GUIA_Y_PRACTICA2_DINAMICA.docx

Asignatura: Mecánica Vectorial Dinámica

PRIMERA UNIDAD TEMA Nº 02: CINEMATICA DE PARTÍCULAS. MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Movimiento curvilíneo general El movimiento curvilíneo ocurre curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayector trayectoria ia curva. curva. Como Como esta esta trayect trayectori oria a a menudo menudo se describ describe e en tres tres dimensiones, utilizaremos análisis vectorial para formular la posición, velocidad y aceleración de una partícula. En esta sección se analizan los aspectos generales del movimiento curvilíneo y en secciones subsiguientes consideraremos tres tipos de sistem sistemas as de coord coordena enadas das que se usan usan con frecue frecuenci ncia a para para anali analizar zar este este movimiento.

Posición: En un punto de una curva espacial definida por  la función de trayectoria s ( t ) , figura 2.1a!, el vector de  posición

r = r ( t )

  designará la posición de la partícula,

medida con respecto a un punto fi"o O . #a magnitud como la dirección de este vector cambiarán a medida que la partícula se mueve a lo largo de la curva.

Desplazamiento: $uponga que durante un breve intervalo ∆ t 

la partícula partícula se mueve mueve una distan distancia cia

curv curva a a una una nuev nueva a posi posici ción ón,, defi defini nida da por por

1

∆s

  a lo largo de la

' 

r =r + ∆ r , figura figura

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2.1b!. El desplazamiento

∆ r  representa el cambio de posición de la partícula

y se determina mediante una resta vectorial, es decir

' 

∆ r =r − r

Velocidad: %urante el tiempo ∆ t  , la velocidad promedio de la partícula es& v prom =

∆r ∆ t 

#a velocidad instantánea se determina con esta ecuación cuando por consiguiente la dirección de consiguiente,

v=

v = lim ( ∆ r / ∆ t ) ∆t→0

∆r

∆t →0 , y

tiende la tangente a la curva. 'or

 o&

dr dt 

Como

dr

v 

 será tangente a la curva, la dirección de

tambi(n es tangente a la curva, figura 2.1c!. #a magnitud  de v, conocida como la rapidez  y  se obtiene al tener en cuenta que la longitud del segmento de línea recta ∆ r   en la figura 2.1b! tiende la longitud de arco

∆s

a medida que

∆t →0 ,

tenemos

( ∆ r / ∆t )= lim ( ∆ s / ∆ t )=¿ ∆t → 0

v = lim ¿

,o

∆t →0

v=

ds dt 

'or tanto, la rapidez   se obtiene al diferenciar la función de la trayectoria s con respecto al tiempo

Aceleración: $i la velocidad de la partícula es v  en el instante t  y

' 

v = v + ∆ t 

en el instante

t + ∆ t 

,  figura

2.1d!, entonces la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo ∆ t   es& a prom =

∆v ∆ t 

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donde

' 

∆ v =v − v  . 'ara estudiar la tasa de cambio en el

tiempo, los dos vectores de velocidad en la figura 2.1d! se trazan en la figura 2.1e! de modo que sus colas queden en el punto fi"o O'  y sus cabezas de punta de flec)a toquen puntos situados en la curva. Esta curva se llama hodógrafa  y cuando se construye, describe el lugar geom(trico de puntos para la cabeza de punta de flec)a del vector de velocidad, del mismo modo en que la trayectoria s describe el lugar geom(trico de puntos para la cabeza de punta de flec)a del vector de posición, figura 2.1a!. 'ara obtener la aceleración instantánea, )acemos que anterior. En el límite a = lim ( ∆ v / ∆ t ) ∆t → 0

