Guide Du Calcul en Mécanique 01

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HACHETTE Technique

,

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D. SPENLÉ Agrégé de mécanique. Membre de la commission U.N.M. 08 à l'Union de la normalisation

de la mécanique.

R. GOURHANT Ingénieur Arts et Métiers. Agrégé de mécanique.

GUIDEDU CALCULEN ,

MECANIQUE POURMAÎTRISER LA PERFORMANCE DESSYSTÈMES INDUSTRIELS

À J'usage: des élèves de l'enseignement technique industriel. lycées techniques et lycées professionnels, instituts universitaires de technologie, sections de techniciens supérieurs. des auditeurs de la formation continue, des techniciens en activité dans les entreprises.

~

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HACHETTE 1èchnique

Table des matières 8 9 Modélisation géométrique d'unsolide""""""""". 10 Repérage d'uneliaison "..."........... Modélisation desliaisons ".................. 12 18 Modélisations demécanismes ."" ".."""""""" 20 Modélisation desactionsmécaniques " """""".. Actionsdesliaisonsparfaites dansl'espace""..".." 22 Modélisation dansleplandesactionsmécaniques. 24 Actionsdesliaisonsparfaites dansleplan............. 26 Cinématique desliaisonsparfaites dansl'espace"" .30 Cinématique desliaisonsparfaites dansleplan...... 32 36 Actions desliaisons réelles " "..".................. 45 Actions mécaniques àdistance "" ".""""""... 46 Barycentre - Centre degravité Solidesdéformables............................................ 50 52 Actiond'unfluidestatique.""""""" """".... 55 Actiondela pressionambiante 56 Actiond'unfluideenmouvement " " ".......... Notionsdethéoriedesmécanismes "",."".".......... 57 62 .."".., """""........... Isolement d'unsystème

1 Solides...,..""..,..,..,

3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15

16 17

18 19 20

,..,...,

"""""""""

""

"",.

"

""."

Cinématique 63 21 Mouvement d'unsolide. .""............................... 69 22 Translation d'unsolide""..., """.".". 70 71 73 Translation circulaire " " " """" """"""" 75 Rotation d'unsolideautourd'unaxefixe Mouvements derotationparticuliers ".................... 77 78 Mouvement plansurplan 82 Mouvements relatifs."""",.,. """" '..",.

23 Translation rectiligne uniforme """"""............ 24 Translation rectiligne uniformément variée

107

,..."".",

40 Résolution analytique dansleplan

"

108

41 Résolution analytique dansl'espace

110

42 Deuxettroisglisseurs coplanaires .." 43 Quatre glisseurs coplanaires ,

114 116

44 Dynamiqueetfuniculaire

118

""""""""""".

Modélisation 2

39 Choixd'uneméthode derésolution ..""

Résistance des matériaux 45 Hypothèses delarésistance desmatériaux 46 Coupure dansunepoutre """""""""... 47 Matage

120 122 129

48 Tractionsimple

134

",'..""""""""""""""""""

"""""""""""."

49 Compression simple

144

"""".""""",."""""""""""...

50

Cisaillement simple"",

51

Torsion simple

".."

""""".",.""""".""""."

52

Flexion simple ""

"

147 157

53 Formulaire despoutres ""...".'""""".""""""". 54 Principe desuperposition

Dynamique

-

1B3 187

""""""

55 Sollicitations composées

56 57 58 59

168

"...".""".,.""""".

"... 188

Énergétique

Dynamique dusolideentranslation Solidesenrotation autourd'unaxefixe Travail Puissance

"...""".

"""""""""

""".""

"""""""""""

""""

60 Énergie 61 Énergie potentielle "".""."""""

"""".""""".."...

"""""",

62 Énergie cinétique

"

""

"".."

195 203 212 215 219 221

223

"""""."

63 Conservationdel'énergie. """""."""""""""".""

227

"".""""

25 26 27 28 29

."""..""",

".""

Statique

".""""",."

""

--

30 Actions mutuelles

"""""""

""

31 Principe fondamental delastatique".",."."" 32

Adhérence - Frottement """""

"""",

Arc-boutement ."""",..".."

"""""

"

"""""""

"

'"""."."."""."",

37 Principales étapes d'unproblème destatique"". 38 Ordonnancement desisolements .""""",."""

,

"

"."..

229

65 Cinématiquedesfluidesincompressibles.""".".".

235

66 Dynamique desfluidesincompressibles .""",."..". 67 Pertes decharges

238 242

Thermique 68 Transfert dechaleur 69 Contraintes thermiques

243 246

"""."."

,

""""",."""""",."."""..",."..."

89

""..

34 Résistance aubasculement 36

87

,

33 Résistance aupivotement """""" 35 Résistance auroulement

86

".""

Mécanique des fluides 64 Hydrostatique """""""""

94

Renseignements divers

96

70 Grandeurs etunités

98

71 Éléments vectoriels "",.""""..."."

247 ,

100

72 Repérage desvecteurs. """.""""""".".""""""".

102 106

73 Opérations vectorielles 74 Torseurs

251 252

253

",

,

255

Index alphabétique NOTA:Lesmotsd'appeldecet indexappartiennent auxcinqcatégoriessuivantes: . Lesnomspropresqui ont marquéun ou plusieursdomainesparticuliers(Archimède,Bernoulli,Euler...) . Lesnomsd'élémentstechnologiques (arbre,engrenage,roulement...)ou de corps(fluide,gaz,solide...) . Lesnomsde grandeurs (accélération, force,moment,pression,travail...) . Lesnomsde phénomènes physiques (adhérence,basculement,écoulement,dilatation...) . Lesnomsdivers(liaisons,méthodes,sécurité,unités...) Cesmotssont,en général,suivisd'un nomprécisantla nature(coefficient,définition,formulaire,théorème...ou l'activitéassociée(calcul,détermination,modélisation...). Il n'y a jamaisd'appelparcesmots. Exemples:Vitesse(définition); Roulements(modélisation). Pourrechercherun nomde chapitre,se reporterplutôtà latabledesmatières,pageprécédente.

Base

A Abscisse curviligne

63

Accélération (composition des)

85

Accélération (définition)

67

Accélération (delapesanteur)

45

Accélération (détermination)

68

10-81-252

Composite (caractéristiques)

143

121

Compressibilité (coefficient)

229

Bernoulli(théorème)

239

Compression simple

144

Bipoints(définition)

251

Concentration decontrainte (clavette) 160

Bernoulli(hypothèse deR.d.M.)

Butéeàbilles(modélisation)

61

Action(liaisonsparfaites dansl'espace). 22 55

137

Concentration decontrainte (flexion)... 175 Concentration decontrainte (torsion)

Action(liaisonsparfaitesdans leplan)... 26 Action(pression ambiante)

Concentration decontrainte (filet)...

161

Concentration decontrainte (traction)... 138 Conductivité thermique Cônedefrottement

c

245 90

Action(fluideenmouvement)...

56

Capacités thermiques

244

Action(fluidestatique)

52

Conservation del'énergie (principe)..

227

Celsius(degré)

243

Actionmécanique àdistance Actionsmutuelles

45 86

Centredegravité(calcul)..

Contrainte critique(flambage) Contrainte decisaillement

194 147

Centredegravité(définition) ..

46

Adhérence (loisur)

89

Centre degravité(formulaire)..

47

Alembert (méthode)

197

Allongement (pourcent,unitaire)

135

Centre depoussée d'unfluide... Centreinstantané deiàtation

..52-53 81

Angle(denutation, précession,.. .)

11

Angleunitairedeflexion Angleunitairedetorsion

168 ,

Contrainte normale, tangentielle

128 165

Contrainte thermique..

246

Convection (thermique) ..

245

Arbredetransmission (calcul) Arc-boutement

162 100

Liaisonsparfaites dansleplan

32

Convention designe(puissance)

-

Liaisons parfaites dansl'espace

30

Coordonnées (point,vecteur)

233

Cisaillement simple

Assemblage (coefficient)

142

Classed'équivalence

147 18-19

Coulomb (loi) Coulomb (module)

215 11-252 89 148

Clavette (calcul)

132

Couple(définition)

Cloucannelé (calcul)

149

Couplemoteur(définition)

216

Coupure (dansunepoutre)

122

Collage (calcul)

96-199

235

-

Archimède (théorème)

Basculement (résistance au)

134

Contrainte (ressort hélicoïdal)

Cinématique:

46

158-159

193

- Fluidesincompressibles

Barycentre (définition)

Contrainte detraction

Charge critique(flambage)..

133

B

Contrainte detorsion

144 . 169-177

133

157

78-256 14

Contrainte decompression Contrainte deflexion..

Chape(calcul)

Arbrecannelé (calcul)

Axecentral(d'untorseur).. Axedeviration..

. 48-49

150-153

Comoment (travail,puissance) . 213-218

Courroie (actionmécanique)

Composante (définition)

Culmann (méthode)

Composantes intrinsèques

252 67

Cyclomatique (nombre)

20

51 116 58

F

0 Débitmasse/Volume

Flambage

193

Inconnues cinématiques

30-32-58

148

Flèche (définition)

179

Inconnues statiques

22-26-58

178

Flèche enflexion(calcul)..

180

Inertie(effet)

Flèche(ressort hélicoldal).. Flexioncirculaire

165 178

Inertie(principe)

Flexioncompression/traction

191

Interprétation (résultats statiques).. 104-(105) Invariant scalaire 256

136

Flexion simple

168

Isentropique (transformation) ..

179

Flexiontorsion

188

Isobare -Isochore(transformations) 222

. 237-248

Déformation (cisaillement) Déformation (flexion) Déformation (hypothèses deR.dM.)

121

Déformafion (torsion)

158

Déformation (traction)

135-136

Déformation (transversale)... Déformée (définition) Degrédeliaison.. Degréd'hyperstatisme

237

Isolement d'unsystème

Fluideincompressible (définition)

229

Isostatisme (définition)

58

Fluidesurparoihaute

53

Isotherme (transformation)

222

54

Isotropie (d'unmatériau)

120

233

Fluidesurparoisymétrique

Dilatation d'unepoutre

246

Force(définition)

20

Dimensions (équations aux)

250

Force(extérieure, intérieure)

88

238à242

Force(hypothèses deR.dM.) Frottement-adhérence...

120 89

Dynamique (etfuniculaire)

118

Dynamique (principe fondamental)196-207

Frottement surunpivoL

Dynamique (rotation)..

203

Frottement (valeurs dufacteur)

91

Dynamique (translation)

195

Funiculaire (etdynamique)..

118

..37-94

E 243

Écoulements (types) Écriture desnombres

235 249

Effortnormal, tranchant

122

Glissement longitudinal

Élancement d'unepoutre

193

Glisseur (définition)...

Énergie cinétique

223

Goupille(calcul)

150

Énergie (différents types)..

219

Grandeurs (etunités)..

247

Énergie potentielle

221

Graphe deliaison,destructure

Engrenage (calcul,module)

181

Engrenage (effortstransmissibles)

113 219

Enveloppe cylindrique (calcul)

141

Enveloppe sphérique (calcul)

142

Équiprojectivité (vitesses)

Gaz(diagrammes, transformations).. 222

Kelvin(degré)

249

Koenig(théorème)

206

177 20-251

18-19

89 80-258

- Parfaite (cin:': espace, plan) Liaisonencastrement:

31-34

- (a.m:: espace, plan)

22-27

- (cin:': espace, plan)

30-32

Liaisonglissière(réelle) -

Parfaite (a.m:: espace, plan)

Hertz(pression dematage)

131 68

Homogénéité (d'unmatériau) Horaire (équation)

Essaidetraction

135

-

Parfaite (a.m:: espace, plan)..

- Parfaite (cin:': espace, plan)

Hodographe

256 148 11

23-27

-

H

120 63

(Théorème, moment d'inertie)

- (Théorème, moment quadratique)

Liaisonlinéairerectiligne (réelle) -

Parfaite (a.m:: espace, plan)

Liaisons(modélisation)...

170

Liaisonpivotglissant(réelle)

Parfaite (a.m:: espace, plan)

Euler(écoulements)

238

Hydrostatique (équation fondamentale).. 230

-

Euler(flambage)

193

Hyperstatisme

- Parfaite (cin:' espace, plan)..

, a. m. : actionmécanique.*'cin. : cinématique.

30-33 39

23-26 31-33

voirliaisonsphère-cylindre

204

58-59-104

38

22-27

Liaisonlinéaire annulaire:

- Parfaite (cin.*':espace, plan)

Huygens:

41

- Parfaite (a.m:: espace, plan)

- Parfaite (cin.*':espace, plan) Liaisonhélicoïdale (réelle)

Équiprojecfivifé (momenf torseur) EssaidecisaillemenL Euler(angles)

57

K

Liaisonappui-plan (réelle)

G

57

Entrée-sortie (énergie)

Équilibre strict

62

L

Échelle detempérature

Entrée-sorfie (cinématique)

222

Fluide(équation decontinuité)..

Densimètre. densité

Dynamique desfluides

87

12

12-22-26

Degré deliberté (définition) ..

"

197

42

23-27-28 31-35 12à 17 40

23-27-28 31-33

173

Puissance (absorbée paruneliaison)

217

- Parfaite(a.m.*: espace,plan)"..22-27-28

Module d'élasticité longitudinale "".."""

136

Puissance (définition)

215

- Partaite(cin.** espace,plan)..

Moduled'élasticité transversale...

148

Liaisonponctuelle:voir liaisonsphère-plan

Moduledetorsion..

159

Liaisonsphère-cylindre (réelle)

Moduled'unedenture (calcul)

181

Mohr-Cacquot (formule)

188

Moment cinétique""""..""""..""""""".

205

Liaison pivot(réelle) "",,""""""""""

37

- Parfaite(a. m.* espace,plan).. -

30-32

43 ... 23-28

Parfaite (cin.**:espace, plan)

31-35

Liaisonsphère-plan(réelle)

44

- Parfaite(a m.*: espace,plan)

"... 23-28

- Parfaite(cin**: espace,plan)

30-32

Liaisonsphériqueà doigt: -

Parfaite (a.m.*:espace, plan)

23-27-28

- Parfaite(cin.** espace,plan)"..

31-34

Liaisonsphérique(réelle) -

42

Parfaite (a m.*:espace, plan)..

23-28

- Parfaite(cin**: espace,plan) Limited'élasticité(extension)..

31-34 .135-136

Limited'élasticité (glissement) """"""..

149

M

Moduledeflexion

""..

Moment deflexion,detorsion.. 122 Moment d'inertie 203-204-211

Massevolumique """"""""

233 1~

(caractéristiques mécaniques)""""."136-143 Mécanismes (modélisation)

18

Mécanismes (théorie des)

57

Méthode derésolution (statique) : -

Choix

107

188

Rankine (flambage)

194

Moment quadratique (définition)

168

Rayondecourbure (flexion)...

178

Moment quadratique (formulaire)..

171

Rayondegiration(flambage)...

193

Moment quadratique (polaire)..

158

Rayonnement (thermique)...

246

Moment statique (définition)""""""""" 177

Rendement (définition) ..""""

219

Moment statique (théorème)

88

Rendement (système vis-écrou)

Moment surunevis".."" Mouvement d'unsolide """""""""""""

39 63

Rendement (valeurs) """""..""".."

Mouvement plansurplan.. Mouvements relatifs

78 82

Repère (galiléen, absolu)..

247

p Pascal(théorème)""""""

232

Pertesdecharges

242

Pivotement (résistance au)..

42-44-94

Pointeur (définition)

"..".."".

Poisson (coefficient).."""."...

20-251 136

Méthode (calculentraction/compression) 146

Possibilité derésolution (statique) 104-106

Méthode (pourisoler)""""""

Poutre (définition) """""""""""""" Poutre (formulaire) "".."""..

Solideenrotation..""""

- Solideentranslation

Précision desrésultats... ""... 208

Pression ambiante..

198

Pression dematage (clavette) Pression dematage (valeurs)..

Méthode(statique):

- Analytique dansleplan -

Analytique dansl'espace

-

Graphique """"""""

Mobilité (utile,interne)

""""

Repère (orthonormé)...

252

Résistance del'air

182

Méthode(résoudreendynamique):

10-11-63

Résistance àlarupture ""."".."""...

Méthode (calculenflexion)

-

83 195

Repère (local,général)

Navier-Bernoulli(hypothèsede R.d.M).. 121

45

99

220

Repère (absolu,relatif)"""."..".. "."..

N

Poidsd'uncorps

Méthode (rechercher unroulement)

. 39-220

Résistance à lacompression""""""""". 145

156

106

238

(théorème d'Euler) ............

Momentidéaldeflexion,detorsion

Méthode (calculaucisaillement)

167

197

Quantité de mouvement

R

97

Méthode (calculentorsion)

Quantité de mouvement """""""""""".

206

Planincliné(basculement surun..) ..

Principales étapes

195

255

102

-

Quantité d'accélération ..

Moment d'unglisseur,pointeur".."""

56

M~~e Matériau

Q

Moment dynamique ".."""""""..""""""

Multiples, sous-multiples.. Maîtrecouple(d'uncorps)

""""""""""

135-136

56-218

Résistance élastique (définition)..

135

Résistance élastique (fonte,béton)

145

Résistance élastique (valeurs)

136

Résistance pratique (définition)

137-149

Ressort (action)..

50

Ressort hélicoïdal (calcul) ..

165

Ressort hélicoïdal (énergie) ..

221

Ressort hélicoïdal (travail)

214

Résultante cinétique (définition) Résultante d'untorseur

205 255

120 183

Résultante dynamique (théorème)... " 195-207

250

Reynolds (nombre)

237

Rigidité(d'unressort)""..."""""""""".

165

55

Résultante statique (théorème)..

132

Rotation (cinématique)

131

Rotation (dynamique) """""""""""""... Roulante " ".".."

75à77 203 81

"..."

108

Produit(scalaire, vectoriel)

110

ProfilésIPN(détermination)

174

Roulements (modélisation)"""".."""""

Protilés(formulaire)...

172

Roulements (résistance au)..

Puissance (absorbée parl'air)..

218

Roulements (valeurs ducoefficient)..

114-116

57-58

* a. m. : action mécanique. **cin. : cinématique.

254-255

88

60

42-44 99

s

Torseur cinématique (liaison).

30

Travail(définition) Travaildesforcesintérieures.

Torseur cinématique (plansurplan)

78

Travaild'uneactiondecontact

Torseur cinématique (rotation)

76

Torseur cinématique (translation).

69

Torseur(définition)

Saint-Venant (hypothèse)

121

Schéma cinématique minimal.

18

Section droite(définition).

120

Sécurité (coefficient)

137

Signesd'opérations

250

Solidesdéformables (actions)

50

Solides(modélisation)

9

Solides(types)

...

Sollicitations composées

8 188

Sollicitations (diagrammes)..

123-183

Sollicitations simples(définition)

123

Torseur cinétique

Torseur dynamique (translation)

Vecteur (définition) ....

251

Vecteur (opérations) ..............

253

Torsionsimple

157 134 190

Vecteur position.. Viscosité ....

236

Vis d'assemblage (calcul) .......................

190

218

Vis sans fin (efforts transmissibles) ........

113

Traînée (valeurs coefficient)

56

63

Vitesse critique.............

64

Vitesse (définition).....

Système matériel (définition).

87

Trajectoire (définition) ..

Symétrie (actions mécaniques)..

24

Trajectoire (formulaire)..

Transfert dechaleur

'.'.

243

93

Transformation d'ungaz Translation circulaire.

Température absolue

243

Translation d'unsolide.

69

Tirant(calcul)

140

Translation rectiligne uniforme Translation uniformément variée

70 71

;

252

v 231

Traînée (définition) ..

Tire-bouchon (règle)

247

Unitéset grandeurs............

Vases communicants......

87

...

u

21 190

154

Tapisroulant(adhérence)..

213

69

Soudage (calcul)

T

207

212 224

Torseur force,d'actionmécanique Torsion-cisaillement.. Traction simple Traction-Torsion..

