GUIA_UNIDAD_V-TABLAS_DE_VERDAD_Y_CONECTIVOS_LOGICOS

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA LÓGICA MATEMÁTICA/LÓGICA PROPOSICIONAL

GUÍA DE UNIDAD V

UNIDAD V: LÓGICA SIMBOLICA

TABLA DE VERDAD Y CONECTIVOS LOGICOS

TABLA DE CONECTIVOS LÓGICOS CONECTIVO a) Conjunción

b)

Disyunción i) Inclusiva El uno o el otro o ambos

ii) Exclusiva El uno o el otro pero no ambos

c)

d)

•

•

Condicional

Bicondicional

La Negación

Signos 1. Agrupación 2.

FUNCIÓN Juntar, Agregar, Adherir, (enunciados /no términos )

SÍMBOLO

• ^ &

Presentar alternativas u opciones

A menos que, o,

La “o” en medio de las proporciones simples.

v

Presenta una sola opción

v

La “o” antes de la primera proposición y otra “o” en medio de las proporciones. Presenta una reilación hipotética entre 2 o mas eventos que tengan una secuencia lógica. Es necesario que ocurra “A” (antecedente) para que suceda “B” (consecuencia) Implica una relación de igualdad o de equivalencia

⊃ →
↔ ⇔ ≡

Niega una preposición, cambia o invierte el valor de verdad de una proposición.

Determinan orden y prioridad de los términos

LECTURA Y, pero, mas, también, mientras, un, sin embargo Tanto…….como…… Aunque, además

~ (){}[] , . ;

Puntuación

Ni………ni……….. O bien…… o……. O bien……..a menos que……. O el uno ó el otro pero no ambos Si ... entonces … Se sigue que, Implica que, Contiene a

Si y solo si Equivalente Es falso que No es el caso que No es cierto que No ocurre que No sucede que Cuando existe una “coma”; “punto”, y “punto y coma”, aislar la expresión siguiente con signos de agrupación.

TABLAS DE VERDAD Proposiciones

v

v

Conjunción

Disyunción Inclusiva

Disyunción Exclusiva

Λ

→

↔

~

Condicional

Bicondicional

%egación

p→q

p↔q

p

q Consecuente

p Λq

pvq

pvq

Antecedente

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

P

~P

V

F

F

V

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Ejercicios tomados del libro Introducción a la Lógica de Irving Copi I. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? 1. ∼Londres es la capital de Inglaterra. ∼Estocolmo es la capital de Noruega. 2-. ∼(Roma es la capital de España v París es la capital de Francia). 3. ∼Roma es la capital de España v ∼París es la capital de Francia. 4. ∼Londres es la capital de Inglaterra v ∼ Londres es la capital de Inglaterra. 5. ∼Estocolmo es la capital de Noruega. ∼Estocolmo es la capital de Noruega. 6. ∼(París es la capital de Francia. Roma es la capital de España) v (París es la capital de Francia. ∼Roma es la capital de España). 7. (Londres es la capital de Inglaterra v Estocolmo es la capital de Noruega). ∼Roma es la capital de Italia. . ∼Estocolmo es la capital de Noruega). * 8. Roma es la capital de España v ∼(París es la capital de Francia, Roma es la capital de España). 9. Roma es la capital de Italia. ∼(París es la capital de Francia v Roma es la capital de España). 10. ∼(∼París es la capital de Francia. ∼Estocolmo es la capital de Noruega). 11.∼[∼(∼Roma es la capital de España v ∼París es la capital de Francia) v ∼(∼París es la capital de Francia v Estocolmo es la capital de Noruega)]. 12.∼[∼(∼Londres es la capital de Inglaterra. Roma es la capital de España).∼(Roma es la capital de España. ∼Roma es la capital de España)]. * 13. ∼(∼Estocolmo es la capital de Noruega v París es la capital de Francia) v ∼(∼Londres es la capital de Inglaterra. ∼Roma es la capital de España)]. 14. Roma es la capital de España v (∼Londres es la capital de Inglaterra v Londres es la capital de Inglaterra). 15. París es la capital de Francia. ∼ París es la capital de Francia Roma es la capital de España). 16. Londres es la capital de Inglaterra. ∼(Roma es la capital de Italia Roma es la capital de Italia).

