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• Lectura y escritura de fracciones positivas. • Interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en diversos contextos. • Representación de fracciones en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellas. • Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de fracciones positivas a través de la amplificación o simplificación de fracciones.

• Leer y escribir fracciones, representarlas en la recta numérica, establecer relaciones entre ellas, reconocer algunas de sus propiedades, interpretar información expresada a través de dichos números y utilizarlos para comunicar información. • Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y empleando herramientas tecnológicas para efectuar adiciones y sustracciones con fracciones.

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DE LA UNIDAD

Lectura y escritura de fracciones. Números mixtos. Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación de fracciones. Comparación de fracciones. Fracciones y recta numérica. Fracciones de unidades de medida. Adición y sustracción de fracciones. Multiplicación de fracciones.

CONTENIDOS

En esta unidad se tiene por objetivo que los alumnos y las alumnas se familiaricen con la lectura y escritura de fracciones, como su interpretación y operatoria básica. Se profundizará en la adición y sustracción de fracciones con igual y distinto denominador, clasificación de fracciones, su asociación con puntos de una recta numérica, y de forma particular se revisará la multiplicación de fracciones. Esta unidad, también pretende, poner énfasis en la comprensión de algoritmos, su justificación y procedimiento paso a paso antes de pensar en una mecanización a base de fórmulas.

OFV

Cuadro sinóptico

4

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Las fracciones están presentes en tantos ámbitos de la vida cotidiana, que ya los alumnos y alumnas han de tener alguna primera idea respecto a ellas. Sin embargo, suelen ser un contenido complejo para los y las estudiantes, y generalmente prefieren trabajar las operaciones aritméticas con su equivalente en número decimal.

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Introducción

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Observaciones

Tiempo estimado

5 a 6 semanas.

Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, justificar procedimientos y relacionarlos con conocimientos anteriores. Desarrollar el pensamiento reflexivo, la observación de sus propios métodos y juzgar su utilidad y efectividad. Respetar y valorar las ideas y procedimientos alternativos, con la capacidad de integrarlos u optar por los propios. Desarrollar la autonomía y responsabilidad individual frente a tareas y trabajos.

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Objetivos fundamentales transversales

• Resolución de problemas referidos a contextos diversos y significativos haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de fracciones, enfatizando en habilidades. relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

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Esquema de la unidad Interpretada como material continuo (parte de un todo)

FRACCIONES

Interpretada como material discreto (parte de un conjunto de elmentos)

Amplificación

Fracciones equivalentes

Simplificación

Números mixtos

Clasificación

Fracciones impropias Fracciones propias

Fracciones de unidades de medidas

Orden

Operaciones

Adición y sustracción

Representación en la recta numérica Multiplicación

Comparación de cantidades

Sugerencias metodológicas PÁGINAS DE INICIO (Páginas 130 y 131)

Información para el docente • Previo al uso de porcentajes, las fracciones decimales, fracciones con denominador: 10, 100, 1.000, etc., constituyen una forma “objetiva” de expresar grandes cantidades o pequeñas cantidades, como parte de un total. Por ejemplo, en el caso del agua dulce en la Tierra, dado el enorme volumen del que estamos hablando (siendo a su vez una cantidad muy pequeña comparándola con la cantidad de agua salada) resulta poco adecuado utilizar cantidades numéricas, puesto que se pierde la posibilidad de dimensionar tal cantidad. Por lo que expresar esta información por lenguaje fraccionario facilita un tanto la comprensión.

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¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 132 y 133)

Indicador Interpretar y representar fracciones de forma gráfica.

Representar fracciones en la recta numérica.

Interpretar información expresada en fracciones en la resolución de problemas.

Nº de pregunta

Respuesta

3

1 3 2 8 1 100

4

Construcción

5

Construcción

6

Construcción

11

Construcción

12

Construcción

13

Construcción

7

No es correcta

8

Correcta

9

Correcta

10

No es correcta

1 2

14 15

6 8 2 8

16

20

17

30

Logrado con

Remediales/ sugerencias de profundización

7/9

• Presentar a los y las estudiantes ejercicios en los cuales ellos tengan que dividir enteros en partes iguales, ya que un error frecuente de los alumnos y alumnas, es dividir un entero, en las partes que indica el denominador, pero que estas no sean iguales. • Trabajar con los y las estudiantes en actividades en las cuales se trabaje con material discreto, es decir, con elementos de un conjunto. Se propone no dejar de lado esta interpretación, pues limita el concepto de fracción y su interpretación.

3/4

• Se propone que los alumnos y alumnas trabajen en equipos, poniendo en común sus procedimientos para representar fracciones en la recta numérica. Este trabajo en equipo es importante, ya que asociar puntos de la recta numérica con fracciones, es una habilidad matemática poco desarrollada.

2/4

• Trabajar con los y las estudiantes distintas situaciones en las cuales deban interpretar el resultado presentado en forma fraccionaria. Es importante que los alumnos y alumnas sepan responder de forma clara lo que se les pide. • Se propone trabajar con problemas en los cuales los y las estudiantes deban realizar más de una operación para responder a lo pedido.

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LECTURA Y ESCRITURA DE FRACCIONES (Páginas 134 y 135)

Información para el docente • En cursos anteriores los(as) alumnos(as) ya habrán visto fracciones y se habrán familiarizado con su uso, por lo que es esta la oportunidad de repasar aquellos contenidos y hacer hincapié en los nombres de los términos (numerador y denominador), que nos permitirán abordar con mayor claridad los análisis y operaciones posteriores.

