' zación compuesta continua no inodifíca demasiado iosTesuJiados.

GmiiERMO LórEZ DuMR.\ur

f

f ' o r i«» l a n í o t e n d r e m o s q u e d e s e m b o l s a r Í 5 0 p a r a c o m p r a r l a s a c c i o n e s IÜÜxO.5) m e n o s el p r e c i o d e l a o p c i ó n i q u e e s l o q u e q u e r e m o s a v e r i g u a r ) e

i g u a l a m o s la c o m p o s i c i ó n d e la c a r t e r a c o n s u v a l o r p r e s e n t e ; 11)0 X 0 . 4 0 9 - c = 3 3 , 5 7 4 0 .9 - c = 33.57 c = 7,32 ¿ P o r q u é el p r e c i o d e b e s e r s i e m p r e 7 , 3 2 ^ T n a u s e n c i a d e o p o r t u n i d a d e s d e a r b i t r a j e , el v a l o r p r e s e n t e d e la o p c i ó n de c o m p ra d e b e ser sie m p r e d e S 7 .3 2 ; c a s o co n tra rio h a b ría o p o itu n id a d para un a rb it ra je p r o v e c h o s o l . S i p u r c a s o . el p i c c i f i d e la o p c i ó n f u e r a m a y o r a $ 7 . 3 2 la c a r t e r a c o s l a iia m e n o s fie $ 3 3 , 5 7 y o i j i c n d r í a u n r e n d i m i e n t o s u p e r i o r al l i b r e d e ries g o . P o r e j e m p i o , si la o p c i ó n c o s t a r a $ 8 . l a c a r t e r a v a l d r í a $ 3 2 , 9 ( 4 0 , 9 - 8 ) p e r o r o m o al f i n a l «le l o s i r e s m e s e s e n t r e g a u n r e t o m o d e $ 3 4 , 0 8 t e n d r í a u n l e n d i r n i e n i o d e 3 . 6 % t r i m e s t r a l ( 3 4 , 0 8 / 3 2 , 9 - 1 ) . E n t o n c e s t o d o el m u n d o s a l í J r í a a c o m p r a r la c a r t e r a , l o q u e i m p l i c a c o m p r a r la a c c i ó n ( q u e s u b i r í a ioiii ( I c r i d i m i e n r o e n o p c i o n e s IremluJo nau/v;aur príinaj

iuLtIü 13 4 K ciid in iieniü ^ eii acciu n e» y en o p cion es

El árbol binom ial en dos paso.s Vamos a extender ahora nuestro análisis en dos señlidos. ixmsideruMniús un plazo de lienipo más largo para el vencim iento de la opLion de com pra de nuesiro ejeiiip lo an icrio r y oistinguirem os los lesu liados paia el caso de t|ue la opción lucre am ericana o europea. C onieiizaiernos su­ poniendo que la opcion es europea. Ahora el árbol binom ial tiene dos pasos, com o sc m uestra en la tlgura 13.11 el precio de las acciones co ­ m ienza en 100 pesos y en cada nno de los dos períodos puede subir un JO por ciento o disim nuii un ]fa,ü(i por cíeiiiu (e! precio ele las acciones es el num ero de ,if riba y el valoi de la oi)CÍóii Sftgiln sea am ericana "C" o enn< pea “c" es el núm ero de abajo). La tasa de im erés libre de riesgo sigue siendo del 1,‘j% irírnest ral y cada período es de tres m eses, Al igual ipu: en

G'-iiiiEíiMO Lopfí DuMiVkur f I e/emplo anict ior. considerarem os una opción de compra con un precio (Ifí p.jercicio de 5105.

rifíMra l í . l l Arlwl binom in) para valuar la opción do com pra

[.{j*: [ T r e c i o ' ; t l ’Mi c a l c i i l a r « i e

ile las o p c i o n e s e n io s

íácilmemc,

nodos

del á r b o l (D.Ey F) puede l a n p o o n al f i n a l de i’recio d e l a s a c c i o n e s es 14s n o í i o s

F y Pd o n d e

la o p c i ó n n o t i e n e v a l o r p n e s e s t á

*out of t l i e nioney"

\a q u e el p r e c i o d e la a r c i m i e s i i i í e n o r a J p r e c i o d e e je r c i C K i -

^

P a r a c a l c i n a r el v a l o r d»* l a o p c i ó n e n l o s n o d o * : i m e m i e d i o s , d e b e m o s

»-V

m i l í 7 . n r i m p r u c p c l i m i c m r » d e t i p o “r o l l - h a c l . " ' j u e c o n s i s t e e n r e t r o c e d e r

•n

p| á r b o l c r d c i i l n n i l n e l v a l o r d e la o i » n o n a p a r t i r d o l a í o r m u l ? d e l a s

p K ib a b ilid a iJn s n e u tra s p o m le r r d a s , C n lo n c e s r e ir o c e d e m o ' en el á rb o l l ' ’i i a o b t e n e r [ i r i i n c r o e l v a l o r d e l n o d o P> ( a p a r t i r d e l o s v a l o r e s d e l a o p c i 'in e n los n o n o s D v R

y el

v a l o r d e ! n o d o C ( a p a ; t i r d e l o s \ a J o r e s d e la

o p i l ó n et t Io> n o d o s F. v F)

Nf'íirt

C =

- /Mxee/ __ 1 ^ 1 ^ 5 x 3 9 4 0 .5 0 5 y O _ ( l - t " ;/ )

"

1.015

N odo C Cómo la opción no tiene vaior on los nodos E y F. tampoco tiene valor en el nodo C.

(' =

+

r)>e O r c í O ( ^ £ i

-rr'

La tiincion N (J) es la pruhabiltdad de que una variable aiealuría cuit uiu> disuibuciüu normal usiándar N(l).)) (14), sea m enor que d, com o se niuesira en la figura 13 Ü Donde: S=precio de la acción. E=precio de ejercicio, rf=iasa libre de riesgo; T^jilazu hasiael vencnnieiilu

para

La función .Ni./) es la función de distribución de probabilidad una \-ariable normal estandarizada. Entonces, N(d) es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución normal estándar N(U,1) (l:)t sea menor que d, com o se muestra en la figura 13 14:

Figuru 13 14 Hl áreu d lu izquierda de d re|iresenui N(di

Cuando el precio de las acciones es muy grande, tanto com o d , son muy grandes y Ntr/^) y N(d.) resultan cercanos a 1; eiiioiices, es casi segunj que una opción de com pra se ejercerá y su precio se acerca a S-E que e.^ igual al valot de un contrato a plazo con precio de entrega £ (16). De be cho, obtendríam os un valor sim ilar si reemplazarnos los valores en la Icimula del valor cid cali. Cuando el precio de las acciones se hace muy pequeño, tanto c o i m >> d , se hacen muy pequeños y K(d,) y N(t/p se hacen muy ceicaiioa a cen» dando un piecio cercano a cero para la opción de com pra. Com o Nt-./p y N|-í/^) están muy cerca de i, el precio del piit se ubicara en un valoi imiv' cercano a k S k)empIo: una npeion de com pra sobre las acciones de Acindar Para poder establecer una com paración entre los resultados que singen de usar [tlack-Scboles y el método binom ial, nlilízarem os un ejem plo

( 14) U n a d is irib iic id n n o r m a l e s ta n d a riz a d a n e n e m e d ia c e r o y d e sv ío e s tá n d a r ig u al a un o. (1 5 ) U n a d is tiih iic io n norinH l e s ia iu la r iz a d a lle n e m e d ia c e r o y d e sv io e s tá n d a r ig u al a uno (1 6 ) Los c iin tra iú s a p la z o , cu m u lo s fu tu ro s y lo s fo rw ard s, e s ta b le c e n u n p r e c io de e n tr e g a , q u e e n e s te c a s o es ig u al al p r e c io d e e je r c ic io d e la o p c id n .

•I'UI

G u a iE llM O L ú P£2 D U M R A l'f

real de nuestro mercado de capítaJes para lo cual vamos a caJcular el vaJor de una opción de compra sobre las acciones de Aciiidar. Los siguientes datos corresponden a las opciones de compra de Acindar con precios de cierre al 21 -03-05 publicados en Ambito Financiero; S=6.19

E=r> rf (inensualj=0.249% (2,984% anual continua) Tí:17/252íd).06746 Como las opciones vencen siempre el tercer viernes de cada mes, el veníimienlo de abril se produce el viernes 15-04-05. Para el cálculo del plazo liasta el vencimiento deben contarse los días hábiles, que en este caso son 17, debido a le s fines de semana y ios feriados. ____ l^s analistas suelen utilizar como tasa libre de liesgo alguna variante local; en este caso, la tasa efectiva mensual que figura en el cuadro corres­ ponde a un promedio de las tasas verificadas en las cauciones bursátiles. La fóniiula de Black-Scholes exige el empleo de una tasa libre de riesgo compuesta en forma continua, de modo tal que convertimos la lasa libre de riesgo del 0,249% mensual a una tasa anual continua;

-■I

c" =1,00249 rf^ ln d ,00249} rf continua niensual=0,02406 (rí continua anual=Ü,02486 x 12 = liimediaiamcnie estimarnos los valores normales unitarios como las densidades normales acumulativas N(d^) y N{dp:

y d , así ■'\i¿

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Hn.owm ro.061-16)

X 0.5892 = 0,396

Convergencia del mátodo binomial a Black-Sciioles La distribución normal logarítmica de los precios tiene una forma de campana asimétrica y podemos pensar que confoime pasa el tiempo la distribución se va ampliando, que es lo mismo que ocurre con el árbol binomial. La amplitud de un árbol binomial dependerá del tamaño del coeficiente de ascenso y del número de intenralos de tiempo en que se des­

T e o r í a o e O c c i o w e s

•181

compone. SI por ejemplo, dividiéramos nuestro árbol binom ial en varios períodos de tiempo a lo largo de la vida de la opción, este se vería c omo lo muesíra la fígura 13.15:

Figura 13.15 Arbol bm om ial y distribución norm al logarítm ica

Un activo cuyos rendimientos se distribuyen normalm ente ti^me una varianza que es constante en cada período. Así, la varianza del período es o^ la varianza para ( años será o*t, mientras que el desvío típico será cr v7. En el ejemplo que utilizamos para explicar corno valuar una opción de compra con el método binomial consideramos sólo dos posibilidades de cambio: que el precio de la acción aumente un 20% o que disminuya un 16,66% en un período de 3 meses. La realidad es que los cambios se produ­ cen no en 3 meses sino en imervaíos mucho más cortos de tiempo La fórmula de Black-Scholes supone que estos cambios se producen en foima continua. Podríamos considerar entonces muchos retornos posibles si di­ vidiéramos el tiempo en inter\'alos cada vez más pequeños, siempre con­

siderando dos posibles retornos (aumento o disminución) en cada subpe­ ríodo, aplicando el método binomial Entonces, mientras que el intervalo de tiempo de cada subperíodo de tiempo tenderla a cero, la enmidad de pasos en el árbol binomial tendería a innnilo. Como hemos visto, los coeficientes de alza (1,20) y de baja de (0.P33) los calculábamos a partir de la volatilidad observada en el precio de la ac­ ción Si esta volatilidad es continua, entonces podemos calcular los coefi­ cientes de alza y de baja para un número infinilo de suhperíodos de tiem­ po donde éstos aparecen representados por sus cqiili'alentes continuos

GlllUft0^»O LOPÍZ DuMRAUf donde rrepresenta e! subpenodt» de tiempo. A coiUinuacíón veremos algu­ nos ejemplos del ai bol binomial con vanos pasos .'i = 1/1< = e

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Valí, r d e la opción d e com p ra con el m étod o b in o m ia l p a ra m r io s p asos A continuación pasamos a montar un árbol binorriíal en una planilla Excel. Los daifas de entrada son la tasa libre de riesgo expresada para el subperíodo de tiempo, valor de la acción, precio de eiercicio, número de subpenodos o pasos pr año (T) durante la vnda útil de la opción y volatilidad representada poi el desvio típ ica A partii de estos datos se calculan los coeficientes de ascenso y descenso y las probabilidades neutras en relación al nesgo. El paso siguiente consiste en diseñar el árbol de eventos teniendo en cuenta los co­ eficientes de ascen^to y descenso y ruialinenie, calculamos el v'alor de la op­ ción en cada nodo «Jd árbol retrocediendo a través del mismo con la formula de las probabilidades neutras c=lpcu+{l-p)cd)/(l+rf). Para comparar los re­ sultado» del valor de un cali sobre Acindar dividiremos los 17 días hábiles que íaltan para el vencimiento de la opción en 5, 10 y 50 pasos en el árbol biriom ijj. S i bien hemos visiu que no conviene ejercitar una opcion de com ­ pra que no paga dividendos antes del vencimiento, debemos recordar que el valor de la opcion en cada nodo es el mayor entre d valor que surge de la mencionada f ó n n u J a y el valor de ejercitarla inmediatamente. Como el dato que noa proporcionaban era una tasa líbre de riesgo mensual discreta, ia convenim os a una tasa libre de nesgo continua para el período de 17 días (In l.o 0 2 4 5 = e ^ '^j donde resulta rí=0,001409 y como el número de pasos que utilizamos es de 5, tenem os que utilizar una tasa libre de nesgo igual a OüUl409'S=ti,028% Tas

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I igu ra 13 1 6 Vdior áe U o p c io n c o n planO U d e cá lcu lo (co n tin u a en pág sig ie-i

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Figura 13 I ti Valor de la o p ció n co n planilla de cálcu lo (co n iin u a d ó n )

Una vez montada en un planilla del tipo Excel, es fácil modelar el árbol binom ial con más pasos por período. Recuerde que con 5 pasos en el ar bol. el método binomial nos provee un resultado estimativo para el valui de la opcion de $0,399 para la opción de Acíndar y qiie Black-Schoies nub proporciona una respuesia de 0,396 (una diferencia de 0,03 ceiitavosi. bi ui árbol binomial es recom binante (recuerde que en los árboles binomiales «i no necesariam ente debe ser igual a 1/u}. puede demostrarse que los lesu lu dos se aproximan a Black-bcholes a medida que aum enta la cantidad dr supbenodus dentro del período principal (en este caso de 17 días hábitesi I’or ejem plo, si dividimos el período de tiempo hasta el vencim ienio en subperíüdos cada vez más pequeños, encontrarem os que el valor obienulu por el método binomial converge a los resollados de Black-Scholes: Biack-Scliole:> Foniiiiid

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5 pasos i»or ano

0,3985

10 pasos por año

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50 pasos por año

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10.000 po:>os jxir año

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El lector podiá encontrar en el apéndice 13 A de este capíiulo una explica uOn deralláiia para realizar el inoiiiaje del árbol binomial en jiianiiia ifr i ái-

culti I

Preguntas de nuto-evaliiaciún; 1 ¿Por qué decimos que una cartera puede ser libre de nesgo? 2

¿Por qué utilizamos la tasa de interés líbre de riesgo en el bordaje neutial al nesgo?

3. ¿Qué es el coeficienie de cobertura? •1 ¿Cuándo el método binomial da resultados parecidos a los obte­ nidos con la fórmula de Black y Scholes?

IS I

Cii'ium.M.» Lortz DuMP^M.if R

esu m en

Las opciones nos dan el dereclio —pero no la obligación— de comprar o vender un activo determinado a un precio especific.ado en una fechadeienninada. Las opciones más conocidas son las de compra (caJI) y las de venia (pul) Las opciones tienen un precio que. en el caso de las opciones sobre arciones, se negocia todos los días en el mercado Son seis los factores que Miíluyen en dicho precio el precio de la acción, el precio de ejercicio, la volatilidad de la acción, el plazo de vencimiento, la tasa de interés libre de nesgo y los dividendos. Vimos que nunca convenía ejercer una opción de compra sobre una acción que no repartía dividendos antes del vencimiento, pero SI podía ser conveniente e|ercer una opción de venia sobre dichas accio­ nes. Vimos que el valor de la opción podía calcularse a partir del método binomial, suponiendo un mundo neutral ame el riesgo Para eso suponía­ mos trayectorias de alza y baja durante varios períodos y luego calculába­ mos el valor de la opcion retrocediendo por los nodos del árbol y aplican­ do la fórmula de las probabilidades neutras ponderadas. Cuando el tiempo se dividía en infinilos subperíodos, los resultados obtenidos por el método binomial convergían con los obtenidos por la fórmula de Black Scholes, quienes en el año 1973 descubrieron una fór­ mula cerrada para la valuación de opciones europeas, y que es amplia­ mente utilizadas por los operadores para fijar precios y coberturas con opciones _

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PítEGUNrA-S I

¿ P o r qnt? el v n lo i U n i ó d e u n p u l c o m o iJe n n c a l! s u b e c u a n d o a u ­

m e n t a la v o la lilic la tl d e l a c t i v o s u b y a c e n t e ? II ;Por q u é no conviene ejercer una n p r i o n d e cn m p r.T a n t e s del venfimicnlo SI la acción no paga dividendos? ¿Por qué puede convenir en ese ca.so ejercer una opción de venta? 3

¿ C u á n d o u n a n p c io n d e v e n ia e s iá "o u i o í lite « n o n e y "?

•1 /.(63?ó5t» D l a u : , F, S ciioiti M (1975), “The pncing of options and corporaie lialuluitTs', Financial Analyids Journal.

B l a c k , F. “Fací and Faniasy in ihe Use of Opnons and Corporace Liahiliuei," Financial Anaiyscs InurnaJ, 31 (JuliD-agosio 1975), 36-41. 617_>

MtHiON, H. C. (1990). "Applications of Option-Pricing Theor>' TwenryFive Ycaia Later," American Lconoinic Review. Volume bb, Number 3, 1998, pp 323 349

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Merion, R C. (1973). "Theory of llationai Opción Pricing" Bell Journal OI Lcon.nnics and Manageinenl Science 4 (jinmavera 1973), l4 l-8 3 Samuelsoij, i * (19()5), "Pm of Chat Properly Aniicipaied Pnces Fluciuaie flandaiiily," Indusinal Management Heview, Spnng 1965, pp 41-49 ‘ B iie / lcy , K-. M yehs . S (20U0), "Principies oí Corporace Finance", 6th Ldiiiün. irwin McCraw-Hill, BostonLoi*cz DuMRAUh. G 121)03), Cálculo Fiiidiicicni .Aplicado, La Ley, Buenos Aires

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C Í200J). riiianz.as Corporativas, Grupo Guia. Buenos

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o NIAJE d e u n

AmiOI. UIMOMIAL EhJ UNA PIj ^NILLA EUiCníONlCA

A continuación mostraremos como montar un árbol binomtal eri une planilla de cálculo del tipo Excel, para una opción de compra americana cuyo precio de ejercicio es 250, en cualquier momenio en los próximos / períodos. I j ü s factores de alza u=l,5 y d=l/u=0,6666 Com enzando por los nodos ñnales, los valores son definidos com o los máximos entre ei valor deJ activo subyacente o cero. La prim era lila dcl árbol de eventos del activo subyacente muestra com o el valor se incrementa un 50% en cada período (representa en el árbol la diagonal de la trayecto na ascendente a lo largo de los 7 períodos). El valor en ia celda CIO repre sen ta el valor en el p rim er períod o p ara la tra y e cto ria d e s c e n d e n ir (JOO X 0.66) y luego en la fila 10 continúan los valores suponiendo incre m em os del 5u%. 1.a celda Di l representa el valor en el segundo período cor. trayectoria descendente y nuevamente continúa la fila 11 con increniento.-» del 50%. Repetím os el procedim iento hasta com pletare] árbol de eventos dd activo subyacente

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A partir de los valores del árbol, podemos calcular los valores de la op­ ción en cada período. Por ejemplo, en la celda 119 el valor es el máximo eniie el valor de la celda 19 m enos el precio de ejercicio y cero (MAX(I9-$R53;Ü|. Para todos los valores de la fila 19 luego Tomamos el máximo entre el valor c|ue surge de la fórmula de las probabilidades neutras y el valor del ejercicio inm ediato Por ejem plo, para MJ9. se tom a M AX((I19*5E$4 + I20*$E$.5)/ U + $B S lj;I19-$B I3j y luego se copia esa fórmula para Toda lu lila 19. Pl valor

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de la celda 120 es cero si el nodo anícrior (H9) es cero, caso contrario lomainns el valor que surge de aplicar la formula de las probabilidades neutras o el valor 110 menos el precio de ejercido. La Fórmula utiliza un condicional (=SI(H9=0;0:MAX( fl20*$E$4fJ2r$E$5)/(l+SB$U ;I10-$B$3)). Esta fórmula luego se copia en el rango C19-126, Finalmente, el valor de la opción america­ na aparece en la celda B19 que es =MAX({I19‘$ES4+I20'$E$5)/(1+$B$1);H9SBS3). Una vez montada en un planilla del tipo Exceld), es fácil modelare! árbol binomial con más pasos por período. Recuerde que con un paso por trimes­ tre. el método binomial nos provee un resultado estimativo para el valor de la opción de $21,8, para nuestra opción de siete trimestres y que BlackSellóles nos proporciona una respuesta de 21,4 (una diferencia de 0,40 cen­ tavos). Si el árbol binomial es recombinante (recuerde que en los árboles binomiales d no necesariamente debe ser igual a 1/u), puede demostrarse que los resultados se aproximan a Black-Scholes a medida que aumenta la .cantidad de supberíodos dentro del período principal (por ejemplo, meses dentro del trimestre, días dentro del trimestre).

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II

Capitulo 14

I ntroducción a las O pciones R eales ¿Etí qué me especializaría yo si estiwiera por empezar de nuevo en el campo délasfinanzas? Ciertamen te no me metería en fijación de pre­ cios de activos ni ¿nfinanzas corporativas. La Investígación en esas divisionesya ha llegado a lafase de los rendimientos rápidameme decre­ cientes. Voy a reducir mi consejo a una sola palabra: “opcionesZ M er to n M iü e r (19 23 - 2 0 0 0 ). P re m io N ob el de E c o n o n i f a 1 99 0

I n t r o d u c c ió n

En el capítulo anterior realizamos una introducción a las opciones rinanderas, vimos cuales eran los principales tipos de opciones, los facto­ res que afectaban su precio, y m ostramos com o valuarlas a partir de los métodos binomial y Black-Scholes. Este capítulo constituye una introduc­ ción a la valuación de las opciones reales y tiene el objetivo de acercar al lector una de las disciplinas que se constituye en uno de los camfio más fértiles para la Investigación académ ica y donde hay depositadas grandes esperanzas para obtener nuevos y mejores métodos de valuación einprt'sub efeciüan desembolsos hoy para llevar a cabo una inversidn adicional en t i hiluro. Por ejemplo, una empresa puede conr piar hoy terrenos para construcciones futuras si piensa que la zona se con vertirá en un centro urbano en algunos años. En este caso, cuando la ein presa compra el terreno, en realidad está adquiriendo una opción de com­ pra por ios oportunidades de crecimiento. A veces los negocios funcionan mejor de lo pensado y la compañía decide expandirlos, en cuyo caso ejercita una opción de expansión, que es también asimilable a una opción de compra. O cal vez e) negocio funcionó mal y sea preferible liquidar los activos, en cuyo caso el directiva ejercita una opción de abandono que es asimilable a una opción de venta. Opcio­ nes de ampliar negocios, opciones de aplazar inversiones, opciones de abandono, opciones combinadas, son algunos de los muchos ejemplos qiie existen en la vida real. Cuando las opciones de la firma se vinculan con algún activo tangible, se las denomina "opciones realeo". Una opción real está presente en los negocios cuando existe alguna posibilidad ñaura de actuación al conocerse la resolución de alguna mceitiüumbre actual Por ejemplo, muchas Inversiones estratégicas pudrían abrir el poten cial de realizar inversiones adicionales Este upo de oporiuimiades de in­ versión puede ser bien evaluado a partir del método de valuación de op clones reales. A continuación veremos el ejemplo de ia clásica opción real de aplazo o diferlmiento de la inversión, muy a menudo utilizado en lo dos los libros de real options, ya que permite explícitar claramente el vaJoi de una opción real.