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17. (Estocolmo es la capital de Noruega v ∼París es la capital de Francia) v ∼(∼Estocolmo es la capital de Noruega. ∼Londres es la capital de Inglaterra). * 18. (París es la capital de Francia v ∼Roma es la capital de España) v ∼(∼París es la capital de Francia. ∼Roma es la capital de España). 19. ∼[∼(Roma es la capital de España. Estocolmo es la capital de Noruega) v ∼(∼París es la capital de Francia v ∼Roma es la capital de España)]. 20. ∼[∼(Londres es la capital de Inglaterra. París es la capital de Francia) v ∼(∼Estocolmo es la capital de Noruega v ∼París es la capital de Francia)). 21. ∼[(∼París es la capital de Francia v Roma es la capital de Italia). ∼(∼Roma es la capital de Italia v Estocolmo es la capital de Noruega)]. 22. ∼[∼Roma es la capital de España v Estocolmo es la capital de Noruega). ∼(∼Estocolmo es la capital de Noruega v París es la capital de Francia)]. 23. ∼[(∼Londres es la capital de Inglaterra. París es la capital de Francia) v ∼(∼París es la capital de Francia . Roma es la capital de España). II. Si A, B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son enunciados falsos, ¿cuáles de los siguientes son verdaderos? * 1. ∼A v B

2. ∼B v X

3. ∼Y v C

4. ∼Z v X

* 5. (A ⋅ X) v (B ⋅ Y)

6.(B ⋅ C) v (Y ⋅ Z)

7. ∼(C ⋅Y) v (A ⋅ Z)

8. ∼ (A ⋅ B) v (X ⋅ Y)

9. ∼(X ⋅ Z) v (B ⋅ C)

*10. ∼ (X ⋅ ∼Y) v (B ⋅ ∼C)

11. (A v X) ⋅ (Y v B)

12. (B v C) ⋅ (Y v Z)

13. (X v Y) ⋅ (X v Z)

14. ∼ (A v Y) ⋅ (B v X)

* 15. ∼(X v Z) ⋅ (∼X v Z)

16. ∼ (A v C) v ∼(X⋅ ∼Y)

17. ∼ (8 v Z) ⋅ ∼(X v ∼ Y)

18. ∼ [(A y ∼C) v (C v ∼A)]

19. ∼ [(B ⋅ C) ∼ (C ⋅ B)]

*20. ∼ [(A ⋅ B)v ∼ (B ⋅A)]

21. [A v (B v C)] ⋅ ∼ [(A y 8) y C]

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22. [X v (Y ⋅ Z)] v ∼[(X v Y) ⋅ (X v Z)] 23. [A ⋅ (B v C)] ⋅ ∼ [(A ⋅B) v (A ⋅C)] 24. ∼{[(∼A ⋅ B) (∼X ⋅ Z)] ⋅ ∼ [(A ⋅ ∼B) v ∼ (∼Y ⋅ ∼Z)]} 25. ∼{∼[(B ⋅ ∼C) v (Y ⋅ ∼Z)] ⋅ [(∼B v X)v (B v ∼Y)]} III. Si sabemos que A y B son verdaderos y que X y Y son falsos, pero desconocemos los valores de verdad de P y Q, ¿Cuáles