• Es importante presentar a los y las estudiantes las dos interpretaciones de fracción como relación parte-todo, ya que usualmente esta representación de fracciones solo se asocia una parte del entero, y no así a elementos de un conjunto. Recordar que la fracción puede ser interpretada, entre otras, como relación parte-todo material continuo (parte de un entero) e interpretada como parte-todo material discreto (parte de un total de elementos). Es decir, que dividamos un total en partes iguales y consideremos algunas de ellas, y por otro que consideremos algunos elementos de un conjunto, respectivamente. NÚMEROS MIXTOS (Páginas 136 y 137)

Información para el docente • Es importante recordar a los alumnos y alumnas que los números mixtos son expresiones fraccionarias que nos ayudarán a visualizar y trabajar de forma más directa con los enteros y sus partes. Por esta razón, se propone que el docente pueda mencionar frecuentemente, que de una fracción impropia (numerador mayor que el denominador) se puede obtener la conversión de un número mixto. Esta aclaración constante puede facilitar la idea que el número mixto está compuesto por números enteros y fracciones.

• Resulta curiosa la resistencia que generan las fracciones y los números mixtos en los alumnos y alumnas, una vez que conocen los números decimales; tienden a asumir que las fracciones 3 no representan números sino “operaciones por realizar”, y rara vez escriben 1 4 , sino que suelen optar por 1,75. Lo curioso es que, en el lenguaje habitual, no decimos “compraré uno coma setenta y cinco kilogramos de pan”, sino que se usa el número mixto – “compraré un kilogramo tres cuartos de pan”. Conviene hacer esta relación para acostumbrar a los(as) alumnos(as) que esta no es una forma incompleta de representar cantidades, sino perfectamente válida y refrendada en nuestro lenguaje habitual.

Actividades complementarias • No conviene que mecanicen el proceso de transformación de número mixto a fracción y viceversa. Pese a que pueden haberlo visto antes, conviene proponer un método de justificación para el procedimiento a utilizar. Se puede aprovechar, además, de ejercitar y practicar un método de división poco habitual, pero intuitivo, por sustracciones sucesivas.

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27

• Si queremos determinar, por ejemplo, a qué número mixto corresponde la fracción 5 , y hay

dificultades para realizar la división, podemos plantear la tarea como, ¿cuántos quintos podemos obtener de 27? Lo natural para averiguarlo sería restar 5 todas las veces que podamos, sucesivamente. Tenemos que: 27 – 5 = 22

22 – 5 = 17

17 – 5 = 12

12 – 5 = 7

7–5=2

Haciendo un recuento, observamos que se pudo restar cinco veces y nos sobran dos unidades. Esta forma, de obtener cuántos quintos están contenidos en 27, puede resultar un poco más natural que realizar la división directamente, pese a que es la conclusión natural a la que esperamos que lleguen los(as) alumnos(as).

• Una vez realizado lo anterior, es más fácil comprender la transformación de número mixto a fracción. De todas formas, es preciso que se reflexione a partir de la pregunta: ¿cuántos quintos tiene un entero? (o el numerador que corresponda). A partir de esa pregunta es un tanto más evidente el por qué debemos multiplicar el denominador por el número de enteros, en el procedimiento de convertir un número mixto a fracción. Es muy recomendable que, cuando se realicen estos procedimientos de transformación, antes de utilizar directamente el algoritmo, realicen la reflexión del proceso que están siguiendo y su justificación.

Errores frecuentes o posibles dificultades • En ocasiones, por utilizar la fórmula sin entender el por qué funciona, los(as) alumnos(as) confunden la multiplicación y la adición. Así, en lugar de aplicar el algoritmo correctamente, escriben por ejemplo;

2 3+5•2 3 5 = 5

2 3•5•2 3 5 = 5

Siendo lo correcto: Se recomienda utilizar colores para visualizar de mejor forma la conversión de un número mixto a fracción. Es decir, que en el número mixto, el numerador tenga un color, el denominador otro color y, el número entero otro color. De esta forma, al utilizar la fórmula de conversión a fracción impropia, se asocian con los colores respectivos.

2 3•5+2 15 + 2 17 3 5 = = = 5 5 5

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FRACCIONES EQUIVALENTES (Páginas 138 y 139) Y AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN (Páginas 140 y 141)

Información para el docente • Si bien el apoyo gráfico es muy útil para constatar la equivalencia de fracciones, esta solo se entiende cabalmente a partir de la amplificación y simplificación, por lo que se recomienda abordar previamente, o en conjunto, este contenido.

Actividades complementarias • El método de multiplicar cruzado, para verificar si dos fracciones son equivalentes, pese a ser efectivo, es muy poco intuitivo y no relaciona los contenidos, por lo que no está de más analizar su validez, o deducirlo para no caer en una mecanización que no buscamos. Para ello, se sugiere la siguiente actividad 6 9 Considerar las fracciones y , representadas en las siguientes gráficas (cada cuadrado 8 12 entero tiene las mismas dimensiones), comprobar gráficamente si son equivalentes.

Observemos que es posible “simplificar” algunas divisiones, de modo que cada cuadrado esté dividido en el mismo número de partes.

Nuevamente observemos, que ambos cuadrados están divididos en cuatro partes, no de la misma forma pero sí equivalentes. Y en ambos se han considerado tres de las cuatro partes iguales. Una de las conclusiones de este procedimiento, es que es los(as) alumnos(as) verifiquen que numéricamente las fracciones ya eran equivalentes, y ambas pertenecen a la clase de 3 equivalencia del , donde una se amplificó por 2 y la otra fracción se amplificó por 3. 4 3 Para verificar la equivalencia de las fracciones gráficamente, de la fracción con las fracciones 4 6 9 y , se borran algunas de las líneas de la gráfica, lo que podría explica una simplificación. 8 12 Por lo tanto, agregar más líneas correspondería a una amplificación.

