Guillermo Demetrio Curiel Díaz - Dinámica estructural simplificada

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA Guillermo Demetrio Curiel Díaz Ordaz Ingeniero Civil

C O N T E N I D O PREFACIO CAPITULO 1 CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ESTRUCTURAL 1.1 Introducción

1

1.2 Análisis Modal

2

1.3 Obtención de los Modos de Vibración

3

1.4 Propiedades de los Modos de Vibración

6

1.5 Respuesta Estructural (Análisis Espectral)

8

1.6 Respuesta Estructural (Análisis por Histograma de Aceleración en apoyos) 12 1.7 Respuesta Estructural (Análisis por Histograma de Fuerza aplicado en cualquier punto de la estructura) 15 1.8 Conclusiones

16

CAPITULO 2 CONCEPTOS BASICOS DE ANALISIS MATRICIAL 2.1 Introducción

17

2.2 Formación de la Matriz de Rigidez 2.3 Formación de la Matriz de Masa 2.4 Condensación de Matrices

18 22

23

2.5 Formación de la matriz de amortiguamiento 2.6 Análisis Estático 2.7 Conclusiones

24

25 26

CAPITULO 3 MODELO DE ESTRUCTURAS Introducción EJEMPLO 1

27 27 Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo de vigas y masas agrupadas.

EJEMPLO 2

31 Análisis sísmico estático de edificio.

EJEMPLO 3

32

Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo de vigas y masas agrupadas, considerando el área de cortante en las columnas. EJEMPLO 4

34 Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo de vigas y masas agrupadas, considerando la interacción suelo estructura mediante resortes.

EJEMPLO 5

36 Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo de vigas y masas agrupada, considerando la interacción suelo estructura mediante resortes y considerando la inercia rotacional de la masa.

EJEMPLO 6

39 Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo marco de acero con conexiones de momento.

EJEMPLO 7

43 Análisis Modal y Espectral de edificio, modelo marco de acero con conexiones a cortante.

EJEMPLO 8

46 Análisis Modal y Espectral del marco de acero del ejemplo 6 considerándolo como un modelo de vigas y masas agrupadas.

EJEMPLO 9

48 Análisis estático del marco de acero del ejemplo 6 aplicando los resultados del análisis espectral del ejemplo 8.

EJEMPLO 10

50 Análisis del marco de acero del ejemplo 6 aplicando un acelerograma en la base para obtener el acelerograma de respuesta y el espectro de respuesta correspondiente.

EJEMPLO 11

55 Análisis Modal y Espectral de un edificio aplicando el espectro de respuesta vertical para verificar la capacidad de las columnas.

EJEMPLO 12

62 Análisis Modal de un edificio aplicando un histograma de fuerza en un punto de la estructura para obtener la respuesta en los demás puntos de la estructura.

CAPITULO 4 PROGRAMA DE COMPUTADORA (DINAFACIL)

4.1 Introducción

71

4.2 Esquema del Programa DINAFACIL 4.3 Entrada de Datos

73

75

4.4 Instrucciones para usar el Programa DINAFACIL 4.5 Listado del Programa DINAFACIL MODULO ENTRADA.FOR

85

MODULO CONDENSA.FOR MODULO INVMAT.FOR MODULO MODOS.FOR MODULO JACOBI.FOR MODULO RESPONDE.FOR

92 95 96 104 107

MODULO CURESP.FOR

112

MODULO CARGAS.FOR

115

MODULO RESHIST.FOR

119

MODULO LAPLACE.FOR

124

MODULO RESFUER.FOR

124

MODULO AMORTIGU.FOR

128

APENDICE A Algebra Matricial Simplificada

REFERENCIAS

85

82

PREFACIO El análisis dinámico de estructuras ha adquirido una herramienta poderosa con la aparición de las computadoras personales PC, anteriormente los ingenieros que tenían acceso a las grandes computadoras MAIN FRAME podían realizar análisis dinámico de estructuras sin dificultad, sin embargo, estos programas son como cajas negras en donde el ingeniero desconocía que ocurría durante el proceso de análisis por computadora. La presente obra esta enfocada para aquellos ingenieros que quieren comprender la metodología del análisis dinámico de estructuras desde el punto de vista teórico y desde el punto de vista practico del uso de programas de computadora. Cabe mencionar que las herramientas matemáticas para hacer análisis dinámico de estructuras ya existían desde el siglo pasado, sin embargo, por la falta de tecnología computacional no fue posible realizar estos análisis antes de la aparición de las computadoras. Se presenta en esta obra los conceptos básicos de análisis dinámico y de análisis matricial de estructuras acompañados de programas de computadora y ejemplos de diseño aplicando los conceptos de varios reglamentos de construcción para que el ingeniero adquiera fácilmente la sensibilidad del análisis y diseño de estructuras. El libro esta dividido en cuatro capítulos, en el primero se desarrollan los conceptos básicos de la Dinámica Estructural enfocado en el análisis modal, se empieza el estudio con el concepto de modos de vibración para sistemas de varios grados de libertad, se determinan las relaciones entre los EIGENVALUES y EIGENVECTORS, se desarrolla el concepto de respuesta estructural aplicando al diseño por Espectro de Respuesta, Histograma de Aceleración en el apoyo y Histograma de Fuerza en cualquier punto de la estructura. En el capitulo dos se desarrolla los conceptos básicos del análisis estructural por medio de matrices, se determina la matriz de rigidez, la matriz de masa, la condensación de matrices, y el concepto de amortiguamiento modal. En el capitulo tres se desarrollan los conceptos para hacer matemáticos de estructuras y se muestran varios ejemplos prácticos.

modelos

En el cuarto capitulo se incluye el programa de computadora DINAFACIL para realizar análisis estáticos y dinámicos de estructuras. Guillermo Demetrio Curiel Díaz Ordaz

Dedicado a: Mi Familia: Koko, Alejandro y Francisco Mis Padres y Hermanos A mis amigos y compañeros de Comisión Federal de Electricidad

CAPITULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 1.1 INTRODUCCIÓN En este capitulo se describen los conceptos básicos de la Dinámica Estructural. Las estructuras pueden ser representadas mediante un modelo matemático construido con elementos finitos que nos representan las vigas, columnas, losas y todos los elementos estructurales. Las propiedades elásticas e expresarse en forma de matriz.

inerciales

de

los

elementos

finitos

pueden

Estas matrices que representan las propiedades de cada elemento pueden ser combinadas siguiendo las reglas derivadas de la Teoría de la Elasticidad para determinar las propiedades estáticas y dinámicas de la estructura en su conjunto. Las cargas dinámicas que pueden ocurrir en una estructura pueden representarse mediante histogramas de fuerza, aceleración o desplazamiento, también se pueden representar mediante espectros de respuesta, en el caso del sismo por lo general los reglamentos de construcción incluyen el Espectro de Respuesta de Diseño el cual representa con un margen de seguridad razonable, todos los terremotos que pueden ocurrir en la zona donde es aplicable el reglamento. La mayoría de las estructuras son diseñadas para que los esfuerzos en sus elementos estén dentro del rango elástico. El análisis dinámico puede realizarse mediante la integración directa de la ecuación de movimiento o mediante la transformación de esa ecuación a su forma modal, en este libro trataremos la segunda forma porque es el método preferido para realizar análisis dinámicos. El análisis modal se describe en el punto 1.2 y en el punto 1.3 se describe la metodología para obtener los valores característicos (EIGENVALUES) y las formas modales.(EIGENVECTORS) de un modelo matemático. En el punto 1.4 se describen las propiedades de los EIGENVALUES y EIGENVECTOR. En los puntos 1.5 a 1.7 se describe la metodología para obtener la respuesta de la estructura ante cargas dinámicas aplicando un Espectro de Respuesta (ANALISIS ESPECTRAL), un acelerograma en la base de la estructura y un histograma de fuerza en cualquier punto de la estructura. El análisis espectral nos sirve para determinar las aceleraciones y desplazamientos máximos de la estructura, así como los valores máximos de los elementos mecánicos (fuerza axial, cortante y momentos para el caso de vigas) de los miembros estructurales Con estos elementos mecánicos máximos se diseña la estructura. El análisis por acelerograma nos sirve para obtener los acelerogramas de respuesta en cada punto de la estructura que deseamos, en este caso se aplica un acelerograma en la base de la estructura y se obtienen acelerogramas de respuesta, con estos se obtienen los espectros de respuesta para aplicarlos al diseño de equipos industriales que sean requeridos para que permanezcan funcionando durante y después de un sismo. El análisis aplicando un histograma de fuerza sirve en el caso de que dentro de una estructura exista un equipo que produzca fuerzas dinámicas y sea necesario

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

2

determinar los esfuerzos en la estructura. También es aplicable al diseño por viento si se conoce el histograma de fuerza de viento.

1.2 ANÁLISIS MODAL La ecuación del movimiento dinámico de una estructura se representa por:

[ M ] { X" } + [ C ] { X' } + [ K ] { X } = { F(t) }

(1.1 )

en donde:

[ M ]

=

Matriz de masa

[ C ]

=

Matriz de amortiguamiento

[ K ]

=

Matriz de rigidez

{ X" }

=

Vector de aceleración

{ X' }

=

Vector de velocidad

{ X

=

Vector de desplazamiento

=

Vector de fuerza transitoria

}

{ f(t) }

Una matriz es un arreglo de números de “M” filas por “N” columnas que nos representan la rigidez, masa y amortiguamiento de una estructura, en el capitulo 2 se vera la forma para determinar esas matrices, por lo pronto para entender el análisis dinámico se deberá ver a las matrices como un conjunto de números, en el APENDICE “A” se muestra un resumen del álgebra matricial. Un vector es una matriz con una sola columna que representa la aceleración, velocidad, desplazamiento y fuerza aplicada a la estructura. La ecuación 1.1 se deriva del principio del trabajo virtual de los sistemas elásticos, ver referencia 1, solucionar esta ecuación significa resolver todos los problemas de dinámica estructural. La ecuación 1.1 puede ser solucionada en forma directa para una serie de incrementos de tiempo, sin embargo, es conveniente conocer las características de la estructura tales como la frecuencia natural y los modos de vibración porque nos muestran el comportamiento general de la estructura, además para solucionar la ecuación 1.1 directamente la fuerza transitoria debe estar definida en el dominio del tiempo (histograma de fuerza) y como vimos anteriormente para el caso del diseño sísmico no se aplica un solo evento para el diseño, sino que se aplica una envolvente de eventos representados en un Espectro de Respuesta que represente los sismos críticos que se pueden presentar en el sitio en donde se localizara la estructura por analizar. Por lo tanto, para solucionar la ecuación 1.1 es conveniente usar el método del análisis modal el cual consiste en transformar la ecuación 1.1 a un nuevo sistema de coordenadas en la que cada grado de libertad de movimiento es representado por un modo de vibración el cual tiene una frecuencia asociada (EIGENVALUE) y una forma modal(EIGENVECTOR). Una vez obtenidos los EIGENVALUES y EIGENVECTORS se puede determinar la respuesta estructural para cada modo aplicando el Espectro de Respuesta, o bien, aplicando histogramas de fuerza o aceleración.

CAPITULO 1

3

Las limitaciones del análisis modal son que solamente puede ser usado dentro del rango elástico y que todas las fuerzas que se aplican a la estructura deben tener la misma variación en el tiempo. Para el análisis sísmico las limitaciones no representan ningún problema pues las estructuras son diseñadas dentro del rango elástico y el sismo se aplica en la base de la estructura. Para el caso de histogramas de fuerza es posible aplicar varias fuerzas a diferentes puntos de la estructura, pero la variación de las fuerzas en el tiempo debe ser la misma.

1.3 OBTENCIÓN DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN Los modos naturales de vibración de una estructura se definen como la vibración que ocurre si consideramos que no existe amortiguamiento y que la fuerza dinámica vale 0, este movimiento esta en función exclusivamente de la masa y rigidez de la estructura por lo que este concepto nos da importantes características de la estructura que nos servirán en el análisis modal, por lo tanto la ecuación 1.1 se transforma a:

[ M ] { X" } + [ K ] { X } = 0

(1.2 )

Debido a que la vibración libre es armónica, el desplazamiento puede escribirse como:

{ X } = { φ } e

i ω t

(1.3 )

en donde:

{ φ }

ωi

= Vector del desplazamiento modal del modo i (EIGENVECTOR) = frecuencia circular de oscilación del modo i (EIGENVALUE)

Otra forma de ver esto, es que en cada modo se puede desplazamiento, velocidad, y aceleración de la siguiente forma:

{ X' } = { φ } i ω e { X" } = { φ } i2

i ω t

ω2 e

determinar

el

VELOCIDAD

i ω t

ACELERACION

i2 = -1 sustituyendo la ecuación 1.3 en la ecuación 1.2 tenemos:

( -ω2 [ M ] + [ K ] ) { φ } = 0

(1.4 )

Esta es la ecuación del movimiento de un sistema sin amortiguamiento oscilando libremente, en este punto la ecuación del movimiento dinámico fue transformada a su forma modal. Si consideramos todas las frecuencias circulares de oscilación y todos los vectores de desplazamiento, la ecuación 1.4 se transforma a:

( [-Ω2 ] [ M ] + [ K ] ) [ Φ ] = 0 donde :

(1.5 )

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

4

[ Ω2] = Matriz Espectral, matriz diagonal que contiene todos los EIGENVALUES; un eigenvalue es el cuadrado de la frecuencia circular de un modo.

[ Φ ] = Matriz Modal, matriz que contiene todos los EIGENVECTORS, cada columna corresponde a un modo de vibración. En el año de 1846 K.G. Jacobi, ver referencias 2 y 3, presento un método iterativo para encontrar los valores característicos (EIGENVALUES) y los vectores correspondientes (EIGENVECTORS) de una matriz simétrica real. Para aplicar este método tenemos que hacer la siguiente transformación a la ecuación 1.5:

[ K ] [ Φ ] = [ M ] [ Φ ] [ Ω2] Si multiplicamos la parte izquierda de la ecuación 1.6 por anterior por supuesto equivale a [ I ] ) y la matriz [ M ½ ½ tenemos: su equivalencia formada por [ M ] [ M ]

(1.6 ) [ M ]-½ [ M ]½ ( lo ] la transformamos a

[ K ] [ M ]-½ [ M ]½ [ Φ ] = [ M ]½ [ M ]½ [ Φ ] [ Ω2] Si pasamos tenemos :

(1.7 )

[ M ]½ del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación 1.7

[ M ]-½ [ K ] [ M ]-½ [ M ]½ [ Φ ] = [ M ]½ [ Φ ] [ Ω2]

(1.8 )

ahora si definimos:

[ A ] = [ M ]-½ [ K ] [ M ]-½ [ V ] = [ M ]½ [ Φ ]

= matriz dinámica

(1.9 ) (1.10)

la ecuación 1.8 se transforma a:

[ A ] [ V ] = [ V ] [ Ω2] Ahora a la matriz dinámica la matriz espectral de la ecuación 1.10:

[ Ω

2

[ Φ ] = [ M ]-½ [ V ]

(1.11)

[ A ] se le aplica el método de Jacobi y obtenemos ] ; la matriz modal [ Φ ] la encontramos a partir (1.12)

Los EIGENVALUES tienen dos propiedades importantes que sirven para verificar la exactitud del método usado en su obtención, una de ellas es que la sumatoria de todos los EIGENVALUES es igual a la sumatoria de los elementos de la diagonal de la matriz dinámica [ A ], y la segunda propiedad es que el producto de todos los EIGENVALUES es igual al determinante de la matriz dinámica [ A ]. Lo anterior resulta obvio porque la matriz [ A ] es una matriz diagonal y el determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal.

CAPITULO 1

5

El método de Jacobi consiste básicamente en transformar la matriz dinámica [ A ] en una matriz diagonal por medio de una matriz de transformación [ T ] aplicando la siguiente multiplicación sucesivamente :

[ A1 ] = [ T1 ]T [ A0 ] [ T1 ]

(1.13)

. . . . . . . . . . . . . . . [ Ai ] = [ Ti ]T [ Ai-1 ] [ Ti ] la matriz [ A0 ] es la matriz dinámica, la matriz [ Ai ] tiende a ser diagonal y contiene los EIGENVALUES, la matriz [ Ti ] contiene los EIGENVECTORS. La matriz [ T ] se forma de la siguiente manera: Se escoge un elemento aij fuera de la diagonal principal de la matriz [ A ] Se determina el ángulo θ mediante la formula siguiente:

Tan 2θ = 2 aij / ( aii - ajj )

(1.14)

El valor de los elementos de la matriz [ T ] serán en la diagonal principal 1 y fuera de la diagonal principal 0 excepto los elementos siguientes :

Tii = Tjj = cos θ

; Tij = -sen θ

; Tji = sen θ

Se procede a hacer las multiplicaciones sucesivas indicadas arriba hasta que los elementos fuera de la diagonal principal de la matriz [ A ] valgan 0. Debido a que las computadoras tienen una cantidad limitada de dígitos es imposible llegar a obtener un valor de cero en todos los elementos fuera de la diagonal principal, este concepto es critico en especial cuando en la matriz dinámica tenemos grandes diferencias de rigidez en la diagonal principal, como por ejemplo cuando la estructura se apoya en resortes, por lo que si la relación entre el valor mínimo de los elementos de la diagonal principal y el valor máximo de los elementos fuera de la diagonal principal no es lo suficientemente grande, digamos 1.0 E+08 , tenemos el peligro de obtener errores no imputables al método sino a la precisión indicada en el programa de computadora que usemos. Existen otros métodos para determinar los EIGENVALUES y EIGENVECTORS de una matriz simétrica real tales como el método de LANCZOS, el método de HOUSEHOLDER, el método de GUYAN. En este libro usaremos el método de Jacobi por su sencillez, la desventaja de este método es que se necesitan obtener todos los valores de los EIGENVALUES y EIGENVECTORS, cuando el problema por resolver es pequeño esto no importa mucho, pero cuando tenemos que resolver un problema grande es conveniente usar un método en donde se pueda resolver para los primeros modos de vibración que para el caso del análisis estructural son los de interés.

1.4 PROPIEDADES DE LOS MODOS DE VIBRACION Los conceptos mas importantes de los modos de vibración son: Masa Generalizada Rigidez Generalizada Factores de Participación Modos Normalizados

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

6

Ortogonalidad de los Modos Empezaremos por la Rigidez y Masa Generalizada. Considerando la ecuación 1.5 :

( [-Ω2] [ M ] + [ K ] ) [ Φ ] = 0 Si dividimos esta ecuación entre [ Ω2] tenemos :

[-Ω2] [ M ] [ Φ ] [ Ω2]-1 debido a que

+

[ K ] [ Φ ] [ Ω2]-1

=

0

[ Ω2] [ Ω2]-1 es igual a [ I ] tenemos:

[ K ] [ Φ ] [ Ω2]-1

- [ M ] [ Φ ]

La ecuación anterior se premultiplica por

[ Φ ]T [ K ] [ Φ ] [ Ω2]-1

-

= 0

(1.15)

[ Φ ]T y obtenemos :

[ Φ ]T [ M ] [ Φ ] = 0

ó lo que es lo mismo:

[ KG ]

[ Ω2]-1

=

[ MG ]

(1.16)

Donde [ KG ] se define como la matriz de rigidez generalizada y tiene la propiedad de ser matriz diagonal, [ MG ] se define como la matriz de masa generalizada y tiene la misma propiedad de ser matriz diagonal, por lo tanto la matriz de rigidez generalizada y la matriz de masa generalizada se obtiene mediante:

[ KG ] = [ Φ ]T [ K ] [ Φ ]

(1.17)

[ MG ] = [ Φ ]T [ M ] [ Φ ]

(1.18)

Los Factores de Participación representan la cantidad de masa que actúa en cada modo lo cual determina su importancia, se definen como:

[ Φ ]T [ M ] { FP } =

(1.19) [ MG ]

Un concepto importante es el Peso Modal el cual nos indica cuanto peso de la estructura participa en cada modo siendo mas explícito que el factor de participación, se define como:

{ PM } = [ MG ] * g * { FP2 }

(1.20)

donde g = aceleración de la gravedad. Estos valores nos indican además que proporción de la masa total de la estructura esta siendo excitada, lo cual nos sirve para verificar si estamos haciendo un análisis correcto. Los eigenvectors pueden ser normalizados, es decir, se trasforman los valores para cumplir con la siguiente relación:

CAPITULO 1

7

[ Φn ]T [ M ] [ Φn ] = [ I ]

(1.21)

Los EIGENVECTORS normalizados se deducen de la siguiente forma:

[ MG ] = [ Φ ]T

[ Φ ]

[ M ]

[ MG ]-½ y después postmultiplicamos por [ MG ]-½

Si premultiplicamos por tenemos:

[ I ] =

[ MG ]-½

Obviamente

[ MG ]-½

[ I ] =

[ MG ]-½

es la masa generalizada.

[ MG ]-½

[ MG ] X

[ MG ]-½

[ Φ ]T

[ Φn ] = [ Φ ]

[ MG ]-½

[ I ] = [ Φn ]T

[ M ]

pero tenemos que :

es igual a

[ M ]

[ Φ ]

[ I ] por lo tanto: [ MG ]-½ por lo que:

[ Φn ]

Como se muestra cada EIGENVECTOR se divide entre la raíz cuadrada de la masa generalizada correspondiente para obtener la matriz [ Φn ]. Cuando los EIGENVECTORS se normalizan de acuerdo a la ecuación 1.21 se dice que están normalizados con respecto a la masa unitaria. Como consecuencia la siguiente ecuación es valida:

[ Φn ]T

[ K ]

[ Φn ]

=

[ Ω2 ]

(1.22)

Nótese la diferencia entre los eigenvectors normalizados y los no normalizados, ver ecuaciones 1.17, 1.18, 1.21 y 1.22. Como consecuencia tenemos que los factores de participación también pueden ser definidos como sigue

[ Φ ]T [ M ] { FP } =

= [ Φn ]T [ M ]

(1.23)

[ MG ] Otra propiedad importante de los EIGENVECTORS es la Ortogonalidad de los modos de vibración o EIGENVECTORS la cual consiste en que siempre se cumple la relación:

{ φni }T

[ M ]

{ φnj }

=

0

(1.24)

{ φni }T

[ K ]

{ φnj }

=

0

(1.25)

siempre que i sea diferente de j . Un concepto interesante que se deriva del hecho de la ortogonalidad de los modos de vibración es al examinar la ecuación 1.17 de la rigidez generalizada, si esta ecuación la escribimos como :

1/2 [ KG ]

=

1/2

[ Φ ]T

[ K ]

[ Φ ]

(1.26)

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

8

[ K ] [ Φ ] representa las fuerzas elásticas generalizadas de los T [ K ] [ Φ ] representa el trabajo hecho por modos [ Φ ] y 1/2 [ Φ ]

Tenemos que

esas fuerzas generalizadas. Como [ KG ] es una matriz diagonal, la ecuación 1.26 puede ser interpretada como el principio de que el trabajo de las fuerzas elásticas generalizadas en un modo actuando sobre el desplazamiento en otro modo es igual a cero, es decir, solamente cuando las fuerzas elásticas generalizadas actúan sobre el desplazamiento de su propio modo el trabajo no es igual a cero.

1.5 RESPUESTA ESTRUCTURAL (ANALISIS ESPECTRAL) La respuesta estructural se obtendrá de acuerdo a la forma de aplicar la carga dinámica la cual puede ser mediante espectros de respuesta; histogramas de aceleración, fuerza o desplazamiento; funciones senoidales; métodos aleatorios , etc., en este libro trataremos las primeras tres formas. Para el caso del análisis sísmico, el método preferido para obtener el diseño de una estructura es mediante el Espectro de Respuesta porque esta función representa todos los movimientos telúricos que se pueden presentarse en la región en donde se construirá la estructura dentro de un periodo de retorno razonable. Los reglamentos de construcción especifican el Espectro de Respuesta aplicable a una región determinada. El espectro de respuesta se define como una gráfica de la máxima respuesta de un oscilador a la aceleración del suelo, graficada en función de la frecuencia natural y el amortiguamiento del oscilador, por lo que el espectro de respuesta de diseño es una envolvente de la máxima aceleración con su correspondiente frecuencia que puede ocurrir en una región determinada, por ejemplo de acuerdo a la referencia 4, el espectro de respuesta de diseño para la zona sísmica “ B “ en la República Mexicana se muestra en la figura 1.1

FIGURA 1.1 El amortiguamiento dependerá del tipo de materiales empleados en la construcción y en el tipo estructuración de acuerdo a la referencia 4, en donde se define el factor Q. Para obtener el espectro de respuesta de aceleración definiremos la ecuación del movimiento de un oscilador de un solo grado de libertad:

m ü + c ù + k u = -m üg donde :

(1.27)

CAPITULO 1

9

üg = aceleración en la base del oscilador m k c u ú ü

= = = = = =

masa del oscilador rigidez del oscilador amortiguamiento del oscilador desplazamiento del oscilador velocidad del oscilador aceleración del oscilador

ω µ

k = m ω2

y c = 2mψµ donde : = frecuencia circular del oscilador = amortiguamiento del oscilador

si definimos

tenemos:

ü + 2ωµù + ω2 u = -üg

(1.28)

con esta ecuación podemos encontrar la aceleración, la velocidad y el desplazamiento del oscilador, y el espectro correspondiente es el máximo valor para cada frecuencia y amortiguamiento quedando definido como: SA = max  ü(t)  SV = max  ù(t)  SD = max  u(t)  En la referencia 5 se muestra un programa de computadora para obtener espectros de respuesta a partir de un acelerograma de entrada. El método propuesto en la referencia 5 supera al antiguo método de RUNGE-KUTTA para la obtención de espectros de respuesta Ver figura 1.2 en donde se muestra el proceso de la generación del espectro de respuesta.

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

10

FIGURA 1.2 Existe la relación siguiente entre los espectros de respuesta de aceleración, velocidad y desplazamiento:

SA = ω SV = ω2 SD

(1.29)

Ahora para una estructura de varios grados de libertad podemos aplicar el mismo principio porque cada modo esta definido por una frecuencia y la estructura es diseñada para resistir en el rango elástico la aceleración que se produce en el espectro de respuesta de diseño. Para esto tenemos que considerar el factor de participación, es decir cuanto de la estructura responde a un modo determinado, por lo tanto el desplazamiento de la estructura queda definido para cada modo como:

Dij = FPj * Φij * SAj/ωj2

(1.30)

Aij = FPj * Φij * Saj

(1.31)

donde :

Dij = desplazamiento del nodo i para el modo j. Aij = aceleración del nodo i para el modo j. FPj = factor de participación del modo j.

CAPITULO 1

11

Φij = eigenvector del modo j correspondiente al nodo i. SAj = aceleración espectral correspondiente al modo j. ωj = frecuencia circular del modo j. En la figura 1.3 se muestra la metodología empleada.

FIGURA 1.3 Después de obtener los desplazamientos y aceleraciones correspondientes a cada nodo y modo se obtienen los elementos mecánicos de los miembros estructurales que para el caso de vigas son la fuerza axial, cortante y momento para cada modo. Existen muchas formas de combinar la respuesta de cada modo, cada reglamento indica como hacerlo, la mas adecuada desde mi punto de vista es la que recomienda la NRC (NUCLEAR REGULATORY COMMISSION) de U.S.A. la cual indica que los modos cercanos, aquellos en que la diferencia entre frecuencias es menor al 10 % se deben de sumar en forma absoluta y los demás modos de acuerdo a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.

R = √ ( Σ ABS RC + RA2 ) donde :

R = respuesta estructural (desplazamiento, aceleración, fuerzas, etc. RC = respuesta de modos cercanos RA = respuesta de modos alejados

(1.32)

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

12

La respuesta espacial de las estructuras se puede obtener de acuerdo a la raíz cuadrada de la suma de la respuesta cuadrada obtenida en cada dirección ortogonal de la estructura. Los espectros de respuesta de diseño están definidos por lo general solo en la dirección horizontal, en reglamentos de construcción para edificios comunes; para el caso de instalaciones nucleares se define un espectro de diseño vertical.

1.6 RESPUESTA ESTRUCTURAL (ANÁLISIS POR HISTOGRAMA DE ACELERACIÓN EN APOYOS) Como vimos anteriormente, el diseño sísmico es conveniente realizarlo mediante un análisis espectral, sin embargo, algunas veces nos interesa determinar los Espectros de Respuesta para diferentes nodos de la estructura, pero esto no es posible mediante el análisis espectral, por lo que en esos casos se determina un acelerograma sintético cuyo Espectro de Respuesta es equivalente estadísticamente al Espectro de Respuesta de Diseño, El acelerograma sintético se genera mediante el método de Dickerson, ver figura 1.4.

FIGURA 1.4 El acelerograma sintético se aplica en los soporte de la estructura para obtener los histogramas de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para cada punto nodal requerido. La respuesta se obtiene para cada modo y posteriormente se realiza una suma algebraica de la respuesta para cada modo de vibración. La metodología de análisis se muestra a continuación: De la ecuación general (1.1) tenemos

[ M ] { X" } + [ C ] { X' } + [ K ] { X } = { F(t) } Ahora bien, para el caso de un sismo { F(t) } es igual a la masa de la estructura por la aceleración en el apoyo, por lo tanto:

{ F(t) } = - [ M ] a"(t)

(1.34)

quedando la ecuación como:

[ M ] { X" } + [ C ] { X' } + [ K ] { X } = -[ M ] a"(t)

(1.35)

CAPITULO 1

13

esta ecuación es similar a la ecuación 1.28 , pero ahora se consideran todos los grados de libertad, tomando en cuenta que:

{ X } = [ Φ ] { Y }

(1.36)

tenemos:

[ M ] [ Φ ] { Y" } + [ C ] [ Φ ] { Y' } + [ K ] [Φ ] { Y } = -[ M ] a"(t) se premultiplica por

(1.37)

[ Φ ]T y tenemos:

[ Φ ]T [ M ] [ Φ ] { Y" } + [ Φ ]T [ C ] [ Φ ] { Y' } + + [ Φ ]T [ K ] [ Φ ] { Y } =

- [ Φ ]T [ M ] a"(t)

(1.38)

de acuerdo a las ecuaciones 1.17 y 1.18 tenemos en la ecuación (1.38) la masa y rigidez generalizada, por lo tanto la ecuación (1.38) queda como:

[ MG ] { Y" } + [ Φ ]T [ C ] [ Φ ] { Y' } + [ KG ] { Y } = -[ Φ ]T [ M ] a"(t) El termino [ generalizado.