1 4 . 1 . V a l u a c ió n

d e u n a o i *c i o n d e d i f e r i m i e n t o d e

I.NVEHStON

in ic ia l

Supongamos que usted ha detectado ia oportunidad de invenir en el negocio de ia pasta congelada. El negocio requiere de una inversión ini­ cial de $ 2.000 y las proyecciones indican que las probabilidades de éxiio v fracaso son de 50/50. Las caracierísticas esenciales del negocio son las si­ guientes: • Inversión inicial = S2.000 Se financia con capital propio. • Los gastos de capital igualan la cifra de depreciación. • Cash flovvs perpetuos (no hay variaciones en el capital de trabajo) • Cash flow del proyecto = S200 hoy con el precio actual del producto • 50 / 50 es ia probabilidad de que el cash flow cambie a $300 o SIGO en un año. según el precio suba o baje A partir de ese momento, jiermanecc rá eri ese nivel para siempre. • Costo del capital s 10% (en función de activo "gemelo").

Guillermo l.úrtz üumrauí

G\;v = ü.5of- 2.1)00+y ] í-0.50 -2 .0 0 0 h Y •■" ¡ [ ;:ru + -t rf.

Intrdouccichj

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Of'CtoNes RtAiís

Pero emonces coxiienzaría iíxmediatajiienie un proceso de arbUiaié que consistiría en replicarla cartera comprando acciones y vendiendo la opción de compra (por lo cual subiría el precio déla acción y bajaría el de la opcian. liasta que la cartera valga finalmente 476,19... Preguntas de aufo-evaJuadtín 1. ¿Por qué el proyecto y el portafolio, si generan los mismos retornos, deben tener el mismo valoren el año 0 para evitar un arbitraje libre de riesgo? , 2. ¿En qué se parece una opción de espera a la actitud del “vva/f atid see” que los empresarios siguen cuando aumenta la inceitidumbre macroeconónilca?

1 4 .2 . DiFERENClyVS FUNDAMEtmLES ENTRE LOS MÉroDOsVAN y ROA

La opción de diferimienio es un buen ejemplo para ilustrar las dife­ rencias entre el método del VAN y la metodología de las opciones reales (ROA, real options análisis). Cuando utilizamos el método del VAN, las al­ ternativas se excluyen niufuamente; por ejemplo, tendremos un VAN para el caso base, otro para el caso de diferir la inversión por un año, otro V.AN si diferimos por dos años, y así sucesivamente. En cambio el abordaje ri través de ROA nos permite saber: • Si debemos iniciar el proyecto hoy • El valor que tiene el derecho de diferir la inversión

—

. v,

• Proporciona una regla práctica para maximizar el valor, ya que no^ dice cuíimío hay que diferir .. Además, como la opción permite rnodificai el riesgo de! proyecto, el costo del capital que utilizamos para calcular e) VAN del caso base no no.s sirve y es poi ello que utilizamos otra metodología, como es el caso riel portafolio replicado o la neutralidad ante el riesgo. Obtención de las tasas ajustadas aJ riesgo Si hubiésemos aplicado la tasa de descuenta correcta, ajusfada por el riesgo, a los fiujos de caja esperados del proyecto con la opción de diferimiento, el abordaje por DTA nos hubiera proporcionado la misma res­ puesta a la que llegamos considerando la opción La tasa de desciientu ajustada al nesgo es calculada como sigue; „

0 ,5 0 x 1 .0 0 0 -hO,5 0 x 0

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L i rasa de l 15,52% q u e a p r io n p a rece m u y alta, tie n e q u e v e r c o n la alta mcertiduinbre de! flu jo de fo n d o s (re c u e rd e que p o d ía a u m e n ta r u n 50% al pasar de 200 a 300 o d is m in u ir en u n 50% aJ pa sa r de 200 a 100). O tro p u n to im p o rta n te es qu e la tasa a ju s ta d a a l rie sg o v a ria rá d e p e n d ie n d o d e l lu g a r d e l á rb o l en que nos e n c o n tre m o s , c o m o lo verem os en los e je m p lo s q u e a p a re ­ cen en este m is m o c a p ítu lo .

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U lle x ib ilid a d c a m b ia el riesgo del p ro y e c to la tasa de d e sc u e n to a ju s ta d a al riesgo v a ria rá d e p e n d ie n d o d e l lu g a r de l á rb o l e n q u e no s e n c o iu re in o s

In e x is te n c ia de a c tiv o n e g o c ia d o

(Markeled Asset Disclaimcr)

l a uuHz.ación de u n a c tiv o g e m e lo p a ra la o b te n c ió n d e l v a lo r de l p r o ­ yecto c o n fle x ib ilid a d s u e n a m u y a tra c tiv o , p e ro nos in v a d e in m e d ia ta m e n le la fru s tra c ió n c u a n d o ve m o s q u e es casi im p o s ib le e n c o n tra r a c ti­ vos c o n p re c io s p ú b lic a m e n te d iv u lg a d o s q u e re p re s e n te n u n b u e n s u s ti­ tu to de l p ro y e c to o e m pre sa s u je to de va lu a c ió n -

I

la s prim eta.s aplicacíonc.s de o p cio n e s reales u tiliz a b a n ios p re c io s de s u p o n ie n d o q u e la v o la tilid a d d e l p ro y e c to s in flr-x ib ilid a d era ig u a l a la v o la tilid a d de l commodit)' en c u e s ti'in Así, p o r e je m p lo , la v o la tilid a d d d p re c io de l p e tró le o o de l o ru era c o n s id e ra d a igual a la v o la tilid a d en el v a lo r de l p o zo de p e tró le o o la m in a de o to . c u ya a b e rtu ra p o d ía ser d ife rid a In fe liz m e n te , la v o la tilid a d de la m in a de o ro OM es ig ua l a In v o la tilid a d de l oro , ya que existen otros [a cto re s q u e d e fi­ nen su v o la tilid a d , c o m o p o r e je n tp io , sus costos x'ariables y fije s . A ú n m ás, p tu 'd e ser m u c h o m ás d ifíc il e n c o n tra r activos ge m e los en o tia s a c tiv id a ­ des d o n d e m sic|u iera te n e m o s c o m o re fe re n c ia el p re c io de un a cnmmodiry para lo g ra r a lg u n a a d h e re n c ia co n el m e rca d o y d a rle m a y o r o b je tiv id a d a la v a lu a c ió n

crnwiodines m u n d ia le s ,

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Copeland y Antikaiov (2001) nos dicen que estas dificultades pueden ser zanjadas íis u m ie n d o la h ip ó te s is de la "n e g a tiva d e l a c tiv o n e g o c ia d o " {nmrketed asset disclairner) que supone qu e el valor d e l activo s u b y a c e n te es ig u a l a l v a lo r p re s e n te de s u flu jo de fo n d o s d e s c o n ta d o s in f le x ib ili­ dad, a s u m ie n d o q u e éste s e ría e l v a lo r de m e rc a d o d e l a c tiv o en el caso de tra n sa rse e n los m e rc a d o s de c a p ita le s . Esta a p ro x im a c ió n p a re c e ra z o ­ na ble si pen-sam os qu e no debe e x is tir algo m á s c o rre la c io n a d o c o n los Télornos del a c tiv o q u e los m is m o s re to rn o s del a c tiv o m is m o ; p o r lo ta n ­ to su v a lo r de m e rca do de be ría ser ig u a l a su v a lo r "in trín s e c o " e s ta b le c id o a través de su flu jo de fo n d o s descontado.

r, *■

Poríafolio replicado con los retornos deJ proyecto Sí la hipótesis MAD es correcta, podemos utilizar los retornos (volóres presentes) del proyecto aJ final del primer año para construir e l portafolio réplica. E n la s itu a c ió n ascendente: d 3000 + B (l,0 5 ) = JOOO E n ¡a s itu a c ió n descendente: A JOOO + D (l,0 5 ) = 0 Resolviendo las dos ecuaciones con dos incrjgiiiias, verificamos ' u -J 1,65-0.55 ni./) + cíf.(1 - p)

1000 x 0,4545 + 0 x 0.5455

(1 + r /)

1.05

c

Nuevamente el resultado es igual al obtenido con el portafolio espejo. Recuerde que el valor de la opción se obtiene por diferencia entre e] valor del proyecto con flexibilidad y el valor de éste sin flexibilidad (o también valor opdón=VAN con flexibilidad - VAN sin flexibilidad) Come/ira/7o s o b re la s p ro b a b ilid a d e s n e u tra s Repetímos lo que hemos dicho en el capítulo anterior las probabilida­ des neutras en relación al riesgo (o probabilidades de hedge) NO son las probabilidades objetivas en que pensamos cuando estimamos la probabi­ lidad de ocurrencia de un evento, sino que son las probabilidades implíci­ tas que ya están incorporadas en los v'alores del proyecto. Observe también que las probabilidades de retornos favorables son inferiores a las probabilidades objetivas (45,45% vs. 50%) y que las proba­ bilidades de retornos desfavorables son superiores (54,55% vs. 50%). De esa forma, los retornos con certeza equivalente son inferiores a los retot nos objetivos, pero al ser descontados a la lasa libre de riesgo, el valor pre­ sente del proyecto es ei mismo que si hubiéramos descontado sus llujos con la tasa ajustada por el riesgo. Lo que ocurre, es que como la opción cambia el riesgo dei proyecto, la tasa que utilizábamos para calcular ei VAN ( 10 %) no nos sirve por la asimetría que el ejercicio de la opción introduce en los retornos, y la lasa ajustada por el riesgo sólo se obtiene como na subproducto del análisis.

Preguntas de aulo-evahiacidn: 1. ¿Por qué decimos que las probabilidades neutras en relación al nesgo no son prubdbilid,iües objetivas? 2 ¿Por qué decimos que el método de la neutralidad ante el liesgu descuenta finios ciertos con la tasa libre de riesgo mientras qiu- el método del portafolio replicado descuenta flujos esperados ton una tasa ajustada por el riesgo?

14.3. Opciones cijí^icas; expansión, contpxACCiOny ADANOONO DE lA ACnMDAD Hn e s t a s e c c i ó n e x t e n d e r e m o s n u e s t r o a n á l i s i s p a r a v a l u a r c o n u iia s e r i e d e e j e m p l o s l a s o p c i o n e s r e a l e s c l a s i c a s q u e n o s j i r e s e i i t a u lo s negi» cio s

C a lc u ta r e iT io s e l v a lo r d e c a d a u n a d e e s t a s 0 | > cion es p o r s e p a io d n

'-•'JIUMIA.10 ll»rtZ (

iinaiiiM iiie reaiirai un nnniisis iiuegrni, que mostraiá que leai oplions una U’cnira que nos «lice que es lo mejor que podemos realizar en cada

íiíunctdn cuttruio hacerlo y \uniar los efecios de tas mejores decisiones en un uih calor Los rneiodos de valuación utilizados son el abordaje neutral nnip Pl ripspo v ei portafolio replicado, que será utilizado como control del .nriteríor v p an determinar el valor subyacente del proyecto en cada nodo del árlu»! de decisión. Antilizaremos un negocio que nos brinda al mismo tiempo opciones de expansión, contracción v abandono de la actividad PfHnero analizaremos cada opción por separado para luego analizar to­ das al mismo tiempo, es decir, la opción combinada u opción de elegir entre opciones

V .ilin n cin n d e la o p c i ó n d e e x p a n s i ó n

S u p o n g a q u e u n n e g o c io c o n u n v a lo r p re s e n te d e $ 1 .6 0 0 n o s o fre c e la o p c ió n d e a m p lia r e l n e g o c io in v ir t ie n d o SIOOÜ, lo c u a l p e r m it ir á in c r e u ie n ia r los \7 ilo re s d e l p r o y e c to e n u n 5 0 % E n este p u n to c o n v ie n e re a li’ ir u n a a c ia ia c ió n im p o r ta n te . C u a n d o d e c im o s q u e la in v e rs ió n n o s p e rin iu r á a u m e n ta r e i v .ilo r d e l p ro v e c to , q u e re m o s d e c ir, q u e el v a lo r p r e ­ cíenle d c l ílu |o d e e fe c tiv o q u e g e n e ra la in v e r s ió n p e r m ite p re c is a m e n le eso, in c r e m e n ta r e l v a lo r q u e ya tie n e e l p ro y e c to en ese n o d o , en u n 50 % P M iem os. p o r lo ta n to , u n a o p c ió n de c o m p ra a m e ric a n a c o n u n p re c io de ''je ic ic io (le %1000 -

El negocio puede aumentar su valor en los pró.ximos dos años un 87,5% poT año ÍU-I.H75) o descender un 62,5% por año íd=0.625i con lo cual teiicmo.s una opción de compra americana a lo largo de dos periodos cuvo piecin de ejpitirio es de .$1.000 - En la figura J4.1 se muestra el árbol de avenios, donde, por ejemplo, en el nodo 1 1 el valor de 5 625 representa el ,ilor del negot lo. representado por el valor presente = 5 562.5 D esp ejan d o resultan ó = 1.4833 y

B = - 863.90

M u ltip lican d o por el valor p resen te del proyecto en B y su m an d o el valor Otí los b o n o s o b ten em o s el valor oel proyecto en el nodo B:

-9

i %

l'. i'o r

del Nodo B 1,4833 x 3 000 - 863.9 = 3.586,9

Valor de la opción en el Nodo B: 3:586,9 - 3.000=586,9 En el c a p itu lo a n ie n o i, v im o s un a p ro p ie d a d im p o r ta n te de las o p c io ­ nes de c o m p ra a n ie ric a n a s de c o m p ra q u e n o pa ga n d iv id e n d o s s o n s ie in p ie MUÍS v a lio s a s “ v iv a s " a m e s q u e e je rc id a s . E sto es lo q u e o c u rre en el n o d o n c o n la o p c ió n de e x p a n s ió n , ya q u e su e je rc ic io in m e d ia to d a ría 3 UUOx 1,5-1 0 0 0 = 3 50Ü, y c o m o n o e je r c ita n d o el v a lo r d e l n o d o b es de 3 .5H 6.il e le g im o s m a n te n e rla v iv a y e s p e ra r H e p e tim o s este a r g u m e n to es v á lid o c u a n d o el a c liv o s u b y a c e n te n o p a ga d iv id e n d o s o el a c tiv o vea re d u c id o su v a lo r p o r a lg ú n o tro m o tiv o

Nodo C a I 875 + B n.05) = 1.875 ■2. 625 + Fi n .0.5) - fí;;5 d !.250 + 0 = 1 250 D esp ejan d o resultan ó = 1 y

.# -

B=0

iN f R O D U C C IO N A LAS O l'C lO W fS R u i f S

SO'

Mulliplicundo A por el valor presente del proyecto en C y sumando el valor de los bonos B obtenemos el valor del proyecto en el nodo C: V a lo r d e l N o d o C: 1 x 1.000 4 í? = 1.000 V a lo r d e la o p c ió n en el N o d o C: 1.0 0 0 - LOGOLO Nodo A:

A3000 ^D (1.05) = 3.586,9 A 2 .000 4 0

= 2.586.9

Despejandoresultan A - 1,2934 y Bs=-279,47 Finalmente, multiplicando A por el valor del proyecto en A y sumando el valor de b obtenemos el valor del proyecto con flexibilidad; J .2 9 3 ii > 1 6 00 - 2 7 9 .4 ^ = ^1 .7 9 0 I V a lo r de la o p c ió n de e x p a n sió n : v a lo r presente d e l p ro ye cto con fle x ib ilid iu í - v a lo r p resente d e i p ro ye c to sin J le x ib ilid a d : 1 .7 9 0 .0 4 -1 .6 0 0 = 190,04 Valuación de la opcion de abandono Puesto que el negocio puede no funcionar tan bien como pensanui:». puede ser úiil calcular el valor de abandonar la actividad. La opción de abandono del negocio es una opción de venia americana donde el preci») de ejercicio generaliiiente es igual al valor de realización de los aclivos. Nuestro negocio piaiuea una opción de abandono por SlflOD en cualquier momento, que se logruriu mediante lu venta de la totalidad délos activos fijos y el capital de trabajo. Aunque a priuri parezca que en este análisis subyace el pesimismo, la opcion de abandono es importante pues [ilaiiicj la posibilidad de salir del negocio para evitar (lerdulas niayures si este nn funciona como se pronosticó inidalmeme.

i i|>ura N 3 Arliiil binoinísl y valuación de la upción de abandono

.1

Guiuermo López Dümraup

50)

Rn 1.1 ligura l«í 3 se observa que la opción de abandono sdlo tendría valor en el nodo F (si abandonamos ei proyecto percibimos 'SI OnO frente a i 625 quesería el valor del fluio de fondos del proyecto), Observ'e que con­ viene mantener viva la opcion en el nodo C. donde el pul vale 235.71; por tratarse de una opción de venta americana, otro podría haber sido el resul­ tado. va que a veces conviene ejercer una opción de venta americana antes del vencimiento. C iíkulo d el valor d e la opción asu m ien d o n eu tralid ad a m e e l riesgo:

Nodo B' En el nodo B el valor de la opción es 0 (cero) pues también es cero en los nodos anteriores ÍD y E). Nodo C:

p _ p x c i i + ( l - p ) y .c d _ 0 ,3 4 x 0 + 0,66x375 ~

\m

a + /f )

-j\ ”

"

Finalmcnfe, aplicamos la misma fórmula para el nodo A para calcular resultan A = 1 y b = (I Hiialinenie, inuliiplicando A [»ür el valor del activo subyacente y suMMiuivi el Valor fie b obieneintis el valor del proyecto con flexibilidad Valor del nodo II: I x 3.000 -r 0 = 3.000

1

i

.Nodo C

J l 075 -» li (1.05) = I 675

! !I

I

■0 625 t B ( l . 0 5 i = 612.5

D.;spejani’/ ''■^- ' “' . , r -i ■:' ' 1 ' '' ‘ ■''

• i:í método dei portafolio replicado nos permite obtener el valor del activo subyacente en cada nodo del árbol de decisión. • ].as opciones de compra americanas son siempre más valiosas "vivas" antes que ejercitadas, cuando el activo subyacente no paga dividendos o el activo vea reducido su valor por algún otro motivo. • Todas las opciones analizadas {expansión, abandono, contracción) tie­ nen valor en determinadas circunstancias y en oportunidades una opción es dominada por otra. 'S ?-

'-,

:C5.

• 1 a suma de las opciones dominantes nos da el valor de las opciones combinadas. Valor de la opción de expansión cuando se pagan dividendos

:s 3 ^ %

3^% ,_ / 3

'

^ 4 ,

El valor de las opciones de compra americanas también depende del pago de dividendos. Así, cuando se paga un dividendo en efectivo, su valor desciende ya que el precio de las acciones disminuye haciendo menos atractiva la opción de compra. Imaginemos que el negocio cuyas opciones analizamos en la sección anterior paga a sus accionistas en concepto de dividendos parre del valor generado negocio. Para ejemplificar la situa­ ción volveremos al ejemplo de la opción de expansión, pero ahora supo­ niendo que el proyecto devuelve la mitad de su valor al fínaJ del primer año:

:i 3 >

Ma*(3.00O, 3 .0 0 0 x 1 3 - 1.000| Maxp.OOQ; 3 SOOl s 3 .5 0 0 E X l> A N D in

\

0 M ax(2.8123; 2.8 12.5 x13 - 1 OOOj M a*í2.8l2.5; 3.2IB,75) = 3 2 1 6 75 EXif-ANOlR

> *

Capítulo 15

El. C osto

de

Capital

A band ona los grandes caminos, sigue los sen deros.

Pilágoras (c. 582-c. 500 a C.l Filósofoymatemá ticogri^’u

InTHODUCOÓN' En la valuación de empresas, la evaluación de proyectos y la fijación de precios de activos reales y llnancieros que producen un flujo de efectivo, es utilizada una tasa de iruerés para calcular el valor presente, siendo este el considerado el valor o “precio justo", ya que el flujo de fondos fue des­ contado con una tasa de interés que representa el rendimiento que puede obtenerse con una alternativa de riesgo comparable. El método por des­ cuento de flujos (DCE discoumed cash ílow) es el método más robusto que se conoce hasta el presente para la valuación de empresas y es amplia­ mente utilizado por los practicantes de las finanzas corporativas y los ope­ radores del mercado de capitales. La visión del auror no pretende de ninguna manera dar una respuesta definitiva al problema, puesto que existe y seguirá existiendo espacio pata el debate, en un tema donde los espacios para equivocarse son amplios, El objetivo de esie capítulo es blindar una guía que oriente el proceso de estimación del costo del capital que permita arribar a un resultado cohe­ rente, consistente y fundamenialmeme, defendible. Siempre, en el mejor de los casos, tendremos una buena estimación; en la estimación del costo del capital hay espacio para equivocarse. Si bien en los textos de matemática financiera o cálculo financiero tra* dicionales no suele incluirse tina explicación exhaustiva acerca de! motivo dei uso de una tasa de interés para calcular el VAN de un proyecto, siendo este un libro destinado a estudiantes de posgrado y también a practican-les de las finanzas, la necesidad de una explicación sobre el costo de capi­ tal surgió casi naturalmente. El costo del capital o tasa de rendimiento (jiie debe requerirse de una inversión con nesgo es un factor clave en la fija­ ción de precios y valuación de activos en general.

GuaiEPMO Loi’EZ DuMRAur üi primera sección del capítulo se refiere a los factores que deberían ser recompensados cuando invertimos en activos riesgosos. La segunda sección describe eí celebérrimo modelo de valuación de activos ampliamente cono­ cido comoCAPM IGipiCalA^set Prícing Modef) que, desarrollado en la década del 60, dio una respuesta científica a la forma en que debe calcularse el rendirniento esperado sobre las acciones y es ampliamente utilizado por ios consnliores financieros en todo el mundo. En la tercera sección el proceso que significa estimar el costo del capital, incluyendo los inconvenientes que se presentan en los países emeigcnies y cuando tratamos con compafiías de capiia cerrado, cuyas acciones no tienen oferta pública. Trataremos los ajusles poi riesgo país, la técnica del beta comparable y otras cuestiones que se presentan en nuestros mercados. En la Ultima sección se describe un caso real de estimación del capital propio para una compañía sin oferta pública de sus acciones que actúa en una economía emergente donde se explícita la técnica del comparable. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz der • Comprender cuáles son los factores que deben ser t ecornpensados. Comprender el proceso de estimación del costo del capital. • Realizar los ajustes cuando se trata de empresas de capital cerrado y que operan en países emergentes.