187

20-256 122-126

Torseur dynamique (général)

126

Superposition (principe)

205

Torseur couple Torseur decohésion

Sollicitations (identification).. Statique (principe fondamental)

255

222 73

63

83

Vitesse (absolue, relative) ....

...

207 65

Vitesse (détermination) ..................

66

Volantd'inertie(calcul)..............

226

y Young(module)

136

, NOTA GÉNÉRAL L'abréviation G.D.suivie d'un numéro signale le chapitre ou le paragraphedu Guidedu dessinateurindustrielde A. CHEVALIER(Hachette) qui traite de cette question.

8

1 Solides

SUSPENSION D'UN MOTEUR ÉLECTRIQUE Carter (Solide rigide)

Selonletypedeproblèmequel'ona à traiter,onconsidèreen mécanique diverstypesde"solides»,

1.1 Solideréel

Courroie (Solide flexible)

Il s'agitd'unensemble physique dontl'aspect paraîtinvariable lorsqu'onle soumetà dessollicitations diverses et dosées (paroppositionauxfluides: liquidesou gaz),

.

la massed'un solide réel resteconstante;

.

la formedu solide réel varietrès faiblement

Moteur Suspension (Solide élastique)

selon les sollicitationsqu'onlui impose,suivant uneloi inconnue.

1.2 Solidedéformable Il s'agitd'unensemble physique dontladéformation doitêtre priseencompte (chapitre 15), Parhypothèse: . la massed'unsolidedéformable resteconstante; . la formevarie de façonprévisibleet quantifiableenfonctiondeseffortsappliqués. Ondistingue 3typesde"solides»déformables :

RESSORTS DE COMPRESSION (Solides élastiques)

. le solide flexible: il supporte sansréaction notable, ladéformation qu'onluiimpose: . le solideélastique:il accumule l'énergie dedéformation qu'onluicommunique etestcapable delarestituer enreprenant saformeinitiale; le solidesouple:il peutsedéformer àl'étatlibreparrap-

.

portà laformerequisepoursafonction;onpeutlereconformer.

1.3 Solide parfait Il s'agitd'unmodèlethéoriquesouventutilisé,

. la masse d'unsolideparfaitresteconstante; . Saformenevariepasquellesquesoientles sollicitations qu'onluiimpose (indéformable) ; . la distance entredeuxpointsquelconques est invarianteau coursdutemps(rigide). Photographie: ressortsVanel- 69140 Rillieux la Pape,

9

2 Modélisation geometrlque d'un solide /'

MODÉLISATION D'UN SOLIDE

/'.

Biellette de raidissement (reliant le moteur à la cabine sur un véhicule de tourisme)

Onreconstitue lesolideà l'aidedevolumesélémentaires:

. . . .

.

plans,

cylindres derévolution, cônesderévolution, sphères,

tores.

REMARQUES:

. On négligeles dépouillesfaibles,les congés,les petits arrondisderaccordements.

.

Cylindres de révolution

L'informatique permet d'obtenir uneformeapprochée d'un

ensemblecomplexeenassociantdessurfaceset desvolumes élémentaires. Pouranalyserladéformation d'unsolideouseseffortsinternes souscharge,onpeutle modéliser,selonlacomplexité:

. .

soitcommeunepoutre(voirchapitre45),

soit à l'aidede programmes informatiques utilisant,

Parallélépipède

parexemplela méthodedesélémentsfinis. Laméthodeconsisteà "découper»(onditaussi:"discrétiser»J lesolideenuntrèsgrandnombred'éléments triangulaires, donc de petitesbarressupposées articuléesaux"nœuds» L'allongementou leraccourcissement deces«éléments finis» permet donc d'étudier les déformationset les efforts internes

On ajoute ensuite: les congés* les dépouilles etc.

souscharge. REPRÉSENTATION TRIDIMENSIONNEllE

ÉTUDE D'UNE DENT D'ENGRENAGE PAR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

Maillage par découpage de la section en triangles

* Vocabulaire.

voir G.D.

10

3 Repérage d'une liaison

.

Dansleplan(0, x, z), onpeutrepérerlemilieuEdupare-chocs

arrière:

-, OE = (4129 - 842)x + (713- 205)z'

+ 3 287

~

oubien OE

o. + 508)

( 3.1 Repère général Pourrepéreruneliaison,lemécanicien estamenéà choisir: .

. Dansleplan(0,y, l), onpeutrepérer lecentreducontact A dupneusurlesol:

doncdesaxes- dirigésselondesdirections caractéristiques oubien DA

pouvantservirdelignesderéférences à la cotation

-

-

(-

de l'ensemble:axesdesymétriesdecertainespiècesessentielles,

~

( 2 )y

OA=

. unebase(x, y, z) (voir§ 74.2)avecdesvecteursunitaires -

1450

~

unpointfixe,généralement liéaubâti;

72~

~

-

205z

.

205)

. Dansletrièdre(0, x, y, z), lemilieue ducontactdupneu

EXEMPLE:

arrièregauchesur lesol esttel que:

Pourrepérerl'emplacement detous,lesorganesd'unvéhicule,les constructeurs associentunrepère(0, x, y, z) auchassistel que:

~

(0, x) : axelongitudinalduvéhicule;

~

oubien

(0, y) : axedesrouesavant;

1450

~

~

oe =2580x-2Y

(0, z) : axeperpendiculaire ausol.

2580 725 ( - 205)

oe

-

~

-205z

.

REPÈRE GÉNÉRAL D'UNE AUTOMOBILE

y

z

A

y

842

AIB

CID 2580 4129

LD 0 N

CID

AIB 1 450

11

3 .2 Repère local

SOURIS D'ORDINATEUR

Lerepèrelocalpermetdecaractériser une1iaisonselonsaforme

Boîtier

géométrique particulière: .

axesdesymétrie;

.

normaleà unplanparticulierdecetteliaison,

!

Lesaxesdu repèrelocaldoiventtenircomptedecesparticu-

larités, L'originedu repèrelocalseraprécisée à partird'unrepère général (§3.1),

Potentiomètres Galet 2

Galet 1

REMARQUES:

. Pouruneliaisonn'ayant pasdeparticularité géométrique évidente (encastrement parexemple), il suffitde choisirun repère localayantmême basequelerepère général.

. Lapositionangulaired'unrepèrelocalpeuttoujourss'ex-

Boule Galet 3

primeràl'aidedes" troisangles d'Euler": Contact

'P,angledeprécession: rotation autourde(Ao,1;;), e, angledenutation:rotationautourde(Ao,x;'), 'P, anglederotationpropre:autourde(A, Z;),

EXEMPLE: Lerepère(111,x;', Ji;',Z;), ci-contre,vapermettredelocaliser leseffortstransmissibles etlazonedecontactentrela bouleet

Galet 1

le galet1 d'unesourisd'ordinateur.

.

Boule X1

Dansle repèregénéralchoisi(A0, X;, y;; , 1;;), on relève

lescoordonnées deA1:0 ; - a; + b;

.

Pourobtenirlesdirectionsde x;',Ji;',Z; à partirde X;;,Y;;,1;;, il fautplacerunrepère(A1,X;;,Y;;,1;;) puisle fairetournerautourde(A1,x;') d'unanglee, afind'amener y;; enJi;'selonlatangente augalet1 età laboule, MISE EN PLACE D'UN REPÈRE LOCAL

ANGLES D'EULER ZO=Z1

Y3

Z2=Z3

Zo Yo

Yo

Ao

Yo

0 ~=X;

Xo X1 =X2

12

4 Modélisation des liaisons .

DEGRÉS DE LIBERTÉ D'UN BATEAU 1 PAR RAPPORT À LA TERRE 2

Uneliaisonélémentaire entredeuxsolides1 et2 estcrééepar le contactd'unesurfaceassociéeau solide1 sur unesurface associéeà 2. .

z

Pourcaractériserla naturede leurliaison,il fautétudierles

x

mouvementsrelatifsde1/2. .

Les mouvements relatifss'étudientdans un repère local

associéà laliaison,danslequel: Tx:caractérise la liberté de translationselonl'axe (A, x) de1 parrapportà 2 et réciproquement Rx: caractérise la liberté de rotationautourdel'axe(A, x) de1 parrapportà 2 etréciproquement

Possibilités

REMARQUES:

.

Uneliaisonentre1 et 2 peutavoirau plus six degrésde

liberté.C'estuneliaisonlibre (voirfig. ci-contre).

.

Undegrédelibertéestunevariablequipeutprendredeuxétats

Naturedumouvement

Rx=1

Rotation autourde(A,x) possible.

Ry=1 Rz=1

Rotation autourde(A,y) possible. Rotation autourde(A,z) possible.

Tx=1 Ty=1 Tz=1

Translation selon(A,x) possible. Translation selon(A,YJ possible. Translation selon(A,z) possible.

auxquelsonpeutassocier: lechiffre0, lorsquele degrédelibertéestimpossible, lechiffre1, lorsquele degrédelibertéestpossible.

.

À un degréde 1ibertésupprimécorrespondun degré de liaison.

4.1

LIAISON ENCASTREMENT

Définition

OU FIXE Exemplesde solutionstechnologiques

CDSoudage

C'estlaliaisondedeuxsolides1 et2 nepermettant aucunmouvementdel'unparrapportà l'autre:aucunerotationoutranslation.

y

Surfacesdeliaison .

Aucune/ormen'estimposée(ellespeuventêtrederévolution

ouprismatiqueselonl'usinage,le montage). .

1

@ Ajustement serré y

Collé loctite n° 601

1

.

Le soudagesupprime les surfacesde liaison.

A

Repèrelocalorthonormé

2 .

L'origineA est prisesoit au centregéométrique de la liaison

(fig.1,2, 4),soitdanslepland'encastrement (fig.3)*. .

Q) Goujonnage

@ Goupillage

Aucunedirectionn'estimposée.Prendre(0, x) selonl'axe

longitudinalde1 ou2, s'ilexiste,et( 0, y) dansleplandesymétrie,

1 2

s'il existe(fig 3 et4)

-

1

y

~~ A

_ x ~

x

Schéma plan

Schémaspatial

T R 0 0

~ 0

0

00

* Cas les plus généraux, A peut être quelconque

Y

~

.1

~ A

0Z~

-

Bloqué à fond de filet

13

4.2

LIAISON PIVOT Définition

Exemplesdesolutionstechnologiques Roulementsou coussinets

C'estla liaisondedeuxsolides1 et 2 permettant unmouvement de rotationdel'unparrapportà l'autre.

2

2

Surfacesde liaison . Surfacesde révolutioncomplémentaires (coussinet): un seul coussinetsi t/d> 1,5;deuxsi t Id

(O,x,y,z)

Axederotation(0,;); 1

(A,;)

(A,X,y,z)

1.2.

1 11(Sphère.plan) L

0-2

1

!1

->

indiquela nurmale

aucontact.

la base (

2-3

~,y,z) convient.

SeulCestimportant;

( C,X,y,z)

(Rotule)

la base (

~,y,z) cunvient.

SeulD estimportant;

3- (4-5) ( D,;, y,z) (Rotule)

la base (

~,y,z) convient.

(F, y;) décrit la normale au plan

(4-5)-6

(F,~,Y;,z) 1

1

(Sphère-plan)

0

Seul 8 est important;

( a,X,y,z)

(Rotule)

r

->

( 0,x ) et ( 0, y ) conviennent.

(Pivot)

!

Commentaires

Repèrelocal

decontact. (F,~,F)est coplanaireà ( 0,x, y).

CD

SCHÉMA CINÉMATIQUE PLAN

3

4-5 c

~~

2

1

~V>~~L B

(l, ~) décrit l'axe du pivot glissant.

6-0 (Pivot glissant)

(l,X;,y;,z)

1

les axes(F,~) et (F,z) conviennent. Repèrecoplanaireà ( O,~,y,h

z- L. -

;

0

26

9 Actions des liaisons parfaites dans le plan -, ~ 1 G) Choisirle repèrelocal Lorsqu'une liaison1-2 présente unplandesymétrieP = (A, x, y)

8 sontmodélisables enunpointA, appartenant à (P), paruntorseur 8 dontlaformeest. 8 8 (voir chapitre 8) XA 0 pour la géométrieet les efforts,les actionsmécaniquesde 2/1

A{A2/1}= YA 0

! ADN

(A,X,y, z)

A: centre géométrique delaliaison. (A,x) dansleplan(n) etleplan(P)desymétrie. (A,y) normalà(n) etdansleplan(P)desymétrie. (A,z) dansleplan(n) etnormal auplan(P).

C2)Poserlescomposantes nulles

A) (x,y,Ï)

Compte tenude(P)etde(A,x, y, z) onécrit.

avec:(A,x) et(A,y) contenus dansleplan(P) ;

Translations ~ potentielles ~

(A,z) perpendiculaire auplan(P). Pouruneliaisonparfaite*particulière, parmiles composantes ci-dessus, certaines sontnulles.

XA? 0 YA? 0

.

? Rotation A! 0 NA, ) ~ potentielle

@ Identifier la liaison 1- 2 Appu~-plan

DÉMARCHE:(voir exemple ci-contre)

r::m =

1° Choisirlerepère localÇR,(A, x, y, h (A,x) et(A,y) étant dansle plandesymétrie, lescomposantes lA, LA, MA, sont nulles.Écrirelestroiszéroscorrespondants.

::r~e1 Tz 1

lR

Ry = 1

2° Pourlaliaisonconsidérée, étudierlespossibilités dedéplacement de1/2 selonlesaxesdu repèreenmaintenant le plan(P1)appartenantà 1 encoïncidence avecle plan(P2)appartenant à 2. Il ya lieuderespecterlesdeuxétapessuivantes: 8 Lescomposantesnulles de la résultanteA2/1 sur les deux

Pour un problème plan, avec symétrie: le degré de liberté se limite à Tx'

@ Identifierlescomposantes nulles

8 (A,x) possible: axescontenusdans(P) correspondent auxpossibilitésdetrans- Translation selon: 8 (A,y) impossible: lationde1/2 seloncesdeuxaxes.

Tx= 1 =;. XA= 0 Ty= 0 =;. YA= 0

8 Lacomposantenulledu moment;t/A2/1selonun axeperpen- Rotation 8 (A,z) impossible: diculaireà (P) correspond à lapossibilitéderotationde1/2 autour selon:

Rz= 0 =;. NA

*0

decetaxe.

@ Écrirele torseurdes effortstransmissibles

3° Calculer l'invariant scalaire:J = A2/1.;t/A 2/1 . Selonle résultat,le problèmepeutsesimplifier.

A {A 2/1}=

Si J = 0, letorseur A{A 2/1} est réductibleen unpointA' à un glisseurd'expression plussimplecar ;t/A'2/; =

Ô.

LapositiondeA' està déterminer(chapitre76). EXCEPTIDN:

Laliaisonhélicoïdale possède unesurface deliaisonquis'appuie surunehélice.Quelque soitleplan(P) considéré, il estimpossibled'associer àunpointdecontact M,unpointM',symétrique de M parrapportà (P). Ladémonstration du chapitre8 ne s'applique pas. , Voir définition

d'une liaison parfaite au chapifre

7.

{A 2/1 ;t/A2/1}

=

J ~A ~

Al0

NA) Ix}'?)

Cettedémarcheest communefiloutes les liaisons usuelles sauf la liaison hélicoïdale(voirci,dessous).

27

9. 1

CAS DE LIAISONS MODÉLISÉES

Liaison

Schématisation

COMME UN ENCASTREMENT

Translation

Fixe (ouencastrement) dans(A, X,y)

r': Li

A~:Z

t1.

Tx Ty

Représentationdu torseur

A{A2/1}=A{A; ~}

XA 0

r

I YA ~. ..

0 0

Rotation

A{A 2/d

AIO

0

NJ9tJ

0

1 Rz

~6A"' A X~ A

~

Pivotd'axe(A,x) dansleplan (A,x,y)

.JL'f ~ 2

~

(A,z) perpendiculaire à

Tx

0

Ty

0

y

Ji=0z

Sphériqueà doigt

9.2

ns= 3

!Y

{f0z

(A,x,y)

perpendiculaire, à la rainure

0z tf/A 2/1 = NA, Z

llivariantscalaire': J = 0 : torseurréductibleà unglisseurenA'.

Glissièred'axe

dansle plan(A, X,y)

Nbre d'inc. stal.

Degrédeliberté: e=O

X

1

2

~

Rz

x

1

+ YA

YA 0

A'\ 0 O'9t

~

x

rA 0

XA

ALlA' d? ..---

0z

Nombred'inconnues statiques ns = 2. Distance d à déterminer.

CAS DE LIAISONS MODÉLISÉES COMME UNE GLISSIÈRE Liaison

Schématisation

Translation

Rotation

A{A2j1}

Représentationdu torseur

{

1

>

}=A \ A 211

A A 211

Glissière d'axe(A,X) dansle plan(A, x, y)

1/'4

Y

~

Tx Ty

1

1

1 0

Pivotglissant

~x

d'axe(A, x) dansle plan (A, x, y)

~A

0

f

NA 9t y0 < 0=>contact en°2 .

!/f8

(Fext/4)= O=>Yc> O=>contacten C1.

AVEC FROTTEMENTS i 'f .--~

.

Comptetenudelatendance audéplacement provoquéepar

'1/2

r;;; (équilibrestrictchap.32),placerlesnormalesauxcontacts déterminés etajouterlescomposantes tangentielles correspondantes. .

La déterminationexactese poursuità partir des actions

mécaniquescorrectes A;,

ew;,c0/4 et 0;

.

J2/3

39

12.4

Liaison hélicoïdale réelle

VÉRIN À VIS

Enprésence defrottements, lecoefficientdeproportionnalité k, telqueLA= k. xA(chapitre7),prenduneformedifférenteselon

Charge 0

Cliquet

lesensdelachargeaxialeetletypedesurfacedeliaison

~l

1° Casoù la vis estsoumiseà uneffortaxialet un moment demêmesens

Rochet

Lavis progresse danslesensdelachargeaxiale. LA =-

XA' r.tan (0:-

xL

0; b)Vx>0, Wx=0,(aucune tendance); c)vx>O et wx>O;

d)vx>O et wx

Pi = mi

. 9 = -mi.

.

~

9

Z

Pourl'ensembledu corps,lepoidsse représenteparle «torseur-poids»

Au cours du fonctionnement, le stator exerce sur le rotor des actions mécaniques (A i, T,) ; elles se réduisent à un "torseur couple" :

(C1/d = (0 C1/dox

quis'exprime simplement aucentredegravitéG(voirchapitre14).

;\

6

-'>

-'>

-- -

1: fi =

-

-

0 et C1/2 = 1: ;ffOx(A i, fi)

-'>

{ Tp} =6{ ô/avecP=M.g=-M.g.z

IlPIl = p M

REMARQUE:

Électro-aimant

: poidsducorps,ennewtons(N).

y

: masse ducorps(kg).

~

ICgIl = 9 : accélération delapesanteur (mis2).

0z

Saufindication contraire, choisir:

-ugll

N1

N2

$1

= Oz 10 m/s2 pour un solide.

(Calculs imprécis à causedes frottements incertains.)

- 0z 9,81

e=O

mIs2 pour un lIuide.

(Frottemenfsfrès faibles.)

À titreindicatif,g", 9,73mis2 auxpôles,

La force F à exercer pour décoller l'armature A des noyaux N1 et N21orsque e = 0 peut être modélisée

9,78mis2 à l'équateur, 9,81mis2 à Paris.

par le glisseur (OZ F) ou le torseur 0

{

~0

}

(X,y.z)

EXEMPLES DE CALCUL:

. Solide homogènede massevolumiquep v = 7,2 kg/dm3, devolumeV=10dm3:p=p v' V.g", 7,2x 10x 10= 720N.

- Profilé IPN100demasselinéique Pt = 8,32kg/m(§52.523), delongueur L=8m:P=Pt. L. g=8,32x 8 x 10=666N.