(1.39)

Φ ]T [ C ] [ Φ ] puede definirse como el amortiguamiento

El amortiguamiento critico para un sistema de un grado de libertad se define como:

Ccrit = 2 m w mientras que para cualquier valor menor el amortiguamiento se define como:

C = 2 v m w Donde v es la relación entre el amortiguamiento real y el amortiguamiento critico siendo este valor menor a 1 para que la estructura se pueda mover. El amortiguamiento generalizado también puede representarse por una fracción del amortiguamiento critico como sigue:

[ Φ ]T [ C ] [ Φ ] = 2 { V } [ MG ] [ Ω ]

(1.40)

quedando la ecuación (1.39) como sigue:

[ MG ] { Y" } + 2 { V } [ MG ] [Ω ] { Y' } + [ KG ] { Y } = -[ Φ ]T [ M ] a" ahora dividiendo la ecuación (1.41) entre

[ MG ] tenemos:

{ Y" } + 2 { V } [ Ω ] { Y' } + [Ω2 ] { Y } =

(1.41)

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

14

-[ Φ ]T [ M ] [ MG]-1 a"(t)

(1.42)

[Ω2 ] = [ KG ] [ MG ]-1 , ver ecuación 1.16 , además [ M ] [ MG ]-1 es igual a los factores de participación { FP },

debido a que

[ Φ ]T

ver ecuación 1.19, por lo tanto tenemos que la ecuación ( 1.42 ) queda como sigue:

{ Y" } + 2 { V } [ Ω ] { Y' } + [ Ω2 ] { Y } = -{ FP } a"(t)

(1.43)

las matrices [ Ω ] y [ Ω ] son diagonales por lo que se puede obtener la solución para cada modo mediante la transformada de Laplace. 2

La ecuación (1.43) tiene la forma siguiente:

Y"

+

P

Y'

+

Q

Y

=

f(x)

(1.44)

en donde:

P = 2 { V } [ Ω ] Q = [ Ω2 ] f(x) = - { FP } a"(t) La solución a la transformada de Laplace es como sigue, ver referencia 6. Se calculan varios parámetros que son :

λ = P/2 = { V } [ Ω ] D = P2 - 4Q

=

4 { V2 } [ Ω 2 ] - 4 [ Ω 2 ]

Debido a que el amortiguamiento V debe ser menor a 1 se concluye que el valor D siempre será menor a 0, por lo tanto la solución será del primer tipo, quedando la solución como sigue:

Y(t) = A1(x) Y0 + B1(x) Y'0 + F1(x)

(1.45)

Y'(t) = -Q B1(x) Y0 + ( A1(x) - P B1(x) ) Y'0 + F1'(x)

(1.46)

donde:

Y(t) = desplazamiento generalizado de la estructura Y'(t) = velocidad generalizada de la estructura A1(x) = e-λx ( cos wx + λ/w sen wx ) B1(x) = e-λx ( sen wx )/w F1(x) = int0x f(x-tao) B1(tao) dt

= (-{FP} a"(t) ) / Q (1-A1(x))

CAPITULO 1

15

La solución a la integral de F1(x) esta dada para el caso de carga mostrado en la figura 1.5, si hacemos que dx tienda a cero podemos solucionar cualquier tipo de problema.

FIGURA 1.5 La aceleración se encuentra derivando la función Y'(t). Una vez obtenido el desplazamiento, la velocidad y la aceleración generalizada de la estructura, se puede obtener los valores para cada nodo aplicando la ecuación (1.36).

1.7 RESPUESTA ESTRUCTURAL (ANÁLISIS POR HISTOGRAMA APLICADO EN CUALQUIER PUNTO DE LA ESTRUCTURA)

DE

FUERZA

Este tipo de análisis se aplica cuando tenemos sobre la estructura alguna carga dinámica como puede ser el viento o algún equipo pesado que produzca vibraciones, el análisis es muy similar al anterior, partimos también de la ecuación general (1.1)

[ M ] { X" } + [ C ] { X' } + [ K ] { X } = { F(t) } Ahora el termino { F(t) } no se modifica y siguiendo el mismo procedimiento del análisis anterior llegamos a la ecuación (1.41) la cual queda como sigue :

[ MG ] { Y" } + 2 { V } [ MG ] [Ω ] { Y' } + [ KG ] { Y } = [Φ]T ahora dividiendo la ecuación (1.47) entre

{ F(t) }

(1.47)

[ MG ] tenemos:

{ Y" } + 2 { V } [Ω ] { Y' } + [Ω2 ] { Y } = [Φ]T {F(t)} [MG]-1 el termino

[ Φ ]T

{ F(t) } se define como fuerza generalizada

(1.48)

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

16

Las matrices en la ecuación (1.48) son diagonales por lo que se puede aplicar la transformada de Laplace para obtener la respuesta generalizada El termino

f(x) de la ecuación 1.44 es igual a la fuerza generalizada.

El termino

F1(x) queda como sigue:

F1(x) = ∫0x f(x-τ) B1(τ) dt

=([Φ]T

{ F(t) } [MG]-1)/ Q (1-A1(x))

Esta solución es para el caso de carga mostrado en la figura 1.5, sin embargo, como se menciono anteriormente si dx tiende a cero podemos analizar cualquier tipo de carga que se nos presente. Como en el caso anterior una vez obtenido el desplazamiento, la velocidad y la aceleración generalizada de la estructura, se puede obtener los valores para cada nodo aplicando la ecuación (1.36). También a partir de los desplazamientos se mecánicos de los miembros de la estructura.

pueden

obtener

los

elementos

La respuesta de cada modo se suma algebraicamente para obtener la respuesta total.

1.8 CONCLUSIONES Como se puede apreciar con unos cuantos conceptos de dinámica estructural y álgebra matricial es posible hacer análisis dinámicos de estructuras. El análisis modal espectral nos sirve entonces para diseñar los elementos de la estructura. El análisis modal por acelerograma nos sirve para obtener acelerogramas de respuesta y con estos obtener espectros de respuesta para cada punto de la estructura que sea requerido. El análisis modal por histograma de fuerza nos sirve para obtener los elementos mecánicos de la estructura y verificar lo adecuado del sistema, también se puede obtener espectros de respuesta para cada punto nodal requerido. Los métodos simplificados indicados en los reglamentos de construcción en donde el análisis es a base de coeficientes tiene que ser sustituido por un análisis mas formal como el análisis modal. Este libro pretende impulsar esta forma de pensar en los Ingenieros.

CAPITULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS DE ANALISIS MATRICIAL 2.1 INTRODUCCIÓN El objetivo del análisis estructural es determinar los elementos mecánicos, (fuerzas y momentos) de los elementos estructurales para proceder al diseño de acuerdo al tipo de material usado y revisar la estabilidad general de la estructura. Por lo general los materiales estructurales mas frecuentemente usados son el concreto reforzado y el acero estructural, existen reglamentos aplicables al diseño de esos tipos de materiales siendo la entrada de datos las fuerzas y momentos obtenidos del análisis estructural. Los desplazamientos relativos entre los elementos estructurales deben de considerarse también en el diseño, porque si estos son muy grandes, entonces ya no se estaría cumpliendo con la teoría de elasticidad, la cual indica que las deformaciones en el material deben ser menores al limite elástico del mismo. Al analizar una estructura mediante un programa de computadora, este no nos avisara cuando el material a salido del rango elástico por la aplicación de una fuerza excesiva, a menos que sea un análisis en donde la fuerza se aplica a pasos y en cada paso se revisa el nivel de esfuerzos para cada elemento estructural dando aviso cuando se sobrepasa el limite elástico del material. También debe considerarse las cargas de pandeo de los elementos estructurales para no afectar la estabilidad general de la estructura. En caso de que la estructura este sujeta a cargas dinámicas se deberá determinar la aceleración máxima para diferentes partes de la estructura, así como los desplazamientos máximos, algunas veces es necesario determinar los histogramas de respuesta de aceleración y desplazamiento. Las estructuras pueden ser estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas, en las primeras los elementos mecánicos de la estructura pueden ser obtenidos en forma relativamente fácil aplicando las ecuaciones de la ESTATICA, para las estructuras estáticamente indeterminadas existen diversos métodos de análisis como los siguientes: Método de la Deformación Consistente Este método consiste en separar de la estructura indeterminada, una parte de la estructura que tenga condiciones de estructura estáticamente determinada, es decir se remueven condiciones de apoyo redundantes y estas se consideran como cargas actuando en la estructura estáticamente determinada Por lo tanto habrá tantas condiciones diferentes de la estructura como apoyos redundantes. Un sistema de N ecuaciones simultaneas, donde N es el numero de apoyos redundantes. Cuando las ecuaciones son resueltas y las fuerzas y momentos en los apoyos redundantes son determinadas, se regresara a colocar esas fuerzas y determinar las reacciones por medio de las ecuaciones de la estática. Método Deflexión-Pendiente En este método las conexiones entre elementos se consideran rígidas, por lo tanto cuando las vigas o marcos se deforman se considera que la conexión gira solo como conjunto, las rotaciones de las juntas son tratadas como incógnitas.

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

18

El momento final en una conexión puede ser expresado en función de la rotación. pero para satisfacer las condiciones de equilibrio la suma de los momentos en los extremos deberá ser cero Método de Distribución de Momentos (método de Cross ) Este método consiste esencialmente en resolver las ecuaciones simultaneas del método deflexion-pendiente por sucesivas aproximaciones En estos métodos de análisis no se considera la deformación por cortante en las vigas ni la deformación por carga axial, además cuando la estructura es de tamaño mediano se complica el análisis. Estos métodos de análisis ahora resultan anticuados en comparación con el método matricial de análisis de estructuras, sin embargo no hay que olvidar que grandes estructuras como edificios, puentes, etc. fueron diseñados con esos métodos. Método Matricial El método matricial consiste básicamente en representar cada elemento del modelo de la estructura mediante una matriz individual, posteriormente se transforma dicha matriz a coordenadas generales de la estructura para ensamblar la matriz de rigidez general. Una vez obtenida la matriz de rigidez podemos hacer transformaciones para obtener los desplazamientos generales de la estructura y a partir de estos obtener las fuerzas y momentos para cada elemento estructural, en los siguientes puntos veremos con detalle como se realiza esto.

2.2 FORMACION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ La matriz de rigidez del modelo matemático o matriz global que representa a toda la estructura se forma a partir de los elementos que constituyen ese modelo, es decir, por los elementos finitos, los cuales pueden ser vigas, placas, resortes, etc., cada uno de estos elementos tiene su propia matriz de rigidez que para el caso de las vigas actuando en el plano es: EA

-EA 0

0

L 12EI

6EI

0

0

-12EI

6EI

L3(1+R) -6EI

L2(1+R) (2-R)EI

L2(1+R)

L(1+R)

0

0

12EI

-6EI

L3(1+R) -6EI

L2(1+R) (4+R)EI

L2(1+R)

L(1+R)

0 L3(1+R) 6EI

L2(1+R) (4+R)EI

L2(1+R)

L(1+R)

0

0

-EA

EA 0

0

L

L -12EI

-6EI

0

0 L3(1+R) 6EI

L2(1+R) (2-R)EI

0 L2(1+R) Ver referencia 1. donde :

0 L

0 L(1+R)

CAPITULO 2

19

R = 12 EI / G Av L2

=

24(1+v) A/Av (Rg/L)2

E = modulo de elasticidad del material de la viga G = modulo de cortante A = área total de la viga Av = área de cortante I = inercia de la viga L = longitud de la viga V = relación de Poisson Rg = radio de giro del elemento =

√ I/A

Cuando la relación Rg/L es pequeña en comparación a la unidad se puede despreciar el valor de R en la matriz de rigidez, en los programas de computadora cuando el área de cortante del elemento es cero, no se considera el valor R porque no se puede dividir entre cero. La matriz de rigidez de una viga actuando en el espacio es de 12 X 12, ver referencia 1, y se muestra a continuación: 1

2

3

4

5

6

EA L

7

8

9

10

11

12

-EA L 12EIz

6EIz

-12EIz

6EIz

L3(1+Ry)

L2(1+Ry)

L3(1+Ry)

L2(1+Ry)

12EIy L3(1+Rz)

-6EIy

-12EIy

-6EIy

L2(1+Rz)

L3(1+Rz)

L2(1+Rz)

GJ L -6EIy

-GJ L (4+Rz)EIy L(1+Rz)

L2(1+Rz) 6EIz

6EIy (4+Ry)EIz L(1+Ry)

L2(1+Ry)

(2-Rz)EIy L(1+Rz)

L2(1+Rz)

-EA L

-6EIz

(2-Ry)EIz L(1+Ry)

L2(1+Ry) EA L

-12EIz

-6EIz

12EIz

-6EIz

L3(1+Ry)

L2(1+Ry)

L3(1+Ry)

L2(1+Ry)

-12EIy

6EIy

L3(1+Rz)

L2(1+Rz) -GJ L

-6EIy

L2(1+Rz) 6EIz

L2(1+Ry)

6EIy

12EIy L3(1+Rz)

L2(1+Rz) GJ L

(2-Rz)EIy L(1+Rz)

6EIy

L2(1+Rz) (2-Ry)EIz L(1+Ry)

(4+Rz)EIy L(1+Rz)

-6EIz

L2(1+Ry)

(4+Ry)EIz L(1+Ry)

Las columnas 1 y 7 se refieren a la deformación axial de la viga. Las columnas 4 y 10 se refieren a la deformación por torsión. Las columnas 2, 6, 8 y 12 se refieren al cortante y momento en el plano 1. Las columnas 3, 5, 9 y 11 se refieren al cortante y momento en el plano 2. De la matriz anterior se observa que tanto la parte correspondiente a la deformación por carga axial y a la deformación por torsión pueden ser desacopladas, es decir, que se pueden realizar análisis exclusivos para

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA deformación por carga axial y deformaciones por cortante y relacionadas.

deformación momento en

20 por un

cortante, en plano están

cambio las íntimamente

También están desacopladas las deformaciones por cortante y momento de cada plano ortogonal. Esto da pie a que en los modelos de edificios hechos de vigas y masas agrupadas se pueda separar el análisis sin afectar el resultado final. Por ejemplo la matriz de rigidez de una viga en la que se considere solo carga axial es:

EA

-EA

L -EA

L EA

L

L

Las placas y los elementos sólidos tienen su propia matriz, en este libro analizaremos únicamente los elementos viga. La matriz de rigidez anterior esta en coordenadas locales de la viga, por lo que es necesario introducir una matriz de giro para que la matriz de rigidez de la viga pueda ser transformada a coordenadas globales de la estructura por lo tanto, la matriz de giro esta dada por:

COS ø -SEN ø

SEN ø COS ø 1 COS ø -SEN ø

SEN ø COS ø 1

donde :

ø

= ángulo entre la coordenada X del modelo global y el eje de la viga.

La transformación de la matriz de la viga a coordenadas globales del modelo se realiza mediante la siguiente operación:

Kvg = λT Kv λ donde :

(2.1)

CAPITULO 2

21

Kvg = matriz de la viga en coordenadas globales Kv = matriz de viga en coordenadas locales

λ = matriz de giro Ahora se adiciona cada matriz Kvg a la matriz global de la estructura como se muestra en la figura 2.1, nótese que la matriz de la viga 8-10 se divide en cuatro partes para que los nodos de incidencia coincidan con los de la matriz general, en caso de que parte de dos matrices individuales coincidan en la misma posición sus valores son sumados algebraicamente.

FIGURA 2.1 Después se elimina la parte de la matriz global que corresponde a los nodos de los apoyos de la estructura, para el caso de la figura 2.1 los nodos de los apoyos son el 1 y el 2, por lo tanto todos los grados de libertad relacionados con esos nodos son eliminados como se muestra en la figura 2.2 Nótese que en la matriz de la figura 2.1 cada punto nodal tiene tres grados de libertad que son “X”, “Y” y el giro en “Z”

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

22

FIGURA 2.2 2.3 FORMACION DE LA MATRIZ DE MASA. La matriz de masa se forma de acuerdo a los grados de libertad dinámico que se requiera considerar, por lo general, los modelos matemáticos son del tipo de vigas y masas concentradas que para el caso de un edificio se concentra la masa en las losas de piso, de acuerdo a la distribución de la masa en la losa de piso se debe considerar la inercia rotacional de la masa, siendo esta la masa por la distancia al cuadrado. Lo anterior da como resultado una matriz diagonal, ver formación de la matriz de masa en la figura 2.3.

FIGURA 2.3 Cuando una estructura contiene una gran masa de agua, esta debe considerarse, para este caso especial la matriz de masa tendrá valores fuera de la diagonal principal.

CAPITULO 2

23

Para el caso de estructuras con masa distribuida como una chimenea o un silo también es posible considerar masas concentradas cada cierto tramo y hacer un análisis dinámico de vigas y masas concentradas. Como vimos anteriormente la matriz de rigidez esta relacionada con los nodos que se pueden mover en la estructura, y cada nodo para el caso de un modelo en el plano tiene tres grados de libertad, movimiento en “X”, movimiento en “Y” y giro alrededor de “Z” , en cambio la matriz de masa tiene valores solo en los nodos en donde se concentra la masa, por lo que el tamaño de la matriz de rigidez no coincide con el tamaño de la matriz de masa por lo que es necesario condensar o reducir la matriz de rigidez.

2.4 CONDENSACION DE MATRICES En el análisis dinámico de estructuras por lo general es conveniente únicamente considerar los grados de libertad dinámicos suficientes para determinar la respuesta estructural porque de lo contrario se requeriría mucho tiempo y memoria de maquina para resolver un problema determinado. Como habíamos visto antes el método de vigas y masas concentradas es el preferido para realizar análisis dinámicos de edificios comerciales e industriales. De acuerdo a la referencia 7, el numero de modos de vibración y por ende el numero de masas discretizadas debe ser suficiente para obtener los modos de vibración significantes. En caso de una estructura con masa distribuida el numero de grados de libertad dinámico en una dirección debe ser igual o al menos el doble del numero de modos significantes en esa dirección. Otro criterio, ver referencia 7, indica que el numero de masas discretizadas o grados de libertad dinámico es adecuado cuando el agregar grados de libertad dinámico no aumenta la respuesta en mas de un 10%. En forma alternativa, el numero de grados de libertad dinámico puede ser igual al doble del numero de modos con frecuencia menor a 33 cps. El procedimiento para reducir la matriz de rigidez, aplicado al caso de una carga estatica es el siguiente, ver referencia 1:

[ K ]

• • Px • • Py • Py = 0 Kyx

=

• • • • •

• • • • • = • • • • • ; Px

Kxx

Kxy

Kyx

Kyy

Kxx

Kxy

Kyx

Kyy

≠

• • • • • • • • • •

0

Ux + Kyy Uy = 0

Uy = -Kyy-1

Kyx

Ux

Px = Kxx Ux - Kxy Kyy-1 Kyx Ux Px = ( Kxx - Kxy Kyy-1 Kyx ) Ux

• • • • •

Ux Uy

• • • • •

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

24

donde la matriz condensada se define como :

Kc = Kxx - Kxy Kyy-1 Kyx Ver figura 2.4 en donde se ilustra el procedimiento anterior.

FIGURA 2.4 2.5 FORMACION DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO Una ventaja del análisis modal es que no es necesario determinar la matriz de amortiguamiento para obtener la respuesta estructural. Como se vio en la ecuación 1.40 la matriz de amortiguamiento se considera lineal, es decir, la matriz es diagonal, y al ser diagonal cada modo de vibración tiene su amortiguamiento propio. En el análisis espectral el amortiguamiento viene implícito en el espectro de respuesta, por lo que se deberá usar la curva que corresponda a cada amortiguamiento o en su caso interpolar entre las diferentes curvas En el análisis por acelerograma y por histograma de fuerza es necesario indicar el amortiguamiento para cada modo de vibración. El calculo del amortiguamiento modal dependerá del tipo de material usado en la estructura.

CAPITULO 2

25

Cuando la estructura es de un solo tipo de material el amortiguamiento es el mismo para todos los modos de vibración. Para el caso del reglamento de la referencia 4 el amortiguamiento se da por un factor Q que depende del material y del tipo de estructuración. En otro reglamentos como el de la referencia 7 se asigna un porcentaje de amortiguamiento para cada tipo de material como se muestra en la siguiente tabla: TIPO DE ESTRUCTURA ESTRUCTURAS DE ACERO SOLDADAS ESTRUCTURAS DE ACERO CONECTADAS CON TORNILLOS A FRICCION ESTRUCTURAS DE ACERO CONECTADAS CON TORNILLOS A APLASTAMIENTO ESTRUCTURAS DE CONCRETO PRESFORZADO

NIVEL DE ESFUERZOS 1 2

NIVEL DE ESFUERZOS 2 4

4

7

2

5

4

7

ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO

El nivel de esfuerzo 1 corresponde a un sismo de operación, y el nivel 2 corresponde a el sismo mas fuerte que puede ocurrir en una planta nuclear. En caso de tener diferentes tipos de materiales amortiguamiento modal se calculara como sigue: Σ

φT AMAT

Σ

φT K

K

en

una

estructura

el

φ

AM = φ

donde: AMAT = amortiguamiento del elemento φ = EIGENVECTOR del elemento correspondiente al modo K = valor de la matriz de rigidez del elemento AM = amortiguamiento modal

2.6 ANALISIS ESTATICO El análisis estático se representa con la siguiente ecuación: [ K ] { X } = { F } en donde: [ K ] = matriz de rigidez global de la estructura. { X } = vector de desplazamiento. { F } = vector de fuerza Como conocemos la matriz de rigidez [ K ] y el vector de fuerza { F } podemos obtener el vector de desplazamiento { X } invirtiendo la matriz de rigidez y el resultado multiplicándolo por el vector de fuerza.

{ X } = [ K ]-1 { F }

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

26

Los elementos mecánicos de las vigas se obtienen en coordenadas locales a partir de los desplazamientos globales de la estructura los cuales se transforman a coordenadas locales del elemento:

{ XL }

=

λ { X }

Posteriormente los desplazamientos { rigidez individual de cada elemento.

XL }

se multiplican por la matriz de

{ S } = [ Kv ] { XL } en donde

{ S } representa a los elementos mecánicos.

2.7 CONCLUSION Todo tipo de estructura desde la más complicada en tres dimensiones, hasta la más sencilla en dos dimensiones puede representarse en forma de matriz. Las estructuras que pueden representarse por vigas que equivalgan a los muros y columnas pueden ser desacopladas para poder hacer el análisis de la componente vertical del sismo independientemente de la componente horizontal. La matriz de masa y la matriz de rigidez deben ser del mismo tamaño para poder hacer el análisis, por lo que la matriz de rigidez debe ser condensada.

CAPITULO 3 MODELO DE ESTRUCTURAS Las estructuras se representan con modelos matemáticos para su análisis. Estos modelos pueden ser del tipo de VIGAS CON MASAS AGRUPADAS y ELEMENTOS FINITOS, lo más importante al elaborar el modelo matemático de una estructura es determinar que queremos obtener de ese modelo. Pues algunas veces podemos representar estructuras muy complicadas con modelos muy sencillos y obtener únicamente los resultados que nos interesan. Otro aspecto importante es que debemos ser consistentes en las consideraciones que se hacen al realizar el análisis para posteriormente diseñar la estructura con esas mismas consideraciones. Las cargas impuestas a la estructura también determinaran el tipo de modelo que usaremos en el análisis, por ejemplo para el análisis sísmico se necesita un modelo en el que se represente la rigidez y la masa de la estructura y en el caso de un análisis estático solo es necesario determinar su rigidez, otro ejemplo es el de los recipientes de presión los cuales pueden ser analizados con un modelo de VIGAS CON MASAS AGRUPADAS para el análisis sísmico y un modelo de ELEMENTO FINITO para determinar los esfuerzos producidos por la presión. El modelo del tipo de VIGAS CON MASAS AGRUPADAS consiste en representar los elementos de la estructura que resisten cargas como vigas, la masa de la estructura es agrupada en los puntos de mayor concentración y son unidos por esas vigas. En los modelos de ELEMENTO FINITO se representa la estructura con elementos tipo placa, viga, sólidos etc. y la masa es asociada a los mismos elementos o a los puntos nodales. Para el caso del análisis sísmico los reglamentos de construcción indican el espectro de respuesta que se debe usar en el análisis de las estructuras tal es el caso de los reglamentos UBC, CFE, Reglamento del D.F. En los siguientes ejemplos matemáticos para estructuras.

se

visualizara

la

forma

de

elaborar

modelos

EJEMPLO 1 Este ejemplo es de un edificio de concreto de 6 niveles como se muestra en la figura 3.1. Se consideran las cargas siguientes: peso propio de la estructura (densidad) plafones y pisos muros divisorios CARGA VIVA

2.4 T/M3 0.100 T/M2 0.100 T/M2 0.300 T/M2

Se considera el siguiente predimensionamiento de la estructura: Losa de 15 cms. de espesor para todos los niveles. Vigas secundarias de 30 x 50 cms. Trabes principales de 40 x 70 cms. Columnas de 80 x 80 en los dos primeros entrepisos, de 60 x 60 en los demás entrepisos. Peso de cada nivel Losa de concreto = 24.4 X 22.9 X 0.15 X 2.4 = 201.15 T. Vigas secundarias = 9 x 0.3 x 0.35 x 7.6 x 2.4 = 17.24 T. Trabes = 12 x 0.4 x 0.55 x 7.4 x 2.4 = 46.89 T Trabes = 12 x 0.4 x 0.55 x 6.9 x 2.4 = 43.72 T

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

28

Columnas = 16 x 0.6 x 0.6 x 2.8 x 2.4 = 38.71 T Muros, pisos y plafones 24.4 x 22.9 x 0.200 = 111.75 25 % de Carga Viva = 24.4 x 22.9 x 0.3 x 0.25 = 41.91 T Carga total para análisis sísmico por nivel 501.37 T.

FIGURA 3.1 Se desarrolla un modelo de vigas con masas agrupadas como se muestra en la figura 3.2, Las 16 columnas de cada entrepiso representan la viga por lo que la inercia de los entrepisos se calculan como sigue: I = b d3 / 12 = 0.8 X 0.83 / 12 x 16 columnas = 0.5461 0.6 X 0.63 / 12 x 16 columnas = 0.1728 no se considera el área de cortante de las columnas. Estos datos se introducen al programa DINAFACIL (el archivo de entrada es EJEM1.ENT ), en el capitulo 4 se indica la forma de colocar los datos. 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 2509980. 0.18 NODO 1 11 1 0.0 0.0 NODO 2 1 1 0.0 5.5 NODO 3 1 1 0.0 9. NODO 4 1 1 0.0 12.5 NODO 5 1 1 0.0 16. NODO 6 1 1 0.0 19.5 NODO 7 1 1 0.0 23.0 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1

29

CAPITULO 3 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 PROPIEDAD 2 5.76 ESPECTRO HORIZONTAL 3 0.5 0.155 0.8333 0.215 1000. 0.215

.5461 .1728

FIGURA 3.2 y se obtienen los siguientes resultados: MODO 1 2 3 4 5 6

FRECUENCIA ( CPS ) 1.984 5.428 8.739 12.114 14.595 21.001

FACTORES DE PARTICIPACION 1.285 0.416 0.160 0.058 0.021 -0.054

PESO MODAL ( TONS. ) 2648.37 314.25 38.05 4.17 0.53 2.85

Como podemos ver el peso modal nos indica que el 88 % de la masa vibra con el primer modo para este ejemplo. Una vez determinada la forma modal se aplica al modelo el espectro de diseño, para este caso aplicaremos el criterio del MANUAL DE DISEÑO DE OBRAS CIVILES DE CFE-IIE considerando que el edificio se construirá en Acapulco, zona sísmica "D" en un suelo tipo II, grupo de estructura "B" y factor de ductilidad 4.0, ver referencia 4, la gráfica del espectro se muestra en la figura 3.3.

30

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

FIGURA 3.3 Mediante el programas DINAFACIL incluido obtenemos los siguientes resultados: NODO 1 2 3 4 5 6 7

en

el

DESPLAZAMIENTO ( METROS ) 0.0000 0.0058 0.0072 0.0110 0.0141 0.0163 0.0175

capitulo

4

de

este

libro

ACELERACION ( GRAVEDAD ) 0.0000 0.1252 0.1460 0.1893 0.2268 0.2622 0.2904

Las fuerzas y momentos en las vigas supuestas son VIGA 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

CORTANTE (T) 573.45 524.42 467.73 383.86 275.70 145.56

MOMENTO (T-M) 1576.99 917.69 818.52 671.80 482.45 254.76

Aparentemente como la aceleración en el espectro de respuesta es igual para todos los modos del edificio, podríamos suponer que daría lo mismo hacer un análisis modal o un análisis sísmico estático como se indica en la referencia 4, sin embargo, como veremos en el ejemplo 2 existe una diferencia importante

EJEMPLO 2

31

CAPITULO 3 Análisis sísmico estático del edificio mostrado en la figura 3.1. ANALISIS SISMICO ESTATICO

Para el calculo de las fuerzas sísmicas horizontales en un análisis sísmico estático se considera la siguiente formula, ver referencia 4: Pn = Wn hn

Σ Wn Σ Wn hn

c Q

en donde: Pn = fuerza horizontal de inercia aplicada en un piso del edificio. Wn = Peso de un piso del edificio. hn = altura de un piso desde el desplante del edificio. c

= coeficiente sísmico.

Q

= factor de ductilidad del edificio.