15.1. ¿QUÍ ItENDIMIENTODEBERECOMPENSARNOS UNAIt'fVERSlÚN" riesgosa" Cuando vamos a invertir en un activo riesgoso, demandamos una com­ pensación por el riesgo. El riesgo no es neutral, no es lo mismo invertir en bonos del tesoro de Estado Unidos que en un negocio que prestará un ser­ vicio público y que tendrá una clientela cautiva, y a su vez no es lo mismo invertir en el desarrollo de una droga que permitirá retardar el envejeci­ miento. En el primer caso, el riesgo es prácticamente nulo, como lo avala la historia crediticia de los bonos americanos. La lasa de rendimiento que se le exige a los bonos americanos es conocida puesto qué cotizan en lo­ dos los dias en los mercados de capitales, de rnajiera que en ese caso no tenemos ninguna duda acerca del rendimiento esperado o exigido de los inversores en estos bonos. Sin embargo, en el segundo caso y en el tercer caso, el riesgo del negocio es mayor y deberíamos demandar un mayor rendimiento. ¿Pero cuál? ¿Cuánto más? ¿Deberíamos demandar un ma­ yor rendimiento en el negocio del desarrollo de la droga por tener un ries­ go específico mayor que el del negocio de los servidos públicos? ¿Qué ocu­ rre si los inversores están diversificados y no les interesa el riesgo específi­ co de un negocio pero sí su riesgo en relación al mercado en su conjunto? En la próxima sección describiremos el modelo CAPM que dio respuesta a estas preguntas pero primero daremos algunas precisiones acerca del nesgo y los factores que deberían ser recompensados. De manera concep-

lual sabemos y podemos definir cuaJ debe ser el rendí míenlo que debe­ mos esperar de un activo riesgoso. Este debe ser siempre. El rendbniento que podemos obtener en una alternativa de riesgo símÍK lar Esta definición sugiere por un lado un punto de referencia donde buscar respuestas (el negocio alternativo o rendimiento de oportunidad, que representa la oportunidad que tenemos de invertir el dinero y obtener un rendimiento) y el riesgo. ¿Por qué liablamos de riesgo comparable? Porque si vamos a exigir un mayor rendimiento por e! mayor riesgo, debemos llevar en cuenta ésie último. A mayor riesgo, debemos demandar un mayor rendimiento que lo compense. Pero, ¿cuál es el riesgo que debe ser recompensado? ¿El riesgo de pérdida? ¿El riesgo de la volatilidad del negocio? ¿El riesgo financiero? El rendimiento esperado siempre debe compensar tres factores. • La inflación. • El valor tiempo de dinero. • El riesgo (¿cuál riesgo?). Los dos primeros factores son muy claros y se enseñan en un curso básico de matemática financiera. El tercer factor ha sido motivo de debate durante muchos años en el ambiente académico, y como mínimo, un tema nebuloso en el ambiente de negocios. A nivel empresarial, dependiendo del grado de profesionalización de los directivos, el cálculo del riesgo va desde la intuición hasta la utilización de procesos muy sofisticados En la figura 15.1 se apilan los 3 factores mencionados.

Riesgo

Figura 15.1 Factores que debe recompensar la tosa de rendimtento de un activo riesgoso

En todos los modelos financieros existe una premisa fundamental: tos inversores deiestan el riesgo: tienen aversión por el, por lo tanto, noso-

GuíIL£RmO LOPfZ DUMRAUf

S3-Í

tros mismos como inversores exigiremos mayores rendimientos para inver­ tir en acrivos con mayor riesgo y viceversa- Podemos, entonces, descompo­ ner el íeiorno esperado en un activo compuesto p>or como un rendimieiUa libre de riesgo más una pnm a por el riesgo: R eu dim ien io esperado - ren dim ien io Ubre d e nesgo + p rim a p o r riesgo

€ 'S"! •'M I ■■•j

En un sentido de managemem, es natural que se piense en el riesgo como la dispersión de alguna forma de retomo. Por ello, describiremos que se entiende por nesgo de negocio y nesgo financiero.

•- í ;.-

El riesgo de negocio Entendemos por riesgo de negocio, la dispersión del resultado de ope­ ración antes de intereses e impuestos (en inglés. EBÍT, earn in g s b efa re inferest a n d laxes) alrededor de su media. El riesgo de negocio responde a características propias del negocio o industria, prescindiendo de la forma en que es rinanciado.

i

Una empresa que tiene un resultado operativo muy variable se dice que tiL-ne un alto nesgo de negocio En general, todas las empresas tienen riesgo de negocio, aunque no tengan deuda financiera.

El riesg o fin a n cie ro

El riesgo financiero aparece cuando la empresa se fmancia con deuda financiera. En ese caso debe pagar intereses, y éstos representan una car­ ga financiera fija que debe abonarse independientemente del desempeño del negocio. Caso contrario, hay consecuencias legales. Esta es una dife­ rencia importante con las acciones; si no se pagan dividendos, no hay con­ secuencias legales.

i---a ;

1»

Al existir cargas financieras fijas, el retorno de los accionistas ve au­ m entar su dispersión. ObseiTe en la tabla 15.1 que el resultado operativo puede aumentar o disminuir en un 1U0% (de 20 a 40 o de 20 a 0) pero en ese caso, producio del pago fijo que debe realizarse por los intereses de ía óeuda, el resultado antes de Impuestos aumenta o disminuye un 200% (de lü a 3 U o d e 10 a -10)

Resultado operativo

0

2Ü

40

Intereses

10

10

10

Resultado antes impuestos

-10

10

30

Tabla 15.1 Riesgo de negocio y riesgo bnanciero

Pero estos riesgos, ramo el económico como ei financiero, forman parte del riesgo único o específico de (a compañía, y pueden eliminarse mediante

,

'S

Fi C osto DE CAfiiAL la (Jiversificudón, Si eiuonces, un iriversor adquiere acciones de una compa' ñía que vende petróleo, estará expuesto al riesgo específico de la industria dcl petróleo; pero si al mismo tiempo compra acciones de una compañía quc compra petróleo, las ganancias con Jas acciones de una compañía se com­ pensan con las pérdidas de la otra. Si es posible entonces diversificar una cartera de inversiones, y disminuir el riesgo único, ¿cuál es el riesgo que im­ porta? Los estudios continuaron hasta que en la década del 60, hizosu aparición un modelo para la valuación de activos de capital que se convertiría en una pieza central de las finanzas modernas.

15,2. E l capital asset puicing mopel (CAPM) EJ modelo de valuación de activos de capital (CapUnlAssetPricingMadcl, CAFM) desarrollado simultáneamente en la década del 60 por john Untner. WíKiam Sharpe (196-Ijy/acfc7're;mor, vino a dar respuestas a los imerroganies que subsistían. Basado en el trabajo pionero de Harry Markowitz sobre la teoría del ponafolio en la década del 50, cI capm respondió con Increíble sen­ cillez aJ interrogante sobre cuá. debía ser la lasa de oportunidad que debía exigírsele a un activo riesgoso. William Sharpe ganó el premio Nobel en 1990 por su trabajo en eí c^pm . El modelo desde entonces ha tenido una enorme influencia sobre la Forma en que debe determinarse el costo del capital sobre acciones y también sobre nuevas inversiones de capital. Antes de su aparición, no existía un método científico para la determinación del rendimiento esperado. Éste era determi­ nado en gran pane en forma subjetiva, y los métodos variaban de inv'ersor a inversor. El CAPMfue construidu sobrt:1a premisa de que la varianza délos retornos sobre el portafolio de mercado es la medida del riesgo apropiada, y entonces el único riesgo recompensado es el riesgo de mercado o sisteinatico. Como se asume que el inversor se encuentra diversificado en sus inversiones, no demamfa premios por el riesgo único. La medida de esa varianza os el coeficiente beta, que relaciona los retor­ nos esperados con diclio beta. Bara el capm, la varianza de los retornos sobie el portafolio de mercado es la única medida del riesgo, presuponiendo que el inversor “m arginar en el mercado está bastante diversificado en sus inver­ siones, y sólo espera ser recompensado por el riesgo no diversificable o de mercado. Maiemdiicamente, el coeficiente beta se define como la covarianza entre los rendimientos de una acciór. cualquiera j y un índice de mercado dividida por la varianza del mercado. O jn i _ /?=

a^ m

_ a ‘m

í7m

GuiutR^to López L)UMfuuf Despeiantlo, observe que el beia también puede definirse cotno el coefirierue de correlación entre los rendimientos de una acción J y los rendimien­ tos del mercado j)or el desvio estándar de los rendimientos de la acción divi­ dido por el desvio estándar de los rendimientos del mercado. El riesgo sistemático se mide mediante el coeficiente beta, que mide la .srnsibiiidad en los cambios en el rendimiento de una acción con respecto a los cambios en un índice de mercado. £1 beta e,s una medida de la contri­ bución marginal de una acción al riesgo (fe ia cartera de mercado. En la figura 15,2 se muestra cómo evolucionan los rendimientos de tres accio­ nes diferentes con respecto a los cambios en el rendimiento del mercado (rm) ^=2 /?=1

|fl = 0.5

10%

mt-rf

Figura 15.2 Beta déla acción

En esta fórmula r es el rendimiento de cada acción (incluyendo cam­ bios de precio y dividendos) en un período. Cuando la prima del renditniento del mercado accionario en su conjunto aumenta un 10%, la prima de rendimientos de la acción A aumenta el doble (20 %); por cada uno por tiento adicional que crece la prima de mercado, la prima de la acción A aumenta un dos por ciento. De este modo, el coeficiente beta de A es 2.0. (i) Los rendimientos de la acción B varían exactamente igual que los ren­ dimientos del mercado; por lo tanto su beta es igual a 1 (uno). Finalmen­ te. la acción C tiene un beta de 0,5; por cada 1 por ciento que crece ia prima del mercado, la prima de B solo aumenta un 0,5%. Lo mismo, pero en sentido inverso, ocurre con cada una de estas acciones cuando el ren­ dimiento del mercado disminuye.

l UEsraro, peroaveces aparecenaccionesconbetasnegativos, al menos durantecierto twríodt). EnArgentina. Celulosaobservóbetas negativasdurantelosnoventa. Enestoscasos, iosrendimientosdelaacciónvaríanenformainversaalosrendimientosdelmercado, incluir tal acciónenUnporlaíolioreduciría drásticamenteel riesga

m

El C osto de C apital La pregunta que surge ínmediaíamente es ¿cuál debe ser el rendiinient o esperado para un activo Individual teniendo en cuenta su beta? respuesta a esta pregunta se encuentra en el modelo de valuación de activos de capital (CapitalAssetPridngM odet. capm) desarrollado símuíráneamente en la década del 60 por John Untner, Wllliam Sharpe y JackTteynor. Basado en el trabajo pionero de Harry Markovvitz sobre la teoría del portaíó-' lio en la década del 50, eJ capm respondió con increíble sencillez el interrogan­ te: en un mercado competitivo, la prima por el riesgo de un activo es proporcional a su beta Esto significa que el premio por el riesgo esperado sobre un activo / con un beta igual a pj debe ser Igual a rj ’ r f = P^(rm-rf) donde rj es el rendimiento requerido al activo j. Podemos aJiora despejar eí rendimiento requerido al activo j haciendo un simple pasaje de térmi­ nos: rj = rf+ P¡(nn-rf) De acuerdo con la ecuación del capm el rendimiento requerido a un activo es igual al rendimiento líbre de riesgo r/niás ün premio por riesgo que surge de multiplicar el beta del activo por la prima de mercado {rmrf). Esta relación lineal entre el rendimiento esperado y el coeficiente beta es conocida como la línea del mercado de títulos (sm l , security market line) según puede verse en la figura 15.3. La pendiente de la línea s m l es igual a (rm-r/)/p: Rendimiento esperado

SMU

A fptvckts a u b v ttiu d o s)

B (pntdt's aobnufiflomtítia)

rm-rf

p-y Figura 15J La Itnea dél mercado de titulas

0-7

G u i U IR m O lOP£^ D^iMK-AUf

L*i ürderidLÍa de la fiijuia 15.3 refleja las f»rimas poi riesyo esperadas para un bera deíerminado. Usted podría invertir en bonos del tesoro norteanieuicano, que se consideran libre de nesgo: en este caso el beta es Igual o muy cercano a cero y el rendimiento obtenido sena r f (riskfree). 0 podría in\enir su dinero en la cartera de mercado, en cuyo caso aspira a obtener rm con un beta igual a 1 (uno). O podría invertir en distinius acti­ vos con distintos betas (2). El C5HMdice que si los inversores pueden inver­ tir parle de su dinero en la cartera de mercado y endeudarse o prestar la . .diferencia, están e n c o n d i c i o n e s d e situarse en un punto de la línea del mercado de títulos, una vez que se hayan eliminado todas las oportunida­ des de arbítrale. .Así, por ejemplo, si las acciones de la empresa tienen un beia= 1,3, deberían ofrecer una prima de rendimiento igual a 1,5 veces la prima de mercado. Si el beca=0,5 la prima debería situarse exactamente en la miiad de la prima de mercado y así sucesivamente

f- E ^ír,

j'

Si la prima por riesgo esperada v-aría en función a beta, todas las inversio­ nes dc Oerían ubicarse sobre la linea del mercado de títulos El mensaje bási­ co del cu’Mes que si usted quiere obtener un alto rendimiento, debe estar preparado para correr un mayor nesgo. El c^pw nos dice que para poder calcular el rendimiento esperado que se Iv e.xii;ira a un activo, se deben según -4 pasos i Se estima un rendimiento libre de nesgo

ir/}

2. Se estima el rendiniienio que se espera del mercado (rrni 3 Se calcula el beta de la acción) 4 Se obtiene el rendimiento esperado sumando al rendimiento libre de nesgo u.na prima de nesgo que es igual a beta por la diferencia entre rm V7

Ejemplo Suponga que u:>ted necesita caicuiar ia tasa de descuento para un pro­ vecto de inversión Suponiendo que r/= 5 %. rm = JO % y la beia de ia a c c i ó n

5 % ^ n o % - 5 % \ i . 2 ~ 11 %

En ia práctica, raramente podremos calcular el rendimiento esperado tan fácilmente Por tal motivo, las próximas secciones se ocupan de tratar los aiiistes que suelen realizarse al c a p m en la práctica, en particular en los l»aísé> que no cuentan con mercados de capitales desarrollados Antes de

121Es muy extraño ver una acción con un beta muy cercano o superior a 2 (dosi

r

L l (.'OSTO O f C

a PITAI

5 í'"*

entrar en e^íos detalles, descrilmeinos brevemente los supuestos en que se asienta el CAPM: 1. Los mercados de capitales son eficientes. En un mercado eficiente, la inform ación relevante siempre se encuentra disponible para todos lo^ inversores y se refleja rápidamente en los precios de los títulos

2. Todos los inversores tienen aversión por el riesgo: siempre preferí* rán más rendim iento a menos, y demandarán un premio por comprar títulos con mayor riesgo. 3. Los inversores tienen la.s mismas expectativas sobre la distribución de la rentabilidad lutura de todos los activos (y sobre la correlación entre las rentabilidades y sobre la volatilidad de todos ellos). Si los inversores luvaeran desacuerdos en cuanto a los rendimientos esperados y los riesgos asociados, sería difícil pensar en un mecanismo de fijación de precios en el cual todos pudieran coincidir. 4. No hay impuestos ni costos de transacción ni restricciones para pres­ tar o tomar prestado a la tasa libre de riesgo. De otra forma, la posición fiscal de los individuos o los costos de transacción podrían afectar los ixlornos esperados y no pudría haber una bien definida relación eniu el riesgo y el rendimiento esperado 5. Todos los inversores tienen el mismo horizonte temporal.

15 . 3 11 PItOCESíJ D L LbTlM A C lÓ N DIÍJL COSTO OEl. G».PIT.a I D h L-.S.a c c i o n e s B'J LA FR A C IIC A

Para com enzar la discusión, consideraremos la amplia gama (ie opi­ niones y alternativas que existen a la hora de estimar la tasa de opuriuoidad ü COSIO del capital que se le exige a las acciones. I-a lasa de oporiuiiidad del capital accioi'iario, es por lejos el mayor problema para can su u ir el costo promedio poiideiado del capital o W/\CC (weighted average cosí oí capital) (jiie consiituye el cesto total del capital de la compañía. Li ccm.sirucción de la tasa de descuento o de oportunidad de las acciones ilista mucho de sumar parámetros en una ecuación como mostramos, juir simplicidad. en la sección anterior con el CAPM. Poi el contrario, existe tma amplia gama de opiniones y aliernaiivas y si bien hay acuerdo en la ntilización de los parámetros generales, existen vaitas medidas sobre éstos que pueden co n Ju cii a costos de capital diferentes y existen arguniciXos J e defensa paia cada una de esas vanantes La tahiá 15.2 resume varias de las dificultades que encontramos cuan­ do queremos estimar el costo del capital a exigir a las acciones y laminen jjara adaptar el CAPM a las economías emergentes

510 lasa fihre ile rlesjp?

G uiliermo

Prima de meicadi

neta

Riesgo país

Cada bcra es estimado i En la rara o en el flujo con un error yademits de efectivo con esce­ cambian con el tiem narios de p rob ab i­ f P- Bonds COI» duralidad ponderada? rion similar a ia del ¿Debemos íomar íO' po provecto o la empre (ervalus grandes o pe No está claro cual es cl SI se ura b prima de sn? ¿OT-Bonds de ina- queiVos? wr plazo? fritenak) ideal de me m ercado focal y cl riesgo país influye en ¿Tornamos la prima de dkridn j,¡(» tasas fiaurjB? otro mercado si la pri el riesgo sistemático, nía loca] no es repre H objeriw) es medir el ¿córm lo ajustamos? }0 T-bílk + pilnw íiis- sentatíva? futuro beta, y no eJ lórica T-Bonds sobre ¿Medldss normaliza­ histdrico r-biJÍs7 ¿Implled Equity Rislc das o medida det mo­ Premium? Los betas reflejan en mento? ;iRendim lentos coparte d riesgo ñnan* fTierues o promedio? ¿Qué ocurre con un aero }Oué ínlervalo?-2l’roinversor globalizado? ■nodio ijeomi*tríco o Empresas sin oferta .iri cinético? piiblidi de sus accio­ ¿Ctímo tratar los ries­ nes deben buscar un gos de namraleTa asi­ comparable que co­ métrica, por ejemplo tice en Bolsa. Hay un cuando es una c ía . amplio rango de betas que « p o n a a varios dentro de la misma países? indusnia ¿Los títulos sobre los Desapnlancamiento v que se calcula el ries­ apalan-amienio por b go país tienen duraestructure de capital rion diíerente a la de b de la Indtisma cnuprera o proyecto en cuestión? ¿T-BílsoT-BontJs?

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Lorrz D umrauf

¿Medias geomécricas ntedias aritméticas?

Tabln 15 ? Ijrs problemas para c.stiinar el costo de capital a e-dglr a las accione.s

En suma, hay un considerable grado de iiicerlidumbre en torno a los in^nmrjs a utilizar en una compañía específica, principalmente en la utilización de un beta comparable cuando las acciones de la compañía no tleMPii cotización pública, A continuación, tratamos separadamente cada uno fió los parámetros involucrados, procurando establecer cuál es la alternaIri'a que contiene el argumento más sólido en nuestra opinión.

15.4, La TASA UBRE DE RIESGO En rigor de verdad, se supone que para el rendimiento libre de riesgo in) existen desvíos alrededor del rendimiento esperado (o deberían ser muy pequeños) y tampoco debería existir riesgo de d efa u lt ni riesgo de fc inversión. En la figura 15,4 y en la tabla 15.3 puede obser\'arse la distribución de trecuencias, el rendimiento anual promedio y el desvío estándar para el

período 1926*-1997 donde se observa que los bonos del gobierno y las tenas del tesoro americano son los activos con menor rendimiento pero también con menor variabilidad. ncndlmiento

Estándar

13

20.3

Acciones compañías pequeñas_________

17,7

33,9

Bonos compañías privadas_______

6, i

0,7

Bonos del Gobierno

5.6

9,2

Letras del Tesoro

3.8

3,2

3.2

4.5

Acciones conipaAías grandes__________

inOaclón

■ il

Desvío

Anual promedio

Tabla 15.3 Rendimiento y desvío estándar, USA

Jb .. Ja. Figura 15.4 Dustríbucidn de lo:% rendimientos. OSA

El rendimiento libre de riesgo debe compensar dos factores: • El valor del dinero en el tiempo • La inflación En general, los rendimientos de los bonos del tesoro de Estados Uni­ dos son considerados activos libres de riesgo. En la práctica existen algu­ nas variantes para el rendimiento libre de riesgo, que se enuncian a conti­ nuación: 1. Rendimiento de un título de largo plazo del tesoro de los Estados Unidos (T-Bonds). El argumento que propicia la utilización de esta alter­ nativa es que un bono de largo plazo se aproxima más a la vida de l.a inver­ sión bajo análisis. 2- Rendimiento de las letras de cono plazo del tesoro de Estados Uni­ dos (T-BUIs), Aunque poco utilizada esta variante, el argumento que la sustenta es que siendo el capm un-modelo de riesgo-rendiltliento de Uil solo período, las tasas actuales de corto plazo son instrumentos lazoiiables para prever tasas futuras de corto plazo, ^ 3. Uso de la estructura temporal de las tasas de Interés. Las tasas de corto plazo implícitas en cada año se utilizan como estimaciones de las tasas libres de riesgo esperadas para los períodos futuros. Este argumento sostiene la superioridad de las tasas de corto plazo para prever las tasas futuras de corto plazo.