F(N) avecIlFil

=--L

SB2

2 J.lo

$= S1 + S2(m 2)

8 enteslas 110=4 n. 10-7

46

14 Barycentre Centre de gravité

BARYCENTRE

Données y A2 (-2)

14.1 Barycentre Lebarycentre den pointsA1' A2' ... A;, ... An' affectés

t" - -1 1 1 1 1 1

- - - - Î

Ad1) 1 1 .1 - - - 1 - T A 3 (-1)

ai

respectivement des coefficientsa1' a2, ... a; ... an' est unpointGtelque: ---> -> ---7

1

1

1

x

1

Relation

---7

+ a2.0A2 +. .+a;.OA;+...an.OAn

a1.0A1

= (a1 + a2..+

a; +...+an)

DG

REMARQUES: .

DE TROIS POINTS

Sousformesymbolique,onécrit:

(1) .0 A1+ (-2) . 0 A2+(-1) . 0 A3= (1 - 2 - 1) . 0 G Soit: 0 A1- 20 A2- 0 A3= -20 G

1:n;=1(a;. .

OA] = (1:a;).

DG

Construction

0 représenteun point arbitraire,communaux pointeurs

~et .

DG.

Onpeutexploitercetterelationgraphiquement ou algébri-

quement,sur unrepère. .

Pourunensemble(E) continudepoints,la relations'écrit

svmboliquement : '

OP.

f

, (El

14.2

. .

---7

---7

Porter (Da) = OA1; (ab) = - 2 OA2;

(bc) =Connaissant

%

(Oc)

=- 2iiiJ, on déduit

G

da = ( " da) . DG '/

Centre de gravité

Lebarycentre den pointsaffectés decoefficients proportionnels

x

auxmasses associées à cespoints,sedésignepar"un centrede gravité»desn points. REMARQUES:

.

Pour une structure(5) continue, constituéede points Paux-

quelson associe desmasses élémentaires dm,le centrede gravitéGsedéduitd'unpoint0 connu,àpartirdelarelation:

r

OP. dm =M.DG

où

M= r dm

Calcul

)(S)

)(S)

.

b

Pourunestructure (5) discrète (constituée deblocssépa-

On relève les coordonnéesdes points:

rés),on considèreles massesmi associéesauxdiverspoints A i et l'ondéterminele centredegravitéde l'ensemble. à partir dela relation:

[

}; (mi' 01;) = M. DG

où

M = }; mi

LespointsA; correspondent auxcentresdegravitédechaque blocdelastructure.

1. W D'où

- 2.(-:) - m

X G = 4 + 6 - 5 -, - 2 Y G=4-10-1_

- 2

2.(~

:)

=

-

-

2 5 mm

_, +

35mm

47

14.3

CENTRE DE GRAVITÉ G DES SOLIDES HOMOGÈNES

Barrerectiligne à sectionconstante

Plaquetriangulaired'épaisseurconstante

G x //2

plaqueenparaHélogramme d'épaisseUrcllnslante

B

.1 t

1:

USUELS

AG = 2/3. AI C~ 1 BG=2/3.BJ G : point de concours des médianes

.1

G : équidistant des extrémités

G : point de concours

des diaÇJonales

Plaquehomogène d'épaisseur constante A AB= b DC = a AI = IB

J .c

D ft'/

J/

-

C>

; (1'2')= 1.032' ; (2'3')=-0,8.033'

Ontracelasommevectoriellesurchaqueprojection:

.

(01)+ (12)+(23)= (03) = 2,21 (0 g)

14.45

PROGRAMMATION

DU CALCUL

Commentaires

Commandesen BASIC

NombreN decentresdegravité.

10INPUTN

Dimensions destableaux.

20DlMX(N), YIN),Z(N), C(N)

Entréedescoordonnées de chaquecentredegravitéà l'aided'uneboucleet coefficientCassocié.

30FOR/= 1 TON 40INPUTX(I) 50 INPUTY(1) 60INPUTZ (1) 70INPUTC (1)

Calculdupremiermembrede la relationdubarycentre (NX,NY,NZ)et dela somme Cdescoefficients.

80NX= NX+ C(I) * X(I) 90NY= NY+ C (1)* y (1) 100NZ=NZ+C(I) * Z (1) 110C= C+ C(1)

Findela n;.m.boucle. Calculdescoordonnées deG.

120NEXT/ 130X= NX/C; y = NY/C; Z= NZ/C

Sortiedesrésultats.

140PRINT..Coordonnées: "X="; X; "Y ="; Y; "Z="; Z

* Présentation pratique(§725)

** Voirbi-points(§ 71.1)

(01') + (1' 2') + (2' 3')= (0'3')=2,21. (Og') .

Endivisant(Qg) et (Og' ) par 2,21, on détermineg et g',

projectionsdeG.

2' ,

Echelle:

50 mm

----

y Résultats

. .

XG = Og x = 76 mm y G = Og y = 37 mm

x

ZG = Og . Z = 48 mm

2

50

15 Solides déformables Ils sontdéfinisau§ 1.2.

EXEMPLE:

Onlesutilise,engénéral,dansleurdomaineélastique:lacontrainte ne dépassepasalors la limite d'élasticitéet les effortsrestent

Chargeconcentrée au milieud'unepoutreen appuisimpleen A, encastrée enB.

sensiblement proportionnels auxdéformations

Lestorseursauxappuiss'écrivent:

15 .1 Poutre à section constante

1 \ 1

\A2/1J=

Lestorseurs sedéduisent desexpressions données dans lesformu-

~

A

- 0\

\ [(5/16)F 0 oJ=

~

\A2/1 A

\

II

~

laires(chapitre 53).

0 8

\

-

0

t}

(3/~6)IIFII

POUTRES À SECTION PLANE OU VARIABLE, EN FLEXION PLANE

=L

A!fj Z /1 1-Arc de cerclel z/~"'L

Torseur transmissible

1

Efforts

11

1

H

15 . 2 Oh1 "

f

8(83/1)=8(83/1 #83/1) =[(11/16)IIFII

MÉTHODE: Flèche

II

0

A

""'.,,,,".' .,"'"

,

~ - J

,01 B-h-x fièct;""efM F

,

~x

~-7-

~O B 2h/3

A

.c:

~-

b

.

,

flec~e

0. IfAO/1')

A0-El' 0.

{

15.3

/

- Z ~,

//n

1

BI~ flèche fM

x

"

AFE--~JXAf8S

O.

= -F

fM

x

,

,

IIFII=F= E.b.h3.fM~fM= 61'3 ~"

A

:-L.. x Jy l

y

z

..' F h

or

..

}

- -

6F.;3 E.b.h3

IIFII=F=n. E.b.h3 .fM=-fM= 6F.I'3 61'3 n.E.b.h3

[0. 0. \-

f \ -F.I' A0

)AO/1J ~(Ao/1 IfAO/1) =

--F

0. ","

-

f

\ -F.I A0. 0.

)Ao/1) =) AO/1Ifj\O/1)=,, -F

0.

o.. ..}

RESSORTS DE FLEXION ENROULÉS y

Après une rotation relative de"8 rad des fixations autour de (A, z) , le moment If devient:

~

0= E.la{3 If.!'

1

t = longueurdéveloppée;/a {3 momentquadratiqueselona j3; autresnotations§ 15.4 .

12 If= E.b.h3 .f!..

51

15.4

(G.D. 46)

RESSORTS DE TORSION ET TORSION-COMPRESSION Barresdetorsion

Cylindriques De traction

Y

~

y z

A

/

f

F!

B_L ;tf

/

0d

À section circulaire

De compression

1; @z

F=O

F= 0

A......- --ty

À section rectangulaire

1z@y-_.~

F=O

......-

;

Fil Flèche f

..c:

AtF 00

00

Position quand !f = 0

71;: 0

Position quand

~'I.A F

Un moment 71appliqué sur l'axe de la barre de torsion engendre une rotation relative ex(rad) des extrémités

~

Coniques,envolute

= (A1I1 !fA1/1) A ex la !f = G -;;-

= A 0

\

00

b

F

Gb3h2 K=Gd4/(4n02)

JO 0 -!fl o

-::-.

AtF 0d

0J

-

, I A ff7\ IA \ 1/1 ) = \ 1/1/'fA1/1J= ~

"

A

. .

A

fF0 0,0 \ \.J

A 0 0

) A1/1 j

IK= V2n02(b2+h2)

~(A1/~

aVec

avec F = f. G .d4/(8. n. 03)

NOTATIONS:

G : moduled'élasticitétransversal (deCoulomb),enMPa. a : déformation angulaire,enrad.

1 : flèche,enmm. d : diamètredufil, enmm. D : diamètred'enroulement, enmm.

t : longueurduressort,enmm. la : momentquadratique polairedelasection,enmm4.

15 . 5 Courroies plates L'entraînement n'estpossiblequ'àpartird'unetensionde poseTa.

n : nombredespiresutiles

COURROIES PLATES = 2 Ta

= 2 Ta

Enfonctionnement, lebrintendusupporte uneffortdetractionT etlebrinmou,unautreeffortdetraction t telsque:

T+t=2To

T= t. e /L.a IL: facteurd'adhérence

lE --.

t

(1': arc d'enroulement expriméen rad

Il enrésulteuncouplemoteurCmet résistantCr: = 2 Ta

Cm=(T-t).r

C,=(T-t).R

Arrêt

= 2 Ta Marche

Brin mou

52

16 Action d'un fluide statique

Particule à vitesse nulle

Lesparticulesd'unfluidesecomportentcommeunemultitude depetitessphèresentrantencontactaveclaparoi. L'actiond'uneparticuledefluide immobile,sur uneparoiest toujoursmodélisablepardespointeurs(M, A f) perpendicu-

Force de pression perpendiculaire à la paroi

lairesà cetteparoi.

Forceélérnenta,ire dueàla pression ~

->

-+

n

t'1f=p.t'1S=p.t'1S.

p . pression aupointconsidéré, (PaouN/m2). _dS=

7î normale unitaire verslamatière.

t.dx(m2}

.

y

16.1 Fluide libre sur paroi verticale haute Lapousséeeffectived'unfluidedontla surfaceestà la même

-C::

pressionquel'extérieur delaparoi(pressionambiante Pamb) est

IPambl (Pressionambiante)

modélisablepar.

. unerépartition triangulaire desefforts; . untorseur : {efforts effectifs surparoi}= ' avec

2

-+

~

F= pv. g. t. h 12. Y ---> 01 = 2~. h . x 3

1

I\

\0 ,

,;o-;.

~

(X,y,l)

x

~

1 s'appellecentredepoussée. EXEMPLE: Déterminer lapousséeexercéepardel'eausur laparoiverticale d'unecuveà cielouvert y

Largeur delaparoit = 6m; hauteur d'eauh=9 m.

IPambl

Larésultante (J,'F) estdéfiniepar.

ÔI= XI.

X avecX/= 2. x 9 = 6m. 3

-+

-C::

F= p.g.t.

h2

-.y 2

Oncalcule ensuite11111; pv= 103kg1 m 3; g= 9,81ml S2 t= 6 met h= 9 m:

]IFII= 2,38

x 106N= 2,38 MN.

L'action del'eauestdoncmodélisable parletorseur .

12,38~ 106 ~

,\

0

\

olcty,zJ

Ceritre de poussée

x

-

53

16.2 Fluide sous pression sur paroi verticale haute

PAROI VERTICALE HAUTE Patm

Lapoussée effective d'unfluide,soumissursasurface libre à unepression supérieure à cellequi agitsur l'extérieur de l'enceinte, exerce surla paroiverticale decetteenceinte, des actions mécaniques modélisables par:

Pamb

0

~

y

x h

d

. unerépartitiontrapézoïdale;

F= Pe .dS .y

dX4

. untorseur 1{F Ô}

sJ§/

avec:

F= t. h.(Pamb +p.g.h/2) y; Ôt= 3Pamb +2p.g. h .h.x 6pamb+3p.g.h

-x

largeur/'

APPLICATION:

Centre de poussée

Soit à déterminer la pousséeexercéepar l'eau sur une paroi de

cuve close.

..c:

Sur la surfacede l'eau,un gazcompriméexerceunepression Pamb = 5 bar. Calculerlapousséedel'eausurla paroietdéfinirlapositiondu

..c:

0>0> Q..Q.. C'I C')

+ + -" -" E '" E '"

QQ C') cD ..c:

centredepoussée1. SOLUTION: Il suffitd'effectuerl'applicationnumériqueavec:

t = 6m; h= 9 m; Pamb =5 x

PAROI VERTICALE DE FAIBLE HAUTEUR

105 Pa; p = 103 kg/m 3;

g= 9,81m/s2

Pamb

Ilvient: F=F.y=29,4X106N=29,4MN ; OI=ÔI.x=4,62m;

f

0\

------+- y

x

1 h

Soitletorseuren1:

0

\ ----" -

dF=Pamb'

t-dxU

0 7 ,{Feau/ paroi} = Î 2,94 x 10 O

,\

0

f

0

x

16.3 Fluide sur paroi verticale de faible hauteur Pouruneparoiverticaleinférieureà 5 m, on necommetpas

Pamb

0

h 2

quelefluideexercedeseffortsmodélisablespar:

->

->

\

. untorseur{FOI où /

h

F= Pamb . S.y 01 = h / 2 . x

[

-->

->

S représente lasurfacemouilléeeth, sahauteur.

Répartition uniforme = pression uniforme

02

d'erreurimportante « 5 %pourl'eauoul'huile)enadmettant

. une,répartitionuniforme;

dS. y

1

Centre de poussée

54

16.4 Poussée sur une surface quelconque

POUSSÉE SUR UNE TIGE DE VÉRIN

LaforceF,engendrée dansunedirectiondonnéeparunepression p agissantsurunesurface,estégaleauproduitdecettepression parlavaleurdelasurfaceprojetéesur unplanperpendiculaire à cettedirection.

F= p. S avecp (MPa) S(mm2) F(N) Piston

Fond EXEMPLE 1: Pousséesur une tige de vérin

. Données: 0 d=

50 mm; p = 5 bars= 0,5N/mm2 .

y + +

. Calculs:

~

x

Axe de symétrie

0z

Forceaxialesurlepistonliéàlatige: F = p. 5. Avecp = 0,5N/mm2,5 = n X 252mm2,oncalcule: Surface réelle

F=982N. Letorseurassociéà cettepoussées'écrit:

+ 982 0 ,(Ffluide/lige) =

0

,0 1

0

0 ) (x,;,l)

EXEMPLE 2: Pousséesurunpistonoblique .

Données:Formesdupistonetvaleursdessurfacesprojetées

Surface projetée

-

a: N lS) Il l:J lS)

2-

d F=JT:-px -x 4

1

.. 1 .. . 1

- 2F=JT:R px

POUSSÉE SUR UN PISTON Axe du cylindre

sur lesplansperpendiculaires auxaxes(0, x) et(0, /). .

Cylindre (transparent)

Problème:Calculerla résultantedeseffortsexercéspar le

gazsur le pistonsachantquela pressioneffectivevaut:

Gaz (pression p)

p=6,1MPa.

Surface S

. Solution: Laforceexercéeparlegazsur le pistonvaut:

Piston

Selon (0,x) : XF=p,Sx

avecp=6,1N/mm2

5x= 4,86X 102mm2. DoncXF=2965N(soitXF=2,97kN). selon (0,z) : h=p.5z

avecp=6,1N/mm2

5z= 503mm2. DoncZF=3068N(soitZF=3,O7kN).

Surface projetée Sx = 486 mm2 Surface projetée Sz = 503 mm2

55

17 Action de la pression ambiante

CORPS ENTOURÉ PAR LA PRESSION AMBIANTE

La pressionambiante,Pamb,engendredes effortssur toutes lessurfacesdecorpsqu'ellebaigne. Onpeutles représenter pardesforcesuniformément réparties, perpendiculaires à cessurfaces.Deuxcasseprésentent: lâ'pl'essionâmtiial1te

la pressionambianten'agit

agittout autourducorps

pastoutautourducorps

le torseur représentant le torseurreprésentantl'efl'effort résultantest nul: il fort résultantn'est pas nul: n'estpasindispensablede il faut tenir comptede cette recensercesforces. EXEMPLE:

pressionambiante. EXEMPLE:

. Solidesen contactpar . Solidesencontactpar «miroir» entre dessurfacesrugueuses: dessurfaces l'air passeentreles deux lesquellesona chassétoute trace d'air (cales-étalon). solides(§6.4). Solidesreposant surun . Clapets,pistonset autres dispositifshydrauliques. fluide(§64.5).

.

F1

= Pamb'

81 . F'1X = Pamb' 8'1 . cos a = F1

F3=Pamb.83'

F'1y=Pamb'~'1.sina:=F3

F2=Pamb.82'

F'2 =Pamb.8'2

CALES - ÉTALON Cale-étalon 40

LY ~

-

ac

...

EXEMPLE 1 : cales-étalon

.".. ...

-

"""'" F

'

"""1

F> Fp EXEMPLE 2: tube dentifrice

~ ~ ~ F1 + F2 = 0 Il Fpll

= Pamb'

x 10 x 5

U marbre)

Ma,b,.

tion",d

'

.

Aprèsavoirchassé l'aird'entrelesdeuxsurfaces miroirsen contact, lapression atmosphérique n'agitplusquesurlaface extérieure. Pourséparer lesdeuxpièces pararrachement, il faut exercer uneffortF:

=>(0)

=F2 )

.

'

~

.-,g--,. .. . ,

.. ...

Surface 8

dC'Z"'~

fRFp ((action

de Pamb)

8

SiPamb=Patm=0,1

N/mm2 et 8=4cm2:IIFpll=4ON

NB : Poids négligeable:

P"" 10 x 7,2 x 0,4 x 0,1 x 0,05 = 0,144 N

Phase 1 : enréduisantlevolumepardéformation del'embout, la pâtedentifricenepeutquesortir.

TUBE DE PÂTE DENTIFRICE Embout déformable

Phase 2 : enrelachantl'embout,celui-cireprendsaformeinitiale,augmentant levolumeinterne,cequi créeunedépression. Lapressionatmosphérique quiengendre surlepistonuneforce

= Patm

F'déplacealorscelui-civersle hautdutubetandisquela pâte,

Pamb

tropvisqueuse, secomportecommeunbouchon

= 1,013 X105 Pa

REMARQUE: Lors d'un isolementde corps (chapitre20), il est prudent de réfléchiraux effetsde la pressionambiantedès que l'on recenseles actionsde contact.Les résultatsdu chapitre16 s'appliquentintégralement.

Pâte

"" 0,1 N/mm2

Piston anti-recul F' = 0,1 x TrX 202 "" 125 N

56

18 Action d'un fluide en mouvement

FLUIDE PARFAIT EN MOUVEMENT ~ ~

Vitesse des

~ ~

=f

particules

/

18.1 Fluide parfait

:;:';o:~:~: ~ression perpendiculaire

Cecasconcernelesliquidesnonvisqueuxet lesgaz. Lefrottement desmolécules entreellesetsur lesparoispeutêtre

à la paroi

Vapeur d'eau: vitesse des particules désordonnée

négligé:identiqueà unfluidestatique. Un lIuide parfait, en mouvementcontre une paroi, exercedes actions mécaniquesélémentairesmodélisablespardespointeursperpendiculairesà cetteparoi.

Efforts perpendiculaires aux parois et à la surface libre du liquide (eau)

18.2 Fluide visqueux

Chaque particule exerce surlaparoiuneactiontangentielle proportionnelle à laviscosité, lavaleurdelasurface decontact, FLUIDE VISQUEUX EN MOUVEMENT lavitesse (voir§ 65.2)etcomparable àcelledûeauxfrottements entresolides. Vitesse 1

Liquide

des

particules

1

Ce frottements'accompagne doncd'uneperted'énergie (voirchapitre 67- pertes decharges).

t:.T

- - -

REMARQUE:

M=t:.T

Lefacteurde frottement entreparticules defluideset avec lesparois,esttoujoursnettement inférieur àceluidessolides entreeux.

M n'est plus perpendiculaire à la paroi

+ t:.N

t:.N

Un lIuide visqueux, en mouvementcontre une paroi,

'\

v

exerce contre celle-ci des actions mécaniques élémentaires modélisables par des pointeurs non

-t:.T

perpendiculairesà cette paroi.