Para nuestro caso tenemos que el coeficiente sismico es c = 0.86 y el factor de ductilidad es Q = 4, en la tabla siguiente se muestran los resultados de la fuerza Pn. NIVEL

Wn

hn

Wn X hn

FUERZA

CORTANTE

6 5 4 3 2 1

501.37 501.37 501.37 501.37 501.37 501.37 3008.22

23.0 19.5 16.0 12.5 9.0 5.5

11531.51 9776.71 8021.92 6267.12 4512.33 2757.53 42867.13

173.98 147.51 121.03 94.55 68.08 41.60

173.98 321.49 442.52 537.07 605.15 646.75

En la tabla siguiente y en la figura 3.4 podemos ver la diferencia entre los resultados del ejemplo 1 y el ejemplo 2: Con lo anterior se concluye que es mejor usar el análisis modal porque el diseño resultante será mas económico y racional

NIVEL

6 5 4 3 2 1

ANALISIS ESTATICO CORTANTE TONS. 173.98 321.49 442.52 537.07 605.15 646.75

ANALISIS MODAL CORTANTE TONS. 145.56 275.70 383.86 467.73 524.42 573.45

DIFERENCIA

% 20 17 15 15 15 13

ANALISIS ESTATICO MOMENTO T-M 304.46 562.60 774.41 939.87 1059.00 1778.56

ANALISIS MODAL MOMENTO T-M 254.76 482.45 671.80 818.52 917.69 1576.99

DIFERENCIA

% 20 17 15 15 15 13

32

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

FIGURA 3.4 EJEMPLO 3 Análisis sísmico del edificio de la figura 3.1 cortante de las columnas, por lo tanto tenemos:

considerando

el

área

de

Av = 0.8 x 0.8 x 16 x 0.85 = 8.704 Av = 0.6 x 0.6 x 16 x 0.85 = 4.896 Siendo 0.85 el factor recomendado para rectángulos sólidos al considerar el cortante en relación al área total del elemento. Con este nuevo dato se introduce al programa DINAFACIL ( archivo de entrada EJEM3.ENT 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 2509980. 0.18 NODO 1 11 1 0.0 0.0 NODO 2 1 1 5.5 NODO 3 1 1 9.0 NODO 4 1 1 12.5 NODO 5 1 1 16.0 NODO 6 1 1 19.5 NODO 7 1 1 23.0 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 8.704 0.5461 PROPIEDAD 2 5.76 4.896 0.1728

33

CAPITULO 3 ESPECTRO HORIZONTAL 3 0.5 0.155 0.8333 0.215 1000. 0.215 y se obtienen los siguientes resultados: MODO

FRECUENCIA ( CPS ) 1.911 5.238 8.412 11.642 14.029 19.728

1 2 3 4 5 6

FACTORES DE PARTICIPACION 1.2856 0.4180 0.1648 0.0605 0.0223 -0.0579

PESO MODAL ( TONS.) 2642.02 317.54 40.27 4.56 0.59 3.24

En la siguiente tabla se muestra la diferencia obtenida entre el ejemplo 1, sin considerar el área de cortante de las columnas y el ejemplo 3, en donde se considero el área de cortante: NODO

DESPLAZAMIENTO ( METROS ) EJEM3.ENT EJEM1.ENT CON CORTANTE SIN CORTANTE 0.0000 0.0000 0.0061 0.0058 0.0077 0.0072 0.0118 0.0110 0.0152 0.0141 0.0176 0.0163 0.0188 0.0175

1 2 3 4 5 6 7

DIFERENCIA %

5.17 6.94 7.27 7.80 7.97 7.43

los elementos mecánicos en las vigas son: VIGA

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

EJEM3

CORTANTE ( TONS.) EJEM1

572.19 524.01 467.51 383.83 275.78 145.72

573.45 524.42 467.72 383.89 275.69 145.58

DIF % -0.22 -0.07 -0.08 -0.01 0.02 0.10

EJEM3

MOMENTO ( T-M ) EJEM1

1573.52 917.02 818.15 671.70 482.61 255.02

1576.99 917.73 818.52 671.80 482.46 254.74

DIF % -0.22 -0.07 -0.04 -0.01 0.02 0.10

Como podemos ver no existe gran diferencia en considerar la deformación por cortante para este ejemplo porque la relación del radio de giro entre la longitud de la columna es baja en comparación a la unidad. radio de giro = √ ( INERCIA/AREA ) = √ ( 0.5461/10.24) = 0.23 longitud de columna = 3.5, relación radio de giro / longitud = 0.0657 Por esta razón no existe una gran diferencia en los resultados. En el caso de que tuviéramos muros de cortante si seria necesario considerar la deformación por cortante.

EJEMPLO 4

34

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

Análisis del edificio de la figura 3.1 considerando la interacción sueloestructura. La interacción suelo-estructura se considerara mediante la aplicación resortes que representen el suelo, la cimentación será mediante una losa concreto a 2 metros abajo del nivel del suelo el peso de la cimentación será mismo que el de un nivel cualquiera 501.37 tons. el modelo matemático muestra en la figura 3.5

de de el se

Para calcular los resortes se considera que la cimentación se apoya en un medio elástico y mediante las formulas de Richart, Hall y Woods se obtienen los valores de los resortes en función de las propiedades del suelo, ver referencia 7. El suelo donde se apoya tiene una velocidad de onda de cortante de 400 M/S , el modulo de POISSON es de 0.38 , el peso volumétrico es de 1.6 T/M3 El modulo de cortante se calcula como sigue:

Vs = ( G/ρ )½ Vs = velocidad de la onda de cortante en el suelo G = modulo de cortante del suelo ρ = masa volumétrica del suelo

FIGURA 3.5 ρ = γ/g

por lo tanto

para nuestro ejemplo tenemos

Vs = 400 M/S

γ

G = Vs2 γ / g :

= 1.6 T/M3

g

= 9.81 M/S

G

= 26,096 T/M2

El resorte vertical Kz y el resorte horizontal debido al deslizamiento Kx estan dados por :

Kz = 4 G ro / ( 1 - ν )

Kx = 32 ( 1 - ν ) G ro

/ ( 7 - 8 ν )

35

CAPITULO 3 donde : ro = ( 4 c d / π )½ ν

= modulo de POISSON

c

= semi ancho de la losa de cimentación

d

= semi largo de la losa de cimentación

Para nuestro caso tenemos que :

c

= 24.80 / 2 = 12.40 M d

Kz = 2,283,316 T/M

= 23.30 / 2 = 11.65 M por lo tanto

Kx = 1,773,145 T/M

Se realizo una corrida con el programa DINAFACIL obteniéndose los resultados siguientes , (archivo de entrada EJEM4.ENT) 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 2509980. 0.18 NODO 1 1 1 0.0 -2.0 NODO 2 1 1 5.5 NODO 3 1 1 9. NODO 4 1 1 12.5 NODO 5 1 1 16. NODO 6 1 1 19.5 NODO 7 1 1 23.0 PESO 1 501.37 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 8.704 .5461 PROPIEDAD 2 5.76 4.896 .1728 RESORTE 1 1773145. ESPECTRO HORIZONTAL 3 0.5 0.155 0.8333 0.215 1000. 0.215

Los resultados obtenidos son: MODO 1

FRECUENCIA ( CPS ) 1.478

FACTORES DE PARTICIPACION 1.2001

PESO MODAL ( TONS.) 2907.91

36

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA 2 3 4 5 6 7

4.524 8.123 11.556 14.008 19.414 29.968

0.2471 0.0690 0.0264 0.0108 -0.0403 0.9777

112.67 6.84 0.85 0.13 1.46 479.71

El desplazamiento y aceleración en X es como sigue: NODO 1 2 3 4 5 6 7

DESPLAZAMIENTO EN X ( METROS ) 0.0003 0.0169 0.0185 0.0227 0.0259 0.0282 0.0294

ACELERACION EN X ( GRAVEDAD ) 0.2102 0.1579 0.1711 0.2019 0.2285 0.2502 0.2638

Las fuerzas en las vigas son: VIGA 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

CORTANTE ( TONS.) 624.10 549.40 468.80 370.65 257.41 132.25

MOMENTO ( T-M ) 2340.38 961.45 820.41 648.64 450.47 231.44

De la comparación entre el ejemplo 1, un edificio sobre suelo rígido y el ejemplo 4, el mismo edificio sobre suelo blando se concluye que los desplazamientos y aceleraciones serán mayores en el edificio sobre suelo blando, pero los cortantes y momentos en los últimos 3 pisos del edificio sobre suelo rígido serán mayores a los del edificio sobre suelo blando.

EJEMPLO 5 Análisis del edificio de la figura 3.1 considerando la interacción suelo estructura con una masa con inercia rotacional. Ahora vamos a considerar el resorte por rotación en la losa de cimentación, y además se considera que la distribución de la masa del ultimo piso esta a un metro de distancia del centroide de la masa del edificio en la dirección del sismo, por lo que se calculara la inercia rotacional de la masa. El calculo de la inercia rotacional es como sigue: INERCIA MASA ROTACIONAL = 501.37 X 1.02 = 501.37 El resorte de rotación de la cimentación esta dado por: Kψ = 8 G ro3 / ( 3 ( 1-ν) ) donde ro = 4√ 16 c d3 / 3 π los demás símbolos tienen la misma connotación del ejemplo anterior.

37

CAPITULO 3

FIGURA 3.6 Estos nuevos datos se introduce al programa DINAFACIL ( archivo de entrada EJEM5.ENT) 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 2509980. 0.18 NODO 1 1 0.0 -2.0 NODO 2 1 1 5.5 NODO 3 1 1 9.0 NODO 4 1 1 12.5 NODO 5 1 1 16.0 NODO 6 1 1 19.5 NODO 7 1 23.0 PESO 1 501.37 PESO 2 501.37 PESO 3 501.37 PESO 4 501.37 PESO 5 501.37 PESO 6 501.37 PESO 7 501.37 501.37 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 VIGA 6 6 7 2 1 PROPIEDAD 1 10.24 8.704 .5461 PROPIEDAD 2 5.76 4.896 .1728 RESORTE 1 1773145. 276588500. ESPECTRO HORIZONTAL 4 0.2 0.096 0.5 0.155 0.8333 0.215 2000. 0.215

38

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA Los resultados obtenidos son: MODO 1 2 3 4 5 6 7 8

FRECUENCIA ( CPS ) 1.455 3.578 5.668 9.613 13.268 18.294 19.414 29.967

FACTORES DE PARTICIPACION 1.3014 -0.3563 0.1539 0.0476 0.0187 0.0015 -0.0402 0.9778

PESO MODAL ( TONS.) 2863.76 121.92 39.25 3.10 0.36 0.02 1.45 479.75

los desplazamientos y aceleraciones son: NODO

1 2 3 4 5 6 7

DESPLAZAMIENTO ( METROS Y RADIANES ) X ROTACION 0.0004 0.000008 0.0167 0.0183 0.0224 0.0257 0.0280 0.0329 0.0022

ACELERACION ( GRAVEDAD ) X ROTACION 0.2102 0.0001 0.1494 0.1623 0.1938 0.2208 0.2410 0.2903 0.0452

las fuerzas en las vigas son: VIGA 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

CORTANTE ( TONS.) 615.01 543.23 465.48 370.82 262.54 145.58

MOMENTO ( T-M ) 2304.77 950.66 814.59 648.94 459.45 523.53 22.72

De la comparación de los ejemplos 4 y 5 se concluye que no variación por la adición de la inercia rotacional en la masa 1.

hubo

mucha

EJEMPLO 6 En este ejemplo se realiza el análisis sísmico de un edificio de acero de 5 niveles cuyos marcos se muestran en la figura 3.7, el marco transversal tendrá conexiones rígidas mientras que el marco longitudinal tendrá conexiones a cortante.

39

CAPITULO 3 En el ejemplo 7 se analizara el marco longitudinal.

FIGURA 3.7 La carga para el análisis sísmico será: Losa de concreto de 15 cms. = 0.36 T/M2 equipos y carga viva = 0.32 T/M2 muros divisorios = 0.152 T/M2 ----------Total 0.832 T/M2 Para el marco transversal se concentrara la carga y la inercia rotacional en los nodos del 3 al 12, ver modelo transversal en figura 3.9. carga en nodo = 0.832 T/M2 X 7.00 M. + 0.313 T/M (viga) = 6.137 T/M 6.137 T/M X 5.00 M. = 33.685 T. Mas peso de columna de 2.04 t = 32.72 T. la inercia rotacional es 32.72 X 2.5 X 2.5 = 204.5 T-M2 Los perfiles estructurales para las columnas del nivel 0.0 al nivel 8.0 será W14X342, del nivel 8.00 al 18.5 serán W14X211, las trabes de los niveles 4.5, 8.0 y 11.5 será W30X210, los niveles 15.0 y 18.5 serán W30X116.

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

40

Se realizo una corrida con el programa DinaFacil aplicando el espectro de respuesta mostrado en la figura 3.8.

FIGURA 3.8 Análisis marco transversal, ver figura 3.9 (Archivo EJEM6.ENT) 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 21000000. 0.32 NODO 1 11 1 0.0 0.0 NODO 2 11 1 10.0 0.0 NODO 3 1 0.0 4.5 NODO 4 1 10.0 4.5 NODO 5 1 0.0 8.0 NODO 6 1 10.0 8.0 NODO 7 1 0.0 11.5 NODO 8 1 10.0 11.5 NODO 9 1 0.0 15.0 NODO 10 1 10.0 15.0 NODO 11 1 0.0 18.5 NODO 12 1 10.0 18.5 PESO 3 32.72 204.5 PESO 4 32.72 204.5 PESO 5 32.72 204.5 PESO 6 32.72 204.5 PESO 7 32.72 204.5 PESO 8 32.72 204.5 PESO 9 32.72 204.5 PESO 10 32.72 204.5 PESO 11 32.72 204.5 PESO 12 32.72 204.5 VIGA 1 1 3 1 1 VIGA 2 3 5 1 1 VIGA 3 5 7 2 1 VIGA 4 7 9 2 1

41

CAPITULO 3 VIGA 5 9 11 2 1 VIGA 6 2 4 1 1 VIGA 7 4 6 1 1 VIGA 8 6 8 2 1 VIGA 9 8 10 2 1 VIGA 10 10 12 2 1 VIGA 11 3 4 3 1 VIGA 12 5 6 3 1 VIGA 13 7 8 3 1 VIGA 14 9 10 4 1 VIGA 15 11 12 4 1 PROPIEDAD 1 0.0652 PROPIEDAD 2 0.04 PROPIEDAD 3 0.0399 PROPIEDAD 4 0.022 ESPECTRO HORIZONTAL 15 0.5 0.112 0.55 0.123 0.62 0.14 0.71 0.159 0.83 0.180 0.91 0.198 1.0 0.217 1.11 0.240 1.25 0.270 1.43 0.305 1.66 0.357 1.72 0.375 6.66 0.375 33. 0.150 1000. 0.150

0.0175 0.00996 0.0152 0.0109

.002044 .00111 .004116 .002052

FIGURA 3.9

Los resultados obtenidos mediante el programa DinaFacil son:

42

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA MODO

FRECUENCIA (CPS) 1.223 3.232 5.270 5.677 6.738 7.570 8.481 8.624 9.423 10.990 11.062 11.167 12.074 12.410 15.473 26.776 28.343 36.012 36.889 38.220

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

FACTORES DE PARTICIPACION -1.293 -0.375 -.0165 0.0 -0.087 0.0 0.092 0.0 0.0 0.0 0.0 0.125 -0.025 -0.039 0.006 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

PESO MODAL (TONS.) 270.22 32.33 10.05 0.0 3.69 0.0 3.52 0.0 0.0 0.0 0.0 6.96 0.17 0.29 0.01 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Los desplazamientos y aceleraciones son: NIVEL

NODO

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO QUINTO

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12

DESPLAZAMIENTO (MTS) 0.0 0.01312 0.02502 0.03788 0.04893 0.05685

ROTACIONES (RADIANES) 0.0 0.00246 0.00229 0.00195 0.00222 0.00130

ACELERACIONES (GRAVEDAD) 0.0 0.1419 0.2097 0.2585 0.3019 0.3709

Los elementos mecánicos en las columnas son: COLUMNAS PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO QUINTO

NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL

CORTANTE (TONS) 36.24 33.35 28.39 21.34 12.10

MOMENTO ABAJO (T-M) 105.00 56.40 47.48 39.16 15.18

MOMENTO ARRIBA (T-M) 58.13 60.52 52.04 35.81 27.58

Los elementos mecánicos en las vigas son: VIGA PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO QUINTO

EJEMPLO 7

NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL

CORTANTE (TONS) 23.51 21.96 18.62 10.87 6.34

MOMENTO (T-M) 117.59 109.76 93.21 54.32 31.73

43

CAPITULO 3

Análisis del marco longitudinal, como este marco tiene conexiones a cortante, la carga horizontal se trasmitirá por carga axial en las vigas, por lo tanto solo es necesario analizar el marco central en donde están los contraventeos, los cuales resistirán la carga horizontal, ver modelo longitudinal en figura 3.9. La carga horizontal se concentra en los nodos 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, y 17 como sigue: Carga por nivel. 0.832 T/M2 X 10.50M X 5.00M = Peso de columnas 2.04T X 2 = Peso de vigas 0.313T/M X 5.00M X 2

=

43.68 T 4.08 T 3.13 T --------50.89 t

1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012 DINAMICO MATERIAL NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO PESO PESO PESO PESO PESO PESO PESO PESO PESO PESO VIGA 1 VIGA 2 VIGA 3 VIGA 4 VIGA 5 VIGA 6 VIGA 7 VIGA 8 VIGA 9 VIGA 10 VIGA 11 VIGA 12 VIGA 13

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 5 6 8 9 11 12 14 15 17 1 3 6 9 12 2 5 8 11 14 3 4 6

9.81 21000000. 11 11

3 6 9 12 15 5 8 11 14 17 4 5 7

50.89 50.89 50.89 50.89 50.89 50.89 50.89 50.89 50.89 50.89 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1

0.32 0.0 7.0 0.0 3.5 7.0 0.0 3.5 7.0 0.0 3.5 7.0 0.0 3.5 7.0 0.0 3.5 7.0

1 1 1

0.0 0.0 4.5 4.5 4.5 8.0 8.0 8.0 11.5 11.5 11.5 15.0 15.0 15.0 18.5 18.5 18.5

44

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA VIGA 14 7 8 3 1 VIGA 15 9 10 3 1 VIGA 16 10 11 3 1 VIGA 17 12 13 3 1 VIGA 18 13 14 3 1 VIGA 19 15 16 3 1 VIGA 20 16 17 3 1 VIGA 21 1 4 4 1 VIGA 22 2 4 4 1 VIGA 23 3 7 4 1 VIGA 24 5 7 4 1 VIGA 25 6 10 4 1 VIGA 26 8 10 4 1 VIGA 27 9 13 4 1 VIGA 28 11 13 4 1 VIGA 29 12 16 4 1 VIGA 30 14 16 4 1 PROPIEDAD 1 0.0652 PROPIEDAD 2 0.04 PROPIEDAD 3 0.0148 PROPIEDAD 4 0.0076 ESPECTRO HORIZONTAL 15 0.5 0.112 0.55 0.123 0.62 0.14 0.71 0.159 0.83 0.180 0.91 0.198 1.0 0.217 1.11 0.240 1.25 0.270 1.43 0.305 1.66 0.357 1.72 0.375 6.66 0.375 33. 0.150 1000. 0.150

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.0521 0.0318 0.0056 0.0058

.000753 .000429 .000437 .00002

Los resultados obtenidos mediante el programa DinaFacil son: MODO

FRECUENCIA (CPS) 2.025 5.861 10.226 13.874 16.666 20.892 20.953 21.013 21.202 21.828

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACTORES DE PARTICIPACION -1.286 -0.395 -0.172 -0.083 -0.038 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

PESO MODAL (TONS) 449.61 48.87 8.20 1.80 0.41 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Los desplazamientos y aceleraciones son: NIVEL

NODO

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL (MTS)

DESPLAZAMIENTO VERTICAL (MTS)

ROTACIONES (RADIANES)

ACELERACION (GRAVEDAD)

1

0.0

0.0

2.03E-03

0.0

45

CAPITULO 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO QUINTO

0.0 8.96E-03 8.01E-03 8.96E-03 1.53E-02 1.44E-02 1.53E-02 2.10E-02 2.03E-02 2.10E-02 2.58E-02 2.53E-02 2.58E-02 2.92E-02 2.89E-02 2.92E-02

0.0 7.37E-04 2.90E-11 7.37E-04 1.10E-03 2.08E-10 1.10E-03 1.42E-03 1.25E-10 1.42E-03 1.54E-03 9.70E-10 1.54E-03 1.55E-03 3.77E-10 1.55E-03

2.03E-03 1.90E-03 5.20E-04 1.90E-03 1.75E-03 3.04E-04 1.75E-03 1.55E-03 8.37E-05 1.55E-03 1.16E-03 1.35E-04 1.16E-03 8.95E-04 2.53E-04 8.95E-04

0.0 0.204 0.182 0.204 0.293 0.278 0.293 0.360 0.349 0.360 0.429 0.420 0.429 0.504 0.496 0.504

Los elementos mecánicos en las columnas son COLUMNAS PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO QUINTO

NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL

AXIAL (TONS) 224.24 144.62 77.89 28.63 0.98

CORTANTE (TONS) 0.29 0.17 0.12 0.26 0.40

MOMENTO ABAJO (T-M) 0.0 1.29 0.76 0.72 1.42

MOMENTO ARRIBA (T-M) 1.29 0.76 0.72 1.42 0.0

Los elementos mecánicos en las vigas son: VIGA PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO QUINTO

AXIAL (TONS) 84.58 76.97 64.14 46.92 26.08

NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL

CORTANTE (TONS) 3.63 2.45 1.56 0.97 0.05

Los elementos mecánicos en los contraventeos son CONTRAVENTEO PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO QUINTO

NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL NIVEL

AXIAL (TONS) 137.70 108.84 90.70 66.37 36.89

EJEMPLO 8 El ejemplo 8 consiste en hacer un modelo de vigas y masas concentradas del marco transversal del ejemplo 6, las propiedades de las vigas serán la sumatoria de las propiedades de las columnas en un mismo nivel como sigue:

46

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA A=0.0652 X 2 = 0.1304

AV = 0.0175 X 2 = 0.035

COLUMNAS DE LA CIMENTACION HASTA EL SEGUNDO NIVEL A=0.04 X 2 = 0.08

A=0.1304

AV=0.035

AV = 0.00996 X 2 = 0.01992

COLUMNAS DEL SEGUNDO NIVEL HASTA EL QUINTO NIVEL

A=0.08

I = 0.002044 X 2 = 0.004088 I=0.004088 I = 0.00111 X 2 = 0.00222

AV=0.01992 I=0.00222

Este análisis se muestra en forma esquemática en la figura 3.10. Análisis marco transversal (Archivo EJEM8.ENT) 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 21000000. 0.32 NODO 1 11 1 0.0 0.0 NODO 2 1 1 0.0 4.5 NODO 3 1 1 0.0 8.0 NODO 4 1 1 0.0 11.5 NODO 5 1 1 0.0 15.0 NODO 6 1 1 0.0 18.5 PESO 2 65.44 PESO 3 65.44 PESO 4 65.44 PESO 5 65.44 PESO 6 65.44 VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 1 1 VIGA 3 3 4 2 1 VIGA 4 4 5 2 1 VIGA 5 5 6 2 1 PROPIEDAD 1 0.1304 0.035 .004088 PROPIEDAD 2 0.08 0.01992 .00222 ESPECTRO HORIZONTAL 15 0.5 0.112 0.55 0.123 0.62 0.14 0.71 0.159 0.83 0.180 0.91 0.198 1.0 0.217 1.11 0.240 1.25 0.270 1.43 0.305 1.66 0.357 1.72 0.375 6.66 0.375 33. 0.150 1000. 0.150

47

CAPITULO 3

FIGURA 3.10 Los resultados obtenidos mediante el programa DinaFacil son: MODO

FRECUENCIA (CPS) 1.874 5.135 8.262 11.096 13.636

1 2 3 4 5

FACTORES DE PARTICIPACION 1.276 0.403 0.142 0.065 -0.087

PESO MODAL (TONS) 289.93 31.80 3.95 0.54 0.98

Los desplazamientos y aceleraciones son: NIVEL PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO QUINTO Los elementos

DESPLAZAMIENTO ACELERACION (MTS) (GRAVEDAD) 0.0114 0.213 0.0168 0.282 0.0249 0.364 0.0308 0.438 0.0339 0.500 mecánicos en las columnas son

COLUMNAS

CORTANTE ( TONS. )

MOMENTO ( T-M )

PRIMER NIVEL

109.36

246.12

SEGUNDO NIVEL

98.27

171.98

TERCER NIVEL

83.07

145.37

CUARTO NIVEL

60.96

106.68

QUINTO NIVEL

32.72

57.26

Como se puede apreciar en el primer modo se concentra el mayor movimiento de la estructura independientemente del modelo usado, para el caso del marco completo tenemos una frecuencia del primer modo de 1.223 CPS con un peso modal

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

48

de 270.22 TONS. para el caso del ejemplo 8 tenemos una frecuencia de 1.874 CPS y un peso modal en el primer modo de 289.93 TONS.

EJEMPLO 9 Ahora aplicaremos las fuerzas cortantes resultantes del análisis espectral (EJEMPLO 8) a un análisis estático del marco del ejemplo 6 para verificar las diferencias en cargas, se aplica el programa DinaFacil a un análisis estático. Archivo de entrada EJEM9.ENT 1 2 3 4 5 6 7 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012 ESTATICO 9.81 MATERIAL 1 21000000. 0.32 NODO 1 11 1 0.0 0.0 NODO 2 11 1 10. 0.0 NODO 3 0.0 4.5 NODO 4 10. 4.5 NODO 5 0.0 8. NODO 6 10. 8. NODO 7 0.0 11.5 NODO 8 10. 11.5 NODO 9 0.0 15. NODO 10 10. 15. NODO 11 0.0 18.5 NODO 12 10. 18.5 VIGA 1 1 3 1 1 VIGA 2 3 5 1 1 VIGA 3 5 7 2 1 VIGA 4 7 9 2 1 VIGA 5 9 11 2 1 VIGA 6 2 4 1 1 VIGA 7 4 6 1 1 VIGA 8 6 8 2 1 VIGA 9 8 10 2 1 VIGA 10 10 12 2 1 VIGA 11 3 4 3 1 VIGA 12 5 6 3 1 VIGA 13 7 8 3 1 VIGA 14 9 10 4 1 VIGA 15 11 12 4 1 PROPIEDAD 1 0.0652 0.0175 .002044 PROPIEDAD 2 0.04 0.00996 .00111 PROPIEDAD 3 0.0399 0.0152 .004116 PROPIEDAD 4 0.022 0.0109 .002052 CARGA 1 CARGA NODO 1 3 5.56 CARGA NODO 1 4 5.56 CARGA NODO 1 5 7.60 CARGA NODO 1 6 7.60 CARGA NODO 1 7 11.05 CARGA NODO 1 8 11.05 CARGA NODO 1 9 14.12 CARGA NODO 1 10 14.12 CARGA NODO 1 11 16.36 CARGA NODO 1 12 16.36 COMBINA CARGA SISMICA 1.0

49

CAPITULO 3 Los resultados obtenidos mediante el modulo CARGAS del programa DINAFACIL DESPLAZAMIENTOS

* * *

NODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X 0.0 0.0 .196777E-01 .196777E-01 .373992E-01 .373992E-01 .566602E-01 .566602E-01 .731758E-01 .731758E-01 .848595E-01 .848595E-01

Y 0.0 0.0 .374273E-03 -.374273E-03 .577833E-03 -.577833E-03 .777945E-03 -.777945E-03 .868969E-03 -.868969E-03 .900452E-03 -.900452E-03

RZ 0.0 0.0 -.365977E-02 -.365977E-02 -.342411E-02 -.342411E-02 -.289624E-02 -.289624E-02 -.310210E-02 -.310210E-02 -.172840E-02 -.172840E-02

FUERZAS EN VIGAS * * * VIGA

NODO

1

1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

AXIAL (TONS) -.113879E+03 .113879E+03 -.796327E+02 .796327E+02 -.480269E+02 .480269E+02 -.218458E+02 .218458E+02 -.755577E+01 .755577E+01 .113879E+03 -.113879E+03 .796328E+02 -.796328E+02 .480269E+02 -.480269E+02 .218459E+02 -.218459E+02 .755575E+01 -.755575E+01 -.441473E-03 .441473E-03 .935435E-03 -.935435E-03 -.930168E-03 .930168E-03 -.254750E-03 .254750E-03 .276744E-03 -.276744E-03

CORTANTE (TONS) .546899E+02 -.546899E+02 .491300E+02 -.491300E+02 .415302E+02 -.415302E+02 .304802E+02 -.304802E+02 .163601E+02 -.163601E+02 .546899E+02 -.546899E+02 .491298E+02 -.491298E+02 .415303E+02 -.415303E+02 .304802E+02 -.304802E+02 .163600E+02 -.163600E+02 -.342461E+02 .342461E+02 -.316059E+02 .316059E+02 -.261810E+02 .261810E+02 -.142901E+02 .142901E+02 -.755577E+01 .755577E+01

MOMENTO (T-M) .157962E+03 .881429E+02 .830874E+02 .888676E+02 .691622E+02 .761934E+02 .547114E+02 .519694E+02 .194813E+02 .377789E+02 .157962E+03 .881430E+02 .830871E+02 .888673E+02 .691624E+02 .761936E+02 .547113E+02 .519693E+02 .194812E+02 .377788E+02 -.171230E+03 -.171230E+03 -.158030E+03 -.158030E+03 -.130905E+03 -.130905E+03 -.714506E+02 -.714506E+02 -.377789E+02 -.377789E+02

50

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

De los ejemplos 6, 8 y 9, se concluye que un análisis dinámico será mas realista y menos conservador si tenemos un modelo matemático de la estructura mas detallado, en la tabla siguiente se muestran las diferencias entre los ejemplos que tratan de representar a la misma estructura