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López D uM fuur

¿Tasas de coreo o largo p]a2o7 En la práctica, suele tomarse como rendimiento libre de riesgo el ren­ dimiento de los bonos de largo plazo (también existe una discusión en corno a si deben tomarse bonos de 20 o 30 años) y ajustar por la duratíon (3) de! proyecto o del activo que es objeto de la valuación. La tasa de los bonos de! tesoro de USA es la suma de la inflación esperada y la tasa real esperada. Por lo tamo, al ser una tasa que contiene las expectativas de indac lón en USA. a! ser utilizada como tasa libre de nesgo en la valuación de un activo en otro país, requiere un ajuste por el diferencial de inflactón esperado. Por otra parte, si la duración del proyecto o activo en cuestión es diferen­ te de la del título libre de nesgo, también debe realizarse un emparejamiento del período óe maduración. La obtención de la tasa libre de riesgo para usar en procesos de x-aluación de activos de capital en países emergentes se miiesrra en la figura 15.5:

' - J - ’'■'•■■ Renainitemo (ilulo libre de nesgo en USA {T -9 o n a i

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Dilerenaal ae inllaaón y duración

Tasa libre de nesgo en país emergenie

Figura 13 5 Tasa libre de riesgo en un país emergeaie

Aunque no existe tamo desacuerdo en torno a la tasa libre de riesgo, subisie espacio para el debale. Hay algunos académicos que inclusive re­ comiendan usar las letras del tesoro de corto plazo (U.S. Treasury Bills). Estos instrumentos representan bonos del tipo “cupón cero" que no tie­ nen ( Lipón ríe interés y se torapran con un descuerno Pero entonces si debemos calcular la tasa de descuento de un proyecto de ini'ersidn de largo plazo usando las T-Bills aparece inmediatamente la cuestión de una tasa libre de nesgo para cada año, y por io tanto debemos tener en cuenta la forma de la curva de rendimientos .Aunque sólo tene­ mos T-Bills para dos años, es posible despejar las tasas contado para vanos años, con el piocedimíenio “bootstrapping" que explicamos en el capítu* lo 12

%■)

Un argumento de compromiso fue planteado por MuUins (1982) y Brealey y Myers (1988) que consiste en utilizar la tasa del T-Bond, pero ajustada por la diferencia promedio entre los rendimientos de éste y las TBills. Entonces, la tasa libre de riesgo es calculada como; Tasa libie de riesgo= tasa del T-Bond - premio promedio histórico sobre T-Bills

f

(3) La d u r a tío n es una medida de la vida útil ponderada de una inversión.

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El C osto di C apital

54

El problema con este enfoque es que el premio promedio histórico entre lasT-bills y losT-bunds ha sido aproximadamente de 1,3% según Ibhorson, pero con un desvío estándar del 8%. Este argumento propone entonces tornar el rendimiento de los T-Honds y restar el 1,3%, para obtener un ren­ dimiento normalizado de la tasa libre de riesgo.

D argumento de usar las tasas implícitas (fururas) en la eslrucnira tempo­ ral, es ciiesiiünado por los analistas, ya que objeiivamente argumentan que las tasas/ont'tírds no sirven como estimadores pues cambian cada semana. V se podría decir que lo mismo ocurre con la supuesta superioridad de las tasas de corto plazo para predecir las tasas de largo plazo. ¿Qué hacen los consulíores en la Argentina? Una encuesta realizada en 1999 por el Instituto Argentino de Ejecutivo de Finanzas y la Universidad Torcuato di Telia, entre tonsuliores, asesores financieros y banca de inversión, reveló que la mayoría utilizaba laTlFt del T-Bond de largo plazo (10 a 30 años); Argentina

EE.UU. Cor^iooauiurs

Asesurc» Fuiaiioert» yP15

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0%

9%

0%

•

133’u

9%

17%

CuípU4-

AseMires Finaitcteioe

1-bill a 90 días

431.

T-bonds 3-7 años T.bonds S-10 anos

7% -

T-bonds a 10 anos

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10%

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33%

33%

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29%

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T-bonds a 20 años

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T-bonds a 10-30 añoe.

33%

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lo culcitlii ti airpuraciiñi Briii.iltispura >:mprisas arg zÁu’ inJurac. (L'l pivyK^io No tipacifica Otro N'D

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Tabia 15.4 Encuerna sohw la (asa libre de nesgo en USA y Argemina Fuentes E£.Ull.:Bruner,op cii Aigentinu. encuesta trrPT/tAHFCbrriflra u miCi unacinpieia uiiliza laniu el largo plazo.

Lo cierto es que las lasas suelen cambiar en cada año, y la tasa que sena utilizada en la valuación de una empresa sería diferente en cada año. ;;Córno hacemos para ponderar esta circunstancia? ¿Usamos algún promedio? Y en ese caso, ¿rendimientos corrientes o promedios? ¿promedio de cuántos años? ¿geométricos o aritméticos? La mayoría de Jos analistas suelen utilizar el rendimiento de un T-Bond de largo plazo y se olvidan de Ja complejidad de la estructura temporal (41. Lds T-Bonds captan de alguna manera Jas variaciones en las tasas pero en un promedio que es su TIR. Para ello, se nos ocurren dos alternativas: • Utilizar la Tin actual del T-Bond de que se ajuste a la duratíon de la ptoyecdón (generalmente el T-Bond de 10 años). • Utilizar la TIB actual del T-Bond que se ajuste a la duratíon de la pi óyeccidn promediado con el rendimiento promedio geométrico de los TBond de plazo similar para un período largo (por ejemplo, la serie calcula­ da por Ibbotson 1926-2004). *. El argumento para utilizar la TIR actual del T-Bond se basa en que es la que podemos observar ho)'; es un dato concreto, un hecho, y es la medida que nos otorga mayor adherencia al mercado. Si se creyera que ésta no es representativa del rendimiento libre de riesgo para toda la vida de la pro­ yección. podemos promediarla con alguna medida de rendimiento geomé­ trico sobre el mismo título para un período más largo. Si tenemos en cuenta que la vida de las compañías puede extenderse por muchos años, enten­ demos que el promedio geométrico es la mejor medida de largo plazo sí asumimos que la empresa '‘capitaliza’', como de hecho lo hace, al nv repaitir todas sus utilidades como dividendos. En síntesis, tomar la TIR del T-Bond de 10 años íla actual o un prouiédio geométrico para un período más largo) creemos que proporciona una medida razonable. Adicionalmente, utilizar la TIR de 10 anos, no'*' da Un mejor emparejamiento con la cluratjon de la proyección. Ai ser el T-Boiid un título del tipo "bullet" presenta un mayor emparejamiento con la pro­ yección del Rujo de efectivo de la compañía si se comparan las estructuras de flujos y se asimila el valor de la continuidad al pago del capital del bono (es conuin que se realicen proyecciones de flujos de fondos a 10 aítós con un valor terminal, y su duratíon se parece mucho a la de un bono bullet a 10 años como lo es el T^Bond) Además, realizar proyecciones deí Hujo de efectivo a 10 años tiéne dos ventajas con respecto a una proyección deí¡ años; se explícita el desempeño de la firma por un período más largo y el peso del valor terminal en el precio es menor. Piense como reaccionaria Usted si está Interesado en comprar una empresa y le dicen que el 60% o más de su valor surge de una fórmula del tipo: FCF /WACC-g .

(4) Esiiinadones derendlrnienlos futurosdeT-bills basados enlenditníentos históricos harrsubestimadoios rendimientos deestos tf(ulo.s.

Guihírmo Lopíz Dumk-mji 15.5.

PIUNIA POR HIESCO DE MEHCIADO

Alii) eii los países con mercados de capitales desarrollados subsisten también ddeiencias en torno al cálculo de la prima por riesgo de mercado h'stas se basan Kindamentalmenie en el intervalo utilizado, el uso de promedii» aritmciico o geométrico, o la utilización de un "im plied cqniry n sk prenuun”. Debe también decirse que la prima por nesgo de mercado no exi.ste c orno tal. es una expectativa matemática En tal sentido, las consultolao especializadas estiman una prima p o r n esg o de mercado para el luíiiro Ibbois.m ha calculado la pruna por nesgo de mercado desde 1926 y esta, mediíl.i como un promedio geométrico (histórico) se ha mantenido en torni) del 5,5-6,5% según se trate de compañ/as grandes o medianas A comímiacióa describimos el “ra tion aie’'argum entada para cada uno de ellos

.Arpuinenros a lavorde Incluir el promedio aritmético El úigumento a favor de incluir el promedio aritmético se susien ta en que al lepri-senid una mejor medida del rendimiento en el corto plazo, y sintoniza mas a.herem em entc con el CAPM, que es un modelo de un solo periodo.

Argiuiienins a favordeinchurel promedio geométrico El argumento a favor de incluirel promedio geométrico se sustenta en que ai representa una mejor medida del rendimienio en el largo plazo, asumiendo que la vida de la empresa es muy larga y que la compañía “capitaliza’’

l'riina de riesgo de mercado implícita [im p lied eqm ty rtskp rem iiin ) Oti a medula de la prima de nesgo de mercado que ganó cierta populari­ dad eu los últimos tiempos es el ¡ntpiied eqiuíy nsA: p rem ian c prima por nesgo implícita por invenir en acciones El concepto es sencillo, en ios piecKiS de las acciones existe un rendmnenio implíciiú que reclama el mercado y puede calculaise a partir «Je tres datos; el nivel del índice de Ulereado, la tasa de creciniientu esperada de las ganancias y los dividen­ dos y Id tasa de reparto o payoui esperado de los dividendos. Para obiener el implied equity risk premiuin no se precisan datos históricoj o correciL/nes por el nesgo país; este asume, que el mercado esta valuando correctamente los títulos Por e)emplo, si panimos de la fórmula; ^_ Payout X IM _ Dividendos kc-g

ke-g

L'i.inde 1M= nivel del índice de mercado i)art ir del precio y la corriente de dividendos esperada, puede despejar­ se el rendimiemo impífeito reclamado por el mercado para invenir en accio-

Fi Costo

dí

Capital

5^7

nes; luego por diferenciu entre éste y ía tasa libre de riesgo se obtiene el iniplied equ íiy risk preiníun. Ejcinplu: Suponga que el nivel del S&P 500 Index es 1.000, la tasa de reparto de dividendos esperada (expected dividend yíeld) sobre el índice es 6% y la lasa esperada de crecim iento de las ganancias y los dividendos e s del 3%. Luego podemos resolver para ei rendim iento requerido a las acciones; , Payout X IM 60 ^ nz, no/ ke = — í-------------i e = --------- f 0 , 0 J = 9 % IM * 1 .0 0 0 c 'N

Si la tasa libre de nesgo es del 5% anual, luego el implíed equiiy rIsk prennum es 4% (9%-5%). Este approach puede generalizarse para permitíi realizar proyecciones para un periodo explícito con tasas de crecim iento mab altas y utilizar flujos de caja en vez de dividendos. ' “Por ejemplo, si se espera que en los próximos años las acciones tengan un crecim iento vigoroso y luego éste se estabilice en una tasa más baja, piie de modificarse la fórmula para plantearla en dos estadios, utilizando la foimula de la renta variable en progresión geométrica finita para el primer esta­ dio, y luego la formula de la perpetuidad creciente para el segundo estadio Ejemplo: Suponga que el índice N4erval es de 1.500 puntos, la tasa de reparto de dividendos esperada (expected dividend yield) sobre el índice e» del 5% y la tasa esperada de cret im ienio de las ganancias y los duádendos cb del 8% para los próximos 5 años. El rendim iento de los bonos del tesoro tle USA es del 4% anual. Luego del quinto año, la lasa de crecim iento será del 3%. Mediante una inierpulauón lineal reiterada, o utilizando la íunción Solver de Excel®, podemos lesolvei para el rendimiento requerido a las acciones: _ [ í l -hO.OS) 1 .5 0 0 = 1 .5 0 0 x (U l5 X

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Revolviendo i.un Ij lum ioi. Solver, resulta ke=8,i7%. In cual implica un i t n p i i e d e q i u í v p i t i n u u n de 1,17% (tí, 17%-4%) F.l im plind eqiiir\' risk¡u em u u n en m ercad os em cr¡fc/¡ies ím ventaja del iniplied equir)' risk prenilum es que se apoya en un dato observable y no requiere de los datos históricos. De esta forma, puede sei utilizado en prácticamente cualquier mercado con las adaptaciones del caso. I'uf ejemplo, las previsiones de i.Tecimienlo de los dividendos y las ganancias podrían realizarse en dólaies. Mientras que el nivel del índice es un daii) disponible. Id tasa de ilividendos y la tusa de creciinienio son msumos mas difíciles de tleiermmar que en mercados más desarrollados. A pesar de esuis dificultades, el método permite hacer — en base a Lis com binaciones emre sus insiiinoh— V'arias apreciaciones sobre el premio t|ue el mercado teclarna

la razón por la cual el íniplíed puede ser diferente de las medidas liisidricas descansa en suponer que el mercado está correciamente valuado en el momento de la estimación. Una vez que hemos estimado el impiied equiry rtsk premium para un mercado emergente, podemos compararlo contra el mismo indicador en un mercado desarrollado y despejar de éste una prima implícita por riesgo país. Por ejemplo, en cálculos realizados por Damodaran en septiembre de 2003 en Brazll utilizando el índice Bovespa, llega a la con­ clusión de que el riesgo país intrínseco en el impiied equiry lisk premium de Brasil es de 433 puntos básicos: Impiied Equity premium (Brasil) =fl.12% Impiied Equity premium (USA| =3.79Sí, Country Equity Risk Premium (Brasil) =4,33% Primas de mercado locales no representativas En nuestro país, el índice Merval ha sufrido desde su creación modifica­ ciones por diferentes motivos que le han restado represeníaiividad. Ade­ más de contener pocas compañías y de ser sus series bastante cortas, la parucipación se encuentra concentrada entre 5 o 6 empresas. Depende del intervalo que se loíne, ia prima por riesgo de mercado puede pasar de posi­ tiva a negativa. Un camino que se sigue muy a menudo, cuando no existe una prima de mercado local representativa, es lomar la prima de mercado americana, calculada siempre sobre el mismo in.strumento que fue utiliza­ do para estimar la (asa líbre de riesgo para guardar la consistencia. ¿Uué liacen los consultores en la ArgeiUina? Srglm la encuesta lAFF-DiTrlIa. en 1999. se utilizaba mucho una tasa fija fií'l 7.5'B,5%. aunque también se utiliza mucho la prima americana, medida a {‘artir de im promedio histórico geonrétríco o aritmético. Es posible que en el ii«:nde una tasa fija del 7.5 0,5% haya tenido mucho que ver recomendacio­ nes de McFdnsey que en aquella época sugería utilizar tales primas en econo­ mías emei gentes. Cerporacíoci*» l9sarif«d«i3,25% 7«Mniad«M-S% Tasarijsd.l*M no debería volver aconsiderarse enla pelma por el nesgo demercado.

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lucorporadón del rieigo pa/á en til flujo deefecelvo, con escenarios ció proba­ bilidad ponderada incurporacídn de los riesgos en el flujo de efectivo es un¿L aproxima­ ción más consísienre desde el punto de vista teórico. El problema es cpie, introducir el riesgo país en el flojo de efectivo, es mucho más dificíl. Cuan­ do se trabaja con escenarios de probabilidad ponderada, se incorpora el riesgo en el flujo de efectivo con un fundamento más sólido acerca de cómo d valor puede ser creado o destruido, antes que incorporar el riesgo país como una "caja negra" en la tasa de descuento. Ixis argumentos a favor dé incorporar el riesgo país en ti flujo de efectivo son los síguieniesr • Di versificación-, los inversores pueden diversificar m ejor el riesgo airibuible a los países emergentes, tales com o expropiación, devaluación, guerras civiles, etc., a través del gerencia m iento del flujo de efectivo. Si bien la teoría de finanzas nos dice que la tasa de descuento sólo debe refle­ jar el riesgo no diversificabie {sistemático}, el riesgo díversificable puede ser m ejor manejado en el casli flow , realizando las cotíetturas del caso (6). • Id iosin crasia: El riesgo países idiosincrático y no es igual para todas las industrias l.os exponadores, por ejem plo, podrían l»enefícíarse tm i una devaluacjoii m ientras que los importadores podrían verse perjudica­ dos. En este caso, un premio por el riesgo extra sobreestim aría el riesgo de algunas em presas y subestim aría el de otras. A veces, el nesgo de una com pañía en un país em ergente a veces puede ser m enor que el del pro­ pio gobierno {7). • D iferente desarrollo ren w o ra ld e flu jo d e fo n d o s: el flujo de fondas de los títulos utilizados para el cálculo del nesgo país muchas veces es diferente al flujo de fondos de la firma. • Ingresos en otros p aíses: a veces los ingresos de la empresa se produ cen en países distintos de aquél donde está situada la sede de la empresa En ese caso, el riesgo país debería incluir el del país dónde se producen lu.-^ ingresos. Analizando los riesgos específicos y su im pacto en el valor le permite ¿ los directivos pensar en mejores planes para mitigarlos. Por ejemplo, si 1j infraestructura y provisión de energía fuera un punto de riesgo impórtame, un fabricante podría decidir construir varias plantas pequeñas antes que una grande, aunque el costo inicial pueda ser mayor. Este enfoque implica que las com pañías tienen diferente exposición aJ riesgo país (por ejemplo,

(6) Por ejtím plo, la co m p a ñ ía p o d ría e s la b le c e r c o b e rtu ra s au m e n ta n d o su posiciói> en aciiv u s e x tern o s o podría to n n u co b e rtu ra s c o n fu tu ro s y otro s ü eriv ad os fin an cieru s. (7) Las o b lig a c io n e s em itid a s p o r u n a c o m p a ñ ía p e tro lera ra d ica d a en A rgen tin a, su p o o fr e c e r la s a s d e re n d in iie n io m e n o re s q u e la q u e ca rg a b a n los b o n o s del G o b iern u A rgen tin o

Guiuriuso l orcz DuuaAUF empresas exportadoras que perciben ingresos en diferentes países se ve­ nan beneficiadas con una eventual devaluación) (0). En abril de 1999, la consultora McKinsev realizó la valuación de 11 com ­ pañías brasileras a partir del método de descuento de fiuios usando el cos­ to de capital global del sector, ajustado por la estructura de capital, que incluyó el diferencial de inflación entre Brasil y utw. El ejemplo no incluyó premio por nesgo país alguno. Los valores obtenidos por d c f se acercaron • mucho a los valores de mercado que habían sido obtenidos un mes antes de la fecha de la valuación. Sí se hubiera incluido el riesgo país en el costo de capital, los valores habrían sido de 50 a 9ü% menores que ios valores de mercado. Para incorporar los riesgos en el flujo de efectivo en forma coherente, debemos usar los factores macroeconómicos para construir escenarios; luego debemos alinear los escenarios específicos con el desempeño que tendrían las compañías bajo esos escenarios. Puesto que los escenarios macroeconómicos en los países emergentes suelen ser más volátiles, lo ideal es hacer varios escenarios. Las variables macroeconóniicas que de­ ben incluirse para la proyección del desempeño de la compañía son: • In fla ció n .

• Déficit fiscal. • Evolución del l’Bl. • Tipo de cambio. • Tasa de interés. Estas variables a su vez deben trabajarsp con una ligazón coherente, J'nr eiemplo, ei crecimientn y la innación son variables que normalmente irífluvcn en el ti|>o de cambio (el crecimiento del rni genera crecimíenlo en las imponaciones que normalmente hace aumentar el tipo de cambio, ilel mismo modo que la inílación suele estar influida por este). 5i construi­ m o s un escennrio con una tnsa de inflación hipotética, debemos estar seguri'S de que el tipo de camino refleje esa inílación en el largo plazo; en raso contrario esto conduciría a un atraso cambiaiio, que sería otro posi­ ble escenario En un escenario de atraso carnbiario, podría pensarse en un estancamiento de las exporlacinne.s Lo mismo con respecto a las tasas de interés: éstas también son afectadas |ior la inflación, de forma tal que de­ bemos pensar también en términos de las tasa-s de imetés reales de largo plazo. For olía pane, si existe un déficii fiscal agudo debemos preguntar­ nos acerca de la forma en que será financiado; por ejemplo, si el Gobierno lo va a financiar con deuda y, en ese caso, como impaciará la colocación de Irorios sobre la tasa de interés.

(8) F in n as co m o Ib b o iso n As.sociares utilizan m odelos que incluyen el iieragecounrr\> n skprem iu m " realizando una ponde­ ración de! nesgo de oíros países a partir de un mbt de ingresos y otras for-

11 *

DI C a íh a i

mab süfibiiCiiJub de cbiiniur el Hc¿gü país ¿Pero cdmo introducir el nesgo ciel cambio eii las reglas jurídicas, o los disturbios sociales, u las expropiacionesí üs una tarea prácUcainer.ie imposible. En cambio, el riesgo país, medido com o una prima subre los rendimientos dé los bonos locales, éb una medida observable. Una solucidn de compromiso podría sei la siguien le:

incorporar e! riesgo país en tos flujos de efectwo con escenarios de probabiliJtid ponderada cuam lo tosfactores no macroeconámicos tienen muy baja chance d e operar e incorporarto en la tasa cuando esta básicam ente refleje volatilidad rn aaoeconóniua

15.8. E l costo

de la deuda

El costo de la deuda siempre debe calcularse con una base a fter laxes, es decir, después tiel efecto del impuesto a las ganancias. 1^ razón para esto radica en que el interés que la deuda genera es un gasto deducibie para el impuesto a las gananciab. lu que liace que el costo de la deuda después de impuestos sea menor al cobio de la deuda antes de impuestos Suponga que una deuda se contrata a una lasa de interés del y la lasa de impuestos es t = 40% En ese caso, el costo de la deuda ajustado por un puestos resulta ser del h% k d . i l -í) - U .W .(l-a -W ) = 0.06 Piense que si su utilidad neta sujeta a impuestos es de SIOO. usted paga S40 de impuesiüs; pero si financiara sus activos con 5100 de deuda, dedu cin'a de esta utilidad el pago de intereses de $10. con lo cual su pago de impuestos se reduce a 53ü. El ahoiro fiscal resulta ser de $4, y de este moilo. finalm ente la deuda le na costado entonces $6. lo que equivale a un ti%

El ahorro en el pago de impuestos (40-36=4) representa el subsidio que el gobierno otorga a la empresa endeudada, lo que significa que usted aho­ rra 40 centavos de impuestos por cada peso de interés. Por supuesto, si la empresa tuviera pérdidas, i sena igual a cero y no existiría ningún ahorro fiscal en ese periodo. (9) Si la empresa se encuentra en posición de pagar impuestos, ia deuda genera un ahorro igual a la tasa del impuesto corporativo multiplicada por el m om o de intereses. Entonces, el costo de la deuda siempre debe expo­ nerse ajustado por el impuesto corporativo: k d .(l-t). Otra consideración importante es que para calcular el costo de la deuda debe tomarse la tasa de interés sobre las deudas nuevas, no el interés por

(9) La empresa puede trasladar el quebranto con ciertos limites a ejeicicios siguienres. pero niienuas espera pierde el valor del tiempo

5oO

GuiiL£R/ao L ó n z DuMRAur

deudas contraídas y pendientes de pago, por io tanto se toma ei costo niarginaJ de la deuda. Normalmente la deuda de Ja empresa puede ser emitida por la empresa misma (por ejemplo cuando se emite una obligación o bono) o contraída con una institución financiera en íorma de un préstamo para ampliar la planta o para financiar una nueva inversión. Las deudas bancarias de largo pla2o, con tasas líe contrato preestablecidas, normalmente pueden incluirse por su va­ lor nominaJ. ya que no tienen un precio que se refleje en un mercado de capitaJes. Por el contrario, su valor nominal representa el valor exigible por el prestamista. En cuanto a las deudas bancarias de corto plazo, deberían incluirse aquéllas que fonnen parte permanente de Ja estructura de capital, y no para financiar necesidades temporales de capital de trabajo. Hay empre­ sas que mantienen cierta cantidad de deuda bancada de corto plazo en forma permanente, y este carácter de permanencia hace que se considere a esa porción de deuda de corto plazo como formando parte de la estruc­ tura de capital.