de los valores de

verdad de los siguientes enunciados se pueden conocer? * 1. A v P 2. Q ⋅ X 3. Q v ∼X 4. ∼B ⋅ P 5. P v ∼P 6. ∼P v (Q v P) 7. Q ⋅ ∼Q 8. P⋅ (∼P v X) 9. ⋅ ∼ (P⋅ Q) v P * 10. ∼Q ⋅ [(P v Q) ⋅ ∼P] 11. (P v Q) ⋅ ∼ (Q v P) 12. (P⋅ Q) ⋅ P v ∼ Q) 13. ∼P v [ ∼Q v (P⋅ Q)] 14. P v ∼ ( ∼A v X) *15. P ⋅ [ ∼ (P v Q) v P 16. ∼ (P ⋅ Q) v (Q ⋅ P) 17. ∼[∼(∼P v Q) v P] v P 18. (∼P v Q) ⋅ ∼ [∼P v (P ⋅ Q)] 19. (∼A v P) ⋅ (∼P v Y) * 20. (P v (B ⋅ Y)] v [(P v B) ⋅ (P v Y)] 21. [P v (Q ⋅ A)] ⋅ ∼[(P v Q) ⋅ (P v A)] 22. [P v (Q ⋅ X) ⋅ ∼[(P v Q) ⋅ J(P v X) 23. ∼[∼P v (∼Q v X)] v [∼(∼P v Q) v (∼P v X)] 24. ∼ [∼P v (∼Q v A)] v [∼ (∼P v Q) v (∼P v A)] 25. [(P⋅ Q) v (Q ⋅ P)] ⋅ ∼ [(P⋅ Q) v (∼ Q ⋅ ∼P)] IV. Usando las letras E, I, J, L y S para abreviar los enunciados simples “Egipto disminuye sus aprovisionamientos”, “Irán eleva el precio del petróleo”, ”Jordania pide ayuda a Estados Unidos”, ”Libia aumenta el precio del petróleo” y “Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra”, simbolice lo siguiente: * 1. Irán eleva el precio del petróleo pero Libia no aumenta el precio del petróleo. 2. O bien Irán o Libia aumentarán el precio del petróleo. 3. Irán y Libia elevarán el precio del petróleo.

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4. Irán y Libia no aumentarán el precio del petróleo. * 5. Irán y Libia aumentarán ambos el precio del petróleo. 6. Irán o Libia aumentarán el precio del petróleo pero no lo harán ambos a la vez. 7. Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra y o bien Irán eleva el precio del petróleo o Jordania pide más ayuda norteamericana. 8. O bien Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra e Irán eleva el precio del petróleo o Jordania pide más ayuda a Estados Unidos. 9. No es el caso que Egipto disminuya sus aprovisionamientos y Jordania pida más ayuda norteamwericana. * 10. No es el caso que o bien Egipto disminuya sus aprovisionamientos o Jordania pida más ayuda a Estados Unidos. 11. No es el caso que Egipto disminuya sus aprovisionamientos o Jordania pida más ayuda norteamericana. 12. No es el caso que a la vez Egipto disminuya sus aprovisionamientos y Jordania pida más ayuda a Estados Unidos. 13. Jordania pide más ayuda a Estados Unidos, a menos que Saudiarabia compre otros quinientos aviones de guerra. 14. A menos que Egipto disminuya sus aprovisionamientos, Libia elevará el precio del petróleo. * 15. Irán no elevará el precio del petróleo a menos que Libia también lo haga. 16. A menos que tanto Irán como Libia eleven el precio del petróleo, ninguno de ellos lo hará. 17. Libia eleva el precio del petróleo y Egipto disminuye sus aprovisionamientos. 18. No es el caso que ni Irán ni Libia elevarán los precios del petróleo. 19. Egipto disminuye sus aprovisionamientos y Jordania pide más ayuda de Estados Unidos, a menos que tanto Irán como Libia no eleven el precio del petróleo. *20. O bien Irán eleva el precio del petróleo y Egipto disminuye sus aprovisionamientos o no es el caso que a la vez Jordania pida más ayuda norteamericana y Saudiarabia compre otros quinientos aviones de guerra.

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21. 0 bien Egipto disminuye sus aprovisionamientos y Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra o Jordania pide más ayuda a Estados Unidos o Libia eleva el precio del petróleo. 22. Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra y o bien Jordania pide más ayuda a Estados Unidos o tanto Libia como Irán elevan el precio del petróleo. 23. O bien Egipto disminuye sus aprovisionamientos o Jordania pide más ayuda a Estados Unidos, pero ni Libia ni Irán elevarán los precios del petróleo. 24. Egipto disminuye sus aprovisionamientos; sin embargo, Saudiarabia eleva compra otros quinientos aviones de guerra y Jordania pide más ayuda a Estados Unidos. V. Si A, B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son falsos, determine cuáles de los siguientes son verdaderos: * 5. (A ⊃ B) ⊃Z

7. (A ⊃B) ⊃Z

7. (A ⊃ B) ⊃ C 9. A ⊃ (B ⊃Z)