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Es importantísimo concluir de esta actividad, que dos fracciones son equivalentes si, amplificando o simplificando una de ellas o a ambas, se obtiene la misma fracción. Respecto de la actividad anterior, no está de más aclarar que, de “eliminar” algunas líneas 6 divisorias, debe hacerse en todo el entero. Es decir, en el caso de los , convertimos cada 8 uno de los octavos en cuartos. Por lo tanto, se deben “eliminar” todas las líneas de los octavos, en todos los cuartos del entero. Por ejemplo, se grafica la fracción

5 . 8

No se pueden eliminar líneas divisorias para transformar en cuartos o en medios, pues nos obliga a juntar una parte pintada con otra que no lo está. Esta imposibilidad la asociamos con la irreductibilidad de la fracción, es decir, que no podemos dividir el cinco y el ocho por un mismo número. Explicitar también, que cuando se quiere obtener una fracción irreductible, simplificamos por el máximo común divisor del numerador y el denominador, de modo que no sea posible seguir simplificando. Si bien no es un análisis del máximo común divisor el que se pretende hacer, es bueno que los(as) alumnos(as) distingan que, cuando dos números “tienen como divisor común al 1” la fracción no se puede seguir simplificando, y por lo tanto es irreductible.

• Una investigación interesante para los(as) alumnos(as) sería el sistema de numeración babilónico y, de manera especial, su uso de la base sesenta para utilizar un número con una gran cantidad de divisores. Es obra de este pueblo el sistema sexagesimal y, como también el uso de sesenta minutos para dividir una hora, lo que trae consigo una gran cantidad de fracciones, de las cuales utilizamos pero de manera muy pobre, comparada con el potencial que tendría. Por ejemplo. 1. Se puede sugerir a los(as) alumnos(as), primero, mencionar las fracciones de hora más comúnmente utilizadas (un cuarto de hora, media hora, tres cuartos de hora, etc.), teniendo 15 30 45 presente que corresponden a , y , respectivamente. 60 60 60 2. Luego, se puede pedir que expresen como fracción ciertas cantidades de minutos, de uso frecuente (5 minutos, 10 minutos, 20 minutos, 25 minutos, etc.), pero que no expresamos usualmente como fracción. En lo posible, plantearlo en alguna completación de frases como: “Nos vemos en diez minutos (un sexto de hora) más”.

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Errores frecuentes o posibles dificultades • Suele ocurrir que los(as) alumnos(as), confunden la acción simplificar fracciones, dividir por un mismo número numerador y denominador, con las acción de sustraer el mismo número a numerador y denominador. Por ese motivo, simplifican fracciones como 6 restando 3 al numerador y al denominador, obteniendo 3 , siendo lo correcto, es 9 6 6 2 simplificar la fracción por 3, resultando así . Conviene verificar que si incurren en 9 3 este error es solo por una confusión (muy frecuente cuando recién se familiarizan con este contenido) o realmente no están comprendiendo el sentido de la acción de simplificar.

¿CÓMO VOY? (Páginas 142 y 143)

Nº de pregunta

Respuesta

Logrado con

Remediales/ sugerencias de profundización

Leer y escribir fracciones.

1

A

2/2

2

D

• Se propone trabajar con distintas interpretaciones de fracciones, material continuo (fracción como parte de un entero) y material discreto (fracción como parte de un conjunto de elementos), para que los alumnos y alumnas asocien la lectura y escritura de fracciones a distintas situaciones. • Resolver ejercicios en los cuales se de la fracción, y los y las estudiantes escriban el cómo se leen las fracciones dadas.

Clasificar fracciones como propias, igual a la unidad e impropias y escribir estas últimas como número mixto y viceversa.

3

A

3/4

4

B

5

D

6

C

• Trabajar con los alumnos y alumnas ejercicios tipo, en los cuales sepan clasificar fracciones. • Es importante que los y las estudiantes sepan clasificar fracciones, y posteriormente sepan interpretar el resultado, ya que la fracción, por ejemplo: 5 es 4 impropia y se puede interpretar como un kilogramo y un cuarto de kilogramo (1 kilogramo y 125 gramos). 3 A diferencia de , que es una fracción propia, se 4 puede interpretar como 750 kilogramos.

Indicador

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Indicador Identificar fracciones equivalentes, obteniéndolas mediante amplificación y simplificación.

Resolver problemas de aplicación.

Nº de pregunta

Respuesta

Logrado con

Remediales/ sugerencias de profundización

7

C

2/3

8

C

9

B

• Se propone trabajar ejercicios, en los cuales los alumnos y alumnas puedan obtener fácilmente el número por el cual deben amplificar o simplificar alguna fracción, para encontrar la fracción equivalente. • Trabajar con los y las estudiantes ejercicios en los cuales se den fracciones “grandes”, y se pida simplificarlas hasta llegar a su fracción irreductible.

10

Sí, pues ambas fracciones son equivalentes.

1/1

• Pedir a los(as) alumnos(as) que escriban en palabras algunas fracciones a su elección. Luego, que entreguen esta escritura a un compañero(a), que debe leer y escribir numéricamente la fracción. • Para este tipo de situaciones, se propone trabajar con varios contextos cotidianos y sus 1 interpretaciones, según corresponda. Ya que de 4 100 lápices, se interpreta de forma distinta que 1 4 de kilogramo de queso.