15.9, E l WACC y

la e s t r u c t u r a d e c a p it a l

Los consultores suelen utilizar un método denominado ”fatget capital stmcíure" para calcular el "valor justo" de las acciones. Este consiste en predefinir los porcentajes de deuda y acciones en el cálculo del WACC, nsuiniendo que se mantendrán durante toda la vida de la proyección. La base para esta recomendación es: * La firma se moverá Jiacia la estructura de capital de la industria, que os la estructura "óptima". • Se estima/caicula la estructura de capital óptima, y luego estos por­ centajes son mantenidos en toda la proyección.El primer argumento, en forma aislada, no merece mayores comentarios. El segundo argumento es mejor asume que la estructura óptima es estimada, y luego ésta se manléndrá inderinidamente. Esta aproximación tiene como ventaja la utilizarión de un WACC igual durante toda la vida de la proyección De esta ma­ nera, el valor justo de los activos se calcula por descuento del íree cash fiow con el WACC y luego al restar el valor de la deuda financiera (usualinente, su valor de libros] se obtiene el valor justo (fair valué} de las accio­ nes. Este approach supone impb'citamente un rebalanceo periódico de la estructura de cap ital para mantener constantes los porcentajes predefinidos del WACC Un modelo más realista debería reconocer que el desempeño de la firma varía año a axTo. y por lo tanto también el valor de sus acciones, ya que éste es calculado descontando los ílujos futuros que se destinan a ios accionistas. Un procedimiento más correcto sería estimar el valor justo de las acciones para luego delcnninar el verdadero porcentaje D/E (si las tasas de interés no muestran grandes cambios, la deuda podría lomarse por su valor de Libros pues resulta exigible por este valor) y luego

en lodo caso, hacer el análisis de la estructura de capital óptima y las coiisideraciones acerca de si en el futuro la firma se moverá hacia ella.

15.10. Caso real: ESTIMAaONDELCOSTODECAPITALDE GNX En esta sección mostraremos como se estim a el costo del capital accionario de una firma de capital cerrado, GNX es una empresa que fabri­ ca colchones y artículos para el hogar y se financia en su mayor parte con capital propio. Para la estimación del costo del capital propio, se buscó un comparable en el mercado americano. Luego de un proceso de búsqueda, aparece un comparable: CULP INC. El beta observado de esta compañía es de 1,22 pero como su relación deuda/capital propio difiere de la de GMX, se recurrió al proceso de desapalancamiento utilizando su relación D/E y su tasa efectiva de impuestos, lo que condujo a uñ beta desapalancado de 0,90. ; Luego, el beta desapalancado fue reaplancado nuevamente con la rela­ ción D/E proyectada para GNX (D/E=20%) y su tasa efectiva de impuestos (30%), arribando a un beta de 1,02. En la figura 15.10 se muestra la pantalla que salé de Heuters:

I Rallo» í CamaRn«(Mia| o a ítííjtjf

ntoiiq

" mnDcoupMne» vVmW p/CBMKtnMt l i ji tvnró; asa P/f

C actai

‘Xa i

El COSIO de capUal en enipresuscon acciones sin coiizachSn pdblica: ¿se en­ contrará unu solucidn? La estimación del costo de capital en una compañía cuyas acciones no tienen cotización pública, representa un ejercicio en el que hay mudio espacio para cometer errores. El punto es que al no existir valores de nitticado, no hay forma de observar un beta. El uso de un beta comparable, implica asumir fiieries restricciones pero hasta el momento no ha sido pro­ puesto un enfoque superador. Usar un beta comparable significa que asu­ mimos que el proyecto, o la empresa, si cotizara sus acciones en el merca­ do, su beta sería siempre igual al comparable, en lodos los estados de la naturaleza. Pocos serían tan fanáticos al respecto. Pero tal vezqueile una esperanza, y quiero que esto se interprete como una opinión más intuitiva que fundada. En 1973 Myron Sellóles y Fiicher Black nos decían que el precio de una opción sobre una acción no depen­ día del rendimietuü de la acción ni del rendimiento de otro activo. En una de las mayores contribuciones a la ciencia económica,‘ B&¡S urgumemaion impecablenieiiie que el precio de la opción dependía de la volatilidad el valor preseníe de los documentos que se leeinplazan sería menor a la suma de ios documentos y b) nunca podría caer en el extremos superiot Je vencimientos pues ios valores capitaliza­ dos Serían mayores a la suma de los valores nomínale:» de los documenios Se inclinaiá el vencimiento medio más a un vencimiento u oiro, rlepencliemlo de a) los valores nominales de los documentos y b) la tasa de ínte­ res

Kesolucióii de los j)rnblemas

1

0. 24

I5 0 0 d l +

= J5 443,83

^ % j

2

r

= —

= 60.833,33

0.20X

30

■3 6 5

3.

5 5 3 .0 3 0 ,3 0

0,22 365

4 Capital a! final de los 6 meses: 10.000(1+0,05x6) = 13 000 Retirando $500 aJ final de los 120 días (cuatro meses): 10.000(1+0,05x6) -5 0 0 (1+ 0.05x2)= 12 450 También puede resolverse haciendo explícita ia operación, calculando el monto al final a e los 120 días, luego restar el retiro de $500, y finalmente sumar los intereses calculados bajo el régimen simple: 10.000

(1+0,05 X 4) = 12.000

Meno:, retiro

-500

Mas intereses

050

(9.5t)0 x 0,05 x 2)

12 450 Note (jue los inrereses del segundo semestre se calcularon sobre 9.500, ya que se :.upone que los 50(i se retiran del capital inicial’ 9.500x0.05x2)=950

A l tNUl>. t A ' 5. C u rn u

C^ +

C ^ - J 5 OoU,

.! • v j m

tendremos:

m

6.000

/ =•

X 30 + 4,000 x 60 + 8.000 x 92 + 10.000 x 7 2 6.000 + 4.000 + 8.000 + 10.000

i

- 67 dí'is

m m .

ll.

2 92

t- T ^ ^ - 1 ^ 0 .8 1 8 %

2,8963

365 j { m ) = 0,00818 X — = 5. ,!4% 57

12- Cuando se realiza un plazo fijo en moneda local es Irigico que se compare su rendimiento en moneda fuerte, en este caso el dólar, {. orno haciendo un plazo fijo directamente en dólares, obtendríamos un rendi­ miento de 0,005 X 57/365=0,078%, lo que falta saber es que lasa debeiíamos conseguir en pesos para obtener el mismo rendim iento en dólares que se obtenía con el dólar futuro

1+ 1+

j\m)ARG^ 365/57

- 1

0,005 365/57

= 0,818%

J

j ( m ) 5,74% Para una explicación detallada se sugiere ver en el capítulo 4 la sección correspondiente a las operaciones en moneda extranjera.

13.

1.02 = 98,039

7^ = —

14. 1.000 i + 0 ,0 5 X — 1= 1.006,438 l 365 1

m "i

m

i

« r -1

('^lIlHfRMO LoPfZ PtiMIUUf

^/4

1 5 . E \ p r e s a n d o la ig u a ld a d p a r a u n a c o r r i e n c e

d e i r e s p a g o s i g u a le s .

s d lo c jt íb e n io s d e s p e ja r Ja i n c ó g n i t a "A'”:

'f /

•V

X

X

5fM).000- ^^qq2^2) ^ (1 +0.02x4) P rím eío sa c a m o s factor co m ú n

500.000 = A'

1 . 1 ^

1.04

(1

+0,02x0)

X: 1

1.08 ^1.12 _

F ín a lm e n re r e s o lv e m o s p a ra A :

4; 'W ^ 'V ■ “^ ' ‘' í

A --

16,

500.000 2,780321

30 +

95 =

-á \

= 179.835,31

40

30

(1 + 0 ,0 2 x 3

( 1 -1* 0 ,0 2 x 5 )

=A +

(1 0 0 -A) (1

+ 0 ,0 2 x 5 )

A (1 ,1 0 )(1 0 0 -A ) ( 1,10)

4.5094= A 0,10 A =45.1%

tv..

17, lOO.OOO (1 - rf5)(l + 151 = 99.750 (l-r/ 5K l + í5) = 0,9975 C o m o d = i. p o d e m o s r e e m p l a z a r y q u e d a

l-í-í'5 -i5 -/ -2 5 = 0,9975 0,0025 = í'* 25 M

'"S*

%

F i n a l m e n t e , p a s a n d o e l 2 5 d iv id ie n d o y s a c a n d o r a íz c u a d r a d a e n a m ¿ b o s t e r m u .o s q u e i l a

■>'C

i = 1%

M y-

Ai’íMniCf A ' RtsrüfSTAS

a

pRfGwrAs y P ro b iem a s

18.

2.B8 2,97

-1

= 3,03%

19. Como C, + 0^= 50.000, podemos expresar Cj en función de y lue-^ go Igualar la suma de los intereses ganados en cada inversión al inierés total obtenido: ' ^

(5 0 ,0 0 0 - C ,) o ,Ü 6 — + C , 0 ,0 6 — ' 365 ' 3 6 5

= 394,52 ■

\

493,15 - C , 0,009863 + C, 0 ,0 0 4 9 3 15 = 394,52. -C ,0 ,0 0 4 9 3 1 5 = -9 8 ,6 3 Finalmente

= 20.000 y por lo tanto C. = 30.000.

20, Como C^ + C j= 120.000, podemos expresar C, en función de C,

( l 2 0 .0 0 0 - C , X l , 0 i r + C ,(l.0 2 )''= 1 4 0 .8 7 5 ,6 7 ,

(1 3 5.21 9 ,0 0 -C ,U 2 6 8 2 5 )+ C ,1 ,2 6 8 2 4 I = 140.875,67

C ,0 ,1 4 I4 1 6 = 5.Ó56,66 C , = 4 0.000

Como C.^=$ 40.000 luego reemplazando en (C^+C^) = 120,000 resulta C,= $ 00.000 y los ntoníüs son:

8 0 .0 0 0 (1 ,0 ))'-= 9 0 . H 6.00

d 0.000(l,02)" = 50,729.67

'

(

/

G u iu e iu .io Lü p £Z DuMaAur

G^PÍTULO 3: IfíFERÉS COMPUESTO

Respue^itas a ia$ preguntas I. En e! régimen simple la tasa de descuento y la lasa de Interés vendila son tasas nominales, y la equivalencia entre ambas depende del núme­ ro de períodos por los cuales se realiza !a operación. En el régimen com­ puesto son tasas efectivas y el número de períodos no modifica la relación fie equivalencia. 2^ Sinre para determinar cual es el monto devengado en un momento delrrminado, mr momento cualquiera del tiempo. De la mhma forma podernos querer saber, en economía y en finanzas, cual es la cantidad aproximada de una variable que se está devengando en ei tiempo, como por ejemplo, la población estimada en un momento determinado si la tasa de ciecimietiio se mantiene constante, o cuales serán los dividendos de la compañía si continúan creciendo a la misma tasa, etcétera. t aJ la tasa a la cual crece el PBI en una década; b) la tasa a la que i rccierfvn los salarios en un período determinado; c) la tasa de inflación «nensua! promedio que hubo en un año. 4. Creciente / Constante. 1. Decreciente y constante. fi b i ine|or oijcíón es el 1% mensual ya que podría renovarlo por doce y ganar más del 12% al año, debido al interés compuesto En camItio. en el régimen simple, el 12% anual es 12% anual, ya que no hay capi­ talización de intereses. m eses

I te s o lm .ió n d e lü s p r o b l e m a s

1. a) 500 Ü,06)xa,07)x(l.ü5) = 595,45 b) 19,09% c) {1.1909)‘«-1 = 0,0599 o 5,99%

2 . C o íl ,0 1 ) » = C o ( U 0 , 0 1 k 5 )+ 5 0 ,5 (1 ,0 1 )5 - C o n + 0 ,Ü l x 5 ) + 5 0 ,5

Co

Co

ArtHPICE A ' n.tSrUBTAS A pRfGÜN-rAS Y PROftUMAS

Co

0,00101 =

Co

50.5 Co

Co = 49.997,52. 3. 49.997,52(1,01)*= 49.997,52(1+ i x 5). despejando resulla f = 0,íil02. 4. Priinero denominaremos C, C y C" a los capitales iniciales para los tres liijos. Luego, debemos definir los tres capitales en función de uno de ellos, que será C: Como C X (1,05)« = C X (1,05)»« > C x (1,05)'* = C"

x

(1,05)'",

Definimos los tres capitales en función del primero. Por ejemplo C' es igual al primer capital colocado durante dos años al 5 %; C'= C x (1,05)^y C^sCxíLO SlV Luego expresamos la igualdad en función de C

C + C x l ,0 5 ' + C x l , 0 5 '=150.000 C(l + 1,05'+ 1,05')= 150.000 C(1 +1,1025 +1,21550625)= 150.000 C X 3.32800625 = 150.000 C=

150.000 3.31800625

= $45,208,00

C '= 4 5 .208x 1,05'= $49.841.80 C = 4 5 .2 0 8 x 1 ,0 5 '= $ 5 4 .9 5 0 ,2 0

5. 1“ Propuesta: 150.000 + 100.000 X v'®=: 150.000 + 100.000 X 0,7811984 = $228-119,80

jüUlff'-MO LOífl 2 ' P r o j u c -ifa ;

50 ÜOO r 200.000 X

= 50.000 + 200 000 x 0,9059065 = 231.19Ü.ÜÚ

L i propuesta mas ventajosa es la 2*. por lo cual, la primera propuesta debería oltecer un pago mayor en efeciiv'o por 53.070,30 que es la dilerenc ¡a .

6

92-lu0n.03)“*'= 1 775.801,6 i

7 J)

" 3 6 '^'^3 ^4 ^ r = { - 1 = 0 . 0 1 4 2 = 1 ,4 2 % ' 2 J.3Ó -I 4 3 1 1

b; 36.. 23.9-17 x |1,Ü142)‘*= -l7.352.o«l9,9

8

(I,20,).r ( l-^ 7 r J J= íi.3 0 ^

=l

l i l i ! ) * - 1=0,0134 =1.34%

I 1.20 1

= (¡ r I ^ 25),

9

in

n

d e s p e ja n O o

resulta i = 0,0954

= C j, I 'I ( !- r l ) .0 .Í '4 ) '‘ I

= 6 00011 -0.7239834) n

= S 1 .9 0 1 .3 1

1 I Siendo C = 3 500 000 C = I 000 000 C ' = 800 000 y C " = 1.500 000 rerierrios. iog3 /i

'_________ 1 I.Oó'"■■

"""" "

logl.Oó

l.Oé

------------

Í2 íí2 2 íí!l

1.06’

Y

A l'fN D I C l A • fUsrUESTAS

A

P k ICUNT a í N P»Uíait*;^.S

_ log3.50Q .Q (K )-log3Q 5]1.6n ^ 6.544068Ü-6 ,4 8 4 5 9 J logl,Oó 0,0253059 n =■ 2.3S (2 años, 4 meses y 6 días).

12.

D, = C j 1 -

(1 4 0,0175)-'

/), = 3 4 8 7 ,2 0 (1 -0 .6 5 9 4 8 8 ) D, = 3 4 8 7 .2 0 x 0 .3 4 0 5 6 2 D, = 1 187.60 13.

Aplicando Ja formula: p , = o ,\ i- ( i- d y \

Tendremos =1

0 ( ) 0 .0 o ll- íl- 0 .1 5 ) “j

D , = ] 0 0 0 ( l - 0 ,8 5 “) T)> =1 0 0 0 (1 -0 .3 7 7 7 1 5 ) />, = 1 OfKixO.02285 I\ = So22.S5

14

In !0 0 0 0 o - l n 50 000 „ ^ „ = --------------------------------= 70.3.'»/ne.ic'.i l n a . 0 2 ) - l i i (1 .0 1 )

15 50 0 0 0(1.02)''íl.n i)M l+ i) = 61.263,46 i = 1,54;.

16. Aplicando la fórmula para el tiempo en que dos capitales producen monto, tenemos

Ig u a l

G uilurmo López D umiwuf

5fio

In ÍOO.OOO-In 50.000

In C[ - in Cy ln(I + /2) - l n (1 + /,) Podem os

1(10.000(1,01)

= 70,35

In 1 ,0 2 -In i.ül

comprobarlo haciendo 50,000(1,02)” -^*= 201.384,187 y = 201384,187

17. El capila) se colocó ganando las siguientes tasas 50,000 (1.02)8 X (1+i) X (1,01)3 = 61.263,46 60.358.0.9 X (1+1) = 61.263,46 i = (6l.263.46/60.358,Ü9)-l = 0,015 = L5% 18 Como e$ un problema de vencimiento media ya que el valor no­ minal del nuevo documento iguala la suma de los valores nominales de los documentos que reempla2a. tenemos

n =:

In O í-In

Co

1m( í + i ) = ln 3 0 .()Q Q -ln [2 0 .()0 U / (I,0 7 )^ + 3 0 .0 0 0 / (1 ,0 7 )^ ] ^

In0.ü7) 19 ( I 0 0 . 0 n 0 - X ) ( l ,0 2 ) '" = X ( l ,0 2 5 ) '"

J 4 2 .8 2 4 ,6 2 - X 1 .4 2 Q 2 4 6 = X 1 ,5 5 9 6 5

H 2 .8 2 1 .6 2 = X 2 .3 8 7 9 0

X = 4 7 .8 0 0 .9 2

y por

lo t a n t o 1 0 0 .0 0 0 -X = 5 2 1 9 9 ,0 7

2 0 . I-n lta r e s o lu c ió n .

(^ A PíiiiLo 4 : T

a sa s d e in t e r é s

Respue.stas a las preguntas 1. a) Una entidad financiera, si desea mantener la tasa efectiva anual corisianíe, debe... disminuir,., la lasa nominal anual cuando pasa de capílaHzaciones de 45 a 30 días. Por el contrario, si ...pertfianece jija.,., la tasa

ArtNpiC£

RtsruESTAS Á PatCüNTM y PRoeiíMAs

nominal anua!, a medida que se incrementa Ja cantidad de capíializacm' nes, la lasa efectiva anual ...aum enta. b) La tasa real de interés puede ser mayor que la tasa de interés apa­ rente si la tasa de ...inflación... es ...negativa— , o sea una ...d eflacióji... de precios. 2.

Es una tasa de Interés vencida, siempre.

3. La Variación en el tipo de cambio se determina por la dífereiiC'a en las tasas de Iníladón entre los países. A, Disminuye.

Resolución de los problemas 365 1 .a)

,

180V«o

I H - 0 . 1 0 jr ^ 365 J

- 1 = 0,1025

365

b)

c)

(

l

60 1 + O.IOj :----365

- 1 = 0,1042

J

30 V » l + 0 ,l0 x ----- 1 = 0.1047 365 365

d)

I

I 1 -hO .lO jc-^ ’ - 1 = 0,1050 365 i

35

2.

.>^ - I = 0 .2 7 2 4 o 2 1 ,2 4 %

También podría haberse hecho.

45 [ ) f 0 .24 45-c— I ■ - I = 0.2724 o 27,24% 365

JU

íí

15

1 ^ 0 .1 5 v -^ ! 3o 5

- 1 =00123

1.23%

Para d.^spejar la TNA de descuento es mas cómodo igualar factores 15 ■' — '

I I i0 ,l5 i^ 7

3fXi I

• ' í

Luego despe|ii!ido

■ »>

7. . . =

X A

' K 1 «í [ 9C 1 ^ ^

i f

d ^ 1-

I

1 365

= O .I490t^ 14.ó0%. 15

{

15

1 - 0 I - 1 6 X -----

\ii

= 0 .0 1 2 2 = 1.22%

365

\

X:.

V,

L -^

í

Luego puede obtenerse la lasa efectiva de descuento mensual a partir de f!iu)

X

í

36.*¡

Para olifener jtni) a partir de la tasa efectiva de descuento mensual

A rt N f)ic i A - ^ES^tJtsT^s

-n - 0 .0 2 ) ^

P r ic u m t m

a

y

PnofttfMAS

i/r<

45

D espejando, j(nij=ü,2495. I.uego la lasa efectiva mensuaJ a panir de j(m); iíí

í l + 0.2495.V —365 ¡T

- I = 0.0204 o 2.0-1%

Finalm ente despejam os f(rn) a panir de la tasa efectiva de descuento m ensual:

( 1 - 0 .0 2 )

—

45

A—

Jo!)

)■

,

Despejando. f(m)=^0,242I ó 24,21%.

/JO

5.

Í

^ 0,50

+ 0.01

h Joj/ 'J I)

l

Jo 5 / / I5

j

Despejando, j(ni)=0,5221 ó 52,21%.

Jos /Jo

\ j

u

A ': 3c5

í

2 , , ,

-

0 .5 0

0 .0 2 ) 1

JD

0 .0 1

JOS/ MJ

Pasando el exponenie del primer m iem bro invertido y el 1 (uno) íes cando, queda. -

1

......

í, [

Despejando, j(m) = 53,2?% ,

, -J 6 5 ) l3

+0 0

365/15)

)

7. Para la taíia efectiva ap are nte :

(t-

Para la

l

Ü,3U

- 1 = 0 .3 4 4 9 o 3 4 ,4 9 %

TEA real

• , (».3449j - 1 = 0 . 0 6 0 4 (1,02)"

o 6 ,0 4 %

Para ía TNA real: i , „ , = [(1,0604)^'''^" - 1

í

= 0 .0 5 8 8 o 5 ,8 8 %

H. C alcule los re n d im ie n to s reales pa ra los sig u ie n te s p e río d o s , te n ie n d o en cuen ta los da to s que se m u e s tra n a c o n tin u a c ió n : M es

TNA p la z o fijo 3 0 d ía s

E n e ro

6%

F eb re ro

-7 %

i+

- 0 .2

%

0 .5 %

0 ,0 6

I - 0,002

1-t

I n í l a d ó n s e g ú n IP C

- 1 = 0 .0 0 6 9

0,07 365/ /30

1.005

- 1 = 0 ,0 0 0 7 4 9

n 4 El B a n co 5CX e fe c tú a p ré sta m o s a 90 días c o n u n in te ré s d e l tre in ta p o r c ie n to (30% ) a n u a l a d e la n ta d o y de scue nta de l p ré sta m o a l o to rg a rlo el u n o p o r m il en c o n c e p to de gastos de a d m in is tra c ió n . E l B an co Z Z e fe c ­ túa ¡rréstam os a 75 días c o n u n in teré s del tre in ta y c in c o p o r c ie n to (35% )

'«393 l,0()S86

(SI el dólar hubiera cotizado al vencimiento de la operación a 0.99393 ambus plazas serían equivalenies)

14 Calculamos la lasa real dividiendo el monto con tasa de inieies efectiva por el cociente de índices de precios (el codenie es igual a Uii): | V .- 0 , O 3 x i ? - l

, = :-------- j - l i - I = ~0.0í)2-l = -0 ,2 4 % '

i .i S .lo

157,39

G uillermo L órez D u m r a u í

58 8

15. a) Rendmiiento real que se obtendría realizando un plazo fijo en moneda doméstica: f

30

l + 0,035x —

,

-----1 =-^.00239 = 0.239% (1

+ 0,008)“

bj Rendiniienfo real que se obtendría realizando una venta de dólar

futuro; 2.91 2.90

— -1 - -0,00319 = -0,319%

(1 + 0,008)“ c) Rendimiento real que se obtendría realizando un plazo fijo en dóla­

res; 25

1+0,0275 X

30

(1 + 0,008)“

X j " - ^= -0.00131 = -0,131% 2,90

SI además tmiera que convertir los dólares nuevamente en pesos, y el típn de cambio comprador se mantuviera al 31 de mayo, ei rendimiento real en pesos sería:

1+0,0275 X

30 V» 365 j

(1 + 0.008)“

2,90

16, La inflación anual proyectada es del 12%. Se desea saber cuál debe-^ ría ser la TNA que debería obtenerse en una operación a plazo fijo ajustable por innación, si se pretende un rendimiento real mensual del 0,4%.

l+

= (1.12X1,004)’

ArfNDiCE A • RtsrutsTAS a P reguntas y Problemas JO 2É5 365

(U2)(l,004) 30

TNÁ^

3^

30

=

0.1629=16,29%

Se hubiera alcanzado el mismo resultado si se calculaba la tasa equiva­ lente de inflación para 30 días y luego se despejaba la TNA de la ecuación siguiente:

= (U 2)lS (1,004) 1 + 77V.4X '365

1+ 0.04X — = i----------- 2 ^ -1 = -0,0006 = 0,06% (1 + 0,004)

i7. a)

Es de notar que el rendimiento efectivo y la inflación de mayo respon­ de a un período de 31 días. Si el período al que corresponde el registro de inflación y el rendimiento efectivo no coincidieran, habría que calcular una equivalencia para expresarlos en un momento común. b) 158,16 X (1-0,0006)=158,06.