FRECUENCIA MINIMA (CPS) DESPLAZAMIENTO MAXIMO (MTS) ACELERACION MAXIMA (g`s) COLUMNA ANCLADA A LA CIMENTACION CORTANTE MAXIMO (TONS) MOMENTO MAXIMO (T-M)

EJEMPLO 6 1.223 0.0568 0.3709

EJEMPLO 8 1.874 0.0339 0.5000

36.24 105.00

EJEMPLO 9 0.0849

54.69 157.96

EJEMPLO 10 Supongamos que en el edificio del ejemplo 6 se colocara un equipo en el quinto nivel el cual debe permanecer funcionando durante un sismo. El equipo supuesto puede resistir únicamente 6 g's en la dirección horizontal, si la aceleración es mayor el equipo dejara de funcionar. En este caso tenemos que determinar el espectro de respuesta del quinto nivel del edificio, por lo que aplicaremos un acelerograma cuyo espectro de respuesta envuelva al espectro de la figura 3.8, se considera que este espectro es de 2% de amortiguamiento. Mediante el programa DINAFACIL obtenemos el acelerograma de respuesta, y mediante el programa de generación de espectro de respuesta dado en la referencia 5 obtenemos el espectro de respuesta en el quinto nivel, el archivo de entrada es EJEM10.31: 20 20080.005 .000000 -.001626 .005622 .007956 .024582 .026754 .036863 .037650 .042057 .042329 .026973 .022814 -.001005 -.004058 -.029631 -.033025 -.038191 -.035541 -.030367 -.030656 .004217 .010266 .068585 .068775 .023238 .025969 .034706 .038937 .072778 .079297 .111380 .100250 .037275 .041191 .079870 .075540 .044324 .036334 .042243 .048916 .076585 .085681 .084614 .083719 .068514 .061776 .032083 .018116 -.037897 -.028643 .014002 .027422 .042475 .040524 -.000191 -.002701 -.001648 .009276 -.044367 -.047423 .011278 .020281

H 11 -.002719 .010176 .028722 .038085 .041445 .018501 -.007354 -.035981 -.032842 -.031144 .015380 .062040 .025947 .043460 .087731 .083242 .045175 .069546 .028758 .054319 .093347 .083419 .053719 -.000887 -.019246 .037880 .036841 -.002422 .015877 -.046984 .024664

X -.002556 .013240 .031334 .039013 .040513 .015330 -.010114 -.037443 -.030104 -.029868 .022186 .050740 .024617 .049710 .097648 .064476 .051464 .064980 .024380 .058678 .098340 .083736 .046897 -.019543 -.011369 .043660 .033269 -.001604 .014690 -.042302 .025382

-.001892 .015919 .033265 .039377 .038756 .012150 -.013575 -.038665 -.029019 -.026623 .030756 .037217 .023059 .056025 .106238 .047502 .059623 .061608 .023083 .060815 .098761 .082859 .042177 -.034700 -.007565 .044369 .028804 -.004093 .004587 -.034777 .023486

.000023 .018865 .035152 .040229 .037142 .009487 -.016933 -.039049 -.028617 -.019989 .041840 .026541 .024012 .061978 .113165 .036961 .069351 .059625 .025563 .062537 .096267 .081350 .041185 -.043311 -.005830 .043712 .023354 -.008531 -.009866 -.024206 .023197

.001756 .020904 .035904 .040707 .034429 .006031 -.021186 -.039670 -.029320 -.011814 .053008 .020639 .026689 .065780 .116678 .032820 .077009 .056453 .029885 .064551 .091617 .078174 .041260 -.046384 -.003767 .042970 .015285 -.012119 -.025000 -.012544 .025982

.003954 .023054 .036687 .041732 .031337 .002767 -.025206 -.039216 -.029619 -.002906 .063034 .020682 .030942 .069102 .116853 .034212 .081104 .051742 .036018 .069432 .087654 .074281 .039743 -.043912 .002966 .043308 .006825 -.009749 -.036576 .000079 .032739

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100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

53

CAPITULO 3 -.021537 -.064829 -.009937 -.056820 -.081758 -.028965 .003925 .041509 .044467 -.010560 -.039121 -.074623 -.019090 .021826 .103088 .054484 .012743 .002843 .002524 -.037537 .029462 .025088 .000245 -.026095 -.046713 -.074630 .000792 .003510 -.040238 -.020652 .015070 .038136 .057648 .019767 .035641 -.036309 -.055829 -.060125 -.058652 -.020385 -.009877 .028369 .017620 .012724 .000678 -.002590 .050332 -.049177 -.088915 -.068841 -.025054 .028642 -.115708 .009808 -.003395 -.065091 -.084348 -.077756 -.078304 .003769 .001509 .009945 .001471 .006733 -.005198 -.012390 -.011186 -.004592

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-.043981 -.038317 -.041982 -.082962 -.046444 -.000082 .002060 .047289 .005657 -.000682 -.078730 -.056841 .011296 .092206 .075668 .037437 -.005040 .004782 -.027823 -.047763 .035266 .012668 -.011423 -.041099 -.061451 -.042274 .016576 -.017693 -.031056 -.011906 .036845 .049156 .029748 .028318 -.008398 -.062799 -.040820 -.072925 -.023662 -.010301 .025268 .037191 .028343 .019229 .014315 .054923 -.001648 -.087324 -.093083 -.058780 .016281 -.054489 -.069271 .017087 -.027514 -.092971 -.070701 -.093221 -.037139 .009144 .013756 .003706 .005666 .000931 -.009688 -.013502 -.007008 -.006064

-.053570 -.026511 -.046761 -.082962 -.037925 .001687 .007807 .048267 -.002700 -.001166 -.076266 -.045906 .018757 .106794 .070868 .033618 -.009241 .002958 -.033715 -.034884 .032934 .006909 -.014323 -.043859 -.072283 -.029105 .016640 -.024188 -.027432 -.008737 .039747 .053710 .023688 .034406 -.020395 -.069070 -.044824 -.071297 -.020763 -.016386 .025790 .036130 .028244 .012975 .008094 .065003 -.012785 -.090161 -.090160 -.054158 .024025 -.079136 -.044420 .014322 -.034315 -.093563 -.071139 -.093546 -.024826 .007642 .015252 .002794 .007472 -.000728 -.010002 -.012960 -.005955 -.006441

-.060817 -.016718 -.049522 -.082600 -.034254 .001666 .018162 .048965 -.008435 -.007842 -.074571 -.035269 .021185 .111584 .065967 .026928 -.009790 .002937 -.036738 -.013660 .030308 .002091 -.017251 -.047127 -.079090 -.016504 .013331 -.030982 -.025410 -.002992 .040520 .056480 .020504 .038364 -.029437 -.070071 -.050072 -.068626 -.021717 -.020981 .025578 .031087 .022899 .004784 .000228 .066782 -.024625 -.090895 -.084348 -.046811 .029485 -.098433 -.021161 .009416 -.043406 -.092482 -.072933 -.091290 -.013418 .004971 .014132 .001857 .007943 -.002690 -.010744 -.012825 -.005397 -.007605

-.064133 -.010350 -.051750 -.082181 -.032128 .002715 .031117 .048497 -.010489 -.020809 -.073945 -.025767 .020881 .109502 .060959 .019559 -.004647 .003954 -.036854 .010598 .027891 .000498 -.020686 -.048058 -.079002 -.005959 .008806 -.036308 -.023113 .005931 .039933 .058289 .020082 .039312 -.033899 -.064561 -.054869 -.064222 -.022287 -.018727 .026775 .024206 .016635 .000135 -.004097 .061512 -.036493 -.089664 -.076115 -.036373 .032122 -.110233 -.002205 .003600 -.053665 -.088926 -.074771 -.085647 -.003217 .002846 .012336 .001791 .007918 -.003813 -.011216 -.011940 -.004549 -.008479

168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235

54

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA -.009800 -.017082 -.019573 -.012546 -.004707 .003274 .013923 .000486 .000007 .000000 -.000018 -.000013 -.000009 -.000005 -.000002 -.000001

-.010450 -.017625 -.018989 -.011060 -.003690 .004881 .012959 .000380 .000068 .000015 -.000008 -.000008 -.000007 -.000003 -.000002 -.000001

-.011491 -.018707 -.018554 -.010276 -.003038 .005840 .008810 .000118 .000031 -.000016 -.000016 -.000013 -.000008 -.000005 -.000002 -.000001

-.012144 -.019148 -.017403 -.009206 -.001715 .007021 .005211 .000177 .000064 -.000002 -.000006 -.000009 -.000006 -.000003 -.000001 -.000001

-.013469 -.019746 -.016714 -.008630 -.000835 .007744 .002359 .000117 .000003 -.000017 -.000015 -.000011 -.000007 -.000003 -.000001 -.000001

-.014359 -.019550 -.015596 -.007411 .000406 .009445 .001243 .000197 .000022 .000002 -.000009 -.000007 -.000005 -.000002 -.000001 .000000

-.015589 -.019724 -.014924 -.006568 .001051 .011225 .000713 .000081 -.000010 -.000013 -.000016 -.000009 -.000006 -.000002 -.000001 -.000001

-.016129 -.019428 -.013575 -.005306 .002283 .013411 .000765 .000089 .000025 -.000005 -.000009 -.000007 -.000005 -.000002 -.000001 .000000

236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

En la figura 3.11 se muestra el acelerograma de entrada con su espectro de respuesta correspondiente comparándolo con el espectro de diseño.

FIGURA 3.11 En la figura 3.12 se muestra el espectro de respuesta del quinto nivel.

55

CAPITULO 3

FIGURA 3.12 Como se aprecia en la figura 3.12 la aceleración no sobrepasa la aceleración limite de 6 g´s por lo que el equipo supuesto podrá cumplir con su función durante un sismo.

EJEMPLO 11 El ejemplo 11 es de un edificio para uso comercial en el que se usan muros de cortante para resistir el sismo, las losas actúan como diafragma para trasmitir la fuerza del sismo a los muros, y las columnas interiores solo toman la carga vertical. En la figura 3.13 se muestra la planta tipo del edificio y una sección de un muro; el propósito del ejemplo es determinar los elementos mecánicos para el diseño de las columnas interiores. El edificio se apoyara en una losa de cimentación y tendrá dos niveles de sótano para compensar la carga sobre el suelo. Calculo de la carga por nivel: Losa de concreto de 15 cms. de espesor = 0.36 T/M2 Muros interiores plafones sistemas diversos = 0.3 T/M2 Armaduras de acero para losa = 0.10 T/M2 Carga Viva = 1.0 T/M2 por 25% = 0.25 T/M2 SISTEMA DE PISO = 1.01 T/M2 X 50.0 M X 80 M. = 4,040 T.

56

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

FIGURA 3.13 LOSA DE CIMENTACION = 81.0 M. X 51.0 M. X 1.0 M. X 2.4 T/M3 = 9,914.4 T Peso de muros para el nivel 0.0 ( altura 2.375 M.) ( 2 X 79.0 X 1.0 + 2 X 51.0 X 1.0 ) X 2.375 X 2.4 T/M3 = 1,482 T. Peso de muros para el nivel 4.75 ( altura 4.75M ) ( 2 X 79.0 X 1.0 + 2 X 51.0 X 1.0 ) X 4.75 X 2.4 T/M3 = 2,964 T. Peso de muros para el nivel 9.50 ( altura 2.375 M abajo, 3.375 arriba ) ( 2 X 79.0 X 1.0 + 2 X 51.0 X 1.0 ) X 2.375 X 2.4 T/M3 =

1,482.0 T.

( 8 X 5.00 X 1.00 + 2 X 26.0 X 1.0 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 = ( 4 esquinas ) 4.5 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2

=

745.2 T 145.8 T --------2,373.0 T.

Peso de muro para el nivel 16.25 ( altura 3.375 M abajo 3.375 M arriba ) ( 8 X 5.00 X 1.00 + 2 X 26.0 X 1.0 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 =

745.2 T

( 8 X 5.00 X 0.80 + 2 X 26.0 X 0.8 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 =

596.2 T

( 4 esquinas ) 4.5 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 ( 4 esquinas ) 3.76M2 X 3.375 X 2.4 T/M2

Peso de muro para el nivel 23.00 ( altura 6.75 M )

= =

145.8 T 121.8 T --------1,609.0 T

57

CAPITULO 3 ( 8 X 5.00 X 0.80 + 2 X 26.0 X 0.8 ) X 6.75 X 2.4 T/M3 =

1,192.3 T

( 4 esquinas ) 3.76M2 X 6.75 X 2.4 T/M2

243.6 T --------1,435.9 T

=

Peso de muro para el nivel 29.75 ( altura 3.375 M abajo, 3.375 M arriba ) ( 8 X 5.00 X 0.80 + 2 X 26.0 X 0.8 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 =

596.2 T

( 8 X 5.00 X 0.60 + 2 X 26.0 X 0.6 ) X 3.375 X 2.4 T/M3 =

447.1 T

( 4 esquinas ) 3.76 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2 ( 4 esquinas ) 2.94 M2 X 3.375 X 2.4 T/M2

= =

121.8 T 95.3 T --------1,260.4 T

Peso de muro para el nivel 36.50 ( altura 6.25 M ) ( 8 X 5.00 X 0.60 + 2 X 26.0 X 0.6 ) X 6.25 X 2.4 T/M3 = ( 4 esquinas ) 2.94 M2 X 6.25 X 2.4 T/M2

828.0 T =

176.4 T --------1,004.4 T

Peso de muro para el nivel 42.25 ( altura 2.875 M abajo, 1.00 M arriba ) ( 8 X 5.00 X 0.60 + 2 X 26.0 X 0.6 ) X 2.875 X 2.4 T/M3 =

380.9 T

( 2 X 79.0 X 0.4 + 2 X 51.0 X 0.4 ) X 1.00 X 2.4 T/M3

249.6 T

( 4 esquinas ) 2.94 M2 X 2.875 X 2.4 T/M2

= =

81.1 T --------711.6 T

Peso de columnas Debido a que las columnas solo tomaran carga axial estas pueden ser diseñadas fácilmente con el manual AISC 9a edición, de acuerdo a la tabla siguiente: Carga en columnas 0.36 T/M2 + 0.30 T/M2 + 0.10 T/M2 + 1.00 T/M2 = 1.76 T/M2 Carga por nivel = 1.76 X 16.00 X 12.50 = 352 T. NIVEL COLUMNA

36.50 29.75 23.00 16.25 9.50

-

42.25 36.50 29.75 23.00 16.25

4.75 - 9.50 0.00 - 4.75 0.00

CARGA (TONS.- KIPS) 352 704 1056 1408 1760

-

775 1551 2326 3101 3877

2112 - 4652 2464 - 5427

LONGITUD (MTS.- PIES) 4.0 5.0 5.0 5.0 5.0

-

13.1 16.4 16.4 16.4 16.4

3.0 - 9.8 3.0 - 9.8

PERFIL PROPUESTO ACERO A-36

CAPACIDAD DE LA COLUMNA DE ACERO DE ACUERDO AL AISC (TON)

W14X145 W14X283 W14X426 W14X605 W14X730 COLUMNA DE CONCRETO 130X130 130X130

358 704 1064 1529 1858

Diseño de columna de concreto para una carga de 2464 Tons., de las cuales corresponde a carga muerta 0.76/1.76 = 43%, por lo tanto:

58

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA Carga muerta = 2464 X 0.43 = Carga viva = 2464 - 1060 =

1,060 tons. 1,404 tons.

Pu = 1.4 CM + 1.7 CV = 3871 tons. La capacidad a compresión axial de una columna de concreto esta dada por la formula del ACI-318 Po = 0.85 f´c Ag + As * Fy Considerando una columna de 130X130 cms. para que pueda recibir la columna de acero y con un refuerzo del 1% del área de concreto tenemos: F´c = 300 Kg/cm2 Fy = 4,200 Kg/cm2 As = 1 % de 130 x 130 = 169 cm2 de acero de refuerzo Po = 0.85 X 300 X 130 X 130 + 169 X 4200 = 5,019 Tons. Por lo tanto las columnas de concreto serán de 130X130 cms. Se considera la interacción suelo-estructura mediante resortes como en el ejemplo 4. Se considera que el suelo tiene una velocidad de onda de cortante de 600 M/S, un peso volumétrico de 1.7 T/M3 y un coeficiente de poisson de 0.38, con estos datos y las dimensiones de la losa de la cimentación se calculan los resortes

G = Vs2 γ / g

=

6002

X

1.7

/

9.81

=

62,385 T/M2

El resorte vertical Kz y el resorte horizontal debido al deslizamiento Kx están dados por :

Kz = 4 G ro / ( 1 - ν ) Kx = 32 ( 1 - ν ) G ro

/ ( 7 - 8 ν )

donde :

ro = ( 4 c d / π )½

= (( 4 X 51/2 X 81/2 )/ π )½ = 36.26 Μ.

Kz = 4 G ro / ( 1 - ν ) = 4 X 62,385 X 36.26 / (1-.38) = Kz = 14,594,065 T/M 32 X (1-.38) X 62,385 X 36.26

Kx = 32 ( 1 - ν ) G ro

/ ( 7 - 8 ν ) = (7-8 X 0.38)

Kx = 11,333,250 T/M Analisis del edificio por sismo vertical Por lo general en los reglamentos de construcción como el UBC, el de CFE no se considera la acción del sismo en la dirección vertical, en el presente análisis se aplicara el espectro de respuesta vertical de la guía regulador 1.60 de la NRC para verificar que es lo que pasa con las columnas y muros durante un sismo por el efecto de la componente vertical.

59

CAPITULO 3

Para este análisis se considera únicamente el área axial de las columnas y muros desarrollándose el modelo matemático mostrado en la figura 1.14

FIGURA 3.14 El archivo de entrada es el EJEM8.ENT, el cual se muestra a continuación: DINAMICO MATERIAL MATERIAL NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO NODO

9.81 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 22 23 24

21000000. 2598076. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0.32 0.18 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.02 0.04 0.0 4.75 9.5 16.25 23.0 29.75 36.5 42.25 4.75 9.5 16.25

60

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA NODO 25 1 1 NODO 26 1 1 NODO 27 1 1 NODO 28 1 1 PESO 1 PESO 2 PESO 3 PESO 4 PESO 5 PESO 6 PESO 7 PESO 8 PESO 22 PESO 23 PESO 24 PESO 25 PESO 26 PESO 27 PESO 28 VIGA 1 1 2 1 2 VIGA 2 2 3 1 2 VIGA 3 3 4 2 2 VIGA 4 4 5 3 2 VIGA 5 5 6 3 2 VIGA 6 6 7 4 2 VIGA 7 7 8 4 2 VIGA 11 1 22 5 2 VIGA 12 22 23 5 2 VIGA 13 23 24 6 1 VIGA 14 24 25 7 1 VIGA 15 25 26 8 1 VIGA 16 26 27 9 1 VIGA 17 27 28 10 1 PROPIEDAD 1 260.0 PROPIEDAD 2 110.0 PROPIEDAD 3 88.6 PROPIEDAD 4 67.0 PROPIEDAD 5 20.3 PROPIEDAD 6 1.66 PROPIEDAD 7 1.38 PROPIEDAD 8 0.97 PROPIEDAD 9 0.64 PROPIEDAD 10 0.33 RESORTE 1 ESPECTRO VERTICAL 6 4.581 0.5824 8.75 0.4734 11.743 0.3888 17.302 0.2805 21.159 0.2317 24.679 0.2045

0.0 0.0 0.0 0.0 11556.0 4580.0 3989.0 3225.0 3052.0 2876.0 2620.0 2328.0 2655.0 2584.0 2504.0 2486.0 2467.0 2448.0 2431.0

23.0 29.75 36.5 42.25

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 14594065.

61

CAPITULO 3

Para este análisis se considera el espectro de respuesta de la USNRC Guía Reguladora 1.60 para un ZPA de 0.16 g´s, debido a que tenemos dos tipos de materiales el acero y el concreto reforzado, el amortiguamiento para el primero es de 2% mientras que para el segundo es de 4% por lo que tenemos que calcular el amortiguamiento modal, ver punto 2.5. Mediante el programa resultados en tabla.

DINAFACIL

calculamos

el

amortiguamiento

modal,

ver

La aceleración espectral para cada modo es calculada de acuerdo a la frecuencia e interpolando el valor del amortiguamiento entre los espectros para el 2% y 5% de amortiguamiento definidos por la Guía Reguladora, ver figura 3.15

FIGURA 3.15 Mediante el programa DINAFACIL obtenemos los siguientes resultados: MODO

FRECUENCIA (CPS)

FACTORES DE PARTICIPACION

PESO MODAL (TON.)

AMORTIGUAMIENTO

1 2 3 4 5 6

4.582 8.750 11.743 17.302 21.159 24.679

1.797 1.213 0.401 -0.118 0.270 -0.190

20,235.2 28,849.7 1,295.4 112.5 906.9 314.7

0.0275 0.0391 0.0354 0.0337 0.0383 0.0364

ACELERACION ESPECTRO VERTICAL 0.5824 0.4734 0.3888 0.2805 0.2317 0.2045

62

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA En la siguiente tabla se muestra la carga axial resultante del análisis

ELEMENTO 17 16 15 14 13 12 11

COLUMNAS CARGA AXIAL (TON) 2934/12=244.5 5014/12=417.8 6540/12=545.0 7622/12=635.2 8436/12=703.0 9014/12=751.2 9505/12=792.1

ELEMENTO 7 6 5 4 3 2 1

MUROS CARGA AXIAL (TON) 1161/67=17.3T/M2 2435/67=36.3T/M2 3745/88=42.5T/M2 5030/88=57.1T/M2 6240/110=56.7T/M2 7557/260=29.1T/M2 9000/260=34.6T/M2

Ahora revisaremos las columnas de acero para verificar su estado de esfuerzos ante un sismo. La capacidad de las columnas ante carga axial cuando en la combinación de carga interviene el viento o el sismo se puede incrementar en un 33% de acuerdo al AISC (American Institute of Steel Construction) PERFIL W14X145 W14X283 W14X426 W14X605 W14X730

CM+CV+SISMO (TON) 352+244 704+418 1056+545 1408+635 1760+703

= = = = =

596 1122 1601 2043 2463

CAPACIDAD INCREMENTADA EN 33% 476 936 1415 2034 2471

MARGEN DE SEGURIDAD -20% -16% -12% 0% 0%

Con el ejemplo anterior nos damos cuenta que es necesario considerar la componente vertical del sismo aunque los reglamentos de construcción no lo exigen, porque de acuerdo a los reglamentos en los que no se considera la componente vertical del sismo el edificio anterior estaría correcto, sin embargo como se aprecia en la tabla anterior las columnas superiores están sobre-esforzadas.

EJEMPLO 12 Este ejemplo es de un edificio de tres niveles como se muestra en las figuras 3.16, 3.17, 3.18 y 3.19, en estas figuras se muestra la planta de cada nivel con la distribución de los muros de cortante, el sistema de piso será a base de armaduras de 3.50 mts. de peralte, el centroide de la masa de cada piso se localiza a 90 cm debajo de la parte superior de las armaduras, la distancia libre entre pisos será para el primer nivel de 8.00 mts., para el segundo de 7.00 mts. y para el tercer nivel de 10.00 mts. Todos los muros serán de 80 cm. de espesor y se considera una carga total para el sistema de piso de 5.0 T/M2., el edificio se apoyara en una losa de cimentacion de 2.00 mts. de espesor. El edificio se analizara aplicando un histograma de fuerza como se muestra en la figura 3.20 en el primer nivel para obtener los desplazamientos y aceleraciones resultantes en el tercer nivel.

63

CAPITULO 3

El objetivo de este ejemplo es mostrar como se calcula la masa e inercia rotacional para cada nivel, además de obtener la respuesta ante un histograma de fuerza. Calculo de la masa e inercia rotacional de la losa de cimentación, se considera la losa de cimentación mas los muros de la serie 1 hasta el nivel 5.3.

FIGURA 3.16 De acuerdo a la figura 3.16 se prepara la siguiente tabla en donde se muestra el calculo de la masa (peso) y de la localización del centroide de la masa 1.

ELEMENTO LOSA DE

DIMENSIONES EN METROS 60.0X50.0X2.0

DENSIDAD (T/M3)

60.0X0.8X5.3 20.0X0.8X5.3 35.0X0.8X5.3 25.0X0.8X5.3 20.0X0.8X5.3 35.0X0.8X5.3

2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4

2.4

PESO (TON) 14,400

DISTANCIA DISTANCIA

X (M) 30.0

Y (M) 25.0

30.0 30.0 17.5 10.4 45.6 59.6

49.6 34.6 0.4 22.5 20.0 17.5

MX (T-M) 432,000

MY (T-M) 360,000

18,318 6,105 6,233 2,646 9,280 21,230 495,812

30,286 7,041 142 5,724 4,070 6,234 413,497

CIMENTACION

MURO A1 MURO B1 MURO C1 MURO D1 MURO E1 MURO F1 TOTAL

610.6 203.5 356.2 254.4 203.5 356.2 16,384

El centro de masa se localiza en: 495,812 X

=

413,497 =

16,384

30.26 mts.

Y

=

= 16,384

25.24 mts.

64

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

La inercia rotacional se calcula haciendo la sumatoria del producto del peso de cada elemento multiplicado por la distancia entre el centroide del elemento y el centroide de la masa total en ese nivel, esta distancia es al cuadrado, por ejemplo, el muro A1 pesa 610.6 Ton. Y se localiza en x = 30.0 mts. y el centroide de la masa total esta en X = 30.26 mts., por lo tanto la distancia entre centroides es de 0.26 mts., por lo tanto la inercia rotacional del elemento A1 es igual a 610.6 X 0.26 X 0.26 = 41.3 T-M2. Calculo de la inercia rotacional. ELEMENTO LOSA CIMENTACION MURO A1 MURO B1 MURO C1 MURO D1 MURO E1 MURO F1

PESO (TON) 14400

DISTANCIA X (M) 0.26

DISTANCIA Y (M) 0.24

IX (T-M2) 973

IY (T-M2) 829

610.6 203.5 356.2 254.4 203.5 356.2

0.26 0.26 12.76 19.86 15.34 29.34

24.36 9.36 24.84 2.74 5.24 7.74

41 14 57996 100340 47997 306630 513881

362336 17828 219785 1910 5588 21339 629615

Calculo de la masa e inercia rotacional del nivel 11.50, masa 2.

FIGURA 3.17

65

CAPITULO 3 Se calcula la masa y el centroide de la masa 2 mediante la siguiente tabla:

ELEMENTO

DIMENSIONES EN METROS 50.0X60.0

DENSIDAD (T/M3)

LOSA 5.0 NIVEL 11.50 MURO A2 50.0X0.8X5.25 2.4 MURO B2 30.0X0.8X5.25 2.4 MURO C2 25.0X0.8X5.25 2.4 MURO D2 20.0X0.8X5.25 2.4 MURO E2 20.0X0.8X5.25 2.4 MURO F2 35.0X0.8X5.25 2.4 MUROS A1, B1, C1, D1, E1, F1 DEL NIVEL 5.3 AL NIVEL 11.50 TOTAL

PESO (TON) 15000

DISTANCIA DISTANCIA

504 302 252 202 202 353 1984

X (M) 30.00

Y (M) 25.00

35.00 25.00 22.50 10.40 45.60 59.60

49.60 34.60 0.40 20.00 20.00 17.50

18799

MX (T-M) 450000

MY (T-M) 375000

17640 7550 5670 2101 9211 21039 63812

24998 10449 101 4040 4040 6178 53497

577023

478303

El centroide de la masa se localiza en: 577023 X =

478303 =

30.69 mts.

Y

=

18799

=

25.44 mts.

18799

Se calcula la inercia rotacional de la masa 2 de acuerdo a la siguiente tabla:

ELEMENTO LOSA NIVEL 11.50 MURO A2 MURO B2 MURO C2 MURO D2 MURO E2 MURO F2 MURO A1 MURO B1 MURO C1 MURO D1 MURO E1 MURO F1

PESO (TON) 15000

X (M)

Y (M)

0.69

0.44

504 302 252 202 202 353 611 204 356 254 203 356

4.31 5.69 8.19 20.29 14.91 28.91 0.69 0.69 13.19 20.29 14.91 28.91

24.16 9.16 25.04 5.44 5.44 7.94 24.16 9.16 25.04 2.94 5.44 7.94

IX (T-M2) 7141

IY (T-M2) 2904

9362 9777 16903 86471 44906 295033 291 97 61935 104568 45128 297540 979152

294188 25339 158004 5978 5978 22254 356644 17117 223212 2195 6007 22443 1142263

66

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA Calculo de la masa y centroide de la masa 3, nivel 22.00

FIGURA 3.18 ELEMENTO

DIMENSIONES EN METROS 50.0X60.0

DENSIDAD (T/M3)

5.0 LOSA NIVEL 22.00 MURO A3 35.0X0.8X6.75 2.4 MURO C3 25.0X0.8X6.75 2.4 MURO D3 20.0X0.8X6.75 2.4 MURO E3 20.0X0.8X6.75 2.4 MUROS A2, B2, C2, D2, E2, F2 DEL NIVEL 15.85 AL NIVEL 21.10 TOTAL

PESO (TON) 15000

DISTANCIA DISTANCIA

454 324 259 259 1815

X (M) 30.00

Y (M) 25.00

27.50 22.50 10.40 44.60

49.60 0.40 20.00 20.00

18111

MX (T-M) 450000

MY (T-M) 375000

12485 7290 2694 11551 63211

22518 130 5180 5180 49806

547231

457814

El centroide de la masa se localiza en:

547231 X =

457814 =

18111

30.21 mts.

Y

=

= 18111

25.28 mts.