-;t:.N

18.3 Traînée

TRAÎNÉE R Maître-couple S (m2)

C'estlarésultanteR del'effortexercéparlefluidesurlecorps, enmouvements relatifs:

~ ~

R=O,5.Cx.p.S.V2 R : traînée(N); Cx: facteurdetraînée; p : massevolumiquedufluide(kg/m3): S : maîtrecoupleducorps(m2) ; V : vitesserelative(mis). EXEMPLE: Un véhicule(Cx= 0,3 ; S = 2,4 m2) se déplaçantdansl'air (p = 1,22kg/m3)à 90kmlh subit:

90

2

()

R=0,5x 0,3x 1,22x 2,4x 3,6 =274N

~((@~

~ ~

V (m/s)

V (m/s)

Facteur detraînéeCx

-

V~ ' ~ ---

-

-

R~ FiV~ FiV~ '..'" Fiv~ , ""."... R , . . ~ ~ .". .. --...... ." --- (l7. 1 ~ O7. '.,.,' ~ \ ~ ~ ". ~ ~..".

lT 1,5

0,35

1,4

1,05

0,8

57

19 Notions de théorie

MODÉLISATION D'UN RÉDUCTEUR Carter 0

des mécanismes 19.1 Définitions

. Mécanisme

C'estunassemblage d'éléments capables detransformer l'énergie mécanique (exemples:systèmes bielle-manivelle, visécrou,réducteur, etc.).Unmécanisme possède aumoinsune entrée oùl'onapplique l'action motrice, et,aumoins,unesortie réceptrice. .

loi entrée-sortie

Il s'agitd'unerelationentrelesvariables(ouparamètres) d'entrée

etdesortie. . Graphefonctionnelou graphede structure Il représente schématiquement lemécanisme. Chaque sous-ensemble desolides«sansmouvement relatif" apparaît sousunseulrepère (voirchapitre 20). Letraitcontinu quilesrelie,représente uneliaison. Legraphedestructurepermetdedistinguerles boucles

Xo Arbre d'entrée Arbre de sortie

Paramètre d'entrée: e1 Paramètre de sortie: e2

.

.

. e2 R1 L01ent ree"sortle - = - e1 R2

CROQUIS D'UN SYSTÈME DE DIRECTION

de la chaînecinématique(§ 5.33).

. Mobilitésutiles

Barre d'accouplement

Ellesjustifientle mécanisme. Parexemple,dansuneautomobile,latranslationdupistonentraînelarotationdela roueaprès

Essieu avant

embrayage;ledéplacement du levierdevitesseengendre celui d'unbaladeur situédanslaboîtedevitesse;larotationduvolant permetd'orienterlesroues,etc. Posonsmule nombredesmobilitésutiles.

. Mobilitésinternes

Ellesn'interviennent pasdanslefonctionnement dumécanisme. Parexemple, l'axedupistonlereliantàlabiellepeuttourner sur lui-même, toutcommeunebarrededirection articulée entre deuxrotulesoule pommeau desleviersdevitesses surson levier,... Posons mile nombre demobilités internes. Barre de direction

.

Isostatismeet hyperstatisme

Lorsqu'on peutdéterminer lesactionsmécaniques à l'aide desseuleséquations delastatique, ondit quelesystème est isostatique;sinononledithyperstatique.

Boîtier de direction

Volant

58

19.2 Modèles normalisés des liaisons

MODÉLISATIONS SELON LES HYPOTHÈSES

Pourchaqueliaisonmodélisée(chapitres4 à 12) :

. on considèreles mouvements possibles(torseur cinématique) : Pour une liaison

n c: nombre d'inconnuescinématiques e : nombre de degrés de liberté

.

nc= e

Rouleaux embarreurs SNR

onconsidèrelesactionsmécaniques transmissibles (torseur

deseffortstransmissibles) :

MODÉLISATION GLOBALE Pour une liaison

ns: nombre d'inconnuesstatiques de liaisons

kXT

REMARQUES: .

La modélisationsupposeque lesjeux, frottements,masseset

déformations restentnégligeables. .

.

~

~

nc+ ns= 6

Les efforts dynamiquesdoivent pouvoir être négligés

(A1/2)

Uneliaisonréellepeutrecevoirplusieursmodélisations.

YA = f XA

\ZA

m;=O

19.3 Degré d'hyperstatisme

0

MA

\

NA f

1

h

=1 + 0 + 5 - 6 x

(J)x

0

~

~

\

\ f

(2 - 1) = 0

1

MODÉLISATION 1 L1

~ ~

L'ensemble desmobilitésprocuremurelationsindépendantes et mi relationsnonsignificatives(dugenre0 = 0). .

f (62/1 ) =

mu=1

Pourunmécanisme comprenant aveclebâtin sous-ensembles, l'isolementde chacun,exceptéle bâti, conduità 6 (n -1) équations.

L12: liaison pivot ne = e = 1 (rotation I(A, x) ns = 5

Pourunmécanisme isostatique:6 (n-1) - mu- mi= L ns

. Pourunmécanisme hyperstatique: 6(n-1)- mu-mi =Lns-h h représente ledegréd'hyperstatisme : h =mu+mi +L'ns-6(n

-1)

19.4 Étude cinématique

1

Pourchaqueboucleferméeindépendante dugraphedestructure,

onpeutécrireunerelation cinématique telleVAEi/j Ô. ~

Celàprocure6 relationsalgébriques, dansl'espace. Comptetenudesmobilitésm,on peutécrire:

. pourunmécanisme isostatique: ne-

Les deux roulements contrarient la libre déformation de l'arbre (1). L1 : pivot (ns = 5) L2: pivot glissant (ns = 4)

h = 1 + (5 + 4) - 6 x (2 - 1) = 41

Dans deux plans perpendiculaires se coupant selon A1 A2' il faut vérifier:

.

le parallélisme

.

leur alignement (coaxialité).

des axes de roulements,

MODÉLISATION 2

6 m

. pourunmécanismehyperstatique:nc- 6

L' 1

~

~

m-

h

h = m - nc + 6 (bouclepar boucle)

~ ~

19. 5 Nombre cydomatique y Il indiquelenombre deboucles fermées indépendantes dans l'liaisons:

1

y= t-n+1

1

Les deux roulements tolèrent la libre déformation de l'arbre (1). On obtient h = O.

59

-19.6 19.61

EXEMPLE D'APPLICATION SCHÉMA W 2

PLAN D'ENSEMBLE D'UNE SCIE SAUTEUSE

B-B

~ A

~ Il résulte de l'analyse 2 Vérifions l'isostatisme sur chaque boucle fermée:

19.62

SCHÉMA CINÉMATIQUE

MINIMAL (SCHÉMA W 1)

(1)={1,2, 9, 15, 16, 17, 18, 19,20,21, 22, 23, 24,25, 26} (3)={3,4,5,11,12} (7) (6) (6) = {6} (7) = {7, 8, 10, 13, 14}

(3)

(1)

D'où le graphe de structure:

Bill 19.63

= t- n + 1 = 5 - 4 + 1 = 2 ANALYSE 1 DES LIAISONS

: ne=2 : : : :

ne= 2 ne= 4 ne=3 supprimée

Mobilités: m=5. A

eT

y

Pour A1-3 81-7 C3-6 E6-7 D3-7

19.64

~

(une rotation et une translation de 1 et de 6 ; une translation

de7) h = 5 - (2 + 2 + 4 + 3) + 6 = 0

ANALYSE2DESLIAISONS

(Schéma n° 1)

(Schéma n° 2)

A1-3: pivot glissant (n s =4)

A1-3: pivot glissant (ns= 4)

81-7: pivot glissant (ns=4)

81-7: pivot glissant (ns=4)

C3-6: pivot glissant (n s =4)

C3-6 : sphère-cylindre (n s = 2)

D3-7 : appui-plan (n s = 3)

D3-7: linéaire rectiligne (ns= 2)

E6-7: appui-plan (ns=3)

E6-7: appui-plan (ns= 3)

mu = 1 (position de 7 selon celle de 1)

mu = 1 (position de 7 selon celle de 1)

mi = 1 (translation de 6/3)

mi = 2 (translation et pivotement de 6/3)

de7) h=2-(2+2+4)+6=O

h = 1 + 1 + (4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1) - 6 (4 -1) = 2

h = 1 + 2 + (4 + 4 + 2 + 2 + 3)

MODÉLISATION

Pour A1-3 : ne= 2 81-7 : ne= 2 D3-7 : ne= 4 Mobilités: m= 2. (une rotation et une translation

-

6 (4-1) = 0

ISOSTATIQUE

60

19.7

MODÉLISATION

Naturedu roulement Àunerangée de

.billesà contactradial

Anglede rotulage

DE MONTAGES TYPES DE ROULEMENTS Montagede roulements

Modélisationproposéeen fonctiondeshypothèses

Exemplede montage

Graphedes liaisons A1-2

Deux roulements à une rangée de billes à contact radial

ex,max '" 10'

~

",;t Déli!1ition du rotulage

"

81-2 : liaison rotule (efforts de la droite vers la gauche 1seulement).

A1-2 : liaison sphèrecylindre. Schémaclnématiqlle

~r=:

Hypothèses Le rotulage d'un roulement est la capacité d'oscillation d'une baguepar rapport à l'autre autour d'un axe perpendiculaire à l'axe de rotation (A, x) du roulement, sanstransmettre de momentà l'arlJ,re.Si lX>lX,max' unmoment ;/(z apparaît. Ondit aussi « déversement» d'un roulement.

Naturedll ralliement

.

Contactaxialsurle roulementdedroite.

.

Anglederotulagedechaqueroulementinférieurà l'anglede

rotulage maximal admissible.

Exemplede montage Un roulement à deux rangées de billes et un roulement à rouleaux cylindriques

Anglede rotlltage

.debilles Àdoublerangée

~

A1-2

~

81-2

Schémacinématique ex, max '" 00 A 1 y (2)

(2)

Àrouleaux cylindriques

(1)

x ~

Hypothèses . Leroulement àdouble rangée debillesdegauche réalisele lX, max '" 2' à 6'

Voir définition

Graphedes liaisons

A1-2 : liaison pivot. 81-2 : liaison sphèrecylindre.

--

.

~B*

Les liaisons en parallèle A1-2 et 81-2 réalisent une liaison pivot 1- 2 isostatique* .

de ce ferme § 19.1.

positionnement axialdel'arbre2 parrapportaucarter1. (Rotulagenul.) . Leroulementà rouleauxcylindriques dedroiteneréalise aucunpositionnement axialde2/1. . Sonanglederotulageestinférieurà l'anglemaxderotulage: ex,max~ 2' à 6'. **(1) ef (2) sont deux classesd'équivalence.

Les liaisons en parallèle A1-2 et 81-2 réalisent une liaison pivot 1-2 hyperstatique* .

61 Naturedu roulement

Anglede rotulage

.

Àdeuxrangéesde billes(ourouleaux)à rotule 1 À billes

Montage de roulements

Modélisationproposéeen fonctiondeshypothèses 's

Exemplede montage*

Graphedesliaisons

Une butée à rotule et un roulement à deux rangées de rouleaux à rotule

lXrmax ~ 1,5

à 3°

/iF}

Àrouleaux 1 à2,5°

Œf'~ 81-2 A1-2: liaison

lXrmax

~

A1-2

rotule

(efforts

de 1/2 de haut en bas seulement) 81-2 : liaison sphèrecylindre.

(2) (1)

Schémacinématique

. Butée à rotule surrouleaux

~

Hypothèses 1

~

uncentrage del'arbre2parrapport ~:;àx3° . Labutéeàrotuleassure aupalier1 et unpositionnement axialde2/1. . Leroulementà rotuleassureuncentragede2/1et n'assure pasdepositionnement axial. . L'anglederotulageestinférieurà 1,5°.

x

Exemple demontage* . Butée à billes (ouàaiguilles)

= ~

.

GraphedesHaisons

Deux roulements à rouleaux et une butée à simple effet à rouleaux cylindriques

~ lXrmax

A

+ 8

IC

~ 0°

A1-2

~

C1-2

A1-2 : liaison rotule (efforts de 2/1 vers la droite seulement)

81-2 : appui-plan

(efforts de 2/1 vers la gauche) C1-2: sphère-cylindre

Schémaci.nématiqlle Roulement à

(1)

rouleauxcylindriques

(2)

y

Hypothèses lXrmax ~ 2' à 6'

~B=: , D'après sn.

. Lesroulements à rouleaux cylindriques assurent uncentrage de 1/2. Celuidedroite,enC,n'assure pasdepositionnement axial.

. L'angle derotulage desdeuxroulements estinférieur à2' (valeurmaximaledurotulage): roulements rapprochés, bien alignés. . Labutéeà rouleauxassurele positionnement axialdela droiteversla gauche.L'anglederotulageestnul.

La liaison 1-2 est hyperstatique d'où nécessité de réglages et de tolérances serrées de concentricité des roulements et de perpendi-

cularité arbre-butée à rouleaux'.

62

20 Isolement d'un système

ISOLEMENT DE (6) 0

'

.

considérerunepartied'unmécanisme oud'unobjet,

ty W

.

recenser touteslesactionsmécaniques quiluisontappliquées.

02

L'isolementd'unsystèmeconsisteà:

~

Kop-6

perateur

-,-

- "cf

-

'1-6

A6-9

Ensemble

(6)

(cylindre) K

REMARQUES:

.

mécanique;il intervientenstatique,résistance desmatériaux, mécaniques desfluides,thermodynamique... .

F

L'isolement d'unsystèmeestuneopérationindispensable en

Legraphedesliaisonsapporteuneaideprécieuse.

EXEMPLE 1; Soit à isoler l'ensemble (6) du montage§ 5.3. HYPOTHÈSES:

Opérateur/(6) K {

Poidsnégligeable et pressionambiantetoutautour.

.

Frottement defacteurJ1entre(6)et(1) seuls.

}

\

XA 0 A6-9 YA 0 A( 0 olu;:;:z)

Y (en

i

--L1-

N)

(§ 9.2) (2 inconnues)

X, 0 \

.

avec X, = - J1 Y,

'1-6 Y, 0 A( 0 0 1U',y,z)

. Étudeplanedans(A, x, p). . L'opérateur exerceuneffort F normalaulevier,d'intensité 100Net le levieraffleurela butée. .

:

T",

F

avec = -100 (0 inconnue)

à l'équilibre strict (1 inconnue)

3 inconnues, dans le plan

Total:

ISOLEMENT DE (E) = ((6), (9), (11)) 0-\SI~-

--

----

ANALYSE;

Legraphedestructuremontrequelapièce(6)estenliaisonavec (9) et(1),outrel'opérateur. Onobtientlesrésultatsci-contre.

Opérateur ~---~--

~810-11

/

'1-6 = '1-E

, Np-E = Np-9

-<

85-9 négligeable

EXEMPLE 2: Isolerl'ensemble(E) = ((6), (9),(11)} dumontage modéliséau § 5.3. HYPOTHÈSES:

.

Étudespatialedans (A, X,p, z).

.

Autreshypothèses ci-dessus+ actionduressortnégligeable.

ANALYSE:

K

(F 0 )

Opérateur/(6)

Lesrésultatsci-contremontrentquecettemodélisation conduit à 7 inconnues,doncunedetroppourpouvoirrésoudreisostatiquement(voirchapitre19).

appuiponctuelaveclapièce. Commece dernierestnécessaire aufonctionnement, on peut supposer(etadmettre)uncontactponctuel/H . Si le jeu dansle pivotA 6-9est suffisant: on conserve7 inconnuesmaisl'isolementde(6)seuln'enprésente plusque5 dansl'espace:ensemblerésolvable.

-

X, LI

.

avec X, = - J1 Y, (2 inconnues)

'1-E Y, 0 { } 100

REMARQUES;

. Si lejeu danslepivotA6-9restetropfaible: onnepeutà la fois, observerun contactlinéaireentre(6) et (1) et un double

-

avec F=-100y(en (0 inconnue)

810-E

1

Xa 0

\

Ya 0 0

1

0

\

a \Za

0

(3 inconnues)

Np-E

Np-E YN1 0 en N1 { 0 0 1

en N2

1

0

0

\

0

1

YN2 0

\0

(2 inconnues) Total;

7 inconnues

N)

63

21 Mouvement d'un solide

POSITION D'UN SOLIDE DANS L'ESPACE 20

a3

21.1 Position d'un solide dans un repère

Pointeur position

Elleestcomplètement déterminée par: . La positiond'un point A, origined'un repèrelocal (A,X;,1;,!;) liéausolide(5). Il suffitalorsd'exprimer lepointeurOAparsescoordonnées cartésiennes, fonctions dutempst : x(t J

~

Yo ~

a~

Xo

6 paramètres dans l'espace: ~

~

~

->

OA Y(t) soit OA = x(t).xo + Y(t).yo + l(t).lO ( l(t) ) .

0

x(t), Y(t), 2(t), 1/J(t), 8(t), 'P(t).

POSITION D'UN SOLIDE DANS LE PLAN

Lapositiondurepèrelocalparrapportaurepèrederéférence Yo

(O,~,~, l;) à l'aidedestroisangles,également fonctions dutemps(voirchap.3.2). .

Dansle casd'un mouvementplansur plan(chap.28), il

suffitdetroisparamètres. Pointeur position

REMARQUE: Touteétudede mouvementnécessitele choixd'un repèrede référence- ouréférentiel - carlanotiondemouvement est

0

relative.

Xo

3 paramètres dans le plan: x(t), Y(t), 8(t) tels que:

Lepassager assisdansl'avionpendantledécollage estimmobile parrapport aurepèrelocalliéàl'avionetenmouvement parrapport

ausol.

DA=x(t).x

21.2 Trajectoire d'un point

+;Y(t)'.V

(xo, X5);:;I1(t)

Il s'agitdel'ensembledespositionssuccessives du point lors desonmouvement dansle repèrederéférence.

TRAJECTOIRE-ABSCISSE CURVILIGNE

~1. 3 Abscisse curviligne Equation horaire Enchoisissant unepositionparticulière AodupointA sursa trajectoire etendonnant uneorientation àcettetrajectoire, on définitl'abscissecurvilignedupointA à unautreinstantt :

20

,,/

Trajectoire orientée

.,.

l'abscisse curviligne s du point A est la valeur algébriqueAoA de l'arc de cour~arcouru parA. Elle dépenddutemps. s = AoA = 'U) .

Yo Xo

REMARQUE: S= t(t) s'appelle" équation horaire»

mouvement»deAsursatrajectoire.

ou" équationdu

1

s",,)ÇA =

1(t)

1

64

21.4

EXEMPLES DE TRAJECTOIRES ~.~,

PARTICULIÈRES

,~~,-

Circulaire

Rectiligne Mobile MC;' y)

Bielle

Trajectoire de M

\; 1

QJ

Eillptique Planète

Tête de bielle

"

el

M(;' y) X

02\ , Centre, x

0 EXEMPLE: extrémitéde l'arête coupante d'un outil à charioter,par rapportau bancdutour, associéà (O.x,y,î)

EXEMPLE: axedetête debielle par rapport au carter(repère O,x,y} ). Remarque:x2+ y2 = R 2

Parabolique

y 1

ci 1

1

\

~

/

-- \

Cycloïdale

Hyperbolique

Trajectoire de M /~

EXEMPLE: planète autour du soleil Remarque: x21a2 + y2/b2 = 1

y

y

.

de MC;' y)

Trajecto~

M(x,y)

\ \

\~

x

1

/

1

0

-

X

0 )(2

---=1

y2

Trajectoire a2 b2 deM a, b (constantes) EXEMPLE: projectile lancédansle champde pesanteur Remarque:y2 = 2 px où p (constante)

EXEMPLE: lieu du point d'interseclion d'un cônede révolutionavecunplan parallèle à son axe.