COMPARACIÓN DE FRACCIONES (Páginas 144 y 145)

Información para el docente • Una vez abordados los contenidos de amplificación, simplificación y equivalencia de fracciones, la comparación de estas no debiera dificultar. Sin embargo, se propone trabajar este contenido siempre con apoyo gráfico. Este recurso, es más natural utilizarlo con fracciones que tienen el mismo denominador, pues solo basta observar cual entero (dividido en partes iguales) es el que considera más partes, para determinar la fracción que es mayor. La representación gráfica para fracciones con distinto denominador, es un tanto más compleja, pues primero tenemos que obtener las fracciones equivalentes, para recién poder representarlas gráficamente de forma más fácil, y así compararlas.

• Es importante que se plantee a los y las estudiantes los siguientes pasos a seguir para la comparación de fracciones: 1º Obtener fracciones equivalentes a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismo denominador. 2º Comparar los numeradores de las fracciones obtenidas.

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Actividades complementarias • Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes actividades. Resuelve. 1. Una pizza se va a repartir entre cinco amigos, en partes iguales. Sin embargo, han llegado ahora dos amigos más. Si se reparten la pizza en partes iguales, entre todas las presentes: a. ¿Comerán más o menos pizza? Justifica. b. ¿Qué parte de la pizza comerá cada uno? Justifica. Se propone que los(as) alumnos(as) realicen la gráfica de las pizzas (antes y después de llegados los dos amigos), y escriban las fracciones que representan lo que comerá cada uno. Antes

Después

1 5

1 7

Es bastante evidente, al mirar las gráficas, que en el primer caso comerán más pizza que en el segundo. Sin embargo, debe buscarse que los(as) alumnos(as) puedan justificar que esto se debe a que, mientras en menos partes iguales se divida la pizza (o la gráfica), más come cada uno. No será difícil extender esto a numeradores mayores que uno. Se sugiere plantear, para esta situación, la siguiente actividad. Si Raúl come dos (tres, cuatro, etc.) pedazos de la pizza dividida en 5 partes iguales, y Pablo come la misma cantidad de pedazos pero de la dividida en 7 partes iguales. ¿Quién comió más pizza? Nuevamente, la idea será que los(as) alumnos(as) observen que cada pedazo de la primera pizza es “más grande” que cada pedazo de la segunda pizza, por lo que Raúl come más.

• Para comparar las fracciones de distinto numerador y denominador, se puede proponer a los(as) alumnos(as) la siguiente secuencia.

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4 9

5 12

¿Cuál de las dos fracciones es mayor? (cada rectángulo grande es de igual medida) Con los dibujos no es tan fácil determinarlo, por lo que buscamos dividir ambos rectángulos en igual cantidad de partes iguales. Si dividimos el que está separado en novenos, podrá quedar dividido en 18, 27, 36, 45… partes iguales. En tanto, si dividimos el que está separado en doce partes, podrá quedar dividido en 24, 36, 48, 60… partes iguales. Notamos que ambos pueden quedar divididos en 36 partes iguales, ya que 36 es el mínimo común múltiplo de 9 y 12. Por lo tanto, el entero que está divido en novenos, lo dividimos nuevamente en cuatro partes iguales y, el que está divido en doceavos, lo podemos volver a dividir en tres partes iguales. Estas divisiones, se muestran en las siguientes gráficas.

16 36

15 36

16 Como ambas tienen igual denominador, la fracción mayor es , ya que el numerador es 36 mayor. Esta actividad, puede trabajarse con los(as) alumnos(as) pidiéndoles que experimenten con distintas formas de dividir el rectángulo. Como es una actividad experimental, los y las estudiantes intuitivamente dividirán cada entero en cualquier parte de él, y en distintas cantidades de partes cada entero. Lo importante es que los alumnos y alumnas puedan percatarse primero, que todas las partes que resulten de dividir el entero deben ser iguales; y, segundo, que puedan concluir que lo más eficiente es obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores, para no tener que dividir en cantidades excesivas de partes iguales cada entero.

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• Conjuntamente con lo anterior, es posible justificar el procedimiento de “multiplicar cruzado”, para comprobar la equivalencia de dos fracciones. En efecto, algún(a) alumno(a) podrá 5 4 deducir que basta amplificar la fracción por 12 y, la segunda fracción 12 por 9, de modo 9 de obtener fracciones equivalentes de denominador 108. De igual forma, podemos extender a c esta deducción a dos fracciones cualquiera: y , con b y d distintos de cero. b d Al amplificar la primera por d y la segunda por b, se obtiene: ad cb bd y bd

• De todos modos, y pese a la eficacia de este método, conviene que los y las estudiantes sean capaces de utilizar alguna otra estrategia que sea fruto de haber comprendido antes la amplificación y simplificación de fracciones para obtener fracciones equivalentes. 20 16 y , amplificamos la primera fracción 37 51 por 51, y la segunda fracción por 37. Como se puede apreciar, los números resultantes son Por ejemplo, si queremos comparar las fracciones

bastantes grandes, y puede resultar muy complicado. También, resultaría un tanto complicado encontrar el mínimo común múltiplo de 37 y 51 (51·17 = 867), por el ámbito numérico del producto. Tal vez, conviene más, en un caso como este, constatar que 20 representa una parte de 37 mayor que lo que representa 16 de 51, por lo que la primera fracción es mayor. Naturalmente, técnicas como esta suponen una compresión más acabada de las fracciones que los métodos vistos.

FRACCIONES Y RECTA NUMÉRICA (Páginas 146 y 147)

Información para el docente • Cuando hablamos de ordenar números, las idea más intuitiva es la de disponerlos de izquierda de derecha siguiendo la idea de asociar lo mayor con lo que está ubicado a la derecha y lo menor con lo que está ubicado hacia la izquierda. Esta idea, un tanto intuitiva, también se cumple al asociar a puntos de la recta fracciones.