67

CAPITULO 3 Se calcula la inercia rotacional de acuerdo a la siguiente tabla: ELEMENTO LOSA NIVEL 22.00 MURO A3 MURO C3 MURO D3 MURO E3 MURO A2 MURO B2 MURO C2 MURO D2 MURO E2 MURO F2

PESO (TON) 15000

X (M)

Y (M)

0.21

0.28

454 324 259 259 504 302 252 202 202 353

2.71 7.71 19.81 14.39 4.79 5.21 7.71 19.81 15.39 29.39

24.32 24.88 5.28 5.28 24.32 9.32 24.88 5.28 5.28 7.78

Calculo de la masa y centroide de la masa 4 nivel 35.50

FIGURA 3.19

IX (T-M2) 661

IY (T-M2) 1176

3334 19260 101641 53632 11564 8197 14980 79272 47844 304911 645296

268524 200560 7220 7220 298097 26232 155992 5631 5631 21366 997649

68

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA Se calcula la masa y centroide de acuerdo a la figura 3.19 DIMENSIONES EN METROS 50.0X35.0

DENSIDAD T/M3

35.0X0.8X7.65 25.0X0.8X7.65 20.0X0.8X7.65 20.0X0.8X7.65

2.4 2.4 2.4 2.4

ELEMENTO LOSA NIVEL 35.50 MURO A3 MURO C3 MURO D3 MURO E3 TOTAL

PESO (TON) 8750

5.0 T/M2

DISTANCIA DISTANCIA

514 367 294 294 10219

X (M) 27.50

Y (M) 25.00

27.50 22.50 10.40 44.60

49.60 0.40 20.00 20.00

MX (T-M2) 240625

MY (T-M2) 218750

14135 8257 3058 13112 279187

25494 147 5880 5880 256151

El centroide de la masa se localiza en: 279187 X =

256151 =

27.32 mts.

Y

=

10219

=

25.07 mts.

10219

Se calcula la inercia rotacional de acuerdo a la siguiente tabla: ELEMENTO LOSA NIVEL 32.50 MURO A2 MURO C2 MURO D2 MURO E2

PESO (TON) 8750

X (M)

Y (M)

0.18

0.07

514 367 294 294 10219

0.18 4.82 16.92 17.28

24.53 24.67 5.07 5.07

IX (T-M2) 284

IY (T-M2) 43

17 8526 84168 87788 180783

309284 223359 7557 7557 547800

Calculo de la rigidez de entrepiso en la dirección x ELEMENTO

DIMENSIONES EN METROS MURO A1 60.0X0.80 MURO B1 20.0X0.80 MURO C1 35.0X0.80 VIGA 1 X

AREA DE CORTANTE (M2) 48.00 16.00 28.00 92.00

0.8X(60)3/12 0.8X(20)3/12 0.8X(35)3/12

MOMENTO DE INERCIA (M4) 14400 533 2858 17791

MURO A2 MURO B2 MURO C2

50.0X0.80 30.0X0.80 25.0X0.80 VIGA 2 X

40.00 24.00 20.00 84.00

0.8X(50)3 /12 0.8X(30)3 /12 0.8X(25)3 /12

333 1800 1042 11175

MURO A3 MURO C3

35.0x0.80 25.0x0.80 VIGA 3 X

28.00 20.00 48.00

0.8X(35)3 /12 0.8X(25)3 /12

2858 1042 3900

La estructura se apoya en un suelo con velocidad de onda de cortante de 800 m/s, un peso volumetrico de 1.8 T/m3 y un modulo de Poisson de 0.38. Los resortes que representan el suelo se calculan de acuerdo a los ejemplos 4 y 5 y los resultados son los siguientes:

69

CAPITULO 3 Kx = 18 179 742 T/M Kψ = 1.769 X 10

10

Mediante el programa DINAFACIL se calcula primero los modos de vibración, ver archivo EJEM12.ENT 1 2 3 4 5 6 7 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 DINAMICO 9.81 MATERIAL 1 2509980. 0.18 0.04 NODO 1 1 0.0 0.0 NODO 2 1 0.0 10.6 NODO 3 1 0.0 21.1 NODO 4 1 0.0 34.6 PESO 1 16384. 513881. PESO 2 18799. 979152. PESO 3 18111. 645296. PESO 4 10219. 180783. VIGA 1 1 2 1 1 VIGA 2 2 3 2 1 VIGA 3 3 4 3 1 PROPIEDAD 1 92.0 92.0 17791.0 PROPIEDAD 2 84.0 84.0 11175.0 PROPIEDAD 3 48.0 48.0 3900.0 RESORTE 1 18179742. 1.769E+10 MODO 1 2 3 4 5 6 7 8

FRECUENCIA (CPS) 3.772 8.827 15.562 21.831 25.708 36.761 48.903 104.548

FACTORES DE PARTICIPACION 1.500 0.652 0.327 0.396 -0.018 0.003 0.0 0.0

PESO MODAL (TON) 42,727 12,444 4,498 3,752 90 2 0.0 0.0

Se aplica el siguiente histograma de fuerza en la masa 2, nivel 11.50

FIGURA 3.20

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

70

Mediante el programa DINAFACIL se determina la aceleración en la masa 3, nivel 35.50, la entrada de datos se presenta a continuación, archivo EJEM12.33 1 2 3 4 5 6 7 8 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 8 20080.005 1 4 X 2 X 100. .000000 .050000 .100000 .150000 .200000 .250000 .300000 .350000 1 .400000 .450000 .500000 .550000 .600000 .650000 .700000 .750000 2 .800000 .850000 .900000 .950000 1.000000 1.050000 1.100000 1.150000 3 1.200000 1.250000 1.300000 1.350000 1.400000 1.450000 1.500000 1.550000 4 1.600000 1.649999 1.699999 1.749999 1.799999 1.849999 1.899999 1.949999 5 1.999999 2.049999 2.099999 2.149999 2.199999 2.249999 2.299999 2.349999 6 2.399999 2.449999 2.499999 2.549999 2.599999 2.649999 2.699999 2.749999 7 2.799999 2.849998 2.899998 2.949998 2.999998 3.049998 3.099998 3.149998 8 3.199998 3.249998 3.299998 3.349998 3.399998 3.449998 3.499998 3.549998 9

Solo se muestran los primeros 56 registros del histograma de fuerza porque puede ser representado fácilmente según la figura 3.20 Mediante el acelerograma de respuesta en la masa 4, nivel 35.50 se obtiene el espectro de respuesta siguiente, ver figura 3.21.

FIGURA 3.21

CAPITULO 4 PROGRAMA DE COMPUTADORA DINAFACIL 4.1 INTRODUCCION Una forma de comprender cabalmente la dinámica estructural y cualquier otra ciencia que nos interese aprender es mediante la elaboración de programas de computadora que describan los procesos de la ciencia en cuestión, porque esto nos obliga a entender todo el proceso por estudiar, entonces la ventaja de las computadoras personales PC es que además de facilitarnos nuestro trabajo podemos mediante la elaboración de programas aprender todo acerca de la ciencia que nos interese. En este libro se presenta el programa DINAFACIL que pretendo que algún día sea equiparable a los grandes programas de análisis estructural tales como el STRUDL, STARDYNE, ALGOR, etc., la ventaja del programa DINAFACIL es que se puede correr en una PC 386 sin coprocesador matemático, en cambio todos los otros programas requieren de una PC 486 o PENTIUM con mucha memoria en RAM y en disco duro, claro que los modelos que se pueden elaborar en esos programas son muy sofisticados, sin embargo, un ingeniero con experiencia puede hacer un modelo simple de una estructura muy complicada y obtener resultados adecuados, por otra parte, si realizamos un modelo muy sofisticado en algún programa grande nos arrojara un gran volumen de resultados que habrá que resumir para poder llegar a la misma conclusión de un modelo simple. El programa DINAFACIL esta escrito en lenguaje FORTRAN5, se divide en los siguientes subprogramas o módulos que se corren independientemente en la computadora.

ENTRADA Este modulo lee el archivo de entrada de datos. Forma la matriz de rigidez individual de cada elemento para posteriormente formar la matriz de rigidez global. Forma la matriz de masa. Almacena los datos necesarios para obtener las fuerzas y momentos en las vigas. Localiza las restricciones del modelo matemático y reduce la matriz de rigidez. En caso de que el tamaño de la matriz de rigidez no coincida con la matriz de masa el programa llama a la subrutina CONDENSA para realizar la condensación de la matriz de rigidez. Escribe en la TAPE.11 la matriz de rigidez global y la matriz de masa de la estructura. Escribe en la TAPE.12 la matriz de rigidez de cada elemento viga así como su matriz de giro.

MODOS Este modulo lee el archivo TAPE.11 generado en el modulo ENTRADA. Se llama a la subrutina JACOBI en donde se determinan los EIGENVALUES y EIGENVECTORS de acuerdo a las ecuaciones 1.13 y 1.14 ver punto 1.3. Se aplica la ecuación 1.12 para obtener los EIGENVECTORS reales. Se determina si existen EIGENVECTORS dependientes, es decir en donde exista grado de libertad sin masa. Se acomodan los EIGENVECTORS correspondientes a cada nodo. Se calculan los factores de participación correspondiente a la dirección "X" y "Y". Se normalizan los EIGENVECTORS, es decir, la respuesta máxima valdrá 1.0 y los demás valores serán relativos a la respuesta máxima.

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

72

Se colocan los EIGENVALUES por orden ascendentes. Se calcula la masa generalizada y el peso generalizado. Se realiza la verificación de las ecuaciones. Escribe en el archivo TAPE.13 los EIGENVALUES, los EIGENVECTORS, los factores de participación en “X” y “Y” para ser leídos por otros módulos del programa. Escribe en el archivo TAPE.6 los resultados para se impresos.

RESPONDE Este modulo lee el archivo TAPE.13 generado en el modulo MODOS. Se determina la frecuencia de cada modo y se llama a la SUBRUTINA "CURESP" , en donde se determina el valor de la aceleración para cada frecuencia modal a partir de un ESPECTRO DE RESPUESTA introducido en los datos de entrada. Se determina la aceleración y el desplazamiento para cada nodo mediante las formulas 1.30 y 1.31. Con los desplazamientos nodales se determinan los elementos mecánicos para cada viga en cada modo. Lee del archivo TAPE.12 los datos de las vigas Se realiza la combinación modal mediante la obtención de la raíz de la sumatoria de la raíz cuadrada de cada modo, para los modos cuya frecuencia es menor al 10 % se suman en forma absoluta. Escribe los resultados en el archivo TAPE.16.

RESHIST Este modulo lee el archivo TAPE.13 generado en el modulo MODOS. Determina la respuesta estructural debida a un acelerograma aplicado en los apoyos de la estructura mediante la subrutina LAPLACE siguiendo el procedimiento descrito en el punto 1.6. Se obtiene los histogramas de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un punto nodal, si se desea obtener la respuesta en otros puntos nodales simplemente se realizan otras corridas cambiando el dato del punto nodal requerido. En el archivo TAPE.31 se introducen los datos de entrada como se indica en el punto 4.3 y en el archivo TAPE.32 se escriben los histogramas de desplazamiento, velocidad y aceleración.

RESFUER Este modulo lee el archivo TAPE.13 generado en el modulo MODOS. Determina la respuesta estructural debida a un histograma de fuerza aplicado en cualquier punto nodal del modelo, obteniéndose los histogramas de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un punto nodal determinado. Este modulo utiliza la subrutina LAPLACE para obtener la respuesta siguiendo el procedimiento descrito en el punto 3.8. En el archivo TAPE.33 se introducen los datos de entrada como se indica en el punto 4.3 y en el archivo TAPE.34 se escriben los histogramas de desplazamiento, velocidad y aceleración.

CARGAS Este modulo lee el archivo TAPE.11 generado en el modulo ENTRADA, además del archivo de datos de entrada. Calcula los desplazamientos nodales y los elementos mecánicos en vigas debido a la aplicación de cargas estáticas. Escribe los resultados en el archivo TAPE.17

AMORTIGU Este modulo lee el archivo de entrada, el archivo TAPE.13 para determinar el

73

CAPITULO 4 amortiguamiento modal, los resultados son impresos en el archivo TAPE.32.

4.2 ESQUEMA DEL PROGRAMA DINAFACIL

MODULO O

LLAMA SUBRUTINA

ES LLAMADO POR MODULO

ESCRIBE EN

LEE DEL

74

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA SUBRUTINA ENTRADA

CONDENSA

O SUBRUTINA

CONDENSA

INVMAT

INVMAT MODOS JACOBI RESPONDE CURESP RESHIST

ARCHIVO 1

6 13

1 11 22

16

1 12 13 1 31 13 11 12

CONDENSA MODOS INVMAT JACOBI MODOS CURESP RESPONDE

16 32

RESHIST RESFUER RESHIST RESFUER

35

AMORTIG LAPLACE

AMORTIG LAPLACE RESFUER

ENTRADA

ARCHIVO 11 12 21 22 11

AMORTIG LAPLACE

34

CURESP CARGAS

INVMAT

RESPONDE 17

AMORTIGU

AMORTIG

35

33 13 1 1 11 12 13

CONTENIDO DE CADA ARCHIVO ARCHIVO.1 ARCHIVO.11

Datos de entrada, ver punto 4.3, archivo ASCII. Contiene la matriz de rigidez global, la matriz de masa, y parámetros de localización de grados de libertad,.archivo BINARIO.

ARCHIVO.12 Contiene la matriz de rigidez y la matriz de giro de cada elemento viga, archivo BINARIO. ARCHIVO.21 Contiene las matrices resultantes del proceso de condensación de la matriz de rigidez, archivo ASCII. ARCHIVO.22 Contiene la matriz para obtener los EIGENVECTORS de los grados de libertad dependientes,.archivo BINARIO. ARCHIVO.6

Contiene resultados del modulo MODOS, archivo ASCII.

ARCHIVO.13

Contiene EIGENVALUES, archivo BINARIO.

EIGENVECTORS,

factores

de

participación,

ARCHIVO.16

Contiene los resultados del modulo RESPONDE, desplazamientos, aceleraciones, elementos mecánicos en viga debidos a la carga dinámica, archivo ASCII.

ARCHIVO.17

Contiene los resultados del modulo CARGAS, desplazamientos y elementos mecánicos en vigas debido a una carga estática, archivo ASCII.

75

CAPITULO 4

ARCHIVO 31 Contiene la entrada de datos para el modulo RESHIST, ver punto 4.3. ARCHIVO 32 Contiene los resultados del modulo RESHIST. ARCHIVO 33 Contiene la entrada de datos para el modulo RESFUER, ver punto 4.3. ARCHIVO 34 Contiene los resultados del modulo RESFUER. ARCHIVO 35 Contiene los resultados del modulo AMORTIGU, es decir los valores del amortiguamiento modal.

4.3 ENTRADA DE DATOS Los datos de entrada para el programa DINAFACIL están indicados por los siguientes registros, los cuales deberán estar dentro de un archivo ASCII para poder ser leídos por el programa que esta en lenguaje FORTRAN. 4.3.1 Entrada de datos general Las siguientes instrucciones son para describir la topología de la estructura, las propiedades de los elementos, y el tipo de análisis por realizar, introducir los datos en el archivo de entrada.

1-8

11-23

ANALISIS

GRAVEDAD

A8

ANALISIS

2X

=

E13.6

En este lugar se colocara la palabra dependiendo del análisis por realizar.

ESTATICO

o

DINAMICO

GRAVEDAD = En este lugar se colocara el valor de la aceleración de la gravedad en unidades consistentes, por ejemplo 9.81 m/s o 386.4 pies/s. El símbolo E13.6 indica que el valor de la gravedad se puede escribir en forma de fracción o en forma exponencial, por ejemplo, 9.81 y 0.981E+01, respectivamente.

1-8

11-12

13-25

26-38

39-51

52-64

MATERIAL

NM

E

POISSON

DENSIDAD

AMORTIGUA MIENTO

I2

E13.6

E13.6

E13.6

E13.6

A8

2X

NM = En este lugar se coloca el numero del material, el cual se relacionara con el material de las vigas. El símbolo I2 indica que el valor se escribe como entero, es decir sin punto decimal. E = En este lugar se coloca el valor del modulo de elasticidad, (YOUNG). POISSON = En este lugar se coloca el valor del modulo de Poisson.

76

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

DENSIDAD = En este lugar se coloca el valor de la densidad, deberá estar en unidades consistentes, en caso de un análisis estático se deberá introducir la carga en los puntos nodales. AMORTIGUAMIENTO = En este lugar se coloca el valor del amortiguamiento puede ser de acuerdo a la guía reguladora 1.61 de la NRC en la que se indica el porcentaje de amortiguamiento para cada material, si no se indica nada se considera del 2%.

1-4

11-12

17-22

26-38

39-51

NODO

N

RES

X

Y

E13.6

E13.6

A4

6X

I2

4X

A6

3X

N = Numero del nodo, puede ser del 1 al 99. RES = Indica las restricciones en el nodo, esta variable consta de 6 valores, el primer valor indica la restricción en la dirección X, el segundo valor la restricción en la dirección Y, el tercer valor la restricción en la dirección Z, el cuarto valor la restricción al giro alrededor del eje X, el quinto valor la restricción al giro alrededor del eje Y, y el sexto valor la restricción al giro alrededor del eje Z, como en el programa DinaFacil únicamente se puede tener modelos en un plano, los valores del tercero al quinto son intrascendentes. Por ejemplo para indicar que un nodo esta empotrado, el valor de RES es "110001", y para un nodo articulado seria "110000". X =

En este lugar se escribe la coordenada en X

Y = En este lugar se escribe la coordenada en Y

1-4

7-8

13-25

26-38

39-51

PESO

N

PX

PY

MZ

I2

E13.6

E13.6

E13.6

A4

6X

N = Nodo en donde se considera el peso aplicado. PX = Peso aplicado en la dirección X. PY = Peso aplicado en la dirección Y. MZ = Peso rotacional alrededor del eje Z, se calcula multiplicando el Peso por la distancia al cuadrado entre el centro de masa y el Nodo.

1-4

7-8

11-12

15-16

19-20

23-24

27-32

VIGA

NV

IN

FI

PROP

MAT

LIB

A4

2X

I2

2

I2

2

IN

2

IN

2

IN

2

A6

77

CAPITULO 4 X

X

X

X

X

NV = Numero de la viga, puede ser del 1 al 99. IN = identificación del nodo inicial de la viga. FI = Identificación del nodo final de la viga. PROP = Identificación del numero de propiedades asignadas a la viga MAT = Identificación del numero de material asignado a la viga. LIB = Indica la liberación de grados de libertad interno de la viga, es decir cuando queremos que la viga este articulada en un extremo, independientemente de la rotación del nodo se colocara el valor de 1 en la columna 29 sí la articulación esta en el extremo del inicio de la viga; Y se colocara un valor de 1 en la columna 32 sí la articulación esta en el extremo final de la viga. Si se desea que la viga sea continua con el resto de la estructura se dejara en blanco este espacio.

1-9

11-12

13-25

26-38

39-51

PROPIEDAD

NP

A

AV

IZ

I2

E13.6

E13.6

E13.6

A9

1X

NP = Identificación del numero de material, el cual se relaciona con la propiedad de las viga. A = Area de la sección de la viga. AV = Area de cortante de la viga. IZ = Momento de inercia de la viga.

1-9

11-12

13-25

26-38

39-51

RESORTE

N

RESX

RESY

RESMZ

I2

E13.6

E13.6

E13.6

A7

3X

N = Identificación del nodo en donde se aplica el resorte estructura.

externo

a

la

RESX = Valor del resorte en la dirección X. RESY = Valor del resorte en la dirección Y. RESMZ = Valor del resorte de rotación alrededor de la dirección Z. 4.3.2 Entrada de datos para el modulo RESPONDE. En este modulo se aplica un espectro de respuesta en la base de la estructura

78

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA mediante las siguientes instrucciones en el archivo de entrada.

1-19

21-25

26-30

TIPO DE ESPECTRO

NP

TIPO

I5

I5

A19

1X

TIPO DE ESPECTRO = En este lugar se escribe "ESPECTRO HORIZONTAL" o "ESPECTRO VERTICAL" dependiendo del tipo de espectro que se vaya aplicar. NP = Numero de puntos en el espectro. TIPO = Escribir un "1" en la columna 30 si el espectro de respuesta esta escrito en PERIODO-ACELERACION, o escribir "0" en la columna 30 si el espectro de respuesta esta escrito en FRECUENCIA-ACELERACION. Posteriormente se escribe el espectro de respuesta con el siguiente formato:

11-20

21-30

FRECUENCIA O PERIODO

ACELERACION

F10.3

F10.3

10X

4.3.3 Entrada de datos para el modulo CARGAS Mediante este modulo se realiza el análisis estático de la estructura, aplicando hasta 10 condiciones de carga las cuales pueden ser combinadas en 10 diferentes formas. El programa solo admite que se aplique carga en los nodos, por lo que las cargas actuantes en los elementos deberán ser trasladadas a los nodos extremos.

1-5

11-12

CARGA

NCON

A5

5X

I2

NCON = Numero de condiciones de carga por aplicar.

1-10

13-14

17-18

26-38

39-51

52-64

CARGA NODO

NC

NODO

FX

FY

MZ

E13.6

E13.6

E13.6

A10

2 X

I2

2 X

I2

7 X

79

CAPITULO 4

NC = Numero de condición de carga. NODO = Identificación del nodo en donde se aplica la carga. FX = Fuerza en la dirección X. FY = Fuerza en dirección Y. MZ = Momento alrededor del eje Z.

1-7

8-67

COMBINA

TITULO DE LA COMBINACION

A7

A70

TITULO

10X

DE

LA

COMBINACION

= En este lugar se combinación de carga.

escribe

el

titulo

11-15

16-20

21-25

26-30

31-35

36-40

41-45

46-50

51-55

56-60

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

C10

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

F5.2

de

la

C1 . . . C10 = En estos lugares se escribe el factor por el que se multiplica cada condición de carga, (como máximo 10 condiciones de carga), para cada combinación, por ejemplo: Supongamos que deseamos combinar la condición 1 con la condición 2 aplicando factores de 1.4 y 1.7 respectivamente, y además combinar las anteriores condiciones con la condición 3 aplicando un factor de 1.7 y para la segunda combinación multiplicarla por 0.75. Las instrucciones de ambas combinaciones quedaría:

COMBINA COMBINA

TITULO 1.4 CM + 1.7 CV 1.4 1.7 TITULO 0.75 ( 1.4 CM + 1.7 CV + 1.7 S ) 1.05 1.2751.275

4.3.4 Entrada de datos para el modulo RESHIST. Con este modulo se determina el acelerograma de respuesta para un nodo determinado de un modelo matemático de una estructura a la cual se le aplica un acelerograma en los apoyos de la estructura. Previo a la aplicación de este modulo se deberán aplicar los módulos de ENTRADA y MODOS. La entrada de datos se localizara en la cinta 31 con los siguientes registros:

80

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA PRIMER REGISTRO (FILA) DEL ARCHIVO

1-5

6-10

11-15

19

21-25

30

NM

NP

IT

DA

NODO

DN

I5

I5

F5.3

A1

I5

4X

4X

A1

En donde: NM = numero de modos que se incluirán en el análisis, puede ser el numero total de modos extraídos del modelo, o un numero menor, dependiendo de la precisión deseada. NP = numero de puntos del acelerograma, se deberá iniciar con el tiempo 0.0 y valor de aceleración de 0.0. IT = intervalo de tiempo del acelerograma. DA = dirección en la que se aplica el acelerograma de entrada, puede ser H para horizontal o V para vertical. NODO = nodo en donde se desea obtener el acelerograma de respuesta. DN = dirección en la que se desea obtener el acelerograma de respuesta, puede ser X, Y, o Z, en donde Z indica un acelerograma de respuesta rotacional. SEGUNDO REGISTRO EN ADELANTE A continuación del primer registro se coloca el acelerograma de entrada en formato 8F9.6 como se muestra a continuación:

1-9

10-18

19-27

28-36

37-45

46-54

55-63

64-72

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

En donde: A1, A2, ...., AN = son los valores de aceleración en unidades de gravedad para cada punto del intervalo de tiempo. 4.3.5 Entrada de datos para el modulo RESFUER. Con este modulo se determina los histogramas de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un nodo determinado de un modelo matemático de una estructura a la cual se le aplica un histograma de fuerza que se aplica en varios nodos de la estructura. Previo a la aplicación de este modulo se deberán aplicar los módulos de ENTRADA y MODOS. La entrada de datos se localizara en la cinta 33 con los siguientes registros:

81

CAPITULO 4 PRIMER REGISTRO (fila) DEL ARCHIVO 1-5

6-10

11-15

16-20

21-25

30

NM

NP

IT

NN

NODO

DN

I5

I5

F5.3

I5

I5

4X

A1

En donde: NM = numero de modos que se incluirán en el análisis, puede ser el numero total de modos extraídos del modelo, o un numero menor, dependiendo de la precisión deseada. NP = numero de puntos del acelerograma, se deberá iniciar con el tiempo 0.0 y valor de aceleración de 0.0. IT = intervalo de tiempo del acelerograma. NN = numero de nodos en donde se aplica el histograma de fuerzas NODO = nodo en donde se desea obtener los histogramas de respuesta. DN = dirección en la que se desea obtener los histogramas de respuesta, puede ser X, Y, o Z, en donde Z indica un acelerograma de respuesta rotacional. SEGUNDO REGISTRO EN ADELANTE hasta completar el numero de nodos en donde se aplica el histograma de fuerzas.

1-5

10

11-23

NODE

DN

F

A1

E13.6

I5

4X

En donde: NODE = nodo en donde se aplica el histograma de fuerza. DN = dirección en la que se aplica el histograma de fuerza, puede ser X, Y, o Z, en donde Z indica un histograma de momento alrededor del eje “Z”. F = valor de la fuerza o momento en ese nodo. A continuación se coloca el histograma de fuerzas de entrada en formato 8F9.6 como se muestra abajo:

1-9

10-18

19-27

28-36

37-45

46-54

55-63

64-72

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

F9.6

En donde:

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

82

F1, F2, ...., FN = son los valores del histograma de fuerzas en unidades consistentes para cada punto del intervalo de tiempo.

4.4 INSTRUCCIONES PARA USAR EL PROGRAMA DINAFACIL El programa

DINAFACIL se corre en el ambiente DOS.

PRIMERO crear el archivo de entrada de datos como se explico en el punto 4.3, este archivo puede tener cualquier nombre, se recomienda que la extensión sea “.ENT”.

SEGUNDO proceder a correr el modulo ENTRADA, simplemente escriba ENTRADA desde el ambiente DOS y oprimir la tecla ENTER, aparecerá lo siguiente: ENTRADA FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 1? Escribir el nombre del archivo de entrada de datos y oprimir la tecla ENTER, aparecerá el siguiente mensaje: UNIT 12? Escribir el nombre del archivo que será creado, se recomienda poner el mismo nombre del archivo de entrada pero con extensión “.12”, oprimir la tecla ENTER, aparecerá lo siguiente: UNIT 11? Escribir el nombre del archivo que será creado, poner el mismo nombre del archivo de entrada pero con extensión “.11”, oprimir la tecla ENTER y terminara el programa. En caso de que el modulo ENTRADA detecte que sea necesario condensar la matriz de rigidez, pedirá nombre para la UNIT 21 y UNIT 22, se recomienda seguir el mismo procedimiento anterior.

TERCERO, para el caso de un análisis dinámico se procede a correr el modulo MODOS, (previamente se deberá haber corrido el modulo ENTRADA), simplemente escriba MODOS y oprima la tecla ENTER, solicitara los nombres de varios archivos como se muestra a continuación: MODOS [ENTER] FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 6? ARCHIVO.6 [ENTER] UNIT 1? ARCHIVO.ENT [ENTER] UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER] UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER] En el ARCHIVO.6 se encontraran los resultados de este modulo.

CAPITULO 4

83

CUARTO, para el caso de un análisis espectral, en el archivo de datos de entrada deberá estar el espectro de respuesta., se procederá a correr el modulo RESPONDE como se muestra a continuación, (previamente se deberá haber corrido los módulos ENTRADA y MODOS): RESPONDE [ENTER] FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 16? ARCHIVO.16 [ENTER] UNIT 1? ARCHIVO.ENT [ENTER] UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER] UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER] En el ARCHIVO.16 se encontraran los resultados de este modulo.

QUINTO, para el caso de un análisis aplicando un acelerograma en el apoyo tenemos que aplicar el modulo RESHIST, (previamente se deberá haber corrido los módulos ENTRADA y MODOS), proceder como se muestra a continuación: RESHIST [ENTER] FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 31? ARCHIVO.31 [ENTER] UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER] UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER] UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER] UNIT 32? ARCHIVO.32 [ENTER] En el ARCHIVO.32 se encontrara el resultado de este modulo.

SEXTO, para el caso de un análisis aplicando un histograma de fuerza en cualquier punto de la estructura tenemos que aplicar el modulo RESFUER, (previamente se deberá haber corrido los módulos ENTRADA y MODOS), proceder como se muestra a continuación: RESFUER [ENTER] FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 33? ARCHIVO.33 [ENTER] UNIT 13? ARCHIVO.13 [ENTER] UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER] UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER] UNIT 34? ARCHIVO.34 [ENTER] En el ARCHIVO.34 se encontrara el resultado de este modulo.

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

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SEPTIMO, para el caso de un análisis estático se procede a correr el modulo CARGAS, (previamente se deberá haber corrido el modulo ENTRADA), proceder como se muestra a continuación: CARGAS [ENTER] FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 17? ARCHIVO.17 [ENTER] UNIT 1? ARCHIVO.ENT [ENTER] UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER] UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER] En el ARCHIVO.17 se encontraran los resultados de este modulo.

OCTAVO, si se requiere determinar el amortiguamiento modal se procederá a correr el modulo AMORTIGU, (previamente se deberá haber corrido los módulos de ENTRADA y MODOS), proceder como sigue: AMORTIGU [ENTER] FILE NAME MISSING OR BLANK – PLEASE ENTER NAME UNIT 13? ARCHIVO.17 [ENTER] UNIT 11? ARCHIVO.11 [ENTER] UNIT 12? ARCHIVO.12 [ENTER] En el ARCHIVO.35 se encontraran los resultados de este modulo.