Épicycloïde

Hypocycloïde y

x:: a (t """sin t)

y = a (1-cos t) a (constante)

IÎM=ïOl

EXEMPLE: point sur un cylindre qui roule sans glisser sur un plan de trace 0,-;

Développantedecercle y 1 1

x

A\

/

/'

Trajectoire deM

x

0 cos

t-cos (n+ 1)t] t

- sin (n+ 1) t]

(Cercle de rayon a roulant sans glisser dans un cercle de rayon na) EXEMPLE: trajectoire d'une dent d'engrenage épicycloïdal à contact extérieur

x==a[(rî -1) cost .+cos(n-1)tl y:::

a[(n-1) sin t,...sln(n -'l)t]

(Cercle de rayon a roulantsans glisser sur un cercle de rayon na) EXEMPLE: trajectoire d'une dent d'engrenage épicycloïdal à contact intérieur

x = a(cos

t + t sin t)

-

y »a(sin t t cos t) (Droite lM roulant sans glisser sur un cercle (C» EXEMPLE: profil d'une dent d'engrenage

65

21.5

Vitesse d'un pomt

VITESSES MOYENNE ET ALGÉBRIQUE

21. 51 Vitesse moyenne Vrnoy

(~J(o)= (O,~,~.~)

Si, à l'instant11(5),le mobileA estenA1à l'abscisse51,si, à

Trajectoire de A

Zo

l'instant12,il passeenA2à l'abscisse52,alors,entre11et 12, savitessemoyennesecalculepar:

dans

(~J(0)

S2-S, VmDY=~

t 2-t,

[

Vmoy = vitessemoyenne(mIsoum. 5-'). 52- 51 = variationdel'abscissecurviligne(m).

O/~

12- 11 =variationdutemps(5).

Ao

Xo

21.52 Vitesse algébrique (ou instantanée) v

Yo

" Originede l'a~sse curviligne$ = AoA

Exemple: $ = 5 t2 - 8 ($ en mètre, t en seconde). On peut calculer s'(t) = 10 1.

À uninstant1quelconque:5 = :4';;A= f (1). À un instantvoisin1+ M, le mobileA occuperaunenouvelle

Entre t = 2 et t = 3 s : Vmoy = 3~ =?

abscissecurviligne:s+ Ô5= f (t +ô/). Vitessemoyennesurcetintervalledetemps: s+ôs-s ôs Vmoy = =I+M-I M

t(s)

0

1

s(m)

-8

LorsqueM-70,

$ (mis)

0

ÔS-70 et VmoY-7s(t)=ds dl

v = ds dt

v =S'III

2

3

-3

12

10

20

= 25 rn/s. 4

5

37

72

117

30

40

50

VECTEUR VITESSE (en un point, dans un repère (flo))

5'(1)=d5/d/: dérivéede 5(t) par rapport à t. >

21. 53 Vecteur vitesse

Trajectoire de A dans

VA / 9W

(0, xo'~'~)

Àl'instantl, lemobileestenA,définiparDA. Àl'instant1+M, il vientenA'définiparM . Onpose: V;;o Comme

M

Zo

M

= limc.t-->o

(t+M)-1

= lM - DA = Li (DA), il vient:

-

VAlf/O =lim c.t-->o

.

= (fKo)

vx=dx(t)/ dt

f:..DA

(M )= dt

(...!!...OJi)

vy=dY(t)/

dt

fROVz=dY(I)/dt 1

Yo

M serapproche

Lorsqueô 1~ 0,A' serapproche deA et

deladirection duvecteur unitaire1 tangent enAà latrajecM et d lM =M :

Xo

Tangente en A à la trajectoire

toire.Ennotant ds=

dOÂ (liS )~o=

......

.

~

d

d

-

'!'

(dlDA~o ) =(ëiS DA)

VAN~O=

..",..>,

filO

ds->

. (jf= 'l'. v.

Levecteurvitesseesttoujourstangentà latrajectoireet danslesensdemouvement.

-

d

-

AA'

=(ïiT DA) (9to)=IimM °M =v.;-

VA!9UI

-->

66

21 . 54 Détermination algébrique

CD

SCHÉMA D'UNE TRANSFORMATION DE MOUVEMENT PAR EXCENTRIQUE

de la vitesse

Latrajectoire d'unpointMétantconnue,il suffitd'indiquer sonabsConstantes 00' = e O'H= R lM = t

cissecurvilignepourpouvoircalculersapositionàtoutinstant. EXEMPLE 1: Ondonnes= 7 cos(10 11:t) + 120.

x

OnendéduitS'II)= v = 70 11: sin (10 11: t).

~

M EXEMPLE 2: Si s(I)=20 t3-8 t2+ 10,avecsen (m)et ten (s). Alors: v= s'(t)= 60 t 2-16 t et s(O)= 10m, v(o)= a mis; S(1)= 20- 8 + 10= 22 m; v(1)= 60-16 = 44 mis,etc. OM

21 . 55 Détermination vectorielle de la vitesse Lapositiond'unpointM estconnuedèsl'instantquel'on sait exprimersonvecteurpositionDMdansle repèred'origineO.

e. cos8

v (mm/s)

*

-

JI 127 0

0,01

0,02

126,7 -68

125,7 -129

(angle en rad)

0,03 124 -178

0,04 122 -209

...

L1s=

- 6,5 mm

... ...

DÉTERMINATION GRAPHIQUE s (t) (mm) 127

(e. sin8)+(R0)+( e.0sin 8)+(10 )

DM

t(s) s(mm)

0

EXEMPLE (lig. 1):

DM=07J+0' H +HI +lM

.x=s = 7 cos (10 TCt) + 120

M = + 0,05 s

DM(e. cos80+R+ 1) Si 8 = (ù. t où(ùestuneconstante,8 dépenddet.

DMestbienunefonctionvectorielledutempst.

120

Levecteurvitesses'endéduitpardérivationparrapportà t:

r (- e.

(ù

M/~jLO

.sin «(ùt»

)

0

113

--"'"

APPLICATION:

e= 7 ;

~

(ù

t (s)

= 300trlmin = 10 11: radis; R= 20 ; t = 100.

~ -70 11: sin (10Jrt) 0 ) =} VMUJ(O

OM 7cos(1011:t)+120

(

0

(

v (t) (mm/s)

)

t (s)

21.56 Détermination graphique de la vitesse Chaquefoisquel'ondisposed'unereprésentation graphiquede s: f (1),onpeutopérerunedérivationgraphiquedontla préci-

Environ -130

siondépendra dela qualitédutracé(fig.2). .

TracerlatangenteenunpointA etreleverL1S,M

.

Porterlavaleurdev = L1S1L1tà l'instantconsidéré.

* Présentation"pratique" (§ 72.5)

"

1

-220

67

21.6

Accélération

d'un point

ACCÉLÉRATIONMOYENNE

21.61 Accélération moyenne

Trajectoire de A

Si lepointA sesitueenA1à l'instantt1(s)etqu'il possèdeune

À

~

Zo

dans (8to)

vitesseinstantanée v 1(m/s); s'il passeà l'instantt2enA 2à la vitessev 2,sonaccélération tangentielle moyenne entret 1 ett 2, notéea tmoy(m/s2ou m. S-2),vaut: al moy [

=

V2

-

V1

t

-

t

2

Origine des abscisses curvilignes

Si s = Ao A1 = 5t2

al=li=

dt

5"(1)

dl2

8

(t en (s)

et

sen

(m))

Si A se situe en A1 à t = 1 : V1 = 10 mis Si A se situe en A2 à t = 2 : V2 = 20 mis Son accélération moyenne entre t1 et t2 20 - 10 1 2

EXEMPLE:

. Ondonne5=-10 t3+2 t+ 1(len(s)etsen(m)). . Oncalculev= 5'=ds/ dt=- 30t2+2etat =s"=- 60t.

vaut

8tmoY=2-=-1

= 10 m s

VECTEUR ACCÉLÉRATION

RÉSULTATS PARTIELS:

2

3

4

-7

-75

-263

- 631

-28

-118

- 268

-478

-120

-180

-240

I(S)

0

sIm)

1

v (m/s)

2

a/(m/s2)

0

-60

1

Zo

~

21.63 Vecteur accélération

SilepointmobileA aunevitesse Ço àl'instanttetsicette vitessedevientVA'/'R'O à l'instantt + M, onpeutdirequela vitesse vectorielle avarié deL1Q;= VA'i'R '0- Ço pendant letempsM Onpose: ~=limtd--;oil~

-

v=10t

2

= ds:

V1 "1

Xo

À l'instant tquelconque, l'accélération tangentielle instantanée, notée at correspond àla1imitedurapportL1 M ~O. Mv lorsque Onlenotealors: commev

Yo

.. Ao

21.62 Accélération tangentielle instantanée

al =dv; dt

A1

0

1

=

ill

0 Xo

(d~o) = d20! dl ,RO ( dl,Jlo)

CA = rayon de courbure --->

21.64 Composantes intrinsèques de l'accélération Puisque a,z;o = (~t

alors:

~

L

etque .J,O

(dl ).T+v. (JL~ dl )

aA/'Jl'O=JLv

HlO

~

v.T,

d'T

()

=dV'T+v. dl

Engéométrieanalytique, onmontreque

=

N représente levecteurunitaire"normaleaupoint»,toujoursdirigévers

le centrede courbure,et R représente la valeurdu rayonde courbure.

.li

ds ,ROdl

d7

(ds)

,il 0

=

N R

Onpeutdoncnoterque,quellequesoitlanature desmouvements:

at + a;

aAi'JlO=

où:

at =a/. T = dvdt . T a;

=an. N = (v2/

: accélération

tangentielle;

R). N: accélération

normale.

68

21.65 Détermination algébrique de l'accélération

DÉTERMINATION GRAPHIQUE DE L'ACCÉLÉRATION TANGENTIELLE

Seulel'accélération tangentielle peutsecalculerà partirdel'abscissecurviligne.L'accélération normaledépenddurayondecourburedelatrajectoirequel'oncalculedanslescasparticuliers de latranslation,dela rotationet dumouvement hélicoïdal.

s (t) (mm) 127 (Angle en radians)

Soit,pourlesexemplesdu§ 21.54.

v' =- 70n-sin(10n-t) ~ a1=v' =- 700n-2cos10( n-t) ;

v=60t2_161

~al=v'=1201-16

m/s2.

21.66 Détermination vectorielle de l'accélération

113 1

1

0

Laposition d'unpointMestconnue dansunrepère (0, J, y,z) DMen dèsl'instant quel'onsaitexprimer sonvecteur position fonctiondu temps1.Il suffitensuitede savoircalculerdes dérivées:

v (t)

(mm/s)

1

1

1

l'

0,05

,

l'---.--

-"'"

1

0,1

:0-

t (s)

J 1

1

EXEMPLE: DM(x,y)avecx=3 1-1 ety=l2 +31-1. (distances en(m)ettempslen(s)). ---'>

()

DM x

~

Y

V.

oH'.

()

(1) ~

M I(O,x,y,z) y' (1)

CALCULS:

x= 3t-1

X'

~

y=12+31-1

, a

~H

X"

() (1)

MI(O,x,y,z) y" (1)

x(I)=3 , ~ y (1)= 2 1+ 3

X"(I)=O Y"(I) =2

21. 67 Détermination graphique de l'accélération

-220

Ellereposesurlemêmeprincipequecelledelavitesseexposée au§ 21.56.Elleselimiteà l'accélération tangentielle.

-.......

21.7 Hodographe d'un mouvement

0,1

Pourunmouvement donné,onporteà partir d'un point fixe choisiarbitrairement, levecteurvitesse.L'extrémitéP dupointeurainsidéfini,décritunecourbeappeléehodographe. Exemple$de mouvements

Naturede l'hodographe

Mouvement rectiligneuniforme

Unpoinl

Mouvement rectilignevarié

Unedroite

Mouvement circulaireuniforme

Uncercle

Mouvement circulaire uniformement varié

Spirale

REMARQUE: Surl'hodographe, lavitessedupointPcorrespondexactement à l'accélération dupointA associé.

-5,5 -6,9

HODOGRAPHE

t (s)

69

22 Translation d'un solide 22.1

TRANSLATION RECTILIGNE

Yo

Funiculaire

Définition

Un solide est en translation dans un repère lorsque ~

~

deuxbipointsdistinctsAB et Be de cesolide, gardent desdirectionsconstantesau coursdu mouvement. 0

Xo

TRANSLATION CIRCULAIRE

22.2 Différents modes de translation

~

Trajectoires de C A

l~,

Selonlatrajectoiredespointsdusolide,latranslationest: .

rectiligneuniforme(chapitre23) ouvariée(chapitre24);

.

circulaireuniformeouvariée(chapitre25) ;

.

quelconque.

-,

Nacelle

'

~'

Yor

22.3 Vitesse angulaires et linéaires

.

Xo

OIAo Co

Lorsqu'un solide(5) estentranslation dansunrepère (Hl0):

1

(~, AB) = 90° (constant)

.

Lavitesse angulaire detouslespointsde(5) estnulle: flS/UlO=

.

Les trajectoires Ao Bo Go et

0 (rad/soutr/min).

Lavitesselinéairedetouslespointsde(5) estégale: VA

TRANSLATION QUELCONQUE

ES/;JlO= VBES/~o'

Ondit quele " champdesvitesses" estuniforme.

0

B

REMARQUE: Lechampdesvitessesse trouvecomplètement définipar un torseurcinématique:

(~SMoj = AIflsMo VAShR;\ = 10 VAEShR;\' Larelationentremomentsd'untorseur(§ 76)s'applique:

VAEShJl; = VBESMo +

ABx 0 =

Vc' Xo

VBEShRo'

70

23 Translation rectiligne uniforme 23.1 Définition

EXEMPLE

Unsolideestentranslationrectiligneuniformesi : . toussespointsdécriventdesdroitesparallèles; . toussespointsontunevitesseconstante.

23.2

y

Exemple

Déplacement uniformed'unetigedevérin/corps,

N=-YVr=x

Autreexemple§ 24,5,

;8l;;\

23.3

Équations du mouvement

[.

OM.x=S(I)=vo(t-to)+So

..

001 Trajectoires des points de la tige/corps ,,/M,,~

sU):abscisse curviligne (m)dupointMà l'instantI(s), Vo :vitesse (enmis),dupointMà l'instantlo(s),

~

Y

v(l)= s'(W

Vo

v(I)-

- M dt

\

/

So :abscisse (enm),dupointMàl'instant10(s),

[.

1 X;;

0

= Vo

/"

a

",,/

;;\/ / /

",,\

S(t). '

APPLICATION:

DérivéedesU) parrapportautemps:S'(5)= ds/dl,

.

1° La tige parcourant130 mm en 1 s d'un mouvementrectiligne

a (1)= v'(I) = 0 (ladérivéed'uneconstante = 0)

Accélération tangentielle du pointM: v '(01 = dv/dl,

uniforme,calculerladistanceparcourueen1,5s à l'aidedeséquations dumouvement. 2° Exprimervectoriellement la vitessedu point N de la lèvredu joint

23 .4 .

Caractéristiques vectorielles

Lesolide(5) enmouvement formant,pardeuxdesespoints,

unangleconstantaveclerepèreUR0):

ON

~

=0

représentant levecteurunitairedelatrajectoire:

~

-->-->

=

oùvo=s'

a~ Ni'Jl 0 = V ,-;.. T + V2 -

R

--+

00

Doncv 0 = 130mm/s(vérifié), --+ 0,

Letorseurcinématiqueestdelaforme:

f ~o \ =f Ô f \v.X

{i}S/fi(Q}= \

.

~

-->

VNi'!iO

s(1)= 130mm(b),

Pour(b), elledevient: 130= va x (1)+ 0,

-->

N (§ 21.64),

Pourunetrajectoire rectiligne R ; donc v2/R Commeparailleursv'=O: a;;;:; 0 = D,

.

Posons: pour1=0 (= la), s(O)= 0 mm(a), Pour(a), l'équations'écrit: 0 = sa,

-->

VNi'!iO=VO.x

sU)= va (t- la) + sa

pour1=1,

s.x +a. y (voirexemple)

~

SOLUTION: 1° Lemouvement a pouréquation:

Levecteur«vitesseangulaire»

.X

d'étanchéité pendantcedéplacement.

} ,!iD

ouv=s

, (t)(constante)

Lorsque 1=1,5s,onremplace demême: s(1,W 130x (1,5- 0)+ 0= 195mm 2° Touslespointsontunemêmevitesseà chaqueinstant:

~

=

V;;o

= 1307

(mm/s)

Onpeutremarquer que,pouruntorseur:

~

Comme uniforme.

= VN/U/O:le champ des vitesses est

VM/,R = VN/'!iO + MN x QSi'I10 = VNi'RO (§76,1)

71

24 Translationrectiligne unifonnément variée 24.1

Définition

DIAGRAMMES DU MOUVEMENT

Un solide est en translation rectiligne uniformément variéesi :

. toussespointsdécrivent desdroitesparallèles; . toussespointsontuneaccélération constante.

Loi des accélérations tangentielles at (m/s2) a1

a1 >0

0

24.2

ta

Exemple

Déplacement d'unporte-outil detourvertical:phases 1 et3 décrites parlesdiagrammes ci-contre (voir§ 24.5).

24.3

Accélératiort

1

Équations du mouvement

t (s)

a2 Phase 1

Phase 3

v (m/s) ------

V1

Ellesexprimentlesrelationsentre: .

l'abscissecurviligneS(1)(expriméeenmètres);

.

lavitessealgébriquev(t) (expriméeenmis);

Va

t (s)

. l'accélération tangentiellea t (expriméeenm/s2). Elless'écrivent: SU)= 0,5 at (1- tO)2+ v 0 (t- to) + 50' 5'= V(t) = at (1- to) + vo,

to: instantinitial(s).

5"= a(t) = at.

Vo : vitesseà l'instantto.

L'accélération tangentielleestunedérivée de la vitesse algébrique

at : constante.

24.4

Caractéristiquesvectorielles

La vitesse algébrique est une primitive de l'accélération tangentielle s(m)

. Unbipointquelconque dusolide(5) entranslation dansle repère, formeunangleconstant decerepère: la vitesseangulaire

1

.

~

=

0

Phase 1

X représentant levecteur unitaire delatrajectoire: x- h.Y,

(voirfig§24.5) DM = srI)'

VMjc;, = v(t). X,

.

aw;=at.x REMARQUE: Pourtoutmouvement rectiligne, l'accélération esttangente à latrajectoire. .

Sa

Le torseur cinématiqueest de la forme:

\) ~ \

{OSI'RO}) [2SURO

->où

->

\ VMESU/10f \ VMESI'ROfVMESI,RO=V(I).x

L,avitesse algébrique est une dérivée de l'abscisse curviligne 1

VNESf;R>O= VMESI'R>O+NMX~= ~o* le champdesvitessesest uniforme. * Relationentremoments d'un torseur §741

t (s)

ta

curviligne est une primitive de la vitesse algébrique

72

24.5 Étude de translations rectilignes

EXEMPLE: TOURVERTICAL Traverse verticale

Traverse horizontale

Lecroquismontrele mouvement du coulantd'untourvertical y

.

verslemagasindesoutils.

Phase 1

x

Partantdurepos,lecoulantatteintlavitessede0,06mis en2 s selonunmouvement uniformément accéléré.

. Phase 2 Lecoulantpoursuitsonmouvement, defaçonuniforme.

. Phase 3 Lemouvement ducoulantdevientuniformément retardéjusqu'à l'arrêt,sur une distancede 0,2 m.Sur l'ensembledes trois phases,lecoulantparcourt1,4m. Écrireleséquationsdumouvement pourchaquephaseettracer lesdiagrammes correspondants. SOLUTION:

.

Accélération tangentielle at(m/s2)

0,03

Phase 1 (mouvementrectiligneuniformément accéléré):

a=a1 et v= a1(t- la)+ Va. Posons:10=0(origine destemps).

27,7 - 0,009 0 -1

Phase 1

Lorsque1=0 , V = 0 ; lorsque1=2, v = 0,06mis.