• Al “ubicar fracciones en la recta numérica”, ya se está trabajando con el número racional. No es menor, enfatizar que: - el concepto de fracción está ligado a variadas interpretaciones, tales como: razones, probabilidad, división, medición, relación parte-todo (material continuo y discreto), porcentajes, fracción de un número, etc. Cada una de las situaciones planteadas anteriormente, se pueden representar por una fracción, en la cual numerador y denominador tienen un determinado significado, según sea la interpretación trabajada. A medida que se trabaja, de forma progresiva, todas estas interpretaciones se van enriqueciendo e integrando el concepto de fracción.

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- Por otro lado, se tiene que cuando se logra abstraer el símbolo a , de las interpretaciones, b a y lo utilizamos solo como el símbolo , con el cual se puede operar aritméticamente y b se puede ubicar en la recta numérica, es cuando estamos trabajando con el número a racional, pues si bien vemos dos numerales en su expresión , este corresponde a un b único número, pues su ubicación en la recta numérica es única. Esta representación en la recta numérica, constituye el primer paso hacia esta asimilación entre una fracción y un número racional.

• Respecto a la asociación de una fracción con puntos de una recta numérica, los(as) alumnos(as) podrán constatar que la asignación de una unidad es arbitraria. En el caso de una: - Fracción propia: se divide la recta numérica en tantas partes iguales como indique el denominador. La última división realizada, es la que corresponde a la unidad. Luego, desde la primera división en la recta, se avanza tantas partes iguales como lo indica el numerador. Ejemplo 5 . 8 Primero, se divide la recta numérica en 8 partes iguales (como lo indica el denominador). Para ubicar la fracción

Desde la primera división, contamos 5 partes (como lo indica el numerador). Luego, 5 hemos ubicado la fracción . 8 - Fracción impropia: se divide la recta numérica en tantas partes iguales como lo indica el denominador y, se marca la primera unidad. A partir de esta unidad (hacia su derecha) se divide la recta numérica nuevamente en tantas partes iguales como lo señalada en denominador y así nuevamente, hasta ubicar la fracción pedida. Ejemplo Ubicar en la recta numérica 13 . 10 Se divide la recta numérica en 10 partes iguales. La décima división hecha, corresponde a la unidad. A partir de esta última división, se divide la recta numérica en las mismas 10 partes iguales anteriores, esta última división corresponde a la segunda unidad. Ahora, desde la primera división, se avanzan 13 partes (lo que señala el numerador). Se ha ubicado, la fracción 13 . 10 Como ya se ha insistido, la selección de estas unidades es arbitraria, y puede servir este ejercicio para que los(as) alumnos(as) constaten que una fracción corresponde a una representación, independiente de la unidad que se haya escogido.

• En las actividades propuestas en estas páginas, actividades 11 a 14, se pide ubicar dos fracciones en la recta numérica y compararlas. Poner especial atención a que las fracciones propuestas son tales que se puede obtener fácilmente la fracción equivalente, con el mismo denominador, lo que facilita el trabajo propuesto. Es interesante, que los alumnos y las alumnas, piensen en qué procedimiento pueden utilizar si desean ubicar dos fracciones con denominadores distintos, donde uno de ellos no sea múltiplo del otro, por ejemplo 4 y 6. Lo más probable es que intenten por la estrategia ensayo y error, esta forma de trabajo ayudará a que logren deducir que se necesita obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores, para simplificar su ubicación en la recta numérica.

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FRACCIONES DE UNIDADES DE MEDIDA (Página 148 y 149)

Información para el docente • Es importante mencionar que “fracciones de unidades de medida” se relaciona con la fracción como operador. Esta interpretación de fracción es una instrucción la cual dice: “se multiplica por el numerador y, luego, se divide por el denominador” o viceversa, “se divide por el denominador y, luego, se multiplica por el numerador”. De ambas formas, se llega al resultado pedido. Si bien es un tanto mecánica esta forma de trabajar la fracción como operador, es una buena estrategia de trabajar con los alumnos y alumnas, ya que lo importante en el contenido de unidades de medida, no es la fracción como 1 operador, si no más bien, la equivalencia que se da entre, por ejemplo, 4 de hora con 15 minutos. - En este ejemplo, la fracción como operador, se utiliza en los siguiente: 1 1 1 de hora
de 60 minutos
· 60 4 4 4 Se divide por el denominador
60 : 4 = 15 Se multiplica por el numerador
15 · 1 = 15 1 Luego, 4 de hora equivale a 15 minutos. - De la otra forma: 1 1 1 4 de hora
4 de 60 minutos
4 · 60 Se multiplica por el numerador
60 · 1 = 60 Se divide por el denominador
60 : 4 = 15 1 Luego, 4 de hora equivale a 15 minutos.

• Para el tema de estas páginas, el docente debe manejar las equivalencias que existen entre las unidades de medidas correspondientes. -

3 ¿A cuántos gramos equivale 4 de kilogramo? Para responder, se debe tener en cuenta que 1 kilogramo equivale a 1.000 gramos. Luego, se resuelve así: 3 3 4 de kilogramo
4 de 1.000 gramos 3 Luego, resolvemos
4 · 1.000 Se multiplica por el numerador
1.000 · 3 = 3.000 Se divide por el denominador
3.000 : 4 = 750 3 Luego, 4 de kilogramos equivalen a 750 gramos.