a=

∆v

∆ t → 0  en la ecuación

tenderá la tangente a la hodógrafa y por tanto

 , o

dv dt 

tambi(n podemos escribir& 2 d r a= 2 d t  'or definición de la derivada, a act*a tangente a la hodógrafa, figura 2.1f!, y, en general no es tangente a la trayectoria del movimiento, figura 2.1g!. 'ara aclarar  este punto, tenga en cuenta que ∆ v  y por consiguiente a, deben responder el cambio tanto de magnitud como de dirección de la velocidad v   a medida que la partícula se mueve de un punto al siguiente a lo largo de la trayectoria, figura 2.1d!. $in embargo, para que la partícula siga cualquier trayectoria curva, el cambio direccional siempre +cambia el vector de velocidad )acia el +interior o +lado cóncavo de la trayectoria, y por consiguiente a no puede  permanecer  tangente a la trayectoria. En suma, v  siempre es tangente a la trayectoria y a siempre es tangente a la hodógrafa.

Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares %e vez en cuando el movimiento de una partícula puede describirse me"or a lo largo de una trayectoria que pueda e-presarse en función de sus coordenadas  x, y, z. 3

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Posición: $i la partícula está en el punto  x, y, z) de la trayectoria curva s mostrada en la figura 2.2a!, entonces el vector de posición define su posición. r = xi + yj + zk  Cuando la partícula se mueve los componentes x, y, z  de r  serán fundones del tiempo, es decir,  x = x ( t ) , y = y (t ) , z = z ( t )  de modo que r = r ( t ) . En cualquier instante la magnitud  de r, se determina mediante& 2 2 2 r = √  x + y + z

 la dirección de r se especifica por el vector unitario

ur =

⃗r

|⃗r| .

Velocidad: #a primera derivada con respecto al tiempo de r  proporciona la velocidad de la partícula. 'or consiguiente& v=

dr d  d d =  ( xi ) +  (  yj )+  ( zk ) dt  dt  dt  dt 

Cuando se toma esta derivada, es necesario tener en cuenta tanto  la magnitud como la dirección de cada uno de los componentes vectoriales. 'or e"emplo, la derivada del componente i  de r  es: d  ( xi ) = dx i + x  di dt  dt  dt 

El segundo t(rmino del lado derec)o es cero, siempre que el marco de referencia  x , y, z   est( fijo y por consiguiente la dirección y la magnitud) de i no cambie con el tiempo. #a diferenciación de los componentes " y / se realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado final, v=

dr = v i + v y  j + v z k  dt   x

donde v x =´  x v y = y´ v z=´  z

#a notación +de punto,

 x´ ,  ´  y , z´

representa las primeras derivadas de

 x = x ( t ) , y = y (t ) , z = z ( t )  respectivamente.

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#a magnitud   de la velocidad se determina como& v = √ v x + v y + v z 2

2

2

y el vector unitario

uv =

v |v|   especifica su ⃗

⃗

dirección. Como se vio anteriormente, esta dirección siempre es tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 2.2b!.

Aceleración: #a aceleración de la partícula se obtiene& a=

dv  = a i + a y  j + a z k  dt   x

donde& a x =´v x =´  x a y =´v y = y ´ a z=´v z =´  z a x , a  y , a z

 0quí,

representan, respectivamente, las primeras derivadas con

respecto al tiempo de

v x = v x ( t ) , v y = v y ( t ) , v z =v z ( t )

o las segundas derivadas

con respecto al tiempo de las funciones  x = x ( t ) , y = y (t ) , z = z ( t ) #a aceleración tiene una magnitud: a = √ a x + a y + a z 2

2

2

y una dirección especificada por el vector unitario

ua =

a |a| ⃗

⃗

. Como a representa

el cambio tanto de la magnitud como de la dirección de la velocidad, en general a no será tangente a la trayectoria, figura 2.2c!.

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Problema 01 #a posición de una partícula está definida por   r = { 5 ( cos 2 t ) i + 4 ( sen 2 t )  j } m   , donde t   está en segundos y los ángulos para el seno y el coseno se dan en radianes. %eterminar las magnitudes de la velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 1 s . 0demás, comprobar que la trayectoria de la partícula es elíptica.