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

85

4.5 LISTADO DEL PROGRAMA DINAFACIL

ENTRADA.FOR $LARGE $DEBUG PROGRAM ENTRADA C C C

ENTRADA DE DATOS , FORMACION DE MATRIZ DE RIGIDEZ Y MATRIZ DE MASA DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION

NM(10),TE(10),TGE(10),TDEN(10),DAMP(10) NNN(50),X(50),Y(50),ARES(50) NNV(80),INI(80),IFI(80),NPRO(80),NMAT(80),AVRES(80) AKV(6,6),ALB(6,6),ALBT(6,6) AKV1(6,6),AKV2(6,6),INK(6) AK(70,70),AM(150),NR(150),AMM(70,70),AKG(80,80) NPRP(80),TA(80),TAV(80),TAIZ(80)

CHARACTER*80 REG CHARACTER*6 ARES,AVRES COMMON/RIGI/AK COMMON/CONDE/NR,AM WRITE(*,113) 200 READ(1,100,END=300) REG IF(REG(1:8).EQ.'ESTATICO') THEN READ(REG,101) G ITIPO=1 GO TO 200 ELSEIF(REG(1:8).EQ.'DINAMICO') THEN READ(REG,101) G ITIPO=2 GO TO 200 ELSEIF(REG(1:8).EQ.'MATERIAL') THEN NNM=NNM+1 READ(REG,102) NM(NNM),TE(NNM),POI,TDEN(NNM),DAMP(NNM) TGE(NNM)=TE(NNM)/(2.*(1.+POI)) GO TO 200 ELSEIF(REG(1:4).EQ.'NODO') THEN NN=NN+1 READ(REG,103) NNN(NN),ARES(NN),X(NN),Y(NN) GO TO 200 ELSEIF(REG(1:7).EQ.'RESORTE') THEN READ(REG,114) NRES,RESX,RESY,RESZ DO 3001 I=1,NN IF(NRES.EQ.NNN(I)) GO TO 3002 3001 CONTINUE WRITE(*,116) STOP 3002 CONTINUE NRES=I NN=NN+1

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA NNN(NN)=NN ARES(NN)='110001' X(NN)=X(I) Y(NN)=Y(I)-1.0 NV=NV+1 NNV(NV)=NV INI(NV)=NN IFI(NV)=NNN(I) NPRO(NV)=99 NMAT(NV)=99 AVRES(NV)=' ' NNM=NNM+1 NPR=NPR+1 NM(NNM)=99 NPRP(NPR)=99 TE(NNM)=1.0 TGE(NNM)=1.0 TDEN(NNM)=0.0 DAMP(NNM)=1.0 TA(NPR)=0.0 TAV(NPR)=0.0 TAIZ(NPR)=0.0 GO TO 200 ELSEIF(REG(1:4).EQ.'PESO') THEN READ(REG,104) NP,PPX,PPY,PPMZ DO 210 I=1,NN IF(NP.EQ.NNN(I)) THEN NW=I*3-2 AM(NW)=PPX NW=NW+1 AM(NW)=PPY NW=NW+1 AM(NW)=PPMZ GO TO 200 ENDIF 210 CONTINUE WRITE(*,108) STOP ELSEIF(REG(1:4).EQ.'VIGA') THEN NV=NV+1 READ(REG,105) NNV(NV),INI(NV),IFI(NV),NPRO(NV),NMAT(NV),AVRES(NV) GO TO 200 ELSEIF(REG(1:9).EQ.'PROPIEDAD') THEN NPR=NPR+1 READ(REG,117) NPRP(NPR),TA(NPR),TAV(NPR),TAIZ(NPR) GO TO 200 ENDIF GO TO 200 300 CONTINUE

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CAPITULO 4 C C C

PROGRAMA DINAFACIL

FORMACION DE MATRIZ DE CADA ELEMENTO VIGA

DO 310 I=1,NV IIN=INI(I) IIF=IFI(I) DO 315 J=1,NN IF(IIN.EQ.NNN(J)) THEN IIN=J GO TO 316 ENDIF 315 CONTINUE NE=315 WRITE(*,107) NE STOP 316 CONTINUE DO 317 J=1,NN IF(IIF.EQ.NNN(J)) THEN IIF=J GO TO 318 ENDIF 317 CONTINUE NE=317 WRITE(*,107) NE STOP 318 CONTINUE XX1=X(IIN) YY1=Y(IIN) XX2=X(IIF) YY2=Y(IIF) AL=SQRT((XX1-XX2)**2+(YY1-YY2)**2) ALOX=(XX2-XX1)/AL AMOX=(YY2-YY1)/AL ALOY=-(YY2-YY1)/AL AMOY=ALOX DO 371 IJK=1,NNM IF(NM(IJK).EQ.NMAT(I)) THEN E=TE(IJK) GE=TGE(IJK) DEN=TDEN(IJK) DAM=DAMP(IJK) GO TO 372 ENDIF 371 CONTINUE WRITE(*,107) 372 CONTINUE DO 381 IJK=1,NPR IF(NPRP(IJK).EQ.NPRO(I)) THEN A=TA(IJK) AV=TAV(IJK) AIZ=TAIZ(IJK) GO TO 382

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DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA ENDIF 381 CONTINUE WRITE(*,107) 382 CONTINUE PAD=AL*DEN*A/2.0 NW=IIN*3-2 AM(NW)=AM(NW)+PAD NW=NW+1 AM(NW)=AM(NW)+PAD NW=IIF*3-2 AM(NW)=AM(NW)+PAD NW=NW+1 AM(NW)=AM(NW)+PAD IF(AV.EQ.0.0) THEN PHY=0.0 ELSE PHY=12.*E*AIZ/(GE*AV*AL**2) ENDIF AKV(1,1)=E*A/AL AKV(4,1)=-AKV(1,1) AKV(2,2)=12.*E*AIZ/(AL**3*(1.+PHY)) AKV(3,2)=AKV(2,2)*AL/2. AKV(5,2)=-AKV(2,2) AKV(6,2)=AKV(3,2) AKV(3,3)=(4.+PHY)*E*AIZ/(AL*(1+PHY)) AKV(5,3)=-AKV(3,2) AKV(6,3)=(2.-PHY)*E*AIZ/(AL*(1.+PHY)) AKV(4,4)=AKV(1,1) AKV(5,5)=AKV(2,2) AKV(6,5)=AKV(5,3) AKV(6,6)=AKV(3,3) AKV(1,4)=AKV(4,1) AKV(2,3)=AKV(3,2) AKV(2,5)=AKV(5,2) AKV(2,6)=AKV(6,2) AKV(3,5)=AKV(5,3) AKV(3,6)=AKV(6,3) AKV(5,6)=AKV(6,5) READ(AVRES(I),106) NR1,NR2,NR3,NR4,NR5,NR6 IF(NR3.EQ.1) THEN AKV(3,2)=0.0 AKV(3,3)=0.0 AKV(3,5)=0.0 AKV(3,6)=0.0 ENDIF IF(NR6.EQ.1) THEN AKV(6,2)=0.0 AKV(6,3)=0.0 AKV(6,5)=0.0 AKV(6,6)=0.0 ENDIF

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CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

WRITE(12) NNV(I),IIN,IIF,DAM DO 320 J=1,6 320 WRITE(12)AKV(J,1),AKV(J,2),AKV(J,3),AKV(J,4),AKV(J,5),AKV(J,6) ALB(1,1)=ALOX ALB(1,2)=AMOX ALB(2,1)=ALOY ALB(2,2)=AMOY ALB(3,3)=1. ALB(4,4)=ALB(1,1) ALB(4,5)=ALB(1,2) ALB(5,4)=ALB(2,1) ALB(5,5)=ALB(2,2) ALB(6,6)=ALB(3,3) DO 322 J=1,6 322 WRITE(12)ALB(J,1),ALB(J,2),ALB(J,3),ALB(J,4),ALB(J,5), +ALB(J,6) DO 321 J=1,6 DO 321 K=1,6 ALBT(J,K)=ALB(K,J) AKV1(J,K)=0.0 AKV2(J,K)=0.0 321 CONTINUE DO 331 J=1,6 DO 331 K=1,6 DO 331 L=1,6 331 AKV1(J,K)=AKV1(J,K)+ALBT(J,L)*AKV(L,K) DO 332 J=1,6 DO 332 K=1,6 DO 332 L=1,6 332 AKV2(J,K)=AKV2(J,K)+AKV1(J,L)*ALB(L,K) INK(1)=IIN*3-2 INK(2)=IIN*3-1 INK(3)=IIN*3 INK(4)=IIF*3-2 INK(5)=IIF*3-1 INK(6)=IIF*3 DO 350 J=1,6 NK1=INK(J) DO 350 K=1,6 NK2 =INK(K) AKG(NK1,NK2)=AKG(NK1,NK2)+AKV2(J,K) 350 CONTINUE 310 CONTINUE NN3=NN*3 DO 400 I=1,NN READ(ARES(I),109) NRX,NRY,NRZ

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DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA IF(NRX.EQ.1) THEN NJ=I*3-2 NR(NJ)=NRX ENDIF IF(NRY.EQ.1) THEN NJ=I*3-1 NR(NJ)=NRY ENDIF IF(NRZ.EQ.1) THEN NJ=I*3 NR(NJ)=NRZ ENDIF 400 CONTINUE IF(NRES.NE.0) THEN NRX=NRES*3-2 NRY=NRES*3-1 NRZ=NRES*3 IF(RESX.GT.0.0) THEN AKG(NRX,NRX)=AKG(NRX,NRX)+RESX ENDIF IF(RESY.GT.0.0) THEN AKG(NRY,NRY)=AKG(NRY,NRY)+RESY ENDIF IF(RESZ.GT.0.0) THEN AKG(NRZ,NRZ)=AKG(NRZ,NRZ)+RESZ ENDIF ENDIF C

REDUCCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ NJ=0 DO 450 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.0) THEN NJ=NJ+1 NK=0 ELSE GO TO 450 ENDIF DO 455 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.0) THEN NK=NK+1 AK(NJ,NK)=AKG(I,J) ELSE GO TO 455 ENDIF 455 CONTINUE 450 CONTINUE IF(ITIPO.EQ.1) GO TO 998

C

VERIFICACION SI SE NECESITA CONDENSAR LA MATRIZ DO 490 I=1,NN3

90

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

IF(NR(I).EQ.0.AND.AM(I).EQ.0.0) THEN GO TO 996 ENDIF 490 CONTINUE GO TO 998 996 CONTINUE CALL CONDENSA(NN3,NJ,G) GO TO 999 998 CONTINUE WRITE(11) NJ,G DO 500 I=1,NJ 500 WRITE(11) (AK(I,J),J=1,NJ) IF(ITIPO.EQ.1) GO TO 995 999 CONTINUE DO 501 I=1,NN3 IF(AM(I).NE.0.0) THEN NMA=NMA+1 AMM(NMA,NMA)=AM(I)/G ENDIF 501 CONTINUE DO 502 I=1,NMA 502 WRITE(11) (AMM(I,J),J=1,NMA) 995 CONTINUE WRITE(11) NN3,NN,NV DO 503 I=1,NN3 WRITE(11) NR(I) 503 CONTINUE DO 504 I=1,NN3 504 WRITE(11) AM(I) DO 505 I=1,NN 505 WRITE(11) NNN(I) DO 510 I=1,NN3 510 WRITE(11) (AKG(I,J),J=1,NN3) 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112

FORMAT(A80) FORMAT(10X,E13.6) FORMAT(10X,I2,4E13.6) FORMAT(10X,I2,4X,A6,3X,2E13.6) FORMAT(10X,I2,3E13.6) FORMAT(6X,I2,2X,I2,2X,I2,2X,I2,2X,I2,2X,A6) FORMAT(6I1) FORMAT(34H * * ERROR EN DATOS DE ENTRADA * *,I3) FORMAT(34H * * NO ENCONTRO NODO CARGADO * *) FORMAT(2I1,3X,I1) FORMAT(I5,E13.6) FORMAT(6E13.6) FORMAT(8HELEMENTO,1X,I2,1X,I2,1X,I2,1X,I2,1X,I2)

91

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA 113 FORMAT(///,1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,////) 114 FORMAT(10X,I2,3E13.6) 115 FORMAT(10X,A70) 116 FORMAT(1X,22HNO ENCONTRO EL RESORTE) 117 FORMAT(10X,I2,3E13.6) END

CONDENSA.FOR $LARGE $DEBUG SUBROUTINE CONDENSA(NN3,NJ,G) C C C

PROGRAMA PARA CONDENSAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DIMENSION AK(70,70) DIMENSION A(70,70),B(70,70),D(70,70) DIMENSION E(70,70),F(70,70) DIMENSION EM(70,70) DIMENSION AME(70,70),AI(70,70) DIMENSION NR(150),AM(150),N(70),NMAS(150) COMMON/INVM/AME,AI COMMON/RIGI/AK COMMON/CONDE/NR,AM WRITE(21,101) DO 600 I=1,NJ WRITE(21,108) I DO 610 J=NJ,1,-1 IF(AK(I,J).NE.0.0) THEN WRITE(21,112) (AK(I,K),K=I,J) GO TO 600 ENDIF 610 CONTINUE 600 CONTINUE

C C C

FORMACION DE MATRICES DO 300 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.0) THEN

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CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

JJ=JJ+1 IF(AM(I).EQ.0.0) THEN NC=NC+1 N(NC)=JJ ELSE NM=NM+1 NMAS(NM)=JJ ENDIF ENDIF 300 CONTINUE DO 301 I=1,NC K=N(I) DO 301 J=1,NC L=N(J) AME(I,J)=AK(K,L) 301 CONTINUE DO 302 I=1,NM K=NMAS(I) DO 302 J=1,NM L=NMAS(J) F(I,J)=AK(K,L) 302 CONTINUE WRITE(21,103) DO 803 I=1,NC WRITE(21,108) I 803 WRITE(21,111) (AME(I,J),J=1,NC) NM=NJ-NC C

B(NC,NM) DO 311 I=1,NC K=N(I) JJ=0 DO 312 J=1,NJ DO 313 L=1,NC IF(N(L).EQ.J) GO TO 312 313 CONTINUE JJ=JJ+1 B(I,JJ)=AK(K,J) 312 CONTINUE 311 CONTINUE

WRITE(21,104) DO 804 I=1,NC WRITE(21,108) I 804 WRITE(21,111) (B(I,J),J=1,NM) C

A(NM,NC) DO 321 I=1,NC

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DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA K=N(I) JJ=0 DO 322 J=1,NJ DO 323 L=1,NC IF(N(L).EQ.J) GO TO 322 323 CONTINUE JJ=JJ+1 A(JJ,I)=AK(J,K) 322 CONTINUE 321 CONTINUE WRITE(21,105) DO 805 I=1,NM WRITE(21,108) I 805 WRITE(21,111) (A(I,J),J=I,NC) C INVERTIR MATRIZ C IF(NC.EQ.1) THEN AI(1,1)=1./AME(1,1) GO TO 400 ENDIF CALL INVMAT(NC) 400 CONTINUE C MULTIPLICACION DE MATRIZ

-AI(NC,NC) X B(NC,NM)

WRITE(22) NC,NM DO 701 I=1,NC DO 701 J=1,NM DO 701 K=1,NC 701 EM(I,J)=EM(I,J)-AI(I,K)*B(K,J) DO 702 I=1,NC DO 702 J=1,NM 702 WRITE(22) EM(I,J) WRITE(21,109) DO 703 I=1,NC WRITE(21,108) I 703 WRITE(21,111) (EM(I,J),J=1,NM) C MULTIPLICACION DE MATRIZ

A(NM,NC) x AI(NC,NC)

DO 411 I=1,NM DO 411 J=1,NC DO 411 K=1,NC 411 D(I,J)=D(I,J)+A(I,K)*AI(K,J) C MULTIPLICACION D(NM,NC) X B(NC,NM) DO 412 I=1,NM

= E(NM,NM)

= D(NM,NC)

CAPITULO 4

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PROGRAMA DINAFACIL

DO 412 J=1,NM DO 412 K=1,NC 412 E(I,J)=E(I,J)+D(I,K)*B(K,J) C RESTA DE MATRIZ WRITE(21,106) DO 806 I=1,NM WRITE(21,108) I 806 WRITE(21,111) (F(I,J),J=1,NM) DO 601 I=1,NM DO 601 J=1,NM 601 F(I,J)=F(I,J)-E(I,J) WRITE(21,107) WRITE(11) NM,G DO 807 I=1,NM WRITE(21,108) I WRITE(21,111) (F(I,J),J=I,NM) WRITE(11) (F(I,J),J=1,NM) 807 CONTINUE RETURN 101 103 104 105 106 107 108 109 111 112

FORMAT(40H MATRIZ PRINCIPAL FORMAT(40H MATRIZ A INVERTIR FORMAT(40H MATRIZ ABAJO FORMAT(40H MATRIZ A UN LADO FORMAT(40H MATRIZ REDUCIDA FORMAT(40H MATRIZ DE RIGIDEZ FINAL FORMAT(6H FILA ,I4) FORMAT(40H MATRIZ EM FORMAT(6E13.6) FORMAT(4(E16.9,3X)) END

INVMAT.FOR $LARGE $DEBUG SUBROUTINE INVMAT(MM) C C C C

SUBRUTINA PARA INVERTIR MATRICES METODO DE CHOLESKI DIMENSION AME(70,70),AL(70,70),AU(70,70),AM(70,70) DIMENSION AN(70,70),AI(70,70) COMMON/INVM/AME,AI DO 200 I=1,MM DO 200 J=1,MM FM=0.0 IF(I.LT.J) GO TO 270 K=J-1 IF(K.EQ.0) GO TO 250

) ) ) ) ) ) )

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA DO 240 IR=1,K 240 FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM 250 AL(I,J)=AME(I,J)-FM GO TO 200 270 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 320 DO 310 IR=1,K 310 FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM 320 AU(I,J)=(AME(I,J)-FM)/AL(I,I) 200 CONTINUE DO 210 I=1,MM 210 AU(I,I)=1.0 DO 400 I=1,MM DO 400 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 450 IF(I.GT.J) GO TO 470 AM(I,J)=0.0 GO TO 400 450 AM(I,J)=1.0/AL(I,J) GO TO 400 470 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 520 DO 510 IR=1,K 510 FM=AL(I,IR)*AM(IR,J)+FM 520 AM(I,J)=-FM/AL(I,I) 400 CONTINUE DO 700 I=1,MM DO 700 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 620 IF(I.LT.J) GO TO 640 AN(I,J)=0.0 GO TO 700 620 AN(I,J)=1.0 GO TO 700 640 K=J-1 IF(K.EQ.0) GO TO 690 DO 680 IR=1,K 680 FM=AN(I,IR)*AU(IR,J)+FM 690 AN(I,J)=-FM 700 CONTINUE DO 800 I=1,MM DO 800 J=1,MM DO 800 K=1,MM 800 AI(I,J)=AN(I,K)*AM(K,J)+AI(I,J) RETURN END

MODOS.FOR $LARGE $DEBUG INTERFACE TO SUBROUTINE TIME (N,STR)

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CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END INTERFACE TO SUBROUTINE DATE (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END PROGRAM MODOS C C C

PROGRAMA PARA DETERMINAR LOS MODOS DE VIBRACION DE UNA ESTRUCTURA DIMENSION AK(70,70),AM(70,70),A(70,70),VA(70,70),V(70,70) DIMENSION AME(70,70),AI(70,70),VX(70,70),VY(70,70),RG(70,70) DIMENSION FPX(70),FPY(70),PMX(70),PMY(70),AMX(70),AMY(70) DIMENSION NR(150),AM2(150),NNN(50),NC(150),EM(70,70),VV(150,70) CHARACTER*80 REG CHARACTER*10 TSTR,DSTR COMMON/A/A,VA COMMON/INVM/AME,AI PHI=3.1415927 WRITE(6,116) CALL DATE (10,DSTR) CALL TIME (10,TSTR) WRITE (6,118) DSTR,TSTR 190 READ(1,117,END=191) REG WRITE(6,117) REG GO TO 190 191 CONTINUE READ(11) N,G DO 200 I=1,N 200 READ(11) (AK(I,J),J=1,N)

201

202 203 204

DO 201 I=1,N READ(11) (AM(I,J),J=1,N) CONTINUE READ(11) NN3,NN,NV DO 202 I=1,NN3 READ(11) NR(I) DO 203 I=1,NN3 READ(11) AM2(I) DO 204 I=1,NN READ(11) NNN(I) WRITE(13) N,NN,NV,NN3,G

DO 301 I=1,N DO 301 J=1,N 301 AME(I,J)=SQRT(AM(I,J)) CALL INVMAT(N) DO 305 I=1,N

97

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA DO 305 J=1,N DO 305 K=1,N 305 A(I,J)=A(I,J)+AI(I,K)*AK(K,J) DO 306 I=1,N DO 306 J=1,N DO 306 K=1,N 306 V(I,J)=V(I,J)+A(I,K)*AI(K,J) DO 307 I=1,N DO 307 J=1,N A(I,J)=V(I,J) V(I,J)=0.0 307 CONTINUE CALL JACOBI(N) DO 451 I=1,N DO 451 J=1,N DO 451 K=1,N 451 V(I,J)=V(I,J)+AI(I,K)*VA(K,J) C

ACOMODO DE EIGENVECTORS DO 560 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.1) THEN NC(I)=1 ENDIF IF(NR(I).EQ.0.AND.AM2(I).GT.0.0) THEN NC(I)=2 ENDIF IF(NR(I).EQ.0.AND.AM2(I).EQ.0.0) THEN NC(I)=3 ICLA=1 ENDIF 560 CONTINUE IF(ICLA.EQ.1) THEN READ(22) I1,I2 DO 565 I=1,I1 DO 565 J=1,I2 565 READ(22) EM(I,J) ENDIF DO 570 I=1,N II=0 JJ=0 DO 580 J=1,NN3,3

C

DIRECCION X IF(NC(J).EQ.1) THEN VV(J,I)=0.0 GO TO 581 ENDIF IF(NC(J).EQ.2) THEN

98

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

JJ=JJ+1 VV(J,I)=V(JJ,I) GO TO 581 ENDIF IF(NC(J).EQ.3) THEN II=II+1 DO 583 K=1,I2 583 VV(J,I)=VV(J,I)+EM(II,K)*V(K,I) ENDIF C

DIRECCION Y 581 CONTINUE IF(NC(J+1).EQ.1) THEN VV(J+1,I)=0.0 GO TO 582 ENDIF IF(NC(J+1).EQ.2) THEN JJ=JJ+1 VV(J+1,I)=V(JJ,I) GO TO 582 ENDIF IF(NC(J+1).EQ.3) THEN II=II+1 DO 584 K=1,I2 584 VV(J+1,I)=VV(J+1,I)+EM(II,K)*V(K,I) ENDIF

C

DIRECCION Z 582 CONTINUE IF(NC(J+2).EQ.1) THEN VV(J+2,I)=0.0 GO TO 580 ENDIF IF(NC(J+2).EQ.2) THEN JJ=JJ+1 VV(J+2,I)=V(JJ,I) GO TO 580 ENDIF IF(NC(J+2).EQ.3) THEN II=II+1 DO 585 K=1,I2 585 VV(J+2,I)=VV(J+2,I)+EM(II,K)*V(K,I) ENDIF 580 CONTINUE 570 CONTINUE

99

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA C

NORMALIZACION DE EIGENVECTORS A 1 DO 500 J=1,N VMAX=ABS(VV(1,J)) II=0 DO 501 I=2,NN3 IF(ABS(VV(I,J)).GT.VMAX) THEN VMAX=ABS(VV(I,J)) ENDIF 501 CONTINUE DO 502 I=1,NN3 VV(I,J)=VV(I,J)/VMAX 502 CONTINUE DO 503 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.0.AND.AM2(I).GT.0.0) THEN II=II+1 V(II,J)=VV(I,J) ENDIF 503 CONTINUE 500 CONTINUE

C C C

COLOCACION DE EIGENVALUES POR ORDEN

II=0 DO 552 I=1,N-1 II=II+1 DO 553 J=II,N IF(A(I,I).LE.A(J,J)) GO TO 553 TOMA=A(I,I) A(I,I)=A(J,J) A(J,J)=TOMA DO 557 K=1,NN3 TOMA=VV(K,I) VV(K,I)=VV(K,J) VV(K,J)=TOMA 557 CONTINUE DO 558 K=1,N TOMA=V(K,I) V(K,I)=V(K,J) V(K,J)=TOMA 558 CONTINUE 553 CONTINUE 552 CONTINUE C

IMPRESION DE EIGENVALUES WRITE(6,103) DO 555 I=1,N

100

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

OME=SQRT(A(I,I)) FRE=OME/(2.*PHI) WRITE(6,104) I,A(I,I),OME,FRE WRITE(13) A(I,I) 555 CONTINUE C

IMPRESION DE EIGENVECTORS DO 591 I=1,N WRITE(6,105) I KK=0 DO 590 J=1,NN3,3 KK=KK+1 WRITE(6,104) NNN(KK),VV(J,I),VV(J+1,I),VV(J+2,I) 590 CONTINUE 591 CONTINUE DO 595 I=1,N DO 595 J=1,NN3 595 WRITE(13) VV(J,I)

C C C C C C

FACTORES DE PARTICIPACION Y PESO MODAL MASA GENERALIZADA PESO GENERALIZADO

AME(I,I) AI(I,I)

DO 701 I=1,N DO 701 J=1,N AME(I,J)=0.0 AI(I,J)=0.0 701 CONTINUE DO 702 I=1,N DO 703 J=1,N AME(I,I)=AME(I,I)+AM(J,J)*V(J,I)**2 703 CONTINUE AI(I,I)=AME(I,I)*G 702 CONTINUE DO 721 I=1,N DO 721 J=1,NN3,3 FPX(I)=FPX(I)+AM2(J)*VV(J,I)/G FPY(I)=FPY(I)+AM2(J+1)*VV(J+1,I)/G 721 CONTINUE WRITE(6,107) DO 705 I=1,N FPX(I)=FPX(I)/AME(I,I) PMX(I)=AME(I,I)*G*FPX(I)**2 FPY(I)=FPY(I)/AME(I,I) PMY(I)=AME(I,I)*G*FPY(I)**2 WRITE(13) FPX(I) WRITE(6,108) I,FPX(I),PMX(I),FPY(I),PMY(I) 705 CONTINUE

101

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA WRITE(6,109) DO 801 I=1,N WRITE(6,102) AME(I,I),AI(I,I) WRITE(13) FPY(I) 801 CONTINUE DO 1204 I=1,NN 1204 WRITE(13) NNN(I) DO 1206 I=1,N 1206 WRITE(13) AME(I,I) DO 1208 I=1,NN3 1208 WRITE(13) NR(I) C

CALCULO DE RIGIDEZ GENERALIZADA DO 811 I=1,N DO 811 J=1,N VA(I,J)=0.0 AI(I,J)=V(J,I) 811 CONTINUE DO 812 I=1,N DO 812 J=1,N DO 812 K=1,N 812 RG(I,J)=RG(I,J)+AI(I,K)*AK(K,J) DO 813 I=1,N DO 813 J=1,N DO 813 K=1,N 813 VA(I,J)=VA(I,J)+RG(I,K)*V(K,J) WRITE(6,110) DO 814 I=1,N 814 WRITE(6,102) VA(I,I)

C C C

MODOS NORMALIZADOS

V X M X V = I

DO 880 I=1,N DO 880 J=1,N 880 VA(I,J)=0.0 DO 881 I=1,N DO 881 J=1,N VA(J,I)=V(J,I)/SQRT(AME(I,I)) 881 CONTINUE DO 895 I=1,N WRITE(6,111) I DO 895 J=1,N WRITE(6,102) VA(J,I) 895 CONTINUE C

VERIFICACION DE MODOS NORMALIZADOS DO 783 I=1,N DO 783 J=1,N AI(I,J)=0.0 AME(I,J)=0.0 783 CONTINUE DO 785 I=1,N

102

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

DO 785 J=1,N DO 785 K=1,N 785 AI(I,J)=AI(I,J)+VA(K,I)*AM(K,J) DO 786 I=1,N DO 786 J=1,N DO 786 K=1,N 786 AME(I,J)=AME(I,J)+AI(I,K)*VA(K,J) DO 787 I=1,N 787 WRITE(*,114) I,AME(I,I) DO 788 I=1,N DO 788 J=1,N AI(I,J)=0.0 AME(I,J)=0.0 788 CONTINUE DO 789 I=1,N DO 789 J=1,N DO 789 K=1,N 789 AI(I,J)=AI(I,J)+VA(K,I)*AK(K,J) DO 790 I=1,N DO 790 J=1,N DO 790 K=1,N 790 AME(I,J)=AME(I,J)+AI(I,K)*VA(K,J) DO 791 I=1,N 791 WRITE(*,115) I,A(I,I),AME(I,I) C

VERIFICACION

AK*V = AM*V*A

DO 599 I=1,N VER=0.0 DO 600 J=1,N DO 600 K=1,N VER=VER+AK(I,K)*V(K,J) 600 CONTINUE WRITE(6,106) I,VER 599 CONTINUE DO 601 I=1,N VER=0.0 DO 602 J=1,N DO 602 K=1,N VER=VER+AM(I,K)*V(K,J)*A(J,J) 602 CONTINUE WRITE(6,106) I,VER 601 CONTINUE 101 FORMAT(I5,E13.6) 102 FORMAT(6E13.6) 103 FORMAT(6X,4HMODO,4X,10HEIGENVALUE,4X,5HOMEGA, +5X,10HFRECUENCIA) 104 FORMAT(5X,I5,3E13.6)

103

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

FORMAT(11HEIGENVECTOR,4X,I5) FORMAT(19H VERIFICACION MODO ,I2,E13.6) FORMAT(6X,4HMODO,2X,12HFAC. PARTICI,4X,10HPESO MODAL) FORMAT(5X,I5,13H DIRECCION X ,2E13.6,13H DIRECCION Y ,2E13.6) FORMAT(24HMASA Y PESO GENERALIZADO) FORMAT(20HRIGIDEZ GENERALIZADA) FORMAT(28HEIGENVECTOR NORMALIZADO NO. ,I2) FORMAT(4HMODO,2X,I2,2X,11HVERIFICA = ,F10.5) FORMAT(F13.10) FORMAT(1X,4HMODO,1X,I3,1X,13HVERIFICA 1 = ,F10.5) FORMAT(1X,4HMODO,1X,I3,1X,8HVERIFICA,1X,2E13.6) FORMAT(1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,/) 117 FORMAT(A80) 118 FORMAT(//,28X,20H MODULO MODOS,5X,A10,5X,A10,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* MODOS.FOR 9445 28/07/98 *,/,5X +33H* INVMAT.FOR 1593 25/07/97 *,/,5X, +33H* JACOBI.FOR 2668 26/08/97 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) END