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• Es interesante que los(as) alumnos(as) constaten que, cuando deseen calcular un número mixto de una unidad de medida pueden: - Convertir el número mixto a fracción impropia y luego calcular. - Asociar directamente, el entero del número mixto, con las unidades correspondientes y 2 luego, calcular solo la fracción. Por ejemplo, si queremos calcular 3 5 de metro, consideramos que un metro tiene 100 centímetros, por lo que tendremos 300 centímetros (equivalente a los 3 enteros del número mixto) más la fracción. 2 Para obtener la equivalencia de la fracción de metro, realizamos lo siguiente: 5 2 2 5 · 100 = 2 · 20 = 40
La fracción 5 de metro equivale a 40 centímetros. Luego, sumamos las cantidades obtenidas
300 cm + 40 cm = 340 cm 2 Por lo que concluimos que 3 de metro equivale a 340 centímetros. 5

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES (Páginas 150 a 153)

Información para el docente • La adición y sustracción de fracciones suele ser un contenido de difícil comprensión para los(as) alumnos(as), por lo que el trabajo con los contenidos previos a estas páginas, tales como representación gráfica de fracciones, amplificación de fracciones, simplificación de fracciones y fracciones equivalentes son fundamentales para un trabajo significativo para los y las estudiantes.

• Los alumnos y alumnas ya han trabajo con la adición y sustracción de fracciones con igual denominador, por lo que ya saben que solo estas fracciones se pueden sumar o restar directamente. Por esta razón, se propone que al presentar sumas y restas de fracciones con distinto denominador, se tenga presente de forma inicial la representación gráfica del cómo sumar fracciones con denominador distinto. Por ejemplo, pedirles que grafiquen la suma 1 1 de + . Al pedirles este trabajo, los y las estudiantes debieran percatarse que no pueden 2 3 graficar la suma, ya que estas tienen distinto denominador. De aquí podría surgir la necesidad de igualar denominadores, obteniendo el mínimo común múltiplo entre ellos.

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Actividades complementarias • A los(as) alumnos(as) más aventajados, se les puede plantear la conveniencia o no de simplificar las fracciones antes de sumar o restar. En ocasiones, simplificar ayuda a calcular fácilmente el mínimo común múltiplo, pero en otras se convierte en un paso innecesario. Por ejemplo, en la siguiente adición: 4 3 12 + 8 Observamos que el mínimo común múltiplo entre los denominadores es 24, por lo que se debe amplificar la primera fracción por 2. En cambio, si la simplificamos hasta obtener la 1 fracción irreducible se tiene la fracción , y el mínimo común múltiplo entre 3 y 8 continúa 3 siendo 24, lo que nos haría amplificar por 8 la fracción nuevamente, es decir, se habrá simplificado y luego, vuelto a amplificar. Naturalmente, simplificar antes de resolver la operación nos puede permitir calcular más fácilmente el denominador común, pero no siempre es necesario. Más que enseñarlo como técnica, es conveniente valorar cuando los(as) alumnos(as) realicen razonamientos de este tipo, pese a que con ello se “salten pasos”.

• Una observación interesante es que, en algunos casos, es posible realizar la adición y sustracción de números mixtos sin convertirlos a fracción. Esto sucede cuando las partes fraccionarias tienen igual denominador. Por ejemplo: 1 3 35 + 45 Sumamos las partes enteras de ambos números mixtos y luego, las fracciones que tienen 4 igual denominador. Esto resulta 7 . 5 Por cierto, en la adición anterior, rápidamente pudimos obtener su resultado, ya que la 4 parte fraccionaria del resultado ( ) es una fracción propia. En caso de no ser así, observa 5 como se puede resolver. 8 Por ejemplo, considerar que la fracción 7 es resultado de una adición. La parte 5 8 8 fraccionaria 5 , es una fracción impropia, por lo que es mayor que un entero ( 5 equivale a un entero sobrando 3 partes iguales). Luego, el entero de esta fracción, se le suma a la parte entera del número mixto, resultando así 8 enteros. Y en la parte fraccionaria se anota 8 3 lo que “sobró de ”, es decir . 5 5 8 3 Luego, 7 = 8 5 5

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Errores frecuentes o posibles dificultades • Una interpretación errónea, pero frecuente, es pensar que se deben sumar los numeradores y los denominadores, respectivamente. Este tipo de error, puede tener su raíz en que los y las estudiantes ya saben sumar número naturales, y estos se suman “hacia el lado”. Para subsanar este error, se propone enfatizar con sus alumnos y alumnas, que si bien en una fracción se ven dos números, se está trabajando con uno solo, por lo tanto hay que trabajar con la fracción como un todo. Este error, también se puede deber a que se haya visto multiplicación de fracciones, donde multiplican los términos. Para evitarlo, se puede plantear verbalmente la situación, por ejemplo: 3 1 5 + 5 Al leer esta expresión, se tiene que “tres quintos más un quinto es igual a…”. Parecerá muy natural que, al sumar quintos, obtenemos quintos, y por ende que tres quintos más un quinto será igual a cuatro quintos. Recálquese aquí que nunca sumamos los denominadores.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES (Páginas 154 y 155)

Actividades complementarias o tareas • Además de realizar la actividad propuesta en estas páginas, o de no ser posible construirla (es conveniente conseguir los plásticos sugeridos) justificar la fórmula utilizando el área de un rectángulo.