8. (X ⊃ Y) ⊃ C * 10. X

11. [(A ⊃B) ⊃C] ⊃ Z 13. [A ⊃(X ⊃Y)] ⊃ C *15. [(X ⊃Z) ⊃C] ⊃Y

⊃ (Y ⊃ Z) 12. [(A ⊃ X) ⊃ Y ] ⊃ Z 14. [A ⊃ B) ⊃ Y] ⊃ X 16. [(Y ⊃ B) ⊃Y] ⊃ Y

17. [(A ⊃ Y) B] ⊃ Z 18. [(A · X) ⊃C] ⊃ [(A ⊃C) ⊃X] 19. [(A · X) ⊃ C] ⊃ [(A ⊃X) ⊃ C] * 20.[(A · X) ⊃Y] ⊃ [(X ⊃A) ⊃ (A ⊃Y)] 21. [(A · X) v (∼ A · ∼X)] ⊃ [(A ⊃X) · (X ⊃A)] 22. {[A ⊃ (B ⊃ C)] ⊃ [(A · B) ⊃ C]} ⊃ [(Y ⊃ B) ⊃ (C ⊃ Z)] 23. {[(X ⊃ Y) ⊃ Z] ⊃ [Z ⊃ (X ⊃ Y)]) ⊃ [(X ⊃ Z) ⊃ Y] 24. [(A · X) ⊃ Y] ⊃ [(A ⊃ X) · (A ⊃ Y)] 25. [(A ⊃(X · Y)] ⊃ [(A ⊃ X) v (A ⊃ Y)]

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VI. Si A y B se conocen como verdaderos y X y Y como falsos, pero los valores de verdad de P y de Q no se conocen, ¿de cuáles de los siguientes enunciados podemos determinar los valores de verdad? * 1.P ⊃ A 3. (Q ⊃A) ⊃Z * 5. (P ⊃P)

⊃X 7. X ⊃(Q ⊃ X) 9. [P ⊃ (Q ⊃P)] ⊃Y 11. (P ⊃ X) ⊃(X ⊃ P) 13. (X ⊃ P) ⊃(B ⊃Y) *15. [(X ⊃ Q) ⊃ Q] ⊃ Q 17.(X ⊃P) ⊃(∼X ⊃Y) 19.(P ⊃Q) ⊃(P ⊃Q) 21. (A · P) ⊃ (∼A v ∼ P) 23. (X v Q) ⊃(∼X · ∼Q) 24. [P ⊃ (A v X)] ⊃ [(P ⊃A) ⊃X] 25. [Q V (B · Y)] ⊃ [(Q v B) · (Q v Y)]

2.X ⊃Q 4. (P · A) ⊃ B 6.(X ⊃Q) ⊃X 8. (P · X) ⊃ Y * 10. (Q ⊃Q) ⊃ (A ⊃ X) 12. (P ⊃ A) ⊃ (B ⊃ X) 14. [(P ⊃ B) ⊃ B] ⊃ B 16.(P ⊃ X) ⊃ (∼X ⊃ ⊃∼P) 18.(P ⊃A) ⊃(A ⊃

∼B) * 20.(P ⊃ ∼∼P) ⊃(A ⊃ ∼B) 22. ∼(P · X) ⊃ ∼ (P v ∼ X)

VII. Simbolice lo siguiente usando letras mayúsculas para abreviar los enunciados involucrados. * 1. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protesta ante la ONU, entonces Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos. 2. Si Argentina se moviliza, entonces o bien Brasil protesta ante la ONU a menos que Chile convoque a una reunión de los países latinoamericanos. 3. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU y Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos. 4. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU, y Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos. * 5. Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entonces Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.

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6. Si Argentina se moviliza o Brasil protesta ante la ONU, entonces Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos. 7. Si o bien Argentina se moviliza o Brasil protesta ante la ONU, entonces Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos. 8. Si Argentina no se moviliza, entonces o bien Brasil no protestará ante la ONU o Chile no convocará a una reunión de los países latinoamericanos. 9. Si Argentina no se moviliza, entonces ni Brasil protestará ante la ONU ni Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos. * 10. No es el caso que si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU y Chile convocará a una reunión de todos los países latinoamericanos. 11. Si no es el caso que Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU y Chile convocará a una reunión de todos los países latinoamericanos. 12. Brasil protestará ante la ONU si Argentina se moviliza. 13. Brasil protestará ante la ONU sólo si Argentina se moviliza. 14. Chile convocará a una reunión con los países latinoamericanos sólo si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU. *15. Brasil protestará ante la ONU solamente si Argentina se moviliza o Chile convoca a una reunión de los países latinoamericanos. VIII. Use tablas de verdad para probar la validez o invalidez de cada una de las formas argumentales. * 1. p ⊃ q ∴∼ q ⊃