!olución: Velocidad& #a velocidad e-presada en forma vectorial cartesiana puede obtenerse aplicando la ecuación& v=

dr = [ (−10 sen 2 t ) i + ( 8cos2 t )  j ] m / s dt 

Cuando

t =1 s

 :

v =(−10 sen ( 2 × 1 ) ) i + ( 8cos ( 2 × 1 ) )  j =[ −9.093 i − 3.329  j ] m / s

'or lo tanto, la agnitud de la velocidad es& v = √ v x + v y =√ (−9.093 ) + (−3.329 ) = 9.68 m / s 2

2

2

2

Aceleración: #a aceleración e-presada en forma vectorial cartesiana se puede obtener aplicando la ecuación& a=

dv 2 = [ (−20cos2 t ) i −( 16 sen 2 t )  j ] m/ s dt 

Cuando

t =1 s

 :

a =(−20cos ( 2 × 1 ) ) i −( 16 sen ( 2 × 1 ) )  j = [ 8.323 i −14.549  j ] m / s

2

'or lo tanto, la agnitud de la velocidad es& 6

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a = √ a x + a y =√ ( 8.323 ) 2

2

2

2

2

+ (−14.549 ) =16.76 m / s

"uta de via#e: 0quí&  x =5cos2 t  2

 x

 y = 4 sen 2 t 

 $ #uego

=cos 2 t  ⋯⋯ ⋯ ( 1 ) 2

25

 y

y

2

16

=sen 2 t ⋯ ⋯⋯ ( 2 ) 2

$umando miembro a miembro 1!  2!& 2

 x

25

 x

+

2

25

+

y

2 2

16

y

2

16

2

=cos 2 t + sen 2 t 

=1 ( Ecuación de una elipse )

Problema 0% #a velocidad de una partícula es v =[ 3 i +( 6 −2 t )  j ] m / s  , donde t  es en segundos. $i

r = 0   cuando

partícula durante el intervalo de tiempo

t =0  , determine el desplazamiento de la t = 1 s

 a

t =3 s

.

!olución: Posición& #a posición r  de la partícula se puede determinar integrando la ecuación cinemática utilizando la condición inicial como el límite de integración.  0sí& v=

dr dt 

dr = vdt  r

t 

0

0

∫ dr =∫ [ 3 i+ ( 6 −2 t )  j ] dt  r =[ 3 t i + ( 6 t − t  )  j ] m 2

Cuando tiempo

[

t =1 s

 y

t =3 s

.

]

r|t =1 s = 3 ( 1 ) i + ( 6 ( 1 ) −( 1 ) )  j = [ 3 i + 5 j ] m 2

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[

]

r|t =3 s= 3 ( 3 ) i + ( 6 ( 3 )− ( 3 ) )  j = [ 9 i + 9  j ] m 2

#uego el desplazamiento de la partícula el intervalo de tiempo

t =1 s

 a

t =3 s

 , será& ∆ r = r|t = 3 s − r|t =1 s =[ 6 i + 4  j ] m

Movimiento curvilíneo: Componentes normal & tangencial Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual via"a una partícula, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de los e"es de coordenadas n y t , los cuales act*an de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la  partícula.

Movimiento plano: Considere la partícula de la figura 2.3a!, la cual se desplaza en un plano a lo largo de una curva fi"a, de modo que en un instante dado está en la posición s, medida con respecto al punto O . 0 continuación consideraremos un sistema de coordenadas con su origen en un  punto fijo  de la curva, y en el instante considerado este origen coincide con la ubicación de la partícula. El e#e t  es tangente a la curva en el punto y es positivo en la dirección de s creciente. %esignaremos esta dirección positiva con el vector unitario u t.  $ólo puede )aber  una opción *nica para el eje normal  ya que geom(tricamente la curva está formada por una serie de segmentos de arco diferenciales ds, figura 2.3b!. Cada segmento ds está formado por el arco de un círculo asociado con un radio de curvatura ρ r)o! y centro de curvatura O' . El e"e normal n es perpendicular al e"e t  con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura O'  figura 2.3a!. Esta dirección positiva, la cual siempre  está en el lado cóncavo de la curva, será designada por el vector unitario u n. El plano que contiene los e"es n y t se conoce como  plano abrazador u osculante  y en este caso está fi"o en el plano del movimiento.