JACOBI.FOR $DEBUG $LARGE SUBROUTINE JACOBI(N) C C C C

PROGRAMA PARA OBTENER LOS EIGENVALUES Y EIGENVECTORS DE UNA MATRIZ SIMETRICA POR EL METODO DE JACOBI DIMENSION A(70,70),B(70,70),V(70,70),VA(70,70) DIMENSION AMUL(70,70),BMUL(70,70),CMUL(70,70) COMMON/A/A,VA PHI=3.1415927 NC=1 209 CONTINUE WRITE(*,101) NC C=0.0 DO 210 I=1,N-1 DO 210 J=I+1,N

104

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

IF(ABS(C).LT.ABS(A(I,J))) C=A(I,J) II=I JJ=J ENDIF 210 CONTINUE

THEN

C=A(II,II)-A(JJ,JJ) IF(C.EQ.0) THEN IF(A(II,JJ).GT.0.0) THEN TETA=PHI/4. ELSE TETA=PHI*3./4. ENDIF GO TO 300 ENDIF CC=2.*A(II,JJ)/C TETA=ATAN(CC) TETA=TETA/2. 300 CONTINUE DO 309 I=1,N DO 309 J=1,N 309 B(I,J)=0.0 DO 310 I=1,N 310 B(I,I)=1.0 B(II,II)=COS(TETA) B(JJ,JJ)=COS(TETA) B(II,JJ)=-SIN(TETA) B(JJ,II)=SIN(TETA) IF(NC.EQ.1) THEN DO 351 I=1,N DO 351 J=1,N 351 VA(I,J)=B(I,J) ELSE DO 352 I=1,N DO 352 J=1,N 352 V(I,J)=0.0 DO 353 I=1,N DO 353 J=1,N DO 353 K=1,N 353 V(I,J)=V(I,J)+VA(I,K)*B(K,J) DO 354 I=1,N DO 354 J=1,N 354 VA(I,J)=V(I,J)

105

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA ENDIF DO 321 I=1,N DO 321 J=1,N CMUL(I,J)=0.0 321 CONTINUE DO 320 I=1,N DO 320 J=1,N AMUL(I,J)=B(I,J) BMUL(I,J)=A(I,J) 320 CONTINUE C C C

FORMACION DE MATRIZ A TRANSPUESTA DO 9200 I=1,N DO 9200 J=1,N CMUL(J,I)=AMUL(I,J) B(I,J)=0.0 9200 CONTINUE

C C

MULTIPLICACION DE MATRIZ A TRANSPUESTA POR MATRIZ B DO 9300 I=1,N DO 9300 J=1,N DO 9300 K=1,N 9300 B(I,J)=B(I,J)+CMUL(I,K)*BMUL(K,J)

C C C

BORRADO DE MATRIZ A TRANSPUESTA

DO 9400 I=1,N DO 9400 J=1,N 9400 CMUL(I,J)=0.0 C C C

MULTIPLICACION DE RESULTADO POR MATRIZ A

DO 9500 I=1,N DO 9500 J=1,N DO 9500 K=1,N 9500 CMUL(I,J)=CMUL(I,J)+B(I,K)*AMUL(K,J) NC=NC+1 DO 330 I=1,N DO 330 J=1,N A(I,J)=CMUL(I,J) 330 CONTINUE C=0.0 DO 340 I=1,N-1 DO 340 J=I+1,N

106

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

IF(ABS(C).LT.ABS(A(I,J))) C=A(I,J) ENDIF 340 CONTINUE

THEN

D=A(1,1) DO 350 I=2,N IF(D.LT.A(I,I)) THEN D=A(I,I) ENDIF 350 CONTINUE DD=D/ABS(C) IF(DD.GT.100000.) GO TO 900 GO TO 209 900 CONTINUE RETURN 101 FORMAT(5X,23HDYNAFACIL JACOBI CICLO ,I5) END

RESPONDE.FOR $LARGE $DEBUG INTERFACE TO SUBROUTINE TIME (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END INTERFACE TO SUBROUTINE DATE (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END PROGRAM RESPONDE C DIMENSION FPH(70),FPV(70),OME(70),EIG(70) DIMENSION V(100,70),DH(100,70),DV(100,70),SAH(70),SAV(70) DIMENSION AH(100,70),AV(100,70),AAH(75),AAV(75),AA(75) DIMENSION NNN(50),NC(90),DDF(150),DDFH(150),DDFV(150) DIMENSION FDH(70,80,6),FDV(70,80,6) DIMENSION NNV(80),INI(80),IFI(80) DIMENSION AKV(6,6),ALB(6,6),VV(6),VVV(6),VH(6),VVH(6) CHARACTER*80 REG CHARACTER*6 ARES(50) CHARACTER*10 TSTR,DSTR COMMON/ESP/OME,SAH,SAV PHI=3.1415927 WRITE(16,116) CALL DATE (10,DSTR) CALL TIME (10,TSTR)

107

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA WRITE (16,121) DSTR,TSTR 190 READ(1,102,END=191) REG WRITE(16,118) REG GO TO 190 191 CONTINUE REWIND(1) READ(13) N,NN,NV,NN3,G DO 210 I=1,N 210 READ(13) EIG(I) DO 220 I=1,N DO 220 J=1,NN3 READ(13) V(J,I) 220 CONTINUE DO 251 I=1,N 251 READ(13) FPH(I) DO 252 I=1,N 252 READ(13) FPV(I) DO 254 I=1,NN 254 READ(13) NNN(I) DO 300 I=1,N 300 OME(I)=SQRT(EIG(I)) CALL CURESP(N) DO 320 I=1,N FRE=OME(I)/(2.*PHI) WRITE(16,117) I,FRE,SAH(I),SAV(I) C

OBTENCION DE DESPLAZAMIENTOS

Y ACELERACIONES ES NODOS

DO 320 J=1,NN3 DH(I,J)=FPH(I)*V(J,I)*SAH(I)*G/OME(I)**2 DV(I,J)=FPV(I)*V(J,I)*SAV(I)*G/OME(I)**2 AH(I,J)=FPH(I)*V(J,I)*SAH(I) AV(I,J)=FPV(I)*V(J,I)*SAV(I) 320 CONTINUE C

OBTENCION DE ELEMENTOS MECANICOS EN VIGAS DO 490 IM=1,N DO 500 I=1,NV READ(12) IV,IIN,IIF,DAM NNV(I)=IV INI(I)=NNN(IIN) IFI(I)=NNN(IIF) DO 510 J=1,6 510 READ(12) (AKV(J,K),K=1,6) DO 520 J=1,6 520 READ(12) (ALB(J,K),K=1,6)

108

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

VH(1)=DH(IM,IIN*3-2) VH(2)=DH(IM,IIN*3-1) VH(3)=DH(IM,IIN*3) VH(4)=DH(IM,IIF*3-2) VH(5)=DH(IM,IIF*3-1) VH(6)=DH(IM,IIF*3) VV(1)=DV(IM,IIN*3-2) VV(2)=DV(IM,IIN*3-1) VV(3)=DV(IM,IIN*3) VV(4)=DV(IM,IIF*3-2) VV(5)=DV(IM,IIF*3-1) VV(6)=DV(IM,IIF*3) DO 529 J=1,6 VVH(J)=0.0 VVV(J)=0.0 529 CONTINUE DO 530 J=1,6 DO 530 K=1,6 VVH(J)=VVH(J)+ALB(J,K)*VH(K) VVV(J)=VVV(J)+ALB(J,K)*VV(K) 530 CONTINUE DO 600 J=1,6 DO 600 K=1,6 FDH(IM,I,J)=FDH(IM,I,J)+AKV(J,K)*VVH(K) FDV(IM,I,J)=FDV(IM,I,J)+AKV(J,K)*VVV(K) 600 CONTINUE 500 CONTINUE REWIND(12) 490 CONTINUE C

COMBINACION MODAL EN NODOS DO 700 I=1,NN3 DDH=0.0 DDAH=0.0 DDV=0.0 DDAV=0.0 STAH=0.0 STAV=0.0 SPAH=0.0 SPAV=0.0 J=1 710 CONTINUE IF(J.GT.N) GO TO 720 POR=(OME(J+1)-OME(J))/OME(J) IF(POR.LE.0.1) THEN DDAH=DDAH+ABS(DH(J,I))*ABS(DH(J+1,I)) DDAV=DDAV+ABS(DV(J,I))*ABS(DV(J+1,I)) STAH=STAH+ABS(AH(J,I))*ABS(AH(J+1,I)) STAV=STAV+ABS(AV(J,I))*ABS(AV(J+1,I)) J=J+2 ELSE J=J+1

109

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA ENDIF GO TO 710 720 CONTINUE DO 715 J=1,N DDH=DDH+DH(J,I)**2 DDV=DDV+DV(J,I)**2 SPAH=SPAH+AH(J,I)**2 SPAV=SPAV+AV(J,I)**2 715 CONTINUE DDFH(I)=SQRT(DDH+2.*DDAH) DDFV(I)=SQRT(DDV+2.*DDAV) AAH(I)=SQRT(SPAH+2.*STAH) AAV(I)=SQRT(SPAV+2.*STAV) 700 CONTINUE DO 730 I=1,NN3 DDF(I)=SQRT(DDFH(I)**2+DDFV(I)**2) AA(I)=SQRT(AAH(I)**2+AAV(I)**2) 730 CONTINUE WRITE(16,119) DO 800 JI=1,NN3,3 NJ=NJ+1 800 WRITE(16,110) NNN(NJ),DDF(JI),DDF(JI+1),DDF(JI+2),AA(JI), +AA(JI+1),AA(JI+2) C

COMBINACION MODAL EN VIGAS WRITE(16,120) DO 808 I=1,NV F1H=0.0 F2H=0.0 F3H=0.0 F4H=0.0 F5H=0.0 F6H=0.0 FA1H=0.0 FA2H=0.0 FA3H=0.0 FA4H=0.0 FA5H=0.0 FA6H=0.0 F1V=0.0 F2V=0.0 F3V=0.0 F4V=0.0 F5V=0.0 F6V=0.0 FA1V=0.0 FA2V=0.0 FA3V=0.0 FA4V=0.0 FA5V=0.0 FA6V=0.0 K=1

110

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

803 CONTINUE IF(K.GT.N) GO TO 804 POR=(OME(K+1)-OME(K))/OME(K) IF(POR.LE.0.1) THEN FA1H=FA1H+ABS(FDH(K,I,1))*ABS(FDH(K+1,I,1)) FA2H=FA2H+ABS(FDH(K,I,2))*ABS(FDH(K+1,I,2)) FA3H=FA3H+ABS(FDH(K,I,3))*ABS(FDH(K+1,I,3)) FA4H=FA4H+ABS(FDH(K,I,4))*ABS(FDH(K+1,I,4)) FA5H=FA5H+ABS(FDH(K,I,5))*ABS(FDH(K+1,I,5)) FA6H=FA6H+ABS(FDH(K,I,6))*ABS(FDH(K+1,I,6)) FA1V=FA1V+ABS(FDV(K,I,1))*ABS(FDV(K+1,I,1)) FA2V=FA2V+ABS(FDV(K,I,2))*ABS(FDV(K+1,I,2)) FA3V=FA3V+ABS(FDV(K,I,3))*ABS(FDV(K+1,I,3)) FA4V=FA4V+ABS(FDV(K,I,4))*ABS(FDV(K+1,I,4)) FA5V=FA5V+ABS(FDV(K,I,5))*ABS(FDV(K+1,I,5)) FA6V=FA6V+ABS(FDV(K,I,6))*ABS(FDV(K+1,I,6)) K=K+2 ELSE K=K+1 ENDIF GO TO 803 804 CONTINUE DO 805 K=1,N F1H=F1H+FDH(K,I,1)**2 F2H=F2H+FDH(K,I,2)**2 F3H=F3H+FDH(K,I,3)**2 F4H=F4H+FDH(K,I,4)**2 F5H=F5H+FDH(K,I,5)**2 F6H=F6H+FDH(K,I,6)**2 F1V=F1V+FDV(K,I,1)**2 F2V=F2V+FDV(K,I,2)**2 F3V=F3V+FDV(K,I,3)**2 F4V=F4V+FDV(K,I,4)**2 F5V=F5V+FDV(K,I,5)**2 F6V=F6V+FDV(K,I,6)**2 805 CONTINUE F1H=SQRT(F1H+2.*FA1H) F2H=SQRT(F2H+2.*FA2H) F3H=SQRT(F3H+2.*FA3H) F4H=SQRT(F4H+2.*FA4H) F5H=SQRT(F5H+2.*FA5H) F6H=SQRT(F6H+2.*FA6H) F1V=SQRT(F1V+2.*FA1V) F2V=SQRT(F2V+2.*FA2V) F3V=SQRT(F3V+2.*FA3V) F4V=SQRT(F4V+2.*FA4V) F5V=SQRT(F5V+2.*FA5V) F6V=SQRT(F6V+2.*FA6V) F1=SQRT(F1H**2+F1V**2) F2=SQRT(F2H**2+F2V**2) F3=SQRT(F3H**2+F3V**2) F4=SQRT(F4H**2+F4V**2) F5=SQRT(F5H**2+F5V**2)

111

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA F6=SQRT(F6H**2+F6V**2) WRITE(16,111) NNV(I) WRITE(16,112) INI(I),F1,F2,F3 WRITE(16,112) IFI(I),F4,F5,F6 808 CONTINUE 102 110 111 112 116

FORMAT(A80) FORMAT(4X,I2,1P3E13.6,3X,1P3E13.6) FORMAT(4HVIGA,6X,I2) FORMAT(13X,I2,5X,1P3E13.6) FORMAT(1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,/) 117 FORMAT(5X,4HMODO,2X,I2,2X,10HFRECUENCIA,1X,E13.6,2X, +22HACELERACION HORIZONTAL,1X,E13.6,2X,20HACELERACION VERTICAL, +1X,E13.6) 118 FORMAT(A80) 119 FORMAT(40H DESPLAZAMIENTOS Y ACELERACION * * * ,//, +7X,4HNODO,8X,1HX,9X,1HY,8X,2HRZ,18X,1HX,9X,1HY,8X,2HRZ,/) 120 FORMAT(24H FUERZAS EN VIGAS * * * ,//,7X,4HVIGA,2X,4HNODO,8X, +5HAXIAL,10X,8HCORTANTE,10X,7HMOMENTO,/) 121 FORMAT(//,28X,20H MODULO RESPONDE,5X,A10,5X,A10,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* RESPONDE.FOR 7844 28/07/98 *,/,5X +33H* CURESP.FOR 3925 26/07/97 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) END

CURESP.FOR $LARGE $DEBUG SUBROUTINE CURESP(NN) DIMENSION OME(70),SAH(70),SAV(70) DIMENSION FDH(70),ADH(70),FDV(70),ADV(70) CHARACTER*80 REG COMMON/ESP/OME,SAH,SAV PHI=3.1415927 200 READ(1,101,END=300) REG

112

CAPITULO 4

210

211

220

221

PROGRAMA DINAFACIL

IF(REG(1:19).EQ.'ESPECTRO HORIZONTAL') THEN READ(REG,102) NCURH,ITIPO DO 210 I=1,NCURH READ(1,104) FDH(I),ADH(I) IF(ITIPO.NE.0) THEN DO 211 I=1,NCURH FDH(I)=1.0/FDH(I) ENDIF ENDIF IF(REG(1:17).EQ.'ESPECTRO VERTICAL') THEN READ(REG,102) NCURV,ITIPO DO 220 I=1,NCURV READ(1,104) FDV(I),ADV(I) IF(ITIPO.NE.0) THEN DO 221 I=1,NCURV FDV(I)=1.0/FDV(I) ENDIF ENDIF GO TO 200

300 CONTINUE C

COLOCACION DE FRECUENCIAS EN FORMA ACENDENTE IF(NCURH.GT.0) THEN IF(FDH(NCURH).LT.FDH(1)) THEN J=0 DO 301 I=NCURH,1,-1 J=J+1 SAH(J)=FDH(I) SAV(J)=ADH(I) 301 CONTINUE DO 302 I=1,NCURH FDH(I)=SAH(I) ADH(I)=SAV(I) 302 CONTINUE ENDIF DO 303 I=1,NCURH 303 FDH(I)=FDH(I)*2.*PHI ENDIF IF(NCURV.GT.0) THEN IF(FDV(NCURV).LT.FDV(1)) THEN J=0 DO 310 I=NCURV,1,-1 J=J+1 SAH(J)=FDV(I) SAV(J)=ADV(I) 310 CONTINUE DO 311 I=1,NCURV FDV(I)=SAV(I) ADV(I)=SAH(I) 311 CONTINUE

113

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA ENDIF DO 312 I=1,NCURV FDV(I)=FDV(I)*2.*PHI 312 CONTINUE ENDIF DO 400 I=1,NN IF(NCURH.GT.0) THEN IF(OME(I).LT.FDH(1)) THEN WRITE(*,105) I GO TO 450 ENDIF IF(OME(I).GT.FDH(NCURH)) THEN WRITE(*,105) I GO TO 450 ENDIF DO 410 J=1,NCURH-1 IF(FDH(J).EQ.OME(I)) THEN SAH(I)=ADH(J) GO TO 450 ELSEIF(OME(I).GT.FDH(J).AND.OME(I).LT.FDH(J+1)) THEN IF(ADH(J+1).GT.ADH(J)) THEN SAH(I)=(LOG10(OME(I))-LOG10(FDH(J)))/ +(LOG10(FDH(J+1))-LOG10(FDH(J)))*(LOG10(ADH(J+1))-LOG10(ADH(J))) ++LOG10(ADH(J)) SAH(I)=10.**(SAH(I)) GO TO 450 ELSEIF(ADH(J+1).LT.ADH(J)) THEN SAH(I)=(LOG10(FDH(J+1))-LOG10(OME(I)))/ +(LOG10(FDH(J+1))-LOG10(FDH(J)))*(LOG10(ADH(J))-LOG10(ADH(J+1))) ++LOG10(ADH(J+1)) SAH(I)=10.**(SAH(I)) GO TO 450 ELSEIF(ADH(J).EQ.ADH(J+1)) THEN SAH(I)=ADH(J) GO TO 450 ENDIF ENDIF 410 CONTINUE ENDIF 450 CONTINUE IF(NCURV.GT.0) THEN IF(OME(I).LT.FDV(1)) THEN WRITE(*,106) I GO TO 400 ENDIF IF(OME(I).GT.FDV(NCURV)) THEN WRITE(*,106) I GO TO 400

114

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

ENDIF DO 460 J=1,NCURV-1 IF(FDV(J).EQ.OME(I)) THEN SAV(I)=ADV(J) GO TO 400 ELSEIF(OME(I).GT.FDV(J).AND.OME(I).LT.FDV(J+1)) THEN IF(ADV(J+1).GT.ADV(J)) THEN SAV(I)=(LOG10(OME(I))-LOG10(FDV(J)))/ +(LOG10(FDV(J+1))-LOG10(FDV(J)))*(LOG10(ADV(J+1))-LOG10(ADV(J))) ++LOG10(ADV(J)) SAV(I)=10.**(SAV(I)) GO TO 400 ELSEIF(ADV(J+1).LT.ADV(J)) THEN SAV(I)=(LOG10(FDV(J+1))-LOG10(OME(I)))/ +(LOG10(FDV(J+1))-LOG10(FDV(J)))*(LOG10(ADV(J))-LOG10(ADV(J+1))) ++LOG10(ADV(J+1)) SAV(I)=10.**(SAV(I)) GO TO 400 ELSEIF(ADV(J).EQ.ADV(J+1)) THEN SAV(I)=ADV(J) GO TO 400 ENDIF ENDIF 460 CONTINUE ENDIF 400 CONTINUE DO 500 I=1,NN FRE=OME(I)/(2.*PHI) WRITE(16,108) FRE,SAH(I),SAV(I) 500 CONTINUE RETURN 101 102 104 105

FORMAT(A80) FORMAT(20X,2I5) FORMAT(10X,2F10.3) FORMAT(13H * * EL MODO ,I2, +40H ESTA FUERA DEL ESPECTRO HORIZONTAL * * ) 106 FORMAT(13H * * EL MODO ,I2, +40H ESTA FUERA DEL ESPECTRO VERTICAL * * * ) 108 FORMAT(7X,F10.3,2X,F10.3,2X,F10.3) END

CARGAS.FOR $LARGE $DEBUG INTERFACE TO SUBROUTINE TIME (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE]

115

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA END INTERFACE TO SUBROUTINE DATE (N,STR) CHARACTER*10 STR [NEAR,REFERENCE] INTEGER*2 N [VALUE] END PROGRAM CARGAS C C C

PROGRAMA PARA INTRODUCIR CARGAS Y OBTENER DESPLAZAMIENTOS DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION

AME(70,70),V(70,10),AI(70,70),D(70,10) NNN(70),NR(70),AM(70) AKV(6,6),ALB(6,6),FD(10,70,6) VV(6),VVV(6),VD(70,10) DES(70),VIG(70,6),FA(10,10) NIV(80),NIIN(80),NIIF(80)

CHARACTER*80 REG CHARACTER*70 TITC(10) CHARACTER*6 ARES(50) CHARACTER*10 TSTR,DSTR COMMON/INVM/AME,AI WRITE(17,116) CALL DATE (10,DSTR) CALL TIME (10,TSTR) WRITE (17,119) DSTR,TSTR

150

160 170 180

READ(11) N,G DO 150 I=1,N READ(11) (AME(I,J),J=1,N) READ(11) NN3,NN,NV DO 160 I=1,NN3 READ(11) NR(I) DO 170 I=1,NN3 READ(11) AM(I) DO 180 I=1,NN READ(11) NNN(I) CALL INVMAT(N)

200 READ(1,100,END=300) REG WRITE(17,100) REG IF(REG(1:10).EQ.'CARGA READ(REG,103) NCON

') THEN

ELSEIF(REG(1:10).EQ.'CARGA NODO') THEN READ(REG,104) NC,NODO,FX,FY,FMZ DO 210 I=1,NN IF(NODO.EQ.NNN(I)) THEN NODO=I GO TO 211 ENDIF 210 CONTINUE STOP 211 CONTINUE II=NODO*3-2 V(II,NC)=V(II,NC)+FX II=NODO*3-1

116

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

V(II,NC)=V(II,NC)+FY II=NODO*3 V(II,NC)=V(II,NC)+FMZ ELSEIF(REG(1:7).EQ.'COMBINA') THEN NCOM=NCOM+1 READ(REG,115) TITC(NCOM) READ(1,114) FA(1,NCOM),FA(2,NCOM),FA(3,NCOM),FA(4,NCOM), + FA(5,NCOM),FA(6,NCOM),FA(7,NCOM),FA(8,NCOM), + FA(9,NCOM),FA(10,NCOM) WRITE(17,114) FA(1,NCOM),FA(2,NCOM),FA(3,NCOM),FA(4,NCOM), + FA(5,NCOM),FA(6,NCOM),FA(7,NCOM),FA(8,NCOM), + FA(9,NCOM),FA(10,NCOM) ENDIF GO TO 200 300 CONTINUE DO 400 I=1,NCON II=0 DO 410 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.0) THEN II=II+1 VD(II,I)=V(J,I) ENDIF 410 CONTINUE 400 CONTINUE DO 500 I=1,NCON DO 500 J=1,N DO 500 K=1,N 500 D(J,I)=D(J,I)+AI(J,K)*VD(K,I) DO 600 I=1,NCON II=0 DO 610 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.1) THEN VD(J,I)=0.0 ELSE II=II+1 VD(J,I)=D(II,I) ENDIF 610 CONTINUE 600 CONTINUE DO 710 I=1,NV DO 720 J1=1,6 DO 720 J2=1,6 AKV(J1,J2)=0.0 ALB(J1,J2)=0.0 720 CONTINUE READ(12) IV,IIN,IIF,DAM NIV(I)=IV

117

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA NIIN(I)=IIN NIIF(I)=IIF DO 730 J=1,6 READ(12) (AKV(J,K),K=1,6) 730 CONTINUE DO 740 J=1,6 READ(12) (ALB(J,K),K=1,6) 740 CONTINUE DO 750 IC=1,NCON VV(1)=VD(IIN*3-2,IC) VV(2)=VD(IIN*3-1,IC) VV(3)=VD(IIN*3,IC) VV(4)=VD(IIF*3-2,IC) VV(5)=VD(IIF*3-1,IC) VV(6)=VD(IIF*3,IC) DO 760 J=1,6 VVV(J)=0.0 760 CONTINUE C DO 770 J=1,6 DO 770 K=1,6 770 VVV(J)=VVV(J)+ALB(J,K)*VV(K) DO 780 J=1,6 DO 780 K=1,6 780 FD(IC,I,J)=FD(IC,I,J)+AKV(J,K)*VVV(K) 750 CONTINUE 710 CONTINUE C

COMBINACION DE DESPLAZAMIENTOS

805

810 809

820

DO 800 I=1,NCOM WRITE(17,108) I WRITE(17,115) TITC(I) DO 805 J=1,NN3 DES(J)=0.0 DO 809 J=1,NN3 DO 810 K=1,NCON DES(J)=DES(J)+VD(J,K)*FA(K,I) CONTINUE WRITE(17,109) NUM=0 DO 820 J=1,NN3,3 NUM=NUM+1 WRITE(17,110) NNN(NUM),DES(J),DES(J+1),DES(J+2)

WRITE(17,111) DO 830 J=1,NV DO 840 K=1,NCON DO 850 L=1,6 850 VIG(J,L)=VIG(J,L)+FD(K,J,L)*FA(K,I) 840 CONTINUE WRITE(17,118) NIV(J),NIIN(J),VIG(J,1),VIG(J,2),VIG(J,3), + NIIF(J),VIG(J,4),VIG(J,5),VIG(J,6)

118

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

830 CONTINUE 800 CONTINUE 100 101 102 103 104 106 107 108 109

FORMAT(A80) FORMAT(I5,E13.6) FORMAT(6E13.6) FORMAT(10X,I2) FORMAT(12X,I2,2X,I2,7X,3E13.6) FORMAT(6X,I2,5X,A6) FORMAT(2I1,3X,I1) FORMAT(/,29H **** COMBINACION DE CARGA ,I2,/) FORMAT(24H DESPLAZAMIENTOS * * * ,//,7X,4HNODO,8X,1HX,9X,1HY, +8X,2HRZ,/) 110 FORMAT(8X,I2,5X,3E13.6) 111 FORMAT(24H FUERZAS EN VIGAS * * * ,//,7X,4HVIGA,2X,4HNODO,8X, +5HAXIAL,10X,8HCORTANTE,10X,7HMOMENTO,/) 114 FORMAT(10X,10F5.2) 115 FORMAT(7X,A70) 116 FORMAT(1X,3HDDD,29X,6HFFFFFF,/,1X,1HD,2X,1HD,28X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,27X,1HF,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,5X,2HAA,5X,5HFFFFF,4X, *2HAA,5X,4HCCCC,4X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,2HNN,3X,1HN,4X,1HA,2X,1HA,4X,1HF,7X,1HA, *2X,1HA,4X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,1X,1HN,2X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,3X,1HD,4X,1HI,4X,1HN,2X,1HN,1X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X, *1HF,6X,1HA,4X,1HA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,1HD,2X,1HD,5X,1HI,4X,1HN,3X,2HNN,3X,6HAAAAAA,3X,1HF,6X, *6HAAAAAA,3X,1HC,7X,1HI,4X,1HL,/, *1X,3HDDD,6X,1HI,4X,1HN,4X,1HN,3X,1HA,4X,1HA,3X,1HF,6X,1HA, *4X,1HA,3X,4HCCCC,4X,1HI,4X,5HLLLLL,/) 118 FORMAT(8X,I2,4X,I2,4X,3(E13.6,5X),/,14X,I2,4X,3(E13.6,5X)) 119 FORMAT(//,28X,20H MODULO CARGAS,5X,A10,5X,A10,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* CARGAS.FOR 5743 28/07/98 *,/,5X +33H* INVMAT.FOR 1593 25/07/97 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) END

RESHIST.FOR $LARGE $DEBUG PROGRAM RESHIST C C C C

PROGRAMA PARA OBTENER LA RESPUESTA ESTRUCTURAL A PARTIR DE UN ACELEROGRAMA BASE DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION DIMENSION

DAM(70),AC(2048) EIG(70),V(70,70),FPH(70),FPV(70),NNN(50) YD(2048),YV(2048),YDT(2048),YVT(2048) YA(2048),YAT(2048) AME(70),NR(100)

119

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA COMMON/LAPLA/AC,YD,YV,YA COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM CHARACTER*1 DIR,DDIR READ(31,101) NM,NT,DELT,DIR,NODO,DDIR READ(31,103) (AC(I),I=1,NT)

200

201 202 203 204 205 206

READ(13) N,NN,NV,NN3,G DO 200 I=1,N READ(13) EIG(I) DO 201 I=1,N DO 201 J=1,NN3 READ(13) V(J,I) DO 202 I=1,N READ(13) FPH(I) DO 203 I=1,N READ(13) FPV(I) DO 204 I=1,NN READ(13) NNN(I) DO 205 I=1,N READ(13) AME(I) DO 206 I=1,NN3 READ(13) NR(I) CALL AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G)

C

DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO DO 221 I=1,NN IF(NNN(I).EQ.NODO) GO TO 223 221 CONTINUE WRITE(*,106) NODO STOP 223 CONTINUE NGL=I*3-3 IF(DDIR.EQ.'X') NGL=NGL+1 IF(DDIR.EQ.'Y') NGL=NGL+2 IF(DDIR.EQ.'Z') NGL=NGL+3 IF(NR(NGL).EQ.1) THEN WRITE(*,107) STOP ENDIF