J2,1

'2

l

t (s)

Phase 3

Phase 2

Donc:0,06= a1. 2 =? a1= 0,03mN. v (m/s)

8, =0,03m/s2; v= 0,031; s= 0,01512. 0,06

Casparticulier:quand1=2 s, S(2)= 0,06m.

. Phase2 (mouvement rectiligne uniforme) : a2

(constante).

s= va (t- la)+ sa s'écritici: s= 0,06(t- 2) + 0,06. 0

Casparticulier:lorsques = 1,2 m, le mouvementchange.

x=s

Soit12cetinstant,onpeutécrire: sI t 2)= 0,06 (t 2 - 2) + 0,06 = 1,2 =? 12= 21 S

82 =0

;

V = 0,06 mis;

2

21

27,7

t (s)

2

21

27,7

t (s)

(m)

1,4

s = 0,06(/- 2) + 0,06. 1,2

. Phase 3 (mouvement rectiligneuniformément décéléré):

a = a3 < 0

(constante).

s=0,5a3(t- 12) 2 + va (t - 12) + Sa s'écritici: s= 0,5a3(1- 2W +0,06(1- 21)+ 1,2etv= a3(1- 21)+ 0,06 Lorsque1=13,s= 1,4et v= 0: 0 = a3(t 3 - 21)+ 0,06=? 13- 21= - 0,06/a3: reportdanss.

Ontrouve:13=27,7s d'oùa3=- 0,009m/s2, 8a=-0,009m/s2; v=-0,0091+0,249; s=-0,0045 (t-21)2 + 0,061+1,2.

0,06

0

73

25 Translation circulaire

TRANSLATION CIRCULAIRE UNIFORME

Sa

25.1 Translation circulaire uniforme 25. 11 Définition C'est une translation (chapitre 22) au cours de laquelle un point quelconque lié au solide décrit une trajectoire circulaire avec une vitesse de norme constante.

M

25. 12 Propriétés

.

Pourtoutetranslation;;;;:;0

.

Pourunpointparticulier M: 0)0= e' =~~ (constante)

=ô.

\ \

Loisdumouvement deM:

e

.

t 0 = originedestemps

= 0)0' (t- t 0) + e 0 ou 1

\ Mo

e 0= origine des angles,

r;jsta.nte) ;Mo (constante)

8' = d8/df= OJo(constante), 8" = d28jdt2 =

.

0)

et v=8'.r=OJo.r et aN = 8'2. r = OJo2. r

0= 0 (accélération angulairenulle).

Touslespointsontmêmevitesseà chaqueinstant.

25.2 Translation circulaire uniformément variée

TRANSLATION CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIÉE

25. 21 Définition C'est une translation (chapitre 22) au cours de laquelle un point quelconque lié au solide, décrit une trajectoire circulaire avec une accélération constante.

25. 22 Propriétés

.

Pour toute translation ;;;;;0 = Ô

(lavitesseangulairedusolideestnulle).

M

.

Pourunpointparticulier M: 8 = 1/2. OJo (t- fO)2+ OJo(1- fo)+ 80; (OJo= 8"0)' 8' = d8/df= OJo(t - fo) + OJo(ou 8' = OJ),

\~ \ 8

8"= d28/df2= OJ'o(constante). Touslespointsontmêmevitesseà chaqueinstant.

.

I~~~I Mo

REMARQUES:

Il convientdebiendistinguer: .

Lavitesseangulairedusolide(nulle)etcelleOJod'unpoint

tel queMtournantautourdeMo. . L'accélérationangulairedu solide (nulle) et celle du

pointM: .

>

->

2

-->

aM/9èO =0)'0,r. H OJ. r. N.

Lavitesse angulaire;;;;:;o= ÔetlavitesselinéaireV;;o.

aM/mo,/'/ ,/ \~,/ // ËÇ

r

-->\ N

\

74

25.3 Études de translations circulaires

MANIPULATEUR DE FONDERIE

Lecroquisci-contreschématise partiellement unbrasmanipulateurdefonderie.Lemouvement, d'amplitude225°sedéroule

Trajectoire du pointG / /

entroisphases:

--

y

-

-,

~

~

1 rotationuniformément accélérée sur15° (~ rad) .. Phase Phase 2 rotationuniformeà 1 rad/s,

, 1 1

. Phase 3 rotationuniformément décélérésur30°, Écrireles équationsdu mouvement, tracerles diagrammes et préciserlavitessedeGainsiquesonaccélération danslaconfi-

guration ci-contre sachant queDA=1,7m . SOLUTION:

L'étudeseramèneà celled'un pointdonton connaîtla trajec-

Pièce

toire,A parexemple.

.

Sortie

Phase 1 (mouvementuniformémentaccéléré)8'; (constante):

Lorsque1=0: 10= 0, Wo= 0,80 = o (conditionsinitiales). de coulée de Socrefroidissement

Lorsque1=11: 8(11) =0,581 1~ = n:/12; 8(t1)= 8 l' 11=1. Donc 81=1/11et n:/12=0,511, d'où 11'" 0,524s et 81= 1,91rad/s2.

8=0,95412; 8'= 1,911;8"=1,91pourIE[O;0,524],-

. Phase2 (mouvementuniforme)82(constante): 8=wo(l-lo)+80

l\

g" = w' (rad/s2) 1,91

s'écritici: 8=1 (1-0,524)+n:/12,

Lorsque 8= 2250- 30°=195°=180°+ W =13n:/12,1=12, Donc13n:/12= 12- 0,524+ n:/12=>12'"3,67s.

8=1-0,524 u/12; 8'=1; 8"=opour1E [0,524; 3,67], . Phase3 (mouvement uniformément décéléré) 83(constante): 8=0,5Wo(1- 10)2+wo(t- 10)+ 80 et 8'= Wo(1- 10)+ Wo s'écrivent: 8=0,583 (1-3,67)2+1(1-3,67)+13n:/12,

r

° -0,95

1

-

' 0,52

_1

~67

4,71 -,,---'> t (s)

g' = w (rad/s)

t (s)

° 0,52

3,67

4,71

et 8'=83(1-3,67)+1. Lorsque1=14: 8'=0 soit 83=-1/(1-3,67), 8= 225°=5 n:/4rad.

go (rad)

5n: 1 (225) 4

13n: (195) 1

Donc5n:/4=-0,5(1-0,367) +(1-0,367)+ 13n:/12 =>/",4,71s,

12

8 = 0,477(1- 0,367)2 + 1- 0,367+ 13n:/12 8' = 0,955(1- 0,367)+ 1 8"=-0,955rad/s2pourlE [3,67;4,71]. Dansla configuration de la figure' 8 = 30°,situéedansla phase 2,Onpeutcalculer1(n:/6)= 1s, lavitesse linéaire: I!VG,S/HèO Il = I!VA,SM0 Il=1,7 x 1 = 1,7mis

etl'accélération:

3N=8'(2 = 1,7m/s2.

n: 12 o

t (s) 0,52

3,67

4,71

75

26 Rotation d'un solide autour d'un axe fixe 26.1

Définition

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE

Unsolide(S) estenrotationautourd'unaxede(So) lorsquedeuxpointsdistinctsde(S) coïncident enper-

Uilo) = (O,~,

y;, 20) (Sa)

manence avecdeuxpointsdel'axede(So).

26.2

. .

Différents modes

Points de (S) fixes sur l'axe (0, z;)

Rotationuniforme(§ 27.1). Rotationuniformément variée(§ 27.2).

. Rotation quelconque ouselonuneloi distincte desdeux modes précédents.

Xo

26.3 Caractérisation du mouvement

Solide (S) en rotation dans UR.o)

. Tousles pointsdécriventdestrajectoirescirculaires coaxialesavecl'axederotation. .

ondit alorsque: Dansun mouvementde rotation, tous les pointsliés à unsolide ont mêmevitesseangulaire.

.

0

Xo

0102

Touslespointstournentdumêmeangleaumêmeinstant;

Lavitesseangulaire d'unsolide(5) enrotationparrap-

portà un autresolide (Sa)auquelon associeun repère

(~(

0, ~,~, ~) peutêtrereprésentée parunvecteur QSlffiO= (û.~ de:

Trajectoire de BE(S)

Z;0

dans (ffio) '"

Trajectoire deAE(S) dans (~R.o)

'"

/

Yo

VITESSES LINÉAIRE ET ANGULAIRE

- direction: celledel'axe(O,~); -sens: celuidéfiniparlarègle"dutire-bouchon» (oudestrois doigts); -

valeuralgébrique:OJsur l'axederotation.

26.4 Relation entre vitesses linéaires et angulaires Onsaitque~

S"'R 0 = v.

!.

.

Vitesse angulaire

T = ds .T (§21.53) dt

Pourunmouvement circulaire:s= R.B.

Xo

Doncds/dt= R dB/dt= ROJ;d'où:

Qsmw =

II~oll=I(ûI.R (û =

avec (û (rad/s),R(m), Il~oll

(mis

~

dt

OJ.20

= 8'

76

26.5

Relation vectorielle

entre

et

VAES/fièO

-

CD TORSEUR CINÉMATIQUE

~

DS/fRO

Ladéfinition deDShjè~ indiquée §26.3setrouvevérifiée parla relation vectorielle:

t

Axe de rotation (ou axe central de {VShiW})

>

Zo Ir.~ ShJ\O .QS/,J(a

Plateau tournant (S)

VAESM~ = Ai x ~re

:

~

~*

Socle (Sa)

~

(/, as/~(o)

VAES/,RO=;/fA

]

où1E axederotation

NOTA:/if; (l, DS/UI0)selit momentenA dupointeur(1,15).

26.6

Torseur cinématique

Il définitcomplètement lemouvement circulaire dusolideàun instantdonné.

.

Touslespointsontmêmevitesseangulaire:

0

EXEMPLE

DS/fJ( 0= w. z' estlasomme decetorseur;

.

Lespoints1situéssurl'axeontunevitesselinéairenulle:

Ils'écriten1:

l

IJJOZ

(1?SMoJ=

~

lE (A,z)

.

~

0

}

~

~

.QS/,J\O

car VIES/HèO=O

Lavitesse linéaire detouslespointsde(5) s'endéduit: ~ESMo=~eS/ffio+MxDs/ffiO=MxDs/ffiO

(§76.1).

26.7

Champ des vitesses

Champ des vitesses

D'aprèslarelation§ 26.4,puisquewa mêmevaleurpourtous lespointsliésausolide,lavitesselinéaireIlVAeS/~èO Ilvarie linéairement avecladistanceR à l'axederotation(fig.2).

.

L'axederotationABde (5) estdéfinidans(9lo) parA (20,20,30),

B(-10, 50,70).(5)tourneà 100tr/minautourdeAB. Etablirletorseurcinématique de(5)/(~Ro)' -

Onpeut écrire AB= OB- GA=

26.8

Exemples

. Unsolide(5) estenrotation autourdeABà lavitessede 300tr/min.Calculer lavitesselinéaire deMsituéà50mmde

~

. Unsolide(5) estenrotationautourdel'axeCd).L'unde sespointsNsituéà 100mmde(,1)a unevitessev = 3 mis . CalculercelledePsituéà 70 mmde(,1),

D'où~ =

-

Vp = VN' IN/lp = 2,1 m/s.

, x : signeduproduitvectoriel(/\ esttoléréavecréserves:voir§ 70.6).

-

30 = 10 40 )

3/\134

II~:Il = ( ~~~)

w = 100tr/min= 10,47rad/s. '

Par consequent ..

J

J~ \ if S/,R0 =

vN= w,(N et vp= W.lp: donc

(

30

DoncIIABII=\110(-3)2+(32)+42=10\134

l'axeAB.

IlVM,S/fROIl= 300x 26; x 50= 1571mm/s= 1,571mis.

selon lN

avecZ;déterminéci-dessus.

10,47Z;

[

~ 0

) le

(AB)

3 3 4)

77

27 Mouvements de rotation particuliers

EXEMPLE DE CALCUL

y

y

(l, X;y, z) = (ffi)

A

27.1 Mouvement de rotation uniforme

x

z

Enun point 1de l'axede rotation(axecentral) Z, le torseur cinématique s'écrit: J

1JS/~o =1\

Ô

~

faVeCQS/~O=OJO'z

(constante)

Lois du mouvement I(s), m(rad/s), fI"(rad/s2) (Angle balayéet accélérationangulairese déduisentde mo) Vitesse angulaire (rad/s)

o

8=mo (1-10)+80

[1JSlfRO] =/\ f~o Ô

.-4"

r

t(s)

,.' jj:;~~~i:il

:-

1

1

=

fi" (= m' = dm/dl) 83,8/ 0,4 = 209 rad/s2 m (= e' = de/dl) = 209 (1- 0) + 0 = 2091

Lois du mouvement I(s), m(rad/s), fI"(rad/s2) (Vitesse angulaire et angle balayé se déduisent de fi "0)

w (90%)= 83,8 x 0,9 = 75,4 radis Donc75,4 = 209 1'1=> 1'1= 0,36 s

Accélération angulaire (rad/s2)

e (0,4) 16,76 rad = 2,67 tr

e(t) 8 "0(00dw dt ou dt2 ou w '0)constante

=112.209(1-0)2+0(1-0)+0

8= 19'o{t2

10)2+ 8'0 (I- t 0) + e 0

=104,7 f2

=

Vitesse angulaire (rad/s) 8'= 8'0 (1- 10)+ 8'0(ou m) Angle balayé (rad)

2e phase: lE (0,4; 10,4) m1(= fi; constante) = 83,8 radis m' (= e") =0

27.3

Exemple de calcul

fI(l) = 83,8 (1- 0,4) + 16,76 fI(10,4)= 83,8 x 10 + 16,76 = 855 rad = 136 tr

Unebrochedetouratteintlavitessede800tr/minen0,4s, d'un mouvement uniformément accéléré,L'usinages'effectue ensuite à vitesseconstantependant10 s, Enfinl'arrêtse produit, en0,3s, d'unmouvement uniformément décéléré, Onsouhaite: .

tracer les diagrammesde ce mouvement;

.

écrire les lois des mouvementsde chaquephase;

. connaître lesinstants entrelesquels 90%aumoinsdela vitesse estatteinte,

1

- - - - - - - - - - - - - _I~~iiliii~;,::;,jjjj.~

>

avecQSlfRO=w.z(variable)

-

f-

1rephase: 1E (0 ; 0,4)

}

1

~

matiques'écrit: >

t (s)

10,7

~~==============--81t °

Enunpoint/ del'axederotation(axecentral)Z, letorseurciné-

1OA t'2

8 (rad)

Accélérat,ionangulaire (rad/s2) 8" (oudw ou d280uw ') = 0 dt dl2

27.2 Mouvement de rotation uniformément varié

OA

t'1

mo(ou8'0)constante

Angle balayé (rad)

phase

800 tr/min = 83,8 radis

~

mm

[

,lrephase~2e

fD;;o\

~

3e phase: lE (10,4; 10,7) fI"(= dm/dl= m') = - 83,8/0,3 = - 279 rad/s2 fI'iI) (= m) = - 279 (1-10,4) + 83,8 fi '(90%)= 75,4 radis (voir ci-dessus) Donc 75,4 = - 279 (1'2-10,4) + 83,8 D'où 1'2= 10,7 S = -1/2 (279) (1-10,4)2 + 83,8 (1-10,4) + 855 fi (1) fi (10,7) = -139,612 x 0,32+ 83,8 x 0,3 + 855 fi (10,7) = 279 rad = 136 tr

78

28 Mouvement

PISTON- BIELLE- MANIVELLE

plan sur plan 28.1

Manivelle

Définition

Deuxsolides (50) et (51) sonten mouvementplansur plan lorsqu'unplan réel oufictif de l'un resteconstammenten contactavecun planréel ou fictif de l'autre. CONSÉQUENCES:

A

. L'étude seconduit danstoutplanparallèle àceluidumouvement.

y

0

. Onassocie unrepère deréférence àl'undessolides(repère (9\'0)liéà (50) parexemple) etl'onétudielemouvement de (51)parrapport à(9~0)'

50 (Repère) ~-1Bâti)

-

1(centre instantané de rotation)

28.2 Champ des vecteurs vitesses

.

0z

DS1fSo

Touslespointsd'unmêmesolideont mêmevitesseangu-

0

DS1fSo

laireDS1/S~'

. À un instantdonné,lesvitesseslinéairesVAES1/S0et VBES1/S0de deuxpointsA et B de (51) sontgénéralement différentes endirection,sensetintensité,Toutefois,(51) semble tournerautourd'unpointfixe1situéà l'intersection desperpendiculairesenchaquepointauxvecteursvitesseslinéaires, VBES1fSo

1est le centre instantané de rotation (C.I.R.)

.

À l'instant considéré - correspondant à uneimagephotographique del'objet(51)enmouvement plan- onpeututiliser lesrelationsdumouvement circulaire(§ 26,5) :

[ .

DS1/S~

VMES1/S; = Mi x DS1/S0

= w. lu'

]

Lechampdesvitessesestreprésentable paruntorseurciné-

matiqueexpriméenM quelconqueouauC,I,R,1:

[1JS1/S0 )=

~ !

'

] M VMES1/S0

DS1/S0

=

1(

-

0

,

]

. Lesrelationsentremomentsd'untorseur(§ 74) permettent deretrouvertouscesrésultatsfondamentaux,

DS1fSO

0

x

79

28.3 Mouvements plan sur plan particuliers

RÉPARTITION DES VITESSES POUR UN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE

28.31 Solide en rotation par rapport à un axe fixe (Voirégalement chapitre26,) .Un

plandusolide(S),perpendiculaire à l'axederotation (0,z)

resteconstamment dansunplanfixeparallèleà( 0,X,y) = (fR,),

.

Enprojectionsur ( 0,x, y, z), touslespointsdécriventdes trajectoirescirculairesdecentre0, .

Aupoint0, letorseurcinématique s'écrit: f

7 -7

0 { z9.s/9t} = \.Q S/fR 0

.

7

} ou

.

-7

.Q sm!.= (J) Z

EXEMPLE:

(S) tourneautourde (0,z) dansle sensindiquéci-contre,à 300tr/min,Alors,m =- 300 2 ,,/60 = - 31,4 rad/s,

.

.

z

Lavitessedetouslespointss'endéduit;parexemple:

~

=;il (O,~)

=M

x

~

* (§ 761)

etparconséquent: Il ~11=lml.AO, Pourlesautrespointsde(S), 1ml estle même;seulela distanceAOvarie. Dansunmouvementderotation,la vitesselinéaire des

RÉPARTITION DES VITESSES POUR UN SOLIDE EN TRANSLATION DANS UN PLAN

points est proportionnelleà leur distanceà l'axe de rotation. Ils ont mêmevitesseangulaire.

~

~

"

'\

28.32 Solide en translation quelconque dans un plan

----,

L'ensemble (S),ci-contre, gardeunedirection constante dansle repère:il ~nc angulaire Qs/9t

entranslation (chapitre 22)etsavitesse

estnulle,

\

_-1.. LI

--

1

;')

~ -~J=l" ~~ r,>2- Jr', Î

EnA, letorseurcinématique s'écrit:

J

Jo;1}={Ô~det

V;:;1= ~,

Dansunmouvement detranslation,touslespointsont la mêmevitesselinéaireet unevitesseangulaire nulle. * x , signeduproduitvectoriel(A esttoléréavecréserves;voir § 70.6)

l f

V

Y

"'\

~ntre

/

i

-:.~

1

:_--J

~~

de rotation

de (S) est rejeté à l'infini

80

28.4 Équiprojectivité des vitesses des points d'un solide

.

ÉQUIPROJECTIVITÉ DES VITESSES DE DEUX POINTS D'UN SOLIDE

Lesvitesses d'unpointd'unsolidesedéduisent deson

VBE S(;J(

torseurcinématique (§ 28,2): (1Js/fJd= S(nS/fR VSES/9~)et VAES/~è = VBESM+ .

ABx

;z

nS/9l

En multipliant scalairementchaqueterme par AB : VAES/fJ~

. AB =

VSES/f~ .