∼p

3. p · q ∴p * 5. p ∴p⊃q 7. (p v q) ⊃ (p · q) ∴ (p ⊃ q) · (q ⊃ p)

2. q ⊃ p ∴∼ q ⊃

∼p

4. p ∴p v q 6. p ⊃ q ∴ p ⊃ (p · q) 8. p ⊃ q ∼p ∴∼ q

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9. p ⊃ q ∼q ∴∼p

* 10. p q ∴p·q

11. p ⊃ q

12. p ⊃ q

p⊃ r

q⊃r

∴p ⊃ r

∴r ⊃ p

13. p ⊃ (q ⊃ r)

14.p ⊃ (q · r)

p⊃ q

(q v r) ⊃

∴p ⊃ r

∴∼ p

* 15. p ⊃ (q ⊃ r)

∼p

16. (p ⊃q) · (r ⊃s)

q ⊃ (p ⊃ r) p v r

pvr

∴(p v q)

∴qvs

⊃r

17. (p ⊃ q) · (r ⊃ s)

18. p ⊃ (q ⊃ r)

∼ q v ∼s

q ⊃ (r ⊃ s)

∴ ∼ p v ∼s

:.p ⊃ s

19. p ⊃ (q ⊃r)

* 20. (p ⊃q) · [(p · q) ⊃ r ]

(q ⊃ r) ⊃ s

p ⊃(r ⊃ s)

∴p⊃ s

∴p⊃ s

21. (p v q) ⊃ (p · q) ∼(p v q) ∴∼(p · q)

22. (p v q) ⊃ (p · q) p·q ∴pvq

23. (p · q) ⊃ (r · s)

24. (p ⊃ q) · (r ⊃ s)

∴(p · q) ⊃ [(p · q) · (r · s)

p⊃ q

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IX. Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de cada uno de los siguientes argumentos: * 1. (A v B) ⊃ (A · B) AvB ∴A·B

2. (C v D) ⊃ (C · D) C·D ∴CvD

3. E ⊃ F

4. (G v H) ⊃ (F · H)

F⊃ E ∴E v F

∼(G · H) ∴∼ (G v H)

5. (I V J) ⊃ (I · j) ∼ (I v J) ∴ ∼ (I · J)

6. K v L K ∴∼ L

7. M v (N · ∼N)

8. (O v P) ⊃Q

M

Q ⊃ (O · P)

∴ ∼ (N · ∼ N)

∴(O v P) ⊃ (O · P)

9. (R v S) ⊃T

10. U ⊃ (V v W)

T ⊃ (R S)

(V · W) ⊃

(R · S) ⊃ (R v S)

∴∼

∼U

U

X. Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de cada uno de los siguientes argumentos: * 1. Si los dirigentes de Albania se liberan de la influencia china, entonces tanto Bulgaria como Checoslovaquia adoptarán políticas más liberales. Pero Bulgaria no adoptará una política más liberal, por lo tanto, los dirigentes de Albania no se liberarán de la influencia china. 2. Si Dinamarca sigue alineándose hacia la izquierda, entonces si Estonia continua siendo un satélite de la ex Unión Soviética, entonces Finlandia cada vez será más dependiente de la ex Unión Soviética. Así, si Dinamarca sigue alineándose a la izquierda, entonces Finlandia dependerá cada vez más de la ex Unión Soviética.