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Velocidad: Como la partícula se mueve, s es una función del tiempo. Como se indicó anteriormente, la dirección de la velocidad v de la partícula siempre es tangente a la trayectoria, figura 2.3c! y su magnitud   se determina por la derivada con respecto al tiempo de la función s = s ( t ) de la trayectoria , es decir, v = ds / dt 

. 'or consiguiente&

v = v ut 

v =´s

donde&

Aceleración: #a aceleración de la partícula es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. 'or tanto, a =´v = v´ ut + v ´ut 

'ara determinar la derivada con respecto al tiempo

u´ t 

 observe que a medida ut 

que la partícula se desplaza a lo largo del arco ds en el tiempo dt ,

, conserva ' 

ut 

su magnitud de la unidad, sin embargo, su dirección cambia y se vuelve

,

' 

figura 2.3d!. Como se muestra en la figura figura 2.3e!, requerimos . En este caso

d ut 

, se e-tiende entre las puntas de flec)a de

cuales quedan en un arco infinitesimal de radio tiene una magnitud  de d ut = dθ un u´ t =θ´ un

d ut = (1 ) dθ

 y

un

ut =1

ut 

ut =ut + d ut  ' 

y

. 'or consiguiente,

ut  , las d ut 

,

define su dirección. En consecuencia,

  y por consiguiente, la derivada con respecto al tiempo se vuelve

 $ Como

ds = ρdθ  , figura 2.3d!, entonces

´s θ´ =  ρ

, y por tanto

´s v u´ t =θ´ un=  u n=  un  ρ  ρ

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#a aceleración a se escribe como la suma de sus dos componentes, a = at ut + an un

donde& at =´v

at  ds= vdv

o 2

v an =  ρ

Estos dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en la figura 2.3f!. 'or consiguiente, la magnitud  de la aceleración es el valor positivo de& a = √ at  + an 2

2

Problema 0'! El bote navega a lo largo de la trayectoria circular a una rapidez de v = ( 0 . 0625 t  ) m / s   , donde t esta en segundos. %etermine la magnitud de su 2

aceleración cuando t = 10 s.

!olución: !istema de coordenadas: El origen de los e"es n y t coincide con el bote en el instante considerado. El e"e t está en la dirección del movimiento y el e"e n positivo está dirigido )acía el centro del círculo. $e selecciona este sistema de coordenadas puesto que se conoce la trayectoria.

Velocidad: %e datos se tiene&

v =( 0.0625 t  ) m / s 2

Aceleración tangencial: at =

dv  d 2  =  ( 0.0625 t  )= 0.125 t  dt  dt 

'ara t = 10 s. 10

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at =

dv 2  = 0.125 ( 10 ) =1.25 m / s dt  2

Aceleración normal: 2

v an =  ρ 4

v 0,00390625 × 10 2 = 0,9766 m / s an =  =  ρ 40

Magnitud de aceleración: $e determina a partir de sus componentes a = √ ( at )

2

+

( an ) = √ ( 1.25 m / s ) + ( 0,9766 m / s ) 2

2 2

2 2

2

a = 1.59 m/ s

"e(erencias bibliogr)(icas consultadas &*o enlaces recomendados +eer $, -.onston "$, 2414!. +ecánica 5ectorial para 6ngenieros 7 %inámica. %(cima edición. c. 8ra9:;ill 6nteramericana. (-ico. /ibbeler , nidos.

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