• Es importante que los(as) alumnos(as) simplifiquen las fracciones previamente a multiplicarlas, de manera de no trabajar con números demasiado grandes. Conviene también que se acostumbren a expresar su resultado como fracción irreducible. Para los(as) alumnos(as) que les cueste el manejo numérico, se les puede proponer que, al multiplicar, no escriban el producto directamente, sino que primero escriba la multiplicación, a fin de poder encontrar los factores comunes y así poder simplificar. 21 15 Como ejemplo de lo anterior, consideremos el producto . Si realizamos la multiplicación 25 · 28 315 obtendremos , lo cual puede resultar un poco difícil de simplificar para los(as) 700 alumnos(as), o al menos un tanto largo el procedimiento. Sin embargo, si solo expresamos la multiplicación, es fácil obtener los factores comunes. Vemos que existe el factor común 5 entre 15 y 25, y el factor 7 entre 21 y 28. Podemos, por ende, simplificar previamente estos términos: 21 15 21 15 3 3 9 25 · 28 = 28 · 25 = 4 · 5 = 20

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Errores frecuentes o posibles dificultades • La multiplicación de fracciones, como ya se ha planteado, suele hacer que los(as) alumnos(as) se confundan con la adición, ya que se multiplica numerador por numerador, y denominador por denominador. Este procedimiento confunde a los alumnos y alumnas, pues cuando se suman fracciones, también lo hacen sumando numerador con numerador y denominador con denominador. Ejemplos de procedimientos erróneos.

5 2 5+2 7 1. Adición de fracciones de igual denominador
8 + 8 = 8 + 8 = 16 6 4 6 + 4 10 2. Adición de fracciones de distinto denominador
7 + 5 = 7 + 5 = 12 Corregir estos errores, poniendo énfasis que al sumar fracciones, si bien hay un algoritmo que siempre resulta, la base de ese procedimiento, es que para adicionar o sustraer fracciones se deben obtener las fracciones equivalentes, con igual denominador, a las fracciones originales. Solo así, se obtienen fracciones que se pueden sumar o restar.

• La interpretación de la multiplicación de fracciones es compleja puesto que nos saca de la interpretación clásica de que la multiplicación es solo una adición iterada. En efecto, interpretamos que 5 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3, es decir, sumamos cinco veces el tres. 4 Pero, ¿qué puede significar 1 · 4 ? ¿Sumar un tercio veces? 5 3 5 La justificación de los procedimientos de alguna manera obliga a dar un pequeño salto en la interpretación de la multiplicación. Este contenido, multiplicación entre dos números fraccionarios, se puede comenzar trabajando como el área de un rectángulo, cuyos lados miden lo indicado por dichos fracciones. Y luego, obtener el área como la multiplicación de la medida del ancho por la del largo.

• Si los(as) alumnos(as) se acostumbran a la mecanización, puede que en este caso “multipliquen cruzado”, algo que ya han hecho. Será el énfasis que se haga en comprender el proceso el que evite este error.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES (Páginas 160 y 161)

Actividades complementarias o tareas • Se sugiere repasar las deducciones realizadas en esta unidad, comprobando que las relaciones hayan sido comprendidas y que los(as) alumnos(as) sean capaces de reconstruir las explicaciones de los procesos realizados.

• Puede ser interesante repasar los ejercicios y problemas que hayan realizado y, a modo de puesta en común, buscar que los(as) alumnos(as) expliquen con sus palabras sus métodos de resolución, poniendo atención especialmente a la secuencia de pasos que siguen.

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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES

¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 164 a 167)

Nº de pregunta

Respuesta

Criterio de logro

Remediales/ sugerencias de profundización

1

B

4/5

2

C

3

C

11

Construcción

12

Construcción

13

Ambos comieron 2 alfajores

• Pedir a los y las estudiantes que representen fracciones simples en una recta numérica. Por ejemplo, fracciones como 14 , 15 , 18 ; en las cuales solo tengan que dividir la recta numérica en partes iguales como indica el denominador. Luego, proponer fracciones cuyo numerador sea mayor que uno. Y, posteriormente trabajar con fracciones impropias. Una vez que los alumnos y alumnas, ya sepan representar fracciones en la recta, una vez ubicadas en la recta, pedirles compartir sus procedimientos para determinar qué fracción es mayor, menor o igual que otra.

Calcular fracciones de unidades de medida de longitud, masa y tiempo.

4

C

3/3

5

D

6

C

• Trabajar ejercicios en los cuáles sea fácil observar si a los y las estudiantes les dificulta este contenido por un desconocimiento de las unidades utilizadas, o a problemas de operatoria. Si la dificultad es la operatoria se propone, profundizar en el procedimiento de trabajar la fracción como operador.

Sumar y restar fracciones en distintos contextos.

7

C

5/6

8

B

14

2 alfajores

15

4 2 kg o 2 kg

17

8 8 kg o 8 kg

• Trabajar ejercicios en los cuales los y las estudiantes repasen los métodos para adicionar y sustraer fracciones, verificando esencialmente que comprendan la necesidad de igualar denominadores. • Es importante trabajar problemas de resolución, en los cuales los y las estudiantes deban dar respuesta resolviendo sumas y restas de fracciones con igual y distinto denominador.

18

le sobran 4 14 2/3

• Trabajar con los alumnos y las alumnas, ejercicios en los cuales lo esencial sea el procedimiento que se utiliza para multiplicar fracciones, y no así su interpretación. • Ejercitar problemas, en los cuales se multipliquen más de dos fracciones, en las cuales se deba simplificar de forma cruzada, para que el resultado obtenido sea la fracción irreductible.

Indicador Ordenar y comparar fracciones y representarlas en la recta numérica.

Multiplicar fracciones en distintos contextos.

1

4

1

65

9

C

10

C

16

9 16

de litro

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Evaluación de la unidad

Material fotocopiable

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 7 1. ¿Entre qué fracciones se ubica la fracción 9 ? 19 2 A. y 36 3 2 13 B. y 3 18 2 22 C. y 3 27 13 20 D. y 18 27

5. El resultado de la operación 22 24 161 B. 36 22 C. 36 22 D. 24 A.

1 de litro de 4 7 diluyente por cada litro de pintura. Para de litros 2 de pintura se necesitan:

6. En un curso de 36 alumnos, 1 optó por un taller de 3 1 deportes, por el de música y el resto por uno de 2 manualidades. ¿Cuántos alumnos optaron por el taller

2. Para preparar una pintura, se mezcla

A. 7 de 6 8 B. 6 de 2 C. de 28 7 D. 8 de

5 10 7 + + es igual a: 9 3 12

de manualidades?

litro de diluyente.