AB

,

Sur AB

Il~II

.cosaA = IIVBES/fJ~11 .COS aB

Si A et B sont deuxpointsdistincts d'un solide, la proÉqui

jection(algébrique)dela vitessedeA sur AB est égale ~

à la projection(algébrique)de la vitessede B sur AB. Mêmes EXEMPLE: Enactionnantlagachette2 dusécateurélectroniqueci-contre,

SÉCATEUR ÉLECTRONIQUE

on metlavis 1 enrotationparrapportà la poignée0, Celaentraîne latranslation del'écrou3 qui,parl'intermédiaire de la biellette4, actionnelarotationdelalamemobile5 autourde

0

l'axeC,fixedans0, Leschémacinématique est représenté à l'instantoù le pointD E

approchedupointE

Connaissant lavitesse VA E3/0 à cetinstant, ondétermine graphiquement V0E 5/0 :

. VAE3/0 (connu) = VAE4/0(liaisonpivotenA), .

5

Laprojectionde VAE4/0surAB estégaleà laprojectionde

VSE4/0 surAB: AHA= BHs, SCHÉMA À L'INSTANT t

(Attentionauxsensetà l'angledroit.)

3

. VSE4/0 = VSE5/0(liaisonpivotenB), .

VSE5/0 estperpendiculaire à CB,

OnendéduitalorsVsE 5/0

.

IlVSE 5/0 Il= IlVS'E 5/0 Ilsi CB=

Onconnaîtdonc VS'E5/~

.

'

0 CB'avecB'sur CD,

'

VOE5/0estperpendiculaire à CD VoE 5/~ est proportionnel à VS'E5/0

'

Enprolongeant le tracépassantparC et l'extrémité de VS'E5/0, onobtientV0E 5/0

'

5

4

1

0

81

28.5 Centre instantané de rotation (C.I.R.)

CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION

28.51 Définition du C.I.R. Danstoutmouvementplansurplandesolides,il existeà un instantdonnéunpointoù la vitesserelativeestnulle. Cepointsenomme«centreinstantanéderotation».

.'

Cepointestdéfinià uninstantdonné.Il peutvarieraucours dutempset dumouvement .

Cepointestrejetéà l'infini danslecasdelatranslation.

28.52 Détermination du C.I.R. CI) Lespointslet A appartenant aumêmesolide(5), il doity avoir

~

équiprojectivité desvitesses

et

~

sur TA,

BASES ET ROULANTES

(§28.4).

~

Comme

= Ô, cecinepeut êtrevérifié quesi

perpendiculaire à

~

y 1Cylindre

TAest

.

Le C.I.R. 1se situe sur une perpendiculaireà chaque vecteur-vitesse.

0

.

Onpeutdéterminer la vitessed'autrespointsdu solide,

connaissant le C.l.R.

28.6

Base et roulante

Aucoursdutemps,leC.l.R.se déplacegénéralement et décrit unetrajectoiredanslesolidederéférence auquelonaattachéle repère(91).Il décritaussiunetrajectoiredansle solide(5) en mouvement parrapportà UR} La trajectoire du C.I.R. dans le repère de référence s'appelle la «basedu mouvement».

VAES/,j(

La trajectoire du C.I.R. dans le solide (S) mobile par rapportà (9{)s'appelle «roulantedu mouvement».

.

Base et roulantes sont tangentes au C.l.R. (/).

.

Tracer les configurations successives d'un mécanisme sur

feuille de calque, le référentiel étant dessous sur feuille quelconque. Piquer

à l'aided'un compas: les trous de la feuillede

calque appartiennent à la roulante et ceux du dessous à la base.

(S) roulant

sansglissersur(0, x) du plan (0, X,y)

9t

O;

~

82

29 Mouvements relatifs

COMPOSITION DES VITESSES ANGULAIRES

29.1 Composition des vitesses angulaires Soitdeuxsolides51et 52 : .

51tournede81radautourde (0, zo), parrapportà 50;

.

52tournede83radautourde (0, zo), parrapportà 51'

Il enrésulte que52tournealorsde82= 81+ 83radautourde (0, zo),parrapportà 50, Pardérivationsurlavariabletempst, onobtientla relationentre

Q1I0

lesvitessesangulaires.Soit:

~

= 8'1(1). Zô: vitesse angulaire de5/50;

i22!o = 8'2(1)

.Zô:

vitesse angulaire de52/50:

ev

Q1/0

ev

Q2/1

ev

Q2/O

.a;;; = 8'3(1) . Zô: vitesse angulaire de52/51'

Q2/1

,.

...---

..

- = --

Q2/0

Q2/1 + Q'/O

Q2/0

(.a;;; sedésigne "vitesse angulaire relative de5z151")' ~

~

= Q2/1

Q2jO 1

~

TRAIN D'ENGRENAGE ÉPICYCLOïDAL

+ Q1/0

8'2 III ZO= 8'311)zo + 8'1(1)ZO = (8'3 III + 8' 1Il)) ZOo

.

0

1

2

tY

Engénéral isant:

il; =D; + Q;7i +...+Qi/O

EXEMPLE D'APPLICATION:

Untraind'engrenage épicycloïdal secompose: . d'unplanétaire1 de11= 28dents, . d'uneroue2 de12= 24dents, . d'uneroue3 de13= 34dents, d'unecouronneliéeaubâti,delo = 86 dents.

Q4/0

.

Leporte-satell ite4 tourne, parrapport à 0, à lavitesse de 750tr/min.Lemodule vautm= 1,5mm. Surunefigureà l'échellesemblable à celleci-contre,déterminer graphiquement: a) lavitesseangulairede1 parrapportà 0 ; b) lavitesseangulairede(2-3) parrapportà 4. (La connaisance de cesvitessesest utile pour le calculdes paliers.) . Éléments desolution: Sur lafigureenplancorrespondant à la vuededroite,on peut ~ 3 GA= 78,5 x 39.10- = 3,06 mis.

tracer IlVAe4/011 = Cù4/0

.

Il

LeC.l.R.1(23)-0 permet d'endéduire VSE2-3;011 ~ D'où II~II Comme

=

IlV;;;

1Cù2-3/01 = ~

1

1

5,2

mis.

/1(2-31-0 B = 120rad/s.

VSE2-3/0= VSE1/0, il vient Cù 1/0 ~ 2380

tr/min.

.

VSE2-3/0 se~e

. Il

Q2-3/0

VAE2-3/0 et 1(2-3)/0

Il= IlVSE 2-3/0 Il= 120 radis = 18

. IIQ1/0 Il= IlVSE2-3/011 = 260radis= 08

1 145tr/min

2480tr/min

. Q2-3/4 = Q2-3/0 + QO/4= Q2-3/~ - Q4/0 a pournorme:IlQ 2-3/0Il= 200radis= 1900tr/min

-

z~

Q2-3/0 ~

Q2-314

..

.-

~

Q 4/0

83

29.2 Composition des vitesses linéaires

PRINCIPE D'UN PONT ROULANT

1 Pont roulant

29.21 Répères absolus et relatifs Zo

3

Lorsque lacharge suspendue Msedéplace àhauteur constantesousl'actionconjuguée dumouvement dupontroulant1 et du chariot2, satrajectoire nesemblepassimple,Pourtant, ellerésulte:

Charge

a)dumouvement rectiligne selonxo de1 ; b)dumouvement rectiligne selon.vode2, Onappelle: Repèreabsolu(~Jlo): le repère fixe servant de référence. Xo

Repère relatif (~Jl1): un repère mobile par rapport à (Hlo)'

0

29.22 Vitesses absolue, relative, d' entraînement

COMPOSITION DES VITESSES (SANS LEVÉE)

. VitesseabsolueVa: c'estla vitessedu pointM de3 danssonmouvement parrapportaurepèrefixe(8l 0)'

Va=V;:;;O (quel'onpeutnoter~o)

0~

Elleesttangenteà latrajectoiredeME 3 dans(8lo),

/'

. Vitesserelative Vr: c'estlavitesse dupointME3 dans sonmouvement parrapport aurepère relatif(8l1)'

Vr= ~1

VM':!1

o

(quel'onpeutnoter~)

Elleesttangenteà latrajectoiredeME 3 dans(8l1)' 0

(Vr) M

L

~ \j..f:-?>l\)

\:J~ dP

IV' p? ~p?

pP VME 1/0 (Va)

;

---

. Vitesse d'entraînement Ve : c'est la vitesse par rapport

VME3/0= VME3/1

à (~R,o) d'unpointdurepèremobile(8l1) qui setrouveconfonduavecM à l'instantconsidéré,

+ VME1/0

COMPOSITION DES VITESSES (AVEC LEVÉE) Ve= VME,R 1/'J{0(que l'on peutnoter VME1:0) Cettevitessenedépendquedumouvement de(fR1),

. Relation: ~

0

va= v, + Ve

--4 --4 --4 VME3/0 = VME3/1 + VME1/0

.

~ o

~

Yo

IIVME3/211=12 m?JilIn Xo I

P

~

\j"f:-?>v l"~ p? dP dP p? dP

p~ --4

--4

-- ----

"

VME3/0 = VME 3/1 + VME1/2+ VME2/i +... VMEr/o

Si letreuilduchariotlèvedepluslachargeM,onobtientla relation ci-contre,

VME3/0

=

m/rnin

IIVME2jlH= 40 m/mil),

/

Généralisation: --4

IlVME1/011 =120 ~

VME

VME3/2+

1/0

-VME2/1+

VME1/0

84

29.23 Exemple 1

COMMANDE PAR EXCENTRIQUE

Soit unecommandepar excentrique. La camecirculaire1 de diamètre62 mmtourneautourde(Q,Z;)à 100tr/min Elleest

Plateau

excentréede 001= 15 mm.Pour e = 45° (fig. ci-contre), déterminergraphiquement lavitessed'unpointM delatige2. SOLUTION:

M

Lespièces1 et 2 sontencontactau point1.Cepoint Iréalise la «transmissioncinématiquedu mouvement». Définissons lesvecteursvitessesen1:

Xo

V/E1/~, commetous les pointsde 1, lEt tourneautourde (Q,Z;) à 100tr/min; Il = 100x

Il v;:;

2 JT:x 01""450 mm/s(01,mesuré).

60

VME2/0

V/El/;

sesituedansleplantangent aucontact,doncselon(J,~).

~o

,comme touslespointsde2,translate selon(l,~).

=

V'E2/0

(translation 2/0)

\IfE 2/0

v,. 'ro

\l v'cm ~

(connue) .

Lacomposition desvitesses donne~.

,doncVME2:0' PRESSE ÀDÉCOLLETER

On trouve IIVME2:0Il'''' 120 mm/s.

Trajectoire de E dans (~R~

REMARQUE: ---;. Faire attentionau vecteur VIE2/0 qui est sommedes ~

1

avec

~

= ç;

Trajectoire de C/(~(o)

~

deux autres vecteurs VIE2/1et VIE1/0.

29. 24 Exemple 2

4

Soitunepresseà décolleter. Danslaconfiguration ci-contre, latige2 duvérinsortducylindre 1 àlavitesse de23cm/s. Déterminer graphiquement, la vitessecorrespondante du poinçon 5,

5 2

SOLUTION: Onconnaîtles trajectoiresde E et de C dans(~Ro); le C.l.R.

1

130s'endéduitaisément. /

LavitesseVBE3/0 estperpendiculaire à 130B On connaît

/

IlVs:;111 = 23 cm/s = Il~111.

/

x

~

Ondétermine alorslesdiversesvitessespuis Il V;

/

V

Lacompositiondesvitessespermetd'écrire: VBE3/~= VBE3/;+

/ VBE3/0

0

Il''''

5 cm/s.

1

85

29.3 Composition des accélérations

BRAS MANIPULATEUR 0

Considéronsun brasmanipulateur. Lorsque0 est fixe et les

Yo

anglesa 1eta2 variables, lepointMa unmouvement complexe.

Soit(~jl1) =(0,X1,11,:71)unrepère liéaumaillon 1; Soit(~2)=(02,X2,h, Z2)unrepère liéaumaillon2.

29.31 Étude dans le repère relatif

Avant-bras 1

Danscerepère,Mne peutdécrirequ'unarcdecirconférence, de centre01,derayon01M= t. Il estdoncsoumisà uneaccélération relative: Accélérationrelative

Bras 2

â,=aM;1 Xo

Danscecas,lescomposantes intrinsèques donnent:

-

aM/~Rl

,2 X2;>+ t. a ,,---'> 2. Y2

Trajectoire de ME 2/1

O\

= -t.a2o

(voir § 21.64).

29.32 Étude du mouvement d' entraînement L'entraînement provientdurepère(9l1)=(0, X1,11,:71). LepointM decerepère,commetouslesautresqui luisontliés,

tourneautourde(O, z)àlavitesse angulaire a'1' LepointME1 engendreuneaccélération d'entraînement. Accélération d'entraînement

~ = aME1/81' 0

29.33 Étude du mouvement absolu C'estceluiparrapportaurepèrefixe(~o) = (0, XQ, 90, ZO).

1

a; =~

Accélération absolue

1

29.34 Accélération de Corriolis

-a'1'z

(complémentaire)

o

Elle se calculeà partir de ât:=2 ~)

x ~*

29.35 Relation

~

\~(fR1)/(fIi.O)-

a1

Repères ---> > 8M/fRO= 8M/fR1

~

+ 8MEfR1/fflO+2 [,h 1/fJl0 X

~= â, + ~ *

+

ât:

Lesigne x placéentre deuxvecteursest le signe normal du produit vectoriel (§ 70.6).

(cJèo)

~-

\ \ a2

VM/fR1*

absolu

'S °1

relatif (fR1)

~--->

~

\

\

-2a'1'

a'2'

01M,X2

l'If = VM/fR1 1 la'2.01M'Y2

-

c

1 M

86

30 Actions mutuelles

CD

ACTIONS À DISTANCE ATTRACTIVES Solide 1 Solide 2 A2/1 A1/2

~30.1 Action ponctuelle Si,aupointA,cun solide1exerce surunsoUde 2 uneforceA1/;, réciproquement lesolide2 exerce sur1 uneforceA;. C'est leprincipedesactionsmutuelles

0

ACTIONS À DISTANCE RÉPULSIVES Solide 1 Solide 2

Cesdeuxforcessont: .

.

colinéairessurunedroitepassantparA, demêmeintensité,

.

de sens opposés.

A2/1

Onditqu'elles sontdirectementopposéesetonécritque:

A;=-11;

1

>

0

ACTIONS DE CONTACTS PONCTUELS

1

A1/2

A112: forcedepointd'application A2'exercée parlesolide1 surlesolide2.

Intérieur de la matière

A1/2

>

A2/1:forcedepointd'application A1'exercée parlesolide2 surlesolide1. Ondistingue: . Lesforcesà distanceentredeuxcorps: - Attraction terrestre: toujoursattractive, c'est-à-dire dirigées

A2/1

1 isolé

versl'extérieurdela matière(fig.1) ; - Électrostatique ouélectromagnétique: attractives ourépulsives (fig.1 ou2). .

0

ACTION DE CONTACTS SURFACIQUES

-,A ;/{A2/1

Les forces de contact: toujoursrépulsives,c'est-à-dire

2/1

dirigéesversl'intérieurdela matière(fig.3).

Solide 1

30.2

Action quelconque

Solide 2

L'actionmécanique d'unsolide1 surunsolide2 estmodélisableenAparuntorseurA{A1j2} L'action dusolide2 sur lesolide1 s'exprime enAparletorseur A{A1/2}Leprincipe desactionsmutuellespermetd'affirmer quelesdeuxtoiseurssontégaux etopposés (fig.4).

A;\ =- lA; f A\;/{A2/1

A{Am}=-A{A2I1};

---i> A{ ;/{A1/2

}

1 isolé

Cequi implique:

.

---i>

deuxrésultantes directement opposées: ;.

2 isolé A1/2

---i>

Am = -A2I1

.

deuxmomentsenA directement opposés:

A (A1J2)

se lit: torseur des actions mécaniques

de la zone ;/{ A 112 =-;/{

A 211

de contact

A, exprimé

au point

de 1 sur 2,

de réduction

Ce torseur peut aussi s'exprimer au point B.

A.

87

31 Principe fondamental de la statique 31.1 Principe de l'inertie Repère galiléen

EXEMPLE D'ÉQUILIBRE DANS (01g)

Il existeau moinsun repèreprivilégiéURg), appelérepère galiléen*,danslequeltoutpointA, éloignédetoutautrecorps, possèdelespropriétéssuivantes: .

z

1

XA = Cte, YA = Cte, ZA = Cte

1

Point matériel immobile

'

SiA estenmouvement, il estrectiligne uniforme:satrajectoire Repère (H~g) lié

estunedroiteetsavitesseparrapportà (mg) estconstante. .

à la terre

SiA estimmobile,il resteimmobiledans(81g): (sescoory

donnéesdansURg) sontconstantes). REMARQUE: XA

Si le principedel'inertieestvalabledansun référentielURg), il l'estaussidanstout référentielentranslationrectiligneuni-

x

formeparrapportà (81g). Pour un grand nombre de problèmes de mécanique, on prendra le repère terrestre comme repère galiléen avec une approximation suffisante.

31.2 Système matériel isolé: Un systèmematérielest un ensemblede pointsmatérielsqui constituent uncorpsouunensemble deplusieurscorps,ouune

ENSEMBLE $2 ISOLÉ

portiondecorps.

A

Isolerunsystèmematérielc'est: . .

1

j

T\

considérerunepartied'unmécanisme; recenser touteslesactionsmécaniques quiluisontappliquées.

1 ($2) = (4, 7, 12, 9)

Unsystèmematérielisolépeut-être:

. unsolideindéformable: latige4seule: (51)= (4}; .

unensemble de solides: l'ensemble mobileestconstitué

PARTIE (1) DE SOLIDE ISOLÉ

Partie (II)

desolides:(52)= (4,7, 12, 9} ; .

uneportion de solide: la partie(1)delatige4 ;

.

unfluide (aircomprimé) contenudanslachambreduvérin;

.

unfluide et les solides qui le contiennent:

.,

G

-~

~Fu-

Partie (1) de 4

(53) = (vérin,air).

rimé dans chambre A (p = 5 bars)

$3 = [Vérin, air dans A) Vérin double effet ""

B

~

r'- -1=

,-;.

HT Équerre de fixation avant

1

* Voir complémenten dynamique§ 56.2.

10

1

1

5

4

7

12

9

2

~tl.

Équerre de fixation arrière

88

31.3 Actions extérieures Actions intérieures

ISOLEMENT DE (5) = [1,2) (E, X, y) est un plan de symétrie (chapitre 8)

(S)= {1,2) estisolé.Lesactionsmécaniques sur(S)sont: .

Lesactionsexercées parlessolidesqui n'appartiennent 1

A 1-

pasà(S) ouactionsextérieures sur(S)notées:Fis/s,

:

(S)signifie"n'appartenant pasà(S) ". Actions à distance: pOids:fi; , Actions decontact:A;, .

A ~

1

P;.

S;;;, c;

.

Lesactionsexercées pardessolidesappartenant à (S) sur

dessolidesappartenant à (S) ouactionsintérieures:

~

.

ÉQUILIBRE DE LA GOUTTIÈRE

Pourtouteactionintérieure,l'actionmutuelledirectement oppo-

y

Actions àdistance: nulles, ici.Actions decontact:0;;;,

3

REMARQUE:

séeapparaît: 0;;; = -

~

(voirchapitre 30).

Lasommedesactionsintérieures estnullecarelless'éliminent deuxà deux.Demême,pourleurmomentenunpoint.

le torseurdesactionsintérieures estnul.

E\E4/3)

E

8

;f!E4/3

31.4

C2/3

C Contact plan 4-3

x

. 8213

Principe fondamental

Si unsystèmematériel(S) isoléestenéquilibreparrapportà un repèregaliléen(8lg), le torseurdesactionsmécaniques extérieuresappliquées sur(S) estégalà untorseurnul', A {~s/s

}=

{o};

~

EXEMPLE D'APPLICATION

[ }

. 3 estenéquilibredans0lg (E, X, y, z). Il estsoumisaux

~ = {o} 'IfA de l'espace A l''AS/S

actionsmécaniquesextérieures:

~

A {~s/s} selit:torseur associé auxactions mécaniques extérieuresdescorpsn'appartenant pasà (S) sur (S) expriméau pointderéductionA. D'oùlesdeuxthéorèmes suivants:

.