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3. Si Grecia fortalece sus instituciones democráticas, entonces Hungría seguirá una política más independiente. Si Grecia fortalece sus instituciones democráticas, entonces el partido comunista italiano atraerá cada vez menos votantes. Por tanto, si Hungría sigue una política más independiente, entonces el partido comunista Italia no atraerá cada vez menos votantes. 4. Si Japón sigue exportando capitales, entonces o bien Corea o Laos se industrializarán rápidamente Corea no se industrializará rápidamente. Se sigue que si Japón sigue exportando capitales, entonces Laos se industrializar rápidamente. * 5. Si Montana sufre una severa sequía, entonces, si Nevada recibe su dosis normal de lluvia, entonces el suministro de agua de Oregon se reducirá considerablemente. Nevada no tiene su dosis normal de lluvia. Así, si el suministro de agua de Oregon se reduce considerablemente, Montana sufre una severa sequía. 6. Si se logra la igualdad de oportunidades, entonces las personas que antes tenían desventajas recibirán ahora oportunidades especiales. Si esas personas reciben oportunidades especiales, entonces tendrán un trato preferencial. Si algunas personas reciben un trato preferencial, entonces no se logrará la igualdad de oportunidades. Por lo tanto, -la igualdad de oportunidades no se logrará. 7. Si se cumplen las demandas de los terroristas, entonces será vulnerada la legalidad. Si las demandas de los terroristas no se cumplen, entonces serán asesinadas personas inocentes. Así, o bien se vulnerará la legalidad o serán asesinadas personas inocentes. 8. Si las personas son totalmente racionales, entonces, o bien todos los actos humanos se pueden predecir con seguridad o el universo es esencialmente determinista. No todas las acciones de las personas se pueden predecir con seguridad. Así, el universo no es esencialmente determinista o las personas no son totalmente racionales. 9. Si continúa creciendo el consumo de gasolina, entonces, o bien las importaciones de gasolina crecerán o se acabarán las reservas. Si crecen las importaciones de gasolina y se acaban las reservas, entonces la nación se irá a la

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bancarrota. Por lo tanto, si continúa creciendo el consumo de gasolina, entonces la nación se irá a la bancarrota. 10. Si el consumo de gasolina sigue creciendo, entonces las importaciones de ga solina crecerán y se acabarán las reservas. Si o bien se incrementan las importaciones de gasolina o se acaban las reservas, entonces la nación se irá a la bancarrota. Por lo tanto, si el consumo de gasolina continúa creciendo, la nación irá a la bancarrota. XI. Use tablas de verdad para caracterizar las siguientes formas enunciativas como tautológicas, contradictorias o contingentes. * 1. [p ⊃ (p ⊃ q)] ⊃ q 3. (p · q) · (p ⊃

2. (p ⊃ q) ≡ ( ∼ p ⊃

∼ q)

∼ q)

4.p ⊃

[∼p ⊃ (q v ∼ q)] 6.(p ⊃ p) ⊃ (q · ∼q)

* 5. p ⊃ [p ⊃ (q · ∼ q)] 7. [p ⊃ (q ⊃ r)] ⊃ [(p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ r) 8. [p ⊃ (q ⊃ p)] ⊃ [(q ⊃ q) ⊃

∼(r ⊃ r)]

9. {[(p ⊃ q) · (r ⊃ s) · (p v r) ⊃ (q v s) 10. {[p ⊃ q) (r ⊃ s)] · (q v s)} ⊃ (p v r) XII. Use tablas de verdad para decidir cuáles de los siguientes bicondicionales son tautologías. * 1. (p ⊃ q) ≡ (∼q ⊃

∼ p) 3. [(p ⊃ q) ⊃ r] ≡ [(q ⊃ p) ⊃ r]

∼q) 4. [p ⊃ (q ⊃ r)] ≡ [ q ⊃ (p ⊃ r)]

* 5. p ≡ [p · (p v q)]

6. p ≡ [p v (p · q )]

7. p ≡ [p · (p ⊃ q)] 9. p ≡ [p v (p ⊃ q)] 11.p ≡ (p v (q · ∼q)] 13.p ≡ [p · ∼q)] *15.[p · (q v r)] ≡ [(p · q) v (p · r)] 16. [p · (q v r)] ≡ [(p v q) · (p v r)] 17. [p v (q v r)] ≡ [(p · q) v (p · r)] 18. [p v (q · r)] ≡ [(p v q) · (p v r)] 19. [(p · q) ⊃ r] ≡ [p ⊃ (q ⊃ r)] 20. [(p ⊃ q) · (q ⊃ r)] ≡ [(p · q) v (∼p. ∼q)]

2. (p ⊃ q) ≡ (∼p ⊃

8. p ≡ (p · (q ⊃ p)] * 10.(p ⊃ q) ≡ [(p v q) ≡ q] 12.p ≡ [p · (q · ∼q)] 14. p ≡ [p v (q v ∼q)]