C

RESPUESTA PARA CADA MODO DO 300 II=1,NM P=2.0*DAM(II)*SQRT(EIG(II)) Q=EIG(II) IF(DIR.EQ.'H') THEN FP=-FPH(II) ELSEIF(DIR.EQ.'V') THEN FP=-FPV(II) ENDIF

120

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

CALL LAPLACE(P,Q,FP,DELT,NT) C

CALCULO DE RESPUESTA PARA EL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO YDMAX=0.0 YVMAX=0.0 YAMAX=0.0 DO 320 I=1,NT YDT(I)=YDT(I)+V(NGL,II)*YD(I)*G YVT(I)=YVT(I)+V(NGL,II)*YV(I)*G YAT(I)=YAT(I)+V(NGL,II)*YA(I) IF(ABS(YDT(I)).GT.ABS(YDMAX)) YDMAX=YDT(I) IF(ABS(YVT(I)).GT.ABS(YVMAX)) YVMAX=YVT(I) IF(ABS(YAT(I)).GT.ABS(YAMAX)) YAMAX=YAT(I) 320 CONTINUE 300 CONTINUE WRITE(32,109) WRITE(32,105) YDMAX,YVMAX,YAMAX WRITE(32,110) DO 400 I=1,NT WRITE(32,104) XT,YDT(I),YVT(I),YAT(I) XT=XT+DELT 400 CONTINUE WRITE(32,111) NODO,DDIR,NT,DELT DO 401 I=1,NT,8 NIJ=NIJ+1 WRITE(32,108) YAT(I),YAT(I+1),YAT(I+2),YAT(I+3),YAT(I+4), +YAT(I+5),YAT(I+6),YAT(I+7),NIJ 401 CONTINUE 101 102 103 104 105

FORMAT(2I5,F5.3,4X,A1,I5,4X,A1) FORMAT(16F5.3) FORMAT(8F9.6) FORMAT(4E13.6) FORMAT(2X,24HDESPLAZAMIENTO MAXIMO = ,E13.6,/, +2X,24HVELOCIDAD MAXIMA = ,E13.6, +2X,24HACELERACION MAXIMA = ,E13.6) 106 FORMAT(52H ******* NO ENCONTRO EL NODO PARA LA RESPUESTA *****) 107 FORMAT(52H ******* EL GRADO DE LIBERTADO ESTA RESTRINGIDO ****) 108 FORMAT(8F9.6,I8) 109 FORMAT(18H D I N A F A C I L,/,20X,14HMODULO RESHIST,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* RESHIST.FOR 3372 28/07/98 *,/,5X +33H* LAPLACE.FOR 1121 01/01/98 *,/,5X, +33H* AMORTIG.FOR 2367 28/07/98 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) 110 FORMAT(10H RESPUESTA,/, +7X,6HTIEMPO,7X,6HDESPL.,4X,9HVELOCIDAD,2X,11HACELERACION,/) 111 FORMAT(20HRESPUESTA EN EL NODO,I8,/, +10HDIRECCION ,A1,/, +16HACELEROGRAMA DE ,I8,15H PUNTOS A CADA ,F6.3,9H SEGUNDOS,/////) END

121

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

AMORTIG.FOR $LARGE $DEBUG SUBROUTINE AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G) C C C

PROGRAMA PARA DETERMINAR EL AMORTIGUAMIENTO MODAL DIMENSION AK(70,70),V(70,70),AME(70),NR(100),VV(70,70) DIMENSION AKA(90,90),NNN(50),DAM(70) DIMENSION AMR(70) DIMENSION NNV(100),AKV(6,6),ALB(6,6),AKV1(6,6),AKV2(6,6) DIMENSION INK(6),ALBT(6,6) COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM READ(11) NJ,G DO 200 I=1,NJ 200 READ(11) (AK(I,J),J=1,NJ) DO 300 I=1,N JJ=0 DO 300 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.1) THEN GO TO 300 ELSE JJ=JJ+1 VV(JJ,I)=V(J,I)/SQRT(AME(I)) ENDIF 300 CONTINUE DO 400 I=1,N DO 400 J=1,N AMR(I)=AMR(I)+AK(J,J)*VV(J,I)**2 400 CONTINUE

C

FORMACION DE MATRIZ MULTIPLICADA POR AMORTIGUAMIENTO INDIVIDUAL DO 500 IVN=1,NV READ(12) NNV(I),IIN,IIF,AMOR IF(AMOR.EQ.0.0) AMOR=0.02 DO 510 J=1,6 510 READ(12)AKV(J,1),AKV(J,2),AKV(J,3),AKV(J,4),AKV(J,5),AKV(J,6) DO 520 J=1,6 520 READ(12)ALB(J,1),ALB(J,2),ALB(J,3),ALB(J,4),ALB(J,5), +ALB(J,6) DO 530 J=1,6 DO 530 K=1,6 AKV(J,K)=AKV(J,K)*AMOR ALBT(J,K)=ALB(K,J) AKV1(J,K)=0.0 AKV2(J,K)=0.0 530 CONTINUE DO 535 J=1,6

122

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

DO 535 K=1,6 DO 535 L=1,6 535 AKV1(J,K)=AKV1(J,K)+ALBT(J,L)*AKV(L,K) DO 540 J=1,6 DO 540 K=1,6 DO 540 L=1,6 540 AKV2(J,K)=AKV2(J,K)+AKV1(J,L)*ALB(L,K) INK(1)=IIN*3-2 INK(2)=IIN*3-1 INK(3)=IIN*3 INK(4)=IIF*3-2 INK(5)=IIF*3-1 INK(6)=IIF*3 DO 550 J=1,6 NK1=INK(J) DO 550 K=1,6 NK2 =INK(K) AKA(NK1,NK2)=AKA(NK1,NK2)+AKV2(J,K) 550 CONTINUE 500 CONTINUE II=0 JJ=0 DO 600 I=1,N DO 600 J=1,N 600 AK(I,J)=0.0 DO 610 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.1) GO TO 610 II=II+1 JJ=0 DO 620 J=1,NN3 IF(NR(J).EQ.1) GO TO 620 JJ=JJ+1 AK(II,JJ)=AKA(I,J) 620 CONTINUE 610 CONTINUE DO 700 I=1,N DO 700 J=1,N 700 DAM(I)=DAM(I)+AK(J,J)*VV(J,I)**2 DO 800 I=1,N DAM(I)=DAM(I)/AMR(I) WRITE(35,101) I,DAM(I) 800 CONTINUE RETURN 101 FORMAT(5X,21HAMORTIGUAMIENTO MODAL,2X,I5,2X,E13.6) END

123

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

LAPLACE.FOR $LARGE $DEBUG SUBROUTINE LAPLACE(P,Q,FP,X,NT) DIMENSION A(2,2),AC(2048),YD(2048),YV(2048),YA(2048) COMMON/LAPLA/AC,YD,YV,YA ALA=P/2.0 D=P**2-4.0*Q W=SQRT(ABS(D))/2.0 C

MATRIZ DE TRANSPORTE IF(D.LT.0.0) THEN A(1,1)=EXP(-ALA*X)*(COS(W*X)+ALA/W*SIN(W*X)) A(1,2)=EXP(-ALA*X)*SIN(W*X)/W A(2,1)=-Q*A(1,2) A(2,2)=A(1,1)-P*A(1,2) ELSE STOP ENDIF

C C

C

DO 2000 I=2,NT APRO=(AC(I)+AC(I-1))/2.0 DESPLAZAMIENTO YD(I)=A(1,1)*YD(I-1)+A(1,2)*YV(I-1)+FP*APRO/Q*(1.-A(1,1)) VELOCIDAD EXALA=EXP(-ALA*X) SENWX=SIN(W*X) DER=APRO/Q*(W*EXALA*SENWX+ALA**2/W*EXALA*SENWX) YV(I)=A(2,1)*YD(I-1)+A(2,2)*YV(I-1)+FP*DER ACELERACION COSWX=COS(W*X) YA(I)=-Q*(-ALA*EXALA*SENWX/W+EXALA*COSWX)*YD(I-1) YA(I)=YA(I)-(W*EXALA*SENWX+ALA**2/W*EXALA*SENWX)*YV(I-1) YA(I)=YA(I)-P*(-ALA*EXALA*SENWX/W+EXALA*COSWX)*YV(I-1) YA(I)=YA(I)+FP*APRO/Q*(-ALA*EXALA*SENWX+W*EXALA*COSWX)* +(W+ALA**2/W) 2000 CONTINUE RETURN END

RESFUER.FOR $LARGE $DEBUG PROGRAM RESFUER C C

PROGRAMA PARA OBTENER LA RESPUESTA ESTRUCTURAL A PARTIR DE UN

124

CAPITULO 4 C C

PROGRAMA DINAFACIL

HISTOGRAMA DE FUERZA APLICADO EN UN NODO DE LA ESTRUCTURA DIMENSION DAM(70),FU(2048) DIMENSION EIG(70),V(70,70),FPH(70),FPV(70),NNN(50) DIMENSION YD(2048),YV(2048),YDT(2048),YVT(2048) DIMENSION YA(2048),YAT(2048) DIMENSION AME(70),VT(70,70),VFA(70),NR(150),FG(70),VFF(70) CHARACTER*1 DIR,DDIR COMMON/LAPLA/FU,YD,YV,YA COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM

200

201 202 203 204 205 206

READ(13) N,NN,NV,NN3,G DO 200 I=1,N READ(13) EIG(I) DO 201 I=1,N DO 201 J=1,NN3 READ(13) V(J,I) DO 202 I=1,N READ(13) FPH(I) DO 203 I=1,N READ(13) FPV(I) DO 204 I=1,NN READ(13) NNN(I) DO 205 I=1,N READ(13) AME(I) DO 206 I=1,NN3 READ(13) NR(I) READ(33,101) NM,NT,DELT,NNAF,NODO,DDIR

DO 190 II=1,NNAF READ(33,109) NOF,DIR,VF DO 195 I2=1,NN IF(NNN(I2).EQ.NOF) GO TO 196 195 CONTINUE WRITE(*,107) NODO STOP 196 CONTINUE NAF=I2*3-3 IF(DIR.EQ.'X') NAF=NAF+1 IF(DIR.EQ.'Y') NAF=NAF+2 IF(DIR.EQ.'Z') NAF=NAF+3 VFF(NAF)=VF IF(NR(NAF).EQ.1) THEN WRITE(*,108) STOP ENDIF 190 CONTINUE CALL AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G) READ(33,103) (FU(I),I=1,NT) C

CALCULO DE EIGENVECTOR TRANSPUESTO DO 220 I=1,NN3 IF(NR(I).EQ.1) GO TO 220 IN=IN+1

125

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

126

VFA(IN)=VFF(I) DO 230 J=1,N 230 VT(IN,J)=V(I,J) 220 CONTINUE DO 240 I=1,N DO 240 J=1,N 240 VT(I,J)=VT(J,I) C

CALCULO DE FUERZA GENERALIZADA DO 270 I=1,N DO 270 J=1,N 270 FG(I)=FG(I)+VT(I,J)*VFA(J)

C

DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO DO 281 I=1,NN IF(NNN(I).EQ.NODO) GO TO 283 281 CONTINUE WRITE(*,107) NODO STOP 283 CONTINUE NGL=I*3-3 IF(DDIR.EQ.'X') NGL=NGL+1 IF(DDIR.EQ.'Y') NGL=NGL+2 IF(DDIR.EQ.'Z') NGL=NGL+3 IF(NR(NGL).EQ.1) THEN WRITE(*,108) STOP ENDIF

C

RESPUESTA PARA CADA MODO DO 300 II=1,NM P=2.0*DAM(II)*SQRT(EIG(II)) Q=EIG(II)

C

CALCULO DE FAC = EIGENVECTOR * MASA GENERALIZADA * VECTOR FUERZA

FAC=1.0/AME(II)*FG(II)

CALL LAPLACE(P,Q,FAC,DELT,NT) C

CALCULO DE RESPUESTA PARA EL GRADO DE LIBERTAD SOLICITADO YDMAX=0.0 YVMAX=0.0 YAMAX=0.0 DO 320 I=1,NT YDT(I)=YDT(I)+V(NGL,II)*YD(I)*G YVT(I)=YVT(I)+V(NGL,II)*YV(I)*G YAT(I)=YAT(I)+V(NGL,II)*YA(I)/G

CAPITULO 4

PROGRAMA DINAFACIL

IF(ABS(YDT(I)).GT.ABS(YDMAX)) YDMAX=YDT(I) IF(ABS(YVT(I)).GT.ABS(YVMAX)) YVMAX=YVT(I) IF(ABS(YAT(I)).GT.ABS(YAMAX)) YAMAX=YAT(I) 320 CONTINUE 300 CONTINUE WRITE(34,111) WRITE(34,114) DO 1900 II=1,NNAF 1900 WRITE(34,109) NOF,DIR,VF WRITE(34,105) YDMAX,YVMAX,YAMAX WRITE(34,112) DO 400 I=1,NT WRITE(34,104) XT,YDT(I),YVT(I),YAT(I) XT=XT+DELT 400 CONTINUE WRITE(34,113) NODO,DDIR,NT,DELT DO 401 I=1,NT,8 NUM=NUM+1 WRITE(34,110) YAT(I),YAT(I+1),YAT(I+2),YAT(I+3),YAT(I+4), +YAT(I+5),YAT(I+6),YAT(I+7),NUM 401 CONTINUE 101 102 103 104 105

FORMAT(2I5,F5.3,2I5,4X,A1) FORMAT(16F5.3) FORMAT(8F9.6) FORMAT(4E13.6) FORMAT(2X,24HDESPLAZAMIENTO MAXIMO = ,E13.6,/, +2X,24HVELOCIDAD MAXIMA = ,E13.6, +2X,24HACELERACION MAXIMA = ,E13.6) 106 FORMAT(6E13.6) 107 FORMAT(52H ******* NO ENCONTRO EL NODO PARA LA RESPUESTA *****) 108 FORMAT(52H ******* EL GRADO DE LIBERTADO ESTA RESTRINGIDO ****) 109 FORMAT(I5,4X,A1,E13.6) 110 FORMAT(8F9.6,I8) 111 FORMAT(18H D I N A F A C I L,/,20X,14HMODULO RESFUER,//, +5X,33(1H*),/,5X,1H*,31X,1H*,/,5X, +33H* RESFUER.FOR 4483 28/07/98 *,/,5X +33H* LAPLACE.FOR 1121 01/01/98 *,/,5X, +33H* AMORTIG.FOR 2367 28/07/98 *,/,5X, +1H*,31X,1H*/5X,33(1H*),/) 112 FORMAT(10H RESPUESTA,/, +7X,6HTIEMPO,7X,6HDESPL.,4X,9HVELOCIDAD,2X,11HACELERACION,/) 113 FORMAT(20HRESPUESTA EN EL NODO,I8,/, +10HDIRECCION ,A1,/, +16HACELEROGRAMA DE ,I8,15H PUNTOS A CADA ,F6.3,9H SEGUNDOS,/////) 114 FORMAT(47HEL HISTOGRAMA DE FUERZA SE APLICO EN LOS NODOS:,/, +23H NODO DIR FACTOR) END

127

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

AMORTIGU.FOR $LARGE $DEBUG PROGRAM DAMPING C C C

PROGRAMA PARA OBTENER EL AMORTIGUAMIENTO MODAL DIMENSION DAM(70),AC(2048) DIMENSION EIG(70),V(70,70),FPH(70),FPV(70),NNN(50) DIMENSION AME(70),NR(100) COMMON /CINTA13/ V,NNN,AME,NR,DAM

200

201 202 203 204 205 206

READ(13) N,NN,NV,NN3,G DO 200 I=1,N READ(13) EIG(I) DO 201 I=1,N DO 201 J=1,NN3 READ(13) V(J,I) DO 202 I=1,N READ(13) FPH(I) DO 203 I=1,N READ(13) FPV(I) DO 204 I=1,NN READ(13) NNN(I) DO 205 I=1,N READ(13) AME(I) DO 206 I=1,NN3 READ(13) NR(I) CALL AMORTIG(N,NN,NV,NN3,G) END

128

APENDICE "A" Algebra Matricial Simplificada ¿ QUE ES UNA MATRIZ? Una matriz es un arreglo de números de "M" filas por "N" columnas; se compone de M X N elementos, la posición de un elemento se define por sus subíndices "i" y "j”, donde "i" indica la fila y "j" indica la columna. El orden de una matriz se define por el numero de filas y columnas, ejemplo: COLUMNA

[ M ] =

1.0

0.0

-3.2

3.5

4.8

6.0

0.0

5.3

4.0

FILA

La matriz [ M ] es de orden 3 X 3, es decir tiene 3 filas y 3 columnas y 9 elementos. El elemento M11 es igual a 1.0, subíndice "i" = 1 ; "j" = 1 El elemento M13 es igual a -3.2, subíndice "i" = 1 ; "j" = 3 El elemento M22 es igual a 4.8, subíndice "i" = 2 ; "j" = 2

¿ QUE ES UN VECTOR? Un vector es una matriz con una sola columna

3.2 { V } =

4.5 1.3

¿ QUE ES UNA MATRIZ CUADRADA? Es una matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas.

[ C ]

4.2

5.1

-1.2

0.0

2.2

1.0

8.3

3.1

0.0

2.1

8.9

5.5

4.3

1.1

9.5

2.9

=

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

A- 2

¿ QUE ES UNA MATRIZ DIAGONAL? Es una matriz en donde los elementos con subíndice "i" igual al subíndice "j", son diferentes de cero y los demás elementos tienen un valor de cero. Dij = 0

sí i ≠ j

Dij ≠ 0

sí

i=j

Ejemplo

5.3

0.0

0.0

0.0

0.0

4.2

0.0

0.0

0.0

0.0

3.1

0.0

0.0

0.0

0.0

5.6

[ D ] =

La diagonal principal es el conjunto de elementos en donde i=j y para el caso del ejemplo anterior es: 5.3, 4.2, 3.1, y 5.6.

¿ QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD? Es una matriz diagonal en donde todos los elementos de la diagonal principal valen 1 Mij = 1

sí i = j

Mij = 0

si i ≠ j

Ejemplo :

1.0

0.0

0.0

0.0

0.0

1.0

0.0

0.0

0.0

0.0

1.0

0.0

0.0

0.0

0.0

1.0

[ I ] =

¿ QUE ES UNA MATRIZ TRIANGULAR? Es una matriz en donde los elementos de un lado de la diagonal principal valen cero. Existen dos tipos de matriz triangular, la matriz triangular superior en donde los elementos debajo de la diagonal principal valen cero, y la matriz triangular inferior en donde los elementos arriba de la diagonal principal valen cero, cuando los elementos de la diagonal principal valen uno, la matriz

APENDICE "A"

ALGEBRA MATRICIAL

A- 3

triangular se denomina matriz unitaria superior o inferior dependiendo del caso, y se les denota como sigue:

2.0

1.8

3.5

-1.7

0.0

3.0

-2.0

4.5

[ AU ] =

3.0

0.0

0.0

0.0

2.1

1.3

0.0

0.0

[ AL ] = 0.0

0.0

7.0

3.1

4.8

2.1

5.6

0.0

0.0

0.0

0.0

1.0

2.6

4.9

5.5

1.9

EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

1.0

3.0

5.6

7.8

0.0

1.0

6.8

1.0

[AU(1)] =

EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

1.0

0.0

0.0

0.0

3.2

1.0

0.0

0.0

[AL(1)] = 0.0

0.0

1.0

8.2

5.6

3.1

1.0

0.0

0.0

0.0

0.0

1.0

7.5

1.1

1.0

1.0

EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR UNITARIA SUPERIOR

EJEMPLO DE MATRIZ TRIANGULAR UNITARIA INFERIOR

¿ QUE ES UNA SUB-MATRIZ? Una matriz puede ser dividida en sub-matrices como se muestra en el ejemplo, y cada sub-matriz puede ser tratada como un elemento de una matriz.

[ A ] =

5.0

3.1

0.0

4.5

2.1

4.1

3.2

9.0

0.0

1.2

3.1

0.0

4.5

7.2

1.1

8.1

2.1

2.2

3.9

1.0

9.9

1.6

3.3

7.7

7.9

5.0

3.1

0.0

4.1

3.2

9.0

3.1

0.0

4.5

8.1

2.1

2.2

[ A21 ] =

[ A12 ] =

4.5

2.1

0.0

1.2

7.2

1.1

3.9

1.0

7.7

7.9

[ A22 ] = 9.9

1.6

3.3

A12

A21

A22

=

donde:

[ A11 ] =

A11

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

A- 4

¿ CÓMO SE SUMAN O RESTAN LAS MATRICES? Las matrices se suman o restan de elemento a elemento en forma algebraica, por lo tanto solo es posible cuando las matrices son del mismo orden. La ley conmutativa y la ley asociativa son validas para estas operaciones. Ejemplos: [ A ] = [ B ] + [ C ]

2.0

1.8

3.5

-1.7

0.8

3.0

-2.0

4.5

[ A ] =

3.0

6.0

0.8

0.9

2.1

1.3

4.0

-7.0

+ -4.0

0.8

7.0

3.1

4.8

-2.1

5.6

0.0

0.7

6.0

8.0

1.0

2.6

4.9

5.5

1.9

5.0

7.8

4.3

-0.8

2.9

4.3

2.0

-2.5

0.8

-1.3

12.6

3.1

3.3

10.9

13.5

2.9

[ A ] =

¿ QUE ES UNA MATRIZ TRANSPUESTA? La transpuesta de una matriz se forma intercambiando columnas y se denota por los superíndices T, ejemplo:

5.0

7.8

4.3

-0.8

2.9

4.3

2.0

-2.5

0.8

-1.3

12.6

3.1

3.3

10.9

13.5

2.9

5.0

2.9

0.8

3.3

7.8

4.3

-1.3

10.9

4.3

2.0

12.6

13.5

-0.8

-2.5

3.1

2.9

[ A ] =

[ A ]T =

las

filas

por

las

APENDICE "A"

ALGEBRA MATRICIAL

A- 5

¿ CÓMO SE MULTIPLICA UNA MATRIZ POR OTRA? Dos matrices [A] y [B] se pueden multiplicar si el numero de columnas de [A] es igual al numero de filas de [B]; de lo contrario no esta definida la multiplicación. La multiplicación de matrices se rige por la siguiente formula: [ Amp ] X [ Bpn ] = [ Cmn ] p

Cij =

Air

Brj

i=1 a “m”

y

j=1 a “n”

r=1

Ejemplo:

[ A ]

=

5.0

3.1

0.0

4.1

3.2

-9.0

3.1

0.0

4.5

[ B ]

=

4.5

2.1

0.0

1.2

7.2

1.1

[ A ] X [ B ] = [ C ] 3X3 3X2 3X2 Los elementos se forman de la siguiente manera: C11 = 5.0X4.5 + 3.1X0.0 + 0.0X7.2 = 22.5 C12 = 5.0X2.1 + 3.1X1.2 + 0.0X1.1 = 14.22 C21 = 4.1X4.5 + 3.2X0.0 - 9.0X7.2 =-46.35 C22 = 4.1X2.1 + 3.2X1.2 - 9.0X1.1 =

2.55

C31 = 3.1X4.5 + 0.0X0.0 + 4.5X7.2 = 46.35 C32 = 3.1X2.1 + 0.0X1.2 + 4.5X1.1 = 11.46 Por lo tanto la matriz [ C ] queda como sigue:

[ C ]

=

22.50

14.25

-46.35

2.55

46.35

11.46

Lo anterior se realiza en el instrucciones en lenguaje FORTRAN DO 800 I=1,M DO 800 J=1,N DO 800 K=1,P 800 C(I,J)=C(I,J)+A(I,K)*B(K,J)

programa

DINAFACIL

con

las

siguientes

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

A- 6

¿ CÓMO SE INVIERTE UNA MATRIZ? La inversa de una matriz es su reciproco. Una matriz es invertible solo si es cuadrada y es "NO SINGULAR", es decir, el determinante de la matriz debe ser diferente de cero. La inversa de una matriz se denota por el símbolo [ A ]-1 y se obtiene por: [ A ] [ A ]-1

= [ I ] [ I ]

[ A ]-1

= [ A ]

La inversa de una matriz diagonal es el reciproco de cada elemento de la diagonal principal. Cuando una matriz es de orden 3 X 3 o superior se complica la obtención de la inversa, por lo que es necesario usar una metodología como la de Choleski la cual consiste en los siguientes pasos para invertir la matriz: PRIMERO.Se determinan la matriz triangular inferior y la matriz triangular superior que equivalgan a la matriz por invertir: [ A ] = [ AL ] X [ AU(1) ] En donde [ AL ] es una matriz triangular inferior y [ AU ] es una matriz triangular superior en donde los elementos de la diagonal principal valen uno. El proceso para formar esas matrices triangulares es: j-1

ALij = Aij -

ALir

AUrj

sí

i ≥ j

si

i < j

r=1

i-1

Aij -

ALir

AUrj

r=1

AUij = ALii

AUii = 1.0

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el primer paso con las siguientes líneas de programación FORTRAN: DO 200 I=1,MM DO 200 J=1,MM FM=0.0 IF(I.LT.J) GO TO 270 K=J-1

APENDICE "A"

240 250 270

310 320 200 210

ALGEBRA MATRICIAL

A- 7

IF(K.EQ.0) GO TO 250 DO 240 IR=1,K FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM AL(I,J)=AME(I,J)-FM GO TO 200 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 320 DO 310 IR=1,K FM=AL(I,IR)*AU(IR,J)+FM AU(I,J)=(AME(I,J)-FM)/AL(I,I) CONTINUE DO 210 I=1,MM AU(I,I)=1.0

SEGUNDO.Invertir las matrices triangular inferior y la matriz triangular superior de acuerdo a las siguientes formulas: [ AL ] [ AM ] = [ I ] Por lo tanto la matriz [ AM ] es la inversa de [ AL ], para encontrar la matriz [ AM ] aplican estas formulas: 1.0 AMii =

si

i = j

si

i > j

AIii

1.0

i-1

AMij = -

ALir ALii

AMrj

r=j

AMij = 0.0

si

i < j

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el segundo paso con las siguientes líneas de programación FORTRAN:

450 470

510 520 400

DO 400 I=1,MM DO 400 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 450 IF(I.GT.J) GO TO 470 AM(I,J)=0.0 GO TO 400 AM(I,J)=1.0/AL(I,J) GO TO 400 K=I-1 IF(K.EQ.0) GO TO 520 DO 510 IR=1,K FM=AL(I,IR)*AM(IR,J)+FM AM(I,J)=-FM/AL(I,I) CONTINUE

DINAMICA ESTRUCTURAL SIMPLIFICADA

A- 8

Para el caso de la matriz triangular superior tenemos: [ AU ] X [ AN ] = [ I ] Por lo tanto la matriz [ AN ] es la inversa de [ AU ], para encontrar la matriz [ AN ] aplican estas formulas:

ANii =

1.0

si

i = j

j-1

ANij =

-

Nir

Urj

si

i < j

si

i > j

r=j

ANij = 0.0

En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el segundo paso con las siguientes líneas de programación FORTRAN:

620 640

680 690 700

DO 700 I=1,MM DO 700 J=1,MM FM=0.0 IF(I.EQ.J) GO TO 620 IF(I.LT.J) GO TO 640 AN(I,J)=0.0 GO TO 700 AN(I,J)=1.0 GO TO 700 K=J-1 IF(K.EQ.0) GO TO 690 DO 680 IR=1,K FM=AN(I,IR)*AU(IR,J)+FM AN(I,J)=-FM CONTINUE

TERCERO.Finalmente se multiplican las matrices [ AM ]X[ AN ] y se obtiene la matriz inversa de [ A ]-1 = [ AI ] En el programa DINAFACIL en la subrutina INVMAT se realiza el tercer paso con las siguientes líneas de programación FORTRAN: DO 800 I=1,MM DO 800 J=1,MM DO 800 K=1,MM 800 AI(I,J)=AN(I,K)*AM(K,J)+AI(I,J) RETURN END

REFERENCIAS 1.- Przemieniecki J. S., THEORY OF MATRIX STRUCTURAL ANALYSIS, McGraw Hill Book Company, New York, 1968. 2.- Harris Cyril M., Crede Charles E., SHOCK & VIBRATION HANDBOOK, McGraw Hill Book Company, New York, 1976. 3.- Myskis A. D., ADVANCED MATHEMATICS FOR ENGINEERS, MIR PUBLISHERS MOSCOW, 1979. 4.-

Comisión Federal de Electricidad, (DISEÑO POR SISMO), México, 1993.

MANUAL

DE

DISEÑO

DE

OBRAS

CIVILES

5.- Nigam Navin C., Jennings Paul C., DIGITAL CALCULATION OF RESPONSE SPECTRA FROM STRONG-MOTION EARTHQUAKE RECORDS, California Institute of Technology, Pasadena, 1968. 6.- Jan J. Tuma, ENGINEERING MATHEMATICS HANDBOOK, SECOND EDITION, McGraw Hill Book Company, 1979. 7.- ASCE American Society of Civil Engineers, STANDARD FOR SEISMIC ANALYSIS OF SAFETY-RELATED NUCLEAR STRUCTURES AND COMMENTARY ON STANDARD FOR SEISMIC ANALYSIS OF SAFETY-RELATED NUCLEAR STRUCTURES, ASCE, September 1986.

REFERENCIAS GENERALES Biggs John M., INTRODUCTION TO STRUCTURAL DYNAMICS, McGraw Hill Book Company, New York, 1964. Gupta Ajaya Kumar, RESPONSE SPECTRUM METHOD IN SEISMIC ANALYSIS AND DESIGN OF STRUCTURES, Blackwell Scientific Publications, Boston, 1990. Derecho Arnoldo T., Schultz Donald, Fintel Mark, ANALYSIS AND DESIGN OF SMALL REINFORCED CONCRETE BUILDINGS FOR EARTHQUAKE FORCES, Portland Cement Association, 1978.