18. t-*fi ~

30 V 1-0.50X— -1 = 0,0428 = 4.28% 365

= 11 - 0.50 X — I “ -1 = 0.6652 = 66,62% 365 19. (5.3„. ■"(363) = ]n(l + 0,05) = 0,04879 = 4,8S% Para calcular la tasa continua delBO días, tenemos que recordar que la tasa instantánea es una tasa nominal: 365

^

=1,05

365

'

.S'»0

C í lM lU K M O L ó P f ZÜ U M H . \ U f

í„ .„ , = Ü,ü :.| 0 6 = 2.-41 % Ei Je notar que si hubiéramos utilizadc un año de 360 días, la tasa inatancanea semestral sena exaciameme la mitad de la lasa insiantánea anual

20. Si bien los rendimientos no son simétricos cuando se los calcula en términos üiscreKiS (125/IOü-l=+25% y (80/100-l=-20%) al calcularlos en forma coniinua a través del logaritmo del cociente de precios (que es lo mismo que calcular el logaritmo de 1+ rendimiento) se obtienen retornos simen icos Esta forma de cálculo es de practica usual entre los operadores del mercado financiero, ya que se supone que los precios de los activos \arian coniinuamente. y por lo tamo trabajamos con tasas instantáneas de interés y de descuento, que como vimos, son iguales cuando la frecuen­ cia de capitalización/ actualización tiende a infinito JrcJn —

100

in - ^

= 0 ,2 2 3 1 = 2 2 .3 1 %

= - 0 . 2 2 3 1 = -2 2 ,3 1 %

lüO 0.05

2 J F ^lüO ^ ^ = 101,257

l — I,

= 0,0X2

CaI’I í LiLO 5. iNlJlCtS YCOEFiCiENTES DF AllCTfc Kespiiesta.. a las prcgunias 1. ^(tídir los cambios relativos en precios pero también cantidades (ven­ tas de una determinada mercancía) y valores 2. Los liábitos lie compra y preierencias de compra tienden a cambiar con el iiempo, los cambios de definición, la imroduccion de nuevos pro­ ductos y /os cambios en la calidad 3. al índice de precios al consumidor b) índice de precios mayoristas, c) índice d ‘ salarios, d; índices financieros, como el Menal

_____________AftUOlO A - KtSPUÍSTAt A PrIGUNTaS y p R O B tiM A > ____ ^ :>! 4 I'ara ajustar precios de servicios, como los alquileres, como referen­ cia para ajustes de contratos, salarios y operaciones fínancieras. La ley de Convenibtiidail piohibió iu inüexadón aunque esta opera para las opera Clones expresamente previstas en el artículo 214/02. 5 Para realizar comparaciones de la evolución histórica de los precios 6. Esencialmente, es visto como una medida de la competiiividad Jerinesiros bienes para el cuiiiercio con el resto del nuirido. Resolución de ios problemas 1. |(3,6I/3,5532MI x 365/30 = 0.19449 |(3.66/3.5532}-!l x 365/62 = 0.17695 1(3.70/3,5532)-1i x 365/93 = 0.16214 2 Primero calcularnos la inflación equivalente diaria de septiembre I1.013)*'-"'-! = 0,00043 Y luego "capiializainos” el CEU del 7/10/2002 para llevarlo al 1/11 /2002. 1,3784 X ( i +0,00043)«= 1,3927 3 10.000 X {l+ 0,02xl80/ 365jx l.3965/1.3784 = 10.231,23 4 Como disponem os como dato las tasas de inflación en vez J e los índices, deflaciam os por la inflación argentina y luego a)iislamos por la inflación en USA. t n -^ n .0 5 ) = :..33.3 TCR - ( I -rO,80.)

5

( : 8 x 4 ) . (3 6 x 3 ) + ( 3 0 x 8 )

/-/^3vi=-(2 n x -l) + (4 (Jx 3 ) + ( !5 x S ) = I,b25 = Ió2,.i‘,l

C-U-ÍTIUX) 6; KftvnASTEMPOIWRLAS Hespuesias a las preguntas 1. 1.a lasa ile ínteres vencida 2 1.a imposición es una rema inmediaia capitalizada por n periodos, mientras que la renta inmediata es una imposición actualizada por n pe­ ríodos.

G

u il l e r m o

L o rE ¿

D uM R A U f

3. Porque es actualizada por un período menos, ya que lodos los pagos se realizan al principio de cada período, en vez de al final. 4. El producto de la tasa de Interés por cl valor de la reñía, que es igual al interés en valores absolutos. Es como un préstamo donde sólo se pagan los intereses Resolución de los problemas

].

J .OÜO.;f

r

= 8.984,74

" l.OQO.r-í®^ -----L X— (t,08}'"x 0,08

(1,08)-

= 9.026.71

3. I.OOOx-ü^í?^;---- í^x(l,08)— i - j - = 9.748,85 (I,08.)'S'0,08 (1.08)’

c Ü ± »-'i » ' ^ r - ‘ .v(U0.10/12)=rS.0(K) 0.10/12

'

^

.suponiendo pagos adelantados: 562,48.

5- 5or la tasa de Interés. Para ello, primero precisamos la cuota 2Ü (ya que es la ¡irP mera que se paga partiendo del final del período 19). U podemos caJculat

a partir del valor de b primera cuota: 29.039,51 (i-(J,03j”' = 16.279,36 O también haciendo = /{l-0,03)‘*= J0.0ü0/{l-0,03)'« = 16.279.36 (pasando de la líhírna cuota directamente a la 19).

^ [ (1-0.03) íli-O .O l)

- = 202.229.49 W (U 7,0.0l-0.03) = 16.279,36 x — 0,01-(-0.03) Pinatmenie, el interés de la cuota veinte es 202.229,49 x 0,01 = 2.022,3.

7. La fórmula para obtener la suma de $300.000 es una ímposicidni de cuotas variables, donde tenemos que despejar g (note que el factor de ca­ pitalización para obtener Ja imposición es 121 por tratarse de pagos ade­ lantados: 11

^

n + g)

I2Ú

(1 + 0,005)

Probando con g= 0,015 (1,5%), Av = 417.067.59. Probando con g= 0.01 (1%), Av = 297.678.99. Debemos interpolar para obtener el g aproximado; 0 ,0 1 5 ......................... - 417.067,59 0 ,0 1-x ......................... 300.000 0,01 ............................. 297.678,99 Con una d iferen cia entre valores de g de 0,005 icjiemos: 0 ,0 0 5 ........................... 119.388,6 X

................................... 117.067,59

X = 0,005 X 117.067,59 / 119.388,6 = 0.0049.

.i' .-'J

Guilurmq López Dumílmif Por lo tanto, el g apro.ximado es O.ü 15-0,0049 = 0.01009 d 1,009%,

150.000 (1 + 0 , 0 + 10.000 -

(1 - 0 .0 5 )1 ” (14-0.01) J

0 ,0 1 -(-0 ,0 5 )

(1,01)'*

= 63.486 J 3 + 162.957,60 = 226.444.33 N'oíe que g termina con signo po.sitívo en el denominador del segundo miemhro, pues con>o en la fórmula el divisor e.s 'i-g" y g = -0.05, se Iransíoirna en positivo. Para calcular los Intereses ganados, recurrimos a la íórla suma de términos de una p'rogresidn geométrica decreciente, para caícular el valor absoluto de la suma de cuotas, donde la primera es igual a lÜ.OOO:

rmila de

í

l- o " 1 - 0 95'* ^ i_ y _ = 10.000- ■ = 141.602.19 ' I-«7 1-0,95

Intereses ganados: Total obligación - valor suma de cuotas = 226.444,33 -141.602,19 - 50.000 = 34.842.13 A continuación aparece una tabla con el descargo de los intereses que comprueba ios cálculos anteriores. 21 22 JI 29 tí le 17 IB »s M 19 12 11 10 9 8 2 9 5 4 3 2 ( 0 TOTAL DíptÍJilo fcicidl Titlit lnl«r«if I

Cuttta Faelor perfodiei eiphalliaelAn 10.000,00 1.2B 8 SOOOn 1.24 9 025,00 i 23 8 573,75 1J2 8 145.06 t.2l 7.737,81 UO 7 350.92 1.18 1.17 6 M3.37 8 *34.20 1.18 8 302 «9 1.15 5 887.37 1 14 S S88.00 1.13 5 403 60 U2 5 133.43 1.10 < 876.75 IJ)9 4 832 01 l.OB 4 401.27 J.07 4 181.20 (.06 3 972 14 1.05 3.773.54 1.04 3384 5« 1.03 3 405.8? f.C3 3235,34 1.01 3 073.57 Í.C0 »41 802.20 SOOOO.OO 1,27

Cuota cilnioraoat InlaToue* 2871 63 12 571 63 11024.80 2J24 80 2 097.34 11 122.34 I0 4B1.80 1887.85 9.040,12 1-895.06 9055.58 1817.75 8 705.73 1J54 81 8 188 55 1 205 18 7.702 11 1087 90 7 244,55 942.05 8814.18 87602 6 409.38 72UÍ «028.83 «25.03 5.870 49 53707 5.333,63 4S6.88 5 018.78 383.87 317,49 4.718.75 4 438.43 057.23 4 174.78 202.82 3.828.78 153.22 3 893.48 1.08.82 68.45 3 S7 $0 21.355.41 82 488.73 13.485 73 34.142.14

Ar£ND»C£ A - lUsruEm s a Preguntas y Pr q biím as 9.

6.881,11= (C + 2/0,01).a(1.60,0,01) - 2/0.01 (l,01)-«o 60 6.881,11 = (C + 200) 44,955 *6.605,39 C = 100

10.a)

b)

= — + 0,05 = 0,1863 22 £)}' = — = 0.1363 22

Como se supone que la compañía crecerá al 5% coríio un todo, el pre­ cio al final del año 2002 sería 22 Ü,05)=23,10 y la ganancia de capital tam­ bién sería del 5% (23,10/22)-1 Note que llega también:al precio de 23.10 calculando el valor de la perpetuidad que comienza con el dividendo del próximo año (3 x (l,05)/(0,1863-0,05)=23,10 Si las ganancias y los dividen­ dos crecen a la misma tasa, luego el valor de las acciones también lo hace.

11. Respuesta: para despejar el valor de la primera cuota conviene des­ componer la renta general en tres rentas diferentes: a) La primera renta es una renta de 4 cuotas constantes (en realidad son 5, pero dejamos la última cuota para la segunda renta, para que repre­ sente la primera cuota de una renta de cuotas variables. b) La segunda renta es variable en progresión geométrica donde la ra­ zón es g = 1,05. c) La tercera es otra renta de cuotas constantes cuya cuota fija es ctp. Entonces tenemos: 1-

3.000.000 =

+ C(1.05)'

— —+C

(1,06) .r 0,06

J.05Y l -.T—

0 .0 6 - 0 ,0 5

(1.06) ‘

+

(1.06)’ - 1 (1.06)’ a0,06 (1,06)’

Observación: la segunda tenia aparece actualizada por 1 /(1.06)‘' ya que su primer pago es vencido y se produce en el mes 5; como la fórmula de la renta la actualiza al final del mes 4, es necesario actualizarla por cuatro

= J.239,85 Si ahora consideramos que la realidad económica subyacente es que bien medido hemos recibido un préstamo de 98.645,75 (1 0 0 .0 0 0 - 1.354,25), el verdadero costo del préstamo es, por interpolación lineal reiterada. 98.645,75= 1.239.85 x a(1.120.i) f'or inierpoíacidn: 0,007347 = 0,73%

10. Poi el sistema alemán la primera cuota hubiera sido: C = 100.000/120+100.000 X 0.01 = 1.833,33 En ei sistem a francés se com ienza ab onand o una cu ota m en or (1.434,70) pero los intereses del sistema alemán se reducen en progresmn aritmética hasta que ambas cuotas se igualan. Para determ inar ese m o­ mento, igualamos la fórmula de la cuota del sistema alemán con el valor de la cu o tj del sistema francés y despejamos p; 1.434,70 = V/n|l+ i(n-p+l)l l 434,70 = 833,33 H+0,01 (120-p+l)]

A - lUil'UESIAS A PKfOUNTAS y PnCbUWAi'

MO

— — ~1 = 0.01(120-/ 7 + 1) 833,33 ' p = 40,95

11. Los imereses de un sisrerna alemán se reducen en progresión arílmé* rica, por lo ramo los intereses de la cuota 75 deben ser iguales a los de la cuota 10 menos el producto déla lasa de interés por el valor de 65 cuotas de amor* lizaddn:

230 = 5 5 5 -6 5 / A-500 32.500/= 325 =

32.500

0,01

Una vez despejada la tasa de interés, podemos igualar el valor que tene­ mos com o dato de uno de los intereses de las cuotas con la fórmula respecti­ va para el ínteres periódico del sistema alemán y despejar n. Por ejemplo, igualando el interés de la cuota IG: H p -U p ) -~ [n ~ ( p -l) ]i

n

555 = 500í/ / -(10-l)]0,01 555 = 5 n - 4 5 77

= 120

V = l 'JO X 500 = 60,000.

12, Sabem os que el préstamo fue cancelado a los 22 meses con la si guíente suma: 2 7 4 .4 3 6 (1,02)^* = 4 2 4 .2 7 2 .4 7 (el monto del depósito bancario que fue realizado al m om ento de obtener el préstamo). Por lo ta n to V jj= 4 2 4 .2 7 2 .4 7 y el to tal a m o rtiz a d o al mes 22 es l„ = 8 2 0 .000-424.272,47= 3 9 5 .7 2 7 ,5 3 .

Corno el toral amortizado es igual a 7/;

^ p o d e m o s re

^ i

pniplazar y obtener r,; 0,03 /. =395.727,53= 12.959.05 (1,03)"'- I

¡ar

V como 7II = V= 820 000, ya tenemos todos los elementos para despe en la fornuiia del toral amortizado al final del préstamo Tn =

(1

Tn i

Y fin a lm e n te , a p lic a n d o lo g a ritm o s , o b te n e m o s el v a lo r de n;

,1 In 7'"^’ ^ +l|

In(H-í)

820.000^0,03 A In --------------------+ I 12.959,04 = 36 ln(l,03)

m eses

L3 oabemos el monto del préstamo y la tasa de interés de contrato, tarnlH'én sabemos que las cuotas originalmente eran constantes, por lo que deducimos que se nata de un sistema francés. Pero no sabernos el pla­ zo por el que se pactó el préstamo originaJ, aunque nos dan el dato de la última cuota del préstamo refinanciado. El préstamo se refinanció en 20 cuotas de capital constante, con interés sobre saldos, de manera que sabe­ mos que fue utilizado el sistema alemán. Apartir de la fórmula de la cuota para el sistema alemán, podemos deducir el valor del préstamo al final del período 10; C „ = -| l+ i(n -p + l)) n

Podemos de.spejar el valor del préstamo al final del período 10:

Cjo 1+ rín -p + l)

V=■

1.994J8 36 = 71.100,96 1+ 0,01(20-20 + 1)

Sabiendo el valor del pré.stamo originaJ (üü.OOO) y el saldo al final del período 10 (71.100,96), podemos deducir el total amortizado a ese período

A P E N D IC E A

-

R

e s pu es ta s

a

P

r e g u n t a s

y

P

r o b l e m a s

m .f

y luego despejar r,; a partir de la ariiortización del primero período podemos despejar el valor de la cuota* Finalmente, con el valor de la cuota, ¡a t^rsa de Interés y el valor del préstamo original, puede despejarse el número de pe­ ríodos po r el que fue contratado originaimeme el préstamo; T , o ^ ^ - K o = 8 0 . 0 0 0 - 7 1 . 1 0 0 . 9 6 = 8 .899,04

Y siendo la fórmula del total amortizado: ( l+ i) '- !

^10 “ ^ ■

A =-

0,0 1 5 (1 ,0 1 5 )'

= í|

(I,0 1 5 )'"-l

- = 8.899,04

0,015

8 .8 9 9 ,0 4 = 831,47 -i

Como V =Tn y T„ = t,

i

------

í^ £ + l = (l + /)'’

Aplicando logaritmos en ambos íénnínos; ( t

In -^£ + 1 |= nln(l + i)

Inl -=-£ + 1

In

lii(l + í)

80 .0 0 0 — o ,0 1 5 + 11 8 3 1,47

ln(l,015)

= 60 meses

Capiiulo 9: P réstamos con intereses directos

Respuestas a las preguntas 1.

El valor de la lasa de interés directa de contrato y el plazo del présta­

mo. 2. Cuando el número de períodos tiende a infinito, lo único que se paga en la cuota es el interés sobre saldo, que se iguala con el interés que se paga calculando directamente intereses sobre el capital.

o !0

G u u u k A io

L

ó p e z

D

u m r a u f

J Hl ainencano, luego el francés y por úlcinio el alemán. 4. ídein respuesta anterior 5. .-\J calcularse los intereses en forma directa sobre el capital, y abo­ narse siempre la misma suma independientemente de que el capital adeu­ dado disminuye con cada atnoriización, no constituye un verdadero siste­ ma. S i lo sena si sus partes estuvieran inierconectadas, como ocune con los sistemas sobre saldos, donde el interés disminuye al disminuir el saldo del presiaino. Resolución de los problemas 1. Siendo la cuota con intereses directos igual a 1000 k (1+0,02*6)/ 6=186,66, la tasa equivalente sobre saldos es la que igual (a siguiente ecua­ ción. 1000=y

186,66

Por interpolación lineal í = 3,34% mensual.

2. Recuerde que mientras en el sistema francés siempre se paga un 14,96% solire saldo, en el caso de los intereses directos cargados se comien­ za pagando un 10% y la lasa va aumentando jxir período (ver capítulo 9).

14.96%

Lo mejor en este caso, para saber en que momento se iguala el monto de inierests (SlOj es buscar la fórmula en el sistema francés que calcule los intereses periódicos y aparezca un periodo “p' que podamos despejar. To­ mamos entonces la siguiente fórmula y luego la igualamos a Jos intereses que pagamos cuajido se calculan directamente sobre el capital:

AríNPici

A ' fU^put¡TA.i A P r ( cuntas

y

F kobifmas

óll

Como la cuota que ¿e pagaría por el sistema francés con una tasa de! 14.96% sería de 34.99, t, = 20.03 f34.99.0,H 96 x 100)

10 = 20,03[n.M9ó)" -(1.1496)''"'] (1.1490)"^'=(1,1496)^-0.50 (/í + I)ln (l.l4 9 6 ) = In 1.2465

P =

In 1,2465 In 1,1496

- 1 = 2,58

3. Para recibir 100.000 neto de los intereses descontados, tenem os Í00.000 = N X (1-0.01 X 5). Donde N = 105.263.15 Por lo lanío, la cuota que debe abonarse es 105.263.15/5 s 21.052.63

4. lQ0.ÜQQ=y

21.052,63

-

Por interpolación lineal i = 1.73%.

5.

o 20.600 100 0 0 0 = y ----------

Por interpolación lineal i = 0,9934%.

O.PH ui o 10; T écnicas de E v.4Iilación OF í ’KOVhCl'OS D£ INVEHSION Kespuestas a las preguntas I. a) A tiene el mayor flujo de efectivo pues si ambos proyectos tienen Igna! VAN al 10%, a medida que k disminuye el VAN de A aum enta mas rápido hasia un valor de k=0 (Compruebe graficando las funciones desde cada Tin ha»ia k-0). b; li c) A. pues con k = 0 el VAN sería mayor y lienei^ la misma TIR. d) No, sicm pie se requerirá más tiempo con el PD que con t i I! pues el primero acumula flujos descontados.

2) Aquellos provéelos con flujos de efectivos más altos al final de su vida, sufrirán con mayor crudeza la suba de la tasa de ínierés por el efecto del interés compuesto. Esto no ocurre cuando el flujo de efectivo es mayor at principio, pues el interés compuesto no opera con la misma fuerza

‘

31 Es oxactanienie la misma medida de rentabilidad. En el caso del bono o ra acción, su precio nos indica una rasa implícita de rendimiento (que iguala el valor pre-senie del FF a su precio) y en el caso de los préstamos, re p r e .s e n ta la-TIR del banco. 4) Cierto. El período de recupero garantiza un VAN = 0 pero no tiene en cuenta los flujos de efectivo después dei recupero. Podría descartarse un buen proyecto. 5) En proyectos no simples, cuando sube k, el VAN disminuye generan­ do una respuesta confusa. 1.a regla directa del VAN puede fallar cuando tratamos con proyectos de diferente vida útil (recuerde el ejemplo del ca{7ÍlUlO 11) G. c) y e) 7 Sí, por ejemplo -100 = 00 La TIR es -25% 0. í\).

lu, d)

Resolución de los problemas

1.a) VAN al 10% TIR

Nueva planta

Mano de obra intensiva

50,14

15,54

28,30%

29,84%

A r E N D ic tA - R espuestas a P r e g untas y P ro blem as

6D

b)

fs-

C l!,

-Nueva piania —« —Mano de obra Intensiva Tasa de corle

Nueva planta

5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

09,62 50,14 27,59 13,70 4,54 -1,84 -6,50 -10,03 -12,79 -15,01

Mano de obra Intensiva 27,39 15,54 8,78 4,61 1,86 -0,05 -1,45 -2.51 -3,34 -4,00

c) El valor de las lasas de reinversión no modifican los resultados obte­ nidos por el VAN con las mismas tasas; piense que en el VAN ia lasa de corte utilizada está "presa”. Si planteamos la reinversión con una tasa más alta, luego esta tasa es utilizada para actualizar el valor futuro obtenido, volviendo a obtener el mismo VAN que hubiéramos obtenido calculándo­ lo directam ente.