A. 5 alumnos litro de diluyente.

B. 12 alumnos

litro de diluyente.

C. 6 alumnos D. 8 alumnos

litro de diluyente. 7. ¿Cuánto resulta 4

1 3. Un carpintero demora de día en reparar un mueble. 3 1 Otro, demora de día. ¿Cuántas horas más se tarda 4 el primero que el segundo?

2 4 +6 5 5

3 - 2 10

?

1 A. 8 5 3 B. 9 10

A. 2 horas

1 5 9 D. 8 10 C. 10

B. 3 horas C. 4 horas D. 1 hora

8. ¿Cuáles son las fracciones representadas, respectivamente? 4. ¿Cuál de estas expresiones no es equivalente con la 15 fracción ? 8 21 7 A. 1 C. 24 8 60 14 B. 1 D. 32 16

Santillana Bicentenario

2 A. 3 y 9 12 12 1 6 B.1 4 y 1 8

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1 3 y 4 4 3 9 D. 1 y2 12 12

C.

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9.

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13. ¿Cuánto resulta

Solo utilizando las divisiones de este segmento 0

81 A. 208 16 B. 13

1

¿Qué fracción no puede ubicarse aquí? 1 6 5 B. 9 2 C. 3 3 D. 4

84 79 D. 12 25

A.

C.

14. ¿Cuál de las siguientes secuencias de expresiones está correctamente ordenada? 3 ➜2 5 3 2 5 B. 7 ➜9 5 6 C. ➜ 12 7 3 2 D. 5 ➜3 A.

10. Un muro de tres metros está pintado de tres colores: 1 1 metros con color rojo, 60 centímetros de 4 color azul y el resto de color verde. ¿Qué fracción del muro está pintada de color verde? A. 1 1 15 B. 15 100 15 C. 1 100

11. De 80 huevos que tenía, vendí 2 de ellos, comí 5 30 y el resto se perdieron. ¿Cuántos se perdieron? A. 18 huevos B. 20 huevos D. 16 huevos 12. Si a es un número cualquiera, distinto de cero, ¿cuál de estas fracciones no puede ser equivalente a 9 ? 20 45 A. a C. a 60 D.

5 7 ➜ 8 7 ➜ 10 6 ➜ 5

5 ➜ 6 1 ➜ 1 3 8 ➜ 11 5 6➜

16. ¿Cuánto resulta 2 2 · 3 2 ? 5 3 A. 6 4 15 B. 55 36

C. 12 huevos

25 a

6 ➜

15. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 24 ? 29 5 A. 1 29 23 B. 30 5 C. 1 29 48 D. 50

D. 23 60

B.

36 48 · ? 52 27

C. 8 3 5 D. 8 4 5

72 a

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1 de dólar por cada 3 kilogramo de metal que vende. Si ha logrado reunir 5 7 kg, ¿cuánto le pagarán en total por ello? 8 5 A. 7 24 183 B. 8 13 C. 2 24 17 D. 8

20. En un curso hay 17 mujeres y 15 hombres. Si a final de año se retiran del curso 3 hombres y llegan 5 mujeres, ¿qué fracción del curso representan los hombres ahora?

17. A Don Antonio le pagan

6 17 3 B. 8 6 C. 11 1 D. 3 A.

18. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor, y cuál es la diferencia entre ellas?

21. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor? A.

3 7

B.

2 7

C.

5 7

D. 1 7 22. ¿Qué fracción está representada en la recta? A. La roja es mayor, por

2 9

B. La amarilla es mayor, por

2 9

3 C. La roja es mayor, por 40 D. La amarilla es mayor, por

3 40

A.

4 7

B.

5 7

C.

6 7

D.

1 7

0

1

19. ¿Cuál de las siguientes sumas es mayor? 23. ¿Qué fracción es equivalente a

49 1 + 50 5 1 39 B. + 4 40 1 29 C. + 3 30 1 19 D. + 2 20 A.

Santillana Bicentenario

A. 10 7 B.

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10 14

C. 5 14 D.

7 5

2

5 ? 7

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24. Al simplificar

21 se obtiene: 28

28. 8. El valor de

1 8 3 B. 4 3 C. 7 7 D. 4 A.

A.

3 2

+

1 7

·

21 es igual a: 4

9 4

B. 1 3 C. 2 D. 2 29. El resultado de

25. La fracción irreductible de

150 es: 200

A.

30 40 15 B. 20 5 C. 4 3 D. 4 A.

( -) 2 5

1 7 es igual a: 3 : 3

1 35

B. 35 C.

1 15

D. 7 45 28 30. Al amplificar la fracción por 2 se obtiene una 14 fracción:

26. Al multiplicar dos fracciones impropias el producto es siempre:

A. propia. B. impropia.

A. menor que los factores.

C. igual a la unidad.

B. mayor que los factores.

D. igual a dos unidades.

C. menor que uno de los factores y mayor que el otro. D. No se puede determinar.

27. El cálculo de

7 4

-

31. Leo tiene un juego de bloques de colores. Tres dieciochoavos de las piezas son azules, dos sextos de ellas son verdes y tres sextos de ellas son rojas. ¿De qué color de pieza tiene menos?

1 2 + es: 4 4

A. 0

A. Rojas

B. 1

B. Azules C Verdes

C. 2

D. Rojas y verdes

D. 3

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