Théorème delarésultante statique:

(8èg)'la résultantedesactionsmécaniquesextérieures à (5) est nulle: RSIS= Ô (1) . Théorèmedu momentstatique: Si (5) est en équilibrepar rapportà un repèregaliléen

.

(8lg), le momentrésul~s act,ionsmécaniquesextérieuresà (5) est nul: ;t!ASIS 0 (II) , 'ifAdel'espace.

=

= A { Ii

c{C2/3}

= c{

; s{82/3}

= s { Ii

. .

}

~

0 } ; f{E4/3}

~

= E{ ~.f 4/3 }

L'équilibre de3/(:Rg) se traduit par:

f{A1/3} + f{82/3} + f{C2I3} + f{E4/3} = {O}. Théorèmede la résultantestatique: ~~~~~

A 1/3 + 82/3 + C 2/3 + E 4/3

=0 .

(1)

Théorème du moment statique en E:

fAx A1/3+

Et x

C2j3+ EH x 82/3 + (;t!f4/3 + ô)

= Ô . (II)

Ceséquationsvontsetraduiresoit :

REMARQUE: Le principe fondamentals'applique aussi dans les cassuivants:

.

.

d'équilibre**.

(S) estentranslationrectiligneà vitesseconstante / (8lg)

;

. (S) estenrotationuniformeautourd'unaxefixe/ (9~g)

.

Enprojectiondansunrepère(:Rg) parsix outrois équations

Pardesconditions graphique~ d'équilibre"'.

passantparlecentredemasseetd'inertie.

, Attention: laréciproque n'estpastoujours vraie.

}

G;;;

.

Si (5) est en équilibre par rapportà unrepèregaliléen

A{A1/3}

a;;;

"Voir chapitres 40et41.

*** Voir chapitres 42, 43, 44.

89

32 Adhérence Frottement

ISOLEMENT DE 1

y

Les lois sur le frottementdécoulentde l'expérimentationJe ColombetMorin.Onexerce surunparalléjfpipède 1 depoidsP , enappuiplanhorizontal sur2, uneforceF situéedansleplande

z

{ est soumisà l'action de trois résultantes :

-~-

symétriegéométrique de1. Enunpointparticulier A,letorseurde liaison1-2 peuts'écriresouslaformed'unglisseur(§9.7).

fA;\

A

32.1

~

~

fXAO\

~

\ o f ; (DansD,x,y, Z) A{A2j1} = AO \ rA oOf ~

A{A2/d=

F, A2/1, P 1 EST EN ÉQUILIBRE (F; *-0)

Constatations

a

. 1ercas: 1 est enéquilibre(~*- ô)

A2I1

A;+p+Â=o A;

F1 {' G

Af

est inclinéd'unanglea parrapport àlanormale au A

plandecontact1-2, ducôtéopposéà latendanceaudéplace-

-'

P

mentde1 parrapportà 2. REMARQUE:

F1

1 EST À L'ÉQUILIBRE STRICT

Si  augmente, l'angled'inclinaison ade

A; augmente.

. 2' cas: 1 està la limiteduglissement (équilibre strict): A; +P+~= 0 A; estinclinéd'unanglecP0(angled'adhérence) ; cpoestla limitesupérieure d'inclinaisonde

A2/1 F2

A; parrapportàla

p~.O

normale auplandecontact 1-2 :

P

F2

tan cp0 = f.1.0 : facteur d'adhérence

1

.

3' cas:1n'estplusenéquilibrestatique (mouvement parrapport à2): A; t Pt F;*- Ô

1 EST EN MOUVEMENT cp

A;est incliné~unanglecp(angle defrottement). cpreste

A2/1

F3

constantlorsqueF3 augmenteencore.

fC a=cp

cpestlégèrement inférieur?CPo, maisdansdetrèsnombreux cas pratiques,onposecp= CPo.'

A

P

F3

P

tan rp= f.1.: facteur de frottement.

LOIS DE COULOMB cp0et cpsontindépendants:

cp0et cpdép'endent;

. dela naturedessurfacesdecontact(matériaux) ; . dela rugositédessurfacesdecontact;

.

de l'état dessurfacesdecontact(sèches,lubrifiées).

. dela pressiondecontact; . delaformedessurfacesdecontact;

.

de l'aire des surfaces de contact;

. delavitessedeglissement. Cesconstatationsso.ntapprochées.Enréalité cp0 et rpcroissentavecla pressionde contact; cpvarie avecla vitesse(régime hydrodynamique);cpvarieavecla température(embrayages,freins). * On dit souvent improprement: fcoefficient de frottement.

90

32.2

Conditions d'équilibre

FORCE NORMALE ET TANGENTIELLE

Lesolide1 étantisolé:

Solide 1

A; = (S) L d 11; et d 11;= d N; +d r; --->

A 211=

---> > N2I1+T2!1

A2/1

A;';: résultantedesforcesélémentairesd~de 2 sur1. N; :résultante desforces normales d N2/;(perpendiculaires à71:), Ti.'Î1

: résultante desforcestangentielles d r;;; (dansle plan 71:).

Lefacteurdefrottement ,uestdéfinià lalimiteduglissement par:

'- --

IIT2/111 tanrp = J1 avec J1=~ IIN2/111

CÔNE DE FROTTEMENT

. .

-

- -

-

-- ---1

/1

Vitesse du point A lié à 1 par rapport à 2 -INTERPRÉTATION

Lecônede frottementestdéfinipar: .

-

DES RÉSULTATS n

son sommet: au point d'applicationde la résultantedes

actionsdecontactouaupointdecontact; son axe (A, n) normal au plan tangent 71:,du côté de la ma-

tièredusystèmeisolé; sondemi-angleau sommet:égalà

: effort normalauplan 2 -1 : N2I1.

.# 0211=-#A3/1:momentenOdesactionsdecontactde2/1. ;;-;;;1 =- NA3* : momentnormalauplan2 - 1.

33.2

FROTTEMENT

RADIAL

Si 1 estsoumisà des effortsde la part de 4 situés dansle plan desymétrie (A,X,:Y Ide la liaison 4-1, planperpendiculaireà l'axe de rotation(A,z).

0

EXEMPLE

r.; opposée

au déplacement 1/4

1

Y

-

'-

-

Les actions de contact 4/1 se réduisentà une résultante dont:

. lepointd'application estlecontact théorique A'1/4; . le support estsurle canedefrottement d'axe(A',n) et de demi-angleausommetrp(tanrp=J1); Lagénératrice retenueestcellequi estinclinée«enarrière»dela normale (A',n) parrapportausensdumouvement; .

~-

---> 2 +IIT4/111. ---> 2 le moduleest IIA'4/111= IIN4/111

x T4/1

,1Cercle de rayon

\A'

\. ~ 11::plan "'- " tangent 4/1

/

r = R sinq>

--/ X rotationSens de ----=--de 1/4

REMARQUE:

---> Le support de A 4/1, quel que soit le point d'application A' sur le

Dansle triangleA'AH,rectangleenH,onpeutécrire:

cercle de rayon R, est tangent au cercle de centre A et de rayon

sin rp=AH =AH ; AH=R.sinrp; AH=Cte. A'A R * Voir expressionde NA en fonction de R,J1au § 12.2 (liaison pivot réelle).

r = R. sin rp.

95

33.3 Application

CHARIOT MOTORISÉ

Un chariotmotoriséest composéd'un sous-ensemble (1) = (1, 2, 3), de deuxrouesmotrices 4, et deuxroues porteuses 5.

1

Charge

2

;1-- -

HYPOTHÈSES:

-- Mot~~~--I

1

. Touteslesactionsmécaniques sontramenées dansle plan desymétrie(0, x, y'J

. Les liaisons (1)-4 et (1)-5

sontdesliaisonspivotavec

frottement. !-é1= tan'Pi = 0,1; diamètre axe:020. .

Lesliaisons0-4 et0-5 sontponctuelles avecfrottement. 02 = tan'P2= 0,2.

ON DEMANDE:

5

0

3

(Roue porteuse)

(Rouemotrice)

1° D'isolerla roue5 etdevérifierquela rouetourne(méthode graphique).

ROUE PORTEUSE 5 ISOLÉE

2° D'isolerla roue4 etdecalculerle couplemoteurmaxi,à la limiteduglissement enA.(Négligerlarésistance aupivotement

en8.)Ondonne:YA= 1000N, R= 50mm SOLUTION: Question1 : Isoler laroue5. 1° Recenserlesactionsmécaniques:

.

0;, esttangent aucerclederayonr1 .

ri = r.sin 'P(§33.2); ri = 10x 0,1= 1.

Tracerlecerclederayon1 mm. . 17; estinclinéversla gauche(opposé au glissement éventuel). Construire lecônedefrottement.

Support Cercle

de CO/5et °3/5

r1 = r. sin '1'1

....-Tendance au glissement 5/0 (roue bloquée)

2° Appliquer leP.FS.: 5 estsoumis àdeuxglisseurs D3/5etCO/5 directement opposés. Tracerleursupportpassant par C et tangent au cerclede rayon: ri

ROUE MOTRICE 4 ISOLÉE

.

3° Vérifierquelesupportestdanslecône.Si oui,alorsnonglissementen C.

avec: XA 02=tan '1'2= YA

Question2 : Isoler larouemotrice4. 1° Recenserlesactionsmécaniques: .

A0/4: sur le cône,inclinéeà droite.

.

83/4: inclinée,passantpar8.

.

Cm: couplemoteurdirigéselon(0, z).

2° Écrirelethéorèmedumomentstatiqueen8: --

;fis (AO/4)+ ;fis (if;4) + Cm= 0 YA.!-é2.R+

0

1000xO,2xO,05

+Cm=O +Cm=0=}Cm=-10N.m.

!+ zW x ~

Tendance au glissement 4/0 (patinage)

96

34 Résistance au basculement Lebasculement a lieulorsquelesolide1 pivoteautourde ( C, z) sansglisserparrapportà 2* (fig.1).

CD

.

CONDITION GRAPHIQUE 1/2

Modélisonsl'actiondecontactde2/1 parunglisseurappliqué

y

1

enA: A{A2Id=J4;,Ô}.

F

Basculement

MÉTHOOE :

de 1/2 autour

10 Lesystème estsoumis àl'action de~is g~seurs concourants. de (C,z) Construire lepoint/,intersection deF et P. ~ 20 Seplacerà l'équilibre strictetconstruireA2/1 passant par/,inclinéd'unangleip opposé au déplacement. 2 30 Interpréter lesrésultats: CONDITION GRAPHIQUE NON-BASCULEMENT

F

-~~-

DE

L_j~ A à droite de C

P~

(impossible)

. Glissement 1/2

1erCas: II~I >tan'P**

IIpli . Non-basculement 1/2

A est à gauchede C,dansla surface de contact 2 -1.

IIFrI

0

ISOLEMENT DE 1

y

. Non-glissement 1/2

---=+< tan'P

2eCas:

p

.

Ilpll

A està droitede C,horsdela surfacedecontact2 -1 (lig. 1).

. Basculement 1/2

Enécrivantlethéorème dumomentstatiqueaupointC:

.t:

-IIFII.c-IINII.d+IIPII. t =0; dJIPII.t/~-IIFII.c 2 liNIl

/

T

1

CONDITION ANALYTIQUE NON-BASCULEMENT 1erCas: f

~

.~

c < 2J1 ' 2eCas: f

c > 2J1 '

. Non-basculement1/2

111"11

. -IIFIIdan'P *. 111"11

(2) SOLIDE SUR PLAN INCLINÉ

DE

. Glissement1/2 >tan'P**

1

pt

Comme IINII= IlPli et IIFII=IITlI=IINIlIl. Ona : d= !.. -II, c; d > 0 => C 'PI

la1 < 'PI 'P

1

a3

Fi

Fi

. P dansle cônede frottement. P + A 0/1 =Ô.

.

Adanslasurfacedeconfact0-1.

Fi

. P dansle cônedefrollement.

. P horsdu cônede frollement. P+ A0/1;"Ô.

P

.

. Adansla surfacede contact 0-1.

= Ô. A horsde la surfacede contact 0-1.

+ A 0/1

DISPOSITIF DE POUSSÉE

APPLICATION:

Lorsd'unephasede manutention, la pièce1, de poids Fi = - 100Y(enN),estpousséeparunvérin2.

2 (Embout de vérin)

1

HYPOTHÈSES:

. Leplan(0, x, y) .

estunplandesymétrie.

2-1: liaisonsphère-plan(ouponctuelle)sansfrottement.

. 0-1: liaison appui-plan avec frottement (IL =

0,2).

. ONDEMANDE:

10 Devérifier lacondition denon-basculement 1/0. 20 Dedéterminer,à l'équilibrestrict,l'effortdepoussée

S;.

PIÈCE 1 ISOLÉE

Échelle des forces: 10 mm.~ 50 N 1182/111

= 20 N

RÉPONSE:

10 Isoler la pièce1.

AO/1

1 estsoumiseà l'actiondetroisglisseurs: Fi, AO/1'82/1. La conditiondenonglissementest:

e

70

C< 2; ; 30< 2 x 0,2 ; 30 < 175 Non basculement. 20 Déterminer

~ :voirfigure.

,

cG 82/1

98

35 Résistance au roulement Lecylindre1, soumisàuneforceF horizontale, resteenéquilibre. Lesactionsdecontact de2/1 s'opposentà la rotationde 1, et

CD ISOLEMENTDE 1

provoquentune résistanceau roulement (fig.1).

R2/1

ACTIONS DECONTACT:

EnAparuntorseur :

IR;\ >

\

A{A2/1 } = 1 A A'A 2/1

\a

1

Lecontactlinéaire s'esttransformé encontact surfacique, les actions decontact sontmodélisables (fig.2).

p

En1parunglisseur : ~

~

(avecA'A 2/1 = A't );

/ {A2I1 } =

IR;\

\ /

x

~

F

1

0

Plan de symétrie ->

1

~

avecIIFII=IIPII.lana

R2J1= N+ T el

p

IIFII=IITII;IIPII=IINII;IITII=IINII.tana

IlR2/;11 : résultante desactions de2/1(N). a

:angled'inclinaison delarésultante / àlanormale.

;fit .. Moment de résistance au roulement

0

TORSEUR ET GLiSSEUR

0*

1

11#;11=R.IIFII

Il;0II=o.IINII

avec

1

Il;t011: momenttangentielderésistance auroulement(N.mm). R

: rayonducylindre(mm).

Il Fil:

forcehorizontale exercéesur lecylindre(N).

(5

: coefficientderésistance auroulement(mm).

35.1

Déformations locales

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

1ercas: non-glissementet non-roulement.

1

.

~

.

i5 < i5lim avec 0 lim = AI' : coefficient limite de résistance au

F

F

dansle cônedetrollement : a < "

ou:

3

f/2,

f/2

IlFil>II[;II?

vérifiée?

IlFil>

.~

~m .11 pli

Fmln

35.3

Exemple

de calcul

Unmonorail1 supporteunechargede10kNégalement répar-

2

1

tiesurlesdeuxgalets3 et4 enacier.Ils roulentsurunprofilé2

GALET 3 ISOLÉ

F: nécessairepourdéplacerlemonorail.

p

p

enacier.LeurrayonestR= 100mm Lecoefficient deroulement aciersuracierest(5: = 4 x 10 -4 m. Calculer l'effort horizontal

y

Hypothèses - Lepoidsdesgaletsestnégligé. - Lefacteur defrottement enCetDestnégligé. -

Lesystèmeprésenteunplandesymétrievertical.

Isolerle galet3 Il estenéquilibre sousl'actiondedeuxglisseurs directement opposés; d'où: 11; + ~

=0(11;

x

et C1/;sontinclinésd'un angleex) -4

Ona: tanex= Ci; tanex= 4 xi 0 R

; tanex= 0,004.

100 x 10-2

Enprojectiondans ~R(C,X,p, z) , on peutécrire: r---

~JFe:II.xJpll.y' 2 2 IlFe:Il Ilp Il. tan ex ;

Point théorique d'application de A2/3

=

IlFe:Il= 10 000 x

0,004

-",-.

d'oùtanexJFmi~ll: Ilpll :

IlF: Il=40 N.

100

36 Arc-bautement

CD SERRE-JOINT

A

Soitleserre-joint ci-contre.Il ya arc-boutementde2 par rapportà1 si,quellequesoitl'intensité delaforceC5/4qui tendàdéplacer 2, cedernierresteimmobileparrapportà1 grâceauseulphénomènede l'adhérence.

TI 5 6 4

PREMIER EXEMPLE:

h, H, f.L= tan'P Dansle serre-jointci-contre,on donne Il c5/411, en A et B. Déterminer

la condition de non-glissement de 2/1.

HYPOTHÈSES:

. Jeuimportant entre1 et2.Solides indéformables, contacts ponctuels enAet8. . Liaisonappui-plan 5-4.Torseurréductible à unglisseur horizontal enC(patin4 montésurrotule).Poidsde2 négligé.

~::r:~

0

c;

.

}

Vers l'intérieur de la matière et opposée au déplacement Déplacement éventuel :0-

~

~

sur (0)'): - f.L11 Il

~

-

f.L11 N;; Il

(I)

+

= 0'

(II)

IIC5/411(H+ h/2) - f.L11N;;II.h-IINBII.t=

.

0 (3)

II~II = IINsl1 = IINII

~

= 0, Il c5/411

= 2f.LIINII

liaison ponctuelle 1 -{2,3,4} Centre8 normale:

Àl'équilibrestrict: H = €/(21l) 1.

(8, y) ; IL

1

. Conditiondeglissement: 1117;11>2f.LIINII IINII.~:~~NII.h> 2f.LIINII;H< t/{21l) 1

.

Torseur transmissible

Représentation géométrique

AI1A1/2 =AI1A1I2

y

)

A1/2

0\1

Dans(A, X,Y.z)

qJ

-flIINAII

x A

TA

A;

TB yl'B qJ

x

(

II~II)

s( 8112 ) = s( 81/20) Dans(8, X,Y.z)

cp

-flIINsll

*0

81{2 ( -11~sll)

~-

liaison 1.

appui-plan 5 - 12,3,4}*

Conditiond'arc-boutement: Ilc5/411 > 2f.LIINII; H>t/{21l) 1. 1

*

H

(3')

(2')= (3')'. 2f.LIINII= IINII.t+ f.LIINII.h . H+ h/2

.

(2'),

lia ison ponctuelle 1 -{2,3,4} CentreA normale: (A, y): f.L* 0

+ f.LIINII.h H+ h/2

IINII.t

de (3)onlire: IlC5/411 =

1

C

@ liaisons

0' + AB x IÇ + AC x ~

2f.LIINII + 1117;11

~~~h

-

(1) (2)

= 0,

Il c5/411

Théorèmedu momentstatique enA:

(1)devient:-

~'~B

~

sur (0';): 11~11-IINsll = o.

de (2) on tire

~e

à 1 et 2

Théorème dela résultantestatique: ~

0//A

tangent

.

A1/2 + 81/2 + C5/4= 0

.

J~AI.

= (0)

3

ISOLEMENT DE {2, 3, 4 }

SOLUTION: 10Isolerl'ensemble{2, 3, 4}à l'équilibrestrict(fig.2) ; 20Recenser lesactionsmécaniques extérieures (fig.3) ; 30Écrirele principefondamentalde la statique:

A1/2 + 8 1/~ + { } { } A 0' A ABXS;;; A{ ACX~

L

C5/4

La liaison rotule 4-3 entraîne une répartition sensiblement uniforme des actions de contact 5 - {2,3.4}.

. ..

'

, C C...'.. 5/4 .

..

~ ...

'C cI 5/4 ) = ( C5/4 0 \ IICII C

,.. ~ 1

C5/4

0 ( 0 )

1