'«S

5 ^

iU ,

2. a)

Proyecto A B

Período recupero -3 -3,5

VANal 10%

TDl

$ 1.976,97 $ 2.907,87

19,86% 13,20%

■

m

b) Si los proyectos son independientes y tienen riesgo similar (por eso el VAN es calculado en ambos casos con el diez por ciento) ambos proyec-

m .]

oí 4

G u !lle r a \ o L ó p e z D u m r a u f

tos deberían ser aceptados, siempre que no existan restricciones de capital, En el caso de existir restricciones de capital y plantearse la exclusión, el pro­ yecto B sena aceptado a la tasa requerida del 10%. Sin embargo, note como para rendimientos apenas superiores al diez por ciento, la decisión cambiaria drásticamente para elegir el proyecto A. Esta situación ilustra el cuidado que debe tenerse de elegir directamente a partir del dato que proporciona el cál­ culo directo del VAN con una sola tasa de corte.

-V A N A ------- VANB

3. Inversión A: -t52+48 = 100 precisa $48 del segundo período 48/63 = 0,75 años o sea que tarda 1,76 años. Inversión B: 4 1 155+4 = lüO precisa$4 del tercer periodo 4/110 = 0,035 o sea 2.03 años, Desde el punto de vista del periodo de recupero de la inversión, la in­ versión B iio sena aceptada. L'ero el Período de Recupero, entre otras co­ sas, no tiene en cuenta el valoi tiempo del dinero. Cuando éste es tenido en cuenta, la TIR de h es mayor que la de A (38,29% versus 38.04%) En el próximo punto se calcula c! VAN.

4. V.AN A = 573,18 VAN B = 583.96

5. Sí sanemos ípie al menos la inversión se recupera, el VAN en el peor de los casos debe ser -l.OOO.OOO + 0 + 0 + 0 +0 +0 + 1.000.000 Si k - 15% el peor V.AN es - 1.000.000 +

I ívwy fyin , = - 5 0 2 823 ^6

(U 5 )’ 6. El flu)o de efectivo Igualando las vidas en 12 años seria:

A P fN D iC í A • RíSPUfSTAS A pR fC U N T A S Y pR Q flt £m a S

i‘iuyu;tu

a

1 iiñú

-lOUO

4 años

-lOÜO

6 años

-lUÚU

1 2 3 200 200 200 U 0 0 ü 0 0

B 9 200 200 0 600 Ú 0 0 0

4

5

6

7

200

200

200

200

600

0

Ú

0

0

1000

6J5

10

11

200

200

1200

0

Ü J60Ü

O

0 2000

Si los tres proyectos los expresamos en una vida común para 12 años, queda;

Proyecio I año

TIR

VANal 10%

■niuvi

20 .00 %

$681.37

14.90%

años

12.50%

$ 199,52

11,68%

t) años

1220 %

$201.74

11,70%

4

7. Teniendo en cuenta que Jos costos totales nncluyendo la depreciacídn, que luego debe volver a sumarse en el flujo de efectivo) suman $225.681, y que la TIH debe ser del 12,7%, podemos usar la runcidn Solver de Excel para decerminar el valor de los ingresos anuales que generen di­ cha TIR teniendo en cuenta los costos totales y la tasa de impuestos dt-J 30%, Para ello, diseñamos un flujo de fondos y colocamos un ingreso ten­ tativo de 300.000; con dicho ingreso, la TIR debería ser del 5,24%. Luego vamos al menú Herramientas, pulsamos Solver (si no está instalada debe­ rá hacerlo con complementos y luego tildar herramientas para análisis)y definimos como celda objetivo aquella donde aparece la TIH del 5.24%; luego donde aparece la ventana "cambiando las celdas" leferenciamos la tila donde aparecen los ingresos y ñnaJmenie, como la taiifa debe ser igual todos los años, en la ventana "sujeto a las siguientes restricciones" establecem os igualdades entre todos los ingresos.

3D: 000.0 i 3ÜOOOOÍ)

. Ingitioi

C atioi l u i i t t ____

S ' R*tg«»ao

iZi

,»> p Q 0.p _ 300000.0

éd97».0

.....1 X 9Í32.4 ______________________________ ^fjpSOJ f ( 3 6 M 2 . < ‘

4 S 0«|M«ciacMn 6

300 000 0

f\ C u; ______I_M879.0i bag/aoj...jB.9a79 5._M

CgtlBi il< niéniMutiMnlft _______

s * K n ^ t ia i

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13S90?.«

11. JZ ! " __ ~ i_?ÍÍ‘Mri/4JIÉl¿J_74

“I ^ 4 512

I 3 5 9 0 3 a { i36 9 0 2 -I 159 I3á 0 !~ 1S3

1*I36 502.< I

!

Í3B-9(« 4 159 1390 T I » I g . i ? !

136902 4 1691390

Finalmente, pulsamos "Resolver" y deberíamos ver una ventana similar a la que sigue donde los ingresos por año suman 394.409,5. Para dennir la larifa, solamente debemos dividir esta canUdad por la cantidad de viviendas: 394.409,5/200.000= 1.97. Inórelo*____ _______

___35U « 9 J

g < g S ,5 .

3M «IB j

391 409,5

CMin M

_______ _ ftMutM* (n(«t t» C^l*f

j

(i* Itmáa*

¡tm rtf»

«ISO ' ■^rÍr£Sí:rZSk'S;^Z¿7CSi'.

[jijjw p«* *1wt»jíí«T»B_____ irjiH

'

' '

'

'

'

VANA

VANO

VANC

VAND

VANC+D

$2,W9.55

$805.41

$894,82

S2.ll6t,40

$2.956.22

Por la regia de! VAN, si leiiemos $8.000 para invertir, lo haríamos en el provecto combinado C+D. Utilizando el criterio del índice de Rentabili­ dad, D parece la alternativa más conveniente: A

D

C

D

C+D

VA Rujo fondos

10.650

8.805

4-095

6.061

10-956

(iiversión

B.OOO

8.000

4.oon

4 000

8.000

1,33

1.10

1,22

1,52

1,37

lud Retuaí)ílidad

Sin embargo, como se observa a continuaciún. el índice de rentabili­ dad no es un buen criterio seleccionador cuando tenemos proyectos mu­ tuamente excluventes. Calculado el índice de rentabiltdad mcreinental. se (*bsrn'a claranrentc que D no es mejor proyecto Calculado un índice de lentabibdad incremcnlal, por ejemplo el que corresponde a A-D es 1,15, de ínrma tal que A sería mejor proyecto que Ü. Si hemos de gastar $8.000, In alternativa de invertir en $4.000 en C y $4.000 en D es la más conve­ niente.

El VAN de ambos proyectos es exactamente igual, aunque también resulta claro que el proyecto A es más sensible a los cambios en la tasa de interés, debido a qué sus flujos más altos se próducert más tarde Desde el punto de vista del "riesgo tasa" el proyecto A es rná.s riesgoso Observe que la TIRM es igual ya que supone reinversión a la tasa de oportunidad del 10%, que es la que igual el VAN de ambos proyectos. El dinero vuelve tam-

ArENDíCE A - lUSrUfSTAi A rREGUNTA5 Y PROSUMA.'» bién más tarde, corno lo expresa el discountedpay'back. La introducción del riesgo tasa en el análisis, nos obliga a realizar consideraciones sobre el futuro de la tasa de interés; si la tasa baja, el VAN del proyecto A resultaría ex-post, más alto que el VAN del proyecto B, y se daría lo contrarío si la tasa aumenta. Observe que por la TIR hubiéramos elegido el proyecto B. Planteado en tér­ minos de las tasas de reinversión, llegarnos a conclusiones parecidas. Sí la tasa baja al 5% al final del primer año, los retornos que mostrarían los proyec­ tos al final del año 2, serían: Proyecto A; LOGO (l,05)+2.Ü00=3.Ü50 Proyecto B: 1.909 (1.05)+1.000=3.004 Y sí la lasa sube al 20%: Proyecto A: 1.000 U,20)+2.000 = 3.2OO Proyecto B; 1.909 (l,20j+1.00Ü = 3.291

10. Se calcula primero el VAN de cada proyecto con la tasa de opt)rtunidad del 15% VAN A =: 25.150,15 VAN B = 25.168.92 Luego se calcula la anualidad equivalente para el VAN de cada proyecto. Anualidad equivalente del proyecto A: 25.i5{),15 a{l,10,0.15)-*=:S.011,22 Anualidad equivalente del proyecto 8:25.168,92 a(l,Í1.0.15)'*=4 809.00 Asumiendo que se realizarán continuos reemplazas al final de la vida de cada proyecto hasta el infinito, podemos considerar el valoi piesente de la perpetuidad de cada anualidad equivalente: 5,011,22 / 0,15= 33.408,13 4.809,00 í 0,15= 32.060,00 El cálculo de la anualidad equivalente supone que los proyectos pue­ den ser renovados permanentemente dando forma a cash flows iniiniios. donde el cash flow es la anuaJídad equivalente. Considerando vida infiTUta, el proyecto A es el mejor.

o>{>

C u tL iE R .v io L ó p e z D u M f u u f

i L El proyecío C es superior al proyecto A y también al proyecto B, como lo nuiesira laTIR incremental y también laTIRM incremental.

Proyecto

Añü U

AAo 1

Año 2

A

-100

W

64

-15¿)

ÍJO

\AN a]

10%

IR

TIR

TI RAI

S

$ 59.91

1,60

42%

28.6%

90

93

$76,07

1,51

37%

26.1%

1.46 1.28

34%

24.9%

25%

19,6%

20%

17.1%

-175

lOú

lüO

lio

5 81,20

C-A

-75

36

36

C-B

i -25

)Ü

10

45 17

$21.29 S5.13

1.21

C apítulo 11: O bugaciones o bonos Respuestas a las preguntas 1. Es lo mismo que la TIR, aunque a veces se reserva esa expresión so­ lamente para los bonos del upo ‘'bullet". 2 Esto es debido a la tasa que se fija en el prospecto de emisión, que aornialm ente contem pla condiciones de mercado. 3. En la Bolsa de Comercio de Buenos Aires es igual a la cotización BCBA (que se expresa coinu si el bono no hubiera tenido amortizaciones) multi­ plicado ptjf su valor residual expresado en porcentaje. En el caso del MAE i,e. expresan cada 100 de valor nominal y no cada 100 de valor residual como en la BCBA. 4. Por ganancia de capital (o pérdida) entendemos la diferencia entre e! precio del bono en un momento con respecto al precio que pagamos al comprarlo; la ganancia de intereses es el cupón de interés que paga el bono. Ambos también pueden expresarse en porcentajes, en cuyo caso hablaliiüs de! capital gain yield o del current yield. 5. Las obligaciones que pagan cupones semestrales se venderían a un precio mas alto que las que pagan cupones anuales, ya que pem iiien co­ brar la misma cantidad de dinero en menos tiempo. 6. El liesgo precio / tasa se refiere a la caída en el precio que experi­ menta el bono cuando sube la casa de interés. El riesgo de reinversión se refiere a la posibilidad de que cuando tengamos que reinvertir los cupo­ nes que cob ram o s, las tasas de interés sean m enores, con lo cual la reinversion se producirá a tasas de interés más bajas. 7. El bono cupón cero. También es el que tiene mayor riesgo precio / tasa de interés?

APCNOICI A ' rit^PUtSTAS A P r EGUNTaS y PllOSlíMAS

6 1 ^ " )

8 . a.VerUuJeto. b, Palsü. c. Verdadero. 9. La diferencia entre el rendim iento que paga un bono en dólares aigentino y el reridirnienio de un bono de la tesorería de USA. co n v en ci­ m ien to equivalente, 10. En el caso del bono com|)rado bajo la par, a medida que nos acer­ cam os al vencim iento, ios flujos futuros sufren un m enor descuento y c o ­ m ienzan a acercarse al valor par. En el caso del bono com prado sobre la par, tam bién es un argumento de valor presente: a medida que van q u e­ dando m enos cupones con rendim ientos superiores a la TIR exigida, el precio vuelve a acercarse a su valor par. I

Uesolucldn de los problem as 1. Suponga que usted com pró .bonos del tipo b u llet con 3 ven cim ien ­ tos diferentes. 5, lü y 30 años, todos con cupones sem estrales del 5%. a) 5 años: 5 a ( l ,10.0.06)+100 x (1.06)-‘° = 92,64 10 años: 5a{ 1,20,0.06)+ 100 x (1.06) 2“ = 88,53 30 años: 5 a (l,60,0.061 + 100 x (1.06) " = 83.84 b) El de 30 años, por el efecto del interés com puesto, principalm enie en el último cupón que contiene el pago del capital. c) El de 5 años, que tiene que reinvertir 5 veces a lo largo de un periovlu de 30 años. dj A un precio m enor ya que es preferible recibir la mitad del inieie^ antes, corno es el caso del cupón sem estral. Puede com probarse si se des­ cuentan los flujos de efectivo dcl bono con cupón ani^ J a una tasa anua) efectiva equivalente al 5% sem estral. 2. (100/99,3Q)^‘^^*-l= 0,3296 El rendim iento es correcto 3. La sig u ien te tabla co n tie n e in form ació n so b re tres o b lig acion es em itidas por la com pañía Altos Hornos con un valor nom inal de SlüOU. H oyes 1/1/2002. Años para el vencimiento

Cupón

Vencimiento

5%

2007

5

a%

2017

15

12 5/8

2027

25

G

uiu frm o

L ó n z D u m iu u f

a. Esto es porque Altos Hornos coloca la lasa del cupón reflejando las lasas de interés al momento de la emisión. b 800.2 (5 años); 1000 (15 años); 1493,7 (25 años). c. 25a(U0.0.0392)+10ü0 x (l.O392) '“=084.36 (Los (lujos de efectivo del bono se descuentan con la tasa semestral efectiva equivalente al 0% anual: 1.00)'’*-! = 0,0392. ti La misma en ambos casos (8%) pues es la tasa de rendimiento anual implícita en su precio y coincide con la tasa nominal anual. En cambio, si el cupón fuera semestral, la tasa efecii\’a anual sería del 8%, pero la nomi­ nal anual sería igual a 0.0392 x 2 = 0,0781. e 900,6. La ganancia de capital sería igual a (900,6 - 880,2)/880,2 = U,0232. f. La ganancia de capital más el currení yicid; 0,0231 + 50/900,6 = 0,079. g. Si los intereses y las ganancias de capital están gravados, seria prefe­ rible el bono de 5 años, pues el impuesto a las ganancias se aplicaría sobre un menor monto de intereses. Además, como cotiza al descuento, las ga­ nancias de capital pueden diferirse liasia el momento en que se realicen, con lo cual los impuestos serían menores en v-alor presente. n Ll bono de 25 años. 4 a) A no

F lu jo d e c a ja

Factor capitalización

capiLalIzado

1

V ^or

5

1,216

6 .0 7 7 5 3 1 2 5

2

5

1.158

5,7118125

3

5

1,103

5.5125

1

5

1,050

5 .2 5

5

105

URM =

127,63

88.02

1.000

105

Total

1 2 7 .0 2 8 1 5 6

- 1 = Ü,Ü771

1>) LaTlRM hubiera sido del 8,2%. rl En el caso de la reinversión al 5%. laTIRM habría sido menor a laTlIl del 8%. lo contrario sigue si se hubiera reinvertido al 10%.

5. a) 865.49 (la tasa efectiva semestral utilizada para el descuento de lliijos es la equivalente del 10,25% anual: (1,1025)°-* >1=5% La ecuación para riblener el precio de! bono es;

APENDICE A * R espuestas

a

Preguntas

y

Problemas

621

15 años (30 semestres): P = LÜOO x 0,oa25/2aU3Q,ü.05)-»-1.000 x

(1.05) “-855.49

b) 12,71%, que es la TIR que resulta de descontar el flujo de fondos de 5 arios. Incluyendo el picdo de rescate en el quinto año. c) Como el bono llene un cupón del 8,25%, no será rescatado si las lasas perm anecen en el 10%. Los inversores reconocen esto, y valúan el bono suponiendo que no será rescatado. Si pensaran lo contrario, antici­ parían una lasa del 12.71% y ofrecerían en consecuencia un precio menor. El rescate anticipado incrementa el riesgo de reinversíón, y si la tasa cae mucho por debajo del 8,25% (debe tenerse en cuenta los costos de emi­ sión) seguramente sería rescatado. De esta forma, la TIR del bono es lige­ ramente mayor que un bono similar sin cláusula de rescate anticipado. 6. Observe que el valor presente de los cash flows, descontados con la TIR, igualan el precio del título. Esta es una comprobación impórtenle, y además confeccionar la planilla de este modo permite direccionai otros cálculos (Duration, análisis de sensibilidad, etc.). r e c r ía liqu ioación Intelo p erio d o d e rem a

30/04/05

T a s a p sr lo o o e n cu rso (Lll T a s a p ro y e cia d a (ü B O R )

Pwíodo' 0 6

P re cio

íeeiul';*i‘iJídsfcllpflrt

20/10/05

• AftióflBadátl' Valonresldual

183

0

100

7

30/10/05 30/04/05

182

1 2 ,5

8 7 .5

9

30/10/06 30m 4A )7

183 182

12.5

6 7 ,5 75

8 10 11 12 13 14 15

0

0

30/10/07

183

30/04/08

183 183

1 2 .5

75 6 2 ,5

182 183

1 2 .5

6 2 .5 50

30/10/08 30/04.'D9 30/10rT39

16 17

30A)4/10 30/10/10 30/04/11

ia

30/10/11

19 20 21

30/04/12 30/10/12 30/04/13

0

0

1B2

1 2 .5

133 162 183

12 ,5

0 0

183 183

12.5

182

1 2 .5

0

50 3 7 .5 3 7 ,5 25 25 12,5 1 2 ,5

0

•--'henlá.-f 1 .5 0 4 1 1 1 ,4 9 5 8 9

1J1B10

Ceahbow v C M ^ i i s a ' • 80 .9 0 0 0 1 .5 0 4 1 1 3 .9 9 5 9

1 ,5 0 1 3 .3 5

1 ,3161

*,20

1 .3 0 8 9 0 1 ,1 2 8 0 8

1 3 .8 0 8 9 1 .1 2 9 1

H .9 8 •>.93

1 ,1 2 8 0 8 0 .9 4 0 0 7

1 3 .6 2 8 1 0 .9 4 0 1

l o .r e •».71

0 .9 3 4 9 3 0 ,7 5 2 0 5 0 ,7 4 7 9 5 0 ,5 6 4 0 4

13.4.149 0 .7 5 2 1 1 3 .2 4 7 9

»>.65 «'.52

0 .5 6 4 0 1 3 ,0 5 1 0 0 ,3 7 6 0

»».3S

1 2 .8 7 6 0 0 ,1 8 8 0

«'.97

0 ,5 5 0 9 6 0 .3 7 6 0 3 0 ,3 7 5 0 3 0 ,1 8 8 0 1 0 ,1 6 6 9 9

1 2 .6 8 7 0

",2i «MO «25 8 3 ,9 0

7, Fecha llquJOación Inicio poriodo de reñía Tasa periodo en curso (Li Tasa proyocíBda (LOOR) Precio ’DloifcüpOn , - Amortliacien Va(tjflrsiiíu*l, '■ >■flema 28/1 (VD5 30/01/06

-3 9 ,6 163

40

40

0 .7 9 7 3 8

4 0 .7 9 7 4

3 9 .6 0 3 9 .6 0

622

GuiufRMO López f>i;íwtRAUf

39.60 40.39 40.29 40 19 40 09 40,00 39,90 39.61 39 72 39 62 39,53 39,44 39 36

4S 5% 61* 7% dv 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

9 F e c ft ó liq u O á c io n

Tin ^í¿ií>fl.e3%

>•^U^^^gaAHlPS

Iniciú p tjrío o o Od r e m a

0 3 /0 2106

T a s a p e f íc u o e n C urso

Tdsa prcyucidoa (LIBOR) '

Precio

O ia s c ^ p o n

> A m o n u n c id o

V a Jo rre s id u B J

^ B c n la '

28/1a-0£ 03/08/t)d 0J02/ÚC oacia/'0£ oa/02/Oc,

oa-oaA>c 03rU2/0> oa-oao/ 03/02/0t C3/08/0Ü

üa/02/0b 03/0a0;; 03/02/111 03-08/111 03/02/1 I 03/08/1 . 03/02/1 c 03/08/T,;

-77.5 100

0.00000

0.00

0 00

O

2.23825 2.20175 1,76659 t.92653 1.67868 1.65132 1,39890 1,38370 1,11912 1.10086 0.83934 0.82566 0 55956 0,55044 0,27978 027674

0.00 0.00

0.00 0,00

164

0

ICO 87.5 87.5 75 75 62.5 62.5

102

12.5

so

184

0

161

12.5

184 18!

12.5

164

0

184 181

12.5

184 181

12.5

0

184

0

181

12.5

181

12.5

184

0

50 37.5 37.5 25 25 12.5 12.5

182

12.5

0

0

1.76559 14,42653 1.67868 14.15132 1.39690 13.88370 1.11912 13,60068 0,83934 13,32556 0 55956 13,05044 0.2797B 12.77674

10, yqlPiesfMiHros

4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 13% 14% 15%

Eaaax!

0

6,26% 6.77% 7,20% 7,79% 8,31% e.82*/i 9,35% 9,67% 10,40% 10,93% 11.46% 12,00%

116.91 120,73 124,69 128,78 133,01 137,39 141.91 146.59 151.42 156.42 161,58 166,92

1.73 13,54 1.51 12.23 1.16

11,04 0,65 9.96 0.59 e.se

C,36

6.09 0 17 7,29 77,50

Al t N O lC t A - lUsi U t S l A S A C

a p íi

ulü

12: V üüM iuauj

P R ÍC U N T A S Y P n O ftlfM A S

de

T

ít u l o s

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R en ta

623

F íia

Respuestas a los preguntas 1. La vida promedio ponderada del bono y una medida de su volariiídad precio / tasa. 2. Cuanto m enor es el cupón, mayor es la Duration. 3. Debido a que la Duration Modificada es una aproximación linea), y la función precio / rasa de inrerés es convexa. Para cambios pequeños en la lasa de Inierés la Duration Modificada es una buena aproximación. 4. La TIR y la Duration: cuando aum enta la TIR requerida de un bono, cae su convexity y viceversa. A niayor Duration, mayor convexiry y vice­ versa. 5. G eneralm ente cuando los Inversores perciben que el país entrara en cesación de pagos 6- No, no siem pre. Por ejernfilo el lector podría probar alargando el plazo de v e n cim ien to en un b on o bulJet y notará que ai p rin cip io la duration aum enta y para plazos largos com ienza a descender. Esto es de­ bido a que el peso relativo de los valores presentes de los cu p ones más lejanos tiende a disminuir cuando aum enta el plazo de vencim iento, 7. Al principio baja y luego se estabiliza. Esto también se debe ai peso relativo de los valores presentes de los cupones más lejanos que tiende a dism inuir cuando aum enta el plazo de vencimiento. 8. Para inm unizar una cartera de bonos, la duration de la cartera (que es el promedio ponderado de los bonos que la com ponen) debe ser la fe­ cha de la liquidación de ésta. Si se com binan adecuadam ente los bono5, cualquiera sea el cam bio en la tasa de inierés, el valor final de la reinversÍQii de cupones se com pensa con los efectos que genera en el valor presenté de los cupones a cobrar después de la duration. 9. Con una cartera de bonos puede lograse una mayor convexidad para el valor de la cartera en la fecha de la duration, y por lo tanto, una mayoi protección para los cam bios en las tasas de interés.

R e s o lu c ió n d e lo s p r o b le n io s l. l.as fórmulas de Duration > Duration Modificada requieren el cáJeulo del rendim iento del título. Siendo la TIR del bono de 11,63% semeslraL

G u iu ¿ !iM o J^ ^

Ó24

I., O u ra n o n y la D u ra .lo n Modlflcada se obtenidas en forma analítica y también con a

Plazo

Fechas

Flujos

-95

lai

10/02/02 lO/Ofl/02

0.89229916

10/00/03

10 10 10

21,5240031

lOfOZfí»

lio

283,31040-1

io/(É'/a3

365 546 730

j’ FF rtl+ T lR )'

16,0407441

1,73570658 1,55402616

Por flx,' Excel TIR semestral Duranon Modified duration j

.

11,63% 1,7332726

semestral

1,5432908

"años"

"años"

I

2Si el rendimiento exigido aumenta al 15%, se reducen tamo la Duration como la Duration Modificada, En el menú herramientas de Excel puede utilizar la función "Buscar Objetivo” Y definiendo cl3 para el valor de la tasa con e¡ valor de 0,15 y luego cambiando la celda c6 donde figura el precio, la duration y la duration modificada se calculan automáticamente entregando los valores de: Duration 1,7162289 y Duration Modificada 1,4779151, 'S 'jP id B ír m iJ - fjB irtd fl N 'I

3[ í j __J m ■z_“36s

J

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I I ______________fi rñ'

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730 ! - | » ■■ ------------ 1 , - IOQ2«M ------------------------

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I « .m .t K .I ¿ _

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iW déufMriWj _ 'r

1 t.«3390B

H't

3. {100/98.561)-’^'»'*”- U 0,0294 (100/99.289)»”'» "- I = 0.0290 (100/99.356)^*"'*’ - 1 = 0,0262

ín w liV i {

— ^ --------

-------

- ------

i..''-:/'

A

p ín d ic e a

-

RtspUEJTAs

A

Preguntas

y

PRorvLEMAs

4. (lÜ0/99,30)^«í'®-1=0,3296.

Qjpdn semestral

n R anual (nominal}

Precio

6 meses

0

10%

96,6184

12 meses

0

9%

92,4556

18 meses

8%

8%

90,6255

24 meses

9%

10%

98.2270

Fecha

Tasa contadlo para un semestre; 100/96,6184 - 1 = 3,5% Tasa contado para dos semestres (1 año): (100/92,4556) - 1 = 8,10% Tasa contado del segundo semestre: (I.OSIG)®-® -1 = 4%

La tasa futura del segundo semestre puede despejarse a partir de las tasas contado; (1,035) X (l+íp^) = 1,0816 ( =

4,5%)

Tasa contado para tres semestres; despejamos i, del flujo de efectivo del bono de 18 meses:

108

8

98,6255 = -

(1,035) (1,0816) (l + i,)-

Por despeje, i^ = 8.95%. La tasa futura del tercer semestre puede despejarse a partir de las lasas contado: (1,0816) X (l+ípj) = (1,0895)^ (ip3 = 19,6%)

Tasa contado del cuarta semestre: despejamos del bono de 24 meses:

98.2270 = —

,

-

(l-f 0,035) (1.0816)

Por despeje,

=10,04%.

.

del flujo de ef'íctivt»

(1 + O.OS95)*

.

(T+ fj^

Glmiuíoho LóPtz DuMR.uif La lasa tucura del cuano semestre puede despejarse a partir de las tasas contado:

(1,QS16) K (UÍISKI+I f,) = (1.1004^ (i„ = 13.5%)

6.

Los siguíenies resultados se calculan utilizando las funciones de Excel - a p ic a l t PHraUda ^ MotLOiinuion

JMQF/excp) - -PiEfip*^

A

S -54,27

7,06610

6,6057frl752

6,605704752 S 1.210.71

B

S -60,92

6,7535

6,311718253

6,311718253 S 1.421,41

7. Tomando como fecha de liquidación el 21-05-96, los resultados mues­ tran que lá duración al principio aumenca y luego disminuye, y en el caso del cupón, la duración primero disminuye y luego se escabiliza.

Duración para diferentes maruricy en años - M m p/vtó^'T-fí í .Fpcfip <

5 10

15 20

25 30 35 40 45 50 53 60 65 70 75 60 85 90 95 100

20/05/01 19/U5/06 18/C6/11 16/05/16 15/05/21 14/05/2G 13/05/31 n/05/36 10/05/41 09/05/46 U0/f6/51

(Ai/05/56 C6/U5/61 14/05/66 Ü.1/05/71 01/05/76 30/W/81 29/M/86 28/W/91 26/ai/96

’Pivaiion 4,51 7,48 8,01 3,03 8,77 8,43 8.14 7,94 7,81 7.73 7.63 7.66 7,6-1 7.63 7.62 7.61 7.61 7.61 7.60 7.60

Duraiion {Bferenies cupones Cupdii " - PwpUqií ■' 0% 21.00 1% 13,12 2% 10,79 3% 9,67 4% 9,01 5% 8,58 6% 827 7% 8,05 a%

IJS l

9% lOTo 11% 12% 13% 14% 15% 16% J7% 16% 19%

7.73 7.61 7,52 7,44 7,37 7.31 7,26 7,21 7.17 7,14 7.10

.

8. El bono A, que para una TIR del 15%, entregaría $2244,69. Los bo­ nos 0 y C entregarían $1.961,89 y $ 1.651,12 respectivamente.

A l ÍN n iL T í A

-

A

P r IGUNTaS y

^ 'K O B L t ^ ^ A i

Tasas de interés

CaIJÍTULO 13: iNTRODUCaÚN A LAS OpaONES Respuestas a las preguntas 1. Porque al aunremar la volatilidad mayor es la probabilidad de que tamo un pui como un cali se sitúen en la zona "in üie money** 2. Por dos motivos: 1) el efecto del valor tiempo del dinero en el precio de ejercicio y 2) si se piensa mantener la acción durante el plazo que dura la opción, no ejercitándola antes del vencimiento nos cubrimos de posi­ bles bajas en ei precio de la acción. En cambio, por el efecto del valor tiem ­ po del dinero, si conviene ejercitar la opcion de venta, y obtener inm edia­ tamente el efectivo. 3. Cuando el precio de la acción se encuentra por encima del precio de ejercicio. 4 Représenla el coeficiente de cobertura, que se calcula ntedianie d ratiü de la variación del [irecio de la opción dividido por la variación de precios de la acción. Recueide que delta no permanece constanie a lo lar go del plazo de vencimiento 5. Dividiendo los períodos de tiempo en siibperíodos cada vez m eno­ res. De esa fomia, con el método binomial se arriba a resultados parecidos a los obtenidos mediante Black Acholes.

Resolución de los problemas Resuelva los siguientes problemas luílizando el método binomial:

C ^ ; -

L\ ■'-

Íiín 11111111^^*1 _«feiaVi-A.---------------’..:i^^’

••-•

\..^^^..-i-

.

. t*^>r-..*^--i '

.

.

.

. .

j ; f í ' ÍM.

GuíiLfRMO Lorfz DuMRMlf_

02S ^

_ (!-/) - ^ w-í/

- o 1? 14 1 .5 -0 ,8 0

y J -p = 0 . 6 7 8 5

cu .p -^ c d .jl- p ) _ 6 X 0,3214 + 0 _ j gg (I + cO

'

(1.025;»

2. Precios al final de los 3 meses: siruación ascendente: 106 situación descendente: 95. Precios al finaJ de los 6 meses: situación ascendente: 112,36 situación descendente: 90.25 Precio situación ascendente-descendeníe: 100,70. p = íl l ¿ W

M -d

,l £ i2 5 z í2 5 1 .0 6 -Ü .9 5

= 0.5 6 8

y 1-p = 0,4318. Valor de la opción ai final del primer año:

cu.p + c d . ( l ~ p) " =—

11,36 ,T 0 ,5 6 8 + 0

( ¡;;/ ) - =—

¡ m

,

—

V alor de la o p c ió n e n el rn o / iie n to c e r o :

_ cu p - h n l ( l - p) _ 6 .3 7 3 j : 0 ,3 6 8 -f O

(í\ -^ )

^

(1.0! 25)

I00.70

rut * ojon ój -100 70)

95 THit« 4.753

F

.^.;.:^ .-...^-iaL..», '

ó p e z

iiiTII I*

Dumoauí

rmiUmos acciones por las cuales luego pagaremos dlwdendos, tiene más sentido comparar ios dividendos con el precio que obtuvimos por ellas (juc comparar los dividendos con el patrimonio neto, que está afectado por rodas las convenciones contables. (>. En utilizar porcentajes preestablecidos de deuda y acciones para el nnanciamiento de la firma. S e su p o n e que esta mezcla es la óptima. 7. Simplemente debido al mayor riesgo. Resoluciones de los problemas 1. k = 0.05 + (0,15-0,05) X 0,6 = 0,11 k = 0,05 T (0,15-0,05) X 1.0 = 0,15 igual aJ rendimiento de mercado, ya que beta= 1. 2. a) rp = (rm-rf) = (0,12-0.05) = 0,07 b) k = 0,05 + (0,12-0.05) X 1.5 = 0,155 c) Sí. está sobrevaluada. Debería ofrecer un rendimiento del 12%, ya qu“ tiene el mismo riesgo que el mercado. Con un beta = 1, k = 0.05 + (0,12-0,05) X1 = 0,12 d) SUL

M5

.1. rf (0.15-xf)0,9 = 0.14 y rf = 0,05 Pendiente: 0,09/beta = 0.09/0,90 = 0,10.

el)

P - PpM

seguramente el beta será menor a uno, ya que al

estar poco diversificada no seguirá perfectamente a los rendimientos de! mercado. 5. La respuesta correcta es b). Lo que importa es el beta del proyecto, que no podría superar 1,5, en cuyo caso el rendimiento esperado del pro­ yecto superaría el 20%.

6,

^

= ^2 =

nn 0,2

= 1.35

7. El primer paso debe ser siempre desapalancar el beta de la compa­ rable debido a las diferencias en la estructura de capital: 0 ,8 4

Bu = 7 ------------ ^---------------5 =

0,731

V lu e g o re a p a la n c a m o s e l b e ta d e l

[1 + 0 . 2 4 ( 1 - 0 . 3 8 ]

activo con la relación de endeudamiento de Dulces del Plata para obtener el beta comparable:

^

= 0.73 l[j + 0,40(1 - 0,35]= 0.921

8. 0,09 X (1-0,35) X 0,45+0.18 x 0,55 = 12,53%. 9. Primero calculamos ke con la fórmula del CAPM: ke = 0,06^0,07x1, r 0,158 y luego WACC = 0.100 x (1-0.35) x 0.50+0,158 x 0,50 = 11,15%.

^ V,

1

I

I

I

i -

i

- o %

Apéndice B

F ó r a a u u s s\As U t í l i z a d a s d e M a t e m á t ic a F in a n c ie r a

la

En este apéndice se resumen las fórmulas más utilizadas de la mate­ mática financiera cjorrespundleiues a los capítulos 2 a 8. No se describen las fórmulas que aparecen en los demás capítulos debido a que sus resulta­ dos no son producto en general de una fórmula específica, sino que re­ quieren en general de cálculos indirectos o iteraciones, como es el caso del VAN o de la TIR, o de la tasa implícita en los préstamos con intereses directos, etcétera.

Capítulo 2: Interés simpií Monto y fórmulas derivadas

Capital inicial C o=

(I-I-J.n)

Tasa da interés Cn - Co 1 = ----------Cú.n

Nliniero de períodos Cn - Co n = ----------Co.i

interés acumulado /tO, n )= Co.i.n

Valor actual con lasa de interés

Valor actual

0 ■»■/./])

Tasa da inlerés

Ndmerodc períodos

Cn-V

Cn-V n — ----------

K./1

V.i

Desalentó aciamtiuiiú

Ao.„i

G u iiL E fu » o L ó p e z D u m u a u e

f-K '

Valor actual con tasa de descuento

■J'asa de Interés

Valor actual

V = C n il-d n )

Descuento acumulado

Número de períodos

, Cn - V a = ---------

C n -V 11 = --------V .d

Cn.ri

Catítulo 3; Ir^ERÉs compuesio Monto V fórmulas derivadas

Capital iidciat

Tasa de Interés

Co = ---------

i - n f^ - 1 VCo

(1 + /)"

Interés acumulado

Niuncro de periodos liiO i-ln Co

/(Glri)= C a l l - n T - C o

In (H i)

Valor actual con tasa de descuento

j

V alor

V alor

j

actu al

n o m in a l

1

l =/V(I-r/)"

rV=-----(i-c^r

C

a p ít u l o

T a sa d e d e s c u e n to

1

j i_ _ _ _ _ _ _

T ie m p o

In V - In A' n=---------

4 : T a sa s

in(l-d)

1 / V' 1£/=1 - —

d e iptter és

Debido al su uso extendido de las lasas de interés vencidas se propor­ cionan las fórmulas estandarizadas para evitar confusiones en los cálcu­ los

A r f N D iC E B - F ó r m u l a s

más

U

641

t iu z a d a s

Tasas de interés vencidas. EquivaJencias r

lasa efecUva a partir Ue tasa nominal

lasa nominal a partir de lasa efectiva

/ -[i+

365/ p

^

1

. L , = l a - n ) '’" - lj3 ó 3 / / .

Tasa equivalente

Tasa real

l + ;t

Donde: t = número de días que contiene el período para el cual se taJcula la tasa efectiva p = número de días que contiene el subperíodo de capitaJizadón Tasas de descuento. Equivalencias

Tasa efectiv’a a partir de tasa nominal

Tasa nomina! a partir de tasa efectiva

tí = J - fí

l'asa equivalente

i.m

ni

1 Capítulo 6. Rentas temporarias

Renta lemporaita inmediata de pagos vencidos

l^(l.;i,/) = C x

(1 + í)’ i

Renta temporaria inmediata de pagos adelantados

K(0,/i.í) = C x (1 + í)x ■•— (l + iT i

' a t U . i H A l v I L J Í ‘ k~

Ue)iu ilueitOa , - {1 r I r - J ) ,

Imposícmn de pago?» venauo;»

Imnoiicion üe pago:, «tuelantudos H('o. Mt) = r x c ; - / ) x

C A P n iiL o

7

R

e n t a s

— i

p e iP E r u A S

yh

l .n t a s

v a r ia b l e s

a) Remas perpemas con cuotas constantes Reniu ¡rrn,íaiau¡ de fhi^os uencuws V (l^j)zz-

t>, C o n c u f i a s

varianles

t v( 1 «> (, g t =.

I

—

Rcriuii len.porarui con cuocui carminen en proK^esion f^eumenu.n

1‘/ v i l n , i , ^ } = C X —

n -g ) I (i

0 J

‘ -g tientas ¡nmediatn tenw ornna cor. ruoias vana/dei en progresión anrm eiica

i

I

I

R\

Vr(l 'i.«,/? = I r T — I

P

Af’rNl>U.Í li - K^Kiv^UIaí Mí j IJTH.'¿a I>aí

CAj»m/iiJ H. SisTtMtó i>kAwojriizacion dl nrásiAM» Vulor ilei presiuiiio

(I-^/)'’ i

( urna C - V' -

íi-r-/)"i

(\rir-\

Numero de periodos

In

c C-Vi )

In (1 -r /)

Saldo del presumo al final de un periodo _ (l-r / ) '" '" ’ - !

Vp = C

(It , ) - ' " i

Sisiema aleuiaii

SaUio clet f/reiiamo al final Je un p e n o ilc p \

V ( p ) = (II - p ) ^ — n Cuí/ía C p — ~ [l T

- /' t 11]

Apéndice C

R e v is ió n

de álgebra

Revisión de operaciones con números reales ‘i-

Factor común Un polinomio que tiene un factor o varios factores comunes en todos sus términos, se puede escribir como el producto de el o los factores co­ munes por un paréntesis dentro del cual figura el polinomio fomiado por los cocientes de cada término del polinomio original por el factor o facto­ res comunes. Sea la siguiente expresión: 16 a4 b2 + 8 x a2 b.

■

Los factores comunes son 2, a y b, entonces 2 a b (8 o3 b + 4

4

a)

■y

Note que en el paréntesis se escribe el polinomio tal que multiplicado por el factor común nos torelve a dar el polinomio original. Sea en cálculo financiero una expresión del tipo

i I

ri +íJ + (1+iF + ü+iP Podemos sacar como factor común (1+i) y quedaría (1+iL 11+ {) + i} + (Ui)^

^#5

Pasaje de términos

Si un número está sumando en un miembro pasa al otro miembro res­ tando y viceversa. SI un número está en un miembro multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. Podemos demostrar e'itas rela­ ciones despejando la x de la siguiente expresión: 5 x - 3 = 2

0 ^—

-

5x=2+3 2 + 3

,

A' = ------- = l

I i ái

Ü

G lJ I U lK M i

c j

Ijp fz D

w MK--.lU

fcn calculo nnanciero f i común V11 - r i ) Ln

--- = í i - r , l LJ \

Cn

y Miialnienre

. = ------- 1

Co

Com ún d enom inador

a

[f _ a r h

2

L

c

Q "^9 ~

c

3 _ 2 - 3 _ 5

~ 9

9

De la misma manera, pueden separarse los dos íemunos del numera­ dor en dos fracciones, resperarido ei denom inador a - t? _ ü

-

h

c

2 -1-3 _ 2

c

9

9

3 _ 5 9

^

En cálculo financiero, a menudo det>eremos sacar común denominajo r lie exp.esiaiie.s raics corno n r l)

1

(I - 1

11 • ; r . i

u >. i".i

IN

- I 1

r ./

i Taiiibier. puede ser iml separar los lerrnmos del numerador para pI der oü iene. una sola ‘ ii" en la expresión 11“ . )" - 1

Hecofd

ir lam oien

(li-f)"

1

1

||t i )" . í

/

que en niafemancas,

1

ÍL = £ ^ — £ h r J

C •

Dé Ai Gí s Ka

l'or «;|empio, 8 4

4

-J

Esie npo du operación cornUn en los despejes que se realizan en Jas rónnuius de reiUdá, como veremos en el capliuiu currespondience

Disiríbuiiva Propiedad dlsiribuuva de iu muUiplicacion con respecic a la suma ne números enteros. El producic de una suma indicada de números enteros por otro mime ro entero es igual a la suma de los proaucios de cada sumando por dicho num ero a ic-rd) = a.c + a.d y con respecío a la suma de números enteros a. (c-d) = a c - a.d 1. SUMA. Para sumar dos números con SIGNOS IGUALES, se suma el valor rium énco y se antepone el signo común. Ej.

7

iy 5 j

= t [ 7 t 5 ) = -hl2

- 6 -r (-9) = - fo + ^ ) = • 15 Para sumar dos números con SIGNOS DIFERENTES, se resta el valur numérico menor deí valor numérico mavor. El signo que se aniejione es el del nuineio de mayor vaior riumericc. Ej

I- 13 1- (-5) = 1- ( 13 - 5 1 = f 8 + *1 I I-IH) = - ( U i - 4 ) = - 14

2. RESl'A Para Restar un numero de otro, se cambia el signo y se siiiiut Ej

i 4 - ( - 6 ) = 14 + 6 = 2 0

-fi - (-9) = - 0 + S = 1 -11- (7) = - b ’T ( 7) = - 15

3. MllI.TIPÜCACION V DIVISION: Se nuiliiplica o dm de el valor m. m e n e o y se am tp o n e el signo u» si lus dos mimeius I IENEN IGUAc Sn.»NO, En canioio, se am eponc el signo H si los dos números I'IENEN SIGNO í í JST iN l u

G uilLEaM O LOFEZ DUMILMir

4n

Ti

(+3) {res3r un factor de capiiaJización con tasa de desatento en vez de usar una tasa de interés vencida. Por ejemplo, a una lasa de descuento del 20% •e'^ernos que le cories|)onde una lasa de interés vencida del 25% (1-0.20) >^¡.25

h ) Ile sta de c x fio n e n te i' 1.a aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base, al igual que en la suma de exponentes 6

*

í

o

c :c

=c

6-4

c :c - c

5 -< )

=c

2

= c

-4

Por ejemplo, (l + 0*' ------ TT “ (l + i)

')*

o también

APÍNOICÉ C ' lUviSION DE AlGEfcl'A

64?

i

c) Multiplicación d e exponentes:

-2r3

^^10

En cálculo financiero, por comodidad expondremos como (I.IO) * lo que podríamos haber expuesto como 1/1,10 ya que:

1 Uü d)

= (U 0 )‘

Exponenie cero: El resultado es siempre UNO. a“ = l

f e .:r e)

Exponenie negativo: SigniHca invertir la base. .2 25

Por ejemplo, es muy común que al factor de actualización 1/11+i). por comodidad en la escritura lo expresemos en alguna ecuación como ( l + !) ■ '=

f)

‘ U+i)

Pasaje de exponentes a l o n o m iem bro

Cuando los exponentes pasan al otro miembro mantienen el signo pero se invierten. Por ejemplo, el exponente -2 de la primera expresión pasa al otro miembro como -1/2:

(l-< í,n ,,) = U + 0

g) E xponenie fr a ccio n a rio : Implica escribir la base como una opera­ ción de radicación en la cual el índice es el denominador del exponente.

GwKttRMu LOf-U OuNtR-M-T

read: diferencia de precio al cual los bancos compraat un activo y el precio al cual lo venden. Tasa de descuento: tasa que se aplica sobre el valor nominal del docu­ mento para calcular un descuento. Tasa efectiva: representa el costo o rendimiento efectivo de una op e­ ración. Generalmente representa una lasa compuesta, que contiene inte­ rés de interés. Tasa equivalente; representa siempre el equivalente de otra tasa efec­ tiva. expresada en otro momento de tiempo. Tasa ü b o r: tasa del jiara préstamos iníerbancarios de Londres Sus si­ glas significan “London liiterbanking Offer Rale". Tasa Nominal: tasa de contrato de una operación. Valor terminal: el valor de un proyecto de inversión al final de su vida Para proyectos con vidas muy largas, el valor terminal se refiere al valoi presente del Rujo de efeclivü más allá del período de evaiiiación explícito V^arlanza: la suma de los cuadrados de las desviaciones con resj>ecin ii los retornos esperados, ponderados por su probabilidad de ocuri encía VV.4CC (weightcd average cost of capital): Costo [iromeilio ponderadu del capital. Yield 10 Matiiriiy; Rentabilidad al vencimiento. Se utiliza para lefeiírse a la tasa interna de lentabilidad de una obligación.